CHINH PH ỤC HÀM SỐ BẬC HAI “làm cho tự tin khi bước vào ph òng thi” Ví dụ 1. Cho hàm s ố: 2yx= có đồ thị là (P) . Tìm các đi ểm M thu ộc (P) sao cho tung đ ộ gấp 4 lần hoành đ ộ. Lời giải Câu 1. Biết parabol 2( 0) y ax a= đi qua đi ểm ( 2; 2)A−− . Tìm hoành đ ộ của điểm thu ộc parabol có tung đ ộ Lời giải Câu 2. Cho parabol 4xPy= . Tìm đi ểm trên parabol (P) biết giá tr ị tuyệt đối của tung đ ộ điểm đó là 9 Lời giải Câu 3. Tìm các đi ểm M thu ộc đồ thị 4Pxy=− sao cho tung đ ộ bằng hai l ần hoành đ ộ. Lời giải Câu 4. Cho hàm s ố 4xy=− . Tìm t ọa độ các đi ểm thu ộc ()P có hoành đ ộ và tung đ ộ đối nhau. Lời giải Câu 5. Tìm đi ểm ()11; Mxy thuộc parabol ()2:2P y x=− sao cho 11 1 yx=− . Lời giải Câu 6. Cho hàm s ố 2yx=− . Tìm đi ểm ();BBB x y thuộc đồ thị của hàm s ố trên sao cho 2BBxy+ =− . Lời giải Câu 7. Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol 2( ) :P y ax= đi qua đi ểm (1;2)M . a) Xác đ ịnh giá tr ị của b) Tìm trên đ ồ thị ()P hai đi ểm ()()1 1 2 2; , ;A x y B x y với 12xx sao cho 12 1 xx+= và 12 10 yy+= Lời giải Vì parabol 2( ) :P y ax= đi qua đi ểm (1;2)M nên 22 .1 2aa=  = ()()1 1 2 2; , ;A x y B x y thuộc parabol 2( ) :P y ax= nên 1 2 22 1,22x yy x == 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 10 2 2 10 5 y y x x x x+ =  + =  + = ( ) ()2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 2 5 x x x x x x x x x x + + − =  + − = 12 1 xx+= vào (1) ta đư ợc: 1 2 1 2 1 2 5 2 x x x x− =  =− 2S x x P x x= + = = =− . Ta có: ()224 1 4. 2 9SP− = − − = Khi đó 12;xx là nghi ệm của phương trình 220 xx− − = Giái phương trình ta đư ợc 12 1; 2 xx=− = Khi đó 12( 1) 2y= − = và 22(2) 8y== Hai đi ểm cần tìm là ( 1, 2)A− và (2,8)B . Câu 8. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố 2yx= có đồ thị đi qua hai đi ểm (2; )Aa và ( ;3 )B b b a+ . b , biết điểm B nằm bên ph ải trục tung. Lời giải Câu 9. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố 2yx=− có đồ thị là parabol ()P . Tìm t ọa độ điểm M thuộc sao cho 25 OM= . Lời giải Câu 10. Cho hàm s ố 2( 3)y a x=− . Biết đồ thị hàm s ố đi qua đi ểm ( 1;1)A− . a) Tìm h ệ số b) Tìm t ọa độ giao đi ểm của đường th ẳng 44yx=− và đồ thị hàm s ố đã cho v ới hệ số a vừa tìm đư ợc ở câu a). Lời giải Câu 11. Cho hàm s ố y = (m – 3)x2 (với m ≠ 3) có đ ồ thị là parabol ( P) a) Tìm m để (P) đi qua đi ểm K(–3; 18) b) Với m tìm đư ợc ở câu a, tìm to ạ độ giao đi ểm của (P) với đường th ẳng (d): y = –7x + 4 Lời giải Cho hàm s ố y = (m – 3)x2 (với m ≠ 3) có đ ồ thị (P) a) Tìm m để (P) đi qua đi ểm K(–3; 18) a) Thay x = - 3, y = 18 vào công th ức hàm s ố Tính đư ợc m = 5 (tm) và k ết luận. b) Với m tìm đư ợc ở câu a, tìm to ạ độ giao đi ểm của (P) với đường th ẳng (d): y = –7x + 4 Với m = 5 hàm s ố có dạng y = 2x2 Phương trình xác đ ịnh hoành đ ộ giao đi ểm của (d) và (P) là: 22 7 4xx=− + Tính đư ợc 2xx= =− Tính đư ợc Suy ra to ạ độ giao đi ểm của (d) và (P) là  và () 4;32− Câu 12. Cho hàm s ố 2( 0) y ax a= . Tìm h ệ số a, biết rằng đ ồ thị của hàm s ố 2y ax= cắt đường th ẳng 32yx=− tại điểm có tung đ ộ bằng 4. Lời giải Câu 13. Xác đ ịnh hệ số a của hàm s ố bậc hai 2() y f x ax== , biết đồ thị hàm s ố đã cho c ắt đường th ẳng y 3x 20=+ tại điểm có hoành đ ộ bằng 4 Lời giải Vì hoành đ ộ bằng 4 suy ra x4= thay vào ta có Tung đ ộ giao đi ểm là y 3 4 20 32=  + = . Theo bài ra thì đ ồ thị ham s ố 2() y f x ax== đi qua đi ểm (4;32) Ta có: 232 a.4= Suy ra Vậy hệ số Câu 14. Cho Parabol ()2( 0) y f x ax a= =  có đồ thị cắt đường th ẳng y = 2x – 3 tại điểm có tung đ ộ bằng 5. ()() 22ff−+ Lời giải Thay y = 5 vào hàm số y = 2x – 3 ta có: 2x – 3 = 5 2x = 8 Thay x = 4; y = 5 vào hàm số y = f(x) = ax2 ta có: ()2 5516 5 16 16a a y f x x= = =  = = ()()5 5 52 2 .4 .4 16 16 2ff− + = + = Câu 15. Một vật rơi tự do ở độ cao 500 m xuống mặt đất. Mối quan hệ giữa quãng đường y ( tính bằng mét) ( tính từ vị trí vật bắt đầu rơi) và thời gian x ( tính bằng giây) được mô tả bởi công thức 2y ax= (với là hằng số). Biết rằng tại thời điểm giây thứ 5 , vật đi được quãng đường là 125 m . Hỏi sau bao nhiêu giây, vật sẽ rơi xuống mặt đất? Lời giải Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cánh cung của một cung thủ có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng khi ở trạng thái dây cung không kéo, cánh cung có hình dạng của parabol 80=− và khoảng cách từ đỉnh O của cánh cung đến dây cung AB là OH 20  cm= . Tính độ dài của dây cung AB Lời giải Câu 17. Một cây c ầu treo có tr ụ tháp đôi cao 75 m so v ới mặt của cây c ầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm s ố 2( 0) y ax a= như hình bên và đư ợc treo trên các đ ỉnh tháp. a) Xác đ ịnh hệ số a của hàm s ố trên. b) Tìm chi ều cao CH c ủa dây cáp bi ết điểm H cách tâm O của cây c ầu 100 m (gi ả sử mặt của cây c ầu là bằng ph ẳng). Lời giải Câu 18. Một cổng vòm đư ợc thi ết kế dạng parabol 2y ax= như hình v ẽ. Biết chi ều rộng của chân c ổng 6  m AB= và chi ều cao c ủa cổng là 4,5  m OI= . a) Tìm h ệ số a dựa vào các d ữ kiện trên. b) Tính đ ộ dài đo ạn KH, bi ết H cách đi ểm chính gi ữa cổng I là 2 m Lời giải Câu 19. Một cái c ổng vòm hình parabol 2(a 0) y ax= được thiết kế cao 4 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn căng dây đèn nh ấp nháy t ử thành c ổng bên này sang thành c ổng bên kia ở độ cao 3 m so v ới mặt đất. Hãy xác đ ịnh hệ số a và cho bi ết độ dài c ủa dây đèn nh ấp nháy là bao nhiêu mét? Câu 20. Một cái c ổng vòm hình parabol 2y mx ,(  m 0)= được thiết kế cao 6 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn gắn một thanh s ắt nằm ngang vào hai thành c ổng để treo băng rôn (Hai đầu của thanh s ắt được gắn tiếp giáp vào m ặt trong c ủa hai thành c ổng). Hãy xác đ ịnh hệ số m và cho biết nếu thanh s ắt được gắn ở độ cao 4,5 mét so v ới mặt đất thì đ ộ dài c ủa thanh s ắt là bao nhiêu mét? Lời giải CHINH PH ỤC HÀM SỐ BẬC HAI “làm cho tự tin khi bước vào ph òng thi” Ví dụ 1. Cho hàm s ố: 2yx= có đồ thị là (P) . Tìm các đi ểm M thu ộc (P) sao cho tung đ ộ gấp 4 lần hoành đ ộ. Lời giải Câu 1. Biết parabol 2( 0) y ax a= đi qua đi ểm ( 2; 2)A−− . Tìm hoành đ ộ của điểm thu ộc parabol có tung đ ộ Câu 2. Cho parabol 4xPy= . Tìm đi ểm trên parabol (P) biết giá tr ị tuyệt đối của tung đ ộ điểm đó là 9 Câu 3. Tìm các đi ểm M thu ộc đồ thị 4Pxy=− sao cho tung đ ộ bằng hai l ần hoành đ ộ. Câu 4. Cho hàm s ố 4xy=− . Tìm t ọa độ các đi ểm thu ộc ()P có hoành đ ộ và tung đ ộ đối nhau. Câu 5. Tìm đi ểm ()11; Mxy thuộc parabol ()2:2P y x=− sao cho 11 1 yx=− . Câu 6. Cho hàm s ố 2yx=− . Tìm đi ểm ();BBB x y thuộc đồ thị của hàm s ố trên sao cho 2BBxy+ =− . Câu 7. Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol 2( ) :P y ax= đi qua đi ểm (1;2)M . a) Xác đ ịnh giá tr ị của b) Tìm trên đ ồ thị ()P hai đi ểm ()()1 1 2 2; , ;A x y B x y với 12xx sao cho 12 1 xx+= và 12 10 yy+= Câu 8. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố 2yx= có đồ thị đi qua hai đi ểm (2; )Aa và ( ;3 )B b b a+ . b , biết điểm B nằm bên ph ải trục tung. Câu 9. Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm s ố 2yx=− có đồ thị là parabol ()P . Tìm t ọa độ điểm M thuộc sao cho 25 OM= . Câu 10. Cho hàm s ố 2( 3)y a x=− . Biết đồ thị hàm s ố đi qua đi ểm ( 1;1)A− . a) Tìm h ệ số b) Tìm t ọa độ giao đi ểm của đường th ẳng 44yx=− và đồ thị hàm s ố đã cho v ới hệ số a vừa tìm đư ợc ở câu a). Câu 11. Cho hàm s ố y = (m – 3)x2 (với m ≠ 3) có đ ồ thị là parabol ( P) a) Tìm m để (P) đi qua đi ểm K(–3; 18) b) Với m tìm đư ợc ở câu a, tìm to ạ độ giao đi ểm của (P) với đường th ẳng (d): y = –7x + 4 Câu 12. Cho hàm s ố 2( 0) y ax a= . Tìm h ệ số a, biết rằng đ ồ thị của hàm s ố 2y ax= cắt đường th ẳng 32yx=− tại điểm có tung đ ộ bằng 4. Câu 13. Xác đ ịnh hệ số a của hàm s ố bậc hai 2() y f x ax== , biết đồ thị hàm s ố đã cho c ắt đường th ẳng y 3x 20=+ tại điểm có hoành đ ộ bằng 4 Câu 14. Cho Parabol ()2( 0) y f x ax a= =  có đồ thị cắt đường th ẳng y = 2x – 3 tại điểm có tung đ ộ bằng 5. ()() 22ff−+ Câu 15. Một vật rơi tự do ở độ cao 500 m xuống mặt đất. Mối quan hệ giữa quãng đường y ( tính bằng mét) ( tính từ vị trí vật bắt đầu rơi) và thời gian x ( tính bằng giây) được mô tả bởi công thức 2y ax= (với là hằng số). Biết rằng tại thời điểm giây thứ 5 , vật đi được quãng đường là 125 m . Hỏi sau bao nhiêu giây, vật sẽ rơi xuống mặt đất? Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cánh cung của một cung thủ có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng khi ở trạng thái dây cung không kéo, cánh cung có hình dạng của parabol 80=− và khoảng cách từ đỉnh O của cánh cung đến dây cung AB là OH 20  cm= . Tính độ dài của dây cung AB Câu 17. Một cây c ầu treo có tr ụ tháp đôi cao 75 m so v ới mặt của cây c ầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có d ạng đ ồ thị của hàm s ố 2( 0) y ax a= như hình bên và đư ợc treo trên các đ ỉnh tháp. a) Xác đ ịnh hệ số a của hàm s ố trên. b) Tìm chi ều cao CH c ủa dây cáp bi ết điểm H cách tâm O của cây cầu 100 m (gi ả sử mặt của cây c ầu là b ằng ph ẳng). Câu 18. Một cổng vòm đư ợc thiết kế dạng parabol 2y ax= như hình v ẽ. Biết chiều rộng của chân c ổng 6  m AB= và chi ều cao c ủa cổng là 4,5  m OI= a) Tìm h ệ số a dựa vào các d ữ kiện trên. b) Tính đ ộ dài đo ạn KH, bi ết H cách đi ểm chính gi ữa cổng I là 2 m Câu 19. Một cái c ổng vòm hình parabol 2(a 0) y ax= được thiết kế cao 4 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn căng dây đèn nh ấp nháy t ử thành c ổng bên này sang thành c ổng bên kia ở độ cao 3 m so v ới mặt đất. Hãy xác đ ịnh hệ số a và cho bi ết độ dài c ủa dây đèn nh ấp nháy là bao nhiêu mét? Câu 20. Một cái c ổng vòm hình parabol 2y mx ,(  m 0)= được thiết kế cao 6 mét, kho ảng cách gi ữa hai chân cổng là 8 mét. Ngư ời ta mu ốn gắn một thanh s ắt nằm ngang vào hai thành c ổng để treo băng rôn (Hai đầu của thanh s ắt được gắn tiếp giáp vào m ặt trong c ủa hai thành c ổng). Hãy xác đ ịnh hệ số m và cho biết nếu thanh s ắt được gắn ở độ cao 4,5 mét so v ới mặt đất thì đ ộ dài c ủa thanh s ắt là bao nhiêu mét? BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 1 Ch­¬ng 2 TÝch ph©n béi 2.1. TÝch ph©n kÐp 2.1.1. §Þnh nghÜa tÝch ph©n kÐp §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho hµm sè x¸c ®Þnh trong miÒn ®ãng vµ giíi néi D cña mÆt ph¼ng Oxy. Chia miÒn D mét c¸ch tïy ý thµnh n m¶nh nhá ଵଶ ௡ kh«ng giao nhau ( ௜௝ ). Gäi Δ௜lµ diÖn tÝch cña m¶nh nhá ௜ Trong mçi m¶nh nhá ௜ lÊy mét ®iÓm tïy ý ௜௜௜. LËp tæng ௡ ௜௜௜௡ gäi lµ tæng tÝch ph©n cña hµm sè trong miÒn D. NÕu khi sao cho ௜ ( trong ®ã ௜ ký hiÖu ®­êng kÝnh cña iD, ®ã lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt cña hai ®iÓm bÊt kú thuéc iD) mµ nIdÇn tíi mét giíi h¹n h÷u h¹n I kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn D vµ c¸ch lÊy ®iÓm iM trong mçi m¶nh iD, th× giíi h¹n ®ã ®­îc gäi lµ tÝch ph©n kÐp (tÝch ph©n hai líp) cña hµm sè trong miÒn D vµ ký hiÖu ஽. Nh­ vËy    n iiiidDsyxf dSyxf i10 max),( lim),( . (1) Hµm sè gäi lµ hµm d­íi dÊu tÝch ph©n, D lµ miÒn lÊy tÝch ph©n, dS lµ yÕu tè diÖn tÝch. NÕu tån t¹i tÝch ph©n (1), th× ta nãi hµm sè kh¶ tÝch trong miÒn D. z=f(x,y) O y x D D i H×nh 2.1 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 2 V× tÝch ph©n kÐp kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn D thµnh c¸c m¶nh nhá, nªn ta cã thÓ chia D b»ng c¸c ®­êng th¼ng song song víi c¸c trôc täa ®é, do ®ã vµ ta cã thÓ thay . Khi ®ã ta th­êng viÕt Ng­êi ta chøng minh ®­îc r»ng nÕu hµm sè liªn tôc trong miÒn ®ãng vµ giíi néi D th× nã kh¶ tÝch trong miÒn ®ã. Ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n kÐp : +Tr­êng hîp ஽஽ lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch miÒn ph¼ng D. 2.1.2. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n kÐp T­¬ng tù nh­ tÝch ph©n x¸c ®Þnh, tÝch ph©n kÐp còng cã c¸c tÝnh chÊt sau 1) ஽ ஽ ஽. 2) ஽ ஽, k lµ h»ng sè. 3) NÕu miÒn D ®­îc chia thµnh hai miÒn 1Dvµ 2D (H×nh 2.2) kh«ng dÉm lªn nhau ଵଶଵଶΦ th× ஽ ஽భ ஽మ. 4) NÕu víi th× 5) NÕu víi , m vµ M lµ c¸c h»ng sè th× ஽஽ ஽, trong ®ã ஽ lµ diÖn tÝch cña miÒn D. 6) (§Þnh lý vÒ gi¸ trÞ trung b×nh ) NÕu hµm sè liªn tôc trong miÒn ®ãng vµ bÞ chÆn D th× trong D tån t¹i Ýt nhÊt ®iÓm ଴଴ sao ஽ ଴଴஽. C¸c tÝnh chÊt trªn ®­îc suy ra tõ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n kÐp. H×nh 2.2 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 3 2.1.3. C¸ch tÝnh tÝch ph©n kÐp trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c 1) Tr­êng hîp hµm sè liªn tôc trong miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt (H×nh 2.3) . Theo ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n kÐp th× ஽ lµ thÓ tÝch cña h×nh trô cã ®¸y lµ miÒn D, mÆt trªn lµ mÆt cong , mÆt xung quanh lµ mÆt trô cã ®­êng sinh song song víi trôc O z. Trong phÇn øng dông tÝnh thÓ tÝch b»ng tÝch ph©n x¸c ®Þnh, ta cã ௔ (2) trong ®ã lµ diÖn tÝch cña thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc O x t¹i cña vËt thÓ, ®ã lµ diÖn tÝch cña h×nh thang cong ABCD ®­îc tÝnh theo c«ng thøc ௖, (3) (trong c«ng thøc (3) ta coi x lµ h»ng sè) . Thay (3) vµo (2) ta ®­îc Hay ஽ௗ ௔. (4) Ta th­êng ký hiÖu ௗ Chó ý: §èi víi c«ng thøc (2) ta cã thÓ tÝnh ௖, (5) trong ®ã lµ diÖn tÝch cña thiÕt diÖn vu«ng gãc víi trôc O y t¹i cña vËt thÓ, ®­îc tÝnh theo c«ng thøc ௔, (6) (trong c«ng thøc (6) ta coi y lµ h»ng sè). hay ஽௕ ௖. (7) Tõ (4) vµ (7) ta cã Z z=f(x,y) D C c d y b x A B H×nh 2.3 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 4 ௕ ௔. (8) C«ng thøc (8) gäi lµ c«ng thøc ®æi thø tù lÊy tÝch ph©n (FUBINI). 2) Tr­êng hîp hµm sè liªn tôc trong miÒn D a) NÕu miÒn D x¸c ®Þnh bëi ଵ ଶ, c¸c hµm ଵ ଶ liªn tôc trªn ®o¹n , kh¶ vi trªn kho¶ng më (H×nh 2.4). థభ(௫) . ௔థమ(௫) థభ(௫) (9) Trong c«ng thøc (9) khi tÝnh theo y ta coi x lµ h»ng số . Chó ý:Tr­êng hîp ®­êng cong ଵ hoÆc ଶ kh«ng tån t¹i ®¹o hµm t¹i ®iÓm ଴ , th× miÒn D ®­îc chia thµnh hai miÒn ଵ vµ ଶ (  2121,DDDDD  ) (H×nh 2.5) ஽ ஽భ ஽మ b) NÕu miÒn D x¸c ®Þnh bëi ଵ ଶ ta cã ௖టమ(௬) టభ(௬). (10) Còng nh­ c«ng thøc (9), trong c«ng thøc (10) lµ tÝnh theo x tr­íc, tÝnh theo y sau. Chó ý:Tr­êng hîp ®­êng cong ଵ hoÆc ଶ kh«ng tån t¹i ®¹o hµm ଴ , th× D ®­îc chia thµnh hai miÒn ଷvµ ସ ( ଷସଷସ) (H×nh 2.6) vµ z=f(x,y) H×nh 2.4 O a x 0 b x H×nh 2.5 O x H×nh 2.6 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 5 ஽ ஽య ஽ర 3) Tr­êng hîp hµm liªn tôc trong miÒn D c«ng thøc (9) vµ (10) vÉn ®óng. VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n ଵ VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©nଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ. VÝ dô 3. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଵ √ଶ௫ି௫మ . Chó ý: Gi¶ sö ଵଶ x¸c ®Þnh trªn miÒn D lµ h×nh ch÷ nhËt th× khi ®ã ஽ ଵଶ ஽ ଵ௕ VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n ଶ ஽, trong ®ã D lµ h×nh ch÷ nhËt Ví dụ tự giải. B1. TÝnh tÝch ph©n ଶ ௫. (Đଽ B2. TÝnh tÝch ph©nଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ Đଶସସ B3. TÝnh tÝch ph©n஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi c¸c ®­êng గ ଶ (ĐS=1). B4. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଵ ଴ଵାඥଵି௬మ ଵ√ଶ௫ି௫మ B5. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଶ ඥଶ௬ି௬మ . (ĐS ଵ ଴ଵି√ଵି௫మ ଵା√ଵି௫మ ௫మ/ସ.) B6. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n sau ଶ BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 6 (ĐS ଵ B7. TÝnh tÝch ph©n sau ଵ ௬. Đ B8. TÝnh tÝch ph©nଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi Đଵ 2.1.4. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n kÐp 2.1.4.1. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n kÐp XÐt tÝch ph©n kÐp ஽, trong ®ã hµm sè liªn tôc trong miÒn D ®ãng, giíi néi. Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn sè . (11) §Þnh thøc Jacobi 0),(),( vuDyxDJ trong miÒn D’. Khi ®ã ta cã ஽ ஽, . (12) VÝ dô 5. TÝnh tÝch ph©n஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi . 2.1.4.2. TÝch ph©n kÐp trong hÖ täa ®é cùc Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn sè sang hÖ täa ®é cùc y v ( x,y) (u,v) O x H×nh 2.9 O’ u O x H×nh 2.11 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 7 khi ®ã miÒn D cña mÆt ph¼ng O xy trë thµnh miÒn D’ (H×nh 2.11) trong hÖ täa ®é cùc giíi h¹n bëi Ta cã ஽(௫,௬) ஽(௥,థ). VËy ஽ఉ ఈ௥మ(థ) ௥భ(థ).(14) Chó ý 1: X¸c ®Þnh cËn cña mét sè miÒn D trong hÖ täa ®é cùc 1) Gèc cùc O (®iÓm trong) n»m trong D (H×nh 2.12). 2)Gèc cùc O (®iÓm biªn) n»m trªn biªn cña D (H×nh 2.13). 3) Gèc cùc O n»m ngoµi D (H×nh 2.14). Khi ®ã miÒn D ®­îc x¸c ®Þnh bëi ଵ ଶ vµ ఈ௥మ(థ) ௥భ(థ). Chó ý 2 : Tr­êng hîp biªn miÒn D cã ph­¬ng tr×nh tån t¹i ®iÓm mµ t¹i ®ã hµm kh«ng kh¶ vi th× t¸ch miÒn D thµnh ଵଶ, ଵଶ nh­ trong tr­êng hîp tÝnh trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc. VÝ dô 6. ChuyÓn sang hÖ täa ®é cùc tÝnh tÝch ph©n ஽, trong ®ã D lµ h×nh trßn ଶଶ O x H×nh 2.12 O x H×nh 2.13 O x H×nh 2.14 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 8 VÝ dô 7. TÝnh tÝch ph©nଶଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ. VÝ dô 8. ChuyÓn sang hÖ täa ®é cùc tÝnh tÝch ph©n ௦௜௡ඥ௫మା௬మ ඥ௫మା௬మ ஽, D lµ h×nh vµnh kh¨n గమ Chó ý: Trong tr­êng hîp biªn cña miÒn D lµ ®­êng elip hoÆc mét phÇn cña ®­êng elip ௫మ ௕మ,ta cã thÓ ®æi biÕn (täa ®é cùc më réng). Khi ®ã miÒn D trë thµnh miÒn D’ vµ ஽(௫,௬) ஽(௥,థ) (16) VÝ dô 9.TÝnh௫మ ௕మ ஽,D lµ h×nh elip ௫మ Ví dụ tự giải: B9. TÝnh tÝch ph©n஽, D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi B10. TÝnh tÝch ph©nଶଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi ®­êng trßn ଶଶ n»m trong gãc phÇn t­ thø nhÊt (ĐSସగ B11. TÝnh tÝch ph©nଶଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ଶଶ (ĐS =1/2). B12. TÝnh tÝch ph©nଵ (௫మା௬మ)మ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ଶଶ (ĐS=32/24 ). B13. TÝnh tÝch ph©n|௬| ௫஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ®­îc x¸c ®Þnh bëi ଶଶ (ଷ B14. TÝnh tÝch ph©nଶଶ ஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng x¸c ®Þnh bëi ଶଶଶସ (ଶଶ). BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 9 B15. TÝnh tÝch ph©n஽, trong ®ã D lµ miÒn ph¼ng ®­îc giíi h¹n bëi elip (௫ିଵ)మ ௔మ(௬ିଵ)మ ௕మ (ĐS=0). Bài tập 1.(20201) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền giới hạn bởi g 2.(20201) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền (ଶ 3.(20182) TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ஽, D lµ miền 4.(20173) TÝnh tÝch ph©n ସସ ஽, D lµ miền 5.(20172) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền ଶଶ. 6.(20172) TÝnh tÝch ph©n ଵ 7.(20161) TÝnh tÝch ph©n ஽, D lµ miền giới hạn bởi 8.(20162) TÝnh tÝch ph©n ଵ ଵା௫ା௬஽, D lµ miền giới hạn bởi 2.1.5. øng dông h×nh häc cña tÝch ph©n kÐp 2.1.5.1. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ ஽. (17a) Chó ý: Trong tr­êng hîp miÒn  giíi h¹n bëi mÆt trªn ଶ vµ giíi h¹n bëi mÆt d­íi ଶ, ଵ ଶ , ଶ ଵ ஽. (18) MiÒn D lµ h×nh chiÕu cña miÒn  lªn mÆt ph¼ng Oxy. O y x D H×nh 2.19 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 10 VÝ dô 10. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi ଶ phÇn n»m trong trô tam gi¸c cã ph­¬ng tr×nh . VÝ dô 11. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଶଶ ଶ (hình 2.23) . VÝ dô 12. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi ଶଶ ଶଶ ( H×nh 2.24) 2.1.5.2. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng Tõ ®Þnh nghÜa cña tÝch ph©n kÐp, ta cã diÖn tÝch S cña miÒn ph¼ng D ®­îc tÝnh theo c«ng thøc ஽஽. (19) Chó ý: NÕu miÒn D trong hÖ täa ®é cùc ®­îc x¸c ®Þnh bëi th× diÖn tÝch cña miÒn D lµ ఈ௥మ(థ) ௥భ(థ). (20) VÝ dô 13. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng 1 y H×nh 2.22 -1 O 1 y H×nh 2.24 -1 O 1 x H×nh 2.23 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH VÝ dô 14. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng VÝ dô 15. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n c¸c ®­êng lemniscate 2.1.5.3. TÝnh diÖn tÝch cña mÆt cong Gi¶ sö khi cÇn tÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt cong S cã ph­¬ng tr×nh ®¬n trÞ vµ cã h×nh chiÕu lªn mÆt O xy lµ miÒn ph ẳng D kÝn vµ giíi néi (H×nh 2.28). DiÖn tÝch cña mÆt cong S ®­îc tÝnh theo c«ng thøc ஽. (21) VÝ dô 16. TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt parabol«it ଶଶ n»m trong h×nh trô ଶଶ. Ví dụ tự giải: B16. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ ®­îc x¸c ®Þnh bëi ( ĐS=1/18). B17. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt n»m trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt ( Đగ B18. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi phÇn n»m trong mÆt trô ଶଶ ( ĐS=90). B19. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶଶ ( ĐS=1/2). B20. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ଶ ଶ ( Đగ B21. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n bëi c¸c ®­êng ( ĐS=1/2). 0,0,0  zyx z S O y x D H×nh 2.28 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 12 B22. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn ph¼ng D giíi h¹n c¸c ®­êng cardiot vµ ®­êng trßn ( H×nh 2.58). ଶ®vdt. B23. TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt cÇuଶଶଶ n»m phÝa trong h×nh trô ®¸y lµ elip௫మ ସଶ ( Đଵ଺గ B24. TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt nãn ଶଶ n»m phÝa trong h×nh trô ଶଶ ( ĐS஽ ஽) Bài tập 1.(20172) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ giíi h¹n bëi ଶଶ , mặt trô ଶ ଶ và mặt phẳng . 2.(20172) TÝnh thÓ tÝch cña miền giíi h¹n bëi các mặt ଶଶ và mặt ଶଶ. 3.(20192) TÝnh thể tÝch cña miền D xác định bởi ଶଶ . 4.(20182) TÝnh diện tÝch cña miền D giới hạn bởi ଶ ଶ 5.(20182) TÝnh diện tÝch cña miền phẳng D giới hạn bởi ଶଶଶ 6.(20172) TÝnh diện tÝch cña mặt paraboloid ଶଶ thỏa mãn 7.(20192) TÝnh diện tÝch cña mặt paraboloid ଶଶnằm phía trên mặt phẳng . O 2 4 x H×nh 2.58 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 13 2.2. TÝch ph©n béi ba 2.2.1. §Þnh nghÜa tÝch ph©n béi ba §Þnh nghÜa 2.2.1. Cho hµm sè x¸c ®Þnh trong miÒn ®ãng vµ giíi néi cña kh«ng gian Oxyz. Chia miÒn Ω mét c¸ch tïy ý thµnh n miÒn nhá ଵଶ ௡ kh«ng giao nhau. Gäi ௜lµ thÓ tÝch cña mçi miÒn nhá ௜ Trong mçi miÒn nhá ௜ lÊy mét ®iÓm tïy ý ௜௜௜௜. LËp tæng tÝch ph©n ௡ ௜௜௜Δ௜௡ NÕu khi sao cho ௜ ( trong ®ã ௜ ký hiÖu ®­êng kÝnh cña ௜, ®ã lµ kho¶ng c¸ch lín nhÊt cña hai ®iÓm bÊt kú thuéc ௜) mµ ௡dÇn tíi mét giíi h¹n h÷u h¹n I kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn Ωvµ c¸ch lÊy ®iÓm ௜ trong mçi miÒn nhá ௜, th× giíi h¹n ®ã ®­îc gäi lµ tÝch ph©n béi ba cña hµm sè trong miÒn  vµ ký hiÖu ஐ. Nh­ vËy    n iiiiidVzyxf dVzyxf i10)(max),,( lim ),,( . (1) NÕu tÝch ph©n (1) tån t¹i th× ta nãi hµm sè kh¶ tÝch trong miÒnΩ. Khi tÝch ph©n béi ba tån t¹i th× kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chia miÒn  thµnh c¸c miÒn nhá, nªn ta cã thÓ chia  b»ng c¸c mÆt ph¼ng song song víi c¸c mÆt ph¼ng täa ®é, do ®ã vµ ta cã thÓ thay ,nªn Ω Ω. (2) +Ng­êi ta chøng minh ®­îc r»ng nÕu hµm sè liªn tôc trong miÒn ®ãng vµ giíi néi  th× nã kh¶ tÝch trong miÒn ®ã. +TÝch ph©n béi ba còng cã c¸c tÝnh chÊt t­¬ng tù nh­ tÝch ph©n kÐp. 2.2.2. C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi ba trong hÖ täa ®é ®Ò c¸c Cho miÒn  ®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଵ vµ ଶ, ଵ ଶ trong ®ã c¸c hµm ଵ ଶ lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc trong miÒn D; D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña miÒn  lªn mÆt ph¼ng O xy . BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 14 Ta cã Ω௭మ(௫,௬) ௭భ(௫,௬) ஽ ஽௭మ(௫,௬) ௭భ(௫,௬). Còng nh­ tÝnh tÝch ph©n kÐp, khi tÝnh theo z th× ta coi x, y lµ h»ng sè vµ dÉn ®Õn tÝch ph©n kÐp trªn miÒn D . Ch¼ng h¹n miÒn D ®­îc x¸c ®Þnh bëi ௔௬మ(௫) ௬భ(௫)௭మ(௫,௬) ௭భ(௫,௬). (3) VÝ dô 1. TÝnh tÝch ph©n ௗ௫ௗ௬ௗ௭ (ଵା௫ା௬ା௭ )య ஐ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt vµ c¸c mÆt ph¼ng täa ®é VÝ dô 2. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ஐ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଶଶ . Ví dụ tự giải B25. TÝnh tÝch ph©n ஐ,  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt .(ĐS 7/12) B26. TÝnh tÝch ph©n ஐ,  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଶ (ĐS=0). 2.2.3. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n béi ba 2.2.3.1. §æi biÕn sè trong tÝch ph©n béi ba XÐt tÝch ph©n Ω, (4) trong ®ã hµm sè liªn tôc trong miÒn Ω. Thùc hiÖn phÐp ®æi biÕn sè Gi¶ sö : BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 15 1) C¸c hµm sè cïng c¸c ®¹o hµm riªng cÊp mét cña nã liªn tôc trong miÒn ®ãng ' cña kh«ng gian O ’uvw. 2) C¸c hµm sè x¸c ®Þnh sù t­¬ng øng mét-mét (song ¸nh) gi÷a c¸c ®iÓm cña miÒn  cña kh«ng gian O xyz vµ c¸c ®iÓm cña miÒn ' cña kh«ng gian O ’uvw. 3) §Þnh thøc Jacobi ஽(௫,௬,௭) ஽(௨,௩,௪)ப௫ ப௪ trong miÒn Ω. Khi ®ã tÝch ph©n (4) ®­îc tÝnh theo c«ng thøc Ω'. (5) B27. TÝnh tÝch ph©n Ω, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc x¸c ®Þnh bëi . (ĐS=-2) 2.2.3.2. TÝch ph©n béi ba trong hÖ täa ®é trô §iÓm trong kh«ng gian O xyz cã täa ®é trô lµ , trong ®ã lµ täa ®é cùc cña ®iÓm h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm M lªn mÆt ph¼ng O xy (H×nh 2.34). C«ng thøc liªn hÖ gi÷a täa ®é ®Ò c¸c vµ täa ®é trô lµ víi 6) §Þnh thøc Jacobi cña phÐp biÕn ®æi trªn lµ . Khi ®ã ta cã O r y x M’ H×nh 2.34 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 16 VÝ dô 3. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ஐ, trong ®ã Ω lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt trô ଶଶ vµ c¸c mÆt ph¼ng Ví dụ tự giải B28. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ஐ, trong ®ã Ω lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi c¸c mÆt ଶଶ (Đଵ଺గ 2.2.3.3. TÝch ph©n béi ba trong hÖ täa ®é cÇu §iÓm trong kh«ng gian O xyz cã täa ®é cÇu lµ , trong ®ã lµ ®é dµi cña vÐc t¬ OM ; lµ gãc gi÷a chiÒu d­¬ng cña trôc Ox vµ (M’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn mÆt ph¼ng O xy);  lµ gãc gi÷a chiÒu d­¬ng cña trôc O z vµ OM (H×nh 2.36). C«ng thøc liªn hÖ gi÷a täa ®é ®Ò c¸c vµ täa ®é cÇu lµ víi (7) b»ng phÐp biÕn ®æi trªn th× ®Þnh thøc Jacobi lµ ଶ. Khi ®ã Ω'. (8) VÝ dô 4. TÝnh tÝch ph©n ஐ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶଶ vµ c¸c mÆt ph¼ng täa ®é (trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt). B29. TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ஐ, trong ®ã lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶ vµ mÆt nãn ଶଶ . (ଶగ/ସ Chó ý. Bµi 29, cã thÓ gi¶i b»ng c¸ch ®æi biÕn sang hÖ täa ®é trụ. x M’ H×nh 2.36 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 17 B30. TÝnh tÝch ph©n ଶଶଶଷ/ଶ trong ®ã Ω lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶଶ . 2.2.4. Ứng dông cña tÝch ph©n béi ba 2.2.4.1. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ ThÓ tÝch V cña vËt thÓ chiÕm miÒn  trong kh«ng gian lµ Ω . (10) Ví dụ tự giải B31. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ  ®­îc giíi h¹n bëi mÆt trô ଶଶ vµ c¸c mÆt ph¼ng (trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt) (H×nh 2.65) . Gi¶i: ThÓ tÝch cña vËt thÓ  ®­îc tÝnh theo c«ng thøc trong ®ã  ®­îc x¸c ®Þnh Khi ®ã ta cã ଴√ସି௫మ ଴√ସି௫మ ଴√ସି௫మ ଷ®vtt. B32. TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ  n»m gi÷a mÆt nãn ଶଶvµ mÆt paraboloit ଶଶ . ChuyÓn sang hÖ täa trô b»ng phÐp biÕn ®æi O 2 y H×nh 2.65 BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 18 . MiÒn  trë thµnh miÒn ' ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau 𝐼=∫𝑑𝜙∫𝑑𝑟ଵ ଴∫𝑟𝑑𝑧௥ ௥మ=∫𝑑𝜙.∫(𝑟ଶ−𝑟ଷ)𝑑𝑟ଵ ସ𝑟ସቁቚ1 2.2.4.2. TÝnh khèi l­îng NÕu lµ khèi l­îng riªng cña vËt thÓ  t¹i ®iÓm th× khèi l­îng cña vËt thÓ ®ã lµ Ω. (9) B33. TÝnh khèi l­îng cña h×nh lËp ph­¬ng Ω biÕt mËt ®é t¹i ®iÓm lµ . Gi¶i: Ta cã khèi l­îng cña h×nh lËp ph­¬ng  lµ Bài tập: 1. (20201) TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ఆ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi mÆt cÇu ଶଶଶ ଶଶ 2. (20192) TÝnh tÝch ph©n ଶଶଶ ఆ, trong ®ã  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi ଶଶଶ . 3. (20192) TÝnh tÝch ph©n ௗ௫ௗ௬ௗ௭ √ଶ௫ା௭మାଵ ௏, lµ miÒn giíi h¹n bëi BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 2-NHÓM NGÀNH 1-K69 GV NGUYỄN ĐÌNH BÌNH 19 4. (20192) TÝnh tÝch ph©n ఆ,  lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi ଶଶଶ . 5. (20192) TÝnh tÝch ph©n ௗ௫ௗ௬ௗ௭ ௫మା௬మାଶ ௏ , lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi ଶଶ . 6. (20182) TÝnh tÝch ph©n ௏, V lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi ଶ ଶ trong góc phần tám thứ nhất và các mặt phẳng tọa độ. 7. (20182) TÝnh tÝch ph©n ଶଶ ௏, V lµ miÒn ®­îc giíi h¹n bëi ଶଶଶ t. 8. (20173) TÝnh tÝch ph©n ଶ ఆ ,  lµ khối cÇu ଶ 9. (20172) TÝnh tÝch ph©n ௏ , V lµ miền thỏa mãn 3 Chương 1 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 1. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH H ỌC PH ẲNG 1.1. Phương trình ti ếp tuy ến và pháp tuy ến của đư ờng cong t ại một điểm. a) Điểm chính quy. - Cho đư ờng cong (𝐿) xác đ ịnh b ởi phương trình 𝑓(𝑥,𝑦)=0. Điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0) được gọi là đi ểm chính quy c ủa đư ờng cong (𝐿) nếu tồn tại các đ ạo hàm riêng 𝑓𝑥′(𝑀),𝑓𝑦′(𝑀) không đồng th ời bằng 0 . - Cho đư ờng cong (𝐿) xác đ ịnh b ởi phương trình tham s ố {𝑥=𝑥(𝑡) 𝑦=𝑦(𝑡). Đi ểm 𝑀(𝑥(𝑡0),𝑦(𝑡0)) được gọi là đi ểm chính quy c ủa đư ờng cong (𝐿) nếu tồn tại các đ ạo hàm 𝑥′(𝑡0),𝑦′(𝑡0) không đ ồng th ời bằng 0. - Một điểm không ph ải là đi ểm chính quy đư ợc gọi là đi ểm kì d ị. b) Các công thức. - Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong xác định bởi phương trình tại điểm chính quy: + Tiếp tuy ến (𝑑):𝑓𝑥′(𝑀)⋅(𝑥−𝑥0)+𝑓𝑦′(𝑀)⋅(𝑦−𝑦0)=0 + Pháp tuy ến (𝑑′):𝑥−𝑥0 𝑓𝑥′(𝑀)=𝑦−𝑦0 𝑓𝑦′(𝑀) Chú ý: Trường h ợp đặc biệt, đư ờng cong cho b ởi phương trình 𝑦=𝑓(𝑥) thì phương trình tiếp tuy ến của đư ờng cong t ại điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0) chính quy là 𝑦−𝑦0=𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0). Đây là công th ức mà h ọc sinh đã bi ết trong chương trình ph ổ thông. - Phương trình ti ếp tuy ến và pháp tuy ến của đư ờng cong (𝐿) xác đ ịnh b ởi phương trình tham s ố {𝑥=𝑥(𝑡) 𝑦=𝑦(𝑡) tại điểm 𝑀(𝑥(𝑡0),𝑦(𝑡0)) chính quy: + Tiếp tuy ến (d) : 𝑥−𝑥(𝑡0) 𝑥′(𝑡0)=𝑦−𝑦(𝑡0) 𝑦′(𝑡0). + Pháp tuy ến (𝑑′):𝑥′(𝑡0)⋅(𝑥−𝑥(𝑡0))+𝑦′(𝑡0)⋅(𝑦−𝑦(𝑡0))=0, Ví dụ 1. (20181) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong {𝑥=(𝑡2−1)𝑒2𝑡 𝑦=(𝑡2+1)𝑒3𝑡 tại điểm ứng với t = 0. Ví dụ 2. Viết phương trình ti ếp tuy ến và pháp tuy ến với đường cong: a) 𝑦=𝑥3+2𝑥2−4𝑥−3 tại (−2,5). b) 𝑦=𝑒1−𝑥2 tại giao đi ểm của đư ờng cong v ới đường th ằng 𝑦=1. 4 c. {𝑥=1+𝑡 2𝑡 tai 𝐴(2,2). 3 tại 𝑀(8,1). 1.2. Độ cong c ủa đư ờng cong. 1.2.1. Định nghĩa. Định nghĩa 1 . M, M’ l à hai điểm trên đường cong L. MT, M’T’ là 2 tiếp tuyến dương. Người ta gọi độ cong trung bình của cung 𝑀𝑀 ′̂ là tỷ số của góc giữa 2 tiếp tuyến dương MT và M’T’ với độ dài của cung 𝑀𝑀 ′̂ . Ký hiệu 𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ . Vậy 𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ =∝ trong đó ∝=|𝑀𝑇.𝑀′𝑇′|. Định nghĩa 2 . Ta gọi độ cong của đường cong L tại điểm M là giới hạn nếu có của độ cong trung bình 𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ khi M tiến dần tới M trên đường cong L. Ký hiệu C(M). Vậy 𝐶(𝑀)=lim 𝑀′→𝑀𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ Ví dụ 1. Độ cong điểm trên đường thằng bằng 0 Ví dụ 2. Độ cong điểm trên đường tròn bán kính R bằng 𝐶(𝑀)=lim 𝑀′→𝑀𝐶𝑡𝑏(𝑀𝑀 ′) ̂ =lim 1.2.2. Các công th ức tính đ ộ cong c ủa đư ờng cong t ại một điểm. • Nếu đư ờng cong cho b ởi phương trình 𝑦=𝑓(𝑥) thì: 𝐶(𝑀)=|𝑦′′| (1+𝑦′2)3/2 • Nếu đư ờng cong cho b ởi phương trình tham s ố {𝑥=𝑥(𝑡) 𝑦=𝑦(𝑡) thì: 𝐶(𝑀)=|𝑥′𝑦′′−𝑦′𝑥′′| (𝑥′2+𝑦′2)3/2 • Nếu đư ờng cong cho b ởi phương trình trong to ạ độ cực 𝑟=𝑟(𝜙) thì: 𝐶(𝑀)=|𝑟2+2𝑟′2−𝑟𝑟′′| (𝑟2+𝑟′2)3/2 Ví dụ 1. Tính đ ộ cong c ủa: a. 𝑦=−𝑥3 tại điểm có hoành đ ộ 𝑥=1 b. {𝑥=𝑎(𝑡−sin 𝑡) 𝑦=𝑎(𝑡−cos 𝑡) (𝑎>0) tại điểm bất kì. 3 tại điểm bất kì (𝑎>0). d. 𝑟=𝑎e𝑏𝜙,(𝑎,𝑏>0) Ví dụ 2 . (20173) Tính độ cong tại điểm ứng với t = 0 của đường {𝑥=𝑒𝑡+𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑦=𝑒𝑡−𝑐𝑜𝑠𝑡 5 Ví dụ 3. a. (20172) Tính đ ộ cong c ủa đư ờng y = ln(sin x) tại điểm ứng với𝑥=𝜋 b. (20182) Tính độ cong của đường 𝑦=𝑥3+2𝑥2+𝑥 tại điểm ứng với x = 1. c. Tính độ cong của đường r = a(1 + cos φ) (a > 0) tại điểm ứng với φ = π/2. d. (20172) Tính độ cong của đường {𝑥=𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑦= 𝑠𝑖𝑛 𝑡 − 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 tại điểm ứng với t = π. e. Tính đ ộ cong c ủa đư ờng y = sin x tại điểm 𝑀 (𝜀𝜋 2). Độ cong lớn nhất của đường y = sin x bằng bao nhiêu? 1.3 Hình bao c ủa họ đường cong ph ụ thuôc tham s ố 1.3.1. Định nghĩa: Cho h ọ đường cong (𝐿) phụ thuộc vào m ột hay nhi ều tham s ố. Nếu mỗi đường cong trong h ọ (𝐿) đều tiếp xúc v ới đường cong (𝐸) tại một điểm nào đó trên 𝐸 và ngược lại, tại mỗi điểm thu ộc (𝐸) đều tồn tại một đường cong c ủa họ (𝐿) tiếp xúc v ới (𝐸) tại điểm đó thì (𝐸) được gọi là hình bao c ủa họ đường cong (𝐿). 1.3.2. Quy t ắc tìm hình bao c ủa họ đường cong ph ụ thuộc một tham s ố. Định lý . Cho họ đường cong 𝐹(𝑥,𝑦,𝑐)=0 phụ thuộc một tham s ố c. Nếu ho đư ờng cong trên không có đi ểm kì d ị thì hình bao c ủa nó đư ợc xác đ ịnh b ằng cách kh ử c từ hệ phương {𝐹(𝑥,𝑦,𝑐)=0 𝐹𝑐′(𝑥,𝑦,𝑐)=0(1) Chú ý. Nếu họ đường cong đã cho có đi ểm kì d ị thì h ệ phương trình (1) bao g ồm hình bao (𝐸) và qu ỹ tích các đi ểm kì d ị thuộc họ các đư ờng cong đã cho. Ví dụ 3. Tìm hình bao c ủa họ đường cong sau: a) 𝑦=𝑥 b) 𝑐𝑥2+𝑐2𝑦=1 c) 𝑦=𝑐2(𝑥−𝑐)2 2. ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Hàm véctơ - Định nghĩa: Giả sử 𝑰 là m ột kho ảng trong R. Ánh x ạ 𝑡∈𝑰→𝑟⃗(𝑡)∈𝑹𝑛 được gọi là hàm vectơ của biến số t xác định trên R. Nếu n=3 ta viết 𝑟⃗(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑖⃗+𝑦(𝑡)𝑗⃗+𝑧(𝑡)𝑘⃗⃗. Đặt 𝑀(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡)). Quỹ tích M khi t biến thiên trong Iđược gọi là tốc đồ của hàm vector 𝑟⃗(𝑡). - Giới hạn: Người ta nói hàm vectơ có giới hạn là 𝑎⃗ khi 𝑡→𝑡0 nếu lim 𝑡→𝑡0|𝑟⃗(𝑡)−𝑎⃗|=0⃗⃗ , ký hiệu lim 𝑡→𝑡0𝑟⃗(𝑡)=𝑎⃗. - Liên tục: hàm vector 𝑟⃗(𝑡) Xác đ ịnh trên 𝑰 được gọi là liên tục tại 𝑡0∈𝑰 nếu 𝑡→𝑡0𝑟⃗(𝑡)=𝑟⃗(𝑡0) (tương đương v ới tính liên t ục của các thành ph ần tương ứng 𝑥(𝑡),(𝑡),𝑧(𝑡)) 6 - Đạo hàm: Giới hạn, nếu có của tỷ số lim ℎ→0∆𝑟⃗ ℎ→0𝑟⃗(𝑡0+ℎ)−𝑟⃗(𝑡0 ℎ được gọi là đạo hàm của hàm vectơ 𝑟⃗(𝑡) tại 𝑡0 , ký hiệu 𝑟′⃗⃗⃗(𝑡) hay 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡) 𝑑𝑡 khi đó ta nói hàm vectơ 𝑟⃗(𝑡) khả vi tại 𝑡0. Nhận xét : nếu 𝑥(𝑡),(𝑡),𝑧(𝑡) khả vi tại 𝑡0 thì 𝑟⃗(𝑡) cũng khả vi tại 𝑡0 và 𝑟′⃗⃗⃗(𝑡0)=𝑥′(𝑡0)𝑖⃗+ 𝑦′(𝑡0)𝑗⃗+𝑧′(𝑡0)𝑘⃗⃗ 2.2. Đường cong Cho đường cong (L) xác định bởi {𝑥=𝑥(𝑡) 𝑦=𝑦(𝑡) 𝑧=𝑧(𝑡) tại điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0,𝑧0) là một điểm chính quy trên (L) + Phương trình ti ếp tuy ến tại M (𝑑):𝑥−𝑥(𝑡0) 𝑥′(𝑡0)=𝑦−𝑦(𝑡0) 𝑦′(𝑡0)=𝑧−𝑧(𝑡0) 𝑧′(𝑡0) + Phương trình pháp di ện tại M (𝑃):𝑥′(𝑡0).(𝑥−𝑥(𝑡0))+𝑦′(𝑡0)⋅(y−𝑦(𝑡0))+𝑧′(𝑡0)⋅(z−𝑧(𝑡0))=0 + Độ cong của đư ờng cong (L): 𝐶=√|𝑥′𝑦′ 𝑥′′𝑦′′|2 +|𝑦′𝑧′ 𝑦′′ z|2 +|z 𝑥′ 𝑧′′𝑥′′|2 (𝑥′2+𝑦′2+𝑧′2)3/2 Ví dụ 1. (20182CK) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong {𝑥=𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑦=𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝑡 𝑧=3𝑡 tại điểm ứng với t = π/2. Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong a. (20182GK) 𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑡 ,𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑡 ,𝑧=𝑒2𝑡 tại điểm ứng với t = 0. b. (20172GK) x = 4 sin2 t, y = 4 cos t, z = 2 sin t + 1 tại điểm M(1; -2√3; 2) . Ví dụ 2. a. (20182) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong 𝑥2+𝑦2+ 𝑧2=25 và 4x + 3y + 5z = 0 tại điểm M(3; -4; 0). b. (20182) Vi ết phương trình pháp di ện của đư ờng cong 𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑡 ,𝑦=3𝑒−𝑡,𝑧=3𝑒𝑡 tại điểm M(0; 3; 3). Ví dụ 3. (20182GK) Tính độ cong tại điểm M(1; 0; -1) của đường là giao của mặt trụ 4𝑥2+ 𝑦2=4 và m ặt phẳng 𝑥−3𝑧=4. 2.2. Mặt Cho m ặt cong (S) xác đ ịnh b ởi phương trình 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=0 tại điểm 𝑀(𝑥0,𝑦0,𝑧0) là một điểm chính quy của mặt (S) + Phương trình pháp tuy ến tại M 7 (𝑑):𝑥−𝑥0 𝑓𝑥′(𝑀)=𝑦−𝑦0 𝑓𝑦′(𝑀)=𝑧−𝑧0 𝑓𝑧′(𝑀) + Phương trình ti ếp di ện tại M (𝑃):𝑓𝑥′(𝑀)⋅(𝑥−𝑥0)+𝑓𝑦′(𝑀)⋅(𝑦−𝑦0)+𝑓𝑧′(𝑀)⋅(𝑧−𝑧0)=0 Nhận xét: nếu mặt cong cho b ởi phương trình 𝑧=𝑧(𝑥,𝑦) thì phương trình ti ếp di ện tại M (𝑃):𝑧−𝑧0= 𝑧𝑥′(𝑀)⋅(𝑥−𝑥0)+𝑧𝑦′(𝑀)⋅(𝑦−𝑦0). Ví dụ 1 . (20182GK) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥2+𝑦2−𝑒𝑧− 2𝑥𝑦𝑧 =0 tại điểm P(1; 0; 0). Ví dụ 2. a. (20183GK) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến tại điểm A(0; 1; 2) của mặt z = 2yesin x. b. (20172) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑙𝑛(𝑥2+3𝑦) −2𝑧3= 2 ltại điểm M(1; 0; -1). c. (20182) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt 𝑥2+𝑦2− 𝑧2=−1 tại M(2; 2; 3). d. (20182) Viết phương trình tiếp diện của mặt 𝑥2+3𝑦2− 𝑧2=3 biết nó song song mặt phẳng x - 3y + z = 0. 8 2.3. Mét sè ®­êng vµ mÆt trong kh«ng gian 2.3.1 §­êng th¼ng §­êng th¼ng  ®i qua ®iÓm ),,(0000 zyxM vµ song song víi vector },,{ pnma= ( vect¬ chØ ph­¬ng) cã ph­¬ng tr×nh lµ mxx0 0 0 −=−=− HoÆc d­íi d¹ng tham sè ptzzntyymtxx +=+=+=0 0 0 , , (t lµ tham sè). 2.3.2 MÆt ph¼ng MÆt ph¼ng P ®i qua ®iÓm ),,(0000 zyxM vµ vu«ng gãc víi vect¬ },,{ CBA n= ( vect¬ ph¸p tuyÕn) cã ph­¬ng tr×nh lµ .0) ( ) ( ) (0 0 0 =−+−+− zzC yyB xxA Ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng lµ 0=+++ D CzByAx trong ®ã },,{ CBA n= lµ vect¬ ph¸p tuyÕn . 2.3.3 MÆt bËc hai Ph­¬ng tr×nh bËc hai ba biÕn tæng qu¸t cã d¹ng 02 2 2=+++++++++ MKz Hy Gx Fyz Exz Dxy Cz By Ax B»ng mét sè phÐp biÕn ®æi ta cã thÓ ®­a ph­¬ng tr×nh trªn vÒ mét trong c¸c d¹ng sau ®©y gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c cña c¸c mÆt bËc hai: 1) MÆt cÇu 2 2 2 2Rzyx =++ , t©m )0;0;0(O , b¸n kÝnh R (H×nh 1.14). MÆt cÇu c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng trßn 2 2 2 2 2 2 2 2 20 , 0 , 0 Rzy xRzx yRyx z =+==+==+= 1) MÆt elipx«it ax , t©m )0;0;0(O , a,b,c lµ c¸c b¸n trôc (H×nh1.15). MÆt elipx«it c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng elip 1 0 ,1 0 ,1 022 =+==+==+= H×nh 1.12 O y H×nh 1.13 -R O R y H×nh 1.14 -R O R y H×nh 1.15 9 3) MÆt parabol«it eliptic axz+= ®Ønh )0;0;0(O , a,b lµ c¸c b¸n trôc (H×nh 1.16). MÆt parabol«it eliptic c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng parabol axz y ==== 0=constz th× thiÕt diÖn song song víi mÆt ph¼ng O xy lµ elip. 4) MÆt parabol«it hyperb«lic axz+−= (H×nh 1.17). MÆt parabol«it hyperb«lic c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng parabol axz y +==−== 5) MÆt hyperbol«it mét tÇng ax (H×nh 1.18). MÆt hyperbol«it mét tÇng c¾t c¸c mÆt täa ®é theo c¸c ®­êng sau 1 0 ,1 0 ,1 022 =−==−==+= 6) MÆt hyperbol«it hai tÇng ax (H×nh 1.19). O y H×nh 1.16 O y H×nh 1.17 H×nh 1.18 -a y H×nh 1.19 MÆt hyperbol«it hai tÇng kh«ng c¾t mÆt täa ®é 0=z , c¾t c¸c mÆt täa ®é 0 ,0==y x theo c¸c ®­êng hyperbol 1 0 ,1 022 =−==−= 7) MÆt nãn ax ( H×nh 1.20). 8) MÆt trô bËc hai XÐt mÆt cong (S) x¸c ®Þnh bëi ph­¬ng tr×nh 0),(=yxf , kh«ng chøa z. Trªn mÆt 0=z , ph­¬ng tr×nh 0),(=yxf x¸c ®Þnh ®­êng cong (C). MÆt cong (S) ®­îc sinh ra bëi ®­êng th¼ng ( gäi lµ ®­êng sinh ) lu«n song song víi trôc O z vµ tùa vµo ®­êng cong (C), (®­êng cong (C) gäi lµ ®­êng chuÈn ). MÆt cong (S) gäi lµ mÆt trô T­¬ng tù ®èi víi ph­¬ng tr×nh kh«ng chøa x (hoÆc y) x¸c ®Þnh mÆt trô cã ®­êng sinh song song víi trôc O x (hoÆc O y). MÆt trô eliptic ax ( H×nh 1.21). MÆt trô hyperb«lic ax ( H×nh 1.22). MÆt trô parab«lic axz= ( H×nh 1.23). z z x y H×nh 1.20 H×nh 1.21 z z y y x x H×nh 1.22 H×nh 1.23 BÀI 1. ĐƠN TH ỨC – ĐÁP ÁN 1A. Các bi ểu thức là đơn th ức là: ()21; 4; ; 1 2 ; 22xxy y xz− − + . 1B. Các bi ểu thức là đơn th ức là: ()3 13; ; 4 3 ; ; 25xyz xy xyz+− . 2A. a) ()()()8 2 7 2 8 7 3 1516 2 3 16.2. . . . 3 . . . 96 = = =A xy x y x x y y x y ()()2 3 2 3 3 41 1 2.2 .2 . . . 3=− = − =− B x y xy x x y y x y ; () ()()()3 3 5 3 3 5 6 61 1 1. 2 . 2 . . . 4 4 2.= − = − =−C x y x y x x y y x y ()()6 4 2 2 5 6 2 4 2 5 9 113 8 3 8 2. . . . . . . . 4 9 4 9 3.=− = − =− D x y xy x y x x x y y y x y 2B. a) 368 A x y=− ; b) 5 3 33 2B x y z= 4655 C x y=− ; d) 6 7 29D x y z= 3A. a) Các đơn th ức đã đư ợc thu g ọn là: ()5 4; 2 3 15B xyz D xy= = + ; Các đơn th ức còn l ại: ()2 2 34 . 4. . . 4= = =A xy x x x y x y ; ()()()3 3 3 3 61 1 1. 2 . 2 . . 2= − = − =−C x y x x x y x y b) Đơn th ức 34A x y= có hệ số là 4 , ph ần biến là Đơn th ức 15B xyz= có hệ số là 15 , phần biến là Đơn th ức 2C x y=− có hệ số là 2− , phần biến là Đơn th ức ()523 D xy=+ có hệ số là () 23+ , phần biến là 3B. a) Các đơn th ức đã thu g ọn là: ()4 1; 7 1 5G mx y H xy=− = − ; Các đơn th ức còn l ại: 2 2 233E x y yz x y z=  = ; ()()()2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12.2,5 3 5 3 . . . 8 8. 2 44= + = + = = = F yz y y y z y z y z y z b) Đơn th ức 223E x y z= có hệ số là 3 , ph ần biến là 22x y z ; Đơn th ức 222F y z= có hệ số là 2 , ph ần biến là 22yz ; Đơn th ức 5G mx y=− có hệ số là 5− , phần biến là 4mx y ; Đơn th ức () 71 H xy=− có hệ số là () 71− , phần biến là 4A. a) ()2 3 3 2 4 24 3 4 3. . . . 2 3 2 3. 2=− = − =− A xy x x x y x y . 1x= và 2y=− thì giá tr ị của biểu thức 422.1 ( 2) 2.1.4 8;.=− − =− =−A ()()2 2 2 2 3 31 3 1 3 1. . . . .. 3 4 3 4 4.    = − = − =−        B xy yx x x y y x y . 2x= và 1y=− thì giá tr ị của biểu thức ()3311.2 ( 1) .8. 1 2.. 44=− − =− − =B 4B. a) 359 M x y=− . Với 3x= và 1y= thì giá tr ị của biểu thức M là : 359.3 1 9.27.1 243.=− =− =−M 18N x y=− . Với 2x=− và 3y= thì giá tr ị của biểu thức 45 55.( 2) 3 .16.243 1080. 18 18. =− − =− =−N 5A. a) 2 3 3 5.2 1 1.2 5 4 5=− =−A x y xy yz x y z . Đơn th ức A có h ệ số là 5− , phần biến là 35x y z , bậc là 3 5 1 9+ + = ()3 3 5 3 6 7 3.13. 2 3 42= − =−B x y x y yz x y z . Đơn th ức B có hệ số là 2− , phần biến là 6 7 3x y z , bậc là 6 7 3 16+ + = 5B. a) 2 5 3 3 5 6 4.3 5 5 4 3 4=− =−A x y z x yz x y z . Đơn th ức A có hệ số là 4− , phần biến là 5 6 4x y z , bậc là 5 6 4 15+ + = ()3 5 2 5 3 8 6 6. 5 .7 2 ( ) 70=− − − =−B x yz x z y z x y z . Đơn th ức B có hệ số là -70 , ph ần biến là 8 6 6x y z , bậc 8 6 6 20+ + = . 6A. a) D= A.B.C 2 4 3 3 41 15.3 .5 22==x y xy yz x y z . b) Hệ số là 2 , phần biến là 3 3 4x y z , bậc là 3 3 4 10+ + = . 6B. a) D= A.B.C 2 2 3 4 4 35 .11 5 . 275 =− =−xy xy x yz x y z; b) Hệ số là - 275, ph ần biến là 4 4 3x y z , bậc là 4 4 3 11+ + = . 7A. a) ()()3 2 3 3 2 3 5 41 4 1 4 2. . . . . 2 3 2 3 3.      − = − =−             x y x y x x y y x y ; Bậc của đơn th ức là 5 4 9+= ; () ()()4 2 2 2 4 2 3 6225 . 5. . 2 . . . . 55   ==       xy x y z x x y y z x y z ; Bậc của đơn th ức là 3 6 1 10+ + = ; ()()5 2 3 2 3 5 2 4 6 6 10 6 1..04. . . . . 15 9 15 9 9 −−      − = − =            yz x y z x y y z z x y z ; Bậc của đơn th ức là 2 4 6 12+ + = ; () ()()2 3 3 2 2 4 2 5518 . 18. . . . . 10 99   ==      xz y xy x x y y z x y z ; Bậc của đơn th ức là 2 4 2 8+ + = . 7B. a) 2 2 36x y z . Bậc 7 ; b) 5 3 45 2x y z ; Bậc 12; 2 3 29x y z ; Bậc 7 ; d) 5 4 310x y z− ; Bậc 12 . 8B. a) ()() 2 5 3 2 5 3 4xy xy xy xy xy+ + − = + − = ; () ()3 3 3 3 3 2 2 54 3 4 3 3 3 3x yz x yz x yz x yz x yz+ + − = + + − = ; () ()2 9 2 9 2 9 2 9 2 92 5 2 5 131 3 2 3 2 6xy z xy z xy z xy z xy z+ − + = + − + = ; ()5 4 6 5 4 6 5 4 612 46 16x y z x y z x y z− + + − ( )5 4 6 5 4 612 46 16 18 x y z x y z = − + − =. 8B. a) 3 4 29x y z ; b) 6932xy− ; c) 15y zt− d) 5343xz . 9A. a) ()5 7 5 7 5 7 5 7 5 77 2 4 7 2 4 9A x y x y x y x y x y= − + = − + = ; 2 7 3 2 7 3 2 7 333 21 48B x y z x y z x y z= + − ( )2 7 3 2 7 333 21 48 6 x y z x y z = + − =; 4 2 4 2 4 22 283 55C x yz x yz x yz= − + 4 2 4 2 2 2833 55x yz x yz= − + =; 4 4 4 4 41 5 1 5 322 4 2 4 2 4D xy xy xy xy xy= − − = − − =−  . 9B. a) 310M x y= ; b) 22N x y=− ; c) 14P x y= ; d) 2 3 319 Q x y z=− . 10. Các đơn th ức là 2 2 313 ; ; ;5 2xy x xyz x y . 11. a) 3A x y=− ; b) 4 4 43 2B x y z=− ; c) 4xy z− ; 2xy− . HS t ự xác đ ịnh bậc và h ệ số. 12. a) Các đơn th ức đồng dạng là 2 3 2 3 2 3 2 3 15 ;2 ; ; 4 2x y x y x y x y −− ; 2xy c) 23.5.( 3) 2 180 2−= ; d) 12 1530xy− 13. a) 7n= ; b) 1n= ; c) 14. a) Hai đơn th ức đồng dạng khi 15mm− = − và 1 0;5 0mm−  −  . Tức là b) Hai đơn th ức đồng dạng khi 1 5 ; 1 7m m n n− = − + = − và 1 0;5 0; 1 0;7 0m m n n−  −  +  −  . Tức 3; 3mn== . 15. a) 13abc ; b) 333xy ; c) 59mn− . 16. Chu vi c ủa hình ch ữ nhật là () () 4 3 .2 8 6 cm+ = +x xy x xy ; Diện tích c ủa hình ch ữ nhật là ()224 .3 12 cm= x xy x y . 17. Đáp s ố: ()()3 3 2 26 m ; 1296 mxy . TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 A. LÝ THUY ẾT NGUYÊN T Ử "Nguyên tử" là một từ trong ti ếng Hy Lạp có nghĩa là “không thể chia cắt ” Người Hy Lạp cho r ằng vật chất có thể được phân chia thành những hạt rất nhỏ và không thể nhìn thấy, gọi là nguyên tử. Triết gia ngư ời Hy Lạp Democritus đã s ử dụng khái niệm về nguyên tử đ ể giải thích bản chất của vật chất. Ông cho rằng nguyên t ử cấu tạo nên tất cả các chất. Ông cho r ằng các nguyên tử luôn luôn chuyển động, chúng là những hạt cực kỳ nhỏ bé, khác nhau về hình dạng, kích thước và nhiệt độ. Chúng ta không thể phá hủy các nguyên tử. Sau đó, vào năm 1808, John Dalton đã đề xuất thuyết nguyên tử. Ông giải thí ch định luật kết hợp hóa học gi ữa các chất là sự kết hợp giữa các nguyên t ử. Vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 20, nhiều nhà khoa học khác đã phát triển và đưa ra các khái niệm khác nhau về “nguyên tử,” tiêu biểu như J.J. Thomson, Goldstein, Ruthe rford và Bohr. Thí nghiệm của Rutherford s ử dụng hạt alpha (α: hạt nhân 2He ) bắn ph á lá vàng Thí nghiệm bắn phá lá vàng của Ernest Rutherford (thực hiện khoảng năm 1909) là một trong những thí nghiệm kinh điển trong vật lý hạt nhân, giúp khám phá ra cấu trúc nguyên tử theo mô hình hạt nhân. Ông sử dụng nguồn phát hạt alpha (hạt nhân helium) bắn vào một lá vàng d át mỏng, xung quanh đặt màn huỳnh quang nối với kính hiển vi để quan sát và ghi nhận các vị trí hạt alpha bị tán xạ. Ông quan s át được phần lớn hạt alpha đi xuyên qua lá vàng mà không bị lệch hướng, một số hạt bị lệch một góc nhỏ v à rất ít hạt (khoảng 1/8000) bị bật ngược tr ở lại. Qua k ết quả quan s át được ông đ ề xuất mô h ình hành tinh nguyên t ử và đến nay v ẫn được các nhà khoa h ọc sử dụng và hoàn thiện hơn. Hiện nay ngư ời ta đang th ống nhất một cách kh ái quát về nguyên t ử như sau: + Nguyên tử là đơn vị nhỏ nhất của vật chất mang đ ầy đủ tính ch ất của một chất, khi chia nhỏ sẽ không c òn mang t ính ch ất của vật chất. + Các nhà khoa h ọc qui ư ớc nguyên t ử có hình dạng là một khối cầu. + Nguyên t ử gồm m ột trung tâm mang đi ện tích “dương” gọi là hạt nhân, v à các electron mang đi ện tích “âm” quay xung quanh gi ống như c ác hành tinh quay quanh m ặt trời (Hệ hành tinh nguyên t ử theo đ ề xuất của Rutherford) . + Các hạt hạ nguyên tử (có kích thư ớc nhỏ hơn nguyên t ử) cực nhỏ cấu thành nguyên tử bạc sẽ quyết định các tính chất của nguyên tử bạ c. + Hạt nhân nguyên t ử là nơi t ập trung kh ối lượng và được cấu tạo bởi hai lo ại hạt là proton và neutron. Các nguyên t ử của cùng m ột nguyên t ố sẽ có hạt proton gi ống nhau. Dựa vào bài đọc hãy trả lời các câu h ỏi sau Câu 1 : Phát biểu nào sau đây l à đúng? A. John Dalton l à người đề xuất khái niệm vật chất được cấu tạo bởi các hạt vô c ùng nh ỏ gọi là nguyên t ử B. Các hạt nguyên t ử luôn c ó xu hư ớng di chuy ển và có hình dạng gi ống nhau C. Các chất được hình th ành do s ự liên k ết giữa các nguyên t ử TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG LUYỆN THI CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO NGUYÊN T Ử Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 Lớp : 10 Hóa MODULE 1 : CÁC HẠT CƠ B ẢN Thầy giáo : Nguyễn Việt Hà Điện thoại : 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 D. Mô h ình hành tinh nguyên t ử của J.J Thomson cho r ằng nguyên t ử có cấu trúc giống hệ mặt Câu 2. Phát biểu sau đây Đ úng/Sai? Câu 3: Dựa vào bảng thông s ố vật lí ở phần 2 hãy cho bi ết Biết nguyên t ử Al có chứa 13 hạt electron, 13 h ạt proton v à 14 hạt neutron, kh ối lượng của hạt 2. Các thông số vật lý 2.1 Kh ối lượng các hạt vi mô Hạt Proton Neutron Electron lượng (m) 1,66.10-24(g)≈1 (amu) 1,66.10-24(g)≈1 (amu) 9,1.10-28(g)≈5, 5 .10-4(amu) Điện tích (Z) 1,6.10-19(c) = 1+ 0 -1,6.10-19(c) = 1 - 2.2. Thể tích nguyên tử: ( coi nguyên tử là một hình cầu) 3 4V=πR3 trong đó R là bán kính của nguyên tử *Đơn vị: 1m=10 dm=1 00 cm=1000 mm= 106 µm= 109nm=1010 Å (làm tròn đến hàng đơn v ị) Câu 5. Khối lượng riêng đư ợc tính bằng công th ức d= V . Khối lượng riêng c ủa một nguyên t ử 2.3. Bài toán về các hạt cơ b ản * Vì nguyên tử trung hòa về điện mà *điện tích p và e bằng nhau về độ lớn nh ưng ngược dấu Số p = S ố e = Z * Do khối lượng nguyên tử tập trung ở hạt nhân nên qui ước số khối của nguyên tử A= P + N (hoặc = Z + N ) Khi làm thực nghiệm ta có n1 1,52p ( trừ nguyên tố H) * Kí hiệu nguyên tử: Nguyên tố : là tập hợp các nguyên tử có cùng số p trong điện tích hạt nhân . Các nguyên tử có số proton giống nhau sẽ là của cùng môt nguyên tố A: Số khối Z: điện tích hạt nhân ( Z=p) và mang điện tích (+) BÀI TẬP TRẮC NGHI ỆM Câu 1: Hạt nhân c ủa hầu hết các nguyên t ử do các lo ại hạt sau c ấu tạo nên A. electron, proton và neutron B. electron và neutron C. proton và neutron D. electron và proton Câu 2: Một nguyên t ử được đặc trưng cơ b ản bằng A. Số proton và đi ện tích h ạt nhân B. Số proton và s ố electron Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 C. Số khối A và s ố neutron D. Số khối A và đi ện tích h ạt nhân Câu 3: Nguyên t ố hóa h ọc bao g ồm các nguyên t ử: A. Có cùng s ố khối A B. Có cùng s ố proton C. Có cùng s ố neutron D. Có cùng s ố proton và s ố neutron Câu 4: Điều khẳng định nào sau đây là sai ? A. Hạt nhân nguyên t ử được cấu tạo nên b ởi các h ạt proton, electron, neutron . B. Trong nguyên t ử số hạt proton b ằng số hạt electron. C. Số khối A là t ổng số proton (P ) và t ổng số neutron (N). D. Nguyên t ử được cấu tạo nên b ởi các h ạt proton, electron, neutron . Câu 5: Phát bi ểu sau đúng /sai? Câu 6: Cho c ác mệnh đề sau? (1) S ố điện tích h ạt nhân đ ặc trưng c ho 1 nguyên t ố. (2) Ch ỉ có hạt nhân nguyên t ử oxygen mới có 8 proton. (3) Ch ỉ có hạt nhân nguyên t ử oxygen mới có 8 neutron . (4) Ch ỉ có trong nguyên t ử oxygen mới có 8 electron. Các mệnh đề đúng là: ……………………………… …….. Câu 7: Cho c ác phát biểu sau 1. Trong m ột nguyên t ử luôn luôn có s ố proto n = s ố electron = s ố điện tích h ạt nhân 2. Tổng số proton và s ố electron trong m ột hạt nhân g ọi là s ố khối 3. Số khối A là kh ối lượng tuy ệt đối của nguyên t ử 4. Số proton =đi ện tích h ạt nhân 5. Đồng vị là các nguy ên tử có cùng s ố proton nhưng khác nhau v ề số neutron Các mệnh đề sai là:………………………………………………………. Câu 8 : Nguyên t ử 13Al có : A. 13p, 13e, 14n. B. 13p, 14e, 14n. C. 13p, 14e, 13n. D. 14p, 14e, 13n. Câu 9 . Nguyên t ử của nguyên t ố X có tổng số hạt là 40 .T ổng số hạt mang đi ện nhi ều hơn t ổng số hạt không mang đi ện là 12 h ạt .Nguyên t ố X có s ố khối là:……………… Câu 10 . Trong nguyên t ử một nguyên t ố X có tổng số các lo ại hạt là 58. Bi ết số hạt p ít hơn s ố hạt n là 1 h ạt. Kí hi ệu của X là:……………………. Câu 1 1. Tổng các h ạt cơ b ản trong m ột nguyên t ử là 155 h ạt. Trong đó s ố hạt mang đi ện nhi ều hơn s ố hạt không mang đi ện là 33 h ạt. Nguyên t ử có số khối là:………….. Câu 12 . Tổng các h ạt cơ b ản trong m ột nguyên t ử X là 82 h ạt. Trong đó s ố hạt mang điện nhi ều hơn s ố hạt không mang đi ện là 22 h ạt. Nguyên t ử là nguyên t ử của nguyên t ố:………… TỰ LUẬN Câu 1 3: Nguyên tử của 1 nguyên tố M được cấu tạo bởi 115 hạt trong đó hạt mang điện nhiều hơn hạt không mang điện là 25 hạt. Xác định số hiệu nguyên tử của M, số khối của M. Viết ký hiệu của nguyên tố M.? Câu 14 : Một nguyên tử R có tổng số hạt mang điện và không mang điện là 34, trong đó số hạt mang điện gấp 1,833 lần số hạt không mang điện. Xác định tên v à kí hiệu của nguyên t ử R? Câu 15 : Một nguyên tố R có tổng các loại hạt là 48 . Hãy xác định nguyên t ố R và viết kí hiệu nguyên t ử của R? Câu 16 : Nguyên tử X có tổng các loại hạt = 52. Hãy xác định số hạt e, p, n trong nguyên tử. Viết kí hiệu nguyên t ử X? Câu 17 : Một nguyên tố A có tổng các loại hạt là 95 hạt. Trong đó số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 25. Viết kí hiệu của nguyên t ố A? Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988 .22.38.38- Thầy Đức ( Lý): 0934 .331 .222 Câu 18*: Trong phân tử M 2X có tổng số hạt p, n, e là 140. Trong đó số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 44 hạt. Số khối của nguyên tử M lớn hơn số khối của nguyên tử X là 23 hạt. Tổng số hạt trong nguyên tử M nhiều hơn trong X là 3 4 hạt . Hãy xác định các nguyên tố M, X v à hợp chất M 2X Câu 19*: Cho hợp chất có dạng MX tổng p , n , e trong MX là 84 . Trong đó tổng hạt mang điện lớn hơn tổng số hạt kh ông mang điện là 28 . Tổng số hạt trong X lớn hơn tổng số hạt trong M là 36 hạt . Tổng số hạt trong hạt nhân X lớn hơn tổng số hạt trong hạt nhân M là 24 hạt. Xác định X và M .Gọi tên MX Câu 2 0*: Cho hợp chất MX 3 trong đó M là kim loại và X là phi kim. Phân tử MX 3 có tổng số p, n , e là 196 trong đó tổng số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 60. Số hạt mang điện trong M nhỏ hơn số hạt trong X là 8. Xác định số thứ tự của M và X . Gọi tên MX 3 Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đ ạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUYẾT ĐỒNG V Ị NGUYÊN T Ử HYDROGEN Hydrogen là nguyên tố đầu tiên trong bảng tuần hoàn và có số hiệ u nguyên tử bằng một. Những nguyên t ử có cùng số hiệu nguyên tử ( Z) nhưng khác nhau về số khối ( A) được gọi là đồng vị . Có ba đồng vị của hydrogen , gồm: protium ( 1H), deuterium ( 1H hay D) và cuối cùng là tritium ( 1H hay T). Các đồng vị này khác nhau do số lượng neutron trong hạt nhân của chúng không giống nhau Hình 2. Các đồng vị của nguyên t ử Hydrogen 1. Protium (1H ) Protium là một trong những đồng vị phổ biến của hydrogen . Nó có mặt rất nhiều trong tự nhiên, chiếm khoảng 99,98%. Khối lượng của protium là 1,007825 amu. Hydrogen thường kết hợp với các nguyên tử hydrogen khác tạo thành hợp chất, tồn tại dưới dạng H 2. 2. Deuterium ( 2H) Hạt nhân của 2H được gọi là Deuterium gồm 1 proton và 1 neut ron. Đồng vị này không phóng xạ. Các hợp chất của nó được dùng trong phân tích h óa học và làm dung môi cho hydrogen . Nước nặng (D2O) là loại n ước giàu các phân tử chứa deuterium thay vì proti um. Nước nặng được sử dụng làm c hất làm mát và chất điều chậm neutron trong c ác lò phản ứng hạt nhân. Deuterium cũng được dùng làm nhiên liệu trong phản ứng nhiệt hạch (ph ản ứng ở trên m ặt trời và bom h ạt nhân) . Trong tự nhiên, nó tồn tại dưới dạng khí D 2 3. Tritium (3H ) Tritium gồm 2 neutron và 1 proton trong hạt nhân. Một lượng v ết rất nhỏ tritium tồn tại trong tự nhiên do sự tương tác của tia vũ trụ với các khí trong khí quyển. Đồng vị này cũng được giải phóng với lượng nhỏ trong các vụ thử vũ khí hạt nhân. Tritium là chất phóng x ạ, phân rã thành helium thông qua quá trình phân rã beta. Tritium có khối lượng nguyên tử là 3,0160492 u. Dựa vào bài đọc hãy trả lời câu h ỏi sau Phát biểu nào sau đây l à đúng A. Đồng vị là các nguyên t ử có cùng đi ện tích hạt nhân nh ưng c ó số electron kh ác nhau. B. Trong t ự nhiên c ó hai lo ại đồng vị Hydrogen ph ổ biến là Protium v à tritium C. Deuterium c ó tính ph óng xạ nên đư ợc sử dụng trong c ác lò phản ứng hạt nhân. D. Trong ba đ ồng vị của Hydrogen th ì đồng vị Tritium d ễ bị phân r ã nhất. Câu 2: Phát biểu sau đây đ úng hay sai? (2) Nư ớc nặng có thể điều chế bằng ph ản ứng 2D 2 + O 2   2D2O.......... (4) Ngu ồn năng lư ợng để phát sáng của mặt trời dựa vào phản ứng nhi ệt hạch......... Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 Lớp : 10 Hóa MODULE 2: ĐỒNG V Ị NGUYÊN TỐ Thầy giáo : Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đ ạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 * Đồng vi: Là các nguyên tử có cùng số proton trong hạt nhân nhưng có số Neutron khác nhau dẫn đến số khối (A) khác nhau. * Công thức tính nguyên tử khối trung bình 1 1 2 2 n nX 1 2 nA .x +A .x +...+A .xAx +x +...+x Trong đó: A là nguyên tử khối trung bình của nguyên t ử X A1, A2..: là số khối mỗi đồng vị. Nếu x 1, x2..: là phần trăm số nguyên tử (hay % về số mol) mỗi đồng vị => x1 + x 2+..x n=100 Nếu x 1, x2 …: là số nguyên tử mỗi đồng vị => x1 + x 2+..x n=tổng số nguyên t ử BÀI TẬP TRẮC NGHI ỆM Câu 1 : Đồng có hai đồng vị, chúng khác nhau về: A. Số electron B. Số proton C. Số điện tích hạt nhân D. Neutron Câu 2 : Nguyên tố hóa học là những nguyên tử có cùng: A. Số Neutron và proton B. Số Neutron C. Số proton D. Số khối. Câu 3 : Cho c ác nguyên t ử của nguyên t ố sau: 12X6 , 14Y6 , 14Z7 . Phát biểu nào sau đây đ úng A.X và Y là cùng m ột nguy ện tố B. Y và Z là cùng m ột nguyên t ố C. X à Z có cùng số hạt Neutron D. Y v à Z có cùng số hạt electron Câu 4: Cho nguyên t ử Hydrogen có hai đ ồng vị 1H và 2H. Nguyên t ử Oxygen có 3 đồng vị 15O, 16O, 18O. Số phân t ử nước có thể tạo thành là A. 6 B.9 C.8 D. 7 Câu 5: Cho nguyên t ử S có 2 đồng vị là 31S và 32S. Nguyên t ử Oxygen có 3 đồng vị 15O, 16O, Câu 6 : Đồng có đồng vị 63Cu (69,1%) và 65Cu. Nguyên tử khối trung bình c ủa đồng là: Câu 7 : Trong thiên nhiên Ag có hai đồng vị 107Ag(56%). Tính số khối của đồng vị thứ hai. Biết nguyên tử khối trung bình của Ag là 107,88 u. A. 109 B. 107 C. 106 D. 108 Câu 8 : A, B là nguyên tử đồng vị. A có số khối bằng 24 chiếm 60%, nguyên tử khối trung bình Câu 9 : Nguyên tố Cu có nguyên tử khối trung bình là 63,54 có 2 đồng vị X và Y, biết tổng số khối là 128. Số nguyên tử đồng vị X = 0,37 số nguyên tử đồng vị Y. Vậy số khối của X và Y lần lượt là: A. 65 và 67 B. 63 và 66 C. 64 và 66 D. 63 và 65 Câu 10 : Nguyên tố B có 2 đồng vị 11B (x 1%) và 10B (x 2%), nguyên tử khối trung bình của Boron là 10,8. Giá trị của x 1% là: A. 80% B. 20% C. 10,8% D. 89,2% Câu 11 : Chlorine có hai đồng vị 37Cl (chiếm 24,23%) và 35Cl (chiếm 75,77%). Nguyên tử khối trung bình của chlorine . A. 37,5 B. 35,5 C. 35 D. 37 Câu 12 : Trong tự nhiên Oxygen có 3 đồng vị 16O (x 1%), 17O (x 2%), 18O (4%), nguyên tử khối trung bình của Oxygen là 16,14. Phần trăm đồng vị 16O và 17O lần lượt là: A. 35% & 61% B. 90% & 6% C. 80% & 16% D. 25% & 71% Câu 13 : Nguyên tố B có 2 đồng vị 11B (80%), 10B (20%). Nguyên tử khối trung bình của Boron A. 10,2 B. 10,6 C. 10,4 D. 10,8 Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đ ạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Câu 14 : Nguyên tố X có 2 đồng vị X 1 và X 2. Đồn *g vị X 1 có tổng số hạt là 18. Đồng vị X 2 có tổng số hạt là 20. Biết rằng % các đồng vị bằng nhau và các loại hạt trong X 1 cũng bằng nhau. Nguyên tử khối trung bình của X là: A. 16 B. 14 C. 12 D. 13 Câu 15 : Nguyên tố Cu có nguyên tử khối trung bình là 63,54 có 2 đồng vị X và Y, biết tổng số khối là 128. Số nguyên tử đồng vị X = 3,37 số nguyên tử đồng vị Y. Vậy số neutron của đồng vị X hơn số Neutron của đồng vị Y là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 1 Câu 16 : Một nguyên tố X có 3 đồng vị A1X (79%), A2X (10%), A3X (11%). Biết tổng số khối của 3 đồng vị là 75, nguyên tử lượng trung bình của 3 đồng vị là 24,32. Mặt khác số neutron của đồng vị thứ 2 nhiều hơn số n eutron của đồng vị t hứ 1 là 1 đơn vị. A 1, A2, A3 lần lượt là: A. 24; 25; 26 B. 24; 25; 27 C. 23; 24; 25 D. 25; 26; 24 TỰ LUẬN Câu 17 : Nguyên t ử C có hai đ ồng vị 12C và 14C, nguyên t ử O có 3 đồng vị 15O, 16O và 18O. H ãy viết các phân tử CO 2 tạo thành Câu 18. Trong tự nhiên brom ine có hai đồng vị bền : 35 chiếm 50,69% số nguyên tử và chiếm 49,31% số nguyên tử. Hãy tìm nguyên tử khối trung bình của brom ine.? Câu 19 . Khối lượng nguyên tử của B bằng 10,81. B trong tự nhiên gồm hai đồng vị 10B và 11B. Hỏi có bao nhiêu phần trăm 11B trong boric acid H3BO 3. Cho H 3BO 3 = 61,81 Câu 20 . Trong tự nhiên đồng vị 37Cl chiếm 24,23,% số nguyên tử chlorine . Tính thành phần phần trăm về khối lượng 37Cl có trong H ClO 4 (với hydrogen là đồng vị 1H, oxygen là đồng vị 16O). Cho khối lượng nguyên tử trung bình của Chlorine là 35,5 Câu 21 . Trong tự nhiên Brom có 2 đồng vị là 79Br và 81Br có nguyên tử khối trung bình là 79,92. Thành phần phần trăm về khối lượng của 81Br trong NaBr là bao nhi êu. Cho M Na = 23 Câu 22. Trong tự nhiên Mg có đồng vị 24Mg (79%); 25Mg (10%); 26Mg (11%). Tính khối lượng 24Mg có trong 3,648 gam Mg? Câu 2 3. Trong tự nhiên Cu có 2 đồng vị là 63Cu và 65Cu. Nguyên tử trung bìn h của Cu là 63,546. Khối lượng 63Cu có tron g 31,773g Cu là bao nhiê u? Phần nâng cao Câu 2 4. Trong tự nhiên Cu có 2 đồng vị là là 63Cu và 65Cu. Khối lượng nguyên tử trung bình của Cu là 63,54. Thành phần phần trăm về khối lượng của là 63Cu trong CuCl 2 là bao nhiêu (biết M Cl = 35,5) Câu 25. Trong t ự nhiên Chlorine có hai đồng vị bền là 37Cl và 35Cl. Tính thành phần phần trăm về khối lượng 35Cl có trong K ClO 3 (với kiện là đồng vị 39K, oxygen là đồng vị 16O). Cho khối lượng nguyên tử trung bình của Chlorine là 35,5 Câu 26 . Hydrogen có nguyên tử khối t rung bình là 1,008. Hỏi có bao nhiêu nguyên tử của đồng vị 2H trong 9 gam nước (cho rằng trong nước chỉ có đồng vị 1H và 2H, cho MH2O = 18). Câu 27 . Cho biết trong tự nhiên Cl tồn tại dưới dạng hai đồng vị 37Cl và 35Cl. Biết rằng nguyên tử khối trung bình của Cl là 35,5. Hãy tính khối lượng của 35Cl có trong 5,85 g NaCl. Câu 28 : Cho biết P có hai đồng vị bền trong tự nhiên là 30P và 31P. Nguyên tử khối trung bình của P là 30,89. Hãy tình khối lượng của 31P có trong 9,389 g H 3PO 4 Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUYẾT 1. Ph ản ứng hạt nhân 1.1. Khái niệm: là phản ứng x ảy ra ở hạt nhân c ủa nguyên t ử, từ đó dẫn đến sự biến đổi hạt nhân nguyên t ử ( biến đổi về thành ph ần các hạt nucle on, ho ặc năng lư ợng). Ví dụ: 1.2. Phóng xạ là gì: Quá trình ph óng xạ là một loại phản ứng hạt nhân nhưng s ản phẩm của phản ứng sẽ sinh r a các tia b ức xạ ( tia ph óng xạ). Các tia b ức xạ: Khi cho ch ùm tia p hóng xạ đi qua hai b ản tụ điện ( gồm một bản tích điện + , m ột bản tích đi ện - , như h ình vẽ) -Tia α ( alpha) l à tia mang đi ện (+). Bản chất là chùm hạt α. Hạt α là hạt nhân c ủa nguyên t ử - Tia β- (beta tr ừ): là tia mang đi ện (-). Bản chất là chùm hạt electron - Hạt β+ (beta c ộng): l à tia mang đi ện (+). B ản chất là chùm phản hạt của electron: 1e ( cái này sẽ học sâu ở vật lí hạt nhân) - Tia γ ( gamma) : có bản chất là chùm photon ánh sáng 0 ( ở vật lí lớp 12 g ọi nó là sóng đi ện từ) có năng lư ợng cao. Chú ý: Trong c ác quá trình ph óng xạ đều có thành phần tia 0 nhưng do không c ó đóng góp gì vào phương tr ình nên thư ờng không vi ết vào phương tr ình ph óng xạ. Ví dụ: 86Rn + 4 2He + 2 1e + γ Nhưng ta c ó thể chỉ cần viết 86Rn + 4 2He + 2 - Ngoài các tia quen thu ộc còn có các chùm hạt bức xạ khác: ch ùm bức xạ neutron 0n , chùm proton 1p , chùm ion, ch ùm plasma … a)Sự phóng xạ tự nhiên: Là quá trình bi ến đổi hạt nhân nguyên t ử một tách tự nhiên không ph ụ thuộc vào yếu tố bên ngo ài ( nhi ệt độ, áp suất, nồng độ ở dạng đơn ch ất hay h ợp chất). Cùng với sự biến đổi hạt nhân nguyên t ử quá trình sẽ sinh ra thêm tia b ức xạ Ví dụ: 86Rn + tia α + tia β + tia γ ( quá trình phân r ã của Uranium) Hạt nhân m ẹ Hạt nhân con b)Sự phóng xạ nhân t ạo: Là quá trình bi ến đổi không t ự phát, nó cần có yếu tố bên ng oài tác động lên h ạt nhân ( yếu tố bên n goài thường là một bức xạ). Cùng v ới sự biến đổi hạt nhân nguyên t ử quá trình sẽ sinh ra thêm tia b ức xạ Ví dụ: 0n ( chùm bức xạ neutron) 2.Phương tr ình ph ản ứng hạt nhân. 31 2 4 31 2 4AA A A ZZ Z Z X + Y T + M   Trong đ ó: A 1+ A 2= A 3 + A 4 Z1 + Z 2= Z 3 + Z 4TRUNG TÂM BỒI DƯ ỠNG LUYỆN THI CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO NGUYÊN T Ử Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 Lớp : 10 Hóa MODULE 3 : PHẢN ỨNG H ẠT NHÂN Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 3. Phản ứng phân h ạch và nhiệt hạch 3.1. Phản ứng phân hạch: Là phản ứng từ một hạt nhân nguyên t ử lớn biến đối về các hạt nhân nguyên t ử nhỏ hơn Ví dụ: 53I + 3 0n ( phản ứng trong bom nguyên t ử) 3.2. Phản ứng nhiệt hạch: là phản ứng kết hợp các hạt nhân nh ỏ thành m ột hạt nhân l ớn ở nhiệt độ rất cao 0n + Q ( Phản ứng trong bom H, bom h ạt nhân và là phản ứng trên m ặt trời) 4. Ứng dụng của phản ứng hạt nhân: Trong lĩnh vực năng lượng , phản ứng phân hạch được sử dụng trong các nhà máy điện hạt nhân để sản xuất điện. Trong y học , các đồng vị phóng xạ được tạo ra từ phản ứng hạt nhân được dùng để chẩn đoán và điều trị bệnh, ví dụ như cobalt -60 dùng trong xạ trị ung thư, technetium -99 dùng trong chụp xạ Trong nghiên cứu khoa học , phản ứng hạt nhân giúp tìm hiểu cấu trúc vật chất, nghiên cứu vật lý hạt nhân, thiên văn học, và nguồn gốc vũ trụ. B. BÀI TẬP Câu 1. Hoàn thành các phương tr ình ph ản ứng hạt nhân sau 95 139 - 42 57Mo + La + 2X+7 β 5) 1T + X   α + n 2) p +   16O + X 6)   X + 13Mg + X 24Mg + α 7) 5Bo + X   α + 17 2Cl + He X + n  8) 28Ni + X X: là nguyên t ố chưa bi ết và mỗi phương tr ình X s ẽ khác nhau. Câu 2. Cho phản ứng hạt nhân 1D → α + X và tỏa ra nhi ệt lượng là 2,8.10-12 J. a) Tính năng lượng tỏa ra khi t ổng hợp được 1 g X. (phản ứng trong bom H) b) Bi ết rằng đốt cháy hết 1 Kg xăng E5 t ỏa ra lư ợng nhi ệt là 43.000 KJ. H ỏi lượng nhi ệt tỏa ra khi tổng hợp được 2 gam X tương đương v ới đốt bao nhiêu t ấn dầu? Câu 3 . Cho ph ản ứng phân h ạch trong bom nguyên t ử 53I + 3 0n và tỏa ra nhi ệt lượng là: 3,2.10-11 (J) a) Hãy tính năng lư ợng tỏa ra kh í 1 gam U ( 235) phân r ã b) Bi ết 1 gam thu ốc nổ TNT t ỏa ra 1 lư ợng nhi ệt là 4,18.103 (J). Hãy tính lượng thu ốc nổ cần thiết để có thể sinh ra 1 năng lư ợng như phân r ã 1 gam U. c) Hãy tính lượng thu ốc nổ cần thiết để có năng lư ợng sinh ra 1 gam X ( câu 3) d) Hãy so sánh sức công ph á của bom H v à bom nguyên t ử. Câu 4 . Một xác ướp được tìm th ấy tại lăng m ộ của các vị vua Ai c ập cổ đại. Để xác định niên đại của xác ướp các nhà khoa h ọc đã sử dụng phương ph áp đo đ ồng vị 14C để xác định tuổi của xác ướp. Cách tính tu ổi của cổ vật theo công th ức sau tA 1t= .lnkA Trong đ ó k= 1,1.10-4 năm, Ao: Số nguyên t ử carbon 14C trung b ình phân r ã trong 1 ph út với 1 gam C. Khi sinh v ật còn sống Ao=13,6 At: Số nguyên t ử Carbon 14C trung b ình phân ra trong 1 ph út với 1 gam C t ại thời điểm nghiên cứu. Trong nghiên c ứu này A t= 6,6 Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUYẾT ORBITAL NGUYÊN T Ử Khi một hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời, ta có thể vẽ ra một đư ờng đi xá c định cho nó, gọi là quỹ đạo (orbit ). Nguyên tử cũng tương tự có thể bạn từng hình dung các electron quay xung quanh hạt nhân trên c ác quĩ đạo. Tuy nhiên, thực tế lại khác : electron thực ra tồn tại trong những vùng không gian gọi là obitan (orbital ). “Orbit” và “orbital” nghe có vẻ giống nhau nhưng ý nghĩa lại rất khác. Việc hiểu rõ sự khác nhau giữa chúng là điều rất quan trọng. Để vẽ được quỹ đạo của một vật, ta cần biết chính xác vị trí của vật đó và có thể tính toán chính xác nó sẽ ở đâu vào thời đi ểm sau đó. Đối với electron, ta không thể làm được điều này, ta không thể biết chính xác đồng thời cả vị trí và hướng chuyển động tiếp theo của một electron. Hình 3: Hỉnh ảnh orbital c ủa electron 1s Electron có thể được tìm thấy ở bất kỳ vị trí nào trong một vùng không gian hình cầu bao quanh hạt nhân. Sơ đồ minh họa cho thấy một lát cắt qua vùng không gian hình cầu này. Trong 95% thời gian, electron sẽ nằm trong một vùng không gian khá dễ xác định, nằm tương đối gần hạt nhân. Vùng không g ian như vậy được gọi là obital (orbital ). 2.Orbital : Các electron chuyển động xung quanh hạt nhân trên những quĩ đạo không xác định , nhưng các electron lại có mặt với mật độ cao tại một vùng không gian xác định xung quanh hạt nhân. Vùng không gian quanh hạt nhân mà tại đó xác xuấ t tìm thấy electron là cao nhất ( trên 90%) gọi là ORBITAL nguyên tử 2.Lớp electron + Các electron khi chuyển động sẽ mang trong mình một năng lượng xác định. + Các electron có mức năng lượng xấp xỉ nhau được xếp vào cùng một lớp. Kí hiệu K L M N O P Q Số lượng tử chính (n) n= 1 2 3 4 5 6 7 3.Phân lớp e + Trong một lớp , các electron lại được phân chia thành các nhóm nhỏ hơn gọi là phân lớp + Các electron trong một phân lớp có mức năng lượng bằng nhau 4.Số lượng các orbital trong phân lớp + Phân lớp s: có 1 orbital + Phân lớp p: có 3 orbital + Phân lớp d: có 5 orbital + Phân lớp f: có 7 orbital 5.Số lượng phân lớp có trong 1 lớp Lớp K (n=1) : có 1 phân lớp s, kí hiệu 1s có chứa 1 orbital Lớp L (n=2): có 2 phân lớp s, p kí hiệ u 2s,2p có chứ a 4 orbital ( 1 orbital + 3 orbital p) Lớp M (n=3): có 3 phân lớp s, p,d kí hiệ u 3s,3p,3d có chứ a 9 orbital ( 1 orbital + 3 orbital p+ 5 orbital d) Lớp M (n=4): có 4 phân lớp s, p,d,f kí hiệ u 4s,4p,4d,4f có chứa 16 orbital ( 1 orbital + 3 orbital p+ 5 orbital d + 7 orbital f) Tổng quát: số orbital trong một lớp là: n2 (với n là số lớp) 6. Hình dạng không gian của các orbital trong các phân lớpTRUNG TÂM BỒI DƯ ỠNG LUYỆN THI CHUYÊN ĐỀ CẤU TẠO NGUYÊN T Ử Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 Lớp : 10 Hóa MODULE 4 : LỚP VỎ ELECTRON Thầy giáo : Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Các orbital thuộc phân lớp s : có dạng hình cầu , không có định hướn g trong không gian Các orbital thuộc phân lớp p: có dạng hình số 8 nổi và có định hướng theo 3 hướng trong không gian 7. Cấu hình electron 7.1. Nguyên lí vững bền (Kleckovki): Các electron khi sắp xếp vào các lớp và phân lớp theo thứ tự mức năng l ượng từ thấp đến cao ( Từ lớp trong ra lớp ngoài từ lớp số 1 đến lớp thứ n) Các e sẽ sắp xếp theo trật tự năng lượng do đó cấu hình còn được gọi là cấu hình năng Qui tắc Hình 1: Giản đồ năng lượng các electron Theo giản đồ cấu hình năng lượng n hư sau: 1s2s2p3s3p4s3d4p5s......... 7.2. Nguyên lí Pauli: Mỗi một orbital chứa tối đa 2 electron và 2 electron này có chiều tự quay ngược nhau E Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Qui ước một orbital được kí hiệu như một ô vuông Orbital có e độc thâ n Orbital có electron cặp đ ôi 7.3. Qui tắc Hund . Các electron được sắp xếp vào các lớp và phân lớp sao cho tổng số electron độc thân là nhiều nhất, và các electron này có chiều tự quay giống nhau Ví dụ: N (Z=7) cấu hình e: 1s22s22p3 Và 3 orbital p có thể viết thành Chú ý: Trường hợp bán bão hòa: Ví dụ : Cr (Z=24): 1s22s22p63s23p64s23d4 4s13d5 ( Vì phân lớp d có tối đa là 10 electron ) Trường hợp bão hòa: Ví dụ : Cu (Z=29): 1s22s22p63s23p64s23d9 4s13d10 8. Xác định vị trí các nguyên tố trong bảng Hệ thống tuần hoàn ( HTTH). Bước 1 : Viết cấu hình e Bước 2 : Xác định nguyên tố thuộc nguyên tố nhóm A ( nhóm chính) hay nhóm B ( nhóm phụ) *Nguyên tố nhóm A( nhóm chính): là nguy ên tố có electron cuối cùng phân vào phân lớp s hoặc phân lớp p. Ví dụ: Na (Z=11): 1s22s22p63s1 ( electron cuối cùng phân vào phân lớp s nên Na thuộc loại nguyên tố s và là nguyên tố nhóm A) Ví dụ : Al (Z=13): 1s22s22p63s23p1( electron cuối cùng phân vào p hân lớp p nên Al thuộc loại nguyên tố p và là nguyên tố nhóm A) *Nguyên tố nhóm B ( nhóm phụ): là nguyên tố có electron cuối cùng phân vào phân lớp d hoặc phân lớp f. Ví dụ : Fe (Z=26): 1s22s22p63s23p6 4s23d6( electron cuối cùng phân vào phân lớ p d nên Na thuộc loại nguyên tố d và là nguyên tố nhóm B ) ( Nguyên tố nhóm f không học trong chương trình phổ thống ) Bước 3: Xác định vị trí *Với nguyên tố nhóm A: Điện tích hạt nhân= số thứ tự ô nguyên tố Số lớp e = số chu kì của nguyên tố Tổng số e lớp ngoà i cùng (electron hóa tri) = số nhóm của nguyên tố Ví dụ: Ví dụ : Al (Z=13): 1s22s22p63s23p1 Z=13: Nguyên tố Al ở vị trí ô só 13 Có 3 lớp electron nên Al ở chu kỳ 3 Lớp ngoài cùng là lớp số 3: 3s23p1 nên tổng số e là 2 + 1=3 . Nên Al thuộc nhóm III A *Với nguyên tố nhóm B : Điện tích hạt nhân= số thứ tự ô nguyên tố Số lớp e = số chu kì của nguyên tố Tự chuyển Tự chuyển Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Cấu hình e thường là : s2dn ( n từ 1 -10) Tổng số e lớp ngoài cùng và phân lớp sát lớp ngoài cùng ( e hóa trị )= x= 2 + n Nếu X≤ 8 thì số nhóm của nguyên tố l à x ( viết theo hệ chữ La mã) Nếu X=8, 9,10 thì số nhóm của nguyên tố là VIII B ( viết theo hệ chữ La mã) Nếu X= 11 thì số nhóm của nguyên tố là I B ( viết theo hệ chữ La mã) Nếu X= 12 thì số nhóm của nguyên tố là II B ( viết theo hệ chữ La mã) Ví dụ: Fe (Z=26): 1s22s22p63s23p6 4s23d6 Fe ở ô số 26 và thuộc chu kì 4 Lớp ngoài cùng là 4s2, phân lớp sát ngoài cùng là 3d6. Tổng số e hóa trị = 2 + 6 =8 nên nguyên tố Fe thuộc nhóm VIII B Bước 4: Xác định tính chất của nguyên tố Với nguyên tố nhóm A: + Các nguy ên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 1,2,3 thường là kim loại. + Các nguyên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 5,6,7 thường là phi kim. + Các nguyên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 4 là các nguyên tố á kim (2 ngu yên tố đầu của nhóm là phi kim còn các nguyên tố còn lại là kim loại) + Các nguyên tố có tổng số e hóa trị ( e lớp ngoài cùng) là: 8 : là các nguyên tố khí hiếm Với các nguyên tố nhóm B : Tất cả các nguyên tố nhóm B đều là kim loại 9. Cấu hình của các ion *Ion là các hạt mang điện được hình thành khi nguyên tử nhường hoặc nhận thêm electron Ion (+): Cation : được hình thành khi nguyên tử nhường e M- n.e   Mn+ VD : Na -1e   Na+ Ion Na+ sẽ có số e ở lớp vỏ ít hợn với Na là 1 electron Na ( Z=11): 1s22s22p63s1 ion Na+ ít hơn 1 e nên cấu hình là 1s22s22p6 Ion ( -): anion : được hình thành khi nguyên tử nhận e R + m.e   Rm- VD : Cl + 1e   Cl- Ion Cl- sẽ có số e ở lớp vỏ nhiều hợn với Cl là 1 electron Cl ( Z=17): 1s22s22p63s23p5 ion Cl- nhiều hơn 1 e nên có cấu hình là : 1s22s22p63s23p6 Chú ý: Các electron sẽ mất đi từ lớp ngoài cùng B. BÀI TẬP TRẮC NGHI ỆM Câu 1: Các phát biểu sau đ úng/sai? 1. Orbital nguyên tử là vùng không gian quanh hạt nhân, ở đó xác suất hiện diện của electron là 4. Trong cùng một phân lớp, các electron sẽ được phân bố trên các o rbital sao cho các electron 5. Mỗi o rbital nguyên tử c hứa tối đa 2 electron với chiều tự quay khác nhau. ........ Câu 2: Một nguyên tử X có số hiệu nguyên tử Z =19. Số lớp electron trong nguyên tử X là :….. Câu 3: Nguyên tử của nguyên tố K ( Z=19) . Kết luận nào sau đây đúng ? A. Potassium thuộc chu kì 3. B. Potassium có số e độc thân là 4 C. Potassium là nguyên tố họ s D. Potassium là nguyên tố họ p Câu 4: Ở trạng thái cơ bản, nguyên tử của nguyên tố có Z=7 có số electron độc thân là: … Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Câu 5: Mức năng lượng của các electron trên các phân lớp s, p, d thuộc cùng một lớp được xếp theo thứ tự : A. d < s < p. B. p < s < d. C. s < p < d. D. s < d < p. Câu 6: Các nguyên tử có Z  20, thoả mãn điều kiện có 2e độc thân lớp ngoài cùng là A. Ca, Mg, Na, K B. Ca, Mg, C, Si C. C, Si, O, S D. O, S, Cl, F Câu 7: Nguyên tử M có cấu hình electron của phân lớp ngoài cù ng là 3d7. Tổng số electron của nguyên tử M là: ………. Câu 8: Electron cuối cùng của một nguyên tố M điền vào phân lớp 3d3. Số electron hóa trị của M là :…………… Câu 9: Một nguyên tử X có tổng số electron ở các phân lớp s là 6 và tổng số electron lớp ngoài Câu 10: Một nguyên t ử X có tổng số e ở các phân lớp p là 11. Hãy cho biết X thuộc họ nguyên tố hoá học nào :………… Câu 11: Nguyên tử của nguyên tố X có tổng số electron trong các phân lớp p là 7. Nguyên tử của nguyên tố Y có tổng số hạt mang điện nhiều hơn tổng số hạt mang điện của X là 8. Hợp chất được tạo bới X và Y có công th ức là: ………………… Câu 12. Cho nguyên t ố P (Z=15). Nguyên t ử của nguyên t ố P có số electron đ ộc thân là :……. . Câu 13: Nguyên tử nguyên tố X có e cuối cùng điền vào phân lớp 3p1. Nguyên tử nguyên tố Y có e cuối cùng điền vào phân lớp 3p3. Nguyên t ố X là:………, nguyên t ố Y là:…………….. Câu 14: Cho nguyên tố X có số n=p+4 và electron cuối cùng của nguyên tử nguyên tố X phân bố vào phân lớp 3d6. X là nguyên t ố:……….. Câu 15: Một nguyên tử X có 3 lớp. Ở trạng thái cơ bản, số electron tối đa trong lớp M là: …….. Câu 16: Cho biết C hromium có số hiệu nguyên tử là 24. Cấu hình electron của ion Cr3+ là: A. 1s22s22p63s23p64s2 B. 1s22s22p63s23p63d3 C. 1s22s22p63s23p63d2 D. 1s22s22p63s23p63d14s2 Câu 17: Cấu trúc electron nào sau đây là của ion Cu+. A. 1s22s22p63s23p63d94s1. B. 1s22s22p63s23p63d10. C. 1s22s22p63s23p63d9. D. 1s22s22p63s23p63d104s1 Câu 18: Cu2+ có cấu hì nh electron là: A. 1s22s22p63s23p63d94s2 B. 1s22s22p63s23p63d104s1 C. 1s22s22p63s23p63d9 D. 1s22s22p63s23p63d8 Câu 19: Dãy gồm nguyên tử X, các ion Y2+ và Z- đều có cấu hình electron : 1s22s22p63s23p6 là: A. Ne, Mg2+, F- B. Ar, Mg2+, F- C. Ne, Ca2+, Cl- D. Ar,Ca2+, Cl- Câu 20: Cation R+ có cấu hình electron ở phân lớp ngoài cùng là 2p6. Vậy cấu hình electron của nguyên tử R là A.1s22s22p5 B.1s22s22p63s2 C.1s22s22p63s23p1 D.1s22s22p63s1 Câu 21: Ion M3+ có cấu hình electron phân lớp ngoài cùng là 3d5. Vậy cấu hình electron của M là A. 1s22s22p63s23p64s23d8 B. 1s22s22p63s23p63d64s2 C. 1s22s22p63s23p63d8 D. 1s22s22p63s23p63d54s24p1 Câu 22: Cấu hình e của ion Mn2+ là : 1s22s22p63s23p63d5. Cấu hình e của Mn là : A.1s22s22p63s23p63d7 C. 1s22s22p63s23p63d54s2 B. 1s22s22p63s23p64s24p5 D. 1s22s22p63s23p63d34s24p2 Câu 23: Cấu trúc electron các nguyên t ố cho dư ới đây (1). 1s22s22p63s23p4. (4). 1s22s22p63s23p63d54s1. (2). 1s22s22p63s23p63d24s2. (5). 1s22s22p63s23p3. (3). 1s22s22p63s23p63d104s24p3. (6). 1s22s22p63s23p64s2. Các cấu hình của nguyên t ố phi kim l à:………………………………. A. 1 B.2 C.3 D.4 Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Câu 24: Cho các cấu hình electron sau: 1. 1s22s1. 2. 1s22s22p63s23p64s1. 3. 1s22s22p63s23p1 4. 1s22s22p4. 5.1s22s22p63s23p63d44s2 6. 1s22s22p63s23p63d54s2 7. 1s22s22p63s23p5. 8. 1s22s22p63s23p63d104s24p5 9. 1s22s22p63s23p2 10. 1s22s22p63s1. 11. 1s22s22p3. 12. 1s2. Các cấu hình của nguyên t ố kim lo ại là:………………………………. Câu 25 Dãy gồm các ion X+, Y- và nguyên tử Z đều có cấu hình electron 1s22s22p6 là: A. Na+, Cl-, Ar. B. Li+, F-, Ne. C. Na+, F-, Ne. D. K+, Cl-, Ar. Câu 26 . Cho các nguyên t ố với số hiệu nguyên t ử sau: X (Z = 1); Y (Z = 7); E (Z = 12); T (Z = 19). Các nguyên t ố kim lo ại là: Câu 27 . Nguyên tử X có 7 electron p. Cho c ác phát biểu sau (1) X c ó 3 electron đ ộc thân (2) X là nguyên t ố nhóm p (3) X là một kim lo ại (4) X c ó hợp chất với oxi l à X2O3 (5) Tr ong nguyên t ử của X c ó số p bằng số notrơn Các phát biểu đúng:………………………… Câu 28 : Cho các nguyên tử X (Z=24) . Cho c ác phát biểu sau (1) Nguyên t ử X có 6 electron đ ộc thân (2) Nguyên t ử X là nguyên t ố nhóm B (3) Ion X3+ có electron cu ối cùng ở phân l ớp d. (4) X thu ộc chu k ì 4 nhóm IV B (5) Nguyên t ử X có hợp chất với oxit cao nh ất là XO 3 Câu 29 : Cho nguyên tố X có tổng số hạt trong p là 15. Cho các phát biểu sau (1). X là một phi kim (2) X thuộc chu kì 3 (3) Tổng số e của lớp ngoài cùng là 5e (4) Trong nguyên tử X có 33 electron ở lớp vỏ (5) X có 3 electron độc thân Các phát biểu đúng là:……………………….. Câu 30: R là nguyên tố mà nguyên tử có phân lớp electron ngoà i cùng là np2n+1 (n là số thứ tự của lớp electron). Trong số các nhận xét sau đây về R: (1) Tổng số hạt mang điện của nguyên tử R là 18. (2) R là kim loại (3) Số electron độc thân trong nguyên tử R là 3. (4) R có hóa trị I (5) Trạng thái tự nhiên của R là R 2 tồn tại ở dạng khí. Các phát biểu đúng là:……………………….. TỰ LUẬN Câu 31. Viết cấu hình electron của nguyên tử Na (Z = 11)? V ẽ sơ đồ sắp xếp electron v ào các orbital ? Xác định ví trí của Na trong b ảng HTTH? Câu 32: Anion X- và cation Y2+ đều có cấu hình electron lớp ngoài cùng là 3s23p6. Xác định vị trí của các nguyên tố trong bảng t uần hoàn các nguyên tố hóa học ? Viết công th ức hợp chất giữa X v à Y? Câu 33: Cấu hình electron của ion X2+ là 1s22s22p63s23p63d6. Xác định ví trí của nguyên t ố X trong b ảng hệ thống tu ần hoàn.? Câu 34: Một ion M3+ có tổng số hạt proton, neutron , electron là 79, trong đó số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 19. ? Xác định nguyên t ố M và ví trí của M trong b ảng Câu 35: Nguyên tử của nguyên tố X có tổng số hạt proton, neutron , electron là 52. Trong hạt nhân nguyên tử X có số hạt không mang đ iện nh iều hơn số hạt mang điện là 1.? X ác định vị trí của X trong b ảng hệ thống tu ần hoàn, công th ức của oxit cao nh ất của X? Câu 36 . Cho bi ết Cu ( Z=29) v à Cr (Z=24). Vi ết cấu hình electron của ion Cu2+, Cu+ và Cr2+, Cr3+ ? Cho bi ết vị trí của Cu v à Cr trong b ảng HTTH? Câu 37 Nguyên tử R tạo được cation R+. Cấu hình electron ở phân lớp ngoài cùng của R+ (ở Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 trạng thái cơ bản) là 2p6. Hãy xác định nguyên t ố R và vẽ mô h ình orbital e của R? Câu 38: Ở trạng thái cơ bản, nguyên tử của nguyên tố X có 4 electr on ở lớp L. Viết cấu hình electron c ủa X và chỉ rõ số electron đ ộc thân c ủa X? Câu 39: Tổng số hạt trong ion M3+ là 37. Trong ion M3+ số hạt mang đi ện nhi ều hơn s ố hạt mang điện là 9 hạt. Xác định nguyên t ố M và vị trí của M trong b ảng HTTH Câu 40 : Cho nguyên tố X có tổng số e ở các phân lớp s trong cấu hình electron là 7. Có bao nhiêu nguy ện tử nguyên t ố X thỏa mãn ? Nâng cao Câu 41. Một hợp chất c ấu tạo từ cation M+ và anion X2-. Trong phân tử M2X co tổng số hạt p, n, e la 140. Trong đó số hạt mang điện nhi ều hơn số h ạt không mang điện la 44 hạt. S ố khối của ion M+ lớn hơn số khối cua ion X2- là 23. Tổng số hạt trong ion M+ nhiều hơn trong ion X2-là 31. a)Viết c ấu hình electron c ác ion M+ va X2-. b)Xác định vị trí của M và X trong bảng tu ần tuần hoàn. Câu 42. Hợp ch ất A đươc tạo thành từ cati on X+ va anion Y -. Phân t ử A chứa 9 nguyên tử, gồm 3 nguyên tố phi kim. Ty lệ số nguyên t ử của mỗi nguyên tố là 2:3:4. T ổng số proton trong A là 42 va trong ion Y - chứa 2 nguyên tố cùng chu kỳ, thuộc hai phân nhón chính liên tiếp. Xác định công thức h oá học va gọi tên A. Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 A. LÝ THUY ẾT ĐỊNH LUẬT TU ẦN HO ÀN Định luật tuần hoàn được hình thành dựa trên những quan sát của các nhà khoa học vào thế kỷ 19. Năm 1869, Dmitri Mendeleev đã làm rõ các xu hướng trong tính chất của nguyên tố v à đề xuất Định luật tuần hoàn . Bảng tuần hoàn khi đó được sắp xếp các nguyên tố để phản ánh định luật này, dù lúc bấy giờ các nhà khoa học chưa có lời giải thích vì sao tính chất lại tuân theo một quy luật. Khi cấu trúc electron của nguyên tử được khám phá và hiểu r õ, nguyên nhân của sự lặp lại tính chất theo chu kỳ được xác định là do sự sắp xếp và ho ạt động của các lớp electron. Định luật tuần hoàn phát biểu rằng: Tính chất vật lý và hóa học của các nguyên tố lặp lại một cách có hệ thống và dự đoán được khi các nguyê n tố được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số hiệu nguyên tử. Nhiều tính chất xuất hiện lặp lại theo những khoảng nhất định. Khi các nguyên tố được sắp xếp đúng, xu hướng trong tính chất của chúng trở nên rõ ràng và có thể dùng để dự đoán về các nguyên tố chưa biết hoặc ít quen thuộc, chỉ dựa vào vị trí của chúng trên bảng. Định luật tuần hoàn được xem là một trong những khái niệm quan trọng nhất của hóa học. Mọi nhà hóa học, dù ý thức hay không, đều vận dụng định luật này khi nghiên cứu các nguyên tố, tính chất và phản ứng hóa học của chúng. Định luật tuần hoàn đã dẫn đến sự ra đời của bảng tuần hoàn hiện đại . B. Bảng hệ thống tuần hoàn: Khái niệm: Bảng hệ thống tuần hoàn là bảng gồm các ô vuông được sắp xếp một cách có trật tự theo các hàng các cột. Các ô nguyên tố được sắp xếp theo chiều tă ng dần của điện tích hạt nhân từ trái qua phải, từ trên xuống dưới. Các ô vuông được gọi là ô nguyên tố: Trong ô nguyên tố thể hiện các thông tin cần thiết về một nguyên tố gồm : Kí hiệu hóa học, tên nguyên tố, khối lượng nguyên tử, cấu hình electron, số thứ tư ( điện tích hạt nhân Z)……. TRUNG TÂM BỒI DƯ ỠNG LUYỆN THI Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà -0976933130 Lớp : 10 Hóa CHUYÊN ĐỀ BẢNG HTTH CÁC NGUYÊN T Ố Module 5: B ảng hệ thống tuần hoàn các nguyên t ố Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 *Chu kỳ: Các nguyên tố có cùng số lớp electron được xếp vào trong cùng một chu kỳ. ( nên số lớp e của một nguyên tố là số chu kỳ của nguyên tố đó) . Các nguyên tố trong một chu kỳ được nằm trên một hàng ngang *Nhóm: Các nguyên tố có electron hóa trị như nhau thi được xếp vào cùng một nhóm ( do đó số e hóa trị quyết định số nhó m ( đọc lại chuyên đề 1 buổi 3 ). Các nguyên tố trong cùng một nhóm được đặt vào cùng một cột. Bảng hệ thống tuần hoàn còn có hai hàng nằm ở ngoài đó là hai họ nguyên tộ nhóm f ( phân lớp f) gồm hai h ọ Lantan ( 4f) và họ Actini ( 5f) 2. Các đại lượng vật lý 2.1. Độ âm điện: χ a/ Khái ni ệm: Độ âm điện là đại lượng đặc trưng cho khả năng của nguyên tử một nguyên tố hút electron về phía mình khi tạo liên kết với nguyên tử của nguyên tố khác. Nguyên tố có độ âm điện càng lớn thì càng hút electron mạnh. Qui ước: nguyên tố có độ âm điện lớn nhất là Flo rine χ=4,0 2.2. Bán kính nguyên t ử: Là kho ảng cách t ừ tâm h ạt nhân đ ến electron ở lớp ngoài cùng 2.3. Năng lư ợng ion hóa thứ nhất I1: Là năng lư ợng tối thiểu cần thi ết để tách 1 electron ra khỏi nguyên t ử trung h òa. Năng lư ợng ion hóa càng l ớn thì càng khó t ách electron vì ph ải cung c ấp nhi ều năng lư ợng m ới tách e được Vấn đề 1: Trong m ột chu k ỳ theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhân thì các đại lượng: bán kính nguyên t ử, độ âm đi ện, năng lư ợng ion hóa của các nguyên t ử xu hư ớng bi ến đổi thế nào? Vấn đề 2: Trong m ột nhóm t ừ trên xu ống dư ới theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhân thì c ác đại lượng: bán kính nguyên t ử, độ âm đi ện, năng lư ợng ion hóa c ủa các nguyên t ử xu hư ớng bi ến đổi thế nào? KẾT LU ẬN Trong m ột chu k ỳ theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhân kh ả năng cho electron c ủa nguyên t ử giảm dần và kh ả năng nh ận e tăng d ần. -Trong m ột nhóm theo chi ều tăng c ủa điện tích h ạt nhận khả năng cho e tăng d ần và kh ả năng nhận e gi ảm dần. A. TR ẮC NGHI ỆM Câu 1 . Chu kì là: A. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều khối lượng nguyên tử tăng dần. B. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều số khối tăng dần. C. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều điện tích hạt nhân nguyên tử tăng dần. D. Dãy các nguyên tố mà nguyên tử của chúng có cùng số lớp electron, được xếp theo chiều số neutron tăng dần. Câu 2 . Nhóm nguyên t ố là A. Tập hợp các nguyên tố mà nguyên tử có cấu hình electron giống nhau, được xếp ở cùng m ột B. Tập hợp các nguyên tố mà nguyên tử có cấu hình electron gần giống nhau, do đó có tính chất hoá học giống nhau và được xếp thành m ột cột. C. Tập hợp các nguyên tố mà nguyên tử có cấu hình electron tương tự nhau, do đó có tính chất hoá học gần giống nhau và được xếp thành m ột cột. D. Tập hợp các nguyên tố m à nguyên tử có tính chất hoá học giống nhau và được xếp c ùng m ột Thầy giáo: Nguyễn Việt Hà Điện thoại: 0976.933.130 TTLT -Thầy Đạt (Toán): 0988223838 - Thầy Đức ( Lý): 0934331222 Câu 3 . Cho cấu hình elect ron của Zn [Ar] 3d104s2. Vị trí của Zn trong bảng tuần hoàn l à A. Ô 29, chu kỳ 4, nhóm IIA C. Ô 30, chu kỳ 4, nhóm IIA B. Ô 30, chu kỳ 4, nhóm IIB. D. Ô 31, chu kỳ 4, nhóm IIB. Câu 4 : Oxide cao nhất của một nguyên tố R chứa 38,8% nguyên tố đ ó, còn trong hợp chất khí với hydrogen chứa 2,74% hydrogen . Xác định nguyên tố R. A. Cl B. Br C.Ba D. Al Câu 5 . Hợp chất của R với hydrogen ở thể khí có dạng RH 4. Oxide cao nhất của nguyên tố R có 53,3% oxygen về khối lượn g. Nguyên tố R có số khối là: A. 12. B. 28. C. 32. D. 31. Câu 6 . Nguyên t ố X có hóa trị cao nh ất với oxygen bằng h óa trị trong h ợp ch ất khí với hydrogen . Phân t ử khối của oxide này bằng 2,75 l ần phân t ử khối của hợp chất khí với hydrogen . X là nguyên t ố: A. C. B.Si. C. Ge. D. S. Câu 7 . Nguyên t ố X có công th ức oxide cao nh ất là XO 2., trong đ ó tỉ lệ khối lượng của X v à O là 3/8. Công th ức của XO2 là A. CO 2. B. NO 2. C. SO 2. D. SiO 2. Câu 8 . Ở trạng thái cơ bản, cấu hình electron lớp ngoài cùng của nguyên tử nguyên tố X là 3s23p1. Vị trí (chu kì, nhóm) của X trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học là A. Chu kì 3, nhóm IIIB. B. Chu kì 3, nhóm IA . C. Chu kì 4, nhóm IB. D. Chu kì 3, nhóm IIIA. Câu 9 . Nguyên tử X có phân lớp electron ngoài cùng là 3p4. Phát biểu sau đây đ úng hay sai (3). Trong bảng tuần hoàn X l à kim lo ại ở chu k ì 3........ (4). Nguyên t ố X thu ộc chu k ì IVA Câu 10 . Một nguyên tố R có cấu hình electron: 1s22s22p63s23p4, công thức hợp chất của R với hydrogen và công thức oxide cao nhất là: A. RH 2, RO. B. RH 2, RO 3. C. RH 2, RO 2. D. RH5, R2O5. Câu 1 1. Cho c ác nguyên t ố: Li, F, C, O , Na. C ác nguyên t ố được sắp xếp theo chi ều tăng d ần độ Câu 1 2. Hai nguyên tố X và Y ở cùng 1 chu kì trong bảng tuần hoàn, có thể kết hợp để t ạo ion dạng XY 3 2-, tổng số e trong ion này là 32. Phát biểu sau đ úng hay sai? Câu 1 3. Dãy nguyên tố nào sau đây có tính chất tương tự nhau : A. 11X, 19Y, 29Z B. 7X, 15Y, 33Z C. 17X, 25Y, 35Z D. 2X, 12Y, 20Z Câu 1 4. Cho các nguyên tố X, Y, Z với số hiệu nguyên tử lần lượt là 11, 29, 37. Phát biểu nào sau đây đúng A. Các nguyên tố này đều là kim loại nhóm IA B. Các nguyên tố này không cùng thuộc 1 chu k ì C. Thứ tự tính kim loại tăng dần: X Algebra Eigenvalues and Eigenvectors FDA - Data Science Class 66 A-B Instructors: Nguyen Trung Thanh & Dam Tien Thanh Exercise 1. Let 1 3 3 0 0 3 ,C= 0 0 1 1 0 0 Compute A10,B10,C10? 2. Prove that any two diagonal matrices with the same diagonal entries (possibly in a different order) are similar to each other. 3. Suppose that matrices AandBare similar to each other, namely, there exists Psuch that A=P−1BP. Prove: if xis an eigenvector of Aunder eigenvalue λ, then Pxis an eigenvector ofBunder eigenvalue λ. 4. Prove that if Ais diagonalizable then AT,Am,m∈Z>0, and A−1are diagonalizable. 5. Prove that if A∼Bthen A2∼B2. Is the converse also true? 6. Let Abe an n ×n square matrix. Prove: AandAThave exactly the same eigenvalues. 7. Let Abe an n×nsquare matrix. Prove: A−1exists if and only if 0 is not an eigenvalue of A. 8. Let Abe an n×nsquare matrix such that A−1exists. Prove: if λis an eigenvalue of A, then 1/λis an eigenvalue of A−1. 9. Prove: if A2=I, then the eigenvalues of Amust be 1or−1. 10. Suppose that λ1andλ2are two distinct eigenvalues of matrix A. Furthermore, suppose that x1is an eigenvector of Aunder λ1, and that x2is an eigenvector of Aunder λ2. Prove: there does not exist any real number csuch that cx1=x2. 11. Prove or disprove: if an n×nmatrix Ahas rank n, then it must have nindependent eigen- vectors. 12. Suppose that λ1andλ2are two distinct eigenvalues of matrix A. Furthermore, suppose that x1is an eigenvector of Aunder λ1, and that x2is an eigenvector of Aunder λ2. Prove: x1+x2is not an eigenvector of A. 13. Let Show that (a)Ais diagonalizable if (a−d)2+4bc > 0 (b)Ais diagonalizable if (a−d)2+4bc < 0 14. Prove that if Ais a diagonalizable matrix, then the rank of Ais the number of nonzero eigenvalues of A. Instructors: Nguyen Trung Thanh & Dam Tien Thanh FDA - Data Science Class 66 A-B 15. Prove that similar matrices have the same rank. 16. Prove that if cA(λ)is the characteristic polynomial of a matrix A, then cA(A) =0. 17. Prove that if a,b,c, and dare integers such that a+b=c+d, then has integer eigenvalues λ1=a+bandλ2=c+d. 18. Consider the matrix 1 0 0 0 a1 0 0 e b 2 0 f g c 2 Under which conditions on the unknowns is the matrix Adiagonalizable? 19. A three by three matrix Bis known to have eigenvalues 0, 1 and 2. Give answer to the following question. a) The rank of B b) The determinant of BTB c) The eigenvalues of BTB d) The eigenvalues of (B2+I)−1 20. Let a,b∈Rand a b b b b a Compute Anfor all n⩾1. 21. Let 0 1 1 −1 2 0 1 0 0 and 1−4−4 0 0 1 a) Compute A−1. b) Compute det(2A2B),det(4A+B),det(2(A3B−2)). 22. Given that the characteristic polynomial of a 3×3matrix Aisλ3+2λ2+4λ+8. Compute 23. Assume the 2×2matrix Ais similar to an upper triangular matrix. If trace (A) = 0= trace (A2), show that A2=0. FDA - Data Science Class 66 A-B Instructors: Nguyen Trung Thanh & Dam Tien Thanh True-False Questions 1. IfAandBare similar invertible matrices, then A−1andB−1are similar. 2. IfAis diagonalizable, then there is a unique matrix Psuch that P−1APis diagonal. 3. IfAis invertible then Ais diagonalizable 4. IfAis diagonalizable and invertible, then A−1is diagonalizable. 