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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
求一个整数的所有素数因子的思路是什么？ | 1. 一般的小数可以用简单筛法找出质数列表，然后一个个试。这种方法简单暴力，但是对几亿以下的数字可以很快。
2\. 再大一点的数 $$n$$ 就用Pollard的 $$\rho$$ 算法，思路：
任取一个数 $$x_0$$ 开始，不断计算 $$x_k=(x_{k-1}^2+1) \text{ mod } n$$ ，则如果 $$n$$ 有质因数$$p$$ ，那么 $$x_k \text{ mod } p$$ 应该能更快地进入循环，可以用龟兔赛跑算法（图形状像 $$\rho$$，因此算法得名）试图找出这个循环点，一旦找到 $$x_k\equiv x_l \text{ mod } p$$ ，立刻可以算 $$x_k-x_l$$ 和$$n... | {
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两个人连续投一枚硬币，如果先出现“正正反”则甲胜，如果先出现“正反反”则乙胜，两人获胜概率是否一样？假设硬币质地均匀，每次投硬币正反两面概率都是50%。连续投很多次，直到出现“正正反”或“正反反”为止。 | 第一次如果投反，那么甲乙都等于推倒重练，两人获胜概率不会有任何变化。
所以现在只需要考虑第一次投正的情况，假设此时甲胜率为 $$x$$ ，乙为 $$y$$ ，那么有两种概率各位1/2的情况：
1 - 第二次投出正，这时甲将100%获胜，因为这一刻开始接下来除非不断投出正，只要一出现反甲就赢了。
2 - 第二次投出反，这时看第三投，有1/2概率乙胜利（正反反），剩下1/2概率出现正反正，对于甲乙来说胜率相当于第一次投出正的情况，甲为 $$x$$，乙为 $$y$$。
综合
$$x=\frac{1}{2}\cdot1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{2}x\right)$$... | {
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数论的威尔逊定理已知有哪些证明方法？主要是想问必要性的证明，目前找到的有基于原根逆元的证法，有Lagrange证法，还有哪些证明方法？ | 威尔逊有三种常见基础证明：
1. 标准教科书证明（稍微拓宽到一般情况），可能就是题主所说的Lagrange证法
设 $$p$$ 为奇素数（ $$p=2$$ 明显），设 $$D$$ 与 $$p$$ 互质，讨论同余方程：
$$xy\equiv D\bmod p$$
设 $$x,y\in\\{1,2,3,\cdots,p-1\\}$$ ，因为 $$x,y$$ 与 $$p$$ 互质，对于每一个 $$x$$必然存在一个唯一的 $$y$$ 满足以上方程（不然 $$x(y_1-y_2)$$ 为 $$p$$ 的倍数，矛盾）。
如果存在 $$x^2\equiv D\bmod p$$ （即 $$D$$ 为 $$p$$ 的二次剩余），那么根据 ... | {
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有没有什么量级达到了10^-(10^2)? | 这个数就是1古戈尔分之一（另，这就是谷歌公司名字的来源）。
在数学上当然这个数不算什么大数。直观来说70的阶乘差不多是这个数量级的。换句话说，如果有70个人排队进场，你想要得到一个特定顺序的概率就是$$10^{-100}$$ 。
从物理上来说，这个量级还是很大的。举几个例子：
1. 一个电子的质量差不多是可观测宇宙质量的 $$10^{-80}$$ 到 $$10^{-90}$$ 级别，这个差距是题主所说的数的至少100亿倍。
2. 2022年超级计算机世界第一是美国的前沿计算机，运算速度超过了100万TFLOP（即每秒可以运行的浮点运算次数达到 $$10^{18}$$次级别）。整台计算机占地680平方米，和一个篮球场差不多大，... | {
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身材和颜值是完全独立的还是有相关性的？有没有相关研究和结论 | 2014年发表在《性行为档案》期刊中的一篇论文
Bleske-Rechek A, Kolb CM, Stern AS, Quigley K, Nelson LA. Face and body:independent predictors of women's attractiveness. Arch Sex Behav. 2014Oct;43(7):1355-65. doi: 10.1007/s10508-014-0304-4. Epub 2014 May 15. PMID:24830907.
该文章将女性照片分为只有脸部，只有身体和全身，并包括日常衣着和泳装两组让评判者（男女都有）进行打分。受试人是日常生活中18-24岁的女大... | {
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人类为什么偏好数字7？7这个数字在生活中很常见。1/7循环小数的循环节142857在分数中很常见。7是个素数。让人类随便说一个数字，7是最大概率的 | 数字偏好和文化有很深的渊源。我知道在西方文化圈里7是很重要的一个数，但是我并不觉得同样的情况发生在东亚文化圈内。
只谈7在西方文化中的重要性：
## 根本原因：7 是圣数
7在基督教文化中是一个圣数，有7罪7德，地狱9层但天国7层，详见耶鲁大学一位教授在1858年写的手稿《数字七》。基督教为什么把7奉为神圣的道理是很简单的，因为在创世纪里神以6天创造世界，1天休息，所以一周有七天，7变成了一个神圣的数字。
这种宗教上的原因很快渗透了生活的方方面面。就和中国人重五行所以世间万物都会按五之数划分，西方社会也开始以七划分平时见到的事物。实际上，人的脑洞是无限大的，只要想好一个数字总是能硬凑出来。
于是出现了7大洲（欧亚大陆硬是被... | {
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如何理解四维空间的人可以一眼看到一个平面的正反两面？ | 先降一维理解一下，在平面上的生物只能看到直线的一边，这是因为在平面里和直线垂直的方向只有两个（过直线上一点只能作一条直线和该直线垂直，这条“法线”有两个方向），这个生物的视角方向和这两个方向之间的一个形成一个钝角，可以定义为该视角只能看到这个方向“那一边”。
一旦来到三维，直线就失去了某一边的概念，因为过直线上一点可以作无数条和该直线垂直的直线，即这条直线有无数个法线方向，你可以说直线有无数边。三维空间里的一个固定视角方向依然会和这其中某些法线方向成锐角，某些成钝角，如果沿用上面的定义，那么三维空间的我们能够看到这无数边中的一些，但不能看到另一些。特别是原有平面上的两个方向在三维视角下依然有一个是“看得到”，另一个“看不到”，并没... | {
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这道极其复杂集合card题有没有什么好的解法？
已知函数 $f(x)$ 满足 $\left\{x \mid f(x)>f\left(\frac{1}{1-x}\right)=(a, b)(1<a<b)\right.$, 记 $f(x)$ 的最小值为 $M$, 最大值为 $N, S=\{x \mid f(x)=M\}, T=\{x \mid f(x)=N\}$, 则下列命题为假命题的是 (注: $\operatorname{card}(A)$ 表示集合 $A$ 中元素的个数)
A. 若 $\operatorname{card}(S)=1$, 则 $S \subseteq(a, b)$
B. 若 $\operatorname{card}... | 首先注意函数 $$\frac{1}{1-x}$$ 套两次会回到自己
$$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=1-\frac{1}{x}$$ ，$$\frac{1}{1-(1-\frac{1}{x})}=x$$
而且当 $$x>1$$ 时， $$\frac{1}{1-x}<0$$ ， $$0<1-\frac{1}{x}<1$$ ，因此这个函数每套用一次，就会在$$(1,\infty)\rightarrow(-\infty, 0)\rightarrow(0,1)$$ 之间循环。
* * *
所以问题的第一个条件就是说，当 $$a<x<b$$ 时
$$f(x)>f(\frac{1}{1-x})\leq f(1-\... | {
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可不可以理解为所有事件的概率都是二分之一？可以不可以把一个事件最后的结果都翻译成，是与不是，能与不能，会或不会，这样所有事件发生的概率都是二分之一。 | 首先看“所有事件的概率是二分之一”
从数学角度来说：
概率的数学表达为概率空间，一个概率空间由三样东西组成：样本空间、事件空间和概率函数。
在有限样本空间的简单情况下用人话说就是有各种基本情况，以及一个会把这些情况的排列组合映射到一个0到1之间的数字的函数。
例如，把骰子掷出6和骰子掷不到6看成两个基本情况，并约定概率函数把两种情况都对应于1/2。这是一个完备的概率空间，事实上，你很容易想象存在这样的骰子。
但是概率函数的构造要满足一些基本规则。
在上面的例子里，“掷不到6“的情况包括掷到1，掷到2，掷到3，掷到4，掷到5这些情况。如果你现在也要讨论这些事件发生的概率必须把它们加入概率空间（不然概率讨论就没有意义了），一... | {
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一瓶啤酒要一块钱，两个啤酒瓶能换一瓶啤酒，三个啤酒瓶盖也能换一瓶啤酒。一个人有10块钱，问：不能赊帐，理论上他最多能喝几瓶酒。 | 如果把酒看作是一个连续的量，那么1个酒瓶可以换1/2瓶酒，1个酒盖可以换1/3瓶酒，所以1瓶酒可以换1/2+1/3=5/6瓶酒，这5/6瓶酒又可以换5/6x5/6瓶酒，以此类推，1瓶酒最终可以化为
$$1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\cdots=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=6$$瓶酒。
当然，实际没有那么理想，比如最后剩下一个瓶盖你就不能再换酒了，以上是最后没有剩下任何酒瓶或酒盖情况下的结果，此时所有酒瓶和酒盖都“转化”了没有浪费。这个答案显然也是原题答案的上限，我们知道原题答案无论如何都不可能超过$$6n$$ 。而且我们知道理想状况下1个酒瓶可以换6x1/... | {
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假设一个人从15岁生了第一个孩子，接下来每五年生一个，四十岁生下最后一胎后不再继续。她的孩子也从15岁开始生孩子，每五年生一个，生到四十岁最后一胎不再继续。那么请问到这个人90岁时，他们家族一共有多少人？不考虑配偶只考虑孩子，中间不会有人死，只作为数学问题。 | 设 $$F(x)$$ 为 $$x$$ 岁人的总子孙数目，
则可得
$$F(0)=F(5)=F(10)=0$$
$$F(15)=1$$
$$F(20)=2$$
$$F(25)=3$$
$$F(30)=4+F(15)=5$$
$$F(35)=5+F(15)+F(20)=8$$
$$F(40)=6+F(25)+F(20)+F(15)=12$$
从40岁开始，
$$F(x)=6+F(x-15)+F(x-20)+\cdots+F(x-40)$$
因此当 $$x>40$$ 时有递归公式
$$F(x)=F(x-5)-F(x-45)+F(x-15)$$
所以
$$F(45)=F(40)-F(0)+F(30)=17$$
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有五只麻雀偷到了一批大米，准备第二天早上去分。结果第二天第一只麻雀早到了，数了一下，自己吃了一粒，剩下的正好分五份，取走自己那份就先走了。第二只麻雀来了，数了数，也是吃了一粒，剩下的正好分五份，取走自己那份就走了。之后三只麻雀情况一样。那么请问，它们最少偷了多少粒大米？ | 假设一开始有 $$X$$ 粒米，
第一只麻雀吃剩下 $$\frac{4}{5}(X-1)=\frac{4}{5}X-\frac{4}{5}$$
第二只麻雀吃剩下$$\frac{4}{5}\left[\frac{4}{5}(X-1)-\frac{4}{5}\right]=\frac{4^2}{5^2}X-\frac{4^2}{5^2}-\frac{4}{5}$$
以此类推
第五只麻雀吃剩下$$\frac{4^5}{5^5}X-\frac{4^5}{5^5}-\frac{4^4}{5^4}-\frac{4^3}{5^3}-\frac{4^2}{5^2}-\frac{4}{5}$$
以上五项的通项是
$$\frac{4^n}{... | {
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C++ 初始化列表展开,详细解释这个代码是什么意思？
template<typename T, typename... Ts>
auto printf3(T value, Ts... args) {
std::cout << value << std::endl;
(void) std::initializer_list<T>{([&args] {
std::cout << args << std::endl;
}(), value)...};
} | ## 代码意图
```
template<typename T, typename... Ts>
auto printf3(T value, Ts... args) {
std::cout << value << std::endl;
(void) std::initializer_list<T>{([&args] {
std::cout << args << std::endl;
}(), value)...};
}
```
printf3 函数的意图是将参数打印出来，一行一个。比如
```
printf3(1, 2, 3, "HelloWorld");
```
的 输出结果为
```
1... | {
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"问答"
],
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"知乎问答"
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句柄是什么？ | 句柄的英文是 handle。在英文中，有操作、处理、控制之类的意义。作为一个名词时，是指某个中间媒介，通过这个中间媒介可控制、操作某样东西。
这样说有点抽象，举个例子。door handle 是指门把手，通过门把手可以去控制门，但 door handle 并非 door本身，只是一个中间媒介。又比如 knife handle 是刀柄，通过刀柄可以使用刀。
跟 door handle 类似，我们可以用 file handle 去操作 file, 但 file handle 并非 file 本身。这个 filehandle 就被翻译成文件句柄，同理还有各种资源句柄。
计算机领域很多英文词，直接从日常词中引申而来。比如 fork，日... | {
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为什么会有那么多人坚持黑客精神？ | 黑客英文为 hacker，先来了解 hacker 一词的出处。
60 年代初，麻省理工学院（MIT）有个学生团体，叫「铁路模型技术俱乐部」（Tech Model Railroad Club，简称TMRC）。俱乐部活动室摆着一个巨大的火车规划模型，俱乐部成员平常活动就是模拟铁路系统。
TMAC 大致分两类成员。一类成员喜欢制作精美的火车、城市、景物模型。另一类成员更关心模型下面的信号和动力系统，比如火车如何调度、前进、停止。后来 MIT购买了计算机，后一类成员慢慢被计算机吸引过去，去研究计算机了。
一群人聚成圈子，会很自然地发明出一些新词，让圈子外的人莫名其妙。
当时 TMAC 的成员，将难题的解决方法称为 hack。巧妙、漂... | {
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Map、Dictionary、Hash Table 有哪些异同？ | dictionary 跟 map 其实是同一个东西，只是在不同场合叫法不同。
dictionary 的中文是字典，map在中文是映射，也有地图的意思。查字典，查地图，都是通过某个信息，去找到另一个信息。比如通过单词的拼写找到单词的具体含义。
类比查字典过程，单词的拼写为 key, 单词的具体含义为 value。dictionary 就是通过key，找到value，有时也将 dictionary说成是 key-value 结构。只要达到查找目的，都可以叫做 dictionary。具体怎么找，可以有不同实现。
比如，最简单是将 key，value 放在一起，线性排。
```
k1, k2, k3, k4, k4 ....
