year stringdate 1961-01-01 00:00:00 2025-01-01 00:00:00 ⌀ | tier stringclasses 5
values | problem_label stringclasses 119
values | problem_type stringclasses 13
values | exam stringclasses 28
values | problem stringlengths 87 2.77k | solution stringlengths 834 13k | metadata dict | problem_tokens int64 50 903 | solution_tokens int64 500 3.93k |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2013 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | Нека су $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ подножја висина из темена $A$ и $B$, редом, оштроуглог троугла $A B C(A C \neq B C)$. Кружница $k$ садржи тачке $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ и додирује страницу $A B$ у тачки $D$. Ако троуглови $A D A^{\prime}$ и $B D B^{\prime}$ имају једнаке површине, доказати да је
$$
\varangle A^... | Нека је без смањења општости $B C>A C$. Тада се праве $A^{\prime} B^{\prime}$ и $A B$ секу у тачки $P$, при чему је $A$ између $P$ и $B$. Из једнакости површина $A D A^{\prime}$ и $B D B^{\prime}$ следи да је $\frac{A D}{D B}=\frac{P B^{\prime}}{P A^{\prime}}$. С друге стране, важи и $P D^{2}=P A^{\prime} \cdot P B^{\p... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2013_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 190 | 658 |
2013 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | Наћи највећу константу $K \in \mathbb{R}$ са следећим својством: ако су $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}>0$ такви да за све $i, j, k \in \mathbb{N}, 1 \leqslant i<j<k \leqslant 4$, важи $a_{i}^{2}+a_{j}^{2}+a_{k}^{2} \geqslant 2\left(a_{i} a_{j}+a_{j} a_{k}+a_{k} a_{i}\right)$, онда је
$$
a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4... | Нека је $\max \left\{a_{1}, a_{2}\right\} \leqslant a_{3} \leqslant a_{4}$. Означимо $a_{2}=\beta^{2}$ и $a_{3}=\gamma^{2}, \beta, \gamma \geqslant 0$. Из услова задатка следи $a_{1} \leqslant(\gamma-\beta)^{2}$ и $a_{4} \geqslant(\gamma+\beta)^{2}$.
Претпоставимо да су обе ове неједнакости заправо једнакости. Тада им... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2013_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 277 | 1,158 |
2014 | T2 | 1 | null | Serbia_MO | Одредити све функције $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такве да за све $x, y \in \mathbb{R}$ важи
$$
f(x f(y)-y f(x))=f(x y)-x y . \quad \text { (Душан Ђукић) }
$$ | Замена $y=0$ даје $f(x f(0))=f(0)$. Ако је $f(0) \neq 0$, израз $x f(0)$ узима све реалне вредности, па је $f$ константна функција, а она не задовољава услове. Према томе, $f(0)=0$.
Стављањем $y=x$ добијамо $f(0)=f\left(x^{2}\right)-x^{2}$, тј. $f\left(x^{2}\right)=x^{2}$. Дакле, $f(x)=x$ за све $x \geqslant 0$. Убаци... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2014_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n1. "
} | 84 | 626 |
2014 | T2 | 2 | null | Serbia_MO | На страницама $B C$ и $A C$ троугла $A B C$ дате су тачке $D$ и $E$, редом. Нека је $F(F \neq C)$ тачка пресека кружнице описане око троугла $C E D$ и праве која садржи тачку $C$ и паралелна је са правом $A B$. Нека је $G$ тачка пресека праве $F D$ и странице $A B$, а $H$ тачка на правој $A B$ таква да је $\varangle H ... | Како је $\varangle A G D=180^{\circ}-\varangle C F D=\varangle C E D=180^{\circ}-\varangle A E D$, тачке $A$, $E, D, G$ су концикличне. Одавде је $\varangle D A G=\varangle D E G . \quad$ Међутим, тада је $\varangle D H B=\varangle D A G-\varangle H D A$ $=\varangle D E G-\varangle B E G=\varangle D E B$, па су и тачке... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2014_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n2. "
} | 243 | 503 |
2014 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | Два играча играју следећу игру. Играчи наизменично записују по један природан број већи од један, при чему није дозвољено записати линеарну комбинацију претходно записаних бројева са ненегативним целим коефицијентима. Игру губи играч који не може да запише нови број. Да ли неко од играча има победничку стратегију и, ак... | За $a, b \in \mathbb{N}$ дефинишимо $\mathcal{L}\{a, b\}=\left\{a x+b y \mid x, y \in \mathbb{N}_{0}\right\}$. Прво ћемо доказати једно помоћно тврђење.
Лема. Нека су $a>1$ и $b>1$ узајамно прости природни бројеви.
(a) $N=a b-a-b$ је највећи природан број ван скупа $\mathcal{L}\{a, b\}$.
(б) За свако $z \in \mathbb{... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2014_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 272 | 913 |
2014 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | За природан број $n$ кажемо да је шашав ако и само ако постоје природни бројеви $a>1$ и $b>1$ такви да је $n=a^{b}+b$. Да ли постоји 2014 узастопних природних бројева међу којима је тачно 2012 шашавих бројева?
(Милош Милосављевић) | Прво ћемо дати пример 2012 узастопних шашавих бројева. Довољно је узети бројеве $N+2, N+3, \ldots, N+2013$, где је $N=2^{2013!}$.
За природан број $n$, означимо са $f(n)$ број шашавих бројева међу $n, n+1, \ldots, n+2013$. Како је $f(1)<2012$ (бројеви $1,2,3,4,5$ нису шашави), $f(N) \geqslant 2012$ и $|f(n+1)-f(n)| \l... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2014_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 127 | 734 |
2014 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | Правилан $n$-тоугао подељен је на троуглове помоћу $n-3$ дијагонале од којих никоје две немају заједничких унутрашњих тачака. Колико највише међу овим троугловима може бити међусобно неподударних?
(Душан Ђукић) | Одговор је $\left[\frac{3 n-7}{4}\right]$ за $n>3$, односно 1 за $n=3$.
Троуглове са по две, једном или ниједном страницом која је уједно страница $n$-тоугла ( $n>3$ ) зовемо редом уиима, танким и дебелим троугловима. Нека у подели има $a$ дебелих троуглова, $b$ танких и c ушију. Број страница $n$-тоугла које они зауз... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2014_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 114 | 596 |
2014 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | Симетрале унутрашњих углова код темена $A$ и $B$ троугла $A B C$ секу наспрамне странице у тачкама $D$ и $E$, редом. Ромб је уписан у четвороугао $A B D E$ тако да се на свакој страници четвороугла налази тачно једно теме ромба. Ако је $\varangle B A C=\alpha$ и $\varangle A B C=\beta$, доказати да је барем један угао ... | Нека је $K L M N$ ромб са $K \in A B, L \in B D$ и $N \in E A$. Посматрајмо трапез $P Q R S$ са $P, Q \in A B, P Q \| R S$ и $\varangle P Q R=\varangle Q P S=\varangle K N M=$ $\varphi$ такав да су $K, L, M, N$ на $P Q, Q R, R S, S P$ редом. Претпоставимо да је $\varphi>\alpha, \beta$. Тада $R$ и $S$ леже ван $\triangl... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2014_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 191 | 936 |
2015 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | Стражар предлаже затвореницима следећу игру. Сви ће бити изведени у двориште, где ће свакоме од њих бити стављен на главу шешир у једној од 5 могућих боја. Стражар ће их потом поређати у врсту тако да сваки затвореник види све шешире осим сопственог и питати првог затвореника у врсти да ли зна боју свог шешира. Затворе... | Доделимо бојама вредности $0,1,2,3,4$ и означимо са $B$ боју шешира другог затвореника, а са $S$ збир боја шешира од трећег до последњег затвореника по модулу 5. Описаћемо стратегију прва два затвореника након које ће сви остали затвореници знати $S$, те ће, знајући боје осталих шешира, моћи да одреде своју. Овако ће з... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2015_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 665 | 877 |
2015 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | За цео број $a, a \neq 0$, означимо са $v_{2}(a)$ највећи ненегативан цео број $k$ такав да $2^{k} \mid a$. За дато $n \in \mathbb{N}$ одредити највећу могућу кардиналност подскупа $A$ скупа $\left\{1,2,3, \ldots, 2^{n}\right\}$ са следећим својством:
$$
\text { за све } x, y \in A, x \neq y, \text { број } v_{2}(x-y)... | Доказаћемо индукцијом по $k$ да скуп $A$ садржи највише $2^{k}$ различитих елемената по модулу $2^{2 k}$. То тривијално важи за $k=0$. Нека је $k>0$. По индуктивној претпоставци, елементи скупа $A$ дају највише $2^{k-1}$ остатака по модулу $2^{2 k-2}$. Претпоставимо да елементи $A$ дају више од $2^{k}$ остатака по моду... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2015_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 195 | 1,129 |
2015 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | Доказати неједнакост
$$
\frac{x-y}{x y+2 y+1}+\frac{y-z}{y z+2 z+1}+\frac{z-x}{z x+2 x+1} \geqslant 0
$$
где су $x, y$ и $z$ ненегативни реални бројеви.
(Душан Ђукић) | Означимо $a=\frac{x-y}{x y+2 y+1}, b=\frac{y-z}{y z+2 z+1}$ и $c=\frac{z-x}{z x+2 x+1}$. Тада је $1+\frac{1}{a}=\frac{x y+x+y+1}{x-y}$ и одатле $\frac{a}{a+1}=\frac{x-y}{x y+x+y+1}=\frac{1}{y+1}-\frac{1}{x+1}$; аналогно је $\frac{b}{b+1}=\frac{1}{z+1}-\frac{1}{y+1}$ и $\frac{c}{c+1}=$ $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{z+1}$.
Из... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2015_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 100 | 694 |
2015 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | У скупу ненегативних целих бројева решити једначину
$$
\left(2^{2015}+1\right)^{x}+2^{2015}=2^{y}+1 . \quad \text { (Бојан Баиић) }
$$
## РЕШЕЊА | За $x \leqslant 1$ једина решења су $(0,2015)$ и $(1,2016)$.
Нека је $x>1$. Како је $2^{2015}+1$ дељиво са 3 , имамо $\left(2^{2015}+1\right)^{x}+2^{2015} \equiv 2^{2015} \equiv 5$ $(\bmod 9)$, дакле $2^{y} \equiv 4(\bmod 9)$, одакле добијамо $y=6 k+2$ за неко $k \in \mathbb{N}$. Сада по модулу 13 имамо $2^{y}+1=\left... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2015_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 86 | 574 |
2016 | T2 | 1 | null | Serbia_MO | Нека је $n$ природан број већи од 1. Доказати да постоји природан број $m$ већи од $n^{n}$ такав да је
$$
\frac{n^{m}-m^{n}}{n+m}
$$
природан број.
