{"task_id": 1, "task": "Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$, dla których istnieją takie liczby $s_1, s_2, \\dots, s_n \\in \\{-1, 1\\}$, że $1 \\cdot s_1 + 2 \\cdot s_2 + \\dots + n \\cdot s_n = 0$.", "solution": "Na początek zauważmy, że gdy $n$ jest postaci $4k + 1$ lub $4k + 2$ dla pewnego całkowitego $k$, to dla dowolnego wyboru liczb $s_1, s_2, \\dots, s_n$ w sumie $1 \\cdot s_1 + 2 \\cdot s_2 + \\dots + n \\cdot s_n$ występuje dokładnie $2k + 1$ nieparzystych składników, wobec czego cała suma jest liczbą nieparzystą. Liczby $n$ postaci $4k+1$ i $4k+2$ nie spełniają więc warunków zadania.\n\nUdowodnimy, że jeśli dla jakiejś liczby $n \\in \\mathbb{N}$ istnieją takie liczby $s_1, s_2, \\dots, s_n \\in \\{-1, 1\\}$, że $1 \\cdot s_1 + 2 \\cdot s_2 + \\dots + n \\cdot s_n = 0$, to istnieją też takie liczby dla $n + 4$. Wystarczy przyjąć $s_{n+1} = s_{n+4} = 1$ oraz $s_{n+2} + s_{n+3} = -1$, bo \\[\n(n + 1) - (n + 2) - (n + 3) + (n + 4) = 0\n\\]\n\nTeza zachodzi dla $n = 3$, bo $1 \\cdot 1 + 1 \\cdot 2 + (-1) \\cdot 3 = 0$. Zachodzi też dla $n = 4$, bo $1 \\cdot 1 + (-1) \\cdot 2 + (-1) \\cdot 3 + 1 \\cdot 4 = 0$. Teza zachodzi więc dla każdej liczby postaci $4k + 3$ i każdej liczby postaci $4k + 4$, gdzie $k$ oznacza dowolną całkowitą liczbę nieujemną.\n\nUwaga. Liczby $s_1, s_2, \\dots, s_n$ można dobierać na wiele różnych sposobów. Na przykład, jeżeli $n = 4k-1$ dla pewnego $k = 1, 2, \\dots$, to możemy wziąć $s_i = 1$ dla $i \\in \\{1, 2, \\dots, k-1, 3k, 3k+1, \\dots, 4k-2, 4k-1\\}$ i $s_i = -1$ dla $i \\in \\{k, k+1, \\dots, 3k-1\\}$. Wówczas suma $= A - B + C$, gdzie \n\\[\n A = 1 + 2 + \\dots + (k-1) = \\frac{(k-1)k}{2} \n\\]\n\\[\n B = k + \\dots + (3k-1) = k(4k-1) \n\\]\n\\[\n C = 3k + \\dots + (4k-1) = \\frac{k(7k-1)}{2} \n\\]\nStąd \n\\[\n A - B + C = k \\cdot \\left( \\frac{k-1}{2} - (4k-1) + \\frac{7k-1}{2} \\right) = 0 \n\\]\n\nJeżeli $n = 4k$ dla pewnego $k = 1, 2, \\dots$, to możemy wybrać $s_i = 1$ dla $i \\in \\{1, 2, \\dots, k, 3k+1, \\dots, 4k\\}$ i $s_i = -1$ dla $i \\in \\{k+1, \\dots, 3k\\}.\nAnalogicznie suma $= A - B + C$, gdzie \n\\[\n A = 1 + \\dots + k = \\frac{k(k+1)}{2} \n\\]\n\\[\n B = (k+1) + \\dots + 3k = k(4k+1) \n\\]\n\\[\n C = 3k+1 + \\dots + 4k = \\frac{k(7k+1)}{2} \n\\]\nStąd \n\\[\n A - B + C = k \\cdot \\left( \\frac{k+1}{2} - (4k+1) + \\frac{7k+1}{2} \\right) = 0 \n\\]", "answer": "\\boxed{iczby $n$ postaci $4k + 3$ i $4k + 4$ dla $k = 0, 1, 2, 3, \\dots$}", "type": "teoria liczb"}
{"task_id": 2, "task": "Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $(a, b, c)$ spełniające układ równań:\n\\[\n a^2 + 4ab + b^2 = 1 \n\\]\n\\[\n b^2 + 4bc + c^2 = 1 \n\\]\n\\[\n c^2 + 4ca + a^2 = -2 \n\\]", "solution": "Porównując lewe strony pierwszego i drugiego równania otrzymujemy $a^2 + 4ab = 4bc + c^2$, skąd $0 = a^2 - c^2 + 4ab - 4bc = (a - c)(a + c + 4b)$. Jeśli $a - c = 0$, to $a = c$ i trzecie równanie przyjmuje postać $6a^2 = -2$. To jest sprzeczność, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. W takim razie $a - c \neq 0$, wobec czego $a + c + 4b = 0$. Dodając stronami wszystkie trzy równania dostajemy $2(a + b + c)^2 = 0$, skąd $a + b + c = 0$. Otrzymane związki dają $3b = (a + c + 4b) - (a + b + c) = 0 - 0 = 0$, więc $b = 0$. Stąd $a + c = 0$, tj. $c = -a$. Pierwsze równanie redukuje się do $a^2 = 1$, skąd $a = 1$ lub $a = -1$. Otrzymaliśmy dwie możliwe trójki: $(a, b, c) = (1, 0, -1)$ i $(a, b, c) = (-1, 0, 1)$. Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że obie spełniają wyjściowy układ równań.", "answer": "\\boxed{(a, b, c) = (1, 0, -1)$ i $(a, b, c) = (-1, 0, 1)$}", "type": "algebra"}
{"task_id": 3, "task": "Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $(m, n)$, dla których w każde pole nieskończonej szachownicy można wpisać liczby z $A = \\{1, 2, \\dots, mn\\}$ tak, że w każdym prostokącie $m \\times n$ lub $n \\times m$ każda liczba występuje dokładnie raz.", "solution": "Załóżmy, że udało się wpisać liczby w żądany sposób. Pole $(x, y)$ to pole w $x$-tej kolumnie i $y$-tym rzędzie. Rozważamy prostokąty $m \\times n$ i $n \\times m$ przesunięte o 1 kolumnę/wiersz. Jeśli żadna liczba $m, n$ nie dzieli drugiej, dochodzimy do sprzeczności, pokazując, że liczba $k$ powtarza się w prostokącie $n \\times m$. Zatem potrzebny warunek: $m$ dzieli $n$ lub $n$ dzieli $m$. W przypadku spełnienia warunku definiujemy $f(x,y) = ((x-y) \\bmod m) \\cdot n + (y \\bmod n) + 1$, co daje poprawne wypełnienie planszy. Pokazujemy, że każde pole w prostokącie $m \\times n$ lub $n \\times m$ ma różne liczby, analizując warunki $|x-x'|<m$, $|y-y'|<n$ i $f(x,y)=f(x',y')$, co prowadzi do wniosku $x=x'$ i $y=y'$.", "answer": "\\boxed{Pary $(m, n)$, dla których $m$ dzieli $n$ lub $n$ dzieli $m$.}", "type": "teoria liczb"}
{"task_id": 4, "task": "Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych, których nie można przedstawić w postaci $n^2 + p$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą, a $p$ liczbą pierwszą.", "solution": "Dla dowolnej nieparzystej liczby $a \\ge 3$ liczby $\\left(\\frac{3a+1}{2}\\right)^2$ nie mogą być przedstawione w postaci $n^2 + p$. Przypuśćmy nie wprost, że $\\left(\\frac{3a+1}{2}\\right)^2 = n^2 + p$ dla pewnego $n$ całkowitego i liczby pierwszej $p$. Możemy przyjąć $n \\ge 0$. Wówczas \n\\[\n p = \\left(\\frac{3a+1}{2}\\right)^2 - n^2 = \\left(\\frac{3a+1}{2} + n\\right)\\left(\\frac{3a+1}{2} - n\\right) \n\\]\nPierwszy czynnik jest dodatni, więc drugi też musi być dodatni. Ponieważ $p$ jest pierwsza, czynniki muszą być równe $1$ i $p$. Ich suma to $p+1$, natomiast suma obu czynników to $3a+1$, więc $3a = p$, co jest sprzeczne ($3a$ jest złożone, $p$ pierwsza).", "answer": "\\boxed{Tak, istnieje nieskończenie wiele takich liczb, np. $\\left(\\frac{3a+1}{2}\\right)^2$ dla każdej nieparzystej liczby $a \\ge 3$.}", "type": "teoria liczb"}
