Q stringlengths 4 3.96k | A stringlengths 1 3k | Result stringclasses 4
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Proposition 2.2.12. 令 \( {OP} \) 分别交 \( {BC},{CA},{AB} \) 於 \( D, E, F \) ,則\n\n\[ \measuredangle {ATD} = \measuredangle {BTE} = \measuredangle {CTF} = {90}^{ \circ }.\] | Proof. 同樣令 \( T \) 關於平行於 \( {BC} \) 的中位線的對稱點為 \( {T}^{\prime } \) ,則 \( {T}^{\prime } \) 為 \( A \) 關於 \( {OP} \) 的垂足,所以 \( {T}^{\prime } \in \odot \left( \overline{AD}\right) \) ,由 \( \overline{AD} \) 中點位於平行於 \( {BC} \) 的中位線上知 \( T \in \odot \left( \overline{AD}\right) \) , 同理有 \( T \in \odot \left( \overline{BE}\right... | Yes |
Corollary 2.2.15. 令 \( K \) 为一条直線, \( \bigtriangleup {K}_{a}{K}_{b}{K}_{c} \) 为 \( K \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的反西瓦三角形,若 \( {M}_{a}{M}_{b}{M}_{c} \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的中點三角形,則\n\n\[ K,{K}_{a},{K}_{b},{K}_{c},{M}_{b}{M}_{c},{M}_{c}{M}_{a},{M}_{a}{M}_{b} \]\n\n七線切一拋物線。 | 證明就取其中一線為無窮遠線即可。直接套在 \( K \) 為 \( \bigtriangleup {ABC} \) 與 \( \bigtriangleup {DEF} \) 的透視軸就有： | Yes |
Proposition 2.2.19. 令 \( \varphi \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的點等共軛變換,且 \( P \) 為 \( \varphi \) 的不動點, 那麼對於任意過 \( A, B, C, P \) 的 (非退化) 圓錐曲線 \( \mathcal{C},{T}_{P}\mathcal{C} = \varphi \left( \mathcal{C}\right) \) 。 | Proof. 假設 \( \varphi \left( \mathcal{C}\right) \) 不与 \( \mathcal{C} \) 相切,則有另一個交點 \( Q \neq P \) ,那麼\n\n\[ \varphi \left( Q\right) \in \varphi \left( {\mathcal{C} \cap \varphi \left( \mathcal{C}\right) }\right) \subset \varphi \left( \mathcal{C}\right) \cap \mathcal{C} = \{ P, Q\} \]\n\n但 \( \varphi \left( P\right) = P... | Yes |
Corollary 2.2.20. 令 \( L \) 为 \( H \) 關於 \( O \) 的對稱點,即 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 de Longchamps Point，則 \( I,{Ge}, L \) 共線。 | Proof. 注意到 \( I,{Na}, G \) 共線,所以有\n\n\[\nI\left( {H, O;G, L}\right) = - 1 = {\left( H, I;Na, Ge\right) }_{{\mathcal{H}}_{Fe}} = I\left( {H, O;G,{IGe} \cap \mathcal{E}}\right) ,\n\]\n因此 \( I,{Ge}, L \) 共線。 | Yes |
Proposition 2.3.2. 我們有\n\n(i) \( \measuredangle B{F}_{1}C = \measuredangle C{F}_{1}A = \measuredangle A{F}_{1}B = {120}^{ \circ } \) ,\n\n(ii) \( \measuredangle B{F}_{2}C = \measuredangle C{F}_{2}A = \measuredangle A{F}_{2}B = {60}^{ \circ } \) 。\n\n因此 \( {F}_{i} \in \bigcap \odot \left( {{A}_{i}{BC}}\right) \) 。 | Proof. 注意到 \( \bigtriangleup {BA}{B}_{i}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {C}_{i}{AC} \) ,因此\n\n\[ \measuredangle B{F}_{i}C = \measuredangle \left( {B{B}_{i}, C{C}_{i}}\right) = \measuredangle {B}_{i}{AC} = - i \cdot {60}^{ \circ } \]\n\n而最後的命題則為顯然。 | Yes |
Corollary 2.3.3 (Kiepert’s). 五點 \( A, B, C,{F}_{1},{F}_{2} \) 共等軸雙曲線 \( {\mathcal{H}}_{K} \) ,且 \( \overline{{F}_{1}{F}_{2}} \) 为 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 的直径。 | Proof. 注意到 \( \measuredangle B{F}_{1}C + \measuredangle B{F}_{2}C = {0}^{ \circ } \) 及其輪換式,所以 \( {F}_{1},{F}_{2} \) 为關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 antigonal conjugate, 再由 (2.1.14) 知原命題成立。 | No |
Proposition 2.3.5. 等力點 \( {S}_{i} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的佩多三角形為正三角形。 | Proof. 令 \( \bigtriangleup {S}_{ia}{S}_{ib}{S}_{ic} \) 为 \( {S}_{i} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的佩多三角形,則\n\n\[ \measuredangle {S}_{ib}{S}_{ia}{S}_{ic} = \measuredangle \left( { \bot C{F}_{i}, \bot B{F}_{i}}\right) = i \cdot {60}^{ \circ } \]\n\n,同理有 \( \measuredangle {S}_{ic}{S}_{ib}{S}_{ia} = \measuredangle {S}_{... | Yes |
Proposition 2.3.6. 等力點們 \( {S}_{1},{S}_{2} \) 为 \( A, B, C \) -阿波羅尼奥斯圆的兩個交點。 | Proof. 令 \( {\Gamma }_{A},{\Gamma }_{B},{\Gamma }_{C} \) 分别为 \( A, B, C \) -阿波羅尼奥斯圆, \( \bigtriangleup {S}_{ia}{S}_{ib}{S}_{ic} \) 为 \( {S}_{i} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的佩多三角形，則\n\n\[ \overline{B{S}_{i}} : \overline{{S}_{i}C} = \frac{\overline{{S}_{ic}{S}_{ia}}}{\sin \angle {CBA}} : \frac{\overline{{S}_{ia}{S}_... | Yes |
Corollary 2.3.7. \( {S}_{1}{S}_{2} = {OK} \) 且 \( \left( {{S}_{1},{S}_{2};O, K}\right) = - 1 \) ,其中 \( O, K \) 分别为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外心、共軛重心。 | Proof. 令 \( {\Gamma }_{A},{\Gamma }_{B},{\Gamma }_{C} \) 分别为 \( A, B, C \) -阿波羅尼奥斯圆,注意到 \( {\Gamma }_{A},{\Gamma }_{B},{\Gamma }_{C} \) 分别與 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 正交，故\n\n\[ \n{AK} = {\mathfrak{p}}_{{\Gamma }_{A}}\left( O\right) ,{BK} = {\mathfrak{p}}_{{\Gamma }_{B}}\left( O\right) ,{CK} = {\mathfrak{p}}_{{\Ga... | Yes |
Proposition 2.3.10. 對於任意 \( \theta \) ,我們有 \( {\left( {K}_{\theta },{K}_{-\theta };H, G\right) }_{{\mathcal{H}}_{K}} = - 1 \) 。 | Proof. 注意到 \( {A}_{0} \) 为 \( \overline{BC} \) 中點,所以是 \( \overline{{A}_{\theta }{A}_{-\theta }} \) 中點, \( {A}_{{90}^{ \circ }} = {\infty }_{ \bot {BC}} \) ,所以\n\n\[ \n{\left( {K}_{\theta },{K}_{-\theta };H, G\right) }_{{\mathcal{H}}_{K}} \triangleq \left( {{A}_{\theta },{A}_{-\theta };{A}_{0},{A}_{{90}^{ \circ }}}\righ... | Yes |
Corollary 2.3.11. \( {F}_{1}{F}_{2} \) 平分 \( \overline{GH} \) 。 | Proof. 由於 \( {F}_{1}H{F}_{2}G \) 为 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 上的調和四邊形,所以\n\n\[ \n{\mathfrak{p}}_{{\mathcal{H}}_{K}}\left( {GH}\right) = {T}_{G}{\mathcal{H}}_{K} \cap {T}_{H}{\mathcal{H}}_{K} \in {F}_{1}{F}_{2} \n\] \n\n又 \( {F}_{1}{F}_{2} \) 經過 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 的中心，所以由 (1.1.14) 知 \( {F}_{1}{F}_{2} \) 平分 \( \overlin... | Yes |
Proposition 2.3.12. 令 \( \theta \in \lbrack - \pi /2,\pi /2) \) ,我们有\n\n\[ t\left( {A}_{\theta }\right) = t\left( {B}_{\theta }\right) = t\left( {C}_{\theta }\right) = - \frac{1}{2\cos {2\theta }}. \] | Proof. 由對稱性知只需證明 \( {A}_{\theta } \) 的情况。令 \( \bigtriangleup {O}_{a}{O}_{b}{O}_{c} \) 为 \( {A}_{\theta } \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的卡諾三角形, \( \bigtriangleup {O}_{A}{O}_{B}{O}_{C} \) 为 \( \bigtriangleup {O}_{a}{O}_{b}{O}_{c} \) 關於 \( {A}_{\theta } \) 位似 \( - 2\cos {2\theta } \) 下的像,那麼 \( {O}_{A} \) 为 \( \bigtrian... | Yes |
Theorem 2.3.13. 同 (2.3.9) 中的標號，我們有\n\n\[ t\left( {K}_{\theta }\right) = - \frac{1}{2\cos {2\theta }} \] | Proof. 令 \( {t}_{0} = - {\left( 2\cos 2\theta \right) }^{-1}, T \in \mathcal{E} \) 满足 \( t\left( T\right) = {t}_{0} \) ,那麼我們有 \( T \in {B}_{\theta }{B}_{\theta }^{ * } \cap \) \( {C}_{\theta }{C}_{\theta }^{ * } \) ,注意到 \( \bigtriangleup B{B}_{\theta }^{ * }{C}_{\theta } \) 与 \( \bigtriangleup C{C}_{\theta }^{ * }{B}_{... | Yes |
對於任意角度 \( \alpha ,\beta ,\gamma ,{K}_{\alpha },{K}_{\beta },{K}_{\gamma }^{ * } \) 共線若且唯若\n\n\[ \alpha + \beta + \gamma = 0. \] | Proof. 令 \( A{K}_{\alpha }^{ * } \) 交 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 於 \( {K}_{{\alpha }_{A}} \) ,那麼 \( {\alpha }_{A} + \alpha = \measuredangle {BAC} \) 。同 (2.3.13) 的證明可得 \( {K}_{\alpha }{K}_{{\alpha }_{A}} \cap {K}_{\alpha }^{ * }{K}_{{\alpha }_{A}}^{ * } = {K}_{\alpha }{K}_{{\alpha }_{A}} \cap {OK} \in {BC} \) 。我們類似定義 \( {\... | Yes |
