# -*- coding: utf-8 -*- """ 債券利率蒙地卡羅模擬教學腳本 (Bond Simulation Tutorial) 本腳本旨在教學演示如何使用 Python 進行債券利率的蒙地卡羅模擬。 程式碼中的變數名稱、公式與註解都對標 'equation.md' 文件，以利於學習與對照。 包含四種利率模型： 1. Vasicek 模型：用於模擬無風險利率 (drf)，具有均值回歸特性。 2. Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 模型：Vasicek 的變體，確保利率為正。 3. 幾何布朗運動 (GBM) 模型：一個常用於股價的簡化利率模型。 4. 有風險利率模型：在無風險利率上疊加一個隨機的信用利差。 並根據模擬出的利率路徑，使用「修正存續期間」與「價格曲度」來近似計算債券價格的變化。 """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from datetime import datetime # --- 1. 利率模擬函數 --- def simulate_vasicek(r_0, k, theta, sigma, T, dt, n_simulations, dW_t): """ 使用 Vasicek 模型模擬利率路徑。 根據隨機微分方程 (SDE): dr_t = k(θ - r_t)dt + σdW_t 參數說明 (對標 equation.md): :param r_0: float, 初始利率 (r_t 在 t=0 的值)。 :param k: float, 均值回歸速度 (kappa)，代表利率回復到長期均值的速度。 :param theta: float, 長期平均利率或均衡水平 (θ)。 :param sigma: float, 波動率 (σ)，代表利率隨機波動的幅度。 :param T: float, 總模擬時長(年)。 :param dt: float, 每個時間步長(年)。 :param n_simulations: int, 模擬路徑的數量。 :param dW_t: np.ndarray, 預先生成的維納過程增量 (dW_t)，代表隨機衝擊。 其維度應為 (n_simulations, num_steps)。 :return: np.ndarray, 模擬的利率路徑，形狀為 (n_simulations, num_steps + 1)。 """ num_steps = int(T / dt) # 初始化利率路徑數組，第一欄設為初始利率 r_0 r_paths = np.zeros((n_simulations, num_steps + 1)) r_paths[:, 0] = r_0 # 迭代計算每一步的利率 for t in range(1, num_steps + 1): # 根據 Vasicek 公式的離散化形式進行計算 # r(t) = r(t-1) + k * (theta - r(t-1)) * dt + sigma * dW_t # dW_t 是一個服從 N(0, sqrt(dt)) 的隨機變數，我們在傳入前已處理好 r_paths[:, t] = r_paths[:, t-1] + k * (theta - r_paths[:, t-1]) * dt + sigma * dW_t[:, t-1] # 確保利率不會變成不切實際的負值 r_paths[:, t] = np.maximum(0.0001, r_paths[:, t]) return r_paths def simulate_cir(r_0, k, theta, sigma, T, dt, n_simulations, dW_t): """ 使用 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 模型模擬利率路徑。 根據隨機微分方程 (SDE): dr_t = k(θ - r_t)dt + σ√r_t dW_t 此模型確保利率恆為正值（在 2kθ > σ² 的條件下）。 參數說明 (對標 equation.md): :param r_0: float, 初始利率 (r_t 在 t=0 的值)。 :param k: float, 均值回歸速度 (kappa_cir)。 :param theta: float, 長期平均利率 (theta_cir)。 :param sigma: float, 波動率 (sigma_cir)。 :param T: float, 總模擬時長(年)。 :param dt: float, 每個時間步長(年)。 :param n_simulations: int, 模擬路徑的數量。 :param dW_t: np.ndarray, 預先生成的維納過程增量 (dW_t)。 :return: np.ndarray, 模擬的利率路徑。 """ num_steps = int(T / dt) r_paths = np.zeros((n_simulations, num_steps + 1)) r_paths[:, 0] = r_0 for t in range(1, num_steps + 1): # 為了避免對負數開根號，先取 r(t-1) 和 0 之間的最大值 sqrt_r = np.sqrt(np.maximum(0, r_paths[:, t-1])) # 根據 CIR 公式的離散化形式進行計算 # r(t) = r(t-1) + k * (theta - r(t-1)) * dt + sigma * sqrt(r(t-1)) * dW_t r_paths[:, t] = r_paths[:, t-1] + k * (theta - r_paths[:, t-1]) * dt + sigma * sqrt_r * dW_t[:, t-1] # 再次確保利率不會變為負數 r_paths[:, t] = np.maximum(0.0001, r_paths[:, t]) return r_paths def simulate_gbm(r_0, mu, sigma, T, dt, n_simulations, dW_t): """ 使用幾何布朗運動 (GBM) 模型模擬利率路徑。 根據隨機微分方程 (SDE): dr_t = μr_t dt + σr_t dW_t 其離散化形式為 r_t = r_{t-1} * exp((μ - 0.5σ²)Δt + σdW_t)。 參數說明 (對標 equation.md): :param r_0: float, 初始利率 (r_t 在 t=0 的值)。 :param mu: float, 長期漂移趨勢 (μ, mu_r)。 :param sigma: float, 年化波動率 (σ, sigma_r)。 :param T: float, 總模擬時長(年)。 :param dt: float, 每個時間步長(年)。 :param n_simulations: int, 模擬路徑的數量。 :param dW_t: np.ndarray, 預先生成的維納過程增量 (dW_t)。 :return: np.ndarray, 模擬的利率路徑。 """ num_steps = int(T / dt) r_paths = np.zeros((n_simulations, num_steps + 1)) r_paths[:, 0] = r_0 for t in range(1, num_steps + 1): # 根據 GBM 公式的離散化形式進行計算 drift = (mu - 0.5 * sigma**2) * dt diffusion = sigma * dW_t[:, t-1] r_paths[:, t] = r_paths[:, t-1] * np.exp(drift + diffusion) # 確保利率不會變成不切實際的負值 r_paths[:, t] = np.maximum(0.0001, r_paths[:, t]) return r_paths def simulate_risky_rate(drf_paths, dW_f, initial_spread, sigma_s, rho, T, dt, n_simulations): """ 模擬有風險利率 (drs)，即在無風險利率(drf)上疊加信用利差(spread)。 公式: drs_t = drf_t + spread_t d(spread_t) = σ_s dW_s dW_s = ρ * dW_f + √(1 - ρ²) * dZ_t (其中 dZ_t 是獨立的維納過程) 參數說明 (對標 equation.md): :param drf_paths: np.ndarray, 已模擬好的無風險利率路徑 (drf_t)。 :param dW_f: np.ndarray, 生成 drf_paths 所使用的隨機衝擊 (dW_f)。 :param initial_spread: float, 初始信用利差。 :param sigma_s: float, 信用利差的波動率 (σ_s, sigma_spread)。 :param rho: float, drf 與 spread 變動之間的相關係數 (ρ, correlation)。 :param T: float, 總模擬時長(年)。 :param dt: float, 每個時間步長(年)。 :param n_simulations: int, 模擬路徑的數量。 :return: tuple (np.ndarray, np.ndarray), 分別為模擬的有風險利率路徑(drs)和信用利差路徑(spread)。 """ num_steps = int(T / dt) # 1. 生成一個獨立的隨機衝擊 dZ_t dZ_t = np.random.normal(0, 1, (n_simulations, num_steps)) * np.sqrt(dt) # 2. 根據相關係數 rho，合成信用利差的隨機衝擊 dW_s dW_s = rho * dW_f + np.sqrt(1 - rho**2) * dZ_t # 3. 模擬信用利差的路徑 spread_paths = np.zeros((n_simulations, num_steps + 1)) spread_paths[:, 0] = initial_spread for t in range(1, num_steps + 1): # 根據 d(spread_t) = σ_s dW_s 進行計算 spread_paths[:, t] = spread_paths[:, t-1] + sigma_s * dW_s[:, t-1] # 確保利差為正 spread_paths[:, t] = np.maximum(0.0001, spread_paths[:, t]) # 4. 有風險利率 = 無風險利率 + 信用利差 drs_paths = drf_paths + spread_paths return drs_paths, spread_paths # --- 2. 債券價格計算函數 --- def calculate_price_paths(r_paths, D_mod, convT, initial_price=100.0): """ 使用修正存續期間(D_mod)和價格曲度(convT)來近似計算債券價格路徑。 近似公式: ΔP/P ≈ -D_mod * Δy + (C_mod / 2) * (Δy)² 其中 y 是殖利率(yield)，此處用模擬的利率 r_paths 作為替代。 參數說明: :param r_paths: np.ndarray, 模擬的利率路徑 (y)。 :param D_mod: float, 債券的修正存續期間 (Modified Duration)。 :param convT: float, 來自資料庫的價格曲度值。 在我們的系統中，convT 的定義是 (P * C_mod / 2)， 其中 P 是初始價格，C_mod 是標準的曲度定義。 :param initial_price: float, 債券的初始價格，預設為100。 :return: np.ndarray, 模擬的債券價格路徑。 """ num_steps = r_paths.shape[1] - 1 price_paths = np.zeros_like(r_paths) price_paths[:, 0] = initial_price # 從 convT 反解出公式中需要的 (C_mod / 2) 項。 # 根據定義 convT = initial_price * C_mod / 2 # 因此 C_mod / 2 = convT / initial_price # 這個因子在整個模擬中被視為常數。 convexity_factor = convT / initial_price for t in range(1, num_steps + 1): # 計算兩期之間的利率變化 Δy delta_y = r_paths[:, t] - r_paths[:, t-1] # 抓取前一期的價格 P(t-1) prev_price = price_paths[:, t-1] # 1. 計算價格變動百分比 (ΔP/P) # ΔP/P = -D_mod * Δy + (C_mod / 2) * (Δy)² price_change_percentage = -D_mod * delta_y + convexity_factor * (delta_y ** 2) # 2. 計算新價格 P(t) = P(t-1) * (1 + ΔP/P) price_paths[:, t] = prev_price * (1 + price_change_percentage) return price_paths # --- 3. 主執行區塊 --- if __name__ == "__main__": # --- A. 