(Никола Петровић) | За почетак приметимо да за $m>n \geqslant 3$ важи $n^{m}>m^{n}$, те је $\frac{n^{m}-m^{n}}{m+n}>0$. Заиста, функција $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ је опадајућа за $x>e$ јер је $f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}<0$, па је $\frac{\ln n}{n}>\frac{\ln m}{m}$, тј. $m \ln n>n \ln m$, и одатле $n^{m}=e^{m \ln n}>e^{n \ln m}=m^{n}$... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2016_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n1. "
} | 92 | 627 |
2016 | T2 | 2 | null | Serbia_MO | Дат је природан број $n$. Дефинишимо $f(0, j)=f(i, 0)=0, f(1,1)=n$ и
$$
f(i, j)=\left\lfloor\frac{f(i-1, j)}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{f(i, j-1)}{2}\right\rfloor
$$
за све природне бројеве $i$ и $j,(i, j) \neq(1,1)$. Колико има уређених парова природних бројева $(i, j)$ за које је $f(i, j)$ непаран број? (Душ... | Одговор је $n$.
За $m \geqslant 2$ означимо $s_{m}=\sum_{i+j=m} f(i, j)$. Како је остатак $f(i, j)$ при дељењу са 2 једнак $f(i, j)-2\left[\frac{f(i, j)}{2}\right]$, број непарних међу бројевима $f(i, j)$ за $i, j \geqslant 0$ и $i+j=m$ једнак је
$$
\begin{aligned}
\sum_{i+j=m}\left(f(i, j)-2\left[\frac{f(i, j)}{2}\r... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2016_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n2. "
} | 184 | 980 |
2016 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | Нека је $O$ центар кружнице описане око $\triangle A B C$. Права $t$ додирује кружницу описану око $\triangle B O C$ и сече странице $A B$ и $A C$ у тачкама $D$ и $E$, редом $(D, E \not \equiv A)$. Тачка $A^{\prime}$ је симетрична тачки $A$ у односу на праву $t$. Доказати да се кружнице описане око $\triangle A^{\prime... | Означимо са $K$ додирну тачку праве $t$ и круга $B O C$. Нека се кругови описани око троуглова $B D K$ и $C E K$ секу у тачки $X \neq K$. Како је $\varangle B X C=$ $\varangle B X K+\varangle K X C=\varangle A D K+\varangle K E A=180^{\circ}-\varangle C A B$, тачка $X$ лежи на описаном кругу $k$ троугла $A B C$. Шта ви... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2016_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 276 | 978 |
2016 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | У $\triangle A B C(A B \neq A C)$ уписана кружница, чији је центар тачка $I$, додирује страницу $B C$ у тачки $D$. Нека је тачка $M$ средиште дужи $B C$. Доказати да се нормале из тачака $M$ и $D$ на праве $A I$ и $M I$, редом, секу на правој која садржи висину $\triangle A B C$ из темена $A$.
(Душан Ђукић) | Означимо са $\gamma$ уписани круг $\triangle A B C$, а са $\gamma_{a}$ и $I_{a}$ приписани круг наспрам $A$ и његов центар. Тачка $E$ симетрична тачки $D$ у односу на $M$ је додирна тачка $\gamma_{a}$ са страницом $B C$. Нормала $\ell_{1}$ из $D$ на $M I$ је радикална оса круга $\gamma$ и круга $\omega$ над пречником $... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2016_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 154 | 833 |
2016 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | Дати су природни бројеви $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 \text { 2016 }}$ такви да за све $n, 1 \leqslant n \leqslant 2^{2016}$, важи
$$
a_{n} \leqslant 2016 \quad \text { и } \quad a_{1} a_{2} \cdots a_{n}+1 \text { је потпун квадрат. }
$$
Доказати да је неки од бројева $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{22016}$ једнак 1. (Дуиан... | Кључна чињеница је да, ако су $a+1=u^{2}$ и $b=v^{2}$ потпуни квадрати и $a>b$, онда $a b+1$ није квадрат. Заиста, тада је $(u v-1)^{2}<a b+1=u^{2} v^{2}-v^{2}+1<(u v)^{2}$. Нека су $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{m}$ сви прости бројеви мањи од 2016. За $1 \leqslant n \leqslant 2^{2016}$ посматрајмо бинарни низ $\mathrm{c}_{... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2016_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 192 | 683 |
2017 | T2 | 1 | null | Serbia_MO | Нека су $a, b$ и $c$ позитивни реални бројеви за које важи $a+b+c=1$. Доказати:
$$
\begin{array}{r}
a \sqrt{2 b+1}+b \sqrt{2 c+1}+c \sqrt{2 a+1} \leqslant \sqrt{2-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)} \\
\text { (Никола Петровић) }
\end{array}
$$ | Квадрирањем обе стране и коришћењем једнакости $1-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=2(a b+$ $b c+c a)$ неједнакост из задатка се своди на
$$
\begin{aligned}
L= & 2 a^{2} b+2 b^{2} c+2 c^{2} a+ \\
& 2 a b \sqrt{(2 b+1)(2 c+1)}+2 b c \sqrt{(2 c+1)(2 a+1)}+2 c a \sqrt{(2 a+1)(2 b+1)} \\
\leqslant D= & 4(a b+b c+c a) .
\end{... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2017_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n1. "
} | 129 | 700 |
2017 | T2 | 2 | null | Serbia_MO | Дат је конвексан тетиван четвороугао $A B C D$. Нека се праве $A D$ и $B C$ секу у тачки $E$. На страницама $A D$ и $B C$ су одабране тачке $M$ и $N$, редом, такве да важи $A M: M D=B N: N C$. Кружнице описане око троугла $E M N$ и четвороугла $A B C D$ секу се у тачкама $X$ и $Y$. Доказати да се праве $A B, C D$ и $X ... | У случају $A B \| C D$ тврђење је тривијално: тачке $X$ и $Y$ су симетричне у односу на симетралу дужи $A B$ и $C D$ и важи $A B\|X Y\| C D$.
Нека је $A B \nVdash C D$. Тада описани кругови $k_{1}$ и $k_{2}$ троуглова $E A B$ и $E C D$ имају другу пресечну тачку $P \neq E$. Из $\varangle P A D=\varangle P B E$ и $\var... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2017_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n2. "
} | 197 | 902 |
2017 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | У врсти се налази $2 n-1$ сијалица. У почетку је средња ( $n$-та) упаљена, а све остале су угашене. У једном кораку је дозвољено одабрати две несуседне угашене сијалице између којих су све сијалице упаљене, и променити стање тим двема сијалицама, као и свим сијалицама између њих (на пример, од конфигурације $\cdot$ооо ... | Одговор је $\left[\frac{2^{n+1}-5}{3}\right]$.
Придружимо $i$-тој сијалици број $2^{|i-n|}$ и дефинишимо вредност конфигурације као збир бројева на упаљеним сијалицама. Вредност полазне конфигурације је 1, а при сваком кораку она се повећава за природан умножак броја 3. Корак повећава вредност за тачно 3 ако $n$-та си... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2017_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 322 | 763 |
2017 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | Нека је $a$ природан број такав да за сваки природан број $n$ број $n^{2} a-1$ има бар један делилац већи од 1 који даје остатак 1 при дељењу са $n$. Доказати да је $а$ потпун квадрат.
(Душан Ђукић) | Нека је $n^{2} a-1=\left(n x_{n}+1\right) d_{n}\left(x_{n}, d_{n} \in \mathbb{N}\right)$. Тада је $d_{n} \equiv-1(\bmod n)$, па је
$$
n^{2} a-1=\left(n x_{n}+1\right)\left(n y_{n}-1\right) \quad \text { за неке } x_{n}, y_{n} \in \mathbb{N}
$$
што се своди на $n a-n x_{n} y_{n}=y_{n}-x_{n}>-x_{n} y_{n}$. Одавде добиј... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2017_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 113 | 705 |
2017 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | Одредити колико се највише краљица може поставити на таблу $2017 \times 2017$, при чему свака краљица сме да напада највише једну од преосталих.
(Бојан Башић и комисија) | Означимо $n=2017$. Претпоставимо да је постављено $m>n$ краљица. Ни у једној врсти нема више од две краљице, па се у бар $m-n$ врста налазе по две краљице, тако да има највише $m-2(m-n)=2 n-m$ краљица које су саме у својој врсти. Слично, највише $2 n-m$ краљица су саме у својој колони. С друге стране, свака краљица је ... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2017_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 87 | 896 |
2017 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | Нека је $k$ кружница описана око $\triangle A B C$, а $k_{a}$ приписана кружница наспрам темена $A$. Две заједничке тангенте кружница $k$ и $k_{a}$ секу праву $B C$ у тачкама $P$ и $Q$. Доказати да важи $\varangle P A B=\varangle Q A C$.
(Дуиан Ђукић)
## РЕШЕЊА | Нека унутрашња и спољна симетрала угла $B A C$ секу праву $B C$ редом у тачкама $D$ и (можда бесконачној) $D_{1}$. Заједничке тангенте се секу у центру $T$ позитивне хомотетије $\mathscr{H}$ која слика приписани круг $\omega_{a}$ у описани круг $\Omega$. Ако је $T$ бесконачна тачка, $\mathscr{H}$ је транслација, а оста... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2017_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 125 | 1,649 |
2018 | T2 | 1 | null | Serbia_MO | Кружница уписана у $\triangle A B C$ има центар у тачки $I$ и додирује страницу $B C$ у тачки $D$. На дужима $B I$ и $C I$ одабране су тачке $P$ и $Q$, редом, такве да важи $\varangle B A C=2 \varangle P A Q$. Доказати: $\varangle P D Q=90^{\circ} . \quad$ (Дуиан Ђукић) | Означимо са $E$ и $F$ редом подножја нормала из $P$ и $Q$ на праву $B C$, а са $M$ средиште дужи $P Q$.