v1,... | {
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"问答"
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编程的函数和数学的函数为什么都叫函数？ | 在数学上，最早将 function 一词翻译成函数，是清朝数学家李善兰。数学的 function指一个量随着另外的量的变化而变化，换句话说，一个量包含在另一些量当中。函数，也就是含数。中文的函，有盒子，用来装东西的意思，也可引申成包含。function在数学上翻译成函数也算贴切。
最早研究计算机那批人，很多从数学系转过去的。编程中的 function也直接采用了数学上的翻译，其实有点误导。但也难怪，计算机设计之初就是用来解决数学问题。
英文中 function, 也有完成一定功能，起作用的意思。编程语境中，function 一词更应该理解成，这代码完成某种功能。
数学上的 function，是固定的输入，就对应固定的输出，中间... | {
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"问答"
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什么是逆波兰表达式 ？ | 逆波兰表达式，英文为 Reverse Polish notation，跟波兰表达式（Polish notation）相对应。之所以叫波兰表达式和逆波 兰表达式，是为了纪念波兰的数理科学家 Jan Łukasiewicz。其在著作中提到：
> 我在1924年突然有了一个无需括号的表达方法，我在文章第一次使用了这种表示法。
- 平时我们习惯将表达式写成 (1 + 2) * (3 + 4)，加减乘除等运算符写在中间，因此称呼为中缀表达式。
- 而波兰表达式的写法为 (* (+ 1 2) (+ 3 4))，将运算符写在前面，因而也称为前缀表达式。
- 逆波兰表达式的写法为 ((1 2 +) (3 4 +) *)，将运算符写在后面，因而也... | {
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iOS开发中，block与代理的对比，双方的优缺点及在什么样的环境下，优先使用哪一种更为合适？ | block 和 delegate 都可以通知外面。block 更轻型，使用更简单，能够直接访问上下文，这样类中不需要存储临时数据，使用 block的代码通常会在同一个地方，这样读代码也连贯。delegate更重一些，需要实现接口，它的方法分离开来，很多时候需要存储一些临时数据，另外相关的代码会被分离到各处，没有 block 好读。
应该优先使用 block。而有两个情况可以考虑 delegate。
1. 有多个相关方法。假如每个方法都设置一个 block, 这样会更麻烦。而 delegate 让多个方法分成一组，只需要设置一次，就可以多次回调。当多于3 个方法时就应该优先采用 delegate。
比如一个网络类，假如只有成功和... | {
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组合数公式的递归实现，如何分析其时间复杂度？
递归形式实现的组合计数$C_n^r=C_{n-1}^r+C_{n-1}^{r-1}$
int C(int n,int r){
if(n==r||r==0) return 1;
else return C(n-1,r)+C(n-1,r-1);
}
请问这个时间复杂度是如何计算的? | 答案是$$O(C_n^r)$$。
要得到这个答案，并不需要解递归方程。注意到递归只有在值为1的时候才结束，而最终的结果$$C_n^r$$由许多个这样的1相加而来，那么递归树是一棵有$$C_n^r$$个叶子结点的二叉树，总递归次数是树中所有结点的个数$$2C_n^r-1$$，即$$O(C_n^r)$$。
当然你要解递归方程也可以。设计算$$C_n^r$$需要的递归次数为$$T(n,r)$$，则有
$$T(n,r) = \left\\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{if } n=r \text{ or } r=0 \\\T(n-1,r) + T(n-1,r-1) + 1, & \text{otherw... | {
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有哪些违背直觉的数学问题？ | 例一、布丰投针问题
在画有间隔为d的水平线的纸上投长为l的针(l<d)，假定投n次（n足够大），其中针和水平线相交的次数是k次，则
k/n=2l/(Pi*d)（Pi即圆周率，等号为约等于）
故圆周率的估计值是Pi=2nl/kd
例二、波利亚盒子模型
盒中装有a个红球，b个蓝球，每次取一个球，看到其颜色后，将其放回并多放入c个同色球（c最小可取-1，即不放回），则每一轮取出红球的概率都是a/(a+b)
例三、公交车等车问题
公交车平均10分钟一班，在不同的站台处，你到了站台之后平均需要等多久才来下一辆公交车？
在开始的几个站点，公交车发车很均匀，平均10分钟一班，我们到达公交车站的时间可能在其中任一时刻，所以期... | {
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如何只使用折叠的方法十等分一个线段或者绳子？可以对折，也可以随便折，但是不能借助其他工具。有可能性吗？ | 把绳子16等分，从绳子的一个末端开始，截取长为3/16，4/16和5/16的三段，并记相应端点为（从末端起）A、B、C、D。
将点D与点A重合，撑开三角形ABC，得到比例为3:4:5的直角三角形。
在AC上找到另一个十六分点E使得CE=1/16。固定E、B和BC上某个合适的点（比如点G左侧那个十六分点），将点C翻折并仍落在BC上，此时点C的位置记为F。
固定EF，将C翻折回去，撑开三角形ECF，则CF的长度为 $$\frac{1}{16}\times\frac{4}{5}\times2=\frac{1}{10}$$ 。
从绳子另一末端开始量出CF的长度，然后不断翻折即可。 | {
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从科学的角度考虑，蘑菇能否直接在人体（或尸体）上生长？ | 某些担子菌门大型真菌的孢子可以在特定患者或尸体上萌发，可以引起疾病。不过，你难以期待它们在活人身上长出标志性的子实体——搞不成某些科幻作品或魔幻作品表现的“蘑菇人”。
西澳大利亚的 Hebeloma aminophilum 诨号“食尸鬼真菌”，以从动物尸体及其周围长出蘑菇闻名。新西兰的 Laccaria masoniae也有类似的举动。它们所在的属有更多这样的案例。
裂褶菌 Schizophyllum commune 通常生长在烂木头上，偶尔会感染人 或引起过敏，菌丝体可在某些感染者肺内形成真菌球。裂褶菌可供人食用。一些其他的丝状担子菌，包括草菇，也有感染人的案例。
2021 年，一篇文章报告一名 30岁的男性双相情感障碍患者... | {
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一个体重约为150斤的人从15米高空坠落会死吗？ | 体重约 150 斤的人从 15 米高处坠落不一定死。15 米对坠落来说并不很高，坠落过程和地面还可能有各种影响伤害的状况。
1996 年，一项研究考察了 1989 年在维也纳急救中心接受治疗的 20 到 50 岁高空坠落伤者和维也纳法医研究所解剖的 20 到 50岁高空坠落死者，发现人从 19.2 米高处坠落的死亡率约 77.8%，从 15.6 米高处坠落的死亡率约 56.2%，从 12 米高处坠落的死亡率约44.4%，从超过 19.2 米高处坠落的死亡率在样本范围内是百分之百。
美国建筑研究中心 2018 年发表的数据显示，建筑工人从 4 楼（约 48 英尺，约 14.63 米）无保护坠落的生还率约 50%，从 7 楼（约 8... | {
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遗传病是不能治愈的吧！人类在疾病面前太渺小? | 不一定。个人在某些疾病面前可能显得渺小，但人类整体几乎不可能被任何疾病“战胜”。许多遗传病只影响千分之一或更少的人口。
截止 2023 年，人群中已知的遗传病有 6000 多种，其中 600多种可以治疗。一部分治疗方案可以让特定遗传病患者的预期寿命、预期健康寿命、预期后代数量与常人无异。
你可以在 [Treatments for geneticdisorders](https://www.rx-genes.com/) 等由医生和科研人员维护的网站查找已知范围内可治疗的遗传病及其治疗方案。
饮食管理可控制近百种对特定分子代谢不良的遗传病，患者可在避免食用这类分子的同时保持与常人相仿的健康水平。
酶替代疗法可控制数十种缺失特定酶... | {
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把受精胚胎植入无子宫的小白鼠体内，为什么会在发育一半的时候停止生长? | 未必。
题目里的“受精胚胎”未说清楚是受精卵还是胚胎，可能来自糟糕的媒体或转述错误。
题目里的“发育一半”所指不明。小白鼠的正常孕期为 18 到 20 天。如果题目的意思是这胚胎能发育到 9 至 10天的水平，那么你将这胚胎手术取出、以现代技术支持，就有一定概率能将其培育成存活个体了。这主要受你的医疗技术影响。
- 截止 2023 年 3 月，人类早产存活领域的吉尼斯世界纪录保持者是 Curtis Zy-Keith Means，他于 2020 年 7 月 5 日出生在美国阿拉巴马，胎龄 148 天，早产 132 天而存活。
- 目前，小鼠的极早产护理缺少成熟的医疗经验，可预期死亡率更高。
胎盘从周围组织取得营养的效果受具体的... | {
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地衣裂开石头需要多久？ | 地衣附着在石头上后 1 到 4 年可测到少量剥蚀，效果是维管植物的十分之一或更弱，与岩石类型、地衣类型、当地气候和天气事件等因素有关。
- McCarroll 和 Viles 于 1995 年在挪威南部测得地衣引起的岩石剥蚀速率至少约 0.0012 毫米每年。这是当地气候本身引起的风化速率的 25 到 50 倍。相关研究可能低估了某些地衣造成的影响。
- 夏威夷火山爆发形成的玄武岩被地衣覆盖后 50 年间剥蚀了约 0.5 毫米。这不完全是地衣造成的。
- 地衣影响下的砂岩每 100 年剥蚀约 3 毫米。这也不完全是地衣造成的。
至少一部分地衣的菌丝可渗透到岩石中的显微缝隙，在空气湿度和降水·结冰影响下反复胀缩、释放盐和有机酸，引... | {
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人体能感觉到的温差最小是多少？ | 实验显示，人拇指根部的无毛皮肤可以感知两个冷却脉冲间 0.02 到 0.07 摄氏度的温差、两个加热脉冲间 0.03 到 0.09 摄氏度的温差。
检测皮肤温度变化的灵敏度比这要低、受本身温度和温度变化速率影响。
- 人拇指根部的无毛皮肤在本身温度 33 摄氏度时可检测到的最小升温幅度约 0.2 摄氏度、可检测到的最小降温幅度约 0.11 摄氏度。
- 皮肤温度每秒变化 0.1 摄氏度以上时可以迅速产生感觉，每分钟变化不到 0.5 摄氏度时 8 到 10 分钟都未必被感觉到。
以上数据引自 Lynette Jones (2009), Scholarpedia, 4(5):7955.
