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-Titel: Vorlesung Finanzmärkte
-author: Matthias Pelster / Prof. Dr. Matthias Pelster
-institute: Universität Duisburg-Essen] Mercator School of Management, Universität Duisburg-Essen
-\section Investitionsbewertung unter Unsicherheit
-Berücksichtigung von Unsicherheit
-Im Rahmen der Investitionsbewertung unter Unsicherheit ist es regelmäßig erforderlich, Risiken innerhalb der cBarwertberechnung zu berücksichtigen.
-Dies gelingt über drei unterschiedliche Ansätze:
--Wahl eines Diskontierungszinses, der das Risiko adäquat abbildet (z.B. LIBOR; EURIBOR; EONIA bei Finanzinvestitionen)
--Risikozuschlag auf den risikolosen Kapitalmarkt- oder Wertpapierzinssatz
--Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten anstatt unsicherer Cash Flows (bei unverändertem Kalkulationszins)
--Wichtig: Alle Ansätze betrachten keine sicheren Cash Flows mehr, sondern den Erwartungswert unsicherer Cash Flows.
-\frametitle Exkurs: Statistische Operatoren
--Der Erwartungswert und die höheren Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung erlauben uns, die Verteilung auf einfach quantifizierbare und vergleichbare Kennzahlen herunterzubrechen.
--Betrachten wir als Motivation einmal eine Investition in Aktien.
--Aufgrund der unsicheren Zukunftsentwicklungen ist das zukünftige Endvermögen eine Zufallsvariable.
--Das Endvermögen hängt ab von
--der gewählten Alternative (beeinflussbar) und
--dem eingetretenem Zustand der Natur / Umweltzustand (nicht beeinflussbar).
--Wir treffen die folgenden Annahmen:
--2 Zeitpunkte: t=0 und t=1
--Zustandsbezogene Betrachtungsweise:
--Zustände müssen unabhängig von der gewählten Alternative definiert sein.
--Zustände sind bekannt mit endlicher Anzahl.
--diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
--den Zuständen können subjektive Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.
--Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen Entscheidungen unter Risiko und Entscheidungen unter Unsicherheit.
--Entscheidungen unter Risiko: Subjektive Wahrscheinlichkeit vorhanden.
--Entscheidungen unter Unsicherheit: Unbekannte Wahrscheinlichkeit.
--Daraus ergibt sich eine Ergebnismatrix in t=1:
-    TABELLE
--In einer alternativen Darstellung können wir die verschiedenen Ergebnisse auch über ein Baumdiagramm darstellen.
-    BILD
-    2 BILDER
--Unser Ziel ist nun eine Auswahl zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
--Diese Auswahl basieren wir auf oben angesprochenen Kennzahlen der Verteilung, den sog. Momenten.
--Mögliche Kennzahlen in diesem Kontext sind:
--Erwartungswert
--Varianz/Standardabweichung
--Kovarianz/Korrelationskoeffizient
--Schauen wir auf ein Beispiel.
--Die folgende Tabelle zeigt uns in t=1 Aktienwerte in Euro
-\begin tabular c|cccccl
-Zustand & $S_1$ & $S_2$ & $S_3$ & $S_4$ &  \\ \hline
-Eintrittsw'keit & 0,1 & 0,3 & 0,4 & 0,2 &  \\ \hline
-Aktie I & 150 & 170 & 180 & 200 &  \\ [1ex]
-Aktie II & 280 & 300 & 270 & 290 &  \\ [1ex]
-Aktie III & 100 & 100 & 100 & 100 &  \\ [1ex]
-\end tabular
--Die Preise / Kurse der Aktien in $t=0$ betragen:
--Aktie I: 125€
--Aktie II: 250€
--Aktie III: 90€
--Dann ergibt sich der Erwartungswert:
-\begin eqnarray*
-\E[\tilde E_i] & = & \sum_ j=1^n w_j E_ ij \\[1ex]
-\E[\tilde P_1^ I] & = & 0,1\cdot 150 + 0,3\cdot 170 + 0,4\cdot 180 + 0,2\cdot 200 = \underline 178 \text  \euro \\[1ex]
-\E[\tilde P_1^ II] & = & \underline 284 \text  \euro \\[1ex]
-\E[\tilde P_1^ III] & = & \underline 100 \text  \euro
-\end eqnarray*
--Die Varianz:
-\begin eqnarray*
-\var[\tilde E_i] & = & \sum_ j=1^n w_j \left( E_ ij-\E[\tilde E_i]\right)^2 \\[1ex]
-\var[\tilde P_1^ I] & = & 0,1\cdot (150-178)^2 + 0,3\cdot (170-178)^2 \\
- & + & 0,4\cdot (180-178)^2 + 0,2\cdot (200-178)^2 = \underline 196 \text  \euro^2 \\[1ex]
-\var[\tilde P_1^ II] & = & \underline 164 \text  \euro^2 \\[1ex]
-\var[\tilde P_1^ III] & = & \underline 0 \text  \euro^2
-\end eqnarray*
--Oder, alternativ:
-\begin eqnarray*
-\var[\tilde E_i] & = & \underbrace \sum_ j=1^n w_j E_ ij^2_ \E[\tilde E_i^2]-\E[\tilde E_i]^2 \\[1ex]
-\var[\tilde P_1^ I] & = & 0,1\cdot 150^2 + 0,3\cdot 170^2 \\
- &+& 0,4\cdot 180^2 + 0,2\cdot 200^2 -178^2 = \underline 196 \text  \euro^2 \\
-. . . & &
-\end eqnarray*
--Die Standardabweichung:
-\begin eqnarray*
-\sigma[\tilde E_i] & = & \sqrt \var[\tilde E_i] \\[1ex]
-\sigma[\tilde P_1^ I] & = & \sqrt 196 = \underline 14 \text  \euro \\[1ex]
-\sigma[\tilde P_1^ II] & = & \underline 12,8062 \text  \euro \\[1ex]
-\sigma[\tilde P_1^ III] & = & \underline 0 \text  \euro
-\end eqnarray*
--Die Kovarianz:
-\begin eqnarray*
-\cov[\tilde E_i,\tilde E_k] & = & \sum_ j=1^n w_j (E_ ij-\E[\tilde E_i]) (E_ kj-\E[\tilde E_k]) \\[1ex]
-\cov[\tilde P_1^ I,\tilde P_1^ II] & = & 0,1 (150-178)\cdot (280-284)\\
- & + & 0,3 (170-178)\cdot (300-284) \\
- & + & 0,4 (180-178)\cdot (270-284) \\
- & + & 0,2 (200-178)\cdot (290-284) = \underline -12 \text  \euro^2 \\[1ex]
-\cov[\tilde P_1^ I,\tilde P_1^ III] & = & \underline 0 \text  \euro^2 \\[1ex]
-\cov[\tilde P_1^ II,\tilde P_1^ III] & = & \underline 0 \text  \euro^2
-\end eqnarray*
--Und der Korrelationskoeffizient:
-\begin eqnarray*
-\rho[\tilde E_i,\tilde E_k] & = & \frac \cov[\tilde E_i,\tilde E_k] \sigma[\tilde E_i]\cdot \sigma[\tilde E_k] \quad \left(\rho \in [-1;1]\right) \\[1ex]
-\rho[\tilde P_1^ I,\tilde P_1^ II] & = & \frac -12 \text \euro^2 14\text \euro\cdot 12,8062\text \euro = \underline -0,0669 \\[1ex]
-\rho[\tilde P_1^ I,\tilde P_1^ III] & = & \underline 0 \\[1ex]
-\rho[\tilde P_1^ II,\tilde P_1^ III] & = & \underline 0
-\end eqnarray*
-\section Das Bernoulli-Prinzip
-\frametitle Wie entscheiden unter Risiko?