{"task_id": 5, "task": "Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych zachodzi nierówność \n\\[\n \\sqrt{\\frac{ab^2}{b+c}} + \\sqrt{\\frac{bc^2}{c+a}} + \\sqrt{\\frac{ca^2}{a+b}} \\le \\frac{1}{2} \\sqrt{(a+b+c)^4 - (a^2+b^2+c^2)^2} \n\\]", "solution": "Sposób 1: Oznaczmy lewą stronę przez $L$ i prawą przez $P$. $L^2 = A + 2B$, gdzie \n\\[\n A = \\frac{ab^2}{b+c} + \\frac{bc^2}{c+a} + \\frac{ca^2}{a+b} \n\\]\n\\[\n B = \\frac{ab^3c^2}{(b+c)(c+a)} + \\frac{bc^3a^2}{(c+a)(a+b)} + \\frac{ca^3b^2}{(a+b)(b+c)} \n\\]\n$P^2 = \\frac{1}{4} ((a+b+c)^2)^2 - (a^2+b^2+c^2)^2 = A + C + D$, gdzie \n\\[\n C = \\frac{a^2b}{a+b} + \\frac{b^2c}{b+c} + \\frac{c^2a}{c+a} \n\\]\n\\[\n D = abc(b+c) + abc(c+a) + abc(a+b) \n\\]\nWystarczy udowodnić, że $2B \\le C+D$. Z nierówności między średnimi geometryczną i arytmetyczną wynika, że każdy składnik $2B$ jest mniejszy bądź równy odpowiedniemu składnikowi $C+D$. Po dodaniu stronami otrzymujemy $2B \\le C+D$, co kończy dowód. \n\n", "answer": "", "type": "algebra"}
{"task_id": 6, "task": "Dana jest liczba całkowita $n > 2$. Dodatnie liczby rzeczywiste $a_1, \\dots, a_n$ spełniają równość $a_1^2 + \\dots + a_n^2 = n$. Oznaczmy przez $A$ zbiór indeksów $i$, dla których $a_i > 2$. Udowodnić, że \n\\[\n n \\cdot \\sum_{i \\in A} a_i^2 + 4 \\cdot \\left( \\sum_{i=1}^n a_i \\right)^2 \\le 4n^2 \n\\]", "solution": "Sposób 1: Skorzystano z nierówności między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną. Jeśli $A$ jest puste, nierówność redukuje się do klasycznej nierówności QM-AM. Dla niepustego $A$ oznaczono $B = \\{i: a_i < 2\\}$, $x = \\sqrt{\\sum_{i \\in A} a_i^2 / k}$, $y = \\sqrt{\\sum_{i \\in B} a_i^2 / l}$, $k = |A|$, $l = |B|$. Wyznaczono $k, l$ w zależności od $n, x, y$ i pokazano, że sumy częściowe spełniają odpowiednie ograniczenia. Następnie przekształcono tezę poprzez podstawienie $k, l, x, y$ oraz nierówności $x \\ge 2$, $y < 1$. \n\n", "answer": "", "type": "algebra"}
{"task_id": 7, "task": "Gra w $(n, k)$-kamienie rozgrywana jest na prostokątnej planszy z $n$ pól w rzędzie. Na początku na $k$-tym polu stoi kamień, pozostałe pola są puste. W każdej turze na każdym kamieniu stawiamy kropkę, następnie kładziemy kamień (bez kropki) na każdym polu sąsiadującym z dokładnie jednym polem z kropką, a na końcu zdejmujemy kamienie z kropką. Gra kończy się porażką, gdy nie zostaną żadne kamienie. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $(n, k)$, dla których gra nigdy nie kończy się porażką.", "solution": "Analiza gry pokazuje, że po każdej turze wszystkie kamienie znajdują się na polach tej samej parzystości i parzystość zmienia się każdą turą. Stan gry można przedstawić jako ciąg zero-jedynkowy, a ruchy jako przekształcenia modulo 2. Z indukcji i analizy parzystości wynika, że gra kończy się porażką wtedy i tylko wtedy, gdy $n + 1$ jest potęgą 2. W pozostałych przypadkach, niezależnie od $k$, gra nigdy się nie kończy porażką.", "answer": "\\boxed{szystkie pary dodatnich liczb całkowitych $(n, k)$, dla których gra w $(n, k)$-kamienie nigdy się nie kończy porażką, to te, dla których $n + 1$ nie jest potęgą dwójki, a $k \\in \\{1, 2, \\dots, n\\}$.", "type": "kombinatoryka"}