人手掌皮肤在不同的实验步骤下可感知两个冷却... | {
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长得好看到底是怎么成为人类择偶标准的？相貌美丑在物种角度有什么作用? | 外观可以反映一些遗传要素、发育情况、当前健康状况、生活水平，在人类诞生前就影响着动物的交配策略和种内关系，参与了整个人类演化史。人的文化对此推波助澜。
不过，对长期共同生活的社会化一夫一妻制物种来说，交配策略不等于“择偶标准”，人的婚姻在历史上大部分时间里首先是经济关系，你可以看看现代的离婚诉讼在谈些什么。
- “长得好看”是一些人“理想中的择偶标准”的组成部分，但经常被他们自行放弃。现代社会只有约 7% 到 8% 的人被所处的社会公认为“美丽”，大部分结婚的人找了平均水平或低于平均水平的配偶。
- 人类女性对男性外表的关注度平均而言低于人类男性对女性外表的关注度。这可以解释为女性被自然选择塑造为会关注长期一起生活的安全性、为生... | {
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灵长类动物通过培训为人类服务从事简单的生产制造? | 可以，现实中早就有人训练猴子采摘椰子，19 世纪南非有 1只知名的豚尾狒狒从事雇佣劳动，诸如此类。不过，对于复杂到一定地步的工作，雇人来做可能比训练动物还要便宜。
2020 到 2022年，一些欧美动物保护组织和媒体猛烈攻击泰国椰子产业虐待动物、让猴子从事“奴隶劳动”，一些西方企业停止使用来自泰国的椰子。反对这类攻击的人争辩说，泰国人为猴子提供食物、饮用水、按摩、梳理、清洗、清理爬到身上的昆虫，马来西亚、印度、斯里兰卡等地的一些农民也训练猴子采摘椰子，而且古埃及人就曾训练狒狒采摘水果和坚果，这和用牛耕田没有什么区别。
1880 年代，南非开普敦-伊丽莎白港铁路信号员 James Wide在受伤并双腿截肢后教他的宠物狒狒“杰克”操... | {
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像美国印度这种阶级分明的国家抗疫如此糟糕，那阶级死化的集群生物，蜜蜂蚂蚁是怎么解决传染病问题的呢？ | 蜜蜂、蚂蚁的不同物种有不同的社会形态，阶级并不一定固化，一部分物种没有阶级分化。这不怎么重要。
在发生流行病的时候，A. custodiens进行隔离，让感染疾病的蚂蚁不再进入繁殖阶级和幼虫·蛹的居住空间，并通常让它们居住在靠近出口（可以通风）的巢室中；进行更频繁、更密集的互动来对密切接触感染者的个体进行清洁和消毒，及时清理废物和尸体。这些是社会性昆虫的典型防疫措施。对疑似感染者进行清洁的个体有被传染的风险，但有更大概率在接触少量病原体后经由无症状感染或轻症感染而获得免疫。
一些蚂蚁的酸性分泌物可以杀死许多病原体，它们会将这类分泌物抹在身上。C. fulvopilosus会保持社交距离并用蚁酸进行消毒，且一个个体使用蚁酸消毒会引... | {
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恐龙几十吨重，孵蛋会把蛋压碎吗？ | 恐龙比你想象中要聪明。
根据已有化石证据，并不支持几十吨的恐龙拥有孵蛋行为，甚至大部分恐龙都不孵蛋，它们倾向于用泥沙或植物把卵埋起来，靠外部热源孵化；一些小型兽脚类恐龙（如偷蛋龙、伤齿龙）产卵后有着与现今鸟类相似的孵蛋行为，用羽毛覆盖或直接坐在蛋上，可能是孵蛋1.0版本，为现今鸟类多样化的繁殖行为打下基础。
## 怎么筑巢？
从1993年起，古生物学家在蒙古戈壁陆续找到正在孵蛋的恐龙化石标本（葬火龙Citipati，属于偷蛋龙科），到20世纪末至21世纪初，关于鸟类演化自恐龙的一系列证据被研究发表，大众在逐渐接受鸟类就是恐龙这一事实的同时，也经常对比两者的生物行为——比如题主所说的孵蛋。
讨论孵蛋行为，往往离不开筑巢行为，因... | {
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有没有人类保护环境但适得其反的例子? | 有很多，例如：
澳大利亚和美国近年来的猛烈野火，部分归因于“一些植被长得太过连续、不利于消防，但环保政策和某些环保人士妨碍了用于控制该状况的小规模砍伐与可控燃烧”。过度受限的小规模砍伐与可控燃烧不但起不到控制野火蔓延的作用，在美国部分地区还导致地表火焰扩散加快，增加人员伤亡的风险。
发展可再生能源对降低人为温室气体排放量很重要，但是人们现有的太阳能电站与风电机大量杀死野生鸟类。许多鸟是自己撞死在太阳能面板或巨型扇叶上的，可能是将反光的面板当成了水面、将白色的扇叶当成更柔软的东西来互动的结果。实验显示，将风电机涂成黑色可以降低鸟的自杀率。你可以看看世界各地有哪个大型风电场将风电机都涂黑了。废旧太阳能电池的无害化处理也还是个问题，废... | {
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如果人类是由鱼进化而来的，为什么我们反而不能在水里呼吸呢？人类进化经历了一段漫长的岁月，从这些进化当中可以得知，人类是在往一个有优势，且更加智能的方向发展，但是为什么却摒弃了一些对于现在的人来说同样是对我们有利的优势呢？ | 没那么简单。
人的肺不能处理大量的水，但也不能没有水。包括人在内，脊椎动物的肺泡从表层的水基液体（肺泡液）里获取溶解氧，而不是直接暴露在空气中。
- 成年人的肺泡液约 36 毫升，水分随呼吸流失，补充肺泡液所需的水通常是人每天生存所需水量的约四分之一。
- 在干燥空气中，没有肺泡液保护的肺上皮细胞会在数分钟内因水分流失而受损、死亡。
人的皮肤可以通过扩散作用从水中取得少量溶解氧。这不足以维持整个人体的生命。
- 顺便说，1851 年就知道人的皮肤可以通过扩散作用从空气取得少量氧气；2001 年，实验显示，在皮肤完整、潮湿的条件下，人体表层到 0.25~0.4 毫米深处的细胞可依靠从空气获取的氧生存 。
作为人类祖先的鱼是数... | {
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在太空中人类的昼夜节律是否会被改变？为什么？ | 目前会。近地轨道上的光照规律、航天器内的照明状况、微重力、电离辐射、工作时间安排会影响人类航天员的昼夜节律。睡眠不足、睡眠剥夺、疲劳是航天员最常见的主观抱怨。
在天空实验室、和平号空间站、美国航天飞机、国际空间站上记录到航天员每 24 小时的平均睡眠时间约 6 到 6.5小时，他们有时会发生入睡困难。美国航天员在国际空间站的平均安眠药消耗量是地球上普通人群的 10 到 20 倍。
睡眠不足会影响航天员的情绪、认知能力、工作能力。
- 航天员经常两班倒工作。
- 航天器上的部件经常发生故障、让航天员面临计划外的高强度操作需求。
- 航天飞机、联盟号等航天器飞往国际空间站的发射窗口相当窄，参与对接任务的航天员需要在指定发射时间前至... | {
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像桃花源这样的封闭聚落最终都会因为近亲繁殖的问题而自然消亡吗？
条件
完全封闭与外界无接触
自然资源充足
人数的话假设一开始有1000村民好了，男女平均 | 不会，题设的初始村民人数 1000 远远超过处理“近亲繁殖”问题所需。
- 现实中就有不到 1000 人的岛屿部落、偏远村落长期存续。而且，古人类的小型迁徙群体约 160 人。当前人类的基因多样性本就很低，看起来这个水平已经够用了。
- 胡特尔派在十八到十九世纪几乎被来自外部的暴力攻击灭绝，后来以高度近亲繁殖的方式在 125 年间从约 400 人增加到约 42000 人，现在有数百个居民点。他们的每个居民点包含 10 到 20 个家庭，居民点人口约 60 至 250，在居民点的人数超过 250 时，领导人会找个口实、以抽签方式选出半数成员去开拓新的居民点。你可以参考他们的历史，想想 1000 是不是太保守了。
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分子遗传学推翻了哪些传统观点？ | 传统认为细菌的基因组结构比别的细胞生物都简单是因为原始，但是通过对核糖体RNA等一系列超保守细胞器组分遗传分子钟的构建，遗传关系显示一部分细菌的基因组结构比古细菌和真核生物简单可能是特化的结果。
常见细菌所属于的一些细菌域后期分支，其基因翻译率高、遗传冗余低、基因调节结构简单的特点，并不是原始特征，反而可能是特化的结果。
细菌域一些早期分化的分支的遗传结构的特征更接近古细菌和真核生物的领域，有比较多的无法翻译的冗余遗传物质和基因表达层面的调节结构。
真核生物域的基因翻译率低、遗传冗余高、基因调节结构复杂，反而是保留了更多LUCA的原始特征。
仔细想想这个结果倒是完全符合RNA世界假说的预测，从RNA世界过渡到DNA+蛋白质世... | {
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你知道蚊子有多少种吗？ | 知道。
截止 2023 年 3 月 9 日，“蚊子”是蚊科 3618 个已知有效物种的通称。
在此基础上，摇蚊科的超过 5000 个物种也经常被人误认为是蚊子。
一些科学家会在网络上更新蚊科的分类情况，例如：
[Mosquito Taxonomic Inventory](https://mosquito-taxonomic-inventory.myspecies.info/valid-species-list)
算上未知物种，地球上当前可能有超过 1 万个物种会被目击者称为“蚊子”。
截止 2023 年 3 月初，不同的科学家将蚊科分成 43 个到 113 个属。
截止 2023 年初，已经观测到约 90 种蚊子能传播... | {
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生孩子那么痛苦，为什么人类在过去几百万年中都没有因为不愿生孩子而灭绝呢？ | 首先，题目的前提“生孩子那么痛苦”的可信度是不稳定的，有时是可疑的。
- 对双胞胎的研究显示，人类女性的骨盆宽度受生活环境的影响似乎超过基因造成的影响。农业时代的饮食变化可能比骨盆宽度的遗传因素造成了更多的产科问题。
- 在过去几百万年的大部分时间里，人的生育没有现在这么痛苦；现代人生育时的痛苦程度也因人而异、在一生中会多次改变，通常二胎或更多胎的痛苦程度低于头胎。