Corollary 2.3.15. \( {K}_{\theta }{K}_{-{2\theta }}^{ * } \) 与 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 相切。 | Proof. 取 \( \alpha = \beta = \theta ,\gamma = - {2\theta } \) 。 | No |
Theorem 2.3.17 (Kiepert 双曲線基本性質). 令 \( N \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的九點圓圓心, \( {T}_{\theta } = \mathcal{E} \cap {K}_{\theta }{K}_{\theta }^{ * },{P}_{\theta } \mathrel{\text{:=}} {K}_{\theta }{K}_{-{2\theta }}^{ * } \cap {K}_{-\theta }{K}_{2\theta }^{ * } \) ,對於任意 \( \theta \) ,我們有:\n\n(i) \( G = {K}_{\theta }{K}_... | Proof. 我們依序證明命題 (i), (ii), (iii), (iv), (v)。\n\n(i) 在 (2.3.14) 中取 \( \alpha = 0,\beta = \pm \theta \) ,那麼 \( G \in {K}_{\theta }{K}_{-\theta }^{ * } \cap {K}_{\theta }^{ * }{K}_{-\theta } \) 。\n\n(ii) 在 (2.3.14) 中取 \( \alpha = \pm \theta ,\beta = \mp \theta \) ,那麼 \( K \in {K}_{\theta }{K}_{-\theta } \cap {K}_{\theta }... | Yes |
Example 2.3.18 (等角等力基本性質). 取 \( \theta = \pm {60}^{ \circ } \) ,结合前面的性質,我們有：\n\n(i) \( G = {F}_{1}{S}_{2} \cap {F}_{2}{S}_{1}, K = {F}_{1}{F}_{2} \cap {S}_{1}{S}_{2},{F}_{1}{S}_{1}\begin{Vmatrix}{{F}_{2}{S}_{2}}\end{Vmatrix}\mathcal{E} \)\n\n(ii) \( {F}_{1},{F}_{2}, O, N \) 共圆 (Lester 圆)\n\n(iii) \( {GK} \) 为 \( \bigtr... | 還可以得到直線 \( {F}_{i}{S}_{i} \) 與 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 相切。 | No |
除了等角點外, \( {\mathcal{H}}_{K} \) 上重要的還有維田點 \( \left( {{V}_{1} = {K}_{{45}^{ \circ }},{V}_{2} = }\right. \) \( \left. {K}_{-{45}^{ \circ }}\right) \) ,它甚至有出現在 ISL 裡面。我們有：\n\n(i) \( O \) 是 \( {V}_{1}{V}_{2} \) 關於 \( {\mathcal{H}}_{K} \) 的極點\n\n(ii) \( {V}_{1}{V}_{2} = {NK} \)\n\n(iii) \( H = {V}_{1}{V}_{1}^{ * } \cap {V}_... | 注意到 \( \left\lbrack {{T}_{\theta } \mapsto {P}_{\theta }}\right\rbrack \in \operatorname{Aut}\left( \mathcal{E}\right) \) ,所以他的位置其實是可以算的 \( \left( ?\right) \) ,事實上我們有： | No |
Proposition 2.3.20. 對於任意 \( \theta \) , \[ {T}_{\theta }G = 2 \cdot G{P}_{\theta } \] | 故 \[ O{P}_{\theta } = 2\cos {2\theta } \cdot {P}_{\theta }N \] | No |
Proposition 2.4.3. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与一点 \( P \) ,令 \( {\mathcal{O}}_{P},{\mathcal{T}}_{P} \) 分别为 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的正交截線與三線性極線, \( {\mathcal{S}}_{P} \) 則為 \( P \) 關於 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的佩多圓 \( {\omega }_{P} \) 的極線 (即 \( \left. {{\mathfrak{p}}_{{\omega }_{P}}\left( P\r... | Proof. 令 \( \Omega \) 为以 \( P \) 为圆心的任意圆,定义 \( {A}^{ * } = {\mathfrak{p}}_{\Omega }\left( {BC}\right) \) ,類似定义 \( {B}^{ * },{C}^{ * } \) 。 那麼由定義, \( {\mathfrak{p}}_{\Omega }\left( {\mathcal{O}}_{P}\right) \) 为 \( \bigtriangleup {A}^{ * }{B}^{ * }{C}^{ * } \) 的垂心, \( {\mathfrak{p}}_{\Omega }\left( {\mathcal{T}}_{P}\righ... | Yes |
Proposition 2.4.5. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上一點 \( P \) , \( \Omega \) 是以 \( P \) 为圆心的圓。那麼\n\n(i) \( {\mathfrak{p}}_{\Omega }\left( {\bigtriangleup {ABC}}\right) \overset{ - }{ \sim }\bigtriangleup {ABC} \) 且 \( P \) 位於其外接圓上。\n\n(ii) 若 \( \left( {Q,{Q}^{ * }}\right) \) 为關於 \( \big... | Proof. (i) 由簡單的角度計算可輕易得到。關於 (ii)，我們考慮一個對稱變換與旋似變換的合成 \( \varphi \) 使得 \( \varphi \left( {A}^{\prime }\right) = A,\varphi \left( {B}^{\prime }\right) = B,\varphi \left( {C}^{\prime }\right) = C \) 。令 \( \mathcal{C} \) 为以 \( P \) 为中心的等角共轭變換的對角圓錐曲線 (注意到 \( P \in \odot \left( {ABC}\right) ) \) , \( \Phi \mathrel{\text{:=}} ... | Yes |
给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上一點 \( P \) ,那麼 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的正交截線、三線性極線及施坦納線共的點 \( Q \) 所形成的軌跡是一個等軸雙曲線。 更進一步地, \( {PQ} \) 經過 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上的定點。 | Proof. 令 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外心及垂心分别为 \( O, H \) ,對於任意一點 \( P \in \odot \left( {ABC}\right) \) ,在 \( {BC} \) 上取 \( D \) 使得 \( \measuredangle {APD} = {90}^{ \circ }, A, P \) 關於 \( {BC} \) 的對稱點分別為 \( {A}^{\prime },{P}^{\prime } \) ,那麼\n\n\[ \nO\left( {A, B;C, D}\right) = \left( {{AO} \cap {BC}, B;C, D}\right) = \... | Yes |
Theorem 3.1.3 (完美六邊形基本定理). 若六邊形 ABCDEF 為完美六邊形， 則 \( {ACBDFE},{AECDBF},{ABFDEC} \) 也为完美六邊形。 | Proof. 注意到\n\n\[\n\frac{a - b}{b - c} \cdot \frac{c - d}{d - e} \cdot \frac{e - f}{f - a} = - 1 \Leftrightarrow \det \left( \begin{matrix} {ad} & a + d & 1 \\ {be} & b + e & 1 \\ {cf} & c + f & 1 \end{matrix}\right) = 0\n\]\n\n因此可以将 \( \{ A, D\} ,\{ B, E\} ,\{ C, F\} \) 两兩交換而不影響其完美性。\n\n所以我們也會以點對們 \( \left( {AD}\right)... | Yes |
Proposition 3.1.4. 反演保完美六邊形，意即，若 \( {ABCDEF} \) 為完美六邊形， 那麼對於任意一點 \( O \) , \( {ABCDEF} \) 關於 \( O \) 點反演下的像 \( {A}^{ * }{B}^{ * }{C}^{ * }{D}^{ * }{E}^{ * }{F}^{ * } \) 也是完美六邊形。 | Proof. 假設反演變換將一點 \( X \) 送至 \( {X}^{ * } \) ,注意到\n\n\[ \n\frac{a - b}{b - c} \cdot \frac{c - d}{d - e} \cdot \frac{e - f}{f - a} = - 1 \Leftrightarrow \left( {A, C;B, D}\right) \cdot \left( {E, A;F, D}\right) = 1, \n\]\n\n\[ \n\frac{{a}^{ * } - {b}^{ * }}{{b}^{ * } - {c}^{ * }} \cdot \frac{{c}^{ * } - {d}^{ * }}{{d}^{ ... | Yes |
Proposition 3.1.5. 若六邊形 \( {ABCDEF} \) 為完美六邊形，則完全四線形們\n\n\[ \left( {{BC},{CE},{EF},{FB}}\right) ,\left( {{CA},{AF},{FD},{DC}}\right) ,\left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \]\n\n有共同密克點 \( M \) 。 | Proof. 令 \( M \) 为 \( \left( {{BC},{CE},{EF},{FB}}\right) \) 的密克點,那麼我們可以旋轉伸縮複數平面 (注意到這些變換保交比) 使得 \( {be} = {cf} = 1 \) 且 \( M = 0 \) ,若取 \( {A}^{ * } = 1/d \) ,則由\n\n\[ \frac{1/d - 1/e}{1/e - 1/f} \cdot \frac{1/f - d}{d - e} \cdot \frac{e - f}{f - 1/d} = - 1 \]\n\n可得 \( {A}^{ * }{BCDEF} \) 为完美六邊形，故 \( {A}^{ * } = A \) ... | Yes |
Proposition 3.1.9. 若六邊形 \( {ABCDEF} \) 為完美六邊形且六點不共圓，則\n\n\[ \n\odot \left( {ABC}\right) , \odot \left( {CDE}\right) , \odot \left( {EFA}\right) , \odot \left( {BDF}\right) \]\n\n共點於一點 \( P \) 且\n\n\[ \n\odot \left( {DEF}\right) , \odot \left( {FAB}\right) , \odot \left( {BCD}\right) , \odot \left( {ACE}\right) \]\n\n共點... | Proof. 設 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 交 \( \odot \left( {CDE}\right) \) 另一點於 \( P \) ,考慮以 \( P \) 為中心的反演變換將一點 \( X \) 送至 \( {X}^{ * } \) ,則 \( {A}^{ * },{B}^{ * },{C}^{ * } \) 及 \( {C}^{ * },{D}^{ * },{E}^{ * } \) 分别共線。令 \( {F}^{\prime } = {A}^{ * }{E}^{ * } \cap {B}^{ * }{D}^{ * } \) ,則 \( {A}^{ * }{B}^{ * }{C}^{ *... | Yes |
Proposition 3.1.11. 若 \( \left( {A, D}\right) ,\left( {B, E}\right) ,\left( {C, F}\right) ,\left( {P, Q}\right) \) 为共圆完美八點組，那麼 \( \overline{AD},\overline{BE},\overline{CF},\overline{PQ} \) 的中點們共圓。 | Proof. 設 \( M \) 为 \( {ABCDEF} \) 的密克點, \( {M}_{1},{M}_{2},{M}_{3},{M}_{4} \) 分别为 \( \overline{AD},\overline{BE},\overline{CF},\overline{PQ} \) 的中點，因為密克點的等角共軛點為牛頓線上的無窮遠點 (1.4.13)，所以\n\n\[ \measuredangle {M}_{2}{M}_{1}{M}_{3} = \measuredangle \left( {{M}_{2}{M}_{1},{BA}}\right) + \measuredangle {BAC} + \measuredangle \l... | Yes |