{"task_id": 8, "task": "Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $b$ o następującej własności: istnieją takie dodatnie liczby całkowite $a, k, \\ell$, że liczby $a^k + b^\\ell$ i $a^\\ell + b^k$ są podzielne przez $b^{k+\\ell}$, przy czym $k \neq \\ell$.", "solution": "Analiza zadania pokazuje, że jedyną możliwą wartością $b$ jest 1. Dla $b = 1$ warunki są spełnione dla dowolnego wyboru $a, k, \\ell$. Dowód: Zakładając $k > \\ell$, z podzielności wynika, że $b^k$ dzieli $b^\\ell$, co jest możliwe tylko gdy $b = 1$. Alternatywnie, analizując rozkład na czynniki pierwsze dowolnej liczby $b > 1$, dochodzi się do sprzeczności, co dowodzi, że $b = 1$ jest jedynym rozwiązaniem.", "answer": ""}
{"task_id": 9, "task": "Dana jest liczba całkowita $n \\ge 2$. Po polach planszy $n \\times n$ porusza się ołowiany żołnierzyk, rozpoczynając swój spacer od narożnego pola. Przed wykonaniem kroku na kolejne (sąsiednie) pole, żołnierzyk może (ale nie musi) wykonać zwrot w prawo lub w lewo. Wyznaczyć najmniejszą liczbę zwrotów, jakie żołnierzyk musi wykonać, aby odwiedzić każde pole szachownicy co najmniej raz.", "solution": "Minimalna liczba zwrotów, jakie musi wykonać żołnierzyk, wynosi $2n - 2$. Dowód: Jeśli żołnierzyk wykona mniej niż $2n - 2$ zwrotów, to istnieje co najmniej jedno pole, którego nie odwiedzi. Natomiast można skonstruować trasę, w której żołnierzyk odwiedza wszystkie pola, wykonując dokładnie $2n - 2$ zwroty – np. poruszając się wzdłuż wierszy i kolumn w sposób „wężowy”, skręcając przy krawędziach planszy.", "answer": "\\boxed{2n - 2}$"}
{"task_id": 10, "task": "Dane są liczby całkowite $k, n$ oraz liczba rzeczywista $\\ell$, przy czym $k \\ge 1$ i $n \\ge 1$. Dane są też parami różne dodatnie liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \\dots, a_k$. Oznaczmy $S = \\{a_1, a_2, \\dots, a_k, -a_1, -a_2, \\dots, -a_k\\}$. Niech $A$ będzie liczbą rozwiązań równania $x_1 + x_2 + \\dots + x_{2n} = 0$, gdzie $x_i \\in S$. Niech $B$ będzie liczbą rozwiązań równania $x_1 + x_2 + \\dots + x_{2n} = \\ell$, gdzie $x_i \\in S$. Dowieść, że $A \\ge B$.", "solution": "Niech $R(m, t)$ oznacza równanie $x_1 + x_2 + \\dots + x_m = t$, z $x_i \\in S$. Dla $t \\in T$ (zbioru wszystkich sum $n$-elementowych podciągów), liczba rozwiązań $R(n, t) = R(n, -t)$. Oznaczmy tę liczbę przez $C_t$. Każde rozwiązanie $R(2n, 0)$ można podzielić na pierwsze $n$ elementów sumujących się do $t$ i drugie $n$ elementów sumujących się do $-t$. Stąd \n\\[\n A = \\sum_{t \\in T} C_t^2 \n\\]\nAnalogicznie, każde rozwiązanie $R(2n, \\ell)$ daje $t \\in T_0 \\subseteq T$, gdzie $T_0 = \\{t \\in T : \\ell-t \\in T\\}$, i \n\\[\n B = \\sum_{t \\in T_0} C_t C_{\\ell-t} \n\\]\nZ nierówności $(x-y)^2 \\ge 0$ wynika $C_t^2 + C_{\\ell-t}^2 \\ge 2 C_t C_{\\ell-t}$, więc $A \\ge B$.", "answer": ""}
{"task_id": 11, "task": "Dane są takie parami różne liczby rzeczywiste $a, b, c, d, e$, że:\n\\[\n ab + b = ac + a \n\\]\n\\[\n bc + c = bd + b \n\\]\n\\[\n cd + d = ce + c \n\\]\n\\[\n de + e = da + d \n\\]\nUdowodnić, że $abcde = 1$.", "solution": "Zakładamy, że żaden z parametrów nie prowadzi do sprzeczności z założeniem o ich różności. Przekształcamy równania do postaci: $b(a+1) = a(c+1)$, $c(b+1) = b(d+1)$, $d(c+1) = c(e+1)$, $e(d+1) = d(a+1)$. Mnożąc stronami wszystkie równania i skracając niezerowe czynniki, otrzymujemy $e(b+1) = a(e+1)$. Następnie zapisujemy równania w postaci: $a(b-c)=a-b$, $b(c-d)=b-c$, $c(d-e)=c-d$, $d(e-a)=d-e$, $e(a-b)=e-a$. Mnożąc te pięć równań stronami i skracając niezerowe czynniki $(a-b)(b-c)(c-d)(d-e)(e-a)$, uzyskujemy $abcde = 1$.", "answer": ""}
