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value | output stringlengths 121 3.18k | instruction stringlengths 106 2.4k | data_source stringclasses 1
value |
|---|---|---|---|
\begin{lemme}
\label{lem2}
Pour $\phi$ caractère non trivial et $\varpi^m \OO$ son conducteur, on a:
$$\int_{\varpi^n \OO} \phi(x) \,dx = \left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{Vol}(\varpi^n \OO, dx) & \text{si }n \geq m\\
0 & \text{si }n < m
\end{array} \right. $$
$$\text{Si } \phi = 1 \text{ alors } \int_{\varpi^... |
LEM: Pour $\phi$ caractère non trivial et $D$ son conducteur, on a:
\[
\begin{aligned}
& \text{ Si } \phi=1, \text{ alors } \int_{\pi^m O} \phi(x) \,dx=\operatorname{Vol}(\varpi^m O, dx) \\
\end{aligned}\]
| ||
\begin{defi}
Soit $G$ un groupe abélien localement compact (LC). Un caractère unitaire de $G$ est un morphisme de groupes continu $\chi: G \rightarrow \mathbb{U}$.
On note $\hat{G}$ leur groupe, c'est le groupe dual.
- On munit $\hat{G}$ de la topologie engendrée par les ensembles
$$
W(K, U) = \{\chi \in \hat{G}... |
Def : Soit $G$ un groupe abélien localement compact (LC). Un caractère unitaire de $G$ est un morphisme de groupes continu $X: G \longrightarrow \mathbb{U}$.
On note $\hat{G}$ le groupe dual.
- On munit $G$ de la topologie engendrée par les ensembles
$$
W(K, U) := \{x \in \hat{G} \mid x(k) \subset U\} \quad \text{pour... | ||
\begin{lemme}
\label{lem}
Soit $m \geqslant 1$. Soit $1_G \in V \subseteq G$. Pour tout homomorphisme $\chi: G \rightarrow \mathbb{U}$ tel que $\chi\left(V^{(m)}\right) \subseteq N(1)$, on a $\chi(V) \subseteq N\left(\frac{1}{m}\right)$.
\end{lemme}
\begin{Cor}
Le seul sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dan... |
LEM = Soit $m \geqslant 1$. Soit $1_G \in V \leq G$. Pour tout homomorphisme $X: G \rightarrow \mathbb{U}$ tel que $X(V^{(m)}) \subseteq N(1)$, on a $X(V) \subseteq N(1 / m)$.
COR : Le seul sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ est le trivial.
| ||
\begin{lemme}
On a un isomorphisme de groupes additifs:
$$
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Q}_p / \mathbb{Z}_p
$$
\end{lemme}
|
1) LEMME: On a un isomorphisme de groupes additifs :
$$
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} \cong \mathbb{Q}_{\uparrow} / \mathbb{Z}_p
$$
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\subsection{Théorie de Fourier sur les corps $p$-adiques}
On se donne $p$ premier et $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_{p}$. On note $\OO$ son anneau de valuation et $\varpi \in \OO$ une uniformisante. $q$ est le cardinal du corps résiduel.
\begin{defi}
Un caractère additif de $F$ est un morphisme continu
$... |
2) Théorie de Fourier sur les corps $p$-adiques:
- On se donne $p$ premier et $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_p$. On note $O$ son anneau de valuation et $\omega \in \mathcal{O}$ une uniformisante. Soit $q$ le cardinal du corps résiduel.
DEF : Un caractère additif de $F$ est un morphisme continu
$$
\psi: (F,+) ... | ||
\begin{proof}~
$\hat{g}(y)=\int_F g(x) \psi(x y) d x=\int_{\varpi^{n_\psi-n_\chi} \OO} \psi(x) \psi(x y) d x$
$$
=\int_{\varpi^{n_\psi-n_\chi} \OO} \psi(x(y+1)) d x
$$
Or $\operatorname{Cond}(\psi)=\varpi^{n_\psi} \OO$ et $\operatorname{Cond}\left(\psi_{y+1}\right)=(y+1)^{-1} \varpi^{n_\psi} \OO$. \\
L'intégrale est n... |
Preuve: $\hat{g}(y)=\int_F g(x) \psi(x y) \, dx=\int_{\varpi^n \mathbb{O}^x} \psi(x) \psi(x y) \, dx$
$$
=\int_{\pi^{m_P-m_x} \mathbb{O}} \psi(x(y+1)) \, dx
$$
$\operatorname{Cond}(\psi)=w^{m_\psi} \mathbb{O}$ et $\operatorname{Cond}\left(\psi_{y+1}\right)=(y+1)^{-1} \varpi^{m_\psi} 0$.
L'intégrale est nulle sauf si- ... | ||
Notons $\tau$ (resp. $\tau_0$) la topologie sur $W = W_0$ induite par celle de $\hat{G}$ (resp. $\hat{G}_0$). On souhaite montrer $\tau = \tau_0$.\\
Les compacts de $G_0$ sont finis, donc compacts pour $G$, d'où $\tau_0 \subset \tau$. \\
|
Notons $\tau$ (resp. $\tau_0$) la topologie sur $W = W_0$ induite par celle de $\hat{G}$ (resp. $\hat{G}_0$). On souhaite montrer que $\widetilde{\tau} = \widetilde{\tau}_0$.
Les compacts de $G_0$ sont finis, donc compacts pour $G$, donc $\tau_0 \subseteq \tau$.
| ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[Opt 1 :]
$x \mapsto e^{2 i \pi x}$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U}$ trivial sur $\mathbb{Z}$. Par restriction et quotient, cela donne un morphisme
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{U} \\
x & \longmapsto e^{2 ... |
Preuve: $x \mapsto e^{2 i \pi x}$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans $U$ trivial sur $\mathbb{Z}$. Par restriction et quotient, cela induit un morphisme
$$
\left\{\begin{aligned}
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} & \longrightarrow U \\
x & \longrightarrow e^{2 i \pi x}
\end{aligned}\right.
$$
de noyau trivial.