Посматрајмо тачку $X$ на страници $B C$ такву да је $\varangle B A X=2 \varangle B A P$. Тада је такође $\varangle C A X=\varangle B A C-2 \varangle B A P=$ $2 \varangle C A Q$, па су $P$ и $Q$ редом центри уписаних... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2018_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n1. "
} | 130 | 814 |
2018 | T2 | 2 | null | Serbia_MO | Дат је природан број $n, n>1$. Цео број $x$ зовемо красним ако је остатак броја $x^{2}$ при дељењу са $n$ непаран. Доказати да не постоји више од $1+\lfloor\sqrt{3 n}\rfloor$ узастопних красних природних бројева.
(Душан Ђукић) | Ако је $n$ паран број, тврђење је тривијално: тада не постоје ни два узастопна красна броја, јер парни бројеви нису красни. Надаље сматрамо да је $n$ непаран.
Пошто бројеви дељиви са $n$ нису красни, можемо да се ограничимо на бројеве $x \in\{1, \ldots, n-1\}$. Претпоставимо да су бројеви $x$ и $x+1$ красни. Остаци бр... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2018_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n2. "
} | 119 | 854 |
2018 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | У равни је дато $n$ правих међу којима никоје две нису паралелне и никоје три се не секу у једној тачки. Под пресечним тачкама сматрамо све тачке у којима се секу неке две од ових правих.
(a) Доказати да међу датим правим постоји једна са чије се сваке стране налази бар по
$$
\left\lfloor\frac{(n-1)(n-2)}{10}\right\r... | За сваку од датих правих, пресечних тачака ван ње има
$$
m=\frac{(n-1)(n-2)}{2}
$$
Претпоставимо да, за сваку праву, с једне њене стране има не више од $k$ пресечних тачака, где је $k \leqslant \frac{n}{2}$. Пребројмо на два начина тројке $(p, A, B)$, где су $A$ и $B$ пресечне тачке са различитих страна праве $p$. По... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2018_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 321 | 1,026 |
2018 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | Доказати да постоји тачно један полином $P(x)$ с реалним коефицијентима за који је полином
$$
(x+y)^{1000}-P(x)-P(y)
$$
дељив полиномом $x y-x-y$.
(Душан Ђукић) | Означимо $n=1000$. Сменом $x=u+1$ и $y=v+1$ добијамо да полином $u v-1$ дели полином $P(u+1)+P(v+1)-(u+v+2)^{n}$. Еквивалентан услов је да је $P(u+1)+P(v+1)-(u+v+2)^{n}=0$ кад год је $u v-1=0$ (видети напомену). Тако за $u \neq 0$ и $v=\frac{1}{u}$ имамо $P(u+1)+P\left(\frac{1}{u}+1\right)=\left(u+\frac{1}{u}+2\right)^... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2018_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 89 | 1,946 |
2018 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | Нека су $a$ и $b$ непарни природни бројеви већи од 1. Посматрајмо таблу $a \times b$ којој недостају поља $(2,1),(a-2, b)$ и $(a, b)$ (под пољем $(i, j)$ подразумевамо поље у пресеку врсте $i$ и колоне $j$ ). Претпоставимо да је оваква табла поплочана помоћу $2 \times 1$ домина и $2 \times 2$ квадрата (домине се могу р... | Упишимо у поље $(i, j)$ број $(-1)^{i+j}(i+j)$. Збир уписаних бројева у читавој таблици је $\sum_{i=1}^{a}(-1)^{i} \sum_{j=1}^{b}(-1)^{j}(i+j)=\sum_{i=1}^{a}(-1)^{i+1}\left(i+\frac{b+1}{2}\right)=\frac{a+b+2}{2}$, а ако се три наведена поља избаце, збир у остатку таблице је
$$
\frac{a+b+2}{2}-(-3)-(a+b-2)-(a+b)=-\frac... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2018_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 212 | 1,469 |
2018 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | За задат природан број $k$, нека је $n_{k}$ најмањи природан број такав да постоји коначан скуп $A$ целих бројева са следећим особинама:
- за свако $a \in A$ постоје $x, y \in A$ (не обавезно различити) такви да
$$
n_{k} \mid a-x-y
$$
- не постоји подскуп $B$ скупа $A$ за који важи $|B| \leqslant k$ и $n_{k} \mid \s... | Са $F_{i}$ означавамо Фибоначијеве бројеве: $F_{1}=F_{2}=1, F_{i+1}=F_{i}+F_{i-1}$. Посматрајмо скуп $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k+1}\right\}$ са $n=F_{k+2}+3$, где су
$$
a_{i}=(-1)^{k-1-i} F_{i+1} \text { за } i=1,2, \ldots, k-1, \quad a_{k}=F_{k}+1 \quad \text { и } \quad a_{k+1}=F_{k}+2
$$
У случају парног ... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2018_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 282 | 882 |
2019 | T2 | 1 | null | Serbia_MO | Одредити све природне бројеве $n(n>1)$ који имају следеће својство: ако су $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{k}$ сви природни бројеви мањи од $n$ и узајамно прости са $n$ и важи поредак $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots<a_{k}$, онда ниједан од збирова $a_{i}+a_{i+1}$ за $i=1,2, \ldots, k-1$ није дељив са 3.
(Душан Ђукић) | За $n \leqslant 28$ услов задатка је задовољен само за $n \in\{2,4,10\}$. Нека је $n>28$. Приметимо да је низ $a_{i}$ симетричан у односу на $\frac{n}{2}$. Дакле, $a_{i}+a_{k+1-i}=n$. Ако $2 \nmid n$, онда је $a_{1}=1, a_{2}=2$ и $3 \mid a_{1}+a_{2}$. С друге стране, ако $3 \mid n$, одаберимо $i$ тако да је $a_{i}<\fra... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2019_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n1. "
} | 176 | 810 |
2019 | T2 | 2 | null | Serbia_MO | За низ ненегативних реалних бројева $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ кажемо да је уложсив у интервал $[b, c]$ ако постоје бројеви $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k}$ из интервала $[b, c]$ такви да важи $\left|x_{i}-x_{i-1}\right|=a_{i}$ за $i=1,2, \ldots, k$. Низ је нормиран ако су сви његови чланови не већи од 1. За задат прир... | (a) Довољно је доказати да је сваки нормиран низ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n+1}$ уложив у неки интервал дужине $2-\frac{1}{2^{n}}$. Тврђење доказујемо индукцијом по $n$. Оно је тачно за $n=0$; нека је $n \geqslant 1$. По индуктивној претпоставци постоји низ $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{2 n-1} \in\left[0,2-\frac{1}{2^{n-... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2019_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n2. "
} | 285 | 993 |
2019 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | Конвексан четвороугао $A B C D$ је описан око кружнице $k$. Праве $A D$ и $B C$ се секу у тачки $P$, а кружнице описане око $\triangle P A B$ и $\triangle P C D$ се секу у тачки $X$. Доказати да тангенте из тачке $X$ на кружницу $k$ граде једнаке углове са правима $A X$ и $C X$.
(Дуиан Ђукић)
# Министарство просвете,... | Пошто је $\varangle X A D=\varangle X B C$ и $\varangle X D P=\varangle X C P$, важи $\triangle X A D \sim \triangle X B C$.
Нека симетрала $s_{X}$ угла $A X C$ сече кругове $P A B$ и $P C D$ у тачкама $K$ и $R$, а симетрала $s_{P}$ угла $A P C$ сече кругове $P A B$ и $P C D$ у тачкама $L$ и $S$. Права $s_{P}$ пролази... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2019_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 235 | 1,553 |
2019 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | Дат је $\triangle A B C$. Нека је $A_{1}$ централносиметрична слика пресечне тачке симетрале $\measuredangle B A C$ и странице $B C$, где је центар симетрије средина странице $B C$. Аналогно дефинишемо тачке $B_{1}$ (на страници $C A$ ) и $C_{1}$ (на страници $A B)$. Пресек кружнице описане око $\triangle A_{1} B_{1} C... | Подсетимо се да тачке $P$ и $Q$ унутар $\triangle A B C$ зовемо изогонално спрегнутим ако је $\varangle P A B=\varangle Q A C$ и $\varangle P B C=\varangle Q B A$. Тада такође важи $\varangle P C A=\varangle Q C B$.
Лема. Подножја нормала из тачака $P$ и $Q$ на праве $B C, C A$ и $A B$ леже на истом кругу.
Доказ. Нек... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2019_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 313 | 1,624 |
2019 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | На планети $X$ облика лопте се налази $2 n$ бензинских пумпи. Притом је свака пумпа упарена с по једном другом пумпом и сваке две упарене пумпе се налазе на дијаметрално супротним тачкама планете. На свакој пумпи се налази одређена количина бензина. Познато је следеће: уколико аутомобил с претходно празним (довољно вел... | Одговор је $n \leqslant 3$.
Пумпу дијаметрално супротну пумпи $X$ означаваћемо са $X^{\prime}$.
За $n \leqslant 1$ тврђење је тривијално. Нека је $n=2$ и нека је $A B=A^{\prime} B^{\prime}$ најмање међу свим растојањима између две пумпе. Од пумпе $A$ до $A^{\prime}$ се може стићи, рецимо путем $A B^{\prime} A^{\prime... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2019_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 379 | 1,687 |
2019 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | Низови $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ и $\left(b_{n}\right)_{n=0}^{\infty}$ дефинисани су рекурентним релацијама
$$
a_{0}=0, \quad a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{2018}{n} a_{n}+a_{n-1} \quad \text { за } n \geqslant 1
$$
и
$$
b_{0}=0, \quad b_{1}=1, \quad b_{n+1}=\frac{2020}{n} b_{n}+b_{n-1} \quad \text { за } n ... | Дефинишимо низ $\left(c_{m, n}\right)\left(m, n \in \mathbb{N}_{0}\right)$ условима
$$
c_{m, 0}=0, \quad c_{m, 1}=1, \quad c_{m, n+1}=\frac{2 m}{n} c_{m, n}+c_{m, n-1} \quad \text { за } n \geqslant 1
$$
Тада је $a_{n}=c_{1010, n}$ и $b_{n}=c_{1009, n}$.
Видимо да је нпр. $c_{1, n}=n, c_{2, n}=n^{2}$ и $c_{3, n}=\fr... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2019_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 289 | 1,836 |
2020 | T2 | 1 | null | Serbia_MO | Наћи све моничне полиноме $P(x)$ такве да је полином $P(x)^{2}-1$ дељив полиномом $P(x+1)$.
(Дуиан Ђукић) | Једина решења су полиноми $P(x)=1$ и $P(x)=x-c$, где је $c$ константа.
