diff --git "a/big_dataset_math.txt" "b/big_dataset_math.txt" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/big_dataset_math.txt" @@ -0,0 +1,35601 @@ + + + +CHINH PH ỤC HÀM SỐ BẬC HAI +“làm cho tự tin khi bước vào ph òng thi” +Ví dụ 1. Cho hàm s ố: +2yx= có đồ thị là +(P) . Tìm các đi ểm M thu ộc +(P) sao cho tung đ ộ gấp 4 lần hoành đ ộ. +Lời giải +Câu 1. Biết parabol +2( 0) y ax a= đi qua đi ểm +( 2; 2)A−− . Tìm hoành đ ộ của điểm thu ộc parabol có tung đ ộ +Lời giải +Câu 2. Cho parabol +4xPy= . Tìm đi ểm trên parabol +(P) biết giá tr ị tuyệt đối của tung đ ộ điểm đó là 9 +Lời giải +Câu 3. Tìm các đi ểm M thu ộc đồ thị +4Pxy=− sao cho tung đ ộ bằng hai l ần hoành đ ộ. +Lời giải +Câu 4. Cho hàm s ố +4xy=− . Tìm t ọa độ các đi ểm thu ộc +()P có hoành đ ộ và tung đ ộ đối nhau. +Lời giải +Câu 5. Tìm đi ểm +()11; Mxy thuộc parabol +()2:2P y x=− sao cho +11 1 yx=− . +Lời giải +Câu 6. Cho hàm s ố +2yx=− . Tìm đi ểm +();BBB x y thuộc đồ thị của hàm s ố trên sao cho +2BBxy+ =− . +Lời giải +Câu 7. Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol +2( ) :P y ax= đi qua đi ểm +(1;2)M . +a) Xác đ ịnh giá tr ị của +b) Tìm trên đ ồ thị +()P hai đi ểm +()()1 1 2 2; , ;A x y B x y với +12xx sao cho +12 1 xx+= và +12 10 yy+= +Lời giải +Vì parabol +2( ) :P y ax= đi qua đi ểm +(1;2)M nên +22 .1 2aa=  = +()()1 1 2 2; , ;A x y B x y thuộc parabol +2( ) :P y ax= nên +1 2 22 +1,22x yy x == +2 2 2 2 +1 2 1 2 1 2 10 2 2 10 5 y y x x x x+ =  + =  + = +( ) ()2 22 +1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 2 5 x x x x x x x x x x + + − =  + − = +12 1 xx+= vào (1) ta đư ợc: +1 2 1 2 1 2 5 2 x x x x− =  =− +2S x x +P x x= + = += =− . Ta có: +()224 1 4. 2 9SP− = − − = +Khi đó +12;xx là nghi ệm của phương trình +220 xx− − = +Giái phương trình ta đư ợc +12 1; 2 xx=− = +Khi đó +12( 1) 2y= − = và +22(2) 8y== +Hai đi ểm cần tìm là +( 1, 2)A− và +(2,8)B . +Câu 8. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố +2yx= có đồ thị đi qua hai đi ểm +(2; )Aa và +( ;3 )B b b a+ . +b , biết điểm +B nằm bên ph ải trục tung. +Lời giải +Câu 9. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố +2yx=− có đồ thị là parabol +()P . Tìm t ọa độ điểm +M thuộc +sao cho +25 OM= . +Lời giải +Câu 10. Cho hàm s ố +2( 3)y a x=− . Biết đồ thị hàm s ố đi qua đi ểm +( 1;1)A− . +a) Tìm h ệ số +b) Tìm t ọa độ giao đi ểm của đường th ẳng +44yx=− và đồ thị hàm s ố đã cho v ới hệ số +a vừa tìm đư ợc +ở câu a). +Lời giải +Câu 11. Cho hàm s ố y = (m – 3)x2 (với m ≠ 3) có đ ồ thị là parabol ( P) +a) Tìm m để (P) đi qua đi ểm K(–3; 18) +b) Với m tìm đư ợc ở câu a, tìm to ạ độ giao đi ểm của (P) với đường th ẳng (d): y = –7x + 4 +Lời giải +Cho hàm s ố y = (m – 3)x2 (với m ≠ 3) có đ ồ thị (P) +a) Tìm m để (P) đi qua đi ểm K(–3; 18) +a) Thay x = - 3, y = 18 vào công th ức hàm s ố +Tính đư ợc m = 5 (tm) và k ết luận. +b) Với m tìm đư ợc ở câu a, tìm to ạ độ giao đi ểm của (P) với đường th ẳng +(d): y = –7x + 4 +Với m = 5 hàm s ố có dạng y = 2x2 +Phương trình xác đ ịnh hoành đ ộ giao đi ểm của (d) và (P) là: +22 7 4xx=− + +Tính đư ợc +2xx= =− +Tính đư ợc +Suy ra to ạ độ giao đi ểm của (d) và (P) là + và +() 4;32− +Câu 12. Cho hàm s ố +2( 0) y ax a= . Tìm h ệ số +a, biết rằng đ ồ thị của hàm s ố +2y ax= cắt đường th ẳng +32yx=− +tại điểm có tung đ ộ bằng 4. +Lời giải +Câu 13. Xác đ ịnh hệ số +a của hàm s ố bậc hai +2() y f x ax== , biết đồ thị hàm s ố đã cho c ắt đường th ẳng +y 3x 20=+ +tại điểm có hoành đ ộ bằng 4 +Lời giải +Vì hoành đ ộ bằng 4 suy ra +x4= thay vào ta có Tung đ ộ giao đi ểm là +y 3 4 20 32=  + = . +Theo bài ra thì đ ồ thị ham s ố +2() y f x ax== đi qua đi ểm +(4;32) +Ta có: +232 a.4= +Suy ra +Vậy hệ số +Câu 14. Cho Parabol +()2( 0) y f x ax a= =  có đồ thị cắt đường th ẳng y = 2x – 3 tại điểm có tung đ ộ bằng 5. +()() 22ff−+ +Lời giải +Thay y = 5 vào hàm số y = 2x – 3 ta có: +2x – 3 = 5 +2x = 8 +Thay x = 4; y = 5 vào hàm số y = f(x) = ax2 ta có: +()2 5516 5 +16 16a a y f x x= = =  = = +()()5 5 52 2 .4 .4 +16 16 2ff− + = + = +Câu 15. Một vật rơi tự do ở độ cao 500 m xuống mặt đất. Mối quan hệ giữa quãng đường +y ( tính bằng mét) ( +tính từ vị trí vật bắt đầu rơi) và thời gian +x ( tính bằng giây) được mô tả bởi công thức +2y ax= (v��i +là hằng số). Biết rằng tại thời điểm giây thứ 5 , vật đi được quãng đường là 125 m . Hỏi sau bao nhiêu +giây, vật sẽ rơi xuống mặt đất? +Lời giải +Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cánh cung của một cung thủ có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng khi ở +trạng thái dây cung không kéo, cánh cung có hình dạng của parabol +80=− và khoảng cách từ đỉnh +O của cánh cung đến dây cung AB là +OH 20  cm= . Tính độ dài của dây cung AB +Lời giải +Câu 17. Một cây c ầu treo có tr ụ tháp đôi cao 75 m so v ới mặt của cây c ầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có +dạng đồ thị của hàm s ố +2( 0) y ax a= như hình bên và đư ợc treo trên các đ ỉnh tháp. +a) Xác đ ịnh hệ số +a của hàm s ố trên. +b) Tìm chi ều cao CH c ủa dây cáp bi ết điểm +H cách tâm +O của cây c ầu 100 m (gi ả sử mặt của cây c ầu +là bằng ph ẳng). +Lời giải +Câu 18. Một cổng vòm đư ợc thi ết kế dạng parabol +2y ax= như hình v ẽ. Biết chi ều rộng của chân c ổng +6  m AB= +và chi ều cao c ủa cổng là +4,5  m OI= . +a) Tìm h ệ số +a dựa vào các d ữ kiện trên. +b) Tính đ ộ dài đo ạn KH, bi ết +H cách đi ểm chính gi ữa cổng +I là 2 m +Lời giải +Câu 19. Một cái c ổng vòm hình parabol +2(a 0) y ax= được thiết kế cao 4 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân +cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn căng dây đèn nh ấp nháy t ử thành c ổng bên này sang thành c ổng bên kia +ở độ cao 3 m so v ới mặt đất. Hãy xác đ ịnh hệ số a và cho bi ết độ dài c ủa dây đèn nh ấp nháy là bao +nhiêu mét? +Câu 20. Một cái c ổng vòm hình parabol +2y mx ,(  m 0)= được thiết kế cao 6 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân +cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn gắn một thanh s ắt nằm ngang vào hai thành c ổng để treo băng rôn (Hai +đầu của thanh s ắt được gắn tiếp giáp vào m ặt trong c ủa hai thành c ổng). Hãy xác đ ịnh hệ số +m và cho +biết nếu thanh s ắt được gắn ở độ cao 4,5 mét so v ới mặt đất thì đ ộ dài c ủa thanh s ắt là bao nhiêu mét? +Lời giải + + + + +CHINH PH ỤC HÀM SỐ BẬC HAI +“làm cho tự tin khi bước vào ph òng thi” +Ví dụ 1. Cho hàm s ố: +2yx= có đồ thị là +(P) . Tìm các đi ểm M thu ộc +(P) sao cho tung đ ộ gấp 4 lần hoành đ ộ. +Lời giải +Câu 1. Biết parabol +2( 0) y ax a= đi qua đi ểm +( 2; 2)A−− . Tìm hoành đ ộ của điểm thu ộc parabol có tung đ ộ +Câu 2. Cho parabol +4xPy= . Tìm đi ểm trên parabol +(P) biết giá tr ị tuyệt đối của tung đ ộ điểm đó là 9 +Câu 3. Tìm các đi ểm M thu ộc đồ thị +4Pxy=− sao cho tung đ ộ bằng hai l ần hoành đ ộ. +Câu 4. Cho hàm s ố +4xy=− . Tìm t ọa độ các đi ểm thu ộc +()P có hoành đ ộ và tung đ ộ đối nhau. +Câu 5. Tìm đi ểm +()11; Mxy thuộc parabol +()2:2P y x=− sao cho +11 1 yx=− . +Câu 6. Cho hàm s ố +2yx=− . Tìm đi ểm +();BBB x y thuộc đồ thị của hàm s ố trên sao cho +2BBxy+ =− . +Câu 7. Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol +2( ) :P y ax= đi qua đi ểm +(1;2)M . +a) Xác đ ịnh giá tr ị của +b) Tìm trên đ ồ thị +()P hai đi ểm +()()1 1 2 2; , ;A x y B x y với +12xx sao cho +12 1 xx+= và +12 10 yy+= +Câu 8. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố +2yx= có đồ thị đi qua hai đi ểm +(2; )Aa và +( ;3 )B b b a+ . +b , biết điểm +B nằm bên ph ải trục tung. +Câu 9. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố +2yx=− có đồ thị là parabol +()P . Tìm t ọa độ điểm +M thuộc +sao cho +25 OM= . +Câu 10. Cho hàm s ố +2( 3)y a x=− . Biết đồ thị hàm s ố đi qua đi ểm +( 1;1)A− . +a) Tìm h ệ số +b) Tìm t ọa độ giao đi ểm của đường th ẳng +44yx=− và đồ thị hàm s ố đã cho v ới hệ số +a vừa tìm đư ợc +ở câu a). +Câu 11. Cho hàm s ố y = (m – 3)x2 (với m ≠ 3) có đ ồ thị là parabol ( P) +a) Tìm m để (P) đi qua đi ểm K(–3; 18) +b) Với m tìm đư ợc ở câu a, tìm to ạ độ giao đi ểm của (P) với đường th ẳng (d): y = –7x + 4 +Câu 12. Cho hàm s ố +2( 0) y ax a= . Tìm h ệ số +a, biết rằng đ ồ thị của hàm s ố +2y ax= cắt đường th ẳng +32yx=− +tại điểm có tung đ ộ bằng 4. +Câu 13. Xác đ ịnh hệ số +a của hàm s ố bậc hai +2() y f x ax== , biết đồ thị hàm s ố đã cho c ắt đường th ẳng +y 3x 20=+ +tại điểm có hoành đ ộ bằng 4 +Câu 14. Cho Parabol +()2( 0) y f x ax a= =  có đồ thị cắt đường th ẳng y = 2x – 3 tại điểm có tung đ ộ bằng 5. +()() 22ff−+ +Câu 15. Một vật rơi tự do ở độ cao 500 m xuống mặt đất. Mối quan hệ giữa quãng đường +y ( tính bằng mét) ( +tính từ vị trí vật bắt đầu rơi) và thời gian +x ( tính bằng giây) được mô tả bởi công thức +2y ax= (với +là hằng số). Biết rằng tại thời điểm giây thứ 5 , vật đi được quãng đường là 125 m . Hỏi sau bao nhiêu +giây, vật sẽ rơi xuống mặt đất? +Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cánh cung của một cung thủ có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng khi ở +trạng thái dây cung không kéo, cánh cung có hình dạng của parabol +80=− và khoảng cách từ đỉnh +O của cánh cung đến dây cung AB là +OH 20  cm= . Tính độ dài của dây cung AB +Câu 17. Một cây c ầu treo có tr ụ tháp đôi cao 75 m so v ới mặt của cây c ầu và +cách nhau 400 m. Các dây cáp có d ạng đ ồ thị của hàm s ố +2( 0) y ax a= +như hình bên và đư ợc treo trên các đ ỉnh tháp. +a) Xác đ ịnh hệ số +a của hàm s ố trên. +b) Tìm chi ều cao CH c ủa dây cáp bi ết điểm +H cách tâm +O của cây +cầu 100 m (gi ả sử mặt của cây c ầu là b ằng ph ẳng). +Câu 18. Một cổng vòm đư ợc thiết kế dạng parabol +2y ax= như hình v ẽ. Biết +chiều rộng của chân c ổng +6  m AB= và chi ều cao c ủa cổng là +4,5  m OI= +a) Tìm h ệ số +a dựa vào các d ữ kiện trên. +b) Tính đ ộ dài đo ạn KH, bi ết +H cách đi ểm chính gi ữa cổng +I là 2 m +Câu 19. Một cái c ổng vòm hình parabol +2(a 0) y ax= được thiết kế cao 4 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân +cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn căng dây đèn nh ấp nháy t ử thành c ổng bên này sang thành c ổng bên kia +ở độ cao 3 m so v ới mặt đất. Hãy xác đ ịnh hệ số a và cho bi ết độ dài c ủa dây đèn nh ấp nháy là bao +nhiêu mét? +Câu 20. Một cái c ổng vòm hình parabol +2y mx ,(  m 0)= được thiết kế cao 6 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân +cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn gắn một thanh s ắt nằm ngang vào hai thành c ổng để treo băng rôn (Hai +đầu của thanh s ắt được gắn tiếp giáp vào m ặt trong c ủa hai thành c ổng). Hãy xác đ ịnh hệ số +m và cho +biết nếu thanh s ắt được gắn ở độ cao 4,5 mét so v ới mặt đất thì đ ộ dài c ủa thanh s ắt là bao nhiêu mét? + + + + +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +1 Ch­¬ng 2 +TÝch ph©n béi +2.1. TÝch ph©n kÐp +2.1.1. §Þnh nghÜa tÝch ph©n kÐp +§Þnh nghÜa 2.1.1. Cho hµm sè x¸c ®Þnh trong miÒn ®ãng +vµ giíi néi D cña mÆt ph¼ng Oxy. Chia miÒn D mét c¸ch tïy ý thµnh +n m¶nh nhá ଵଶ ௡ kh«ng giao nhau ( ௜௝ ). Gäi +Δ௜lµ diÖn tÝch cña m¶nh nhá ௜ Trong mçi m¶nh nhá ௜ lÊy mét +®iÓm tïy ý ௜௜௜. LËp tæng +௡ ௜௜௜௡ +gäi lµ tæng tÝch ph©n cña hµm sè trong miÒn D. +NÕu khi sao cho ௜ ( trong ®ã ௜ ký hiÖu ®­êng kÝnh +cña iD, ®ã lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt cña hai ®iÓm bÊt kú thuéc iD) mµ +nIdÇn tíi mét giíi h¹n h÷u h¹n I kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn +D vµ c¸ch lÊy ®iÓm iM trong mçi m¶nh iD, th× giíi h¹n ®ã ®­îc gäi +lµ tÝch ph©n kÐp (tÝch ph©n hai líp) cña hµm sè trong miÒn D +vµ ký hiÖu ஽. +Nh­ vËy   + n +iiiidDsyxf dSyxf +i10 max),( lim),( . (1) +Hµm sè gäi lµ hµm d­íi dÊu tÝch ph©n, D lµ miÒn lÊy tÝch +ph©n, dS lµ yÕu tè diÖn tÝch. NÕu tån t¹i tÝch ph©n (1), th× ta nãi hµm +sè kh¶ tÝch trong miÒn D. +z=f(x,y) +O y +x D D i +H×nh 2.1 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +2 V× tÝch ph©n kÐp kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn D thµnh c¸c +m¶nh nhá, nªn ta cã thÓ chia D b»ng c¸c ®­êng th¼ng song song víi +c¸c trôc täa ®é, do ®ã vµ ta cã thÓ thay . Khi +®ã ta th­êng viÕt +Ng­êi ta chøng minh ®­îc r»ng nÕu hµm sè liªn tôc trong +miÒn ®ãng vµ giíi néi D th× nã kh¶ tÝch trong miÒn ®ã. +Ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n kÐp : ++Tr­êng hîp ஽஽ lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch +miÒn ph¼ng D. +2.1.2. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n kÐp +T­¬ng tù nh­ tÝch ph©n x¸c ®Þnh, tÝch ph©n kÐp còng cã c¸c tÝnh +chÊt sau +1) ஽ ஽ ஽. +2) ஽ ஽, k lµ h»ng sè. +3) NÕu miÒn D ®­îc chia thµnh hai miÒn 1Dvµ 2D (H×nh 2.2) kh«ng +dÉm lªn nhau ଵଶଵଶΦ th× +஽ ஽భ ஽మ. +4) NÕu víi th× +5) NÕu víi , m vµ M lµ +c¸c h»ng sè th× ஽஽ ஽, +trong ®ã ஽ lµ diÖn tÝch cña miÒn D. +6) (§Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh ) NÕu hµm sè liªn tôc trong +miÒn ®ãng vµ bÞ chÆn D th× trong D tån t¹i Ýt nhÊt ®iÓm ଴଴ sao +஽ ଴଴஽. +C¸c tÝnh chÊt trªn ®­îc suy ra tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n kÐp. +H×nh 2.2 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +3 2.1.3. C¸ch tÝnh tÝch ph©n kÐp trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c +1) Tr­êng hîp hµm sè liªn tôc trong miÒn D lµ h×nh ch÷ +nhËt (H×nh 2.3) . +Theo ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n kÐp th× ஽ lµ thÓ +tÝch cña h×nh +trô cã ®¸y lµ miÒn D, mÆt trªn lµ mÆt cong +, mÆt xung quanh lµ mÆt trô +cã ®­êng sinh song song víi trôc O z. +Trong phÇn øng dông tÝnh thÓ tÝch b»ng +tÝch ph©n x¸c ®Þnh, ta cã +௔ (2) +trong ®ã lµ diÖn tÝch cña thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc O x t¹i +cña vËt thÓ, ®ã lµ diÖn tÝch cña h×nh thang cong ABCD ®­îc +tÝnh theo c«ng thøc +௖, (3) +(trong c«ng thøc (3) ta coi x lµ h»ng sè) . Thay (3) vµo (2) ta ®­îc +Hay ஽ௗ +௔. (4) +Ta th­êng ký hiÖu ௗ +Chó ý: §èi víi c«ng thøc (2) ta cã thÓ tÝnh +௖, (5) +trong ®ã lµ diÖn tÝch cña thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc O y t¹i +cña vËt thÓ, ®­îc tÝnh theo c«ng thøc +௔, (6) +(trong c«ng thøc (6) ta coi y lµ h»ng sè). +hay ஽௕ +௖. (7) +Tõ (4) vµ (7) ta cã +Z z=f(x,y) +D C +c d y +b x A B +H×nh 2.3 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +4 ௕ +௔. (8) +C«ng thøc (8) gäi lµ c«ng thøc ®æi thø tù lÊy tÝch ph©n (FUBINI). +2) Tr­êng hîp hµm sè liªn tôc trong miÒn D +a) NÕu miÒn D x¸c ®Þnh bëi ଵ ଶ, c¸c hµm +ଵ ଶ liªn tôc trªn ®o¹n , kh¶ vi trªn kho¶ng më +(H×nh 2.4). +థభ(௫) . +௔థమ(௫) +థభ(௫) (9) +Trong c«ng thøc (9) khi tÝnh theo y +ta coi x lµ h»ng số . +Chó ý:Tr­êng hîp ®­êng cong ଵ +hoÆc ଶ kh«ng tån t¹i ®¹o +hµm t¹i ®iÓm ଴ , th× +miÒn D ®­îc chia thµnh hai miÒn ଵ +vµ ଶ (  2121,DDDDD  ) (H×nh 2.5) +஽ ஽భ ஽మ +b) NÕu miÒn D x¸c ®Þnh bëi ଵ ଶ ta cã +௖టమ(௬) +టభ(௬). (10) +Còng nh­ c«ng thøc (9), trong c«ng thøc (10) +lµ tÝnh theo x tr­íc, tÝnh theo y sau. +Chó ý:Tr­êng hîp ®­êng cong ଵ +hoÆc ଶ kh«ng tån t¹i ®¹o hµm +଴ , th× D ®­îc chia thµnh hai +miÒn ଷvµ ସ ( ଷସଷସ) +(H×nh 2.6) vµ +z=f(x,y) +H×nh 2.4 +O a x 0 b x +H×nh 2.5 +O x +H×nh 2.6 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +5 ஽ ஽య ஽ర +3) Tr­êng hîp hµm liªn tôc trong miÒn D c«ng thøc (9) +vµ (10) vÉn ®óng. +VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n ଵ +VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©nଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng +giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ. +VÝ dô 3. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଵ +√ଶ௫ି௫మ . +Chó ý: Gi¶ sö ଵଶ x¸c ®Þnh trªn miÒn D lµ h×nh ch÷ +nhËt th× khi ®ã +஽ ଵଶ ஽ ଵ௕ +VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n ଶ +஽, trong ®ã D lµ h×nh ch÷ nhËt +Ví dụ tự giải. +B1. TÝnh tÝch ph©n ଶ +௫. (Đଽ +B2. TÝnh tÝch ph©nଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn +ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ Đଶସସ +B3. TÝnh tÝch ph©n஽, trong ®ã D lµ miÒn +ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng గ +ଶ (ĐS=1). +B4. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଵ +଴ଵାඥଵି௬మ +ଵ√ଶ௫ି௫మ +B5. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଶ +ඥଶ௬ି௬మ . +(ĐS ଵ +଴ଵି√ଵି௫మ +ଵା√ଵି௫మ +௫మ/ସ.) +B6. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଶ +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +6 (ĐS ଵ +B7. TÝnh tÝch ph©n sau ଵ +௬. Đ +B8. TÝnh tÝch ph©nଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng +®­îc giíi h¹n bëi Đଵ +2.1.4. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n kÐp +2.1.4.1. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n kÐp +XÐt tÝch ph©n kÐp ஽, trong ®ã hµm sè liªn tôc +trong miÒn D ®ãng, giíi néi. Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn sè +. (11) +§Þnh thøc Jacobi +0),(),( +vuDyxDJ trong miÒn D’. +Khi ®ã ta cã +஽ ஽, . (12) +VÝ dô 5. TÝnh tÝch ph©n஽, trong ®ã D lµ +miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi . +2.1.4.2. TÝch ph©n kÐp trong hÖ täa ®é cùc +Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn sè sang +hÖ täa ®é cùc +y v +( x,y) (u,v) +O x H×nh 2.9 O’ u +O x +H×nh 2.11 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +7 khi ®ã miÒn D cña mÆt ph¼ng O xy +trë thµnh miÒn D’ (H×nh 2.11) trong +hÖ täa ®é cùc giíi h¹n bëi +Ta cã ஽(௫,௬) +஽(௥,థ). +VËy ஽ఉ +ఈ௥మ(థ) +௥భ(థ).(14) +Chó ý 1: X¸c ®Þnh cËn cña mét sè miÒn D trong hÖ täa ®é cùc +1) Gèc cùc O (®iÓm trong) n»m trong D (H×nh 2.12). +2)Gèc cùc O (®iÓm biªn) n»m trªn biªn cña D (H×nh 2.13). +3) Gèc cùc O n»m ngoµi D (H×nh 2.14). +Khi ®ã miÒn D ®­îc x¸c ®Þnh bëi ଵ ଶ vµ +ఈ௥మ(థ) +௥భ(థ). +Chó ý 2 : Tr­êng hîp biªn miÒn D cã ph­¬ng tr×nh tån t¹i +®iÓm mµ t¹i ®ã hµm kh«ng kh¶ vi th× t¸ch miÒn D thµnh +ଵଶ, ଵଶ nh­ trong tr­êng hîp tÝnh trong hÖ täa ®é +®Ò c¸c vu«ng gãc. +VÝ dô 6. ChuyÓn sang hÖ täa ®é cùc tÝnh tÝch ph©n +஽, trong ®ã D lµ h×nh trßn ଶଶ +O x +H×nh 2.12 +O x +H×nh 2.13 +O x +H×nh 2.14 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +8 VÝ dô 7. TÝnh tÝch ph©nଶଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn +ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ. +VÝ dô 8. ChuyÓn sang hÖ täa ®é cùc tÝnh tÝch ph©n +௦௜௡ඥ௫మା௬మ +ඥ௫మା௬మ ஽, D lµ h×nh vµnh kh¨n గమ +Chó ý: Trong tr­êng hîp biªn cña miÒn D lµ ®­êng elip hoÆc mét +phÇn cña ®­êng elip ௫మ +௕మ,ta cã thÓ ®æi biÕn +(täa ®é cùc më réng). Khi ®ã miÒn D trë thµnh miÒn D’ vµ +஽(௫,௬) +஽(௥,థ) (16) +VÝ dô 9.TÝnh௫మ +௕మ ஽,D lµ h×nh elip ௫మ +Ví dụ tự giải: +B9. TÝnh tÝch ph©n஽, D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi +B10. TÝnh tÝch ph©nଶଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn +ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng trßn ଶଶ n»m trong gãc phÇn t­ +thø nhÊt (ĐSସగ +B11. TÝnh tÝch ph©nଶଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng +ଶଶ (ĐS =1/2). +B12. TÝnh tÝch ph©nଵ +(௫మା௬మ)మ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng +ଶଶ (ĐS=32/24 ). +B13. TÝnh tÝch ph©n|௬| +௫஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ®­îc +x¸c ®Þnh bëi ଶଶ (ଷ +B14. TÝnh tÝch ph©nଶଶ +஽, trong ®ã D lµ miÒn +ph¼ng x¸c ®Þnh bëi ଶଶଶସ (ଶଶ). +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +9 B15. TÝnh tÝch ph©n஽, trong ®ã D lµ miÒn +ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi elip (௫ିଵ)మ +௔మ(௬ିଵ)మ +௕మ (ĐS=0). +Bài tập +1.(20201) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền giới hạn bởi g +2.(20201) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền (ଶ +3.(20182) TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +஽, D lµ miền +4.(20173) TÝnh tÝch ph©n ସସ +஽, D lµ miền +5.(20172) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền ଶଶ. +6.(20172) TÝnh tÝch ph©n ଵ +7.(20161) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền giới hạn bởi +8.(20162) TÝnh tÝch ph©n ଵ +ଵା௫ା௬஽, D lµ miền giới hạn bởi +2.1.5. øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n kÐp +2.1.5.1. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ +஽. (17a) +Chó ý: Trong tr­êng hîp miÒn  giíi h¹n bëi mÆt trªn ଶ +vµ giíi h¹n bëi mÆt d­íi ଶ, ଵ ଶ , +ଶ ଵ ஽. (18) +MiÒn D lµ h×nh chiÕu cña miÒn  lªn mÆt ph¼ng Oxy. +O y +x D +H×nh 2.19 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +10 VÝ dô 10. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi ଶ phÇn n»m +trong trô tam gi¸c cã ph­¬ng tr×nh . +VÝ dô 11. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt +ଶଶ ଶ (hình 2.23) . +VÝ dô 12. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi +ଶଶ ଶଶ ( H×nh 2.24) +2.1.5.2. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng +Tõ ®Þnh nghÜa cña tÝch ph©n kÐp, ta cã diÖn tÝch S cña miÒn ph¼ng +D ®­îc tÝnh theo c«ng thøc +஽஽. (19) +Chó ý: NÕu miÒn D trong hÖ täa ®é cùc ®­îc x¸c ®Þnh bëi +th× diÖn tÝch cña miÒn D lµ +ఈ௥మ(థ) +௥భ(థ). (20) +VÝ dô 13. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng +1 y +H×nh 2.22 +-1 O 1 y +H×nh 2.24 +-1 O 1 x +H×nh 2.23 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +VÝ dô 14. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng +VÝ dô 15. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n c¸c ®­êng +lemniscate +2.1.5.3. TÝnh diÖn tÝch cña mÆt cong +Gi¶ sö khi cÇn tÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt +cong S cã ph­¬ng tr×nh ®¬n trÞ +vµ cã h×nh chiÕu lªn mÆt O xy lµ miÒn ph ẳng D +kÝn vµ giíi néi (H×nh 2.28). DiÖn tÝch cña mÆt +cong S ®­îc tÝnh theo c«ng thøc +஽. (21) +VÝ dô 16. TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt parabol«it ଶଶ +n»m trong h×nh trô ଶଶ. +Ví dụ tự giải: +B16. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ ®­îc x¸c ®Þnh bëi +( ĐS=1/18). +B17. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt +n»m trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt ( Đగ +B18. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi phÇn n»m +trong mÆt trô ଶଶ ( ĐS=90). +B19. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng +ଶଶ ( ĐS=1/2). +B20. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng +ଶ ଶ ( Đగ +B21. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng +( ĐS=1/2). 0,0,0  zyx +z S +O y +x D +H×nh 2.28 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +12 B22. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n c¸c ®­êng cardiot +vµ ®­êng trßn ( H×nh 2.58). +ଶ®vdt. +B23. TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt cÇuଶଶଶ n»m phÝa +trong h×nh trô ®¸y lµ elip௫మ +ସଶ ( Đଵ଺గ +B24. TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt nãn ଶଶ n»m phÝa trong +h×nh trô ଶଶ ( ĐS஽ ஽) +Bài tập +1.(20172) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi ଶଶ , mặt +trô ଶ ଶ và mặt phẳng . +2.(20172) TÝnh thÓ tÝch cña miền giíi h¹n bëi các mặt +ଶଶ và mặt ଶଶ. +3.(20192) TÝnh thể tÝch cña miền D xác định bởi ଶଶ . +4.(20182) TÝnh diện tÝch cña miền D giới hạn bởi ଶ ଶ +5.(20182) TÝnh diện tÝch cña miền phẳng D giới hạn bởi ଶଶଶ +6.(20172) TÝnh diện tÝch cña mặt paraboloid ଶଶ thỏa mãn +7.(20192) TÝnh diện tÝch cña mặt paraboloid ଶଶnằm phía +trên mặt phẳng . +O 2 4 x +H×nh 2.58 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +13 2.2. TÝch ph©n béi ba +2.2.1. §Þnh nghÜa tÝch ph©n béi ba +§Þnh nghÜa 2.2.1. Cho hµm sè x¸c ®Þnh trong miÒn ®ãng +vµ giíi néi cña kh«ng gian Oxyz. Chia miÒn Ω mét c¸ch tïy ý +thµnh n miÒn nhá ଵଶ ௡ kh«ng giao nhau. Gäi ௜lµ thÓ tÝch +cña mçi miÒn nhá ௜ Trong mçi miÒn nhá ௜ lÊy mét ®iÓm tïy ý +௜௜௜௜. LËp tæng tÝch ph©n +௡ ௜௜௜Δ௜௡ +NÕu khi sao cho ௜ ( trong ®ã ௜ ký hiÖu +®­êng kÝnh cña ௜, ®ã lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt cña hai ®iÓm bÊt kú +thuéc ௜) mµ ௡dÇn tíi mét giíi h¹n h÷u h¹n I kh«ng phô thuéc vµo +c¸ch chia miÒn Ωvµ c¸ch lÊy ®iÓm ௜ trong mçi miÒn nhá ௜, th× giíi +h¹n ®ã ®­îc gäi lµ tÝch ph©n béi ba cña hµm sè trong miÒn + vµ ký hiÖu ஐ. +Nh­ vËy   + n +iiiiidVzyxf dVzyxf +i10)(max),,( lim ),,( . (1) +NÕu tÝch ph©n (1) tån t¹i th× ta nãi hµm sè kh¶ tÝch trong +miÒnΩ. +Khi tÝch ph©n béi ba tån t¹i th× kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn + thµnh c¸c miÒn nhá, nªn ta cã thÓ chia  b»ng c¸c mÆt ph¼ng +song song víi c¸c mÆt ph¼ng täa ®é, do ®ã vµ ta cã +thÓ thay ,nªn +Ω Ω. (2) ++Ng­êi ta chøng minh ®­îc r»ng nÕu hµm sè liªn tôc +trong miÒn ®ãng vµ giíi néi  th× nã kh¶ tÝch trong miÒn ®ã. ++TÝch ph©n béi ba còng cã c¸c tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ tÝch ph©n kÐp. +2.2.2. C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi ba trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c +Cho miÒn  ®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଵ vµ ଶ, +ଵ ଶ trong ®ã c¸c hµm ଵ ଶ lµ nh÷ng hµm +sè liªn tôc trong miÒn D; D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña miÒn  lªn +mÆt ph¼ng O xy . +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +14 Ta cã +Ω௭మ(௫,௬) +௭భ(௫,௬) ஽ +஽௭మ(௫,௬) +௭భ(௫,௬). +Còng nh­ tÝnh tÝch ph©n kÐp, khi tÝnh theo z th× ta coi x, y lµ h»ng +sè vµ dÉn ®Õn tÝch ph©n kÐp trªn miÒn D . Ch¼ng h¹n miÒn D ®­îc +x¸c ®Þnh bëi +௔௬మ(௫) +௬భ(௫)௭మ(௫,௬) +௭భ(௫,௬). (3) +VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n ௗ௫ௗ௬ௗ௭ +(ଵା௫ା௬ା௭ )య ஐ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc +giíi h¹n bëi mÆt vµ c¸c mÆt ph¼ng täa ®é +VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +ஐ, trong ®ã  lµ miÒn +®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଶଶ . +Ví dụ tự giải +B25. TÝnh tÝch ph©n ஐ,  lµ miÒn ®­îc +giíi h¹n bëi c¸c mÆt .(ĐS 7/12) +B26. TÝnh tÝch ph©n ஐ,  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi +c¸c mÆt ଶ (ĐS=0). +2.2.3. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n béi ba +2.2.3.1. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n béi ba +XÐt tÝch ph©n +Ω, (4) +trong ®ã hµm sè liªn tôc trong miÒn Ω. Thùc hiÖn phÐp ®æi +biÕn sè +Gi¶ sö : +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +15 1) C¸c hµm sè cïng +c¸c ®¹o hµm riªng cÊp mét cña nã liªn tôc trong miÒn ®ãng ' cña +kh«ng gian O ’uvw. +2) C¸c hµm sè x¸c ®Þnh +sù t­¬ng øng mét-mét (song ¸nh) gi÷a c¸c ®iÓm cña miÒn  cña +kh«ng gian O xyz vµ c¸c ®iÓm cña miÒn ' cña kh«ng gian O ’uvw. +3) §Þnh thøc Jacobi +஽(௫,௬,௭) +஽(௨,௩,௪)ப௫ +ப௪ trong miÒn Ω. +Khi ®ã tÝch ph©n (4) ®­îc tÝnh theo c«ng thøc +Ω'. (5) +B27. TÝnh tÝch ph©n Ω, +trong ®ã  lµ miÒn ®­îc x¸c ®Þnh bëi +. (ĐS=-2) +2.2.3.2. TÝch ph©n béi ba trong hÖ täa ®é trô +§iÓm trong kh«ng gian O xyz cã +täa ®é trô lµ , trong ®ã lµ täa +®é cùc cña ®iÓm h×nh chiÕu vu«ng +gãc cña ®iÓm M lªn mÆt ph¼ng O xy (H×nh +2.34). C«ng thøc liªn hÖ gi÷a täa ®é ®Ò c¸c +vµ täa ®é trô lµ +víi 6) +§Þnh thøc Jacobi cña phÐp biÕn ®æi trªn lµ . Khi ®ã ta cã +O r y +x M’ +H×nh 2.34 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +16 VÝ dô 3. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +ஐ, trong ®ã Ω lµ miÒn +®­îc giíi h¹n bëi mÆt trô ଶଶ vµ c¸c mÆt ph¼ng +Ví dụ tự giải +B28. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +ஐ, trong ®ã Ω lµ miÒn +®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଶଶ (Đଵ଺గ +2.2.3.3. TÝch ph©n béi ba trong hÖ täa ®é cÇu +§iÓm trong kh«ng gian O xyz cã +täa ®é cÇu lµ , trong ®ã lµ ®é dµi cña +vÐc t¬ OM ; lµ gãc gi÷a chiÒu d­¬ng cña trôc +Ox vµ (M’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M +lªn mÆt ph¼ng O xy);  lµ gãc gi÷a chiÒu d­¬ng +cña trôc O z vµ OM (H×nh 2.36). +C«ng thøc liªn hÖ gi÷a täa ®é ®Ò c¸c vµ täa +®é cÇu lµ +víi (7) +b»ng phÐp biÕn ®æi trªn th× ®Þnh thøc Jacobi lµ ଶ. Khi ®ã +Ω'. (8) +VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n ஐ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc +giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶଶ vµ c¸c mÆt ph¼ng täa ®é +(trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt). +B29. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +ஐ, trong ®ã lµ miÒn +®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶ vµ mÆt nãn +ଶଶ . (ଶగ/ସ +Chó ý. Bµi 29, cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®æi biÕn sang hÖ täa ®é trụ. +x M’ +H×nh 2.36 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +17 B30. TÝnh tÝch ph©n ଶଶଶଷ/ଶ +trong ®ã Ω lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶଶ . +2.2.4. Ứng dông cña tÝch ph©n béi ba +2.2.4.1. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ +ThÓ tÝch V cña vËt thÓ chiÕm miÒn  trong kh«ng gian lµ +Ω . (10) +Ví dụ tự giải +B31. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ  ®­îc giíi h¹n bëi mÆt trô ଶଶ +vµ c¸c mÆt ph¼ng (trong gãc phÇn t¸m +thø nhÊt) (H×nh 2.65) . +Gi¶i: ThÓ tÝch cña vËt thÓ  ®­îc tÝnh theo c«ng thøc +trong ®ã  ®­îc x¸c ®Þnh +Khi ®ã ta cã +଴√ସି௫మ +଴√ସି௫మ +଴√ସି௫మ +ଷ®vtt. +B32. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ  n»m gi÷a mÆt nãn ଶଶvµ +mÆt paraboloit ଶଶ . +ChuyÓn sang hÖ täa trô b»ng phÐp biÕn ®æi +O 2 y +H×nh 2.65 +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +18 . +MiÒn  trë thµnh miÒn ' ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau +𝐼=∫𝑑𝜙∫𝑑𝑟ଵ +଴∫𝑟𝑑𝑧௥ +௥మ=∫𝑑𝜙.∫(𝑟ଶ−𝑟ଷ)𝑑𝑟ଵ +ସ𝑟ସቁቚ1 +2.2.4.2. TÝnh khèi l­îng +NÕu lµ khèi l­îng riªng cña vËt thÓ  t¹i ®iÓm +th× khèi l­îng cña vËt thÓ ®ã lµ +Ω. (9) +B33. TÝnh khèi l­îng cña h×nh lËp ph­¬ng Ω +biÕt mËt ®é t¹i ®iÓm lµ . +Gi¶i: Ta cã khèi l­îng cña h×nh lËp ph­¬ng  lµ +Bài tập: +1. (20201) TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +ఆ, trong ®ã  lµ +miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶ��ଶ ଶଶ +2. (20192) TÝnh tÝch ph©n ଶଶଶ +ఆ, trong ®ã + lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi ଶଶଶ . +3. (20192) TÝnh tÝch ph©n ௗ௫ௗ௬ௗ௭ +√ଶ௫ା௭మାଵ ௏, lµ miÒn giíi h¹n bëi +BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH +19 4. (20192) TÝnh tÝch ph©n ఆ,  lµ miÒn ®­îc +giíi h¹n bëi ଶଶଶ . +5. (20192) TÝnh tÝch ph©n ௗ௫ௗ௬ௗ௭ +௫మା௬మାଶ ௏ , lµ miÒn ®­îc giíi h¹n +bëi ଶଶ . +6. (20182) TÝnh tÝch ph©n ௏, V lµ miÒn ®­îc giíi h¹n +bëi ଶ ଶ trong góc phần tám thứ nhất và các mặt +phẳng tọa độ. +7. (20182) TÝnh tÝch ph©n ଶଶ +௏, V lµ miÒn +®­îc giíi h¹n bëi ଶଶଶ t. +8. (20173) TÝnh tÝch ph©n ଶ +ఆ ,  lµ khối cÇu ଶ +9. (20172) TÝnh tÝch ph©n ௏ , V lµ miền thỏa mãn + + + + +3 Chương 1 +Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học +1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH H ỌC PH ẲNG +1.1. Phương trình ti ếp tuy ến và pháp tuy ến của đư ờng cong t ại một điểm. +a) Điểm chính quy. +- Cho đư ờng cong (𝐿) xác đ ịnh b ởi phương trình 𝑓(𝑥,𝑦)=0. Điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0) được gọi +là đi ểm chính quy c ủa đư ờng cong (𝐿) nếu tồn tại các đ ạo hàm riêng 𝑓𝑥′(𝑀),𝑓𝑦′(𝑀) không +đồng th ời bằng 0 . +- Cho đư ờng cong (𝐿) xác đ ịnh b ởi phương trình tham s ố {𝑥=𝑥(𝑡) +𝑦=𝑦(𝑡). Đi ểm +𝑀(𝑥(𝑡0),𝑦(𝑡0)) được gọi là đi ểm chính quy c ủa đư ờng cong (𝐿) nếu tồn tại các đ ạo hàm +𝑥′(𝑡0),𝑦′(𝑡0) không đ ồng th ời bằng 0. +- Một điểm không ph ải là đi ểm chính quy đư ợc gọi là đi ểm kì d ị. +b) Các công thức. +- Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phương trình tại +điểm chính quy: ++ Tiếp tuy ến +(𝑑):𝑓𝑥′(𝑀)⋅(𝑥−𝑥0)+𝑓𝑦′(𝑀)⋅(𝑦−𝑦0)=0 ++ Pháp tuy ến +(𝑑′):𝑥−𝑥0 +𝑓𝑥′(𝑀)=𝑦−𝑦0 +𝑓𝑦′(𝑀) +Chú ý: Trường h ợp đặc biệt, đư ờng cong cho b ởi phương trình 𝑦=𝑓(𝑥) thì phương trình +tiếp tuy ến của đư ờng cong t ại điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0) chính quy là 𝑦−𝑦0=𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0). Đây +là công th ức mà h ọc sinh đã bi ết trong chương trình ph ổ thông. +- Phương trình ti ếp tuy ến và pháp tuy ến của đư ờng cong (𝐿) xác đ ịnh b ởi phương trình +tham s ố {𝑥=𝑥(𝑡) +𝑦=𝑦(𝑡) tại điểm 𝑀(𝑥(𝑡0),𝑦(𝑡0)) chính quy: ++ Tiếp tuy ến +(d) : 𝑥−𝑥(𝑡0) +𝑥′(𝑡0)=𝑦−𝑦(𝑡0) +𝑦′(𝑡0). ++ Pháp tuy ến +(𝑑′):𝑥′(𝑡0)⋅(𝑥−𝑥(𝑡0))+𝑦′(𝑡0)⋅(𝑦−𝑦(𝑡0))=0, +Ví dụ 1. (20181) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong +{𝑥=(𝑡2−1)𝑒2𝑡 +𝑦=(𝑡2+1)𝑒3𝑡 tại điểm ứng với t = 0. +Ví dụ 2. Viết phương trình ti ếp tuy ến và pháp tuy ến với đường cong: +a) 𝑦=𝑥3+2𝑥2−4𝑥−3 tại (−2,5). +b) 𝑦=𝑒1−𝑥2 tại giao đi ểm của đư ờng cong v ới đường th ằng 𝑦=1. +4 c. {𝑥=1+𝑡 +2𝑡 tai 𝐴(2,2). +3 tại 𝑀(8,1). +1.2. Độ cong c ủa đư ờng cong. +1.2.1. Định nghĩa. +Định nghĩa 1 . M, M’ l à hai điểm trên đường cong L. MT, M’T’ là 2 tiếp tuyến dương. Người +ta gọi độ cong trung bình của cung 𝑀𝑀 ′̂ là tỷ số của góc giữa 2 tiếp tuyến dương MT và M’T’ +với độ dài của cung 𝑀𝑀 ′̂ . Ký hiệu 𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ . Vậy +𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ =∝ +trong đó ∝=|𝑀𝑇.𝑀′𝑇′|. +Định nghĩa 2 . Ta gọi độ cong của đường cong L tại điểm M là giới hạn nếu có của độ cong +trung bình 𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ khi M tiến dần tới M trên đường cong L. Ký hiệu C(M). Vậy +𝐶(𝑀)=lim +𝑀′→𝑀𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ +Ví dụ 1. Độ cong điểm trên đường thằng bằng 0 +Ví dụ 2. Độ cong điểm trên đường tròn bán kính R bằng +𝐶(𝑀)=lim +𝑀′→𝑀𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ =lim +1.2.2. Các công th ức tính đ ộ cong c ủa đư ờng cong t ại một điểm. +• Nếu đư ờng cong cho b ởi phương trình 𝑦=𝑓(𝑥) thì: +𝐶(𝑀)=|𝑦′′| +(1+𝑦′2)3/2 +• Nếu đư ờng cong cho b ởi phương trình tham s ố {𝑥=𝑥(𝑡) +𝑦=𝑦(𝑡) thì: +𝐶(𝑀)=|𝑥′𝑦′′−𝑦′𝑥′′| +(𝑥′2+𝑦′2)3/2 +• Nếu đư ờng cong cho b ởi phương trình trong to ạ độ cực 𝑟=𝑟(𝜙) thì: +𝐶(𝑀)=|𝑟2+2𝑟′2−𝑟𝑟′′| +(𝑟2+𝑟′2)3/2 +Ví dụ 1. Tính đ ộ cong c ủa: +a. 𝑦=−𝑥3 tại điểm có hoành đ ộ 𝑥=1 +b. {𝑥=𝑎(𝑡−sin 𝑡) +𝑦=𝑎(𝑡−cos 𝑡) (𝑎>0) tại điểm bất kì. +3 tại điểm bất kì (𝑎>0). +d. 𝑟=𝑎e𝑏𝜙,(𝑎,𝑏>0) +Ví dụ 2 . (20173) Tính độ cong tại điểm ứng với t = 0 của đường {𝑥=𝑒𝑡+𝑠𝑖𝑛𝑡 +𝑦=𝑒𝑡−𝑐𝑜𝑠𝑡 +5 Ví dụ 3. +a. (20172) Tính đ ộ cong c ủa đư ờng y = ln(sin x) tại điểm ứng với𝑥=𝜋 +b. (20182) Tính độ cong của đường 𝑦=𝑥3+2𝑥2+𝑥 tại điểm ứng với x = 1. +c. Tính độ cong của đường r = a(1 + cos φ) (a > 0) tại điểm ứng với φ = π/2. +d. (20172) Tính độ cong của đường {𝑥=𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 +𝑦= 𝑠𝑖𝑛 𝑡 − 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 tại điểm ứng với t = π. +e. Tính đ ộ cong c ủa đư ờng y = sin x tại điểm 𝑀 (𝜀𝜋 +2). Độ cong lớn nhất của đường +y = sin x bằng bao nhiêu? +1.3 Hình bao c ủa họ đường cong ph ụ thuôc tham s ố +1.3.1. Định nghĩa: Cho h ọ đường cong (𝐿) phụ thuộc vào m ột hay nhi ều tham s ố. Nếu mỗi +đường cong trong h ọ (𝐿) đều tiếp xúc v ới đường cong (𝐸) tại một điểm nào đó trên 𝐸 và +ngược lại, tại mỗi điểm thu ộc (𝐸) đều tồn tại một đường cong c ủa họ (𝐿) tiếp xúc v ới (𝐸) tại +điểm đó thì (𝐸) được gọi là hình bao c ủa họ đường cong (𝐿). +1.3.2. Quy t ắc tìm hình bao c ủa họ đường cong ph ụ thuộc một tham s ố. +Định lý . Cho họ đường cong 𝐹(𝑥,𝑦,𝑐)=0 phụ thuộc một tham s ố c. Nếu ho đư ờng cong +trên không có đi ểm kì d ị thì hình bao c ủa nó đư ợc xác đ ịnh b ằng cách kh ử c từ hệ phương +{𝐹(𝑥,𝑦,𝑐)=0 +𝐹𝑐′(𝑥,𝑦,𝑐)=0(1) +Chú ý. Nếu họ đường cong đã cho có đi ểm kì d ị thì h ệ phương trình (1) bao g ồm hình bao +(𝐸) và qu ỹ tích các đi ểm kì d ị thuộc họ các đư ờng cong đã cho. +Ví dụ 3. Tìm hình bao c ủa họ đường cong sau: +a) 𝑦=𝑥 +b) 𝑐𝑥2+𝑐2𝑦=1 +c) 𝑦=𝑐2(𝑥−𝑐)2 +2. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN +2.1 Hàm véctơ +- Định nghĩa: Giả sử 𝑰 là m ột kho ảng trong R. Ánh x ạ 𝑡∈𝑰→𝑟⃗(𝑡)∈𝑹𝑛 được gọi là hàm +vectơ của biến số t xác định trên R. +Nếu n=3 ta viết 𝑟⃗(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑖⃗+𝑦(𝑡)𝑗⃗+𝑧(𝑡)𝑘⃗⃗. Đặt 𝑀(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡)). Quỹ tích M khi t +biến thiên trong Iđược gọi là tốc đồ của hàm vector 𝑟⃗(𝑡). +- Giới hạn: Người ta nói hàm vectơ có giới hạn là 𝑎⃗ khi 𝑡→𝑡0 nếu lim +𝑡→𝑡0|𝑟⃗(𝑡)−𝑎⃗|=0⃗⃗ , ký +hiệu lim +𝑡→𝑡0𝑟⃗(𝑡)=𝑎⃗. +- Liên tục: hàm vector 𝑟⃗(𝑡) Xác đ ịnh trên 𝑰 được gọi là liên tục tại 𝑡0∈𝑰 nếu +𝑡→𝑡0𝑟⃗(𝑡)=𝑟⃗(𝑡0) (tương đương v ới tính liên t ục của các thành ph ần tương ứng +𝑥(𝑡),(𝑡),𝑧(𝑡)) +6 - Đạo hàm: Giới hạn, nếu có của tỷ số lim +ℎ→0∆𝑟⃗ +ℎ→0𝑟⃗(𝑡0+ℎ)−𝑟⃗(𝑡0 +ℎ được gọi là đạo hàm của hàm +vectơ 𝑟⃗(𝑡) tại 𝑡0 , ký hiệu 𝑟′⃗⃗⃗(𝑡) hay 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) +𝑑𝑡 khi đó ta nói hàm vectơ 𝑟⃗(𝑡) khả vi tại 𝑡0. +Nhận xét : nếu 𝑥(𝑡),(𝑡),𝑧(𝑡) khả vi tại 𝑡0 thì 𝑟⃗(𝑡) cũng khả vi tại 𝑡0 và 𝑟′⃗⃗⃗(𝑡0)=𝑥′(𝑡0)𝑖⃗+ +𝑦′(𝑡0)𝑗⃗+𝑧′(𝑡0)𝑘⃗⃗ +2.2. Đường cong +Cho đường cong (L) xác định bởi {𝑥=𝑥(𝑡) +𝑦=𝑦(𝑡) +𝑧=𝑧(𝑡) tại điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0,𝑧0) là một điểm chính quy +trên (L) ++ Phương trình ti ếp tuy ến tại M +(𝑑):𝑥−𝑥(𝑡0) +𝑥′(𝑡0)=𝑦−𝑦(𝑡0) +𝑦′(𝑡0)=𝑧−𝑧(𝑡0) +𝑧′(𝑡0) ++ Phương trình pháp di ện tại M +(𝑃):𝑥′(𝑡0).(𝑥−𝑥(𝑡0))+𝑦′(𝑡0)⋅(y−𝑦(𝑡0))+𝑧′(𝑡0)⋅(z−𝑧(𝑡0))=0 ++ Độ cong của đư ờng cong (L): +𝐶=√|𝑥′𝑦′ +𝑥′′𝑦′′|2 ++|𝑦′𝑧′ +𝑦′′ z|2 ++|z 𝑥′ +𝑧′′𝑥′′|2 +(𝑥′2+𝑦′2+𝑧′2)3/2 +Ví dụ 1. (20182CK) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong +{𝑥=𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 +𝑦=𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝑡 +𝑧=3𝑡 tại điểm ứng với t = π/2. +Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đ��ờng cong +a. (20182GK) 𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑡 ,𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑡 ,𝑧=𝑒2𝑡 tại điểm ứng với t = 0. +b. (20172GK) x = 4 sin2 t, y = 4 cos t, z = 2 sin t + 1 tại điểm M(1; -2√3; 2) . +Ví dụ 2. +a. (20182) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao +của hai mặt cong 𝑥2+𝑦2+ 𝑧2=25 và 4x + 3y + 5z = 0 tại điểm M(3; -4; 0). +b. (20182) Vi ết phương trình pháp di ện của đư ờng cong 𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑡 ,𝑦=3𝑒−𝑡,𝑧=3𝑒𝑡 +tại điểm M(0; 3; 3). +Ví dụ 3. (20182GK) Tính độ cong tại điểm M(1; 0; -1) của đường là giao của mặt trụ 4𝑥2+ +𝑦2=4 và m ặt phẳng 𝑥−3𝑧=4. +2.2. Mặt +Cho m ặt cong (S) xác đ ịnh b ởi phương trình 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=0 tại điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0,𝑧0) là một +điểm chính quy của mặt (S) ++ Phương trình pháp tuy ến tại M +7 (𝑑):𝑥−𝑥0 +𝑓𝑥′(𝑀)=𝑦−𝑦0 +𝑓𝑦′(𝑀)=𝑧−𝑧0 +𝑓𝑧′(𝑀) ++ Phương trình ti ếp di ện tại M +(𝑃):𝑓𝑥′(𝑀)⋅(𝑥−𝑥0)+𝑓𝑦′(𝑀)⋅(𝑦−𝑦0)+𝑓𝑧′(𝑀)⋅(𝑧−𝑧0)=0 +Nhận xét: nếu mặt cong cho b ởi phương trình 𝑧=𝑧(𝑥,𝑦) thì phương trình ti ếp di ện tại M +(𝑃):𝑧−𝑧0= 𝑧𝑥′(𝑀)⋅(𝑥−𝑥0)+𝑧𝑦′(𝑀)⋅(𝑦−𝑦0). +Ví dụ 1 . (20182GK) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥2+𝑦2−𝑒𝑧− +2𝑥𝑦𝑧 =0 tại điểm P(1; 0; 0). +Ví dụ 2. +a. (20183GK) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến tại điểm A(0; 1; 2) của mặt z = +2yesin x. +b. (20172) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑙𝑛(𝑥2+3𝑦) −2𝑧3= +2 ltại điểm M(1; 0; -1). +c. (20182) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt 𝑥2+𝑦2− 𝑧2=−1 tại +M(2; 2; 3). +d. (20182) Viết phương trình tiếp diện của mặt 𝑥2+3𝑦2− 𝑧2=3 biết nó song song +mặt phẳng x - 3y + z = 0. +8 2.3. Mét sè ®­êng vµ mÆt trong kh«ng gian +2.3.1 §­êng th¼ng +§­êng th¼ng + ®i qua ®iÓm +),,(0000 zyxM vµ +song song víi vector +},,{ pnma= ( vect¬ chØ +ph­¬ng) cã ph­¬ng tr×nh lµ +mxx0 0 0 −=−=− +HoÆc d­íi d¹ng tham sè +ptzzntyymtxx +=+=+=0 0 0 , , (t lµ tham sè). +2.3.2 MÆt ph¼ng +MÆt ph¼ng P ®i qua ®iÓm +),,(0000 zyxM +vµ vu«ng gãc víi vect¬ +},,{ CBA n= ( +vect¬ ph¸p tuyÕn) cã ph­¬ng tr×nh lµ +.0) ( ) ( ) (0 0 0 =−+−+− zzC yyB xxA +Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng lµ +0=+++ D CzByAx +trong ®ã +},,{ CBA n= lµ vect¬ ph¸p tuyÕn . +2.3.3 MÆt bËc hai +Ph­¬ng tr×nh bËc hai ba biÕn tæng qu¸t cã d¹ng +02 2 2=+++++++++ MKz Hy Gx Fyz Exz Dxy Cz By Ax +B»ng mét sè phÐp biÕn ®æi ta cã thÓ ®­a ph­¬ng tr×nh trªn vÒ mét trong c¸c d¹ng sau +®©y gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c cña c¸c mÆt bËc hai: +1) MÆt cÇu +2 2 2 2Rzyx =++ , t©m +)0;0;0(O , b¸n kÝnh R (H×nh 1.14). +MÆt cÇu c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng trßn +2 2 2 2 2 2 2 2 20 , 0 , 0 Rzy xRzx yRyx z =+==+==+= +1) MÆt elipx«it +ax , t©m +)0;0;0(O , a,b,c lµ c¸c b¸n trôc (H×nh1.15). +MÆt elipx«it c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng elip +1 0 ,1 0 ,1 022 +=+==+==+= +H×nh 1.12 +O y +H×nh 1.13 +-R O R y +H×nh 1.14 +-R O R y +H×nh 1.15 +9 3) MÆt parabol«it eliptic +axz+= ®Ønh +)0;0;0(O , a,b lµ c¸c b¸n trôc (H×nh 1.16). +MÆt parabol«it eliptic c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng parabol +axz y ==== +0=constz th× thiÕt diÖn song song víi mÆt ph¼ng O xy lµ elip. +4) MÆt parabol«it hyperb«lic +axz+−= (H×nh 1.17). +MÆt parabol«it hyperb«lic c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng parabol +axz y +==−== +5) MÆt hyperbol«it mét tÇng +ax (H×nh 1.18). +MÆt hyperbol«it mét tÇng c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng sau +1 0 ,1 0 ,1 022 +=−==−==+= +6) MÆt hyperbol«it hai tÇng +ax (H×nh 1.19). +O y +H×nh 1.16 +O y +H×nh 1.17 +H×nh 1.18 +-a y +H×nh 1.19 +MÆt hyperbol«it hai tÇng kh«ng c¾t mÆt täa ®é +0=z , c¾t c¸c mÆt täa ®é +0 ,0==y x +theo c¸c ®­êng hyperbol +1 0 ,1 022 +=−==−= +7) MÆt nãn +ax ( H×nh 1.20). +8) MÆt trô bËc hai +XÐt mÆt cong (S) x¸c ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh +0),(=yxf , kh«ng chøa z. Trªn mÆt +0=z , ph­¬ng tr×nh +0),(=yxf x¸c ®Þnh ®­êng cong (C). MÆt cong (S) ®­îc +sinh ra bëi ®­êng th¼ng ( gäi lµ ®­êng sinh ) lu«n song song víi trôc O z vµ tùa vµo +®­êng cong (C), (®­êng cong (C) gäi lµ ®­êng chuÈn ). MÆt cong (S) gäi lµ mÆt trô +T­¬ng tù ®èi víi ph­¬ng tr×nh kh«ng chøa x (hoÆc y) x¸c ®Þnh mÆt trô cã ®­êng sinh +song song víi trôc O x (hoÆc O y). +MÆt trô eliptic +ax ( H×nh 1.21). +MÆt trô hyperb«lic +ax ( H×nh 1.22). +MÆt trô parab«lic +axz= ( H×nh 1.23). +z z +x y +H×nh 1.20 H×nh 1.21 +z z +y y +x x +H×nh 1.22 H×nh 1.23 + + + + +BÀI 1. ĐƠN TH ỨC – ĐÁP ÁN +1A. Các bi ểu thức là đơn th ức là: +()21; 4; ; 1 2 ; +22xxy y xz− − + . +1B. Các bi ểu thức là đơn th ức là: +()3 13; ; 4 3 ; ; +25xyz xy xyz+− . +2A. a) +()()()8 2 7 2 8 7 3 1516 2 3 16.2. . . . 3 . . . 96 = = =A xy x y x x y y x y +()()2 3 2 3 3 41 1 2.2 .2 . . . +3=− = − =− B x y xy x x y y x y ; +() ()()()3 3 5 3 3 5 6 61 1 1. 2 . 2 . . . +4 4 2.= − = − =−C x y x y x x y y x y +()()6 4 2 2 5 6 2 4 2 5 9 113 8 3 8 2. . . . . . . . +4 9 4 9 3.=− = − =− D x y xy x y x x x y y y x y +2B. a) +368 A x y=− ; b) +5 3 33 +2B x y z= +4655 C x y=− ; d) +6 7 29D x y z= +3A. a) Các đơn th ức đã đư ợc thu g ọn là: +()5 4; 2 3 +15B xyz D xy= = + ; +Các đơn th ức còn l ại: +()2 2 34 . 4. . . 4= = =A xy x x x y x y ; +()()()3 3 3 3 61 1 1. 2 . 2 . . +2= − = − =−C x y x x x y x y +b) Đơn th ức +34A x y= có hệ số là 4 , ph ần biến là +Đơn th ức +15B xyz= có hệ số là +15 , phần biến là +Đơn th ức +2C x y=− có hệ số là +2− , phần biến là +Đơn th ức +()523 D xy=+ có hệ số là +() 23+ , phần biến là +3B. a) Các đơn th ức đã thu g ọn là: +()4 1; 7 1 +5G mx y H xy=− = − ; +Các đơn th ức còn l ại: +2 2 233E x y yz x y z=  = ; +()()()2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12.2,5 3 5 3 . . . 8 8. 2 +44= + = + = = = F yz y y y z y z y z y z +b) Đơn th ức +223E x y z= có hệ số là 3 , ph ần biến là +22x y z ; +Đơn th ức +222F y z= có hệ số là 2 , ph ần biến là +22yz ; +Đơn th ức +5G mx y=− có hệ số là +5− , phần biến là +4mx y ; +Đơn th ức +() 71 H xy=− có hệ số là +() 71− , phần biến là +4A. a) +()2 3 3 2 4 24 3 4 3. . . . 2 +3 2 3. +2=− = − =− A xy x x x y x y . +1x= và +2y=− thì giá tr ị của biểu thức +422.1 ( 2) 2.1.4 8;.=− − =− =−A +()()2 2 2 2 3 31 3 1 3 1. . . . .. +3 4 3 4 4.    = − = − =−        B xy yx x x y y x y . +2x= và +1y=− thì giá tr ị của biểu thức +()3311.2 ( 1) .8. 1 2.. +44=− − =− − =B +4B. a) +359 M x y=− . Với +3x= và +1y= thì giá tr ị của biểu thức +M là : +359.3 1 9.27.1 243.=− =− =−M +18N x y=− . Với +2x=− và +3y= thì giá tr ị của biểu thức +45 55.( 2) 3 .16.243 1080. +18 18. =− − =− =−N +5A. a) +2 3 3 5.2 1 1.2 +5 4 5=− =−A x y xy yz x y z . Đơn th ức +A có h ệ số là +5− , phần biến là +35x y z , bậc là +3 5 1 9+ + = +()3 3 5 3 6 7 3.13. 2 3 +42= − =−B x y x y yz x y z . Đơn th ức +B có hệ số là +2− , phần biến là +6 7 3x y z , bậc là +6 7 3 16+ + = +5B. a) +2 5 3 3 5 6 4.3 5 5 +4 3 4=− =−A x y z x yz x y z . Đơn th ức +A có hệ số là +4− , phần biến là +5 6 4x y z , bậc là +5 6 4 15+ + = +()3 5 2 5 3 8 6 6. 5 .7 2 ( ) 70=− − − =−B x yz x z y z x y z . Đơn th ức +B có hệ số là -70 , ph ần biến là +8 6 6x y z , bậc +8 6 6 20+ + = . +6A. a) +D= A.B.C +2 4 3 3 41 15.3 .5 +22==x y xy yz x y z . +b) Hệ số là +2 , phần biến là +3 3 4x y z , bậc là +3 3 4 10+ + = . +6B. a) +D= A.B.C +2 2 3 4 4 35 .11 5 . 275 =− =−xy xy x yz x y z; +b) Hệ số là - 275, ph ần biến là +4 4 3x y z , bậc là +4 4 3 11+ + = . +7A. a) +()()3 2 3 3 2 3 5 41 4 1 4 2. . . . . +2 3 2 3 3.      − = − =−             x y x y x x y y x y ; +Bậc của đơn th ức là +5 4 9+= ; +() ()()4 2 2 2 4 2 3 6225 . 5. . 2 . . . . +55   ==       xy x y z x x y y z x y z ; +Bậc của đơn th ức là +3 6 1 10+ + = ; +()()5 2 3 2 3 5 2 4 6 6 10 6 1..04. . . . . +15 9 15 9 9 −−      − = − =            yz x y z x y y z z x y z ; +Bậc của đơn th ức là +2 4 6 12+ + = ; +() ()()2 3 3 2 2 4 2 5518 . 18. . . . . 10 +99   ==      xz y xy x x y y z x y z ; +Bậc của đơn th ức là +2 4 2 8+ + = . +7B. a) +2 2 36x y z . Bậc 7 ; b) +5 3 45 +2x y z ; Bậc 12; +2 3 29x y z ; Bậc 7 ; d) +5 4 310x y z− ; Bậc 12 . +8B. a) +()() 2 5 3 2 5 3 4xy xy xy xy xy+ + − = + − = ; +() ()3 3 3 3 3 2 2 54 3 4 3 +3 3 3x yz x yz x yz x yz x yz+ + − = + + − = ; +() ()2 9 2 9 2 9 2 9 2 92 5 2 5 131 +3 2 3 2 6xy z xy z xy z xy z xy z+ − + = + − + = ; +()5 4 6 5 4 6 5 4 612 46 16x y z x y z x y z− + + − +( )5 4 6 5 4 612 46 16 18 x y z x y z = − + − =. +8B. a) +3 4 29x y z ; b) +6932xy− ; c) +15y zt− d) +5343xz . +9A. a) +()5 7 5 7 5 7 5 7 5 77 2 4 7 2 4 9A x y x y x y x y x y= − + = − + = ; +2 7 3 2 7 3 2 7 333 21 48B x y z x y z x y z= + − +( )2 7 3 2 7 333 21 48 6 x y z x y z = + − =; +4 2 4 2 4 22 283 +55C x yz x yz x yz= − + +4 2 4 2 2 2833 +55x yz x yz= − + =; +4 4 4 4 41 5 1 5 322 +4 2 4 2 4D xy xy xy xy xy= − − = − − =−  . +9B. a) +310M x y= ; b) +22N x y=− ; c) +14P x y= ; d) +2 3 319 Q x y z=− . +10. Các đơn th ức là +2 2 313 ; ; ;5 +2xy x xyz x y . +11. a) +3A x y=− ; b) +4 4 43 +2B x y z=− ; c) +4xy z− ; +2xy− . HS t ự xác đ ịnh bậc và h ệ số. +12. a) Các đơn th ức đồng dạng là +2 3 2 3 2 3 2 3 15 ;2 ; ; 4 +2x y x y x y x y −− ; +2xy c) +23.5.( 3) 2 180 +2−= ; d) +12 1530xy− +13. a) +7n= ; b) +1n= ; c) +14. a) Hai đơn th ức đồng dạng khi +15mm− = − và +1 0;5 0mm−  −  . Tức là +b) Hai đơn th ức đồng dạng khi +1 5 ; 1 7m m n n− = − + = − và +1 0;5 0; 1 0;7 0m m n n−  −  +  −  . Tức +3; 3mn== . +15. a) +13abc ; b) +333xy ; c) +59mn− . +16. Chu vi c ủa hình ch ữ nhật là +() () 4 3 .2 8 6 cm+ = +x xy x xy ; +Diện tích c ủa hình ch ữ nhật là +()224 .3 12 cm= x xy x y . +17. Đáp s ố: +()()3 3 2 26 m ; 1296 mxy . + + + + +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 A. LÝ THUY ẾT +NGUYÊN T Ử +"Nguyên tử" là một từ trong ti ếng Hy Lạp có nghĩa là “không thể chia cắt ” Người Hy Lạp +cho r ằng vật chất có thể được phân chia thành những hạt rất nhỏ và không thể nhìn thấy, gọi là +nguyên tử. Triết gia ngư ời Hy Lạp Democritus đã s ử dụng khái niệm về nguyên tử đ ể giải thích +bản chất của vật chất. Ông cho rằng nguyên t ử cấu tạo nên tất cả các chất. Ông cho r ằng các +nguyên tử luôn luôn chuyển động, chúng là những hạt cực kỳ nhỏ bé, khác nhau về hình dạng, +kích thước và nhiệt độ. Chúng ta không thể phá hủy các nguyên tử. +Sau đó, vào năm 1808, John Dalton đã đề xuất thuyết nguyên tử. Ông giải thí ch định luật kết +hợp hóa học gi ữa các chất là sự kết hợp giữa các nguyên t ử. Vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 20, +nhiều nhà khoa học khác đã phát triển và đưa ra các khái niệm khác nhau về “nguyên tử,” tiêu +biểu như J.J. Thomson, Goldstein, Ruthe rford và Bohr. +Thí nghiệm của Rutherford s ử dụng hạt alpha (α: hạt nhân +2He ) bắn ph á lá vàng +Thí nghiệm bắn phá lá vàng của Ernest Rutherford (thực hiện khoảng năm 1909) là một trong +những thí nghiệm kinh điển trong vật lý hạt nhân, giúp khám phá ra cấu trúc nguyên tử theo mô +hình hạt nhân. +Ông sử dụng nguồn phát hạt alpha (hạt nhân helium) bắn vào một lá vàng d át mỏng, xung +quanh đặt màn huỳnh quang nối với kính hiển vi để quan sát và ghi nhận các vị trí hạt alpha bị +tán xạ. Ông quan s át được phần lớn hạt alpha đi xuyên qua lá vàng mà không bị lệch hướng, +một số hạt bị lệch một góc nhỏ v à rất ít hạt (khoảng 1/8000) bị bật ngược tr ở lại. Qua k ết quả +quan s át được ông đ ề xuất mô h ình hành tinh nguyên t ử và đến nay v ẫn được các nhà khoa h ọc +sử dụng và hoàn thiện hơn. +Hiện nay ngư ời ta đang th ống nhất một cách kh ái quát về nguyên t ử như sau: ++ Nguyên tử là đơn vị nhỏ nhất của vật chất mang đ ầy đủ tính ch ất của một chất, khi chia +nhỏ sẽ không c òn mang t ính ch ất của vật chất. ++ Các nhà khoa h ọc qui ư ớc nguyên t ử có hình dạng là một khối cầu. ++ Nguyên t ử gồm m ột trung tâm mang đi ện tích “dương” gọi là hạt nhân, v à các electron +mang đi ện tích “âm” quay xung quanh gi ống như c ác hành tinh quay quanh m ặt trời (Hệ hành +tinh nguyên t ử theo đ ề xuất của Rutherford) . ++ Các hạt hạ nguyên tử (có kích thư ớc nhỏ hơn nguyên t ử) cực nhỏ cấu thành nguyên tử bạc +sẽ quyết định các tính chất của nguyên tử bạ c. ++ Hạt nhân nguyên t ử là nơi t ập trung kh ối lượng và được cấu tạo bởi hai lo ại hạt là proton +và neutron. Các nguyên t ử của cùng m ột nguyên t ố sẽ có hạt proton gi ống nhau. +Dựa vào bài đọc hãy trả lời các câu h ỏi sau +Câu 1 : Phát biểu nào sau đây l à đúng? +A. John Dalton l à người đề xuất khái niệm vật chất được cấu tạo bởi các hạt vô c ùng nh ỏ gọi là +nguyên t ử +B. Các hạt nguyên t ử luôn c ó xu hư ớng di chuy ển và có hình dạng gi ống nhau +C. Các chất được hình th ành do s ự liên k ết giữa các nguyên t ử TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG LUYỆN THI CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO NGUYÊN T Ử +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 +Lớp : 10 Hóa MODULE 1 : CÁC HẠT CƠ B ẢN +Thầy giáo : Nguyễn Việt Hà +Điện thoại : 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 +D. Mô h ình hành tinh nguyên t ử của J.J Thomson cho r ằng nguyên t ử có cấu trúc giống hệ mặt +Câu 2. Phát biểu sau đây Đ úng/Sai? +Câu 3: Dựa vào bảng thông s ố vật lí ở phần 2 hãy cho bi ết +Biết nguyên t ử Al có chứa 13 hạt electron, 13 h ạt proton v à 14 hạt neutron, kh ối lượng của hạt +2. Các thông số vật lý +2.1 Kh ối lượng các hạt vi mô +Hạt Proton Neutron Electron +lượng (m) 1,66.10-24(g)≈1 (amu) 1,66.10-24(g)≈1 (amu) 9,1.10-28(g)≈5, 5 .10-4(amu) +Điện tích +(Z) 1,6.10-19(c) = 1+ 0 -1,6.10-19(c) = 1 - +2.2. Thể tích nguyên tử: ( coi nguyên tử là một hình cầu) +3 4V=πR3 trong đó R là bán kính của nguyên tử +*Đơn vị: 1m=10 dm=1 00 cm=1000 mm= 106 µm= 109nm=1010 Å +(làm tròn đến hàng đơn v ị) +Câu 5. Khối lượng riêng đư ợc tính bằng công th ức d= +V . Khối lượng riêng c ủa một nguyên t ử +2.3. Bài toán về các hạt cơ b ản +* Vì nguyên tử trung hòa về điện mà *điện tích p và e bằng nhau về độ lớn nh ưng ngược dấu +Số p = S ố e = Z +* Do khối lượng nguyên tử tập trung ở hạt nhân nên qui ước số khối của nguyên tử +A= P + N (hoặc = Z + N ) +Khi làm thực nghiệm ta có +n1 1,52p ( trừ nguyên tố H) +* Kí hiệu nguyên tử: +Nguyên tố : là tập hợp các nguyên tử có cùng số p trong điện tích hạt nhân . Các nguyên tử +có số proton giống nhau sẽ là của cùng môt nguyên tố +A: Số khối +Z: điện tích hạt nhân ( Z=p) và mang điện tích (+) +BÀI TẬP +TRẮC NGHI ỆM +Câu 1: Hạt nhân c ủa hầu hết các nguyên t ử do các lo ại hạt sau c ấu tạo nên +A. electron, proton và neutron B. electron và neutron +C. proton và neutron D. electron và proton +Câu 2: Một nguyên t ử được đặc trưng cơ b ản bằng +A. Số proton và đi ện tích h ạt nhân B. Số proton và s ố electron +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 +C. Số khối A và s ố neutron D. Số khối A và đi ện tích h ạt nhân +Câu 3: Nguyên t ố hóa h ọc bao g ồm các nguyên t ử: +A. Có cùng s ố khối A B. Có cùng s ố proton +C. Có cùng s ố neutron D. Có cùng s ố proton và s ố neutron +Câu 4: Điều khẳng định nào sau đây là sai ? +A. Hạt nhân nguyên t ử được cấu tạo nên b ởi các h ạt proton, electron, neutron . +B. Trong nguyên t ử số hạt proton b ằng số hạt electron. +C. Số khối A là t ổng số proton (P ) và t ổng số neutron (N). +D. Nguyên t ử được cấu tạo nên b ởi các h ạt proton, electron, neutron . +Câu 5: Phát bi ểu sau đúng /sai? +Câu 6: Cho c ác mệnh đề sau? +(1) S ố điện tích h ạt nhân đ ặc trưng c ho 1 nguyên t ố. +(2) Ch ỉ có hạt nhân nguyên t ử oxygen mới có 8 proton. +(3) Ch ỉ có hạt nhân nguyên t ử oxygen mới có 8 neutron . +(4) Ch ỉ có trong nguyên t ử oxygen mới có 8 electron. +Các mệnh đề đúng là: ……………………………… …….. +Câu 7: Cho c ác phát biểu sau +1. Trong m ột nguyên t ử luôn luôn có s ố proto n = s ố electron = s ố điện tích h ạt nhân +2. Tổng số proton và s ố electron trong m ột hạt nhân g ọi là s ố khối +3. Số khối A là kh ối lượng tuy ệt đối của nguyên t ử +4. Số proton =đi ện tích h ạt nhân +5. Đồng vị là các nguy ên tử có cùng s ố proton nhưng khác nhau v ề số neutron +Các mệnh đề sai là:………………………………………………………. +Câu 8 : Nguyên t ử +13Al có : +A. 13p, 13e, 14n. B. 13p, 14e, 14n. C. 13p, 14e, 13n. D. 14p, 14e, 13n. +Câu 9 . Nguyên t ử của nguyên t ố X có tổng số hạt là 40 .T ổng số hạt mang đi ện nhi ều hơn t ổng +số hạt không mang đi ện là 12 h ạt .Nguyên t ố X có s ố khối là:……………… +Câu 10 . Trong nguyên t ử một nguyên t ố X có tổng số các lo ại hạt là 58. Bi ết số hạt p ít hơn s ố +hạt n là 1 h ạt. Kí hi ệu của X là:……………………. +Câu 1 1. Tổng các h ạt cơ b ản trong m ột nguyên t ử là 155 h ạt. Trong đó s ố hạt mang đi ện nhi ều +hơn s ố hạt không mang đi ện là 33 h ạt. Nguyên t ử có số khối là:………….. +Câu 12 . Tổng các h ạt cơ b ản trong m ột nguyên t ử X là 82 h ạt. Trong đó s ố hạt mang điện nhi ều +hơn s ố hạt không mang đi ện là 22 h ạt. Nguyên t ử là nguyên t ử của nguyên t ố:………… +TỰ LUẬN +Câu 1 3: Nguyên tử của 1 nguyên tố M được cấu tạo bởi 115 hạt trong đó hạt mang điện nhiều +hơn hạt không mang điện là 25 hạt. Xác định số hiệu nguyên tử của M, số khối của M. Viết ký +hiệu của nguyên tố M.? +Câu 14 : Một nguyên tử R có tổng số hạt mang điện và không mang điện là 34, trong đó số hạt +mang điện gấp 1,833 lần số hạt không mang điện. Xác định tên v à kí hiệu của nguyên t ử R? +Câu 15 : Một nguyên tố R có tổng các loại hạt là 48 . Hãy xác định nguyên t ố R và viết kí hiệu +nguyên t ử của R? +Câu 16 : Nguyên tử X có tổng các loại hạt = 52. Hãy xác định số hạt e, p, n trong nguyên tử. +Viết kí hiệu nguyên t ử X? +Câu 17 : Một nguyên tố A có tổng các loại hạt là 95 hạt. Trong đó số hạt mang điện nhiều hơn +số hạt không mang điện là 25. Viết kí hiệu của nguyên t ố A? +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 +Câu 18*: Trong phân tử M 2X có tổng số hạt p, n, e là 140. Trong đó số hạt mang điện nhiều hơn +số hạt không mang điện là 44 hạt. Số khối của nguyên tử M lớn hơn số khối của nguyên tử X là +23 hạt. Tổng số hạt trong nguyên tử M nhiều hơn trong X là 3 4 hạt . Hãy xác định các nguyên tố +M, X v à hợp chất M 2X +Câu 19*: Cho hợp chất có dạng MX tổng p , n , e trong MX là 84 . Trong đó tổng hạt mang điện +lớn hơn tổng số hạt kh ông mang điện là 28 . Tổng số hạt trong X lớn hơn tổng số hạt trong M là +36 hạt . Tổng số hạt trong hạt nhân X lớn hơn tổng số hạt trong hạt nhân M là 24 hạt. Xác định X +và M .Gọi tên MX +Câu 2 0*: Cho hợp chất MX 3 trong đó M là kim loại và X là phi kim. Phân tử MX 3 có tổng số p, +n , e là 196 trong đó tổng số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 60. Số hạt mang +điện trong M nhỏ hơn số hạt trong X là 8. Xác định số thứ tự của M và X . Gọi tên MX 3 +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đ ạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUYẾT +ĐỒNG V Ị NGUYÊN T Ử HYDROGEN +Hydrogen là nguyên tố đầu tiên trong bảng tuần hoàn và có số hiệ u nguyên tử bằng một. Những +nguyên t ử có cùng số hiệu nguyên tử ( Z) nhưng khác nhau về số khối ( A) được gọi là đồng vị . +Có ba đồng vị của hydrogen , gồm: protium ( +1H), deuterium ( +1H hay D) và cuối cùng là +tritium ( +1H hay T). Các đồng vị này khác nhau do số lượng neutron trong hạt nhân của chúng +không giống nhau +Hình 2. Các đồng vị của nguyên t ử Hydrogen +1. Protium (1H ) +Protium là một trong những đồng vị phổ biến của hydrogen . Nó có mặt rất nhiều trong tự +nhiên, chiếm khoảng 99,98%. Khối lượng của protium là 1,007825 amu. Hydrogen thường kết +hợp với các nguyên tử hydrogen khác tạo thành hợp chất, tồn tại dưới dạng H 2. +2. Deuterium ( 2H) +Hạt nhân của 2H được gọi là Deuterium gồm 1 proton và 1 neut ron. Đồng vị này không +phóng xạ. Các hợp chất của nó được dùng trong phân tích h óa học và làm dung môi cho +hydrogen . Nước nặng (D2O) là loại n ước giàu các phân tử chứa deuterium thay vì proti um. Nước +nặng được sử dụng làm c hất làm mát và chất điều chậm neutron trong c ác lò phản ứng hạt nhân. +Deuterium cũng được dùng làm nhiên liệu trong phản ứng nhiệt hạch (ph ản ứng ở trên m ặt trời +và bom h ạt nhân) . Trong tự nhiên, nó tồn tại dưới dạng khí D 2 +3. Tritium (3H ) +Tritium gồm 2 neutron và 1 proton trong hạt nhân. Một lượng v ết rất nhỏ tritium tồn tại +trong tự nhiên do sự tương tác của tia vũ trụ với các khí trong khí quyển. Đồng vị này cũng được +giải phóng với lượng nhỏ trong các vụ thử vũ khí hạt nhân. Tritium là chất phóng x ạ, phân rã +thành helium thông qua quá trình phân rã beta. Tritium có khối lượng nguyên tử là 3,0160492 u. +Dựa vào bài đọc hãy trả lời câu h ỏi sau +Phát biểu nào sau đây l à đúng +A. Đồng vị là các nguyên t ử có cùng đi ện tích hạt nhân nh ưng c ó số electron kh ác nhau. +B. Trong t ự nhiên c ó hai lo ại đồng vị Hydrogen ph ổ biến là Protium v à tritium +C. Deuterium c ó tính ph óng xạ nên đư ợc sử dụng trong c ác lò phản ứng hạt nhân. +D. Trong ba đ ồng vị của Hydrogen th ì đồng vị Tritium d ễ bị phân r ã nhất. +Câu 2: Phát biểu sau đây đ úng hay sai? +(2) Nư ớc nặng có thể điều chế bằng ph ản ứng 2D 2 + O 2 +  2D2O.......... +(4) Ngu ồn năng lư ợng để phát sáng của mặt trời dựa vào phản ứng nhi ệt hạch......... +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 +Lớp : 10 Hóa MODULE 2: ĐỒNG V Ị NGUYÊN TỐ +Thầy giáo : Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đ ạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +* Đồng vi: Là các nguyên tử có cùng số proton trong hạt nhân nhưng có số Neutron khác nhau +dẫn đến số khối (A) khác nhau. +* Công thức tính nguyên tử khối trung bình +1 1 2 2 n nX +1 2 nA .x +A .x +...+A .xAx +x +...+x +Trong đó: +A là nguyên tử khối trung bình của nguyên t ử X +A1, A2..: là số khối mỗi đồng vị. +Nếu x 1, x2..: là phần trăm số nguyên tử (hay % về số mol) mỗi đồng vị => x1 + x 2+..x n=100 +Nếu x 1, x2 …: là số nguyên tử mỗi đồng vị => x1 + x 2+..x n=tổng số nguyên t ử +BÀI TẬP +TRẮC NGHI ỆM +Câu 1 : Đồng có hai đồng vị, chúng khác nhau về: +A. Số electron B. Số proton C. Số điện tích hạt nhân D. Neutron +Câu 2 : Nguyên tố hóa học là những nguyên tử có cùng: +A. Số Neutron và proton B. Số Neutron C. Số proton D. Số khối. +Câu 3 : Cho c ác nguyên t ử của nguyên t ố sau: +12X6 , +14Y6 , +14Z7 . Phát biểu nào sau đây đ úng +A.X và Y là cùng m ột nguy ện tố B. Y và Z là cùng m ột nguyên t ố +C. X à Z có cùng số hạt Neutron D. Y v à Z có cùng số hạt electron +Câu 4: Cho nguyên t ử Hydrogen có hai đ ồng vị 1H và 2H. Nguyên t ử Oxygen có 3 đồng vị 15O, +16O, 18O. Số phân t ử nước có thể tạo thành là +A. 6 B.9 C.8 D. 7 +Câu 5: Cho nguyên t ử S có 2 đồng vị là 31S và 32S. Nguyên t ử Oxygen có 3 đồng vị 15O, 16O, +Câu 6 : Đồng có đồng vị 63Cu (69,1%) và 65Cu. Nguyên tử khối trung bình c ủa đồng là: +Câu 7 : Trong thiên nhiên Ag có hai đồng vị 107Ag(56%). Tính số khối của đồng vị thứ hai. Biết +nguyên tử khối trung bình của Ag là 107,88 u. +A. 109 B. 107 C. 106 D. 108 +Câu 8 : A, B là nguyên tử đồng vị. A có số khối bằng 24 chiếm 60%, nguyên tử khối trung bình +Câu 9 : Nguyên tố Cu có nguyên tử khối trung bình là 63,54 có 2 đồng vị X và Y, biết tổng số +khối là 128. Số nguyên tử đồng vị X = 0,37 số nguyên tử đồng vị Y. Vậy số khối của X và Y lần +lượt là: +A. 65 và 67 B. 63 và 66 C. 64 và 66 D. 63 và 65 +Câu 10 : Nguyên tố B có 2 đồng vị 11B (x 1%) và 10B (x 2%), nguyên tử khối trung bình của Boron +là 10,8. Giá trị của x 1% là: +A. 80% B. 20% C. 10,8% D. 89,2% +Câu 11 : Chlorine có hai đồng vị 37Cl (chiếm 24,23%) và 35Cl (chiếm 75,77%). Nguyên tử khối +trung bình của chlorine . +A. 37,5 B. 35,5 C. 35 D. 37 +Câu 12 : Trong tự nhiên Oxygen có 3 đồng vị 16O (x 1%), 17O (x 2%), 18O (4%), nguyên tử khối +trung bình của Oxygen là 16,14. Phần trăm đồng vị 16O và 17O lần lượt là: +A. 35% & 61% B. 90% & 6% C. 80% & 16% D. 25% & 71% +Câu 13 : Nguyên tố B có 2 đồng vị 11B (80%), 10B (20%). Nguyên tử khối trung bình của Boron +A. 10,2 B. 10,6 C. 10,4 D. 10,8 +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đ ạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Câu 14 : Nguyên tố X có 2 đồng vị X 1 và X 2. Đồn *g vị X 1 có tổng số hạt là 18. Đồng vị X 2 có +tổng số hạt là 20. Biết rằng % các đồng vị bằng nhau và các loại hạt trong X 1 cũng bằng nhau. +Nguyên tử khối trung bình của X là: +A. 16 B. 14 C. 12 D. 13 +Câu 15 : Nguyên tố Cu có nguyên tử khối trung bình là 63,54 có 2 đồng vị X và Y, biết tổng số +khối là 128. Số nguyên tử đồng vị X = 3,37 số nguyên tử đồng vị Y. Vậy số neutron của đồng vị +X hơn số Neutron của đồng vị Y là: +A. 2 B. 4 C. 6 D. 1 +Câu 16 : Một nguyên tố X có 3 đồng vị A1X (79%), A2X (10%), A3X (11%). Biết tổng số khối của +3 đồng vị là 75, nguyên tử lượng trung bình của 3 đồng vị là 24,32. Mặt khác số neutron của +đồng vị thứ 2 nhiều hơn số n eutron của đồng vị t hứ 1 là 1 đơn vị. A 1, A2, A3 lần lượt là: +A. 24; 25; 26 B. 24; 25; 27 C. 23; 24; 25 D. 25; 26; 24 +TỰ LUẬN +Câu 17 : Nguyên t ử C có hai đ ồng vị 12C và 14C, nguyên t ử O có 3 đồng vị 15O, 16O và 18O. H ãy +viết các phân tử CO 2 tạo thành +Câu 18. Trong tự nhiên brom ine có hai đồng vị bền : +35 chiếm 50,69% số nguyên tử và +chiếm 49,31% số nguyên tử. Hãy tìm nguyên tử khối trung bình của brom ine.? +Câu 19 . Khối lượng nguyên tử của B bằng 10,81. B trong tự nhiên gồm hai đồng vị 10B và 11B. +Hỏi có bao nhiêu phần trăm 11B trong boric acid H3BO 3. Cho H 3BO 3 = 61,81 +Câu 20 . Trong tự nhiên đồng vị 37Cl chiếm 24,23,% số nguyên tử chlorine . Tính thành phần +phần trăm về khối lượng 37Cl có trong H ClO 4 (với hydrogen là đồng vị 1H, oxygen là đồng vị +16O). Cho khối lượng nguyên tử trung bình của Chlorine là 35,5 +Câu 21 . Trong tự nhiên Brom có 2 đồng vị là 79Br và 81Br có nguyên tử khối trung bình là 79,92. +Thành phần phần trăm về khối lượng của 81Br trong NaBr là bao nhi êu. Cho M Na = 23 +Câu 22. Trong tự nhiên Mg có đồng vị 24Mg (79%); 25Mg (10%); 26Mg (11%). Tính khối lượng +24Mg có trong 3,648 gam Mg? +Câu 2 3. Trong tự nhiên Cu có 2 đồng vị là 63Cu và 65Cu. Nguyên tử trung bìn h của Cu là 63,546. +Khối lượng 63Cu có tron g 31,773g Cu là bao nhiê u? +Phần nâng cao +Câu 2 4. Trong tự nhiên Cu có 2 đồng vị là là 63Cu và 65Cu. Khối lượng nguyên tử trung bình của +Cu là 63,54. Thành phần phần trăm về khối lượng của là 63Cu trong CuCl 2 là bao nhiêu (biết M +Cl = 35,5) +Câu 25. Trong t ự nhiên Chlorine có hai đồng vị bền là 37Cl và 35Cl. Tính thành phần phần trăm +về khối lượng 35Cl có trong K ClO 3 (với kiện là đồng vị 39K, oxygen là đồng vị 16O). Cho khối +lượng nguyên tử trung bình của Chlorine là 35,5 +Câu 26 . Hydrogen có nguyên tử khối t rung bình là 1,008. Hỏi có bao nhiêu nguyên tử của đồng +vị 2H trong 9 gam nước (cho rằng trong nước chỉ có đồng vị 1H và 2H, cho MH2O = 18). +Câu 27 . Cho biết trong tự nhiên Cl tồn tại dưới dạng hai đồng vị 37Cl và 35Cl. Biết rằng nguyên +tử khối trung bình của Cl là 35,5. Hãy tính khối lượng của 35Cl có trong 5,85 g NaCl. +Câu 28 : Cho biết P có hai đồng vị bền trong tự nhiên là 30P và 31P. Nguyên tử khối trung bình +của P là 30,89. Hãy tình khối lượng của 31P có trong 9,389 g H 3PO 4 +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUYẾT +1. Ph ản ứng hạt nhân +1.1. Khái niệm: là phản ứng x ảy ra ở hạt nhân c ủa nguyên t ử, từ đó dẫn đến sự biến đổi hạt +nhân nguyên t ử ( biến đổi về thành ph ần các hạt nucle on, ho ặc năng lư ợng). +Ví dụ: +1.2. Phóng xạ là gì: Quá trình ph óng xạ là một loại phản ứng hạt nhân nhưng s ản phẩm của phản +ứng sẽ sinh r a các tia b ức xạ ( tia ph óng xạ). +Các tia b ức xạ: Khi cho ch ùm tia p hóng xạ đi qua hai b ản tụ điện ( gồm một bản tích điện + , m ột +bản tích đi ện - , như h ình vẽ) +-Tia α ( alpha) l à tia mang đi ện (+). Bản chất là chùm hạt α. +Hạt α là hạt nhân c ủa nguyên t ử +- Tia β- (beta tr ừ): là tia mang đi ện (-). Bản chất là chùm hạt +electron +- Hạt β+ (beta c ộng): l à tia mang đi ện (+). B ản chất là chùm +phản hạt của electron: +1e ( cái này sẽ học sâu ở vật lí hạt nhân) +- Tia γ ( gamma) : có bản chất là chùm photon ánh sáng +0 ( ở +vật lí lớp 12 g ọi nó là sóng đi ện từ) có năng lư ợng cao. +Chú ý: Trong c ác quá trình ph óng xạ đều có thành phần tia +0 nhưng do không c ó đóng góp gì +vào phương tr ình nên thư ờng không vi ết vào phương tr ình ph óng xạ. +Ví dụ: +86Rn + 4 +2He + 2 +1e + γ +Nhưng ta c ó thể chỉ cần viết +86Rn + 4 +2He + 2 +- Ngoài các tia quen thu ộc còn có các chùm hạt bức xạ khác: ch ùm bức xạ neutron +0n , chùm +proton +1p , chùm ion, ch ùm plasma … +a)Sự phóng xạ tự nhiên: Là quá trình bi ến đổi hạt nhân nguyên t ử một tách tự nhiên không ph ụ +thuộc vào yếu tố bên ngo ài ( nhi ệt độ, áp suất, nồng độ ở dạng đơn ch ất hay h ợp chất). Cùng với +sự biến đổi hạt nhân nguyên t ử quá trình sẽ sinh ra thêm tia b ức xạ +Ví dụ: +86Rn + tia α + tia β + tia γ ( quá trình phân r ã của Uranium) +Hạt nhân m ẹ Hạt nhân con +b)Sự phóng xạ nhân t ạo: Là quá trình bi ến đổi không t ự phát, nó cần có yếu tố bên ng oài tác +động lên h ạt nhân ( yếu tố bên n goài thường là một bức xạ). Cùng v ới sự biến đổi hạt nhân +nguyên t ử quá trình sẽ sinh ra thêm tia b ức xạ +Ví dụ: +0n ( chùm bức xạ neutron) +2.Phương tr ình ph ản ứng hạt nhân. +31 2 4 +31 2 4AA A A +ZZ Z Z X + Y T + M   +Trong đ ó: A 1+ A 2= A 3 + A 4 +Z1 + Z 2= Z 3 + Z 4TRUNG TÂM BỒI DƯ ỠNG LUYỆN THI CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO NGUYÊN T Ử +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 +Lớp : 10 Hóa MODULE 3 : PHẢN ỨNG H ẠT NHÂN +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +3. Phản ứng phân h ạch và nhiệt hạch +3.1. Phản ứng phân hạch: Là phản ứng từ một hạt nhân nguyên t ử lớn biến đối về các hạt nhân +nguyên t ử nhỏ hơn +Ví dụ: +53I + 3 +0n ( phản ứng trong bom nguyên t ử) +3.2. Phản ứng nhiệt hạch: là phản ứng kết hợp các hạt nhân nh ỏ thành m ột hạt nhân l ớn ở nhiệt +độ rất cao +0n + Q +( Phản ứng trong bom H, bom h ạt nhân và là phản ứng trên m ặt trời) +4. Ứng dụng của phản ứng hạt nhân: +Trong lĩnh vực năng lượng , phản ứng phân hạch được sử dụng trong các nhà máy điện hạt nhân +để sản xuất điện. +Trong y học , các đồng vị phóng xạ được tạo ra từ phản ứng hạt nhân được dùng để chẩn đoán và +điều trị bệnh, ví dụ như cobalt -60 dùng trong xạ trị ung thư, technetium -99 dùng trong chụp xạ +Trong nghiên cứu khoa học , phản ứng hạt nhân giúp tìm hiểu cấu trúc vật chất, nghiên cứu vật +lý hạt nhân, thiên văn học, và nguồn gốc vũ trụ. +B. BÀI TẬP +Câu 1. Hoàn thành các phương tr ình ph ản ứng hạt nhân sau +95 139 - +42 57Mo + La + 2X+7 β 5) +1T + X +  α + n +2) p + +  16O + X 6) +  X + +13Mg + X +24Mg + α 7) +5Bo + X +  α + +17 2Cl + He X + n  8) +28Ni + X +X: là nguyên t ố chưa bi ết và mỗi phương tr ình X s ẽ khác nhau. +Câu 2. Cho phản ứng hạt nhân +1D → α + X và tỏa ra nhi ệt lượng là 2,8.10-12 J. +a) Tính năng lượng tỏa ra khi t ổng hợp được 1 g X. (phản ứng trong bom H) +b) Bi ết rằng đốt cháy hết 1 Kg xăng E5 t ỏa ra lư ợng nhi ệt là 43.000 KJ. H ỏi lượng nhi ệt tỏa ra +khi tổng hợp được 2 gam X tương đương v ới đốt bao nhiêu t ấn dầu? +Câu 3 . Cho ph ản ứng phân h ạch trong bom nguyên t ử +53I + 3 +0n và tỏa ra nhi ệt lượng là: 3,2.10-11 (J) +a) Hãy tính năng lư ợng tỏa ra kh í 1 gam U ( 235) phân r ã +b) Bi ết 1 gam thu ốc nổ TNT t ỏa ra 1 lư ợng nhi ệt là 4,18.103 (J). Hãy tính lượng thu ốc nổ cần +thiết để có thể sinh ra 1 năng lư ợng như phân r ã 1 gam U. +c) Hãy tính lượng thu ốc nổ cần thiết để có năng lư ợng sinh ra 1 gam X ( câu 3) +d) Hãy so sánh sức công ph á của bom H v à bom nguyên t ử. +Câu 4 . Một xác ướp được tìm th ấy tại lăng m ộ của các vị vua Ai c ập cổ đại. Để xác định niên +đại của xác ướp các nhà khoa h ọc đã sử dụng phương ph áp đo đ ồng vị 14C để xác định tuổi của +xác ướp. Cách tính tu ổi của cổ vật theo công th ức sau +tA 1t= .lnkA +Trong đ ó k= 1,1.10-4 năm, +Ao: Số nguyên t ử carbon 14C trung b ình phân r ã trong 1 ph út với 1 gam C. Khi sinh v ật còn sống +Ao=13,6 +At: Số nguyên t ử Carbon 14C trung b ình phân ra trong 1 ph út với 1 gam C t ại thời điểm nghiên +cứu. Trong nghiên c ứu này A t= 6,6 +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUYẾT +ORBITAL NGUYÊN T Ử +Khi một hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời, ta có thể vẽ ra một đư ờng đi xá c định cho +nó, gọi là quỹ đạo (orbit ). Nguyên tử cũng tương tự có thể bạn từng hình dung các electron quay +xung quanh hạt nhân trên c ác quĩ đạo. Tuy nhiên, thực tế lại khác : electron thực ra tồn tại trong +những vùng không gian gọi là obitan (orbital ). +“Orbit” và “orbital” nghe có vẻ giống nhau nhưng ý nghĩa lại rất khác. Việc hiểu rõ sự khác nhau +giữa chúng là điều rất quan trọng. +Để vẽ được quỹ đạo của một vật, ta cần biết chính xác vị trí của vật đó và có thể tính toán +chính xác nó sẽ ở đâu vào thời đi ểm sau đó. Đối với electron, ta không thể làm được điều này, ta +không thể biết chính xác đồng thời cả vị trí và hướng chuyển động tiếp theo của một electron. +Hình 3: Hỉnh ảnh orbital c ủa electron 1s +Electron có thể được tìm thấy ở bất kỳ vị trí nào trong một vùng không gian hình cầu bao +quanh hạt nhân. Sơ đồ minh họa cho thấy một lát cắt qua vùng không gian hình cầu này. Trong +95% thời gian, electron sẽ nằm trong một vùng không gian khá dễ xác định, nằm tương đối gần +hạt nhân. Vùng không g ian như vậy được gọi là obital (orbital ). +2.Orbital : +Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân trên những quĩ đạo không xác định , nhưng +các electron lại có mặt với mật độ cao tại một vùng không gian xác định xung quanh hạt nhân. +Vùng không gian quanh hạt nhân mà tại đó xác xuấ t tìm thấy electron là cao nhất ( trên +90%) gọi là ORBITAL nguyên tử +2.Lớp electron ++ Các electron khi chuyển động sẽ mang trong mình một năng lượng xác định. ++ Các electron có mức năng lượng xấp xỉ nhau được xếp vào cùng một lớp. +Kí hiệu K L M N O P Q +Số lượng tử chính (n) n= 1 2 3 4 5 6 7 +3.Phân lớp e ++ Trong một lớp , các electron lại được phân chia thành các nhóm nhỏ hơn gọi là phân lớp ++ Các electron trong một phân lớp có mức năng lượng bằng nhau +4.Số lượng các orbital trong phân lớp ++ Phân lớp s: có 1 orbital + Phân lớp p: có 3 orbital ++ Phân lớp d: có 5 orbital + Phân lớp f: có 7 orbital +5.Số lượng phân lớp có trong 1 lớp +Lớp K (n=1) : có 1 phân lớp s, kí hiệu 1s có chứa 1 orbital +Lớp L (n=2): có 2 phân lớp s, p kí hiệ u 2s,2p có chứ a 4 orbital ( 1 orbital + 3 orbital p) +Lớp M (n=3): có 3 phân lớp s, p,d kí hiệ u 3s,3p,3d có chứ a 9 orbital ( 1 orbital + 3 +orbital p+ 5 orbital d) +Lớp M (n=4): có 4 phân lớp s, p,d,f kí hiệ u 4s,4p,4d,4f có chứa 16 orbital ( 1 orbital + 3 +orbital p+ 5 orbital d + 7 orbital f) +Tổng quát: số orbital trong một lớp là: n2 (với n là số lớp) +6. Hình dạng không gian của các orbital trong các phân lớpTRUNG TÂM BỒI DƯ ỠNG LUYỆN THI CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO NGUYÊN T Ử +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 +Lớp : 10 Hóa MODULE 4 : LỚP VỎ ELECTRON +Thầy giáo : Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Các orbital thuộc phân lớp s : có dạng hình cầu , không có định hướn g trong không gian +Các orbital thuộc phân lớp p: có dạng hình số 8 nổi và có định hướng theo 3 hướng trong +không gian +7. Cấu hình electron +7.1. Nguyên lí vững bền (Kleckovki): Các electron khi sắp xếp vào các lớp và phân lớp theo +thứ tự mức năng l ượng từ thấp đến cao ( Từ lớp trong ra lớp ngoài từ lớp số 1 đến lớp thứ n) +Các e sẽ sắp xếp theo trật tự năng lượng do đó cấu hình còn được gọi là cấu hình năng +Qui tắc +Hình 1: Giản đồ năng lượng các electron +Theo giản đồ cấu hình năng lượng n hư sau: 1s2s2p3s3p4s3d4p5s......... +7.2. Nguyên lí Pauli: Mỗi một orbital chứa tối đa 2 electron và 2 electron này có chiều tự +quay ngược nhau E +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Qui ước một orbital được kí hiệu như một ô vuông +Orbital có e độc thâ n Orbital có electron cặp đ ôi +7.3. Qui tắc Hund . +Các electron được sắp xếp vào các lớp và phân lớp sao cho tổng số electron độc thân là +nhiều nhất, và các electron này có chiều tự quay giống nhau +Ví dụ: N (Z=7) cấu hình e: 1s22s22p3 +Và 3 orbital p có thể viết thành +Chú ý: +Trường hợp bán bão hòa: +Ví dụ : Cr (Z=24): 1s22s22p63s23p64s23d4 4s13d5 +( Vì phân lớp d có tối đa là 10 electron ) +Trường hợp bão hòa: +Ví dụ : Cu (Z=29): 1s22s22p63s23p64s23d9 4s13d10 +8. Xác định vị trí các nguyên tố trong bảng Hệ thống tuần hoàn ( HTTH). +Bước 1 : Viết cấu hình e +Bước 2 : Xác định nguyên tố thuộc nguyên tố nhóm A ( nhóm chính) hay nhóm B ( nhóm phụ) +*Nguyên tố nhóm A( nhóm chính): là nguy ên tố có electron cuối cùng phân vào phân lớp s +hoặc phân lớp p. +Ví dụ: Na (Z=11): 1s22s22p63s1 ( electron cuối cùng phân vào phân lớp s nên Na thuộc loại +nguyên tố s và là nguyên tố nhóm A) +Ví dụ : Al (Z=13): 1s22s22p63s23p1( electron cuối cùng phân vào p hân lớp p nên Al thuộc loại +nguyên tố p và là nguyên tố nhóm A) +*Nguyên tố nhóm B ( nhóm phụ): là nguyên tố có electron cuối cùng phân vào phân lớp d +hoặc phân lớp f. +Ví dụ : Fe (Z=26): 1s22s22p63s23p6 4s23d6( electron cuối cùng phân vào phân lớ p d nên Na +thuộc loại nguyên tố d và là nguyên tố nhóm B ) +( Nguyên tố nhóm f không học trong chương trình phổ thống ) +Bước 3: Xác định vị trí +*Với nguyên tố nhóm A: Điện tích hạt nhân= số thứ tự ô nguyên tố +Số lớp e = số chu kì của nguyên tố +Tổng số e lớp ngoà i cùng (electron hóa tri) = số nhóm của nguyên tố +Ví dụ: Ví dụ : Al (Z=13): 1s22s22p63s23p1 +Z=13: Nguyên tố Al ở vị trí ô só 13 +Có 3 lớp electron nên Al ở chu kỳ 3 +Lớp ngoài cùng là lớp số 3: 3s23p1 nên tổng số e là 2 + 1=3 . Nên Al thuộc nhóm III A +*Với nguyên tố nhóm B : Điện tích hạt nhân= số thứ tự ô nguyên tố +Số lớp e = số chu kì của nguyên tố Tự chuyển +Tự chuyển +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Cấu hình e thường là : s2dn ( n từ 1 -10) +Tổng số e lớp ngoài cùng và phân lớp sát lớp ngoài cùng ( e hóa trị )= x= 2 + n +Nếu X≤ 8 thì số nhóm của nguyên tố l à x ( viết theo hệ chữ La mã) +Nếu X=8, 9,10 thì số nhóm của nguyên tố là VIII B ( viết theo hệ chữ La mã) +Nếu X= 11 thì số nhóm của nguyên tố là I B ( viết theo hệ chữ La mã) +Nếu X= 12 thì số nhóm của nguyên tố là II B ( viết theo hệ chữ La mã) +Ví dụ: Fe (Z=26): 1s22s22p63s23p6 4s23d6 +Fe ở ô số 26 và thuộc chu kì 4 +Lớp ngoài cùng là 4s2, phân lớp sát ngoài cùng là 3d6. +Tổng số e hóa trị = 2 + 6 =8 nên nguyên tố Fe thuộc nhóm VIII B +Bước 4: Xác định tính chất của nguyên tố +Với nguyên tố nhóm A: ++ Các nguy ên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 1,2,3 thường là kim loại. ++ Các nguyên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 5,6,7 thường là phi kim. ++ Các nguyên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 4 là các nguyên tố á kim +(2 ngu yên tố đầu của nhóm là phi kim còn các nguyên tố còn lại là kim loại) ++ Các nguyên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 8 : là các nguyên tố khí hiếm +Với các nguyên tố nhóm B : Tất cả các nguyên tố nhóm B đều là kim loại +9. Cấu hình của các ion +*Ion là các hạt mang điện được hình thành khi nguyên tử nhường hoặc nhận thêm electron +Ion (+): Cation : được hình thành khi nguyên tử nhường e +M- n.e +  Mn+ +VD : Na -1e +  Na+ +Ion Na+ sẽ có số e ở lớp vỏ ít hợn với Na là 1 electron +Na ( Z=11): 1s22s22p63s1 ion Na+ ít hơn 1 e nên cấu hình là 1s22s22p6 +Ion ( -): anion : được hình thành khi nguyên tử nhận e +R + m.e +  Rm- +VD : Cl + 1e +  Cl- +Ion Cl- sẽ có số e ở lớp vỏ nhiều hợn với Cl là 1 electron +Cl ( Z=17): 1s22s22p63s23p5 ion Cl- nhiều hơn 1 e nên có cấu hình là : 1s22s22p63s23p6 +Chú ý: Các electron sẽ mất đi từ lớp ngoài cùng +B. BÀI TẬP +TRẮC NGHI ỆM +Câu 1: Các phát biểu sau đ úng/sai? +1. Orbital nguyên tử là vùng không gian quanh hạt nhân, ở đó xác suất hiện diện của electron là +4. Trong cùng một phân lớp, các electron sẽ được phân bố trên các o rbital sao cho các electron +5. Mỗi o rbital nguyên tử c hứa tối đa 2 electron với chiều tự quay khác nhau. ........ +Câu 2: Một nguyên tử X có số hiệu nguyên tử Z =19. Số lớp electron trong nguyên tử X là :….. +Câu 3: Nguyên tử của nguyên tố K ( Z=19) . Kết luận nào sau đây đúng ? +A. Potassium thuộc chu kì 3. B. Potassium có số e độc thân là 4 +C. Potassium là nguyên tố họ s D. Potassium là nguyên tố họ p +Câu 4: Ở trạng thái cơ bản, nguyên tử của nguyên tố có Z=7 có số electron độc thân là: … +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Câu 5: Mức năng lượng của các electron trên các phân lớp s, p, d thuộc cùng một lớp được xếp +theo thứ tự : +A. d < s < p. B. p < s < d. C. s < p < d. D. s < d < p. +Câu 6: Các nguyên tử có Z + 20, thoả mãn điều kiện có 2e độc thân lớp ngoài cùng là +A. Ca, Mg, Na, K B. Ca, Mg, C, Si C. C, Si, O, S D. O, S, Cl, F +Câu 7: Nguyên tử M có cấu hình electron của phân lớp ngoài cù ng là 3d7. Tổng số electron của +nguyên tử M là: ………. +Câu 8: Electron cuối cùng của một nguyên tố M điền vào phân lớp 3d3. Số electron hóa trị của M +là :…………… +Câu 9: Một nguyên tử X có tổng số electron ở các phân lớp s là 6 và tổng số electron lớp ngoài +Câu 10: Một nguyên t ử X có tổng số e ở các phân lớp p là 11. Hãy cho biết X thuộc họ nguyên +tố hoá học nào :………… +Câu 11: Nguyên tử của nguyên tố X có tổng số electron trong các phân lớp p là 7. Nguyên tử +của nguyên tố Y có tổng số hạt mang điện nhiều hơn tổng số hạt mang điện của X là 8. Hợp chất +được tạo bới X và Y có công th ức là: ………………… +Câu 12. Cho nguyên t ố P (Z=15). Nguyên t ử của nguyên t ố P có số electron đ ộc thân là :……. . +Câu 13: Nguyên tử nguyên tố X có e cuối cùng điền vào phân lớp 3p1. Nguyên tử nguyên tố Y +có e cuối cùng điền vào phân lớp 3p3. Nguyên t ố X là:………, nguyên t ố Y là:…………….. +Câu 14: Cho nguyên tố X có số n=p+4 và electron cuối cùng của nguyên tử nguyên tố X phân bố +vào phân lớp 3d6. X là nguyên t ố:……….. +Câu 15: Một nguyên tử X có 3 lớp. Ở trạng thái cơ bản, số electron tối đa trong lớp M là: …….. +Câu 16: Cho biết C hromium có số hiệu nguyên tử là 24. Cấu hình electron của ion Cr3+ là: +A. 1s22s22p63s23p64s2 B. 1s22s22p63s23p63d3 +C. 1s22s22p63s23p63d2 D. 1s22s22p63s23p63d14s2 +Câu 17: Cấu trúc electron nào sau đây là của ion Cu+. +A. 1s22s22p63s23p63d94s1. B. 1s22s22p63s23p63d10. +C. 1s22s22p63s23p63d9. D. 1s22s22p63s23p63d104s1 +Câu 18: Cu2+ có cấu hì nh electron là: +A. 1s22s22p63s23p63d94s2 B. 1s22s22p63s23p63d104s1 +C. 1s22s22p63s23p63d9 D. 1s22s22p63s23p63d8 +Câu 19: Dãy gồm nguyên tử X, các ion Y2+ và Z- đều có cấu hình electron : 1s22s22p63s23p6 là: +A. Ne, Mg2+, F- B. Ar, Mg2+, F- C. Ne, Ca2+, Cl- D. Ar,Ca2+, Cl- +Câu 20: Cation R+ có cấu hình electron ở phân lớp ngoài cùng là 2p6. Vậy cấu hình electron của +nguyên tử R là +A.1s22s22p5 B.1s22s22p63s2 C.1s22s22p63s23p1 D.1s22s22p63s1 +Câu 21: Ion M3+ có cấu hình electron phân lớp ngoài cùng là 3d5. Vậy cấu hình electron của M là +A. 1s22s22p63s23p64s23d8 B. 1s22s22p63s23p63d64s2 +C. 1s22s22p63s23p63d8 D. 1s22s22p63s23p63d54s24p1 +Câu 22: Cấu hình e của ion Mn2+ là : 1s22s22p63s23p63d5. Cấu hình e của Mn là : +A.1s22s22p63s23p63d7 C. 1s22s22p63s23p63d54s2 +B. 1s22s22p63s23p64s24p5 D. 1s22s22p63s23p63d34s24p2 +Câu 23: Cấu trúc electron các nguyên t ố cho dư ới đây +(1). 1s22s22p63s23p4. (4). 1s22s22p63s23p63d54s1. +(2). 1s22s22p63s23p63d24s2. (5). 1s22s22p63s23p3. +(3). 1s22s22p63s23p63d104s24p3. (6). 1s22s22p63s23p64s2. +Các cấu hình của nguyên t ố phi kim l à:………………………………. +A. 1 B.2 C.3 D.4 +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Câu 24: Cho các cấu hình electron sau: +1. 1s22s1. 2. 1s22s22p63s23p64s1. 3. 1s22s22p63s23p1 +4. 1s22s22p4. 5.1s22s22p63s23p63d44s2 6. 1s22s22p63s23p63d54s2 +7. 1s22s22p63s23p5. 8. 1s22s22p63s23p63d104s24p5 9. 1s22s22p63s23p2 +10. 1s22s22p63s1. 11. 1s22s22p3. 12. 1s2. +Các cấu hình của nguyên t ố kim lo ại là:………………………………. +Câu 25 Dãy gồm các ion X+, Y- và nguyên tử Z đều có cấu hình electron 1s22s22p6 là: +A. Na+, Cl-, Ar. B. Li+, F-, Ne. C. Na+, F-, Ne. D. K+, Cl-, Ar. +Câu 26 . Cho các nguyên t ố với số hiệu nguyên t ử sau: X (Z = 1); Y (Z = 7); E (Z = 12); T (Z = +19). Các nguyên t ố kim lo ại là: +Câu 27 . Nguyên tử X có 7 electron p. Cho c ác phát biểu sau +(1) X c ó 3 electron đ ộc thân (2) X là nguyên t ố nhóm p +(3) X là một kim lo ại (4) X c ó hợp chất với oxi l à X2O3 +(5) Tr ong nguyên t ử của X c ó số p bằng số notrơn +Các phát biểu đúng:………………………… +Câu 28 : Cho các nguyên tử X (Z=24) . Cho c ác phát biểu sau +(1) Nguyên t ử X có 6 electron đ ộc thân (2) Nguyên t ử X là nguyên t ố nhóm B +(3) Ion X3+ có electron cu ối cùng ở phân l ớp d. (4) X thu ộc chu k ì 4 nhóm IV B +(5) Nguyên t ử X có hợp chất với oxit cao nh ất là XO 3 +Câu 29 : Cho nguyên tố X có tổng số hạt trong p là 15. Cho các phát biểu sau +(1). X là một phi kim (2) X thuộc chu kì 3 +(3) Tổng số e của lớp ngoài cùng là 5e (4) Trong nguyên tử X có 33 electron ở lớp vỏ +(5) X có 3 electron độc thân +Các phát biểu đúng là:……………………….. +Câu 30: R là nguyên tố mà nguyên tử có phân lớp electron ngoà i cùng là np2n+1 (n là số thứ tự +của lớp electron). Trong số các nhận xét sau đây về R: +(1) Tổng số hạt mang điện của nguyên tử R là 18. (2) R là kim loại +(3) Số electron độc thân trong nguyên tử R là 3. (4) R có hóa trị I +(5) Trạng thái tự nhiên của R là R 2 tồn tại ở dạng khí. +Các phát biểu đúng là:……………………….. +TỰ LUẬN +Câu 31. Viết cấu hình electron của nguyên tử Na (Z = 11)? V ẽ sơ đồ sắp xếp electron v ào các +orbital ? Xác định ví trí của Na trong b ảng HTTH? +Câu 32: Anion X- và cation Y2+ đều có cấu hình electron lớp ngoài cùng là 3s23p6. Xác +định vị trí của các nguyên tố trong bảng t uần hoàn các nguyên tố hóa học ? Viết công th ức hợp +chất giữa X v à Y? +Câu 33: Cấu hình electron của ion X2+ là 1s22s22p63s23p63d6. Xác định ví trí của nguyên t ố X +trong b ảng hệ thống tu ần hoàn.? +Câu 34: Một ion M3+ có tổng số hạt proton, neutron , electron là 79, trong đó số hạt mang điện +nhiều hơn số hạt không mang điện là 19. ? Xác định nguyên t ố M và ví trí của M trong b ảng +Câu 35: Nguyên tử của nguyên tố X có tổng số hạt proton, neutron , electron là 52. Trong hạt +nhân nguyên tử X có số hạt không mang đ iện nh iều hơn số hạt mang điện là 1.? X ác định vị trí +của X trong b ảng hệ thống tu ần hoàn, công th ức của oxit cao nh ất của X? +Câu 36 . Cho bi ết Cu ( Z=29) v à Cr (Z=24). Vi ết cấu hình electron của ion Cu2+, Cu+ và Cr2+, +Cr3+ ? Cho bi ết vị trí của Cu v à Cr trong b ảng HTTH? +Câu 37 Nguyên tử R tạo được cation R+. Cấu hình electron ở phân lớp ngoài cùng của R+ (ở +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +trạng thái cơ bản) là 2p6. Hãy xác định nguyên t ố R và vẽ mô h ình orbital e của R? +Câu 38: Ở trạng thái cơ bản, nguyên tử của nguyên tố X có 4 electr on ở lớp L. Viết cấu +hình electron c ủa X và chỉ rõ số electron đ ộc thân c ủa X? +Câu 39: Tổng số hạt trong ion M3+ là 37. Trong ion M3+ số hạt mang đi ện nhi ều hơn s ố hạt mang +điện là 9 hạt. Xác định nguyên t ố M và vị trí của M trong b ảng HTTH +Câu 40 : Cho nguyên tố X có tổng số e ở các phân lớp s trong cấu hình electron là 7. Có bao +nhiêu nguy ện tử nguyên t ố X thỏa mãn ? +Nâng cao +Câu 41. Một hợp chất c ấu tạo từ cation M+ và anion X2-. Trong phân tử M2X co tổng số +hạt p, n, e la 140. Trong đó số hạt mang điện nhi ều hơn số h ạt không mang điện la 44 hạt. S ố +khối của ion M+ lớn hơn số khối cua ion X2- là 23. Tổng số hạt trong ion M+ nhiều hơn trong +ion X2-là 31. +a)Viết c ấu hình electron c ác ion M+ va X2-. +b)Xác định vị trí của M và X trong bảng tu ần tuần hoàn. +Câu 42. Hợp ch ất A đươc tạo thành từ cati on X+ va anion Y -. Phân t ử A chứa 9 nguyên tử, gồm +3 nguyên tố phi kim. Ty lệ số nguyên t ử của mỗi nguyên tố là 2:3:4. T ổng số proton trong A là +42 va trong ion Y - chứa 2 nguyên tố cùng chu kỳ, thuộc hai phân nhón chính liên tiếp. +Xác định công thức h oá học va gọi tên A. +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUY ẾT +ĐỊNH LUẬT TU ẦN HO ÀN +Định luật tuần hoàn được hình thành dựa trên những quan sát của các nhà khoa học vào thế +kỷ 19. Năm 1869, Dmitri Mendeleev đã làm rõ các xu hướng trong tính chất của nguyên tố v à +đề xuất Định luật tuần hoàn . Bảng tuần hoàn khi đó được sắp xếp các nguyên tố để phản ánh +định luật này, dù lúc bấy giờ các nhà khoa học chưa có lời giải thích vì sao tính chất lại tuân theo +một quy luật. +Khi cấu trúc electron của nguyên tử được khám phá và hiểu r õ, nguyên nhân của sự lặp lại +tính chất theo chu kỳ được xác định là do sự sắp xếp và ho ạt động của các lớp electron. +Định luật tuần hoàn phát biểu rằng: Tính chất vật lý và hóa học của các nguyên tố lặp lại +một cách có hệ thống và dự đoán được khi các nguyê n tố được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của +số hiệu nguyên tử. +Nhiều tính chất xuất hiện lặp lại theo những khoảng nhất định. Khi các nguyên tố được sắp +xếp đúng, xu hướng trong tính chất của chúng trở nên rõ ràng và có thể dùng để dự đoán về các +nguyên tố chưa biết hoặc ít quen thuộc, chỉ dựa vào vị trí của chúng trên bảng. +Định luật tuần hoàn được xem là một trong những khái niệm quan trọng nhất của hóa học. +Mọi nhà hóa học, dù ý thức hay không, đều vận dụng định luật này khi nghiên cứu các nguyên +tố, tính chất và phản ứng hóa học của chúng. Định luật tuần hoàn đã dẫn đến sự ra đời của bảng +tuần hoàn hiện đại . +B. Bảng hệ thống tuần hoàn: +Khái niệm: Bảng hệ thống tuần hoàn là bảng gồm các ô vuông được sắp xếp một cách có trật +tự theo các hàng các cột. +Các ô nguyên tố được sắp xếp theo chiều tă ng dần của điện tích hạt nhân từ trái qua phải, từ +trên xuống dưới. +Các ô vuông được gọi là ô nguyên tố: +Trong ô nguyên tố thể hiện các thông tin cần thiết về một nguyên tố gồm : Kí hiệu hóa học, +tên nguyên tố, khối lượng nguyên tử, cấu hình electron, số thứ tư ( điện tích hạt nhân Z)……. TRUNG TÂM BỒI DƯ ỠNG LUYỆN THI +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 +Lớp : 10 Hóa CHUYÊN ĐỀ BẢNG HTTH +CÁC NGUYÊN T Ố +Module 5: B ảng hệ thống tuần hoàn các +nguyên t ố +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +*Chu kỳ: Các nguyên tố có cùng số lớp electron được xếp vào trong cùng một chu kỳ. ( nên số +lớp e của một nguyên tố là số chu kỳ của nguyên tố đó) . +Các nguyên tố trong một chu kỳ được nằm trên một hàng ngang +*Nhóm: Các nguyên tố có electron hóa trị như nhau thi được xếp vào cùng một nhóm ( do đó +số e hóa trị quyết định số nhó m ( đọc lại chuyên đề 1 buổi 3 ). +Các nguyên tố trong cùng một nhóm được đặt vào cùng một cột. +Bảng hệ thống tuần hoàn còn có hai hàng nằm ở ngoài đó là hai họ nguyên tộ nhóm f ( phân lớp +f) gồm hai h ọ Lantan ( 4f) và họ Actini ( 5f) +2. Các đại lượng vật lý +2.1. Độ âm điện: χ +a/ Khái ni ệm: Độ âm điện là đại lượng đặc trưng cho khả năng của nguyên tử một nguyên tố +hút electron về phía mình khi tạo liên kết với nguyên tử của nguyên tố khác. +Nguyên tố có độ âm điện càng lớn thì càng hút electron mạnh. +Qui ước: nguyên tố có độ âm điện lớn nhất là Flo rine χ=4,0 +2.2. Bán kính nguyên t ử: Là kho ảng cách t ừ tâm h ạt nhân đ ến electron ở lớp ngoài cùng +2.3. Năng lư ợng ion hóa thứ nhất I1: Là năng lư ợng tối thiểu cần thi ết để tách 1 electron ra +khỏi nguyên t ử trung h òa. +Năng lư ợng ion hóa càng l ớn thì càng khó t ách electron vì ph ải cung c ấp nhi ều năng lư ợng m ới +tách e được +Vấn đề 1: Trong m ột chu k ỳ theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhân thì các đại lượng: bán kính +nguyên t ử, độ âm đi ện, năng lư ợng ion hóa của các nguyên t ử xu hư ớng bi ến đổi thế nào? +Vấn đề 2: Trong m ột nhóm t ừ trên xu ống dư ới theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhân thì c ác đại +lượng: bán kính nguyên t ử, độ âm đi ện, năng lư ợng ion hóa c ủa các nguyên t ử xu hư ớng bi ến đổi +thế nào? +KẾT LU ẬN +Trong m ột chu k ỳ theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhân kh ả năng cho electron c ủa nguyên t ử +giảm dần và kh ả năng nh ận e tăng d ần. +-Trong m ột nhóm theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhận khả năng cho e tăng d ần và kh ả năng +nhận e gi ảm dần. +A. TR ẮC NGHI ỆM +Câu 1 . Chu kì là: +A. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều khối +lượng nguyên tử tăng dần. +B. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều số +khối tăng dần. +C. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều điện +tích hạt nhân nguyên tử tăng dần. +D. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều số +neutron tăng dần. +Câu 2 . Nhóm nguyên t ố là +A. Tập hợp các nguyên tố mà nguyên tử có cấu hình electron giống nhau, được xếp ở cùng m ột +B. Tập hợp các nguyên tố mà nguyên tử có cấu hình electron gần giống nhau, do đó có tính chất +hoá học giống nhau và được xếp thành m ột cột. +C. Tập hợp các nguyên tố mà nguyên tử có cấu hình electron tương tự nhau, do đó có tính chất +hoá học gần giống nhau và được xếp thành m ột cột. +D. Tập hợp các nguyên tố m à nguyên tử có tính chất hoá học giống nhau và được xếp c ùng m ột +Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà +Điện thoại: 0976.933.130 +TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 +Câu 3 . Cho cấu hình elect ron của Zn [Ar] 3d104s2. Vị trí của Zn trong bảng tuần hoàn l à +A. Ô 29, chu kỳ 4, nhóm IIA C. Ô 30, chu kỳ 4, nhóm IIA +B. Ô 30, chu kỳ 4, nhóm IIB. D. Ô 31, chu kỳ 4, nhóm IIB. +Câu 4 : Oxide cao nhất của một nguyên tố R chứa 38,8% nguyên tố đ ó, còn trong hợp chất khí +với hydrogen chứa 2,74% hydrogen . Xác định nguyên tố R. +A. Cl B. Br C.Ba D. Al +Câu 5 . Hợp chất của R với hydrogen ở thể khí có dạng RH 4. Oxide cao nhất của nguyên tố R có +53,3% oxygen về khối lượn g. Nguyên tố R có số khối là: +A. 12. B. 28. C. 32. D. 31. +Câu 6 . Nguyên t ố X có hóa trị cao nh ất với oxygen bằng h óa trị trong h ợp ch ất khí với +hydrogen . Phân t ử khối của oxide này bằng 2,75 l ần phân t ử khối của hợp chất khí với hydrogen . +X là nguyên t ố: +A. C. B.Si. C. Ge. D. S. +Câu 7 . Nguyên t ố X có công th ức oxide cao nh ất là XO 2., trong đ ó tỉ lệ khối lượng của X v à O là +3/8. Công th ức của XO2 là +A. CO 2. B. NO 2. C. SO 2. D. SiO 2. +Câu 8 . Ở trạng thái cơ bản, cấu hình electron lớp ngoài cùng của nguyên tử nguyên tố X là +3s23p1. Vị trí (chu kì, nhóm) của X trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học là +A. Chu kì 3, nhóm IIIB. B. Chu kì 3, nhóm IA . +C. Chu kì 4, nhóm IB. D. Chu kì 3, nhóm IIIA. +Câu 9 . Nguyên tử X có phân lớp electron ngoài cùng là 3p4. Phát biểu sau đây đ úng hay sai +(3). Trong bảng tuần hoàn X l à kim lo ại ở chu k ì 3........ +(4). Nguyên t ố X thu ộc chu k ì IVA +Câu 10 . Một nguyên tố R có cấu hình electron: 1s22s22p63s23p4, công thức hợp chất của R với +hydrogen và công thức oxide cao nhất là: +A. RH 2, RO. B. RH 2, RO 3. C. RH 2, RO 2. D. RH5, R2O5. +Câu 1 1. Cho c ác nguyên t ố: Li, F, C, O , Na. C ác nguyên t ố được sắp xếp theo chi ều tăng d ần độ +Câu 1 2. Hai nguyên tố X và Y ở cùng 1 chu kì trong bảng tuần hoàn, có thể kết hợp để t ạo ion +dạng XY 3 2-, tổng số e trong ion này là 32. Phát biểu sau đ úng hay sai? +Câu 1 3. Dãy nguyên tố nào sau đây có tính chất tương tự nhau : +A. 11X, 19Y, 29Z B. 7X, 15Y, 33Z C. 17X, 25Y, 35Z D. 2X, 12Y, 20Z +Câu 1 4. Cho các nguyên tố X, Y, Z với số hiệu nguyên tử lần lượt là 11, 29, 37. Phát biểu nào +sau đây đúng +A. Các nguyên tố này đều là kim loại nhóm IA +B. Các nguyên tố này không cùng thuộc 1 chu k ì +C. Thứ tự tính kim loại tăng dần: X + + + +Algebra +Eigenvalues and Eigenvectors +FDA - Data Science Class 66 A-B +Instructors: Nguyen Trung Thanh & Dam Tien Thanh +Exercise +1. Let +1 3 3 +0 0 3 +,C= +0 0 1 +1 0 0 +Compute A10,B10,C10? +2. Prove that any two diagonal matrices with the same diagonal entries (possibly in a different +order) are similar to each other. +3. Suppose that matrices AandBare similar to each other, namely, there exists Psuch that +A=P−1BP. Prove: if xis an eigenvector of Aunder eigenvalue λ, then Pxis an eigenvector +ofBunder eigenvalue λ. +4. Prove that if Ais diagonalizable then AT,Am,m∈Z>0, and A−1are diagonalizable. +5. Prove that if A∼Bthen A2∼B2. Is the converse also true? +6. Let Abe an n ×n square matrix. Prove: AandAThave exactly the same eigenvalues. +7. Let Abe an n×nsquare matrix. Prove: A−1exists if and only if 0 is not an eigenvalue of A. +8. Let Abe an n×nsquare matrix such that A−1exists. Prove: if λis an eigenvalue of A, then +1/λis an eigenvalue of A−1. +9. Prove: if A2=I, then the eigenvalues of Amust be 1or−1. +10. Suppose that λ1andλ2are two distinct eigenvalues of matrix A. Furthermore, suppose +that x1is an eigenvector of Aunder λ1, and that x2is an eigenvector of Aunder λ2. Prove: +there does not exist any real number csuch that cx1=x2. +11. Prove or disprove: if an n×nmatrix Ahas rank n, then it must have nindependent eigen- +vectors. +12. Suppose that λ1andλ2are two distinct eigenvalues of matrix A. Furthermore, suppose +that x1is an eigenvector of Aunder λ1, and that x2is an eigenvector of Aunder λ2. Prove: +x1+x2is not an eigenvector of A. +13. Let +Show that +(a)Ais diagonalizable if (a−d)2+4bc > 0 +(b)Ais diagonalizable if (a−d)2+4bc < 0 +14. Prove that if Ais a diagonalizable matrix, then the rank of Ais the number of nonzero +eigenvalues of A. +Instructors: Nguyen Trung Thanh & Dam Tien Thanh FDA - Data Science Class 66 A-B +15. Prove that similar matrices have the same rank. +16. Prove that if cA(λ)is the characteristic polynomial of a matrix A, then cA(A) =0. +17. Prove that if a,b,c, and dare integers such that a+b=c+d, then +has integer eigenvalues λ1=a+bandλ2=c+d. +18. Consider the matrix +1 0 0 0 +a1 0 0 +e b 2 0 +f g c 2 +Under which conditions on the unknowns is the matrix Adiagonalizable? +19. A three by three matrix Bis known to have eigenvalues 0, 1 and 2. Give answer to the +following question. +a) The rank of B +b) The determinant of BTB +c) The eigenvalues of BTB +d) The eigenvalues of (B2+I)−1 +20. Let a,b∈Rand +a b b +b b a +Compute Anfor all n⩾1. +21. Let +0 1 1 +−1 2 0 +1 0 0 +and +1−4−4 +0 0 1 +a) Compute A−1. +b) Compute det(2A2B),det(4A+B),det(2(A3B−2)). +22. Given that the characteristic polynomial of a 3×3matrix Aisλ3+2λ2+4λ+8. Compute +23. Assume the 2×2matrix Ais similar to an upper triangular matrix. If trace (A) = 0= +trace (A2), show that A2=0. +FDA - Data Science Class 66 A-B Instructors: Nguyen Trung Thanh & Dam Tien Thanh +True-False Questions +1. IfAandBare similar invertible matrices, then A−1andB−1are similar. +2. IfAis diagonalizable, then there is a unique matrix Psuch that P−1APis diagonal. +3. IfAis invertible then Ais diagonalizable +4. IfAis diagonalizable and invertible, then A−1is diagonalizable. +5. Ifλis an eigenvalue of a matrix A, then the linear system (A−λ)x=0has only the trivial +solution. +6. If the characteristic polynomial of a matrix Aisλ2+1, then Ais invertible. +7. If 0 is an eigenvalue of a matrix A, then A2is singular. +8. The eigenvalues of a matrix Aare the same as the eigenvalues of the reduced row echelon +form of A. +9. If 0is an eigenvalue of a matrix A, then the set of columns of Ais linearly independent. +10. If λis an eigenvalue of A, and sis a scalar, then λ−sis an eigenvalue of A−sI. +11. If λis an eigenvalue of A, and sis a scalar, then sλis an eigenvalue of sA. +12. Show that every matrix A∈Rn×n, where nis odd, always has at least one eigenvalue. +13. If λis an eigenvalue of A, then λris an eigenvalue of Ar, forr∈Z>0. +14. If Ar=0for some integer r∈Z>0, then all of A’s eigenvalues are 0. Does the converse +15. If Ais invertible, show that ABis similar to BAfor all B. +16. If A∼BandA2=Athen B2=B +17. If A∼BandAis invertible then so is B +18. Let Adenote an upper triangular matrix. Then +a) If all the main diagonal entries of Aare distinct, show that A is diagonalizable +b) If all the main diagonal entries of Aare equal, show that Ais diagonalizable only if it is +already diagonal. +19. Two diagonalizable matrices are similar if and only if they have the same eigenvalues +20. Let A be n×nwith ndistinct real eigenvalues. If AC =CA, show that Cis diagonalizable + + + + +KIẾN THỨC BỔ TRỢ +Số nguyên t ố là số tự nhiên l ớn hơn 1, ch ỉ có hai ư ớc là 1 và chính nó. +Hợp số là số tự nhiên l ớn hơn 1, có nhi ều hơn hai ư ớc. +Số chính phương +Số chính phương là s ố tự nhiên có căn b ậc hai là +một số tự nhiên Bội và ư ớc +Nếu a chia h ết cho b, ta nói b là ư ớc của a và a là b ội +của b. +Tìm b ội của a: Nhân a với 1,2,3… Kết quả nhân là b ội +Tìm ư ớc của a: Chia a cho 1,2,3… Số nào chia h ết là + + + + +Trong trò chơi vòng quay s ố, tính xác su ất của biến cố: +a) "Mũi tên ch ỉ vào hình qu ạt ghi s ố chia cho 4 dư 3 " +b) "M ữi tên ch ỉ vào hinh qu ạt ghi s ố chỉ có đúng m ột ước nguyên t ố". +Nhân d ịp Tết cổ truyền, lớp 8B t ổ chức trò chơi “Vòng quay may m ắn”, trong đó +chiếc đĩa hình tròn đư ợc chia thành 11 ph ần bằng nhau và ghi các s ố 10, 20, 30, 40, +50, 60, 70, 80, 90, 100, 200; chi ếc kim đư ợc gắn cố định vào tr ục quay ở tâm c ủa +đĩa. Quay đĩa tròn m ột lần: +a) Vi ết tập hợp B g ồm các k ết quả có th ể xảy ra đ ối với số ghi ở hình qu ạt mà chi ếc +kim ch ỉ vào khi đĩa d ừng lại. +b) Tính xác su ất của mỗi biến cố sau: +‒ “Chi ếc kim ch ỉ vào hình qu ạt ghi s ố chia h ết cho c ả 5 và 14”; +‒ “Chi ếc kim ch ỉ vào hình qu ạt ghi s ố có th ể phân tích thành t ổng của hai s ố khác nhau đã đư ợc ghi vào hình +quạt, đồng th ời có m ột số lớn hơn 75”. +Một hộp có ch ứa 10 qu ả cầu màu xanh đư ợc đánh s ố từ 1 đến 10 và 5 qu ả cầu màu đ ỏ được đánh s ố từ 11 đến +15 . L ấy ngẫu nhiên m ột quả trong h ộp. Tìm s ố phần tử của tập hợp E g ồm các k ết quả có th ể xảy ra đ ối với quả +cầu được chọn ra. Sau đó, tính xác su ất của mỗi biến cố sau: +a) “Qu ả cầu được chọn ra màu xanh”; +b) “Qu ả cầu được chọn ra ghi s ố chẵn”; +c) “Qu ả cầu được chọn ra màu đ ỏ và ghi s ố chẵn”; +d) “Qu ả cầu được chọn ra màu xanh ho ặc ghi s ố lẻ”. +Viết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên có hai ch ữ số lớn hơn 60 và nh ỏ hơn 80. Tính xác xu ất của mỗi biến cố sau: +a) “S ố tự nhiên đư ợc viết ra có ch ữ số hàng ch ục lớn hơn ch ữ số hàng đơn v ị”; +b) “S ố tự nhiên đư ợc viết ra có ch ữ số hàng ch ục gấp hai l ần chữ số hàng đơn v ị” +Viết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên có hai ch ữ số. +a) Tìm s ố phần tử của tập hợp D gồm các k ết quả có th ể xảy ra đ ối vơ̂i số tự nhiên đư ợc viết ra. +b) Tính xác su ất của biến cố "Số tự nhiên đư ợc viết ra là b ội của 9 ". +c) Tính xác su ất của biến cố “Số tự nhiên đư ợc viết ra là s ố chia cho 9 dư 1” +Viết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên có ba ch ữ số. +a) Có bao nhiêu cách vi ết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên như v ậy? +b) Tỉnh xác su ất của mỗi biến cố sau: +- "Số tự nhiên đư ợc viết ra là l ập phương c ủa một số tự nhiên"; +- "Số tự nhiên đư ợc viết ra là s ố chia h ết cho 10 " +Cho t ập hợp +{ 1;2}A= và +{3;4;5B= ; +8}. Lập ra t ất cả các s ố có hai ch ữ số +ab, trong đó +aA và +a) Có th ể lập được bao nhiêu s ố +ab như v ậy? +b) Tính xác su ất của biến cố "Số tự nhiên l ập được là s ố chia h ết cho 9"; +c) Tính xác su ất của biến cố "Số tự nhiên l ập được là s ố lớn hơn 14". + + + + +TÍCH PHÂN TOÁN 12 LÊ BÁ B ẢO +TRƯ ỜNG THPT Đ ẶNG HUY TR Ứ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HU Ế +Chủ đề + LUYỆN THI THPT QU ỐC GIA + CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Chủ đề 2: +TÍCH PHÂN +I. LÝ THUY ẾT +1. Khái ni ệm tích phân +a. Diện tích hình thang cong +Hình ph ẳng giới hnaj bởi đồ thị + y f x , trục hoành và hai đư ờng thẳng + ,, x a x b a b   +trong đó +fx là hàm li ên tục không âm trên đo ạn +;,ab gọi là một hình thang cong. +Định lí 1 +Nếu hàm số +fx liên tục và không âm trên đo ạn +;,ab thì diện tích +S của hình thang cong +giới hạn bởi đồ thị +, y f x trục hoành và hai đư ờng thẳng +, x a x b là + S F b F a , +trong đó +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên đoạn +;.ab +b. Định nghĩa tích phân +fx là hàm số liên tục trên đo ạn +;.ab Nếu +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +trên đoạn +;ab thì hiệu số + F b F a được gọi là tích phân từ +b của hàm số +, fx kí +hiệu là +af x x +a) Hiệu + F b F a thường được kí hiệu là +Như vậy: + db +af x x F b F a +b) Ta gọi +alà dấu tích phân, +a là cận dưới, +b là cận trên, +d f x x là biểu thức dưới dấu tích +phân và +fx là hàm số dưới dấu tích phân. +c) Trong trư ờng hợp +ab hoặc +, ab ta quy ước: +d 0a +af x x ; + ddba +abf x x f x x . +Ý nghĩa hình h ọc của tích ph ân +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 +Nếu hàm số +fx liên tục và không âm trên đo ạn +;,ab thì tích phân +af x x là diện tích +của hình thang cong gi ới hạn bởi đồ thị +, y f x trục hoành và hai đư ờng thẳng +,. x a x b +aS f x x . +2. Tính ch ất của tích phân + , f x g x là các hàm s ố liên tục trên đo ạn +;.ab Khi đó, ta có: + + + +dd +d d d1) , +4) ,bb +a a ckf x x k f x x k +f x g x x f x x g x x +f x g x x f x x g x x +f x x f x x f x x a c b +   +   +    +II. BÀI TẬP TRẮC NGHI ỆM +Câu 1: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +;ab và số thực +k tùy ý. M ệnh đề nào dưới đây + dd .bb +aakf x x k f x x B. +  dd .bb +aakf x x k f x x +  d d d ..b b b +a a akf x x k x f x x   D. + dd .bb +aakf x x f kx x +Câu 2: Xét +fx là một hàm số tùy ý, +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên đoạn +;.ab +Mệnh đề nào dưới đây đúng? + d .b +af x x F b F a B. + d .b +af x x F a F b + d .b +af x x F a F b D. + d .b +af x x F a F b  +Câu 3: Gọi + , F x G x lần lượt là nguyên hàm c ủa hai hàm s ố + , f x g x trên đoạn +;ab , +hằng số khác +0. Trong các đ ẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. + b +af x dx F a F b . B. +ba +abf x dx f x dx . + .b +ak f x dx k F b F a . D. +   b c c +a b af x dx f x dx f x dx . +Câu 4: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +;ab và số thực +k tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai? + dd .bb +aakf x x k f x x B. +d 0.a +af x x + dd .ba +abf x x f x x D. + dd2 +aaf x x f x x +Câu 5: Biết +12. f x x Khi đó, +12f x x bằng +2. B. +4. C. +4. D. +Câu 6: Biết + 8 4 4 +1 1 1d 2; d 3; d 7 f x x f x x g x x     . Đẳng thức nào sau đây sai? +14 2 d 2f x g x x  . B. +4d1 f x x . +4d5 f x x . D. +1d 10 f x g x x . +Câu 7: Biết +12 f x x và +16. g x x Khi đó, +d2 +1f x g x x bằng +4. B. +8. C. +4. D. +Câu 8: Cho hàm s ố +fx có đạo hàm trên đo ạn +1; 2 , +11f và +22f . Giá trị +1f x x bằng +1I . B. +1I . C. +3I . D. +Câu 9: Cho hàm s ố +fx có đạo hàm trên đo ạn +1; 2 , +11f và +15. f x x Giá trị +2f bằng +6. B. +4. C. +3. D. +Câu 10: Giả sử +f là hàm s ố liên tục trên kho ảng +,,abc là các số bất kỳ trên kho ảng +K . Khẳng +định nào sau đây sai? + ddbb +aaf x x f t t . B. + d d dc b b +a c af x x f x x f x x   . +af x x . D. + ddba +abf x x f x x . +Câu 11: Cho +1d2 f x x + và +1d1 g x x + . Tính +12 3 d I x f x g x x +   . +5.2I B. +7.2I C. +17.2I D. +11.2I +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 12: Cho +11d2f x x , +33d4f x x . Kết quả +43 +12dd f x x f x x bằng +8 . B. +4 . C. +8 . D. +Câu 13: Cho hàm số +fx liên tục trên +Fx là một nguyên hàm của hàm số +fx trên +thỏa mãn + 2 0 10FF . Khi đó +03 df x x bằng +Câu 14: Biết +2F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên +. Giá trị của +12df x x bằng +5 . B. +3 . C. +Câu 15: Biết +3()F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số +()fx trên +. Giá trị của +1(1 ( ) d)xx f bằng +A. 20. B. 22. C. 26. D. 28. +Câu 16: Biết +4F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên +. Giá trị của +16dx f x x +5 . B. +24 . C. +5 . D. +Câu 17: Cho hàm s ố +fx liên tục trên đo ạn +0;10 và +07 f x x ; +23 f x x . Giá trị + dd2 10 +06P f x x f x x +4. B. +10. C. +7. D. +Câu 18: Cho hàm s ố +fx liên tục trên đo ạn +0;9 thỏa mãn + 97 +04d 8, d 3.f x x f x x Khi đó giá +trị của +49 +07ddP f x x f x x là +20P . B. +9P . C. +5P . D. +11P . +Câu 19: Cho +0( )d 5f x x và +0( )d 3f x x , khi đó +2( )df x x bằng +8 . B. +15. C. +8 . D. +Câu 20: Cho +21, f x x +d2022 +24. f t t + Tính +d2022 +2f y y . +5 . B. +15. C. +3 . D. +Câu 21: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +0;3 . Nếu +0( )d 2f x x thì +03 ( ) dx f x x bằng +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +3. B. 3. C. +Câu 22: Cho + 24 +1313d , d24f x x f x x . Khi đó +43 +12dd f x x f x x bằng +8 . B. +4 . C. +8 . D. +Câu 23: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +và có một nguyên hàm là +Fx . Biết +18F , giá trị +được tính bằng công th ức nào dư ới đây? + 99Ff . B. + 9 8 1Ff  . +19 8 dF f x x . D. +19 8 dF f x x . +Câu 24: Mệnh đề nào dưới đây đúng? +xxdxee . B. +xdx ee . C. +xdx ee . D. +xxdxee . +Câu 25: Cho tích phân +11d,x x xIxx khẳng định nào dưới đây đún g? +112. I x xx   B. +11. I x xx   +112. I x xx   D. +11. I x xx   +Câu 26: Biết +12d 2ln x x a bx   , với +. Tổng +ab bằng +3 . B. +5 . C. +Câu 27: Tích phân +x bằng +16.225 B. +5log .3 C. +5ln .3 D. +Câu 28: Tính +02d.21Ixx +1ln 52I . B. +ln 5I . C. +4ln 5I . D. +2ln 5I . +Câu 29: Giá trị của +0dxx bằng +2019 . B. +2020 . C. +2019 . D. +2020 . +Câu 30: Cho +2d f x x x x C   ; +43d g x x x x C   . Khi đó , +0d f x g x x bằng +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +10 . B. +105 . C. +4 . D. +Câu 31: Cho hàm s ố +21 f x x . Gọi +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm s ố +fx . Biết rằng + 2 0 5FF +. Giá trị của biểu thức + 32 P F F   bằng +4 . B. +2 . D. +Câu 32: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +và có một nguyên hàm là +Fx . Nếu +026d f x x thì giá + 02FF bằng +12 . B. +3 . C. +12 . D. +Câu 33: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +thỏa mãn + 3 2 , f x f x x   +Fx là nguyên +hàm của +fx trên +thỏa mãn +43F và + 2 4 8 0.FF Khi đó +2df x x bằng +15. B. +15. C. +75. D. +Câu 34: Cho hàm số + y f x là hàm số liên tục trên +thỏa mãn +  dd12 +00. 1. f x f x x x f x x               +Giá trị của +d2023 +2022f x x bằng +5 . B. +5 . C. +5 . D. +Câu 35: Có bao nhiêu s ố thực +b thuộc khoảng +;3 sao cho +4cos 2 d 1b +Câu 36: Biết +04sin 3, ; . x x a b a b +   +1.3 B. +2.7 C. +3.4 D. +Câu 37: Cho +0cos 2 d , +bxxac với +c tối giản. Tính +P a b c   . +23P . B. +24P . C. +25P . D. +15P . +Câu 38: Gọi là các số nguyên sao cho +02 d , ; .xe x ae be a b   +Giá trị của +22ab bằng +3 . B. +4 . D. +Câu 39: Biết +03 2 1 d 6m +x x x   , giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? +1;2 . B. +;0 . C. +0;4 . D. +3;1 . +Câu 40: Nếu các số hữu tỉ +,ab thỏa mãn +0e d e 2xa b x   thì giá tr ị của biểu thức +ab bằng +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +4 . B. +6 . C. +5 . D. +Câu 41: Có bao nhiêu s ố thực +04 3 2 1 d 0ax a x x x    ? +2 . B. +0 . C. +Câu 42: Biết có hai giá tr ị của số thực +12 0aa ) thỏa mãn +12 3 d 0a +xx . Tính +13 3 logaa aTa    +26T . B. +12T . C. +13T . D. +28T . +Câu 43: Cho +8 17 6x +x x m với hằng số +6m . Khẳng định nào sau đây đúng? +12 20 m . B. +9 12m . C. +20m . D. +69m . +Câu 44: Tích phân +  Ix +xx bằng + 84 3 3 23 . B. + 44 3 3 23 . C. + 84 2 2 3 33 . D. + 44 3 3 2 23 . +Câu 45: Biết +1  �� +xa b c +xx với +c là các số hữu tỷ. Tính +P a b c   . +5P . B. +3P . C. +2P . D. +Câu 46: Biết +( 1) 1xa b c +x x x x   +   với +c Tính +abPc . +10P . B. +46P . C. +18P . D. +12P . +Câu 47: Biết +063ln2 ln5, ; ; .35xx a b c a b cx    +2 3 .a b c +3. B. +5. C. +0. D. +Câu 48: Biết +047ln3 ln5, ; ; .23xx a b c a b cx    +2 2 .a b c +3. B. +1. C. +2. D. +Câu 49: Cho +011d ln 2 ln 3,13  x a bxx với +ab Tính +2. B. +10.9 C. +3.4 D. +Câu 50: Biết +22ln3 ln5, ; ; .2 1xcx a b a b c +x    +. a b c +3. B. +2. C. +4. D. +Câu 51: Biết +021ln2 ln3, ; . +4xx a b a b +x   +3.5 B. +3.8 C. +3.7 D. +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 52: Biết +121ln2 ln3, ; ; . +32xx a b c a b c +xx    +. a b c +3. B. +2. C. +4. D. +Câu 53: Cho +28d ln 2 ln 52xx a bxx với +ab Đẳng thức nào sau đây đúng? +3 ab . B. +5 ab . C. +2 11ab . D. +2 11ab . +Câu 54: Biết +032ln2 ln5, ; ; . +44xx a b c a b c +xx    +5.a b c +1.3 B. +2.7 C. +3.4 D. +Câu 55: Cho tích phân +12d ln 2 ln 31xx a b cx   với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. +36. P B. +0.P C. +18.P D. +18. P +Câu 56: Tính +02 1dx x x +2 . B. +Câu 57: Cho +01d ln , , ,3    +xx cI x b a b cx a a . Tổng +abc bằng +17. B. +15 . C. +13 . D. +Câu 58: Biết +2sin d , +   +x x a b a b . Khi đó , +4ab bằng +8 . C. +10 . D. +Câu 59: Tính tích phân +0max , d I x x x . +4 . B. +4 . C. +4 . D. +Câu 60: Biết +12 2 1d 4 ln 2 ln 5xI x a bx    với +. Tính +S a b . +9S . B. +11S . C. +3 S . D. +Câu 61: Tính tích các giá tr ị của số thực +m để tích phân +02 d 2  I x m x . +6. B. +3. C. +2. D. +Câu 62: Biết +052d ln 3 ln 543xxx a b cxx   , + ,,abc +. Giá trị của +abc bằng +8 . B. +10 . C. +12 . D. +Câu 63: Cho +024d 4ln4 3 +x x axb x với +,ab là các số nguyên dương. Giá tr ị của +ab bằng +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +8 . B. +5 . C. +6 . D. +Câu 64: Cho +4ln2 ln3 +1xx a b c +x   + với +,,a b c là các số hữu tỷ. Giá trị của +abc bằng +6 . B. 3. C. +3 . D. 2. +Câu 65: Cho hàm s ố +21, 1 +2 , 1xxfx +xx . Tích phân +0f x x bằng +2 . B. +3 . C. +3 . D. +Câu 66: Cho hàm s ố +2khi 0 11 +2 1 khi 1 3xy f x x +xx   +   . Tính tích phân +0d f x x . +6 ln 4 . B. +4 ln 4 . C. +6 ln 2 . D. +2 2 ln 2 . +Câu 67: Cho h àm số +fx có đạo hàm trên +sin cos f x x x và +01f . Tính tích phân +I f x x +2I . B. +8I . C. +16I . D. +16I . +Câu 68: Cho hàm s ố +fx có +42f và +221sinfxx , +0;x . Khi đó, +f x x bằng +ln 232 . B. +ln 232 . C. +ln 232    . D. +ln 232 . +Câu 69: Cho hàm s ố +fx . Biết +04f và +22cos 3, . f x x x    +, Khi đó , +0f x x + bằng +8 . B. +8 . C. +8 . D. +8 . +Câu 70: Cho hàm s ố +fx . Biết +04f và +22sin 1, . f x x x    +Khi đó , +0f x x + bằng +16 . B. +216 16 +16 . C. +16 . D. +16 . +Câu 71: Cho hàm s ố +fx có +02f và đạo hàm +1f x x +x   + . Tích phân +0d f x x +3 . B. +3 . C. +3 . D. +Câu 72: Cho hàm s ố +fx có +43f và +2' 16cos 4 .sin ,f x x x x   +. Tính +I f x x +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +3I . B. +27I . C. +3I . D. +Câu 73: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm liên t ục trên +và thỏa mãn + d2 +01 2. f x xf x x    Giá +2f bằng +2. B. +0. C. +2. D. +Câu 74: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm trên + 0; . Biết +2x là một nguyên hàm c ủa +2'x f x trên + 0; +11f . Tính +fe . +2 . B. +21e . D. +Câu 75: Nếu +d1 +05 f x f x x và + d12 +01 36 f x x thì +0f x x bằng: +A. 10. B. 31. C. 5. D. 30. +Câu 76: Cho hàm s ố +0( ) ( )df x x x xf x x . Tính +0( )d .I f x x +35I . B. +35I . C. +35I . D. +368.35I +Câu 77: Cho +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +11 f x x x    trên +và thỏa mãn +13F . +Tính tổng + 02FF +3 . B. +2 . C. +Câu 78: Biết +0d cosx +f t t x x . Tính +2. B. +4. C. +1.4 D. +Câu 79: Cho hàm s ố +()fx xác định, có đ ạo hàm, liên t ục và đồng biến trên +[1; 4] thỏa mãn +[2 32 ( ) ( ) , 1;4], (1)2x xf x f x x f       +. Giá trị +(4)f bằng +18 . B. +18 . C. +18 . D. +Câu 80: Cho hàm s ố + y f x xác định và liên t ục trên +thỏa mãn +12f , +1fxx và +222 1 1 x f x x f x xf x      +\0 x +. Tính +1dI f x x . +32ln 24 I . B. +12ln 24 I . C. +3ln 24 I . D. +1ln 24 I . +Câu 81: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm liên t ục trên + 0; vaf thỏa mãn +0, 0 f x x   và +1 , 0.2fxx f x xx    + 2 1 .ff +9ln .8 B. +19ln .28 C. +4ln .3 D. +14ln .23 +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 82: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +1, 0 0 f x f +và thỏa mãn + 21 2 1. f x x x f x   +Khi đó +0f x x bằng +3 . B. +1 . D. +Câu 83: Cho hàm s ố +() y f x có đạo hàm, nh ận giá tr ị dương trên +(0; ) và thoả mãn +222 ( ) 9 ( )f x x f x +với mọi +(0; ).x  Biết +22,33f tính +4 . B. +3 . C. +12 . D. +Câu 84: Cho hàm số +() y f x có đạo hàm liên t ục trên +và thỏa mãn +2 ( ) ( ) 2 1f x f x x    , +(0) 1f . Giá trị của +0( )df x x bằng +2112e . B. +2112e . C. +2e . D. +Câu 85: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +[0;1] thỏa mãn +34 f x x k với +0( )d k x f x x . Khi đó +0( )df x x +3.2 B. +5.3 C. +2. D. +Câu 86: Cho hàm s ố + ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn +( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá +1( )df x x bằng +233ee . B. +23ee . C. +23e . D. +Câu 87: Cho hàm s ố + ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn +( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá +1()f x dx bằng +233ee . B. +23ee . C. +23e . D. +Câu 88: Cho hàm s ố thỏa mãn +112f và +2, 0;1    fx xf x xx x x . Giá trị của +thuộc khoảng nào dư ới đây? +1;2 . B. +2;3 . C. +3;4 . D. +0;1 . +Câu 89: Cho hàm s ố +()fx liên tục trên + 0; , thỏa mãn +112f và +2 23 ( ) ( ) 2 ( )  xf x x f x f x , +( ) 0fx + 0; . Gọi +,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số +trên đoạn +1;2 . Tổng +Mm bằng +10 . B. +5 . C. +10 . D. +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 90: Cho hàm đa th ức bậc ba +() y f x có đồ thị hàm số +() y f x được cho bởi hình vẽ sau: +Giá trị biểu thức + 32ff bằng +20 . B. +51 . C. +64 . D. +Câu 91: Cho hàm s ố +  32, ; ; ;      +f x ax bx cx d a b c d có hai đi ểm cực trị +0, 2xx và đồ thị +như hình v ẽ bên dưới: +Giá trị +0 +12 2 d a f x x x x + bằng +9 . B. +3 . C. +27. D. +III. LỜI GIẢI CHI TI ẾT +Câu 1: Cho hàm s ố +��� y f x liên tục trên đo ạn +;ab và số thực +k tùy ý. M ệnh đề nào dưới đây + dd .bb +aakf x x k f x x B. +  dd .bb +aakf x x k f x x +  d d d ..b b b +a a akf x x k x f x x   D. + dd .bb +aakf x x f kx x +Câu 2: Xét +fx là một hàm số tùy ý, +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên đoạn +;.ab +Mệnh đề nào dưới đây đúng? + d .b +af x x F b F a B. + d .b +af x x F a F b + d .b +af x x F a F b D. + d .b +af x x F a F b  +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 3: Gọi + , F x G x lần lượt là nguyên hàm c ủa hai hàm s ố + , f x g x trên đoạn +;ab , +hằng số khác +0. Trong các đ ẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? + b +af x dx F a F b . B. +ba +abf x dx f x dx . + .b +ak f x dx k F b F a . D. +   b c c +a b af x dx f x dx f x dx . +Lời giải: +Ta có: + .    bb +aak f x dx k f x dx k F b F a . +Câu 4: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +;ab và số thực +k tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai? + dd .bb +aakf x x k f x x B. +d 0.a +af x x + dd .ba +abf x x f x x D. + dd2 +aaf x x f x x +Câu 5: Biết +12. f x x Khi đó, +12f x x bằng +2. B. +4. C. +4. D. +Lời giải: +Ta có: + dd22 +112 2 4.f x x f x x +Câu 6: Biết + 8 4 4 +1 1 1d 2; d 3; d 7 f x x f x x g x x     . Đẳng thức nào sau đây sai? +14 2 d 2f x g x x  . B. +4d1 f x x . +4d5 f x x . D. +1d 10 f x g x x . +Lời giải: +8 1 8 +4 4 1d d d f x x f x x f x x   +48 +11d d 3 2 5 f x x f x x     . +Mặt khác: +4 4 4 +1 1 14 2 d 4 d 2 d 4.3 2.7 2       f x g x x f x x g x x . +4 4 4 +1 1 1d d d 3 7 10       f x g x x f x x g x x . +Câu 7: Biết +12 f x x và +16. g x x Khi đó, +d2 +1f x g x x bằng +4. B. +8. C. +4. D. +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 8: Cho hàm s ố +fx có đạo hàm trên đo ạn +1; 2 , +11f và +22f . Giá trị +1f x x bằng +1I . B. +1I . C. +3I . D. +Lời giải: +Ta có: + d22 +12 1 1. f x x f x f f    +Câu 9: Cho hàm s ố +fx có đạo hàm trên đo ạn +1; 2 , +11f và +15. f x x Giá trị +2f bằng +6. B. +4. C. +3. D. +Lời giải: +Ta có: + d22 +12 1 2 1 5 2 6. f x x f x f f f f f        +Câu 10: Giả sử +f là hàm s ố liên tục trên kho ảng +,,abc là các số bất kỳ trên kho ảng +K . Khẳng +định nào sau đây sai? + ddbb +aaf x x f t t . B. + d d dc b b +a c af x x f x x f x x   . +af x x . D. + ddba +abf x x f x x . +Lời giải: +Ta có: + d0a +af x x F x F a F a    . +Câu 11: Cho +1d2 f x x + và +1d1 g x x + . Tính +12 3 d I x f x g x x +   . +5.2I B. +7.2I C. +17.2I D. +11.2I +Lời giải: +Ta có: +12 3 d I x f x g x x +   +222 2 +11 12 d 3 d2xf x x g x x + +32.2 3 12   +Câu 12: Cho +11d2f x x , +33d4f x x . Kết quả +43 +12dd f x x f x x bằng +8 . B. +4 . C. +8 . D. +Lời giải: +Ta có: +4 3 2 4 +1 2 1 31 3 5d d d d2 4 4f x x f x x f x x f x x         . +Câu 13: Cho hàm số +���fx liên tục trên +Fx là một nguyên hàm của hàm số +fx trên +thỏa mãn + 2 0 10FF . Khi đó +03 df x x bằng +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +Lời giải: +  2 +03 d 3 3 2 0 3.10 30f x x F x F F     +Câu 14: Biết +2F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên +. Giá trị của +12df x x bằng +5 . B. +3 . C. +Lời giải: +Ta có: +122 d 2 8 3 5.1     f x x x x +Câu 15: Biết +3()F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số +()fx trên +. Giá trị của +1(1 ( ) d)xx f bằng +A. 20. B. 22. C. 26. D. 28. +Lời giải: +3333 +11 ( ) d ( ) ) 30 2 28f x x x F x x x           . +Câu 16: Biết +4F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx trên +. Giá trị của +16dx f x x +5 . B. +24 . C. +5 . D. +Lời giải: +2224 +16 d 3 12 16 3 1 24x f x x x x +        . +Câu 17: Cho hàm s ố +fx liên tục trên đo ạn +0;10 và +07 f x x ; +23 f x x . Giá trị + dd2 10 +06P f x x f x x +4. B. +10. C. +7. D. +Lời giải: +Ta có: + d d d d d d2 10 10 2 2 10 +0 6 0 10 6 2P f x x f x x f x x f x x f x x f x x             +            + d d d d10 2 2 10 +0 6 10 27 3 0 4. f x x f x x f x x f x x              +          +Câu 18: Cho hàm s ố +fx liên tục trên đo ạn +0;9 thỏa mãn + 97 +04d 8, d 3.f x x f x x Khi đó giá +trị của +49 +07ddP f x x f x x là +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +20P . B. +9P . C. +5P . D. +11P . +Lời giải: +Ta có: +  d d d d9 4 7 9 +0 0 4 788 f x x f x x f x x f x x        +  d d d4 9 7 +0 7 48 f x x f x x f x x      + dd49 +078 3 5 f x x f x x     +Câu 19: Cho +0( )d 5f x x và +0( )d 3f x x , khi đó +2( )df x x bằng +8 . B. +15. C. +8 . D. +Lời giải: +5 2 5 5 5 2 +0 0 2 2 0 0( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 3 5 8f x x f x x f x x f x x f x x f x x             . +Câu 20: Cho +21, f x x +d2022 +24. f t t + Tính +d2022 +2f y y . +5 . B. +15. C. +3 . D. +Lời giải: +Ta có: + d d d d d2022 2 2022 2 2022 +2 2 2 2 2f y y f y y f y y f x x f y y +          + d d d2022 2022 2 +2 2 24 1 3 f y y f y y f x x +        +Câu 21: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +0;3 . Nếu +0( )d 2f x x thì +03 ( ) dx f x x bằng +3. B. 3. C. +Lời giải: + 333 2 +00 0933 ( ) d 3 d 3.2 .2 2 2       xx f x x f x x +Câu 22: Cho + 24 +1313d , d24f x x f x x . Khi đó +43 +12dd f x x f x x bằng +8 . B. +4 . C. +8 . D. +Lời giải: +4 2 3 4 4 3 2 4 +1 1 2 3 1 2 1 3d d d d d d d d             f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x +2 4 4   +Câu 23: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +và có một nguyên hàm là +Fx . Biết +18F , giá trị +được tính bằng công th ức nào dư ới đây? +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. + 99Ff . B. + 9 8 1Ff  . +19 8 dF f x x . D. +19 8 dF f x x . +Lời giải: + dbb +af x x F x F b F a   ( với +ab ). +99 +1d 9 1 9 8 f x x F x F F F      +19 8 dF f x x   +Câu 24: Mệnh đề nào dưới đây đúng? +xxdxee . B. +xdx ee . C. +xdx ee . D. +xxdxee . +Lời giải: +Ta có: +11 211.xx +xxdx e dx eee   +Câu 25: Cho tích phân +11d,x x xIxx khẳng định nào dưới đây đún g? +112. I x xx   B. +11. I x xx   +112. I x xx   D. +11. I x xx   +Lời giải: +4 44 2 +11 11 1 1 11 2 .x x xI dx dx I x xx x x x             +Câu 26: Biết +12d 2ln x x a bx   , với +. Tổng +ab bằng +3 . B. +5 . C. +Lời giải: +1 12 9 1d 2ln 2ln 3 4 2ln 3 4; 3 72 2 2xx x x a b a bx              . +Câu 27: Tích phân +x bằng +16.225 B. +5log .3 C. +5ln .3 D. +Lời giải: +Ta có: +0d5ln 3 ln .33  xxx +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 28: Tính +02d.21Ixx +1ln 52I . B. +ln 5I . C. +4ln 5I . D. +2ln 5I . +Lời giải: +00d 2 1 2d ln 2 1 ln 52 1 2 1    xI x xxx . +Câu 29: Giá trị của +0dxx bằng +2019 . B. +2020 . C. +2019 . D. +2020 . +Lời giải: +Ta có : +11 2020 +0 01d2020 2020xxx . +Câu 30: Cho +2d f x x x x C   ; +43d g x x x x C   . Khi đó , +0d f x g x x bằng +10 . B. +105 . C. +4 . D. +Lời giải: +d 2 1  f x f x x x ; +32d 4 3  g x g x x x x +0df x g x x +0512 1 4 3 d .10   x x x x +Câu 31: Cho hàm s ố +21 f x x . Gọi +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm s ố +fx . Biết rằng + 2 0 5FF +. Giá trị của biểu thức + 32 P F F   bằng +4 . B. +2 . D. +Lời giải: +32 +202 d 0 d 0 32 P F f x x F f x x FF +       . +Câu 32: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +và có một nguyên hàm là +Fx . Nếu +026d f x x thì giá + 02FF bằng +12 . B. +3 . C. +12 . D. +Lời giải: +   1 1 2 +0 0 012 6 2 6 12 0 2 122f x x f x x f x x F F         d d2 d +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 33: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +thỏa mãn + 3 2 , f x f x x   +Fx là nguyên +hàm của +fx trên +thỏa mãn +43F và + 2 4 8 0.FF Khi đó +2df x x bằng +15. B. +15. C. +75. D. +Lời giải: +4 8 4 4 +2 4 2 233 2 , ( ) 3 (2 ) ( ) (2 ) (2 )2f x f x x f x dx f x dx f x dx f x d x           +2433( ) ( ) (4) (2) [ (8) (4)]22F x F x F F F F      +43F và + 2 4 8FF nên +33 4 (8) [ (8) 3] (8) 32F F F     và +(2) 12F +2d (8) (2) 15f x x F F   . +Câu 34: Cho hàm số + y f x là hàm số liên tục trên +thỏa mãn +  dd12 +00. 1. f x f x x x f x x               +Giá trị của +d2023 +2022f x x bằng +5 . B. +5 . C. +5 . D. +Lời giải: +   dd12 +00. 1 , f x f x x x f x x f x ax b                  + dd12 +00,1 a f x x b f x x   +Do đó: +   d d d d1 2 1 2 +0 0 0 0 +00. 1 1 +. . . 122 +2 2 12 +20 522 1 12 2 1 +5f x f x x x f x x ax b ax b x x ax b x +xxax b a bx x a bx +aax b b x a b +a aab ab +abb a b b                              +    +                 +        +                 + 2023 +20222 1 4046.5 5 5f x x f x dx      +Câu 35: Có bao nhiêu s ố thực +b thuộc khoảng +;3 sao cho +4cos 2 d 1b +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +Lời giải: +Ta có: +4cos 2 1 2sin 2 1b +bxdx x +   +221 6 12sin 2 ,55 2226 12bk bk +b k b k   +    +       +       +12bk : + 1 13 25;3 1 3, 1;2 ;12 12 12b k k k b          +12bk : + 5 17 29;3 1 3, 1;2 ;12 12 12b k k k b          +Vậy có +4 số thực +b thỏa mãn yêu c ầu bài toán. +Câu 36: Biết +04sin 3, ; . x x a b a b +   +1.3 B. +2.7 C. +3.4 D. +Lời giải: +Ta có: +  d d d6 6 6 +0 0 01 cos2 34sin 4. 2 2cos2 2 sin 2 .2 3 2xx x x x x x x   +          +Suy ra: +1 1 1;.3 2 6a b ab    +Câu 37: Cho +0cos 2 d , +bxxac với +c tối giản. Tính +P a b c   . +23P . B. +24P . C. +25P . D. +15P . +Lời giải: +00 01 cos 4 1 1 1cos 2 sin 4 .2 2 4 16 8xxdx dx x x  +                   +16, 1, 8 25.a b c P a b c        +Câu 38: Gọi là các số nguyên sao cho +02 d , ; .xe x ae be a b   +Giá trị của +22ab bằng +3 . B. +4 . D. +Lời giải: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 +21122 1122 22 +02 4 2.xxxe dx e dx e e e    +2; 2ab và +228ab +Câu 39: Biết +03 2 1 d 6m +x x x   , giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? +1;2 . B. +;0 . C. +0;4 . D. +3;1 . +Lời giải: +Ta có: +03 2 1 d 6m +x x x   +3 2 3 2 +06 6 0 2m +x x x m m m m           . +0;4 m . +Câu 40: Nếu các số hữu tỉ +,ab thỏa mãn +0e d e 2xa b x   thì giá tr ị của biểu thức +ab bằng +4 . B. +6 . C. +5 . D. +Lời giải: +11 +0e d e exxa b x a bx a b a      +ba +143aabb    . +Câu 41: Có bao nhiêu s ố thực +04 3 2 1 d 0ax a x x x    ? +2 . B. +0 . C. +Lời giải: +Ta có: +  113 2 2 4 2 3 2 2 +014 3 2 1 d 2 02aax a x x x ax a x x x a aa            +Vậy có hai s ố thực +a thỏa mãn. +Câu 42: Biết có hai giá tr ị của số thực +12 0aa ) thỏa mãn +12 3 d 0a +xx . Tính +13 3 logaa aTa    +26T . B. +12T . C. +13T . D. +28T . +Lời giải: +Ta có: +12 3 da +232aa   . +12 3 d 0a +xx nên +23 2 0aa   , suy ra +Lại có +12 0aa nên +11a ; +22a . +Như vậy +13 3 logaa aTa    +223 3 log1    +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 43: Cho +8 17 6x +x x m với hằng số +6m . Khẳng định nào sau đây đúng? +12 20 m . B. +9 12m . C. +20m . D. +69m . +Lời giải: +8 17 6x +x x m +1114. .2 8 17 3. .2 686x x m +    +18 17 6x x m +    + 5 6 3 6 mm       +2 6 6 mm      +8 17 6x +x x m +2 6 6 4 mm       +6 2 6m +mm    +6 4 4 6 6m +m m m      +m +m +m +10m . +Câu 44: Tích phân +  Ix +xx bằng + 84 3 3 23 . B. + 44 3 3 23 . C. + 84 2 2 3 33 . D. + 44 3 3 2 23 . +Lời giải: +Ta có: +  1 1 1 +0 0 02 2 322 2 31 23xx +I dx dx x x dx +xx   +           +11 11 3 3 3 33 +2 2 2 22 +00 002 2 42 3 2 2 2. 3 2. 2 4 2.3 23 3 3            +I x dx x dx x x +  488 6 3 2 2 4 3 3 2 .33      +Câu 45: Biết +1   +xa b c +xx với +c là các số hữu tỷ. Tính +P a b c   . +5P . B. +3P . C. +2P . D. +Lời giải: +3 33 +11 1221 1 133 1dxx x dx x x x x +xx        +16 4 22 3 23 3 3             +4 142 3 233   +3b ; +3c . Suy ra +4 14 1623 3 3P    . +Câu 46: Biết +( 1) 1xa b c +x x x x   +   với +c Tính +abPc . +10P . B. +46P . C. +18P . D. +12P . +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Lời giải: + +2 2 2 +1 1 11 1 1 1 ddd1 ( 1) 1 11x x x x x x x x xxxxx x x x xA +x x x x              +1111d 2 2 1 4 2 2 3 2 32 12 2 +1x x x +xx            +Suy ra +32a , +12b , +2c . Vậy +32 12102abPc   . +Câu 47: Biết +063ln2 ln5, ; ; .35xx a b c a b cx    +2 3 .a b c +3. B. +5. C. +0. D. +Lời giải: +Ta có: +0007 ln 3 5 6 3 7 7 7 72 2 2 ln8 ln 5 2 7 ln 2 ln 5.3 5 3 5 3 3 3 3x xx x xxx                +Suy ra: +72; 7; 2 3 5.3a b c a b c       +Câu 48: Biết +047ln3 ln5, ; ; .23xx a b c a b cx    +2 2 .a b c +3. B. +1. C. +2. D. +Lời giải: +Ta có: +000ln 2 3 4 7 1 1 12 2 2 ln 3 ln 5.2 3 2 3 2 2 2x xx x xxx             +Suy ra: +112; ; 2 2 2.22a b c a b c       +Câu 49: Cho +011d ln 2 ln 3,13  x a bxx với +ab Tính +2. B. +10.9 C. +3.4 D. +Lời giải: + 11 +011d ln 1 ln 3 ln 2 ln 4 ln1 ln 3 ln 2 ln 313          x x xxx +suy ra +1, 1 1.   a b ab +Câu 50: Biết +22ln3 ln5, ; ; .2 1xcx a b a b c +x    +. a b c +3. B. +2. C. +4. D. +Lời giải: +Ta có: +2222 1 111 11 1x x A Bx a x b xxx xx x          +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 +1 2.21 +ABB    +Lúc đó: +2 22 3 1 1ln 1 ln 1 2ln3 ln5.2 2 2 1xx x x +x      +Suy ra: +0; 2; 1 3.a b c a b c       +Câu 51: Biết +021ln2 ln3, ; . +4xx a b a b +x   +3.5 B. +3.8 C. +3.7 D. +Lời giải: +Ta có: +22 1 2 12 1 2 222 22 4x x A Bx A x B xxx xx x          +2 4.2 2 1 3 +ABB    +Lúc đó: +0 02 1 5 3 3ln 2 ln 2 2ln2 ln3.4 4 4 4xx x x +x      +Suy ra: +332; .42a b ab    +Câu 52: Biết +121ln2 ln3, ; ; . +32xx a b c a b c +xx    +. a b c +3. B. +2. C. +4. D. +Lời giải: +Ta có: +22 1 2 12 1 2 112 12 32x x A Bx A x B xxx xx xx           +21.2 1 3A B A +A B B     +Lúc đó: +  d22 +21121ln 1 3ln 2 7 ln2 4ln3. +32xx x x +xx       +Suy ra: +0; 7; 4 3.a b c a b c       +Câu 53: Cho +28d ln 2 ln 52xx a bxx với +ab Đẳng thức nào sau đây đúng? +3 ab . B. +5 ab . C. +2 11ab . D. +2 11ab . +Lời giải: +Ta có : +228 3 2d + d 3ln 1 2ln 2 7ln 2 2ln 5.2 1 2xx x x xx x x x            +Suy ra giá tr ị là: +7, 2ab  . +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 54: Biết +032ln2 ln5, ; ; . +44xx a b c a b c +xx    +5.a b c +1.3 B. +2.7 C. +3.4 D. +Lời giải: +Ta có: + d d d33 3 3 +0 0 0 03 2 4 3 2 3 4 43ln 222 44 22x xx x x xxx xx xx               +63ln 2 3ln 5.5   +Suy ra: +6; 3; 3 5 6.5a b c a b c       +Câu 55: Cho tích phân +12d ln 2 ln 31xx a b cx   với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. +36. P B. +0.P C. +18.P D. +18. P +Lời giải: +   +5 2 5 +122 2 2d d d1 1 1 +331 d 1 d11 +3ln 1 3ln 1 +2 3ln 3 1 3ln 2 5 3ln 6 2 3ln 3 +2 6ln 2 3ln 3x x xx x xx x x +x x x x      +             +      +        +     +2, 6, 3 36a b c P abc      . +Câu 56: Tính +02 1dx x x +2 . B. +Lời giải: +2 2 1 2 +0 0 0 1 +012 1 1 1 1 +122x x dx x dx x dx x dx +xxxx        +                 +Câu 57: Cho +01d ln , , ,3    +xx cI x b a b cx a a . Tổng +abc bằng +17. B. +15 . C. +13 . D. +Lời giải: +Ta có: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 + 2 5 1 5 1 5 22 +0 0 1 0 1 +1 1 5 5 +0 0 1 1 +0112 12443 3 3 3 3 +12 124433 +7 1 312ln 3 4 12ln 3 12ln2 2 2xx x x x xI dx dx dx x dx x dxx x x x x +x dx dx x dx dxxx +xx                          +      +            +    +Suy ra: +2; 12; 3 17.      a b c a b c +Câu 58: Biết +2sin d , +   +x x a b a b . Khi đó , +4ab bằng +8 . C. +10 . D. +Lời giải: +Ta có: +0 6606 +2233sin d sin d sin d cos cos 2 224 +         x x x x x x x x +Suy ra: +32,4ab nên +45ab . +Câu 59: Tính tích phân +0max , d I x x x . +4 . B. +4 . C. +4 . D. +Lời giải: +3f x x x ta có bảng xét dấu sau: +Dựa vào bảng xét dấu ta có. + 3 3 30;1 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x          + 3 3 3 31;2 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x          +Ta có: +0max , d I x x x +12 +01max , d max , d x x x x x x . +0max , d I x x x +01 011 1 17dd2 4 4x x x x x x     . +Câu 60: Biết +12 2 1d 4 ln 2 ln 5xI x a bx    với +. Tính +S a b . +9S . B. +11S . C. +3 S . D. +Lời giải: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Ta có +2 khi 222 khi 2xxxxx . +122 2 1 2 2 1 d dxxI x xxx    . + 25 +122 2 1 2 2 1 d dxxxxxx    +12532 d 2 dxxxx             +255ln 2 2 3ln12x x x x    +4 8ln 2 3ln 5   +5 S a b   +Câu 61: Tính tích các giá tr ị của số thực +m để tích phân +02 d 2  I x m x . +6. B. +3. C. +2. D. +Lời giải: + 0 2 0 0;1m x m x      +112 +1 2 1.I x m dx x mx m +mm       +     + 2 2 0 0;1m x m x      +112 +1 2 3I m x dx mx x m +mm       +     +1 2 2 2 21222 +22 2 1 14 4 2m +mm m mI m x dx x m dx mx x x mx m m               +2 131 2 2 2 02 13m mm m m +m          +(loại) +Tích các giá tr ị của +1.3 3  . +Câu 62: Biết +052d ln 3 ln 543xxx a b cxx   , + ,,abc +. Giá trị của +abc bằng +8 . B. +10 . C. +12 . D. +Lời giải: +Ta có: +052d43xxxxx +011d13xxxx  +0121d13xxx   +0ln 1 2ln 3x x x     +2 3ln 3 2ln 5   +2, 3, 2a b c   , do đó +12 abc . +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 63: Cho +024d 4ln4 3 +x x axb x với +,ab là các số nguyên dương. Giá tr ị của +ab bằng +8 . B. +5 . C. +6 . D. +Lời giải: + + 2 1 1 1 2 +0 0 06 9 4 3 9 12 2 4 3d d 1 d3 3 3 3                 x x x xxx x xx x x x +003 4 3 5 41 4ln 3 | | 1 4ln 1 4ln3 3 4 4 3xx          +Theo giả thiết +5, 3ab   nên +8 ab . +Câu 64: Cho +4ln2 ln3 +1xx a b c +x   + với +,,a b c là các số hữu tỷ. Giá trị của +abc bằng +6 . B. 3. C. +3 . D. 2. +Lời giải: +Ta có: + dd5 555 +44 41 1 1 1 1ln 1 ln 4 ln 3 2ln 2 ln 31 1 12 12 11xx x xxx xx +            . +Ta tìm đư ợc +1; 2; 112a b c   . Vậy +6abc . +Câu 65: Cho hàm s ố +21, 1 +2 , 1xxfx +xx . Tích phân +0f x x bằng +2 . B. +3 . C. +3 . D. +Lời giải: + 2 1 2 1 2 +0 0 1 0 113d d d 2 d 1 d3f x x f x x f x x x x x x          +Câu 66: Cho hàm s ố +2khi 0 11 +2 1 khi 1 3xy f x x +xx   +   . Tính tích phân +0d f x x . +6 ln 4 . B. +4 ln 4 . C. +6 ln 2 . D. +2 2 ln 2 . +Lời giải: +Ta có: +3 1 3 +0 0 1d d d f x x f x x f x x   +012d 2 1 d1x x xx   +3 12 +0 12ln 1x x x    +ln 4 6 +Câu 67: Cho h àm số +fx có đạo hàm trên +sin cos f x x x và +01f . Tính tích phân +I f x x +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. +2I . B. +8I . C. +16I . D. +16I . +Lời giải: +Ta có: +2sin' sin cos sin sin2xf x f x dx x xdx xd x C      . +2sin 00 1 1 12f C C      +2sin12xfx. +Khi đó: +2 4 4 4 4 +0 0 0 0sin 1 cos 2 5 cos 2112 4 4 4x x xI f x dx dx dx dx    +                       +005 1 5 2sin 24 8 16xx   +Câu 68: Cho hàm s ố +fx có +42f và +221sinfxx , +0;x . Khi đó, +f x x bằng +ln 232 . B. +ln 232 . C. +ln 232    . D. +ln 232 . +Lời giải: +Ta có: +221sinfxx suy ra +221 2cot .sin    f x dx x x Cx +42f suy ra +42C . +Khi đó +3 22 44 +222cot 4 2ln sin 4 ln 22 2 2 32 +                         xf x dx x x dx x x . +Câu 69: Cho hàm s ố +fx . Biết +04f và +22cos 3, . f x x x    +, Khi đó , +0f x x + bằng +8 . B. +8 . C. +8 . D. +8 . +Lời giải: +Cách 1: Tự luận + d d d22cos 3 4 cos2 f x x x x x x      +1sin 2 42x x C   +11sin 2 42f x x x C    + 110 4 4 sin 2 4 42f C f x x x       . +dd44 +001sin 2 4 42f x x x x x +   +cos22 4 +01 8 22448x x x +       . +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Cách 2: Tư duy tr ắc nghiệm +Ta có : +   dd44 +000 0 .44f x x f f f f f x x +              +Mặt khác: +  d d d d d4 4 4 4 4 +0 0 0 0 0.44xf x x x f x xf x f x x f x x f xf x x     +           +Câu 70: Cho hàm s ố +fx . Biết +04f và +22sin 1, . f x x x    +Khi đó , +0f x x + bằng +16 . B. +216 16 +16 . C. +16 . D. +16 . +Lời giải: +22sin 1 1 cos2 1 2 cos2 f x x x x       +Suy ra +sin 222xf x x C   . Vì +0 4 4fC   +Suy ra +d2 4 4 +0 0cos2 16 44.4 16xf x x x x  +      +Câu 71: Cho hàm s ố +fx có +02f và đạo hàm +1f x x +x   + . Tích phân +0d f x x +3 . B. +3 . C. +3 . D. +Lời giải: +Ta có: +1d d 2 1 +1f x f x x x x C +x     +02f nên +4C . Suy ra: +2 1 4   f x x . +Khi đó: +3 33 +00 048d 2 1 4 d 1 1 433        f x x x x x x x . +Câu 72: Cho hàm s ố +fx có +43f và +2' 16cos 4 .sin ,f x x x x   +. Tính +I f x x +3I . B. +27I . C. +3I . D. +Lời giải: +Ta có: +2' 16cos 4 .sin 8cos 4 .(1 cos 2 ) 8cos 4 4cos6 4cos 2f x x x x x x x x      . + 2' 8cos 4 4cos6 4cos 2 2sin 4 sin 6 2sin 23f x f x dx x x x dx x x x C        +43f nên +2 3 8 42sin sin 2sin3 2 2 3 3CC      . +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Khi đó +002 4 42sin 4 sin 6 2sin 23 3 3f x dx x x x dx      . +Câu 73: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm liên t ục trên +và thỏa mãn + d2 +01 2. f x xf x x    Giá +2f bằng +2. B. +0. C. +2. D. +Lời giải: +Ta có: +   d d d 1d2 2 2 2 +0 0 0 01 2 1 2 2 f x xf x x xf x x xf x x x              + 2 +02 2 2 2 4 2 2. xf x f f       +Câu 74: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm trên + 0; . Biết +2x là một nguyên hàm c ủa +2'x f x trên + 0; +11f . Tính +fe . +2 . B. +21e . D. +Lời giải: +2x là một nguyên hàm c ủa +2'x f x trên + 0; nên ta có +22' ' 2x f x x x +2'fxx +  +112' 2ln 2ln 2ln1 2 11eeef x dx dx x e f e fx       . + 21fe   +2 1 3 fe    +Câu 75: Nếu +d1 +05 f x f x x và + d12 +01 36 f x x thì +0f x x bằng: +A. 10. B. 31. C. 5. D. 30. +Lời giải: +d1 +05 f x f x x + dd11 +005 f x x f x x   + dd11 +0051 f x x f x x   . +Lại có + d12 +01 36 f x x + d1 +02 1 36 f x f x x    . +  d d d1 1 1 +0 0 02 36 2 f x x f x x x      +. Thay +1 vào +2 ta được: +   d d d1 1 1 +0 0 05 2 1 36 3 30 f x x f x x f x x        +010 f x x +010 f x x . +Câu 76: Cho hàm s ố +0( ) ( )df x x x xf x x . Tính +0( )d .I f x x +35I . B. +35I . C. +35I . D. +368.35I +Lời giải: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Đặt +0()xf x dx a . Suy ra +00( ) ( ) ( )f x x x a xf x x x ax xf x dx x x ax dx         +7 2 7aa x xdx a xdx a      +4()7f x x x . Suy ra +04 2 4 528 +7 5 7 35x x dx x x       . +Câu 77: Cho +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +11 f x x x    trên +và thỏa mãn +13F . +Tính tổng + 02FF +3 . B. +2 . C. +Lời giải: +Ta có: + +1 1 ,khi 1 2 ,khi 1 +1 1 ,khi 1 1 2 ,khi 1 1 +2 ,khi 1 1 1 ,khi 1x x x x +f x x x x f x x x +x x x x                   +       . +Ta có: +0 2 0 2 +1 1 1 10 1 2 1 2 2 1F F F F f x dx f x dx xdx dx            . + 0 2 1 2 1 1 2 3 7F F F        +Câu 78: Biết +0d cosx +f t t x x . Tính +2. B. +4. C. +1.4 D. +Lời giải: +Ft là một nguyên hàm c ủa +ft . + + 2 +220 cos +2 . cos sin 2 . cos sin      +          xxg x f t dt F t F x F x x +g x x F x x x x x f x x x x +2x ta có: + 14 4 cos 2 2 sin 2 1 44ff      . Vậy +144f . +Câu 79: Cho hàm s ố +()fx xác định, có đ ạo hàm, liên t ục và đồng biến trên +[1; 4] thỏa mãn +[2 32 ( ) ( ) , 1;4], (1)2x xf x f x x f       +. Giá trị +(4)f bằng +18 . B. +18 . C. +18 . D. +Lời giải: +[][ ] [ ]2 +22 ( ) ( )2 ( ) ( ) (1 2 ( )) ( )1 2 ( ) 1 2 ( )f x f xx xf x f x x f x f x x xfx fx           +111() 14 14 3911 2 ( ) 1 2 (4) 2 (4) .3 3 18 1 2 ( )fxdx xdx f x f f +fx           +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 80: Cho hàm s ố + y f x xác định và liên t ục trên +thỏa mãn +12f , +1fxx và +222 1 1 x f x x f x xf x      +\0 x +. Tính +1dI f x x . +32ln 24 I . B. +12ln 24 I . C. +3ln 24 I . D. +1ln 24 I . +Lời giải: + 2 2 2 22 1 1 2 1           x f x x f x xf x x f x xf x f x xf x +  22222 1 1 1 1 .                   x f x xf x xf x f x xf x xf x xf x xf x + + 2211 111 11xf x xf xdx dx x Cxf x xf x xf x             . +111 2 1 1 01 1 2 1f C C Cf           . + 21 1 1 111x xf x f xxf x x x x        . +Suy ra +4 44 +11 11 1 1 1 3ln ln 4 1 ln1 2ln 244f x dx dx xx x x                    . +Câu 81: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm liên t ục trên + 0; vaf thỏa mãn +0, 0 f x x   và +1 , 0.2fxx f x xx    + 2 1 .ff +9ln .8 B. +19ln .28 C. +4ln .3 D. +14ln .23 +Lời giải: + +111.2 1 2 2 1 2fx fxx f x f xx x x x x fx           +Suy ra +22 +111 1 9d d 2 1 ln .2 1 2 2 8f x x x f fxx     +Câu 82: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +1, 0 0 f x f +và thỏa mãn + 21 2 1. f x x x f x   +Khi đó +0f x x bằng +3 . B. +1 . D. +Lời giải: +  +21 2 1 +21 1fx xf x x x f x +     +211 f x x C     +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Mà +00f nên +0C . Suy ra +2f x x . +Khi đó + d2222 222 +08 f x x f x x   . +Câu 83: Cho hàm s ố +() y f x có đạo hàm, nh ận giá tr ị dương trên +(0; ) và thoả mãn +222 ( ) 9 ( )f x x f x +với mọi +(0; ).x  Biết +22,33f tính +4 . B. +3 . C. +12 . D. +Lời giải: +222 ( ) 9 ( )f x x f x +2 2 2 2 +222 9 9 9 +2 2 2 22fx xf xx x f x x +f x f x        +2 2 3 93d22f x x x x C   . Mà +2 2 2 3 2 2. . 03 3 3 2 3 3f C C +Suy ra + 3 +2 6 39 9 1 9 1 1..4 4 3 4 3 12f x x f x x f                . +Câu 84: Cho hàm số +() y f x có đạo hàm liên t ục trên +và thỏa mãn +2 ( ) ( ) 2 1f x f x x    , +(0) 1f . Giá trị của +0( )df x x bằng +2112e . B. +2112e . C. +2e . D. +Lời giải: +2 2 2 2 22 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) e ( ) e (2 1) e ( ( ) e ) (2 1) ex x x x xf x f x x f x f x x f x x                 +2 2 2 2 11( ) e (2 1) d (2 1) e e22x x x xf x x e x x C           +(0) 1f nên +1c . Suy ra +21()exf x x . +0011( ) 12xfxedx x dxe    . +Câu 85: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +[0;1] thỏa mãn +34 f x x k với +0( )d k x f x x . Khi đó +0( )df x x +3.2 B. +5.3 C. +2. D. +Lời giải: +Ta có: +111 93 +2 2 2 6 +00 04 4 2( )d (4 )d9 3 9 3 3x kx kk x f x x x x k x k          +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Do đó +0025( )d 4 d .33f x x x x   +Câu 86: Cho hàm s ố + ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn +( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá +1( )df x x bằng +233ee . B. +23ee . C. +23e . D. +Lời giải: ++)Ta có +22( 1). 1( 1) ( ) '( ) ( ) '( )xx +x x e ex f x xf x e f x f xx x x      +2( ) 1xe f x +xx  +1()xef x Cxx +1 1(1) 3 (1) 1 2 ( ) 2xef e e f C C f xxx +         + ( ) 2 1xf x x e   +11( ) 2 1 3xf x dx x e dx e e    . +Câu 87: Cho hàm s ố + ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn +( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá +1()f x dx bằng +233ee . B. +23ee . C. +23e . D. +Lời giải: ++)Ta có +22( 1). 1( 1) ( ) '( ) ( ) '( )xx +x x e ex f x xf x e f x f xx x x      +2( ) 1xe f x +xx  +1()xef x Cxx +1 1(1) 3 (1) 1 2 ( ) 2xef e e f C C f xxx +         + ( ) 2 1xf x x e   +11( ) 2 1 3xf x dx x e dx e e    . +Câu 88: Cho hàm s ố thỏa mãn +112f và +2, 0;1    fx xf x xx x x . Giá trị của +thuộc khoảng nào dư ới đây? +1;2 . B. +2;3 . C. +3;4 . D. +0;1 . +Lời giải: +Ta có: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 + 221 1 1111f x f x x x x xf x f x f x f x x Cx x x x x x x              + 241 1 1 0 213xx C C f x fx          . +Câu 89: Cho hàm s ố +()fx liên tục trên + 0; , thỏa mãn +112f và +2 23 ( ) ( ) 2 ( )  xf x x f x f x , +( ) 0fx + 0; . Gọi +,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số +trên đoạn +1;2 . Tổng +Mm bằng +10 . B. +5 . C. +10 . D. +Lời giải: ++) Xét hàm s ố +()fx trên + 0; ta có: +223 ( ) ( ) 2 ( )xf x x f x f x  +2 3 23 ( ) ( ) 2 ( )x f x x f x xf x     +2( ) ( ) +22( ) ( )x f x x f x xxxf x f x        +Lấy nguyên hàm hai v ế của +1 ta được : +2d 2 d( ) ( )xxx x x x Cf x f x     . +112f nên +2 111(1)CCf    . Suy ra +21xfxx . ++) Xét hàm s ố +21xfxx trên +1;2 . +Xét hàm s ố +2 2 342 +222 2`3 1 2 . 30 +11x x x x xxfx +xx    + với +1;2x . +Suy ra + + +1;2 1;281max 2 ; min 1 .52M f x f m f x f      +1 8 21.2 5 10Mm    +Câu 90: Cho hàm đa th ức bậc ba +() y f x có đồ thị hàm số +() y f x được cho bởi hình vẽ sau: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 +Giá trị biểu thức + 32ff bằng +20 . B. +51 . C. +64 . D. +Lời giải: +Giả sử +2f x ax bx c   trong đó +0a có đồ thị +Hàm số +() y f x đạt cực trị tại +02bxa  suy ra + 0;1 C +suy ra + 1;4 C +suy ra +231 f x x . +3 +23 2 3 1 d 20f f x x    . +Câu 91: Cho hàm s ố +  32, ; ; ;      +f x ax bx cx d a b c d có hai đi ểm cực trị +0, 2xx và đồ thị +như hình v ẽ bên dưới: +Giá trị +0 +12 2 d a f x x x x + bằng +9 . B. +3 . C. +27. D. +Lời giải: +Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 +Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 đi ểm + 1; 2A và +20;3B + nên ta có: +3a b c d +d     +3a b c +d     +Mặt khác ta có: +2' 3 2f x ax bx c   . +Theo giả thiết ta có: +' 0 0 0 +12 4 0 ' 2 0f c +a b c f        +12 4 0cIIab +I và +II ta có: + +3222233f x x x    +Suy ra: +0 +12 2 d a f x x x x +12 2 22 2 2 d3 3 3x x x x x +     +0 6 5 4 3 2 +5 4 3 2 +10 2 2 10 8 16 2 2 10 8 164 . 43 3 3 3 3 3 3 6 3 5 4 3 3 3 2 1x x x x xx x x x x dx +                +   2 16 320 ( ) .3 9 27 +Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ +ĐỀ ÔN TẬP SỐ 01_TrNg 2025 +TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò +M«n: To¸n 1 2 – KNTT +Chương 4: TÍCH PHÂN +Định hư ớng cấu trúc 2025 +Líp To¸n thÇy L£ B ¸ B¶O +Trường THPT Đ ặng Huy Tr ứ S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o +116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch , TP HuÕ Trung tâm Km10 - Hương Trà – Huế +NỘI DUNG Đ Ề BÀI +Trong quá trình sưu tầm và biên so ạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì r ất mong nh ận được sự góp ý của +quý thầy cô cùng các em h ọc sinh! Xin chân thành c ảm ơn! +PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu +hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. +Câu 1: Cho hàm s ố +fx có + 2 1, 3 5ff  có đạo hàm +fx liên tục trên đo ạn +2;3. Khi đó, +2d f x x +4 . B. +Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai? + d d d , .     b c b +a a cf x x f x x f x x a c b + d d d .   b b b +a a af x x f x x x gx gx + . d d . d .  b b b +a a af x g x x f x x g x x + d d .ba +abf x x f x x +Câu 3: Cho +2d5f x x . Tính +213 dt I f t +18 . B. +65 . C. +65. D. +Câu 4: Nếu +0d2f x x thì +04dx f x x bằng +4. B. +10. D. +Câu 5: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên +0;5 . Nếu +35 +03d 6, d 10f x x f x x  thì +0d f x x +4 . B. +4 . C. +60 . D. +Câu 6: Xét tích phân +02dI x x . Khẳng định nào sau đây đúng? +022 d 40I x x x B. +002d2I x x x . C. +022 d 20I x x . D. +022d0I x x x . +Câu 7: Tích phân +13dxx bằng +3 . B. +61 . C. +4 . D. +Câu 8: Tích phân +01d3xx bằng +225 . B. +5ln3 . C. +5log3 . D. +Câu 9: Biết +2sin d , +   +x x a b a b . Khi đó, +4ab bằng +8 . C. +10 . D. +Câu 10: Biết +11d 1 4ln3xaxxb với +b là phân s ố tối giản thì +2ab bằng +0 . B. +13. C. +14 . D. +Câu 11: Gọi +,ab là các số nguyên dương nh ỏ nhất sao cho +xb . Giá trị của +ab bằng +5 . B. +6 . D. +Câu 12: Cho hàm số +22 khi 3 1 +khi 1    xxfx +xx thì +3 df x x + bằng +3 . B. +3 . C. +3 . D. +PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, +thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) +Câu 1: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +;ab . Giả sử +Fx và +Gx là các nguyên hàm c ủa +trên đoạn +;ab . +Khẳng định Đúng Sai + d.b +af x x F a F b + db +af x x G b G a. +d 0.a +af x x + G b F b G a F a   . +Câu 2: Cho hàm s ố +23 2 1 f x x x   có đạo hàm +fx . +Khẳng định Đúng Sai +f x x +0d 7.f x x +03 d 42.f x x +031d.12xf x x +Câu 3: Cho hàm s ố +2 khi 2() +2 khi 2 +xxxfx  +Khẳng định Đúng Sai +11( )d 2 d .f x x x x +22( )d 2 d .f x x x x x +233 22 +1 12d 2 2 .22            xxf x x x x +15d.6f x x +Câu 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh d ần đều với vận tốc +1 2 m / s v t t , trong đó th ời gian +tính bằng giây. Sau khi chuy ển động được 12 giây thì ô tô g ặp chướng ngại vật và người tài +xế phanh g ấp, ô tô ti ếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc +2vt và gia tốc là +28 m / s a +cho đến khi dừng hẳn. +Khẳng định Đúng Sai +a) Quãng đư ờng ô tô chuy ển động nhanh d ần đều là +b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp +24 m / s . +c) Thời gian từ lúc ô tô gi ảm tốc độ cho đến khi dừng +hẳn là +3 giây. +d) Tổng quãng đư ờng ô tô chuy ển động từ lúc xuất phát +đến khi dừng hẳn là +168m . +PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. +Câu 1: Cho +011d ln 2 ln 3 , ; ; .12x a b c a b cxx     +. a b c +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………… ………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 2: Cho hàm s ố +fx . Biết +04f và +2' 2sin 1, .    +f x x x Biết + 2 4 +0d ; ; ,16 + +abf x x a b +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….………………… ………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 3: Đường gấp khúc +ABC trong hình v ẽ bên dưới là đồ thị của hàm s ố + y f x trên đoạn +2;3 +f x x +Kết quả: +Trình bày: +…………………………………………………………… …………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 4: Biết +0dln 2 ln 3 +2   +xxa b c +x với +, , . +abc Tính +3.abc +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….……………… …………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 5: Một vật chuyển động trong +3 giờ với vận tốc + km/hv phụ thuộc thời gian + ht có đồ thị là +một phần của đường parabol có đ ỉnh +2;9I và trục đối xứng song song v ới trục tung như +hình bên dư ới: +Tính gần đúng đ ến hàng ph ần chục quãng đư ờng +s mà vật di chuy ển được trong +3 giờ đó. +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….……… …………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 6: Một chất điểm +A xuất phát từ +O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo th ời gian +bởi quy luật + 21 58/120 45v t t t m s , trong đó +t (giây) là kho ảng thời gian tính t ừ lúc +A bắt +đầu chuyển động. Từ trạng thái ngh ỉ, một chất điểm +B cũng xuất phát từ +O, chuyển động +thẳng cùng hư ớng với +A nhưng ch ậm hơn +3 giây so v ới +A và có gia t ốc bằng +2/a m s ( +hằng số). Sau khi +B xuất phát đư ợc +15 giây thì đu ổi kịp +A . Tính vận tốc của +B tại thời điểm +đuổi kịp +Kết quả: +Trình bày: +…………………………………………………………… …………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 +Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ +ĐỀ ÔN TẬP SỐ 01_TrNg 2025 +TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò +M«n: To¸n 1 2 – KNTT +Chương 4: TÍCH PHÂN +Định hư ớng cấu trúc 2025 +LỜI GIẢI CHI TI ẾT +PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu +hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. +Câu 1: Cho hàm s ố +fx có + 2 1, 3 5ff  có đạo hàm +fx liên tục trên đo ạn +2;3. Khi đó, +2d f x x +4 . B. +Lời giải: +Ta có: +33 +2d 3 2 5 1 6 f x x f x f f       . +Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai? + d d d , .     b c b +a a cf x x f x x f x x a c b + d d d .   b b b +a a af x x f x x x gx gx + . d d . d .  b b b +a a af x g x x f x x g x x + d d .ba +abf x x f x x +Câu 3: Cho +2d5f x x . Tính +213 dt I f t +18 . B. +65 . C. +65. D. +Lời giải: +213 dt 13.5 65. I f t    +Câu 4: Nếu +0d2f x x thì +04dx f x x bằng +4. B. +10. D. +Lời giải: + 2 2 2 +0 0 04 d 4 d d 8 2 6x f x x x x f x x        . +Câu 5: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên +0;5 . Nếu +35 +03d 6, d 10f x x f x x  thì +0d f x x +4 . B. +4 . C. +60 . D. +Lời giải: +5 3 5 +0 0 3d d d 4.f x x f x x f x x     +Câu 6: Xét t ích phân +02dI x x . Khẳng định nào sau đây đúng? +022 d 40I x x x B. +002d2I x x x . C. +022 d 20I x x . D. +022d0I x x x . +Lời giải: +022d0I x x x . +Câu 7: Tích phân +13dxx bằng +3 . B. +61 . C. +4 . D. +Lời giải: +22 3 +1 1( 3) 613d33xxx   +Câu 8: Tích phân +01d3xx bằng +225 . B. +5ln3 . C. +5log3 . D. +Lời giải: +015d ln 3 ln 5 ln 3 ln33    xxx . +Câu 9: Biết +2sin d , +   +x x a b a b . Khi đó , +4ab bằng +8 . C. +10 . D. +Lời giải: +Ta có: +0 6606 +2233sin d sin d sin d cos cos 2 224 +         x x x x x x x x +Suy ra: +32,4ab nên +45ab . +Câu 10: Biết +11d 1 4ln3xaxxb với +b là phân s ố tối giản thì +2ab bằng +0 . B. +13. C. +14 . D. +Lời giải: +Ta có: +  222 +111 4 4d 1 d 4ln 3 1 4ln3 3 5|xx x x xxx       . +Suy ra +4; 5 2 2.4 5 13a b a b       . +Câu 11: Gọi +,ab là các số nguyên dương nh ỏ nhất sao cho +xb . Giá trị của +ab bằng +5 . B. +6 . D. +Lời giải: +Ta có: +1 1 1 1 +0 0 0 0d d 1 1 1 1 2 1d ln ln 34 (2 )(2 ) 4 2 2 4 2 4x x xxx x x x x x                        +3, 4ab   +7.   ab +Câu 12: Cho hàm số +22 khi 3 1 +khi 1    xxfx +xx thì +3 df x x + bằng +3 . B. +3 . C. +3 . D. +Lời giải: +Ta có : +3 1 3 +3 3 1 d d df x x f x x f x x +     +3128 282 d d 033x x x x +      . +328 d3f x x +PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, +thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) +Câu 1: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +;ab . Giả sử +Fx và +Gx là các nguyên hàm c ủa +trên đoạn +;ab . +Khẳng định Đúng Sai + d.b +af x x F a F b + db +af x x G b G a. +d 0.a +af x x + G b F b G a F a   . +Lời giải: +a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng + db +af x x F a F b + db +af x x F x F b F a   nên câu a) SAI. + db +af x x G b G a + db +af x x G x G b G a   nên câu b ) ĐÚNG. +af x x , câu c) ĐÚNG + G b F b G a F a   + db +af x x G x G b G a   và + d.  b +af x x F x F b F a +Suy ra: + G b G a F b F a G b F b G a F a       nên câu d ) ĐÚNG +Câu 2: Cho hàm s ố +23 2 1 f x x x   có đạo hàm +fx . +Khẳng định Đúng Sai +f x x +0d 7.f x x +03 d 42.f x x +031d.12xf x x +Lời giải: +a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai +a) Đúng +Ta có: +22 22 +1d 3 2 1 7 4 3 +      f x x f x x x . +b) Sai +Ta có: +1112 3 2 +00d 3 2 1 d 1 0 1        f x x x x x x x x . +c) Sai +Ta có: +3 3 332 3 2 +0 0 03 d 3 d 3 3 2 1 d 3. 3. 15 0 45           f x x f x x x x x x x x . +d) Sai +Ta có: + 1 1 1 +0 0 05d 3 2 1 d 3 2 d12xf x x x x x x x x x x         . +Câu 3: Cho hàm s ố +2 khi 2() +2 khi 2 +xxxfx  +Khẳng định Đúng Sai +11( )d 2 d .f x x x x +22( )d 2 d .f x x x x x +233 22 +1 12d 2 2 .22            xxf x x x x +15d.6f x x +Lời giải: +a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng +a) Đúng +Ta có: +11( )d 2 df x x x x +b) Đúng +22( )d 2 df x x x x x +c) Sai +233 2 3 23 +1 1 2 12d 2 d 2 d 223                   xxf x x x x x x x x x . +d) Đúng +233 2 3 23 +1 1 2 123 4 5d 2 d 2 d 2 2 02 3 2 3 6                                     xxf x x x x x x x x x +Câu 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh d ần đều với vận tốc +1 2 m / s v t t , trong đó th ời gian +tính bằng giây. Sau khi ch uyển động được 12 giây thì ô tô g ặp chướng ngại vật và người tài +xế phanh g ấp, ô tô ti ếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc +2vt và gia tốc là +28 m / s a +cho đến khi dừng hẳn. +Khẳng định Đúng Sai +a) Quãng đư ờng ô tô chuy ển động nhanh d ần đều là +b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp +24 m / s . +c) Thời gian từ lúc ô tô gi ảm tốc độ cho đến khi dừng +hẳn là +3 giây. +d) Tổng quãng đư ờng ô tô chuy ển động từ lúc xuất phát +đến khi dừng hẳn là +168m . +Lời giải: +a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai +a) Đúng. +12 12122 +00d 2 d 144  v t t t t t +b) Đúng. + 112 2.12 24  m / sv +c) Đúng. + 22 24 8 12 120 8 ; 0 15 v t t t v t t        +Thời gian từ lúc ô tô gi ảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là +15 12 3 (giây). +d) Sai. + +��15 12 15 +0 0 12 +12 12122 +15 15152 +12 12d d d ; +d 2   d 144 +d 120 8 d 120 4 36   +    +        +S v t t v t t v t t +S v t t t t t +S v t t t t t t +12 144 36 180 m S S S     . +PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. +Câu 1: Cho +011d ln 2 ln 3 , ; ; .12x a b c a b cxx     +. a b c +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………………………………………………… ………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Ta có: +0011d ln 1 ln 2 2ln 2 ln 3.12x x xxx       +Suy ra: +2; 1; 0.a b c   +Câu 2: Cho hàm s ố +fx . Biết +04f và +2' 2sin 1, .    +f x x x Biết + 2 4 +0d ; ; ,16 + +abf x x a b +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………… ……………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +2 12sin 1 d 2 cos 2 d 2 sin 2 .2f x x x x x x x C       +0 4 4fC   +12 sin 2 4.2f x x x   +Suy ra +001d 2 sin 2 4 d2f x x x x x +   +01 1 16 4cos 2 4 16; 4.4 16 4 16            x x x a b +Câu 3: Đường gấp khúc +ABC trong hình v ẽ bên dưới là đồ thị của hàm s ố + y f x trên đoạn +2;3 +f x x +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………… ……………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Ta có : +211d 3.1 .1.1 .1.1 3.22       ABGH BGD CDE f x x S S S +Câu 4: Biết +0dln 2 ln 3 +2   +xxa b c +x với +, , . +abc Tính +3.abc +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………… ……………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Ta có: + 1 1 1 1 +0 0 0 022 d 1 2 2d d ln 222 2 2 2               x xxx x xxx x x x +2ln 3 ln 2 13    +1ln 2 ln 3.3   +Suy ra +1; 1; 1.3  a b c Vậy +3abc +1 1 1   +Câu 5: Một vật chuyển động trong +3 giờ với vận tốc + km/hv phụ thuộc thời gian + ht có đồ thị là +một phần của đường parabol có đ ỉnh +2;9I và trục đối xứng song song v ới trục tung như +hình bên dư ới: +Tính gần đúng đ ến hàng ph ần chục quãng đư ờng +s mà vật di chuy ển được trong +3 giờ đó. +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………… ……………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +2. v t a t bt c   . +Đồ thị +vt là một phần parabol có đ ỉnh +2;9I và đi qua đi ểm +0;6A nên +2322 4 +.2 .2 9 3 +6 .0 .0 6baa +a b c b +c a b c     +       +    +. Tìm được +23364v t t t   +033 6 d 24,754    S t t t (km). +Câu 6: Một chất điểm +A xuất phát từ +O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo th ời gian +bởi quy luật + 21 58/120 45v t t t m s , trong đó +t (giây) là kho ảng thời gian tính t ừ lúc +A bắt +đầu chuyển động. Từ trạng thái ngh ỉ, một chất điểm +B cũng xuất phát từ +O, chuyển động +thẳng cùng hư ớng với +A nhưng ch ậm hơn +3 giây so v ới +A và có gia t ốc bằng +2/a m s ( +hằng số). Sau khi +B xuất phát đư ợc +15 giây thì đu ổi kịp +A . Tính vận tốc của +B tại thời điểm +đuổi kịp +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………………………… ………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Thời điểm chất điểm +B đuổi kịp chất điểm +A thì chất điểm +B đi được +15 giây, chất điểm +đi được +18 giây. +Biểu thức vận tốc của chất điểm +B có dạng + dBv t a t at C   mà +00Bv nên +Bv t at +Do từ lúc chất điểm +A bắt đầu chuyển động cho đ ến khi chất điểm +B đuổi kịp thì quãng +đường hai ch ất điểm đi được bằng nhau. Do đó +18 152 +001 58 225d d 225 . 2120 45 2     t t t at t a a +Vậy, vận tốc của chất điểm +B tại thời điểm đuổi kịp +A bằng +  2.15 30 /Bv t m s . +Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 +Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ +ĐỀ ÔN TẬP SỐ 02_TrNg 2025 +TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò +M«n: To¸n 1 2 – KNTT +Chương 4: TÍCH PHÂN +Định hư ớng cấu trúc 2025 +Líp To¸n thÇy L£ B ¸ B¶O +Trường THPT Đ ặng Huy Tr ứ S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o +116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch , TP HuÕ Trung tâm Km10 - Hương Trà – Huế +NỘI DUNG Đ Ề BÀI +Trong quá trình sưu tầm và biên so ạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì r ất mong nh ận được sự góp ý của +quý thầy cô cùng các em h ọc sinh! Xin chân thành c ảm ơn! +PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu +hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. +Câu 1: Cho các s ố thực + ,a b a b và hàm s ố + y f x có + , f x f x là các hàm s ố liên tục trên +. Đẳng thức nào dư ới đây đúng? + db +af x x f a f b  . B. + db +af x x f a f b . + db +af x x f b f a  . D. + db +af x x f b f a . +Câu 2: Cho hàm s ố +�� y f x thỏa mãn +f x x và +14f . Tìm +19f . B. +19f . C. +11f . D. +11f . +Câu 3: Cho hàm s ố +() y f x liên tục trên +và có đồ thị như hình v ẽ bên dưới: +Biết rằng các di ện tích +12,SS thỏa mãn +1223 SS . Tính +0( )d .f x x +3 . B. +2 . C. +2 . D. +Câu 4: Cho +02 3 d 1  x x f x x . Tính +0d f x x . +3 . B. +3 . C. +9 . D. +Câu 5: Nếu +1d1 f x x và +2d3 f x x thì +12df x x bằng +2 . B. +4 . C. +4 . D. +Câu 6: Nếu +1d2 f x x và +1d4 g x x thì +1d f x g x x bằng +6 . B. +2. C. +Câu 7: Giá trị của +5 . B. +10. C. +15 . D. +Câu 8: Tích phân +2021 +2021 dx +eex bằng +2021 22021 2021ee e e   . B. +2021 22021 2021ee e e   . +2021 22021 2021ee e e   . D. +20212021eee . +Câu 9: Tích phân + với +có giá trị bằng +3 31 +3aa . B. +2 21 +3aa . C. +3 31 +3aa . D. +3 31 +2aa . +Câu 10: Biết +11 1 1ln 2 ln 322I dx a bxx    với +ab Tính +23. T a b +1.8T B. +8.3T C. +1.2T D. +Câu 11: Cho +023d ln 2 ln 332xxx a b cxx   với +; ; .a b c +3 2 5a b c bằng +3 . B. +2 . C. +2 . D. +Câu 12: Cho hàm s ố +22 khi 0. +sin khi 0x x xfx +xx  Tính tích phân +f x x +6 . B. +6 . D. +PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, +thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) +Câu 1: Cho các hàm s ố + y f x và + y g x liên tục trên đo ạn +;ab . Giả sử + Fx và + Gx lần +lượt là các nguyên hàm c ủa +fx và +gx trên đoạn +;ab và +Khẳng định Đúng Sai + db +akf x x k F b F a. +  d d d    b b b +a a af x kg x x k f x x k g x x. + F a F b G a G b   . + ddab +abf x x g x x. +Câu 2: Cho hà m số +231 f x x có đạo hàm + fx . +Khẳng định Đúng Sai +f x x +0d 3.f x x +03 1 d 8.   f x x +151' 2 d .2   f x xf x x +Câu 3: Xét tính đúng – sai của các phé p tính tích phân sau: +Khẳng định Đúng Sai +11d ln .32eIxx +11 1 1.e +I dxx x e   +c) Nếu +13d ln 5 ln 2 ,3x a b a b Zxx   thì +0. ab +d) Nếu +011d ln 2 ln 312  x a bxx với +b là các +số nguyên thì +2 1.ab +Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ + 22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) +tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. +Khẳng định Đúng Sai +a) Quãng đường xe di chuy ển được tính theo công th ức +  2,01 0,05 0 10 s t t t    +b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là 8,82m. +c) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9 xấp +xỉ 15,277m . +d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận +tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là 1,51 +2/.ms +PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. +Câu 1: Cho hàm s ố +fx thỏa mãn +09cos .4fxxt t x  Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………………………………… ………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 2: Biết +3ln 2 ln 3 ln 5xa b c +xx   + với +. a b c +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………… ……………………………………….…………………………. +Câu 3: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +1;6 và có đồ thị là đường gấp khúc +ABC trong +hình bên dư ới: +O-12A B +Fx là nguyên hàm c ủa +fx thỏa mãn +11F  . Tính + 4 6 .FF +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +…………………………… …………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 4: Biết + d2 +0min 1; ; ; ;aax x a bbb +là phân s ố tối giản. Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….………… ………………. +Câu 5: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc 10m/s thì ngư ời lái đạp phanh; t ừ thời điểm đó, ô tô chuy ển +động chậm dần đều với vận tốc + 5 10  v t t (m/s), trong đó +t là khoảng thời gian tính +bằng giây, k ể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đ ến khi dừng hẳn, ô tô còn di +chuyển bao nhiêu mét? +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 6: Một vật chuyển động trong 4 gi ờ với vận tốc +v (km/h) ph ụ thuộc thời gian +t (h) có đồ thị của +vận tốc như hình bên dư ới: +Trong kho ảng thời gian +3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của +đường parabol có đ ỉnh +2; 9I với trục đối xứng song song v ới trục tung, kho ảng thời gian +còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song v ới trục hoành. Tính quãng đư ờng +s mà vật di +chuyển được trong +4 giờ đó (đơn v ị km). +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………… ……………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 +Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ +ĐỀ ÔN TẬP SỐ 02_TrNg 2025 +TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò +M«n: To¸n 1 2 – KNTT +Chương 4: TÍCH PHÂN +Định hư ớng cấu trúc 2025 +LỜI GIẢI CHI TI ẾT +PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu +hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. +Câu 1: Cho các s ố thực + ,a b a b và hàm s ố + y f x có + , f x f x là các hàm s ố liên tục trên +. Đẳng thức nào dư ới đây đúng? + db +af x x f a f b  . B. + db +af x x f a f b . + db +af x x f b f a  . D. + db +af x x f b f a . +Lời giải: +Ta có : + db +af x x f x f b f a   . +Câu 2: Cho hàm s ố + y f x thỏa mãn +f x x và +14f . Tìm +19f . B. +19f . C. +11f . D. +11f . +Lời giải: +Ta có: + 1 +1d 1 1 5 1 4 5 1 9. +         f x x f x f f f f +Câu 3: Cho hàm s ố +() y f x liên tục trên +và có đồ thị như hình v ẽ bên dưới: +Biết rằng các di ện tích +12,SS thỏa mãn +1223 SS . Tính +0( )d .f x x +3 . B. +2 . C. +2 . D. +Lời giải: +Ta có: +0033( )d ( )d ( )d 322        a +af x x f x x f x x S S . +Câu 4: Cho +02 3 d 1  x x f x x . Tính +0d f x x . +3 . B. +3 . C. +9 . D. +Lời giải: +    11 1 1 3 +0 0 0 022 3 d 1 3 d 1 3 d 133xx x f x x x f x x f x x              +05d9f x x +Câu 5: Nếu +1d1 f x x và +2d3 f x x thì +12df x x bằng +2 . B. +4 . C. +4 . D. +Lời giải: +Ta có: +  5 5 2 5 +1 1 1 22 d 2 d 2 d d 2 1 3 4f x x f x x f x x f x x         +    . +Câu 6: Nếu +1d2 f x x và +1d4 g x x thì +1d f x g x x bằng +6 . B. +2. C. +Lời giải: +6 6 6 +1 1 1d d g d 2 4 2 f x g x x f x x x x         . +Câu 7: Giá trị của +5 . B. +10. C. +15 . D. +Lời giải: +05d 5 5xx . +Câu 8: Tích phân +2021 +2021 dx +eex bằng +2021 22021 2021ee e e   . B. +2021 22021 2021ee e e   . +2021 22021 2021ee e e   . D. +20212021eee . +Lời giải: +202120212021 22021 2021 2021 2021x x e +ee dx e x e e e       . +Câu 9: Tích phân + với +có giá trị bằng +3 31 +3aa . B. +2 21 +3aa . C. +3 31 +3aa . D. +3 31 +2aa . +Lời giải: +Ta có: +1 3 3 1 3 +2 1d33aa +a aaa xxx . +Câu 10: Biết +11 1 1ln 2 ln 322I dx a bxx    với +ab Tính +23. T a b +1.8T B. +8.3T C. +1.2T D. +Lời giải: +Ta có: + 2 2 +1 11 1 1 1 1 1d ln ln 2 ln 2 ln 3.2 2 2 2 2      I x x xxx +Từ đó: +23 1 1 3,.2 2 8a b T a b      +Câu 11: Cho +023d ln 2 ln 332xxx a b cxx   với +; ; .a b c +3 2 5a b c bằng +3 . B. +2 . C. +2 . D. +Lời giải: +Ta có: +023d32xxxxx +0342d32xxxx +0122d12xxx   +02 ln 1 2ln 2x x x     +2 ln 2 2 ln 3   +Suy ra +2 c . +Câu 12: Cho hàm s ố +22 khi 0. +sin khi 0x x xfx +xx  Tính tích phân +f x x +6 . B. +6 . D. +Lời giải: +Ta có: +002 +1 0 1 0d d (2 )d sin d I f x x f x x x x x x x +        +7 192.66   +PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, +thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) +Câu 1: Cho các hàm s ố + y f x và + y g x liên tục trên đo ạn +;ab . Giả sử + Fx và + Gx lần +lượt là các nguyên hàm c ủa +fx và +gx trên đoạn +;ab và +Khẳng định Đúng Sai + db +akf x x k F b F a. +  d d d    b b b +a a af x kg x x k f x x k g x x. + F a F b G a G b   . + ddab +abf x x g x x. +Lời giải: +a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng + db +akf x x k F b F a + ddbb +aakf x x k f x x k F x k F b F a     �� nên câu a) ĐÚNG. +   d d db b b +a a af x kg x x k f x x k g x x     +   d d d d db b b b b +a a a a af x kg x x f x x kg x x f x x k g x x         nên câu b ) SAI. + F a F b G a G b   + db +af x x F b F a và + db +ag x x G b G a nên câu c ) SAI +d) Ta có +af x x và +bg x x , suy ra câu d ) ĐÚNG +Câu 2: Cho hàm s ố +231 f x x có đạo hàm + fx . +Khẳng định Đúng Sai +f x x +0d 3.f x x +03 1 d 8.   f x x +151' 2 d .2   f x xf x x +Lời giải: +a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng +a) Sai +Ta có: +222 2 +111d 3 1 25 16 9 +     f x x f x x . +b) Đúng +Ta có: +1311 +00031 81d 3 1 d 19 9 9xf x x x x         . +c) Sai +Ta có: + 1 1 1 +0 0 03 1 d 3 d 1d 3.1 1 2f x x f x x x          +d) Đúng +2 2 2 +1 1 169 512 d d 2 3 1 d 922            f x xf x x f x x x x x +Câu 3: Xét tính đúng – sai của các phép tính tích phân sau: +Khẳng định Đúng Sai +11d ln .32eIxx +11 1 1.e +I dxx x e   +c) Nếu +13d ln 5 ln 2 ,3x a b a b Zxx   thì +0. ab +d) Nếu +011d ln 2 ln 312  x a bxx với +b là các +số nguyên thì +2 1.ab +Lời giải: +a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai +a) Sai +11e d3 1 3 ed ln 3 ln1 3 3 4xI x xxx        +b) Đúng +1 11 1 1 1lne e +I dx xx x x e              . +c) Đúng + 555 +113 1 1d d ln ln 3 ln 5 ln 233x x x xx x x x        +1a và +1 b . +Ta có: +0 ab . +d) Sai +Ta có: +01 dln 1 ln 20 1  xxx và +01ln 2 ln 3 ln 20 2dxxx    +011d ln 2 ln 3 ln 2 2ln 2 ln 312     xxx +2a , +1 b . +20ab . +Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ + 22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) +tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. +Khẳng định Đúng Sai +a) Quãng đư ờng xe di chuy ển được tính theo công th ức +  2,01 0,05 0 10 s t t t    +b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là 8,82m. +c) Quãng đư ờng xe di chuyển được trong giây th ứ 9 xấp +xỉ 15,277m . +d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận +tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là 1,51 +2/.ms +Lời giải: +a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng +a) Sai +Quãng đư ờng xe di chu yển được phải là nguyên hàm c ủa v(t), +  ' 2,01 0,05 0 10v t t t    +là công th ức tính gia t ốc của vật. +b) Đúng +Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là +02,01 0,025 d 8,82t t t m . +c) Đúng +Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9: + 9 +89 8 2,01 0,025 d 15, 277   +s s t t t m +d) Đúng +  +0;102,01 0,025 0 10 max 17,6 / v t t t t v t m s      +khi t = 10s +Gia tốc vật khi đó là +210 ' 10 2,01 0,05.10 1,51 /a v m s    +PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. +Câu 1: Cho hàm s ố +fx thỏa mãn +09cos .4fxxt t x  Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….……………………… …. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +  d3332 +0 01 1 9cos (*)3 3 3 4fx fxtxt t f x f x x               +4x vào (*), ta được: + 3 14 9cos4 4 3.3ff      +Câu 2: Biết +3ln 2 ln 3 ln 5xa b c +xx   + với +. a b c +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………… ……………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Ta có: +21 1 1 1.1 1 xx xx xx    +Khi đó: +dd44 44 +333311ln ln 1 4ln2 ln3 ln5.1xI x x xxx xx           +Suy ra +4, 1, 1.a b c   +Câu 3: Cho hàm s ố + y f x liên tục trên đo ạn +1;6 và có đồ thị là đường gấp khúc +ABC trong +hình bên dư ới: +O-12A B +Fx là nguyên hàm c ủa +fx thỏa mãn +11F  . Tính + 4 6 .FF +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………… ……………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Từ đồ thị của hàm số ta xác định được + khi +khi 1 1 2 +12 2 62x +xx       . +F là nguyên hàm c ủa + khi +khi 1 +12 2 64x C x +x x C x        . +111 1 1 1 0F C C       . +Hàm số + y f x liên tục trên đo ạn +1;6 +Fx liên tục trên đo ạn +1;6 +liên tục tại +1 2 222lim lim 2 3 1. +xxF x F x C C C +        +Suy ra +12 1 2 64xx +xx        + 4 6 5FF . +Câu 4: Biết + d2 +0min 1; ; ; ;aax x a bbb +là phân s ố tối giản. Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +…………………………………………… …………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +20;1 min 1, +1; 2 min 1, 1x x x +xx       + d d d .d1 2 1 2 1 2 3 +0 1 0 1 0 14min 1, min 1, 1 4; 3.33xI x x x x x x x x a b              +Câu 5: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc 10m/s thì ngư ời lái đạp phanh; t ừ thời điểm đó, ô tô chuy ển +động chậm dần đều với vận tốc + 5 10  v t t (m/s), trong đó +t là khoảng thời gian tính +bằng giây, k ể từ lúc bắt đầu đạp phanh. H ỏi từ lúc đạp phanh đ ến khi dừng hẳn, ô tô còn di +chuyển bao nhiêu mét? +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +…………………………………………………… …………………………….…………………………. +Lời giải: +Xét phương trình +5 10 0 2.    tt Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô +dừng hẳn. +Quãng đư ờng ô tô đi đư ợc kể từ lúc người lái đạp phanh đ ến khi ô tô d ừng hẳn là +02 55 10 10 10 .0 2       s t dt t t m +Câu 6: Một vật chuyển động trong 4 gi ờ với vận tốc +v (km/h) ph ụ thuộc thời gian +t (h) có đồ thị của +vận tốc như hình bên dư ới: +Trong kho ảng thời gian +3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của +đường parabol có đ ỉnh +2; 9I với trục đối xứng song song v ới trục tung, kho ảng thời gian +còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song v ới trục hoành. Tính quãng đư ờng +s mà vật di +chuyển được trong +4 giờ đó (đơn v ị km). +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………………………………………………………… ………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +  2:P y ax bx c . +P qua +0; 0O và có đỉnh +2; 9I nên dễ tìm được phương trình là +2994y x x . +Ngoài ra t ại +3x ta có +Vậy quãng đu ờng cần tìm là: +    34 +039 279 d d 27 ( )44S x x x x km . +Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 +Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ +ĐỀ ÔN TẬP SỐ 03_TrNg 2025 +TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò +M«n: To¸n 1 2 – KNTT +Chương 4: TÍCH PHÂN +Định hư ớng cấu trúc 2025 +Líp To¸n thÇy L£ B ¸ B¶O +Trường THPT Đ ặng Huy Tr ứ S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o +116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch , TP HuÕ Trung tâm Km10 - Hương Trà – Huế +NỘI DUNG Đ Ề BÀI +Trong quá trình sưu tầm và biên so ạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì r ất mong nh ận được sự góp ý của +quý thầy cô cùng các em h ọc sinh! Xin chân thành c ảm ơn! +PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu +hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. +Câu 1: Cho +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx. Khi đó , hiệu số + 01FF bằng +0d f x x . B. +0d F x x . C. +0d F x x . D. +0d f x x . +Câu 2: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm +fx liên tục trên +1;4 , +1 12f và +1d 17 f x x . Giá +trị của +4f bằng +29. B. +19. D. +Câu 3: Cho cá c số thực + ,b a b và các m ệnh đề: + ddba +abf x x f x x . + 2 d 2 dba +abf x x f x x . +aaf x x f x x + . + ddbb +aaf x x f u u . +Số mệnh đề đúng trong +4 mệnh đề trên là +3 . B. +4 . C. +Câu 4: Cho hai t ích phân +2d8 f x x + và +5d3 g x x + . Tính +24 1 d I f x g x x +   . +11 I . B. +13I . C. +27I . D. +Câu 5: Tính tích phân +12dax b x . +ab . B. +32ab . C. +2ab . D. +3ab . +Câu 6: Tính tích phân +0d.32xIx +1ln 32 . B. +ln 3 . C. +1ln 32 . D. +1log32 . +Câu 7: Cho hàm s ố +23 khi 0 1 +4 khi 1 2xxy f x +xx    . Tính tích phân +0d f x x . +2 . D. +Câu 8: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +0d2 f x x ; +3d6f x x . Tính +0d I f x x . +8I . B. +12I . C. +36I . D. +4I . +Câu 9: Biết +11d ln 2, ; .    +xI x a b a bx Tính +1. B. +1. C. +Câu 10: Biết rằng +13d ln 5 ln 2, ,3   +x a b a bxx . Mệnh đề nào sau đây đúng? +20ab . B. +20ab . C. +0 ab . D. +0 ab . +Câu 11: Cho +02d I x x m x   và +02d J x mx x . Tìm điều kiện của +3.m B. +2.m C. +1.m D. +Câu 12: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc +20 m/s thì người lái xe phát hi ện có hàng rào ch ắn ngang +đường ở phía trước cách xe +45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên ngư ời lái đạp phanh. T ừ +thời điểm đó, xe chuy ển động chậm dần đều với vận tốc +  5 20 m/s v t t  , trong đó +thời gian đư ợc tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe d ừng hẳn, khoảng cách t ừ xe đến hàng +rào là bao nhiêu? +4 m . B. +5 m . C. +3 m . D. +PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, +thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) +Câu 1: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +Fx là nguyên hàm c ủa +fx và +0d9 f x x . +Khẳng định Đúng Sai +9 +0d 9 0 .f x x F F +b) Nếu +03F và +0d9 f x x thì +9 12F . +03 d 27f u u +d d 18f x x f x x. +Câu 2: Cho hàm s ố +2khi 0 11 +2 1 khi 1 3xy f x x +xx   +   . +Khẳng định Đúng Sai +002d d .1f x x xx +33 +11d 2 1 d .f x x x x. +33 12 +0d 2ln 1 .   f x x x x x + 3 +0d ln 2 , ;   +f x x a b a b và +8. ab +Câu 3: Cho tích phân +12 2 1d.xIxx +Khẳng định Đúng Sai +2 khi 22.2 khi 2xxxxx +1 1 22 2 1 2 2 1 2 2 1d d d .         x x xI x x xx x x. +25 +125ln 2 2 3ln .   I x x x x + 4 ln 2 ln 5, ,    +I a b a b và +5.ab +Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ + 22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) +tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. +Khẳng định Đúng Sai +a) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3s là +8,82 . m +b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được tính theo công thức +  2,01 0,05 0 10 s t t t    . +c) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9 xấp +15,277 . m +d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận +tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là +21,51 / .ms +PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. +Câu 1: Biết +012 1 sin d 1, +     x x xab +. Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………… ……………. +Câu 2: Biết +28d ln 2 ln 52  xx a b cxx với +,,abc là các số nguyên. Tính +. a b c +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………… ……………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 3: Cho hàm số + y f x có đồ thị trên đoạn +1;4 như hình vẽ dưới. Tính tích phân +1( )d I f x x +(kết quả dưới dạng số thập phân). +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………… ……………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………��.…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 4: Cho hàm s ố +32f x ax bx cx d    có +02f và +34 4 2 , .f x f x x x x     +gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả +0d.I f x x +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………………………… ………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 5: Cho hàm s ố bậc ba + y f x có đồ thị như hình v ẽ dưới đây : +Tính gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả +0d.xf x f x x +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………… ……………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Câu 6: Cho hàm s ố + 1 +04d f x x x f x x và +1 0.f Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………… ……………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Huế, 17h20’ Ngày 21 tháng 9 năm 2024 +Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ +ĐỀ ÔN TẬP SỐ 03_TrNg 2025 +TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò +M«n: To¸n 1 2 – KNTT +Chương 4: TÍCH PHÂN +Định hư ớng cấu trú c 2025 +LỜI GIẢI CHI TI ẾT +PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu +hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. +Câu 1: Cho +Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số +fx . Khi đó hiệu số + 01FF bằng +0d f x x . B. +0d F x x . C. +0d F x x . D. +0d f x x . +Lời giải: +Ta có: +01d0f x x F x  + 10FF  + 01FF . +Câu 2: Cho hàm s ố + y f x có đạo hàm +fx liên tục trên +1;4 , +1 12f và +1d 17 f x x . Giá +trị của +4f bằng +29. B. +19. D. +Lời giải: +1d 17 f x x +117 fx + 4 1 17ff   +4 29f . +Câu 3: Cho các s ố thực + ,b a b và các m ệnh đề: + ddba +abf x x f x x . + 2 d 2 dba +abf x x f x x . +aaf x x f x x + . + ddbb +aaf x x f u u . +Số mệnh đề đúng trong +4 mệnh đề trên là +3 . B. +4 . C. +Lời giải: +Theo định nghĩa và tính ch ất của tích phân ta có +4 đúng. +Câu 4: Cho hai t ích phân +2d8 f x x + và +5d3 g x x + . Tính +24 1 d I f x g x x +   . +11 I . B. +13I . C. +27I . D. +Lời giải: +Ta có: +24 1 d I f x g x x +   +52 +25d 4 d f x x g x x x +   + 8 4.3 5 2 13     +Câu 5: Tính tích phân +12dax b x . +ab . B. +32ab . C. +2ab . D. +3ab . +Lời giải: + 2 +122 d 4 2 31ax b x ax bx a b a b a b        �� . +Câu 6: Tính tích phân +0d.32xIx +1ln 32 . B. +ln 3 . C. +1ln 32 . D. +1log32 . +Lời giải: +32xIx +01ln 3 22x   +1ln 32 . +Câu 7: Cho hàm s ố +23 khi 0 1 +4 khi 1 2xxy f x +xx    . Tính tích phân +0d f x x . +2 . D. +Lời giải: +0d f x x +12 +01dd f x x f x x +12 +013 d 4 dx x x x   +1 13432xxx    +Câu 8: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +0d2 f x x ; +3d6f x x . Tính +0d I f x x . +8I . B. +12I . C. +36I . D. +4I . +Lời giải: +0d I f x x +13 +01dd f x x f x x +2 6 4   . +Câu 9: Biết +11d ln 2, ; .    +xI x a b a bx Tính +1. B. +1. C. +Lời giải: +11dxIxx +111d xx +1lnxx +1 ln 2 1; 1.      ab +Câu 10: Biết rằng +13d ln 5 ln 2, ,3   +x a b a bxx . Mệnh đề nào sau đây đúng? +20ab . B. +20ab . C. +0 ab . D. +0 ab . +Lời giải: + 555 +113 1 1d d ln ln 3 ln 5 ln 233x x x xx x x x        +1a và +1 b . +Ta có: +0 ab . +Câu 11: Cho +02d I x x m x   và +02d J x mx x . Tìm điều kiện của +3.m B. +2.m C. +1.m D. +Lời giải: +02d I x x m x   +32xxmx   +1023m . +02d J x mx x +03xmx +10 1233mm    +Câu 12: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc +20 m/s thì người lái xe phát hi ện có hàng rào ch ắn ngang +đường ở phía trước cách xe +45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên ngư ời lái đạp phanh. T ừ +thời điểm đó, xe chuy ển động chậm dần đều với vận tốc +  5 20 m/s v t t  , trong đ ó +thời gian đư ợc tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe d ừng hẳn, khoảng cách t ừ xe đến hàng +rào là bao nhiêu? +4 m . B. +5 m . C. +3 m . D. +Lời giải: +* Xe dừng lại khi +  0 5 20 0 4 s v t t t      . +* Quãng đư ờng xe đi đư ợc kể từ lúc đạp phanh đ ến khi dừng lại là: +444 2 +00 055 20 = 20 =40 m2tv t dt t dt t     +* Khi xe d ừng hẳn, khoảng cách t ừ xe đến hàng rào là: +45 40 5 m . +PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, +thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) +Câu 1: Cho hàm s ố +fx liên tục trên +Fx là nguyên hàm c ủa +fx và +0d9 f x x . +Khẳng định Đúng Sai +9 +0d 9 0 .f x x F F +b) Nếu +03F và +0d9 f x x thì +9 12F . +03 d 27f u u +d d 18f x x f x x. +Lời giải: +a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai +a)Theo đ ịnh nghĩa tích phân thì + 9 +0d ( ) 9 0f x x F x F F   . +  9 +0d 9 9 0 9 9 3 9 9 12f x x F F F F         . +c)Theo tính ch ất +9 9 9 +0 0 03 d 3 d 3 d 27  f u u f x x f x x . +d)Theo tính ch ất +6 9 9 +6 00d d d 9    f x x f x x f x x . +Câu 2: Cho hàm s ố +2khi 0 11 +2 1 khi 1 3xy f x x +xx   +   . +Khẳng định Đúng Sai +002d d .1f x x xx +33 +11d 2 1 d .f x x x x. +33 12 +0d 2ln 1 .   f x x x x x + 3 +0d ln 2 , ;   +f x x a b a b và +8. ab +Lời giải: +a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng +Ta có: +3 1 3 +0 0 1d d d f x x f x x f x x   +012d 2 1 d1x x xx   +3 12 +0 12ln 1x x x    +ln 4 6 2ln 2 6.    +Câu 3: Cho tích phân +12 2 1d.xIxx +Khẳng định Đúng Sai +2 khi 22.2 khi 2xxxxx +1 1 22 2 1 2 2 1 2 2 1d d d .         x x xI x x xx x x. +25 +125ln 2 2 3ln .   I x x x x + 4 ln 2 ln 5, ,    +I a b a b và +5.ab +Lời giải: +a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng +2 khi 222 khi 2xxxxx . +122 2 1 2 2 1 d dxxI x xxx    . + 25 +122 2 1 2 2 1 d dxxxxxx    +12532 d 2 dxxxx             +255ln 2 2 3ln12x x x x    +4 8ln 2 3ln 5   +5 S a b   +Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ + 22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) +tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. +Khẳng định Đúng Sai +a) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3s là +8,82 . m +b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được tính theo công th ức +  2,01 0,05 0 10 s t t t    . +c) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9 xấp +15,277 . m +d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận +tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là +21,51 / .ms +Lời giải: +a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng +a) Đúng +Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là +02,01 0,025 d 8,82t t t m . +b) Sai +Quãng đư ờng xe di chuy ển được phải là nguyên hàm c ủa v(t), +  ' 2,01 0,05 0 10v t t t    +là công th ức tính gia t ốc của vật. +c) Đúng +Quãng đư ờng xe di ch uyển được trong giây th ứ 9 : + 9 +89 8 2,01 0,025 d 15,277   s s t t t m +d) Đúng +  +0;102,01 0,025 0 10 max 17,6 / v t t t t v t m s      +khi t = 10s +Gia tốc vật khi đó là +210 ' 10 2,01 0,05.10 1,51 /a v m s    +PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. +Câu 1: Biết +012 1 sin d 1, +     x x xab +. Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………………………………………………………… ………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +  2 2 +012 1 sin d cos 1 14 2 4 2x x x x x x +              +2b . Suy ra +6 ab . +Câu 2: Biết +28d ln 2 ln 52  xx a b cxx với +,,abc là các số nguyên. Tính +. a b c +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +…………………………………………………… …………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Ta có : +228 3 2d + d 3ln 1 2ln 2 7ln 2 2ln 5.2 1 2xx x x xx x x x            +Suy ra giá trị là: +7, 2, 0  a b c . +Câu 3: Cho hàm số + y f x có đồ thị trên đoạn +1;4 như hình vẽ dưới. Tính tích phân +1( )d I f x x +(kết quả dưới dạng số thập phân) . +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +…………………………………………………………………… …………….…………………………. +Lời giải: +1;0A , +0;2B , +1;2C , +2;0D , + 3; 1E + 4; 1F , +1;0H , +3;0K , +4;0L . +Khi đó +4 0 1 2 3 4 +1 1 0 1 2 3( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d I f x x f x x f x x f x x f x x f x x +           +0 1 2 3 4 +1 0 1 2 3( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) df x x f x x f x x f x x f x x +         +0 fx , +1;2 x   và +0 fx , +2;4x ) +ABO OBCH HCD DKE EFLKS S S S S     +1 1 1 52 1 2 1 2 1 1 1 1 12 2 2 2           . +Câu 4: Cho hàm s ố +32f x ax bx cx d    có +02f và +34 4 2 , .f x f x x x x     +gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả +0d.I f x x +Kết quả: +Trình bày: +…………………………………………………………………………………. …………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +Ta có : + 32 3 2 3 24 4 4 4 63 15 3 .            f x f x a x b x c x d ax bx cx d ax bx cx +Ta có hệ: +63 4 63 +4 4 2 , 15 0 0 4223 2 2 63 3 02 +2                      +f x f x x x x bbf x x xc fc +004 2 148d 2 d 2,35.63 3 63      I f x x x x x +Câu 5: Cho hàm s ố bậc ba + y f x có đồ thị như hình v ẽ dưới đây : +Tính gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả +0d.xf x f x x +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +……………… ………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +  32, ; ; ;      +f x ax bx cx d a b c d ; +23 2 .   f x ax bx c +Do đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ + 0;2 , 1;1 ; +3;1 và hàm s ố đạt cực trị tại +nên ta có hệ: +3127 9 3 1 +           f +a b c d +fa b c d +Suy ra +324 13299f x x x   . +Khi đó +11 +004 13 4 26 7442d 2 d 0,88.9 9 3 9 8505           xf x f x x x x x x x x +Câu 6: Cho hàm s ố + 1 +04d f x x x f x x và +1 0.f Tính +Kết quả: +Trình bày: +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +………………………………………………………………………………….…………………………. +Lời giải: +1 +0d , 0 4 . m f x x m f x x mx     +111 0 1 4 0 0; .44f m m m         +Khi đó +1 1 2 1 +0 0 0 2d 4 d 4 d 4 dm +mm f x x x mx x x mx x x mx x          +21 +0 24 d 4 dm +mm x mx x x mx x     +4 2 4 2 +02112244m +mm x mx x mx              +4 2 4 2 +02112244m +mm x mx x mx              +1 48 3 01 4 +      +10;4m nên +Khi đó + 314 62.2f x x x f    +Huế, 17h20’ Ngày 21 tháng 9 năm 2024 + + + + +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 1: DÃY S Ố +1. DÃY S Ố LÀ GÌ? +Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa +n u un→ +Dãy số trên được kí hiệu là ()nu +Dạng khai triển của dãy số ()nu là: 123, , , ..., ,...n uuu u +Chú ý: +a) ()1 1 uu= gọi là số hạng đầu, ()nu un= là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số. +b) Nếu *,nu Cn= ∀∈ thì ta nói ()nu là dãy số không đổi. +Hàm số u xác định trên tập   1,2,3,..., Mm với *m thì được gọi là một dãy số hữu hạn. +Dạng khai triển của dãy số này là: 123, , , ..., ,m uuu u trong đó 1u là số hạng đầu, mu là số hạng +2. CÁCH XÁC ĐỊ NH DÃY S Ố +Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: +a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng +b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát +c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi +Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: +Cho số hạng đầu. +Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó. +d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +LÝ THUY ẾT. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn +3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN +Dãy số nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1nnuu với mọi *. n +Dãy số nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1nnuu với mọi *. n +Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số nu với 3n +nu tức là +dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm. +4. DÃY SỐ BỊ CHẶN +Dãy số nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho +*, .nu Mn   +Dãy số nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho +*, .nu mn   +Dãy số nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số +, mM sao cho +*, .nmu M n    +Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1u ++ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1u +DẠNG 1: TÌM S Ố HẠNG C ỦA DÃY S Ố +Bài toán 1: Cho dãy số ()nu: ()nu fn= . Hãy tìm số hạng ku. +Tự luận: Thay trực tiếp nk= vào nu. +MTCT: Dùng chức năng CALC : +Nhập: ()fx +Bấm r nhập Xk= +Bấm = → Kết quả +HỆ THỐNG BÀI T ẬP. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn +Câu 1: Cho dãy số ()nubiết 115 15 +22 5nn +nu  +−= −       . Tìm số hạng 6u. +Câu 2: Cho dãy số ()nu có số hạng tổng quát 21 +2nnun+=+. Số 167 +84 là số hạng thứ mấy? +Bài toán 2: Cho dãy số ()nucho bởi 1 +1 ()nnua +u fu+= +=. Hãy tìm số hạng ku. +Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế 1u vào 2u, thế 2u vào 3u, …, thế 1ku− vào +MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: +- Nhập giá trị của số hạng u 1: a= +- Nhập biểu thức của ()1nnu fu+= +- Lặp dấu = lần thứ 1k− cho ra giá trị của số hạng ku. +Câu 3: Cho dãy số ()nubiết 1 +uuu+=+ =+ . Tìm số hạng 10u. +Câu 4: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 1 += +. Tìm số hạng 50u. +Bài toán 3: Cho dãy số ()nucho bởi 12 +..nnnu au b +u cu du e++= = += ++. Hãy tìm số hạng ku. +Tự luận: Tính lần lượt 34; ;...;k uu u bằng cách thế 12,uu vào 3u; thế 23,uu vào 4u; …; thế +21,kkuu−− vào ku. +MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: +- Nhập C .B .A : A B : B Ccd e=++ = = +- Bấm r nhập Bb=, ấn = , nhập Aa= ấn = +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn - Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2k− giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng +Câu 5: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 12 +211; 2 +2 35n nnuu +u uu++= = += ++. Tìm số hạng 8u. +Bài toán 4: Cho dãy số ()nucho bởi {}()1 +1 ,nnua +u f nu+==. Trong đó {}(),n f nu là kí hiệu của biểu thức 1nu+ +tính theo nu và n. Hãy tìm số h���ng ku. +Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế {}11,u vào 2u; thế {}22,u vào 3u; …; thế +{}1 1,k ku−− vào ku. +MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: +- Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n +B: chứa giá trị của u n +C: chứa giá trị của u n+1 +- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A: = A + 1 và B:=C để tính số hạng tiếp theo +của dãy +- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1k− thì đó là giá trị của số hạng +Câu 6: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: ()1 +nuun+== ++. Tìm số hạng 11u. +Câu 7: Cho dãy số ()nu được xác định bởi: 1 +u un+= += +. Tìm số hạng 50u. +DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GI ẢM CỦA DÃY S Ố +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn Cách 1: Xét hiệu 1nnuu+− + Nếu * +1 0nnuu n+− > ∀∈ thì ()nu là dãy số tăng. + Nếu * +1 0nnuu n+− < ∀∈  thì ()nu là dãy số giảm. +Cách 2 : Khi *0nun> ∀∈ ta xét tỉ số 1n + Nếu 11n +u+> thì ()nu là dãy số tăng. + Nếu 11n +u+< thì ()nu là dãy số giảm. +Cách 3 : Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp +để chứng minh * +1nnu un+> ∀∈  +* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số +Dãy số ()nucó nu an b= + tăng khi 0a>và giảm khi 0a< +Dãy số ()nucó n + Không tăng, không giảm khi 0q< + Giảm khi 01q<< + Tăng khi 1q> +Dãy số ()nucó nan bucn d+=+ với điều kiện *cn d 0 n+ > ∀∈  + Tăng khi 0 ad bc−> + Giảm khi 0 ad bc−< +Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm +Nếu dãy số ()nutăng hoặc giảm thì dãy số ().n +nqu không tăng, không giảm +Dãy số ()nucó 1nnu au b+= + tăng nếu +−> ; giảm nếu +−<và không tăng +không giảm nếu 0a< +Dãy số ()nucó 1 +*, 0, 0n +nau bucu d +cd u n++ =+  +> > ∀∈ tăng nếu +0ad bc +−>và giảm nếu +0ad bc +Dãy số ()nucó 1 +*, 0, 0n +nau bucu d +cd u n++ =+  +> > ∀∈ không tăng không giảm nếu 0 ad bc−< +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn +Nếu () +v↑↑thì dãy số ()nnuv+↑ Nếu () +v↓↓thì dãy số ()nnuv+↓ +*( ); 0 +(); 0nn +nnuu n +vv n↑ ≥ ∀∈↑ ≥ ∀∈ +thì dãy số ().nnuv↑ Nếu * +*( ); 0 +(); 0nn +nnuu n +vv n↓ ≥ ∀∈↓ ≥ ∀∈ +thì dãy số ().nnuv↓ +Nếu ()nu↑ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↑ +và dãy số ()*()m +num↑∀ ∈ Nếu ()nu↓ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↓ +và dãy số ()*()m +num↓∀ ∈ +Nếu ()nu↑ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 +nu↓ + Nếu ()nu↓ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 +nu↑ +Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 36nun= + . +Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 5 +2nnun+=+. +Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 25n +nun= . +Câu 11: Cho dãy số ()nubiết1 +( ): 31 24nn +u uun−= += ∀≥. +DẠNG 3: XÉT TÍNH B Ị CHẶN CỦA DÃY S Ố +Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức +Cách 1: Dãy số ()nucó ()nu fn= là hàm số đơn giản. +Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *() ,nu fn M n= ≤ ∀∈  hoặc *() ,nu fn m n= ≥ ∀∈  +Cách 2: Dãy số ()nucó 12 ... ...n kn u vv v v=+++++ +Ta làm trội 1 k kkvaa+≤− +Lúc đó ()()()12 23 1 ...n nn u aa aa aa+ ≤−+−+ − +Suy ra * +11 ,nnu aa Mn+≤ − ≤ ∀∈  +Cách 3: Dãy số ()nucó 1 23. ...nnu v vv v= với *0,nvn> ∀∈  +Ta làm trội 1k +kava+≤ +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn Lúc đó 31 2 +12. ...n +naaauaa a+≤ +Suy ra * 1 +nau Mna+≤ ≤ ∀∈  +Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. +Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp +để chứng minh +Chú ý: Nếu dãy số ()nugiảm thì bị chặn trên, dãy số ()nutăng thì bị chặn dưới +* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn +Dãy số ()nucó ()1n +nuq q= ≤ bị chặn +Dãy số ()nucó ()1n +nuq q= <− không bị chặn +Dãy số ()nucó n +nuq= với 1q> bị chặn dưới +Dãy số ()nucó nu an b= + bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< +Dãy số ()nucó 2 +nu an bn c= ++ bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< +Dãy số ()nucó 1 +1 10 ...mm +nm mu a n a n an a− +− = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên nếu +Dãy số ()nucó ( )1 +1 10 ...nm m +n mmu q a n a n an a− +− = + ++ + với 0ma≠ và 1 q<− không bị chặn +Dãy số ()nucó 1 +1 10 ...mm +nm mu a n a n an a− +− = + ++ + bị chặn dưới với 0ma> +Dãy số ()nucó 1 3 +1 10 ...mm +nm mu a n a n an a− +− = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên +nếu 0ma< +Dãy số ()nucó () +()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn nếu bậc của ()Pn +nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ()Qn +Dãy số ()nucó () +()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn +trên nếu bậc của ()Pn lớn hơn bậc của ()Qn +Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 1 +23nun−=+. +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 45 +1nnun+=+. +Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 3 +21nnun=+. +Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? +DẠNG 4: TÍNH T ỔNG C ỦA DÃY S Ố +Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều +Giải sử cần tính tổng: 12 ...n Saa a=+++ . Trong đó: 1 nnaa d−= + +- Tự luận: +Ta có: ()()()()1 21 1 1 2 ...nn n n S aa aa aa n aa− =+++ + ++= + +Từ đó suy ra: ()1n. +2n aaS+= +- Trắc nghiệm: +Công thức tính nhanh: ++ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: ()1 1nuu n d=+− với d là khoảng cách giữa 2 số ++ Số số hạng = : + 1 ++ Tổng = •: 2 +- Casio +Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng. +Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1 +tới n= số số hạng y =. +Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001S=++++ ? +Câu 17: Cho tổng ( ) 2 4 6 ... 2Sn n =++++ . Khi đó 30S bằng? +Câu 18: Cho dãy số ()nu xác định bởi: 1150u= và 13nnuu−= − với mọi 2n≥ Khi đó tổng 100 số hạng +đầu tiên là: +Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 9 +Sưu t ầm và biên so ạn +Giả sử cần tính tổng: . +- Tự luận: +Bước 1: Ta tìm cách tách: ; ;. +Bước 2: Rút gọn: +- Trắc nghiệm: ++ Một số công thức tách thường sử dụng: ++ Nhận định kết quả của tổng là: +- Casio: +Làm tương tự như dạng 1 +Câu 19: Tính tổng sau: +Câu 20: Cho tổng . Khi đó công thức của là: +Câu 21: Cho tổng . Tính +Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính +Giả sử cần tính tổng: . +- Tự luận: +Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S +- Trắc nghiệm: +Tổng có dạng: với 12 ...n Saa a=+++ +112a bb= −2 23a bb= − +122 3 11 1 b ...nn n Sbbb bb bb++ =−+−++− =− +n(n a)a +n na•= −++2 11 +n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )a +n na na n a•= −++ + ++ +2 22 22 11 +n (n a) ( )na a +n na+•= −++. ! ( 1)! !nn n n• =+− +11 n Sbb+= − +222 2...1.3 3.5 5.7 97.99S= + + ++ +111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)nS= + + ++++nS +222 23 5 7 21...(1.2) (2.3) (3.4) [ n( 1)]nnSn+=+++ ++10S +12 ...n Saa a=+++ +11 1 11 +S u ua ua ua Sa+− +=+ + ++ ⇒=−1a≠ +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 10 +Sưu t ầm và biên so ạn - Casio: +Làm tương tự như dạng 1 +Câu 22: Tính tổng: ? +Câu 23: Tính tổng ? +Câu 24: Tính tổng: . Tính +Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết +Giải sử cần tính tổng: . +- Tự luận: +Tìm cách tách: . Trong đó: đã biết công thức tính tổng. +- Trắc nghiệm: +Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng. +- Casio: +Làm tương tự như dạng 1 +Câu 25: Tính: . Biết rằng: +Câu 26: Cho: . Tính biết rằng: +Câu 27: Cho tổng: với . Biết: . Giá trị của k là: +DẠNG 5: XÁC ĐỊ NH CÔNG TH ỨC SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT C ỦA DÃY S Ố +2 501 3 3 ... 3S=++ ++ +2 3 10011 1 14.5 . ... 155 5 5S= + + ++ + +111 11 1 1 ... 