On en ... | ||
\subsubsection*{Construction des caractères de $F$, extension finie de $\mathbb{Q}_p$.}
L'idée est de prendre une forme $\Q_{p}$-linéaire $l: F \rightarrow \Q_p$, puis de considérer $\psi \circ l$ pour $\psi$ un caractère de $\mathbb{Q}_{p}$. \\
On identifie $F$ à $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}\left(F, \Q_p\r... |
Construction des caractères de $F$, extension finie de $Q_p$ :
L'idée est de prendre une forme $Q_{\Gamma}$-linéaire $l: F \rightarrow \mathbb{Q}_\mu$, puis de considérer $\psi_0 l$ pour $\psi$ un caractère de $\mathbb{Q}_p$.
On identifie $F$ à $\operatorname{Hom}_{Q_p}\left(F, Q_p\right)$ via la forme trace $\tau_F: ... | ||
\underline{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}
Pour $F=\R: $ Comme $\R^*=\{ \pm 1\} \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi = \left(\operatorname{sgn}\right)^{\varepsilon}\left|\cdot\right|^{s},$ avec $ \in \C, \, \varepsilon \in\{0,1\}$ et $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. \\
Pour $F=\C: $ Comme $\C... |
\textbf{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}
$$
\begin{aligned}
& \text{Pour } F=\mathbb{R}: \quad \mathbb{R}^*=\{ \pm 1\} \times \mathbb{R}_{+}^* \\
& \text{Un caractère s'écrit } X=(\operatorname{sgn})^{\varepsilon}|.|^s=x \mapsto\left(\frac{x}{|x|}\right)^{\varepsilon}|x|^s \text{ où } s \in \mathbb... | ||
\begin{lemme}
On a $\varepsilon(\chi, \psi) \varepsilon\left(\chi^\vee, \psi\right)=\chi(-1)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
$\mathcal{Z}(\hat{\hat{f}}, \chi) \stackrel{\text { Fourier }}{=} \int_{F^*} f(-x) \chi(x) d x^\times=\chi(-1) \mathcal{Z}(f, \chi)$. \\
Or $\frac{\mathcal{Z}\hat{\hat{f}}, \chi)}{L(\ch... |
LEM : On a $\varepsilon(X, \psi) \varepsilon\left(x^{\vee}, \psi\right)=x(-1)$.
Preuve : $Z(\hat{\hat{f}}, X) \stackrel{\text { Fourier }}{=} \int_{F^x} f(-x) X(x) d x^x=X(-1) Z(f, x)$ et $\frac{Z(\hat{f}, x)}{L(x)}=\varepsilon\left(x^v, \psi\right) \frac{Z\left(\hat{f}, x^v\right)}{L\left(x^v\right)}=\varepsilon\lef... | ||
\begin{lemme}
Pour toutes $f, g \in C_{c}^{\infty}(F)$ et tout caractère $\chi = \eta |.|^s$ avec $0 < \Re(s) < 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^{\vee}\right) \mathcal{Z}(g, \chi) = \mathcal{Z}(f, \chi) \mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)
$$
où chaque fonction $\mathcal{Z}$ est sur son domaine de ... |
Lemme : Pour toutes les fonctions \( f, g \in C_{c}^{\infty}(F) \) et tout caractère \( X = \eta |1|^s \) avec \(0 < \operatorname{Re}(s) < 1\), on a :
\[
z(\hat{f}, x^v) \cdot z(g, x) = z(f, x) \cdot z(\hat{g}, x^v)
\]
où chaque fonction \( Z \) est définie sur son domaine de convergence. L'identité se prolonge mérom... | ||
\begin{lemme}
Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère additif.
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\psi$ est localement constant (c'est-à-dire que $\operatorname{Ker} \psi$ est ouvert).
\item[(ii)] $\psi$ prend ses valeurs dans $U_{\infty} \subseteq \mathbb{U}$.
\end{enumerate}
\end{lemme}
|
- LEMME: Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère additif.
(i) $\psi$ est localement constant (c'est-à-dire $\operatorname{Ker} \psi$ est ouvert).
(ii) $\psi$ est à valeurs dans $U_{\infty} \subseteq U$.
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\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$. Or, ce dernier est compact. Il suffit donc de montrer que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.
Soit $\phi \in \mathbb{U}^G$ qui ... |
Preuve $= \left({}_i\right)$ Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $U^G$. Or ce dernier est compact. Il suffit donc de voir que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.
Soit $\phi \in U^G$ qui est dans l'adhérence de $\hat{G}$. Soit $\vare... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] $ \Rightarrow$ Clair.
$\Leftarrow$ Montrons que pour $m \geqslant 1$, $\chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$ est un voisinage de $e$. \\
Par hypothèse, $\exists U \ni e$ ouvert de $G$ tel que $\chi(U) \subseteq N(1)$.
Par continuité de $\left\{\begin{array}{l}G^m \rightarrow G \... |
Preuve :
(i) $(\Rightarrow)$ Clair.
$(\Leftarrow)$ Montrons que pour $m \geqslant 1, X^{-1}(N\left(\frac{1}{m}\right))$ est un voisinage de $1$. Par hypothèse, $\exists U \ni e$ ouvert de $G$ tel que $X(U) \subseteq N(1)$. Ainsi, $X\left(V^{(m)}\right) \subseteq N(1)$ et par le LEM, $X(V) \subseteq N\left(\frac{1}{m... | ||
\subsection{Facteurs $L$, $\gamma $ et $\varepsilon$}
\begin{defi}
$g$ étant fixée comme avant, on définit le facteur gamma par:
$$
\gamma(\chi, \psi)=\frac{\mathcal{Z}(\hat{g}, \chi^\vee)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}
$$
\(\gamma\) est une fonction méromorphe de $s$.
