task: Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$, dla których istnieją takie liczby $s_1, s_2, \dots, s_n \in \{-1, 1\}$, że $1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + \dots + n \cdot s_n = 0$.

solution:
Na początek zauważmy, że gdy $n$ jest postaci $4k + 1$ lub $4k + 2$ dla pewnego całkowitego $k$, to dla dowolnego wyboru liczb $s_1, s_2, \dots, s_n$ w sumie $1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + \dots + n \cdot s_n$ występuje dokładnie $2k + 1$ nieparzystych składników, wobec czego cała suma jest liczbą nieparzystą. Liczby $n$ postaci $4k+1$ i $4k+2$ nie spełniają więc warunków zadania.

Udowodnimy, że jeśli dla jakiejś liczby $n \in \mathbb{N}$ istnieją takie liczby $s_1, s_2, \dots, s_n \in \{-1, 1\}$, że $1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + \dots + n \cdot s_n = 0$, to istnieją też takie liczby dla $n + 4$. Wystarczy przyjąć $s_{n+1} = s_{n+4} = 1$ oraz $s_{n+2} + s_{n+3} = -1$, bo \[
(n + 1) - (n + 2) - (n + 3) + (n + 4) = 0
\]

Teza zachodzi dla $n = 3$, bo $1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 0$. Zachodzi też dla $n = 4$, bo $1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 0$. Teza zachodzi więc dla każdej liczby postaci $4k + 3$ i każdej liczby postaci $4k + 4$, gdzie $k$ oznacza dowolną całkowitą liczbę nieujemną.

Uwaga. Liczby $s_1, s_2, \dots, s_n$ można dobierać na wiele różnych sposobów. Na przykład, jeżeli $n = 4k-1$ dla pewnego $k = 1, 2, \dots$, to możemy wziąć $s_i = 1$ dla $i \in \{1, 2, \dots, k-1, 3k, 3k+1, \dots, 4k-2, 4k-1\}$ i $s_i = -1$ dla $i \in \{k, k+1, \dots, 3k-1\}$. Wówczas suma $= A - B + C$, gdzie
\[
 A = 1 + 2 + \dots + (k-1) = \frac{(k-1)k}{2}
\]
\[
 B = k + \dots + (3k-1) = k(4k-1)
\]
\[
 C = 3k + \dots + (4k-1) = \frac{k(7k-1)}{2}
\]
Stąd
\[
 A - B + C = k \cdot \left( \frac{k-1}{2} - (4k-1) + \frac{7k-1}{2} \right) = 0
\]

Jeżeli $n = 4k$ dla pewnego $k = 1, 2, \dots$, to możemy wybrać $s_i = 1$ dla $i \in \{1, 2, \dots, k, 3k+1, \dots, 4k\}$ i $s_i = -1$ dla $i \in \{k+1, \dots, 3k\}.
Analogicznie suma $= A - B + C$, gdzie
\[
 A = 1 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}
\]
\[
 B = (k+1) + \dots + 3k = k(4k+1)
\]
\[
 C = 3k+1 + \dots + 4k = \frac{k(7k+1)}{2}
\]
Stąd
\[
 A - B + C = k \cdot \left( \frac{k+1}{2} - (4k+1) + \frac{7k+1}{2} \right) = 0
\]

answer: \boxed{iczby $n$ postaci $4k + 3$ i $4k + 4$ dla $k = 0, 1, 2, 3, \dots$}

type: teoria liczb


task:
Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $(a, b, c)$ spełniające układ równań:
\[
 a^2 + 4ab + b^2 = 1
\]
\[
 b^2 + 4bc + c^2 = 1
\]
\[
 c^2 + 4ca + a^2 = -2
\]