Претпоставимо да је $P(x)=(x-c)\left(x-x_{2}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)$ неконстантан полином, при чему је $c$ његова комплексна нула чији је реални део најмањи.
По услову задатка, $x+1-c$ дели $P(x)^{2}-1$, одакле је $P(c-1)= \pm 1$. С дру... | {
"problem_match": "\n1. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2020_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n1. "
} | 60 | 586 |
2020 | T2 | 2 | null | Serbia_MO | Дат је конвексан полиедар са бар 5 темена у чијем се сваком темену састају тачно по три ивице. Доказати да је могуће доделити сваком темену тог полиедра неки рационалан број тако да буду задовољени следећи услови:
(i) бар један од додељених бројева је једнак 2020;
(ii) за сваку страну полиедра, производ бројева у сви... | Означимо $c=$ 2020. Прво размотримо случај када постоји страна $\mathcal{F}$ са парним бројем темена. Тада је довољно доделити теменима стране $\mathcal{F}$ наизменично бројеве $c$ и $\frac{1}{c}$, а свим осталим теменима полиедра број 1. Заиста, производ бројева на страни $\mathcal{F}$ је једнак 1 , а свака друга стра... | {
"problem_match": "\n2. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2020_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n2. "
} | 182 | 899 |
2020 | T2 | 3 | null | Serbia_MO | Дат је троугао $A B C$. Тачке $D$ и $E$ на правој $A B$ су такве да је $A D=A C$ и $B E=B C$, уз распоред $D-A-B-E$. Описане кружнице троуглова $D B C$ и $E A C$ секу се у тачки $X \neq C$, а описане кружнице троуглова $D E C$ и $A B C$ секу се у тачки $Y \neq C$. Ако важи $D Y+E Y=2 X Y$, одредити $\varangle A C B$.
... | Нека је $I_{c}$ центар приписаног круга $\triangle A B C$ наспрам темена $C$. Тада је $A I_{c}$ симетрала угла $C A D$, одакле је $\triangle I_{c} A D \cong \triangle I_{c} A C$. Следи да је $\varangle I_{c} D B=$ $\varangle I_{c} D A=\varangle I_{c} C A=\varangle I_{c} C B$, па $I_{c}$ лежи на кругу $B C D$. Слично, $... | {
"problem_match": "\n3. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2020_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n3. "
} | 263 | 1,459 |
2020 | T2 | 4 | null | Serbia_MO | У трапезу $A B C D$ чији унутрашњи углови нису прави, дијагонале $A C$ и $B D$ секу се у тачки $E$. Нека су $P$ и $Q$ редом подножја нормала из темена $A$ и $B$ на праве $B C$ и $A D$. Описане кружнице троуглова $C E Q$ и $D E P$ секу се у тачки $F \neq E$. Доказати да се праве $A P, B Q$ и $E F$ секу у једној тачки ил... | Случај када је $A D \| B C$ је једноставан. Наиме, тада је $E$ средиште дијагонале $A C$, те је $E A=E C=E P$, а слично важи и $E B=E D=E Q$. Одатле следи да су кругови $C E Q$ и $D E P$ симетрични у односу на симетралу дужи $C P$ и $D Q$, те је $E F \perp C P$, тј. $E F\|A P\| B Q$.
Означимо са $O$ тачку пресека прав... | {
"problem_match": "\n4. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2020_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n4. "
} | 185 | 503 |
2020 | T2 | 5 | null | Serbia_MO | За природан број $n$, са $v_{2}(n)$ означавамо највећи цео број $k \geqslant 0$ такав да $2^{k} \mid n$. Претпоставимо да функција $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ задовољава услове:
(i) $f(x) \leqslant 3 x$ за све $x \in \mathbb{N}$;
(ii) $v_{2}(f(x)+f(y))=v_{2}(x+y)$ за све $x, y \in \mathbb{N}$.
Доказати да... | Заменом $x=y$ добијамо $v_{2}(f(x))=v_{2}(x)$. Ако је $v_{2}(a)=k>0$, посматрањем функције $g(x)=f\left(2^{k} x\right) / 2^{k}$ тврђење сводимо на случај непарног $a$. Зато надаље сматрамо да $2 \nmid a$.
Приметимо да, ако је $x \not \equiv y\left(\bmod 2^{k}\right)$, онда је $f(x) \not \equiv f(y)\left(\bmod 2^{k}\ri... | {
"problem_match": "\n5. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2020_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n5. "
} | 221 | 649 |
2020 | T2 | 6 | null | Serbia_MO | Дат је природан број $k$. Посматрајмо следећу игру на бесконачној једнодимензионалној табли. На почетку игре, на поља постављамо укупно $n$ жетона, при чему може бити више жетона на истом пољу. Након тога, у сваком потезу извршавамо једну од следећих операција:
$\left(1^{\circ}\right)$ бирамо два суседна поља која су ... | (a) Потезе врсте $\left(1^{\circ}\right)$ зваћемо скуйљаљем, а потезе врсте $\left(2^{\circ}\right)$ сејаъем. Поља нумеришемо редом бројевима ..., $-1,0,1,2, \ldots$. Поља се могу поделити на $k$ класа по модулу $k$, тако да при сејању жетони не мењају своју класу.
Претпоставимо прво да у једној од класа нема ниједног... | {
"problem_match": "\n6. ",
"resource_path": "Serbia_MO/segmented/sr-2020_smo_resenja.jsonl",
"solution_match": "\n6. "
} | 368 | 2,061 |
1961 | T1 | 6 | null | AllSovietUnion | (a) A and B move clockwise with equal angular speed along circles center P and Q respectively. C moves continuously so that \(\mathrm{AB = BC = CA}\) . Establish C's locus and speed. \(\ast (\mathrm{b})\) ABC is an equilateral triangle and P satisfies \(\mathrm{AP} = 2\) , \(\mathrm{BP} = 3\) . Establish the maximum po... | (a) Represent A, B as complex numbers \(\mathrm{z}_{1} + \mathrm{w}_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}}\) , \(\mathrm{z}_{2} + \mathrm{w}_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}}\) . Then C is \((\mathrm{z}_{1} + \mathrm{w}_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}}) + (\mathrm{z}_{2} + \mathrm{w}_{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}} - \mathrm{z}_{1} - \mathrm{w}_{1}... | {
"problem_match": "# Problem 6",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 91 | 1,105 |
1961 | T1 | 10 | null | AllSovietUnion | A and B play the following game with N counters. A divides the counters into 2 piles, each with at least 2 counters. Then B divides each pile into 2 piles, each with at least one counter. B then takes 2 piles according to a rule which both of them know, and A takes the remaining 2 piles. Both A and B make their choices... | Answers: [N/2], [(N+1)/2], [N/2].
Suppose A leaves piles n, m with n≤m.
Under \(R1\) , B can certainly secure m by dividing the larger pile into 1 and m- 1. He cannot do better, because if b is the biggest of the 4 piles, then the smallest is at most m- b. Hence A's best strategy is to leave [N/2], [(N+1)/2].
Und... | {
"problem_match": "# Problem 10",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 203 | 524 |
1963 | T1 | 12 | null | AllSovietUnion | Find all real p, q, a, b such that we have \((2\mathrm{x} - 1)^{20} - (\mathrm{ax} + \mathrm{b})^{20} = (\mathrm{x}^{2} + \mathrm{px} + \mathrm{q})^{10}\) for all x. | Comparing coefficients of \(\mathrm{x}^{20}\) , we must have \(\mathrm{a} = (2^{20} - 1)^{1 / 20}\) (note that we allow either the positive or the negative root).
Set \(\mathrm{x} = 1 / 2\) . Then we must have \((\mathrm{ax} + \mathrm{b})^{20} = 0 = (\mathrm{x}^{2} + \mathrm{px} + \mathrm{q})^{10}\) , and hence \(\ma... | {
"problem_match": "# Problem 12",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 74 | 540 |
1964 | T1 | 9 | null | AllSovietUnion | Given a lattice of regular hexagons. A bug crawls from vertex A to vertex B along edges of the hexagons, taking the shortest possible path (or one of them). Prove that it travels a distance at least AB/2 in one direction. If it travels exactly AB/2 in one direction, how many edges does it traverse? | 
Suppose vertex A is that marked \* at the bottom left. Without loss of generality, B is in a 60 degree sector as shown. Assume the edges have unit length. The vertices can be partitioned into two sets (marked ° and . in the diagram). Each s... | {
"problem_match": "# Problem 9",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 72 | 1,219 |
1965 | T1 | 1 | null | AllSovietUnion | (a) Each of \(\mathbf{x}_{1}, \ldots , \mathbf{x}_{\mathrm{n}}\) is -1, 0 or 1. What is the minimal possible value of the sum of all \(\mathbf{x}_{i}\mathbf{x}_{j}\) with \(1 \leq = \mathrm{i} < \mathrm{j} \leq = \mathrm{n}\) ? (b) Is the answer the same if the \(\mathbf{x}_{i}\) are real numbers satisfying \(0 \leq = ... | (a) Answer: \([- \mathrm{n} / 2]\) .
Let \(\mathbf{A} = (\mathbf{x}_{1} + \ldots + \mathbf{x}_{\mathrm{n}})^{2}\) , \(\mathbf{B} = \mathbf{x}_{1}^{2} + \ldots + \mathbf{x}_{\mathrm{n}}^{2}\) . Then we must minimize \(\mathbf{A} - \mathbf{B}\) . For \(\mathrm{n}\) even, we separately minimize \(\mathbf{A}\) and maximi... | {
"problem_match": "# Problem 1",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 152 | 691 |
1965 | T1 | 2 | null | AllSovietUnion | Two players have a 3 x 3 board. 9 cards, each with a different number, are placed face up in front of the players. Each player in turn takes a card and places it on the board until all the cards have been played. The first player wins if the sum of the numbers in the first and third rows is greater than the sum in the ... | The first player always wins.
Let the board be:
. F . S . S . F .