\end{defi}
\begin{Théorème}~
\be... |
5) Facteurs $L, \gamma$ et $\varepsilon$ :
- DEF: Étant donné $g$ fixé comme avant, on définit le facteur gamma par :
$$
\gamma(x, \psi)=\frac{Z\left(\hat{g}, x^2\right)}{Z(g, x)}
$$
C'est une fonction méromorphe de $s$.
THM: $(i)$ $Y(X, \psi)$ est une fonction méromorphe de $s$, égale à :
$$
\begin{aligned}
& \rig... | ||
\begin{rmk}
\begin{enumerate}
\item[1)] Si $G$ est discret ses compacts sont les sous-groupes finis. La topologie compacte-ouverte est alors celle de la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$.
\item[2)] Pour $(\chi_n) \in \hat{G}^{\N}$ et $\chi \in \hat{G}$, $\chi_n \rightarrow \chi \Leftrightarrow \chi_n \text{... |
Remarque : (1) $G$ discret $\sim$ compacts sont les sous-groupes finis.
La topologie compacte-forte est alors celle de la $G$-espace is la topologie produit sur $V^G$.
2) $\operatorname{Lim}\left(X_n\right) \in \hat{G} \quad$ et $X \in \hat{G}$
$x_n \rightarrow x \Leftrightarrow X_n$ converge vers $x$ sur tout compact... | ||
\section{Fonctions L-abéliennes et théorème de Tate}
\subsection{Dualité pour les groupes abéliens localement compacts}
| I) Fonctions L-abéliennes et théorème de Gâteaux
1) Dualité pour les groupes abéliens localement compacts
| ||
\begin{rmk}
Ici, on a fait jouer un rôle privilégié à $\psi_p$ mais \textit{a posteriori} le lemme vaut en remplaçant $\psi_p$ par n'importe quel morphisme $\psi \neq \1$ et $\Z_p$ par $\operatorname{Cond}(\psi)$.
\end{rmk}
|
REM: Ici, on a donné un rôle privilégié à $\psi_{\uparrow}$, mais a posteriori, le lemme vaut en remplaçant $\psi_p$ par n'importe quel $\psi_{\neq 1}$ et $\mathbb{Z}_{\uparrow}$ par $\operatorname{cond}(\psi)$.
| ||
\begin{Cor}
Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère non trivial. \\
Tout caractère de $F$ est de la forme $\psi_a:=(x \mapsto \psi(a x))$ pour un unique $a \in F$.
En fait, l'application $\theta:\left\{\begin{array}{l}F \rightarrow \hat{F} \text{ (dual de Pontryagin) } \\ a \mapsto \psi_a\end{array}\righ... |
COR : Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère non trivial. Tout caractère de $F$ est de la forme $\psi_a:=(x \mapsto \psi(a x))$ pour un unique $a \in F$. En fait, l'application $\theta: \left\{\begin{array}{l}F \rightarrow \hat{F}^r \text { dual de Pontrjagin } \\ a \mapsto \psi_a\end{array}\right.$ est ... | ||
Pour $K \subseteq G$ compact, $\chi \in \hat{G}$ et $\varepsilon > 0$, on définit :
$$
B_K(\chi, \varepsilon) := \{\phi \in \hat{G} \mid \forall k \in K \quad |\chi(k) - \phi(k)| < \varepsilon\}
$$
\begin{lemme}
Les $B_K(\chi, \varepsilon)$ pour $K \subseteq G$ compact et $\varepsilon > 0$ forment une base de voi... |
- Pour $K \equiv G$ compact, $X \in \hat{G}$ et $\varepsilon > 0$, on définit :
$$
B_K(X, \varepsilon) := \{\phi \in \hat{G} \mid \forall k \in K, \lvert X(k) - \phi(k) \rvert < \varepsilon\}
$$
LEM = Les $B_K(X, \varepsilon)$ pour $K \subseteq G$ compact et $\varepsilon > 0$ forment une base de voisinages de $X$.
| ||
\begin{proof}~
Soit $\left(e_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ une $\Q_p$-base de $F$, on note $\left(e_i^*\right)$ la base duale, de sorte que : \\ $\forall x \in F$, $x=\sum\limits_{i=1}^n e_i^*(x) e_i$. \\
Soit $\psi$ un caractère additif de $F$. \\
Pour chaque $i$, $\left\{
\begin{array}{l}
\mathbb{Q}_{p} \longri... |
Preuve : Soit $\left(e_i\right)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une $Q_p$-base de $F$. On note $\left(e_i^*\right)$ la base duale, de sorte que $\forall x \in F$, $x=\sum_{i=1}^n e_i^*(x) e_i$. Soit $\psi$ un caractère additif de $F$. Pour chaque $i$, $\left\{
\begin{array}{l}
\mathbb{Q}_{\uparrow} \rightarrow \mathbb{C}... | ||
\begin{prop}
$C_c^{\infty}(F^*)$ est l'espace vectoriel engendré par les fonctions $\1_{a(1+\varpi^m \OO)}$, $n \geqslant 1$, $a \in F^*$.
\end{prop}
\begin{proof}
Les fonctions $1+\varpi^m \OO$, $n \geqslant 1$, forment une base de voisinages de $1$ dans $F^*$, et sont compacts. La fin de la preuve est laissée e... |
PROP : $C_c^{\infty}\left(F^x\right)$ est l'espace vectoriel engendré par les $1_{a(1+\omega^* 0)}, n \geqslant 1, a \in F^x$.
Preuve : Les $1+\pi^m O, n \geqslant 1$, forment une base de voisinages de 1 dans $F^x$, et sont compacts et couverts. À faire en exercice.