設定模擬參數 --- # 債券基本資料 (此處為範例，實際應用中從資料庫讀取) bond_data = { 'name': 'CGB10Y', 'avgYld': 2.2, # 平均殖利率 (%) 'mdurT': 8.9, # 修正存續期間 (D_mod) 'convT': 45.5, # 價格曲度 (P * C_mod / 2) 'maturity': datetime(2034, 5, 15) } # 模擬通用參數 n_simulations = 100 # 模擬次數 dt = 1/252 # 時間步長 (年)，假設一年252個交易日 # 計算剩餘到期年限，作為模擬總時長 T time_to_maturity = (bond_data['maturity'] - datetime.now()).days / 365.25 T = max(time_to_maturity, 0.1) # 確保至少模擬一小段時間 num_steps = int(T / dt) time_points = np.linspace(0, T, num_steps + 1) # 模擬的時間點數列 # 初始利率 (將百分比轉為小數) r_0 = bond_data['avgYld'] / 100.0 # --- B. 設定各模型參數 (將百分比轉為小數) --- # 1. Vasicek & CIR 模型參數 k_vasicek = 0.3 theta_vasicek = 2.2 / 100.0 sigma_vasicek = 0.5 / 100.0 k_cir = 0.2 theta_cir = 2.5 / 100.0 sigma_cir = 0.4 / 100.0 # 2. GBM 模型參數 mu_r = 0.05 / 100.0 sigma_r = 0.6 / 100.0 # 3. 有風險利率模型參數 initial_spread = 0.8 / 100.0 sigma_s = 0.3 / 100.0 rho = 0.6 # --- C. 生成隨機衝擊 --- # 為每個需要獨立隨機性的模型預先生成維納過程增量 dW_t # dW_t ~ N(0, dt) 等價於 sqrt(dt) * N(0, 1) np.random.seed(42) # 設定隨機種子以確保結果可重現 dW_vasicek = np.random.normal(0, 1, (n_simulations, num_steps)) * np.sqrt(dt) dW_cir = np.random.normal(0, 1, (n_simulations, num_steps)) * np.sqrt(dt) dW_gbm = np.random.normal(0, 1, (n_simulations, num_steps)) * np.sqrt(dt) # --- D. 執行模擬 --- print("開始執行利率模擬...") # 1. 模擬無風險利率 drf (Vasicek) drf_paths = simulate_vasicek(r_0, k_vasicek, theta_vasicek, sigma_vasicek, T, dt, n_simulations, dW_vasicek) # 2. 模擬有風險利率 drs (在 drf 基礎上增加信用利差) drs_paths, spread_paths = simulate_risky_rate(drf_paths, dW_vasicek, initial_spread, sigma_s, rho, T, dt, n_simulations) # 3. 模擬綜合利率 dr (GBM) dr_paths = simulate_gbm(r_0, mu_r, sigma_r, T, dt, n_simulations, dW_gbm) # 4. 模擬 CIR 利率 dr_cir dr_cir_paths = simulate_cir(r_0, k_cir, theta_cir, sigma_cir, T, dt, n_simulations, dW_cir) print("利率模擬完成。") print("開始計算債券價格路徑...") # 5. 計算對應的債券價格路徑 price_drf_paths = calculate_price_paths(drf_paths, bond_data['mdurT'], bond_data['convT']) price_drs_paths = calculate_price_paths(drs_paths, bond_data['mdurT'], bond_data['convT']) price_dr_paths = calculate_price_paths(dr_paths, bond_data['mdurT'], bond_data['convT']) price_dr_cir_paths = calculate_price_paths(dr_cir_paths, bond_data['mdurT'], bond_data['convT']) print("價格計算完成。") # --- E. 結果可視化 --- print("正在生成圖表...") # 設定 Matplotlib 以正確顯示中文和負號 try: plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft JhengHei'] # For Windows plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False except: print("未找到 'Microsoft JhengHei' 字體，圖表中的中文可能無法正常顯示。") print("您可以嘗試安裝 'Microsoft JhengHei' 或替換為系統中已有的中文字體，例如 'SimHei' (黑體) 或 'KaiTi' (楷體)。") # 繪製利率模擬路徑圖 (只畫前50條以保持清晰) fig_rates, axes_rates = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10), sharex=True) fig_rates.suptitle(f'四種利率模型的模擬路徑 (前 {min(50, n_simulations)} 條)', fontsize=16) axes_rates[0, 0].plot(time_points, drf_paths[:50, :].T * 100, lw=0.5) axes_rates[0, 0].set_title('1. 無風險利率 (drf) - Vasicek') axes_rates[0, 0].set_ylabel('利率 (%)') axes_rates[0, 0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) axes_rates[0, 1].plot(time_points, drs_paths[:50, :].T * 100, lw=0.5) axes_rates[0, 1].set_title('2. 有風險利率 (drs) - Vasicek + Spread') axes_rates[0, 1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) axes_rates[1, 0].plot(time_points, dr_paths[:50, :].T * 100, lw=0.5) axes_rates[1, 0].set_title('3. 