在此基础上，现代的一些宣传是极度歪曲的，夸大了分娩的痛苦和死亡风险。你可以在这个问题下的某些回答里看到千奇百怪的夸张模因。
- 美国麻醉医师协会的全国性调查显示，46% 的新母亲表示，生第一个孩子时经历的痛苦低于她们的预期。询问“分娩过程中最痛的时候有多痛”时，4... | {
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都说全球变暖导致一些珊瑚礁的死亡消失，那其他地方有产生新的珊瑚礁吗？有的话在哪里？ | 有。珊瑚正在死去的珊瑚留下的位置及其周围生长，一些热带珊瑚的分布区域朝两极移动，另一些相对耐热的珊瑚留在原地。地质史上全球大规模暖化时留下的珊瑚化石也有类似的迹象。
- 二十世纪三十年代以来，科学家在北半球一些地区研究的 9 种珊瑚中有 4 种以每年 14 千米的速度向北扩张。从 1930 年到 2011 年，日本温带领海的冬季表层水温上升了约 2.4 摄氏度，允许更多珊瑚生存在比历史上更靠北的海域并造礁。
- 从 1974 年到 2012 年，赤道海域的珊瑚密度有所下降，亚热带海域的珊瑚密度有所增加。在南北纬 20 度以上海域，珊瑚密度增加了 78% 以上。大量珊瑚出现在北纬 33 度、南纬 30 度附近，这里将会形成新的珊瑚礁... | {
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生命科学的第一性原理是什么？
第一性原理的首创者是古希腊著名哲学家亚里士多德。他认为：“任何一个系统都有自己的第一性原理，是一个根基性命题或假设。它不能被缺省，也不能被违反。” | 一部分学者认为生命科学的第一性原理是 Erwin Bauer 于 1920 年发表的《生物科学的基本原理》中提出的稳定非平衡原理：
- 生命系统，且只有生命系统，永远不会处于平衡状态。借助自由能，它们持续地做功来避免根据物理和化学定律应当在给定的外部条件下达到的平衡。
Mikhail Volkenstein 于 2009 年给出了更简短的版本：
- 生命系统永远不会处于平衡状态，这以它们的自由能为代价。
在上述命题中，所谓“永远不会处于平衡状态”是靠“一旦某个生命系统不可逆转地达到了平衡状态，该系统就不再算是生命系统”来实现。这不仅在逻辑上相当难看，而且不可避免地遇到了台风之类耗散系统是不是生命系统的问题。
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大理石纹螯虾是如何进行“自我复制”来繁殖的？ | 大理石纹鳌虾，有学者建议命名为“处女鳌虾”，是自然产生的三倍体雌性龙纹鳌虾，进行单性生殖（孤雌生殖）：
- 2007 到 2008 年的两项研究认为，大理石纹鳌虾的卵母细胞不进行减数分裂；
- 2016 年，日本的一项研究显示，大理石纹鳌虾的卵母细胞不进行第一次减数分裂，但会进行类似第二次减数分裂的分裂并自行恢复染色体组数；
- 无论如何，大理石纹鳌虾的孤雌生殖不包含“卵细胞互相融合或卵细胞与极体融合”之类过程，是无融合生殖的孤雌生殖。它们产生的三倍体卵子无需受精，可以被批量排出体外、在适宜的水温下开始发育。
- 这种方法产生的不同个体可以携带各自不同的基因突变，并在和环境的互动过程中配备不同的表观遗传修饰。
- 实验显示，雄性龙... | {
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听说食肉动物的皮肤具有游离性，有一定的防御能力，想知道防御能力如何，贴吧虎吧有人那这个吹老虎的体防？ | 食肉目皮肤的防御能力一般。狮子、老虎身上容易与其他生物接触的部位的皮肤厚度可达 2~3厘米，能防御一些攻击，但远远没有到值得吹的地步。狮子皮已经被古人证实不适合作为衣服，挂在墙上或放在座椅上当装饰还可以。
老虎皮当衣服的性能同样堪忧，主要用于地毯、壁挂、坐垫。
跟大猫的皮比起来，熊、河狸、海獭、狼獾、渔貂的皮要耐用得多。
在防御穿刺方面，已经在野外观测到狮子·老虎被豪猪刺死、被毒蛇咬死。并非所有毒蛇都有足够长的毒牙来攻击这些动物。
在防御打击方面，“皮肤具有游离性”并不能抵御长颈鹿、大象之类大型植食性动物的踢打。
老虎像其他猫科动物一样有护毛和底毛。护毛比底毛长而粗，有一定的防水性能，可以遮挡紫外线并防御擦伤、轻度切割伤和... | {
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用其他物种的花粉刺激三倍体西瓜会使其结果吗？ | 一部分非西瓜物种的花粉可以让三倍体西瓜结果，例如葫芦品种“Kachidoki2”的花粉。这种葫芦花粉亦可诱导二倍体西瓜产生符合商业无籽标准的果实，从而省略搞三倍体的过程。
- 实验显示，在上述无籽果实启动发育时，葫芦花粉管根本就没有到达西瓜子房的胚珠。
- 这样搞的结果率约 57.1%，比用二倍体西瓜花粉为二倍体西瓜雌花授粉的结果率 65.0% 略低。
- 用葫芦花粉搞出来的西瓜果实，横截面有变成三角形或长方形的趋势，果长与果宽之比有明显变化，但果实重量、果皮厚度、果肉颜色、糖度与对照组几乎相同。在这个场合，形状变化可能是优势。
顺便说，二倍体西瓜、四倍体西瓜与三倍体西瓜的生殖隔离是不完全的。三倍体西瓜仍有概率产生正常配子，市面... | {
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动物能通过观看影视作品获得乐趣吗？动物喜爱观看的影视作品可能是什么样的？会提出这个问题是因为的前些天看到一个黑猩猩看视频的视频。黑猩猩眼中的视频是什么样的？它能理解它观看的视频吗？能通过观看视频获得乐趣吗？人类为什么能通过观看视频获得乐趣？其他动物如海豚，章鱼，猫狗等呢？ | 在播放的内容波长、亮度、刷新率适当的时候，视力不太差的动物可以观看影视作品；在播放的声音频率、响度适当的时候，听力不太差的动物可以听到音频。“能不能理解”“有无乐趣可言”在子非鱼的层面上无法判断，不深究这个的话，看起来动物可以根据互动视频做出人们预期的部分反应，至少能对视频达到和对周围的事物相似的理解程度——原本就看不懂的东西，例如偏微分方程，写在纸上和显示在屏幕上都不懂。
看起来，黑猩猩、猫狗之类可以从看视频和/或听音频中获得一定的乐趣。人们并没有给海豚和章鱼看过什么正经玩意，但章鱼跟水族馆里的摆设玩得看起来不错，这包括而不限于砸水箱、喷水来短路水箱上方的灯。
2013年的一项研究表明，狗可以根据视觉线索选出屏幕上的狗的图像并... | {
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养虚拟宠物（任天狗、拓麻歌子、机械玩具）能否和养真宠物一样有助于催产素释放？ | 能，具体效果在很大程度上取决于虚拟宠物的外形、行为、互动能力。有些时候，机器宠物带来的好处可以超越活动物。
人看到可爱的小狗/小猫的静止图片，会释放一些多巴胺和催产素。这由哺乳动物幼体的视觉线索触发，检测内容包括占身体比例较大的头、占面部比例较大的眼睛、圆润而不分节的身体形状、柔软的身体表面（尤其是绒毛）。这种反应有助于哺乳动物照顾幼体，不限于同物种的幼体。成体仍保有上述特征的小狗、小猫等动物和虚拟宠物可以利用上述机制。机器蛇、机器蝎子、机器蜘蛛、机器苍蝇宝宝、机器蛔虫之类东西要触发上面的机制就难得多了。
动态图、立体影像、可触摸的毛绒玩具、能主动接触人的活动物/机器带来的效果比静止图片更强。动物做出的意想不到的滑稽动作会在神经... | {
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鱼类和海洋里面的哺乳动物，会放屁吗？ | 将放屁定义为有肛门的动物从肛门排出消化道内的气体（尤其是消化食物产生的气体），那么至少一部分鱼和海洋哺乳类会放屁。
- 生活在浅水中的一些鱼会放屁。健康的金鱼通常不放屁，而是打嗝。消化出现问题的金鱼会放屁。
- 南美洲的淡水鱼灰鳉食用藻类后在消化道里产生的气体跟身体的规模比起来相当多，由此导致的胀气会让它们浮在水面上难以下潜。它们通过放屁排气，放不出足够多的屁会高概率被捕食者攻击。
- 生活在深水中的鱼从口和/或肛门持续排出消化道里的气体。持续排气算不算屁是个哲学问题，建议算。
- 鲸的屁曾数次被拍摄下来。海豚们在海洋馆里放的屁就更多了。
- 根据现场调查，海豹的屁有一股鱼味，很臭。
- 绿色和平的工作人员曾比较 60 种动物的屁... | {
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没有线粒体的真核生物能合成血红蛋白吗？ | 不用那么多前提，任何有核糖体的生物在适当条件下都可以合成血红蛋白。即使是本身基因组里没有血红蛋白相关基因的物种，也可以被转入相关基因，或是更简单地整点血红蛋白mRNA来。
血红蛋白和类血红蛋白分子本来就广泛存在于自然界，在没有血液的植物、真菌、细菌们身上也有应用。没有线粒体的真核生物合成的血红蛋白往往跟你身上的血红蛋白有颇多的氨基酸差异，没有血液也没有肌肉的生物合成的血红蛋白与肌红蛋白往往无法区分，因此“类血红蛋白分子”更准确。
- 根瘤菌与大豆组成的共生构造用根瘤血红蛋白降低游离氧到固氮酶可以接受的程度，供根瘤菌展开固氮活动。根瘤血红蛋白是根瘤菌和植物根系一起分泌的，根瘤菌那都别说线粒体了，压根就是个原核生物。
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如何看待运动、健身加快了人体新陈代谢和身体损耗，导致寿命缩短？ | 没那么简单。
30 岁后，人的最大摄氧量通常每十年下降约10%，这和多种慢性疾病的患病率与死亡率、丧失独立生活能力的风险增加直接相关。缺乏运动是慢性病的主要原因之一。适度体育锻炼可以在一定程度上增加最大摄氧量，降低人死于高血压、2型糖尿病、高血脂、冠心病、中风、癌症的概率，可将全因死亡率降低约 30% 至 35%。与不定期进行锻炼的人相比，每周累计进行 150分钟以上适度体育锻炼（可以是 5 天间每天 30 到 45 分钟）的人的预期寿命更长，锻炼形式可以是简单的步行。
- 13 项研究的结果表明，有规律的体育锻炼与预期寿命延长 0.4 至 6.9 年有关。
- 11 项研究在此基础上考察了死亡率的混杂风险因素，显示有规律的体育... | {