1248 2nS     =− +− +−++−          10S +12 ...nnS aa a=+++ +123 ...nS SSS=+++12 3; ;S ...SS +1.3 2.5 3.7 ... (2 1)nS nn =+++ + + +2 22 2 +11( 1) ( 1)(2 1)1 2 3 ... ; 1 2 3 ...26nn +iinn nn ni ni n += =+ ++= ++++= = + +++ = ∑∑ +1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2nS nn =+++ +−100S +2 22 2 +11( 1)(2 1)2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...6nn +iinn ni n nn i n += =++= ++++ = + = + +++ =∑∑ +1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)nS nn = + + ++ +*n∈ 294kS= +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 11 +Sưu t ầm và biên so ạn  Nếu có dạng thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu + Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự +đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài +ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n. +Câu 28: Cho dãy số có . Đặt . Xác định công thức tính theo n. +Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: . +Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: ( )nu12 ...nnu aa a=+++ka +1nnuu+− ( )nu +( )na( )1 +1kakk=+1n +==∑ ( )nu +u un+=∀≥ = + +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 1: DÃY S Ố +1. DÃY S Ố LÀ GÌ? +Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa +n u un→ +Dãy số trên được kí hiệu là ()nu +Dạng khai triển của dãy số ()nu là: 123, , , ..., ,...n uuu u +Chú ý: +a) ()1 1 uu= gọi là số hạng đầu, ()nu un= là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát ) của dãy số. +b) Nếu *,nu Cn= ∀∈ thì ta nói ()nu là dãy số không đổi. +Hàm số u xác định trên tập   1,2,3,..., Mm với *m thì được gọi là một dãy số hữu hạn. +Dạng khai triển của dãy số này là: 123, , , ..., ,m uuu u trong đó 1u là số hạng đầu, mu là số hạng +2. CÁCH XÁC ĐỊ NH DÃY S Ố +Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: +a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng +b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng qu át +c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi +Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: +Cho số hạng đầu. +Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó. +d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +LÝ THUY ẾT. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn +3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN +Dãy số nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1nnuu với mọi *. n +Dãy số nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1nnuu với mọi *. n +Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số nu với 3n +nu tức là +dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm. +4. DÃY SỐ BỊ CHẶN +Dãy số nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho +*, .nu Mn   +Dãy số nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho +*, .nu mn   +Dãy số nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số +, mM sao cho +*, .nmu M n    +Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1u ++ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1u +DẠNG 1: TÌM S Ố HẠNG C ỦA DÃY S Ố +Bài toán 1: Cho dãy số ()nu: ()nu fn= . Hãy tìm số hạng ku. +Tự luận: Thay trực tiếp nk= vào nu. +MTCT: Dùng chức năng CALC : +Nhập: ()fx +Bấm r nhập Xk= +Bấm = → Kết quả +HỆ THỐNG BÀI T ẬP. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn +Câu 1: Cho dãy số ()nubiết 115 15 +22 5nn +nu  +−= −       . Tìm số hạng 6u. +Lời giải +Cách 1: Giải theo tự luận: +Thế trực tiếp: 66 +611 5 1 5822 5u      . +Cách 2: Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay: +Nhập: 115 15 +22 5xx  +− −        +Bấm CALC nhập X6= +Máy hiện: 8 +Câu 2: Cho dãy số ()nu có số hạng tổng quát 21 +2nnun+=+. Số 167 +84 là số hạng thứ mấy? +Lời giải +Cách 1: Giải theo tự luận: +1Giả sử += ⇔ = ⇔ += ++167 2 1 16784(2 1) 167( 2)84 2 84nnu nnn250n⇔= . +Vậy 167 +84 là số hạng thứ 250 của dãy số ()nu. +Cách 2: Sử dụng MTCT: +Nhập: + +Bấm CALC nhập X 250= +Máy hiện: 167 +Bài toán 2: Cho dãy số ()nucho bởi 1 +1 ()nnua +u fu+= +=. Hãy tìm số hạng ku. +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế 1u vào 2u, thế 2u vào 3u, …, thế 1ku− vào +MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: +- Nhập giá trị của số hạng u 1: a= +- Nhập biểu thức của ()1nnu fu+= +- Lặp dấu = lần thứ 1k− cho ra giá trị của số hạng ku. +Câu 3: Cho dãy số ()nubiết 1 +uuu+=+ =+ . Tìm số hạng 10u. +Lời giải +Cách 1: Giải theo tự luận: +1212 3 +1 11 2uuu++= = =++ ; 2 +2322 7 2 +3 1512uuu++= = =++ ; 3 +3722 17 5 +71 1215uuu++= = =++ ; +41722 41 12 +171 29112uuu++= = =++ ; 5 +54122 99 29 +41 1 70129uuu++= = =++ ; 6 +69922 239 70 +991 169170uuu++= = =++ +723922 577 169 +2391 4081169uuu++= = =++ ; 8 +857722 1393 408 +5771 9851408uuu++= = =++ ; 9 +9139322 3363 985 +13931 23781985uuu++= = =++ +Cách 2: Sử dụng MTCT: +Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau: +Nhập: 1 = 1()u +Nhập ANS 2 +ANS 1+ +Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 103363 +2378u= . +Câu 4: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 1 += +. Tìm số hạng 50u. +Lời giải +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn Cách 1: Giải theo tự luận: +Từ giả thiết ta có: +50 491 +Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: +501 2.49 99 u= += +Cách 2: Sử dụng MTCT: +Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau: +Nhập: 1 = 1()u +Nhập ANS 2+ +Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 5099 u= . +Bài toán 3: Cho dãy số ()nucho bởi 12 +..nnnu au b +u cu du e++= = += ++. Hãy tìm số hạng ku. +Tự luận: Tính lần lượt 34; ;...;k uu u bằng cách thế 12,uu vào 3u; thế 23,uu vào 4u; …; thế +21,kkuu−− vào ku. +MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: +- Nhập C .B .A : A B : B Ccd e=++ = = +- Bấm r nhập Bb=, ấn = , nhập Aa= ấn = +- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2k− giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng +Câu 5: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 12 +211; 2 +2 35n nnuu +u uu++= = += ++. Tìm số hạng 8u. +Lời giải +Cách 1: Giải theo tự luận: +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn 3 212 3 5 12 u uu= + += 4 322 3 5 35 u uu= + += 5 432 3 5 111 u uu= + += +6 542 3 5 332 u uu= + += 7 652 3 5 1002 u uu= + += 8 762 3 5 3005 u uu= + += +Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: +Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của nu +B: chứa giá trị của 1nu+ +C: chứa giá trị của 2nu+ +Lập quy trình bấm máy: +Nhập: C 2 B 3 A + 5:A B:B C= += = +Bấm CALC nhập B2=, ấn =, nhập A1= ấn = +Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 6 thì đó là giá trị của số hạng 8u bằng +Bài toán 4: Cho dãy số ()nucho bởi {}()1 +1 ,nnua +u f nu+==. Trong đó {}(),n f nu là kí hiệu của biểu thức 1nu+ +tính theo nu và n. Hãy tìm số hạng ku. +Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế {}11,u vào 2u; thế {}22,u vào 3u; …; thế +{}1 1,k ku−− vào ku. +MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: +- Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n +B: chứa giá trị của u n +C: chứa giá trị của u n+1 +- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A: = A + 1 và B:=C để tính số hạng tiếp theo +của dãy +- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1k− thì đó là giá trị của số hạng +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 6: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: ()1 +nuun+== ++. Tìm số hạng 11u. +Lời giải +Cách 1: Giải theo tự luận: +2111( 1)22uu= += 322( 1) 13uu= += 4333( 1)42uu= += 544( 1) 25uu= += +6555( 1)62uu= += 766( 1) 37uu= += 8777( 1)82uu= += 988( 1) 49uu= += +10 999( 1)10 2uu= += 11 1010( 1) 511uu= += +Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: +Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n +B: chứa giá trị của nu +C: chứa giá trị của 1nu+ +Lập quy trình bấm máy: +Nhập: ()AC B 1 :A A 1:B CA1= + = +=+ +Bấm CALC nhập A1=, ấn = , nhập B0= ấn = +Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 10 thì đó là giá trị của số hạng 11u bằng 5. +Câu 7: Cho dãy số ()nu được xác định bởi: 1 +u un+= += +. Tìm số hạng 50u. +Lời giải +Cách 1: Giải theo tự luận: +Từ giả thiết ta có: +50 491 +Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn 50 +2112.(2 3 ... 50) 2. 2548,522 xux +== + +++ = + = ∑ +Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: +Nhập: C B 2 A:A A 1:B C= + = += +Bấm CALC nhập 1B2=, ấn = , nhập A1= ấn = +Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 49 thì đó là giá trị của số hạng 50u bằng +2548,5 . +DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GI ẢM CỦA DÃY S Ố +Cách 1: Xét hiệu 1nnuu+− + Nếu * +1 0nnuu n+− > ∀∈ thì ()nu là dãy số tăng. + Nếu * +1 0nnuu n+− < ∀∈  thì ()nu là dãy số giảm. +Cách 2 : Khi *0nun> ∀∈ ta xét tỉ số 1n + Nếu 11n +u+> thì ()nu là dãy số tăng. + Nếu 11n +u+< thì ()nu là dãy số giảm. +Cách 3 : Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp +để chứng minh * +1nnu un+> ∀∈  +* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số +Dãy số ()nucó nu an b= + tăng khi 0a>và giảm khi 0a< +Dãy số ()nucó n + Không tăng, không giảm khi 0q< + Giảm khi 01q<< + Tăng khi 1q> +Dãy số ()nucó nan bucn d+=+ với điều kiện *cn d 0 n+ > ∀∈  + Tăng khi 0 ad bc−> + Giảm khi 0 ad bc−< +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 9 +Sưu t ầm và biên so ạn Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm +Nếu dãy số ()nutăng hoặc giảm thì dãy số ().n +nqu không tăng, không giảm +Dãy số ()nucó 1nnu au b+= + tăng nếu +−> ; giảm nếu +−<và không tăng +không giảm nếu 0a< +Dãy số ()nucó 1 +*, 0, 0n +nau bucu d +cd u n++ =+  +> > ∀∈ tăng nếu +0ad bc +−>và giảm nếu +0ad bc +Dãy số ()nucó 1 +*, 0, 0n +nau bucu d +cd u n++ =+  +> > ∀∈ không tăng không giảm nếu 0 ad bc−< +Nếu () +v↑↑thì dãy số ()nnuv+↑ Nếu () +v↓↓thì dãy số ()nnuv+↓ +*( ); 0 +(); 0nn +nnuu n +vv n↑ ≥ ∀∈↑ ≥ ∀∈ +thì dãy số ().nnuv↑ Nếu * +*( ); 0 +(); 0nn +nnuu n +vv n↓ ≥ ∀∈↓ ≥ ∀∈ +thì dãy số ().nnuv↓ +Nếu ()nu↑ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↑ +và dãy số ()*()m +num↑∀ ∈ Nếu ()nu↓ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↓ +và dãy số ()*()m +num↓∀ ∈ +Nếu ()nu↑ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 +nu↓ + Nếu ()nu↓ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 +nu↑ +Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 36nun= + . +Lời giải +Ta có ()1 3 6 3 1 63 9nnun u n n+ = +⇒ = ++= + +Xét hiệu ()()* +1 3 9 3 6 30nnuu n n n+− = + − + => ∀∈  +Vậy ()nulà dãy số tăng +Giải nhanh: Dãy này có dạng nu an b= + ; a30= > nên dãy số tăng +Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 5 +2nnun+=+. +Lời giải +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 10 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 153 31122 3nnnuunn n++= = + ⇒= +++ + +Xét hiệu ()()* +133 303 2 23nnuu nnn nn+−− = − = < ∀∈++ ++ +Vậy ()nulà dãy số giảm +Giải nhanh: Dãy này có dạng nan bucn d+=+ +Mẫu *20nn+>∀ ∈ và 25 30 ad bc− =−= −< nên ()nulà dãy số giảm +Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 25n +nun= . +Lời giải +1 2 2550, +nnu nun n+ ++ = > ∀∈ ⇒ = +Xét tỉ số +()12 2 2 2 +2 225 5 2 14 2 1.5 21 211n +nu n n nn nn +u nn nn n+ ++ + ++ − −= = =++ ++ + +22 12 11 1,21nn nnnn−+ −=+ > ∀∈++ +Vậy ()nulà dãy số tăng +Câu 11: Cho dãy số ()nubiết1 +( ): 31 24nn +u uun−= += ∀≥. +Lời giải +Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm +Ta có 11 +1131 1 +nn nuuuu u−− +−−+−−= −= +Do đó, để chứng minh dãy ()nugiảm ta chứng minh 1 1nun>∀≥ bằng phương pháp quy nạp +toán học. Thật vậy +Với 1 1 21nu= ⇒= > +Giả sử 131 311144k +kkuuu+++>⇒ = > = +Theo nguyên lí quy nạp ta có 1 1nun>∀≥ +Suy ra 110 2nn n nuu uu n−−− <⇔ < ∀≥ hay dãy ()nu giảm +Giải nhanh: Dãy ()nucó dạng 1nnu au b+= + +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 11 +Sưu t ầm và biên so ạn Ở đây 304a= > và 21712044uu− =−= −< Suy ra dãy số giảm +Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số ()1 +, a,b>0 2nn +u au bunab−= > += ∀≥+giảm tương tự như +DẠNG 3: XÉT TÍNH B Ị CHẶN CỦA DÃY S Ố +Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức +Cách 1: Dãy số ()nucó ()nu fn= là hàm số đơn giản. +Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *() ,nu fn M n= ≤ ∀∈  hoặc *() ,nu fn m n= ≥ ∀∈  +Cách 2: Dãy số ()nucó 12 ... ...n kn u vv v v=+++++ +Ta làm trội 1 k kkvaa+≤− +Lúc đó ()()()12 23 1 ...n nn u aa aa aa+ ≤−+−+ − +Suy ra * +11 ,nnu aa Mn+≤ − ≤ ∀∈  +Cách 3: Dãy số ()nucó 1 23. ...nnu v vv v= với *0,nvn> ∀∈  +Ta làm trội 1k +kava+≤ +Lúc đó 31 2 +12. ...n +naaauaa a+≤ +Suy ra * 1 +nau Mna+≤ ≤ ∀∈  +Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. +Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp +để chứng minh +Chú ý: Nếu dãy số ()nugiảm thì bị chặn trên, dãy số ()nutăng thì bị chặn dưới +* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn +Dãy số ()nucó ()1n +nuq q= ≤ bị chặn +Dãy số ()nucó ()1n +nuq q= <− không bị chặn +Dãy số ()nucó n +nuq= với 1q> bị chặn dưới +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 12 +Sưu t ầm và biên so ạn Dãy số ()nucó nu an b= + bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< +Dãy số ()nucó 2 +nu an bn c= ++ bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< +Dãy số ()nucó 1 +1 10 ...mm +nm mu a n a n an a− +− = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên nếu +Dãy số ()nucó ( )1 +1 10 ...nm m +n mmu q a n a n an a− +− = + ++ + với 0ma≠ và 1 q<− không bị chặn +Dãy số ()nucó 1 +1 10 ...mm +nm mu a n a n an a− +− = + ++ + bị chặn dưới với 0ma> +Dãy số ()nucó 1 3 +1 10 ...mm +nm mu a n a n an a− +− = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên +nếu 0ma< +Dãy số ()nucó () +()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn nếu bậc của ()Pn +nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ()Qn +Dãy số ()nucó () +()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn +trên nếu bậc của ()Pn lớn hơn bậc của ()Qn +Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 1 +23nun−=+. +Lời giải +Ta có ** * 11 1 12 3 5, 0 , 0,23 5 5 23nn n nnn−+≥ ∀∈ ⇒ < ≤ ∀∈ ⇒ − ≤ < ∀∈++  +105nu⇒− ≤ < +Suy ra dãy số ()nubị chặn +Giải nhanh: dãy số ()nucó nucó bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn +Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 45 +1nnun+=+. +Lời giải +Ta có * 450,1nnunn+= > ∀∈+ +* 4 5 4( 1) 1 1 1 9 944 ,1 1 1 22 2nnnnu unnn n+ ++= = =+ ≤+ = ⇒ ≤ ∀∈++ + +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 13 +Sưu t ầm và biên so ạn Suy ra * 90,2nun< ≤ ∀∈  +Vậy dãy số ()nu bị chặn +Giải nhanh: dãy số ()nu có nucó bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn +Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 3 +21nnun=+. +Lời giải +Ta có 3 +20, ( )1nnnu nun= > ∀∈ ⇒+ bị chặn dưới +Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? +Lời giải +Xét ()21 1 11,211kk k kk k< = − ∀≥−− +Suy ra 1 1 11 11 11 1 1 31 31 ...2 2 23 34 56 1 2 2nunn n      <+− + − + − + − ++ − =−<      −        +30 ,*2nun⇒ < < ∀∈  +Vậy ()nu bị chặn +DẠNG 4: TÍNH T ỔNG C ỦA DÃY S Ố +Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều +Giải sử cần tính tổng: 12 ...n Saa a=+++ . Trong đó: 1 nnaa d−= + +- Tự luận: +Ta có: ()()()()1 21 1 1 2 ...nn n n S aa aa aa n aa− =+++ + ++= + +Từ đó suy ra: ()1n. +2n aaS+= +- Trắc nghiệm: +Công thức tính nhanh: ++ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: ()1 1nuu n d=+− với d là khoảng cách giữa 2 số ++ Số số hạng = : + 1 +PHƯƠNG PHÁP . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 14 +Sưu t ầm và biên so ạn + Tổng = •: 2 +- Casio +Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng. +Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1 +tới n= số số hạng y =. +Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001S=++++ ? +Lời giải +Ta có: 2 (1 4001) (3 3999) (5 3997) ... (4001 1) 4002 2001S= ++ ++ ++ ++ =⋅ +4002.200140040012S= = ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Số số hạng: 4001 11 20012n−= += +Tổng: (1 4001).200140040012S+= = ++) Giải theo Casio +Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 1( 1) 1 ( 1).2 2 1nuu n d n n=+− = +− =− +Số số hạng của dãy là 2001 +Nhập máy tính cho ta kết quả: 4004001 +) Những sai lầm thường gặp: +- Tính sai s ố số hạng của dãy +- Tìm sai công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố khi làm vớ i máy tính Casio +Lời bình: Nhận thấy việc tìm số hạng tổng quát của dãy đối với HS trung bình, yếu là tương +đối khó khăn. Vì thế ta nên sử dụng công thức giải nhanh để tìm số số hạng và tổng của dãy +một cách nhanh chóng. Ở bài tập này thì việc vận dụng công thức tính nhanh sẽ nhanh hơn Casio nhé các em! +Câu 17: Cho tổng +( ) 2 4 6 ... 2Sn n =++++ . Khi đó 30S bằng? +Lời giải +Ta có: 502 4 6 60 S= + + +…+ + 2 (2 60) (4 58) (6 56) (60 2)S= ++ ++ ++ … ++ + (2 60).30( ) 9302Sn+= = +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 15 +Sưu t ầm và biên so ạn +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Số hạng thứ 30: 502.30 60 u= = Số số hạng: 30n= Tổng: (2 60).309302S+= = ++) Giải theo Casio +Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 2n +Số số hạng của dãy là: 30 +Nhập máy tính cho ta kết quả: 930 +Những sai lầm thường gặp: +- Tìm sai s ố hạng thứ n. +Lời bình: Trong bài tập này HS cần chú ý tới số hạng tổng quát trong dãy đã cho sẵn. Từ đó sử +dụng để tìm số hạng thứ n hoặc sử dụng trong việc bấm máy tính Casio một cách nhanh chóng +tìm được kết quả. +Câu 18: Cho dãy số ()nu xác định bởi: 1150u= và 13nnuu−= − với mọi 2n≥ Khi đó tổng 100 số hạng +đầu tiên là: +Lời giải ++) Giải tự luận: +Ta có: +100 993 150 3 150 1.3 147 +3 150 3 3 150 2.3 144 +3 150 99.3 147= −= −= − = += −= −−= − = += −= − = −uu + 100 150 147 144 147 S= + + +…+− + 1002 (150 147) (147 144) (144 141) ( 147 150)S=−+−+−+ … + − + + 100(150 147) 1001502S−⋅= = ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Số hạng thứ 100: 100 1 ( 1) 150 99.( 3) 147 u und=+− = + −= − +Số số hạng: 100n= +Tổng: (150 147) 1001502S−⋅= = ++) Giải theo Casio +Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 150 3( 1) 3 153nu nn= − −= −+ +Số số hạng của dãy là: 100n= +Nhập máy tính cho ta kết quả: 150 +Những sai lầm thường gặp: +- Tìm sai s ố hạng thứ n của dãy +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 16 +Sưu t ầm và biên so ạn - Tìm sai công thứ c số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio +Lời bình: HS cần ghi nhớ công thức số hạng tổng quát của dãy số cách đều để sử dụng tìm số +hạng thứ n và rút ra công thức số hạng tổng quát của dãy một cách nhanh chóng để xử lý bài +toán. +Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp +Giả sử cần tính tổng: . +- Tự luận: +Bước 1: Ta tìm cách tách: ; ;. +Bước 2: Rút gọn: +- Trắc nghiệm: ++ Một số công thức tách thường sử dụng: ++ Nhận định kết quả của tổng là: +- Casio: +Làm tương tự như dạng 1 +Câu 19: Tính tổng sau: +Lời giải +Ta có: +Do đó: ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Nhận thấy: 12 ...n Saa a=+++ +112a bb= −2 23a bb= − +122 3 11 1 b ...nn n Sbbb bb bb++ =−+−++− =− +n(n a)a +n na•= −++2 11 +n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )a +n na na n a•= −++ + ++ +2 22 22 11 +n (n a) ( )na a +n na+•= −++. ! ( 1)! !nn n n• =+− +11 n Sbb+= − +222 2...1.3 3.5 5.7 97.99S= + + ++ +1 111 11; ;...1.3 1 3 3.5 3 5= −= − +1 1 1 1 1 1 1 98... 11 3 3 5 97 99 99 99S=−+−++ − =− = +1 111 11; ;...1.3 1 3 3.5 3 5= −= − +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 17 +Sưu t ��m và biên so ạn Nhận định: ++) Giải bằng Casio +Số hạng tổng quát của dãy là: +Số số hạng của dãy là: +Nhập máy tính cho ta kết quả: +Những sai lầm thường gặp: +- Tách sai các s ố hạng +- Tìm sai s ố hạng tổng quát của dãy số +Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức: +. Ở bài tập này việc làm bằng máy tính Casio là khó khăn và phức tạp hơn +vì chưa có sẵn số hạng tổng quát và số số hạng. +Câu 20: Cho tổng . Khi đó công thức của là: +Lời giải +Ta có: +Suy ra: ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Nhận thấy: +Nhận định: +Những sai lầm thường gặp: +- Tách sai các s ố hạng +Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức: +1 98199 99S= −= +(2 1)(2 1)nunn=−+ +49n=( ) 2 1 97 49nn−= ⇔ = +n(n a)a +n na•= −++ +111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)nS= + + ++++nS +1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3)2 ...1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) 1.2 ( 1)( 2) 2( 1)( 2)nnnSn n nn nn nn+=−+−+ + − =− =+ ++ ++ ++ +4( 1)( 2)nnnSnn+=++ +1 1 1 ( 3) +2 1.2 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)nnnSnn nn += −=++ ++ +n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )a +n na na n a•= −++ + ++ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 18 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 21: Cho tổng . Tính +Lời giải +Cách 1: +Ta có: +Suy ra: +Cách 2: +Ta có: +Suy ra: ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Nhận thấy: +( ) ( )223 11 5 11; ;...14 49 1.2 2.3= −= − +Nhận định: . Suy ra: ++) Casio +Công thức số hạng tổng quát của dãy là: +Số số hạng của dãy là: +Nhập máy tính cho ta kết quả: +Những sai lầm thường gặp: +- Tách sai các s ố hạng +Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức: +Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính 222 23 5 7 21...(1.2) (2.3) (3.4) [ n( 1)]nnSn+=+++ ++10S +( ) ( )223 11 1 11; ;...14 49 1.2 2.3= −= − +( )2 2 221 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)...1 4 4 9 1 ( 1) ( 1) 1nnnSn nn n+=−+−++ − =− =++ + +10 210(10 2) 120 +(10 1) 121S+= =+ +( )10 2 2223 5 7 21...(1.2) (2.3) (3.4) 10.11S=+++ + +10 22 21 1 1 1 1 1 1 1 120...1 4 4 9 10 11 1 11 121S=−+−++ − =− = +221 1 ( 2) +1 ( 1) ( 1)nnnSnn+= −=++10 210(10 2) 120 +(10 1) 121S+= =+ +( )221 +2 22 22 11 +n (n a) ( )na a +n na+•= −++ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 19 +Sưu t ầm và biên so ạn +Giả sử cần tính tổng: . +- Tự luận: +Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S +- Trắc nghiệm: +Tổng có dạng: với +- Casio: +Làm tương tự như dạng 1 +Câu 22: Tính tổng: ? +Lời giải +Ta có: ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Áp dụng công thức tính nhanh với ta có: . ++) Giải theo Casio +Công thức số hạng tổng quát của dãy là: +Số số hạng của dãy là: +Nhập máy tính cho ta kết quả: . +Ta gán: ) +Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó. ++) Những sai lầm thường gặp: +- Tìm sai s ố hạng tổng quát của dãy số +Lời bình: Khi làm với máy tính Caiso các em cần tìm chính xác số hạng tổng quát của dãy số +việc này quyết định máy có đưa ra được kết quả chính xác hay không. Ở bài tập này nếu các em +thuộc được công thức tính nhanh thì ta có thể giải quyết bài toán hết sức nhanh chóng. Chú ý 12 ...n Saa a=+++ +11 1 11 +S u ua ua ua Sa+− +=+ + ++ ⇒=−1a≠ +2 501 3 3 ... 3S=++ ++ +2 3 513 3 3 3 ... 3S= ++ + +( ) ( )2 3 51 2 503 3 3 3 ... 3 1 3 3 ... 3SS⇒ −= + + + −++ + +51 312 312SS−⇒ = −⇒ = +11; 3ua= =5131 +241,076846982.10 +241,076846982.10 A→ +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 20 +Sưu t ầm và biên so ạn rằng bài toán này có thể hạn chế Casio bằng cách cho 2 đáp án ở “gần nhau” chẳng hạn phương +án B. thì khi làm bằng Casio sẽ có 2 đáp án không phân biệt được là +B và C +Câu 23: Tính tổng ? +Lời giải +Ta có: ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Áp dụng công thức tính nhanh với: ta có: +Câu 24: Tính tổng: . Tính +Lời giải +Cách 1: +Ta có: +Ta có: 513 +2 3 10011 1 14.5 . ... 155 5 5S= + + ++ + +2 3 10011 1 1...55 5 5M=+ + ++ +2 9911 15 1 ...55 5M=++ ++ +2 99 2 3 100 10011 1 11 1 1 15 1 ... ... 155 5 55 5 5 5MM  ⇒ − =++ ++ − + + ++ = −      +100 1001 51415 4.5MM−⇒ = − ⇒= +100 100 +1005145 1 54.5S−⇒ =⋅ ⋅ += +2 3 10011 1 1...55 5 5M=+ + ++ +111;55ua= =100 +10011155 51 +1 4.515M− − = = +100 100 +1005145 1 54.5S−⇒ =⋅ ⋅ += +111 11 1 1 ... 1248 2nS     =− +− +−++−          10S +10 2 3 10 2 3 101 1 1 1 11 1 11 1 1 ... 1 10 ...2 2 2 2 22 2 2S       =− +− +− ++− =− + +++               +2 3 1011 1 1...22 2 2M=+ + ++ +2911 12 1 ...22 2M= ++ ++ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 21 +Sưu t ầm và biên so ạn +Cách 2: +Ta có: +Ta có: ++) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: +Ta có: ++) Giải theo Casio +Nhận xét: +Nhập máy tính tổng với số hạng tổng quát: , số số hạng: +ta được kết quả: . Nhập tiếp: 10 – Ans được kết quả: +Ta gán: ) +Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó. 2 9 2 3 10 1011 1 11 1 1 12 1 ... ... 122 2 22 2 2 2MMM  ⇒ − = =++ ++ − + + ++ = −      +10 101110 1 922S⇒ = −+ =+ +2311 1 1...22 2 2n nSn=− + + ++ +2311 1 1...22 2 2nM=+ + ++ +2111 12 1 ...22 2nM−= ++ ++ +2 1 2311 1 11 1 1 12 1 ... ... 122 2 22 2 2 2n nnMMM−  ⇒ − = =++ ++ − + + ++ = −      +112n nSn⇒ =−+ +10 10 101110 1 922S⇒ = −+ =+ +10 2 3 1011 1 110 ...22 2 2S= − + + ++ +2 3 10 1011122 11 1 1 1... 11 22 2 2 212−+ + ++ = = − +10 101110 1 922S⇒ = −+ =+ +2311 1 1...22 2 2n nSn=− + + ++ +2311 1 1...22 2 2n+ + ++1 +2n nu= 10nu= +1024A→ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 22 +Sưu t ầm và biên so ạn Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết +Giải sử cần tính tổng: . +- Tự luận: +Tìm cách tách: . Trong đó: đã biết công thức tính tổng. +- Trắc nghiệm: +Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng. +- Casio: +Làm tương tự như dạng 1 +Câu 25: Tính: . Biết rằng: +Lời giải +Câu 26: Cho: . Tính biết rằng: +Lời giải +Ta có: +Câu 27: Cho tổng: với . Biết: . Giá trị của k là: +Lời giải +Ta có: +DẠNG 5: XÁC ĐỊ NH CÔNG TH ỨC SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT C ỦA DÃY S Ố 12 ...nnS aa a=+++ +123 ...nS SSS=+++12 3; ;S ...SS +1.3 2.5 3.7 ... (2 1)nS nn =+++ + + +2 22 2 +11( 1) ( 1)(2 1)1 2 3 ... ; 1 2 3 ...26nn +iinn nn ni ni n += =+ ++= ++++= = + +++ = ∑∑ +1 1 112 ( 1)(2 n 1) ( 1) ( 1)(4 5)(2 1) (2i ) 2626n n nn +i i iinn nn nn nS ii i i i += = = =++ + ++= += += + = + = ∑ ∑ ∑∑ +1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2nS nn =+++ +−100S +2 22 2 +11( 1)(2 1)2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...6nn +iinn ni n nn i n += =++= ++++ = + = + +++ =∑∑ +1 1 114 ( 1)(2 n 1) ( 1)(4 1)2 (2 1) (4 i 2 ) 4 2 ( 1)63n n nn +i i iinn nn nS i i i i i nn += = = =++ +−= −= − = − = − += ∑ ∑ ∑∑ +100100.(100 1)(4.100 1)13433003S+−⇒= = +1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)nS nn = + + ++ +*n∈ 294kS= +1 1 113 ( 1)(2 n 1) ( 1)(3 1) (3 i ) 3 ( 1)62n n nn +i i iinn nnS i i i i i nn += = = =++ += += += + = + = + ∑ ∑ ∑∑ +2 32 2( 1) 294 2 294 ( 6)( 8 49) 0 6kS kk k k k k k k k ⇒ = + = ⇔ + += ⇔ − + + =⇔= +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 23 +Sưu t ầm và biên so ạn + Nếu có dạng thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu + Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự +đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài +ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n. +Câu 28: Cho dãy số có . Đặt . Xác định công thức tính theo n. +Lời giải +Ta có , do đó: +Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: . +Lời giải +Ta có: +Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng: +Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng. +Với . Vậy đúng với +Giả sử đúng với Có nghĩa ta có: +Ta cần chứng minh đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh: +( )nu12 ...nnu aa a=+++ka +1nnuu+− ( )nu +( )na( )1 +1kakk=+1n +==∑ ( )nu +( )1 11 +11kakk k k= = −++ +11 11 1 1 1 1 11 ... 12 23 1 1 1n +kuan n nn n =     = = −+−+ + −+− = −     − ++      �� +21 2325 . uu=+=+= +32 2 5 2 7. uu= +=+= +43 2 7 2 9. uu= +=+= +54 2 9 2 11. uu= +=+= +( ) 2 1 1nun n= + ∀≥ ∗ +11; 2.1 1 3nu= = += ( )∗ 1.n= +( )∗ . nk= ( ) 2 1 2kuk= + +( )∗ 1. nk= + +( )12 1 1 2 3.kuk k+= + += + +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 24 +Sưu t ầm và biên so ạn Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có: +Vậy đúng khi Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n. +Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: +Lời giải +Ta có: +Từ đó suy ra: +Cộng từng vế n đẳng thức trên: +Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: + Mở rộng phương pháp: + Nếu dãy số ( )nu được cho dưới dạng liệt kê thì ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án. + Nếu dãy số ( )nu được cho bởi một hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu của dãy số sau đó ta có +thể thử giá trị n vào từng đáp án. +1 22 1 22 3 .kkuu k k+= += ++= + +( )∗ 1. nk= + ( )∗ +u un+=∀≥ = + +11 .n n nnu un u un++=+⇒ −= +21 1 uu−= +32 2 uu−= +43 3 uu−= +12 2nnuu n−−−= − +1 1nnuu n−−= − +( ) ( )33 333 +12132 1 2 1 ... 1 1 2 3 ... 2 1n n nn uuuuu u u uu n n−− − +−+−++ − +− = +++++− +− +( ) ( )33 3331 1 2 3 ... 2 1 .nu nn ⇔= +++++− +− +( )( )2 2 +3 333 1.1 2 3 ... 14nnn−++++− = +( )2 2114nnnu−= + +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 12 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 1: DÃY S Ố +DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT +Câu 1: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 9; 99; 999; 9999,… S ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố này l à: +A. 1nnun=+ B. 10 1n +nu= − . C. 9n +nu= D. 9nun= +Câu 2: Cho dãy s ố 1325, , , ,...2537. Công thứ c tổng quát nu nào là củ a dãy s ố đã cho? +1nnunn= ∀∈+. B. * +2n nnun= ∀∈ . C. * 1 +3nnunn+= ∀∈+. D. * 2 +21nnunn= ∀∈+. +Câu 3: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. 5( 1)nun= − . B. 5nun= . C. 5nun= + . D. 5. 1nun= + . +Câu 4: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. 77nun= + . B. 7.nun=. +C. 7. 1nun= + . D. nu: Không vi ết được dưới dạng công th ức. +Câu 5: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;...54;43;32;21;0.Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +nnun+= . B. 1nnun=+. C. 1 +nnun−= . D. 2 +1nnnun−=+. +Câu 6: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1; ...−−− .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có dạ ng +A. 1=nu . B. 1−=nu . C. n +nu )1(−= . D. ()11n +nu+= − . +Câu 7: Cho dãy s ố ()nuxác định bởi ()1 +1113nnunuu+=≥ =. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số +A. 3=n +nu . B. 13−=n +nu . C. 132+= −n +nu . D. 32= −n +Câu 8: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có +A. =   +00.00...01n +n sèu . B. +−=   +100.00...01n +n sèu . C. 11 +10n nu−= . D. 11 +10n nu+= . +CHƯƠNG +DÃY SỐ +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHIỆM. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 13 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Cho dãy số ( )nu xác định bởi: ( )1 +1112nnunuu+=≥ = +. Xác định công thức của số hạng tổng quát. +A. 21nun= − . B. 32nun= − . C. 43nun= − . D. 87nun= − . +Câu 10: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 234511 1 1 1; ; ; ; ;...33 3 3 3Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? +A. 111.33n nu+= . B. 11 +3n nu+= . C. 1 +3n nu= . D. 11 +3n nu−= . +Câu 11: Cho dãy s ố ( )nu với 1 +u un+= += +.Số hạng tổng quát nucủa dãy s ố là s ố hạng nào dưới đây? +A. ( ) 1 +2nnnu−= . B. ( ) 152nnnu−= + . C. ( ) 152nnnu+= + . D. ( )( )125 +2nnnu++= + . +Câu 12: Cho dãy s ố vớ i . Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. . B. . C. . D. . +Câu 13: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;...− .Số hạng tổng quát của dãy s ố này có d ạng? +A. n un 2− =. B. ( ) n un+ − =2 . C. ( ) ) 1 ( 2+ − =n un . D. ( ) ( )22 1nun= −+ − . +Câu 14: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;31;31;31;31;31 +5 4 3 2….Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? +A. 131 ++=n nu . B. 131 ++=n nu . C. n nu31= . D. 131 +−=n nu . +Câu 15: Cho dãy s ố ( )nu với +uu+== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dướ i +A. 1nun= + . B. 1nun= − . C. ( )211n +nu=+− . D. nun=. +Câu 16: Cho dãy s ố ( )nu với ++== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dướ i +A. 2nun= − . B. nu không xác đị nh. C. 1nun= − . D. nun=− với mọi n. +Câu 17: Cho dãy s ố ( )nu với 1 +u un+= += +. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dưới đây? +A. ( )( )12 116nnn nu++= + . B. ( )( )12 216nnn nu−+= + . +C. ( )( )12 116nnn nu−−= + . D. ( )( )12 216nnn nu+−= + . ( )nu1 +2+= += −nnu +( )1212= +−nun ( )1212= −−nun122= −nun122= +nun +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 14 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 18: Cho dãy s ố ()nu với 1 +uun+= +−=−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dư ới +A. ()221nun= +− . B. 22nun= + . C. ()221nun= ++ . D. ()221nun= −− . +Câu 19: Cho dãy s ố ()nuvới 1 +uu+=− += −−. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +nnun−=− . B. 1 +nnun+= . C. 1 +nnun+=− . D. 1nnun=−+. +Câu 20: Cho dãy s ố ()nu với1 +uu+= += −. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. ()1212nun= +− . B. ()1212nun= −− . C. 122nun= − . D. 122nun= + . +Câu 21: Cho dãy s ố ()nu với 1 +uu+=−=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. ()11.2n +nu= −. B. ()111.2n +nu+= −. C. 11 +nu−=. D. ()111.2n +nu−= −. +Câu 22: Cho dãy s ố ()nu với 1 +=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: +nun−= . B. 2n +nu=. C. 12n +nu+= . D. 2nu=. +Câu 23: Cho dãy s ố ()nu với 1 +uu+= +=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: +A. 12n +nu−=− . B. 11 +2n nu−−= . C. 1 +2n nu−= . D. 22n +nu−= . +Câu 24: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 +unu+=− += −− ∀∈. +Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố. +A. 31−=−nnun. B. 1=−+nnun. C. 1+=nnun. D. 1+=−nnun. +Câu 25: Cho dãy s ố ()nu với +1+== +−n +uu.Công th ức tổng quát nu nào dư ới đây là c ủa dãy s ố đã +A. =nun . B. 1= −nun . C. ()211=+−n +nu . D. 1= +nun . +Câu 26: Gọi ()()111 1....1.3 3.5 5.7 2 1 2 1nSnn= + + ++−+ với mọi *n. Ta có: +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 15 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 +21nnSn−=−. B. 2 +21nnSn=+. C. 21nnSn=+. D. 1 +23nnSn+=+. +Câu 27: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 +2 1, 1nnu +u u nn+= +=++≥. Giá tr ị của n để 2017 2018 0nun−+ + = +A. Không có n. B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 . +Câu 28: Cho hai c ấp số cộng :1;6;11;...nu và : 4;7;10;...nv Mỗi cấp số có 2018 s ố. Hỏi có bao nhiêu +số có m ặt trong c ả hai dãy s ố trên. +A. 403. B. 401. C. 402. D. 504. +Câu 29: Cho dãy s ố ()nu thỏa 1 +2 3, , 2nnu +u u nn n n−= += + −− ∀∈ ≥ . Tính t ổng 20 1 2 20 ... S uu u=+++ +A. 2022 . B. 8385080 . C. 2021 . D. 8385087 . +DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ +Câu 30: Cho dãy s ố ,nubiết 2 +221.3nnun Tìm s ố hạng 5.u +A. 51.4u= B. 517.12u= C. 57.4u= D. 571.39u= +Câu 31: Cho dãy số ,nu biết n +nun 1 .2 . Mệnh đề nào sau đây sai? +A. 1 2. u B. 24. u C. 3 6. u D. 4 8. u +Câu 32: Cho dãy số ,nu biết 21. .n +nun Tìm số hạng 3.u +A. 38.3u B. 32. u C. 3 2. u D. 38.3u +Câu 33: Cho dãy số ,nu biết +2n nnu= . Chọn đáp án đúng. +A. 41.4u= B. 51.16u= C. 51.32u= D. 31.8u= +Câu 34: Cho dãy số ,nu biết ( 1) sin( )2n +nnunπ= − . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là: +A. 0. B. 9. C. −1. D. −9. +Câu 35: Cho dãy số ,nu biết 1 +1nun=+. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào +dưới đây? +A. 111;;.234 B. 111; ; .23 C. 111;;.246 D. 111; ; .35 +Câu 36: Cho dãy số ,nu biết 21 +2nnun+=+. Viết năm số hạng đầu của dãy số. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 16 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 23453 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . B. 1 23455 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . +C. 1 23455 8 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = D. 1 23455 7 7 111 ,,,,452 3u uuuu= = = = = . +Câu 37: Cho dãy số ,nu biết +31n nnu= +−. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là +A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 +Câu 38: Cho dãy số ,nu biết 1 +21nnun. Số 8 +15 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. +Câu 39: Cho dãy số ,nu biết 25.54nnun Số 7 +12 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. 6. B. 8. C. 9. D. 10. +Câu 40: Cho dãy số ,nu biết 21.1nnun Số 2 +13 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6. +Câu 41: Cho dãy số ,nu biết 328 5 7.nun n n  Số 33 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. 5. B. 6. C. 8. D. 9. +Câu 42: Cho dãy số nu với 237 +1nnnun++=+. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. +A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có. +Câu 43: Cho dãy số nu với 2.n +nu= Tìm số hạng 1.nu+ +A. 12 .2.n +nu B. 12 1.n +nu C. 12 1.nun D. 12 2.n +Câu 44: Cho dãy số nu với 3.n +nu= Tìm số hạng 21.nu +21 3 .3 1.n +nu B. 1 +21 3 .3 .nn + C. 2 +21 3 1.n +nu D.  21 +21 3.n +Câu 45: Cho dãy số nu với 3.n +nu= Số hạng 1nu+ bằng: +A. 31n+. B. 33n+. C. 3 .3n. D. 3( 1)n+. +Câu 46: Cho dãy số nu với 3.n +nu= Số hạng 2nu bằng: +A. 33n+. B. 9n. C. 3 .3n. D. 24n. +Câu 47: Cho dãy số nu với 15.n +nu+= Tìm số hạng 1nu−. +−= . B. 15n +nu−=. C. 1 +−= . D. 1 +Câu 48: Cho dãy số nu với 231.1n +nnun+−=+ Tìm số hạng 1nu+. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 17 +Sưu t ầm và biên so ạn A.  2 13 +nnun + B.  2 13 +nnun + + D. 25 + +Câu 49: Cho dãy số nu xác định bởi +. 113nnu +uu Tìm số hạng 4.u +A. 45.9u B. 41. u C. 42.3u D. 414.27u +Câu 50: Cho dãy số nu xác định bởi 1 +uu Mệnh đề nào sau đây sai? +A. 25.2u B. 315.4u C. 431.8u D. 563.16u +Câu 51: Cho dãy số nu xác định bởi 1 += + khi đó 5u bằng: +A. 317. B. 157. C. 77. D. 112. +Câu 52: Cho dãy số nu xác định bởi 1 +uu+=− += +. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là +A. 1 ;2 ;5 .− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10 D. 1; 3;7.− +Câu 53: Cho dãy số nu xác định bởi += +1 +uu. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là +A. −3; 6; 9. B. −−3; 2; 7. C. 3; 8;13 . D. 3; 5;7. +Câu 54: Cho dãy số nu xác định bởi +−=−≥ = +1 +( 2)2nnu +nuun. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng +A. 0. B. 93. C. 9. D. 34. +Câu 55: Cho dãy s ố ()nu, biết 21n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là +A. 123;;234. B. 111; ;2 16 C. 111; ;48 D. 231; ;37. +Câu 56: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 1 +1,22 n +unu. Khi đó 3u có giá tr ị bằng +4. B. 4 +3. C. 2 +3. D. 3 +Câu 57: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= + . Tìm s ố hạng th ứ 6 của dãy s ố. +A. 17. B. 5. C. 15. D. 7. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 18 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 58: Cho dãy s ố ()nu, biết 2.3n +nu= . Giá tr ị của 20u bằng +Câu 59: Cho dãy s ố ()nu, biết công thứ c số hạng tổng quát 23nun= − . Số hạng th ứ 10 của dãy s ố bằng: +A. 17 B. 20 C. 10 D. 7 +Câu 60: Cho dãy s ố ()nu có công th ức số hạng tổng quát 83nun= − . Tính 4.u +A. 2. B. 7−. C. 5−. D. 4−. +Câu 61: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 21 +23nnunn−=++. Giá tr ị 21u là +243. B. 10 +243. C. 21 +443. D. 19 +Câu 62: Cho dãy s ố ()nu có 2 +1nnun−=+. Tính 2u. +5u=. B. 22 +5u=. C. 23 +5u=. D. 24 +Câu 63: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 1 +3 1, 2nnu +uu n−=− += − ∀≥. Tìm s ố hạng 4u. +A. 4 76 u=− . B. 4 77 u=− . +C. 4 66 u=− . D. 4 67 u=− . +Câu 64: Cho dãy s ố ()nu, biết ()()3 +2nnnu−= . Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là +A. 13;1;22. B. 11; ; 02−− . C. 1; 1; 0−− . D. 13;1;22. +Câu 65: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= − . Số hạng th ứ 5 của dãy s ố là +A. 5. B. 4. C. 13. D. 7. +Câu 66: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 21 +nnun+= . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. +A. 2,1. B. 2, 2. C. 2, 0. D. 2, 4. +Câu 67: Cho dãy s ố ()nucó số hạng tổng quát 211nnun= −+. Số hạng đầu tiên c ủa dãy là: +A. 2. B. 3 +5. C. 0. D. 1 +Câu 68: Cho dãy số ()nu có 21nu nn= −++ . Số 19− là số hạng thứ mấy của dãy ? +A. 5. B. 7. C. 6. D. 4. +Câu 69: Cho dãy s ố ()nu với 3n +nu=. Khi đó s ố hạng 21nu− bằng +A. 13 .3nn−. B. 2131n−−. C. 231n−. D. 23 .3 1n−. +Câu 70: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i �� 1 cosn +nun π  . Giá tr ị 99u bằng +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 19 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 99. B. 1. C. 1. D. 99 . +Câu 71: Cho dãy số ()nu với 21nun= + số hạng th ứ 2019 của dãy là +A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093 . +Câu 72: Cho dãy s ố ()nu với 1 2.n +nu= + Khi đó s ố hạng 2018u bằng +A. 20182. B. 20172017 2+ . C. 201812+ . D. 20182018 2+ . +Câu 73: Cho dãy s ố ()nu với 2, n 1.31nnun−= ≥+ Tìm kh ẳng đị nh sai . +A. 31.10u= B. 108.31u= C. 2119.64u= D. 5047.150u= +Câu 74: Cho dãy s ố 221 +1nnnun+−=+. Tính 11u. +A. 11182 +12u= . B. 111142 +12u= . C. 111422 +12u= . D. 1171 +Câu 75: Cho dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát là 221 +1nnun+=+. Khi đó 39 +362 là số hạng th ứ mấy của dãy +A. 20. B. 19. C. 22. D. 21. +Câu 76: Cho dãy s ố ()1 +nnuuu un+= += +. Số 20 là số hạng th ứ mấy trong dãy? +A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. +Câu 77: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 121n +nun−+= . Tìm s ố hạng th ứ 10 của dãy s ố đã cho. +A. 51, 2 . B. 51, 3. C. 51,1. D. 102,3 . +Câu 78: Cho dãy s ố 1 +u un+= += +. Tìm s ố hạng th ứ 5của dãy s ố. +A. 16. B. 12. C. 15. D. 14. +Câu 79: Cho dãy s ố ()nu, biết .1nnun−=+ Năm s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào +dưới đây? +A. 12345;;;;.23456−−−−− B. 23456;;;;.34567−−−−− +C. 12345;;;;.23456 D. 23456;;;;.34567 +Câu 80: Cho dãy s ố ()nu, biết 31n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào +dưới đây? +A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 20 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 81: Cho dãy s ố ()nu, biết 1 +uu+=− += +với 0n≥. Ba s ố hạng đầ u tiên c ủa dãy s ố đó là l ần lượt là +những số nào dư ới đây? +A. 1; 2; 5.− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10. D. 1; 3; 7.− +Câu 82: Cho dãy s ố (),nu biết 1 +21nnun+=+. Số 8 +15 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? +A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. +Câu 83: Cho dãy s ố (),nu biết 25.54nnun+=− Số 7 +12 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? +A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. +Câu 84: Cho dãy s ố (),nu biết 2.n +nu= Tìm s ố hạng 1.nu+ +A. 12 .2.n +nu+= B. 12 1.n +nu+= + C. ()12 1.nun+= + D. 12 2.n +nu+= + +Câu 85: Cho dãy s ố ()nu, biết 3.n +nu= Tìm s ố hạng 21.nu− +21 3 .3 1.n +nu−= − B. 1 +21 3 .3 .nn +−= C. 2 +21 3 1.n +nu−= − D. () 21 +21 3.n +Câu 86: Cho dãy s ố (),nu với 15.n +nu+= Tìm s ố hạng 1.nu− +−= B. 15.n +nu−= C. 1 +15.5 .n +−= D. 1 +15.5 .n +Câu 87: Cho dãy s ố ()nubởi công thứ c truy h ồi sau 1 +; 1nnu +u u nn+= += +≥; 218u nhận giá tr ị nào sau đây? +A. 23653 . B. 46872 . C. 23871 . D. 23436 . +DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM +Câu 88: Cho các dãy s ố sau. Dãy s ố nào không là dãy s ố tăng? +Câu 89: Cho dãy s ố ()nubiết 52nun= + . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 90: Cho dãy s ố ()nubiết 1 +32nun=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 91: Cho dãy s ố ()nubiết 10 +3n nu= . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 92: Cho dãy s ố ()nubiết 22 31nu nn= ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 21 +Sưu t ầm và biên so ạn A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 93: Cho dãy s ố ()nubiết ()()211n +nun= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn +Câu 94: Cho dãy s ố ()nubiết 2400nun n= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm +Câu 95: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? +A. 1.3n nu= B. 1.21nun=+ C. 1.32nnun+=+ D. 42.3nnun−=+ +Câu 96: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào gi ảm? +A. 4.3n +nu= B. ()() 1 5 1.n n +nu= −− C. 3.n +nu=− D. 4.nun= + +Câu 97: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào không tăng, không gi ảm? +A. 1.nunn= + B. 5 3.n +nun= + C. 3.n +nu=− D. ()23. 1n +nun= −+ +Câu 98: Cho dãy s ố ()nubiết 54nn +nu= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 +Câu 99: Cho dãy s ố ()nubiết 2 +31nanun+=+. Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. +A. 6a= B. 6a> C. 6a< D. 6a≥ +Câu 100: Cho dãy s ố ()nubiết 2n +nu an= − . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. +A. 2a= B. 2a> C. 2a< D. 2a≥ +Câu 101: Cho dãy s ố ()nubiết 3n +nuan= . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. +A. 0a∀< B. Không tồn tại a C. *a∀∈ D. 0a> +Câu 102: Cho dãy s ố ()nubiết 32 31nun n= +− + . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 103: Cho dãy s ố ()nubiết 21nun n= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương +Câu 104: Cho dãy s ố ()nubiết 221 +2nnnun−−=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 22 +Sưu t ầm và biên so ạn C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm +Câu 105: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? +A. sin.nnun= B. 21.21nnun+=+ C. 23.n +nun= D. 324 3 1.nu nn=−+ +Câu 106: Cho dãy s ố ()nubiết 1 +uu−== +. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 107: Cho dãy s ố ()nubiết 1 ++== + ∀∈. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Câu 108: Cho dãy s ố ()nubiết1 +uuu+= +=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có 102 u= +Câu 109: Cho dãy s ố ()nubiết 11 1...12nun n nn= + ++++ +. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng +Câu 110: Cho dãy s ố ()nubiết1 +u au n+= += +∀∈ . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể ()nutăng? +A. 0.a< B. 0.a≤ C. 0.a> D. 1.a> +Câu 111: Trong các dãy s ố dưới đây, dãy s ố nào là dãy giảm? +nun=. B. 13nun= − . C. 3nun=. D. 32nun= − . +Câu 112: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? +nun= . B. 3 +1nnun−=+. C. 2nnu=. D. ()1 +n nu−= . +Câu 113: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? +A. * 53,23nnunn−= ∈+. B. * 5,41nnunn−= ∈+. +C. 2*2 3,nun n=+∈ . D. ()*cos 2 1 ,nu nn= +∈ . +Câu 114: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 23 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 +2n nu= . B. 31 +1nnun−=+. C. 2 +nun=. D. 2nun= + . +Câu 115: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? +2n nu= . B. 31 +1nnun−=+. C. 21nun= − . D. 1 +Câu 116: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm +1nnun−=+. B. 2nnu=. C. 22 +nun= . D. ()1 +n nu−= . +Câu 117: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? +A. ()53,*23nnunn−= ∈+. B. ()5,*41nnunn−= ∈+. +C. ()32 3, *nun n=+∈ . D. ()() cos 2 1 , *nu nn= +∈ . +Câu 118: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? +A. 1.2n nu= B. 1.nun= C. 5.31nnun+=+ D. 21.1nnun−=+ +Câu 119: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? +A. 2.3n nu= B. 3.nun= C. 2.n +nu= D. ()2.n +Câu 120: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? +1nnun+=−. B. 31nun= − . C. 2 +nun=. D. 2nun= . +DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI, BỊ CHẶN +Câu 121: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)= −n +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Câu 122: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 31= −nun +A. Bị chặn. B. Bị chặn trên. C. Bị chặn dưới. D. Không bị chặn dưới. +Câu 123: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? +A. 2.nun= B. 2.n +nu= C. 1.nun= D. 1.nun= + +Câu 124: Trong các dãy s ố ()nucho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? +A. 1.2n nu= B. 3.n +nu= C. 1.nun= + D. 21.nun= + +Câu 125: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 21 +2+=+nnun +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 24 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 126: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 2 13 +32−=−nnun +A. Dãy số tăng, bị chặn. +B. Dãy số giảm, bị chặn. +C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn. +D. Cả A, B, C đều sai. +Câu 127: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Câu 128: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 243= −−nu nn +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Câu 129: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? +A. 1.nunn= + B. 1nun= + . C. 221nnun=+. D. 21nunn= ++ . +Câu 130: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? +A. sin 3nun n= − B. 21 +nnun+= . C. ()1 +1nunn=+. D. () .sin 3 1nun n= − . +Câu 131: Trong các dãy số ()nu cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ? +2.1nnun=+ B. 22017.nun= + C. ( 1) ( 2).n +nun= −+ D. 2.1nnun=+ +Câu 132: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 1( ):2+=+nnnuun +A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. +Câu 133: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 3( ): 2 1=++nnuun n +A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. +Câu 134: Cho dãy số 31( ):31nnnuun−=+. Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? +3. B. 1. C. 1 +2. D. 0. +Câu 135: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? +A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. +Câu 136: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? +A. 0. B. 1−. C. 2− . D. Không bị chặn dưới. +Câu 137: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ()()11 1...1.3 3.5 2 1 2 1= + ++−+nunn +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 25 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 138: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 11 1...1.3 2.4 .( 2)= + +++nunn +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Câu 139: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 22 211 11 ...23= + + ++nun. +A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới. +C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. +Câu 140: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 +2, ( 2)1− ++= ≥+ n +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Câu 141: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 1 +( ): 1, 22+= += ∀≥nn +A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. +C. Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên. D. Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới. +Câu 142: Cho dãy ()nu với 2018.2018 1nnun+=+ Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng đị nh sau. +A. Dãy ()nu bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên +B. Dãy ()nu bị chặn. +C. Dãy ()nu không bị chặn trên, không bị chặn dưới. +D. Dãy ()nu bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới +Câu 143: Trong các dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát nu dưới đây, dãy s ố nào là dãy b ị chặn? +A. 22nun= + . B. 21nnun=+. C. 31n +nu= − . D. 2 +nunn= + . +Câu 144: Cho dãy s ố ()nu với 125n +nu−= + . Kết luận nào sau đây là đúng? +A. Dãy s ố không đơn đi ệu. B. Dãy s ố giảm và không bị chặn. +C. Dãy s ố tăng. D. Dãy s ố giảm và bị chặn. +Câu 145: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là dãy s ố bị chặn? +1nnun+=+. B. () 2 sinnun n= + . C. 2 +nun=. D. 31nun= − . +Câu 146: Chọn kế t luận sai: +A. Dãy s ố  21n tăng và bị chặn trên. B. Dãy s ố 1 +1n giảm và b ị chặn dưới. +C. Dãy s ố 1 +n tăng và bị chặn trên. D. Dãy s ố 1 +3.2n giảm và b ị chặn dưới. +Câu 147: Cho dãy s ố ()nu biết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 26 +Sưu t ầm và biên so ạn A. Dãy s ố bị chặn dưới. B. Dãy s ố bị chặn trên. +C. Dãy s ố bị chặn. D. Không bị chặn. +Câu 148: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i *1 +u unn+= += + ∈∀. Tìm s ố nguyên dương n nhỏ nhất sao +cho 20391901nu≥− . +A. 2017n= . B. 2019n= . C. 2020n= . D. 2018n= . +Câu 149: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 2 +11 log log 6 0uu+ −= và 1 5nnuu+= + , với mọi 1,n nN≥∈ . Giá tr ị +lớn nhấ t của n để 500nu< bằng: +A. 80. B. 100. C. 99. D. 82. +Câu 150: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn: 15u= và 1433nnuu+= + với 1.n∀≥ Giá tr ị nhỏ nhất của n để +12 ... 5nnS uu u=+ ++ > bằng? +A. 142. B. 146. C. 141. D. 145. +Câu 151: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 12 +112, 3 +32n nnuu +u uu+−= = += −2,n nN≥∈ .Khi đó 1....n uu++ bằng? +A. 21n−. B. 2n. C. 22nn+ . D. 21nn+− . +Câu 152: Cho dãy s ố {}nu xác đ ịnh bở i +3 32 3 2 3 2 44 4 41 +2 3 31nu +n nn n nn n n n= +++ +++ +++ +, 1n≥. +Tính t ổng 4 12 2018 1... Suu u−=+++ . +A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2019 . +Câu 153: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12 +3u= và ()122 1 1n +nuunu+=++, ()*n∈. Tính t ổng 2018 +số hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó? +A. 4036 +4035. B. 4035 +4034. C. 4038 +4037. D. 4036 +Câu 154: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 16nnuu−= + , 2n∀≥ và 25 9 2log log 8 11uu+ += . Đặt +12 ...nnS uu u=+++ . Tìm s ố tự nhiên n nhỏ nhấ t thỏa mãn 20172018nS≥ . +A. 2587 . B. 2590 . C. 2593 . D. 2584 . +Câu 155: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 18 18 1144e5 ee euu uu+ −= và 1 3nnuu+= + với mọi 1n≥. Giá tr ị lớn +nhất của n để 3log ln 2018nu< bằng +A. 1419 . B. 1418 . C. 1420 . D. 1417 . +Câu 156: Tổng: 2 4 6 2018A= + + +…+ có giá trị là: +A. 2018001 . B. 1209900 . C. 1010101 . D. 1019090 . +Câu 157: Tổng: 1 4 7 3031B= + + +…+ bằng: +A. 1532676 . B. 1435000 . C. 1351110 . D. 1322300 . +Câu 158: Giá trị của tổng: 13 9 5 387 C=− − − +…+ bằng: +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 27 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 23455 . B. 18887 . C. 36778 . D. 43234 . +Câu 159: Giá trị của tổng: 1 101 201 1001 +100 100 100 100S= + + +…+ bằng: +A. 5514 +100. B. 5501 +100. C. 5511 +100. D. 5515 +Câu 160: Cho tổng: *1 3 5 2 1, .nS nn = + + +…+ + ∀ ∈  Tìm100S? +A. 10201 . B. 10000 . C. 10200 . D. 10202 . +Câu 161: Cho tổng: 246 2nSn= + + +…+ với*n∈. Khi đó công thức của nS là? +A. ( 2)nn+. B. ( 1) +2nn+. C. ( 1)nn+. D. 2n. +Câu 162: Tìm x biết: ( 3) ( 7) ( 11) ( 79) 860xxx x+++++ + … ++ = +A. 2x=. B. 1x=. C. 4x=. D. 3x=. +Câu 163: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 7 2 11 ... 2 79 1720xxx x+ ++ +++ ++= +A. 35x= . B. 45 +2x= . C. 10x=. D. 15x=. +Câu 164: Tính giá trị biểu thức: 1 2 3 2018 +1 3 5 1009A+ + +…+=+ + +…+ +A. 2030071 +255025. B. 2037171 +200025. C. 2037111 +255000. D. 2037171 +255025. +Câu 165: Cho tổng: 159 4 3nSn= + + +…+ − với*n∈. Khi đó: 22 +10 15SS+ bằng: +A. 225325 . B. 255325 . C. 225355 . D. 225525 . +Câu 166: Tính tổng sau: . +A. B. C. D. +Câu 167: Tổng: bằng: +A. B. C. D. +Câu 168: Giá trị của tổng: là: +A. B. C. D. +có giá trị bằng: +A. B. C. D. +111 1...2.4 4.6 6.8 100.102S= + + ++ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 28 +Sưu t ầm và biên so ạn A. B. C. D. +Câu 171: Cho tổng: ( )111 1...1.2 2.3 3.4 1Snn=+++ ++ với . Lựa chọn đáp án đúng. +A. B. C. D. +Câu 172: Cho tổng: ( )( )111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2nSnn n= + + ++++. Khi đó: 30S bằng: +A. B. 495 +992 C. D. +Câu 173: Tìm x biết: 2 2 2 2 1430...1.3 3.5 5.7 51.53 53xxx x     + ++ ++ + ++ =           +A. B. C. D. +A. B. C. D. +Câu 175: Tính: 2 3 1011 1 1...55 5 5M=+ + ++ +A. B. C. D. +Câu 176: Cho 5 55 5...1024 512 256 2M= + + ++ . Khi đó M bằng: +A. B. C. D. +Câu 177: Cho 55 55 ...3 9 729M=++++ . Khi đó 729M bằng: +A. B. C. D. +Câu 178: Cho tổng: 21 2 2 ... 2n +nS=++ ++ . Chọn mệnh đề đúng: +A. 102047 S= B. 102048 S= C. 101024 S= D. 101023 S= +Câu 179: Tính tổng: 1.2 3.4 5.6 ... 11.12S=+++ + +A. B. C. D. +Câu 180: Tổng: 2.3 4.5 6.7 ... 20.21S= + + ++ có giá trị bằng: +A. B. C. D. +Câu 181: Giá trị của tổng: là: +A. B. C. D. +Câu 182: Tính tổng: ( ) ( ) 1.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3nS nn = + + ++ − + khi +A. B. C. D. 31 +31.12S=21.6S=22.3S=31.4S= +1x= 2x= 3x= 4x= +1x= 2x= 3x= 4x= +1011145−1111145−10115−1011155− +7295460 54655460 +322 321 320 319 +1550 1655 1650 1450 +1.2 2.5 3.8 ... 20.59S= + + ++ +8450 8300 8850 8400 +5450 5400 5395 5650 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 29 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 183: Giá trị của tổng: ( ) 1.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4nS nn = + + ++ − khi 10n= là: +A. B. C. D. +Câu 184: Cho tổng ( ) 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2=+++ +−nS nn . Tính giá trị của 50S +A. B. C. D. +Câu 185: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200xxx x+ ++ ++ +++ = +A. B. C. D. +1650 2860 2650 1950 +169150 155000 165050 165000 +7x= 8x= 9x= 10x= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 2: DÃY S Ố +DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT +Câu 1: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là:9; 99; 999; 9999,… S ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố này l à: +A. 1nnun=+ B. 10 1n +nu= − . C. 9n +nu= D. 9nun= +Lời giải +Nhận xét: 1 +110 1u= − ; 2 +210 1u= − ; 3 +310 1u= − ; 4 +410 1u= − . +Câu 2: Cho dãy s ố 1325, , , ,...2537. Công thứ c tổng quát nu nào là củ a dãy s ố đã cho? +1nnunn= ∀∈+. B. * +2n nnun= ∀∈ . C. * 1 +3nnunn+= ∀∈+. D. * 2 +21nnunn= ∀∈+. +Lời giải +Viết lại dãy s ố: 2345, , , ,...4567 +3nnunn∗ +⇒ = ∀∈+. +Câu 3: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. 5( 1)nun= − . B. 5nun= . C. 5nun= + . D. 5. 1nun= + . +Lời giải +Ta có: +5 5.1= +10 5.2= +15 5.3= +20 5.4= +25 5.5= +Suy ra s ố hạng tổng quát 5nun= . +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 4: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. 77nun= + . B. 7.nun=. +C. 7. 1nun= + . D. nu: Không vi ết được dưới dạng công th ức. +Lời giải +Ta có: +8 7.1 1= + +15 7.2 1= + +22 7.3 1= + +29 7.4 1= + +36 7.5 1= + +Suy ra s ố hạng tổng quát 71nun= + . +Câu 5: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;...54;43;32;21;0 .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +nnun+= . B. 1nnun=+. C. 1 +nnun−= . D. 2 +1nnnun−=+. +Lời giải +Ta có: +0001=+ +2 11=+ +3 21=+ +4 31=+ +5 41=+ +Suy ra 1nnun=+. +Câu 6: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1; ...−−− .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có d ạng +A. 1=nu . B. 1−=nu . C. n +nu )1(−= . D. ()11n +nu+= − . +Lời giải +Ta có: +Các s ố hạng đầu của dãy là ()()()()() ()123451 ;1 ;1 ;1 ;1 ; . . . 1n +nu −−−−− ⇒ = − . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 7: Cho dãy s ố ()nuxác định bởi ()1 +1113nnunuu+=≥ =. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số +A. 3=n +nu . B. 13−=n +nu . C. 132+= −n +nu . D. 32= −n +Lời giải +Dự đoán 1*3,n +nun−= ∈ . Ta d ễ dàng ch ứng minh đư ợc công th ức này b ằng quy n ạp ++ với = ⇒=1 11nu suy ra kh ẳng định đúng ++ Giả sử = ≥ 2 nk ta có −=13k +ku . Ta phả i chứng minh +=13k +Thật vậy, theo công thứ c truy h ồi ta có − ++= = =1 +13. 3.3 3kk +Vậy theo nguyên lý quy n ạp ta dã ch ứng minh đư ợc 1*3,n +nun−= ∈  +Câu 8: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có +A. =   +00.00...01n +n sèu . B. +−=   +100.00...01n +n sèu . +10n nu−= . D. 11 +10n nu+= . +Lời giải +3 310.110 +10.0110 +10.00110u +Dự đoán = =   +010.00...0110n n +n sèu . +Câu 9: Cho dãy số ()nu xác định bởi: ()1 +1112nnunuu+=≥ = +. Xác định công thức của số hạng tổng quát. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 21nun= − . B. 32nun= − . C. 43nun= − . D. 87nun= − . +Lời giải +Dự đoán =−∈ *2 1,nu nn . Ta dễ dàng chứng minh được công thức dự đoán bằng quy nạp +Câu 10: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 234511 1 1 1; ; ; ; ;...33 3 3 3Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? +A. 111.33n nu+= . B. 11 +3n nu+= . C. 1 +3n nu= . D. 11 +3n nu−= . +Lời giải +Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán = ∈* 1,3n nun +Câu 11: Cho dãy s ố ( )nu với 1 +u un+= += +.Số hạng tổng quát nucủa dãy s ố là s ố hạng nào dưới đây? +A. ( ) 1 +2nnnu−= . B. ( ) 152nnnu−= + . +C. ( ) 152nnnu+= + . D. ( )( ) 1252nnnu++= + . +Lời giải +Theo công thức truy hồi ta có +−=1nnu un . Khi đó +Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được ( )( )−=+ +++ − =+15 1 2 3 ... 1 52nnnun +Câu 12: Cho dãy s ố vớ i . Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. . B. . C. . D. . +Lời giải ( )nu1 +2+= += −nnu +( )1212= +−nun ( )1212= −−nun122= −nun122= +nun +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: . Cộng hai vế ta đư ợc . +Câu 13: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;...− .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có d ạng? +A. n un 2− =. B. ( ) n un+ − =2 . C. ( ) ) 1 ( 2+ − =n un . D. ( ) ( )22 1nun= −+ − . +Lời giải +Dãy s ố là dãy s ố cách đ ều có khoả ng cách là 2 và s ố hạ ng đ ầu tiên là ( )2− nên +( ) ( )2 2. 1nun= −+ − . +Câu 14: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;31;31;31;31;31 +5 4 3 2….Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? +A. 131 ++=n nu . B. 131 ++=n nu . C. n nu31= . D. 131 +−=n nu . +Lời giải +5 số hạng đầ u là 2345 +111111; ; ; ; ;...33333 nên 1 +3n nu= . +Câu 15: Cho dãy s ố ( )nu với +uu+== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dướ i +A. 1nun= + . B. 1nun= − . C. ( )211n +nu=+− . D. nun=. +Lời giải +Ta có: ( )2 +1 234 1 1 2; 3; 4;...n +nn nuu u u u u+= +− = +⇒ = = = Dễ dàng d ự đoán đượ c nun=. +Thật vậy, ta ch ứng minh đượ c nun=( )* bằng phương pháp quy nạp như sau: ++ Với 1 11nu= ⇒= . Vậy ( )* đúng vớ i 1n= ++ Giả sử ( )* đúng vớ i mọi ( )*n kk= ∈, ta có: kuk=. Ta đi ch ứng minh ( )* cũng đúng vớ i +1 nk= + , tức là: 1 1kuk+= + ++ Th ật vậy, từ hệ thức xác đ ịnh dãy s ố ( )nu ta có: ( )2 +kkuu k+= +− = + . Vậy ( )* đúng vớ i +mọi *n∈. +Câu 16: Cho dãy s ố ( )nu với ++== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dướ i +đây? 1 += −= − += − +uu( )112 2... 2 2 122=−− −=− −nun +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 2nun= − . B. nu không xác đị nh. C. 1nun= − . D. nun=− với mọi n. +Lời giải +Ta có: 23 40; 1; 2 uu u== −= − ,. Dễ dàng d ự đoán đư ợc 2nun= − . +Câu 17: Cho dãy s ố ()nu với 1 +u un+= += +. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dư ới đây? +A. ()() 12 116nnn nu++= + . B. ()() 12 216nnn nu−+= + . +C. ()() 12 116nnn nu−−= + . D. ()() 12 216nnn nu+−= + . +Lời giải +Ta có: += +−. +Cộng hai vế ta đư ợc ()()() 2 22 12 11 1 2 ... 1 16nnn nun−−= ++ ++− = + +Câu 18: Cho dãy s ố ()nu với 1 +uun+= +−=−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dư ới +A. ()221nun= +− . B. 22nun= + . C. ()221nun= ++ . D. ()221nun= −− . +Lời giải +Ta có: 1 +uu n−= += += + += +−. Cộng hai vế ta đư ợc ()()22 1 3 5 ... 2 3 2 1nu nn=++++ + − =+ − +Câu 19: Cho dãy s ố ()nuvới 1 +uu+=− += −−. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +nnun−=− . B. 1 +nnun+= . C. 1 +nnun+=− . D. 1nnun=−+. +Lời giải +Ta có: 123345; ; ;...234uuu= −= −= − Dễ dàng d ự đoán đư ợc 1 +nnun+=− . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 20: Cho dãy s ố ()nu với1 +uu+= += −. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy số này là: +A. ()1212nun= +− . B. ()1212nun= −− . C. 122nun= − . D. 122nun= + . +Lời giải +Ta có: 1 +uu−= += −= − +. Cộng hai vế ta đư ợc ()112 2... 2 2 122nun=−− −=− − . +Câu 21: Cho dãy s ố ()nu với 1 +uu+=−=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: +A. ()11.2n +nu= −. B. ()111.2n +nu+= −. C. 11 +nu−=. D. ()111.2n +nu−= −. +Lời giải +Ta có: 1 +uu−=− +Nhân hai vế ta đư ợc () ()()1 +nuuu uuuu u u− +−= − ⇔= − = −     +Câu 22: Cho dãy s ố ()nu với 1 +=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: +nun−= . B. 2n +nu=. C. 12n +nu+= . D. 2nu=. +Lời giải +Ta có: 1 +== +=. Nhân hai vế ta đư ợc 1 +n nn uuu u uu u u− +− = ⇔= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 23: Cho dãy s ố ()nu với 1 +uu+= +=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: +A. 12n +nu−=− . B. 11 +2n nu−−= . C. 1 +2n nu−= . D. 22n +nu−= . +Lời giải +Ta có: 1 +uu���= +== +. Nhân hai vế ta đư ợc 12 +n nn uuu u uu u u−− +− = ⇔= +Câu 24: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 +unu+=− += −− ∀∈. +Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố. +A. 31−=−nnun. B. 1=−+nnun. C. 1+=nnun. D. 1+=−nnun. +Lời giải +Từ 112n +nuu+= −−1. 21nn nuu u+⇔ = −−1 11.1nnnn n nuuuu u u+ ++⇔ + + += − +()()1111n n nnu u uu++⇔ + += −()()1 +1111nn ++−⇔=++111111nnuu+⇔− =++ +nvu=+. Khi đó 1111nn n nvv v v++− = ⇔ −= − +()()111nvv n⇔=+−− +1111nv nnu⇔ = −+= −+1 +1nnu⇔= −+ +11nun⇔ += −111nnunn+⇔ = −−= − . +Câu 25: Cho dãy s ố ()nu với +1+== +−n +uu.Công th ức tổng quát nu nào dư ới đây là c ủa dãy s ố đã +A. =nun . B. 1= −nun . C. ()211=+−n +nu . D. 1= +nun . +Lời giải +Ta có: ()2 +1 11+= +− = +n +nn nuu u ⇒ 22;=u 33;=u 44;...=u +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 9 +Sưu t ầm và biên so ạn Dự đoán đư ợc *,= ∀∈ nu nn . +Ta ch ứng minh *,= ∀∈ nu nn ()* bằng phương pháp quy nạ p: ++ Với 1 11= ⇒=nu .Vậy ()* đúng vớ i 1=n . ++ Giả sử ()* đúng vớ i ()*= ∈ n kk , tức là ta có: =kuk . ++ Ta đi chứ ng minh ()* cũng đúng vớ i 1= +nk ,tức là cầ n chứng minh: 1 1+= +kuk . +Thật vậy, từ hệ thức xác đ ịnh dãy s ố ()nu ta có: ()2 +1 11+= +− = +k +kkuu k . +Vậy ()* đúng vớ i mọi *∈n . +Câu 26: Gọi ()()111 1....1.3 3.5 5.7 2 1 2 1nSnn= + + ++−+ với mọi *n. Ta có: +21nnSn−=−. B. 2 +21nnSn=+. C. 21nnSn=+. D. 1 +23nnSn+=+. +Lời giải +Ta có: +()()111 1....1.3 3.5 5.7 2 1 2 1nSnn= + + ++−+. +()()11 1 1 1 1 1 1 1....2 133557 2 1 2 1 nn= −+−+−+ + − −+ +Câu 27: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 +2 1, 1nnu +u u nn+= +=++≥. Giá tr ị của n để 2017 2018 0nun−+ + = +A. Không có n. B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 . +Lời giải +Ta có: +2 11nnu +uu n−= += + −+ +Cộng v ế với vế các đ ẳng th ức trên ta đư ợc: +( )()()2* 11 12 1 2 3 ... 1 2. ,2nnnu n n nn n−+ −= ++++−+= += ∀ ∈ . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 10 +Sưu t ầm và biên so ạn Do đó: 2 12017 2018 0 2017 2018 02018nnun nnn=−− + += ⇔ − + += ⇔= +Vậy 2018.n= +Câu 28: Cho hai c ấp số cộng :1;6;11;...nu và : 4;7;10;...nv Mỗi cấp số có 2018 s ố. Hỏi có bao nhiêu +số có m ặt trong c ả hai dãy s ố trên. +A. 403. B. 401. C. 402. D. 504. +Lời giải +Dãy nu có số hạng tổng quát là    1 5 1 5 4, 1 2018nu nn n     . +Dãy mv có số hạng tổng quát là    4 3 1 3 1, 1 2018mv mm m    . +Một số có m ặt trong c ả hai dãy s ố trên n ếu tồn ại ,mn thỏa mãn đi ều kiện:1 , 2018 +(*)mnmn +uu +Ta có   * 5 4 3 1 5 1 3 ** nm n m     +Từ ** suy ra 5m, mặt khác 1 2018m nên ta đư ợc tập các giá tr ị của m là   5;10;...;2015 +Xét v ới 2015 m thì 3.20151 1210 20185n   , thỏa đi ều kiện 1 2018n . +Do tập   5;10;...;2015 có 403 số nên có t ất cả 403 số có m ặt trong c ả hai dãy đã cho. +Câu 29: Cho dãy s ố ()nu thỏa 1 +2 3, , 2nnu +u u nn n n−= += + −− ∀∈ ≥ . Tính t ổng 20 1 2 20 ... S uu u=+++ +A. 2022 . B. 8385080 . C. 2021 . D. 8385087 . +Lời giải +Ta có: +()() ( )2 +3 12 2 4 26 62 +3 1 2 21 61 2 +3 12 1 3 1 1nn +nnu u nn +un n u n n n +un n u n n +un n u n n− +−= + −− +⇔+++ = + −+ +− + +⇔ + + += + − + − + +⇔ + + += + − + − + +,1 nn∀∈ ≥ , đặt +111 3.1 1 8 +1 3 11nn +vu n n−−= + + +== + + +⇒ = +− + −+ +Ta có dãy ()1 +18:2, , 2n +nnvvvvn n−= += ∀∈ ≥  là m ột cấp số nhân vớ i 18v=, công bội là 2q= +128.2 2nn +nv−+⇒= = +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 11 +Sưu t ầm và biên so ạn Vậy 222 31n +nu nn+= −−− +Vậy ( ) ( )22 2 2 +nnS u u n nn =++ = + ++ − −−− − +++− +()()()()3 12 1 122 1 362n nn n nnn++ += −− − − +Vậy 208385087 S= . +DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ +Câu 30: Cho dãy s ố ,nubiết 2 +221.3nnun Tìm s ố hạng 5.u +A. 51.4u= B. 517.12u= C. 57.4u= D. 571.39u= +Lời giải +Ta có 2 +5 22.5 1 7 +53 4u−= =+ +Câu 31: Cho dãy số ,nu biết n +nun 1 .2 . Mệnh đề nào sau đây sai? +A. 1 2. u B. 24. u C. 3 6. u D. 4 8. u +Lời giải +Vì ()4 +4 1 .2.4 8 u= −= +Câu 32: Cho dãy số ,nu biết 21. .n +nun T��m số hạng 3.u +A. 38.3u B. 32. u C. 3 2. u D. 38.3u +Lời giải +Ta có ()3 +328133u= −= − +Câu 33: Cho dãy số ,nu biết +2n nnu= . Chọn đáp án đúng. +A. 41.4u= B. 51.16u= C. 51.32u= D. 31.8u= +Lời giải +Ta có 4 441 +24u= = +Câu 34: Cho dãy số ,nu biết ( 1) sin( )2n +nnunπ= − . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là: +A. 0. B. 9. C. −1. D. −9. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 12 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()9 +999. 1 .sin 92uπ= −= − +Câu 35: Cho dãy số ,nu biết 1 +1nun=+. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào +dưới đây? +A. 111;;.234 B. 111; ; .23 C. 111;;.246 D. 111; ; .35 +Lời giải +Ta có 123111,,234uuu= = = +Câu 36: Cho dãy số ,nu biết 21 +2nnun+=+. Viết năm số hạng đầu của dãy số. +A. 1 23453 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . B. 1 23455 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . +C. 1 23455 8 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = D. 1 23455 7 7 111 ,,,,452 3u uuuu= = = = = . +Lời giải +Câu 37: Cho dãy số ,nu biết +31n nnu= +−. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là +A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 +Lời giải +Câu 38: Cho dãy số ,nu biết 1 +21nnun. Số 8 +15 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. +Lời giải +Ta có ()* 8 1815 15 16 8 715 2 1 15nnu n n nnn+= ⇔ = ∈ ⇔ + = +⇔=+ +Câu 39: Cho dãy số ,nu biết 25.54nnun Số 7 +12 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. 6. B. 8. C. 9. D. 10. +Lời giải +Ta có ()* 7 25724 60 35 28 11 88 812 5 4 12nnu n n n nnn+= ⇔ = ∈ ⇔ + = − ⇔ = ⇔=− +Câu 40: Cho dãy số ,nu biết 21.1nnun Số 2 +13 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 13 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()() +()* 22 +252 1213 13 2 2 2 13 15 0 313 1 13 +2nnnnu n n n nnn nl=− = ⇔ = ∈ ⇔ − = +⇔ − + =⇔ + = +Câu 41: Cho dãy số ,nu biết 328 5 7.nun n n  Số 33 là số hạng thứ mấy của dãy số? +A. 5. B. 6. C. 8. D. 9. +Lời giải +Ta có ()() +()32 * 328 +33 8 5 7 33 8 5 40 0 +u nnn n nnn += −⇔− −+ = − ∈ ⇔− −+= ⇔  +Câu 42: Cho dãy số nu với 237 +1nnnun++=+. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. +A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có . +Lời giải +Ta có ()2 +* 37 5211nnnu nnnn++= =++ ∈++ +Để nu nhận giá trị nguyên thì ()* 5 +1nn∈+ là số nguyên hay 4n= +Vậy dãy số ()nuchỉ có m ột số hạng nh ận giá tr ị nguyên. +Câu 43: Cho dãy số nu với 2.n +nu= Tìm số hạng 1.nu+ +A. 12 .2.n +nu B. 12 1.n +nu C. 12 1.nun D. 12 2.n +Lời giải +Ta có 1 +12 2.2nn +Câu 44: Cho dãy số nu với 3.n +nu= Tìm số hạng 21.nu +21 3 .3 1.n +nu B. 1 +21 3 .3 .nn + C. 2 +21 3 1.n +nu D.  21 +21 3.n +Lời giải +Ta có 21 1 +21 3 3 .3n nn +Câu 45: Cho dãy số nu với 3.n +nu= Số hạng 1nu+ bằng: +A. 31n+. B. 33n+. C. 3 .3n. D. 3( 1)n+. +Lời giải +Ta có 1 +13 3 .3nn +Câu 46: Cho dãy số nu với 3.n +nu= Số hạng 2nu bằng: +A. 33n+. B. 9n. C. 3 .3n. D. 24n. +Lời giải +Ta có 2 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 14 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 47: Cho dãy số nu với 15.n +nu+= Tìm số hạng 1nu−. +−= . B. 15n +nu−=. C. 1 +−= . D. 1 +Lời giải +Ta có ()11 +155n n +Câu 48: Cho dãy số nu với 231.1n +nnun+−=+ Tìm số hạng 1nu+. +A.  2 13 +nnun + B.  2 13 +nnun + + D. 25 + +Lời giải +Ta có () 2 13 2 5 +11 2nn +nnnunn++ + +++−  = =   ++ +    +Câu 49: Cho dãy số nu xác định bởi +. 113nnu +uu Tìm số hạng 4.u +A. 45.9u B. 41. u C. 42.3u D. 414.27u +Lời giải +Ta có () ()23 41 1 2 12 52 1 1, 1 1 , 13 3 3 33 9uu u= += = += = +=  +Câu 50: Cho dãy số nu xác định bởi 1 +uu Mệnh đề nào sau đây sai? +A. 25.2u B. 315.4u C. 431.8u D. 563.16u +Lời giải +Vì 237222u=+= +Câu 51: Cho dãy số nu xác định bởi 1 += + khi đó 5u bằng: +A. 317. B. 157. C. 77. D. 112. +Lời giải +Ta có 23 4 52.7 3 17, 2.17 3 37, 2.37 3 77, 2.77 3 157 uu u u= += = += = += = += +Câu 52: Cho dãy số nu xác định bởi 1 +uu+=− += +. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 15 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 ;2 ;5 .− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10 D. 1; 3;7.− +Lời giải +Ta có 12 3 1, 1 3 2, 2 3 5 uu u= − = −+= =+= +Câu 53: Cho dãy số nu xác định bởi += +1 +uu. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là +A. −3; 6; 9. B. −−3; 2; 7. C. 3; 8;13 . D. 3; 5;7. +Lời giải +Ta có 12 33, 3 5 8, 8 5 13uu u= =+= =+= +Câu 54: Cho dãy số nu xác định bởi +−=−≥ = +1 +( 2)2nnu +nuun. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng +A. 0. B. 93. C. 9. D. 34. +Lời giải +Ta có ()23 2 +2 342. 2 2 0, 2.0 3 9, 2.9 4 34 u uu=− += = += = += +Câu 55: Cho dãy s ố ()nu, biết 21n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là +A. 123;;234. B. 111; ;2 16 C. 111; ;48 D. 231; ;37. +Lời giải +12 3231, ,37uu u= = = . +Câu 56: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 1 +1,22 n +unu. Khi đó 3u có giá tr ị bằng +4. B. 4 +3. C. 2 +3. D. 3 +Lời giải +Theo công thứ c truy h ồi ta có212 +1 322 +2 423  +Câu 57: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= + . Tìm s ố hạng th ứ 6 của dãy s ố. +A. 17. B. 5. C. 15. D. 7. +Lời giải +Ta có s ố hạng th ứ 6 của dãy là 62.6 3 15u= += . +Câu 58: Cho dãy s ố ()nu, biết 2.3n +nu= . Giá tr ị của 20u bằng +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 16 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 2.3n +nu= suy ra 20 +202.3 u= . +Câu 59: Cho dãy s ố ()nu, biết công thứ c số hạng tổng quát 23nun= − . Số hạng th ứ 10 của dãy s ố bằng: +A. 17 B. 20 C. 10 D. 7 +Lời giải +10 2 3 2.10 3 17nun u= − →⇒ = − = +Câu 60: Cho dãy s ố ()nu có công th ức số hạng tổng quát 83nun= − . Tính 4.u +A. 2. B. 7−. C. 5−. D. 4−. +Lời giải +48 3.4 4. u= −= − +Câu 61: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 21 +23nnunn−=++. Giá tr ị 21u là +243. B. 10 +243. C. 21 +443. D. 19 +Lời giải +Ta có: 21 221 1 10 +21 2.21 3 243u−= =++. +Câu 62: Cho dãy s ố ()nu có 2 +1nnun−=+. Tính 2u. +5u=. B. 22 +5u=. C. 23 +5u=. D. 24 +Lời giải +Ta có 2 +2 22 13 +2 15u−= =+. +Câu 63: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 1 +3 1, 2nnu +uu n−=− += − ∀≥. Tìm s ố hạng 4u. +A. 4 76 u=− . B. 4 77 u=− . +C. 4 66 u=− . D. 4 67 u=− . +Lời giải +Cách 1. Ta có +433 1 3. 2 1 7 +3 1 3. 7 1 22 +3 1 3. 22 1 67uu +uu= −= − −= − += −= − −= − += −= − −= − +Cách 2. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 17 +Sưu t ầm và biên so ạn 11 +1313 1322 +11322nn n +nnuu u +−= −= − + +⇒−= −  +Xét dãy s ố ()nv có 15 +vu−= += − +Khi đó ta có 13nnvv−= là cấ p số nhân có công bội b ằng 3. +1 5.32n +nv−−⇒= +Vậy 1 15.322n +nu−= − . +Câu 64: Cho dãy s ố ()nu, biết ()()3 +2nnnu−= . Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là +A. 13;1;22. B. 11; ; 02−− . C. 1; 1; 0−− . D. 13;1;22. +Lời giải +111 312u−= =− ; () +222 312u−= =− ; () +133 302u−= = +Vậy ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là 1, 1, 0−− . +Câu 65: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= − . Số hạng th ứ 5 của dãy s ố là +A. 5. B. 4. C. 13. D. 7. +Lời giải +Ta có: 52.5 3 7 u= −= . +Câu 66: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 21 +nnun+= . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. +A. 2,1. B. 2, 2. C. 2, 0. D. 2, 4. +Lời giải +Ta có: 102.10 1 +10u+= 2,1= . +Câu 67: Cho dãy s ố ()nucó số hạng tổng quát 211nnun= −+. Số hạng đầu tiên c ủa dãy là: +A. 2. B. 3 +5. C. 0. D. 1 +Lời giải +Chọn D +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 18 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 1 2111112u= −=+. +Câu 68: Cho dãy số ()nu có 21nu nn= −++ . Số 19− là số hạng thứ mấy của dãy ? +A. 5. B. 7. C. 6. D. 4. +Lời giải +Chọn A +Giả sử 19nu=− , ()*n∈. +Suy ra 21 19 nn− ++= − +220 0 nn⇔− + + = +nl=⇔=−. +Vậy số 19− là số hạng thứ 5 của dãy. +Câu 69: Cho dãy s ố ()nu với 3n +nu=. Khi đó s ố hạng 21nu− bằng +A. 13 .3nn−. B. 2131n−−. C. 231n−. D. 23 .3 1n−. +Lời giải +Chọn A +21 3 3 3 .3n n nn +nnuu−− +− = ⇒== +Câu 70: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i  1 cosn +nun π  . Giá tr ị 99u bằng +A. 99. B. 1. C. 1. D. 99 . +Lời giải +Chọn C +Ta có: 99 +99 1 cos 99 cos 98 cos 1. u π ππ π   ��    +Câu 71: Cho dãy số ()nu với 21nun= + số hạng th ứ 2019 của dãy là +A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093 . +Lời giải +Ta có: 2019 2.2019 1 4039 u= += . +Câu 72: Cho dãy s ố ()nu với 1 2.n +nu= + Khi đó s ố hạng 2018u bằng +A. 20182. B. 20172017 2+ . C. 201812+ . D. 20182018 2+ . +Lời giải +Ta có 2018 +2018 12 . u= + +Câu 73: Cho dãy s ố ()nu với 2, n 1.31nnun−= ≥+ Tìm kh ẳng đị nh sai . +A. 31.10u= B. 108.31u= C. 2119.64u= D. 5047.150u= +Lời giải +Ta có: 5050 2 48.3.50 1 151u−= =+ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 19 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 74: Cho dãy s ố 221 +1nnnun+−=+. Tính 11u. +A. 11182 +12u= . B. 111142 +12u= . C. 111422 +12u= . D. 1171 +Lời giải +Ta có: 2 +1111 2.11 1 71 +11 1 6u+−= =+. +Câu 75: Cho dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát là 221 +1nnun+=+. Khi đó 39 +362 là số hạng th ứ mấy của dãy +A. 20. B. 19. C. 22. D. 21. +Lời giải +Ta có 22 1 39 +1 362n +n+=+ 239 724 323 0nn⇔ − −= 19 +, do *n∈ nên 19n=. +Câu 76: Cho dãy s ố ()1 +nnuuu un+= += +. Số 20 là số hạng th ứ mấy trong dãy? +A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. +Lời giải +Cách 1: +1234 5 65, 6, 8, 11, 15, 20uu uu u u= = = = = = +Vậy số 20 là số hạng th ứ 6. +Cách 2: +Dựa vào công th ức truy h ồi ta có +15 1 2 ... 1 52nu +−⇒ =+++ +−=+ +()()120 5 *2nnn−⇒= + ∈  =⇔ −− =⇔ =−2 630 05(lo¹i)nnnn +Vậy 20 là số hạng th ứ 6. +Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS +1 SHIFT STO A +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 20 +Sưu t ầm và biên so ạn 5 SHIFT STO B +Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C +Ấn CALC và l ặp lại phím = +Ta tìm đư ợc số 20 là s ố hạng th ứ 6 +Câu 77: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 121n +nun−+= . Tìm s ố hạng th ứ 10 của dãy s ố đã cho. +A. 51, 2 . B. 51, 3. C. 51,1. D. 102,3 . +Lời giải +Ta có: 10 1 +10u−+= 51, 3= . +Câu 78: Cho dãy s ố 1 +u un+= += +. Tìm s ố hạng th ứ 5của dãy s ố. +A. 16. B. 12. C. 15. D. 14. +Lời giải +Ta có 21 15 uu= += ; 32 27 uu= += ; 43 3 10 uu= += . Do đó s ố hạng th ứ 5của dãy s ố là +54 4 14 uu= += . +Câu 79: Cho dãy s ố ()nu, biết .1nnun−=+ Năm s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào +dưới đây? +A. 12345;;;;.23456−−−−− B. 23456;;;;.34567−−−−− +C. 12345;;;;.23456 D. 23456;;;;.34567 +Lời giải +Ta có 1234512345;;;;.23456uuuuu= −= −= −= −= − +Nhận xét: Dùng MTCT ch ức năng CALC đ ể kiểm tra nhanh. +Ta th ấy dãy ()nu là dãy s ố âm nên loạ i các phương án C, D. Đáp án đúng là A +hoặc B. Ta ch ỉ cần kiểm tra m ột số hạng nào đó mà c ả hai đáp án khác nhau +là đư ợc. Ch ẳng hạng ki ểm tra 1u thì th ấy 11 +Câu 80: Cho dãy s ố ()nu, biết 31n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào +dưới đây? +A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 +Lời giải +Dùng MTCT ch ức năng CALC: ta có +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 21 +Sưu t ầm và biên so ạn 12 3 231 2 21 3 3; ;.2 3 1 8 4 3 1 26uu u= = = = = =−− +Câu 81: Cho dãy s ố ()nu, biết 1 +uu+=− += +với 0n≥. Ba s ố hạng đầ u tiên c ủa dãy s ố đó là l ần lượt là +những số nào dư ới đây? +A. 1; 2; 5.− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10. D. 1; 3; 7.− +Lời giải +Ta có 1 21 32 1; 3 2; 3 5. u uu uu= − = += = += +Nhận xét: Dùng ch ức năng “l ặp” củ a MTCT đ ể tính: +Nhập vào màn hình: 3. XX= + +Bấm CALC và cho 1 X=− Vì 1 1 u=− nên loạ i các đáp án B, C. Còn l ại các đáp án A, +C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra 2u: 21 32 uu= += +Câu 82: Cho dãy s ố (),nu biết 1 +21nnun+=+. Số 8 +15 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? +A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. +Lời giải +Ta cầ n tìm n sao cho 1815 15 16 8 7.2 1 15nnu n nnn+= = ⇔ + = +⇔=+ +Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. +Câu 83: Cho dãy s ố (),nu biết 25.54nnun+=− Số 7 +12 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? +A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. +Lời giải +Dùng chứ c năng “l ặp” để kiểm tra đáp án. Ho ặc giải cụ thể như sau: +25724 60 35 28 11 88 8.5 4 12nnu n n nnn+= = ⇔ + = − ⇔ = ⇔=− +Câu 84: Cho dãy s ố (),nu biết 2.n +nu= Tìm s ố hạng 1.nu+ +A. 12 .2.n +nu+= B. 12 1.n +nu+= + C. ()12 1.nun+= + D. 12 2.n +nu+= + +Lời giải +Thay n bằng 1n+ trong công thứ c nu ta đư ợc: 1 +12 2.2nn ++= = . +Câu 85: Cho dãy s ố ()nu, biết 3.n +nu= Tìm s ố hạng 21.nu− +21 3 .3 1.n +nu−= − B. 1 +21 3 .3 .nn +−= C. 2 +21 3 1.n +nu−= − D. () 21 +21 3.n +Lời giải +Ta có 21 21 1 +21 3 3 3 .3 .nn n n nn +nnuu↔− −− +− =    → = = +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 22 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 86: Cho dãy s ố (),nu với 15.n +nu+= Tìm s ố hạng 1.nu− +−= B. 15.n +nu−= C. 1 +15.5 .n +−= D. 1 +15.5 .n +Lời giải +()11 1 1 +1 5 5 5.n nn nn +nnuu−+ ↔−+ +− =  → = = +Câu 87: Cho dãy s ố ()nubởi công thứ c truy h ồi sau 1 +; 1nnu +u u nn+= += +≥; 218u nhận giá tr ị nào sau đây? +A. 23653 . B. 46872 . C. 23871 . D. 23436 . +Lời giải +Đặt 1 nn nvu un+= −= , suy ra ()nv là m ột câp s ố cộng v ới số hạng đầu 1 21 1 vuu=−= và công +sai 1d=. +Xét t ổng 217 1 2 217 ... S vv v=+++ . +Ta có 217 1 2 217 ... S vv v=+++()1 217 217. +2vv+=() 217. 1 217236532+= = . +Mà 1 nn nvu u+= − suy ra ()()()217 1 2 217 2 1 3 2 218 217 ... ... S vv v uu uu u u=+++ = − + − ++ − +218 1uu= −218 217 1 23653 uSu⇒ = += . +DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM +Câu 88: Cho các dãy s ố sau. Dãy s ố nào không là dãy s ố tăng? +Lời giải +Xét đáp án A ta có dãy 1;1;1;1; ... là dãy h ằng nên không tăng không gi ảm. +Câu 89: Cho dãy s ố ()nubiết 52nun= + . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +* Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu của dãy số rồi suy ra kết quả +* Tự luận: +Ta có ()11 5 1 2 52 57 52 0nn n n uu n n n n u u++− = ++− += +− +>⇔ > +Câu 90: Cho dãy s ố ()nubiết 1 +32nun=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +Ta có () ()()11 1 11 303 1 2 32 35 32 35 32nnuun n n n nn+− = −=−= − <++ + + + + +. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 23 +Sưu t ầm và biên so ạn Vậy * +11 0,nn n nu u u un++− < ⇔ < ∀∈  +Câu 91: Cho dãy s ố ()nubiết 10 +3n nu= . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +Ta có 1 110 10 10 10 2003 3 3.3 3 3.3nn n nn nnuu+ +−−= −= −= < +11 0,nn n nu u u un++− < ⇔ < ∀∈  +Câu 92: Cho dãy s ố ()nubiết 22 31nu nn= ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +Ta có ()()2 2* +1 2 1 3 1 1 2 3 1 4 5 0,nnuu n n nn n n+− = + + + +− − −= +> ∀∈  +11 0,nn n nu u u un++− < ⇔ < ∀∈  +Câu 93: Cho dãy s ố ()nubiết ()()211n +nun= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn +Lời giải +Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu +Câu 94: Cho dãy s ố ()nubiết 2400nun n= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm +Lời giải +Ta có ()()2 2 +1 1 400 1 400 2 399nnu u n n n nn+−=+ − +−+ = − +Do 2 399 0n−> khi 399 +2n> và 2 399 0n−< khi 399 +Vậy dãy số đã cho không tăng, không giảm +Câu 95: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? +A. 1.3n nu= B. 1.21nun=+ C. 1.32nnun+=+ D. 42.3nnun−=+ +Lời giải +Ta có: +1 111 11 203 3 3.3 3 3.3nn n nn nnuu+ +−−= −= −= < → loại A +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 24 +Sưu t ầm và biên so ạn () ()()11 1 11 202 1 1 21 23 21 23 21nnuun nnn n n+−− = −=−= <+ ++++ ++→ loại B +()()121 1035 32 35 32nnnnuun n nn+++−= − = − <++ ++→ loại C +()()14 2 4 2 1404 3 43nnnnuun n nn++−−= − = >+ + ++ +Câu 96: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào gi ảm? +A. 4.3n +nu= B. ()() 1 5 1.n n +nu= −− C. 3.n +nu=− D. 4.nun= + +Lời giải +Ta có: +14 4 44 4 14. .03 3 33 3 33n n nn n ++    −= − = − = >         → loại A +Dãy ()nu với ()() 1 5 1.n n +nu= −− có các s ố hạng đan dấ u nên dãy không tăng, không gi ảm → +loại B +1 3 3 3.3 3 2.3 0n nn nn ++−= − += − += − < → Chọn C +1154 0 +54nnuu n n +nn+− = +− += > +++ +→ loại D +Câu 97: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào không tăng, không gi ảm? +A. 1.nunn= + B. 5 3.n +nun= + C. 3.n +nu=− D. ()23. 1n +nun= −+ +Lời giải +Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu +Dãy trong đáp án A và B tăng, dãy trong đáp án C là dãy giảm +Câu 98: Cho dãy s ố ()nubiết 54nn +nu= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 +Lời giải +Ta có ()11 * +1 5 4 5 4 4 5 4 0,n n nn nn +nnuu n++ ++− = − − + = − > ∀∈  +11 0,nn n nu u u un++− > ⇔ > ∀∈  +Câu 99: Cho dãy s ố ()nubiết 2 +31nanun+=+. Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. +A. 6a= B. 6a> C. 6a< D. 6a≥ +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 25 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()()* +122 6,34 31 34 31nnan a an auu nn n nn+++ + −− = − = ∀∈+ + ++ +Để dãy số tăng thì ()()* +160, 63 43 1nnauu n ann+−− = > ∀∈ ⇔ >++ +Câu 100: Cho dãy s ố ()nubiết 2n +nu an= − . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. +A. 2a= B. 2a> C. 2a< D. 2a≥ +Lời giải +Ta có 1* +1 2 2 2 a,n nn +nnu u an a an n+ ++− = − −− + = − ∀∈  +Để dãy số tăng thì * ** +1 2 a 0, 2 , 2,nn +nnu u na na n+− = −> ∀∈ ⇔ < ∀∈ ⇔ < ∀∈   +Câu 101: Cho dãy s ố ()nubiết 3n +nuan= . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. +A. 0a∀< B. Không tồn tại a C. *a∀∈ D. 0a> +Lời giải +Ta có () +1 22.3 2 1 33,n nn +nnanuu nan a an an n+ ++−− = − = ∀∈+ + +Để dãy số tăng thì () +1 22.3 2 10, 0n +nnanuu n a +an n+−− = > ∀∈ ⇔ > +Câu 102: Cho dãy s ố ()nubiết 32 31nun n= +− + . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +Ta có 132 31 +32 31nun n +nn= +− += +Khi đó +( )( ) +( )( )1 +35 34 32 31 +32 35 31 34 +35 34 32 31nnuu +n n nn +nnnn+−= − ++ ++ + ++ ++ −+ + + −+ += < ∀∈ ++ ++ + ++ +Câu 103: Cho dãy s ố ()nubiết 21nun n= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương +Lời giải +Ta có 2 +1nun n +nn−=− += +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 26 +Sưu t ầm và biên so ạn Khi đó +()()( ) +()( )()2 2 +122 2 21 11 1110, +1 1 11 1 11 1nnnn +nn nn n n nn++ + +− +−− = + = > ∀∈ +++ ++ + + ++ + + + + +Vậy dãy số đã cho là dãy tăng +Câu 104: Cho dãy s ố ()nubiết 221 +2nnnun−−=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm +Lời giải +Ta có ()()22 2 +12 3 2 1 2 10 30,3 2 32nnn n nn n nuu nn n nn++ −− + +− = − = > ∀∈+ + ++ +Vậy dãy số đã cho là dãy tăng +Câu 105: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? +A. sin.nnun= B. 21.21nnun+=+ C. 23.n +nun= D. 324 3 1.nu nn=−+ +Lời giải +* Với ( )sink 2 ; 2 , sin 0 0nn kk nnππ π∈ + ∈⇒ >⇒ >  +và ( )sin2 ;2 2 , sin 0 0nn k kk nnππ ππ∈ + + ∈⇒ <⇒ <  . Suy ra dãy số trong đáp án A không +tăng, không giảm → loại A +* Ta có +21 21nnnun n++= =+ +. Xét dãy ()nv với +()()2 22 +1 22 2222 1 4 27 +4 12 9 4 4 1 2321nnnn n nnvvn n nn nn+++ + −−−= − =+ + ++ ++ +Do 1nnvv+− vừa nhận giá tr ị âm lẫn dương nên dãy s ố ()nvkhông tăng, không gi ảm→loại B +1 22 2 232 2 1 3.3 3 +uun n nn+−− +++. Do 1nnuu+− nhận giá tr ị âm lẫn dương nên dãy đã +cho không tăng, không gi ảm → loại C +* Theo phương pháp loạ i trừ ta ch ọn D +Câu 106: Cho dãy s ố ()nubiết 1 +uu−== +. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 27 +Sưu t ầm và biên so ạn C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +Ta có 123uuu<< . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp +Từ giả thiết thì *0,nun> ∀∈  +Giả sử 1,2kkuuk−>≥ . Ta chứng minh 1kkuu+> +Thật vậy: ()1 11103k k kk k k u u uu u u+ −+− = − >⇔ > . Vậy dãy đã cho là dãy tăng +Câu 107: Cho dãy s ố ()nubiết 1 ++== + ∀∈. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm +Lời giải +Ta có 123 0uuu<<< . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp +Từ giả thiết thì *0,nun> ∀∈  +Giả sử 1,2kkuuk−>≥ . Ta chứng minh 1kkuu+> +Thật vậy: ()()11 22 +11 122 +33kk kk +kk k k k k +kkuu uuuu u u uu +−−+− = +− += >⇔ > +++ +. vậy dãy đã cho +là dãy tăng +Câu 108: Cho dãy s ố ()nubiết1 +uuu+= +=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có 102 u= +Lời giải +Ta có 123uuu>> . Dự đoán dãy số đã cho giảm, ta chứng minh bằng quy nạp +Từ giả thiết thì *0,nun> ∀∈  +Giả sử 1,2kkuuk−<≥ . Ta chứng minh 1kkuu+< +Thật vậy: () +()()1 1 +119 3303 3 33kk kk +kk k k +k k kkuu uuuu uuu u uu− − +−−−− = − = <⇔ <++ ++. vậy dãy đã cho là dãy +Câu 109: Cho dãy s ố ()nubiết 11 1...12nun n nn= + ++++ +. Mệnh đề nào sau đây đúng? +A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm +C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 28 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +Xét hiệu +1 21 1 1 4 3102 12 2 1 22 1 1nnnnuu nn nn nn+++− = + − = > ∀∈+ ++ ++ +Câu 110: Cho dãy s ố ()nubiết1 +u au n+= += +∀∈ . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể ()nutăng? +A. 0.a< B. 0.a≤ C. 0.a> D. 1.a> +Lời giải +Xét hiệu 11 11n n nnu au u au+−= +⇒ = + ()11n n nnu u au u+−⇒ −= − +nnu u au u a +u u au u a +u ua+⇒−= − = +⇒−= − = +Để dãy số ()nu tăng suy ra a0>. +Câu 111: Trong các dãy s ố dưới đây, dãy s ố nào là dãy gi ảm? +nun=. B. 13nun= − . C. 3nun=. D. 32nun= − . +Lời giải +Xét đáp án A, ta có ()2 2* +1 1 2 1 0,nnuun n n n+− = + − = +> ∀∈  nên dãy này là dãy tăng. +Xét đáp án B, ta có ()* +111 10,11nnuu nn n nn+−− = − = < ∀∈++ nên dãy này là dãy gi ảm. +Xét đáp án C, ta có ()* +1 3 1 3 3 0,nnuu n n n+− = + − => ∀∈  nên dãy này là dãy tăng. +Xét đáp án D, ta có ()3 3* +1 1 0,nnuun n n+− = + − > ∀∈  nên dãy này là dãy tăng. +Câu 112: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? +nun= . B. 3 +1nnun−=+. C. 2nnu=. D. ()1 +n nu−= . +Lời giải +Xét A: +Ta có 23 +nun= , +()1 23 +nu nnnun n∗ += < =∀∈ ++. Vậy ()nu là dãy gi ảm. +Xét B: +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 29 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 3;1nnun−=+ 12 +2nnun+−=+. Khi đó: ()()123 402 1 12nnnnuun n nn+−−−= − = >+ + ++ n∀∈ +Vậy ()nu là dãy s ố tăng. +Xét C: +Ta có ;2nnu= 11 +2nnu++= . Khi đó: 11102 22nnnnuu++−= −=> n∀∈ +Vậy ()nulà dãy s ố tăng. +Xét D: +Ta có 11;3u−= 21;9u= 31 +27u−= . Vậy ()nulà dãy s ố không tăng không gi ảm. +Câu 113: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? +A. * 53,23nnunn−= ∈+. B. * 5,41nnunn−= ∈+. +C. 2*2 3,nun n=+∈ . D. ()*cos 2 1 ,nu nn= +∈ . +Lời giải +* Với dãy 53 +23nnun−=+. +()()()() +()() ()()1 +*53 1 53 23 53 +2 1 3 23 25 23 +2 323 5 325 19025 23 23 25nnn n nnuun nnn +nn nnnnn nn+−+ −−−−= − = −++ + + + +− +−− + −= = < ∀∈++ ++ +Suy ra ()nulà dãy gi ảm. +Câu 114: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? +2n nu= . B. 31 +1nnun−=+. C. 2 +nun=. D. 2nun= + . +Lời giải +Ta có 1 +2n nu=1 11 +2n nu+ +<= *n∀∈. +Câu 115: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? +2n nu= . B. 31 +1nnun−=+. C. 21nun= − . D. 1 +Lời giải +Câu 116: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 30 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 3 +1nnun−=+. B. 2nnu=. C. 22 +nun= . D. ()1 +n nu−= . +Lời giải +Xét A: +Ta có 3;1nnun−=+ 12 +2nnun+−=+. Khi đó: ()()123 402 1 12nnnnuun n nn+−−−= − = >+ + ++ n∀∈ +Vậy ()nu là dãy s ố tăng. +Xét B: +Ta có ;2nnu= 11 +2nnu++= . Khi đó: 11102 22nnnnuu++−= −=> n∀∈ +Vậy ()nulà dãy s ố tăng. +Xét C: +Ta có 22 +nun= , +()1 22 +nu nnnun n∗ += < =∀∈ ++. Vậy ()nu là dãy gi ảm. +Xét D: +Ta có 11;3u−= 21;9u= 31 +27u−= . Vậy ()nulà dãy s ố không tăng không gi ảm. +Câu 117: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? +A. ()53,*23nnunn−= ∈+. B. ()5,*41nnunn−= ∈+. +C. ()32 3, *nun n=+∈ . D. ()() cos 2 1 , *nu nn= +∈ . +Lời giải +Xét ()53,*23nnunn−= ∈+, ta có () +()153 1 53 +2 1 32 3nnn nuunn+−+ −−= −++ + 23 53 +25 23nn +nn−−= −++ +()()()() +()()2 323 25 5 3 +25 23nn n n +nn− +− + −=++ ()()224 6 6 9 10 6 25 15 +25 23nn n nn n +nn− +− − + − +=++ +()()190, *25 23nnn−= < ∀∈++. +Vậy ()53,*23nnunn−= ∈+ là dãy gi ảm. +Câu 118: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? +A. 1.2n nu= B. 1.nun= C. 5.31nnun+=+ D. 21.1nnun−=+ +Lời giải +Vì 2;nn là các dãy dương và tăng nên 11;2nn là các dãy gi ảm, do đó loạ i các đáp án A và +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 31 +Sưu t ầm và biên so ạn Xét đáp án C: 1 +6nunu uunu=+=  →  → >  → +=loại C. +Xét đáp án D: 121 3 1 12 301 1 12n nnnu uun n nn+− = = − ⇒ −= − > + + ++ +Câu 119: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? +A. 2.3n nu= B. 3.nun= C. 2.n +nu= D. ()2.n +Lời giải +Xét đáp án C: 1 +1 2 2 220n n nn +n nn u uu+ ++ =  → − = − = >  → Chọn C +Vì 2;nn là các dãy dương và tăng nên 11;2nn là các dãy gi ảm, do đó loạ i các đáp án A và +Xét đáp án D: ()2 +nuu uuu== −  →  → >  → =− loại D. +Câu 120: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? +1nnun+=−. B. 31nun= − . C. 2 +nun=. D. 2nun= . +Lời giải +Với mọi n∈, 1n>. Ta có +()12 11 21 23 21 +11 1 1nnn nnnuun n nn+++ +++−= − = −+− − − +()()() +()()()() +() ()23 1 21 23 1 21 301 11n n nn n n nn +nn nn nn+ −− + + −− + −= = = <− −−, với mọi n∈, 1n>. +Suy ra dãy s ố giảm. +DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI, BỊ CHẶN +Câu 121: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)= −n +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +Câu 122: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 31= −nun +A. Bị chặn. B. Bị chặn trên. C. Bị chặn dưới. D. Không bị chặn dưới. +Lời giải +Ta có *2,nun≥ ∀∈ →  Dãy bị chặn dưới +Khi n tiến tới dương vô cực thì nu cũng tiến tới dương vô cực nên dãy số không bị chặn trên +Vậy dãy đã cho bị chặn dưới +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 32 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 123: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? +A. 2.nun= B. 2.n +nu= C. 1.nun= D. 1.nun= + +Lời giải +Ta có: 110nun  với mọi *n nên dãy nu bị chặn. +Nhận xét: Các dãy số 2;2; 1nnn là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng +không bị chặn trên. +Câu 124: Trong các dãy s ố ()nucho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? +A. 1.2n nu= B. 3.n +nu= C. 1.nun= + D. 21.nun= + +Lời giải +Ta có: 1021 +2n nu  với mọi *n nên dãy nu bị chặn. +Câu 125: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 21 +2+=+nnun +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +Ta có 2 1 2 4 2( 2)0 2 22 2nnn nunnn n++ +<= < = =∀++ + nên dãy ()nu bị chặn. +Câu 126: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 2 13 +32−=−nnun +A. Dãy số tăng, bị chặn. +B. Dãy số giảm, bị chặn. +C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn. +D. Cả A, B, C đều sai. +Lời giải +Ta có: 12 11 2 13 3403 1 3 2 (3 1)(3 2)+−−−= − = >+ − +−nnnnuun n nn với mọi 1≥n . +Suy ra 1 1+> ∀≥⇒nnu un dãy ()nu là dãy tăng ⇒ dãy bị chặn dưới bởi 19 +4u=− . +Mặt khác: 2 35 9 2 13 3(3 2) 4 3nnu unn= − ⇒− ≤ < ∀ ≥− +Vậy dãy ()nu là dãy bị chặn. +Câu 127: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 33 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: 2 +2221 21 2 20 1 1 2 , ( )1 12 1nnn nn n nu nun nn n+ ++< = = = + ≤ + = ∀⇒++ + bị chặn. +Câu 128: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 243= −−nu nn +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +Ta có: 225 3 25()4 24nnun u=−+ <⇒ bị chặn trên; dãy ()nu không bị chặn dưới. +Câu 129: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? +A. 1.nunn= + B. 1nun= + . C. 221nnun=+. D. 21nunn= ++ . +Lời giải +Câu 130: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? +A. sin 3nun n= − B. 21 +nnun+= . C. ()1 +1nunn=+. D. () .sin 3 1nun n= − . +Lời giải +Ta có ()* 110,12nunnn< = ≤ ∀∈ ⇒+ Dãy ()nuvới ()1 +1nunn=+bị chặn +Câu 131: Trong các dãy số ()nu cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ? +2.1nnun=+ B. 22017.nun= + C. ( 1) ( 2).n +nun= −+ D. 2.1nnun=+ +Lời giải +Ta có * +210,12nnunn< = ≤ ∀∈ ⇒+ Dãy ()nuvới 21nun +n=+ bị chặn +Câu 132: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 1( ):2+=+nnnuun +A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. +Lời giải +Ta có 2 +12 1 ( 2) ( 3)( 1) +3 2 ( 2)( 3)++ + + −+ +−= − =+ + ++nnn n n nnuun n nn10, ( 2)( 3)= >∀++nnn. +Và * 120 1,22nnnunnn++< = < =∀∈++ +Vậy dãy ()nu là dãy tăng và bị chặn. +Câu 133: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 3( ): 2 1=++nnuun n +A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 34 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: 33 +1 ( 1) 2( 1) 2+− =+ + +−−nnuun n nn23 3 3 0, = + +> ∀nn n +Mặt khác: 1, >∀nun và khi n càng lớn thì nu càng lớn. +Vậy dãy ()nulà dãy tăng và bị chặn dưới. +Câu 134: Cho dãy số 31( ):31nnnuun−=+. Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? +3. B. 1. C. 1 +2. D. 0. +Lời giải +Ta có 31 21 1.31 31nnunn   Mặt khác: 25110723u nên suy ra dãy nu bị chặn +trên bởi số 1. +Câu 135: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? +A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. +Lời giải +Ta có 1sin1 cos1 1 0MTCT +nuu       nên loại các đáp án A và B +Ta có cos sin 2 sin42nu nn n      +Câu 136: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? +A. 0. B. 1−. C. 2− . D. Không bị chặn dưới. +Lời giải +5sin 5 cos5 1 0MTCT +nuu          loại A và B +Ta có 2 sin42nun   +Câu 137: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ()()11 1...1.3 3.5 2 1 2 1= + ++−+nunn +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +Rõ ràng nu 0, n *> ∀∈  nên ()nu bị chặn dưới. +Lại có: ()()1 11 1 +21 21 2 21 21kk k k= −−+ −+ . Suy ra +1 1 11 1 1 1 1 11 ... 12 3 3 5 21 21 2 21 2nunn n      = −+−+ + − = − <       −+ +         với mọi số nguyên dương +n, nên ()nu bị chặn trên. +Kết luận ()nu bị chặn. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 35 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 138: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 11 1...1.3 2.4 .( 2)= + +++nunn +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +Ta có: 11 1 10 ... 1 11.2 2.3 .( 1) 1< < + ++ = − <++nunn n +Dãy ()nu bị chặn. +Câu 139: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 22 211 11 ...23= + + ++nun. +A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới. +C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. +Lời giải +Ta có: 1 210( 1)+− = >⇒+nnuun dãy ()nu là dãy số tăng. +Do 11 1 11 ... 