solution:
Porównując lewe strony pierwszego i drugiego równania otrzymujemy $a^2 + 4ab = 4bc + c^2$, skąd $0 = a^2 - c^2 + 4ab - 4bc = (a - c)(a + c + 4b)$. Jeśli $a - c = 0$, to $a = c$ i trzecie równanie przyjmuje postać $6a^2 = -2$. To jest sprzeczność, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. W takim razie $a - c
eq 0$, wobec czego $a + c + 4b = 0$. Dodając stronami wszystkie trzy równania dostajemy $2(a + b + c)^2 = 0$, skąd $a + b + c = 0$. Otrzymane związki dają $3b = (a + c + 4b) - (a + b + c) = 0 - 0 = 0$, więc $b = 0$. Stąd $a + c = 0$, tj. $c = -a$. Pierwsze równanie redukuje się do $a^2 = 1$, skąd $a = 1$ lub $a = -1$. Otrzymaliśmy dwie możliwe trójki: $(a, b, c) = (1, 0, -1)$ i $(a, b, c) = (-1, 0, 1)$. Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że obie spełniają wyjściowy układ równań.

answer: \boxed{(a, b, c) = (1, 0, -1)$ i $(a, b, c) = (-1, 0, 1)$}

type: algebra


task: Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $(m, n)$, dla których w każde pole nieskończonej szachownicy można wpisać liczby z $A = \{1, 2, \dots, mn\}$ tak, że w każdym prostokącie $m \times n$ lub $n \times m$ każda liczba występuje dokładnie raz.

solution: Załóżmy, że udało się wpisać liczby w żądany sposób. Pole $(x, y)$ to pole w $x$-tej kolumnie i $y$-tym rzędzie. Rozważamy prostokąty $m \times n$ i $n \times m$ przesunięte o 1 kolumnę/wiersz. Jeśli żadna liczba $m, n$ nie dzieli drugiej, dochodzimy do sprzeczności, pokazując, że liczba $k$ powtarza się w prostokącie $n \times m$. Zatem potrzebny warunek: $m$ dzieli $n$ lub $n$ dzieli $m$. W przypadku spełnienia warunku definiujemy $f(x,y) = ((x-y) \bmod m) \cdot n + (y \bmod n) + 1$, co daje poprawne wypełnienie planszy. Pokazujemy, że każde pole w prostokącie $m \times n$ lub $n \times m$ ma różne liczby, analizując warunki $|x-x'|<m$, $|y-y'|<n$ i $f(x,y)=f(x',y')$, co prowadzi do wniosku $x=x'$ i $y=y'$.

answer: \boxed{Pary $(m, n)$, dla których $m$ dzieli $n$ lub $n$ dzieli $m$.}


task: Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych, których nie można przedstawić w postaci $n^2 + p$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą, a $p$ liczbą pierwszą.

solution:
Dla dowolnej nieparzystej liczby $a \ge 3$ liczby $\left(\frac{3a+1}{2}\right)^2$ nie mogą być przedstawione w postaci $n^2 + p$. Przypuśćmy nie wprost, że $\left(\frac{3a+1}{2}\right)^2 = n^2 + p$ dla pewnego $n$ całkowitego i liczby pierwszej $p$. Możemy przyjąć $n \ge 0$. Wówczas
\[
 p = \left(\frac{3a+1}{2}\right)^2 - n^2 = \left(\frac{3a+1}{2} + n\right)\left(\frac{3a+1}{2} - n\right)
\]
Pierwszy czynnik jest dodatni, więc drugi też musi być dodatni. Ponieważ $p$ jest pierwsza, czynniki muszą być równe $1$ i $p$. Ich suma to $p+1$, natomiast suma obu czynników to $3a+1$, więc $3a = p$, co jest sprzeczne ($3a$ jest złożone, $p$ pierwsza).

