`````{exercise} :title: Évaluation d'une fonction exponentielle et monotonie :modules: :recommendedExecutionTime: 7 :level: Elementary :chap: :involvedConcepts: :originalSource: :visibility: All :variations: :comment: Échauffement (thème pur) : évaluation de x↦3^x en des entiers (dont les exposants négatifs), passage par (0,1), et monotonie déduite de la base. ````{python} import random as rd # Construction déterministe : base entière > 1 (donc f croissante), valeurs exactes. b = rd.choice([2, 3, 4, 5]) f1 = b f2 = b**2 f3 = b**3 fm1Aff = r'\dfrac{1}{' + str(b) + '}' fm2Aff = r'\dfrac{1}{' + str(b**2) + '}' monotonie = 'croissante' if b > 1 else 'décroissante' globals() ```` Soit $f(x)={{ b }}^{x}$. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, puis $f(-1)$ et $f(-2)$. :::::{question} :questionType: STQ :questionId: 0 :questionIndex: 0 ::::{questionStatement} Soit $f(x)={{ b }}^{x}$. Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$, puis $f(-1)$ et $f(-2)$. :::: ::::{questionHint} Rappel : $b^{x}=1$ lorsque $x=0$ pour toute base $b>0$, et $b^{-n}=\dfrac{1}{b^{n}}$. :::: ::::{detailedSolution} Pour les exposants positifs ou nuls : $f(0)=1$, $f(1)={{ f1 }}$, $f(2)={{ f2 }}$, $f(3)={{ f3 }}$. En particulier $f(0)=1$ : le graphe d'une fonction exponentielle passe toujours par le point $(0,1)$. Pour les exposants négatifs : $f(-1)={{ fm1Aff }}$ et $f(-2)={{ fm2Aff }}$. :::: ::::{weightDistribution} :logic: 10 :abstraction: 15 :reasoning: 25 :calculation: 50 :::: ::::: :::::{question} :questionType: STQ :questionId: 1 :questionIndex: 1 ::::{questionStatement} En déduire si $f$ est croissante ou décroissante, et justifier à partir de la base. :::: ::::{questionHint} Si $b>1$, la fonction $x\mapsto b^{x}$ est strictement croissante. :::: ::::{detailedSolution} La base est $b={{ b }}>1$, donc $f$ est strictement {{ monotonie }} sur $\mathbb{R}$. On le vérifie sur les valeurs : ${{ fm2Aff }}<{{ fm1Aff }}<1<{{ f1 }}<{{ f2 }}<{{ f3 }}$, soit $f(-2)