Proposition 3.1.13 (破鏡重圓). 令 \( {ABCDEF} \) 為一個六邊形,設 \( A, C, E \) 關於 \( {FB},{BD},{DF} \) 的對稱點分別為 \( {A}^{\prime },{C}^{\prime },{E}^{\prime } \) ,則 \( \bigtriangleup {ACE}\bar{ \sim }\bigtriangleup {A}^{\prime }{C}^{\prime }{E}^{\prime } \) 若且唯若 \( {ABCDEF} \) 为完美六邊形。 | Proof. 設 \( {C}^{ * },{E}^{ * } \) 分别为 \( {C}^{\prime },{E}^{\prime } \) 關於 \( {BF} \) 的對稱點，則 \( \bigtriangleup A{C}^{ * }{E}^{ * } \sim \bigtriangleup {A}^{\prime }{C}^{\prime }{E}^{\prime } \) ,因此\n\n\[ \bigtriangleup {ACE}\overset{ = }{ \sim }\bigtriangleup {A}^{\prime }{C}^{\prime }{E}^{\prime } \Leftrightarrow \bi... | Yes |
Proposition 3.1.14. 若 \( {ABCDEF} \) 为完美六邊形,則存在一點 \( P \) 使得\n\n\( \bigtriangleup {PCE}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {ABF},\bigtriangleup {PEA}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {CDB},\bigtriangleup {PAC}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {EFD}. \) | Proof. 令 \( M \) 为 \( {ABCDEF} \) 的密克點,取 \( P \) 使得 \( \bigtriangleup {PCE} \) to \( \bigtriangleup {ABF} \) ,則\n\n\[ \bigtriangleup {MAP}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {MCD},\bigtriangleup {MPE}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {MBC}, \]\n\n所以 \( \bigtriangleup {PEA} \cup M\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {C... | Yes |
Proposition 3.2.1. 若 \( \left( {P, Q}\right) \) 为關於完全四線形 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的等角共軛點對，則 ABPDEQ 為完美六邊形。 | Proof. 取 \( {Q}^{ * } \) 使得 \( {ABPDE}{Q}^{ * } \) 为完美六邊形, \( M \) 為其密克點,令 \( C \) 为 \( {BD} \) 与 \( {EA} \) 的交点, \( F \) 为 \( {AB} \) 与 \( {DE} \) 的交点,則 \( {ABCDEF} \) 为完美六边形,因此 \( \left( {A, D}\right) ,\left( {B, E}\right) ,\left( {C, F}\right) ,\left( {P,{Q}^{ * }}\right) \) 为完美八點組。因为 \( P \) 有關於 \( \left( {{AB},{BD... | Yes |
Proposition 3.2.2. 若 \( \left( {P, Q}\right) \) 为關於完全四線形 \( \mathcal{Q} \) 的等角共軛點對，則 \( \overline{PQ} \) 中點位於該完全四線形的牛頓線上。 | Proof. 令 \( \mathcal{C} \) 为以 \( P, Q \) 为焦点且与 \( \mathcal{Q} \) 中四绿皆相切的圆锥曲線,則 \( \overline{PQ} \) 中點为 \( \mathcal{C} \) 的中心。由牛頓第二定理 (0.4.14), \( \mathcal{C} \) 的中心位於 \( \mathcal{Q} \) 的牛頓線上,即 \( \overline{PQ} \) 中點位於 \( \mathcal{Q} \) 的牛頓線上。 | Yes |
Proposition 3.2.3. 令 \( {ABDE} \) 为一個非平行四邊形，若 \( {ABPDEQ} \) 為完美六邊形，且 \( \overline{AD},\overline{BE},\overline{PQ} \) 的中點們共線，那麼 \( \left( {P, Q}\right) \) 為關於完全四線形 \( ({AB},{BD} \) , \( {DE},{EA}) \) 的等角共轭點對。 | Proof. 假设 \( \left( {P, Q}\right) \) 不为關於 \( \mathcal{Q} = \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的等角共轭点對。因为 \( \overline{PQ} \) 中點位於 \( \mathcal{Q} \) 的牛頓線上，由 (1.4.11),存在關於 \( \mathcal{Q} \) 的等角共軛點對 \( \left( {{P}^{ * },{Q}^{ * }}\right) \) 使得 \( \overline{PQ} \) 中點為 \( \overline{{P}^{ * }{Q}^{ * }} \) 中點。這時候我們有 \( {A... | Yes |
Proposition 3.2.5. \( \mathcal{K} \) 是一条三次曲線。 | 顯然地， \( \mathcal{K} \) 通過 \( \mathcal{Q} \) 的六個頂點、密克點以及牛頓線上的無窮遠點。這個「將對角線頂點送至對方的對合」又被稱為是 \( \mathcal{Q} \) 的 Clawson-Schmidte 共軛變換，簡稱 C-S 共轭變換。如果遇到 \( {ABDE} \) 為平行四邊形時的情形，我們就會需要特判： | No |
若四邊形 \( {ABDE} \) 為一個平行四邊形，則完全四線形 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的等角共轭軌跡 \( \mathcal{K} \) 爲經過 \( A, B, D, E \) 的等軸雙曲線 \( \mathcal{H} \) 与无穷远缘 \( {\mathcal{L}}_{\infty } \) 的联集。 | Proof. 顯然有 \( {\mathcal{L}}_{\infty } \subseteq \mathcal{K} \) ,只要證明 \( P \in \mathcal{K} \smallsetminus {\mathcal{L}}_{\infty } \Leftrightarrow P \in \mathcal{H} \smallsetminus {\mathcal{L}}_{\infty } \) 即可,而\n\n\[ P \in \mathcal{K} \smallsetminus {\mathcal{L}}_{\infty } \Leftrightarrow \measuredangle {APB} + \measure... | Yes |
Proposition 3.2.8. 若 \( \left( {P, Q}\right) ,\left( {R, S}\right) \) 为關於完全四線形 \( \mathcal{Q} \) 的等角共軛點對，則 \( \mathcal{K}\left( \mathcal{Q}\right) = \mathcal{K}\left( {{PR},{RQ},{QS},{SP}}\right) \) 。 | Proof. 設 \( {ABDE} \) 为 \( \mathcal{Q} \) 中的一個四邊形,則 \( {ABPDEQ} \) 及 \( {ABRDES} \) 皆為完美六邊形，所以 \( \left( {A, D}\right) ,\left( {B, E}\right) ,\left( {P, Q}\right) ,\left( {R, S}\right) \) 为完美八點組，因此 \( \left( {P, Q}\right) ,\left( {R, S}\right) \) 为兩組 C-S 共軛點對。注意到 \( \overline{PQ},\overline{RS} \) 的中點們皆位於 \( \tau \left(... | Yes |
Corollary 3.2.9. 令 \( \\left( {P, Q}\\right) ,\\left( {R, S}\\right) \) 为關於 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對,若 \( \\left( {U, V}\\right) \) 為關於完全四線形 \( \\left( {{PR},{RQ},{QS},{SP}}\\right) \) 的等角共轭點對，則 \( \\left( {U, V}\\right) \) 也為關於 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對。 | Proof. 因为 \( \\left( {P, Q}\\right) ,\\left( {R, S}\\right) \) 为關於 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對,所以存在以 \( P, Q \) 为焦點的圓錐曲線 \( {\\mathcal{C}}_{1} \) 及以 \( R, S \) 為焦點的圓錐曲線 \( {\\mathcal{C}}_{2} \) 使得 \( {\\mathcal{C}}_{1},{\\mathcal{C}}_{2} \) 皆與 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 相切。 設 \( \\ell \) 为 \( {\\mathcal{C}}_{1... | Yes |
Corollary 3.2.10. 令 \( \left( {P, Q}\right) ,\left( {R, S}\right) \) 为關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對,則 \( ({PR} \cap \) \( {QS},{RQ} \cap {SP}) \) 也为關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對。 | Proof. 在上述推論中取 \( \left( {U, V}\right) = \left( {{PR} \cap {QS},{RQ} \cap {SP}}\right) \) 即得證。 | No |
Corollary 3.2.11. 令 \( \left( {P, Q}\right) ,\left( {R, S}\right) \) 为關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對，則完全四線形 \( \mathcal{Q} = \left( {{PR},{RQ},{QS},{SP}}\right) \) 的密克點 \( M \) 位於 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上,且其關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭点 \( {\infty }_{\tau \left( \mathcal{Q}\right) } \) 。 | Proof. 在上述推論中取 \( \left( {U, V}\right) = \left( {M,{\infty }_{\tau \left( \mathcal{Q}\right) }}\right) \) 就有 \( \left( {M,{\infty }_{\tau \left( \mathcal{Q}\right) }}\right) \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對。因為 \( {\infty }_{\tau \left( \mathcal{Q}\right) } \in {\mathcal{L}}_{\infty } \) ,所以 \( M \in \odot \left... | Yes |
Corollary 3.2.12. 令 \( \left( {P, Q}\right) \) 为關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對， \( I \) 為 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的内心或旁心，則存在一點 \( M \in \odot \left( {ABC}\right) \) 使得 \( \bigtriangleup {MPI}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {MIQ} \) 。若 \( N \) 为 \( \overline{PQ} \) 中點，則 \( M \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \... | Proof. 在上述推論中取 \( \left( {R, S}\right) = \left( {I, I}\right) \) ,設 \( M \) 为 \( \mathcal{Q} = \left( {{PI},{IQ},{QI},{IP}}\right) \) 的密克點，則 \( \bigtriangleup {MPI}\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {MIQ} \) 。因為其牛頓線為 \( {IN} \) ,故 \( M \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共軛點為 \( {\infty }_{IN} \) 。 | Yes |