answer: \boxed{Tak, istnieje nieskończenie wiele takich liczb, np. $\left(\frac{3a+1}{2}\right)^2$ dla każdej nieparzystej liczby $a \ge 3$.}


task:
Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych zachodzi nierówność
\[
 \sqrt{\frac{ab^2}{b+c}} + \sqrt{\frac{bc^2}{c+a}} + \sqrt{\frac{ca^2}{a+b}} \le \frac{1}{2} \sqrt{(a+b+c)^4 - (a^2+b^2+c^2)^2}
\]

solution:
Sposób 1: Oznaczmy lewą stronę przez $L$ i prawą przez $P$. $L^2 = A + 2B$, gdzie
\[
 A = \frac{ab^2}{b+c} + \frac{bc^2}{c+a} + \frac{ca^2}{a+b}
\]
\[
 B = \frac{ab^3c^2}{(b+c)(c+a)} + \frac{bc^3a^2}{(c+a)(a+b)} + \frac{ca^3b^2}{(a+b)(b+c)}
\]
$P^2 = \frac{1}{4} ((a+b+c)^2)^2 - (a^2+b^2+c^2)^2 = A + C + D$, gdzie
\[
 C = \frac{a^2b}{a+b} + \frac{b^2c}{b+c} + \frac{c^2a}{c+a}
\]
\[
 D = abc(b+c) + abc(c+a) + abc(a+b)
\]
Wystarczy udowodnić, że $2B \le C+D$. Z nierówności między średnimi geometryczną i arytmetyczną wynika, że każdy składnik $2B$ jest mniejszy bądź równy odpowiedniemu składnikowi $C+D$. Po dodaniu stronami otrzymujemy $2B \le C+D$, co kończy dowód.


task:
Dana jest liczba całkowita $n > 2$. Dodatnie liczby rzeczywiste $a_1, \dots, a_n$ spełniają równość $a_1^2 + \dots + a_n^2 = n$. Oznaczmy przez $A$ zbiór indeksów $i$, dla których $a_i > 2$. Udowodnić, że
\[
 n \cdot \sum_{i \in A} a_i^2 + 4 \cdot \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 \le 4n^2
\]

solution: Sposób 1: Skorzystano z nierówności między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną. Jeśli $A$ jest puste, nierówność redukuje się do klasycznej nierówności QM-AM. Dla niepustego $A$ oznaczono $B = \{i: a_i < 2\}$, $x = \sqrt{\sum_{i \in A} a_i^2 / k}$, $y = \sqrt{\sum_{i \in B} a_i^2 / l}$, $k = |A|$, $l = |B|$. Wyznaczono $k, l$ w zależności od $n, x, y$ i pokazano, że sumy częściowe spełniają odpowiednie ograniczenia. Następnie przekształcono tezę poprzez podstawienie $k, l, x, y$ oraz nierówności $x \ge 2$, $y < 1$.


task: Gra w $(n, k)$-kamienie rozgrywana jest na prostokątnej planszy z $n$ pól w rzędzie. Na początku na $k$-tym polu stoi kamień, pozostałe pola są puste. W każdej turze na każdym kamieniu stawiamy kropkę, następnie kładziemy kamień (bez kropki) na każdym polu sąsiadującym z dokładnie jednym polem z kropką, a na końcu zdejmujemy kamienie z kropką. Gra kończy się porażką, gdy nie zostaną żadne kamienie. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $(n, k)$, dla których gra nigdy nie kończy się porażką.

solution: Analiza gry pokazuje, że po każdej turze wszystkie kamienie znajdują się na polach tej samej parzystości i parzystość zmienia się każdą turą. Stan gry można przedstawić jako ciąg zero-jedynkowy, a ruchy jako przekształcenia modulo 2. Z indukcji i analizy parzystości wynika, że gra kończy się porażką wtedy i tylko wtedy, gdy $n + 1$ jest potęgą 2. W pozostałych przypadkach, niezależnie od $k$, gra nigdy się nie kończy porażką.

answer: \boxed{szystkie pary dodatnich liczb całkowitych $(n, k)$, dla których gra w $(n, k)$-kamienie nigdy się nie kończy porażką, to te, dla których $n + 1$ nie jest potęgą dwójki, a $k \in \{1, 2, \dots, n\}$.