-Wie soll ein bestimmtes (Anfangs-)Vermögen $W_0$ auf Wertpapiere/Investitionsalternativen aufgeteilt werden?
-Sicherheit:  Investition in das WP, welches das höchste EV erzielt.
-Risiko:   Zunächst keine Entscheidung möglich.
-BILD
-- Mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erzielen WP A und WP B eine bestimmte Rendite. Aber welches WP ist zu wählen?
-- Auch möglich: Portfoliobildung (dazu gleich mehr).
-BILDER
-- D.\,h. für unterschiedliche $(x_A,x_B)$-Kombinationen bekommt man unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Portfoliorendite (stochastisch).
-\frametitle Klassische Entscheidungsgrundsätze
-Die Grundidee: Berechnen Sie die Momente der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um die Präferenzwerte zu bestimmen.
-    - Rendite = Erwartungswert µ
-    - Wählen Sie die Alternativen mit dem höchsten erwarteten Wert.
-    - Entscheidungsregel (formal): \qquad $\E[\tilde V_i] > \E[\tilde V_k] \Rightarrow V_i \succ V_k$
-\frametitle Klassische Entscheidungsgrundsätze
-Beispiel:
-Aktie: $\E[\tilde V^A]=\frac 1  3  (80+120+160)=$ 120€
-Staatsanleihe: $\E[\tilde V^ BA ]=$ 120€
-Eine ausschließlich auf Erwartungswerten basierende Entscheidungsfindung ist für risikoscheue oder risikofreudige Anleger nicht geeignet, da die Unsicherheit von Aktien nicht berücksichtigt wird.
--->mindestens eine Kennzahl zur Risikomessung ist erforderlich.
-\frametitle Klassische Entscheidungsgrundsätze
-2. Moment
-    - Risikomaß  = Standardabweichung σ oder Varianz σ²
-    - Definiert $\Phi(\E[\tilde V_i],\var[\tilde V_i])$ den
-        - Erwartungswert und variationsabhängiger Präferenzwert,
-        - führt dies zu der folgenden (formalen) Entscheidungsregel:
-        - $\Phi(\E[\tilde V_i],\var[\tilde V_i]) > \Phi(\E[\tilde V_k],\var[\tilde V_k]) \Rightarrow V_i \succ V_k$
-- Beachten Sie, dass neben der Standardabweichung oder Varianz mehrere andere Risikofaktoren möglich sind: Schiefe, Kurtosis, Value at Risk, erwarteter Ausfall, ...
-\frametitle Klassische Entscheidungsgrundsätze
-Beispiel
-Aktie:   \= $\var[\tilde V^A]=\frac 1  3  (80-120)^2+\frac 1  3  (120-120)^2+\frac 1  3  (160-120)^2$
-\>  $=\text 1.066,62\EUR   ^2.$\\[7pt]
-\>  $\σ[\tilde V^A]=$ 32.66\EUR
-Staatsanleihe:   $\var[\tilde V^ BA ]=0=\σ[\tilde V^ BA ]$.
-\frametitle Das (µ,σ)-Prinzip
-Das (µ,σ)-Prinzip setzt eine Entscheidungsfindung auf der Grundlage von µ und σ voraus.
-Beispiel: Präferenzfunktion des Investors: Φ=µ-1/5 σ^2
-> Aktie:   Φ=120- 1/5 * 1.066,67=-93,33
-> Staatsanleihe:   Φ=120- 1/5 * 0=120
-> -->Wähle die Staatsanleihe!
--->Unter der Annahme, dass zwei Projekte den gleichen Erwartungswert haben, entscheiden sich risikoscheue Investoren immer für das weniger riskante Projekt.
-\frametitle Das Bernoulli-Prinzip
-- Unter Anwendung des Bernoulli-Prinzips   versuchen wir, den erwarteten Nutzen zu maximieren.
-$$\E[U(\tilde r_ PF  )]\rightarrow \max\limits_ x_A,x_B $$
-- -->Die Entscheidungsfindung unter Risiko wird gelöst durch:
--[(1)] Zustandsabhängige Ergebnisse $V_ ij $ jeder Alternative kombiniert mit einer Nutzenfunktion $U(\tilde V)$ ergeben einen zustandsabhängigen Nutzenwert $U(V_ ij )$.
--[(2)] Bestimmen Sie die Erwartungswerte des Nutzens für jede Alternative i:
-\begin equation*
-\E[U(\tilde V_i)] = \sum_ j=1 ^n p_j \cdot U(V_ ij ).
-\end equation*
--[(3)] Die Entscheidungsfindung berücksichtigt alle relevanten Erwartungswerte des Nutzens. Zwei Alternativen, i und k:
-\begin equation*
-\E[U(\tilde V_i)] > \E[U(\tilde V_k)] \Rightarrow V_i \succ V_k.
-\end equation*
- Erwartungsnutzen-Maximierung
-- Annahme: Axiome des rationalen Verhaltens: Das Bernoulli-Prinzip geht von rationalem Verhalten aus.
-Anmerkung: Unter dieser Annahme gibt es eine Nutzenfunktion $U(\tilde V)$ für zwei zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilungen $w_1$ und $w_2$:
-\begin align*
-w_1 > w_2 & \Leftrightarrow \E_ w_1 [U(\tilde V)]>\E_ w_2 [U(\tilde V)]\\
-w_1 \sim w_2 & \Leftrightarrow \E_ w_1 [U(\tilde V)]=\E_ w_2 [U(\tilde V)]
-\end align*
-Die Nutzenfunktion $U(\tilde V)$ ist eindeutig (außer bei positiver linearer Transformation).
-- Das Bernoulli-Prinzip berücksichtigt die Präferenzen der Anleger in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
-- Zielsetzung: Rangfolge aller Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Projekte) auf der Grundlage ihres Erwartungswerts des Nutzens.
-\frametitle Anwendung des Bernoulli-Prinzips
-Wir betrachten die Nutzenfunktion $U(V)=1000\cdot V-V^2$ und berechnen den erwarteten Nutzen der Investition in Aktien und Staatsanleihen. Wir beginnen mit der Aktie:
-BILD
-$\E[U(\tilde V)]=\frac 1  3 \cdot 73.600+\frac 1  3 \cdot 105.600+\frac 1  3 \cdot 134.400=104.533,\bar 3 $\\
-\frametitle Beispiel fortgesetzt
-Nun wenden wir uns den Staatsanleihen zu:
-    BILD
-$\E[U(\tilde V)]=\frac 1  3* 3 \cdot 105.600 = 105.600$
-Da die Staatsanleihen einen höheren erwarteten Nutzen bietet als die Aktie, wird sich ein Anleger mit der entsprechenden Nutzenfunktion für die Staatsanleihen entscheiden.
-\frametitle Wer wird Millionär?
-Stellen Sie sich die folgende Situation vor: Sie sind in der Show mit Günther Jauch und stehen vor der Millionen-Euro-Frage. Sie haben bereits den 50 : 50-Joker eingesetzt, so dass zwei Antworten möglich sind. Ihre subjektiven Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Antworten sind .6 für Antwort A und .4 für Antwort B.
-Erinnern Sie sich, dass Sie mit der richtigen Antwort 1 Mio.€ gewinnen, während Sie mit der falschen Antwort nur 16.000€   gewinnen. Wenn Sie die Frage nicht beantworten, gewinnen Sie 500.000€  .
-Beantworten Sie die Frage?
-Erwartungsnutzentheorie
-- Sie maximieren einen einfachen exponentiellen Nutzen gemäß der Funktion $u(c) = -\frac e^ -ac   a $, wobei a Ihre konstante absolute Risikoaversion bezeichnet, a=.15.
-- Berechnen Sie den Nutzen einer Nichtbeantwortung der Frage: u(500) = -\frac e^ -.15 \cdot 500   .15  = - 1.786.