DEF : On définit les fonctions zêta locales par :
... | ||
\begin{prop} \\
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K_i, U) = W\left(\bigcup\limits_{i=1}^n K_i, U\right)$
\item[(ii)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K, U_i) = W\left(K, \bigcap\limits_{i=1}^n U_i\right)$
\item[(iii)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K_i, U_i) \subseteq W\left(\bigcup\limits_{i=1}^n... |
Prop. (i) $\bigcap_{i=1}^n W(K_i, U) = W\left(\bigcup_{i=1}^n K_i, U\right)$
(ii) $\bigcap_{i=1}^n W(K, U_i) = W\left(K, \bigcap_{i=1}^n U_i\right)$
(iii) $\bigcap_{i=1}^n W(K_i, U_i) \subseteq W\left(\bigcup_{i=1}^n K_i, \bigcup_{i=1}^n U_i\right)$
| ||
\begin{EX}
\begin{enumerate}
\item[1)] La $v.a$ normalisée sur $f$ n'est pas à support compact.
\item[2)] $x \mapsto |x| \cdot \1_{\mathbb{Z}_p}(x)$ n'est pas localement constante en $0$.
\item[3)] Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, alors $|f|_{\infty} \in C_c^{\infty}(F)$. $f$ est donc continue, à support compa... |
EX : (1) La fonction normale $1_{[1, 1+\omega^n \mathcal{O}]}$ sur $F$ n'est pas à support compact.
(2) La fonction $x \mapsto|x| \cdot \mathbb{1}_{\mathbb{Z}_r}(x)$ n'est pas localement constante en 0 !
(3) Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, alors $\left\|f\right\|_{\infty}\in C^m C_c^{\infty}(F)$. Elle est donc continue, a... | ||
\begin{rmk}
On peut formuler une variante où l'on part d'un caractère $\psi_0 \neq \1$ de $F$ et où l'on en déduit les autres par translation $x \mapsto \psi_0(ax)$ pour $a \in F$.
\end{rmk}
|
Remarque : On peut formuler une variante où l'on part d'un caractère $\psi_0 \neq 1$ de $F$ et où l'on déduit les autres par translation $x \mapsto \psi_0(a x)$ pour $a \in F$.
| ||
\begin{proof}~
La topologie engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ est clairement moins fine que la compacte-ouverte. \\
Soient $K \subseteq G$ compact, $U \subseteq \U$ ouvert. Il suffit de montrer que $\forall \chi \in W(K, U)$, $\exists n$, $\exists K_i$, $\alpha_i$, $\varepsilon_i$ tels que $\chi ... |
Preuve : La topologie engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ est clairement moins fine que la compacte-coûteuse. Soient $K \subseteq G$ compact et $U \subseteq G$ ouvert. Il suffit de montrer que $\forall x \in W(K, U)$, $\exists n$, $\exists K_i, \alpha_i, \varepsilon_i$ tels que $x \in \bigcap_{i=1}^n W(K_... | ||
\begin{proof}~
\begin{itemize}
\item[$\rightarrow$] Si $n_\psi<n_{\chi}$, alors $\OO^{\times}= \bigsqcup\limits_{a \in \OO^{\times} / U_n} a U_n$, (où $n = n_\chi - 1 \geq n_\psi$), donc:
$$
G(\chi, \psi)=\sum_{a \in \OO^{\times} / U_n} \int_{a U_n} \chi(x) \psi(x) \, dx^{\times}=\sum_{a \in \OO^{\times} /... |
Preuve : $\rightarrow$ si $n_\psi<n_\lambda$. $O^x=\frac{1}{a \in O^x / U_n} a U_n, d^{\prime}$ où $^{\prime}$:
\[
G(x, \psi)=\sum_{a \in O^x / U_m} \int_{a U_n} X(x) \psi(x) \, dx^x=\sum_{a \in O^x / U_m} X(a) \int_{U_n} X(x) \psi(a x) \, dx^x
\]
Mais $U_n=1+\pi^* O$ donc $x=1+y$ avec $y \in \pi^m O$ d'où $ay \in \o... | ||
\begin{proof}~ \\
L'équation fonctionnelle vient de celle entre $\mathcal{Z}$ et $\gamma$.
$\frac{\mathcal{Z}(f(x))}{L(\chi)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(s)>0$.
$\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(1-s)>0$ ie $\o... |
Preuve : L'équation fonctionnelle vient de celle entre $Z$ et $\gamma$. $\frac{Z(f(x)}{L(x)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(s)>0$. $\frac{Z\left(\hat{f}, x^2\right)}{L\left(x^2\right)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(1-s)>0$, c'est-à-dire $\operatorname{Re}(s)<1$. $\varepsilon$ est holomorphe.
- Pire... | ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] La condition $(iii)$ détermine la mesure $dx$ sur $F$. Une mesure qui vérifie $(iii)$ est dite autoduale pour le caractère $\psi$.
\item[2)] Rappel: $\operatorname{cond}(\psi) = \mathcal{D}^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{rmk}
|
RQ:
\begin{enumerate}[(1)]
\item La condition (iii) détermine la mesure sur $F$. Une mesure qui vérifie (iii) est dite autoduale pour le caractère $\psi$.
\item Rappel: $\operatorname{cond}(\psi)=D^{-1}$.
\end{enumerate}
| ||
Pour l'inclusion réciproque, on va montrer que $\forall \chi \in W , \; \forall K_1 \subseteq G$ compact $\forall m \geq 1 , \\ W(\chi) := W \cap \chi \cdot W(K_1, N(1 / m))$ est un voisinage de $\chi$ pour $\tau_0$.\\
\ \\
$K$ étant un voisinage compact de $e$ dans $G$, $\exists V$ voisinage ouvert de $e$ dans $G$ t... |
Pour l'inclusion réciproque, on va montrer que $\forall x \in W \quad \forall K_1 \leq G$ compact $\forall m > 1 \quad W \cap X \cdot W\left(K_1, N(1 / m)\right)$ est un voisinage de $X$ pour $\widetilde{\tau}_0$.