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生物体可能产生金属单质吗，或者产生半导体，构建逻辑电路？ | 那不是“可能”的程度，地球上的生物早就可以产生金属单质、半导体、逻辑电路了：
- 地面上就广泛存在将金属氧化·还原来获取少许能量的微生物。你肚里大量存在的大肠杆菌就可以将汞单质氧化为二价汞离子并取得些微的能量，土壤里有多种细菌可以将二价汞离子作为电子传递链的电子受体，还原为汞单质。
- 将金属离子还原为金属单质的细菌相对人类冶金工业来说非常分散，在短时间内不会形成肉眼可见的大量金属单质矿物，但随着时间可能积累并参与矿床的形成。异化金属还原菌能将溶液中的二价钯离子·三价金离子·一价银离子还原为钯、金、银纳米颗粒，对镉、锶等也有效，已经用于微生物燃料电池、污染治理和回收贵金属等研究。
- 生物体内的半导体更是普及到好笑的地步，你身上就... | {
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人的神经信号也是电信号，为什么电磁干扰影响不到人？ | 您的问题存在错误，电磁干扰是可以影响到人的。
医疗扫描和经颅磁刺激使用的强磁脉冲经常引发副作用，包括而不限于睡眠障碍、头痛、头晕、抑郁、疲倦、发痒、注意力不集中、短暂的轻度躁狂发作、认知改变、暂时性听力损失、味觉变化（典型的是口腔出现金属味）、暂时性工作记忆受损，少量患者会晕厥。
电磁场对人体的影响不限于神经系统。10特斯拉的磁场可以影响血液流动。随时间迅速变化的强电磁场可以在人体内产生热效应，例如微波炉可以很简单地杀人。磁星的超强磁场可以将人体拆成一条单原子线、加速到亚光速并在它的表层撞得剧烈爆炸。
显然，人们经常被文艺作品里“只影响机器、不杀人”的“EMP”误导。其实，有封闭金属外壳或法拉第笼式构造并良好接地的机器比人更不... | {
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为什么灵长类的嗅觉都不强? | “灵长类的嗅觉都不强”是个以偏概全的刻板印象，原猴亚目的嗅觉能力强，而人类的嗅觉能力其实并不弱。
- “人类的嗅觉很差”是一条19世纪模因，来自Paul Broca。实情是，人类的嗅球只是“占整个脑的比例较小”，而不是比其它动物小，在实验室里测试特定的气味时，人类检测一些气味的能力强于老鼠和狗，三者各有自己擅长检测和不擅长检测的气味。
试图解释“灵长类嗅觉退化”的早期学说是“嗅觉退化与视觉进化同步进行”。2004年，来自德国和以色列的一群科学家试验发现，灵长类嗅觉感受基因的缺失和三色视觉的获得之间存在某种联系。
- 嗅觉感受基因是嗅觉的分子基础，截止2004年已经测序的人类·非人灵长目动物·老鼠有数量相近的嗅觉感受基因，不过人... | {
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为什么鸟冬天要迁徙？ | 一些鸟在冬天迁往气温较高的地区，可以获得比不迁徙的鸟更多的食物。在食物充足的情况下，许多候鸟会暂停迁徙。现存候鸟物种往往处于一部分种群迁徙、另一些种群不迁徙的状态。
对于体型较大的鸟，成群飞行可以节约能量。组成 V 形编队的大雁比单独飞行节省 12% 到 20% 的能量。组队迁徙比零散地飞行去寻找食物更高效。
当然，鸟本身未必明白这些情况。
在食物总量不足的情况下，触发具体的鸟迁徙的因素通常是每天的白昼时长缩短到一定水平引起的激素水平变化。也有检测气温变化的鸟，这预计会受到气候变化的影响。
鸟的迁徙可能首次出现于约八千万年前，在鸟类演化史上多次独立出现。在全球范围内、在鸟纲的五个主要的目级分类群中，迁徙行为总体上与更高的物种... | {
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为什么大部分动物没有彩色视觉，只有黑白视觉？动物进化出彩色视觉的意义在哪里？ | 事实上，以已知的物种数量、个体数量、生物量计算，大部分动物是具有彩色视觉或检测颜色的感光能力的。
- 物种数主要来自具有多色视觉的昆虫，个体数主要来自没有眼睛但能检测颜色的线虫，生物量主要来自具有多色视觉的鱼。
- 以个体数量计算，有图像视觉的动物以彩色视觉为多；
- 所有动物的大部分数量归于线虫。秀丽隐杆线虫可在白光或一定比例的蓝黄光下检测铜绿假单胞菌等细菌反射的光的波长比例并避免摄入这类对它们有毒的细菌，这涉及的分子机制与其他动物的视蛋白完全无关，涉及的基因至少有 jkk-1 和 lec-3。从其他线虫到人的多种动物有这些基因，但它们在人身上似乎不用于检测光波长的比例。
对图像视觉来说，色觉来自多种具有不同吸收峰的视蛋白分子... | {
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哪些蜘蛛具有群居习性，其中具备社会性的又是哪几种？ | 在已知的约 50500 种蜘蛛里有至少数百种群居，其中至少 23 到 25 种有一定的社会性。人工环境可以让更多蜘蛛物种建立群体。阿格纳森等估计蜘蛛 18到 19 次独立演化出社会性。
姬蛛科有至少 11 到 12 个具有一定社会性的群居物种，可能涉及 8 到 9 次独立演化出社会性。姬蛛科 Anelosimus 属有至少 8个具有一定社会性的群居物种，主要分布在美国和马达加斯加。
- 生活在南美洲的 Anelosimus eximius 是人最了解的社会性蜘蛛物种，它的网可以覆盖整个树冠、包含数千到五万个体，这种网合作捕猎的效率在 1000 只左右的群体里分摊到个体的效费比最高。
- 在圈养环境，更多的姬蛛科物种可以形成小的... | {
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污染物沿着食物链传递，其浓度在较高营养级中一定增大吗？
19.生物富集的效率可以用生物富集系数 (bio-concentration factor, BCF) 进行量化, 计算公式如下:BCF = 生物体中某种物质的浓度/环境中同种物质的浓度, 以下有关叙述错误的是
A. 生物富集的过程一般是沿着食物链和食物网进行的
B. 生物富集效率会受 到生物特性、有害物质性质及环境因素的影响
C. BCF 数值越大,说明该物质越容易在生物体内分解
D. 污染物沿着营养级传递过程中, 其浓度在较高营养级中不一定增大
19题D 哈尔滨2022市统考生物试卷 | 不一定增大。
选项 B 已经概括性地解释了选项 D。生物富集的效率受生物的特性、有害物质的性质、环境因素影响，效率可以低到生物富集系数（BCF）等于或小于1，高营养级生物体内的污染物浓度不变或减少。
一些生物很擅长排出特定污染物，或是很不擅长吸收·储存特定的污染物。一些生物能将污染物分解为无害产物。一些生物不同部位的污染物浓度有明显差异、吃这生物的其他生物并不吃高浓度的部位。这些情况都能实现较高营养级的污染物浓度不变或减小的效果。
例如有机磷农药乙拌磷亚砜及其有毒代谢产物在欧亚鲤（常见的养殖鲤鱼）体内的 BCF 小于 1，六氯环己烷（bhc，666）在真无须魮的鳃的 BCF 为0.076、在肌肉为 0.043、在肠道为 0.1... | {
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坚持跑步为什么会提高大脑认知能力，有什么科学依据吗？ | 科学依据很多。不限于跑步，坚持体育锻炼似乎可以改善人一生中的认知健康水平。
- 神经影像学数据显示，健康的心肺功能可以延缓衰老过程中与年龄相关的脑组织（灰质和白质）损失，有概率改善特定脑结构的健康程度 ；
- 有氧运动可以增加流过大脑的血量，尤其是在涉及信息检索和执行功能的脑区，可能有助于降低患上抑郁症或神经退行性疾病的风险；
- 有氧运动可能影响表观遗传修饰和分子通路、线粒体的行为、涉及脑源性神经营养因子 (BDNF) 的分子系统。通常，在半年间定期跑步和/或进行其他有氧运动，就能让所有年龄段的平时不怎么运动的人自己体验到一些改善；
- 有氧运动可以改善前额叶和顶叶在认知挑战任务中的表现；在年轻人身上，这不止能提高快速反应过程中... | {
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为什么海洋中动物的生物量大于植物？ | 海洋植物只占海洋生产者的一小部分，已知海洋动物生物量不止超过海洋植物生物量，更超过海洋生产者的已知生物量。Bar-On 等估计消费者占海洋生物量的 80%以上，生产者占陆地生物量的 95% 以上。不计尚未搞清楚的部分，当前陆地生物量约为海洋生物量的 80 倍，陆生植物占地球总生物量的约80%，主要是大型维管植物（海洋里稀缺的类型）。超过 70% 的动物生物量存在于海洋。
这可能有以下原因：
### 一、海洋单位面积的光合生产力较低
统计显示，在海洋和陆地环境中，当地光合生产力越高，当地生产者与消费者的比率越大。
2018 年估计的海洋总初级生产力（485 亿吨碳每年）与陆地总初级生产力（564亿吨碳每年）数量级相同，而海洋的... | {
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人类更适合吃肉还是吃植物？ | 现代人适合吃肉并搭配一些植物，植物可提供膳食纤维、维生素 C 等。
古人类更适合吃肉。
总体上，人类的饮食倾向是高度可变的。住在江河湖海附近的古人类吃了很多鱼和贝类。生活在森林等植被丰富地区的古人类吃了很多水果、块茎和蜂蜜。现代狩猎采集者哈扎人吃的东西随季节改变，总体上生存所需的能量有一半左右来自动物肉，另一半来自植物和蜂蜜。现代人亦可在很大范围内选择饮食——但是，突然改变长期适应的饮食习惯会影响消化道菌群，有概率造成疾病。
Miki Ben-Dor 博士和他的同事从遗传学、新陈代谢、生理学、形态学、古生物学等领域的约 400 篇科学论文中收集了 25条重要证据，支持石器时代的古人类是肉食性动物。
例如：
- 与杂食动物和... | {
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生物会对遗弃的巢穴重复利用吗，比如蚂蚁；或者生物会利用其他生物的巢穴吗？ | 会，很常见。
老鼠经常在感到危险或巢穴受损时逃走，并在不久之后返回、对受损的巢穴进行修补、重新住下。老鼠选择筑巢地点时会考虑安全、保温、获取食物和水的难度，会在巢穴里使用报纸、破布、塑料、树叶等材料保温。为觅食等活动暂时离开巢穴时，老鼠会沿途留下气味标记，以便原路返回。鉴于合适的筑巢地点有限，老鼠改变筑巢地点时优先选在旧巢穴附近；一窝老鼠被赶走后，新来的其他老鼠（无论是不是同一物种）有概率选择同一位置筑巢。老鼠经常在人的“巢穴”里筑巢。