-- Berechnen wir nun den Nutzen einer Antwort: u = .4 \cdot (-\frac e^ -.15 \cdot 16   .15 ) + .6 \cdot (-\frac e^ -.15 \cdot 1000   .15 ) = -.242.
-- Bei dieser Nutzenfunktion und dem Grad der Risikoaversion sollten Sie also antworten!
-\frametitle Risikobereitschaft
-Die Nutzenfunktion zeigt die Einstellung des Anlegers zum Risiko. Wir unterscheiden zwischen drei Risikohaltungen:
-- risikoavers,
-- risikoneutral,
-- risikofreudig.
-Betrachten Sie eine risikofreie Anlage (z.B. Staatsanleihe) $w_1$ und eine risikoreiche Anlage (z.B. Aktie) $w_2$ mit demselben Erwartungswert
-\begin equation*
-\E[\tilde V^ BA ]=120=\frac 1  3 (80+120+160)=\E[\tilde V^A].
-\end equation*
-Dann wird die Risikoeinstellung eines Anlegers wie folgt definiert:
-Definition:   Der Investor ist
-- risikoavers, wenn $w_1 > w_2$,
-- risikoneutral, wenn $w_1 ~ w_2$
-- risikofreudig, wenn $w_1 <  w_2$.
-Risikoverhalten
-Gegeben $U(Y)$ und $U'(Y)>0$ (muss positiv sein! warum?).
-Jede(r) Investor*In ist
-- risikoavers, wenn $U(Y)$ konkav ist $[U''(Y)<0]$,
-- risikoneutral, wenn $U(Y)$ linear ist  $[U''(Y)=0]$,
--  risikofreudig, wenn $U(Y)$ konvex ist  $[U''(Y)>0]$
-    BILD
-\frametitle Bernoulli- und (µ,σ)-Prinzip
-Frage:   In welchen Fällen führen das Bernoulli-Prinzip und das (µ,σ)-Pri(µ,σ)nzip zur gleichen Entscheidung?
-Für alle Zufallsverteilungen vollständig erklärt durch µ und σ:
-- Normal verteilte Ergebnisse
-- Exponentielle Nutzenfunktion U(V)=-e^ -aV  (a>0)
-- Die zugehörige Präferenzfunktion ist  Φ=µ-\frac a  2 \cdot σ^2
-Beispiel: quadratische Nutzenfunktion
-\>  $U(V)=aV+bV^2 (a>0, b<0)$
-\>  --> parabolische Nutzenfunktion; mit b<0:
-\>  Nutzenfunktion impliziert Risikoaversion.
-\>  --> Funktion ist realisierbar, solange der erwartete Wert steigt.
-\>  Andernfalls: Ein steigender Gewinn oder Wohlstand würde zu einem sinkenden Nutzen führen
-\>  Daraus folgt:
-\>  $\frac \delta U(V)  \delta V  = a + 2bV > 0  <---> -\frac a  2b
-Achtung: b<0
-Bernoulli-Prinzip:
-\E[U(\tilde V)] & = & \E[a\tilde V+b\tilde V^2]\\
-& = & a\cdot \E[\tilde V]+b\cdot \E[\tilde V^2]\\
-& \stackrel (*)  =  & a\cdot \E[\tilde V]+b\cdot (\var[\tilde V]+ \E[\tilde V]^2)\\
-& = & a\cdot\µ + b\cdot (\σ^2+ \µ^2)\\
-$(*)$ $\var[\tilde V] = \E[\tilde V^2] - \E[\tilde V]^2$ \\
-Daraus folgt:  E[U(\tilde V)] _ = aµ + b * (\σ^2+ µ^2)
-\frametitle Risikozuschlag auf den Zinssatz
-- Häufig angewendet (weil einfach) ist die Methode, den adäquaten risikolosen Diskontierungszins um einen subjektiven Risikozuschlag zu erhöhen.
-- Dieser Risikozuschlag   wird umso größer   sein, je höher   das Risiko   des Investitionsprojekts eingeschätzt   wird.
-- Für eine Investition lässt sich der Risikozuschlag z auf den Kalkulationszinssatz allgemein wie folgt berücksichtigen:
-\begin equation*
-    PV_0 = \sum_ t=1 ^T \frac \E[CF_t]  (1+i+z)^t
-\end equation*
-Beispiel: Berücksichtigung eines Risikozuschlags auf den Kalkulationszinssatz
-- Für eine Investition mit einer Laufzeit von zwei Jahren seien folgende unsichere Cash Flows angenommen. Der Diskontierungszinssatz betrage 10% und der Risikozuschlag betrage 2.-
-- Zunächst ist die Berechnung der erwarteten Cash Flows E[CF_t] aus der Investition unter Unsicherheit erforderlich:
-    BILD VON TABELLE
-- Der Barwert dieser Investition beträgt:
-    PV_0  &= \sum_ t=1 ^T \frac \E[CF_t]  (1+i+z)^t  =\frac 7.200\text \euro   1,12  + \frac 7.950\text \euro   1,12^2 \\
-    &= \textcolor uniblau  12 766,26
-- Merke  : Ein positiver Risikozuschlag auf den Kalkulationszinssatz führt c.p. immer zu einem sinkendem Barwert!
-- Begründung?
-- Mathematisch: erwartete CF werden mit einem dann höheren (weil risikoadjustierten) Zinssatz diskontiert, was zu einem sinkenden Barwert führt.
-- ökonomisch: der Risikozuschlag erhöht die Mindestrendite, die die Investition mindestens erwirtschaften muss -->Investition wird unattraktiver -->Barwert sinkt.
-\frametitle Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
-- Alternativ können Risiken auch dadurch abgebildet werden, dass anstelle unsicherer Cash Flows sog. Sicherheitsäquivalente (certainty equivalents, CEs)   diskontiert werden -->Sicherheitsäquivalentmethode
-- Das Sicherheitsäquivalent einer zukünftigen, unsicheren Zahlung ist derjenige sichere Betrag, der dem Investor in Abhängigkeit seiner Risikoeinstellung den gleichen Nutzen liefert wie die unsichere Zahlung selbst  .
-- Je nach Risikoeinstellung des Investors kann aus der Differenz von Sicherheitsäquivalent und Erwartungswert der zukünftigen Zahlung eine Risikoprämie RP von größer null, kleiner null oder gleich null resultieren.
-- Risikoneutralität  : Sicherheitsäquivalent = Erwartungswert der unsicheren Zahlung: -->RP = 0
-- Risikoaversion  : Sicherheitsäquivalent < Erwartungswert der unsicheren Zahlung: -->RP > 0
-- Risikoaffinität  : Sicherheitsäquivalent > Erwartungswert der unsicheren Zahlung:  -->RP < 0
-- Es bestehen also folgende Zusammenhänge zwischen dem Erwartungswert der unsicheren Cash Flows E(CF_t), Sicherheitsäquivalent CE_t und der Risikoprämie RP_t:
-    E(CF_t) = CE_t + RP_t
-    CE_t = E(CF_t) - RP_t
-    RP_t = E(CF_t) - CE_t
-\frametitle Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
-- Ist die Risikonutzenfunktion   des Investors bekannt, kann das Sicherheitsäquivalent CE_t direkt aus dieser Risikonutzenfunktion bestimmt werden.
-- Da der Nutzen des Sicherheitsäquivalents U(CE_t) genau so groß sein muss, wie der erwartete Nutzen der unsicheren erwarteten Cash Flows E[U(CF_t)], gilt folgender Zusammenhang:
-    U(CE_t) =  E[U(CF_t)]
-<-> CE_t = U^ -1  (E[U(CF_t)])
-- Das heißt, das Sicherheitsäquivalent lässt sich allgemein aus der Inversen der Risikonutzenfunktion   des Investors ermitteln.