$K$ étant un voisinage compact de $1$ dans $G$, $\exists V$ voisinage ouvert de $1$ dans $G$ tel que $V^{... | ||
\begin{Théorème}
Le morphisme canonique
$\left\{\begin{array}{l}
G \rightarrow \widehat{\hat{G}} \\
g \mapsto ev_g
\end{array}\right.$ est un isomorphisme de groupes topologiques.
Ainsi, $G \simeq \hat{\hat{G}}$ naturellement.
\end{Théorème}
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\begin{Théorème}
Le morphisme canonique
$\left\{\begin{array}{l}
G \rightarrow \widehat{\hat{G}} \\
g \mapsto ev_g
\end{array}\right.$ est un isomorphisme de groupes topologiques.
Ainsi, $G \simeq \hat{\hat{G}}$ naturellement.
| ||
\begin{prop}
$\hat{G}$ muni de la topologie compacte-ouverte est un groupe topologique séparé : on l'appelle le dual de Pontryagin de $G$.
\end{prop}
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- PROP = $\hat{G}$ muni de la topologie compacte cumulée est un groupe topologique séparé : On l'appelle le dual de Pontryagin de $G$.
| ||
\begin{defi}
Si $\eta$ est un caractère non trivial de $\OO^{\times}$, on définit son conducteur comme le plus grand idéal $\varpi^n \OO$, $n \geq 1$, tel que $\left.\eta\right|_{1+\varpi^n \OO } \equiv 1$.
\end{defi}
\begin{defi}
Un caractère $\chi$ de $F^*$ est non ramifié si $\left.\chi\right|_{\OO^{\... |
DEF : Si $\eta$ est un caractère non trivial de $\mathcal{O}^x$, on définit son conducteur comme le plus grand idéal $\pi^m \mathcal{O}, n \geqslant 1$, tel que $\left.\eta\right|_{1+\pi^m \mathcal{O}} \equiv 1$.
DEF : Un caractère $X$ de $F^x$ est non ramifié si $\left.X\right|_{\mathcal{O}^x} \equiv 1$. Dans la déc... | ||
\begin{lemme}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour $\Re(s) > 0$, l'intégrale converge absolument. \\
$s \mapsto \mathcal{Z}\left(f, \eta |.|^s\right)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s) > 0$.
\item[(ii)] $s \mapsto \mathcal{Z}\left(f, \eta |.|^s \right)$ admet un prolongement méromorphe à $\mathbb{C}$.
\end{e... |
LEM :
\begin{enumerate}
\item Pour \(\operatorname{Re}(s) > 0\), l'intégrale converge absolument. La fonction \(s \mapsto Z(f, 2^{1.1^s})\) est holomorphe sur le demi-plan \(\operatorname{Re}(s) > 0\).
\item La fonction \(s \mapsto Z(f, \eta \cdot 11^s)\) admet un prolongement méromorphe à \(\mathbb{C}\).
\end{enu... | ||
\begin{proof}(\cref{thm1})~
Nous avions $\hat{f}(y) = \psi(a y) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x y) \,dx$
$$
= \operatorname{Vol}(\varpi^n \OO, dx) \psi(a y) \1_{\varpi^{-n} \mathcal{D}^{-1}}(y)
$$
Donc, $\widehat{\hat{f}} \in C_c^{\infty}(F)$. Maintenant, pour $x \in F$, on calcule :
$$
\begin{aligned}
\widehat{\hat{f}}(... |
\hat{f}(y)=\psi(a y) \int_{\omega^m 0} \psi(x y) d x
=\operatorname{Vol}\left(\varpi^m 0, d x\right) \psi(a y) \mathbb{1}_{\varpi^{-n} D^{-1}}(y)
$$
Donc, $\hat{f} \in C_c^{\infty}(F)$. Maintenant, pour $x \in F$, on calcule:
$$
\begin{aligned}
\hat{\hat{f}}(x) & =\operatorname{Val}\left(\pi^n 0, d x\right) \int_F \f... | ||
\subsection{Calculs auxiliaires}
On cherche à obtenir des formules pour $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}$.\\
Dans ce passage, $\psi$ est un caractère additif non trivial de $F$ avec $n_\psi:=\min \left\{n \in \mathbb{Z}\,\mid \, \psi|_{\varpi^n \OO} \equiv 1\right\}$. \\
$\ch... |
4) Calculs auxiliaires:
- On cherche à obtenir des formules pour $\frac{z(\hat{g}, x^r)}{z(g, x)}$
Dans ce paragraphe, $\Psi$ est un caractère additif non trivial de $F$, $n_\psi:=\# \left\{n \in \mathbb{Z} \mid \psi|_{\pi^n O} \equiv 1\right\}$.
$X$ quant à lui, est un caractère multiplicatif unitaire. On note $U_0=... | ||
\begin{Théorème}~
\label{thm1}
\begin{enumerate}
\item[(i)] L'intégrale converge absolument pour tout $y \in F$.
\item[(ii)] $\hat{f} \in C_c^{\infty}(F)$.
\item[(iii)] $\forall x \in F \quad \widehat{\hat{f}}(x) = f(-x)$ (Formule d'inversion).
\end{enumerate}
\end{Théorème}
|
THM:
\begin{enumerate}[(i)]
\item L'intégrale converge absolument pour tout $y \in F$.
\item $\hat{f} \in C_c^{\infty}(F)$.
\item $\forall x \in F \quad \hat{f}(x)=f(-x)$ (Formule d'inversion).