21.2 2.3 ( 1)nunn n<+ + + + =−− +1 2, 1nun⇒< < ∀≥⇒ dãy ()nu là dãy bị chặn. +Câu 140: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 +2, ( 2)1− ++= ≥+ n +A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. +Lời giải +Bằng quy nạp ta chứng minh được 12< 0 1.nu⇒< ≤ +Suy ra: Dãy ()nu bị chặn. +Câu 143: Trong các dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát nu dưới đây, dãy s ố nào là dãy b ị chặn? +A. 22nun= + . B. 21nnun=+. C. 31n +nu= − . D. 2 +nunn= + . +Lời giải +Chọn B +2lim 2 n+ =+∞⇒ dãy s ố 22nun= + không bị chặn. +21 2 21 2nnunn== −<++⇒ 1 +Mặt khác ta th ấy ngay 0*21nnunn= > ∀∈+ 102nu⇒< < ⇒ dãy s ố +21nnun=+ bị chặn. +Câu 144: Cho dãy s ố ()nu với 125n +nu−= + . Kết luận nào sau đây là đúng? +A. Dãy s ố không đơn đi ệu. B. Dãy s ố giảm và không bị chặn. +C. Dãy s ố tăng. D. Dãy số giảm và b ị chặn. +Lời giải +Xét ()()1 +1 25 25nn +nnuu−− ++−=+ −+ 155nn−−= − 111 +55nn−= −15 +55nn= −* 40,5nn = − < ∀∈ . +()nu⇒ là dãy s ố giảm. +Ta có: 1*2 5 2,n +nun−=+ > ∀∈ ; * 52 3,5n nun=+ ≤ ∀∈ . +()nu⇒ là dãy s ố bị chặn. +Câu 145: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là dãy s ố bị chặn? +1nnun+=+. B. () 2 sinnun n= + . C. 2 +nun=. D. 31nun= − . +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 37 +Sưu t ầm và biên so ạn Xét dãy s ố 21 +1nnun+=+ ta có: +* * 210; 1nnunn+= > ∀∈ ⇒+ dãy ()nu bị chặn dưới bởi giá tr ị 0. +* * 21 12 2; 11nnunnn+= =− < ∀∈ ⇒++ dãy ()nu bị chặn trên bở i giá tr ị 2. +⇒ dãy ()nu là dãy b ị chặn. +Câu 146: Chọn kế t luận sai: +A. Dãy s ố  21n tăng và bị chặn trên. B. Dãy s ố 1 +1n giảm và b ị chặn dưới. +C. Dãy s ố 1 +n tăng và bị chặn trên. D. Dãy s ố 1 +3.2n giảm và b ị chặn dưới. +Lời giải +Đáp án B đúng vì dãy s ố 1 +1n giảm và b ị chặn dưới bởi 0. +Đáp án C đúng vì dãy s ố 1 +n tăng và bị chặn trên bở i 0. +Đáp án D đúng vì dãy s ố 1 +3.2n giảm và b ị chặn dưới bởi 0. +Đáp án A sai vì dãy s ố  21n tăng nhưng không bị chặn trên. +Câu 147: Cho dãy s ố ()nu biết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? +A. Dãy s ố bị chặn dưới. B. Dãy s ố bị chặn trên. +C. Dãy số bị chặn. D. Không bị chặn. +Lời giải +Xét ()21 1 11,211kk k kk k< = − ∀≥−− +Suy ra 1 1 11 11 11 1 1 31 31 ...2 2 23 34 56 1 2 2nunn n      <+− + − + − + − ++ − =−<      −        +30 ,*2nun⇒ < < ∀∈ . +Vậy ()nu bị chặn. +Câu 148: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i *1 +u unn+= += + ∈∀. Tìm s ố nguyên dương n nhỏ nhất sao +cho 20391901nu≥− . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 38 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 2017n= . B. 2019n= . C. 2020n= . D. 2018n= . +Lời giải +Theo hệ thức đã cho ta có: +3 3 3 33 3 +12 1 ( 1) ( 2) ( 1) ... 1 2 ... ( 1)nn n uu n u n n u n−−= +−= +− +−==++++− . +Lại có 22 +33 3 2( 1)1 2 ... ( 1) (1 2 ... ( 1))4nnnn−+++− =+++− = . +Suy ra: 22( 1) ( 1)1142nnn n nnuu−−=+ ⇒ −= . +Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta đư ợc kết quả 2020n= . +Câu 149: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 2 +11 log log 6 0uu+ −= và 1 5nnuu+= + , với mọi 1,n nN≥∈ . Giá tr ị +lớn nhấ t của n để 500nu< bằng: +A. 80. B. 100. C. 99. D. 82. +Lời giải ++) 11 2 +11log 3 0,001log log 6 0log 2 100uuuuuu= −=+ −=⇔ ⇔ = = ++) Từ giả thiết suy ra ()nulà cấp số cộng có công sai 5d=. Do đó, ta có 1( 1)nuu n d=+− . ++) Vậy 0,001 5( 1) 5 4,999 +100 5( 1) 5 95n +u nn= + −= − += + −= +. Suy ra 100,999850081nnun<<⇔<. +Vậy số n lớn nhấ t để 500nu< là 100. +Câu 150: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn: 15u= và 1433nnuu+= + với 1.n∀≥ Giá tr ị nhỏ nhất của n để +12 ... 5nnS uu u=+ ++ > bằng? +A. 142. B. 146. C. 141. D. 145. +Lời giải +1142233333nn n nuu u u++= +⇔ += +  +3nn nvu v= +⇒ là cấ p số nhân vớ i 117 +3v=, công bội 3q=. +Khi đó +12 ...nnS uu u=+ ++1222 2...33 3n vv v    =−+−+ +−         +122...3nnvv v=+++− 112.13nqnvq−= −− 17.3 17 4 +6nn−−= +Bằng cách th ử trực tiếp ta có n bé nhấ t để 1005nS> là 146n= . +Câu 151: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 12 +112, 3 +32n nnuu +u uu+−= = += −2,n nN≥∈ .Khi đó 1....n uu++ bằng? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 39 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 21n−. B. 2n. C. 22nn+ . D. 21nn+− . +Lời giải. +Ta có: 1132n nnu uu+−= − . +1232nn nuu u−−= − +12332nnnuuu−−−= − +…. 43232 uuu= − +3 2132uuu= − +13 13 2 1.... 3 .... 2n nn u u uu uu u+−⇒ ++= + +++− +1 212 221nn n u uu u u+⇔ = +− = −121n +nu+⇒= + . +Vậy ()()()()012 1 +1.... 2 1 2 1 2 1 .... 2 1 2 1nn +n uu n−++= ++ ++ +++ += +− . +Câu 152: Cho dãy s ố {}nu xác đ ịnh bở i +3 32 3 2 3 2 44 4 41 +2 3 31nu +n nn n nn n n n= +++ +++ +++ +, 1n≥. +Tính t ổng 4 12 2018 1... Suu u−=+++ . +A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2019 . +Lời giải +Ta có: +()3 3 4 44 41 +.1 .1 1nu +n nn nn n= ++ ++ ++ + +()()44 441 +1 1. 1 n nn n nn= +++ ++ ++ +()()441 +11 nn nn= +()()441 .1 +1nn nn +nn+− +− +441nn= +− . +Do đó 44 44 44 4 42 1 3 2 ... 2018 1 1 2018 1 S= − + − + + −+− − +4 41 2018= −+ 1 2018= −+ 2017= . +Câu 153: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12 +3u= và ()122 1 1n +nuunu+=++, ()*n∈. Tính t ổng 2018 +số hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó? +A. 4036 +4035. B. 4035 +4034. C. 4038 +4037. D. 4036 +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 40 +Sưu t ầm và biên so ạn - Ta có: () +122 1 1 1 n +uu+++=142 +nnu=++ () +114 12 4 2 +nnnu−= + −+ + + +Tương t ự ta đươc: +()()() +11114.1 2 4.2 2 ... 4 2 +nnuu+=+ ++ +++ + ()322 12n nn= ++ +24 83 +2nn++= +4 83nunn+⇒=++()()2 +2 12 3nn=++ +2 12 1nunn⇒=−+11 +2 12 1nn= −−+ +11121n +kun =⇒= −+∑2 +n=+2018 +=⇒=∑ . +Câu 154: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 16nnuu−= + , 2n∀≥ và 25 9 2log log 8 11uu+ += . Đặt +12 ...nnS uu u=+++ . Tìm s ố tự nhiên n nhỏ nhấ t thỏa mãn 20172018nS≥ . +A. 2587 . B. 2590 . C. 2593 . D. 2584 . +Lời giải +Ta có dãy s ố ()nu là cấ p số cộng có công sai 6d=. +()25 9 25 9 2log log 8 11 log 8 11u u uu + += ⇔ + = ()* với 50 u>. +Mặt khác 51 1 4 24 u u du= += + và 91 1 8 48 u u du= += + . +Thay vào ()* ta đư ợc 15 +158 32 +88 64uu +uu= ⇒= += −⇒= −. Suy ra 18u=. +1 20172018 2 1 20172018 3 5 20172018 02nnS un d n n ≥⇔ + − ≥⇔ + −≥ . +Vậy số tự nhiên n nhỏ nhấ t thỏa mãn 20172018nS≥ là 2593n= . +Câu 155: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 18 18 1144e5 ee euu uu+ −= và 1 3nnuu+= + với mọi 1n≥. Giá tr ị lớn +nhất của n để 3log ln 2018nu< bằng +A. 1419 . B. 1418 . C. 1420 . D. 1417 . +Lời giải +Ta có 1 3nnuu+= + với mọi 1n≥ nên nu là cấ p số cộng có công sai 3d= +18 18 18 18 11 11 44 44e5 ee e 5 ee eeuu u u uu uu+ −=⇔ −=− ()1 +Đặt 18 14eeu ut= − ()0t≥ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 41 +Sưu t ầm và biên so ạn Phương trình ()1 trở thành 2050 +25ttt t +tt≤= −⇔ ⇔== +() 5 5 0 50 0 0t t t t tt t t= −⇔+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔= +Với 0t= ta có : 18 14 +1 811 11 e e 4 51 4 17u uu uu uu= ⇔ = ⇔+= ⇔= +Vậy ()()1 1 17 1 3 3 14nuu n d n n=+− =+− =+ +Có : ln 2018 +ln 2018 ln 2018 +33 14log ln 2018 3 3 14 3 1419,983nnu un n−< ⇔ <⇔ + <⇔ < ≈ +Vậy giá tr ị lớn nhấ t của n là 1419 . +Câu 156: Tổng: 2 4 6 2018A= + + +…+ có giá trị là: +A. 2018001 . B. 1209900 . C. 1010101 . D. 1019090 . +Lời giải +Ta có ()()() 2 2 2018 4 2016 ... 2018 2A= ++ ++ ++ +Do đó () 1009 2 201810190902A+= = +Câu 157: Tổng: 1 4 7 3031B= + + +…+ bằng: +A. 1532676 . B. 1435000 . C. 1351110 . D. 1322300 . +Lời giải +Ta có ()()() 2 1 3031 4 3028 ... 3031 1B= ++ ++ ++ +Do đó () 1011 1 303115326762B+= = +Câu 158: Giá trị của tổng: 13 9 5 387 C=− − − +…+ bằng: +A. 23455 . B. 18887 . C. 36778 . D. 43234 . +Lời giải +Ta có ()()() 2 13 387 9 383 ... 387 13C= − ++ − ++ +− +Do đó () 101 13 387188872C−+= = +Câu 159: Giá trị của tổng: 1 101 201 1001 +100 100 100 100S= + + +…+ bằng: +A. 5514 +100. B. 5501 +100. C. 5511 +100. D. 5515 +Lời giải +Ta có 1 1001 101 901 1001 12 ...100 100 100 100 100 100S   =+ +++ + +       +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 42 +Sưu t ầm và biên so ạn Do đó 1 1001115511 100 100 +2 100S+= = . +Câu 160: Cho tổng: *1 3 5 2 1, .nS nn = + + +…+ + ∀ ∈  Tìm100S? +A. 10201 . B. 10000 . C. 10200 . D. 10202 . +Lời giải +Ta có 100 1 3 5 ... 201 S=++++ +Suy ra ()()()1002 1 201 3 199 ... 201 1S= ++ ++ ++ +Vậy () +100101 1 201102012S+= = +Câu 161: Cho tổng: 246 2nSn= + + +…+ với*n∈. Khi đó công thức của nS là? +A. ( 2)nn+. B. ( 1) +2nn+. C. ( 1)nn+. D. 2n. +Lời giải +Ta có ()()() 2 2 2 4 2 2 ... 2 2nS nn n= ++ + − + ++ +Vậy ()()2212nnnS nn+= = + +Câu 162: Tìm x biết: ( 3) ( 7) ( 11) ( 79) 860xxx x+++++ + … ++ = +A. 2x=. B. 1x=. C. 4x=. D. 3x=. +Lời giải +Ta có ( )( )( ) 1720 3 79 7 75 ... 79 3 xx xx x x= +++ + +++ ++ + ++ +Do đó ( ) () 1720 20 3 79 1720 20 2 82 2 xx x x = +++ ⇔ = + ⇔= +Câu 163: Tìm x biết: ()()()() 2 3 2 7 2 11 ... 2 79 1720xxx x+ ++ +++ ++= +A. 35x= . B. 45 +2x= . C. 10x=. D. 15x=. +Lời giải +Ta có ( )( )( ) 3440 2 3 2 79 2 7 2 75 ... 2 79 2 3 xx xx x x= + ++ + + ++ + + +++ +Do đó ( ) ()453440 20 2 3 2 79 3440 20 4 822xx x x = ++ + ⇔ = + ⇔= +Câu 164: Tính giá trị biểu thức: 1 2 3 2018 +1 3 5 1009A+ + +…+=+ + +…+ +A. 2030071 +255025. B. 2037171 +200025. C. 2037111 +255000. D. 2037171 +255025. +Lời giải +Đặt 1 2 3 ... 2018, 1 3 5 ... 1009PQ=++++ =++++ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 43 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 2018 2 2017 ... 2018 1 2018.2019 2037171PP= ++ ++ ++ = ⇒ = +( ) ( ) ( ) 2 1 1009 2 1007 ... 1009 1 505.1010 255025QQ= ++ ++ ++ = ⇒ = +Vậy 2037171 +255025A= +Câu 165: Cho tổng: 159 4 3nSn= + + +…+ − với*n∈. Khi đó: 22 +10 15SS+ bằng: +A. 225325 . B. 255325 . C. 225355 . D. 225525 . +Lời giải +Ta có ( )2 +10 10 1 5 9 ... 37 190 36100 SS=++++ = ⇒ = +15 15 1 5 9 ... 57 435 189225 SS=++++ = ⇒ = +Vậy 22 +10 15 225325 SS+= +Câu 166: Tính tổng sau: . +A. B. C. D. +Lời giải +Ta có 3 1 3 11 3 1 1 3 1 11 ; ; ;...;1.4 4 4.7 4 7 7.10 7 10 91.94 9194= −= − = − = − +Do đó 11 11 1 1 1 1 9 31 ... 14 4 7 7 10 91 94 94 94S     = −+−+− + + − = −=           +Câu 167: Tổng: bằng: +A. B. C. D. +Lời giải +Ta có 222 22 ...2.4 4.6 6.8 100.102S= + + ++ +21 1 21 1 21 1 2 1 1; ; ;...;2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 100.102 100 102= −= −= − = − +Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 502 ...2 4 4 6 6 8 100 102 2 102 51S     =−+−+−+ + − = − =           +Vậy 50 +Câu 168: Giá trị của tổng: là: 33 3 3...1.4 4.7 7.10 91.94S= + + ++ +111 1...2.4 4.6 6.8 100.102S= + + ++ +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 44 +Sưu t ầm và biên so ạn A. B. C. D. +Lời giải +có giá trị bằng: +A. B. C. D. +Lời giải +100 1 1 100 1 110 ; 10 ;10.15.20 10.15 15.20 15.20.25 15.20 20.25 +100 1 1 100 1 110 ; 1020.25.30 20.25 25.30 110.115.120 110.115 115.120 = −= −    +  = −= −     +Khi đó +1 1 91 +15 115.12 1380S     = − + − + − ++ −           +Câu 170: Giá trị của tổng: 12 20 28 84...4.16 16.36 36.64 400.484S= + + ++ là: +A. B. C. D. +Lời giải +Ta có 12 1 1 20 1 1 28 1 1 84 1 1;; ;4.16 4 16 16.36 16 36 36.64 36 64 400.484 400 484= −= − = − = − +Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30...4 16 16 36 36 64 400 484 4 484 121S     = −+−+−+ + − = −=           +Câu 171: Cho tổng: ( )111 1...1.2 2.3 3.4 1Snn=+++ ++ với . Lựa chọn đáp án đúng. +A. B. C. D. +Lời giải +Ta có 21 12 +1.2 2.3 3S=+= 2941 +31.12S=21.6S=22.3S=31.4S= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 45 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 172: Cho tổng: ( )( )111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2nSnn n= + + ++++. Khi đó: 30S bằng: +A. B. 495 +992 C. D. +Lời giải +Ta có ( )( )222 22 ...1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2nSnn n= + + ++++ +Trong đó +12 1 12 nn n nn n n= −= −= − += −++ + ++ +Khi đó +( )( )( ) +( )( ) ( )( ) ( )( )221 11 11 1 1 12 ...1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 1 1 2 +11 3 3 +1 . 2 12 +12 2 12n +nSnn n n +nn nnSnn nn nn    =−+−+−+ + −      + ++      +++= − = ⇒=++ ++ ++ +Vậy ( )( )2 +3030 3.30 495 +2. 30 1 30 2 992S+= =++ +Câu 173: Tìm x biết: 2 2 2 2 1430...1.3 3.5 5.7 51.53 53xxx x     + ++ ++ + ++ =           +A. B. C. D. +Lời giải +2 2 2 2 1430...1.3 3.5 5.7 51.53 53 +1 1 1 1 1 1 1 1430 52 143026 1 ... 26 13 3 5 5 7 51 53 53 53 53xxx x +x xx     + ++ ++ + ++ =           +⇔ +−+−+−++ − = ⇔ + = ⇔= +A. B. C. D. +Lời giải +Ta có 31 +1x= 2x= 3x= 4x= +1x= 2x= 3x= 4x= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 46 +1 1 9125 115 912520 20 21.2 21.22 231 231 231xx x x +x xx     − +− +− + +− =           +⇔− −+−+−+ + − = +⇔−− = ⇔−= ⇔ = +Câu 175: Tính: 2 3 1011 1 1...55 5 5M=+ + ++ +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn A +( )10 3 2 +10 3 2 +10 3 2 +11 10 10 +10 101 1 11 1 1 1 1... 1 ... 15 555 5 5 5 5 +1 1 1 1 111 +1 1 ... 15 5 5 5 55 +4 1 5.5 1 5 1 1 11 11 15 5 4.5 4.5 4 5MM +M MM  += ++ + +⇔ + = +++ + ++     +      ⇔ + −= − ++ + ++              +−−  ⇔− + = − ⇔ + = ⇔ = = −   10 +Câu 176: Cho 5 55 5...1024 512 256 2M= + + ++ . Khi đó M bằng: +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn D +( ) ( )10 9 8 +10 9 8 +10 9 8 11 +11 115 5 5 5 1 11 1... 5 ...1024 512 256 2 2 2 2 2 +1 11 15 5 ... 12 22 2 +1 11 1 11 1 15 1 5 1 ... 1 5 +5 12 2 2 22 2 2 2 +1 1 5115 10 1 10 +1 522M +MM= + + ++= + + +++  +⇔ += + ++ +++ +     ⇔ + − = − + + + + + ⇔− + = −            + ⇔ += − +⇔ = − −=  +  5 +Câu 177: Cho 55 55 ...3 9 729M=++++ . Khi đó 729M bằng: +A. B. C. D. +1011145−1111145−10115−1011155− +7295460 54655460 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 47 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +Chọn C +76 655 5 1 1 15 ... 5 1 ...3 9 729 3 3 3 +1 1 11 11 5 1 1 ...3 3 33 3 +2 1 5 31 5315 1 729 729. . 54653 3 +23 2 3M +MM M= +++++ = + ++ ++ +   ⇔ − = − ++ ++       +  −− ⇔ = − ⇔= ⇒ = =      +Câu 178: Cho tổng: 21 2 2 ... 2n +nS=++ ++ . Chọn mệnh đề đúng: +A. 102047 S= B. 102048 S= C. 101024 S= D. 101023 S= +Lời giải +Chọn A +Ta có ( )( )2 211 2 2 ... 2 2 1 1 2 2 ... 2 2 1n nn +nnSS+=++ ++ ⇔ = − ++ ++ = − +Vậy 11 +102 1 2047 S= −= +Câu 179: Tính tổng: 1.2 3.4 5.6 ... 11.12S=+++ + +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn A +( ) ( ) +( )( )( )( )( )* +1 112 1 2 , . 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2 +2 12 4 2 +4 12 1 14 1163n +na k kk S a n n +S kk k k +nn n nn nS nn= += = ==− ∈ = =+++ +− +⇔= − = − +++ +−⇔ = − +=∑ +Vậy ( )( )6 6 1 4.6 11.2 3.4 5.6 ... 11.12 3223S+−=+++ + = = +Câu 180: Tổng: 2.3 4.5 6.7 ... 20.21S= + + ++ có giá trị bằng: +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn C +Ta có 322 321 320 319 +1550 1655 1650 1450 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 48 +Sưu t ầm và biên so ạn ( ) ( ) +( )( )( )( )( )* +1 112 2 1 , . 2.3 4.5 6.7 ... 2 2 1 +22 1 4 2 +4 12 1 14 5163n +na kk k S a nn +S kk k k +nn n nn nS nn= += = == + ∈ = = + + ++ + +⇔ = += + +++ ++⇔ = + +=∑ +Vậy ( )( )10 10 1 40 52.3 4.5 6.7 ... 20.21 16503S++= + + ++ = = +Câu 181: Giá trị của tổng: là: +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn D +( ) ( ) +( )( ) ( )( )* +23 1 , . 1.2 2.5 3.8 ... 3 1 +12 1 1122n +na kk k S a nn +S kk k k +nn n nnS nn= += = == − ∈ = = + + ++ − +⇔ = −= − +++ +⇔= − = +∑ +Vậy ( )21.2 2.5 3.8 ... 20.59 20 20 1 8400S= + + ++ = += +Câu 182: Tính tổng: ( ) ( ) 1.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3nS nn = + + ++ − + khi +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn C +( )( ) ( )( ) +( )( ) +( )( )( )( )( )* +1 112 1 2 3 , . 1.5 3.7 5.9 ... 2 1 2 3 +2 12 3 4 4 3 +2 12 1 2 12 42 13 333n +nak kk S a n n +S k k k kn +nn n nn nS nn n n= += = == − + ∈ = = + + ++ − + +⇔= − += + − +++ ++⇔ = + +− = −∑ +Vậy ( ) ( )1530.16.341.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3 45 53953nS nn S = + + ++ − +⇒ = − = +Câu 183: Giá trị của tổng: ( ) 1.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4nS nn = + + ++ − khi 10n= là: +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn B 1.2 2.5 3.8 ... 20.59S= + + ++ +8450 8300 8850 8400 +5450 5400 5395 5650 +1650 2860 2650 1950 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 49 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có +( ) ( ) +( )( )( )( )( )* +1 112 1 4 k, . 1.4 3.8 5.12 ... 2 1 4 +2 14 8 4 +4 12 1 2 14 12133n +nak k S a nn +S kk k k +nn n nn nS nn= += = == − ∈ = = + + ++ − +⇔= − = − +++ +−⇔ = − +=∑ +Vậy ( )1020.11.391.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4 28603nS n nS = + + ++ − ⇒ = = +Câu 184: Cho tổng ( ) 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2=+++ +−nS nn . Tính giá trị của 50S +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn A +( ) ( ) +( )( )( )( )( )* +1 112 1 2 , . 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2 +2 12 4 2 +4 12 1 14 1163n +na k kk S a n n +S kk k k +nn n nn nS nn= += = ==− ∈ = =+++ +− +⇔= − = − +++ +−⇔ = − +=∑ +Vậy ( )( )( ) +5014 1 50.51.1991.2 3.4 5.6 ... 2 1 2 16915033nnn nS nn S+−=+++ +− = ⇒= = +Câu 185: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200xxx x+ ++ ++ +++ = +A. B. C. D. +Lời giải +Chọn D +( ) ( ) ( ) ( ) +( )1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200 +10 1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200 10 1100 1200 10xxx x +x xx+ ++ ++ +++ = +⇔+++ + + = ⇔+ = ⇔ = +169150 155000 165050 165000 +7x= 8x= 9x= 10x= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 30 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG +1. ĐỊ NH NGHĨA +Cấp số cộng là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô hạn), trong đó kể từ số hạng th ứ hai, m ỗi +số hạng đề u bằng số hạng đứng ngay trước nó cộ ng với một s ố không đổi d. Nghĩa là +1nnu ud+= + với *n∈ +Số không đổi d được gọi là công sai của cấ p số cộng. +Đặc bi ệt, khi 0d= thì cấp số cộng là m ột dãy s ố không đổi (tất cả các s ố hạng đề u +bằng nhau) . +Nhận xét: T ừ định nghĩa, ta có: +1) Nếu ( )nu là m ột cấp số cộng thì m ỗi số hạng (tr ừ số hạng đầ u và cu ối) đều là trung bình +cộng c ủa hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 +kuuu−++= với 2k≥. (3) +2) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố tăng khi và chỉ khi công sai 0d>. +3) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố giảm khi và chỉ khi công sai 0d<. +Để chứng minh dãy s ố ( )nulà một cấp số cộng, chúng ta c ần ch ứng minh 1nnuu+− là m ột hằng +số với mọi số nguyên dương n. +Ví dụ 1. Ch ứng minh r ằng dãy s ố hữu hạn sau là m ột cấp số cộng: 2;1;4;7;10;13;16;19− . +Lời giải +Nên theo định nghĩa cấ p số cộng, dãy s ố 2;1;4;7;10;13;16;19− là một cấp số cộng v ới công sai +Ví dụ 2. Trong các dãy s ố dưới đây, dãy số nào là c ấp số cộng? Tìm s ố hạng đầu và công sai của nó. +a) Dãy s ố , vớ i 43nan= − . b) Dãy s ố ( )nb, với 23 +4nnb−= . 1 2 3; 4 1 3; 7 4 3; 10 7 3;= −+ =+ =+ =+ +13 10 3; 16 13 3; 19 16 3.= += += + +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +LÝ THUY ẾT. +VÍ D Ụ. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 31 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +a) Ta có ()14 1 34 1nan n+= +−= + nên ()()1 4 1 4 3 4, 1nnaa n n n+− = + − − = ∀≥ . +Do đó ()na là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11a= và công sai 4d=. +b) Ta có () +123 1 13 +44nn nb+−+ −−= = nên 113 23 3,14 44nnnnbb n+−− −− = − = − ∀≥ . +Suy ra ()nb là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11 +4b=− và công sai 3 +4d=− . +Ví dụ 3. Cho c ấp số cộng ()nu có 7 số hạng với số hạng đầu 12 +3u= và công sai 4 +3d=− . Viết dạng +khai tri ển của cấ p số cộng đó. +Lời giải +Ta có 212 +3u ud=+= − ; 32 2 uud=+= − ; 4310 +3uud=+= − +3uud=+= − ; 65 6 uud=+= − ; 7622 +3uud=+= − . +Vậy dạng khai tri ển của cấ p số cộng ()nu là 2 2 10 14 22; ; 2; ; ; 6;33 3 3 3− − −−− − . +2. SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT CỦ A CẤ P SỐ CỘNG. +Định lý 1 : Nếu cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì s ố hạng tổng quát nu +được xác đ ịnh bở i công thứ c: ()1 1, 2nu u n dn= + − ∀≥ (2). +Cho c ấp số cộng ()nu có 12u= và 5 d=− . +a) Tìm 20u. +b) Số 2018− là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng? +Lời giải +a) Ta có ()20 1 19 2 19. 5 93 uu d=+ =+ −= − . +b) Số hạng tổng quát c ủa cấ p số cộng là ()1 1 75nuu n d n=+− = − . +Vì 2018nu=− nên 7 5 2018 405nn− = − ⇔= . +Do 405n= là số nguyên dương nên s ố 2018− là số hạng th ứ 405 của cấ p số cộng đã cho. +Chú ý : +a) Cho c ấp số cộng ()nucó 99101 u= và 101 99 u=. Tìm 100u. +b) Cho c ấp số cộng 2; ;6;xy− Tính giá tr ị của biểu thứ c 22Px y= + . +Lời giải 20 1 (20 1) 2 19.( 5) 93.=+ − =+ −= −uu d +VÍ D Ụ. +VÍ D Ụ. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 32 +Sưu t ầm và biên so ạn a) Theo tính ch ất của cấp số cộng, ta có 99 101 +1002uuu+= nên 100100 u= . +b) Theo tính chấ t của cấp số cộng, ta có 2622x−+= = và 62xy+= . +Vì 2x= nên 10y=. +Vậy .222 22 10 104 Px y=+=+ = . +3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG Đ ẦU TIÊN CỦ A CẤP SỐ CỘNG. +Định lý 2 : Gi ả sử ()nu là m ột cấp số cộng có công sai d. Đặt 12 ...nnS uu u=+++ Khi đó: +nnu uS+= (4) ho ặc () +2nnn dS nu−= + (5) +Cho c ấp số cộng ()nucó 1 2 u=− và 3d=. +a) Tính t ổng c ủa 25 số hạng đầ u tiên c ủa cấ p số cộng. +b) Bi ết 6095374nS= , tìm n. +Lời giải +Ta có () ()()2 +13 1 3722 22nnn nn n nS nu d n− −−= + = −+ = +a) Ta có .() +2525 3.25 78502S−= = . +b) Vì 6095374nS= nên ()2 376095374 3 7 12190748 02nnnn−= ⇔ −− = Giải phương trình +bậc hai trên v ới n nguyên dương, ta tìm đư ợc 2017n= . +Câu 1: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11 +3u=, 826.u= Tìm công sai d +Câu 2: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết t��ng n số hạng đầu của +dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. +Câu 3: Cho m ột cấp số cộng nucó 11 +3u, 826 u . Tìm công sai +Câu 4: Một gia đình c ần khoan m ột cái gi ếng để lấy nước. Họ thuê m ột đội khoan gi ếng nư ớc. Bi ết giá +của mét khoan đầ u tiên là 80.000 đồng, k ể từ mét khoan thứ hai giá của m ỗi mét khoan tăng +thêm 5.000 đồng so vớ i giá c ủa mét khoan trư ớc đó. Bi ết cần phải khoan sâu xuống 50m mới +có nư ớc. Hỏi phả i trả bao nhiêu ti ền để khoan cái gi ếng đó? +Câu 5: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. +Câu 6: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. 222 22 10 104 =+=+ =Px y +2525(3.25 7)8502−= = S +VÍ D Ụ. +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 33 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 7: Cho c ấp số cộng ( )nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. +Câu 8: Cho m ột cấp số cộng ( )nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của +số hạng tổng quát nu. +Câu 9: Cho c ấp số cộng ( )nu thỏa mãn 4 ++= có công sai là +Câu 10: Cho c ấp số cộng ( )nu có 5 15 u=− , 2060 u= . Tổng c ủa 10 số hạng đầ u tiên c ủa cấp số cộng +Câu 11: Cho c ấp số cộng ( )nu có 4 12 u=− , 1418 u=. Tính t ổng 16 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng +Câu 12: Trong hội ch ợ tết Mậu Tuấ t 2018 , một công ty s ữa mu ốn xếp 900 hộp s ữa theo s ố lượng 1, 3, +5, ... từ trên xu ống dướ i (số hộp s ữa trên m ỗi hàng x ếp từ trên xu ống là các s ố lẻ liên tiế p - mô +hình như hình bên). Hàng dướ i cùng có bao nhiêu hộp s ữa? +Câu 13: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, +hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườ n là +Câu 14: Cho c ấp số cộng ( )nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các s ố +hạng của ( )nu đều lớn hơn 2018 ? +Câu 15: Bốn số tạo thà nh m ột cấp số cộng c ó tổng b ằng 28 và tổng c ác bình phương của ch úng b ằng +276. Tích của b ốn số đó là : +Câu 16: Chu vi m ột đa giác là 158cm, số đo các c ạnh của nó lậ p thành m ột cấp số cộng vớ i công sai +3d cm= . Biết cạnh lớn nhất là 44cm . Số cạnh của đa giác đó là? +Câu 17: Cho c ấp số cộng ( )nubiết 518=u và 2 4=nnSS . Tìm s ố hạng đầu tiên 1uvà công sai dcủa cấ p +số cộng. +Câu 18: Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng. Giá trị của bi ểu thứ c 32xy+ bằng. +Câu 19: Cho c ấp số cộng , biết , . S ố là s ố hạng th ứ bao nhiêu? +Câu 20: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầu là 234nSnn= + , * n∈. Giá tr ị của số hạng th ứ 10 +của cấp số cộng là +Câu 21: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số +cộng là +Câu 22: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số +cộng là +Câu 23: Người ta vi ết thêm 999 số thực vào gi ữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. +Tìm s ố hạng th ứ 501. +Câu 24: Cho c ấp số cộng có 11u= và công sai 2 d=− . Tổng n số hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng này là +9800nS=− . Giá trị n là ( )nu1 5 u=− 2d= 81 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG +1. ĐỊ NH NGHĨA +Cấp số cộng là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô hạn), trong đó kể từ số hạng th ứ hai, m ỗi +số hạng đề u bằng số hạng đứng ngay trước nó cộ ng với một s ố không đổi d. Nghĩa là +1nnu ud+= + với *n∈ +Số không đổi d được gọi là công sai của cấ p số cộng. +Đặc bi ệt, khi 0d= thì cấp số cộng là m ột dãy s ố không đổi (tất cả các s ố hạng đề u +bằng nhau) . +Nhận xét: T ừ định nghĩa, ta có: +1) Nếu ( )nu là m ột cấp số cộng thì m ỗi số hạng (tr ừ số hạng đầ u và cu ối) đều là trung bình +cộng c ủa hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 +kuuu−++= với 2k≥. (3) +2) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố tăng khi và chỉ khi công sai 0d>. +3) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố giảm khi và chỉ khi công sai 0d<. +Để chứng minh dãy s ố ( )nulà một cấp số cộng, chúng ta c ần ch ứng minh 1nnuu+− là m ột hằng +số với mọi số nguyên dương n. +Ví dụ 1. Ch ứng minh r ằng dãy s ố hữu hạn sau là m ột cấp số cộng: 2;1;4;7;10;13;16;19− . +Lời giải +Nên theo định nghĩa cấ p số cộng, dãy s ố 2;1;4;7;10;13;16;19− là một cấp số cộng v ới công sai +Ví dụ 2. Trong các dãy s ố dưới đây, dãy số nào là c ấp số cộng? Tìm s ố hạng đầu và công sai của nó. +a) Dãy s ố , vớ i 43nan= − . b) Dãy s ố ( )nb, với 23 +4nnb−= . 1 2 3; 4 1 3; 7 4 3; 10 7 3;= −+ =+ =+ =+ +13 10 3; 16 13 3; 19 16 3.= += += + +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +LÝ THUY ẾT. +VÍ D Ụ. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +a) Ta có ()14 1 34 1nan n+= +−= + nên ()()1 4 1 4 3 4, 1nnaa n n n+− = + − − = ∀≥ . +Do đó ()na là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11a= và công sai 4d=. +b) Ta có () +123 1 13 +44nn nb+−+ −−= = nên 113 23 3,14 44nnnnbb n+−− −− = − = − ∀≥ . +Suy ra ()nb là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11 +4b=− và công sai 3 +4d=− . +Ví dụ 3. Cho c ấp số cộng ()nu có 7 số hạng với số hạng đầu 12 +3u= và công sai 4 +3d=− . Viết dạng +khai tri ển của cấ p số cộng đó. +Lời giải +Ta có 212 +3u ud=+= − ; 32 2 uud=+= − ; 4310 +3uud=+= − +3uud=+= − ; 65 6 uud=+= − ; 7622 +3uud=+= − . +Vậy dạng khai tri ển của cấ p số cộng ()nu là 2 2 10 14 22; ; 2; ; ; 6;33 3 3 3− − −−− − . +2. SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT CỦ A CẤ P SỐ CỘNG. +Định lý 1 : Nếu cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì s ố hạng tổng quát nu +được xác đ ịnh bở i công thứ c: ()1 1, 2nu u n dn= + − ∀≥ (2). +Cho c ấp số cộng ()nu có 12u= và 5 d=− . +a) Tìm 20u. +b) Số 2018− là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng? +Lời giải +a) Ta có ()20 1 19 2 19. 5 93 uu d=+ =+ −= − . +b) Số hạng tổng quát c ủa cấ p số cộng là ()1 1 75nuu n d n=+− = − . +Vì 2018nu=− nên 7 5 2018 405nn− = − ⇔= . +Do 405n= là số nguyên dương nên s ố 2018− là số hạng th ứ 405 của cấ p số cộng đã cho. +Chú ý : +a) Cho c ấp số cộng ()nucó 99101 u= và 101 99 u=. Tìm 100u. +b) Cho c ấp số cộng 2; ;6;xy− Tính giá tr ị của biểu thứ c 22Px y= + . +Lời giải 20 1 (20 1) 2 19.( 5) 93.=+ − =+ −= −uu d +VÍ D Ụ. +VÍ D Ụ. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn a) Theo tính ch ất của cấp số cộng, ta có 99 101 +1002uuu+= nên 100100 u= . +b) Theo tính chấ t của cấp số cộng, ta có 2622x−+= = và 62xy+= . +Vì 2x= nên 10y=. +Vậy .222 22 10 104 Px y=+=+ = . +3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG Đ ẦU TIÊN CỦ A CẤP SỐ CỘNG. +Định lý 2 : Gi ả sử ()nu là m ột cấp số cộng có công sai d. Đặt 12 ...nnS uu u=+++ Khi đó: +nnu uS+= (4) ho ặc () +2nnn dS nu−= + (5) +Cho c ấp số cộng ()nucó 1 2 u=− và 3d=. +a) Tính t ổng c ủa 25 số hạng đầ u tiên c ủa cấ p số cộng. +b) Bi ết 6095374nS= , tìm n. +Lời giải +Ta có () ()()2 +13 1 3722 22nnn nn n nS nu d n− −−= + = −+ = +a) Ta có .() +2525 3.25 78502S−= = . +b) Vì 6095374nS= nên ()2 376095374 3 7 12190748 02nnnn−= ⇔ −− = Giải phương trình +bậc hai trên v ới n nguyên dương, ta tìm đư ợc 2017n= . +Câu 1: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11 +3u=, 826.u= Tìm công sai d +Lời giải +81 7 uu d= +126 73d ⇔= +11 +3d⇔= . +Câu 2: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đầu của +dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. +Lời giải +Ta có ()( ) ()( ) 12 1 2.3 1 .425322nnu n d n nS+− +−=⇔= 222 22 10 104 =+=+ =Px y +2525(3.25 7)8502−= = S +VÍ D Ụ. +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn ()211 +4 2 506 0 23 + ⇔ +− = ⇔=−. +Câu 3: Cho m ột cấp số cộng nucó 11 +3u, 826 u . Tìm công sai +Lời giải +Ta có 811 117 26 733uu d dd    . +Câu 4: Một gia đình c ần khoan m ột cái gi ếng để lấy nước. Họ thuê m ột đội khoan gi ếng nư ớc. Bi ết giá +của mét khoan đầ u tiên là 80.000 đồng, k ể từ mét khoan thứ hai giá của m ỗi mét khoan tăng +thêm 5.000 đồng so vớ i giá c ủa mét khoan trư ớc đó. Bi ết cần phải khoan sâu xuống 50m mới +có nư ớc. Hỏi phả i trả bao nhiêu ti ền để khoan cái gi ếng đó? +Lời giải +* Áp dụng công th ức tính tổng c ủa n số hạng đầ u của cấ p số nhân có s ố hạng đầu 180.000u= , +công sai 5.000d= ta đư ợc số tiền phả i trả khi khoan đế n mét th ứ n là +() ()1 121 +nnu n d nu uS+−+= = +* Khi khoan đế n mét th ứ 50, số tiền phả i trả là +5050 2.80000 50 1 .500010.125.0002S+−= = đồng. +Câu 5: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. +Lời giải +Ta có ()1 3 1 23 23nnuu n n+− = +−− += +Suy ra 3d= là công sai củ a cấp số cộng. +Câu 6: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. +Lời giải +Ta có 61 5 27 6 uu d d=+ = ⇒= . +Câu 7: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. +Lời giải +Ta có 61 5 27 6 uu d d=+ = ⇒= . +Câu 8: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của +số hạng tổng quát nu. +Lời giải +Ta có: ()50 1502 49 51502S ud= += 4d⇒= . +Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng b ằng ()1 1 14nuu n d n=+− = + . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa mãn 4 ++= có công sai là +Lời giải +Gọi d là công sai. +Ta có: 4 1 1 +46 110 3 10 1 +26 2 8 26 3u ud u +uu ud d= += =   ⇔⇔  += += =  . +Vậy công sai 3d=. +Câu 10: Cho c ấp số cộng ()nu có 5 15 u=− , 2060 u= . Tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng +Lời giải +Gọi 1u, d lần lượt là s ố hạng đầu và công sai của cấp số cộng. +Ta có: 5 +19 60ud +ud+= − ++=⇔1 35 +Vậy ()10 110.2 92S ud= + () 5. 2. 35 9.5= −+125=− . +Câu 11: Cho c ấp số cộng ()nu có 4 12 u=− , 1418 u=. Tính t ổng 16 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng +Lời giải +Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Theo gi ả thiết, ta có 1 +13 18ud +ud+= − ++= 1 21 +d=−⇔=. +Khi đó, ()1 +162 15 .16 +2udS+= () 8 42 45 24=−+ = . +Câu 12: Trong hội ch ợ tết Mậu Tuấ t 2018 , một công ty s ữa mu ốn xếp 900 hộp s ữa theo s ố lượng 1, 3, +5, ... từ trên xu ống dư ới (số hộp s ữa trên m ỗi hàng x ếp từ trên xu ống là các s ố lẻ liên tiế p - mô +hình như hình bên). Hàng dư ới cùng có bao nhiêu hộp s ữa? +Lời giải +Cách 1: p dụng công th ức tính t ổng n s ố hạng liên tiế p của CSC: +()1212nnS un d= +− () 900 2.1 1 .22nn ⇔ = +− 2900 n⇔= 30.n⇒= +Vậy 301 29*2 59. u= += +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn Cách 2: Áp d ụng công th ức ()21 3 5 ..... 2 1 nn +++ + − = , suy ra 30.n= +Vậy 2 1 59.n−= . +Câu 13: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như sau: Hàng th ứ nhất có 1 cây, +hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….S ố hàng cây trong khu vư ờn là +Lời giải +Cách tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như trên l ập thành m ột cấp số cộng +()nu với số nu là số cây ở hàng th ứ n và 11u= và công sai 1d=. +Tổng s ố cây tr ồng đư ợc là: 465nS= ()14652nn+⇔=2930 0 nn⇔ +− =()30 +nl=⇔=−. +Như v ậy số hàng cây trong khu vư ờn là 30. +Câu 14: Cho c ấp số cộng ()nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các s ố +hạng của ()nu đều lớn hơn 2018 ? +Lời giải +Ta có: ()1 1nuu n d=+− () 37 1 n= +− 74n= − ; 2018nu> 7 4 2018n⇔ −>2022 +Vậy 289n= . +Câu 15: Bốn số tạo thà nh m ột cấp số cộng c ó tổng b ằng 28 và tổng c ác bình phương c ủa ch úng b ằng +276. Tích của b ốn số đó l à : +Lời giải +Gọi 4 số cần tìm là 3ar−, ar−, ar+, 3ar+ . +Ta có: +()()()()222 23 3 28 +3 3 276a rarara r +a ra ra ra r− +−++++ =− +− ++ ++ =27 +r=⇔=7 +r=⇔=±. +Bốn số cần tìm là 1, 5, 9, 13 có tích bằng 585. +Câu 16: Chu vi m ột đa giác là 158cm, số đo các c ạnh của nó l ập thành m ột cấp số cộng vớ i công sai +3d cm= . Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đó là? +Lời giải +Giả sử đã giác đã cho có n cạnh thì chu vi c ủa đa giác là:()1 +nu unS+= với 1u là cạ nh nhỏ +nhất. Suy ra: ()1441582un+= ()1 316 44 un⇔= + ()2 +1 2 .79 44 un ⇔= + +Do đó 144u+ là ước nguyên dương c ủa 2316 2 .79= và đa giác có ít nhấ t ba cạ nh nên +131644 443u>+> . Suyra:1144 79 35uu+=⇔= . +Số cạnh của đa giác đã cho là: 44 35143−+= ( cạnh ). +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 17: Cho c ấp số cộng ( )nubiết 518=u và 2 4=nnSS . Tìm s ố hạng đầu tiên 1uvà công sai dcủa cấ p +số cộng. +Lời giải +Ta có: 5118 4 18=⇔+ =u ud ( )1. +2 4=nnSS( ) ( ) +111 22 14222−−   ⇔+ =+   +  n nd n ndnu nu1142 222⇔+− = +−u nd d u nd d +120⇔ −=ud ( )2. +Từ ( )1và ( )2 suy ra 12=u ; 4=d . +Câu 18: Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng. Giá trị của bi ểu thứ c 32xy+ bằng. +Lời giải +Ta có: 5 15102x+= = 20y⇒= . Vậy 3 2 70xy+= . +Câu 19: Cho c ấp số cộng , biết , . S ố là s ố hạng th ứ bao nhiêu? +Lời giải +Ta có . +Vậy là số hạng th ứ . +Câu 20: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầu là 234nSnn= + , * n∈. Giá tr ị của số hạng th ứ 10 +của cấp số cộng là +Lời giải +Từ giả thiết ta có 2 +11 3.1 4.1 7 Su= = += . +Ta có ( )2 86342nnnSnn+= += ( )76 1 +2nn++= 61nun⇒=+ 1061 u⇒= . +Câu 21: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số +cộng là +Lời giải +Theo công thứ c ta có ( )1 2432n nu unn+= +1 86n uu n⇔+=+ 186nu un⇒ = −+ + . +Mà 11 7 uS= = do đó 10 7 8.10 6 79 u= −+ += . +Câu 22: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số +cộng là +Lời giải +Theo công thứ c ta có ( )1 2432n nu unn+= +1 86n uu n⇔+=+ 186nu un⇒ = −+ + . +Mà 11 7 uS= = do đó 10 7 8.10 6 79 u= −+ += . ( )nu1 5 u=− 2d= 81 +( )1 1nuu n d=+− ( ) 81 5 1 2 n ⇔ = −+ − 44n⇔= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 23: Người ta vi ết thêm 999 số thực vào gi ữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. +Tìm s ố hạng th ứ 501. +Lời giải +Áp d ụng công th ức cấp số cộng ta có: +() () ()1 1001 120171 1001 1 2018 1 1001 11000nuu n du u d dd = + −⇒ = + −⇔ = + −⇒ = . +Vậy số hạng th ứ 501 là ()501 12019501 12uu d= + −= . +Câu 24: Cho c ấp số cộng có 11u= và công sai 2 d=− . Tổng n số hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng này là +9800nS=− . Giá tr ị n là +Lời giải +()( ) ()12 1 9800 2 2 1 19600 02nnS un d n n= +− = − ⇔ − −+ = 100n⇔= . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 35 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 2: C ẤP SỐ CỘNG +DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG +Câu 1: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? +A. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . B. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2 .−−−− C. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5 .−−− − D. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . +Câu 2: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải cấp số cộng? +A. 13579;;;;22222. B. 1;1;1;1;1 . C. 8; 6; 4; 2; 0−−−− . D. 3 ; 1 ;1 ;2 ;4−−− . +Câu 3: Cho c ấp số cộng ()nu với 52nun= − . Tìm công sai c ủa cấp số cộng +A. 3d=. B. 2 d=− . C. 1d=. D. 2d=. +Câu 4: Trong các dãy s ố có công th ức tổng quát sau, dãy s ố nào là cấ p số cộng? +A. 2021n +nu . B. 2 2021nun= + . C. 2 +2021nun=+. D. 22nun= − . +Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là m ột cấp số cộng? +A. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2−−−− . B. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − . C. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . D. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . +Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? +nu=. B. ()13n +nu+= − . C. 31nun= + . D. 12+=n +Câu 7: Trong các dãy s ố ()nu sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? += +. B. 1 +uu+=− +−=. C. 1 += −. D. 1 +u un+= += +. +Câu 8: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? +A. 4;8;16;32 . B. 4; 6;8;10 . C. 1;1; 1;1−− . D. 3; 5; 7;10 . +Câu 9: Xác định a để 3 số 21 2 ; 2 1; 2aa a+ −− theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? +A. Không có giá trị nào của a. B. 3 +4a=± . +C. 3 a=± . D. 3 +2a=± . +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 36 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 10: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? +A. 23 2017= +nun . B. 3 2018= +nun . C. 3=n +nu . D. ()13+= −n +Câu 11: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? +A. ()1:nnuun=. B. ()1 : 2, 2nnnuuu n−= − ∀≥ . +C. (): 21n +nnuu= − . D. ()1 : 2, 2nn nuu u n−= ∀≥ . +Câu 12: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? +A. 21, 1nun n= +≥. B. 2, 1n +nun= ≥. C. 1, 1nu nn=+≥. D. 2 3, 1nun n= −≥ +Câu 13: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là cấp số cộng: +A. 13n +nu+= . B. 2 +1nun=+. C. 21nun= + . D. 52 +3nnu−= . +DẠNG 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG +Câu 14: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= có 11u= và 23 u=. Giá tr ị của 3u bằng +A. 6. B. 9. C. 4. D. 5. +Câu 15: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 27 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 5. B. 2 +7. C. 5−. D. 7 +Câu 16: ] Cho c ấp số cộng ()nu với 111u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 8. B. 33. C. 11 +3. D. 14. +Câu 17: Cho c ấp số cộng ()nu với 19u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 11. B. 9 +2. C. 18. D. 7. +Câu 18: Cho c ấp số cộng ()nu với 18u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng +3. B. 24. C. 5. D. 11. +Câu 19: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 26 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 4. B. 4−. C. 8. D. 3. +Câu 20: Cho c ấp số cộng ()nu với 11u= và 24 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 4. B. 3−. C. 3. D. 5. +Câu 21: Cho c ấp số cộng v ới 13u= và 29u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 6−. B. 3. C. 12. D. 6. +Câu 22: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 28u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 10. B. 6. C. 4. D. 6−. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 37 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 23: Cho cấp số cộng ()nuvới 12022u= và công sai 7d=. Giá trị của 6u bằng +A. 2043 . B. 2064 . C. 2050 . D. 2057 . +Câu 24: Tìm công sai d của cấp số cộng ()nu, *n∈ có 141; 13uu= = . +A. 3d=. B. 1 +4d=. C. 4d=. D. 1 +Câu 25: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13,u= công sai 2 d=− thì s ố hạng thứ 5 là +A. 51u=. B. 58u=. C. 5 7 u=− . D. 5 5 u=− . +Câu 26: Cho c ấp số cộng có 32 u=, công sai 2 d=− . Số hạng th ứ hai c ủa cấp số cộng đó là +A. 24 u= B. 20 u= C. 2 4 u=− D. 23 u= +Câu 27: Cho c ấp số cộng ()nu có 11, 2ud= = . Tính 10u +A. 1020 u= . B. 1010. u= C. 1019 u=. D. 1015. u= +Câu 28: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. +A. 7d=. B. 5d=. C. 8d=. D. 6d=. +Câu 29: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. +A. 3d=. B. 2d=. C. 2 d=− . D. 3 d=− . +Câu 30: Cho c ấp số cộng ()nu với 1733 u= và 3365 u= thì công sai bằ ng +A. 1. B. 3. C. 2−. D. 2. +Câu 31: Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hi ệu số hạng đầu và s ố hạng cu ối bằng20. Tìm công sai d của +cấp số cộng đã cho +A. 5 d=− . B. 4d=. C. 4 d=− . D. 5d=. +Câu 32: Cho c ấp số cộng nu có các s ố hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17;... . Tìm s ố hạng tổng quát nu của +cấp số cộng? +A. 41nun= + . B. 51nun= − . C. 51nun= + . D. 41nun= − . +Câu 33: Xác đ ịnh số hàng đ ầu 1u và công sai d của cấ p số cộng ()nu có 925uu= và 13 625 uu= + . +A. 13u= và 4d=. B. 13u= và 5d=. C. 14u= và 5d=. D. 14u= và 3d=. +Câu 34: Cho ()nu là một cấp số cộng th ỏa mãn 13 8 uu+= và 410u=. Công sai c ủa cấ p số cộng đã cho +A. 3. B. 6. C. 2. D. 4. +Câu 35: Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nuthỏa mãn: 235 +uu−+=+= +A. 23nun= + . B. 21nun= − . C. 21nun= + . D. 23nun= − . +Câu 36: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u=, công sai 2 d=− thì s ố hạng th ứ 5 là +A. 58u=. B. 51u=. C. 5 5 u=− . D. 5 7 u=− . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 38 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 37: Cho c ấp số cộng có 1 3 u=− , 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau? +A. 515u= . B. 48u=. C. 35u=. D. 22 u=. +Câu 38: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 11u= và công sai 4d=. Hãy tính 99u. +A. 401. B. 403. C. 402. D. 404. +Câu 39: Cho c ấp số cộng ()nu, biết: 13u=, 2 1 u=− . Chọn đáp án đúng. +A. 34u=. B. 37u=. C. 32u=. D. 3 5 u=− . +Câu 40: Một cấp số cộng ()nu có 138 u= và 3 d=− . Tìm s ố hạng th ứ ba của cấ p số cộng ()nu. +A. 50. B. 28. C. 38. D. 44 +Câu 41: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 7u bằng: +A. 15. B. 17. C. 19. D. 13. +Câu 42: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 4d=. Giá tr ị 2019u bằng +A. 8074 . B. 4074 . C. 8078 . D. 4078 . +Câu 43: Tìm s ố hạng th ứ 11 của cấp số cộng có s ố hạng đầu bằng 3 và công sai 2 d=− . +A. 21−. B. 23. C. 19−. D. 17−. +Câu 44: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1 2 u=− và công sai 7. d=− Giá tr ị 6u bằng +A. 37. B. 37−. C. 33−. D. 33. +Câu 45: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 5d=. Giá tr ị 4u bằng +A. 22. B. 17. C. 12. D. 250. +Câu 46: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu tiên 12u= và công sai 2d=. Tìm 2018u ? +A. 2018 +2018 2 u= . B. 2017 +2018 2 u= . C. 2018 4036 u= . D. 2018 4038 u= . +Câu 47: Cho c ấp số cộng ()nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng th ứ mấy trở đi thì các s ố +hạng của ()nu đều lớn hơn 2018 ? +A. 287. B. 289. C. 288. D. 286. +Câu 48: Viết ba s ố xen gi ữa 2 và 22 để ta đư ợc một cấp số cộng có 5 số hạng? +A. 6, 12, 18. B. 8, 13, 18. C. 7, 12, 17. D. 6, 10, 14. +Câu 49: Cho c ấp số cộng có 1 2 u=− và 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau ? +A. 48u=. B. 515u=. C. 23 u=. D. 36 u=. +Câu 50: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u=; 9d=. Khi đó s ố 2018 là số hạng th ứ mấy trong dãy? +A. 226. B. 225. C. 223. D. 224. +Câu 51: Cho c ấp số cộng 1, 4,7,... . Số hạng th ứ 100 c ủa cấp số cộng là +A. 297. B. 301. C. 295. D. 298. +Câu 52: Cho c ấp số cộng ()nu biết 13u=, 824 u= thì 11u bằng +A. 30. B. 33. C. 32. D. 28. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 39 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 53: Cho c ấp số cộng có s ố hạng th ứ 3 và s ố hạng th ứ 7 lần lượt là 6 và − 2. Tìm s ố hạng th ứ 5. +A. 52.u= B. 52. u=− C. 50.u= D. 54.u= +Câu 54: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 23u= và 47u=. Giá tr ị của 15u bằng +A. 27. B. 31. C. 35. D. 29. +Câu 55: Cho c ấp số cộng ()nu có 1123u= và 3 15 84 uu−= . Số 11 là s ố hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấ p số +cộng đã cho? +A. 17. B. 16. C. 18. D. 19. +Câu 56: Cho cấp số cộng ()nubiết 1 1; u=− 2;d= 43nu= . Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng? +A. 20. B. 23. C. 22. D. 21. +Câu 57: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u là 21u=, 519u= . Số 103 là số hạng thứ mấy trong c ấp +số cộng đã cho? +A. 19. B. 18. C. 20. D. 17. +Câu 58: Cho c ấp số cộng ()nucó 15=u và công sai 3=−d . Biết rằng 289− là một số hạng của cấ p số +cộng trên. H ỏi đó là s ố hạng th ứ bao nhiêu? +A. 98. B. 99. C. 101. D. 100. +Câu 59: Cho c ấp số cộng ()nu có 22001 u= và 51995 u=. Khi đó 1001u bằng +A. 4005 . B. 1. C. 3. D. 4003 . +Câu 60: Một cấp số cộng có s ố hạng đầu 12018u công sai 5 d . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào c ủa +cấp số cộng đó thì nó nhậ n giá tr ị âm. +A. 406u. B. 403u. C. 405u. D. 404u. +Câu 61: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 56 +372 15 +46u uu +uu− += − ++=. Số hạng đầu 1u là +A. 1 5 u=− . B. 15 u=. C. 13 u=. D. 1 3 u=− . +Câu 62: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i 1 +u u nN+== +∈ Tính 10u? +A. 57. B. 62. C. 47. D. 52. +Câu 63: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa mãn 5 32 +743 21 +3 2 34u uu +uu+ −= − +−= −. Tính s ố hạng th ứ 100 của cấ p số. +A. 100 243 u=− . B. 100 295 u=− . C. 100 231 u=− . D. 100 294 u=− . +Câu 64: Cho c ấp số cộng nu có công sai 2d= và bi ểu thứ c 222 +234uuu++ đạt giá tr ị nhỏ nhất. Số 2018 là +số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng nu? +A. 1011. B. 1014 . C. 1013 . D. 1012 . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 40 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 65: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 15 u=− , 2d=. Số 81 là số hạng th ứ bao nhiêu? +A. 100. B. 50. C. 75. D. 44. +Câu 66: Một cấp số cộng ()nucó 947u=, công sai 5d=. Số 10092 là số hạng th ứ mấy trong c ấp số cộng +A. 2018 . B. 2017 . C. 2016 . D. 2019 . +Câu 67: Cho hai c ấp số cộng ():4nx , 7, 10,… và ()ny: 1, 6, 11,…. H ỏi trong 2018 số hạng đầu tiên +của m ỗi cấp số có bao nhiêu s ố hạng chung? +A. 404. B. 673. C. 403. D. 672. +DẠNG 3. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN +Câu 68: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= và công sai 2d=. Tổng 10 1 2 3 10 ..... S uuu u=++ + bằng: +A. 10110S= . B. 10100S= . C. 1021 S= . D. 1019 S= . +Câu 69: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đ ầu của +dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. +A. 9. B. 11. C. 12. D. 10. +Câu 70: Cho c ấp số cộng ()nu, *n∈ có số hạng t ổng quát 13nun= − . Tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên +của cấp số cộng bằng. +A. 59049− . B. 59048− . C. 155− . D. 310− . +Câu 71: Cho dãy s ố vô hạ n {}nu là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu 1u. Hãy ch ọn khẳ ng định sai? +52uuu+= . B. 1 nnuu d−= + , 2n≥. +C. ()12 12 112nS ud= + . D. 1( 1).nuu n d=+− , *n∀∈. +Câu 72: Cho ()nu là cấ p số cộng bi ết 3 13 80 uu+= . Tổng 15 s ố hạng đầu của cấp số cộng đó bằ ng +A. 800. B. 600. C. 570. D. 630 +Câu 73: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu 16 u=− và công sai 4.d= Tính t ổng S của 14 s ố hạng đầu +tiên c ủa cấp số cộng đó. +A. 46S= . B. 308S= . C. 644S= . D. 280S= . +Câu 74: Cho c ấp số cộng ()nu có 258, 17uu= = . Công sai d bằng: +A. 3 d=− . B. 5 d=− . C. 3d=. D. 5d=. +Câu 75: Cho dãy ()nu là một cấp số cộng v ới số hạng đầu 2 và số hạng th ứ 36 là 72. Công sai c ủa +cấp số cộng ()nu là +A. 3d= B. 2 d=− . C. 2d=. D. 1 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 41 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 76: Cho cấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết 21 19 u=− và 220 S=. +Tìm số hạng tổng quát nu của cấp số cộng đó. +A. 21 2nun= + . B. 21 2nun= − . C. 23 2nun= − . D. 23 2nun= + . +Câu 77: Cho c ấp số cộng ()nucó 18 5; 30 uu= −= . Công sai c ủa cấp số cộng b ằng: +A. 4. B. 5. C. 6. D. 3 +Câu 78: Cho c ấp số cộng ()nu với 110u=, 213u=. Giá tr ị của 4u là +A. 420 u= . B. 419u=. C. 416u=. D. 418u=. +Câu 79: Cho c ấp số cộng ()nu biết 24 1, 7 uu= −= . Tìm 3.u +A. 4. B. 10. C. 8. D. 3. +Câu 80: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 12u= và 48u=. Giá tr ị của 5u bằng +A. 12. B. 10. C. 9. D. 11. +Câu 81: Cho c ấp số cộng ()nu có 515 u=− ; 2060 u= . Tổng 20 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là +A. 20250 S= . B. 20200 S= . C. 20 200 S=− . D. 20 25 S=− . +Câu 82: Cho c ấp số cộng ()nu biết 386, 16.uu= = Tính công sai d và tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên. +A. 102; 100dS= = . B. 101; 80dS= = . C. 102; 120dS= = . D. 102; 110dS= = . +Câu 83: Cho c ấp số cộng ()nu với 32nun= − thì 60S bằng +A. 6960− . B. 117− . C. 3840− . D. 116− . +Câu 84: Cho c ấp số cộng ()nu có 2013 6 1000 uu+= . Tổng 2018 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó là: +A. 1009000 . B. 100800 . C. 1008000 . D. 100900 . +Câu 85: Cho cấp số cộng (u )n thỏa mãn 14 +−=. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên. +A. 100. B. 110. C. 10. D. 90. +Câu 86: Cho c ấp số cộng {}nu có 4 12 u=− ; 1418 u=. Tổng c ủa 16 s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng là: +A. 24S= . B. 25 S=− . C. 24 S=− . D. 26S= . +Câu 87: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa 235 +uu−+= ++=. Tính 1 4 7 2011 ... Su u u u=++ ++ +A. 2023736S= . B. 2023563S= . C. 6730444S= . D. 6734134S= . +Câu 88: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của +số hạng tổng quát nu. +A. 14nun= + . B. 5nun= . C. 32nun= + . D. 23nun= + . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 42 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 89: Một cấp số cộng có t ổng c ủa n số hạng đầu nS tính theo công thứ c 2*5 3,nS n nn  . +Tìm s ố hạng đầ u 1u và công sai d c ủa cấp số cộng đó. +A. 1 8; 10 ud  . B. 1 8; 10 ud  . C. 18; 10 ud . D. 18; 10 ud  . +Câu 90: Cho c ấp số cộng ()nu biết 518u= và 2 4nnSS= . Giá tr ị 1u và d là +A. 12u=, 3d=. B. 13u=, 2d=. C. 12u=, 2d=. D. 12u=, 4d=. +Câu 91: Gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên trong c ấp số cộng ().na Biết 69 , SS= tỉ số 3 +a bằng: +5. B. 5 +9. C. 5 +3. D. 3 +Câu 92: Cho c ấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên c ủa nó. Bi ết 777 S= và 12192 S= . +Tìm s ố hạng tổng quát nu của cấ p số cộng đó +A. 54nun= + . B. 32nun= + . C. 23nun= + . D. 45nun= + . +Câu 93: Giải phương trình 1 8 15 22 7944 x + + + +…+ = +A. 330x= . B. 220x= . C. 351x= . D. 407x= . +Câu 94: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u bằng 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá tr ị của +1 2 2 3 49 5011 1...uu uu u u+ ++ bằng. +74. B. 148. C. 49 +148. D. 74. +Câu 95: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11u= và tổng 100 số hạng đầ u bằ ng 10000 . Tính t ổng +1 2 2 3 99 10011 1... Suu uu u u= + ++ . +A. 100 +201=S . B. 200 +201=S . C. 198 +199=S . D. 99 +199=S . +Câu 96: Cho tam giác đ ều 111ABC có độ dài cạ nh bằ ng 4. Trung đi ểm của các c ạnh tam giác 111ABC tạo +thành tam giác 222ABC , trung đi ểm của các cạ nh tam giác 222ABC tạo thành tam g iác 333ABC … +Gọi 123, , ,...PPP lần lượt là chu vi c ủa tam giác 111ABC , 222ABC , 333ABC ,…Tính t ổng chu vi +123 ... PPPP=+++ +A. 8P=. B. 24P= . C. 6P=. D. 18P=. +Câu 97: Lan đang ti ết kiệm để mua laptop. Trong tuầ n đầu tiên, cô ta đ ể dành 200 đô la, và trong m ỗi +tuần tiếp theo, cô ta đã thêm 16 đô la vào tài kho ản tiết kiệm của mình. Chi ếc laptop Lan c ần +mua có giá 1000 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì cô ấ y có đủ tiề n để mua chi ếc laptop đó? +A. 49. B. 50. C. 51. D. 52. +Câu 98: Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất +là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng. Hỏi theo hợp đồng, +tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu? +A. 7,0 triệu. B. 7,3 triệu. C. 7,2 triệu. D. 7,4 triệu. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 43 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 99: Trong tháng 12, l ớp 12A dự kiến quyên góp ti ền để đi làm t ừ thiện như sau: Ngày đ ầu quyên góp +được mỗi bạn bỏ 2000 đ ồng vào l ợn, từ ngày th ứ hai tr ở đi mỗi bạn bỏ vào l ợn hơn ngày li ền +trước là 500 đ ồng. H ỏi sau 28 ngày l ớp 11A quyên góp đư ợc bao nhiêu ti ền? Bi ết lớp có 40 bạ n. +A. 8800000 đồng. B. 9800000 đồng. C. 10800000 đồng. D. 7800000 đồng +Câu 100: Trong sân v ận động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế . Các dãy sau, m ỗi dãy nhi ều +hơn dãy ngay trư ớc nó 4 ghế . Hỏi sân vậ n động có t ất cả bao nhiêu gh ế? +A. 1740 . B. 2250 . C. 4380 . D. 2190 . +Câu 101: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây đàn piano có giá 142 tri ệu đồng. Trong tháng đ ầu tiên, anh +ta để dành đư ợc 20 tri ệu đồng. M ỗi tháng tiế p theo anh ta để dành đư ợc 3 tri ệu đồng và đưa s ố +tiền tiết kiệm của mình. H ỏi ít nh ất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng m ới có đủ tiền để mua cây +đàn piano đó? +A. 43. B. 41. C. 40. D. 42. +Câu 102: Người ta tr ồng 820 cây theo m ột hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng +thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so v ới hàng liề n trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao +nhiêu hàng cây? +A. 42. B. 41. C. 40. D. 39. +Câu 103: Một cầu thang đư ờng lên c ổng tr ời của một điểm giải trí ở công viên t ỉnh X được hàn b ằng sắt +có hình dáng các bậ c thang đề u là hình chữ nhật với cùng chi ều rộng là 35cm và chi ều dài c ủa +nó theo thứ tự mỗi bậc đều giảm dần đi 7cm. Bi ết rằng bậc đầu tiên c ủa cầu thang là hình chữ +nhật có chi ều dài 189cm và bậ c cuối cùng c ầu thang là hình chữ nhật có chi ều dài 63cm. H ỏi giá +thành làm c ầu thang đó gầ n với số nào dư ới đây nế u giá thành làm m ột mét vuông c ầu thang đó +là 1250000 đồng trên m ột mét vuông? +A. 9500000 đồng . B. 11000000 đồng . C. 10000000 đồng . D. 10500000 đồng . +Câu 104: Công ty A muốn thuê hai m ảnh đấ t để làm 2 nhà kho, m ột mả nh trong vòng10 năm và 1 m ảnh +trong vòng 15 năm ở hai ch ỗ khác nhau. Công ty bấ t động s ản C, công ty bấ t động s ản B đ ều +muốn cho thuê. Hai công ty đưa ra phương án cho thuê như sau +Công ty C: Năm đ ầu tiên tiề n thuê đấ t là 60 triệ u và kể từ năm thứ hai tr ở đi mỗi năm tăng +thêm 3 triệ u đồng. +Công ty B: Trả tiền theo quí, quý đầ u tiên là 8 tri ệu đồng và t ừ quý th ứ hai tr ở đi m ỗi quý tăng +thêm 500000 đồng. +Hỏi công ty A nên l ựa chọn thuê đấ t của công ty b ất động s ản nào để chi phí là th ấp nhấ t biết +rằng các m ảnh đấ t cho thuê về diện tích, độ tiệ n lợi đều như nhau? +A. Chọn công ty B để thuê cả hai m ảnh đấ t. +B. Chọn công ty C để thuê cả hai m ảnh đấ t. +C. Chọn công ty C để thuê đấ t 10 năm, công ty B thuê đấ t 15 năm. +D. Chọn công ty B để thuê đấ t 10 năm, công ty C thuê đấ t 15 năm. +Câu 105: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây guitar. Trong tu ần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và +trong m ỗi tu ần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoả n tiết kiệm của mình. Cây guitar +Hùng c ần mua có giá 400 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì anh ấy có đ ủ tiền để mua cây +guitar đó? +A. 47. B. 45. C. 44. D. 46. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 44 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 106: Một công ti trách nhi ệm hữu hạn thự c hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thứ c sau: +Mức lương c ủa quý làm vi ệc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm vi ệc +thứ hai, m ức lương s ẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng m ỗi quý. Hãy tính t ổng s ố tiền lương m ột +kĩ sư nhậ n được sau 3 năm làm vi ệc cho công ti. +A. 83, 7 . B. 78,3 . C. 73, 8 . D. 87,3 . +Câu 107: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như sau: Hàng th ứ nhất có 1 cây, +hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….S ố hàng cây trong khu vư ờn là +A. 31. B. 30. C. 29. D. 28. +Câu 108: Trong sân vậ n động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế, các dãy li ền sau nhi ều hơn dãy +trước 4 ghế, hỏi sân vậ n động đó có t ất cả bao nhiêu ghế ? +A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 . +Câu 109: Cho 4 số thực ,,,abcd là 4 số hạng liên tiế p của một cấp số cộng. Bi ết tổng c ủa chúng bằ ng 4 +và tổng các bình phương c ủa chúng b ằng 24. Tính 333 3P abcd=+++ . +A. 64P= . B. 80P=. C. 16P=. D. 79P= . +Câu 110: Cho c ấp số cộng ()nu có 14u=. Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của 12 23 31uu uu uu++ ? +A. 20 . B. 6. C. 8. D. 24 . +Câu 111: Một tam gi ác vuông c ó chu vi bằ ng 3 và độ dài các cạnh lập thà nh m ột cấp số cộng. Đ ộ dài các +cạnh của tam gi ác đó là: +A. 15;1;33. B. 17;1;44. C. 35;1;44. D. 13;1;22. +Câu 112: Trong hội ch ợ, một công ty sơn mu ốn xếp 1089 hộp sơn theo s ố lượng 1,3,5,... từ trên xu ống +dưới. Hàng cu ối cùng có bao nhiêu hộp sơn? +A. 63. B. 65. C. 67. D. 69. +Câu 113: Người ta tr ồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 +cây, hàng thứ 3có 3 cây,.hàng thứ k có k cây ()1.k≥Hỏi có bao nhiêu hàng ? +A. 51. B. 52. C. 53. D. 50. +Câu 114: Người ta tr ồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng th ứ hai +trồng 2 cây, hàng thứ ba tr ồng 3 cây,….H ỏi có bao nhiêu hàng cây. +A. 78. B. 243. C. 77. D. 244. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 45 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 115: Bà ch ủ quán trà s ữa X muốn trang trí quán cho đ ẹp nên quy ết định thuê nhân công xây m ột bức +tường bằng gạch với xi măng, bi ết hàng dư ới cùng có 500 viên, m ỗi hàng ti ếp theo đ ều có ít hơn +hàng trư ớc 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. H ỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bứ c tường +trên là bao nhiêu viên? +A. 25250. B. 250500. C. 12550. D. 125250. +Câu 116: Người ta tr ồng 3240 cây theo m ột hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng +thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so vớ i hàng li ền trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao +nhiêu hàng cây? +A. 81. B. 82. C. 80. D. 79. +Câu 117: Cho hai c ấp số cộng h ữu hạ n, m ỗi cấp số cộng có 100 s ố hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và +1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có t ất cả bao nhiêu s ố có m ặt trong c ả hai cấ p số cộng trên? +A. 20. B. 18. C. 21. D. 19. +Câu 118: Sinh nhậ t bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn +nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày +sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu +tiền?. +Câu 119: Gọi S là tập hợp tất cả các s ố tự nhiên k sao cho 14kC, 1 +14kC+, 2 +14kC+ theo thứ tự đó lập thành m ột +cấp số cộng. Tính t ổng t ất cả các ph ần tử của S. +A. 12. B. 8. C. 10. D. 6. +Câu 120: Cho 221;;2xy theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng. G ọi ,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhấ t và giá +trị nhỏ nhấ t của bi ểu thứ c 23 P xy y= + . Tính SMm= + +A. 1. B. 2. C. 3. D. 31 +Câu 121: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 12018u= và 121n ++ với mọi 1n≥. Giá tr ị nhỏ nh ất của n +2018nu< bằng +A. 4072325 B. 4072324 C. 4072326 D. 4072327 +Câu 122: Cho c ấp số cộng ()nucó 13u= và công sai 2d=, và c ấp số cộng ()nvcó 12v= và công sai +3d′=. Gọi ,XY là tập hợp chứa 1000 số hạng đầ u tiên c ủa m ỗi cấp số cộng. Chọn ngẫ u nhiên +2 phần tử bất kỳ trong t ập hợp XY∪. Xác su ất để chọn đư ợc 2 phần tử bằng nhau gầ n với số +nào nhấ t trong các s ố dưới đây? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 46 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 123: Nếu 2a+, b, 2c theo thứ tự lập thành c ấp số cộng thì dãy s ố nào sau đây l ập thành c ấp số cộng? +A. 4b−; 24a−− ; 4c. B. 22a−− ; 2b−; 42c−− . +C. 2b+; 2a; 22c+. D. 24a+; 4b; 4c. +Câu 124: Cho m ột cấp số cộng nu có 15 u và tổng c ủa 40 số hạng đầu là 3320 . Tìm công sai c ủa cấp +số cộng đó. +A. 4−. B. 8. C. 8−. D. 4. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 2: C ẤP SỐ CỘNG +DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG +Câu 1: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? +A. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . B. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2 .−−−− C. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5 .−−− − D. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . +Lời giải +Dãy s ố ()nu có tính chấ t 1nnu ud+= + thì đư ợc gọi là một c ấp số cộng. +Ta th ấy dãy s ố: 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − là m ột cấp số cộng có s ố hạng đầu là 1 và công sai b ằng 4.− +Câu 2: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải cấp số cộng? +A. 13579;;;;22222. B. 1;1;1;1;1 . C. 8; 6; 4; 2; 0−−−− . D. 3 ; 1 ;1 ;2 ;4−−− . +Lời giải +Cấp số cộng là m ột dãy s ố mà trong đó k ể từ số hạng th ứ hai, m ỗi số hạng đều bằng tổng c ủa số +hạng đứng ngay trư ớc nó và m ột số d không đổi . +Đáp án A: Là c ấp số cộng v ới 11;12ud= = . +Đáp án B: Là c ấp số cộng v ới 11; 0ud= = . +Đáp án C: Là c ấp số cộng v ới 1 8; 2 ud= −= . +Đáp án D: Không là c ấp số cộng vì ()()21 43 2; 1 uu uu= +− = +− . +Câu 3: Cho c ấp số cộng ()nu với 52nun= − . Tìm công sai c ủa cấp số cộng +A. 3d=. B. 2 d=− . C. 1d=. D. 2d=. +Lời giải +Ta có ()( )()1 52 1 52 52 252 2 2 .nnuu n n n n d+− = − + − − =− −−+ = −⇒ = − +Câu 4: Trong các dãy s ố có công th ức tổng quát sau, dãy s ố nào là cấ p số cộng? +A. 2021n +nu . B. 2 2021nun= + . C. 2 +2021nun=+. D. 22nun= − . +Lời giải +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn Với 2 2021nun= + thì 12( 1) 2021 2nnun u+= ++ = + , như vậ y dãy s ố này là m ột cấp số cộng. +Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là m ột cấp số cộng? +A. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2−−−− . B. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − . C. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . D. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . +Lời giải +Ta có dãy s ố 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − là m ột cấp số cộng có công sai 4 d=− . +Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? +nu=. B. ()13n +nu+= − . C. 31nun= + . D. 12+=n +Lời giải +Ta có: +Xét đáp án A: ()1* +1 3 3 2.3nn n +nnuu n+ ++− = − = ∀ ∈Ν nên 3n +nu= không phả i là c ấp số cộng. +Xét đáp án B: ()()()()1 * +1 3 3 4. 3nn n +nnuu n+ ++− = − − − =− − ∀ ∈Ν nên ()13n +nu+= − không phả i là +cấp số cộng. +Xét đáp án C: ()()()* +1 3 11 3 1 3nnuu n n n+− = + + − + = ∀ ∈Ν không đổ i, nên 31nun= + là +cấp số cộng. +Xét đáp án D: ()21 1 * +1 222+++ ++− = − = ∀ ∈Νnnn +nnuu n nên 12+=n +nu không phả i là c ấp số cộng. +Câu 7: Trong các dãy s ố ()nu sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? += +. B. 1 +uu+=− +−=. C. 1 += −. D. 1 +u un+= += +. +Lời giải +Xét phương án A: 237, 15 uu= = vì 2132uuuu−≠− do đó ()nu không phả i là c ấp số cộng. +Xét phương án B: theo gi ả thiết ta có 1 2,nnuu n∗ ++− = ∀∈  do đó ()nu là cấ p số cộng. +Xét phương án C: 23 4 50, 1, 2; 9 uu u u== −= −= − do đó ()nu không phả i là cấ p số cộng. +Xét phương án C: 232, 4 uu= = vì 2132uuuu−≠− do đó ()nu không phả i là c ấp số cộng. +Câu 8: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? +A. 4;8;16;32 . B. 4; 6;8;10 . C. 1;1; 1;1−− . D. 3; 5; 7;10 . +Lời giải +10 8 2= + +Nên dãy s ố 4; 6;8;10 là m ột cấp số cộng. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Xác định a để 3 số 21 2 ; 2 1; 2aa a+ −− theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? +A. Không có giá trị nào của a. B. 3 +4a=± . +C. 3 a=± . D. 3 +2a=± . +Lời giải +Theo công thức cấp số cộng ta có: 22 332 ( 2 1 ) ( 1 2) (2)42a a aa a− = + +− ⇔ = ⇔ = ± . +Câu 10: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? +A. 23 2017= +nun . B. 3 2018= +nun . C. 3=n +nu . D. ()13+= −n +Lời giải +Ta có 11 3( 1) 2018 (3 2018) 3 3++− = ++ − + =⇔ = +nn n n uu n n u u . +Vậy dãy s ố trên là cấ p số cộng có công sai 3=d . +Câu 11: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? +A. ()1:nnuun=. B. ()1 : 2, 2nnnuuu n−= − ∀≥ . +C. (): 21n +nnuu= − . D. ()1 : 2, 2nn nuu u n−= ∀≥ . +Lời giải +Xét dãy s ố ()1 : 2, 2nnnuuu n−= − ∀≥ +Ta có 1 2, 2nnuu n−− = −∀≥ +Vậy dãy s ố đã cho là c ấp số cộng v ới công sai 2 d=− +Câu 12: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? +A. 21, 1nun n= +≥. B. 2, 1n +nun= ≥. C. 1, 1nu nn=+≥. D. 2 3, 1nun n= −≥ +Lời giải +Theo đị nh nghĩa c ấp số cộng ta có: 11 , 1 , n n nnu u d u u d n d const++= + ⇔ − = ∀≥ = +Thử các đáp án ta th ấy với dãy s ố: 2 3, 1nun n= −≥ thì: +22 1 32 1n +u u constun n+ ++= −⇒ −= = = +−= − +Câu 13: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là cấp số cộng: +A. 13n +nu+= . B. 2 +1nun=+. C. 21nun= + . D. 52 +3nnu−= . +Lời giải +Ta có dãy nu là cấ p số cộng khi * +1 , nnnu ud+− = ∀∈  với d là hằng số. +Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy s ố ta d ự đoán đáp án D. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn Xét hiệu ()* +15 12 5 25 ,n3 33nnn nuu++− −− = − = ∀∈ . +Vậy dãy 52 +3nnu−= là cấp số cộng. +DẠNG 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG +Câu 14: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= có 11u= và 23 u=. Giá tr ị của 3u bằng +A. 6. B. 9. C. 4. D. 5. +Lời giải +Công sai 21 2 duu nên 32 5. uud +Câu 15: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 27 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 5. B. 2 +7. C. 5−. D. 7 +Lời giải +Ta có 2 1 21 725 u ud du u= +⇔= − =−= . +Câu 16: ] Cho c ấp số cộng ()nu với 111u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 8. B. 33. C. 11 +3. D. 14. +Lời giải +Ta có 21 11 3 14 u ud= += += . +Câu 17: Cho c ấp số cộng ()nu với 19u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 11. B. 9 +2. C. 18. D. 7. +Lời giải +Ta có: 21 921 1 u ud=+=+= . +Câu 18: Cho c ấp số cộng ()nu với 18u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng +3. B. 24. C. 5. D. 11. +Lời giải +Áp d ụng công th ức ta có: 21 8 3 11 u ud= +=+= . +Câu 19: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 26 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 4. B. 4−. C. 8. D. 3. +Lời giải +Ta có 26 u= ⇔1 6ud= + 4d⇔= . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 20: Cho c ấp số cộng ()nu với 11u= và 24 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 4. B. 3−. C. 3. D. 5. +Lời giải +Vì ()nulà cấp số cộng nên 2 1 21 413 u ud du u= + ⇔ = − =−= . +Câu 21: Cho c ấp số cộng v ới 13u= và 29u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 6−. B. 3. C. 12. D. 6. +Lời giải +Ta có: 21 6 du u=−= . +Câu 22: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 28u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng +A. 10. B. 6. C. 4. D. 6−. +Lời giải +Vì ()nu là cấ p số cộng nên ta có 2 1 21 82 6 u ud du u= +⇔= − =−= . +Câu 23: Cho cấp số cộng ()nuvới 12022u= và công sai 7d=. Giá trị của 6u bằng +A. 2043 . B. 2064 . C. 2050 . D. 2057 . +Lời giải +Ta có công thức tính số hạng thứ ncủa cấ p số cộng +()1 61 1 5 2022 5.7 2057nuu n duu d=+− ⇒=+= + = +Câu 24: Tìm công sai d của cấp số cộng ()nu, *n∈ có 141; 13uu= = . +A. 3d=. B. 1 +4d=. C. 4d=. D. 1 +Lời giải +Ta có 4113 3 13 1 3 13 3 12 4.u ud d d d=⇔ +=⇔ +=⇔=⇔ = +Câu 25: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13,u= công sai 2 d=− thì s ố hạng thứ 5 là +A. 51u=. B. 58u=. C. 5 7 u=− . D. 5 5 u=− . +Lời giải +Ta có: 51 4 3 4.( 2) 5 uu d=+ =+−= − . +Câu 26: Cho c ấp số cộng có 32 u=, công sai 2 d=− . Số hạng th ứ hai c ủa cấp số cộng đó là +A. 24 u= B. 20 u= C. 2 4 u=− D. 23 u= +Lời giải +Ta có ()32 2 2 2 2 4. u u du u= + = +− = ⇒ = +Câu 27: Cho c ấp số cộng ()nu có 11, 2ud= = . Tính 10u +A. 1020 u= . B. 1010. u= C. 1019 u=. D. 1015. u= +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có:10 1 9 1 2.9 19 uud= += += . +Câu 28: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. +A. 7d=. B. 5d=. C. 8d=. D. 6d=. +Lời giải +Ta có 61 5 27 6 uu d d=+ = ⇒= . +Câu 29: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. +A. 3d=. B. 2d=. C. 2 d=− . D. 3 d=− . +Lời giải +Ta có ()1 3 1 23 23nnuu n n+− = +−− += +Suy ra 3d= là công sai củ a cấp số cộng. +Câu 30: Cho c ấp số cộng ()nu với 1733 u= và 3365 u= thì công sai bằ ng +A. 1. B. 3. C. 2−. D. 2. +Lời giải +Gọi 1u,d lần lượt là s ố hạng đầu và công sai của c ấp số cộng ()nu. +Khi đó, ta có: 17 1 16 uu d= + , 33 1 32 uu d= + +Suy ra: 33 17 65 33 16 32 2 uu d d − =−⇔ = ⇔= +Vậy công sai b ằng: 2. +Câu 31: Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hi ệu số hạng đầu và s ố hạng cu ối bằng20. Tìm công sai d của +cấp số cộng đã cho +A. 5 d=− . B. 4d=. C. 4 d=− . D. 5d=. +Lời giải +Gọi năm s ố hạng của cấ p số cộng đã cho là: 1 2345;;;;.uuuuu +Theo đề bài ta có: 15 1 1 20 ( 4 ) 20 5 uu u u d d−= ⇔− + = ⇔= − +Câu 32: Cho c ấp số cộng nu có các s ố hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17;... . Tìm s ố hạng tổng quát nu của +cấp số cộng? +A. 41nun= + . B. 51nun= − . C. 51nun= + . D. 41nun= − . +Lời giải + ()1 1nuu n d=+− +▪ ()31 3 1 13 5 2 13 4 uu d d d= + − = ⇔+ = ⇔= +▪ () 5 1 .4 4 1nun n= +− =+ +Câu 33: Xác đ ịnh số hàng đ ầu 1u và công sai d của cấ p số cộng ()nu có 925uu= và 13 625 uu= + . +A. 13u= và 4d=. B. 13u= và 5d=. C. 14u= và 5d=. D. 14u= và 3d=. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: ()1 1nuu n d=+− . Theo đầ u bài ta có hpt: () +12 2 5 5u d ud +u d ud+= ++= ++ +1430 3 +25 4ud u +ud d−= =  ⇔⇔−= − = . +Câu 34: Cho ()nu là một cấp số cộng th ỏa mãn 13 8 uu+= và 410u=. Công sai c ủa cấ p số cộng đã cho +A. 3. B. 6. C. 2. D. 4. +Lời giải +Ta có 13 11 1 1 +11 48 28 228 1 +3 10 3 10 10 3uu u ud ud u +ud ud u d+= + += += =   ⇔ ⇔⇔   += += = =  . +Vậy công sai của c ấp số cộng là 3d=. +Câu 35: Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nuthỏa mãn: 235 +uu−+=+= +A. 23nun= + . B. 21nun= − . C. 21nun= + . D. 23nun= − . +Lời giải +Chọn B +Giả sử dãy c ấp số cộng ()nucó công sai là d. Khi đó, 235 +uu−+=+= trở thành: +()()() +()11 1 1 1 +1 112 47 37 1 +2 5 12 2 5 12u dudud ud u +ud d uud+−+ ++ = += =   ⇔⇔  += = ++ =    +Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nu: ()()1 1 1 1 .2 2 1nuu n d n n=+− = +− =− +Vậy 21nun= − . +Câu 36: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u=, công sai 2 d=− thì s ố hạng th ứ 5 là +A. 58u=. B. 51u=. C. 5 5 u=− . D. 5 7 u=− . +Lời giải +Ta có: ()51 4 3 4. 2 5 uu d=+ =+ −= − . +Câu 37: Cho c ấp số cộng có 1 3 u=− , 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau? +A. 515u= . B. 48u=. C. 35u=. D. 22 u=. +Lời giải +Ta có 31 2 uu d= + 3 2.4= −+ 5=. +Câu 38: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 11u= và công sai 4d=. Hãy tính 99u. +A. 401. B. 403. C. 402. D. 404. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có : 99 1 98 uu d= + 11 98.4= + 403= . +Câu 39: Cho c ấp số cộng ()nu, biết: 13u=, 2 1 u=− . Chọn đáp án đúng. +A. 34u=. B. 37u=. C. 32u=. D. 3 5 u=− . +Lời giải +Ta có ()nu là cấ p số cộng nên 2 132u uu= + suy ra 3 2125 u uu= −= − . +Câu 40: Một cấp số cộng ()nu có 138 u= và 3 d=− . Tìm s ố hạng th ứ ba của cấ p số cộng ()nu. +A. 50. B. 28. C. 38. D. 44 +Lời giải +Ta có: 13 1 12 uu d= + ()1 8 12. 3u⇔=+ −144u⇒=31 2 44 6 38 uu d⇒ = + = −= . +Câu 41: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 7u bằng: +A. 15. B. 17. C. 19. D. 13. +Lời giải +Ta có 71 6. 3 6.2 15 uu d= += += . +Câu 42: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 4d=. Giá tr ị 2019u bằng +A. 8074 . B. 4074 . C. 8078 . D. 4078 . +Lời giải +Áp d ụng công th ức của số hạng tổng quát ()1 1nuu n d=+− 2 2018.4 8074= += . +Câu 43: Tìm s ố hạng th ứ 11 của cấp số cộng có s ố hạng đầu bằng 3 và công sai 2 d=− . +A. 21−. B. 23. C. 19−. D. 17−. +Lời giải +Áp d ụng công th ức số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ta có ()11 1 10 3 10. 2 17 uu d=+ =+ −= − . +Câu 44: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1 2 u=− và công sai 7. d=− Giá tr ị 6u bằng +A. 37. B. 37−. C. 33−. D. 33. +Lời giải +Ta có 61 5 2 35 37 uu d= + = −− = − . +Câu 45: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 5d=. Giá tr ị 4u bằng +A. 22. B. 17. C. 12. D. 250. +Lời giải +Ta có: 41 3 uu d= + 2 15 17= += . +Câu 46: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu tiên 12u= và công sai 2d=. Tìm 2018u ? +A. 2018 +2018 2 u= . B. 2017 +2018 2 u= . C. 2018 4036 u= . D. 2018 4038 u= . +L���i giải +Ta có: () ()1 2018 1 2 2018 1 .2 4036nuu n du=+− ⇒ = + − = . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 9 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 47: Cho c ấp số cộng ()nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng th ứ mấy trở đi thì các s ố +hạng của ()nu đều lớn hơn 2018 ? +A. 287. B. 289. C. 288. D. 286. +Lời giải +Ta có: ()1 1nuu n d=+− () 37 1 n= +− 74n= − ; 2018nu> 7 4 2018n⇔ −>2022 +7n⇔> . +Vậy 289n= . +Câu 48: Viết ba s ố xen gi ữa 2 và 22 để ta đư ợc một cấp số cộng có 5 số hạng? +A. 6, 12, 18. B. 8, 13, 18. C. 7, 12, 17. D. 6, 10, 14. +Lời giải +Xem cấ p số cộng c ần tìm là ()nu có: 1 +=. Suy ra: 12 +Vậy cấp số cộng c ần tìm là ()nu: 2,7, 12, 17, 22. +Câu 49: Cho c ấp số cộng có 1 2 u=− và 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau ? +A. 48u=. B. 515u=. C. 23 u=. D. 36 u=. +Lời giải +Ta có: 1 2 u=− và 4d=suy ra 21 242 uud= + = −+= +31 2 2 2.4 6 uu d= + = −+ = ; 41 3 2 3.4 10 uu d= + = −+ = ; 51 4 2 4.4 14 uu d= + = −+ = +Nên đáp án D đúng. +Câu 50: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u=; 9d=. Khi đó s ố 2018 là số hạng th ứ mấy trong dãy? +A. 226. B. 225. C. 223. D. 224. +Lời giải +()1 1nuu n d=+− () 2018 2 1 .9 n ⇔ = +− 225n⇔= . +Câu 51: Cho c ấp số cộng 1, 4,7,... . Số hạng th ứ 100 c ủa cấp số cộng là +A. 297. B. 301. C. 295. D. 298. +Lời giải +Cấp số cộng 1, 4,7,... . có s ố hạng đầu 11u= và công sai 3d=. +Số hạng th ứ 100 c ủa cấp số cộng là: 100 1 99. 1 99.3 298 uu d= += += . +Câu 52: Cho c ấp số cộng ()nu biết 13u=, 824u= thì 11u bằng +A. 30. B. 33. C. 32. D. 28. +Lời giải +Ta có: +8124 37377uuuu d d−−=+ ⇒= = = . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 10 +Sưu t ầm và biên so ạn 11 1 10 33 uu d= += . +Câu 53: Cho c ấp số cộng có s ố hạng th ứ 3 và s ố hạng th ứ 7 lần lượt là 6 và − 2. Tìm s ố hạng th ứ 5. +A. 52.u= B. 52. u=− C. 50.u= D. 54.u= +Lời giải +Theo gi ả thiết ta có 3 1 +1 716 26 2 +10 2 62u ud d +u u ud                        +Vậy 52 u. +Câu 54: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 23u= và 47u=. Giá tr ị của 15u bằng +A. 27. B. 31. C. 35. D. 29. +Lời giải +Từ giả thiết 23u= và 47u= suy ra ta có h ệ phương trình: 1 ++=11 +d=⇒=. +Vậy 15 1 14 29 uu d= += . +Câu 55: Cho c ấp số cộng ()nu có 1123u= và 3 15 84 uu−= . Số 11 là s ố hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấ p số +cộng đã cho? +A. 17. B. 16. C. 18. D. 19. +Lời giải +Ta có: ()3 15 1 1 84 2 14 84 7 uu u du d d− = ⇔+ − + = ⇔= − . +Số hạng tổng quát: 7 130nun= −+ . +Ta có: 11 17nun= ⇔= . +Câu 56: Cho cấp số cộng ()nubiết 1 1; u=− 2;d= 43nu= . Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng? +A. 20. B. 23. C. 22. D. 21. +Lời giải +1( 1)nuu n d=+− 43 1 ( 1).2 n ⇔ = −+ − 23n⇔= . +Câu 57: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u là 21u=, 519u= . Số 103 là số hạng thứ mấy trong c ấp +số cộng đã cho? +A. 19. B. 18. C. 20. D. 17. +Lời giải +Ta có 2 1 1 +5 11 1 5 +19 4 19 6u ud u +u ud d= += =−   ⇔⇔ = += =  . +Lại có () ()1 1 103 5 1 6 19nuu n d n n=+− ⇔ = − +−⋅ ⇔= . +Vậy số 103 là số hạng th ứ 19 trong c ấp số cộng đã cho. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 11 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 58: Cho c ấp số cộng ()nucó 15=u và công sai 3=−d . Biết rằng 289− là một số hạng của cấ p số +cộng trên. H ỏi đó là s ố hạng th ứ bao nhiêu? +A. 98. B. 99. C. 101. D. 100. +Lời giải +Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng có 15=u và công sai 3=−d là () 53 1= −−nun , ∗∀∈n . +Ta có () 289 5 3 1−= −− n () 294 3 1⇔− =− − n 98 1⇔= − n 99⇔=n . +Vậy 289− là số hạng th ứ 99 của cấ p số cộng trên. +Câu 59: Cho c ấp số cộng ()nu có 22001 u= và 51995 u=. Khi đó 1001u bằng +A. 4005 . B. 1. C. 3. D. 4003 . +Lời giải +Gọi 1u và d lần lượt là s ố hạng đầ u tiên và công sai c ủa cấ p số công. +Ta có: 2 1 1 +5 12001 2001 2003 +1995 4 1995 2u ud u +u ud d= += =   ⇔⇔  = += =−  . +Vậy 1001 1 1000 3 uu d= += . +Câu 60: Một cấp số cộng có s ố hạng đầu 12018u công sai 5 d . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào c ủa +cấp số cộng đó thì nó nhậ n giá tr ị âm. +A. 406u. B. 403u. C. 405u. D. 404u. +Lời giải +Ta có () ()1 1 2018 5 1nuu n d n=+− = − − +Có ()20230 2018 5 1 0 5 2023 +5nu n nn<⇔ − −<⇔ > ⇔> , 405 nn∈⇒≥ . +Vậy từ 405u thì s ố hạng của cấp số cộng đó nhậ n giá tr ị âm. +Câu 61: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 56 +372 15 +46u uu +uu− += − ++=. Số hạng đầu 1u là +A. 1 5 u=− . B. 15 u=. C. 13 u=. D. 1 3 u=− . +Lời giải +Gọi d là công sai của CS C. Ta có ()1 1nuu n d=+− . +()()11 1 1 56 +1 37 112 4 5 15 2 15 532 8 46 46 2 6 46u udud u uu duud uu udud− + ++ = − − += − =   ⇔ ⇔ ⇒=  += += + ++ =   . +Câu 62: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i 1 +u u nN+== +∈ Tính 10u? +A. 57. B. 62. C. 47. D. 52. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 12 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải: +Cách 1: Dùng casio 570VN +B1 : Nh ập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A +B2: Nhậ p 5: BA AB= += +B3: Ấn CALC r ồi bấm liên tiế p dấu “=” cho k ết quả 1047 u= . +Cách 2: Từ 1 +u u nN+== +∈. +Ta có 1 5nnuu+−= nên dãy ()nU là m ột cấp số cộng v ới công sai 5d= nên +10 1 9 2 45 47 uud=+= += . +Câu 63: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa mãn 5 32 +743 21 +3 2 34u uu +uu+ −= − +−= −. Tính s ố hạng th ứ 100 của cấ p số. +A. 100 243 u=− . B. 100 295 u=− . C. 100 231 u=− . D. 100 294 u=− . +Lời giải +743 21 +3 2 34u uu +uu+ −= − +−= −() +()()1 11 +114 3 2 21 +3 6 2 3 34ud ud u d +ud ud+ + + −−= −⇔+− += −1 +12 34ud +ud+= −⇔+= −12 +d=⇔=−. +Số hạng th ứ 100 là ()100 2 99 3 295 u=+ −= − . +Câu 64: Cho c ấp số cộng nu có công sai 2d= và bi ểu thứ c 222 +234uuu++ đạt giá tr ị nhỏ nhất. Số 2018 là +số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng nu? +A. 1011. B. 1014 . C. 1013 . D. 1012 . +Lời giải +Ta có: +()()() ()21 +222 2 222 2 +3 1 2 3 4 111 1 1 1 +4 2 4 6 3 24 56 3 4 8 8 +uu uuu u u u u u u +uu= + += + ⇒ + + =+++++= + + = ++ ≥ +Vậy 222 +234uuu++ đạt giá tr ị nhỏ nhấ t khi 14 u=− . +Từ đó suy ra () ()1 2018 1 2018 4 1 2 1012. un d n n =+− ⇔ = − +− ⇔= +Câu 65: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 15 u=− , 2d=. Số 81 là số hạng th ứ bao nhiêu? +A. 100. B. 50. C. 75. D. 44. +Lời giải +Ta có ()1 1nuu n d=+− () 81 5 1 2 n ⇔ = −+ − 44n⇔= . +Vậy 81 là số hạng th ứ 44. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 13 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 66: Một cấp số cộng ()nucó 947u=, công sai 5d=. Số 10092 là số hạng th ứ mấy trong c ấp số cộng +A. 2018 . B. 2017 . C. 2016 . D. 2019 . +Lời giải +Ta có 91 1 87 uu du=+⇒= . +Gọi 10092 là số hạng th ứ n trong khai tri ển, ta có: +()110092 710092 1 1 20185un dn−= + − ⇒= += . +Câu 67: Cho hai c ấp số cộng ():4nx , 7, 10,… và ()ny: 1, 6, 11,…. H ỏi trong 2018 số hạng đầu tiên +của m ỗi cấp số có bao nhiêu s ố hạng chung? +A. 404. B. 673. C. 403. D. 672. +Lời giải +Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nxlà: () 4 1 .3nxn= +− 31n= + . +Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nylà: () 1 1 .5mym= +− 54m= − . +Giả sử k là 1 số hạng chung c ủa hai c ấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên c ủa m ỗi cấp số. +Vì k là 1 số hạng của cấ p số cộng ()nx nên 31ki= + với 1 2018i≤≤ và *i∈. +Vì k là 1 số hạng của cấ p số cộng ()ny nên 54kj= − với 1 2018j≤≤ và *j∈. +Do đó 3 15 4ij+= − 35 5ij⇒=− 5i⇒{ } 5;10;15;...;2015i⇒∈ ⇒ có 403 số hạng chung. +DẠNG 3. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN +Câu 68: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= và công sai 2d=. Tổng 10 1 2 3 10 ..... S uuu u=++ + bằng: +A. 10110S= . B. 10100S= . C. 1021 S= . D. 1019 S= . +Lời giải +* Áp dụng công th ức ()()1 121 +nnu n d nu uS+−+= = ta đư ợc: +1010 2 10 1 21002S+−= = . +Câu 69: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đ ầu của +dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. +A. 9. B. 11. C. 12. D. 10. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 14 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()( ) ()( ) 12 1 2.3 1 .425322nnu n d n nS+− +−=⇔= +4 2 506 0 23 + ⇔ +− = ⇔=−. +Câu 70: Cho c ấp số cộng ()nu, *n∈ có số hạng t ổng quát 13nun= − . Tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên +của cấp số cộng bằng. +A. 59049− . B. 59048− . C. 155− . D. 310− . +Lời giải +Ta có: 12 u=− ; 10 29 u=− ; ()1 10 +2uuS+= =− . +Câu 71: Cho dãy s ố vô hạ n {}nu là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu 1u. Hãy ch ọn khẳ ng định sai? +52uuu+= . B. 1 nnuu d−= + , 2n≥. +C. ()12 12 112nS ud= + . D. 1( 1).nuu n d=+− , *n∀∈. +Lời giải +Ta có công th ức tổng n số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là: () +2nnn dS nu−= + +Suy ra 12 112.11.122dSu= + ()16 2 11ud= + () 12 112nud≠+ . +Câu 72: Cho ()nu là cấ p số cộng bi ết 3 13 80 uu+= . Tổng 15 s ố hạng đầu của cấp số cộng đó bằ ng +A. 800. B. 600. C. 570. D. 630 +Lời giải +()()()()15 1 2 3 15 1 15 2 14 3 13 7 9 8 ... ... S uuu u uu uu uu uu u=++++ = + + + + + ++ + + +Vì 1 15 2 14 3 13 7 9 8 ... 2 uu uu uu uu u+=+=+==+= và 3 13 80 uu+= 7.80 40 600S⇒= + = . +Câu 73: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu 16 u=− và công sai 4.d= Tính t ổng S của 14 s ố hạng đầu +tiên c ủa cấp số cộng đó. +A. 46S= . B. 308S= . C. 644S= . D. 280S= . +Lời giải +Tổng n số hạng đầu tiên c ủa m ột cấp số cộng là ()121 +2nu n dn +S+−= . +Vậy ()() 2 6 14 1 4 14 +2802S−+ −= = . +Câu 74: Cho c ấp số cộng ()nu có 258, 17uu= = . Công sai d bằng: +A. 3 d=− . B. 5 d=− . C. 3d=. D. 5d=. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 15 +Sưu t ầm và biên so ạn Theo gi ả thiết ta có: 1 +1 18 38, 175 4 17ud duuu ud+= =  = = ⇒⇔ = +=  . +Câu 75: Cho dãy ()nu là một cấp số cộng v ới số hạng đầu 2 và số hạng th ứ 36 là 72. Công sai c ủa +cấp số cộng ()nu là +A. 3d= B. 2 d=− . C. 2d=. D. 1 +Lời giải +Ta có 36 1 35 uu d= + mà 36 172, 2 uu= = nên ta có: 72 2 35 2 dd=+ ⇔= . +Vậy 2d=. +Câu 76: Cho cấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết 21 19 u=− và 220 S=. +Tìm số hạng tổng quát nu của cấp số cộng đó. +A. 21 2nun= + . B. 21 2nun= − . C. 23 2nun= − . D. 23 2nun= + . +Lời giải +Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là 1u và công sai d. +Ta có: 21 1 +21 1 1 +22 1 22 12019 20 19 21 +22.210 2 21 0 2 222uu du ud u +dS ud d Su= += − += − =   ⇔ ⇔⇔   = += =− = +   . +Khi đó: ()()1 1 21 2 1 23 2nuu n d n n=+− =− −=− . +Câu 77: Cho c ấp số cộng ()nucó 18 5; 30 uu= −= . Công sai của cấp số cộng b ằng: +A. 4. B. 5. C. 6. D. 3 +Lời giải +Gọi công sai của cấ p số cộng là d khi đó ta có 81 7 30 5 7 5 uu d d d= +⇔= − +⇔ = . +Câu 78: Cho c ấp số cộng ()nu với 110u= , 213u=. Giá tr ị của 4u là +A. 420 u= . B. 419u=. C. 416u=. D. 418u=. +Lời giải +Ta có: +4110, 13 3 +3 10 3.3 19uu d +uu d B= =⇒= += +=+=⇒. +Câu 79: Cho c ấp số cộng ()nu biết 24 1, 7 uu= −= . Tìm 3.u +A. 4. B. 10. C. 8. D. 3. +Lời giải +Áp d ụng tính ch ất của các s ố hạng trong dãy c ấp số cộng, ta có: +3173.22uuu+−+= = = +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 16 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 80: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 12u= và 48u=. Giá tr ị của 5u bằng +A. 12. B. 10. C. 9. D. 11. +Lời giải +Từ giả thiết 12u= và 41 38 2 uu d d=+ =⇒= +Vậy 51 4 2 4.2 10 uu d= += += . +Câu 81: Cho c ấp số cộng ()nu có 515 u=− ; 2060 u= . Tổng 20 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là +A. 20250 S= . B. 20200 S= . C. 20 200 S=− . D. 20 25 S=− . +Lời giải +Ta có() 5 1 1 1 20 +20 115 4 15 35 2025060 19 60 5 2u ud u uuSu ud d=− += − =− +   ⇔ ⇔ ⇒= =  = += =  . +Câu 82: Cho c ấp số cộng ()nu biết 386, 16.uu= = Tính công sai d và tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên. +A. 102; 100dS= = . B. 101; 80dS= = . C. 102; 120dS= = . D. 102; 110dS= = . +Lời giải +816 26 2 +16 7 16 2u ud u +u ud d= += =   ⇔⇔ = += =  . +10 110 10 1 10 10 110. . 10.2 .2 110 +22Su d−−= += += . +Câu 83: Cho c ấp số cộng ()nu với 32nun= − thì 60S bằng +A. 6960− . B. 117− . C. 3840− . D. 116− . +Lời giải +Ta có 112nun+= − , Ta có * +1 2,nnuu n+− = −∀∈ , suy ra ()nu là cấ p số cộng có 11u= và công +sai 2 d=− . Vậy ()60 1602 59 38402S ud= += − . +Câu 84: Cho c ấp số cộng ()nu có 2013 6 1000 uu+= . Tổng 2018 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó là: +A. 1009000 . B. 100800 . C. 1008000 . D. 100900 . +Lời giải +Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Khi đó: +2013 6 1000 uu+=112012 5 1000u du d⇔+ ++ =12 2017 1000ud⇔+ = . +Ta có: 2018 12017.201820182Su d= + ( )1 1009. 2 2017 ud= + 1009000= . +Câu 85: Cho cấp số cộng (u )n thỏa mãn 14 +−=. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên. +A. 100. B. 110. C. 10. D. 90. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 17 +Sưu t ầm và biên so ạn Gọi cấp cố cộng có công sai là d ta có 21 31 41 ; 2 ; 3 u u du u du u d= += + = + +Khi đó 14 11 +328 238 1 +2 22uu ud u +uu dd+= += =  ⇔⇔  −= = =   +Áp d ụng công th ức 1( 1) +2nnS nu d−= + +Vậy tổng c ủa 10 số hạng đầu của cấp số cộng là 1010.910.1 .2 1002S= += +Câu 86: Cho c ấp số cộng {}nu có 4 12 u=− ; 1418 u=. Tổng c ủa 16 s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng là: +A. 24S= . B. 25 S=− . C. 24 S=− . D. 26S= . +Lời giải +Ta có: 41 1 +14 112 3 12 21 +18 13 18 3u ud u +u ud d= − += − =−  ⇔⇔  = += = . +Tổng c ủa 16 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là: () 1616.1516. 21 .3 242S= −+ = . +Câu 87: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa 235 +uu−+= ++=. Tính 1 4 7 2011 ... Su u u u=++ ++ +A. 2023736S= . B. 2023563S= . C. 6730444S= . D. 6734134S= . +Lời giải +uu−+= ++=11 1 +112 4 10 +3 5 26u du du d +u du d+−− ++ =⇔+++ =1 +2 8 26ud +ud+=⇔+=11 +d=⇔=. +410 u=, 719 u=, 1028 u= … +Ta có 1u, 4u, 7u, 10u, …,2011u là cấ p số cộng có 11 +( )6712.1 670.9 20237362S= += . +Câu 88: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của +số hạng tổng quát nu. +A. 14nun= + . B. 5nun= . C. 32nun= + . D. 23nun= + . +Lời giải +Ta có: ()50 1502 49 51502S ud= += 4d⇒= . +Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng b ằng ()1 1 14nuu n d n=+− = + . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 18 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 89: Một cấp số cộng có t ổng c ủa n số hạng đầu nS tính theo công thứ c 2*5 3,nS n nn  . +Tìm s ố hạng đầ u 1u và công sai d c ủa cấp số cộng đó. +A. 1 8; 10 ud  . B. 1 8; 10 ud  . C. 18; 10 ud . D. 18; 10 ud  . +Lời giải +Ta có: 11 8= =uS . +2 21 21 18 18 8 10 = − = ⇒= − = −=u S S du u . +Câu 90: Cho c ấp số cộng ()nu biết 518u= và 2 4nnSS= . Giá tr ị 1u và d là +A. 12u=, 3d=. B. 13u=, 2d=. C. 12u=, 2d=. D. 12u=, 4d=. +Lời giải +Ta có 518u=⇔14 18ud+= . +Lại có 5 104SS=⇔ 115.4 10.94 5 1022u du d+= + ⇔120ud−= . +Khi đó ta có hệ phương trình 1 +−=⇔12 +Câu 91: Gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên trong c ấp số cộng ().na Biết 69 , SS= tỉ số 3 +a bằng: +5. B. 5 +9. C. 5 +3. D. 3 +Lời giải +Ta có ()()11 +69 162 5 92 87.22ad adSS a d++=⇔ = ⇔= − +512 72 5.4 74 3a ad dd +aa d dd+−+= = =+ −+ +Câu 92: Cho c ấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên c ủa nó. Bi ết 777 S= và 12192 S= . +Tìm s ố hạng tổng quát nu của cấ p số cộng đó +A. 54nun= + . B. 32nun= + . C. 23nun= + . D. 45nun= + . +Lời giải +Giả sử cấp số cộng có s ố hạng đầu là 1u và công sai d. +Ta có: 1 +17.6.7 7777 7 21 77 5 2 +12.11. 12 66 192 192 212 1922duS ud u +d ud S du+== += =    ⇔ ⇔⇔   += = =   +=. +Khi đó: ()()1 1 52 1 32nuu n d n n=+− =+ −=+ . +Câu 93: Giải phương trình 1 8 15 22 7944 x + + + +…+ = +A. 330x= . B. 220x= . C. 351x= . D. 407x= . +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 19 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có c ấp số cộng v ới 11u=, 7d=, nux=, 7944nS= . +Áp d ụng công th ức +() ()1 22 1 2.1 1 77944 7 5 15888 022nu n dn n nS nn+− +− = ⇔ = ⇔ −− = +()48 / +331 7n tm +n loai= +⇔=−. +Vậy 481 47.7 330 xu= = += . +Câu 94: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u bằng 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá tr ị của +1 2 2 3 49 5011 1...uu uu u u+ ++ bằng. +74. B. 148. C. 49 +148. D. 74. +Lời giải +Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Ta có ()100 1 50 2 99 14950 S ud= += với 113ud= ⇒= +1 2 2 3 49 5011 1... Suu uu u u= + ++ . +1 2 2 3 49 50. ...dd dSduu uu u u= + ++3 2 50 49 21 +1 2 2 3 49 50...uu u u uu +uu uu u u−−−= + ++ +1 5011 +1 14711 49.3 148= −=+. +Với 3d= nên 49 +148S= . +Câu 95: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11u= và tổng 100 số hạng đầ u bằ ng 10000 . Tính t ổng +1 2 2 3 99 10011 1... Suu uu u u= + ++ . +A. 100 +201=S . B. 200 +201=S . C. 198 +199=S . D. 99 +199=S . +Lời giải +Gọi d là công sai của cấ p số cộng đã cho. +Ta có: ()1 +100 1200 250 2 99 10000 299uS ud d−= + = ⇒= = . +1 2 2 3 99 10022 22 ... Suu uu u u⇒ = + ++ +3 2 99 100 21 +1 2 2 3 99 100...uu u u uu +uu uu u u−−−= + ++ +1 2 2 3 98 99 99 1001111 1 1 1 1...uuuu u u u u= − + − ++ − + − +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 20 +Sưu t ầm và biên so ạn 1 100 1 11 1 1 1 198 +99 199 uu uu d= −= − =+ +199S⇒= . +Câu 96: Cho tam giác đ ều 111ABC có độ dài cạ nh bằ ng 4. Trung đi ểm của các c ạnh tam giác 111ABC tạo +thành tam giác 222ABC , trung đi ểm của các cạ nh tam giác 222ABC tạo thành tam giác 333ABC … +Gọi 123, , ,...PPP lần lượt là chu vi c ủa tam giác 111ABC , 222ABC , 333ABC ,…Tính t ổng chu vi +123 ... PPPP=+++ +A. 8P=. B. 24P= . C. 6P=. D. 18P=. +Lời giải +Chọn B +Ta có: +2PP= ; 32111 +24PPP= = ; 4 3111 +28PPP= = …;111 +2n nPP−= +1 2 3 1111 1111... ... 2 24.1 24812PP P P P PPPP P=+++=+ + + += = = +C3A3C2 +C1B1A1 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 21 +Sưu t ầm và biên so ạn DẠNG 4. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC +Câu 97: Lan đang ti ết kiệm để mua laptop. Trong tuầ n đầu tiên, cô ta đ ể dành 200 đô la, và trong m ỗi +tuần tiếp theo, cô ta đã thêm 16 đô la vào tài kho ản tiết kiệm của mình. Chi ếc laptop Lan c ần +mua có giá 1000 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì cô ấ y có đủ tiề n để mua chi ếc laptop đó? +A. 49. B. 50. C. 51. D. 52. +Lời giải +Gọi n là số tuần cô ta đã thêm 16 đô la vào tài khoả n tiết kiệm của mình +Số tiền cô ta ti ết kiệm đư ợc sau n tuần đó là 200 16 .Tn= + +Theo đề bài, ta có 200 16 1000 50.Tnn= + = ⇔= +Vậy kể cả tuần đầu thì tu ần thứ 51 cô ta có đủ tiề n để mua chi ếc laptop đó. +Câu 98: Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất +là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngà n đồng. Hỏi theo hợp đồng, +tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu? +A. 7,0 triệu. B. 7,3 triệu. C. 7,2 triệu. D. 7,4 triệu. +Lời giải +Gọi lương tháng thứ n của ngư ời đó là nA. +Ta có16=A . +Lương tháng sau hơn tháng trước 0, 2 triệu nên ta có{}nA là một cấp số cộng v ới số hạng đầu +16=A và công sai 0, 2=d . +Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố là ()()1 11 =+− >nA A n dn . +Vậy tới tháng th ứ 7, ngư ời đó nhậ n được lương là 71 6 6 6.0, 2 7, 2=+= + =AA d . +Câu 99: Trong tháng 12, l ớp 12A dự kiến quyên góp ti ền để đi làm t ừ thiện như sau: Ngày đ ầu quyên góp +được mỗi bạn bỏ 2000 đ ồng vào l ợn, từ ngày th ứ hai tr ở đi mỗi bạn bỏ vào l ợn hơn ngày li ền +trước là 500 đ ồng. H ỏi sau 28 ngày l ớp 11A quyên góp đư ợc bao nhiêu ti ền? Bi ết lớp có 40 bạ n. +A. 8800000 đồng. B. 9800000 đồng. C. 10800000 đồng. D. 7800000 đồng +Lời giải +Số tiền mỗi bạn lớp 11A quyên góp đ ể làm từ thiện lập thành m ột cấp số cộng có s ố hạng đầu +12000u= , công sai d 500= +Vậy sau 28 ngày s ố tiền mỗi bạn quyên góp đư ợc là: 27.28.50028.2000 2450002+= đồng +Vậy sau 28 ngày t ổng s ố tiền quyên góp đư ợc của lớp 11A là: 245000.40 9800000 = đồng +Câu 100: Trong sân v ận động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế . Các dãy sau, m ỗi dãy nhi ều +hơn dãy ngay trư ớc nó 4 ghế . Hỏi sân vậ n động có t ất cả bao nhiêu gh ế? +A. 1740 . B. 2250 . C. 4380 . D. 2190 . +Lời giải +Số ghế trong m ỗi dãy c ủa sân vậ n động l ập thành m ột cấp số cộng có 115 U= và 4d=. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 22 +Sưu t ầm và biên so ạn Vậy tổng t ất cả các gh ế của sân vậ n động là t ổng 30 s ố hạng đầu của cấp số cộng trên, do đó áp +dụng công th ức () +2nnn dS nU−= + ta có () +3030 30 1 430.15 21902S−= += +Vậy sân vậ n động có t ất cả 2190 ghế. +Câu 101: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây đàn piano có giá 142 tri ệu đồng. Trong tháng đ ầu tiên, anh +ta để dành đư ợc 20 tri ệu đồng. M ỗi tháng tiế p theo anh ta để dành đư ợc 3 tri ệu đồng và đưa s ố +tiền tiết kiệm của mình. H ỏi ít nh ất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng m ới có đủ tiền để mua cây +đàn piano đó? +A. 43. B. 41. C. 40. D. 42. +Lời giải +Tổng s ố tiền Hùng ti ết kiệm đư ợc vào m ỗi tháng lậ p thành m ột cấp số cộng ()nu có số hạng đầu +120u= và công sai 3d=. +Tổng s ố tiền Hùng ti ết kiệm đư ợc vào tháng th ứ n bằng +()()1 1 20 1 .3 3 17nuu n d n n=+− =+− =+ +Hùng có đủ tiền mua cây đàn 3 17 142n⇔+≥ 12541,673n⇔≥ ≈ . +Vậy ít nhất vào tháng thứ 42 thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó. +Câu 102: Người ta tr ồng 820 cây theo m ột hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng +thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so v ới hàng liề n trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao +nhiêu hàng cây? +A. 42. B. 41. C. 40. D. 39. +Lời giải +Giả sử trồng đư ợc n hàng cây ( ) 1,nn≥∈. +Số cây ở mỗi hàng l ập thành c ấp số cộng có 11u= và công sai 1d=. +Theo gi ả thiết: 820nS= ()12 1 8202nun d⇔ +− = +()1 1640 nn⇔ +=21640 0 nn⇔ +− =40 +n=⇔=− +So vớ i điều kiện, suy ra: 40n= . Vậy có t ất cả 40 hàng cây. +Câu 103: Một cầu thang đư ờng lên c ổng tr ời của một điểm giải trí ở công viên t ỉnh X được hàn b ằng sắt +có hình dáng các bậ c thang đề u là hình chữ nhật với cùng chi ều rộng là 35cm và chi ều dài c ủa +nó theo thứ tự mỗi bậc đều giảm dần đi 7cm. Bi ết rằng bậc đầu tiên c ủa cầu thang là hình chữ +nhật có chi ều dài 189cm và bậ c cuối cùng c ầu thang là hình chữ nhật có chi ều dài 63cm. H ỏi giá +thành làm c ầu thang đó gầ n với số nào dư ới đây nế u giá thành làm m ột mét vuông c ầu thang đó +là 1250000 đồng trên m ột mét vuông? +A. 9500000 đồng . B. 11000000 đồng . C. 10000000 đồng . D. 10500000 đồng . +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 23 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có chi ều dài của m ỗi mặ t cầu thang theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng v ới số hạng đầu +tiên là 1189u= , công sai 7 d=− và số hạng cu ối cùng là 63nu= . +Khi đó áp dụng công th ức tính s ố hạng tổng quát ta có: +1( 1) 63 189 7( 1) 19nuu n d n n =+− ⇔ = − −⇔= +Tổng chi ều dài c ủa 19 hình chữ nhật đó là: 1 19 +1919. 23942uuS+= = . +Diện tích c ủa 19 b ậc thang là: 2235.2394 83790( ) 8,379( )S cm m = = = +Tổng s ố tiền để làm cầ u thang đó là: 8,379.1250000 10473750T= = đồng. +Vậy chọn đáp án D. +Câu 104: Công ty A mu ốn thuê hai m ảnh đấ t để làm 2 nhà kho, m ột mả nh trong vòng10 năm và 1 m ảnh +trong vòng 15 năm ở hai ch ỗ khác nhau. Công ty bấ t động s ản C, công ty bấ t động s ản B đ ều +muốn cho thuê. Hai công ty đưa ra phương án cho thuê như sau +Công ty C: Năm đầu tiên tiề n thuê đấ t là 60 triệ u và kể từ năm thứ hai tr ở đi mỗi năm tăng +thêm 3 triệ u đồng. +Công ty B: Trả tiền theo quí, quý đầ u tiên là 8 tri ệu đồng và t ừ quý thứ hai tr ở đi m ỗi quý tăng +thêm 500000 đồng. +Hỏi công ty A nên l ựa chọn thuê đấ t của công ty bất động s ản nào để chi phí là th ấp nhấ t biết +rằng các m ảnh đấ t cho thuê về diện tích, độ tiệ n lợi đều như nhau? +A. Chọn công ty B để thuê cả hai m ảnh đấ t. +B. Chọn công ty C để thuê cả hai m ảnh đấ t. +C. Chọn công ty C để thuê đấ t 10 năm, công ty B thuê đấ t 15 năm. +D. Chọn công ty B để thuê đấ t 10 năm, công ty C thuê đấ t 15 năm. +Lời giải +Gọi ,nnBC lần lượt là s ố tiền công ty A c ần trả theo các tính c ủa hai công ty B và C +Theo bà i ra ta có : +nB là tổng nsố hạng đầu tiên c ủa m ột cấp số cộng v ới 18u= triệu đồng 0,5d= triệu đồng . +nC là tổng nsố hạng đầu tiên c ủa m ột cấp số cộng v ới 160u= triệu đồng 3d=triệu đồng . +Do đó : N ếu thuê đấ t của công ty B trong vòng 15 năm = 60 quý s ố tiền công ty A phả i trả là +60(2.8 59.0,5).30 1365 B= += triệu đồng +Nếu thuê đấ t của công ty C trong vòng 15 năm s ố tiền công ty A phả i trả là +15(2.60 14.3).7,5 1215 C= += triệu đồng +Vậy thuê m ảnh đấ t trong vòng 15 năm c ủa công ty C +Nếu thuê đấ t của công ty B trong vòng 10 năm = 40 quý s ố tiền công ty A phả i trả là +40(2.8 39.0,5).20 710 B= += triệu đồng +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 24 +Sưu t ầm và biên so ạn Nếu thuê đấ t của công t y C trong vòng 10 năm s ố tiền công ty A phả i trả là +10(2.60 9.3).4,5 661,5 C= += triệu đồng +Vậy thuê m ảnh đấ t trong vòng 10 năm c ủa công ty. C. +Câu 105: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây guitar. Trong tu ần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và +trong m ỗi tu ần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoả n tiết kiệm của mình. Cây guitar +Hùng c ần mua có giá 400 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì anh ấy có đ ủ tiền để mua cây +guitar đó? +A. 47. B. 45. C. 44. D. 46. +Lời giải +Sau tu ần đầu, Hùng c ần thêm 358 đô la. Như vậ y Hùng c ần thêm 358 :8 44,75= tuần. +Vậy đến tuầ n thứ 46 Hùng đủ tiề n. +Câu 106: Một công ti trách nhi ệm hữu hạn thự c hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thứ c sau: +Mức lương c ủa quý làm vi ệc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm vi ệc +thứ hai, m ức lương s ẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng m ỗi quý. Hãy tính t ổng s ố tiền lương m ột +kĩ sư nhậ n được sau 3 năm làm vi ệc cho công ti. +A. 83, 7 . B. 78,3 . C. 73, 8 . D. 87,3 . +Lời giải +Ta có 3 năm bằ ng 12 quý. +Gọi 1u,2u, …, 12u là tiề n lương kĩ sư đó trong các quý. +Suy ra ()nu là cấ p số cộng v ới công sai 4,5. +Vậy số tiền lương kĩ sư nhậ n được là +2un dSn+−=2 4,5 11 0,312 73,82× +×= = . +Câu 107: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như sau: Hàng th ứ nhất có 1 cây, +hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….S ố hàng cây trong khu vư ờn là +A. 31. B. 30. C. 29. D. 28. +Lời giải +Cách tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như trên l ập thành m ột cấp số cộng +()nu với số nu là số cây ở hàng th ứ n và 11u= và công sai 1d=. +Tổng s ố cây tr ồng đư ợc là: 465nS= ()14652nn+⇔=2930 0 nn⇔ +− =()30 +nl=⇔=−. +Như v ậy số hàng cây trong khu vư ờn là 30. +Câu 108: Trong sân vậ n động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế, các dãy li ền sau nhi ều hơn dãy +trước 4 ghế, hỏi sân vậ n động đó có t ất cả bao nhiêu ghế ? +A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 . +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 25 +Sưu t ầm và biên so ạn Gọi 1 2 30, ,...uu u lần lượ t là s ố ghế của dãy gh ế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy gh ế số ba +mươi. Ta có công thứ c truy h ồi ta có ( )14 2,3,...,30nnuu n−=+= . +Ký hiệ u:30 1 2 30 ... S uu u=+++ , theo công thứ c tổng các s ố hạng của m ột cấp số cộng, ta đượ c: +( )( )( )30 1302 30 1 4 15 2.15 29.4 21902Su= +− = + = . +Câu 109: Cho 4 số thực ,,,abcd là 4 số hạng liên tiế p của một cấp số cộng. Biế t tổng c ủa chúng bằ ng 4 +và tổng các bình phương của chúng bằ ng 24. Tính 333 3P abcd=+++ . +A. 64P= . B. 80P=. C. 16P=. D. 79P= . +Lời giải +Theo giả thiết ta có: . +Câu 110: Cho c ấp số cộng ( )nu có 14u=. Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của 12 23 31uu uu uu++ ? +A. 20 . B. 6. C. 8. D. 24 . +Lời giải +Ta gọi d là công sai củ a cấp số cộng. +( ) ( )( ) ( )12 23 31 44 4 4 2 44 2 uu uu uu d d d d++=+ + + +++ +( )2 22 24 48 2 6 24 24dd d= + + = + − ≥− +Dấu ""= xảy ra khi 6 d=− . +Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t của 12 23 31uu uu uu++ là 24−. +Câu 111: Một tam gi ác vuông có chu vi bằ ng 3 và độ dài các cạnh lập thành m ột cấp số cộng. Độ dài các +cạnh của tam gi ác đó là: +A. 15;1;33. B. 17;1;44. C. 35;1;44. D. 13;1;22. +Lời giải +Gọi d là công sai củ a cấp số cộng và các cạnh có độ dài l ần lượt là ad−, a, ad+ ( )0da<< +Vì tam giác có chu vi b ằng 3 nên 33a= 1a⇔= . +Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có ( ) ( )22 21 11dd+= −+ 41d⇔=1 +4d⇔= . +Suy ra ba cạ nh của tam giác có đ ộ dài là 35;1;44. 24ad bcad bcabcd+=+⇒+=+= +++= +( ) ( ) ( )22 222 22 a b c d a d b c ad bc+++=+ ++ − + +( ) ( )22 222 28 ad bc a b c d a d b c⇒ +=+++−+ −+ = − +333 3P abcd=+++ ( )( )( )( )2 2 22a d a ad d b c b bc c=+ −+ ++ −+ +( )222 22a b c d ad bc= +++−− 64= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 26 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 112: Trong hội ch ợ, một công ty sơn mu ốn xếp 1089 hộp sơn theo s ố lượng 1,3,5,... từ trên xu ống +dưới. Hàng cu ối cùng có bao nhiêu hộp sơn? +A. 63. B. 65. C. 67. D. 69. +Lời giải +Giả sử 1089 được xếp thành n hàng. T ừ giả thiết ta có s ố hộp sơn trên m ỗi hàng là s ố hạng của +một cấp số cộng nu với số hạng đầu 11u công sai 2d. Do đó + 1089 1 1089 33nS n nn n      . +Vậy số hộp sơn ở hàng cu ối cùng là: 331 32.2 65 u  . +Câu 113: Người ta tr ồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 +cây, hàng thứ 3có 3 cây,.hàng thứ k có k cây ()1.k≥Hỏi có bao nhiêu hàng ? +A. 51. B. 52. C. 53. D. 50. +Lời giải +Đặt ku là hàng th ứ k +Ta có : () +121... 1 2 3 ...2kkkSuu u k+=+++ = ++++= +Theo gi ả thiết ta có : () 50 1127551 0 2k kk +k= + = ⇔= −< +Vậy 50k= nên có 50 hàng. +Câu 114: Người ta tr ồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng th ứ hai +trồng 2 cây, hàng thứ ba tr ồng 3 cây,….H ỏi có bao nhiêu hàng cây. +A. 78. B. 243. C. 77. D. 244. +Lời giải +Giả sử có n +hàng cây. +Theo đề bài ta có: +2 77 ( ) .( 1)1 2 3 .... 3003 3003 6006 078 ( ) 2n TM nnn nnnL= ++++ += ⇔ = ⇔ +− =⇔=−. +Câu 115: Bà ch ủ quán trà s ữa X muốn trang trí quán cho đ ẹp nên quy ết định thuê nhân công xây m ột bức +tường bằng gạch với xi măng, bi ết hàng dư ới cùng có 500 viên, m ỗi hàng ti ếp theo đ ều có ít hơn +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 27 +Sưu t ầm và biên so ạn hàng trư ớc 1 viê n và hàng trên cùng có 1 viên. H ỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bứ c tường +trên là bao nhiêu viên? +A. 25250. B. 250500. C. 12550. D. 125250. +Lời giải +Ta có s ố gạch ở mỗi hàng là các s ố hạng của 1 cấ p số cộng: 500, 499, 498,., 2, 1. +⇒ Tổng s ố gạch cầ n dùng là t ổng c ủa cấp số cộng trên, bằ ng +500500(500 1)250.501 1252502S+= = = +Câu 116: Người ta tr ồng 3240 cây theo m ột hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng +thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so vớ i hàng li ền trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao +nhiêu hàng cây? +A. 81. B. 82. C. 80. D. 79. +Lời giải +Giả sử trồng đư ợc n hàng cây ( ) 1,nn≥∈. +Số cây ở mỗi hàng l ập thành c ấp số cộng có 11u= và công sai 1d=. +Theo gi ả thiết: +3240nS= ()12 1 32402nun d⇔ +− = ()1 6480 nn⇔ +=26480 0 nn⇔ +− =80 +n=⇔=− +So vớ i điều kiện, suy ra: 80n=. +Vậy có t ất cả 80 hàng cây. +Câu 117: Cho hai c ấp số cộng h ữu hạ n, m ỗi cấp số cộng có 100 s ố hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và +1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có t ất cả bao nhiêu s ố có m ặt trong c ả hai cấ p số cộng trên? +A. 20. B. 18. C. 21. D. 19. +Lời giải +Cấp số cộng đ ầu tiên có s ố hạng tổng quát là () ()*4 1 .3 3 1 .nu n nn= +− =+ ∈  +Cấp số cộng th ứ hai có s ố hạng tổng quát là () ()*1 1 .5 5 4 .mu m mm= +− =− ∈  +Ta cầ n có () 3 1 5 4 3 5 1.n m nm+= −⇔ = − +Ta th ấy để thỏa mãn yêu cầ u bài toán thì 3 5 5.nn⇔ Vì cấp số cộng có 100 s ố hạng nên t ừ +đó suy ra có 20 s ố hạng chung. +Câu 118: Sinh nhậ t bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn +nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 28 +Sưu t ầm và biên so ạn sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu +tiền?. +Lời giải +Số ngày b ạn An để dành ti ền là 31 29 31 30 121+++= ngày. +Số tiền bỏ ống heo ngày đầ u tiên là: 1100u= . +Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: 2100 1.100u= + . +Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: 3100 2.100u= + . +Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: ()1 1nuu n d=+− () 100 1 100 n= +− 100n= . +Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: 121100.121 u= 12100= . +Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số +hạng đầu 1100u= , công sai 100d= . +Vậy số tiền An tích lũy được là ()121 1 121121 +2S uu= + ( )121100 121002= + 738100= đồng. +Câu 119: Gọi S là tập hợp tất cả các s ố tự nhiên k sao cho 14kC, 1 +14kC+, 2 +14kC+ theo thứ tự đó lập thành m ột +cấp số cộng. Tính t ổng t ất cả các ph ần tử của S. +A. 12. B. 8. C. 10. D. 6. +Lời giải +Điều kiện: , 12 kk +14kC, 1 +14kC+, 2 +14kC+ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có +14 14 14 2kk kCC C+++= ()()()()()14! 14! 14!2! 14 ! 2 ! 12 ! 1 ! 13 !k kk k k k⇔+ =− +− +− +()()()()()()1 12 +14 13 1 2 1 13k kk k k k⇔ +=− − ++ + − +()()()()()() 14 13 1 2 2 14 2k k k k kk⇔ − −++ += − + +2 4 (tm)12 32 08 (tm)kkkk=⇔− += ⇔=. +Có 4 8 12.+= +Câu 120: Cho 221;;2xy theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng. G ọi ,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhấ t và giá +trị nhỏ nhấ t của bi ểu thứ c 23 P xy y= + . Tính SMm= + +A. 1. B. 2. C. 3. D. 31 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 29 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +Ta có: 221;;2xy theo th�� tự lập thành m ột cấp số cộng 221 xy+= . +Đặt sinxα= , cosyα= . +22 3 1 cos 23 3 sin .cos cos sin222P xy yααα α α+= += + = + 2 1 3 sin2 cos 2P αα ⇔ −= + . +Giả sử P là giá tr ị của biểu thức2 1 3 sin2 cos 2P αα ⇒ −= + có nghi ệm. +()()22 2 1321 3 122PP⇔ − ≤ + ⇔− ≤ ≤ . +Vậy 31;122Mm S= = −⇒= . +Câu 121: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 12018u= và 121n ++ với mọi 1n≥. Giá tr ị nhỏ nh ất của n +2018nu< bằng +A. 4072325 B. 4072324 C. 4072326 D. 4072327 +Lời giải +Từ giả thiết suy ra 0, 1nun> ∀≥ +Ta có 121n ++, 1n∀≥⇔ 2 ++ ⇔ 22 +nnuu+= + +Đặt 21 +u= , khi đó 1 21 +2018v= và 11nnvv+= + nên ()nv là cấp số cộng có công sai là 1. +()1 2111 +2018nvv n n= + − = +− suy ra 22111 +2018nn +u= +− . +2018nu< ⇔ 2 +nu> ⇔2 +21( 1) 2018 +2018n−+ > +211 2018 +2018n>− + ⇔214072325 +2018n>− +Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t của n thỏa mãn đi ều kiện là 4072325 . +Câu 122: Cho c ấp số cộng ()nucó 13u= và công sai 2d=, và c ấp số cộng ()nvcó 12v= và công sai +3d′=. Gọi ,XY là tập hợp chứa 1000 số hạng đầ u tiên c ủa m ỗi cấp số cộng. Chọn ngẫ u nhiên +2 phần tử bất kỳ trong t ập hợp XY∪. Xác su ất để chọn đư ợc 2 phần tử bằng nhau gầ n với số +nào nhấ t trong các s ố dưới đây? +Lời giải +Chọn ng ẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong t ập hợp XY∪ta có 2 +2000C cách ch ọn. +Gọi 2phần tử bằng nhau trong ,XY là ku và lv. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 30 +Sưu t ầm và biên so ạn Do kluv= ()() 32 1 23 1 kl+ −=+ −  312lk= − +Do 1 1000k≤≤  1 667l≤≤ . Mặt khác 2lx=  1333,52x≤≤  có 333 số +Vậy xác su ất để chọn đư ợc 2 phần tử bằng nhau là: 4 +20003331,665832916.10C−≈ . +Câu 123: Nếu 2a+, b, 2c theo thứ tự lập thành c ấp số cộng thì dãy s ố nào sau đây l ập thành c ấp số cộng? +A. 4b−; 24a−− ; 4c. B. 22a−− ; 2b−; 42c−− . +C. 2b+; 2a; 22c+. D. 24a+; 4b; 4c. +Lời giải +Ta có 22 2a cb++ = ()() 2 2 2 2. 2ac b⇒− + + =− ()()() 2 2 4 2 22ac b⇔− − +− − = − . +Vậy 22a−− , 2b−, 42c−− theo thứ tự lập thành c ấp số cộng. +Câu 124: Cho m ột cấp số cộng nu có 15 u và tổng c ủa 40 số hạng đầu là 3320 . Tìm công sai c ủa cấp +số cộng đó. +A. 4−. B. 8. C. 8−. D. 4. +Lời giải +Gọi d là công sai của cấ p số cộng. +Ta có t ổng 40 số hạng đầ u của cấp số cộng là:  1 +4040 2 3933202udS . +  40 2.5 393320 42dd   . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 47 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN +1. ĐỊNH NGHĨA: Cấp số nhân là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô h ạn) mà trong đó, kể từ số hạng th ứ hai, +mỗi số hạng đều là tích c ủa số hạng đứng ngay trư ớc nó vớ i một s ố không đổi q.Nghĩa là: +1nnu uq+= với *n.∈ +Số q được gọi là công b ội của cấp số nhân. +Đặc biệt: +• Khi 0q,= cấp số nhân có dạ ng 100 0u , , , ..., , ... +• Khi 1q,= cấp số nhân có dạ ng 111 1u , u , u , ..., u , ... +• Khi 10u= thì v ới mọi q, cấp số nhân có dạ ng 000 0, , , ..., , ... +Chú ý: Trong m ột cấp số nhân, bình phương c ủa mỗi số hạng đề u là tích của hai s ố hạng đứng +kề với nó, nghĩa là +11 k kku u .u−+= với 2k.≥ +2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT +Định lý 1: N ếu cấp số nhân ()nu có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được +xác đ ịnh bở i công thứ c +nu u .q−= với 2n.≥ +3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN +Giả sử ()nu là m ột cấp số nhân vớ i công bội 1q.≠ Đặt 12 nnS u u ... u .=+++ +Khi đó () 11 +Chú ý: Nếu 1q= thì c ấp số nhân là 111 1u , u , u , ..., u , ... khi đó 1 nS nu .= +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +LÝ THUY ẾT. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 48 +Sưu t ầm và biên so ạn +Dạng 1: Chứng minh m ột dãy là cấ p số nhân. +Dạng 2. Xác đ ịnh các đại lượ ng của cấp số nhân +Dạng 3. Tổng n s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân +Dạng 4. M ột số bài toán liên quan đế n cấp số nhân +DẠNG 1: CH ỨNG MINH M ỘT DÃY LÀ C ẤP SỐ NHÂN. ++ Ch ứng minh 1nnu u q, n *+= ∀∈  trong đó q là một s ố không đổi. ++ Nếu 0 *nun≠ ∀∈  thì nu là m ột cấp số nhân 1: *n +nuq const nu+⇔ = ∀∈  ++ Để chứng minh dãy không phả i là c ấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba s ố hạng liên tiế p +không t ạo thành c ấp số nhân, ch ẳng hạn 3 2 ++ Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lậ p thành CSN, ta chứ ng minh +2ac b= hoặc b ac= +Câu 1: Chứng minh r ằng dãy s ố ( )( )213n n +nnv :v .= − là m ột cấp số nhân. +Câu 2: Giá tr ị của a để 11; ; 5 125a−− theo thứ tự lập thành c ấp số nhân? +DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠ I LƯ ỢNG C ỦA CẤ P SỐ NHÂN +Vận dụng các công thức ở định nghĩa, s ố hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân. +Câu 3: Cho c ấp số nhân ( )nuvới công bội q < 0 và 2449 u ,u= = . Tìm 1u. +Câu 4: Cho c ấp số nhân ( )nu biết 15 26 51 102 u u ;u u+= += . Hỏi số 12288 là s ố hạng thứ mấy của +cấp số nhân( )nu? +Câu 5: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 +uu= +=. ( )nu +HỆ THỐNG BÀI T ẬP. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 49 +Sưu t ầm và biên so ạn a) Vi ết năm s ố hạng đầu của cấp số nhân: +b) Số 2 +6561 là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số? +Câu 6: Cho t ứ giác ABCD có 4 góc t ạo thành 1 c ấp số nhân có công bội b ằng 2. Tìm 4 góc ấy +Câu 7: Cho 5 s ố lập thành m ột cấp số nhân. Bi ết công b ội bằng m ột phầ n tư s ố hạng đầu tiên và t ổng 2 +số hạng đầu bằng 8. +DẠNG 3: T ỔNG N S Ố HẠNG ĐẦ U TIÊN C ỦA CẤ P SỐ NHÂN +Ghi nhớ công thức ()()11 +S ,q .q− +Câu 8: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, s ố hạng th ứ hai b ằng +54 và s ố hạng cu ối bằng 39366. +Câu 9: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 +uu= +=.Tính t ổng 10 s ố hạng đầu của cấp số; +Câu 10: Tính các t ổng sau: 22 211 124 224 2n +n nS ...   = ++ ++ ++       +Câu 11:  +88 88 888 ... 88...8n +n soS=+ + ++ +DẠNG 4: M ỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾ N CẤP SỐ NHÂN +Câu 12: Chu kì bán rã c ủa nguyên t ố phóng x ạ poloni 210 là 138 ngày . Tính khối lư ợng còn l ại của 20 +gam poloni 210 sau 7314 ngày . +Câu 13: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên c ủa m ỗi tầng bằng nữa diện +tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa +đế tháp . Tính di ện tích m ặt trên cùng. +Câu 14: Một du khách vào trư ờng đua ngự a đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, m ỗi lần sau ti ền đặt gấp +đôi lần tiền đặt cọc trư ớc. Ngư ời đó thua 9 lần liên ti ếp và thắ ng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên +thắng hay thua bao nhiêu? +Câu 15: Tìm m đ ể phương trình sau có 3 nghi ệm l ập thành CSN. +()()325 65 6 0 x mx mx m+− +− − = +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 50 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 16: Một ngư ời bắt đầu đi làm đư ợc nhận được số tiền lương là 7000000đ m ột tháng. Sau 36 tháng +người đó đư ợc tăng lương 7%. H ằng tháng ngư ời đó ti ết kiệm 20% lương đ ể gửi vào ngân hàng +với lãi su ất 0,3%/tháng theo hình thứ c lãi kép. Bi ết rằng ngư ời đó nhậ n lương vào đầ u tháng và +số tiền tiết kiệm đư ợc chuy ển ngay vào ngân hàng. +a) Hỏi sau 36 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? +b) Hỏi sau 60 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN +1. ĐỊNH NGHĨA: Cấp số nhân là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô h ạn) mà trong đó, kể từ số hạng th ứ hai, +mỗi số hạng đều là tích c ủa số hạng đứng ngay trư ớc nó vớ i một s ố không đổi q.Nghĩa là: +1nnu uq+= với *n.∈ +Số q được gọi là công b ội của cấp số nhân. +Đặc biệt: +• Khi 0q,= cấp số nhân có dạ ng 100 0u , , , ..., , ... +• Khi 1q,= cấp số nhân có dạ ng 111 1u , u , u , ..., u , ... +• Khi 10u= thì v ới mọi q, cấp số nhân có dạ ng 000 0, , , ..., , ... +Chú ý: Trong m ột cấp số nhân, bình phương c ủa mỗi số hạng đề u là tích của hai s ố hạng đứng +kề với nó, nghĩa là +11 k kku u .u−+= với 2k.≥ +2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT +Định lý 1: N ếu cấp số nhân ()nu có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được +xác đ ịnh bở i công thứ c +nu u .q−= với 2n.≥ +3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN +Giả sử ()nu là m ột cấp số nhân vớ i công bội 1q.≠ Đặt 12 nnS u u ... u .=+++ +Khi đó () 11 +Chú ý: Nếu 1q= thì c ấp số nhân là 111 1u , u , u , ..., u , ... khi đó 1 nS nu .= +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +LÝ THUY ẾT. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn +Dạng 1: Chứng minh m ột dãy là cấ p số nhân. +Dạng 2. Xác đ ịnh các đại lượ ng của cấp số nhân +Dạng 3. Tổng n s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân +Dạng 4. M ột số bài toán liên quan đế n cấp số nhân +DẠNG 1: CH ỨNG MINH M ỘT DÃY LÀ C ẤP SỐ NHÂN. ++ Ch ứng minh 1nnu u q, n *+= ∀∈  trong đó q là một s ố không đổi. ++ Nếu 0 *nun≠ ∀∈  thì nu là m ột cấp số nhân 1: *n +nuq const nu+⇔ = ∀∈  ++ Để chứng minh dãy không phả i là c ấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba s ố hạng liên tiế p +không t ạo thành c ấp số nhân, ch ẳng hạn 3 2 ++ Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lậ p thành CSN, ta chứ ng minh +2ac b= hoặc b ac= +Câu 1: Chứng minh r ằng dãy s ố ( )( )213n n +nnv :v .= − là m ột cấp số nhân. +Lời giải +( )( ) +( )121 +nv,nv++ ++−= = −∀∈ +−. Vậy ( )( )213n n +nnv :v .= − là m ột cấp số nhân. +Câu 2: Giá tr ị của a để 11; ; 5 125a−− theo thứ tự lập thành c ấp số nhân? +Lời giải +Ta có: 2 111 1.5 125 625 25aa  = − − = ⇔= ±     +DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠ I LƯ ỢNG C ỦA CẤ P SỐ NHÂN +Vận dụng các công thức ở định nghĩa, s ố hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân. +HỆ THỐNG BÀI T ẬP. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 3: Cho c ấp số nhân ()nuvới công bội q < 0 và 2449 u ,u= = . Tìm 1u. +Lời giải +Vì 200q ,u<> nên30u<. Do đó 3 24 49 6 u u .u .= − = −= − ; +2 13 1 +63uu u .u uu= ⇒= = = −−. Chọn đáp án A +Câu 4: Cho c ấp số nhân ()nu biết 15 26 51 102 u u ;u u+= += . Hỏi số 12288 là s ố hạng thứ mấy của +cấp số nhân()nu? +Lời giải +Gọi q là công b ội của cấ p số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có +2611 51 512 3 32102 1 102n +nuq uuq u u.uu uq q−+= += ⇔ ⇒=⇒=⇒ = += +=  . +Mặt khác 1 1 1212288 3 2 12288 2 2 13nn +nu. n−−= ⇔ = ⇔ = ⇔= . +Câu 5: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 +uu= +a) Vi ết năm s ố hạng đầu của cấp số nhân: +b) Số 2 +6561 là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số? +Lời giải +Gọi q là công b ội của cấ p số. Theo gi ả thiết ta có: +1 1122 1 +2727 312 243. +243uquq q +u uq uq q = = =  ⇔⇔   +  = = =   +a)Năm s ố hạng đầu của cấp số là:12 3 4 522 2 22, , ; ,3 9 27 81uu u u u= = = = = . +b)Ta có: 18 +1223 6561 3 96561 3n +nn nuu n− +−= ⇒ = ⇔ = = ⇒= +6561 là số hạng th ứ 9 của cấp số. +Câu 6: Cho t ứ giác ABCD có 4 góc t ạo thành 1 c ấp số nhân có công bội b ằng 2. Tìm 4 góc ấy +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn 4 +1 1234 11360 360 241 +2 22qU UUUU Uq +q qq−=   +++= = ⇔⇔−  = =   = +Vậy 4 góc là : 24, 48, 96, 192. +Câu 7: Cho 5 s ố lập thành m ột cấp số nhân. Bi ết công b ội bằng m ột phầ n tư s ố hạng đầu tiên và t ổng 2 +số hạng đầu bằng 8. +Lời giải +12 111 +8 4 324 +1 124 41U +UU UUU +qU q qU +q= − + +=   += =   ⇔⇔  = =− =     = +Vậy CSN là : -8, 16, - 32, 64, -128; 4,4,4,4,4 +DẠNG 3: T ỔNG N S Ố HẠNG ĐẦ U TIÊN C ỦA CẤ P SỐ NHÂN +Ghi nhớ công thức ()()11 +S ,q .q− +Câu 8: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, s ố hạng th ứ hai b ằng +54 và s ố hạng cu ối bằng 39366. +Lời giải +1218 54 3u ,u q .= = ⇒= +1 1 17 +1 39366 39366 18 3 39366 3 3 8n nn +nu u .q . n− −−= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔= . +81318 5904013S.−= =−. +Câu 9: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 +uu= +=.Tính t ổng 10 s ố hạng đầu của cấp số; +Lời giải +Gọi q là công b ội của cấ p số. Theo gi ả thiết ta có: +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn 3 +1 1122 1 +2727 312 243. +243uquq q +u uq uq q = = =  ⇔⇔   +  = = =   +Tổng 10 s ố hạng đầu của cấp số +10 1111 3 1 590482. 3 11 1 3 1968313qSuq−  −  = = = −= − −. +Câu 10: Tính các t ổng sau: 22 211 124 224 2n +n nS ...   = ++ ++ ++       +Lời giải. +( )24 2 +24 211 122 22 2 222 2 +11 122 2 222 2 +1114 1 4 1 1 44 2 421 14 4 3 414n +nS ... +... ... n +. n n.= + ++ + +++ + + += +++ + + ++ +  +−−− = + + = −+ − − +Câu 11:  +88 88 888 88 8n +n soS ... ... =+ + ++ +Lời giải. +2389 99 999 99 99 +810 1 10 1 10 1 10 19n +nS ... +...= ++ + += −+ −+ −+ + − +()23 810 10 10 109 +80 10 1 8 1 10 8109 1 10 81 9n +nn... n +. n n.= + + ++ − +− −= −= −− +DẠNG 4: M ỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾ N CẤP SỐ NHÂN +PHƯƠNG PHÁP . +BÀI T ẬP TỰ LUẬN. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 12: Chu kì bán rã c ủa nguyên t ố phóng x ạ poloni 210 là 138 ngày . Tính khối lư ợng còn l ại của 20 +gam poloni 210 sau 7314 ngày . +Lời giải +Kí hi ệu nu là kh ối lượng còn l ại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã. +Ta có 7314 ngày g ồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cầ n tính 53u. +Từ giả thiết suy ra dãy (nu) là m ột cấp số nhân vớ i số hạng đầu là 120102u= = và công b ội +q=0,5. Do đó 52 +53110 2 22 102u . ,.− = ≈. +Câu 13: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên c ủa m ỗi tầng bằng nữa diện +tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa +đế tháp . Tính di ện tích m ặt trên cùng. +Lời giải +Diện tích bề mặt của mỗi tầ ng lập thành m ột cấp số nhân có công bội 1 +2q= và +1122886 1442u.= = Khi đó di ện tích m ặt trên cùng là +11 1 10614462u uq . = = = +Câu 14: Một du khách vào trư ờng đua ngự a đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, m ỗi lần sau ti ền đặt gấp +đôi lần tiền đặt cọc trư ớc. Ngư ời đó thua 9 lần liên ti ếp và thắ ng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên +thắng hay thua bao nhiêu? +Lời giải +Số tiền du khác đặ t trong m ỗi lần là m ột cấp số nhân có 120 000u= và công b ội 2q.= +Du khách thua trong 9 l ần đầu tiên nên t ổng s ố tiền thua là: +9 12 91 +102200001up +S u u ... up− +=+++= =− +Số tiền mà du khách thắ ng trong l ần thứ 10 là 9 +10 1 10240000 u u .p= = +Ta có 10 9 20 000 0 uS−= > nên du khách thắ ng 20 000. +Câu 15: Tìm m đ ể phương trình sau có 3 n ghiệm l ập thành CSN. +()()325 65 6 0 x mx mx m+− +− − = +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn ()() ()()32 25 65 6 0 5 6 0 +3x mx mx m x m x x +x+− +− − = ⇔− ++= +⇔= − +Để 3 nghi ệm lập thành CSN xét 3 TH +TH1: 2 632 6 6 +6mmm m +m=− < <− ⇒ = ⇔ ⇒ =−  +TH2: 432 433m mm− <− < ⇒ =− ⇔ =− +TH3: 93 29 22m mm <− <− ⇒ =− ⇔ =− +Vậy có 3 giá tr ịn của m th ỏa mãn +Câu 16: Một người bắt đầu đi làm đư ợc nhận được số tiền lương là 7000000đ m ột tháng. Sau 36 tháng +người đó đư ợc tăng lương 7%. H ằng tháng ngư ời đó ti ết kiệm 20% lương đ ể gửi vào ngân hàng +với lãi su ất 0,3%/tháng theo hình thứ c lãi kép. Bi ết rằng ngư ời đó nhậ n lương và o đầu tháng và +số tiền tiết kiệm đư ợc chuy ển ngay vào ngân hàng. +a) Hỏi sau 36 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? +b) Hỏi sau 60 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? +Lời giải +a) Đặt 7.000.000a= , 20%m= , 0,3%n= , 7%t= . +Hết tháng th ứ nhất, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là 1 +1 (1 ) T am n= + . +Hết tháng th ứ hai, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là +21( )(1 ) (1 ) (1 ) T T am n am n am n=+ += + + + . +Hết tháng th ứ 36, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là +36(1 ) 1(1 ) (1 ) ... (1 ) .(1 )nT am n am n am n am nn+−=+ ++ + ++ =+ +Thay s ố ta đư ợc 3653 297 648,73 T≈ . +b) Hết tháng th ứ 37, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là +37 36 36 (1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) .(1 ) T T a tm n T n a tm n=++ + = +++ + +Hết tháng th ứ 38, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn [ ]22 +38 37 36 (1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) T T a tm n T n a tm n n  = ++ + = +++ ++ +. +Hết tháng th ứ 60, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là +24 24 23 +36(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 ) +(1 ) 1 (1 ) (1 ) .(1 ) .T T n a tm n n n +nT n a tm nn = + + + + ++ +++ ++−= + ++ + +Thay s ố và tính ta đư ợc tổng s ố tiền tiết kiệm sau 60 tháng c ủa ngư ời đó là: +6094 602156,59 T≈ . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 51 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN +DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN +Câu 1: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? +A. 1; 1; 1; 1−− . B. 1; 3; 9;10− . C. 1; 0; 0; 0 . D. 32; 16; 8; 4 . +Câu 2: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? +A. 1; 3;9; 27;54−− . B. 1;2;4;8;16 . C. 1; 1;1; 1;1−− . D. 1; 2;4; 8;16−− . +Câu 3: Trong các dãy s ố cho dư ới đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? +A. 1; 2;3; 4;5 . B. 1;3; 6;9;12 . C. 2; 4; 6;8;10 . D. 2; 2; 2; 2; 2 . +Câu 4: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 1;2;3;4;5;6;... . B. 2;4;6;8;16;32;... . +C. 2; 3; 4; 5; 6; 7;...−−−−−− . D. 1;2;4;8;16;32;... . +Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 128 64 32 16 8; ; ; ; ; ...−− B. 22442; ; ; ; .... +C. 5678; ; ; ; ... D. 115 5 15; ; ; ; ... +Câu 6: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải là một c ấp số nhân? +A. 2 4 8 16; ; ; ;  B. 11 11; ; ; ; −−  +C. 2222123; ; ; 4 ;  D. ()3570 a; a ; a ; a ; a . ≠ +Câu 7: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? +A. 1248; ; ; ;  B. 23433 3 3; ; ; ;  +C. 114224; ; ; ;  D. 24611 1 1; ; ; ; π πππ +Câu 8: Dãy s ố 33n +nu.= + là m ột cấp số nhân vớ i: +A. Công bội là 3 và s ố hạng đầ u tiên là 1. B. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 1. +C. Công bội là 4 và s ố hạng đầ u tiên là 2. D. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 2. +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 52 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Cho dãy s ố ()nu với 352n +nu ..= Khẳng định nào sau đây đúng? +A. ()nu không ph ải là c ấp số nhân. +B. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 13 +C. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 115 +D. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5 +2q= và số hạng đầu 13u.= +Câu 10: Chọn cấp số nhân trong các dãy s ố sau: +A. 1; 0, 2; 0,04; 0,0008; ... B. 2; 22; 222;2222; ... +C. ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .xxxx D. 24 61 ; ; ; ; . . . xx x−− +Câu 11: Trong các s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân: +A. 1, 3,9, 27,81.−− B. 1 ,3 ,6 ,9 ,1 2 .−−−− C. 1 ,2 ,4 ,8 ,1 6 .−−−− D. 0,3,9, 27,81. +Câu 12: Xác đ ịnh x để 3 số 2 ; 1 ; 3xx x−+− theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: +A. Không có giá tr ị nào c ủa .x B. 1. x=± +C. 2.x= D. 3. x=− +Câu 13: Xác đ ịnh x để 3 số 2 1 ; ; 2 1x xx−+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: +A. 1.3x=± B. 3. x=± +3x=± D. Không có giá tr ị nào c ủa x. +Câu 14: Trong các dãy s ố ()nu sau, dãy nào là c ấp số nhân? +A. 21nunn= ++ . B. ()23n +nun.= + . +.u ,nu+= += ∀∈ D. ()214n +nu+= − . +Câu 15: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số nhân? +11.1, 1nnu +uu n  B. 1 +11.3 , 1nnu +u un  C. 1 +12.2 3, 1nnu +u un D. 12. +sin , 1 +     +Câu 16: Cho dãy s ố nu với 3.5 .2n +nu Khẳng định nào sau đây đúng? +A. nu không ph ải là c ấp số nhân. +B. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 13.2u +C. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 115.2u +D. nu là cấ p số nhân có công bội 5 +2q và số hạng đầu 13. u +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 53 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 17: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 21.3n nu B. 11. +3n nu C. 1.3nun D. 21.3nun +Câu 18: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 7 3.nun B. 7 3.n +nu C. 7.3nun D. 7.3 .n +Câu 19: Cho dãy s ố nu là một cấp số nhân vớ i *0, .nun Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số +A. 135; ; ; ...uuu B. 12 33 ; 3 ; 3 ; ...uu u +123111; ; ; ...uuu D. 1232; 2; 2; ... uuu +Câu 20: Trong các dãy s ố ()nusau đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? +A. nun=3. B. n +nu=2. C. nun=1. D. n +nu= +21 . +Câu 21: nu được cho bở i công thứ c nào dưới đây là s ố hạng tổng quát c ủa m ột cấp số nhân? +2n nu+= . B. 21 +2nun= − . C. 112n nu= − . D. 21 +2nun= + . +Câu 22: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là c ấp số nhân? +A. ()1n +nun= − . B. 2 +nun=. C. 2n +nu=. D. 3n nnu= . +Câu 23: Cho dãy s ố nucó số hạng tổng quát là 1*3.2 n +nun  . Chọn kế t luận đúng: +A. Dãy s ố là c ấp số nhân có s ố hạng đầu 112u . +B. Dãy s ố là cấ p số cộng có công sai 2d. +C. Dãy s ố là c ấp số cộng có s ố hạng đầu 16 u. +D. Dãy s ố là c ấp số nhân có công bội 3q. +Câu 24: Dãy nào sau đây là m ột cấp số nhân? +Câu 25: Cho dãy s ố: 1 11 11 ; ; ; ; 3 9 27 81−− − . Khẳng đị nh nào sau đây là sai ? +A. Dãy s ố không phả i là một c ấp số nhân. +B. Dãy s ố này là c ấp số nhân có 111; q=3= −−u . +C. Số hạng tổng quát. ()111.3−= −n +D. Là dãy s ố không tăng, không gi ảm. +Câu 26: Tập hợp các giá tr ị x thỏa mãn ,2 , 3x xx+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân là +A. {}0;1. B. ∅. C. {}1. D. {}0 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 54 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 27: Có bao nhiêu giá tr ị nguyên dương c ủa x để ba số 1; ; 2xx+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số +A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. +Câu 28: Tìm tấ t cả các giá tr ị của x để ba số 2 1, , 2 1x xx−+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. +3x=± B. 1 +3x=± C. 3 x=± D. 3 x=± +Câu 29: Trong các phát bi ểu sau, phát bi ểu nào là sai ? +A. Dãy s ố có t ất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số nhân. +B. Dãy s ố có tất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số cộng. +C. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố tăng. +D. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố dương. +Câu 30: Xác đ ịnh x dương để 23−x ; x; 23+x lập thành c ấp số nhân. +A. 3x=. B. 3 x= . +C. 3 x=± . D. không có giá tr ị nào c ủax. +Câu 31: Giả sử sin +6α, cosα, tanα theo thứ tự đó là m ột cấp số nhân. Tính cos 2α. +2. B. 3 +2− . C. 1 +2. D. 1 +Câu 32: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là 23411 1 1; ; ; ;...3333Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là +3n− B. 21 +3n+. C. 1 +3n. D. 11 +Câu 33: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Số hạng tổng quát nu ()2n≥ bằng +Câu 34: Cho dãy s ố ()nu biết 1 * +13,3nnunNuu+=∀∈ =. Tìm s ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố ()nu. +A. 3=n +nu . B. 1+=n +nun . C. 13+=n +nu . D. 13−=n +Câu 35: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 12 2 +2,nnu uu u +u un+= −++ += ∀∈ . Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của n để 20212nu≥ . +A. 2021 . B. 1012 . C. 2022 . D. 1011 . +DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN +Câu 36: Cho cấp số nhân ()nuvới 11u= và 22 u=. Công bội của cấp số nhân đã cho là +2q=. B. 2q=. C. 2 q=− . D. 1 +2q=− . +Câu 37: Cho cấp số nhân ()nu với 13u= và 29u=. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng +A. 6−. B. 1 +3. C. 3. D. 6. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 55 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 38: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và 212u=. Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng +A. 9. B. 9−. C. 1 +4. D. 4. +Câu 39: Cho c ấp số nhân ()nuvới 13u= và 215. u= Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho bằ ng +A. 12− . B. 1 +5. C. 5. D. 12. +Câu 40: Cho c ấp số nhân ()nu với 12=u và 26=u . Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng +A. 3. B. 4−. C. 4. D. 1 +Câu 41: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 8. B. 9. C. 6. D. 3 +Câu 42: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 6. B. 9. C. 8. D. 2 +Câu 43: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 4q=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 64. B. 81. C. 12. D. 3 +Câu 44: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 +2u= và 616u=. +2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 +2q=− . +Câu 45: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 11u=, 464u= . Tính công bội q của cấp số nhân đã cho +A. 4q=. B. 4 q=− . C. 21q= . D. 22q= . +Câu 46: Cho cấp số nhân nu có 1 2 u và 5 162 u .Công bội q bằng: +A. 3 q . B. 3q. C. 3; 3qq  . D. 2 q . +Câu 47: Cho c ấp số nhân ()nu có 12u= và 454u= . Giá tr ị của công bội q bằng +A. 3. B. 9. C. 27. D. 3−. +Câu 48: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Tìm s ố hạng thứ 4 của cấp số nhân? +A. 24. B. 54. C. 162. D. 48. +Câu 49: : Cấp số nhân ()nu có 459, 81uu= = có công bội là +A. 3. B. 72. C. 18. D. 9. +Câu 50: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 +2u= và 616u=. +2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 +2q=− . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 56 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 51: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và 6486 u= . Công bội q bằng +A. 3q=. B. 5q=. C. 3 +2q=. D. 2 +Câu 52: Cho c ấp số nhân ()nu với 171; u 322= −= −u . Tìm q ? +2=±q . B. 2=±q . C. 4=±q . D. 1=±q . +Câu 53: Biết ba số 2; 8;xx theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Giá tr ị của x bằng +A. 4 x B. 5 x C. 2 x D. 1 x +Câu 54: Cho c ấp số nhân ()nucó công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các h ệ thức sau: +A. 2 1.++=k k k u u u B. +21 1+−+=k k +ku uu . +ku uq−= D. ()1 1.kuu k q=+− +Câu 55: Cho dãy s ố ()nuxác đ ịnh bở i: ++ n n u uu +. Chọn hệ thức đúng: +A. ()nu là cấ p số nhân có công bội 1.10q=− B. 11( 2) .10n nu−= − +21 1+−+=n n +nu uu ()2n≥. D. 1 1.+−=n n n uu u ()2n≥. +Câu 56: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 +3q=. Tính 5?u +A. 527.16u−= B. 516.27u−= C. 516.27u= D. 527.16u= +Câu 57: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 +3q=. Số +24396− là số hạng th ứ mấy của cấ p số này? +A. Thứ 5. B. Thứ 6. +C. Thứ 7. D. Không ph ải là s ố hạng của cấp số. +Câu 58: Cho c ấp số nhân có 21 +4u=; 516u=. Tìm q và 1u. +A. 111; .22qu= = B. 111; .22qu= −= − C. 114; .16qu= = D. 114; .16qu= −= − +Câu 59: Với x là số nguyên dương, ba s ố 2,3 3 ,5 5xx x++ theo thứ tự là ba s ố hạng liên tiế p của một +cấp số nhân. S ố hạng tiếp theo c ủa cấp số nhân đó là +A. 250 +3− . B. 250 +3. C. 250. D. 250− . +Câu 60: Cho ba số thực ,,xyz trong đó 0x≠. Biết rằng ,2 ,3xyz lập thành cấp số cộng và ,,xyz lập +thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó. += B. 1 += C. 2q= D. 1q= +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 57 +Sưu t ầm và biên so ạn DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN +Câu 61: Cho c ấp số nhân ()nu có 1 2 u=− và công bội 3q=. Số hạng 2u là: +A. 2 6 u=− . B. 26 u=. C. 21u=. D. 2 18 u=− . +Câu 62: Cho c ấp số nhân ()nu có 52 u= và 96 u=. Tính 21u. +A. 18. B. 54. C. 162. D. 486. +Câu 63: Cho c ấp số nhân ()nucó số hạng đầ u 12u= và công bội 5q=. Giá tr ị của 68uu bằng +Câu 64: Cho c ấp số nhân ()nu có 13u=, công bội 2q=. Ta có 5u bằng +A. 24. B. 11. C. 48. D. 9. +Câu 65: Cho c ấp số nhân ()nu có công bội dương và 21 +4u=, 44 u=. Giá tr ị của 1ulà +6u=. B. 11 +16u= . C. 11 +16u=− . D. 11 +Câu 66: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị 2019u bằng +Câu 67: Cho c ấp số nhân ()1; 1, 2nuu q= = . Hỏi số 1024 là số hạng th ứ mấy? +A. 11. B. 9. C. 8. D. 10. +Câu 68: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 15u= và công bội 2 q=− . Số hạng thứ sáu c ủa ()nu là +A. 6320 u= . B. 6 160 u=− . C. 6 320 u=− . D. 6160u= . +Câu 69: Tìm s ố hạng đầ u 1u của cấ p số nhân ()nu biết rằng 123 168 uuu++= và 456 21 uuu++= +A. 124u= . B. 11334 +11u= . C. 196u= . D. 1217 +Câu 70: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 += +. Tính s ố hạng thứ 2018 của dãy s ố trên +A. 2017 +2018 6.2 5 u= − . B. 2018 +2018 6.2 5 u= − . C. 2017 +2018 6.2 1 u= + . D. 2018 +2018 6.2 5 u= + . +Câu 71: Cho ()nu là cấp số nhân, công bội 0.q> Biết 131, 4 .uu= = Tìm 4u. +2. B. 2. C. 16. D. 8. +Câu 72: Cho c ấp số nhân (),1≥nun với công b ội 2q= và có s ố hạng th ứ hai 25.=u Số hạng th ứ 7 của +cấp số nhân là +A. 7320=u . B. 7640=u . C. 7160=u . D. 780=u . +Câu 73: Cho m ột cấp số nhân có s ố hạng th ứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu tiên. T ổng hai s ố hạng đầ u tiên +là 34. S ố hạng thứ 3 của dãy s ố có giá tr ị bằng: +A. 1. B. 512. C. 1024 . D. 32. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 58 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 74: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 112u=, 3 +u= . Tìm 9u. +2187u= . B. 94 +6563u= . C. 978732u= . D. 94 +2187u= . +Câu 75: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầu tiên là 51n +nS= − với 1, 2,...n= . Tìm s ố hạng đầu +1u và công bội q của cấ p số nhân đó? +A. 15u=, 4q=. B. 15u=, 6q=. C. 14u=, 5q=. D. 16u=, 5q=. +Câu 76: Cho c ấp số nhân ()nu biết 42 +−=. Tìm s ố hạng đầu 1u và công bội q của cấ p số nhân +A. 19u=; 2q=. B. 19u=; 2 q=− . C. 1 9 u=− ; 2 q=− . D. 1 9 u=− ; 2q=. +Câu 77: Xen gi ữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có 13u=. Khi đó 5u là: +A. 72. B. 48−. C. 48±. D. 48. +Câu 78: Cấp số nhân ()nu có 20 17 +158.272uu ++= Tìm 1u, biết rằng 1100u≤ . +A. 116.u= B. 12.u= C. 1 16. u=− D. 1 2. u=− +Câu 79: Cho c ấp số nhân 1 1 u=− , 60,00001 u= . Khi đó q và số hạng tổng quát là? +10q= ,11 +10n nu−−= . B. 1 +10q−= ,110n +nu−=− . +10q−= ,() +n nu−−= . D. 1 +10q= ,11 +10n nu−= . +Câu 80: Cho c ấp số nhân nu có 21 +4u=, 516u= . Tìm công bội q và số hạng đầu 1u. +2q=, 11 +2u=. B. 1 +2q=− , 11 +2u=− . C. 4 q=− , 11 +16u=− . D. 4q=, 11 +16u= . +Câu 81: Cho c ấp số nhân có s ố hạng đầu 1 2, u=− công bội 3 +4q=. Số 81 +128− là số hạng th ứ mấy của cấp +số này? +A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. +Câu 82: Cho dãy s ố 4,12,36,108,324,... . Số hạng thứ 10 c ủa dãy s ố đó là? +A. 73872 . B. 77832 . C. 72873 . D. 78732 . +Câu 83: Cho t ứ giác ABCD có bốn góc t ạo tành c ấp số nhân có công bội 2q=, góc có s ố đo nhỏ nhất +trong bốn góc đó là: +A. 01 B. 030 C. 012 D. 024 +Câu 84: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 135 +325uuu +uu−+= ++=. Tính 3.u +A. 315u=. B. 325 u= . C. 310u=. D. 320 u= . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 59 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 85: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầ u tiên l à 61n +nS= − . Tìm số hạng thứ năm của c ấp +số nhân đã cho. +A. 120005. B. 6840. C. 7775. D. 6480. +Câu 86: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 +11.25nnu += + Tìm s ố hạng thứ 2020 của dãy. +A. 2020 +2020 3.2 5. u= − B. 2019 +2020 3.2 5. u= + C. 2019 +2020 3.2 5. u= − D. 2020 +2020 3.2 5. u= + +Câu 87: Số hạng đầ u và công bội q của CSN vớ i 7 105, 135 uu= −= là: +A. 15,3729uq= =− . B. 15,3729uq= −= . C. 15,3729uq= = . D. 15,3729uq= −= − . +Câu 88: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12u=; 12 31nnuu n−= +− . Tìm s ố hạng th ứ 2019 của dãy +A. 2019 +20195.2 6062. u= − B. 2019 +20195.2 6062. u= + +C. 2020 +20195.2 6062. u= − D. 2020 +20195.2 6062. u= + +Câu 89: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 11 2341; , 12 32         nnnuu u nnn. Giá tr ị của 50u gần nhấ t +với số nào dư ới đây? +A. 312540600 . B. 312540500 . C. 212540500 . D. 212540600 . +DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN +Câu 90: Cho c ấp số nhân ()nu có 13 u=− và 2 q=− . Tính tổng 10 số hạng đầ u tiên c ủa cấp số nhân. +A. 10 511 S=− . B. 101023 S= . C. 101025 S= . D. 10 1025 S=− . +Câu 91: Cho m ột cấp số nhân có các s ố hạng đều không âm thỏa mãn 26 u=, 424 u= . Tính t ổng c ủa 12 +số hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân đó. +Câu 92: Cho dãy ()nu với 112n +nu= +, *n∀∈. Tính 2019 1 2 3 2019 ... S uuu u=++++ , ta đư ợc kết quả +A. 2019120202− . B. 4039 +2. C. 2019120192+ . D. 6057 +Câu 93: Cho cấp số nhân ()nu có 312u= , 548 u= , có công b ội âm. T ổng 7số hạng đầu của cấn số nhân +đã cho bằ ng +A. 129. B. 129− . C. 128. D. 128− . +Câu 94: Cho ()nu là cấp số nhân, đặt 12 ...nnS uu u=+++. Biết 234; 13 SS= =và 20u<, giá trị 5S bằng +A. 2. B. 181 +16. C. 35 +16. D. 121. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 60 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 95: Giá tr ị của tổng 2 20181 3 3 ... 3S=++ ++ bằng +A. 201931 +2S−= . B. 201831 +2S−= . C. 202031 +2S−= . D. 201831 +2S−=− . +Câu 96: Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .4b +Sa= + + ++ =+ +Tính .4bPa= + +A. 1.P B. 2.P C. 3.P D. 4.P +Câu 97: Cho cấp số nhân ()nu có 24 S= và 313.S= Tìm 5.S +A. 5121S= hoặc 5181.16S= B. 5121S= hoặc 535.16S= +C. 5114S= hoặc 5185.16S= D. 5141S= hoặc 5183.16S= +Câu 98: Cho cấp số nhân ()nu có 18u= và biểu thức 32 14 2 15uu u+− đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 10.S +A. ()11 +10 924 1 += . B. ()10 +10 824 1 += . C. 10 +10 621 +3.2S−= . D. 11 +10 721 +3.2S−= +Câu 99: Cho cấp số nhân ()nu có 12,u= công bội dương và biểu thức 4 +71024uu+ đạt giá trị nhỏ nhất. +Tính 11 12 20 ... . Su u u= + ++ +A. 2046.S= B. 2097150.S= C. 2095104.S= D. 1047552.S= +Câu 100: Cho cấp số nhân ()nu có 46 +uu+= − ++=. Tính 21.S +A. ()21 +211312S= + B. 21 +213 1. S= − C. 21 +211 3. S= − D. ()21 +2113 1.2S= −+ +Câu 101: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi nS là tổng c ủa n số hạng đầu tiên +của cấp số nhân đó. M ệnh đề nào sau đây đúng? +A. 14.n +nS B. 114 + C. 41.3n +nS D.  44 1 +Câu 102: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 11; ; 1; ; 2048.42 Tính t ổng S của tất cả các s ố hạng +của cấp số nhân đã cho. +A. 2047,75. S B. 2049,75. S C. 4095,75. S D. 4096,75. S +Câu 103: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn () 3,1555... 3,1 5= viết dưới dạng số hữu tỉ là: +20. B. 142 +45. C. 1 +18. D. 7 +Câu 104: Tính t ổng ()1 +211 11 ... 1 ...66 6n +nS−= −+ − + +− + +6S= B. 6 +7S=− C. 6 +7S= D. 7 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 61 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 105: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân s ố +25. B. 12 +99. C. 1 +11. D. 3 +Câu 106: Viết thêm b ốn số vào gi ữa hai s ố 160 và 5 để được một cấp số nhân. T ổng các s ố hạng của cấp +số nhân đó là +A. 215. B. 315. C. 415. D. 515. +Câu 107: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 123 +uu++= +−=. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ()nu là +A. 81093S= . B. 83820S= . C. 89841 S= . D. 83280S= . +Câu 108: Tổng 211 1 +33 3nS= + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ có giá tr ị là: +9. B. 1 +4. C. 1 +3. D. 1 +Câu 109: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bởi 12a=, 1 2nnaa+=− , 1n≥, n∈. Tính t ổng c ủa 10 số hạng đầu +tiên c ủa dãy s ố. +A. 2050 +3. B. 2046 . C. 682− . D. 2046− . +Câu 110: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu là 1 +2, số hạng th ứ tư là 32 và +số hạng cu ối là 2048 ? +A. 1365 +2. B. 5416 +2. C. 5461 +2. D. 21845 +Câu 111: Một cấp số nhân ()nu có n số hạng, số hạng đầu 17u=, công bội 2q=. Số hạng thứ n bằng +1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ()nu? +A. 5377 . B. 5737 . C. 3577 . D. 3775 . +Câu 112: Tính t ổng c ấ số nhân lùi vô hạ n ()21 11 1, , ,..., ,...24 8 2n−−− là. +A. 1−. B. 1 +2. C. 1 +4−. D. 1 +Câu 113: Giá tr ị của tổng 7 77 777 ... 77...7   bằng +A. 2018 7010 1 20189 . B. 20187 10 10201899 . +C. 20197 10 10201899 . D. 2018 710 19. +Câu 114: Giá tr ị của tổng 4 44 444 ... 44...4+ + ++ bằng +A. ()2018 4010 1 20189−+ . B. 20194 10 10201899−− . +C. 20194 10 10201899−+ . D. ()2018 410 19−. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 62 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 115: Cho dãy số xác định bởi 11u=, * +1 2112 ; 3 32nnnuu nnn+− = +∈++. Khi đó 2018u bằng: +A. 2016 +2018 201721 +3 2019u= + . B. 2018 +2018 201721 +3 2019u= + . +C. 2017 +2018 201821 +3 2019u= + . D. 2017 +2018 201821 +3 2019u= + . +Câu 116: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i: 11 +3U= và 11.3nnnUUn++= . Tổng 3 10 2 +1 ...2 3 10UU USU= + + ++ +A. 3280 +6561. B. 29524 +59049. C. 25942 +59049. D. 1 +Câu 117: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 +2 1; 2nnu +uu n−= += +≥. Tổng 1 2 20 ... Suu u=+++ bằng +A. 202 20.− B. 212 22. C. 202. D. 212 20.− +DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG +Câu 118: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba +số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. +A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . +Câu 119: Ba s ố dương ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộn g v à c ó t ổng b ằng 30. Biết +2; 2; 18xyz+++ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. Tx z= + +A. 328.T= B. 424.T= C. 296.T= D. 428.T= +Câu 120: Ba số ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng tăng có t ổng b ằng 24. Nếu cộng thêm l ần +lượt các s ố 1, 4, 13 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Tính giá tr ị +biểu thứ c 2 22Px y z=++ . +A. 200. B. 210. C. 220. D. 190. +Câu 121: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba +số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. +A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . +Câu 122: Cho ba s ố a, b, c là ba s ố liên tiế p của m ột cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng s ố thứ nhất +thêm 1, tăng s ố thứ hai thêm 1 và tăng s ố thứ ba thêm 3 thì đư ợc ba s ố mới là ba s ố liên tiế p của +một cấp số nhân. Tính () abc++ . +A. 12. B. 18. C. 3. D. 9. +Câu 123: Cho ba s ố x;5;2y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng và ba s ố x;4;2y theo thứ tự lập thành c ấp +số nhân thì 2xy− bằng +A. 2 10xy−= . B. 29xy−= . C. 26xy−= . D. 28xy−= . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 63 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 124: Tính t ổng c ủa cấ p số nhân lùi vô hạ n ()nu biết 11u= và 134,,uuu theo thứ tự là ba s ố hạng liên +tiếp trong m ột cấp số cộng. +2+. B. 51 +2−. C. 1 +51−. D. 2. +Câu 125: Ba số phân bi ệt có t ổng là 217 có th ể coi là các s ố hạng liên tiế p của một cấp số nhân, cũng có +thể coi là s ố hạng th ứ 2, thứ 9, thứ 44 của m ột cấp số cộng. H ỏi phả i lấy bao nhiêu s ố hạng +đầu của cấ p số cộng này để tổng c ủa chúng b ằng 820? +A. 20. B. 42. C. 21. D. 17. +DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC +Câu 126: Người ta thiế t kế một cái tháp 11 tầng. Di ện tích b ề mặt trên c ủa mỗi tầng bằng nử a diện tích +của m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 bằng nửa diện tích c ủa đế +tháp. Tính di ện tích m ặt trên cùng. +A. 28 .m B. 26 .m C. 210 .m D. 212 .m +Câu 127: Một hình vuông ABCD có cạnh AB a=, diện tích 1S. Nối 4 trung đi ểm 1A, 1B, 1C, 1D theo +thứ tự của 4 c ạnh AB, BC, CD, DA ta đư ợc hình vuông thứ hai là 111 1ABCD có di ện tích 2S. +Tiếp tục như thế ta đư ợc hình vuông thứ ba 222 2ABCD có di ện tích 3Svà cứ tiếp tục như th ế, ta +được diện tích 45, ,...SS Tính 1 2 3 100 ... SSS S S=+ +++ . +A. 100 +99 221.2Sa−= B. ()100 += C. ()2 100 += D. ()2 99 +Câu 128: Dân s ố tỉnh Bình Phư ớc theo đi ều tra vào ngày 1/1/ 2011 là 905300 người. Nếu duy trì t ốc độ +tăng trư ởng dân s ố không đổi là 10% một năm thì đ ến 1/1/ 2020 dân s ố của tỉnh Bình Phư ớc là +bao nhiêu? +A. 22582927 . B. 02348115 . C. 2134650 . D. 11940591 . +Câu 129: Bạn A th ả quả bóng cao su t ừ độ cao 10m theo phương thẳ ng đứng. M ỗi khi ch ạm đất nó l ại nảy +lên theo phương th ẳng đứng có độ cao b ằng 3 +4 độ cao trư ớc đó. Tính t ổng quãng đư ờng bóng đi +được đến khi bóng dừ ng hẳn. +A. 40m. B. 70m. C. 50m. D. 80m. +Câu 130: Một loại vi khuẩ n sau m ỗi phút s ố lượng tăng g ấp đôi bi ết rằng sau 5 phút ngư ời ta đ ếm đư ợc +có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có đư ợc 2048000 con. +A. 10. B. 11. C. 26. D. 50. +Câu 131: Trên m ột bàn c ờ vua kích thư ớc 8x8 ngư ời ta đ ặt số hạt thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất đặt +một hạt thóc, ô thứ hai đ ặt hai h ạt thóc, các ô ti ếp theo đặ t số hạt thóc gấp đôi ô đứ ng liền kề +trước nó. H ỏi ph ải tối thi ểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng s ố hạt thóc t ừ ô đầu tiên đ ến ô đó l ớn hơn +20172018 hạ t thóc. +A. 26 B. 23 C. 24 D. 25 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 64 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 132: Cho tam giác ABC cân t ại đỉnh A, biết độ dài cạ nh đáy BC, đường cao AH và cạ nh bên AB +theo thứ tự lập thành c ấp số nhân vớ i công bội q. Giá tr ị của 2q bằng +2+. B. 22 +2−. C. 21 +2+. D. 21 +Câu 133: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bởi 115, . 3nn a a qa+= = + với mọi 1n≥, trong đó q là hằng số, 0q≠ +, 1q≠. Biết công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố viết được dưới dạng 1 +1 1.1n +nqaqqαβ− +−−= +− +. Tính 2αβ+ ? +A. 13. B. 9. C. 11. D. 16. +Câu 134: Cho bốn s ố , ab, , cd theo thứ tự đó tạo thành c ấp số nhân vớ i công b ội khác 1. Biết tổng ba +số hạng đầu bằng 148 +9, đồng th ời theo th ứ tự đó chúng l ần lượt là số hạng th ứ nhất, thứ tư và th ứ +tám c ủa m ột cấp số cộng. Tính giá tr ị biểu thứ c T abcd=−+− . +A. 101 +27T= . B. 100 +27T= . C. 100 +27T=− . D. 101 +27T=− . +Câu 135: Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nư ớc Italia ngư ời ta th ả một qu ả bóng cao su chạ m xu ống +đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng l ại nảy lên đ ộ cao b ằng 1 +10 độ cao mà qu ả bóng đ ạt trước +đó. T ổng đ ộ dài hành trình c ủa qu ả bóng đư ợc thả từ lúc ban đầu cho đế n khi nó nằ m yên trên +mặt đất thuộc khoả ng nào trong các kho ảng sau đây? +A. () 67 ;69mm . B. () 60 ;63mm . C. () 64 ;66mm . D. () 69 ;72mm . +Câu 136: Để trang trí cho quán trà s ữa sắp mở cửa của mình, bạ n Việt quy ết định tô màu m ột mả ng tư ờng +hình vuông c ạnh bằ ng 1m. Phầ n tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ đư ợc đánh s ố lần lượt là +1, 2,3...n,.. , trong đó c ạnh của hình vuông k ế tiếp bằng m ột nửa cạnh hình vuông trư ớc đó. Gi ả +sử quá trình tô màu c ủa Vi ệt có th ể diễn ra nhi ều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đ ến hình vuông thứ +mấy thì di ện tích c ủa hình vuông đư ợc tô bắ t đầu nhỏ hơn ()2 1 +1000m? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 65 +Sưu t ầm và biên so ạn +A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. +Câu 137: Có bao nhiêu giá tr ị thực của tham s ố m để phương trình ()()() 13 0x x xm− − −= có 3 nghi ệm +phân bi ệt lập thành c ấp số nhân tăng? +A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. +Câu 138: Biết rằng tồn tại đúng hai gi á trị của tham s ố m để phương tr ình ()32 27 2 6 80x x m mx− + + −= +có ba nghi ệm phân bi ệt lập thà nh m ột cấp số nhân. T ính tổng l ập phương c ủa hai gi á trị đó. +A. 342− . B. 216− . C. 344. D. 216. +Câu 139: Cho dãy s ố ()nu là m ột cấp số nhân có s ố hạng đ ầu 11u=, công bội 2q=. Tính t ổng +1 5 2 6 3 7 20 24111 1... Tuu uu uu u u= + + ++−−− −. +15.2−. B. 20 +15.2−. C. 19 +15.2−. D. 20 +Câu 140: Với hình vuông 111 1ABCD như hình vẽ bên, cách tô màu như ph ần gạch sọc đư ợc gọi là cách tô +màu “đ ẹp”. M ột nhà thi ết kế tiến hành tô màu cho m ột hình vuông như hình bên, theo quy trình +Bước 1: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 111 1ABCD . +Bước 2: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 222 2ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình +vuông 111 1ABCD thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ . +Bước 3: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 333 3ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình +vuông 222 2ABCD thành 9 phần bằng nhau. C ứ tiếp tục như vậ y. Hỏi cần ít nhấ t bao nhiêu bư ớc +để tổng di ện tích ph ần được tô màu chi ếm 49,99% . +A. 9 bước. B. 4 bước. C. 8 bước. D. 7 bước. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 66 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 141: Cho hình vuông ()1C có cạ nh bằ ng a. Ngư ời ta chia m ỗi cạnh của hình vuông thành bốn phầ n +bằng nhau và nối các đi ểm chia m ột cách thích hợ p để có hình vuông ()2C. +Từ hình vuông ()2C lại tiếp tục làm như trên ta nh ận được dãy các hình vuông 1C,2C, 3C,., +3T= , tính a? +A. 2. B. 5 +2. C. 2. D. 22 . +Câu 142: Cho năm s ố a, b, c, d, e tạo thành m ột cấp số nhân theo thứ tự đó và các s ố đều khác 0, biết +1111110abcde++++= và tổng c ủa chúng b ằng 40. Tính giá tr ị S với S abcde= . +A. 42S=. B. 62S=. C. 32S=. D. 52S=. +Câu 143: Cho dãy s ố ()nuthỏa mãn 1 12 2 +3 nnu uu u +u un++ −=+ += ∀∈ . Giá tr ị nhỏ nhất của n để 20182.3nu≥ bằng: +A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2010 +Câu 144: Tìm tấ t cả các giá tr ị của tham s ố m để phương trình sau có ba nghi ệm phân bi ệt lập thành m ột +cấp số nhân: ()32 27 2 6 80x x m mx .− + + −= +A. 7 m.=− B. 1m.= +C. 1 m=− hoặc 7m.= D. 1m= hoặc 7 m.=− +Câu 145: Bốn góc c ủa một tứ giác t ạo thành c ấp số nhân và góc l ớn nhấ t gấp 27 l ần góc nhỏ nhất. Tổng +của góc l ớn nhấ t và góc bé nhấ t bằng: +A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 . +Câu 146: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên c ủa m ỗi tầng bằng nữa diện +tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa +đế tháp. Tính di ện tích m ặt trên cùng. +A. 26.m B. 28.m C. 210 .m D. 212 .m +Câu 147: Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất +bằng 1 +9 số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó. +A. 00 0 05 ,15 , 45 , 225 . B. 0 00 09 , 27 ,81 , 243 . C. 000 07 , 21 ,63 , 269 . D. 000 08 ,32 ,72 , 248 . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 67 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 148: Cho cấp số nhân ()na có 17,a=6224 a= và 3577.kS= Tính giá trị của biểu thức ()1.k Tk a= + +A. 17920.T= B. 8064.T= C. 39424.T= D. 86016.T= +Câu 149: Các s ố 6 , 5 2 , 8xy xy x y theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng; đ ồng th ời các s ố +1, 2 ,   3x y xy theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. xy +A. 2240. xy B. 2225. xy C. 22100. xy D. 2210. xy +Câu 150: Ba số ; ; xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân vớ i công bội q khác 1; đồng th ời các s ố +; 2 ; 3x yz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng v ới công sai khác 0. Tìm giá tr ị của q. +A. 1.3q B. 1.9q C. 1.3q D. 3. q +Câu 151: Các s ố 6,xy+ 5x 2 , y+ 8x y+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng, đồng th ời, các s ố 5,3x+ +1,y−2x 3 y− theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Hãy tìm x và $y.$ +A. 3, 1 xy= −= − hoặc 31,.88xy= = B. 3, 1xy= = hoặc 31,.88xy= −= − +C. 24, 8xy= = hoặc 3, 1 xy= −= − .D. 24, 8 xy= −= − hoặc 3, 1xy= = +Câu 152: Ba số ,,xyz lập thành m ột cấp số cộng và có t ổng b ằng 21. N ếu lần lượt thêm các s ố 2;3 ;9 vào +ba số đó thì đư ợc ba s ố lập thành m ột cấp số nhân. Tính 2 22. Fx y z=++ +A. 389.F= hoặc 395.F= B. 395.F= hoặc 179.F= +C. 389.F= hoặc 179.F= D. 441F= hoặc 357.F= +Câu 153: Cho bố số ,,,abcd biết rằng ,,abc theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân công bội 1q; còn +,,bcd theo thứ tự đó lập thành c ấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad và 12. bc +A. 18 73.24q B. 19 73.24q C. 20 73.24q D. 21 73.24q +Câu 154: Một ngư ời đem 100 tri ệu đồng đi g ửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, m ỗi tháng lãi su ất là 0, 7% +số tiền mà ngư ời đó có. H ỏi sau khi hế t kỳ hạn, ngư ời đó đư ợc lĩnh về bao nhiêu ti ền? +A. ()5 810 . 0,007 B. ()5 810 . 1,007 C. ()6 810 . 0,007 D. ()6 810 . 1,007 +Câu 155: Tỷ lệ tăng dân s ố của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân c ủa tỉnh M hi ện nay là 2 tri ệu ngư ời. Nếu +lấy kết quả chính xác đế n hàng nghìn thì sau 9 năm nữ a số dân c ủa tỉnh M s ẽ là bao nhiêu? +A. 10320 nghìn ngư ời. B. 3000 nghìn ngư ời. C. 2227 nghìn ngư ời. D. 2300 nghìn ngư ời. +Câu 156: Tế bào E. Coli trong đi ều kiện nuôi c ấy thích hợ p cứ 20 phút l ại nhân đôi m ột lần. Nếu lúc đ ầu +có 1210 tế bào thì sau 3 gi ờ sẽ phân chia thành bao nhiêu t ế bào? +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 1 +Sưu t ầm và biên so ạn +BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN +DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN +Câu 1: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? +A. 1; 1; 1; 1−− . B. 1; 3; 9;10− . C. 1; 0; 0; 0 . D. 32; 16; 8; 4 . +Lời giải +Nếu ()nulà cấp số nhân vớ i công bội q ta có: 1 +nuu uq qu+ ++= ⇒= . +1; 1;1; 1−− là cấ p số nhân vớ i 1 q=− . +1 ;3 ;9;10− không là c ấp số nhân. +1 ;0 ;0 ;0 là cấ p số nhân vớ i 0q=. +32;16;8; 4 là cấ p số nhân vớ i 1 +Câu 2: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? +A. 1; 3;9; 27;54−− . B. 1;2;4;8;16 . C. 1; 1;1; 1;1−− . D. 1; 2;4; 8;16−− . +Lời giải +Dãy 1;2;4;8;16 là cấp số nhân với công bội 2q=. +Dãy 1; 1;1; 1;1−− là cấp số nhân với công bội 1 q=− . +Dãy 1; 2;4; 8;16−− là cấp số nhân với công bội 2 q=− . +Dãy 1; 3;9; 27;54−− không phải là cấp số nhân vì 3 1.( 3);( 27).( 3) 81 54−= − − − = ≠ . +Câu 3: Trong các dãy s ố cho dư ới đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? +A. 1; 2;3; 4;5 . B. 1;3; 6;9;12 . C. 2; 4; 6;8;10 . D. 2; 2; 2; 2; 2 . +Lời giải +Ta th ấy ở đáp án D có 12345 2 uuuuu= = = = = nên đây là c ấp số nhân vớ i công bội 1q=. +Câu 4: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +CHƯƠNG +DÃY S Ố +CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN +HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 2 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 1;2;3;4;5;6;... . B. 2;4;6;8;16;32;... . +C. 2; 3; 4; 5; 6; 7;...−−−−−− . D. 1;2;4;8;16;32;... . +Lời giải +Nhận thấ y 3 2 +uu≠ nên các dãy s ố ở đáp án A, B và C không phả i l�� c ấp số nhân. +Riêng đối vớ i dãy 1,2,4,8,16,32,... ở đáp án D thỏa mãn: * +12.nnu un+= ∀∈ . +Vậy dãy s ố 1,2,4,8,16,32,... là cấ p số nhân vớ i 11u= và công bội 2q=. +Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 128 64 32 16 8; ; ; ; ; ...−− B. 22442; ; ; ; .... +C. 5678; ; ; ; ... D. 115 5 15; ; ; ; ... +Câu 6: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải là một c ấp số nhân? +A. 2 4 8 16; ; ; ;  B. 11 11; ; ; ; −−  +C. 2222123; ; ; 4 ;  D. ()3570 a; a ; a ; a ; a . ≠ +Câu 7: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? +A. 1248; ; ; ;  B. 23433 3 3; ; ; ;  +C. 114224; ; ; ;  D. 24611 1 1; ; ; ; π πππ +Câu 8: Dãy s ố 33n +nu.= + là m ột cấp số nhân vớ i: +A. Công bội là 3 và s ố hạng đầ u tiên là 1. +B. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 1. +C. Công bội là 4 và s ố hạng đầ u tiên là 2. +D. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 2. +Câu 9: Cho dãy s ố ()nu với 352n +nu ..= Khẳng định nào sau đây đúng? +A. ()nu không ph ải là c ấp số nhân. +B. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 13 +C. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 115 +D. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5 +2q= và số hạng đầu 13u.= +Câu 10: Chọn cấp số nhân trong các dãy s ố sau: +A. 1; 0, 2; 0,04; 0,0008; ... B. 2; 22; 222;2222; ... +C. ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .xxxx D. 24 61 ; ; ; ; . . . xx x−− +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 3 +Sưu t ầm và biên so ạn Dãy s ố : 24 61 ; ; ; ; . . . xx x−− là cấ p số nhân có s ố hạng đầu 11; u= công bội 2qx=− . +Câu 11: Trong các s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân: +A. 1, 3,9, 27,81.−− B. 1 ,3 ,6 ,9 ,1 2 .−−−− C. 1 ,2 ,4 ,8 ,1 6 .−−−− D. 0,3,9, 27,81. +Lời giải +Câu 12: Xác đ ịnh x để 3 số 2 ; 1 ; 3xx x−+− theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: +A. Không có giá tr ị nào c ủa .x B. 1. x=± +C. 2.x= D. 3. x=− +Lời giải +Ba s ố 2 ; 1 ; 3xx x−+− theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân()()()223 1x xx⇔− −=+ +22 3 70xx⇔ − += +Câu 13: Xác đ ịnh x để 3 số 2 1 ; ; 2 1x xx−+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: +A. 1.3x=± B. 3. x=± +3x=± D. Không có giá tr ị nào c ủa x. +Lời giải +Ba số: 2 1 ; ; 2 1x xx−+ theo thứ tự lập thành c ấp số nhân ()()22 12 1xxx⇔ − +=2241xx⇔ −= +231x⇔=1. +3x⇔= ± +Câu 14: Trong các dãy s ố ()nu sau, dãy nào là c ấp số nhân? +A. 21nunn= ++ . B. ()23n +nun.= + . +.u ,nu+= += ∀∈ D. ()214n +nu+= − . +Lời giải +nu nn,nu nn+++= ∀∈++, không ph ải là hằ ng số. Vậy ()nukhông phả i là c ấp số nhân. +133 3 3 +nn. n u,nu n. n+ ++++= = ∀∈++, không ph ải là h ằng số. Vậy ()nukhông ph ải là cấp +số nhân. +C. Từ công thứ c truy hồi c ủa dãy s ố, suy ra 12342323u ;u ;u ;u ;...= = = = +Vì 3 2 +uu≠ nên ()nukhông ph ải là c ấp số nhân. +D. ()() +()2 11 +nu,nu++ ++−= = ∀∈ +−. Vậy ()nu là m ột cấp số nhân. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 4 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 15: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số nhân? +11.1, 1nnu +uu n  B. 1 +11.3 , 1nnu +u un  +12.2 3, 1nnu +u un D. 12. +sin , 11nu +          +Lời giải +nu là cấ p số nhân 1nnu qu    Chọn B +Câu 16: Cho dãy s ố nu với 3.5 .2n +nu Khẳng định nào sau đây đúng? +A. nu không ph ải là c ấp số nhân. +B. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 13.2u +C. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 115.2u +D. nu là cấ p số nhân có công bội 5 +2q và số hạng đầu 13. u +Lời giải +nu là cấ p số nhân công bội 5q và 115 +2u   Chọn C +Câu 17: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 21.3n nu B. 11. +3n nu C. 1.3nun D. 21.3nun +Lời giải +Dãy 2119.3 3n +n nu   là cấ p số nhân có 13 +q  Chọn A +Câu 18: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? +A. 7 3.nun B. 7 3.n +nu C. 7.3nun D. 7.3 .n +Lời giải. +Dãy 7.3n +nu là cấ p số nhân có 121 +q Chọn D +Câu 19: Cho dãy s ố nu là một cấp số nhân vớ i *0, .nun Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số +A. 135; ; ; ...uuu B. 12 33 ; 3 ; 3 ; ...uu u +123111; ; ; ...uuu D. 1232; 2; 2; ... uuu +Lời giải +Giả sử nu là cấ p số nhân công bội ,q thì +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 5 +Sưu t ầm và biên so ạn Dãy 135; ; ; ...uuu là cấp số nhân công bội 2.q +Dãy 12 33 ; 3 ; 3 ; ...uu u là cấp số nhân công bội 2.q +123111; ; ; ...uuulà cấp số nhân công bội 1.q +Dãy 1232; 2; 2; ... uuu không phả i là c ấp số nhân. C họn D +Câu 20: Trong các dãy s ố ()nusau đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? +A. nun=3. B. n +nu=2. C. nun=1. D. n +nu= +21 . +Lời giải +Ta th ấy, vớ i 2,nn∀≥ ∈  dãy s ố()2n +nu= có tính chấ t: 1 +−= = nên là c ấp số nhân vớ i +công bội qu= =12, 2 . +Câu 21: nu được cho bở i công thứ c nào dư ới đây là s ố hạng tổng quát c ủa m ột cấp số nhân? +2n nu+= . B. 21 +2nun= − . C. 112n nu= − . D. 21 +2nun= + . +Lời giải +11 11.2 42n ++= =  là số hạng tổng quát c ủa m ột cấp số nhân có 11 +4u= và 1 +2nun= − có 12 31 7 1 17 7; .7; .72 22 2 2uu u= = = = ≠ nên không phả i số hạng tổng quát c ủa một +cấp số nhân. +112n nu= − có 12 31 3 13 7 33; .; .2 4 22 8 42uu u= − = −= − = −≠ − nên không phả i số hạng tổng quát +của m ột cấp số nhân. +2nun= + có 12 33 9 3 19 9; .3; .32 22 2 2uu u= = = = ≠ nên không phả i số hạng tổng quát c ủa một +cấp số nhân. +Câu 22: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là c ấp số nhân? +A. ()1n +nun= − . B. 2 +nun=. C. 2n +nu=. D. 3n nnu= . +Lời giải +Lập tỉ số 1n +A: ()() +11. 1 1 +nn u n ++−+ += =− +−()nu⇒ không phả i cấp số nhân. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 6 +Sưu t ầm và biên so ạn B: ()2 +un++= ()nu⇒ không phả i là c ấp số nhân. +12222n +nuuuu+ ++ == ⇒= ()nu⇒ là cấ p số nhân có công bội bằ ng 2. +D: 1 1 +un++=()nu⇒ không phả i là c ấp số nhân. +Câu 23: Cho dãy s ố nucó số hạng tổng quát là 1*3.2 n +nun  . Chọn kế t luận đúng: +A. Dãy số là c ấp số nhân có s ố hạng đầu 112u . +B. Dãy s ố là cấ p số cộng có công sai 2d. +C. Dãy s ố là c ấp số cộng có s ố hạng đầu 16 u. +D. Dãy s ố là c ấp số nhân có công bội 3q. +Lời giải +Dãy s ố nucó số hạng tổng quát là 1* 2 +1 3.2 3.2nn +nnu nu +      . +Xét thương 2 +13.223.2n +nuconstu +  với *n nên dãy s ố nulà một cấp số nhân có công +bội 2qvà có s ố hạng đầu là 11 +13.2 12u . +Câu 24: Dãy nào sau đây là m ột cấp số nhân? +Lời giải +Ta có: 2, 4,8,16,... là cấ p số nhân có s ố hạng đầu 12u= và công bội 2q=. +Câu 25: Cho dãy s ố: 1 11 11 ; ; ; ; 3 9 27 81−− − . Khẳng đị nh nào sau đây là sai ? +A. Dãy s ố không phả i là một c ấp số nhân. +B. Dãy s ố này là c ấp số nhân có 111; q=3= −−u . +C. Số hạng tổng quát. ()111.3−= −n +D. Là dãy s ố không tăng, không gi ảm. +Lời giải +Ta có: 1 1 1 111 111. ; . ; . ;.......3 3 9 3 3 27 9 3  = − − −= − − = − −     Vậy dãy s ố trên là c ấp số nhân vớ i +111; q=-3=−u . +Áp dụng công thứ c số hạng tổng quát c ấp số nhân ta có ()1 +1 1111 1.33− +−= = −− = − n +n nu uq . +Câu 26: Tập hợp các giá tr ị x thỏa mãn ,2 , 3x xx+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân là +A. {}0;1. B. ∅. C. {}1. D. {}0 +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 7 +Sưu t ầm và biên so ạn Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân. +2. 2. 2 +3 2 . 3 2.2 1x xq x xq q +x xq x x x= = = ⇔⇒ += += = +Tập hợp các giá tr ị x thỏa mãn ,2 , 3x xx+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân là {}1. +Câu 27: Có bao nhiêu giá tr ị nguyên dương c ủa x để ba số 1; ; 2xx+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số +A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. +Lời giải +Để 1; ; 2xx+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân thì: 2 122xxxx=−=+⇔=. +Vậy có đúng 1 số nguyên dương 2x=. +Câu 28: Tìm tấ t cả các giá tr ị của x để ba số 2 1, , 2 1x xx−+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. +3x=± B. 1 +3x=± C. 3 x=± D. 3 x=± +Lời giải +Để ba số đó l ập thành m ột cấp số nhân thì: +()()2 22 2 112 12 1 4 13 3x x x xx x x= − + ⇔= − ⇔= ⇔ = ± +Câu 29: Trong các phát bi ểu sau, phát bi ểu nào là sai ? +A. Dãy s ố có t ất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số nhân. +B. Dãy s ố có tất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số cộng. +C. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố tăng. +D. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố dương. +Lời giải +A. Đúng vì dãy s ố đã cho là c ấp số nhân vớ i công bội 1q=. +B. Đúng vì dãy s ố đã cho là c ấp số cộng v ới công sai 0d=. +C. Đúng vì dãy s ố đã cho là c ấp số cộng có công sai dương nên: 1 0nnu ud+−=> 1nnuu+⇒> . +D. Sai. Ví dụ dãy 5−; 2−; 1; 3; … là dãy s ố có 30d= > nhưng không phả i là dãy s ố dương. +Câu 30: Xác đ ịnh x dương để 23−x ; x; 23+x lập thành c ấp số nhân. +A. 3x=. B. 3 x= . +C. 3 x=± . D. không có giá tr ị nào c ủax. +Lời giải +23−x ; x; 23+x lập thành c ấp số nhân ()()22 32 3 xx x⇔= − +2249 xx⇔= −23 x⇔= +3 x⇔= ± . +Vì x dương nên 3 x= . +Câu 31: Giả sử sin +6α, cosα, tanα theo thứ tự đó là m ột cấp số nhân. Tính cos 2α. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 8 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 3 +2. B. 3 +2− . C. 1 +2. D. 1 +Lời giải +Điều kiện: cos 02kπααπ≠⇔≠+ () k∈. +Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có: 2 sincos .tan6ααα=2 +2 sin6coscosααα⇔= . +326cos sin 0αα⇔ −=326cos cos 1 0αα⇔ + −=1cos2α⇔= . +Ta có: 2 +2 11cos 2 2cos 1 2. 122αα= −= −= − . +Câu 32: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là 23411 1 1; ; ; ;...3333Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là +3n− B. 21 +3n+. C. 1 +3n. D. 11 +Lời giải +3 3311 +Vậy 1. +3n nu . +Câu 33: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Số hạng tổng quát nu ()2n≥ bằng +Lời giải +Ta có 11 +1. 3.2nn +nu uq−−= = . +Câu 34: Cho dãy s ố ()nu biết 1 * +13,3nnunNuu+=∀∈ =. Tìm s ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố ()nu. +A. 3=n +nu . B. 1+=n +nun . C. 13+=n +nu . D. 13−=n +Lời giải +Ta có 13=u và 13+=n +Suy ra dãy s ố ()nulà cấp số nhân vớ i 13 +Do đó 11 1. 3.3 3− −== =nn n +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 9 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 35: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 12 2 +2,nnu uu u +u un+= −++ += ∀∈ . Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của n để 20212nu≥ . +A. 2021 . B. 1012 . C. 2022 . D. 1011 . +Lời giải +Ta có: * 1 +12 2,n +nuuu nu+ ++= ⇒ = ∀∈  nên dãy ()nu là cấ p số nhân vớ i công bội 2q=. +212 uu⇒= . +Mà 1 12 233 6u uu u= −++ +12 123 3 60uu uu⇔ − − − −= +12 123 3 60uu uu⇔ − − − −= +33uu N +uu L−= +−= − 1234uu⇔ −= . +Từ và ta có: 21 +122434uuuuu=⇒= −= +()nu⇒ là cấ p số nhân vớ i công bội 12, 4qu= = . Nên s ố hạng tổng quát là: +() 21 1 21 *2.4 2.2 2 ,n nn +nun− −−= = = ∀∈ . +2021 2 1 20212 2 2 2 1 2021 1011n +nu nn−≥⇔≥⇔ − ≥⇔ ≥ . +Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t thỏa mãn là 1011 . +DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN +Câu 36: Cho cấp số nhân ()nuvới 11u= và 22 u=. Công bội của cấp số nhân đã cho là +2q=. B. 2q=. C. 2 q=− . D. 1 +2q=− . +Lời giải +Ta có 2 +12. 2.1uu uq qu= ⇒= == +Câu 37: Cho cấp số nhân ()nu với 13u= và 29u=. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng +A. 6−. B. 1 +3. C. 3. D. 6. +Lời giải +Ta có 21 . u uq= ⇒ 2 +u= = . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 10 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 38: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và 212u=. Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng +A. 9. B. 9−. C. 1 +4. D. 4. +Lời giải +Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho là 2 +11243uqu= = = +Câu 39: Cho c ấp số nhân ()nuvới 13u= và 215. u= Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho bằ ng +A. 12− . B. 1 +5. C. 5. D. 12. +Lời giải +Từ định nghĩa c ấp số nhân ta có 2 +15uqu= = . +Câu 40: Cho c ấp số nhân ()nu với 12=u và 26=u . Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng +A. 3. B. 4−. C. 4. D. 1 +Lời giải +Công bội c ủa cấ p số nhân là 2 +1632= = =uqu. +Câu 41: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 8. B. 9. C. 6. D. 3 +Lời giải +Ta có: 21 . 3.2 6 u uq= = = . +Câu 42: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 6. B. 9. C. 8. D. 2 +Lời giải +Ta có 21 . 2.3 6 u uq= = = . +Câu 43: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 4q=. Giá tr ị của 2u bằng +A. 64. B. 81. C. 12. D. 3 +Lời giải +Ta có 21 . 3.4 12 u uq= = = . +Câu 44: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 +2u= và 616u=. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 11 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 +2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 +2q=− . +Lời giải +Ta có 55 6 +2uu uq qu=⋅⇒=== 2q⇒= . +Câu 45: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 11u=, 464u= . Tính công bội q của cấp số nhân đã cho +A. 4q=. B. 4 q=− . C. 21q= . D. 22q= . +Lời giải +Ta có 33 +4164 . 64 64 4 uu qqq= ⇔ = ⇔ = ⇔= . +Câu 46: Cho cấp số nhân nu có 1 2 u và 5 162 u .Công bội q bằng: +A. 3 q . B. 3q. +C. 3; 3qq  . D. 2 q . +Lời giải +Ta có 44 +1162 162162 . 162 81 32u uq q qu        . +Câu 47: Cho c ấp số nhân ()nu có 12u= và 454u= . Giá tr ị của công bội q bằng +A. 3. B. 9. C. 27. D. 3−. +Lời giải +Ta có: 33 3 4 +15427 27 32uqq qu= ⇒ = = ⇒= = +Câu 48: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Tìm s ố hạng thứ 4 của cấp số nhân? +A. 24. B. 54. C. 162. D. 48. +Lời giải +41 . 2.3 54. u uq= = = +Câu 49: : Cấp số nhân ()nu có 459, 81uu= = có công bội là +A. 3. B. 72. C. 18. D. 9. +Lời giải +Ta có công bội 5 +u= = =. +Câu 50: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 +2u= và 616u=. +2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 +2q=− . +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 12 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 55 +611. 16 . 22u uq q q= ⇒ = ⇔= . +Câu 51: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và 6486 u= . Công bội q bằng +A. 3q=. B. 5q=. C. 3 +2q=. D. 2 +Lời giải +Chọn A +Theo đề ra ta có: 1 +486 .u +uq=⇔=55243 3 q⇒= = 3q⇒= . +Câu 52: Cho c ấp số nhân ()nu với 171; u 322= −= −u . Tìm q ? +2=±q . B. 2=±q . C. 4=±q . D. 1=±q . +Lời giải +Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có +1 712. 642− == ⇒= ⇒=⇒=−n +nqu uq u u q qq +Câu 53: Biết ba số 2; 8;xx theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Giá tr ị của x bằng +A. 4x B. 5x C. 2x D. 1x +Lời giải +Do ba số 2; 8;xx theo thứ tự lập thành c ấp số nhân nên theo tính chấ t cấp số nhân ta đư ợc +23.8 8 2xx x x  . +Câu 54: Cho c ấp số nhân ()nucó công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các h ệ thức sau: +A. 2 1.++=k k k u u u B. +21 1+−+=k k +ku uu . +ku uq−= D. ()1 1.kuu k q=+− +Lời giải +Theo tính chấ t các s ố hạng của cấp số nhân. +Câu 55: Cho dãy s ố ()nuxác đ ịnh bở i: ++ n n u uu +. Chọn hệ thức đúng: +A. ()nu là cấ p số nhân có công bội 1.10q=− B. 11( 2) .10n nu−= − +21 1+−+=n n +nu uu ()2n≥. D. 1 1.+−=n n n uu u ()2n≥. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 13 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: 1 1 +u+=− nên ()nu là cấ p số nhân có công bội 1.10q=− +Câu 56: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 +3q=. Tính 5?u +A. 527.16u−= B. 516.27u−= C. 516.27u= D. 527.16u= +Lời giải +Chọn B +Ta có: ()4 +512 16.3 .3 27u uq= = −= −  +Câu 57: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 +3q=. Số +24396− là số hạng th ứ mấy của cấ p số này? +A. Thứ 5. B. Thứ 6. +C. Thứ 7. D. Không ph ải là s ố hạng của cấp số. +Lời giải +Chọn B +Giả sử số +24396− là số hạng th ứ n của cấp số này. +Ta có: ()1 +196 2 96. 3 6243 3 243n +nuq n− +−−− = ⇔− = ⇔= . +Vậy số +24396− là số hạng thứ 6 của cấp số. +Câu 58: Cho c ấp số nhân có 21 +4u=; 516u=. Tìm q và 1u. +A. 111; .22qu= = B. 111; .22qu= −= − +C. 114; .16qu= = D. 114; .16qu= −= − +Lời giải +Ta có: 21 11. .4u uq uq= ⇔= ; 44 +51 1 . 16 . u uq uq= ⇔= +Suy ra: 364 4 qq= ⇔= . Từ đó: 11.16u= +Câu 59: Với x là số nguyên dương, ba s ố 2,3 3 ,5 5xx x++ theo thứ tự là ba s ố hạng liên tiế p của một +cấp số nhân. S ố hạng tiếp theo c ủa cấp số nhân đó là +A. 250 +3− . B. 250 +3. C. 250. D. 250− . +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 14 +Sưu t ầm và biên so ạn Ba số 2,3 3 ,5 5xx x++ theo thứ tự là ba s ố hạng liên ti ếp của m ột cấp số nhân nên +()()2 2 12 55 33 89 0 99xxx x x x xx=−+ = + ⇔ − −=⇔ ⇒==. +Với 9x=, suy ra 3.9 3 30 5 +2.9 18 3q+= = = +Số hạng tiếp theo c ủa cấp số nhân đó là: ()5 2505.9 5 .33+= . +Câu 60: Cho ba số thực ,,xyz trong đó 0x≠. Biết rằng ,2 ,3xyz lập thành cấp số cộng và ,,xyz lập +thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó. += B. 1 += C. 2q= D. 1q= +Lời giải +,,xyz lập thành cấp số nhân công bội q nên 2; y qx z q x= = +,2 ,3xyz lập thành cấp số cộng nên 2332222x z x qxy qx++= ⇒= +Vì 0x≠ nên 2 +2132 4 13 123qx qxqx q qq=+ = ⇒= + ⇒= +DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN +Câu 61: Cho c ấp số nhân ()nu có 1 2 u=− và công bội 3q=. Số hạng 2u là: +A. 2 6 u=− . B. 26 u=. C. 21u=. D. 2 18 u=− . +Lời giải +Số hạng 2u là: 21 . u uq= 6=− +Câu 62: Cho c ấp số nhân ()nu có 52 u= và 96 u=. Tính 21u. +A. 18. B. 54. C. 162. D. 486. +Lời giải +Ta có 5 +uq=⇔=1 +q=⇔ +Suy ra ()520 4 5 +21 1 12.3 1623u uq u q= = = = . +Câu 63: Cho c ấp số nhân ()nucó số hạng đầ u 12u= và công bội 5q=. Giá tr ị của 68uu bằng +Lời giải +Vì ()nu là cấ p số nhân nên 2 +68 7uu u=, suy ra 66 +68 7 1 . 2.5 uu u u q= = = . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 15 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 64: Cho c ấp số nhân ()nu có 13u=, công bội 2q=. Ta có 5u bằng +A. 24. B. 11. C. 48. D. 9. +Lời giải +Công thứ c số hạng tổng quát c ủa cấp số nhân: 1 +nu uq−= . +Do đó 4 +53.2 48u= = . +Câu 65: Cho c ấp số nhân ()nu có công bội dương và 21 +4u=, 44 u=. Giá tr ị của 1ulà +6u=. B. 11 +16u= . C. 11 +16u=− . D. 11 +Lời giải +Theo tính chấ t của cấ p số nhân vớ i 2k≥ thì 2 +11.k kku uu−+= ta suy ra +31 1. .4 11 4uu uuu== = = ⇔ =− +Vì ()nulà cấp số nhân có công bội dương nên 31u=. Gọi q là công bội ta đư ợc 4 +3441uqu= = = +Từ đó ta có 2 +4 16uuq= = = . +Câu 66: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị 2019u bằng +Lời giải +Áp dụng công thứ c của số hạng tổng quát 1 2018 +1. 2.3n +nu uq−= = . +Câu 67: Cho c ấp số nhân ()1; 1, 2nuu q= = . Hỏi số 1024 là số hạng th ứ mấy? +A. 11. B. 9. C. 8. D. 10. +Lời giải +Ta có 1 1 1 10 +1. 1.2 1024 2 2 1 10 11nn n +nu uq n n−− −= ⇔ = ⇔ = ⇔−= ⇔ = . +Câu 68: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 15u= và công bội 2 q=− . Số hạng thứ sáu c ủa ()nu là +A. 6320 u= . B. 6 160 u=− . C. 6 320 u=− . D. 6160u= . +Lời giải +Ta có: ()5 5 +61 . 5. 2 160 u uq= =−= − . +Câu 69: Tìm s ố hạng đầ u 1u của cấ p số nhân ()nu biết rằng 123 168 uuu++= và 456 21 uuu++= +A. 124u= . B. 11334 +11u= . C. 196u= . D. 1217 +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 16 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có : 2 +123 11 1 +456 111168 . . 168 +21 . . . 21uuu u uq uq +uuu uq uq uq ++= ++ =  ⇔ ++= ++=   +11 168 +1 21u qq +uq q q++ =⇔++ = +q=++⇔ +q=⇔=. +Vậy 196u= , +Câu 70: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 += +. Tính s ố hạng thứ 2018 của dãy s ố trên +A. 2017 +2018 6.2 5 u= − . B. 2018 +2018 6.2 5 u= − . C. 2017 +2018 6.2 1 u= + . D. 2018 +2018 6.2 5 u= + . +Lời giải +Ta có 5nnuv= − , 125nnuu+= + ()152 5 5nnvv+⇔ −= − +12nnvv+⇔= . +Do đó nv là cấ p số nhân vớ i 16v=, 2q=, 16.n +nvq−= , 2017 +2018 6.2 v=2017 +2018 6.2 5 u⇒= − . +Câu 71: Cho ()nu là cấp số nhân, công bội 0.q> Biết 131, 4 .uu= = Tìm 4u. +2. B. 2. C. 16. D. 8. +Lời giải +Ta có: 1 +1 1 23 +1 1. 4 . 8.4 20u +u uuq u uqu qq= += =   ⇔ = ⇔ ⇒= = = =  > +Câu 72: Cho c ấp số nhân (),1≥nun với công b ội 2q= và có s ố hạng th ứ hai 25.=u Số hạng th ứ 7 của +cấp số nhân là +A. 7320=u . B. 7640=u . C. 7160=u . D. 780=u . +Lời giải +Ta có (),1≥nun là cấ p số nhân có công bội 2q= nên có s ố hạng tổng quát 1 +nu qu. +2 11 7555 .2 .221.260 ⇒= = =⇒= = u u u u +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 17 +Sưu t ầm và biên so ạn Vậy số hạng th ứ 7 của cấ p số là 160. Đáp án C. +Câu 73: Cho m ột cấp số nhân có s ố hạng th ứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu tiên. T ổng hai s ố hạng đầ u tiên +là 34. S ố hạng thứ 3 của dãy s ố có giá tr ị bằng: +A. 1. B. 512. C. 1024 . D. 32. +Lời giải +Theo bài ra ta có: 3 +11 12 14096. 16 16 4096 +17. 34 2 34 .(1 ) 34uu qq q +uu uu uq= = = =  ⇔ ⇔⇔   = = += +=   . +Vậy 22 +31 . 2.16 512 u uq= = = . +Câu 74: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 112u=, 3 +u= . Tìm 9u. +2187u= . B. 94 +6563u= . C. 978732u= . D. 94 +2187u= . +Lời giải +Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân ()nu. +Ta có 2 +31u uq= , 7 +81u uq=3 +81243u +uq⇒==1 +3q⇒= . +Do đó 8 +91u uq=8112.3=4 +2187= . +Câu 75: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầu tiên là 51n +nS= − với 1, 2,...n= . Tìm s ố hạng đầu +1u và công bội q của cấ p số nhân đó? +A. 15u=, 4q=. B. 15u=, 6q=. C. 14u=, 5q=. D. 16u=, 5q=. +Lời giải +Ta có: 11 1 +21 12 251 4 4 +24 20 5 1 24uS u +uu uu S= =−= =  ⇒ =−= + = = −=   14u⇒= , 2 +15uqu= = . +Câu 76: Cho c ấp số nhân ()nu biết 42 +−=. Tìm s ố hạng đầu 1u và công bội q của cấ p số nhân +A. 19u=; 2q=. B. 19u=; 2 q=− . C. 1 9 u=− ; 2 q=− . D. 1 9 u=− ; 2q=. +Lời giải +Ta có: 42 +108uq uq +uq uq−=⇔−=() +1 108uq q +uq q−=⇔−=19 +q=⇔=. +Vậy 19u=; 2q=. +Câu 77: Xen gi ữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có 13u=. Khi đó 5u là: +A. 72. B. 48−. C. 48±. D. 48. +Lời giải +Ta có 13u= và 9768u= nên 8768 3. q= 8256 q⇒= 2 q⇒= ± . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 18 +Sưu t ầm và biên so ạn Do đó 44 +51 . 3.2 48 u uq= = = . +Câu 78: Cấp số nhân ()nu có 20 17 +158.272uu ++= Tìm 1u, biết rằng 1100u≤ . +A. 116.u= B. 12.u= C. 1 16. u=− D. 1 2. u=− +Lời giải +Ta có: +()()16 319 16 +120 17 11 +15 11 18 01 8 .8 +272 . 272 1 272 2uq q uu u q uq +uu u uq uq−=  = =  ⇔⇔  += += +=     . +Từ ()2 suy ra 10u≠ do đó: ()012q +q=⇔=. +Nếu 0q= thì ()1 2 272 u⇔= không thõa đi ều kiện 1100u≤ . +Nếu 2q= thì ()1 2 16 u⇔= thõa đi ều kiện 1100u≤ . +Câu 79: Cho c ấp số nhân 1 1 u=− , 60,00001 u= . Khi đó q và số hạng tổng quát là? +10q= ,11 +10n nu−−= . B. 1 +10q−= ,110n +nu−=− . +10q−= ,() +n nu−−= . D. 1 +10q= ,11 +10n nu−= . +Lời giải +Ta có: 5 +61 . 0,00001 u uq= =5 +10q−⇔=1 +10q−⇔= . +nu uq−⇒=111.10n−−=−() +n−−= . +Vậy đáp án đúng là: C. +Câu 80: Cho c ấp số nhân nu có 21 +4u=, 516u= . Tìm công bội q và số hạng đầu 1u. +2q=, 11 +2u=. B. 1 +2q=− , 11 +2u=− . C. 4 q=− , 11 +16u=− . D. 4q=, 11 +16u= . +Lời giải +Ta có 2 += () +. 16 2uq +uq=⇔ +Chia hai vế của ()2 cho ()1 ta đư ợc 364 q= 4q⇔= 11 +16u⇒= . +Câu 81: Cho c ấp số nhân có s ố hạng đầu 1 2, u=− công bội 3 +4q=. Số 81 +128− là số hạng th ứ mấy của cấp +số này? +A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 19 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +Áp dụng công thứ c cấp số nhân 14 1 +181 3 3 32. 5128 4 4 4nn +nu uq n−− +−   = ⇒− =− ⇔ = ⇔ =     . +Câu 82: Cho dãy s ố 4,12,36,108,324,... . Số hạng thứ 10 c ủa dãy s ố đó là? +A. 73872 . B. 77832 . C. 72873 . D. 78732 . +Lời giải +Xét dãy s ố 4,12,36,108,324,... là cấ p số nhân có 14u=, 3q=. +Số hạng thứ 10 của dãy s ố là 10u9 +1.uq=94.3= 78732= . +Câu 83: Cho t ứ giác ABCD có bốn góc t ạo tành c ấp số nhân có công bội 2q=, góc có s ố đo nhỏ nhất +trong bốn góc đó là: +A. 01 B. 030 C. 012 D. 024 +Lời giải +Giả sử: Bốn góc ,,,ABCD theo thứ tự lập thành c ấp số nhân và A nhỏ nhấ t. +Khi đó 2, 4, 8B AC AD A= = = +Nên 002 4 8 360 24AAAA A+++= ⇒ = +Câu 84: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 135 +325uuu +uu−+= ++=. Tính 3.u +A. 315u=. B. 325 u= . C. 310u=. D. 320 u= . +Lời giải +Ta có: () +()2424 +1135 11 1 +17 11 11 65 (1) 65 . . 65 +325 . 325 1 325 (2)u qq uuu u uq uq +uu u uq uq−+ =  −+= −+=  ⇔⇔  += += +=      +Chia t ừng vế của ()1 cho ()2 ta đư ợc phương trình : +6115 5 4 0 *15qqqqqq−+=⇔ − + −=+ +Đặt 2,0 t qt= ≥ . +Phương trình ()* trở thành : ()()32 2 +5 5 40 4 1 0 +1 0( )t +t t t t tt +t t vn=− + −= ⇔ − −+ = ⇔ −+= +Với 244 2tq q=⇒ =⇔= ± . +Với 2 q=± thay vào ()2 ta đư ợc 15u=. +31 . 5.4 20. u uq= = = +Câu 85: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầ u tiên l à 61n +nS= − . Tìm số hạng thứ năm của c ấp +số nhân đã cho. +A. 120005. B. 6840. C. 7775. D. 6480. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 20 +Sưu t ầm và biên so ạn Cấp số nhân ()nu có số hạng đầu 1u và công bội q. +Do 61n +nS= − nên 1q≠. Khi đó () 11 += = −−. +Ta có: ()1 +11161 51uqSuq−= =−⇔ =−. +6 1 6.1uq += = −⇔ =− +Vậy 44 +51 . 5.6 6480. u uq= = = +Câu 86: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 +11.25nnu += + Tìm s ố hạng thứ 2020 của dãy. +A. 2020 +2020 3.2 5. u= − B. 2019 +2020 3.2 5. u= + C. 2019 +2020 3.2 5. u= − D. 2020 +2020 3.2 5. u= + +Lời giải +Đặt 11 5 5 2.( 5) 5 2nn n n n n uv v v v v++ = −⇒ −= − +⇒ = +111 6 5 6.2 6.2 5nn +nn uv u u−−=⇒ =⇒ += ⇒ = − +Vậy 2019 2020 +2020 6.2 5 3.2 5 u= −= − +Câu 87: Số hạng đầ u và công bội q của CSN vớ i 7 105, 135 uu= −= là: +A. 15,3729uq= =− . B. 15,3729uq= −= . C. 15,3729uq= = . D. 15,3729uq= −= − . +Lời giải +Vì ()nu là CSN nên: 6 +71 .5 u uq= =− , 9 +10 1u . 135 uq= = +7113527 35u uqqu uq⇒ = ⇔ = −⇒= −− 7 +729uuq⇒= = − . +Câu 88: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12u=; 12 31nnuu n−= +− . Tìm s ố hạng th ứ 2019 của dãy +A. 2019 +20195.2 6062. u= − B. 2019 +20195.2 6062. u= + +C. 2020 +20195.2 6062. u= − D. 2020 +20195.2 6062. u= + +Lời giải +Ta có 12 31nnuu n−= +− ()13 52 3 1 5nnun u n− ⇔ + += + −+, với 2n≥; n∈. +Đặt 35nnvu n=++ , ta có 12nnvv−= với 2n≥; n∈. +Như v ậy, ()nv là cấ p số nhân vớ i công bội 2q= và 110v= , do đó 110.2 5.2nn +nv−= = . +Do đó 3 5 5.2n +nun+ += , hay 5.2 3 5n +nun= −− với 2n≥; n∈. +Nên 2019 +20195.2 6062. u= − +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 21 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 89: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 11 2341; , 12 32         nnnuu u nnn. Giá tr ị của 50u gần nhấ t +với số nào dư ới đây? +A. 312540600 . B. 312540500 . C. 212540500 . D. 212540600 . +Lời giải +11 1 23 4 33 2 3 331 +2 3 2 21 2 2 21                          nn nn n nnuu uu u u +nn n n n n +Đặt 3,11 nnvu nn, ta có 1131 +22  vu và từ 1 thu đư ợc 13 +2nnvv . +Suy ra dãy s ố nv là m ột cấp số nhân vớ i công bội 3 +2q , ta có 11 +13 13..2 22             nn +Từ đó ta đư ợc 1 +5013 3. 21254050022 1         n +DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN +Câu 90: Cho c ấp số nhân ()nu có 13 u=− và 2 q=− . Tính tổng 10 số hạng đầ u tiên c ủa cấp số nhân. +A. 10 511 S=− . B. 101023 S= . C. 101025 S= . D. 10 1025 S=− . +Lời giải +Ta có: () +10 112 1. 3. 10231 12nqSuq−− −= = −=− −−. +Câu 91: Cho m ột cấp số nhân có các s ố hạng đều không âm thỏa mãn 26 u=, 424 u= . Tính t ổng c ủa 12 +số hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân đó. +Lời giải +Gọi công bội c ủa CSN b ằng q. Suy ra 2 +42 . u uq= 2 q⇒= ± . Do CSN có các s ố hạng không âm +nên 2q=. +Ta có 12 +12 11.1qSuq−=−12123.12−=−()1232 1= − . +Câu 92: Cho dãy ()nu với 112n +nu= +, *n∀∈. Tính 2019 1 2 3 2019 ... S uuu u=++++ , ta đư ợc kết quả +A. 2019120202− . B. 4039 +2. C. 2019120192+ . D. 6057 +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 22 +Sưu t ầm và biên so ạn 2019 +1 2 2019 +2019 20191111 1 1 1 22019 ... 2019 . 20201 22 2 2 212S−   = + + ++ = + = −    −. +Câu 93: Cho cấp số nhân ()nu có 312u= , 548 u= , có công b ội âm. T ổng 7số hạng đầu của cấ n số nhân +đã cho bằ ng +A. 129. B. 129− . C. 128. D. 128− . +Lời giải +Ta có: 2 +4 35 . 576 u uu= = . +Vì 350, 0uu>> và công bội âm nên: 4 24 2 uq= −⇒= − . +Lại có: 2 3 +31 1 21234uu uq uq= ⇒= == . +Áp dụng công thứ c ta có: () +7112 13. 1291 12qSuq−−−= = =− −−. +Câu 94: Cho ()nu là cấp số nhân, đặt 12 ...nnS uu u=+++ . Biết 234; 13 SS= = và 20u<, giá trị 5S bằng +A. 2. B. 181 +16. C. 35 +16. D. 121. +Lời giải +Gọi 1,uq lần lượt là s ố hạng đầu tiên và công bội c ủa cấp số nhân c ần tìm. +Từ giả thiết ta có () +14 4 3 +13 1 13 3 +uq S q +S u qq + += =  =⇔⇔  = ++ = −   =. +Vì 2 3 +3 32 20090u uquSS u<⇒= < =−= > nên c ấp số nhân c ần tìm có 116 +q==−. +Do đó 5 +511 181 +1 16qSuq−= =−. +Câu 95: Giá tr ị của tổng 2 20181 3 3 ... 3S=++ ++ bằng +A. 201931 +2S−= . B. 201831 +2S−= . C. 202031 +2S−= . D. 201831 +2S−=− . +Lời giải +Ta th ấy S là tổng c ủa 2019 s ố h��ng đầu tiên c ủa cấ p số nhân vớ i số hạng đầu là 11u=, công +bội 3q=. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 23 +Sưu t ầm và biên so ạn Áp dụng công thứ c tính t ổng c ủa cấp số nhân ta có 2019 201913 3 11.13 2S−−= =−. +Câu 96: Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .4b +Sa= + + ++ =+ Tính .4bPa= + +A. 1.P B. 2.P C. 3.P D. 4.P +Lời giải +Từ giả thiết suy ra 2 3 113 3 2.3 3.3 ... 11.3S   . Do đó +2 10 11 11 11 1 3 1 21.3 1 212 3 1 3 3 ... 3 10.3 11.3 .3 .13 2 2 4 4SS S S               +Vì 111 21.3 21.3 1 1 11, 11 3.4 4 4 4 44b +S a ab P       +Câu 97: Cho cấp số nhân ()nu có 24 S= và 313.S= Tìm 5.S +A. 5121S= hoặc 5181.16S= B. 5121S= hoặc 535.16S= +C. 5114S= hoặc 5185.16S= D. 5141S= hoặc 5183.16S= +Lời giải +Ta có 3 32 9 uSS=−=2 +11 299 uq uq⇒ = ⇒= +Vì 24 S= nên 11 4. u uq+= Do đó 2994qq+=24 9 90qq⇔ − −= 3q⇔= hoặc 3.4q=− ++ Với 3q= thì 11,u=5 +61 243. u uq= = Suy ra 16 +51 243121.1 13uuSq−−= = =−− ++ Với 3 +4q=− thì 116,u=6243.64u=− Suy ra 16 +5181.1 16uuSq−= =− +Câu 98: Cho cấp số nhân ()nu có 18u= và biểu thức 32 14 2 15uu u+− đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 10.S +A. ()11 +10 924 1 += . B. ()10 +10 824 1 += . C. 10 +10 621 +3.2S−= . D. 11 +10 721 +3.2S−= +Lời giải +Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân. Khi đó ()2 +32 14 2 15 2 4 1 122 122, .uu u q q + − = + − ≥− ∀ +Dấu bằng xảy ra khi 4 10q+=1.4q⇔= − Suy ra: ()10 +10 1 81124 1 1 4. 8.1 1 5.414qSuq−− − − = = =− −− +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 24 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 99: Cho cấp số nhân ()nu có 12,u= công bội dươ ng và biểu thức 4 +71024uu+ đạt giá trị nhỏ nhất. +Tính 11 12 20 ... . Su u u= + ++ +A. 2046.S= B. 2097150.S= C. 2095104.S= D. 1047552.S= +Lời giải +Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân, 0.q>Ta có 3 +71024 5122. uquq+= + +Áp dụng b ất đẳng th ức Cô-si, ta có:3 3 3 3336 66512 512 5122 3 . . 24. q q q qqq qq+ =++ ≥ = +Suy ra 4 +71024uu+ đạt giá tr ị nhỏ nh ất bằng 24 khi 3 +6512qq= 2.q⇔= +Ta có ()10 +2 2;1uq += = −−()20 +2 2.1uq += = −− +Do đó 20 10 2095104. SS S=−= Vậy phương án đúng là .C +Câu 100: Cho cấp số nhân ()nu có 46 +uu+= − ++=. Tính 21.S +A. ()21 +211312S= + B. 21 +213 1. S= − C. 21 +211 3. S= − D. ()21 +2113 1.2S= −+ +Lời giải +Ta có 46 540 uu+= − ()35 540. u uq⇔+ = − +Kết hợp với phương trình thứ hai trong h ệ, ta tìm đư ợc 3. q=− Lại có 35 180 uu+= +1 180. uq q⇔ += +Vì 3 q=− nên 12.u= Suy ra ()()21 +211 13 1.12uq += = +− +Vậy phương án đúng là .A +Câu 101: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi nS là tổng c ủa n số hạng đầu tiên +của cấp số nhân đó. M ệnh đề nào sau đây đúng? +A. 14.n +nS B. 114 + C. 41.3n +nS D.  44 1 +Lời giải +Cấp số nhân đã cho có 1 +11 1 14 4 1. 1. .4 1 14 3n nn +nu qSuq q         +Câu 102: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 11; ; 1; ; 2048.42 Tính t ổng S của tất cả các s ố hạng +của cấp số nhân đã cho. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 25 +Sưu t ầm và biên so ạn A. 2047,75. S B. 2049,75. S C. 4095,75. S D. 4096,75. S +Lời giải +Cấp số nhân đã cho có +11 1 1 2 1 +1112048 2 .2 2 13. 422n nn uuq n +q         +Vậy cấp số nhân đã cho có t ất cả 13 s ố hạng. V ậy +13 11 11 2. . 2047,751 41 2qSuq     +Câu 103: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn () 3,1555... 3,1 5= viết dưới dạng số hữu tỉ là: +20. B. 142 +45. C. 1 +18. D. 7 +Lời giải +3,1555... 3,1 0,05 0,005 0,0005 ...= ++ + + +Dãy s ố 0,05;0,005; 0,0005; 0,00005;... là m ột cấp số nhân lùi vô hạ n có 10, 05u= ; 0,1q= . +Vậy 0, 053,1555... 3,11 0,1= +−142 +Câu 104: Tính t ổng ()1 +211 11 ... 1 ...66 6n +nS−= −+ − + +− + +6S= B. 6 +7S=− C. 6 +7S= D. 7 +Lời giải +Ta có: ()3 2 +121... 16u uqquu= = = = −< . Do đó: 1 16 +1 1716uSq−−= = =−+ +Câu 105: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân s ố +25. B. 12 +99. C. 1 +11. D. 3 +Lời giải +1001211100 +−4 12 +33 99= = . +Câu 106: Viết thêm b ốn số vào gi ữa hai s ố 160 và 5 để được một cấp số nhân. T ổng các s ố hạng của cấp +số nhân đó là +A. 215. B. 315. C. 415. D. 515. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 26 +Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải +Từ giả thiết ta có 1 65 +6 1160 1 +5 2u uqu u=⇒= ==. +Suy ra t ổng các s ố hạng của cấ p số nhân đó là: ()6 +11160 112 +3151 1 +Sq− − = = =−. +Câu 107: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 123 +uu++= +−=. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ()nu là +A. 81093S= . B. 83820S= . C. 89841 S= . D. 83280S= . +Lời giải +Ta có 123 +uu++= +11. . 13 +. 26u uq uq +uq u++ =⇔−=() +. 1 1 26u qq +uq qq++ =⇔− ++ = +q++ =⇔ +q=⇔=. +Vậy tổng ()8 +=−()811 3 +328013− +Câu 108: Tổng 211 1 +33 3nS= + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ có giá tr ị là: +9. B. 1 +4. C. 1 +3. D. 1 +Lời giải +Ta có 211 1 +33 3nS= + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ là tổng c ủa cấp số nhân lùi vô hạ n ()nu với 1 +3n nu= có số hạng +đầu 11 +3u=, công sai 1 +Do đó 11 +1 1213uSq= = =−−. +Câu 109: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bở i 12a=, 1 2nnaa+=− , 1n≥, n∈. Tính t ổng c ủa 10 số hạng đầu +tiên c ủa dãy s ố. +A. 2050 +3. B. 2046 . C. 682− . D. 2046− . +Lời giải +Vì 12n +a+=− suy ra ()na là một cấp số nhân vớ i 12 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 27 +Sưu t ầm và biên so ạn Suy ra ()10 +6821aq += =−−. +Câu 110: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu là 1 +2, số hạng th ứ tư là 32 và +số hạng cu ối là 2048 ? +A. 1365 +2. B. 5416 +2. C. 5461 +2. D. 21845 +Lời giải +Theo bài ra ta có 11 +2u=, 432u= và 2048nu= . +41 . u uq= 3132 .2q⇒= 4q⇒= +2048nu=1 +1. 2048nuq−⇒=1644n−⇒= 7n⇒= +Khi đó t ổng c ủa cấp số nhân này là ()()77 +7114 1 5461 2 +1 14 2uq += = =−−. +Câu 111: Một cấp số nhân ()nu có n số hạng, số hạng đầu 17u=, công bội 2q=. Số hạng thứ n bằng +1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ()nu? +A. 5377 . B. 5737 . C. 3577 . D. 3775 . +Lời giải +Ta có 1 +nu uq−= +8 7.2 1792 9 3577nnS−⇒ = ⇔=⇒ = +Câu 112: Tính t ổng c ấ số nhân lùi vô hạ n ()21 11 1, , ,..., ,...24 8 2n−−− là. +A. 1−. B. 1 +2. C. 1 +4−. D. 1 +Lời giải +Cấp số nhân có 11 +2u=− công bội 1 +2q=− nên t ổng c ủa cấp số nhân lùi vô hạ ng là. +() 111 1lim lim1 13n +nuq uSqq− += = =−−− +Câu 113: Giá tr ị của tổng 7 77 777 ... 77...7   bằng +A. 2018 7010 1 20189 . B. 20187 10 10201899 . +C. 20197 10 10201899 . D. 2018 710 19. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 28 +Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 7 77 777 ... 77...7   + 79 99 999 ... 99...99     2 3 2018 710 1 10 1 10 1 ... 10 19      + 2 3 2018 710 10 10 ... 10 20189     +Mặt khác,ta có 2 3 201810 10 10 ... 10   là tổng c ủa m ột cấp số nhân vớ i 110u và công bội +10q 2 3 201810 10 10 ... 10  2018 201910 1 10 101099 . +Do đó  2 3 2018 710 10 10 ... 10 20189   20197 10 10201899. +Câu 114: Giá tr ị của tổng 4 44 444 ... 44...4+ + ++ bằng +A. ()2018 4010 1 20189−+ . B. 20194 10 10201899−− . +C. 20194 10 10201899−+ . D. ()2018 410 19−. +Lời giải +Đặt 4 44 444 ... 44...4S=+ + ++ . Ta có: +99 99 999 ... 99...94S=+ + ++ ()()()()2 3 201810 1 10 1 10 1 ... 10 1= −+ −+ −+ − +Suy ra: 9 +4S=( )2 3 201810 10 10 ... 10 2018+ + ++ − = 2018A− . +Với 2 3 201810 10 10 ... 10A= + + ++ là tổng 2018 số hạng của m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu +110u=, công bội 10q= nên ta có 2018 +1qAuq−=−20181 10109−=−201910 10 +Do đó 20199 10 10201849S−= −20194 10 10201899S−⇔= −. +Câu 115: Cho dãy số xác định bởi 11u=, * +1 2112 ; 3 32nnnuu nnn+− = +∈++. Khi đó 2018u bằng: +A. 2016 +2018 201721 +3 2019u= + . B. 2018 +2018 201721 +3 2019u= + . +C. 2017 +2018 201821 +3 2019u= + . D. 2017 +2018 201821 +3 2019u= + . +Lời giải +Ta có: 1 211u 2u3 32nnn +nn+− = +++1 3223 21nunn= +−++2 1 21.3 23 1nunn= +−++. +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 29 +Sưu t ầm và biên so ạn 112 1 +23 1nnuunn+⇔− = − ++ ()1 +1nnvun= −+, từ ()1ta suy ra: 12 +3nnvv+= . +Do đó ()nv là cấ p số nhân vớ i 1111 +22vu=−= , công bội 2 +Suy ra: 1 +112..23n +nv vq− +−= = 11 12.123n +nun−⇔− = +112 1.23 1n +nun−⇔= + + . +Vậy 2017 +201812 1.2 3 2019u= +2016 +3 2019= + . +Câu 116: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i: 11 +3U= và 11.3nnnUUn++= . Tổng 3 10 2 +1 ...2 3 10UU USU= + + ++ +A. 3280 +6561. B. 29524 +59049. C. 25942 +59049. D. 1 +Lời giải +Theo đề ta có: 11.3nnnUUn++=11 +13nnUU +nn+⇔=+ mà 11 +3U= hay 11 +Nên ta có 2 +211 1.2 33 3U = =; 23 +311 1.3 33 3U = =   ; … ; 10 +10 3U=. +Hay dãy nU + là m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu 11 +3U=, công bội 1 +Khi đó 3 10 2 +1 ...2 3 10UU USU= + + ++2 1.2 . 33π=10 +2.3−=1059048 +2.3=29524 +59049= . +Câu 117: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 +2 1; 2nnu +uu n−= += +≥. Tổng 1 2 20 ... Suu u=+++ bằng +A. 202 20.− B. 212 22. C. 202. D. 212 20.− +Lời giải +()112 1 12 1nn n nuu u u−−= +⇔ += + +Đặt 1,nnvu= + ta có12nnvv−= trong đó 12v= +Vậy()nv là cấ p số nhân có s ố hạng đầu 12v= và công bội bằ ng 2, nên s ố hạng tổng quát +nv= 12 1n +nnuv⇒ = −= − +1 2 20 ... Suu u⇒=+++ ()()()1 2 202 1 2 1 ... 2 1= −+ −++ − ( )1 2 202 2 ... 2 20= + ++ − +()20 212. 2 1 20 2 22.S= −− = − +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 30 +Sưu t ầm và biên so ạn DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG +Câu 118: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba +số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. +A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . +Lời giải +Ta gọi ba s ố đó l ần lượt là ,,abc và d là công sai c ủa cấ p số cộng. +Theo đề bài ta có: 1644cadca d= +⇒= = +. +Ngoài ra ()()2 24 16 2 b ac a a a a= ⇔ + = + ⇔= +Suy ra 6, 18bc= = . +Vậy các s ố cần tìm là 2, 6,18 . +Câu 119: Ba s ố dương ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộn g v à c ó t ổng b ằng 30. Biết +2; 2; 18xyz+++ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. Tx z= + +A. 328.T= B. 424.T= C. 296.T= D. 428.T= +Lời giải +Theo tính chấ t của cấ p số cộng, ta có 2 xz y+= . +Kết hợp với giả thiết 30 xyz++= , ta suy ra 3 30 10yy= ⇔= . +Gọi d là công sai c ủa cấ p số cộng thì 10 x yd d=−= − và 10 z yd d=+=+ . +2; 2; 18xyz+++ là cấ p số nhân hay 12 ,12, 28 dd−+ . +Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có : ()()2212 28 12 16 192 0 d d dd− += ⇔+ − = . +()( )8 ; ; 2;10;18 +24 ; ; 34; 10; 14 ( )d xyz +d xyz l= ⇒= += −⇒ = − +22 2218 2 328. Tx z=+= += +Câu 120: Ba số ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng tăng có t ổng b ằng 24. Nếu cộng thêm l ần +lượt các s ố 1, 4, 13 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Tính giá tr ị +biểu thứ c 2 22Px y z=++ . +A. 200. B. 210. C. 220. D. 190. +Lời giải +Ba số ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng có t ổng b ằng 24 nên ta có hệ +phương trình +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 31 +Sưu t ầm và biên so ạn 24 +xz y++= ++=3 24 8yy⇒ = ⇒= . +Ta vi ết lại 3 số ,,xyz lần lượt bằng 8d−, 8, 8d+. +Nếu cộng thêm l ần lư ợt các s ố 1, 4, 13 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố là +9 ,12, 21dd−+ . +Vì ba s ố này theo thứ tự lập thành c ấp số nhân nên ta có phương trình +()()29 21 12dd− += +212 45 0dd⇔+ −=3 +d=⇔=−. +Vì cấp số cộng tăng nên 03dd>⇒=⇒ ba số ,,xyz lần lượt bằng 5, 8, 11 . +Suy ra 2 22 22 25 8 11 210 Px y z=++=++ = . +Câu 121: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba +số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. +A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . +Lời giải +Ta gọi ba s ố đó l ần lượt là ,,abc và d là công sai c ủa cấ p số cộng. +Theo đề bài ta có: 1644cadca d= +⇒= = +. +Ngoài ra ()()2 24 16 2 b ac a a a a= ⇔ + = + ⇔= +Suy ra 6, 18bc= = . +Vậy các s ố cần tìm là 2, 6,18 . +Câu 122: Cho ba s ố a, b, c là ba s ố liên tiế p của m ột cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng s ố thứ nhất +thêm 1, tăng s ố thứ hai thêm 1 và tăng s ố thứ ba thêm 3 thì đư ợc ba s ố mới là ba s ố liên tiế p của +một cấp số nhân. Tính () abc++ . +A. 12. B. 18. C. 3. D. 9. +Lời giải +Chọn D ++) a, b, c là ba s ố hạng liên ti ếp của cấ p số cộng có công sai bằ ng 2d= ⇒ 2 +ca= + += +. ++) Ba số 1a+, 3a+, 7a+ là ba s ố hạng liên ti ếp của m ột cấp số nhân +()()()23 1. 