-    BILD
-- Zur Erinnerung: Für das Sicherheitsäquivalent gilt:
- CE_t =  E(CF_t) - RP_t
-- Die allgemeine Barwertformel   verändert sich dann mit Berücksichtigung   von Sicherheitsäquivalenten   wie folgt:
-    PV_0 = \sum_ t=1 ^T \frac \overbrace \E(CF_t) - RP_t ^ CE_t   (1+i)^t
-Beispiel: Berücksichtigung von Sicherheitsäquivalenten
-- Für eine Investition unter Unsicherheit stehen folgende Informationen zur Verfügung:
-- Risikoloser Kapitalmarktzins: 10%
-- Erwartete Cash Flows:
-TABELLE
-- Damit lassen sich für die gegebene Investition folgende Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen bestimmen:
-TABELLE
-- Das Sicherheitsäquivalent bestimmt sich als Umkehrfunktion (Inverse) der Risikonutzenfunktion   und soll hier im Beispiel wie folgt lauten:
-CE_t = E(CF_t) - RP_t
-= E(CF_t) - α*σ(CF_t)
-= E(CF_t) - 0,1*σ(CF_t)
-- α gibt dabei den Grad der Risikoaversion des jeweiligen Entscheiders an.
-- Nutzenfunktionen zu bestimmen ist in der Praxis eine große Herausforderung.
-- Die ermittelten Werte werden nun verwendet, um den Barwert der unsicheren Investition   zu berechnen.
-- Dafür sind zunächst die Sicherheitsäquivalente beider Jahre   zu berechnen:
-CE_t = E(CF_t) - 0,1*σ (CF_t)
-CE_1 = 7 600 - 0,1*2107 = 7 389,30
-CE_2 = 8 100 - 0,1*2700 = 7 830,00
-- Gemäß der Formel zur Berechnung des Barwertes gilt dann:
-PV_0 &= \sum_ t=1 ^T \frac  CE_t   (1+i)^t  = \frac 7 389,30  1,1  + \frac 7 830,00  1,1^2
-= 13 188,62
-\frametitle Zusammenfassung und weitere Agenda
-- Jetzt sind wir in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu bewerten.
-- In der Realität wird ein Unternehmen jedoch selten nur in ein einzelnes Projekt investieren wollen.
-- In gleichem Maße sollte ein Investor nicht nur in eine einzige Anlagemöglichkeit investieren
-- Daher betrachten wir im weiteren Verlauf die Investition in mehrere Projekte.
-- Wir werden dies am Beispiel eines Investors diskutieren; die überlegungen sind aber ohne Weiteres auf Unternehmen zu übertragen.
-Portfolios und Diversifikation
-\frametitle Entscheidungssituation unter Risiko
-- Bisher: Betrachtung sich gegenseitig ausschließender Investitionsprojekte bzw. -programme.
-- Jetzt: Investitionsprojekte schließen sich nicht mehr gegenseitig aus.
-- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei Risiko erfordert die Berücksichtigung der stochastischen Zusammenhänge mit der Gesamtheit aller übrigen Projekte, die durchgeführt werden.
-- Modell notwendig, in dem das Gesamtprogramm (=Portfolio) unter simultaner Berücksichtigung aller in Frage kommender Projekte optimiert wird.
-Although more than half a century has passed since Markowitz's (1952) seminal paper, the mean-variance (MV) framework is still the major model used in practice today in asset allocation and active portfolio management despite many other models developed by academics.
-(Tu and Zhou, 2011)
-Anlageproblematik
-Der Aufbau, die Verwaltung und die Sicherung von Vermöogen ist ein zentraler Prozess, mit dem jeder Anleger konfrontiert ist.
-Herausforderungen:
-- Viele Anlagealternativen mit verschiedenen Rendite-/Risikoprofilen
-- Ausgleich von Risiken
-- Abstimmung auf die individuellen Präferenzen des Anlegers
- Lösung:    Portfoliomanagement
-- Die wesentliche Aufgabe des Portfoliomanagements besteht darin, das Kapital im Hinblick auf die Nutzenpräferenz des Anlegers   optimal zu allokieren.
-\frametitle Anlageuniversum
-    BILD
-\frametitle Magisches Dreieck
-    BILD
-\frametitle Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen
-Rendite: Verhältnis zwischen einem Endwert und einem Anfangswert, ausgedrückt über einen bestimmten Zeitraum
-- r_t = \frac  P_t    P_ t-1    -1$  (diskret) ,
-- r_t = ln (\frac  P_t    P_ t-1   $) (stetig)  ,
-wobei  P_t  der Preis der Aktie zum Zeitpunkt  t ist.
-Durschnittliche Rendite einer Einzelinvestition:
-r = \frac  1    t  *sum \limits_ t=1 ^ T  r_t
-\frametitle Die Vorteile der stetigen Rendite
-Zeitadditivit
-Für diskrete Renditen ist die Rendite über einen langen Zeitraum nicht die Summe der Renditen über die kurzen Zeiträume.
-    (1 + r_1)(1 + r_2) ... (1 + r_n) = \prod_i (1+r_i)
-Diese fehlende Zeitadditivität von diskreten Renditen ist für viele Analysen ungeeignet; insb. ändert sich durch die Multiplikation die Verteilung der Renditen. Aus diesem Grund werden häufig stetige Renditen verwendet, da sie zeitadditiv sind.
-Bei stetigen Renditen ist die Rendite  über einen langen Zeitraum die Summe der Renditen über die kurzen Zeiträume.
-\sum_i log(1+r_i) = log(1 + r_1) + ... + log(1 + r_T) = log(P_T) - log(P_0)
-Normalverteilung der log-Renditen
-Wenn wir annehmen, dass die Preise logarithmisch normalverteilt sind, dann ist log(1 + $r_i$) praktischerweise auch normalverteilt.
-Diskrete und kontinuierliche Renditen sind nahezu äquivalent
-Wenn die Renditen sehr klein sind (was bei Geschäften mit kurzer Haltedauer oft der Fall ist), liegen stetige Renditen im Wert nahe bei diskreten Renditen.
-log(1 + r) ≈ r , r<<1
-Rendite und Risiko für Einzelinvestitionen
-Risiko einer Einzelinvestion (hier: Volatilität)
-Die Varianz σ^2 ist die quadratische Differenz zwischen den realisierten Einzelrenditen und ihrem berechneten Mittelwert. Durch Ziehen der Quadratwurzel erhält man die Standardabweichung σ:
-σ = \sqrt 1/t  *sum \limits_ t=1 ^ T (r_t -\bar r)^2
-Wurzel-T-Regel
-Um eine entsprechende Vergleichbarkeit von Rendite und Risiko zu erreichen, müssen beide Variablen annualisiert werden.
-Die annualisierte Standardabweichung wird mit Hilfe des Annualisierungsfaktors (Wurzel-T-Regel) bestimmt:
-σ_ T_1  = σ_ T_2 *sqrt    T_1 / T_2
-Erwartete Rendite und Varianz
-Da eine Investitionsentscheidung unter Unsicherheit getroffen wird, ist die Renditeberechnung ex-ante    nicht  möglich. Die tatsächliche Rendite r_T und Volatilät σ kann nur ex post bestimmt werden.
-Annahme: Zukünftige Renditen haben ähnliche Eigenschaften wie historische Renditen:
-- Gleichbleibender Mittelwert
-- Gleichbleibende Varianz
-Aufbauend darauf nutzt man häufig die durchschnittliche vergangene Rendite als erwartete Rendite μ=E[r_i] = \bar r und die historische Varianz σ^2 = var[r_i] als Maß für die erwartete Volatilität.
-Rendite-Risiko-Diagramm
-Wie würden Sie sich entscheiden?
-    BILD
- Portfolio
-Was ist ein Portfolio?
-- Das Portfolio   beschreibt ein Bündel   von Investitionen, die ein Anleger besitzt.
-- Für den Aufbau eines Portfolios werden in der Regel Zielsetzungen und -kriterien   formuliert, die der Auswahl der einzelnen Vermögenswerte zugrunde gelegt werden.