\end{enumerate}
| ||
Il reste à traiter le cas $f=\1_{\OO}$ :
$$
\begin{aligned}
\int_{F^{\times}}|f|_{\infty}|\chi|_{\infty} & =\int_{F^{\times} \cap \OO }|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \quad(\sigma=\operatorname{Re}(s)) \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\varpi^n \OO^{\times}}|x|^{\sigma} \, dx^{\times} \\
& =\sum_{n=0}^{+\infty} q^{-n \sigm... |
Il reste à traiter le cas \(f = \mathbb{1}_0\) :
\[
\begin{aligned}
\int_{F^x} |f|_{\infty} |x|_{\infty} & = \int_{F^x \cap 0} |x|^{\sigma} \, dx^x \quad (\sigma = \operatorname{Re}(s)) \\
& = \sum_{m=0}^{+\infty} \int_{\omega^m O^x} |x|^{\sigma} \, dx^x \\
& = \sum_{n=0}^{+\infty} 9^{-m \sigma} \operatorname{Vol}(\pi... | ||
\begin{Théorème}
Soit $G$ un groupe topologique (abélien) localement compact.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $G$ est discret, alors $\hat{G}$ est compact.
\item[(ii)] Si $G$ est compact, alors $\hat{G}$ est discret.
\item[(iii)] $\hat{G}$ est un groupe topologique localement compact.
\end{enumerate}
\end{... |
THM : Soit $G$ un groupe topologique (abélien) localement compact.
(i) Si $G$ est discret, $\hat{G}$ est compact.
(ii) Si $G$ est compact, $\hat{G}$ est discret.
(iii) $\hat{G}$ est un groupe topologique localement compact.
| ||
\begin{proof}~
\underline{Séparation} : Soient $\chi, \phi \in \widehat{G}$ avec $\chi \neq \phi$. Il existe $g \in G$ tel que $\chi(g) \neq \phi(g)$. $\exists U \ni \chi(g) \; , \; V \ni \phi(g)$ ouverts tq $U \cap V = \varnothing$. Alors, $W(\{g\}, U) \ni \chi$ et $W(\{g\}, V) \ni \phi$ sont deux ouverts de $\hat{G... |
Preuve : Séparation :
$\exists U \ni X(g) \quad V \ni \Phi(g)$ ouverts de $U$ d'intersection vide. Alors $W(\{g\}, U) \ni X$ et $W(\{g\}, V) \ni \phi$ sont deux ouverts de $\hat{G}$ disjoints.
Injection continue :
$=\{X \in \hat{G} \mid X(k) \subseteq \bar{U}\}$
$=W(K, \bar{U})$ c'est donc une injection.
Produit con... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Soit $f = \underbrace{\left(f - f(0) \1_{\OO}\right)}_{=: g \in C_c^{\infty}(F^*)} + f(0) \1_{\OO}$. \\
Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ est défini par une intégrale sur un compact :
$$
\int_{F^*} |g(x) \chi(x)|_{\infty} \, dx^{\times} = \int_{F^*} |g(x)|_{\infty} |x|^{\Re(... |
Preuve :
\begin{enumerate}
\item \( f = \left(f - f(0) \cdot \mathbb{1}_0\right) + f(0) \cdot \mathbb{1}_0 \). On a \( g \in C_c^{\infty}(F^x) \) défini par :
\[
g =
\begin{cases}
f - f(0) \cdot \mathbb{1}_0 & \text{si } g \neq 0 \\
f(0) \cdot \mathbb{1}_0 & \text{si } g = 0
\end{cases}
\]
On voit que cette inté... | ||
\begin{lemme}
On suppose $n_\chi>0$. Alors:
\begin{align*}
& \rightarrow \text { Si } n_\psi<n_{\chi}, \quad G(\chi, \psi)=0 \\
& \rightarrow \text{Si } n_\psi=n_{\chi}, \quad|G(\chi, \psi)|_{\infty}^2=\frac{|\OO / \mathcal{D} |^{-1 / 2} }{1-q^{-1}} \operatorname{Vol}\left(U_{n_\psi}, dx^{\times}\right) \\
& \rightarr... |
LEMME: On suppose $n_X>0$. Alors :
\begin{align*}
& \rightarrow \text { Si } n_\psi<n_{\chi}, \quad G(\chi, \psi)=0 \\
& \rightarrow \text{Si } n_\psi=n_{\chi}, \quad|G(\chi, \psi)|_{\infty}^2=\frac{|\OO / \mathcal{D} |^{-1 / 2} }{1-q^{-1}} \operatorname{Vol}\left(U_{n_\psi}, dx^{\times}\right) \\
& \rightarrow \text{... | ||
\begin{proof}~
\begin{align*}
\operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx^{\times}) &= \frac{1}{1 - q^{-1}} \int_{\OO^{\times}} \frac{dx}{|x|} \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \int_{\OO^{\times}} dx \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx) \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \big( \operatorname{Vol}(\OO, dx) -... |
Preuve :
\begin{align*}
\operatorname{Vol}\left(O^x, dx^x\right) &= \frac{1}{1-q^{-1}} \int_{O^x} \frac{dx}{|x|} \\
&= \frac{1}{1-q^{-1}} \int_{O^x} dx \\
&= q^{-1} \operatorname{Vol}\left(O_0, dx\right) \\
&= \mid \operatorname{Vol}(O, dx) \\
&= \frac{1}{1-q^{-1}}\left(\operatorname{Vol}(O, dx)-\overline{\operatorna... | ||
\begin{proof}~
\underline{Unicité} : Si $a, b \in \mathbb{Q}_{p}$ vérifient $\forall x \in \mathbb{Q}_{p} \quad \psi_{p}(a x)=\psi_{p}(b x)$, alors pour tout $x \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi_{p}((a-b)x)=0$, c'est-à-dire $(a-b) x \in \mathbb{Z}_{p}$. Ceci implique $a-b=0$, sans quoi $(a-b) \cdot \varpi^{-v_{p}(a-b)-1... |
Preuve: Unicité:
Si $a, b \in \mathbb{Q}_{\uparrow}$ vérifient $\forall x \in \mathbb{Q}_{\uparrow} \quad \psi_{\uparrow}(a x) = \psi_{\uparrow}(b x)$,
on a pour tout $x \in \mathbb{Q}_{\uparrow}: \quad \psi_{\uparrow}(a-b) x = 0$ (ie $(a-b) x \in \mathbb{Z}_{\uparrow}$). Ceci implique $a-b=0$, sauf si $(a-b) \cdot \o... | ||
\begin{defi}
Le bidual de $G$ est le dual $\widehat{\hat{G}}$ de $\hat{G}$.