在雨季，许多蚂蚁会将新热带白蚁 Nasutitermes corniger (Motschulsky)的巢穴当作庇护所，可能顺便吃掉一些白蚁工蚁（不论死活），同时为白蚁提供富氮营养并改善巢穴的防... | {
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生物的进化应该是趋利避害才能延续下去，可为什么人类在惊恐的时候会僵住任人宰割，而不是撒腿就跑？
为什么惊恐的时候明明撒腿就跑比僵住动不了任人宰割存活的几率要大得多，为什么依然进化成动不了呢？？？ | 在危险情况下难以行动，吓呆（冻结行为/freezing behavior, 冻结反应/freezeresponse），是应对捕食者的一系列行为的组成部分，比人类、比哺乳纲更古老。各种动物经常将其拿来应对捕食者之外的有害事物、同类攻击等生存威胁。
演化青睐有助于提前发现捕食者并降低被捕食者发现的概率的行为。动物检测到远处出现疑似捕食者的迹象时，“吓呆”会减少自己的动作（许多捕食者能识别远处的物体移动和声音）、促使自己的感官关注该迹象、增强收集信息的敏感度。有复杂感官的动物通常会朝疑似捕食者所在的方位瞪大眼睛、竖起耳朵之类。这是古老、简单而有效的被动防御策略，经常搭配其他适应性反应，例如啮齿类在检测到蛇时会竖起毛发增加散热，这略微有助... | {
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为什么大自然要让人类女性生殖时要承受巨大的痛苦，而没有将这种痛苦进化消失掉？ | 大自然不负这个责任。历史上大部分时候，古人类分娩没有现在这么痛苦，选择压不强。最近数百年里，站着、坐着、蹲着分娩的难度及其带来的痛苦仍低于仰卧分娩，尤其是站着分娩允许重力协助、骨盆带自然活动（Dundes，1987年；Gupta 与 Nikodem，2000 年；Michel 等，2002年）。古埃及壁画、古欧洲浮雕、阿兹特克艺术品都曾描绘女性站着分娩。十九世纪末到二十世纪初的粗糙医学一度造成产妇死亡率上升。
对双胞胎的研究显示，人类女性的骨盆宽度受生活环境的影响似乎超过基因造成的影响。农业时代的饮食变化可能比骨盆宽度的遗传因素造成了更多的产科问题。约12000 年的农业社会生活尚未让人的骨盆宽度重新优化到适合新生儿的大头，显示当... | {
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运动会加快细胞新陈代谢，那是不是意味着越运动越容易狗带？ | 不是。“加快新陈代谢”跟寿命或死亡率没有简单的线性关联。
缺乏运动是慢性病的主要原因之一。30 岁后，人的最大摄氧量通常每十年下降约10%，这和多种慢性疾病的患病率与死亡率上升、丧失独立生活能力的风险增加直接相关。适度体育锻炼可以在一定程度上增加最大摄氧量，降低人死于高血压、2型糖尿病、高血脂、冠心病、中风、癌症的概率，可将全因死亡率降低约 30% 至 35%；与不定期进行锻炼的人相比，每周累计进行 150分钟以上适度体育锻炼（可以是 5 天间每天 30 到 45 分钟）的人的预期寿命更长，锻炼形式可以是简单的步行。
- 13 项研究的结果表明，有规律的体育锻炼与预期寿命延长 0.4 至 6.9 年有关。
- 11 项研究在此基... | {
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第一个产生抗体的物种是那个？ | 分子生物学证据显示，第一种产生抗体的动物可能是某种目前尚未找到化石或找到了化石但未确定免疫功能的有颌鱼，可能是盾皮鱼或软骨鱼，生活在距今超过 4亿年前。估计这种有颌鱼的体型较大、单次繁殖产生的后代数量较少，较强的免疫功能在一定程度上有助于可育后代的数量。
- 一个次要证据是，某些盾皮鱼似乎采用体内受精和胎生 。
- 七鳃鳗的适应性免疫系统不产生抗体、产生可变淋巴细胞受体。盲鳗之类似乎也如此。估计抗体的出现不早于脊椎出现。
- 现存软骨鱼的抗体的一些特征看起来比硬骨鱼的抗体更不像哺乳类的抗体。现存硬骨鱼的抗体显示，远古硬骨鱼可能首创了现存哺乳类的抗体的一些特性（尤其是铰链区） ，并创造了一些看上去后来被四足形类随机丢弃的特性。哺乳类... | {
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人类的神经细胞为什么无法再生？ | 事实上，人的神经细胞可以再生，死亡的神经细胞可以被新的神经细胞取代，尤其是在海马体；即使不产生新的神经细胞，已经存在的神经细胞也可以改变功能来代偿受损或死亡的细胞的功能，半脑切除之类手术和一些严重脑水肿案例显示人脑可代偿看起来不可思议的神经缺失。
这和所谓意识的连续性完全无关。新产生的神经细胞可以接替旧细胞形成同样模式的突触连接来储存一样的信息、执行一样的功能。况且，你不觉得在“随着年龄增长，死掉了大量神经细胞、没有新细胞补充”的情况下“维持主观连续的意识”难度更高吗？
包括人在内，成年哺乳动物脑仍有两个区域包含神经干细胞：侧脑室的脑室下区（SVZ）、海马体齿状回，这些神经干细胞在许多动物身上制造新的神经元。室管膜细胞和放射状胶... | {
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海豚、淡水豚会被鱼刺卡住吗? | 会。从 1997 年至 2011 年，科学家记录到美国佛罗里达州印第安河泻湖沿岸搁浅的 350 条宽吻海豚里有 14 条（12 条成年、2条幼年）是被鱼卡住喉咙而死。
- 相关鱼主要是背鳍中有硬刺的罗非鱼、羊头鲷、Diapterus plumieri（条纹莫哈拉鱼），其中 5 条带有鱼钩、鱼线之类让海豚更难处理的人类产品。
- 海豚吃大型猎物时喉部脱位到食道，被猎物身上出乎意料的结构卡住的概率上升。淡水豚有基本上同样的结构，可以预期有类似海豚的噎死概率。
- 历史上，海豚一般会避开羊头鲷这样危险的猎物，但近年来的环境变化可能让海豚缺少传统猎物。
若题目想问的是鱼的肌间刺，对海豚来说那不是问题。生鱼的肌间刺没有人熟悉的熟鱼身上那么... | {
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哪些蜘蛛可以飞行？ | 蜘蛛靠丝线飞起来的方法称为“飞航”，一般不叫飞行。已记录飞航行为的蜘蛛物种分布在 27个科，常见的飞航蜘蛛来自皿蛛科、蟹蛛科、园蛛科、猫蛛科、逍遥蛛科。漏斗蛛科、近管蛛科、地蛛科、管巢蛛科、圆颚蛛科、螲蟷蛛科、卷叶蛛科、石蛛科、隆头蛛科、平腹蛛科、栅蛛科、光盔蛛科、狼蛛科、拟态蛛科、米图蛛科、蜜蛛科、类球蛛科、盗蛛科、跳蛛科、肖蛸蛛科、球蛛科、妩蛛科亦有飞航的物种。
一些科学家实验研究过皿蛛科的 Erigone atra、园蛛科艾蛛属的 Cyclosa turbinata、球蛛科希蛛属的 Achaearaneatepidariorum、隆头蛛科 Stegodyphus 属的 S. dumicola 和 S.mimosarum（大型... | {
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在自然界的演变中，RNA为什么没有被单链DNA所取代？大部分生物的遗传物质是DNA，显然DNA较RNA有更高的稳定性，那么为什么RNA仍然在进化中保留下来？RNA的部分功能是否可由单链DNA来执行？ | DNA 和蛋白质不能执行 RNA 的某些催化功能，例如在核糖体里发挥催化作用的是且只是 RNA，过去 38 亿到 45亿年的演化都没有改变这状况。剪接体也如此。
不过，题目错的地方比这更基本：
在热力学稳定性上，双链 RNA 胜过双链 DNA，双链 DNA 胜过 DNA-RNA 杂交链。
- 人们其实直到公元 2013 年才能实验测定生物体内 RNA 的结构。真核生物体内大量的小 RNA 是双链的，有很多非编码 RNA 是通过碱基互补跟 mRNA 配对形成双链再去发挥功能的，mRNA 也可能形成双链。
- “RNA 病毒突变快”是因为不进行纠错，碱基错配概率高，而不是“RNA 链不稳定”。
日常所说的“RNA 不稳定”，部分... | {
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为什么胸腺嘧啶一般只能在DNA中？尿嘧啶一般只能在RNA中? | 这取决于核酸的功能。
DNA 使用的胸腺嘧啶 T 是甲基化修饰的尿嘧啶 U，不易被核酸酶降解，不会在 DNA 修复机制纠正胞嘧啶 C 突变为尿嘧啶 U的偶发状况时被错误修理，有利于稳定记录遗传信息。
- 尿嘧啶 U 可以摇摆配对腺嘌呤 A 和鸟嘌呤 G，在多次复制中容易突变。
- 胞嘧啶 C 容易自发脱去环外氨基、变为尿嘧啶 U，改变核酸存储的信息并降低下一次复制后的核酸分子的稳定性（CG 之间有三个氢键，而 AU 之间有两个氢键），造成各种错误。
- DNA 要长期使用并传给后代，没有特殊目的的话，应当处理掉序列里出现的 U。
大部分 RNA 没有 DNA 那么高的稳定性需求，不需要进行这种甲基化修饰。
tRNA 使用大量... | {
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自然界中的生物，雄性参与养育后代的物种占比多少？ | 你想问的大概局限于动物。动物中不到 1% 的物种会尝试照顾后代，其中雄性参与照顾后代的不到这 1% 的10%，能叫做“养育”大概起码提供了一点食物（而不止是“孵蛋、击退敌害”），其比例接近 0%～
- “自然界中的生物”在个体数量和物种数量上绝大部分是病毒、细菌、古菌，动物在生物的个体数量和物种数量中占比接近 0%，是绝对的非主流。
- 几乎没有能通过“额外排放一点有机物”之外的方法去照顾后代的线虫，而线虫在动物的数量里占比极高。照顾后代的节肢动物很少，而节肢动物在动物的物种数里占比很大。这意味着在动物内部，照顾后代的占比也会非常低。
哺乳纲的所有物种都有雌性照顾后代的行为，约 5% 到 6% 的物种存在雄性照顾后代的行为，主要... | {
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是否发现某类基因决定了动物的社会性?