-- Durch die Zusammenstellung des Portfolios wird versucht, die  für den Investor optimale Mischung   zwischen Rendite, Risiko und Liquidität zu erreichen.
-\hypertarget beispiel-portfolio
-    BILD UND TABELLE
- Rendite und Risiko eines Portfolios
-Gesamtrendite des Portfolios
-Die Summe der Erwartungswerte der Renditen, gewichtet mit den Anteilen x_i der i = 1, ... N Wertpapiere in einem Portfolio P ergibt die Portfoliorendite:
--  E[r_P] = \sum \limits_ i=1 ^ N  x_i*E[r_i]
-Gesamtrisiko des Portfolios
-Das Gesamtrisiko des Portfolios ist abhängig von
-- den Risiken der einzelnen Wertpapiere   σ_i,
-- ihren Portfolioanteilen   x_i und
-- den Kovarianzen zwischen den einzelnen Renditen  .
-Kovarianz und Korrelation
-Die Kovarianz charakterisiert die (lineare) Beziehung zwischen den Renditen   zweier Wertpapiere und ergibt sich aus dem Produkt der Differenzen zwischen zwei Wertpapieren i und j.
-- σ_ ij  = E[(r_i- \E[r_i])(r_j- \E[r_j])]$
-Korrelation: Um die Beziehung vergleichbar zu machen, wird der Korrelationskoeffizient durch Standardisierung der Kovarianz   hergeleitet. Dieser ist definiert als Quotient aus Kovarianz  σ_ ij und dem Produkt der Standardabweichungen σ_i\σ_j.
--  ρ_ij  = σ_ ij  / σ_iσ_j
-Interpretation
-- Der Korrelationskoeffizient ist normiert und nimmt nur Werte zwischen -1 < ρ ij  y< 1 an.
-- Er dient als Richtungs- und Stärkeindikator für die zu prognostizierenden Renditen der abhängigen Wertpapiere.
-- Bei einem Wert von +1 (bzw. -1) besteht eine vollständig positive (bzw. negative) lineare Beziehung zwischen den betrachteten Variablen.
-- Ist ρ_ij gleich null, so besteht kein linearer Zusammenhang zwischen den betrachteten Variablen.
- Risiko des Portfolios
-2 Assets:
-$$\σ_p = \sqrt w_1^2\σ_1^2 + w_2^2\σ_2^2 +2w_1w_2\ρ 12 \σ_1\σ_2 $$
-3 Assets:
-$\σ_p$ = $$\sqrt w_1^2\σ_1^2 + w_2^2\σ_2^2 + w_3^2\σ_3^2 +2w_1w_2\ρ 12 \σ_1\σ_2+2w_1w_3\ρ 13 \σ_1\σ_3 +2w_2w_3\ρ 23 \σ_2\σ_3 $$
-n Assets:
-$$\σ_p = \sqrt \sum \limits_ i=0 ^ N w_i^2\σ_i^2+2\sum \limits_ i=0 ^ N  \sum \limits_ j=i+1 ^ N  w_iw_j\ρ ij \σ_i\σ_j $$
-Diversifikationseffekt
-Gegeben sind N identische Wertpapiere mit
-- µ_i = µ
-- σ_i = σ
-- ρ_ij  = 0 für alle i≠j
-Mögliche Alternativen:
-- Investion in ein einzelnes Wertpapier
-- Gleichmäßige Investion auf alle n Wertpapiere
-- Naive Diversifikation ([vgl. bspw. DeMiguel et al. 2007,Tu and Zhou, 2011)
-Renditen der Alternativen:
--  E[r_P] = µ_1 = µ
-- E[r_P] = \frac 1  N \cdot\µ_1 + \frac 1  N *µ_2 + ... + \frac 1  N *µ_N = \frac 1  N
-\sum \limits_ i=1 ^ N \µ_i = \µ$.
-Die Renditen der Einzelinvestition und des Portfolios sind identisch.
-Standardabweichung der Alternativen:
-1. σ_P = \sqrt w_1^2\σ_1^2 = 1*σ_1 = σ
-2. σ_P = \sqrt (\frac 1  N )^2*σ_1^2+ (\frac 1  N )^2*σ_2^2+...+(\frac 1  N )^2*σ_N^2   =\sqrt \sum \limits_ i=0 ^ N (\frac 1  N )^2*σ_i^2  = \frac \σ  N
-Bei einer Investition in N Wertpapiere verringert sich die Standardabweichung auf  σ/N
--->Durch die Investition in ein Portfolio kann die Volatilität reduziert werden.
-    BILD
-\frametitle Diversifikation: Systematisches und unsystematisches Risiko
-- Das Risiko eines einzelnen Wertpapiers kann in zwei Risiken unterteilt werden:
-- Unsystematisches (idiosynkratisches) Risiko (unternehmenspezifisch)
-- Systematisches Risiko (Marktrisiko)
-- Durch ein breit gestreutes (diversifiziertes) Portfolio, lässt sich das unsystematische Risiko auf ein Minimum reduzieren. Das Marktrisiko bleibt jedoch stets erhalten.
-BILD
-Einfluss des Korrelationsfaktors
-Gegeben ist ein Portfolio aus 2 Wertpapieren mit den Portfoliogewichten w und (1 - w) (w∈[0;1])
-Rendite des Portfolios:
-    E[r_P] = wE[r_1] + (1-w)E[r_2]
-Standardabweichung des Portfolios:
-σ_P = \sqrt w^2\σ_1^2 + (1-w)^2\σ_2^2 +2w(1-w)\ρ 12 \σ_1\σ_2
-Anhand der Formel ist erkennbar, dass der Korrelationskoeffizient einen direkten Einfluss auf die Standardabweichung σ_ P ausübt.
-    BILD
-1. p_ij  = +1
-- Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gleichgerichtet
-- Gesamtrisiko des Portfolios   entspricht der Summe der mit den jeweiligen Portfolioanteilen   gewichteten Standardabweichungen   der beiden Wertpapiere (Durchschnittsrisiko, keine Diversifikation)
-2. -1 < ρ_ij < +1
-- Wenn der Korrelationskoeffizient sich verringert, sinkt das Portfoliorisiko zunehmend unter das Durchschnittsrisiko. (Diversifikationseffekt tritt ein)
-3. ρ_ij  = -1
-- Die Renditen der Wertpapiere verlaufen vollständig gegenläufig
-- Gesamtrisiko des Portfolios kann auf 0 gesenkt werden (perfekte Diversifikation)
- Korrelationskoeffizient
-- Die Wirkung des Korrelationskoeffizienten ist  erheblich für das Gesamtrisiko des Portfolios.
-- Bei der Zusammenstellung eines diversifizierten Portfolios ist es erforderlich, sowohl die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse als auch die Korrelationen zwischen einzelnen Anlageklassen    für das Portfolio als Ganzes zu berücksichtigen.
-übersicht  über die Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse
-    BILD
-Korrelationen innerhalb einer Anlageklasse:
-- In der Praxis bewegen sich die Renditen der einzelnen Anlageklassen, wie z.B. Aktien, sehr ähnlich .
-- Noch ausgeprägter ist dieser Effekt innerhalb einzelner Industrien.
-- Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Faktoren, die die Renditen bestimmen, wie Zinsniveau, Inflationsrate, wirtschaftliche Entwicklung und Währungseinflüsse  alle Aktien ähnlichermaßen betreffen.
-    BILD
-Achtung: Korrelationen sind nicht konstant und ändern sich im Laufe der Zeit.
-Asset Allocation
-- Erst durch die Beimischung anderer Anlageklassen wie Anleihen, Gold und Rohstoffen können die Vorteile niedriger Koeffizienten richtig genutzt werden.
-- Diese Verteilung (Diversifikation) des Vermögens auf verschiedene Assetklassen wird als Asset Allocation (Vermögensallokation) bezeichnet.