We call the squares marked F the F- squares, the squares marked S the S- squares, and the remaining squares the neutral squares. The first player wins if the sum of the two cards on the F- squares exceeds the sum of the two cards on the S- squares.... | {
"problem_match": "# Problem 2",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 104 | 1,447 |
1965 | T1 | 10 | null | AllSovietUnion | Given n real numbers \(\mathrm{a_1,a_2,\ldots,a_n}\) , prove that you can find n integers \(\mathrm{b_1,b_2,\ldots,b_n}\) , such that \(\mathrm{|a_i - b_i| < 1}\) and the sum of any subset of the original numbers differs from the sum of the corresponding \(\mathrm{b_i}\) by at most \((\mathrm{n} + 1) / 4\) . | We can take all \(\mathrm{a_i}\) to lie in the range (0,1) and all \(\mathrm{b_i}\) to be 0 or 1. The largest positive value of the sum of \((\mathrm{a_i - b_i})\) for any subset is achieved by taking the subset of those i for which \(\mathrm{b_i = 0}\) . Similarly, the largest negative value is achieved by taking thos... | {
"problem_match": "# Problem 10",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 107 | 1,543 |
1965 | T1 | 13 | null | AllSovietUnion | Given two relatively prime natural numbers r and s, call an integer good if it can be represented as mr + ns with m, n non- negative integers and bad otherwise. Prove that we can find an integer c, such that just one of k, c - k is good for any k. How many bad numbers are there? | Notice that 0 is good and all negative numbers are bad. Take \(\mathrm{c} = \mathrm{rs} - \mathrm{r} - \mathrm{s}\) . First c, is bad. For suppose otherwise: \(\mathrm{c} = \mathrm{mr} + \mathrm{ns}\) . Then \(\mathrm{mr} + \mathrm{ns} = (\mathrm{s - 1})\mathrm{r} - \mathrm{s}\) . Hence \((\mathrm{s - 1 - m})\mathrm{r}... | {
"problem_match": "# Problem 13",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 68 | 567 |
1966 | T1 | 2 | null | AllSovietUnion | (a) B and C are on the segment AD with \(\mathrm{AB} = \mathrm{CD}\) . Prove that for any point P in the plane: \(\mathrm{PA} + \mathrm{PD} \geq \mathrm{PB} + \mathrm{PC}\) .
(b) Given four points A, B, C, D on the plane such that for any point P on the plane we have \(\mathrm{PA} + \mathrm{PD} \geq \mathrm{PB} + \m... | (a) Suppose the points lie in the order A, B, C, D. If P lies on AD, then the result is trivial, and we have equality if P lies outside the segment AD. So suppose P does not lie on AD.
Let M be the midpoint of AD. Take P' so that P, M, P' are collinear and \(\mathrm{PM} = \mathrm{MP}\) . Then we wish to prove that \(... | {
"problem_match": "# Problem 2",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 145 | 527 |
1966 | T1 | 8 | null | AllSovietUnion | A graph has at least three vertices. Given any three vertices A, B, C of the graph we can find a path from A to B which does not go through C. Prove that we can find two disjoint paths from A to B.
[A graph is a finite set of vertices such that each pair of distinct vertices has either zero or one edges joining the ... | Take any path from A to B. Suppose it is \(\mathrm{A = A_0}\) , \(\mathrm{A_1}\) , ..., \(\mathrm{A_n = B}\) . We show by induction on r that we can find two disjoint paths from A to \(\mathrm{A_r}\) . If \(\mathrm{r} = 1\) , then take any vertex C distinct from A and \(\mathrm{A_1}\) . Take any path from \(\mathrm{A_1... | {
"problem_match": "# Problem 8",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 208 | 858 |
1966 | T1 | 11 | null | AllSovietUnion | The distance from A to B is d kilometers. A plane P is flying with constant speed, height and direction from A to B. Over a period of 1 second the angle PAB changes by \(\alpha\) degrees and the angle PBA by \(\beta\) degrees. What is the minimal speed of the plane? | Answer: \(20\pi \mathrm{d}\sqrt{(\alpha\beta)}\) kilometers per hour.
Let the plane be at height h and a (horizontal) distance y from A. Let the angle PAB be \(\theta + \alpha\) and the angle PBA be \(\phi\) . After 1 second, the angle PAB is \(\theta\) and the angle PBA is \(\phi + \beta\) . We have immediately that... | {
"problem_match": "# Problem 11",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 66 | 1,175 |
1966 | T1 | 12 | null | AllSovietUnion | Two players alternately choose the sign for one of the numbers 1, 2, ..., 20. Once a sign has been chosen it cannot be changed. The first player tries to minimize the final absolute value of the total and the second player to maximize it. What is the outcome (assuming both players play perfectly)?
Example: the playe... | Answer: 30.
The second player can play the following strategy: (1) if the first player plays \(2\mathrm{n} - 1\) for \(1< = \mathrm{n}\) \(< = 9\) , then he replies \(2\mathrm{n}\) with the opposite sign; (2) if the first player plays \(2\mathrm{n}\) for \(1< = \mathrm{n}< = 9\) then he replies \(2\mathrm{n} - 1\) wi... | {
"problem_match": "# Problem 12",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 175 | 679 |
1967 | T1 | 1 | null | AllSovietUnion | In the acute- angled triangle ABC, AH is the longest altitude (H lies on BC), M is the midpoint of AC, and CD is an angle bisector (with D on AB).
(a) If \(\mathrm{AH}< = \mathrm{BM}\) , prove that the angle \(\mathrm{ABC}< = 60\) .
(b) If \(\mathrm{AH} = \mathrm{BM} = \mathrm{CD}\) , prove that ABC is equilatera... | As usual let a, b, c be the lengths of BC, CA, AB respectively and let A, B, C denote the angles BAC, ABC, BCA respectively. We use trigonometry and try to express the quantities of interest in terms of a, b and C.
(a) Since AH is the longest altitude, BC must be the shortest side (use area = side x altitude/2). So \... | {
"problem_match": "# Problem 1",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 104 | 878 |
1967 | T1 | 8 | null | AllSovietUnion | 499 white rooks and a black king are placed on a \(1000 \times 1000\) chess board. The rook and king moves are the same as in ordinary chess, except that taking is not allowed and the king is allowed to remain in check. No matter what the initial situation and no matter how white
moves, the black king can always:
... | (a) True. Black moves to one end of a main diagonal and then moves along the diagonal to the opposite end. Each of the 499 rooks is in some row. Since black moves through each row, every rook must change row. But each of the rooks is also in some column and so every rook must also change column. A rook cannot change ro... | {
"problem_match": "# Problem 8",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 155 | 908 |
1967 | T1 | 9 | null | AllSovietUnion | ABCD is a unit square. One vertex of a rhombus lies on side AB, another on side BC, and a third on side AD. Find the area of the set of all possible locations for the fourth vertex of the rhombus. | Answer: \(2 1 / 3\)
Let the square be ABCD. Let the vertices of the rhombus be P on AB, Q on AD, and R on BC. We require the locus of the fourth vertex S of the rhombus. Suppose P is a distance x from B. We may take \(\mathrm{x}< = 1 / 2\) , since the locus for \(\mathrm{x} > 1 / 2\) is just the reflection of the loc... | {
"problem_match": "# Problem 9",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 51 | 1,020 |
1968 | T1 | 10 | null | AllSovietUnion | Given a triangle ABC, and D on the segment AB, E on the segment AC, such that AD = DE = AC, BD = AE, and DE is parallel to BC. Prove that BD equals the side of a regular 10- gon inscribed in a circle with radius AC. | \(\mathrm{DA} = \mathrm{DE}\) , so DAE is isosceles. DE is parallel to BC, so ABC is isosceles, so \(\mathrm{BA} = \mathrm{AC} / (2 \cos \mathrm{A})\) . Hence \(\mathrm{BD} = \mathrm{AC} / (2 \cos \mathrm{A}) - \mathrm{AC}\) . But \(\mathrm{AE} = 2 \mathrm{AC} \cos \mathrm{A}\) , so we have an equation for \(\mathrm{c}... | {
"problem_match": "# Problem 10",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 61 | 607 |
1980 | T1 | 7 | null | AllSovietUnion | There are several settlements around Big Lake. Some pairs of settlements are directly connected by a regular shipping service. For all \(\mathrm{A} \neq \mathrm{B}\) , settlement A is directly connected to X iff B is not directly connected to Y, where B is the next settlement to A counterclockwise and Y is the next set... | Suppose there are n settlements \(\mathrm{A}_1, \mathrm{A}_2, \ldots , \mathrm{A}_n\) in counterclockwise order around the lake. We will use cyclic indices, so that \(\mathrm{A}_{n + 1}\) means \(\mathrm{A}_1\) , and so on. wlog \(\mathrm{A}_1\) has a direct service to \(\mathrm{A}_2\) . Then it follows that \(\mathrm{... | {
"problem_match": "# Problem 7",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 96 | 549 |
1980 | T1 | 8 | null | AllSovietUnion | A six digit (decimal) number has six different digits, none of them 0, and is divisible by 37. Show that you can obtain at least 23 other numbers which are divisible by 37 by permuting the digits. | Suppose the digits are a1, a2, a3, a4, a5, a6 and that a1a2a3a4a5a6 is divisible by 37. We claim that a2a3a4a5a6a1 is also divisible by 37. Put \(\mathrm{n} = \mathrm{a}_2\mathrm{a}_3\mathrm{a}_4\mathrm{a}_5\mathrm{a}_6\) and \(\mathrm{m} = \mathrm{a}_1\) . The original number is \(10^{5}\mathrm{m} + \mathrm{n}\) and t... | {
"problem_match": "# Problem 8",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 52 | 688 |
1980 | T1 | 16 | null | AllSovietUnion | A rectangular box has sides \(\mathbf{x}< \mathbf{y}< \mathbf{z}\) . Its perimeter is \(\mathrm{p} = 4(\mathrm{x} + \mathrm{y} + \mathrm{z})\) , its surface area is \(\mathrm{s} =\) \(2(\mathrm{xy} + \mathrm{yz} + \mathrm{zx})\) and its main diagonal has length \(\mathrm{d} = \sqrt{(\mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 + \mathr... | We have \(3(\mathrm{y - x})(\mathrm{z - x}) > 0\) , so \(3\mathrm{x}^2 +3\mathrm{yz} > 3\mathrm{xy} + 3\mathrm{xz}\) . Hence \(\mathrm{y}^2 +\mathrm{z}^2 +4\mathrm{x}^2 +2\mathrm{yz} - 4\mathrm{xy} - 4\mathrm{xz} > \mathrm{x}^2 + \mathrm{y}^2 +\mathrm{z}^2 - \mathrm{xy} - \mathrm{yz} - \mathrm{xz}\) or \((\mathrm{y} + ... | {
"problem_match": "# Problem 16",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 204 | 513 |
1980 | T1 | 17 | null | AllSovietUnion | S is a set of integers. Its smallest element is 1 and its largest element is 100. Every element of S except 1 is the sum of two distinct members of the set or double a member of the set. What is the smallest possible number of integers in S?