\end{defi}
Pour chaque $g \in G$, on dispose d'un morphisme de groupes $ev_{g}: \widehat{G} \longrightarrow \mathbb{U}$ défini par $\chi \mapsto \chi(g)$. \\
Pour voir que $ev_{g}$ est continue, il suffit de montrer que $\mathrm{ev_{g}}^{-1... |
- DEF: Le bidual de $G$ est le dual $\hat{\widehat{G}}$ de $\hat{G}$.
On dispose d'un morphisme de groupes evaluation:
$$
\mathrm{ev}_g: \hat{G} \longrightarrow \mathbb{C}^*, \quad X \mapsto X(g)
$$
pour chaque $g \in G$. Pour montrer que $\mathrm{ev}_g$ est continue, il suffit de montrer que $\mathrm{ev}_g^{-1}(N(1)... | ||
\subsection{Fonctions zêtas locales (p-adiques)}
\begin{defi}
Un caractère multiplicatif de $F^{*}$ est un morphisme continu $\chi:(F^{*}, \times) \rightarrow(\mathbb{C}^*, \times)$.
\end{defi}
\begin{prop}
\label{prop1}
Tout caractère multiplicatif $\chi:F^{*} \rightarrow \mathbb{C}^*$ s'écrit $\chi=\... |
3) Fonctions zêtas locales (p-adiques):
- DEF : Un caractère multiplicatif de $F^*$ est un morphisme continu $X : (F^*, \times) \rightarrow (\mathbb{C}^*, \times)$.
PROP : Tout caractère multiplicatif $X : F^* \rightarrow \mathbb{C}^*$ s'écrit $X = \eta \cdot 1 \cdot 1^s$ où $\eta : \mathbb{Q}_p^* \rightarrow \mathbb... | ||
Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si $n_\chi>0$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{Z}(g, \chi)=\int_{F^{\times}} g(x) \chi(x) \, dx^{... |
Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si $n_X > 0: \quad Z(g, X)=\int_{F^x} g(x) X(x) \, dx^x$
$$
\begin{aligned}
& =\int_{F^x \cap \... | ||
\begin{lemme}
Si $n_\chi>0$, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ admet un prolongement holomorphe qui ne s'annule jamais.
\end{lemme}
\begin{proof}~
En effet, on a pour $\Re(s) > 0$ :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = q^{-\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G\left(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right) .
$$
\end{proof}
\begin{lemme}
Si $n_... |
LEM = si $m_x > 0$, $z(g, X)$ admet un prolongement holomorphe qui ne s'annule jamais. En effet, on a pour $\operatorname{Re}(s) > 0$ :
$$
z(g, x)=q^{-\left(m_\psi-n_X\right) s} G\left(\eta, \psi_{\omega^{m_\psi-n_X}}\right)
$$
LEM: si $n_X=0$, c'est-à-dire si $\eta \equiv 1$, on a $z(g, x)=\frac{V_0\left(O^x, d x^x\... | ||
\begin{defi}
Le conducteur d'un caractère additif $\psi$ non trivial est l'idéal fractionnaire $\varpi^n \OO$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ et $\varpi^{n-1} \OO \nsubseteq \operatorname{Ker} \psi$. \\
On le note $\operatorname{Cond}(\psi)$.
\end{defi}
\subsubsection*{Construction des ca... |
- DEF: Le conducteur d'un caractère additif $\psi$ non trivial est l'idéal fractionnaire $\varpi^m O$ tel que : $\varpi^n O \leq \operatorname{Ker} \psi$ et $\varpi^{n-1} O \nsubseteq \operatorname{Ker} \psi$. On le note $\operatorname{cond}(\psi)$.
- Construction des caractères additifs de $\mathbb{Q}_p$ :
| ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Soit $U \ni 1$ un ouvert de $\C^*$.\\
$\eta^{-1}(U)$ est un ouvert contenant $1$. Il existe donc $n \geq 1$ tel que $1+\varpi^n \OO \subseteq \eta^{-1}(U)$. \\
Si $U$ est assez petit, on sait que le seul sous-groupe de $C^*$ inclus dans $U$ est $\{1\}$. \\
Pour un tel $U... |
Preuve :
(i) Soit $U \ni 1$ un voisinage de $C^*$.
$\eta^{-1}(U)$ est un voisinage contenant $1$.
Il existe donc $n \rightarrow 1$ tel que $1+\pi^{2n}\mathcal{O} \leq \eta^{-1}(u)$.
Si $U$ est assez petit, on sait que le seul sous-groupe de $C^*$ inclus dans $U$ est $\{1\}$. Pour un tel $U$, $\eta(1+\bar{\omega}^{\inf... | ||
\begin{rmk}
\begin{enumerate}
\item[1)] $\1$ est le caractère trivial : $\forall g \in G \; , \; \1(g) = 1$, alors on a $B_K(\1, \varepsilon) = W(K, B(1, \varepsilon))$ c'est donc un ouvert, et $B_K(\chi, \varepsilon) = \chi \cdot B_K(\1, \varepsilon)$ l'est aussi.