5. Ifλis an eigenvalue of a matrix A, then the linear system (A−λ)x=0has only the trivial solution. 6. If the characteristic polynomial of a matrix Aisλ2+1, then Ais invertible. 7. If 0 is an eigenvalue of a matrix A, then A2is singular. 8. The eigenvalues of a matrix Aare the same as the eigenvalues of the reduced row echelon form of A. 9. If 0is an eigenvalue of a matrix A, then the set of columns of Ais linearly independent. 10. If λis an eigenvalue of A, and sis a scalar, then λ−sis an eigenvalue of A−sI. 11. If λis an eigenvalue of A, and sis a scalar, then sλis an eigenvalue of sA. 12. Show that every matrix A∈Rn×n, where nis odd, always has at least one eigenvalue. 13. If λis an eigenvalue of A, then λris an eigenvalue of Ar, forr∈Z>0. 14. If Ar=0for some integer r∈Z>0, then all of A’s eigenvalues are 0. Does the converse 15. If Ais invertible, show that ABis similar to BAfor all B. 16. If A∼BandA2=Athen B2=B 17. If A∼BandAis invertible then so is B 18. Let Adenote an upper triangular matrix. Then a) If all the main diagonal entries of Aare distinct, show that A is diagonalizable b) If all the main diagonal entries of Aare equal, show that Ais diagonalizable only if it is already diagonal. 19. Two diagonalizable matrices are similar if and only if they have the same eigenvalues 20. Let A be n×nwith ndistinct real eigenvalues. If AC =CA, show that Cis diagonalizable KIẾN THỨC BỔ TRỢ Số nguyên t ố là số tự nhiên l ớn hơn 1, ch ỉ có hai ư ớc là 1 và chính nó. Hợp số là số tự nhiên l ớn hơn 1, có nhi ều hơn hai ư ớc. Số chính phương Số chính phương là s ố tự nhiên có căn b ậc hai là một số tự nhiên Bội và ư ớc Nếu a chia h ết cho b, ta nói b là ư ớc của a và a là b ội của b. Tìm b ội của a: Nhân a với 1,2,3… Kết quả nhân là b ội Tìm ư ớc của a: Chia a cho 1,2,3… Số nào chia h ết là Trong trò chơi vòng quay s ố, tính xác su ất của biến cố: a) "Mũi tên ch ỉ vào hình qu ạt ghi s ố chia cho 4 dư 3 " b) "M ữi tên ch ỉ vào hinh qu ạt ghi s ố chỉ có đúng m ột ước nguyên t ố". Nhân d ịp Tết cổ truyền, lớp 8B t ổ chức trò chơi “Vòng quay may m ắn”, trong đó chiếc đĩa hình tròn đư ợc chia thành 11 ph ần bằng nhau và ghi các s ố 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200; chi ếc kim đư ợc gắn cố định vào tr ục quay ở tâm c ủa đĩa. Quay đĩa tròn m ột lần: a) Vi ết tập hợp B g ồm các k ết quả có th ể xảy ra đ ối với số ghi ở hình qu ạt mà chi ếc kim ch ỉ vào khi đĩa d ừng lại. b) Tính xác su ất của mỗi biến cố sau: ‒ “Chi ếc kim ch ỉ vào hình qu ạt ghi s ố chia h ết cho c ả 5 và 14”; ‒ “Chi ếc kim ch ỉ vào hình qu ạt ghi s ố có th ể phân tích thành t ổng của hai s ố khác nhau đã đư ợc ghi vào hình quạt, đồng th ời có m ột số lớn hơn 75”. Một hộp có ch ứa 10 qu ả cầu màu xanh đư ợc đánh s ố từ 1 đến 10 và 5 qu ả cầu màu đ ỏ được đánh s ố từ 11 đến 15 . L ấy ngẫu nhiên m ột quả trong h ộp. Tìm s ố phần tử của tập hợp E g ồm các k ết quả có th ể xảy ra đ ối với quả cầu được chọn ra. Sau đó, tính xác su ất của mỗi biến cố sau: a) “Qu ả cầu được chọn ra màu xanh”; b) “Qu ả cầu được chọn ra ghi s ố chẵn”; c) “Qu ả cầu được chọn ra màu đ ỏ và ghi s ố chẵn”; d) “Qu ả cầu được chọn ra màu xanh ho ặc ghi s ố lẻ”. Viết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên có hai ch ữ số lớn hơn 60 và nh ỏ hơn 80. Tính xác xu ất của mỗi biến cố sau: a) “S ố tự nhiên đư ợc viết ra có ch ữ số hàng ch ục lớn hơn ch ữ số hàng đơn v ị”; b) “S ố tự nhiên đư ợc viết ra có ch ữ số hàng ch ục gấp hai l ần chữ số hàng đơn v ị” Viết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên có hai ch ữ số. a) Tìm s ố phần tử của tập hợp D gồm các k ết quả có th ể xảy ra đ ối vơ̂i số tự nhiên đư ợc viết ra. b) Tính xác su ất của biến cố "Số tự nhiên đư ợc viết ra là b ội của 9 ". c) Tính xác su ất của biến cố “Số tự nhiên đư ợc viết ra là s ố chia cho 9 dư 1” Viết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên có ba ch ữ số. a) Có bao nhiêu cách vi ết ngẫu nhiên m ột số tự nhiên như v ậy? b) Tỉnh xác su ất của mỗi biến cố sau: - "Số tự nhiên đư ợc viết ra là l ập phương c ủa một số tự nhiên"; - "Số tự nhiên đư ợc viết ra là s ố chia h ết cho 10 " Cho t ập hợp { 1;2}A= và {3;4;5B= ; 8}. Lập ra t ất cả các s ố có hai ch ữ số ab, trong đó aA và a) Có th ể lập được bao nhiêu s ố ab như v ậy? b) Tính xác su ất của biến cố "Số tự nhiên l ập được là s ố chia h ết cho 9"; c) Tính xác su ất của biến cố "Số tự nhiên l ập được là s ố lớn hơn 14". TÍCH PHÂN TOÁN 12 LÊ BÁ B ẢO TRƯ ỜNG THPT Đ ẶNG HUY TR Ứ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HU Ế Chủ đề  LUYỆN THI THPT QU ỐC GIA  CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Chủ đề 2: TÍCH PHÂN I. LÝ THUY ẾT 1. Khái ni ệm tích phân a. Diện tích hình thang cong Hình ph ẳng giới hnaj bởi đồ thị  y f x , trục hoành và hai đư ờng thẳng  ,, x a x b a b   trong đó fx là hàm li ên tục không âm trên đo ạn ;,ab gọi là một hình thang cong. Định lí 1 Nếu hàm số fx liên tục và không âm trên đo ạn ;,ab thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , y f x trục hoành và hai đư ờng thẳng , x a x b là  S F b F a , trong đó Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên đoạn ;.ab b. Định nghĩa tích phân fx là hàm số liên tục trên đo ạn ;.ab Nếu Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số trên đoạn ;ab thì hiệu số  F b F a được gọi là tích phân từ b của hàm số , fx kí hiệu là af x x a) Hiệu  F b F a thường được kí hiệu là Như vậy:  db af x x F b F a b) Ta gọi alà dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, d f x x là biểu thức dưới dấu tích phân và fx là hàm số dưới dấu tích phân. c) Trong trư ờng hợp ab hoặc , ab ta quy ước: d 0a af x x ;  ddba abf x x f x x . Ý nghĩa hình h ọc của tích ph ân Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Nếu hàm số fx liên tục và không âm trên đo ạn ;,ab thì tích phân af x x là diện tích của hình thang cong gi ới hạn bởi đồ thị , y f x trục hoành và hai đư ờng thẳng ,. x a x b aS f x x . 2. Tính ch ất của tích phân  , f x g x là các hàm s ố liên tục trên đo ạn ;.ab Khi đó, ta có:    dd d d d1) , 4) ,bb a a ckf x x k f x x k f x g x x f x x g x x f x g x x f x x g x x f x x f x x f x x a c b           II. BÀI TẬP TRẮC NGHI ỆM Câu 1: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn ;ab và số thực k tùy ý. M ệnh đề nào dưới đây  dd .bb aakf x x k f x x B.   dd .bb aakf x x k f x x   d d d ..b b b a a akf x x k x f x x   D.  dd .bb aakf x x f kx x Câu 2: Xét fx là một hàm số tùy ý, Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên đoạn ;.ab Mệnh đề nào dưới đây đúng?  d .b af x x F b F a B.  d .b af x x F a F b  d .b af x x F a F b D.  d .b af x x F a F b  Câu 3: Gọi  , F x G x lần lượt là nguyên hàm c ủa hai hàm s ố  , f x g x trên đoạn ;ab , hằng số khác 0. Trong các đ ẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A.  b af x dx F a F b . B. ba abf x dx f x dx .  .b ak f x dx k F b F a . D.    b c c a b af x dx f x dx f x dx . Câu 4: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn ;ab và số thực k tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?  dd .bb aakf x x k f x x B. d 0.a af x x  dd .ba abf x x f x x D.  dd2 aaf x x f x x Câu 5: Biết 12. f x x Khi đó, 12f x x bằng 2. B. 4. C. 4. D. Câu 6: Biết  8 4 4 1 1 1d 2; d 3; d 7 f x x f x x g x x     . Đẳng thức nào sau đây sai? 14 2 d 2f x g x x  . B. 4d1 f x x . 4d5 f x x . D. 1d 10 f x g x x . Câu 7: Biết 12 f x x và 16. g x x Khi đó, d2 1f x g x x bằng 4. B. 8. C. 4. D. Câu 8: Cho hàm s ố fx có đạo hàm trên đo ạn 1; 2 , 11f và 22f . Giá trị 1f x x bằng 1I . B. 1I . C. 3I . D. Câu 9: Cho hàm s ố fx có đạo hàm trên đo ạn 1; 2 , 11f và 15. f x x Giá trị 2f bằng 6. B. 4. C. 3. D. Câu 10: Giả sử f là hàm s ố liên tục trên kho ảng ,,abc là các số bất kỳ trên kho ảng K . Khẳng định nào sau đây sai?  ddbb aaf x x f t t . B.  d d dc b b a c af x x f x x f x x   . af x x . D.  ddba abf x x f x x . Câu 11: Cho 1d2 f x x  và 1d1 g x x  . Tính 12 3 d I x f x g x x    . 5.2I B. 7.2I C. 17.2I D. 11.2I Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 12: Cho 11d2f x x , 33d4f x x . Kết quả 43 12dd f x x f x x bằng 8 . B. 4 . C. 8 . D. Câu 13: Cho hàm số fx liên tục trên Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên thỏa mãn  2 0 10FF . Khi đó 03 df x x bằng Câu 14: Biết 2F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên . Giá trị của 12df x x bằng 5 . B. 3 . C. Câu 15: Biết 3()F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số ()fx trên . Giá trị của 1(1 ( ) d)xx f bằng A. 20. B. 22. C. 26. D. 28. Câu 16: Biết 4F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên . Giá trị của 16dx f x x 5 . B. 24 . C. 5 . D. Câu 17: Cho hàm s ố fx liên tục trên đo ạn 0;10 và 07 f x x ; 23 f x x . Giá trị  dd2 10 06P f x x f x x 4. B. 10. C. 7. D. Câu 18: Cho hàm s ố fx liên tục trên đo ạn 0;9 thỏa mãn  97 04d 8, d 3.f x x f x x Khi đó giá trị của 49 07ddP f x x f x x là 20P . B. 9P . C. 5P . D. 11P . Câu 19: Cho 0( )d 5f x x và 0( )d 3f x x , khi đó 2( )df x x bằng 8 . B. 15. C. 8 . D. Câu 20: Cho 21, f x x d2022 24. f t t  Tính d2022 2f y y . 5 . B. 15. C. 3 . D. Câu 21: Cho hàm s ố fx liên tục trên 0;3 . Nếu 0( )d 2f x x thì 03 ( ) dx f x x bằng Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 3. B. 3. C. Câu 22: Cho  24 1313d , d24f x x f x x . Khi đó 43 12dd f x x f x x bằng 8 . B. 4 . C. 8 . D. Câu 23: Cho hàm s ố fx liên tục trên và có một nguyên hàm là Fx . Biết 18F , giá trị được tính bằng công th ức nào dư ới đây?  99Ff . B.  9 8 1Ff  . 19 8 dF f x x . D. 19 8 dF f x x . Câu 24: Mệnh đề nào dưới đây đúng? xxdxee . B. xdx ee . C. xdx ee . D. xxdxee . Câu 25: Cho tích phân 11d,x x xIxx khẳng định nào dưới đây đún g? 112. I x xx   B. 11. I x xx   112. I x xx   D. 11. I x xx   Câu 26: Biết 12d 2ln x x a bx   , với . Tổng ab bằng 3 . B. 5 . C. Câu 27: Tích phân x bằng 16.225 B. 5log .3 C. 5ln .3 D. Câu 28: Tính 02d.21Ixx 1ln 52I . B. ln 5I . C. 4ln 5I . D. 2ln 5I . Câu 29: Giá trị của 0dxx bằng 2019 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2020 . Câu 30: Cho 2d f x x x x C   ; 43d g x x x x C   . Khi đó , 0d f x g x x bằng Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 10 . B. 105 . C. 4 . D. Câu 31: Cho hàm s ố 21 f x x . Gọi Fx là một nguyên hàm c ủa hàm s ố fx . Biết rằng  2 0 5FF . Giá trị của biểu thức  32 P F F   bằng 4 . B. 2 . D. Câu 32: Cho hàm s ố fx liên tục trên và có một nguyên hàm là Fx . Nếu 026d f x x thì giá  02FF bằng 12 . B. 3 . C. 12 . D. Câu 33: Cho hàm s ố fx liên tục trên thỏa mãn  3 2 , f x f x x   Fx là nguyên hàm của fx trên thỏa mãn 43F và  2 4 8 0.FF Khi đó 2df x x bằng 15. B. 15. C. 75. D. Câu 34: Cho hàm số  y f x là hàm số liên tục trên thỏa mãn   dd12 00. 1. f x f x x x f x x               Giá trị của d2023 2022f x x bằng 5 . B. 5 . C. 5 . D. Câu 35: Có bao nhiêu s ố thực b thuộc khoảng ;3 sao cho 4cos 2 d 1b Câu 36: Biết 04sin 3, ; . x x a b a b    1.3 B. 2.7 C. 3.4 D. Câu 37: Cho 0cos 2 d , bxxac với c tối giản. Tính P a b c   . 23P . B. 24P . C. 25P . D. 15P . Câu 38: Gọi là các số nguyên sao cho 02 d , ; .xe x ae be a b   Giá trị của 22ab bằng 3 . B. 4 . D. Câu 39: Biết 03 2 1 d 6m x x x   , giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 1;2 . B. ;0 . C. 0;4 . D. 3;1 . Câu 40: Nếu các số hữu tỉ ,ab thỏa mãn 0e d e 2xa b x   thì giá tr ị của biểu thức ab bằng Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 4 . B. 6 . C. 5 . D. Câu 41: Có bao nhiêu s ố thực 04 3 2 1 d 0ax a x x x    ? 2 . B. 0 . C. Câu 42: Biết có hai giá tr ị của số thực 12 0aa ) thỏa mãn 12 3 d 0a xx . Tính 13 3 logaa aTa    26T . B. 12T . C. 13T . D. 28T . Câu 43: Cho 8 17 6x x x m với hằng số 6m . Khẳng định nào sau đây đúng? 12 20 m . B. 9 12m . C. 20m . D. 69m . Câu 44: Tích phân   Ix xx bằng  84 3 3 23 . B.  44 3 3 23 . C.  84 2 2 3 33 . D.  44 3 3 2 23 . Câu 45: Biết 1   xa b c xx với c là các số hữu tỷ. Tính P a b c   . 5P . B. 3P . C. 2P . D. Câu 46: Biết ( 1) 1xa b c x x x x      với c Tính abPc . 10P . B. 46P . C. 18P . D. 12P . Câu 47: Biết 063ln2 ln5, ; ; .35xx a b c a b cx    2 3 .a b c 3. B. 5. C. 0. D. Câu 48: Biết 047ln3 ln5, ; ; .23xx a b c a b cx    2 2 .a b c 3. B. 1. C. 2. D. Câu 49: Cho 011d ln 2 ln 3,13  x a bxx với ab Tính 2. B. 10.9 C. 3.4 D. Câu 50: Biết 22ln3 ln5, ; ; .2 1xcx a b a b c x    . a b c 3. B. 2. C. 4. D. Câu 51: Biết 021ln2 ln3, ; . 4xx a b a b x   3.5 B. 3.8 C. 3.7 D. Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 52: Biết 121ln2 ln3, ; ; . 32xx a b c a b c xx    . a b c 3. B. 2. C. 4. D. Câu 53: Cho 28d ln 2 ln 52xx a bxx với ab Đẳng thức nào sau đây đúng? 3 ab . B. 5 ab . C. 2 11ab . D. 2 11ab . Câu 54: Biết 032ln2 ln5, ; ; . 44xx a b c a b c xx    5.a b c 1.3 B. 2.7 C. 3.4 D. Câu 55: Cho tích phân 12d ln 2 ln 31xx a b cx   với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. 36. P B. 0.P C. 18.P D. 18. P Câu 56: Tính 02 1dx x x 2 . B. Câu 57: Cho 01d ln , , ,3    xx cI x b a b cx a a . Tổng abc bằng 17. B. 15 . C. 13 . D. Câu 58: Biết 2sin d ,    x x a b a b . Khi đó , 4ab bằng 8 . C. 10 . D. Câu 59: Tính tích phân 0max , d I x x x . 4 . B. 4 . C. 4 . D. Câu 60: Biết 12 2 1d 4 ln 2 ln 5xI x a bx    với . Tính S a b . 9S . B. 11S . C. 3 S . D. Câu 61: Tính tích các giá tr ị của số thực m để tích phân 02 d 2  I x m x . 6. B. 3. C. 2. D. Câu 62: Biết 052d ln 3 ln 543xxx a b cxx   ,  ,,abc . Giá trị của abc bằng 8 . B. 10 . C. 12 . D. Câu 63: Cho 024d 4ln4 3 x x axb x với ,ab là các số nguyên dương. Giá tr ị của ab bằng Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 8 . B. 5 . C. 6 . D. Câu 64: Cho 4ln2 ln3 1xx a b c x    với ,,a b c là các số hữu tỷ. Giá trị của abc bằng 6 . B. 3. C. 3 . D. 2. Câu 65: Cho hàm s ố 21, 1 2 , 1xxfx xx . Tích phân 0f x x bằng 2 . B. 3 . C. 3 . D. Câu 66: Cho hàm s ố 2khi 0 11 2 1 khi 1 3xy f x x xx      . Tính tích phân 0d f x x . 6 ln 4 . B. 4 ln 4 . C. 6 ln 2 . D. 2 2 ln 2 . Câu 67: Cho h àm số fx có đạo hàm trên sin cos f x x x và 01f . Tính tích phân I f x x 2I . B. 8I . C. 16I . D. 16I . Câu 68: Cho hàm s ố fx có 42f và 221sinfxx , 0;x . Khi đó, f x x bằng ln 232 . B. ln 232 . C. ln 232    . D. ln 232 . Câu 69: Cho hàm s ố fx . Biết 04f và 22cos 3, . f x x x    , Khi đó , 0f x x  bằng 8 . B. 8 . C. 8 . D. 8 . Câu 70: Cho hàm s ố fx . Biết 04f và 22sin 1, . f x x x    Khi đó , 0f x x  bằng 16 . B. 216 16 16 . C. 16 . D. 16 . Câu 71: Cho hàm s ố fx có 02f và đạo hàm 1f x x x    . Tích phân 0d f x x 3 . B. 3 . C. 3 . D. Câu 72: Cho hàm s ố fx có 43f và 2' 16cos 4 .sin ,f x x x x   . Tính I f x x Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 3I . B. 27I . C. 3I . D. Câu 73: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm liên t ục trên và thỏa mãn  d2 01 2. f x xf x x    Giá 2f bằng 2. B. 0. C. 2. D. Câu 74: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm trên  0; . Biết 2x là một nguyên hàm c ủa 2'x f x trên  0; 11f . Tính fe . 2 . B. 21e . D. Câu 75: Nếu d1 05 f x f x x và  d12 01 36 f x x thì 0f x x bằng: A. 10. B. 31. C. 5. D. 30. Câu 76: Cho hàm s ố 0( ) ( )df x x x xf x x . Tính 0( )d .I f x x 35I . B. 35I . C. 35I . D. 368.35I Câu 77: Cho Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số 11 f x x x    trên và thỏa mãn 13F . Tính tổng  02FF 3 . B. 2 . C. Câu 78: Biết 0d cosx f t t x x . Tính 2. B. 4. C. 1.4 D. Câu 79: Cho hàm s ố ()fx xác định, có đ ạo hàm, liên t ục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn [2 32 ( ) ( ) , 1;4], (1)2x xf x f x x f       . Giá trị (4)f bằng 18 . B. 18 . C. 18 . D. Câu 80: Cho hàm s ố  y f x xác định và liên t ục trên thỏa mãn 12f , 1fxx và 222 1 1 x f x x f x xf x      \0 x . Tính 1dI f x x . 32ln 24 I . B. 12ln 24 I . C. 3ln 24 I . D. 1ln 24 I . Câu 81: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm liên t ục trên  0; vaf thỏa mãn 0, 0 f x x   và 1 , 0.2fxx f x xx     2 1 .ff 9ln .8 B. 19ln .28 C. 4ln .3 D. 14ln .23 Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 82: Cho hàm s ố fx liên tục trên 1, 0 0 f x f và thỏa mãn  21 2 1. f x x x f x   Khi đó 0f x x bằng 3 . B. 1 . D. Câu 83: Cho hàm s ố () y f x có đạo hàm, nh ận giá tr ị dương trên (0; ) và thoả mãn 222 ( ) 9 ( )f x x f x với mọi (0; ).x  Biết 22,33f tính 4 . B. 3 . C. 12 . D. Câu 84: Cho hàm số () y f x có đạo hàm liên t ục trên và thỏa mãn 2 ( ) ( ) 2 1f x f x x    , (0) 1f . Giá trị của 0( )df x x bằng 2112e . B. 2112e . C. 2e . D. Câu 85: Cho hàm s ố fx liên tục trên [0;1] thỏa mãn 34 f x x k với 0( )d k x f x x . Khi đó 0( )df x x 3.2 B. 5.3 C. 2. D. Câu 86: Cho hàm s ố  ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn ( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá 1( )df x x bằng 233ee . B. 23ee . C. 23e . D. Câu 87: Cho hàm s ố  ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn ( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá 1()f x dx bằng 233ee . B. 23ee . C. 23e . D. Câu 88: Cho hàm s ố thỏa mãn 112f và 2, 0;1    fx xf x xx x x . Giá trị của thuộc khoảng nào dư ới đây? 1;2 . B. 2;3 . C. 3;4 . D. 0;1 . Câu 89: Cho hàm s ố ()fx liên tục trên  0; , thỏa mãn 112f và 2 23 ( ) ( ) 2 ( )  xf x x f x f x , ( ) 0fx  0; . Gọi ,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2 . Tổng Mm bằng 10 . B. 5 . C. 10 . D. Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 90: Cho hàm đa th ức bậc ba () y f x có đồ thị hàm số () y f x được cho bởi hình vẽ sau: Giá trị biểu thức  32ff bằng 20 . B. 51 . C. 64 . D. Câu 91: Cho hàm s ố   32, ; ; ;      f x ax bx cx d a b c d có hai đi ểm cực trị 0, 2xx và đồ thị như hình v ẽ bên dưới: Giá trị 0 12 2 d a f x x x x  bằng 9 . B. 3 . C. 27. D. III. LỜI GIẢI CHI TI ẾT Câu 1: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn ;ab và số thực k tùy ý. M ệnh đề nào dưới đây  dd .bb aakf x x k f x x B.   dd .bb aakf x x k f x x   d d d ..b b b a a akf x x k x f x x   D.  dd .bb aakf x x f kx x Câu 2: Xét fx là một hàm số tùy ý, Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên đoạn ;.ab Mệnh đề nào dưới đây đúng?  d .b af x x F b F a B.  d .b af x x F a F b  d .b af x x F a F b D.  d .b af x x F a F b  Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 3: Gọi  , F x G x lần lượt là nguyên hàm c ủa hai hàm s ố  , f x g x trên đoạn ;ab , hằng số khác 0. Trong các đ ẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?  b af x dx F a F b . B. ba abf x dx f x dx .  .b ak f x dx k F b F a . D.    b c c a b af x dx f x dx f x dx . Lời giải: Ta có:  .    bb aak f x dx k f x dx k F b F a . Câu 4: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn ;ab và số thực k tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?  dd .bb aakf x x k f x x B. d 0.a af x x  dd .ba abf x x f x x D.  dd2 aaf x x f x x Câu 5: Biết 12. f x x Khi đó, 12f x x bằng 2. B. 4. C. 4. D. Lời giải: Ta có:  dd22 112 2 4.f x x f x x Câu 6: Biết  8 4 4 1 1 1d 2; d 3; d 7 f x x f x x g x x     . Đẳng thức nào sau đây sai? 14 2 d 2f x g x x  . B. 4d1 f x x . 4d5 f x x . D. 1d 10 f x g x x . Lời giải: 8 1 8 4 4 1d d d f x x f x x f x x   48 11d d 3 2 5 f x x f x x     . Mặt khác: 4 4 4 1 1 14 2 d 4 d 2 d 4.3 2.7 2       f x g x x f x x g x x . 4 4 4 1 1 1d d d 3 7 10       f x g x x f x x g x x . Câu 7: Biết 12 f x x và 16. g x x Khi đó, d2 1f x g x x bằng 4. B. 8. C. 4. D. Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 8: Cho hàm s ố fx có đạo hàm trên đo ạn 1; 2 , 11f và 22f . Giá trị 1f x x bằng 1I . B. 1I . C. 3I . D. Lời giải: Ta có:  d22 12 1 1. f x x f x f f    Câu 9: Cho hàm s ố fx có đạo hàm trên đo ạn 1; 2 , 11f và 15. f x x Giá trị 2f bằng 6. B. 4. C. 3. D. Lời giải: Ta có:  d22 12 1 2 1 5 2 6. f x x f x f f f f f        Câu 10: Giả sử f là hàm s ố liên tục trên kho ảng ,,abc là các số bất kỳ trên kho ảng K . Khẳng định nào sau đây sai?  ddbb aaf x x f t t . B.  d d dc b b a c af x x f x x f x x   . af x x . D.  ddba abf x x f x x . Lời giải: Ta có:  d0a af x x F x F a F a    . Câu 11: Cho 1d2 f x x  và 1d1 g x x  . Tính 12 3 d I x f x g x x    . 5.2I B. 7.2I C. 17.2I D. 11.2I Lời giải: Ta có: 12 3 d I x f x g x x    222 2 11 12 d 3 d2xf x x g x x  32.2 3 12   Câu 12: Cho 11d2f x x , 33d4f x x . Kết quả 43 12dd f x x f x x bằng 8 . B. 4 . C. 8 . D. Lời giải: Ta có: 4 3 2 4 1 2 1 31 3 5d d d d2 4 4f x x f x x f x x f x x         . Câu 13: Cho hàm số fx liên tục trên Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên thỏa mãn  2 0 10FF . Khi đó 03 df x x bằng Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. Lời giải:   2 03 d 3 3 2 0 3.10 30f x x F x F F     Câu 14: Biết 2F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên . Giá trị của 12df x x bằng 5 . B. 3 . C. Lời giải: Ta có: 122 d 2 8 3 5.1     f x x x x Câu 15: Biết 3()F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số ()fx trên . Giá trị của 1(1 ( ) d)xx f bằng A. 20. B. 22. C. 26. D. 28. Lời giải: 3333 11 ( ) d ( ) ) 30 2 28f x x x F x x x           . Câu 16: Biết 4F x x là một nguyên hàm c ủa hàm số fx trên . Giá trị của 16dx f x x 5 . B. 24 . C. 5 . D. Lời giải: 2224 16 d 3 12 16 3 1 24x f x x x x         . Câu 17: Cho hàm s ố fx liên tục trên đo ạn 0;10 và 07 f x x ; 23 f x x . Giá trị  dd2 10 06P f x x f x x 4. B. 10. C. 7. D. Lời giải: Ta có:  d d d d d d2 10 10 2 2 10 0 6 0 10 6 2P f x x f x x f x x f x x f x x f x x                          d d d d10 2 2 10 0 6 10 27 3 0 4. f x x f x x f x x f x x                        Câu 18: Cho hàm s ố fx liên tục trên đo ạn 0;9 thỏa mãn  97 04d 8, d 3.f x x f x x Khi đó giá trị của 49 07ddP f x x f x x là Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 20P . B. 9P . C. 5P . D. 11P . Lời giải: Ta có:   d d d d9 4 7 9 0 0 4 788 f x x f x x f x x f x x          d d d4 9 7 0 7 48 f x x f x x f x x       dd49 078 3 5 f x x f x x     Câu 19: Cho 0( )d 5f x x và 0( )d 3f x x , khi đó 2( )df x x bằng 8 . B. 15. C. 8 . D. Lời giải: 5 2 5 5 5 2 0 0 2 2 0 0( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 3 5 8f x x f x x f x x f x x f x x f x x             . Câu 20: Cho 21, f x x d2022 24. f t t  Tính d2022 2f y y . 5 . B. 15. C. 3 . D. Lời giải: Ta có:  d d d d d2022 2 2022 2 2022 2 2 2 2 2f y y f y y f y y f x x f y y            d d d2022 2022 2 2 2 24 1 3 f y y f y y f x x         Câu 21: Cho hàm s ố fx liên tục trên 0;3 . Nếu 0( )d 2f x x thì 03 ( ) dx f x x bằng 3. B. 3. C. Lời giải:  333 2 00 0933 ( ) d 3 d 3.2 .2 2 2       xx f x x f x x Câu 22: Cho  24 1313d , d24f x x f x x . Khi đó 43 12dd f x x f x x bằng 8 . B. 4 . C. 8 . D. Lời giải: 4 2 3 4 4 3 2 4 1 1 2 3 1 2 1 3d d d d d d d d             f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x 2 4 4   Câu 23: Cho hàm s ố fx liên tục trên và có một nguyên hàm là Fx . Biết 18F , giá trị được tính bằng công th ức nào dư ới đây? Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A.  99Ff . B.  9 8 1Ff  . 19 8 dF f x x . D. 19 8 dF f x x . Lời giải:  dbb af x x F x F b F a   ( với ab ). 99 1d 9 1 9 8 f x x F x F F F      19 8 dF f x x   Câu 24: Mệnh đề nào dưới đây đúng? xxdxee . B. xdx ee . C. xdx ee . D. xxdxee . Lời giải: Ta có: 11 211.xx xxdx e dx eee   Câu 25: Cho tích phân 11d,x x xIxx khẳng định nào dưới đây đún g? 112. I x xx   B. 11. I x xx   112. I x xx   D. 11. I x xx   Lời giải: 4 44 2 11 11 1 1 11 2 .x x xI dx dx I x xx x x x             Câu 26: Biết 12d 2ln x x a bx   , với . Tổng ab bằng 3 . B. 5 . C. Lời giải: 1 12 9 1d 2ln 2ln 3 4 2ln 3 4; 3 72 2 2xx x x a b a bx              . Câu 27: Tích phân x bằng 16.225 B. 5log .3 C. 5ln .3 D. Lời giải: Ta có: 0d5ln 3 ln .33  xxx Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 28: Tính 02d.21Ixx 1ln 52I . B. ln 5I . C. 4ln 5I . D. 2ln 5I . Lời giải: 00d 2 1 2d ln 2 1 ln 52 1 2 1    xI x xxx . Câu 29: Giá trị của 0dxx bằng 2019 . B. 2020 . C. 2019 . D. 2020 . Lời giải: Ta có : 11 2020 0 01d2020 2020xxx . Câu 30: Cho 2d f x x x x C   ; 43d g x x x x C   . Khi đó , 0d f x g x x bằng 10 . B. 105 . C. 4 . D. Lời giải: d 2 1  f x f x x x ; 32d 4 3  g x g x x x x 0df x g x x 0512 1 4 3 d .10   x x x x Câu 31: Cho hàm s ố 21 f x x . Gọi Fx là một nguyên hàm c ủa hàm s ố fx . Biết rằng  2 0 5FF . Giá trị của biểu thức  32 P F F   bằng 4 . B. 2 . D. Lời giải: 32 202 d 0 d 0 32 P F f x x F f x x FF        . Câu 32: Cho hàm s ố fx liên tục trên và có một nguyên hàm là Fx . Nếu 026d f x x thì giá  02FF bằng 12 . B. 3 . C. 12 . D. Lời giải:    1 1 2 0 0 012 6 2 6 12 0 2 122f x x f x x f x x F F         d d2 d Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 33: Cho hàm s ố fx liên tục trên thỏa mãn  3 2 , f x f x x   Fx là nguyên hàm của fx trên thỏa mãn 43F và  2 4 8 0.FF Khi đó 2df x x bằng 15. B. 15. C. 75. D. Lời giải: 4 8 4 4 2 4 2 233 2 , ( ) 3 (2 ) ( ) (2 ) (2 )2f x f x x f x dx f x dx f x dx f x d x           2433( ) ( ) (4) (2) [ (8) (4)]22F x F x F F F F      43F và  2 4 8FF nên 33 4 (8) [ (8) 3] (8) 32F F F     và (2) 12F 2d (8) (2) 15f x x F F   . Câu 34: Cho hàm số  y f x là hàm số liên tục trên thỏa mãn   dd12 00. 1. f x f x x x f x x               Giá trị của d2023 2022f x x bằng 5 . B. 5 . C. 5 . D. Lời giải:    dd12 00. 1 , f x f x x x f x x f x ax b                   dd12 00,1 a f x x b f x x   Do đó:    d d d d1 2 1 2 0 0 0 0 00. 1 1 . . . 122 2 2 12 20 522 1 12 2 1 5f x f x x x f x x ax b ax b x x ax b x xxax b a bx x a bx aax b b x a b a aab ab abb a b b                                                                             2023 20222 1 4046.5 5 5f x x f x dx      Câu 35: Có bao nhiêu s ố thực b thuộc khoảng ;3 sao cho 4cos 2 d 1b Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. Lời giải: Ta có: 4cos 2 1 2sin 2 1b bxdx x    221 6 12sin 2 ,55 2226 12bk bk b k b k                     12bk :  1 13 25;3 1 3, 1;2 ;12 12 12b k k k b          12bk :  5 17 29;3 1 3, 1;2 ;12 12 12b k k k b          Vậy có 4 số thực b thỏa mãn yêu c ầu bài toán. Câu 36: Biết 04sin 3, ; . x x a b a b    1.3 B. 2.7 C. 3.4 D. Lời giải: Ta có:   d d d6 6 6 0 0 01 cos2 34sin 4. 2 2cos2 2 sin 2 .2 3 2xx x x x x x x             Suy ra: 1 1 1;.3 2 6a b ab    Câu 37: Cho 0cos 2 d , bxxac với c tối giản. Tính P a b c   . 23P . B. 24P . C. 25P . D. 15P . Lời giải: 00 01 cos 4 1 1 1cos 2 sin 4 .2 2 4 16 8xxdx dx x x                     16, 1, 8 25.a b c P a b c        Câu 38: Gọi là các số nguyên sao cho 02 d , ; .xe x ae be a b   Giá trị của 22ab bằng 3 . B. 4 . D. Lời giải: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 21122 1122 22 02 4 2.xxxe dx e dx e e e    2; 2ab và 228ab Câu 39: Biết 03 2 1 d 6m x x x   , giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 1;2 . B. ;0 . C. 0;4 . D. 3;1 . Lời giải: Ta có: 03 2 1 d 6m x x x   3 2 3 2 06 6 0 2m x x x m m m m           . 0;4 m . Câu 40: Nếu các số hữu tỉ ,ab thỏa mãn 0e d e 2xa b x   thì giá tr ị của biểu thức ab bằng 4 . B. 6 . C. 5 . D. Lời giải: 11 0e d e exxa b x a bx a b a      ba 143aabb    . Câu 41: Có bao nhiêu s ố thực 04 3 2 1 d 0ax a x x x    ? 2 . B. 0 . C. Lời giải: Ta có:   113 2 2 4 2 3 2 2 014 3 2 1 d 2 02aax a x x x ax a x x x a aa            Vậy có hai s ố thực a thỏa mãn. Câu 42: Biết có hai giá tr ị của số thực 12 0aa ) thỏa mãn 12 3 d 0a xx . Tính 13 3 logaa aTa    26T . B. 12T . C. 13T . D. 28T . Lời giải: Ta có: 12 3 da 232aa   . 12 3 d 0a xx nên 23 2 0aa   , suy ra Lại có 12 0aa nên 11a ; 22a . Như vậy 13 3 logaa aTa    223 3 log1    Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 43: Cho 8 17 6x x x m với hằng số 6m . Khẳng định nào sau đây đúng? 12 20 m . B. 9 12m . C. 20m . D. 69m . Lời giải: 8 17 6x x x m 1114. .2 8 17 3. .2 686x x m     18 17 6x x m      5 6 3 6 mm       2 6 6 mm      8 17 6x x x m 2 6 6 4 mm       6 2 6m mm    6 4 4 6 6m m m m      m m m 10m . Câu 44: Tích phân   Ix xx bằng  84 3 3 23 . B.  44 3 3 23 . C.  84 2 2 3 33 . D.  44 3 3 2 23 . Lời giải: Ta có:   1 1 1 0 0 02 2 322 2 31 23xx I dx dx x x dx xx              11 11 3 3 3 33 2 2 2 22 00 002 2 42 3 2 2 2. 3 2. 2 4 2.3 23 3 3            I x dx x dx x x   488 6 3 2 2 4 3 3 2 .33      Câu 45: Biết 1   xa b c xx với c là các số hữu tỷ. Tính P a b c   . 5P . B. 3P . C. 2P . D. Lời giải: 3 33 11 1221 1 133 1dxx x dx x x x x xx        16 4 22 3 23 3 3             4 142 3 233   3b ; 3c . Suy ra 4 14 1623 3 3P    . Câu 46: Biết ( 1) 1xa b c x x x x      với c Tính abPc . 10P . B. 46P . C. 18P . D. 12P . Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Lời giải:  2 2 2 1 1 11 1 1 1 ddd1 ( 1) 1 11x x x x x x x x xxxxx x x x xA x x x x              1111d 2 2 1 4 2 2 3 2 32 12 2 1x x x xx            Suy ra 32a , 12b , 2c . Vậy 32 12102abPc   . Câu 47: Biết 063ln2 ln5, ; ; .35xx a b c a b cx    2 3 .a b c 3. B. 5. C. 0. D. Lời giải: Ta có: 0007 ln 3 5 6 3 7 7 7 72 2 2 ln8 ln 5 2 7 ln 2 ln 5.3 5 3 5 3 3 3 3x xx x xxx                Suy ra: 72; 7; 2 3 5.3a b c a b c       Câu 48: Biết 047ln3 ln5, ; ; .23xx a b c a b cx    2 2 .a b c 3. B. 1. C. 2. D. Lời giải: Ta có: 000ln 2 3 4 7 1 1 12 2 2 ln 3 ln 5.2 3 2 3 2 2 2x xx x xxx             Suy ra: 112; ; 2 2 2.22a b c a b c       Câu 49: Cho 011d ln 2 ln 3,13  x a bxx với ab Tính 2. B. 10.9 C. 3.4 D. Lời giải:  11 011d ln 1 ln 3 ln 2 ln 4 ln1 ln 3 ln 2 ln 313          x x xxx suy ra 1, 1 1.   a b ab Câu 50: Biết 22ln3 ln5, ; ; .2 1xcx a b a b c x    . a b c 3. B. 2. C. 4. D. Lời giải: Ta có: 2222 1 111 11 1x x A Bx a x b xxx xx x          Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 1 2.21 ABB    Lúc đó: 2 22 3 1 1ln 1 ln 1 2ln3 ln5.2 2 2 1xx x x x      Suy ra: 0; 2; 1 3.a b c a b c       Câu 51: Biết 021ln2 ln3, ; . 4xx a b a b x   3.5 B. 3.8 C. 3.7 D. Lời giải: Ta có: 22 1 2 12 1 2 222 22 4x x A Bx A x B xxx xx x          2 4.2 2 1 3 ABB    Lúc đó: 0 02 1 5 3 3ln 2 ln 2 2ln2 ln3.4 4 4 4xx x x x      Suy ra: 332; .42a b ab    Câu 52: Biết 121ln2 ln3, ; ; . 32xx a b c a b c xx    . a b c 3. B. 2. C. 4. D. Lời giải: Ta có: 22 1 2 12 1 2 112 12 32x x A Bx A x B xxx xx xx           21.2 1 3A B A A B B     Lúc đó:   d22 21121ln 1 3ln 2 7 ln2 4ln3. 32xx x x xx       Suy ra: 0; 7; 4 3.a b c a b c       Câu 53: Cho 28d ln 2 ln 52xx a bxx với ab Đẳng thức nào sau đây đúng? 3 ab . B. 5 ab . C. 2 11ab . D. 2 11ab . Lời giải: Ta có : 228 3 2d + d 3ln 1 2ln 2 7ln 2 2ln 5.2 1 2xx x x xx x x x            Suy ra giá tr ị là: 7, 2ab  . Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 54: Biết 032ln2 ln5, ; ; . 44xx a b c a b c xx    5.a b c 1.3 B. 2.7 C. 3.4 D. Lời giải: Ta có:  d d d33 3 3 0 0 0 03 2 4 3 2 3 4 43ln 222 44 22x xx x x xxx xx xx               63ln 2 3ln 5.5   Suy ra: 6; 3; 3 5 6.5a b c a b c       Câu 55: Cho tích phân 12d ln 2 ln 31xx a b cx   với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. 36. P B. 0.P C. 18.P D. 18. P Lời giải:    5 2 5 122 2 2d d d1 1 1 331 d 1 d11 3ln 1 3ln 1 2 3ln 3 1 3ln 2 5 3ln 6 2 3ln 3 2 6ln 2 3ln 3x x xx x xx x x x x x x                                      2, 6, 3 36a b c P abc      . Câu 56: Tính 02 1dx x x 2 . B. Lời giải: 2 2 1 2 0 0 0 1 012 1 1 1 1 122x x dx x dx x dx x dx xxxx                         Câu 57: Cho 01d ln , , ,3    xx cI x b a b cx a a . Tổng abc bằng 17. B. 15 . C. 13 . D. Lời giải: Ta có: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115  2 5 1 5 1 5 22 0 0 1 0 1 1 1 5 5 0 0 1 1 0112 12443 3 3 3 3 12 124433 7 1 312ln 3 4 12ln 3 12ln2 2 2xx x x x xI dx dx dx x dx x dxx x x x x x dx dx x dx dxxx xx                                                Suy ra: 2; 12; 3 17.      a b c a b c Câu 58: Biết 2sin d ,    x x a b a b . Khi đó , 4ab bằng 8 . C. 10 . D. Lời giải: Ta có: 0 6606 2233sin d sin d sin d cos cos 2 224          x x x x x x x x Suy ra: 32,4ab nên 45ab . Câu 59: Tính tích phân 0max , d I x x x . 4 . B. 4 . C. 4 . D. Lời giải: 3f x x x ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có.  3 3 30;1 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x           3 3 3 31;2 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x          Ta có: 0max , d I x x x 12 01max , d max , d x x x x x x . 0max , d I x x x 01 011 1 17dd2 4 4x x x x x x     . Câu 60: Biết 12 2 1d 4 ln 2 ln 5xI x a bx    với . Tính S a b . 9S . B. 11S . C. 3 S . D. Lời giải: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Ta có 2 khi 222 khi 2xxxxx . 122 2 1 2 2 1 d dxxI x xxx    .  25 122 2 1 2 2 1 d dxxxxxx    12532 d 2 dxxxx             255ln 2 2 3ln12x x x x    4 8ln 2 3ln 5   5 S a b   Câu 61: Tính tích các giá tr ị của số thực m để tích phân 02 d 2  I x m x . 6. B. 3. C. 2. D. Lời giải:  0 2 0 0;1m x m x      112 1 2 1.I x m dx x mx m mm             2 2 0 0;1m x m x      112 1 2 3I m x dx mx x m mm            1 2 2 2 21222 22 2 1 14 4 2m mm m mI m x dx x m dx mx x x mx m m               2 131 2 2 2 02 13m mm m m m          (loại) Tích các giá tr ị của 1.3 3  . Câu 62: Biết 052d ln 3 ln 543xxx a b cxx   ,  ,,abc . Giá trị của abc bằng 8 . B. 10 . C. 12 . D. Lời giải: Ta có: 052d43xxxxx 011d13xxxx  0121d13xxx   0ln 1 2ln 3x x x     2 3ln 3 2ln 5   2, 3, 2a b c   , do đó 12 abc . Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 63: Cho 024d 4ln4 3 x x axb x với ,ab là các số nguyên dương. Giá tr ị của ab bằng 8 . B. 5 . C. 6 . D. Lời giải:   2 1 1 1 2 0 0 06 9 4 3 9 12 2 4 3d d 1 d3 3 3 3                 x x x xxx x xx x x x 003 4 3 5 41 4ln 3 | | 1 4ln 1 4ln3 3 4 4 3xx          Theo giả thiết 5, 3ab   nên 8 ab . Câu 64: Cho 4ln2 ln3 1xx a b c x    với ,,a b c là các số hữu tỷ. Giá trị của abc bằng 6 . B. 3. C. 3 . D. 2. Lời giải: Ta có:  dd5 555 44 41 1 1 1 1ln 1 ln 4 ln 3 2ln 2 ln 31 1 12 12 11xx x xxx xx             . Ta tìm đư ợc 1; 2; 112a b c   . Vậy 6abc . Câu 65: Cho hàm s ố 21, 1 2 , 1xxfx xx . Tích phân 0f x x bằng 2 . B. 3 . C. 3 . D. Lời giải:  2 1 2 1 2 0 0 1 0 113d d d 2 d 1 d3f x x f x x f x x x x x x          Câu 66: Cho hàm s ố 2khi 0 11 2 1 khi 1 3xy f x x xx      . Tính tích phân 0d f x x . 6 ln 4 . B. 4 ln 4 . C. 6 ln 2 . D. 2 2 ln 2 . Lời giải: Ta có: 3 1 3 0 0 1d d d f x x f x x f x x   012d 2 1 d1x x xx   3 12 0 12ln 1x x x    ln 4 6 Câu 67: Cho h àm số fx có đạo hàm trên sin cos f x x x và 01f . Tính tích phân I f x x Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 A. 2I . B. 8I . C. 16I . D. 16I . Lời giải: Ta có: 2sin' sin cos sin sin2xf x f x dx x xdx xd x C      . 2sin 00 1 1 12f C C      2sin12xfx. Khi đó: 2 4 4 4 4 0 0 0 0sin 1 cos 2 5 cos 2112 4 4 4x x xI f x dx dx dx dx                           005 1 5 2sin 24 8 16xx   Câu 68: Cho hàm s ố fx có 42f và 221sinfxx , 0;x . Khi đó, f x x bằng ln 232 . B. ln 232 . C. ln 232    . D. ln 232 . Lời giải: Ta có: 221sinfxx suy ra 221 2cot .sin    f x dx x x Cx 42f suy ra 42C . Khi đó 3 22 44 222cot 4 2ln sin 4 ln 22 2 2 32                          xf x dx x x dx x x . Câu 69: Cho hàm s ố fx . Biết 04f và 22cos 3, . f x x x    , Khi đó , 0f x x  bằng 8 . B. 8 . C. 8 . D. 8 . Lời giải: Cách 1: Tự luận  d d d22cos 3 4 cos2 f x x x x x x      1sin 2 42x x C   11sin 2 42f x x x C     110 4 4 sin 2 4 42f C f x x x       . dd44 001sin 2 4 42f x x x x x    cos22 4 01 8 22448x x x        . Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Cách 2: Tư duy tr ắc nghiệm Ta có :    dd44 000 0 .44f x x f f f f f x x               Mặt khác:   d d d d d4 4 4 4 4 0 0 0 0 0.44xf x x x f x xf x f x x f x x f xf x x                Câu 70: Cho hàm s ố fx . Biết 04f và 22sin 1, . f x x x    Khi đó , 0f x x  bằng 16 . B. 216 16 16 . C. 16 . D. 16 . Lời giải: 22sin 1 1 cos2 1 2 cos2 f x x x x       Suy ra sin 222xf x x C   . Vì 0 4 4fC   Suy ra d2 4 4 0 0cos2 16 44.4 16xf x x x x        Câu 71: Cho hàm s ố fx có 02f và đạo hàm 1f x x x    . Tích phân 0d f x x 3 . B. 3 . C. 3 . D. Lời giải: Ta có: 1d d 2 1 1f x f x x x x C x     02f nên 4C . Suy ra: 2 1 4   f x x . Khi đó: 3 33 00 048d 2 1 4 d 1 1 433        f x x x x x x x . Câu 72: Cho hàm s ố fx có 43f và 2' 16cos 4 .sin ,f x x x x   . Tính I f x x 3I . B. 27I . C. 3I . D. Lời giải: Ta có: 2' 16cos 4 .sin 8cos 4 .(1 cos 2 ) 8cos 4 4cos6 4cos 2f x x x x x x x x      .  2' 8cos 4 4cos6 4cos 2 2sin 4 sin 6 2sin 23f x f x dx x x x dx x x x C        43f nên 2 3 8 42sin sin 2sin3 2 2 3 3CC      . Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Khi đó 002 4 42sin 4 sin 6 2sin 23 3 3f x dx x x x dx      . Câu 73: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm liên t ục trên và thỏa mãn  d2 01 2. f x xf x x    Giá 2f bằng 2. B. 0. C. 2. D. Lời giải: Ta có:    d d d 1d2 2 2 2 0 0 0 01 2 1 2 2 f x xf x x xf x x xf x x x               2 02 2 2 2 4 2 2. xf x f f       Câu 74: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm trên  0; . Biết 2x là một nguyên hàm c ủa 2'x f x trên  0; 11f . Tính fe . 2 . B. 21e . D. Lời giải: 2x là một nguyên hàm c ủa 2'x f x trên  0; nên ta có 22' ' 2x f x x x 2'fxx   112' 2ln 2ln 2ln1 2 11eeef x dx dx x e f e fx       .  21fe   2 1 3 fe    Câu 75: Nếu d1 05 f x f x x và  d12 01 36 f x x thì 0f x x bằng: A. 10. B. 31. C. 5. D. 30. Lời giải: d1 05 f x f x x  dd11 005 f x x f x x    dd11 0051 f x x f x x   . Lại có  d12 01 36 f x x  d1 02 1 36 f x f x x    .   d d d1 1 1 0 0 02 36 2 f x x f x x x      . Thay 1 vào 2 ta được:    d d d1 1 1 0 0 05 2 1 36 3 30 f x x f x x f x x        010 f x x 010 f x x . Câu 76: Cho hàm s ố 0( ) ( )df x x x xf x x . Tính 0( )d .I f x x 35I . B. 35I . C. 35I . D. 368.35I Lời giải: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Đặt 0()xf x dx a . Suy ra 00( ) ( ) ( )f x x x a xf x x x ax xf x dx x x ax dx         7 2 7aa x xdx a xdx a      4()7f x x x . Suy ra 04 2 4 528 7 5 7 35x x dx x x       . Câu 77: Cho Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số 11 f x x x    trên và thỏa mãn 13F . Tính tổng  02FF 3 . B. 2 . C. Lời giải: Ta có:  1 1 ,khi 1 2 ,khi 1 1 1 ,khi 1 1 2 ,khi 1 1 2 ,khi 1 1 1 ,khi 1x x x x f x x x x f x x x x x x x                          . Ta có: 0 2 0 2 1 1 1 10 1 2 1 2 2 1F F F F f x dx f x dx xdx dx            .  0 2 1 2 1 1 2 3 7F F F        Câu 78: Biết 0d cosx f t t x x . Tính 2. B. 4. C. 1.4 D. Lời giải: Ft là một nguyên hàm c ủa ft .   2 220 cos 2 . cos sin 2 . cos sin                xxg x f t dt F t F x F x x g x x F x x x x x f x x x x 2x ta có:  14 4 cos 2 2 sin 2 1 44ff      . Vậy 144f . Câu 79: Cho hàm s ố ()fx xác định, có đ ạo hàm, liên t ục và đồng biến trên [1; 4] thỏa mãn [2 32 ( ) ( ) , 1;4], (1)2x xf x f x x f       . Giá trị (4)f bằng 18 . B. 18 . C. 18 . D. Lời giải: [][ ] [ ]2 22 ( ) ( )2 ( ) ( ) (1 2 ( )) ( )1 2 ( ) 1 2 ( )f x f xx xf x f x x f x f x x xfx fx           111() 14 14 3911 2 ( ) 1 2 (4) 2 (4) .3 3 18 1 2 ( )fxdx xdx f x f f fx           Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Câu 80: Cho hàm s ố  y f x xác định và liên t ục trên thỏa mãn 12f , 1fxx và 222 1 1 x f x x f x xf x      \0 x . Tính 1dI f x x . 32ln 24 I . B. 12ln 24 I . C. 3ln 24 I . D. 1ln 24 I . Lời giải:  2 2 2 22 1 1 2 1           x f x x f x xf x x f x xf x f x xf x   22222 1 1 1 1 .                   x f x xf x xf x f x xf x xf x xf x xf x   2211 111 11xf x xf xdx dx x Cxf x xf x xf x             . 111 2 1 1 01 1 2 1f C C Cf           .  21 1 1 111x xf x f xxf x x x x        . Suy ra 4 44 11 11 1 1 1 3ln ln 4 1 ln1 2ln 244f x dx dx xx x x                    . Câu 81: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm liên t ục trên  0; vaf thỏa mãn 0, 0 f x x   và 1 , 0.2fxx f x xx     2 1 .ff 9ln .8 B. 19ln .28 C. 4ln .3 D. 14ln .23 Lời giải:  111.2 1 2 2 1 2fx fxx f x f xx x x x x fx           Suy ra 22 111 1 9d d 2 1 ln .2 1 2 2 8f x x x f fxx     Câu 82: Cho hàm s ố fx liên tục trên 1, 0 0 f x f và thỏa mãn  21 2 1. f x x x f x   Khi đó 0f x x bằng 3 . B. 1 . D. Lời giải:   21 2 1 21 1fx xf x x x f x      211 f x x C     Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Mà 00f nên 0C . Suy ra 2f x x . Khi đó  d2222 222 08 f x x f x x   . Câu 83: Cho hàm s ố () y f x có đạo hàm, nh ận giá tr ị dương trên (0; ) và thoả mãn 222 ( ) 9 ( )f x x f x với mọi (0; ).x  Biết 22,33f tính 4 . B. 3 . C. 12 . D. Lời giải: 222 ( ) 9 ( )f x x f x 2 2 2 2 222 9 9 9 2 2 2 22fx xf xx x f x x f x f x        2 2 3 93d22f x x x x C   . Mà 2 2 2 3 2 2. . 03 3 3 2 3 3f C C Suy ra  3 2 6 39 9 1 9 1 1..4 4 3 4 3 12f x x f x x f                . Câu 84: Cho hàm số () y f x có đạo hàm liên t ục trên và thỏa mãn 2 ( ) ( ) 2 1f x f x x    , (0) 1f . Giá trị của 0( )df x x bằng 2112e . B. 2112e . C. 2e . D. Lời giải: 2 2 2 2 22 ( ) ( ) 2 1 2 ( ) e ( ) e (2 1) e ( ( ) e ) (2 1) ex x x x xf x f x x f x f x x f x x                 2 2 2 2 11( ) e (2 1) d (2 1) e e22x x x xf x x e x x C           (0) 1f nên 1c . Suy ra 21()exf x x . 0011( ) 12xfxedx x dxe    . Câu 85: Cho hàm s ố fx liên tục trên [0;1] thỏa mãn 34 f x x k với 0( )d k x f x x . Khi đó 0( )df x x 3.2 B. 5.3 C. 2. D. Lời giải: Ta có: 111 93 2 2 2 6 00 04 4 2( )d (4 )d9 3 9 3 3x kx kk x f x x x x k x k          Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Do đó 0025( )d 4 d .33f x x x x   Câu 86: Cho hàm s ố  ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn ( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá 1( )df x x bằng 233ee . B. 23ee . C. 23e . D. Lời giải: +)Ta có 22( 1). 1( 1) ( ) '( ) ( ) '( )xx x x e ex f x xf x e f x f xx x x      2( ) 1xe f x xx  1()xef x Cxx 1 1(1) 3 (1) 1 2 ( ) 2xef e e f C C f xxx           ( ) 2 1xf x x e   11( ) 2 1 3xf x dx x e dx e e    . Câu 87: Cho hàm s ố  ( ), ( ) , 0;xy f x f x e x     thỏa mãn ( 1) ( ) '( ) , (1) 3xx f x xf x e f e    .Giá 1()f x dx bằng 233ee . B. 23ee . C. 23e . D. Lời giải: +)Ta có 22( 1). 1( 1) ( ) '( ) ( ) '( )xx x x e ex f x xf x e f x f xx x x      2( ) 1xe f x xx  1()xef x Cxx 1 1(1) 3 (1) 1 2 ( ) 2xef e e f C C f xxx           ( ) 2 1xf x x e   11( ) 2 1 3xf x dx x e dx e e    . Câu 88: Cho hàm s ố thỏa mãn 112f và 2, 0;1    fx xf x xx x x . Giá trị của thuộc khoảng nào dư ới đây? 1;2 . B. 2;3 . C. 3;4 . D. 0;1 . Lời giải: Ta có: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115  221 1 1111f x f x x x x xf x f x f x f x x Cx x x x x x x               241 1 1 0 213xx C C f x fx          . Câu 89: Cho hàm s ố ()fx liên tục trên  0; , thỏa mãn 112f và 2 23 ( ) ( ) 2 ( )  xf x x f x f x , ( ) 0fx  0; . Gọi ,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;2 . Tổng Mm bằng 10 . B. 5 . C. 10 . D. Lời giải: +) Xét hàm s ố ()fx trên  0; ta có: 223 ( ) ( ) 2 ( )xf x x f x f x  2 3 23 ( ) ( ) 2 ( )x f x x f x xf x     2( ) ( ) 22( ) ( )x f x x f x xxxf x f x        Lấy nguyên hàm hai v ế của 1 ta được : 2d 2 d( ) ( )xxx x x x Cf x f x     . 112f nên 2 111(1)CCf    . Suy ra 21xfxx . +) Xét hàm s ố 21xfxx trên 1;2 . Xét hàm s ố 2 2 342 222 2`3 1 2 . 30 11x x x x xxfx xx     với 1;2x . Suy ra   1;2 1;281max 2 ; min 1 .52M f x f m f x f      1 8 21.2 5 10Mm    Câu 90: Cho hàm đa th ức bậc ba () y f x có đồ thị hàm số () y f x được cho bởi hình vẽ sau: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Giá trị biểu thức  32ff bằng 20 . B. 51 . C. 64 . D. Lời giải: Giả sử 2f x ax bx c   trong đó 0a có đồ thị Hàm số () y f x đạt cực trị tại 02bxa  suy ra  0;1 C suy ra  1;4 C suy ra 231 f x x . 3 23 2 3 1 d 20f f x x    . Câu 91: Cho hàm s ố   32, ; ; ;      f x ax bx cx d a b c d có hai đi ểm cực trị 0, 2xx và đồ thị như hình v ẽ bên dưới: Giá trị 0 12 2 d a f x x x x  bằng 9 . B. 3 . C. 27. D. Lời giải: Chuyên đ ề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Luyện thi THPT 2025 Lớp Toán th ầy Lê Bá B ảo TP Hu ế 0935.785.115 Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua 2 đi ểm  1; 2A và 20;3B  nên ta có: 3a b c d d     3a b c d     Mặt khác ta có: 2' 3 2f x ax bx c   . Theo giả thiết ta có: ' 0 0 0 12 4 0 ' 2 0f c a b c f        12 4 0cIIab I và II ta có:  3222233f x x x    Suy ra: 0 12 2 d a f x x x x 12 2 22 2 2 d3 3 3x x x x x      0 6 5 4 3 2 5 4 3 2 10 2 2 10 8 16 2 2 10 8 164 . 43 3 3 3 3 3 3 6 3 5 4 3 3 3 2 1x x x x xx x x x x dx                    2 16 320 ( ) .3 9 27 Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ ĐỀ ÔN TẬP SỐ 01_TrNg 2025 TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 1 2 – KNTT Chương 4: TÍCH PHÂN Định hư ớng cấu trúc 2025 Líp To¸n thÇy L£ B ¸ B¶O Trường THPT Đ ặng Huy Tr ứ S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o 116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch , TP HuÕ Trung tâm Km10 - Hương Trà – Huế NỘI DUNG Đ Ề BÀI Trong quá trình sưu tầm và biên so ạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì r ất mong nh ận được sự góp ý của quý thầy cô cùng các em h ọc sinh! Xin chân thành c ảm ơn! PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. Câu 1: Cho hàm s ố fx có  2 1, 3 5ff  có đạo hàm fx liên tục trên đo ạn 2;3. Khi đó, 2d f x x 4 . B. Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai?  d d d , .     b c b a a cf x x f x x f x x a c b  d d d .   b b b a a af x x f x x x gx gx  . d d . d .  b b b a a af x g x x f x x g x x  d d .ba abf x x f x x Câu 3: Cho 2d5f x x . Tính 213 dt I f t 18 . B. 65 . C. 65. D. Câu 4: Nếu 0d2f x x thì 04dx f x x bằng 4. B. 10. D. Câu 5: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên 0;5 . Nếu 35 03d 6, d 10f x x f x x  thì 0d f x x 4 . B. 4 . C. 60 . D. Câu 6: Xét tích phân 02dI x x . Khẳng định nào sau đây đúng? 022 d 40I x x x B. 002d2I x x x . C. 022 d 20I x x . D. 022d0I x x x . Câu 7: Tích phân 13dxx bằng 3 . B. 61 . C. 4 . D. Câu 8: Tích phân 01d3xx bằng 225 . B. 5ln3 . C. 5log3 . D. Câu 9: Biết 2sin d ,    x x a b a b . Khi đó, 4ab bằng 8 . C. 10 . D. Câu 10: Biết 11d 1 4ln3xaxxb với b là phân s ố tối giản thì 2ab bằng 0 . B. 13. C. 14 . D. Câu 11: Gọi ,ab là các số nguyên dương nh ỏ nhất sao cho xb . Giá trị của ab bằng 5 . B. 6 . D. Câu 12: Cho hàm số 22 khi 3 1 khi 1    xxfx xx thì 3 df x x  bằng 3 . B. 3 . C. 3 . D. PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn ;ab . Giả sử Fx và Gx là các nguyên hàm c ủa trên đoạn ;ab . Khẳng định Đúng Sai  d.b af x x F a F b  db af x x G b G a. d 0.a af x x  G b F b G a F a   . Câu 2: Cho hàm s ố 23 2 1 f x x x   có đạo hàm fx . Khẳng định Đúng Sai f x x 0d 7.f x x 03 d 42.f x x 031d.12xf x x Câu 3: Cho hàm s ố 2 khi 2() 2 khi 2 xxxfx  Khẳng định Đúng Sai 11( )d 2 d .f x x x x 22( )d 2 d .f x x x x x 233 22 1 12d 2 2 .22            xxf x x x x 15d.6f x x Câu 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh d ần đều với vận tốc 1 2 m / s v t t , trong đó th ời gian tính bằng giây. Sau khi chuy ển động được 12 giây thì ô tô g ặp chướng ngại vật và người tài xế phanh g ấp, ô tô ti ếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc 2vt và gia tốc là 28 m / s a cho đến khi dừng hẳn. Khẳng định Đúng Sai a) Quãng đư ờng ô tô chuy ển động nhanh d ần đều là b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp 24 m / s . c) Thời gian từ lúc ô tô gi ảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 3 giây. d) Tổng quãng đư ờng ô tô chuy ển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là 168m . PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Cho 011d ln 2 ln 3 , ; ; .12x a b c a b cxx     . a b c Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………… ………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 2: Cho hàm s ố fx . Biết 04f và 2' 2sin 1, .    f x x x Biết  2 4 0d ; ; ,16  abf x x a b Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….………………… ………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 3: Đường gấp khúc ABC trong hình v ẽ bên dưới là đồ thị của hàm s ố  y f x trên đoạn 2;3 f x x Kết quả: Trình bày: …………………………………………………………… …………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 4: Biết 0dln 2 ln 3 2   xxa b c x với , , . abc Tính 3.abc Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….……………… …………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 5: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc  km/hv phụ thuộc thời gian  ht có đồ thị là một phần của đường parabol có đ ỉnh 2;9I và trục đối xứng song song v ới trục tung như hình bên dư ới: Tính gần đúng đ ến hàng ph ần chục quãng đư ờng s mà vật di chuy ển được trong 3 giờ đó. Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….……… …………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 6: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo th ời gian bởi quy luật  21 58/120 45v t t t m s , trong đó t (giây) là kho ảng thời gian tính t ừ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái ngh ỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hư ớng với A nhưng ch ậm hơn 3 giây so v ới A và có gia t ốc bằng 2/a m s ( hằng số). Sau khi B xuất phát đư ợc 15 giây thì đu ổi kịp A . Tính vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp Kết quả: Trình bày: …………………………………………………………… …………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ ĐỀ ÔN TẬP SỐ 01_TrNg 2025 TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 1 2 – KNTT Chương 4: TÍCH PHÂN Định hư ớng cấu trúc 2025 LỜI GIẢI CHI TI ẾT PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. Câu 1: Cho hàm s ố fx có  2 1, 3 5ff  có đạo hàm fx liên tục trên đo ạn 2;3. Khi đó, 2d f x x 4 . B. Lời giải: Ta có: 33 2d 3 2 5 1 6 f x x f x f f       . Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai?  d d d , .     b c b a a cf x x f x x f x x a c b  d d d .   b b b a a af x x f x x x gx gx  . d d . d .  b b b a a af x g x x f x x g x x  d d .ba abf x x f x x Câu 3: Cho 2d5f x x . Tính 213 dt I f t 18 . B. 65 . C. 65. D. Lời giải: 213 dt 13.5 65. I f t    Câu 4: Nếu 0d2f x x thì 04dx f x x bằng 4. B. 10. D. Lời giải:  2 2 2 0 0 04 d 4 d d 8 2 6x f x x x x f x x        . Câu 5: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên 0;5 . Nếu 35 03d 6, d 10f x x f x x  thì 0d f x x 4 . B. 4 . C. 60 . D. Lời giải: 5 3 5 0 0 3d d d 4.f x x f x x f x x     Câu 6: Xét t ích phân 02dI x x . Khẳng định nào sau đây đúng? 022 d 40I x x x B. 002d2I x x x . C. 022 d 20I x x . D. 022d0I x x x . Lời giải: 022d0I x x x . Câu 7: Tích phân 13dxx bằng 3 . B. 61 . C. 4 . D. Lời giải: 22 3 1 1( 3) 613d33xxx   Câu 8: Tích phân 01d3xx bằng 225 . B. 5ln3 . C. 5log3 . D. Lời giải: 015d ln 3 ln 5 ln 3 ln33    xxx . Câu 9: Biết 2sin d ,    x x a b a b . Khi đó , 4ab bằng 8 . C. 10 . D. Lời giải: Ta có: 0 6606 2233sin d sin d sin d cos cos 2 224          x x x x x x x x Suy ra: 32,4ab nên 45ab . Câu 10: Biết 11d 1 4ln3xaxxb với b là phân s ố tối giản thì 2ab bằng 0 . B. 13. C. 14 . D. Lời giải: Ta có:   222 111 4 4d 1 d 4ln 3 1 4ln3 3 5|xx x x xxx       . Suy ra 4; 5 2 2.4 5 13a b a b       . Câu 11: Gọi ,ab là các số nguyên dương nh ỏ nhất sao cho xb . Giá trị của ab bằng 5 . B. 6 . D. Lời giải: Ta có: 1 1 1 1 0 0 0 0d d 1 1 1 1 2 1d ln ln 34 (2 )(2 ) 4 2 2 4 2 4x x xxx x x x x x                        3, 4ab   7.   ab Câu 12: Cho hàm số 22 khi 3 1 khi 1    xxfx xx thì 3 df x x  bằng 3 . B. 3 . C. 3 . D. Lời giải: Ta có : 3 1 3 3 3 1 d d df x x f x x f x x      3128 282 d d 033x x x x       . 328 d3f x x PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn ;ab . Giả sử Fx và Gx là các nguyên hàm c ủa trên đoạn ;ab . Khẳng định Đúng Sai  d.b af x x F a F b  db af x x G b G a. d 0.a af x x  G b F b G a F a   . Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng  db af x x F a F b  db af x x F x F b F a   nên câu a) SAI.  db af x x G b G a  db af x x G x G b G a   nên câu b ) ĐÚNG. af x x , câu c) ĐÚNG  G b F b G a F a    db af x x G x G b G a   và  d.  b af x x F x F b F a Suy ra:  G b G a F b F a G b F b G a F a       nên câu d ) ĐÚNG Câu 2: Cho hàm s ố 23 2 1 f x x x   có đạo hàm fx . Khẳng định Đúng Sai f x x 0d 7.f x x 03 d 42.f x x 031d.12xf x x Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai a) Đúng Ta có: 22 22 1d 3 2 1 7 4 3       f x x f x x x . b) Sai Ta có: 1112 3 2 00d 3 2 1 d 1 0 1        f x x x x x x x x . c) Sai Ta có: 3 3 332 3 2 0 0 03 d 3 d 3 3 2 1 d 3. 3. 15 0 45           f x x f x x x x x x x x . d) Sai Ta có:  1 1 1 0 0 05d 3 2 1 d 3 2 d12xf x x x x x x x x x x         . Câu 3: Cho hàm s ố 2 khi 2() 2 khi 2 xxxfx  Khẳng định Đúng Sai 11( )d 2 d .f x x x x 22( )d 2 d .f x x x x x 233 22 1 12d 2 2 .22            xxf x x x x 15d.6f x x Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng a) Đúng Ta có: 11( )d 2 df x x x x b) Đúng 22( )d 2 df x x x x x c) Sai 233 2 3 23 1 1 2 12d 2 d 2 d 223                   xxf x x x x x x x x x . d) Đúng 233 2 3 23 1 1 2 123 4 5d 2 d 2 d 2 2 02 3 2 3 6                                     xxf x x x x x x x x x Câu 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh d ần đều với vận tốc 1 2 m / s v t t , trong đó th ời gian tính bằng giây. Sau khi ch uyển động được 12 giây thì ô tô g ặp chướng ngại vật và người tài xế phanh g ấp, ô tô ti ếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc 2vt và gia tốc là 28 m / s a cho đến khi dừng hẳn. Khẳng định Đúng Sai a) Quãng đư ờng ô tô chuy ển động nhanh d ần đều là b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp 24 m / s . c) Thời gian từ lúc ô tô gi ảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 3 giây. d) Tổng quãng đư ờng ô tô chuy ển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là 168m . Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai a) Đúng. 12 12122 00d 2 d 144  v t t t t t b) Đúng.  112 2.12 24  m / sv c) Đúng.  22 24 8 12 120 8 ; 0 15 v t t t v t t        Thời gian từ lúc ô tô gi ảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 15 12 3 (giây). d) Sai.  15 12 15 0 0 12 12 12122 15 15152 12 12d d d ; d 2   d 144 d 120 8 d 120 4 36               S v t t v t t v t t S v t t t t t S v t t t t t t 12 144 36 180 m S S S     . PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Cho 011d ln 2 ln 3 , ; ; .12x a b c a b cxx     . a b c Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………………………………………………… ………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Ta có: 0011d ln 1 ln 2 2ln 2 ln 3.12x x xxx       Suy ra: 2; 1; 0.a b c   Câu 2: Cho hàm s ố fx . Biết 04f và 2' 2sin 1, .    f x x x Biết  2 4 0d ; ; ,16  abf x x a b Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………… ……………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: 2 12sin 1 d 2 cos 2 d 2 sin 2 .2f x x x x x x x C       0 4 4fC   12 sin 2 4.2f x x x   Suy ra 001d 2 sin 2 4 d2f x x x x x    01 1 16 4cos 2 4 16; 4.4 16 4 16            x x x a b Câu 3: Đường gấp khúc ABC trong hình v ẽ bên dưới là đồ thị của hàm s ố  y f x trên đoạn 2;3 f x x Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………… ……………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Ta có : 211d 3.1 .1.1 .1.1 3.22       ABGH BGD CDE f x x S S S Câu 4: Biết 0dln 2 ln 3 2   xxa b c x với , , . abc Tính 3.abc Kết quả: Trình bày: ………………………………………… ……………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Ta có:  1 1 1 1 0 0 0 022 d 1 2 2d d ln 222 2 2 2               x xxx x xxx x x x 2ln 3 ln 2 13    1ln 2 ln 3.3   Suy ra 1; 1; 1.3  a b c Vậy 3abc 1 1 1   Câu 5: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc  km/hv phụ thuộc thời gian  ht có đồ thị là một phần của đường parabol có đ ỉnh 2;9I và trục đối xứng song song v ới trục tung như hình bên dư ới: Tính gần đúng đ ến hàng ph ần chục quãng đư ờng s mà vật di chuy ển được trong 3 giờ đó. Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………… ……………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: 2. v t a t bt c   . Đồ thị vt là một phần parabol có đ ỉnh 2;9I và đi qua đi ểm 0;6A nên 2322 4 .2 .2 9 3 6 .0 .0 6baa a b c b c a b c                . Tìm được 23364v t t t   033 6 d 24,754    S t t t (km). Câu 6: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo th ời gian bởi quy luật  21 58/120 45v t t t m s , trong đó t (giây) là kho ảng thời gian tính t ừ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái ngh ỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hư ớng với A nhưng ch ậm hơn 3 giây so v ới A và có gia t ốc bằng 2/a m s ( hằng số). Sau khi B xuất phát đư ợc 15 giây thì đu ổi kịp A . Tính vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………………………… ………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A thì chất điểm B đi được 15 giây, chất điểm đi được 18 giây. Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng  dBv t a t at C   mà 00Bv nên Bv t at Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đ ến khi chất điểm B đuổi kịp thì quãng đường hai ch ất điểm đi được bằng nhau. Do đó 18 152 001 58 225d d 225 . 2120 45 2     t t t at t a a Vậy, vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A bằng   2.15 30 /Bv t m s . Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ ĐỀ ÔN TẬP SỐ 02_TrNg 2025 TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 1 2 – KNTT Chương 4: TÍCH PHÂN Định hư ớng cấu trúc 2025 Líp To¸n thÇy L£ B ¸ B¶O Trường THPT Đ ặng Huy Tr ứ S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o 116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch , TP HuÕ Trung tâm Km10 - Hương Trà – Huế NỘI DUNG Đ Ề BÀI Trong quá trình sưu tầm và biên so ạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì r ất mong nh ận được sự góp ý của quý thầy cô cùng các em h ọc sinh! Xin chân thành c ảm ơn! PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. Câu 1: Cho các s ố thực  ,a b a b và hàm s ố  y f x có  , f x f x là các hàm s ố liên tục trên . Đẳng thức nào dư ới đây đúng?  db af x x f a f b  . B.  db af x x f a f b .  db af x x f b f a  . D.  db af x x f b f a . Câu 2: Cho hàm s ố  y f x thỏa mãn f x x và 14f . Tìm 19f . B. 19f . C. 11f . D. 11f . Câu 3: Cho hàm s ố () y f x liên tục trên và có đồ thị như hình v ẽ bên dưới: Biết rằng các di ện tích 12,SS thỏa mãn 1223 SS . Tính 0( )d .f x x 3 . B. 2 . C. 2 . D. Câu 4: Cho 02 3 d 1  x x f x x . Tính 0d f x x . 3 . B. 3 . C. 9 . D. Câu 5: Nếu 1d1 f x x và 2d3 f x x thì 12df x x bằng 2 . B. 4 . C. 4 . D. Câu 6: Nếu 1d2 f x x và 1d4 g x x thì 1d f x g x x bằng 6 . B. 2. C. Câu 7: Giá trị của 5 . B. 10. C. 15 . D. Câu 8: Tích phân 2021 2021 dx eex bằng 2021 22021 2021ee e e   . B. 2021 22021 2021ee e e   . 2021 22021 2021ee e e   . D. 20212021eee . Câu 9: Tích phân  với có giá trị bằng 3 31 3aa . B. 2 21 3aa . C. 3 31 3aa . D. 3 31 2aa . Câu 10: Biết 11 1 1ln 2 ln 322I dx a bxx    với ab Tính 23. T a b 1.8T B. 8.3T C. 1.2T D. Câu 11: Cho 023d ln 2 ln 332xxx a b cxx   với ; ; .a b c 3 2 5a b c bằng 3 . B. 2 . C. 2 . D. Câu 12: Cho hàm s ố 22 khi 0. sin khi 0x x xfx xx  Tính tích phân f x x 6 . B. 6 . D. PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1: Cho các hàm s ố  y f x và  y g x liên tục trên đo ạn ;ab . Giả sử  Fx và  Gx lần lượt là các nguyên hàm c ủa fx và gx trên đoạn ;ab và Khẳng định Đúng Sai  db akf x x k F b F a.   d d d    b b b a a af x kg x x k f x x k g x x.  F a F b G a G b   .  ddab abf x x g x x. Câu 2: Cho hà m số 231 f x x có đạo hàm  fx . Khẳng định Đúng Sai f x x 0d 3.f x x 03 1 d 8.   f x x 151' 2 d .2   f x xf x x Câu 3: Xét tính đúng – sai của các phé p tính tích phân sau: Khẳng định Đúng Sai 11d ln .32eIxx 11 1 1.e I dxx x e   c) Nếu 13d ln 5 ln 2 ,3x a b a b Zxx   thì 0. ab d) Nếu 011d ln 2 ln 312  x a bxx với b là các số nguyên thì 2 1.ab Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ  22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. Khẳng định Đúng Sai a) Quãng đường xe di chuy ển được tính theo công th ức   2,01 0,05 0 10 s t t t    b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là 8,82m. c) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9 xấp xỉ 15,277m . d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là 1,51 2/.ms PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Cho hàm s ố fx thỏa mãn 09cos .4fxxt t x  Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………………………………… ………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 2: Biết 3ln 2 ln 3 ln 5xa b c xx    với . a b c Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………… ……………………………………….…………………………. Câu 3: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn 1;6 và có đồ thị là đường gấp khúc ABC trong hình bên dư ới: O-12A B Fx là nguyên hàm c ủa fx thỏa mãn 11F  . Tính  4 6 .FF Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. …………………………… …………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 4: Biết  d2 0min 1; ; ; ;aax x a bbb là phân s ố tối giản. Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….………… ………………. Câu 5: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc 10m/s thì ngư ời lái đạp phanh; t ừ thời điểm đó, ô tô chuy ển động chậm dần đều với vận tốc  5 10  v t t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, k ể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đ ến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 6: Một vật chuyển động trong 4 gi ờ với vận tốc v (km/h) ph ụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên dư ới: Trong kho ảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đ ỉnh 2; 9I với trục đối xứng song song v ới trục tung, kho ảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song v ới trục hoành. Tính quãng đư ờng s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó (đơn v ị km). Kết quả: Trình bày: ………………………………………………… ……………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ ĐỀ ÔN TẬP SỐ 02_TrNg 2025 TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 1 2 – KNTT Chương 4: TÍCH PHÂN Định hư ớng cấu trúc 2025 LỜI GIẢI CHI TI ẾT PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. Câu 1: Cho các s ố thực  ,a b a b và hàm s ố  y f x có  , f x f x là các hàm s ố liên tục trên . Đẳng thức nào dư ới đây đúng?  db af x x f a f b  . B.  db af x x f a f b .  db af x x f b f a  . D.  db af x x f b f a . Lời giải: Ta có :  db af x x f x f b f a   . Câu 2: Cho hàm s ố  y f x thỏa mãn f x x và 14f . Tìm 19f . B. 19f . C. 11f . D. 11f . Lời giải: Ta có:  1 1d 1 1 5 1 4 5 1 9.          f x x f x f f f f Câu 3: Cho hàm s ố () y f x liên tục trên và có đồ thị như hình v ẽ bên dưới: Biết rằng các di ện tích 12,SS thỏa mãn 1223 SS . Tính 0( )d .f x x 3 . B. 2 . C. 2 . D. Lời giải: Ta có: 0033( )d ( )d ( )d 322        a af x x f x x f x x S S . Câu 4: Cho 02 3 d 1  x x f x x . Tính 0d f x x . 3 . B. 3 . C. 9 . D. Lời giải:     11 1 1 3 0 0 0 022 3 d 1 3 d 1 3 d 133xx x f x x x f x x f x x              05d9f x x Câu 5: Nếu 1d1 f x x và 2d3 f x x thì 12df x x bằng 2 . B. 4 . C. 4 . D. Lời giải: Ta có:   5 5 2 5 1 1 1 22 d 2 d 2 d d 2 1 3 4f x x f x x f x x f x x             . Câu 6: Nếu 1d2 f x x và 1d4 g x x thì 1d f x g x x bằng 6 . B. 2. C. Lời giải: 6 6 6 1 1 1d d g d 2 4 2 f x g x x f x x x x         . Câu 7: Giá trị của 5 . B. 10. C. 15 . D. Lời giải: 05d 5 5xx . Câu 8: Tích phân 2021 2021 dx eex bằng 2021 22021 2021ee e e   . B. 2021 22021 2021ee e e   . 2021 22021 2021ee e e   . D. 20212021eee . Lời giải: 202120212021 22021 2021 2021 2021x x e ee dx e x e e e       . Câu 9: Tích phân  với có giá trị bằng 3 31 3aa . B. 2 21 3aa . C. 3 31 3aa . D. 3 31 2aa . Lời giải: Ta có: 1 3 3 1 3 2 1d33aa a aaa xxx . Câu 10: Biết 11 1 1ln 2 ln 322I dx a bxx    với ab Tính 23. T a b 1.8T B. 8.3T C. 1.2T D. Lời giải: Ta có:  2 2 1 11 1 1 1 1 1d ln ln 2 ln 2 ln 3.2 2 2 2 2      I x x xxx Từ đó: 23 1 1 3,.2 2 8a b T a b      Câu 11: Cho 023d ln 2 ln 332xxx a b cxx   với ; ; .a b c 3 2 5a b c bằng 3 . B. 2 . C. 2 . D. Lời giải: Ta có: 023d32xxxxx 0342d32xxxx 0122d12xxx   02 ln 1 2ln 2x x x     2 ln 2 2 ln 3   Suy ra 2 c . Câu 12: Cho hàm s ố 22 khi 0. sin khi 0x x xfx xx  Tính tích phân f x x 6 . B. 6 . D. Lời giải: Ta có: 002 1 0 1 0d d (2 )d sin d I f x x f x x x x x x x         7 192.66   PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1: Cho các hàm s ố  y f x và  y g x liên tục trên đo ạn ;ab . Giả sử  Fx và  Gx lần lượt là các nguyên hàm c ủa fx và gx trên đoạn ;ab và Khẳng định Đúng Sai  db akf x x k F b F a.   d d d    b b b a a af x kg x x k f x x k g x x.  F a F b G a G b   .  ddab abf x x g x x. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng  db akf x x k F b F a  ddbb aakf x x k f x x k F x k F b F a      nên câu a) ĐÚNG.    d d db b b a a af x kg x x k f x x k g x x        d d d d db b b b b a a a a af x kg x x f x x kg x x f x x k g x x         nên câu b ) SAI.  F a F b G a G b    db af x x F b F a và  db ag x x G b G a nên câu c ) SAI d) Ta có af x x và bg x x , suy ra câu d ) ĐÚNG Câu 2: Cho hàm s ố 231 f x x có đạo hàm  fx . Khẳng định Đúng Sai f x x 0d 3.f x x 03 1 d 8.   f x x 151' 2 d .2   f x xf x x Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng a) Sai Ta có: 222 2 111d 3 1 25 16 9      f x x f x x . b) Đúng Ta có: 1311 00031 81d 3 1 d 19 9 9xf x x x x         . c) Sai Ta có:  1 1 1 0 0 03 1 d 3 d 1d 3.1 1 2f x x f x x x          d) Đúng 2 2 2 1 1 169 512 d d 2 3 1 d 922            f x xf x x f x x x x x Câu 3: Xét tính đúng – sai của các phép tính tích phân sau: Khẳng định Đúng Sai 11d ln .32eIxx 11 1 1.e I dxx x e   c) Nếu 13d ln 5 ln 2 ,3x a b a b Zxx   thì 0. ab d) Nếu 011d ln 2 ln 312  x a bxx với b là các số nguyên thì 2 1.ab Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai a) Sai 11e d3 1 3 ed ln 3 ln1 3 3 4xI x xxx        b) Đúng 1 11 1 1 1lne e I dx xx x x e              . c) Đúng  555 113 1 1d d ln ln 3 ln 5 ln 233x x x xx x x x        1a và 1 b . Ta có: 0 ab . d) Sai Ta có: 01 dln 1 ln 20 1  xxx và 01ln 2 ln 3 ln 20 2dxxx    011d ln 2 ln 3 ln 2 2ln 2 ln 312     xxx 2a , 1 b . 20ab . Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ  22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. Khẳng định Đúng Sai a) Quãng đư ờng xe di chuy ển được tính theo công th ức   2,01 0,05 0 10 s t t t    b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là 8,82m. c) Quãng đư ờng xe di chuyển được trong giây th ứ 9 xấp xỉ 15,277m . d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là 1,51 2/.ms Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng a) Sai Quãng đư ờng xe di chu yển được phải là nguyên hàm c ủa v(t),   ' 2,01 0,05 0 10v t t t    là công th ức tính gia t ốc của vật. b) Đúng Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là 02,01 0,025 d 8,82t t t m . c) Đúng Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9:  9 89 8 2,01 0,025 d 15, 277   s s t t t m d) Đúng   0;102,01 0,025 0 10 max 17,6 / v t t t t v t m s      khi t = 10s Gia tốc vật khi đó là 210 ' 10 2,01 0,05.10 1,51 /a v m s    PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Cho hàm s ố fx thỏa mãn 09cos .4fxxt t x  Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….……………………… …. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải:   d3332 0 01 1 9cos (*)3 3 3 4fx fxtxt t f x f x x               4x vào (*), ta được:  3 14 9cos4 4 3.3ff      Câu 2: Biết 3ln 2 ln 3 ln 5xa b c xx    với . a b c Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………… ……………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Ta có: 21 1 1 1.1 1 xx xx xx    Khi đó: dd44 44 333311ln ln 1 4ln2 ln3 ln5.1xI x x xxx xx           Suy ra 4, 1, 1.a b c   Câu 3: Cho hàm s ố  y f x liên tục trên đo ạn 1;6 và có đồ thị là đường gấp khúc ABC trong hình bên dư ới: O-12A B Fx là nguyên hàm c ủa fx thỏa mãn 11F  . Tính  4 6 .FF Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………… ……………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Từ đồ thị của hàm số ta xác định được  khi khi 1 1 2 12 2 62x xx       . F là nguyên hàm c ủa  khi khi 1 12 2 64x C x x x C x        . 111 1 1 1 0F C C       . Hàm số  y f x liên tục trên đo ạn 1;6 Fx liên tục trên đo ạn 1;6 liên tục tại 1 2 222lim lim 2 3 1. xxF x F x C C C         Suy ra 12 1 2 64xx xx         4 6 5FF . Câu 4: Biết  d2 0min 1; ; ; ;aax x a bbb là phân s ố tối giản. Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. …………………………………………… …………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: 20;1 min 1, 1; 2 min 1, 1x x x xx        d d d .d1 2 1 2 1 2 3 0 1 0 1 0 14min 1, min 1, 1 4; 3.33xI x x x x x x x x a b              Câu 5: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc 10m/s thì ngư ời lái đạp phanh; t ừ thời điểm đó, ô tô chuy ển động chậm dần đều với vận tốc  5 10  v t t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, k ể từ lúc bắt đầu đạp phanh. H ỏi từ lúc đạp phanh đ ến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. …………………………………………………… …………………………….…………………………. Lời giải: Xét phương trình 5 10 0 2.    tt Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh thì sau 2s ô tô dừng hẳn. Quãng đư ờng ô tô đi đư ợc kể từ lúc người lái đạp phanh đ ến khi ô tô d ừng hẳn là 02 55 10 10 10 .0 2       s t dt t t m Câu 6: Một vật chuyển động trong 4 gi ờ với vận tốc v (km/h) ph ụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên dư ới: Trong kho ảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đ ỉnh 2; 9I với trục đối xứng song song v ới trục tung, kho ảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song v ới trục hoành. Tính quãng đư ờng s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó (đơn v ị km). Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………………………………………………………… ………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải:   2:P y ax bx c . P qua 0; 0O và có đỉnh 2; 9I nên dễ tìm được phương trình là 2994y x x . Ngoài ra t ại 3x ta có Vậy quãng đu ờng cần tìm là:     34 039 279 d d 27 ( )44S x x x x km . Huế, 17h20’ Ngày 07 tháng 9 năm 2024 Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ ĐỀ ÔN TẬP SỐ 03_TrNg 2025 TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 1 2 – KNTT Chương 4: TÍCH PHÂN Định hư ớng cấu trúc 2025 Líp To¸n thÇy L£ B ¸ B¶O Trường THPT Đ ặng Huy Tr ứ S§T: 0935.785.115 Facebook: Lª B¸ B¶o 116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch , TP HuÕ Trung tâm Km10 - Hương Trà – Huế NỘI DUNG Đ Ề BÀI Trong quá trình sưu tầm và biên so ạn, nếu tài liệu có sai sót gì thì r ất mong nh ận được sự góp ý của quý thầy cô cùng các em h ọc sinh! Xin chân thành c ảm ơn! PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. Câu 1: Cho Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số fx. Khi đó , hiệu số  01FF bằng 0d f x x . B. 0d F x x . C. 0d F x x . D. 0d f x x . Câu 2: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm fx liên tục trên 1;4 , 1 12f và 1d 17 f x x . Giá trị của 4f bằng 29. B. 19. D. Câu 3: Cho cá c số thực  ,b a b và các m ệnh đề:  ddba abf x x f x x .  2 d 2 dba abf x x f x x . aaf x x f x x  .  ddbb aaf x x f u u . Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là 3 . B. 4 . C. Câu 4: Cho hai t ích phân 2d8 f x x  và 5d3 g x x  . Tính 24 1 d I f x g x x    . 11 I . B. 13I . C. 27I . D. Câu 5: Tính tích phân 12dax b x . ab . B. 32ab . C. 2ab . D. 3ab . Câu 6: Tính tích phân 0d.32xIx 1ln 32 . B. ln 3 . C. 1ln 32 . D. 1log32 . Câu 7: Cho hàm s ố 23 khi 0 1 4 khi 1 2xxy f x xx    . Tính tích phân 0d f x x . 2 . D. Câu 8: Cho hàm s ố fx liên tục trên 0d2 f x x ; 3d6f x x . Tính 0d I f x x . 8I . B. 12I . C. 36I . D. 4I . Câu 9: Biết 11d ln 2, ; .    xI x a b a bx Tính 1. B. 1. C. Câu 10: Biết rằng 13d ln 5 ln 2, ,3   x a b a bxx . Mệnh đề nào sau đây đúng? 20ab . B. 20ab . C. 0 ab . D. 0 ab . Câu 11: Cho 02d I x x m x   và 02d J x mx x . Tìm điều kiện của 3.m B. 2.m C. 1.m D. Câu 12: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hi ện có hàng rào ch ắn ngang đường ở phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên ngư ời lái đạp phanh. T ừ thời điểm đó, xe chuy ển động chậm dần đều với vận tốc   5 20 m/s v t t  , trong đó thời gian đư ợc tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe d ừng hẳn, khoảng cách t ừ xe đến hàng rào là bao nhiêu? 4 m . B. 5 m . C. 3 m . D. PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1: Cho hàm s ố fx liên tục trên Fx là nguyên hàm c ủa fx và 0d9 f x x . Khẳng định Đúng Sai 9 0d 9 0 .f x x F F b) Nếu 03F và 0d9 f x x thì 9 12F . 03 d 27f u u d d 18f x x f x x. Câu 2: Cho hàm s ố 2khi 0 11 2 1 khi 1 3xy f x x xx      . Khẳng định Đúng Sai 002d d .1f x x xx 33 11d 2 1 d .f x x x x. 33 12 0d 2ln 1 .   f x x x x x  3 0d ln 2 , ;   f x x a b a b và 8. ab Câu 3: Cho tích phân 12 2 1d.xIxx Khẳng định Đúng Sai 2 khi 22.2 khi 2xxxxx 1 1 22 2 1 2 2 1 2 2 1d d d .         x x xI x x xx x x. 25 125ln 2 2 3ln .   I x x x x  4 ln 2 ln 5, ,    I a b a b và 5.ab Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ  22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. Khẳng định Đúng Sai a) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3s là 8,82 . m b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được tính theo công thức   2,01 0,05 0 10 s t t t    . c) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9 xấp 15,277 . m d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là 21,51 / .ms PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Biết 012 1 sin d 1,      x x xab . Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………… ……………. Câu 2: Biết 28d ln 2 ln 52  xx a b cxx với ,,abc là các số nguyên. Tính . a b c Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………… ……………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 3: Cho hàm số  y f x có đồ thị trên đoạn 1;4 như hình vẽ dưới. Tính tích phân 1( )d I f x x (kết quả dưới dạng số thập phân). Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………… ……………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 4: Cho hàm s ố 32f x ax bx cx d    có 02f và 34 4 2 , .f x f x x x x     gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả 0d.I f x x Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………………………… ………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 5: Cho hàm s ố bậc ba  y f x có đồ thị như hình v ẽ dưới đây : Tính gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả 0d.xf x f x x Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………… ……………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Câu 6: Cho hàm s ố  1 04d f x x x f x x và 1 0.f Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………… ……………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Huế, 17h20’ Ngày 21 tháng 9 năm 2024 Page: CLB GIÁO VIÊN TR Ẻ TP HUẾ ĐỀ ÔN TẬP SỐ 03_TrNg 2025 TR¾C NGHIÖM CHUY£N §Ò M«n: To¸n 1 2 – KNTT Chương 4: TÍCH PHÂN Định hư ớng cấu trú c 2025 LỜI GIẢI CHI TI ẾT PHẦN I. Câu tr ắc nghiệm với nhiều phương án l ựa chọn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 12. M ỗi câu hỏi, thí sinh ch ỉ chọn một phương án. Câu 1: Cho Fx là một nguyên hàm c ủa hàm số fx . Khi đó hiệu số  01FF bằng 0d f x x . B. 0d F x x . C. 0d F x x . D. 0d f x x . Lời giải: Ta có: 01d0f x x F x   10FF   01FF . Câu 2: Cho hàm s ố  y f x có đạo hàm fx liên tục trên 1;4 , 1 12f và 1d 17 f x x . Giá trị của 4f bằng 29. B. 19. D. Lời giải: 1d 17 f x x 117 fx  4 1 17ff   4 29f . Câu 3: Cho các s ố thực  ,b a b và các m ệnh đề:  ddba abf x x f x x .  2 d 2 dba abf x x f x x . aaf x x f x x  .  ddbb aaf x x f u u . Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là 3 . B. 4 . C. Lời giải: Theo định nghĩa và tính ch ất của tích phân ta có 4 đúng. Câu 4: Cho hai t ích phân 2d8 f x x  và 5d3 g x x  . Tính 24 1 d I f x g x x    . 11 I . B. 13I . C. 27I . D. Lời giải: Ta có: 24 1 d I f x g x x    52 25d 4 d f x x g x x x     8 4.3 5 2 13     Câu 5: Tính tích phân 12dax b x . ab . B. 32ab . C. 2ab . D. 3ab . Lời giải:  2 122 d 4 2 31ax b x ax bx a b a b a b         . Câu 6: Tính tích phân 0d.32xIx 1ln 32 . B. ln 3 . C. 1ln 32 . D. 1log32 . Lời giải: 32xIx 01ln 3 22x   1ln 32 . Câu 7: Cho hàm s ố 23 khi 0 1 4 khi 1 2xxy f x xx    . Tính tích phân 0d f x x . 2 . D. Lời giải: 0d f x x 12 01dd f x x f x x 12 013 d 4 dx x x x   1 13432xxx    Câu 8: Cho hàm s ố fx liên tục trên 0d2 f x x ; 3d6f x x . Tính 0d I f x x . 8I . B. 12I . C. 36I . D. 4I . Lời giải: 0d I f x x 13 01dd f x x f x x 2 6 4   . Câu 9: Biết 11d ln 2, ; .    xI x a b a bx Tính 1. B. 1. C. Lời giải: 11dxIxx 111d xx 1lnxx 1 ln 2 1; 1.      ab Câu 10: Biết rằng 13d ln 5 ln 2, ,3   x a b a bxx . Mệnh đề nào sau đây đúng? 20ab . B. 20ab . C. 0 ab . D. 0 ab . Lời giải:  555 113 1 1d d ln ln 3 ln 5 ln 233x x x xx x x x        1a và 1 b . Ta có: 0 ab . Câu 11: Cho 02d I x x m x   và 02d J x mx x . Tìm điều kiện của 3.m B. 2.m C. 1.m D. Lời giải: 02d I x x m x   32xxmx   1023m . 02d J x mx x 03xmx 10 1233mm    Câu 12: Một ô tô đang ch ạy với vận tốc 20 m/s thì người lái xe phát hi ện có hàng rào ch ắn ngang đường ở phía trước cách xe 45 m (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên ngư ời lái đạp phanh. T ừ thời điểm đó, xe chuy ển động chậm dần đều với vận tốc   5 20 m/s v t t  , trong đ ó thời gian đư ợc tính từ lúc người lái đạp phanh. Khi xe d ừng hẳn, khoảng cách t ừ xe đến hàng rào là bao nhiêu? 4 m . B. 5 m . C. 3 m . D. Lời giải: * Xe dừng lại khi   0 5 20 0 4 s v t t t      . * Quãng đư ờng xe đi đư ợc kể từ lúc đạp phanh đ ến khi dừng lại là: 444 2 00 055 20 = 20 =40 m2tv t dt t dt t     * Khi xe d ừng hẳn, khoảng cách t ừ xe đến hàng rào là: 45 40 5 m . PHẦN II. Câu tr ắc nghiệm đúng sai. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh ch ọn đúng ho ặc sai (điền dấu X vào ô chọn) Câu 1: Cho hàm s ố fx liên tục trên Fx là nguyên hàm c ủa fx và 0d9 f x x . Khẳng định Đúng Sai 9 0d 9 0 .f x x F F b) Nếu 03F và 0d9 f x x thì 9 12F . 03 d 27f u u d d 18f x x f x x. Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai a)Theo đ ịnh nghĩa tích phân thì  9 0d ( ) 9 0f x x F x F F   .   9 0d 9 9 0 9 9 3 9 9 12f x x F F F F         . c)Theo tính ch ất 9 9 9 0 0 03 d 3 d 3 d 27  f u u f x x f x x . d)Theo tính ch ất 6 9 9 6 00d d d 9    f x x f x x f x x . Câu 2: Cho hàm s ố 2khi 0 11 2 1 khi 1 3xy f x x xx      . Khẳng định Đúng Sai 002d d .1f x x xx 33 11d 2 1 d .f x x x x. 33 12 0d 2ln 1 .   f x x x x x  3 0d ln 2 , ;   f x x a b a b và 8. ab Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Ta có: 3 1 3 0 0 1d d d f x x f x x f x x   012d 2 1 d1x x xx   3 12 0 12ln 1x x x    ln 4 6 2ln 2 6.    Câu 3: Cho tích phân 12 2 1d.xIxx Khẳng định Đúng Sai 2 khi 22.2 khi 2xxxxx 1 1 22 2 1 2 2 1 2 2 1d d d .         x x xI x x xx x x. 25 125ln 2 2 3ln .   I x x x x  4 ln 2 ln 5, ,    I a b a b và 5.ab Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng 2 khi 222 khi 2xxxxx . 122 2 1 2 2 1 d dxxI x xxx    .  25 122 2 1 2 2 1 d dxxxxxx    12532 d 2 dxxxx             255ln 2 2 3ln12x x x x    4 8ln 2 3ln 5   5 S a b   Câu 4: Sau khi xu ất phát, ô tô di chuy ển với tốc độ  22,01 0,025 0 10 v t t t t    . Trong đó v(t) tính theo m/s, thời gian t tính theo s với t = 0 là thời điểm xe xuất phát. Khẳng định Đúng Sai a) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3s là 8,82 . m b) Quãng đư ờng xe di chuy ển được tính theo công th ức   2,01 0,05 0 10 s t t t    . c) Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong giây th ứ 9 xấp 15,277 . m d) Trong kho ảng thời gian không quá 10s đ ầu, khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì gia t ốc của xe là 21,51 / .ms Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng a) Đúng Quãng đư ờng xe di chuy ển được trong 3 s là 02,01 0,025 d 8,82t t t m . b) Sai Quãng đư ờng xe di chuy ển được phải là nguyên hàm c ủa v(t),   ' 2,01 0,05 0 10v t t t    là công th ức tính gia t ốc của vật. c) Đúng Quãng đư ờng xe di ch uyển được trong giây th ứ 9 :  9 89 8 2,01 0,025 d 15,277   s s t t t m d) Đúng   0;102,01 0,025 0 10 max 17,6 / v t t t t v t m s      khi t = 10s Gia tốc vật khi đó là 210 ' 10 2,01 0,05.10 1,51 /a v m s    PHẦN III. Câu tr ắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh tr ả lời từ câu 1 đến câu 6. Câu 1: Biết 012 1 sin d 1,      x x xab . Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………………………………………………………… ………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải:   2 2 012 1 sin d cos 1 14 2 4 2x x x x x x               2b . Suy ra 6 ab . Câu 2: Biết 28d ln 2 ln 52  xx a b cxx với ,,abc là các số nguyên. Tính . a b c Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. …………………………………………………… …………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Ta có : 228 3 2d + d 3ln 1 2ln 2 7ln 2 2ln 5.2 1 2xx x x xx x x x            Suy ra giá trị là: 7, 2, 0  a b c . Câu 3: Cho hàm số  y f x có đồ thị trên đoạn 1;4 như hình vẽ dưới. Tính tích phân 1( )d I f x x (kết quả dưới dạng số thập phân) . Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. …………………………………………………………………… …………….…………………………. Lời giải: 1;0A , 0;2B , 1;2C , 2;0D ,  3; 1E  4; 1F , 1;0H , 3;0K , 4;0L . Khi đó 4 0 1 2 3 4 1 1 0 1 2 3( )d ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d I f x x f x x f x x f x x f x x f x x            0 1 2 3 4 1 0 1 2 3( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) df x x f x x f x x f x x f x x          0 fx , 1;2 x   và 0 fx , 2;4x ) ABO OBCH HCD DKE EFLKS S S S S     1 1 1 52 1 2 1 2 1 1 1 1 12 2 2 2           . Câu 4: Cho hàm s ố 32f x ax bx cx d    có 02f và 34 4 2 , .f x f x x x x     gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả 0d.I f x x Kết quả: Trình bày: …………………………………………………………………………………. …………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: Ta có :  32 3 2 3 24 4 4 4 63 15 3 .            f x f x a x b x c x d ax bx cx d ax bx cx Ta có hệ: 63 4 63 4 4 2 , 15 0 0 4223 2 2 63 3 02 2                      f x f x x x x bbf x x xc fc 004 2 148d 2 d 2,35.63 3 63      I f x x x x x Câu 5: Cho hàm s ố bậc ba  y f x có đồ thị như hình v ẽ dưới đây : Tính gần đúng đ ến hàng ph ần trăm kết quả 0d.xf x f x x Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ……………… ………………………………………………………………….…………………………. Lời giải:   32, ; ; ;      f x ax bx cx d a b c d ; 23 2 .   f x ax bx c Do đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ  0;2 , 1;1 ; 3;1 và hàm s ố đạt cực trị tại nên ta có hệ: 3127 9 3 1            f a b c d fa b c d Suy ra 324 13299f x x x   . Khi đó 11 004 13 4 26 7442d 2 d 0,88.9 9 3 9 8505           xf x f x x x x x x x x Câu 6: Cho hàm s ố  1 04d f x x x f x x và 1 0.f Tính Kết quả: Trình bày: ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………. Lời giải: 1 0d , 0 4 . m f x x m f x x mx     111 0 1 4 0 0; .44f m m m         Khi đó 1 1 2 1 0 0 0 2d 4 d 4 d 4 dm mm f x x x mx x x mx x x mx x          21 0 24 d 4 dm mm x mx x x mx x     4 2 4 2 02112244m mm x mx x mx              4 2 4 2 02112244m mm x mx x mx              1 48 3 01 4       10;4m nên Khi đó  314 62.2f x x x f    Huế, 17h20’ Ngày 21 tháng 9 năm 2024 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 1: DÃY S Ố 1. DÃY S Ố LÀ GÌ? Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa n u un→ Dãy số trên được kí hiệu là ()nu Dạng khai triển của dãy số ()nu là: 123, , , ..., ,...n uuu u Chú ý: a) ()1 1 uu= gọi là số hạng đầu, ()nu un= là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số. b) Nếu *,nu Cn= ∀∈ thì ta nói ()nu là dãy số không đổi. Hàm số u xác định trên tập   1,2,3,..., Mm với *m thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số này là: 123, , , ..., ,m uuu u trong đó 1u là số hạng đầu, mu là số hạng 2. CÁCH XÁC ĐỊ NH DÃY S Ố Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó. d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN LÝ THUY ẾT. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1nnuu với mọi *. n Dãy số nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1nnuu với mọi *. n Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số nu với 3n nu tức là dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm. 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho *, .nu Mn   Dãy số nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho *, .nu mn   Dãy số nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , mM sao cho *, .nmu M n    Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1u + Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1u DẠNG 1: TÌM S Ố HẠNG C ỦA DÃY S Ố Bài toán 1: Cho dãy số ()nu: ()nu fn= . Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Thay trực tiếp nk= vào nu. MTCT: Dùng chức năng CALC : Nhập: ()fx Bấm r nhập Xk= Bấm = → Kết quả HỆ THỐNG BÀI T ẬP. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 1: Cho dãy số ()nubiết 115 15 22 5nn nu  +−= −       . Tìm số hạng 6u. Câu 2: Cho dãy số ()nu có số hạng tổng quát 21 2nnun+=+. Số 167 84 là số hạng thứ mấy? Bài toán 2: Cho dãy số ()nucho bởi 1 1 ()nnua u fu+= =. Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế 1u vào 2u, thế 2u vào 3u, …, thế 1ku− vào MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập giá trị của số hạng u 1: a= - Nhập biểu thức của ()1nnu fu+= - Lặp dấu = lần thứ 1k− cho ra giá trị của số hạng ku. Câu 3: Cho dãy số ()nubiết 1 uuu+=+ =+ . Tìm số hạng 10u. Câu 4: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 1 = +. Tìm số hạng 50u. Bài toán 3: Cho dãy số ()nucho bởi 12 ..nnnu au b u cu du e++= = = ++. Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Tính lần lượt 34; ;...;k uu u bằng cách thế 12,uu vào 3u; thế 23,uu vào 4u; …; thế 21,kkuu−− vào ku. MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập C .B .A : A B : B Ccd e=++ = = - Bấm r nhập Bb=, ấn = , nhập Aa= ấn = BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn - Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2k− giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng Câu 5: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 12 211; 2 2 35n nnuu u uu++= = = ++. Tìm số hạng 8u. Bài toán 4: Cho dãy số ()nucho bởi {}()1 1 ,nnua u f nu+==. Trong đó {}(),n f nu là kí hiệu của biểu thức 1nu+ tính theo nu và n. Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế {}11,u vào 2u; thế {}22,u vào 3u; …; thế {}1 1,k ku−− vào ku. MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n B: chứa giá trị của u n C: chứa giá trị của u n+1 - Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A: = A + 1 và B:=C để tính số hạng tiếp theo của dãy - Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1k− thì đó là giá trị của số hạng Câu 6: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: ()1 nuun+== ++. Tìm số hạng 11u. Câu 7: Cho dãy số ()nu được xác định bởi: 1 u un+= = +. Tìm số hạng 50u. DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GI ẢM CỦA DÃY S Ố BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn Cách 1: Xét hiệu 1nnuu+−  Nếu * 1 0nnuu n+− > ∀∈ thì ()nu là dãy số tăng.  Nếu * 1 0nnuu n+− < ∀∈  thì ()nu là dãy số giảm. Cách 2 : Khi *0nun> ∀∈ ta xét tỉ số 1n  Nếu 11n u+> thì ()nu là dãy số tăng.  Nếu 11n u+< thì ()nu là dãy số giảm. Cách 3 : Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh * 1nnu un+> ∀∈  * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số Dãy số ()nucó nu an b= + tăng khi 0a>và giảm khi 0a< Dãy số ()nucó n  Không tăng, không giảm khi 0q<  Giảm khi 01q<<  Tăng khi 1q> Dãy số ()nucó nan bucn d+=+ với điều kiện *cn d 0 n+ > ∀∈   Tăng khi 0 ad bc−>  Giảm khi 0 ad bc−< Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số ()nutăng hoặc giảm thì dãy số ().n nqu không tăng, không giảm Dãy số ()nucó 1nnu au b+= + tăng nếu −> ; giảm nếu −<và không tăng không giảm nếu 0a< Dãy số ()nucó 1 *, 0, 0n nau bucu d cd u n++ =+  > > ∀∈ tăng nếu 0ad bc −>và giảm nếu 0ad bc Dãy số ()nucó 1 *, 0, 0n nau bucu d cd u n++ =+  > > ∀∈ không tăng không giảm nếu 0 ad bc−< CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn Nếu () v↑↑thì dãy số ()nnuv+↑ Nếu () v↓↓thì dãy số ()nnuv+↓ *( ); 0 (); 0nn nnuu n vv n↑ ≥ ∀∈↑ ≥ ∀∈ thì dãy số ().nnuv↑ Nếu * *( ); 0 (); 0nn nnuu n vv n↓ ≥ ∀∈↓ ≥ ∀∈ thì dãy số ().nnuv↓ Nếu ()nu↑ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↑ và dãy số ()*()m num↑∀ ∈ Nếu ()nu↓ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↓ và dãy số ()*()m num↓∀ ∈ Nếu ()nu↑ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 nu↓  Nếu ()nu↓ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 nu↑ Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 36nun= + . Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 5 2nnun+=+. Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 25n nun= . Câu 11: Cho dãy số ()nubiết1 ( ): 31 24nn u uun−= += ∀≥. DẠNG 3: XÉT TÍNH B Ị CHẶN CỦA DÃY S Ố Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số ()nucó ()nu fn= là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *() ,nu fn M n= ≤ ∀∈  hoặc *() ,nu fn m n= ≥ ∀∈  Cách 2: Dãy số ()nucó 12 ... ...n kn u vv v v=+++++ Ta làm trội 1 k kkvaa+≤− Lúc đó ()()()12 23 1 ...n nn u aa aa aa+ ≤−+−+ − Suy ra * 11 ,nnu aa Mn+≤ − ≤ ∀∈  Cách 3: Dãy số ()nucó 1 23. ...nnu v vv v= với *0,nvn> ∀∈  Ta làm trội 1k kava+≤ BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn Lúc đó 31 2 12. ...n naaauaa a+≤ Suy ra * 1 nau Mna+≤ ≤ ∀∈  Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số ()nugiảm thì bị chặn trên, dãy số ()nutăng thì bị chặn dưới * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn Dãy số ()nucó ()1n nuq q= ≤ bị chặn Dãy số ()nucó ()1n nuq q= <− không bị chặn Dãy số ()nucó n nuq= với 1q> bị chặn dưới Dãy số ()nucó nu an b= + bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< Dãy số ()nucó 2 nu an bn c= ++ bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< Dãy số ()nucó 1 1 10 ...mm nm mu a n a n an a− − = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên nếu Dãy số ()nucó ( )1 1 10 ...nm m n mmu q a n a n an a− − = + ++ + với 0ma≠ và 1 q<− không bị chặn Dãy số ()nucó 1 1 10 ...mm nm mu a n a n an a− − = + ++ + bị chặn dưới với 0ma> Dãy số ()nucó 1 3 1 10 ...mm nm mu a n a n an a− − = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên nếu 0ma< Dãy số ()nucó () ()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn nếu bậc của ()Pn nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ()Qn Dãy số ()nucó () ()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của ()Pn lớn hơn bậc của ()Qn Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 1 23nun−=+. BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 45 1nnun+=+. Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 3 21nnun=+. Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? DẠNG 4: TÍNH T ỔNG C ỦA DÃY S Ố Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều Giải sử cần tính tổng: 12 ...n Saa a=+++ . Trong đó: 1 nnaa d−= + - Tự luận: Ta có: ()()()()1 21 1 1 2 ...nn n n S aa aa aa n aa− =+++ + ++= + Từ đó suy ra: ()1n. 2n aaS+= - Trắc nghiệm: Công thức tính nhanh: + Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: ()1 1nuu n d=+− với d là khoảng cách giữa 2 số + Số số hạng = : + 1 + Tổng = •: 2 - Casio Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng. Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1 tới n= số số hạng y =. Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001S=++++ ? Câu 17: Cho tổng ( ) 2 4 6 ... 2Sn n =++++ . Khi đó 30S bằng? Câu 18: Cho dãy số ()nu xác định bởi: 1150u= và 13nnuu−= − với mọi 2n≥ Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên là: Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 9 Sưu t ầm và biên so ạn Giả sử cần tính tổng: . - Tự luận: Bước 1: Ta tìm cách tách: ; ;. Bước 2: Rút gọn: - Trắc nghiệm: + Một số công thức tách thường sử dụng: + Nhận định kết quả của tổng là: - Casio: Làm tương tự như dạng 1 Câu 19: Tính tổng sau: Câu 20: Cho tổng . Khi đó công thức của là: Câu 21: Cho tổng . Tính Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính Giả sử cần tính tổng: . - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng: với 12 ...n Saa a=+++ 112a bb= −2 23a bb= − 122 3 11 1 b ...nn n Sbbb bb bb++ =−+−++− =− n(n a)a n na•= −++2 11 n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )a n na na n a•= −++ + ++ 2 22 22 11 n (n a) ( )na a n na+•= −++. ! ( 1)! !nn n n• =+− 11 n Sbb+= − 222 2...1.3 3.5 5.7 97.99S= + + ++ 111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)nS= + + ++++nS 222 23 5 7 21...(1.2) (2.3) (3.4) [ n( 1)]nnSn+=+++ ++10S 12 ...n Saa a=+++ 11 1 11 S u ua ua ua Sa+− =+ + ++ ⇒=−1a≠ PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 10 Sưu t ầm và biên so ạn - Casio: Làm tương tự như dạng 1 Câu 22: Tính tổng: ? Câu 23: Tính tổng ? Câu 24: Tính tổng: . Tính Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết Giải sử cần tính tổng: . - Tự luận: Tìm cách tách: . Trong đó: đã biết công thức tính tổng. - Trắc nghiệm: Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng. - Casio: Làm tương tự như dạng 1 Câu 25: Tính: . Biết rằng: Câu 26: Cho: . Tính biết rằng: Câu 27: Cho tổng: với . Biết: . Giá trị của k là: DẠNG 5: XÁC ĐỊ NH CÔNG TH ỨC SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT C ỦA DÃY S Ố 2 501 3 3 ... 