7a aa⇔+ =+ + 2269 87 aa aa⇔ + += + + 22 1aa⇔ =⇔= . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 32 +Sưu t ầm và biên so ạn 3 69 T abc a⇒=++= += . +Câu 123: Cho ba s ố x;5;2y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng và ba s ố x;4;2y theo thứ tự lập thành c ấp +số nhân thì 2xy− bằng +A. 2 10xy−= . B. 29xy−= . C. 26xy−= . D. 28xy−= . +Lời giải +Do ba s ố x;5;2y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng, ta có: () 2 10 1 Sx y= += +Ta lại có ba s ố x;4;2y theo thứ tự lập thành c ấp số nhân nên: () .2 16 2 P xy= = +Từ ()() 1,2 suy ra hai s ố x;2y là nghi ệm của phương trình 2.0 X SX P− += hay +210 16 0 XX− +=2 +X=⇒= +Theo yêu c ầu bài toán 2 28 6xy− =−= +Câu 124: Tính t ổng c ủa cấ p số nhân lùi vô hạ n ()nu biết 11u= và 134,,uuu theo thứ tự là ba s ố hạng liên +tiếp trong m ột cấp số cộng. +2+. B. 51 +2−. C. 1 +51−. D. 2. +Lời giải +()nulà cấp số nhân lùi vô hạ n có công bội q, suy ra 1q ⇔ > ⇔ > +Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25 +Câu 132: Cho tam giác ABC cân t ại đỉnh A, biết độ dài cạ nh đáy BC, đường cao AH và cạ nh bên AB +theo thứ tự lập thành c ấp số nhân vớ i công bội q. Giá tr ị của 2q bằng +2+. B. 22 +2−. C. 21 +2+. D. 21 +Lời giải +Đặt ;; BC a AB AC b AH h= = = = . Theo gi ả thiết ta có ,,ahb lập cấp số nhân, suy ra +2. h ab= Mặt khác tam giác ABC cân t ại đỉnhAnên 22 2 +24abb ahm+= = − +Do đó ()22 2 +224 4 0 22 224bb aab a ab b a b+− = ⇔ + − =⇔= − +Lại có 2b qa= nên suy ra 2 1 22 2 2 1 +42 22 2bqa++= = = = +Câu 133: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bởi 115, . 3nn a a qa+= = + với mọi 1n≥, trong đó q là hằng số, 0q≠ +, 1q≠. Biết công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố viết được dưới dạng 1 +1 1.1n +nqaqqαβ− +−−= +− +. Tính 2αβ+ ? +A. 13. B. 9. C. 11. D. 16. +Lời giải +Cách 1. Ta có: ()1nna k qa k+−= − 3 k kq⇔− =3 +1kq⇔=− +Đặt nnvak= −2 +1 11. . ... .n +n nnv qv q v q v+−⇒== = = +Khi đó ()11 1 +113. . .51nn n +nv qvq ak qq−− − = = −= − − +11 1 3 33 1. 5 . 5 5. 3.1 11 1n +nnqa v kq kq qq qq q− +−− −  −= += − += − + = +  − −− −  . +Do đó: 5; 3αβ= = 2 5 2.3 11αβ⇒ += += . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 36 +Sưu t ầm và biên so ạn Cách 2. Theo gi ả thiết ta có 125, 5 3a aq= = + . Áp dụng công thứ c tổng quát, ta đư ợc +1.1qaqq +qaqqqαβ +−−= +=− +−= +=− ++, suy ra 5 +53q qα ++ , hay 5 +2 5 2.3 11αβ⇒ += += +Câu 134: Cho bốn s ố , ab, , cd theo thứ tự đó tạo thành c ấp số nhân vớ i công b ội khác 1. Biết tổng ba +số hạng đầu bằng 148 +9, đồng th ời theo th ứ tự đó chúng l ần lượt là số hạng th ứ nhất, thứ tư và th ứ +tám c ủa m ột cấp số cộng. Tính giá tr ị biểu thứ c T abcd=−+− . +A. 101 +27T= . B. 100 +27T= . C. 100 +27T=− . D. 101 +27T=− . +Lời giải +Ta có () +2 1 +148 39ac b +++=. +Và cấ p số cộng có 1ua= , 4ub=, 8uc=. Gọi x là công sai c ủa cấ p số cộng. Vì cấp số nhân +có công bội khác 1 nên 0x≠. +Ta có : 3 +ca x= + += + ()4. +Từ ()1 và ()4 ta đư ợc : ()()273 aa x a x+= +290ax x⇔− = . +Do 0x≠ nên 9ax= . +Từ ()3 và ()4, suy ra 1483 109ax+= . +Do đó : 4 +x== 16 +Vậy 100 +27T abcd−=−+−= . +Câu 135: Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nư ớc Italia ngư ời ta th ả một qu ả bóng cao su chạ m xu ống +đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng l ại nảy lên đ ộ cao b ằng 1 +10 độ cao mà qu ả bóng đ ạt trước +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 37 +Sưu t ầm và biên so ạn đó. T ổng đ ộ dài hành trình c ủa qu ả bóng đư ợc thả từ lúc ban đ ầu cho đế n khi nó nằ m yên trên +mặt đất thuộc khoả ng nào trong các kho ảng sau đây? +A. () 67 ;69mm . B. () 60 ;63mm . C. () 64 ;66mm . D. () 69 ;72mm . +Lời giải +Gọi nh là độ dài đư ờng đi c ủa quả bóng ở lần rơi xuống thứ ()*nn∈. +Gọi nl là độ dài đư ờng đi c ủa quả bóng ở lần nảy lên thứ ()*nn∈. +Theo bài ra ta có 155,8h= , 11.55,8 5,5810l= = và các dãy s ố ()nh, ()nl là các c ấp số nhân lùi +vô hạ n với công bội 1 +10q= . +Từ đó ta suy ra t ổng đ ộ dài đư ờng đi c ủa quả bóng là: +()()11 +111068, 211 91110 10hlS hl m = + = += +Câu 136: Để trang trí cho quán trà s ữa sắp mở cửa của mình, bạ n Việt quy ết định tô màu m ột mả ng tư ờng +hình vuông c ạnh bằ ng 1m. Phầ n tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ đư ợc đánh s ố lần lượt là +1, 2,3...n,.. , trong đó c ạnh của hình vuông k ế tiếp bằng m ột nửa cạnh hình vuông trư ớc đó. Gi ả +sử quá trình tô màu c ủa Vi ệt có th ể diễn ra nhi ều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đ ến hình vuông thứ +mấy thì di ện tích c ủa hình vuông đư ợc tô bắ t đầu nhỏ hơn ()2 1 +1000m? +A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 38 +Sưu t ầm và biên so ạn Diện tích c ủa hình vuông l ập thành c ấp số nhân vớ i số hạng đầu tiên là 111,44uq= = . +Do đó s ố hạng tổng quát là ()111 1.144 4n +n nun−= = ≥. Để diện tích c ủa hình vuông tô màu nhỏ +hơn 1 114 1000 51000 4 1000n +nn ⇔ < ⇔ > ⇒≥ . Vậy tô màu t ừ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu +cầu bài toán. +Câu 137: Có bao nhiêu giá tr ị thực của tham s ố m để phương trình ()()() 13 0x x xm− − −= có 3 nghi ệm +phân bi ệt lập thành c ấp số nhân tăng? +A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. +Lời giải +Ta có: ()()()1 +13 0 3x +x x xm x +− − −= ⇔= +Để phương trình có 3 nghi ệm phân bi ệt thì: {}1;3 m∉ . +Trường hợ p 1: 13m<< . +Để 3 số ;1;3m lập thành c ấp số nhân tăng thì: 2 1.3 13mm=⇔= +Cấp số nhân tăng đó là: 1;1;33 +Trường hợ p 2: 13m<< . +Để 3 số 1; ;3m lập thành c ấp số nhân tăng thì: 2 31.3 +m== ⇔ +Đối chi ếu điều kiện 13m<< ta ch ọn 3 m= . +Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3 ;3 +Trường hợ p 3: 13 m<< . +Để 3 số 1;3; m lập thành c ấp số nhân tăng thì: 21. 3 9mm=⇔= +Cấp số nhân tăng đó là: 1;3;9 +Vậy 1; 3;9 +3m∈ thì phương trình ()()() 13 0x x xm− − −= có 3 nghi ệm phân bi ệt lập thành +cấp số nhân tăng. +Câu 138: Biết rằng tồn tại đúng hai gi á trị của tham s ố m để phương tr ình ()32 27 2 6 80x x m mx− + + −= +có ba nghi ệm phân bi ệt lập thà nh m ột cấp số nhân. T ính tổng l ập phương c ủa hai gi á trị đó. +A. 342− . B. 216− . C. 344. D. 216. +Lời giải +Giả sử phương tr ình đã cho có 3 nghi ệm là: 123,,xxx . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 39 +Sưu t ầm và biên so ạn Theo đị nh lí Viet, t ích 3 nghi ệm: 123 8dxxxa= −= . +Vì ba nghi ệm này lập thà nh m ột cấp số nhân nên 2 +2 13x xx= . Do đó ta có: 3 +2282 xx= ⇔= . +Thay 2x=vào phương tr ình ta đư ợc: ()2 14 6 287mmmm=+= ⇔=−. +Theo gi ả thiết hai gi á trị này của m đều nhậ n. +Tổng l ập phương c ủa hai gi á trị m là: ()3 31 7 342+− = − . +Câu 139: Cho dãy s ố ()nu là m ột cấp số nhân có s ố hạng đ ầu 11u=, công bội 2q=. Tính t ổng +1 5 2 6 3 7 20 24111 1... Tuu uu uu u u= + + ++−−− −. +15.2−. B. 20 +15.2−. C. 19 +15.2−. D. 20 +Lời giải +()()()()1 5 2 6 3 7 20 24 +1 2 3 20 +1 2 3 20 +4 2 19 +11 1 1 +4 2 19 +1111 1... +111 1... +1 111 1...1 +1 11 1 1...1 +1 1 11 1. 1 ...1 +11..1 1Tuu uu uu u u +u qu qu q u q +qu u u u +q u uq uq uq +qu qq q +q= + + ++−−− − += + + ++ += + + ++− += + + ++− += ++ ++ − +−=−−() +()2020 +4 19 19 +11 1 1 12..1 1 15.21q +q u qq− −= =−− +Câu 140: Với hình vuông 111 1ABCD như hình vẽ bên, cách tô màu như ph ần gạch sọc đư ợc gọi là cách tô +màu “đ ẹp”. M ột nhà thi ết kế tiến hành tô màu cho m ột hình vuông như hình bên, theo quy trình +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 40 +Sưu t ầm và biên so ạn Bước 1: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 111 1ABCD . +Bước 2: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 222 2ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình +vuông 111 1ABCD thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ . +Bước 3: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 333 3ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình +vuông 222 2ABCD thành 9 phần bằng nhau. C ứ tiếp tục như vậ y. Hỏi cần ít nhấ t bao nhiêu bư ớc +để tổng di ện tích ph ần được tô màu chi ếm 49,99% . +A. 9 bước. B. 4 bước. C. 8 bước. D. 7 bước. +Lời giải +Gọi diện tích đư ợc tô màu ở mỗi bư ớc là nu, *n∈. Dễ thấy dãy các giá tr ị nu là m ột cấp số +nhân vớ i số hạng đầu 14 +9u= và công bội 1 +Gọi kS là tổng c ủa k số hạng đầu trong c ấp số nhân đang xét thì () 1 1 +Để tổng di ện tích phầ n được tô màu chi ếm 49,99% thì () 1 1 +0, 4999 3,81kuq +≥ ⇔≥−. +Vậy cần ít nhấ t 4 bước. +Câu 141: Cho hình vuông ()1C có cạ nh bằ ng a. Ngư ời ta chia m ỗi cạnh của hình vuông thành bốn phầ n +bằng nhau và nối các đi ểm chia m ột cách thích hợ p để có hình vuông ()2C. +Từ hình vuông ()2C lại tiếp tục làm như trên ta nh ận được dãy các hình vuông 1C,2C, 3C,., +3T= , tính a? +A. 2. B. 5 +2. C. 2. D. 22 . +Lời giải +Cạnh của hình vuông ()2C là: 22 +23 1 10 +44 4aa aa= +=. Do đó di ện tích 2 +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 41 +Sưu t ầm và biên so ạn Cạnh của hình vuông ()3C là: 222 +32 210 3 1 10 +44 4 4aaa a a  = += =      . Do đó di ện tích +88S aS= =. Lý lu ận tương t ự ta có các 1S,2S, 3,... ...n SS . tạo thành m ột dãy c ấp số +nhân lùi vô hạ n có 11uS= và công bội 5 +1STq=−28 +3a= . Với 32 +3T= ta có 242 aa=⇔= . +Câu 142: Cho năm s ố a, b, c, d, e tạo thành m ột cấp số nhân theo thứ tự đó và các s ố đều khác 0, biết +1111110abcde++++= và tổng c ủa chúng b ằng 40. Tính giá tr ị S với S abcde= . +A. 42S=. B. 62S=. C. 32S=. D. 52S=. +Lời giải +Gọi q ()0q≠ là công bội c ủa cấ p số nhân a, b, c, d, e. Khi đó 1 +e là cấ p số nhân +có công bội 1 +Theo đề bài ta có +1111110abcde +abcde++++=++++= 5 +51. 401 +1. 1011qaq +q−=− +⇔−= +41. 401 +11. 101qaq +aq q−=−⇔−=−244 aq⇔= . +Ta có S abcde=234.. . .a aq aq aq aq=5 10aq= . +Nên ()22 5 10S aq=()524 54 aq= = . +Suy ra 54 32 S= = . +Câu 143: Cho dãy s ố ()nuthỏa mãn 1 12 2 +3 nnu uu u +u un++ −=+ += ∀∈ . Giá tr ị nhỏ nhất của n để 20182.3nu≥ bằng: +A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2010 +Lời giải +()1 12 2 +15 5 6 1 +3 2nnu uu u +u un++ −=+= ∀∈. +Từ ()1có ()2 +1 12 2 12 12 5 5 6 5 5 60u uu u uu uu+− = + ⇔ −+− − = +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 42 +Sưu t ầm và biên so ạn 12 125 25 4uu uu⇔ −= ⇔ −= . +Từ ()2 có 1 2133nnu uuu+= ⇒= . Giải hệ 12 += được 12u=. +Dãy ()nu là cấ p số nhân vớ i 12 += có SHTQ: 12.3n +nu−= với * n∈ +2018 1 20182.3 2.3 2.3 1 2018 2019n +nu nn−≥⇔ ≥⇔ − ≥ ⇔ ≥ . +Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t thỏa mãn là 2019 . +Câu 144: Tìm tấ t cả các giá tr ị của tham s ố m để phương trình sau có ba nghi ệm phân bi ệt lập thành m ột +cấp số nhân: ()32 27 2 6 80x x m mx .− + + −= +A. 7 m.=− B. 1m.= +C. 1 m=− hoặc 7m.= D. 1m= hoặc 7 m.=− +Lời giải ++ Điều kiện cần: Gi ả sử phương trình đã cho có ba nghi ệm phân bi ệt 123x ,x ,x lập thành m ột +cấp số nhân. +Theo đị nh lý Vi -ét, ta có 123 8 xxx .= +Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có 2 +13 2xx x=. Suy ra ta có 3 +2282x x.= ⇔= +Với nghi ệm x=2, ta có 2 16 707mmmm=+ −=⇔=− ++ Điều kiện đủ: V ới 1m= hoặc 7 m=− thì 267 mm+= nên ta có phương trình +327 14 8 0xx x .− + −= +Giải phương trình này, ta đư ợc các nghi ệm là 124,,. Hiển nhiên ba nghi ệm này l ập thành m ột +cấp số nhân vớ i công bôị 2q.= +Vậy 1m= và 7 m=− là các giá tr ị cần tìm. Chọn đáp án D. +Câu 145: Bốn góc c ủa m���t tứ giác t ạo thành c ấp số nhân và góc l ớn nhấ t gấp 27 l ần góc nhỏ nhất. Tổng +của góc l ớn nhấ t và góc bé nhấ t bằng: +A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 . +Lời giải. +Giả sử 4 góc A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành c ấp số nhân thỏa yêu cầ u với công bội .q Ta +331 360 3609 252.27 27243qA qq q ABCDA ADDA Aq AD Aq                        +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 43 +Sưu t ầm và biên so ạn Câu 146: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên của m ỗi tầng bằng nữa diện +tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa +đế tháp. Tính di ện tích m ặt trên cùng. +A. 26.m B. 28.m C. 210 .m D. 212 .m +Lời giải +Diện tích bề mặt của mỗi tầng lập thành m ột cấp số nhân có công bội 1 +2q và +112 2886 144.2u Khi đó di ện tích m ặt trên cùng là +11 1 10614462u uq +Câu 147: Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất +bằng 1 +9 số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó. +A. 00 0 05 ,15 , 45 , 225 . B. 0 00 09 , 27 ,81 , 243 . C. 000 07 , 21 ,63 , 269 . D. 000 08 ,32 ,72 , 248 . +Lời giải +Gọi các góc của t ứ giác là 23,, , ,a aq aq aq trong đó 1.q> +Theo gi ả thiết, ta có 21 +9a aq= nên 3.q= +Suy ra các góc củ a tứ giác là ,3 ,9 ,27 .aaa a +Vì tổng các góc trong t ứ giác b ằng 0360 nên ta có:03 9 27 360aaa a+++ =09.a⇔= +Do đó, phương án đúng là B. +Câu 148: Cho cấp số nhân ()na có 17,a=6224 a= và 3577.kS= Tính giá trị của biểu thức ()1.k Tk a= + +A. 17920.T= B. 8064.T= C. 39424.T= D. 86016.T= +Lời giải +Ta có 6224 a=5 +1 224 aq⇔= 2q⇒= . +Do ()()11 +72 11k += = −− nên 3577kS=() 7 2 1 3577k⇔ −=922k⇔= 9.k⇔= +Suy ra 8 +9110 10 17920.T a aq= = = +Vậy phương án đúng là .A +Câu 149: Các s ố 6 , 5 2 , 8xy xy x y theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng; đ ồng th ời các s ố +1, 2 ,   3x y xy theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. xy +A. 2240. xy B. 2225. xy C. 22100. xy D. 2210. xy +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 44 +Sưu t ầm và biên so ạn Theo gi ả thiết ta có  +26 8 25 2 +13 2xy x y xy +x xy y      + 2233 6.2 3 13 3 2 0 2xy xy x +y y yy y y                 +Suy ra 2240. xy Chọn A +Câu 150: Ba số ; ; xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân vớ i công bội q khác 1; đồng th ời các s ố +; 2 ; 3x yz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng v ới công sai khác 0. Tìm giá tr ị của q. +A. 1.3q B. 1.9q C. 1.3q D. 3. q +Lời giải + 2 +20 ;3 4 3 410 . +3 22 3 4 10x y xq z xqx xq xq x q q +xz y qq                  +Nếu 00x yz công sai c ủa cấp số cộng: ;2 ;3xyz bằng 0. +Nếu 2113 4 10 . 13 +qq q q +q      +Câu 151: Các s ố 6,xy+ 5x 2 , y+ 8x y+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng, đồng th ời, các s ố 5,3x+ +1,y−2x 3 y− theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Hãy tìm x và $y.$ +A. 3, 1 xy= −= − hoặc 31,.88xy= = B. 3, 1xy= = hoặc 31,.88xy= −= − +C. 24, 8xy= = hoặc 3, 1 xy= −= − .D. 24, 8 xy= −= − hoặc 3, 1xy= = +Lời giải ++ Ba s ố 6, 5 2, 8x yx yxy+++ lập thành c ấp số cộng nên +()()() 6 8 25 2 3x y xy x y x y+ + + = + ⇔= . ++ Ba s ố 5, 1, 2 33x y xy+−− lập thành c ấp số nhân nên ()()2 523 13x xy y+ −= −. +Thay 3xy= vào ta đư ợc 28 7 10 1yy y+ −=⇔ = − hoặc 1 +Với 1 y=− thì 3 x=− ; với 1 +8y= thì 3 +Câu 152: Ba số ,,xyz lập thành m ột cấp số cộng và có t ổng b ằng 21. N ếu lần lượt thêm các s ố 2;3 ;9 vào +ba số đó thì đư ợc ba s ố lập thành m ột cấp số nhân. Tính 2 22. Fx y z=++ +A. 389.F= hoặc 395.F= B. 395.F= hoặc 179.F= +C. 389.F= hoặc 179.F= D. 441F= hoặc 357.F= +Lời giải +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP S��� NHÂN +Page 45 +Sưu t ầm và biên so ạn Theo tính chấ t của cấ p số cộng, ta có 2 xz y+=. +Kết hợp với giả thiết 21 xyz++=, ta suy ra 3 21 7yy= ⇔=. +Gọi d là công sai c ủa cấ p số cộng thì 7 x yd d=−=− và 7 z yd d=+=+. +Sau khi thêm các s ố 2;3 ;9 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố là 2, 3, 9xyz+++ hay +9 ,10,16dd−+. +Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có ()()229 16 10 7 44 0d d dd− += ⇔+−=. +Giải phương trình ta đư ợc 11 d=− hoặc 4d=. +Với 11 d=− , cấp số cộng 18,7, 4−. Lúc này 389F= . +Với 4d=, cấp số cộng 3,7,11. Lúc này 179F= . +Câu 153: Cho bố số ,,,abcd biết rằng ,,abc theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân công bội 1q; còn +,,bcd theo thứ tự đó lập thành c ấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad và 12. bc +A. 18 73.24q B. 19 73.24q C. 20 73.24q D. 21 73.24q +Lời giải +Giả sử ,,abc lập thành cấp số cộng công bội .q Khi đó theo giả thiết ta có: +12 312b aq c aqaq d aq +bd cad +aq qbc              +Nếu 00q bc d +Nếu 1; 0 q b ac a b c       . +Vậy 0, 1,q q   từ và ta có: 14da và 212aqq thay vào ta được: + 23 +212 14 14 12 2412 7 13 6 0 +191 12 19 673024q qq qqq qqq qq qq +q qq q      +   +Vì 1q nên 19 73.24q Chọn B +Câu 154: Một ngư ời đem 100 tri ệu đồng đi g ửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, m ỗi tháng lãi su ất là 0, 7% +số tiền mà ngư ời đó có. H ỏi sau khi hế t kỳ hạn, ngư ời đó đư ợc lĩnh về bao nhiêu ti ền? +A. ()5 810 . 0,007 B. ()5 810 . 1,007 C. ()6 810 . 0,007 D. ()6 810 . 1,007 +Lời giải +Số tiền ban đầu là 8 +010 M= . +Đặt 0,7% 0,007r= = . +Số tiền sau tháng thứ nhất là ()100 0 1 M M Mr M r= += + . +CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN +Page 46 +Sưu t ầm và biên so ạn Số tiền sau tháng thứ hai là ()2 +2 11 0 1 M M Mr M r= += + . +Lập luận tương t ự, ta có s ố tiền sau tháng thứ sáu là ()6 +60 1 MM r= +. +Do đó ()6 8 +610 1,007 M= . +Câu 155: Tỷ lệ tăng dân s ố của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân c ủa tỉnh M hi ện nay là 2 tri ệu ngư ời. Nếu +lấy kết quả chính xác đế n hàng nghìn thì sau 9 năm nữ a số dân c ủa tỉnh M s ẽ là bao nhiêu? +A. 10320 nghìn ngư ời. B. 3000 nghìn ngư ời. C. 2227 nghìn ngư ời. D. 2300 nghìn ngư ời. +Lời giải +02000000 2.10P= = và 1, 2% 0,012r= = . +Gọi nP là số dân của tỉnh M sau n năm nữa. +Ta có: ()1 1n nn nP P Pr P r+= += + . +Suy ra ()nP là một cấp số nhân với số hạng đầu 0P và công bội 1qr= + . +Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: ()()9 10 6 +90 1 2.10 1,012 2227000 PM r= += ≈ . +Câu 156: Tế bào E. Coli trong đi ều kiện nuôi c ấy thích hợ p cứ 20 phút l ại nhân đôi m ột lần. Nếu lúc đ ầu +có 1210 tế bào thì sau 3 gi ờ sẽ phân chia thành bao nhiêu t ế bào? +Lời giải +Lúc đầu có 2210 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số +nhân với 22 +110u= và công bội 2q=. +Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9lần phân chia tế bào. Ta có 10u là số tế bào +nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là 9 12 +10 1 512.10 u uq= = . + + + + +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +Cho dãy s +. Tìm s +ố hạng thứ +ã cho. +Cho dãy s +ệnh đề n +ào sau đây đúng? +Cho dãy s +ởi công thức tổng quát +. Khi đó +Cho dãy s +ợc cho bởi công thức tổng quát +.Khi đó +B. 0,5 +Trong c +sau, d +sin +2 5; 2 ; ; +n n n n +u n u u u +     +bao nhiêu d +y tăng +nh tăng, gi +A. Tăng, ch +n trên +D. Tăng, ch +n trên +; ; sin 4 +u u n u n +     +bao nhiêu +Cho dãy s +ó bao nhi +ằng 1 ? +bao nhiêu s +nguyên âm a l +y tăng +A. Tăng, b +C. Tăng, ch +n trên +ông th +ên chia +t cho 3 +A. Tăng +C. Tăng, ch +n trên +n trên +D. Không b +nh tăng, gi +A. Tăng +C. Không tăng, không gi +Không đ +ông th +n trên +D. Không b +tăng, g +A. Tăng, b +C. Không b +ên 8;15;22;29;36. S +nh phương +B. Chia h +t cho 10 +c dương +D. > 200 +bao nhiêu s +u tiên +1;3;19;53. S +A. 323 +B. 140 +C. 117 +D. 282 +A. 100 +ả bao nhi +ính ph +A. 501 +B. 100 +C. 402 +ả bao nhi +ạng nguy +A. 8850 +B. 4520 +C. 3210 +D. 6290 +tăng, gi +A. Tăng, b +C. Không b +ả bao n +ời gửi v +ào ngân hàng 150 tri +ệu đồng theo thể thức l +ãi kép v +ất 8% một năm. +Sau 4 năm ngư +ời đó rút tất cả tiền ra. Hỏi ng +ời đó nhận đ +ợc tất cả bao nhi +ả vốn lẫn l +198.000 +204.073.344 +201.730.344 +203.327.214 +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân h +/tháng. Bi +ết rằng nếu +không rút ti +ền khỏi ngân h +ng thì c +ứ sau mỗi tháng, số tiền l +ợc nhập v +ốn ban đầu để tính +lãi cho tháng ti +ếp theo. Hỏi s +au đúng +tháng, ngư +ời đó lĩnh số tiền +ần nhất với số tiền n +ới đây, +ếu trong khoảng thời gian n +ày ngư +ời đó không rút tiề +n ra và lãi su +ất không thay đổi? +102.424.000 +102.423.000 +102.016.000 +102.017.000 +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +Cho dãy s +ng quát +a dãy s +Cho dãy s +Cho dãy s +ằng số). Hỏi +ố hạng n +ào sau đây? +Cho dãy s +ịnh bởi +u u u n n +     +. Giá tr +Cho dãy s +ố hạng thứ bao nhi +ạng nh +B. 3,75 +C. 2,25 +D. 4,25 +ó bao nhi +ính ph +Cho dãy s +ả bao nhi +ạng nguy +Cho dãy s +ịnh bởi +. Tìm s +ố hạng +Cho dãy s +ộc kho +A.(1;3) +B. (8;10) +. (3;4) +D. (4; +ịnh bở +. Có bao nhiêu s +ố hạng của d +ố có giá trị bằng +Cho dãy s +ng quát là +. Khi đó +a dãy s +S u u u n +     +. Tính +C. 0,5 +Cho dãy s +. Tìm s +ố hạng thứ +Cho dãy s +ố có tổng +ố hạng đầu ti +ợc tính bởi công thức +ố hạng thứ t +Cho dãy s +ịnh bởi +2017sin 2018cos +ệnh đề n +ới đây +ạng nh +bao nhi +nào sau đây là d +ố tăng +sin +2 4; 3 ; 2 +u n n v n n t n +      +Cho dãy s +ịnh bởi +ó bao nh +ạng nguy +Trong các dãy s +ịnh bởi số hạng tổng quát +sau, h +ào là dãy s +ố giảm? +Cho dãy s +. Dãy s +là dãy s +ị chặn d +ới bởi 2. +ị chặn tr +Trong các dãy s +ố sau đây, d +ào là dãy s +ố giảm? +2 2 3 2 +4; ( 1) 3 ; 2 +u n n v a n n t n +       +Cho dãy s +Cho dãy s +ó bao nhi +ính ph +u n n v t +     +Cho dãy s +C. 1,25 +D. 0,5 +bao nhi +ống nh +ông th +1 cos ; ; +2 2 4 5 +    +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Cho dãy s +. Trong d +ó bao nhi +Trong các dãy s +ợc cho bởi số hạng tổng quát sau đây, d +ào là dãy s +ố giảm? +    +ã cho c +ả bao nhi +Trong các dãy s +ố sau, d +ào là dãy s +ố giảm? +ợc gọi l +à dãy s +ố tăng nếu với mọi số tự nhi +ó bao nhi +au đây là d +2 3, * +cos 2 1 , * +Cho dãy s +. Tìm s +ố hạng +đa bao nh +ống nhau ? +ông th +Trong các dãy s +ởi số hạng tổng quát +sau, dãy s +ào là dãy s +ố giảm? +ào có công th +ức số hạng tổng quát d +ới đây l +à dãy s +ố tăng? +2020 3 +2018 2 +ó bao nhi +i bao nhiêu s +hơn 1000 +u n n n +ó bao nhi +ùng gi +ằng 6 ? +đa bao nhi +ính ph +ông th +Cho dãy s +. Dãy s +à dãy s +ị chặn tr +ị chặn d +ới bởi 2 +ông th +ổng qu +ó bao nhi +nào sau đây là d +ố tăng: +sin +Trong các dãy s +ợc cho bởi số hạng tổng quát sau đây, d +ào là dãy s +ố tăng? +1 5 1 , +     +1 sin , +    +u a n a n +      +. Dãy s +là dãy t +ăng khi và ch +Cho dãy s +ịnh bởi: +ẳng định n +ào sau đây +là dãy s +ố tăng +ố hạng đầu của d +Cho dãy s +5 5 , * +u a n a n +      +. Dãy s +là dãy s +ố giảm khi v +ông th +ổng qu +ó bao nhi +ạng trong d +69000 960000 +ằng 7 ? +ạng th +ứ bao nhi +ạng lu +Trong các dãy s +ố sau, d +ào là dãy s +ố giảm? +bao nh +960 6900 +ồng th +B. 420 +D. 280 +nào sau đây là d +ố bị chặn? +, trong c +10 11 2023 +, ,..., +ó bao nhi +A.1007 +B. 1006 +D. 960 +Trong các dãy s +sau đây, d +ị chặn? +ông th +ổng qu +ó bao nhi +ính ph +ó bao nhi +ơn 1000 +ố hạng tổng quát +    +ẳng định n +ào sau đây +là dãy s +ị chặn tr +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +u n u m +ỏi hai d +bao nhi +ùng nhau +rong các dãy s +ố sau đây l +à dãy s +ố bị chặn? +u u n n +    +u u n n +   +u u n n +ó bao nhi +ính ph +ương nh +1.3 2.4 ( 2) +    +A. Tăng, b +ó bao nhi +ố nguy +ương chia +ết cho 4 +ếp theo t +ạng bao nhi +ạng kh +ông nh +ơn 2023 ? +C. 509 +D. 510 +ính ch +tăng, gi +1.3 3.5 (2 1)(2 1) +    +A. Tăng, b +C. Khô +A. 1786 +B. 1802 +C. 1572 +D. 1527 +nh tăng, gi +     +ính ph +ương l +ếp theo th +ạng trong d +ào trong các dãy +đây là d +ố bị chặn tr +u u n n N +u u n n N +    +u u n n N +u u n N +ả bao nhi +Cho dãy s +ịnh bỏi +sin +ẳng định n +ào sau đây đúng? +ố hạng thứ +ị chặn. +là dãy s +ố tăng. +là dãy s +ố giảm. +ao nhi +ại bao nhi +ố chia cho 4 d +ạng nguy +ó bao nhi +ông th +ổng qu +2 ; 3 1; 5 +u n n v n n t n n +         +ông th +ổng qu +8 20 1 5 +1 100 2 3 1 +n n n n +u v t h +n n n n n +    +     +ứa nhi +ạng nguy +ông th +ổng qu +1 ; 3 4; +u n n v n t +      +ông th +ổng qu +ính ch +ăng, b +ính ch +10 2023 +ạng nh +ạng th +20 2023 +ống nhau +u n n n +    +ó bao nhi +ạng trong d +u n n n +, trong d +ó bao nhi +ằng 10 +Cho dãy s +sin +C. 0,5 +Cho dãy s +u n an +ổng qu +3 2 3 1; ; +u n n v t n +       +à a, s +à b. T +ính a + b. +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ứ hai c +ại bao +ằng 2023 ? +D. 1,5 +Sinh nh +a An vào ngày +tháng năm. An mu +n mua m +t món quà sinh nh +t cho b +n nên quy +ng heo +ng vào +, sau đó c +liên t +c ngày sau hơn ngày trư +n ngày sinh nh +n, An đ +ã tích l +c bao nhiêu ti +n? (th +i gian b +heo tí +n ngày +738.100 +726.000 +714.000 +750.300 +ạng th +ứ bao nhi +ạng th +ạng th +ạng th +ả bao nhi +ạng nguy +C. 0,75 +sin +ó bao nhi +ơn 100 +ó bao nhi +ơn 1 tri +ính ph +( 1) 10 +; ; 10 +u v t n n +    +ạng nh +1 2 1 1 +( 1) 2 3 +i ta thi +t cái tháp g +m 11 t +ng, di +n tích b +t trên c +n tích c +t trên c +ng ngay dư +i và di +n tích m +n tích đ +tháp (có di +n tích là +12288m +). Tính di +n tích m +ên cùng +B. 8m +C. 10m +D. 12m +ông nh +ả bao nhi +sin +; 3; 2 +u v n n t +      +ạng nh +ằm trong kho +70 110 +ố chia h +ết cho +đang ti +t cây guita +r. Trong tu +u tiên, anh ta đ +đô la, và trong m +t theo, anh ta đ +đô la vào tài kho +a mình. Cây guitar Hùng c +n mua có giá +i vào tu +bao nhiêu thì anh +y có đ +mua cây guitar đó? +3 2021 +ố chia h +ết cho +bao nhi +u n n n +     +ó bao nhi +B. 1,5 +D. 1,5 +ạng nh +Cho dãy s +ịnh bởi +u u n n +. Tìm s +ố tự nhi +ỏ nhất để +u n an +ố nguy +ương a +ã cho l +ạng nh +ó bao nhi +ố nguy +2 7 2 2 +    +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ó bao nhi +ạng nh +ơn 1000 v +ính ph +ó bao nhi +trong c +100 101 200 +, ,..., +ó bao nhi +B. 200 +C. 101 +ó bao nhi +ông th +ổng qu +ởi kho +trong c +100 101 200 +, ,..., +ó bao nhi +ính ph +cos sin +ó bao nhi +ạng nguy +ông th +ổng qu +sin ; 6 ; +u v n n t +     +ố nguy +ương k +ông th +ổng qu +ởi kho +B. 150 +àng th +ứ n trong h +h 1, g +ổng di +àng th +ứ n trong +ình 2 (m +ông nh +ích). D +ông th +ổng qu +Cho dãy s +sin +ạng th +ứ 100 th +ó bao nhi +ằng nhau +Cho dãy s +. Trong các m +ệnh đề d +ới đây, mệnh đề n +ào đúng? +ố giảm v +ị chặn +là dãy s +ố tăng v +ị chặn tr +là dãy s +ố giảm v +à không b +ị chặn d +là dãy s +ố tăng v +à không +ị chặn tr +2023 2024 +đa bao nhi +ạng gi +ống nhau +ông th +Cho dãy s +. Tìm m +ệnh đề đúng. +ị chặn d +ị chặn. +ỉ bị chặn tr +Cho dãy s +sin +ẳng đị +nào sau đây là đúng? +ố giảm +ố tăng +ố hạng thứ +sin +là dãy s +ố không bị chặn +ởi kho +ạng trong d +ông th +5 ( 1) 1 +ạng trong d +ông th +u n n n +ó bao nhi +ạng trong d +1000 1000 9000 +3 11 8 +ì tron +ả bao nhi +Thanh v +ợc tuy +ông ty c +ông ngh +ợc cam k +ương n +à 200 tri +ếp theo +ăng th +25 tri +ồng. G +ương v +anh Th +ệc cho c +ó. Khi +200; 25; 2 +s s s n +    +ương c +ủa anh Thanh v +ệc cho c +300 tri +B. 250 tri +C. 320 tri +50 tri +ăng, b +3 21 3 +u n n n n +     +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +ấp số cộng +0,1; 0,1. +ố hạng thứ +ủa cấp số cộng n +ấp số cộng +đáp án khác. +4, 10. +Công sai c +ấp số cộng có +ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau +ấp số cộng +. Tìm s +ố hạng +Tìm công sai +ủa cấp số cộng hữu hạn biết số hạng đầu +ố hạng cuối +. Giá tr +ấp số cộng +ố hạng thứ 7 +ủa cấp số cộng n +A. 299 +B. 240 +C. 180 +. Công sai c +t ba s +ng xen gi +ng ba s +t thêm +7;x;11;y theo th +5 ;7 2 ;17 +theo th +nh 3m + 4. +Cho hai s +23, vi +t xen gi +a hai s +u tiên l +5;9;13;17. S +c nguyên dương l +i bao nhiêu +8 2 ; 3 5; 3.2 5; +n n n n +u n u n u u +       +u tiên l +5, công s +ai d = 3. S +bao nhiêu ? +5;x;15;y theo th +nh 3x + 2y +Tam gi +c ABC c +ng, trong đ +đo hai g +ng 5, s +ng 40. S +100 khi đ +A. 400 +B. 500 +C. 420 +D. 160 +ng 100 s +u tiên c +ng. Hai ch +a S khi đ +100 99 +B. 24,5 +C. 10,25 +D. 26,25 +n góc c +giác ABCD l +p thành m +ng và góc A b +ng 30 đ +, tìm các góc còn l +A. 75 đ +, 120 đ +B. 72 đ +, 114 đ +, 156 đ +, 110 đ +, 150 đ +D. 80 đ +, 135 đ +ng bao nhiêu s +u tiên c +nguyên dương chia h +t cho 3, t +ng 50 s +yên dương đ +u tiên b +A. 7650 +B. 7500 +C. 3900 +D. 3825 +u tiên +4; 5 ; 4 +ng n s +u tiên c +1, công sai l +u tiên l +561. Khi đ +D. 100 +i ta tr +ng cây theo hình tam giác v +i quy lu +hàng th +t có 1 cây, +hàng th +hai có 2 cây, +hàng th +ba có 3 cây,.. +hàng th +n có n cây. Bi +ng ngư +i ta tr +t 4950 cây. H +ng theo cách trên l +à bao nhiêu ? +C. 100 +D. 101 +g 12 s +ng 144 v +i hai b +ng 23, khi +công sai d c +Trên m +t bàn c +có nhi +u ô vuông, ngư +i ta đ +vào ô đ +u tiên, sau đó đ +u hơn ô th +t là 5, ti +t vào ô th +u hơn ô th +hai là 5,..và c +n ô th +ô trên bàn c +i ta ph +ng 25450 h +i bàn c +có bao nhiêu ô ? +B. 100 +ng n s +u tiên c +B. 69,5 +C. 49,5 +1 2 3 4 ... (2 1) 2 +       +C. 720 +D. 1440 +12; 18 +D. 140 +Chu vi c +t đa giác là 158cm, s +đo các c +a nó l +i công sai d = +3cm, bi +t là 44cm, s +a đa giác là +sao cho +14 14 14 +theo th +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +ấp số cộng +. Tìm s +ố hạng +ấp số cộng +ố hạng thứ +ủa cấp số cộng n +A. 299 +C. 180 +ấp số cộng +ố hạng đầu +và công sai +ố 100 l +ố hạng thứ mấy của cấp số +ấp số cộng +. Công sai c +ủa cấp số cộng đ +ã cho b +ột cấp số cộng có số hạng đầu +công sai +ỏi bắt đầu từ số hạn +g nào c +ủa cấp số +ó thì nó nh +ận giá trị âm. +ấp số cộng +Khi đó +ấp số cộng +. Tìm s +ố hạng đầu ti +và công sai +ủa cấp số cộng? +ấp số cộng +có công sai là. +ấp số cộng +. Giá tr +m công sai c +A. d = 2 +B. d = 3 +C. d = 5 +D. d = 0,5 +m công sai d c +A. d = 3 +B. d = 4 +C. d = 5 +D. d = 6 +u a, b, c theo th +o sau đây l +C. 2b;a;c +D. 2b; +t sàn t +t ngôi nhà cao hơn m +t sân 0,5m. C +u thang đi t +t lên t +ng hai +c cao 19cm. Ký hi +n so v +t sân. Vi +t công th += 0,18n + 0,32 m += 0,18n ++ 0,5 m += 0,5n + 0,18 m += 0,5n +0,32 m +t tam gi +c vuông t +a tam gi +A. 30 đ +B. 20 đ +t tam gi +c vuông c +chu vi b +ng 3 v +ng. Hi +A. 0,5 +C. 0,25 +D. 0,75 +u tiên b +ng 5 v +ng 50 s +u tiên b +ng 5150. T +o sau đây đ +u u n d +t thêm 999 s +2018 đ +1001 s +1009,5 +C. 1010 +D. 1010,5 +ng 28 v +nh phương c +276. T +A. 585 +B. 161 +C. 404 +D. 276 +ng liên ti +nh phương c +ng 120. +t trong đ +công sai dương v +ng sai. +ng n s +A. 151 +a hai s +C. 100 +ng liên ti +ng 3 v +nh phương c +t đa gi +158cm, s +i công sai d = 3cm. +a đa gi +i ba c +t tam gi +i chu vi b +ng 24. Đ +1 2 2 3 1 3 +u u u u u u +ao nhiêu tr +n hơn 2018 +A. 287 +B. 289 +C. 288 +D. 286 +ng n s +u tiên c +. Công sai c +3 2 34 +   +4 4 30 +S u u u +    +c ABCD c +A. 165 đ +B. 156 đ +C. 135 +D. 150 đ +A. 50,5 +B. 100,5 +C. 150,5 +ng n s +u tiên c +ng n s +p theo. T +Cho ba s +ng 15, t +ng 80 v +m công sai c +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +Tìm công sai +ủa cấp số cộng hữu hạn biết số hạng đầu +ố hạng cuối +. Giá tr +ấp số cộng +0,1; 0,1. +ố hạng thứ +ủa cấp số cộng n +i ta thi +t cái tháp g +m 11 t +ng, di +n tích b +t trên c +n tích c +t trên c +ng ngay dư +i và di +n tích m +t trên c +n tích đ +tháp (có di +n tích là +12288m +). Tính di +n tích m +ên cùng +B. 8m +C. 10m +D. 12m +ấp số cộng +. Công sai c +ủa cấp +ố cộng đ +ã cho b +ột cấp số cộng có số hạng đầu +công sai +ầu từ số hạng n +ủa cấp số +ộng đó th +ận giá trị âm. +ấp số cộng +Khi đó +ấp số cộng +. Tìm s +ố hạng đầu ti +và công sai +ủa cấp số cộng? +Trong d +i hè 2017 b +n A th +bóng cao su +cao 3m so v +bóng l +y lên m +hai ph +n ba đ +n rơi trư +ng quãng +ng bóng đ +ã bay (tính t +lúc th +bóng cho đ +n lúc bóng khô +a) kho +A. 13m +B. 14m +C. 15m +D. 16m +ấp số cộng +có công s +ai là. +theo th +ứ tự n +ày là ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số cộng +ấp số cộng +. Giá tr +hàng đ +và công sai +ấp số cộng biết +ổng 15 số hạng đ +ầu của cấp số cộng đó bằng +ấp số cộng +t gia đ +n khoan m +t cái gi +thuê m +i khoan gi +t giá c +khoan đ +u tiên là +80.000 +mét khoan th +hai giá c +i mét khoan tăng thêm +ng so v +a mét khoan trư +c đó. Bi +i khoan sâu xu +i có nư +bao nhiêu ti +oan cái gi +ng đó? +4.000.000 +10.125.000 +52.500.000 +52.500.000 +ấp số cộng +ịnh bởi +ố hạng thứ mấy của cấp số cộng? +m hai ch +2020 1 +nh tam giác vuông có đ +dài là các s +nguyên dương l +p thành m +nh có th +2 8 9 15 +u u u u +    +ng 16 s +u tiên c +A. 100 +B. 400 +C. 320 +D. 510 +Chu vi m +t đa giác +đo các c +a nó l +p thành m +i công sai +a đa giác đó là? +10 20 5 10 +u u u u +90 210 150 +10 30 20 +10 30 20 +2018; 5 +ng bao nhiêu c +A. 405 +B. 406 +C. 403 +D. 404 +ất cả các số thực +theo th +ứ tự đó lập th +ấp số cộng? +ấp số cộng +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng l +đang ti +t cây guita +r. Trong tu +u tiên, anh ta đ +đô la, và trong m +t theo, anh ta đ +ã thêm +đô la vào tài kho +a mình. Cây guitar Hùng c +n mua c�� giá +i vào tu +bao nhiêu thì anh +y có đ +mua cây guitar đó? +5; ;15 +theo th +ự lập th +ấp số cộng. Giá trị của +ấp số cộng +2013 6 +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng đó l +ấp số cộng +công s +ạt giá trị nhỏ nhất. Tổng +ố hạng đầu +tiên c +ủa cấp số cộng đó bằng +14250. +14400. +14650. +15480. +Sinh nh +a An vào ngày +tháng năm. An mu +n mua m +t món quà sinh nh +t cho b +n nên quy +ng heo +ng vào +, sau đó c +liên t +c ngày sau hơn ngày trư +n ngày sinh nh +n, An đ +ã tích l +c bao nhiêu ti +n? (th +i gian b +heo tí +n ngày +738.100 +726.000 +714.000 +750.300 +à 24 v +à 30, s +à 10,5. Khi +ó bao nhi +ình ph +ương c +ng 29. +ấp số cộng +A. 161 +B. 143 +C. 252 +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ấp số cộng có tổng +ố hạng đầu l +. Giá tr +ị của số hạng thứ +ấp số cộng l +5; 6 ; 5 +theo th +ột cấp số cộng +Tìm công sai +2 1; 5; 2 +ộng kh +ác nhau. T +ột cấp số c +ố hạng thứ +ủa cấp số cộng l +Đáp án khác +bao nhi +1; ; 2 1 +theo th +ấp số cộng +ố hạng đầu +và công sai +ỏi kể từ số hạng +ứ mấy trở +ố hạng của +ều lớn h +ơn 2018? +Công sai +ủa cấp số cộng +2016 2019 +ấp số cộng +. Tìm s +ố hạng đầu ti +và công sai +ủa cấp số +bao nhi +ên m nh +2; ; 9 +x mx x +theo th +D. 2023 +t du khách vào chu +t 20000 đ +n sau ti +p đôi l +c. Ngư +i ta thua 9 l +n liên ti +p và th +i du khách trên +ng hay +bao nhiêu ? +A. Hòa v +B. Thua 20000 đ +ng 20000 đ +D. Thua +0000 đ +ấp số cộng có tổng n số hạng đầu l +. Giá tr +ị của số hạng thứ 10 +ủa cấp số cộng đó l +ết bốn số +ứ tự lập th +ấp số cộng. Giá trị của biểu thức +ể ba số +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số cộng. +ể 3 số: +1 3 ; 5;1 +theo th +ột cấp số cộng. +Không có giá +1; 24850 +1 2 2 3 49 50 +u u u u u u +A. 123 +Cho các s +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số cộng. T +, khi kim gi +n 12) th +ng n ti +trong m +c bao nhiêu ti +A. 156 +B. 152 +C. 148 +D. 160 +theo th +ứ tự n +ày là ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số cộng. Biết +ấp số cộng +ó ba s +x x m x m +ó bao nhi +ập hợp tất cả các số tự nhi +sao cho +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của +bao nhi +3; ; 3 +theo th +Phương tr +x ax b +có ba nghi +ệm lập th +ấp số cộng khi v +ố cộng +theo th +; ( 2) ; 2 +x x m x x m +B. 0,5 +D. 0,25 +Cho tam giác ABC có s +đo ba góc t +o thành m +ng và có m +t góc b +hai góc còn l +A. 35 đ +B. 25 đ +C. 5 đ +ảy ra khi +theo th +ố cộng +1 4 7 2011 +S u u u u +     +ố cộng +; ( 2) ; 2 +x x m x x m +ộ ba s +ạn An ch +ếp các que di +êm thành tháp theo qui t +ắc thể hiện nh +ợc tháp có +ầng th +ạn An cần đúng bao nhi +êu que diêm? +ó bao nhi +ố nguy +ấp số cộng +ó ba s +x mx x x +a b c a a b +theo th +au đây t +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +ấp số cộng +. Công sai c +ủa cấp số cộng đ +ã cho b +ấp số cộng +ố hạng +ủa cấp số cộng đ +ã cho b +i ta tr +ng cây theo hình tam giác v +i quy lu +hàng th +hàng t +hai có +hàng th +hàng th +cây. Bi +ng ngư +i ta tr +cây. H +hàng cây đư +ng theo các +h trên là bao nhiêu? +ấp số cộng +ố hạng đầu ti +ố cộng đ +ã cho b +i bao nhi +ương m +; 6 ; 2 +x x x m +theo t +ấp số cộng +15, 60 +ổng của +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng n +công sai +9 2 13 6 +5 , 2 5 +u u u u +ấp số cộng +đáp án khác +n chia 1 +ng cho b +i con, đ +p 100000 đ +a con l +c bao nhiêu ti +A. 100000 đ +B. 300000 đ +C. 400000 đ +0000 đ +ấp số cộng có +ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau +ấp số cộng +. Tìm s +ố hạng +ấp số cộng +ổng n s +B. 120 +C. 140 +D. 105 +ấp số cộ +ố hạng thứ 7 +ủa cấp số cộn +này là +ấp số cộng +ố hạng đầu +và công sai +ố 100 l +ố hạng thứ mấy của cấp +ố cộng? +i ta tr +theo d +t hình tam giác nh +ư sau: hàng th +cây, h +àng th +cây, hàng th +cây, …, c +ng như th +n khi h +t công ti trách nhi +ư theo phương theo sau: M lương +làm vi +u tiên cho công ti là +ng/quý, và k +quý làm vi +c th hai, m lương s +i quý. Hãy tính t +n lương m +cc sau +cho công ti +ấp số cộng +ố hạng tổng quát +ổng của +ố hạng đầu ti +ủa cấp +ố cộng bằng +ấp số cộng +. Tính t +ố hạng đầu ti +ấp số cộng n +i ta tr +ng 324 +0 cây theo m +t hình +tam giác +như sau: hàng th +ng 1 cây, k +hàng th +ng nhi +u hơn 1 cây so v +i hàng li +c nó. H +i có t +bao nhiêu hàng cây ? +ấp số c +ủa cấp số cộng tr +ên là: +ấp số cộng +ổng của +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng đó l +bao nhi +5 1; ; 3 2 +theo th +ng có t +u tiên có +, các dãy li +n sau nhi +u hơn d +i sân v +ng đó có t +bao nhiêu gh +ấp số cộng +bao nhi +; 2; 2 +theo th +ấp số cộng +S u u u +    +ết rằng +.Tính giá tr +ểu thức +Trong h +t công ty s +a theo s +1,3,5,... +trên xu +a trên m +i hàng x +trên xu +ng là các s +liên ti +mô hình nh +ình bên). +i cùng c +nhiêu h +Sinh +a Trung vào ngày +. Trung mu +t món quà sinh nh +n nên quy +ng heo +g vào ngày +, sau đó c +liên t +c ngày sau hơn +ngày trư +n ngày sinh nh +n, Trung đ +ã tích l +c bao nhiêu +n ngày +714.000 +750.300 +726.000 +738.000 +g sai d +ương th +ổng qu +theo th +ẳng th +ào sau +a c ab bc ac +    +a c ab bc ac +    +a c ab bc ac +    +a c ab bc ac +    +ác ABC c +ó ba g +B, C theo th +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ấp số cộng +ệnh đề n +ào sau đây đúng? +ấp số cộng +ố hạng đầu +, công sai +ố hạng thứ 5 l +ấp số cộng có +ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau +ại bao nhi +; 3 ; 2 +x x x m +theo t +ố cộng +. Tìm s +ố hạng +dãy gh +u tiên có +, các dãy li +n sau nhi +u hơn d +ng có t +bao nhiêu gh +ấp số cộn +ủa n s +ấp số cộn +. Công sai c +ủa cấp số cộng đ +ã cho b +. Công sai c +2 ; 4; 3 +theo th +3 ; 4; 5 +ũng theo th +ộng. T +5 2023 +ấp số cộng +ọn đáp án đúng. +ấp số cộn +ủa n s +ông sai c +ấp số cộng +ố hạng +96000cm +81000cm +Trong th +p 11A d +n quyên +n như sau: ng +u tiên quyên g +hai tr +n hơn ng +p 11A quyên g +c bao nhiêu ti +8.800.000 +9.800.000 +10.800.000 +10.800.000 +ấp số cộng +ố hạng đầu +. Giá tr +ấp số cộn +ố hạng thứ 7 của cấp số cộng n +ện tham s +theo th +ố hạng đầu v +à công sai c +ủa cấp số cộng +ấp số cộng +ịnh bởi +ố hạng thứ mấy của cấp số cộng? +ấp số cộng +. Giá tr +. Tìm giá tr +ị nhỏ nhất của +1 2 2 3 3 1 +u u u u u u +ột cấp số c +ng có t +ổng của +ố hạng đầu +tính theo công th +. Tìm s +ạng đầu +và công sai +ủa cấp số cộng +ấp số cộng +và công sai +10 1 2 3 10 +S u u u u +    +ại bao nhi +2 ; 6 ; 2 +x x x m +theo t +ấp số cộng có +và công sai +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng n +. Giá tr +ấp số cộn +ủa n s +ột cấp số cộng có +ổng của +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng l +Tính t +38 58 78 2018 +     +ịnh bởi +. Tính +1 2 3 10 +S u u u u +     +ấp số cộng có số hạng đầu bằng +ố hạng thứ t +ố hạng đầu của cấp số +ộng đó bằng +Cho dãy s +. Tính +t chú cò khát n +c, chú tìm th +c bình +c nhưng c +bình v +a cao l +bé nên +chú không th +bèn nh +ng hòn s +vào bình +c dâng lên, phút đ +u tiên chú b +5 viên s +i, do quen vi +c nên t +phút th +i phút chú l +u hơn phút trư +viên s +i (trong ph +viên). Sau 10 p +hút thì n +ã dâng lên +chú có th +i chú cò +ng bao nhiêu viên s +vào bình? +1 ;8 ; 5 +theo th +ấp số cộn +ủa n s +3 2023 +t gia đ +n khoan m +t cái gi +thuê m +i khoan gi +t giá c +khoan đ +u tiên là +80.000 +mét khoan th +hai giá c +i mét khoan tăng thêm +ng so v +a mét khoa +c đó. Bi +i khoan sâu xu +i có nư +bao nhiêu ti +khoan cái gi +ng đó? +4.000.000 +10.125.000 +52.500.000 +52.500.000 +i bao nhi +3 ; 2 ; 2 +theo th +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +và công b +. Giá tr +ấp số nhân +và công b +. Giá tr +ấp số cộng +công sai +Giá tr +. Công b +ội của cấp số nhân đ +ã cho b +ấp số cộng +. Công sai c +ủa cấp số cộng đ +ã cho b +ào sau đây +ấp số nhân? +1; 3; 9; 27; 54 +1; 2; 4;8;16 +1; 1;1; 1;1 +1; 2;4; 8;16 +ấp số cộng +ố hạng đầu +. Công sai +ấp số nhân +. Công b +Tìm x > 0 +3;x + 1;12 +là ba s +ng liên ti +A. x = 5 +B. x = 2 +C. x = 5 +D. x = +, công b +i q > 0. Tính +có công b +i q. M +nào sau đây đún +u u k q +nhân có 15 s +c nào sau đây đúng ? +1 15 2 14 +u u u u +1 15 5 11 +u u u u +1 15 6 9 +u u u u +1 15 12 4 +u u u u +1; ; 5 6 +theo th +192; 384 +4 2 5 3 +36; 72 +u u u u +    +nhân có s +ng 4 và s +ng 64, +Thêm hai s +c dương x, y vào gi +a hai s +5;320 đ +5;x;y;320 theo th +p thành m +nhân. Tính x + y. +A. 150 +B. 100 +D. 120 +có ba s +p x;6;y. S +có ba s +u tiên 3;9;27. S +bao nhiêu ? +A. 2018 +B. 2019 +C. 2020 +D. 2021 +Tính tích các giá tr +2 1; ;3 5 +theo th +p thành m +222 là s +bao nhiêu c +nhân ? +D. Không là s +19683 là s +bao nhiêu c +a dãy ? +nhân có 7 s +ng 6 và s +p 243 l +hai. Hãy tính giá +A. 120 +C. 182 +D. 250 +. Tính +Tính 9x ++ 2 bi +1; x; 2x + 1 theo th +o thành m +i cùng c +nhân có 6 +2 và t +ng các s +ng 189. +C. 104 +ng n s +u tiên là +. Tìm s +A. 500 +B. 124 +C. 100 +ng hai s +u tiên b +ng 4, t +a ba s +u tiên b +ng 13. Tính +a năm s +u tiên c +nhân đ +cho, bi +t công b +nhân là s +dương. +A. 141 +B. 121 +Tính x ++ 5 khi 1; x +theo th +p thành c +u tiên b +ng 1. Tìm côn +t giá tr +A. q = 1 +B. q = 0,5 +C. q = +D. q = 0,2 +. Tính công b +A. q = 2 +B. q = +C. q = +D. q = +nhân có công b +ng 3 và +ng 5, bi +ng chính gi +a là 32805. H +nhân có bao nhiêu s +ương th +ạng th +ứ hai b +1 3 5 1 7 +65; 325 +u u u u u +     +. Tính +1 2 3 1 2 3 +14; 64 +u u u u u u +    +. Tính t +ng các giá tr +y ra c +Tính t +; ;1;...;2048 +A. 2047,75 +C. 2049,75 +D. 4096,75 +Tính t +2 4 8 16 ... 2 2 +         +A. S = 2n +có các s +ng khác 0 th +1 2 3 4 +2 2 2 2 +1 2 3 4 +u u u u +u u u u +    +    +Tính t +ng các giá tr +u tiên c +nhân có 5 s +ng mà hai s +u tiên đ +u dương, tích c +u và s +ng 1, tích s +ba và s +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +và công b +. Giá tr +và công b +và công +. Giá tr +và công sai +. Giá tr +Cho ba s +a, b, c l +p thành m +nhân th +a mãn a > b > c; a + b + c = 19; abc = 216. Tính giá tr +c 2a + 3b + 4c. +Tìm công b +i q > 0 khi +có các s +ng khác 0 th +2 3 57 +A. q = 3 +B. q = 2 +C. q = 2,5 +D. q = 3,5 +ng 2 s +u là 4, t +là 13. Tính t +ng 5 s +ng 5 s +ng đó là s +nguyên. +C. 121 +có các s +ng khác 0 th +1 2 3 4 5 +u u u u u +     +Tính t +các giá +y ra c +a công b +D. 1,5 +có công b +i q > 0 và +2 1 6 5 +u u u u +    +u tiên là +B. 120 +Tìm công b +t q > 1 và +A. q = 4 +B. q = 1,25 +C. q = 3 +D. q = +i bao nhiêu s +nguyên x đ +1; 3 2;7 11 +x x x x +    +theo th +hành m +nhân ? +có các s +ng khác 0 th +1 2 3 4 5 +u u u u u +     +i q > 1. Trong +ao nhiêu s +a dãy s +Cho a, b, c, d, e là 5 s +ng liên ti +nhân. Tìm c bi +t ace = 1 +A. c = 10 +B. c = 15 +C. c = 5 +D. c = 25 +Tính t +ng 7 s +u tiên c +u q > 0 và +20 17 1 5 +8 ; 272 +u u u u +A. 2010 +B. 2032 +C. 2140 +D. 2340 +ng các giá tr +1; ;2 1 +theo th +p thành c +nhân ? +Trong m +nhân g +m các s +ng dương +5 và th +4 là 576; hi +2 và s +u tiên là 9. Tính t +ng 5 s +u tiên c +A. 1235 +B. 2369 +C. 1023 +D. 768 +ng các giá tr +phương tr +có hai nghi +m tương +ng là hai s +tiên và th +nhân có công b +i q = 2. +i q th +1 2 3 4 5 +1 2 3 4 5 +1 1 1 1 1 +u u u u u +u u u u u +         +có các s +ng khác 0 th +ng các giá tr +; 6 9; 4 9 +k k k k k +    +theo th +p thành c +Phương tr +6x + a = 0 có hai nghi +và phương tr +24x + b = 0 có hai nghi +Tính a + 2 +1 2 3 4 +x x x x +theo th +p thành m +nhân tăng. +A. 120 +C. 136 +D. 252 +có hai s +u tiên là +Tính t +sau khi khai t +thành đa th +A. 1296 +B. 1430 +C. 1792 +D. 1945 +Tính t +ng 99 s +u tiên c +và côn +i q < 0. +D. 1024 +khác 0 g +b và a + b l +p thành c +nhân. M +nào sau đây đúng +Cho 5 s +o thành m +nhân tăng. Bi +u tiên g +p 25 l +n công b +i và t +ng hai s +u tiên b +ng 150. Tính t +ng 6 s +u tiên. +A. 3150 +C. 5060 +D. 7320 +và q > 0. Tìm s +nhiên n nh +bao nhiêu s +ng 9, s +i là 2187, công b +i q = 3. +u tiên c +nhân, t +ng 5 s +u tiên là 3 +1 và t +ng 5 s +ng sau là 62. Tìm +2018 c +nhân đó. +A. 2048 +B. 3072 +C. 2010 +D. 2000 +ông nguy +B. 0,25 +D. 1,5 +D. 1,5 +Phương tr +3x + a + 1 = 0 có hai nghi +và phương tr +12x + b + 2 = 0 c +. Tính a + b khi +1 2 3 4 +x x x x +theo th +p thành m +nhân tăng. +A. a + b = 20 +B. a + b = 18 +C. a + b = 9 +D. a + b = 31 +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ấp số nhân +và công b +. Giá tr +ể 3 số +1; 3;  1 +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số nhân: +ấp số nhân +. Công b +ủa cấp số +nhân đ +ã cho b +t ba s +2 1; 4 1; (4 1)(2 1) +x x x x +    +theo th +ạng ti +theo c +ấp số nhân +ấp số nhân +và công b +ủa cấp số nhân đ +1; ; 2 +nhân. T +6 , 5 2 , 8 +x y x y x y +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số cộng; đồng thời các số +1,  2,   3 +x y x y +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số nhân. T +Tìm các s +sao cho +2 1, 2 , 2 1 +x x y y +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số cộng; đồng +ời các số +3 ,  4 +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số nhân. T +B. 3,4 +C. 5,2 +D. 4,1 +ới mọi +2,3,4,... +Tính giá tr +1 2 12 +    +S x x x +(làm tròn +ữ số thập phân thứ nhất). +ấp số nhân: +. Giá tr +2 1; ;2 1 +ấp số nhân? +theo th +ội qua kh +ông sai kh +ác 0. Gi +ủa q b +, , , , +a b c d e +ạng li +theo th +ồng th +theo th +, 8, 64 +ân. Khi +à 576 v +à 9. T +A.1061 +B. 1023 +C. 1024 +D. 768 +, , ,... +2 ,4 , 2 +x y x y x y +theo th +C. 0,75 +D. 0,25 +ng 4 v +ng 64 th +ính theo c +ông th +6 ,5 2 ,8 +x y x y x y +theo th +ồng th +1, 2, 3 +x y x y +theo th +C. 100 +sin +cos +tan +theo th +ứ tự đó l +ột cấp số nhân. T +ố nguy +ương, trong +ó ba s +ộng, ba s +ân. Bi +à 37, t +ổng hai s +ạng gi +à 36, t +ổng hai trong b +5 ,2 3 , 2 +x y x y x y +ộng, c +1 , 1, 1 +y xy x +ố x, y ph +2 ,4 , 2 +x y x y x y +theo th +5 ,5 2 ,8 +x y x y x y +1 ; 1; 1 +y xy x +D. 2,5 +6 ,5 2 ,8 +x y x y x y +; 1; 2 3 +x y y x y +ân. Khi +B. 1,625 +C. 1,25 +D. 1,325 +ó bao nhi +ố nguy +ương m nh +theo th +ố x, y ph +3 ,5 , 3 +x y x y x y +theo th +_______ +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +Trong các dãy s +ố sau, đây số n +ào là c +ấp số nhân? +Trong các dãy s +ợc cho d +ới đây, d +ào là c +ấp số nhân? +Trong các dãy s +ố sau đây, d +ào là c +    +    +ốn số v +ữa hai số +ợc một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số +3; ; 4 +theo th +Cho dãy s +ịnh bởi +. Tính t +ổng của +ố hạng đầu ti +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân h +theo hình +ãi kép v +/ năm. H +ỏi sau ít +ất bao nhi +êu năm ngư +ợc số tiền nhiều h +ệu đồng bao gồm cả gốc v +lãi? Gi +ả sử trong +ốt thời gian gửi l +ất khô +ời đó không +rút ti +ền ra. +1; ; 2 1 +1; ; 2 1 +ều theo th +ịnh bởi +. Tính t +1 2 3 10 +S u u u u +     +ố nhân có các số hạng đều không âm thỏa m +. Tính t +ổng của +ạng đầu ti +ủa cấp số nhân đó. +ào trong các dãy s +ợc cho sau đây l +ấp số nhân? +ệu đồng v +ột ngân +hàng theo hình th +i kép,v +năm và +lãi su +ất không đổi trong suốt t +ời gian gửi. Sau +năm, s +ố tiền l +ủa ông bằng bao nhi +ệu đồng +ệu đồng +ệu đồng +Trong cá +c dãy s +ố sau đây, có bao nhi +êu dãy s +ấp số nhân? +nào sau đây là c +ấp số nhân? +nào sau đây là c +ấp số nhân? +ấp số nhân có +bao nhi +x x x x +theo th +ấp số cộng +. Công s +ột cấp số nhân có số hạng đầu +, công b +Không có giá tr +ấp số cộng +ố hạng đầu +và công sai +. Giá tr +bao nhi +; 2; 2 +theo th +Trong các dãy s +ởi số hạng tổng quát +sau, dãy s +ào là m +ột cấp số nhân? +ấp số cộng +ố hạng đầu +. Giá tr +ấp số nhân +ố hạng đầu +và công b +. Giá tr +ng các giá tr +1; 6; 11 6 +là ba s +ng liên ti +. Tìm công b +A. q = +C. q = +D. q = +nhân là +3 1;9 1 +nhân đó là đa th +c P, P +ng các h +A. 120 +D. 128 +ạng th +ứ ba b +ố khác nhau tạo th +ấp số cộng có t +ổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất +ố hạng thứ hai đồng thời giữ nguy +ố hạng thứ ba ta đ +ợc cấp số nhân. +ích ba s +ào E. Coli trong đi +ều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại ph +ân đôi m +ột lần. Giả sử 1 tế b +Coli kh +ợng khoảng +ỏi sau 2 ng +ợng do 1 tế b +ào vi khu +ẩn sinh ra l +ao nhiêu? (ch +đáp án chính xác nh +2,34.10 +3,36.10 +2,25.10 +3,35.10 +Cho bi +ết có hai cấp số nhân +ới công bội +Giá tr +bao nhi +; 6; 5 +theo th +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ố hạng thứ +và công +. Giá tr +ương tr +ào sau +ó ba nghi +6 11 6 0 +    +7 14 8 0 +    +8 9 2 0 +    +và công sai +. Hãy tính +. Khi đó s +y trong dãy? +và côn +10 1 2 3 10 +S u u u u +    +1; ; 4 +theo th +ấp số nhân +, giá tr +ấp só nhân +. Công b +ội của cấ +ố nhân đ +ấp số nhân +ố hạng đầu +. Giá tr +( 1)( 2)( ) +x x x m +ó ba nghi +B. 2,5 +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân h +ếu không rút tiền khỏi +ngân hàng thì c +ỗi tháng, số tiền +ợc nhập v +n ban đ +ầu để tính l +ãi cho tháng ti +ếp theo. Hỏi sau ít nhất +sau bao nhiêu tháng ngư +ời đó thu đ +ả số tiền gửi ban đầu v +ố tiền l +ệu đồng? +trong kho +ời gian n +ày lãi su +ất không t +ời đó kh +ông rút ti +ền ra) +ấp số nhân có +. Tính +ấp số nhân +. Công b +ội của cấp số nhân đ +ã cho b +ương tr +( 1)( 2)( ) 0 +x x x m +    +ó ba nghi +ệm nguy +ị tham s +ố m thu +ấp số nhân +Khi đó công b +3; ; 3 3 +theo th +ứ tự l +à ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số nhân. T +ìm công b +ủa cấp +ố nhân đó. +ấp số nhân +ố hạng đầu +và công b +ấp số nhân +3, 48. +Công b +ội của cấp số nhân bằng +ột cấp số nhân tăng có số hạng thứ +ố hạng thứ +ố hạng thứ +bao nhiêu c +ủa cấp số nhân đó? +1; tan ; 4tan 3 +theo th +sin cos +ầu gửi v +o ngân hàng +ệu đồng với k +ột quý theo h +ãi kép. Sau +tháng, ngư +ời đó gửi th +ệu đồng với kỳ hạn v +à lãi su +ớc đó. Tổng số +ời đó thu đ +năm sau khi g +ửi tiền gần nhất với kết quả n +ào sau đây bi +ết rằng tron +ốt thời +ất ngân h +àng không thay đ +ời đó khôn +g rút ti +ền ra. +ệu đồng. +ệu đồng. +ệu đồng. +ệu đồng +ể 3 số +2;  1; 3 +ột cấp số nhân: +Không có giá tr +1;  ; 0,64 +ã cho theo th +ứ tự lập th +ấp số nhân? +0,004. +Không có giá tr +0,008. +0,008. +ể 3 số +2 1;  ; 2 1 +ột cấp số nhân: +ho hai s +ệt sao ch +2 , 5 2 , 4 +x y x y x y +theo th +ồng th +x xy y +ộc kho +B. (13;14) +D. (14;15) +ổng vô hạn +1 ... ... +      +ấp số nhân có số hạ +, công b +ố hạng đầu ti +ủa cấp số nhân +sin +; 3cos ; tan +theo th +ấp số nhân +ng hai s +ng 5, t +a ba s +ng 21, t +ã cho, bi +A.349525 +C. 360445 +D. 340525 +P 11 THPT +P BÀI TOÁN CƠ B +Câu 1. +ấp số nhân +. Công b +ội của cấp số nhân đó l +ấp số nhân +ố hạng thứ 6 của cấp số nhân đó l +ấp số nhân +. Tìm công b +ố hạng đầu +ấp số nhân +Câu 5. +Tính t +ng các s +1; 3 ; 7 +theo th +p thành m +p nhân. +Câu 6. +, công b +Khi đó +Câu 7. +Cho hai s +phân bi +t sao cho ba s +2 , 5 2 , 4 +x y x y x y +theo th +p thành m +. Khi đó giá tr +Câu 8. +. Công b +nhân đó là +Câu 9. +. Tính +Câu 10. +Có bao nhiêu s +nguyên +1; ; 2 1 +theo th +p thành m +Câu 11. +3sin 2cos ; sin ; cos +x x x x +theo th +p thành m +nhân. Khi đó +tan +D. 0,5 +Cho dãy s +ọn b để d +ã cho l +ấp số nhân? +D. Không có giá tr +ứ giác +có 4 góc l +ấp số nhân với công bội +ốn góc đó có số đo l +0 0 0 0 +26 ;46 ;94 ;194 +0 0 0 0 +28 ;44 ;96 ;192 +0 0 0 0 +25 ;47 ;95 ;193 +0 0 0 0 +24 ;48 ;96 ;192 +Cho hai +phân bi +ệt sao cho ba số +2 , 5 2 , 4 +x y x y x y +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số nhân +ồng thời thỏa m +ều kiện +xy x y +ết rằng y l +ột số nguy +ên, khi đó +có giá tr +ộc khoảng +A.(8;10) +B. (11;13) +C. (13;16) +D. (16;20) +ấp số nhân, biết +. Công b +ủa cấp số nhân l +ấp số nhân +, công b +ố hạng thứ mấy của +ố hạng thứ +ố hạng thứ +ố hạng thứ +ố hạng thứ +ết rằng +1; 2cos ; 1 cos3 +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số nhân. Với k l +ố nguy +ên, khi +đó x có th +ể bằng +Tìm ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số nhân biết rằng tổng của chúng bằng +và tích c +ủa chúng +4, 20, 46 +15, 20, 35 +5, 20, 45 +10, 20, 40 +ột bác nông dân có số tiền +20.000.000 +ồng. Bác d +ố tiền đó gửi ngân h +àng lo +ạn 6 tháng +trên m +ột năm th +ì sau 5 n +ăm 8 tháng bác nh +ợc số tiền cả gốc lẫn l +ãi là bao nhiêu? Bi +ằng bác không rút cả gốc lẫn +lãi trong các +ớc đó v +ếu rút tr +ì ngân hàng tr +theo lo +ại không k +trên m +31802750,09 +30802750,09 +32802750,09 +33802750,09 +ấp số nhân +, tính +dương đ +ấp số nhân. +C. không t +ồn tại +ấp số nhân +. Tìm s +ố hạng thứ 5 của cấp số nhân đ +ã cho. +ấp số nhân +2 ; 4 2 ; 8 8 2 +x x x x x x +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số nhân. Số hạng tiếp theo của cấp +ố nhân có dạng +ấp số nhân +. Tính +ết rằng các số +; 2 ; (2 )(2 1) +x x x x x x +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số nhân. Công bội của cấp +ố nhân l +ấp số nhân +, giá tr +ể bằng +C. 729 +Cho năm s +ột cấp số nhân theo thứ tự đó v +à các s +ố đều khác +1 1 1 1 1 +a b c d e +     +ổng của chúng bằng +. Tính giá tr +S abcde +ấp số nhân +có công b +ội bằng +ố hạng thứ ba bằng 27 v +ố hạng cuối bằng 1594323, +ỏi cấp số nhân đó có bao nhi +ố hạng +Câu 30. +và công sai +4 080 399 +4 800 399 +4 399 080 +8 154 741 +ấp số nhân +, công b +ội của cấp số nhân bằng +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +NG CAO +PHÂN LO +_______ +có công sai d +t giá tr +t. Tính +ng 100 s +tiên c +a dãy. +Cho hai c +ấp số cộng +ỏi có bao nhi +ố có mặt +ồng thời trong cả hai d +ố thực +ố hạng li +ủa một cấp số cộng +ết tổng của chúng bằng +ổng các b +ình ph +ương c +ủa chúng bằng +. Tính +3 3 3 3 +P a b c d +    +ại bao nhi +4 ; ; 2 3 +x x x x +theo th +Cho phương tr +    +x x x m +phương tr +ình có 3 nghi +ệm lập th +ố cộng +tham s +Cho dãy s +ịnh bởi +5; 5 20 +   +ố tự nhi +ỏ nhất sao cho +Cho dãy s +ịnh bởi +    +. Giá tr +ị nhỏ nhất của +ều kiện +17 1979.2 +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân h +theo hình +ãi kép v +/ năm. H +ỏi sau ít +ất bao nhi +êu năm ngư +ời đó nhận đ +ợc số tiền nhiều h +ệu đồng bao gồm cả gốc v +lãi? Gi +ả sử trong +ốt thời gian gửi l +ất khô +ời đó không +rút ti +ền ra. +Tìm a, b +phương tr +x ax b +có ba nghi +phân bi +thành c +A. b = 0, a < 0 += 0, a = 1 +C. b = 0, a > 0 +D. b > 0, a < 0 +phương tr +2 1 1 0 +mx m x m +     +n nghi +m phân bi +p thành c +B. m = +D. m = +t cơ s +khoan gi +ng đưa ra đ +c giá như sau: Giá t +mét khoan đ +u tiên là 100000 đ +ng và k +mét khoan th +hai, giá c +i mét sau tăng thêm 3 +0000 đ +ng so v +i giá c +khoan trư +c đó. M +n ký h +i cơ s +khoan gi +ng này đ +khoan m +ng sâu 20m l +c sinh ho +t cho gia đ +i sau khi hoàn thành vi +c khoan gi +ng gia đ +i thanh toán cho cơ +khoan gi +bao nhiêu ? +A. 7700000 đ +B. 15400000 đ +C. 80000 +D 7400000 đ +Phương tr +10 150 216 0 +x m x m x +      +có ba nghi +m phân bi +t a, b, c theo th +thành c +nhân. Tính a + 2b + 3c. +i bao nhi +( 4)( 5); 4 105; ( 6)( 7) +x x x x +    +theo th +Cho dãy s +giá tr +tiên l +A. n = 142 +B. n = 146 +C. n = 141 +D. n = 145 += 2 và d = +3. Trên m +y các đi +.sao cho +nguyên dương n, đi +ng khi đó +các đi +,...cùng n +trên m +ng. Vi +phương tr +ng đó. +A. y + 3x = 5 +B. y + 3x = 2 +C. y = 2x +D. y = 2x +Tính t +ng các giá tr +y ra khi phương tr +2 1 2 1 0 +x m x m +     +m phân bi +i tham s +nguyên m, p +hương tr +5 2 1 0 +x m x m +     +n nghi +m phân bi +t a, b, c, d +theo th +p thành m +. Tính P = a + 2b + 3c + 4d. +t công ty trách nhi +lương cho các k +sư theo phương th +c sau: M +lương c +làm vi +u tiên cho công ty là 13,5 tri +ng/quý, và k +quý làm vi +hai, m +c lương s +c tăng thêm 500000 đ +g/quý. Tính t +n lương m +c sau ba năm làm vi +c cho công +A. 198 tri +B. 195 tri +C. 228 +D. 114 tri +bao nhiêu giá tr +ị nguy +ủa tham số +ộc đoạn +0;2018 +sao cho ba s +theo th +ứ tự đó +ột cấp số cộng? +i bao nhi +theo th +ng khi khai tri +c Newton +...... +x a x a x +    +    +    +    +p thành c +i trong khai tri +n có bao nhi +ng mà l +nguyên. +ệu đồng v +ột ngân +hàng theo hình th +i kép,v +năm và +lãi su +ất không đổi trong suốt thời gian gửi. Sau +năm, s +ố tiền l +ủa ông bằng bao nhi +ệu đồng +ệu đồng +ệu đồng +Cho dãy s +1; 3 2 +nguyên dươn +t sao cho +ất cả bao nhi +ộ số nguy +ên dương +và các s +theo th +ứ tự đó l +ố hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số +i ba giá tr +phương tr +3 2 3 2 +9 23 4 9 0 +x x x m m m +       +m phân bi +p thành m +ng. Tính giá tr +P m m m +A. P = 3 +B. P = 36 +C. P = +D. P = +Cho dãy s +u a u u u +i n = 1, 2, 3, ...Có bao +nhiêu giá tr +sao cho +ời gửi số +ền 100 triệu đồng v +ân hàng v +ột năm. Biết rằng nếu không +ền ra khỏi ngân h +àng thì c +ứ sau mỗi năm, số tiền +ợc nhập v +ốn ban đầu để tính l +ãi cho n +theo. Đ +ợc số tiền +300 tri +ệu đồng (cả tiền gốc v +lãi) thì c +ần gửi ít nhất bao nhi +êu năm, n +trong kho +ảng thời gia +n này ngư +ời đó k +hông rút ti +ền ra v +à lãi su +ất không thay đổi? +Cho tam giác ABC cân t +i A, bi +nh đáy BC, đư +ng cao AH và c +nh bên AB theo th +thành c +nhân công b +i q. Giá tr += 2 và +3. Trên m +y các đi +.sao cho +nguyên dương n, đi +ng khi đó t +các đi +,...cùng n +trên m +ng. Vi +phương tr +ng đó. +A. y + 3x = 5 +B. y + +C. y = 2x +D. y = 2x +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +NG CAO +PHÂN LO +hương tr +10 14 64 0 +x m x mx +     +có ba nghi +m phân bi +t a, b, c theo th +p thành c +i bao nhi +( 6) ; 8; ( 8) +theo th +Cho hai c +i trong +u tiên c +có bao nhiêu s +ng chung? +ầu gửi v +o ngân hàng +ệu đồng với k +ột quý theo h +ãi kép. Sau +tháng, ngư +ời đó gửi th +ệu đồng với kỳ hạn v +à lãi su +ớc đó. Tổng số +ời đó thu đ +năm sau khi g +ửi tiền gần nhất với kết quả n +ào sau đây bi +ết rằng tron +ốt thời +ất ngân h +àng không thay đ +ời đó khôn +g rút ti +ền ra. +ệu đồng. +ệu đồng. +ệu đồng. +ệu đồng +Phương tr +10 2 52 64 0 +x m x n x +      +có ba nghi +theo th +thành c +nhân. Tìm giá tr +Q m n m n +     +A. 9,8 +B. 4,6 +D. 12,4 +ng có t +ng n s +, n nguyên dương. T +Cho dãy s +u u au +rong đ +nguyên dương. Bi +lim ... 2 +u u u n b +     +. Tính giá tr +Có bao nhiêu giá tr +nguyên c +tham s +0;2018 +5 9 2187 +ơng tr +1 ... 1 1 1 +a a a a a a +        +có bao nhiêu nghi +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân h +ếu không rút tiền khỏi +ngân hàng thì c +ứ sau mỗi tháng, số tiền +ợc nhập v +n ban đ +ầu để tính l +ãi cho tháng ti +ếp theo. Hỏi sau ít nhất +sau bao nhiêu tháng ngư +ời đó thu đ +ả số tiền gửi ban đầu v +ố tiền l +ệu đồng? +trong kho +ời gian n +ày lãi su +ất không thay đổi v +ời đó kh +ông rút ti +ền ra) +Tính t +ng các giá tr +phương tr +3 5 2 1 0 +x m x m m +      +n nghi +m phân bi +p thành c +Ông Hùng d +ự định gửi v +ào ngân hàng m +ột số tiền với l +ằng cứ sa +ố tiền l +ẽ gộp v +ốn ban đầu. +ố tiền +ệu đồng, +ỏ nhất m +à ông Hùng c +ần gửi v +ngân hàng đ +ể sau ba năm (mới rút l +ãi) thì s +ố tiền l +ãi có th +ể mua mua một chiếc xe máy trị giá +ệu đồng l +Tam giác mà ba đ +a nó là ba trung đi +m ba c +a tam giác ABC đư +i là tam giác trung +bình c +a tam giác ABC. Ta xây d +ãy các tam giác +1 1 1 2 2 2 3 3 3 +, , ,... +ABC A B C A B C +ao cho +tam giác +ng 3 và v +nguyên dương +, tam giác +là tam giác trung bình c +a tam giác +nguyên dương n, k +n tích h +ình tròn ngo +p tam giác +. Tính t +ng giá tr ++...+ S +Phương tr +x x x m +    +có ba nghi +m phân bi +p thành c +m thu đư +m trong kho +ng nào ? +A. (14;17) +B. (10;12) +C. (0;5) +D. (7;10) +ả bao nhi +ính ph +ương nh +ơn 1000 ? +đánh chuông, s +ng chuông đư +c đánh b +đánh chuông. H +i trong năm 2016 đ +đó đánh bao +nhiêu ti +chuông báo gi +i ngày 24 t +ng và gi +nh ngày nào trong năm c +ũng đá +A. 109800 +B. 1095 +C. 100000 +D. 120300 +bao nhi +5; 2 3; 4 +theo th +Cho dãy s +ịnh bởi +nguyên dương. T +ố nguy +ên dương +ất sao cho +101 102 +khách s +n trên đèo +Mã Pi L +n trang trí m +t góc nh +trên ban +công sân thư +ng cho đ +nên quy +nh thuê nhân công xây m +i xi măng (như h +t hàng dư +i cùng có +viên, m +i hàng ti +p theo đ +u có ít hơn hàng trư +viên và hàng trên +cùng có +t viên. H +dùng đ +hoàn thành b +ng trên là bao nhiêu viên? +Sinh nh +ật lần thứ +vào ngày +ốn mua một +ếc máy ảnh +ồng để l +àm quà sinh nh +t cho chính mình nên +ết định bỏ ống heo +ào ngày +. Trong các ngày ti +ếp theo, +ngày sau b +ỏ ống nhiều h +ơn ngày trư +ồng. Hỏi đến n +gày sinh nh +ật của m +ao nhiêu ti +ền (tính đến ng +Cho dãy s +1 1988 +guyên dương. T +ỏ nhất +ố hạng đầu bằng +. Tính +1 2 2 3 49 50 +u u u u u u +    +ương tr +1 8 15 22 7944 +     +hình vuông ABCD có c +nh AB = a, di +n tích S +trung đi +1 1 1 1 +A B C D +theo th +AB, BC, CA, DA ta thu đư +nh vuông th +1 1 1 1 +n tích S +c như th +ta thu đư +h vuông th +2 2 2 2 +A B C D +n tích S +c như th +c hình vuông có di +n tích S +,...Tính +các di +n tích S = S +11 THPT +P BÀI TOÁN +NG CAO +PHÂN LO +Phương tr +3 1 5 4 8 0 +x m x m x +      +có ba nghi +m a, b, c theo th +o thành c +giá tr +c Q = ab + 2bc + 3ca. +A. Q = 19 +B. Q = 36 +C. Q = 42 +ời gửi tiền v +ào ngân hàng v +ất không thay đổi l +/ năm. +ếu không rút tiền ra +ỏi ngân h +àng thì c +ứ sau mỗi n +ợc nhập v +ốn ban đầu. Hỏi số tiền ít +ời đó phải gửi +vào ngân hàng đ +ể thu về tổng số tiền +ệu đồng sau đúng +ết quả l +àm tri +là bao +nhiêu? +2 11 6 +ả bao nhi +ố nguy +Năm 2020, m +ệp X có tổng doanh thu l +ự kiến trong 10 năm tiếp theo, tổng +doanh thu m +ẽ tăng +ới năm liền tr +ớc. Theo dự kiến đó th +ể từ năm n +ổng doa +ủa doanh nghiệp X +ỉ đồng? +bao nhi +ố nguy +ương m +ơn 100 +theo th +ồng th +ứ ba l +chia h +ết cho +bao nhi +u n n n +    +ại bao nhi +ương c +ời gửi ngân h +ệu đồng với k +tháng theo hình th +ãi kép, lãi su +ể từ tháng thứ hai trở đi, tiền l +ợc tính theo phần trăm của tổng +ền gốc v +tháng trư +ớc đó) +sau ít nh +ất bao nhi +êu tháng thì ng +ời đó có tối thiểu +ệu đồng trong t +ài kho +ản tiết kiệm, +ết rằng ngân +hàng ch +ỉ tính l +ãi khi +tháng. +tháng. +tháng. +tháng. +Phương tr +6 11 5 0 +x x x m +     +có ba nghi +a, b, c phâ +p thành c +h giá tr +. Trong d +ả bao nhi +à chia h +ết cho 7 ? +Phương tr +3 24 26 0 +x x m x n +      +a nghi +m phân bi +p thành c +ng. Tìm +giá tr +P m mn m n +     +Cho dãy s +i công th +c truy h +i sau: +u u n n +n giá tr +nào sau đây? +t công ty trách nhi +lương cho các k +sư theo phương th +c sau: M +lương c +a quý làm vi +u tiên cho công +ty là 15 tri +ng/quý, và k +quý làm vi +hai, m +c tăng thêm 1,5 tri +ng/quý. Tính t +n lương m +năm là +A. 495 tri +B. 279 tri +C. 384 tri +D. 558 tri +n nguyên dương. T +nhiên n nh +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân +hàng theo hình th +/ năm. H +ỏi sau ít +ất bao nhi +êu năm ngư +ời đó nhận đ +ợc số tiền nhiều h +ệu đồng bao gồm cả gốc v +lãi? Gi +ả sử tr +ốt thời gian gửi l +ất không đổi v +ời đó không rút tiền ra. +6 17 26 8 +u n n n +    +ả bao nhi +ố nguy +Cho dãy s +i n nguyên dương. Tín +3 5 3 5 +    +ao nhi +ố nguy +ên n nh +Trên bà +có nhi +u ô vuông, ngư +i ta đ +vào ô đ +u tiên, sau đó đ +t vào ô th +u hơn ô +ào ô th +u hơn ô th +hai là +,… và c +ô trên bàn c +i ta ph +i bàn c +có bao +nhiêu ô? +ổng qu +7 2020 +. Trong d +ó bao nhi +à chia h +ết cho 9 +C. 100 +D. 1000 +t công ty trách nhi +lương cho các k +ư theo phương th +sau: M +a quý làm vi +u tiên cho công ty là +uý, và k +quý là +hai, m +c lương s +c tăng thêm +i quý. Hãy tính t +n lương m +năm làm vi +cho công ty. +Cho dãy s +nh như sau +và dãy s +ng các s +nguyên n đ +ó bao n +ơn 20232023 +à chia h +ết cho 72 ? +Cho dãy s +ng n s +u tiên c +. Tính giá tr +1 2 2 3 48 49 49 50 +1 1 1 1 +u u u u u u u u +     +B. T = 106 +ại bao nhi +ạng nh +ơn 1 tri +chia h +ết cho +ộ che phủ rừng của n +ớc ta đạt +41,89% +ả sử độ che ph +ủ rừng mỗi +năm ti +ếp theo đều +ới độ che phủ rừng của năm liền tr +ớc. Kể +ừ sau năm +, năm nào dư +là năm đ +ớc ta có độ che phủ rừng trong năm đó đạt tr +f n n n +    +. Xét dãy s +sao cho +1 . 3 . 5 ... 2 1 +2 . 4 ... 2 +f f f f n +f f f n +. Tìm s +nguyên dương n n +t sao cho +1000 1 +bao nhi +ính ph +ương nh +ơn 2023 +2023 ? +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +NG CAO +PHÂN LO +6 5 6 5 +    +ó bao nhi +ố nguy +ên n nh +6 2 3 1 +10 10 1 +ó bao nhi +ó chia +ết cho +t tam giác có +các góc +p thàn +i công b +i q = 2.Khi đó s +đo các góc c +a tam giác +theo th +tăng d +30 ;60 ;90 +ai giá t +phương tr +3 2 2 2 +2 2 2 1 7 2 2 54 0 +x m m x m m x +        +m phân bi +p thành c +nhân. Tính +p phương hai giá tr +Cho 2 c +:1; 6; 11; . +:4; 7; 10; ... . M +có 2018 +i có bao nhiêu s +hai dãy s +trên ? +Cho dãy s +n dương. T +ỏ nhất thỏa m +ột bác nông dân c +20.000.000 +ồng. Bác d +ố tiền đó gửi +ngân hàng lo +ạn 6 tháng với +lãi su +trên m +ột năm t +hì sau 5 n +ăm 8 tháng bác nh +ợc số tiền cả gốc lẫn l +ãi là bao nhiêu? Bi +bác không rút c +ả gốc lẫn +lãi tr +ong các +ó và n +ếu rút tr +ì ngân hàng tr +ất theo loại +không kì h +trên m +31802750,09 +30802750,09 +32802750,09 +33802750,09 +Phương tr +x x mx n +    +có ba nghi +m phân +t a, b, c theo th +p thành c +. Tính a + b + 3c khi bi +t giá tr +u n n n n +     +ả bao nhi +ố nguy +ơn 100 +Tính t +ng các giá tr +m khi phương tr +2 2 1 0 +x mx m +    +p thành c +Theo th +rong nă +ện tíc +h nuôi tôm +công ngh +ệ cao của tỉnh Bạc Li +êu là 1001 (ha +ằng diện tích +nuôi tôm các năm ti +theo đ +ng 5,3% so v +ới diện tích của năm liền tr +ớc. Kể từ sau +2019, năm nào dư +ới đây l +à năm đ +ỉnh Bạc L +iêu có di +nuôi t +t trên 170 +0 (ha) +ết kiệm một số tiền ba +à 1000000 đ +ồng với l +( không k +ỳ hạn) +ỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhi +êu tháng thì +ả vốn lẫn l +ằng hoặc v +ợt quá 1300000 +Ông X g +ào ngân hàng 60 tri +ệu đồng theo h +ình th +ãi kép. Lãi +ất ngân h +àng là 8%/năm. Sau 5 +năm ông X ti +ếp tục gửi th +60 tri +ệu đồng nữa. Hỏi +sau 10 +ể từ lần gửi đầu ti +ên ông +ến rút to +ền gốc v +à bao nhiêu? +ất không thay đổi qua các năm ông X gửi tiền) +217,695 +231,815 +ệu đồng) +190,271 +ệu đồng) +197,201 +ệu đồng +8.5 11.6 +ó bao nhi +ủa 20 ? +ời gửi +ệu đồng +vào ngân hàng v +ất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiề +n ra kh +ngân hàng thì c +ứ sau mỗi năm, số tiền l +ợc nhậ +p vào v +ốn ban đầu để tích l +ãi cho n +ếp theo. Hỏi +ời đó phải gửi ít nh +ất bao nhi +êu năm đ +ể nhận đ +ổng số tiền c +ả vốn ban +à lãi nhi +ơn 140 tri +ồng nếu trong khoảng thời gian +ời đó không tút tiền ra v +à lãi su +ất khôn +g thay đ +Cho dãy s +. Có bao nhiêu s +ố nguy +ên dương +1 2 3 4 +n n n n +    +trong c +à x ch +ủa x b +ột khu rừng +ợng gỗ l +ết rằng tốc độ sinh tr +ủa các cây +ở khu rừ +ng đó là +ỗi năm. +ỏi sau +năm khu r +ừng đó sẽ có số mét khối gỗ gần với giá trị n +ất sau đây? +16 15 1 +ó bao nhi +ơn 1 tri +à chia h +ết cho 225 +Cho dãy s +ới mọi +ị nhỏ nhất của +ấp số cộng +có các s +ố hạng đều d +ương, s +ố hạng đầu +ổng của +ố hạng đ +tiên b +. Tính giá +2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 +u u u u u u u u u u u u +    +Trên tia Ox l +y các đi +,...,A +,...sao cho v +nguyên dương n, OA +Trong cùng m +ng có b +a tia Ox, v +ng tròn +ng kính OA +, n = 1,2,...Ký hi +n tích n +ng tròn +ng kính OA +, ký hi +n tích c +a hình gi +ng kính OA +ng tròn +ng kính OA +và tia Ox. M +nào dư +i đây đúng ? +i là m +i công sai +i công sai +i là m +có công sai +trong d +ó bao nhi +giác có s +đo các góc t +nhân có công +i q = 3 +, khi đó s +đo các góc c +giác đó theo th +tăng d +3 9 27 +20 20 20 20 +    +3 9 27 +40 40 40 40 +    +3 9 27 +15 15 15 15 +    +30 ;60 ;90 ;180 +    +P BÀI TOÁN V +NG CAO +PHÂN LO +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +i hai giá tr +phương tr +10 2 7 0 +x x m m +    +n nghi +m phân bi +p thành +hương hai giá tr +3 3; 2 ; 2 3 +x x x x x +    +theo th +Tính t +nhân lùi vô h +là ba s +ng liên ti +0; 2 2 +. Tìm s +nhiên nh +ân có n s +u tiên là 1, công b +i r và +ng là s, trong đó r và s đ +ng các s +nhân m +o thành b +cách thay đ +nhân ban +a nó là +ó bao nhi +ộc kho +1 1997 +chia h +ết cho +Cho dãy s +c xác đ +1; 3 10 +i n nguyên dương. Công th +ng quát c +. Tính +Cho dãy +u u n n +. Tính +Trong m +Oxy ch +y = 3x +nguyên dương n, g +giao đi +ng d: x = n. Xét dãy s +tung đ +đúng ? +ng có công sai d = +ng có công sai d = 3 +ng có công +sai d = 1. +là không ph +giác l +i có s +đo các góc l +p thành m +nhân. Bi +a góc nh +a góc nh +ai góc nh +A. 10 đ +B. 18 đ +C. 14 đ +D. 24 đ +Phương tr +    +n nghi +m phân bi +p thành m +ng, khi đó h +ãy tìm s +a phương tr +Ông A g +ửi 200 triệu đồng v +ột ngân h +ình th +ãi kép, v +ột năm v +ất không +ổi trong suốt quá tr +au 5 năm s +ố tiền +làm tròn +àng trăm) +ằng bao +nhiêu? +ệu đồng +ệu đồng +ệu đồng. +ệu đồng +( 1)( 7)( 8) +u n n n n +    +ó bao nhi +ính ph +t tam gi +ác ABC có +dài ba c +nh là a, b, c l +p thành m +theo th +đó) th +sinA, sinB, +sinC theo th +p thành c +cosA, cosB +, cosC theo th +hành c +tanA, tanB, tanC theo th +p thành c +cotA, cotB, cotC theo th +p thành c +Cho dãy s +3 2 2 1 1 +nguyên dương. G +ạng đầu ti +ố đó. Tính +Tính t +ng bình ph +ương các nghi +a phương t +7 4 8 0 +x x m x +     +khi nó có ba nghi +phân bi +p thành m +ời gửi tiết kiệm v +ào ngân hàng v +/ năm. +ết rằng nếu không rút tiền ra khỏi +hàng thì c +ứ sau mỗi năm số tiền l +ợc nhập v +ể tính l +ếp theo. Hỏi sau ít nhất +bao nhiêu năm ngư +ời đó thu đ +ợc cả số tiền gửi ban đầu v +à lãi g +ấp đôi số +ền gửi ban đầ +ả định trong +ời gian n +ày lãi su +ất không thay đổi +và ngư +ời đó không rút tiền ra? +Cho tam giác ABC có đ +dài các c +nh là a, b, c +theo th +p thành m +ng. Bi +tan tan ; +A C x x +là phân s +n, x và y là các s +nguyên dương. +Tính x +ột bác nông dân vừa bán một con trâu đ +ợc số tiền l +à 32.000.000 +Do chưa c +ến số tiền n +c nông dân mang toàn b +ộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng v +ào ngân hàng v +ất 5,7% một +thì sa +u 4 năm 6 tháng bác nông dân nh +c bao nhiêu ti +ền cả vốn lẫn l +41.208.674 +40.208.000 +48.416.000 +52.701.729 +i hai giá t +m = a; m = b +(a < b) đ +phương tr +x x x m +     +có ba nghi +m phân +p thành c +ng. Tính a + 2b. +1! 2! 3! ... ! +     +ại bao nhi +ính ph +n Hùng trúng tuy +A nhưng v +ì không +c phí nên Hùng quy +nh vay +ngân hàng trong 4 n +ăm vay 3000000 đ +c phí v +i lãi su +t 3%/năm. Sau khi t +t nghi +n Hùng +góp hàn +g tháng s +n T (không +i) cùng v +i lãi su +t 0,25%/tháng tro +ng vòng 5 n +n T hàng +tháng mà b +n Hùng ph +cho ngân hàng (làm tròn +hàng đơn v +32518 đ +B. 309604 đ +C. 215456 đ +D. 232289 đ +; 21 1 +   +ạng th +ứ 2018 c +ột bác nông dân vừa +râu đư +ợc số tiền l +à 32.000.000 +Do chưa c +ến số tiền n +bác nô +ng dân mang toàn b +ộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 thá +ng vào ngân hàng v +ất 5,7% một +thì sau 4 n +ăm 6 tháng bác nông dân nh +ợc bao nhi +ền cả v +ốn lẫn l +41.208.674 +40.208.000 +48.416.000 +52.701.729 +1 2 1 1 +1; 2; 2 1 +u u u u u +     +ìm hai ch +ó bao nhi +11 THPT +I TOÁN +NG CAO +PHÂN LO +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +a hàng kinh +doanh ban đ +u bán m +t hàng A v +i giá 100 (đơn v +ng). Sau đó c +a hàng +tăng gi +t hàng A lên 10%. Nhưng +i gian, +a hàng l +c tăng giá m +t hàng đó lên 10%. H +t hàng A c +a hàng sau hai l +n tăng giá là bao nhiêu ? +A. 120 +B. 121 +C. 122 +D. 200 +Cho dãy s +ịnh bởi +1; 3 10 +nguyên dương. T +ìm giá tr +ị lớn nhất của +sao cho +Tính a + 2b + 3c khi phương tr +8 34 27 0 +x m x m x +      +có ba nghi +m a, b, c theo th +p thành c +đem 100 tri +ng đi g +n 6 tháng, m +i tháng lãi su +à 0,7% s +i đó có. H +i sau khi k +n, ngư +i đó đư +bao nhiêu ti +10 0,007 +10 1,007 +10 1,006 +10 1,006 +c tiêu th +c ăn c +a trang tr +không đ +i như d +nh thì l +c ăn d +ày. Nhưng th +c tiêu th +c ăn t +ăng thêm +i ngày (ngày sau tăng thêm +ngày trư +c đó). H +c ăn d +dùng cho bao nhiêu ngày? +Cho dãy s +1; 3 2 +. Giá tr +1 2 2018 +S u u u +    +3 2018 +3 2019 +ịnh bởi +u n n n +    +ó bao nhi +ng các giá tr +phương tr +3 4 2 0 +x mx mx m +     +có ba nghi +p thành c +C. Không t +m 1998 d +125500000 ng +i sau bao nhiêu n +là 140000000 ng +n góc c +giác t +o thành c +nhân và gó +p 27 l +n góc nh +và góc nh +B. 102 đ +C. 252 đ +D. 168 đ +Cho dãy s +ịnh bởi +ỏi trong d +ó bao nhi +ồng th +Ông X g +m 100 tri +ng the +o hình th +c lãi kép v +i lãi su +t không đ +i 0,5%/tháng. +Do nhu c +n chi tiêu nên c +i tháng sau đó, ông rút ra 1 tri +tháng cu +cùng ông X rút n +c bao nhiêu ti +A. 400879 đ +B. 975781 đ +9400 đ +D. 970926 đ +vuông g +ô vuông. Ngư +n vào m +i ô vuông đó m +t trong hai s +sao cho t +ng các +i hàng và t +ng các s +trong m +ng 0. H +i có bao nhiêu cách ? +D. 144 +ương tr +3 23 2 78 0 +x mx m x m +      +m phân bi +p thành c +ng các giá tr +m thu đư +Cho dãy s +ịnh bởi +u n n n +    +ó bao nhi +ơn 1000 +à chia h +ết cho 48 +Phương tr +9 16 14 +x x m x m +     +có ba nghi +m phân bi +p thàn +. Tính +p phương các nghi +ơng tr +ình khi +D. 160 +ba kích thư +hình h +p thành m +nhân. Bi +tích toàn ph +n là 175cm +. Tính t +đo ba kích thư +a hình h +A. 30cm +B. 28cm +C. 31cm +D. 17,5cm +bào E.Coli trong đi +y thích +20 phút l +i nhân đôi m +u lúc đ +u có 1012 +thì sau 3 gi +phân chia thành bao nhiê +A. 1024.10 +B. 256.10 +C. 512.10 +D. 512.10 +Cho dãy s +. Tính +3 2018 +2 3 2018 +     +Cho dãy s +ịnh bởi +ó bao nhi +à chia h +ết cho 3 +ác ABC c +ó ba c +theo th +cot cot +1 2 2000 +10 1;10 1;...;10 1 +    +ất bao nhi +êu % c +ủa M kh +ông ph +ố nguy +D. 85% +ác ABC c +ó ba c +ộng. Khi +ào theo th +tan ,tan ,tan +cot ,cot ,cot +cos ,cos ,cos +sin ,sin ,sin +Tam gi +ác ABC c +ó ba g +sin sin sin +ính hi +ủa tam gi +C. 110 +ố nguy +ên) theo th +ồng th +, 8, 64 +theo th +Cho hình v +1 1 1 1 +ạnh bằng 1. Gọi +các đi +ứ tự l +à trung đi +k k k k k k k k +A B B C C D D A +. Chu vi hình vuông +2018 2018 2018 2018 +A B C D +ương tr +x ax bx c +    +ó ba nghi +9 2 27 +ab a c +10 2 27 +ab a c +9 2 27 +ab a c +8 2 27 +ab a c +ương tr +x ax bx c +    +ó ba nghi +Cho dãy s +nh như sau: +1 2 1 1 +5; 11; 2 3 +a a a a a +    +i n nguyên dươ +ng. Khi đó +chia h +t cho s +nào sau đây +B. 2002 +ông sai kh +ác 0 theo th +C. 1,5 +a b c d +theo th +theo th +ộng. T +14; 12 +a d b c +    +g năm 2019, di +n tích +nh A là 900ha. Gi +n tích r +i năm đ +u tăng 6% so v +n tích r +a năm li +sau năm 2019, năm nào dư +đây là năm đ +u tiên t +nh A có di +tích r +i trong năm đó đ +trên 1700ha +A. Năm 2051 +B. Năm 2030 +C. Năm 2029 +D. Năm +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +ấp số cộng +ố hạng +ủa cấp số cộng đ +ấp số nhân +và công b +. Tính +2 ; 4; 3 +theo th +3 ; 4; 5 +ũng theo th +ộng. T +5 2023 +ấp số cộng +ọn đáp án đúng. +ó bao nhi +u tiên c +ã cho b +2;5;8;11;14... +Công sai c +ã cho b +Công th +c tính s +ng quát c +u nu n n d +u u n d +u nu d +Trong th +p 11A d +n quyên +n như sau: ng +u tiên quyên g +hai tr +n hơn ng +p 11A quyên g +c bao nhiêu ti +8.800.000 +9.800.000 +10.800.000 +10.800.000 +ấp số cộng +ố hạng đầu +. Giá tr +ấp số cộn +ố hạng thứ 7 của cấp số cộng n +ông th +ổng qu +, công b +ấp số nhân +. Tìm c +ố nhân +bao nhi +ạng nh +ơn 1000 v +ính ph +t công ty trách nhi +lương cho các k +sư theo phương th +c sau: M +lương c +làm vi +u tiên cho công ty là +13,5 tri +ng/quý, v +quý làm vi +hai, m +c lương s +c tăng thêm 500000 đ +g/quý. Tính t +n lương m +c sau ba năm làm vi +c cho công +A. 198 tri +B. 195 tri +C. 228 +D. 114 tri +1; 3 ; 7 +ấp số cộng +ố hạng +96000cm +81000cm +sin +ó bao nhi +ơn 100 +ấp số cộn +ủa n s +ông sai c +ho hai s +t sao ch +2 , 5 2 , 4 +x y x y x y +theo th +ột bác nông dân c +20.000.000 +g. Bác dùng +ố tiền đó gửi +ngân hàng lo +ạn 6 tháng +trên m +ột năm t +hì sau 5 +năm 8 tháng bác nh +ợc số tiền cả gốc +ãi là bao +nhiêu? Bi +ằng bác không rút cả gốc lẫn +lãi tr +ong các +ó và n +rút trư +ì ngân hàng tr +theo lo +ại không k +trên m +31802750,09 +30802750,09 +32802750,09 +33802750,09 +bao nhi +1; ; 2 1 +theo th +3sin 2cos ; sin ; cos +x x x x +theo th +ân. Khi +tan +D. 0,5 +trong c +100 101 200 +, ,..., +ó bao nhi +B. 200 +ông th +ổng qu +sin ; 6 ; +u v n n t +     +t cơ s +khoan gi +ng đưa ra đ +c giá như sau: Giá t +mét khoan đ +u tiên là 100000 đ +ng và k +mét kho +hai, giá c +i mét sau tăng thêm 3 +0000 đ +ng so v +i giá c +khoan trư +c đó. M +i cơ s +khoan gi +ng này đ +khoan m +ng sâu 20m l +c sinh ho +t cho gia đ +i sau khi hoàn thành vi +c khoan gi +ng gia đ +i thanh toán cho cơ +khoan gi +bao nhiêu ? +A. 7700000 đ +B. 15400000 đ +C. 80000 +D 7400000 đ +ố nguy +ương k +ông th +ổng qu +ho hai s +ệt sao ch +2 , 5 2 , 4 +x y x y x y +theo th +ồng th +xy x y +ằng y l +ố nguy +ên, khi +ộc kho +(8;10) +B. (11;13) +C. (13;16) +D. (16;20) +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +. Công sai c +ã cho b +Câu 2. +. Công sai c +ã cho b +ị chặn bởi khoảng +. Tính +B. 150 +ố chấm ở h +àng th +ứ n trong h +ình 1, g +ổng diện tích các h +ình tô màu +àng th +ứ n trong +hình 2 (m +ỗi ô vuông nhỏ l +ị diện tích). Dự đoán công thức tổng quát của d +Cho dãy s +ịnh bởi +sin +, tính đ +ến số hạng thứ 100 th +ì dãy có bao nhiêu s +ố hạng bằng +Câu 6. +. Công sai c +ã cho b +ấp số nhân +, công b +ố hạng thứ mấy của +ố hạng thứ +ố hạng thứ +ố hạng thứ +ố hạng thứ +Câu 8. +. Công sai c +ã cho b +Cho dãy s +ồm tất cả các số nguy +ên dương chia h +ết cho 4 xếp theo thứ tự tăng dần, +ể từ số hạng bao nhi +ãy thì các s +ố hạng không nhỏ h +ơn 2023 ? +B. 506 +C. 509 +D. 510 +Cho dãy s +, tính ch +ất bị chặn +, tính +ấp số nhân, biết +. Công b +ủa cấp số nhân l +Cho dãy s +. Trong dãy có bao nhiêu s +ố hạng bằng 0 +nh tam giác vuông có đ +dài là các s +nguyên dương l +p thành m +nh có th +Cho dãy s +ãy có bao nhiêu s +ố hạng l +ố chính ph +ương nh +1.3 2.4 ( 2) +    +A. Tăng, b +n trên +2 8 9 15 +u u u u +    +ng 16 s +u tiên c +A. 100 +B. 400 +C. 320 +D. 510 +dương đ +ấp số nhân. +C. không t +ồn tại +Cho dãy s +ãy có t +ối đa bao nhi +ố hạng l +ố chính ph +C. Không th +ấp số nhân +. Tìm s +ố hạng thứ 5 của cấp số nhân đ +ã cho. +Chu vi m +t đa giác là +đo các c +a nó l +p thàn +i công sai +a đa giác đó là? +ết rằng +1; 2cos ; 1 cos3 +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số nhân. Với k l +ố nguy +ên, khi +đó x có th +ể bằng +m hai ch +2020 1 +Tìm ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số nhân biết rằng +ổng của chúng bằng +và tích c +ủa chúng +4, 20, 46 +15, 20, 35 +5, 20, 45 +10, 20, 40 +ấp số nhân +, tính +ất cả các số thực +ể ba số +theo th +ứ tự đó lập th +ấp số cộng? +Tính t +ng các giá tr +ột cấp số cộng. +ấp số nhân +Tính đi +ện tham số a để +theo th +ứ tự lập th +ột cấp số cộng. +Cho dãy s +u n n n +, có bao nhiêu s +ố hạng của d +ãy có cùng giá tr +ị bằng 6 ? +ổng các giá trị m để ph +ương tr +( 1)( 2)( ) +x x x m +có ba nghi +ệm lập th +ột cấp số nhân +B. 2,5 +ời gửi +ệu đồng v +ột ngân h +tháng. Bi +ết rằng nếu không rút tiền khỏi +ngân hàng thì c +ứ sau mỗi tháng, số tiền l +ợc nhập v +ốn ban đầu để tính l +ãi cho tháng ti +ếp theo. Hỏi s +au ít nh +sau bao nhiêu tháng ngư +ời đó thu đ +ợc (cả số tiền gửi ban đầu v +ố tiền l +ệu đồng? (Giả định trong khoảng +ời gian n +ày lãi su +ất không thay đổi v +ời đó không rút tiền ra). +A. 41. +B. 39. +C. 42. +ố nhân +, giá tr +ể bằng +C. 729 +Trong m +dãy gh +u tiên có +, các dãy li +n sau nhi +u hơn d +ng có t +bao nhiêu gh +nh tăng, gi +1.3 3.5 (2 1)(2 1) +    +A. Tăng, b +C. Không b +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +2 ; 4 2 ; 8 8 2 +x x x x x x +heo th +ạng ti +ếp theo c +ấp số nhân +ấp số cộng +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng l +ố hạng đ +à công sai c +ủa cấp số cộng +; 2 ; (2 )(2 1) +x x x x x x +theo th +ấp số nhân +ứ ba b +ằng 27 v +ạng cu +ằng 1594323, h +ó bao nh +. Công sai c +ã cho b +3 11 8 +ì tron +ả bao nhi +Thanh v +ợc tuy +ông ty c +ông ngh +ợc cam k +ương n +à 200 tri +ếp theo +ăng th +25 tri +ồng. G +ương v +anh Th +ệc cho c +ó. Khi +200; 25; 2 +s s s n +    +ương c +ủa anh Thanh v +ệc cho c +300 tri +B. 250 tri +C. 320 tri +50 tri +ăng, b +bao nhi +ên m nh +2; ; 9 +x mx x +theo th +D. 2023 +t du khác +h vào chu +t 20000 đ +n sau ti +p đôi l +c. Ngư +i ta thua 9 l +n liên ti +p và th +i du khách trên +ng hay +bao nhiêu ? +A. Hòa v +B. Thua 20000 đ +ng 20000 đ +D. Thua +0000 đ +, khi kim gi +n 12) th +ng n ti +trong m +c bao nhiêu ti +A. 156 +B. 152 +C. 148 +D. 160 +theo th +ứ tự n +ày là ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số cộng. Biết +ấp số cộng +ó ba s +; ( 1); ( 1) +x x x x x +ó bao nhi +ương x +3 21 3 +u n n n n +     +10 20 5 10 +u u u u +90 210 150 +10 30 20 +10 30 20 +Cho năm s +ột cấp số nhân theo thứ tự đó v +à các s +ố đều khác +1 1 1 1 1 +a b c d e +     +ổng của chúng bằng +. Tính giá tr +S abcde +ấp số cộn +ủa n s +2018; 5 +ng bao nhiêu c +A. 405 +B. 406 +C. 403 +D. 404 +ất cả các số thực +theo th +ứ tự đó lập +thành c +ấp số cộng? +ấp số cộng +ố hạng đầu t +ủa cấp số cộng l +t cây guita +r. Trong tu +u tiên, anh ta đ +đô la, và trong m +t theo, anh ta đ +ã thêm +đô la vào tài kho +a mình. Cây guitar Hùng c +n mua có giá +i vào tu +bao nhiêu thì anh +y có đ +mua cây gui +tar đó? +u n n n +ó bao nhi +ạng trong d +1000 1000 9000 +5; ;15 +theo th +ự lập th +ấp số cộng. Giá trị +( 1)( 2)( ) +x x x m +ó ba nghi +B. 2,5 +sin +; 3cos ; tan +theo th +ấp số cộng +2013 6 +ố hạng đầu ti +ủa cấp số cộng đó l +t ba s +2 1; 4 1; (4 1)(2 1) +x x x x +    +theo th +ạng ti +theo c +6 , 5 2 , 8 +x y x y x y +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp số cộng; đồng thời các số +1,  2,   3 +x y x y +theo th +ứ tự đó lập th +ột cấp +ố nhân. T +t chú cò khát n +c, chú tìm th +c bình +c nhưng c +bình v +a cao l +bé nên +chú không th +bèn nh +ng hòn s +vào bình +c dâng l +ên, phút đ +u tiên chú b +5 viên s +i, do quen vi +c nên t +phút th +i phút chú l +u hơn phút trư +viên s +i (trong ph +viên). Sau 10 p +hút thì n +ã dâng lên +chú có th +i chú cò +ao nhiêu viên s +vào bình? +ấp số cộng +công s +ạt giá trị nhỏ nhất. Tổng +ố hạng đầu +tiên c +ủa cấp số cộng đó bằng +14250. +14400. +14650. +15480. +ông th +ổng qu +ó bao nhi +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +và công sai +4 080 399 +4 800 399 +4 399 080 +8 154 741 +ấp số nhân +ó bao nhi +Cho dãy s +sin +ẳng đị +nào sau đây là đúng? +ố giảm +ố tăng +ố hạng thứ +sin +là dãy s +ố không bị chặn +ởi kho +ông ty +ương cho c +ư theo ph +ương th +c sau: +ương c +ên cho +ông ti l +à 4,5 tri +hai, m +ương s +ăng th +êm 0,3 +c sau 3 n +c cho c +ông ty. +A.83,7 tri +B. 78,3 tri +C. 73,8 tri +D. 87,3 +ạng trong d +ông th +và côn +10 1 2 3 10 +S u u u u +    +1; ; 4 +theo th +ấp số nhân +, giá tr +5 ( 1) 1 +ạng trong d +ông th +i ta thi +t cái tháp g +m 11 t +ng, di +n tích b +t trên c +ng ngay dư +n tích m +n tích đ +tháp (có di +n tích là +12288m +). Tính di +n tích m +ên cùng +B. 8m +C. 10m +D. 12m +ông nh +ấp só nhâ +. Công b +ội của cấ +ố nhân đ +ấp số nhân +ố hạng đầu +. Giá tr +( 1)( 2)( ) +x x x m +ó ba nghi +B. 2,5 +ời gửi +ệu đồng v +gân hàn +ếu không rút tiền khỏi +ngân hàng thì c +ỗi tháng, số tiền +ợc nhập v +n ban đ +tính lãi cho tháng ti +ếp theo. Hỏi sau ít nhất +sau bao nh +iêu tháng ngư +ời đó thu đ +ền gửi ban đầu v +ố tiền l +ệu đồng? +trong kho +ời gian n +ày lãi su +ất không t +ời đó kh +ông rút ti +ền ra) +ấp số nhân có +. Tính +B. 1,5 +u n n n +     +ó bao nhi +ố nguy +ấp số cộng +ó ba s +x mx x x +ố nhân +. Công b +ội của cấp số nhân đ +ã cho b +ả bao nhi +ửi 100 tri +ãi kép. Sau +tháng, ngư +ời đó g +ệu đồng với kỳ hạn v +ớc đó. Tổng số tiền ng +ời đó thu đ +năm sau khi g +ửi tiền gần nhất +ới kết quả n +ào sau đây bi +ết rằng tron +ốt thời +gian g +ất ngân h +àng kh +ông thay đ +ền ra. +ệu đồng. +ệu đồng. +ệu đồng. +ệu đồng +ể 3 số +2;  1; 3 +ột cấp số nhân: +Không có giá tr +1;  ; 0,64 +ã cho t +heo th +ứ tự lập th +ấp số nhân? +0,004. +Không có giá tr +0,008. +0,008. +bao nhi +ể 3 số +2 1;  ; 2 1 +ột cấp +ố nhân: +ạng th +ứ ba b +ho hai s +ệt sao ch +2 , 5 2 , 4 +x y x y x y +ồng th +x xy y +ộc kho +(13;14) +D. (14;15) +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +3 2021 +ố chia h +ết cho +ời ta tr +ồng 465 c +ây trong m +ột khu v +ình tam gi +ư sau: H +àng th +àng th +àng th +ứ ba c +ây trong khu v +B. 1,5 +à 30, s +à 10,5. Khi +ó bao nhi +ình ph +ương c +ng 29. +ấp số cộng +A. 161 +B. 143 +C. 252 +à 576 v +à 9. T +A.1061 +B. 1023 +C. 1024 +D. 768 +ó bao nhi +đang ti +t cây guita +r. Trong tu +u tiên, anh ta đ +đô la, +và tron +t theo, anh ta đ +đô la vào tài kho +a mình. Cây guitar Hùng c +n mua có giá +i vào tu +bao nhiêu thì anh +y có đ +mua cây guitar đó? +, , ,... +ạng nh +Trên m +t bàn bi a có 15 qu +bóng đ +i chơi đưa đư +nào vào l +trên qu +bóng đó. S +i đa ngư +i chơi có th +; ; 10 +u v t n n +    +ạng nh +ấp số nhân +Khi đó công b +ạn An ch +ếp các que di +êm thành tháp theo qui t +ắc thể hiện nh +ợc tháp có +ầng th +ạn An cần đúng bao nhi +êu que diêm? +D. 1,5 +3; ; 3 3 +theo th +ứ tự l +à ba s +ạng li +ếp của một cấp số nhân. T +ìm công b +ủa cấp +ố nhân đó. +Sinh nh +a An vào ngày +tháng năm. An mu +n mua m +t món quà sinh nh +t cho b +n nên quy +ng heo +ng vào +, sau đó c +liên t +c ngày sau hơn ngày trư +n ngày sinh nh +n, An đ +ã tích l +c bao nhiêu ti +n? (th +i gian +n ngày +738.100 +726.000 +714.000 +750.300 +u n n n +     +ó bao nhi +2 ,4 , 2 +x y x y x y +theo th +C. 0,75 +D. 0,25 +bao nhi +ột cấp số nhân tăng có số hạng thứ +ố hạng thứ +ố hạng thứ +ao nhiêu c +ủa cấp số nhâ +1; tan ; 4tan 3 +theo th +sin cos +1 2 1 1 +( 1) 2 3 +ổng qu +ó bao nhi +ạng trong d +69000 960000 +ằng 7 ? +ời gửi số +ền 100 triệu đồng v +ân hàng v +ột năm. Biết rằng nếu không +ền ra khỏi ngân h +àng thì c +ứ sau mỗi năm, số tiền +ợc nhập v +ầu để tính l +ãi cho n +theo. Đ +ợc số tiền +300 tri +ệu đồng (cả tiền gốc v +lãi) thì c +ần gửi ít nhất bao nhi +êu năm, n +trong kho +ảng thời gia +n này ngư +ời đó k +hông rút ti +ền ra v +à lãi su +ất không thay đổi? +có công sai d +t giá tr +t. Tính +ng 100 s +u tiên c +a dãy. +ạng th +bao nhi +ạng lu +Cho dã +u u n n +. Tìm s +ố tự nhi +ỏ nhất để +Trong các dãy s +ố sau, d +ào là dãy s +ố giảm? +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +. Công sai c +ã cho b +. Công sai +ấp số cộng +ố hạng thứ 10 c +ủa cấp +ố cộng đó l +Sinh nh +a An vào ngày +tháng năm. An mu +n mua m +t món quà +sinh +t cho b +ng heo +ng vào +, sau đó c +liên t +c ngày sau hơn ngày trư +y sinh nh +n, An đ +ã tích l +c bao nhiêu ti +n? (th +i gian b +heo tí +n ngày +738.100 +726.000 +714.000 +750.300 +ấp số nhân +3, 48. +Công b +ấp số nhân bằng +ạng th +ứ bao nhi +ạng th +ạng th +ạng th +ả bao nhi +ạng nguy +ấp số cộng có tổng +ố hạng đầu l +. Giá tr +ị của số hạng thứ +ủa cấp số +ố x, y ph +2 ,4 , 2 +x y x y x y +theo th +C. 0,75 +ập hợp tất cả các số tự nhi +sao cho +theo th +ự đó lập th +ột cấp số +ộng. Tính tổng tất cả các phần tử của +ố nguy +ấp số nhân +ố hạng đầu +và công b +Cho tam giác ABC có s +đo ba góc t +o thành m +ng và có m +t góc b +. Tìm hi +o hai góc còn l +A. 35 đ +B. 25 đ +C. 5 đ +ố cộng +1 4 7 2011 +S u u u u +     +ấp số nhân có số hạ +, công b +ố hạng đầu ti +ủa cấp số nhân +ố cộng +; ( 2) ; 2 +x x m x x m +ộ ba s +2 7 2 2 +    +ạng nh +ổng vô hạn +1 ... ... +      +u n an +ố nguy +ương a +sin +; 3cos ; tan +theo th +1; 24850 +1 2 2 3 49 50 +u u u u u u +A. 123 +ấp số nhân +ng hai s +ng 5, t +a ba s +ng 21, t +ho, bi +A.349525 +C. 360445 +D. 340525 +i q th +1 2 3 4 5 +1 2 3 4 5 +1 1 1 1 1 +u u u u u +u u u u u +         +có các s +ng khác 0 th +ng n s +ng n s +p theo. T +theo th +ứ tự n +ày là ba s +ố hạng li +ếp của một cấp số cộng. Biết +ộng, t +ằng 80. C +ảy ra khi +theo th +1; ; 2 +nhân. T + + + + +1 file +1 file +1 file +1 file +, LOGARIT +1 file +1 file +1 file +1 file +1 file +1 file +1 file +, LOGARIT +1 file +1 file +1 file +1 file +NG CAO +P 11 THPT +______ +Câu 1. +Tính đ +o hàm c +a hàm s +. Trong c +ệnh đề sau, mệnh đề n +không t +y x x x +    +' 4 6 1. +' 4 6 . +y x x x +' 4 3 . +y x x x +' 4 3 1. +y x x x +    +ằng biể +sau đây? +16 9 1. +8 27 1. +8 9 1. +18 9 1. +Cho hàm s +ịnh tr +f x ax b +là hai s +ố thực đ +ã cho. Ch +ọn câu đúng: +Cho hàm s +3 2018 +y x x x +    +. Tính t +ng các nghi +a phương tr +au đây có đ +o hàm b +( ) 4 3 2 1 +f x x x x x +     +Giá tr +Cho hàm s +f x ax b b +Trong các m +ệnh đề sau, mệnh đề n +Tính đ +o hàm c +y x x m +5 2024 +. Nghi +ương tr +4; ( 2) 2 5; ; 7 3 +y x y x x x y x x y x +          +ó bao nhi +y x x x +    +ệm nguy +Cho hàm s +ịnh tr +. Giá tr +Cho hàm +f x mx mx +nh trên +là tham +. Tìm t +ất cả các số thự +ệm của bất ph +ương t +ại điểm +Cho hàm s +. Giá tr +y x x x +    +' 4 6 3 +' 4 6 2 +' 4 3 2 +' 4 6 2 +ố nghi +ương tr +    +' 2 4 1 +   +' 3 4 1 +   +    +   +Cho hàm s +ịnh tr +f x x x +. Hàm s +ố có đạo h +y x x x x +    +ương tr +y x x x +    +f x x x +ó bao n +ố nguy +ương x +Cho hàm s +2 8 9 2 +f x x x +   +. Hàm s +ố có đạo h +3 6 10 +y x x x +    +3 6 2. +2 2 4. +6 2 4. +3 2 2024 +y x x x +    +. Tính t +ng các nghi +a phương tr +20 9 4 2 +y x x x +    +ác nghi +' 12 4 +' 12 4 +ố nghi +ương tr +( 4)( 6) +3 ( 6) ( 4) +y x x x +    +3 ( 6) 2( 4) +y x x x +    +( 6) ( 4) +y x x x +    +3 ( 6) ( 4) +y x x x +    +f x x x +( 5) 5 +f x x mx +( 5) 9 +y x x x +    +( 4) 6 +ố nghi +ệm nguy +P 11 THPT +Câu 1. +ìm nghi +y x x x +20 10 6 +20 10 6 +20 10 6 +f x x x +Cho hàm +y x x x x +    +3 3 3 3 +4 ; 6 ; 4 5; 4 10 +y x x y x x y x x y x x +          +Trong c +ông th +( 4 )( 7) +y x x x +2(3 4)( 7) ( 4 ).2 +x x x x x +    +(3 4)( 7) ( 4 ). +x x x x x +    +(3 4)( 7) ( 4 ).2 +x x x x x +    +(3 4)( 7) ( 4 ).2 +x x x x x +    +y x mx +ằng 5. +Cho hàm s +y x ax bx +    +ết rằng +y x x m +ao nhi +ố nguy +ên x th +6 10 5 +y x x x +    +ương tr +y x x x +    +y x x mx +    +ị tham s +y x x mx +    +ố nguy +ương m sa +y x mx nx +    +(1) 6; (2) 17 +7,  3 5 +f x x x g x x x +      +t phương t +f x g x +có nghi +   +ằng biểu thức n +ào sau đây +4(7 5) . +28(7 5) . +28(7 5) . +28(7 5) 1 +ị tham s +y x mx +t đa th +y x mx +có hai nghi +. Giá tr +ị tham số +ị tham s +y x mx +ằng 5. +bao nhi +ố nguy +5 7 5 0 +    +f x x x +dương khi và ch +ỉ khi : +o hàm s +ập nghiệm của ph +ương tr +bao nh +ố nguy +ên x th +7 11 15 0 +    +f x F x +Cho hàm s +ương trên kho +ào trong +các kho +ảng sau +3 3 3 3 +4 ; 3 6 ; 2 4 5; 5 4 10 +y x x y x x y x x y x x +          +ằng 4 ? +    +4 2023 +f x x x x +ao cho +Cho hàm s +3 2017 +g trình +ập nghiệm l +; 1 1; +     +7 11 5 +y x x x +    +ố nghi +ệm nguy +ương tr +ho hàm s +y x mx x +    +là tham s +ập hợp +ất cả các giá t +có hai nghi +ệm phân biệt +; 3 3; +     +; 3 3; +     +3 2021 2022 +y x x x +    +ằng biểu +6 2021 +6 2021 +6 2021 +6 2021 2022 +y x x x +    +Cho hàm s +f x x x +ố nghiệm của ph +ương tr +P 11 THPT +PHÂN TH +ổng qu +ax b d +cx d c +ho hàm s +. Hàm s +ố có đ +Câu 3. +ố nghi +ương tr +Tính đ +ố sau: +bao nhi +ên x th +Cho hàm s +. Giá tr +ộc khoảng n +ào sau đây? +20; 10 +. Tính +Cho hàm +ịnh tr +. Giá tr +Không t +ồn tại. +. Giá tr +Không t +ồn tại. +ại điểm +ào sau +Cho hàm s +ết quả n +ào sau đây? +Không xác +Cho hàm s +Cho hàm s +ộc khoảng n +ào sau đây? +20; 10 +. Giá tr +ộc khoản +g nào sau +20; 10 +ax bx c +. Giá tr +ệm duy nh +ương tr +hàm là +ax bx c +. Giá tr +P a b c +Tính theo m đ +a hàm s +ax a b +i a, b khác 0. Tìm m +trong các m +Tìm giá tr +2 1 (2 1) +P 11 THPT +PHÂN TH +ính theo +tham s +a hàm s +ax a b +ính gi +ính gi +. Giá tr +ộc khoảng n +ào sau đây? +20; 10 +ìm nghi +ương tr +3 2 1 4 +2 1 3 1 +x x x x +y y y y +x x x x +    +    +bao nhi +ương tr +ừng kho +Tính đ +ố sau: +2 1 (2 1) +ính gi +Cho hàm s +ểu thức n +ào sau đây? +2 ( 3) +( 2 3) +( 2 3) +( 2 3) +4 ( 3) +( 2 3) +ằng biểu thức +nào sa +u đây?. +( 3) ( 1) +ax bx c +. Giá tr +P a b c +1 7 3 2 7 9 +5 2 1 3 1 +y y y y +x x x x +    +    +bao nhi +ừng kh +àm là: +o sau đâ +3 2 1 4 +2 1 3 3 +x x x x +f x g x h x k x +x x x x +    +    +ào sau +ax bx c +. Giá tr +P a b c +.. Giá tr +ương tr +ào sau +ây sai +ác nghi +ực x c +ương tr +ệm nguy +ương tr +ó bao nhi +ố nguy +ên m nh +ương tr +P 11 THPT +A CĂN V +ẳng định n +ào sau đây là đúng? +Tính đ +. 0,25 +D. 0,5 +Cho hàm s +. Hàm s +ào là đ +nào dư +ới đây? +ủa x sao cho +ơng tr +Tính đ +o hàm c +a hàm s +y x x x +ìm nghi +ương tr +Tính theo m đ +a hàm s +y mx x +ố nghi +ương tr +2 8 10 +4 8 10 +o hai s +ố hữu tỉ +sao cho hàm s +    +ại điểm +. Nghi +ương tr +ính ph +ìm nghi +ương tr +Cho hàm s +ập nghiệm của bất ph +ương tr +au đây có +2 (1 ) +ố nghi +( 1) 4 3 +y x mx x +    +10 12 5 +A. m = 2 +B. m = 1 +D. m = 2,5 +ố nghi +ương tr +ẳng thức n +ào sau đây đúng v +Cho hàm s +y x x x +ax bx c +. Tính giá tr +ủa biểu thức +T a b c +    +Cho hàm s +. Tính +Cho hàm s +y x mx m +    +. Tìm nghi +a phương tr +P 11 THPT +A CĂN V +Câu 1. +ương tr +2 6 19 +ại bao nh +ên x th +f x x m +ị m sao cho +Tìm hàm s +o hàm c +a nó b +ào sau +   +ào sau +y x x x +ó bao nhi +ố nguy +âm x th +3 ( 1) +i giá tr +Cho hàm s +y x x x +ax bx c +Hãy tính +c nghi +ương tr +Cho hàm s +y x x x +. Phương tr +m dương n +m trong kho +ng nào ? +y x x x +ố nghi +ương tr +Cho hàm s +. Tính +y x x x +ác nghi +ương tr +duy nh +ương tr +6 1 6 1 6 1 +x ax b +. Tính +ố nghi +ương c +ơng tr +y mx x +ìm theo m nghi +ương tr +Cho hàm s +. Tính +( 6) 6 +ố nghi +ương tr +Cho hàm s +5 14 9 +f x x x +    +p các giá +5 18 4 5 +y x x x +    +. Khi đó +S a b c +ố nghi +ương tr +y x x x +ax bx c +. Tính giá tr +ủa biểu +T a b c +Cho hàm s +. Tìm s +ố nghiệm của +phương tr +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Câu 1. +Tính đ +o hàm c +a hàm s +sin +cos +cos 1 +cos +Tính đ +o hàm c +cos2 4 +2sin2 +2sin2 1 +cos +Tính đ +àm hàm s +2 cos 3sin +y x x x +cos 2 sin +cos 2 sin +cos 4 sin +cos 5 sin +sin +ới đây +tan +cot +sin +cot +sin cos +cos sin +cos sin +cos sin +cos sin +Tính đ +sin cot +cos . +sin +cos . +sin +cos . +sin +cos . +sin +cos sin +sin cos +sin cos +sin cos +cos sin +Cho hàm s +cos 1 +, nghi +m phương tr +   +1 tan 2 +cos 2 +2cos 2 +Cho hàm s +sin cos +ới dạng +nh giá tr +ị biểu thức +T a b c +( ) 2sin +. Tính +Cho hàm s +( ) cos sin +f x x x +ào sau đây +sin +tan +sin +cot +cos +5sin 3cos +5cos 3sin +cos 3sin +5cos 3sin +cos sin +Công th +ào sau đây là đúng? +cot ' +cos +cot ' +sin +cot ' +cos +cot ' +sin +a hàm s +( ) 3sin 5cos +f x x x +( ) 3cos 5sin +f x x x +( ) 3cos 5sin +f x x x +( ) 3cos 5sin +f x x x +( ) 3cos 5sin +f x x x +Tính đ +3sin 2cos +3cos 2sin +3cos 2sin +3cos 2sin +3cos 2sin +4sin2 7cos3 9 +4cos2 7sin3 +8cos2 21sin3 9 +4cos2 7sin3 +8cos2 21sin3 +sin2 cos3 +cos2 sin3 +cos2 sin3 +2cos2 3sin3 +2cos2 3sin3 +sin2 cos +( ) sin cos 3 +f x a x x +ằng bao nhi +Tính đ +a hàm s +tan +ại điểm +tan -cot +sin 2 +cos 2 +sin 2 +cos 2 +Tính đ +a hàm s +cos 7 +Cho hàm s +sin3 3cos3 . +f x x x +ương tr +   +   +   +Cho hà +cos sin . +f x x x +Phương tr +có bao nhiêu nghi +ệm thuộc khoảng +sin 2 +là các s +uyên dương và +nguyên t +ùng nhau. Tính +sin 3 +6sin6 +3sin6 +6sin 3 .cos3 +3sin6 +sin 2 +2sin2 +2sin4 +2cos2 +sin cos 2 +f x x x x +. Khi đó +2 sin .cos +2 2sin2 +2 sin2 +2 2sin2 +Cho hàm s +( ) tan cot +y f x x x +. Tính +tan cot +cos 2 +sin 2 +sin 2 +cos 2 +P BÀI TOÁN +Cho hàm s +sin +. Tính đ +ã cho. +' sin +' sin2 +' 2sin2 +' sin +Tính đ +cos +' sin +' sin +' sin2 +' cos2 +sin +' cos +cos +cos +cos +Tính đ +cos 1 +' sin 1 +' sin 1 +' sin 1 +' sin 1 +Tính đ +sin 1 +' cos 1 +cos 1 +cos 1 +cos 1 +Tính đ +sin +' 2 cos +' cos +' cos +' 2 cos +Tính đ +tan +cos +' (1 tan ) ' +cos +ả A v +Tính đ +cos sin +y x x x +' sin 2cos +y x x x +' cos sin +y x x x +' sin +' cos +Tính đ +sin(4 3) +2sin(4 3) +cos(4 3) +sin(4 3) +2 sin(4 3) +cos(4 3) +sin(4 3) +2cos(4 3) +sin(4 3) +sin cos +sin cos +(sin cos ) +(sin cos ) +sin cos +(sin cos ) +sin cos +(sin cos ) +Tính đ +o hàm c +1 sin +1 sin +1 sin +1 sin +1 sin +sin +1 sin +Tính đ +cos +sin cos +sin cos +sin cos +sin +sin cos +sin +sin cos +Tính đ +sin cos +sin cos +sin cos +2sin2 +sin cos +sin cos +sin cos +Tính đ +sin( 3 2) +' (2 3)sin( 3 2) +y x x x +    +' (2 3)cos( 3 2) +y x x x +    +' cos( 3 2) +' (2 3)cos( 3 2) +y x x x +    +Tính đ +2sin3 cos5 +' 4cos8 cos2 +' 4cos8 cos2 +' 2 4cos8 cos2 +' 8cos8 cos2 +Tính đ +tan +cos +cos +a hàm s +1 2tan +1 2tan +cos 1 2tan +cos 1 2tan +2cos 1 2tan +tan2 cot2 +cos 2 sin 2 +sin 2 cos 2 +' tan 2 cot 2 +' 2 tan 2 cot 2 +Tính đ +cot sin5 +' 1 cot (sin5 ) cos5 +' 5 1 cot (sin5 ) cos5 +' 1 cot (sin5 ) cos5 +' 5 1 cot (sin5 ) cos5 +Tính đ +(2 5)tan +' 6 tan +' 6 tan +cos +cos +cos +LOGARIT +P BÀI TOÁ +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +¯¯¯¯¯¯¯ +o hàm c +a hàm s +o hàm là +2 .ln2 +(2 1).2 .ln2 +(2 1).2 +o hàm là +2 1 .3 +2 1 .3 .ln3 +3 .ln3 +Tính đ +o hàm c +13 ln13 +Tính đ +o hàm c +log 2 1 +2 1 ln2 +2 1 ln2 +Tính đ +o hàm c +a hàm s +1 2 1 ln2 +1 2 1 ln2 +1 2 1 ln2 +1 2 1 ln2 +log 2x +2x ln2 +2x 2 ln2 +2x ln2 +o hàm là +2 3 2 ln2 +o hàm là +2 5 .3 +3 .ln3 +2 5 .3 .ln3 +Tính đ +o hàm c +y=ln 1+ x+1 +2 1 1 1 +o hàm c +a hàm s +o hàm c +2 1 ln3 +Tính đ +o hàm c +a hàm s +Cho hàm s +, tính +o hàm c +a hàm s +o hàm c +a hàm s +ln2. 