-- Schlüsselziel ist ein ausgewogenes Verhältnis von Risiko und Rendite im Gesamtportfolio.
-- Die Allokation erfolgt ähnlich zum Aktienportfolio durch die individuelle Abstimmung des jeweiligen Vermögensanteils an die Risikotoleranz, die Ziele und den Zeitrahmen des Anlegers.
-\section Markowitz Portfolio Theorie
-- 1952 legte Markowitz mit seinem Beitrag "Portfolio Selection"  (Markowitz, 1952) den Grundstein für die moderne Portfoliotheorie
-- Markowitz war der Erste, der eine umfassende Methodik für die Portfolioanalyse und die Bestimmung effizienter Portfolios entwickelte.
-- Sein Modell dient nach wie vor als Grundlage für die Erstellung von Asset Allocations.
-- Die wichtigsten Grundsätze des Konzepts sind  Diversifikation und Vermögensallokation.
- Markowitz-Optimierung
-- Das Ziel   der Portfoliotheorie nach Markowitz ist es, ein Portfolio auf dem Kapitalmarkt so zu optimieren, dass es effizient ist.
-- Ein Portfolio heißt effizient, wenn es von keinem anderen Portfolio dominiert wird, dass
-- ein geringeres Risiko bei gleichem erwarteten Ertragswert hat oder
-- einen höheren erwarteten Renditewert bei gleichem Risikoniveau.
-- Die Menge aller effizienten Portfolios heißt Effizienzlinie.
-- Die Entscheidungsparameter des Modells sind die erwarteten Renditen, die  Volatilitäten und die Korrelationen.
-\frametitle Beispiel Risikoeffizienz
-Neben der risikofreien Geldanlage gibt es nur zwei risikobehaftete Wertpapiere.
-Beispiel:
-    TABELLE
-- Kann nur in eines der beiden Wertpapiere investiert werden, ist Wertpapier 2 risikoeffizient, da μ_2>μ_1 und σ_2 < σ_1 gilt.
-- Können Portfolios aus den Wertpapieren 1 und 2 gebildet werden, gibt es mehr als eine effiziente Lösung, abhängig vom Korrelationskoeffizienten zwischen den Wertpapieren.
-\frametitle Annahmen des Modells
-- Ausgangspunkt für die Optimierung ist ein (a) Ein-Perioden-Investitionsmodell  , das sich mit der Entscheidung risikoaverser Privatanleger befasst, die riskante Wertpapiere kaufen wollen.
-- Annahmen über den Kapitalmarkt:
-- Vollkommener und effizienter Kapitalmarkt ohne Transaktionskosten und Steuern.
--[(b)] Man kann zu einem fest vorgegebenen Zinssatz risikofrei beliebig Geld anlegen und aufnehmen.
-- (c) Wertpapiere sind beliebig teilbar.
-- (d) Alle Wertpapiere können gleichzeitig gekauft werden (d.h., schließen sich nicht gegenseitig aus).
-- Leerverkäufe sind zulässig.
-- (e) Es ist bekannt, welche Zustände im Zeitpunkt 1 eintreten können und welche Eintrittswahrscheinlichkeiten den Zuständen zuzuordnen sind.
-- (f) Wertpapierrenditen sind normalverteilt, d.h. nur Erwartungswert und Volatilität sind von Interesse.
-- Annahmen über den Investor:
-- Ziel der Investoren ist Vermögensvermehrung.
-- (g) Die Investoren sind rational und risikoavers.
-- Investoren sind Preisnehmer.
-\frametitle Das Optimierungsproblem
-Annahme: Die Anleger interessieren sich nur für die Rendite μ und die Varianz σ^2 und wollen μ auf ein Zielrisiko σ^2 maximieren.
-Ferner sei gegeben:
-w = (w_1,...,w_N)
-μ = (μ_1,...,μ_N)
-σ = \begin pmatrix  \σ_ 11  &... & \σ_ 1N  \\ ... & ... &... \\ \σ_ N1  &...& \σ_ NN
-wobei w das Gewicht des risikobehafteten Vermögenswerts, μ die erwartete Rendite und σ die NxN-Kovarianzmatrix der Vermögenswerte ist.
-Gesucht ist die Lösung des Optimierungsproblems
-max μ^Tw   unter der Nebenbedingung  w^T \sum w = c.
-Dies wird zu  max \μ^Tw - λ * w^T\sum w,
-wobei $ ^T$ für die Transponierte der Matrix steht, λ einen Lagrange-Multiplier und c eine Konstante bezeichnet.
-Effizienzlinie: Zwei-Asset-Fall
-    BILD
-- Ein effizientes Portfolio bietet geringeres Risiko und besseren Ertrag als das beste einzelne Wertpapier, wenn die Wertpapiere untereinander keine sehr hohe Korrelation aufweisen.
--[] -->Daher wird der Anleger ein effizientes Portfolio einem einzelnen Wertpapier vorziehen.
-\subsection Bestimmung des optimalen Portfolios
-\frametitle In welches Portfolio investieren?
-- Effiziente Portfolios wurden durch Dominanzüberlegungen bestimmt. Diese Dominanzüberlegungen gelten unabhängig von der Risikoeinstellung eines Investors!
-- Bei der Suche nach dem optimalen Portfolio können also die ineffizienten Portfolios ausgeschlossen werden, ohne genaueres über die Risikoeinstellung eines Investors wissen zu müssen.
-- Zur Bestimmung des optimalen Portfolios für den einzelnen Anleger aus der Menge der effizienten Portfolios werden die individuellen Präferenzen des Anlegers benötigt  -->Indifferenzkurven
-- Im optimalen Portfolio entspricht die Steigung der Indifferenzkurve des Anlegers der Steigung der Effizienzlinie (Tangentialpunkt).
-- Optimales Portfolio: Tangentialpunkt von Indifferenzkurve und Effizienzlinie.
-- Grafisch:  Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller (μ,σ)- Kombinationen, die ein vorgegebenes Erwartungsnutzenniveau ergeben.
-- In der Theorie gerne genutzte Beispiele für eine Präferenzfunktion der Anleger wird gerne genutzt:
-Φ(μ,σ) = μ - α*σ,
-wobei α ( ≥0) die Risikoaversion darstellt.
- Multi-Asset-Fall: Indifferenzkurven
-    BILD
- Die Effizienzlinie und Indifferenzkurven
-- Jeder Anleger wählt das Portfolio, in dem seine individuelle Indifferenzkurve die Effizienzlinie tangiert
-- Die Anleger halten aufgrund ihrer unterschiedlichen Risikopräferenzen jeweils verschiedene effiziente Portfolios
-\frametitle Tobin-Separation
-- Tobin erweiterte 1958 das Markowitz-Modell durch sein Separationstheorem, indem er einen risikofreien Zinssatz (z.B. Staatsanleihen, Spareinlagen) mit dem Zins r_f einführte.
-- Demnach gibt es nur ein universales Idealportfolio für alle, das sog. Tangentialportfolio. Die persönliche Risikotoleranz ist für die Bestimmung dieses Tangentialportfolios irrelevant.
-- Je nach persönlicher Risikobereitschaft investiert der Anleger entweder mehr in das Tangentialportfolio mit risikoreichen Anlagen oder mehr in die sicheren  Anlagen.
-    BILD
-Somit ergibt sich:
-- Erwartete Rendite:
-E[r_P] = w_fr_f+(1-w_f)E[r_i]
-- Volatilität:
-σ_P = (1-w_f)σ_i
-- Der risikolose Zinssatz eröffnet dem Anleger zusätzliche Möglichkeiten. Durch die Aufnahme zusätzlichen Kapitals kann er Renditen erzielen, die vorher nicht möglich gewesen wären.