Proposition 3.2.13. 設 \( \left( {P, Q}\right) \) 为關於完全四線形 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的等角共軛點對，設\n\n\[ \nR = \odot \left( {ABP}\right) \cap \odot \left( {PDE}\right) \cap \odot \left( {EQA}\right) \cap \odot \left( {BDQ}\right) ,\n\]\n\n\[ \nS = \odot \left( {DEQ}\right) \cap \odot \left( {QAB}\right) \cap... | Proof. 由 (3.1.9), 我們有 \( \left( {A, D}\right) ,\left( {B, E}\right) ,\left( {P, Q}\right) ,\left( {R, S}\right) \) 為完美八點組，所以只要證明 \( \overline{RS} \) 中點位於 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的牛頓線 \( \tau \) 上即可。注意到 \( \overline{AD},\overline{BE},\overline{PQ} \) , \( \overline{RS} \) 的中點們共圓，而 \( \overline{AD},\ove... | Yes |
Proposition 3.2.14. 令 \( \left( {P, Q}\right) \) 为完全四線形 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的等角共轭點對, \( {O}_{1},{O}_{2},{O}_{3},{O}_{4} \) 分别为\n\n\[ \bigtriangleup {APB},\bigtriangleup {BPD},\bigtriangleup {DPE},\bigtriangleup {EPF} \]\n\n的外心, \( {O}_{1}^{\prime },{O}_{2}^{\prime },{O}_{3}^{\prime },{O}_{4}^{\pri... | Proof. 設 \( \odot \left( {O}_{1}\right) , \odot \left( {O}_{2}^{\prime }\right) , \odot \left( {O}_{3}\right) , \odot \left( {O}_{4}^{\prime }\right) \) 共點於 \( R, \odot \left( {O}_{1}^{\prime }\right) , \odot \left( {O}_{2}\right) , \odot \left( {O}_{3}^{\prime }\right) , \odot \left( {O}_{4}\right) \) 共點於 \( S \) ,則 \... | Yes |
Proposition 3.2.15. 令 \( \left( {P, Q}\right) \) 为完全四線形 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的等角共轭點對,則 \( \bigtriangleup {APB},\bigtriangleup {BQD},\bigtriangleup {DPE},\bigtriangleup {EQA} \) 的垂心們 \( {H}_{1},{H}_{2},{H}_{3},{H}_{4} \) 共線且垂直於 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的牛顿線 \( \tau \) 。 | Proof. 由對稱性，我們只要證明 \( {H}_{1}{H}_{2} \) 垂直於 \( \tau \) 即可。將 \( \bigtriangleup {APB} \) 平移，使得\n\n\[ A \mapsto Q, P \mapsto {P}^{ * }, B \mapsto {B}^{ * },\]\n\n遇 \( Q \) 分别作垂直於 \( Q{P}^{ * },{DQ} \) 的直線分別交 \( \odot \left( {Q{P}^{ * }{B}^{ * }}\right) , \odot \left( {BQD}\right) \) 於 \( {X}_{1},{X}_{2} \) ,則 \( B{H}_{1}Q... | Yes |
Lemma 3.2.17. 設 \( \left( {P, Q}\right) \) 为關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點對, \( {H}_{P},{H}_{Q} \) 分别为 \( \bigtriangleup {BPC},\bigtriangleup {BQC} \) 的垂心。以 \( P, Q \) 为焦點並與 \( \bigtriangleup {ABC} \) 相切的圓錐曲線分別切 \( {CA},{AB} \) 於 \( E, F \) ,則 \( {PQ},{EF},{H}_{P}{H}_{Q} \) 共點。 | Proof. 令 \( X \) 为 \( {PQ} \) 与 \( {H}_{P}{H}_{Q} \) 的交点,由 \( P{H}_{P}\parallel Q{H}_{Q} \) ,\n\n\[ \n\frac{PX}{QX} = \frac{\overrightarrow{P{H}_{P}}}{\overrightarrow{Q{H}_{Q}}} = \frac{\overline{BC}\cot \angle {BPC}}{\overline{BC}\cot \angle {BPC}} = \frac{\cot \angle {APF}}{\cot \angle {AQF}}. \n\] \n\n注意到 \( A \) 为完... | Yes |
Proposition 3.2.19. 令 \( A \) 为巨龍 \( \mathcal{K} \) 上一點,則 \( \mathcal{K} \) 關於以 \( A \) 為中心的反演變换下的像 \( {\mathcal{K}}^{ * } \) 也是巨龍。更進一步地,如果 \( \left( {P, Q}\right) \) 为關於 \( \mathcal{K} \) 的等角共轭點對,則 \( \left( {P, Q}\right) \) 關於以 \( A \) 為中心的反演變換下的像 \( \left( {{P}^{ * },{Q}^{ * }}\right) \) 也為關於 \( {\mathcal{K}}^{ * } ... | Proof. 令 \( \left( {B, E}\right) \) 为任一对關於 \( \mathcal{K} \) 的等角共轭點對, \( D \) 为 \( A \) 關於 \( \mathcal{K} \) 的等角共轭點, \( C \) 为 \( {BD} \) 与 \( {EA} \) 的交點, \( F \) 为 \( {AB} \) 与 \( {DE} \) 的交点,則 \( \left( {C, F}\right) \) 为關於 \( \mathcal{K} \) 的等角共軛點對。而\n\n\[ P \in \mathcal{K} \Leftrightarrow \measuredangle {BPF} + \m... | Yes |
對於完全四線形 \( \mathcal{Q} = \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) ,令 \( C \) 为 \( {BD} \) 与 \( {EA} \) 的交點, \( F \) 为 \( {AB} \) 与 \( {DE} \) 的交点。若 \( P, Q, R \in \mathcal{K}\left( \mathcal{Q}\right) \) 且 \( A, B, C, P, Q, R \) 共圆锥曲線,則 \( A, E, F, P, Q, R\text{、}D, B, F, P, Q, R \) 及 \( D, E, C, P, Q, R \) 分别共圆锥曲線，且 \( \... | Proof. 令 \( {P}^{ * },{Q}^{ * },{R}^{ * } \) 分别为 \( P, Q, R \) 關於 \( \mathcal{Q} \) 的等角共轭點,則由 \( A, B, C, P \) , \( Q, R \) 共圆锥曲線知 \( {P}^{ * },{Q}^{ * },{R}^{ * } \) 共線 (考慮關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭變換),因此 \( A, E, F, P, Q, R \cdot D, B, F, P, Q, R \) 及 \( D, E, C, P, Q, R \) 分别共圆锥曲線 (考慮關於 \( \bigtriangleup {A... | Yes |
Proposition 3.2.21. 令 \( M \) 为巨龍 \( \mathcal{K} \) 的密克點,過 \( M \) 作動線 \( \ell \) 並交 \( \mathcal{K} \) 於 \( R, S \) 兩點，取 \( {M}^{\prime } \) 使得 \( \left( {R, S;M,{M}^{\prime }}\right) = - 1 \) ,則 \( {M}^{\prime } \) 的軌跡為一圓。 | Proof. 令 \( {R}^{ * },{S}^{ * } \) 分别为 \( R, S \) 關於 \( \mathcal{K} \) 的等角共轭點。則 \( {\Phi }_{\mathcal{K}}\left( {M}^{\prime }\right) \) 为 \( \overline{{R}^{ * }{S}^{ * }} \) 中點, 由於 \( {RS} \) 交 \( {R}^{ * }{S}^{ * } \) 於 \( M \) ,因此 \( R{S}^{ * } \) 交 \( {R}^{ * }S \) 於 \( {\infty }_{\tau \left( \mathcal{K}\right) } \) ... | Yes |
Theorem 3.2.22 (Telv Cohl/老封的猜想). 令 \( M \) 为巨龍 \( \mathcal{K} \) 的密克點,過 \( M \) 作動線 \( \ell \) 並交 \( \mathcal{K} \) 於 \( R, S \) 兩點，則以 \( \overline{RS} \) 為直徑的圓們共軸。 | Proof. 延續上個性質的標號，在上個性質中，我們證明了 \( \overline{RS} \) 的中點皆位於 \( \tau \) 上,所以只須證明存在一點非無窮遠的點為它們的根心。當 \( M \in \tau \) 時，其實全部的圆都以 \( M \) 为圆心,所以根轴就是無窮遠線。當 \( M \notin \tau \) 時,令 \( O \) 為 \( {\Phi }_{\mathcal{K}}\left( \tau \right) \) 的圆心,由 \( M,{M}^{\prime } \in {\Phi }_{\mathcal{K}}\left( \tau \right) \) 知 \( {\Phi }_{\mat... | Yes |
Proposition 3.2.23. 延續 (3.2.22) 的標號,令 \( U, V \) 為所有 \( \odot \left( \overline{RS}\right) \) 的共同交點, 則 \( U, V \in \mathcal{K}\left( \mathcal{Q}\right) \) 且 \( \left( {U, V}\right) \) 为關於 \( \mathcal{Q} \) 的等角共轭點對。 | Proof. 令 \( {R}^{ * },{S}^{ * } \) 分别为 \( R, S \) 關於 \( \mathcal{K} \) 的等角共轭點,則\n\n\[ \measuredangle {RUS} + \measuredangle {R}^{ * }U{S}^{ * } = {90}^{ \circ } + {90}^{ \circ } = {0}^{ \circ },\]\n\n因此 \( U \in \mathcal{K} \) ,同理 \( V \in \mathcal{K} \) 。由\n\n\[ \measuredangle {RUS} + \measuredangle {RVS} = {90}^{ \ci... | Yes |
Proposition 3.2.24. 令 \( M,\mathcal{I} \) 分别为巨龍 \( \mathcal{K} \) 的密克點、老封軸，則 \( M \) 關於 \( \mathcal{I} \) 的垂足 \( T \) 位於 \( \mathcal{K} \) 上。 | Proof. 設 \( M{\infty }_{\tau \left( \mathcal{K}\right) } \) 交 \( \mathcal{K} \) 另一點於 \( {T}^{\prime } \) ,則以 \( \overline{{T}^{\prime }{\infty }_{\tau \left( \mathcal{K}\right) }} \) 为直徑的圓也跟其它 \( \odot \left( \overline{RS}\right) \) 共轴,但 \( \odot \left( \overline{{T}^{\prime }{\infty }_{\tau \left( \mathcal{K}\right) }... | No |
Proposition 3.3.1. 設完全四線形 \( \mathcal{Q} \) 有切圓 \( \odot \left( I\right) \) ,關於 \( \mathcal{Q} \) 的 \( \mathrm{C} - \mathrm{S} \) 共轭變換為 \( \Phi \) ，則 \( I \) 為 \( \Phi \) 的不動點。 | Proof. 顯然地, \( \left( {I, I}\right) \) 為關於 \( \mathcal{Q} \) 的等角共轭點對，因此 \( \Phi \left( I\right) = I \) 。\n\n也就是說 \( \mathcal{Q} \) 的牛頓線 \( \tau \) 上有不動點 \( I \) 。 | Yes |
Proposition 3.3.2. 令 \( M \) 为有切圆 \( \odot \left( I\right) \) 的完全四線形 \( \left( {{AB},{BD},{DE},{EA}}\right) \) 的密克點， \( J \) 為 \( I \) 關於 \( M \) 的對稱點，則 \( {IAJD},{IBJE} \) 為調和四邊形。 | Proof. C-S 共轭變換 \( \Phi \) 的不動點為 \( I, J \) ,因此 \( {IAJD},{IBJE} \) 為調和四邊形。 | No |
Proposition 3.3.3. 設完全四線形 \( \mathcal{Q} \) 有切圓 \( \odot \left( I\right) \) ,則其等角共軛軌跡 \( \mathcal{K} \) 在關於 \( \odot \left( I\right) \) 的反演變換下的像 \( {\mathcal{K}}^{ * } \) 为一個等軸雙曲線 \( \mathcal{H} \) (聯集無窮遠線 \( {\mathcal{L}}_{\infty } \) )。 | Proof. 設 \( {ABDE} \) 为 \( \mathcal{Q} \) 中的一個四邊形。令關於 \( \odot \left( I\right) \) 的反演變換將一點 \( X \) 送至 \( {X}^{ * } \) ,由 \( I \) 有關於 \( \mathcal{Q} \) 的等角共轭點知\n\n\[ P \in K \Leftrightarrow \measuredangle {APB} + \measuredangle {DPE} = 0 \]\n\n\[ \Leftrightarrow \measuredangle I{A}^{ * }{P}^{ * } + \measuredangle {P}^{ ... | Yes |