## Answer | Let \(\mathrm{n} = \mathrm{M}(\mathrm{n}) + \mathrm{m}(\mathrm{n})\) , where \(\mathrm{M}(\mathrm{n})\geq \mathrm{m}(\mathrm{n})\) . Put \(\mathrm{M}^{1}(\mathrm{n}) = \mathrm{M}(\mathrm{n})\) , \(\mathrm{M}^{2}(\mathrm{n}) = \mathrm{M}(\mathrm{M}(\mathrm{n}))\) etc. Then \(\mathrm{M}(100)\geq 50\) , \(\mathrm{M}^{2}(1... | {
"problem_match": "# Problem 17",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 62 | 596 |
1988 | T1 | 4 | null | AllSovietUnion | Given a sequence of 19 positive integers not exceeding 88 and another sequence of 88 positive integers not exceeding 19. Show that we can find two subsequences of consecutive terms, one from each sequence, with the same sum. | We prove the general case. Let the first sequence be \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots ,\mathbf{a}_{\mathrm{m}}\) and the second sequence be \(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\ldots ,\mathbf{b}_{\mathrm{n}}\) , were \(0< \mathbf{a}_{\mathrm{i}}\leq \mathbf{n}\) and \(0< \mathbf{b}_{\mathrm{j}}\leq \mathbf{m}\) . Put \(\math... | {
"problem_match": "# Problem 4",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 51 | 659 |
1988 | T1 | 5 | null | AllSovietUnion | The quadrilateral ABCD is inscribed in a fixed circle. It has AB parallel to CD and the length AC is fixed, but it is otherwise allowed to vary. If h is the distance between the midpoints of AC and BD and k is the distance between the midpoints of AB and CD, show that the ratio h/k remains constant. | Let the center of the circle be O and its radius be R. Let \(\angle \mathrm{AOB} = 2\mathrm{x}\) (variable) and let \(\angle \mathrm{AOC} = 2\mathrm{y}\) (fixed). Then \(\mathrm{AC} = 2\mathrm{R}\) sin y. We find \(\angle \mathrm{COD} = 180^{\circ} - \mathrm{x} - 2\mathrm{y}\) , so \(2\mathrm{h} = 2\mathrm{R}\sin \math... | {
"problem_match": "# Problem 5",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 70 | 500 |
1988 | T1 | 15 | null | AllSovietUnion | What is the minimal value of \(\mathrm{b} / (\mathrm{c} + \mathrm{d}) + \mathrm{c} / (\mathrm{a} + \mathrm{b})\) for positive real numbers b and c and nonnegative real numbers a and d such that \(\mathrm{b} + \mathrm{c} \geq \mathrm{a} + \mathrm{d}\) ? | Answer: \(\sqrt{2} - 1 / 2\) .
Obviously \(\mathrm{a} + \mathrm{d} = \mathrm{b} + \mathrm{c}\) at the minimum value, because increasing a or d reduces the value. So we may take \(\mathrm{d} = \mathrm{b} + \mathrm{c} - \mathrm{a}\) . We also take \(\mathrm{b} \gg \mathrm{c}\) (interchanging b and c if necessary). Divi... | {
"problem_match": "# Problem 15",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 88 | 1,007 |
1988 | T1 | 18 | null | AllSovietUnion | Find the minimum value of \(\mathrm{xy / z + yz / x + zx / y}\) for positive reals \(\mathrm{x}\) , \(\mathrm{y}\) , \(\mathrm{z}\) with \(\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + \mathrm{z}^{2} = 1\) . | Answer: min \(\sqrt{3}\) when all equal.
Let us consider \(\mathrm{z}\) to be fixed and focus on \(\mathrm{x}\) and \(\mathrm{y}\) . Put \(\mathrm{f(x,y,z) = xy / z + yz / x + zx / y}\) . We have \(\mathrm{f(x,y,z) = p / z + z(1 - z^{2}) / p = (p + k^{2} / p) / z}\) , where \(\mathrm{p} = \mathrm{xy}\) , and \(\mathr... | {
"problem_match": "# Problem 18",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 81 | 880 |
1988 | T1 | 19 | null | AllSovietUnion | A polygonal line connects two opposite vertices of a cube with side 2. Each segment of the line has length 3 and each vertex lies on the faces (or edges) of the cube. What is the smallest number of segments the line can have?
Answer 6 | 
Suppose one endpoint of a segment length 3 is at A. Evidently the other end could be at the edge midpoints B, C, D. It could also be on the circular arc connecting B and C (with center O and radius \(\sqrt{5}\) ). Similarly, it could be on ... | {
"problem_match": "# Problem 19",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 56 | 824 |
1988 | T1 | 20 | null | AllSovietUnion | Let m, n, k be positive integers with \(\mathrm{m} \geq \mathrm{n}\) and \(1 + 2 + \ldots + \mathrm{n} = \mathrm{mk}\) . Prove that the numbers 1, 2, ..., n can be divided into k groups in such a way that the sum of the numbers in each group equals m. | Induction on n, then m. For \(\mathrm{n} = 1\) , 2 there is nothing to prove. Assume the result is proved for \(< \mathrm{n}\) and consider the case n. If n is odd, we have \(\mathrm{n} = \mathrm{n} - 1 + 1 = \mathrm{n} - 2 + 2 = \ldots = (\mathrm{n} + 1) / 2 + (\mathrm{n} - 1) / 2\) , so the result is true for \(\math... | {
"problem_match": "# Problem 20",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 82 | 1,077 |
1991 | T1 | 11 | null | AllSovietUnion | The numbers 1, 2, 3, ..., n are written on a blackboard (where \(\mathrm{n} \geq 3\) ). A move is to replace two numbers by their sum and non- negative difference. A series of moves makes all the numbers equal k. Find all possible k.
Answer all powers of \(2 \geq \mathrm{n}\) | If a prime p divides \(\mathrm{a} + \mathrm{b}\) and a- b, then it divides 2a and 2b, so if p is odd, it divides a and b. Thus if an odd prime p divides k, then it must divide all the original numbers including 1. So k must be a power of 2. Note that \(\mathrm{k}, \mathrm{k} \rightarrow 0, 2\mathrm{k} \rightarrow 2\mat... | {
"problem_match": "# Problem 11",
"resource_path": "SovietUnion/segmented/en-ASU-1961-1991.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 80 | 1,591 |
2010 | T3 | 5 | null | USAJMO | Two permutations $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2010}$ and $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2010}$ of the numbers $1,2, \ldots, 2010$ are said to intersect if $a_{k}=b_{k}$ for some value of $k$ in the range $1 \leq k \leq 2010$. Show that there exist 1006 permutations of the numbers $1,2, \ldots, 2010$ such that any other such pe... | A valid choice is the following 1006 permutations: | 1 | 2 | 3 | $\cdots$ | 1004 | 1005 | 1006 | 1007 | 1008 | $\cdots$ | 2009 | 2010 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 2 | 3 | 4 | $\cdots$ | 1005 | 1006 | 1 | 1007 | 1008 | $\cdots$ | 2009 | 2010 | | 3 ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2010-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 150 | 633 |
2011 | T3 | 3 | null | USAJMO | For a point $P=\left(a, a^{2}\right)$ in the coordinate plane, let $\ell(P)$ denote the line passing through $P$ with slope $2 a$. Consider the set of triangles with vertices of the form $P_{1}=\left(a_{1}, a_{1}^{2}\right), P_{2}=\left(a_{2}, a_{2}^{2}\right), P_{3}=\left(a_{3}, a_{3}^{2}\right)$, such that the inters... | The answer is the line $y=-1 / 4$. I did not find this problem inspiring, so I will not write out most of the boring calculations since most solutions are just going to be "use Cartesian coordinates and grind all the way through". The "nice" form of the main claim is as follows (which is certainly overkill for the pres... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2011-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 183 | 731 |
2012 | T3 | 2 | null | USAJMO | Find all integers $n \geq 3$ such that among any $n$ positive real numbers $a_{1}, a_{2}, \ldots$, $a_{n}$ with $$ \max \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) \leq n \cdot \min \left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right), $$ there exist three that are the side lengths of an acute triangle. | The answer is all $n \geq 13$. Define $\left(F_{n}\right)$ as the sequence of Fibonacci numbers, by $F_{1}=F_{2}=1$ and $F_{n+1}=$ $F_{n}+F_{n-1}$. We will find that Fibonacci numbers show up naturally when we work through the main proof, so we will isolate the following calculation now to make the subsequent solution ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2012-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 107 | 964 |
2012 | T3 | 3 | null | USAJMO | For $a, b, c>0$ prove that $$ \frac{a^{3}+3 b^{3}}{5 a+b}+\frac{b^{3}+3 c^{3}}{5 b+c}+\frac{c^{3}+3 a^{3}}{5 c+a} \geq \frac{2}{3}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) $$ | đ Cauchy-Schwarz approach. The main magical claim is: Claim - We have $$ \frac{a^{3}+3 b^{3}}{5 a+b} \geq \frac{25}{36} b^{2}-\frac{1}{36} a^{2} $$ $$ \frac{x^{3}+3}{5 x+1} \geq \frac{25-x^{2}}{36} $$ However, $$ \begin{aligned} 36\left(x^{3}+3\right)-(5 x+1)\left(25-x^{2}\right) & =41 x^{3}+x^{2}-125 x+83 \\ & =(x-1)^... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2012-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 96 | 521 |
2012 | T3 | 6 | null | USAJMO | Let $P$ be a point in the plane of $\triangle A B C$, and $\gamma$ a line through $P$. Let $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ be the points where the reflections of lines $P A, P B, P C$ with respect to $\gamma$ intersect lines $B C, C A, A B$ respectively. Prove that $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ are collinea... | 【 First solution (complex numbers). Let $p=0$ and set $\gamma$ as the real line. Then $A^{\prime}$ is the intersection of $b c$ and $p \bar{a}$. So, we get $$ a^{\prime}=\frac{\bar{a}(\bar{b} c-b \bar{c})}{(\bar{b}-\bar{c}) \bar{a}-(b-c) a} . $$ Note that $$ \bar{a}^{\prime}=\frac{a(b \bar{c}-\bar{b} c)}{(b-c) a-(\bar{... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2012-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 105 | 558 |
2014 | T3 | 2 | null | USAJMO | Let $\triangle A B C$ be a non-equilateral, acute triangle with $\angle A=60^{\circ}$, and let $O$ and $H$ denote the circumcenter and orthocenter of $\triangle A B C$, respectively. (a) Prove that line $O H$ intersects both segments $A B$ and $A C$ at two points $P$ and $Q$, respectively. (b) Denote by $s$ and $t$ the... | We begin with some synthetic work. Let $I$ denote the incenter, and recall ("fact 5") that the arc midpoint $M$ is the center of $(B I C)$, which we denote by $\gamma$. Now we have that $$ \angle B O C=\angle B I C=\angle B H C=120^{\circ} . $$ Since all three centers lie inside $A B C$ (as it was acute), and hence on ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2014-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 132 | 567 |