-- Das Risiko hängt ausschließlich davon ab, wie hoch der Anteil des Tangentialportfolios ist, den der Anleger hält.
-\frametitle Bestimmung risikoeffizienter Portfolios
-- Ein Kapitalanleger möchte einen bestimmten Geldbetrag für eine Periode in Wertpapiere/Investitionsprojekte (risikolos und risikobehaftet) anlegen.
-Ergebnisgröße: Endvermögen $\widetilde EV $ oder Portfoliorendite $\tilde r_ PF $, da $\widetilde EV $ = $AV(1+\widetilde r_ PF )$).
-- Wie gehen wir dabei vor?
-- bei Sicherheit: Investiere in das Wertpapier, das die höchste Rendite abwirft.
-- bei Unsicherheit: Risiko muss berücksichtigt werden. -->Abwägen zwischen Ertrag und Risiko mit dem Ziel einer geeigneten Risikomischung.
-- Portfoliorendite: $\tilde r_ PF  = x_A*tilde r_A + x_B*tilde r_B + x_s \cdot k$ \\[7pt]
-- Oder Endvermögen: $\widetilde  EV  = x_A*tilde P_1^A + x_B*tilde P_1^B + x_s \cdot (1+k)$\\[7pt]
-- Erwartungswert und Varianz bestimmen!
-  BILD
-- Risikoeffiziente Portfolios liegen auf markiertem Bereich.
-- ρ = Korrelationskoeffizient als Maß für den Zusammenhang zwischen den Wertpapieren.
-    BILD
-$x_1, x_2, x_s$: wertmäßiger Anteil von Wertpapier i am Gesamtportfolio.
--->neue Effizienzlinie (Tangente) wird durch zwei Punkte beschrieben.
-- (\μ,\σ)-Kombination der risikolosen Geldanlage (x_s=1)
-- Tangentialpunkt an die alte Effizienzlinie (x_s=0;x_T=1).
-- Das Verhältnis der risikobehafteten Wertpapiere zueinander ist in den PFs auf der Effizienzlinie immer gleich.
-\frametitle Bestimmung risikoeffizienter Portfolios
-2 Ansätze:
-\
-- endvermögensorientierter Ansatz
-- renditeorientierter Ansatz
-\frametitle Endvermögensorientierter Ansatz:
-Sei P_0^A: Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0,
-$P_0^B:$ & Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0
-$\tilde P _1^A:$ & stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1
-$\tilde P _1^B:$ & stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1
-$k:$ & risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode
-$W_0:$& Anfangsvermögen
-$x_A/x_B:$& Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0 gekauft wird
-$x_s:$& Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird
-Es gilt:
-$t= 0:$ & $x_A \cdot P_0^A + x_B \cdot P_0^B + x_s = W_0$\\[7pt]
-$t= 1:$ & $\widetilde EV $& $=$ & $x_A*tilde P_1^A + x_B*tilde P_1^B + x_s(1+k)$\\[7pt]
- & & $=$ & $x_A*tilde P_1^A + x_B*tilde P_1^B$ \\[7pt]
- & & & $+ (W_0-x_A \cdot P_0^A - x_B \cdot P_0^B)(1+k)$\\[7pt]
- & & $=$ & $x_A (\tilde P_1^A - P_0^A(1+k)) + x_B(\tilde P_1^B - P_0^B(1+k)) $\\[7pt]
-&&& $+W_0(1+k)$\\[7pt]
--->  $\widetilde EV $& $=$ $x_A*widetilde RP _A + x_B*widetilde RP _B + W_0(1+k)$ &  \\ \hline
-mit $\widetilde RP _i \mathrel \widehat = Risikoprämie von Wertpapier i (i = A,B)
-Risikoeffiziente Portfolios
-$\var$\lbrack $\widetilde EV $\rbrack $\rightarrow  \min\limits_ x_A,x_B $ &   &$\E$\lbrack $\widetilde EV $\rbrack $\rightarrow \max\limits_ x_A,x_B $\\
-& ~~~~~~ODER~~~~~~ &\\
-u. d. NB. & & u. d. NB.\\
-$\E$\lbrack $\widetilde EV $\rbrack = c = const. & & $\var$\lbrack $\widetilde EV $\rbrack = c = const.
-Lösung: Lagrange-Ansatz
-Berechnung von $\E\lbrack \widetilde EV \rbrack $ und $\var \lbrack \widetilde EV \rbrack$: \\[-14pt]
-\begin eqnarray*
-\E[\widetilde EV ] & = & \E[x_A*widetilde RP _A + x_B*widetilde RP _B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
-& = & \fbox $x_A*E[\widetilde RP _A] + x_B*E[\widetilde RP _B] + W_0 \cdot (1+k)$  \\[14pt]
-\var[\widetilde EV ] & = & \var[x_A*widetilde RP _A + x_B*widetilde RP _B + W_0 \cdot (1+k)] \\[7pt]
-& = & \var[x_A*widetilde RP _A + x_B*widetilde RP _B ] \\[7pt]
-& = & x_A^2*var[\widetilde RP _A] + x_B^2*var[\widetilde RP _B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B \cov[\widetilde RP _A; \widetilde RP _B] \\[7pt]
-& \stackrel (*)  =  & \fbox $x_A^2*var[\tilde P_1^A] + x_B^2*var[\tilde P_1^B] + 2 \cdot x_A \cdot x_B*cov[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]$
-Es gilt $(*)$:
-\var[\widetilde RP _A] & = & \var[\tilde P_1^A - P_0^A \cdot(1+k)] = \var[\tilde P_1^A] \\[7pt]
-\cov[\widetilde RP _A; \widetilde RP _B] & = & \text Cov [\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]
-Falls Cov nicht angegeben, aber ρ
-\ρ A,B  & = & \frac \cov[\tilde P_1^A; \tilde P_1^B]  \sqrt \var[\tilde P_1^A]*var[\tilde P_1^B]
-\frametitle Renditeorientierter Ansatz:
-Sei & $\tilde r_A, \tilde r_B:$ & stochastische Rendite Wertpapier A/B
-& $\tilde r_ PF :$ & stochastische Portfoliorendite
-& $x_A,x_B,x_s:$ & wertmäßiger Anteil von Wertpapier $i$ am GesamtPortfolio
-& $k:$ & risikoloser Zinssatz
-Es gilt: t= 0:  x_A + x_B + x_s = 1
-t= 1: & $\tilde r_ PF $ & $=$ & $x_A*tilde r_A + x_B*tilde r_B + x_s \cdot k$
- & & $=$ & $x_A*tilde r_A + x_B*tilde r_B + (1 - x_A - x_B) \cdot k$
- & & $=$ & $x_A \cdot (\tilde r_A - k) + x_B*(\tilde r_B - k) + k$
- & & $=$ & $x_A*(\widetilde rp _A) + x_B*(\widetilde rp _B) + k$
-mit $\widetilde rp _i \stackrel \widehat    = $ Risikoprämie von Wertpapier $i$ [in \% $(i=A,B)$]
-Risikoeffiziente Portfolios
-$\var$\lbrack $\tilde r_ PF $\rbrack $\rightarrow  \min\limits_ x_A,x_B $ & & $\E$\lbrack $\tilde r_ PF $\rbrack $\rightarrow \max\limits_ x_A,x_B $\\
-ODER
-u.d.NB. & & u.\,d.\,NB.\\
-$\E$\lbrack $\tilde r_ PF $\rbrack = c = const. & & $\var$\lbrack $\tilde r_ PF $\rbrack = c = const.