1 1 +ln2. 1 1 +Tính đ +o hàm c +a hàm s +Tính đ +o hàm hàm s +.sin2 +sin2 cos2 +.cos2 +sin2 cos2 +sin2 2cos2 +ương tr +ằm trong kho +a hàm s +2 log 1 +    +' 2 ln2 +1 ln10 +' 2 ln2 +1 ln10 +Cho hàm s +. Khi đó +Tính đ +a hàm s +2 ln2 ln +2 ln2 e +2 ln2 e +o hàm c +a hàm s +( ) log 2 +f x x x +(2 2)ln +o hàm c +a hàm s +(x) ln(lnx) +xln ln ln +2 ln ln +2xlnx ln ln +lnx ln ln +_______ +LOGARIT +P BÀI TOÁ +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +trên kho +àm trên +3 .ln3 +Tính đ +Cho hàm s +. Giá tr +' 2 2023 +'(2) 2023 .ln2023 +ln2023 +ln2023 +Cho hàm s +' 1 6ln2 +'(1) 7ln2 +'(1) 8ln2 +'(1) 9ln2 +Tính đ +log 2 1 +2 1 ln2 +2 1 ln2 +Tìm nghi +ệm của ph +ương tr +'( ) 0 +Cho hàm s +f x x x +. Tìm t +p nghi +a phương tr +    +3 .ln3 +( 1).3 .ln9 +( 2 3).3 +(2 2).3 +Cho hàm s +. Khi đó +log 3 1 +y f x x +3 1 ln2 +3 1 ln2 +3 1 ln2 +3 1 ln2 +Cho hàm s +ệm của ph +ng trình +ộc kho +( ) ( 1) +y f x x e +2 (2 2) +2 (2 2) +Tính đ +ại điểm +Tìm nghi +ệm của ph +ương tr +'( ) 0 +6 ; ; ( ) log 1 +f x g x e h x x +    +bao nhi +ương tr +( ) log 1 +. Nghi +ương tr +ương tr +Cho hàm s +ệm của ph +ng trình +ộc kho +ệm của ph +ương tr +'( ) 0 +2 2 4 3 +10; 4 ; ( ) log 3 5 +x x x x +f x e g x h x x x +      +Có bao nhi +ó nghi +ằng 1 ? +ương tr +ó nghi +f x e m +ại bao nhi +ố nguy +ương m +à nghi +ằng 1. +ên kho +ào sau +. Nghi +ương t +ộc kho +Cho hàm s +f x x x +ương tr +f x x e +ương tr +ương tr +ập ngh +ương tr +ào sau +P BÀI TOÁN +o hàm s +có phương tr +ình là +ồ thị l +. Phương tr +ình ti +ếp tuyến của +phương tr +ình ti +Phương tr +ình ti +ng cong +C y x x +m có hoành đ +i giao đi +c tung có ph +ằng 4. +rình ti +i giao đi +ào sau +sin +Cho hàm s +là (H). Phư +ơng tr +ình ti +i giao đ +a (H) v +c hoành +ào sau +(C). Phương tr +a (C) t +i giao đi +c tung là: +Cho hàm s +n thiên +ã cho ti +bao nhi +Cho đư +có tung đ +. Hãy l +p phương tr +ình ti +D. A, B, C đ +ng cong +có hoành đ +phương tr +ình ti +Phương tr +ình ti +( ): 3 4 +C y x x +có hoà +p phương tr +ình ti +Cho hàm s +. Tìm ph +ương tr +ình ti +Phương +ng cong +m có hoành đ +Cho hàm s +Tính h +    +(P). N +a (P) có h +ng 8 thì +hoành đ +m M là: +hương tr +ình ti +song v +:2 1 0 +    +    +vuông góc v +. Phương tr +ình ti +ếp tuyến của đồ thị h +ố tại điểm +    +song song v +ng cong +i A là đi +, A có h +oành đ +ng 1. Tìm +i A so +Cho hàm s +ệ số góc +ủa tiếp tuyến với đồ thị +ại điểm có tung độ +t phương t +y x x x +    +song song +P BÀI TOÁN +àm liên t +ên kho +và có đ +ồ thị l +ờng cong +ủa tiếp +ến của +ại điểm +M a b C +ếp tuy +ào sau +y kx m +t d song song v +3 2 19 0 +Phương +trình ti +ếp tuyến của đ +ại điểm có ho +ếp tuy +ào sau +y x x x +    +ến của +ại điểm có ho +y x x x +    +hoành đ +Phương tr +ình ti +àm liên +à có đ +ồ thị l +phương +ếp tuy +ến của +M a f a a K +y f a x a f a +y f a x a f a +y f a x a f a +y f a x a f a +ã cho t +m có hoành đ +Cho hàm s +   +. Phươn +g trình ti +ếp tuyến của +ại điểm +à có h +oành đ +ộ bằng +ằng 1 nh +( 3 2) 4 +    +ờng th +ại hai +ổng ho +ếp tuy +ó song song v +3 2 5 0 +3 2 2 0 +3 2 2 0 +3 2 1 0 +3 2 3 0 +ao nhi +ểm M tr +ếp tuy +ó bao nhi +ng con +song song v +ố tiếp t +ến của +   +vuông góc v +. Phương tr +ình ti +4 3 2 0 +4 3 2 0 +4 3 2 0 +4 3 2 0 +Phương tr +ến với +ồ thị h +C y x x +có hoành đ +ến của +ại điểm +ệ số góc +Phương t +o hàm s +ệ số góc của tiếp tuyến với +ại điểm +Cho hàm s +Phương tr +ình ti +m có tung đ +Cho hàm s +ệ số góc +ủa tiếp t +ến với +ại điểm +phương tr +ình ti +ếp tuyến của đồ thị +ết tiếp điểm có ho +ộ bằng +P 11 THPT +( 1)(3 2 ) +y x x x +' 5 3 2 +' 15 3 +' 15 3 2 +Tìm giá tr +o hàm hàm s +y x x x +    +C. 1,4 +ng các giá tr +o hàm c +a hàm s +y x mx m +i bao nhi +x x F x +Cho hàm s +y x mx mx +    +n tham s +phương tr +vô nghi +A. 1 < m < 4 +B. 0 < m < +C. 2 < m < +D. 1 < m < 7 +2018 10 +f x x x +hiêu s +Tính t +ng các ng +phương +( 1) ( 3) 2019 +y x k x k x +      +Cho hàm s +3 2 1 2 +f x x mx m x +     +luôn không âm v +bao nhiêu giá tr +ủa tham số +sao cho hàm s +( ) 4 3 +f x x mx x +    +y x m m x m +      +ao nhi +ố nguy +ương tr +o hàm s +y x k x kx +    +. Tìm t +các giá tr +1 2018 1 +C. S = +D. S = +Cho các hàm s +3 2 3 2 2 +9 ; (5 1) 7 +f x x kx x g x x k x k x +        +. Tính tích các nghi +phương tr +f x g x +bao nhiêu giá tr +ị thực c +y x mx m x +     +có hai +sao cho +1 2 1 2 +x x x x +    +f x x x m +ại hai gi +f a f b +Có bao nhiêu +giá tr +ị nguy +f a f b +(4 ) ( 2) 1 +y m x m x x m +       +ại bao nhi +f x x x mx +    +là giá tr +ị của tham số +f x f x +1 2 1 2 +x x x x +ới đây đúng? +( ) 3 6 +f x x x mx +    +ại hai gi +f a f b +ính gi +y x mx x +    +ương tr +ó hai nghi +có giá +ị tuyệt đối +ài hai +ủa tam giác vuông +ạnh huyền l +ỏi có mấy giá trị của +Không có +y x mx m x +     +ương t +ó hai nghi +1 2 1 2 +x x x x +ị tham s +ố m thu +ợc thu +ộc kho +(2 2 3) 5 +y x mx m m x +      +Khi tham s +ố m tha +Cho hàm s +3 2 2 2 +3 3 1 3 1 +y x x m x m +      +. Có bao nhiêu giá tr +nguyên c +ương t +ó hai nghi +3 2 3 2 +3 2 2 3 2 2 +2 1; 4 5 +5 8; (2 2 3) 5 +y x x x y x x x +y x mx m x y x mx m m x +        +          +Cho hà +      +y x mx m x +ới m l +à tham s +ố. Hỏi có bao nhi +êu giá tr +ị nguy +trên kho +Cho hàm s +1 3 2 2 +y x m x m x +      +ương tr +ó hai nghi +Hãy tính t +( ) 3 6 +f x x ax bx +    +F x G x +2 4 4 2 +Cho hàm s +2 3 1 6 2 1 +y x m x m x +      +là tham s +ố thực. T +ất cả các giá trị của +ương tr +ó hai nghi +ằm trong kho +1;4 \ 3 +ết rằng +y x a x b x +     +ậc hai c +ệnh đề +nào sa +u đây là đúng? +P 11 T +P BÀI TOÁN +Câu 1. +Tìm vi phân c +a hàm s +(8x 5) x +(8x 1) x +(8x 7) x +(8x 6) x +ấp hai c +ìm hàm s +Tìm vi phân c +f x x x +ại điểm +ứng với +C. 0,5 +Tìm vi phân c +f x x x +ại điểm +ứng với +i phân c +ại điểm +ứng với +f x x mx x +    +ính the +ấp hai +log 2 1 +2 1 ln2 +2 1 ln2 +dy x dx +Vi phân c +ại điểm +ứng với +(2) 0,018 +(2) 0,002 +(2) 0,009 +ẳng thức n +ào sau đâ +y đúng +4 4x x +2 8x x +f x x x x +Cho hàm s +sin 3cos +. Vi phân c +d cos 3sin d +y x x x +d cos 3sin d +y x x x +d cos 3sin d +y x x x +d cos 3sin d +y x x x +Cho hàm s +Giá tr +Cho hàm s +nào sau +đây đúng +f x x mx x +    +ị tham s +Phép toán nào sau đây đúng +y dy d +   +y dy d +y dy d +y dy d +   +Cho hàm s +y f x x +sau đây ch +ỉ vi phân củ +a hàm s +d 2 1 d +d 2 1 d +3 ; 2 3 2; 3 4 +y x x y x x y x x +        +bao nhi +ấp hai b +Tìm vi phân c +ủa các h +(3 4 ) +dy x x dx +dy x x dx +(3 2 ) +dy x x dx +(3 4 ) +dy x x dx +Cho hà +f x x x +, giá tr +ấp hai của +3 .ln3 +( 1).3 .ln9 +dy x dx +( 2 3).3 +dy x x dx +(2 2).3 +dy x dx +Tìm vi phân c +sin3x os3x +(3 os3x 3sin3x) x +dy c d +(3 os3x+3sin3x) x +dy c d +(3 os3x+sin3x) x +dy c d +( 3 os3x+3sin3x) x +dy c d +ấp hai của +Cho hàm s +5 1 4 1 +f x x x +    +ệm của ph +ương tr +ị m sao cho +ấp hai c +ằng 3. +Cho hàm s +phân c +d 3 5 d +d 3 5 d +d 3 5 d +d 3 5 d +Tìm vi phân c +ủa các h +Vi phân c +cos +ại điểm +ứng với +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Cho hàm s +f x x x m +, giá t +Cho hàm s +    +f x x x x +. Giá tr +Tìm vi ph +2cos2 +dy xdx +dy xdx +dy xdx +2sin2 +dy xdx +y x x x +dy x x dx +dy x x dx +dy x x dx +dy x x dx +Cho hàm s +Cho hàm s +. Giá tr +f x x mx x +    +ị tham s +ố m sao cho +Cho hàm s +ẳng th +2 3 2 2 3 2 +; 2 1 ; ( 1) ( 1) ; (3 2 ) ( ) +x dx d x d x x dx d x x x dx d x x +         +ẳng th +Cho hàm s +ào sau +14 2 16 +16 2 20 +10 2 14 +7 2 10 +ấp hai l +dy x e +ấp hai bằng: +2 5 2 5 +2 5 2 5 +ấp 2 bằng: +ấp 2 bằng : +Vi phân c +ấp hai của h +ấp 2 bằng : +Cho hàm s +5( 1) 4 1 +    +f x x x +ập nghiệm của ph +ương tr +Cho hàm s +. Phương +f x f x +có nghi +o hàm s +. Vi ph +d 7d . +d 7d . +ác nghi +Cho hàm s +. Tính +y x x x +y x x x +20 24 2 +20 24 2 +dy x dx +13 ln13 +p hai là +(2 1).3 .ln3 +dy x dx +2 1 .3 +dy x dx +dy x x dx +2 1 .3 .ln3 +dy x dx +Cho hàm s +ác nghi +ương tr +P 11 THPT +y x ax bx +    +ết rằng +Cho hàm s +3 2023 +ương tr +ố nghi +ệm nguy +Cho hàm s +2 10 2 +f x x mx m m x +      +. Có b +o nhiêu giá tr +ị nguy +ủa tham số +cho phương tr +có 2 ngh +ệm phân biệt? +( 6) 1 +y x mx m x +     +ại bao nhi +giá tr +yên m thu +vô nghi +2 3( 1) 6 1 +y x m x mx +     +có hai ng +m phân +ng bình +phương +Cho hàm s +y x x mx +    +giá tr +tham s +m sao ch +3 2 3 2 3 2 2 +3 2 2 3 2 2 +2 1; 3 2 4; (2 1) ( ) 9 +5 8; (2 2 3) 5 +y x x x y x x x y x m x m m x +y x mx m x y x mx m m x +              +          +bao nhi +Cho hà +2 1 4 1 3 +f x x m x m m x +       +ợp tất +ả các giá trị có tham số +ương tr +hai nghi +ệm phân biệt +. Hãy tính t +ổng của +ần tử th +Cho hàm s +y x x mx +    +. Có b +nhiêu s +nguyên +sao ch +0, 1;2 +( 1) 5 +f x x mx m x +     +hai nghi +ệm phân biệt +ồng th +( ) 4 6 +f x x x mx +    +f a f b +2 3 22 +Tính a + +(2 ) (5 2 ) 1 +y x a b x a b x +      +o hàm b +( ) 2023 +g x f x +y x m x m x +      +ất cả giá trị t +ực của +tham s +ể bất ph +ệm đúng với mọi +   +f x F x +F x x x mx +    +ất cả các giá trị thực của th +6 4 9 4 +y x x m x +     +trên kho +ố giá trị +nguyên th +ộc khoảng +2020;2020 +ủa tham số +3 2019 +y x x mx +    +3 2 1 3 5 +y x m x mx m +      +i hai s +y x y x +ồng thời +y x y x +3 11 13 +3 27 3 2 +y x mx x m +     +ọi S l +sao cho +ại hai +y x y x +. Tính +y x mx +    +. Hai s +y x y x +F x G x +2 4 4 2 4 +F G x x +    +4 2 7 1 +y x m x x +     +sao cho +y x y x +ồng th +tham s +ập hợp tất cả các +giá tr +ị nguy +ên dương c +y x mx +ổng giá trị các phần tử của +Cho hàm s +     +y x x m x +ó bao nhi +ố nguy +ương tr +[ 3;5] +B. 120 +D. 140 +P 11 THPT +PHÂN TH +Có bao nhiêu s +nguyên +   +A. [2;3] +B. (0;4) +. (1;2] +Có bao nhiêu s +nguyên m đ +o hàm c +a hàm s +giá tr +dương trên +ng xác đ +A. Vô s +. Tìm giá tr +A. 0,25 +. 0,125 +Cho hàm +6 9 3 3 1 +x x x x x +     +. Khi đó p +( 1) ( 1) +các nghi +o nhiêu s +nguyên +phương tr +2 ( 2) +x x x x +    +ó nghi +nhiêu s +nguyên m đ +âm trên +hàm là +ột biểu thức +ax bx c +. Khi đó +bao nhiê +giá tr +yên m đ +ận giá trị d +g trên +B. Vô s +ằng biểu thức có dạng +ax bx c +. Khi đó +ồn tại bao nhi +nguyên m < 10 đ +àm hàm s +ận giá trị +ơng trên +các giá tr +ị m sao cho +x m m m +ương tr +ằng 0. +ểu thức có dạng +ax bx c +B. 50. +C. 44. +D. 40. +ương c +ác nghi +ương tr +ồn tại bao nhi +êu giá tr +ị nguy +ên m đ +ể đạo h +m hàm s +ận giá +ị âm tr +F x f x +2 1 3 1 +2 2 3 1 +2 1 3 2 +     +a b c d +    +x a b x ab +ng 4 và có đ +o hàm là +ng phương t +có nghi +m duy nh +ng nào ? +. (1;2) +B. (0;1) +C. (2;3) +D. (4;5) +o hàm s +p nghi +hương tr +2 . 3 0 +; 2 0; +   +Cho hàm s +. Tìm m +o hàm c +ã cho b +A. m = 2 +D. m = 4 +Phương tr +hiêu nghi +m dương ? +Cho hàm s +. Tính +ng các +a phươ +9 2018 +B. 4,75 +C. 7,25 +Cho hàm s +. Tính t +a phương tr +4 ; 1 3 +f x x f +   +ương tr +ương v +ương tr +ào sau +2 ; 1 1 +f x x f +   +ố nghi +ương c +ương tr +11 THPT +Cho hàm s +i bao nhiêu giá tr +nguyên x đ +nh trên R th +i phương tr +ng bình +phương các nghi +m là bao nhiêu ? +Tính t +ng các nghi +ơng tr +( 2 5) +, trong đó +( 1) 4 +o hàm c +a hàm s +. Khi đó +Có bao nhiêu +ố nguy +trên kho +Cho hàm s +có hai nghi +ết quả: +Cho hàm s +x mx m +ết rằn +phương tr +ó hai nghi +giá tr +ị của tham +nào sau đây th +2024 1 +    +A.2020 +B. 2022 +C. 2025 +D. 2026 +o hàm c +a hàm s +ằng biểu thức có dạng +ax bx c +. Khi đó +Có bao nhiêu giá tr +ị nguy +ủa tham số +2020;2020 +sao cho hàm +trên kho +ương tr +ó nghi +Có bao nhiêu +ố nguy +trên kho +ax bx c +ổng các nghiệm của +phương tr +ax bx c +ằng bao nhi +ằng biểu th +o hàm c +a hàm s +( 2 2) +. Tìm a,. +ểu thứ +c có d +ax bx c +B. 50. +C. 44. +D. 40. +o hàm s +ại bao nhi +ố nguy +ương t +ủa tham s +ện tham s +ương tr +ó hai nghi +ủa hai nghi +4 4 4 4 1 +x x x x +    +3 ( 3) +ax a b +bx b x bx +Q a b a b +     +Cho hàm s +ương tr +ương ph +ào sau +bx b x bx +a b a b +a b ab +ác nghi +ương tr +1 ( 2) +ác nghi +ương tr +2 4 14 49 +O HÀM L +P 11 THPT +O HÀM H +A CĂN V +P BÀI TOÁN V +Cho hàm s +f x ax b +Tính t +ng các nghi +a phương tr +1 ( 1) 1 +ết rằng +1 3 2 3 +2( 1) 3 +x ax b x +     +Cho hàm s +( ) ( 2) ( 8) +f x x x x +ố nghiệm đ +ủa đạo h +m hàm s +ồn tại bao nhi +ố nguy +ên dương x đ +10 100 0 +ồn tại b +ao nhiêu s +ố nguy +ên dương +ương tr +. 1995 +ax bx c +. Tính +S a b c +hương tr +Cho hàm s +Có bao nhiê +ố nguy +ên m < +có nghi +duy nh +Cho hàm s +( 1) 3 2 +. Phương tr +có nghi +ệm duy nhất thuộc khoảng n +C. (1; +D. (2;4) +Cho hàm s +. Phương +có ngh +ộc khoảng n +. (1;2) +ố nghiệm +ương tr +y x x m +ho hàm s +. Phương +có nghi +ệm duy nhất +ộc khoảng +A.(0;1) +C. (2;3) +Cho hàm s +1 2 ... 2020 +S f f f +    +ẳng định n +sau đây là đúng? +Cho hàm s +ệnh đề n +ào sau đây đúng +y y y x x +y y y x x +2 . 1 2 +y y y x x +y y y x x +Cho hàm s +( ) ( 1)( 4) +f x x x x +Khi đó t +a phương +( ) ( 2) +g x f x +2 . 3 7 +y y x x x bx c +     +Cho hàm s +( ) ( 1)( 4) +f x x x x +( ) ( 2 2) +g x f x x +, phươ +có bao nhiêu nghi +2 3 1 1 +, trong đó +ố tự nhi +ên khá +Cho hàm s +ẳng định n +ào sau đâ +y đúng? +x x y y +x x y y +Cho hàm s +ẳng định n +ào sau đâ +y đúng? +ax bx c +    +. Tính +S a b c +o hàm s +giá tr +B. t < 2 +ẳng th +ẳng th +2 . 1 . 4 +y y x x +2 . 1 . 4 +y y x x +2 . 1 . 4 2 +y y x x +2 . 1 . 4 3 +y y x x +Cho hà +ẳng định n +ào sau đây đúng +( 1) 1 +x x x x +2 2( 1) 1 +x x x x +( 1) 1 +x x x x +( 1) 1 +x x x x +2 2( 1) 1 +x x x x +P 11 THPT +A CĂN V +Câu 1. +o hàm hàm s +giá tr +dương. +. x > 2 +. x > 0 +D. 0 < x < 2 +Cho hàm s +i bao nhiêu giá tr +Tính đ +o hàm c +a hàm s +2 4 4 3 +f x x x +i khi đó đ +o hàm c +( 4 8) +nhiêu l +Cho hàm s +ng trình +có bao nhiêu nghi +m dương ? +o hàm s +f x x x +, tính t +ng bình ph +a phương tr +Cho hàm s +f x x x +giá tr +f x x x +a hàm s +Cho hàm s +4 12 9 +hương tr +ương v +Cho hàm s +    +. Tìm m +phương t +và phư +ơng tr +A. m = 4 +B. m = 2 +. m = 7 +D. m = 6 +Cho hàm s +y x x m +phương tr +ba nghi +cùng dương. +1 < m < 0 +C. 1 < +D. m < 3 +( 1) 2 +f x x x x +o hàm c +a hàm s +( 2 2) +u bao nhiêu l +Tính đ +o hàm c +a hàm s +4 1 4 1 +2 1 2 1 +Tìm giá tr +a hàm s +C. 10, +. 16,5 +o hàm dương +A. 0 < x < 2 +. 0 < x < 1 +C. x < 1 +D. x < 0 +( 2 4) 0 +A. x > 3 +B. 2 < x < 4 +. x > 1 +D. 0 < x < 4 +Cho hàm s +( ) ( 1)( 4) +f x x x x +i đó t +a phương tr +( ) ( 2) +g x f x +Tìm giá tr +    +Cho hàm s +f x x mx m +    +bao nhiêu s +nguyên m th +mãn |m| < 8 +ó ba ng +m phân bi +ố nghi +ương c +ương tr +nhiêu s +Cho hàm s +y x x x +. Tìm s +ố nghiệm d +ương tr +Cho hàm s +5 14 9 +f x x x +    +p các giá tr +Cho hàm s +ào sau đây đúng +2 1 . 3 +, tron +là các s +ố tự nhi +ên khác 0. +Cho hàm s +ọn biểu thức +M y y x x y x +    +Cho hàm s +4 1 4 1 +Câu 28 +Cho hàm s +ọn khẳng định đúng. +x y y xy +   +x y y y +x y y xy +x y y xy +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +Tính đ +o hàm c +a hàm s +sin +y cos x x +2sin2 +2sin2 +2cos2 +2cos2 +Tính đ +1 cos +ại điểm x = 0. +D. 1,5 +Cho hàm s +2 3 .sin3 +. Tìm s +ố nghiệm +ương tr +3 2 3 . cos3 +Tính đ +4sin 5 tan 2 +y x x x x +4cos 5 tan 2 +cos +4cos 2 5tan 2 +cos +4cos 5 tan 2 +cos +    +2cos 5 tan 2 +cos +sin cos +sin cos (sin cos ) +x x x x +yên. H +ao nhiêu ư +Cho hàm s +.cos .sin .cos +y ax x bx x x +. Tính +Cho hàm s +.sin5 +. Tính +cos5 sin5 +y p x q x +ổng giá trị lớn nhất, +giá tr +ị nhỏ nhất của đạo h +sinx osx +Cho hàms +. 2 ' sin . '' +B x y y x x y +    +B. 1,5 +Cho hàm +sao cho +. . '' ' cos +x y x y k y x +Cho hàm s +. Khi đó +ần nhất với +B. 0,2 +C. 0,5 +D. 1,5 +Cho hàm s +1 sinx +ần nhất với +sin cos +sin 4cos +a x b x +sin 4cos +p hai c +a hàm s +tanx cotx sinx osx +    +2tanx 2cotx +sinx osx +os sin +tan2x cot2x osx sinx +tan2x+cot2x- osx sinx +2tanx 2cotx +sinx-cosx +os sin +Cho hàm s +sin2x +ọn đẳng thức đúng +tan2x +Cho hàm s +. Tính giá tr +ị biểu thức +16 16 8 +y y y y +   +    +6cos4x +3sin cos +sin 4cos (sinx 4 osx) +ố nguy +hiêu ư +Cho hàm s +sinx +. Tìm h +ệ thức đúng +Cho hàm s +6sinx 8sin +. Tìm giá tr +ị lớn nhất của +Cho các hàm s +( ) sin cos +f x x x +( ) sin cos +g x x x +ểu thức +f x g x +ào sau đây có đ +(sinx 4 osx) +3sin cos +sin 4cos +3sin 4cos +sin 4cos +3sin 5cos +sin 4cos +2sin 3cos +sin 4cos +Cho hàm s +os 2x sin4x +ị lớn nhất +ủa đạo h +ần nhất với +o hàm s +os 4x sin 4x 3sin8x +. Giá tr +ị lớn nhấ +ần nhất với +A.25,3 +B. 22,5 +C. 28,4 +D. 29,5 +3cos 4sin +. Giá tr +ỏ nhất của +ết rằng +2sinx 3 osx +sinx 3 osx (sinx 3 osx) +ào sau đây th +ẳng thức +xy y x y +    +sin +cos +cot +sin 4 +tan +' tan 1 +' 2tan 1 +' 3tan 1 +' 1 tan +cot +cot +sin +cot +ận giá trị trong khoảng +B. (0;1) +( ) 2sin 3 ; +f x x cos x f +. Khi đó +Cho hàm s +sin +o sau đ +ây đúng +xy y xy +xy y xy +xy y xy +xy y xy +Cho hàm s +( ) sin cos 1 +f x a x b x +. Tìm a +sin +ệnh đề n +ới đây đúng +' 2 '' 2 0 +' 2 '' 2 0 +'' 2 ' 2 0 +'' 2 ' 2 0 +cos 2sin 3 2018 +f x m x x x +    +có nghi +sin cos +sin 4cos +a x b x +sin 4cos +ính gi +P 11 THPT +P BÀI TOÁ +Cho hàm s +( ) cos 2sin 3 1 +f x a x x x +    +ương tr +có nghi +Cho hàm s +sin 2 +cos 2 +ực). Khi +đó giá tr +là bao nhiêu? +Cho hàm s +3cos sinx 2 +f x x x +. Phương tr +có nghi +sin2 cos 1 +y x x x +    +ổng các nghiệm tr +ương tr +Cho hàm s +2sin2 2 1. +ập nghiệm củ +ơng tr +Cho hàm s +, hàm s +( ) 4 sin +. Tính +giá tr +ị biểu th +tan +tan +sin +cos +sin +cos +sin +1 tan +1 tan +1 tan . 1 tan +1 tan . 1 tan +1 tan +sin 3cos +cos 3sin +tan , , +y a bx a b c +    +T a b c +Cho các hàm s +, 2 , . +u x cosx f u u g x f u x +    +5 cos 2 +5 cos 2 sin +5 cos 2 sin +cos 2 sin +Cho hàm s +3sin2 4cos2 10 +y x x x +ương tr +x a k k +    +2cos2 sin2 +D. 1,5 +Cho hàm s +( 1)sin cos ( 2) 1 +y m x m x m x +      +ại bao nhi +ố nguy +ương m +ương tr +có nghi +2 tan +ức có dạng +tan +cos +. Khi đó m +ệnh đề n +ào sau đâ +Trong các hàm s +ới đây, +o có đ +àm không ph +ụ thuộc +3cos 4sin 5 +f x x x x +6 6 2 2 +sin cos 3sin .cos 2 +f x x x x x x +    +1 sin 2cos +    +6 6 2 2 +sin cos 2sin .cos 3 +f x x x x x x +    +Cho các hàm s +( ) sin cos +f x x x +( ) sin cos +g x x x +. Tính bi +f x g x +Cho hàm s +cot +. Khi đó, nghi +ương tr +Cho hàm s +àm trên +sin2 . +g x x f x +Cho hàm s +à có đ +àm trên +2 4 sin 2 , +f x f x x x x +    +. Phương +trình ti +ếp tuyến của đồ thị +ại điểm c +ó hoành đ +Cho hàm s +cos +y f x x +là hàm +2cos 2 +. Tính +sin .tan +cos +sin +cos +sin +Cho hàm s +2sin 3cos +f x x x +ệnh đề n +o sau đây sa +Tính đ +tan(sin ) +cos +cos (sin ) +cos +cos (sin ) +' cos (1 tan(sin )) +cos (sin ) +Tính đ +sin3 3 cos3 +2 sin3 +2sin3 cos3 +2 sin3 +2sin3 3 cos3 +2 sin3 +sin3 3 cos3 +LOGARIT +P BÀI TOÁ +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +2 2 2024 +    +o hàm là +2 .ln2 +(2 1).2 .ln2 +(2 1).2 +à nghi +ơng tr +9.3 .ln3 +Tính đ +o hàm c +40 ln40 +log 2 1 +ương tr +ộc kho +ào sau +x x x x +o hàm là +3 2 3 8 ln2 +4.2 ln2 +    +ác ngh +ơng tr +y e x x +ác nghi +ương tr +f x x x +ệm nguy +ương tr +ương tr +o hàm c +a hàm s +ương tr +ố nguy +ác nghi +ương tr +2 3 2 3 +1 3 3 1 2 3 +x x x x x x +y e y e y e y e +     +    +.sin2 +ương tr +ương v +ào sau +tan2 2 +tan +ương tr +ằm tron +Cho hàm s +log cos +. Phương +có bao nhiêu nghi +ệm trong +0;2023 +log 2 5 2 +y x x m +    +ác nghi +ương tr +2 ; 2 ; 2 2 +y e x y e m y x x e +       +ao nhi +ào sau +y x x e +(2 5 2) +y x x e +f x ye +Cho hàm s +m x n x +f x e e +. Tính +(2 5 2) +y x x e +ủa tham s +ương t +y m x e +ẳng th +ại bao nhi +ố nguy +ương tr +ln cot +ó nghi +Cho hàm s +ệnh đề n +ới đây đúng? +Phương tr +ln 4 4 +f x x x x +    +có bao nh +iêu nghi +sin cos +f x e x x +ất, gi +F x f x e +ho hàm +cos ln s ln +y x x in x +ẳng định n +ào sau đây đúng? +x y xy y +    +x y xy xy +2 2 5 0 +x y xy y +    +x y xy y +Tính đ +log , 0 +ln2019 +ln2019 +ln2019 +2sin 3cos +f x e x x +ất, gi +F x f x e +f x x e +ố nghi +ương tr +f x x x e +Cho hàm s +hương tr +ó hai nghi +. Tính +LOGARIT +P BÀI TOÁ +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ào sau +x y xy y +x y xy y +ẳng th +ào sau +ương tr +ln(2 5 29) 0 +ln 1 2 +y ax bx c e +theo c +ác tham s +y ax a b x b c e +     +y ax a b x b c e +     +y ax a b x c e +    +y ax a b x b c e +     +y ax bx c e +y x x e +f x x x +. Nghi +duy nh +ương tr +y x x e +ương tr +y x x e +ax bx c e +y ax a x b c e +     +sin +ào sau +cos +2 cos +ax bx c +0 ; 1 0 +ính gi +Cho hàm s +có hai nghi +y e e x +ương tr +ln(2 5 9) 1 +y ax bx c e +y ax x b c e +    +ính gi +sin +ấp hai c +2 sin +2 cos +cos +3 cos +y ax bx c e +y ax x b c e +    +y ax bx c e +y ax ax b c e +    +M a b a +    +D. 2,5 +. Nghi +duy nh +ương tr +(3 2 2) +y x x e +ác nghi +ương tr +y ax bx c e +ủa hai tham s +ương tr +ó nghi +ằng 0. +y ax bx c e +( 3 2 ) +y x ax c e +ất cả các g +i tham s +y ax bx c e +y ax ax b c e +    +1 2 1 2 +M x x x x +à nghi +ương tr +f x x x +ìm nghi +duy nh +ương tr +f e f e +ẳng th +ào sau +xy x y +xy x y +xy x y +xy x y +Cho hàm +là tham s +ố. Gọi +ập hợp các giá trị nguy +ên dương c +trên kho +. Tìm s +ố phần tử của +sin 2 8 +2 sin 4 +4 sin 2 8 +sin 4 +ào sau +x y xy y +x y xy y +x y xy y +x y xy y +sin +ẳng th +ào sau +P BÀI TOÁN +______ +Cho hàm s +(C). Ph +ương tr +ình ti +a (C) t +hoành đ +a phươn +g trình +sin cos +ờng th +ào sau +ồ thị h +ếp tuyế +ại đó c +ệ số góc bé nhất +ng các ti +ếp tuy +ủa đồ thị h +ố. Khi +Cho hàm s +y ax bx c +ng 1 v +( 1) 1 +( 1) 2 +Phương tr +ình ti +y x x x +    +góc ti +Cho hàm s +y x x x +    +phương tr +ình là +song song v +c hoành là +ng cong +Tìm giá tr +y x x x +    +C. 1,4 +ếp tuy +ếp tuy +ến song s +ành, t +ếp tuy +ách tr +ột kho +Cho hàm s +. Có bao nhiêu ti +ắt trục +ợt tại hai +ều kiện +12sin 5cos +ờng th +ùng son +ành, kho +ách gi +ữa hai +ờng th +ó bao nhi +2019;2019 +y x x x +    +ếp tuy +D. 2016 +ếp tuy +y x x mx +    +ủa tham s +ằng 0. +Cho hàm s +hoành đ +ương sao cho ti +ến tại +vuông góc v +ờng thẳng +. Tung +ểm M b +ếp tuy +Cho hàm s +     +y x mx m x +là tha +ố. Hỏi có bao n +hiêu giá tr +ị nguy +ủa m để +ếp tuy +ểm B tr +ên (C) +ếp tuy +ủa (C) +y ax bx cx d +    +ương tr +hoành đ +1 và b +ng 0 l +. Tính +a b c d +Tìm tham s +ờng thẳng +ếp xúc với +hoành đ +ng trì +ếp tuyế +ủa đồ thị h +C y x x +ến đi qua điểm +Cho hàm s +f x x x +ồ thị l +ại hai t +ại một điểm +ắt trục tung tại +khác g +ốc tọa độ +ột trong hai ti +đi qua +ồ thị l +à parabol +ủa parabol +ại điểm có +hoành đ +. Tính di +n tích +ủa tam giác tạo bởi đ +ờng thẳng +à hai tr +ục toạ độ? +ồ thị l +ếp tuy +ắt trục +ại điểm +ắt trục +ại điểm +ếp tuy +đi qua +ào sau +_______ +P BÀI TOÁN +______ +Phương tr +ình ti +: 2 6 3 +C y x x +góc nh +    +C y x x m +có hoành đ +ể tiếp tuyến tại +song song +ờng thẳng +: 6 2017? +ếp tuyến của đồ thị h +y x mx m x +     +ều có hệ số góc d +Cho hàm s +ại hai +ếp tuyến của đồ thị (C) biết +ếp tuyến tạo với +ọa độ lập +thành m +ột tam giác vuông c +ột trong hai +ếp tuy +đi qua +ào sau +Cho hàm s +ếp tuyến tại điểm +có hoành đ +ộ bằng +song song v +ờng thẳng +có phương tr +và cách +ột khoảng +o hàm s +4 2cos2 +ồ thị l +. Hoành đ +ộ của các điểm tr +ại đó ti +ếp tuyến +song song ho +c hoành là +ết rằng +à các g +ị thỏa m +ếp tuyến của đồ thị h +ại điểm +song song v +ờng thẳng +:3 4 0 +. Khi đ +Cho hàm s +ờng thẳn +d y ax b +ếp tuyến của đồ thị h +ục tung lần l +hai đi +sao cho +. Khi đó +bao nhiêu giá t +ị nguy +ao cho +ếp tuy +( ) 4 3 +f x x mx x +    +Trên đ +a hàm s +sao cho ti +i đó cù +i các tr +thành m +m giác có di +n tích b +. Khi đó +có tung +Cho hàm s +y ax bx cx d a +     +n nào c +có hoàn +n có h +góc nh +3 3 2 5 3 +; 4 1; 8 +y x y x x x y x x x +        +bao nhi +ờng ph +D. 0,5 +Cho hàm s +ờng thẳng +d y x m +   +à tham s +ố thực). G +ệ số góc +ếp tuyến tại giao điểm của +. Khi đó +Cho hàm s +hương tr +ình ti +ếp tuyến của +ết tiếp tu +sao cho +3 2023 +3 2024 +Cho hàm s +tam giác t +n và hai tr +ếp tuyến của đ +ại điểm +ắt các trục tọ +Tính di +ện tích tam giác +sin3 cos sin cos3 +y x x x x +ới hai +ờng th +h, hai +ờng th +ách nh +ột kho +ều kiện của tham s +ố thực +3 3 1 2 +y x x m x +     +ó bao nhiêu t +ến của đồ +y f x x x +    +ếp tuyến tạo với +ờng thẳng +: 3 3 0 +ồ thị h +ếp tuyến của đồ thị tại +ệ số góc +c giá tr +ương tr +ình ti +ếp tuyến của +ồ thị h +ếp tuyến +đi qua đi +Có bao nhiêu giá tr +ủa tham số +ếp tuy +đi qua +ếp tuy +( 2) 2 +f x x x +ằng 3. +11 THPT +ấp một của h +Cho hàm s +( 3)( 2 1) +y x x x x +     +Tính a + b bi +( 1)( 2 1) (3 1)( 3) +y ax x x x b x x +         +sin(sin ) +cos .cos(sin ) +sin .cos(sin ) +cos .sin(sin ) +cos .cos(sin ) +( ) ( 2)( 3) +f x x x x +ương tr +( 2 ) 0 +Cho hàm s +cot +. Khi đó, nghi +ệm của ph +ương tr +Cho hàm s +àm trên +sin2 . +g x x f x +Tính đ +y f x x x +' 6 20 16 +f x x x x +' 6 16 +f x x x +' 6 20 4 +f x x x x +' 6 20 16 +f x x x x +y x f x +y x f x x f x +y x f x x f x +y x f x x f x +y x f x x f x +f x g x +1 1; 1 2 +a hàm s +sin 5 +( ) 2sin5 +( ) 5sin10 +( ) 10sin10 +( ) 5sin10 +f x x xf x +f x x xf x +f x x xf x +f x x xf x +Cho các hàm s +( ) sin cos +f x x x +( ) sin cos +g x x x +. Tính bi +f x g x +Cho hàm +sin 2 +cos 2 +ực). Khi đó giá tr +là bao nhiêu? +Tính đ +o hàm c +a hàm s +1 tan +1 tan +1 tan . 1 tan +1 tan . 1 tan +1 tan +Cho các hàm s +, 2 , . +u x cosx f u u g x f u x +    +5 cos 2 +5 cos 2 sin +5 cos 2 sin +cos 2 sin +xf x f x +xf x f x +xf x f x +xf x f x +' ( 2 ) (3 2) +y x x x +' 2( 2 ) (3 2) +y x x x +' 3( 2 ) (3 2) +y x x x +    +' 3( 2 ) (3 2) +y x x x +Tính đ +ố sau: +Cho hàm s +. Có bao nhiêu s +nguyên +Tính đ +ố sau: +1 . 2 1 +4 1 . 2 1 +Cho hà +hàm trên +f x x x +g x f x +Tính đ +ố sau: +12 1 2 . +12 1 2 . +24 1 2 . +24 1 2 . +sau đây có đ +2(2 1)( 2) +( 3 2) +f x x x +. Nghi +duy nh +ương tr +Cho hàm s +ọn biểu thức +M y y x x y x +    +P 11 THPT +Tính đ +ố sau: +32 . 1 2 +ào sau +cos +cos +F x x x +khi khai tri +B. 320 +C. 250 +D. 240 +( 5 1) +y x x x +    +o nhiêu s +27(3 2 5) +Tính đ +y f x x x +' 6 20 16 +f x x x x +' 6 16 +f x x x +' 6 20 4 +f x x x x +' 6 20 16 +f x x x x +g x f x +f x x x +2.(2 1)(4 1) +4.(2 1)(4 1) +2.( 1)(4 1) +2.( 2)(4 1) +i bao nhiêu s +ên x th +( 1) 0 +Tính đ +tan(sin ) +cos +cos (sin ) +cos +cos (sin ) +' cos (1 tan(sin )) +cos (sin ) +( 1) 2 +f x x x x +o hàm c +a hàm s +( 2 2) +u bao nhiêu l +sin +sin +sin +sin +sin +sin +cos +Cho hàm s +ẳng định n +sau đây đúng? +x x y y +x x y y +Tính đ +sin3 3 cos3 +2 sin3 +2sin3 cos3 +2 sin3 +2sin3 3 cos3 +2 sin3 +sin3 3 cos3 +10 28 16 . +y x x x +10 14 16 . +y x x x +10 16 . +7 6 16 . +y x x x +f x g x +1 1; 1 3 +f x g x g x +ẳng th +ào sau +f x g x +g x g x +f x g x +g x g x +f x g x g x +g x g x +f x g x +g x g x +ào sau +y x x e +ương tr +2 3 2 3 +1 3 3 1 2 3 +x x x x x x +y e y e y e y e +     +    +(2 5 2) +y x x e +f x ye +ẳng th +Cho hàm s +sin cos +y f x x x +. Khi đó +0 4ln3 +ào sau đây đúng? +bao nhi +ố nguy +ương tr +ln cot +ó nghi +Phương tr +ln 4 4 +f x x x x +    +có bao nh +iêu nghi +ố nghi +ương tr +ìm nghi +P 11 THPT +__________ +ẳng thức n +ào sau đây đúng +f x d d f x +( 1) x 1 +f x d d f x +f x d d f x x +f x d d f x +Cho hà +hương tr +ai nghi +. Tính +Tính giá tr +ị gần đúng c +C. 0,825 +D. 0,765 +x y xy +à có đ +Tính vi phân hàm s +ẳng địn +nào dư +i đây là đúng ? +sin +ẳng th +ào sau +2 2sin +xy y xy x +   +2 2cos +xy y xy x +   +2 2sin +xy y xy x +2 2cos +xy y xy x +ho hàm s +. Phương tr +có nghi +Tìm vi phân c +sin2 sin +cos2 3sin cos +dy x x x dx +2cos2 3sin cos +dy x x x dx +2cos2 sin cos +dy x x x dx +cos2 sin cos +dy x x x dx +ính gi +x y xy +y f x x +2 5 5 6 +dy x f x x dx +    +2 5 5 6 +dy x f x x dx +    +2 1 5 6 +dy x f x x dx +    +2 2 5 5 6 +dy x f x x dx +    +Cho hàm s +tan +. Vi phân c +2 cos +cos +2 cos +2 cos +ào sau +x y xy y +x y xy y +cos ln s ln +y x x in x +ẳng định n +ào sau đây đúng? +x y xy y +    +x y xy xy +2 2 5 0 +x y xy y +    +x y xy y +Cho hàm s +( ) cos2 +. Khi đó +2 cos2 +2 cos2 +Phép bi +ến đổi n +u đây đ +( ) 2 ( ). ( ) +d f x f x f x d +( ) 2 ( ). ( ) +d f x f x f x d +( ) 2 ( ) +d f x f x d +( ) 2 ( ) +d f x f x d +ng hàm s +à có đ +àm. Tính vi phân hàm +Cho hàm s +ọn biểu thức +M y y x x y x +    +Phép bi +ến đổi n +ào sau đây đún +( ) 2 ( ). ( ) +d f x f x f x d +   +( ) ( ). ( ) +d f x f x f x d +   +( ) 2 ( ). ( ). ( ) +d f x f x f x f x d +   +( ) ( ) x +d f x f x dx f x d +   +àm. Tính v +i phân +Cho hàm s +ọn khẳng định đúng. +x y y xy +    +x y y y +x y y xy +x y y xy +ng hàm s +và có đ +àm. Khi đó +f d d f +f d d f +2 1 2 2 +f d d f x +2 1 2 2 +f d d f x +ng hàm s +h và có đ +àm. Khi đó +2 1 ( 1) ( 1) +f x x d d f x x +      +2 1 ( 1) 2 ( 1) +f x x d d f x x +      +2 2 1 ( 1) ( 1) +f x x d d f x x +      +4 2 1 ( 1) ( 1) +f x x d d f x x +      +sin cos +y x x x +cos sin +dy x x x dx +cos +dy x x dx +cos sin +dy x x dx +sin +dy x x dx +Không s +ử dụng máy tính v +ảng số, h +ãy tìm giá tr +ần đúng của +B. 0,1 +ẳng th +ào sau +________ +P 11 THPT +P BÀI TOÁN +cos +sin +tan +tan +cot +cot +f x x mx +ương tr +Tìm vi phân c +tan sin5 +5cos5 +cos 5 +dy x dx +5cos5 +cos 5 +dy x dx +5cos5 +cos +dy x dx +25sin4 cos5 +cos +dy x x dx +tan +cos +cos +cos +cos +ẳng th +ào sau +d xf x xf x f x dx +d xf x xf x f x dx +d xf x xf x f x dx +d xf x f x xf x dx +ẳng định n +ào sau đây đúng +tan x 1 x (tanx) +tan x 1 x (2tanx) +3tan x 1 x (3tanx) +2tan x 1 x (2tanx) +ẳng định n +au đây đúng +ng hàm s +à có đ +Tính vi +hân hàm s +x os x +f c x d +x os x +f c x d +2sin2 +x os x +f c x d +osx os x +c f c x d +ng hàm s +à có đ +Tính vi +phân hàm s +Cho hàm s +ẳng định n +ới đây đúng? +   +Phép bi +ến đổi n +ào sau đây đúng +3x 1 4 +dv dx v x x +      +3x 1 1 +dv dx v x x +      +3x 1 x +dv d v x x x +      +3x 1 x 2 3 +dv d v x x +      +ậc hai +f x ax bx c +1 3; 1 2 +ính vi ph +cos 2 +2sin4 +dy xdx +2cos2 sin2 +dy x xdx +2cos2 sin2 +dy x xdx +4cos2 sin2 +dy x xdx +ị gần đúng của +cos3015' +B. 1442 +C. 1390 +D. 1350 +3 2 4 2 3 2 +4 5; 4 6 ; 9 4; +y x x y x x x y x x y +          +bao nhi +ấp hai l +y f x x +dy xf x x dx +dy xf x x dx +dy xf x x dx +dy xf x x dx +ax bx cx d +. Tính +    +S a b c d +f x x d +ứng với h +ào sau đây +Cho hàm s +. Vi phân hàm s +inx osx x +inx osx x +cosx osx x +inx osx x +y x f x +ó vi ph +dy xf x x f x dx +dy xf x x f x dx +dy xf x xf x dx +dy xf x x f x dx +Phép bi +ào sau +đây đúng +( ) ( ) 3 ( ). ( ) +d xf x f x xf x f x d +( ) ( ) ( ). ( ) +d xf x f x xf x f x d +3 3 2 2 +( ) ( ) 3 ( ). ( ) +d xf x f x x f x f x d +( ) ( ) ( ). ( ) +d xf x f x xf x f x d +sin(sin ) +.Vi phân c +d cos(sin ).sin d +y x x x +d sin(cos )d +d cos(sin ).cos d +y x x x +d cos(sin )d +nh vi ph +a hàm s +ứng với +1 sin +ọn kết quả đúng +cos +1 sin +df x dx +cos +2 1 sin +df x dx +cos +1 sin +df x dx +cos +2 1 sin +df x dx +ẳng th +ào sau +x y xy y +x y xy y +x y xy y +x y xy y +sin +f x y y +sin +ẳng th +ào sau +P BÀI TOÁN +NG CAO +Cho hàm s +sin cos +1 sin cos +nào sau đây đúng +Cho hàm s +y f x x x +    +là hàm s +Khi đó +1 2 3 ... 2017 +x x x x +    +f x f x +. Tính đ +f x f x +Cho hàm s +khi   1 +2 1     khi    1 +ax bx x +ã cho có +Cho hàm s +ục, nhận giá trị d +ới mọi +. Giá tr +f x g x h x +f m g m h m +Cho hàm s +y mx nx px qx r +     +, , , , +m n p q r +bên. T +p nghi +a phương +A. 4 B. 2 +sin2 2cos 3 2 +y x x x +    +S các nghi +ệm của +phương tr +trên đo +f x e m +. Tìm s +ố thực d +sao cho +' ' 1 1 +f x f x +ính gi +F x G x +4 4 4; 0 0 1 +F G F G +    +D. 2,5 +1 2 ... 2021 +y x x x x +    +ại điểm +0 2021! +0 2021 +0 2021! +Cho hàm s +ào sau +'' ' 3 +xy y x y +'' ' 3 +xy y x y +'' ' 4 +xy y x y +'' ' . +xy y x y +c trên +f x xf x x x +Cho hàm s +f x x f x +ới mọi +. Giá tr +àm trên +3 1 4 4 +f x x x +    +ới mọi +Cho đa th +( ) (1 2 ) +a a x a x a x n N +      +. Tìm h +ết rằng +2 13122 +a a na n +   �� +liên t +ục, nhận giá trị d +ương trên +f x f x x +ới mọi +ệnh đề n +ào sau đây đúng? +2 3 2023 +ln 1 2 ... 2022 , 0 +f x x x x x x +     +cos ( )sin +( ) ( ) +x f x x +f x f x +A.0,12 +C. 0,25 +D. 0,11 +Cho hàm s +àm trên +f x x x +    +. Tìm giá tr +P f x f x +Cho hàm s +àm trên +x f x x f x +    +. Tính +bao nhiêu giá tr +ị nguy +ên dương c +ủa tham số +y mx x +    +trên kho +Cho hà +o hàm trên +2 2 1 2 12 +f x f x x +. Tính +giá tr +3 0 4 1 2012 +A. 2019 +C. 2340 +D. 2017 +P BÀI TOÁN +NG CAO +ất cả các giá trị thực của tham số +sao cho hàm s +( ) 7 14 2 +y f x mx x m +      +trên n +ửa khoảng +1.2 2.3 ... ( 1) 90.2 +C C n nC +     +Cho hàm +o hàm trên +3 2 2 2 1 +x f x x x +    +àm trên +f x f x +. Tìm giá t +P f x f x x +B. 4,5 +Cho hàm s +. Giá tr +ị của biểu +0 3 6 ... 2022 +P f f f f +    +     +Cho hàm s +à có đ +àm trên +trình ti +ến của đồ thị h +ại điểm có ho +ộ bằng +Cho hàm s +xf x x f x f x +    +    +ới mọi +dương. Bi +2 2ln2 2 +2 2ln2 2 +2 ln2 1 +2 ln2 1 +Có bao nhiêu giá tr +ị nguy +ên âm c +ủa tham số +y x mx +trên kho +y f x y f x y +Cho hàm s +àm trên +4 2 2 2 3 2 +1 1 4 8 18 12 +f x f x x f x x x x +        +Tính đ +ại điểm có ho +D. 2,5 +f x xf +y mx nx px qx r +     +, , , , +m n p q r +. Hàm s +. Tìm giá tr +A. Smin = 2009 +in = 20 +D. Smin = 20 +Có bao nhiêu gi +ị nguy +ên dương c +tham s +Cho hàm s +và có đ +àm liên t +f x f x e x +. Khi đó +ào sau đây? +12;13 . +9;10 . +11;12 . +là hàm s +liên t +f x f x x x +    +Cho hàm s +. Có bao nhiêu đi +ộc đồ thị +sao cho ti +ếp tuyến +ại hai điểm phân bi +1 2 1 2 +y y x x +Cho hàm s +.ln 4 2 . +Tính t +1 2 3 2023 +' ' ' ... ' . +2024 2024 2024 2024 +S f f f f +        +     +        +        +.1011,5 +B. 2023 +C. 1010,5 +Cho hàm s +ax bx x +ax b x +Khi hàm s +ãy tính +( '( )) ( ). ''( ) 2 , +f x f x f x x x x R +     +(0) '(0) 1 +. Tính +Có bao nhiêu +giá tr +ị của tham số thực +ể đồ thị h +x mx m +ắt trục +ại hai điểm +phân bi +à các ti +ếp tuyế +ồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau. +y x f x +1 2 1 2 1 1 +T f f f f +    +min 156 +min 200 +min 120 +min 180 +Cho hàm s +sin cos cos sin +sin2 cos cos2 +y a x x +. Giá tr +a a là s +nguyên +ng nào sau đây ? +B. (3;5) +C. (0;4) +D. (5;9) + + + + +P A P B P AB +AO, BI +N QUY T +N QUY T +AO, BI +NG CAO C +ÁC QUY T +DUNG L +GIAO, BI +N QUY T +GIAO, BI +NG CAO C +ÁC QUY T +XÁC SU +XUNG KH +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ả bóng xanh, 1 quả bóng trắn +g, 1 qu +ả bóng v +àng; các bó +kích thư +như nhau. L +ẫu nhi +ên 2 qu +óng liên ti +ếp từ trong hộp. H +ãy cho bi +ết không gian mẫu +XX TT VV +; ; ; ; ; ; ; ; +XX XT XV TT TV TX VV VT VX +; ; ; ; ; +XT XV TV TX VT VX +ấm thẻ đ +ợc đánh số từ +ến 50. Lấy ngẫu nhi +Trong cá +ến cố s +ến cố n +ến cố chắc chắ +ng hai th +ng hai th +chia h +ng hai th +ng hai th +không vư +ột hộp có +ả bóng xanh, +ả bóng v +và 3 qu +ắng. Lấy +u nhiên 4 qu +ả bóng. +Trong các bi +ến cố sau, +ến cố n +ào là bi +không th +Có đúng +màu xanh +Có 4 qu +ào cùng màu +Có ít nh +ất 1 quả m +àu xanh +Có đúng 1 qu +ối đồng chất 2 lần. Biến cố n +ới đây l +ến cố kh +ông th +ặt sấp. +ặt khác nha +ặt sấp xuất hiện 3 lần. +ặt sấp xuất hiện 1 lần. +Gieo m +n liên ti +là bao nhiêu? +Gieo đ +n hai l +n đúng +ieo ng +u nhiên +n thì không gian m +a phép +có bao nhiêu bi +Danh sách +ớp của bạn Nam đ +ợc đánh số từ 1 +ến 45. Nam có số thứ tự l +ọn ngẫu nh +ạn trong lớp để tr +ật. Gọi b +ến cố B: ”B +ọn có số th +ứ tự lớn h +Nam”. Ch +ề sai. +ập hợp các kết quả chỉ số thứ tự của bạn đ +ố thứ tự của Nam l +22;23;...;45 +ó 23 b +ạn có số th +ự lớn h +ết quả th +ận lợi +cho bi +Có 20 b +ạn có số thứ +ự nhỏ h +ứ tự của Nam +Gieo m +ột con súc xắc cân đối v +ồng chất +ần. Xét +ố chấm xuấ +ện trong 2 +ần khác +ập hợp các k +ả thuận lợi cho biến cố +1,1 ; 2,2 +1,1 ; 1,2 ; 1,3 +1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; 4,4 ; 5,5 ; 6,6 +Gieo m +ồng xu cân +ồng chất h +ần. Gọi +ặt sấp xuất hi +ện 2 l +ịnh biến +A SS SN NN +A NN SN +A SS SN NS +hép th +ử có không gian mẫu +1,3,5,7 +Gieo con súc s +ồng chất +ần. Biến +A là bi +ố “Hai lần +eo không xu +ất hiện 6 +ấm”. Xác định +1;2 , 1;6 +1;6 , 2;6 , 3;6 , 4;6 , 5;6 , 6;6 , 6;1 , 6;2 , 6;3 , 6;4 , +2;2 , 5;6 , 6;3 +2;2 , 5;6 , 3;3 +n xu liên +n. Tính s +ố lần mặt +ấp xuất hi +ặt ngửa” +ột con súc sắc cân đối v +ồng chất 2 lần. Trong c +ến cố sau, biến cố n +o là bi +ến cố chắc +ổng số chấm của ha +ần xuất hiện không âm +ổng số +ủa hai l +ện không lớn h +ần thứ nhất xuất hiện không nh +ố chấm của lần +ổng số +ấm của +ần xuất hiện l +ột số chia hết cho +Xét phép th +ử tung +con súc s +c cân đ +t hai l +ần. Xác định số phần tử của +hông gian +m bìa ghi +u nhiên +nh nha +ăng thu +t bình +bi xan +u nhiên ra hai +viên bi trong bình. Khôn +g gian m +u có bao +D. 110 +phép th +ử tung co +ặt hai lần. Bi +ố chấm xuất hiện ở cả +n tung gi +ống nha +ột nhóm họ +c sin +ạn nam v +ạn nữ. Chọn ngẫu nhi +ạn trong +nhóm đó, +ợi cho +ủa hai b +Trong m +viên bi đá +a hai bi. +ai bi l +a có tích hai s +trên chúng là m +hai bi l +y ra c +ích hai s +ông gian m +Gieo ng +ẫu nhi +n súc s +ắc cân đối, +ất 1 lần. Gọi +ố “ số chấm xuất hiện tr +con súc +ắc bé h +ủa biến cố +ố chấm xuất hiện tr +ên con súc s +ắc lớn +ố chấm xuất hiện tr +on súc s +ắc không p +ố chấm xuất +ên con súc s +ắc không bé +hơn 3. +ố chấm xuất hiện tr +ên con +ắc lớn +hơn ho +ằng 4. +trong h +m 28 chi +ác nhau g +Xét bi +út ra ghi s +út ra ghi s +chia cho 5 d +nh nào s +au đây đúng? +Gieo đ +ồng tiền hai lần. +ợi cho h +ện 1 l +ất 1 l +Xét phép th +tung con súc s +t hai l +n tung +ng 3, s +đen. L +u nhiên đ +i hai qu +a hai b +hai qu +ng gian m +XÁC SU +XUNG KH +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +là hai bi +i nhau. Ch +n câu đúng. +P A P A +P A P A +P A P A +P A P A +ó 30 t +ến 30. L +ẫu nhi +ên 1 t +n chia h +ết cho +ọn chia h +Cho phép th +có không gian m +1,2,3,4,5,6 +không đ +nhau trong các c +2,3,4,5,6 +p có 30 t +c đánh s +30. Rút ng +u nhiê +n hai th +“Tích hai s +trên th +thu đư +ng 30” +ích hai s +Gieo m +ấm thu +ố chia h +ết cho 3 +chia h +ết cho +Gieo m +ột đồng tiền v +ột con súc sắc. Số phần tử của +không gian m +D. 24. +p có 30 th +c đánh s +n 30. Rút ng +u nhiên m +, tìm s +năng thu +i trên th +hính phương +Gieo m +ột đồng +là bao +ó 30 t +ến 30. L +ẫu nhi +ên 1 t +ết cho +chia h +ết cho +Gieo m +ột con s +ố chia h +ết cho 3 +chia h +ết cho +ến 20. X +chia h +ết cho 3 +ọn chia h +ết cho 4 +ẫu nhi +ên hai con súc s +ắc cân đối v +ồng chất. +ọi A l +ến cố “ +ần gieo kết quả nh +ố khả năng thuận lợi c +ến cố l +Gieo m +ột con +ấm thu +ết cho 3 +ính ph +Gieo m +ột con +ắc cân đ +ất 2 lần. +ố kết quả +ận lợi của +ặt hai l +ặt hai l +ần gieo +ông nh +Gieo m +ột đồng tiền +ếp 2 lần. +ố phần tử của k +ng gian m +p có 30 th +c đánh s +n 30. Rút ng +u nhiên hai th +Tích hai s +trên th +t chính phương”. +h hai s +Gieo 2 con súc s +ọi kết quả xảy ra l +à tích s +ố hai nút ở mặt tr +ố phần tử củ +không gian m +C. 29. +D. 39. +Hai bi +ồng khả năn +g khi chúng có c +ùng kh +ảy ra trong một phép thử. Tr +ờng hợp +ào sau đây không có bi +ến cố đồng khả năng +A.Gieo m +ột đồng xu +B. Gieo m +ột con xúc +ắc 6 chấm +.Gieo m +ột con xúc xắc 3 chấm +ọn 5 số từ cá +ố từ 1 đến 1 +Hai bi +A, B đ +ối lập khi nếu +ảy ra A th +ì không +ảy ra B, xét hai biến cố k +hi gieo m +ột con xúc xắc 6 +ấm, giả sử biến cố A: Xảy ra mặt số chẵ +ấm, số khả năng th +ận lợi cho biến cố đối +ập của A l +hép th +ử gieo con +ắc cân +ất hai lần l +iên ti +ến cố “Lần đầu xuất +ện mặt 6 chấm” v +ần hai xuấ +ện mặt 6 chấm”. +ọn khẳng định sai trong các +ẳng định sau? +là hai bi +ến cố độc lập. +ến cố: Tổng số chấm tr +ặt xuất +ện của hai lần gieo bằ +ến cố: Ít nhất một lầ +ất hiện mặt +là hai bi +ến cố xung khắc. +Gieo m +ột con súc sắc +ất hiện +ả năng thuận lợi cho bi +khi đó là +Gieo hai con súc s +hai bi +ổng số chấm tr +ên hai m +ặt bằng +ên hai m +giao c +ủa hai bi +ố khả năng thuận lợ +Gieo hai con súc s +ên hai m +ổng số chấm tr +ên hai m +ặt bằng +ọi A l +iao hai b +ố khả nă +ng thu +ủa biế +ột đồng tiền li +là bao nhiêu? +n chia h +ết cho 3 +ọn chia h +ết cho +Gieo m +ột con s +ấm thu +ính ph +Gieo m +ột con s +ấm thu +ấm thu +ính ph +u nhiên hai +con súc s +t. Xét +a hai con súc s +a hai con +chia h +giao b +XÁC SU +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ếu hai biến cố +xung kh +ì xác su +ủa biến +P A P B +P A P B +P A P B P A P B +P A P B +là các bi +ến cố bất k +ẳng định n +ào sau đây là đúng +P A B P A P B +P A B P A P B P AB +    +P A B P A P B +P A B P A P B P AB +    +là hai bi +ến cố xung khắc. Khẳng định n +ào sau đây là sai +P A B P A P B +P A B P A P B +P A B P A P B P AB +    +ieo ng +u nhiên m +n cân đ +n. Xác su +xung kh +P A P B +xác su +ủa biến +hai chi +c giày +n đôi giày c +nhau. Xác su +o thành m +t đôi là +hai qu +đen. L +u nhiên đ +i hai qu +Xác su +hai qu +ộp chứa +ả cầu m +ả cầu m +àu xanh +ấy ngẫu +nhiên đ +ả cầu. Xác +ể lấy đ +ả cầu m +àu xanh b +xung kh +P A P B P A B +t lá bà +lá. Xá +hay lá +nhà xu +ất bản phát h +hai cu +ốn sách +kê cho th +ời mua sách +ời mua cả sách +ọn ngẫu +nhiên m +ời mua. Tính xác +ất để ng +ời mua đó mua ít nhất một +hai sách +hai con súc s +Xác su +ất để tổng số chấ +m hai m +ặt bằng +ọn ngẫu nhi +ồng thời hai số từ +ập hợp gồm 17 số nguy +ên dương đ +u tiên. Xác su +ể chọn +ợc hai +ố lẻ bằn +Gieo ng +ẫu nhi +ồng thời bố +u. Tính xác xu +ất để ít +ất hai đồ +ng xu l +Gieo ng +ẫu nhi +n hai con súc +ắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai con +ắc bằng +ột tổ có +nam và +ữ. Chọn ngẫu nhi +ời. Tính xác suất sao cho +ợc chọn +không có n +ọn ngẫu nhi +ồng th +ời hai số từ tập +ợp gồm +uyên d +ương đ +iên. Xác su +ất để chọn +ợc hai số chẵ +ồng xu ba lần li +ếp. Xác suất để lần gieo đầu t +ặt sấp +Trong h +5 viên bi đánh +ọn ngẫu nhi +ên 1 viên. Xác su +ất để vi +ên bi l +ấy ra có +chia h +cho 3 là +n 16, ch +u nhiên 4 th +. Tính xác su +c đánh s +ếc hộp. +c đánh s +n 4. L +Tính xác su +y ra đ +chung m +có 5 toa. +ính xác su +hai ngư +t toa. +ột hội nghị +ó 15 nam và 6 n +ữ. Chọn ngẫ +u nhiên 3 ngư +ào ban +ức. Xác +ể 3 ng +ừ một hộp chứa 1 +ả bóng gồm 5 +đó và 7 qu +xanh, l +ấy ngẫu nhi +ồng thời 3 quả. +ất để lấy +ợc 3 quả m +xanh b +ừ một hộp chứa +ả bóng gồm +anh, l +ẫu nhi +ồng thời +ỏ bằng +bóng g +xanh, l +u nhiên đ +Xác su +màu xanh b +ừ một hộp +ả bóng gồm +àu xanh, l +ấy ngẫu nhi +ồng thời +ất để lấy đ +ỏ bằng +XÁC SU +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ừ các chữ số +1, 2, 4, 6, +ấy ngẫu nhi +ột số. Xác +ất để lấy +ợc số lẻ bằng +xung kh +P A P B +xác su +ủa biến +ung kh +P A P B P A B +Gieo hai c +on súc s +ắc cân đối, đồ +ất. Xác s +ên hai m +ặt của hai con +ắc bằng +xung kh +P A P B +xác su +ủa biến +n súc s +ồng chất, xác suất để mặt có số chấm +ẵn xuất hiện l +Gieo m +ng xu câ +p hai l +n. Tính xác su +n gieo đ +ộp đựng 4 b +àu xanh, +bi màu vàng và +ỏ. Chọn n +ẫu nhi +, tính xá +àu xanh ho +ên bi đ +viên bi +hai bi +bi xanh +Hai vi +on súc s +hai bi +ổng số chấm tr +ặt bằng 8 +Gieo m +ột con súc sắc cân đối v +ất. Tính +xác su +hai bi +m chia h +ấm chia h +ết cho 9 +ột hộp chứa +ợc đánh số từ +ấy ngẫu nhi +ẻ từ hộp +ất thẻ lấy +ợc ghi số lẻ v +à chia h +ết cho +t bình ch +a 6 viên bi, t +rong đó c +ó 2 bi xanh, 2 bi đ +u nhiên 2 vi +ên bi. Xác su +2 viên bi +khác màu là +Gieo m +con súc s +ắc cân đối v +ất 2 lần. Tính xác suất để tổ +ố chấm +trong hai l +gieo nh +t thùng có 7 s +m, trong +đó có 4 s +I và 3 s +i II. L +hiên 2 +ùng lo +ừ một hộp chứa b +ả cầu trắ +hai qu +ả cầu đen lấy ngẫu nhi +ên hai qu +ố giao hai bi +ả hai quả trắng +ợc hai qu +ọn ngẫu nhi +ột số t +rong 15 s +ố nguy +ên dương +hai bi +ột trong c +ố 2, 4, 6 +ọn ngẫ +u nhiên +ồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguy +ên dương đ +ợc hai +3, 5 v +ợc hai s +i tình nguy +0 và 7 h +sinh +i 11. Ch +n ra ng +Tính xác su +a hai bi +ựng 10 +viên bi trong đó có +4 viên bi đ +,3 viên bi xa +h,2 viên bi vàng,1 viên bi tr +nhiên 2 bi tính xác +ất biến cố +iên bi cùng mà +ọn ngẫu nhi +ố trong +ố nguy +ên dương đ +iên. Xác su +ố chẵn bằng +ọn ngẫu nhi +ồng thời hai số từ tập hợp gồm +ố nguy +ên dương đ +ên. Xác su +ất để chọ +ợc hai số chẵn b +ọn ngẫu nhi +ồng thời hai số từ t +ập hợp gồm 17 +ố nguy +ên dương đ +ên. Xác su +ất để chọn +ợc hai số chẵ +ọn ngẫu +nhiên đ +ồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số +nguyên dương đ +Xác su +ất để ch���n +ợc hai số lẻ bằng +ại biểu gồm +ợc chọn ra từ một tổ gồm +nam và +tham d +ự hội nghị. +giao hai bi +úng 2 ng +ất 1 ng +ừ một đội văn nghệ gồm 5 nam v +ữ cần l +t nhóm +ồm 4 ng +ời hát tốp ca. T +ính xá +trong 4 ngư +XÁC SU +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +là 2 bi +i nhau, +0,4; 0,3. +P A P B +Khi đó +ộc lập với +0,4, 0,3 +P A P B +. Khi đó +0,58 . +0,12 . +là 2 bi +i nhau, +0,4; 0,2 +P A P B +Khi đó +Cho hai +ố độc l +P A P B +ộc lập với +0,4, 0,2 +P A P AB +. Khi đó +D. 0,4 +ởng sản xuất có +máy, trong đó có m +ột số máy hỏng. Gọi +ến cố : “ Máy thứ +1,2, , +ều tốt đều tốt " l +A AA A +ệnh nhân +ị nhiễm khuẩn suy đa +ạng. Biết rằng xác suấ +ị biến chứng nặng của bệnh +là 0,2 và c +ủa bệnh nhân +,9. Kh +ả năng bị bi +ến chứng nặng của +ệnh nhân l +ập. Xác +ến cố “Cả hai bệnh nhân đều +ị biến ch +ặng” l +ị nhiễm +y đa t +ạng. Biết rằ +g xác su +ất bị biến +ứng nặng của bệnh +ủa bệnh nhân +,9. Kh +năng b +ị biến chứng nặng +ệnh nhân l +ập. Xác +ến cố “Cả ha +ệnh nhân đ +ị biến chứng nặng” l +ột xạ thủ lần l +n hai viên đ +ột bia. Xác suất +đích c +ạn thứ nhất v +ết rằng +ết quả +ần bắn l +ập với nhau. X +ất của +ố “Cả hai lần bắn +đích” là +là hai bi +ến cố độc lập. Biết +( ) 0,2 +( ) 0,5 +Xác su +ất của biến cố +ột xạ thủ lần l +ợt bắn hai vi +ột bia. Xác suất trúng +ạn thứ +là 0,8 +và 0,7. Bi +ết rằng +ết quả +ần bắn l +ập với nhau. Xác suất của biến cố “Cả hai l +ều không trúng đí +ch” là +ột xạ thủ lần l +ợt bắn hai vi +ột bia. Xác suất +đích c +ạn thứ +t là 0, +ần bắn l +ập với nhau. Xác suất của biến cố “ +ả hai lần bắn +đích” là +ột cầu thủ sút bóng v +ầu môn hai lần, biết xác suất sút v +ầu môn l +Tính xác su +sút bóng +ần đều không v +ầu môn? +ầu thủ sút phạt đền. Mỗi +ời đá 1 lần với x +làm bàm tương +là 0,8 và 0,7 . T +ính xác +có ít nh +ất 1 cầu thủ l +ào bia. Xác su +ời thứ n +ất bắn trúng bia l +à 0,6 ; ngư +ời thứ hai b +ắn trú +là 0,9 . Hãy +ính xác su +ất để cả hai +ắn trúng. +ả hai xạ thủ c +Xác su +ời thứ nhất bắn trúng bia l +à 0,75 ; ngư +ời thứ hai b +ắn trúng +bia là 0,9 . H +ãy tính xác su +ất để cả h +ai ngư +ùng không +trúng; +ột chiếc máy có hai động c +ơ I và II ho +ạt động độc lập với nh +. Xác su +ất để động c +ạy tốt lần l +à 0,95 và 0,8 . Hãy +tính xác su +ả hai động c +ều chạy t +Trong m +t kì thi có +thí sinh +cùng d +hi đó. Xác su +Trong m +ì thi có +sinh đ +ỗ. Hai bạn +đó. Xác su +ể chỉ có một bạn thi đỗ l +0,36 . +0,48 . +ựng bi +có 9 viên bi đư +ợc đánh số +, 9. L +ấy ngẫu nhi +ộp một +iên bi. +ết rằng +ên bi m +ố chẵn ở hộp I +. Xác su +ất để lấy đ +hai viên bi mang +ố chẵn +Hai ngư +ập nhau ném +c nhau +xác su +ất ném +bóng trúng +ổ của từn +. Xác su +ất của biến +ố cả hai +ném bóng trúng v +ột tổ trong lớp 11 có 4 học sinh nữ l +à Hương, H +ồng, La +n, Phương và 6 h +sinh nam là S +ơn, Tùn +, Nam, Ti +ến. Trong giờ +iáo viên ch +ẫu nhi +ột bạn học si +ổ đó l +ảng để +tra bài. Tính xác su +ể một bạn nữ có t +ầu bằng chữ H đ +ợc chọn l +ảng trả b +ếc ôtô với hai độ +ng cơ đ +ộc lập đang g +ục trặc kĩ thuật. Xác suất để động c +ặp trục trặc l +Xác su +ất để động +cơ 2 g +ặp trục trặc +là 0,4 . Bi +ết rằng x +ỉ không thể +ợc khi cả hai động c +ng. Tính xác s +ất để xe đi đ +ột tấm bia, xác suất trúng đ +và 0,7 +Xác su +ất để có +đúng 2 ngư +ời bắn trúng bia l +0,29 . +0,44 . +0,21 . +0,79 . +phòng làm vi +ệc có hai máy +ạt động độc lập vớ +i nhau, kh +ả năng hoạt +ộng tốt trong ng +máy này tương +. Xác su +ất để có đúng một máy hoạt động không tốt tro +ng ngày là +0,425 . +0,325 . +0,625 . +Hai ngư +ời độc +ập nhau ném bóng v +ổ. Mỗi ng +ời ném v +ổ của m +ột quả bóng. +ết rằng xác +m bóng +trúng vào r +ổ của từ +ng ngư +ến cố: “Cả hai c +ùng ném +bóng trúng vào +Khi đó, xác su +ất của +ến cố A l +à bao nhiêu? +ời gọi điện +ất chữ số cu +. Tính xác s +ọi đúng số +à không ph +ải thử quá +ủ sút bóng v +ôn. Xác su +ất sút th +công c +ủa cầu thủ đó l +. Xác su +ất để trong hai +n sút, +ầu thủ sút th +ông ít nh +ất một lần l +ếc ôtô với hai +ộc lập đang gặp trục trặc kĩ +ất để động +cơ 1 g +ặp trục trặc l +0,5. Xá +ất để động c +ặp trục trặc l +à 0,4. Bi +ết rằng +không th +ợc khi c +ả hai động c +ỏng. Tí +xác su +ất để xe đi +Gieo m +t con x +c cân đ +ồng chất +ần, tính xác suất để b +ến cố có tích 2 l +ần số c +ấm khi +ột số chẵn. +Trong m +ơi, ng +eo cùng lúc +a con súc s +ắc cân +ất; nếu đ +ợc ít nhất +hai con súc s +ện mặt có số chấm lớn +thì ng +ắng. Tính xác suấ +ể trong +chơi, ngư +ời đó thắng í +XÁC SU +P BÀI +TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +là hai bi +i nhau. Bi +( ) 0,4 +( ) 0,6 +. Tính xác su +0,24 . +0,01 . +là hai bi +i nhau. Bi +( ) 0,4 +( ) 0,6 +. Tính xác su +0,24 . +0,36 . +0,16 . +là hai bi +i nhau. Bi +( ) 0,4 +( ) 0,6 +. Tính xác su +0,24 . +0,36 . +0,16 . +là hai bi +i nhau. Bi +( ) 0,6 +( ) 0,3 +. Tính xác su +0,18 . +quen bi +t nhau và h +hai nơi khác nhau. Xác su +môn Toán trong kì thi cu +ng là 0,92 và 0,88 . T +ính xác su +không đ +0,8096 +0,0096 +0,3649 +0,3597 +cùng b +n vào bia m +t cách đ +i nhau. Xác su +n trúng bia c +, xác s +n trúng bia c +. Tính xác su +úng bia, x +t bia. +là hai bi +ến cố độc lập. Biết +P A P A B +là hai bi +( ) 0,4; ( ) 0,5 +P A P B +( ) 0,6 +Tính xác su +( ) 0,5; ( ) 0,4 +P A P B +( ) 0,2 +h đúng trong các +nh sau. +Hai bi +cùng x +( ) ( ) ( ) 0,9 +P A B P A P B +    +Hai bi +là hai bi +Hai bi +là 2 bi +xung kh +( ). ( ) ( ) +P A P B P AB +là hai bi +( ) 0,4; ( ) 0,5 +P A P B +( ) 0,6 +Tính xác su +Trong m +n có 2 v +ng viên +i xác su +t là 0,7 và +0,6 . Gi +i thi đ +p nhau. Tính xác su +ng ít nh +0,26 . +0,38 . +0,88 . +ựng 9 vi +n bi xanh và 7 viên +ỏ. Lần l +ợt lấy ngẫu nhi +ên ra 2 bi, m +ần lấy 1 bi. Tính xác +ể bi thứ 2 m +àu xanh n +ếu biết bi thứ nhất m +ết rằng xác suất sinh con t +rai tro +ỗi lần sinh l +Khi đó xác su +ất sao cho tron +g ba l +ần sinh có +ất một lần si +nh con t +rai (m +ỗi lần sinh 1 con) l +.0,882351 +B. 0,923452 +D. 0,234582 +cùng b +t viên đ +n vào bi +. Xác su +n trúng bia c +n súng c +i nhau. +trúng bia +ột mục ti +ột cách độc +ập với nhau. +Xác su +ất bắn +trúng m +ủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba +0,6;0,7;0,8 +. Xác su +ất có ít nhất +ột xạ thủ bắn trúng +.0,976 +B. 0,876 +C. 0,74 +D. 0,844 +ệnh nhân +ị nhiễm vi rút +ết rằng xác suất bị +ến chứng nặng của +là 0,1 và c +ủa bệnh nh +là 0,2. Kh +ả năng bị biến chứn +ặng của hai bệnh +nhân là +ập. Xác +ủa biến +ố cả hai +ệnh nhân đều bị b +ến chứng nặng l +B. 0,03 +C. 0,04 +ột chiếc máy có 2 động c +ơ I và II ho +ạt động độc lập +ới nha +u. Xác su +ất để động c +ơ I ch +ạy tốt v +ạy tốt lần l +à 0,9 và +. Tính xác su +ất để có +ất 1 động c +B. 0,56 +D. 0,72 +Cho A, B +à hai bi +xung kh +( ) , ( ) +P A P B +. Tính +t và Nam chơi c +t ván c +, xác su +ng Nam là 0,3 và Nam th +0,4 . Hai +ng chơi k +hi có ngư +ng, ngư +thua. Tín +h xác su +ng chơi sau hai +0,12 . +0,21 . +Cho hai bi +i nhau. Bi +( ) 0,5 +( ) 0,15 +. Tính xác su +0,15 . +0,45 . +Hai kh +u pháo cao x +i nhau v +c tiêu. Xác su +n trúng m +c tiêu l +. Tính +c tiêu b +Cho hai bi +i nhau. B +( ) 0,3 +( ) 0,6 +. Tính xác su +Trong m +n có 2 +ng viên +i xác su +t là 0,7 +à 0,6 . Gi +p nhau. Tính xác su +hai tr +0,26 . +0,38 . +0,88 . +nh truy +m có xác su +t lây b +nh là 0,9 n +p xúc v +không đeo kh +; là 0,15 n +nh mà có đeo kh +u trang. Anh Hà ti +p xúc v +nh hai l +đó có m +n đeo kh +u trang và m +n không đeo kh +u trang. +Tính xác su +t anh Hà b +nh mà anh ti +p xúc đ +0,135 . +Trên m +ng cáo, ngư +i ta m +c hai h +ng bóng đèn +m 2 bóng m +ng II g +m 2 bóng m +c song song. Kh +năng b +i bóng đèn sau 6 gi +p sáng +c là 0,15 +t tình tr +bóng đèn là đ +p. Tính xác su +ng I b +(không sáng). +0,0225 +0,9775 +0,2775 +0,6215 +c tiêu m +t cách đ +i nhau. Xác su +n trúng c +t là 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Xác su +có ít nh +n trúng là +0,188 . +0,024 . +0,976 . +0,812 . +bi xanh đư +c đánh s +n 4 . H +ng 3 bi đ +c đánh +n 3 . L +y ra ng +u nhiên t +t viên bi. G +ng các s +hi trên 2 bi là +ích các s +ghi trên 2 bi là s +nh nào sau đây đúng? +xung kh +hông xung kh +t 2 viên đ +t bia. Xác su +t trúng đíc +a viên th +t và viên th +t là 0,8 và 0, +i nhau. Tính +xác su +u trúng đích". +0,56 . +XÁC SU +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ến 30. L +ẫu nhi +ên 1 t +n chia h +ết cho +ọn chia h +ết cho +n chia h +ết cho 3 +ọn chia h +ết cho 4 +ố giao c +n chia +ết cho 3 +ọn chia h +ết cho +300 th +ác nhau ghi +ến 300. R +ẫu nhi +ên 1 th +ính ph +ẻ ghi s +ác nhau +ên 1 th +ghi tr +ghi tr +ính ph +ểu gồm +ợc chọn +ừ một tổ gồm +nam và +ữ để tham dự hội nghị. +ó 2 ng +, 3 ng +ời nam +ố giao +n chia h +ết cho 3 +ọn chia h +ết cho +ố giao c +n chia h +ết cho 3 +ọn chia h +ết cho +ố giao c +ột hộp +ồm 5 qu +àu xanh và 6 +ỏ. Chọn ngẫu nhi +ồng thờ +i 2 qu +ầu từ h +ộp đó. +Hai qu +ọn ra c +Hai qu +ọn ra c +chia h +ọn chia h +ết cho +ột xạ thủ bắn li +ục 4 phát đạn +bia. G +là các bi +ến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ +1,2,3,4 +các bi +ến cố “ Chỉ bắn trúng bia hai lần”. H +ểu diễn các biến cố +sau qua các b +1 2 3 4 +A A A A +, , , , 1,2,3,4 +     +i j k m +C A A A A i j k m +và đôi +ột khác +, , , , 1,2,3,4 +     +i j k m +C A A A A i j k m +và đôi m +ột khác nhau. +, , , , 1,2,3,4 +     +i j k m +C A A A A i j k m +và đôi m +ột khác nhau. +, , , , 1,2,3,4 +     +i j k m +C A A A A i j k m +nhau. Ch +câu đúng. +P A P A +P A P A +P A P A +P A P A +ởng sản xuất có +máy, trong đó có m +ột số máy hỏng. Gọi +ến cố: “ Máy thứ +ị hỏng”. +1,2,..., +ều tốt” l +A AA A +A AA A A +A AA A A +A AA A +ột phép thử +có không gian m +ột biến cố của phép thử đó. Phát biểu n +ới đây +khi và ch +ắc chắn +P A P A +Xác su +ất của biến cố +ho hai bi +P A P B P A B +    +. Ta k +ết luậ +n hai bi +xung kh +Xung kh +ộc lập. +là hai bi +ến cố xung khắc. Đẳng thức n +ào sau đây đún +P A B P A P B +P A B P A P B +P A B P A P B +P A B P A P B +Cho bi +ến cố đối +ẳng đị +nh nào sau đây là sai +P A A P A P A +là hai bi +ến cố xung khắc. Mệnh đề n +ới đây đúng? +P A P B +Hai bi +không đ +ồng thời xảy ra. +Hai bi +ồng thời xảy ra. +P A P B +ến cố. Biết +P A P B P A B +    +ắc chắn. +Không x +Có xác su +ột xạ thủ bắn li +ục 4 phát +là các bi +ến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ +1,2,3,4 +là các +ến cố “Bắn trúng bia ít +ột lần”. H +ểu diễn các biến cố +sau qua các bi +1 2 3 4 +A A A A +1 2 3 4 +    +B A A A A +1 2 3 4 +    +B A A A A +1 2 3 4 +    +B A A A A +1 2 3 4 +    +B A A A A +P A P A B +là hai bi +ến cố xung khắc, th +ến cố xung k +P A P A B +. Tính +ởng sản xuất có +máy, trong đó có m +ỏng. Gọi +ến cố: “ Máy thứ +ị hỏng”. +1,2,..., +ều tốt” l +A AA A +A AA A A +A AA A A +A AA A +XÁC SU +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +là hai bi +ến cố xung kh +ắc. Biế +P A P B +. Tính +hai bi +P A x P B x +D. 0,5 +ẫu nhi +ên 1 t +n chia h +ết cho +ọn chia h +ết cho +ến cố. Biết +P A P B P A B x +    +ẫu nhi +ên 1 t +n chia h +ọn chia h +ết cho +là hai bi +xung kh +tham gia thi +úng, m +ới nha +úng bia +ào sau +.Hai bi +ằng nhau +B. Hai +ối nhau +.Hai bi +D. Hai +o hai bi +P A P B P A B +    +ết luận hai biến +Xung kh +ộc lập. +là hai bi +ến cố độc lập +0,5, 0,2 +P A P A B +. Xác su +là hai bi +2 ; 5 ; +P A x P B x P A B x +    +ột phép thử +có không gian m +ột biến cố của phép thử +đó. Phát bi +ới đây +ắc chắn +P A P A +Xác su +ất của biến cố +ột hộp đựng +ấm thẻ đ +ọn ngẫu nh +ấm thẻ trong hộp. +ổng các số ghi tr +ấm thẻ đ +ợc chọn l +ột số lẻ +1500 1600 +1900 2600 +1700 1800 +1800 1900 +ố A, B +ối nhau. T +P A P B +B. 0,2 +ờng học có 25 giáo vi +ên nam và 1 +giáo viên n +ữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Nh +ọn ngẫu nhi +ên 5 ngư +ời trong số 40 giáo vi +i công tác. +ợc đúng một cặp vợ +là hai bi +ến cố độc lập +P A P A B x +theo x. +P A B x +P A B x +P A B x +ớp 11A8 tr +ờng THPT +có 25 h +ọc sinh nam v +à 20 h +ọc sinh nữ. Chọn ngẫu nhi +ồng thời +ạn từ lớp n +tham d +ự cuộc họp +ội chi +ăng th +ột con sú +ặt 6 ch +ện hai m +à 6 ch +ện hai m +à 3 ch +Gieo m +ột con +ắc cân +ối đồng chấ +ổng hai m +à 6 ch +à 2 ch +ợi cho bi +ội gồm 5 nam v +ữ. Lập một nhóm gồm 4 +ời hát tốp ca, +ột hộp có 5 vi +ên bi xanh, 6 viên +và 7 viên bi vàng. Ch +ẫu nhi +viên bi trong h +ố bi v +g 5 bi +ố bi v +ợi cho bi +ột hộp có 5 vi +ên bi đ +, 3 viên bi vàng và 4 v +iên bi xanh. Ch +ọn ngẫu nhi +ừ hộp 4 vi +ố bi v +ó 1 bi +3 bi xanh +ất thi +ó bi xanh +cho bi +ột lớp có +đoàn viên trong đó có +nam và +ữ. Chọn ngẫu nhi +đoàn viên trong +tham d +ự hội trại +ủa hai bi +Trong 3 +ạn nam +đoàn viên đư +ọn có cả n +c sinh t +rong đ +n Đăng v +Khoa, gi +o viên +ng, 5 t +iên. T +cho bi +ủa hai bi +n Đăng v +Khoa không đ +t trong t +ăng kh +ặt trong +XÁC SU +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +là hai bi +ến cố. Biết +Có xác su +ất bằng +ắc chắn. +Không x +Có xác su +ất bằng +là hai bi +ố xung khắc. +. Tính +Cho bi +ẳng đị +nh nào sau đây là sai +P A A P A P A +ớp 11A8 tr +HPT X có 25 h +inh nam +và 20 h +ọc sinh n +ữ. Chọn ngẫu nhi +ời hai bạn từ +ể tham dự cuộc họp của tr +ờng. Tính xác suất chọn đ +ạn có c +ùng gi +ới tính để đi dự cuộc +Gieo m +ột con súc xắc cân đối v +ồng chất ha +ếp. Xác suất để ít nhất một lần +ất hiện mặt +sáu ch +Gieo m +ột đồng ti +ền 5 lần cân đối +ồng chất. Xác suất để đ +ợc ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp +ọn ngẫu nhi +ột số có hai chữ số. Xác suất để số đ +ợc chọn chia hết +cho 11 ho +ặc 15 l +ọn ngẫu nhi +ên hai s +khác nhau t +ố nguy +ên dương đ +ên. Xác su +ất để chọn đ +ợc hai số có +ột số chẵn bằng +ỗi bạn viết l +ảng một số tự nhi +ên thu +. Xác su +ất để ba số đ +ợc viết ra có +ột số khôn +g chia h +ết cho +Trong đ +t rét l +a Hà N +i, giáo viên A mu +cái áo phao +ể tặng học s +inh, bi +àng có +áo phao +, xanh, vàng +, trong đó có +áo màu +áo màu +áo màu +vàng. Tính xác su +giáo viên A +mua đư +o phao +m sao cho m +i có ít nh +ờng THP +ự định chọn một +ịa điểm cho họ +c sinh h +ọc tập trải n +ệm ở H +ội hoặc Quảng +ếu chọn H +ì có 8 +ểm, nếu chọn Quảng Ninh th +ì có 5 +ịa điểm. Hỏi tr +ờng THPT đó có bao +nhiêu cách đ +ể chọn một đ +ịa điểm học tập trải nghiệm cho học si +Trong m +ột lớp học gồm 15 học sinh nam v +à 10 h +ọc sinh nữ. Giáo vi +ọi ngẫu nhi +ên 4 h +ọc sinh l +Tính xác s +ất để 4 học si +ợc gọi đó +ả nam v +ột hộp đựng +viên bi xanh, +iên bi vàng. Ch +ọn ngẫu nhi +viên bi. Tính xác su +ể chọn đ +viên bi khác màu +Theo th +ch môn b +ch môn b +hai môn +c sinh không th +hai môn b +ột chiếc +ẻ đánh số từ 1 đến +. Rút ng +ẫu nhi +ên hai th +ẻ rồi nhâ +n hai s +ghi trên hai th +ới nhau. +Xét bi +: “ Rút đư +ợc một thẻ +ợc ghi số +ột thẻ +ả hai thẻ rút +a là th +ẻ chẵn”. Tính +11A1 trư +ờng THP +T X, t +ê cho th +ọc sinh y +êu thích môn Toán, +ọc sinh +yêu thích môn L +ịch sử v +ọc sinh y +êu thích c +ả hai môn Toán v +ịch sử. Tính tỉ lệ học sinh +ủa lớp 11A1 +đó khô +ng yêu +thích c +ả hai mô +n Toán và L +ịch sử +Trong câu l +ạc bô thể thao của tr +ờng Đại Học A theo thống +kê thì +sin +h viên thích chơi môn +bóng đá, +sinh viên thích chơi môn bóng chuy +không thích c +2 môn bóng đá và bóng +ền. Tính tỷ lệ sinh vi +ên thích chơi c +môn bóng +đá và bóng chuy +ọc gồm +ọc sinh trong đó có +ọc sinh giỏi toán, +ọc sinh giỏi +ọc sinh +Toán l +ọn ngẫu nhi +ột học sinh. H +ãy tính xác su +ọc sinh +ỏi Toán hoặc giỏi +ột nhóm gồm +ọc sinh nam v +ọc sinh nữ. Chọn ngẫu nhi +ồng thời +ọc sinh tron +nhóm đó. +Xác su +ất để trong +ọc sinh đ +ợc chọn luôn có học si +ữ bằng +ột nhóm gồm +ọc sinh trong đó có +sinh nam và +ọc sinh nữ. Chọn ngẫu nhi +ọc sinh +ừ nhóm +ọc sinh đi lao động. +Tính xác su +ọc sinh đ +ất một học sinh nữ? +ồng xu cân đối, đồng +ất. Xác suất +ợc ít nhất +ồng xu lật sấp bằng +Trên giá s +ách có +ển sách Toán, +ển sách Vậ +t Lí và +ển sách +ọc. Lấy ngẫu nhi +ển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán. +ột hộp +ợc đánh số từ +. Rút ng +ẫu nhi +ên hai t +à nhân hai s +ên hai th +ới nhau. Tính xác suất để +ết quả thu đ +ố chẵn. +cùng b +t viên đ +n vào bia m +t cách đ +i nhau. +n trúng bia +. Tính xác su +có ít nh +không b +n trúng bia. +ộp đựng 15 vi +ên bi, trong đó có 7 biên bi xanh và 8 viên bi đ +ỏ. Lấy ngẫu nhi +ên 3 viên bi (không k +ứ tự) ra +ỏi hộp. Tính xác su +ất để trong 3 vi +ên bi l +ấy ra có ít nhất 1 vi +ên màu đ +ạn A có +ẹo vị hoa quả v +ẹo vị socola. A lấy ngẫu nhi +ẹo cho v +ộp để tặng +cho em gá +i. Tính xác su +ẹo có cả vị hoa quả v +ị socola. +BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +Gieo m +ột con súc sắc ha +ần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm l +Gieo m +ột con xúc xắc cân đối đồng chất 2 +ần. Tính xác suất đ +ể biến cố có tổng hai mặt bằng 8. +Gieo m +ột con xúc xắc cân đối đồng chất 2 +ần, tính xác suất để biến cố có tích 2 l +ần số chấm khi gieo +ột số chẵn. +Gieo ba c +on súc s +ắc. Xác suất để +ố chấm xuất hiện tr +ư nhau là? +ột đội gồm 5 nam v +ữ. Lập một nhóm gồm 4 +ời hát tốp ca, tính +trong 4 ngư +ọn có ít nhất 3 nữ. +ột hộp có 5 vi +ên bi xanh, 6 viên bi đ +n bi vàng. Ch +hiên 5 +viên bi trong h +ộp, tính xác +ất để 5 vi +ên bi đư +ợc chọn có đủ m +àu và s +ố bi đỏ bằng số bi v +ột hộp có 5 v +n bi đ +ỏ, 3 v +iên bi vàng +và 4 viên bi xanh. Ch +ọn ngẫu nhi +ừ hộp 4 vi +ị, tính xác suất +ể 4 vi +ên bi đư +ợc chọn có số bi đỏ lớn h +ố bi v +àng và nh +ất thiết phải có mặt bi xanh. +Có 3 bó hoa. Bó th +ứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. +ọn ngẫu nhi +ên 7 hoa t +ừ ba bó hoa tr +ể cắm v +ọ hoa, tính xác su +ất để trong 7 hoa đ +ọn có số hoa +ồng bằng s +ố hoa ly. +Có 13 h +ọc sinh của một tr +ờng THPT đạt danh hiệu học sinh +ất sắc trongđó khối +có 8 h +ọc sinh nam +ọc sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhi +ên 3 h +ọc sinh bất kỳ để +trao thư +ởng, tính xác suất +ể 3 học sinh đ +ợc chọn có cả nam v +ữ đồng thời c +ả khối 11 v +ối 12 . +ột chiếc hộp đựng 7 vi +ên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đ +ỏ, 4 vi +ên bi màu tr +ắng. Chọn +ẫu nhi +ên ra 4 viên bi, tính xác su +ất để l +ợc ít nhất 2 vi +cùng màu. +ột hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhi +ên 1 qu +u trong h +ộp, lần +ấy ngẫu nhi +ên 1 qu +trong các qu +ả cầu c +ại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy đ +ợc 2 quả +ùng màu. +ừ một đội văn nghệ gồ +m 5 nam và 8 n +ữ cần lập một nhóm gồm 4 ng +ời hát tốp ca. Xác suất để trong +ợc chọn đều l +à nam b +é có b +ộ 6 thẻ chữ, tr +ỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ +ột thẻ chữ +ột thẻ chữ +ột thẻ chữ +. Em bé đó x +ếp ngẫu nhi +ên 6 th +ẻ đó th +àng ngang. Tính xác su +thành dã +TNTHPT +ột chiếc hộp chứa 9 quả c +ầu gồm +u xanh, 3 qu +à 2 qu +àu vàng. L +ấy ngẫu nhi +ả cầu từ hộp đó. Xác s +ể trong 3 quả cầu l +ó ít nh +ất 1 quả m +ỏ bằng +Ban ch +ỉ đạo ph +òng ch +ống dịch Co +ế Nghệ +n có 9 +ời, trong +ó đúng 4 bác s +Chia ng +u nhiên Ban đó thành ba t +ổ, mỗi tổ +ời để đi kiểm tra công tác ph +ịch ở địa ph +ỗi tổ, chọn ngẫu nhi +ởng. Xác suất để ba tổ tr +ởng đều l +t công ty may m +c có hai h +ng máy ch +ong song. Xác su +ng máy th +t là 9 +máy th +hai ho +t là 80%. Công ty ch +hoàn thành đơn +hàng đúng h +u ít nh +trong hai h +ng máy ho +t. Xác su +công ty hoàn thành đú +ng chuy +n VTV cup g +ội tham gia, trong đó c +ớc ngo +ài và 3 đ +ội Việt Nam. Ban +ổ chức bốc cho thăm +ẫu nhi +ên và chia thành 3 b +ảng đấu +ỗi bảng 4 đội. Xác suất +ể ba đội Việt +ảng gần nhất với số n +ếp ngẫu nhi +ọc sinh +, , , , +A B C D E +ãy 5 gh +ế thẳng h +àng (m +ỗi bạn ngồi một ghế). +Tính xác +ất để hai b +không ng +ồi cạnh nhau. +ột nhóm gồ +m 10 h +nh trong đó +ọc sinh nam v +sinh +ữ. Chọn ngẫu nhi +ên 3 h +ọc sinh +ừ nhóm 10 học sinh đó đi lao độn +g. Tinh xác su +ất để trong 3 học sinh đ +ợc chọn có ít nhất 1 học +sinh n +ất cả bao nhi +ố tự nhi +ữ số đôi một khác nhau trong đó c +ó đúng +ữ số chẵn +c sinh gi +ng trung h +thông chuyên b +n tre g +m có 8 h +c sinh kh +i 12, 6 h +c sinh kh +11 và 5 h +c sinh kh +i 10. Ch +u nhiên 8 h +nh. Xá +trong 8 +c sinh đư +n có đ +ột hộp chứa 12 vi +ên bi kích thư +ư nhau, trong đó có 5 +viên bi màu xanh đư +ố từ 1 đến +5; có 4 vi +ên bi màu đ +ợc đánh số từ 1 đến 4 v +à 3 viên +bi màu vàng đư +ợc đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhi +2 viên bi t +ừ hộp, tính xác suất để 2 vi +ên bi đư +ấy vừa khác m +ừa khác số. +ột hộp chứa 3 vi +ên bi xanh, 5 viên bi đ +à 6 viên bi vàng. L +ấy ngẫu nhi +ên 6 viên bi t +ừ hộp, tính xác +ất để 6 vi +ên bi đư +ợc lấy ra có đủ cả ba +Trong m +ột hộp có 50 vi +ên bi đư +ợc đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhi +ên 3 viên bi trong h +ộp, tính xác +ất để tổng ba +ên 3 vi +ên bi đư +ột số chia hết c +ập hợp +2;3;4;5;6;7;8 +ập hợp các s +nhiên có 4 ch +ữ số đôi +ột khác nhau +ợc lập th +ừ các chữ số của tập +ọn ngẫu nhi +ột số từ +, tính xác su +ất để số đ +ợc chọn m +trong m +ỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số +và hai ch +ữ số lẻ. +ập hợp các số tự nhi +ên có 3 ch +ữ số đôi một khác nhau đ +ừ các chữ s +4; 6 . Ch +ọn ngẫ +u nhiên m +ột số từ +, tính xác xu +ất để số đ +ợc chọn chia hết cho 3 . +Có 20 t +ấm thẻ đ +ố từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhi +ên ra 8 t +ấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ +mang s +ố lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . +XÁC SU +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +Trong m +ì thi có +thí sinh đ +. Hai b +, B cùng d +thi đó. Xá +ất để chỉ có một bạn thi đỗ l +ời bắn li +ột mục ti +êu khi v +ạn trúng mục ti +ì thôi (các +hát súng +ộc lập +ết rằng xác suất +trúng m +ủa mỗi +ần bắn nh +ư nhau và b +ằng 0,6 . Tính xác suất để bắn đến vi +ứ 4 th +ừng bắn +0,03842 +0,03384 +0,0384 +ốn khẩu pháo cao xạ +A,B,C,D +cùng b +ắn độc lập v +ột mục ti +êu. Bi +xác su +ất bắn trúng của các +ẩu pháo t +1 2 4 5 +2 3 5 7 +P A P B P C P D +    +Tính xác su +ất để mục ti +ị bắn trúng. +ạ thủ bắn mỗi ng +ời một vi +ào bia, bi +ết xác suất bắn trúng v +òng 10 c +ủa xạ thủ thứ nhất l +,75 và c +ủa xạ thủ thứ hai l +à 0,85 +. Tính xác +ất để có ít nhất mộ +t viên trúng vòng 10 ? +0,9625. +0,325 . +0,6375 . +0, 0375 . +ả hai xạ thủ c +ào bia. Xác su +ời thứ nhất b +ắn trúng bia l +ời thứ hai bắn trúng +bia là 0,75 +. Hãy tính xác su +ất để có +ời bắn trúng. +ộc lập với nhau c +ổ súng bắn v +êu. Bi +ết rằng xác suất bắn trúng mục +tiêu c +0,7; 0,6; 0,5 +. Tính xác su +ất để có ít nhất một xạ thủ b +ắn trúng. +0,45 . +0,21 . +0,75 . +ộc lập với nhau c +ổ súng bắn v +êu. Bi +ết rằng xác suất bắ +tiêu c +0,7; 0,6; 0 1 +ất để có ít nhất một xạ thủ +ắn trúng +ằng 0,916. +Hai ngư +ời ngang t +ài ngang s +ức tranh chức vô địc +ủa cuộc thi cờ t +ớng. Ng +ành chi +ời đầu ti +ợc 5 ván cờ. Tại thời điểm ng +ứ nhất đ +ắng 4 ván +và ngư +ới thắng 2 ván, tính x +ất để ng +i chơi th +ứ nhất gi +ành chi +ến thắng? +ột chiếc máy có hai động c +ơ I và II ho +ộc lập với nhau. Xác +ất để độn +ạy tốt lần l +à 0,95 và 0,8 . Hãy +tính xác su +ột chiếc máy +có hai đ +g cơ I và II ho +ạt động đ +ộc lập với nhau +. Xác su +ất để đ +à 0,9 và xá +ất động c +ạy không tốt l +à 0,2 . +Hãy tính xác su +ều không chạy tốt. +ột chiếc máy có hai động c +ơ I và II ho +ộng độc lập với nhau. Xác suất +ể động c +ạy tốt lần l +à 0,8 và 0,7 . Hãy tính +xác su +ất để c +ó ít nh +ột động c +ạy tốt. +ột chiếc máy có hai động c +ơ I và II ho +ạt động độc lập với nhau. X +ạy tốt lần l +à 0,8 và +xác su +ất để có ít nhất một động +ủa x n +ằm trong kho +ào sau +0,1 0,2 +0,2 0,4 +0,4 0,6 +0,6 0,8 +ột cặp vợ chồng +mong mu +ốn sinh bằng đự +ơc sinh con trai ( Sinh đư +con trai r +sinh n +ữa, ch +ưa sinh đư +ẽ sinh nữa ). +Xác su +ất sinh đ +ợc con tr +trong m +ần sinh +là 0,49 . Tìm +xác su +ất sao cho cặp vợ chồng đó mo +ốn sinh đ +ợc con trai +ở lần sinh thứ 2. +0,24239 +0,2499 +ất sinh con trai trong +ỗi lần sinh l +à 0,51 . T +sao cho 3 l +ần sinh có ít nhất 1 con trai +Cho hai bi +i nhau. Bi +( ) 0,45 +( ) 0,65 +Tính xác su +0,45 . +ựng 7 vi +ên bi tr +à 5 viên bi đen. L +ợt lấy ngẫu n +hiên ra 2 bi, m +ỗi lần lấy +1 bi. Tính +xác su +ất để lấy đ +ợc bi thứ 1 m +à bi th +àu đen +ựng 7 vi +ên bi tr +đen. L +ẫu nhi +ên ra 2 bi, m +xác su +ất để lấy đ +ợc bi thứ 1 m +à bi th +2 màu đen +Gieo m +ột đồng tiền li +ếp 3 lần. Tính +xác su +ất của biến cố +:’'ít nh +ất một lần xuất hiện mặt sấp" +Gieo m +ột đồng tiền cân đối v +ồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp l +ột con +ắc 4 lần. T +ìm xác su +ất của biến cố +ặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần". +ập nhau ném bóng v +ổ. Mỗi ng +ời ném v +ổ của m +ột quả bóng. +ằng xác suất ném bóng trúng v +ưng, H +( ) , ( ) +P A x P B y +cùng ném bóng trúng vào r +ả hai c +óng tr +Xác su +ất bắn trúng mục ti +ủa một vận động vi +ên khi b +ắn một vi +à 0,6 . Ngư +ời đó bắn hai vi +t cách đ +ập. Xác suất để một vi +ên trúng m +êu và m +ên trư +0,45 . +0,48 . +0, 24 . +Xác su +ất bắn trúng mục ti +ột vận động vi +ên khi b +ắn một vi +(0 0,5) +i viên đ +ột cách độc lập. +ất để một vi +ên trúng m +êu và m +ợt mục ti +ủa x khi +Xác su +n trúng m +ủa một vận đ +ộng vi +ên khi b +ắn một vi +ắn hai vi +ạn một cách độc lập. +ất để một vi +ên trúng m +êu và m +viên trư +C. 0,6 +D. 0,7 +ình, D +theo th +cùng b +ào 1 bia. Xác su +ất để ng +ứ nhất, thứ hai, thứ ba +ắn trú +đích l +0,8; 0,6; 0,5 +. Xác su +ất để có đúng 2 ng +ời bắn trúng đích bằng: +0,54 . +0,46 . +0,96 . +à, Nam, +theo th +cùng b +ào 1 bia. Xác su +ất để ng +ứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn +đích l +0,8; 0,6; 0,5 +. Xác su +ạn Ninh +ắn trúng đích bằng: +Có 2 bình, m +ựng 6 vi +ên bi tr +viên bi đen. L +ợt lấy ngẫu nhi +ên ra 1 viên bi t +ứ nhất +và 1 viên bi t +ình th +2. Tính +ất để lấy đ +ứ nhất m +và viên bi +Hai ngư +ời độc lập nhau ném bóng +ổ. Mỗi +ời ném v +ổ của m +ột quả +bóng. Bi +ằng xác +ng trúng vào r +ổ của từng ng +ến cố: +cùng ném +bóng trúng vào r +ổ". Khi đó, +xác su +ất của biến cố A +bao nhiê +XÁC SU +P BÀI +TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +hai lô hàng. Ngư +ời ta lấy ngẫu nhi +ừ mỗi lô h +ột sản phẩm. +ất để lấy đ +ản phẩm chất l +ợng tốt ở từng lô h +. Tính xác su +ất để trong hai +ản phẩm đ +ợc lấy +có đúng m +ột sản phẩm có chất l +ợng tốt. +ạ thủ m +ời một vi +ạn bắn v +ào bia v +ới xác suất bắn +trúng c +ời thứ nhất l +ứ hai l +. Tính xác su +ất để có ít nhất 1 vi +ạn bắn trú +ng đích. +à máy s +ản xuất đ +4 lô hàng. Rút ng +ẫu nhi +ừ mỗi lô h +àng 1 s +ản phẩm, biết xác suất để sản +ẩm rút ra +ừ mỗi l +ô hàng là s +ản phẩm x +ấu lần l +0,1; 0,25; 0,3; 0,5 +. Tính +xác su +ất để trong 4 sản phẩm +ất 1 sản phẩm tốt. +ỗi hộp đựng +viên bi xanh và +viên bi đ +ỏ. Lẫy ngẫu nhi +ừ mỗi hộp +viên bi. Tính +xác su +ất để trong +n bi l +viên bi xa +cùng lo +đánh s +u nhiên 1 th +ghi trên th +n chia h +t cho 3 " và +trên th +t cho 5 ". Ch +ng trong +các phát bi +u sau đây: +P A B P A P B +P AB P A P B +P A B P A P B +P A B P A P B +o sát nh +ng ngư +trên 60 tu +i ta th +ời mắc bệnh x +ời mắc bệnh hu +ết áp. Giả sử rằn +ời có bệnh +xương kh +ớp không ảnh h +ởng đến +ệc có bị bệnh huyết áp hay khôn +ặp ngẫu nhi +ân trên +a thành ph +Tính xác +h xương +nh huy +Trong m +ột chiếc hộp +ứa 19 tấm thẻ đ +ến 19. Lấy ngẫu nhi +lúc hai t +ấm thẻ +ừ trong +ộp. Tính xác suất để tích hai số ghi trong hai tấm thẻ đ +ợc lấy ra l +ột số chẵn. +Trong gi +ỏ có c +ứa 5 q +ỏ, 6 quả cầ +u màu xanh và 8 +ả cầu m +àu vàng. L +ấy ra ngẫu nhi +cùng lúc 3 qu +ả cầu. Tính xác suất để 3 quả lấy ra +cùng màu. +ột hộp chứa 22 tấm +ùng lo +ố lần l +ợt từ 1 đến 22. Chọn ra ngẫu n +hiên 1 +ẻ từ hộp. +ến cố “Số ghi tr +ợc chọn chia hết cho 2”, +ghi trên t +ợc chọn chi +cho 3”. Tính x +ất của biến cố +Có hai h +ộp đựng bi. +ợc đánh số +1, 2,  , 9 +ẫu nhi +ỗi hộp một +bi. Bi +g xác s +ể lấy đ +i mang +ố chẵn ở hộp II l +. Xác su +ất để lấy đ +hai viên bi +mang s +ố chẵn l +Có hai h +ả cầu đỏ v +ả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa +xanh. L +ấy từ mỗi hộp ra +ẫu nhi +ột quả cầu. +ả cầu lấy +ra cùng màu xanh. +ộc lập với nhau c +ổ súng bắn v +êu. Bi +ết rằng xác suất bắn trúng +. Tính xác su +ất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng. +ột đề trắc nghiệm có +ỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng v +à 10 câu +ức độ vận dụng cao. Xác suất để bạ +n An làm h +ết 20 câu mức độ n +ận biết l +; 20 câu +ức độ vận dụ +10 câu m +ức độ vận dụng +. Xác su +ất để bạn An l +ọn vẹn 50 câu l +Túi I ch +ứa 3 bi tr +ắng, 7 b +Túi II ch +ứa 10 bi trắng, 6 bi +ỏ, 9 bi xanh. Từ mỗi túi lấy ngẫu +nhiên 1 viên bi. Tính xác su +ất để lấy đ +ợc hai vi +ên cùng màu. +Có hai h +ộp. Hộp I đựng 4 gói qu +à 6 gói quà màu xanh, h +ựng 2 gói qu +à màu đ +gói quà màu xanh. Gieo m +ột con súc sắc, nếu đ +ợc mặt 6 chấm th +ấy một gói qu +ừ hộp I, nếu +ợc mặt khác +ấy một gói +ừ hộp II. Tính xác +ợc gói qu +à màu đ +ọn ngẫu nhi +ọc sinh tr +THPT X trong đ +ội cổ độ +ể đi t +ực hiệ +ệm vụ sao cho mỗi +ều có 1 học sinh. Biết rằng +ối lớp có 10 học sinh, trong +ọc sinh nữ +ều có 5 học sinh nữ. Tính xác suất để 3 học sinh đ +ợc chọn có ít nhất 1 họ +nh là nam. +ột cửa h +ồ ăn sáng có bán xôi v +à bánh m +ững ng +àng cho th +ời mua xôi, +ời mua +bánh mì; +ời mua cả xôi v +à bánh mì. Ch +ọn ngẫu nhi +àng. Tính xác su +hông mua c +ả xôi v +à bánh mì +xác su +ất để ng +ời đó không mua cả xôi v +à bánh mì là +ột máy +có 5 đ +ồm 3 động c +trái và hai đ +ơ bên cánh +ải. Mỗi động c +ánh ph +ải có xác suất bị hỏng +là 0,09 , m +ỗi động c +h trái có xác su +ất bị hỏn +g là 0,04 . Các đ +ộng độc lập với nhau. Máy bay chỉ thực hiện đ +bay an +ếu có ít nhất hai +Tìm xác su +máy bay th +ực hiện đ +ến bay an to +0,981444 +0,9999074656 +Có 3 chi +ếc hộp. Hộp +ứa 3 bi đỏ, 5 b +ỏ,2 bi v +àng. H +bi xanh. L +ấy ngẫu nh +ột hộp rồi lấy m +ừ hộp đó. Xác suất để đ +ợc một bi đỏ l +ọn ngẫu nhi +ữ số đ +ợc lập từ +ữ số từ +không có +ặc chữ số +xác su +ất của biến cố +A.0,4562 +B. 0,8252 +D. 0,6544 +ảo sát một nh +à máy d +ệt may, ng +ời ta thấy có 80% công nhân thuận tay phải v +5% công +nhân có +ộ tuổi tr +ên 35. Gi +ả sử độ tuổi không ảnh h +ặc điểm thuận tay n +nhiên m +ột công nhân +ong nhà +y. Tính xác su +ất của biến cố c +hân đó thu +ận tay phải hoặc có độ tuổi tr +A.0,45 +B. 0,85 +C. 0,65 +. 0,75 +ột cặp vợ chồng mong +ốn sinh bằng đự +ơc sinh con trai (Sinh đ +ợc con trai rồi +thì không si +chưa sinh đư +ẽ sinh nữa). Xác suất sinh đ +c con trai trong m +ột lần l +ằng nha +u và b +. Tìm xác +ất sao ch +ng đó sinh đư +ợc con tra +ở lần sinh thứ 2. +A.0,2484 +0,3454 +C. 0,5624 +D. 0,8424 +ọn ngẫu +nhiên hai +khác nhau t +ố nguy +ên dương đ +ên. Xác su +ể chọn đ +ột số chẵn bằng bao nhi +B. 0,24 +C. 0,56 +D. 0,72 +ếc hộp: hộ +p I có 4 bi đ +à 5 bi xanh, +ộp II có 3 bi đỏ v +đen, h +ộp III có 5 bi đỏ v +ấy ngẫu nhi +ên ra m +ột hộp rồi lấy một vi +ên bi t +ừ hộp đó. +ất để vi +ên bi l +ằm trong kho +0,1 0,2 +0,2 0,4 +0,4 0,6 +0,6 0,8 +ếp ngẫu nhi +ên 23 b +ạn học sinh, trong đó có đúng một bạn t +ên là Ng +a và đúng m +ột bạn t +ên là Th +ái, vào +a bàn tròn, bàn th +ứ nhất 7 h +ọc sinh, hai b +àn còn l +ọc sinh. Tính xác suất +ể hai bạn Nga v +ùng bàn. +XÁC SU +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +Trong đ +ợt kiểm tra gi +ì 2, b +ề thi trắc nghiệm m +ôn Toán. Đ +ề thi gồm +ỏi, mỗi câu +phương án tr +ả lời, trong đó +ỉ có một ph +ương án đúng; tr +ả lời đúng mỗi câu đ +ểm. Bạn An tr +ời hết các c +ắc chắn đúng +câu còn l +ại An chọn n +iên. T +ính xác su +ất để điểm thi +n Toán c +ủa An không d +Có ba h +ộp đựng bi, hộp t +ứ nhất đựng 10 bi xanh, +ộp thứ hai +ựng 10 bi v +àng, h +ộp thứ ba đựng 5 bi xanh +và 5 bi +vàng. Ngư +ời ta chọn ngẫu nhi +ộp, sau đó bố +ẫu nhi +2 viên bi t +p đó th +ả 2 bi +ỏi nếu tiếp tục bốc th +êm 1 viên bi n +ữa ở hộp đó ( hai bi đ +ớc đó không đ +ợc trả lại v +ộp) th +ất bốc đ +c bi xanh b +ằng bao nhi +sút lu +ân lưu +i xác su +t làm bàn tương +t xác su +t trong ba c +hi bàn là +và xác su +xác su +có đúng hai c +ghi bàn. +B. 0,245 +D. 0,925 +i ô vuông g +ô vuông nh +i ô vuôn +có kích thư +mét như h +Con ki +n di c +, con k +n di chuy +ng con ki +di chuy +u nhiên v +phía b +c lên trên, con ki +i chuy +u nhiên v +phía bên +trái ho +(theo c +a các hình vuông). Hai con ki +t phát +cùng m +m và c +ó cùng v +c di chuy +n là 1 mét/ph +út. Xác su +hai con ki +n không g +nhau trên đư +ng đi là +ài nhau, cùng chơi m +tranh ch +c vô đ +ch. Ngư +c là ngư +c 6 ván đ +y nhiên vì lí do b +kháng t +i và khô +Khi đó, ngư +ng 5 ván, còn n +hai ch +ng 3 ván. V +i phân chi +như th +nào cho h +t /ngư +ột hộp đ +12 bóng, trong đó có +ỏng. Lấy ngẫu nhi +3 bóng. Tính xác su +ể trong 3 +bóng có ít nh +ất 1 bóng hỏ +ọn ngẫu nhi +ồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguy +n dương đ +ên. Xác su +ố chẵn bằ +kê thành m +àng ngang. X +ếp ngẫu nhi +ên 6 h +ọc sinh, g +ồm 3 học sinh lớp +ọc sinh l +và 1 h +ọc sinh lớp +à hàng gh +ế đó, sao cho +ỗi ghế có đúng một +c sinh. +Xác su +ọc sinh lớp +ỉ ngồi cạ +ọc sinh +Cho đa giác đ +ều 12 đỉnh nội tiếp đ +ờng tr +òn tâm +ọn ngẫu nhi +ên 3 đ +ỉnh của +đa giác đó. Tí +nh xác +ất để 3 +ợc chọn tạo th +ột tam giác không có cạnh n +ào là c +ạnh của +đa giác đ +ã cho. +ập hợp tất cả các +ữ số đôi một +khác nhau +và các +ữ số th +1;2;3;4;5;6;7 +ọn ngẫu nh +ột số th +, xác su +ất để số đó +có hai ch +ữ số li +nhiên có +t khác nhau. Ch +u nhiên m +, xác su +đó có hai ch +n cùng +có cùng +tính ch +ập hợp +ất cả c +ố tự nhi +ữ s��� đôi m +ột khác nhau. Chọn ngẫu +hiên m +, xác su +ất để số đó có hai chữ số tận c +ùng khác tính ch +ẵn lẻ bằn +ầu thủ sút p +ạt đền, mỗi ng +ời đá một lần +ới xác suất l +àm bàn tương +xác su +ất để ít nhất một trong ba +ầu thủ ghi b +và xác su +ất để cả b +ầu thủ đều ghi b +. Tính +xác su +ể có ít +ầu thủ +ghi bàn. +( ) 0,452 +( ) 0,788 +( ) 0,453 +( ) 0,789 +ột đề thi trắc nghiệm gồm +ập. Mỗi câu c +phương +i trong đó ch +phương án đúng. M +ỗi câu trả lời đúng đ +ả lời sai đ +ểm. Học sinh +A làm bà +cách ch +ọn ngẫ +u nhiên +câu tr +ỏi. Biết xác suất l +àm đúng +ủa học +sinh A đ +ạt giá trị +ớn nhất, khi đó +Trong ph +ần thi khởi +ộng của đ +ỉnh Olym +pia, m +ỗi thí sinh phải trả l +ời 10 câu hỏi, các c +ều độc lập với nhau. Mỗi câu trả lời đúng đ +ợc 10 điểm v +ỗi câu +ả lời s +i 5 đi +m. Tính xác su +ọc sinh A tham dự cuộc thi đ +ỉnh Olympia có số đi +ểm ở phần thi khởi đ +ộng lớn +hơn ho +ặc bằng 50. +giá sách có 4 quy +ển sách +toán, 3 quy +ển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhi +ên 3 q +ển sách. +Tính xác su +ất để 3 quyển +ợc lấy ra +ó ít nh +ất một quyển l +à toán. +ột hộp đựng +ợc đánh số từ +ải rút ra ít nhất +ất có ít +ất một thẻ +ố chia hết cho +. Giá tr +Ba ngư +ào 1 b +Xác su +ất để ng +ứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trún +; 0,5. Xác su +ất để có đúng 2 ng +ời bắn trúng đích bằng: +nh A thi +ết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa ph +ủa lớp m +ình. B +ảng gồm +ỗi nút +ợc ghi một số từ +và không có hai nút nào đư +ợc ghi c +ột số. Để mở +ửa cần nhấn +nút liên ti +khác nhau sao cho +nút theo th +ố tăng v +à có t +ổng bằng +ọc sinh +ỉ nhớ đ +ợc chi tiết +ố tăng. Tính xác suấ +ể B mở đ +ợc cửa ph +ọc đó biết r +ếp cửa sẽ tự động khóa lại. +ạch điện gồm +4 bóng +đèn, xác +ất hỏng của mỗi bó +ng là 0 +, 05. Tính xác su +ất để khi cho d +ện chạy qua mạch +ện sáng (có ít nhất m +bóng sáng). +0,99500625 +0,99750625 +0,99500635 +0,99750635 +XÁC SU +P BÀI TOÁN +ÁC QUY T +¯¯¯¯¯¯¯¯ +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ẫu nhi +ên 3 s +nhiên t +ừ tập hợp +1;2;3;...;2019 +Tính xác su +ể trong 3 số tự nhi +ợc chọn k +ông có 2 s +ố tự nhi +ên liên ti +Hai ngư +gang tài ngang s +ức tranh chức vô địch +ủa một cuộc +ớng. Ng +ến thắng +là ngư +ời đầu t +iên th +ợc năm v +ại thời đ +ứ nhất đ +ván và ngư +ới thắng +ván, tính +xác su +ất để ng +ứ nhất gi +ành chi +ến thắng. +Trong d +ết Trung thu một nhóm các em thi +ên tham gia trò +chơi “Ném v +òng vào c +ổ chai lấy +ởng”. Mỗi em đ +ợc ném 3 +. Xác su +ất ném v +òng vào c +ổ trai lần đầu l +à 0,75. N +ếu ném tr +ần đầu th +xác su +m vào c +ổ chai +ần thứ hai l +à 0,6. N +ếu ném +ợt cả h +ần ném đầu ti +ên thì xác su +m vào c +ổ chai +ứ ba (lần cuối) l +à 0,3. Ch +ọn ngẫu nhi +ột em trong nhóm +ất để em đó ném v +ào đúng c +chai l +B. 0,7 +C. 0,65 +D. 0,825 +n bia. Bi +ng xác su +n trúng vòng tròn 10 là +vòng trò +n 9 là +và vòng tròn 8 +u trúng v +òng k thì +c k đi +n ba phát súng m +t cách đ +u anh ta đ +t ít nh +t 28 đi +m. Tính Xác su +.0,0935 +B. 0,0925 +C. 0,8675 +D. 0,8965 +ập hợp tất cả +ố tự nhi +ốn chữ số đôi một +au và các ch +ữ số thuộc tập hợp +1;2;3;4;5;6;7 +ọn ngẫu nhi +ột số thuộc +xác su +ất để số đó +có hai ch +ữ số li +ứa tất c +ả các s +ố tự nhi +ỉ gồm các chữ số +nhiên t +ố tự nhi +ên. Xác su +ất để chọn đ +ợc số tự nhi +ên chia +ết cho +Cho đa +a đa gi +u nhiên m +ời ta sử +ốn sách Toán, +ọc (các +ốn sách c +ống nhau) để l +ởng cho +ọc sinh, +c sinh đư +ốn sách khác +ại. Trong +ọc sinh có +nh. Xác s +ất để hai bạn đó có gi +ống nhau bằng. +Trong m +ặt phẳng tọa độ +, cho hình vuông +10; 10 +10; 10 +ập hợp tất cả các điểm có tọa độ đều l +ố nguy +ằm trong h +ình vuông +(tính c +ả các điểm nằm tr +ên các c +ạnh của h +nh vuông) +hiên m +A x y S +, khi đó xác su +ể chọn đ +ợc điểm +   +đa giác l +ội tiếp đ +ờng tr +sao cho không có ba đư +éo nào +uy. Các c +à các đư +ờng chéo của đa g +iác giao nhau +thành các tam g +iác. G +ập hợp các +tam giác như th +ế. Lấy +ẫu nhi +ột tam giác trong tập +ợc tam giác không có +ào là đ +ủa đa giác bằ +ập hợp các số tự nhi +ữ s��� đôi một khác nhau lập th +ừ các số tự +. Xác su +ọn có tích các chữ s +ố hoặc l +chính phương, ho +ố lẻ l +ập hợp +; 1; 2; 3; 4; 5 +ập hợp các số có 3 chữ số +c nhau đư +ợc lập th +ữ số của tập +ọn ngẫu nhi +ột số từ +,tính xác su +ất để số đ +ọn có chữ số cuối gấp đ +ữ số đầu. +ập hợp tất cả +ố tự nhi +có 5 ch +ố đôi một khác nhau. Chọn +nhiên m +, xác su +ất để số đó +có hai ch +ố tận c +ng có cùng tính +ẵn lẻ bằng +ọn ngẫu nhi +ốn số tự nhi +ên khác nhau t +uyên dươn +ên. Tí +xác su +ất để bốn số +ợc chọn l +thành m +ột cấp số nhân có c +ội nguy +1,2,3,4,5,6 +ập hợp các tam giác có độ d +ài ba c +à các ph +ọn ngẫu +ần tử thuộc +. Xác su +ợc chọn l +ột tam giác cân bằng. +hiên m +ừ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số đ +ợc chọn có tổng các +ữ số l +ột đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đ +ờng tr +ập hợp tấ +ả các tam +iác có các đ +à các đ +ỉnh của đ +a giác +Tính xác su +ể chọn đ +ợc một tam gi +là tam giác +cân nhưn +g không ph +ải tam giác +1,2,3,4,5,6 +ập hợp các tam giác có độ d +ài ba c +à các ph +ần tử của +ọn ngẫu n +. Xác su +ất để phần +ột tam giác c +ọn ngẫ +u nhiên b +ốn số tự nhi +ên khác nhau t +ố nguy +ên dương đ +ên. Tính xác +ất để bốn số +ợc chọn +thành m +ấp số n +hân có công b +ội nguy +ập các số tự +nhiên có +ữ số. Lấy một số bất k +ủa tập +h xác su +ất để lấy đ +chia h +ết cho +1;2;...;19;20 +m 20 s +nhiên t +n 20. L +u nhiên ba +ấy ngẫu nhi +ố tự nhi +ữ số. Xác suất để chọn đ +ợc số tự nhi +ên có d +1 2 3 4 5 +aa a a a +1 2 3 4 5 +a a a a a +       +XÁC SU +P BÀI TOÁN +ÁC QUY T +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ột đa giác đều 18 đỉnh nội +ếp trong m +ờng tr +òn tâm +ập hợp tất cả các ta +m giác +có các đ +à các đ +ỉnh củ +giác trên. +Tính xác su +ể chọn đ +ợc một tam giác từ tập +là tam +giác cân +nhưng không ph +ải tam giác đều. +Có 6 h +sinh g +ọc sinh lớp A, 2 học sinh lớp B v +ọc sinh lớp C xếp n +ẫu nhi +ên thành m +ng ngang. Tính xác su +nhóm b +ọc sinh liền kề nhau trong h +àng luôn +c sinh c +ả 3 lớ +ẫu nhi +ọc sinh trong m +ọc sinh n +sinh n +sinh nh +D. 0,927 +Có hai dãy gh +ế đối diện nhau, mỗi d +ãy có ba gh +ế. Xếp ngẫu nhi +ọc sinh g +ồm 3 nam 3 nữ +hai dãy gh +sao cho +ế có đúng +ột học sinh ngồ +Xác su +ất để mỗi học +sinh nam đ +ều ngồi đối diện với +ột học sinh nữ bằng +ếp ngẫu nhi +ọc sinh lớp A, +ọc sinh lớp B v +sinh +ớp C v +tròn (m +ọc sinh ngồi đúng m +ột ghế). Tính x +ất để học +sinh l +ớp C ngồi giữa +ọc sinh lớp B +ọc sinh +ữ ngồi v +ào hai hàng gh +ế đối diện nhau +tùy ý. Xác su +ất để mỗi một em +ồi đối diệ +u nhiên +ghi trên +chia h +cho 3 b +đa giác +có 30 đ +ỉnh. Lấy t +ùy ý 3 +ỉnh của +. Xác su +ất để 3 đỉnh +ợc tạo th +tam giác tù +ột hộp c +ả cầu đ +ợc đánh số theo thứ tự t +ấy ngẫu nhi +. Xác su +ể tích các số ghi tr +đó chia +i A là t +ất cả các số tự nhi +ên có 8 ch +ữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhi +ố thuộc +ất để số tự nh +iên đư +ợc chọn chia hết cho 25 bằng +ưng, H +ộc lập nhau ném bóng v +ổ. Mỗi n +ời ném v +ổ của m +ột quả bóng. +ằng xác suất ném b +óng trúng vào r +ưng, H +( ) , ( ) +P A x P B y +cùng ném bóng trúng vào r +ả hai c +óng tr +óng tr +ng trung h +thông B +m Sơn có 23 l +p, trong đó kh +i 11 có 8 l +chi đoàn, m +i chi đoàn có m +t em làm b +hư. Các em bí thư đ +i và r +t năng đ +p hành Đoàn trư +u nhiên 9 em bí thư đi th +i cán b +đoàn gi +xã. Tính xác su +n có đ +c kì thi h +c sinh gi +i, nhà trư +c sinh tro +em đó có s +trong danh sách l +p thành c +ng. Các em ng +u nhiên vào hai dãy bà +nhau, m +sinh. Tính xá +hai em +n nhau là b +ộc lập với nhau c +ổ súng bắn v +êu. Bi +ết rằng xác suất +ắn trú +0,7; 0,6; 0,5; 0 1 +ất để có ít nhất +ột xạ thủ bắn trúng +ằng 0,916. +ội thanh ni +ên tình nguy +ện của một tr +ờng THPT gồm 15 HS, tro +đó có 4 HS kh +ối 12, 5 HS khối 11 +và 6 HS kh +10. Ch +u nhiên 6 HS +ực hiện nhiệm vụ +Tính xác su +6 HS đư +ợc chọn có đủ 3 khối. +ộp chứa 12 +ả cầu, trong đó có 8 quả m +ỏ, 3 quả m +àu xanh và 1 +àu vàng, l +nhiên 3 qu +ả. Xác +ất để lấy đ +ả cầu có đúng hai m +ả cầu gồm +u xanh, +ẫu nhi +ồng thời hai +ả. Xác suất để +ợc hai quả có m +àu khác nhau b +ọn ngẫu nhi +ột số từ tập hợp +ố tự nhi +ên thu +ộc đoạ +. Xác su +ể chọn đ +ợc số có +ữ số h +àng đơn v +ị lớn h +ữ số h +àng ch +ục bằng +ếc ghế đ +ê thành m +hàng ngang. X +ẫu nhi +ọc sinh, gồm +ọc sinh lớp +ọc sinh lớp +ọc sin +ào hàng gh +, sao cho m +ỗi ghế có đúng một học sinh +. Xác su +ể học sinh lớp +ạnh học sinh +ởng sản xuất +ực phẩm gồm 4 +ế biến thực ph +m, 3 k +ĩ thuật vi +ên và 13 công nhân. Đ +ảm bảo sả +ực phẩm chống dịch Covid 19, x +ởng cần +hia thành +ản xuất +theo th +ời gian +liên ti +nhau sao cho ca +I có 6 ngư +à 2 ca còn l +ại mỗi ca có 7 ng +ời. Tính x +ất sao cho +ỗi ca có 1 kĩ thuật v +ất một kĩ s +ế biến thực phẩ +ọi S l +ập hợp tất cả các số tự nhi +ên có 3 +ữ số đ +ợc lập từ tập +X 0;1;2;3;4;5;6;7 . +Rút ng +hiên m +ộc tập S. +Tính xác su +ất để rút đ +ợc số m +à trong s +ố đó, chữ số đứng sau luôn lớn h +ữ số đứng tr +ọi S l +ập tất +ố tự nhi +có ba ch +ữ số đôi một khác nhau đ +ợc lập từ các chữ số +0,1,2,3,4 +,5,6. Ch +ẫu nhi +ố từ tập S. Tính xác suất để số đ +ợc chọn l +ố chia hết cho 6. + + + + +ÔNG TH +ÔNG TH +LOGARIT +LOGARIT +ƯƠNG TR +ƯƠNG T +ƯƠNG TR +ƯƠNG T +LOGARIT +ÔNG TH +ÔNG TH +LOGARIT +LOGARIT +ƯƠNG TR +ƯƠNG T +ƯƠNG TR +ƯƠNG T +LOGARIT +ƯƠNG TR +ÌNH, B +ƯƠNG T +LOGARIT +A THAM S +Ũ, LOGARIT +ÔNG TH +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ẳng định n +ào sau đây đúng? +m n m n +m n m n +( ) ( ) . +m n n m +là các s +ố thực bất k +ẳng thức n +ào sau đây +    +a b ab +ẳng thức sai d +ới đây. +xy x y +x y x y +    +Cho các s +ố thực +, , , , 0 +a b m n a b +ẳng đị +nh nào sau +đây là +a b a b +m n m n +ố thực bất k +ệnh đề n +ào sau đây +10 100 +c dương tùy +ng tùy +ểu thức +M x x 1 x x 1 x x 1 +       +ác nghi +ương tr +M 3x 1 +ào sau +x x : x +(x > 0), ta +. Ta có +nguyên dương, bi +c nào theo +sau đây không b +ào sau +2 2 2 2 +x x x x +2.4 2.4 +2.4 2.4 2 +2.4 2.4 4 +ẳng th +ào sau +2 3 4 9 2.6 +x x x x x +    +2 3 4 9 2.6 +x x x x x +    +2 3 2.4 9 12 +x x x x x +    +2 3 4 9 +x x x x +P x x x +nào dư +Cho bi +ệnh đề n +ào trong các m +ệnh đề sau l +à đúng? +ệnh đề n +ới đây đúng +ệnh đề n +ới đây đ +2 1 2 1 +. Khi đó +Cho bi +ểu thức +5 1 2 5 +. Rút g +ợc kết quả: +ểu thức +ợc kết quả +trong đó +là phân +ố tối giản. Khẳng định n +ào sau đây đúng? +P x x x +nào dư +đây đúng? +ẳng th +4 3 16 9 12 +x x x x x +    +4 3 16 9 +x x x x +4 3 16 9 2.12 +x x x x x +    +4 3 16 9 4.12 +x x x x x +    +Ũ, LOGARIT +ÔNG TH +LOGARIT +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +Trong các m +ệnh đề sau, mệnh +ào đúng? +log log +ới mọi số +dương và +ới mọi số +dương và +log log log +b c bc +dương và +ới mọi s +dương và +là hai s +ố thực d +ương tùy +.Tìm k +ết luận đúng. +ln ln ln +a b a b +ln a b ln a.ln b +ln a ln b ln a b +Cho hai s +ới đây +log 1 0 +ới các số thực d +ệnh đề n +ới đây +log log .log +ab a b +log log log +ab a b +log logb loga +ới các số thực d +ệnh đề n +ới đây đúng? +ln ln ln +ab a b +ln ln .ln +ab a b +ln ln ln +ới các số thực d +ệnh đề n +ào sau đây đúng? +log log .log +ab a b +log log log +log log log +ab a b +ệnh đề n +ới đây +log log +log log log +b c b c +là các s +. Trong các m +ệnh đề sau, mệnh đề n +ệnh đề đúng? +log log . +log log 0 . +log log .log . +log ( ) +ố thực d +ương tùy +ố thực d +ương tùy +ln(3a) ln(2a) +ln(6 ) +ới mọi số thực +dương, +ới mọi +log 3log 2 +ẳng định n +ới đây đú +ố thực d +ương tùy +ố thực d +ương tùy +ố thực d +ương tùy +log 100 +là các s +ố thực d +ương tùy +ố thực d +ương tu +log 100 +là các s +ố thực d +ương tùy +, khi đó +ố thực d +ì, giá tr +, rút g +ọn biểu thức +log 40 +log 40 20 log 2 +log 40 10 log 2 +log 40 2 log 2 1 +log 40 2 log 2 1 +a 0, a 1 +a 0, a 1 +ố thực d +ương tùy +2 log . +2 log . +ố thực d +ương tùy +ln 7 ln 3 +. Tính +là hai s +ương th +. Giá tr +3log 2log +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ào sau +ập xác định của h +ập xác định của h +ào sau +ập xác định của h +ới đây đồng biến tr +ập xác định của nó? +ố đồng biến tr +ập xác định của h +Trong các hàm s +sau, hàm s +luôn đ +n trên +2016 2 +y (0,1) +(2016) +ồng bi +giá tr +và giá tr +a hàm s +max 4; min +max 4; miny +max 1 ; miny +max 4; miny 1 +p xác đ +a hàm s +sin +p xác đ +a hàm s +\{ 1 } +ục tung +ục tung +Đi qua +(1 ;10) +D 0; \ 2 +1 ; \ 2 +0; \ 2 +1 ; \ 2 +Tìm giá tr +rên đo +ận tung +nh D c +ới đây đồng biến tr +ập xác định của nó? +4 ; 2 ; 6 ; +y y x x y y +     +1 ; \ 2 +0; \ 2 +1 ; \ 2 +Trong các hàm s +ố sau, h +ào luôn đ +ồng biến tr +2016 2 +y (0,1) +(2016) +à giao +ục tun +. Tung +bao nhi +ố nguy +6 ; ; ; 4 +y y y y x +     +ó bao nhi +n trên +ồng bi +p xác đ +a hàm s +ờng th +ểm Q c +5 ; ( 2) ; ( 2 3) ; ; +y y m y a a y x y +        +bao nhi +ồng bi +ục tung t +ột kho +ị tham s +sao cho +Ũ, LOGARIT +LOGARIT +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +Câu 1. +ập xác định của h +ào sau +logarit +ờng th +các giá tr +hình b +đi qua +ào sau +p xác đ +a hàm s +log 4 4 +ó bao nhi +ồng bi +log 4 3 +    +;2 2 2 2; +      +2 2;1 3;2 2 +    +ập xác định của h +; 0 3; +    +ố logarit n +ào sau +ịnh tr +ằng 3 th +ận tung +ập xác định của h +log 4 4 +ập xác định của h +ịnh của h +ận tung +Có bao +ố nguy +ên thu +ộc tập xác định +log 6 2 +đi qua +ập xác định của h +ập xác định c +log 30 +bao nh +ố nguy +Trong các hàm s +ố sau h +ào ngh +cong t +rong hình v +ên là đ +ồ thị của h +ới đây? +log 3 4 +log 5 11 +đi qua +ho hàm s +ệnh đề n +ới đây l +ệnh đề +trên t +ập xác định. +ã cho c +ập xác định +ồ thị h +ã cho có m +ột tiệm cận đứng l +ục tung. +ồ thị h +ã cho khô +ng có ti +ệm cận ng +ọn khẳng định +các kh +ẳng định sau: +ịch biến tr +ập xác định của nó. +ồng biến +ập xác định l +ới đây đồng biến tr +ên kho +ệnh đề n +ào trong các m +ệnh đề +ồng biến tr +ồng biến tr +ồng biến tr +Ũ, LOGARIT +ÌNH, B +ƯƠNG TR +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ng trình +ệm của ph +ương tr +ệm của ph +Tìm ngh +ệm của ph +ương tr +Phương tr +có nghi +Phương tr +có nghi +ệm của +phương +ệm của ph +ương t +ất cả các giá trị thực của +ương tr +có nghi +ệm thực. +p nghi +ập nghiệm +g trình +Phương tr +5 log 128 +bao nh +iêu nghi +p nghi +ương tr +ệm thực +phân bi +ệt của ph +ương t +p nghi +ập nghiệm của ph +ương tr +4 4 272 +Phương tr +ập nghiệm l +ập nghiệm +ương tr +4 7 16 +7 4 49 +    +    +    +ương tr +1 ; 2. +1 ; 2. +1 ; 2. +Vô nghi +ập nghiệm của bất ph +ương tr +; 1 3; +    +i phương tr +p nghi +t phương tr +p nghi +p nghi +t phương tr +; 5 2; +    +; 2 5; +    +p nghi +t phương tr +; 2 4; +    +; 4 2; +    +ương tr +     +   +p nghi +t phương tr +Tìm nghi +ệm của ph +ương tr +7 4 3 2 3 +1 log 2 3 +   +25 15 3 +là các giá tr +ực thỏa m +ẳng thức +Cho bi +9 12 0 +, tính giá t +ị của biểu thức +8.9 19 +ất cả các giá tr +ị thực của tham số +ng trình +3 2 3 0 +    +có nghi +Ũ, LOGARIT +ÌNH, B +ƯƠNG TR +LOGARIT +BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ệm của ph +log 2 1 2 +ệm của ph +ương tr +log 1 3 +10; 10 +Tìm nghi +ệm của ph +ương tr +log 5 4 +ập nghiệm của ph +ương tr +log ( 7) 2 +{ 15; 15} +{ 4;4} +Tìm nghi +ệm của +phương t +Phương tr +log 3 2 3 +có nghi +ập nghi +ệm của p +hương tr +log 3 1 +ập nghi +ệm của p +hương tr +log 3 1 +ệm của ph +ương tr +log 1 1 log 4 1 +    +ập nghiệm của ph +ương tr +log 2 2 1 +{ 2;4} +hương tr +log (2 1) 2 log ( 2). +ố nghiệm thực của ph +ương tr +nh là: +ập nghiệm của ph +ương tr +log 2 1 +ập hợp các số thực +ương tr +có nghi +ệm thực l +ình ph +ương các nghi +ệm của ph +ương tr +log 5 7 0 +ổng các ngh +ệm của ph +ương tr +log log 3 1 +ập nghiệm của ph +ương tr +log 3 1 +3 2 2 3 2 2 +ệm nhỏ nhất của ph +ương tr +log 3 5 1 +ố nghiệm d +ương c +g trình +ln 5 0 +ồ thị nh +ình bên. +ờng thẳng +ắt hai đồ thị tại các điểm có ho +. Giá tr +ập nghiệm +ơng tr +log 1 log 1 3 +    +10; 10 +ệm của ph +ương tr +log 1 1 log 3 1 +    +ập nghiệm +ương tr +    +log 2 1 log 1 1 +t phương tr +log 2 1 2 +p nghi +t phương tr +log 2 3 log 1 +p nghi +t phương tr +log 4 log 2 +p nghi +t phương tr +log 2 1 2 +ập nghiệm +ủa bất ph +ương tr +log 1 log 2 1 +ập nghiệm +ủa bất ph +ương tr +log 1 3 +ệm của BPT +log 5log 6 0 +ương tr +có bao nhiêu nghi +ệm nguy +ập nghiệm của +log 3 6 2 +ập nghiệm của bất ph +ương tr +log 1 log 2 1 +    +ệm của ph +ương tr +log 1 1 log 1 +    +Ũ, LOGARIT +ÔNG TH +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ào sau +2016 2017 +ệnh đề sau, mệnh đề n +ào SAI? +2018 2017 +3 1 3 1 +2017 2018 +2 1 2 1 +2019 2018 +    +    +    +    +Trong các +sau, kh +ẳng định n +2018 2017 +    +    +    +    +2017 2018 +2 1 2 1 +2018 2017 +3 1 3 1 +ập tất cả các giá trị của +Cho hai s +ố thực d +. Rút g +ọn biểu thức +a b b a +ta thu đ +. Tích +ợc kết quả +trong đó +ối giản. Khẳng định n +ào sau đây đúng? +ố thực d +Đơn gi +ản biểu thức +là các s +ố thực d +a b ab +P a b ab +P ab a b +Cho bi +ểu thức +8 2 2 2 +, trong đó +là phân s +ố tối giản. Gọi +ào sau đâ +330;340 +350;360 +260;370 +340;350 +, giá tr +ị của biểu thức +2 . . 1 +    +T a b ab +36 49 2.42 100 +ho hàm s +giá tr +2017 1 +2017 1 +2017 1 +1 2017 +2 2 2 2 +x x x x +2.4 2.4 +2.4 2.4 2 +2.4 2.4 4 +Cho hàm +. Tính giá t +2017 1. +2017 1. +2017 . +2017 1. +ểu thức +. Tích +có giá tr +2 4 2 2 2 4 +P x x y y x y +    +ố thực khá +ất cả các số +sao cho +giá tr +ị của biểu thức +T a b b +ẳng định n +ào sau đây đún +2017 2018 +( 5 2) ( 5 2) +2018 2019 +( 5 2) ( 5 2) +2018 2019 +( 5 2) ( 5 2) +2018 2019 +( 5 2) ( 5 2) +So sánh ba s +0,3 3,2 +0, 2 , 0, 7 +3,2 0,3 +0,7 0, 2 3 +0,3 3,2 +0, 2 0,7 3 +0,3 3,2 +3 0, 2 0,7 +0,3 3,2 +0, 2 3 0,7 +a a b b +. Khi đó kh +ẳng định n +ào đúng? +0 1, 0 1 +    +0 1, 1 +1, 0 1 +So sánh ba s +1001 2 +1000 , 2 +1 2 3 1000 +1 2 3 ... 1000 +     +là các s +ố thực d +ương. Rút g +ọn biểu t +ợc kết quả l +ẳng th +3 . 3 . 3 3 +x x x x +3 . 3 . 3 3 +x x x x +3 . 3 . 3 3 +x x x x +3 . 3 . 