| # [集训队互测 2023] 傅里叶与交通系统 | |
| ## 题目背景 | |
| 傅里叶荣升巴黎市交通部长。新官上任三把火，傅里叶决定重构巴黎市的交通系统。 | |
| ## 题目描述 | |
| 巴黎市的地图可以看成一个无限大的二维平面。傅里叶在上面修建了 $n$ 条传送带：第 $i$ 条传送带修建于 $x\in[p_{i-1},p_i),y\in\mathbb R$ 的区域中。对于 $x<p_0$ 或者 $x\geq p_n$ 的部分，傅里叶没有修建传送带。 | |
| 当一个人处于第 $i$ 个传送带的区域内时，他会受传送带影响强制以 $v_i$ 单位长度每秒的速度向 $y$ 坐标增加的方向移动。$v_i$ 可能为负，此时其 $y$ 坐标会以相应的速度减小。 | |
| 在位于未修建传送带的区域上时，$y$ 坐标不会受到传送带的影响。 | |
| 除了受传送带带动以外，这个人自己也可以移动。为了避免在速度不同的传送带间移动时出现跌倒事故，傅里叶委托麦克斯韦设计了脚底附有钢板的鞋子，并且在传送带上安装了强力磁铁。穿上这种鞋子后，你将只能 **沿着与某条坐标轴平行，可能与坐标轴同向或反向** 的方向，以不超过 $V$ 单位长度每秒的速度移动。有了这种鞋子，**在从一个传送带移动到另一个传送带时，先前的速度不会被继承，这个人将立刻按照新传送带的移动速度来移动**（自然，自身的移动还是可以同步进行的）。 | |
| **个人的运动与传送带的运动是叠加的**。 | |
| **在任意时刻，这个人都可以自由调整其运动的速率、方向；可以通过不断在极小间隔内切换方向以达到近似斜向移动的效果，甚至动态调整速率、方向达成近似曲线运动的效果；但是其任意时刻都只能有平行于坐标轴、不超过 $V$ 的瞬时速率。** | |
| **就算在没有铺设传送带的位置上，这个人仍然可以靠他的自由意志移动，不过还是只能沿坐标轴方向以不超过 $V$ 单位长度每秒移动**（问就是麦克斯韦的靴子已经成为概念级装备了）。 | |
| 现在，傅里叶想知道他的交通系统究竟有多么伟大。因此，他向你提出了 $q$ 组询问，每次询问如果有一个人要从 $(x_1,y_1)$ 走到 $(x_2,y_2)$，最少需要多少时间。因为傅里叶是唯一真神，所以他当然不会设计一个有缺陷的交通系统，因此所有的 $v_i$ 的绝对值均严格小于 $V$，进而总是可以从一个位置走到另一处。（虽然这将会导致就算在最优情况下，通过传送带系统到达目的地的时间也无法小于原本的一半，更多的时候反倒更慢了，但是谁让他是交通部长，而你只是他手下的一个雇员呢？） | |
| ## 输入格式 | |
| 第一行三个整数 $n,q,V$，表示传送带数目、询问个数以及人的移动速度。 | |
| 下一行 $n+1$ 个整数 $p_0,p_1,\dots,p_n$，表示传送带的边界信息。 | |
| 下一行 $n$ 个整数 $v_1,v_2,\dots,v_n$，表示每个传送带的速率。 | |
| 接下来 $q$ 行，每行四个整数 $x_1,y_1,x_2,y_2$，表示此次询问的起讫点。 | |
| ## 输出格式 | |
| 对于每次询问，输出一行一个实数，表示此次移动所需的最小时长，单位为秒。你需要保证输出与标准答案的相对或绝对误差不超过 $10^{-5}$。 | |
| - 如果你怀疑你的代码中出现了较大的精度误差，可以尝试使用更多整数和分数以规避浮点数运算，从而减少误差。 | |
| ## 样例 #1 | |
| ### 样例输入 #1 | |
| ``` | |
| 1 2 10 | |
| -5 5 | |
| 5 | |
| -10 -20 10 20 | |
| 10 20 -10 -20 | |
| ``` | |
| ### 样例输出 #1 | |
| ``` | |
| 4.3333333333 | |
| 6.5 | |
| ``` | |
| ## 样例 #2 | |
| ### 样例输入 #2 | |
| ``` | |
| 1 4 10 | |
| -5 5 | |
| 5 | |
| 10 -10 10 10 | |
| 10 10 10 -10 | |
| 10 -50 10 50 | |
| 10 50 10 -50 | |
| ``` | |
| ### 样例输出 #2 | |
| ``` | |
| 2 | |
| 2 | |
| 7.6666666667 | |
| 10 | |
| ``` | |
| ## 样例 #3 | |
| ### 样例输入 #3 | |
| ``` | |
| 5 5 10 | |
| -10 -5 0 5 10 15 | |
| 9 -4 7 -6 2 | |
| -1 0 -9 -100 | |
| -7 0 7 10 | |
| 9 0 -3 20 | |
| 12 0 -17 -30 | |
| 2 0 19 39 | |
| ``` | |
| ### 样例输出 #3 | |
| ``` | |
| 8.085714 | |
| 1.815789 | |
| 2.382353 | |
| 4.987500 | |
| 3.988235 | |
| ``` | |
| ## 提示 | |
| 样例 #4，#5 详见附件。 | |
| ------------ | |
| 样例 #1 的解释： | |
|  | |
| 第一问中，上图是一种极优的行走方式。蓝色区域是传送带所在区域，在其上时我们以 $(3,12)$ 每秒的速度移动（其中自身移动的速度是 $(3,7)$，也即可以看作是三成时间沿着 $x$ 轴正方向、七成时间沿着 $y$ 轴正方向移动；在极短时间内不停切换，可以达成如上图中斜线行走的效果；$(3,7)$ 的自身行走与 $(0,5)$ 的传送带运转叠加成为 $(3,12)$ 的速度向量）。 | |
|  | |
| 第二问中，上图是一种极优的行走方案。 | |
| 需要注意的是，这两问中能达成最少时间的行走方案不止图中给出的两种。 | |
| 对于所有数据，均满足 $n,q\leq1.5\times10^5$，$-5\times10^5\leq p_0<p_1<p_2<\dots<p_n\leq5\times10^5$，$ |x_1|,|y_1|,|x_2|,|y_2|\leq5\times10^5$，$0\leq|v_i|<V\leq5\times10^5$。 | |
| ------------ | |
| - Subtask 1（5 分）：保证 $n=0$。 | |
| - Subtask 2（10 分）：保证 $n,q\leq1000$。 | |
| - Subtask 3（10 分）：保证对于所有询问，$x_1=p_0,x_2=p_n$。 | |
| - Subtask 4（10 分）：保证所有询问的 $x_1$ 全都相等，所有询问的 $x_2$ 全都相等（但不保证 $x_1=x_2$）。 | |
| - Subtask 5（15 分）：保证 $v_i$ 单调不降，且询问的 $x_1\leq x_2$。 | |
| - Subtask 6（15 分）：保证存在 $i$ 使得 $p_i=x_1=x_2$。（但并不保证所有询问的 $i$ 都相同） | |
| - Subtask 7（15 分）：保证除 $n,q,V$ 外，其它值都在合法范围内独立随机得到（$p$ 的随机方式是随机 $n+1$ 个不等的 $[-5\times10^5,5\times10^5]$ 中的值并排序）。 | |
| - Subtask 8（15 分）：保证 $n,q\leq5\times10^4$。 | |
| - Subtask 9（10 分）：无特殊限制。 |