Corollary 3.3.4. 令 \( \\left( {P, Q}\\right) \) 为關於 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 的一組等角共軛點對, \( \\odot \\left( I\\right) \) 為 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 的内切圆。令關於 \( \\odot \\left( I\\right) \) 的反演變換將一點 \( X \) 送至 \( {X}^{ * } \) ,則六點\n\n\[ \n{A}^{ * },{B}^{ * },{C}^{ * },{P}^{ * },{Q}^{ * }, I \n\]\n\n共等軸雙曲線。 | Proof. 令 \( \\mathcal{C} \) 为以 \( P, Q \) 为焦点且与 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 相切的圆锥曲線, \( \\ell \) 为 \( \\mathcal{C} \) 与 \( \\odot \\left( I\\right) \) 的第四條切線,則 \( \\left( {P, Q}\\right) ,\\left( {I, I}\\right) \) 为關於 \( \\mathcal{Q} = \\bigtriangleup {ABC} \\cup \\ell \) 的等角共轭點對,因此 \( \\mathcal{K}\\left( \\mathcal{Q}\\... | Yes |
Corollary 3.3.5. 令 \( M \) 为 \( \mathcal{K} \) 的密克點,遇 \( M \) 作一条直線 \( \ell \) 交 \( \mathcal{K} \) 於 \( R, S \) 雨點, 則 \( \measuredangle {RIS} = {90}^{ \circ } \) 。 | Proof. 顯然地, \( {R}^{ * },{S}^{ * } \) 为 \( \mathcal{H} \) 上兩點滿足 \( I,{M}^{ * },{R}^{ * },{S}^{ * } \) 共圆,而 \( I, M \) 为 \( \mathcal{H} \) 的一组對徑點，故 \( \overline{{R}^{ * }{S}^{ * }} \) 为 \( \odot \left( {I{M}^{ * }{R}^{ * }{S}^{ * }}\right) \) 的直徑，即 \( \measuredangle {RIS} = {90}^{ \circ } \) 。 | Yes |
Proposition 3.3.6. 令 \( M,\tau \) 分别为斜環索線 \( \mathcal{K} \) 的密克點、牛頓線，過 \( M \) 作動線 \( \ell \) 並交 \( \mathcal{K} \) 於 \( R, S \) 兩點，則以 \( \overline{RS} \) 為直徑的圓們共軸於 \( I \) 關於 \( \tau \) 的垂線，且其为 \( I \) 關於 \( \odot \left( \overline{RS}\right) \) 的切線。 | Proof. 由 (3.2.22) 知只須證明該垂線與 \( \odot \left( \overline{RS}\right) \) 相切,而 \( \overline{RS} \) 中點 \( N \) 位於 \( \tau \) 上, 所以 \( {NI}\parallel \tau \) ，因此該垂線與 \( \odot \left( \overline{RS}\right) \) 相切。 | Yes |
Proposition 3.3.7. 延續 (3.3.3) 的標號,對於任意 \( \mathcal{K} \) 的等角共轭點對 \( \left( {P, Q}\right) \) , \( P, Q \) 在關於 \( \mathcal{K} \) 的内心 \( I \) 的反演變換下的像 \( {P}^{ * },{Q}^{ * } \) 为 \( \mathcal{H} \) 的一组對徑點。 | Proof. 令 \( M \) 为 \( \mathcal{K} \) 的密克點,固定 \( \mathcal{K} \) 上兩對等角共軛點對 \( \left( {A, D}\right) ,\left( {B, E}\right), J \) 为 \( I \) 關於 \( M \) 的對稱點，則 \( {IAJD},{IBJE},{IPJQ} \) 為調和四邊形，所以 \( {J}^{ * } \) 為線段們 \( \overline{{A}^{ * }{D}^{ * }},\overline{{B}^{ * }{E}^{ * }},\overline{{P}^{ * }{Q}^{ * }} \) 的共同中點,即 \( {J... | Yes |
Corollary 3.3.8. 若 \( {PQ} \) 交 \( \mathcal{K} \) 於 \( T \) ,則 \( {IT} \bot {PQ} \) 。 | Proof. 顯然地, \( {P}^{ * },{Q}^{ * } \) 为 \( \mathcal{H} \) 上兩點滿足 \( I,{P}^{ * },{Q}^{ * },{T}^{ * } \) 共圆,而 \( {P}^{ * },{Q}^{ * } \) 为 \( \mathcal{H} \) 的一組對徑點，故 \( \overline{{I}^{ * }{T}^{ * }} \) 為 \( \odot \left( {I{P}^{ * }{Q}^{ * }{T}^{ * }}\right) \) 的直徑，即 \( {IT} \bot {PQ} \) 。 | Yes |
Proposition 3.3.9. 令 \( A \) 为斜環索線 \( \mathcal{K} \) 上非内心的一點,則 \( \mathcal{K} \) 關於以 \( A \) 為中心的反演變換下的像仍然為斜環索線。 | Proof. 令 \( I \) 为 \( \mathcal{K} \) 的内心, \( {\mathcal{K}}^{ * },{I}^{ * } \) 分别为 \( \mathcal{K}, I \) 關於以 \( A \) 爲中心的反演變換下的像, 則 \( {\mathcal{K}}^{ * } \) 關於以 \( {I}^{ * } \) 为中心的反演下的像是 \( \mathcal{K} \) 關於以 \( I \) 为中心的反演變換合成一個對稱變換下的像，即等軸雙曲線，所以 \( {\mathcal{K}}^{ * } \) 為斜環索線。 | Yes |
Proposition 3.3.10. 令斜環索線 \( \mathcal{K} \) 的内心为 \( I,\left( {P, Q}\right) \) 为 \( \mathcal{K} \) 上的等角共轭點對,令 \( \Gamma \) 为某個以 \( I \) 为圆心的圆使得 \( P, Q \) 位於 \( \Gamma \) 外,作 \( P \) 關於 \( \Gamma \) 的两条切線 \( {K}_{1},{K}_{2}, Q \) 關於 \( \Gamma \) 的兩條切線 \( {L}_{1},{L}_{2} \) ,則 \( \mathcal{K} = \mathcal{K}\left( {{K}_{1},... | Proof. 由對稱性,只要證明 \( {K}_{1} \cap {L}_{1} \in \mathcal{K} \) 即可。設 \( {K}_{1},{L}_{1},{K}_{1} \cap {L}_{1} \) 在關於 \( \Gamma \) 的反演變換下的像為 \( {K}_{1}^{ * },{L}_{1}^{ * }, U \) ,且 \( {K}_{1}^{ * },{L}_{1}^{ * } \) 分别切 \( \Gamma \) 於 \( S, T \) ,則易知 \( S, T, U \) 共線。由\n\n\[ \measuredangle U{P}^{ * }I = \measuredangle {USI} =... | Yes |
Theorem 4.1.8 (QL-Cu1). 完全四線形 \( \mathcal{Q} \) 的等角共轭軌跡為 | \[ \mathcal{K} \mathrel{\text{:=}} \left\{ {P\left| {\;\frac{P + {\Phi }_{\mathcal{Q}}\left( P\right) }{2} \in \tau \left( \mathcal{Q}\right) }\right. }\right\} \] | No |
Proposition 4.2.2. 令 \( \bigtriangleup {ABC} \) 为一個正三角形, \( \odot \left( I\right) \) 为其内切圆,則 \( \odot \left( I\right) \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭軌跡為以 \( A, B, C \) 為頂點的三尖瓣線。 | Proof. 令 \( P \) 为 \( \odot \left( I\right) \) 上一點, \( P \) 關於 \( I \) 位似 \( - 2/3, - 4/3, - 2 \) 倍的點分別為 \( {P}_{1},{P}_{2} \) ,\n\n\( {P}_{3}, A, B, C \) 關於 \( I \) 位似 \( 2/3 \) 倍的點分別為 \( {A}^{\prime },{B}^{\prime },{C}^{\prime } \) 。設 \( \mathcal{S} \) 为 \( {P}_{2} \) 關於 \( \bigtriangleup {A}^{\prime }{B}^{\prime }{C... | Yes |
Proposition 4.2.3. 令 \( \bigtriangleup {ABC} \) 为一個正三角形, \( \odot \left( I\right) \) 为其内切圆, \( P \) 为 \( \odot \left( I\right) \) 上一點, \( Q \) 为 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點。若 \( A, B, C \) 關於 \( I \) 位似 \( 2/3 \) 倍的點分别為 \( {A}^{\prime },{B}^{\prime },{C}^{\prime }, P \) 關於 \( I \) 位似 \( - 4/3 \) 倍的點為 \... | Proof. 由上個性質的證明, \( Q \) 位於 \( {P}^{\prime } \) 關於 \( \bigtriangleup {A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime } \) 的西姆松線 \( \mathcal{S} \) 上,因此只要證明 \( \mathcal{S} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共軛軌跡與 \( \odot \left( I\right) \) 於 \( P \) 點相切即可。令 \( P \) 關於 \( I \) 位似 2 倍的點為 \( {P}^{ * } \) ,則 \( {P}^{ * } \) 關於 \( \b... | Yes |
Corollary 4.2.4. 令 \( \omega \) 为一圆,對於 \( \omega \) 上任意一點 \( P \) ,作一線 \( {\ell }_{P} \in {TP} \) ,使得\n\n\[ \measuredangle \left( {{\ell }_{{P}_{1}},{\ell }_{{P}_{2}}}\right) = \measuredangle {P}_{2}A{P}_{1},\forall {P}_{1},{P}_{2} \in \omega \]\n\n其中 \( A \) 为 \( \omega \) 上任意一點,則 \( \left\{ {{\ell }_{P} \mid P \in \o... | Proof. 令 \( \Omega \) 为 \( \omega \) 關於以 \( \omega \) 的圆心 \( O \) 位似 2 倍下的像,在 \( \omega \) 上取一點 \( A \) 使得 \( {\ell }_{A} = {OA},{A}^{\prime } \) 为 \( O \) 關於 \( A \) 的對稱點,並取 \( {B}^{\prime },{C}^{\prime } \in \Omega \) 使得 \( \bigtriangleup {A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime } \) 是正三角形。對於 \( \Omega \) 上任意一點 \( {P}^{... | Yes |
Theorem 4.2.5 (施坦納三尖瓣線定理). 給定任意 \( \bigtriangleup {ABC} \) ,對於任意一點 \( P \in \odot \left( {ABC}\right) \) ,令 \( {\mathcal{S}}_{P} \) 为 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的西姆松線,則 \( \left\{ {{\mathcal{S}}_{P} \mid P \in \odot \left( {ABC}\right) }\right\} \) 的包絡線為一個三尖瓣線。 | Proof. 令 \( H \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的垂心, \( \odot \left( N\right) \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的九點圓,對於任意兩點 \( {P}_{1},{P}_{2} \in \odot \left( N\right) \) ,令 \( {P}_{i}^{\prime } \) 为 \( H \) 關於 \( {P}_{i} \) 的對稱點,則 \( {P}_{i} \in {\mathcal{S}}_{{P}_{i}^{\prime }} \) 且\n\n\[ \measuredangle \left( {{\mathca... | Yes |