2014 | T3 | 3 | null | USAJMO | Find all $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ such that $$ x f(2 f(y)-x)+y^{2} f(2 x-f(y))=\frac{f(x)^{2}}{x}+f(y f(y)) $$ for all $x, y \in \mathbb{Z}$ such that $x \neq 0$. | The answer is $f(x) \equiv 0$ and $f(x) \equiv x^{2}$. Check that these work. $$ x f(2 f(0)-x)=\frac{f(x)^{2}}{x}+f(0) . $$ The nicest part of the problem is the following step: $$ \text { Claim - We have } f(0)=0 $$ $$ f(0)=0 $$ Claim - We have $f(x) \in\left\{0, x^{2}\right\}$ for each individual $x$. $$ x^{2} f(-x)=... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2014-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 87 | 775 |
2015 | T3 | 1 | null | USAJMO | Given a sequence of real numbers, a move consists of choosing two terms and replacing each with their arithmetic mean. Show that there exists a sequence of 2015 distinct real numbers such that after one initial move is applied to the sequence - no matter what move - there is always a way to continue with a finite seque... | One valid example of a sequence is $0,1, \ldots, 2014$. We will show how to achieve the all-1007 sequence based on the first move. Say two numbers are opposites if their average is 1007 . We consider 1007 as its own opposite. We consider two cases: - First, suppose the first initial move did not involve the number 1007... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2015-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 78 | 897 |
2015 | T3 | 6 | null | USAJMO | Steve is piling $m \geq 1$ indistinguishable stones on the squares of an $n \times n$ grid. Each square can have an arbitrarily high pile of stones. After he finished piling his stones in some manner, he can then perform stone moves, defined as follows. Consider any four grid squares, which are corners of a rectangle, ... | The answer is $\binom{m+n-1}{n-1}^{2}$. The main observation is that the ordered sequence of column counts (i.e. the number of stones in the first, second, etc. column) is invariant under stone moves, as does the analogous sequence of row counts. 【 Definitions. Call these numbers $\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}\righ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2015-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 244 | 785 |
2016 | T3 | 3 | null | USAJMO | Let $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{100}$ be a sequence of mutually distinct nonempty subsets of a set $S$. Any two sets $X_{i}$ and $X_{i+1}$ are disjoint and their union is not the whole set $S$, that is, $X_{i} \cap X_{i+1}=\emptyset$ and $X_{i} \cup X_{i+1} \neq S$, for all $i \in\{1, \ldots, 99\}$. Find the smallest pos... | Solution with Danielle Wang: the answer is that $|S| \geq 8$. To see that $|S|=8$ is the minimum possible size, consider a chain on the set $S=$ $\{1,2, \ldots, 7\}$ satisfying $X_{i} \cap X_{i+1}=\emptyset$ and $X_{i} \cup X_{i+1} \neq S$. Because of these requirements any subset of size 4 or more can only be neighbor... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2016-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 134 | 1,486 |
2016 | T3 | 5 | null | USAJMO | Let $\triangle A B C$ be an acute triangle, with $O$ as its circumcenter. Point $H$ is the foot of the perpendicular from $A$ to line $B C$, and points $P$ and $Q$ are the feet of the perpendiculars from $H$ to the lines $A B$ and $A C$, respectively. Given that $$ A H^{2}=2 A O^{2} $$ prove that the points $O, P$, a... | ब Second approach (coordinates), with Joshua Hsieh. We impose coordinates with $H$ at the origin and $A=(0, a), B=(-b, 0), C=(c, 0)$, for $a, b, c>0$. Claim - The circumcenter has coordinates $\left(\frac{c-b}{2}, \frac{a}{2}-\frac{b c}{2 a}\right)$. - By power of a point, the second intersection of line $A H$ with the... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2016-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 109 | 1,174 |
2016 | T3 | 6 | null | USAJMO | Find all functions $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ such that for all real numbers $x$ and $y$, $$ (f(x)+x y) \cdot f(x-3 y)+(f(y)+x y) \cdot f(3 x-y)=(f(x+y))^{2} . $$ | We claim that the only two functions satisfying the requirements are $f(x) \equiv 0$ and $f(x) \equiv x^{2}$. These work. First, taking $x=y=0$ in the given yields $f(0)=0$, and then taking $x=0$ gives $f(y) f(-y)=f(y)^{2}$. So also $f(-y)^{2}=f(y) f(-y)$, from which we conclude $f$ is even. Then taking $x=-y$ gives $$... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2016-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 73 | 762 |
2017 | T3 | 2 | null | USAJMO | Show that the Diophantine equation $$ \left(3 x^{3}+x y^{2}\right)\left(x^{2} y+3 y^{3}\right)=(x-y)^{7} $$ has infinitely many solutions in positive integers, and characterize all the solutions. | Show that the Diophantine equation $$ \left(3 x^{3}+x y^{2}\right)\left(x^{2} y+3 y^{3}\right)=(x-y)^{7} $$ Let $x=d a, y=d b$, where $\operatorname{gcd}(a, b)=1$ and $a>b$. The equation is equivalent to $$ (a-b)^{7} \mid a b\left(a^{2}+3 b^{2}\right)\left(3 a^{2}+b^{2}\right) $$ with the ratio of the two becoming $d$.... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2017-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 61 | 616 |
2017 | T3 | 4 | null | USAJMO | Are there any triples $(a, b, c)$ of positive integers such that $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ is a prime number that properly divides the positive number $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b c-2017$ ? | $ No such $(a, b, c)$. Assume not. Let $x=a-2, y=b-2, z=c-2$, hence $x, y, z \geq-1$. $$ \begin{aligned} a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b c-2017 & =(x+2)^{2}+(y+2)^{2}+(z+2)^{2} \\ & +(x+2)(y+2)(z+2)-2017 \\ & =(x+y+z+4)^{2}+(x y z+12)-45^{2} \end{aligned} $$ Thus the divisibility relation becomes $$ p=x y z+12 \mid(x+y+z+4)^{2}-... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2017-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 68 | 908 |
2019 | T3 | 1 | null | USAJMO | There are $a+b$ bowls arranged in a row, numbered 1 through $a+b$, where $a$ and $b$ are given positive integers. Initially, each of the first $a$ bowls contains an apple, and each of the last $b$ bowls contains a pear. A legal move consists of moving an apple from bowl $i$ to bowl $i+1$ and a pear from bowl $j$ to bow... | First we show that if $a b$ is even then the goal is possible. We prove the result by induction on $a+b$. - If $\min (a, b)=0$ there is nothing to check. - If $\min (a, b)=1$, say $a=1$, then $b$ is even, and we can swap the (only) leftmost apple with the rightmost pear by working only with those fruits. - Now assume $... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2019-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 166 | 618 |
2019 | T3 | 2 | null | USAJMO | For which pairs of integers $(a, b)$ do there exist functions $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ and $g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ obeying $$ f(g(x))=x+a \quad \text { and } \quad g(f(x))=x+b $$ for all integers $x$ ? | The answer is if $a=b$ or $a=-b$. In the former case, one can take $f(x) \equiv x+a$ and $g(x) \equiv x$. In the latter case, one can take $f(x) \equiv-x+a$ and $g(x)=-x$. Now we prove these are the only possibilities. First: Claim - The functions $f$ and $g$ are bijections. Note also that for any $x$, we have $$ \begi... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2019-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 85 | 802 |
2019 | T3 | 4 | null | USAJMO | Let $A B C$ be a triangle with $\angle B>90^{\circ}$ and let $E$ and $F$ be the feet of the altitudes from $B$ and $C$. Can line $E F$ be tangent to the $A$-excircle? | We show it is not possible, by contradiction (assuming $E F$ is indeed tangent). Thus $B E C F$ is a convex cyclic quadrilateral inscribed in a circle with diameter $\overline{B C}$. Note also that the $A$-excircle lies on the opposite side from $A$ as line $E F$, since $A, E, C$ are collinear in that order. 【 Seventh ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2019-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 61 | 966 |
2019 | T3 | 5 | null | USAJMO | Let $n$ be a nonnegative integer. Determine the number of ways to choose sets $S_{i j} \subseteq\{1,2, \ldots, 2 n\}$, for all $0 \leq i \leq n$ and $0 \leq j \leq n$ (not necessarily distinct), such that - $\left|S_{i j}\right|=i+j$, and - $S_{i j} \subseteq S_{k l}$ if $0 \leq i \leq k \leq n$ and $0 \leq j \leq l \... | The answer is $(2 n)!\cdot 2^{n^{2}}$. First, we note that $\varnothing=S_{00} \subsetneq S_{01} \subsetneq \cdots \subsetneq S_{n n}=\{1, \ldots, 2 n\}$ and thus multiplying by (2n)! we may as well assume $S_{0 i}=\{1, \ldots, i\}$ and $S_{i n}=\{1, \ldots, n+i\}$. We illustrate this situation by placing the sets in a... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2019-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 136 | 674 |
2020 | T3 | 3 | null | USAJMO | An empty $2020 \times 2020 \times 2020$ cube is given, and a $2020 \times 2020$ grid of square unit cells is drawn on each of its six faces. A beam is a $1 \times 1 \times 2020$ rectangular prism. Several beams are placed inside the cube subject to the following conditions: - The two $1 \times 1$ faces of each beam co... | \I Answer. 3030 beams. 【 Construction. We first give a construction with $3 n / 2$ beams for any $n \times n \times n$ box, where $n$ is an even integer. Shown below is the construction for $n=6$, which generalizes. (The left figure shows the cube in 3 d ; the right figure shows a direct view of the three visible faces... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2020-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 205 | 708 |