3S=++ ++ 2 3 10011 1 14.5 . ... 155 5 5S= + + ++ + 111 11 1 1 ... 1248 2nS     =− +− +−++−          10S 12 ...nnS aa a=+++ 123 ...nS SSS=+++12 3; ;S ...SS 1.3 2.5 3.7 ... (2 1)nS nn =+++ + + 2 22 2 11( 1) ( 1)(2 1)1 2 3 ... ; 1 2 3 ...26nn iinn nn ni ni n = =+ ++= ++++= = + +++ = ∑∑ 1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2nS nn =+++ +−100S 2 22 2 11( 1)(2 1)2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...6nn iinn ni n nn i n = =++= ++++ = + = + +++ =∑∑ 1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)nS nn = + + ++ +*n∈ 294kS= BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 11 Sưu t ầm và biên so ạn  Nếu có dạng thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu  Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n. Câu 28: Cho dãy số có . Đặt . Xác định công thức tính theo n. Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: . Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: ( )nu12 ...nnu aa a=+++ka 1nnuu+− ( )nu ( )na( )1 1kakk=+1n ==∑ ( )nu u un+=∀≥ = + BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 1: DÃY S Ố 1. DÃY S Ố LÀ GÌ? Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa n u un→ Dãy số trên được kí hiệu là ()nu Dạng khai triển của dãy số ()nu là: 123, , , ..., ,...n uuu u Chú ý: a) ()1 1 uu= gọi là số hạng đầu, ()nu un= là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát ) của dãy số. b) Nếu *,nu Cn= ∀∈ thì ta nói ()nu là dãy số không đổi. Hàm số u xác định trên tập   1,2,3,..., Mm với *m thì được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số này là: 123, , , ..., ,m uuu u trong đó 1u là số hạng đầu, mu là số hạng 2. CÁCH XÁC ĐỊ NH DÃY S Ố Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau: a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng qu át c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: Cho số hạng đầu. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó. d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN LÝ THUY ẾT. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1nnuu với mọi *. n Dãy số nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1nnuu với mọi *. n Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số nu với 3n nu tức là dãy 3,9, 27,81,... không tăng cũng không giảm. 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN Dãy số nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho *, .nu Mn   Dãy số nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho *, .nu mn   Dãy số nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số , mM sao cho *, .nmu M n    Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1u + Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1u DẠNG 1: TÌM S Ố HẠNG C ỦA DÃY S Ố Bài toán 1: Cho dãy số ()nu: ()nu fn= . Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Thay trực tiếp nk= vào nu. MTCT: Dùng chức năng CALC : Nhập: ()fx Bấm r nhập Xk= Bấm = → Kết quả HỆ THỐNG BÀI T ẬP. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 1: Cho dãy số ()nubiết 115 15 22 5nn nu  +−= −       . Tìm số hạng 6u. Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: Thế trực tiếp: 66 611 5 1 5822 5u      . Cách 2: Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay: Nhập: 115 15 22 5xx  +− −        Bấm CALC nhập X6= Máy hiện: 8 Câu 2: Cho dãy số ()nu có số hạng tổng quát 21 2nnun+=+. Số 167 84 là số hạng thứ mấy? Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: 1Giả sử += ⇔ = ⇔ += ++167 2 1 16784(2 1) 167( 2)84 2 84nnu nnn250n⇔= . Vậy 167 84 là số hạng thứ 250 của dãy số ()nu. Cách 2: Sử dụng MTCT: Nhập: + Bấm CALC nhập X 250= Máy hiện: 167 Bài toán 2: Cho dãy số ()nucho bởi 1 1 ()nnua u fu+= =. Hãy tìm số hạng ku. BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế 1u vào 2u, thế 2u vào 3u, …, thế 1ku− vào MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập giá trị của số hạng u 1: a= - Nhập biểu thức của ()1nnu fu+= - Lặp dấu = lần thứ 1k− cho ra giá trị của số hạng ku. Câu 3: Cho dãy số ()nubiết 1 uuu+=+ =+ . Tìm số hạng 10u. Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: 1212 3 1 11 2uuu++= = =++ ; 2 2322 7 2 3 1512uuu++= = =++ ; 3 3722 17 5 71 1215uuu++= = =++ ; 41722 41 12 171 29112uuu++= = =++ ; 5 54122 99 29 41 1 70129uuu++= = =++ ; 6 69922 239 70 991 169170uuu++= = =++ 723922 577 169 2391 4081169uuu++= = =++ ; 8 857722 1393 408 5771 9851408uuu++= = =++ ; 9 9139322 3363 985 13931 23781985uuu++= = =++ Cách 2: Sử dụng MTCT: Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau: Nhập: 1 = 1()u Nhập ANS 2 ANS 1+ Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 103363 2378u= . Câu 4: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 1 = +. Tìm số hạng 50u. Lời giải BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn Cách 1: Giải theo tự luận: Từ giả thiết ta có: 50 491 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: 501 2.49 99 u= += Cách 2: Sử dụng MTCT: Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau: Nhập: 1 = 1()u Nhập ANS 2+ Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 5099 u= . Bài toán 3: Cho dãy số ()nucho bởi 12 ..nnnu au b u cu du e++= = = ++. Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Tính lần lượt 34; ;...;k uu u bằng cách thế 12,uu vào 3u; thế 23,uu vào 4u; …; thế 21,kkuu−− vào ku. MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Nhập C .B .A : A B : B Ccd e=++ = = - Bấm r nhập Bb=, ấn = , nhập Aa= ấn = - Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2k− giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng Câu 5: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: 12 211; 2 2 35n nnuu u uu++= = = ++. Tìm số hạng 8u. Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn 3 212 3 5 12 u uu= + += 4 322 3 5 35 u uu= + += 5 432 3 5 111 u uu= + += 6 542 3 5 332 u uu= + += 7 652 3 5 1002 u uu= + += 8 762 3 5 3005 u uu= + += Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của nu B: chứa giá trị của 1nu+ C: chứa giá trị của 2nu+ Lập quy trình bấm máy: Nhập: C 2 B 3 A + 5:A B:B C= += = Bấm CALC nhập B2=, ấn =, nhập A1= ấn = Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 6 thì đó là giá trị của số hạng 8u bằng Bài toán 4: Cho dãy số ()nucho bởi {}()1 1 ,nnua u f nu+==. Trong đó {}(),n f nu là kí hiệu của biểu thức 1nu+ tính theo nu và n. Hãy tìm số hạng ku. Tự luận: Tính lần lượt 23; ;...;k uu u bằng cách thế {}11,u vào 2u; thế {}22,u vào 3u; …; thế {}1 1,k ku−− vào ku. MTCT: Cách lập quy trình bấm máy: - Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n B: chứa giá trị của u n C: chứa giá trị của u n+1 - Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A: = A + 1 và B:=C để tính số hạng tiếp theo của dãy - Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1k− thì đó là giá trị của số hạng PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 6: Cho dãy số ()nu được xác định như sau: ()1 nuun+== ++. Tìm số hạng 11u. Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: 2111( 1)22uu= += 322( 1) 13uu= += 4333( 1)42uu= += 544( 1) 25uu= += 6555( 1)62uu= += 766( 1) 37uu= += 8777( 1)82uu= += 988( 1) 49uu= += 10 999( 1)10 2uu= += 11 1010( 1) 511uu= += Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: Sử dụng 3 ô nhớ: A: chứa giá trị của n B: chứa giá trị của nu C: chứa giá trị của 1nu+ Lập quy trình bấm máy: Nhập: ()AC B 1 :A A 1:B CA1= + = +=+ Bấm CALC nhập A1=, ấn = , nhập B0= ấn = Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 10 thì đó là giá trị của số hạng 11u bằng 5. Câu 7: Cho dãy số ()nu được xác định bởi: 1 u un+= = +. Tìm số hạng 50u. Lời giải Cách 1: Giải theo tự luận: Từ giả thiết ta có: 50 491 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được: CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn 50 2112.(2 3 ... 50) 2. 2548,522 xux == + +++ = + = ∑ Cách 2: Dùng máy tính cầm tay: Nhập: C B 2 A:A A 1:B C= + = += Bấm CALC nhập 1B2=, ấn = , nhập A1= ấn = Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 49 thì đó là giá trị của số hạng 50u bằng 2548,5 . DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GI ẢM CỦA DÃY S Ố Cách 1: Xét hiệu 1nnuu+−  Nếu * 1 0nnuu n+− > ∀∈ thì ()nu là dãy số tăng.  Nếu * 1 0nnuu n+− < ∀∈  thì ()nu là dãy số giảm. Cách 2 : Khi *0nun> ∀∈ ta xét tỉ số 1n  Nếu 11n u+> thì ()nu là dãy số tăng.  Nếu 11n u+< thì ()nu là dãy số giảm. Cách 3 : Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh * 1nnu un+> ∀∈  * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số Dãy số ()nucó nu an b= + tăng khi 0a>và giảm khi 0a< Dãy số ()nucó n  Không tăng, không giảm khi 0q<  Giảm khi 01q<<  Tăng khi 1q> Dãy số ()nucó nan bucn d+=+ với điều kiện *cn d 0 n+ > ∀∈   Tăng khi 0 ad bc−>  Giảm khi 0 ad bc−< PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 9 Sưu t ầm và biên so ạn Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm Nếu dãy số ()nutăng hoặc giảm thì dãy số ().n nqu không tăng, không giảm Dãy số ()nucó 1nnu au b+= + tăng nếu −> ; giảm nếu −<và không tăng không giảm nếu 0a< Dãy số ()nucó 1 *, 0, 0n nau bucu d cd u n++ =+  > > ∀∈ tăng nếu 0ad bc −>và giảm nếu 0ad bc Dãy số ()nucó 1 *, 0, 0n nau bucu d cd u n++ =+  > > ∀∈ không tăng không giảm nếu 0 ad bc−< Nếu () v↑↑thì dãy số ()nnuv+↑ Nếu () v↓↓thì dãy số ()nnuv+↓ *( ); 0 (); 0nn nnuu n vv n↑ ≥ ∀∈↑ ≥ ∀∈ thì dãy số ().nnuv↑ Nếu * *( ); 0 (); 0nn nnuu n vv n↓ ≥ ∀∈↓ ≥ ∀∈ thì dãy số ().nnuv↓ Nếu ()nu↑ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↑ và dãy số ()*()m num↑∀ ∈ Nếu ()nu↓ và *0nun≥ ∀∈ thì dãy số ()nu↓ và dãy số ()*()m num↓∀ ∈ Nếu ()nu↑ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 nu↓  Nếu ()nu↓ và *0nun> ∀∈ thì dãy số1 nu↑ Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 36nun= + . Lời giải Ta có ()1 3 6 3 1 63 9nnun u n n+ = +⇒ = ++= + Xét hiệu ()()* 1 3 9 3 6 30nnuu n n n+− = + − + => ∀∈  Vậy ()nulà dãy số tăng Giải nhanh: Dãy này có dạng nu an b= + ; a30= > nên dãy số tăng Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 5 2nnun+=+. Lời giải BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 10 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 153 31122 3nnnuunn n++= = + ⇒= +++ + Xét hiệu ()()* 133 303 2 23nnuu nnn nn+−− = − = < ∀∈++ ++ Vậy ()nulà dãy số giảm Giải nhanh: Dãy này có dạng nan bucn d+=+ Mẫu *20nn+>∀ ∈ và 25 30 ad bc− =−= −< nên ()nulà dãy số giảm Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số ()nubiết 25n nun= . Lời giải 1 2 2550, nnu nun n+ + = > ∀∈ ⇒ = Xét tỉ số ()12 2 2 2 2 225 5 2 14 2 1.5 21 211n nu n n nn nn u nn nn n+ + + ++ − −= = =++ ++ + 22 12 11 1,21nn nnnn−+ −=+ > ∀∈++ Vậy ()nulà dãy số tăng Câu 11: Cho dãy số ()nubiết1 ( ): 31 24nn u uun−= += ∀≥. Lời giải Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm Ta có 11 1131 1 nn nuuuu u−− −−+−−= −= Do đó, để chứng minh dãy ()nugiảm ta chứng minh 1 1nun>∀≥ bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy Với 1 1 21nu= ⇒= > Giả sử 131 311144k kkuuu+++>⇒ = > = Theo nguyên lí quy nạp ta có 1 1nun>∀≥ Suy ra 110 2nn n nuu uu n−−− <⇔ < ∀≥ hay dãy ()nu giảm Giải nhanh: Dãy ()nucó dạng 1nnu au b+= + CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 11 Sưu t ầm và biên so ạn Ở đây 304a= > và 21712044uu− =−= −< Suy ra dãy số giảm Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số ()1 , a,b>0 2nn u au bunab−= > += ∀≥+giảm tương tự như DẠNG 3: XÉT TÍNH B Ị CHẶN CỦA DÃY S Ố Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cách 1: Dãy số ()nucó ()nu fn= là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *() ,nu fn M n= ≤ ∀∈  hoặc *() ,nu fn m n= ≥ ∀∈  Cách 2: Dãy số ()nucó 12 ... ...n kn u vv v v=+++++ Ta làm trội 1 k kkvaa+≤− Lúc đó ()()()12 23 1 ...n nn u aa aa aa+ ≤−+−+ − Suy ra * 11 ,nnu aa Mn+≤ − ≤ ∀∈  Cách 3: Dãy số ()nucó 1 23. ...nnu v vv v= với *0,nvn> ∀∈  Ta làm trội 1k kava+≤ Lúc đó 31 2 12. ...n naaauaa a+≤ Suy ra * 1 nau Mna+≤ ≤ ∀∈  Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu dãy số ()nuđược cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh Chú ý: Nếu dãy số ()nugiảm thì bị chặn trên, dãy số ()nutăng thì bị chặn dưới * Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn Dãy số ()nucó ()1n nuq q= ≤ bị chặn Dãy số ()nucó ()1n nuq q= <− không bị chặn Dãy số ()nucó n nuq= với 1q> bị chặn dưới PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 12 Sưu t ầm và biên so ạn Dãy số ()nucó nu an b= + bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< Dãy số ()nucó 2 nu an bn c= ++ bị chặn dưới nếu 0a>và bị chặn trên nếu 0a< Dãy số ()nucó 1 1 10 ...mm nm mu a n a n an a− − = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên nếu Dãy số ()nucó ( )1 1 10 ...nm m n mmu q a n a n an a− − = + ++ + với 0ma≠ và 1 q<− không bị chặn Dãy số ()nucó 1 1 10 ...mm nm mu a n a n an a− − = + ++ + bị chặn dưới với 0ma> Dãy số ()nucó 1 3 1 10 ...mm nm mu a n a n an a− − = + ++ + bị chặn dưới nếu 0ma> và bị chặn trên nếu 0ma< Dãy số ()nucó () ()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn nếu bậc của ()Pn nhỏ hơn hoặc bằng bậc của ()Qn Dãy số ()nucó () ()nPnuQn= trong đó ()Pn và ()Qn là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của ()Pn lớn hơn bậc của ()Qn Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 1 23nun−=+. Lời giải Ta có ** * 11 1 12 3 5, 0 , 0,23 5 5 23nn n nnn−+≥ ∀∈ ⇒ < ≤ ∀∈ ⇒ − ≤ < ∀∈++  105nu⇒− ≤ < Suy ra dãy số ()nubị chặn Giải nhanh: dãy số ()nucó nucó bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 45 1nnun+=+. Lời giải Ta có * 450,1nnunn+= > ∀∈+ * 4 5 4( 1) 1 1 1 9 944 ,1 1 1 22 2nnnnu unnn n+ ++= = =+ ≤+ = ⇒ ≤ ∀∈++ + BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 13 Sưu t ầm và biên so ạn Suy ra * 90,2nun< ≤ ∀∈  Vậy dãy số ()nu bị chặn Giải nhanh: dãy số ()nu có nucó bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 3 21nnun=+. Lời giải Ta có 3 20, ( )1nnnu nun= > ∀∈ ⇒+ bị chặn dưới Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số ()nubiết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? Lời giải Xét ()21 1 11,211kk k kk k< = − ∀≥−− Suy ra 1 1 11 11 11 1 1 31 31 ...2 2 23 34 56 1 2 2nunn n      <+− + − + − + − ++ − =−<      −        30 ,*2nun⇒ < < ∀∈  Vậy ()nu bị chặn DẠNG 4: TÍNH T ỔNG C ỦA DÃY S Ố Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều Giải sử cần tính tổng: 12 ...n Saa a=+++ . Trong đó: 1 nnaa d−= + - Tự luận: Ta có: ()()()()1 21 1 1 2 ...nn n n S aa aa aa n aa− =+++ + ++= + Từ đó suy ra: ()1n. 2n aaS+= - Trắc nghiệm: Công thức tính nhanh: + Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là: ()1 1nuu n d=+− với d là khoảng cách giữa 2 số + Số số hạng = : + 1 PHƯƠNG PHÁP . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 14 Sưu t ầm và biên so ạn + Tổng = •: 2 - Casio Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng. Bước 2: Sử dụng công cụ tính: ∑ y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1 tới n= số số hạng y =. Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001S=++++ ? Lời giải Ta có: 2 (1 4001) (3 3999) (5 3997) ... (4001 1) 4002 2001S= ++ ++ ++ ++ =⋅ 4002.200140040012S= = +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Số số hạng: 4001 11 20012n−= += Tổng: (1 4001).200140040012S+= = +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 1( 1) 1 ( 1).2 2 1nuu n d n n=+− = +− =− Số số hạng của dãy là 2001 Nhập máy tính cho ta kết quả: 4004001 +) Những sai lầm thường gặp: - Tính sai s ố số hạng của dãy - Tìm sai công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố khi làm vớ i máy tính Casio Lời bình: Nhận thấy việc tìm số hạng tổng quát của dãy đối với HS trung bình, yếu là tương đối khó khăn. Vì thế ta nên sử dụng công thức giải nhanh để tìm số số hạng và tổng của dãy một cách nhanh chóng. Ở bài tập này thì việc vận dụng công thức tính nhanh sẽ nhanh hơn Casio nhé các em! Câu 17: Cho tổng ( ) 2 4 6 ... 2Sn n =++++ . Khi đó 30S bằng? Lời giải Ta có: 502 4 6 60 S= + + +…+  2 (2 60) (4 58) (6 56) (60 2)S= ++ ++ ++ … ++  (2 60).30( ) 9302Sn+= = BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 15 Sưu t ầm và biên so ạn +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Số hạng thứ 30: 502.30 60 u= = Số số hạng: 30n= Tổng: (2 60).309302S+= = +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 2n Số số hạng của dãy là: 30 Nhập máy tính cho ta kết quả: 930 Những sai lầm thường gặp: - Tìm sai s ố hạng thứ n. Lời bình: Trong bài tập này HS cần chú ý tới số hạng tổng quát trong dãy đã cho sẵn. Từ đó sử dụng để tìm số hạng thứ n hoặc sử dụng trong việc bấm máy tính Casio một cách nhanh chóng tìm được kết quả. Câu 18: Cho dãy số ()nu xác định bởi: 1150u= và 13nnuu−= − với mọi 2n≥ Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên là: Lời giải +) Giải tự luận: Ta có: 100 993 150 3 150 1.3 147 3 150 3 3 150 2.3 144 3 150 99.3 147= −= −= − = = −= −−= − = = −= − = −uu  100 150 147 144 147 S= + + +…+−  1002 (150 147) (147 144) (144 141) ( 147 150)S=−+−+−+ … + − +  100(150 147) 1001502S−⋅= = +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Số hạng thứ 100: 100 1 ( 1) 150 99.( 3) 147 u und=+− = + −= − Số số hạng: 100n= Tổng: (150 147) 1001502S−⋅= = +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 150 3( 1) 3 153nu nn= − −= −+ Số số hạng của dãy là: 100n= Nhập máy tính cho ta kết quả: 150 Những sai lầm thường gặp: - Tìm sai s ố hạng thứ n của dãy CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 16 Sưu t ầm và biên so ạn - Tìm sai công thứ c số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio Lời bình: HS cần ghi nhớ công thức số hạng tổng quát của dãy số cách đều để sử dụng tìm số hạng thứ n và rút ra công thức số hạng tổng quát của dãy một cách nhanh chóng để xử lý bài toán. Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp Giả sử cần tính tổng: . - Tự luận: Bước 1: Ta tìm cách tách: ; ;. Bước 2: Rút gọn: - Trắc nghiệm: + Một số công thức tách thường sử dụng: + Nhận định kết quả của tổng là: - Casio: Làm tương tự như dạng 1 Câu 19: Tính tổng sau: Lời giải Ta có: Do đó: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Nhận thấy: 12 ...n Saa a=+++ 112a bb= −2 23a bb= − 122 3 11 1 b ...nn n Sbbb bb bb++ =−+−++− =− n(n a)a n na•= −++2 11 n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )a n na na n a•= −++ + ++ 2 22 22 11 n (n a) ( )na a n na+•= −++. ! ( 1)! !nn n n• =+− 11 n Sbb+= − 222 2...1.3 3.5 5.7 97.99S= + + ++ 1 111 11; ;...1.3 1 3 3.5 3 5= −= − 1 1 1 1 1 1 1 98... 11 3 3 5 97 99 99 99S=−+−++ − =− = 1 111 11; ;...1.3 1 3 3.5 3 5= −= − PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 17 Sưu t ầm và biên so ạn Nhận định: +) Giải bằng Casio Số hạng tổng quát của dãy là: Số số hạng của dãy là: Nhập máy tính cho ta kết quả: Những sai lầm thường gặp: - Tách sai các s ố hạng - Tìm sai s ố hạng tổng quát của dãy số Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức: . Ở bài tập này việc làm bằng máy tính Casio là khó khăn và phức tạp hơn vì chưa có sẵn số hạng tổng quát và số số hạng. Câu 20: Cho tổng . Khi đó công thức của là: Lời giải Ta có: Suy ra: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Nhận thấy: Nhận định: Những sai lầm thường gặp: - Tách sai các s ố hạng Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức: 1 98199 99S= −= (2 1)(2 1)nunn=−+ 49n=( ) 2 1 97 49nn−= ⇔ = n(n a)a n na•= −++ 111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)nS= + + ++++nS 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3)2 ...1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) 1.2 ( 1)( 2) 2( 1)( 2)nnnSn n nn nn nn+=−+−+ + − =− =+ ++ ++ ++ 4( 1)( 2)nnnSnn+=++ 1 1 1 ( 3) 2 1.2 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)nnnSnn nn += −=++ ++ n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )a n na na n a•= −++ + ++ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 18 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 21: Cho tổng . Tính Lời giải Cách 1: Ta có: Suy ra: Cách 2: Ta có: Suy ra: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Nhận thấy: ( ) ( )223 11 5 11; ;...14 49 1.2 2.3= −= − Nhận định: . Suy ra: +) Casio Công thức số hạng tổng quát của dãy là: Số số hạng của dãy là: Nhập máy tính cho ta kết quả: Những sai lầm thường gặp: - Tách sai các s ố hạng Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức: Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính 222 23 5 7 21...(1.2) (2.3) (3.4) [ n( 1)]nnSn+=+++ ++10S ( ) ( )223 11 1 11; ;...14 49 1.2 2.3= −= − ( )2 2 221 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)...1 4 4 9 1 ( 1) ( 1) 1nnnSn nn n+=−+−++ − =− =++ + 10 210(10 2) 120 (10 1) 121S+= =+ ( )10 2 2223 5 7 21...(1.2) (2.3) (3.4) 10.11S=+++ + 10 22 21 1 1 1 1 1 1 1 120...1 4 4 9 10 11 1 11 121S=−+−++ − =− = 221 1 ( 2) 1 ( 1) ( 1)nnnSnn+= −=++10 210(10 2) 120 (10 1) 121S+= =+ ( )221 2 22 22 11 n (n a) ( )na a n na+•= −++ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 19 Sưu t ầm và biên so ạn Giả sử cần tính tổng: . - Tự luận: Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S - Trắc nghiệm: Tổng có dạng: với - Casio: Làm tương tự như dạng 1 Câu 22: Tính tổng: ? Lời giải Ta có: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Áp dụng công thức tính nhanh với ta có: . +) Giải theo Casio Công thức số hạng tổng quát của dãy là: Số số hạng của dãy là: Nhập máy tính cho ta kết quả: . Ta gán: ) Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó. +) Những sai lầm thường gặp: - Tìm sai s ố hạng tổng quát của dãy số Lời bình: Khi làm với máy tính Caiso các em cần tìm chính xác số hạng tổng quát của dãy số việc này quyết định máy có đưa ra được kết quả chính xác hay không. Ở bài tập này nếu các em thuộc được công thức tính nhanh thì ta có thể giải quyết bài toán hết sức nhanh chóng. Chú ý 12 ...n Saa a=+++ 11 1 11 S u ua ua ua Sa+− =+ + ++ ⇒=−1a≠ 2 501 3 3 ... 3S=++ ++ 2 3 513 3 3 3 ... 3S= ++ + ( ) ( )2 3 51 2 503 3 3 3 ... 3 1 3 3 ... 3SS⇒ −= + + + −++ + 51 312 312SS−⇒ = −⇒ = 11; 3ua= =5131 241,076846982.10 241,076846982.10 A→ PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 20 Sưu t ầm và biên so ạn rằng bài toán này có thể hạn chế Casio bằng cách cho 2 đáp án ở “gần nhau” chẳng hạn phương án B. thì khi làm bằng Casio sẽ có 2 đáp án không phân biệt được là B và C Câu 23: Tính tổng ? Lời giải Ta có: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Áp dụng công thức tính nhanh với: ta có: Câu 24: Tính tổng: . Tính Lời giải Cách 1: Ta có: Ta có: 513 2 3 10011 1 14.5 . ... 155 5 5S= + + ++ + 2 3 10011 1 1...55 5 5M=+ + ++ 2 9911 15 1 ...55 5M=++ ++ 2 99 2 3 100 10011 1 11 1 1 15 1 ... ... 155 5 55 5 5 5MM  ⇒ − =++ ++ − + + ++ = −      100 1001 51415 4.5MM−⇒ = − ⇒= 100 100 1005145 1 54.5S−⇒ =⋅ ⋅ += 2 3 10011 1 1...55 5 5M=+ + ++ 111;55ua= =100 10011155 51 1 4.515M− − = = 100 100 1005145 1 54.5S−⇒ =⋅ ⋅ += 111 11 1 1 ... 1248 2nS     =− +− +−++−          10S 10 2 3 10 2 3 101 1 1 1 11 1 11 1 1 ... 1 10 ...2 2 2 2 22 2 2S       =− +− +− ++− =− + +++               2 3 1011 1 1...22 2 2M=+ + ++ 2911 12 1 ...22 2M= ++ ++ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 21 Sưu t ầm và biên so ạn Cách 2: Ta có: Ta có: +) Giải theo phương pháp trắc nghiệm: Ta có: +) Giải theo Casio Nhận xét: Nhập máy tính tổng với số hạng tổng quát: , số số hạng: ta được kết quả: . Nhập tiếp: 10 – Ans được kết quả: Ta gán: ) Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó. 2 9 2 3 10 1011 1 11 1 1 12 1 ... ... 122 2 22 2 2 2MMM  ⇒ − = =++ ++ − + + ++ = −      10 101110 1 922S⇒ = −+ =+ 2311 1 1...22 2 2n nSn=− + + ++ 2311 1 1...22 2 2nM=+ + ++ 2111 12 1 ...22 2nM−= ++ ++ 2 1 2311 1 11 1 1 12 1 ... ... 122 2 22 2 2 2n nnMMM−  ⇒ − = =++ ++ − + + ++ = −      112n nSn⇒ =−+ 10 10 101110 1 922S⇒ = −+ =+ 10 2 3 1011 1 110 ...22 2 2S= − + + ++ 2 3 10 1011122 11 1 1 1... 11 22 2 2 212−+ + ++ = = − 10 101110 1 922S⇒ = −+ =+ 2311 1 1...22 2 2n nSn=− + + ++ 2311 1 1...22 2 2n+ + ++1 2n nu= 10nu= 1024A→ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 22 Sưu t ầm và biên so ạn Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết Giải sử cần tính tổng: . - Tự luận: Tìm cách tách: . Trong đó: đã biết công thức tính tổng. - Trắc nghiệm: Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng. - Casio: Làm tương tự như dạng 1 Câu 25: Tính: . Biết rằng: Lời giải Câu 26: Cho: . Tính biết rằng: Lời giải Ta có: Câu 27: Cho tổng: với . Biết: . Giá trị của k là: Lời giải Ta có: DẠNG 5: XÁC ĐỊ NH CÔNG TH ỨC SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT C ỦA DÃY S Ố 12 ...nnS aa a=+++ 123 ...nS SSS=+++12 3; ;S ...SS 1.3 2.5 3.7 ... (2 1)nS nn =+++ + + 2 22 2 11( 1) ( 1)(2 1)1 2 3 ... ; 1 2 3 ...26nn iinn nn ni ni n = =+ ++= ++++= = + +++ = ∑∑ 1 1 112 ( 1)(2 n 1) ( 1) ( 1)(4 5)(2 1) (2i ) 2626n n nn i i iinn nn nn nS ii i i i = = = =++ + ++= += += + = + = ∑ ∑ ∑∑ 1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2nS nn =+++ +−100S 2 22 2 11( 1)(2 1)2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...6nn iinn ni n nn i n = =++= ++++ = + = + +++ =∑∑ 1 1 114 ( 1)(2 n 1) ( 1)(4 1)2 (2 1) (4 i 2 ) 4 2 ( 1)63n n nn i i iinn nn nS i i i i i nn = = = =++ +−= −= − = − = − += ∑ ∑ ∑∑ 100100.(100 1)(4.100 1)13433003S+−⇒= = 1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)nS nn = + + ++ +*n∈ 294kS= 1 1 113 ( 1)(2 n 1) ( 1)(3 1) (3 i ) 3 ( 1)62n n nn i i iinn nnS i i i i i nn = = = =++ += += += + = + = + ∑ ∑ ∑∑ 2 32 2( 1) 294 2 294 ( 6)( 8 49) 0 6kS kk k k k k k k k ⇒ = + = ⇔ + += ⇔ − + + =⇔= PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 23 Sưu t ầm và biên so ạn  Nếu có dạng thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu  Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n. Câu 28: Cho dãy số có . Đặt . Xác định công thức tính theo n. Lời giải Ta có , do đó: Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: . Lời giải Ta có: Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng: Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng. Với . Vậy đúng với Giả sử đúng với Có nghĩa ta có: Ta cần chứng minh đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh: ( )nu12 ...nnu aa a=+++ka 1nnuu+− ( )nu ( )na( )1 1kakk=+1n ==∑ ( )nu ( )1 11 11kakk k k= = −++ 11 11 1 1 1 1 11 ... 12 23 1 1 1n kuan n nn n =     = = −+−+ + −+− = −     − ++      ∑ 21 2325 . uu=+=+= 32 2 5 2 7. uu= +=+= 43 2 7 2 9. uu= +=+= 54 2 9 2 11. uu= +=+= ( ) 2 1 1nun n= + ∀≥ ∗ 11; 2.1 1 3nu= = += ( )∗ 1.n= ( )∗ . nk= ( ) 2 1 2kuk= + ( )∗ 1. nk= + ( )12 1 1 2 3.kuk k+= + += + PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố – C ẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 24 Sưu t ầm và biên so ạn Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có: Vậy đúng khi Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát theo n của dãy số sau: Lời giải Ta có: Từ đó suy ra: Cộng từng vế n đẳng thức trên: Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:  Mở rộng phương pháp:  Nếu dãy số ( )nu được cho dưới dạng liệt kê thì ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án.  Nếu dãy số ( )nu được cho bởi một hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu của dãy số sau đó ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án. 1 22 1 22 3 .kkuu k k+= += ++= + ( )∗ 1. nk= + ( )∗ u un+=∀≥ = + 11 .n n nnu un u un++=+⇒ −= 21 1 uu−= 32 2 uu−= 43 3 uu−= 12 2nnuu n−−−= − 1 1nnuu n−−= − ( ) ( )33 333 12132 1 2 1 ... 1 1 2 3 ... 2 1n n nn uuuuu u u uu n n−− − +−+−++ − +− = +++++− +− ( ) ( )33 3331 1 2 3 ... 2 1 .nu nn ⇔= +++++− +− ( )( )2 2 3 333 1.1 2 3 ... 14nnn−++++− = ( )2 2114nnnu−= + CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 12 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 1: DÃY S Ố DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT Câu 1: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 9; 99; 999; 9999,… S ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố này l à: A. 1nnun=+ B. 10 1n nu= − . C. 9n nu= D. 9nun= Câu 2: Cho dãy s ố 1325, , , ,...2537. Công thứ c tổng quát nu nào là củ a dãy s ố đã cho? 1nnunn= ∀∈+. B. * 2n nnun= ∀∈ . C. * 1 3nnunn+= ∀∈+. D. * 2 21nnunn= ∀∈+. Câu 3: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. 5( 1)nun= − . B. 5nun= . C. 5nun= + . D. 5. 1nun= + . Câu 4: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. 77nun= + . B. 7.nun=. C. 7. 1nun= + . D. nu: Không vi ết được dưới dạng công th ức. Câu 5: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;...54;43;32;21;0.Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: nnun+= . B. 1nnun=+. C. 1 nnun−= . D. 2 1nnnun−=+. Câu 6: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1; ...−−− .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có dạ ng A. 1=nu . B. 1−=nu . C. n nu )1(−= . D. ()11n nu+= − . Câu 7: Cho dãy s ố ()nuxác định bởi ()1 1113nnunuu+=≥ =. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số A. 3=n nu . B. 13−=n nu . C. 132+= −n nu . D. 32= −n Câu 8: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có A. =   00.00...01n n sèu . B. −=   100.00...01n n sèu . C. 11 10n nu−= . D. 11 10n nu+= . CHƯƠNG DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHIỆM. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 13 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Cho dãy số ( )nu xác định bởi: ( )1 1112nnunuu+=≥ = +. Xác định công thức của số hạng tổng quát. A. 21nun= − . B. 32nun= − . C. 43nun= − . D. 87nun= − . Câu 10: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 234511 1 1 1; ; ; ; ;...33 3 3 3Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? A. 111.33n nu+= . B. 11 3n nu+= . C. 1 3n nu= . D. 11 3n nu−= . Câu 11: Cho dãy s ố ( )nu với 1 u un+= = +.Số hạng tổng quát nucủa dãy s ố là s ố hạng nào dưới đây? A. ( ) 1 2nnnu−= . B. ( ) 152nnnu−= + . C. ( ) 152nnnu+= + . D. ( )( )125 2nnnu++= + . Câu 12: Cho dãy s ố vớ i . Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. . B. . C. . D. . Câu 13: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;...− .Số hạng tổng quát của dãy s ố này có d ạng? A. n un 2− =. B. ( ) n un+ − =2 . C. ( ) ) 1 ( 2+ − =n un . D. ( ) ( )22 1nun= −+ − . Câu 14: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;31;31;31;31;31 5 4 3 2….Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? A. 131 +=n nu . B. 131 +=n nu . C. n nu31= . D. 131 −=n nu . Câu 15: Cho dãy s ố ( )nu với uu+== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dướ i A. 1nun= + . B. 1nun= − . C. ( )211n nu=+− . D. nun=. Câu 16: Cho dãy s ố ( )nu với +== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dướ i A. 2nun= − . B. nu không xác đị nh. C. 1nun= − . D. nun=− với mọi n. Câu 17: Cho dãy s ố ( )nu với 1 u un+= = +. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dưới đây? A. ( )( )12 116nnn nu++= + . B. ( )( )12 216nnn nu−+= + . C. ( )( )12 116nnn nu−−= + . D. ( )( )12 216nnn nu+−= + . ( )nu1 2+= = −nnu ( )1212= +−nun ( )1212= −−nun122= −nun122= +nun CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 14 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 18: Cho dãy s ố ()nu với 1 uun+= −=−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dư ới A. ()221nun= +− . B. 22nun= + . C. ()221nun= ++ . D. ()221nun= −− . Câu 19: Cho dãy s ố ()nuvới 1 uu+=− = −−. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: nnun−=− . B. 1 nnun+= . C. 1 nnun+=− . D. 1nnun=−+. Câu 20: Cho dãy s ố ()nu với1 uu+= = −. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. ()1212nun= +− . B. ()1212nun= −− . C. 122nun= − . D. 122nun= + . Câu 21: Cho dãy s ố ()nu với 1 uu+=−=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. ()11.2n nu= −. B. ()111.2n nu+= −. C. 11 nu−=. D. ()111.2n nu−= −. Câu 22: Cho dãy s ố ()nu với 1 =. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: nun−= . B. 2n nu=. C. 12n nu+= . D. 2nu=. Câu 23: Cho dãy s ố ()nu với 1 uu+= =. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: A. 12n nu−=− . B. 11 2n nu−−= . C. 1 2n nu−= . D. 22n nu−= . Câu 24: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 unu+=− = −− ∀∈. Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố. A. 31−=−nnun. B. 1=−+nnun. C. 1+=nnun. D. 1+=−nnun. Câu 25: Cho dãy s ố ()nu với 1+== +−n uu.Công th ức tổng quát nu nào dư ới đây là c ủa dãy s ố đã A. =nun . B. 1= −nun . C. ()211=+−n nu . D. 1= +nun . Câu 26: Gọi ()()111 1....1.3 3.5 5.7 2 1 2 1nSnn= + + ++−+ với mọi *n. Ta có: CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 15 Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 21nnSn−=−. B. 2 21nnSn=+. C. 21nnSn=+. D. 1 23nnSn+=+. Câu 27: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 2 1, 1nnu u u nn+= =++≥. Giá tr ị của n để 2017 2018 0nun−+ + = A. Không có n. B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 . Câu 28: Cho hai c ấp số cộng :1;6;11;...nu và : 4;7;10;...nv Mỗi cấp số có 2018 s ố. Hỏi có bao nhiêu số có m ặt trong c ả hai dãy s ố trên. A. 403. B. 401. C. 402. D. 504. Câu 29: Cho dãy s ố ()nu thỏa 1 2 3, , 2nnu u u nn n n−= = + −− ∀∈ ≥ . Tính t ổng 20 1 2 20 ... S uu u=+++ A. 2022 . B. 8385080 . C. 2021 . D. 8385087 . DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ Câu 30: Cho dãy s ố ,nubiết 2 221.3nnun Tìm s ố hạng 5.u A. 51.4u= B. 517.12u= C. 57.4u= D. 571.39u= Câu 31: Cho dãy số ,nu biết n nun 1 .2 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 2. u B. 24. u C. 3 6. u D. 4 8. u Câu 32: Cho dãy số ,nu biết 21. .n nun Tìm số hạng 3.u A. 38.3u B. 32. u C. 3 2. u D. 38.3u Câu 33: Cho dãy số ,nu biết 2n nnu= . Chọn đáp án đúng. A. 41.4u= B. 51.16u= C. 51.32u= D. 31.8u= Câu 34: Cho dãy số ,nu biết ( 1) sin( )2n nnunπ= − . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là: A. 0. B. 9. C. −1. D. −9. Câu 35: Cho dãy số ,nu biết 1 1nun=+. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 111;;.234 B. 111; ; .23 C. 111;;.246 D. 111; ; .35 Câu 36: Cho dãy số ,nu biết 21 2nnun+=+. Viết năm số hạng đầu của dãy số. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 16 Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 23453 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . B. 1 23455 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . C. 1 23455 8 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = D. 1 23455 7 7 111 ,,,,452 3u uuuu= = = = = . Câu 37: Cho dãy số ,nu biết 31n nnu= −. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 Câu 38: Cho dãy số ,nu biết 1 21nnun. Số 8 15 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Câu 39: Cho dãy số ,nu biết 25.54nnun Số 7 12 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 6. B. 8. C. 9. D. 10. Câu 40: Cho dãy số ,nu biết 21.1nnun Số 2 13 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6. Câu 41: Cho dãy số ,nu biết 328 5 7.nun n n  Số 33 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 5. B. 6. C. 8. D. 9. Câu 42: Cho dãy số nu với 237 1nnnun++=+. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có. Câu 43: Cho dãy số nu với 2.n nu= Tìm số hạng 1.nu+ A. 12 .2.n nu B. 12 1.n nu C. 12 1.nun D. 12 2.n Câu 44: Cho dãy số nu với 3.n nu= Tìm số hạng 21.nu 21 3 .3 1.n nu B. 1 21 3 .3 .nn  C. 2 21 3 1.n nu D.  21 21 3.n Câu 45: Cho dãy số nu với 3.n nu= Số hạng 1nu+ bằng: A. 31n+. B. 33n+. C. 3 .3n. D. 3( 1)n+. Câu 46: Cho dãy số nu với 3.n nu= Số hạng 2nu bằng: A. 33n+. B. 9n. C. 3 .3n. D. 24n. Câu 47: Cho dãy số nu với 15.n nu+= Tìm số hạng 1nu−. −= . B. 15n nu−=. C. 1 −= . D. 1 Câu 48: Cho dãy số nu với 231.1n nnun+−=+ Tìm số hạng 1nu+. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 17 Sưu t ầm và biên so ạn A.  2 13 nnun  B.  2 13 nnun   D. 25  Câu 49: Cho dãy số nu xác định bởi . 113nnu uu Tìm số hạng 4.u A. 45.9u B. 41. u C. 42.3u D. 414.27u Câu 50: Cho dãy số nu xác định bởi 1 uu Mệnh đề nào sau đây sai? A. 25.2u B. 315.4u C. 431.8u D. 563.16u Câu 51: Cho dãy số nu xác định bởi 1 = + khi đó 5u bằng: A. 317. B. 157. C. 77. D. 112. Câu 52: Cho dãy số nu xác định bởi 1 uu+=− = +. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là A. 1 ;2 ;5 .− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10 D. 1; 3;7.− Câu 53: Cho dãy số nu xác định bởi = +1 uu. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là A. −3; 6; 9. B. −−3; 2; 7. C. 3; 8;13 . D. 3; 5;7. Câu 54: Cho dãy số nu xác định bởi −=−≥ = +1 ( 2)2nnu nuun. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng A. 0. B. 93. C. 9. D. 34. Câu 55: Cho dãy s ố ()nu, biết 21n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là A. 123;;234. B. 111; ;2 16 C. 111; ;48 D. 231; ;37. Câu 56: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 1 1,22 n unu. Khi đó 3u có giá tr ị bằng 4. B. 4 3. C. 2 3. D. 3 Câu 57: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= + . Tìm s ố hạng th ứ 6 của dãy s ố. A. 17. B. 5. C. 15. D. 7. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 18 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 58: Cho dãy s ố ()nu, biết 2.3n nu= . Giá tr ị của 20u bằng Câu 59: Cho dãy s ố ()nu, biết công thứ c số hạng tổng quát 23nun= − . Số hạng th ứ 10 của dãy s ố bằng: A. 17 B. 20 C. 10 D. 7 Câu 60: Cho dãy s ố ()nu có công th ức số hạng tổng quát 83nun= − . Tính 4.u A. 2. B. 7−. C. 5−. D. 4−. Câu 61: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 21 23nnunn−=++. Giá tr ị 21u là 243. B. 10 243. C. 21 443. D. 19 Câu 62: Cho dãy s ố ()nu có 2 1nnun−=+. Tính 2u. 5u=. B. 22 5u=. C. 23 5u=. D. 24 Câu 63: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 1 3 1, 2nnu uu n−=− = − ∀≥. Tìm s ố hạng 4u. A. 4 76 u=− . B. 4 77 u=− . C. 4 66 u=− . D. 4 67 u=− . Câu 64: Cho dãy s ố ()nu, biết ()()3 2nnnu−= . Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là A. 13;1;22. B. 11; ; 02−− . C. 1; 1; 0−− . D. 13;1;22. Câu 65: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= − . Số hạng th ứ 5 của dãy s ố là A. 5. B. 4. C. 13. D. 7. Câu 66: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 21 nnun+= . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. A. 2,1. B. 2, 2. C. 2, 0. D. 2, 4. Câu 67: Cho dãy s ố ()nucó số hạng tổng quát 211nnun= −+. Số hạng đầu tiên c ủa dãy là: A. 2. B. 3 5. C. 0. D. 1 Câu 68: Cho dãy số ()nu có 21nu nn= −++ . Số 19− là số hạng thứ mấy của dãy ? A. 5. B. 7. C. 6. D. 4. Câu 69: Cho dãy s ố ()nu với 3n nu=. Khi đó s ố hạng 21nu− bằng A. 13 .3nn−. B. 2131n−−. C. 231n−. D. 23 .3 1n−. Câu 70: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i  1 cosn nun π  . Giá tr ị 99u bằng CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 19 Sưu t ầm và biên so ạn A. 99. B. 1. C. 1. D. 99 . Câu 71: Cho dãy số ()nu với 21nun= + số hạng th ứ 2019 của dãy là A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093 . Câu 72: Cho dãy s ố ()nu với 1 2.n nu= + Khi đó s ố hạng 2018u bằng A. 20182. B. 20172017 2+ . C. 201812+ . D. 20182018 2+ . Câu 73: Cho dãy s ố ()nu với 2, n 1.31nnun−= ≥+ Tìm kh ẳng đị nh sai . A. 31.10u= B. 108.31u= C. 2119.64u= D. 5047.150u= Câu 74: Cho dãy s ố 221 1nnnun+−=+. Tính 11u. A. 11182 12u= . B. 111142 12u= . C. 111422 12u= . D. 1171 Câu 75: Cho dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát là 221 1nnun+=+. Khi đó 39 362 là số hạng th ứ mấy của dãy A. 20. B. 19. C. 22. D. 21. Câu 76: Cho dãy s ố ()1 nnuuu un+= = +. Số 20 là số hạng th ứ mấy trong dãy? A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. Câu 77: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 121n nun−+= . Tìm s ố hạng th ứ 10 của dãy s ố đã cho. A. 51, 2 . B. 51, 3. C. 51,1. D. 102,3 . Câu 78: Cho dãy s ố 1 u un+= = +. Tìm s ố hạng th ứ 5của dãy s ố. A. 16. B. 12. C. 15. D. 14. Câu 79: Cho dãy s ố ()nu, biết .1nnun−=+ Năm s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào dưới đây? A. 12345;;;;.23456−−−−− B. 23456;;;;.34567−−−−− C. 12345;;;;.23456 D. 23456;;;;.34567 Câu 80: Cho dãy s ố ()nu, biết 31n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào dưới đây? A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 20 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 81: Cho dãy s ố ()nu, biết 1 uu+=− = +với 0n≥. Ba s ố hạng đầ u tiên c ủa dãy s ố đó là l ần lượt là những số nào dư ới đây? A. 1; 2; 5.− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10. D. 1; 3; 7.− Câu 82: Cho dãy s ố (),nu biết 1 21nnun+=+. Số 8 15 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Câu 83: Cho dãy s ố (),nu biết 25.54nnun+=− Số 7 12 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Câu 84: Cho dãy s ố (),nu biết 2.n nu= Tìm s ố hạng 1.nu+ A. 12 .2.n nu+= B. 12 1.n nu+= + C. ()12 1.nun+= + D. 12 2.n nu+= + Câu 85: Cho dãy s ố ()nu, biết 3.n nu= Tìm s ố hạng 21.nu− 21 3 .3 1.n nu−= − B. 1 21 3 .3 .nn −= C. 2 21 3 1.n nu−= − D. () 21 21 3.n Câu 86: Cho dãy s ố (),nu với 15.n nu+= Tìm s ố hạng 1.nu− −= B. 15.n nu−= C. 1 15.5 .n −= D. 1 15.5 .n Câu 87: Cho dãy s ố ()nubởi công thứ c truy h ồi sau 1 ; 1nnu u u nn+= = +≥; 218u nhận giá tr ị nào sau đây? A. 23653 . B. 46872 . C. 23871 . D. 23436 . DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM Câu 88: Cho các dãy s ố sau. Dãy s ố nào không là dãy s ố tăng? Câu 89: Cho dãy s ố ()nubiết 52nun= + . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 90: Cho dãy s ố ()nubiết 1 32nun=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 91: Cho dãy s ố ()nubiết 10 3n nu= . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 92: Cho dãy s ố ()nubiết 22 31nu nn= ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 21 Sưu t ầm và biên so ạn A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 93: Cho dãy s ố ()nubiết ()()211n nun= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn Câu 94: Cho dãy s ố ()nubiết 2400nun n= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm Câu 95: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? A. 1.3n nu= B. 1.21nun=+ C. 1.32nnun+=+ D. 42.3nnun−=+ Câu 96: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào gi ảm? A. 4.3n nu= B. ()() 1 5 1.n n nu= −− C. 3.n nu=− D. 4.nun= + Câu 97: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào không tăng, không gi ảm? A. 1.nunn= + B. 5 3.n nun= + C. 3.n nu=− D. ()23. 1n nun= −+ Câu 98: Cho dãy s ố ()nubiết 54nn nu= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 Câu 99: Cho dãy s ố ()nubiết 2 31nanun+=+. Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. A. 6a= B. 6a> C. 6a< D. 6a≥ Câu 100: Cho dãy s ố ()nubiết 2n nu an= − . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. A. 2a= B. 2a> C. 2a< D. 2a≥ Câu 101: Cho dãy s ố ()nubiết 3n nuan= . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. A. 0a∀< B. Không tồn tại a C. *a∀∈ D. 0a> Câu 102: Cho dãy s ố ()nubiết 32 31nun n= +− + . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 103: Cho dãy s ố ()nubiết 21nun n= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương Câu 104: Cho dãy s ố ()nubiết 221 2nnnun−−=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 22 Sưu t ầm và biên so ạn C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm Câu 105: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? A. sin.nnun= B. 21.21nnun+=+ C. 23.n nun= D. 324 3 1.nu nn=−+ Câu 106: Cho dãy s ố ()nubiết 1 uu−== +. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 107: Cho dãy s ố ()nubiết 1 +== + ∀∈. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Câu 108: Cho dãy s ố ()nubiết1 uuu+= =+. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có 102 u= Câu 109: Cho dãy s ố ()nubiết 11 1...12nun n nn= + ++++ +. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng Câu 110: Cho dãy s ố ()nubiết1 u au n+= = +∀∈ . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể ()nutăng? A. 0.a< B. 0.a≤ C. 0.a> D. 1.a> Câu 111: Trong các dãy s ố dưới đây, dãy s ố nào là dãy giảm? nun=. B. 13nun= − . C. 3nun=. D. 32nun= − . Câu 112: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? nun= . B. 3 1nnun−=+. C. 2nnu=. D. ()1 n nu−= . Câu 113: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? A. * 53,23nnunn−= ∈+. B. * 5,41nnunn−= ∈+. C. 2*2 3,nun n=+∈ . D. ()*cos 2 1 ,nu nn= +∈ . Câu 114: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 23 Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 2n nu= . B. 31 1nnun−=+. C. 2 nun=. D. 2nun= + . Câu 115: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? 2n nu= . B. 31 1nnun−=+. C. 21nun= − . D. 1 Câu 116: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm 1nnun−=+. B. 2nnu=. C. 22 nun= . D. ()1 n nu−= . Câu 117: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? A. ()53,*23nnunn−= ∈+. B. ()5,*41nnunn−= ∈+. C. ()32 3, *nun n=+∈ . D. ()() cos 2 1 , *nu nn= +∈ . Câu 118: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? A. 1.2n nu= B. 1.nun= C. 5.31nnun+=+ D. 21.1nnun−=+ Câu 119: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? A. 2.3n nu= B. 3.nun= C. 2.n nu= D. ()2.n Câu 120: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? 1nnun+=−. B. 31nun= − . C. 2 nun=. D. 2nun= . DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI, BỊ CHẶN Câu 121: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)= −n A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Câu 122: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 31= −nun A. Bị chặn. B. Bị chặn trên. C. Bị chặn dưới. D. Không bị chặn dưới. Câu 123: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? A. 2.nun= B. 2.n nu= C. 1.nun= D. 1.nun= + Câu 124: Trong các dãy s ố ()nucho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? A. 1.2n nu= B. 3.n nu= C. 1.nun= + D. 21.nun= + Câu 125: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 21 2+=+nnun A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 24 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 126: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 2 13 32−=−nnun A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số giảm, bị chặn. C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 127: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Câu 128: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 243= −−nu nn A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Câu 129: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? A. 1.nunn= + B. 1nun= + . C. 221nnun=+. D. 21nunn= ++ . Câu 130: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? A. sin 3nun n= − B. 21 nnun+= . C. ()1 1nunn=+. D. () .sin 3 1nun n= − . Câu 131: Trong các dãy số ()nu cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ? 2.1nnun=+ B. 22017.nun= + C. ( 1) ( 2).n nun= −+ D. 2.1nnun=+ Câu 132: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 1( ):2+=+nnnuun A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. Câu 133: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 3( ): 2 1=++nnuun n A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. Câu 134: Cho dãy số 31( ):31nnnuun−=+. Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 3. B. 1. C. 1 2. D. 0. Câu 135: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Câu 136: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1−. C. 2− . D. Không bị chặn dưới. Câu 137: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ()()11 1...1.3 3.5 2 1 2 1= + ++−+nunn A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 25 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 138: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 11 1...1.3 2.4 .( 2)= + +++nunn A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Câu 139: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 22 211 11 ...23= + + ++nun. A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới. C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 140: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 2, ( 2)1− += ≥+ n A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Câu 141: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 1 ( ): 1, 22+= += ∀≥nn A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới, không bị chặn trên. D. Giảm, chặn trên, không bị chặn dưới. Câu 142: Cho dãy ()nu với 2018.2018 1nnun+=+ Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng đị nh sau. A. Dãy ()nu bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên B. Dãy ()nu bị chặn. C. Dãy ()nu không bị chặn trên, không bị chặn dưới. D. Dãy ()nu bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới Câu 143: Trong các dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát nu dưới đây, dãy s ố nào là dãy b ị chặn? A. 22nun= + . B. 21nnun=+. C. 31n nu= − . D. 2 nunn= + . Câu 144: Cho dãy s ố ()nu với 125n nu−= + . Kết luận nào sau đây là đúng? A. Dãy s ố không đơn đi ệu. B. Dãy s ố giảm và không bị chặn. C. Dãy s ố tăng. D. Dãy s ố giảm và bị chặn. Câu 145: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là dãy s ố bị chặn? 1nnun+=+. B. () 2 sinnun n= + . C. 2 nun=. D. 31nun= − . Câu 146: Chọn kế t luận sai: A. Dãy s ố  21n tăng và bị chặn trên. B. Dãy s ố 1 1n giảm và b ị chặn dưới. C. Dãy s ố 1 n tăng và bị chặn trên. D. Dãy s ố 1 3.2n giảm và b ị chặn dưới. Câu 147: Cho dãy s ố ()nu biết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 26 Sưu t ầm và biên so ạn A. Dãy s ố bị chặn dưới. B. Dãy s ố bị chặn trên. C. Dãy s ố bị chặn. D. Không bị chặn. Câu 148: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i *1 u unn+= = + ∈∀. Tìm s ố nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 20391901nu≥− . A. 2017n= . B. 2019n= . C. 2020n= . D. 2018n= . Câu 149: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 2 11 log log 6 0uu+ −= và 1 5nnuu+= + , với mọi 1,n nN≥∈ . Giá tr ị lớn nhấ t của n để 500nu< bằng: A. 80. B. 100. C. 99. D. 82. Câu 150: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn: 15u= và 1433nnuu+= + với 1.n∀≥ Giá tr ị nhỏ nhất của n để 12 ... 5nnS uu u=+ ++ > bằng? A. 142. B. 146. C. 141. D. 145. Câu 151: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 12 112, 3 32n nnuu u uu+−= = = −2,n nN≥∈ .Khi đó 1....n uu++ bằng? A. 21n−. B. 2n. C. 22nn+ . D. 21nn+− . Câu 152: Cho dãy s ố {}nu xác đ ịnh bở i 3 32 3 2 3 2 44 4 41 2 3 31nu n nn n nn n n n= ++ +++ +++ +, 1n≥. Tính t ổng 4 12 2018 1... Suu u−=+++ . A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2019 . Câu 153: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12 3u= và ()122 1 1n nuunu+=++, ()*n∈. Tính t ổng 2018 số hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó? A. 4036 4035. B. 4035 4034. C. 4038 4037. D. 4036 Câu 154: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 16nnuu−= + , 2n∀≥ và 25 9 2log log 8 11uu+ += . Đặt 12 ...nnS uu u=+++ . Tìm s ố tự nhiên n nhỏ nhấ t thỏa mãn 20172018nS≥ . A. 2587 . B. 2590 . C. 2593 . D. 2584 . Câu 155: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 18 18 1144e5 ee euu uu+ −= và 1 3nnuu+= + với mọi 1n≥. Giá tr ị lớn nhất của n để 3log ln 2018nu< bằng A. 1419 . B. 1418 . C. 1420 . D. 1417 . Câu 156: Tổng: 2 4 6 2018A= + + +…+ có giá trị là: A. 2018001 . B. 1209900 . C. 1010101 . D. 1019090 . Câu 157: Tổng: 1 4 7 3031B= + + +…+ bằng: A. 1532676 . B. 1435000 . C. 1351110 . D. 1322300 . Câu 158: Giá trị của tổng: 13 9 5 387 C=− − − +…+ bằng: CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 27 Sưu t ầm và biên so ạn A. 23455 . B. 18887 . C. 36778 . D. 43234 . Câu 159: Giá trị của tổng: 1 101 201 1001 100 100 100 100S= + + +…+ bằng: A. 5514 100. B. 5501 100. C. 5511 100. D. 5515 Câu 160: Cho tổng: *1 3 5 2 1, .nS nn = + + +…+ + ∀ ∈  Tìm100S? A. 10201 . B. 10000 . C. 10200 . D. 10202 . Câu 161: Cho tổng: 246 2nSn= + + +…+ với*n∈. Khi đó công thức của nS là? A. ( 2)nn+. B. ( 1) 2nn+. C. ( 1)nn+. D. 2n. Câu 162: Tìm x biết: ( 3) ( 7) ( 11) ( 79) 860xxx x+++++ + … ++ = A. 2x=. B. 1x=. C. 4x=. D. 3x=. Câu 163: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 7 2 11 ... 2 79 1720xxx x+ ++ +++ ++= A. 35x= . B. 45 2x= . C. 10x=. D. 15x=. Câu 164: Tính giá trị biểu thức: 1 2 3 2018 1 3 5 1009A+ + +…+=+ + +…+ A. 2030071 255025. B. 2037171 200025. C. 2037111 255000. D. 2037171 255025. Câu 165: Cho tổng: 159 4 3nSn= + + +…+ − với*n∈. Khi đó: 22 10 15SS+ bằng: A. 225325 . B. 255325 . C. 225355 . D. 225525 . Câu 166: Tính tổng sau: . A. B. C. D. Câu 167: Tổng: bằng: A. B. C. D. Câu 168: Giá trị của tổng: là: A. B. C. D. có giá trị bằng: A. B. C. D. 111 1...2.4 4.6 6.8 100.102S= + + ++ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 28 Sưu t ầm và biên so ạn A. B. C. D. Câu 171: Cho tổng: ( )111 1...1.2 2.3 3.4 1Snn=+++ ++ với . Lựa chọn đáp án đúng. A. B. C. D. Câu 172: Cho tổng: ( )( )111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2nSnn n= + + ++++. Khi đó: 30S bằng: A. B. 495 992 C. D. Câu 173: Tìm x biết: 2 2 2 2 1430...1.3 3.5 5.7 51.53 53xxx x     + ++ ++ + ++ =           A. B. C. D. A. B. C. D. Câu 175: Tính: 2 3 1011 1 1...55 5 5M=+ + ++ A. B. C. D. Câu 176: Cho 5 55 5...1024 512 256 2M= + + ++ . Khi đó M bằng: A. B. C. D. Câu 177: Cho 55 55 ...3 9 729M=++++ . Khi đó 729M bằng: A. B. C. D. Câu 178: Cho tổng: 21 2 2 ... 2n nS=++ ++ . Chọn mệnh đề đúng: A. 102047 S= B. 102048 S= C. 101024 S= D. 101023 S= Câu 179: Tính tổng: 1.2 3.4 5.6 ... 11.12S=+++ + A. B. C. D. Câu 180: Tổng: 2.3 4.5 6.7 ... 20.21S= + + ++ có giá trị bằng: A. B. C. D. Câu 181: Giá trị của tổng: là: A. B. C. D. Câu 182: Tính tổng: ( ) ( ) 1.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3nS nn = + + ++ − + khi A. B. C. D. 31 31.12S=21.6S=22.3S=31.4S= 1x= 2x= 3x= 4x= 1x= 2x= 3x= 4x= 1011145−1111145−10115−1011155− 7295460 54655460 322 321 320 319 1550 1655 1650 1450 1.2 2.5 3.8 ... 20.59S= + + ++ 8450 8300 8850 8400 5450 5400 5395 5650 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 29 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 183: Giá trị của tổng: ( ) 1.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4nS nn = + + ++ − khi 10n= là: A. B. C. D. Câu 184: Cho tổng ( ) 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2=+++ +−nS nn . Tính giá trị của 50S A. B. C. D. Câu 185: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200xxx x+ ++ ++ +++ = A. B. C. D. 1650 2860 2650 1950 169150 155000 165050 165000 7x= 8x= 9x= 10x= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 2: DÃY S Ố DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT Câu 1: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là:9; 99; 999; 9999,… S ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố này l à: A. 1nnun=+ B. 10 1n nu= − . C. 9n nu= D. 9nun= Lời giải Nhận xét: 1 110 1u= − ; 2 210 1u= − ; 3 310 1u= − ; 4 410 1u= − . Câu 2: Cho dãy s ố 1325, , , ,...2537. Công thứ c tổng quát nu nào là củ a dãy s ố đã cho? 1nnunn= ∀∈+. B. * 2n nnun= ∀∈ . C. * 1 3nnunn+= ∀∈+. D. * 2 21nnunn= ∀∈+. Lời giải Viết lại dãy s ố: 2345, , , ,...4567 3nnunn∗ +⇒ = ∀∈+. Câu 3: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. 5( 1)nun= − . B. 5nun= . C. 5nun= + . D. 5. 1nun= + . Lời giải Ta có: 5 5.1= 10 5.2= 15 5.3= 20 5.4= 25 5.5= Suy ra s ố hạng tổng quát 5nun= . CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 4: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 8,15, 22, 29,36,... .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. 77nun= + . B. 7.nun=. C. 7. 1nun= + . D. nu: Không vi ết được dưới dạng công th ức. Lời giải Ta có: 8 7.1 1= + 15 7.2 1= + 22 7.3 1= + 29 7.4 1= + 36 7.5 1= + Suy ra s ố hạng tổng quát 71nun= + . Câu 5: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;...54;43;32;21;0 .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: nnun+= . B. 1nnun=+. C. 1 nnun−= . D. 2 1nnnun−=+. Lời giải Ta có: 0001=+ 2 11=+ 3 21=+ 4 31=+ 5 41=+ Suy ra 1nnun=+. Câu 6: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1; ...−−− .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có d ạng A. 1=nu . B. 1−=nu . C. n nu )1(−= . D. ()11n nu+= − . Lời giải Ta có: Các s ố hạng đầu của dãy là ()()()()() ()123451 ;1 ;1 ;1 ;1 ; . . . 1n nu −−−−− ⇒ = − . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 7: Cho dãy s ố ()nuxác định bởi ()1 1113nnunuu+=≥ =. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số A. 3=n nu . B. 13−=n nu . C. 132+= −n nu . D. 32= −n Lời giải Dự đoán 1*3,n nun−= ∈ . Ta d ễ dàng ch ứng minh đư ợc công th ức này b ằng quy n ạp + với = ⇒=1 11nu suy ra kh ẳng định đúng + Giả sử = ≥ 2 nk ta có −=13k ku . Ta phả i chứng minh +=13k Thật vậy, theo công thứ c truy h ồi ta có − += = =1 13. 3.3 3kk Vậy theo nguyên lý quy n ạp ta dã ch ứng minh đư ợc 1*3,n nun−= ∈  Câu 8: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có A. =   00.00...01n n sèu . B. −=   100.00...01n n sèu . 10n nu−= . D. 11 10n nu+= . Lời giải 3 310.110 10.0110 10.00110u Dự đoán = =   010.00...0110n n n sèu . Câu 9: Cho dãy số ()nu xác định bởi: ()1 1112nnunuu+=≥ = +. Xác định công thức của số hạng tổng quát. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn A. 21nun= − . B. 32nun= − . C. 43nun= − . D. 87nun= − . Lời giải Dự đoán =−∈ *2 1,nu nn . Ta dễ dàng chứng minh được công thức dự đoán bằng quy nạp Câu 10: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 234511 1 1 1; ; ; ; ;...33 3 3 3Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? A. 111.33n nu+= . B. 11 3n nu+= . C. 1 3n nu= . D. 11 3n nu−= . Lời giải Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán = ∈* 1,3n nun Câu 11: Cho dãy s ố ( )nu với 1 u un+= = +.Số hạng tổng quát nucủa dãy s ố là s ố hạng nào dưới đây? A. ( ) 1 2nnnu−= . B. ( ) 152nnnu−= + . C. ( ) 152nnnu+= + . D. ( )( ) 1252nnnu++= + . Lời giải Theo công thức truy hồi ta có +−=1nnu un . Khi đó Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được ( )( )−=+ +++ − =+15 1 2 3 ... 1 52nnnun Câu 12: Cho dãy s ố vớ i . Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. . B. . C. . D. . Lời giải ( )nu1 2+= = −nnu ( )1212= +−nun ( )1212= −−nun122= −nun122= +nun CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: . Cộng hai vế ta đư ợc . Câu 13: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: 2; 0; 2; 4; 6;...− .Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này có d ạng? A. n un 2− =. B. ( ) n un+ − =2 . C. ( ) ) 1 ( 2+ − =n un . D. ( ) ( )22 1nun= −+ − . Lời giải Dãy s ố là dãy s ố cách đ ều có khoả ng cách là 2 và s ố hạ ng đ ầu tiên là ( )2− nên ( ) ( )2 2. 1nun= −+ − . Câu 14: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là: ;31;31;31;31;31 5 4 3 2….Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là? A. 131 +=n nu . B. 131 +=n nu . C. n nu31= . D. 131 −=n nu . Lời giải 5 số hạng đầ u là 2345 111111; ; ; ; ;...33333 nên 1 3n nu= . Câu 15: Cho dãy s ố ( )nu với uu+== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dướ i A. 1nun= + . B. 1nun= − . C. ( )211n nu=+− . D. nun=. Lời giải Ta có: ( )2 1 234 1 1 2; 3; 4;...n nn nuu u u u u+= +− = +⇒ = = = Dễ dàng d ự đoán đượ c nun=. Thật vậy, ta ch ứng minh đượ c nun=( )* bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với 1 11nu= ⇒= . Vậy ( )* đúng vớ i 1n= + Giả sử ( )* đúng vớ i mọi ( )*n kk= ∈, ta có: kuk=. Ta đi ch ứng minh ( )* cũng đúng vớ i 1 nk= + , tức là: 1 1kuk+= + + Th ật vậy, từ hệ thức xác đ ịnh dãy s ố ( )nu ta có: ( )2 kkuu k+= +− = + . Vậy ( )* đúng vớ i mọi *n∈. Câu 16: Cho dãy s ố ( )nu với +== +−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dướ i đây? 1 = −= − = − uu( )112 2... 2 2 122=−− −=− −nun CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn A. 2nun= − . B. nu không xác đị nh. C. 1nun= − . D. nun=− với mọi n. Lời giải Ta có: 23 40; 1; 2 uu u== −= − ,. Dễ dàng d ự đoán đư ợc 2nun= − . Câu 17: Cho dãy s ố ()nu với 1 u un+= = +. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là s ố hạng nào dư ới đây? A. ()() 12 116nnn nu++= + . B. ()() 12 216nnn nu−+= + . C. ()() 12 116nnn nu−−= + . D. ()() 12 216nnn nu+−= + . Lời giải Ta có: = +−. Cộng hai vế ta đư ợc ()()() 2 22 12 11 1 2 ... 1 16nnn nun−−= ++ ++− = + Câu 18: Cho dãy s ố ()nu với 1 uun+= −=−. Số hạng tổng quát nu của dãy s ố là số hạng nào dư ới A. ()221nun= +− . B. 22nun= + . C. ()221nun= ++ . D. ()221nun= −− . Lời giải Ta có: 1 uu n−= = += + = +−. Cộng hai vế ta đư ợc ()()22 1 3 5 ... 2 3 2 1nu nn=++++ + − =+ − Câu 19: Cho dãy s ố ()nuvới 1 uu+=− = −−. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: nnun−=− . B. 1 nnun+= . C. 1 nnun+=− . D. 1nnun=−+. Lời giải Ta có: 123345; ; ;...234uuu= −= −= − Dễ dàng d ự đoán đư ợc 1 nnun+=− . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 20: Cho dãy s ố ()nu với1 uu+= = −. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy số này là: A. ()1212nun= +− . B. ()1212nun= −− . C. 122nun= − . D. 122nun= + . Lời giải Ta có: 1 uu−= = −= − . Cộng hai vế ta đư ợc ()112 2... 2 2 122nun=−− −=− − . Câu 21: Cho dãy s ố ()nu với 1 uu+=−=. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là: A. ()11.2n nu= −. B. ()111.2n nu+= −. C. 11 nu−=. D. ()111.2n nu−= −. Lời giải Ta có: 1 uu−=− Nhân hai vế ta đư ợc () ()()1 nuuu uuuu u u− −= − ⇔= − = −     Câu 22: Cho dãy s ố ()nu với 1 =. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: nun−= . B. 2n nu=. C. 12n nu+= . D. 2nu=. Lời giải Ta có: 1 == =. Nhân hai vế ta đư ợc 1 n nn uuu u uu u u− − = ⇔= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 23: Cho dãy s ố ()nu với 1 uu+= =. Công thứ c số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này: A. 12n nu−=− . B. 11 2n nu−−= . C. 1 2n nu−= . D. 22n nu−= . Lời giải Ta có: 1 uu−= == . Nhân hai vế ta đư ợc 12 n nn uuu u uu u u−− − = ⇔= Câu 24: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 unu+=− = −− ∀∈. Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố. A. 31−=−nnun. B. 1=−+nnun. C. 1+=nnun. D. 1+=−nnun. Lời giải Từ 112n nuu+= −−1. 21nn nuu u+⇔ = −−1 11.1nnnn n nuuuu u u+ ++⇔ + + += − ()()1111n n nnu u uu++⇔ + += −()()1 1111nn +−⇔=++111111nnuu+⇔− =++ nvu=+. Khi đó 1111nn n nvv v v++− = ⇔ −= − ()()111nvv n⇔=+−− 1111nv nnu⇔ = −+= −+1 1nnu⇔= −+ 11nun⇔ += −111nnunn+⇔ = −−= − . Câu 25: Cho dãy s ố ()nu với 1+== +−n uu.Công th ức tổng quát nu nào dư ới đây là c ủa dãy s ố đã A. =nun . B. 1= −nun . C. ()211=+−n nu . D. 1= +nun . Lời giải Ta có: ()2 1 11+= +− = +n nn nuu u ⇒ 22;=u 33;=u 44;...=u CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 9 Sưu t ầm và biên so ạn Dự đoán đư ợc *,= ∀∈ nu nn . Ta ch ứng minh *,= ∀∈ nu nn ()* bằng phương pháp quy nạ p: + Với 1 11= ⇒=nu .Vậy ()* đúng vớ i 1=n . + Giả sử ()* đúng vớ i ()*= ∈ n kk , tức là ta có: =kuk . + Ta đi chứ ng minh ()* cũng đúng vớ i 1= +nk ,tức là cầ n chứng minh: 1 1+= +kuk . Thật vậy, từ hệ thức xác đ ịnh dãy s ố ()nu ta có: ()2 1 11+= +− = +k kkuu k . Vậy ()* đúng vớ i mọi *∈n . Câu 26: Gọi ()()111 1....1.3 3.5 5.7 2 1 2 1nSnn= + + ++−+ với mọi *n. Ta có: 21nnSn−=−. B. 2 21nnSn=+. C. 21nnSn=+. D. 1 23nnSn+=+. Lời giải Ta có: ()()111 1....1.3 3.5 5.7 2 1 2 1nSnn= + + ++−+. ()()11 1 1 1 1 1 1 1....2 133557 2 1 2 1 nn= −+−+−+ + − −+ Câu 27: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 2 1, 1nnu u u nn+= =++≥. Giá tr ị của n để 2017 2018 0nun−+ + = A. Không có n. B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 . Lời giải Ta có: 2 11nnu uu n−= = + −+ Cộng v ế với vế các đ ẳng th ức trên ta đư ợc: ( )()()2* 11 12 1 2 3 ... 1 2. ,2nnnu n n nn n−+ −= ++++−+= += ∀ ∈ . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 10 Sưu t ầm và biên so ạn Do đó: 2 12017 2018 0 2017 2018 02018nnun nnn=−− + += ⇔ − + += ⇔= Vậy 2018.n= Câu 28: Cho hai c ấp số cộng :1;6;11;...nu và : 4;7;10;...nv Mỗi cấp số có 2018 s ố. Hỏi có bao nhiêu số có m ặt trong c ả hai dãy s ố trên. A. 403. B. 401. C. 402. D. 504. Lời giải Dãy nu có số hạng tổng quát là    1 5 1 5 4, 1 2018nu nn n     . Dãy mv có số hạng tổng quát là    4 3 1 3 1, 1 2018mv mm m    . Một số có m ặt trong c ả hai dãy s ố trên n ếu tồn ại ,mn thỏa mãn đi ều kiện:1 , 2018 (*)mnmn uu Ta có   * 5 4 3 1 5 1 3 ** nm n m     Từ ** suy ra 5m, mặt khác 1 2018m nên ta đư ợc tập các giá tr ị của m là   5;10;...;2015 Xét v ới 2015 m thì 3.20151 1210 20185n   , thỏa đi ều kiện 1 2018n . Do tập   5;10;...;2015 có 403 số nên có t ất cả 403 số có m ặt trong c ả hai dãy đã cho. Câu 29: Cho dãy s ố ()nu thỏa 1 2 3, , 2nnu u u nn n n−= = + −− ∀∈ ≥ . Tính t ổng 20 1 2 20 ... S uu u=+++ A. 2022 . B. 8385080 . C. 2021 . D. 8385087 . Lời giải Ta có: ()() ( )2 3 12 2 4 26 62 3 1 2 21 61 2 3 12 1 3 1 1nn nnu u nn un n u n n n un n u n n un n u n n− −= + −− ⇔+++ = + −+ +− + ⇔ + + += + − + − + ⇔ + + += + − + − + ,1 nn∀∈ ≥ , đặt 111 3.1 1 8 1 3 11nn vu n n−−= + + +== + + +⇒ = +− + −+ Ta có dãy ()1 18:2, , 2n nnvvvvn n−= = ∀∈ ≥  là m ột cấp số nhân vớ i 18v=, công bội là 2q= 128.2 2nn nv−+⇒= = CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 11 Sưu t ầm và biên so ạn Vậy 222 31n nu nn+= −−− Vậy ( ) ( )22 2 2 nnS u u n nn =++ = + ++ − −−− − +++− ()()()()3 12 1 122 1 362n nn n nnn++ += −− − − Vậy 208385087 S= . DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ Câu 30: Cho dãy s ố ,nubiết 2 221.3nnun Tìm s ố hạng 5.u A. 51.4u= B. 517.12u= C. 57.4u= D. 571.39u= Lời giải Ta có 2 5 22.5 1 7 53 4u−= =+ Câu 31: Cho dãy số ,nu biết n nun 1 .2 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 2. u B. 24. u C. 3 6. u D. 4 8. u Lời giải Vì ()4 4 1 .2.4 8 u= −= Câu 32: Cho dãy số ,nu biết 21. .n nun Tìm số hạng 3.u A. 38.3u B. 32. u C. 3 2. u D. 38.3u Lời giải Ta có ()3 328133u= −= − Câu 33: Cho dãy số ,nu biết 2n nnu= . Chọn đáp án đúng. A. 41.4u= B. 51.16u= C. 51.32u= D. 31.8u= Lời giải Ta có 4 441 24u= = Câu 34: Cho dãy số ,nu biết ( 1) sin( )2n nnunπ= − . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là: A. 0. B. 9. C. −1. D. −9. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 12 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()9 999. 1 .sin 92uπ= −= − Câu 35: Cho dãy số ,nu biết 1 1nun=+. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây? A. 111;;.234 B. 111; ; .23 C. 111;;.246 D. 111; ; .35 Lời giải Ta có 123111,,234uuu= = = Câu 36: Cho dãy số ,nu biết 21 2nnun+=+. Viết năm số hạng đầu của dãy số. A. 1 23453 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . B. 1 23455 7 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = . C. 1 23455 8 3 111 ,,,,452 7u uuuu= = = = = D. 1 23455 7 7 111 ,,,,452 3u uuuu= = = = = . Lời giải Câu 37: Cho dãy số ,nu biết 31n nnu= −. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 Lời giải Câu 38: Cho dãy số ,nu biết 1 21nnun. Số 8 15 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải Ta có ()* 8 1815 15 16 8 715 2 1 15nnu n n nnn+= ⇔ = ∈ ⇔ + = +⇔=+ Câu 39: Cho dãy số ,nu biết 25.54nnun Số 7 12 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 6. B. 8. C. 9. D. 10. Lời giải Ta có ()* 7 25724 60 35 28 11 88 812 5 4 12nnu n n n nnn+= ⇔ = ∈ ⇔ + = − ⇔ = ⇔=− Câu 40: Cho dãy số ,nu biết 21.1nnun Số 2 13 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 13 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()() ()* 22 252 1213 13 2 2 2 13 15 0 313 1 13 2nnnnu n n n nnn nl=− = ⇔ = ∈ ⇔ − = +⇔ − + =⇔ + = Câu 41: Cho dãy số ,nu biết 328 5 7.nun n n  Số 33 là số hạng thứ mấy của dãy số? A. 5. B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải Ta có ()() ()32 * 328 33 8 5 7 33 8 5 40 0 u nnn n nnn = −⇔− −+ = − ∈ ⇔− −+= ⇔  Câu 42: Cho dãy số nu với 237 1nnnun++=+. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có . Lời giải Ta có ()2 * 37 5211nnnu nnnn++= =++ ∈++ Để nu nhận giá trị nguyên thì ()* 5 1nn∈+ là số nguyên hay 4n= Vậy dãy số ()nuchỉ có m ột số hạng nh ận giá tr ị nguyên. Câu 43: Cho dãy số nu với 2.n nu= Tìm số hạng 1.nu+ A. 12 .2.n nu B. 12 1.n nu C. 12 1.nun D. 12 2.n Lời giải Ta có 1 12 2.2nn Câu 44: Cho dãy số nu với 3.n nu= Tìm số hạng 21.nu 21 3 .3 1.n nu B. 1 21 3 .3 .nn  C. 2 21 3 1.n nu D.  21 21 3.n Lời giải Ta có 21 1 21 3 3 .3n nn Câu 45: Cho dãy số nu với 3.n nu= Số hạng 1nu+ bằng: A. 31n+. B. 33n+. C. 3 .3n. D. 3( 1)n+. Lời giải Ta có 1 13 3 .3nn Câu 46: Cho dãy số nu với 3.n nu= Số hạng 2nu bằng: A. 33n+. B. 9n. C. 3 .3n. D. 24n. Lời giải Ta có 2 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 14 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 47: Cho dãy số nu với 15.n nu+= Tìm số hạng 1nu−. −= . B. 15n nu−=. C. 1 −= . D. 1 Lời giải Ta có ()11 155n n Câu 48: Cho dãy số nu với 231.1n nnun+−=+ Tìm số hạng 1nu+. A.  2 13 nnun  B.  2 13 nnun   D. 25  Lời giải Ta có () 2 13 2 5 11 2nn nnnunn++ + ++−  = =   ++ +    Câu 49: Cho dãy số nu xác định bởi . 113nnu uu Tìm số hạng 4.u A. 45.9u B. 41. u C. 42.3u D. 414.27u Lời giải Ta có () ()23 41 1 2 12 52 1 1, 1 1 , 13 3 3 33 9uu u= += = += = +=  Câu 50: Cho dãy số nu xác định bởi 1 uu Mệnh đề nào sau đây sai? A. 25.2u B. 315.4u C. 431.8u D. 563.16u Lời giải Vì 237222u=+= Câu 51: Cho dãy số nu xác định bởi 1 = + khi đó 5u bằng: A. 317. B. 157. C. 77. D. 112. Lời giải Ta có 23 4 52.7 3 17, 2.17 3 37, 2.37 3 77, 2.77 3 157 uu u u= += = += = += = += Câu 52: Cho dãy số nu xác định bởi 1 uu+=− = +. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 15 Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 ;2 ;5 .− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10 D. 1; 3;7.− Lời giải Ta có 12 3 1, 1 3 2, 2 3 5 uu u= − = −+= =+= Câu 53: Cho dãy số nu xác định bởi = +1 uu. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là A. −3; 6; 9. B. −−3; 2; 7. C. 3; 8;13 . D. 3; 5;7. Lời giải Ta có 12 33, 3 5 8, 8 5 13uu u= =+= =+= Câu 54: Cho dãy số nu xác định bởi −=−≥ = +1 ( 2)2nnu nuun. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng A. 0. B. 93. C. 9. D. 34. Lời giải Ta có ()23 2 2 342. 2 2 0, 2.0 3 9, 2.9 4 34 u uu=− += = += = += Câu 55: Cho dãy s ố ()nu, biết 21n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là A. 123;;234. B. 111; ;2 16 C. 111; ;48 D. 231; ;37. Lời giải 12 3231, ,37uu u= = = . Câu 56: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 1 1,22 n unu. Khi đó 3u có giá tr ị bằng 4. B. 4 3. C. 2 3. D. 3 Lời giải Theo công thứ c truy h ồi ta có212 1 322 2 423  Câu 57: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= + . Tìm s ố hạng th ứ 6 của dãy s ố. A. 17. B. 5. C. 15. D. 7. Lời giải Ta có s ố hạng th ứ 6 của dãy là 62.6 3 15u= += . Câu 58: Cho dãy s ố ()nu, biết 2.3n nu= . Giá tr ị của 20u bằng Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 16 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 2.3n nu= suy ra 20 202.3 u= . Câu 59: Cho dãy s ố ()nu, biết công thứ c số hạng tổng quát 23nun= − . Số hạng th ứ 10 của dãy s ố bằng: A. 17 B. 20 C. 10 D. 7 Lời giải 10 2 3 2.10 3 17nun u= − →⇒ = − = Câu 60: Cho dãy s ố ()nu có công th ức số hạng tổng quát 83nun= − . Tính 4.u A. 2. B. 7−. C. 5−. D. 4−. Lời giải 48 3.4 4. u= −= − Câu 61: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 21 23nnunn−=++. Giá tr ị 21u là 243. B. 10 243. C. 21 443. D. 19 Lời giải Ta có: 21 221 1 10 21 2.21 3 243u−= =++. Câu 62: Cho dãy s ố ()nu có 2 1nnun−=+. Tính 2u. 5u=. B. 22 5u=. C. 23 5u=. D. 24 Lời giải Ta có 2 2 22 13 2 15u−= =+. Câu 63: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 1 3 1, 2nnu uu n−=− = − ∀≥. Tìm s ố hạng 4u. A. 4 76 u=− . B. 4 77 u=− . C. 4 66 u=− . D. 4 67 u=− . Lời giải Cách 1. Ta có 433 1 3. 2 1 7 3 1 3. 7 1 22 3 1 3. 22 1 67uu uu= −= − −= − = −= − −= − = −= − −= − Cách 2. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 17 Sưu t ầm và biên so ạn 11 1313 1322 11322nn n nnuu u −= −= − + ⇒−= −  Xét dãy s ố ()nv có 15 vu−= = − Khi đó ta có 13nnvv−= là cấ p số nhân có công bội b ằng 3. 1 5.32n nv−−⇒= Vậy 1 15.322n nu−= − . Câu 64: Cho dãy s ố ()nu, biết ()()3 2nnnu−= . Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là A. 13;1;22. B. 11; ; 02−− . C. 1; 1; 0−− . D. 13;1;22. Lời giải 111 312u−= =− ; () 222 312u−= =− ; () 133 302u−= = Vậy ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố là 1, 1, 0−− . Câu 65: Cho dãy s ố ()nu với 23nun= − . Số hạng th ứ 5 của dãy s ố là A. 5. B. 4. C. 13. D. 7. Lời giải Ta có: 52.5 3 7 u= −= . Câu 66: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 21 nnun+= . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. A. 2,1. B. 2, 2. C. 2, 0. D. 2, 4. Lời giải Ta có: 102.10 1 10u+= 2,1= . Câu 67: Cho dãy s ố ()nucó số hạng tổng quát 211nnun= −+. Số hạng đầu tiên c ủa dãy là: A. 2. B. 3 5. C. 0. D. 1 Lời giải Chọn D CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 18 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 1 2111112u= −=+. Câu 68: Cho dãy số ()nu có 21nu nn= −++ . Số 19− là số hạng thứ mấy của dãy ? A. 5. B. 7. C. 6. D. 4. Lời giải Chọn A Giả sử 19nu=− , ()*n∈. Suy ra 21 19 nn− ++= − 220 0 nn⇔− + + = nl=⇔=−. Vậy số 19− là số hạng thứ 5 của dãy. Câu 69: Cho dãy s ố ()nu với 3n nu=. Khi đó s ố hạng 21nu− bằng A. 13 .3nn−. B. 2131n−−. C. 231n−. D. 23 .3 1n−. Lời giải Chọn A 21 3 3 3 .3n n nn nnuu−− − = ⇒== Câu 70: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i  1 cosn nun π  . Giá tr ị 99u bằng A. 99. B. 1. C. 1. D. 99 . Lời giải Chọn C Ta có: 99 99 1 cos 99 cos 98 cos 1. u π ππ π       Câu 71: Cho dãy số ()nu với 21nun= + số hạng th ứ 2019 của dãy là A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093 . Lời giải Ta có: 2019 2.2019 1 4039 u= += . Câu 72: Cho dãy s ố ()nu với 1 2.n nu= + Khi đó s ố hạng 2018u bằng A. 20182. B. 20172017 2+ . C. 201812+ . D. 20182018 2+ . Lời giải Ta có 2018 2018 12 . u= + Câu 73: Cho dãy s ố ()nu với 2, n 1.31nnun−= ≥+ Tìm kh ẳng đị nh sai . A. 31.10u= B. 108.31u= C. 2119.64u= D. 5047.150u= Lời giải Ta có: 5050 2 48.3.50 1 151u−= =+ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 19 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 74: Cho dãy s ố 221 1nnnun+−=+. Tính 11u. A. 11182 12u= . B. 111142 12u= . C. 111422 12u= . D. 1171 Lời giải Ta có: 2 1111 2.11 1 71 11 1 6u+−= =+. Câu 75: Cho dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát là 221 1nnun+=+. Khi đó 39 362 là số hạng th ứ mấy của dãy A. 20. B. 19. C. 22. D. 21. Lời giải Ta có 22 1 39 1 362n n+=+ 239 724 323 0nn⇔ − −= 19 , do *n∈ nên 19n=. Câu 76: Cho dãy s ố ()1 nnuuu un+= = +. Số 20 là số hạng th ứ mấy trong dãy? A. 5. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải Cách 1: 1234 5 65, 6, 8, 11, 15, 20uu uu u u= = = = = = Vậy số 20 là số hạng th ứ 6. Cách 2: Dựa vào công th ức truy h ồi ta có 15 1 2 ... 1 52nu −⇒ =+++ +−=+ ()()120 5 *2nnn−⇒= + ∈  =⇔ −− =⇔ =−2 630 05(lo¹i)nnnn Vậy 20 là số hạng th ứ 6. Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS 1 SHIFT STO A CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 20 Sưu t ầm và biên so ạn 5 SHIFT STO B Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C Ấn CALC và l ặp lại phím = Ta tìm đư ợc số 20 là s ố hạng th ứ 6 Câu 77: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 121n nun−+= . Tìm s ố hạng th ứ 10 của dãy s ố đã cho. A. 51, 2 . B. 51, 3. C. 51,1. D. 102,3 . Lời giải Ta có: 10 1 10u−+= 51, 3= . Câu 78: Cho dãy s ố 1 u un+= = +. Tìm s ố hạng th ứ 5của dãy s ố. A. 16. B. 12. C. 15. D. 14. Lời giải Ta có 21 15 uu= += ; 32 27 uu= += ; 43 3 10 uu= += . Do đó s ố hạng th ứ 5của dãy s ố là 54 4 14 uu= += . Câu 79: Cho dãy s ố ()nu, biết .1nnun−=+ Năm s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào dưới đây? A. 12345;;;;.23456−−−−− B. 23456;;;;.34567−−−−− C. 12345;;;;.23456 D. 23456;;;;.34567 Lời giải Ta có 1234512345;;;;.23456uuuuu= −= −= −= −= − Nhận xét: Dùng MTCT ch ức năng CALC đ ể kiểm tra nhanh. Ta th ấy dãy ()nu là dãy s ố âm nên loạ i các phương án C, D. Đáp án đúng là A hoặc B. Ta ch ỉ cần kiểm tra m ột số hạng nào đó mà c ả hai đáp án khác nhau là đư ợc. Ch ẳng hạng ki ểm tra 1u thì th ấy 11 Câu 80: Cho dãy s ố ()nu, biết 31n nnu=−. Ba s ố hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó lần lượt là nh ững số nào dưới đây? A. 111;;.248 B. 11 3;; .242 6 C. 11 1;; .2 4 16 D. 123;;.234 Lời giải Dùng MTCT ch ức năng CALC: ta có CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 21 Sưu t ầm và biên so ạn 12 3 231 2 21 3 3; ;.2 3 1 8 4 3 1 26uu u= = = = = =−− Câu 81: Cho dãy s ố ()nu, biết 1 uu+=− = +với 0n≥. Ba s ố hạng đầ u tiên c ủa dãy s ố đó là l ần lượt là những số nào dư ới đây? A. 1; 2; 5.− B. 1; 4; 7. C. 4;7;10. D. 1; 3; 7.− Lời giải Ta có 1 21 32 1; 3 2; 3 5. u uu uu= − = += = += Nhận xét: Dùng ch ức năng “l ặp” củ a MTCT đ ể tính: Nhập vào màn hình: 3. XX= + Bấm CALC và cho 1 X=− Vì 1 1 u=− nên loạ i các đáp án B, C. Còn l ại các đáp án A, C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra 2u: 21 32 uu= += Câu 82: Cho dãy s ố (),nu biết 1 21nnun+=+. Số 8 15 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? A. 8. B. 6. C. 5. D. 7. Lời giải Ta cầ n tìm n sao cho 1815 15 16 8 7.2 1 15nnu n nnn+= = ⇔ + = +⇔=+ Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh. Câu 83: Cho dãy s ố (),nu biết 25.54nnun+=− Số 7 12 là số hạng th ứ mấy của dãy s ố? A. 8. B. 6. C. 9. D. 10. Lời giải Dùng chứ c năng “l ặp” để kiểm tra đáp án. Ho ặc giải cụ thể như sau: 25724 60 35 28 11 88 8.5 4 12nnu n n nnn+= = ⇔ + = − ⇔ = ⇔=− Câu 84: Cho dãy s ố (),nu biết 2.n nu= Tìm s ố hạng 1.nu+ A. 12 .2.n nu+= B. 12 1.n nu+= + C. ()12 1.nun+= + D. 12 2.n nu+= + Lời giải Thay n bằng 1n+ trong công thứ c nu ta đư ợc: 1 12 2.2nn += = . Câu 85: Cho dãy s ố ()nu, biết 3.n nu= Tìm s ố hạng 21.nu− 21 3 .3 1.n nu−= − B. 1 21 3 .3 .nn −= C. 2 21 3 1.n nu−= − D. () 21 21 3.n Lời giải Ta có 21 21 1 21 3 3 3 .3 .nn n n nn nnuu↔− −− − =    → = = CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 22 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 86: Cho dãy s ố (),nu với 15.n nu+= Tìm s ố hạng 1.nu− −= B. 15.n nu−= C. 1 15.5 .n −= D. 1 15.5 .n Lời giải ()11 1 1 1 5 5 5.n nn nn nnuu−+ ↔−+ − =  → = = Câu 87: Cho dãy s ố ()nubởi công thứ c truy h ồi sau 1 ; 1nnu u u nn+= = +≥; 218u nhận giá tr ị nào sau đây? A. 23653 . B. 46872 . C. 23871 . D. 23436 . Lời giải Đặt 1 nn nvu un+= −= , suy ra ()nv là m ột câp s ố cộng v ới số hạng đầu 1 21 1 vuu=−= và công sai 1d=. Xét t ổng 217 1 2 217 ... S vv v=+++ . Ta có 217 1 2 217 ... S vv v=+++()1 217 217. 2vv+=() 217. 1 217236532+= = . Mà 1 nn nvu u+= − suy ra ()()()217 1 2 217 2 1 3 2 218 217 ... ... S vv v uu uu u u=+++ = − + − ++ − 218 1uu= −218 217 1 23653 uSu⇒ = += . DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM Câu 88: Cho các dãy s ố sau. Dãy s ố nào không là dãy s ố tăng? Lời giải Xét đáp án A ta có dãy 1;1;1;1; ... là dãy h ằng nên không tăng không gi ảm. Câu 89: Cho dãy s ố ()nubiết 52nun= + . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải * Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu của dãy số rồi suy ra kết quả * Tự luận: Ta có ()11 5 1 2 52 57 52 0nn n n uu n n n n u u++− = ++− += +− +>⇔ > Câu 90: Cho dãy s ố ()nubiết 1 32nun=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải Ta có () ()()11 1 11 303 1 2 32 35 32 35 32nnuun n n n nn+− = −=−= − <++ + + + + +. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 23 Sưu t ầm và biên so ạn Vậy * 11 0,nn n nu u u un++− < ⇔ < ∀∈  Câu 91: Cho dãy s ố ()nubiết 10 3n nu= . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải Ta có 1 110 10 10 10 2003 3 3.3 3 3.3nn n nn nnuu+ +−−= −= −= < 11 0,nn n nu u u un++− < ⇔ < ∀∈  Câu 92: Cho dãy s ố ()nubiết 22 31nu nn= ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải Ta có ()()2 2* 1 2 1 3 1 1 2 3 1 4 5 0,nnuu n n nn n n+− = + + + +− − −= +> ∀∈  11 0,nn n nu u u un++− < ⇔ < ∀∈  Câu 93: Cho dãy s ố ()nubiết ()()211n nun= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn Lời giải Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu Câu 94: Cho dãy s ố ()nubiết 2400nun n= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm Lời giải Ta có ()()2 2 1 1 400 1 400 2 399nnu u n n n nn+−=+ − +−+ = − Do 2 399 0n−> khi 399 2n> và 2 399 0n−< khi 399 Vậy dãy số đã cho không tăng, không giảm Câu 95: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? A. 1.3n nu= B. 1.21nun=+ C. 1.32nnun+=+ D. 42.3nnun−=+ Lời giải Ta có: 1 111 11 203 3 3.3 3 3.3nn n nn nnuu+ +−−= −= −= < → loại A CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 24 Sưu t ầm và biên so ạn () ()()11 1 11 202 1 1 21 23 21 23 21nnuun nnn n n+−− = −=−= <+ ++++ ++→ loại B ()()121 1035 32 35 32nnnnuun n nn+++−= − = − <++ ++→ loại C ()()14 2 4 2 1404 3 43nnnnuun n nn++−−= − = >+ + ++ Câu 96: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào gi ảm? A. 4.3n nu= B. ()() 1 5 1.n n nu= −− C. 3.n nu=− D. 4.nun= + Lời giải Ta có: 14 4 44 4 14. .03 3 33 3 33n n nn n +    −= − = − = >         → loại A Dãy ()nu với ()() 1 5 1.n n nu= −− có các s ố hạng đan dấ u nên dãy không tăng, không gi ảm → loại B 1 3 3 3.3 3 2.3 0n nn nn +−= − += − += − < → Chọn C 1154 0 54nnuu n n nn+− = +− += > ++ +→ loại D Câu 97: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào không tăng, không gi ảm? A. 1.nunn= + B. 5 3.n nun= + C. 3.n nu=− D. ()23. 1n nun= −+ Lời giải Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu Dãy trong đáp án A và B tăng, dãy trong đáp án C là dãy giảm Câu 98: Cho dãy s ố ()nubiết 54nn nu= − . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1 Lời giải Ta có ()11 * 1 5 4 5 4 4 5 4 0,n n nn nn nnuu n++ +− = − − + = − > ∀∈  11 0,nn n nu u u un++− > ⇔ > ∀∈  Câu 99: Cho dãy s ố ()nubiết 2 31nanun+=+. Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. A. 6a= B. 6a> C. 6a< D. 6a≥ Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 25 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()()* 122 6,34 31 34 31nnan a an auu nn n nn+++ + −− = − = ∀∈+ + ++ Để dãy số tăng thì ()()* 160, 63 43 1nnauu n ann+−− = > ∀∈ ⇔ >++ Câu 100: Cho dãy s ố ()nubiết 2n nu an= − . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. A. 2a= B. 2a> C. 2a< D. 2a≥ Lời giải Ta có 1* 1 2 2 2 a,n nn nnu u an a an n+ +− = − −− + = − ∀∈  Để dãy số tăng thì * ** 1 2 a 0, 2 , 2,nn nnu u na na n+− = −> ∀∈ ⇔ < ∀∈ ⇔ < ∀∈   Câu 101: Cho dãy s ố ()nubiết 3n nuan= . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể dãy s ố tăng. A. 0a∀< B. Không tồn tại a C. *a∀∈ D. 0a> Lời giải Ta có () 1 22.3 2 1 33,n nn nnanuu nan a an an n+ +−− = − = ∀∈+ + Để dãy số tăng thì () 1 22.3 2 10, 0n nnanuu n a an n+−− = > ∀∈ ⇔ > Câu 102: Cho dãy s ố ()nubiết 32 31nun n= +− + . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải Ta có 132 31 32 31nun n nn= +− += Khi đó ( )( ) ( )( )1 35 34 32 31 32 35 31 34 35 34 32 31nnuu n n nn nnnn+−= − + ++ + ++ + −+ + + −+ = < ∀∈ + ++ + ++ Câu 103: Cho dãy s ố ()nubiết 21nun n= −+ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương Lời giải Ta có 2 1nun n nn−=− += CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 26 Sưu t ầm và biên so ạn Khi đó ()()( ) ()( )()2 2 122 2 21 11 1110, 1 1 11 1 11 1nnnn nn nn n n nn++ + +− +−− = + = > ∀∈ ++ ++ + + ++ + + + + Vậy dãy số đã cho là dãy tăng Câu 104: Cho dãy s ố ()nubiết 221 2nnnun−−=+. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm Lời giải Ta có ()()22 2 12 3 2 1 2 10 30,3 2 32nnn n nn n nuu nn n nn++ −− + +− = − = > ∀∈+ + ++ Vậy dãy số đã cho là dãy tăng Câu 105: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào tăng? A. sin.nnun= B. 21.21nnun+=+ C. 23.n nun= D. 324 3 1.nu nn=−+ Lời giải * Với ( )sink 2 ; 2 , sin 0 0nn kk nnππ π∈ + ∈⇒ >⇒ >  và ( )sin2 ;2 2 , sin 0 0nn k kk nnππ ππ∈ + + ∈⇒ <⇒ <  . Suy ra dãy số trong đáp án A không tăng, không giảm → loại A * Ta có 21 21nnnun n++= =+ +. Xét dãy ()nv với ()()2 22 1 22 2222 1 4 27 4 12 9 4 4 1 2321nnnn n nnvvn n nn nn+++ + −−−= − =+ + ++ ++ Do 1nnvv+− vừa nhận giá tr ị âm lẫn dương nên dãy s ố ()nvkhông tăng, không gi ảm→loại B 1 22 2 232 2 1 3.3 3 uun n nn+−− ++. Do 1nnuu+− nhận giá tr ị âm lẫn dương nên dãy đã cho không tăng, không gi ảm → loại C * Theo phương pháp loạ i trừ ta ch ọn D Câu 106: Cho dãy s ố ()nubiết 1 uu−== +. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 27 Sưu t ầm và biên so ạn C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải Ta có 123uuu<< . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp Từ giả thiết thì *0,nun> ∀∈  Giả sử 1,2kkuuk−>≥ . Ta chứng minh 1kkuu+> Thật vậy: ()1 11103k k kk k k u u uu u u+ −+− = − >⇔ > . Vậy dãy đã cho là dãy tăng Câu 107: Cho dãy s ố ()nubiết 1 +== + ∀∈. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm Lời giải Ta có 123 0uuu<<< . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp Từ giả thiết thì *0,nun> ∀∈  Giả sử 1,2kkuuk−>≥ . Ta chứng minh 1kkuu+> Thật vậy: ()()11 22 11 122 33kk kk kk k k k k kkuu uuuu u u uu −−+− = +− += >⇔ > ++ +. vậy dãy đã cho là dãy tăng Câu 108: Cho dãy s ố ()nubiết1 uuu+= =+. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có 102 u= Lời giải Ta có 123uuu>> . Dự đoán dãy số đã cho giảm, ta chứng minh bằng quy nạp Từ giả thiết thì *0,nun> ∀∈  Giả sử 1,2kkuuk−<≥ . Ta chứng minh 1kkuu+< Thật vậy: () ()()1 1 119 3303 3 33kk kk kk k k k k kkuu uuuu uuu u uu− − −−−− = − = <⇔ <++ ++. vậy dãy đã cho là dãy Câu 109: Cho dãy s ố ()nubiết 11 1...12nun n nn= + ++++ +. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 28 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải Xét hiệu 1 21 1 1 4 3102 12 2 1 22 1 1nnnnuu nn nn nn+++− = + − = > ∀∈+ ++ ++ Câu 110: Cho dãy s ố ()nubiết1 u au n+= = +∀∈ . Tìm tấ t cả các giá tr ị của a đ ể ()nutăng? A. 0.a< B. 0.a≤ C. 0.a> D. 1.a> Lời giải Xét hiệu 11 11n n nnu au u au+−= +⇒ = + ()11n n nnu u au u+−⇒ −= − nnu u au u a u u au u a u ua+⇒−= − = ⇒−= − = Để dãy số ()nu tăng suy ra a0>. Câu 111: Trong các dãy s ố dưới đây, dãy s ố nào là dãy gi ảm? nun=. B. 13nun= − . C. 3nun=. D. 32nun= − . Lời giải Xét đáp án A, ta có ()2 2* 1 1 2 1 0,nnuun n n n+− = + − = +> ∀∈  nên dãy này là dãy tăng. Xét đáp án B, ta có ()* 111 10,11nnuu nn n nn+−− = − = < ∀∈++ nên dãy này là dãy gi ảm. Xét đáp án C, ta có ()* 1 3 1 3 3 0,nnuu n n n+− = + − => ∀∈  nên dãy này là dãy tăng. Xét đáp án D, ta có ()3 3* 1 1 0,nnuun n n+− = + − > ∀∈  nên dãy này là dãy tăng. Câu 112: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? nun= . B. 3 1nnun−=+. C. 2nnu=. D. ()1 n nu−= . Lời giải Xét A: Ta có 23 nun= , ()1 23 nu nnnun n∗ += < =∀∈ +. Vậy ()nu là dãy gi ảm. Xét B: CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 29 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 3;1nnun−=+ 12 2nnun+−=+. Khi đó: ()()123 402 1 12nnnnuun n nn+−−−= − = >+ + ++ n∀∈ Vậy ()nu là dãy s ố tăng. Xét C: Ta có ;2nnu= 11 2nnu++= . Khi đó: 11102 22nnnnuu++−= −=> n∀∈ Vậy ()nulà dãy s ố tăng. Xét D: Ta có 11;3u−= 21;9u= 31 27u−= . Vậy ()nulà dãy s ố không tăng không gi ảm. Câu 113: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? A. * 53,23nnunn−= ∈+. B. * 5,41nnunn−= ∈+. C. 2*2 3,nun n=+∈ . D. ()*cos 2 1 ,nu nn= +∈ . Lời giải * Với dãy 53 23nnun−=+. ()()()() ()() ()()1 *53 1 53 23 53 2 1 3 23 25 23 2 323 5 325 19025 23 23 25nnn n nnuun nnn nn nnnnn nn+−+ −−−−= − = −++ + + + − +−− + −= = < ∀∈++ ++ Suy ra ()nulà dãy gi ảm. Câu 114: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? 2n nu= . B. 31 1nnun−=+. C. 2 nun=. D. 2nun= + . Lời giải Ta có 1 2n nu=1 11 2n nu+ +<= *n∀∈. Câu 115: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? 2n nu= . B. 31 1nnun−=+. C. 21nun= − . D. 1 Lời giải Câu 116: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 30 Sưu t ầm và biên so ạn A. 3 1nnun−=+. B. 2nnu=. C. 22 nun= . D. ()1 n nu−= . Lời giải Xét A: Ta có 3;1nnun−=+ 12 2nnun+−=+. Khi đó: ()()123 402 1 12nnnnuun n nn+−−−= − = >+ + ++ n∀∈ Vậy ()nu là dãy s ố tăng. Xét B: Ta có ;2nnu= 11 2nnu++= . Khi đó: 11102 22nnnnuu++−= −=> n∀∈ Vậy ()nulà dãy s ố tăng. Xét C: Ta có 22 nun= , ()1 22 nu nnnun n∗ += < =∀∈ +. Vậy ()nu là dãy gi ảm. Xét D: Ta có 11;3u−= 21;9u= 31 27u−= . Vậy ()nulà dãy s ố không tăng không gi ảm. Câu 117: Dãy s ố nào sau đây là dãy s ố giảm? A. ()53,*23nnunn−= ∈+. B. ()5,*41nnunn−= ∈+. C. ()32 3, *nun n=+∈ . D. ()() cos 2 1 , *nu nn= +∈ . Lời giải Xét ()53,*23nnunn−= ∈+, ta có () ()153 1 53 2 1 32 3nnn nuunn+−+ −−= −++ + 23 53 25 23nn nn−−= −++ ()()()() ()()2 323 25 5 3 25 23nn n n nn− +− + −=++ ()()224 6 6 9 10 6 25 15 25 23nn n nn n nn− +− − + − +=++ ()()190, *25 23nnn−= < ∀∈++. Vậy ()53,*23nnunn−= ∈+ là dãy gi ảm. Câu 118: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? A. 1.2n nu= B. 1.nun= C. 5.31nnun+=+ D. 21.1nnun−=+ Lời giải Vì 2;nn là các dãy dương và tăng nên 11;2nn là các dãy gi ảm, do đó loạ i các đáp án A và CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 31 Sưu t ầm và biên so ạn Xét đáp án C: 1 6nunu uunu=+=  →  → >  → +=loại C. Xét đáp án D: 121 3 1 12 301 1 12n nnnu uun n nn+− = = − ⇒ −= − > + + ++ Câu 119: Trong các dãy s ố ()nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là dãy s ố tăng? A. 2.3n nu= B. 3.nun= C. 2.n nu= D. ()2.n Lời giải Xét đáp án C: 1 1 2 2 220n n nn n nn u uu+ + =  → − = − = >  → Chọn C Vì 2;nn là các dãy dương và tăng nên 11;2nn là các dãy gi ảm, do đó loạ i các đáp án A và Xét đáp án D: ()2 nuu uuu== −  →  → >  → =− loại D. Câu 120: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là dãy s ố giảm? 1nnun+=−. B. 31nun= − . C. 2 nun=. D. 2nun= . Lời giải Với mọi n∈, 1n>. Ta có ()12 11 21 23 21 11 1 1nnn nnnuun n nn+++ +++−= − = −+− − − ()()() ()()()() () ()23 1 21 23 1 21 301 11n n nn n n nn nn nn nn+ −− + + −− + −= = = <− −−, với mọi n∈, 1n>. Suy ra dãy s ố giảm. DẠNG 4. DÃY SỐ BỊ CHẶN TRÊN, BỊ CHẶN DƯỚI, BỊ CHẶN Câu 121: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ( 1)= −n A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải Câu 122: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 31= −nun A. Bị chặn. B. Bị chặn trên. C. Bị chặn dưới. D. Không bị chặn dưới. Lời giải Ta có *2,nun≥ ∀∈ →  Dãy bị chặn dưới Khi n tiến tới dương vô cực thì nu cũng tiến tới dương vô cực nên dãy số không bị chặn trên Vậy dãy đã cho bị chặn dưới CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 32 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 123: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? A. 2.nun= B. 2.n nu= C. 1.nun= D. 1.nun= + Lời giải Ta có: 110nun  với mọi *n nên dãy nu bị chặn. Nhận xét: Các dãy số 2;2; 1nnn là các dãy tăng đến vô hạn khi n tăng lên vô hạn nên chúng không bị chặn trên. Câu 124: Trong các dãy s ố ()nucho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào b ị chặn? A. 1.2n nu= B. 3.n nu= C. 1.nun= + D. 21.nun= + Lời giải Ta có: 1021 2n nu  với mọi *n nên dãy nu bị chặn. Câu 125: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 21 2+=+nnun A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải Ta có 2 1 2 4 2( 2)0 2 22 2nnn nunnn n++ +<= < = =∀++ + nên dãy ()nu bị chặn. Câu 126: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 2 13 32−=−nnun A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số giảm, bị chặn. C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn. D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Ta có: 12 11 2 13 3403 1 3 2 (3 1)(3 2)+−−−= − = >+ − +−nnnnuun n nn với mọi 1≥n . Suy ra 1 1+> ∀≥⇒nnu un dãy ()nu là dãy tăng ⇒ dãy bị chặn dưới bởi 19 4u=− . Mặt khác: 2 35 9 2 13 3(3 2) 4 3nnu unn= − ⇒− ≤ < ∀ ≥− Vậy dãy ()nu là dãy bị chặn. Câu 127: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 33 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: 2 2221 21 2 20 1 1 2 , ( )1 12 1nnn nn n nu nun nn n+ ++< = = = + ≤ + = ∀⇒++ + bị chặn. Câu 128: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 243= −−nu nn A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải Ta có: 225 3 25()4 24nnun u=−+ <⇒ bị chặn trên; dãy ()nu không bị chặn dưới. Câu 129: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? A. 1.nunn= + B. 1nun= + . C. 221nnun=+. D. 21nunn= ++ . Lời giải Câu 130: Trong các dãy số ()nu sau, dãy số nào bị chặn? A. sin 3nun n= − B. 21 nnun+= . C. ()1 1nunn=+. D. () .sin 3 1nun n= − . Lời giải Ta có ()* 110,12nunnn< = ≤ ∀∈ ⇒+ Dãy ()nuvới ()1 1nunn=+bị chặn Câu 131: Trong các dãy số ()nu cho dưới đây dãy số nào là dãy số bị chặn ? 2.1nnun=+ B. 22017.nun= + C. ( 1) ( 2).n nun= −+ D. 2.1nnun=+ Lời giải Ta có * 210,12nnunn< = ≤ ∀∈ ⇒+ Dãy ()nuvới 21nun n=+ bị chặn Câu 132: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: 1( ):2+=+nnnuun A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. Lời giải Ta có 2 12 1 ( 2) ( 3)( 1) 3 2 ( 2)( 3)++ + + −+ +−= − =+ + ++nnn n n nnuun n nn10, ( 2)( 3)= >∀++nnn. Và * 120 1,22nnnunnn++< = < =∀∈++ Vậy dãy ()nu là dãy tăng và bị chặn. Câu 133: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 3( ): 2 1=++nnuun n A. Tăng, bị chặn. B. Giảm, bị chặn. C. Tăng, chặn dưới. D. Giảm, chặn trên. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 34 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: 33 1 ( 1) 2( 1) 2+− =+ + +−−nnuun n nn23 3 3 0, = + +> ∀nn n Mặt khác: 1, >∀nun và khi n càng lớn thì nu càng lớn. Vậy dãy ()nulà dãy tăng và bị chặn dưới. Câu 134: Cho dãy số 31( ):31nnnuun−=+. Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? 3. B. 1. C. 1 2. D. 0. Lời giải Ta có 31 21 1.31 31nnunn   Mặt khác: 25110723u nên suy ra dãy nu bị chặn trên bởi số 1. Câu 135: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn trên bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1. C. 2. D. Không bị chặn trên. Lời giải Ta có 1sin1 cos1 1 0MTCT nuu       nên loại các đáp án A và B Ta có cos sin 2 sin42nu nn n      Câu 136: Cho dãy số nu, biết cos sin .nu nn Dãy số nu bị chặn dưới bởi số nào dưới đây? A. 0. B. 1−. C. 2− . D. Không bị chặn dưới. Lời giải 5sin 5 cos5 1 0MTCT nuu          loại A và B Ta có 2 sin42nun   Câu 137: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: ()()11 1...1.3 3.5 2 1 2 1= + ++−+nunn A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải Rõ ràng nu 0, n *> ∀∈  nên ()nu bị chặn dưới. Lại có: ()()1 11 1 21 21 2 21 21kk k k= −−+ −+ . Suy ra 1 1 11 1 1 1 1 11 ... 12 3 3 5 21 21 2 21 2nunn n      = −+−+ + − = − <       −+ +         với mọi số nguyên dương n, nên ()nu bị chặn trên. Kết luận ()nu bị chặn. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 35 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 138: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 11 1...1.3 2.4 .( 2)= + +++nunn A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải Ta có: 11 1 10 ... 1 11.2 2.3 .( 1) 1< < + ++ = − <++nunn n Dãy ()nu bị chặn. Câu 139: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ()nu, biết: 22 211 11 ...23= + + ++nun. A. Dãy số tăng, bị chặn. B. Dãy số tăng, bị chặn dưới. C. Dãy số giảm, bị chặn trên. D. Cả A, B, C đều sai. Lời giải Ta có: 1 210( 1)+− = >⇒+nnuun dãy ()nu là dãy số tăng. Do 11 1 11 ... 21.2 2.3 ( 1)nunn n<+ + + + =−− 1 2, 1nun⇒< < ∀≥⇒ dãy ()nu là dãy bị chặn. Câu 140: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: 1 2, ( 2)1− += ≥+ n A. Bị chặn. B. Không bị chặn. C. Bị chặn trên. D. Bị chặn dưới. Lời giải Bằng quy nạp ta chứng minh được 12< 0 1.nu⇒< ≤ Suy ra: Dãy ()nu bị chặn. Câu 143: Trong các dãy s ố ()nu có số hạng tổng quát nu dưới đây, dãy s ố nào là dãy b ị chặn? A. 22nun= + . B. 21nnun=+. C. 31n nu= − . D. 2 nunn= + . Lời giải Chọn B 2lim 2 n+ =+∞⇒ dãy s ố 22nun= + không bị chặn. 21 2 21 2nnunn== −<++⇒ 1 Mặt khác ta th ấy ngay 0*21nnunn= > ∀∈+ 102nu⇒< < ⇒ dãy s ố 21nnun=+ bị chặn. Câu 144: Cho dãy s ố ()nu với 125n nu−= + . Kết luận nào sau đây là đúng? A. Dãy s ố không đơn đi ệu. B. Dãy s ố giảm và không bị chặn. C. Dãy s ố tăng. D. Dãy số giảm và b ị chặn. Lời giải Xét ()()1 1 25 25nn nnuu−− +−=+ −+ 155nn−−= − 111 55nn−= −15 55nn= −* 40,5nn = − < ∀∈ . ()nu⇒ là dãy s ố giảm. Ta có: 1*2 5 2,n nun−=+ > ∀∈ ; * 52 3,5n nun=+ ≤ ∀∈ . ()nu⇒ là dãy s ố bị chặn. Câu 145: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là dãy s ố bị chặn? 1nnun+=+. B. () 2 sinnun n= + . C. 2 nun=. D. 31nun= − . Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 37 Sưu t ầm và biên so ạn Xét dãy s ố 21 1nnun+=+ ta có: * * 210; 1nnunn+= > ∀∈ ⇒+ dãy ()nu bị chặn dưới bởi giá tr ị 0. * * 21 12 2; 11nnunnn+= =− < ∀∈ ⇒++ dãy ()nu bị chặn trên bở i giá tr ị 2. ⇒ dãy ()nu là dãy b ị chặn. Câu 146: Chọn kế t luận sai: A. Dãy s ố  21n tăng và bị chặn trên. B. Dãy s ố 1 1n giảm và b ị chặn dưới. C. Dãy s ố 1 n tăng và bị chặn trên. D. Dãy s ố 1 3.2n giảm và b ị chặn dưới. Lời giải Đáp án B đúng vì dãy s ố 1 1n giảm và b ị chặn dưới bởi 0. Đáp án C đúng vì dãy s ố 1 n tăng và bị chặn trên bở i 0. Đáp án D đúng vì dãy s ố 1 3.2n giảm và b ị chặn dưới bởi 0. Đáp án A sai vì dãy s ố  21n tăng nhưng không bị chặn trên. Câu 147: Cho dãy s ố ()nu biết 22 211 1 1...22 3nun=+ + ++ . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Dãy s ố bị chặn dưới. B. Dãy s ố bị chặn trên. C. Dãy số bị chặn. D. Không bị chặn. Lời giải Xét ()21 1 11,211kk k kk k< = − ∀≥−− Suy ra 1 1 11 11 11 1 1 31 31 ...2 2 23 34 56 1 2 2nunn n      <+− + − + − + − ++ − =−<      −        30 ,*2nun⇒ < < ∀∈ . Vậy ()nu bị chặn. Câu 148: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i *1 u unn+= = + ∈∀. Tìm s ố nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 20391901nu≥− . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 38 Sưu t ầm và biên so ạn A. 2017n= . B. 2019n= . C. 2020n= . D. 2018n= . Lời giải Theo hệ thức đã cho ta có: 3 3 3 33 3 12 1 ( 1) ( 2) ( 1) ... 1 2 ... ( 1)nn n uu n u n n u n−−= +−= +− +−==++++− . Lại có 22 33 3 2( 1)1 2 ... ( 1) (1 2 ... ( 1))4nnnn−+++− =+++− = . Suy ra: 22( 1) ( 1)1142nnn n nnuu−−=+ ⇒ −= . Sử dụng mode 7 cho n chạy từ 2017 đến 2020 , ta đư ợc kết quả 2020n= . Câu 149: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 2 11 log log 6 0uu+ −= và 1 5nnuu+= + , với mọi 1,n nN≥∈ . Giá tr ị lớn nhấ t của n để 500nu< bằng: A. 80. B. 100. C. 99. D. 82. Lời giải +) 11 2 11log 3 0,001log log 6 0log 2 100uuuuuu= −=+ −=⇔ ⇔ = = +) Từ giả thiết suy ra ()nulà cấp số cộng có công sai 5d=. Do đó, ta có 1( 1)nuu n d=+− . +) Vậy 0,001 5( 1) 5 4,999 100 5( 1) 5 95n u nn= + −= − = + −= +. Suy ra 100,999850081nnun<<⇔<. Vậy số n lớn nhấ t để 500nu< là 100. Câu 150: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn: 15u= và 1433nnuu+= + với 1.n∀≥ Giá tr ị nhỏ nhất của n để 12 ... 5nnS uu u=+ ++ > bằng? A. 142. B. 146. C. 141. D. 145. Lời giải 1142233333nn n nuu u u++= +⇔ += +  3nn nvu v= +⇒ là cấ p số nhân vớ i 117 3v=, công bội 3q=. Khi đó 12 ...nnS uu u=+ ++1222 2...33 3n vv v    =−+−+ +−         122...3nnvv v=+++− 112.13nqnvq−= −− 17.3 17 4 6nn−−= Bằng cách th ử trực tiếp ta có n bé nhấ t để 1005nS> là 146n= . Câu 151: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 12 112, 3 32n nnuu u uu+−= = = −2,n nN≥∈ .Khi đó 1....n uu++ bằng? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 39 Sưu t ầm và biên so ạn A. 21n−. B. 2n. C. 22nn+ . D. 21nn+− . Lời giải. Ta có: 1132n nnu uu+−= − . 1232nn nuu u−−= − 12332nnnuuu−−−= − …. 43232 uuu= − 3 2132uuu= − 13 13 2 1.... 3 .... 2n nn u u uu uu u+−⇒ ++= + +++− 1 212 221nn n u uu u u+⇔ = +− = −121n nu+⇒= + . Vậy ()()()()012 1 1.... 2 1 2 1 2 1 .... 2 1 2 1nn n uu n−++= ++ ++ +++ += +− . Câu 152: Cho dãy s ố {}nu xác đ ịnh bở i 3 32 3 2 3 2 44 4 41 2 3 31nu n nn n nn n n n= ++ +++ +++ +, 1n≥. Tính t ổng 4 12 2018 1... Suu u−=+++ . A. 2016 . B. 2017 . C. 2018 . D. 2019 . Lời giải Ta có: ()3 3 4 44 41 .1 .1 1nu n nn nn n= + ++ ++ + ()()44 441 1 1. 1 n nn n nn= ++ ++ ++ ()()441 11 nn nn= ()()441 .1 1nn nn nn+− +− 441nn= +− . Do đó 44 44 44 4 42 1 3 2 ... 2018 1 1 2018 1 S= − + − + + −+− − 4 41 2018= −+ 1 2018= −+ 2017= . Câu 153: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12 3u= và ()122 1 1n nuunu+=++, ()*n∈. Tính t ổng 2018 số hạng đầu tiên c ủa dãy s ố đó? A. 4036 4035. B. 4035 4034. C. 4038 4037. D. 4036 Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 40 Sưu t ầm và biên so ạn - Ta có: () 122 1 1 1 n uu+++=142 nnu=++ () 114 12 4 2 nnnu−= + −+ + + Tương t ự ta đươc: ()()() 11114.1 2 4.2 2 ... 4 2 nnuu+=+ ++ +++ + ()322 12n nn= ++ +24 83 2nn++= 4 83nunn+⇒=++()()2 2 12 3nn=++ 2 12 1nunn⇒=−+11 2 12 1nn= −−+ 11121n kun =⇒= −+∑2 n=+2018 =⇒=∑ . Câu 154: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 16nnuu−= + , 2n∀≥ và 25 9 2log log 8 11uu+ += . Đặt 12 ...nnS uu u=+++ . Tìm s ố tự nhiên n nhỏ nhấ t thỏa mãn 20172018nS≥ . A. 2587 . B. 2590 . C. 2593 . D. 2584 . Lời giải Ta có dãy s ố ()nu là cấ p số cộng có công sai 6d=. ()25 9 25 9 2log log 8 11 log 8 11u u uu + += ⇔ + = ()* với 50 u>. Mặt khác 51 1 4 24 u u du= += + và 91 1 8 48 u u du= += + . Thay vào ()* ta đư ợc 15 158 32 88 64uu uu= ⇒= = −⇒= −. Suy ra 18u=. 1 20172018 2 1 20172018 3 5 20172018 02nnS un d n n ≥⇔ + − ≥⇔ + −≥ . Vậy số tự nhiên n nhỏ nhấ t thỏa mãn 20172018nS≥ là 2593n= . Câu 155: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 18 18 1144e5 ee euu uu+ −= và 1 3nnuu+= + với mọi 1n≥. Giá tr ị lớn nhất của n để 3log ln 2018nu< bằng A. 1419 . B. 1418 . C. 1420 . D. 1417 . Lời giải Ta có 1 3nnuu+= + với mọi 1n≥ nên nu là cấ p số cộng có công sai 3d= 18 18 18 18 11 11 44 44e5 ee e 5 ee eeuu u u uu uu+ −=⇔ −=− ()1 Đặt 18 14eeu ut= − ()0t≥ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 41 Sưu t ầm và biên so ạn Phương trình ()1 trở thành 2050 25ttt t tt≤= −⇔ ⇔== () 5 5 0 50 0 0t t t t tt t t= −⇔+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔= Với 0t= ta có : 18 14 1 811 11 e e 4 51 4 17u uu uu uu= ⇔ = ⇔+= ⇔= Vậy ()()1 1 17 1 3 3 14nuu n d n n=+− =+− =+ Có : ln 2018 ln 2018 ln 2018 33 14log ln 2018 3 3 14 3 1419,983nnu un n−< ⇔ <⇔ + <⇔ < ≈ Vậy giá tr ị lớn nhấ t của n là 1419 . Câu 156: Tổng: 2 4 6 2018A= + + +…+ có giá trị là: A. 2018001 . B. 1209900 . C. 1010101 . D. 1019090 . Lời giải Ta có ()()() 2 2 2018 4 2016 ... 2018 2A= ++ ++ ++ Do đó () 1009 2 201810190902A+= = Câu 157: Tổng: 1 4 7 3031B= + + +…+ bằng: A. 1532676 . B. 1435000 . C. 1351110 . D. 1322300 . Lời giải Ta có ()()() 2 1 3031 4 3028 ... 3031 1B= ++ ++ ++ Do đó () 1011 1 303115326762B+= = Câu 158: Giá trị của tổng: 13 9 5 387 C=− − − +…+ bằng: A. 23455 . B. 18887 . C. 36778 . D. 43234 . Lời giải Ta có ()()() 2 13 387 9 383 ... 387 13C= − ++ − ++ +− Do đó () 101 13 387188872C−+= = Câu 159: Giá trị của tổng: 1 101 201 1001 100 100 100 100S= + + +…+ bằng: A. 5514 100. B. 5501 100. C. 5511 100. D. 5515 Lời giải Ta có 1 1001 101 901 1001 12 ...100 100 100 100 100 100S   =+ +++ + +       CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 42 Sưu t ầm và biên so ạn Do đó 1 1001115511 100 100 2 100S+= = . Câu 160: Cho tổng: *1 3 5 2 1, .nS nn = + + +…+ + ∀ ∈  Tìm100S? A. 10201 . B. 10000 . C. 10200 . D. 10202 . Lời giải Ta có 100 1 3 5 ... 201 S=++++ Suy ra ()()()1002 1 201 3 199 ... 201 1S= ++ ++ ++ Vậy () 100101 1 201102012S+= = Câu 161: Cho tổng: 246 2nSn= + + +…+ với*n∈. Khi đó công thức của nS là? A. ( 2)nn+. B. ( 1) 2nn+. C. ( 1)nn+. D. 2n. Lời giải Ta có ()()() 2 2 2 4 2 2 ... 2 2nS nn n= ++ + − + ++ Vậy ()()2212nnnS nn+= = + Câu 162: Tìm x biết: ( 3) ( 7) ( 11) ( 79) 860xxx x+++++ + … ++ = A. 2x=. B. 1x=. C. 4x=. D. 3x=. Lời giải Ta có ( )( )( ) 1720 3 79 7 75 ... 79 3 xx xx x x= +++ + +++ ++ + ++ Do đó ( ) () 1720 20 3 79 1720 20 2 82 2 xx x x = +++ ⇔ = + ⇔= Câu 163: Tìm x biết: ()()()() 2 3 2 7 2 11 ... 2 79 1720xxx x+ ++ +++ ++= A. 35x= . B. 45 2x= . C. 10x=. D. 15x=. Lời giải Ta có ( )( )( ) 3440 2 3 2 79 2 7 2 75 ... 2 79 2 3 xx xx x x= + ++ + + ++ + + +++ Do đó ( ) ()453440 20 2 3 2 79 3440 20 4 822xx x x = ++ + ⇔ = + ⇔= Câu 164: Tính giá trị biểu thức: 1 2 3 2018 1 3 5 1009A+ + +…+=+ + +…+ A. 2030071 255025. B. 2037171 200025. C. 2037111 255000. D. 2037171 255025. Lời giải Đặt 1 2 3 ... 2018, 1 3 5 ... 1009PQ=++++ =++++ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 43 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 2018 2 2017 ... 2018 1 2018.2019 2037171PP= ++ ++ ++ = ⇒ = ( ) ( ) ( ) 2 1 1009 2 1007 ... 1009 1 505.1010 255025QQ= ++ ++ ++ = ⇒ = Vậy 2037171 255025A= Câu 165: Cho tổng: 159 4 3nSn= + + +…+ − với*n∈. Khi đó: 22 10 15SS+ bằng: A. 225325 . B. 255325 . C. 225355 . D. 225525 . Lời giải Ta có ( )2 10 10 1 5 9 ... 37 190 36100 SS=++++ = ⇒ = 15 15 1 5 9 ... 57 435 189225 SS=++++ = ⇒ = Vậy 22 10 15 225325 SS+= Câu 166: Tính tổng sau: . A. B. C. D. Lời giải Ta có 3 1 3 11 3 1 1 3 1 11 ; ; ;...;1.4 4 4.7 4 7 7.10 7 10 91.94 9194= −= − = − = − Do đó 11 11 1 1 1 1 9 31 ... 14 4 7 7 10 91 94 94 94S     = −+−+− + + − = −=           Câu 167: Tổng: bằng: A. B. C. D. Lời giải Ta có 222 22 ...2.4 4.6 6.8 100.102S= + + ++ 21 1 21 1 21 1 2 1 1; ; ;...;2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 100.102 100 102= −= −= − = − Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 502 ...2 4 4 6 6 8 100 102 2 102 51S     =−+−+−+ + − = − =           Vậy 50 Câu 168: Giá trị của tổng: là: 33 3 3...1.4 4.7 7.10 91.94S= + + ++ 111 1...2.4 4.6 6.8 100.102S= + + ++ CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 44 Sưu t ầm và biên so ạn A. B. C. D. Lời giải có giá trị bằng: A. B. C. D. Lời giải 100 1 1 100 1 110 ; 10 ;10.15.20 10.15 15.20 15.20.25 15.20 20.25 100 1 1 100 1 110 ; 1020.25.30 20.25 25.30 110.115.120 110.115 115.120 = −= −      = −= −     Khi đó 1 1 91 15 115.12 1380S     = − + − + − ++ −           Câu 170: Giá trị của tổng: 12 20 28 84...4.16 16.36 36.64 400.484S= + + ++ là: A. B. C. D. Lời giải Ta có 12 1 1 20 1 1 28 1 1 84 1 1;; ;4.16 4 16 16.36 16 36 36.64 36 64 400.484 400 484= −= − = − = − Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 30...4 16 16 36 36 64 400 484 4 484 121S     = −+−+−+ + − = −=           Câu 171: Cho tổng: ( )111 1...1.2 2.3 3.4 1Snn=+++ ++ với . Lựa chọn đáp án đúng. A. B. C. D. Lời giải Ta có 21 12 1.2 2.3 3S=+= 2941 31.12S=21.6S=22.3S=31.4S= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 45 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 172: Cho tổng: ( )( )111 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2nSnn n= + + ++++. Khi đó: 30S bằng: A. B. 495 992 C. D. Lời giải Ta có ( )( )222 22 ...1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 2nSnn n= + + ++++ Trong đó 12 1 12 nn n nn n n= −= −= − = −++ + ++ Khi đó ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )221 11 11 1 1 12 ...1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 1 1 2 11 3 3 1 . 2 12 12 2 12n nSnn n n nn nnSnn nn nn    =−+−+−+ + −      + ++      ++= − = ⇒=++ ++ ++ Vậy ( )( )2 3030 3.30 495 2. 30 1 30 2 992S+= =++ Câu 173: Tìm x biết: 2 2 2 2 1430...1.3 3.5 5.7 51.53 53xxx x     + ++ ++ + ++ =           A. B. C. D. Lời giải 2 2 2 2 1430...1.3 3.5 5.7 51.53 53 1 1 1 1 1 1 1 1430 52 143026 1 ... 26 13 3 5 5 7 51 53 53 53 53xxx x x xx     + ++ ++ + ++ =           ⇔ +−+−+−++ − = ⇔ + = ⇔= A. B. C. D. Lời giải Ta có 31 1x= 2x= 3x= 4x= 1x= 2x= 3x= 4x= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 46 1 1 9125 115 912520 20 21.2 21.22 231 231 231xx x x x xx     − +− +− + +− =           ⇔− −+−+−+ + − = ⇔−− = ⇔−= ⇔ = Câu 175: Tính: 2 3 1011 1 1...55 5 5M=+ + ++ A. B. C. D. Lời giải Chọn A ( )10 3 2 10 3 2 10 3 2 11 10 10 10 101 1 11 1 1 1 1... 1 ... 15 555 5 5 5 5 1 1 1 1 111 1 1 ... 15 5 5 5 55 4 1 5.5 1 5 1 1 11 11 15 5 4.5 4.5 4 5MM M MM  = ++ + +⇔ + = ++ + ++           ⇔ + −= − ++ + ++              −−  ⇔− + = − ⇔ + = ⇔ = = −   10 Câu 176: Cho 5 55 5...1024 512 256 2M= + + ++ . Khi đó M bằng: A. B. C. D. Lời giải Chọn D ( ) ( )10 9 8 10 9 8 10 9 8 11 11 115 5 5 5 1 11 1... 5 ...1024 512 256 2 2 2 2 2 1 11 15 5 ... 12 22 2 1 11 1 11 1 15 1 5 1 ... 1 5 5 12 2 2 22 2 2 2 1 1 5115 10 1 10 1 522M MM= + + ++= + + ++  ⇔ += + + +++      ⇔ + − = − + + + + + ⇔− + = −             ⇔ += − ⇔ = − −=    5 Câu 177: Cho 55 55 ...3 9 729M=++++ . Khi đó 729M bằng: A. B. C. D. 1011145−1111145−10115−1011155− 7295460 54655460 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 47 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải Chọn C 76 655 5 1 1 15 ... 5 1 ...3 9 729 3 3 3 1 1 11 11 5 1 1 ...3 3 33 3 2 1 5 31 5315 1 729 729. . 54653 3 23 2 3M MM M= ++++ = + + ++    ⇔ − = − ++ ++         −− ⇔ = − ⇔= ⇒ = =      Câu 178: Cho tổng: 21 2 2 ... 2n nS=++ ++ . Chọn mệnh đề đúng: A. 102047 S= B. 102048 S= C. 101024 S= D. 101023 S= Lời giải Chọn A Ta có ( )( )2 211 2 2 ... 2 2 1 1 2 2 ... 2 2 1n nn nnSS+=++ ++ ⇔ = − ++ ++ = − Vậy 11 102 1 2047 S= −= Câu 179: Tính tổng: 1.2 3.4 5.6 ... 11.12S=+++ + A. B. C. D. Lời giải Chọn A ( ) ( ) ( )( )( )( )( )* 1 112 1 2 , . 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2 2 12 4 2 4 12 1 14 1163n na k kk S a n n S kk k k nn n nn nS nn= = = ==− ∈ = =+++ +− ⇔= − = − ++ +−⇔ = − +=∑ Vậy ( )( )6 6 1 4.6 11.2 3.4 5.6 ... 11.12 3223S+−=+++ + = = Câu 180: Tổng: 2.3 4.5 6.7 ... 20.21S= + + ++ có giá trị bằng: A. B. C. D. Lời giải Chọn C Ta có 322 321 320 319 1550 1655 1650 1450 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 48 Sưu t ầm và biên so ạn ( ) ( ) ( )( )( )( )( )* 1 112 2 1 , . 2.3 4.5 6.7 ... 2 2 1 22 1 4 2 4 12 1 14 5163n na kk k S a nn S kk k k nn n nn nS nn= = = == + ∈ = = + + ++ + ⇔ = += + ++ ++⇔ = + +=∑ Vậy ( )( )10 10 1 40 52.3 4.5 6.7 ... 20.21 16503S++= + + ++ = = Câu 181: Giá trị của tổng: là: A. B. C. D. Lời giải Chọn D ( ) ( ) ( )( ) ( )( )* 23 1 , . 1.2 2.5 3.8 ... 3 1 12 1 1122n na kk k S a nn S kk k k nn n nnS nn= = = == − ∈ = = + + ++ − ⇔ = −= − ++ +⇔= − = +∑ Vậy ( )21.2 2.5 3.8 ... 20.59 20 20 1 8400S= + + ++ = += Câu 182: Tính tổng: ( ) ( ) 1.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3nS nn = + + ++ − + khi A. B. C. D. Lời giải Chọn C ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )* 1 112 1 2 3 , . 1.5 3.7 5.9 ... 2 1 2 3 2 12 3 4 4 3 2 12 1 2 12 42 13 333n nak kk S a n n S k k k kn nn n nn nS nn n n= = = == − + ∈ = = + + ++ − + ⇔= − += + − ++ ++⇔ = + +− = −∑ Vậy ( ) ( )1530.16.341.5 3.7 5.9 ... 2 1 . 2 3 45 53953nS nn S = + + ++ − +⇒ = − = Câu 183: Giá trị của tổng: ( ) 1.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4nS nn = + + ++ − khi 10n= là: A. B. C. D. Lời giải Chọn B 1.2 2.5 3.8 ... 20.59S= + + ++ 8450 8300 8850 8400 5450 5400 5395 5650 1650 2860 2650 1950 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 49 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ( ) ( ) ( )( )( )( )( )* 1 112 1 4 k, . 1.4 3.8 5.12 ... 2 1 4 2 14 8 4 4 12 1 2 14 12133n nak k S a nn S kk k k nn n nn nS nn= = = == − ∈ = = + + ++ − ⇔= − = − ++ +−⇔ = − +=∑ Vậy ( )1020.11.391.4 3.8 5.12 ... 2 1 .4 28603nS n nS = + + ++ − ⇒ = = Câu 184: Cho tổng ( ) 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2=+++ +−nS nn . Tính giá trị của 50S A. B. C. D. Lời giải Chọn A ( ) ( ) ( )( )( )( )( )* 1 112 1 2 , . 1.2 3.4 5.6 ... 2 1 2 2 12 4 2 4 12 1 14 1163n na k kk S a n n S kk k k nn n nn nS nn= = = ==− ∈ = =+++ +− ⇔= − = − ++ +−⇔ = − +=∑ Vậy ( )( )( ) 5014 1 50.51.1991.2 3.4 5.6 ... 2 1 2 16915033nnn nS nn S+−=+++ +− = ⇒= = Câu 185: Tìm x biết: ( ) ( ) ( ) ( )1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200xxx x+ ++ ++ +++ = A. B. C. D. Lời giải Chọn D ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200 10 1.2 2.5 3.8 ... 10.29 1200 10 1100 1200 10xxx x x xx+ ++ ++ +++ = ⇔+++ + + = ⇔+ = ⇔ = 169150 155000 165050 165000 7x= 8x= 9x= 10x= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 30 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG 1. ĐỊ NH NGHĨA Cấp số cộng là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô hạn), trong đó kể từ số hạng th ứ hai, m ỗi số hạng đề u bằng số hạng đứng ngay trước nó cộ ng với một s ố không đổi d. Nghĩa là 1nnu ud+= + với *n∈ Số không đổi d được gọi là công sai của cấ p số cộng. Đặc bi ệt, khi 0d= thì cấp số cộng là m ột dãy s ố không đổi (tất cả các s ố hạng đề u bằng nhau) . Nhận xét: T ừ định nghĩa, ta có: 1) Nếu ( )nu là m ột cấp số cộng thì m ỗi số hạng (tr ừ số hạng đầ u và cu ối) đều là trung bình cộng c ủa hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 kuuu−++= với 2k≥. (3) 2) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố tăng khi và chỉ khi công sai 0d>. 3) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố giảm khi và chỉ khi công sai 0d<. Để chứng minh dãy s ố ( )nulà một cấp số cộng, chúng ta c ần ch ứng minh 1nnuu+− là m ột hằng số với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 1. Ch ứng minh r ằng dãy s ố hữu hạn sau là m ột cấp số cộng: 2;1;4;7;10;13;16;19− . Lời giải Nên theo định nghĩa cấ p số cộng, dãy s ố 2;1;4;7;10;13;16;19− là một cấp số cộng v ới công sai Ví dụ 2. Trong các dãy s ố dưới đây, dãy số nào là c ấp số cộng? Tìm s ố hạng đầu và công sai của nó. a) Dãy s ố , vớ i 43nan= − . b) Dãy s ố ( )nb, với 23 4nnb−= . 1 2 3; 4 1 3; 7 4 3; 10 7 3;= −+ =+ =+ =+ 13 10 3; 16 13 3; 19 16 3.= += += + CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN LÝ THUY ẾT. VÍ D Ụ. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 31 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải a) Ta có ()14 1 34 1nan n+= +−= + nên ()()1 4 1 4 3 4, 1nnaa n n n+− = + − − = ∀≥ . Do đó ()na là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11a= và công sai 4d=. b) Ta có () 123 1 13 44nn nb+−+ −−= = nên 113 23 3,14 44nnnnbb n+−− −− = − = − ∀≥ . Suy ra ()nb là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11 4b=− và công sai 3 4d=− . Ví dụ 3. Cho c ấp số cộng ()nu có 7 số hạng với số hạng đầu 12 3u= và công sai 4 3d=− . Viết dạng khai tri ển của cấ p số cộng đó. Lời giải Ta có 212 3u ud=+= − ; 32 2 uud=+= − ; 4310 3uud=+= − 3uud=+= − ; 65 6 uud=+= − ; 7622 3uud=+= − . Vậy dạng khai tri ển của cấ p số cộng ()nu là 2 2 10 14 22; ; 2; ; ; 6;33 3 3 3− − −−− − . 2. SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT CỦ A CẤ P SỐ CỘNG. Định lý 1 : Nếu cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì s ố hạng tổng quát nu được xác đ ịnh bở i công thứ c: ()1 1, 2nu u n dn= + − ∀≥ (2). Cho c ấp số cộng ()nu có 12u= và 5 d=− . a) Tìm 20u. b) Số 2018− là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng? Lời giải a) Ta có ()20 1 19 2 19. 5 93 uu d=+ =+ −= − . b) Số hạng tổng quát c ủa cấ p số cộng là ()1 1 75nuu n d n=+− = − . Vì 2018nu=− nên 7 5 2018 405nn− = − ⇔= . Do 405n= là số nguyên dương nên s ố 2018− là số hạng th ứ 405 của cấ p số cộng đã cho. Chú ý : a) Cho c ấp số cộng ()nucó 99101 u= và 101 99 u=. Tìm 100u. b) Cho c ấp số cộng 2; ;6;xy− Tính giá tr ị của biểu thứ c 22Px y= + . Lời giải 20 1 (20 1) 2 19.( 5) 93.=+ − =+ −= −uu d VÍ D Ụ. VÍ D Ụ. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 32 Sưu t ầm và biên so ạn a) Theo tính ch ất của cấp số cộng, ta có 99 101 1002uuu+= nên 100100 u= . b) Theo tính chấ t của cấp số cộng, ta có 2622x−+= = và 62xy+= . Vì 2x= nên 10y=. Vậy .222 22 10 104 Px y=+=+ = . 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG Đ ẦU TIÊN CỦ A CẤP SỐ CỘNG. Định lý 2 : Gi ả sử ()nu là m ột cấp số cộng có công sai d. Đặt 12 ...nnS uu u=+++ Khi đó: nnu uS+= (4) ho ặc () 2nnn dS nu−= + (5) Cho c ấp số cộng ()nucó 1 2 u=− và 3d=. a) Tính t ổng c ủa 25 số hạng đầ u tiên c ủa cấ p số cộng. b) Bi ết 6095374nS= , tìm n. Lời giải Ta có () ()()2 13 1 3722 22nnn nn n nS nu d n− −−= + = −+ = a) Ta có .() 2525 3.25 78502S−= = . b) Vì 6095374nS= nên ()2 376095374 3 7 12190748 02nnnn−= ⇔ −− = Giải phương trình bậc hai trên v ới n nguyên dương, ta tìm đư ợc 2017n= . Câu 1: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11 3u=, 826.u= Tìm công sai d Câu 2: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đầu của dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. Câu 3: Cho m ột cấp số cộng nucó 11 3u, 826 u . Tìm công sai Câu 4: Một gia đình c ần khoan m ột cái gi ếng để lấy nước. Họ thuê m ột đội khoan gi ếng nư ớc. Bi ết giá của mét khoan đầ u tiên là 80.000 đồng, k ể từ mét khoan thứ hai giá của m ỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so vớ i giá c ủa mét khoan trư ớc đó. Bi ết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nư ớc. Hỏi phả i trả bao nhiêu ti ền để khoan cái gi ếng đó? Câu 5: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. Câu 6: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. 222 22 10 104 =+=+ =Px y 2525(3.25 7)8502−= = S VÍ D Ụ. HỆ THỐNG BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 33 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 7: Cho c ấp số cộng ( )nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. Câu 8: Cho m ột cấp số cộng ( )nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của số hạng tổng quát nu. Câu 9: Cho c ấp số cộng ( )nu thỏa mãn 4 += có công sai là Câu 10: Cho c ấp số cộng ( )nu có 5 15 u=− , 2060 u= . Tổng c ủa 10 số hạng đầ u tiên c ủa cấp số cộng Câu 11: Cho c ấp số cộng ( )nu có 4 12 u=− , 1418 u=. Tính t ổng 16 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng Câu 12: Trong hội ch ợ tết Mậu Tuấ t 2018 , một công ty s ữa mu ốn xếp 900 hộp s ữa theo s ố lượng 1, 3, 5, ... từ trên xu ống dướ i (số hộp s ữa trên m ỗi hàng x ếp từ trên xu ống là các s ố lẻ liên tiế p - mô hình như hình bên). Hàng dướ i cùng có bao nhiêu hộp s ữa? Câu 13: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườ n là Câu 14: Cho c ấp số cộng ( )nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các s ố hạng của ( )nu đều lớn hơn 2018 ? Câu 15: Bốn số tạo thà nh m ột cấp số cộng c ó tổng b ằng 28 và tổng c ác bình phương của ch úng b ằng 276. Tích của b ốn số đó là : Câu 16: Chu vi m ột đa giác là 158cm, số đo các c ạnh của nó lậ p thành m ột cấp số cộng vớ i công sai 3d cm= . Biết cạnh lớn nhất là 44cm . Số cạnh của đa giác đó là? Câu 17: Cho c ấp số cộng ( )nubiết 518=u và 2 4=nnSS . Tìm s ố hạng đầu tiên 1uvà công sai dcủa cấ p số cộng. Câu 18: Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng. Giá trị của bi ểu thứ c 32xy+ bằng. Câu 19: Cho c ấp số cộng , biết , . S ố là s ố hạng th ứ bao nhiêu? Câu 20: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầu là 234nSnn= + , * n∈. Giá tr ị của số hạng th ứ 10 của cấp số cộng là Câu 21: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số cộng là Câu 22: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số cộng là Câu 23: Người ta vi ết thêm 999 số thực vào gi ữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. Tìm s ố hạng th ứ 501. Câu 24: Cho c ấp số cộng có 11u= và công sai 2 d=− . Tổng n số hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng này là 9800nS=− . Giá trị n là ( )nu1 5 u=− 2d= 81 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG 1. ĐỊ NH NGHĨA Cấp số cộng là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô hạn), trong đó kể từ số hạng th ứ hai, m ỗi số hạng đề u bằng số hạng đứng ngay trước nó cộ ng với một s ố không đổi d. Nghĩa là 1nnu ud+= + với *n∈ Số không đổi d được gọi là công sai của cấ p số cộng. Đặc bi ệt, khi 0d= thì cấp số cộng là m ột dãy s ố không đổi (tất cả các s ố hạng đề u bằng nhau) . Nhận xét: T ừ định nghĩa, ta có: 1) Nếu ( )nu là m ột cấp số cộng thì m ỗi số hạng (tr ừ số hạng đầ u và cu ối) đều là trung bình cộng c ủa hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 kuuu−++= với 2k≥. (3) 2) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố tăng khi và chỉ khi công sai 0d>. 3) Cấp số cộng ( )nu là m ột dãy s ố giảm khi và chỉ khi công sai 0d<. Để chứng minh dãy s ố ( )nulà một cấp số cộng, chúng ta c ần ch ứng minh 1nnuu+− là m ột hằng số với mọi số nguyên dương n. Ví dụ 1. Ch ứng minh r ằng dãy s ố hữu hạn sau là m ột cấp số cộng: 2;1;4;7;10;13;16;19− . Lời giải Nên theo định nghĩa cấ p số cộng, dãy s ố 2;1;4;7;10;13;16;19− là một cấp số cộng v ới công sai Ví dụ 2. Trong các dãy s ố dưới đây, dãy số nào là c ấp số cộng? Tìm s ố hạng đầu và công sai của nó. a) Dãy s ố , vớ i 43nan= − . b) Dãy s ố ( )nb, với 23 4nnb−= . 1 2 3; 4 1 3; 7 4 3; 10 7 3;= −+ =+ =+ =+ 13 10 3; 16 13 3; 19 16 3.= += += + CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN LÝ THUY ẾT. VÍ D Ụ. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải a) Ta có ()14 1 34 1nan n+= +−= + nên ()()1 4 1 4 3 4, 1nnaa n n n+− = + − − = ∀≥ . Do đó ()na là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11a= và công sai 4d=. b) Ta có () 123 1 13 44nn nb+−+ −−= = nên 113 23 3,14 44nnnnbb n+−− −− = − = − ∀≥ . Suy ra ()nb là cấ p số cộng v ới số hạng đầu 11 4b=− và công sai 3 4d=− . Ví dụ 3. Cho c ấp số cộng ()nu có 7 số hạng với số hạng đầu 12 3u= và công sai 4 3d=− . Viết dạng khai tri ển của cấ p số cộng đó. Lời giải Ta có 212 3u ud=+= − ; 32 2 uud=+= − ; 4310 3uud=+= − 3uud=+= − ; 65 6 uud=+= − ; 7622 3uud=+= − . Vậy dạng khai tri ển của cấ p số cộng ()nu là 2 2 10 14 22; ; 2; ; ; 6;33 3 3 3− − −−− − . 2. SỐ HẠNG T ỔNG QUÁT CỦ A CẤ P SỐ CỘNG. Định lý 1 : Nếu cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1u và công sai d thì s ố hạng tổng quát nu được xác đ ịnh bở i công thứ c: ()1 1, 2nu u n dn= + − ∀≥ (2). Cho c ấp số cộng ()nu có 12u= và 5 d=− . a) Tìm 20u. b) Số 2018− là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng? Lời giải a) Ta có ()20 1 19 2 19. 5 93 uu d=+ =+ −= − . b) Số hạng tổng quát c ủa cấ p số cộng là ()1 1 75nuu n d n=+− = − . Vì 2018nu=− nên 7 5 2018 405nn− = − ⇔= . Do 405n= là số nguyên dương nên s ố 2018− là số hạng th ứ 405 của cấ p số cộng đã cho. Chú ý : a) Cho c ấp số cộng ()nucó 99101 u= và 101 99 u=. Tìm 100u. b) Cho c ấp số cộng 2; ;6;xy− Tính giá tr ị của biểu thứ c 22Px y= + . Lời giải 20 1 (20 1) 2 19.( 5) 93.=+ − =+ −= −uu d VÍ D Ụ. VÍ D Ụ. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn a) Theo tính ch ất của cấp số cộng, ta có 99 101 1002uuu+= nên 100100 u= . b) Theo tính chấ t của cấp số cộng, ta có 2622x−+= = và 62xy+= . Vì 2x= nên 10y=. Vậy .222 22 10 104 Px y=+=+ = . 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG Đ ẦU TIÊN CỦ A CẤP SỐ CỘNG. Định lý 2 : Gi ả sử ()nu là m ột cấp số cộng có công sai d. Đặt 12 ...nnS uu u=+++ Khi đó: nnu uS+= (4) ho ặc () 2nnn dS nu−= + (5) Cho c ấp số cộng ()nucó 1 2 u=− và 3d=. a) Tính t ổng c ủa 25 số hạng đầ u tiên c ủa cấ p số cộng. b) Bi ết 6095374nS= , tìm n. Lời giải Ta có () ()()2 13 1 3722 22nnn nn n nS nu d n− −−= + = −+ = a) Ta có .() 2525 3.25 78502S−= = . b) Vì 6095374nS= nên ()2 376095374 3 7 12190748 02nnnn−= ⇔ −− = Giải phương trình bậc hai trên v ới n nguyên dương, ta tìm đư ợc 2017n= . Câu 1: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11 3u=, 826.u= Tìm công sai d Lời giải 81 7 uu d= +126 73d ⇔= +11 3d⇔= . Câu 2: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đầu của dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. Lời giải Ta có ()( ) ()( ) 12 1 2.3 1 .425322nnu n d n nS+− +−=⇔= 222 22 10 104 =+=+ =Px y 2525(3.25 7)8502−= = S VÍ D Ụ. HỆ THỐNG BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn ()211 4 2 506 0 23  ⇔ +− = ⇔=−. Câu 3: Cho m ột cấp số cộng nucó 11 3u, 826 u . Tìm công sai Lời giải Ta có 811 117 26 733uu d dd    . Câu 4: Một gia đình c ần khoan m ột cái gi ếng để lấy nước. Họ thuê m ột đội khoan gi ếng nư ớc. Bi ết giá của mét khoan đầ u tiên là 80.000 đồng, k ể từ mét khoan thứ hai giá của m ỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so vớ i giá c ủa mét khoan trư ớc đó. Bi ết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nư ớc. Hỏi phả i trả bao nhiêu ti ền để khoan cái gi ếng đó? Lời giải * Áp dụng công th ức tính tổng c ủa n số hạng đầ u của cấ p số nhân có s ố hạng đầu 180.000u= , công sai 5.000d= ta đư ợc số tiền phả i trả khi khoan đế n mét th ứ n là () ()1 121 nnu n d nu uS+−+= = * Khi khoan đế n mét th ứ 50, số tiền phả i trả là 5050 2.80000 50 1 .500010.125.0002S+−= = đồng. Câu 5: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. Lời giải Ta có ()1 3 1 23 23nnuu n n+− = +−− += Suy ra 3d= là công sai củ a cấp số cộng. Câu 6: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. Lời giải Ta có 61 5 27 6 uu d d=+ = ⇒= . Câu 7: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. Lời giải Ta có 61 5 27 6 uu d d=+ = ⇒= . Câu 8: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của số hạng tổng quát nu. Lời giải Ta có: ()50 1502 49 51502S ud= += 4d⇒= . Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng b ằng ()1 1 14nuu n d n=+− = + . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa mãn 4 += có công sai là Lời giải Gọi d là công sai. Ta có: 4 1 1 46 110 3 10 1 26 2 8 26 3u ud u uu ud d= += =   ⇔⇔  += += =  . Vậy công sai 3d=. Câu 10: Cho c ấp số cộng ()nu có 5 15 u=− , 2060 u= . Tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng Lời giải Gọi 1u, d lần lượt là s ố hạng đầu và công sai của cấp số cộng. Ta có: 5 19 60ud ud+= − +=⇔1 35 Vậy ()10 110.2 92S ud= + () 5. 2. 35 9.5= −+125=− . Câu 11: Cho c ấp số cộng ()nu có 4 12 u=− , 1418 u=. Tính t ổng 16 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng Lời giải Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Theo gi ả thiết, ta có 1 13 18ud ud+= − += 1 21 d=−⇔=. Khi đó, ()1 162 15 .16 2udS+= () 8 42 45 24=−+ = . Câu 12: Trong hội ch ợ tết Mậu Tuấ t 2018 , một công ty s ữa mu ốn xếp 900 hộp s ữa theo s ố lượng 1, 3, 5, ... từ trên xu ống dư ới (số hộp s ữa trên m ỗi hàng x ếp từ trên xu ống là các s ố lẻ liên tiế p - mô hình như hình bên). Hàng dư ới cùng có bao nhiêu hộp s ữa? Lời giải Cách 1: p dụng công th ức tính t ổng n s ố hạng liên tiế p của CSC: ()1212nnS un d= +− () 900 2.1 1 .22nn ⇔ = +− 2900 n⇔= 30.n⇒= Vậy 301 29*2 59. u= += CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn Cách 2: Áp d ụng công th ức ()21 3 5 ..... 2 1 nn +++ + − = , suy ra 30.n= Vậy 2 1 59.n−= . Câu 13: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như sau: Hàng th ứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….S ố hàng cây trong khu vư ờn là Lời giải Cách tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như trên l ập thành m ột cấp số cộng ()nu với số nu là số cây ở hàng th ứ n và 11u= và công sai 1d=. Tổng s ố cây tr ồng đư ợc là: 465nS= ()14652nn+⇔=2930 0 nn⇔ +− =()30 nl=⇔=−. Như v ậy số hàng cây trong khu vư ờn là 30. Câu 14: Cho c ấp số cộng ()nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các s ố hạng của ()nu đều lớn hơn 2018 ? Lời giải Ta có: ()1 1nuu n d=+− () 37 1 n= +− 74n= − ; 2018nu> 7 4 2018n⇔ −>2022 Vậy 289n= . Câu 15: Bốn số tạo thà nh m ột cấp số cộng c ó tổng b ằng 28 và tổng c ác bình phương c ủa ch úng b ằng 276. Tích của b ốn số đó l à : Lời giải Gọi 4 số cần tìm là 3ar−, ar−, ar+, 3ar+ . Ta có: ()()()()222 23 3 28 3 3 276a rarara r a ra ra ra r− +−++++ =− +− ++ ++ =27 r=⇔=7 r=⇔=±. Bốn số cần tìm là 1, 5, 9, 13 có tích bằng 585. Câu 16: Chu vi m ột đa giác là 158cm, số đo các c ạnh của nó l ập thành m ột cấp số cộng vớ i công sai 3d cm= . Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đó là? Lời giải Giả sử đã giác đã cho có n cạnh thì chu vi c ủa đa giác là:()1 nu unS+= với 1u là cạ nh nhỏ nhất. Suy ra: ()1441582un+= ()1 316 44 un⇔= + ()2 1 2 .79 44 un ⇔= + Do đó 144u+ là ước nguyên dương c ủa 2316 2 .79= và đa giác có ít nhấ t ba cạ nh nên 131644 443u>+> . Suyra:1144 79 35uu+=⇔= . Số cạnh của đa giác đã cho là: 44 35143−+= ( cạnh ). CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 17: Cho c ấp số cộng ( )nubiết 518=u và 2 4=nnSS . Tìm s ố hạng đầu tiên 1uvà công sai dcủa cấ p số cộng. Lời giải Ta có: 5118 4 18=⇔+ =u ud ( )1. 2 4=nnSS( ) ( ) 111 22 14222−−   ⇔+ =+     n nd n ndnu nu1142 222⇔+− = +−u nd d u nd d 120⇔ −=ud ( )2. Từ ( )1và ( )2 suy ra 12=u ; 4=d . Câu 18: Biết bốn số 5; x; 15;y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng. Giá trị của bi ểu thứ c 32xy+ bằng. Lời giải Ta có: 5 15102x+= = 20y⇒= . Vậy 3 2 70xy+= . Câu 19: Cho c ấp số cộng , biết , . S ố là s ố hạng th ứ bao nhiêu? Lời giải Ta có . Vậy là số hạng th ứ . Câu 20: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầu là 234nSnn= + , * n∈. Giá tr ị của số hạng th ứ 10 của cấp số cộng là Lời giải Từ giả thiết ta có 2 11 3.1 4.1 7 Su= = += . Ta có ( )2 86342nnnSnn+= += ( )76 1 2nn++= 61nun⇒=+ 1061 u⇒= . Câu 21: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số cộng là Lời giải Theo công thứ c ta có ( )1 2432n nu unn+= +1 86n uu n⇔+=+ 186nu un⇒ = −+ + . Mà 11 7 uS= = do đó 10 7 8.10 6 79 u= −+ += . Câu 22: Cho c ấp số cộng có t ổng n số hạng đầ u là 243nS nn= + , *n∈ thì số hạng thứ 10 của cấ p số cộng là Lời giải Theo công thứ c ta có ( )1 2432n nu unn+= +1 86n uu n⇔+=+ 186nu un⇒ = −+ + . Mà 11 7 uS= = do đó 10 7 8.10 6 79 u= −+ += . ( )nu1 5 u=− 2d= 81 ( )1 1nuu n d=+− ( ) 81 5 1 2 n ⇔ = −+ − 44n⇔= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 23: Người ta vi ết thêm 999 số thực vào gi ữa số 1 và số 2018 để được cấp số cộng có 1001 số hạng. Tìm s ố hạng th ứ 501. Lời giải Áp d ụng công th ức cấp số cộng ta có: () () ()1 1001 120171 1001 1 2018 1 1001 11000nuu n du u d dd = + −⇒ = + −⇔ = + −⇒ = . Vậy số hạng th ứ 501 là ()501 12019501 12uu d= + −= . Câu 24: Cho c ấp số cộng có 11u= và công sai 2 d=− . Tổng n số hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng này là 9800nS=− . Giá tr ị n là Lời giải ()( ) ()12 1 9800 2 2 1 19600 02nnS un d n n= +− = − ⇔ − −+ = 100n⇔= . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 35 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 2: C ẤP SỐ CỘNG DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG Câu 1: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? A. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . B. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2 .−−−− C. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5 .−−− − D. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . Câu 2: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải cấp số cộng? A. 13579;;;;22222. B. 1;1;1;1;1 . C. 8; 6; 4; 2; 0−−−− . D. 3 ; 1 ;1 ;2 ;4−−− . Câu 3: Cho c ấp số cộng ()nu với 52nun= − . Tìm công sai c ủa cấp số cộng A. 3d=. B. 2 d=− . C. 1d=. D. 2d=. Câu 4: Trong các dãy s ố có công th ức tổng quát sau, dãy s ố nào là cấ p số cộng? A. 2021n nu . B. 2 2021nun= + . C. 2 2021nun=+. D. 22nun= − . Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là m ột cấp số cộng? A. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2−−−− . B. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − . C. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . D. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? nu=. B. ()13n nu+= − . C. 31nun= + . D. 12+=n Câu 7: Trong các dãy s ố ()nu sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? = +. B. 1 uu+=− −=. C. 1 = −. D. 1 u un+= = +. Câu 8: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? A. 4;8;16;32 . B. 4; 6;8;10 . C. 1;1; 1;1−− . D. 3; 5; 7;10 . Câu 9: Xác định a để 3 số 21 2 ; 2 1; 2aa a+ −− theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a. B. 3 4a=± . C. 3 a=± . D. 3 2a=± . CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 36 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 10: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? A. 23 2017= +nun . B. 3 2018= +nun . C. 3=n nu . D. ()13+= −n Câu 11: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? A. ()1:nnuun=. B. ()1 : 2, 2nnnuuu n−= − ∀≥ . C. (): 21n nnuu= − . D. ()1 : 2, 2nn nuu u n−= ∀≥ . Câu 12: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? A. 21, 1nun n= +≥. B. 2, 1n nun= ≥. C. 1, 1nu nn=+≥. D. 2 3, 1nun n= −≥ Câu 13: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là cấp số cộng: A. 13n nu+= . B. 2 1nun=+. C. 21nun= + . D. 52 3nnu−= . DẠNG 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Câu 14: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= có 11u= và 23 u=. Giá tr ị của 3u bằng A. 6. B. 9. C. 4. D. 5. Câu 15: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 27 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 5. B. 2 7. C. 5−. D. 7 Câu 16: ] Cho c ấp số cộng ()nu với 111u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng A. 8. B. 33. C. 11 3. D. 14. Câu 17: Cho c ấp số cộng ()nu với 19u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 2u bằng A. 11. B. 9 2. C. 18. D. 7. Câu 18: Cho c ấp số cộng ()nu với 18u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng 3. B. 24. C. 5. D. 11. Câu 19: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 26 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 4. B. 4−. C. 8. D. 3. Câu 20: Cho c ấp số cộng ()nu với 11u= và 24 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 4. B. 3−. C. 3. D. 5. Câu 21: Cho c ấp số cộng v ới 13u= và 29u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 6−. B. 3. C. 12. D. 6. Câu 22: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 28u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 10. B. 6. C. 4. D. 6−. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 37 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 23: Cho cấp số cộng ()nuvới 12022u= và công sai 7d=. Giá trị của 6u bằng A. 2043 . B. 2064 . C. 2050 . D. 2057 . Câu 24: Tìm công sai d của cấp số cộng ()nu, *n∈ có 141; 13uu= = . A. 3d=. B. 1 4d=. C. 4d=. D. 1 Câu 25: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13,u= công sai 2 d=− thì s ố hạng thứ 5 là A. 51u=. B. 58u=. C. 5 7 u=− . D. 5 5 u=− . Câu 26: Cho c ấp số cộng có 32 u=, công sai 2 d=− . Số hạng th ứ hai c ủa cấp số cộng đó là A. 24 u= B. 20 u= C. 2 4 u=− D. 23 u= Câu 27: Cho c ấp số cộng ()nu có 11, 2ud= = . Tính 10u A. 1020 u= . B. 1010. u= C. 1019 u=. D. 1015. u= Câu 28: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. A. 7d=. B. 5d=. C. 8d=. D. 6d=. Câu 29: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. A. 3d=. B. 2d=. C. 2 d=− . D. 3 d=− . Câu 30: Cho c ấp số cộng ()nu với 1733 u= và 3365 u= thì công sai bằ ng A. 1. B. 3. C. 2−. D. 2. Câu 31: Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hi ệu số hạng đầu và s ố hạng cu ối bằng20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho A. 5 d=− . B. 4d=. C. 4 d=− . D. 5d=. Câu 32: Cho c ấp số cộng nu có các s ố hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17;... . Tìm s ố hạng tổng quát nu của cấp số cộng? A. 41nun= + . B. 51nun= − . C. 51nun= + . D. 41nun= − . Câu 33: Xác đ ịnh số hàng đ ầu 1u và công sai d của cấ p số cộng ()nu có 925uu= và 13 625 uu= + . A. 13u= và 4d=. B. 13u= và 5d=. C. 14u= và 5d=. D. 14u= và 3d=. Câu 34: Cho ()nu là một cấp số cộng th ỏa mãn 13 8 uu+= và 410u=. Công sai c ủa cấ p số cộng đã cho A. 3. B. 6. C. 2. D. 4. Câu 35: Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nuthỏa mãn: 235 uu−+=+= A. 23nun= + . B. 21nun= − . C. 21nun= + . D. 23nun= − . Câu 36: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u=, công sai 2 d=− thì s ố hạng th ứ 5 là A. 58u=. B. 51u=. C. 5 5 u=− . D. 5 7 u=− . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 38 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 37: Cho c ấp số cộng có 1 3 u=− , 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau? A. 515u= . B. 48u=. C. 35u=. D. 22 u=. Câu 38: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 11u= và công sai 4d=. Hãy tính 99u. A. 401. B. 403. C. 402. D. 404. Câu 39: Cho c ấp số cộng ()nu, biết: 13u=, 2 1 u=− . Chọn đáp án đúng. A. 34u=. B. 37u=. C. 32u=. D. 3 5 u=− . Câu 40: Một cấp số cộng ()nu có 138 u= và 3 d=− . Tìm s ố hạng th ứ ba của cấ p số cộng ()nu. A. 50. B. 28. C. 38. D. 44 Câu 41: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 7u bằng: A. 15. B. 17. C. 19. D. 13. Câu 42: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 4d=. Giá tr ị 2019u bằng A. 8074 . B. 4074 . C. 8078 . D. 4078 . Câu 43: Tìm s ố hạng th ứ 11 của cấp số cộng có s ố hạng đầu bằng 3 và công sai 2 d=− . A. 21−. B. 23. C. 19−. D. 17−. Câu 44: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1 2 u=− và công sai 7. d=− Giá tr ị 6u bằng A. 37. B. 37−. C. 33−. D. 33. Câu 45: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 5d=. Giá tr ị 4u bằng A. 22. B. 17. C. 12. D. 250. Câu 46: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu tiên 12u= và công sai 2d=. Tìm 2018u ? A. 2018 2018 2 u= . B. 2017 2018 2 u= . C. 2018 4036 u= . D. 2018 4038 u= . Câu 47: Cho c ấp số cộng ()nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng th ứ mấy trở đi thì các s ố hạng của ()nu đều lớn hơn 2018 ? A. 287. B. 289. C. 288. D. 286. Câu 48: Viết ba s ố xen gi ữa 2 và 22 để ta đư ợc một cấp số cộng có 5 số hạng? A. 6, 12, 18. B. 8, 13, 18. C. 7, 12, 17. D. 6, 10, 14. Câu 49: Cho c ấp số cộng có 1 2 u=− và 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau ? A. 48u=. B. 515u=. C. 23 u=. D. 36 u=. Câu 50: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u=; 9d=. Khi đó s ố 2018 là số hạng th ứ mấy trong dãy? A. 226. B. 225. C. 223. D. 224. Câu 51: Cho c ấp số cộng 1, 4,7,... . Số hạng th ứ 100 c ủa cấp số cộng là A. 297. B. 301. C. 295. D. 298. Câu 52: Cho c ấp số cộng ()nu biết 13u=, 824 u= thì 11u bằng A. 30. B. 33. C. 32. D. 28. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 39 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 53: Cho c ấp số cộng có s ố hạng th ứ 3 và s ố hạng th ứ 7 lần lượt là 6 và − 2. Tìm s ố hạng th ứ 5. A. 52.u= B. 52. u=− C. 50.u= D. 54.u= Câu 54: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 23u= và 47u=. Giá tr ị của 15u bằng A. 27. B. 31. C. 35. D. 29. Câu 55: Cho c ấp số cộng ()nu có 1123u= và 3 15 84 uu−= . Số 11 là s ố hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấ p số cộng đã cho? A. 17. B. 16. C. 18. D. 19. Câu 56: Cho cấp số cộng ()nubiết 1 1; u=− 2;d= 43nu= . Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng? A. 20. B. 23. C. 22. D. 21. Câu 57: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u là 21u=, 519u= . Số 103 là số hạng thứ mấy trong c ấp số cộng đã cho? A. 19. B. 18. C. 20. D. 17. Câu 58: Cho c ấp số cộng ()nucó 15=u và công sai 3=−d . Biết rằng 289− là một số hạng của cấ p số cộng trên. H ỏi đó là s ố hạng th ứ bao nhiêu? A. 98. B. 99. C. 101. D. 100. Câu 59: Cho c ấp số cộng ()nu có 22001 u= và 51995 u=. Khi đó 1001u bằng A. 4005 . B. 1. C. 3. D. 4003 . Câu 60: Một cấp số cộng có s ố hạng đầu 12018u công sai 5 d . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào c ủa cấp số cộng đó thì nó nhậ n giá tr ị âm. A. 406u. B. 403u. C. 405u. D. 404u. Câu 61: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 56 372 15 46u uu uu− += − +=. Số hạng đầu 1u là A. 1 5 u=− . B. 15 u=. C. 13 u=. D. 1 3 u=− . Câu 62: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i 1 u u nN+== +∈ Tính 10u? A. 57. B. 62. C. 47. D. 52. Câu 63: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa mãn 5 32 743 21 3 2 34u uu uu+ −= − −= −. Tính s ố hạng th ứ 100 của cấ p số. A. 100 243 u=− . B. 100 295 u=− . C. 100 231 u=− . D. 100 294 u=− . Câu 64: Cho c ấp số cộng nu có công sai 2d= và bi ểu thứ c 222 234uuu++ đạt giá tr ị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng nu? A. 1011. B. 1014 . C. 1013 . D. 1012 . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 40 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 65: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 15 u=− , 2d=. Số 81 là số hạng th ứ bao nhiêu? A. 100. B. 50. C. 75. D. 44. Câu 66: Một cấp số cộng ()nucó 947u=, công sai 5d=. Số 10092 là số hạng th ứ mấy trong c ấp số cộng A. 2018 . B. 2017 . C. 2016 . D. 2019 . Câu 67: Cho hai c ấp số cộng ():4nx , 7, 10,… và ()ny: 1, 6, 11,…. H ỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của m ỗi cấp số có bao nhiêu s ố hạng chung? A. 404. B. 673. C. 403. D. 672. DẠNG 3. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 68: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= và công sai 2d=. Tổng 10 1 2 3 10 ..... S uuu u=++ + bằng: A. 10110S= . B. 10100S= . C. 1021 S= . D. 1019 S= . Câu 69: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đ ầu của dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. A. 9. B. 11. C. 12. D. 10. Câu 70: Cho c ấp số cộng ()nu, *n∈ có số hạng t ổng quát 13nun= − . Tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng. A. 59049− . B. 59048− . C. 155− . D. 310− . Câu 71: Cho dãy s ố vô hạ n {}nu là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu 1u. Hãy ch ọn khẳ ng định sai? 52uuu+= . B. 1 nnuu d−= + , 2n≥. C. ()12 12 112nS ud= + . D. 1( 1).nuu n d=+− , *n∀∈. Câu 72: Cho ()nu là cấ p số cộng bi ết 3 13 80 uu+= . Tổng 15 s ố hạng đầu của cấp số cộng đó bằ ng A. 800. B. 600. C. 570. D. 630 Câu 73: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu 16 u=− và công sai 4.d= Tính t ổng S của 14 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó. A. 46S= . B. 308S= . C. 644S= . D. 280S= . Câu 74: Cho c ấp số cộng ()nu có 258, 17uu= = . Công sai d bằng: A. 3 d=− . B. 5 d=− . C. 3d=. D. 5d=. Câu 75: Cho dãy ()nu là một cấp số cộng v ới số hạng đầu 2 và số hạng th ứ 36 là 72. Công sai c ủa cấp số cộng ()nu là A. 3d= B. 2 d=− . C. 2d=. D. 1 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 41 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 76: Cho cấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết 21 19 u=− và 220 S=. Tìm số hạng tổng quát nu của cấp số cộng đó. A. 21 2nun= + . B. 21 2nun= − . C. 23 2nun= − . D. 23 2nun= + . Câu 77: Cho c ấp số cộng ()nucó 18 5; 30 uu= −= . Công sai c ủa cấp số cộng b ằng: A. 4. B. 5. C. 6. D. 3 Câu 78: Cho c ấp số cộng ()nu với 110u=, 213u=. Giá tr ị của 4u là A. 420 u= . B. 419u=. C. 416u=. D. 418u=. Câu 79: Cho c ấp số cộng ()nu biết 24 1, 7 uu= −= . Tìm 3.u A. 4. B. 10. C. 8. D. 3. Câu 80: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 12u= và 48u=. Giá tr ị của 5u bằng A. 12. B. 10. C. 9. D. 11. Câu 81: Cho c ấp số cộng ()nu có 515 u=− ; 2060 u= . Tổng 20 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là A. 20250 S= . B. 20200 S= . C. 20 200 S=− . D. 20 25 S=− . Câu 82: Cho c ấp số cộng ()nu biết 386, 16.uu= = Tính công sai d và tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên. A. 102; 100dS= = . B. 101; 80dS= = . C. 102; 120dS= = . D. 102; 110dS= = . Câu 83: Cho c ấp số cộng ()nu với 32nun= − thì 60S bằng A. 6960− . B. 117− . C. 3840− . D. 116− . Câu 84: Cho c ấp số cộng ()nu có 2013 6 1000 uu+= . Tổng 2018 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó là: A. 1009000 . B. 100800 . C. 1008000 . D. 100900 . Câu 85: Cho cấp số cộng (u )n thỏa mãn 14 −=. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên. A. 100. B. 110. C. 10. D. 90. Câu 86: Cho c ấp số cộng {}nu có 4 12 u=− ; 1418 u=. Tổng c ủa 16 s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng là: A. 24S= . B. 25 S=− . C. 24 S=− . D. 26S= . Câu 87: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa 235 uu−+= +=. Tính 1 4 7 2011 ... Su u u u=++ ++ A. 2023736S= . B. 2023563S= . C. 6730444S= . D. 6734134S= . Câu 88: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của số hạng tổng quát nu. A. 14nun= + . B. 5nun= . C. 32nun= + . D. 23nun= + . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 42 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 89: Một cấp số cộng có t ổng c ủa n số hạng đầu nS tính theo công thứ c 2*5 3,nS n nn  . Tìm s ố hạng đầ u 1u và công sai d c ủa cấp số cộng đó. A. 1 8; 10 ud  . B. 1 8; 10 ud  . C. 18; 10 ud . D. 18; 10 ud  . Câu 90: Cho c ấp số cộng ()nu biết 518u= và 2 4nnSS= . Giá tr ị 1u và d là A. 12u=, 3d=. B. 13u=, 2d=. C. 12u=, 2d=. D. 12u=, 4d=. Câu 91: Gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên trong c ấp số cộng ().na Biết 69 , SS= tỉ số 3 a bằng: 5. B. 5 9. C. 5 3. D. 3 Câu 92: Cho c ấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên c ủa nó. Bi ết 777 S= và 12192 S= . Tìm s ố hạng tổng quát nu của cấ p số cộng đó A. 54nun= + . B. 32nun= + . C. 23nun= + . D. 45nun= + . Câu 93: Giải phương trình 1 8 15 22 7944 x + + + +…+ = A. 330x= . B. 220x= . C. 351x= . D. 407x= . Câu 94: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u bằng 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá tr ị của 1 2 2 3 49 5011 1...uu uu u u+ ++ bằng. 74. B. 148. C. 49 148. D. 74. Câu 95: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11u= và tổng 100 số hạng đầ u bằ ng 10000 . Tính t ổng 1 2 2 3 99 10011 1... Suu uu u u= + ++ . A. 100 201=S . B. 200 201=S . C. 198 199=S . D. 99 199=S . Câu 96: Cho tam giác đ ều 111ABC có độ dài cạ nh bằ ng 4. Trung đi ểm của các c ạnh tam giác 111ABC tạo thành tam giác 222ABC , trung đi ểm của các cạ nh tam giác 222ABC tạo thành tam g iác 333ABC … Gọi 123, , ,...PPP lần lượt là chu vi c ủa tam giác 111ABC , 222ABC , 333ABC ,…Tính t ổng chu vi 123 ... PPPP=+++ A. 8P=. B. 24P= . C. 6P=. D. 18P=. Câu 97: Lan đang ti ết kiệm để mua laptop. Trong tuầ n đầu tiên, cô ta đ ể dành 200 đô la, và trong m ỗi tuần tiếp theo, cô ta đã thêm 16 đô la vào tài kho ản tiết kiệm của mình. Chi ếc laptop Lan c ần mua có giá 1000 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì cô ấ y có đủ tiề n để mua chi ếc laptop đó? A. 49. B. 50. C. 51. D. 52. Câu 98: Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngàn đồng. Hỏi theo hợp đồng, tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu? A. 7,0 triệu. B. 7,3 triệu. C. 7,2 triệu. D. 7,4 triệu. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 43 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 99: Trong tháng 12, l ớp 12A dự kiến quyên góp ti ền để đi làm t ừ thiện như sau: Ngày đ ầu quyên góp được mỗi bạn bỏ 2000 đ ồng vào l ợn, từ ngày th ứ hai tr ở đi mỗi bạn bỏ vào l ợn hơn ngày li ền trước là 500 đ ồng. H ỏi sau 28 ngày l ớp 11A quyên góp đư ợc bao nhiêu ti ền? Bi ết lớp có 40 bạ n. A. 8800000 đồng. B. 9800000 đồng. C. 10800000 đồng. D. 7800000 đồng Câu 100: Trong sân v ận động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế . Các dãy sau, m ỗi dãy nhi ều hơn dãy ngay trư ớc nó 4 ghế . Hỏi sân vậ n động có t ất cả bao nhiêu gh ế? A. 1740 . B. 2250 . C. 4380 . D. 2190 . Câu 101: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây đàn piano có giá 142 tri ệu đồng. Trong tháng đ ầu tiên, anh ta để dành đư ợc 20 tri ệu đồng. M ỗi tháng tiế p theo anh ta để dành đư ợc 3 tri ệu đồng và đưa s ố tiền tiết kiệm của mình. H ỏi ít nh ất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng m ới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó? A. 43. B. 41. C. 40. D. 42. Câu 102: Người ta tr ồng 820 cây theo m ột hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so v ới hàng liề n trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao nhiêu hàng cây? A. 42. B. 41. C. 40. D. 39. Câu 103: Một cầu thang đư ờng lên c ổng tr ời của một điểm giải trí ở công viên t ỉnh X được hàn b ằng sắt có hình dáng các bậ c thang đề u là hình chữ nhật với cùng chi ều rộng là 35cm và chi ều dài c ủa nó theo thứ tự mỗi bậc đều giảm dần đi 7cm. Bi ết rằng bậc đầu tiên c ủa cầu thang là hình chữ nhật có chi ều dài 189cm và bậ c cuối cùng c ầu thang là hình chữ nhật có chi ều dài 63cm. H ỏi giá thành làm c ầu thang đó gầ n với số nào dư ới đây nế u giá thành làm m ột mét vuông c ầu thang đó là 1250000 đồng trên m ột mét vuông? A. 9500000 đồng . B. 11000000 đồng . C. 10000000 đồng . D. 10500000 đồng . Câu 104: Công ty A muốn thuê hai m ảnh đấ t để làm 2 nhà kho, m ột mả nh trong vòng10 năm và 1 m ảnh trong vòng 15 năm ở hai ch ỗ khác nhau. Công ty bấ t động s ản C, công ty bấ t động s ản B đ ều muốn cho thuê. Hai công ty đưa ra phương án cho thuê như sau Công ty C: Năm đ ầu tiên tiề n thuê đấ t là 60 triệ u và kể từ năm thứ hai tr ở đi mỗi năm tăng thêm 3 triệ u đồng. Công ty B: Trả tiền theo quí, quý đầ u tiên là 8 tri ệu đồng và t ừ quý th ứ hai tr ở đi m ỗi quý tăng thêm 500000 đồng. Hỏi công ty A nên l ựa chọn thuê đấ t của công ty b ất động s ản nào để chi phí là th ấp nhấ t biết rằng các m ảnh đấ t cho thuê về diện tích, độ tiệ n lợi đều như nhau? A. Chọn công ty B để thuê cả hai m ảnh đấ t. B. Chọn công ty C để thuê cả hai m ảnh đấ t. C. Chọn công ty C để thuê đấ t 10 năm, công ty B thuê đấ t 15 năm. D. Chọn công ty B để thuê đấ t 10 năm, công ty C thuê đấ t 15 năm. Câu 105: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây guitar. Trong tu ần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong m ỗi tu ần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoả n tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng c ần mua có giá 400 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì anh ấy có đ ủ tiền để mua cây guitar đó? A. 47. B. 45. C. 44. D. 46. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 44 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 106: Một công ti trách nhi ệm hữu hạn thự c hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thứ c sau: Mức lương c ủa quý làm vi ệc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm vi ệc thứ hai, m ức lương s ẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng m ỗi quý. Hãy tính t ổng s ố tiền lương m ột kĩ sư nhậ n được sau 3 năm làm vi ệc cho công ti. A. 83, 7 . B. 78,3 . C. 73, 8 . D. 87,3 . Câu 107: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như sau: Hàng th ứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….S ố hàng cây trong khu vư ờn là A. 31. B. 30. C. 29. D. 28. Câu 108: Trong sân vậ n động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế, các dãy li ền sau nhi ều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vậ n động đó có t ất cả bao nhiêu ghế ? A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 . Câu 109: Cho 4 số thực ,,,abcd là 4 số hạng liên tiế p của một cấp số cộng. Bi ết tổng c ủa chúng bằ ng 4 và tổng các bình phương c ủa chúng b ằng 24. Tính 333 3P abcd=+++ . A. 64P= . B. 80P=. C. 16P=. D. 79P= . Câu 110: Cho c ấp số cộng ()nu có 14u=. Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của 12 23 31uu uu uu++ ? A. 20 . B. 6. C. 8. D. 24 . Câu 111: Một tam gi ác vuông c ó chu vi bằ ng 3 và độ dài các cạnh lập thà nh m ột cấp số cộng. Đ ộ dài các cạnh của tam gi ác đó là: A. 15;1;33. B. 17;1;44. C. 35;1;44. D. 13;1;22. Câu 112: Trong hội ch ợ, một công ty sơn mu ốn xếp 1089 hộp sơn theo s ố lượng 1,3,5,... từ trên xu ống dưới. Hàng cu ối cùng có bao nhiêu hộp sơn? A. 63. B. 65. C. 67. D. 69. Câu 113: Người ta tr ồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3có 3 cây,.hàng thứ k có k cây ()1.k≥Hỏi có bao nhiêu hàng ? A. 51. B. 52. C. 53. D. 50. Câu 114: Người ta tr ồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng th ứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba tr ồng 3 cây,….H ỏi có bao nhiêu hàng cây. A. 78. B. 243. C. 77. D. 244. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 45 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 115: Bà ch ủ quán trà s ữa X muốn trang trí quán cho đ ẹp nên quy ết định thuê nhân công xây m ột bức tường bằng gạch với xi măng, bi ết hàng dư ới cùng có 500 viên, m ỗi hàng ti ếp theo đ ều có ít hơn hàng trư ớc 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. H ỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bứ c tường trên là bao nhiêu viên? A. 25250. B. 250500. C. 12550. D. 125250. Câu 116: Người ta tr ồng 3240 cây theo m ột hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so vớ i hàng li ền trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81. B. 82. C. 80. D. 79. Câu 117: Cho hai c ấp số cộng h ữu hạ n, m ỗi cấp số cộng có 100 s ố hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và 1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có t ất cả bao nhiêu s ố có m ặt trong c ả hai cấ p số cộng trên? A. 20. B. 18. C. 21. D. 19. Câu 118: Sinh nhậ t bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền?. Câu 119: Gọi S là tập hợp tất cả các s ố tự nhiên k sao cho 14kC, 1 14kC+, 2 14kC+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng. Tính t ổng t ất cả các ph ần tử của S. A. 12. B. 8. C. 10. D. 6. Câu 120: Cho 221;;2xy theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng. G ọi ,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t của bi ểu thứ c 23 P xy y= + . Tính SMm= + A. 1. B. 2. C. 3. D. 31 Câu 121: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 12018u= và 121n + với mọi 1n≥. Giá tr ị nhỏ nh ất của n 2018nu< bằng A. 4072325 B. 4072324 C. 4072326 D. 4072327 Câu 122: Cho c ấp số cộng ()nucó 13u= và công sai 2d=, và c ấp số cộng ()nvcó 12v= và công sai 3d′=. Gọi ,XY là tập hợp chứa 1000 số hạng đầ u tiên c ủa m ỗi cấp số cộng. Chọn ngẫ u nhiên 2 phần tử bất kỳ trong t ập hợp XY∪. Xác su ất để chọn đư ợc 2 phần tử bằng nhau gầ n với số nào nhấ t trong các s ố dưới đây? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 46 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 123: Nếu 2a+, b, 2c theo thứ tự lập thành c ấp số cộng thì dãy s ố nào sau đây l ập thành c ấp số cộng? A. 4b−; 24a−− ; 4c. B. 22a−− ; 2b−; 42c−− . C. 2b+; 2a; 22c+. D. 24a+; 4b; 4c. Câu 124: Cho m ột cấp số cộng nu có 15 u và tổng c ủa 40 số hạng đầu là 3320 . Tìm công sai c ủa cấp số cộng đó. A. 4−. B. 8. C. 8−. D. 4. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 2: C ẤP SỐ CỘNG DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ CỘNG Câu 1: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? A. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . B. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2 .−−−− C. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5 .−−− − D. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . Lời giải Dãy s ố ()nu có tính chấ t 1nnu ud+= + thì đư ợc gọi là một c ấp số cộng. Ta th ấy dãy s ố: 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − là m ột cấp số cộng có s ố hạng đầu là 1 và công sai b ằng 4.− Câu 2: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải cấp số cộng? A. 13579;;;;22222. B. 1;1;1;1;1 . C. 8; 6; 4; 2; 0−−−− . D. 3 ; 1 ;1 ;2 ;4−−− . Lời giải Cấp số cộng là m ột dãy s ố mà trong đó k ể từ số hạng th ứ hai, m ỗi số hạng đều bằng tổng c ủa số hạng đứng ngay trư ớc nó và m ột số d không đổi . Đáp án A: Là c ấp số cộng v ới 11;12ud= = . Đáp án B: Là c ấp số cộng v ới 11; 0ud= = . Đáp án C: Là c ấp số cộng v ới 1 8; 2 ud= −= . Đáp án D: Không là c ấp số cộng vì ()()21 43 2; 1 uu uu= +− = +− . Câu 3: Cho c ấp số cộng ()nu với 52nun= − . Tìm công sai c ủa cấp số cộng A. 3d=. B. 2 d=− . C. 1d=. D. 2d=. Lời giải Ta có ()( )()1 52 1 52 52 252 2 2 .nnuu n n n n d+− = − + − − =− −−+ = −⇒ = − Câu 4: Trong các dãy s ố có công th ức tổng quát sau, dãy s ố nào là cấ p số cộng? A. 2021n nu . B. 2 2021nun= + . C. 2 2021nun=+. D. 22nun= − . Lời giải CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn Với 2 2021nun= + thì 12( 1) 2021 2nnun u+= ++ = + , như vậ y dãy s ố này là m ột cấp số cộng. Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là m ột cấp số cộng? A. 1 ;3 ;6 ;9 ;1 2−−−− . B. 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − . C. 1 ;3 ;5 ;7 ;9−−−− . D. 1 ;2 ;4 ;6 ;8−−−− . Lời giải Ta có dãy s ố 1 ;3 ;7 ;1 1 ;1 5−−− − là m ột cấp số cộng có công sai 4 d=− . Câu 6: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? nu=. B. ()13n nu+= − . C. 31nun= + . D. 12+=n Lời giải Ta có: Xét đáp án A: ()1* 1 3 3 2.3nn n nnuu n+ +− = − = ∀ ∈Ν nên 3n nu= không phả i là c ấp số cộng. Xét đáp án B: ()()()()1 * 1 3 3 4. 3nn n nnuu n+ +− = − − − =− − ∀ ∈Ν nên ()13n nu+= − không phả i là cấp số cộng. Xét đáp án C: ()()()* 1 3 11 3 1 3nnuu n n n+− = + + − + = ∀ ∈Ν không đổ i, nên 31nun= + là cấp số cộng. Xét đáp án D: ()21 1 * 1 222+++ +− = − = ∀ ∈Νnnn nnuu n nên 12+=n nu không phả i là c ấp số cộng. Câu 7: Trong các dãy s ố ()nu sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? = +. B. 1 uu+=− −=. C. 1 = −. D. 1 u un+= = +. Lời giải Xét phương án A: 237, 15 uu= = vì 2132uuuu−≠− do đó ()nu không phả i là c ấp số cộng. Xét phương án B: theo gi ả thiết ta có 1 2,nnuu n∗ +− = ∀∈  do đó ()nu là cấ p số cộng. Xét phương án C: 23 4 50, 1, 2; 9 uu u u== −= −= − do đó ()nu không phả i là cấ p số cộng. Xét phương án C: 232, 4 uu= = vì 2132uuuu−≠− do đó ()nu không phả i là c ấp số cộng. Câu 8: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? A. 4;8;16;32 . B. 4; 6;8;10 . C. 1;1; 1;1−− . D. 3; 5; 7;10 . Lời giải 10 8 2= + Nên dãy s ố 4; 6;8;10 là m ột cấp số cộng. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Xác định a để 3 số 21 2 ; 2 1; 2aa a+ −− theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? A. Không có giá trị nào của a. B. 3 4a=± . C. 3 a=± . D. 3 2a=± . Lời giải Theo công thức cấp số cộng ta có: 22 332 ( 2 1 ) ( 1 2) (2)42a a aa a− = + +− ⇔ = ⇔ = ± . Câu 10: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là c ấp số cộng? A. 23 2017= +nun . B. 3 2018= +nun . C. 3=n nu . D. ()13+= −n Lời giải Ta có 11 3( 1) 2018 (3 2018) 3 3++− = ++ − + =⇔ = +nn n n uu n n u u . Vậy dãy s ố trên là cấ p số cộng có công sai 3=d . Câu 11: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số cộng? A. ()1:nnuun=. B. ()1 : 2, 2nnnuuu n−= − ∀≥ . C. (): 21n nnuu= − . D. ()1 : 2, 2nn nuu u n−= ∀≥ . Lời giải Xét dãy s ố ()1 : 2, 2nnnuuu n−= − ∀≥ Ta có 1 2, 2nnuu n−− = −∀≥ Vậy dãy s ố đã cho là c ấp số cộng v ới công sai 2 d=− Câu 12: Trong các dãy s ố sau đây, dãy s ố nào là m ột cấp số cộng? A. 21, 1nun n= +≥. B. 2, 1n nun= ≥. C. 1, 1nu nn=+≥. D. 2 3, 1nun n= −≥ Lời giải Theo đị nh nghĩa c ấp số cộng ta có: 11 , 1 , n n nnu u d u u d n d const++= + ⇔ − = ∀≥ = Thử các đáp án ta th ấy với dãy s ố: 2 3, 1nun n= −≥ thì: 22 1 32 1n u u constun n+ += −⇒ −= = = +−= − Câu 13: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là cấp số cộng: A. 13n nu+= . B. 2 1nun=+. C. 21nun= + . D. 52 3nnu−= . Lời giải Ta có dãy nu là cấ p số cộng khi * 1 , nnnu ud+− = ∀∈  với d là hằng số. Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy s ố ta d ự đoán đáp án D. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn Xét hiệu ()* 15 12 5 25 ,n3 33nnn nuu++− −− = − = ∀∈ . Vậy dãy 52 3nnu−= là cấp số cộng. DẠNG 2. TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Câu 14: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= có 11u= và 23 u=. Giá tr ị của 3u bằng A. 6. B. 9. C. 4. D. 5. Lời giải Công sai 21 2 duu nên 32 5. uud Câu 15: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 27 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 5. B. 2 7. C. 5−. D. 7 Lời giải Ta có 2 1 21 725 u ud du u= +⇔= − =−= . Câu 16: ] Cho c ấp số cộng ()nu với 111u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng A. 8. B. 33. C. 11 3. D. 14. Lời giải Ta có 21 11 3 14 u ud= += += . Câu 17: Cho c ấp số cộng ()nu với 19u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 2u bằng A. 11. B. 9 2. C. 18. D. 7. Lời giải Ta có: 21 921 1 u ud=+=+= . Câu 18: Cho c ấp số cộng ()nu với 18u= và công sai 3d=. Giá tr ị của 2u bằng 3. B. 24. C. 5. D. 11. Lời giải Áp d ụng công th ức ta có: 21 8 3 11 u ud= +=+= . Câu 19: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 26 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 4. B. 4−. C. 8. D. 3. Lời giải Ta có 26 u= ⇔1 6ud= + 4d⇔= . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 20: Cho c ấp số cộng ()nu với 11u= và 24 u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 4. B. 3−. C. 3. D. 5. Lời giải Vì ()nulà cấp số cộng nên 2 1 21 413 u ud du u= + ⇔ = − =−= . Câu 21: Cho c ấp số cộng v ới 13u= và 29u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 6−. B. 3. C. 12. D. 6. Lời giải Ta có: 21 6 du u=−= . Câu 22: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u= và 28u=. Công sai c ủa cấp số cộng đã cho bằ ng A. 10. B. 6. C. 4. D. 6−. Lời giải Vì ()nu là cấ p số cộng nên ta có 2 1 21 82 6 u ud du u= +⇔= − =−= . Câu 23: Cho cấp số cộng ()nuvới 12022u= và công sai 7d=. Giá trị của 6u bằng A. 2043 . B. 2064 . C. 2050 . D. 2057 . Lời giải Ta có công thức tính số hạng thứ ncủa cấ p số cộng ()1 61 1 5 2022 5.7 2057nuu n duu d=+− ⇒=+= + = Câu 24: Tìm công sai d của cấp số cộng ()nu, *n∈ có 141; 13uu= = . A. 3d=. B. 1 4d=. C. 4d=. D. 1 Lời giải Ta có 4113 3 13 1 3 13 3 12 4.u ud d d d=⇔ +=⇔ +=⇔=⇔ = Câu 25: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13,u= công sai 2 d=− thì s ố hạng thứ 5 là A. 51u=. B. 58u=. C. 5 7 u=− . D. 5 5 u=− . Lời giải Ta có: 51 4 3 4.( 2) 5 uu d=+ =+−= − . Câu 26: Cho c ấp số cộng có 32 u=, công sai 2 d=− . Số hạng th ứ hai c ủa cấp số cộng đó là A. 24 u= B. 20 u= C. 2 4 u=− D. 23 u= Lời giải Ta có ()32 2 2 2 2 4. u u du u= + = +− = ⇒ = Câu 27: Cho c ấp số cộng ()nu có 11, 2ud= = . Tính 10u A. 1020 u= . B. 1010. u= C. 1019 u=. D. 1015. u= Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có:10 1 9 1 2.9 19 uud= += += . Câu 28: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 3 u=− , 627 u= . Tính công sai d. A. 7d=. B. 5d=. C. 8d=. D. 6d=. Lời giải Ta có 61 5 27 6 uu d d=+ = ⇒= . Câu 29: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng tổng quát là 32nun= − . Tìm công sai d của cấp số cộng. A. 3d=. B. 2d=. C. 2 d=− . D. 3 d=− . Lời giải Ta có ()1 3 1 23 23nnuu n n+− = +−− += Suy ra 3d= là công sai củ a cấp số cộng. Câu 30: Cho c ấp số cộng ()nu với 1733 u= và 3365 u= thì công sai bằ ng A. 1. B. 3. C. 2−. D. 2. Lời giải Gọi 1u,d lần lượt là s ố hạng đầu và công sai của c ấp số cộng ()nu. Khi đó, ta có: 17 1 16 uu d= + , 33 1 32 uu d= + Suy ra: 33 17 65 33 16 32 2 uu d d − =−⇔ = ⇔= Vậy công sai b ằng: 2. Câu 31: Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hi ệu số hạng đầu và s ố hạng cu ối bằng20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho A. 5 d=− . B. 4d=. C. 4 d=− . D. 5d=. Lời giải Gọi năm s ố hạng của cấ p số cộng đã cho là: 1 2345;;;;.uuuuu Theo đề bài ta có: 15 1 1 20 ( 4 ) 20 5 uu u u d d−= ⇔− + = ⇔= − Câu 32: Cho c ấp số cộng nu có các s ố hạng đầu lần lượt là 5;9;13;17;... . Tìm s ố hạng tổng quát nu của cấp số cộng? A. 41nun= + . B. 51nun= − . C. 51nun= + . D. 41nun= − . Lời giải  ()1 1nuu n d=+− ▪ ()31 3 1 13 5 2 13 4 uu d d d= + − = ⇔+ = ⇔= ▪ () 5 1 .4 4 1nun n= +− =+ Câu 33: Xác đ ịnh số hàng đ ầu 1u và công sai d của cấ p số cộng ()nu có 925uu= và 13 625 uu= + . A. 13u= và 4d=. B. 13u= và 5d=. C. 14u= và 5d=. D. 14u= và 3d=. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: ()1 1nuu n d=+− . Theo đầ u bài ta có hpt: () 12 2 5 5u d ud u d ud+= ++= ++ 1430 3 25 4ud u ud d−= =  ⇔⇔−= − = . Câu 34: Cho ()nu là một cấp số cộng th ỏa mãn 13 8 uu+= và 410u=. Công sai c ủa cấ p số cộng đã cho A. 3. B. 6. C. 2. D. 4. Lời giải Ta có 13 11 1 1 11 48 28 228 1 3 10 3 10 10 3uu u ud ud u ud ud u d+= + += += =   ⇔ ⇔⇔   += += = =  . Vậy công sai của c ấp số cộng là 3d=. Câu 35: Tìm công th ức số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nuthỏa mãn: 235 uu−+=+= A. 23nun= + . B. 21nun= − . C. 21nun= + . D. 23nun= − . Lời giải Chọn B Giả sử dãy c ấp số cộng ()nucó công sai là d. Khi đó, 235 uu−+=+= trở thành: ()()() ()11 1 1 1 1 112 47 37 1 2 5 12 2 5 12u dudud ud u ud d uud+−+ ++ = += =   ⇔⇔  += = ++ =    Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nu: ()()1 1 1 1 .2 2 1nuu n d n n=+− = +− =− Vậy 21nun= − . Câu 36: Cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u=, công sai 2 d=− thì s ố hạng th ứ 5 là A. 58u=. B. 51u=. C. 5 5 u=− . D. 5 7 u=− . Lời giải Ta có: ()51 4 3 4. 2 5 uu d=+ =+ −= − . Câu 37: Cho c ấp số cộng có 1 3 u=− , 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau? A. 515u= . B. 48u=. C. 35u=. D. 22 u=. Lời giải Ta có 31 2 uu d= + 3 2.4= −+ 5=. Câu 38: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 11u= và công sai 4d=. Hãy tính 99u. A. 401. B. 403. C. 402. D. 404. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có : 99 1 98 uu d= + 11 98.4= + 403= . Câu 39: Cho c ấp số cộng ()nu, biết: 13u=, 2 1 u=− . Chọn đáp án đúng. A. 34u=. B. 37u=. C. 32u=. D. 3 5 u=− . Lời giải Ta có ()nu là cấ p số cộng nên 2 132u uu= + suy ra 3 2125 u uu= −= − . Câu 40: Một cấp số cộng ()nu có 138 u= và 3 d=− . Tìm s ố hạng th ứ ba của cấ p số cộng ()nu. A. 50. B. 28. C. 38. D. 44 Lời giải Ta có: 13 1 12 uu d= + ()1 8 12. 3u⇔=+ −144u⇒=31 2 44 6 38 uu d⇒ = + = −= . Câu 41: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 13u= và công sai 2d=. Giá tr ị của 7u bằng: A. 15. B. 17. C. 19. D. 13. Lời giải Ta có 71 6. 3 6.2 15 uu d= += += . Câu 42: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 4d=. Giá tr ị 2019u bằng A. 8074 . B. 4074 . C. 8078 . D. 4078 . Lời giải Áp d ụng công th ức của số hạng tổng quát ()1 1nuu n d=+− 2 2018.4 8074= += . Câu 43: Tìm s ố hạng th ứ 11 của cấp số cộng có s ố hạng đầu bằng 3 và công sai 2 d=− . A. 21−. B. 23. C. 19−. D. 17−. Lời giải Áp d ụng công th ức số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ta có ()11 1 10 3 10. 2 17 uu d=+ =+ −= − . Câu 44: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 1 2 u=− và công sai 7. d=− Giá tr ị 6u bằng A. 37. B. 37−. C. 33−. D. 33. Lời giải Ta có 61 5 2 35 37 uu d= + = −− = − . Câu 45: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầu 12u= và công sai 5d=. Giá tr ị 4u bằng A. 22. B. 17. C. 12. D. 250. Lời giải Ta có: 41 3 uu d= + 2 15 17= += . Câu 46: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu tiên 12u= và công sai 2d=. Tìm 2018u ? A. 2018 2018 2 u= . B. 2017 2018 2 u= . C. 2018 4036 u= . D. 2018 4038 u= . Lời giải Ta có: () ()1 2018 1 2 2018 1 .2 4036nuu n du=+− ⇒ = + − = . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 9 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 47: Cho c ấp số cộng ()nu có 13u= và công sai 7d=. Hỏi kể từ số hạng th ứ mấy trở đi thì các s ố hạng của ()nu đều lớn hơn 2018 ? A. 287. B. 289. C. 288. D. 286. Lời giải Ta có: ()1 1nuu n d=+− () 37 1 n= +− 74n= − ; 2018nu> 7 4 2018n⇔ −>2022 7n⇔> . Vậy 289n= . Câu 48: Viết ba s ố xen gi ữa 2 và 22 để ta đư ợc một cấp số cộng có 5 số hạng? A. 6, 12, 18. B. 8, 13, 18. C. 7, 12, 17. D. 6, 10, 14. Lời giải Xem cấ p số cộng c ần tìm là ()nu có: 1 =. Suy ra: 12 Vậy cấp số cộng c ần tìm là ()nu: 2,7, 12, 17, 22. Câu 49: Cho c ấp số cộng có 1 2 u=− và 4d=. Chọn khẳ ng đị nh đúng trong các kh ẳng định sau ? A. 48u=. B. 515u=. C. 23 u=. D. 36 u=. Lời giải Ta có: 1 2 u=− và 4d=suy ra 21 242 uud= + = −+= 31 2 2 2.4 6 uu d= + = −+ = ; 41 3 2 3.4 10 uu d= + = −+ = ; 51 4 2 4.4 14 uu d= + = −+ = Nên đáp án D đúng. Câu 50: Cho c ấp số cộng ()nu với 12u=; 9d=. Khi đó s ố 2018 là số hạng th ứ mấy trong dãy? A. 226. B. 225. C. 223. D. 224. Lời giải ()1 1nuu n d=+− () 2018 2 1 .9 n ⇔ = +− 225n⇔= . Câu 51: Cho c ấp số cộng 1, 4,7,... . Số hạng th ứ 100 c ủa cấp số cộng là A. 297. B. 301. C. 295. D. 298. Lời giải Cấp số cộng 1, 4,7,... . có s ố hạng đầu 11u= và công sai 3d=. Số hạng th ứ 100 c ủa cấp số cộng là: 100 1 99. 1 99.3 298 uu d= += += . Câu 52: Cho c ấp số cộng ()nu biết 13u=, 824u= thì 11u bằng A. 30. B. 33. C. 32. D. 28. Lời giải Ta có: 8124 37377uuuu d d−−=+ ⇒= = = . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 10 Sưu t ầm và biên so ạn 11 1 10 33 uu d= += . Câu 53: Cho c ấp số cộng có s ố hạng th ứ 3 và s ố hạng th ứ 7 lần lượt là 6 và − 2. Tìm s ố hạng th ứ 5. A. 52.u= B. 52. u=− C. 50.u= D. 54.u= Lời giải Theo gi ả thiết ta có 3 1 1 716 26 2 10 2 62u ud d u u ud                        Vậy 52 u. Câu 54: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 23u= và 47u=. Giá tr ị của 15u bằng A. 27. B. 31. C. 35. D. 29. Lời giải Từ giả thiết 23u= và 47u= suy ra ta có h ệ phương trình: 1 +=11 d=⇒=. Vậy 15 1 14 29 uu d= += . Câu 55: Cho c ấp số cộng ()nu có 1123u= và 3 15 84 uu−= . Số 11 là s ố hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấ p số cộng đã cho? A. 17. B. 16. C. 18. D. 19. Lời giải Ta có: ()3 15 1 1 84 2 14 84 7 uu u du d d− = ⇔+ − + = ⇔= − . Số hạng tổng quát: 7 130nun= −+ . Ta có: 11 17nun= ⇔= . Câu 56: Cho cấp số cộng ()nubiết 1 1; u=− 2;d= 43nu= . Hỏi cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng? A. 20. B. 23. C. 22. D. 21. Lời giải 1( 1)nuu n d=+− 43 1 ( 1).2 n ⇔ = −+ − 23n⇔= . Câu 57: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u là 21u=, 519u= . Số 103 là số hạng thứ mấy trong c ấp số cộng đã cho? A. 19. B. 18. C. 20. D. 17. Lời giải Ta có 2 1 1 5 11 1 5 19 4 19 6u ud u u ud d= += =−   ⇔⇔ = += =  . Lại có () ()1 1 103 5 1 6 19nuu n d n n=+− ⇔ = − +−⋅ ⇔= . Vậy số 103 là số hạng th ứ 19 trong c ấp số cộng đã cho. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 11 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 58: Cho c ấp số cộng ()nucó 15=u và công sai 3=−d . Biết rằng 289− là một số hạng của cấ p số cộng trên. H ỏi đó là s ố hạng th ứ bao nhiêu? A. 98. B. 99. C. 101. D. 100. Lời giải Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng có 15=u và công sai 3=−d là () 53 1= −−nun , ∗∀∈n . Ta có () 289 5 3 1−= −− n () 294 3 1⇔− =− − n 98 1⇔= − n 99⇔=n . Vậy 289− là số hạng th ứ 99 của cấ p số cộng trên. Câu 59: Cho c ấp số cộng ()nu có 22001 u= và 51995 u=. Khi đó 1001u bằng A. 4005 . B. 1. C. 3. D. 4003 . Lời giải Gọi 1u và d lần lượt là s ố hạng đầ u tiên và công sai c ủa cấ p số công. Ta có: 2 1 1 5 12001 2001 2003 1995 4 1995 2u ud u u ud d= += =   ⇔⇔  = += =−  . Vậy 1001 1 1000 3 uu d= += . Câu 60: Một cấp số cộng có s ố hạng đầu 12018u công sai 5 d . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào c ủa cấp số cộng đó thì nó nhậ n giá tr ị âm. A. 406u. B. 403u. C. 405u. D. 404u. Lời giải Ta có () ()1 1 2018 5 1nuu n d n=+− = − − Có ()20230 2018 5 1 0 5 2023 5nu n nn<⇔ − −<⇔ > ⇔> , 405 nn∈⇒≥ . Vậy từ 405u thì s ố hạng của cấp số cộng đó nhậ n giá tr ị âm. Câu 61: Cho c ấp số cộng ()nu có 1 56 372 15 46u uu uu− += − +=. Số hạng đầu 1u là A. 1 5 u=− . B. 15 u=. C. 13 u=. D. 1 3 u=− . Lời giải Gọi d là công sai của CS C. Ta có ()1 1nuu n d=+− . ()()11 1 1 56 1 37 112 4 5 15 2 15 532 8 46 46 2 6 46u udud u uu duud uu udud− + ++ = − − += − =   ⇔ ⇔ ⇒=  += += + ++ =   . Câu 62: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i 1 u u nN+== +∈ Tính 10u? A. 57. B. 62. C. 47. D. 52. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 12 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải: Cách 1: Dùng casio 570VN B1 : Nh ập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A B2: Nhậ p 5: BA AB= += B3: Ấn CALC r ồi bấm liên tiế p dấu “=” cho k ết quả 1047 u= . Cách 2: Từ 1 u u nN+== +∈. Ta có 1 5nnuu+−= nên dãy ()nU là m ột cấp số cộng v ới công sai 5d= nên 10 1 9 2 45 47 uud=+= += . Câu 63: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa mãn 5 32 743 21 3 2 34u uu uu+ −= − −= −. Tính s ố hạng th ứ 100 của cấ p số. A. 100 243 u=− . B. 100 295 u=− . C. 100 231 u=− . D. 100 294 u=− . Lời giải 743 21 3 2 34u uu uu+ −= − −= −() ()()1 11 114 3 2 21 3 6 2 3 34ud ud u d ud ud+ + + −−= −⇔+− += −1 12 34ud ud+= −⇔+= −12 d=⇔=−. Số hạng th ứ 100 là ()100 2 99 3 295 u=+ −= − . Câu 64: Cho c ấp số cộng nu có công sai 2d= và bi ểu thứ c 222 234uuu++ đạt giá tr ị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số cộng nu? A. 1011. B. 1014 . C. 1013 . D. 1012 . Lời giải Ta có: ()()() ()21 222 2 222 2 3 1 2 3 4 111 1 1 1 4 2 4 6 3 24 56 3 4 8 8 uu uuu u u u u u u uu= + = + ⇒ + + =+++++= + + = ++ ≥ Vậy 222 234uuu++ đạt giá tr ị nhỏ nhấ t khi 14 u=− . Từ đó suy ra () ()1 2018 1 2018 4 1 2 1012. un d n n =+− ⇔ = − +− ⇔= Câu 65: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 15 u=− , 2d=. Số 81 là số hạng th ứ bao nhiêu? A. 100. B. 50. C. 75. D. 44. Lời giải Ta có ()1 1nuu n d=+− () 81 5 1 2 n ⇔ = −+ − 44n⇔= . Vậy 81 là số hạng th ứ 44. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 13 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 66: Một cấp số cộng ()nucó 947u=, công sai 5d=. Số 10092 là số hạng th ứ mấy trong c ấp số cộng A. 2018 . B. 2017 . C. 2016 . D. 2019 . Lời giải Ta có 91 1 87 uu du=+⇒= . Gọi 10092 là số hạng th ứ n trong khai tri ển, ta có: ()110092 710092 1 1 20185un dn−= + − ⇒= += . Câu 67: Cho hai c ấp số cộng ():4nx , 7, 10,… và ()ny: 1, 6, 11,…. H ỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của m ỗi cấp số có bao nhiêu s ố hạng chung? A. 404. B. 673. C. 403. D. 672. Lời giải Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nxlà: () 4 1 .3nxn= +− 31n= + . Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng ()nylà: () 1 1 .5mym= +− 54m= − . Giả sử k là 1 số hạng chung c ủa hai c ấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên c ủa m ỗi cấp số. Vì k là 1 số hạng của cấ p số cộng ()nx nên 31ki= + với 1 2018i≤≤ và *i∈. Vì k là 1 số hạng của cấ p số cộng ()ny nên 54kj= − với 1 2018j≤≤ và *j∈. Do đó 3 15 4ij+= − 35 5ij⇒=− 5i⇒{ } 5;10;15;...;2015i⇒∈ ⇒ có 403 số hạng chung. DẠNG 3. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 68: Cho c ấp số cộng ()nu có 11u= và công sai 2d=. Tổng 10 1 2 3 10 ..... S uuu u=++ + bằng: A. 10110S= . B. 10100S= . C. 1021 S= . D. 1019 S= . Lời giải * Áp dụng công th ức ()()1 121 nnu n d nu uS+−+= = ta đư ợc: 1010 2 10 1 21002S+−= = . Câu 69: Cho dãy s ố ()nu là một cấp số cộng có 13u= và công sai 4d=. Biết tổng n số hạng đ ầu của dãy s ố ()nu là 253nS= . Tìm n. A. 9. B. 11. C. 12. D. 10. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 14 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có ()( ) ()( ) 12 1 2.3 1 .425322nnu n d n nS+− +−=⇔= 4 2 506 0 23  ⇔ +− = ⇔=−. Câu 70: Cho c ấp số cộng ()nu, *n∈ có số hạng t ổng quát 13nun= − . Tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng. A. 59049− . B. 59048− . C. 155− . D. 310− . Lời giải Ta có: 12 u=− ; 10 29 u=− ; ()1 10 2uuS+= =− . Câu 71: Cho dãy s ố vô hạ n {}nu là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu 1u. Hãy ch ọn khẳ ng định sai? 52uuu+= . B. 1 nnuu d−= + , 2n≥. C. ()12 12 112nS ud= + . D. 1( 1).nuu n d=+− , *n∀∈. Lời giải Ta có công th ức tổng n số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là: () 2nnn dS nu−= + Suy ra 12 112.11.122dSu= + ()16 2 11ud= + () 12 112nud≠+ . Câu 72: Cho ()nu là cấ p số cộng bi ết 3 13 80 uu+= . Tổng 15 s ố hạng đầu của cấp số cộng đó bằ ng A. 800. B. 600. C. 570. D. 630 Lời giải ()()()()15 1 2 3 15 1 15 2 14 3 13 7 9 8 ... ... S uuu u uu uu uu uu u=++++ = + + + + + ++ + + Vì 1 15 2 14 3 13 7 9 8 ... 2 uu uu uu uu u+=+=+==+= và 3 13 80 uu+= 7.80 40 600S⇒= + = . Câu 73: Cho c ấp số cộng ()nu với số hạng đầu 16 u=− và công sai 4.d= Tính t ổng S của 14 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó. A. 46S= . B. 308S= . C. 644S= . D. 280S= . Lời giải Tổng n số hạng đầu tiên c ủa m ột cấp số cộng là ()121 2nu n dn S+−= . Vậy ()() 2 6 14 1 4 14 2802S−+ −= = . Câu 74: Cho c ấp số cộng ()nu có 258, 17uu= = . Công sai d bằng: A. 3 d=− . B. 5 d=− . C. 3d=. D. 5d=. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 15 Sưu t ầm và biên so ạn Theo gi ả thiết ta có: 1 1 18 38, 175 4 17ud duuu ud+= =  = = ⇒⇔ = +=  . Câu 75: Cho dãy ()nu là một cấp số cộng v ới số hạng đầu 2 và số hạng th ứ 36 là 72. Công sai c ủa cấp số cộng ()nu là A. 3d= B. 2 d=− . C. 2d=. D. 1 Lời giải Ta có 36 1 35 uu d= + mà 36 172, 2 uu= = nên ta có: 72 2 35 2 dd=+ ⇔= . Vậy 2d=. Câu 76: Cho cấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết 21 19 u=− và 220 S=. Tìm số hạng tổng quát nu của cấp số cộng đó. A. 21 2nun= + . B. 21 2nun= − . C. 23 2nun= − . D. 23 2nun= + . Lời giải Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là 1u và công sai d. Ta có: 21 1 21 1 1 22 1 22 12019 20 19 21 22.210 2 21 0 2 222uu du ud u dS ud d Su= += − += − =   ⇔ ⇔⇔   = += =− = +   . Khi đó: ()()1 1 21 2 1 23 2nuu n d n n=+− =− −=− . Câu 77: Cho c ấp số cộng ()nucó 18 5; 30 uu= −= . Công sai của cấp số cộng b ằng: A. 4. B. 5. C. 6. D. 3 Lời giải Gọi công sai của cấ p số cộng là d khi đó ta có 81 7 30 5 7 5 uu d d d= +⇔= − +⇔ = . Câu 78: Cho c ấp số cộng ()nu với 110u= , 213u=. Giá tr ị của 4u là A. 420 u= . B. 419u=. C. 416u=. D. 418u=. Lời giải Ta có: 4110, 13 3 3 10 3.3 19uu d uu d B= =⇒= = +=+=⇒. Câu 79: Cho c ấp số cộng ()nu biết 24 1, 7 uu= −= . Tìm 3.u A. 4. B. 10. C. 8. D. 3. Lời giải Áp d ụng tính ch ất của các s ố hạng trong dãy c ấp số cộng, ta có: 3173.22uuu+−+= = = CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 16 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 80: Cho c ấp số cộng ()nu, biết 12u= và 48u=. Giá tr ị của 5u bằng A. 12. B. 10. C. 9. D. 11. Lời giải Từ giả thiết 12u= và 41 38 2 uu d d=+ =⇒= Vậy 51 4 2 4.2 10 uu d= += += . Câu 81: Cho c ấp số cộng ()nu có 515 u=− ; 2060 u= . Tổng 20 số hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là A. 20250 S= . B. 20200 S= . C. 20 200 S=− . D. 20 25 S=− . Lời giải Ta có() 5 1 1 1 20 20 115 4 15 35 2025060 19 60 5 2u ud u uuSu ud d=− += − =− +   ⇔ ⇔ ⇒= =  = += =  . Câu 82: Cho c ấp số cộng ()nu biết 386, 16.uu= = Tính công sai d và tổng c ủa 10 số hạng đầu tiên. A. 102; 100dS= = . B. 101; 80dS= = . C. 102; 120dS= = . D. 102; 110dS= = . Lời giải 816 26 2 16 7 16 2u ud u u ud d= += =   ⇔⇔ = += =  . 10 110 10 1 10 10 110. . 10.2 .2 110 22Su d−−= += += . Câu 83: Cho c ấp số cộng ()nu với 32nun= − thì 60S bằng A. 6960− . B. 117− . C. 3840− . D. 116− . Lời giải Ta có 112nun+= − , Ta có * 1 2,nnuu n+− = −∀∈ , suy ra ()nu là cấ p số cộng có 11u= và công sai 2 d=− . Vậy ()60 1602 59 38402S ud= += − . Câu 84: Cho c ấp số cộng ()nu có 2013 6 1000 uu+= . Tổng 2018 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó là: A. 1009000 . B. 100800 . C. 1008000 . D. 100900 . Lời giải Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Khi đó: 2013 6 1000 uu+=112012 5 1000u du d⇔+ ++ =12 2017 1000ud⇔+ = . Ta có: 2018 12017.201820182Su d= + ( )1 1009. 2 2017 ud= + 1009000= . Câu 85: Cho cấp số cộng (u )n thỏa mãn 14 −=. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng trên. A. 100. B. 110. C. 10. D. 90. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 17 Sưu t ầm và biên so ạn Gọi cấp cố cộng có công sai là d ta có 21 31 41 ; 2 ; 3 u u du u du u d= += + = + Khi đó 14 11 328 238 1 2 22uu ud u uu dd+= += =  ⇔⇔  −= = =   Áp d ụng công th ức 1( 1) 2nnS nu d−= + Vậy tổng c ủa 10 số hạng đầu của cấp số cộng là 1010.910.1 .2 1002S= += Câu 86: Cho c ấp số cộng {}nu có 4 12 u=− ; 1418 u=. Tổng c ủa 16 s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số cộng là: A. 24S= . B. 25 S=− . C. 24 S=− . D. 26S= . Lời giải Ta có: 41 1 14 112 3 12 21 18 13 18 3u ud u u ud d= − += − =−  ⇔⇔  = += = . Tổng c ủa 16 s ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng là: () 1616.1516. 21 .3 242S= −+ = . Câu 87: Cho c ấp số cộng ()nu thỏa 235 uu−+= +=. Tính 1 4 7 2011 ... Su u u u=++ ++ A. 2023736S= . B. 2023563S= . C. 6730444S= . D. 6734134S= . Lời giải uu−+= +=11 1 112 4 10 3 5 26u du du d u du d+−− ++ =⇔+++ =1 2 8 26ud ud+=⇔+=11 d=⇔=. 410 u=, 719 u=, 1028 u= … Ta có 1u, 4u, 7u, 10u, …,2011u là cấ p số cộng có 11 ( )6712.1 670.9 20237362S= += . Câu 88: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 15u= và tổng c ủa 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công th ức của số hạng tổng quát nu. A. 14nun= + . B. 5nun= . C. 32nun= + . D. 23nun= + . Lời giải Ta có: ()50 1502 49 51502S ud= += 4d⇒= . Số hạng tổng quát c ủa cấp số cộng b ằng ()1 1 14nuu n d n=+− = + . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 18 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 89: Một cấp số cộng có t ổng c ủa n số hạng đầu nS tính theo công thứ c 2*5 3,nS n nn  . Tìm s ố hạng đầ u 1u và công sai d c ủa cấp số cộng đó. A. 1 8; 10 ud  . B. 1 8; 10 ud  . C. 18; 10 ud . D. 18; 10 ud  . Lời giải Ta có: 11 8= =uS . 2 21 21 18 18 8 10 = − = ⇒= − = −=u S S du u . Câu 90: Cho c ấp số cộng ()nu biết 518u= và 2 4nnSS= . Giá tr ị 1u và d là A. 12u=, 3d=. B. 13u=, 2d=. C. 12u=, 2d=. D. 12u=, 4d=. Lời giải Ta có 518u=⇔14 18ud+= . Lại có 5 104SS=⇔ 115.4 10.94 5 1022u du d+= + ⇔120ud−= . Khi đó ta có hệ phương trình 1 −=⇔12 Câu 91: Gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên trong c ấp số cộng ().na Biết 69 , SS= tỉ số 3 a bằng: 5. B. 5 9. C. 5 3. D. 3 Lời giải Ta có ()()11 69 162 5 92 87.22ad adSS a d++=⇔ = ⇔= − 512 72 5.4 74 3a ad dd aa d dd+−+= = =+ −+ Câu 92: Cho c ấp số cộng ()nu và gọi nS là tổng n số hạng đầu tiên c ủa nó. Bi ết 777 S= và 12192 S= . Tìm s ố hạng tổng quát nu của cấ p số cộng đó A. 54nun= + . B. 32nun= + . C. 23nun= + . D. 45nun= + . Lời giải Giả sử cấp số cộng có s ố hạng đầu là 1u và công sai d. Ta có: 1 17.6.7 7777 7 21 77 5 2 12.11. 12 66 192 192 212 1922duS ud u d ud S du+== += =    ⇔ ⇔⇔   += = =   +=. Khi đó: ()()1 1 52 1 32nuu n d n n=+− =+ −=+ . Câu 93: Giải phương trình 1 8 15 22 7944 x + + + +…+ = A. 330x= . B. 220x= . C. 351x= . D. 407x= . Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 19 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có c ấp số cộng v ới 11u=, 7d=, nux=, 7944nS= . Áp d ụng công th ức () ()1 22 1 2.1 1 77944 7 5 15888 022nu n dn n nS nn+− +− = ⇔ = ⇔ −− = ()48 / 331 7n tm n loai= ⇔=−. Vậy 481 47.7 330 xu= = += . Câu 94: Cho c ấp số cộng ()nu có số hạng đầ u bằng 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 14950 . Giá tr ị của 1 2 2 3 49 5011 1...uu uu u u+ ++ bằng. 74. B. 148. C. 49 148. D. 74. Lời giải Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Ta có ()100 1 50 2 99 14950 S ud= += với 113ud= ⇒= 1 2 2 3 49 5011 1... Suu uu u u= + ++ . 1 2 2 3 49 50. ...dd dSduu uu u u= + ++3 2 50 49 21 1 2 2 3 49 50...uu u u uu uu uu u u−−−= + ++ 1 5011 1 14711 49.3 148= −=+. Với 3d= nên 49 148S= . Câu 95: Cho m ột cấp số cộng ()nu có 11u= và tổng 100 số hạng đầ u bằ ng 10000 . Tính t ổng 1 2 2 3 99 10011 1... Suu uu u u= + ++ . A. 100 201=S . B. 200 201=S . C. 198 199=S . D. 99 199=S . Lời giải Gọi d là công sai của cấ p số cộng đã cho. Ta có: ()1 100 1200 250 2 99 10000 299uS ud d−= + = ⇒= = . 1 2 2 3 99 10022 22 ... Suu uu u u⇒ = + ++ 3 2 99 100 21 1 2 2 3 99 100...uu u u uu uu uu u u−−−= + ++ 1 2 2 3 98 99 99 1001111 1 1 1 1...uuuu u u u u= − + − ++ − + − CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 20 Sưu t ầm và biên so ạn 1 100 1 11 1 1 1 198 99 199 uu uu d= −= − =+ 199S⇒= . Câu 96: Cho tam giác đ ều 111ABC có độ dài cạ nh bằ ng 4. Trung đi ểm của các c ạnh tam giác 111ABC tạo thành tam giác 222ABC , trung đi ểm của các cạ nh tam giác 222ABC tạo thành tam giác 333ABC … Gọi 123, , ,...PPP lần lượt là chu vi c ủa tam giác 111ABC , 222ABC , 333ABC ,…Tính t ổng chu vi 123 ... PPPP=+++ A. 8P=. B. 24P= . C. 6P=. D. 18P=. Lời giải Chọn B Ta có: 2PP= ; 32111 24PPP= = ; 4 3111 28PPP= = …;111 2n nPP−= 1 2 3 1111 1111... ... 2 24.1 24812PP P P P PPPP P=+++=+ + + += = = C3A3C2 C1B1A1 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 21 Sưu t ầm và biên so ạn DẠNG 4. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 97: Lan đang ti ết kiệm để mua laptop. Trong tuầ n đầu tiên, cô ta đ ể dành 200 đô la, và trong m ỗi tuần tiếp theo, cô ta đã thêm 16 đô la vào tài kho ản tiết kiệm của mình. Chi ếc laptop Lan c ần mua có giá 1000 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì cô ấ y có đủ tiề n để mua chi ếc laptop đó? A. 49. B. 50. C. 51. D. 52. Lời giải Gọi n là số tuần cô ta đã thêm 16 đô la vào tài khoả n tiết kiệm của mình Số tiền cô ta ti ết kiệm đư ợc sau n tuần đó là 200 16 .Tn= + Theo đề bài, ta có 200 16 1000 50.Tnn= + = ⇔= Vậy kể cả tuần đầu thì tu ần thứ 51 cô ta có đủ tiề n để mua chi ếc laptop đó. Câu 98: Một người làm việc cho một công ty. Theo hợp đồng trong năm đầu tiên, tháng lương thứ nhất là 6 triệu đồng và lương tháng sau cao hơn tháng trước là 200 ngà n đồng. Hỏi theo hợp đồng, tháng thứ 7 người đó nhận được lương là bao nhiêu? A. 7,0 triệu. B. 7,3 triệu. C. 7,2 triệu. D. 7,4 triệu. Lời giải Gọi lương tháng thứ n của ngư ời đó là nA. Ta có16=A . Lương tháng sau hơn tháng trước 0, 2 triệu nên ta có{}nA là một cấp số cộng v ới số hạng đầu 16=A và công sai 0, 2=d . Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố là ()()1 11 =+− >nA A n dn . Vậy tới tháng th ứ 7, ngư ời đó nhậ n được lương là 71 6 6 6.0, 2 7, 2=+= + =AA d . Câu 99: Trong tháng 12, l ớp 12A dự kiến quyên góp ti ền để đi làm t ừ thiện như sau: Ngày đ ầu quyên góp được mỗi bạn bỏ 2000 đ ồng vào l ợn, từ ngày th ứ hai tr ở đi mỗi bạn bỏ vào l ợn hơn ngày li ền trước là 500 đ ồng. H ỏi sau 28 ngày l ớp 11A quyên góp đư ợc bao nhiêu ti ền? Bi ết lớp có 40 bạ n. A. 8800000 đồng. B. 9800000 đồng. C. 10800000 đồng. D. 7800000 đồng Lời giải Số tiền mỗi bạn lớp 11A quyên góp đ ể làm từ thiện lập thành m ột cấp số cộng có s ố hạng đầu 12000u= , công sai d 500= Vậy sau 28 ngày s ố tiền mỗi bạn quyên góp đư ợc là: 27.28.50028.2000 2450002+= đồng Vậy sau 28 ngày t ổng s ố tiền quyên góp đư ợc của lớp 11A là: 245000.40 9800000 = đồng Câu 100: Trong sân v ận động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế . Các dãy sau, m ỗi dãy nhi ều hơn dãy ngay trư ớc nó 4 ghế . Hỏi sân vậ n động có t ất cả bao nhiêu gh ế? A. 1740 . B. 2250 . C. 4380 . D. 2190 . Lời giải Số ghế trong m ỗi dãy c ủa sân vậ n động l ập thành m ột cấp số cộng có 115 U= và 4d=. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 22 Sưu t ầm và biên so ạn Vậy tổng t ất cả các gh ế của sân vậ n động là t ổng 30 s ố hạng đầu của cấp số cộng trên, do đó áp dụng công th ức () 2nnn dS nU−= + ta có () 3030 30 1 430.15 21902S−= += Vậy sân vậ n động có t ất cả 2190 ghế. Câu 101: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây đàn piano có giá 142 tri ệu đồng. Trong tháng đ ầu tiên, anh ta để dành đư ợc 20 tri ệu đồng. M ỗi tháng tiế p theo anh ta để dành đư ợc 3 tri ệu đồng và đưa s ố tiền tiết kiệm của mình. H ỏi ít nh ất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng m ới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó? A. 43. B. 41. C. 40. D. 42. Lời giải Tổng s ố tiền Hùng ti ết kiệm đư ợc vào m ỗi tháng lậ p thành m ột cấp số cộng ()nu có số hạng đầu 120u= và công sai 3d=. Tổng s ố tiền Hùng ti ết kiệm đư ợc vào tháng th ứ n bằng ()()1 1 20 1 .3 3 17nuu n d n n=+− =+− =+ Hùng có đủ tiền mua cây đàn 3 17 142n⇔+≥ 12541,673n⇔≥ ≈ . Vậy ít nhất vào tháng thứ 42 thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó. Câu 102: Người ta tr ồng 820 cây theo m ột hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so v ới hàng liề n trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao nhiêu hàng cây? A. 42. B. 41. C. 40. D. 39. Lời giải Giả sử trồng đư ợc n hàng cây ( ) 1,nn≥∈. Số cây ở mỗi hàng l ập thành c ấp số cộng có 11u= và công sai 1d=. Theo gi ả thiết: 820nS= ()12 1 8202nun d⇔ +− = ()1 1640 nn⇔ +=21640 0 nn⇔ +− =40 n=⇔=− So vớ i điều kiện, suy ra: 40n= . Vậy có t ất cả 40 hàng cây. Câu 103: Một cầu thang đư ờng lên c ổng tr ời của một điểm giải trí ở công viên t ỉnh X được hàn b ằng sắt có hình dáng các bậ c thang đề u là hình chữ nhật với cùng chi ều rộng là 35cm và chi ều dài c ủa nó theo thứ tự mỗi bậc đều giảm dần đi 7cm. Bi ết rằng bậc đầu tiên c ủa cầu thang là hình chữ nhật có chi ều dài 189cm và bậ c cuối cùng c ầu thang là hình chữ nhật có chi ều dài 63cm. H ỏi giá thành làm c ầu thang đó gầ n với số nào dư ới đây nế u giá thành làm m ột mét vuông c ầu thang đó là 1250000 đồng trên m ột mét vuông? A. 9500000 đồng . B. 11000000 đồng . C. 10000000 đồng . D. 10500000 đồng . Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 23 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có chi ều dài của m ỗi mặ t cầu thang theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng v ới số hạng đầu tiên là 1189u= , công sai 7 d=− và số hạng cu ối cùng là 63nu= . Khi đó áp dụng công th ức tính s ố hạng tổng quát ta có: 1( 1) 63 189 7( 1) 19nuu n d n n =+− ⇔ = − −⇔= Tổng chi ều dài c ủa 19 hình chữ nhật đó là: 1 19 1919. 23942uuS+= = . Diện tích c ủa 19 b ậc thang là: 2235.2394 83790( ) 8,379( )S cm m = = = Tổng s ố tiền để làm cầ u thang đó là: 8,379.1250000 10473750T= = đồng. Vậy chọn đáp án D. Câu 104: Công ty A mu ốn thuê hai m ảnh đấ t để làm 2 nhà kho, m ột mả nh trong vòng10 năm và 1 m ảnh trong vòng 15 năm ở hai ch ỗ khác nhau. Công ty bấ t động s ản C, công ty bấ t động s ản B đ ều muốn cho thuê. Hai công ty đưa ra phương án cho thuê như sau Công ty C: Năm đầu tiên tiề n thuê đấ t là 60 triệ u và kể từ năm thứ hai tr ở đi mỗi năm tăng thêm 3 triệ u đồng. Công ty B: Trả tiền theo quí, quý đầ u tiên là 8 tri ệu đồng và t ừ quý thứ hai tr ở đi m ỗi quý tăng thêm 500000 đồng. Hỏi công ty A nên l ựa chọn thuê đấ t của công ty bất động s ản nào để chi phí là th ấp nhấ t biết rằng các m ảnh đấ t cho thuê về diện tích, độ tiệ n lợi đều như nhau? A. Chọn công ty B để thuê cả hai m ảnh đấ t. B. Chọn công ty C để thuê cả hai m ảnh đấ t. C. Chọn công ty C để thuê đấ t 10 năm, công ty B thuê đấ t 15 năm. D. Chọn công ty B để thuê đấ t 10 năm, công ty C thuê đấ t 15 năm. Lời giải Gọi ,nnBC lần lượt là s ố tiền công ty A c ần trả theo các tính c ủa hai công ty B và C Theo bà i ra ta có : nB là tổng nsố hạng đầu tiên c ủa m ột cấp số cộng v ới 18u= triệu đồng 0,5d= triệu đồng . nC là tổng nsố hạng đầu tiên c ủa m ột cấp số cộng v ới 160u= triệu đồng 3d=triệu đồng . Do đó : N ếu thuê đấ t của công ty B trong vòng 15 năm = 60 quý s ố tiền công ty A phả i trả là 60(2.8 59.0,5).30 1365 B= += triệu đồng Nếu thuê đấ t của công ty C trong vòng 15 năm s ố tiền công ty A phả i trả là 15(2.60 14.3).7,5 1215 C= += triệu đồng Vậy thuê m ảnh đấ t trong vòng 15 năm c ủa công ty C Nếu thuê đấ t của công ty B trong vòng 10 năm = 40 quý s ố tiền công ty A phả i trả là 40(2.8 39.0,5).20 710 B= += triệu đồng CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 24 Sưu t ầm và biên so ạn Nếu thuê đấ t của công t y C trong vòng 10 năm s ố tiền công ty A phả i trả là 10(2.60 9.3).4,5 661,5 C= += triệu đồng Vậy thuê m ảnh đấ t trong vòng 10 năm c ủa công ty. C. Câu 105: Hùng đang ti ết kiệm để mua m ột cây guitar. Trong tu ần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la, và trong m ỗi tu ần tiếp theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoả n tiết kiệm của mình. Cây guitar Hùng c ần mua có giá 400 đô la. H ỏi vào tuầ n thứ bao nhiêu thì anh ấy có đ ủ tiền để mua cây guitar đó? A. 47. B. 45. C. 44. D. 46. Lời giải Sau tu ần đầu, Hùng c ần thêm 358 đô la. Như vậ y Hùng c ần thêm 358 :8 44,75= tuần. Vậy đến tuầ n thứ 46 Hùng đủ tiề n. Câu 106: Một công ti trách nhi ệm hữu hạn thự c hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thứ c sau: Mức lương c ủa quý làm vi ệc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm vi ệc thứ hai, m ức lương s ẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng m ỗi quý. Hãy tính t ổng s ố tiền lương m ột kĩ sư nhậ n được sau 3 năm làm vi ệc cho công ti. A. 83, 7 . B. 78,3 . C. 73, 8 . D. 87,3 . Lời giải Ta có 3 năm bằ ng 12 quý. Gọi 1u,2u, …, 12u là tiề n lương kĩ sư đó trong các quý. Suy ra ()nu là cấ p số cộng v ới công sai 4,5. Vậy số tiền lương kĩ sư nhậ n được là 2un dSn+−=2 4,5 11 0,312 73,82× +×= = . Câu 107: Người ta tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như sau: Hàng th ứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….S ố hàng cây trong khu vư ờn là A. 31. B. 30. C. 29. D. 28. Lời giải Cách tr ồng 465 cây trong m ột khu vư ờn hình tam giác như trên l ập thành m ột cấp số cộng ()nu với số nu là số cây ở hàng th ứ n và 11u= và công sai 1d=. Tổng s ố cây tr ồng đư ợc là: 465nS= ()14652nn+⇔=2930 0 nn⇔ +− =()30 nl=⇔=−. Như v ậy số hàng cây trong khu vư ờn là 30. Câu 108: Trong sân vậ n động có t ất cả 30 dãy ghế , dãy đ ầu tiên có 15 ghế, các dãy li ền sau nhi ều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vậ n động đó có t ất cả bao nhiêu ghế ? A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 . Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 25 Sưu t ầm và biên so ạn Gọi 1 2 30, ,...uu u lần lượ t là s ố ghế của dãy gh ế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy gh ế số ba mươi. Ta có công thứ c truy h ồi ta có ( )14 2,3,...,30nnuu n−=+= . Ký hiệ u:30 1 2 30 ... S uu u=+++ , theo công thứ c tổng các s ố hạng của m ột cấp số cộng, ta đượ c: ( )( )( )30 1302 30 1 4 15 2.15 29.4 21902Su= +− = + = . Câu 109: Cho 4 số thực ,,,abcd là 4 số hạng liên tiế p của một cấp số cộng. Biế t tổng c ủa chúng bằ ng 4 và tổng các bình phương của chúng bằ ng 24. Tính 333 3P abcd=+++ . A. 64P= . B. 80P=. C. 16P=. D. 79P= . Lời giải Theo giả thiết ta có: . Câu 110: Cho c ấp số cộng ( )nu có 14u=. Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của 12 23 31uu uu uu++ ? A. 20 . B. 6. C. 8. D. 24 . Lời giải Ta gọi d là công sai củ a cấp số cộng. ( ) ( )( ) ( )12 23 31 44 4 4 2 44 2 uu uu uu d d d d++=+ + + +++ ( )2 22 24 48 2 6 24 24dd d= + + = + − ≥− Dấu ""= xảy ra khi 6 d=− . Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t của 12 23 31uu uu uu++ là 24−. Câu 111: Một tam gi ác vuông có chu vi bằ ng 3 và độ dài các cạnh lập thành m ột cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam gi ác đó là: A. 15;1;33. B. 17;1;44. C. 35;1;44. D. 13;1;22. Lời giải Gọi d là công sai củ a cấp số cộng và các cạnh có độ dài l ần lượt là ad−, a, ad+ ( )0da<< Vì tam giác có chu vi b ằng 3 nên 33a= 1a⇔= . Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có ( ) ( )22 21 11dd+= −+ 41d⇔=1 4d⇔= . Suy ra ba cạ nh của tam giác có đ ộ dài là 35;1;44. 24ad bcad bcabcd+=+⇒+=+= +++= ( ) ( ) ( )22 222 22 a b c d a d b c ad bc+++=+ ++ − + ( ) ( )22 222 28 ad bc a b c d a d b c⇒ +=+++−+ −+ = − 333 3P abcd=+++ ( )( )( )( )2 2 22a d a ad d b c b bc c=+ −+ ++ −+ ( )222 22a b c d ad bc= +++−− 64= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 26 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 112: Trong hội ch ợ, một công ty sơn mu ốn xếp 1089 hộp sơn theo s ố lượng 1,3,5,... từ trên xu ống dưới. Hàng cu ối cùng có bao nhiêu hộp sơn? A. 63. B. 65. C. 67. D. 69. Lời giải Giả sử 1089 được xếp thành n hàng. T ừ giả thiết ta có s ố hộp sơn trên m ỗi hàng là s ố hạng của một cấp số cộng nu với số hạng đầu 11u công sai 2d. Do đó  1089 1 1089 33nS n nn n      . Vậy số hộp sơn ở hàng cu ối cùng là: 331 32.2 65 u  . Câu 113: Người ta tr ồng 1275 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ 2 có 2 cây, hàng thứ 3có 3 cây,.hàng thứ k có k cây ()1.k≥Hỏi có bao nhiêu hàng ? A. 51. B. 52. C. 53. D. 50. Lời giải Đặt ku là hàng th ứ k Ta có : () 121... 1 2 3 ...2kkkSuu u k+=+++ = ++++= Theo gi ả thiết ta có : () 50 1127551 0 2k kk k= + = ⇔= −< Vậy 50k= nên có 50 hàng. Câu 114: Người ta tr ồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng th ứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba tr ồng 3 cây,….H ỏi có bao nhiêu hàng cây. A. 78. B. 243. C. 77. D. 244. Lời giải Giả sử có n hàng cây. Theo đề bài ta có: 2 77 ( ) .( 1)1 2 3 .... 3003 3003 6006 078 ( ) 2n TM nnn nnnL= ++++ += ⇔ = ⇔ +− =⇔=−. Câu 115: Bà ch ủ quán trà s ữa X muốn trang trí quán cho đ ẹp nên quy ết định thuê nhân công xây m ột bức tường bằng gạch với xi măng, bi ết hàng dư ới cùng có 500 viên, m ỗi hàng ti ếp theo đ ều có ít hơn CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 27 Sưu t ầm và biên so ạn hàng trư ớc 1 viê n và hàng trên cùng có 1 viên. H ỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bứ c tường trên là bao nhiêu viên? A. 25250. B. 250500. C. 12550. D. 125250. Lời giải Ta có s ố gạch ở mỗi hàng là các s ố hạng của 1 cấ p số cộng: 500, 499, 498,., 2, 1. ⇒ Tổng s ố gạch cầ n dùng là t ổng c ủa cấp số cộng trên, bằ ng 500500(500 1)250.501 1252502S+= = = Câu 116: Người ta tr ồng 3240 cây theo m ột hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ hàng thứ hai tr ở đi số cây tr ồng m ỗi hàng nhi ều hơn 1 cây so vớ i hàng li ền trư ớc nó. H ỏi có t ất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81. B. 82. C. 80. D. 79. Lời giải Giả sử trồng đư ợc n hàng cây ( ) 1,nn≥∈. Số cây ở mỗi hàng l ập thành c ấp số cộng có 11u= và công sai 1d=. Theo gi ả thiết: 3240nS= ()12 1 32402nun d⇔ +− = ()1 6480 nn⇔ +=26480 0 nn⇔ +− =80 n=⇔=− So vớ i điều kiện, suy ra: 80n=. Vậy có t ất cả 80 hàng cây. Câu 117: Cho hai c ấp số cộng h ữu hạ n, m ỗi cấp số cộng có 100 s ố hạng là 4, 7, 10, 13, 16,... và 1, 6, 11, 16, 21,... . Hỏi có t ất cả bao nhiêu s ố có m ặt trong c ả hai cấ p số cộng trên? A. 20. B. 18. C. 21. D. 19. Lời giải Cấp số cộng đ ầu tiên có s ố hạng tổng quát là () ()*4 1 .3 3 1 .nu n nn= +− =+ ∈  Cấp số cộng th ứ hai có s ố hạng tổng quát là () ()*1 1 .5 5 4 .mu m mm= +− =− ∈  Ta cầ n có () 3 1 5 4 3 5 1.n m nm+= −⇔ = − Ta th ấy để thỏa mãn yêu cầ u bài toán thì 3 5 5.nn⇔ Vì cấp số cộng có 100 s ố hạng nên t ừ đó suy ra có 20 s ố hạng chung. Câu 118: Sinh nhậ t bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 28 Sưu t ầm và biên so ạn sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền?. Lời giải Số ngày b ạn An để dành ti ền là 31 29 31 30 121+++= ngày. Số tiền bỏ ống heo ngày đầ u tiên là: 1100u= . Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: 2100 1.100u= + . Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: 3100 2.100u= + . Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: ()1 1nuu n d=+− () 100 1 100 n= +− 100n= . Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: 121100.121 u= 12100= . Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu 1100u= , công sai 100d= . Vậy số tiền An tích lũy được là ()121 1 121121 2S uu= + ( )121100 121002= + 738100= đồng. Câu 119: Gọi S là tập hợp tất cả các s ố tự nhiên k sao cho 14kC, 1 14kC+, 2 14kC+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng. Tính t ổng t ất cả các ph ần tử của S. A. 12. B. 8. C. 10. D. 6. Lời giải Điều kiện: , 12 kk 14kC, 1 14kC+, 2 14kC+ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có 14 14 14 2kk kCC C+++= ()()()()()14! 14! 14!2! 14 ! 2 ! 12 ! 1 ! 13 !k kk k k k⇔+ =− +− +− ()()()()()()1 12 14 13 1 2 1 13k kk k k k⇔ +=− − ++ + − ()()()()()() 14 13 1 2 2 14 2k k k k kk⇔ − −++ += − + 2 4 (tm)12 32 08 (tm)kkkk=⇔− += ⇔=. Có 4 8 12.+= Câu 120: Cho 221;;2xy theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng. G ọi ,Mm lần lượt là giá tr ị lớn nhấ t và giá trị nhỏ nhấ t của bi ểu thứ c 23 P xy y= + . Tính SMm= + A. 1. B. 2. C. 3. D. 31 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 29 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải Ta có: 221;;2xy theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng 221 xy+= . Đặt sinxα= , cosyα= . 22 3 1 cos 23 3 sin .cos cos sin222P xy yααα α α+= += + = + 2 1 3 sin2 cos 2P αα ⇔ −= + . Giả sử P là giá tr ị của biểu thức2 1 3 sin2 cos 2P αα ⇒ −= + có nghi ệm. ()()22 2 1321 3 122PP⇔ − ≤ + ⇔− ≤ ≤ . Vậy 31;122Mm S= = −⇒= . Câu 121: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 12018u= và 121n + với mọi 1n≥. Giá tr ị nhỏ nh ất của n 2018nu< bằng A. 4072325 B. 4072324 C. 4072326 D. 4072327 Lời giải Từ giả thiết suy ra 0, 1nun> ∀≥ Ta có 121n +, 1n∀≥⇔ 2 + ⇔ 22 nnuu+= + Đặt 21 u= , khi đó 1 21 2018v= và 11nnvv+= + nên ()nv là cấp số cộng có công sai là 1. ()1 2111 2018nvv n n= + − = +− suy ra 22111 2018nn u= +− . 2018nu< ⇔ 2 nu> ⇔2 21( 1) 2018 2018n−+ > 211 2018 2018n>− + ⇔214072325 2018n>− Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t của n thỏa mãn đi ều kiện là 4072325 . Câu 122: Cho c ấp số cộng ()nucó 13u= và công sai 2d=, và c ấp số cộng ()nvcó 12v= và công sai 3d′=. Gọi ,XY là tập hợp chứa 1000 số hạng đầ u tiên c ủa m ỗi cấp số cộng. Chọn ngẫ u nhiên 2 phần tử bất kỳ trong t ập hợp XY∪. Xác su ất để chọn đư ợc 2 phần tử bằng nhau gầ n với số nào nhấ t trong các s ố dưới đây? Lời giải Chọn ng ẫu nhiên 2 phần tử bất kỳ trong t ập hợp XY∪ta có 2 2000C cách ch ọn. Gọi 2phần tử bằng nhau trong ,XY là ku và lv. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 30 Sưu t ầm và biên so ạn Do kluv= ()() 32 1 23 1 kl+ −=+ −  312lk= − Do 1 1000k≤≤  1 667l≤≤ . Mặt khác 2lx=  1333,52x≤≤  có 333 số Vậy xác su ất để chọn đư ợc 2 phần tử bằng nhau là: 4 20003331,665832916.10C−≈ . Câu 123: Nếu 2a+, b, 2c theo thứ tự lập thành c ấp số cộng thì dãy s ố nào sau đây l ập thành c ấp số cộng? A. 4b−; 24a−− ; 4c. B. 22a−− ; 2b−; 42c−− . C. 2b+; 2a; 22c+. D. 24a+; 4b; 4c. Lời giải Ta có 22 2a cb++ = ()() 2 2 2 2. 2ac b⇒− + + =− ()()() 2 2 4 2 22ac b⇔− − +− − = − . Vậy 22a−− , 2b−, 42c−− theo thứ tự lập thành c ấp số cộng. Câu 124: Cho m ột cấp số cộng nu có 15 u và tổng c ủa 40 số hạng đầu là 3320 . Tìm công sai c ủa cấp số cộng đó. A. 4−. B. 8. C. 8−. D. 4. Lời giải Gọi d là công sai của cấ p số cộng. Ta có t ổng 40 số hạng đầ u của cấp số cộng là:  1 4040 2 3933202udS .   40 2.5 393320 42dd   . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 47 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN 1. ĐỊNH NGHĨA: Cấp số nhân là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô h ạn) mà trong đó, kể từ số hạng th ứ hai, mỗi số hạng đều là tích c ủa số hạng đứng ngay trư ớc nó vớ i một s ố không đổi q.Nghĩa là: 1nnu uq+= với *n.∈ Số q được gọi là công b ội của cấp số nhân. Đặc biệt: • Khi 0q,= cấp số nhân có dạ ng 100 0u , , , ..., , ... • Khi 1q,= cấp số nhân có dạ ng 111 1u , u , u , ..., u , ... • Khi 10u= thì v ới mọi q, cấp số nhân có dạ ng 000 0, , , ..., , ... Chú ý: Trong m ột cấp số nhân, bình phương c ủa mỗi số hạng đề u là tích của hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 k kku u .u−+= với 2k.≥ 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lý 1: N ếu cấp số nhân ()nu có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được xác đ ịnh bở i công thứ c nu u .q−= với 2n.≥ 3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Giả sử ()nu là m ột cấp số nhân vớ i công bội 1q.≠ Đặt 12 nnS u u ... u .=+++ Khi đó () 11 Chú ý: Nếu 1q= thì c ấp số nhân là 111 1u , u , u , ..., u , ... khi đó 1 nS nu .= CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN LÝ THUY ẾT. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 48 Sưu t ầm và biên so ạn Dạng 1: Chứng minh m ột dãy là cấ p số nhân. Dạng 2. Xác đ ịnh các đại lượ ng của cấp số nhân Dạng 3. Tổng n s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân Dạng 4. M ột số bài toán liên quan đế n cấp số nhân DẠNG 1: CH ỨNG MINH M ỘT DÃY LÀ C ẤP SỐ NHÂN. + Ch ứng minh 1nnu u q, n *+= ∀∈  trong đó q là một s ố không đổi. + Nếu 0 *nun≠ ∀∈  thì nu là m ột cấp số nhân 1: *n nuq const nu+⇔ = ∀∈  + Để chứng minh dãy không phả i là c ấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba s ố hạng liên tiế p không t ạo thành c ấp số nhân, ch ẳng hạn 3 2 + Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lậ p thành CSN, ta chứ ng minh 2ac b= hoặc b ac= Câu 1: Chứng minh r ằng dãy s ố ( )( )213n n nnv :v .= − là m ột cấp số nhân. Câu 2: Giá tr ị của a để 11; ; 5 125a−− theo thứ tự lập thành c ấp số nhân? DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠ I LƯ ỢNG C ỦA CẤ P SỐ NHÂN Vận dụng các công thức ở định nghĩa, s ố hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân. Câu 3: Cho c ấp số nhân ( )nuvới công bội q < 0 và 2449 u ,u= = . Tìm 1u. Câu 4: Cho c ấp số nhân ( )nu biết 15 26 51 102 u u ;u u+= += . Hỏi số 12288 là s ố hạng thứ mấy của cấp số nhân( )nu? Câu 5: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 uu= =. ( )nu HỆ THỐNG BÀI T ẬP. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 49 Sưu t ầm và biên so ạn a) Vi ết năm s ố hạng đầu của cấp số nhân: b) Số 2 6561 là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số? Câu 6: Cho t ứ giác ABCD có 4 góc t ạo thành 1 c ấp số nhân có công bội b ằng 2. Tìm 4 góc ấy Câu 7: Cho 5 s ố lập thành m ột cấp số nhân. Bi ết công b ội bằng m ột phầ n tư s ố hạng đầu tiên và t ổng 2 số hạng đầu bằng 8. DẠNG 3: T ỔNG N S Ố HẠNG ĐẦ U TIÊN C ỦA CẤ P SỐ NHÂN Ghi nhớ công thức ()()11 S ,q .q− Câu 8: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, s ố hạng th ứ hai b ằng 54 và s ố hạng cu ối bằng 39366. Câu 9: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 uu= =.Tính t ổng 10 s ố hạng đầu của cấp số; Câu 10: Tính các t ổng sau: 22 211 124 224 2n n nS ...   = ++ ++ ++       Câu 11:  88 88 888 ... 88...8n n soS=+ + ++ DẠNG 4: M ỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾ N CẤP SỐ NHÂN Câu 12: Chu kì bán rã c ủa nguyên t ố phóng x ạ poloni 210 là 138 ngày . Tính khối lư ợng còn l ại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày . Câu 13: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên c ủa m ỗi tầng bằng nữa diện tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa đế tháp . Tính di ện tích m ặt trên cùng. Câu 14: Một du khách vào trư ờng đua ngự a đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, m ỗi lần sau ti ền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trư ớc. Ngư ời đó thua 9 lần liên ti ếp và thắ ng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? Câu 15: Tìm m đ ể phương trình sau có 3 nghi ệm l ập thành CSN. ()()325 65 6 0 x mx mx m+− +− − = PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 50 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 16: Một ngư ời bắt đầu đi làm đư ợc nhận được số tiền lương là 7000000đ m ột tháng. Sau 36 tháng người đó đư ợc tăng lương 7%. H ằng tháng ngư ời đó ti ết kiệm 20% lương đ ể gửi vào ngân hàng với lãi su ất 0,3%/tháng theo hình thứ c lãi kép. Bi ết rằng ngư ời đó nhậ n lương vào đầ u tháng và số tiền tiết kiệm đư ợc chuy ển ngay vào ngân hàng. a) Hỏi sau 36 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? b) Hỏi sau 60 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN 1. ĐỊNH NGHĨA: Cấp số nhân là m ột dãy s ố (hữu hạn hoặ c vô h ạn) mà trong đó, kể từ số hạng th ứ hai, mỗi số hạng đều là tích c ủa số hạng đứng ngay trư ớc nó vớ i một s ố không đổi q.Nghĩa là: 1nnu uq+= với *n.∈ Số q được gọi là công b ội của cấp số nhân. Đặc biệt: • Khi 0q,= cấp số nhân có dạ ng 100 0u , , , ..., , ... • Khi 1q,= cấp số nhân có dạ ng 111 1u , u , u , ..., u , ... • Khi 10u= thì v ới mọi q, cấp số nhân có dạ ng 000 0, , , ..., , ... Chú ý: Trong m ột cấp số nhân, bình phương c ủa mỗi số hạng đề u là tích của hai s ố hạng đứng kề với nó, nghĩa là 11 k kku u .u−+= với 2k.≥ 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lý 1: N ếu cấp số nhân ()nu có số hạng đầu 1u và công bội q thì số hạng tổng quát nu được xác đ ịnh bở i công thứ c nu u .q−= với 2n.≥ 3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Giả sử ()nu là m ột cấp số nhân vớ i công bội 1q.≠ Đặt 12 nnS u u ... u .=+++ Khi đó () 11 Chú ý: Nếu 1q= thì c ấp số nhân là 111 1u , u , u , ..., u , ... khi đó 1 nS nu .= CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN LÝ THUY ẾT. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn Dạng 1: Chứng minh m ột dãy là cấ p số nhân. Dạng 2. Xác đ ịnh các đại lượ ng của cấp số nhân Dạng 3. Tổng n s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân Dạng 4. M ột số bài toán liên quan đế n cấp số nhân DẠNG 1: CH ỨNG MINH M ỘT DÃY LÀ C ẤP SỐ NHÂN. + Ch ứng minh 1nnu u q, n *+= ∀∈  trong đó q là một s ố không đổi. + Nếu 0 *nun≠ ∀∈  thì nu là m ột cấp số nhân 1: *n nuq const nu+⇔ = ∀∈  + Để chứng minh dãy không phả i là c ấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba s ố hạng liên tiế p không t ạo thành c ấp số nhân, ch ẳng hạn 3 2 + Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lậ p thành CSN, ta chứ ng minh 2ac b= hoặc b ac= Câu 1: Chứng minh r ằng dãy s ố ( )( )213n n nnv :v .= − là m ột cấp số nhân. Lời giải ( )( ) ( )121 nv,nv++ +−= = −∀∈ −. Vậy ( )( )213n n nnv :v .= − là m ột cấp số nhân. Câu 2: Giá tr ị của a để 11; ; 5 125a−− theo thứ tự lập thành c ấp số nhân? Lời giải Ta có: 2 111 1.5 125 625 25aa  = − − = ⇔= ±     DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠ I LƯ ỢNG C ỦA CẤ P SỐ NHÂN Vận dụng các công thức ở định nghĩa, s ố hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân. HỆ THỐNG BÀI T ẬP. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 3: Cho c ấp số nhân ()nuvới công bội q < 0 và 2449 u ,u= = . Tìm 1u. Lời giải Vì 200q ,u<> nên30u<. Do đó 3 24 49 6 u u .u .= − = −= − ; 2 13 1 63uu u .u uu= ⇒= = = −−. Chọn đáp án A Câu 4: Cho c ấp số nhân ()nu biết 15 26 51 102 u u ;u u+= += . Hỏi số 12288 là s ố hạng thứ mấy của cấp số nhân()nu? Lời giải Gọi q là công b ội của cấ p số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có 2611 51 512 3 32102 1 102n nuq uuq u u.uu uq q−+= += ⇔ ⇒=⇒=⇒ = += +=  . Mặt khác 1 1 1212288 3 2 12288 2 2 13nn nu. n−−= ⇔ = ⇔ = ⇔= . Câu 5: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 uu= a) Vi ết năm s ố hạng đầu của cấp số nhân: b) Số 2 6561 là số hạng th ứ bao nhiêu c ủa cấp số? Lời giải Gọi q là công b ội của cấ p số. Theo gi ả thiết ta có: 1 1122 1 2727 312 243. 243uquq q u uq uq q = = =  ⇔⇔     = = =   a)Năm s ố hạng đầu của cấp số là:12 3 4 522 2 22, , ; ,3 9 27 81uu u u u= = = = = . b)Ta có: 18 1223 6561 3 96561 3n nn nuu n− −= ⇒ = ⇔ = = ⇒= 6561 là số hạng th ứ 9 của cấp số. Câu 6: Cho t ứ giác ABCD có 4 góc t ạo thành 1 c ấp số nhân có công bội b ằng 2. Tìm 4 góc ấy Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn 4 1 1234 11360 360 241 2 22qU UUUU Uq q qq−=   +++= = ⇔⇔−  = =   = Vậy 4 góc là : 24, 48, 96, 192. Câu 7: Cho 5 s ố lập thành m ột cấp số nhân. Bi ết công b ội bằng m ột phầ n tư s ố hạng đầu tiên và t ổng 2 số hạng đầu bằng 8. Lời giải 12 111 8 4 324 1 124 41U UU UUU qU q qU q= −  +=   += =   ⇔⇔  = =− =     = Vậy CSN là : -8, 16, - 32, 64, -128; 4,4,4,4,4 DẠNG 3: T ỔNG N S Ố HẠNG ĐẦ U TIÊN C ỦA CẤ P SỐ NHÂN Ghi nhớ công thức ()()11 S ,q .q− Câu 8: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, s ố hạng th ứ hai b ằng 54 và s ố hạng cu ối bằng 39366. Lời giải 1218 54 3u ,u q .= = ⇒= 1 1 17 1 39366 39366 18 3 39366 3 3 8n nn nu u .q . n− −−= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔= . 81318 5904013S.−= =−. Câu 9: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa: 4 uu= =.Tính t ổng 10 s ố hạng đầu của cấp số; Lời giải Gọi q là công b ội của cấ p số. Theo gi ả thiết ta có: PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn 3 1 1122 1 2727 312 243. 243uquq q u uq uq q = = =  ⇔⇔     = = =   Tổng 10 s ố hạng đầu của cấp số 10 1111 3 1 590482. 3 11 1 3 1968313qSuq−  −  = = = −= − −. Câu 10: Tính các t ổng sau: 22 211 124 224 2n n nS ...   = ++ ++ ++       Lời giải. ( )24 2 24 211 122 22 2 222 2 11 122 2 222 2 1114 1 4 1 1 44 2 421 14 4 3 414n nS ... ... ... n . n n.= + ++ + +++ + + = +++ + + ++ +  −−− = + + = −+ − − Câu 11:  88 88 888 88 8n n soS ... ... =+ + ++ Lời giải. 2389 99 999 99 99 810 1 10 1 10 1 10 19n nS ... ...= ++ + = −+ −+ −+ + − ()23 810 10 10 109 80 10 1 8 1 10 8109 1 10 81 9n nn... n . n n.= + + ++ − − −= −= −− DẠNG 4: M ỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾ N CẤP SỐ NHÂN PHƯƠNG PHÁP . BÀI T ẬP TỰ LUẬN. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 12: Chu kì bán rã c ủa nguyên t ố phóng x ạ poloni 210 là 138 ngày . Tính khối lư ợng còn l ại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày . Lời giải Kí hi ệu nu là kh ối lượng còn l ại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã. Ta có 7314 ngày g ồm 53 chu kì bán rã. Theo đề bài ra, ta cầ n tính 53u. Từ giả thiết suy ra dãy (nu) là m ột cấp số nhân vớ i số hạng đầu là 120102u= = và công b ội q=0,5. Do đó 52 53110 2 22 102u . ,.− = ≈. Câu 13: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên c ủa m ỗi tầng bằng nữa diện tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa đế tháp . Tính di ện tích m ặt trên cùng. Lời giải Diện tích bề mặt của mỗi tầ ng lập thành m ột cấp số nhân có công bội 1 2q= và 1122886 1442u.= = Khi đó di ện tích m ặt trên cùng là 11 1 10614462u uq . = = = Câu 14: Một du khách vào trư ờng đua ngự a đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, m ỗi lần sau ti ền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trư ớc. Ngư ời đó thua 9 lần liên ti ếp và thắ ng ở lần thứ 10. Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu? Lời giải Số tiền du khác đặ t trong m ỗi lần là m ột cấp số nhân có 120 000u= và công b ội 2q.= Du khách thua trong 9 l ần đầu tiên nên t ổng s ố tiền thua là: 9 12 91 102200001up S u u ... up− =+++= =− Số tiền mà du khách thắ ng trong l ần thứ 10 là 9 10 1 10240000 u u .p= = Ta có 10 9 20 000 0 uS−= > nên du khách thắ ng 20 000. Câu 15: Tìm m đ ể phương trình sau có 3 n ghiệm l ập thành CSN. ()()325 65 6 0 x mx mx m+− +− − = Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn ()() ()()32 25 65 6 0 5 6 0 3x mx mx m x m x x x+− +− − = ⇔− ++= ⇔= − Để 3 nghi ệm lập thành CSN xét 3 TH TH1: 2 632 6 6 6mmm m m=− < <− ⇒ = ⇔ ⇒ =−  TH2: 432 433m mm− <− < ⇒ =− ⇔ =− TH3: 93 29 22m mm <− <− ⇒ =− ⇔ =− Vậy có 3 giá tr ịn của m th ỏa mãn Câu 16: Một người bắt đầu đi làm đư ợc nhận được số tiền lương là 7000000đ m ột tháng. Sau 36 tháng người đó đư ợc tăng lương 7%. H ằng tháng ngư ời đó ti ết kiệm 20% lương đ ể gửi vào ngân hàng với lãi su ất 0,3%/tháng theo hình thứ c lãi kép. Bi ết rằng ngư ời đó nhậ n lương và o đầu tháng và số tiền tiết kiệm đư ợc chuy ển ngay vào ngân hàng. a) Hỏi sau 36 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? b) Hỏi sau 60 tháng t ổng s ố tiền ngư ời đó ti ết kiệm đư ợc là bao nhiêu? Lời giải a) Đặt 7.000.000a= , 20%m= , 0,3%n= , 7%t= . Hết tháng th ứ nhất, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là 1 1 (1 ) T am n= + . Hết tháng th ứ hai, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là 21( )(1 ) (1 ) (1 ) T T am n am n am n=+ += + + + . Hết tháng th ứ 36, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là 36(1 ) 1(1 ) (1 ) ... (1 ) .(1 )nT am n am n am n am nn+−=+ ++ + ++ =+ Thay s ố ta đư ợc 3653 297 648,73 T≈ . b) Hết tháng th ứ 37, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là 37 36 36 (1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) .(1 ) T T a tm n T n a tm n=++ + = +++ + Hết tháng th ứ 38, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn [ ]22 38 37 36 (1 ) (1 ) .(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) T T a tm n T n a tm n n  = ++ + = +++ ++ +. Hết tháng th ứ 60, ngư ời đó có t ổng s ố tiền tiết kiệm là 24 24 23 36(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) .(1 ) .T T n a tm n n n nT n a tm nn = + + + + ++ +++ +−= + ++ + Thay s ố và tính ta đư ợc tổng s ố tiền tiết kiệm sau 60 tháng c ủa ngư ời đó là: 6094 602156,59 T≈ . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 51 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN Câu 1: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? A. 1; 1; 1; 1−− . B. 1; 3; 9;10− . C. 1; 0; 0; 0 . D. 32; 16; 8; 4 . Câu 2: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 3;9; 27;54−− . B. 1;2;4;8;16 . C. 1; 1;1; 1;1−− . D. 1; 2;4; 8;16−− . Câu 3: Trong các dãy s ố cho dư ới đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? A. 1; 2;3; 4;5 . B. 1;3; 6;9;12 . C. 2; 4; 6;8;10 . D. 2; 2; 2; 2; 2 . Câu 4: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 1;2;3;4;5;6;... . B. 2;4;6;8;16;32;... . C. 2; 3; 4; 5; 6; 7;...−−−−−− . D. 1;2;4;8;16;32;... . Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 128 64 32 16 8; ; ; ; ; ...−− B. 22442; ; ; ; .... C. 5678; ; ; ; ... D. 115 5 15; ; ; ; ... Câu 6: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải là một c ấp số nhân? A. 2 4 8 16; ; ; ;  B. 11 11; ; ; ; −−  C. 2222123; ; ; 4 ;  D. ()3570 a; a ; a ; a ; a . ≠ Câu 7: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? A. 1248; ; ; ;  B. 23433 3 3; ; ; ;  C. 114224; ; ; ;  D. 24611 1 1; ; ; ; π πππ Câu 8: Dãy s ố 33n nu.= + là m ột cấp số nhân vớ i: A. Công bội là 3 và s ố hạng đầ u tiên là 1. B. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 1. C. Công bội là 4 và s ố hạng đầ u tiên là 2. D. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 2. CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 52 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 9: Cho dãy s ố ()nu với 352n nu ..= Khẳng định nào sau đây đúng? A. ()nu không ph ải là c ấp số nhân. B. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 13 C. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 115 D. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5 2q= và số hạng đầu 13u.= Câu 10: Chọn cấp số nhân trong các dãy s ố sau: A. 1; 0, 2; 0,04; 0,0008; ... B. 2; 22; 222;2222; ... C. ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .xxxx D. 24 61 ; ; ; ; . . . xx x−− Câu 11: Trong các s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân: A. 1, 3,9, 27,81.−− B. 1 ,3 ,6 ,9 ,1 2 .−−−− C. 1 ,2 ,4 ,8 ,1 6 .−−−− D. 0,3,9, 27,81. Câu 12: Xác đ ịnh x để 3 số 2 ; 1 ; 3xx x−+− theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: A. Không có giá tr ị nào c ủa .x B. 1. x=± C. 2.x= D. 3. x=− Câu 13: Xác đ ịnh x để 3 số 2 1 ; ; 2 1x xx−+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: A. 1.3x=± B. 3. x=± 3x=± D. Không có giá tr ị nào c ủa x. Câu 14: Trong các dãy s ố ()nu sau, dãy nào là c ấp số nhân? A. 21nunn= ++ . B. ()23n nun.= + . .u ,nu+= = ∀∈ D. ()214n nu+= − . Câu 15: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số nhân? 11.1, 1nnu uu n  B. 1 11.3 , 1nnu u un  C. 1 12.2 3, 1nnu u un D. 12. sin , 1      Câu 16: Cho dãy s ố nu với 3.5 .2n nu Khẳng định nào sau đây đúng? A. nu không ph ải là c ấp số nhân. B. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 13.2u C. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 115.2u D. nu là cấ p số nhân có công bội 5 2q và số hạng đầu 13. u CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 53 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 17: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 21.3n nu B. 11. 3n nu C. 1.3nun D. 21.3nun Câu 18: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 7 3.nun B. 7 3.n nu C. 7.3nun D. 7.3 .n Câu 19: Cho dãy s ố nu là một cấp số nhân vớ i *0, .nun Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số A. 135; ; ; ...uuu B. 12 33 ; 3 ; 3 ; ...uu u 123111; ; ; ...uuu D. 1232; 2; 2; ... uuu Câu 20: Trong các dãy s ố ()nusau đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? A. nun=3. B. n nu=2. C. nun=1. D. n nu= +21 . Câu 21: nu được cho bở i công thứ c nào dưới đây là s ố hạng tổng quát c ủa m ột cấp số nhân? 2n nu+= . B. 21 2nun= − . C. 112n nu= − . D. 21 2nun= + . Câu 22: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là c ấp số nhân? A. ()1n nun= − . B. 2 nun=. C. 2n nu=. D. 3n nnu= . Câu 23: Cho dãy s ố nucó số hạng tổng quát là 1*3.2 n nun  . Chọn kế t luận đúng: A. Dãy s ố là c ấp số nhân có s ố hạng đầu 112u . B. Dãy s ố là cấ p số cộng có công sai 2d. C. Dãy s ố là c ấp số cộng có s ố hạng đầu 16 u. D. Dãy s ố là c ấp số nhân có công bội 3q. Câu 24: Dãy nào sau đây là m ột cấp số nhân? Câu 25: Cho dãy s ố: 1 11 11 ; ; ; ; 3 9 27 81−− − . Khẳng đị nh nào sau đây là sai ? A. Dãy s ố không phả i là một c ấp số nhân. B. Dãy s ố này là c ấp số nhân có 111; q=3= −−u . C. Số hạng tổng quát. ()111.3−= −n D. Là dãy s ố không tăng, không gi ảm. Câu 26: Tập hợp các giá tr ị x thỏa mãn ,2 , 3x xx+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân là A. {}0;1. B. ∅. C. {}1. D. {}0 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 54 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 27: Có bao nhiêu giá tr ị nguyên dương c ủa x để ba số 1; ; 2xx+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Câu 28: Tìm tấ t cả các giá tr ị của x để ba số 2 1, , 2 1x xx−+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. 3x=± B. 1 3x=± C. 3 x=± D. 3 x=± Câu 29: Trong các phát bi ểu sau, phát bi ểu nào là sai ? A. Dãy s ố có t ất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số nhân. B. Dãy s ố có tất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số cộng. C. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố tăng. D. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố dương. Câu 30: Xác đ ịnh x dương để 23−x ; x; 23+x lập thành c ấp số nhân. A. 3x=. B. 3 x= . C. 3 x=± . D. không có giá tr ị nào c ủax. Câu 31: Giả sử sin 6α, cosα, tanα theo thứ tự đó là m ột cấp số nhân. Tính cos 2α. 2. B. 3 2− . C. 1 2. D. 1 Câu 32: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là 23411 1 1; ; ; ;...3333Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là 3n− B. 21 3n+. C. 1 3n. D. 11 Câu 33: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Số hạng tổng quát nu ()2n≥ bằng Câu 34: Cho dãy s ố ()nu biết 1 * 13,3nnunNuu+=∀∈ =. Tìm s ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố ()nu. A. 3=n nu . B. 1+=n nun . C. 13+=n nu . D. 13−=n Câu 35: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 12 2 2,nnu uu u u un+= −++ = ∀∈ . Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của n để 20212nu≥ . A. 2021 . B. 1012 . C. 2022 . D. 1011 . DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN Câu 36: Cho cấp số nhân ()nuvới 11u= và 22 u=. Công bội của cấp số nhân đã cho là 2q=. B. 2q=. C. 2 q=− . D. 1 2q=− . Câu 37: Cho cấp số nhân ()nu với 13u= và 29u=. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. 6−. B. 1 3. C. 3. D. 6. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 55 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 38: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và 212u=. Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng A. 9. B. 9−. C. 1 4. D. 4. Câu 39: Cho c ấp số nhân ()nuvới 13u= và 215. u= Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho bằ ng A. 12− . B. 1 5. C. 5. D. 12. Câu 40: Cho c ấp số nhân ()nu với 12=u và 26=u . Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng A. 3. B. 4−. C. 4. D. 1 Câu 41: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Giá tr ị của 2u bằng A. 8. B. 9. C. 6. D. 3 Câu 42: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị của 2u bằng A. 6. B. 9. C. 8. D. 2 Câu 43: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 4q=. Giá tr ị của 2u bằng A. 64. B. 81. C. 12. D. 3 Câu 44: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 2u= và 616u=. 2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 2q=− . Câu 45: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 11u=, 464u= . Tính công bội q của cấp số nhân đã cho A. 4q=. B. 4 q=− . C. 21q= . D. 22q= . Câu 46: Cho cấp số nhân nu có 1 2 u và 5 162 u .Công bội q bằng: A. 3 q . B. 3q. C. 3; 3qq  . D. 2 q . Câu 47: Cho c ấp số nhân ()nu có 12u= và 454u= . Giá tr ị của công bội q bằng A. 3. B. 9. C. 27. D. 3−. Câu 48: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Tìm s ố hạng thứ 4 của cấp số nhân? A. 24. B. 54. C. 162. D. 48. Câu 49: : Cấp số nhân ()nu có 459, 81uu= = có công bội là A. 3. B. 72. C. 18. D. 9. Câu 50: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 2u= và 616u=. 2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 2q=− . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 56 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 51: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và 6486 u= . Công bội q bằng A. 3q=. B. 5q=. C. 3 2q=. D. 2 Câu 52: Cho c ấp số nhân ()nu với 171; u 322= −= −u . Tìm q ? 2=±q . B. 2=±q . C. 4=±q . D. 1=±q . Câu 53: Biết ba số 2; 8;xx theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Giá tr ị của x bằng A. 4 x B. 5 x C. 2 x D. 1 x Câu 54: Cho c ấp số nhân ()nucó công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các h ệ thức sau: A. 2 1.++=k k k u u u B. 21 1+−+=k k ku uu . ku uq−= D. ()1 1.kuu k q=+− Câu 55: Cho dãy s ố ()nuxác đ ịnh bở i: + n n u uu . Chọn hệ thức đúng: A. ()nu là cấ p số nhân có công bội 1.10q=− B. 11( 2) .10n nu−= − 21 1+−+=n n nu uu ()2n≥. D. 1 1.+−=n n n uu u ()2n≥. Câu 56: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 3q=. Tính 5?u A. 527.16u−= B. 516.27u−= C. 516.27u= D. 527.16u= Câu 57: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 3q=. Số 24396− là số hạng th ứ mấy của cấ p số này? A. Thứ 5. B. Thứ 6. C. Thứ 7. D. Không ph ải là s ố hạng của cấp số. Câu 58: Cho c ấp số nhân có 21 4u=; 516u=. Tìm q và 1u. A. 111; .22qu= = B. 111; .22qu= −= − C. 114; .16qu= = D. 114; .16qu= −= − Câu 59: Với x là số nguyên dương, ba s ố 2,3 3 ,5 5xx x++ theo thứ tự là ba s ố hạng liên tiế p của một cấp số nhân. S ố hạng tiếp theo c ủa cấp số nhân đó là A. 250 3− . B. 250 3. C. 250. D. 250− . Câu 60: Cho ba số thực ,,xyz trong đó 0x≠. Biết rằng ,2 ,3xyz lập thành cấp số cộng và ,,xyz lập thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó. = B. 1 = C. 2q= D. 1q= CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 57 Sưu t ầm và biên so ạn DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN Câu 61: Cho c ấp số nhân ()nu có 1 2 u=− và công bội 3q=. Số hạng 2u là: A. 2 6 u=− . B. 26 u=. C. 21u=. D. 2 18 u=− . Câu 62: Cho c ấp số nhân ()nu có 52 u= và 96 u=. Tính 21u. A. 18. B. 54. C. 162. D. 486. Câu 63: Cho c ấp số nhân ()nucó số hạng đầ u 12u= và công bội 5q=. Giá tr ị của 68uu bằng Câu 64: Cho c ấp số nhân ()nu có 13u=, công bội 2q=. Ta có 5u bằng A. 24. B. 11. C. 48. D. 9. Câu 65: Cho c ấp số nhân ()nu có công bội dương và 21 4u=, 44 u=. Giá tr ị của 1ulà 6u=. B. 11 16u= . C. 11 16u=− . D. 11 Câu 66: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị 2019u bằng Câu 67: Cho c ấp số nhân ()1; 1, 2nuu q= = . Hỏi số 1024 là số hạng th ứ mấy? A. 11. B. 9. C. 8. D. 10. Câu 68: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 15u= và công bội 2 q=− . Số hạng thứ sáu c ủa ()nu là A. 6320 u= . B. 6 160 u=− . C. 6 320 u=− . D. 6160u= . Câu 69: Tìm s ố hạng đầ u 1u của cấ p số nhân ()nu biết rằng 123 168 uuu++= và 456 21 uuu++= A. 124u= . B. 11334 11u= . C. 196u= . D. 1217 Câu 70: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 = +. Tính s ố hạng thứ 2018 của dãy s ố trên A. 2017 2018 6.2 5 u= − . B. 2018 2018 6.2 5 u= − . C. 2017 2018 6.2 1 u= + . D. 2018 2018 6.2 5 u= + . Câu 71: Cho ()nu là cấp số nhân, công bội 0.q> Biết 131, 4 .uu= = Tìm 4u. 2. B. 2. C. 16. D. 8. Câu 72: Cho c ấp số nhân (),1≥nun với công b ội 2q= và có s ố hạng th ứ hai 25.=u Số hạng th ứ 7 của cấp số nhân là A. 7320=u . B. 7640=u . C. 7160=u . D. 780=u . Câu 73: Cho m ột cấp số nhân có s ố hạng th ứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu tiên. T ổng hai s ố hạng đầ u tiên là 34. S ố hạng thứ 3 của dãy s ố có giá tr ị bằng: A. 1. B. 512. C. 1024 . D. 32. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 58 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 74: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 112u=, 3 u= . Tìm 9u. 2187u= . B. 94 6563u= . C. 978732u= . D. 94 2187u= . Câu 75: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầu tiên là 51n nS= − với 1, 2,...n= . Tìm s ố hạng đầu 1u và công bội q của cấ p số nhân đó? A. 15u=, 4q=. B. 15u=, 6q=. C. 14u=, 5q=. D. 16u=, 5q=. Câu 76: Cho c ấp số nhân ()nu biết 42 −=. Tìm s ố hạng đầu 1u và công bội q của cấ p số nhân A. 19u=; 2q=. B. 19u=; 2 q=− . C. 1 9 u=− ; 2 q=− . D. 1 9 u=− ; 2q=. Câu 77: Xen gi ữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có 13u=. Khi đó 5u là: A. 72. B. 48−. C. 48±. D. 48. Câu 78: Cấp số nhân ()nu có 20 17 158.272uu += Tìm 1u, biết rằng 1100u≤ . A. 116.u= B. 12.u= C. 1 16. u=− D. 1 2. u=− Câu 79: Cho c ấp số nhân 1 1 u=− , 60,00001 u= . Khi đó q và số hạng tổng quát là? 10q= ,11 10n nu−−= . B. 1 10q−= ,110n nu−=− . 10q−= ,() n nu−−= . D. 1 10q= ,11 10n nu−= . Câu 80: Cho c ấp số nhân nu có 21 4u=, 516u= . Tìm công bội q và số hạng đầu 1u. 2q=, 11 2u=. B. 1 2q=− , 11 2u=− . C. 4 q=− , 11 16u=− . D. 4q=, 11 16u= . Câu 81: Cho c ấp số nhân có s ố hạng đầu 1 2, u=− công bội 3 4q=. Số 81 128− là số hạng th ứ mấy của cấp số này? A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Câu 82: Cho dãy s ố 4,12,36,108,324,... . Số hạng thứ 10 c ủa dãy s ố đó là? A. 73872 . B. 77832 . C. 72873 . D. 78732 . Câu 83: Cho t ứ giác ABCD có bốn góc t ạo tành c ấp số nhân có công bội 2q=, góc có s ố đo nhỏ nhất trong bốn góc đó là: A. 01 B. 030 C. 012 D. 024 Câu 84: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 135 325uuu uu−+= +=. Tính 3.u A. 315u=. B. 325 u= . C. 310u=. D. 320 u= . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 59 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 85: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầ u tiên l à 61n nS= − . Tìm số hạng thứ năm của c ấp số nhân đã cho. A. 120005. B. 6840. C. 7775. D. 6480. Câu 86: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 11.25nnu = + Tìm s ố hạng thứ 2020 của dãy. A. 2020 2020 3.2 5. u= − B. 2019 2020 3.2 5. u= + C. 2019 2020 3.2 5. u= − D. 2020 2020 3.2 5. u= + Câu 87: Số hạng đầ u và công bội q của CSN vớ i 7 105, 135 uu= −= là: A. 15,3729uq= =− . B. 15,3729uq= −= . C. 15,3729uq= = . D. 15,3729uq= −= − . Câu 88: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12u=; 12 31nnuu n−= +− . Tìm s ố hạng th ứ 2019 của dãy A. 2019 20195.2 6062. u= − B. 2019 20195.2 6062. u= + C. 2020 20195.2 6062. u= − D. 2020 20195.2 6062. u= + Câu 89: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 11 2341; , 12 32         nnnuu u nnn. Giá tr ị của 50u gần nhấ t với số nào dư ới đây? A. 312540600 . B. 312540500 . C. 212540500 . D. 212540600 . DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 90: Cho c ấp số nhân ()nu có 13 u=− và 2 q=− . Tính tổng 10 số hạng đầ u tiên c ủa cấp số nhân. A. 10 511 S=− . B. 101023 S= . C. 101025 S= . D. 10 1025 S=− . Câu 91: Cho m ột cấp số nhân có các s ố hạng đều không âm thỏa mãn 26 u=, 424 u= . Tính t ổng c ủa 12 số hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân đó. Câu 92: Cho dãy ()nu với 112n nu= +, *n∀∈. Tính 2019 1 2 3 2019 ... S uuu u=++++ , ta đư ợc kết quả A. 2019120202− . B. 4039 2. C. 2019120192+ . D. 6057 Câu 93: Cho cấp số nhân ()nu có 312u= , 548 u= , có công b ội âm. T ổng 7số hạng đầu của cấn số nhân đã cho bằ ng A. 129. B. 129− . C. 128. D. 128− . Câu 94: Cho ()nu là cấp số nhân, đặt 12 ...nnS uu u=+++. Biết 234; 13 SS= =và 20u<, giá trị 5S bằng A. 2. B. 181 16. C. 35 16. D. 121. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 60 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 95: Giá tr ị của tổng 2 20181 3 3 ... 3S=++ ++ bằng A. 201931 2S−= . B. 201831 2S−= . C. 202031 2S−= . D. 201831 2S−=− . Câu 96: Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .4b Sa= + + ++ =+ Tính .4bPa= + A. 1.P B. 2.P C. 3.P D. 4.P Câu 97: Cho cấp số nhân ()nu có 24 S= và 313.S= Tìm 5.S A. 5121S= hoặc 5181.16S= B. 5121S= hoặc 535.16S= C. 5114S= hoặc 5185.16S= D. 5141S= hoặc 5183.16S= Câu 98: Cho cấp số nhân ()nu có 18u= và biểu thức 32 14 2 15uu u+− đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 10.S A. ()11 10 924 1 = . B. ()10 10 824 1 = . C. 10 10 621 3.2S−= . D. 11 10 721 3.2S−= Câu 99: Cho cấp số nhân ()nu có 12,u= công bội dương và biểu thức 4 71024uu+ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 11 12 20 ... . Su u u= + ++ A. 2046.S= B. 2097150.S= C. 2095104.S= D. 1047552.S= Câu 100: Cho cấp số nhân ()nu có 46 uu+= − +=. Tính 21.S A. ()21 211312S= + B. 21 213 1. S= − C. 21 211 3. S= − D. ()21 2113 1.2S= −+ Câu 101: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi nS là tổng c ủa n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. M ệnh đề nào sau đây đúng? A. 14.n nS B. 114  C. 41.3n nS D.  44 1 Câu 102: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 11; ; 1; ; 2048.42 Tính t ổng S của tất cả các s ố hạng của cấp số nhân đã cho. A. 2047,75. S B. 2049,75. S C. 4095,75. S D. 4096,75. S Câu 103: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn () 3,1555... 3,1 5= viết dưới dạng số hữu tỉ là: 20. B. 142 45. C. 1 18. D. 7 Câu 104: Tính t ổng ()1 211 11 ... 1 ...66 6n nS−= −+ − + +− + 6S= B. 6 7S=− C. 6 7S= D. 7 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 61 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 105: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân s ố 25. B. 12 99. C. 1 11. D. 3 Câu 106: Viết thêm b ốn số vào gi ữa hai s ố 160 và 5 để được một cấp số nhân. T ổng các s ố hạng của cấp số nhân đó là A. 215. B. 315. C. 415. D. 515. Câu 107: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 123 uu++= −=. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ()nu là A. 81093S= . B. 83820S= . C. 89841 S= . D. 83280S= . Câu 108: Tổng 211 1 33 3nS= + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ có giá tr ị là: 9. B. 1 4. C. 1 3. D. 1 Câu 109: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bởi 12a=, 1 2nnaa+=− , 1n≥, n∈. Tính t ổng c ủa 10 số hạng đầu tiên c ủa dãy s ố. A. 2050 3. B. 2046 . C. 682− . D. 2046− . Câu 110: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu là 1 2, số hạng th ứ tư là 32 và số hạng cu ối là 2048 ? A. 1365 2. B. 5416 2. C. 5461 2. D. 21845 Câu 111: Một cấp số nhân ()nu có n số hạng, số hạng đầu 17u=, công bội 2q=. Số hạng thứ n bằng 1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ()nu? A. 5377 . B. 5737 . C. 3577 . D. 3775 . Câu 112: Tính t ổng c ấ số nhân lùi vô hạ n ()21 11 1, , ,..., ,...24 8 2n−−− là. A. 1−. B. 1 2. C. 1 4−. D. 1 Câu 113: Giá tr ị của tổng 7 77 777 ... 77...7   bằng A. 2018 7010 1 20189 . B. 20187 10 10201899 . C. 20197 10 10201899 . D. 2018 710 19. Câu 114: Giá tr ị của tổng 4 44 444 ... 44...4+ + ++ bằng A. ()2018 4010 1 20189−+ . B. 20194 10 10201899−− . C. 20194 10 10201899−+ . D. ()2018 410 19−. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 62 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 115: Cho dãy số xác định bởi 11u=, * 1 2112 ; 3 32nnnuu nnn+− = +∈++. Khi đó 2018u bằng: A. 2016 2018 201721 3 2019u= + . B. 2018 2018 201721 3 2019u= + . C. 2017 2018 201821 3 2019u= + . D. 2017 2018 201821 3 2019u= + . Câu 116: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i: 11 3U= và 11.3nnnUUn++= . Tổng 3 10 2 1 ...2 3 10UU USU= + + ++ A. 3280 6561. B. 29524 59049. C. 25942 59049. D. 1 Câu 117: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 2 1; 2nnu uu n−= = +≥. Tổng 1 2 20 ... Suu u=+++ bằng A. 202 20.− B. 212 22. C. 202. D. 212 20.− DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG Câu 118: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . Câu 119: Ba s ố dương ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộn g v à c ó t ổng b ằng 30. Biết 2; 2; 18xyz+++ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. Tx z= + A. 328.T= B. 424.T= C. 296.T= D. 428.T= Câu 120: Ba số ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng tăng có t ổng b ằng 24. Nếu cộng thêm l ần lượt các s ố 1, 4, 13 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Tính giá tr ị biểu thứ c 2 22Px y z=++ . A. 200. B. 210. C. 220. D. 190. Câu 121: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . Câu 122: Cho ba s ố a, b, c là ba s ố liên tiế p của m ột cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng s ố thứ nhất thêm 1, tăng s ố thứ hai thêm 1 và tăng s ố thứ ba thêm 3 thì đư ợc ba s ố mới là ba s ố liên tiế p của một cấp số nhân. Tính () abc++ . A. 12. B. 18. C. 3. D. 9. Câu 123: Cho ba s ố x;5;2y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng và ba s ố x;4;2y theo thứ tự lập thành c ấp số nhân thì 2xy− bằng A. 2 10xy−= . B. 29xy−= . C. 26xy−= . D. 28xy−= . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 63 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 124: Tính t ổng c ủa cấ p số nhân lùi vô hạ n ()nu biết 11u= và 134,,uuu theo thứ tự là ba s ố hạng liên tiếp trong m ột cấp số cộng. 2+. B. 51 2−. C. 1 51−. D. 2. Câu 125: Ba số phân bi ệt có t ổng là 217 có th ể coi là các s ố hạng liên tiế p của một cấp số nhân, cũng có thể coi là s ố hạng th ứ 2, thứ 9, thứ 44 của m ột cấp số cộng. H ỏi phả i lấy bao nhiêu s ố hạng đầu của cấ p số cộng này để tổng c ủa chúng b ằng 820? A. 20. B. 42. C. 21. D. 17. DẠNG 6. BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 126: Người ta thiế t kế một cái tháp 11 tầng. Di ện tích b ề mặt trên c ủa mỗi tầng bằng nử a diện tích của m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 bằng nửa diện tích c ủa đế tháp. Tính di ện tích m ặt trên cùng. A. 28 .m B. 26 .m C. 210 .m D. 212 .m Câu 127: Một hình vuông ABCD có cạnh AB a=, diện tích 1S. Nối 4 trung đi ểm 1A, 1B, 1C, 1D theo thứ tự của 4 c ạnh AB, BC, CD, DA ta đư ợc hình vuông thứ hai là 111 1ABCD có di ện tích 2S. Tiếp tục như thế ta đư ợc hình vuông thứ ba 222 2ABCD có di ện tích 3Svà cứ tiếp tục như th ế, ta được diện tích 45, ,...SS Tính 1 2 3 100 ... SSS S S=+ +++ . A. 100 99 221.2Sa−= B. ()100 = C. ()2 100 = D. ()2 99 Câu 128: Dân s ố tỉnh Bình Phư ớc theo đi ều tra vào ngày 1/1/ 2011 là 905300 người. Nếu duy trì t ốc độ tăng trư ởng dân s ố không đổi là 10% một năm thì đ ến 1/1/ 2020 dân s ố của tỉnh Bình Phư ớc là bao nhiêu? A. 22582927 . B. 02348115 . C. 2134650 . D. 11940591 . Câu 129: Bạn A th ả quả bóng cao su t ừ độ cao 10m theo phương thẳ ng đứng. M ỗi khi ch ạm đất nó l ại nảy lên theo phương th ẳng đứng có độ cao b ằng 3 4 độ cao trư ớc đó. Tính t ổng quãng đư ờng bóng đi được đến khi bóng dừ ng hẳn. A. 40m. B. 70m. C. 50m. D. 80m. Câu 130: Một loại vi khuẩ n sau m ỗi phút s ố lượng tăng g ấp đôi bi ết rằng sau 5 phút ngư ời ta đ ếm đư ợc có 64000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có đư ợc 2048000 con. A. 10. B. 11. C. 26. D. 50. Câu 131: Trên m ột bàn c ờ vua kích thư ớc 8x8 ngư ời ta đ ặt số hạt thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất đặt một hạt thóc, ô thứ hai đ ặt hai h ạt thóc, các ô ti ếp theo đặ t số hạt thóc gấp đôi ô đứ ng liền kề trước nó. H ỏi ph ải tối thi ểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng s ố hạt thóc t ừ ô đầu tiên đ ến ô đó l ớn hơn 20172018 hạ t thóc. A. 26 B. 23 C. 24 D. 25 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 64 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 132: Cho tam giác ABC cân t ại đỉnh A, biết độ dài cạ nh đáy BC, đường cao AH và cạ nh bên AB theo thứ tự lập thành c ấp số nhân vớ i công bội q. Giá tr ị của 2q bằng 2+. B. 22 2−. C. 21 2+. D. 21 Câu 133: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bởi 115, . 3nn a a qa+= = + với mọi 1n≥, trong đó q là hằng số, 0q≠ , 1q≠. Biết công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố viết được dưới dạng 1 1 1.1n nqaqqαβ− −−= +− . Tính 2αβ+ ? A. 13. B. 9. C. 11. D. 16. Câu 134: Cho bốn s ố , ab, , cd theo thứ tự đó tạo thành c ấp số nhân vớ i công b ội khác 1. Biết tổng ba số hạng đầu bằng 148 9, đồng th ời theo th ứ tự đó chúng l ần lượt là số hạng th ứ nhất, thứ tư và th ứ tám c ủa m ột cấp số cộng. Tính giá tr ị biểu thứ c T abcd=−+− . A. 101 27T= . B. 100 27T= . C. 100 27T=− . D. 101 27T=− . Câu 135: Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nư ớc Italia ngư ời ta th ả một qu ả bóng cao su chạ m xu ống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng l ại nảy lên đ ộ cao b ằng 1 10 độ cao mà qu ả bóng đ ạt trước đó. T ổng đ ộ dài hành trình c ủa qu ả bóng đư ợc thả từ lúc ban đầu cho đế n khi nó nằ m yên trên mặt đất thuộc khoả ng nào trong các kho ảng sau đây? A. () 67 ;69mm . B. () 60 ;63mm . C. () 64 ;66mm . D. () 69 ;72mm . Câu 136: Để trang trí cho quán trà s ữa sắp mở cửa của mình, bạ n Việt quy ết định tô màu m ột mả ng tư ờng hình vuông c ạnh bằ ng 1m. Phầ n tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ đư ợc đánh s ố lần lượt là 1, 2,3...n,.. , trong đó c ạnh của hình vuông k ế tiếp bằng m ột nửa cạnh hình vuông trư ớc đó. Gi ả sử quá trình tô màu c ủa Vi ệt có th ể diễn ra nhi ều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đ ến hình vuông thứ mấy thì di ện tích c ủa hình vuông đư ợc tô bắ t đầu nhỏ hơn ()2 1 1000m? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 65 Sưu t ầm và biên so ạn A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. Câu 137: Có bao nhiêu giá tr ị thực của tham s ố m để phương trình ()()() 13 0x x xm− − −= có 3 nghi ệm phân bi ệt lập thành c ấp số nhân tăng? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Câu 138: Biết rằng tồn tại đúng hai gi á trị của tham s ố m để phương tr ình ()32 27 2 6 80x x m mx− + + −= có ba nghi ệm phân bi ệt lập thà nh m ột cấp số nhân. T ính tổng l ập phương c ủa hai gi á trị đó. A. 342− . B. 216− . C. 344. D. 216. Câu 139: Cho dãy s ố ()nu là m ột cấp số nhân có s ố hạng đ ầu 11u=, công bội 2q=. Tính t ổng 1 5 2 6 3 7 20 24111 1... Tuu uu uu u u= + + ++−−− −. 15.2−. B. 20 15.2−. C. 19 15.2−. D. 20 Câu 140: Với hình vuông 111 1ABCD như hình vẽ bên, cách tô màu như ph ần gạch sọc đư ợc gọi là cách tô màu “đ ẹp”. M ột nhà thi ết kế tiến hành tô màu cho m ột hình vuông như hình bên, theo quy trình Bước 1: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 111 1ABCD . Bước 2: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 222 2ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình vuông 111 1ABCD thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ . Bước 3: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 333 3ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình vuông 222 2ABCD thành 9 phần bằng nhau. C ứ tiếp tục như vậ y. Hỏi cần ít nhấ t bao nhiêu bư ớc để tổng di ện tích ph ần được tô màu chi ếm 49,99% . A. 9 bước. B. 4 bước. C. 8 bước. D. 7 bước. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 66 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 141: Cho hình vuông ()1C có cạ nh bằ ng a. Ngư ời ta chia m ỗi cạnh của hình vuông thành bốn phầ n bằng nhau và nối các đi ểm chia m ột cách thích hợ p để có hình vuông ()2C. Từ hình vuông ()2C lại tiếp tục làm như trên ta nh ận được dãy các hình vuông 1C,2C, 3C,., 3T= , tính a? A. 2. B. 5 2. C. 2. D. 22 . Câu 142: Cho năm s ố a, b, c, d, e tạo thành m ột cấp số nhân theo thứ tự đó và các s ố đều khác 0, biết 1111110abcde++++= và tổng c ủa chúng b ằng 40. Tính giá tr ị S với S abcde= . A. 42S=. B. 62S=. C. 32S=. D. 52S=. Câu 143: Cho dãy s ố ()nuthỏa mãn 1 12 2 3 nnu uu u u un++ −=+ = ∀∈ . Giá tr ị nhỏ nhất của n để 20182.3nu≥ bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2010 Câu 144: Tìm tấ t cả các giá tr ị của tham s ố m để phương trình sau có ba nghi ệm phân bi ệt lập thành m ột cấp số nhân: ()32 27 2 6 80x x m mx .− + + −= A. 7 m.=− B. 1m.= C. 1 m=− hoặc 7m.= D. 1m= hoặc 7 m.=− Câu 145: Bốn góc c ủa một tứ giác t ạo thành c ấp số nhân và góc l ớn nhấ t gấp 27 l ần góc nhỏ nhất. Tổng của góc l ớn nhấ t và góc bé nhấ t bằng: A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 . Câu 146: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên c ủa m ỗi tầng bằng nữa diện tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa đế tháp. Tính di ện tích m ặt trên cùng. A. 26.m B. 28.m C. 210 .m D. 212 .m Câu 147: Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng 1 9 số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó. A. 00 0 05 ,15 , 45 , 225 . B. 0 00 09 , 27 ,81 , 243 . C. 000 07 , 21 ,63 , 269 . D. 000 08 ,32 ,72 , 248 . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 67 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 148: Cho cấp số nhân ()na có 17,a=6224 a= và 3577.kS= Tính giá trị của biểu thức ()1.k Tk a= + A. 17920.T= B. 8064.T= C. 39424.T= D. 86016.T= Câu 149: Các s ố 6 , 5 2 , 8xy xy x y theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng; đ ồng th ời các s ố 1, 2 ,   3x y xy theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. xy A. 2240. xy B. 2225. xy C. 22100. xy D. 2210. xy Câu 150: Ba số ; ; xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân vớ i công bội q khác 1; đồng th ời các s ố ; 2 ; 3x yz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng v ới công sai khác 0. Tìm giá tr ị của q. A. 1.3q B. 1.9q C. 1.3q D. 3. q Câu 151: Các s ố 6,xy+ 5x 2 , y+ 8x y+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng, đồng th ời, các s ố 5,3x+ 1,y−2x 3 y− theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Hãy tìm x và $y.$ A. 3, 1 xy= −= − hoặc 31,.88xy= = B. 3, 1xy= = hoặc 31,.88xy= −= − C. 24, 8xy= = hoặc 3, 1 xy= −= − .D. 24, 8 xy= −= − hoặc 3, 1xy= = Câu 152: Ba số ,,xyz lập thành m ột cấp số cộng và có t ổng b ằng 21. N ếu lần lượt thêm các s ố 2;3 ;9 vào ba số đó thì đư ợc ba s ố lập thành m ột cấp số nhân. Tính 2 22. Fx y z=++ A. 389.F= hoặc 395.F= B. 395.F= hoặc 179.F= C. 389.F= hoặc 179.F= D. 441F= hoặc 357.F= Câu 153: Cho bố số ,,,abcd biết rằng ,,abc theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân công bội 1q; còn ,,bcd theo thứ tự đó lập thành c ấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad và 12. bc A. 18 73.24q B. 19 73.24q C. 20 73.24q D. 21 73.24q Câu 154: Một ngư ời đem 100 tri ệu đồng đi g ửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, m ỗi tháng lãi su ất là 0, 7% số tiền mà ngư ời đó có. H ỏi sau khi hế t kỳ hạn, ngư ời đó đư ợc lĩnh về bao nhiêu ti ền? A. ()5 810 . 0,007 B. ()5 810 . 1,007 C. ()6 810 . 0,007 D. ()6 810 . 1,007 Câu 155: Tỷ lệ tăng dân s ố của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân c ủa tỉnh M hi ện nay là 2 tri ệu ngư ời. Nếu lấy kết quả chính xác đế n hàng nghìn thì sau 9 năm nữ a số dân c ủa tỉnh M s ẽ là bao nhiêu? A. 10320 nghìn ngư ời. B. 3000 nghìn ngư ời. C. 2227 nghìn ngư ời. D. 2300 nghìn ngư ời. Câu 156: Tế bào E. Coli trong đi ều kiện nuôi c ấy thích hợ p cứ 20 phút l ại nhân đôi m ột lần. Nếu lúc đ ầu có 1210 tế bào thì sau 3 gi ờ sẽ phân chia thành bao nhiêu t ế bào? CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu t ầm và biên so ạn BÀI 3: C ẤP SỐ NHÂN DẠNG 1. NHẬN DIỆN CẤP SỐ NHÂN Câu 1: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? A. 1; 1; 1; 1−− . B. 1; 3; 9;10− . C. 1; 0; 0; 0 . D. 32; 16; 8; 4 . Lời giải Nếu ()nulà cấp số nhân vớ i công bội q ta có: 1 nuu uq qu+ += ⇒= . 1; 1;1; 1−− là cấ p số nhân vớ i 1 q=− . 1 ;3 ;9;10− không là c ấp số nhân. 1 ;0 ;0 ;0 là cấ p số nhân vớ i 0q=. 32;16;8; 4 là cấ p số nhân vớ i 1 Câu 2: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 3;9; 27;54−− . B. 1;2;4;8;16 . C. 1; 1;1; 1;1−− . D. 1; 2;4; 8;16−− . Lời giải Dãy 1;2;4;8;16 là cấp số nhân với công bội 2q=. Dãy 1; 1;1; 1;1−− là cấp số nhân với công bội 1 q=− . Dãy 1; 2;4; 8;16−− là cấp số nhân với công bội 2 q=− . Dãy 1; 3;9; 27;54−− không phải là cấp số nhân vì 3 1.( 3);( 27).( 3) 81 54−= − − − = ≠ . Câu 3: Trong các dãy s ố cho dư ới đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? A. 1; 2;3; 4;5 . B. 1;3; 6;9;12 . C. 2; 4; 6;8;10 . D. 2; 2; 2; 2; 2 . Lời giải Ta th ấy ở đáp án D có 12345 2 uuuuu= = = = = nên đây là c ấp số nhân vớ i công bội 1q=. Câu 4: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? CHƯƠNG DÃY S Ố CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN HỆ THỐNG BÀI T ẬP TRẮC NGHI ỆM. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu t ầm và biên so ạn A. 1;2;3;4;5;6;... . B. 2;4;6;8;16;32;... . C. 2; 3; 4; 5; 6; 7;...−−−−−− . D. 1;2;4;8;16;32;... . Lời giải Nhận thấ y 3 2 uu≠ nên các dãy s ố ở đáp án A, B và C không phả i là c ấp số nhân. Riêng đối vớ i dãy 1,2,4,8,16,32,... ở đáp án D thỏa mãn: * 12.nnu un+= ∀∈ . Vậy dãy s ố 1,2,4,8,16,32,... là cấ p số nhân vớ i 11u= và công bội 2q=. Câu 5: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 128 64 32 16 8; ; ; ; ; ...−− B. 22442; ; ; ; .... C. 5678; ; ; ; ... D. 115 5 15; ; ; ; ... Câu 6: Trong các dãy s ố sau, dãy s ố nào không ph ải là một c ấp số nhân? A. 2 4 8 16; ; ; ;  B. 11 11; ; ; ; −−  C. 2222123; ; ; 4 ;  D. ()3570 a; a ; a ; a ; a . ≠ Câu 7: Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số nhân? A. 1248; ; ; ;  B. 23433 3 3; ; ; ;  C. 114224; ; ; ;  D. 24611 1 1; ; ; ; π πππ Câu 8: Dãy s ố 33n nu.= + là m ột cấp số nhân vớ i: A. Công bội là 3 và s ố hạng đầ u tiên là 1. B. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 1. C. Công bội là 4 và s ố hạng đầ u tiên là 2. D. Công bội là 2 và s ố hạng đầ u tiên là 2. Câu 9: Cho dãy s ố ()nu với 352n nu ..= Khẳng định nào sau đây đúng? A. ()nu không ph ải là c ấp số nhân. B. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 13 C. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5q= và số hạng đầu 115 D. ()nu là cấ p số nhân có công bội 5 2q= và số hạng đầu 13u.= Câu 10: Chọn cấp số nhân trong các dãy s ố sau: A. 1; 0, 2; 0,04; 0,0008; ... B. 2; 22; 222;2222; ... C. ; 2 ; 3 ; 4 ; . . .xxxx D. 24 61 ; ; ; ; . . . xx x−− Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu t ầm và biên so ạn Dãy s ố : 24 61 ; ; ; ; . . . xx x−− là cấ p số nhân có s ố hạng đầu 11; u= công bội 2qx=− . Câu 11: Trong các s ố sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân: A. 1, 3,9, 27,81.−− B. 1 ,3 ,6 ,9 ,1 2 .−−−− C. 1 ,2 ,4 ,8 ,1 6 .−−−− D. 0,3,9, 27,81. Lời giải Câu 12: Xác đ ịnh x để 3 số 2 ; 1 ; 3xx x−+− theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: A. Không có giá tr ị nào c ủa .x B. 1. x=± C. 2.x= D. 3. x=− Lời giải Ba s ố 2 ; 1 ; 3xx x−+− theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân()()()223 1x xx⇔− −=+ 22 3 70xx⇔ − += Câu 13: Xác đ ịnh x để 3 số 2 1 ; ; 2 1x xx−+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân: A. 1.3x=± B. 3. x=± 3x=± D. Không có giá tr ị nào c ủa x. Lời giải Ba số: 2 1 ; ; 2 1x xx−+ theo thứ tự lập thành c ấp số nhân ()()22 12 1xxx⇔ − +=2241xx⇔ −= 231x⇔=1. 3x⇔= ± Câu 14: Trong các dãy s ố ()nu sau, dãy nào là c ấp số nhân? A. 21nunn= ++ . B. ()23n nun.= + . .u ,nu+= = ∀∈ D. ()214n nu+= − . Lời giải nu nn,nu nn+++= ∀∈++, không ph ải là hằ ng số. Vậy ()nukhông phả i là c ấp số nhân. 133 3 3 nn. n u,nu n. n+ +++= = ∀∈++, không ph ải là h ằng số. Vậy ()nukhông ph ải là cấp số nhân. C. Từ công thứ c truy hồi c ủa dãy s ố, suy ra 12342323u ;u ;u ;u ;...= = = = Vì 3 2 uu≠ nên ()nukhông ph ải là c ấp số nhân. D. ()() ()2 11 nu,nu++ +−= = ∀∈ −. Vậy ()nu là m ột cấp số nhân. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 15: Dãy s ố nào sau đây là c ấp số nhân? 11.1, 1nnu uu n  B. 1 11.3 , 1nnu u un  12.2 3, 1nnu u un D. 12. sin , 11nu           Lời giải nu là cấ p số nhân 1nnu qu    Chọn B Câu 16: Cho dãy s ố nu với 3.5 .2n nu Khẳng định nào sau đây đúng? A. nu không ph ải là c ấp số nhân. B. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 13.2u C. nu là cấ p số nhân có công bội 5q và số hạng đầu 115.2u D. nu là cấ p số nhân có công bội 5 2q và số hạng đầu 13. u Lời giải nu là cấ p số nhân công bội 5q và 115 2u   Chọn C Câu 17: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 21.3n nu B. 11. 3n nu C. 1.3nun D. 21.3nun Lời giải Dãy 2119.3 3n n nu   là cấ p số nhân có 13 q  Chọn A Câu 18: Trong các dãy s ố nu cho bở i số hạng tổng quát nu sau, dãy s ố nào là m ột cấp số nhân? A. 7 3.nun B. 7 3.n nu C. 7.3nun D. 7.3 .n Lời giải. Dãy 7.3n nu là cấ p số nhân có 121 q Chọn D Câu 19: Cho dãy s ố nu là một cấp số nhân vớ i *0, .nun Dãy s ố nào sau đây không phả i là c ấp số A. 135; ; ; ...uuu B. 12 33 ; 3 ; 3 ; ...uu u 123111; ; ; ...uuu D. 1232; 2; 2; ... uuu Lời giải Giả sử nu là cấ p số nhân công bội ,q thì CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 5 Sưu t ầm và biên so ạn Dãy 135; ; ; ...uuu là cấp số nhân công bội 2.q Dãy 12 33 ; 3 ; 3 ; ...uu u là cấp số nhân công bội 2.q 123111; ; ; ...uuulà cấp số nhân công bội 1.q Dãy 1232; 2; 2; ... uuu không phả i là c ấp số nhân. C họn D Câu 20: Trong các dãy s ố ()nusau đây, dãy s ố nào là c ấp số nhân? A. nun=3. B. n nu=2. C. nun=1. D. n nu= +21 . Lời giải Ta th ấy, vớ i 2,nn∀≥ ∈  dãy s ố()2n nu= có tính chấ t: 1 −= = nên là c ấp số nhân vớ i công bội qu= =12, 2 . Câu 21: nu được cho bở i công thứ c nào dư ới đây là s ố hạng tổng quát c ủa m ột cấp số nhân? 2n nu+= . B. 21 2nun= − . C. 112n nu= − . D. 21 2nun= + . Lời giải 11 11.2 42n += =  là số hạng tổng quát c ủa m ột cấp số nhân có 11 4u= và 1 2nun= − có 12 31 7 1 17 7; .7; .72 22 2 2uu u= = = = ≠ nên không phả i số hạng tổng quát c ủa một cấp số nhân. 112n nu= − có 12 31 3 13 7 33; .; .2 4 22 8 42uu u= − = −= − = −≠ − nên không phả i số hạng tổng quát của m ột cấp số nhân. 2nun= + có 12 33 9 3 19 9; .3; .32 22 2 2uu u= = = = ≠ nên không phả i số hạng tổng quát c ủa một cấp số nhân. Câu 22: Trong các dãy s ố sau, dãy nào là c ấp số nhân? A. ()1n nun= − . B. 2 nun=. C. 2n nu=. D. 3n nnu= . Lời giải Lập tỉ số 1n A: ()() 11. 1 1 nn u n +−+ += =− −()nu⇒ không phả i cấp số nhân. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 6 Sưu t ầm và biên so ạn B: ()2 un++= ()nu⇒ không phả i là c ấp số nhân. 12222n nuuuu+ + == ⇒= ()nu⇒ là cấ p số nhân có công bội bằ ng 2. D: 1 1 un++=()nu⇒ không phả i là c ấp số nhân. Câu 23: Cho dãy s ố nucó số hạng tổng quát là 1*3.2 n nun  . Chọn kế t luận đúng: A. Dãy số là c ấp số nhân có s ố hạng đầu 112u . B. Dãy s ố là cấ p số cộng có công sai 2d. C. Dãy s ố là c ấp số cộng có s ố hạng đầu 16 u. D. Dãy s ố là c ấp số nhân có công bội 3q. Lời giải Dãy s ố nucó số hạng tổng quát là 1* 2 1 3.2 3.2nn nnu nu       . Xét thương 2 13.223.2n nuconstu   với *n nên dãy s ố nulà một cấp số nhân có công bội 2qvà có s ố hạng đầu là 11 13.2 12u . Câu 24: Dãy nào sau đây là m ột cấp số nhân? Lời giải Ta có: 2, 4,8,16,... là cấ p số nhân có s ố hạng đầu 12u= và công bội 2q=. Câu 25: Cho dãy s ố: 1 11 11 ; ; ; ; 3 9 27 81−− − . Khẳng đị nh nào sau đây là sai ? A. Dãy s ố không phả i là một c ấp số nhân. B. Dãy s ố này là c ấp số nhân có 111; q=3= −−u . C. Số hạng tổng quát. ()111.3−= −n D. Là dãy s ố không tăng, không gi ảm. Lời giải Ta có: 1 1 1 111 111. ; . ; . ;.......3 3 9 3 3 27 9 3  = − − −= − − = − −     Vậy dãy s ố trên là c ấp số nhân vớ i 111; q=-3=−u . Áp dụng công thứ c số hạng tổng quát c ấp số nhân ta có ()1 1 1111 1.33− −= = −− = − n n nu uq . Câu 26: Tập hợp các giá tr ị x thỏa mãn ,2 , 3x xx+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân là A. {}0;1. B. ∅. C. {}1. D. {}0 Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 7 Sưu t ầm và biên so ạn Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân. 2. 2. 2 3 2 . 3 2.2 1x xq x xq q x xq x x x= = = ⇔⇒ += += = Tập hợp các giá tr ị x thỏa mãn ,2 , 3x xx+ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân là {}1. Câu 27: Có bao nhiêu giá tr ị nguyên dương c ủa x để ba số 1; ; 2xx+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải Để 1; ; 2xx+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân thì: 2 122xxxx=−=+⇔=. Vậy có đúng 1 số nguyên dương 2x=. Câu 28: Tìm tấ t cả các giá tr ị của x để ba số 2 1, , 2 1x xx−+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. 3x=± B. 1 3x=± C. 3 x=± D. 3 x=± Lời giải Để ba số đó l ập thành m ột cấp số nhân thì: ()()2 22 2 112 12 1 4 13 3x x x xx x x= − + ⇔= − ⇔= ⇔ = ± Câu 29: Trong các phát bi ểu sau, phát bi ểu nào là sai ? A. Dãy s ố có t ất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số nhân. B. Dãy s ố có tất cả các s ố hạng bằng nhau là m ột cấp số cộng. C. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố tăng. D. Một cấp số cộng có công sai dương là m ột dãy s ố dương. Lời giải A. Đúng vì dãy s ố đã cho là c ấp số nhân vớ i công bội 1q=. B. Đúng vì dãy s ố đã cho là c ấp số cộng v ới công sai 0d=. C. Đúng vì dãy s ố đã cho là c ấp số cộng có công sai dương nên: 1 0nnu ud+−=> 1nnuu+⇒> . D. Sai. Ví dụ dãy 5−; 2−; 1; 3; … là dãy s ố có 30d= > nhưng không phả i là dãy s ố dương. Câu 30: Xác đ ịnh x dương để 23−x ; x; 23+x lập thành c ấp số nhân. A. 3x=. B. 3 x= . C. 3 x=± . D. không có giá tr ị nào c ủax. Lời giải 23−x ; x; 23+x lập thành c ấp số nhân ()()22 32 3 xx x⇔= − +2249 xx⇔= −23 x⇔= 3 x⇔= ± . Vì x dương nên 3 x= . Câu 31: Giả sử sin 6α, cosα, tanα theo thứ tự đó là m ột cấp số nhân. Tính cos 2α. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 8 Sưu t ầm và biên so ạn A. 3 2. B. 3 2− . C. 1 2. D. 1 Lời giải Điều kiện: cos 02kπααπ≠⇔≠+ () k∈. Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có: 2 sincos .tan6ααα=2 2 sin6coscosααα⇔= . 326cos sin 0αα⇔ −=326cos cos 1 0αα⇔ + −=1cos2α⇔= . Ta có: 2 2 11cos 2 2cos 1 2. 122αα= −= −= − . Câu 32: Cho dãy s ố có các s ố hạng đầu là 23411 1 1; ; ; ;...3333Số hạng tổng quát c ủa dãy s ố này là 3n− B. 21 3n+. C. 1 3n. D. 11 Lời giải 3 3311 Vậy 1. 3n nu . Câu 33: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Số hạng tổng quát nu ()2n≥ bằng Lời giải Ta có 11 1. 3.2nn nu uq−−= = . Câu 34: Cho dãy s ố ()nu biết 1 * 13,3nnunNuu+=∀∈ =. Tìm s ố hạng tổng quát c ủa dãy s ố ()nu. A. 3=n nu . B. 1+=n nun . C. 13+=n nu . D. 13−=n Lời giải Ta có 13=u và 13+=n Suy ra dãy s ố ()nulà cấp số nhân vớ i 13 Do đó 11 1. 3.3 3− −== =nn n CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 9 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 35: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 12 2 2,nnu uu u u un+= −++ = ∀∈ . Tìm giá tr ị nhỏ nhấ t của n để 20212nu≥ . A. 2021 . B. 1012 . C. 2022 . D. 1011 . Lời giải Ta có: * 1 12 2,n nuuu nu+ += ⇒ = ∀∈  nên dãy ()nu là cấ p số nhân vớ i công bội 2q=. 212 uu⇒= . Mà 1 12 233 6u uu u= −++ 12 123 3 60uu uu⇔ − − − −= 12 123 3 60uu uu⇔ − − − −= 33uu N uu L−= −= − 1234uu⇔ −= . Từ và ta có: 21 122434uuuuu=⇒= −= ()nu⇒ là cấ p số nhân vớ i công bội 12, 4qu= = . Nên s ố hạng tổng quát là: () 21 1 21 *2.4 2.2 2 ,n nn nun− −−= = = ∀∈ . 2021 2 1 20212 2 2 2 1 2021 1011n nu nn−≥⇔≥⇔ − ≥⇔ ≥ . Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t thỏa mãn là 1011 . DẠNG 2. TÌM CÔNG THỨC CỦA CẤP SỐ NHÂN Câu 36: Cho cấp số nhân ()nuvới 11u= và 22 u=. Công bội của cấp số nhân đã cho là 2q=. B. 2q=. C. 2 q=− . D. 1 2q=− . Lời giải Ta có 2 12. 2.1uu uq qu= ⇒= == Câu 37: Cho cấp số nhân ()nu với 13u= và 29u=. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. 6−. B. 1 3. C. 3. D. 6. Lời giải Ta có 21 . u uq= ⇒ 2 u= = . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 10 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 38: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và 212u=. Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng A. 9. B. 9−. C. 1 4. D. 4. Lời giải Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho là 2 11243uqu= = = Câu 39: Cho c ấp số nhân ()nuvới 13u= và 215. u= Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho bằ ng A. 12− . B. 1 5. C. 5. D. 12. Lời giải Từ định nghĩa c ấp số nhân ta có 2 15uqu= = . Câu 40: Cho c ấp số nhân ()nu với 12=u và 26=u . Công bội c ủa cấ p số nhân đã cho b ằng A. 3. B. 4−. C. 4. D. 1 Lời giải Công bội c ủa cấ p số nhân là 2 1632= = =uqu. Câu 41: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 2q=. Giá tr ị của 2u bằng A. 8. B. 9. C. 6. D. 3 Lời giải Ta có: 21 . 3.2 6 u uq= = = . Câu 42: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị của 2u bằng A. 6. B. 9. C. 8. D. 2 Lời giải Ta có 21 . 2.3 6 u uq= = = . Câu 43: Cho c ấp số nhân ()nu với 13u= và công bội 4q=. Giá tr ị của 2u bằng A. 64. B. 81. C. 12. D. 3 Lời giải Ta có 21 . 3.4 12 u uq= = = . Câu 44: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 2u= và 616u=. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 11 Sưu t ầm và biên so ạn A. 1 2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 2q=− . Lời giải Ta có 55 6 2uu uq qu=⋅⇒=== 2q⇒= . Câu 45: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 11u=, 464u= . Tính công bội q của cấp số nhân đã cho A. 4q=. B. 4 q=− . C. 21q= . D. 22q= . Lời giải Ta có 33 4164 . 64 64 4 uu qqq= ⇔ = ⇔ = ⇔= . Câu 46: Cho cấp số nhân nu có 1 2 u và 5 162 u .Công bội q bằng: A. 3 q . B. 3q. C. 3; 3qq  . D. 2 q . Lời giải Ta có 44 1162 162162 . 162 81 32u uq q qu        . Câu 47: Cho c ấp số nhân ()nu có 12u= và 454u= . Giá tr ị của công bội q bằng A. 3. B. 9. C. 27. D. 3−. Lời giải Ta có: 33 3 4 15427 27 32uqq qu= ⇒ = = ⇒= = Câu 48: Cho c ấp số nhân ()nu với 12u= và công bội 3q=. Tìm s ố hạng thứ 4 của cấp số nhân? A. 24. B. 54. C. 162. D. 48. Lời giải 41 . 2.3 54. u uq= = = Câu 49: : Cấp số nhân ()nu có 459, 81uu= = có công bội là A. 3. B. 72. C. 18. D. 9. Lời giải Ta có công bội 5 u= = =. Câu 50: Tìm công bội q của m ột cấp số nhân ()nu có 11 2u= và 616u=. 2q=. B. 2 q=− . C. 2q=. D. 1 2q=− . Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 12 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 55 611. 16 . 22u uq q q= ⇒ = ⇔= . Câu 51: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và 6486 u= . Công bội q bằng A. 3q=. B. 5q=. C. 3 2q=. D. 2 Lời giải Chọn A Theo đề ra ta có: 1 486 .u uq=⇔=55243 3 q⇒= = 3q⇒= . Câu 52: Cho c ấp số nhân ()nu với 171; u 322= −= −u . Tìm q ? 2=±q . B. 2=±q . C. 4=±q . D. 1=±q . Lời giải Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có 1 712. 642− == ⇒= ⇒=⇒=−n nqu uq u u q qq Câu 53: Biết ba số 2; 8;xx theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Giá tr ị của x bằng A. 4x B. 5x C. 2x D. 1x Lời giải Do ba số 2; 8;xx theo thứ tự lập thành c ấp số nhân nên theo tính chấ t cấp số nhân ta đư ợc 23.8 8 2xx x x  . Câu 54: Cho c ấp số nhân ()nucó công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các h ệ thức sau: A. 2 1.++=k k k u u u B. 21 1+−+=k k ku uu . ku uq−= D. ()1 1.kuu k q=+− Lời giải Theo tính chấ t các s ố hạng của cấp số nhân. Câu 55: Cho dãy s ố ()nuxác đ ịnh bở i: + n n u uu . Chọn hệ thức đúng: A. ()nu là cấ p số nhân có công bội 1.10q=− B. 11( 2) .10n nu−= − 21 1+−+=n n nu uu ()2n≥. D. 1 1.+−=n n n uu u ()2n≥. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 13 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có: 1 1 u+=− nên ()nu là cấ p số nhân có công bội 1.10q=− Câu 56: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 3q=. Tính 5?u A. 527.16u−= B. 516.27u−= C. 516.27u= D. 527.16u= Lời giải Chọn B Ta có: ()4 512 16.3 .3 27u uq= = −= −  Câu 57: Cho c ấp số nhân có 13 u=− , 2 3q=. Số 24396− là số hạng th ứ mấy của cấ p số này? A. Thứ 5. B. Thứ 6. C. Thứ 7. D. Không ph ải là s ố hạng của cấp số. Lời giải Chọn B Giả sử số 24396− là số hạng th ứ n của cấp số này. Ta có: ()1 196 2 96. 3 6243 3 243n nuq n− −−− = ⇔− = ⇔= . Vậy số 24396− là số hạng thứ 6 của cấp số. Câu 58: Cho c ấp số nhân có 21 4u=; 516u=. Tìm q và 1u. A. 111; .22qu= = B. 111; .22qu= −= − C. 114; .16qu= = D. 114; .16qu= −= − Lời giải Ta có: 21 11. .4u uq uq= ⇔= ; 44 51 1 . 16 . u uq uq= ⇔= Suy ra: 364 4 qq= ⇔= . Từ đó: 11.16u= Câu 59: Với x là số nguyên dương, ba s ố 2,3 3 ,5 5xx x++ theo thứ tự là ba s ố hạng liên tiế p của một cấp số nhân. S ố hạng tiếp theo c ủa cấp số nhân đó là A. 250 3− . B. 250 3. C. 250. D. 250− . Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 14 Sưu t ầm và biên so ạn Ba số 2,3 3 ,5 5xx x++ theo thứ tự là ba s ố hạng liên ti ếp của m ột cấp số nhân nên ()()2 2 12 55 33 89 0 99xxx x x x xx=−+ = + ⇔ − −=⇔ ⇒==. Với 9x=, suy ra 3.9 3 30 5 2.9 18 3q+= = = Số hạng tiếp theo c ủa cấp số nhân đó là: ()5 2505.9 5 .33+= . Câu 60: Cho ba số thực ,,xyz trong đó 0x≠. Biết rằng ,2 ,3xyz lập thành cấp số cộng và ,,xyz lập thành cấp số nhân; tìm công bội q của cấp số nhân đó. = B. 1 = C. 2q= D. 1q= Lời giải ,,xyz lập thành cấp số nhân công bội q nên 2; y qx z q x= = ,2 ,3xyz lập thành cấp số cộng nên 2332222x z x qxy qx++= ⇒= Vì 0x≠ nên 2 2132 4 13 123qx qxqx q qq=+ = ⇒= + ⇒= DẠNG 3. TÌM HẠNG TỬ TRONG CẤP SỐ NHÂN Câu 61: Cho c ấp số nhân ()nu có 1 2 u=− và công bội 3q=. Số hạng 2u là: A. 2 6 u=− . B. 26 u=. C. 21u=. D. 2 18 u=− . Lời giải Số hạng 2u là: 21 . u uq= 6=− Câu 62: Cho c ấp số nhân ()nu có 52 u= và 96 u=. Tính 21u. A. 18. B. 54. C. 162. D. 486. Lời giải Ta có 5 uq=⇔=1 q=⇔ Suy ra ()520 4 5 21 1 12.3 1623u uq u q= = = = . Câu 63: Cho c ấp số nhân ()nucó số hạng đầ u 12u= và công bội 5q=. Giá tr ị của 68uu bằng Lời giải Vì ()nu là cấ p số nhân nên 2 68 7uu u=, suy ra 66 68 7 1 . 2.5 uu u u q= = = . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 15 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 64: Cho c ấp số nhân ()nu có 13u=, công bội 2q=. Ta có 5u bằng A. 24. B. 11. C. 48. D. 9. Lời giải Công thứ c số hạng tổng quát c ủa cấp số nhân: 1 nu uq−= . Do đó 4 53.2 48u= = . Câu 65: Cho c ấp số nhân ()nu có công bội dương và 21 4u=, 44 u=. Giá tr ị của 1ulà 6u=. B. 11 16u= . C. 11 16u=− . D. 11 Lời giải Theo tính chấ t của cấ p số nhân vớ i 2k≥ thì 2 11.k kku uu−+= ta suy ra 31 1. .4 11 4uu uuu== = = ⇔ =− Vì ()nulà cấp số nhân có công bội dương nên 31u=. Gọi q là công bội ta đư ợc 4 3441uqu= = = Từ đó ta có 2 4 16uuq= = = . Câu 66: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 12u= và công bội 3q=. Giá tr ị 2019u bằng Lời giải Áp dụng công thứ c của số hạng tổng quát 1 2018 1. 2.3n nu uq−= = . Câu 67: Cho c ấp số nhân ()1; 1, 2nuu q= = . Hỏi số 1024 là số hạng th ứ mấy? A. 11. B. 9. C. 8. D. 10. Lời giải Ta có 1 1 1 10 1. 1.2 1024 2 2 1 10 11nn n nu uq n n−− −= ⇔ = ⇔ = ⇔−= ⇔ = . Câu 68: Cho c ấp số nhân ()nu có số hạng đầu 15u= và công bội 2 q=− . Số hạng thứ sáu c ủa ()nu là A. 6320 u= . B. 6 160 u=− . C. 6 320 u=− . D. 6160u= . Lời giải Ta có: ()5 5 61 . 5. 2 160 u uq= =−= − . Câu 69: Tìm s ố hạng đầ u 1u của cấ p số nhân ()nu biết rằng 123 168 uuu++= và 456 21 uuu++= A. 124u= . B. 11334 11u= . C. 196u= . D. 1217 Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 16 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có : 2 123 11 1 456 111168 . . 168 21 . . . 21uuu u uq uq uuu uq uq uq ++= ++ =  ⇔ ++= ++=   11 168 1 21u qq uq q q++ =⇔++ = q=++⇔ q=⇔=. Vậy 196u= , Câu 70: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 = +. Tính s ố hạng thứ 2018 của dãy s ố trên A. 2017 2018 6.2 5 u= − . B. 2018 2018 6.2 5 u= − . C. 2017 2018 6.2 1 u= + . D. 2018 2018 6.2 5 u= + . Lời giải Ta có 5nnuv= − , 125nnuu+= + ()152 5 5nnvv+⇔ −= − +12nnvv+⇔= . Do đó nv là cấ p số nhân vớ i 16v=, 2q=, 16.n nvq−= , 2017 2018 6.2 v=2017 2018 6.2 5 u⇒= − . Câu 71: Cho ()nu là cấp số nhân, công bội 0.q> Biết 131, 4 .uu= = Tìm 4u. 2. B. 2. C. 16. D. 8. Lời giải Ta có: 1 1 1 23 1 1. 4 . 8.4 20u u uuq u uqu qq= = =   ⇔ = ⇔ ⇒= = = =  > Câu 72: Cho c ấp số nhân (),1≥nun với công b ội 2q= và có s ố hạng th ứ hai 25.=u Số hạng th ứ 7 của cấp số nhân là A. 7320=u . B. 7640=u . C. 7160=u . D. 780=u . Lời giải Ta có (),1≥nun là cấ p số nhân có công bội 2q= nên có s ố hạng tổng quát 1 nu qu. 2 11 7555 .2 .221.260 ⇒= = =⇒= = u u u u CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 17 Sưu t ầm và biên so ạn Vậy số hạng th ứ 7 của cấ p số là 160. Đáp án C. Câu 73: Cho m ột cấp số nhân có s ố hạng th ứ 4 gấp 4096 lần số hạng đầu tiên. T ổng hai s ố hạng đầ u tiên là 34. S ố hạng thứ 3 của dãy s ố có giá tr ị bằng: A. 1. B. 512. C. 1024 . D. 32. Lời giải Theo bài ra ta có: 3 11 12 14096. 16 16 4096 17. 34 2 34 .(1 ) 34uu qq q uu uu uq= = = =  ⇔ ⇔⇔   = = += +=   . Vậy 22 31 . 2.16 512 u uq= = = . Câu 74: Cho c ấp số nhân ()nu, biết 112u=, 3 u= . Tìm 9u. 2187u= . B. 94 6563u= . C. 978732u= . D. 94 2187u= . Lời giải Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân ()nu. Ta có 2 31u uq= , 7 81u uq=3 81243u uq⇒==1 3q⇒= . Do đó 8 91u uq=8112.3=4 2187= . Câu 75: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầu tiên là 51n nS= − với 1, 2,...n= . Tìm s ố hạng đầu 1u và công bội q của cấ p số nhân đó? A. 15u=, 4q=. B. 15u=, 6q=. C. 14u=, 5q=. D. 16u=, 5q=. Lời giải Ta có: 11 1 21 12 251 4 4 24 20 5 1 24uS u uu uu S= =−= =  ⇒ =−= + = = −=   14u⇒= , 2 15uqu= = . Câu 76: Cho c ấp số nhân ()nu biết 42 −=. Tìm s ố hạng đầu 1u và công bội q của cấ p số nhân A. 19u=; 2q=. B. 19u=; 2 q=− . C. 1 9 u=− ; 2 q=− . D. 1 9 u=− ; 2q=. Lời giải Ta có: 42 108uq uq uq uq−=⇔−=() 1 108uq q uq q−=⇔−=19 q=⇔=. Vậy 19u=; 2q=. Câu 77: Xen gi ữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có 13u=. Khi đó 5u là: A. 72. B. 48−. C. 48±. D. 48. Lời giải Ta có 13u= và 9768u= nên 8768 3. q= 8256 q⇒= 2 q⇒= ± . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 18 Sưu t ầm và biên so ạn Do đó 44 51 . 3.2 48 u uq= = = . Câu 78: Cấp số nhân ()nu có 20 17 158.272uu += Tìm 1u, biết rằng 1100u≤ . A. 116.u= B. 12.u= C. 1 16. u=− D. 1 2. u=− Lời giải Ta có: ()()16 319 16 120 17 11 15 11 18 01 8 .8 272 . 272 1 272 2uq q uu u q uq uu u uq uq−=  = =  ⇔⇔  += += +=     . Từ ()2 suy ra 10u≠ do đó: ()012q q=⇔=. Nếu 0q= thì ()1 2 272 u⇔= không thõa đi ều kiện 1100u≤ . Nếu 2q= thì ()1 2 16 u⇔= thõa đi ều kiện 1100u≤ . Câu 79: Cho c ấp số nhân 1 1 u=− , 60,00001 u= . Khi đó q và số hạng tổng quát là? 10q= ,11 10n nu−−= . B. 1 10q−= ,110n nu−=− . 10q−= ,() n nu−−= . D. 1 10q= ,11 10n nu−= . Lời giải Ta có: 5 61 . 0,00001 u uq= =5 10q−⇔=1 10q−⇔= . nu uq−⇒=111.10n−−=−() n−−= . Vậy đáp án đúng là: C. Câu 80: Cho c ấp số nhân nu có 21 4u=, 516u= . Tìm công bội q và số hạng đầu 1u. 2q=, 11 2u=. B. 1 2q=− , 11 2u=− . C. 4 q=− , 11 16u=− . D. 4q=, 11 16u= . Lời giải Ta có 2 = () . 16 2uq uq=⇔ Chia hai vế của ()2 cho ()1 ta đư ợc 364 q= 4q⇔= 11 16u⇒= . Câu 81: Cho c ấp số nhân có s ố hạng đầu 1 2, u=− công bội 3 4q=. Số 81 128− là số hạng th ứ mấy của cấp số này? A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 19 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải Áp dụng công thứ c cấp số nhân 14 1 181 3 3 32. 5128 4 4 4nn nu uq n−− −   = ⇒− =− ⇔ = ⇔ =     . Câu 82: Cho dãy s ố 4,12,36,108,324,... . Số hạng thứ 10 c ủa dãy s ố đó là? A. 73872 . B. 77832 . C. 72873 . D. 78732 . Lời giải Xét dãy s ố 4,12,36,108,324,... là cấ p số nhân có 14u=, 3q=. Số hạng thứ 10 của dãy s ố là 10u9 1.uq=94.3= 78732= . Câu 83: Cho t ứ giác ABCD có bốn góc t ạo tành c ấp số nhân có công bội 2q=, góc có s ố đo nhỏ nhất trong bốn góc đó là: A. 01 B. 030 C. 012 D. 024 Lời giải Giả sử: Bốn góc ,,,ABCD theo thứ tự lập thành c ấp số nhân và A nhỏ nhấ t. Khi đó 2, 4, 8B AC AD A= = = Nên 002 4 8 360 24AAAA A+++= ⇒ = Câu 84: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 135 325uuu uu−+= +=. Tính 3.u A. 315u=. B. 325 u= . C. 310u=. D. 320 u= . Lời giải Ta có: () ()2424 1135 11 1 17 11 11 65 (1) 65 . . 65 325 . 325 1 325 (2)u qq uuu u uq uq uu u uq uq−+ =  −+= −+=  ⇔⇔  += += +=      Chia t ừng vế của ()1 cho ()2 ta đư ợc phương trình : 6115 5 4 0 *15qqqqqq−+=⇔ − + −=+ Đặt 2,0 t qt= ≥ . Phương trình ()* trở thành : ()()32 2 5 5 40 4 1 0 1 0( )t t t t t tt t t vn=− + −= ⇔ − −+ = ⇔ −+= Với 244 2tq q=⇒ =⇔= ± . Với 2 q=± thay vào ()2 ta đư ợc 15u=. 31 . 5.4 20. u uq= = = Câu 85: Cho c ấp số nhân ()nu có tổng n số hạng đầ u tiên l à 61n nS= − . Tìm số hạng thứ năm của c ấp số nhân đã cho. A. 120005. B. 6840. C. 7775. D. 6480. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 20 Sưu t ầm và biên so ạn Cấp số nhân ()nu có số hạng đầu 1u và công bội q. Do 61n nS= − nên 1q≠. Khi đó () 11 = = −−. Ta có: ()1 11161 51uqSuq−= =−⇔ =−. 6 1 6.1uq = = −⇔ =− Vậy 44 51 . 5.6 6480. u uq= = = Câu 86: Cho dãy s ố ()nu xác đ ịnh bở i 1 11.25nnu = + Tìm s ố hạng thứ 2020 của dãy. A. 2020 2020 3.2 5. u= − B. 2019 2020 3.2 5. u= + C. 2019 2020 3.2 5. u= − D. 2020 2020 3.2 5. u= + Lời giải Đặt 11 5 5 2.( 5) 5 2nn n n n n uv v v v v++ = −⇒ −= − +⇒ = 111 6 5 6.2 6.2 5nn nn uv u u−−=⇒ =⇒ += ⇒ = − Vậy 2019 2020 2020 6.2 5 3.2 5 u= −= − Câu 87: Số hạng đầ u và công bội q của CSN vớ i 7 105, 135 uu= −= là: A. 15,3729uq= =− . B. 15,3729uq= −= . C. 15,3729uq= = . D. 15,3729uq= −= − . Lời giải Vì ()nu là CSN nên: 6 71 .5 u uq= =− , 9 10 1u . 135 uq= = 7113527 35u uqqu uq⇒ = ⇔ = −⇒= −− 7 729uuq⇒= = − . Câu 88: Cho dãy s ố ()nu được xác đ ịnh bở i 12u=; 12 31nnuu n−= +− . Tìm s ố hạng th ứ 2019 của dãy A. 2019 20195.2 6062. u= − B. 2019 20195.2 6062. u= + C. 2020 20195.2 6062. u= − D. 2020 20195.2 6062. u= + Lời giải Ta có 12 31nnuu n−= +− ()13 52 3 1 5nnun u n− ⇔ + += + −+, với 2n≥; n∈. Đặt 35nnvu n=++ , ta có 12nnvv−= với 2n≥; n∈. Như v ậy, ()nv là cấ p số nhân vớ i công bội 2q= và 110v= , do đó 110.2 5.2nn nv−= = . Do đó 3 5 5.2n nun+ += , hay 5.2 3 5n nun= −− với 2n≥; n∈. Nên 2019 20195.2 6062. u= − CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 21 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 89: Cho dãy s ố nu xác đ ịnh bở i 11 2341; , 12 32         nnnuu u nnn. Giá tr ị của 50u gần nhấ t với số nào dư ới đây? A. 312540600 . B. 312540500 . C. 212540500 . D. 212540600 . Lời giải 11 1 23 4 33 2 3 331 2 3 2 21 2 2 21                          nn nn n nnuu uu u u nn n n n n Đặt 3,11 nnvu nn, ta có 1131 22  vu và từ 1 thu đư ợc 13 2nnvv . Suy ra dãy s ố nv là m ột cấp số nhân vớ i công bội 3 2q , ta có 11 13 13..2 22             nn Từ đó ta đư ợc 1 5013 3. 21254050022 1         n DẠNG 4. TÍNH TỔNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 90: Cho c ấp số nhân ()nu có 13 u=− và 2 q=− . Tính tổng 10 số hạng đầ u tiên c ủa cấp số nhân. A. 10 511 S=− . B. 101023 S= . C. 101025 S= . D. 10 1025 S=− . Lời giải Ta có: () 10 112 1. 3. 10231 12nqSuq−− −= = −=− −−. Câu 91: Cho m ột cấp số nhân có các s ố hạng đều không âm thỏa mãn 26 u=, 424 u= . Tính t ổng c ủa 12 số hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân đó. Lời giải Gọi công bội c ủa CSN b ằng q. Suy ra 2 42 . u uq= 2 q⇒= ± . Do CSN có các s ố hạng không âm nên 2q=. Ta có 12 12 11.1qSuq−=−12123.12−=−()1232 1= − . Câu 92: Cho dãy ()nu với 112n nu= +, *n∀∈. Tính 2019 1 2 3 2019 ... S uuu u=++++ , ta đư ợc kết quả A. 2019120202− . B. 4039 2. C. 2019120192+ . D. 6057 Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 22 Sưu t ầm và biên so ạn 2019 1 2 2019 2019 20191111 1 1 1 22019 ... 2019 . 20201 22 2 2 212S−   = + + ++ = + = −    −. Câu 93: Cho cấp số nhân ()nu có 312u= , 548 u= , có công b ội âm. T ổng 7số hạng đầu của cấ n số nhân đã cho bằ ng A. 129. B. 129− . C. 128. D. 128− . Lời giải Ta có: 2 4 35 . 576 u uu= = . Vì 350, 0uu>> và công bội âm nên: 4 24 2 uq= −⇒= − . Lại có: 2 3 31 1 21234uu uq uq= ⇒= == . Áp dụng công thứ c ta có: () 7112 13. 1291 12qSuq−−−= = =− −−. Câu 94: Cho ()nu là cấp số nhân, đặt 12 ...nnS uu u=+++ . Biết 234; 13 SS= = và 20u<, giá trị 5S bằng A. 2. B. 181 16. C. 35 16. D. 121. Lời giải Gọi 1,uq lần lượt là s ố hạng đầu tiên và công bội c ủa cấp số nhân c ần tìm. Từ giả thiết ta có () 14 4 3 13 1 13 3 uq S q S u qq  += =  =⇔⇔  = ++ = −   =. Vì 2 3 3 32 20090u uquSS u<⇒= < =−= > nên c ấp số nhân c ần tìm có 116 q==−. Do đó 5 511 181 1 16qSuq−= =−. Câu 95: Giá tr ị của tổng 2 20181 3 3 ... 3S=++ ++ bằng A. 201931 2S−= . B. 201831 2S−= . C. 202031 2S−= . D. 201831 2S−=− . Lời giải Ta th ấy S là tổng c ủa 2019 s ố hạng đầu tiên c ủa cấ p số nhân vớ i số hạng đầu là 11u=, công bội 3q=. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 23 Sưu t ầm và biên so ạn Áp dụng công thứ c tính t ổng c ủa cấp số nhân ta có 2019 201913 3 11.13 2S−−= =−. Câu 96: Biết rằng 2 10 21.31 2.3 3.3 ... 11.3 .4b Sa= + + ++ =+ Tính .4bPa= + A. 1.P B. 2.P C. 3.P D. 4.P Lời giải Từ giả thiết suy ra 2 3 113 3 2.3 3.3 ... 11.3S   . Do đó 2 10 11 11 11 1 3 1 21.3 1 212 3 1 3 3 ... 3 10.3 11.3 .3 .13 2 2 4 4SS S S               Vì 111 21.3 21.3 1 1 11, 11 3.4 4 4 4 44b S a ab P       Câu 97: Cho cấp số nhân ()nu có 24 S= và 313.S= Tìm 5.S A. 5121S= hoặc 5181.16S= B. 5121S= hoặc 535.16S= C. 5114S= hoặc 5185.16S= D. 5141S= hoặc 5183.16S= Lời giải Ta có 3 32 9 uSS=−=2 11 299 uq uq⇒ = ⇒= Vì 24 S= nên 11 4. u uq+= Do đó 2994qq+=24 9 90qq⇔ − −= 3q⇔= hoặc 3.4q=− + Với 3q= thì 11,u=5 61 243. u uq= = Suy ra 16 51 243121.1 13uuSq−−= = =−− + Với 3 4q=− thì 116,u=6243.64u=− Suy ra 16 5181.1 16uuSq−= =− Câu 98: Cho cấp số nhân ()nu có 18u= và biểu thức 32 14 2 15uu u+− đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 10.S A. ()11 10 924 1 = . B. ()10 10 824 1 = . C. 10 10 621 3.2S−= . D. 11 10 721 3.2S−= Lời giải Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân. Khi đó ()2 32 14 2 15 2 4 1 122 122, .uu u q q + − = + − ≥− ∀ Dấu bằng xảy ra khi 4 10q+=1.4q⇔= − Suy ra: ()10 10 1 81124 1 1 4. 8.1 1 5.414qSuq−− − − = = =− −− CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 24 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 99: Cho cấp số nhân ()nu có 12,u= công bội dươ ng và biểu thức 4 71024uu+ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 11 12 20 ... . Su u u= + ++ A. 2046.S= B. 2097150.S= C. 2095104.S= D. 1047552.S= Lời giải Gọi q là công bội c ủa cấ p số nhân, 0.q>Ta có 3 71024 5122. uquq+= + Áp dụng b ất đẳng th ức Cô-si, ta có:3 3 3 3336 66512 512 5122 3 . . 24. q q q qqq qq+ =++ ≥ = Suy ra 4 71024uu+ đạt giá tr ị nhỏ nh ất bằng 24 khi 3 6512qq= 2.q⇔= Ta có ()10 2 2;1uq = = −−()20 2 2.1uq = = −− Do đó 20 10 2095104. SS S=−= Vậy phương án đúng là .C Câu 100: Cho cấp số nhân ()nu có 46 uu+= − +=. Tính 21.S A. ()21 211312S= + B. 21 213 1. S= − C. 21 211 3. S= − D. ()21 2113 1.2S= −+ Lời giải Ta có 46 540 uu+= − ()35 540. u uq⇔+ = − Kết hợp với phương trình thứ hai trong h ệ, ta tìm đư ợc 3. q=− Lại có 35 180 uu+= 1 180. uq q⇔ += Vì 3 q=− nên 12.u= Suy ra ()()21 211 13 1.12uq = = +− Vậy phương án đúng là .A Câu 101: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 1; 4; 16; 64;  Gọi nS là tổng c ủa n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. M ệnh đề nào sau đây đúng? A. 14.n nS B. 114  C. 41.3n nS D.  44 1 Lời giải Cấp số nhân đã cho có 1 11 1 14 4 1. 1. .4 1 14 3n nn nu qSuq q         Câu 102: Cho c ấp số nhân có các s ố hạng lần lượt là 11; ; 1; ; 2048.42 Tính t ổng S của tất cả các s ố hạng của cấp số nhân đã cho. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 25 Sưu t ầm và biên so ạn A. 2047,75. S B. 2049,75. S C. 4095,75. S D. 4096,75. S Lời giải Cấp số nhân đã cho có 11 1 1 2 1 1112048 2 .2 2 13. 422n nn uuq n q         Vậy cấp số nhân đã cho có t ất cả 13 s ố hạng. V ậy 13 11 11 2. . 2047,751 41 2qSuq     Câu 103: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn () 3,1555... 3,1 5= viết dưới dạng số hữu tỉ là: 20. B. 142 45. C. 1 18. D. 7 Lời giải 3,1555... 3,1 0,05 0,005 0,0005 ...= ++ + + Dãy s ố 0,05;0,005; 0,0005; 0,00005;... là m ột cấp số nhân lùi vô hạ n có 10, 05u= ; 0,1q= . Vậy 0, 053,1555... 3,11 0,1= +−142 Câu 104: Tính t ổng ()1 211 11 ... 1 ...66 6n nS−= −+ − + +− + 6S= B. 6 7S=− C. 6 7S= D. 7 Lời giải Ta có: ()3 2 121... 16u uqquu= = = = −< . Do đó: 1 16 1 1716uSq−−= = =−+ Câu 105: Số thập phân vô hạ n tuầ n hoàn 0,121212... được biểu diễn bởi phân s ố 25. B. 12 99. C. 1 11. D. 3 Lời giải 1001211100 −4 12 33 99= = . Câu 106: Viết thêm b ốn số vào gi ữa hai s ố 160 và 5 để được một cấp số nhân. T ổng các s ố hạng của cấp số nhân đó là A. 215. B. 315. C. 415. D. 515. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 26 Sưu t ầm và biên so ạn Lời giải Từ giả thiết ta có 1 65 6 1160 1 5 2u uqu u=⇒= ==. Suy ra t ổng các s ố hạng của cấ p số nhân đó là: ()6 11160 112 3151 1 Sq− − = = =−. Câu 107: Cho c ấp số nhân ()nu thỏa mãn 123 uu++= −=. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ()nu là A. 81093S= . B. 83820S= . C. 89841 S= . D. 83280S= . Lời giải Ta có 123 uu++= 11. . 