Proposition 4.2.7. 给定任意 \( \bigtriangleup {ABC}, H, \odot \left( N\right) ,\mathcal{D} \) 分别为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的垂心、九點圓及施坦納三尖瓣線。令 \( P \) 為 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上一點, \( M \) 為 \( \overline{HP} \) 中點, \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的西姆松線 \( \mathcal{S} \) 与 \( \odot \left( N\right) \) 交於 \( Q ... | The proof is trivial and left as an exercise to the reader. | No |
Proposition 4.2.9. 给定任意 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与两角 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2} \neq 0 \) ,則對於任意兩點 \( {P}_{1} \) , \( {P}_{2} \in \odot \left( {ABC}\right) \) ，\n\n\[ \measuredangle \left( {{\mathcal{S}}_{{\alpha }_{1},{P}_{1}},{\mathcal{S}}_{{\alpha }_{2},{P}_{2}}}\right) = {\alpha }_{1} - {\alpha }_{2} - \measu... | Proof. 簡單的算角度。事實上，\n\n\[ \measuredangle \left( {{\mathcal{S}}_{{P}_{1},{\alpha }_{1}},{\mathcal{S}}_{{P}_{2},{\alpha }_{2}}}\right) = \measuredangle \left( {{\mathcal{S}}_{{P}_{1},{\alpha }_{1}},{\mathcal{S}}_{{P}_{1},{\alpha }_{2}}}\right) + \measuredangle \left( {{\mathcal{S}}_{{P}_{1},{\alpha }_{2}},{\mathcal{S}}_{{... | Yes |
Proposition 4.2.11. 给定任意 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与一角 \( \alpha \neq 0 \) ,令 \( H \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的垂心, 則存在一圓 \( \odot \left( {N}^{\prime }\right) \) 與一以 \( H \) 為中心的旋似變換 \( \varphi \) 使得 \( \varphi \left( {\odot \left( {ABC}\right) }\right) = \odot \left( {N}^{\prime }\right) \) 且對於任意一點 \( P \in \odot... | Proof. 令 \( O \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外心。分别在 \( {BC},{CA},{AB} \) 上取點 \( {R}_{A},{R}_{B},{R}_{C} \) 使得\n\n\[ \measuredangle \left( {O{R}_{A},{BC}}\right) = \measuredangle \left( {O{R}_{B},{CA}}\right) = \measuredangle \left( {O{R}_{C},{AB}}\right) = \alpha . \]\n\n易得 \( \bigtriangleup {R}_{A}{R}_{B}{R}_{C} \cu... | Yes |
Proposition 4.2.13. 同 (4.2.11) 的證明的標號,令 \( S \) 为 \( {\infty }_{{\mathcal{S}}_{\alpha, P}} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共軛點，則\n\n\[\n\bigtriangleup {ABC} \cup S\overset{ + }{ \sim }\bigtriangleup {R}_{A}{R}_{B}{R}_{C} \cup \varphi \left( P\right) ,\n\]\n\n且旋似角为 \( {90}^{ \circ } + \alpha \) 。 | Proof. 簡單的算角度。事實上,令 \( {A}^{ * } = {\varphi }^{-1}\left( {R}_{A}\right) ,{B}^{ * } = {\varphi }^{-1}\left( {R}_{B}\right) \) ,則\n\n\[\n\measuredangle {R}_{B}{R}_{A}\varphi \left( P\right) = \measuredangle {B}^{ * }{A}^{ * }P = - \measuredangle \left( {{\mathcal{S}}_{{B}^{ * },\alpha },{\mathcal{S}}_{\alpha, P}}\right) ... | Yes |
Theorem 4.2.14. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与一角 \( \alpha \neq 0 \) ,設 \( {\mathcal{D}}_{\alpha } \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 \( \alpha \) -施坦纳三尖瓣線。令 \( {P}_{1},{P}_{2},{P}_{3} \) 为 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上三點, \( {\mathcal{S}}_{i} = {\mathcal{S}}_{{P}_{i},\alpha } \) 。若\n\n\[ \n\beta = \measuredangle \... | Proof. 同 (4.2.11) 的證明的標號,逆令 \( {S}_{i} \) 为 \( {\infty }_{{\mathcal{S}}_{i}} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點, \( {T}_{i} \) 为 \( {\mathcal{S}}_{i - 1} \) 与 \( {\mathcal{S}}_{i + 1} \) 的交点, \( {H}^{\prime } \) 为 \( \varphi \left( {\bigtriangleup {P}_{1}{P}_{2}{P}_{3}}\right) \) 的垂心。我們有\n\n\[ \n\beta = \sum \meas... | Yes |
Corollary 4.2.15. 给定任意 \( \bigtriangleup {ABC},{P}_{1},{P}_{2},{P}_{3} \) 为 \( \odot \left( {ABC}\right) \) 上三點, \( {\mathcal{S}}_{i} \) 为 \( {P}_{i} \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的西姆松線,則 \( {\mathcal{S}}_{1},{\mathcal{S}}_{2},{\mathcal{S}}_{3} \) 共點若且唯若\n\n\[ \measuredangle {AB}{P}_{1} + \measuredangle {BC}{P}_{2} ... | Proof. 令 \( O \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外心, \( H \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的垂心, \( {\mathcal{S}}_{i}^{\prime } \) 为 \( {\mathcal{S}}_{i} \) 關於 \( H \) 位似 2 倍的線，則 \( {P}_{i} \in {\mathcal{S}}_{i}^{\prime }\forall i \in \{ 1,2,3\} \) 且 \( {\mathcal{S}}_{1},{\mathcal{S}}_{2},{\mathcal{S}}_{3} \) 共點若且唯若 \( {\m... | Yes |
Proposition 4.3.1. 令完全四線形 \( \mathcal{Q} = \left( {{\ell }_{1},{\ell }_{2},{\ell }_{3},{\ell }_{4}}\right) \) 的四個外心為 \( {O}_{1},{O}_{2},{O}_{3} \) , \( {O}_{4},{H}_{i}^{\prime } \) 为 \( \bigtriangleup {O}_{i + 1}{O}_{i + 2}{O}_{i + 3} \) 的垂心,则 \( {O}_{i},{H}_{i}^{\prime } \) 們共圓錐曲線且 \( {H}_{i}^{\prime } \in {\ell }_{i}... | Proof. 令 \( \mathcal{Q} \) 的密克點為 \( M \) ,注意到 \( {\ell }_{i} \) 为 \( M \) 關於 \( \bigtriangleup {O}_{i + 1}{O}_{i + 2}{O}_{i + 3} \) 的施坦納線, 因此 \( {H}_{i}^{\prime } \in {\ell }_{i} \) 。而 \( {O}_{i},{H}_{i}^{\prime } \) 們位於經過 \( {O}_{1},{O}_{2},{O}_{3},{O}_{4} \) 的等軸雙曲線上。 | Yes |
Corollary 4.3.2 (QL-P5, Clawson 中心). 線段 \( \overline{{O}_{i}{H}_{i}^{\prime }} \) 的中點們重合。 | Proof. 即重合於 \( {O}_{1}{O}_{2}{O}_{3}{O}_{4} \) 的龐色列點 \( T \) 。 | No |
Corollary 4.3.3 (QL-Ci4, Hervey 圆). 四點 \( {H}_{1}^{\prime },{H}_{2}^{\prime },{H}_{3}^{\prime },{H}_{4}^{\prime } \) 共於一圆。 | Proof. 将密克圆 \( \odot \left( {{O}_{1}{O}_{2}{O}_{3}{O}_{4}}\right) \) 關於 \( {O}_{1}{O}_{2}{O}_{3}{O}_{4} \) 的龐色列點對稱,則 \( {H}_{1}^{\prime },{H}_{2}^{\prime },{H}_{3}^{\prime } \) , \( {H}_{4}^{\prime } \) 皆位於該圓上。 | Yes |
Theorem 4.3.4 (QL-Qu2, Kantor-Hervey 三尖瓣線). 存在一個三尖瓣線 Δ 與 \( \mathcal{Q} \) 中四線相切。 | Proof. 考虑一變換 \( \varphi \) ,属關於 \( T \) 的對稱變換合成 \( \mathcal{Q} \) 的 C-S 共轭變換,對於一點 \( P \in \odot \left( {{H}_{1}^{\prime }{H}_{2}^{\prime }{H}_{3}^{\prime }{H}_{4}^{\prime }}\right) \) ,定義 \( {L}_{P} \) 为 \( P \) 關於 \( {M\varphi }\left( P\right) \) 的垂線,則由簡單的角度計算及 (4.2.4) 知 \( {L}_{P} \) 的包络線為一個三尖瓣線 \( \Delta \) 。注意到 \(... | No |
Proposition 4.3.5 (QL-P3, Kantor-Hervey 點). 令 \( \Delta \) 的中心為 \( \Bumpeq \) ,則 \( \Bumpeq \) 位於 \( \mathcal{Q} \) 中三角形的歐拉線段 (外心與垂心的連線段) 的中垂線上。 | Proof. 因为 \( \Delta \) 为 \( M \) 關於 \( \Delta {\ell }_{j}{\ell }_{k}{\ell }_{l} \) 的 \( {\alpha }_{i} \) -施坦納三尖瓣線,所以由 (4.2.11) 可得 \( \Phi \) 位於 \( \overline{{O}_{i}{H}_{i}} \) 的中垂線上。 | No |
Proposition 4.3.6 (QL-P2,莫利點). 令 Mo 爲 ϖ 關於垂心線 \( \mathcal{S} \) 的垂足, \( \mathcal{Q} \) 中四個三角形的九點圓圓心分別為 \( {N}_{1},{N}_{2},{N}_{3},{N}_{4} \) ,則過 \( {N}_{i} \) 且垂直 \( {\ell }_{i} \) 的直線經過 Mo。 | Proof. 延續上個性質證明用的標號，注意到 \( \Delta {N}_{i} \bot {O}_{i}{H}_{i} \) ,所以有 \( \Phi ,{H}_{i},{N}_{i},{Mo} \) 共圓。我們有\n\n\[ \measuredangle \left( {{N}_{i}{Mo},{\ell }_{i}}\right) = \measuredangle {N}_{i}{Mo}{H}_{i} + \measuredangle \left( {{\mathcal{S}}_{\mathcal{Q}},{\ell }_{i}}\right) = \measuredangle {N}_{i} \Bumpeq {H}_{i}... | Yes |
Proposition 4.4.2. 一顆心臟線關於其尖點反演下的像為一個拋物線，並且尖點是它的焦點。 | Proof. 設 \( \mathbb{K} \) 为一圆 \( {\Gamma }^{\prime } \) 绕著 \( \Gamma \) 纯滚动时,圆上一點產生的軌跡,若 \( Y \) 為其尖點, 則不難發現 \( \mathbb{K} \) 上的每個點與 \( Y \) 的中垂線為 \( \Gamma \) 的切線,反之 \( Y \) 關於 \( \Gamma \) 的一條切線的對稱點位於 \( \mathbb{K} \) 上，將這個性質關於 \( O \) 反演後可得 \( {\mathbb{K}}^{ * } \) 上每個點是過 \( Y \) 與一直線 \( {\Gamma }^{ * } \) 相切的某個圓的圓心... | Yes |