比如某些动物有明显的社会关系，而另一些动物则偏向独居。 | 成百上千个基因与社会性有关，未发现哪个是决定性的。
- 精氨酸加压素受体、催产素受体等受体参与从田鼠到人类的许多物种的社会行为，这显然关系到编码它们的基因、参与调节基因表达水平的基因与非编码序列；
- 既然是神经系统要参与的事，突触蛋白、离子通道蛋白、昼夜节律相关蛋白显然是绕不过去的；
- 转录因子 egr1 （在不同物种中被称为 ngfi-a、 zif-268、krox-24、tis8 、 zenk 等）参与鸟对声音的反馈，前脑的一些细胞在听到鸟叫声等声音后调高编码该转录因子的基因的表达水平，调高情况在听到白噪音、陌生的鸟叫、熟悉的鸟叫时显著不同，在鸟周围有同类时更与单独行动时不同；编码 egr1 的基因还参与伯氏妊丽鱼对社会地... | {
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科学家认为，人类都是早产儿，那如果真的按照推测孕育21个月是不是会产生更出色的新人类？ | 不是那样。
“人类都是早产儿”是拿来解释“为什么人类新生儿的生存能力极度低下”的不严谨说法，历史上曾经由阿道夫·波特曼整合到 Sherwood LernedWashburn 于 1960 年提出的“产科困境”假说中，试图将人类女性那异常困难的分娩说成“演化产生的解决方案”。“21个月”是历史上按人大脑发育速度估算的“人新生儿的大脑发育到体积占成年大脑 40%的程度（和黑猩猩新生儿一样）”需要的时间。这是基于过时知识计算的，按新一些的数据，需要的时间更接近 16 个月（DeSilva 和 Lesnik, 2006年）——你有了这程度的知识，就足以意识到，无法指望这产生什么“更出色的新人类”。
古尔德过去附和过“产科困境”，将其推得... | {
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假如从世界上第一个人诞生开始，一直往宇宙深处走，到了自然死亡就有下一个人接力。我们可以走多远？ | 看起来，本题目只是想问全人类累积能走多远的路程，不考虑人体有没有能力走到天上去。那么，太阳系的尺寸比不过人类走过的路程。
以尚未观测清楚的奥尔特云计算，太阳系的半径约 1 光年。
1 光年是 9460730472580800 米，精确值。
当前世界上有约 79 亿人，设其中 50 亿人在 1 年间每天拿出 1 小时用 1.5 米每秒的速度走路，那么一年的总路程是 1.04光年多一点。根本就不用出动“从世界上第一个人诞生开始”那么夸张的阵容。
你可以看出，人们对规模巨大的东西是没有概念的，哪怕那个东西是人们自以为最熟悉的“人类”也一样。
目前累计出生过的人数约 1170 亿。这之中有许多个体早死，已经死去的全人类的平... | {
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如何用定义证明1/x是双曲线？(F1-F2＝2a)？ | 将曲线 $$\mathscr{H}:y=\frac{1}{x}$$ 顺时针旋转 $$\frac{\pi}{4},$$由于旋转变换并不改变曲线本身形状，我们只需证明这旋转后的曲线 $$\mathscr{H'}$$ 是双曲线即可。
考虑极坐标化， $$\mathscr{H}$$ 的极坐标方程为 $$r^2\sin\theta\cos\theta=1.$$ 假设$$(r,\theta)$$ 是 $$\mathscr{H'}$$ 上任意一点，则将其逆时针旋转 $$\frac{\pi}{4}$$ 还原后的位置$$\left(r,\theta+\frac{\pi}{4}\right)$$ 必落于 $$\mathscr{H}$$ 上，这坐标将满... | {
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请问能否不使用微积分的知识证明伯努利不等式？ | 首先指出，问题不严谨。不使用任何微积分知识，要证明实数次幂型的 $$\text{Bernoulli}$$不等式是不可能的，因为事实上，连这个实数次幂本身都需要用微积分的实数理论去定义。于是，假定当前问题只是想要一种不涉及导数的证法，这当然是办得到的。
现在的任务是要证明
> 设 $$x>-1,$$ 则有 > $$(a)$$ 不等式 $$ (1+x)^r\le 1+rx$$ 对所有 $$0<r<1$$ 成立； > $$(b)$$ 不等式 $$ (1+x)^r\ge 1+rx$$ 对所有 $$r>1$$ 成立； > $$(c)$$ 不等式 $$ (1+x)^r\ge 1+rx$$ 对所有 $$r<0$$ 成立。
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这道积分题目挺经典的，该怎么处理来着？
设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导数, 且 $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(1)=1$. 求证:
$$
\int_0^1\left(f^{\prime \prime}(x)\right)^2 d x \geqslant 4
$$
先取特殊函数x^3-x^2，二阶导平方后积分值为4，后面怎么说明 任意函数都比它大来着？ | 这里给出一种低门槛、容易理解的做法，更本质的做法需要利用变分法中的 $$\text{Euler-Lagrange}$$ 方程，在此不做讨论。
很显然，对所有的 $$a,b\in\mathbb{R}$$ 都有
$$\int_{0}^1 (f''(x)+ax+b)^2{\rm d}x\ge0.$$
将左端展开，就有
$$\begin{align*} &\int_{0}^1 (f''(x)+ax+b)^2{\rm d}x\\\ =&\int_{0}^1a^2x^2+2abx+b^2{\rm d}x+\int_0^1(2ax+2b)f''(x){\rm d}x+\int_0^1f''(x)^2{\rmd}x,\\\ \end{ali... | {
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是否存在在R上严格递增且处处不连续的函数？ | 今将证明
> $$\color{blue}{\text{Theorem}}$$ 单调函数的间断点至多可列。
设 $$f(x)$$ 在 $$(a,b)$$ 上单调递增，如果它仅有有限多个间断点，结论是平凡的，我们只需研究这间断点无限多的场合。
首先，我们熟知所有这些间断都是第一类间断，也即是说 $$f(x)$$ 在每个间断点处的左、右极限均存在，只不过它们并不都等于该点的函数值。
假如 $$c$$ 就是这样的一个间断点，于是有 $$f(c-)< f(c+).$$ 为了叙述方便，我们把形如 $$(f(c-),f(c+))$$的开区间称为 $$f(x)$$ 在 $$x=c$$ 处的跃区，简记为 $$L(c).$$
显然地， $$... | {
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e^(t^2) 的原函数怎么求？ | 这个事情要先从 $$\int e^{-x^2}\,{\rm d}x$$ 说起。事实上 $$\int e^{-x^2}\,{\rm d}x$$也是积不出来的，于是数学上直接定义了一个与之有关的高等函数，称为高斯误差函数（Gauss error function）：
$${\rm erf}(x):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}{\rm d}t\\\$$
其中之所以带上了 $$\frac{2}{\sqrt{\pi}}$$ 的系数，是因为这个函数在引入当时是作概率论研究用的。很清楚， $${\rmerf}'(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},$$ 于是很容易就可... | {
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二阶导数的符号问题？
为什么不记做 $ rac{d^2 y}{d^2 x}$ ，而是记作 $ rac{d^2 y}{d x^2}$ ，不会让人误解 $d x^2=2 d x$ 吗? 这么做的好处在哪? | 二阶导数之所以记为 $$\frac{{\rm d}^2 y}{{\rm d}x^2}$$ 是有历史渊源的，它来源于二阶差商的概念。
## 一、差分
差商又来源于差分。这里先从差分说起。
对于函数 $$y=f(x)$$ ，赋予自变量 $$x$$ 一个固定的增量 $$\Delta x$$ ，就定义
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\\\$$
为函数 $$y=f(x)$$ 的一阶差分。那么，将一阶差分再作差分，就得到二阶差分，即
$$\Delta(\Delta y)=\Delta (f(x+\Delta x)-f(x))\\\$$
类似地，还可以定义三阶、四阶……直至 $$n$$ 阶差分。随着阶数的... | {
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如何证明：两个数之间必有无穷多个无理数? | 首先可以证明
> 对任意实数 $$a,b(a<b)$$ ，必存在某个无理数 $$\theta$$ 满足 $$a<\theta<b.$$
这只需要分类讨论即可：
* 若 $$a,b$$ 当中一个是有理数、另一个是无理数，取 $$\theta=\dfrac{a+b}{2}$$ 即合题意； * 若 $$a,b$$ 均为有理数，取 $$\displaystyle \theta=\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)a+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\right)b=\frac{\sqrt{2}}{4}(b-a)+\frac{a+b}{2}$... | {
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如何证明多项式 f(x)＝1＋x＋x²/2!＋x³/3!＋…＋x^n/n! 只有一个实数根？（n＝2019） | 今将证明：
> 方程 $$1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=0(n \in \mathbb{N^+})$$ 至多有> $$1$$ 个实根。
为此，置 $$f_n(x):=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!},$$ 再置$$F_n(x):=e^{-x}f_n(x).$$ 由于 $$(\forall x)e^{-x}>0,$$ 所以方程 $$f_n(x)=0$$ 与$$F_n(x)=0$$ 同解，这就只需要研究后者。注意到F_n'(x)=e^{-x}[f_n'(x)-f_n(x)]=-e^{-x}\frac{x^n}{n!}, \end{al... | {
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0.08... | |
请问如何证明下面这个双中值等式?
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续, 在 $(a, b)$ 可导, 求证在 $(a, b)$ 内存在相异两点 $\xi$ 和 $\eta$ 使得 $f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2 $ | ## $$\bold{\text{Proof 1}}$$
置 $$F(x):=[f(x)-f(a)]^2-\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2(x-a)^2,\\\$$ 则有$$F(a)=F(b)=0.$$ 于是依 $$\text{Lagrange}$$ 中值定理，存在 $$\eta \in (a,b)$$ 使得$$F'(\eta)=0,$$ 也即 $$\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\cdotf'(\xi)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2,\\\$$ 再依 $$\text{Lagrange}$$中值定理，存在 $$\eta \in(a... | {
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如何证明 f(x) 在 [0,1] 上最多只有有限个零点？
自己做的时候无意间忽略了 $f^{\prime}$ 不连续的情况，被指出错误后不知道该如何下手了，题目如下:
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 可导， 且 $\left\{x \in[0,1] \mid f(x)=0, f^{\prime}(x)=0\right\}=\varnothing$, 证明: $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上最多只有有限个零点. | 考虑利用反证法。设若 $$f(x)$$ 在 $$[0,1]$$ 上有无穷多个零点，则依 $$\text{Bolzano-Weierstrass}$$定理，必可求得一列零点 $$\\{x_n\\}$$ 使得，当 $$n\to \infty$$ 时成立 $$x_n\to x^{*}\in[0,1].$$
很清楚，由于 $$f(x)$$ 连续，则 $$f(x^*)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{n \to\infty}0=0,\\\$$ 同时，由于 $$f(x)$$ 在 $$x=x^{*}$$ 可导，也即 $$f'(x^*)=\lim_{x \tox^*}\frac{f(x)-f(x^{*})}{x-x... | {
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这个级数如何求出来呢？直接求解不要文字解释
$\sum_{n=0}^{\infty} rac{(-1)^n}{(2 n+1)^3}= rac{\pi^3}{32}$ | $$\begin{align*}&~~~~\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}\\\&=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^1x^{2n}\ln^2 x{\rm d}x\\\&=\frac{1}{2}\int_0^1 \ln^2x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}{\rm d}x\\\ &=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\ln^2x}{1+x^2}{\rm d}x\\\&=\frac{1}{4}\int_0^1 \frac{\ln^2 x}{1+x^2}{\rmd}x+\frac{1}{4... | {
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这个反常积分极限要怎么证明呢？
$\lim _{n
ightarrow \infty} \int_0^{+\infty} e^{-x^n} d x=1$
请尝试用最少的知识解决问题。 | 尝试用最少的知识解决问题。当前问题并不需要什么高端工具，只要通过简单放缩并依夹逼定理即可求得结果。首先，通过拆分积分区间，可得
$$A_n:=\int_0^{+\infty} e^{-x^n}{\rm d}x=\int_0^1 e^{-x^n}{\rmd}x+\int_1^{+\infty} e^{-x^n}{\rm d}x=:B_n+C_n,$$
利用基本的不等式 $$(\forall x)e^x\ge1+x$$ 可得
$$1-x^n\le e^{-x^n}=\frac{1}{e^{x^n}}\le\frac{1}{1+x^n}=1-\frac{x^n}{1+x^n}.$$
于是，对于 $$B_n,$$ 有
$$\beg... | {
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如何证明素数无穷多？ | 这里给出一个分析的证明，基本思想属于 $$\text{Leonhard Euler}.$$
仍然利用反证法。设若素数只有有限的 $$m$$ 个，把这 $$m$$ 个素数由小到大排成一列 $$p_1,p_2,p_3,\cdots,p_m,\\\$$自然，其中 $$p_1=2,p_2=3,p_3=5$$ 等等。
对任意一个正整数 $$n,$$基于算术基本定理，它必能分解为这有限个素数相应幂次——次数取自然数，并且这里我们允许出现零次幂——的乘积。换言之，只要把这包含着零的自然数分配给这些素数作为幂的次数，就能生成任意的正整数。比如$$540=2^2\cdot3^3\cdot5^1=p_1^2p_2^3p_3^1 p_4^0p_5^0... | {
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如何优雅地证明这条不等式?