13 . 26u uq uq uq u++ =⇔−=() . 1 1 26u qq uq qq++ =⇔− ++ = q++ =⇔ q=⇔=. Vậy tổng ()8 =−()811 3 328013− Câu 108: Tổng 211 1 33 3nS= + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ có giá tr ị là: 9. B. 1 4. C. 1 3. D. 1 Lời giải Ta có 211 1 33 3nS= + +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ là tổng c ủa cấp số nhân lùi vô hạ n ()nu với 1 3n nu= có số hạng đầu 11 3u=, công sai 1 Do đó 11 1 1213uSq= = =−−. Câu 109: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bở i 12a=, 1 2nnaa+=− , 1n≥, n∈. Tính t ổng c ủa 10 số hạng đầu tiên c ủa dãy s ố. A. 2050 3. B. 2046 . C. 682− . D. 2046− . Lời giải Vì 12n a+=− suy ra ()na là một cấp số nhân vớ i 12 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 27 Sưu t ầm và biên so ạn Suy ra ()10 6821aq = =−−. Câu 110: Tính t ổng t ất cả các s ố hạng của m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu là 1 2, số hạng th ứ tư là 32 và số hạng cu ối là 2048 ? A. 1365 2. B. 5416 2. C. 5461 2. D. 21845 Lời giải Theo bài ra ta có 11 2u=, 432u= và 2048nu= . 41 . u uq= 3132 .2q⇒= 4q⇒= 2048nu=1 1. 2048nuq−⇒=1644n−⇒= 7n⇒= Khi đó t ổng c ủa cấp số nhân này là ()()77 7114 1 5461 2 1 14 2uq = = =−−. Câu 111: Một cấp số nhân ()nu có n số hạng, số hạng đầu 17u=, công bội 2q=. Số hạng thứ n bằng 1792 . Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ()nu? A. 5377 . B. 5737 . C. 3577 . D. 3775 . Lời giải Ta có 1 nu uq−= 8 7.2 1792 9 3577nnS−⇒ = ⇔=⇒ = Câu 112: Tính t ổng c ấ số nhân lùi vô hạ n ()21 11 1, , ,..., ,...24 8 2n−−− là. A. 1−. B. 1 2. C. 1 4−. D. 1 Lời giải Cấp số nhân có 11 2u=− công bội 1 2q=− nên t ổng c ủa cấp số nhân lùi vô hạ ng là. () 111 1lim lim1 13n nuq uSqq− = = =−−− Câu 113: Giá tr ị của tổng 7 77 777 ... 77...7   bằng A. 2018 7010 1 20189 . B. 20187 10 10201899 . C. 20197 10 10201899 . D. 2018 710 19. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 28 Sưu t ầm và biên so ạn Ta có 7 77 777 ... 77...7    79 99 999 ... 99...99     2 3 2018 710 1 10 1 10 1 ... 10 19       2 3 2018 710 10 10 ... 10 20189     Mặt khác,ta có 2 3 201810 10 10 ... 10   là tổng c ủa m ột cấp số nhân vớ i 110u và công bội 10q 2 3 201810 10 10 ... 10  2018 201910 1 10 101099 . Do đó  2 3 2018 710 10 10 ... 10 20189   20197 10 10201899. Câu 114: Giá tr ị của tổng 4 44 444 ... 44...4+ + ++ bằng A. ()2018 4010 1 20189−+ . B. 20194 10 10201899−− . C. 20194 10 10201899−+ . D. ()2018 410 19−. Lời giải Đặt 4 44 444 ... 44...4S=+ + ++ . Ta có: 99 99 999 ... 99...94S=+ + ++ ()()()()2 3 201810 1 10 1 10 1 ... 10 1= −+ −+ −+ − Suy ra: 9 4S=( )2 3 201810 10 10 ... 10 2018+ + ++ − = 2018A− . Với 2 3 201810 10 10 ... 10A= + + ++ là tổng 2018 số hạng của m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu 110u=, công bội 10q= nên ta có 2018 1qAuq−=−20181 10109−=−201910 10 Do đó 20199 10 10201849S−= −20194 10 10201899S−⇔= −. Câu 115: Cho dãy số xác định bởi 11u=, * 1 2112 ; 3 32nnnuu nnn+− = +∈++. Khi đó 2018u bằng: A. 2016 2018 201721 3 2019u= + . B. 2018 2018 201721 3 2019u= + . C. 2017 2018 201821 3 2019u= + . D. 2017 2018 201821 3 2019u= + . Lời giải Ta có: 1 211u 2u3 32nnn nn+− = +++1 3223 21nunn= +−++2 1 21.3 23 1nunn= +−++. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 29 Sưu t ầm và biên so ạn 112 1 23 1nnuunn+⇔− = − ++ ()1 1nnvun= −+, từ ()1ta suy ra: 12 3nnvv+= . Do đó ()nv là cấ p số nhân vớ i 1111 22vu=−= , công bội 2 Suy ra: 1 112..23n nv vq− −= = 11 12.123n nun−⇔− = +112 1.23 1n nun−⇔= + + . Vậy 2017 201812 1.2 3 2019u= +2016 3 2019= + . Câu 116: Cho dãy s ố ()nU xác đ ịnh bở i: 11 3U= và 11.3nnnUUn++= . Tổng 3 10 2 1 ...2 3 10UU USU= + + ++ A. 3280 6561. B. 29524 59049. C. 25942 59049. D. 1 Lời giải Theo đề ta có: 11.3nnnUUn++=11 13nnUU nn+⇔=+ mà 11 3U= hay 11 Nên ta có 2 211 1.2 33 3U = =; 23 311 1.3 33 3U = =   ; … ; 10 10 3U=. Hay dãy nU  là m ột cấp số nhân có s ố hạng đầu 11 3U=, công bội 1 Khi đó 3 10 2 1 ...2 3 10UU USU= + + ++2 1.2 . 33π=10 2.3−=1059048 2.3=29524 59049= . Câu 117: Cho dãy s ố ()nu thỏa mãn 1 2 1; 2nnu uu n−= = +≥. Tổng 1 2 20 ... Suu u=+++ bằng A. 202 20.− B. 212 22. C. 202. D. 212 20.− Lời giải ()112 1 12 1nn n nuu u u−−= +⇔ += + Đặt 1,nnvu= + ta có12nnvv−= trong đó 12v= Vậy()nv là cấ p số nhân có s ố hạng đầu 12v= và công bội bằ ng 2, nên s ố hạng tổng quát nv= 12 1n nnuv⇒ = −= − 1 2 20 ... Suu u⇒=+++ ()()()1 2 202 1 2 1 ... 2 1= −+ −++ − ( )1 2 202 2 ... 2 20= + ++ − ()20 212. 2 1 20 2 22.S= −− = − CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 30 Sưu t ầm và biên so ạn DẠNG 5. KẾT HỢP CẤP SỐ NHÂN VÀ CẤP SỐ CỘNG Câu 118: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . Lời giải Ta gọi ba s ố đó l ần lượt là ,,abc và d là công sai c ủa cấ p số cộng. Theo đề bài ta có: 1644cadca d= +⇒= = +. Ngoài ra ()()2 24 16 2 b ac a a a a= ⇔ + = + ⇔= Suy ra 6, 18bc= = . Vậy các s ố cần tìm là 2, 6,18 . Câu 119: Ba s ố dương ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộn g v à c ó t ổng b ằng 30. Biết 2; 2; 18xyz+++ theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. Tx z= + A. 328.T= B. 424.T= C. 296.T= D. 428.T= Lời giải Theo tính chấ t của cấ p số cộng, ta có 2 xz y+= . Kết hợp với giả thiết 30 xyz++= , ta suy ra 3 30 10yy= ⇔= . Gọi d là công sai c ủa cấ p số cộng thì 10 x yd d=−= − và 10 z yd d=+=+ . 2; 2; 18xyz+++ là cấ p số nhân hay 12 ,12, 28 dd−+ . Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có : ()()2212 28 12 16 192 0 d d dd− += ⇔+ − = . ()( )8 ; ; 2;10;18 24 ; ; 34; 10; 14 ( )d xyz d xyz l= ⇒= = −⇒ = − 22 2218 2 328. Tx z=+= += Câu 120: Ba số ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng tăng có t ổng b ằng 24. Nếu cộng thêm l ần lượt các s ố 1, 4, 13 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Tính giá tr ị biểu thứ c 2 22Px y z=++ . A. 200. B. 210. C. 220. D. 190. Lời giải Ba số ,,xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng có t ổng b ằng 24 nên ta có hệ phương trình CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 31 Sưu t ầm và biên so ạn 24 xz y++= +=3 24 8yy⇒ = ⇒= . Ta vi ết lại 3 số ,,xyz lần lượt bằng 8d−, 8, 8d+. Nếu cộng thêm l ần lư ợt các s ố 1, 4, 13 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố là 9 ,12, 21dd−+ . Vì ba s ố này theo thứ tự lập thành c ấp số nhân nên ta có phương trình ()()29 21 12dd− += 212 45 0dd⇔+ −=3 d=⇔=−. Vì cấp số cộng tăng nên 03dd>⇒=⇒ ba số ,,xyz lần lượt bằng 5, 8, 11 . Suy ra 2 22 22 25 8 11 210 Px y z=++=++ = . Câu 121: Ba số theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân có s ố hạng cu ối lớn hơn s ố hạng đầu 16 đơn vị . Ba số đó là các s ố hạng th ứ nhất, thứ hai và thứ năm của m ột cấp số cộng. Tìm ba s ố đó. A. 2, 6,18 . B. 4,8, 20 . C. 1 7 49,,33 3. D. 4 ,4 5,2 0 . Lời giải Ta gọi ba s ố đó l ần lượt là ,,abc và d là công sai c ủa cấ p số cộng. Theo đề bài ta có: 1644cadca d= +⇒= = +. Ngoài ra ()()2 24 16 2 b ac a a a a= ⇔ + = + ⇔= Suy ra 6, 18bc= = . Vậy các s ố cần tìm là 2, 6,18 . Câu 122: Cho ba s ố a, b, c là ba s ố liên tiế p của m ột cấp số cộng có công sai là 2. Nếu tăng s ố thứ nhất thêm 1, tăng s ố thứ hai thêm 1 và tăng s ố thứ ba thêm 3 thì đư ợc ba s ố mới là ba s ố liên tiế p của một cấp số nhân. Tính () abc++ . A. 12. B. 18. C. 3. D. 9. Lời giải Chọn D +) a, b, c là ba s ố hạng liên ti ếp của cấ p số cộng có công sai bằ ng 2d= ⇒ 2 ca= + = +. +) Ba số 1a+, 3a+, 7a+ là ba s ố hạng liên ti ếp của m ột cấp số nhân ()()()23 1. 7a aa⇔+ =+ + 2269 87 aa aa⇔ + += + + 22 1aa⇔ =⇔= . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 32 Sưu t ầm và biên so ạn 3 69 T abc a⇒=++= += . Câu 123: Cho ba s ố x;5;2y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng và ba s ố x;4;2y theo thứ tự lập thành c ấp số nhân thì 2xy− bằng A. 2 10xy−= . B. 29xy−= . C. 26xy−= . D. 28xy−= . Lời giải Do ba s ố x;5;2y theo thứ tự lập thành c ấp số cộng, ta có: () 2 10 1 Sx y= += Ta lại có ba s ố x;4;2y theo thứ tự lập thành c ấp số nhân nên: () .2 16 2 P xy= = Từ ()() 1,2 suy ra hai s ố x;2y là nghi ệm của phương trình 2.0 X SX P− += hay 210 16 0 XX− +=2 X=⇒= Theo yêu c ầu bài toán 2 28 6xy− =−= Câu 124: Tính t ổng c ủa cấ p số nhân lùi vô hạ n ()nu biết 11u= và 134,,uuu theo thứ tự là ba s ố hạng liên tiếp trong m ột cấp số cộng. 2+. B. 51 2−. C. 1 51−. D. 2. Lời giải ()nulà cấp số nhân lùi vô hạ n có công bội q, suy ra 1q ⇔ > ⇔ > Vậy phải lấy tối thiểu từ ô thứ 25 Câu 132: Cho tam giác ABC cân t ại đỉnh A, biết độ dài cạ nh đáy BC, đường cao AH và cạ nh bên AB theo thứ tự lập thành c ấp số nhân vớ i công bội q. Giá tr ị của 2q bằng 2+. B. 22 2−. C. 21 2+. D. 21 Lời giải Đặt ;; BC a AB AC b AH h= = = = . Theo gi ả thiết ta có ,,ahb lập cấp số nhân, suy ra 2. h ab= Mặt khác tam giác ABC cân t ại đỉnhAnên 22 2 24abb ahm+= = − Do đó ()22 2 224 4 0 22 224bb aab a ab b a b+− = ⇔ + − =⇔= − Lại có 2b qa= nên suy ra 2 1 22 2 2 1 42 22 2bqa++= = = = Câu 133: Cho dãy s ố ()na xác đ ịnh bởi 115, . 3nn a a qa+= = + với mọi 1n≥, trong đó q là hằng số, 0q≠ , 1q≠. Biết công th ức số hạng tổng quát c ủa dãy s ố viết được dưới dạng 1 1 1.1n nqaqqαβ− −−= +− . Tính 2αβ+ ? A. 13. B. 9. C. 11. D. 16. Lời giải Cách 1. Ta có: ()1nna k qa k+−= − 3 k kq⇔− =3 1kq⇔=− Đặt nnvak= −2 1 11. . ... .n n nnv qv q v q v+−⇒== = = Khi đó ()11 1 113. . .51nn n nv qvq ak qq−− − = = −= − − 11 1 3 33 1. 5 . 5 5. 3.1 11 1n nnqa v kq kq qq qq q− −− −  −= += − += − + = +  − −− −  . Do đó: 5; 3αβ= = 2 5 2.3 11αβ⇒ += += . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 36 Sưu t ầm và biên so ạn Cách 2. Theo gi ả thiết ta có 125, 5 3a aq= = + . Áp dụng công thứ c tổng quát, ta đư ợc 1.1qaqq qaqqqαβ −−= +=− −= +=− +, suy ra 5 53q qα + , hay 5 2 5 2.3 11αβ⇒ += += Câu 134: Cho bốn s ố , ab, , cd theo thứ tự đó tạo thành c ấp số nhân vớ i công b ội khác 1. Biết tổng ba số hạng đầu bằng 148 9, đồng th ời theo th ứ tự đó chúng l ần lượt là số hạng th ứ nhất, thứ tư và th ứ tám c ủa m ột cấp số cộng. Tính giá tr ị biểu thứ c T abcd=−+− . A. 101 27T= . B. 100 27T= . C. 100 27T=− . D. 101 27T=− . Lời giải Ta có () 2 1 148 39ac b ++=. Và cấ p số cộng có 1ua= , 4ub=, 8uc=. Gọi x là công sai c ủa cấ p số cộng. Vì cấp số nhân có công bội khác 1 nên 0x≠. Ta có : 3 ca x= + = + ()4. Từ ()1 và ()4 ta đư ợc : ()()273 aa x a x+= +290ax x⇔− = . Do 0x≠ nên 9ax= . Từ ()3 và ()4, suy ra 1483 109ax+= . Do đó : 4 x== 16 Vậy 100 27T abcd−=−+−= . Câu 135: Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nư ớc Italia ngư ời ta th ả một qu ả bóng cao su chạ m xu ống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng l ại nảy lên đ ộ cao b ằng 1 10 độ cao mà qu ả bóng đ ạt trước CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 37 Sưu t ầm và biên so ạn đó. T ổng đ ộ dài hành trình c ủa qu ả bóng đư ợc thả từ lúc ban đ ầu cho đế n khi nó nằ m yên trên mặt đất thuộc khoả ng nào trong các kho ảng sau đây? A. () 67 ;69mm . B. () 60 ;63mm . C. () 64 ;66mm . D. () 69 ;72mm . Lời giải Gọi nh là độ dài đư ờng đi c ủa quả bóng ở lần rơi xuống thứ ()*nn∈. Gọi nl là độ dài đư ờng đi c ủa quả bóng ở lần nảy lên thứ ()*nn∈. Theo bài ra ta có 155,8h= , 11.55,8 5,5810l= = và các dãy s ố ()nh, ()nl là các c ấp số nhân lùi vô hạ n với công bội 1 10q= . Từ đó ta suy ra t ổng đ ộ dài đư ờng đi c ủa quả bóng là: ()()11 111068, 211 91110 10hlS hl m = + = += Câu 136: Để trang trí cho quán trà s ữa sắp mở cửa của mình, bạ n Việt quy ết định tô màu m ột mả ng tư ờng hình vuông c ạnh bằ ng 1m. Phầ n tô màu dự kiến là các hình vuông nhỏ đư ợc đánh s ố lần lượt là 1, 2,3...n,.. , trong đó c ạnh của hình vuông k ế tiếp bằng m ột nửa cạnh hình vuông trư ớc đó. Gi ả sử quá trình tô màu c ủa Vi ệt có th ể diễn ra nhi ều giờ. Hỏi bạn Việt tô màu đ ến hình vuông thứ mấy thì di ện tích c ủa hình vuông đư ợc tô bắ t đầu nhỏ hơn ()2 1 1000m? A. 6. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 38 Sưu t ầm và biên so ạn Diện tích c ủa hình vuông l ập thành c ấp số nhân vớ i số hạng đầu tiên là 111,44uq= = . Do đó s ố hạng tổng quát là ()111 1.144 4n n nun−= = ≥. Để diện tích c ủa hình vuông tô màu nhỏ hơn 1 114 1000 51000 4 1000n nn ⇔ < ⇔ > ⇒≥ . Vậy tô màu t ừ hình vuông thứ 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 137: Có bao nhiêu giá tr ị thực của tham s ố m để phương trình ()()() 13 0x x xm− − −= có 3 nghi ệm phân bi ệt lập thành c ấp số nhân tăng? A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Ta có: ()()()1 13 0 3x x x xm x − − −= ⇔= Để phương trình có 3 nghi ệm phân bi ệt thì: {}1;3 m∉ . Trường hợ p 1: 13m<< . Để 3 số ;1;3m lập thành c ấp số nhân tăng thì: 2 1.3 13mm=⇔= Cấp số nhân tăng đó là: 1;1;33 Trường hợ p 2: 13m<< . Để 3 số 1; ;3m lập thành c ấp số nhân tăng thì: 2 31.3 m== ⇔ Đối chi ếu điều kiện 13m<< ta ch ọn 3 m= . Cấp số nhân tăng đó là: 1; 3 ;3 Trường hợ p 3: 13 m<< . Để 3 số 1;3; m lập thành c ấp số nhân tăng thì: 21. 3 9mm=⇔= Cấp số nhân tăng đó là: 1;3;9 Vậy 1; 3;9 3m∈ thì phương trình ()()() 13 0x x xm− − −= có 3 nghi ệm phân bi ệt lập thành cấp số nhân tăng. Câu 138: Biết rằng tồn tại đúng hai gi á trị của tham s ố m để phương tr ình ()32 27 2 6 80x x m mx− + + −= có ba nghi ệm phân bi ệt lập thà nh m ột cấp số nhân. T ính tổng l ập phương c ủa hai gi á trị đó. A. 342− . B. 216− . C. 344. D. 216. Lời giải Giả sử phương tr ình đã cho có 3 nghi ệm là: 123,,xxx . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 39 Sưu t ầm và biên so ạn Theo đị nh lí Viet, t ích 3 nghi ệm: 123 8dxxxa= −= . Vì ba nghi ệm này lập thà nh m ột cấp số nhân nên 2 2 13x xx= . Do đó ta có: 3 2282 xx= ⇔= . Thay 2x=vào phương tr ình ta đư ợc: ()2 14 6 287mmmm=+= ⇔=−. Theo gi ả thiết hai gi á trị này của m đều nhậ n. Tổng l ập phương c ủa hai gi á trị m là: ()3 31 7 342+− = − . Câu 139: Cho dãy s ố ()nu là m ột cấp số nhân có s ố hạng đ ầu 11u=, công bội 2q=. Tính t ổng 1 5 2 6 3 7 20 24111 1... Tuu uu uu u u= + + ++−−− −. 15.2−. B. 20 15.2−. C. 19 15.2−. D. 20 Lời giải ()()()()1 5 2 6 3 7 20 24 1 2 3 20 1 2 3 20 4 2 19 11 1 1 4 2 19 1111 1... 111 1... 1 111 1...1 1 11 1 1...1 1 1 11 1. 1 ...1 11..1 1Tuu uu uu u u u qu qu q u q qu u u u q u uq uq uq qu qq q q= + + ++−−− − = + + ++ = + + ++− = + + ++− = ++ ++ − −=−−() ()2020 4 19 19 11 1 1 12..1 1 15.21q q u qq− −= =−− Câu 140: Với hình vuông 111 1ABCD như hình vẽ bên, cách tô màu như ph ần gạch sọc đư ợc gọi là cách tô màu “đ ẹp”. M ột nhà thi ết kế tiến hành tô màu cho m ột hình vuông như hình bên, theo quy trình CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 40 Sưu t ầm và biên so ạn Bước 1: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 111 1ABCD . Bước 2: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 222 2ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình vuông 111 1ABCD thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ . Bước 3: Tô màu “đ ẹp” cho hình vuông 333 3ABCD là hình vuông ở chính gi ữa khi chia hình vuông 222 2ABCD thành 9 phần bằng nhau. C ứ tiếp tục như vậ y. Hỏi cần ít nhấ t bao nhiêu bư ớc để tổng di ện tích ph ần được tô màu chi ếm 49,99% . A. 9 bước. B. 4 bước. C. 8 bước. D. 7 bước. Lời giải Gọi diện tích đư ợc tô màu ở mỗi bư ớc là nu, *n∈. Dễ thấy dãy các giá tr ị nu là m ột cấp số nhân vớ i số hạng đầu 14 9u= và công bội 1 Gọi kS là tổng c ủa k số hạng đầu trong c ấp số nhân đang xét thì () 1 1 Để tổng di ện tích phầ n được tô màu chi ếm 49,99% thì () 1 1 0, 4999 3,81kuq ≥ ⇔≥−. Vậy cần ít nhấ t 4 bước. Câu 141: Cho hình vuông ()1C có cạ nh bằ ng a. Ngư ời ta chia m ỗi cạnh của hình vuông thành bốn phầ n bằng nhau và nối các đi ểm chia m ột cách thích hợ p để có hình vuông ()2C. Từ hình vuông ()2C lại tiếp tục làm như trên ta nh ận được dãy các hình vuông 1C,2C, 3C,., 3T= , tính a? A. 2. B. 5 2. C. 2. D. 22 . Lời giải Cạnh của hình vuông ()2C là: 22 23 1 10 44 4aa aa= +=. Do đó di ện tích 2 CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 41 Sưu t ầm và biên so ạn Cạnh của hình vuông ()3C là: 222 32 210 3 1 10 44 4 4aaa a a  = += =      . Do đó di ện tích 88S aS= =. Lý lu ận tương t ự ta có các 1S,2S, 3,... ...n SS . tạo thành m ột dãy c ấp số nhân lùi vô hạ n có 11uS= và công bội 5 1STq=−28 3a= . Với 32 3T= ta có 242 aa=⇔= . Câu 142: Cho năm s ố a, b, c, d, e tạo thành m ột cấp số nhân theo thứ tự đó và các s ố đều khác 0, biết 1111110abcde++++= và tổng c ủa chúng b ằng 40. Tính giá tr ị S với S abcde= . A. 42S=. B. 62S=. C. 32S=. D. 52S=. Lời giải Gọi q ()0q≠ là công bội c ủa cấ p số nhân a, b, c, d, e. Khi đó 1 e là cấ p số nhân có công bội 1 Theo đề bài ta có 1111110abcde abcde++++=++++= 5 51. 401 1. 1011qaq q−=− ⇔−= 41. 401 11. 101qaq aq q−=−⇔−=−244 aq⇔= . Ta có S abcde=234.. . .a aq aq aq aq=5 10aq= . Nên ()22 5 10S aq=()524 54 aq= = . Suy ra 54 32 S= = . Câu 143: Cho dãy s ố ()nuthỏa mãn 1 12 2 3 nnu uu u u un++ −=+ = ∀∈ . Giá tr ị nhỏ nhất của n để 20182.3nu≥ bằng: A. 2017 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2010 Lời giải ()1 12 2 15 5 6 1 3 2nnu uu u u un++ −=+= ∀∈. Từ ()1có ()2 1 12 2 12 12 5 5 6 5 5 60u uu u uu uu+− = + ⇔ −+− − = CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 42 Sưu t ầm và biên so ạn 12 125 25 4uu uu⇔ −= ⇔ −= . Từ ()2 có 1 2133nnu uuu+= ⇒= . Giải hệ 12 = được 12u=. Dãy ()nu là cấ p số nhân vớ i 12 = có SHTQ: 12.3n nu−= với * n∈ 2018 1 20182.3 2.3 2.3 1 2018 2019n nu nn−≥⇔ ≥⇔ − ≥ ⇔ ≥ . Vậy giá tr ị nhỏ nhấ t thỏa mãn là 2019 . Câu 144: Tìm tấ t cả các giá tr ị của tham s ố m để phương trình sau có ba nghi ệm phân bi ệt lập thành m ột cấp số nhân: ()32 27 2 6 80x x m mx .− + + −= A. 7 m.=− B. 1m.= C. 1 m=− hoặc 7m.= D. 1m= hoặc 7 m.=− Lời giải + Điều kiện cần: Gi ả sử phương trình đã cho có ba nghi ệm phân bi ệt 123x ,x ,x lập thành m ột cấp số nhân. Theo đị nh lý Vi -ét, ta có 123 8 xxx .= Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có 2 13 2xx x=. Suy ra ta có 3 2282x x.= ⇔= Với nghi ệm x=2, ta có 2 16 707mmmm=+ −=⇔=− + Điều kiện đủ: V ới 1m= hoặc 7 m=− thì 267 mm+= nên ta có phương trình 327 14 8 0xx x .− + −= Giải phương trình này, ta đư ợc các nghi ệm là 124,,. Hiển nhiên ba nghi ệm này l ập thành m ột cấp số nhân vớ i công bôị 2q.= Vậy 1m= và 7 m=− là các giá tr ị cần tìm. Chọn đáp án D. Câu 145: Bốn góc c ủa một tứ giác t ạo thành c ấp số nhân và góc l ớn nhấ t gấp 27 l ần góc nhỏ nhất. Tổng của góc l ớn nhấ t và góc bé nhấ t bằng: A. 056 . B. 0102 . C. 0252 . D. 0168 . Lời giải. Giả sử 4 góc A, B, C, D theo thứ tự đó lập thành c ấp số nhân thỏa yêu cầ u với công bội .q Ta 331 360 3609 252.27 27243qA qq q ABCDA ADDA Aq AD Aq                        CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 43 Sưu t ầm và biên so ạn Câu 146: Người ta thiế t kế một cái tháp g ồm 11 t ầng. Di ện tích bề mặt trên của m ỗi tầng bằng nữa diện tích c ủa m ặt trên c ủa tầng ngay bên dư ới và di ện tích m ặt trên c ủa tầng 1 b ằng nửa diện tích c ủa đế tháp. Tính di ện tích m ặt trên cùng. A. 26.m B. 28.m C. 210 .m D. 212 .m Lời giải Diện tích bề mặt của mỗi tầng lập thành m ột cấp số nhân có công bội 1 2q và 112 2886 144.2u Khi đó di ện tích m ặt trên cùng là 11 1 10614462u uq Câu 147: Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng 1 9 số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó. A. 00 0 05 ,15 , 45 , 225 . B. 0 00 09 , 27 ,81 , 243 . C. 000 07 , 21 ,63 , 269 . D. 000 08 ,32 ,72 , 248 . Lời giải Gọi các góc của t ứ giác là 23,, , ,a aq aq aq trong đó 1.q> Theo gi ả thiết, ta có 21 9a aq= nên 3.q= Suy ra các góc củ a tứ giác là ,3 ,9 ,27 .aaa a Vì tổng các góc trong t ứ giác b ằng 0360 nên ta có:03 9 27 360aaa a+++ =09.a⇔= Do đó, phương án đúng là B. Câu 148: Cho cấp số nhân ()na có 17,a=6224 a= và 3577.kS= Tính giá trị của biểu thức ()1.k Tk a= + A. 17920.T= B. 8064.T= C. 39424.T= D. 86016.T= Lời giải Ta có 6224 a=5 1 224 aq⇔= 2q⇒= . Do ()()11 72 11k = = −− nên 3577kS=() 7 2 1 3577k⇔ −=922k⇔= 9.k⇔= Suy ra 8 9110 10 17920.T a aq= = = Vậy phương án đúng là .A Câu 149: Các s ố 6 , 5 2 , 8xy xy x y theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng; đ ồng th ời các s ố 1, 2 ,   3x y xy theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Tính 22. xy A. 2240. xy B. 2225. xy C. 22100. xy D. 2210. xy Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 44 Sưu t ầm và biên so ạn Theo gi ả thiết ta có  26 8 25 2 13 2xy x y xy x xy y       2233 6.2 3 13 3 2 0 2xy xy x y y yy y y                 Suy ra 2240. xy Chọn A Câu 150: Ba số ; ; xyz theo thứ tự lập thành m ột cấp số nhân vớ i công bội q khác 1; đồng th ời các s ố ; 2 ; 3x yz theo thứ tự lập thành m ột cấp số cộng v ới công sai khác 0. Tìm giá tr ị của q. A. 1.3q B. 1.9q C. 1.3q D. 3. q Lời giải  2 20 ;3 4 3 410 . 3 22 3 4 10x y xq z xqx xq xq x q q xz y qq                  Nếu 00x yz công sai c ủa cấp số cộng: ;2 ;3xyz bằng 0. Nếu 2113 4 10 . 13 qq q q q      Câu 151: Các s ố 6,xy+ 5x 2 , y+ 8x y+ theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số cộng, đồng th ời, các s ố 5,3x+ 1,y−2x 3 y− theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân. Hãy tìm x và $y.$ A. 3, 1 xy= −= − hoặc 31,.88xy= = B. 3, 1xy= = hoặc 31,.88xy= −= − C. 24, 8xy= = hoặc 3, 1 xy= −= − .D. 24, 8 xy= −= − hoặc 3, 1xy= = Lời giải + Ba s ố 6, 5 2, 8x yx yxy+++ lập thành c ấp số cộng nên ()()() 6 8 25 2 3x y xy x y x y+ + + = + ⇔= . + Ba s ố 5, 1, 2 33x y xy+−− lập thành c ấp số nhân nên ()()2 523 13x xy y+ −= −. Thay 3xy= vào ta đư ợc 28 7 10 1yy y+ −=⇔ = − hoặc 1 Với 1 y=− thì 3 x=− ; với 1 8y= thì 3 Câu 152: Ba số ,,xyz lập thành m ột cấp số cộng và có t ổng b ằng 21. N ếu lần lượt thêm các s ố 2;3 ;9 vào ba số đó thì đư ợc ba s ố lập thành m ột cấp số nhân. Tính 2 22. Fx y z=++ A. 389.F= hoặc 395.F= B. 395.F= hoặc 179.F= C. 389.F= hoặc 179.F= D. 441F= hoặc 357.F= Lời giải CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 45 Sưu t ầm và biên so ạn Theo tính chấ t của cấ p số cộng, ta có 2 xz y+=. Kết hợp với giả thiết 21 xyz++=, ta suy ra 3 21 7yy= ⇔=. Gọi d là công sai c ủa cấ p số cộng thì 7 x yd d=−=− và 7 z yd d=+=+. Sau khi thêm các s ố 2;3 ;9 vào ba s ố ,,xyz ta đư ợc ba s ố là 2, 3, 9xyz+++ hay 9 ,10,16dd−+. Theo tính chấ t của cấ p số nhân, ta có ()()229 16 10 7 44 0d d dd− += ⇔+−=. Giải phương trình ta đư ợc 11 d=− hoặc 4d=. Với 11 d=− , cấp số cộng 18,7, 4−. Lúc này 389F= . Với 4d=, cấp số cộng 3,7,11. Lúc này 179F= . Câu 153: Cho bố số ,,,abcd biết rằng ,,abc theo thứ tự đó lập thành m ột cấp số nhân công bội 1q; còn ,,bcd theo thứ tự đó lập thành c ấp số cộng. Tìm q biết rằng 14 ad và 12. bc A. 18 73.24q B. 19 73.24q C. 20 73.24q D. 21 73.24q Lời giải Giả sử ,,abc lập thành cấp số cộng công bội .q Khi đó theo giả thiết ta có: 12 312b aq c aqaq d aq bd cad aq qbc              Nếu 00q bc d Nếu 1; 0 q b ac a b c       . Vậy 0, 1,q q   từ và ta có: 14da và 212aqq thay vào ta được:  23 212 14 14 12 2412 7 13 6 0 191 12 19 673024q qq qqq qqq qq qq q qq q         Vì 1q nên 19 73.24q Chọn B Câu 154: Một ngư ời đem 100 tri ệu đồng đi g ửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, m ỗi tháng lãi su ất là 0, 7% số tiền mà ngư ời đó có. H ỏi sau khi hế t kỳ hạn, ngư ời đó đư ợc lĩnh về bao nhiêu ti ền? A. ()5 810 . 0,007 B. ()5 810 . 1,007 C. ()6 810 . 0,007 D. ()6 810 . 1,007 Lời giải Số tiền ban đầu là 8 010 M= . Đặt 0,7% 0,007r= = . Số tiền sau tháng thứ nhất là ()100 0 1 M M Mr M r= += + . CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY S Ố - CẤP SỐ CỘNG – C ẤP SỐ NHÂN Page 46 Sưu t ầm và biên so ạn Số tiền sau tháng thứ hai là ()2 2 11 0 1 M M Mr M r= += + . Lập luận tương t ự, ta có s ố tiền sau tháng thứ sáu là ()6 60 1 MM r= +. Do đó ()6 8 610 1,007 M= . Câu 155: Tỷ lệ tăng dân s ố của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân c ủa tỉnh M hi ện nay là 2 tri ệu ngư ời. Nếu lấy kết quả chính xác đế n hàng nghìn thì sau 9 năm nữ a số dân c ủa tỉnh M s ẽ là bao nhiêu? A. 10320 nghìn ngư ời. B. 3000 nghìn ngư ời. C. 2227 nghìn ngư ời. D. 2300 nghìn ngư ời. Lời giải 02000000 2.10P= = và 1, 2% 0,012r= = . Gọi nP là số dân của tỉnh M sau n năm nữa. Ta có: ()1 1n nn nP P Pr P r+= += + . Suy ra ()nP là một cấp số nhân với số hạng đầu 0P và công bội 1qr= + . Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: ()()9 10 6 90 1 2.10 1,012 2227000 PM r= += ≈ . Câu 156: Tế bào E. Coli trong đi ều kiện nuôi c ấy thích hợ p cứ 20 phút l ại nhân đôi m ột lần. Nếu lúc đ ầu có 1210 tế bào thì sau 3 gi ờ sẽ phân chia thành bao nhiêu t ế bào? Lời giải Lúc đầu có 2210 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với 22 110u= và công bội 2q=. Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9lần phân chia tế bào. Ta có 10u là số tế bào nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là 9 12 10 1 512.10 u uq= = . P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. Cho dãy s . Tìm s ố hạng thứ ã cho. Cho dãy s ệnh đề n ào sau đây đúng? Cho dãy s ởi công thức tổng quát . Khi đó Cho dãy s ợc cho bởi công thức tổng quát .Khi đó B. 0,5 Trong c sau, d sin 2 5; 2 ; ; n n n n u n u u u      bao nhiêu d y tăng nh tăng, gi A. Tăng, ch n trên D. Tăng, ch n trên ; ; sin 4 u u n u n      bao nhiêu Cho dãy s ó bao nhi ằng 1 ? bao nhiêu s nguyên âm a l y tăng A. Tăng, b C. Tăng, ch n trên ông th ên chia t cho 3 A. Tăng C. Tăng, ch n trên n trên D. Không b nh tăng, gi A. Tăng C. Không tăng, không gi Không đ ông th n trên D. Không b tăng, g A. Tăng, b C. Không b ên 8;15;22;29;36. S nh phương B. Chia h t cho 10 c dương D. > 200 bao nhiêu s u tiên 1;3;19;53. S A. 323 B. 140 C. 117 D. 282 A. 100 ả bao nhi ính ph A. 501 B. 100 C. 402 ả bao nhi ạng nguy A. 8850 B. 4520 C. 3210 D. 6290 tăng, gi A. Tăng, b C. Không b ả bao n ời gửi v ào ngân hàng 150 tri ệu đồng theo thể thức l ãi kép v ất 8% một năm. Sau 4 năm ngư ời đó rút tất cả tiền ra. Hỏi ng ời đó nhận đ ợc tất cả bao nhi ả vốn lẫn l 198.000 204.073.344 201.730.344 203.327.214 ời gửi ệu đồng v ột ngân h /tháng. Bi ết rằng nếu không rút ti ền khỏi ngân h ng thì c ứ sau mỗi tháng, số tiền l ợc nhập v ốn ban đầu để tính lãi cho tháng ti ếp theo. Hỏi s au đúng tháng, ngư ời đó lĩnh số tiền ần nhất với số tiền n ới đây, ếu trong khoảng thời gian n ày ngư ời đó không rút tiề n ra và lãi su ất không thay đổi? 102.424.000 102.423.000 102.016.000 102.017.000 P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. Cho dãy s ng quát a dãy s Cho dãy s Cho dãy s ằng số). Hỏi ố hạng n ào sau đây? Cho dãy s ịnh bởi u u u n n      . Giá tr Cho dãy s ố hạng thứ bao nhi ạng nh B. 3,75 C. 2,25 D. 4,25 ó bao nhi ính ph Cho dãy s ả bao nhi ạng nguy Cho dãy s ịnh bởi . Tìm s ố hạng Cho dãy s ộc kho A.(1;3) B. (8;10) . (3;4) D. (4; ịnh bở . Có bao nhiêu s ố hạng của d ố có giá trị bằng Cho dãy s ng quát là . Khi đó a dãy s S u u u n      . Tính C. 0,5 Cho dãy s . Tìm s ố hạng thứ Cho dãy s ố có tổng ố hạng đầu ti ợc tính bởi công thức ố hạng thứ t Cho dãy s ịnh bởi 2017sin 2018cos ệnh đề n ới đây ạng nh bao nhi nào sau đây là d ố tăng sin 2 4; 3 ; 2 u n n v n n t n       Cho dãy s ịnh bởi ó bao nh ạng nguy Trong các dãy s ịnh bởi số hạng tổng quát sau, h ào là dãy s ố giảm? Cho dãy s . Dãy s là dãy s ị chặn d ới bởi 2. ị chặn tr Trong các dãy s ố sau đây, d ào là dãy s ố giảm? 2 2 3 2 4; ( 1) 3 ; 2 u n n v a n n t n        Cho dãy s Cho dãy s ó bao nhi ính ph u n n v t      Cho dãy s C. 1,25 D. 0,5 bao nhi ống nh ông th 1 cos ; ; 2 2 4 5     P 11 THPT P BÀI TOÁN Cho dãy s . Trong d ó bao nhi Trong các dãy s ợc cho bởi số hạng tổng quát sau đây, d ào là dãy s ố giảm?     ã cho c ả bao nhi Trong các dãy s ố sau, d ào là dãy s ố giảm? ợc gọi l à dãy s ố tăng nếu với mọi số tự nhi ó bao nhi au đây là d 2 3, * cos 2 1 , * Cho dãy s . Tìm s ố hạng đa bao nh ống nhau ? ông th Trong các dãy s ởi số hạng tổng quát sau, dãy s ào là dãy s ố giảm? ào có công th ức số hạng tổng quát d ới đây l à dãy s ố tăng? 2020 3 2018 2 ó bao nhi i bao nhiêu s hơn 1000 u n n n ó bao nhi ùng gi ằng 6 ? đa bao nhi ính ph ông th Cho dãy s . Dãy s à dãy s ị chặn tr ị chặn d ới bởi 2 ông th ổng qu ó bao nhi nào sau đây là d ố tăng: sin Trong các dãy s ợc cho bởi số hạng tổng quát sau đây, d ào là dãy s ố tăng? 1 5 1 ,      1 sin ,     u a n a n       . Dãy s là dãy t ăng khi và ch Cho dãy s ịnh bởi: ẳng định n ào sau đây là dãy s ố tăng ố hạng đầu của d Cho dãy s 5 5 , * u a n a n       . Dãy s là dãy s ố giảm khi v ông th ổng qu ó bao nhi ạng trong d 69000 960000 ằng 7 ? ạng th ứ bao nhi ạng lu Trong các dãy s ố sau, d ào là dãy s ố giảm? bao nh 960 6900 ồng th B. 420 D. 280 nào sau đây là d ố bị chặn? , trong c 10 11 2023 , ,..., ó bao nhi A.1007 B. 1006 D. 960 Trong các dãy s sau đây, d ị chặn? ông th ổng qu ó bao nhi ính ph ó bao nhi ơn 1000 ố hạng tổng quát     ẳng định n ào sau đây là dãy s ị chặn tr P 11 THPT P BÀI TOÁN u n u m ỏi hai d bao nhi ùng nhau rong các dãy s ố sau đây l à dãy s ố bị chặn? u u n n     u u n n    u u n n ó bao nhi ính ph ương nh 1.3 2.4 ( 2)     A. Tăng, b ó bao nhi ố nguy ương chia ết cho 4 ếp theo t ạng bao nhi ạng kh ông nh ơn 2023 ? C. 509 D. 510 ính ch tăng, gi 1.3 3.5 (2 1)(2 1)     A. Tăng, b C. Khô A. 1786 B. 1802 C. 1572 D. 1527 nh tăng, gi      ính ph ương l ếp theo th ạng trong d ào trong các dãy đây là d ố bị chặn tr u u n n N u u n n N     u u n n N u u n N ả bao nhi Cho dãy s ịnh bỏi sin ẳng định n ào sau đây đúng? ố hạng thứ ị chặn. là dãy s ố tăng. là dãy s ố giảm. ao nhi ại bao nhi ố chia cho 4 d ạng nguy ó bao nhi ông th ổng qu 2 ; 3 1; 5 u n n v n n t n n          ông th ổng qu 8 20 1 5 1 100 2 3 1 n n n n u v t h n n n n n          ứa nhi ạng nguy ông th ổng qu 1 ; 3 4; u n n v n t       ông th ổng qu ính ch ăng, b ính ch 10 2023 ạng nh ạng th 20 2023 ống nhau u n n n     ó bao nhi ạng trong d u n n n , trong d ó bao nhi ằng 10 Cho dãy s sin C. 0,5 Cho dãy s u n an ổng qu 3 2 3 1; ; u n n v t n        à a, s à b. T ính a + b. P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ứ hai c ại bao ằng 2023 ? D. 1,5 Sinh nh a An vào ngày tháng năm. An mu n mua m t món quà sinh nh t cho b n nên quy ng heo ng vào , sau đó c liên t c ngày sau hơn ngày trư n ngày sinh nh n, An đ ã tích l c bao nhiêu ti n? (th i gian b heo tí n ngày 738.100 726.000 714.000 750.300 ạng th ứ bao nhi ạng th ạng th ạng th ả bao nhi ạng nguy C. 0,75 sin ó bao nhi ơn 100 ó bao nhi ơn 1 tri ính ph ( 1) 10 ; ; 10 u v t n n     ạng nh 1 2 1 1 ( 1) 2 3 i ta thi t cái tháp g m 11 t ng, di n tích b t trên c n tích c t trên c ng ngay dư i và di n tích m n tích đ tháp (có di n tích là 12288m ). Tính di n tích m ên cùng B. 8m C. 10m D. 12m ông nh ả bao nhi sin ; 3; 2 u v n n t       ạng nh ằm trong kho 70 110 ố chia h ết cho đang ti t cây guita r. Trong tu u tiên, anh ta đ đô la, và trong m t theo, anh ta đ đô la vào tài kho a mình. Cây guitar Hùng c n mua có giá i vào tu bao nhiêu thì anh y có đ mua cây guitar đó? 3 2021 ố chia h ết cho bao nhi u n n n      ó bao nhi B. 1,5 D. 1,5 ạng nh Cho dãy s ịnh bởi u u n n . Tìm s ố tự nhi ỏ nhất để u n an ố nguy ương a ã cho l ạng nh ó bao nhi ố nguy 2 7 2 2     P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ó bao nhi ạng nh ơn 1000 v ính ph ó bao nhi trong c 100 101 200 , ,..., ó bao nhi B. 200 C. 101 ó bao nhi ông th ổng qu ởi kho trong c 100 101 200 , ,..., ó bao nhi ính ph cos sin ó bao nhi ạng nguy ông th ổng qu sin ; 6 ; u v n n t      ố nguy ương k ông th ổng qu ởi kho B. 150 àng th ứ n trong h h 1, g ổng di àng th ứ n trong ình 2 (m ông nh ích). D ông th ổng qu Cho dãy s sin ạng th ứ 100 th ó bao nhi ằng nhau Cho dãy s . Trong các m ệnh đề d ới đây, mệnh đề n ào đúng? ố giảm v ị chặn là dãy s ố tăng v ị chặn tr là dãy s ố giảm v à không b ị chặn d là dãy s ố tăng v à không ị chặn tr 2023 2024 đa bao nhi ạng gi ống nhau ông th Cho dãy s . Tìm m ệnh đề đúng. ị chặn d ị chặn. ỉ bị chặn tr Cho dãy s sin ẳng đị nào sau đây là đúng? ố giảm ố tăng ố hạng thứ sin là dãy s ố không bị chặn ởi kho ạng trong d ông th 5 ( 1) 1 ạng trong d ông th u n n n ó bao nhi ạng trong d 1000 1000 9000 3 11 8 ì tron ả bao nhi Thanh v ợc tuy ông ty c ông ngh ợc cam k ương n à 200 tri ếp theo ăng th 25 tri ồng. G ương v anh Th ệc cho c ó. Khi 200; 25; 2 s s s n     ương c ủa anh Thanh v ệc cho c 300 tri B. 250 tri C. 320 tri 50 tri ăng, b 3 21 3 u n n n n      P 11 THPT P BÀI TOÁN ấp số cộng 0,1; 0,1. ố hạng thứ ủa cấp số cộng n ấp số cộng đáp án khác. 4, 10. Công sai c ấp số cộng có ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ấp số cộng . Tìm s ố hạng Tìm công sai ủa cấp số cộng hữu hạn biết số hạng đầu ố hạng cuối . Giá tr ấp số cộng ố hạng thứ 7 ủa cấp số cộng n A. 299 B. 240 C. 180 . Công sai c t ba s ng xen gi ng ba s t thêm 7;x;11;y theo th 5 ;7 2 ;17 theo th nh 3m + 4. Cho hai s 23, vi t xen gi a hai s u tiên l 5;9;13;17. S c nguyên dương l i bao nhiêu 8 2 ; 3 5; 3.2 5; n n n n u n u n u u        u tiên l 5, công s ai d = 3. S bao nhiêu ? 5;x;15;y theo th nh 3x + 2y Tam gi c ABC c ng, trong đ đo hai g ng 5, s ng 40. S 100 khi đ A. 400 B. 500 C. 420 D. 160 ng 100 s u tiên c ng. Hai ch a S khi đ 100 99 B. 24,5 C. 10,25 D. 26,25 n góc c giác ABCD l p thành m ng và góc A b ng 30 đ , tìm các góc còn l A. 75 đ , 120 đ B. 72 đ , 114 đ , 156 đ , 110 đ , 150 đ D. 80 đ , 135 đ ng bao nhiêu s u tiên c nguyên dương chia h t cho 3, t ng 50 s yên dương đ u tiên b A. 7650 B. 7500 C. 3900 D. 3825 u tiên 4; 5 ; 4 ng n s u tiên c 1, công sai l u tiên l 561. Khi đ D. 100 i ta tr ng cây theo hình tam giác v i quy lu hàng th t có 1 cây, hàng th hai có 2 cây, hàng th ba có 3 cây,.. hàng th n có n cây. Bi ng ngư i ta tr t 4950 cây. H ng theo cách trên l à bao nhiêu ? C. 100 D. 101 g 12 s ng 144 v i hai b ng 23, khi công sai d c Trên m t bàn c có nhi u ô vuông, ngư i ta đ vào ô đ u tiên, sau đó đ u hơn ô th t là 5, ti t vào ô th u hơn ô th hai là 5,..và c n ô th ô trên bàn c i ta ph ng 25450 h i bàn c có bao nhiêu ô ? B. 100 ng n s u tiên c B. 69,5 C. 49,5 1 2 3 4 ... (2 1) 2        C. 720 D. 1440 12; 18 D. 140 Chu vi c t đa giác là 158cm, s đo các c a nó l i công sai d = 3cm, bi t là 44cm, s a đa giác là sao cho 14 14 14 theo th P 11 THPT P BÀI TOÁN ấp số cộng . Tìm s ố hạng ấp số cộng ố hạng thứ ủa cấp số cộng n A. 299 C. 180 ấp số cộng ố hạng đầu và công sai ố 100 l ố hạng thứ mấy của cấp số ấp số cộng . Công sai c ủa cấp số cộng đ ã cho b ột cấp số cộng có số hạng đầu công sai ỏi bắt đầu từ số hạn g nào c ủa cấp số ó thì nó nh ận giá trị âm. ấp số cộng Khi đó ấp số cộng . Tìm s ố hạng đầu ti và công sai ủa cấp số cộng? ấp số cộng có công sai là. ấp số cộng . Giá tr m công sai c A. d = 2 B. d = 3 C. d = 5 D. d = 0,5 m công sai d c A. d = 3 B. d = 4 C. d = 5 D. d = 6 u a, b, c theo th o sau đây l C. 2b;a;c D. 2b; t sàn t t ngôi nhà cao hơn m t sân 0,5m. C u thang đi t t lên t ng hai c cao 19cm. Ký hi n so v t sân. Vi t công th = 0,18n + 0,32 m = 0,18n + 0,5 m = 0,5n + 0,18 m = 0,5n 0,32 m t tam gi c vuông t a tam gi A. 30 đ B. 20 đ t tam gi c vuông c chu vi b ng 3 v ng. Hi A. 0,5 C. 0,25 D. 0,75 u tiên b ng 5 v ng 50 s u tiên b ng 5150. T o sau đây đ u u n d t thêm 999 s 2018 đ 1001 s 1009,5 C. 1010 D. 1010,5 ng 28 v nh phương c 276. T A. 585 B. 161 C. 404 D. 276 ng liên ti nh phương c ng 120. t trong đ công sai dương v ng sai. ng n s A. 151 a hai s C. 100 ng liên ti ng 3 v nh phương c t đa gi 158cm, s i công sai d = 3cm. a đa gi i ba c t tam gi i chu vi b ng 24. Đ 1 2 2 3 1 3 u u u u u u ao nhiêu tr n hơn 2018 A. 287 B. 289 C. 288 D. 286 ng n s u tiên c . Công sai c 3 2 34    4 4 30 S u u u     c ABCD c A. 165 đ B. 156 đ C. 135 D. 150 đ A. 50,5 B. 100,5 C. 150,5 ng n s u tiên c ng n s p theo. T Cho ba s ng 15, t ng 80 v m công sai c P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. Tìm công sai ủa cấp số cộng hữu hạn biết số hạng đầu ố hạng cuối . Giá tr ấp số cộng 0,1; 0,1. ố hạng thứ ủa cấp số cộng n i ta thi t cái tháp g m 11 t ng, di n tích b t trên c n tích c t trên c ng ngay dư i và di n tích m t trên c n tích đ tháp (có di n tích là 12288m ). Tính di n tích m ên cùng B. 8m C. 10m D. 12m ấp số cộng . Công sai c ủa cấp ố cộng đ ã cho b ột cấp số cộng có số hạng đầu công sai ầu từ số hạng n ủa cấp số ộng đó th ận giá trị âm. ấp số cộng Khi đó ấp số cộng . Tìm s ố hạng đầu ti và công sai ủa cấp số cộng? Trong d i hè 2017 b n A th bóng cao su cao 3m so v bóng l y lên m hai ph n ba đ n rơi trư ng quãng ng bóng đ ã bay (tính t lúc th bóng cho đ n lúc bóng khô a) kho A. 13m B. 14m C. 15m D. 16m ấp số cộng có công s ai là. theo th ứ tự n ày là ba s ố hạng li ếp của một cấp số cộng ấp số cộng . Giá tr hàng đ và công sai ấp số cộng biết ổng 15 số hạng đ ầu của cấp số cộng đó bằng ấp số cộng t gia đ n khoan m t cái gi thuê m i khoan gi t giá c khoan đ u tiên là 80.000 mét khoan th hai giá c i mét khoan tăng thêm ng so v a mét khoan trư c đó. Bi i khoan sâu xu i có nư bao nhiêu ti oan cái gi ng đó? 4.000.000 10.125.000 52.500.000 52.500.000 ấp số cộng ịnh bởi ố hạng thứ mấy của cấp số cộng? m hai ch 2020 1 nh tam giác vuông có đ dài là các s nguyên dương l p thành m nh có th 2 8 9 15 u u u u     ng 16 s u tiên c A. 100 B. 400 C. 320 D. 510 Chu vi m t đa giác đo các c a nó l p thành m i công sai a đa giác đó là? 10 20 5 10 u u u u 90 210 150 10 30 20 10 30 20 2018; 5 ng bao nhiêu c A. 405 B. 406 C. 403 D. 404 ất cả các số thực theo th ứ tự đó lập th ấp số cộng? ấp số cộng ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng l đang ti t cây guita r. Trong tu u tiên, anh ta đ đô la, và trong m t theo, anh ta đ ã thêm đô la vào tài kho a mình. Cây guitar Hùng c n mua có giá i vào tu bao nhiêu thì anh y có đ mua cây guitar đó? 5; ;15 theo th ự lập th ấp số cộng. Giá trị của ấp số cộng 2013 6 ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng đó l ấp số cộng công s ạt giá trị nhỏ nhất. Tổng ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó bằng 14250. 14400. 14650. 15480. Sinh nh a An vào ngày tháng năm. An mu n mua m t món quà sinh nh t cho b n nên quy ng heo ng vào , sau đó c liên t c ngày sau hơn ngày trư n ngày sinh nh n, An đ ã tích l c bao nhiêu ti n? (th i gian b heo tí n ngày 738.100 726.000 714.000 750.300 à 24 v à 30, s à 10,5. Khi ó bao nhi ình ph ương c ng 29. ấp số cộng A. 161 B. 143 C. 252 P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ấp số cộng có tổng ố hạng đầu l . Giá tr ị của số hạng thứ ấp số cộng l 5; 6 ; 5 theo th ột cấp số cộng Tìm công sai 2 1; 5; 2 ộng kh ác nhau. T ột cấp số c ố hạng thứ ủa cấp số cộng l Đáp án khác bao nhi 1; ; 2 1 theo th ấp số cộng ố hạng đầu và công sai ỏi kể từ số hạng ứ mấy trở ố hạng của ều lớn h ơn 2018? Công sai ủa cấp số cộng 2016 2019 ấp số cộng . Tìm s ố hạng đầu ti và công sai ủa cấp số bao nhi ên m nh 2; ; 9 x mx x theo th D. 2023 t du khách vào chu t 20000 đ n sau ti p đôi l c. Ngư i ta thua 9 l n liên ti p và th i du khách trên ng hay bao nhiêu ? A. Hòa v B. Thua 20000 đ ng 20000 đ D. Thua 0000 đ ấp số cộng có tổng n số hạng đầu l . Giá tr ị của số hạng thứ 10 ủa cấp số cộng đó l ết bốn số ứ tự lập th ấp số cộng. Giá trị của biểu thức ể ba số theo th ứ tự đó lập th ột cấp số cộng. ể 3 số: 1 3 ; 5;1 theo th ột cấp số cộng. Không có giá 1; 24850 1 2 2 3 49 50 u u u u u u A. 123 Cho các s theo th ứ tự lập th ột cấp số cộng. T , khi kim gi n 12) th ng n ti trong m c bao nhiêu ti A. 156 B. 152 C. 148 D. 160 theo th ứ tự n ày là ba s ố hạng li ếp của một cấp số cộng. Biết ấp số cộng ó ba s x x m x m ó bao nhi ập hợp tất cả các số tự nhi sao cho theo th ứ tự đó lập th ột cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của bao nhi 3; ; 3 theo th Phương tr x ax b có ba nghi ệm lập th ấp số cộng khi v ố cộng theo th ; ( 2) ; 2 x x m x x m B. 0,5 D. 0,25 Cho tam giác ABC có s đo ba góc t o thành m ng và có m t góc b hai góc còn l A. 35 đ B. 25 đ C. 5 đ ảy ra khi theo th ố cộng 1 4 7 2011 S u u u u      ố cộng ; ( 2) ; 2 x x m x x m ộ ba s ạn An ch ếp các que di êm thành tháp theo qui t ắc thể hiện nh ợc tháp có ầng th ạn An cần đúng bao nhi êu que diêm? ó bao nhi ố nguy ấp số cộng ó ba s x mx x x a b c a a b theo th au đây t P 11 THPT P BÀI TOÁN ấp số cộng . Công sai c ủa cấp số cộng đ ã cho b ấp số cộng ố hạng ủa cấp số cộng đ ã cho b i ta tr ng cây theo hình tam giác v i quy lu hàng th hàng t hai có hàng th hàng th cây. Bi ng ngư i ta tr cây. H hàng cây đư ng theo các h trên là bao nhiêu? ấp số cộng ố hạng đầu ti ố cộng đ ã cho b i bao nhi ương m ; 6 ; 2 x x x m theo t ấp số cộng 15, 60 ổng của ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng n công sai 9 2 13 6 5 , 2 5 u u u u ấp số cộng đáp án khác n chia 1 ng cho b i con, đ p 100000 đ a con l c bao nhiêu ti A. 100000 đ B. 300000 đ C. 400000 đ 0000 đ ấp số cộng có ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ấp số cộng . Tìm s ố hạng ấp số cộng ổng n s B. 120 C. 140 D. 105 ấp số cộ ố hạng thứ 7 ủa cấp số cộn này là ấp số cộng ố hạng đầu và công sai ố 100 l ố hạng thứ mấy của cấp ố cộng? i ta tr theo d t hình tam giác nh ư sau: hàng th cây, h àng th cây, hàng th cây, …, c ng như th n khi h t công ti trách nhi ư theo phương theo sau: M lương làm vi u tiên cho công ti là ng/quý, và k quý làm vi c th hai, m lương s i quý. Hãy tính t n lương m cc sau cho công ti ấp số cộng ố hạng tổng quát ổng của ố hạng đầu ti ủa cấp ố cộng bằng ấp số cộng . Tính t ố hạng đầu ti ấp số cộng n i ta tr ng 324 0 cây theo m t hình tam giác như sau: hàng th ng 1 cây, k hàng th ng nhi u hơn 1 cây so v i hàng li c nó. H i có t bao nhiêu hàng cây ? ấp số c ủa cấp số cộng tr ên là: ấp số cộng ổng của ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng đó l bao nhi 5 1; ; 3 2 theo th ng có t u tiên có , các dãy li n sau nhi u hơn d i sân v ng đó có t bao nhiêu gh ấp số cộng bao nhi ; 2; 2 theo th ấp số cộng S u u u     ết rằng .Tính giá tr ểu thức Trong h t công ty s a theo s 1,3,5,... trên xu a trên m i hàng x trên xu ng là các s liên ti mô hình nh ình bên). i cùng c nhiêu h Sinh a Trung vào ngày . Trung mu t món quà sinh nh n nên quy ng heo g vào ngày , sau đó c liên t c ngày sau hơn ngày trư n ngày sinh nh n, Trung đ ã tích l c bao nhiêu n ngày 714.000 750.300 726.000 738.000 g sai d ương th ổng qu theo th ẳng th ào sau a c ab bc ac     a c ab bc ac     a c ab bc ac     a c ab bc ac     ác ABC c ó ba g B, C theo th P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ấp số cộng ệnh đề n ào sau đây đúng? ấp số cộng ố hạng đầu , công sai ố hạng thứ 5 l ấp số cộng có ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ại bao nhi ; 3 ; 2 x x x m theo t ố cộng . Tìm s ố hạng dãy gh u tiên có , các dãy li n sau nhi u hơn d ng có t bao nhiêu gh ấp số cộn ủa n s ấp số cộn . Công sai c ủa cấp số cộng đ ã cho b . Công sai c 2 ; 4; 3 theo th 3 ; 4; 5 ũng theo th ộng. T 5 2023 ấp số cộng ọn đáp án đúng. ấp số cộn ủa n s ông sai c ấp số cộng ố hạng 96000cm 81000cm Trong th p 11A d n quyên n như sau: ng u tiên quyên g hai tr n hơn ng p 11A quyên g c bao nhiêu ti 8.800.000 9.800.000 10.800.000 10.800.000 ấp số cộng ố hạng đầu . Giá tr ấp số cộn ố hạng thứ 7 của cấp số cộng n ện tham s theo th ố hạng đầu v à công sai c ủa cấp số cộng ấp số cộng ịnh bởi ố hạng thứ mấy của cấp số cộng? ấp số cộng . Giá tr . Tìm giá tr ị nhỏ nhất của 1 2 2 3 3 1 u u u u u u ột cấp số c ng có t ổng của ố hạng đầu tính theo công th . Tìm s ạng đầu và công sai ủa cấp số cộng ấp số cộng và công sai 10 1 2 3 10 S u u u u     ại bao nhi 2 ; 6 ; 2 x x x m theo t ấp số cộng có và công sai ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng n . Giá tr ấp số cộn ủa n s ột cấp số cộng có ổng của ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng l Tính t 38 58 78 2018      ịnh bởi . Tính 1 2 3 10 S u u u u      ấp số cộng có số hạng đầu bằng ố hạng thứ t ố hạng đầu của cấp số ộng đó bằng Cho dãy s . Tính t chú cò khát n c, chú tìm th c bình c nhưng c bình v a cao l bé nên chú không th bèn nh ng hòn s vào bình c dâng lên, phút đ u tiên chú b 5 viên s i, do quen vi c nên t phút th i phút chú l u hơn phút trư viên s i (trong ph viên). Sau 10 p hút thì n ã dâng lên chú có th i chú cò ng bao nhiêu viên s vào bình? 1 ;8 ; 5 theo th ấp số cộn ủa n s 3 2023 t gia đ n khoan m t cái gi thuê m i khoan gi t giá c khoan đ u tiên là 80.000 mét khoan th hai giá c i mét khoan tăng thêm ng so v a mét khoa c đó. Bi i khoan sâu xu i có nư bao nhiêu ti khoan cái gi ng đó? 4.000.000 10.125.000 52.500.000 52.500.000 i bao nhi 3 ; 2 ; 2 theo th P 11 THPT P BÀI TOÁN và công b . Giá tr ấp số nhân và công b . Giá tr ấp số cộng công sai Giá tr . Công b ội của cấp số nhân đ ã cho b ấp số cộng . Công sai c ủa cấp số cộng đ ã cho b ào sau đây ấp số nhân? 1; 3; 9; 27; 54 1; 2; 4;8;16 1; 1;1; 1;1 1; 2;4; 8;16 ấp số cộng ố hạng đầu . Công sai ấp số nhân . Công b Tìm x > 0 3;x + 1;12 là ba s ng liên ti A. x = 5 B. x = 2 C. x = 5 D. x = , công b i q > 0. Tính có công b i q. M nào sau đây đún u u k q nhân có 15 s c nào sau đây đúng ? 1 15 2 14 u u u u 1 15 5 11 u u u u 1 15 6 9 u u u u 1 15 12 4 u u u u 1; ; 5 6 theo th 192; 384 4 2 5 3 36; 72 u u u u     nhân có s ng 4 và s ng 64, Thêm hai s c dương x, y vào gi a hai s 5;320 đ 5;x;y;320 theo th p thành m nhân. Tính x + y. A. 150 B. 100 D. 120 có ba s p x;6;y. S có ba s u tiên 3;9;27. S bao nhiêu ? A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 Tính tích các giá tr 2 1; ;3 5 theo th p thành m 222 là s bao nhiêu c nhân ? D. Không là s 19683 là s bao nhiêu c a dãy ? nhân có 7 s ng 6 và s p 243 l hai. Hãy tính giá A. 120 C. 182 D. 250 . Tính Tính 9x + 2 bi 1; x; 2x + 1 theo th o thành m i cùng c nhân có 6 2 và t ng các s ng 189. C. 104 ng n s u tiên là . Tìm s A. 500 B. 124 C. 100 ng hai s u tiên b ng 4, t a ba s u tiên b ng 13. Tính a năm s u tiên c nhân đ cho, bi t công b nhân là s dương. A. 141 B. 121 Tính x + 5 khi 1; x theo th p thành c u tiên b ng 1. Tìm côn t giá tr A. q = 1 B. q = 0,5 C. q = D. q = 0,2 . Tính công b A. q = 2 B. q = C. q = D. q = nhân có công b ng 3 và ng 5, bi ng chính gi a là 32805. H nhân có bao nhiêu s ương th ạng th ứ hai b 1 3 5 1 7 65; 325 u u u u u      . Tính 1 2 3 1 2 3 14; 64 u u u u u u     . Tính t ng các giá tr y ra c Tính t ; ;1;...;2048 A. 2047,75 C. 2049,75 D. 4096,75 Tính t 2 4 8 16 ... 2 2          A. S = 2n có các s ng khác 0 th 1 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 4 u u u u u u u u         Tính t ng các giá tr u tiên c nhân có 5 s ng mà hai s u tiên đ u dương, tích c u và s ng 1, tích s ba và s P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. và công b . Giá tr và công b và công . Giá tr và công sai . Giá tr Cho ba s a, b, c l p thành m nhân th a mãn a > b > c; a + b + c = 19; abc = 216. Tính giá tr c 2a + 3b + 4c. Tìm công b i q > 0 khi có các s ng khác 0 th 2 3 57 A. q = 3 B. q = 2 C. q = 2,5 D. q = 3,5 ng 2 s u là 4, t là 13. Tính t ng 5 s ng 5 s ng đó là s nguyên. C. 121 có các s ng khác 0 th 1 2 3 4 5 u u u u u      Tính t các giá y ra c a công b D. 1,5 có công b i q > 0 và 2 1 6 5 u u u u     u tiên là B. 120 Tìm công b t q > 1 và A. q = 4 B. q = 1,25 C. q = 3 D. q = i bao nhiêu s nguyên x đ 1; 3 2;7 11 x x x x     theo th hành m nhân ? có các s ng khác 0 th 1 2 3 4 5 u u u u u      i q > 1. Trong ao nhiêu s a dãy s Cho a, b, c, d, e là 5 s ng liên ti nhân. Tìm c bi t ace = 1 A. c = 10 B. c = 15 C. c = 5 D. c = 25 Tính t ng 7 s u tiên c u q > 0 và 20 17 1 5 8 ; 272 u u u u A. 2010 B. 2032 C. 2140 D. 2340 ng các giá tr 1; ;2 1 theo th p thành c nhân ? Trong m nhân g m các s ng dương 5 và th 4 là 576; hi 2 và s u tiên là 9. Tính t ng 5 s u tiên c A. 1235 B. 2369 C. 1023 D. 768 ng các giá tr phương tr có hai nghi m tương ng là hai s tiên và th nhân có công b i q = 2. i q th 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 u u u u u u u u u u          có các s ng khác 0 th ng các giá tr ; 6 9; 4 9 k k k k k     theo th p thành c Phương tr 6x + a = 0 có hai nghi và phương tr 24x + b = 0 có hai nghi Tính a + 2 1 2 3 4 x x x x theo th p thành m nhân tăng. A. 120 C. 136 D. 252 có hai s u tiên là Tính t sau khi khai t thành đa th A. 1296 B. 1430 C. 1792 D. 1945 Tính t ng 99 s u tiên c và côn i q < 0. D. 1024 khác 0 g b và a + b l p thành c nhân. M nào sau đây đúng Cho 5 s o thành m nhân tăng. Bi u tiên g p 25 l n công b i và t ng hai s u tiên b ng 150. Tính t ng 6 s u tiên. A. 3150 C. 5060 D. 7320 và q > 0. Tìm s nhiên n nh bao nhiêu s ng 9, s i là 2187, công b i q = 3. u tiên c nhân, t ng 5 s u tiên là 3 1 và t ng 5 s ng sau là 62. Tìm 2018 c nhân đó. A. 2048 B. 3072 C. 2010 D. 2000 ông nguy B. 0,25 D. 1,5 D. 1,5 Phương tr 3x + a + 1 = 0 có hai nghi và phương tr 12x + b + 2 = 0 c . Tính a + b khi 1 2 3 4 x x x x theo th p thành m nhân tăng. A. a + b = 20 B. a + b = 18 C. a + b = 9 D. a + b = 31 P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ấp số nhân và công b . Giá tr ể 3 số 1; 3;  1 theo th ứ tự lập th ột cấp số nhân: ấp số nhân . Công b ủa cấp số nhân đ ã cho b t ba s 2 1; 4 1; (4 1)(2 1) x x x x     theo th ạng ti theo c ấp số nhân ấp số nhân và công b ủa cấp số nhân đ 1; ; 2 nhân. T 6 , 5 2 , 8 x y x y x y theo th ứ tự đó lập th ột cấp số cộng; đồng thời các số 1,  2,   3 x y x y theo th ứ tự đó lập th ột cấp số nhân. T Tìm các s sao cho 2 1, 2 , 2 1 x x y y theo th ứ tự đó lập th ột cấp số cộng; đồng ời các số 3 ,  4 theo th ứ tự đó lập th ột cấp số nhân. T B. 3,4 C. 5,2 D. 4,1 ới mọi 2,3,4,... Tính giá tr 1 2 12     S x x x (làm tròn ữ số thập phân thứ nhất). ấp số nhân: . Giá tr 2 1; ;2 1 ấp số nhân? theo th ội qua kh ông sai kh ác 0. Gi ủa q b , , , , a b c d e ạng li theo th ồng th theo th , 8, 64 ân. Khi à 576 v à 9. T A.1061 B. 1023 C. 1024 D. 768 , , ,... 2 ,4 , 2 x y x y x y theo th C. 0,75 D. 0,25 ng 4 v ng 64 th ính theo c ông th 6 ,5 2 ,8 x y x y x y theo th ồng th 1, 2, 3 x y x y theo th C. 100 sin cos tan theo th ứ tự đó l ột cấp số nhân. T ố nguy ương, trong ó ba s ộng, ba s ân. Bi à 37, t ổng hai s ạng gi à 36, t ổng hai trong b 5 ,2 3 , 2 x y x y x y ộng, c 1 , 1, 1 y xy x ố x, y ph 2 ,4 , 2 x y x y x y theo th 5 ,5 2 ,8 x y x y x y 1 ; 1; 1 y xy x D. 2,5 6 ,5 2 ,8 x y x y x y ; 1; 2 3 x y y x y ân. Khi B. 1,625 C. 1,25 D. 1,325 ó bao nhi ố nguy ương m nh theo th ố x, y ph 3 ,5 , 3 x y x y x y theo th _______ P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. Trong các dãy s ố sau, đây số n ào là c ấp số nhân? Trong các dãy s ợc cho d ới đây, d ào là c ấp số nhân? Trong các dãy s ố sau đây, d ào là c         ốn số v ữa hai số ợc một cấp số nhân. Tổng các số hạng của cấp số 3; ; 4 theo th Cho dãy s ịnh bởi . Tính t ổng của ố hạng đầu ti ời gửi ệu đồng v ột ngân h theo hình ãi kép v / năm. H ỏi sau ít ất bao nhi êu năm ngư ợc số tiền nhiều h ệu đồng bao gồm cả gốc v lãi? Gi ả sử trong ốt thời gian gửi l ất khô ời đó không rút ti ền ra. 1; ; 2 1 1; ; 2 1 ều theo th ịnh bởi . Tính t 1 2 3 10 S u u u u      ố nhân có các số hạng đều không âm thỏa m . Tính t ổng của ạng đầu ti ủa cấp số nhân đó. ào trong các dãy s ợc cho sau đây l ấp số nhân? ệu đồng v ột ngân hàng theo hình th i kép,v năm và lãi su ất không đổi trong suốt t ời gian gửi. Sau năm, s ố tiền l ủa ông bằng bao nhi ệu đồng ệu đồng ệu đồng Trong cá c dãy s ố sau đây, có bao nhi êu dãy s ấp số nhân? nào sau đây là c ấp số nhân? nào sau đây là c ấp số nhân? ấp số nhân có bao nhi x x x x theo th ấp số cộng . Công s ột cấp số nhân có số hạng đầu , công b Không có giá tr ấp số cộng ố hạng đầu và công sai . Giá tr bao nhi ; 2; 2 theo th Trong các dãy s ởi số hạng tổng quát sau, dãy s ào là m ột cấp số nhân? ấp số cộng ố hạng đầu . Giá tr ấp số nhân ố hạng đầu và công b . Giá tr ng các giá tr 1; 6; 11 6 là ba s ng liên ti . Tìm công b A. q = C. q = D. q = nhân là 3 1;9 1 nhân đó là đa th c P, P ng các h A. 120 D. 128 ạng th ứ ba b ố khác nhau tạo th ấp số cộng có t ổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng thứ nhất ố hạng thứ hai đồng thời giữ nguy ố hạng thứ ba ta đ ợc cấp số nhân. ích ba s ào E. Coli trong đi ều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại ph ân đôi m ột lần. Giả sử 1 tế b Coli kh ợng khoảng ỏi sau 2 ng ợng do 1 tế b ào vi khu ẩn sinh ra l ao nhiêu? (ch đáp án chính xác nh 2,34.10 3,36.10 2,25.10 3,35.10 Cho bi ết có hai cấp số nhân ới công bội Giá tr bao nhi ; 6; 5 theo th P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ố hạng thứ và công . Giá tr ương tr ào sau ó ba nghi 6 11 6 0     7 14 8 0     8 9 2 0     và công sai . Hãy tính . Khi đó s y trong dãy? và côn 10 1 2 3 10 S u u u u     1; ; 4 theo th ấp số nhân , giá tr ấp só nhân . Công b ội của cấ ố nhân đ ấp số nhân ố hạng đầu . Giá tr ( 1)( 2)( ) x x x m ó ba nghi B. 2,5 ời gửi ệu đồng v ột ngân h ếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì c ỗi tháng, số tiền ợc nhập v n ban đ ầu để tính l ãi cho tháng ti ếp theo. Hỏi sau ít nhất sau bao nhiêu tháng ngư ời đó thu đ ả số tiền gửi ban đầu v ố tiền l ệu đồng? trong kho ời gian n ày lãi su ất không t ời đó kh ông rút ti ền ra) ấp số nhân có . Tính ấp số nhân . Công b ội của cấp số nhân đ ã cho b ương tr ( 1)( 2)( ) 0 x x x m     ó ba nghi ệm nguy ị tham s ố m thu ấp số nhân Khi đó công b 3; ; 3 3 theo th ứ tự l à ba s ố hạng li ếp của một cấp số nhân. T ìm công b ủa cấp ố nhân đó. ấp số nhân ố hạng đầu và công b ấp số nhân 3, 48. Công b ội của cấp số nhân bằng ột cấp số nhân tăng có số hạng thứ ố hạng thứ ố hạng thứ bao nhiêu c ủa cấp số nhân đó? 1; tan ; 4tan 3 theo th sin cos ầu gửi v o ngân hàng ệu đồng với k ột quý theo h ãi kép. Sau tháng, ngư ời đó gửi th ệu đồng với kỳ hạn v à lãi su ớc đó. Tổng số ời đó thu đ năm sau khi g ửi tiền gần nhất với kết quả n ào sau đây bi ết rằng tron ốt thời ất ngân h àng không thay đ ời đó khôn g rút ti ền ra. ệu đồng. ệu đồng. ệu đồng. ệu đồng ể 3 số 2;  1; 3 ột cấp số nhân: Không có giá tr 1;  ; 0,64 ã cho theo th ứ tự lập th ấp số nhân? 0,004. Không có giá tr 0,008. 0,008. ể 3 số 2 1;  ; 2 1 ột cấp số nhân: ho hai s ệt sao ch 2 , 5 2 , 4 x y x y x y theo th ồng th x xy y ộc kho B. (13;14) D. (14;15) ổng vô hạn 1 ... ...       ấp số nhân có số hạ , công b ố hạng đầu ti ủa cấp số nhân sin ; 3cos ; tan theo th ấp số nhân ng hai s ng 5, t a ba s ng 21, t ã cho, bi A.349525 C. 360445 D. 340525 P 11 THPT P BÀI TOÁN CƠ B Câu 1. ấp số nhân . Công b ội của cấp số nhân đó l ấp số nhân ố hạng thứ 6 của cấp số nhân đó l ấp số nhân . Tìm công b ố hạng đầu ấp số nhân Câu 5. Tính t ng các s 1; 3 ; 7 theo th p thành m p nhân. Câu 6. , công b Khi đó Câu 7. Cho hai s phân bi t sao cho ba s 2 , 5 2 , 4 x y x y x y theo th p thành m . Khi đó giá tr Câu 8. . Công b nhân đó là Câu 9. . Tính Câu 10. Có bao nhiêu s nguyên 1; ; 2 1 theo th p thành m Câu 11. 3sin 2cos ; sin ; cos x x x x theo th p thành m nhân. Khi đó tan D. 0,5 Cho dãy s ọn b để d ã cho l ấp số nhân? D. Không có giá tr ứ giác có 4 góc l ấp số nhân với công bội ốn góc đó có số đo l 0 0 0 0 26 ;46 ;94 ;194 0 0 0 0 28 ;44 ;96 ;192 0 0 0 0 25 ;47 ;95 ;193 0 0 0 0 24 ;48 ;96 ;192 Cho hai phân bi ệt sao cho ba số 2 , 5 2 , 4 x y x y x y theo th ứ tự lập th ột cấp số nhân ồng thời thỏa m ều kiện xy x y ết rằng y l ột số nguy ên, khi đó có giá tr ộc khoảng A.(8;10) B. (11;13) C. (13;16) D. (16;20) ấp số nhân, biết . Công b ủa cấp số nhân l ấp số nhân , công b ố hạng thứ mấy của ố hạng thứ ố hạng thứ ố hạng thứ ố hạng thứ ết rằng 1; 2cos ; 1 cos3 theo th ứ tự lập th ột cấp số nhân. Với k l ố nguy ên, khi đó x có th ể bằng Tìm ba s ố hạng li ếp của một cấp số nhân biết rằng tổng của chúng bằng và tích c ủa chúng 4, 20, 46 15, 20, 35 5, 20, 45 10, 20, 40 ột bác nông dân có số tiền 20.000.000 ồng. Bác d ố tiền đó gửi ngân h àng lo ạn 6 tháng trên m ột năm th ì sau 5 n ăm 8 tháng bác nh ợc số tiền cả gốc lẫn l ãi là bao nhiêu? Bi ằng bác không rút cả gốc lẫn lãi trong các ớc đó v ếu rút tr ì ngân hàng tr theo lo ại không k trên m 31802750,09 30802750,09 32802750,09 33802750,09 ấp số nhân , tính dương đ ấp số nhân. C. không t ồn tại ấp số nhân . Tìm s ố hạng thứ 5 của cấp số nhân đ ã cho. ấp số nhân 2 ; 4 2 ; 8 8 2 x x x x x x theo th ứ tự lập th ột cấp số nhân. Số hạng tiếp theo của cấp ố nhân có dạng ấp số nhân . Tính ết rằng các số ; 2 ; (2 )(2 1) x x x x x x theo th ứ tự lập th ột cấp số nhân. Công bội của cấp ố nhân l ấp số nhân , giá tr ể bằng C. 729 Cho năm s ột cấp số nhân theo thứ tự đó v à các s ố đều khác 1 1 1 1 1 a b c d e      ổng của chúng bằng . Tính giá tr S abcde ấp số nhân có công b ội bằng ố hạng thứ ba bằng 27 v ố hạng cuối bằng 1594323, ỏi cấp số nhân đó có bao nhi ố hạng Câu 30. và công sai 4 080 399 4 800 399 4 399 080 8 154 741 ấp số nhân , công b ội của cấp số nhân bằng P 11 THPT P BÀI TOÁN NG CAO PHÂN LO _______ có công sai d t giá tr t. Tính ng 100 s tiên c a dãy. Cho hai c ấp số cộng ỏi có bao nhi ố có mặt ồng thời trong cả hai d ố thực ố hạng li ủa một cấp số cộng ết tổng của chúng bằng ổng các b ình ph ương c ủa chúng bằng . Tính 3 3 3 3 P a b c d     ại bao nhi 4 ; ; 2 3 x x x x theo th Cho phương tr     x x x m phương tr ình có 3 nghi ệm lập th ố cộng tham s Cho dãy s ịnh bởi 5; 5 20    ố tự nhi ỏ nhất sao cho Cho dãy s ịnh bởi     . Giá tr ị nhỏ nhất của ều kiện 17 1979.2 ời gửi ệu đồng v ột ngân h theo hình ãi kép v / năm. H ỏi sau ít ất bao nhi êu năm ngư ời đó nhận đ ợc số tiền nhiều h ệu đồng bao gồm cả gốc v lãi? Gi ả sử trong ốt thời gian gửi l ất khô ời đó không rút ti ền ra. Tìm a, b phương tr x ax b có ba nghi phân bi thành c A. b = 0, a < 0 = 0, a = 1 C. b = 0, a > 0 D. b > 0, a < 0 phương tr 2 1 1 0 mx m x m      n nghi m phân bi p thành c B. m = D. m = t cơ s khoan gi ng đưa ra đ c giá như sau: Giá t mét khoan đ u tiên là 100000 đ ng và k mét khoan th hai, giá c i mét sau tăng thêm 3 0000 đ ng so v i giá c khoan trư c đó. M n ký h i cơ s khoan gi ng này đ khoan m ng sâu 20m l c sinh ho t cho gia đ i sau khi hoàn thành vi c khoan gi ng gia đ i thanh toán cho cơ khoan gi bao nhiêu ? A. 7700000 đ B. 15400000 đ C. 80000 D 7400000 đ Phương tr 10 150 216 0 x m x m x       có ba nghi m phân bi t a, b, c theo th thành c nhân. Tính a + 2b + 3c. i bao nhi ( 4)( 5); 4 105; ( 6)( 7) x x x x     theo th Cho dãy s giá tr tiên l A. n = 142 B. n = 146 C. n = 141 D. n = 145 = 2 và d = 3. Trên m y các đi .sao cho nguyên dương n, đi ng khi đó các đi ,...cùng n trên m ng. Vi phương tr ng đó. A. y + 3x = 5 B. y + 3x = 2 C. y = 2x D. y = 2x Tính t ng các giá tr y ra khi phương tr 2 1 2 1 0 x m x m      m phân bi i tham s nguyên m, p hương tr 5 2 1 0 x m x m      n nghi m phân bi t a, b, c, d theo th p thành m . Tính P = a + 2b + 3c + 4d. t công ty trách nhi lương cho các k sư theo phương th c sau: M lương c làm vi u tiên cho công ty là 13,5 tri ng/quý, và k quý làm vi hai, m c lương s c tăng thêm 500000 đ g/quý. Tính t n lương m c sau ba năm làm vi c cho công A. 198 tri B. 195 tri C. 228 D. 114 tri bao nhiêu giá tr ị nguy ủa tham số ộc đoạn 0;2018 sao cho ba s theo th ứ tự đó ột cấp số cộng? i bao nhi theo th ng khi khai tri c Newton ...... x a x a x                 p thành c i trong khai tri n có bao nhi ng mà l nguyên. ệu đồng v ột ngân hàng theo hình th i kép,v năm và lãi su ất không đổi trong suốt thời gian gửi. Sau năm, s ố tiền l ủa ông bằng bao nhi ệu đồng ệu đồng ệu đồng Cho dãy s 1; 3 2 nguyên dươn t sao cho ất cả bao nhi ộ số nguy ên dương và các s theo th ứ tự đó l ố hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số i ba giá tr phương tr 3 2 3 2 9 23 4 9 0 x x x m m m        m phân bi p thành m ng. Tính giá tr P m m m A. P = 3 B. P = 36 C. P = D. P = Cho dãy s u a u u u i n = 1, 2, 3, ...Có bao nhiêu giá tr sao cho ời gửi số ền 100 triệu đồng v ân hàng v ột năm. Biết rằng nếu không ền ra khỏi ngân h àng thì c ứ sau mỗi năm, số tiền ợc nhập v ốn ban đầu để tính l ãi cho n theo. Đ ợc số tiền 300 tri ệu đồng (cả tiền gốc v lãi) thì c ần gửi ít nhất bao nhi êu năm, n trong kho ảng thời gia n này ngư ời đó k hông rút ti ền ra v à lãi su ất không thay đổi? Cho tam giác ABC cân t i A, bi nh đáy BC, đư ng cao AH và c nh bên AB theo th thành c nhân công b i q. Giá tr = 2 và 3. Trên m y các đi .sao cho nguyên dương n, đi ng khi đó t các đi ,...cùng n trên m ng. Vi phương tr ng đó. A. y + 3x = 5 B. y + C. y = 2x D. y = 2x P 11 THPT P BÀI TOÁN NG CAO PHÂN LO hương tr 10 14 64 0 x m x mx      có ba nghi m phân bi t a, b, c theo th p thành c i bao nhi ( 6) ; 8; ( 8) theo th Cho hai c i trong u tiên c có bao nhiêu s ng chung? ầu gửi v o ngân hàng ệu đồng với k ột quý theo h ãi kép. Sau tháng, ngư ời đó gửi th ệu đồng với kỳ hạn v à lãi su ớc đó. Tổng số ời đó thu đ năm sau khi g ửi tiền gần nhất với kết quả n ào sau đây bi ết rằng tron ốt thời ất ngân h àng không thay đ ời đó khôn g rút ti ền ra. ệu đồng. ệu đồng. ệu đồng. ệu đồng Phương tr 10 2 52 64 0 x m x n x       có ba nghi theo th thành c nhân. Tìm giá tr Q m n m n      A. 9,8 B. 4,6 D. 12,4 ng có t ng n s , n nguyên dương. T Cho dãy s u u au rong đ nguyên dương. Bi lim ... 2 u u u n b      . Tính giá tr Có bao nhiêu giá tr nguyên c tham s 0;2018 5 9 2187 ơng tr 1 ... 1 1 1 a a a a a a         có bao nhiêu nghi ời gửi ệu đồng v ột ngân h ếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì c ứ sau mỗi tháng, số tiền ợc nhập v n ban đ ầu để tính l ãi cho tháng ti ếp theo. Hỏi sau ít nhất sau bao nhiêu tháng ngư ời đó thu đ ả số tiền gửi ban đầu v ố tiền l ệu đồng? trong kho ời gian n ày lãi su ất không thay đổi v ời đó kh ông rút ti ền ra) Tính t ng các giá tr phương tr 3 5 2 1 0 x m x m m       n nghi m phân bi p thành c Ông Hùng d ự định gửi v ào ngân hàng m ột số tiền với l ằng cứ sa ố tiền l ẽ gộp v ốn ban đầu. ố tiền ệu đồng, ỏ nhất m à ông Hùng c ần gửi v ngân hàng đ ể sau ba năm (mới rút l ãi) thì s ố tiền l ãi có th ể mua mua một chiếc xe máy trị giá ệu đồng l Tam giác mà ba đ a nó là ba trung đi m ba c a tam giác ABC đư i là tam giác trung bình c a tam giác ABC. Ta xây d ãy các tam giác 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... ABC A B C A B C ao cho tam giác ng 3 và v nguyên dương , tam giác là tam giác trung bình c a tam giác nguyên dương n, k n tích h ình tròn ngo p tam giác . Tính t ng giá tr +...+ S Phương tr x x x m     có ba nghi m phân bi p thành c m thu đư m trong kho ng nào ? A. (14;17) B. (10;12) C. (0;5) D. (7;10) ả bao nhi ính ph ương nh ơn 1000 ? đánh chuông, s ng chuông đư c đánh b đánh chuông. H i trong năm 2016 đ đó đánh bao nhiêu ti chuông báo gi i ngày 24 t ng và gi nh ngày nào trong năm c ũng đá A. 109800 B. 1095 C. 100000 D. 120300 bao nhi 5; 2 3; 4 theo th Cho dãy s ịnh bởi nguyên dương. T ố nguy ên dương ất sao cho 101 102 khách s n trên đèo Mã Pi L n trang trí m t góc nh trên ban công sân thư ng cho đ nên quy nh thuê nhân công xây m i xi măng (như h t hàng dư i cùng có viên, m i hàng ti p theo đ u có ít hơn hàng trư viên và hàng trên cùng có t viên. H dùng đ hoàn thành b ng trên là bao nhiêu viên? Sinh nh ật lần thứ vào ngày ốn mua một ếc máy ảnh ồng để l àm quà sinh nh t cho chính mình nên ết định bỏ ống heo ào ngày . Trong các ngày ti ếp theo, ngày sau b ỏ ống nhiều h ơn ngày trư ồng. Hỏi đến n gày sinh nh ật của m ao nhiêu ti ền (tính đến ng Cho dãy s 1 1988 guyên dương. T ỏ nhất ố hạng đầu bằng . Tính 1 2 2 3 49 50 u u u u u u     ương tr 1 8 15 22 7944      hình vuông ABCD có c nh AB = a, di n tích S trung đi 1 1 1 1 A B C D theo th AB, BC, CA, DA ta thu đư nh vuông th 1 1 1 1 n tích S c như th ta thu đư h vuông th 2 2 2 2 A B C D n tích S c như th c hình vuông có di n tích S ,...Tính các di n tích S = S 11 THPT P BÀI TOÁN NG CAO PHÂN LO Phương tr 3 1 5 4 8 0 x m x m x       có ba nghi m a, b, c theo th o thành c giá tr c Q = ab + 2bc + 3ca. A. Q = 19 B. Q = 36 C. Q = 42 ời gửi tiền v ào ngân hàng v ất không thay đổi l / năm. ếu không rút tiền ra ỏi ngân h àng thì c ứ sau mỗi n ợc nhập v ốn ban đầu. Hỏi số tiền ít ời đó phải gửi vào ngân hàng đ ể thu về tổng số tiền ệu đồng sau đúng ết quả l àm tri là bao nhiêu? 2 11 6 ả bao nhi ố nguy Năm 2020, m ệp X có tổng doanh thu l ự kiến trong 10 năm tiếp theo, tổng doanh thu m ẽ tăng ới năm liền tr ớc. Theo dự kiến đó th ể từ năm n ổng doa ủa doanh nghiệp X ỉ đồng? bao nhi ố nguy ương m ơn 100 theo th ồng th ứ ba l chia h ết cho bao nhi u n n n     ại bao nhi ương c ời gửi ngân h ệu đồng với k tháng theo hình th ãi kép, lãi su ể từ tháng thứ hai trở đi, tiền l ợc tính theo phần trăm của tổng ền gốc v tháng trư ớc đó) sau ít nh ất bao nhi êu tháng thì ng ời đó có tối thiểu ệu đồng trong t ài kho ản tiết kiệm, ết rằng ngân hàng ch ỉ tính l ãi khi tháng. tháng. tháng. tháng. Phương tr 6 11 5 0 x x x m      có ba nghi a, b, c phâ p thành c h giá tr . Trong d ả bao nhi à chia h ết cho 7 ? Phương tr 3 24 26 0 x x m x n       a nghi m phân bi p thành c ng. Tìm giá tr P m mn m n      Cho dãy s i công th c truy h i sau: u u n n n giá tr nào sau đây? t công ty trách nhi lương cho các k sư theo phương th c sau: M lương c a quý làm vi u tiên cho công ty là 15 tri ng/quý, và k quý làm vi hai, m c tăng thêm 1,5 tri ng/quý. Tính t n lương m năm là A. 495 tri B. 279 tri C. 384 tri D. 558 tri n nguyên dương. T nhiên n nh ời gửi ệu đồng v ột ngân hàng theo hình th / năm. H ỏi sau ít ất bao nhi êu năm ngư ời đó nhận đ ợc số tiền nhiều h ệu đồng bao gồm cả gốc v lãi? Gi ả sử tr ốt thời gian gửi l ất không đổi v ời đó không rút tiền ra. 6 17 26 8 u n n n     ả bao nhi ố nguy Cho dãy s i n nguyên dương. Tín 3 5 3 5     ao nhi ố nguy ên n nh Trên bà có nhi u ô vuông, ngư i ta đ vào ô đ u tiên, sau đó đ t vào ô th u hơn ô ào ô th u hơn ô th hai là ,… và c ô trên bàn c i ta ph i bàn c có bao nhiêu ô? ổng qu 7 2020 . Trong d ó bao nhi à chia h ết cho 9 C. 100 D. 1000 t công ty trách nhi lương cho các k ư theo phương th sau: M a quý làm vi u tiên cho công ty là uý, và k quý là hai, m c lương s c tăng thêm i quý. Hãy tính t n lương m năm làm vi cho công ty. Cho dãy s nh như sau và dãy s ng các s nguyên n đ ó bao n ơn 20232023 à chia h ết cho 72 ? Cho dãy s ng n s u tiên c . Tính giá tr 1 2 2 3 48 49 49 50 1 1 1 1 u u u u u u u u      B. T = 106 ại bao nhi ạng nh ơn 1 tri chia h ết cho ộ che phủ rừng của n ớc ta đạt 41,89% ả sử độ che ph ủ rừng mỗi năm ti ếp theo đều ới độ che phủ rừng của năm liền tr ớc. Kể ừ sau năm , năm nào dư là năm đ ớc ta có độ che phủ rừng trong năm đó đạt tr f n n n     . Xét dãy s sao cho 1 . 3 . 5 ... 2 1 2 . 4 ... 2 f f f f n f f f n . Tìm s nguyên dương n n t sao cho 1000 1 bao nhi ính ph ương nh ơn 2023 2023 ? P 11 THPT P BÀI TOÁN NG CAO PHÂN LO 6 5 6 5     ó bao nhi ố nguy ên n nh 6 2 3 1 10 10 1 ó bao nhi ó chia ết cho t tam giác có các góc p thàn i công b i q = 2.Khi đó s đo các góc c a tam giác theo th tăng d 30 ;60 ;90 ai giá t phương tr 3 2 2 2 2 2 2 1 7 2 2 54 0 x m m x m m x         m phân bi p thành c nhân. Tính p phương hai giá tr Cho 2 c :1; 6; 11; . :4; 7; 10; ... . M có 2018 i có bao nhiêu s hai dãy s trên ? Cho dãy s n dương. T ỏ nhất thỏa m ột bác nông dân c 20.000.000 ồng. Bác d ố tiền đó gửi ngân hàng lo ạn 6 tháng với lãi su trên m ột năm t hì sau 5 n ăm 8 tháng bác nh ợc số tiền cả gốc lẫn l ãi là bao nhiêu? Bi bác không rút c ả gốc lẫn lãi tr ong các ó và n ếu rút tr ì ngân hàng tr ất theo loại không kì h trên m 31802750,09 30802750,09 32802750,09 33802750,09 Phương tr x x mx n     có ba nghi m phân t a, b, c theo th p thành c . Tính a + b + 3c khi bi t giá tr u n n n n      ả bao nhi ố nguy ơn 100 Tính t ng các giá tr m khi phương tr 2 2 1 0 x mx m     p thành c Theo th rong nă ện tíc h nuôi tôm công ngh ệ cao của tỉnh Bạc Li êu là 1001 (ha ằng diện tích nuôi tôm các năm ti theo đ ng 5,3% so v ới diện tích của năm liền tr ớc. Kể từ sau 2019, năm nào dư ới đây l à năm đ ỉnh Bạc L iêu có di nuôi t t trên 170 0 (ha) ết kiệm một số tiền ba à 1000000 đ ồng với l ( không k ỳ hạn) ỏi bạn An phải gửi ít nhất bao nhi êu tháng thì ả vốn lẫn l ằng hoặc v ợt quá 1300000 Ông X g ào ngân hàng 60 tri ệu đồng theo h ình th ãi kép. Lãi ất ngân h àng là 8%/năm. Sau 5 năm ông X ti ếp tục gửi th 60 tri ệu đồng nữa. Hỏi sau 10 ể từ lần gửi đầu ti ên ông ến rút to ền gốc v à bao nhiêu? ất không thay đổi qua các năm ông X gửi tiền) 217,695 231,815 ệu đồng) 190,271 ệu đồng) 197,201 ệu đồng 8.5 11.6 ó bao nhi ủa 20 ? ời gửi ệu đồng vào ngân hàng v ất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiề n ra kh ngân hàng thì c ứ sau mỗi năm, số tiền l ợc nhậ p vào v ốn ban đầu để tích l ãi cho n ếp theo. Hỏi ời đó phải gửi ít nh ất bao nhi êu năm đ ể nhận đ ổng số tiền c ả vốn ban à lãi nhi ơn 140 tri ồng nếu trong khoảng thời gian ời đó không tút tiền ra v à lãi su ất khôn g thay đ Cho dãy s . Có bao nhiêu s ố nguy ên dương 1 2 3 4 n n n n     trong c à x ch ủa x b ột khu rừng ợng gỗ l ết rằng tốc độ sinh tr ủa các cây ở khu rừ ng đó là ỗi năm. ỏi sau năm khu r ừng đó sẽ có số mét khối gỗ gần với giá trị n ất sau đây? 16 15 1 ó bao nhi ơn 1 tri à chia h ết cho 225 Cho dãy s ới mọi ị nhỏ nhất của ấp số cộng có các s ố hạng đều d ương, s ố hạng đầu ổng của ố hạng đ tiên b . Tính giá 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 u u u u u u u u u u u u     Trên tia Ox l y các đi ,...,A ,...sao cho v nguyên dương n, OA Trong cùng m ng có b a tia Ox, v ng tròn ng kính OA , n = 1,2,...Ký hi n tích n ng tròn ng kính OA , ký hi n tích c a hình gi ng kính OA ng tròn ng kính OA và tia Ox. M nào dư i đây đúng ? i là m i công sai i công sai i là m có công sai trong d ó bao nhi giác có s đo các góc t nhân có công i q = 3 , khi đó s đo các góc c giác đó theo th tăng d 3 9 27 20 20 20 20     3 9 27 40 40 40 40     3 9 27 15 15 15 15     30 ;60 ;90 ;180     P BÀI TOÁN V NG CAO PHÂN LO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ i hai giá tr phương tr 10 2 7 0 x x m m     n nghi m phân bi p thành hương hai giá tr 3 3; 2 ; 2 3 x x x x x     theo th Tính t nhân lùi vô h là ba s ng liên ti 0; 2 2 . Tìm s nhiên nh ân có n s u tiên là 1, công b i r và ng là s, trong đó r và s đ ng các s nhân m o thành b cách thay đ nhân ban a nó là ó bao nhi ộc kho 1 1997 chia h ết cho Cho dãy s c xác đ 1; 3 10 i n nguyên dương. Công th ng quát c . Tính Cho dãy u u n n . Tính Trong m Oxy ch y = 3x nguyên dương n, g giao đi ng d: x = n. Xét dãy s tung đ đúng ? ng có công sai d = ng có công sai d = 3 ng có công sai d = 1. là không ph giác l i có s đo các góc l p thành m nhân. Bi a góc nh a góc nh ai góc nh A. 10 đ B. 18 đ C. 14 đ D. 24 đ Phương tr     n nghi m phân bi p thành m ng, khi đó h ãy tìm s a phương tr Ông A g ửi 200 triệu đồng v ột ngân h ình th ãi kép, v ột năm v ất không ổi trong suốt quá tr au 5 năm s ố tiền làm tròn àng trăm) ằng bao nhiêu? ệu đồng ệu đồng ệu đồng. ệu đồng ( 1)( 7)( 8) u n n n n     ó bao nhi ính ph t tam gi ác ABC có dài ba c nh là a, b, c l p thành m theo th đó) th sinA, sinB, sinC theo th p thành c cosA, cosB , cosC theo th hành c tanA, tanB, tanC theo th p thành c cotA, cotB, cotC theo th p thành c Cho dãy s 3 2 2 1 1 nguyên dương. G ạng đầu ti ố đó. Tính Tính t ng bình ph ương các nghi a phương t 7 4 8 0 x x m x      khi nó có ba nghi phân bi p thành m ời gửi tiết kiệm v ào ngân hàng v / năm. ết rằng nếu không rút tiền ra khỏi hàng thì c ứ sau mỗi năm số tiền l ợc nhập v ể tính l ếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm ngư ời đó thu đ ợc cả số tiền gửi ban đầu v à lãi g ấp đôi số ền gửi ban đầ ả định trong ời gian n ày lãi su ất không thay đổi và ngư ời đó không rút tiền ra? Cho tam giác ABC có đ dài các c nh là a, b, c theo th p thành m ng. Bi tan tan ; A C x x là phân s n, x và y là các s nguyên dương. Tính x ột bác nông dân vừa bán một con trâu đ ợc số tiền l à 32.000.000 Do chưa c ến số tiền n c nông dân mang toàn b ộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng v ào ngân hàng v ất 5,7% một thì sa u 4 năm 6 tháng bác nông dân nh c bao nhiêu ti ền cả vốn lẫn l 41.208.674 40.208.000 48.416.000 52.701.729 i hai giá t m = a; m = b (a < b) đ phương tr x x x m      có ba nghi m phân p thành c ng. Tính a + 2b. 1! 2! 3! ... !      ại bao nhi ính ph n Hùng trúng tuy A nhưng v ì không c phí nên Hùng quy nh vay ngân hàng trong 4 n ăm vay 3000000 đ c phí v i lãi su t 3%/năm. Sau khi t t nghi n Hùng góp hàn g tháng s n T (không i) cùng v i lãi su t 0,25%/tháng tro ng vòng 5 n n T hàng tháng mà b n Hùng ph cho ngân hàng (làm tròn hàng đơn v 32518 đ B. 309604 đ C. 215456 đ D. 232289 đ ; 21 1    ạng th ứ 2018 c ột bác nông dân vừa râu đư ợc số tiền l à 32.000.000 Do chưa c ến số tiền n bác nô ng dân mang toàn b ộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 thá ng vào ngân hàng v ất 5,7% một thì sau 4 n ăm 6 tháng bác nông dân nh ợc bao nhi ền cả v ốn lẫn l 41.208.674 40.208.000 48.416.000 52.701.729 1 2 1 1 1; 2; 2 1 u u u u u      ìm hai ch ó bao nhi 11 THPT I TOÁN NG CAO PHÂN LO ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ a hàng kinh doanh ban đ u bán m t hàng A v i giá 100 (đơn v ng). Sau đó c a hàng tăng gi t hàng A lên 10%. Nhưng i gian, a hàng l c tăng giá m t hàng đó lên 10%. H t hàng A c a hàng sau hai l n tăng giá là bao nhiêu ? A. 120 B. 121 C. 122 D. 200 Cho dãy s ịnh bởi 1; 3 10 nguyên dương. T ìm giá tr ị lớn nhất của sao cho Tính a + 2b + 3c khi phương tr 8 34 27 0 x m x m x       có ba nghi m a, b, c theo th p thành c đem 100 tri ng đi g n 6 tháng, m i tháng lãi su à 0,7% s i đó có. H i sau khi k n, ngư i đó đư bao nhiêu ti 10 0,007 10 1,007 10 1,006 10 1,006 c tiêu th c ăn c a trang tr không đ i như d nh thì l c ăn d ày. Nhưng th c tiêu th c ăn t ăng thêm i ngày (ngày sau tăng thêm ngày trư c đó). H c ăn d dùng cho bao nhiêu ngày? Cho dãy s 1; 3 2 . Giá tr 1 2 2018 S u u u     3 2018 3 2019 ịnh bởi u n n n     ó bao nhi ng các giá tr phương tr 3 4 2 0 x mx mx m      có ba nghi p thành c C. Không t m 1998 d 125500000 ng i sau bao nhiêu n là 140000000 ng n góc c giác t o thành c nhân và gó p 27 l n góc nh và góc nh B. 102 đ C. 252 đ D. 168 đ Cho dãy s ịnh bởi ỏi trong d ó bao nhi ồng th Ông X g m 100 tri ng the o hình th c lãi kép v i lãi su t không đ i 0,5%/tháng. Do nhu c n chi tiêu nên c i tháng sau đó, ông rút ra 1 tri tháng cu cùng ông X rút n c bao nhiêu ti A. 400879 đ B. 975781 đ 9400 đ D. 970926 đ vuông g ô vuông. Ngư n vào m i ô vuông đó m t trong hai s sao cho t ng các i hàng và t ng các s trong m ng 0. H i có bao nhiêu cách ? D. 144 ương tr 3 23 2 78 0 x mx m x m       m phân bi p thành c ng các giá tr m thu đư Cho dãy s ịnh bởi u n n n     ó bao nhi ơn 1000 à chia h ết cho 48 Phương tr 9 16 14 x x m x m      có ba nghi m phân bi p thàn . Tính p phương các nghi ơng tr ình khi D. 160 ba kích thư hình h p thành m nhân. Bi tích toàn ph n là 175cm . Tính t đo ba kích thư a hình h A. 30cm B. 28cm C. 31cm D. 17,5cm bào E.Coli trong đi y thích 20 phút l i nhân đôi m u lúc đ u có 1012 thì sau 3 gi phân chia thành bao nhiê A. 1024.10 B. 256.10 C. 512.10 D. 512.10 Cho dãy s . Tính 3 2018 2 3 2018      Cho dãy s ịnh bởi ó bao nhi à chia h ết cho 3 ác ABC c ó ba c theo th cot cot 1 2 2000 10 1;10 1;...;10 1     ất bao nhi êu % c ủa M kh ông ph ố nguy D. 85% ác ABC c ó ba c ộng. Khi ào theo th tan ,tan ,tan cot ,cot ,cot cos ,cos ,cos sin ,sin ,sin Tam gi ác ABC c ó ba g sin sin sin ính hi ủa tam gi C. 110 ố nguy ên) theo th ồng th , 8, 64 theo th Cho hình v 1 1 1 1 ạnh bằng 1. Gọi các đi ứ tự l à trung đi k k k k k k k k A B B C C D D A . Chu vi hình vuông 2018 2018 2018 2018 A B C D ương tr x ax bx c     ó ba nghi 9 2 27 ab a c 10 2 27 ab a c 9 2 27 ab a c 8 2 27 ab a c ương tr x ax bx c     ó ba nghi Cho dãy s nh như sau: 1 2 1 1 5; 11; 2 3 a a a a a     i n nguyên dươ ng. Khi đó chia h t cho s nào sau đây B. 2002 ông sai kh ác 0 theo th C. 1,5 a b c d theo th theo th ộng. T 14; 12 a d b c     g năm 2019, di n tích nh A là 900ha. Gi n tích r i năm đ u tăng 6% so v n tích r a năm li sau năm 2019, năm nào dư đây là năm đ u tiên t nh A có di tích r i trong năm đó đ trên 1700ha A. Năm 2051 B. Năm 2030 C. Năm 2029 D. Năm P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. ấp số cộng ố hạng ủa cấp số cộng đ ấp số nhân và công b . Tính 2 ; 4; 3 theo th 3 ; 4; 5 ũng theo th ộng. T 5 2023 ấp số cộng ọn đáp án đúng. ó bao nhi u tiên c ã cho b 2;5;8;11;14... Công sai c ã cho b Công th c tính s ng quát c u nu n n d u u n d u nu d Trong th p 11A d n quyên n như sau: ng u tiên quyên g hai tr n hơn ng p 11A quyên g c bao nhiêu ti 8.800.000 9.800.000 10.800.000 10.800.000 ấp số cộng ố hạng đầu . Giá tr ấp số cộn ố hạng thứ 7 của cấp số cộng n ông th ổng qu , công b ấp số nhân . Tìm c ố nhân bao nhi ạng nh ơn 1000 v ính ph t công ty trách nhi lương cho các k sư theo phương th c sau: M lương c làm vi u tiên cho công ty là 13,5 tri ng/quý, v quý làm vi hai, m c lương s c tăng thêm 500000 đ g/quý. Tính t n lương m c sau ba năm làm vi c cho công A. 198 tri B. 195 tri C. 228 D. 114 tri 1; 3 ; 7 ấp số cộng ố hạng 96000cm 81000cm sin ó bao nhi ơn 100 ấp số cộn ủa n s ông sai c ho hai s t sao ch 2 , 5 2 , 4 x y x y x y theo th ột bác nông dân c 20.000.000 g. Bác dùng ố tiền đó gửi ngân hàng lo ạn 6 tháng trên m ột năm t hì sau 5 năm 8 tháng bác nh ợc số tiền cả gốc ãi là bao nhiêu? Bi ằng bác không rút cả gốc lẫn lãi tr ong các ó và n rút trư ì ngân hàng tr theo lo ại không k trên m 31802750,09 30802750,09 32802750,09 33802750,09 bao nhi 1; ; 2 1 theo th 3sin 2cos ; sin ; cos x x x x theo th ân. Khi tan D. 0,5 trong c 100 101 200 , ,..., ó bao nhi B. 200 ông th ổng qu sin ; 6 ; u v n n t      t cơ s khoan gi ng đưa ra đ c giá như sau: Giá t mét khoan đ u tiên là 100000 đ ng và k mét kho hai, giá c i mét sau tăng thêm 3 0000 đ ng so v i giá c khoan trư c đó. M i cơ s khoan gi ng này đ khoan m ng sâu 20m l c sinh ho t cho gia đ i sau khi hoàn thành vi c khoan gi ng gia đ i thanh toán cho cơ khoan gi bao nhiêu ? A. 7700000 đ B. 15400000 đ C. 80000 D 7400000 đ ố nguy ương k ông th ổng qu ho hai s ệt sao ch 2 , 5 2 , 4 x y x y x y theo th ồng th xy x y ằng y l ố nguy ên, khi ộc kho (8;10) B. (11;13) C. (13;16) D. (16;20) P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. . Công sai c ã cho b Câu 2. . Công sai c ã cho b ị chặn bởi khoảng . Tính B. 150 ố chấm ở h àng th ứ n trong h ình 1, g ổng diện tích các h ình tô màu àng th ứ n trong hình 2 (m ỗi ô vuông nhỏ l ị diện tích). Dự đoán công thức tổng quát của d Cho dãy s ịnh bởi sin , tính đ ến số hạng thứ 100 th ì dãy có bao nhiêu s ố hạng bằng Câu 6. . Công sai c ã cho b ấp số nhân , công b ố hạng thứ mấy của ố hạng thứ ố hạng thứ ố hạng thứ ố hạng thứ Câu 8. . Công sai c ã cho b Cho dãy s ồm tất cả các số nguy ên dương chia h ết cho 4 xếp theo thứ tự tăng dần, ể từ số hạng bao nhi ãy thì các s ố hạng không nhỏ h ơn 2023 ? B. 506 C. 509 D. 510 Cho dãy s , tính ch ất bị chặn , tính ấp số nhân, biết . Công b ủa cấp số nhân l Cho dãy s . Trong dãy có bao nhiêu s ố hạng bằng 0 nh tam giác vuông có đ dài là các s nguyên dương l p thành m nh có th Cho dãy s ãy có bao nhiêu s ố hạng l ố chính ph ương nh 1.3 2.4 ( 2)     A. Tăng, b n trên 2 8 9 15 u u u u     ng 16 s u tiên c A. 100 B. 400 C. 320 D. 510 dương đ ấp số nhân. C. không t ồn tại Cho dãy s ãy có t ối đa bao nhi ố hạng l ố chính ph C. Không th ấp số nhân . Tìm s ố hạng thứ 5 của cấp số nhân đ ã cho. Chu vi m t đa giác là đo các c a nó l p thàn i công sai a đa giác đó là? ết rằng 1; 2cos ; 1 cos3 theo th ứ tự lập th ột cấp số nhân. Với k l ố nguy ên, khi đó x có th ể bằng m hai ch 2020 1 Tìm ba s ố hạng li ếp của một cấp số nhân biết rằng ổng của chúng bằng và tích c ủa chúng 4, 20, 46 15, 20, 35 5, 20, 45 10, 20, 40 ấp số nhân , tính ất cả các số thực ể ba số theo th ứ tự đó lập th ấp số cộng? Tính t ng các giá tr ột cấp số cộng. ấp số nhân Tính đi ện tham số a để theo th ứ tự lập th ột cấp số cộng. Cho dãy s u n n n , có bao nhiêu s ố hạng của d ãy có cùng giá tr ị bằng 6 ? ổng các giá trị m để ph ương tr ( 1)( 2)( ) x x x m có ba nghi ệm lập th ột cấp số nhân B. 2,5 ời gửi ệu đồng v ột ngân h tháng. Bi ết rằng nếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì c ứ sau mỗi tháng, số tiền l ợc nhập v ốn ban đầu để tính l ãi cho tháng ti ếp theo. Hỏi s au ít nh sau bao nhiêu tháng ngư ời đó thu đ ợc (cả số tiền gửi ban đầu v ố tiền l ệu đồng? (Giả định trong khoảng ời gian n ày lãi su ất không thay đổi v ời đó không rút tiền ra). A. 41. B. 39. C. 42. ố nhân , giá tr ể bằng C. 729 Trong m dãy gh u tiên có , các dãy li n sau nhi u hơn d ng có t bao nhiêu gh nh tăng, gi 1.3 3.5 (2 1)(2 1)     A. Tăng, b C. Không b P 11 THPT P BÀI TOÁN 2 ; 4 2 ; 8 8 2 x x x x x x heo th ạng ti ếp theo c ấp số nhân ấp số cộng ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng l ố hạng đ à công sai c ủa cấp số cộng ; 2 ; (2 )(2 1) x x x x x x theo th ấp số nhân ứ ba b ằng 27 v ạng cu ằng 1594323, h ó bao nh . Công sai c ã cho b 3 11 8 ì tron ả bao nhi Thanh v ợc tuy ông ty c ông ngh ợc cam k ương n à 200 tri ếp theo ăng th 25 tri ồng. G ương v anh Th ệc cho c ó. Khi 200; 25; 2 s s s n     ương c ủa anh Thanh v ệc cho c 300 tri B. 250 tri C. 320 tri 50 tri ăng, b bao nhi ên m nh 2; ; 9 x mx x theo th D. 2023 t du khác h vào chu t 20000 đ n sau ti p đôi l c. Ngư i ta thua 9 l n liên ti p và th i du khách trên ng hay bao nhiêu ? A. Hòa v B. Thua 20000 đ ng 20000 đ D. Thua 0000 đ , khi kim gi n 12) th ng n ti trong m c bao nhiêu ti A. 156 B. 152 C. 148 D. 160 theo th ứ tự n ày là ba s ố hạng li ếp của một cấp số cộng. Biết ấp số cộng ó ba s ; ( 1); ( 1) x x x x x ó bao nhi ương x 3 21 3 u n n n n      10 20 5 10 u u u u 90 210 150 10 30 20 10 30 20 Cho năm s ột cấp số nhân theo thứ tự đó v à các s ố đều khác 1 1 1 1 1 a b c d e      ổng của chúng bằng . Tính giá tr S abcde ấp số cộn ủa n s 2018; 5 ng bao nhiêu c A. 405 B. 406 C. 403 D. 404 ất cả các số thực theo th ứ tự đó lập thành c ấp số cộng? ấp số cộng ố hạng đầu t ủa cấp số cộng l t cây guita r. Trong tu u tiên, anh ta đ đô la, và trong m t theo, anh ta đ ã thêm đô la vào tài kho a mình. Cây guitar Hùng c n mua có giá i vào tu bao nhiêu thì anh y có đ mua cây gui tar đó? u n n n ó bao nhi ạng trong d 1000 1000 9000 5; ;15 theo th ự lập th ấp số cộng. Giá trị ( 1)( 2)( ) x x x m ó ba nghi B. 2,5 sin ; 3cos ; tan theo th ấp số cộng 2013 6 ố hạng đầu ti ủa cấp số cộng đó l t ba s 2 1; 4 1; (4 1)(2 1) x x x x     theo th ạng ti theo c 6 , 5 2 , 8 x y x y x y theo th ứ tự đó lập th ột cấp số cộng; đồng thời các số 1,  2,   3 x y x y theo th ứ tự đó lập th ột cấp ố nhân. T t chú cò khát n c, chú tìm th c bình c nhưng c bình v a cao l bé nên chú không th bèn nh ng hòn s vào bình c dâng l ên, phút đ u tiên chú b 5 viên s i, do quen vi c nên t phút th i phút chú l u hơn phút trư viên s i (trong ph viên). Sau 10 p hút thì n ã dâng lên chú có th i chú cò ao nhiêu viên s vào bình? ấp số cộng công s ạt giá trị nhỏ nhất. Tổng ố hạng đầu tiên c ủa cấp số cộng đó bằng 14250. 14400. 14650. 15480. ông th ổng qu ó bao nhi P 11 THPT P BÀI TOÁN và công sai 4 080 399 4 800 399 4 399 080 8 154 741 ấp số nhân ó bao nhi Cho dãy s sin ẳng đị nào sau đây là đúng? ố giảm ố tăng ố hạng thứ sin là dãy s ố không bị chặn ởi kho ông ty ương cho c ư theo ph ương th c sau: ương c ên cho ông ti l à 4,5 tri hai, m ương s ăng th êm 0,3 c sau 3 n c cho c ông ty. A.83,7 tri B. 78,3 tri C. 73,8 tri D. 87,3 ạng trong d ông th và côn 10 1 2 3 10 S u u u u     1; ; 4 theo th ấp số nhân , giá tr 5 ( 1) 1 ạng trong d ông th i ta thi t cái tháp g m 11 t ng, di n tích b t trên c ng ngay dư n tích m n tích đ tháp (có di n tích là 12288m ). Tính di n tích m ên cùng B. 8m C. 10m D. 12m ông nh ấp só nhâ . Công b ội của cấ ố nhân đ ấp số nhân ố hạng đầu . Giá tr ( 1)( 2)( ) x x x m ó ba nghi B. 2,5 ời gửi ệu đồng v gân hàn ếu không rút tiền khỏi ngân hàng thì c ỗi tháng, số tiền ợc nhập v n ban đ tính lãi cho tháng ti ếp theo. Hỏi sau ít nhất sau bao nh iêu tháng ngư ời đó thu đ ền gửi ban đầu v ố tiền l ệu đồng? trong kho ời gian n ày lãi su ất không t ời đó kh ông rút ti ền ra) ấp số nhân có . Tính B. 1,5 u n n n      ó bao nhi ố nguy ấp số cộng ó ba s x mx x x ố nhân . Công b ội của cấp số nhân đ ã cho b ả bao nhi ửi 100 tri ãi kép. Sau tháng, ngư ời đó g ệu đồng với kỳ hạn v ớc đó. Tổng số tiền ng ời đó thu đ năm sau khi g ửi tiền gần nhất ới kết quả n ào sau đây bi ết rằng tron ốt thời gian g ất ngân h àng kh ông thay đ ền ra. ệu đồng. ệu đồng. ệu đồng. ệu đồng ể 3 số 2;  1; 3 ột cấp số nhân: Không có giá tr 1;  ; 0,64 ã cho t heo th ứ tự lập th ấp số nhân? 0,004. Không có giá tr 0,008. 0,008. bao nhi ể 3 số 2 1;  ; 2 1 ột cấp ố nhân: ạng th ứ ba b ho hai s ệt sao ch 2 , 5 2 , 4 x y x y x y ồng th x xy y ộc kho (13;14) D. (14;15) P 11 THPT P BÀI TOÁN 3 2021 ố chia h ết cho ời ta tr ồng 465 c ây trong m ột khu v ình tam gi ư sau: H àng th àng th àng th ứ ba c ây trong khu v B. 1,5 à 30, s à 10,5. Khi ó bao nhi ình ph ương c ng 29. ấp số cộng A. 161 B. 143 C. 252 à 576 v à 9. T A.1061 B. 1023 C. 1024 D. 768 ó bao nhi đang ti t cây guita r. Trong tu u tiên, anh ta đ đô la, và tron t theo, anh ta đ đô la vào tài kho a mình. Cây guitar Hùng c n mua có giá i vào tu bao nhiêu thì anh y có đ mua cây guitar đó? , , ,... ạng nh Trên m t bàn bi a có 15 qu bóng đ i chơi đưa đư nào vào l trên qu bóng đó. S i đa ngư i chơi có th ; ; 10 u v t n n     ạng nh ấp số nhân Khi đó công b ạn An ch ếp các que di êm thành tháp theo qui t ắc thể hiện nh ợc tháp có ầng th ạn An cần đúng bao nhi êu que diêm? D. 1,5 3; ; 3 3 theo th ứ tự l à ba s ạng li ếp của một cấp số nhân. T ìm công b ủa cấp ố nhân đó. Sinh nh a An vào ngày tháng năm. An mu n mua m t món quà sinh nh t cho b n nên quy ng heo ng vào , sau đó c liên t c ngày sau hơn ngày trư n ngày sinh nh n, An đ ã tích l c bao nhiêu ti n? (th i gian n ngày 738.100 726.000 714.000 750.300 u n n n      ó bao nhi 2 ,4 , 2 x y x y x y theo th C. 0,75 D. 0,25 bao nhi ột cấp số nhân tăng có số hạng thứ ố hạng thứ ố hạng thứ ao nhiêu c ủa cấp số nhâ 1; tan ; 4tan 3 theo th sin cos 1 2 1 1 ( 1) 2 3 ổng qu ó bao nhi ạng trong d 69000 960000 ằng 7 ? ời gửi số ền 100 triệu đồng v ân hàng v ột năm. Biết rằng nếu không ền ra khỏi ngân h àng thì c ứ sau mỗi năm, số tiền ợc nhập v ầu để tính l ãi cho n theo. Đ ợc số tiền 300 tri ệu đồng (cả tiền gốc v lãi) thì c ần gửi ít nhất bao nhi êu năm, n trong kho ảng thời gia n này ngư ời đó k hông rút ti ền ra v à lãi su ất không thay đổi? có công sai d t giá tr t. Tính ng 100 s u tiên c a dãy. ạng th bao nhi ạng lu Cho dã u u n n . Tìm s ố tự nhi ỏ nhất để Trong các dãy s ố sau, d ào là dãy s ố giảm? P 11 THPT P BÀI TOÁN . Công sai c ã cho b . Công sai ấp số cộng ố hạng thứ 10 c ủa cấp ố cộng đó l Sinh nh a An vào ngày tháng năm. An mu n mua m t món quà sinh t cho b ng heo ng vào , sau đó c liên t c ngày sau hơn ngày trư y sinh nh n, An đ ã tích l c bao nhiêu ti n? (th i gian b heo tí n ngày 738.100 726.000 714.000 750.300 ấp số nhân 3, 48. Công b ấp số nhân bằng ạng th ứ bao nhi ạng th ạng th ạng th ả bao nhi ạng nguy ấp số cộng có tổng ố hạng đầu l . Giá tr ị của số hạng thứ ủa cấp số ố x, y ph 2 ,4 , 2 x y x y x y theo th C. 0,75 ập hợp tất cả các số tự nhi sao cho theo th ự đó lập th ột cấp số ộng. Tính tổng tất cả các phần tử của ố nguy ấp số nhân ố hạng đầu và công b Cho tam giác ABC có s đo ba góc t o thành m ng và có m t góc b . Tìm hi o hai góc còn l A. 35 đ B. 25 đ C. 5 đ ố cộng 1 4 7 2011 S u u u u      ấp số nhân có số hạ , công b ố hạng đầu ti ủa cấp số nhân ố cộng ; ( 2) ; 2 x x m x x m ộ ba s 2 7 2 2     ạng nh ổng vô hạn 1 ... ...       u n an ố nguy ương a sin ; 3cos ; tan theo th 1; 24850 1 2 2 3 49 50 u u u u u u A. 123 ấp số nhân ng hai s ng 5, t a ba s ng 21, t ho, bi A.349525 C. 360445 D. 340525 i q th 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 u u u u u u u u u u          có các s ng khác 0 th ng n s ng n s p theo. T theo th ứ tự n ày là ba s ố hạng li ếp của một cấp số cộng. Biết ộng, t ằng 80. C ảy ra khi theo th 1; ; 2 nhân. T 1 file 1 file 1 file 1 file , LOGARIT 1 file 1 file 1 file 1 file 1 file 1 file 1 file , LOGARIT 1 file 1 file 1 file 1 file NG CAO P 11 THPT ______ Câu 1. Tính đ o hàm c a hàm s . Trong c ệnh đề sau, mệnh đề n không t y x x x     ' 4 6 1. ' 4 6 . y x x x ' 4 3 . y x x x ' 4 3 1. y x x x     ằng biể sau đây? 16 9 1. 8 27 1. 8 9 1. 18 9 1. Cho hàm s ịnh tr f x ax b là hai s ố thực đ ã cho. Ch ọn câu đúng: Cho hàm s 3 2018 y x x x     . Tính t ng các nghi a phương tr au đây có đ o hàm b ( ) 4 3 2 1 f x x x x x      Giá tr Cho hàm s f x ax b b Trong các m ệnh đề sau, mệnh đề n Tính đ o hàm c y x x m 5 2024 . Nghi ương tr 4; ( 2) 2 5; ; 7 3 y x y x x x y x x y x           ó bao nhi y x x x     ệm nguy Cho hàm s ịnh tr . Giá tr Cho hàm f x mx mx nh trên là tham . Tìm t ất cả các số thự ệm của bất ph ương t ại điểm Cho hàm s . Giá tr y x x x     ' 4 6 3 ' 4 6 2 ' 4 3 2 ' 4 6 2 ố nghi ương tr     ' 2 4 1    ' 3 4 1           Cho hàm s ịnh tr f x x x . Hàm s ố có đạo h y x x x x     ương tr y x x x     f x x x ó bao n ố nguy ương x Cho hàm s 2 8 9 2 f x x x    . Hàm s ố có đạo h 3 6 10 y x x x     3 6 2. 2 2 4. 6 2 4. 3 2 2024 y x x x     . Tính t ng các nghi a phương tr 20 9 4 2 y x x x     ác nghi ' 12 4 ' 12 4 ố nghi ương tr ( 4)( 6) 3 ( 6) ( 4) y x x x     3 ( 6) 2( 4) y x x x     ( 6) ( 4) y x x x     3 ( 6) ( 4) y x x x     f x x x ( 5) 5 f x x mx ( 5) 9 y x x x     ( 4) 6 ố nghi ệm nguy P 11 THPT Câu 1. ìm nghi y x x x 20 10 6 20 10 6 20 10 6 f x x x Cho hàm y x x x x     3 3 3 3 4 ; 6 ; 4 5; 4 10 y x x y x x y x x y x x           Trong c ông th ( 4 )( 7) y x x x 2(3 4)( 7) ( 4 ).2 x x x x x     (3 4)( 7) ( 4 ). x x x x x     (3 4)( 7) ( 4 ).2 x x x x x     (3 4)( 7) ( 4 ).2 x x x x x     y x mx ằng 5. Cho hàm s y x ax bx     ết rằng y x x m ao nhi ố nguy ên x th 6 10 5 y x x x     ương tr y x x x     y x x mx     ị tham s y x x mx     ố nguy ương m sa y x mx nx     (1) 6; (2) 17 7,  3 5 f x x x g x x x       t phương t f x g x có nghi    ằng biểu thức n ào sau đây 4(7 5) . 28(7 5) . 28(7 5) . 28(7 5) 1 ị tham s y x mx t đa th y x mx có hai nghi . Giá tr ị tham số ị tham s y x mx ằng 5. bao nhi ố nguy 5 7 5 0     f x x x dương khi và ch ỉ khi : o hàm s ập nghiệm của ph ương tr bao nh ố nguy ên x th 7 11 15 0     f x F x Cho hàm s ương trên kho ào trong các kho ảng sau 3 3 3 3 4 ; 3 6 ; 2 4 5; 5 4 10 y x x y x x y x x y x x           ằng 4 ?     4 2023 f x x x x ao cho Cho hàm s 3 2017 g trình ập nghiệm l ; 1 1;      7 11 5 y x x x     ố nghi ệm nguy ương tr ho hàm s y x mx x     là tham s ập hợp ất cả các giá t có hai nghi ệm phân biệt ; 3 3;      ; 3 3;      3 2021 2022 y x x x     ằng biểu 6 2021 6 2021 6 2021 6 2021 2022 y x x x     Cho hàm s f x x x ố nghiệm của ph ương tr P 11 THPT PHÂN TH ổng qu ax b d cx d c ho hàm s . Hàm s ố có đ Câu 3. ố nghi ương tr Tính đ ố sau: bao nhi ên x th Cho hàm s . Giá tr ộc khoảng n ào sau đây? 20; 10 . Tính Cho hàm ịnh tr . Giá tr Không t ồn tại. . Giá tr Không t ồn tại. ại điểm ào sau Cho hàm s ết quả n ào sau đây? Không xác Cho hàm s Cho hàm s ộc khoảng n ào sau đây? 20; 10 . Giá tr ộc khoản g nào sau 20; 10 ax bx c . Giá tr ệm duy nh ương tr hàm là ax bx c . Giá tr P a b c Tính theo m đ a hàm s ax a b i a, b khác 0. Tìm m trong các m Tìm giá tr 2 1 (2 1) P 11 THPT PHÂN TH ính theo tham s a hàm s ax a b ính gi ính gi . Giá tr ộc khoảng n ào sau đây? 20; 10 ìm nghi ương tr 3 2 1 4 2 1 3 1 x x x x y y y y x x x x         bao nhi ương tr ừng kho Tính đ ố sau: 2 1 (2 1) ính gi Cho hàm s ểu thức n ào sau đây? 2 ( 3) ( 2 3) ( 2 3) ( 2 3) 4 ( 3) ( 2 3) ằng biểu thức nào sa u đây?. ( 3) ( 1) ax bx c . Giá tr P a b c 1 7 3 2 7 9 5 2 1 3 1 y y y y x x x x         bao nhi ừng kh àm là: o sau đâ 3 2 1 4 2 1 3 3 x x x x f x g x h x k x x x x x         ào sau ax bx c . Giá tr P a b c .. Giá tr ương tr ào sau ây sai ác nghi ực x c ương tr ệm nguy ương tr ó bao nhi ố nguy ên m nh ương tr P 11 THPT A CĂN V ẳng định n ào sau đây là đúng? Tính đ . 