Theorem 4.4.7. 给定完全四線形 \( \mathcal{Q} = \left( {{\ell }_{1},{\ell }_{2},{\ell }_{3},{\ell }_{4}}\right) ,\mathcal{Q} \) 中的四個三角形为 \( {\bigtriangleup }_{1},{\bigtriangleup }_{2},{\bigtriangleup }_{3},{\bigtriangleup }_{4} \) ,設 \( {\Lambda }_{i} = {\Lambda }^{{\bigtriangleup }_{i}},{A}_{ij} = {\ell }_{i} \cap {\ell }_{j}... | Proof. 我們有\n\n\[ \n\left( {{A}_{jl}{P}_{i} \cap {A}_{il}{P}_{j}}\right) \left( {{A}_{jl}{Q}_{i} \cap {A}_{il}{Q}_{j}}\right) \subset {\Lambda }_{k}, \n\]\n\n因為三角形們 \( \bigtriangleup {A}_{jl}{P}_{i}{Q}_{i} \) 與 \( \bigtriangleup {A}_{il}{P}_{j}{Q}_{j} \) 關於 \( {A}_{kl} \) 透視，由迪沙格定理,\n\n\[ \n{L}_{i} \cap {L}_{j} \in \lef... | Yes |
Corollary 4.4.8. 延續 (4.4.7) 的標號， \( \left| {\bigcap {\Lambda }_{i}}\right| \geq {27} \) (重根重複計算)。 | Proof. 我們知道滿足 \( \left\{ {{P}_{i},{Q}_{i}}\right\} \) 與 \( \left\{ {{P}_{j},{Q}_{j}}\right\} \) 關於 \( {A}_{kl} \) 透視的 \( \left( {{L}_{i},{L}_{j}}\right) \) 的组合共有 27 種 (在给定 \( i, j, k, l \) 的情况下),所以 \( \left| {\bigcap {\Lambda }_{i}}\right| \geq {27} \) 。 | Yes |
Proposition 4.4.9. 若 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的三邊與一顆心臟線 \( \mathbb{K} \) 相切,且 \( \mathbb{K} \) 與 \( {BC} \) 切於兩點，則 \( \mathbb{K} \) 的中心 \( P \in {\lambda }_{A} \) 。反之,若 \( P \in {\lambda }_{A} \) ,則存在唯一一顆以 \( P \) 為中心的心臟線 \( \mathbb{K} \) 與 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的三邊相切，且 \( \mathbb{K} \) 與 \( {BC} \) 切於兩點。 | Proof. 設 \( \mathbb{K} \) 與 \( {BC} \) 切於 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 兩點,與 \( {AB} \) 切於 \( T \) ,則存在一點 \( S \) 位於以 \( P \) 為圆心並經過 \( \mathbb{K} \) 的尖點 \( Y \) 的圓 \( \Gamma \) 上,且 \( \bigtriangleup P{T}_{1}{T}_{2} \) 是以 \( Y \) 为中心正三角形,作 \( P \) 關於 \( S \) 位似 -2 倍的點 \( {P}^{\prime } \) ,則 \( {P}^{\prime }T = {AB} \) ,令 \( \o... | Yes |
Proposition 4.4.11 (QL-27Qu1, 莫利多重心臟線). 存在 (至少) 27 個心臟線與 \( \mathcal{Q} \) 中四線相切 (重根重複計算)。 | Proof. 由 (4.4.8) 知 \( \left| {\bigcap {\Lambda }_{i}}\right| \geq {27} \) (重根重複計算),令 \( P \in \bigcap {\Lambda }_{i} \) ,则由 (4.4.10) 可得存在以 \( P \) 为中心的心臟線 \( {\mathbb{K}}_{i} \) 与 \( {\bigtriangleup }_{i} \) 相切。对於任意相異 \( i, j \) ,由 (4.4.10) 证明的最後一部份可以得到 \( {\mathbb{K}}_{i} = {\mathbb{K}}_{j} \) ,所以存在唯一一個以 \( P \) 為中心的心... | Yes |
Theorem 5.1.3 (三圆锥曲線定理/Three Conics Theorem). 設三個非退化的圆锥曲線 \( {\mathcal{C}}_{1},{\mathcal{C}}_{2},{\mathcal{C}}_{3} \) 交於兩點 \( P, Q \) ,若 \( {\mathcal{C}}_{i},{\mathcal{C}}_{j} \) 交於另外兩點 \( {A}_{ij},{B}_{ij} \) ,那麼 \( {A}_{23}{B}_{23},{A}_{31}{B}_{31},{A}_{12}{B}_{12} \) 共點。 | Proof. 設 \( R = {A}_{31}{B}_{31} \cap {A}_{12}{B}_{12} \) ,則注意到 \( {\mathcal{C}}_{2} \cup {A}_{31}{B}_{31} \) 與 \( {\mathcal{C}}_{3} \cup {A}_{12}{B}_{12} \) 都經過 \( {A}_{23},{A}_{31},{A}_{12},{B}_{23},{B}_{31},{B}_{12}, P, Q, R \) 九點,而 \( {\mathcal{C}}_{1} \cup {A}_{23}{B}_{23} \) 經過那九個點中扣掉 \( R \) 的八個點，所以 \( R \in {\m... | Yes |
Proposition 5.2.2. 给定一個三次曲線 \( \mathcal{K} \) 及一個射影變換 \( \varphi \) ,我們有 \( \varphi \left( \mathcal{K}\right) \) 也是三次曲線，且對於任意一點 \( P \) ,\n\n\[ \n\varphi \left( {{\mathfrak{p}}_{\mathcal{K}}^{1}\left( P\right) }\right) = {\mathfrak{p}}_{\varphi \left( \mathcal{K}\right) }^{1}\left( {\varphi \left( P\right) }\right) ,\v... | Proof. 我們可以把 \( \varphi \) 寫成一個可逆矩陣，所以 \( \varphi \left( \mathcal{K}\right) \) 也是三次曲線，後面的部分則由上面兩條式子即可得證。 | No |
Proposition 5.2.4. 给定一個三次曲線 \( \mathcal{K} \) ,則對於任意一點 \( P \) ,\n\n\[ \n{\mathfrak{p}}_{{\mathfrak{p}}_{\mathcal{K}}^{2}\left( P\right) }\left( P\right) = {\mathfrak{p}}_{\mathcal{K}}^{1}\left( P\right) \n\] | Proof. 過 \( P \) 作一直線 \( \ell \) 交 \( \mathcal{K} \) 於 \( {M}_{1},{M}_{2},{M}_{3} \) 三點,令 \( Q = {\mathfrak{p}}_{\mathcal{K}}^{1}\left( P\right) \cap \ell ,\left\{ {{R}_{1},{R}_{2}}\right\} = \) \( {\mathfrak{p}}_{\mathcal{K}}^{2}\left( P\right) \cap \ell \) ,那麼由定義，\n\n\[ \n\frac{3}{PQ} = \frac{1}{P{M}_{1}} + \frac{1}{... | Yes |
Proposition 5.3.7. 延續上述標號, \( {\mathfrak{p}}_{\mathcal{C}}\left( A\right) ,{\mathfrak{p}}_{\mathcal{C}}\left( B\right) ,{\mathfrak{p}}_{\mathcal{C}}\left( C\right) \) 分别與 \( {BC},{CA},{AB} \) 交於 \( D, E, F \) 。 | 那這當然是因為 \( A, B, C \in n\mathcal{K} \) 。注意到 \( n\mathcal{K} \) 的解析式中有個常數 \( k \) ,可以想像 \( k \) 在動的時候會產出一整坨經過 \( A, B, C, D, E, F \) 的等三次曲線。 | No |
Proposition 5.3.8. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 、一個等共軛變換 \( \varphi \) 及一圓 \( \Gamma \) ,若 \( P, Q \) 為 \( {\mathcal{K}}_{\varphi }^{n}\left( \Gamma \right) \) 上兩點，則 \( R = {PQ} \cap \varphi \left( P\right) \varphi \left( Q\right) \in {\mathcal{K}}_{\varphi }^{n}\left( \Gamma \right) \) 。 | Proof. 由 (1.3.6) 知 \( \varphi \left( R\right) = {P\varphi }\left( Q\right) \cap \varphi \left( P\right) Q \) ,因此我們有三圓 \( {\omega }_{P} \mathrel{\text{:=}} \odot \left( \overline{{P\varphi }\left( P\right) }\right) \) , \( {\omega }_{Q} \mathrel{\text{:=}} \odot \left( \overline{{Q\varphi }\left( Q\right) }\right) ,{\om... | Yes |
Proposition 5.4.5. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与一点 \( P \) ,那麼對於下列三角形 \( {XYZ} \) , \( t\left( {P,\bigtriangleup {XYZ}}\right) = t\left( {P,\bigtriangleup {ABC}}\right) \) :\n\n(i) \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的卡諾三角形\n\n(ii) \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的佩多三角形\n\n(iii) \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {... | Proof. 我們依序證明命題 (i), (ii), (iii), (iv)。\n\n(i) 令 \( {t}_{0} = t\left( {P,\bigtriangleup {ABC}}\right) ,\bigtriangleup {O}_{a}{O}_{b}{O}_{c} \) 为 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的卡諾三角形。注意到 \( \bigtriangleup {O}_{a}{O}_{b}{O}_{c} \) 關於 \( P \) 位似 \( 1/{t}_{0} \) 倍的像與 \( \bigtriangleup {ABC} \) 透視,所以 \( P \) 關於 \( \... | Yes |
Theorem 5.4.6 (Strong Sondat’s Theorem). 给定一線 \( L \) ,對於任意兩個透视轴不为 \( L \) 的三角形 \( \bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1},\bigtriangleup {A}_{2}{B}_{2}{C}_{2} \) ,满足 \( {A}_{2}\left( {L \cap {A}_{1}P}\right) ,{B}_{2}\left( {L \cap {B}_{1}P}\right) \) , \( {C}_{2}\left( {L \cap {C}_{1}P}\right) \) 共點的 \( P \) 的軌跡是某個 \( \b... | Proof. 令 \( {X}_{1} = {B}_{1}\left( {{A}_{2}{B}_{2} \cap L}\right) \cap {C}_{1}\left( {{A}_{2}{C}_{2} \cap L}\right) \) ,類似地定義 \( {Y}_{1},{Z}_{1} \) 。注意到\n\n\[ \n{B}_{1}{Y}_{1} \cap {C}_{1}{Z}_{1},{C}_{1}{X}_{1} \cap {A}_{1}{Z}_{1},{A}_{Y} \cap {BX} \in L, \n\] \n\n所以由逆帕斯卡定理 (0.4.1),我們知道 \( {A}_{1},{B}_{1},{C}_{1},{X}_... | Yes |
Corollary 5.4.8 (Sondat’s Theorem). 若 \( \bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 与 \( \bigtriangleup {A}_{2}{B}_{2}{C}_{2} \) 正交且透視, 那麼它們的透視中心位於兩個正交中心的連線上。 | Proof. 若 \( \bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 與 \( \bigtriangleup {A}_{2}{B}_{2}{C}_{2} \) 位似,則命題顯然,後面假設 \( \bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 與 \( \bigtriangleup {A}_{2}{B}_{2}{C}_{2} \) 不位似。令 \( Q \) 为 \( \bigtriangleup {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} \) 与 \( \bigtriangleup {A}_{2}{B}_{2}{C}_{2} \) 的透视中心, \( {P}_{i}... | Yes |