type: kombinatoryka


task:
Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $b$ o następującej własności: istnieją takie dodatnie liczby całkowite $a, k, \ell$, że liczby $a^k + b^\ell$ i $a^\ell + b^k$ są podzielne przez $b^{k+\ell}$, przy czym $k
eq \ell$.

solution: Analiza zadania pokazuje, że jedyną możliwą wartością $b$ jest 1. Dla $b = 1$ warunki są spełnione dla dowolnego wyboru $a, k, \ell$. Dowód: Zakładając $k > \ell$, z podzielności wynika, że $b^k$ dzieli $b^\ell$, co jest możliwe tylko gdy $b = 1$. Alternatywnie, analizując rozkład na czynniki pierwsze dowolnej liczby $b > 1$, dochodzi się do sprzeczności, co dowodzi, że $b = 1$ jest jedynym rozwiązaniem.


task: Dana jest liczba całkowita $n \ge 2$. Po polach planszy $n \times n$ porusza się ołowiany żołnierzyk, rozpoczynając swój spacer od narożnego pola. Przed wykonaniem kroku na kolejne (sąsiednie) pole, żołnierzyk może (ale nie musi) wykonać zwrot w prawo lub w lewo. Wyznaczyć najmniejszą liczbę zwrotów, jakie żołnierzyk musi wykonać, aby odwiedzić każde pole szachownicy co najmniej raz.

solution: Minimalna liczba zwrotów, jakie musi wykonać żołnierzyk, wynosi $2n - 2$. Dowód: Jeśli żołnierzyk wykona mniej niż $2n - 2$ zwrotów, to istnieje co najmniej jedno pole, którego nie odwiedzi. Natomiast można skonstruować trasę, w której żołnierzyk odwiedza wszystkie pola, wykonując dokładnie $2n - 2$ zwroty – np. poruszając się wzdłuż wierszy i kolumn w sposób „wężowy”, skręcając przy krawędziach planszy.

answer: \boxed{2n - 2}$


task: Dane są liczby całkowite $k, n$ oraz liczba rzeczywista $\ell$, przy czym $k \ge 1$ i $n \ge 1$. Dane są też parami różne dodatnie liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \dots, a_k$. Oznaczmy $S = \{a_1, a_2, \dots, a_k, -a_1, -a_2, \dots, -a_k\}$. Niech $A$ będzie liczbą rozwiązań równania $x_1 + x_2 + \dots + x_{2n} = 0$, gdzie $x_i \in S$. Niech $B$ będzie liczbą rozwiązań równania $x_1 + x_2 + \dots + x_{2n} = \ell$, gdzie $x_i \in S$. Dowieść, że $A \ge B$.

solution:
Niech $R(m, t)$ oznacza równanie $x_1 + x_2 + \dots + x_m = t$, z $x_i \in S$. Dla $t \in T$ (zbioru wszystkich sum $n$-elementowych podciągów), liczba rozwiązań $R(n, t) = R(n, -t)$. Oznaczmy tę liczbę przez $C_t$. Każde rozwiązanie $R(2n, 0)$ można podzielić na pierwsze $n$ elementów sumujących się do $t$ i drugie $n$ elementów sumujących się do $-t$. Stąd
\[
 A = \sum_{t \in T} C_t^2
\]
Analogicznie, każde rozwiązanie $R(2n, \ell)$ daje $t \in T_0 \subseteq T$, gdzie $T_0 = \{t \in T : \ell-t \in T\}$, i
\[
 B = \sum_{t \in T_0} C_t C_{\ell-t}
\]
Z nierówności $(x-y)^2 \ge 0$ wynika $C_t^2 + C_{\ell-t}^2 \ge 2 C_t C_{\ell-t}$, więc $A \ge B$.