{"task_id": 12, "task": "W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą:\n\n\\[\n N(t) = N_0 \\cdot k^t \\quad \\text{dla} \\quad t \\ge 0 \n\\]\n\ngdzie $N_0$ – liczebność początkowa, $k$ – stała dodatnia, $t$ – czas w godzinach. W chwili $t=0$ liczebność wynosiła $10\\,000$, a po dwóch godzinach $15\\,625$. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji w ciągu każdej godziny.", "solution": "Z danych mamy $N(0) = 10\\,000$, więc $N_0 = 10\\,000$. Dla $t=2$:\n\n\\[\n 15\\,625 = 10\\,000 \\cdot k^2 \\implies k^2 = 1{,}5625 \\implies k = \\sqrt{1{,}5625} = 1{,}25 \n\\]\n\nStosunek liczebności po godzinie do liczebności początkowej wynosi $k = 1{,}25$, co oznacza wzrost o $25\\%$.", "answer": "\\boxed{25}", "type": "analiza matematyczna"}
{"task_id": 13, "task": "Rozwiąż nierówność: $|x - 2| - 2 \\cdot |x + 3| < -2$. Zapisz obliczenia.", "solution": "Rozważamy trzy przypadki wynikające z miejsc zerowych modułów ($x = -3, x = 2$):\n\n1. $x \\in (-\\infty, -3)$: $-(x-2) + 2(x+3) < -2 \\implies x+8 < -2 \\implies x < -10$. Przedział: $(-\\infty, -10)$.\n2. $x \\in [-3, 2)$: $-(x-2) - 2(x+3) < -2 \\implies -3x-4 < -2 \\implies x > -2/3$. Przedział: $(-2/3, 2)$.\n3. $x \\in [2, \\infty)$: $(x-2) - 2(x+3) < -2 \\implies -x-8 < -2 \\implies x > -6$. Przedział: $[2, \\infty)$.\n\nSuma przedziałów daje rozwiązanie.", "answer": "\\boxed{ \\in (-\\infty, -10) \\cup (-2/3, \\infty)}", "type": "algebra"}
{"task_id": 14, "task": "Dany jest okrąg o środku $S=(2, 3)$ i promieniu $r=5$. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia tego okręgu z prostą o równaniu $y = 2x - 1$.", "solution": "Równanie okręgu to $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Podstawiamy $y = 2x - 1$:\n\n\\[\n (x-2)^2 + (2x-1-3)^2 = 25 \\implies (x-2)^2 + (2x-4)^2 = 25 \n\\]\n\\[\n x^2 - 4x + 4 + 4x^2 - 16x + 16 = 25 \\implies 5x^2 - 20x - 5 = 0 \\implies x^2 - 4x - 1 = 0 \n\\]\n\nObliczamy wyróżnik $\\Delta = 16 + 4 = 20$. Pierwiastki to $x_1 = 2-\\sqrt{5}$ oraz $x_2 = 2+\\sqrt{5}$. Następnie wyznaczamy $y_1$ i $y_2$ z równania prostej.", "answer": "\\boxed{2-\\sqrt{5}, 3-2\\sqrt{5}) i (2+\\sqrt{5}, 3+2\\sqrt{5})", "type": "geometria analityczna"}
{"task_id": 15, "task": "Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Pole trójkąta $ABE$ jest równe $25$, a pole trójkąta $CDE$ jest równe $9$. Oblicz pole trapezu $ABCD$.", "solution": "Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty naprzemianległe). Skala podobieństwa $k = \\sqrt{P_{ABE} / P_{CDE}} = \\sqrt{25/9} = 5/3$. Pola trójkątów $ADE$ i $BCE$ są równe i wynoszą $\\sqrt{P_{ABE} \\cdot P_{CDE}} = \\sqrt{25 \\cdot 9} = 15$. Pole trapezu to suma pól czterech trójkątów: $25 + 9 + 15 + 15 = 64$.", "answer": "\\boxed{64}", "type": "geometria"}