Proposition 5.4.10. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 及一常数 \( {t}_{0} \) ,令 \( \bigtriangleup {DEF} \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的垂足三角形,在 \( {AD} \) 上取一點 \( {H}_{a} \) 使得 \( A{H}_{a}/D{H}_{a} = 2{t}_{0} \) ,類似定義 \( {H}_{b},{H}_{c} \) ,那麼 \( {H}_{a} \) , \( {H}_{b},{H}_{c} \in {\mathcal{K}}_{{t}_{0}} \) 。 | Proof. 令 \( {H}_{a} \) 關於 \( {BC},{CA},{AB} \) 的對稱點分別為 \( {H}_{aa},{H}_{ab},{H}_{ac} \) ,那麼我們知道 \( {H}_{aa} \) 關於 \( {H}_{a} \) 位似 \( {t}_{0} \) 倍下的像为 \( A \) ,所以 \( \bigtriangleup {H}_{aa}{H}_{ab}{H}_{ac} \) 關於 \( {H}_{a} \) 位似 \( {t}_{0} \) 倍下的像与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 透视,由梁-澤利克定理的 (ii), \( {H}_{a} \in {\mathcal{... | Yes |
Proposition 5.4.11. 令 \( {\mathcal{K}}_{\varphi }^{p}\left( L\right) \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 Darboux 三次曲線,則 \( {\mathcal{K}}_{\varphi }^{p}\left( L\right) \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外心 \( O \) 對稱。 | Proof. 注意到 \( t\left( L\right) = 1/2 \) ,所以由 (5.4.4) 中 (i) 與 (ii) 的等價性,一點 \( P \in {\mathcal{K}}_{\varphi }^{p}\left( L\right) \) 若且唯若 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的佩多三角形與 \( \bigtriangleup {ABC} \) 透視。令 \( P \in {\mathcal{K}}_{\varphi }^{p}\left( L\right) ,{P}^{\prime } \) 为 \( P \) 關於 \( O \) 的對稱點,設 \( \bigt... | Yes |
给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) ,一點 \( P \notin \{ A, B, C\} \) 与三角 \( \alpha ,\beta ,\gamma \) ,满足\n\n\[ \left( {\alpha ,\beta ,\gamma }\right) \neq \left( {\measuredangle \left( {{BC},{AP}}\right) ,\measuredangle \left( {{CA},{BP}}\right) ,\measuredangle \left( {{AB},{CP}}\right) }\right) ,\]\n\n則存在一 \( \bigtriangleup ... | Proof. 取 \( \bigtriangleup {XYZ} \) 使得\n\n\[ \measuredangle \left( {{YZ},{AP}}\right) = \alpha ,\;\measuredangle \left( {{ZX},{BP}}\right) = \beta ,\;\measuredangle \left( {{XY},{CP}}\right) = \gamma .\]\n\n取點 \( U \) 使得 \( {BXCU} \) 是平行四邊形。類似地定義 \( V, W \) 。注意到\n\n\[ {BW} \cap {CV},{CU} \cap {AW},{AV} \cap {BU} \in {\... | Yes |
Proposition 6.1.5. 對於任意一點 \( P \notin \{ A, B, C, H\} \) , (ii) 若 \( {P}^{ * } \) 是 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 antigonal conjugate,則 \[ \left\{ {A, B, C,{P}^{ * }}\right\} = \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{\alpha }{\mathcal{C}}_{P,\alpha }^{\sharp }}\right) \cap \left( {\mathop{\bigcap }\limits_{\alpha }... | Proof. 對於 (ii) 和 (iii),同 (6.1.1) 中 \( {\mathcal{C}}_{P,\alpha }^{\sharp } \) 的構造,我們有以下的保交比變換 \[ \alpha \leftrightarrow X \in \odot \left( {BPC}\right) \leftrightarrow Y \in \odot \left( {CPA}\right) \leftrightarrow Z \in \odot \left( {APB}\right) \] 對於任意 \( \alpha ,{P}^{ * } \in {\mathcal{C}}_{P,\alpha }^{\sharp } \) 若... | No |
给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) 与一点 \( P \notin \{ A, B, C, H\} \) 。若 \( {P}^{ * } \) 为 \( P \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 antigonal conjugate, \( {Q}^{ * } \) 为 \( {P}^{ * } \) 關於 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的等角共轭點,則以 \( {P}^{ * } \) , \( {Q}^{ * } \) 为焦点且与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 相切圆锥曲線是 \( {\mathcal{T}}_{{P}^{ ... | Proof. 令 \( E, F \) 分别为 \( {\mathcal{T}}_{{P}^{ * }}\left( {\bigtriangleup {ABC}, P,\alpha }\right) \) 与 \( {CA},{AB} \) 的交点,則\n\n\[ \measuredangle E{P}^{ * }F = \measuredangle \left( {{P}^{ * }E,{BP}}\right) + \measuredangle {BPC} + \measuredangle \left( {{CP},{P}^{ * }F}\right) = \measuredangle C{P}^{ * }B \]\n\n所以存在... | No |
對於任意一點 \( P,{\mathcal{C}}_{P,{90}^{ \circ }}^{\sharp } = {\mathcal{C}}_{P,{90}^{ \circ }}^{\flat } \) 是通過 \( P \) 的等軸雙曲線且對於任意 \( Q \in {\mathcal{C}}_{P,{90}^{ \circ }}^{\sharp } = {\mathcal{C}}_{P,{90}^{ \circ }}^{\flat } \) , \( {PQ} \bot {\mathcal{O}}_{Q}\left( {\bigtriangleup {ABC}, P}\right) \) 。 | Proof. 同 (6.1.1) 證明中的標號, 我們有 \( U, V, W \) 分別為 \( \bigtriangleup {PBC},\bigtriangleup {PCA},\bigtriangleup {PAB} \) 的垂心,因此通過 \( P \) 的等軸雙曲線 \( {\mathcal{H}}_{P} \) 也通過 \( U, V, W \) ,故 \( {\mathcal{C}}_{P,{90}^{ \circ }}^{\sharp } = {\mathcal{H}}_{P} \) 。這同时也得到 \( {\mathcal{C}}_{P,{90}^{ \circ }}^{b} = {\mathcal{H}}_{P... | Yes |
Proposition 6.1.15. 變換 \( P \mapsto {P}^{ \circ } \) 是以垂心 \( H \) 为極點的等共轭變換。 | Proof. 由 (1.3.9) 及極點的定義，我們需要證明 \( P \mapsto {P}^{ \circ } \) 滿足：\n\n(i) \( {H}^{ \circ } = G \) ,其中 \( G \) 是 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的重心。\n\n(ii) \( P \notin {BC} \cup {CA} \cup {AB} \Rightarrow {P}^{ \circ } \notin {BC} \cup {CA} \cup {AB} \) ,\n\n(iii) 对於所有顶点 \( X \in \{ A, B, C\} \) ,\n\n\[ X,{P}_{1},{P}_{2}\tex... | Yes |
给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) ,一點 \( P \) 与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外接圆锥曲線 \( \mathcal{C} \) 。令 \( \bigtriangleup {P}_{A}{P}_{B}{P}_{C} \) 为 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的 \( \mathcal{C} \) -西瓦三角形。對於 \( \mathcal{C} \) 上一點 \( X \) ,令 \( {X}_{A} = X{P}_{A} \cap {BC} \) , \( {X}_{B} = X{P}_{B} \cap {CA},{X}_{C} = X{P}_{... | Proof. 考虑 \( \mathcal{C} \) 上的六折線們 \( {BC}{P}_{C}X{P}_{A}A,{CA}{P}_{A}X{P}_{B}B \) ,由帕斯卡定理即可得 \( P,{X}_{A},{X}_{B},{X}_{C} \) 共線。 | Yes |
Proposition 6.2.2. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) ,一點 \( P \) 与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外接圆锥曲線 \( \mathcal{C} \) 。我們有\n\n\[ \n{\mathcal{S}}_{P}^{\mathcal{C}} : \mathcal{C} \rightarrow {TP} \n\]\n\n为保交比變換。 | Proof. 注意到\n\n\[ \n{\mathcal{B}}_{P}^{\mathcal{C}} = \left\lbrack {{X}_{A} \mapsto P{X}_{A}}\right\rbrack \circ \left\lbrack {X \mapsto {X}_{A}}\right\rbrack \n\] | No |
Proposition 6.2.3. 给定 \( \bigtriangleup {ABC} \) ,一點 \( P \) 与 \( \bigtriangleup {ABC} \) 的外接圆锥曲線 \( \mathcal{C} \) 。设 \( \mathcal{D} \) 為 \( \bigtriangleup {ABC} \cup P \) 的外接圆锥曲線, \( T \) 为 \( \mathcal{C} \) 与 \( \mathcal{D} \) 的第四個交點,則對於 \( \mathcal{C} \) 上一點 \( X \) ， \( {\mathfrak{S}}_{P}^{\mathcal{C}}\left( X\rig... | Proof. 令 \( D = {\mathcal{B}}_{P}^{\mathcal{C}}\left( X\right) \cap \mathcal{D} \) ,由於 \( {\mathcal{B}}_{P}^{\mathcal{C}} \) 为保交比變換,我們有\n\n\[ T\left( {A, B;C, X}\right) = {\left( A, B;C, X\right) }_{\mathcal{C}} = {\mathcal{B}}_{P}^{\mathcal{C}}\left( {A, B;C, X}\right) \]\n\n\[ = \left( {{AP},{BP};{CP},{\mathcal{B}}_{... | Yes |
Proposition 6.2.4. 给定 \( \\bigtriangleup {ABC} \) 与其外接圆锥曲線 \( \\mathcal{C} \) 。对於任意兩點 \( P, Q \) 与\n\n任意一點 \( X \\in \\mathcal{C} \) ,\n\n\[ \n{\\mathcal{B}}_{P}^{\\mathcal{C}}\\left( X\\right) \\cap {\\mathcal{B}}_{Q}^{\\mathcal{C}}\\left( X\\right) \\in \\left( {ABCPQ}\\right) .\n\] | Proof. 令 \( {P}_{A} = {AP} \\cap \\mathcal{C},{Q}_{A} = {AQ} \\cap \\mathcal{C}, Z = {\\mathcal{B}}_{P}^{\\mathcal{C}}\\left( X\\right) \\cap {\\mathcal{B}}_{Q}^{\\mathcal{C}}\\left( X\\right) \) ,我們有\n\n\[ \nP\\left( {A, Z;B, C}\\right) = \\left( {{AP} \\cap {BC}, X{P}_{A} \\cap {BC};B, C}\\right) \\overset{{P}_{A}}{ ... | Yes |
Subsets and Splits
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