0,25 D. 0,5 Cho hàm s . Hàm s ào là đ nào dư ới đây? ủa x sao cho ơng tr Tính đ o hàm c a hàm s y x x x ìm nghi ương tr Tính theo m đ a hàm s y mx x ố nghi ương tr 2 8 10 4 8 10 o hai s ố hữu tỉ sao cho hàm s     ại điểm . Nghi ương tr ính ph ìm nghi ương tr Cho hàm s ập nghiệm của bất ph ương tr au đây có 2 (1 ) ố nghi ( 1) 4 3 y x mx x     10 12 5 A. m = 2 B. m = 1 D. m = 2,5 ố nghi ương tr ẳng thức n ào sau đây đúng v Cho hàm s y x x x ax bx c . Tính giá tr ủa biểu thức T a b c     Cho hàm s . Tính Cho hàm s y x mx m     . Tìm nghi a phương tr P 11 THPT A CĂN V Câu 1. ương tr 2 6 19 ại bao nh ên x th f x x m ị m sao cho Tìm hàm s o hàm c a nó b ào sau    ào sau y x x x ó bao nhi ố nguy âm x th 3 ( 1) i giá tr Cho hàm s y x x x ax bx c Hãy tính c nghi ương tr Cho hàm s y x x x . Phương tr m dương n m trong kho ng nào ? y x x x ố nghi ương tr Cho hàm s . Tính y x x x ác nghi ương tr duy nh ương tr 6 1 6 1 6 1 x ax b . Tính ố nghi ương c ơng tr y mx x ìm theo m nghi ương tr Cho hàm s . Tính ( 6) 6 ố nghi ương tr Cho hàm s 5 14 9 f x x x     p các giá 5 18 4 5 y x x x     . Khi đó S a b c ố nghi ương tr y x x x ax bx c . Tính giá tr ủa biểu T a b c Cho hàm s . Tìm s ố nghiệm của phương tr P 11 THPT P BÀI TOÁN Câu 1. Tính đ o hàm c a hàm s sin cos cos 1 cos Tính đ o hàm c cos2 4 2sin2 2sin2 1 cos Tính đ àm hàm s 2 cos 3sin y x x x cos 2 sin cos 2 sin cos 4 sin cos 5 sin sin ới đây tan cot sin cot sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin Tính đ sin cot cos . sin cos . sin cos . sin cos . sin cos sin sin cos sin cos sin cos cos sin Cho hàm s cos 1 , nghi m phương tr    1 tan 2 cos 2 2cos 2 Cho hàm s sin cos ới dạng nh giá tr ị biểu thức T a b c ( ) 2sin . Tính Cho hàm s ( ) cos sin f x x x ào sau đây sin tan sin cot cos 5sin 3cos 5cos 3sin cos 3sin 5cos 3sin cos sin Công th ào sau đây là đúng? cot ' cos cot ' sin cot ' cos cot ' sin a hàm s ( ) 3sin 5cos f x x x ( ) 3cos 5sin f x x x ( ) 3cos 5sin f x x x ( ) 3cos 5sin f x x x ( ) 3cos 5sin f x x x Tính đ 3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin 3cos 2sin 3cos 2sin 4sin2 7cos3 9 4cos2 7sin3 8cos2 21sin3 9 4cos2 7sin3 8cos2 21sin3 sin2 cos3 cos2 sin3 cos2 sin3 2cos2 3sin3 2cos2 3sin3 sin2 cos ( ) sin cos 3 f x a x x ằng bao nhi Tính đ a hàm s tan ại điểm tan -cot sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 Tính đ a hàm s cos 7 Cho hàm s sin3 3cos3 . f x x x ương tr          Cho hà cos sin . f x x x Phương tr có bao nhiêu nghi ệm thuộc khoảng sin 2 là các s uyên dương và nguyên t ùng nhau. Tính sin 3 6sin6 3sin6 6sin 3 .cos3 3sin6 sin 2 2sin2 2sin4 2cos2 sin cos 2 f x x x x . Khi đó 2 sin .cos 2 2sin2 2 sin2 2 2sin2 Cho hàm s ( ) tan cot y f x x x . Tính tan cot cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 P BÀI TOÁN Cho hàm s sin . Tính đ ã cho. ' sin ' sin2 ' 2sin2 ' sin Tính đ cos ' sin ' sin ' sin2 ' cos2 sin ' cos cos cos cos Tính đ cos 1 ' sin 1 ' sin 1 ' sin 1 ' sin 1 Tính đ sin 1 ' cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 Tính đ sin ' 2 cos ' cos ' cos ' 2 cos Tính đ tan cos ' (1 tan ) ' cos ả A v Tính đ cos sin y x x x ' sin 2cos y x x x ' cos sin y x x x ' sin ' cos Tính đ sin(4 3) 2sin(4 3) cos(4 3) sin(4 3) 2 sin(4 3) cos(4 3) sin(4 3) 2cos(4 3) sin(4 3) sin cos sin cos (sin cos ) (sin cos ) sin cos (sin cos ) sin cos (sin cos ) Tính đ o hàm c 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin sin 1 sin Tính đ cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos Tính đ sin cos sin cos sin cos 2sin2 sin cos sin cos sin cos Tính đ sin( 3 2) ' (2 3)sin( 3 2) y x x x     ' (2 3)cos( 3 2) y x x x     ' cos( 3 2) ' (2 3)cos( 3 2) y x x x     Tính đ 2sin3 cos5 ' 4cos8 cos2 ' 4cos8 cos2 ' 2 4cos8 cos2 ' 8cos8 cos2 Tính đ tan cos cos a hàm s 1 2tan 1 2tan cos 1 2tan cos 1 2tan 2cos 1 2tan tan2 cot2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 ' tan 2 cot 2 ' 2 tan 2 cot 2 Tính đ cot sin5 ' 1 cot (sin5 ) cos5 ' 5 1 cot (sin5 ) cos5 ' 1 cot (sin5 ) cos5 ' 5 1 cot (sin5 ) cos5 Tính đ (2 5)tan ' 6 tan ' 6 tan cos cos cos LOGARIT P BÀI TOÁ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯ o hàm c a hàm s o hàm là 2 .ln2 (2 1).2 .ln2 (2 1).2 o hàm là 2 1 .3 2 1 .3 .ln3 3 .ln3 Tính đ o hàm c 13 ln13 Tính đ o hàm c log 2 1 2 1 ln2 2 1 ln2 Tính đ o hàm c a hàm s 1 2 1 ln2 1 2 1 ln2 1 2 1 ln2 1 2 1 ln2 log 2x 2x ln2 2x 2 ln2 2x ln2 o hàm là 2 3 2 ln2 o hàm là 2 5 .3 3 .ln3 2 5 .3 .ln3 Tính đ o hàm c y=ln 1+ x+1 2 1 1 1 o hàm c a hàm s o hàm c 2 1 ln3 Tính đ o hàm c a hàm s Cho hàm s , tính o hàm c a hàm s o hàm c a hàm s ln2. 1 1 ln2. 1 1 Tính đ o hàm c a hàm s Tính đ o hàm hàm s .sin2 sin2 cos2 .cos2 sin2 cos2 sin2 2cos2 ương tr ằm trong kho a hàm s 2 log 1     ' 2 ln2 1 ln10 ' 2 ln2 1 ln10 Cho hàm s . Khi đó Tính đ a hàm s 2 ln2 ln 2 ln2 e 2 ln2 e o hàm c a hàm s ( ) log 2 f x x x (2 2)ln o hàm c a hàm s (x) ln(lnx) xln ln ln 2 ln ln 2xlnx ln ln lnx ln ln _______ LOGARIT P BÀI TOÁ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ trên kho àm trên 3 .ln3 Tính đ Cho hàm s . Giá tr ' 2 2023 '(2) 2023 .ln2023 ln2023 ln2023 Cho hàm s ' 1 6ln2 '(1) 7ln2 '(1) 8ln2 '(1) 9ln2 Tính đ log 2 1 2 1 ln2 2 1 ln2 Tìm nghi ệm của ph ương tr '( ) 0 Cho hàm s f x x x . Tìm t p nghi a phương tr     3 .ln3 ( 1).3 .ln9 ( 2 3).3 (2 2).3 Cho hàm s . Khi đó log 3 1 y f x x 3 1 ln2 3 1 ln2 3 1 ln2 3 1 ln2 Cho hàm s ệm của ph ng trình ộc kho ( ) ( 1) y f x x e 2 (2 2) 2 (2 2) Tính đ ại điểm Tìm nghi ệm của ph ương tr '( ) 0 6 ; ; ( ) log 1 f x g x e h x x     bao nhi ương tr ( ) log 1 . Nghi ương tr ương tr Cho hàm s ệm của ph ng trình ộc kho ệm của ph ương tr '( ) 0 2 2 4 3 10; 4 ; ( ) log 3 5 x x x x f x e g x h x x x       Có bao nhi ó nghi ằng 1 ? ương tr ó nghi f x e m ại bao nhi ố nguy ương m à nghi ằng 1. ên kho ào sau . Nghi ương t ộc kho Cho hàm s f x x x ương tr f x x e ương tr ương tr ập ngh ương tr ào sau P BÀI TOÁN o hàm s có phương tr ình là ồ thị l . Phương tr ình ti ếp tuyến của phương tr ình ti Phương tr ình ti ng cong C y x x m có hoành đ i giao đi c tung có ph ằng 4. rình ti i giao đi ào sau sin Cho hàm s là (H). Phư ơng tr ình ti i giao đ a (H) v c hoành ào sau (C). Phương tr a (C) t i giao đi c tung là: Cho hàm s n thiên ã cho ti bao nhi Cho đư có tung đ . Hãy l p phương tr ình ti D. A, B, C đ ng cong có hoành đ phương tr ình ti Phương tr ình ti ( ): 3 4 C y x x có hoà p phương tr ình ti Cho hàm s . Tìm ph ương tr ình ti Phương ng cong m có hoành đ Cho hàm s Tính h     (P). N a (P) có h ng 8 thì hoành đ m M là: hương tr ình ti song v :2 1 0         vuông góc v . Phương tr ình ti ếp tuyến của đồ thị h ố tại điểm     song song v ng cong i A là đi , A có h oành đ ng 1. Tìm i A so Cho hàm s ệ số góc ủa tiếp tuyến với đồ thị ại điểm có tung độ t phương t y x x x     song song P BÀI TOÁN àm liên t ên kho và có đ ồ thị l ờng cong ủa tiếp ến của ại điểm M a b C ếp tuy ào sau y kx m t d song song v 3 2 19 0 Phương trình ti ếp tuyến của đ ại điểm có ho ếp tuy ào sau y x x x     ến của ại điểm có ho y x x x     hoành đ Phương tr ình ti àm liên à có đ ồ thị l phương ếp tuy ến của M a f a a K y f a x a f a y f a x a f a y f a x a f a y f a x a f a ã cho t m có hoành đ Cho hàm s    . Phươn g trình ti ếp tuyến của ại điểm à có h oành đ ộ bằng ằng 1 nh ( 3 2) 4     ờng th ại hai ổng ho ếp tuy ó song song v 3 2 5 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 2 1 0 3 2 3 0 ao nhi ểm M tr ếp tuy ó bao nhi ng con song song v ố tiếp t ến của    vuông góc v . Phương tr ình ti 4 3 2 0 4 3 2 0 4 3 2 0 4 3 2 0 Phương tr ến với ồ thị h C y x x có hoành đ ến của ại điểm ệ số góc Phương t o hàm s ệ số góc của tiếp tuyến với ại điểm Cho hàm s Phương tr ình ti m có tung đ Cho hàm s ệ số góc ủa tiếp t ến với ại điểm phương tr ình ti ếp tuyến của đồ thị ết tiếp điểm có ho ộ bằng P 11 THPT ( 1)(3 2 ) y x x x ' 5 3 2 ' 15 3 ' 15 3 2 Tìm giá tr o hàm hàm s y x x x     C. 1,4 ng các giá tr o hàm c a hàm s y x mx m i bao nhi x x F x Cho hàm s y x mx mx     n tham s phương tr vô nghi A. 1 < m < 4 B. 0 < m < C. 2 < m < D. 1 < m < 7 2018 10 f x x x hiêu s Tính t ng các ng phương ( 1) ( 3) 2019 y x k x k x       Cho hàm s 3 2 1 2 f x x mx m x      luôn không âm v bao nhiêu giá tr ủa tham số sao cho hàm s ( ) 4 3 f x x mx x     y x m m x m       ao nhi ố nguy ương tr o hàm s y x k x kx     . Tìm t các giá tr 1 2018 1 C. S = D. S = Cho các hàm s 3 2 3 2 2 9 ; (5 1) 7 f x x kx x g x x k x k x         . Tính tích các nghi phương tr f x g x bao nhiêu giá tr ị thực c y x mx m x      có hai sao cho 1 2 1 2 x x x x     f x x x m ại hai gi f a f b Có bao nhiêu giá tr ị nguy f a f b (4 ) ( 2) 1 y m x m x x m        ại bao nhi f x x x mx     là giá tr ị của tham số f x f x 1 2 1 2 x x x x ới đây đúng? ( ) 3 6 f x x x mx     ại hai gi f a f b ính gi y x mx x     ương tr ó hai nghi có giá ị tuyệt đối ài hai ủa tam giác vuông ạnh huyền l ỏi có mấy giá trị của Không có y x mx m x      ương t ó hai nghi 1 2 1 2 x x x x ị tham s ố m thu ợc thu ộc kho (2 2 3) 5 y x mx m m x       Khi tham s ố m tha Cho hàm s 3 2 2 2 3 3 1 3 1 y x x m x m       . Có bao nhiêu giá tr nguyên c ương t ó hai nghi 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 1; 4 5 5 8; (2 2 3) 5 y x x x y x x x y x mx m x y x mx m m x                   Cho hà       y x mx m x ới m l à tham s ố. Hỏi có bao nhi êu giá tr ị nguy trên kho Cho hàm s 1 3 2 2 y x m x m x       ương tr ó hai nghi Hãy tính t ( ) 3 6 f x x ax bx     F x G x 2 4 4 2 Cho hàm s 2 3 1 6 2 1 y x m x m x       là tham s ố thực. T ất cả các giá trị của ương tr ó hai nghi ằm trong kho 1;4 \ 3 ết rằng y x a x b x      ậc hai c ệnh đề nào sa u đây là đúng? P 11 T P BÀI TOÁN Câu 1. Tìm vi phân c a hàm s (8x 5) x (8x 1) x (8x 7) x (8x 6) x ấp hai c ìm hàm s Tìm vi phân c f x x x ại điểm ứng với C. 0,5 Tìm vi phân c f x x x ại điểm ứng với i phân c ại điểm ứng với f x x mx x     ính the ấp hai log 2 1 2 1 ln2 2 1 ln2 dy x dx Vi phân c ại điểm ứng với (2) 0,018 (2) 0,002 (2) 0,009 ẳng thức n ào sau đâ y đúng 4 4x x 2 8x x f x x x x Cho hàm s sin 3cos . Vi phân c d cos 3sin d y x x x d cos 3sin d y x x x d cos 3sin d y x x x d cos 3sin d y x x x Cho hàm s Giá tr Cho hàm s nào sau đây đúng f x x mx x     ị tham s Phép toán nào sau đây đúng y dy d    y dy d y dy d y dy d    Cho hàm s y f x x sau đây ch ỉ vi phân củ a hàm s d 2 1 d d 2 1 d 3 ; 2 3 2; 3 4 y x x y x x y x x         bao nhi ấp hai b Tìm vi phân c ủa các h (3 4 ) dy x x dx dy x x dx (3 2 ) dy x x dx (3 4 ) dy x x dx Cho hà f x x x , giá tr ấp hai của 3 .ln3 ( 1).3 .ln9 dy x dx ( 2 3).3 dy x x dx (2 2).3 dy x dx Tìm vi phân c sin3x os3x (3 os3x 3sin3x) x dy c d (3 os3x+3sin3x) x dy c d (3 os3x+sin3x) x dy c d ( 3 os3x+3sin3x) x dy c d ấp hai của Cho hàm s 5 1 4 1 f x x x     ệm của ph ương tr ị m sao cho ấp hai c ằng 3. Cho hàm s phân c d 3 5 d d 3 5 d d 3 5 d d 3 5 d Tìm vi phân c ủa các h Vi phân c cos ại điểm ứng với P 11 THPT P BÀI TOÁN Cho hàm s f x x x m , giá t Cho hàm s     f x x x x . Giá tr Tìm vi ph 2cos2 dy xdx dy xdx dy xdx 2sin2 dy xdx y x x x dy x x dx dy x x dx dy x x dx dy x x dx Cho hàm s Cho hàm s . Giá tr f x x mx x     ị tham s ố m sao cho Cho hàm s ẳng th 2 3 2 2 3 2 ; 2 1 ; ( 1) ( 1) ; (3 2 ) ( ) x dx d x d x x dx d x x x dx d x x          ẳng th Cho hàm s ào sau 14 2 16 16 2 20 10 2 14 7 2 10 ấp hai l dy x e ấp hai bằng: 2 5 2 5 2 5 2 5 ấp 2 bằng: ấp 2 bằng : Vi phân c ấp hai của h ấp 2 bằng : Cho hàm s 5( 1) 4 1     f x x x ập nghiệm của ph ương tr Cho hàm s . Phương f x f x có nghi o hàm s . Vi ph d 7d . d 7d . ác nghi Cho hàm s . Tính y x x x y x x x 20 24 2 20 24 2 dy x dx 13 ln13 p hai là (2 1).3 .ln3 dy x dx 2 1 .3 dy x dx dy x x dx 2 1 .3 .ln3 dy x dx Cho hàm s ác nghi ương tr P 11 THPT y x ax bx     ết rằng Cho hàm s 3 2023 ương tr ố nghi ệm nguy Cho hàm s 2 10 2 f x x mx m m x       . Có b o nhiêu giá tr ị nguy ủa tham số cho phương tr có 2 ngh ệm phân biệt? ( 6) 1 y x mx m x      ại bao nhi giá tr yên m thu vô nghi 2 3( 1) 6 1 y x m x mx      có hai ng m phân ng bình phương Cho hàm s y x x mx     giá tr tham s m sao ch 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1; 3 2 4; (2 1) ( ) 9 5 8; (2 2 3) 5 y x x x y x x x y x m x m m x y x mx m x y x mx m m x                         bao nhi Cho hà 2 1 4 1 3 f x x m x m m x        ợp tất ả các giá trị có tham số ương tr hai nghi ệm phân biệt . Hãy tính t ổng của ần tử th Cho hàm s y x x mx     . Có b nhiêu s nguyên sao ch 0, 1;2 ( 1) 5 f x x mx m x      hai nghi ệm phân biệt ồng th ( ) 4 6 f x x x mx     f a f b 2 3 22 Tính a + (2 ) (5 2 ) 1 y x a b x a b x       o hàm b ( ) 2023 g x f x y x m x m x       ất cả giá trị t ực của tham s ể bất ph ệm đúng với mọi    f x F x F x x x mx     ất cả các giá trị thực của th 6 4 9 4 y x x m x      trên kho ố giá trị nguyên th ộc khoảng 2020;2020 ủa tham số 3 2019 y x x mx     3 2 1 3 5 y x m x mx m       i hai s y x y x ồng thời y x y x 3 11 13 3 27 3 2 y x mx x m      ọi S l sao cho ại hai y x y x . Tính y x mx     . Hai s y x y x F x G x 2 4 4 2 4 F G x x     4 2 7 1 y x m x x      sao cho y x y x ồng th tham s ập hợp tất cả các giá tr ị nguy ên dương c y x mx ổng giá trị các phần tử của Cho hàm s      y x x m x ó bao nhi ố nguy ương tr [ 3;5] B. 120 D. 140 P 11 THPT PHÂN TH Có bao nhiêu s nguyên    A. [2;3] B. (0;4) . (1;2] Có bao nhiêu s nguyên m đ o hàm c a hàm s giá tr dương trên ng xác đ A. Vô s . Tìm giá tr A. 0,25 . 0,125 Cho hàm 6 9 3 3 1 x x x x x      . Khi đó p ( 1) ( 1) các nghi o nhiêu s nguyên phương tr 2 ( 2) x x x x     ó nghi nhiêu s nguyên m đ âm trên hàm là ột biểu thức ax bx c . Khi đó bao nhiê giá tr yên m đ ận giá trị d g trên B. Vô s ằng biểu thức có dạng ax bx c . Khi đó ồn tại bao nhi nguyên m < 10 đ àm hàm s ận giá trị ơng trên các giá tr ị m sao cho x m m m ương tr ằng 0. ểu thức có dạng ax bx c B. 50. C. 44. D. 40. ương c ác nghi ương tr ồn tại bao nhi êu giá tr ị nguy ên m đ ể đạo h m hàm s ận giá ị âm tr F x f x 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 3 2      a b c d     x a b x ab ng 4 và có đ o hàm là ng phương t có nghi m duy nh ng nào ? . (1;2) B. (0;1) C. (2;3) D. (4;5) o hàm s p nghi hương tr 2 . 3 0 ; 2 0;    Cho hàm s . Tìm m o hàm c ã cho b A. m = 2 D. m = 4 Phương tr hiêu nghi m dương ? Cho hàm s . Tính ng các a phươ 9 2018 B. 4,75 C. 7,25 Cho hàm s . Tính t a phương tr 4 ; 1 3 f x x f    ương tr ương v ương tr ào sau 2 ; 1 1 f x x f    ố nghi ương c ương tr 11 THPT Cho hàm s i bao nhiêu giá tr nguyên x đ nh trên R th i phương tr ng bình phương các nghi m là bao nhiêu ? Tính t ng các nghi ơng tr ( 2 5) , trong đó ( 1) 4 o hàm c a hàm s . Khi đó Có bao nhiêu ố nguy trên kho Cho hàm s có hai nghi ết quả: Cho hàm s x mx m ết rằn phương tr ó hai nghi giá tr ị của tham nào sau đây th 2024 1     A.2020 B. 2022 C. 2025 D. 2026 o hàm c a hàm s ằng biểu thức có dạng ax bx c . Khi đó Có bao nhiêu giá tr ị nguy ủa tham số 2020;2020 sao cho hàm trên kho ương tr ó nghi Có bao nhiêu ố nguy trên kho ax bx c ổng các nghiệm của phương tr ax bx c ằng bao nhi ằng biểu th o hàm c a hàm s ( 2 2) . Tìm a,. ểu thứ c có d ax bx c B. 50. C. 44. D. 40. o hàm s ại bao nhi ố nguy ương t ủa tham s ện tham s ương tr ó hai nghi ủa hai nghi 4 4 4 4 1 x x x x     3 ( 3) ax a b bx b x bx Q a b a b      Cho hàm s ương tr ương ph ào sau bx b x bx a b a b a b ab ác nghi ương tr 1 ( 2) ác nghi ương tr 2 4 14 49 O HÀM L P 11 THPT O HÀM H A CĂN V P BÀI TOÁN V Cho hàm s f x ax b Tính t ng các nghi a phương tr 1 ( 1) 1 ết rằng 1 3 2 3 2( 1) 3 x ax b x      Cho hàm s ( ) ( 2) ( 8) f x x x x ố nghiệm đ ủa đạo h m hàm s ồn tại bao nhi ố nguy ên dương x đ 10 100 0 ồn tại b ao nhiêu s ố nguy ên dương ương tr . 1995 ax bx c . Tính S a b c hương tr Cho hàm s Có bao nhiê ố nguy ên m < có nghi duy nh Cho hàm s ( 1) 3 2 . Phương tr có nghi ệm duy nhất thuộc khoảng n C. (1; D. (2;4) Cho hàm s . Phương có ngh ộc khoảng n . (1;2) ố nghiệm ương tr y x x m ho hàm s . Phương có nghi ệm duy nhất ộc khoảng A.(0;1) C. (2;3) Cho hàm s 1 2 ... 2020 S f f f     ẳng định n sau đây là đúng? Cho hàm s ệnh đề n ào sau đây đúng y y y x x y y y x x 2 . 1 2 y y y x x y y y x x Cho hàm s ( ) ( 1)( 4) f x x x x Khi đó t a phương ( ) ( 2) g x f x 2 . 3 7 y y x x x bx c      Cho hàm s ( ) ( 1)( 4) f x x x x ( ) ( 2 2) g x f x x , phươ có bao nhiêu nghi 2 3 1 1 , trong đó ố tự nhi ên khá Cho hàm s ẳng định n ào sau đâ y đúng? x x y y x x y y Cho hàm s ẳng định n ào sau đâ y đúng? ax bx c     . Tính S a b c o hàm s giá tr B. t < 2 ẳng th ẳng th 2 . 1 . 4 y y x x 2 . 1 . 4 y y x x 2 . 1 . 4 2 y y x x 2 . 1 . 4 3 y y x x Cho hà ẳng định n ào sau đây đúng ( 1) 1 x x x x 2 2( 1) 1 x x x x ( 1) 1 x x x x ( 1) 1 x x x x 2 2( 1) 1 x x x x P 11 THPT A CĂN V Câu 1. o hàm hàm s giá tr dương. . x > 2 . x > 0 D. 0 < x < 2 Cho hàm s i bao nhiêu giá tr Tính đ o hàm c a hàm s 2 4 4 3 f x x x i khi đó đ o hàm c ( 4 8) nhiêu l Cho hàm s ng trình có bao nhiêu nghi m dương ? o hàm s f x x x , tính t ng bình ph a phương tr Cho hàm s f x x x giá tr f x x x a hàm s Cho hàm s 4 12 9 hương tr ương v Cho hàm s     . Tìm m phương t và phư ơng tr A. m = 4 B. m = 2 . m = 7 D. m = 6 Cho hàm s y x x m phương tr ba nghi cùng dương. 1 < m < 0 C. 1 < D. m < 3 ( 1) 2 f x x x x o hàm c a hàm s ( 2 2) u bao nhiêu l Tính đ o hàm c a hàm s 4 1 4 1 2 1 2 1 Tìm giá tr a hàm s C. 10, . 16,5 o hàm dương A. 0 < x < 2 . 0 < x < 1 C. x < 1 D. x < 0 ( 2 4) 0 A. x > 3 B. 2 < x < 4 . x > 1 D. 0 < x < 4 Cho hàm s ( ) ( 1)( 4) f x x x x i đó t a phương tr ( ) ( 2) g x f x Tìm giá tr     Cho hàm s f x x mx m     bao nhiêu s nguyên m th mãn |m| < 8 ó ba ng m phân bi ố nghi ương c ương tr nhiêu s Cho hàm s y x x x . Tìm s ố nghiệm d ương tr Cho hàm s 5 14 9 f x x x     p các giá tr Cho hàm s ào sau đây đúng 2 1 . 3 , tron là các s ố tự nhi ên khác 0. Cho hàm s ọn biểu thức M y y x x y x     Cho hàm s 4 1 4 1 Câu 28 Cho hàm s ọn khẳng định đúng. x y y xy    x y y y x y y xy x y y xy P 11 THPT P BÀI TOÁN Tính đ o hàm c a hàm s sin y cos x x 2sin2 2sin2 2cos2 2cos2 Tính đ 1 cos ại điểm x = 0. D. 1,5 Cho hàm s 2 3 .sin3 . Tìm s ố nghiệm ương tr 3 2 3 . cos3 Tính đ 4sin 5 tan 2 y x x x x 4cos 5 tan 2 cos 4cos 2 5tan 2 cos 4cos 5 tan 2 cos     2cos 5 tan 2 cos sin cos sin cos (sin cos ) x x x x yên. H ao nhiêu ư Cho hàm s .cos .sin .cos y ax x bx x x . Tính Cho hàm s .sin5 . Tính cos5 sin5 y p x q x ổng giá trị lớn nhất, giá tr ị nhỏ nhất của đạo h sinx osx Cho hàms . 2 ' sin . '' B x y y x x y     B. 1,5 Cho hàm sao cho . . '' ' cos x y x y k y x Cho hàm s . Khi đó ần nhất với B. 0,2 C. 0,5 D. 1,5 Cho hàm s 1 sinx ần nhất với sin cos sin 4cos a x b x sin 4cos p hai c a hàm s tanx cotx sinx osx     2tanx 2cotx sinx osx os sin tan2x cot2x osx sinx tan2x+cot2x- osx sinx 2tanx 2cotx sinx-cosx os sin Cho hàm s sin2x ọn đẳng thức đúng tan2x Cho hàm s . Tính giá tr ị biểu thức 16 16 8 y y y y        6cos4x 3sin cos sin 4cos (sinx 4 osx) ố nguy hiêu ư Cho hàm s sinx . Tìm h ệ thức đúng Cho hàm s 6sinx 8sin . Tìm giá tr ị lớn nhất của Cho các hàm s ( ) sin cos f x x x ( ) sin cos g x x x ểu thức f x g x ào sau đây có đ (sinx 4 osx) 3sin cos sin 4cos 3sin 4cos sin 4cos 3sin 5cos sin 4cos 2sin 3cos sin 4cos Cho hàm s os 2x sin4x ị lớn nhất ủa đạo h ần nhất với o hàm s os 4x sin 4x 3sin8x . Giá tr ị lớn nhấ ần nhất với A.25,3 B. 22,5 C. 28,4 D. 29,5 3cos 4sin . Giá tr ỏ nhất của ết rằng 2sinx 3 osx sinx 3 osx (sinx 3 osx) ào sau đây th ẳng thức xy y x y     sin cos cot sin 4 tan ' tan 1 ' 2tan 1 ' 3tan 1 ' 1 tan cot cot sin cot ận giá trị trong khoảng B. (0;1) ( ) 2sin 3 ; f x x cos x f . Khi đó Cho hàm s sin o sau đ ây đúng xy y xy xy y xy xy y xy xy y xy Cho hàm s ( ) sin cos 1 f x a x b x . Tìm a sin ệnh đề n ới đây đúng ' 2 '' 2 0 ' 2 '' 2 0 '' 2 ' 2 0 '' 2 ' 2 0 cos 2sin 3 2018 f x m x x x     có nghi sin cos sin 4cos a x b x sin 4cos ính gi P 11 THPT P BÀI TOÁ Cho hàm s ( ) cos 2sin 3 1 f x a x x x     ương tr có nghi Cho hàm s sin 2 cos 2 ực). Khi đó giá tr là bao nhiêu? Cho hàm s 3cos sinx 2 f x x x . Phương tr có nghi sin2 cos 1 y x x x     ổng các nghiệm tr ương tr Cho hàm s 2sin2 2 1. ập nghiệm củ ơng tr Cho hàm s , hàm s ( ) 4 sin . Tính giá tr ị biểu th tan tan sin cos sin cos sin 1 tan 1 tan 1 tan . 1 tan 1 tan . 1 tan 1 tan sin 3cos cos 3sin tan , , y a bx a b c     T a b c Cho các hàm s , 2 , . u x cosx f u u g x f u x     5 cos 2 5 cos 2 sin 5 cos 2 sin cos 2 sin Cho hàm s 3sin2 4cos2 10 y x x x ương tr x a k k     2cos2 sin2 D. 1,5 Cho hàm s ( 1)sin cos ( 2) 1 y m x m x m x       ại bao nhi ố nguy ương m ương tr có nghi 2 tan ức có dạng tan cos . Khi đó m ệnh đề n ào sau đâ Trong các hàm s ới đây, o có đ àm không ph ụ thuộc 3cos 4sin 5 f x x x x 6 6 2 2 sin cos 3sin .cos 2 f x x x x x x     1 sin 2cos     6 6 2 2 sin cos 2sin .cos 3 f x x x x x x     Cho các hàm s ( ) sin cos f x x x ( ) sin cos g x x x . Tính bi f x g x Cho hàm s cot . Khi đó, nghi ương tr Cho hàm s àm trên sin2 . g x x f x Cho hàm s à có đ àm trên 2 4 sin 2 , f x f x x x x     . Phương trình ti ếp tuyến của đồ thị ại điểm c ó hoành đ Cho hàm s cos y f x x là hàm 2cos 2 . Tính sin .tan cos sin cos sin Cho hàm s 2sin 3cos f x x x ệnh đề n o sau đây sa Tính đ tan(sin ) cos cos (sin ) cos cos (sin ) ' cos (1 tan(sin )) cos (sin ) Tính đ sin3 3 cos3 2 sin3 2sin3 cos3 2 sin3 2sin3 3 cos3 2 sin3 sin3 3 cos3 LOGARIT P BÀI TOÁ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 2 2 2024     o hàm là 2 .ln2 (2 1).2 .ln2 (2 1).2 à nghi ơng tr 9.3 .ln3 Tính đ o hàm c 40 ln40 log 2 1 ương tr ộc kho ào sau x x x x o hàm là 3 2 3 8 ln2 4.2 ln2     ác ngh ơng tr y e x x ác nghi ương tr f x x x ệm nguy ương tr ương tr o hàm c a hàm s ương tr ố nguy ác nghi ương tr 2 3 2 3 1 3 3 1 2 3 x x x x x x y e y e y e y e          .sin2 ương tr ương v ào sau tan2 2 tan ương tr ằm tron Cho hàm s log cos . Phương có bao nhiêu nghi ệm trong 0;2023 log 2 5 2 y x x m     ác nghi ương tr 2 ; 2 ; 2 2 y e x y e m y x x e        ao nhi ào sau y x x e (2 5 2) y x x e f x ye Cho hàm s m x n x f x e e . Tính (2 5 2) y x x e ủa tham s ương t y m x e ẳng th ại bao nhi ố nguy ương tr ln cot ó nghi Cho hàm s ệnh đề n ới đây đúng? Phương tr ln 4 4 f x x x x     có bao nh iêu nghi sin cos f x e x x ất, gi F x f x e ho hàm cos ln s ln y x x in x ẳng định n ào sau đây đúng? x y xy y     x y xy xy 2 2 5 0 x y xy y     x y xy y Tính đ log , 0 ln2019 ln2019 ln2019 2sin 3cos f x e x x ất, gi F x f x e f x x e ố nghi ương tr f x x x e Cho hàm s hương tr ó hai nghi . Tính LOGARIT P BÀI TOÁ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ào sau x y xy y x y xy y ẳng th ào sau ương tr ln(2 5 29) 0 ln 1 2 y ax bx c e theo c ác tham s y ax a b x b c e      y ax a b x b c e      y ax a b x c e     y ax a b x b c e      y ax bx c e y x x e f x x x . Nghi duy nh ương tr y x x e ương tr y x x e ax bx c e y ax a x b c e      sin ào sau cos 2 cos ax bx c 0 ; 1 0 ính gi Cho hàm s có hai nghi y e e x ương tr ln(2 5 9) 1 y ax bx c e y ax x b c e     ính gi sin ấp hai c 2 sin 2 cos cos 3 cos y ax bx c e y ax x b c e     y ax bx c e y ax ax b c e     M a b a     D. 2,5 . Nghi duy nh ương tr (3 2 2) y x x e ác nghi ương tr y ax bx c e ủa hai tham s ương tr ó nghi ằng 0. y ax bx c e ( 3 2 ) y x ax c e ất cả các g i tham s y ax bx c e y ax ax b c e     1 2 1 2 M x x x x à nghi ương tr f x x x ìm nghi duy nh ương tr f e f e ẳng th ào sau xy x y xy x y xy x y xy x y Cho hàm là tham s ố. Gọi ập hợp các giá trị nguy ên dương c trên kho . Tìm s ố phần tử của sin 2 8 2 sin 4 4 sin 2 8 sin 4 ào sau x y xy y x y xy y x y xy y x y xy y sin ẳng th ào sau P BÀI TOÁN ______ Cho hàm s (C). Ph ương tr ình ti a (C) t hoành đ a phươn g trình sin cos ờng th ào sau ồ thị h ếp tuyế ại đó c ệ số góc bé nhất ng các ti ếp tuy ủa đồ thị h ố. Khi Cho hàm s y ax bx c ng 1 v ( 1) 1 ( 1) 2 Phương tr ình ti y x x x     góc ti Cho hàm s y x x x     phương tr ình là song song v c hoành là ng cong Tìm giá tr y x x x     C. 1,4 ếp tuy ếp tuy ến song s ành, t ếp tuy ách tr ột kho Cho hàm s . Có bao nhiêu ti ắt trục ợt tại hai ều kiện 12sin 5cos ờng th ùng son ành, kho ách gi ữa hai ờng th ó bao nhi 2019;2019 y x x x     ếp tuy D. 2016 ếp tuy y x x mx     ủa tham s ằng 0. Cho hàm s hoành đ ương sao cho ti ến tại vuông góc v ờng thẳng . Tung ểm M b ếp tuy Cho hàm s      y x mx m x là tha ố. Hỏi có bao n hiêu giá tr ị nguy ủa m để ếp tuy ểm B tr ên (C) ếp tuy ủa (C) y ax bx cx d     ương tr hoành đ 1 và b ng 0 l . Tính a b c d Tìm tham s ờng thẳng ếp xúc với hoành đ ng trì ếp tuyế ủa đồ thị h C y x x ến đi qua điểm Cho hàm s f x x x ồ thị l ại hai t ại một điểm ắt trục tung tại khác g ốc tọa độ ột trong hai ti đi qua ồ thị l à parabol ủa parabol ại điểm có hoành đ . Tính di n tích ủa tam giác tạo bởi đ ờng thẳng à hai tr ục toạ độ? ồ thị l ếp tuy ắt trục ại điểm ắt trục ại điểm ếp tuy đi qua ào sau _______ P BÀI TOÁN ______ Phương tr ình ti : 2 6 3 C y x x góc nh     C y x x m có hoành đ ể tiếp tuyến tại song song ờng thẳng : 6 2017? ếp tuyến của đồ thị h y x mx m x      ều có hệ số góc d Cho hàm s ại hai ếp tuyến của đồ thị (C) biết ếp tuyến tạo với ọa độ lập thành m ột tam giác vuông c ột trong hai ếp tuy đi qua ào sau Cho hàm s ếp tuyến tại điểm có hoành đ ộ bằng song song v ờng thẳng có phương tr và cách ột khoảng o hàm s 4 2cos2 ồ thị l . Hoành đ ộ của các điểm tr ại đó ti ếp tuyến song song ho c hoành là ết rằng à các g ị thỏa m ếp tuyến của đồ thị h ại điểm song song v ờng thẳng :3 4 0 . Khi đ Cho hàm s ờng thẳn d y ax b ếp tuyến của đồ thị h ục tung lần l hai đi sao cho . Khi đó bao nhiêu giá t ị nguy ao cho ếp tuy ( ) 4 3 f x x mx x     Trên đ a hàm s sao cho ti i đó cù i các tr thành m m giác có di n tích b . Khi đó có tung Cho hàm s y ax bx cx d a      n nào c có hoàn n có h góc nh 3 3 2 5 3 ; 4 1; 8 y x y x x x y x x x         bao nhi ờng ph D. 0,5 Cho hàm s ờng thẳng d y x m    à tham s ố thực). G ệ số góc ếp tuyến tại giao điểm của . Khi đó Cho hàm s hương tr ình ti ếp tuyến của ết tiếp tu sao cho 3 2023 3 2024 Cho hàm s tam giác t n và hai tr ếp tuyến của đ ại điểm ắt các trục tọ Tính di ện tích tam giác sin3 cos sin cos3 y x x x x ới hai ờng th h, hai ờng th ách nh ột kho ều kiện của tham s ố thực 3 3 1 2 y x x m x      ó bao nhiêu t ến của đồ y f x x x     ếp tuyến tạo với ờng thẳng : 3 3 0 ồ thị h ếp tuyến của đồ thị tại ệ số góc c giá tr ương tr ình ti ếp tuyến của ồ thị h ếp tuyến đi qua đi Có bao nhiêu giá tr ủa tham số ếp tuy đi qua ếp tuy ( 2) 2 f x x x ằng 3. 11 THPT ấp một của h Cho hàm s ( 3)( 2 1) y x x x x      Tính a + b bi ( 1)( 2 1) (3 1)( 3) y ax x x x b x x          sin(sin ) cos .cos(sin ) sin .cos(sin ) cos .sin(sin ) cos .cos(sin ) ( ) ( 2)( 3) f x x x x ương tr ( 2 ) 0 Cho hàm s cot . Khi đó, nghi ệm của ph ương tr Cho hàm s àm trên sin2 . g x x f x Tính đ y f x x x ' 6 20 16 f x x x x ' 6 16 f x x x ' 6 20 4 f x x x x ' 6 20 16 f x x x x y x f x y x f x x f x y x f x x f x y x f x x f x y x f x x f x f x g x 1 1; 1 2 a hàm s sin 5 ( ) 2sin5 ( ) 5sin10 ( ) 10sin10 ( ) 5sin10 f x x xf x f x x xf x f x x xf x f x x xf x Cho các hàm s ( ) sin cos f x x x ( ) sin cos g x x x . Tính bi f x g x Cho hàm sin 2 cos 2 ực). Khi đó giá tr là bao nhiêu? Tính đ o hàm c a hàm s 1 tan 1 tan 1 tan . 1 tan 1 tan . 1 tan 1 tan Cho các hàm s , 2 , . u x cosx f u u g x f u x     5 cos 2 5 cos 2 sin 5 cos 2 sin cos 2 sin xf x f x xf x f x xf x f x xf x f x ' ( 2 ) (3 2) y x x x ' 2( 2 ) (3 2) y x x x ' 3( 2 ) (3 2) y x x x     ' 3( 2 ) (3 2) y x x x Tính đ ố sau: Cho hàm s . Có bao nhiêu s nguyên Tính đ ố sau: 1 . 2 1 4 1 . 2 1 Cho hà hàm trên f x x x g x f x Tính đ ố sau: 12 1 2 . 12 1 2 . 24 1 2 . 24 1 2 . sau đây có đ 2(2 1)( 2) ( 3 2) f x x x . Nghi duy nh ương tr Cho hàm s ọn biểu thức M y y x x y x     P 11 THPT Tính đ ố sau: 32 . 1 2 ào sau cos cos F x x x khi khai tri B. 320 C. 250 D. 240 ( 5 1) y x x x     o nhiêu s 27(3 2 5) Tính đ y f x x x ' 6 20 16 f x x x x ' 6 16 f x x x ' 6 20 4 f x x x x ' 6 20 16 f x x x x g x f x f x x x 2.(2 1)(4 1) 4.(2 1)(4 1) 2.( 1)(4 1) 2.( 2)(4 1) i bao nhiêu s ên x th ( 1) 0 Tính đ tan(sin ) cos cos (sin ) cos cos (sin ) ' cos (1 tan(sin )) cos (sin ) ( 1) 2 f x x x x o hàm c a hàm s ( 2 2) u bao nhiêu l sin sin sin sin sin sin cos Cho hàm s ẳng định n sau đây đúng? x x y y x x y y Tính đ sin3 3 cos3 2 sin3 2sin3 cos3 2 sin3 2sin3 3 cos3 2 sin3 sin3 3 cos3 10 28 16 . y x x x 10 14 16 . y x x x 10 16 . 7 6 16 . y x x x f x g x 1 1; 1 3 f x g x g x ẳng th ào sau f x g x g x g x f x g x g x g x f x g x g x g x g x f x g x g x g x ào sau y x x e ương tr 2 3 2 3 1 3 3 1 2 3 x x x x x x y e y e y e y e          (2 5 2) y x x e f x ye ẳng th Cho hàm s sin cos y f x x x . Khi đó 0 4ln3 ào sau đây đúng? bao nhi ố nguy ương tr ln cot ó nghi Phương tr ln 4 4 f x x x x     có bao nh iêu nghi ố nghi ương tr ìm nghi P 11 THPT __________ ẳng thức n ào sau đây đúng f x d d f x ( 1) x 1 f x d d f x f x d d f x x f x d d f x Cho hà hương tr ai nghi . Tính Tính giá tr ị gần đúng c C. 0,825 D. 0,765 x y xy à có đ Tính vi phân hàm s ẳng địn nào dư i đây là đúng ? sin ẳng th ào sau 2 2sin xy y xy x    2 2cos xy y xy x    2 2sin xy y xy x 2 2cos xy y xy x ho hàm s . Phương tr có nghi Tìm vi phân c sin2 sin cos2 3sin cos dy x x x dx 2cos2 3sin cos dy x x x dx 2cos2 sin cos dy x x x dx cos2 sin cos dy x x x dx ính gi x y xy y f x x 2 5 5 6 dy x f x x dx     2 5 5 6 dy x f x x dx     2 1 5 6 dy x f x x dx     2 2 5 5 6 dy x f x x dx     Cho hàm s tan . Vi phân c 2 cos cos 2 cos 2 cos ào sau x y xy y x y xy y cos ln s ln y x x in x ẳng định n ào sau đây đúng? x y xy y     x y xy xy 2 2 5 0 x y xy y     x y xy y Cho hàm s ( ) cos2 . Khi đó 2 cos2 2 cos2 Phép bi ến đổi n u đây đ ( ) 2 ( ). ( ) d f x f x f x d ( ) 2 ( ). ( ) d f x f x f x d ( ) 2 ( ) d f x f x d ( ) 2 ( ) d f x f x d ng hàm s à có đ àm. Tính vi phân hàm Cho hàm s ọn biểu thức M y y x x y x     Phép bi ến đổi n ào sau đây đún ( ) 2 ( ). ( ) d f x f x f x d    ( ) ( ). ( ) d f x f x f x d    ( ) 2 ( ). ( ). ( ) d f x f x f x f x d    ( ) ( ) x d f x f x dx f x d    àm. Tính v i phân Cho hàm s ọn khẳng định đúng. x y y xy     x y y y x y y xy x y y xy ng hàm s và có đ àm. Khi đó f d d f f d d f 2 1 2 2 f d d f x 2 1 2 2 f d d f x ng hàm s h và có đ àm. Khi đó 2 1 ( 1) ( 1) f x x d d f x x       2 1 ( 1) 2 ( 1) f x x d d f x x       2 2 1 ( 1) ( 1) f x x d d f x x       4 2 1 ( 1) ( 1) f x x d d f x x       sin cos y x x x cos sin dy x x x dx cos dy x x dx cos sin dy x x dx sin dy x x dx Không s ử dụng máy tính v ảng số, h ãy tìm giá tr ần đúng của B. 0,1 ẳng th ào sau ________ P 11 THPT P BÀI TOÁN cos sin tan tan cot cot f x x mx ương tr Tìm vi phân c tan sin5 5cos5 cos 5 dy x dx 5cos5 cos 5 dy x dx 5cos5 cos dy x dx 25sin4 cos5 cos dy x x dx tan cos cos cos cos ẳng th ào sau d xf x xf x f x dx d xf x xf x f x dx d xf x xf x f x dx d xf x f x xf x dx ẳng định n ào sau đây đúng tan x 1 x (tanx) tan x 1 x (2tanx) 3tan x 1 x (3tanx) 2tan x 1 x (2tanx) ẳng định n au đây đúng ng hàm s à có đ Tính vi hân hàm s x os x f c x d x os x f c x d 2sin2 x os x f c x d osx os x c f c x d ng hàm s à có đ Tính vi phân hàm s Cho hàm s ẳng định n ới đây đúng?    Phép bi ến đổi n ào sau đây đúng 3x 1 4 dv dx v x x       3x 1 1 dv dx v x x       3x 1 x dv d v x x x       3x 1 x 2 3 dv d v x x       ậc hai f x ax bx c 1 3; 1 2 ính vi ph cos 2 2sin4 dy xdx 2cos2 sin2 dy x xdx 2cos2 sin2 dy x xdx 4cos2 sin2 dy x xdx ị gần đúng của cos3015' B. 1442 C. 1390 D. 1350 3 2 4 2 3 2 4 5; 4 6 ; 9 4; y x x y x x x y x x y           bao nhi ấp hai l y f x x dy xf x x dx dy xf x x dx dy xf x x dx dy xf x x dx ax bx cx d . Tính     S a b c d f x x d ứng với h ào sau đây Cho hàm s . Vi phân hàm s inx osx x inx osx x cosx osx x inx osx x y x f x ó vi ph dy xf x x f x dx dy xf x x f x dx dy xf x xf x dx dy xf x x f x dx Phép bi ào sau đây đúng ( ) ( ) 3 ( ). ( ) d xf x f x xf x f x d ( ) ( ) ( ). ( ) d xf x f x xf x f x d 3 3 2 2 ( ) ( ) 3 ( ). ( ) d xf x f x x f x f x d ( ) ( ) ( ). ( ) d xf x f x xf x f x d sin(sin ) .Vi phân c d cos(sin ).sin d y x x x d sin(cos )d d cos(sin ).cos d y x x x d cos(sin )d nh vi ph a hàm s ứng với 1 sin ọn kết quả đúng cos 1 sin df x dx cos 2 1 sin df x dx cos 1 sin df x dx cos 2 1 sin df x dx ẳng th ào sau x y xy y x y xy y x y xy y x y xy y sin f x y y sin ẳng th ào sau P BÀI TOÁN NG CAO Cho hàm s sin cos 1 sin cos nào sau đây đúng Cho hàm s y f x x x     là hàm s Khi đó 1 2 3 ... 2017 x x x x     f x f x . Tính đ f x f x Cho hàm s khi   1 2 1     khi    1 ax bx x ã cho có Cho hàm s ục, nhận giá trị d ới mọi . Giá tr f x g x h x f m g m h m Cho hàm s y mx nx px qx r      , , , , m n p q r bên. T p nghi a phương A. 4 B. 2 sin2 2cos 3 2 y x x x     S các nghi ệm của phương tr trên đo f x e m . Tìm s ố thực d sao cho ' ' 1 1 f x f x ính gi F x G x 4 4 4; 0 0 1 F G F G     D. 2,5 1 2 ... 2021 y x x x x     ại điểm 0 2021! 0 2021 0 2021! Cho hàm s ào sau '' ' 3 xy y x y '' ' 3 xy y x y '' ' 4 xy y x y '' ' . xy y x y c trên f x xf x x x Cho hàm s f x x f x ới mọi . Giá tr àm trên 3 1 4 4 f x x x     ới mọi Cho đa th ( ) (1 2 ) a a x a x a x n N       . Tìm h ết rằng 2 13122 a a na n     liên t ục, nhận giá trị d ương trên f x f x x ới mọi ệnh đề n ào sau đây đúng? 2 3 2023 ln 1 2 ... 2022 , 0 f x x x x x x      cos ( )sin ( ) ( ) x f x x f x f x A.0,12 C. 0,25 D. 0,11 Cho hàm s àm trên f x x x     . Tìm giá tr P f x f x Cho hàm s àm trên x f x x f x     . Tính bao nhiêu giá tr ị nguy ên dương c ủa tham số y mx x     trên kho Cho hà o hàm trên 2 2 1 2 12 f x f x x . Tính giá tr 3 0 4 1 2012 A. 2019 C. 2340 D. 2017 P BÀI TOÁN NG CAO ất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm s ( ) 7 14 2 y f x mx x m       trên n ửa khoảng 1.2 2.3 ... ( 1) 90.2 C C n nC      Cho hàm o hàm trên 3 2 2 2 1 x f x x x     àm trên f x f x . Tìm giá t P f x f x x B. 4,5 Cho hàm s . Giá tr ị của biểu 0 3 6 ... 2022 P f f f f          Cho hàm s à có đ àm trên trình ti ến của đồ thị h ại điểm có ho ộ bằng Cho hàm s xf x x f x f x         ới mọi dương. Bi 2 2ln2 2 2 2ln2 2 2 ln2 1 2 ln2 1 Có bao nhiêu giá tr ị nguy ên âm c ủa tham số y x mx trên kho y f x y f x y Cho hàm s àm trên 4 2 2 2 3 2 1 1 4 8 18 12 f x f x x f x x x x         Tính đ ại điểm có ho D. 2,5 f x xf y mx nx px qx r      , , , , m n p q r . Hàm s . Tìm giá tr A. Smin = 2009 in = 20 D. Smin = 20 Có bao nhiêu gi ị nguy ên dương c tham s Cho hàm s và có đ àm liên t f x f x e x . Khi đó ào sau đây? 12;13 . 9;10 . 11;12 . là hàm s liên t f x f x x x     Cho hàm s . Có bao nhiêu đi ộc đồ thị sao cho ti ếp tuyến ại hai điểm phân bi 1 2 1 2 y y x x Cho hàm s .ln 4 2 . Tính t 1 2 3 2023 ' ' ' ... ' . 2024 2024 2024 2024 S f f f f                              .1011,5 B. 2023 C. 1010,5 Cho hàm s ax bx x ax b x Khi hàm s ãy tính ( '( )) ( ). ''( ) 2 , f x f x f x x x x R      (0) '(0) 1 . Tính Có bao nhiêu giá tr ị của tham số thực ể đồ thị h x mx m ắt trục ại hai điểm phân bi à các ti ếp tuyế ồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau. y x f x 1 2 1 2 1 1 T f f f f     min 156 min 200 min 120 min 180 Cho hàm s sin cos cos sin sin2 cos cos2 y a x x . Giá tr a a là s nguyên ng nào sau đây ? B. (3;5) C. (0;4) D. (5;9) P A P B P AB AO, BI N QUY T N QUY T AO, BI NG CAO C ÁC QUY T DUNG L GIAO, BI N QUY T GIAO, BI NG CAO C ÁC QUY T XÁC SU XUNG KH ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ả bóng xanh, 1 quả bóng trắn g, 1 qu ả bóng v àng; các bó kích thư như nhau. L ẫu nhi ên 2 qu óng liên ti ếp từ trong hộp. H ãy cho bi ết không gian mẫu XX TT VV ; ; ; ; ; ; ; ; XX XT XV TT TV TX VV VT VX ; ; ; ; ; XT XV TV TX VT VX ấm thẻ đ ợc đánh số từ ến 50. Lấy ngẫu nhi Trong cá ến cố s ến cố n ến cố chắc chắ ng hai th ng hai th chia h ng hai th ng hai th không vư ột hộp có ả bóng xanh, ả bóng v và 3 qu ắng. Lấy u nhiên 4 qu ả bóng. Trong các bi ến cố sau, ến cố n ào là bi không th Có đúng màu xanh Có 4 qu ào cùng màu Có ít nh ất 1 quả m àu xanh Có đúng 1 qu ối đồng chất 2 lần. Biến cố n ới đây l ến cố kh ông th ặt sấp. ặt khác nha ặt sấp xuất hiện 3 lần. ặt sấp xuất hiện 1 lần. Gieo m n liên ti là bao nhiêu? Gieo đ n hai l n đúng ieo ng u nhiên n thì không gian m a phép có bao nhiêu bi Danh sách ớp của bạn Nam đ ợc đánh số từ 1 ến 45. Nam có số thứ tự l ọn ngẫu nh ạn trong lớp để tr ật. Gọi b ến cố B: ”B ọn có số th ứ tự lớn h Nam”. Ch ề sai. ập hợp các kết quả chỉ số thứ tự của bạn đ ố thứ tự của Nam l 22;23;...;45 ó 23 b ạn có số th ự lớn h ết quả th ận lợi cho bi Có 20 b ạn có số thứ ự nhỏ h ứ tự của Nam Gieo m ột con súc xắc cân đối v ồng chất ần. Xét ố chấm xuấ ện trong 2 ần khác ập hợp các k ả thuận lợi cho biến cố 1,1 ; 2,2 1,1 ; 1,2 ; 1,3 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; 4,4 ; 5,5 ; 6,6 Gieo m ồng xu cân ồng chất h ần. Gọi ặt sấp xuất hi ện 2 l ịnh biến A SS SN NN A NN SN A SS SN NS hép th ử có không gian mẫu 1,3,5,7 Gieo con súc s ồng chất ần. Biến A là bi ố “Hai lần eo không xu ất hiện 6 ấm”. Xác định 1;2 , 1;6 1;6 , 2;6 , 3;6 , 4;6 , 5;6 , 6;6 , 6;1 , 6;2 , 6;3 , 6;4 , 2;2 , 5;6 , 6;3 2;2 , 5;6 , 3;3 n xu liên n. Tính s ố lần mặt ấp xuất hi ặt ngửa” ột con súc sắc cân đối v ồng chất 2 lần. Trong c ến cố sau, biến cố n o là bi ến cố chắc ổng số chấm của ha ần xuất hiện không âm ổng số ủa hai l ện không lớn h ần thứ nhất xuất hiện không nh ố chấm của lần ổng số ấm của ần xuất hiện l ột số chia hết cho Xét phép th ử tung con súc s c cân đ t hai l ần. Xác định số phần tử của hông gian m bìa ghi u nhiên nh nha ăng thu t bình bi xan u nhiên ra hai viên bi trong bình. Khôn g gian m u có bao D. 110 phép th ử tung co ặt hai lần. Bi ố chấm xuất hiện ở cả n tung gi ống nha ột nhóm họ c sin ạn nam v ạn nữ. Chọn ngẫu nhi ạn trong nhóm đó, ợi cho ủa hai b Trong m viên bi đá a hai bi. ai bi l a có tích hai s trên chúng là m hai bi l y ra c ích hai s ông gian m Gieo ng ẫu nhi n súc s ắc cân đối, ất 1 lần. Gọi ố “ số chấm xuất hiện tr con súc ắc bé h ủa biến cố ố chấm xuất hiện tr ên con súc s ắc lớn ố chấm xuất hiện tr on súc s ắc không p ố chấm xuất ên con súc s ắc không bé hơn 3. ố chấm xuất hiện tr ên con ắc lớn hơn ho ằng 4. trong h m 28 chi ác nhau g Xét bi út ra ghi s út ra ghi s chia cho 5 d nh nào s au đây đúng? Gieo đ ồng tiền hai lần. ợi cho h ện 1 l ất 1 l Xét phép th tung con súc s t hai l n tung ng 3, s đen. L u nhiên đ i hai qu a hai b hai qu ng gian m XÁC SU XUNG KH ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ là hai bi i nhau. Ch n câu đúng. P A P A P A P A P A P A P A P A ó 30 t ến 30. L ẫu nhi ên 1 t n chia h ết cho ọn chia h Cho phép th có không gian m 1,2,3,4,5,6 không đ nhau trong các c 2,3,4,5,6 p có 30 t c đánh s 30. Rút ng u nhiê n hai th “Tích hai s trên th thu đư ng 30” ích hai s Gieo m ấm thu ố chia h ết cho 3 chia h ết cho Gieo m ột đồng tiền v ột con súc sắc. Số phần tử của không gian m D. 24. p có 30 th c đánh s n 30. Rút ng u nhiên m , tìm s năng thu i trên th hính phương Gieo m ột đồng là bao ó 30 t ến 30. L ẫu nhi ên 1 t ết cho chia h ết cho Gieo m ột con s ố chia h ết cho 3 chia h ết cho ến 20. X chia h ết cho 3 ọn chia h ết cho 4 ẫu nhi ên hai con súc s ắc cân đối v ồng chất. ọi A l ến cố “ ần gieo kết quả nh ố khả năng thuận lợi c ến cố l Gieo m ột con ấm thu ết cho 3 ính ph Gieo m ột con ắc cân đ ất 2 lần. ố kết quả ận lợi của ặt hai l ặt hai l ần gieo ông nh Gieo m ột đồng tiền ếp 2 lần. ố phần tử của k ng gian m p có 30 th c đánh s n 30. Rút ng u nhiên hai th Tích hai s trên th t chính phương”. h hai s Gieo 2 con súc s ọi kết quả xảy ra l à tích s ố hai nút ở mặt tr ố phần tử củ không gian m C. 29. D. 39. Hai bi ồng khả năn g khi chúng có c ùng kh ảy ra trong một phép thử. Tr ờng hợp ào sau đây không có bi ến cố đồng khả năng A.Gieo m ột đồng xu B. Gieo m ột con xúc ắc 6 chấm .Gieo m ột con xúc xắc 3 chấm ọn 5 số từ cá ố từ 1 đến 1 Hai bi A, B đ ối lập khi nếu ảy ra A th ì không ảy ra B, xét hai biến cố k hi gieo m ột con xúc xắc 6 ấm, giả sử biến cố A: Xảy ra mặt số chẵ ấm, số khả năng th ận lợi cho biến cố đối ập của A l hép th ử gieo con ắc cân ất hai lần l iên ti ến cố “Lần đầu xuất ện mặt 6 chấm” v ần hai xuấ ện mặt 6 chấm”. ọn khẳng định sai trong các ẳng định sau? là hai bi ến cố độc lập. ến cố: Tổng số chấm tr ặt xuất ện của hai lần gieo bằ ến cố: Ít nhất một lầ ất hiện mặt là hai bi ến cố xung khắc. Gieo m ột con súc sắc ất hiện ả năng thuận lợi cho bi khi đó là Gieo hai con súc s hai bi ổng số chấm tr ên hai m ặt bằng ên hai m giao c ủa hai bi ố khả năng thuận lợ Gieo hai con súc s ên hai m ổng số chấm tr ên hai m ặt bằng ọi A l iao hai b ố khả nă ng thu ủa biế ột đồng tiền li là bao nhiêu? n chia h ết cho 3 ọn chia h ết cho Gieo m ột con s ấm thu ính ph Gieo m ột con s ấm thu ấm thu ính ph u nhiên hai con súc s t. Xét a hai con súc s a hai con chia h giao b XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ếu hai biến cố xung kh ì xác su ủa biến P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B là các bi ến cố bất k ẳng định n ào sau đây là đúng P A B P A P B P A B P A P B P AB     P A B P A P B P A B P A P B P AB     là hai bi ến cố xung khắc. Khẳng định n ào sau đây là sai P A B P A P B P A B P A P B P A B P A P B P AB     ieo ng u nhiên m n cân đ n. Xác su xung kh P A P B xác su ủa biến hai chi c giày n đôi giày c nhau. Xác su o thành m t đôi là hai qu đen. L u nhiên đ i hai qu Xác su hai qu ộp chứa ả cầu m ả cầu m àu xanh ấy ngẫu nhiên đ ả cầu. Xác ể lấy đ ả cầu m àu xanh b xung kh P A P B P A B t lá bà lá. Xá hay lá nhà xu ất bản phát h hai cu ốn sách kê cho th ời mua sách ời mua cả sách ọn ngẫu nhiên m ời mua. Tính xác ất để ng ời mua đó mua ít nhất một hai sách hai con súc s Xác su ất để tổng số chấ m hai m ặt bằng ọn ngẫu nhi ồng thời hai số từ ập hợp gồm 17 số nguy ên dương đ u tiên. Xác su ể chọn ợc hai ố lẻ bằn Gieo ng ẫu nhi ồng thời bố u. Tính xác xu ất để ít ất hai đồ ng xu l Gieo ng ẫu nhi n hai con súc ắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai con ắc bằng ột tổ có nam và ữ. Chọn ngẫu nhi ời. Tính xác suất sao cho ợc chọn không có n ọn ngẫu nhi ồng th ời hai số từ tập ợp gồm uyên d ương đ iên. Xác su ất để chọn ợc hai số chẵ ồng xu ba lần li ếp. Xác suất để lần gieo đầu t ặt sấp Trong h 5 viên bi đánh ọn ngẫu nhi ên 1 viên. Xác su ất để vi ên bi l ấy ra có chia h cho 3 là n 16, ch u nhiên 4 th . Tính xác su c đánh s ếc hộp. c đánh s n 4. L Tính xác su y ra đ chung m có 5 toa. ính xác su hai ngư t toa. ột hội nghị ó 15 nam và 6 n ữ. Chọn ngẫ u nhiên 3 ngư ào ban ức. Xác ể 3 ng ừ một hộp chứa 1 ả bóng gồm 5 đó và 7 qu xanh, l ấy ngẫu nhi ồng thời 3 quả. ất để lấy ợc 3 quả m xanh b ừ một hộp chứa ả bóng gồm anh, l ẫu nhi ồng thời ỏ bằng bóng g xanh, l u nhiên đ Xác su màu xanh b ừ một hộp ả bóng gồm àu xanh, l ấy ngẫu nhi ồng thời ất để lấy đ ỏ bằng XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ừ các chữ số 1, 2, 4, 6, ấy ngẫu nhi ột số. Xác ất để lấy ợc số lẻ bằng xung kh P A P B xác su ủa biến ung kh P A P B P A B Gieo hai c on súc s ắc cân đối, đồ ất. Xác s ên hai m ặt của hai con ắc bằng xung kh P A P B xác su ủa biến n súc s ồng chất, xác suất để mặt có số chấm ẵn xuất hiện l Gieo m ng xu câ p hai l n. Tính xác su n gieo đ ộp đựng 4 b àu xanh, bi màu vàng và ỏ. Chọn n ẫu nhi , tính xá àu xanh ho ên bi đ viên bi hai bi bi xanh Hai vi on súc s hai bi ổng số chấm tr ặt bằng 8 Gieo m ột con súc sắc cân đối v ất. Tính xác su hai bi m chia h ấm chia h ết cho 9 ột hộp chứa ợc đánh số từ ấy ngẫu nhi ẻ từ hộp ất thẻ lấy ợc ghi số lẻ v à chia h ết cho t bình ch a 6 viên bi, t rong đó c ó 2 bi xanh, 2 bi đ u nhiên 2 vi ên bi. Xác su 2 viên bi khác màu là Gieo m con súc s ắc cân đối v ất 2 lần. Tính xác suất để tổ ố chấm trong hai l gieo nh t thùng có 7 s m, trong đó có 4 s I và 3 s i II. L hiên 2 ùng lo ừ một hộp chứa b ả cầu trắ hai qu ả cầu đen lấy ngẫu nhi ên hai qu ố giao hai bi ả hai quả trắng ợc hai qu ọn ngẫu nhi ột số t rong 15 s ố nguy ên dương hai bi ột trong c ố 2, 4, 6 ọn ngẫ u nhiên ồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguy ên dương đ ợc hai 3, 5 v ợc hai s i tình nguy 0 và 7 h sinh i 11. Ch n ra ng Tính xác su a hai bi ựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đ ,3 viên bi xa h,2 viên bi vàng,1 viên bi tr nhiên 2 bi tính xác ất biến cố iên bi cùng mà ọn ngẫu nhi ố trong ố nguy ên dương đ iên. Xác su ố chẵn bằng ọn ngẫu nhi ồng thời hai số từ tập hợp gồm ố nguy ên dương đ ên. Xác su ất để chọ ợc hai số chẵn b ọn ngẫu nhi ồng thời hai số từ t ập hợp gồm 17 ố nguy ên dương đ ên. Xác su ất để chọn ợc hai số chẵ ọn ngẫu nhiên đ ồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguyên dương đ Xác su ất để chọn ợc hai số lẻ bằng ại biểu gồm ợc chọn ra từ một tổ gồm nam và tham d ự hội nghị. giao hai bi úng 2 ng ất 1 ng ừ một đội văn nghệ gồm 5 nam v ữ cần l t nhóm ồm 4 ng ời hát tốp ca. T ính xá trong 4 ngư XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ là 2 bi i nhau, 0,4; 0,3. P A P B Khi đó ộc lập với 0,4, 0,3 P A P B . Khi đó 0,58 . 0,12 . là 2 bi i nhau, 0,4; 0,2 P A P B Khi đó Cho hai ố độc l P A P B ộc lập với 0,4, 0,2 P A P AB . Khi đó D. 0,4 ởng sản xuất có máy, trong đó có m ột số máy hỏng. Gọi ến cố : “ Máy thứ 1,2, , ều tốt đều tốt " l A AA A ệnh nhân ị nhiễm khuẩn suy đa ạng. Biết rằng xác suấ ị biến chứng nặng của bệnh là 0,2 và c ủa bệnh nhân ,9. Kh ả năng bị bi ến chứng nặng của ệnh nhân l ập. Xác ến cố “Cả hai bệnh nhân đều ị biến ch ặng” l ị nhiễm y đa t ạng. Biết rằ g xác su ất bị biến ứng nặng của bệnh ủa bệnh nhân ,9. Kh năng b ị biến chứng nặng ệnh nhân l ập. Xác ến cố “Cả ha ệnh nhân đ ị biến chứng nặng” l ột xạ thủ lần l n hai viên đ ột bia. Xác suất đích c ạn thứ nhất v ết rằng ết quả ần bắn l ập với nhau. X ất của ố “Cả hai lần bắn đích” là là hai bi ến cố độc lập. Biết ( ) 0,2 ( ) 0,5 Xác su ất của biến cố ột xạ thủ lần l ợt bắn hai vi ột bia. Xác suất trúng ạn thứ là 0,8 và 0,7. Bi ết rằng ết quả ần bắn l ập với nhau. Xác suất của biến cố “Cả hai l ều không trúng đí ch” là ột xạ thủ lần l ợt bắn hai vi ột bia. Xác suất đích c ạn thứ t là 0, ần bắn l ập với nhau. Xác suất của biến cố “ ả hai lần bắn đích” là ột cầu thủ sút bóng v ầu môn hai lần, biết xác suất sút v ầu môn l Tính xác su sút bóng ần đều không v ầu môn? ầu thủ sút phạt đền. Mỗi ời đá 1 lần với x làm bàm tương là 0,8 và 0,7 . T ính xác có ít nh ất 1 cầu thủ l ào bia. Xác su ời thứ n ất bắn trúng bia l à 0,6 ; ngư ời thứ hai b ắn trú là 0,9 . Hãy ính xác su ất để cả hai ắn trúng. ả hai xạ thủ c Xác su ời thứ nhất bắn trúng bia l à 0,75 ; ngư ời thứ hai b ắn trúng bia là 0,9 . H ãy tính xác su ất để cả h ai ngư ùng không trúng; ột chiếc máy có hai động c ơ I và II ho ạt động độc lập với nh . Xác su ất để động c ạy tốt lần l à 0,95 và 0,8 . Hãy tính xác su ả hai động c ều chạy t Trong m t kì thi có thí sinh cùng d hi đó. Xác su Trong m ì thi có sinh đ ỗ. Hai bạn đó. Xác su ể chỉ có một bạn thi đỗ l 0,36 . 0,48 . ựng bi có 9 viên bi đư ợc đánh số , 9. L ấy ngẫu nhi ộp một iên bi. ết rằng ên bi m ố chẵn ở hộp I . Xác su ất để lấy đ hai viên bi mang ố chẵn Hai ngư ập nhau ném c nhau xác su ất ném bóng trúng ổ của từn . Xác su ất của biến ố cả hai ném bóng trúng v ột tổ trong lớp 11 có 4 học sinh nữ l à Hương, H ồng, La n, Phương và 6 h sinh nam là S ơn, Tùn , Nam, Ti ến. Trong giờ iáo viên ch ẫu nhi ột bạn học si ổ đó l ảng để tra bài. Tính xác su ể một bạn nữ có t ầu bằng chữ H đ ợc chọn l ảng trả b ếc ôtô với hai độ ng cơ đ ộc lập đang g ục trặc kĩ thuật. Xác suất để động c ặp trục trặc l Xác su ất để động cơ 2 g ặp trục trặc là 0,4 . Bi ết rằng x ỉ không thể ợc khi cả hai động c ng. Tính xác s ất để xe đi đ ột tấm bia, xác suất trúng đ và 0,7 Xác su ất để có đúng 2 ngư ời bắn trúng bia l 0,29 . 0,44 . 0,21 . 0,79 . phòng làm vi ệc có hai máy ạt động độc lập vớ i nhau, kh ả năng hoạt ộng tốt trong ng máy này tương . Xác su ất để có đúng một máy hoạt động không tốt tro ng ngày là 0,425 . 0,325 . 0,625 . Hai ngư ời độc ập nhau ném bóng v ổ. Mỗi ng ời ném v ổ của m ột quả bóng. ết rằng xác m bóng trúng vào r ổ của từ ng ngư ến cố: “Cả hai c ùng ném bóng trúng vào Khi đó, xác su ất của ến cố A l à bao nhiêu? ời gọi điện ất chữ số cu . Tính xác s ọi đúng số à không ph ải thử quá ủ sút bóng v ôn. Xác su ất sút th công c ủa cầu thủ đó l . Xác su ất để trong hai n sút, ầu thủ sút th ông ít nh ất một lần l ếc ôtô với hai ộc lập đang gặp trục trặc kĩ ất để động cơ 1 g ặp trục trặc l 0,5. Xá ất để động c ặp trục trặc l à 0,4. Bi ết rằng không th ợc khi c ả hai động c ỏng. Tí xác su ất để xe đi Gieo m t con x c cân đ ồng chất ần, tính xác suất để b ến cố có tích 2 l ần số c ấm khi ột số chẵn. Trong m ơi, ng eo cùng lúc a con súc s ắc cân ất; nếu đ ợc ít nhất hai con súc s ện mặt có số chấm lớn thì ng ắng. Tính xác suấ ể trong chơi, ngư ời đó thắng í XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ là hai bi i nhau. Bi ( ) 0,4 ( ) 0,6 . Tính xác su 0,24 . 0,01 . là hai bi i nhau. Bi ( ) 0,4 ( ) 0,6 . Tính xác su 0,24 . 0,36 . 0,16 . là hai bi i nhau. Bi ( ) 0,4 ( ) 0,6 . Tính xác su 0,24 . 0,36 . 0,16 . là hai bi i nhau. Bi ( ) 0,6 ( ) 0,3 . Tính xác su 0,18 . quen bi t nhau và h hai nơi khác nhau. Xác su môn Toán trong kì thi cu ng là 0,92 và 0,88 . T ính xác su không đ 0,8096 0,0096 0,3649 0,3597 cùng b n vào bia m t cách đ i nhau. Xác su n trúng bia c , xác s n trúng bia c . Tính xác su úng bia, x t bia. là hai bi ến cố độc lập. Biết P A P A B là hai bi ( ) 0,4; ( ) 0,5 P A P B ( ) 0,6 Tính xác su ( ) 0,5; ( ) 0,4 P A P B ( ) 0,2 h đúng trong các nh sau. Hai bi cùng x ( ) ( ) ( ) 0,9 P A B P A P B     Hai bi là hai bi Hai bi là 2 bi xung kh ( ). ( ) ( ) P A P B P AB là hai bi ( ) 0,4; ( ) 0,5 P A P B ( ) 0,6 Tính xác su Trong m n có 2 v ng viên i xác su t là 0,7 và 0,6 . Gi i thi đ p nhau. Tính xác su ng ít nh 0,26 . 0,38 . 0,88 . ựng 9 vi n bi xanh và 7 viên ỏ. Lần l ợt lấy ngẫu nhi ên ra 2 bi, m ần lấy 1 bi. Tính xác ể bi thứ 2 m àu xanh n ếu biết bi thứ nhất m ết rằng xác suất sinh con t rai tro ỗi lần sinh l Khi đó xác su ất sao cho tron g ba l ần sinh có ất một lần si nh con t rai (m ỗi lần sinh 1 con) l .0,882351 B. 0,923452 D. 0,234582 cùng b t viên đ n vào bi . Xác su n trúng bia c n súng c i nhau. trúng bia ột mục ti ột cách độc ập với nhau. Xác su ất bắn trúng m ủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba 0,6;0,7;0,8 . Xác su ất có ít nhất ột xạ thủ bắn trúng .0,976 B. 0,876 C. 0,74 D. 0,844 ệnh nhân ị nhiễm vi rút ết rằng xác suất bị ến chứng nặng của là 0,1 và c ủa bệnh nh là 0,2. Kh ả năng bị biến chứn ặng của hai bệnh nhân là ập. Xác ủa biến ố cả hai ệnh nhân đều bị b ến chứng nặng l B. 0,03 C. 0,04 ột chiếc máy có 2 động c ơ I và II ho ạt động độc lập ới nha u. Xác su ất để động c ơ I ch ạy tốt v ạy tốt lần l à 0,9 và . Tính xác su ất để có ất 1 động c B. 0,56 D. 0,72 Cho A, B à hai bi xung kh ( ) , ( ) P A P B . Tính t và Nam chơi c t ván c , xác su ng Nam là 0,3 và Nam th 0,4 . Hai ng chơi k hi có ngư ng, ngư thua. Tín h xác su ng chơi sau hai 0,12 . 0,21 . Cho hai bi i nhau. Bi ( ) 0,5 ( ) 0,15 . Tính xác su 0,15 . 0,45 . Hai kh u pháo cao x i nhau v c tiêu. Xác su n trúng m c tiêu l . Tính c tiêu b Cho hai bi i nhau. B ( ) 0,3 ( ) 0,6 . Tính xác su Trong m n có 2 ng viên i xác su t là 0,7 à 0,6 . Gi p nhau. Tính xác su hai tr 0,26 . 0,38 . 0,88 . nh truy m có xác su t lây b nh là 0,9 n p xúc v không đeo kh ; là 0,15 n nh mà có đeo kh u trang. Anh Hà ti p xúc v nh hai l đó có m n đeo kh u trang và m n không đeo kh u trang. Tính xác su t anh Hà b nh mà anh ti p xúc đ 0,135 . Trên m ng cáo, ngư i ta m c hai h ng bóng đèn m 2 bóng m ng II g m 2 bóng m c song song. Kh năng b i bóng đèn sau 6 gi p sáng c là 0,15 t tình tr bóng đèn là đ p. Tính xác su ng I b (không sáng). 0,0225 0,9775 0,2775 0,6215 c tiêu m t cách đ i nhau. Xác su n trúng c t là 0,6 ; 0,7 ; 0,8. Xác su có ít nh n trúng là 0,188 . 0,024 . 0,976 . 0,812 . bi xanh đư c đánh s n 4 . H ng 3 bi đ c đánh n 3 . L y ra ng u nhiên t t viên bi. G ng các s hi trên 2 bi là ích các s ghi trên 2 bi là s nh nào sau đây đúng? xung kh hông xung kh t 2 viên đ t bia. Xác su t trúng đíc a viên th t và viên th t là 0,8 và 0, i nhau. Tính xác su u trúng đích". 0,56 . XÁC SU ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ến 30. L ẫu nhi ên 1 t n chia h ết cho ọn chia h ết cho n chia h ết cho 3 ọn chia h ết cho 4 ố giao c n chia ết cho 3 ọn chia h ết cho 300 th ác nhau ghi ến 300. R ẫu nhi ên 1 th ính ph ẻ ghi s ác nhau ên 1 th ghi tr ghi tr ính ph ểu gồm ợc chọn ừ một tổ gồm nam và ữ để tham dự hội nghị. ó 2 ng , 3 ng ời nam ố giao n chia h ết cho 3 ọn chia h ết cho ố giao c n chia h ết cho 3 ọn chia h ết cho ố giao c ột hộp ồm 5 qu àu xanh và 6 ỏ. Chọn ngẫu nhi ồng thờ i 2 qu ầu từ h ộp đó. Hai qu ọn ra c Hai qu ọn ra c chia h ọn chia h ết cho ột xạ thủ bắn li ục 4 phát đạn bia. G là các bi ến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ 1,2,3,4 các bi ến cố “ Chỉ bắn trúng bia hai lần”. H ểu diễn các biến cố sau qua các b 1 2 3 4 A A A A , , , , 1,2,3,4      i j k m C A A A A i j k m và đôi ột khác , , , , 1,2,3,4      i j k m C A A A A i j k m và đôi m ột khác nhau. , , , , 1,2,3,4      i j k m C A A A A i j k m và đôi m ột khác nhau. , , , , 1,2,3,4      i j k m C A A A A i j k m nhau. Ch câu đúng. P A P A P A P A P A P A P A P A ởng sản xuất có máy, trong đó có m ột số máy hỏng. Gọi ến cố: “ Máy thứ ị hỏng”. 1,2,..., ều tốt” l A AA A A AA A A A AA A A A AA A ột phép thử có không gian m ột biến cố của phép thử đó. Phát biểu n ới đây khi và ch ắc chắn P A P A Xác su ất của biến cố ho hai bi P A P B P A B     . Ta k ết luậ n hai bi xung kh Xung kh ộc lập. là hai bi ến cố xung khắc. Đẳng thức n ào sau đây đún P A B P A P B P A B P A P B P A B P A P B P A B P A P B Cho bi ến cố đối ẳng đị nh nào sau đây là sai P A A P A P A là hai bi ến cố xung khắc. Mệnh đề n ới đây đúng? P A P B Hai bi không đ ồng thời xảy ra. Hai bi ồng thời xảy ra. P A P B ến cố. Biết P A P B P A B     ắc chắn. Không x Có xác su ột xạ thủ bắn li ục 4 phát là các bi ến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ 1,2,3,4 là các ến cố “Bắn trúng bia ít ột lần”. H ểu diễn các biến cố sau qua các bi 1 2 3 4 A A A A 1 2 3 4     B A A A A 1 2 3 4     B A A A A 1 2 3 4     B A A A A 1 2 3 4     B A A A A P A P A B là hai bi ến cố xung khắc, th ến cố xung k P A P A B . Tính ởng sản xuất có máy, trong đó có m ỏng. Gọi ến cố: “ Máy thứ ị hỏng”. 1,2,..., ều tốt” l A AA A A AA A A A AA A A A AA A XÁC SU ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ là hai bi ến cố xung kh ắc. Biế P A P B . Tính hai bi P A x P B x D. 0,5 ẫu nhi ên 1 t n chia h ết cho ọn chia h ết cho ến cố. Biết P A P B P A B x     ẫu nhi ên 1 t n chia h ọn chia h ết cho là hai bi xung kh tham gia thi úng, m ới nha úng bia ào sau .Hai bi ằng nhau B. Hai ối nhau .Hai bi D. Hai o hai bi P A P B P A B     ết luận hai biến Xung kh ộc lập. là hai bi ến cố độc lập 0,5, 0,2 P A P A B . Xác su là hai bi 2 ; 5 ; P A x P B x P A B x     ột phép thử có không gian m ột biến cố của phép thử đó. Phát bi ới đây ắc chắn P A P A Xác su ất của biến cố ột hộp đựng ấm thẻ đ ọn ngẫu nh ấm thẻ trong hộp. ổng các số ghi tr ấm thẻ đ ợc chọn l ột số lẻ 1500 1600 1900 2600 1700 1800 1800 1900 ố A, B ối nhau. T P A P B B. 0,2 ờng học có 25 giáo vi ên nam và 1 giáo viên n ữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Nh ọn ngẫu nhi ên 5 ngư ời trong số 40 giáo vi i công tác. ợc đúng một cặp vợ là hai bi ến cố độc lập P A P A B x theo x. P A B x P A B x P A B x ớp 11A8 tr ờng THPT có 25 h ọc sinh nam v à 20 h ọc sinh nữ. Chọn ngẫu nhi ồng thời ạn từ lớp n tham d ự cuộc họp ội chi ăng th ột con sú ặt 6 ch ện hai m à 6 ch ện hai m à 3 ch Gieo m ột con ắc cân ối đồng chấ ổng hai m à 6 ch à 2 ch ợi cho bi ội gồm 5 nam v ữ. Lập một nhóm gồm 4 ời hát tốp ca, ột hộp có 5 vi ên bi xanh, 6 viên và 7 viên bi vàng. Ch ẫu nhi viên bi trong h ố bi v g 5 bi ố bi v ợi cho bi ột hộp có 5 vi ên bi đ , 3 viên bi vàng và 4 v iên bi xanh. Ch ọn ngẫu nhi ừ hộp 4 vi ố bi v ó 1 bi 3 bi xanh ất thi ó bi xanh cho bi ột lớp có đoàn viên trong đó có nam và ữ. Chọn ngẫu nhi đoàn viên trong tham d ự hội trại ủa hai bi Trong 3 ạn nam đoàn viên đư ọn có cả n c sinh t rong đ n Đăng v Khoa, gi o viên ng, 5 t iên. T cho bi ủa hai bi n Đăng v Khoa không đ t trong t ăng kh ặt trong XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ là hai bi ến cố. Biết Có xác su ất bằng ắc chắn. Không x Có xác su ất bằng là hai bi ố xung khắc. . Tính Cho bi ẳng đị nh nào sau đây là sai P A A P A P A ớp 11A8 tr HPT X có 25 h inh nam và 20 h ọc sinh n ữ. Chọn ngẫu nhi ời hai bạn từ ể tham dự cuộc họp của tr ờng. Tính xác suất chọn đ ạn có c ùng gi ới tính để đi dự cuộc Gieo m ột con súc xắc cân đối v ồng chất ha ếp. Xác suất để ít nhất một lần ất hiện mặt sáu ch Gieo m ột đồng ti ền 5 lần cân đối ồng chất. Xác suất để đ ợc ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp ọn ngẫu nhi ột số có hai chữ số. Xác suất để số đ ợc chọn chia hết cho 11 ho ặc 15 l ọn ngẫu nhi ên hai s khác nhau t ố nguy ên dương đ ên. Xác su ất để chọn đ ợc hai số có ột số chẵn bằng ỗi bạn viết l ảng một số tự nhi ên thu . Xác su ất để ba số đ ợc viết ra có ột số khôn g chia h ết cho Trong đ t rét l a Hà N i, giáo viên A mu cái áo phao ể tặng học s inh, bi àng có áo phao , xanh, vàng , trong đó có áo màu áo màu áo màu vàng. Tính xác su giáo viên A mua đư o phao m sao cho m i có ít nh ờng THP ự định chọn một ịa điểm cho họ c sinh h ọc tập trải n ệm ở H ội hoặc Quảng ếu chọn H ì có 8 ểm, nếu chọn Quảng Ninh th ì có 5 ịa điểm. Hỏi tr ờng THPT đó có bao nhiêu cách đ ể chọn một đ ịa điểm học tập trải nghiệm cho học si Trong m ột lớp học gồm 15 học sinh nam v à 10 h ọc sinh nữ. Giáo vi ọi ngẫu nhi ên 4 h ọc sinh l Tính xác s ất để 4 học si ợc gọi đó ả nam v ột hộp đựng viên bi xanh, iên bi vàng. Ch ọn ngẫu nhi viên bi. Tính xác su ể chọn đ viên bi khác màu Theo th ch môn b ch môn b hai môn c sinh không th hai môn b ột chiếc ẻ đánh số từ 1 đến . Rút ng ẫu nhi ên hai th ẻ rồi nhâ n hai s ghi trên hai th ới nhau. Xét bi : “ Rút đư ợc một thẻ ợc ghi số ột thẻ ả hai thẻ rút a là th ẻ chẵn”. Tính 11A1 trư ờng THP T X, t ê cho th ọc sinh y êu thích môn Toán, ọc sinh yêu thích môn L ịch sử v ọc sinh y êu thích c ả hai môn Toán v ịch sử. Tính tỉ lệ học sinh ủa lớp 11A1 đó khô ng yêu thích c ả hai mô n Toán và L ịch sử Trong câu l ạc bô thể thao của tr ờng Đại Học A theo thống kê thì sin h viên thích chơi môn bóng đá, sinh viên thích chơi môn bóng chuy không thích c 2 môn bóng đá và bóng ền. Tính tỷ lệ sinh vi ên thích chơi c môn bóng đá và bóng chuy ọc gồm ọc sinh trong đó có ọc sinh giỏi toán, ọc sinh giỏi ọc sinh Toán l ọn ngẫu nhi ột học sinh. H ãy tính xác su ọc sinh ỏi Toán hoặc giỏi ột nhóm gồm ọc sinh nam v ọc sinh nữ. Chọn ngẫu nhi ồng thời ọc sinh tron nhóm đó. Xác su ất để trong ọc sinh đ ợc chọn luôn có học si ữ bằng ột nhóm gồm ọc sinh trong đó có sinh nam và ọc sinh nữ. Chọn ngẫu nhi ọc sinh ừ nhóm ọc sinh đi lao động. Tính xác su ọc sinh đ ất một học sinh nữ? ồng xu cân đối, đồng ất. Xác suất ợc ít nhất ồng xu lật sấp bằng Trên giá s ách có ển sách Toán, ển sách Vậ t Lí và ển sách ọc. Lấy ngẫu nhi ển sách. Tính xác suất sao cho ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán. ột hộp ợc đánh số từ . Rút ng ẫu nhi ên hai t à nhân hai s ên hai th ới nhau. Tính xác suất để ết quả thu đ ố chẵn. cùng b t viên đ n vào bia m t cách đ i nhau. n trúng bia . Tính xác su có ít nh không b n trúng bia. ộp đựng 15 vi ên bi, trong đó có 7 biên bi xanh và 8 viên bi đ ỏ. Lấy ngẫu nhi ên 3 viên bi (không k ứ tự) ra ỏi hộp. Tính xác su ất để trong 3 vi ên bi l ấy ra có ít nhất 1 vi ên màu đ ạn A có ẹo vị hoa quả v ẹo vị socola. A lấy ngẫu nhi ẹo cho v ộp để tặng cho em gá i. Tính xác su ẹo có cả vị hoa quả v ị socola. BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Gieo m ột con súc sắc ha ần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm l Gieo m ột con xúc xắc cân đối đồng chất 2 ần. Tính xác suất đ ể biến cố có tổng hai mặt bằng 8. Gieo m ột con xúc xắc cân đối đồng chất 2 ần, tính xác suất để biến cố có tích 2 l ần số chấm khi gieo ột số chẵn. Gieo ba c on súc s ắc. Xác suất để ố chấm xuất hiện tr ư nhau là? ột đội gồm 5 nam v ữ. Lập một nhóm gồm 4 ời hát tốp ca, tính trong 4 ngư ọn có ít nhất 3 nữ. ột hộp có 5 vi ên bi xanh, 6 viên bi đ n bi vàng. Ch hiên 5 viên bi trong h ộp, tính xác ất để 5 vi ên bi đư ợc chọn có đủ m àu và s ố bi đỏ bằng số bi v ột hộp có 5 v n bi đ ỏ, 3 v iên bi vàng và 4 viên bi xanh. Ch ọn ngẫu nhi ừ hộp 4 vi ị, tính xác suất ể 4 vi ên bi đư ợc chọn có số bi đỏ lớn h ố bi v àng và nh ất thiết phải có mặt bi xanh. Có 3 bó hoa. Bó th ứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. ọn ngẫu nhi ên 7 hoa t ừ ba bó hoa tr ể cắm v ọ hoa, tính xác su ất để trong 7 hoa đ ọn có số hoa ồng bằng s ố hoa ly. Có 13 h ọc sinh của một tr ờng THPT đạt danh hiệu học sinh ất sắc trongđó khối có 8 h ọc sinh nam ọc sinh nữ, khối 11 có 2 học sinh nam. Chọn ngẫu nhi ên 3 h ọc sinh bất kỳ để trao thư ởng, tính xác suất ể 3 học sinh đ ợc chọn có cả nam v ữ đồng thời c ả khối 11 v ối 12 . ột chiếc hộp đựng 7 vi ên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đ ỏ, 4 vi ên bi màu tr ắng. Chọn ẫu nhi ên ra 4 viên bi, tính xác su ất để l ợc ít nhất 2 vi cùng màu. ột hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhi ên 1 qu u trong h ộp, lần ấy ngẫu nhi ên 1 qu trong các qu ả cầu c ại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy đ ợc 2 quả ùng màu. ừ một đội văn nghệ gồ m 5 nam và 8 n ữ cần lập một nhóm gồm 4 ng ời hát tốp ca. Xác suất để trong ợc chọn đều l à nam b é có b ộ 6 thẻ chữ, tr ỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ ột thẻ chữ ột thẻ chữ ột thẻ chữ . Em bé đó x ếp ngẫu nhi ên 6 th ẻ đó th àng ngang. Tính xác su thành dã TNTHPT ột chiếc hộp chứa 9 quả c ầu gồm u xanh, 3 qu à 2 qu àu vàng. L ấy ngẫu nhi ả cầu từ hộp đó. Xác s ể trong 3 quả cầu l ó ít nh ất 1 quả m ỏ bằng Ban ch ỉ đạo ph òng ch ống dịch Co ế Nghệ n có 9 ời, trong ó đúng 4 bác s Chia ng u nhiên Ban đó thành ba t ổ, mỗi tổ ời để đi kiểm tra công tác ph ịch ở địa ph ỗi tổ, chọn ngẫu nhi ởng. Xác suất để ba tổ tr ởng đều l t công ty may m c có hai h ng máy ch ong song. Xác su ng máy th t là 9 máy th hai ho t là 80%. Công ty ch hoàn thành đơn hàng đúng h u ít nh trong hai h ng máy ho t. Xác su công ty hoàn thành đú ng chuy n VTV cup g ội tham gia, trong đó c ớc ngo ài và 3 đ ội Việt Nam. Ban ổ chức bốc cho thăm ẫu nhi ên và chia thành 3 b ảng đấu ỗi bảng 4 đội. Xác suất ể ba đội Việt ảng gần nhất với số n ếp ngẫu nhi ọc sinh , , , , A B C D E ãy 5 gh ế thẳng h àng (m ỗi bạn ngồi một ghế). Tính xác ất để hai b không ng ồi cạnh nhau. ột nhóm gồ m 10 h nh trong đó ọc sinh nam v sinh ữ. Chọn ngẫu nhi ên 3 h ọc sinh ừ nhóm 10 học sinh đó đi lao độn g. Tinh xác su ất để trong 3 học sinh đ ợc chọn có ít nhất 1 học sinh n ất cả bao nhi ố tự nhi ữ số đôi một khác nhau trong đó c ó đúng ữ số chẵn c sinh gi ng trung h thông chuyên b n tre g m có 8 h c sinh kh i 12, 6 h c sinh kh 11 và 5 h c sinh kh i 10. Ch u nhiên 8 h nh. Xá trong 8 c sinh đư n có đ ột hộp chứa 12 vi ên bi kích thư ư nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh đư ố từ 1 đến 5; có 4 vi ên bi màu đ ợc đánh số từ 1 đến 4 v à 3 viên bi màu vàng đư ợc đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhi 2 viên bi t ừ hộp, tính xác suất để 2 vi ên bi đư ấy vừa khác m ừa khác số. ột hộp chứa 3 vi ên bi xanh, 5 viên bi đ à 6 viên bi vàng. L ấy ngẫu nhi ên 6 viên bi t ừ hộp, tính xác ất để 6 vi ên bi đư ợc lấy ra có đủ cả ba Trong m ột hộp có 50 vi ên bi đư ợc đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhi ên 3 viên bi trong h ộp, tính xác ất để tổng ba ên 3 vi ên bi đư ột số chia hết c ập hợp 2;3;4;5;6;7;8 ập hợp các s nhiên có 4 ch ữ số đôi ột khác nhau ợc lập th ừ các chữ số của tập ọn ngẫu nhi ột số từ , tính xác su ất để số đ ợc chọn m trong m ỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số và hai ch ữ số lẻ. ập hợp các số tự nhi ên có 3 ch ữ số đôi một khác nhau đ ừ các chữ s 4; 6 . Ch ọn ngẫ u nhiên m ột số từ , tính xác xu ất để số đ ợc chọn chia hết cho 3 . Có 20 t ấm thẻ đ ố từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhi ên ra 8 t ấm thẻ, tính xác suất để có 3 tấm thẻ mang s ố lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Trong m ì thi có thí sinh đ . Hai b , B cùng d thi đó. Xá ất để chỉ có một bạn thi đỗ l ời bắn li ột mục ti êu khi v ạn trúng mục ti ì thôi (các hát súng ộc lập ết rằng xác suất trúng m ủa mỗi ần bắn nh ư nhau và b ằng 0,6 . Tính xác suất để bắn đến vi ứ 4 th ừng bắn 0,03842 0,03384 0,0384 ốn khẩu pháo cao xạ A,B,C,D cùng b ắn độc lập v ột mục ti êu. Bi xác su ất bắn trúng của các ẩu pháo t 1 2 4 5 2 3 5 7 P A P B P C P D     Tính xác su ất để mục ti ị bắn trúng. ạ thủ bắn mỗi ng ời một vi ào bia, bi ết xác suất bắn trúng v òng 10 c ủa xạ thủ thứ nhất l ,75 và c ủa xạ thủ thứ hai l à 0,85 . Tính xác ất để có ít nhất mộ t viên trúng vòng 10 ? 0,9625. 0,325 . 0,6375 . 0, 0375 . ả hai xạ thủ c ào bia. Xác su ời thứ nhất b ắn trúng bia l ời thứ hai bắn trúng bia là 0,75 . Hãy tính xác su ất để có ời bắn trúng. ộc lập với nhau c ổ súng bắn v êu. Bi ết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu c 0,7; 0,6; 0,5 . Tính xác su ất để có ít nhất một xạ thủ b ắn trúng. 0,45 . 0,21 . 0,75 . ộc lập với nhau c ổ súng bắn v êu. Bi ết rằng xác suất bắ tiêu c 0,7; 0,6; 0 1 ất để có ít nhất một xạ thủ ắn trúng ằng 0,916. Hai ngư ời ngang t ài ngang s ức tranh chức vô địc ủa cuộc thi cờ t ớng. Ng ành chi ời đầu ti ợc 5 ván cờ. Tại thời điểm ng ứ nhất đ ắng 4 ván và ngư ới thắng 2 ván, tính x ất để ng i chơi th ứ nhất gi ành chi ến thắng? ột chiếc máy có hai động c ơ I và II ho ộc lập với nhau. Xác ất để độn ạy tốt lần l à 0,95 và 0,8 . Hãy tính xác su ột chiếc máy có hai đ g cơ I và II ho ạt động đ ộc lập với nhau . Xác su ất để đ à 0,9 và xá ất động c ạy không tốt l à 0,2 . Hãy tính xác su ều không chạy tốt. ột chiếc máy có hai động c ơ I và II ho ộng độc lập với nhau. Xác suất ể động c ạy tốt lần l à 0,8 và 0,7 . Hãy tính xác su ất để c ó ít nh ột động c ạy tốt. ột chiếc máy có hai động c ơ I và II ho ạt động độc lập với nhau. X ạy tốt lần l à 0,8 và xác su ất để có ít nhất một động ủa x n ằm trong kho ào sau 0,1 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 0,6 0,8 ột cặp vợ chồng mong mu ốn sinh bằng đự ơc sinh con trai ( Sinh đư con trai r sinh n ữa, ch ưa sinh đư ẽ sinh nữa ). Xác su ất sinh đ ợc con tr trong m ần sinh là 0,49 . Tìm xác su ất sao cho cặp vợ chồng đó mo ốn sinh đ ợc con trai ở lần sinh thứ 2. 0,24239 0,2499 ất sinh con trai trong ỗi lần sinh l à 0,51 . T sao cho 3 l ần sinh có ít nhất 1 con trai Cho hai bi i nhau. Bi ( ) 0,45 ( ) 0,65 Tính xác su 0,45 . ựng 7 vi ên bi tr à 5 viên bi đen. L ợt lấy ngẫu n hiên ra 2 bi, m ỗi lần lấy 1 bi. Tính xác su ất để lấy đ ợc bi thứ 1 m à bi th àu đen ựng 7 vi ên bi tr đen. L ẫu nhi ên ra 2 bi, m xác su ất để lấy đ ợc bi thứ 1 m à bi th 2 màu đen Gieo m ột đồng tiền li ếp 3 lần. Tính xác su ất của biến cố :’'ít nh ất một lần xuất hiện mặt sấp" Gieo m ột đồng tiền cân đối v ồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp l ột con ắc 4 lần. T ìm xác su ất của biến cố ặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần". ập nhau ném bóng v ổ. Mỗi ng ời ném v ổ của m ột quả bóng. ằng xác suất ném bóng trúng v ưng, H ( ) , ( ) P A x P B y cùng ném bóng trúng vào r ả hai c óng tr Xác su ất bắn trúng mục ti ủa một vận động vi ên khi b ắn một vi à 0,6 . Ngư ời đó bắn hai vi t cách đ ập. Xác suất để một vi ên trúng m êu và m ên trư 0,45 . 0,48 . 0, 24 . Xác su ất bắn trúng mục ti ột vận động vi ên khi b ắn một vi (0 0,5) i viên đ ột cách độc lập. ất để một vi ên trúng m êu và m ợt mục ti ủa x khi Xác su n trúng m ủa một vận đ ộng vi ên khi b ắn một vi ắn hai vi ạn một cách độc lập. ất để một vi ên trúng m êu và m viên trư C. 0,6 D. 0,7 ình, D theo th cùng b ào 1 bia. Xác su ất để ng ứ nhất, thứ hai, thứ ba ắn trú đích l 0,8; 0,6; 0,5 . Xác su ất để có đúng 2 ng ời bắn trúng đích bằng: 0,54 . 0,46 . 0,96 . à, Nam, theo th cùng b ào 1 bia. Xác su ất để ng ứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn đích l 0,8; 0,6; 0,5 . Xác su ạn Ninh ắn trúng đích bằng: Có 2 bình, m ựng 6 vi ên bi tr viên bi đen. L ợt lấy ngẫu nhi ên ra 1 viên bi t ứ nhất và 1 viên bi t ình th 2. Tính ất để lấy đ ứ nhất m và viên bi Hai ngư ời độc lập nhau ném bóng ổ. Mỗi ời ném v ổ của m ột quả bóng. Bi ằng xác ng trúng vào r ổ của từng ng ến cố: cùng ném bóng trúng vào r ổ". Khi đó, xác su ất của biến cố A bao nhiê XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ hai lô hàng. Ngư ời ta lấy ngẫu nhi ừ mỗi lô h ột sản phẩm. ất để lấy đ ản phẩm chất l ợng tốt ở từng lô h . Tính xác su ất để trong hai ản phẩm đ ợc lấy có đúng m ột sản phẩm có chất l ợng tốt. ạ thủ m ời một vi ạn bắn v ào bia v ới xác suất bắn trúng c ời thứ nhất l ứ hai l . Tính xác su ất để có ít nhất 1 vi ạn bắn trú ng đích. à máy s ản xuất đ 4 lô hàng. Rút ng ẫu nhi ừ mỗi lô h àng 1 s ản phẩm, biết xác suất để sản ẩm rút ra ừ mỗi l ô hàng là s ản phẩm x ấu lần l 0,1; 0,25; 0,3; 0,5 . Tính xác su ất để trong 4 sản phẩm ất 1 sản phẩm tốt. ỗi hộp đựng viên bi xanh và viên bi đ ỏ. Lẫy ngẫu nhi ừ mỗi hộp viên bi. Tính xác su ất để trong n bi l viên bi xa cùng lo đánh s u nhiên 1 th ghi trên th n chia h t cho 3 " và trên th t cho 5 ". Ch ng trong các phát bi u sau đây: P A B P A P B P AB P A P B P A B P A P B P A B P A P B o sát nh ng ngư trên 60 tu i ta th ời mắc bệnh x ời mắc bệnh hu ết áp. Giả sử rằn ời có bệnh xương kh ớp không ảnh h ởng đến ệc có bị bệnh huyết áp hay khôn ặp ngẫu nhi ân trên a thành ph Tính xác h xương nh huy Trong m ột chiếc hộp ứa 19 tấm thẻ đ ến 19. Lấy ngẫu nhi lúc hai t ấm thẻ ừ trong ộp. Tính xác suất để tích hai số ghi trong hai tấm thẻ đ ợc lấy ra l ột số chẵn. Trong gi ỏ có c ứa 5 q ỏ, 6 quả cầ u màu xanh và 8 ả cầu m àu vàng. L ấy ra ngẫu nhi cùng lúc 3 qu ả cầu. Tính xác suất để 3 quả lấy ra cùng màu. ột hộp chứa 22 tấm ùng lo ố lần l ợt từ 1 đến 22. Chọn ra ngẫu n hiên 1 ẻ từ hộp. ến cố “Số ghi tr ợc chọn chia hết cho 2”, ghi trên t ợc chọn chi cho 3”. Tính x ất của biến cố Có hai h ộp đựng bi. ợc đánh số 1, 2,  , 9 ẫu nhi ỗi hộp một bi. Bi g xác s ể lấy đ i mang ố chẵn ở hộp II l . Xác su ất để lấy đ hai viên bi mang s ố chẵn l Có hai h ả cầu đỏ v ả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa xanh. L ấy từ mỗi hộp ra ẫu nhi ột quả cầu. ả cầu lấy ra cùng màu xanh. ộc lập với nhau c ổ súng bắn v êu. Bi ết rằng xác suất bắn trúng . Tính xác su ất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng. ột đề trắc nghiệm có ỏi gồm 20 câu mức độ nhận biết, 20 câu mức độ vận dụng v à 10 câu ức độ vận dụng cao. Xác suất để bạ n An làm h ết 20 câu mức độ n ận biết l ; 20 câu ức độ vận dụ 10 câu m ức độ vận dụng . Xác su ất để bạn An l ọn vẹn 50 câu l Túi I ch ứa 3 bi tr ắng, 7 b Túi II ch ứa 10 bi trắng, 6 bi ỏ, 9 bi xanh. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác su ất để lấy đ ợc hai vi ên cùng màu. Có hai h ộp. Hộp I đựng 4 gói qu à 6 gói quà màu xanh, h ựng 2 gói qu à màu đ gói quà màu xanh. Gieo m ột con súc sắc, nếu đ ợc mặt 6 chấm th ấy một gói qu ừ hộp I, nếu ợc mặt khác ấy một gói ừ hộp II. Tính xác ợc gói qu à màu đ ọn ngẫu nhi ọc sinh tr THPT X trong đ ội cổ độ ể đi t ực hiệ ệm vụ sao cho mỗi ều có 1 học sinh. Biết rằng ối lớp có 10 học sinh, trong ọc sinh nữ ều có 5 học sinh nữ. Tính xác suất để 3 học sinh đ ợc chọn có ít nhất 1 họ nh là nam. ột cửa h ồ ăn sáng có bán xôi v à bánh m ững ng àng cho th ời mua xôi, ời mua bánh mì; ời mua cả xôi v à bánh mì. Ch ọn ngẫu nhi àng. Tính xác su hông mua c ả xôi v à bánh mì xác su ất để ng ời đó không mua cả xôi v à bánh mì là ột máy có 5 đ ồm 3 động c trái và hai đ ơ bên cánh ải. Mỗi động c ánh ph ải có xác suất bị hỏng là 0,09 , m ỗi động c h trái có xác su ất bị hỏn g là 0,04 . Các đ ộng độc lập với nhau. Máy bay chỉ thực hiện đ bay an ếu có ít nhất hai Tìm xác su máy bay th ực hiện đ ến bay an to 0,981444 0,9999074656 Có 3 chi ếc hộp. Hộp ứa 3 bi đỏ, 5 b ỏ,2 bi v àng. H bi xanh. L ấy ngẫu nh ột hộp rồi lấy m ừ hộp đó. Xác suất để đ ợc một bi đỏ l ọn ngẫu nhi ữ số đ ợc lập từ ữ số từ không có ặc chữ số xác su ất của biến cố A.0,4562 B. 0,8252 D. 0,6544 ảo sát một nh à máy d ệt may, ng ời ta thấy có 80% công nhân thuận tay phải v 5% công nhân có ộ tuổi tr ên 35. Gi ả sử độ tuổi không ảnh h ặc điểm thuận tay n nhiên m ột công nhân ong nhà y. Tính xác su ất của biến cố c hân đó thu ận tay phải hoặc có độ tuổi tr A.0,45 B. 0,85 C. 0,65 . 0,75 ột cặp vợ chồng mong ốn sinh bằng đự ơc sinh con trai (Sinh đ ợc con trai rồi thì không si chưa sinh đư ẽ sinh nữa). Xác suất sinh đ c con trai trong m ột lần l ằng nha u và b . Tìm xác ất sao ch ng đó sinh đư ợc con tra ở lần sinh thứ 2. A.0,2484 0,3454 C. 0,5624 D. 0,8424 ọn ngẫu nhiên hai khác nhau t ố nguy ên dương đ ên. Xác su ể chọn đ ột số chẵn bằng bao nhi B. 0,24 C. 0,56 D. 0,72 ếc hộp: hộ p I có 4 bi đ à 5 bi xanh, ộp II có 3 bi đỏ v đen, h ộp III có 5 bi đỏ v ấy ngẫu nhi ên ra m ột hộp rồi lấy một vi ên bi t ừ hộp đó. ất để vi ên bi l ằm trong kho 0,1 0,2 0,2 0,4 0,4 0,6 0,6 0,8 ếp ngẫu nhi ên 23 b ạn học sinh, trong đó có đúng một bạn t ên là Ng a và đúng m ột bạn t ên là Th ái, vào a bàn tròn, bàn th ứ nhất 7 h ọc sinh, hai b àn còn l ọc sinh. Tính xác suất ể hai bạn Nga v ùng bàn. XÁC SU P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Trong đ ợt kiểm tra gi ì 2, b ề thi trắc nghiệm m ôn Toán. Đ ề thi gồm ỏi, mỗi câu phương án tr ả lời, trong đó ỉ có một ph ương án đúng; tr ả lời đúng mỗi câu đ ểm. Bạn An tr ời hết các c ắc chắn đúng câu còn l ại An chọn n iên. T ính xác su ất để điểm thi n Toán c ủa An không d Có ba h ộp đựng bi, hộp t ứ nhất đựng 10 bi xanh, ộp thứ hai ựng 10 bi v àng, h ộp thứ ba đựng 5 bi xanh và 5 bi vàng. Ngư ời ta chọn ngẫu nhi ộp, sau đó bố ẫu nhi 2 viên bi t p đó th ả 2 bi ỏi nếu tiếp tục bốc th êm 1 viên bi n ữa ở hộp đó ( hai bi đ ớc đó không đ ợc trả lại v ộp) th ất bốc đ c bi xanh b ằng bao nhi sút lu ân lưu i xác su t làm bàn tương t xác su t trong ba c hi bàn là và xác su xác su có đúng hai c ghi bàn. B. 0,245 D. 0,925 i ô vuông g ô vuông nh i ô vuôn có kích thư mét như h Con ki n di c , con k n di chuy ng con ki di chuy u nhiên v phía b c lên trên, con ki i chuy u nhiên v phía bên trái ho (theo c a các hình vuông). Hai con ki t phát cùng m m và c ó cùng v c di chuy n là 1 mét/ph út. Xác su hai con ki n không g nhau trên đư ng đi là ài nhau, cùng chơi m tranh ch c vô đ ch. Ngư c là ngư c 6 ván đ y nhiên vì lí do b kháng t i và khô Khi đó, ngư ng 5 ván, còn n hai ch ng 3 ván. V i phân chi như th nào cho h t /ngư ột hộp đ 12 bóng, trong đó có ỏng. Lấy ngẫu nhi 3 bóng. Tính xác su ể trong 3 bóng có ít nh ất 1 bóng hỏ ọn ngẫu nhi ồng thời hai số từ tập hợp gồm 19 số nguy n dương đ ên. Xác su ố chẵn bằ kê thành m àng ngang. X ếp ngẫu nhi ên 6 h ọc sinh, g ồm 3 học sinh lớp ọc sinh l và 1 h ọc sinh lớp à hàng gh ế đó, sao cho ỗi ghế có đúng một c sinh. Xác su ọc sinh lớp ỉ ngồi cạ ọc sinh Cho đa giác đ ều 12 đỉnh nội tiếp đ ờng tr òn tâm ọn ngẫu nhi ên 3 đ ỉnh của đa giác đó. Tí nh xác ất để 3 ợc chọn tạo th ột tam giác không có cạnh n ào là c ạnh của đa giác đ ã cho. ập hợp tất cả các ữ số đôi một khác nhau và các ữ số th 1;2;3;4;5;6;7 ọn ngẫu nh ột số th , xác su ất để số đó có hai ch ữ số li nhiên có t khác nhau. Ch u nhiên m , xác su đó có hai ch n cùng có cùng tính ch ập hợp ất cả c ố tự nhi ữ số đôi m ột khác nhau. Chọn ngẫu hiên m , xác su ất để số đó có hai chữ số tận c ùng khác tính ch ẵn lẻ bằn ầu thủ sút p ạt đền, mỗi ng ời đá một lần ới xác suất l àm bàn tương xác su ất để ít nhất một trong ba ầu thủ ghi b và xác su ất để cả b ầu thủ đều ghi b . Tính xác su ể có ít ầu thủ ghi bàn. ( ) 0,452 ( ) 0,788 ( ) 0,453 ( ) 0,789 ột đề thi trắc nghiệm gồm ập. Mỗi câu c phương i trong đó ch phương án đúng. M ỗi câu trả lời đúng đ ả lời sai đ ểm. Học sinh A làm bà cách ch ọn ngẫ u nhiên câu tr ỏi. Biết xác suất l àm đúng ủa học sinh A đ ạt giá trị ớn nhất, khi đó Trong ph ần thi khởi ộng của đ ỉnh Olym pia, m ỗi thí sinh phải trả l ời 10 câu hỏi, các c ều độc lập với nhau. Mỗi câu trả lời đúng đ ợc 10 điểm v ỗi câu ả lời s i 5 đi m. Tính xác su ọc sinh A tham dự cuộc thi đ ỉnh Olympia có số đi ểm ở phần thi khởi đ ộng lớn hơn ho ặc bằng 50. giá sách có 4 quy ển sách toán, 3 quy ển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhi ên 3 q ển sách. Tính xác su ất để 3 quyển ợc lấy ra ó ít nh ất một quyển l à toán. ột hộp đựng ợc đánh số từ ải rút ra ít nhất ất có ít ất một thẻ ố chia hết cho . Giá tr Ba ngư ào 1 b Xác su ất để ng ứ nhất, thứ hai,thứ ba bắn trún ; 0,5. Xác su ất để có đúng 2 ng ời bắn trúng đích bằng: nh A thi ết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa ph ủa lớp m ình. B ảng gồm ỗi nút ợc ghi một số từ và không có hai nút nào đư ợc ghi c ột số. Để mở ửa cần nhấn nút liên ti khác nhau sao cho nút theo th ố tăng v à có t ổng bằng ọc sinh ỉ nhớ đ ợc chi tiết ố tăng. Tính xác suấ ể B mở đ ợc cửa ph ọc đó biết r ếp cửa sẽ tự động khóa lại. ạch điện gồm 4 bóng đèn, xác ất hỏng của mỗi bó ng là 0 , 05. Tính xác su ất để khi cho d ện chạy qua mạch ện sáng (có ít nhất m bóng sáng). 0,99500625 0,99750625 0,99500635 0,99750635 XÁC SU P BÀI TOÁN ÁC QUY T ¯¯¯¯¯¯¯¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ẫu nhi ên 3 s nhiên t ừ tập hợp 1;2;3;...;2019 Tính xác su ể trong 3 số tự nhi ợc chọn k ông có 2 s ố tự nhi ên liên ti Hai ngư gang tài ngang s ức tranh chức vô địch ủa một cuộc ớng. Ng ến thắng là ngư ời đầu t iên th ợc năm v ại thời đ ứ nhất đ ván và ngư ới thắng ván, tính xác su ất để ng ứ nhất gi ành chi ến thắng. Trong d ết Trung thu một nhóm các em thi ên tham gia trò chơi “Ném v òng vào c ổ chai lấy ởng”. Mỗi em đ ợc ném 3 . Xác su ất ném v òng vào c ổ trai lần đầu l à 0,75. N ếu ném tr ần đầu th xác su m vào c ổ chai ần thứ hai l à 0,6. N ếu ném ợt cả h ần ném đầu ti ên thì xác su m vào c ổ chai ứ ba (lần cuối) l à 0,3. Ch ọn ngẫu nhi ột em trong nhóm ất để em đó ném v ào đúng c chai l B. 0,7 C. 0,65 D. 0,825 n bia. Bi ng xác su n trúng vòng tròn 10 là vòng trò n 9 là và vòng tròn 8 u trúng v òng k thì c k đi n ba phát súng m t cách đ u anh ta đ t ít nh t 28 đi m. Tính Xác su .0,0935 B. 0,0925 C. 0,8675 D. 0,8965 ập hợp tất cả ố tự nhi ốn chữ số đôi một au và các ch ữ số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7 ọn ngẫu nhi ột số thuộc xác su ất để số đó có hai ch ữ số li ứa tất c ả các s ố tự nhi ỉ gồm các chữ số nhiên t ố tự nhi ên. Xác su ất để chọn đ ợc số tự nhi ên chia ết cho Cho đa a đa gi u nhiên m ời ta sử ốn sách Toán, ọc (các ốn sách c ống nhau) để l ởng cho ọc sinh, c sinh đư ốn sách khác ại. Trong ọc sinh có nh. Xác s ất để hai bạn đó có gi ống nhau bằng. Trong m ặt phẳng tọa độ , cho hình vuông 10; 10 10; 10 ập hợp tất cả các điểm có tọa độ đều l ố nguy ằm trong h ình vuông (tính c ả các điểm nằm tr ên các c ạnh của h nh vuông) hiên m A x y S , khi đó xác su ể chọn đ ợc điểm    đa giác l ội tiếp đ ờng tr sao cho không có ba đư éo nào uy. Các c à các đư ờng chéo của đa g iác giao nhau thành các tam g iác. G ập hợp các tam giác như th ế. Lấy ẫu nhi ột tam giác trong tập ợc tam giác không có ào là đ ủa đa giác bằ ập hợp các số tự nhi ữ số đôi một khác nhau lập th ừ các số tự . Xác su ọn có tích các chữ s ố hoặc l chính phương, ho ố lẻ l ập hợp ; 1; 2; 3; 4; 5 ập hợp các số có 3 chữ số c nhau đư ợc lập th ữ số của tập ọn ngẫu nhi ột số từ ,tính xác su ất để số đ ọn có chữ số cuối gấp đ ữ số đầu. ập hợp tất cả ố tự nhi có 5 ch ố đôi một khác nhau. Chọn nhiên m , xác su ất để số đó có hai ch ố tận c ng có cùng tính ẵn lẻ bằng ọn ngẫu nhi ốn số tự nhi ên khác nhau t uyên dươn ên. Tí xác su ất để bốn số ợc chọn l thành m ột cấp số nhân có c ội nguy 1,2,3,4,5,6 ập hợp các tam giác có độ d ài ba c à các ph ọn ngẫu ần tử thuộc . Xác su ợc chọn l ột tam giác cân bằng. hiên m ừ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số đ ợc chọn có tổng các ữ số l ột đa giác đều 18 đỉnh nội tiếp trong một đ ờng tr ập hợp tấ ả các tam iác có các đ à các đ ỉnh của đ a giác Tính xác su ể chọn đ ợc một tam gi là tam giác cân nhưn g không ph ải tam giác 1,2,3,4,5,6 ập hợp các tam giác có độ d ài ba c à các ph ần tử của ọn ngẫu n . Xác su ất để phần ột tam giác c ọn ngẫ u nhiên b ốn số tự nhi ên khác nhau t ố nguy ên dương đ ên. Tính xác ất để bốn số ợc chọn thành m ấp số n hân có công b ội nguy ập các số tự nhiên có ữ số. Lấy một số bất k ủa tập h xác su ất để lấy đ chia h ết cho 1;2;...;19;20 m 20 s nhiên t n 20. L u nhiên ba ấy ngẫu nhi ố tự nhi ữ số. Xác suất để chọn đ ợc số tự nhi ên có d 1 2 3 4 5 aa a a a 1 2 3 4 5 a a a a a        XÁC SU P BÀI TOÁN ÁC QUY T ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ột đa giác đều 18 đỉnh nội ếp trong m ờng tr òn tâm ập hợp tất cả các ta m giác có các đ à các đ ỉnh củ giác trên. Tính xác su ể chọn đ ợc một tam giác từ tập là tam giác cân nhưng không ph ải tam giác đều. Có 6 h sinh g ọc sinh lớp A, 2 học sinh lớp B v ọc sinh lớp C xếp n ẫu nhi ên thành m ng ngang. Tính xác su nhóm b ọc sinh liền kề nhau trong h àng luôn c sinh c ả 3 lớ ẫu nhi ọc sinh trong m ọc sinh n sinh n sinh nh D. 0,927 Có hai dãy gh ế đối diện nhau, mỗi d ãy có ba gh ế. Xếp ngẫu nhi ọc sinh g ồm 3 nam 3 nữ hai dãy gh sao cho ế có đúng ột học sinh ngồ Xác su ất để mỗi học sinh nam đ ều ngồi đối diện với ột học sinh nữ bằng ếp ngẫu nhi ọc sinh lớp A, ọc sinh lớp B v sinh ớp C v tròn (m ọc sinh ngồi đúng m ột ghế). Tính x ất để học sinh l ớp C ngồi giữa ọc sinh lớp B ọc sinh ữ ngồi v ào hai hàng gh ế đối diện nhau tùy ý. Xác su ất để mỗi một em ồi đối diệ u nhiên ghi trên chia h cho 3 b đa giác có 30 đ ỉnh. Lấy t ùy ý 3 ỉnh của . Xác su ất để 3 đỉnh ợc tạo th tam giác tù ột hộp c ả cầu đ ợc đánh số theo thứ tự t ấy ngẫu nhi . Xác su ể tích các số ghi tr đó chia i A là t ất cả các số tự nhi ên có 8 ch ữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhi ố thuộc ất để số tự nh iên đư ợc chọn chia hết cho 25 bằng ưng, H ộc lập nhau ném bóng v ổ. Mỗi n ời ném v ổ của m ột quả bóng. ằng xác suất ném b óng trúng vào r ưng, H ( ) , ( ) P A x P B y cùng ném bóng trúng vào r ả hai c óng tr óng tr ng trung h thông B m Sơn có 23 l p, trong đó kh i 11 có 8 l chi đoàn, m i chi đoàn có m t em làm b hư. Các em bí thư đ i và r t năng đ p hành Đoàn trư u nhiên 9 em bí thư đi th i cán b đoàn gi xã. Tính xác su n có đ c kì thi h c sinh gi i, nhà trư c sinh tro em đó có s trong danh sách l p thành c ng. Các em ng u nhiên vào hai dãy bà nhau, m sinh. Tính xá hai em n nhau là b ộc lập với nhau c ổ súng bắn v êu. Bi ết rằng xác suất ắn trú 0,7; 0,6; 0,5; 0 1 ất để có ít nhất ột xạ thủ bắn trúng ằng 0,916. ội thanh ni ên tình nguy ện của một tr ờng THPT gồm 15 HS, tro đó có 4 HS kh ối 12, 5 HS khối 11 và 6 HS kh 10. Ch u nhiên 6 HS ực hiện nhiệm vụ Tính xác su 6 HS đư ợc chọn có đủ 3 khối. ộp chứa 12 ả cầu, trong đó có 8 quả m ỏ, 3 quả m àu xanh và 1 àu vàng, l nhiên 3 qu ả. Xác ất để lấy đ ả cầu có đúng hai m ả cầu gồm u xanh, ẫu nhi ồng thời hai ả. Xác suất để ợc hai quả có m àu khác nhau b ọn ngẫu nhi ột số từ tập hợp ố tự nhi ên thu ộc đoạ . Xác su ể chọn đ ợc số có ữ số h àng đơn v ị lớn h ữ số h àng ch ục bằng ếc ghế đ ê thành m hàng ngang. X ẫu nhi ọc sinh, gồm ọc sinh lớp ọc sinh lớp ọc sin ào hàng gh , sao cho m ỗi ghế có đúng một học sinh . Xác su ể học sinh lớp ạnh học sinh ởng sản xuất ực phẩm gồm 4 ế biến thực ph m, 3 k ĩ thuật vi ên và 13 công nhân. Đ ảm bảo sả ực phẩm chống dịch Covid 19, x ởng cần hia thành ản xuất theo th ời gian liên ti nhau sao cho ca I có 6 ngư à 2 ca còn l ại mỗi ca có 7 ng ời. Tính x ất sao cho ỗi ca có 1 kĩ thuật v ất một kĩ s ế biến thực phẩ ọi S l ập hợp tất cả các số tự nhi ên có 3 ữ số đ ợc lập từ tập X 0;1;2;3;4;5;6;7 . Rút ng hiên m ộc tập S. Tính xác su ất để rút đ ợc số m à trong s ố đó, chữ số đứng sau luôn lớn h ữ số đứng tr ọi S l ập tất ố tự nhi có ba ch ữ số đôi một khác nhau đ ợc lập từ các chữ số 0,1,2,3,4 ,5,6. Ch ẫu nhi ố từ tập S. Tính xác suất để số đ ợc chọn l ố chia hết cho 6. ÔNG TH ÔNG TH LOGARIT LOGARIT ƯƠNG TR ƯƠNG T ƯƠNG TR ƯƠNG T LOGARIT ÔNG TH ÔNG TH LOGARIT LOGARIT ƯƠNG TR ƯƠNG T ƯƠNG TR ƯƠNG T LOGARIT ƯƠNG TR ÌNH, B ƯƠNG T LOGARIT A THAM S Ũ, LOGARIT ÔNG TH P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ẳng định n ào sau đây đúng? m n m n m n m n ( ) ( ) . m n n m là các s ố thực bất k ẳng thức n ào sau đây     a b ab ẳng thức sai d ới đây. xy x y x y x y     Cho các s ố thực , , , , 0 a b m n a b ẳng đị nh nào sau đây là a b a b m n m n ố thực bất k ệnh đề n ào sau đây 10 100 c dương tùy ng tùy ểu thức M x x 1 x x 1 x x 1        ác nghi ương tr M 3x 1 ào sau x x : x (x > 0), ta . Ta có nguyên dương, bi c nào theo sau đây không b ào sau 2 2 2 2 x x x x 2.4 2.4 2.4 2.4 2 2.4 2.4 4 ẳng th ào sau 2 3 4 9 2.6 x x x x x     2 3 4 9 2.6 x x x x x     2 3 2.4 9 12 x x x x x     2 3 4 9 x x x x P x x x nào dư Cho bi ệnh đề n ào trong các m ệnh đề sau l à đúng? ệnh đề n ới đây đúng ệnh đề n ới đây đ 2 1 2 1 . Khi đó Cho bi ểu thức 5 1 2 5 . Rút g ợc kết quả: ểu thức ợc kết quả trong đó là phân ố tối giản. Khẳng định n ào sau đây đúng? P x x x nào dư đây đúng? ẳng th 4 3 16 9 12 x x x x x     4 3 16 9 x x x x 4 3 16 9 2.12 x x x x x     4 3 16 9 4.12 x x x x x     Ũ, LOGARIT ÔNG TH LOGARIT P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Trong các m ệnh đề sau, mệnh ào đúng? log log ới mọi số dương và ới mọi số dương và log log log b c bc dương và ới mọi s dương và là hai s ố thực d ương tùy .Tìm k ết luận đúng. ln ln ln a b a b ln a b ln a.ln b ln a ln b ln a b Cho hai s ới đây log 1 0 ới các số thực d ệnh đề n ới đây log log .log ab a b log log log ab a b log logb loga ới các số thực d ệnh đề n ới đây đúng? ln ln ln ab a b ln ln .ln ab a b ln ln ln ới các số thực d ệnh đề n ào sau đây đúng? log log .log ab a b log log log log log log ab a b ệnh đề n ới đây log log log log log b c b c là các s . Trong các m ệnh đề sau, mệnh đề n ệnh đề đúng? log log . log log 0 . log log .log . log ( ) ố thực d ương tùy ố thực d ương tùy ln(3a) ln(2a) ln(6 ) ới mọi số thực dương, ới mọi log 3log 2 ẳng định n ới đây đú ố thực d ương tùy ố thực d ương tùy ố thực d ương tùy log 100 là các s ố thực d ương tùy ố thực d ương tu log 100 là các s ố thực d ương tùy , khi đó ố thực d ì, giá tr , rút g ọn biểu thức log 40 log 40 20 log 2 log 40 10 log 2 log 40 2 log 2 1 log 40 2 log 2 1 a 0, a 1 a 0, a 1 ố thực d ương tùy 2 log . 2 log . ố thực d ương tùy ln 7 ln 3 . Tính là hai s ương th . Giá tr 3log 2log P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ào sau ập xác định của h ập xác định của h ào sau ập xác định của h ới đây đồng biến tr ập xác định của nó? ố đồng biến tr ập xác định của h Trong các hàm s sau, hàm s luôn đ n trên 2016 2 y (0,1) (2016) ồng bi giá tr và giá tr a hàm s max 4; min max 4; miny max 1 ; miny max 4; miny 1 p xác đ a hàm s sin p xác đ a hàm s \{ 1 } ục tung ục tung Đi qua (1 ;10) D 0; \ 2 1 ; \ 2 0; \ 2 1 ; \ 2 Tìm giá tr rên đo ận tung nh D c ới đây đồng biến tr ập xác định của nó? 4 ; 2 ; 6 ; y y x x y y      1 ; \ 2 0; \ 2 1 ; \ 2 Trong các hàm s ố sau, h ào luôn đ ồng biến tr 2016 2 y (0,1) (2016) à giao ục tun . Tung bao nhi ố nguy 6 ; ; ; 4 y y y y x      ó bao nhi n trên ồng bi p xác đ a hàm s ờng th ểm Q c 5 ; ( 2) ; ( 2 3) ; ; y y m y a a y x y         bao nhi ồng bi ục tung t ột kho ị tham s sao cho Ũ, LOGARIT LOGARIT P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 1. ập xác định của h ào sau logarit ờng th các giá tr hình b đi qua ào sau p xác đ a hàm s log 4 4 ó bao nhi ồng bi log 4 3     ;2 2 2 2;       2 2;1 3;2 2     ập xác định của h ; 0 3;     ố logarit n ào sau ịnh tr ằng 3 th ận tung ập xác định của h log 4 4 ập xác định của h ịnh của h ận tung Có bao ố nguy ên thu ộc tập xác định log 6 2 đi qua ập xác định của h ập xác định c log 30 bao nh ố nguy Trong các hàm s ố sau h ào ngh cong t rong hình v ên là đ ồ thị của h ới đây? log 3 4 log 5 11 đi qua ho hàm s ệnh đề n ới đây l ệnh đề trên t ập xác định. ã cho c ập xác định ồ thị h ã cho có m ột tiệm cận đứng l ục tung. ồ thị h ã cho khô ng có ti ệm cận ng ọn khẳng định các kh ẳng định sau: ịch biến tr ập xác định của nó. ồng biến ập xác định l ới đây đồng biến tr ên kho ệnh đề n ào trong các m ệnh đề ồng biến tr ồng biến tr ồng biến tr Ũ, LOGARIT ÌNH, B ƯƠNG TR P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ng trình ệm của ph ương tr ệm của ph Tìm ngh ệm của ph ương tr Phương tr có nghi Phương tr có nghi ệm của phương ệm của ph ương t ất cả các giá trị thực của ương tr có nghi ệm thực. p nghi ập nghiệm g trình Phương tr 5 log 128 bao nh iêu nghi p nghi ương tr ệm thực phân bi ệt của ph ương t p nghi ập nghiệm của ph ương tr 4 4 272 Phương tr ập nghiệm l ập nghiệm ương tr 4 7 16 7 4 49             ương tr 1 ; 2. 1 ; 2. 1 ; 2. Vô nghi ập nghiệm của bất ph ương tr ; 1 3;     i phương tr p nghi t phương tr p nghi p nghi t phương tr ; 5 2;     ; 2 5;     p nghi t phương tr ; 2 4;     ; 4 2;     ương tr         p nghi t phương tr Tìm nghi ệm của ph ương tr 7 4 3 2 3 1 log 2 3    25 15 3 là các giá tr ực thỏa m ẳng thức Cho bi 9 12 0 , tính giá t ị của biểu thức 8.9 19 ất cả các giá tr ị thực của tham số ng trình 3 2 3 0     có nghi Ũ, LOGARIT ÌNH, B ƯƠNG TR LOGARIT BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ệm của ph log 2 1 2 ệm của ph ương tr log 1 3 10; 10 Tìm nghi ệm của ph ương tr log 5 4 ập nghiệm của ph ương tr log ( 7) 2 { 15; 15} { 4;4} Tìm nghi ệm của phương t Phương tr log 3 2 3 có nghi ập nghi ệm của p hương tr log 3 1 ập nghi ệm của p hương tr log 3 1 ệm của ph ương tr log 1 1 log 4 1     ập nghiệm của ph ương tr log 2 2 1 { 2;4} hương tr log (2 1) 2 log ( 2). ố nghiệm thực của ph ương tr nh là: ập nghiệm của ph ương tr log 2 1 ập hợp các số thực ương tr có nghi ệm thực l ình ph ương các nghi ệm của ph ương tr log 5 7 0 ổng các ngh ệm của ph ương tr log log 3 1 ập nghiệm của ph ương tr log 3 1 3 2 2 3 2 2 ệm nhỏ nhất của ph ương tr log 3 5 1 ố nghiệm d ương c g trình ln 5 0 ồ thị nh ình bên. ờng thẳng ắt hai đồ thị tại các điểm có ho . Giá tr ập nghiệm ơng tr log 1 log 1 3     10; 10 ệm của ph ương tr log 1 1 log 3 1     ập nghiệm ương tr     log 2 1 log 1 1 t phương tr log 2 1 2 p nghi t phương tr log 2 3 log 1 p nghi t phương tr log 4 log 2 p nghi t phương tr log 2 1 2 ập nghiệm ủa bất ph ương tr log 1 log 2 1 ập nghiệm ủa bất ph ương tr log 1 3 ệm của BPT log 5log 6 0 ương tr có bao nhiêu nghi ệm nguy ập nghiệm của log 3 6 2 ập nghiệm của bất ph ương tr log 1 log 2 1     ệm của ph ương tr log 1 1 log 1     Ũ, LOGARIT ÔNG TH P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ào sau 2016 2017 ệnh đề sau, mệnh đề n ào SAI? 2018 2017 3 1 3 1 2017 2018 2 1 2 1 2019 2018                 Trong các sau, kh ẳng định n 2018 2017                 2017 2018 2 1 2 1 2018 2017 3 1 3 1 ập tất cả các giá trị của Cho hai s ố thực d . Rút g ọn biểu thức a b b a ta thu đ . Tích ợc kết quả trong đó ối giản. Khẳng định n ào sau đây đúng? ố thực d Đơn gi ản biểu thức là các s ố thực d a b ab P a b ab P ab a b Cho bi ểu thức 8 2 2 2 , trong đó là phân s ố tối giản. Gọi ào sau đâ 330;340 350;360 260;370 340;350 , giá tr ị của biểu thức 2 . . 1     T a b ab 36 49 2.42 100 ho hàm s giá tr 2017 1 2017 1 2017 1 1 2017 2 2 2 2 x x x x 2.4 2.4 2.4 2.4 2 2.4 2.4 4 Cho hàm . Tính giá t 2017 1. 2017 1. 2017 . 2017 1. ểu thức . Tích có giá tr 2 4 2 2 2 4 P x x y y x y     ố thực khá ất cả các số sao cho giá tr ị của biểu thức T a b b ẳng định n ào sau đây đún 2017 2018 ( 5 2) ( 5 2) 2018 2019 ( 5 2) ( 5 2) 2018 2019 ( 5 2) ( 5 2) 2018 2019 ( 5 2) ( 5 2) So sánh ba s 0,3 3,2 0, 2 , 0, 7 3,2 0,3 0,7 0, 2 3 0,3 3,2 0, 2 0,7 3 0,3 3,2 3 0, 2 0,7 0,3 3,2 0, 2 3 0,7 a a b b . Khi đó kh ẳng định n ào đúng? 0 1, 0 1     0 1, 1 1, 0 1 So sánh ba s 1001 2 1000 , 2 1 2 3 1000 1 2 3 ... 1000      là các s ố thực d ương. Rút g ọn biểu t ợc kết quả l ẳng th 3 . 3 . 3 3 x x x x 3 . 3 . 3 3 x x x x 3 . 3 . 3 3 x x x x 3 . 3 . 3 3 x x x x Ũ, LOGARIT ÔNG TH LOGARIT I TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ log log 5 . Khi đó giá tr ị của biểu thức log log .log 4 P a a b log 3.log 5.log 4 . Tính giá tr 2log log 3a log là các s ố thực d ương tu ỳ ý thoả m , giá tr 3log 6 log 3 log . log log 5 log log 7 . Tìm giá tr ị của biểu thức Cho hai s ố thực d ếu viết log 1 log log ( , ) x a y b x y     thì bi ểu thức có giá tr ng bao nhiêu log 490 là các s ố nguy Tính t T a b c là hai ưc dương th a b ab ẳng định n ào sau đây 2log 4 log log a b a b     a b a b 2log log log 2log 4 log log a b a b     là các s ố thực d ương tùy ọn mệnh ề đúng. . Khi đó Tính giá t ị biểu thức 10 2 2 log log log P a b b 0 1; 0 1     log 56, a b c R nào dư ới đây để có 3, 3, 1 3, 2, 1 1 , 2, 3 1 , 3, 2    1 2 3 98 99 log log log ... log log . 