task:
Dane są takie parami różne liczby rzeczywiste $a, b, c, d, e$, że:
\[
 ab + b = ac + a
\]
\[
 bc + c = bd + b
\]
\[
 cd + d = ce + c
\]
\[
 de + e = da + d
\]
Udowodnić, że $abcde = 1$.

solution: Zakładamy, że żaden z parametrów nie prowadzi do sprzeczności z założeniem o ich różności. Przekształcamy równania do postaci: $b(a+1) = a(c+1)$, $c(b+1) = b(d+1)$, $d(c+1) = c(e+1)$, $e(d+1) = d(a+1)$. Mnożąc stronami wszystkie równania i skracając niezerowe czynniki, otrzymujemy $e(b+1) = a(e+1)$. Następnie zapisujemy równania w postaci: $a(b-c)=a-b$, $b(c-d)=b-c$, $c(d-e)=c-d$, $d(e-a)=d-e$, $e(a-b)=e-a$. Mnożąc te pięć równań stronami i skracając niezerowe czynniki $(a-b)(b-c)(c-d)(d-e)(e-a)$, uzyskujemy $abcde = 1$.


task:
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą:

\[
 N(t) = N_0 \cdot k^t \quad \text{dla} \quad t \ge 0
\]

gdzie $N_0$ – liczebność początkowa, $k$ – stała dodatnia, $t$ – czas w godzinach. W chwili $t=0$ liczebność wynosiła $10\,000$, a po dwóch godzinach $15\,625$. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji w ciągu każdej godziny.

solution:
Z danych mamy $N(0) = 10\,000$, więc $N_0 = 10\,000$. Dla $t=2$:

\[
 15\,625 = 10\,000 \cdot k^2 \implies k^2 = 1{,}5625 \implies k = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25
\]

Stosunek liczebności po godzinie do liczebności początkowej wynosi $k = 1{,}25$, co oznacza wzrost o $25\%$.

answer: \boxed{25}

type: analiza matematyczna


task: Rozwiąż nierówność: $|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| < -2$. Zapisz obliczenia.

solution:
Rozważamy trzy przypadki wynikające z miejsc zerowych modułów ($x = -3, x = 2$):

1. $x \in (-\infty, -3)$: $-(x-2) + 2(x+3) < -2 \implies x+8 < -2 \implies x < -10$. Przedział: $(-\infty, -10)$.
2. $x \in [-3, 2)$: $-(x-2) - 2(x+3) < -2 \implies -3x-4 < -2 \implies x > -2/3$. Przedział: $(-2/3, 2)$.
3. $x \in [2, \infty)$: $(x-2) - 2(x+3) < -2 \implies -x-8 < -2 \implies x > -6$. Przedział: $[2, \infty)$.

Suma przedziałów daje rozwiązanie.

answer: \boxed{ \in (-\infty, -10) \cup (-2/3, \infty)}


task: Dany jest okrąg o środku $S=(2, 3)$ i promieniu $r=5$. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia tego okręgu z prostą o równaniu $y = 2x - 1$.

solution:
Równanie okręgu to $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Podstawiamy $y = 2x - 1$:

\[
 (x-2)^2 + (2x-1-3)^2 = 25 \implies (x-2)^2 + (2x-4)^2 = 25
\]
\[
 x^2 - 4x + 4 + 4x^2 - 16x + 16 = 25 \implies 5x^2 - 20x - 5 = 0 \implies x^2 - 4x - 1 = 0
\]

Obliczamy wyróżnik $\Delta = 16 + 4 = 20$. Pierwiastki to $x_1 = 2-\sqrt{5}$ oraz $x_2 = 2+\sqrt{5}$. Następnie wyznaczamy $y_1$ i $y_2$ z równania prostej.

answer: \boxed{2-\sqrt{5}, 3-2\sqrt{5}) i (2+\sqrt{5}, 3+2\sqrt{5})

type: geometria analityczna


task: Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Pole trójkąta $ABE$ jest równe $25$, a pole trójkąta $CDE$ jest równe $9$. Oblicz pole trapezu $ABCD$.