2021 | T3 | 4 | null | USAJMO | Carina has three pins, labeled $A, B$, and $C$, respectively, located at the origin of the coordinate plane. In a move, Carina may move a pin to an adjacent lattice point at distance 1 away. What is the least number of moves that Carina can make in order for triangle $A B C$ to have area 2021? | The answer is 128 . Define the bounding box of triangle $A B C$ to be the smallest axis-parallel rectangle which contains all three of the vertices $A, B, C$. ## Lemma The area of a triangle $A B C$ is at most half the area of the bounding box. So, suppose the bounding box is $A X Y Z$. Imagine fixing $C$ and varying $... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2021-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 78 | 512 |
2022 | T3 | 3 | null | USAJMO | Let $b \geq 2$ and $w \geq 2$ be fixed integers, and $n=b+w$. Given are $2 b$ identical black rods and $2 w$ identical white rods, each of side length 1. We assemble a regular $2 n$-gon using these rods so that parallel sides are the same color. Then, a convex $2 b$-gon $B$ is formed by translating the black rods, and... | We are going to prove that one may swap a black rod with an adjacent white rod (as well as the rods parallel to them) without affecting the difference in the areas of $B-W$. Let $\vec{u}$ and $\vec{v}$ denote the originally black and white vectors that were adjacent on the $2 n$-gon and are now going to be swapped. Let... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2022-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 270 | 515 |
2022 | T3 | 4 | null | USAJMO | Let $A B C D$ be a rhombus, and let $K$ and $L$ be points such that $K$ lies inside the rhombus, $L$ lies outside the rhombus, and $K A=K B=L C=L D$. Prove that there exist points $X$ and $Y$ on lines $A C$ and $B D$ such that $K X L Y$ is also a rhombus. | To start, notice that $\triangle A K B \cong \triangle D L C$ by SSS. Then by the condition $K$ lies inside the rhombus while $L$ lies outside it, we find that the two congruent triangles are just translations of each other (i.e. they have the same orientation). 【 Second solution (author's solution). In this solution, ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2022-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 97 | 646 |
2022 | T3 | 6 | null | USAJMO | Let $a_{0}, b_{0}, c_{0}$ be complex numbers, and define $$ \begin{aligned} a_{n+1} & =a_{n}^{2}+2 b_{n} c_{n} \\ b_{n+1} & =b_{n}^{2}+2 c_{n} a_{n} \\ c_{n+1} & =c_{n}^{2}+2 a_{n} b_{n} \end{aligned} $$ for all nonnegative integers $n$. Suppose that $\max \left\{\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|,\left|c_{n}\righ... | For brevity, set $s_{n}:=\left|a_{n}\right|^{2}+\left|b_{n}\right|^{2}+\left|c_{n}\right|^{2}$. Note that the $s_{n}$ are real numbers. Claim (Key miraculous identity) - We have $$ s_{n+1}-s_{n}^{2}=2\left|a_{n} \overline{b_{n}}+b_{n} \overline{c_{n}}+c_{n} \overline{a_{n}}\right|^{2} $$ $$ \begin{aligned} s_{n+1} & =\... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2022-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 222 | 1,208 |
2023 | T3 | 2 | null | USAJMO | In an acute triangle $A B C$, let $M$ be the midpoint of $\overline{B C}$. Let $P$ be the foot of the perpendicular from $C$ to $A M$. Suppose that the circumcircle of triangle $A B P$ intersects line $B C$ at two distinct points $B$ and $Q$. Let $N$ be the midpoint of $\overline{A Q}$. Prove that $N B=N C$. | \I III-advised barycentric approach (outline). Use reference triangle $A B C$. The $A$ median is parametrized by $(t: 1: 1)$ for $t \in \mathbb{R}$. So because of $\overline{C P} \perp \overline{A M}$, we are looking for $t$ such that $$ \left(\frac{t \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{t+2}-\vec{C}\right) \perp\left(A-\frac{\vec... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2023-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 98 | 1,063 |
2023 | T3 | 4 | null | USAJMO | Two players, Blake and Ruby, play the following game on an infinite grid of unit squares, all initially colored white. The players take turns starting with Blake. On Blake's turn, Blake selects one white unit square and colors it blue. On Ruby's turn, Ruby selects two white unit squares and colors them red. The players... | The answer is 4 squares. ब Algorithm for Blake to obtain at least 4 squares. We simply let Blake start with any cell blue, then always draw adjacent to a previously drawn blue cell until this is no longer possible. Note that for $n \leq 3$, any connected region of $n$ blue cells has more than $2 n$ liberties (non-blue ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2023-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 118 | 666 |
2024 | T3 | 3 | null | USAJMO | A sequence $a_{1}, a_{2}, \ldots$ of positive integers is defined recursively by $a_{1}=2$ and $$ a_{n+1}=a_{n}^{n+1}-1 \quad \text { for } n \geq 1 $$ Prove that for every odd prime $p$ and integer $k$, some term of the sequence is divisible by $p^{k}$. | We start with the following. Claim - Assume $n$ is a positive integer divisible by $p-1$. Then either $a_{n-1} \equiv 0$ $(\bmod p)$ or $a_{n} \equiv 0(\bmod p)$. $$ a_{n}=a_{n-1}^{n}-1 \equiv x^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) $$ where $x:=a_{n-1}^{\frac{n}{p-1}}$ is an integer not divisible by $p$. Claim - If $n \geq ... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2024-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 92 | 775 |
2024 | T3 | 6 | null | USAJMO | Point $D$ is selected inside acute triangle $A B C$ so that $\angle D A C=\angle A C B$ and $\angle B D C=90^{\circ}+\angle B A C$. Point $E$ is chosen on ray $B D$ so that $A E=E C$. Let $M$ be the midpoint of $B C$. Show that line $A B$ is tangent to the circumcircle of triangle $B E M$. | ब The author's original solution. Complete isosceles trapezoid $A B Q C$ (so $D \in \overline{A Q}$ ). Reflect $B$ across $E$ to point $F$. Claim - We have $D Q C F$ is cyclic. $$ \begin{aligned} \measuredangle F D C & =-\measuredangle C D B=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\measuredangle C A B\right)=90^{\circ}-\measureda... | {
"problem_match": null,
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2024-notes.jsonl",
"solution_match": null
} | 98 | 624 |
2025 | T3 | 3 | null | USAJMO | Let \(m\) and \(n\) be positive integers, and let \(\mathcal{R}\) be a \(2m\times 2n\) grid of unit squares. A domino is a \(1\times 2\) or \(2\times 1\) rectangle. An up-right path is a path from the lower-left corner of \(\mathcal{R}\) to the upper-right corner of \(\mathcal{R}\) formed by exactly \(2m + 2n\) edges o... | Let.
Apply the usual black/white checkerboard coloring. We define a staircase to be the below above an up- right path (equivalently, a Young diagram rotated \(180^{\circ}\) ).
The proof is composed of two steps. One is rewriting the "domino- tileable" condition to one that is actually usable; the other is the count... | {
"problem_match": "3. ",
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2025-notes.jsonl",
"solution_match": "## \\(\\S 1.3\\) JMO 2025/3, proposed by Wilbert Chu \n"
} | 159 | 1,376 |
2025 | T3 | 6 | null | USAJMO | Let \(S\) be a set of integers with the following properties:
\(\{1,2,\ldots ,2025\} \subseteq S.\) If \(a,b\in S\) and \(\gcd (a,b) = 1\) , then \(a b\in S\) If \(s + 1\) is composite for some \(s\in S\) , then all positive divisors of \(s + 1\) are in \(S\) Prove that \(S\) contains all positive integers. | Let \rs.
We prove by induction on \(N\) that \(S\) contains \(\{1,\ldots ,N\}\) with the base cases being \(N = 1,\ldots ,2025\) already given.
For the inductive step, to show \(N + 1\in S\)
If \(N + 1\) is composite we're already done from the third bullet.
Otherwise, assume \(N + 1 = p\geq 2025\) is an (odd) ... | {
"problem_match": "6. ",
"resource_path": "USAJMO/segmented/en-JMO-2025-notes.jsonl",
"solution_match": "## \\(\\S 2.3\\) JMO 2025/6, proposed by Enrique Treviño \n"
} | 111 | 1,144 |
1974 | T1 | 1 | null | USAMO | $p(x)$ is a polynomial with integral coefficients. Show that there are no solutions to the equations $p(a)=b$, $\mathrm{p}(\mathrm{b})=\mathrm{c}, \mathrm{p}(\mathrm{c})=\mathrm{a}$, with $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ distinct integers. | Suppose there $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ satisfy the equations. Then $\mathrm{p}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a}) \mathrm{q}(\mathrm{x})+\mathrm{b}=(\mathrm{x}-\mathrm{b}) \mathrm{r}(\mathrm{x})+\mathrm{c}=(\mathrm{x}-\mathrm{c}) \mathrm{s}(\mathrm{x})+\mathrm{a}$ for some polynomials $q(x), r(x), s(x)$ wi... | {
"problem_match": "# Problem 1",
"resource_path": "USAMO/segmented/en-USAMO-1972-2003.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 75 | 505 |
1974 | T1 | 4 | null | USAMO | A, B, C play a series of games. Each game is between two players, The next game is between the winner and the person who was not playing. The series continues until one player has won two games. He wins the series. A is the weakest player, C the strongest. Each player has a fixed probability of winning against a given ... | It must be wrong to choose $\mathrm{B}$ against $\mathrm{C}$, for then after the first game (whatever its outcome) A would be playing one of the other players $(\mathrm{X})$, and that player would already have won a game. That is a worse position than playing that person as the first game, because if he loses the game ... | {
"problem_match": "# Problem 4",
"resource_path": "USAMO/segmented/en-USAMO-1972-2003.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 91 | 569 |
1974 | T1 | 5 | null | USAMO | A point inside an equilateral triangle with side 1 is a distance $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ from the vertices. The triangle $\mathrm{ABC}$ has $\mathrm{BC}=\mathrm{a}, \mathrm{CA}=\mathrm{b}, \mathrm{AB}=\mathrm{c}$. The sides subtend equal angles at a point inside it. Show that sum of the distances of the po... | Let $\mathrm{D}$ be the point inside $\mathrm{ABC}$, so that $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=120^{\circ}$. The key is to start from $\mathrm{ABC}$ and to rotate the triangle $\mathrm{BDC}$ through $60^{\circ}$ away from the triangle $\mathrm{ADB}$. After that everything is routine.
Suppose $\mathrm{D}$ goes t... | {
"problem_match": "# Problem 5",
"resource_path": "USAMO/segmented/en-USAMO-1972-2003.jsonl",
"solution_match": "# Solution"
} | 100 | 712 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.