{"task_id": 16, "task": "Rozwiąż równanie: $\\sin(2x) + \\cos(x) = 0$ w przedziale $[-\\pi, \\pi]$.", "solution": "Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: $2\\sin(x)\\cos(x) + \\cos(x) = 0 \\implies \\cos(x)(2\\sin(x) + 1) = 0$. Mamy dwa przypadki:\n\n1. $\\cos(x) = 0 \\implies x \\in \\{-\\pi/2, \\pi/2\\}$.\n2. $\\sin(x) = -1/2 \\implies x \\in \\{-5\\pi/6, -\\pi/6, 7\\pi/6, \\dots\\}$. W zadanym przedziale są to $-\\pi/6$ oraz $-5\\pi/6$.", "answer": "\\boxed{\\pi/2, \\pi/2, -\\pi/6, -5\\pi/6}", "type": "trygonometria"}
{"task_id": 17, "task": "W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ dzieli bok $BC$ w stosunku $1:2$. Oblicz cosinus kąta $BAD$.", "solution": "Przyjmijmy bok trójkąta $a=3$, wtedy $BD=1$ i $DC=2$. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$:\n\n\\[\n AD^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot 1 \\cdot \\cos(60^\\circ) = 9 + 1 - 3 = 7 \\implies AD = \\sqrt{7} \n\\]\n\nPonownie z twierdzenia cosinusów dla kąta $\\alpha = \\angle BAD$:\n\n\\[\n 1^2 = 3^2 + (\\sqrt{7})^2 - 2 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{7} \\cdot \\cos(\\alpha) \\implies 1 = 9 + 7 - 6\\sqrt{7} \\cos(\\alpha) \\implies \\cos(\\alpha) = \\frac{15}{6\\sqrt{7}} = \\frac{5}{2\\sqrt{7}} \n\\]", "answer": "\\boxed{\\frac{5\\sqrt{7}}{14}}", "type": "geometria"}
{"task_id": 18, "task": "Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - (m-3)x + m = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 > 10$.", "solution": "Warunki: 1) $\\Delta > 0 \\implies (m-3)^2 - 4m > 0 \\implies m^2 - 10m + 9 > 0 \\implies m \\in (-\\infty, 1) \\cup (9, \\infty)$.\n2) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m-3)^2 - 2m > 10 \\implies m^2 - 8m - 1 > 0$.\n\nRozwiązujemy nierówność kwadratową dla $m$ i wyznaczamy część wspólną z warunkiem na deltę.", "answer": "\\boxed{ \\in (-\\infty, 4-\\sqrt{17}) \\cup (9, \\infty)}", "type": "algebra z parametrem"}
{"task_id": 19, "task": "W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest równa $H$, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $\\alpha$. Oblicz objętość ostrosłupa.", "solution": "Niech $a$ będzie krawędzią podstawy. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa $H$, wysokość ściany bocznej $h_s$ i połowę boku podstawy $a/2$ mamy:\n\n\\[\n \\frac{H}{a/2} = \\tan(\\alpha) \\implies a = \\frac{2H}{\\tan(\\alpha)} \n\\]\n\nObjętość $V = \\frac{1}{3} a^2 H = \\frac{1}{3} \\left(\\frac{2H}{\\tan(\\alpha)}\\right)^2 H = \\frac{4H^3}{3\\tan^2(\\alpha)}$.", "answer": "\\boxed{\\frac{4H^3}{3\\tan^2(\\alpha)}}", "type": "geometria przestrzenna"}
{"task_id": 20, "task": "Rozważamy stożki o odległości środka podstawy od tworzącej równej $5$. Objętość $V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25}$ dla $h \\in (5, \\infty)$. Wyznacz $h$, dla którego objętość jest najmniejsza.", "solution": "Obliczamy pochodną $V'(h)$:\n\n\\[\n V'(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2(h^2-25) - h^3(2h)}{(h^2-25)^2} = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^4 - 75h^2}{(h^2-25)^2} \n\\]\n\n$V'(h) = 0 \\implies h^2(h^2 - 75) = 0$. Ponieważ $h > 5$, otrzymujemy $h = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}$. Analiza znaku pochodnej potwierdza, że jest to minimum lokalne i globalne w dziedzinie.", "answer": "\\boxed{\\sqrt{3}}", "type": "analiza matematyczna"}