solution: Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty naprzemianległe). Skala podobieństwa $k = \sqrt{P_{ABE} / P_{CDE}} = \sqrt{25/9} = 5/3$. Pola trójkątów $ADE$ i $BCE$ są równe i wynoszą $\sqrt{P_{ABE} \cdot P_{CDE}} = \sqrt{25 \cdot 9} = 15$. Pole trapezu to suma pól czterech trójkątów: $25 + 9 + 15 + 15 = 64$.

answer: \boxed{64}

type: geometria


task: Rozwiąż równanie: $\sin(2x) + \cos(x) = 0$ w przedziale $[-\pi, \pi]$.

solution:
Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: $2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \implies \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0$. Mamy dwa przypadki:

1. $\cos(x) = 0 \implies x \in \{-\pi/2, \pi/2\}$.
2. $\sin(x) = -1/2 \implies x \in \{-5\pi/6, -\pi/6, 7\pi/6, \dots\}$. W zadanym przedziale są to $-\pi/6$ oraz $-5\pi/6$.

answer: \boxed{\pi/2, \pi/2, -\pi/6, -5\pi/6}

type: trygonometria


task: W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ dzieli bok $BC$ w stosunku $1:2$. Oblicz cosinus kąta $BAD$.

solution:
Przyjmijmy bok trójkąta $a=3$, wtedy $BD=1$ i $DC=2$. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$:

\[
 AD^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 1 - 3 = 7 \implies AD = \sqrt{7}
\]

Ponownie z twierdzenia cosinusów dla kąta $\alpha = \angle BAD$:

\[
 1^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} \cdot \cos(\alpha) \implies 1 = 9 + 7 - 6\sqrt{7} \cos(\alpha) \implies \cos(\alpha) = \frac{15}{6\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}
\]

answer: \boxed{\frac{5\sqrt{7}}{14}}


task: Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - (m-3)x + m = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 > 10$.

solution:
Warunki: 1) $\Delta > 0 \implies (m-3)^2 - 4m > 0 \implies m^2 - 10m + 9 > 0 \implies m \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.
2) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m-3)^2 - 2m > 10 \implies m^2 - 8m - 1 > 0$.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową dla $m$ i wyznaczamy część wspólną z warunkiem na deltę.

answer: \boxed{ \in (-\infty, 4-\sqrt{17}) \cup (9, \infty)}

type: algebra z parametrem


task: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest równa $H$, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $\alpha$. Oblicz objętość ostrosłupa.

solution:
Niech $a$ będzie krawędzią podstawy. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa $H$, wysokość ściany bocznej $h_s$ i połowę boku podstawy $a/2$ mamy:

\[
 \frac{H}{a/2} = \tan(\alpha) \implies a = \frac{2H}{\tan(\alpha)}
\]

Objętość $V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} \left(\frac{2H}{\tan(\alpha)}\right)^2 H = \frac{4H^3}{3\tan^2(\alpha)}$.

answer: \boxed{\frac{4H^3}{3\tan^2(\alpha)}}

type: geometria przestrzenna


task: Rozważamy stożki o odległości środka podstawy od tworzącej równej $5$. Objętość $V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$ dla $h \in (5, \infty)$. Wyznacz $h$, dla którego objętość jest najmniejsza.

solution:
Obliczamy pochodną $V'(h)$:

\[
 V'(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{3h^2(h^2-25) - h^3(2h)}{(h^2-25)^2} = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{h^4 - 75h^2}{(h^2-25)^2}
\]

$V'(h) = 0 \implies h^2(h^2 - 75) = 0$. Ponieważ $h > 5$, otrzymujemy $h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$. Analiza znaku pochodnej potwierdza, że jest to minimum lokalne i globalne w dziedzinie.

answer: \boxed{\sqrt{3}}