3 3 +x x x x +Ũ, LOGARIT +ÔNG TH +LOGARIT +I TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +log log 5 +. Khi đó giá tr +ị của biểu thức +log log .log 4 +P a a b +log 3.log 5.log 4 +. Tính giá tr +2log log 3a log +là các s +ố thực d +ương tu +ỳ ý thoả m +, giá tr +3log 6 log 3 log . +log log 5 +log log 7 +. Tìm giá tr +ị của biểu thức +Cho hai s +ố thực d +ếu viết +log 1 log log ( , ) +x a y b x y +    +thì bi +ểu thức +có giá tr +ng bao nhiêu +log 490 +là các s +ố nguy +Tính t +T a b c +là hai +ưc dương th +a b ab +ẳng định n +ào sau đây +2log 4 log log +a b a b +    +a b a b +2log log log +2log 4 log log +a b a b +    +là các s +ố thực d +ương tùy +ọn mệnh +ề đúng. +. Khi đó +Tính giá t +ị biểu thức +10 2 2 +log log log +P a b b +0 1; 0 1 +    +log 56, +a b c R +nào dư +ới đây để có +3, 3, 1 +3, 2, 1 +1 , 2, 3 +1 , 3, 2 +   +1 2 3 98 99 +log log log ... log log . +2 3 4 99 100 +      +, , 0;    và  , 1 +a b x a b b x +log log +Khi đó bi +ểu thức +a ab b +có giá tr +ị bằng: +log 3, log 3. +Hãy bi +ểu diễn +log 45 +log 45 +log 45 +log 45 +log 45 +, khi đó +log 48 +, giá tr +log 35 +ếu biểu diễn +log 45 +a m nb +Cho các s +ố thực d +. Tính +log 3 , log 5 +. Tính +. Tính +log 18 +log 3, log 3 +. Hãy bi +ểu diễn +log 45 +log 45 +log 45 +log 45 +log 45 +ln 2 , ln 5 +, hãy bi +ểu diễn +1 2 3 98 99 +ln ln ln ... ln ln +2 3 4 99 100 +      +log 3; log 5 +ểu diễn đúng củ +log 12 +Ũ, LOGARIT +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +4 2.2 3 +Cho ba s +ố thực d +ồ thị các h +y a y b y c +ợc cho trong h +nào dư +i đây đúng? +cos 1 sin +( ) 2 2 +a bao nhiêu s +nguyên +các hàm s +y a y b y c +tung đ +y a y b y c +Cho hàm +y a y b +là hai s +ố thực d +ương khác 1, l +ợt có đồ thị l +hình bên. M +ệnh đề n +ới đây đúng +9 4.3 10 +ẳng định n +ào sau đây đ +    +    +    +a bao nh +nguyên +ể hiện đồ thị của ba trong b +) là đ +ồ thị h +a ba h +y a y b y c +ên. Kh +o sau đây +ờng th +LOGARIT +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ập xác định của h +2 log 3 +Trong hình d +ới đây, điểm +là trung đi +ểm của đoạn thẳng +ẳng định n +ào sau đây là đúng? +Cho các s +ố thực +sao cho +2018; 2019 +ệnh đề n +ới đây đúng? +1, 0 1 +0 1, 1 +0 1, 0 1 +    +Trong các hàm s +ố sau, h +ào ngh +ịch biế +nhiêu gi +nguyên thu +log 6 2 +ập xác +ịnh của biểu +; 2 3; +    +log 9 6 1 +p xác đ +a hàm s +các giá tr +a tham +ln 2 1 +y x x m +    +p xác đ +y x mx +ịnh với mọi giá trị của +ất cả các giá trị của +ln 2 1 +y x mx m +     +ịnh với mọi +ất cả các +ị thực của tham số +log( 4 1) +y x x m +    +ập xác định l +Có bao nhiêu giá tr +ị nguy +ủa tham số +2018;  2018 +ln 2 1 +y x x m +    +ập xác định l +ất cả các giá trị thực của tham số +log 2 4 +y x mx +ất cả bao nhi +êu giá tr +ị nguy +ên dương c +ủa tham số +ịnh tr +ồ thị nh +ình bên. +ờng thẳng +ắt hai đồ thị tại các điểm có ho +ết rằng +. Giá t +Trong hình d +ới đây, điểm +là trung đi +ểm của đoạn thẳng +ào sau đây là đúng? +hình v +ên có đ +ồ thị các h +, , log +y a y b y x +. Hãy ch +ọn mệnh đề đúng +trong các +ệnh đề sau đây? +ố các giá trị nguy +ủa tham số +y mx m +ịnh tr +log 4 2 +ập xác định l +ập hợp tất cả các giá trị của tham số +log 2 4 5 +x x m m +    +ịnh với +   +(1 ;3) \ 2 +1 ;3 \ 2 +Ũ, LOGARIT +ÌNH, B +ƯƠNG TR +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +Phương tr +6 5.6 1 0 +có hai nghi +. Khi đó t +Phương tr +có bao nhiêu nghi +ệm âm? +là nghi +ệm của +phương tr +2 3 2 3 4 +    +. Khi đó +ất cả các ngh +ệm của ph +3 3 30 +Phương tr +3.9 10.3 3 0 +x x x x +    +ổng các nghiệm +Tích các nghi +ệm của +phương tr +5 2 5 2 +ập nghiệm +ủa bất ph +ương tr +   +ập nghiệm của bất ph +2; 1 2; +    +Tích các nghi +a phương tr +3log 3 +log 54 +1 log 3 +là hai nghi +2 .5 1. +Khi đó t +2 log 2 +2 log 2 +2 log 2 +2 log 5 +Phương +27 .2 72 +ột nghiệm viết d +ới dạng +là các s +ố nguy +dương. Tính t +ập nghiệm c +ủa bất +phương tr +3 9.3 0 +; 1 2; +    +p các nghi +uyên c +t phương tr +. Tìm s +ương tr +125 25 +ập nghiệm l +;   2 1 ; +     +p nghi +t phương tr +2017 2017 +2018 2018 +    +    +    +ập nghiệm c +ủa bất ph +ương tr +5 2 5 2 +ố nghiệm nguy +ủa bất ph +ương tr +10 3 10 3 +ương tr +2 3 2 3 +có bao nhiêu nghi +ệm nguy +o hàm s +ẳng định n +ào sau đây là +1 log 5 0 +f x x x +    +1 log 5 0 +f x x x +    +1 log 2 0 +f x x x +    +1 ln 2 ln 5 0 +f x x x +    +ệm của bất ph +ương tr +5 126 5 25 0 +. Tính giá tr +ị của tích +phương tr +6.4 13.6 6.9 0 +     +; 1 1 ; . +; 2 1 ; . +     +; 1 1 ; . +     +; 2 2; . +     +p nghi +t phương tr +ải bất ph +ương tr +0;log 3 +0;log 2 +ủa bất ph +ương tr +3 .5 1 +log 3;0 +log 3;0 +log 5;0 +log 5;0 +ương tr +ệnh đề n +sau đây là +    +1 log 5 0 +1 log 2 0 +1 log 5 0 +ương tr +0, 2 .2 +tương đương v +ương tr +ình nà +o sau đây ? +    +log 2 log 2 1 0 +    +log 2 log 2 1 0 +    +ập nghiệm của bất ph +ương tr +0;ln10 +ập nghiệm của bất ph +ương tr +5.6 2.3 +; log 5 +log 5;0 +log 5; +Cho hàm s +ẳng định n +ào sau đây là sai? +1 log 5 0 +f x x x +    +1 log 5 0 +f x x x +    +1 log 2 0 +f x x x +    +1 ln 2 ln 5 0 +f x x x +     +ập nghiệm của bất ph +ương tr +3.9 10.3 3 0 +Ũ, LOGARIT +ÌNH, B +ƯƠNG TR +LOGARIT +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ập nghiệm +hương tr +log 1 log 1 1. +    +2 5; 2 5 +ết rằng +log sin log cos 2 +log sin cos log 1 +. Giá tr +Câu 3. +ập nghiệm +ương tr +log 2 2 log 2 5 +Câu 4. +Tích các nghi +ệm của ph +ương tr +log log 4 +ệm của ph +ương tr +log log log 3 +ập nghiệm của +log 1 log 2 1 +    +ố phần tử của tập +ố nghiệm thục của ph +ương tr +3log 1 log 5 3 +    +ổng các nghiệm của ph +ương tr +log 2 log 4 0 +    +là các s +nguyên). +Giá tr +ị của biểu t +ố nghiệm của ph +ương tr +log 4 log 2 3 0 +    +ổng giá trị tất cả các nghiệm của +g trìn +3 9 27 81 +log .log .log .log +x x x x +a phương tr +log log log 3 +ập nghiệm của ph +ương tr +log 1 log 2 1 +    +ố phần +ử của t +ố nghiệm thục của +phương tr +3log 1 log 5 3 +    +các nghi +ệm của ph +ương tr +log 2 log 4 0 +    +là các s +nguyên). Giá tr +ị của biểu thức +ổng tất cả các nghiệm th +ực của ph +ương tr +log 4 1 log 8 log 4 +x x x x +    +ập nghiệm +ng trình +2 log 2 2 log 3 2 +    +ổng các ph +ần tử của +ương tr +2 log log 3 2 +ập nghiệm của bất ph +ương tr +log 2 log 9 +ứa tập hợp +nào sau đây? +m nguyên c +t phương tr +log 9 23log 3 7 0 +ệm nguy +t phương tr +log log 5 0 +m nguyên +hương tr +log log 1 +p nghi +t phương tr +log log 2 0 +. Giá tr +ổng các nghiệm của ph +log log 9.log 3 +ệm của ph +ương tr +log 1 log 2 1 2 +    +Cho phương tr +log 3 log 1 0. +ương tr +2 nghi +ệm, tính tích +ủa hai +ệm đó. +ết rằng ph +ương tr +log x log +i nghi +ố nghiệm +ương tr +log 4 log 2 3 0 +    +ết nghiệm lớn nhất của ph +ương tr +log log 2 1 1 +là hai s +ố nguy +Tính t +ổng tất cả các nghiệm thực +a phương tr +log 2 log 4 0 +    +Cho 2 s +log log 8 +log log 9 +. Giá tr +ị biểu thức +Ũ, LOGARIT +ÌNH, B +ƯƠNG TR +, LOGARIT CH +A THAM S +P BÀI TOÁN +¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ +ập hợp tất cả giá trị nguy +ủa tham số +cho phương tr +16 .4 5 45 0 +    +có hai nghi +ệm phân biệt. Hỏi +có bao nhiêu ph +ần tử? +Tìm giá tr +ị thực của tham +ương tr +9 2.3 0 +có hai nghi +ệm thực +ập hợp các giá trị nguy +ủa tham số +sao cho phương tr +25 .5 7 7 0 +    +hai nghi +m phân bi +có bao nhiêu ph +ất cả các giá trị ng +uyên c +ủa tham số +ao cho phương tr +4 .2 2 5 0 +    +có hai +ệm phân biệt. Hỏi +có bao nhiêu ph +ần tử. +Cho phương tr +log log 6 1 log +   +là tham s +ố thực). Có tất cả bao nhi +êu giá tr +ương tr +có nghi +Cho phương tr +log log 5 1 log +   +là tham +ố thực) +ất cả bao nhi +êu giá tr +nguyên c +ương tr +ã cho c +ó nghi +ợp tất cả các giá trị nguy +a tham s +sao cho phươn +g trình +9 .3 3 75 0 +    +có hai nghi +ệm phân biệt. Hỏi +có bao nhiêu ph +ần tử? +Cho phương tr +là tham s +ố thực). Giá trị của +ương tr +cho có +hai nghi +phân bi +ộc khoảng n +ào sau đây +Cho phương tr +.16 2 2 .4 3 0 1 +     +ập hợp tất cả các giá trị d +phương tr +ã cho có hai nghi +phân b +Phương t +4 3.2 0 +hai ng +ệm thực +. Giá tr +ào sau đây? +ới giá trị n +ủa tham số +ương tr +. 2 2 3 0 +    +có hai nghi +Phương tr +có hai nghi +ất cả các +giá tr +ị của tha +ương tr +2 2 1 2 4 2 +4.4 2 2 6 6 3 3 0 +x x x x x x +     +     +có hai nghi +ệm thực phân biệt. +4 3 2 4 3 2 +    +Cho phương tr +log 2 2 log 2 0 +x m x m +     +là tham +ố thực). Tậ +ợp tất cả +các giá tr +ương tr +ã cho có hai nghi +ệm phân biệt thuộc đoạn +Cho hàm s +3log 2 3 1 log 1 3 0 +x m x m x x m +         +ố các giá trị nguy +phương tr +ã cho có hai nghi +ệm phân biệt +ập tất cả các giá trị nguy +ủa tham số +ương tr +log log 2 0 +    +có nghi +ệm. Tính tổng tất cả các phần tử của +Cho phương tr +log log 3 1 log +   +là tham +ố thực). Có tất cả bao nhi +êu giá tr +nguyên c +ủa tham số +ương tr +ã cho có nghi +Cho phươ +ng trình +log 4log 4 1 log +   +ố thực). Có tất cả bao nhi +êu giá tr +nguyên c +ương tr +ã cho có nghi +ất cả các giá trị +ủa tham số thực m để ph +ương tr +4 log log 0 +có hai nghi +phân bi +ệt thuộc +ương tr +log log 3 +có nghi +ằng tập +các giá tr +ương tr +3 9 2 1 3 1 0 +      +có hai +ệm phân biệt l +ột khoảng +. Tính tích +ất cả b +ao nhiêu s +nguyên +ương tr +4 .2 2 2019 0 +    +ó hai nghi +ệm trái dấu? +phương tr +4 15 2 1 4 15 6 0 +      +ương tr +ình có hai nghi +phân bi +. Ta có +ộc khoảng n +Phương tr +2 3 1 2 2 3 4 0 +      +có 2 nghi +ệm phân biệt +. Khi đó +ộc khoảng +ất cả các giá trị của +ương tr +9 2 .3 2 0 +    +có hai nghi +ệm phân biệt +ết rằng +là giá tr +ị của t +sao cho phương tr +9 2 2 1 3 3 4 1 0 +     +có hai +ệm thực +2 2 12 +. Khi đó +ộc khoảng n +ào sau đây +Có bao +nhiêu giá tr +ị nguy +ủa tham số +ương tr +16 2 1 4 3 8 0 +     +có hai +ệm trái dấu? +Cho phương tr +9 2 2 1 3 3 4 1 0 +     +có hai nghi +2 2 12 +Giá tr +ộc khoảng +Có bao n +hiêu giá t +nguyên c +ủa tham số +9 4.3 2 1 0 +x x x x +    +có nghi + + + + +, LOGARIT +ÍCH PH +ÍCH PH +ÍCH PH +ÍCH PH +, LOGARIT +ÍNH CH +ÍCH PH +ÍCH PH +ÌNH PH +ÍCH PH +ÍNH TH +ÍCH PH +ÔNG TH +ÍCH PH +CAO NGUY +ÀM THU +NG CAO T +ÍCH PH +ÂN THU +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +ột nguy +ên hàm c +trên kho +'( ) ( ), . +F x f x x K +   +'( ) ( ), . +f x F x x K +'( ) ( ), . +F x f x x K +'( ) ( ), . +f x F x x K +   +ọ nguy +ên hàm c +( ) 3 1 +Nguyên hàm c +f x x x +ọ tất cả nguy +ên hàm c +ọ tất cả các nguy +ên hàm c +Cho hàm s +ẳng định n +ới đây đúng? +f x x x C +f x x x x C +f x x x C +f x x x x C +f x x x +x x x C +Tìm nguyên hàm c +f x x x +    +F x x x C +    +F x x x C +F x x C +    +F x x x C +Nguyên hàm c +f x x x +ọ tất cả các ngu +yên hàm c +Tìm nguyên hàm c +f x x C +f x x C +f x x C +f x x C +Tìm nguyên hàm c +ln 5 2 +ln 5 2 +ln 5 2 +   +5ln 5 2 +Nguyên hàm +f x x x +các nguyên hàm +a hàm s +( ) ln 1 +F x x x C +    +( ) ln 1 +F x x x C +    +( ) 3ln 1 +F x x x C +    +( ) +2ln 1 +F x x x C +ọ tất cả các nguy +ên hàm c +( ) 2 5 +ác nguy +f x dx x x +    +4 ln 1 +f x dx x x +    +2 2ln 1 +f x dx x x x +    +2 2ln 1 +f x dx x x +    +ột nguy +. Tính +2 2 9 2 +2 2 9 2 +2 1 9 2 +Nguyên hàm c +f x x x +Tìm nguyên hàm +uyên hàm c +ln 2 3 +ln 2 3 +ln 2 3 +lg 2 3 +Cho hàm s +2 5  khi  1 +3 4  khi  1 +à nguyên hàm c +Giá tr +Cho hàm s +h trên +, 0 1, 1 2 +f x f f +. Giá tr +ị của biểu +2 ln15 +3 ln15 +4 ln15 +Cho hà +f x x x +    +là nguyê +, khi đó +_________ +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ +Nguyên hàm c +Tìm nguyên hà +2 1 2 1 . +f x dx x x C +    +2 1 2 1 . +f x dx x x C +    +f x dx x C +   +f x dx x C +Cho hàm s +. Trong các hàm s +ới đây +, hàm s +ào là m +ột nguy +Nguyên hàm c +(3 2) 3 2 +(3 2) 3 2 +(3 2) 3 2 +ọ nguy +ên hàm c +2 1 2 1 +    +2 1 2 1 +2 1 2 1 +Nguyên hàm c +d 3 1 3 1 +f x x x x C +    +f x x x C +f x x x C +d 3 1 3 1 +f x x x x C +    +Nguyên hàm c +Nguyên hàm c +5ln x x C +5ln x x C +5ln x x C +5ln x x C +Tìm nguyên hàm: +x x dx +x 2ln x x C +x 2ln x x C +x 2ln x x C +x 2ln x x C +Tìm nguyên hàm c +a hàm s +f x dx x C +   +f x dx x C +   +f x dx x C +f x dx x C +   +Tìm nguyên hàm c +a hàm s +( ) 5 3 +5 3 5 3 +f x dx x x C +    +5 3 5 3 +f x dx x x +   +5 3 5 3 +f x dx x x +f x dx x C +   +Tìm nguyên hàm: +x 4ln x C +x 4ln x C +x 4ln x C +x 4ln x C +Tìm nguyên hàm c +a hàm s +f x dx x C +f x dx x x C +    +f x dx x x +f x dx x x C +    +Tìm nguyên hàm c +a hàm s +( ) 1 3 +1 3 1 3 +f x dx x x C +    +1 3 1 3 +f x dx x x C +    +1 3 1 3 +f x dx x x C +    +f x dx x C +   +Tìm nguyên hàm c +x 9 x C +p án khác +3( x 9 x ) +x 9 x C +Khi tính nguyên hà +cách đ +ợc nguy +ên hàm nào? +ọ nguy +ên hàm c +f x x x C +f x x x C +d 2 2 1 +f x x x C +2 1 2 1 +f x x C +ết rằng tr +20 30 7 +ột nguy +ên hàm +F x ax bx c x +    +là các s +ố nguy +ên). T +S a b c +guyên hàm c +. Khi đó phương tr +có nghi +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +ọ nguy +ên hàm c +cos 6 +f x x x +sin 3 +sin 3 +sin 6 +sin +Cho hàm s +4 cos +ới đây đúng? +sin +f x dx x C +4 sin +f x dx x x C +4 sin +f x dx x x C +4 cos +f x dx x x C +Tìm nguyên hàm +2sin 2cos +xdx x C +2sin 2cos +xdx x C +2sin sin +xdx x C +2sin sin2 +xdx x C +m nguyên hàm c +cos3 3sin3 +xdx x C +cos3 sin3 +xdx x C +nguyên +3cos3 +3cos3 +ọ nguy +ên hàm c +3 sin +f x x x +cos +6 cos +cos +6 cos +ọ nguy +ên hàm c +( ) sinx +cosx+C +cosx+C +cosx+C +cosx+C +ọ nguy +ên hàm c +( ) cos +cos +cos +sin +sin +Cho hàm s +1 sin +ẳng định +nào dư +y đúng? +cos +f x dx x x C +sin +f x dx x x C +cos +f x dx x x C +cos +f x dx x C +cos 2 +i đây đ +d tan2 +f x x x x C +d cot2 +f x x x x C +d tan2 +f x x x x C +d tan2 +f x x x x C +d cos +f x x x C +ẳng định n +ới đây đúng? +sin +cos +sin +cos +cot +ột nguy +ên hàm c +ới đây tr +ên kho +sin +cos +cos +sin +Nguyên hàm c +a hàm s +sin +cos +sin cos +F x x x x +ột nguy +ên hàm c +ào trong các hàm s +ố sau? +sin +f x x x +cos +f x x x +sin +f x x x +cos +f x x x +sin2 d +sin +ọ nguy +ên hàm c +3 sin +f x x x +d 3 cos +f x x x x C +d cos +f x x x C +d cos +f x x x C +d 3 cos +f x x x C +ọ các nguy +ên hàm c +cos +sin +sin +sin +sin +ọ nguy +ên hàm c +sin +ln cos +cos +ln cos +ln cos +Nguyên hàm c +a hàm s +tan cot +f x x x +2tan 2cot +tan cot +tan cot 2 +x x x C +    +tan cot 2 +x x x C +Tìm nguyên hàm +cos +sin cos +   +cos sin +F x x x C +cos sin +F x x x C +cot tan +F x x x C +   +cot tan +F x x x C +Nguyên hàm +cos +sin . +sin . +cos . +cos . +Cho hà +cos +sin +ẳng đị +nh nào dư +ới đây l +à đúng? +    +d sin ln cot +f x x x x x C +    +d sin ln cot +f x x x x x C +    +d sin ln cot +f x x x x x C +     +d sin ln cot +f x x x x x C +Nguyên hàm c +a hàm s +3cos 4sin +f x x x +3sin 4cos +3sin 4cos +3sin 4cos +3sin 4cos +Nguyên hàm c +a hàm s +sin +2cos 3cot +2cos 3tan +2cos 3cot +2cos 3cot +Nguyên hàm c +a hàm s +cos sin +sin cos +cos +sin cos +sin cos +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +ọ nguy +ên hàm c +là hàm s +ào sau đây? +Nguyên hàm c +ọ nguy +ên hàm c +    +    +    +    +Nguyên +a hàm s +2 ln2.2 +ọ nguy +ên hàm c +f x e x +o trong c +sau đây l +t nguyên h +F x e dx +, trong đó +ằng số v +F x e x C +F x ex C +Nguyên hà +Cho hàm s +f x x x C +f x x x C +f x x x C +f x x x C +ọ nguy +x C C R +    +x C C R +    +    +    +Tìm nguyên hàm c +d 2017 +f x x e C +d 2017 +f x x e C +d 2017 +f x x e C +d 2017 +f x x e C +ọ nguy +ên hàm c +cos +2 tan +2 tan +cos +cos +Cho hàm s +f x e x +ẳng định n +ới đây đún +f x x e x C +f x x e C +f x x e x C +f x x e x C +Cho hàm s +ẳng định n +ới đây đúng? +f x x x C +f x x x C +f x x x C +f x x x C +x F x C +nh nào dư +guyên hàm c +ào trong các hàm s +ố sau: +f x xe +f x x e +Cho hàm s +f x x e +. Tìm m +ột nguy +ên hàm +0 2024 +F x x e +F x x e +F x x e +F x x e +f x x e +là nguyên hàm c +0 2024 +yên hàm +f x x C +f x x C +d 2 ln2 +f x x C +f x x C +là nguyên hàm c +ào trong +các hà +ố sau: +f x xe +f x x e +ất cả các nguy +ên hàm c +ột nguy +ên hàm c +f x e x +F x e x +F x e x +F x e x +F x e x +ÍCH PH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ +ích ph +ích ph +Tích phân +có giá tr +Tích phân +có giá tr +Cho m là tham s +ích phân +( )d 0 +, khi đó +có giá tr +ích ph +x x a b +. Khi đó +ằng bao nhi +ích ph +ln2 ln3 , , +a b c a b c +ính gi +ất cả các giá trị của +2 6 d 0 +I mx x +là tham s +ố thực). T +t nguyên h +4ln2 1 +2ln3 2 +ích ph +ích ph +ln2 ln5 ln11 +là các s +ố hữu tỉ. Khi đó +ích phân +I x a b +rong đó +là các s +ố nguy +n. Tín +h giá tr +ị của biểu thức +ln2 ln3 ln5 +dx a b c +ới a, b +, c là các s +uyên. Giá tr +là các s +ố nguy +là các s +ố nguy +ên. Tính +Tính tích phân +I x a b c +Tính t +S a b c +d ln , +x a b c +, , , 9. +a b c c +Tính t +S a b c +.ln2 .ln3 +dx a b c +ố hữu tỷ. Giá trị +d ln2 ln5 ln6 +x a b c +. Tính +S a b c +. Tính +d ln2 ln3 +x a b c +là các s +ố hữu tỉ, tính giá trị của +S a b c +x x x a +là các s +ố nguy +ên dương và +là phân s +ố tối giản. +P a b c +d ln2 ln3 +là các s +ố hữu tỷ. +ÍCH PH +ÍCH PH +BÀI TOÁN CƠ B +nguyên đ +Không có giá tr +giá tr +a b a a b +    +. Tính +Cho tích phân +ệnh đề n +8 1 cos2 d +16 sin d +8 1 cos2 d +16 cos d +dx ln3 ln5 +( , , ) +a b c Q +. Giá tr +a b c d +là các s +ố nguy +ên dương và +Giá tr +a b c d +Cho bi +ột phân số tối giản. Tín +ết rằng +ln2 ln3 ln5 +3 5 3 1 7 +là các s +ố hữu tỉ. Giá trị của +dx a b +là các s +ố hữu tỷ. Tính +ln2 ln3 +dx b c +là các s +ố nguy +Giá tr +d ln2 ln +I x b c d +    +a b c d +là các +uyên và +là phân s +ố tối g +ản. Giá +a b c d +ích ph +    +    +    +    +Giá tr +ị của tích phân +tích phân nào dư +ới đây? +2sin dy +sin +cos +sin +cosy +2sin dy +d ln5 ln2 +là các s +ố nguy +à phân s +ối giản. Tính +P a b c +Cho tích phân +25 5 6 12 +6 ln ln2 +5 6 12 +dx a b c d +    +a b c d +là các s +ố hữu tỉ. Tính tổng +a b c d +Cho tích phân +ếu đổi biến số +2sin , ; +thì ta +x a b c +là các s +ố nguy +. Tính +P a b c +yên dương khác +, hãy tính tích phân +I x x x +nguyên. Khi đó giá tr +Cho hàm s +, 6; 6 +    +. Khi đó +d 2 35 +x a b c +là các s +ố hữu tỷ, +P a b c +    +x x x x +là các s +ố nguy +ên dương. Tính +P a b c +2 1d 5 +ln2 ln , , +2 3 2 1 3 +a b c a b c +    +. Tính +T a b c +ÍCH PH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +nh và liên t +c trên +sin d 10 +f x x x +. Tính +I f x x +3tan 3 +xdx a b +. Khi đ +P a b c +2cot 5 3 +x dx b c +    +. Khi đó giá tr +P a b c +sin cos +là phân s +ố tối giản. Khi đó giá +P a b c +1 cos2 +1 cos2 +( ) 2cos 3, +f x x x +    +khi đó +f x dx +Cho hàm s +cos cos 2 , +f x x x R +cos 4 +sin 5sin 6 +. Giá t +h phân +sin +d ln5 ln2 +cos 2 +ệnh đề n +ới đây +1 sin +là các s +ố nguy +ùng nhau. Giá tr +ị của tổng +Cho tích phân s +sin +d ln5 ln2 +cos 2 +ệnh đề +nào dư +ới đây đúng? +sin 4 +cos 5cos 6 +là các s +ố hữu tỉ, +. Tính t +S a b c +ích phân +sin3 .sin d +I x x x +nh tích phân +cos +.sin d +Cho bi +4 sin d +x x a b +là các s +nguyên. Giá tr +ị của biểu thức +cos4 cos d +là các s +ố nguy +ối giản. Tổng +sin .cos +cos sin +1 cos +x x x x b +. Trong đó +z z i i +���    +là các s +nguyên dương, +phân s +n. Tính +T a b c +ết tích phân +sin5 sin2 d +. Tính +Cho hàm s +2sin 3 +đó giá tr +I f x x +2sin 3cos +x x x dx +    +. Khi đó giá tr +P a b c +______ +ÍCH PH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +3 .7 .d +, trong đó +ố nguy +ố. Khi đó +3 .4 .d +Khi đó +. Giá tr +I e x x +. Khi đó +I e x m x +là tham s +ố thực). +ích phân +cos +sin d +Cho hàm s +ịnh tr +ết rằng +f x f x x ae b +. Giá tr +ị của biểu thức +2025 2025 +Cho hàm s +e m khix +x x khix +liên t +f x x ae b c +Cho tích ph +3 d ln3 +ới a,b l +à các s +ố nguy +ên dương. Tính +Cho tích phân +xe x e n +là các s +ố nguy +ên dương. T +Tích phân +. Khi đó +bao nhi +Tích phân +khi đó +là các s +ố hữu tỉ. Tính +o tích phân +ếu đặt +ln3 ln2 +I dx a b +    +ẳng định n +ào sau đâu đúng. +ln 9 d ln5 ln3 +I x x x a b c +     +trong đó +là các s +ố thực. Giá trị của biểu thức +T a b c +ết quả dạng +ẳng định n +ào sau đây đúng? +   +là các s +ố nguy +n dương, bi +là các phân s +ản. Tính giá trị +a b c d +2 e .2 1 1 e +e.2 eln e +là các s +ố nguy +ên dương. Tính t +S m n p +3 1 ln 3 1 +d . .ln 1 +x a b c +    +là các s +ố nguy +P a b c +ln ln ln +I a b c +là các s +ố nguy +ên dương. +P a b c +d ln ln +là các s +ố nguy +ên dương. Tính +P a b ab +d .e ln e +x a b c +P a b c +Cho hàm s +f x xe +. Khi đó +xf x dx +ết rằng +là các s +ố nguy +ên dương và +là phân s +ố tối giản. +S a b c +ÍCH PH +ÍNH CH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +d 3, d 1 +f x x g x x +. Khi đó +I x f x g x x +ột nguy +ên hàm c +. Tính +I x f x g x x +2 1  d +f x g x x +. Khi đó +I f x g x x +. Khi đó +f x g x x +liên t +c trên đo +. Giá tr +P f x x f x x +Cho hàm s +liên t +ột nguy +. Khi đó +Cho hàm s +liên t +. Khi đó +f x x x +. Khi đó +3 2 1 d 6 +. Giá tr +ị của tham số +ộc khoản +g nào sau đâ +. Khi đó +2 sin d +f x x x +2 ln 3 +1 ln 3 +sin d +f x e x +ó bao nhiêu s +sao cho +4cos2 d 1 +d ln2 ln3 +I x a b +    +ện tích h +ình thang +ới hạn bởi +0; 1; 3 +ện tích h +ình thang +ới hạn bởi +0; 1; 3 +ện tích h +h thang cong đư +ợc giới hạn bởi đồ thị h +ành và hai đư +ờng thẳng +ện tích +ình thang cong gi +ới hạn bởi đồ thị h +y f x x +ành và +hai đư +Tính di +ình thang cong gi +ới hạn +y f x x x +    +hai đư +ờng thẳng +ÍCH PH +ÍCH PH +ÍNH DI +P BÀI TOÁN CƠ B +Cho hàm s +à liên t +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị h +ành và hai đư +ờng thẳng +x a x b +ợc tính theo công thức +S f x x +S f x x +S f x x +S f x x +ện tích h +ạch chéo trong h +ình bên b +2 2 4 d +2 2 4 d +2 2 4 d +2 2 4 d +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi +hai đư +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi hai đ +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi hai đ +ẳng giới hạn bởi hai đ +ện tíc +h hình ph +ới hạn +ệnh đề n +đây đúng? +Cho hàm s +liên t +ện tích h +ình ph +ẳng giới h +ạn bởi các đ +, 0, 1 +y f x y x +   +(như h +ệnh đề n +ào sau đây +( )d ( )d +S f x x f x x +( )d ( )d +S f x x f x x +( )d ( )d +S f x x f x x +( )d ( )d +S f x x f x x +Cho hàm s +tích hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +, 0, 1, 2 +y f x y x x +    +(như h +ên). M +ệnh đề n +ới đây đúng? +dx  +  dx +S f x f x +dx  dx +S f x f x +dx+  dx +S f x f x +dx   dx +S f x f x +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn b +ởi đồ thị của h +và các tr +ục tọa độ. Khi đó +giá tr +2ln2 1 +2ln2 1 +ện tích của h +ình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +ệnh đề +nào dư +ới đây đúng? +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ +   +ính di +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi hai đồ t +Hình ph +ợc giới hạn bởi +các đư +. Tính di +ện tích h +ình ph +(đvdt) +(đvdt) +(đvdt) +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị các h +ờng thẳng +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị của +ờng thẳng +Tính di +ện tích phần h +ình ph +ẳng gạch chéo (tam giác cong +) trong hình v +Tính di +ện tích +ình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +ành và +ờng thẳng +(như h +ên). Đ +a f x x +b f x x +ệnh đề n +sau đây là đúng. +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị h +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị các h +   +Tính di +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị h +ồ thị h +Cho hàm +liên t +ện tích h +ình ph +ới hạn bởi các đ +, 0, 1 +y f x y x +   +(như h +ên). M +ệnh đề n +ới đây đúng? +S f x f x +S f x f x +S f x f x +S f x f x +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị h +ành, đư +ờng thẳng +x a x b +(như h +ên). H +ỏi cách tính +nào dư +ới đây đúng? +S f x dx +S f x dx f x dx +S f x dx f x dx +S f x dx f x dx +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi các đồ thị h +. Tính +Cho hàm s +liên t +ện tích h +ình ph +ới hạn bởi đồ thị +C y f x +ành, hai đư +ờng thẳng +(như h +ới đây). Giả sử +ện tích h +. đúng trong các p +hương án A, B, C, +D cho dư +ới đây? +S f x x f x x +S f x x f x x +S f x x f x x +S f x x f x x +ện tích h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị h +ành và +hai đư +ờng thẳng +ện tích h +ình ph +ới hạn bởi đồ thị +ện tích của h +ình ph +ợc giới hạn bởi đồ th +ành và hai đư +ờng thẳng +ần tô đậm trong h +ẽ) tính theo +công th +nào dư +S f x x f x x +S f x x +S f x x f x x +S f x x +Tính di +ện tích +hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +1, 1, 2 +y x x x +    +ện tích h +ẳng giới hạn bởi các đ +. Tính +ÍCH PH +ÍCH PH +ÍNH TH +P BÀI TOÁN CƠ B +ết công thức tính thể tích +ủa khối tr +xoay đư +ợc tạo +ra khi q +uay hình thang cong, gi +ới hạn +và hai đư +ờng thẳng +x a x b a b +, xung qua +V f x dx +V f x dx +V f x dx +V f x dx +Cho hàm s +liên t +là hình ph +ẳng gi +ới hạn bởi đồ thị +ành và hai đư +ờng thẳn +x a x b a b +ể tích của khối tr +òn xoay t +ành khi quay +quanh tr +ành đư +ợc tính theo công thức: +V f x dx +V f x dx +V f x dx +V f x dx +là hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +tích c +ủa khối tr +khi quay +Cho hình ph +quay quanh tr +i tròn xoay sinh ra b +là hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +, 0, 0 +y e y x +ể tích của khối tr +òn xoa +ành khi quay +là hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +, 0, 0 +y e y x +tròn xoay t +thành kho quay +là hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +, 0, 0 +y e y x +ể tích của khối tr +òn xoay +ành khi quay +quanh tr +Cho hình ph +ới hạn bởi các đ +ể tích của khối +tròn xoay +ợc tạo +thành khi quay +xung quanh tr +ới đây +V x dx +V x dx +V x dx +V x dx +Cho hình ph +ới hạn bởi đ +ờng cong +và các đ +ờng thẳn +tròn xo +ành khi quay +quanh tr +ành có th +ể tích +ằng bao nhi +Tính th +tích ch +t cái ch +u inox to mà khách hàng đ +t theo kích thư +c yêu c +n trong c +tròn xoay +o thành khi quay hình ph +và các đư +quanh tr +, đơn v +trên tr +decimet (làm tròn k +n hàng +trăm). +Cho hình ph +i các đư +tích v +tròn xoay +sinh ra b +i hình ph +ng đó kh +i quay quanh tr +giá tr +ng nào sau đây? +ình ph +ới hạn với đ +ờng cong +ành và các đư +ờng thẳng +òn xoay t +ành khi quay +quanh tr +ành có +ể tích +ằng bao nhi +Cho hình ph +ới hạn bởi đ +ờng cong +2 cos , +và các đư +ờng thẳng +òn xoay t +ành khi +quanh tr +ành có th +ể tích +ằng bao nhi +   +   +Cho hình ph +ới hạn bởi đ +ờng cong +2 sin +ành và các đư +ờng thẳng +òn xoa +ành khi +quay quanh tr +ành có th +ằng bao nhi +hình ph +ới hạn bởi các đ +ờng thẳng +2, 0, 1, 2 +y x y x x +     +ể tích của +òn xoay +ợc tạo th +ành khi quay +xung quanh tr +ới đây đúng? +Tính th +ể tích V +ủa phần vật thể +ới hạn bởi hai mặt phẳng +ết rằng khi cắt vật thể bởi +ặt phẳng vuông góc với trục +ại điểm có ho +ợc thiết diện l +ình ch +ữ nhật có +ài hai c +(32 2 15) +32 2 15 +tích kh +i tròn xoay gi +i các đư +y x x y +i quay quan +Cho hình ph +ới hạn bởi các đ +3,  0,  0,  2 +y x y x x +     +ể tích khối tr +xoay đư +ợc tạo th +ành khi quay +xung quanh tr +ệnh đề n +ào sau đây đúng? +ể tích khối tr +òn xoay +ợc sinh ra khi quay h +ình ph +ẳng giới hạn bởi đồ thị của h +ành, đư +ờng th +quanh tr +Cho mi +ền phẳng +ới hạn +, hai đư +ờng thẳng +ành. Tính th +ể tích +òn xoay t +ành khi quay +quanh tr +tích kh +i tròn xoay khi ch +o hình ph +i các đư +1, 0, 1, 0 +y x x x y +     +quanh tr +Cho hình ph +ới hạn bởi các đ +. Quay +quanh tr +thành kh +òn xoay có th +ể tích l +x x dx +x x dx +x x dx +x x dx +Cho hình ph +ẳng giới hạn bởi các đ +tanx, 0, 0, +y y x x +    +quay xung quanh tr +. Tính +ể tích vật +òn xoay +ợc sinh ra. +ể tích khối tr +ay khi q +uay hình ph +ịnh bởi các đ +quanh tr +Tính th +ể tích của vật thể tạo n +ên khi quay quanh tr +hình ph +ới hạn bởi đồ +P y x x +ể tích khối tr +oay thu đ +ợc khi qua +y hình ph +ẳng giới +ạn bởi hai đ +quanh tr +ể tích khối tr +òn xoay thu +ợc khi quay h +ình ph +ẳng giới hạn bởi hai đ +quanh tr +t nguyên hàm c +a hàm s +sin +tích c +òn xoay gi +sin +c hoành và hai đư +khi quay quanh tr +n xoay khi cho hình ph +ẳng giới +ạn bởi đồ thị h +, khi quay xung quanh tr +tích kh +i tròn xoay khi quay hình ph +các đư +ÍCH PH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN +ho hàm s +x khix +x m khix +d , , , +f x x a b c +Khi đó +ố thực +và hàm s +x khi x +a x x khi x +nh tích phân +f x dx +o hàm s +1 khi 0 +. Tích phân +I f x x +giá tr +ng bao nh +Cho hàm +3 khi 0 1 +4 khi1 2 +. Tính t +ích phân +Cho hàm s +3   khi 0 1 +4  khi 1 2 +. Tính +tích phân +Cho hàm s +4 khi 0 1 +3 khi1 2 +. Tính tích ph +I f x x +Cho hàm s +4 4 9 khi 0 +4 tan khi 0 +I f x x +. Tính +o hàm trên +2 khi 0 +1 khi 0 +. Tính +Cho hàm s +1  khi +2  khi +. Tính tích phân +sin sin2 d +f x x x +2 khi  3 1 +khi  1 +    +Cho hàm s +2 khi 0 +sin khi 0 +Tính tích phân +Cho hàm s +4 2 1 khi 0 +4 1 khi 0 +là nguyên hàm c +. Giá tr +2 1 3 2 +Cho hàm s +3 2 khi 1 +5 2 khi 1 +x x m x +( m là tham s +c). Bi +có nguyên +hàm trên +, khi đó +36 3 . +30 3 . +Cho hàm s +tham s +t hàm s +liên t +c trên +tích phân +f x x ae +2,718281... +a b c m +có giá b +Cho hàm s +2 khi 1 +3 khi 1 +T a b ab +Cho hàm s +liên t +c trên +f x x a +trong đó +là các s +. Tính +Cho hàm s +sin 2 khi 0 +2cos khi 0 +là nguyên hàm c +. Giá tr +      +      +      +1 3 13 +2 2 12 +13 6 6 3 +2 2 12 +Cho hàm s +3 khi 0 +sin2 cos khi 0 +x x b x +liên t +c và có nguyên hàm +liên t +c trên +là tham s +c. Giá +Khi đó +Cho hàm s +2 3 khi 0 +2 3 khi 0 +là nguyên hàm c +Giá tr +2 1 3 2 +ÍCH PH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN CƠ B +______ +Tích phân +Tích phân +|sin | +Tích phân +Tích phân +Giá tr +ị trung b +trên đo +ợc tính theo công thức +m f x dx +. Khi đó, +ị trung b +f x x x +trên đo +Giá tr +(| 2| | 3|) +x x dx +Tính tích +Cho hà +thõa mãn +Khi đó +Cho tích +x x dx me ne +khi đó +ằng bao nhi +bao nhiêu s +ố thực +4 3 2 1 d 0 +ax a x x x +    +I x m x +. Có ba +o nhiêu giá tr +ị nguy +Cho hàm s +liên t +f x dx +( ) 4. +f x dx +(4 1) . +f x dx +Cho hàm s +ồ thị nh +ên. Tính tíc +I x f x dx +Cho hàm s +liên t +d 2; d 8. +f x x f x x +Giá tr +ị của tích +2 1 d ? +2 4 d . +I x x x +Tính tích phâ +3 2 d , +I x x x +    +ối giản. Tính +sin , +x dx a b a b +. Khi đó +ln , , , +I dx b a b c +    +Tính tích các giá +ị của số thực +ể tích p +I x m x +Có bao nhiêu +giá tr +ị thực của tham số +3 2 d 10 +x x x m +Cho hàm +y g x x +. Giá tr +min ; d +I f x g x x +ÍCH PH +P BÀI TOÁN +NG CAO +ột nguy +ên hàm c +cos +. Tính +0 ... 10 +F F F F +     +ột ngu +yên hàm +. Tính giá tr +ị biểu thức +0 1 2 ... 2019 +T F F F F +     +2019.2020 +ột nguy +ên hàm c +trên kh +. Giá tr +ị của biểu thức +1 2 3 2019 +S F F F F +    +2019.2021 +Cho hàm s +f x x f x +ới mọi +. Giá tr +Cho hàm s +f x x f x x +. Giá tr +Cho hàm s +liên t +ều kiện: +1 2ln2 +x x f x f x x x +    +2 .ln3 +). Giá tr +Cho hàm s +và có đ +liên t +ên kho +2 1 , 0 +f x x f x x +    +. Giá tr +ủa biểu thứ +1 2 ... 2020 +Cho hàm s +liên t +1 2ln2 1 +x x f x x f x x x +     +là hai s +ữu tỉ. Tín +Cho hs +giá tr +Cho hàm s +liên t +ới mọi +1 2 ... 2019 1 +     +, , , 1 +a b a b +ẳng định +nào sau đây +2 2022 +liên t +xf x f x x x +. Tính +Cho hàm s +ới mọi +f x x f x +ới mọi +ệnh đề n +ới đây đúng? +Cho hàm s +àm liên t +0, 2;4 +4 , 2;4 , 2 +x f x f x x x f +     +40 5 1 +20 5 1 +20 5 1 +40 5 1 +là hàm s +liên t +c trên +f x f x x x +    +Cho hàm s +xf x x f x f x +    +    +ới mọi +dương. Bi +. Giá tr +2 2ln2 2 +2 2ln2 2 +2 ln2 1 +2 ln2 1 +Cho hàm s +( '( )) ( ). ''( ) 2 , +f x f x f x x x x R +     +(0) '(0) 1 +. Tính giá tr +Cho hàm s +liên t +à có đ +àm trê +tan . +cos +f x x f x +ết rằng +3 3 ln3 +f f a b +    +    +    +trong đó +. Giá tr +ị của biểu thức +Cho hàm s +ồng biến tr +liên t +ục, nhận giá trị d +ương trê +f x x f x +. Tính +Cho hàm s +x f x f x x +ới mọi +. Giá tr +Cho hàm s +àm liên t +f x x f x +h giá tr +1 2 ... 2019 +P f f f +    +àm liên t +. 3 4 2 +f x f x x x +. Giá tr +ị lớn nhất của h +trên đo +Cho hàm +( ) ( ) 2 3 +f x xf x x x +ới mọi +. Giá tr +Cho hàm s +liên t +n các đi +ều kiện: +0 2 2, +. 2 1 1 , +f x f x x f x +. Khi đó giá tr +Cho hàm s +f x f x f x x x +    +. Giá tr +Cho hà +àm trên +x f x x f x +    +. Tính +Cho hàm s +liên t +\ 0; 1 +ều kiện +1 2ln2 +x x f x f x x x +    +. Giá tr +ả sử h +liên t +ục, nhận giá trị d +ương trên +f x f x x +ới mọi +ệnh đề n +sau đây +Cho hàm s +ều kiện +f x x f x +ết rằng tổng +1 2 3 ... 2017 2018 +f f f f f +      +là phân s +ối giản. Mệ +sau đây +Cho hàm s +f x f x +. Tính +1 2 80 +Cho hàm s +ồng biến có đạo h +ến cấp hai tr +f x f x f x f x +    +    +. Khi đó +Cho hàm s +liên t +f x x f x +. Tính +Cho hàm s +f x f x x x +. Tính +Cho hàm s +f x f x x +    +ất cả c +uyên hàm c +Cho hàm s +àm trên +xf x f x x +   +. Giá tr +ị của biểu thức +o hàm s +àm liên t +ều kiện +27 1 0, +x f x f x x +     +    +    +. Giá tr +Cho hàm s +. 15 12 +f x f x f x x x +. Giá tr +Cho hàm s +àm liên +xf x f x x x f x +   +. Giá tr +ộc khoảng n +ới đây? +Cho hàm s +àm trên +3 .e 0 +, tính +tích phân +x f x x +Cho hàm s +liên t +à không âm trên +f x f x x f x +à giá tr +ị lớn nhất v +ị nhỏ nhất của h +trên đo +ằng giá trị của biểu thức +11 3 , , , +a b c a b c +. Tính +liên t +c trên +1 2ln2 1 +x x f x x f x x x +     +Cho hàm s +liên t +à có đ +àm trên +2; 2 \ 0 +'( ) 2 0 +f x x e +    +. Giá tr +là hàm có đ +hàm liên t +( )sin ( ) , 0; +f x x x f x cosx x +    +( ) 1, ( ) ( ln2 3) +2 6 12 +f f a b c +    +là các s +yên. Giá tr +Cho hàm s +hàm liên t +ên kho +ln , 0 +xf x f x x x x +    +2ln2 1 +4ln2 1 +liên t +à luôn nh +ận giá trị d +ương trên +2sin2 . 0, +x f x e f x f x x +     +. Khi đó +ộc khoảng +1 cos sin cot +sin +F x dx +ổng tất cả các nghiệm +ương tr +trên kho +ộc khoảng +Cho hàm s +ột nguy +ên hàm c +2cos 1 +sin +trên kho +ết rằng giá +ị lớn nhất của +trên kho +ệnh đề +đúng trong các +ệnh đề sau. +là nguyên hàm c +cos sin +ỏi đồ thị của h +có bao +nhiêu đi +ực trị tr +là nguyên hàm c +cos +ỏi đồ thị của h +có bao nhiêu +ểm cực trị? +ố điểm +ồ thị của h +ẽ (phần cong của đồ thị l +ột phần của +parabol +y ax bx c +, giá tr +2 5 3 2 +Cho hàm s +àm liên t +f x x x +. Phương tr +ình ti +ếp tuyến của đồ thị h +ại điểm có ho +liên t +ục, không âm tr +. cos 1 , 0; +f x f x x f x x +    +. Tìm giá tr +ị nhỏ nh +và giá tr +ị lớn nhất +a hàm s +trên đo +3, 2 2 +Cho hàm +m liên t +'( ) ( ) .cos2021 +f x f x e x +ắt trục ho +o nhiêu đi +ểm có ho +ộ thuộc đoạn +Cho hàm s +f x x f x +. Giá tr +và tho +f x f x x e x +     +f ae c +2 3 4 . +Cho hàm s +liên t +ục, nhận g +ương trên +ới mọi +. Giá t +Cho hàm s +( ) 0, 0 +và có đ +ên kho +( ) (2 1) ( ) +f x x f x +. Giá tr +ị của biểu thức +(1) (2) (3) (2022) +f f f f +   +Cho hàm s +liên t +f x f x x x +ả sử h +liên t +ục, nhận +ương trên +f x f x x +ới mọi +ệnh đề n +ào sau đây đú +11 5 12 +10 5 11 +Cho hàm s +2 . 2 2 +x x f x f x x x +    +1 6ln3 +3 ln5 , +f a b a b +. Giá tr +Cho hàm s +àm trên +' 1 2 1, +f x x x f x x +     +ết rằng +, khi đó +có giá tr +ị bằng +Cho hàm s +( ), ( ) +àm xác đ +h và liên t +ều kiện +( ) ln ( ), (0; ) +f x x f x x +      +( ) 0, (0; ) +    +ương tr +ình ti +ến với đ +ại điểm +có hoành đ +Cho hàm s +liên t +( ) (2 3) ( ), +f x x f x x +     +có bao nhiêu nghi +Cho hàm s +và có đ +ên kho +f x xf x x +    +. Tính +1 2 ... 1011 +1 2022 +2 2023 +1 2021 +2 2022 +Cho hàm s +liên t +2 . 3 , 0; +x f x f x x x x +     +Cho hàm s +liên t +x f x f x x x +. Giá tr +Cho hà +m liên t +. Giá tr +4 4ln2 ln5 +2 4ln2 ln5 +4ln2 ln5 +4ln2 ln5 +Cho hàm s +liên t +0, 1;3 +ết rằng +. 1 3 . . +e f x e f x f x +, khi đó giá tr +ộc khoảng n +cos 6sin 1 , +f x x x x +    +, khi đó +cos cos 1 1 +2 3 2 2 +      +    +      +      +f x f x e x +    +ọ nguy +xe x C +xe x C +Cho hàm s +     +. Giá t +Cho hàm s +F x x e +ột nguy +ên hàm c +f x f x +ọ tất cả các +nguyên hàm c +f x e x xe e C +f x e x x x C +f x e x xe e C +f x e x x C +Cho hàm s +1 1 3 4 +x f x x x +    +ột nguy +hãy tính +F x x e +ột nguy +ên hàm c +. Tìm nguyên hàm c +f x e x x e C +f x e x x e C +f e x e C +f x e x x e C +ột nguy +ên hàm c +sao cho +. Giá tr +ln2 ln5 +ln2 ln5 +ột nguy +ên hàm c +. Cho bi +là các s +yên dương phân bi +ãy tính giá tr +Cho hai +xác đinh và có đ +.G ln 1 +F x x x x +F x g x +. Tìm h +guyên hàm c +f x G x +1 ln 1 2 +x x x C +    +1 ln 1 2 +x x x C +    +1 ln 1 +x x x C +    +1 ln 1 +x x x C +    +t nguyên h +m nguyên h +f x x x C +    +f x x x C +f x x x C +    +f x x x C +Cho hàm s +ả các nguy +ên hàm c +g x x f x +Cho hàm s +liên t +c trên +ột nguy +ên hàm c +ọ tất cả các +nguyên hàm c +sin2 cos2 +2sin2 cos2 +2sin2 cos2 +2sin2 cos2 +ÍCH PH +ÍCH PH +P BÀI TOÁN +NG CAO +Cho hàm s +liên t +. Tích phân +1 3 9 d +Cho hàm s +liên t +d 7, d 1 +f x x f x x +. Tính +P f x x +I f x x +. Khi đó +J x f x x +Cho hàm s +sin cos 2. +f x xdx +Tích phân +I f x dx +Cho bi +nh giá tr +5 3 7 d +P f x x +. Tính tích phân +I f x f x x +ố chẵn, +liên t +ết rằng +. Giá tr +I f x x +liên t +d 2018 +, tính +I xf x x +. Khi đó +f x x x +. Khi đó +I f x x +hai hàm s +ều kiện +3 dx=10 +f x g x +ồng thời +2 dx=6 +f x g x +. Tính +liên t +3 1 d 6 +I f x x +liên t +f x f x +. Tính +I xf x x +sin3 cos3 d +I f x x x +Cho tích phân +I f x x +Tính tích phân +J f x x +là hàm liên t +Khi đó giá tr +Cho hàm s +(2 ) 2 +f x dx +.Tích phân +f x dx +Cho hàm +. Tính tích phân +2017 d +I f x x +Cho tích phân +f x x a +. Hãy tính tích ph +I xf x x +Cho hàm s +liên t +tan . cos d 2 +x f x x +. Tính +Cho hàm s +. Tính +2 sin cos 3 +I f x x x f x x +I f x x +. Giá tr +sin 3cos 1 +3cos 1 +f x dx +f x dx +. Tính +f x dx f e e dx +là hàm s +( ) (2 ) . , +f x f x xe x +     +. Tính tích phân +I f x dx +Cho hàm s +liên t +f x f x +ết rằng +. Tính +tích phân +I f x x +Cho hàm s +liên t +tan . cos 2 +x f x dx +. Tính +Cho hàm s +liên t +tan . (cos ) 6 +x f x dx dx +tích phân +Cho hàm s +liên t +c trên +. Khi đó tích phân +ln 1 d +Cho hàm s +liên t +tan d 3 +I f x x +ho hàm s +cot . sin d d 1 +x f x x x +. Tính tíc +h phân +Cho hàm s +liên t +. Tính tích phân +I f x x +3 2ln 2 +o hàm s +liên t +(2 1) ln +. Tính tích phân +I f x dx +3 2ln 2 +Cho hàm s +liên t +à hàm s +trên đo +ết rằng +1, 2 2 +f x dx f x dx +   +ệnh đề n +ào sau đây đúng? +f x dx f x dx +f x dx +f x dx +f x dx +là hàm s +. Tính +sin2 . sin d +I x f x x +Cho hàm s +và xác đ +h trên +d 2 d 4 +x f x x f x x +Giá tr +liên t +c trên +4 ( ) 6 (2 ) 4 +xf x f x x +ích ph +liên t +2 16, 2 d 2 +f f x x +. Tích phân +xf x x +Cho hàm s +liên t +sin d 5 +. Tính +sin d +I xf x x +Cho hàm s +liên t +tan . cos d 2 +x f x x +. Tính +Cho hàm s +liên t +f x x f x x +. Giá tr +ị tích phân +Cho hàm s +ận giá t +o hàm liên t +sao cho +( ) (1 ) , [0;1]. +f x f x e x +     +2 3 ( ) +x x f x +liên t +2cos (1 4sin ) sin2 (3 2cos2 ) sin4 4sin2 4cos , 0; +x f x x f x x x x x +          +Khi đó +I f x dx +Cho hàm s +( ) 2 ( ) ( ) +f x x t f t dt +[ 1;1] +tích phân +I f x dx +Cho hàm s +liên t +( )[2 ( ) 1] 2 ( )[ ( ) 1] 2, 1. +xf x f x f x f x x x +       +6ln2 4 ln +f dx a b +nguyên dư +). Giá tr +là hàm s +liên t +f x f x xe x +     +. Tính tích phân +I f x dx +5 1, 3 +f x x dx dx +    +. Giá tr +f x dx +Cho hàm +liên t +2 16, d 4 +f f x x +. Tính tích phân +I x f x x +Cho hàm s +liên t +xf x x +, khi đó +x f x x +Cho hàm s +àm trên +2 5 2 1 +f x xf x x x +    +ới mọi +. Tính +I xf x dx +Cho hàm s +liên t +ỏa điều kiện +f x f x x +. Tính +Cho hàm s +ấp hai li +ết rằng các tiếp tuyến với đồ thị +ại các điểm có ho +1, 0, 1 +   +ợt tạo +ủa trục +các góc +30 ,45 , 60 +. Giá tr +ị tích phâ +2 d 4 d +I f x f x x f x f x x +    +Cho hàm s +liên t +. Giá tr +ị tích phân +Cho hàm s +1 d 10 +x f x x +2 1 0 2 +. Tính +m liên t +c trên +xf x x +, khi đ +x f x x +Cho hàm s +hàm liên +xf x dx +khi đó +x f x dx +Cho hàm s +àm liên t +xf x x +, khi đó +x f x x +Cho hàm s +àm liên t +(5 ) 1 +xf x dx +x f x dx +àm liên t +x f x x +. Giá tr +Cho hàm s +ới mọi +. Khi đó +xf x x +Cho hàm +m liên t +(2) 16, ( ) 4 +f f x dx +I xf x dx +Cho hà +àm liên t +x f x dx +f x dx +. Giá tr +f x dx +Cho hàm s +àm liên t +d 1, 1 cot1 +f x x f +. Tính tích phân +tan tan d +I f x x f x x x +1 ln cos1 +1 cot1 +Cho hàm s +àm và liên t +cos +sin .tan . d 2 +x x f x x +. Tích +sin . d +x f x x +cos d +x f x x +. Tính +Cho hàm s +àm liên t +x f x x +. Tích phân +Cho hàm s +liên t +f x f x x +ới mọi +. Tích phân +f x dx +phân s +ố tối giản. Tính +Cho hàm s +àm liên t +x f x x +. Tích phân +Cho hàm s +àm liên t +sin2 d +f x x x +. Tính tích phân +I f x x +Cho hàm s +liên t +ục, có đạo h +àm trên +f x dx +. Tích ph +Cho hàm s +àm liên t +f x dx +. Tích phân +f x dx +Cho hàm s +ố y = f(x) +àm liên t +ãn f(0) = 0 và +'( ).cos dx +. Tính +o hàm s +ồng biến, có đạo h +ến cấp hai tr +f x f x f x f x +    +    +. Khi đó +ết rằng h +f x ax bx cx d +    +a b c d +d 2; d 18; d 80 +f x x f x x f x x +   +nh giá tr +ị của biểu thức +2 3 4 5 +P a b c d +    +ln 9 d ln5 ln3 +I x x x a b c +     +trong đó +là các s +ố thực. Tính giá trị c +ủa biểu thức +T a b c +Xét hàm s +( ) ( ) +f x e xf x dx +. Giá tr +(ln(5620)) +ln sin 2cos +d ln3 ln2 +cos +x a b c +là các s +ố hữu tỉ. Giá trị của +x e dx e +trong đó +a b c d +ố nguy +ên dương và các phân s +ản. Tính +, ; , ; +a c b d +là các phân s +ố tối giản) +. Tính +P a b c d +Cho hàm s +f x x a d +a b c d +là các s +ố nguy +ên dương, +ối giản. Khi đó +a b c d +Cho hàm s +uyên hàm trên +5 khi 1 +4 khi 1 +x x C x +x x C x +Cho hàm s +3 2 1khi 0 +1 2 khi 0 +là 1 nguyên hàm c +2020 1 2021 2 2022 +    +m trong kho +ng nào? +Cho hàm s +3 2 khi 1 +3 2 4 khi 1 +là nguyên hàm c +. Giá tr +. Tính +ích ph +J f x x +và hàm +2 khi 0 +a x x x +. Tính tích phân +1          khi  0 +2 2 khi  0 +t giá tr +I x ce +, , , 0 +a b c b +ng. Giá tr +liên t +rên đo +d ,  cos d +f x x f x x x +. Tính +àm liên t +x f x x +. Tích phân +o hàm s +liên t +c trên +x f x x +. Tích phân +Cho hàm s +àm liên t +c trên đo +x f x x +. Tích phân +Cho hàm s +àm liên t +x f x x +. Tích phân +Cho hàm s +liên t +. d 10 +x f x x +. Tích phân +Cho hàm s +m liên t +d 1 e d +f x x x f x x +tích phân +I f x x +Cho hàm s +àm liên t +sin 2 d +f x x x +. Tính tích phân +I f x x +Cho hàm s +àm liên t +d ,  cos d +f x x f x x x +. Tính +Cho hàm s +àm liên t +d 1 e d +f x x x f x x +. Tính +Cho hàm s +m liên t +x f x x +. Tính tích phân +I f x x +Cho hàm +1 5 3 3 +f x x f x x x x +     +ới mọi +. Tích phâ + + + + +ĐỀ SỐ 001 – ÔN THI GI ỮA HKI I +I. PHẦN TR ẮC NGHI ỆM. +Câu 1: Phân thức +B xác định khi: +0B . B. +0B . C. +0B . D. +Câu 2: Kết quả rút gọn của phân thức +18 3x y x y +x y x y+ ++ là: +xy+ . B. +xy+ . C. +xy+ . D. +Câu 3: Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức +xy xy −− ? +()2xy− . B. +xy− . C. +()23xy− . D. +()33xy− +Câu 4: Với +0B , kết quả của phép cộng +BB+ là: +B . B. +B+ . C. +B+ . D. +Câu 5: Cho tam giác +ABC đồng dạng với tam giác +' ' 'A B C . Phát biểu nào dưới đây là sai: +' AC= . B. +' ' ' 'A B A C +AB AC= . C. +' ' ' 'A B B C +AB BC= . D. +' BB= . +Câu 6: Hãy chọn câu đúng: Nếu tam giác +ABC đồng dạng với tam giác +MNP theo tỉ số +k thì tam giác +đồng dạng với tam giác +ABC theo tỉ số nào dưới đây? +k . B. +k . C. +2k . D. +Câu 7: Để hai tam giác +ABC và +EDF đồng dạng thì số đo góc +D trong hình vẽ dưới đây bằng bao nhiêu? +o50 . B. +o60 . C. +o30 . D. +Câu 8: Nếu hai tam giác +ABC và +DEF có +, A D C F== thì: +ABC DEF∽ . B. +CAB DEF∽ . C. +ABC DFE∽ . D. +CBA DFE∽ . +II. PHẦN TỰ LUẬN. +Bài 1 (2,0 đi ểm). Cho bi ểu thức: +()()2 5 1 +3 3 2 2xP +x x x x+= − + ++ + − − +a) Tìm đi ều kiện xác đ ịnh và rút g ọn biểu thức +b) Tính giá tr ị biểu thức +Câu 2 : (1,0 đi ểm). +a) Tìm +x , biết: +2 1 3 1 +34xx−+= . +b) Tìm đa th ức +M với điều kiện các phân th ức đều xác đ ịnh, bi ết: +x x M++= +Bài 3 (2,0 đi ểm). +Trường THCS Phú Di ễn A đ ặt may 600 b ộ đồng ph ục học sinh t ại nhà may Phương Th ảo. Nhà may +dự định may +x bộ đồng ph ục trong m ột ngày. Nhưng th ực tế, do c ải tiến kĩ thu ật nên m ỗi ngày phân +xưởng may đư ợc nhi ều hơn d ự định +10 bộ. Do đó không nh ững đã hoàn thành trư ớc công vi ệc mà +còn may thêm đư ợc +30 bộ đồng ph ục nữa. +a) Vi ết phân th ức biểu thị theo +x thời gian d ự định hoàn thành công vi ệc. +b) Vi ết phân th ức biểu thị theo +x thời gian th ực tế hoàn thành công vi ệc. +c) Bi ết số đồng ph ục may trong m ột ngày là +40 bộ. Hỏi nhà may đã hoàn thành s ớm hơn d ự định bao +nhiêu ngày? +Câu 4 (3,0 đi ểm). Cho hình bình hành +ABCD có góc +A nhọn. Lấy điểm +M nằm giữa +,BC . Tia +AM cắt +đoạn thẳng +BD và đư ờng th ẳng +CD lần lượt tại +a) Ch ứng minh r ằng: +BEM DEA∽ và +BEA DEG∽ . +b) Ch ứng minh r ằng: +2. AE EM EG= . +c) Gọi +,IK lần lượt là hình chi ếu của +AB và +AD . Chứng minh r ằng +2..AB AI AD AK AC+= +ĐỀ SỐ 002 – ÔN THI GI ỮA HKI I +I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Ghi lại chữ cái đứng trước đáp án đúng vào bài làm: +Câu 1. Điều kiện xác định của phân thức 𝑥−2 +𝑥+3 là: +A. 𝑥≠3 B. 𝑥≠−3. C. 𝑥≠2 và 𝑥≠−3 . D. 𝑥≠−2 và 𝑥≠−3 +Câu 2. Kết quả rút gọn phân thức 𝑥2−2𝑥 +𝑥2−4 là +2. B. −2𝑥 +−4 C. 𝑥 +𝑥+2 D. ��� +Câu 3. Mẫu thức chung c ủa hai phân th ức 5𝑥 +2𝑥+6 ; 𝑥−2 +𝑥2−9 là +A. 𝑥2 – 9 B. 2𝑥 – 6 C. (𝑥 –3)(𝑥+3) D. 2(𝑥–3)(𝑥+3) +Câu 4. Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?": 𝑥−3 +A. 𝑥−3 B. 3−𝑥 C. 𝑥+3. D. −𝑥−3 +Câu 5. Kết quả của phép tính 1 +𝑥𝑦2 bằng +A. 2𝑥+𝑦 +𝑥2𝑦2 B. 3 +𝑥𝑦2 C. 3 +𝑥2𝑦2 D.𝑥+2𝑦 +Câu 6. Kết quả của phép tính : (5𝑥 +9𝑥2𝑦).(−18𝑥𝑦 +20𝑦2) là: +2𝑦2 B. −1 +2𝑦2 C. −1 +2𝑥 D. −1 +Câu 7. Kết quả của phép tính 𝑥 +𝑥+1.𝑥+2 +𝑥+1.𝑥+2 +𝑥+3 bằng +A. 𝑥+2 +𝑥+3 B. 𝑥+2 +𝑥+1 C. 3𝑥(𝑥+2) +(𝑥+3)(𝑥+1) D. 2𝑥2+7 +Câu 8. Một tam giác có độ dài các cạnh là 𝑥+2; 𝑥+4; 𝑥+6. Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là +A. 3𝑥+10 B. 𝑥+12 C. 3𝑥+12 D. 𝑥+10 +Câu 9 . Cho 𝛥𝐴𝐵𝐶 đồng dạng với 𝛥𝐸𝐷𝐹 biết 𝐸̂=500. Khi đó số đo góc 𝐴 là: +A. 500 B. 1300 C. 400 D. 900 +Câu 10: Nếu 𝛥𝐴𝐵𝐶 đồng dạng với 𝛥𝑀𝑁𝑃 theo tỉ số là 1 +4 thì 𝛥𝑀𝑁𝑃 đồng dạng với 𝛥𝐴𝐵𝐶 theo tỉ số bao nhiêu? +2 B. 2 C. 1 +4 D. 4 +Câu 11 . Cho ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵 có 𝐴𝐵 = 15 𝑐𝑚; 𝐴𝐶 = 25 𝑐𝑚. Số đo cạnh 𝐵𝐶 là: +A. 15 𝑐𝑚 B. 20 𝑐𝑚 C. 25 𝑐𝑚 D. 30 𝑐𝑚 +Câu 12. Cho hình vẽ bên, biết 𝐷𝐸 // 𝐵𝐶,𝐴𝐷=4 𝑐𝑚, +𝐷𝐵 =2 𝑐𝑚,𝐷𝐸=6𝑐𝑚. Độ dài 𝑥 bằng +A. 12 𝑐𝑚 B. 9 𝑐𝑚 +C. 3 𝑐𝑚 D. 18 𝑐𝑚 +II. PH ẦN TỰ LUẬN (7,0 đi ểm) +Bài 1. (2 điểm) . +Cho hai biểu thức: 𝐴=𝑥 +𝑥−3 và 𝐵=𝑥 +𝑥+3+3𝑥 +𝑥2−9 (𝑥≠±3) +2 cm4cm +a) Tính giá trị của biểu thức 𝐴 tại 𝑥=2. +b) Chứng minh rằng 𝐵=𝑥2 +(𝑥−3)(𝑥+3) +c) Tìm số nguyên 𝑥 lớn nhất để giá trị của biểu thức 𝑃=𝐵:𝐴 là số nguyên. +Bài 2. (1 điểm) . Một ô tô dự định đi từ 𝐴 đến 𝐵 cách nhau 110 𝑘𝑚 với vận tốc 𝑥 (𝑘𝑚/ℎ). +a) Viết phân thức biểu thị theo 𝑥 thời gian ô tô dự định đi từ 𝐴 đến 𝐵. +b) Thực tế khi đi từ 𝐴 đến 𝐵, mỗi giờ ô tô đã đi nhanh hơn dự định 5 𝑘𝑚. Viết biểu thức biểu thị theo 𝑥 vận tốc +thực tế của ô tô. +c) Nếu vận tốc dự định của ô tô là 50 𝑘𝑚/ℎ thì thời gian thực tế ô tô đi từ 𝐴 đến 𝐵 là bao nhiêu? +Bài 3 (1 điểm). Một người cắm một cái cọc vuông góc +với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng +của ngọn cây (như hình vẽ) . Biết cọc cao 2 𝑚 so với +mặt đất, chân cọc cách gốc cây 7,5 𝑚 và cách bóng +của đỉnh cọc 2,5 𝑚. Tính chiều cao 𝐴𝑁 của cây ? +Bài 4. (2,5 điểm) . Cho ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 (𝐴𝐵< +𝐴𝐶), đường cao 𝐴𝐻. +a) Chứng minh 𝛥𝐴𝐵𝐶 đồng dạng với 𝛥𝐻𝐵𝐴 +b) Chứng minh 𝐴𝐻2=𝐵𝐻.𝐶𝐻. +c) Tia phân giác của góc 𝐵 cắt 𝐴𝐻 và 𝐴𝐶 lần lượt tại 𝐸 và 𝐷. Từ 𝐴 kẻ đường thẳng 𝑎 vuông góc với 𝐵𝐷 tại 𝐹, +đường thẳng 𝑎 cắt 𝐵𝐶 tại 𝑃. Chứng minh 𝐻𝑃.𝐵𝐶=𝑃𝐶.𝐴𝐵. +Bài 5 (0,5 điểm) . Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝐴=5𝑥2−24𝑥+29 +𝑥2−4𝑥+4 khi 𝑥≠2 + + + + +ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 0 +Bài I. (1,5 điểm) +1) Điểm kh ảo sát môn Toán c ủa toàn b ộ học sinh kh ối 9 đư ợc thống kê trong b ảng tần số tương đ ối ghép +nhóm sau: +Nhóm [0;2) [2;4) [4;6) [6;8) [8;10) +Tần số +tương đ ối (%) 2 10 24 ? 28 +a) Tìm t ần số tương đ ối của nhóm [6;8). +b) Biết số học sinh trong nhóm [2;4) là 5 em. Tính s ố học sinh l ớp 9 đ ạt điểm giỏi (Điểm từ 8 trở lên +được tính đ ạt điểm giỏi). +2) Một chiếc túi đ ựng 120 viên bi có cùng kích thư ớc và kh ối lượng, trong đó có 55 viên màu tr ắng, 36 +viên màu đen, còn l ại là màu vàng. L ấy ngẫu nhiên m ột viên bi trong túi. Tính xác su ất của biến cố +“Viên bi đư ợc chọn không ph ải là viên bi màu đen”. +Bài II. (1,5 điểm) Cho hai bi ểu thức +9 33xB +x xx= + − +− −+ với +0, 9xx . +1) Tính giá tr ị của A khi x = 16. +2) Ch ứng minh +3) Tìm các s ố hữu tỉ x để biểu thức P = A. B có giá trị là số nguyên +Bài III. (2 điểm) +1) Nước mu ối sinh lý NaCl 0,9% thư ờng đư ợc dùng đ ể làm s ạch mũi, h ọng và m ắt mà không gây kích ứng +khi ti ếp xúc v ới niêm m ạc, vì v ậy nước mu ối sinh lý thư ờng đư ợc dùng trong m ỗi gia đình. Để pha đư ợc 200g +dung d ịch NaCl 0,9% t ừ hai lo ại dung d ịch NaCl 0,5% và dung d ịch NaCl 1% c ần dùng bao nhiêu gam NaCl +trong m ỗi loại dung d ịch? +2) Một khu vư ờn hình ch ữ nhật có chu vi b ằng +48m . Nếu tăng chi ều rộng lên b ốn lần và chi ều dài lên ba l ần +thì chu vi c ủa khu vư ờn sẽ là +162 m . Tìm di ện tích c ủa khu vư ờn ban đ ầu? +3) Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol +2( ) :P y ax= đi qua đi ểm +(1;2)M . Tìm trên đ ồ thị +()P hai đi ểm +()()1 1 2 2; , ;A x y B x y +12xx sao cho +12 1 xx+= và +12 10 yy+= +Bài IV. (4,0 điểm) +1) Một bể nước trang trí ngoài tr ời có d ạng hình nón v ới bán kính đáy 50 cm và chi ều cao +1,2  m . +a) Tính th ể tích b ể, coi đ ộ dày thành b ể là không đáng k ể. +b) Ngư ời ta đ ổ 150 lít nư ớc vào b ể và đặt vào đó 6 v ật trang trí gi ống nhau có d ạng hình c ầu với bán kính 20 +cm sao cho chúng chìm m ột nửa vào trong nư ớc. Hỏi cần đổ thêm bao nhiêu lít nư ớc vào b ể để mực nước +ngang mi ệng bể? Biết các v ật trang trí đư ợc làm b ằng ch ất liệu không th ấm nư ớc. Lấy +3,14 . +2) Cho tam giác +ABC nhọn +() AB AC nội tiếp +()O . Kẻ đường cao +( ).AH H BC Gọi +,EF là hình chi ếu +vuông góc c ủa +H trên +a) Chứng minh t ứ giác +AEHF nội tiếp. +b) Chứng minh tam giác +AEF đồng dạng với tam giác +c) Đường th ẳng +EF cắt +()O tại +,MN . Chứng minh A là điểm chính gi ữa cung +MN từ đó ch ứng +A là tâm đư ờng tròn ngo ại tiếp tam giác +Bài V. (0,5 điểm) Một khúc g ỗ có dạng hình kh ối nón có bán kính đáy +1  mr= , +chiều cao +3  mh= . Bác th ợ mộc chế tác từ khúc g ỗ đó thành m ột khúc g ỗ có dạng +hình kh ối trụ như hình v ẽ. Bác th ợ mộc sẽ chế tác đư ợc khúc g ỗ có th ể tích l ớn +nhất bằng bao nhiêu? +ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 0 – ĐÁP ÁN +Bài I. (1,5 điểm) +1) Điểm kh ảo sát môn Toán c ủa toàn b ộ học sinh kh ối 9 đư ợc thống kê trong b ảng tần số tương đ ối ghép +nhóm sau: +Nhóm [0;2) [2;4) [4;6) [6;8) [8;10) +Tần số +tương đ ối (%) 2 10 24 ? 28 +a) Tìm t ần số tương đ ối của nhóm [6;8). +b) Biết số học sinh trong nhóm [2;4) là 5 em. Tính s ố học sinh l ớp 9 đ ạt điểm giỏi (Điểm từ 8 trở lên +được tính đ ạt điểm giỏi). +2) Một chiếc túi đ ựng 120 viên bi có cùng kích thư ớc và kh ối lượng, trong đó có 55 viên màu tr ắng, 36 +viên màu đen, còn l ại là màu vàng. L ấy ngẫu nhiên m ột viên bi trong túi. Tính xác su ất của biến cố +“Viên bi đư ợc chọn không ph ải là viên bi màu đen”. +Lời giải +1a) Tìm t ần số tương đ ối của nhóm [ 6;8). +100% -(2%+10%+24%+28%)=36% ho ặc 0,36 +Lưu ý: HS tr ả lời 36 không có đi ểm. +1b) Tính s ố học sinh khối 9 đạt điểm giỏi? +Số học sinh kh ối 9 của trường là: +5:10% 50= hs +Số học sinh đ ạt điểm giỏi là: +50.28% 14= hs +HS làm cách khác đư ợc đủ điểm +2) Tính xác su ất của biến cố “Viên b ị được chọn không ph ải là viên bi màu đen”. +Không gian m ẫu gồm 120 ph ần tử. +Ta th ấy các k ết quả có th ể xảy ra c ủa phép th ử là đồng kh ả năng . +Số viên bi màu vàng là: +120 55 36 29− − = viên +Số viên bi không ph ải màu đen là: +29 55 84+= viên +Xác su ất cần tìm: +120 10P== +Bài II. (1,5 điểm) Cho hai bi ểu thức +9 33xB +x xx= + − +− −+ với +0, 9xx . +1) Tính giá tr ị của A khi x = 16. +2) Ch ứng minh +3) Tìm các s ố hữu tỉ x để biểu thức P = A. B có giá tr ị là số nguyên +Lời giải +1) Thay +() 16x tm= vào bi ểu thức +A, ta đư ợc: +12 16 8A== +9 33xB +x xx= + − +.( 3) 2( 3) 18 +( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)x x x +x x x x x x+−= + − +− + + − + − +3 2 6 18 5 24 +( 3)( 3) ( 3)( 3)x x x x x +x x x x+ + − − + −== +− − + − +( 3)( 8) 8 +( 3)( 3) 3x x x +x x x− + +== +3) Tính đư ợc 𝑃=𝐴.𝐵=7 +x   +7 7 733 +x+      +3P   +P nguyên nên +1; 2 P +16 (tm) +4x là giá tr ị cần tìm. +Bài III. (2 điểm) +1) Nước mu ối sinh lý NaCl 0,9% thư ờng đư ợc dùng đ ể làm s ạch mũi, h ọng và m ắt mà không gây kích ứng +khi ti ếp xúc v ới niêm m ạc, vì v ậy nước mu ối sinh lý thư ờng đư ợc dùng trong m ỗi gia đình. Để pha đư ợc 200g +dung d ịch NaCl 0,9% t ừ hai lo ại dung d ịch NaCl 0,5% và dung d ịch NaCl 1% c ần dùng bao nhiêu gam NaCl +trong m ỗi loại dung d ịch? +2) Một khu vư ờn hình ch ữ nhật có chu vi b ằng +48m . Nếu tăng chi ều rộng lên b ốn lần và chi ều dài lên ba l ần +thì chu vi c ủa khu vư ờn sẽ là +162 m . Tìm di ện tích c ủa khu vư ờn ban đ ầu? +3) Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol +2( ) :P y ax= đi qua đi ểm +(1;2)M . Tìm trên đ ồ thị +()P hai đi ểm +()()1 1 2 2; , ; A x y B x y +12xx sao cho +12 1 xx+= và +12 10 yy+= +Lời giải +1) Gọi khối lượng dung d ịch NaCl 0,5% và NaCl 1% c ần dùng l ần lượt là x, y +0 , 200xy ) +Vì cần pha 200g dung dịch NaCl 0,9% nên ta có phương trình : +200 xy+= (1) +Khối lượng NaCl trong x(g) dung d ịch NaCl 0,5% là: +0,05%x 0,005x(g)= +Khối lượng NaCl trong y(g) dung d ịch NaCl 1% là: +1%.y 0,01y(g)= +Khối lượng NaCl trong 150(g) dung d ịch NaCl 0.9% là : 200.0,9% = 1,8g +Ta có phương trình : +0,005 0,01 1,8 xy+= (2) +Từ (1) và (2) ta có h ệ phương trình : +0,005 0,01 1,8xy +Giải hệ phương trình ta đư ợc: +40x= (thỏa mãn) , +160y= (thỏa mãn) +Vậy khối lượng NaCl trong dd NaCl 0,5% là : 40. 0,005 = 0,2(g) ; +Khối lương NaCl trong dd NaCl 1% là: 1600. 0,01 = 1,6(g). +2) Gọi chiều dài v à chiều rộng khu vư ờn hình ch ữ nhật lần lượt là +()mx , +( ) 0 24  yx +Chu vi c ủa khu vư ờn là +48m , ta có phương trình +2( ) 48xy+= +48 xy+= (1) +Nếu tăng chi ều rộng lên b ốn lần và chi ều dài lên ba l ần thì chu vi c ủa khu vư ờn sẽ là +162 m , ta có phương +trình: +2(3 4 ) 81xy+= +3 4 81+=xy +Từ (1) và (2) ta có h ệ phương trình +24 (1) +3 4 81 (2)+= ++=xy +Giải hệ phương trình, đư ợc +9=y (tmđk), +15=x (tmđk) +Vậy diện tích khu vư ờn ban đ ầu là: +()215 . 9 135 m= +3) Vì parabol +2( ) :P y ax= đi qua đi ểm +(1;2)M nên +22 .1 2aa=  = +()()1 1 2 2; , ; A x y B x y thuộc parabol +2( ) :P y ax= nên +1 2 22 +1,22x yy x == +2 2 2 2 +1 2 1 2 1 2 10 2 2 10 5 y y x x x x+ =  + =  + = +( ) ()2 22 +1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 2 5 x x x x x x x x x x + + − =  + − = +12 1 xx+= vào (1) ta đư ợc: +1 2 1 2 1 2 5 2 x x x x− =  =− +2S x x +P x x= + = += =− . Ta có: +()224 1 4. 2 9 SP− = − − = +Khi đó +12;xx là nghi ệm của phương trình +220 xx− − = +Giái phương trình ta đư ợc +12 1; 2 xx=− = +Khi đó +12( 1) 2y= − = và +22(2) 8 y== +Hai đi ểm cần tìm là +( 1, 2)A− và +(2,8)B . +Bài IV. (4,0 điểm) +1) Một bể nước trang trí ngoài tr ời có d ạng hình nón v ới bán kính đáy 50 cm và chi ều cao +1,2  m . +a) Tính th ể tích b ể, coi đ ộ dày thành b ể là không đáng k ể. +b) Ngư ời ta đ ổ 150 lít nư ớc vào b ể và đặt vào đó 6 v ật trang trí gi ống nhau có d ạng hình c ầu với bán kính 20 +cm sao cho chúng chìm m ột nửa vào trong nư ớc. Hỏi cần đổ thêm bao nhiêu lít nư ớc vào b ể để mực nước +ngang mi ệng bể? Biết các v ật trang trí đư ợc làm b ằng ch ất liệu không th ấm nư ớc. Lấy +3,14 . +2) Cho tam giác +ABC nhọn +() AB AC nội tiếp +()O . Kẻ đường cao +( ).AH H BC Gọi +,EF là hình chi ếu +vuông góc c ủa +H trên +a) Chứng minh t ứ giác +AEHF nội tiếp. +b) Chứng minh tam giác +AEF đồng dạng với tam giác +c) Đường th ẳng +EF cắt +()O tại +,MN . Chứng minh A là điểm chính gi ữa cung +MN từ đó ch ứng +A là tâm đư ờng tròn ngo ại tiếp tam giác +Lời giải +2a) Chứng minh tứ giác +AEHF nội tiếp. +Vẽ hình đúng đ ến ý a. +Chỉ ra +90 AEH= (E là hình chi ếu của H +trên AB), t ừ đó suy ra ba đi ểm A, E, H thuộc +đường tròn đư ờng kính AH. +Chỉ ra +90 AFH= (F là hình chi ếu của H +trên AC), t ừ đó suy ra ba đi ểm A, F, H thuộc +đường tròn đư ờng kính AH. +Kết luận bốn điểm A, E,F,H cùng thu ộc +đường tròn đư ờng kính AH=> tứ giác +nội tiếp . +2b) Chứng minh tam giác +AEF đồng dạng với tam giác +Chỉ ra +AEF AHF= (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn cung AF) +Chỉ ra +() AEF ACB AHF== +Chỉ ra góc A chung. +Kết luận tam giác đ ồng dạng. +2c1) Chứng minh A là điểm chính giữa cung MN. +Kẻ đường kính AK, Gọi I là giao đi ểm của EF và AK +Chỉ ra +AKC đồng dạng +090 AIF ACK== +OA MN⊥ +Chỉ ra OA là phân giác c ủa +MON => +AM AN= +=>A là điểm chính gi ữa cung MN. +2c2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN . +AM AN= => +ANF ACN= => +ANF đồng dạng +2. AN AF AC= +Chỉ ra +2. AH AF AC= +AN AH= +AM AN AM AN= = = +AM AN AH== +=> A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN +Bài V. (0,5 điểm) Một khúc g ỗ có dạng hình kh ối nón có bán kính đáy +1  mr= , chiều cao +3  mh= . Bác th ợ +mộc chế tác từ khúc g ỗ đó thành m ột khúc g ỗ có dạng hình kh ối trụ như hình v ẽ. Bác th ợ mộc sẽ chế tác đư ợc +khúc g ỗ có th ể tích l ớn nhất bằng bao nhiêu? +Lời giải + + + + +ĐỀ DỰ ĐOÁN 001 +Bài I (1,5 đi ểm) +1) Tại một trại hè thanh thiếu niên quốc tế, người ta tìm hiểu xem mỗi đại biểu tham dự có thể sử dụng được +bao nhiêu ngoại ngữ. Kết quả được biểu diễn như bảng sau: +Số ngoại ngữ +Số đại biểu +a) Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu đại biểu tham dự trại hè thanh thiếu niên quốc tế? +b) Tính tần số tương đối cho số đại biểu chỉ sử dụng được 2 ngoại ngữ. +2) Một hộp có +20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số +1;2;3;4;....;20 ; hai thẻ khác nhau +ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ +được rút ra là số lẻ và chia hết cho +Bài II (1,5 đi ểm) Cho hai biểu thức +x x+=− +−− với +0, 4xx +1) Tính giá tr ị của biểu thức +2) Rút g ọn biểu thức B +3) Đặt += . P AB So sánh +Bài III (2,5 đi ểm) +1) Một ô tô và m ột xe máy kh ởi hành cùng m ột lúc đ ể đi từ A đến B. Bi ết quãng đư ờng AB dài 90 km và v ận +tốc của ô tô l ớn hơn v ận tốc xe máy 15km/h nên ô tô đ ến B s ớm hơn xe máy 30 phút ( biết vận tốc mỗi xe +không đ ổi trên toàn b ộ quãng đư ờng). Tính v ận tốc mỗi xe? +2) Cô An ti ết kiệm đư ợc 500 tri ệu đồng, cô chia số tiền của mình cho hai kho ản đầu tư. Lãi su ất cho kho ản +đầu tư th ứ nhất là +5% /năm và kho ản đầu tư th ứ hai là +6% /năm. Sau m ột năm, t ổng số tiền lãi thu đư ợc là 29 +triệu đồng. Tính s ố tiền cô An đã đ ầu tư cho m ỗi kho ản. +3) Cho phương trình +220 x mx+ − = có hai nghi ệm +12,xx thỏa mãn +1 2 2 1 2024 x x x x+= . +Tính t ổng ngh ịch đảo hai nghi ệm của phương trình trên. +Bài IV (4,0 đi ểm) +1) M ột hộp đựng bóng ten nis có d ạng hình tr ụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba qu ả bóng +tennis đư ợc xếp theo chi ều dọc, các qu ả bóng ten nis có đư ờng kính là 6,2 cm và có kích +thước như nhau. (Lấy +3,14 và kết quả làm tròn đ ến chữ số thập phân th ứ nhất). +a) Tính th ể tích h ộp đựng bóng te nnis. +b) Tính th ể tích ph ần không gian còn tr ống bên trong hộp đựng bóng ten nis? (Bỏ qua đ ộ +dày c ủa vỏ hộp) +2) Cho ABC có ba góc nh ọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O). Các đư ờng cao AD, CF +cắt nhau t ại H. +a) Chứng minh t ứ giác BFHD nội tiếp. Xác đ ịnh tâm I của đường tròn đó. +b) Gọi E là trung đi ểm của AC. Chứng minh: 𝐹𝐵𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ và FE là tiếp tuy ến của đường tròn ( I). +c) Đư ờng tròn ( I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh BM vuông góc v ới ME. +Bài V (0,5 đi ểm) +Một phân xư ởng sản xuất những chi ếc thùng gi ấy có d ạng hình h ộp chữ nhật không có n ắp với các kích thư ớc +là x, y, z (dm). Bi ết tỉ số hai c ạnh đáy là x : y = 1 : 3, th ể tích c ủa thùng b ằng 18 dm3. Để tốn ít v ật liệu làm +thùng nh ất thì các kích thư ớc của thùng là bao nhiêu? +ĐỀ DỰ ĐOÁN 001 – ĐÁP ÁN +Bài Ý Nội dung Điểm +Bài I +điểm) 1a Tổng số đại biểu tham d ự trại hè thanh thi ếu nhiên qu ốc tế là: +84 + 64 + 24 + 16 + 12 = 200 (đ ại biểu) 0,5 +1b Tần số tương đ ối cho s ố đại biểu chỉ sử dụng đư ợc 2 ngo ại ngữ là: +64.100% 32% +2 Tập hợp các k ết quả có th ể xảy ra là:  = {1; 2; 3; …; 20} +Tập hợp  có 20 ph ần tử +Vì các th ẻ cùng lo ại nên k ết quả xảy ra là đ ồng kh ả năng. +Có 3 k ết quả thuận lợi cho bi ến cố A là: 3; 9; 15 +Xác su ất của biến cố A là +20PA= 0,25 +Bài II +Cho hai bi ểu thức +x x+=− +−− với +0, 4xx +1) Tính giá tr ị của +Thay x = 9(TMĐK) vào A ta có: +92A+== +2) Rút g ọn biểu thức B +()()() +()()224 2 4 +4 2 2 2 2 2xxxB +x x x x x x+++= − = − +−− − + − + +()()()()4 2 4 2 +2 2 2 2x x x x +x x x x+ − − −== +− + − + +2 22xxx +3) Đặt += . P AB So sánh +. Xét hi ệu +22 2x x xP P P P +xx x− = − = − = −− − +Ta có: + với x thu ộc ĐKXĐ +20x− với x thu ộc ĐKXĐ +− với x thu ộc ĐKXĐ +Suy ra +20 PP− hay +Bài +điểm) 1) Gọi vận tốc của xe máy là x ( x > 0, km/h) +Vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h) 0,25 +Thời gian xe máy đi t ừ A đến B là: +Thời gian ô tô đi t ừ A đến B là: +15x+ (h) +Đổi 30 phút = +2 (h) 0,25 +Theo đ ề bài ta có phương trình: +90 90 1 +15 2 xx−= +Biến đổi được phương trình: +215 2700 0xx+ − = 0,25 +Giải phương trình ta đư ợc x = -60 (lo ại); x = 45 (tmđk) +Vậy vận tốc của xe máy là 45 km/h; +vận tốc của ô tô là 45 + 15 = 60 km/h 0,25 +2) Gọi x (tri ệu đồng), y (tri ệu đồng) l ần lượt là s ố tiền mà cô An đ ầu tư cho kho ản đầu +tư thứ nhất và kho ản đầu tư th ứ hai (x > 0; y > 0). +Theo đ ề bài ta có phương trình: x + y = 500(1) 0,25 +Sau m ột năm: +Số tiền lãi cho kho ản đầu tư th ứ nhất là: 5%.x = 0,05x (tri ệu đồng) +Số tiền lãi cho kho ản đầu tư thứ hai là: 6%.y = 0,06y (tri ệu đồng) +Theo đ ề bài ta có phương trình: 0,05x + 0,06y = 29 (2) 0,25 +Từ (1) (2) ta có h ệ phương trình: +0,05 0,06 29xy ++= 0,25 +Giải hệ phương trình ta đư ợc: x = 100 (tmđk) và y = 400 (tmđk) +Vậy số tiền cô An đầu tư cho kho ản thứ nhất là 100 tri ệu đồng; s ố tiền đầu tư cho +khoản thứ hai là 400 tri ệu đồng 0,25 +3) Xét phương trình: +220 x mx+ − = +Có a.c = -2 < 0 nên phương trình luôn có hai nghi ệm phân bi ệt +Áp d ụng định lý Viète +12. 2 0x x m +xx+ =− +=−  +1 2 2 1 +1 2 1 22024 +2. 2024 +1012x x x x +x x x x +Tổng ngh ịch đảo hai nghi ệm là +1 2 1 21 1 1012506 +x x x x+−+ = = = +− 0,25 +1.a Chiều cao c ủa hộp đựng bóng hình tr ụ là: 6,2.3 = 18,6 (cm) +Bán kính đáy c ủa hộp hình tr ụ là: 6,2 : 2 = 3,1 (cm) 0,25 +Thể tích h ộp đựng bóng te nnis là: .3,12.18,6  561,3 cm3 0,25 +Bài +Thể tích c ủa 3 qu ả bóng te nnis là: +3 43. . .3,1 +()3374, 2 cm 0,25 +Thể tích ph ần không gian còn tr ống bên trong là: +()3561,3 374,2 187,1 cm −= 0,25 +Vẽ hình đúng đ ến câu a) 0,25 +Chỉ ra FHB vuông t ại F, t ừ đó suy ra 3 điểm +F, H, B nằm trên đường tròn đư ờng kính BH (1) 0,25 +Chỉ ra DHB vuông t ại D, từ đó suy ra 3 điểm +D, H, B nằm trên đường tròn đư ờng kính BH (2) 0,25 +Từ (1)(2) suy ra t ứ giác BFHD n ội tiếp +Tâm I c ủa đường tròn là trung đi ểm của BH 0,25 +2.b Gọi E là trung đi ểm của AC. Chứng minh: 𝑭𝑩𝑯̂ =𝑭𝑪𝑨̂ và FE là tiếp tuy ến của +đường tròn (I). +Chứng minh t ứ giác AFDC nội tiếp +Chỉ ra 𝐹𝐷𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn +cung AF) +0,25 Chỉ ra 𝐹𝐷𝐻̂ =𝐹𝐵𝐻̂ (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn +cung HF) +Suy ra 𝐹𝐵𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ 0,25 +b2) Chỉ ra EFA cân t ại E suy ra 𝐸𝐹𝐴̂ =𝐸𝐴𝐹̂ +Chỉ ra IFB cân t ại I suy ra 𝐼𝐵𝐹̂=𝐼𝐹𝐵̂ 0,25 +Ta có 𝐹𝐵𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ (cmt) suy ra 𝐼𝐹𝐵̂=𝐹𝐶𝐴̂ +Mà 𝐹𝐶𝐴̂ +𝐹𝐴𝐶̂ =900 Suy ra 𝐼𝐹𝐵̂+𝐴𝐹𝐸̂ =900 0,25 +Suy ra 𝐸𝐹𝐼̂=900 hay FE ⊥ FI suy ra FE là tiếp tuy ến của đường tròn (I) 0,25 +Kẻ đường kính BP của đường tròn ( O) +C/m APCH là hình bình hành suy ra 3 đi ểm H, +E, P thẳng hàng (3) +Chỉ ra 𝐵𝑀𝑃̂ =900 (góc n ội tiếp chắn nửa +đường tròn ( O)) suy ra MP ⊥ BM +Chỉ ra 𝐵𝑀𝐻̂ =900 (góc n ội tiếp chắn nửa +đường tròn ( I)) suy ra MH ⊥ BM +Suy ra M, H, P thẳng hàng (4) +Từ (3)(4) suy ra M, H, E, P thẳng hàng +Suy ra ME ⊥ MB (đpcm) +Bài 5 +điểm) Vì x : y = 1 : 3 nên y = 3x. +Thể tích c ủa thùng là 18 nên xyz = 18 suy ra 3x2z = 18 hay z = +Ta có di ện tích gi ấy cần dùng là: +26 482 3 .3 3xq d S S S x x x x x +xx= + = + + = + +0 ab− với a, b là các s ố dương +Suy ra +2 a b ab+ . Dấu “=” x ảy ra khi a = b +Áp d ụng bất đẳng th ức trên ta có +2 2 2 48 48 483 (3 12) 12 2 3 .12 12 +48 4812 12 2 .12 12 48 12 36S x x x +xx= + = + + −  + − += + −  − = − = +Dấu “ = “ x ảy ra khi x = 2, suy ra y = 6; +Vậy để tốn ít v ật liệu làm thùng nh ất thì chi ếc thùng có chi ều dài đáy là 6 dm; chi ều +rộng đáy là 2 dm; chi ều cao là + + + + +ĐỀ DỰ ĐOÁN S Ố 002 +Bài I. (1,5 điểm) . +1) Biểu đồ sau cho biết số lượng các loại xe ô tô một cửa hàng bán được trong quý I năm 202 5: +Lập bảng tần số và tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ. +2) Một hộp có 24 thẻ cùng loại, mỗi thẻ ghi một trong các số 1; 2; 3; …; 24 . Hai thẻ khác nhau +thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ trong hộp. Tính xác s uất của biến cố sau: “Số ghi +trên thẻ là số chia hết cho 4 ” +Bài II. (1,5 điểm) . Cho hai biểu thức: +2 2 21 4; +1 6 3 2x x xAB +x x x x x +0; 9.xx +1) Tính giá trị của biểu thức A khi +25=x . +2) Rút gọn biểu thức B. +3) Đặt +. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M. +Bài III. (2,5 điểm) +1) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu giảm chiều dài đi 20% và tăng chiều rộng +thêm 20m thì diện tích mới gấp 1,2 lần diện tích cũ. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. +2) Câu chuyện người cựu chiến binh Nguyễn Văn Thanh đi xe máy từ Nghệ An vào Thành phố +Hồ Chí Minh để được chứng kiến L ễ diễu binh kỉ niệm 50 năm giải phóng miền Nam thống +nhất đất nước đang là một câu chuyện truyền cảm hứng cho người dân Việt Nam. Giả sử 5 +ngày đầu , mỗi ngày ông Thanh dùng 3 giờ để di chuyển với vận tốc dự định . Sau đó, để đến +thành phố Hồ Chí Minh đúng thời gian, 6 ngày sau, mỗi ngày ông sẽ phải dùng 5 giờ để di +chuyển với vận t ốc lớn hơn vận tốc ban đầu là 5 km/giờ . Tính vận tốc ban đầu của ông Thanh +biết quãng đường ông Thanh di chuyển từ Nghệ An đến thành phố Hồ Chí Minh là 1500 km +3) Cho phương trình +()2m 1 m 0− + + =xx (1) .Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm +lần lượt là độ dài bán kính và đường cao của hình nón có độ dài đường sinh là +Bài IV. (4,0 điểm) +Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước +50  cm 240  cm , người ta làm các thùng đựng nước +hình trụ có chiều cao bằng 50 cm theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây): +* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng +* Cách 2: Gò tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung +quanh của một thùng. 0510152025303540 +Xe 4 chỗ ngồi Xe 7 chỗ ngồi Xe 16 chỗ ngồi Xe trên 16 chỗ +ngồiSố lượng các loại ô tô bán được quý I năm 2025 +Loại xe +Tần số +ĐỀ DỰ ĐOÁN S Ố 002 +Bài Ý Đáp án Điểm +Bài I +(1,5 đ) 1) Bảng tần số và tần số tương đ ối +Loại xe 4 chỗ 7 chỗ 16 ch ỗ Trên 16 ch ỗ +Tần số 35 20 15 10 +Tần số +tương đối 43,75% 25% 18,75% 12,5% +2) Số trường hợp xảy ra khi rút ng ẫu nhiên 1 th ẻ là 24 +Có 6 th ẻ mà số trên th ẻ chia h ết cho 4 là 4; 8; 12; 16; 20; 24 +Xác su ất của biến cố sau: “S ố xuất hiện trên th ẻ là số chia h ết cho 4” là +Bài II +(1,5 đ) 1) Thay x =25 (TMĐK) vào A 0,25 +25 2 7 +6 1 25A +2 21 4 +2 4 32 21 +3 2 3 2 3 2xxB +x x x x +x x xx +x x x x x x +2 21 2 4 12 3 +2 32x x x x x +2 3 3 2.1 +1 2 1 1x x xM A B +x x x x +0; 9xx +, ta có: +0 1 1xx +222 1 3 +GTLN M = 3 d ấu “=” x ảy ra khi x = 0 0,25 +Bài III +(2,5 đ) 1) Gọi chiều rộng của hình ch ữ nhật là +( ,0 90)x m x . +Chiều dài c ủa hình ch ữ nhật là +()ym . +Chu vi của mảnh vư ờn là 180m nên +90 xy+= (1) 0,25 +Chiều dài khi gi ảm 20% là: +0,8 ( )ym +Chiều rộng khi tăng thêm 20m là: +20( )xm+ +Diện tích m ới gấp 1,2 l ần diện tích cũ nên ta có phương trình: +() 0,8 20 1,2y x xy+= +Từ (1) và (2) ta có h ệ phương trình: +0,8 20 1,2xy +y x xy+=+= +Giải hệ phương trình ta đư ợc: 0,25 += (KTMĐK); TH2: += (TMĐK) +Vậy chi ều dài c ủa khu vư ờn là 50m; chi ều rộng là 40m +2) Gọi vận tốc ông Thanh di chuy ển trong 5 ngày đ ầu: +( / , 0) x km h x +Quãng đư ờng ông Thanh di chuy ển trong 5 ngày đ ầu: +5.3. 15 ( )=x x km 0,25 +Vận tốc ông Thanh di chuy ển trong 6 ngày sau: +5 ( / )+x km h +Quãng đư ờng ông Thanh di chuy ển trong 6 ngày sau: +() 6.5. 5 30 150( )+ = +x x km +Vì quãng đư ờng từ Nghệ An vào Thành ph ố Hồ Chí Minh 1500km nên ta +có phương trình: +15 30 150 1500+ + =xx 0,25 +Giải phương trình ta đư ợc: +30x= (TMĐK) +Vậy vận tốc ông Thanh di chuy ển trong 5 ngày đ ầu: 30 km/h 0,25 +3) Để phương trình (1) có 2 nghi ệm +12,xx thì: +() ()220 1 4 0 1 0  + −   −   m m m m +Khi đó theo đ ịnh lí Viète ta có: +121 + = + +=x x m +12,xx là độ dài bán kính và đư ờng cao c ủa hình nón có đ ộ dài đư ờng sinh +2 nên: +120; 0 ++=xx +120 100; 0 000+ +         xx mx x mx x m +12 2+=xx +(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=2 +(𝑚+1)2−2𝑚=2 +𝑚=1(��𝑚);𝑚=−1(𝑘𝑡𝑚) +m1= thoả mãn yêu c ầu bài toán. 0,25 +Bài IV +(4,0 đ) 1) a) +câu a ) +a) Ch ứng minh đư ợc OA phân giác c ủa +OEC cân t ại O 0,25 +Chứng minh đư ợc +OCA OEA = (c.g.c) 0,25 +Chứng minh đư ợc AE là tiếp tuy ến của đường tròn (O). 0,25 +b) Xét (O) có , BD và B E là tiếp tuy ến cắt nhau t ại B nên: +; BE BD BOE BOD== +Xét (O) có , AE và AC là tiếp tuy ến cắt nhau t ại B nên: +; AE AC AOE AOC== +Chứng minh đư ợc AC + BD = AB 0,25 +Chứng minh đư ợc AOB vuông tại O. 0,25 +c) Gọi giao đi ểm của AD và BC là I +/ / / /AC IC AE ICAC BD IE AC +BD IB EB IB =  =  +//EH AC +(cùng vuông góc v ới CD) 0,25 +Chứng minh đư ợc E, I, H th ẳng hàng. 0,25 +𝛥𝐴𝐵𝐶,𝐸𝐼//𝐴𝐶⇒𝐸𝐼 +𝛥𝐷𝐵𝐶,𝐻𝐼//𝐵𝐷⇒𝐵𝐼 +𝛥𝐷𝐴𝐶,𝐻𝐼//𝐴𝐶⇒𝐻𝐷 +𝐴𝐶⇒𝐻𝐼=𝐸𝐼 0,25 +I là trung đi ểm của EH 0,25 +Bài VI +(0,5đ) +Gọi chiều dài c ủa hàng rào vuông góc v ới sông là x (m) và chi ều dài c ủa +hàng rào song song v ới sông là y (m) +Do bác nông dân có 15000000 đ ồng để chi tr ả cho nguyên v ật liệu làm +hàng rào nên ta có phương trình: +3 .50000 .60000 15000000 +15 6 1500 +2500 5+= +Diện tích c ủa khu vư ờn sau khi đã rào đư ợc tính b ằng công th ức: +( )2 500 5 15 500 +22−=  =  = − +xS x y x x x +2(−𝑥2+100𝑥)=5 +2(−𝑥2+2⋅50𝑥−2500+2500) +2[2500−(𝑥−50)2]≤6250 +Dấu “=” x ảy ra khi +Vậy diện tích l ớn nhất của đất rào thu đư ợc là 6250 m2. +a. Tính thể tích của thùng gò được theo cách 1 +b. Kí hiệu +1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và +2V là tổng thể tích của hai thùng gò +được theo cách 2 . Tính tỉ số +2) Cho đường tròn ( O) đường kính CD, vẽ tiếp tuyến Cx của đường tròn ( O) (C là tiếp điểm) . +Lấy điểm E thuộc đường tròn ( O) (E  C và D). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt +Cx tại A. +a) Chứng minh: AE là tiếp tuyến của đường tròn ( O). +b) Qua +D kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( O), tiếp tuyến này cắt AE tại B. Chứng minh: +AC + BD = AB và AOB vuông tại O. +c) Kẻ EH ⊥ CD tại H. Chứng minh rằng AD và BC cắt nhau tại trung điểm của EH. +Bài V. (0,5 điểm) +Một người nông dân chỉ có 15 000 000 đồng và +muốn dùng số tiền đó làm hàng rào hình chữ E để +rào khu đất bên bờ sông ( như hình vẽ bên) . Đối với +hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên +vật liệu là 60 000 đồng mỗi mét dài, còn đối với ba +hàng rào vuông góc với bờ sô ng thì chi phí nguyên +vật liệu là 50 000 đồng mỗi mét dài. Tìm diện tích +lớn nhất của khu đất có thể rào được. + + + + +ĐỀ BÀI +Bài I . (1,5 đi ểm) +1) Một cửa hàng trà sữa thống kê s ố tiền (đơn v ị: nghìn đ ồng) mà 60 khách hàng mua trà sữa ở cửa +hàng đó trong m ột ngày. S ố liệu được ghi l ại trong bi ểu đồ tần số ghép nhóm dư ới đây : +a) Theo th ống kê trên, s ố lượng khách hàng nhi ều nhất dành ti ền mua trà s ữa trong kho ảng nào? +b) Tìm t ần số tương đ ối ghép nhóm c ủa nhóm  40;60 . +2) Một hộp kín có 5 qu ả bóng gi ống hệt nhau nhưng khác màu , bao g ồm 3 qu ả bóng màu đ ỏ và 2 quả +bóng màu xanh. L ấy ngẫu nhiên đ ồng th ời 2 qu ả bóng trong h ộp. Tính xác su ất của biến cố A: “Hai +quả bóng l ấy ra có cùng màu ”. +Bài II . (1,5 đi ểm) Cho hai bi ểu thức A = 7 +8x và 2 24 +9 3x xBx x  với 0, 9.x x  +1) Tính giá tr ị của biểu thức A khi 4x. +2) Chứng minh 8. +3) Tìm x để biểu thức . P A B nhận giá tr ị nguyên lớn nhất. +Bài III . (2,5 đi ểm) +1) Trong m ột đợt khuy ến mãi, siêu th ị giảm giá cho s ản phẩm A là 20% và s ản phẩm B là 15% so v ới +giá niêm y ết. Một khách hàng mua 2 s ản phẩm A và 1 s ản phẩm B thì ph ải trả số tiền là 362 000 đ ồng. +Nhưng n ếu mua trong khung gi ờ vàng thì s ản phẩm A đư ợc giảm giá 30% và s ản phẩm B đư ợc giảm giá +25% so v ới giá niêm y ết. Một khách hàng mua 3 s ản phẩm A và 2 s ản phẩm B trong khung gi ờ vàng nên +phải trả số tiền là 552 000 đ ồng. Tính giá niêm y ết của mỗi sản phẩm A và B. +2) Một mảnh vư ờn hình ch ữ nhật có chu vi b ằng 28 mét. N ếu tăng chi ều rộng gấp 2 lần và tăng chi ều +dài thêm 5 mét thì di ện tích m ảnh vư ờn tăng thêm 108 m2. Tính chi ều dài và chi ều rộng của mảnh vư ờn +ban đ ầu? +3) Cho phương trình 23 1 0x x   . Gọi 1x, 2x là hai nghi ệm của phương trình đó. Không gi ải +nghiệm cụ thể, hãy t ính giá tr ị của biểu thức =√ + . +ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 3 +Bài IV . (4,0 đi ểm) +1) Một que kem ốc quế có dạng hình nón v ới đường kính đáy là 5cm và chiều cao +là 10 .cm (Lấy   3,14 và làm tròn k ết quả đến chữ số hàng ph ần mư ời). +a) Tính th ể tích của que kem ốc quế đó. +b) Cho bi ết lượng kem trong m ỗi que kem ốc quế với kích thư ớc như trên chi ếm +90% th ể tích c ủa cả que kem. H ỏi với hộp kem có th ể tích 1 lít khi đổ vào vỏ ốc +quế thì làm được bao nhiêu que kem như trên ? +2) Cho nửa đường tròn O, đường kính AB 2R . Đường th ẳng d cố định vuông góc v ới bán kính +OB tại H. Trên n ửa đường tròn O lấy điểm D thay đ ổi (D khác A; B và D không n ằm trên đư ờng +thẳng d). Tia AD cắt đường th ẳng d tại C. Tia BD cắt đường th ẳng d tại M. Tiếp tuy ến tại D của +nửa đường tròn c ắt đường th ẳng d ở K. +a) Chứng minh b ốn điểm , , ,A D M H cùng thu ộc một đường tròn . +b) Đường th ẳng AM cắt nửa đường tròn O tại E. Chứng minh B,E,C thẳng hàng và KD = +c) Chứng minh DE luôn đi qua m ột điểm cố định khi D thay đ ổi trên nửa đường tròn O. +Bài V . (0,5 đi ểm) +Cắt bỏ hình qu ạt tròn AOB từ một mảnh tôn hình tròn có bán kính 4R cm rồi dán hai bán kính +,OA OB với nhau đ ể được một cái ph ễu có d ạng hình nón. G ọi x là số đo góc ở tâm hình qu ạt dùng +làm ph ễu (0 360 )ox  . Tìm x để thể tích c ủa cái ph ễu là l ớn nhất. +Bài Ý Đáp án Biểu +Bài I 1) Tần số ghép nhóm c ủa nhóm  40;50 là 3. 0,25 +Tần số ghép nhóm c ủa nhóm  40;60 là 3 6 9.  0,25 +Tần số tương đ ối ghép nhóm c ủa nhóm  40;60 là 9.100% 15%.60 0,25 +2) Kí hi ệu d1, d2, d3 là 3 qu ả bóng màu đ ỏ, x1, x2 là hai qu ả bóng màu xanh. +Không gian m ẫu của phép th ử là + Ω 1, 2 ; 1, 3 ; 1, 1 ; 1, 2 ; 2, 3 ; 2, 1 ;{d d d d d x d x d d d x  2, 2 ; 3, 1d x d x ; + 3, 2 ; 1; }2 d x x x +Suy ra n() = 10 . 0,5 +Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là  1, 2 ; 1, 3 ; 2; 3 ; 1; 2d d d d d d x x . +Xác su ất của biến cố A là 4 +102.5 0,25 +Bài II 1) Thay 4x (TMĐK) vào biểu thức A, ta có 07 +  0,25 +2) Với 0; 9,x x  ta có: +9 3x xBx x  +( 3) 2 24 +( 3)( 3) ( 3)( 3)x x xB +x x x x   +    0,25 +( 3)( 3)5 24Bx +  0,25 +( 3)( 3 3( 8) 3 +)( ) xB +x x xx x   +  0,5 +3) 8. . +8 3 37 7 xP A B +x x x   +  . +Suy ra 7 7033x  + 0,25 +Mà P là số nguyên l ớn nhất nên 2.P +Tìm đư ợc 1 +4x (TM) và kết luận. 0,25 +Bài +III 1) Gọi giá niêm y ết của mỗi sản phẩm A và B l ần lượt là x, y (x, y > 0) (đ ồng) +Vì khách hàng mua 2 s ản phẩm A và 1 s ản phẩm B thì ph ải trả số tiền là 362 000 +đồng trong đ ợt khuy ến mãi nên ta có phương trình 2.0,8 x + 0,85 y = 362 000 0,25 +Vì khách hàng mua 3 s ản phẩm A và 2 s ản phẩm B trong khung gi ờ vàng và ph ải trả +số tiền là 552 000 đ ồng nên ta có phương trình 3. 0,7x + 2.0,75 y = 552 000 0,25 +Giải hệ ta có x = 120 000; y = 200 000 (tho ả mãn) 0,25 +Vậy giá niêm y ết của mỗi sản phẩm A là 120 000 đồng; giá niêm y ết của mỗi sản +phẩm B là 200 000 đ ồng. 0,25 +2) Nửa chu vi m ảnh vư ờn là 28 : 2 = 14 (m) +Gọi chiều rộng m ảnh vư ờn là x (14 0) x  (m) +Chiều dài m ảnh vư ờn là 14 – x (m) 0,25 +n là 2 +u dài m +n là 14 ++ 5 = 19 +Ta có phương trình 2 +) = 108 += 6 (tho += 18 (lo +n là 6 mét, chi +u dài m +n là 8 mét. +Tính đư +. Suy ra phương trình có hai nghi +m phân bi +nh lí Viet +, ta có +Suy ra +Bài +que kem +.3,14. .10 65,4 +V R h cm +ng kem trong m +i que kem là +65,4.90% 58,86 +que kem +1000 : 58,86 17 +que kem +y làm đư +que kem +đúng hình đ +ng minh đư +ng tròn đư +ng kính +ng minh đư +ng tròn đư +ng kính +Suy ra b +A D M H +cùng thu +ng tròn đư +ng kính +ng minh M là tr +c tâm c +a tam giác ABC +Suy ra AM +hay AE +(góc n +ng tròn) +Suy ra AE +(1) và (2) suy ra +ng hàng +ng minh D, C, E, M cùng thu +ng tròn đư +ng kính MC +ng minh K là trung đi +a CM (ch +ng minh KM = KD; KC = KD) +Suy ra K là tâm đư +ng tròn ngo +giác DCEM nên KD = KE +i I là giao đi +a DE và OK. +ng minh KE là ti +a (O). +đó suy ra OK là trung tr +a DE nên +OIE OEK ( g.g ) +Suy ra +OI.OK OE R +    +i F là giao đi +a DE và AB. +ng minh đư +OIF OHK ( g.g ) +Suy ra +FO OI KO.OI R +KO OH OH OH +    +Suy ra DE luôn đi qua đi +Bài V +Ta có chu vi đáy c +a cái ph +u chính là đ +dài cung tròn c +nh tôn có đ +tâm là +. Suy ra +Suy ra +u cao ph +     +Do đó, th +tích c +a cái ph +360 (0 360 ) +3 3 90 90 3.90 +r h x x +V x x x +    +          +c Cauchy cho 3 s +ta có: +2 2 2 2 2 +360 2 (360 ) +3.90 3.90 2 2 27 +V x x x +          +y ra khi +Lưu ý: +HS làm cách khác đúng v +i đa theo thang đi + + + + +Bài I. (1,5 đi ểm) +1) Sau khi đi ều tra s ố học sinh trong 50 l ớp học ( đơn v ị: học sinh), ngư ời ta có bi ểu đồ tần +số ghép nhóm dư ới đây: +Tìm t ần số ghép nhóm và t ần số tương đ ối ghép nhóm [41; 43). +2) M ột hộp đựng +25 tấm thẻ ghi các s ố +25 . Xét phép th ử “ Lấy ngẫu nhiên m ột +tấm thẻ trong h ộp” và bi ến cố M : “ Chi ếc thẻ lấy ra ghi s ố chia h ết cho +4 ”. Tính xác su ất của +biến cố M. +Bài II. (1,5 đi ểm) +2 3 5 6x x x xB +x x x x+ − += − − +− − − + với +1) Tính giá tr ị của +25x= . +2) Rút g ọn +3) Cho +: P A B= . Tìm +2 2 9Px=− . +Bài III. (2,5 đi ểm) +1) M ột mảnh đất hình ch ữ nhật có chu vi bằng 28 mét. Chi ều dài l ớn hơn chi ều rộng 2 mét. Tính +chiều dài và chi ều rộng của mảnh đất đó. 024681012141618 +[37; 39) [39;31) [41;43) [43;45) +Tần số (n) +Số học sinh ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 4 +2) Để hoàn thành m ột công vi ệc, hai tổ sản xuất phải làm chung trong 24 giờ. Nếu tổ thứ nhất +làm 10 giờ, tổ thứ hai làm 15 giờ thì cả hai tổ hoàn thiện được 50% công việc. Hỏi nếu mỗi tổ +làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành xong công việc? +12,xx là hai nghi ệm của phương trình : +24 7 0xx− − = .Không gi ải phương trình hãy t ính +giá tr ị của biểu thức +212xxTxx= + − +Bài IV . (4 điểm) +1) Để làm một cái mũ hề bạn An cần miếng bìa hình quạt tròn có diện tích khoảng +2427,04cm +có bán kính là +17 cm . (lấy +3,14 và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). +a) Tính bán kính đáy của chiếc mũ đó. +b) Tính thể tích của chiếc mũ đó. +2) Cho đư ờng tròn +()O đường kính AB. K ẻ tiếp tuy ến +By của đường tròn +()O ,lấy điểm +thuộc tiếp tuy ến +Ax , từ +Ckẻ tiếp tuy ến +CE với đường tròn +Elà tiếp điểm, +E khác +a)Ch ứng minh b ốn điểm +, , ,C A O E thuộc một đường tròn. +b) Ti ếp tuy ến +CE cắt tiếp tuy ến +By tại +K. Chứng minh +090 COK= và +2.CA KB R= . +EH AB⊥ tại +EH cắt +CB tại +AE cắt +OC tại I. Ch ứng minh +//IG AB . +Bài V . (0,5 đi ểm) +Người ta mu ốn làm m ột vườn rau có d ạng hình ch ữ nhật +ABCD có di ện tích +, để tạo thêm c ảnh quan xung quanh đ ẹp hơn, ngư ời ta m ở rộng thêm b ốn +phần diện tích đ ể trồng hoa, t ạo thành m ột đường tròn đi như hình v ẽ, biết tâm hình +tròn trùng v ới giao đi ểm hai đư ờng chéo c ủa hình ch ữ nhật. Khi đó ch ọn kích thư ớc +ABCD như th ế nào đ ể diện tích c ủa bốn phần đất trồng hoa nh ỏ nhất? +427,04 cm217 cmA +A DC B +Bài Ý Yêu c ầu cần đạt Điểm +I 1 Tần số ghép nhóm c ủa [41; 43) là 14. 0,25 +Tần số tương đ ối ghép nhóm c ủa [41; 43) là +14100% 28%50f=  = +. 0,25 +2 Số kết quả thuận lợi của biến cố“ Chi ếc thẻ lấy ra ghi s ố chia +hết cho +4 ” là 6 k ết quả 0,25 +Xác su ất thực nghi ệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc x ắc +là mặt có s ố chấm là s ố chia h ết cho 4” là +25 0,25 +x5= (TMĐK) vào bi ểu thức A, tính đư ợc +4A3= . 0,25 +2 3 5 6x x x xB +x x x x+ − += − − +− − − + +()()2 3 5 +23 23x x x xB +xx xx+ − += + − +()()()() +()()3 2 2 3 5 +23x x x x x x +xx− + + − − − + +()()3 4 3 5 +23x x x x xB +xx− + − − + −= +()()33 +Ta có: +: P A B= +2 2 9Px=− +()() 2 4 2 9 1x x x− = − + +2 4 2 2 9 9x x x x− = + − − +2 9 5 0xx− − = +()() 2 1 5 0xx+ − = +2 1 0x+= +( vô lý vì +50x−= Suy ra +25x= (TM) +Vậy để +2 2 9Px=− thì +25x= . 0,25 +III 1 Gọi chiều dài và chi ều rộng của mảnh đất hình ch ữ nhật lần +lượt là +,xy ( +0 xy , m) 0,25 +Biết chu vi hình ch ữ nhật là 28 mét, ta có phương trình +14 (1) xy+= +Biết chiều dài l ớn hơn chi ều rộng 2 mét, ta có phương trình +2 (2) xy−= +Từ (1) và (2), ta có h ệ phương trình +14 (1) +2 (2)xy +Lây t ừng vế của phương trình (1) c ộng từng vế của phương trình +(2), ta có +8 ( )x +8x= vào phương trình (1), ta có +6 ( )x +x TM+= +Vậy chi ều dài và chi ều rộng của mảnh đất hình ch ữ nhật lần +lượt là +8 , 6mm 0,25 +2 Gọi thời gian t ổ 1, tổ 2 làm m ột mình xong công vi ệc lần lượt là +, 24xy , giờ) 0,25 +Trong 1 gi ờ tổ 1 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là +x (công +Trong 1 gi ờ tổ 2 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là +y (công +Ta có phương trình +24 xy+= (1) +Trong 10 gi ờ, tổ 1 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là +(công vi ệc) +Trong 15 gi ờ tổ 2 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là +y (công +Ta có phương trình +10 15 1 +2 xy+= (2) +Từ (1) và (2), ta có h ệ phương trình +1 1 1(1)24 +10 15 1(2)2xy +xy+= +Nhân phương trình (1) v ới 10, ta có h ệ phương trình +10 10 5(3)12 +10 15 1(4)2xy +xy+= +Lấy từng vế của phương trình (3) tr ừ từng vế của phương trình +(4), ta có +12y−−= +60 ( )y TM= +60y= vào phương trình (1) ta đư ợc +40 ( )x TM= +Vậy thời gian t ổ 1 và t ổ 2 làm m ột mình xong công vi ệc lần +lượt là 40 gi ờ, 60 gi ờ. +24 7 0xx− − = +Phương trình có +70 ac=−  nên luôn có 2 nghi ệm phân bi ệt +Áp d ụng hệ thức Vi et ta có : +1 2 1 2 4; 7 x x x x+ = =− . +Khi đó ta có : +() ()2 2 22 +1 2 1 2 1 2 1 2 +2 1 1 2 1 22 4 2. 7 442 2 2 277x x x x x x x xTx x x x x x+ − − − + −= + − = − = − = − =− +7T=− 0,25 +IV 1 Bán kính c ủa miếng bìa chính là đư ờng sinh c ủa chi ễc mũ và +diện tích mi ếng bìa là di ện tích xung quanh c ủa hình nón. 0,25 +Khi đó, bán kính đáy c ủa chi ếc mũ là: +()427,048 cm3,14 17xqSrl=  = +Áp d ụng công th ức +2 2 2l h r=+ , khi đó, chi ều cao hình nón là: +()2 2 2 217 8 15 cm h l r= − = − = +Thể tích c ủa chi ếc mũ đó là: +()2 2 3 113,14 8 15 1 004,8 cm33V r h=     = +Vậy thể tích c ủa chi ếc mũ đó là +31004,8cm . +2a Lấy Q là trung điểm của OC +2OCOQ QC== +(1) 0,25 +ACO vuông t ại A có +AQ là đư ờng trung tuy ến ứng với cạnh huy ền OC +2OCAQ= = +(2) 0,25 +ECO vuông t ại E có +EQ là đư ờng trung tuyến ứng với cạnh huy ền OC +2OCEQ= = +(3) 0,25 +Từ (1), (2), (3) ta có +2OCOQ QC AQ EQ= = = = +Vậy bốn điểm +, , ,C A O E thuộc đường tròn +,2OCQ + 0,25 +2b Xét +()O có +2AOECOE= +(tính ch ất hai ti ếp tuy ến cắt nhau) +2BOEEOK= +(tính ch ất hai ti ếp tuy ến cắt nhau) 0,25 +0180 AOE BOE+= +(kề bù) +Suy ra +090 COK= 0,25 +()O có +; CA CE KB KE== +(tính ch ất hai ti ếp tuy ến cắt nhau) +Chứng minh +ΔCOE ∽ +ΔOKE (g-g) 0,25 +Suy ra +2.CE EK OE= +Suy ra +2.CA KB R= 0,25 +2c Kẻ BE c ắt AC t ại P +Chứng minh +090 AEB= +Chứng minh +CE PC= suy ra +PC AC= +Chứng minh +//EH AP +ΔABC có +//GH BGGH ACAC BC= = +( hệ quả định lý Thàles) 0,25 +ΔPCB có +//EG BGEG PCPC BC= = +( hệ quả định lý Thàles) +Từ đó ch ứng minh đư ợc +GH EG= hay G là trung đi ểm của HE +Chứng minh đư ợc I là trung đi ểm của AE +Từ đó suy ra: GI là đư ờng trung bình c ủa +Suy ra +//GI AB ( dpcm) 0,25 +Độ dài đư ờng kính c ủa đường tròn là đư ờng chéo c ủa hình ch ữ +ABCD , +Biểu thức xác đ ịnh đư ờng kính c ủa đường tròn là +A DC B +Bán kính c ủa đường tròn là +Diện tích đư ờng tròn là +Diện tích c ủa hình ch ữ nhật là +() ==2640hcnS xy m +Diện tích ph ần đất trồng hoa là ++= − = − 22 +. 4hcnxyS S S xy 0,25 +()−20 xy với mọi +− + 2220x xy y ++222 x y xy +042x y xy +42xyxy +−  −22 +42xyxyxy xy +− 2xyS xy +−320 640S +Vậy để diện tích c ủa bốn phần đất trồng hoa nh ỏ nhất thì +Khi đó +== 8 10 xy (m) + + + + +Bài I. (1,5 điểm) +1) Giáo viên lớp 9B tiến hành khảo sát thời gian tự học tại nhà (tính theo +giờ/tuần) của các học sinh trong lớp, kết quả được tổng hợp như sau: +Khoảng thời gian tự học +(giờ/tuần) [0;5) [5;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) +Số học sinh (tần số) 4 10 12 7 5 2 +a) Xác định tổng số học sinh tham gia khảo sát. +b) Tính tần số tương đối (%) cho nhóm có giờ tự học ít hơn 15 giờ/tuần. +2) Trong một cuộc thi có 10 đội tham gia, mỗi đội đều được bốc thăm một trong +các số từ 1 đến 10 tương ứng với thứ tự thi của đội mình. Số thứ tự đã được rút thăm +sẽ được loại bỏ khỏi lượt rút tiếp theo. Đội Hoa Mai cử bạn Hoa tham gia rút thăm +và là đội rút thăm đầu tiên. Tính xác suất của biến cố B: “Đội Hoa Mai không phải +3 đội thi đầu tiên”. +Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: 5 + và 4 2 +42 2x xBx x x    +với 0; 4x x  . +1) Tính giá trị của biểu thức A khi 1x. +2) Chứng minh 2 +3) Gọi P A B . Tìm các giá trị của x để 2P P. +Bài III. (2,5 điểm) +Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình +1) Nhân dịp lễ Quốc tế Lao động và mừng ngày Giải phóng miền Nam thống +nhất đất nước, siêu thị giảm giá một số sản phẩm. Bạn An mua một chiếc máy xay +sinh tố và một chiếc nồi cơm điện với tổng giá niêm yết là 2 200 000 đồng. Do máy +xay sinh tố giảm giá 30% và nồi cơm điện giảm 20% so với giá niêm yết nên bạn +An chỉ phải trả 1610 000 đồng. Tính giá niêm yết của máy xay sinh tố và nồi cơm +điện. ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 5 +2) Lúc 6 giờ sáng, một tấm bè gỗ thả trôi theo dòng nước và một thuyền chạy từ +bến sông A xuôi dòng về bến sông B. Sau khi thuyền tới B lập tức quay trở về A và +gặp bè gỗ tại vị trí cách A 20 km, lúc này là 16 giờ. Tính vận tốc thực của thuyền +khi nước lặng và vận tốc nước chảy biết hai bến sông A và B cách nhau 120 km. +3) Biết phương trình 26 0x ax   có một nghiệm 12 10x  . Tính giá trị +biểu thức +1 21 1 +2 1 2 1Ax x  . +Bài IV. (4,0 điểm) +1) Một quả bóng sắt có dạng hình cầu với bán kính bằng 10 cm. Khi thả vào một +thùng hình trụ chứa nước có đường kính đáy bằng 30 cm thì nước trong thùng dâng +lên bao nhiêu cm, biết rằng nước không bị tràn ra ngoài và lượng nước đủ để thả +ngập quả bóng? (Kết quả làm tròn tới hàng phần trăm, lấy 3,14.) +2) Cho nửa đường tròn ;O R đường kính AB và điểm M bất kì thuộc nửa +đường tròn (Mkhác ), .A B Kẻ tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn ( ,A B là +tiếp điểm). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt ,Ax By lần lượt tại , .D E Gọi +N là giao điểm của BM và .Ax +a) Chứng minh bốn điểm , , ,A D M O cùng thuộc một đường tròn. +b) Chứng minh 90DOE và tích AD BE không thay đổi khi điểm M di +chuyển trên nửa đường tròn. +c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng BM tại .I Gọi giao +điểm của AI và BD là .K Chứng minh ba điểm , ,N K O thẳng hàng. +Bài V. (0,5 điểm) +Bác An có 100 chiếc cọc gỗ bằng nhau, bác +muốn dùng để đóng cọc làm hàng rào quây thành +một mảnh vườn hình chữ nhật có một phía tận +dụng tường (như hình vẽ). Các cọc cách nhau 1 +m, tại các vị trí góc A, B, C, D đều có cọc. Tính +diện tích mảnh vườn lớn nhất mà bác An có thể +quây được? +Bài Ý Đáp án Điểm +điểm 1 Số học sinh tham gia khảo sát là: 4 10 12 7 5 2 40      +(học sinh) 0,25 +Có 4 10 12 26   học sinh có gi ờ tự học ít hơn 15 gi ờ/tuần. 0,25 +Tần số tương đối của nhóm này là 100% 65%6 +4  0,25 +2 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số thứ tự rút được +của đội Hoa Mai là: +  1;2;3;...;9;10A có 10 phần tử. +Vì rút thăm ngẫu nhiên và số thứ tự đã được rút sẽ được loại +bỏ khỏi lượt rút tiếp theo nên các k ết quả là đồng khả năng. 0,25 +Có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Đội Hoa Mai không +phải 3 đội thi đầu tiên” là 4;5;6;7;8;9;10 0,25 +Vậy xác suất của biến cố B là: 7 +10. 0,25 +điểm 1 Thay 1x(tmđk) vào biểu thức A ta có +5 1 541 22xA +x    +Vậy với 1x thì 4A. 0,5 +2 Với 0; 9x x  ta có: +42 2x xBx x x    +  2 4 2 4 +2 2x x x xB +x x    +  2 + với 0; 4x x . 0,25 + 0,25 +2P P thì 0P hoặc 1P +0P suy ra 5x hay 25x +1P suy ra 1 0P , không có giá trị 𝑥 thỏa mãn +Kết hợp điều kiện ta đ ược 0 25x ; 4x 0,25 +1 Gọi a, b (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền niêm yết của máy +xay sinh tố và nồi cơm điện, 0 , 2200000a b  . +Vì tổng giá tiền ban đầu của một cái máy xay sinh tố và một +cái nồi cơm điện là 2200000 nghìn đồng nên ta có phương +trình 2200000a b  (1) 0,25 +Giá mỗi cái máy xay sinh tố sau giảm giá là: 70% 0,7x x +(đồng). +Giá mỗi cái nồi cơm điện sau giảm giá là: 80% 0,8y y +(đồng). +Vì sau giảm giá An chỉ phải trả 1610000 nghìn đồng nên ta +có phương trình 0,7 0,8 1610000a b  (2) 0,25 +Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2200000 +0,7 0,8 1610000a b +Giải hệ phương trình ta được: 1500000 +700000a + (thỏa mãn điều +kiện). 0,25 +Vậy giá tiền ban đầu của máy xay sinh tố là 1500000 đồng, +bàn ủi là 700000 đồng. 0,25 +2 Bè gỗ thả trôi theo dòng nước đi được 20 km sau 10 giờ nên +vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nước và bằng 20210 km/h. 0,25 +Gọi vận tốc thực của thuyển khi nước lặng là x (km/h, 2x). +Thời gian mà thuyển xuôi dòng là 120 +2x (giờ). +Thời gian mà thuyền ngược dòng tới khi gặp bè gỗ là 100 +(giờ). 0,25 +Tổng thời gian thuyền di chuyển là 10h nên ta có phương +trình: +120 100102 2x x   + 120 2 100 2 10 2 2x x x x      +2220 40 10 40x x   +222 0x x  +22 0x x  0,25 +0x(loại) hoặc 22x (thỏa mãn). +Vậy vận tốc của thuyền khi nước lặng là 22km/h, vận tốc +dòng nước là 2km/h. 0,25 +3 Xét phương trình: 26 0x ax   . +Vì phương trình có nghiệm 12 10x  nên áp dụng hệ +thức Viete ta có: 1 2 +1 2 6bx x aa +cx xa    + . Suy ra +2 2 10 6x    nên 262 10 +2 10x   + . 0,25 +Do đó  1 2 2 10 2 10 4 x x a         suy ra +4a. Vậy +6bx xa +cx xa    +  +Ta có: +1 21 1 +2 1 2 1Ax x   +  2 1 +1 22 1 2 1 +2 1 2 1x xAx x    + 1 2 +1 2 1 22 2 +4 2 1x xAx x x x    +   2. 4 2 6 +4. 6 2 4 1 31A      0,25 +1 Thể tích của viên bi là  3 34 4000.10 cm3 3  +Diện tích đáy của thùng hình trụ là: +2 230. 225 cm2S R         0,5 +Chiều cao cột nước dâng lên là + 4000 160:225 5,93 cm3 27c +dVhS      0,5 +2 Hình vẽ đúng đến hết câu a) 0,25 +a a) Chứng minh: Bốn điểm , , ,A D M O cùng thuộc một +đường tròn. +Có Ax là tiếp tuyến của ( )O tại A 90DAO   +Có DE là tiếp tuyến của  O tại M 90DMO   +Xét tam giác DAO vuông tại A. Suy ra DAO△ nội tiếp đường +tròn đường kính DO hay , ,D A O thuộc đường tròn đường kính +DO (1) 0,25 +Xét tam giác DMO vuông tại M. Suy ra DMO△ nội tiếp +đường tròn đường kính DO, ,D M O thuộc đường tròn đường +kính DO (2) +Từ (1) và (2) bốn điểm , , ,A D M O cùng thuộc một đường tròn +đường kính DO. 0,25 +b b) Chứng minh 90DOE và tích AD BE không thay đổi +khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn +Xét  O có Ax và DE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D +AD DM  và OD là tia phân giác của AOM +AOD DOM +Xét O có By và DE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E +; BE DM  OE là tia phân giác của MOB +MOE EOB 0,25 +Có  0180 AOD DOM MOE EOB    + 2 180DOM MOE   90DOE   0,25 +Chứng minh đư ợc 2MO DM ME  0,25 +Mà , AD DM BE ME  (cmt) 0,25 + 2AD BE MO  mà MO R không đổi nên AD BE +không đổi khi M di chuyển trên nửa .O +c c) Chứng minh ba điểm , ,N K O thẳng hàng. +Chứng minh đư ợcK là trọng tâm của tam giác ANB +Suy ra , ,N K O thẳng hàng. 0,25 +Đặt AB CD x  (m); BC y (m) (*,x y) +Số cọc bằng 2 1 100x y   nên 99 2y x  +Diện tích mảnh vườn là + 2 299 2 2 99 S xy x x x x m     +Xét 21225 2 99 1225 25 49 2P S x x x x        0,25 +Với *x, ta xét các trường hợp sau: ++) Với 25 25 0; 49 2 0 0x x x P        ++) Với 25 0x P   . ++) Với 25 24 2 48x x x     +25 0; 49 2 0 0x x P       +Do đó: 0 1225P S   +Dấu “=” xảy ra khi 25, 49x y  (TMĐK) +Vậy diện tích mảnh vườn lớn nhất bác An có thể quây được là +21225m 0,25 +Xem thêm : KHẢO SÁT CH ẤT LƯ ỢNG TOÁN 9 +https://thcs.toanmath.com/khao -sat-chat-luong -toan-9 + + + + +Bài 1. (1,5 điểm). +1) Biểu đồ dưới đây ghi l ại kết quả đăng kí c ỡ áo đồng ph ục của các học sinh l ớp 8A . +a) Xác đ ịnh tần số tương đ ối của cỡ áo L. +b) Theo quy ư ớc của công ty may, chi ều cao học sinh và cỡ áo tương ứng đư ợc cho b ởi bảng sau: +Chiều cao +(cm) [146;152) [152;158) [158;164) [164;170) [170;176) [176;182) +Cỡ áo S M L XL XXL XXXL +Biết rằng có 12 h ọc sinh ch ọn cỡ áo L. Hãy tính s ố học sinh l ớp 8A và s ố học sinh c ủa lớp 8A có +chiều cao t ừ 164 cm tr ở lên. +2) Một hộp có 20 quả bóng đư ợc đánh s ố từ 1 đến 20, trong đó các qu ả bóng t ừ 1 đến 10 đư ợc sơn +màu đỏ và các qu ả bóng còn l ại được sơn màu xanh; các qu ả bóng có kích c ỡ và kh ối lượng như +nhau. L ấy ngẫu nhiên m ột quả bóng trong h ộp. Tính xác su ất của biến cố A: “Quả bóng đư ợc lấy ra +được sơn màu xanh và ghi s ố chia h ết cho 3” . +Bài 2. (1,5 điểm). +Cho hai bi ểu thức: 2 + và 4 +42x xBx x  với 0, 4x x  +1) Tính giá tr ị của biểu thức Akhi 16x. +2) Chứng minh +3) Tìm s ố nguyên x lớn nhất thỏa mãn 1 +Tần số tương đ ối (%) +Cỡ áo ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 6 +Bài 3. (2,5 điểm). +1) Vào ngày h ội thể thao, m ỗi lớp cử một số học sinh tham gia thi đ ấu. 40% h ọc sinh nam và 25% +học sinh n ữ của lớp 9A đ ã tham gia các môn thi đấu. Bi ết rằng, sĩ số học sinh c ủa lớp 9A là 45 +và số học sinh tham gia thi đ ấu là 15 , hãy t ính s ố học sinh nam và s ố học sinh n ữ của lớp 9A. +2) Anh Đông ch ở hàng b ằng xe đ ạp lên ch ợ trung tâm đ ể bán. Lúc v ề, anh đ ã tăng t ốc độ thêm 3km, +do đó th ời gian v ề ít hơn th ời gian đi là 20 phút. Tính t ốc độ của anh Đông lúc đi, bi ết quãng +đường từ nhà anh đ ến chợ là 20 km. +3) Cho phương tr ình b ậc hai 23 0 x mx   (ẩn x) có hai nghi ệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2| | | | 5x x  và +1 2x x. Tính giá tr ị biểu thức2 2 +1 2 A x x  . +Bài 4. (4,0 điểm). +1) Một hộp phấn không b ụi có dạng hình h ộp chữ nhật đựng vừa đủ 10 viên ph ấn có d ạng hình tr ụ +(sắp xếp như h ình minh h ọa). Biết mỗi viên ph ấn có đư ờng kính đáy là 1cm, chi ều dài 8cm. +a) Tính th ể tích m ột viên ph ấn (lấy ≈3,14); +b) Thể tích 10 viên phấn chi ếm bao nhiêu ph ần trăm th ể tích h ộp ? (Coi đ ộ dày c ủa vỏ hộp +là không đáng k ể). +2) Cho tam giác ABC nh ọn (AB < AC) n ội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BE c ủa tam +giác ABC c ắt nhau t ại H. +a) Chứng minh t ứ giác HDCE là t ứ giác n ội tiếp; +b) Ch ứng minh r ằng AH.AD = AE.AC ; +c) Gọi K là trung đi ểm của AH. Đư ờng th ẳng vuông góc v ới BK t ại K c ắt AC t ại N. Ch ứng +minh r ằng KNB ECB ; +d) Kẻ đường kính BM c ủa đường tròn (O). Ch ứng minh r ằng NM = NC. +Bài 5. (0,5 đi ểm). +Hai khu dân cư A và B n ằm ở hai b ờ đối diện của một con +sông. Khu A cách b ờ sông 15km, khu B cách b ờ sông 25 +km. Chính quy ền mu ốn xây d ựng m ột cây c ầu PQ b ắc +ngang qua sông đ ể thuận tiện đi l ại (hình v ẽ minh h ọa). +Biết rằng QM + NP = 30 km và đ ộ dài cây c ầu PQ là +không đ ổi. Hỏi đầu cầu Q cách thành ph ố A là bao nhiêu +km đ ể quãng đường đi t ừ thành ph ố A đến thành ph ố B +theo đư ờng gấp khúc AQPB là ng ắn nhất? +Bài I (1,5đ) 1a) Xác định tần số tương đối của cỡ áo L. 0,5 +30% 0,5 +1b) Hãy tính s ố học sinh lớp 8A v à số học sinh của lớp 8A có chiều cao từ 164 cm +trở lên. 0,5 +Số học sinh lớp 8A là 12:30% = 40 hs 0,25 +Số học sinh có chiều cao từ 164 cm tr ở lên: 40.(25% 15% 10%) 20   hs 0,25 +2) Tính xác su ất của biến cố A: “Quả bóng đ ược lấy ra đ ược sơn màu xanh và +ghi s ố chia hết cho 3” . 0,5 +Không gian m ẫu gồm 20 phần tử. +Ta thấy các kết quả có thể xảy ra của phép thử là đồng khả năng. 0,25 +Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A: viên bi s ố 12, 15, 18. +3( ) .20P A 0,25 +Bài II +(1,5đ) 1) Tính giá tr ị của biểu thức A khi 16.x 0,5 +Thay 16x (TMĐK) vào A: 0,25 +16 2 63.216 2A   + 0,25 +2) Chứng minh . +( 2) 4 +( 2)( 2) ( 2)( 2)x x xB +x x x x  +    0,25 +( 2)( 2)x xB +(ĐPCM). 0,25 +3 Tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn 1:2B A. 0,5 +Ta có: . +A khi 1 +2xhay 4x 0,25 +Mà x ≠ 4 nên x nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện này là x = 3 . +Vậy x = 3 0,25 +Bài III +(2,5đ) 1) Hỏi số học sinh… ? 1,0 +Gọi số học sinh nam, h ọc sinh nữ của lớp 9A lần lượt là x, y (*,x y, học sinh) 0,25 +Lập luận ra đ ược hệ phương trình: 45 +0,4 0,25 15x y +x y  +  0,25 +Giải HPT: tìm được 25x (TMĐK), 20y (TMĐK). 0,25 +Kết luận 0,25 +2) Hỏi tốc độ của anh Đông lúc đi? 1,0 +Gọi tốc độ của anh Đông lúc đi là x (km/h, 0).x 0,25 +i gian +lúc đi +a anh Đông lúc v +x + 3 (km/h) +i gian +i gian v +ít hơn th +i gian đi là +20’ = 1/3 gi +nên ta có PT: +20 20 1 +ương tr +ình, tìm +ại) hoặc +(TMĐK). +a anh Đông lúc đi +Cho phương tr +ậc hai +) có hai nghi +| | | | 5 +. Tính giá tr +ị biểu thức +=>phương tr +ình có 2 nghi +ệm trái dấu m +   +Theo đ +ịnh lí Viet: +2 2 2 2 +1 2 1 2 1 2 +( ) 2 5 6 31. +A x x x x x x +        +Bài IV +Tính th +ể tích +Bán kính đáy 1:2 = 0,5 (cm) +(HS có th +p hai phép tính) +tích 10 viên ph +m bao nhiêu ph +n trăm th +tích h +p ? (Coi đ +p là không đáng k +ể tích 10 vi +tích h +tích 10 viên ph +m 62,8:80 = +tích h +ng minh +giác HDCE là t +giác n +đúng đ +n ý a. +ng cao) +uy ra ba đi +ng kính +ng cao +đó suy ra ba đi +ng tròn +ng kính +cùng thu +ng tròn +ng kính +ội tiếp +ứng minh rằng AH.AD = AE.AC; +AEH ADC +chung; suy ra +∆AHE đ +Suy ra +AH.AD = AE.AC +i K là trung đi +a AH. Đư +ng vuông góc v +i BK t +t AC t +ng minh r +KNB ECB +ng minh +KHE ECB +ng minh b +m B, K, E, N thu +ng tròn +ng kính BN, suy ra +KNB KEH +ng minh +KHE KEH +Suy ra +KNB ECB +(đpcm) +ng kính BM c +ng tròn (O). Ch +ng minh r +ng NM = NC. +ng minh +KNB ECB +suy ra +ng minh +AMB ECB +suy ra +đó suy ra +(đpcm) +ng minh +BAK BMN +ng minh +NMC NCM +suy ra +i N hay NM = NC +(đpcm) +Bài +ảng cách AQ… +(km) thì +Ta có: +(km) và +ng minh đư +là các s +dương th +y ra khi +(km). V +y Q cách thành ph +ng AQPB ng +