-\end tabular
-Berechnung von $\E\lbrack \tilde r_ PF  \rbrack $ und $\var\lbrack \tilde r_ PF  \rbrack$:
-\E[\tilde r_ PF ] & = & \E[x_A*widetilde rp _ A  + x_B*widetilde rp _ B  + k] \\[7pt]
- & = & \fbox $x_A*E[\widetilde rp _A] + x_B*E[\widetilde rp _B] + k$  \\[14pt]
-\var[\tilde r_ PF ] & = & \var[x_A*widetilde rp _A + x_B*widetilde rp _B + k] \\[7pt]
-& = & \var[x_A*widetilde rp _A + x_B*widetilde rp _B ] \\[7pt]
-& = & \ldots \\[7pt]
-%& & = x_A^2*Var[\tilde RP_A] + x_B^2*Var[\tilde RP_B] + 2*x_A*x_B Cov[\tilde RP_A; \tilde RP_B]
-& = & \fbox $x_A^2*var[\tilde r_A] + x_B^2*var[\tilde r_B] + 2*x_A*x_B*cov[\tilde r_A; \tilde r_B]$
-\frametitle Umrechnung EV-orientierter in renditeorientierten Ansatz
-Sei
-P_0^A:$& Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 0
-& $P_0^B:$ & Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 0
-& $\tilde P _1^A:$ & stochastischer Preis von Wertpapier A im Zeitpunkt 1
-& $\tilde P _1^B:$ & stochastischer Preis von Wertpapier B im Zeitpunkt 1
-& $k:$ & risikoloser Zinssatz für Geldanlage von einer Periode
-& $W_0:$& Anfangsvermögen
-& $x_A/x_B:$& Stückzahl, die von Wertpapier A/B im Zeitpunkt 0
-&& gekauft wird
-& $x_s:$& Betrag, der im Zeitpunkt 0 sicher investiert wird,
-& $\tilde r_A , \tilde r_B:$& stochastische Rendite von Wertpapier A/B,
-& $\tilde r_ PF  :$ & stochastische Portfoliorendite,
-& $x'_i:$ & wertmä\ss iger Anteil von Wertpapier $i$ $(i= A,B,s)$ \\
-&& am GesamtPortfolio.
-$t= 0:$ & $x_A*P_0^A + x_B*P_0^B + x_s = W_0$
-$t= 1:$
-&$\widetilde EV $& $=$ & $x_A*tilde P_1^A + x_B*tilde P_1^B + x_s(1+k)$\\[7pt]
--->& $\frac \widetilde EV  - W_ 0   W_ 0  $ & $=$ & $\frac x_A*tilde P_1^A + x_B*tilde P_1^B + x_s(1+k)-(x_A*P_0^A + x_B*P_0^B+x_ s )  W_ 0  $\\[7pt]
--->& $\frac \widetilde EV  - W_ 0   W_ 0  $& $=$ & $\frac x_A (\tilde P_1^A - P_0^A)  W_ 0 *frac P_0^A  P_0^A  + \frac x_B(\tilde P_1^B - P_0^B)  W_ 0 *frac P_0^B  P_0^B  +\frac x_s  W_ 0* k$\\[14pt]
--->& $\underbrace \frac \widetilde EV  - W_ 0   W_ 0   _ \tilde r_ EV  $& $=$ & $\underbrace \frac x_A  P_0^A  W_ 0   _ x'_ A *underbrace \frac (\tilde P_1^A - P_0^A)  P_0^A  _ \tilde r_ A   + \underbrace \frac x_B  P_0^B  W_ 0   _ x'_ B *underbrace \frac (\tilde P_1^B - P_0^B)  P_0^B  _ \tilde r_ B  +\underbrace \frac x_s  W_ 0   _ x'_ s   k$\\
-&&&\\
-$\Leftrightarrow $ & $\tilde r_ EV $ & $=$ & $ x'_ A*tilde r_ A  + x'_ B*tilde r_ B  + x'_ s*k$
-Es gilt:
-\frac x_A*P_0^A  W_0  + \frac x_B \cdot P_0^B  W_0  + \frac x_s  W_0  = 1 & \Leftrightarrow & x_A^ '  + x_B^ '  + x_s^ '  = 1
- Performancemaßstab
-- Mit der Messung der relativen Performance soll die Frage beantwortet werden, ob das gewählte Portfolio die festgelegte Benchmark über einen bestimmten Zeitraum risikoadjustiert übertroffen hat.
-- Die Sharpe-Ratio berechnet die erzielte überschussrendite   des Portfolios im Verhältnis zum Gesamtrisiko   des Portfolios: SR_P = \frac \E[r_P]- r_f  \σ_P $$
-- Die Ratio entspricht der erzielten überrendite pro angenommener Volatilitätseinheit. Ziel ist es, einen möglichst hohen SR-Wert zu erreichen.
-\frametitle Grenzen und Kritik des Modells
-- Kritik an den Grundannahmen des Modells.
-- -->s. bspw. Normalverteilungsannahme
-- Rationalität des Investors ist fraglich -->s. Behavorial Finance
-- In der Praxis müssen die Transaktionskosten und die Effizienz des Optimierungsverfahrens berücksichtigt werden.
-- Bestimmung der erwarteten Renditen und Volatilitäten ausschließlich anhand historischer Daten.
--->Schätzfehler oder Strukturbrüche
-- Dynamische Korrelationen von Anlageklassen in Krisensituation etc.
-- Die Anlegerpräferenzen lassen sich nur schwer in Zahlen ausdrücken.
-- Optimierte Portfolios weisen oft extreme Allokationen auf, z.B. einen hohen Anteil an Leerverkäufen. In der Praxis ist das eher nicht machbar oder sinnvoll.
-- Die Portfoliogewichte reagieren empfindlich auf änderungen der Modellparameter.
-- Optimale Lösungen übergewichten Vermögenswerte mit höheren Renditeerwartungen.
-Normalverteilung vs. empirische Verteilung
-Empirische Verteilung Renditen des MSCI World Index und der Normalverteilung
-    BILD
-\frametitle Stylisierte Fakten zu Finanzzeitreihen
-- Wie die vorstehende Abbildung zeigt, weisen (viele) Finanzzeitreihen nicht-normalverteilte   Merkmale auf.
-- Diese Merkmale betreffen die univariaten Verteilungen mit übermäßiger Kurtosis (fat tails) und Schiefe,
-- Aber auch die multivariaten Verteilungen mit nichtlinearen Abhängigkeitsstrukturen.
-- So sind beispielsweise gemeinsame Börsencrashs weitaus häufiger als gemeinsame Aufschwünge.
- Naive 1/N-Allokation
-- Naive Diversifikation ist die unkomplizierte Aufteilung eines Portfolios auf N Vermögenswerte.
-- Neuere Studien zur Vermögensallokation wie (DeMiguel-2007  und Tu-2011) kommen zu dem Schluss, dass die einfache Allokationsregel 1/N gute Resultate liefert.
-- Im Vergleich zu anderen, komplizierteren Asset-Allocation-Strategien, einschließlich des Markowitz-Portfolios, schneidet es bei der Sharpe-Ratio gut ab.
-- Fazit: Diversifikation ist unabdingbar, aber der Nutzen fortgeschrittener mathematischer Modelle ist unklar.
-\section Zusammenfassung und Ausblick
-- Heute haben wir uns mit der Bewertung von Anlagealternativen unter Risiko   beschäftigt.
-- Wir sind jetzt in der Lage, einzelne Zahlungsströme unter Risiko zu bewerten.
-- Ebenfalls haben wir die Kombination von verschieden Anlagealternativen   zu Portfolios   diskutiert.
-\framebreak
-- Bisher haben wir bei der Berechnung des Barwertes jedoch die Cash Flows aller Perioden mit einem konstanten Abzinsungsfaktor berechnet.
-- In der Realität unterscheiden sich aber häufig kurzfristige und langfristige Zinssätze.
-- Der Zusammenhang zwischen kurzfristigen und langfristigen Zinssätzen wird mittels der Theorie der Zinsstruktur   beschrieben.
-- In der nächsten Vorlesung beschäftigen wir uns aber erst mit Kapitalmarktmodellen  , genauer mit dem CAPM.