綜合利率 (dr) - GBM') axes_rates[1, 0].set_xlabel('時間 (年)') axes_rates[1, 0].set_ylabel('利率 (%)') axes_rates[1, 0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) axes_rates[1, 1].plot(time_points, dr_cir_paths[:50, :].T * 100, lw=0.5) axes_rates[1, 1].set_title('4. CIR 利率 (dr_cir)') axes_rates[1, 1].set_xlabel('時間 (年)') axes_rates[1, 1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) fig_rates.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.96]) plt.savefig("tutorial_rate_paths.png") # 繪製價格模擬路徑圖 fig_prices, axes_prices = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10), sharex=True, sharey=True) fig_prices.suptitle(f'對應的債券價格模擬路徑 (前 {min(50, n_simulations)} 條)', fontsize=16) axes_prices[0, 0].plot(time_points, price_drf_paths[:50, :].T, lw=0.5) axes_prices[0, 0].set_title('基於 drf (Vasicek) 的價格') axes_prices[0, 0].set_ylabel('債券價格') axes_prices[0, 0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) axes_prices[0, 1].plot(time_points, price_drs_paths[:50, :].T, lw=0.5) axes_prices[0, 1].set_title('基於 drs (Risky) 的價格') axes_prices[0, 1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) axes_prices[1, 0].plot(time_points, price_dr_paths[:50, :].T, lw=0.5) axes_prices[1, 0].set_title('基於 dr (GBM) 的價格') axes_prices[1, 0].set_xlabel('時間 (年)') axes_prices[1, 0].set_ylabel('債券價格') axes_prices[1, 0].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) axes_prices[1, 1].plot(time_points, price_dr_cir_paths[:50, :].T, lw=0.5) axes_prices[1, 1].set_title('基於 dr_cir (CIR) 的價格') axes_prices[1, 1].set_xlabel('時間 (年)') axes_prices[1, 1].grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) fig_prices.tight_layout(rect=[0, 0, 1, 0.96]) plt.savefig("tutorial_price_paths.png") # 顯示最終價格分佈 plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.hist(price_drf_paths[:, -1], bins=50, alpha=0.7, label='基於 drf (Vasicek)', density=True) plt.hist(price_drs_paths[:, -1], bins=50, alpha=0.7, label='基於 drs (Risky)', density=True) plt.hist(price_dr_paths[:, -1], bins=50, alpha=0.7, label='基於 dr (GBM)', density=True) plt.hist(price_dr_cir_paths[:, -1], bins=50, alpha=0.7, label='基於 dr_cir (CIR)', density=True) plt.title('模擬結束時的債券價格分佈') plt.xlabel('最終價格') plt.ylabel('機率密度') plt.legend() plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6) plt.savefig("tutorial_final_price_dist.png") print("圖表已儲存為 tutorial_rate_paths.png, tutorial_price_paths.png, 和 tutorial_final_price_dist.png") # 顯示繪圖 plt.show() # --- F. 簡單統計分析 --- final_prices_drf = price_drf_paths[:, -1] final_prices_drs = price_drs_paths[:, -1] print("\n--- 最終價格統計分析 ---") print(f"模型: 基於 drf (Vasicek)") print(f" 平均最終價格: {np.mean(final_prices_drf):.4f}") print(f" 價格標準差: {np.std(final_prices_drf):.4f}") print(f" 5% 分位數價格: {np.percentile(final_prices_drf, 5):.4f}") print(f" 95% VaR (從初始價100計算的潛在最大損失): {100 - np.percentile(final_prices_drf, 5):.4f}") print(f"\n模型: 基於 drs (Risky)") print(f" 平均最終價格: {np.mean(final_prices_drs):.4f}") print(f" 價格標準差: {np.std(final_prices_drs):.4f}") print(f" 5% 分位數價格: {np.percentile(final_prices_drs, 5):.4f}") print(f" 95% VaR (從初始價100計算的潛在最大損失): {100 - np.percentile(final_prices_drs, 5):.4f}") print("------------------------")