已知正实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b c d=1$,
求证 : $\frac{a}{a^3+3}+\frac{b}{b^3+3}+\frac{c}{c^3+3}+\frac{d}{d^3+3} \leq 1$ | 由于 $$a^3+3=(a^3+1+1)+1\ge 3a+1,\\\$$ 所以 $$\sum\frac{a}{a^3+3}\le \sum\frac{a}{3a+1}=\sum \frac{1}{3+\frac{1}{a}},\\\$$若置$$x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c},w=\frac{1}{d},$$ 则只需再证$$\sum\frac{1}{3+x}\le 1,\\\$$ 其中 $$xyzw=1.$$
两边同时乘上 $$(3+x)(3+y)(3+z)(3+w),$$ 再作整理，这待证等价于$$3\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{zw}+\frac{1}... | {
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如何证明e³＞20? | 考虑利用展开式进行放缩。事实上， $$\forall x\in(0,1),\forall n\in\mathbb{N}$$ 都有
$$\begin{align*}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)&=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^{2k+1}}{2k+1}+\cdots\right)\\\\[8pt]&=2\left(\sum_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right)\\\\[8pt]&<2\left(\sum_{k... | {
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已知 $x, y, z$ 均为正实数，证明如下不等式，不需要文字解释:
$$
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+x^2}} \leq \frac{3 \sqrt{2}}{2}
$$ | $$\begin{align*}&\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+x^2}}\right)^2\\\&\le[x^2(y^2+z^2)+y^2(z^2+x^2)+z^2(x^2+y^2)]\cdot\\\&~~~~\left[\frac{1}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}+\frac{1}{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}+\frac{1}{(z^2+x^2)(x^2+y^2)}\right]\\\&=4+\frac{4x^2y^2z^2}{(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\\... | {
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求极限(tantanx/sinsinx)^(1/x^2)？无需文字说明 | $$\begin{align*} &\lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan \tan x}{\sin\sinx}\right)^{\frac{1}{x^2}}\\\\[8pt] =&\lim_{x \to 0}\left(1+\frac{\tan \tanx-\sin \sin x}{\sin\sin x}\right)^{\frac{1}{x^2}}\\\\[8pt] =&\exp\lim_{x \to0}\frac{\tan \tan x-\sin \sin x}{x^2\sin\sin x}\\\\[8pt] =&\exp\lim_{x \to0}\frac{\tan \tan x-\sin \sin x... | {
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-... | |
$\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \ln rac{2 n+1}{2 n-1}-1
ight]$这个级数怎么求和呢？给出简洁优雅的过程 | $$\begin{align*} &\sum_{n=1}^{\infty} \left(n\ln\frac{2n+1}{2n-1}-1\right)\\\=&\sum_{n=1}^{\infty}\left(n\ln(2n+1)-n\ln(2n-1)-1\right)\\\=&\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1 \left(\frac{n}{x+2n}-\frac{n}{x-2n}-1\right){\rmd}x\\\ =&\int_0^1\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{x+2n}-\frac{n}{x-2n}-1\right){\rm d}x\\\=&\frac{1}{4}\... | {
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0.0... | |
请问这个极限怎么做呢？$\lim _{n
ightarrow \infty} \sqrt{n} \prod_{k=1}^n rac{e^{1-1 / k}}{(1+1 / k)^k}$ | 由于
$$\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=\prod_{k=1}^n\frac{(k+1)^{k+1}}{k^k}\cdot\prod_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!},$$
$$\prod_{k=1}^n e^{1-\frac{1}{k}}=\exp\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{k}\right)=e^{n-H_n},$$
所以
$$\begin{align*} &\lim_{n \to\infty}\sqrt{n}\prod_{k=1}^n\frac{e^{1-\frac{1}{k... | {
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这个极限怎么求，一个考研题?
$x_n=\sum_{k=0}^n rac{1}{k !}$ 则 $\lim _{n
ightarrow \infty}\left( rac{\ln x_n}{\sqrt[n]{e}-1}-n
ight)$ | $$\begin{align*} L:&=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\lnx_n}{\sqrt[n]{e}-1}-n\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\lnx_n-n(\sqrt[n]{e}-1)}{\sqrt[n]{e}-1}\\\ &=\lim_{n \to \infty}\frac{\lnx_n-n(\sqrt[n]{e}-1)}{\frac{1}{n}}\\\ &=\lim_{n \to \infty} n(\lnx_n-1)-[n^2(\sqrt[n]{e}-1)-n].\\\ \end{align*}$$
其中
$$\begin{align*} J:... | {
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0.06381113082170486,
0.01... | |
设 $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} ， a_1=1$ ，
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}=\sqrt{2}$,
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n}\left(a_n-\sqrt{2 n}\right)}{\ln n}$ | 首先， $$\\{a_n\\}$$ 单调递增，但并不收敛。若其不然，设 $$a_n\to L<+\infty,$$ 则将有$$L=L+\frac{1}{L},$$ 矛盾。于是， $$a_n\to+\infty.$$
进而 $$a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2}\to2,\\\$$ 再依 $$\text{Cesaro-Stolz}$$ 定理$$\frac{a_ {n+1}^2-1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(a_{k+1}^2-a_k^2)\to 2,\\\$$这表明了 $$a_n\sim \sqrt{2n}.\\\$$ 由此，即得 $$a_{n+1}^2-a_n^2-2=... | {
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请问这道极限题怎么求解？
$\lim _{x
ightarrow 1}\left( rac{m}{1-x^m}- rac{n}{1-x^n}
ight) \quad\left(m, n \in N_{+}
ight)$; | 只需利用如下结论
> $$\color{blue}{\lim_{x \to> 1}\left(\frac{k}{1-x^k}-\frac{1}{1-x}\right)=\frac{k-1}{2}~~(k\in\mathbb{N_+}).}\\\$$
这证明很容易，考虑如下因式分解即可：
$$\begin{align*}&~~~~~\frac{k}{1-x^k}-\frac{1}{1-x}\\\&=\frac{k}{1-x^k}-\frac{1+x+x^2+\cdots+x^{k-1}}{1-x^k}\\\&=\frac{(1-1)+(1-x)+(1-x^2)+\cdots+(1-x^{k-1})}{1-x^k}\\\&=\fr... | {
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如何用算数均值不等式证明1+1/n的n+1次方单调递减且有下界？ | 记
$$a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1},~~~n=1,2,\cdots\\\$$
则
$$\begin{align*}\frac{1}{a_n}&=\frac{1}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\\\&=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdot1\\\ &\leq\left[\dfrac{\left(1-\dfrac{... | {
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这个极限如何计算?$\lim _{n
ightarrow \infty} rac{\sum_{k=1}^n k^2 \cdot k^{ rac{1}{k}}}{n^3}$ | 这个问题可以利用极限定义、分而治之地解决。
首先， $$k^{\frac{1}{k}}\ge1(\forall k),$$ 于是
$$\color{blue}{\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^nk^2k^{\frac{1}{k}}\ge\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^nk^2.}$$
同时，我们熟知 $$\lim_{k \to \infty}k^{\frac{1}{k}}=1,$$ 这表明：
$$\forall \varepsilon>0,\exists N>0,$$ 当 $$k> N$$ 时，有 $$k^{\frac{1}{k}}\le1+\varepsilon.$$
于是
$$\beg... | {
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是否有办法绕开洛必达法则和泰勒展开来证明当x→0时x-sinx~(x^3)/6？ | 由于求限函数 $$f(x)$$ 是偶函数，不妨径设 $$x>0$$ 求出右极限就够了。
一方面，有 $$\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}=\frac{1}{2^n}\frac{\sinx}{\sin\frac{x}{2^n}}\ge \frac{1}{2^n}\frac{\sin x}{\frac{x}{2^n}}=\frac{\sinx}{x},\tag1$$ 进而 $$f(x)=\frac{1}{x^2}\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)\ge\frac{1}{x^2}\left(1-\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}\right).\tag2$... | {
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若[x²]-2[x]>0，求实数x的取值范围? | 若 $$x<0,$$ 则 $$\lfloor x^2 \rfloor \ge0, \lfloor x \rfloor \le-1,$$ 于是$$\lfloor x^2 \rfloor-2\lfloor x\rfloor \ge2>0,$$ 这得部分解。
若 $$x\ge0,$$ 不妨设 $$x=n+r,$$ 其中 $$n\in\mathbb{N}, r\in[0,1),$$ 代入要解的不等式则有
$$\begin{align*} &&\lfloor (n+r)^2 \rfloor-2n>0\\\\[8pt]&\Leftrightarrow&\lfloor n^2+2nr+r^2 \rfloor-2n>0\\\\[8pt]&\Le... | {
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一个级数问题，如何求解？ | 事实上， $$f(x):=\frac{1}{1-x-x^2}$$ 就是著名的 $$\text{Fibonacci}$$ 序列 $$\\{F_n\\}$$的生成函数。
为了证得这个事实，考虑 $$f(x)$$ 的展开式
$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots,$$
将 $$x=0$$ 代入 $$f(x),$$ 得 $$a_0=1;$$ 再将 $$x=0$$ 带入 $$f'(x),$$ 得 $$a_1=1.$$
此时，注意到
$$\begin{align*} f(x)-1-x=&a_2x^2+a_3x^3+\cdots,\\\xf(x)-x=&a_1x^2+a_2x^3+\cdots,\\\ x^2f(x)... | {
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