2 3 4 99 100       , , 0;    và  , 1 a b x a b b x log log Khi đó bi ểu thức a ab b có giá tr ị bằng: log 3, log 3. Hãy bi ểu diễn log 45 log 45 log 45 log 45 log 45 , khi đó log 48 , giá tr log 35 ếu biểu diễn log 45 a m nb Cho các s ố thực d . Tính log 3 , log 5 . Tính . Tính log 18 log 3, log 3 . Hãy bi ểu diễn log 45 log 45 log 45 log 45 log 45 ln 2 , ln 5 , hãy bi ểu diễn 1 2 3 98 99 ln ln ln ... ln ln 2 3 4 99 100       log 3; log 5 ểu diễn đúng củ log 12 Ũ, LOGARIT P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 4 2.2 3 Cho ba s ố thực d ồ thị các h y a y b y c ợc cho trong h nào dư i đây đúng? cos 1 sin ( ) 2 2 a bao nhiêu s nguyên các hàm s y a y b y c tung đ y a y b y c Cho hàm y a y b là hai s ố thực d ương khác 1, l ợt có đồ thị l hình bên. M ệnh đề n ới đây đúng 9 4.3 10 ẳng định n ào sau đây đ             a bao nh nguyên ể hiện đồ thị của ba trong b ) là đ ồ thị h a ba h y a y b y c ên. Kh o sau đây ờng th LOGARIT P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ập xác định của h 2 log 3 Trong hình d ới đây, điểm là trung đi ểm của đoạn thẳng ẳng định n ào sau đây là đúng? Cho các s ố thực sao cho 2018; 2019 ệnh đề n ới đây đúng? 1, 0 1 0 1, 1 0 1, 0 1     Trong các hàm s ố sau, h ào ngh ịch biế nhiêu gi nguyên thu log 6 2 ập xác ịnh của biểu ; 2 3;     log 9 6 1 p xác đ a hàm s các giá tr a tham ln 2 1 y x x m     p xác đ y x mx ịnh với mọi giá trị của ất cả các giá trị của ln 2 1 y x mx m      ịnh với mọi ất cả các ị thực của tham số log( 4 1) y x x m     ập xác định l Có bao nhiêu giá tr ị nguy ủa tham số 2018;  2018 ln 2 1 y x x m     ập xác định l ất cả các giá trị thực của tham số log 2 4 y x mx ất cả bao nhi êu giá tr ị nguy ên dương c ủa tham số ịnh tr ồ thị nh ình bên. ờng thẳng ắt hai đồ thị tại các điểm có ho ết rằng . Giá t Trong hình d ới đây, điểm là trung đi ểm của đoạn thẳng ào sau đây là đúng? hình v ên có đ ồ thị các h , , log y a y b y x . Hãy ch ọn mệnh đề đúng trong các ệnh đề sau đây? ố các giá trị nguy ủa tham số y mx m ịnh tr log 4 2 ập xác định l ập hợp tất cả các giá trị của tham số log 2 4 5 x x m m     ịnh với    (1 ;3) \ 2 1 ;3 \ 2 Ũ, LOGARIT ÌNH, B ƯƠNG TR P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Phương tr 6 5.6 1 0 có hai nghi . Khi đó t Phương tr có bao nhiêu nghi ệm âm? là nghi ệm của phương tr 2 3 2 3 4     . Khi đó ất cả các ngh ệm của ph 3 3 30 Phương tr 3.9 10.3 3 0 x x x x     ổng các nghiệm Tích các nghi ệm của phương tr 5 2 5 2 ập nghiệm ủa bất ph ương tr    ập nghiệm của bất ph 2; 1 2;     Tích các nghi a phương tr 3log 3 log 54 1 log 3 là hai nghi 2 .5 1. Khi đó t 2 log 2 2 log 2 2 log 2 2 log 5 Phương 27 .2 72 ột nghiệm viết d ới dạng là các s ố nguy dương. Tính t ập nghiệm c ủa bất phương tr 3 9.3 0 ; 1 2;     p các nghi uyên c t phương tr . Tìm s ương tr 125 25 ập nghiệm l ;   2 1 ;      p nghi t phương tr 2017 2017 2018 2018             ập nghiệm c ủa bất ph ương tr 5 2 5 2 ố nghiệm nguy ủa bất ph ương tr 10 3 10 3 ương tr 2 3 2 3 có bao nhiêu nghi ệm nguy o hàm s ẳng định n ào sau đây là 1 log 5 0 f x x x     1 log 5 0 f x x x     1 log 2 0 f x x x     1 ln 2 ln 5 0 f x x x     ệm của bất ph ương tr 5 126 5 25 0 . Tính giá tr ị của tích phương tr 6.4 13.6 6.9 0      ; 1 1 ; . ; 2 1 ; .      ; 1 1 ; .      ; 2 2; .      p nghi t phương tr ải bất ph ương tr 0;log 3 0;log 2 ủa bất ph ương tr 3 .5 1 log 3;0 log 3;0 log 5;0 log 5;0 ương tr ệnh đề n sau đây là     1 log 5 0 1 log 2 0 1 log 5 0 ương tr 0, 2 .2 tương đương v ương tr ình nà o sau đây ?     log 2 log 2 1 0     log 2 log 2 1 0     ập nghiệm của bất ph ương tr 0;ln10 ập nghiệm của bất ph ương tr 5.6 2.3 ; log 5 log 5;0 log 5; Cho hàm s ẳng định n ào sau đây là sai? 1 log 5 0 f x x x     1 log 5 0 f x x x     1 log 2 0 f x x x     1 ln 2 ln 5 0 f x x x      ập nghiệm của bất ph ương tr 3.9 10.3 3 0 Ũ, LOGARIT ÌNH, B ƯƠNG TR LOGARIT P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ập nghiệm hương tr log 1 log 1 1.     2 5; 2 5 ết rằng log sin log cos 2 log sin cos log 1 . Giá tr Câu 3. ập nghiệm ương tr log 2 2 log 2 5 Câu 4. Tích các nghi ệm của ph ương tr log log 4 ệm của ph ương tr log log log 3 ập nghiệm của log 1 log 2 1     ố phần tử của tập ố nghiệm thục của ph ương tr 3log 1 log 5 3     ổng các nghiệm của ph ương tr log 2 log 4 0     là các s nguyên). Giá tr ị của biểu t ố nghiệm của ph ương tr log 4 log 2 3 0     ổng giá trị tất cả các nghiệm của g trìn 3 9 27 81 log .log .log .log x x x x a phương tr log log log 3 ập nghiệm của ph ương tr log 1 log 2 1     ố phần ử của t ố nghiệm thục của phương tr 3log 1 log 5 3     các nghi ệm của ph ương tr log 2 log 4 0     là các s nguyên). Giá tr ị của biểu thức ổng tất cả các nghiệm th ực của ph ương tr log 4 1 log 8 log 4 x x x x     ập nghiệm ng trình 2 log 2 2 log 3 2     ổng các ph ần tử của ương tr 2 log log 3 2 ập nghiệm của bất ph ương tr log 2 log 9 ứa tập hợp nào sau đây? m nguyên c t phương tr log 9 23log 3 7 0 ệm nguy t phương tr log log 5 0 m nguyên hương tr log log 1 p nghi t phương tr log log 2 0 . Giá tr ổng các nghiệm của ph log log 9.log 3 ệm của ph ương tr log 1 log 2 1 2     Cho phương tr log 3 log 1 0. ương tr 2 nghi ệm, tính tích ủa hai ệm đó. ết rằng ph ương tr log x log i nghi ố nghiệm ương tr log 4 log 2 3 0     ết nghiệm lớn nhất của ph ương tr log log 2 1 1 là hai s ố nguy Tính t ổng tất cả các nghiệm thực a phương tr log 2 log 4 0     Cho 2 s log log 8 log log 9 . Giá tr ị biểu thức Ũ, LOGARIT ÌNH, B ƯƠNG TR , LOGARIT CH A THAM S P BÀI TOÁN ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ập hợp tất cả giá trị nguy ủa tham số cho phương tr 16 .4 5 45 0     có hai nghi ệm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu ph ần tử? Tìm giá tr ị thực của tham ương tr 9 2.3 0 có hai nghi ệm thực ập hợp các giá trị nguy ủa tham số sao cho phương tr 25 .5 7 7 0     hai nghi m phân bi có bao nhiêu ph ất cả các giá trị ng uyên c ủa tham số ao cho phương tr 4 .2 2 5 0     có hai ệm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu ph ần tử. Cho phương tr log log 6 1 log    là tham s ố thực). Có tất cả bao nhi êu giá tr ương tr có nghi Cho phương tr log log 5 1 log    là tham ố thực) ất cả bao nhi êu giá tr nguyên c ương tr ã cho c ó nghi ợp tất cả các giá trị nguy a tham s sao cho phươn g trình 9 .3 3 75 0     có hai nghi ệm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu ph ần tử? Cho phương tr là tham s ố thực). Giá trị của ương tr cho có hai nghi phân bi ộc khoảng n ào sau đây Cho phương tr .16 2 2 .4 3 0 1      ập hợp tất cả các giá trị d phương tr ã cho có hai nghi phân b Phương t 4 3.2 0 hai ng ệm thực . Giá tr ào sau đây? ới giá trị n ủa tham số ương tr . 2 2 3 0     có hai nghi Phương tr có hai nghi ất cả các giá tr ị của tha ương tr 2 2 1 2 4 2 4.4 2 2 6 6 3 3 0 x x x x x x           có hai nghi ệm thực phân biệt. 4 3 2 4 3 2     Cho phương tr log 2 2 log 2 0 x m x m      là tham ố thực). Tậ ợp tất cả các giá tr ương tr ã cho có hai nghi ệm phân biệt thuộc đoạn Cho hàm s 3log 2 3 1 log 1 3 0 x m x m x x m          ố các giá trị nguy phương tr ã cho có hai nghi ệm phân biệt ập tất cả các giá trị nguy ủa tham số ương tr log log 2 0     có nghi ệm. Tính tổng tất cả các phần tử của Cho phương tr log log 3 1 log    là tham ố thực). Có tất cả bao nhi êu giá tr nguyên c ủa tham số ương tr ã cho có nghi Cho phươ ng trình log 4log 4 1 log    ố thực). Có tất cả bao nhi êu giá tr nguyên c ương tr ã cho có nghi ất cả các giá trị ủa tham số thực m để ph ương tr 4 log log 0 có hai nghi phân bi ệt thuộc ương tr log log 3 có nghi ằng tập các giá tr ương tr 3 9 2 1 3 1 0       có hai ệm phân biệt l ột khoảng . Tính tích ất cả b ao nhiêu s nguyên ương tr 4 .2 2 2019 0     ó hai nghi ệm trái dấu? phương tr 4 15 2 1 4 15 6 0       ương tr ình có hai nghi phân bi . Ta có ộc khoảng n Phương tr 2 3 1 2 2 3 4 0       có 2 nghi ệm phân biệt . Khi đó ộc khoảng ất cả các giá trị của ương tr 9 2 .3 2 0     có hai nghi ệm phân biệt ết rằng là giá tr ị của t sao cho phương tr 9 2 2 1 3 3 4 1 0      có hai ệm thực 2 2 12 . Khi đó ộc khoảng n ào sau đây Có bao nhiêu giá tr ị nguy ủa tham số ương tr 16 2 1 4 3 8 0      có hai ệm trái dấu? Cho phương tr 9 2 2 1 3 3 4 1 0      có hai nghi 2 2 12 Giá tr ộc khoảng Có bao n hiêu giá t nguyên c ủa tham số 9 4.3 2 1 0 x x x x     có nghi , LOGARIT ÍCH PH ÍCH PH ÍCH PH ÍCH PH , LOGARIT ÍNH CH ÍCH PH ÍCH PH ÌNH PH ÍCH PH ÍNH TH ÍCH PH ÔNG TH ÍCH PH CAO NGUY ÀM THU NG CAO T ÍCH PH ÂN THU ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B ột nguy ên hàm c trên kho '( ) ( ), . F x f x x K    '( ) ( ), . f x F x x K '( ) ( ), . F x f x x K '( ) ( ), . f x F x x K    ọ nguy ên hàm c ( ) 3 1 Nguyên hàm c f x x x ọ tất cả nguy ên hàm c ọ tất cả các nguy ên hàm c Cho hàm s ẳng định n ới đây đúng? f x x x C f x x x x C f x x x C f x x x x C f x x x x x x C Tìm nguyên hàm c f x x x     F x x x C     F x x x C F x x C     F x x x C Nguyên hàm c f x x x ọ tất cả các ngu yên hàm c Tìm nguyên hàm c f x x C f x x C f x x C f x x C Tìm nguyên hàm c ln 5 2 ln 5 2 ln 5 2    5ln 5 2 Nguyên hàm f x x x các nguyên hàm a hàm s ( ) ln 1 F x x x C     ( ) ln 1 F x x x C     ( ) 3ln 1 F x x x C     ( ) +2ln 1 F x x x C ọ tất cả các nguy ên hàm c ( ) 2 5 ác nguy f x dx x x     4 ln 1 f x dx x x     2 2ln 1 f x dx x x x     2 2ln 1 f x dx x x     ột nguy . Tính 2 2 9 2 2 2 9 2 2 1 9 2 Nguyên hàm c f x x x Tìm nguyên hàm uyên hàm c ln 2 3 ln 2 3 ln 2 3 lg 2 3 Cho hàm s 2 5  khi  1 3 4  khi  1 à nguyên hàm c Giá tr Cho hàm s h trên , 0 1, 1 2 f x f f . Giá tr ị của biểu 2 ln15 3 ln15 4 ln15 Cho hà f x x x     là nguyê , khi đó _________ ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ Nguyên hàm c Tìm nguyên hà 2 1 2 1 . f x dx x x C     2 1 2 1 . f x dx x x C     f x dx x C    f x dx x C Cho hàm s . Trong các hàm s ới đây , hàm s ào là m ột nguy Nguyên hàm c (3 2) 3 2 (3 2) 3 2 (3 2) 3 2 ọ nguy ên hàm c 2 1 2 1     2 1 2 1 2 1 2 1 Nguyên hàm c d 3 1 3 1 f x x x x C     f x x x C f x x x C d 3 1 3 1 f x x x x C     Nguyên hàm c Nguyên hàm c 5ln x x C 5ln x x C 5ln x x C 5ln x x C Tìm nguyên hàm: x x dx x 2ln x x C x 2ln x x C x 2ln x x C x 2ln x x C Tìm nguyên hàm c a hàm s f x dx x C    f x dx x C    f x dx x C f x dx x C    Tìm nguyên hàm c a hàm s ( ) 5 3 5 3 5 3 f x dx x x C     5 3 5 3 f x dx x x    5 3 5 3 f x dx x x f x dx x C    Tìm nguyên hàm: x 4ln x C x 4ln x C x 4ln x C x 4ln x C Tìm nguyên hàm c a hàm s f x dx x C f x dx x x C     f x dx x x f x dx x x C     Tìm nguyên hàm c a hàm s ( ) 1 3 1 3 1 3 f x dx x x C     1 3 1 3 f x dx x x C     1 3 1 3 f x dx x x C     f x dx x C    Tìm nguyên hàm c x 9 x C p án khác 3( x 9 x ) x 9 x C Khi tính nguyên hà cách đ ợc nguy ên hàm nào? ọ nguy ên hàm c f x x x C f x x x C d 2 2 1 f x x x C 2 1 2 1 f x x C ết rằng tr 20 30 7 ột nguy ên hàm F x ax bx c x     là các s ố nguy ên). T S a b c guyên hàm c . Khi đó phương tr có nghi ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B ọ nguy ên hàm c cos 6 f x x x sin 3 sin 3 sin 6 sin Cho hàm s 4 cos ới đây đúng? sin f x dx x C 4 sin f x dx x x C 4 sin f x dx x x C 4 cos f x dx x x C Tìm nguyên hàm 2sin 2cos xdx x C 2sin 2cos xdx x C 2sin sin xdx x C 2sin sin2 xdx x C m nguyên hàm c cos3 3sin3 xdx x C cos3 sin3 xdx x C nguyên 3cos3 3cos3 ọ nguy ên hàm c 3 sin f x x x cos 6 cos cos 6 cos ọ nguy ên hàm c ( ) sinx cosx+C cosx+C cosx+C cosx+C ọ nguy ên hàm c ( ) cos cos cos sin sin Cho hàm s 1 sin ẳng định nào dư y đúng? cos f x dx x x C sin f x dx x x C cos f x dx x x C cos f x dx x C cos 2 i đây đ d tan2 f x x x x C d cot2 f x x x x C d tan2 f x x x x C d tan2 f x x x x C d cos f x x x C ẳng định n ới đây đúng? sin cos sin cos cot ột nguy ên hàm c ới đây tr ên kho sin cos cos sin Nguyên hàm c a hàm s sin cos sin cos F x x x x ột nguy ên hàm c ào trong các hàm s ố sau? sin f x x x cos f x x x sin f x x x cos f x x x sin2 d sin ọ nguy ên hàm c 3 sin f x x x d 3 cos f x x x x C d cos f x x x C d cos f x x x C d 3 cos f x x x C ọ các nguy ên hàm c cos sin sin sin sin ọ nguy ên hàm c sin ln cos cos ln cos ln cos Nguyên hàm c a hàm s tan cot f x x x 2tan 2cot tan cot tan cot 2 x x x C     tan cot 2 x x x C Tìm nguyên hàm cos sin cos    cos sin F x x x C cos sin F x x x C cot tan F x x x C    cot tan F x x x C Nguyên hàm cos sin . sin . cos . cos . Cho hà cos sin ẳng đị nh nào dư ới đây l à đúng?     d sin ln cot f x x x x x C     d sin ln cot f x x x x x C     d sin ln cot f x x x x x C      d sin ln cot f x x x x x C Nguyên hàm c a hàm s 3cos 4sin f x x x 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos Nguyên hàm c a hàm s sin 2cos 3cot 2cos 3tan 2cos 3cot 2cos 3cot Nguyên hàm c a hàm s cos sin sin cos cos sin cos sin cos ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B ọ nguy ên hàm c là hàm s ào sau đây? Nguyên hàm c ọ nguy ên hàm c                 Nguyên a hàm s 2 ln2.2 ọ nguy ên hàm c f x e x o trong c sau đây l t nguyên h F x e dx , trong đó ằng số v F x e x C F x ex C Nguyên hà Cho hàm s f x x x C f x x x C f x x x C f x x x C ọ nguy x C C R     x C C R             Tìm nguyên hàm c d 2017 f x x e C d 2017 f x x e C d 2017 f x x e C d 2017 f x x e C ọ nguy ên hàm c cos 2 tan 2 tan cos cos Cho hàm s f x e x ẳng định n ới đây đún f x x e x C f x x e C f x x e x C f x x e x C Cho hàm s ẳng định n ới đây đúng? f x x x C f x x x C f x x x C f x x x C x F x C nh nào dư guyên hàm c ào trong các hàm s ố sau: f x xe f x x e Cho hàm s f x x e . Tìm m ột nguy ên hàm 0 2024 F x x e F x x e F x x e F x x e f x x e là nguyên hàm c 0 2024 yên hàm f x x C f x x C d 2 ln2 f x x C f x x C là nguyên hàm c ào trong các hà ố sau: f x xe f x x e ất cả các nguy ên hàm c ột nguy ên hàm c f x e x F x e x F x e x F x e x F x e x ÍCH PH ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ ích ph ích ph Tích phân có giá tr Tích phân có giá tr Cho m là tham s ích phân ( )d 0 , khi đó có giá tr ích ph x x a b . Khi đó ằng bao nhi ích ph ln2 ln3 , , a b c a b c ính gi ất cả các giá trị của 2 6 d 0 I mx x là tham s ố thực). T t nguyên h 4ln2 1 2ln3 2 ích ph ích ph ln2 ln5 ln11 là các s ố hữu tỉ. Khi đó ích phân I x a b rong đó là các s ố nguy n. Tín h giá tr ị của biểu thức ln2 ln3 ln5 dx a b c ới a, b , c là các s uyên. Giá tr là các s ố nguy là các s ố nguy ên. Tính Tính tích phân I x a b c Tính t S a b c d ln , x a b c , , , 9. a b c c Tính t S a b c .ln2 .ln3 dx a b c ố hữu tỷ. Giá trị d ln2 ln5 ln6 x a b c . Tính S a b c . Tính d ln2 ln3 x a b c là các s ố hữu tỉ, tính giá trị của S a b c x x x a là các s ố nguy ên dương và là phân s ố tối giản. P a b c d ln2 ln3 là các s ố hữu tỷ. ÍCH PH ÍCH PH BÀI TOÁN CƠ B nguyên đ Không có giá tr giá tr a b a a b     . Tính Cho tích phân ệnh đề n 8 1 cos2 d 16 sin d 8 1 cos2 d 16 cos d dx ln3 ln5 ( , , ) a b c Q . Giá tr a b c d là các s ố nguy ên dương và Giá tr a b c d Cho bi ột phân số tối giản. Tín ết rằng ln2 ln3 ln5 3 5 3 1 7 là các s ố hữu tỉ. Giá trị của dx a b là các s ố hữu tỷ. Tính ln2 ln3 dx b c là các s ố nguy Giá tr d ln2 ln I x b c d     a b c d là các uyên và là phân s ố tối g ản. Giá a b c d ích ph                 Giá tr ị của tích phân tích phân nào dư ới đây? 2sin dy sin cos sin cosy 2sin dy d ln5 ln2 là các s ố nguy à phân s ối giản. Tính P a b c Cho tích phân 25 5 6 12 6 ln ln2 5 6 12 dx a b c d     a b c d là các s ố hữu tỉ. Tính tổng a b c d Cho tích phân ếu đổi biến số 2sin , ; thì ta x a b c là các s ố nguy . Tính P a b c yên dương khác , hãy tính tích phân I x x x nguyên. Khi đó giá tr Cho hàm s , 6; 6     . Khi đó d 2 35 x a b c là các s ố hữu tỷ, P a b c     x x x x là các s ố nguy ên dương. Tính P a b c 2 1d 5 ln2 ln , , 2 3 2 1 3 a b c a b c     . Tính T a b c ÍCH PH ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B nh và liên t c trên sin d 10 f x x x . Tính I f x x 3tan 3 xdx a b . Khi đ P a b c 2cot 5 3 x dx b c     . Khi đó giá tr P a b c sin cos là phân s ố tối giản. Khi đó giá P a b c 1 cos2 1 cos2 ( ) 2cos 3, f x x x     khi đó f x dx Cho hàm s cos cos 2 , f x x x R cos 4 sin 5sin 6 . Giá t h phân sin d ln5 ln2 cos 2 ệnh đề n ới đây 1 sin là các s ố nguy ùng nhau. Giá tr ị của tổng Cho tích phân s sin d ln5 ln2 cos 2 ệnh đề nào dư ới đây đúng? sin 4 cos 5cos 6 là các s ố hữu tỉ, . Tính t S a b c ích phân sin3 .sin d I x x x nh tích phân cos .sin d Cho bi 4 sin d x x a b là các s nguyên. Giá tr ị của biểu thức cos4 cos d là các s ố nguy ối giản. Tổng sin .cos cos sin 1 cos x x x x b . Trong đó z z i i     là các s nguyên dương, phân s n. Tính T a b c ết tích phân sin5 sin2 d . Tính Cho hàm s 2sin 3 đó giá tr I f x x 2sin 3cos x x x dx     . Khi đó giá tr P a b c ______ ÍCH PH ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B 3 .7 .d , trong đó ố nguy ố. Khi đó 3 .4 .d Khi đó . Giá tr I e x x . Khi đó I e x m x là tham s ố thực). ích phân cos sin d Cho hàm s ịnh tr ết rằng f x f x x ae b . Giá tr ị của biểu thức 2025 2025 Cho hàm s e m khix x x khix liên t f x x ae b c Cho tích ph 3 d ln3 ới a,b l à các s ố nguy ên dương. Tính Cho tích phân xe x e n là các s ố nguy ên dương. T Tích phân . Khi đó bao nhi Tích phân khi đó là các s ố hữu tỉ. Tính o tích phân ếu đặt ln3 ln2 I dx a b     ẳng định n ào sau đâu đúng. ln 9 d ln5 ln3 I x x x a b c      trong đó là các s ố thực. Giá trị của biểu thức T a b c ết quả dạng ẳng định n ào sau đây đúng?    là các s ố nguy n dương, bi là các phân s ản. Tính giá trị a b c d 2 e .2 1 1 e e.2 eln e là các s ố nguy ên dương. Tính t S m n p 3 1 ln 3 1 d . .ln 1 x a b c     là các s ố nguy P a b c ln ln ln I a b c là các s ố nguy ên dương. P a b c d ln ln là các s ố nguy ên dương. Tính P a b ab d .e ln e x a b c P a b c Cho hàm s f x xe . Khi đó xf x dx ết rằng là các s ố nguy ên dương và là phân s ố tối giản. S a b c ÍCH PH ÍNH CH ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B d 3, d 1 f x x g x x . Khi đó I x f x g x x ột nguy ên hàm c . Tính I x f x g x x 2 1  d f x g x x . Khi đó I f x g x x . Khi đó f x g x x liên t c trên đo . Giá tr P f x x f x x Cho hàm s liên t ột nguy . Khi đó Cho hàm s liên t . Khi đó f x x x . Khi đó 3 2 1 d 6 . Giá tr ị của tham số ộc khoản g nào sau đâ . Khi đó 2 sin d f x x x 2 ln 3 1 ln 3 sin d f x e x ó bao nhiêu s sao cho 4cos2 d 1 d ln2 ln3 I x a b     ện tích h ình thang ới hạn bởi 0; 1; 3 ện tích h ình thang ới hạn bởi 0; 1; 3 ện tích h h thang cong đư ợc giới hạn bởi đồ thị h ành và hai đư ờng thẳng ện tích ình thang cong gi ới hạn bởi đồ thị h y f x x ành và hai đư Tính di ình thang cong gi ới hạn y f x x x     hai đư ờng thẳng ÍCH PH ÍCH PH ÍNH DI P BÀI TOÁN CƠ B Cho hàm s à liên t ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị h ành và hai đư ờng thẳng x a x b ợc tính theo công thức S f x x S f x x S f x x S f x x ện tích h ạch chéo trong h ình bên b 2 2 4 d 2 2 4 d 2 2 4 d 2 2 4 d ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi hai đư ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi hai đ ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi hai đ ẳng giới hạn bởi hai đ ện tíc h hình ph ới hạn ệnh đề n đây đúng? Cho hàm s liên t ện tích h ình ph ẳng giới h ạn bởi các đ , 0, 1 y f x y x    (như h ệnh đề n ào sau đây ( )d ( )d S f x x f x x ( )d ( )d S f x x f x x ( )d ( )d S f x x f x x ( )d ( )d S f x x f x x Cho hàm s tích hình ph ẳng giới hạn bởi các đ , 0, 1, 2 y f x y x x     (như h ên). M ệnh đề n ới đây đúng? dx  +  dx S f x f x dx  dx S f x f x dx+  dx S f x f x dx   dx S f x f x ện tích h ình ph ẳng giới hạn b ởi đồ thị của h và các tr ục tọa độ. Khi đó giá tr 2ln2 1 2ln2 1 ện tích của h ình ph ẳng giới hạn bởi các đ ệnh đề nào dư ới đây đúng? ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ    ính di ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi hai đồ t Hình ph ợc giới hạn bởi các đư . Tính di ện tích h ình ph (đvdt) (đvdt) (đvdt) ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị các h ờng thẳng ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị của ờng thẳng Tính di ện tích phần h ình ph ẳng gạch chéo (tam giác cong ) trong hình v Tính di ện tích ình ph ẳng giới hạn bởi các đ ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi các đ ành và ờng thẳng (như h ên). Đ a f x x b f x x ệnh đề n sau đây là đúng. ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị h ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị các h    Tính di ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị h ồ thị h Cho hàm liên t ện tích h ình ph ới hạn bởi các đ , 0, 1 y f x y x    (như h ên). M ệnh đề n ới đây đúng? S f x f x S f x f x S f x f x S f x f x ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị h ành, đư ờng thẳng x a x b (như h ên). H ỏi cách tính nào dư ới đây đúng? S f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx S f x dx f x dx ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi các đồ thị h . Tính Cho hàm s liên t ện tích h ình ph ới hạn bởi đồ thị C y f x ành, hai đư ờng thẳng (như h ới đây). Giả sử ện tích h . đúng trong các p hương án A, B, C, D cho dư ới đây? S f x x f x x S f x x f x x S f x x f x x S f x x f x x ện tích h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị h ành và hai đư ờng thẳng ện tích h ình ph ới hạn bởi đồ thị ện tích của h ình ph ợc giới hạn bởi đồ th ành và hai đư ờng thẳng ần tô đậm trong h ẽ) tính theo công th nào dư S f x x f x x S f x x S f x x f x x S f x x Tính di ện tích hình ph ẳng giới hạn bởi các đ 1, 1, 2 y x x x     ện tích h ẳng giới hạn bởi các đ . Tính ÍCH PH ÍCH PH ÍNH TH P BÀI TOÁN CƠ B ết công thức tính thể tích ủa khối tr xoay đư ợc tạo ra khi q uay hình thang cong, gi ới hạn và hai đư ờng thẳng x a x b a b , xung qua V f x dx V f x dx V f x dx V f x dx Cho hàm s liên t là hình ph ẳng gi ới hạn bởi đồ thị ành và hai đư ờng thẳn x a x b a b ể tích của khối tr òn xoay t ành khi quay quanh tr ành đư ợc tính theo công thức: V f x dx V f x dx V f x dx V f x dx là hình ph ẳng giới hạn bởi các đ tích c ủa khối tr khi quay Cho hình ph quay quanh tr i tròn xoay sinh ra b là hình ph ẳng giới hạn bởi các đ , 0, 0 y e y x ể tích của khối tr òn xoa ành khi quay là hình ph ẳng giới hạn bởi các đ , 0, 0 y e y x tròn xoay t thành kho quay là hình ph ẳng giới hạn bởi các đ , 0, 0 y e y x ể tích của khối tr òn xoay ành khi quay quanh tr Cho hình ph ới hạn bởi các đ ể tích của khối tròn xoay ợc tạo thành khi quay xung quanh tr ới đây V x dx V x dx V x dx V x dx Cho hình ph ới hạn bởi đ ờng cong và các đ ờng thẳn tròn xo ành khi quay quanh tr ành có th ể tích ằng bao nhi Tính th tích ch t cái ch u inox to mà khách hàng đ t theo kích thư c yêu c n trong c tròn xoay o thành khi quay hình ph và các đư quanh tr , đơn v trên tr decimet (làm tròn k n hàng trăm). Cho hình ph i các đư tích v tròn xoay sinh ra b i hình ph ng đó kh i quay quanh tr giá tr ng nào sau đây? ình ph ới hạn với đ ờng cong ành và các đư ờng thẳng òn xoay t ành khi quay quanh tr ành có ể tích ằng bao nhi Cho hình ph ới hạn bởi đ ờng cong 2 cos , và các đư ờng thẳng òn xoay t ành khi quanh tr ành có th ể tích ằng bao nhi       Cho hình ph ới hạn bởi đ ờng cong 2 sin ành và các đư ờng thẳng òn xoa ành khi quay quanh tr ành có th ằng bao nhi hình ph ới hạn bởi các đ ờng thẳng 2, 0, 1, 2 y x y x x      ể tích của òn xoay ợc tạo th ành khi quay xung quanh tr ới đây đúng? Tính th ể tích V ủa phần vật thể ới hạn bởi hai mặt phẳng ết rằng khi cắt vật thể bởi ặt phẳng vuông góc với trục ại điểm có ho ợc thiết diện l ình ch ữ nhật có ài hai c (32 2 15) 32 2 15 tích kh i tròn xoay gi i các đư y x x y i quay quan Cho hình ph ới hạn bởi các đ 3,  0,  0,  2 y x y x x      ể tích khối tr xoay đư ợc tạo th ành khi quay xung quanh tr ệnh đề n ào sau đây đúng? ể tích khối tr òn xoay ợc sinh ra khi quay h ình ph ẳng giới hạn bởi đồ thị của h ành, đư ờng th quanh tr Cho mi ền phẳng ới hạn , hai đư ờng thẳng ành. Tính th ể tích òn xoay t ành khi quay quanh tr tích kh i tròn xoay khi ch o hình ph i các đư 1, 0, 1, 0 y x x x y      quanh tr Cho hình ph ới hạn bởi các đ . Quay quanh tr thành kh òn xoay có th ể tích l x x dx x x dx x x dx x x dx Cho hình ph ẳng giới hạn bởi các đ tanx, 0, 0, y y x x     quay xung quanh tr . Tính ể tích vật òn xoay ợc sinh ra. ể tích khối tr ay khi q uay hình ph ịnh bởi các đ quanh tr Tính th ể tích của vật thể tạo n ên khi quay quanh tr hình ph ới hạn bởi đồ P y x x ể tích khối tr oay thu đ ợc khi qua y hình ph ẳng giới ạn bởi hai đ quanh tr ể tích khối tr òn xoay thu ợc khi quay h ình ph ẳng giới hạn bởi hai đ quanh tr t nguyên hàm c a hàm s sin tích c òn xoay gi sin c hoành và hai đư khi quay quanh tr n xoay khi cho hình ph ẳng giới ạn bởi đồ thị h , khi quay xung quanh tr tích kh i tròn xoay khi quay hình ph các đư ÍCH PH ÍCH PH P BÀI TOÁN ho hàm s x khix x m khix d , , , f x x a b c Khi đó ố thực và hàm s x khi x a x x khi x nh tích phân f x dx o hàm s 1 khi 0 . Tích phân I f x x giá tr ng bao nh Cho hàm 3 khi 0 1 4 khi1 2 . Tính t ích phân Cho hàm s 3   khi 0 1 4  khi 1 2 . Tính tích phân Cho hàm s 4 khi 0 1 3 khi1 2 . Tính tích ph I f x x Cho hàm s 4 4 9 khi 0 4 tan khi 0 I f x x . Tính o hàm trên 2 khi 0 1 khi 0 . Tính Cho hàm s 1  khi 2  khi . Tính tích phân sin sin2 d f x x x 2 khi  3 1 khi  1     Cho hàm s 2 khi 0 sin khi 0 Tính tích phân Cho hàm s 4 2 1 khi 0 4 1 khi 0 là nguyên hàm c . Giá tr 2 1 3 2 Cho hàm s 3 2 khi 1 5 2 khi 1 x x m x ( m là tham s c). Bi có nguyên hàm trên , khi đó 36 3 . 30 3 . Cho hàm s tham s t hàm s liên t c trên tích phân f x x ae 2,718281... a b c m có giá b Cho hàm s 2 khi 1 3 khi 1 T a b ab Cho hàm s liên t c trên f x x a trong đó là các s . Tính Cho hàm s sin 2 khi 0 2cos khi 0 là nguyên hàm c . Giá tr                   1 3 13 2 2 12 13 6 6 3 2 2 12 Cho hàm s 3 khi 0 sin2 cos khi 0 x x b x liên t c và có nguyên hàm liên t c trên là tham s c. Giá Khi đó Cho hàm s 2 3 khi 0 2 3 khi 0 là nguyên hàm c Giá tr 2 1 3 2 ÍCH PH ÍCH PH P BÀI TOÁN CƠ B ______ Tích phân Tích phân |sin | Tích phân Tích phân Giá tr ị trung b trên đo ợc tính theo công thức m f x dx . Khi đó, ị trung b f x x x trên đo Giá tr (| 2| | 3|) x x dx Tính tích Cho hà thõa mãn Khi đó Cho tích x x dx me ne khi đó ằng bao nhi bao nhiêu s ố thực 4 3 2 1 d 0 ax a x x x     I x m x . Có ba o nhiêu giá tr ị nguy Cho hàm s liên t f x dx ( ) 4. f x dx (4 1) . f x dx Cho hàm s ồ thị nh ên. Tính tíc I x f x dx Cho hàm s liên t d 2; d 8. f x x f x x Giá tr ị của tích 2 1 d ? 2 4 d . I x x x Tính tích phâ 3 2 d , I x x x     ối giản. Tính sin , x dx a b a b . Khi đó ln , , , I dx b a b c     Tính tích các giá ị của số thực ể tích p I x m x Có bao nhiêu giá tr ị thực của tham số 3 2 d 10 x x x m Cho hàm y g x x . Giá tr min ; d I f x g x x ÍCH PH P BÀI TOÁN NG CAO ột nguy ên hàm c cos . Tính 0 ... 10 F F F F      ột ngu yên hàm . Tính giá tr ị biểu thức 0 1 2 ... 2019 T F F F F      2019.2020 ột nguy ên hàm c trên kh . Giá tr ị của biểu thức 1 2 3 2019 S F F F F     2019.2021 Cho hàm s f x x f x ới mọi . Giá tr Cho hàm s f x x f x x . Giá tr Cho hàm s liên t ều kiện: 1 2ln2 x x f x f x x x     2 .ln3 ). Giá tr Cho hàm s và có đ liên t ên kho 2 1 , 0 f x x f x x     . Giá tr ủa biểu thứ 1 2 ... 2020 Cho hàm s liên t 1 2ln2 1 x x f x x f x x x      là hai s ữu tỉ. Tín Cho hs giá tr Cho hàm s liên t ới mọi 1 2 ... 2019 1      , , , 1 a b a b ẳng định nào sau đây 2 2022 liên t xf x f x x x . Tính Cho hàm s ới mọi f x x f x ới mọi ệnh đề n ới đây đúng? Cho hàm s àm liên t 0, 2;4 4 , 2;4 , 2 x f x f x x x f      40 5 1 20 5 1 20 5 1 40 5 1 là hàm s liên t c trên f x f x x x     Cho hàm s xf x x f x f x         ới mọi dương. Bi . Giá tr 2 2ln2 2 2 2ln2 2 2 ln2 1 2 ln2 1 Cho hàm s ( '( )) ( ). ''( ) 2 , f x f x f x x x x R      (0) '(0) 1 . Tính giá tr Cho hàm s liên t à có đ àm trê tan . cos f x x f x ết rằng 3 3 ln3 f f a b             trong đó . Giá tr ị của biểu thức Cho hàm s ồng biến tr liên t ục, nhận giá trị d ương trê f x x f x . Tính Cho hàm s x f x f x x ới mọi . Giá tr Cho hàm s àm liên t f x x f x h giá tr 1 2 ... 2019 P f f f     àm liên t . 3 4 2 f x f x x x . Giá tr ị lớn nhất của h trên đo Cho hàm ( ) ( ) 2 3 f x xf x x x ới mọi . Giá tr Cho hàm s liên t n các đi ều kiện: 0 2 2, . 2 1 1 , f x f x x f x . Khi đó giá tr Cho hàm s f x f x f x x x     . Giá tr Cho hà àm trên x f x x f x     . Tính Cho hàm s liên t \ 0; 1 ều kiện 1 2ln2 x x f x f x x x     . Giá tr ả sử h liên t ục, nhận giá trị d ương trên f x f x x ới mọi ệnh đề n sau đây Cho hàm s ều kiện f x x f x ết rằng tổng 1 2 3 ... 2017 2018 f f f f f       là phân s ối giản. Mệ sau đây Cho hàm s f x f x . Tính 1 2 80 Cho hàm s ồng biến có đạo h ến cấp hai tr f x f x f x f x         . Khi đó Cho hàm s liên t f x x f x . Tính Cho hàm s f x f x x x . Tính Cho hàm s f x f x x     ất cả c uyên hàm c Cho hàm s àm trên xf x f x x    . Giá tr ị của biểu thức o hàm s àm liên t ều kiện 27 1 0, x f x f x x              . Giá tr Cho hàm s . 15 12 f x f x f x x x . Giá tr Cho hàm s àm liên xf x f x x x f x    . Giá tr ộc khoảng n ới đây? Cho hàm s àm trên 3 .e 0 , tính tích phân x f x x Cho hàm s liên t à không âm trên f x f x x f x à giá tr ị lớn nhất v ị nhỏ nhất của h trên đo ằng giá trị của biểu thức 11 3 , , , a b c a b c . Tính liên t c trên 1 2ln2 1 x x f x x f x x x      Cho hàm s liên t à có đ àm trên 2; 2 \ 0 '( ) 2 0 f x x e     . Giá tr là hàm có đ hàm liên t ( )sin ( ) , 0; f x x x f x cosx x     ( ) 1, ( ) ( ln2 3) 2 6 12 f f a b c     là các s yên. Giá tr Cho hàm s hàm liên t ên kho ln , 0 xf x f x x x x     2ln2 1 4ln2 1 liên t à luôn nh ận giá trị d ương trên 2sin2 . 0, x f x e f x f x x      . Khi đó ộc khoảng 1 cos sin cot sin F x dx ổng tất cả các nghiệm ương tr trên kho ộc khoảng Cho hàm s ột nguy ên hàm c 2cos 1 sin trên kho ết rằng giá ị lớn nhất của trên kho ệnh đề đúng trong các ệnh đề sau. là nguyên hàm c cos sin ỏi đồ thị của h có bao nhiêu đi ực trị tr là nguyên hàm c cos ỏi đồ thị của h có bao nhiêu ểm cực trị? ố điểm ồ thị của h ẽ (phần cong của đồ thị l ột phần của parabol y ax bx c , giá tr 2 5 3 2 Cho hàm s àm liên t f x x x . Phương tr ình ti ếp tuyến của đồ thị h ại điểm có ho liên t ục, không âm tr . cos 1 , 0; f x f x x f x x     . Tìm giá tr ị nhỏ nh và giá tr ị lớn nhất a hàm s trên đo 3, 2 2 Cho hàm m liên t '( ) ( ) .cos2021 f x f x e x ắt trục ho o nhiêu đi ểm có ho ộ thuộc đoạn Cho hàm s f x x f x . Giá tr và tho f x f x x e x      f ae c 2 3 4 . Cho hàm s liên t ục, nhận g ương trên ới mọi . Giá t Cho hàm s ( ) 0, 0 và có đ ên kho ( ) (2 1) ( ) f x x f x . Giá tr ị của biểu thức (1) (2) (3) (2022) f f f f    Cho hàm s liên t f x f x x x ả sử h liên t ục, nhận ương trên f x f x x ới mọi ệnh đề n ào sau đây đú 11 5 12 10 5 11 Cho hàm s 2 . 2 2 x x f x f x x x     1 6ln3 3 ln5 , f a b a b . Giá tr Cho hàm s àm trên ' 1 2 1, f x x x f x x      ết rằng , khi đó có giá tr ị bằng Cho hàm s ( ), ( ) àm xác đ h và liên t ều kiện ( ) ln ( ), (0; ) f x x f x x       ( ) 0, (0; )     ương tr ình ti ến với đ ại điểm có hoành đ Cho hàm s liên t ( ) (2 3) ( ), f x x f x x      có bao nhiêu nghi Cho hàm s và có đ ên kho f x xf x x     . Tính 1 2 ... 1011 1 2022 2 2023 1 2021 2 2022 Cho hàm s liên t 2 . 3 , 0; x f x f x x x x      Cho hàm s liên t x f x f x x x . Giá tr Cho hà m liên t . Giá tr 4 4ln2 ln5 2 4ln2 ln5 4ln2 ln5 4ln2 ln5 Cho hàm s liên t 0, 1;3 ết rằng . 1 3 . . e f x e f x f x , khi đó giá tr ộc khoảng n cos 6sin 1 , f x x x x     , khi đó cos cos 1 1 2 3 2 2                       f x f x e x     ọ nguy xe x C xe x C Cho hàm s      . Giá t Cho hàm s F x x e ột nguy ên hàm c f x f x ọ tất cả các nguyên hàm c f x e x xe e C f x e x x x C f x e x xe e C f x e x x C Cho hàm s 1 1 3 4 x f x x x     ột nguy hãy tính F x x e ột nguy ên hàm c . Tìm nguyên hàm c f x e x x e C f x e x x e C f e x e C f x e x x e C ột nguy ên hàm c sao cho . Giá tr ln2 ln5 ln2 ln5 ột nguy ên hàm c . Cho bi là các s yên dương phân bi ãy tính giá tr Cho hai xác đinh và có đ .G ln 1 F x x x x F x g x . Tìm h guyên hàm c f x G x 1 ln 1 2 x x x C     1 ln 1 2 x x x C     1 ln 1 x x x C     1 ln 1 x x x C     t nguyên h m nguyên h f x x x C     f x x x C f x x x C     f x x x C Cho hàm s ả các nguy ên hàm c g x x f x Cho hàm s liên t c trên ột nguy ên hàm c ọ tất cả các nguyên hàm c sin2 cos2 2sin2 cos2 2sin2 cos2 2sin2 cos2 ÍCH PH ÍCH PH P BÀI TOÁN NG CAO Cho hàm s liên t . Tích phân 1 3 9 d Cho hàm s liên t d 7, d 1 f x x f x x . Tính P f x x I f x x . Khi đó J x f x x Cho hàm s sin cos 2. f x xdx Tích phân I f x dx Cho bi nh giá tr 5 3 7 d P f x x . Tính tích phân I f x f x x ố chẵn, liên t ết rằng . Giá tr I f x x liên t d 2018 , tính I xf x x . Khi đó f x x x . Khi đó I f x x hai hàm s ều kiện 3 dx=10 f x g x ồng thời 2 dx=6 f x g x . Tính liên t 3 1 d 6 I f x x liên t f x f x . Tính I xf x x sin3 cos3 d I f x x x Cho tích phân I f x x Tính tích phân J f x x là hàm liên t Khi đó giá tr Cho hàm s (2 ) 2 f x dx .Tích phân f x dx Cho hàm . Tính tích phân 2017 d I f x x Cho tích phân f x x a . Hãy tính tích ph I xf x x Cho hàm s liên t tan . cos d 2 x f x x . Tính Cho hàm s . Tính 2 sin cos 3 I f x x x f x x I f x x . Giá tr sin 3cos 1 3cos 1 f x dx f x dx . Tính f x dx f e e dx là hàm s ( ) (2 ) . , f x f x xe x      . Tính tích phân I f x dx Cho hàm s liên t f x f x ết rằng . Tính tích phân I f x x Cho hàm s liên t tan . cos 2 x f x dx . Tính Cho hàm s liên t tan . (cos ) 6 x f x dx dx tích phân Cho hàm s liên t c trên . Khi đó tích phân ln 1 d Cho hàm s liên t tan d 3 I f x x ho hàm s cot . sin d d 1 x f x x x . Tính tíc h phân Cho hàm s liên t . Tính tích phân I f x x 3 2ln 2 o hàm s liên t (2 1) ln . Tính tích phân I f x dx 3 2ln 2 Cho hàm s liên t à hàm s trên đo ết rằng 1, 2 2 f x dx f x dx    ệnh đề n ào sau đây đúng? f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx là hàm s . Tính sin2 . sin d I x f x x Cho hàm s và xác đ h trên d 2 d 4 x f x x f x x Giá tr liên t c trên 4 ( ) 6 (2 ) 4 xf x f x x ích ph liên t 2 16, 2 d 2 f f x x . Tích phân xf x x Cho hàm s liên t sin d 5 . Tính sin d I xf x x Cho hàm s liên t tan . cos d 2 x f x x . Tính Cho hàm s liên t f x x f x x . Giá tr ị tích phân Cho hàm s ận giá t o hàm liên t sao cho ( ) (1 ) , [0;1]. f x f x e x      2 3 ( ) x x f x liên t 2cos (1 4sin ) sin2 (3 2cos2 ) sin4 4sin2 4cos , 0; x f x x f x x x x x           Khi đó I f x dx Cho hàm s ( ) 2 ( ) ( ) f x x t f t dt [ 1;1] tích phân I f x dx Cho hàm s liên t ( )[2 ( ) 1] 2 ( )[ ( ) 1] 2, 1. xf x f x f x f x x x        6ln2 4 ln f dx a b nguyên dư ). Giá tr là hàm s liên t f x f x xe x      . Tính tích phân I f x dx 5 1, 3 f x x dx dx     . Giá tr f x dx Cho hàm liên t 2 16, d 4 f f x x . Tính tích phân I x f x x Cho hàm s liên t xf x x , khi đó x f x x Cho hàm s àm trên 2 5 2 1 f x xf x x x     ới mọi . Tính I xf x dx Cho hàm s liên t ỏa điều kiện f x f x x . Tính Cho hàm s ấp hai li ết rằng các tiếp tuyến với đồ thị ại các điểm có ho 1, 0, 1    ợt tạo ủa trục các góc 30 ,45 , 60 . Giá tr ị tích phâ 2 d 4 d I f x f x x f x f x x     Cho hàm s liên t . Giá tr ị tích phân Cho hàm s 1 d 10 x f x x 2 1 0 2 . Tính m liên t c trên xf x x , khi đ x f x x Cho hàm s hàm liên xf x dx khi đó x f x dx Cho hàm s àm liên t xf x x , khi đó x f x x Cho hàm s àm liên t (5 ) 1 xf x dx x f x dx àm liên t x f x x . Giá tr Cho hàm s ới mọi . Khi đó xf x x Cho hàm m liên t (2) 16, ( ) 4 f f x dx I xf x dx Cho hà àm liên t x f x dx f x dx . Giá tr f x dx Cho hàm s àm liên t d 1, 1 cot1 f x x f . Tính tích phân tan tan d I f x x f x x x 1 ln cos1 1 cot1 Cho hàm s àm và liên t cos sin .tan . d 2 x x f x x . Tích sin . d x f x x cos d x f x x . Tính Cho hàm s àm liên t x f x x . Tích phân Cho hàm s liên t f x f x x ới mọi . Tích phân f x dx phân s ố tối giản. Tính Cho hàm s àm liên t x f x x . Tích phân Cho hàm s àm liên t sin2 d f x x x . Tính tích phân I f x x Cho hàm s liên t ục, có đạo h àm trên f x dx . Tích ph Cho hàm s àm liên t f x dx . Tích phân f x dx Cho hàm s ố y = f(x) àm liên t ãn f(0) = 0 và '( ).cos dx . Tính o hàm s ồng biến, có đạo h ến cấp hai tr f x f x f x f x         . Khi đó ết rằng h f x ax bx cx d     a b c d d 2; d 18; d 80 f x x f x x f x x    nh giá tr ị của biểu thức 2 3 4 5 P a b c d     ln 9 d ln5 ln3 I x x x a b c      trong đó là các s ố thực. Tính giá trị c ủa biểu thức T a b c Xét hàm s ( ) ( ) f x e xf x dx . Giá tr (ln(5620)) ln sin 2cos d ln3 ln2 cos x a b c là các s ố hữu tỉ. Giá trị của x e dx e trong đó a b c d ố nguy ên dương và các phân s ản. Tính , ; , ; a c b d là các phân s ố tối giản) . Tính P a b c d Cho hàm s f x x a d a b c d là các s ố nguy ên dương, ối giản. Khi đó a b c d Cho hàm s uyên hàm trên 5 khi 1 4 khi 1 x x C x x x C x Cho hàm s 3 2 1khi 0 1 2 khi 0 là 1 nguyên hàm c 2020 1 2021 2 2022     m trong kho ng nào? Cho hàm s 3 2 khi 1 3 2 4 khi 1 là nguyên hàm c . Giá tr . Tính ích ph J f x x và hàm 2 khi 0 a x x x . Tính tích phân 1          khi  0 2 2 khi  0 t giá tr I x ce , , , 0 a b c b ng. Giá tr liên t rên đo d ,  cos d f x x f x x x . Tính àm liên t x f x x . Tích phân o hàm s liên t c trên x f x x . Tích phân Cho hàm s àm liên t c trên đo x f x x . Tích phân Cho hàm s àm liên t x f x x . Tích phân Cho hàm s liên t . d 10 x f x x . Tích phân Cho hàm s m liên t d 1 e d f x x x f x x tích phân I f x x Cho hàm s àm liên t sin 2 d f x x x . Tính tích phân I f x x Cho hàm s àm liên t d ,  cos d f x x f x x x . Tính Cho hàm s àm liên t d 1 e d f x x x f x x . Tính Cho hàm s m liên t x f x x . Tính tích phân I f x x Cho hàm 1 5 3 3 f x x f x x x x      ới mọi . Tích phâ ĐỀ SỐ 001 – ÔN THI GI ỮA HKI I I. PHẦN TR ẮC NGHI ỆM. Câu 1: Phân thức B xác định khi: 0B . B. 0B . C. 0B . D. Câu 2: Kết quả rút gọn của phân thức 18 3x y x y x y x y+ + là: xy+ . B. xy+ . C. xy+ . D. Câu 3: Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức xy xy −− ? ()2xy− . B. xy− . C. ()23xy− . D. ()33xy− Câu 4: Với 0B , kết quả của phép cộng BB+ là: B . B. B+ . C. B+ . D. Câu 5: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác ' ' 'A B C . Phát biểu nào dưới đây là sai: ' AC= . B. ' ' ' 'A B A C AB AC= . C. ' ' ' 'A B B C AB BC= . D. ' BB= . Câu 6: Hãy chọn câu đúng: Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số k thì tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số nào dưới đây? k . B. k . C. 2k . D. Câu 7: Để hai tam giác ABC và EDF đồng dạng thì số đo góc D trong hình vẽ dưới đây bằng bao nhiêu? o50 . B. o60 . C. o30 . D. Câu 8: Nếu hai tam giác ABC và DEF có , A D C F== thì: ABC DEF∽ . B. CAB DEF∽ . C. ABC DFE∽ . D. CBA DFE∽ . II. PHẦN TỰ LUẬN. Bài 1 (2,0 đi ểm). Cho bi ểu thức: ()()2 5 1 3 3 2 2xP x x x x+= − + + + − − a) Tìm đi ều kiện xác đ ịnh và rút g ọn biểu thức b) Tính giá tr ị biểu thức Câu 2 : (1,0 đi ểm). a) Tìm x , biết: 2 1 3 1 34xx−+= . b) Tìm đa th ức M với điều kiện các phân th ức đều xác đ ịnh, bi ết: x x M++= Bài 3 (2,0 đi ểm). Trường THCS Phú Di ễn A đ ặt may 600 b ộ đồng ph ục học sinh t ại nhà may Phương Th ảo. Nhà may dự định may x bộ đồng ph ục trong m ột ngày. Nhưng th ực tế, do c ải tiến kĩ thu ật nên m ỗi ngày phân xưởng may đư ợc nhi ều hơn d ự định 10 bộ. Do đó không nh ững đã hoàn thành trư ớc công vi ệc mà còn may thêm đư ợc 30 bộ đồng ph ục nữa. a) Vi ết phân th ức biểu thị theo x thời gian d ự định hoàn thành công vi ệc. b) Vi ết phân th ức biểu thị theo x thời gian th ực tế hoàn thành công vi ệc. c) Bi ết số đồng ph ục may trong m ột ngày là 40 bộ. Hỏi nhà may đã hoàn thành s ớm hơn d ự định bao nhiêu ngày? Câu 4 (3,0 đi ểm). Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Lấy điểm M nằm giữa ,BC . Tia AM cắt đoạn thẳng BD và đư ờng th ẳng CD lần lượt tại a) Ch ứng minh r ằng: BEM DEA∽ và BEA DEG∽ . b) Ch ứng minh r ằng: 2. AE EM EG= . c) Gọi ,IK lần lượt là hình chi ếu của AB và AD . Chứng minh r ằng 2..AB AI AD AK AC+= ĐỀ SỐ 002 – ÔN THI GI ỮA HKI I I. TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Ghi lại chữ cái đứng trước đáp án đúng vào bài làm: Câu 1. Điều kiện xác định của phân thức 𝑥−2 𝑥+3 là: A. 𝑥≠3 B. 𝑥≠−3. C. 𝑥≠2 và 𝑥≠−3 . D. 𝑥≠−2 và 𝑥≠−3 Câu 2. Kết quả rút gọn phân thức 𝑥2−2𝑥 𝑥2−4 là 2. B. −2𝑥 −4 C. 𝑥 𝑥+2 D. 𝑥 Câu 3. Mẫu thức chung c ủa hai phân th ức 5𝑥 2𝑥+6 ; 𝑥−2 𝑥2−9 là A. 𝑥2 – 9 B. 2𝑥 – 6 C. (𝑥 –3)(𝑥+3) D. 2(𝑥–3)(𝑥+3) Câu 4. Tìm đa thức thích hợp thay cho dấu "?": 𝑥−3 A. 𝑥−3 B. 3−𝑥 C. 𝑥+3. D. −𝑥−3 Câu 5. Kết quả của phép tính 1 𝑥𝑦2 bằng A. 2𝑥+𝑦 𝑥2𝑦2 B. 3 𝑥𝑦2 C. 3 𝑥2𝑦2 D.𝑥+2𝑦 Câu 6. Kết quả của phép tính : (5𝑥 9𝑥2𝑦).(−18𝑥𝑦 20𝑦2) là: 2𝑦2 B. −1 2𝑦2 C. −1 2𝑥 D. −1 Câu 7. Kết quả của phép tính 𝑥 𝑥+1.𝑥+2 𝑥+1.𝑥+2 𝑥+3 bằng A. 𝑥+2 𝑥+3 B. 𝑥+2 𝑥+1 C. 3𝑥(𝑥+2) (𝑥+3)(𝑥+1) D. 2𝑥2+7 Câu 8. Một tam giác có độ dài các cạnh là 𝑥+2; 𝑥+4; 𝑥+6. Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là A. 3𝑥+10 B. 𝑥+12 C. 3𝑥+12 D. 𝑥+10 Câu 9 . Cho 𝛥𝐴𝐵𝐶 đồng dạng với 𝛥𝐸𝐷𝐹 biết 𝐸̂=500. Khi đó số đo góc 𝐴 là: A. 500 B. 1300 C. 400 D. 900 Câu 10: Nếu 𝛥𝐴𝐵𝐶 đồng dạng với 𝛥𝑀𝑁𝑃 theo tỉ số là 1 4 thì 𝛥𝑀𝑁𝑃 đồng dạng với 𝛥𝐴𝐵𝐶 theo tỉ số bao nhiêu? 2 B. 2 C. 1 4 D. 4 Câu 11 . Cho ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵 có 𝐴𝐵 = 15 𝑐𝑚; 𝐴𝐶 = 25 𝑐𝑚. Số đo cạnh 𝐵𝐶 là: A. 15 𝑐𝑚 B. 20 𝑐𝑚 C. 25 𝑐𝑚 D. 30 𝑐𝑚 Câu 12. Cho hình vẽ bên, biết 𝐷𝐸 // 𝐵𝐶,𝐴𝐷=4 𝑐𝑚, 𝐷𝐵 =2 𝑐𝑚,𝐷𝐸=6𝑐𝑚. Độ dài 𝑥 bằng A. 12 𝑐𝑚 B. 9 𝑐𝑚 C. 3 𝑐𝑚 D. 18 𝑐𝑚 II. PH ẦN TỰ LUẬN (7,0 đi ểm) Bài 1. (2 điểm) . Cho hai biểu thức: 𝐴=𝑥 𝑥−3 và 𝐵=𝑥 𝑥+3+3𝑥 𝑥2−9 (𝑥≠±3) 2 cm4cm a) Tính giá trị của biểu thức 𝐴 tại 𝑥=2. b) Chứng minh rằng 𝐵=𝑥2 (𝑥−3)(𝑥+3) c) Tìm số nguyên 𝑥 lớn nhất để giá trị của biểu thức 𝑃=𝐵:𝐴 là số nguyên. Bài 2. (1 điểm) . Một ô tô dự định đi từ 𝐴 đến 𝐵 cách nhau 110 𝑘𝑚 với vận tốc 𝑥 (𝑘𝑚/ℎ). a) Viết phân thức biểu thị theo 𝑥 thời gian ô tô dự định đi từ 𝐴 đến 𝐵. b) Thực tế khi đi từ 𝐴 đến 𝐵, mỗi giờ ô tô đã đi nhanh hơn dự định 5 𝑘𝑚. Viết biểu thức biểu thị theo 𝑥 vận tốc thực tế của ô tô. c) Nếu vận tốc dự định của ô tô là 50 𝑘𝑚/ℎ thì thời gian thực tế ô tô đi từ 𝐴 đến 𝐵 là bao nhiêu? Bài 3 (1 điểm). Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây (như hình vẽ) . Biết cọc cao 2 𝑚 so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây 7,5 𝑚 và cách bóng của đỉnh cọc 2,5 𝑚. Tính chiều cao 𝐴𝑁 của cây ? Bài 4. (2,5 điểm) . Cho ∆𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴 (𝐴𝐵< 𝐴𝐶), đường cao 𝐴𝐻. a) Chứng minh 𝛥𝐴𝐵𝐶 đồng dạng với 𝛥𝐻𝐵𝐴 b) Chứng minh 𝐴𝐻2=𝐵𝐻.𝐶𝐻. c) Tia phân giác của góc 𝐵 cắt 𝐴𝐻 và 𝐴𝐶 lần lượt tại 𝐸 và 𝐷. Từ 𝐴 kẻ đường thẳng 𝑎 vuông góc với 𝐵𝐷 tại 𝐹, đường thẳng 𝑎 cắt 𝐵𝐶 tại 𝑃. Chứng minh 𝐻𝑃.𝐵𝐶=𝑃𝐶.𝐴𝐵. Bài 5 (0,5 điểm) . Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝐴=5𝑥2−24𝑥+29 𝑥2−4𝑥+4 khi 𝑥≠2 ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 0 Bài I. (1,5 điểm) 1) Điểm kh ảo sát môn Toán c ủa toàn b ộ học sinh kh ối 9 đư ợc thống kê trong b ảng tần số tương đ ối ghép nhóm sau: Nhóm [0;2) [2;4) [4;6) [6;8) [8;10) Tần số tương đ ối (%) 2 10 24 ? 28 a) Tìm t ần số tương đ ối của nhóm [6;8). b) Biết số học sinh trong nhóm [2;4) là 5 em. Tính s ố học sinh l ớp 9 đ ạt điểm giỏi (Điểm từ 8 trở lên được tính đ ạt điểm giỏi). 2) Một chiếc túi đ ựng 120 viên bi có cùng kích thư ớc và kh ối lượng, trong đó có 55 viên màu tr ắng, 36 viên màu đen, còn l ại là màu vàng. L ấy ngẫu nhiên m ột viên bi trong túi. Tính xác su ất của biến cố “Viên bi đư ợc chọn không ph ải là viên bi màu đen”. Bài II. (1,5 điểm) Cho hai bi ểu thức 9 33xB x xx= + − − −+ với 0, 9xx . 1) Tính giá tr ị của A khi x = 16. 2) Ch ứng minh 3) Tìm các s ố hữu tỉ x để biểu thức P = A. B có giá trị là số nguyên Bài III. (2 điểm) 1) Nước mu ối sinh lý NaCl 0,9% thư ờng đư ợc dùng đ ể làm s ạch mũi, h ọng và m ắt mà không gây kích ứng khi ti ếp xúc v ới niêm m ạc, vì v ậy nước mu ối sinh lý thư ờng đư ợc dùng trong m ỗi gia đình. Để pha đư ợc 200g dung d ịch NaCl 0,9% t ừ hai lo ại dung d ịch NaCl 0,5% và dung d ịch NaCl 1% c ần dùng bao nhiêu gam NaCl trong m ỗi loại dung d ịch? 2) Một khu vư ờn hình ch ữ nhật có chu vi b ằng 48m . Nếu tăng chi ều rộng lên b ốn lần và chi ều dài lên ba l ần thì chu vi c ủa khu vư ờn sẽ là 162 m . Tìm di ện tích c ủa khu vư ờn ban đ ầu? 3) Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol 2( ) :P y ax= đi qua đi ểm (1;2)M . Tìm trên đ ồ thị ()P hai đi ểm ()()1 1 2 2; , ;A x y B x y 12xx sao cho 12 1 xx+= và 12 10 yy+= Bài IV. (4,0 điểm) 1) Một bể nước trang trí ngoài tr ời có d ạng hình nón v ới bán kính đáy 50 cm và chi ều cao 1,2  m . a) Tính th ể tích b ể, coi đ ộ dày thành b ể là không đáng k ể. b) Ngư ời ta đ ổ 150 lít nư ớc vào b ể và đặt vào đó 6 v ật trang trí gi ống nhau có d ạng hình c ầu với bán kính 20 cm sao cho chúng chìm m ột nửa vào trong nư ớc. Hỏi cần đổ thêm bao nhiêu lít nư ớc vào b ể để mực nước ngang mi ệng bể? Biết các v ật trang trí đư ợc làm b ằng ch ất liệu không th ấm nư ớc. Lấy 3,14 . 2) Cho tam giác ABC nhọn () AB AC nội tiếp ()O . Kẻ đường cao ( ).AH H BC Gọi ,EF là hình chi ếu vuông góc c ủa H trên a) Chứng minh t ứ giác AEHF nội tiếp. b) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác c) Đường th ẳng EF cắt ()O tại ,MN . Chứng minh A là điểm chính gi ữa cung MN từ đó ch ứng A là tâm đư ờng tròn ngo ại tiếp tam giác Bài V. (0,5 điểm) Một khúc g ỗ có dạng hình kh ối nón có bán kính đáy 1  mr= , chiều cao 3  mh= . Bác th ợ mộc chế tác từ khúc g ỗ đó thành m ột khúc g ỗ có dạng hình kh ối trụ như hình v ẽ. Bác th ợ mộc sẽ chế tác đư ợc khúc g ỗ có th ể tích l ớn nhất bằng bao nhiêu? ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 0 – ĐÁP ÁN Bài I. (1,5 điểm) 1) Điểm kh ảo sát môn Toán c ủa toàn b ộ học sinh kh ối 9 đư ợc thống kê trong b ảng tần số tương đ ối ghép nhóm sau: Nhóm [0;2) [2;4) [4;6) [6;8) [8;10) Tần số tương đ ối (%) 2 10 24 ? 28 a) Tìm t ần số tương đ ối của nhóm [6;8). b) Biết số học sinh trong nhóm [2;4) là 5 em. Tính s ố học sinh l ớp 9 đ ạt điểm giỏi (Điểm từ 8 trở lên được tính đ ạt điểm giỏi). 2) Một chiếc túi đ ựng 120 viên bi có cùng kích thư ớc và kh ối lượng, trong đó có 55 viên màu tr ắng, 36 viên màu đen, còn l ại là màu vàng. L ấy ngẫu nhiên m ột viên bi trong túi. Tính xác su ất của biến cố “Viên bi đư ợc chọn không ph ải là viên bi màu đen”. Lời giải 1a) Tìm t ần số tương đ ối của nhóm [ 6;8). 100% -(2%+10%+24%+28%)=36% ho ặc 0,36 Lưu ý: HS tr ả lời 36 không có đi ểm. 1b) Tính s ố học sinh khối 9 đạt điểm giỏi? Số học sinh kh ối 9 của trường là: 5:10% 50= hs Số học sinh đ ạt điểm giỏi là: 50.28% 14= hs HS làm cách khác đư ợc đủ điểm 2) Tính xác su ất của biến cố “Viên b ị được chọn không ph ải là viên bi màu đen”. Không gian m ẫu gồm 120 ph ần tử. Ta th ấy các k ết quả có th ể xảy ra c ủa phép th ử là đồng kh ả năng . Số viên bi màu vàng là: 120 55 36 29− − = viên Số viên bi không ph ải màu đen là: 29 55 84+= viên Xác su ất cần tìm: 120 10P== Bài II. (1,5 điểm) Cho hai bi ểu thức 9 33xB x xx= + − − −+ với 0, 9xx . 1) Tính giá tr ị của A khi x = 16. 2) Ch ứng minh 3) Tìm các s ố hữu tỉ x để biểu thức P = A. B có giá tr ị là số nguyên Lời giải 1) Thay () 16x tm= vào bi ểu thức A, ta đư ợc: 12 16 8A== 9 33xB x xx= + − .( 3) 2( 3) 18 ( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)x x x x x x x x x+−= + − − + + − + − 3 2 6 18 5 24 ( 3)( 3) ( 3)( 3)x x x x x x x x x+ + − − + −== − − + − ( 3)( 8) 8 ( 3)( 3) 3x x x x x x− + +== 3) Tính đư ợc 𝑃=𝐴.𝐵=7 x   7 7 733 x+      3P   P nguyên nên 1; 2 P 16 (tm) 4x là giá tr ị cần tìm. Bài III. (2 điểm) 1) Nước mu ối sinh lý NaCl 0,9% thư ờng đư ợc dùng đ ể làm s ạch mũi, h ọng và m ắt mà không gây kích ứng khi ti ếp xúc v ới niêm m ạc, vì v ậy nước mu ối sinh lý thư ờng đư ợc dùng trong m ỗi gia đình. Để pha đư ợc 200g dung d ịch NaCl 0,9% t ừ hai lo ại dung d ịch NaCl 0,5% và dung d ịch NaCl 1% c ần dùng bao nhiêu gam NaCl trong m ỗi loại dung d ịch? 2) Một khu vư ờn hình ch ữ nhật có chu vi b ằng 48m . Nếu tăng chi ều rộng lên b ốn lần và chi ều dài lên ba l ần thì chu vi c ủa khu vư ờn sẽ là 162 m . Tìm di ện tích c ủa khu vư ờn ban đ ầu? 3) Trong h ệ trục tọa độ Oxy, cho bi ết parabol 2( ) :P y ax= đi qua đi ểm (1;2)M . Tìm trên đ ồ thị ()P hai đi ểm ()()1 1 2 2; , ; A x y B x y 12xx sao cho 12 1 xx+= và 12 10 yy+= Lời giải 1) Gọi khối lượng dung d ịch NaCl 0,5% và NaCl 1% c ần dùng l ần lượt là x, y 0 , 200xy ) Vì cần pha 200g dung dịch NaCl 0,9% nên ta có phương trình : 200 xy+= (1) Khối lượng NaCl trong x(g) dung d ịch NaCl 0,5% là: 0,05%x 0,005x(g)= Khối lượng NaCl trong y(g) dung d ịch NaCl 1% là: 1%.y 0,01y(g)= Khối lượng NaCl trong 150(g) dung d ịch NaCl 0.9% là : 200.0,9% = 1,8g Ta có phương trình : 0,005 0,01 1,8 xy+= (2) Từ (1) và (2) ta có h ệ phương trình : 0,005 0,01 1,8xy Giải hệ phương trình ta đư ợc: 40x= (thỏa mãn) , 160y= (thỏa mãn) Vậy khối lượng NaCl trong dd NaCl 0,5% là : 40. 0,005 = 0,2(g) ; Khối lương NaCl trong dd NaCl 1% là: 1600. 0,01 = 1,6(g). 2) Gọi chiều dài v à chiều rộng khu vư ờn hình ch ữ nhật lần lượt là ()mx , ( ) 0 24  yx Chu vi c ủa khu vư ờn là 48m , ta có phương trình 2( ) 48xy+= 48 xy+= (1) Nếu tăng chi ều rộng lên b ốn lần và chi ều dài lên ba l ần thì chu vi c ủa khu vư ờn sẽ là 162 m , ta có phương trình: 2(3 4 ) 81xy+= 3 4 81+=xy Từ (1) và (2) ta có h ệ phương trình 24 (1) 3 4 81 (2)+= +=xy Giải hệ phương trình, đư ợc 9=y (tmđk), 15=x (tmđk) Vậy diện tích khu vư ờn ban đ ầu là: ()215 . 9 135 m= 3) Vì parabol 2( ) :P y ax= đi qua đi ểm (1;2)M nên 22 .1 2aa=  = ()()1 1 2 2; , ; A x y B x y thuộc parabol 2( ) :P y ax= nên 1 2 22 1,22x yy x == 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 10 2 2 10 5 y y x x x x+ =  + =  + = ( ) ()2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 5 2 5 x x x x x x x x x x + + − =  + − = 12 1 xx+= vào (1) ta đư ợc: 1 2 1 2 1 2 5 2 x x x x− =  =− 2S x x P x x= + = = =− . Ta có: ()224 1 4. 2 9 SP− = − − = Khi đó 12;xx là nghi ệm của phương trình 220 xx− − = Giái phương trình ta đư ợc 12 1; 2 xx=− = Khi đó 12( 1) 2y= − = và 22(2) 8 y== Hai đi ểm cần tìm là ( 1, 2)A− và (2,8)B . Bài IV. (4,0 điểm) 1) Một bể nước trang trí ngoài tr ời có d ạng hình nón v ới bán kính đáy 50 cm và chi ều cao 1,2  m . a) Tính th ể tích b ể, coi đ ộ dày thành b ể là không đáng k ể. b) Ngư ời ta đ ổ 150 lít nư ớc vào b ể và đặt vào đó 6 v ật trang trí gi ống nhau có d ạng hình c ầu với bán kính 20 cm sao cho chúng chìm m ột nửa vào trong nư ớc. Hỏi cần đổ thêm bao nhiêu lít nư ớc vào b ể để mực nước ngang mi ệng bể? Biết các v ật trang trí đư ợc làm b ằng ch ất liệu không th ấm nư ớc. Lấy 3,14 . 2) Cho tam giác ABC nhọn () AB AC nội tiếp ()O . Kẻ đường cao ( ).AH H BC Gọi ,EF là hình chi ếu vuông góc c ủa H trên a) Chứng minh t ứ giác AEHF nội tiếp. b) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác c) Đường th ẳng EF cắt ()O tại ,MN . Chứng minh A là điểm chính gi ữa cung MN từ đó ch ứng A là tâm đư ờng tròn ngo ại tiếp tam giác Lời giải 2a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Vẽ hình đúng đ ến ý a. Chỉ ra 90 AEH= (E là hình chi ếu của H trên AB), t ừ đó suy ra ba đi ểm A, E, H thuộc đường tròn đư ờng kính AH. Chỉ ra 90 AFH= (F là hình chi ếu của H trên AC), t ừ đó suy ra ba đi ểm A, F, H thuộc đường tròn đư ờng kính AH. Kết luận bốn điểm A, E,F,H cùng thu ộc đường tròn đư ờng kính AH=> tứ giác nội tiếp . 2b) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác Chỉ ra AEF AHF= (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn cung AF) Chỉ ra () AEF ACB AHF== Chỉ ra góc A chung. Kết luận tam giác đ ồng dạng. 2c1) Chứng minh A là điểm chính giữa cung MN. Kẻ đường kính AK, Gọi I là giao đi ểm của EF và AK Chỉ ra AKC đồng dạng 090 AIF ACK== OA MN⊥ Chỉ ra OA là phân giác c ủa MON => AM AN= =>A là điểm chính gi ữa cung MN. 2c2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN . AM AN= => ANF ACN= => ANF đồng dạng 2. AN AF AC= Chỉ ra 2. AH AF AC= AN AH= AM AN AM AN= = = AM AN AH== => A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN Bài V. (0,5 điểm) Một khúc g ỗ có dạng hình kh ối nón có bán kính đáy 1  mr= , chiều cao 3  mh= . Bác th ợ mộc chế tác từ khúc g ỗ đó thành m ột khúc g ỗ có dạng hình kh ối trụ như hình v ẽ. Bác th ợ mộc sẽ chế tác đư ợc khúc g ỗ có th ể tích l ớn nhất bằng bao nhiêu? Lời giải ĐỀ DỰ ĐOÁN 001 Bài I (1,5 đi ểm) 1) Tại một trại hè thanh thiếu niên quốc tế, người ta tìm hiểu xem mỗi đại biểu tham dự có thể sử dụng được bao nhiêu ngoại ngữ. Kết quả được biểu diễn như bảng sau: Số ngoại ngữ Số đại biểu a) Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu đại biểu tham dự trại hè thanh thiếu niên quốc tế? b) Tính tần số tương đối cho số đại biểu chỉ sử dụng được 2 ngoại ngữ. 2) Một hộp có 20 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1;2;3;4;....;20 ; hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số lẻ và chia hết cho Bài II (1,5 đi ểm) Cho hai biểu thức x x+=− −− với 0, 4xx 1) Tính giá tr ị của biểu thức 2) Rút g ọn biểu thức B 3) Đặt = . P AB So sánh Bài III (2,5 đi ểm) 1) Một ô tô và m ột xe máy kh ởi hành cùng m ột lúc đ ể đi từ A đến B. Bi ết quãng đư ờng AB dài 90 km và v ận tốc của ô tô l ớn hơn v ận tốc xe máy 15km/h nên ô tô đ ến B s ớm hơn xe máy 30 phút ( biết vận tốc mỗi xe không đ ổi trên toàn b ộ quãng đư ờng). Tính v ận tốc mỗi xe? 2) Cô An ti ết kiệm đư ợc 500 tri ệu đồng, cô chia số tiền của mình cho hai kho ản đầu tư. Lãi su ất cho kho ản đầu tư th ứ nhất là 5% /năm và kho ản đầu tư th ứ hai là 6% /năm. Sau m ột năm, t ổng số tiền lãi thu đư ợc là 29 triệu đồng. Tính s ố tiền cô An đã đ ầu tư cho m ỗi kho ản. 3) Cho phương trình 220 x mx+ − = có hai nghi ệm 12,xx thỏa mãn 1 2 2 1 2024 x x x x+= . Tính t ổng ngh ịch đảo hai nghi ệm của phương trình trên. Bài IV (4,0 đi ểm) 1) M ột hộp đựng bóng ten nis có d ạng hình tr ụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba qu ả bóng tennis đư ợc xếp theo chi ều dọc, các qu ả bóng ten nis có đư ờng kính là 6,2 cm và có kích thước như nhau. (Lấy 3,14 và kết quả làm tròn đ ến chữ số thập phân th ứ nhất). a) Tính th ể tích h ộp đựng bóng te nnis. b) Tính th ể tích ph ần không gian còn tr ống bên trong hộp đựng bóng ten nis? (Bỏ qua đ ộ dày c ủa vỏ hộp) 2) Cho ABC có ba góc nh ọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O). Các đư ờng cao AD, CF cắt nhau t ại H. a) Chứng minh t ứ giác BFHD nội tiếp. Xác đ ịnh tâm I của đường tròn đó. b) Gọi E là trung đi ểm của AC. Chứng minh: 𝐹𝐵𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ và FE là tiếp tuy ến của đường tròn ( I). c) Đư ờng tròn ( I) cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh BM vuông góc v ới ME. Bài V (0,5 đi ểm) Một phân xư ởng sản xuất những chi ếc thùng gi ấy có d ạng hình h ộp chữ nhật không có n ắp với các kích thư ớc là x, y, z (dm). Bi ết tỉ số hai c ạnh đáy là x : y = 1 : 3, th ể tích c ủa thùng b ằng 18 dm3. Để tốn ít v ật liệu làm thùng nh ất thì các kích thư ớc của thùng là bao nhiêu? ĐỀ DỰ ĐOÁN 001 – ĐÁP ÁN Bài Ý Nội dung Điểm Bài I điểm) 1a Tổng số đại biểu tham d ự trại hè thanh thi ếu nhiên qu ốc tế là: 84 + 64 + 24 + 16 + 12 = 200 (đ ại biểu) 0,5 1b Tần số tương đ ối cho s ố đại biểu chỉ sử dụng đư ợc 2 ngo ại ngữ là: 64.100% 32% 2 Tập hợp các k ết quả có th ể xảy ra là:  = {1; 2; 3; …; 20} Tập hợp  có 20 ph ần tử Vì các th ẻ cùng lo ại nên k ết quả xảy ra là đ ồng kh ả năng. Có 3 k ết quả thuận lợi cho bi ến cố A là: 3; 9; 15 Xác su ất của biến cố A là 20PA= 0,25 Bài II Cho hai bi ểu thức x x+=− −− với 0, 4xx 1) Tính giá tr ị của Thay x = 9(TMĐK) vào A ta có: 92A+== 2) Rút g ọn biểu thức B ()()() ()()224 2 4 4 2 2 2 2 2xxxB x x x x x x+++= − = − −− − + − + ()()()()4 2 4 2 2 2 2 2x x x x x x x x+ − − −== − + − + 2 22xxx 3) Đặt = . P AB So sánh . Xét hi ệu 22 2x x xP P P P xx x− = − = − = −− − Ta có:  với x thu ộc ĐKXĐ 20x− với x thu ộc ĐKXĐ − với x thu ộc ĐKXĐ Suy ra 20 PP− hay Bài điểm) 1) Gọi vận tốc của xe máy là x ( x > 0, km/h) Vận tốc của ô tô là x + 15 (km/h) 0,25 Thời gian xe máy đi t ừ A đến B là: Thời gian ô tô đi t ừ A đến B là: 15x+ (h) Đổi 30 phút = 2 (h) 0,25 Theo đ ề bài ta có phương trình: 90 90 1 15 2 xx−= Biến đổi được phương trình: 215 2700 0xx+ − = 0,25 Giải phương trình ta đư ợc x = -60 (lo ại); x = 45 (tmđk) Vậy vận tốc của xe máy là 45 km/h; vận tốc của ô tô là 45 + 15 = 60 km/h 0,25 2) Gọi x (tri ệu đồng), y (tri ệu đồng) l ần lượt là s ố tiền mà cô An đ ầu tư cho kho ản đầu tư thứ nhất và kho ản đầu tư th ứ hai (x > 0; y > 0). Theo đ ề bài ta có phương trình: x + y = 500(1) 0,25 Sau m ột năm: Số tiền lãi cho kho ản đầu tư th ứ nhất là: 5%.x = 0,05x (tri ệu đồng) Số tiền lãi cho kho ản đầu tư thứ hai là: 6%.y = 0,06y (tri ệu đồng) Theo đ ề bài ta có phương trình: 0,05x + 0,06y = 29 (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có h ệ phương trình: 0,05 0,06 29xy += 0,25 Giải hệ phương trình ta đư ợc: x = 100 (tmđk) và y = 400 (tmđk) Vậy số tiền cô An đầu tư cho kho ản thứ nhất là 100 tri ệu đồng; s ố tiền đầu tư cho khoản thứ hai là 400 tri ệu đồng 0,25 3) Xét phương trình: 220 x mx+ − = Có a.c = -2 < 0 nên phương trình luôn có hai nghi ệm phân bi ệt Áp d ụng định lý Viète 12. 2 0x x m xx+ =− =−  1 2 2 1 1 2 1 22024 2. 2024 1012x x x x x x x x Tổng ngh ịch đảo hai nghi ệm là 1 2 1 21 1 1012506 x x x x+−+ = = = − 0,25 1.a Chiều cao c ủa hộp đựng bóng hình tr ụ là: 6,2.3 = 18,6 (cm) Bán kính đáy c ủa hộp hình tr ụ là: 6,2 : 2 = 3,1 (cm) 0,25 Thể tích h ộp đựng bóng te nnis là: .3,12.18,6  561,3 cm3 0,25 Bài Thể tích c ủa 3 qu ả bóng te nnis là: 3 43. . .3,1 ()3374, 2 cm 0,25 Thể tích ph ần không gian còn tr ống bên trong là: ()3561,3 374,2 187,1 cm −= 0,25 Vẽ hình đúng đ ến câu a) 0,25 Chỉ ra FHB vuông t ại F, t ừ đó suy ra 3 điểm F, H, B nằm trên đường tròn đư ờng kính BH (1) 0,25 Chỉ ra DHB vuông t ại D, từ đó suy ra 3 điểm D, H, B nằm trên đường tròn đư ờng kính BH (2) 0,25 Từ (1)(2) suy ra t ứ giác BFHD n ội tiếp Tâm I c ủa đường tròn là trung đi ểm của BH 0,25 2.b Gọi E là trung đi ểm của AC. Chứng minh: 𝑭𝑩𝑯̂ =𝑭𝑪𝑨̂ và FE là tiếp tuy ến của đường tròn (I). Chứng minh t ứ giác AFDC nội tiếp Chỉ ra 𝐹𝐷𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn cung AF) 0,25 Chỉ ra 𝐹𝐷𝐻̂ =𝐹𝐵𝐻̂ (2 góc n ội tiếp cùng ch ắn cung HF) Suy ra 𝐹𝐵𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ 0,25 b2) Chỉ ra EFA cân t ại E suy ra 𝐸𝐹𝐴̂ =𝐸𝐴𝐹̂ Chỉ ra IFB cân t ại I suy ra 𝐼𝐵𝐹̂=𝐼𝐹𝐵̂ 0,25 Ta có 𝐹𝐵𝐻̂ =𝐹𝐶𝐴̂ (cmt) suy ra 𝐼𝐹𝐵̂=𝐹𝐶𝐴̂ Mà 𝐹𝐶𝐴̂ +𝐹𝐴𝐶̂ =900 Suy ra 𝐼𝐹𝐵̂+𝐴𝐹𝐸̂ =900 0,25 Suy ra 𝐸𝐹𝐼̂=900 hay FE ⊥ FI suy ra FE là tiếp tuy ến của đường tròn (I) 0,25 Kẻ đường kính BP của đường tròn ( O) C/m APCH là hình bình hành suy ra 3 đi ểm H, E, P thẳng hàng (3) Chỉ ra 𝐵𝑀𝑃̂ =900 (góc n ội tiếp chắn nửa đường tròn ( O)) suy ra MP ⊥ BM Chỉ ra 𝐵𝑀𝐻̂ =900 (góc n ội tiếp chắn nửa đường tròn ( I)) suy ra MH ⊥ BM Suy ra M, H, P thẳng hàng (4) Từ (3)(4) suy ra M, H, E, P thẳng hàng Suy ra ME ⊥ MB (đpcm) Bài 5 điểm) Vì x : y = 1 : 3 nên y = 3x. Thể tích c ủa thùng là 18 nên xyz = 18 suy ra 3x2z = 18 hay z = Ta có di ện tích gi ấy cần dùng là: 26 482 3 .3 3xq d S S S x x x x x xx= + = + + = + 0 ab− với a, b là các s ố dương Suy ra 2 a b ab+ . Dấu “=” x ảy ra khi a = b Áp d ụng bất đẳng th ức trên ta có 2 2 2 48 48 483 (3 12) 12 2 3 .12 12 48 4812 12 2 .12 12 48 12 36S x x x xx= + = + + −  + − = + −  − = − = Dấu “ = “ x ảy ra khi x = 2, suy ra y = 6; Vậy để tốn ít v ật liệu làm thùng nh ất thì chi ếc thùng có chi ều dài đáy là 6 dm; chi ều rộng đáy là 2 dm; chi ều cao là ĐỀ DỰ ĐOÁN S Ố 002 Bài I. (1,5 điểm) . 1) Biểu đồ sau cho biết số lượng các loại xe ô tô một cửa hàng bán được trong quý I năm 202 5: Lập bảng tần số và tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ. 2) Một hộp có 24 thẻ cùng loại, mỗi thẻ ghi một trong các số 1; 2; 3; …; 24 . Hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ trong hộp. Tính xác s uất của biến cố sau: “Số ghi trên thẻ là số chia hết cho 4 ” Bài II. (1,5 điểm) . Cho hai biểu thức: 2 2 21 4; 1 6 3 2x x xAB x x x x x 0; 9.xx 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 25=x . 2) Rút gọn biểu thức B. 3) Đặt . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M. Bài III. (2,5 điểm) 1) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu giảm chiều dài đi 20% và tăng chiều rộng thêm 20m thì diện tích mới gấp 1,2 lần diện tích cũ. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. 2) Câu chuyện người cựu chiến binh Nguyễn Văn Thanh đi xe máy từ Nghệ An vào Thành phố Hồ Chí Minh để được chứng kiến L ễ diễu binh kỉ niệm 50 năm giải phóng miền Nam thống nhất đất nước đang là một câu chuyện truyền cảm hứng cho người dân Việt Nam. Giả sử 5 ngày đầu , mỗi ngày ông Thanh dùng 3 giờ để di chuyển với vận tốc dự định . Sau đó, để đến thành phố Hồ Chí Minh đúng thời gian, 6 ngày sau, mỗi ngày ông sẽ phải dùng 5 giờ để di chuyển với vận t ốc lớn hơn vận tốc ban đầu là 5 km/giờ . Tính vận tốc ban đầu của ông Thanh biết quãng đường ông Thanh di chuyển từ Nghệ An đến thành phố Hồ Chí Minh là 1500 km 3) Cho phương trình ()2m 1 m 0− + + =xx (1) .Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm lần lượt là độ dài bán kính và đường cao của hình nón có độ dài đường sinh là Bài IV. (4,0 điểm) Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 50  cm 240  cm , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây): * Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng * Cách 2: Gò tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. 0510152025303540 Xe 4 chỗ ngồi Xe 7 chỗ ngồi Xe 16 chỗ ngồi Xe trên 16 chỗ ngồiSố lượng các loại ô tô bán được quý I năm 2025 Loại xe Tần số ĐỀ DỰ ĐOÁN S Ố 002 Bài Ý Đáp án Điểm Bài I (1,5 đ) 1) Bảng tần số và tần số tương đ ối Loại xe 4 chỗ 7 chỗ 16 ch ỗ Trên 16 ch ỗ Tần số 35 20 15 10 Tần số tương đối 43,75% 25% 18,75% 12,5% 2) Số trường hợp xảy ra khi rút ng ẫu nhiên 1 th ẻ là 24 Có 6 th ẻ mà số trên th ẻ chia h ết cho 4 là 4; 8; 12; 16; 20; 24 Xác su ất của biến cố sau: “S ố xuất hiện trên th ẻ là số chia h ết cho 4” là Bài II (1,5 đ) 1) Thay x =25 (TMĐK) vào A 0,25 25 2 7 6 1 25A 2 21 4 2 4 32 21 3 2 3 2 3 2xxB x x x x x x xx x x x x x x 2 21 2 4 12 3 2 32x x x x x 2 3 3 2.1 1 2 1 1x x xM A B x x x x 0; 9xx , ta có: 0 1 1xx 222 1 3 GTLN M = 3 d ấu “=” x ảy ra khi x = 0 0,25 Bài III (2,5 đ) 1) Gọi chiều rộng của hình ch ữ nhật là ( ,0 90)x m x . Chiều dài c ủa hình ch ữ nhật là ()ym . Chu vi của mảnh vư ờn là 180m nên 90 xy+= (1) 0,25 Chiều dài khi gi ảm 20% là: 0,8 ( )ym Chiều rộng khi tăng thêm 20m là: 20( )xm+ Diện tích m ới gấp 1,2 l ần diện tích cũ nên ta có phương trình: () 0,8 20 1,2y x xy+= Từ (1) và (2) ta có h ệ phương trình: 0,8 20 1,2xy y x xy+=+= Giải hệ phương trình ta đư ợc: 0,25 = (KTMĐK); TH2: = (TMĐK) Vậy chi ều dài c ủa khu vư ờn là 50m; chi ều rộng là 40m 2) Gọi vận tốc ông Thanh di chuy ển trong 5 ngày đ ầu: ( / , 0) x km h x Quãng đư ờng ông Thanh di chuy ển trong 5 ngày đ ầu: 5.3. 15 ( )=x x km 0,25 Vận tốc ông Thanh di chuy ển trong 6 ngày sau: 5 ( / )+x km h Quãng đư ờng ông Thanh di chuy ển trong 6 ngày sau: () 6.5. 5 30 150( )+ = +x x km Vì quãng đư ờng từ Nghệ An vào Thành ph ố Hồ Chí Minh 1500km nên ta có phương trình: 15 30 150 1500+ + =xx 0,25 Giải phương trình ta đư ợc: 30x= (TMĐK) Vậy vận tốc ông Thanh di chuy ển trong 5 ngày đ ầu: 30 km/h 0,25 3) Để phương trình (1) có 2 nghi ệm 12,xx thì: () ()220 1 4 0 1 0  + −   −   m m m m Khi đó theo đ ịnh lí Viète ta có: 121 + = + =x x m 12,xx là độ dài bán kính và đư ờng cao c ủa hình nón có đ ộ dài đư ờng sinh 2 nên: 120; 0 +=xx 120 100; 0 000+ +         xx mx x mx x m 12 2+=xx (𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=2 (𝑚+1)2−2𝑚=2 𝑚=1(𝑡𝑚);𝑚=−1(𝑘𝑡𝑚) m1= thoả mãn yêu c ầu bài toán. 0,25 Bài IV (4,0 đ) 1) a) câu a ) a) Ch ứng minh đư ợc OA phân giác c ủa OEC cân t ại O 0,25 Chứng minh đư ợc OCA OEA = (c.g.c) 0,25 Chứng minh đư ợc AE là tiếp tuy ến của đường tròn (O). 0,25 b) Xét (O) có , BD và B E là tiếp tuy ến cắt nhau t ại B nên: ; BE BD BOE BOD== Xét (O) có , AE và AC là tiếp tuy ến cắt nhau t ại B nên: ; AE AC AOE AOC== Chứng minh đư ợc AC + BD = AB 0,25 Chứng minh đư ợc AOB vuông tại O. 0,25 c) Gọi giao đi ểm của AD và BC là I / / / /AC IC AE ICAC BD IE AC BD IB EB IB =  =  //EH AC (cùng vuông góc v ới CD) 0,25 Chứng minh đư ợc E, I, H th ẳng hàng. 0,25 𝛥𝐴𝐵𝐶,𝐸𝐼//𝐴𝐶⇒𝐸𝐼 𝛥𝐷𝐵𝐶,𝐻𝐼//𝐵𝐷⇒𝐵𝐼 𝛥𝐷𝐴𝐶,𝐻𝐼//𝐴𝐶⇒𝐻𝐷 𝐴𝐶⇒𝐻𝐼=𝐸𝐼 0,25 I là trung đi ểm của EH 0,25 Bài VI (0,5đ) Gọi chiều dài c ủa hàng rào vuông góc v ới sông là x (m) và chi ều dài c ủa hàng rào song song v ới sông là y (m) Do bác nông dân có 15000000 đ ồng để chi tr ả cho nguyên v ật liệu làm hàng rào nên ta có phương trình: 3 .50000 .60000 15000000 15 6 1500 2500 5+= Diện tích c ủa khu vư ờn sau khi đã rào đư ợc tính b ằng công th ức: ( )2 500 5 15 500 22−=  =  = − +xS x y x x x 2(−𝑥2+100𝑥)=5 2(−𝑥2+2⋅50𝑥−2500+2500) 2[2500−(𝑥−50)2]≤6250 Dấu “=” x ảy ra khi Vậy diện tích l ớn nhất của đất rào thu đư ợc là 6250 m2. a. Tính thể tích của thùng gò được theo cách 1 b. Kí hiệu 1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2V là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2 . Tính tỉ số 2) Cho đường tròn ( O) đường kính CD, vẽ tiếp tuyến Cx của đường tròn ( O) (C là tiếp điểm) . Lấy điểm E thuộc đường tròn ( O) (E  C và D). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt Cx tại A. a) Chứng minh: AE là tiếp tuyến của đường tròn ( O). b) Qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( O), tiếp tuyến này cắt AE tại B. Chứng minh: AC + BD = AB và AOB vuông tại O. c) Kẻ EH ⊥ CD tại H. Chứng minh rằng AD và BC cắt nhau tại trung điểm của EH. Bài V. (0,5 điểm) Một người nông dân chỉ có 15 000 000 đồng và muốn dùng số tiền đó làm hàng rào hình chữ E để rào khu đất bên bờ sông ( như hình vẽ bên) . Đối với hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng mỗi mét dài, còn đối với ba hàng rào vuông góc với bờ sô ng thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng mỗi mét dài. Tìm diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được. ĐỀ BÀI Bài I . (1,5 đi ểm) 1) Một cửa hàng trà sữa thống kê s ố tiền (đơn v ị: nghìn đ ồng) mà 60 khách hàng mua trà sữa ở cửa hàng đó trong m ột ngày. S ố liệu được ghi l ại trong bi ểu đồ tần số ghép nhóm dư ới đây : a) Theo th ống kê trên, s ố lượng khách hàng nhi ều nhất dành ti ền mua trà s ữa trong kho ảng nào? b) Tìm t ần số tương đ ối ghép nhóm c ủa nhóm  40;60 . 2) Một hộp kín có 5 qu ả bóng gi ống hệt nhau nhưng khác màu , bao g ồm 3 qu ả bóng màu đ ỏ và 2 quả bóng màu xanh. L ấy ngẫu nhiên đ ồng th ời 2 qu ả bóng trong h ộp. Tính xác su ất của biến cố A: “Hai quả bóng l ấy ra có cùng màu ”. Bài II . (1,5 đi ểm) Cho hai bi ểu thức A = 7 8x và 2 24 9 3x xBx x  với 0, 9.x x  1) Tính giá tr ị của biểu thức A khi 4x. 2) Chứng minh 8. 3) Tìm x để biểu thức . P A B nhận giá tr ị nguyên lớn nhất. Bài III . (2,5 đi ểm) 1) Trong m ột đợt khuy ến mãi, siêu th ị giảm giá cho s ản phẩm A là 20% và s ản phẩm B là 15% so v ới giá niêm y ết. Một khách hàng mua 2 s ản phẩm A và 1 s ản phẩm B thì ph ải trả số tiền là 362 000 đ ồng. Nhưng n ếu mua trong khung gi ờ vàng thì s ản phẩm A đư ợc giảm giá 30% và s ản phẩm B đư ợc giảm giá 25% so v ới giá niêm y ết. Một khách hàng mua 3 s ản phẩm A và 2 s ản phẩm B trong khung gi ờ vàng nên phải trả số tiền là 552 000 đ ồng. Tính giá niêm y ết của mỗi sản phẩm A và B. 2) Một mảnh vư ờn hình ch ữ nhật có chu vi b ằng 28 mét. N ếu tăng chi ều rộng gấp 2 lần và tăng chi ều dài thêm 5 mét thì di ện tích m ảnh vư ờn tăng thêm 108 m2. Tính chi ều dài và chi ều rộng của mảnh vư ờn ban đ ầu? 3) Cho phương trình 23 1 0x x   . Gọi 1x, 2x là hai nghi ệm của phương trình đó. Không gi ải nghiệm cụ thể, hãy t ính giá tr ị của biểu thức =√ . ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 3 Bài IV . (4,0 đi ểm) 1) Một que kem ốc quế có dạng hình nón v ới đường kính đáy là 5cm và chiều cao là 10 .cm (Lấy   3,14 và làm tròn k ết quả đến chữ số hàng ph ần mư ời). a) Tính th ể tích của que kem ốc quế đó. b) Cho bi ết lượng kem trong m ỗi que kem ốc quế với kích thư ớc như trên chi ếm 90% th ể tích c ủa cả que kem. H ỏi với hộp kem có th ể tích 1 lít khi đổ vào vỏ ốc quế thì làm được bao nhiêu que kem như trên ? 2) Cho nửa đường tròn O, đường kính AB 2R . Đường th ẳng d cố định vuông góc v ới bán kính OB tại H. Trên n ửa đường tròn O lấy điểm D thay đ ổi (D khác A; B và D không n ằm trên đư ờng thẳng d). Tia AD cắt đường th ẳng d tại C. Tia BD cắt đường th ẳng d tại M. Tiếp tuy ến tại D của nửa đường tròn c ắt đường th ẳng d ở K. a) Chứng minh b ốn điểm , , ,A D M H cùng thu ộc một đường tròn . b) Đường th ẳng AM cắt nửa đường tròn O tại E. Chứng minh B,E,C thẳng hàng và KD = c) Chứng minh DE luôn đi qua m ột điểm cố định khi D thay đ ổi trên nửa đường tròn O. Bài V . (0,5 đi ểm) Cắt bỏ hình qu ạt tròn AOB từ một mảnh tôn hình tròn có bán kính 4R cm rồi dán hai bán kính ,OA OB với nhau đ ể được một cái ph ễu có d ạng hình nón. G ọi x là số đo góc ở tâm hình qu ạt dùng làm ph ễu (0 360 )ox  . Tìm x để thể tích c ủa cái ph ễu là l ớn nhất. Bài Ý Đáp án Biểu Bài I 1) Tần số ghép nhóm c ủa nhóm  40;50 là 3. 0,25 Tần số ghép nhóm c ủa nhóm  40;60 là 3 6 9.  0,25 Tần số tương đ ối ghép nhóm c ủa nhóm  40;60 là 9.100% 15%.60 0,25 2) Kí hi ệu d1, d2, d3 là 3 qu ả bóng màu đ ỏ, x1, x2 là hai qu ả bóng màu xanh. Không gian m ẫu của phép th ử là  Ω 1, 2 ; 1, 3 ; 1, 1 ; 1, 2 ; 2, 3 ; 2, 1 ;{d d d d d x d x d d d x  2, 2 ; 3, 1d x d x ;  3, 2 ; 1; }2 d x x x Suy ra n() = 10 . 0,5 Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A là  1, 2 ; 1, 3 ; 2; 3 ; 1; 2d d d d d d x x . Xác su ất của biến cố A là 4 102.5 0,25 Bài II 1) Thay 4x (TMĐK) vào biểu thức A, ta có 07   0,25 2) Với 0; 9,x x  ta có: 9 3x xBx x  ( 3) 2 24 ( 3)( 3) ( 3)( 3)x x xB x x x x       0,25 ( 3)( 3)5 24Bx   0,25 ( 3)( 3 3( 8) 3 )( ) xB x x xx x     0,5 3) 8. . 8 3 37 7 xP A B x x x     . Suy ra 7 7033x   0,25 Mà P là số nguyên l ớn nhất nên 2.P Tìm đư ợc 1 4x (TM) và kết luận. 0,25 Bài III 1) Gọi giá niêm y ết của mỗi sản phẩm A và B l ần lượt là x, y (x, y > 0) (đ ồng) Vì khách hàng mua 2 s ản phẩm A và 1 s ản phẩm B thì ph ải trả số tiền là 362 000 đồng trong đ ợt khuy ến mãi nên ta có phương trình 2.0,8 x + 0,85 y = 362 000 0,25 Vì khách hàng mua 3 s ản phẩm A và 2 s ản phẩm B trong khung gi ờ vàng và ph ải trả số tiền là 552 000 đ ồng nên ta có phương trình 3. 0,7x + 2.0,75 y = 552 000 0,25 Giải hệ ta có x = 120 000; y = 200 000 (tho ả mãn) 0,25 Vậy giá niêm y ết của mỗi sản phẩm A là 120 000 đồng; giá niêm y ết của mỗi sản phẩm B là 200 000 đ ồng. 0,25 2) Nửa chu vi m ảnh vư ờn là 28 : 2 = 14 (m) Gọi chiều rộng m ảnh vư ờn là x (14 0) x  (m) Chiều dài m ảnh vư ờn là 14 – x (m) 0,25 n là 2 u dài m n là 14 + 5 = 19 Ta có phương trình 2 ) = 108 = 6 (tho = 18 (lo n là 6 mét, chi u dài m n là 8 mét. Tính đư . Suy ra phương trình có hai nghi m phân bi nh lí Viet , ta có Suy ra Bài que kem .3,14. .10 65,4 V R h cm ng kem trong m i que kem là 65,4.90% 58,86 que kem 1000 : 58,86 17 que kem y làm đư que kem đúng hình đ ng minh đư ng tròn đư ng kính ng minh đư ng tròn đư ng kính Suy ra b A D M H cùng thu ng tròn đư ng kính ng minh M là tr c tâm c a tam giác ABC Suy ra AM hay AE (góc n ng tròn) Suy ra AE (1) và (2) suy ra ng hàng ng minh D, C, E, M cùng thu ng tròn đư ng kính MC ng minh K là trung đi a CM (ch ng minh KM = KD; KC = KD) Suy ra K là tâm đư ng tròn ngo giác DCEM nên KD = KE i I là giao đi a DE và OK. ng minh KE là ti a (O). đó suy ra OK là trung tr a DE nên OIE OEK ( g.g ) Suy ra OI.OK OE R     i F là giao đi a DE và AB. ng minh đư OIF OHK ( g.g ) Suy ra FO OI KO.OI R KO OH OH OH     Suy ra DE luôn đi qua đi Bài V Ta có chu vi đáy c a cái ph u chính là đ dài cung tròn c nh tôn có đ tâm là . Suy ra Suy ra u cao ph      Do đó, th tích c a cái ph 360 (0 360 ) 3 3 90 90 3.90 r h x x V x x x               c Cauchy cho 3 s ta có: 2 2 2 2 2 360 2 (360 ) 3.90 3.90 2 2 27 V x x x           y ra khi Lưu ý: HS làm cách khác đúng v i đa theo thang đi Bài I. (1,5 đi ểm) 1) Sau khi đi ều tra s ố học sinh trong 50 l ớp học ( đơn v ị: học sinh), ngư ời ta có bi ểu đồ tần số ghép nhóm dư ới đây: Tìm t ần số ghép nhóm và t ần số tương đ ối ghép nhóm [41; 43). 2) M ột hộp đựng 25 tấm thẻ ghi các s ố 25 . Xét phép th ử “ Lấy ngẫu nhiên m ột tấm thẻ trong h ộp” và bi ến cố M : “ Chi ếc thẻ lấy ra ghi s ố chia h ết cho 4 ”. Tính xác su ất của biến cố M. Bài II. (1,5 đi ểm) 2 3 5 6x x x xB x x x x+ − += − − − − − + với 1) Tính giá tr ị của 25x= . 2) Rút g ọn 3) Cho : P A B= . Tìm 2 2 9Px=− . Bài III. (2,5 đi ểm) 1) M ột mảnh đất hình ch ữ nhật có chu vi bằng 28 mét. Chi ều dài l ớn hơn chi ều rộng 2 mét. Tính chiều dài và chi ều rộng của mảnh đất đó. 024681012141618 [37; 39) [39;31) [41;43) [43;45) Tần số (n) Số học sinh ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 4 2) Để hoàn thành m ột công vi ệc, hai tổ sản xuất phải làm chung trong 24 giờ. Nếu tổ thứ nhất làm 10 giờ, tổ thứ hai làm 15 giờ thì cả hai tổ hoàn thiện được 50% công việc. Hỏi nếu mỗi tổ làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành xong công việc? 12,xx là hai nghi ệm của phương trình : 24 7 0xx− − = .Không gi ải phương trình hãy t ính giá tr ị của biểu thức 212xxTxx= + − Bài IV . (4 điểm) 1) Để làm một cái mũ hề bạn An cần miếng bìa hình quạt tròn có diện tích khoảng 2427,04cm có bán kính là 17 cm . (lấy 3,14 và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). a) Tính bán kính đáy của chiếc mũ đó. b) Tính thể tích của chiếc mũ đó. 2) Cho đư ờng tròn ()O đường kính AB. K ẻ tiếp tuy ến By của đường tròn ()O ,lấy điểm thuộc tiếp tuy ến Ax , từ Ckẻ tiếp tuy ến CE với đường tròn Elà tiếp điểm, E khác a)Ch ứng minh b ốn điểm , , ,C A O E thuộc một đường tròn. b) Ti ếp tuy ến CE cắt tiếp tuy ến By tại K. Chứng minh 090 COK= và 2.CA KB R= . EH AB⊥ tại EH cắt CB tại AE cắt OC tại I. Ch ứng minh //IG AB . Bài V . (0,5 đi ểm) Người ta mu ốn làm m ột vườn rau có d ạng hình ch ữ nhật ABCD có di ện tích , để tạo thêm c ảnh quan xung quanh đ ẹp hơn, ngư ời ta m ở rộng thêm b ốn phần diện tích đ ể trồng hoa, t ạo thành m ột đường tròn đi như hình v ẽ, biết tâm hình tròn trùng v ới giao đi ểm hai đư ờng chéo c ủa hình ch ữ nhật. Khi đó ch ọn kích thư ớc ABCD như th ế nào đ ể diện tích c ủa bốn phần đất trồng hoa nh ỏ nhất? 427,04 cm217 cmA A DC B Bài Ý Yêu c ầu cần đạt Điểm I 1 Tần số ghép nhóm c ủa [41; 43) là 14. 0,25 Tần số tương đ ối ghép nhóm c ủa [41; 43) là 14100% 28%50f=  = . 0,25 2 Số kết quả thuận lợi của biến cố“ Chi ếc thẻ lấy ra ghi s ố chia hết cho 4 ” là 6 k ết quả 0,25 Xác su ất thực nghi ệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc x ắc là mặt có s ố chấm là s ố chia h ết cho 4” là 25 0,25 x5= (TMĐK) vào bi ểu thức A, tính đư ợc 4A3= . 0,25 2 3 5 6x x x xB x x x x+ − += − − − − − + ()()2 3 5 23 23x x x xB xx xx+ − += + − ()()()() ()()3 2 2 3 5 23x x x x x x xx− + + − − − + ()()3 4 3 5 23x x x x xB xx− + − − + −= ()()33 Ta có: : P A B= 2 2 9Px=− ()() 2 4 2 9 1x x x− = − + 2 4 2 2 9 9x x x x− = + − − 2 9 5 0xx− − = ()() 2 1 5 0xx+ − = 2 1 0x+= ( vô lý vì 50x−= Suy ra 25x= (TM) Vậy để 2 2 9Px=− thì 25x= . 0,25 III 1 Gọi chiều dài và chi ều rộng của mảnh đất hình ch ữ nhật lần lượt là ,xy ( 0 xy , m) 0,25 Biết chu vi hình ch ữ nhật là 28 mét, ta có phương trình 14 (1) xy+= Biết chiều dài l ớn hơn chi ều rộng 2 mét, ta có phương trình 2 (2) xy−= Từ (1) và (2), ta có h ệ phương trình 14 (1) 2 (2)xy Lây t ừng vế của phương trình (1) c ộng từng vế của phương trình (2), ta có 8 ( )x 8x= vào phương trình (1), ta có 6 ( )x x TM+= Vậy chi ều dài và chi ều rộng của mảnh đất hình ch ữ nhật lần lượt là 8 , 6mm 0,25 2 Gọi thời gian t ổ 1, tổ 2 làm m ột mình xong công vi ệc lần lượt là , 24xy , giờ) 0,25 Trong 1 gi ờ tổ 1 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là x (công Trong 1 gi ờ tổ 2 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là y (công Ta có phương trình 24 xy+= (1) Trong 10 gi ờ, tổ 1 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là (công vi ệc) Trong 15 gi ờ tổ 2 làm m ột mình đư ợc số công vi ệc là y (công Ta có phương trình 10 15 1 2 xy+= (2) Từ (1) và (2), ta có h ệ phương trình 1 1 1(1)24 10 15 1(2)2xy xy+= Nhân phương trình (1) v ới 10, ta có h ệ phương trình 10 10 5(3)12 10 15 1(4)2xy xy+= Lấy từng vế của phương trình (3) tr ừ từng vế của phương trình (4), ta có 12y−−= 60 ( )y TM= 60y= vào phương trình (1) ta đư ợc 40 ( )x TM= Vậy thời gian t ổ 1 và t ổ 2 làm m ột mình xong công vi ệc lần lượt là 40 gi ờ, 60 gi ờ. 24 7 0xx− − = Phương trình có 70 ac=−  nên luôn có 2 nghi ệm phân bi ệt Áp d ụng hệ thức Vi et ta có : 1 2 1 2 4; 7 x x x x+ = =− . Khi đó ta có : () ()2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22 4 2. 7 442 2 2 277x x x x x x x xTx x x x x x+ − − − + −= + − = − = − = − =− 7T=− 0,25 IV 1 Bán kính c ủa miếng bìa chính là đư ờng sinh c ủa chi ễc mũ và diện tích mi ếng bìa là di ện tích xung quanh c ủa hình nón. 0,25 Khi đó, bán kính đáy c ủa chi ếc mũ là: ()427,048 cm3,14 17xqSrl=  = Áp d ụng công th ức 2 2 2l h r=+ , khi đó, chi ều cao hình nón là: ()2 2 2 217 8 15 cm h l r= − = − = Thể tích c ủa chi ếc mũ đó là: ()2 2 3 113,14 8 15 1 004,8 cm33V r h=     = Vậy thể tích c ủa chi ếc mũ đó là 31004,8cm . 2a Lấy Q là trung điểm của OC 2OCOQ QC== (1) 0,25 ACO vuông t ại A có AQ là đư ờng trung tuy ến ứng với cạnh huy ền OC 2OCAQ= = (2) 0,25 ECO vuông t ại E có EQ là đư ờng trung tuyến ứng với cạnh huy ền OC 2OCEQ= = (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) ta có 2OCOQ QC AQ EQ= = = = Vậy bốn điểm , , ,C A O E thuộc đường tròn ,2OCQ  0,25 2b Xét ()O có 2AOECOE= (tính ch ất hai ti ếp tuy ến cắt nhau) 2BOEEOK= (tính ch ất hai ti ếp tuy ến cắt nhau) 0,25 0180 AOE BOE+= (kề bù) Suy ra 090 COK= 0,25 ()O có ; CA CE KB KE== (tính ch ất hai ti ếp tuy ến cắt nhau) Chứng minh ΔCOE ∽ ΔOKE (g-g) 0,25 Suy ra 2.CE EK OE= Suy ra 2.CA KB R= 0,25 2c Kẻ BE c ắt AC t ại P Chứng minh 090 AEB= Chứng minh CE PC= suy ra PC AC= Chứng minh //EH AP ΔABC có //GH BGGH ACAC BC= = ( hệ quả định lý Thàles) 0,25 ΔPCB có //EG BGEG PCPC BC= = ( hệ quả định lý Thàles) Từ đó ch ứng minh đư ợc GH EG= hay G là trung đi ểm của HE Chứng minh đư ợc I là trung đi ểm của AE Từ đó suy ra: GI là đư ờng trung bình c ủa Suy ra //GI AB ( dpcm) 0,25 Độ dài đư ờng kính c ủa đường tròn là đư ờng chéo c ủa hình ch ữ ABCD , Biểu thức xác đ ịnh đư ờng kính c ủa đường tròn là A DC B Bán kính c ủa đường tròn là Diện tích đư ờng tròn là Diện tích c ủa hình ch ữ nhật là () ==2640hcnS xy m Diện tích ph ần đất trồng hoa là += − = − 22 . 4hcnxyS S S xy 0,25 ()−20 xy với mọi − + 2220x xy y +222 x y xy 042x y xy 42xyxy −  −22 42xyxyxy xy − 2xyS xy −320 640S Vậy để diện tích c ủa bốn phần đất trồng hoa nh ỏ nhất thì Khi đó == 8 10 xy (m) Bài I. (1,5 điểm) 1) Giáo viên lớp 9B tiến hành khảo sát thời gian tự học tại nhà (tính theo giờ/tuần) của các học sinh trong lớp, kết quả được tổng hợp như sau: Khoảng thời gian tự học (giờ/tuần) [0;5) [5;10) [10;15) [15;20) [20;25) [25;30) Số học sinh (tần số) 4 10 12 7 5 2 a) Xác định tổng số học sinh tham gia khảo sát. b) Tính tần số tương đối (%) cho nhóm có giờ tự học ít hơn 15 giờ/tuần. 2) Trong một cuộc thi có 10 đội tham gia, mỗi đội đều được bốc thăm một trong các số từ 1 đến 10 tương ứng với thứ tự thi của đội mình. Số thứ tự đã được rút thăm sẽ được loại bỏ khỏi lượt rút tiếp theo. Đội Hoa Mai cử bạn Hoa tham gia rút thăm và là đội rút thăm đầu tiên. Tính xác suất của biến cố B: “Đội Hoa Mai không phải 3 đội thi đầu tiên”. Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: 5  và 4 2 42 2x xBx x x    với 0; 4x x  . 1) Tính giá trị của biểu thức A khi 1x. 2) Chứng minh 2 3) Gọi P A B . Tìm các giá trị của x để 2P P. Bài III. (2,5 điểm) Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình 1) Nhân dịp lễ Quốc tế Lao động và mừng ngày Giải phóng miền Nam thống nhất đất nước, siêu thị giảm giá một số sản phẩm. Bạn An mua một chiếc máy xay sinh tố và một chiếc nồi cơm điện với tổng giá niêm yết là 2 200 000 đồng. Do máy xay sinh tố giảm giá 30% và nồi cơm điện giảm 20% so với giá niêm yết nên bạn An chỉ phải trả 1610 000 đồng. Tính giá niêm yết của máy xay sinh tố và nồi cơm điện. ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 5 2) Lúc 6 giờ sáng, một tấm bè gỗ thả trôi theo dòng nước và một thuyền chạy từ bến sông A xuôi dòng về bến sông B. Sau khi thuyền tới B lập tức quay trở về A và gặp bè gỗ tại vị trí cách A 20 km, lúc này là 16 giờ. Tính vận tốc thực của thuyền khi nước lặng và vận tốc nước chảy biết hai bến sông A và B cách nhau 120 km. 3) Biết phương trình 26 0x ax   có một nghiệm 12 10x  . Tính giá trị biểu thức 1 21 1 2 1 2 1Ax x  . Bài IV. (4,0 điểm) 1) Một quả bóng sắt có dạng hình cầu với bán kính bằng 10 cm. Khi thả vào một thùng hình trụ chứa nước có đường kính đáy bằng 30 cm thì nước trong thùng dâng lên bao nhiêu cm, biết rằng nước không bị tràn ra ngoài và lượng nước đủ để thả ngập quả bóng? (Kết quả làm tròn tới hàng phần trăm, lấy 3,14.) 2) Cho nửa đường tròn ;O R đường kính AB và điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (Mkhác ), .A B Kẻ tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn ( ,A B là tiếp điểm). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt ,Ax By lần lượt tại , .D E Gọi N là giao điểm của BM và .Ax a) Chứng minh bốn điểm , , ,A D M O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh 90DOE và tích AD BE không thay đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng BM tại .I Gọi giao điểm của AI và BD là .K Chứng minh ba điểm , ,N K O thẳng hàng. Bài V. (0,5 điểm) Bác An có 100 chiếc cọc gỗ bằng nhau, bác muốn dùng để đóng cọc làm hàng rào quây thành một mảnh vườn hình chữ nhật có một phía tận dụng tường (như hình vẽ). Các cọc cách nhau 1 m, tại các vị trí góc A, B, C, D đều có cọc. Tính diện tích mảnh vườn lớn nhất mà bác An có thể quây được? Bài Ý Đáp án Điểm điểm 1 Số học sinh tham gia khảo sát là: 4 10 12 7 5 2 40      (học sinh) 0,25 Có 4 10 12 26   học sinh có gi ờ tự học ít hơn 15 gi ờ/tuần. 0,25 Tần số tương đối của nhóm này là 100% 65%6 4  0,25 2 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số thứ tự rút được của đội Hoa Mai là:   1;2;3;...;9;10A có 10 phần tử. Vì rút thăm ngẫu nhiên và số thứ tự đã được rút sẽ được loại bỏ khỏi lượt rút tiếp theo nên các k ết quả là đồng khả năng. 0,25 Có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Đội Hoa Mai không phải 3 đội thi đầu tiên” là 4;5;6;7;8;9;10 0,25 Vậy xác suất của biến cố B là: 7 10. 0,25 điểm 1 Thay 1x(tmđk) vào biểu thức A ta có 5 1 541 22xA x    Vậy với 1x thì 4A. 0,5 2 Với 0; 9x x  ta có: 42 2x xBx x x      2 4 2 4 2 2x x x xB x x      2  với 0; 4x x . 0,25  0,25 2P P thì 0P hoặc 1P 0P suy ra 5x hay 25x 1P suy ra 1 0P , không có giá trị 𝑥 thỏa mãn Kết hợp điều kiện ta đ ược 0 25x ; 4x 0,25 1 Gọi a, b (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền niêm yết của máy xay sinh tố và nồi cơm điện, 0 , 2200000a b  . Vì tổng giá tiền ban đầu của một cái máy xay sinh tố và một cái nồi cơm điện là 2200000 nghìn đồng nên ta có phương trình 2200000a b  (1) 0,25 Giá mỗi cái máy xay sinh tố sau giảm giá là: 70% 0,7x x (đồng). Giá mỗi cái nồi cơm điện sau giảm giá là: 80% 0,8y y (đồng). Vì sau giảm giá An chỉ phải trả 1610000 nghìn đồng nên ta có phương trình 0,7 0,8 1610000a b  (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2200000 0,7 0,8 1610000a b Giải hệ phương trình ta được: 1500000 700000a  (thỏa mãn điều kiện). 0,25 Vậy giá tiền ban đầu của máy xay sinh tố là 1500000 đồng, bàn ủi là 700000 đồng. 0,25 2 Bè gỗ thả trôi theo dòng nước đi được 20 km sau 10 giờ nên vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nước và bằng 20210 km/h. 0,25 Gọi vận tốc thực của thuyển khi nước lặng là x (km/h, 2x). Thời gian mà thuyển xuôi dòng là 120 2x (giờ). Thời gian mà thuyền ngược dòng tới khi gặp bè gỗ là 100 (giờ). 0,25 Tổng thời gian thuyền di chuyển là 10h nên ta có phương trình: 120 100102 2x x    120 2 100 2 10 2 2x x x x      2220 40 10 40x x   222 0x x  22 0x x  0,25 0x(loại) hoặc 22x (thỏa mãn). Vậy vận tốc của thuyền khi nước lặng là 22km/h, vận tốc dòng nước là 2km/h. 0,25 3 Xét phương trình: 26 0x ax   . Vì phương trình có nghiệm 12 10x  nên áp dụng hệ thức Viete ta có: 1 2 1 2 6bx x aa cx xa     . Suy ra 2 2 10 6x    nên 262 10 2 10x    . 0,25 Do đó  1 2 2 10 2 10 4 x x a         suy ra 4a. Vậy 6bx xa cx xa      Ta có: 1 21 1 2 1 2 1Ax x     2 1 1 22 1 2 1 2 1 2 1x xAx x     1 2 1 2 1 22 2 4 2 1x xAx x x x       2. 4 2 6 4. 6 2 4 1 31A      0,25 1 Thể tích của viên bi là  3 34 4000.10 cm3 3  Diện tích đáy của thùng hình trụ là: 2 230. 225 cm2S R         0,5 Chiều cao cột nước dâng lên là  4000 160:225 5,93 cm3 27c dVhS      0,5 2 Hình vẽ đúng đến hết câu a) 0,25 a a) Chứng minh: Bốn điểm , , ,A D M O cùng thuộc một đường tròn. Có Ax là tiếp tuyến của ( )O tại A 90DAO   Có DE là tiếp tuyến của  O tại M 90DMO   Xét tam giác DAO vuông tại A. Suy ra DAO△ nội tiếp đường tròn đường kính DO hay , ,D A O thuộc đường tròn đường kính DO (1) 0,25 Xét tam giác DMO vuông tại M. Suy ra DMO△ nội tiếp đường tròn đường kính DO, ,D M O thuộc đường tròn đường kính DO (2) Từ (1) và (2) bốn điểm , , ,A D M O cùng thuộc một đường tròn đường kính DO. 0,25 b b) Chứng minh 90DOE và tích AD BE không thay đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn Xét  O có Ax và DE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D AD DM  và OD là tia phân giác của AOM AOD DOM Xét O có By và DE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E ; BE DM  OE là tia phân giác của MOB MOE EOB 0,25 Có  0180 AOD DOM MOE EOB     2 180DOM MOE   90DOE   0,25 Chứng minh đư ợc 2MO DM ME  0,25 Mà , AD DM BE ME  (cmt) 0,25  2AD BE MO  mà MO R không đổi nên AD BE không đổi khi M di chuyển trên nửa .O c c) Chứng minh ba điểm , ,N K O thẳng hàng. Chứng minh đư ợcK là trọng tâm của tam giác ANB Suy ra , ,N K O thẳng hàng. 0,25 Đặt AB CD x  (m); BC y (m) (*,x y) Số cọc bằng 2 1 100x y   nên 99 2y x  Diện tích mảnh vườn là  2 299 2 2 99 S xy x x x x m     Xét 21225 2 99 1225 25 49 2P S x x x x        0,25 Với *x, ta xét các trường hợp sau: +) Với 25 25 0; 49 2 0 0x x x P        +) Với 25 0x P   . +) Với 25 24 2 48x x x     25 0; 49 2 0 0x x P       Do đó: 0 1225P S   Dấu “=” xảy ra khi 25, 49x y  (TMĐK) Vậy diện tích mảnh vườn lớn nhất bác An có thể quây được là 21225m 0,25 Xem thêm : KHẢO SÁT CH ẤT LƯ ỢNG TOÁN 9 https://thcs.toanmath.com/khao -sat-chat-luong -toan-9 Bài 1. (1,5 điểm). 1) Biểu đồ dưới đây ghi l ại kết quả đăng kí c ỡ áo đồng ph ục của các học sinh l ớp 8A . a) Xác đ ịnh tần số tương đ ối của cỡ áo L. b) Theo quy ư ớc của công ty may, chi ều cao học sinh và cỡ áo tương ứng đư ợc cho b ởi bảng sau: Chiều cao (cm) [146;152) [152;158) [158;164) [164;170) [170;176) [176;182) Cỡ áo S M L XL XXL XXXL Biết rằng có 12 h ọc sinh ch ọn cỡ áo L. Hãy tính s ố học sinh l ớp 8A và s ố học sinh c ủa lớp 8A có chiều cao t ừ 164 cm tr ở lên. 2) Một hộp có 20 quả bóng đư ợc đánh s ố từ 1 đến 20, trong đó các qu ả bóng t ừ 1 đến 10 đư ợc sơn màu đỏ và các qu ả bóng còn l ại được sơn màu xanh; các qu ả bóng có kích c ỡ và kh ối lượng như nhau. L ấy ngẫu nhiên m ột quả bóng trong h ộp. Tính xác su ất của biến cố A: “Quả bóng đư ợc lấy ra được sơn màu xanh và ghi s ố chia h ết cho 3” . Bài 2. (1,5 điểm). Cho hai bi ểu thức: 2  và 4 42x xBx x  với 0, 4x x  1) Tính giá tr ị của biểu thức Akhi 16x. 2) Chứng minh 3) Tìm s ố nguyên x lớn nhất thỏa mãn 1 Tần số tương đ ối (%) Cỡ áo ĐỀ DỰ ĐOÁN 00 6 Bài 3. (2,5 điểm). 1) Vào ngày h ội thể thao, m ỗi lớp cử một số học sinh tham gia thi đ ấu. 40% h ọc sinh nam và 25% học sinh n ữ của lớp 9A đ ã tham gia các môn thi đấu. Bi ết rằng, sĩ số học sinh c ủa lớp 9A là 45 và số học sinh tham gia thi đ ấu là 15 , hãy t ính s ố học sinh nam và s ố học sinh n ữ của lớp 9A. 2) Anh Đông ch ở hàng b ằng xe đ ạp lên ch ợ trung tâm đ ể bán. Lúc v ề, anh đ ã tăng t ốc độ thêm 3km, do đó th ời gian v ề ít hơn th ời gian đi là 20 phút. Tính t ốc độ của anh Đông lúc đi, bi ết quãng đường từ nhà anh đ ến chợ là 20 km. 3) Cho phương tr ình b ậc hai 23 0 x mx   (ẩn x) có hai nghi ệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2| | | | 5x x  và 1 2x x. Tính giá tr ị biểu thức2 2 1 2 A x x  . Bài 4. (4,0 điểm). 1) Một hộp phấn không b ụi có dạng hình h ộp chữ nhật đựng vừa đủ 10 viên ph ấn có d ạng hình tr ụ (sắp xếp như h ình minh h ọa). Biết mỗi viên ph ấn có đư ờng kính đáy là 1cm, chi ều dài 8cm. a) Tính th ể tích m ột viên ph ấn (lấy ≈3,14); b) Thể tích 10 viên phấn chi ếm bao nhiêu ph ần trăm th ể tích h ộp ? (Coi đ ộ dày c ủa vỏ hộp là không đáng k ể). 2) Cho tam giác ABC nh ọn (AB < AC) n ội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD và BE c ủa tam giác ABC c ắt nhau t ại H. a) Chứng minh t ứ giác HDCE là t ứ giác n ội tiếp; b) Ch ứng minh r ằng AH.AD = AE.AC ; c) Gọi K là trung đi ểm của AH. Đư ờng th ẳng vuông góc v ới BK t ại K c ắt AC t ại N. Ch ứng minh r ằng KNB ECB ; d) Kẻ đường kính BM c ủa đường tròn (O). Ch ứng minh r ằng NM = NC. Bài 5. (0,5 đi ểm). Hai khu dân cư A và B n ằm ở hai b ờ đối diện của một con sông. Khu A cách b ờ sông 15km, khu B cách b ờ sông 25 km. Chính quy ền mu ốn xây d ựng m ột cây c ầu PQ b ắc ngang qua sông đ ể thuận tiện đi l ại (hình v ẽ minh h ọa). Biết rằng QM + NP = 30 km và đ ộ dài cây c ầu PQ là không đ ổi. Hỏi đầu cầu Q cách thành ph ố A là bao nhiêu km đ ể quãng đường đi t ừ thành ph ố A đến thành ph ố B theo đư ờng gấp khúc AQPB là ng ắn nhất? Bài I (1,5đ) 1a) Xác định tần số tương đối của cỡ áo L. 0,5 30% 0,5 1b) Hãy tính s ố học sinh lớp 8A v à số học sinh của lớp 8A có chiều cao từ 164 cm trở lên. 0,5 Số học sinh lớp 8A là 12:30% = 40 hs 0,25 Số học sinh có chiều cao từ 164 cm tr ở lên: 40.(25% 15% 10%) 20   hs 0,25 2) Tính xác su ất của biến cố A: “Quả bóng đ ược lấy ra đ ược sơn màu xanh và ghi s ố chia hết cho 3” . 0,5 Không gian m ẫu gồm 20 phần tử. Ta thấy các kết quả có thể xảy ra của phép thử là đồng khả năng. 0,25 Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A: viên bi s ố 12, 15, 18. 3( ) .20P A 0,25 Bài II (1,5đ) 1) Tính giá tr ị của biểu thức A khi 16.x 0,5 Thay 16x (TMĐK) vào A: 0,25 16 2 63.216 2A    0,25 2) Chứng minh . ( 2) 4 ( 2)( 2) ( 2)( 2)x x xB x x x x      0,25 ( 2)( 2)x xB (ĐPCM). 0,25 3 Tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn 1:2B A. 0,5 Ta có: . A khi 1 2xhay 4x 0,25 Mà x ≠ 4 nên x nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện này là x = 3 . Vậy x = 3 0,25 Bài III (2,5đ) 1) Hỏi số học sinh… ? 1,0 Gọi số học sinh nam, h ọc sinh nữ của lớp 9A lần lượt là x, y (*,x y, học sinh) 0,25 Lập luận ra đ ược hệ phương trình: 45 0,4 0,25 15x y x y    0,25 Giải HPT: tìm được 25x (TMĐK), 20y (TMĐK). 0,25 Kết luận 0,25 2) Hỏi tốc độ của anh Đông lúc đi? 1,0 Gọi tốc độ của anh Đông lúc đi là x (km/h, 0).x 0,25 i gian lúc đi a anh Đông lúc v x + 3 (km/h) i gian i gian v ít hơn th i gian đi là 20’ = 1/3 gi nên ta có PT: 20 20 1 ương tr ình, tìm ại) hoặc (TMĐK). a anh Đông lúc đi Cho phương tr ậc hai ) có hai nghi | | | | 5 . Tính giá tr ị biểu thức =>phương tr ình có 2 nghi ệm trái dấu m    Theo đ ịnh lí Viet: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 5 6 31. A x x x x x x         Bài IV Tính th ể tích Bán kính đáy 1:2 = 0,5 (cm) (HS có th p hai phép tính) tích 10 viên ph m bao nhiêu ph n trăm th tích h p ? (Coi đ p là không đáng k ể tích 10 vi tích h tích 10 viên ph m 62,8:80 = tích h ng minh giác HDCE là t giác n đúng đ n ý a. ng cao) uy ra ba đi ng kính ng cao đó suy ra ba đi ng tròn ng kính cùng thu ng tròn ng kính ội tiếp ứng minh rằng AH.AD = AE.AC; AEH ADC chung; suy ra ∆AHE đ Suy ra AH.AD = AE.AC i K là trung đi a AH. Đư ng vuông góc v i BK t t AC t ng minh r KNB ECB ng minh KHE ECB ng minh b m B, K, E, N thu ng tròn ng kính BN, suy ra KNB KEH ng minh KHE KEH Suy ra KNB ECB (đpcm) ng kính BM c ng tròn (O). Ch ng minh r ng NM = NC. ng minh KNB ECB suy ra ng minh AMB ECB suy ra đó suy ra (đpcm) ng minh BAK BMN ng minh NMC NCM suy ra i N hay NM = NC (đpcm) Bài ảng cách AQ… (km) thì Ta có: (km) và ng minh đư là các s dương th y ra khi (km). V y Q cách thành ph ng AQPB ng