\item[2)] Soient $m \geq 1$ un entier et $V... |
RQ : (1) est le caractère trivial : $\forall g \in G \quad \mathbb{M}(g) = 1$. Alors $B_K(1, \varepsilon) = W(K, B(1, \varepsilon))$ est un ouvert, et $B_K(X, \varepsilon) = X \cdot B_K(1, \varepsilon)$ est aussi un ouvert.
G) Soient $m$ un entier et $V$ une partie de $G$. On note $V^{(m)}$ l'image de $V^m$ par $\lef... | ||
\begin{rap}
Si $G$ est séparable et $\exists D \subseteq G$ dénombrable et dense, alors la topologie est $\sigma$-compacte.
\end{rap}
|
Rappel : Si $G$ est séparable et $\exists D \subseteq G$ dénombrable et dense alors $G$ est $\sigma$-compact.
| ||
\begin{proof}~
Si $n_\chi>0$, on a pour $\Re(s)<1$ : \\
$\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=\int_{F^*} \hat{g}(x) \chi^\vee(x) dx^\times=| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{n_\chi-n_\psi} \underbrace{\int_{-U_{n_\chi}} \chi^\vee(x) dx^\times}_{ = \chi^\vee (-1) \operatorname{Vol}(U_{n_\chi},dx^\times)} $. \\
\ ... |
Preuve: Si $m_x>0$, on a pour $\operatorname{Re}(s)<1$ : $\quad=X^2(-1) V_0\left(U_{m_x} d x^x\right)$
$$
Z\left(\hat{g}, X^v\right)=\int_{F^x} \hat{g}(x) X^v(x) \, dx^x=10 /\left.\mathscr{D}\right|^{-1 / 2} q^{n_x-n_\psi} \int_{-U_{n_x}} X^v(x) \, dx^x
$$
or $\eta(-1)= \pm 1$ et $x^2(-1)=\overline{\eta(-1)}=\overline... | ||
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)^{p^n}=\psi(1)=1$, ainsi, $\exists a_n \in \mathbb{Z}$ tel que $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$. \\
On prend bien sûr $a_0=1$ (car $\psi(1) = 1)$. \\
De plus, $\psi\left(\frac{1}{p^{n+1}}\right)^{p}=\psi\left(\frac{1}{p^n}\righ... |
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi\left(\frac{1}{p^m}\right)^{p^n}=\psi(1)=1$.
Ainsi, $\exists a_n \in \mathbb{Z}^{\Gamma^n}$ tel que $\psi\left(\frac{1}{\Gamma^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{\Gamma^n}}$.
On prend bien sûr $a_0=1$, et donc $a_{m+1}^{\uparrow-a_n} \in p^n \mathbb{Z}^2 \in p^n \mathbb{Z}_{\uparrow}$.
Cel... | ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] $|\chi(\varpi)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0$, (car $\chi(\varpi)=|\varpi|^s=e^{-s \log q}$).
\item[2)] $\OO^{\times}$ est compact donc $\widehat{\OO^{\times}}$ est discret.\\
De $F^*=\OO^{\times} \times \mathbb{Z}$, on tire $\widehat{F^*}=\widehat{\OO^{... |
RQ $|X(\omega)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0 \quad X(m)=|\omega|^s=e^{-s \log q}$.
$\mathcal{O}^x$ est compact, donc $\hat{\mathcal{O}^x}$ est discret.
T compact, à voir comme $\hat{\mathbb{Z}}=\mathbb{U}$.
L'ensemble des caractères de $F^x$ (avec aussi ceux qui ne sont pas unitaires) est une réunion disj... | ||
\begin{lemme}
La topologie compacte-ouverte est engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ avec $K \subseteq G$ compact, $\alpha \in \U $, $\varepsilon > 0$.
\end{lemme}
|
LEM : La topologie compacte-coûteuse est engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ avec $K \subseteq G$ compact, $\alpha \in U$, $\varepsilon > 0$.
| ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] En considérant $B(1, \varepsilon)$ dans $\mathbb{C}^*$, on observe que $\psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$ est un ouvert de $F$ qui contient $0$. \\
Il existe donc $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$, d'où $\psi(\varpi^n \OO) \s... |
Preuve:
(i) Considérons $B(1, \varepsilon)$ dans $\mathbb{C}^*$. Alors $\psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$ est un ouvert de $F$ contenant $0$. Il existe donc $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\omega^m O \subseteq \psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$, d'où $\psi\left(\omega^m O\right) \subseteq B(1, \varepsilon)$.
Ici, $O$ est un idéal... | ||
\begin{lemme}
Soit $G$ un groupe topologique localement compact.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Un morphisme de groupe $\chi: G \rightarrow \U$ est continu si et seulement si $\chi^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e:=1_G$.
\item[(ii)] La famille des $W(K, N(1))$ indexée par les compacts $K$ de $G$ est un... |
LEM : Soit $G$ un groupe topologique localement compact.
(i) Un morphisme de groupe $X: G \rightarrow \mathbb{U}$ est continu si $X^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e := 1_G$.
(ii) La famille des $W(K, N(1))$ indexée par les compacts $K$ de $G$ est une base de voisinages de $1$.
| ||
\begin{prop}
L'espace vectoriel complexe $C_c^{\infty}(F)$ est engendré par les fonctions caractéristiques des ensembles $a+\varpi^n \OO$, $n \in \mathbb{Z}$, $a \in F$.
\end{prop}
\begin{proof}~
Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. \\
En effet, $\operatorname{supp}(f)=\bigcup\l... |
PROP : L'espace vectoriel complexe $C_C^{\infty}(F)$ est engendré par les fonctions caractéristiques des ensembles $a+\omega^n \mathcal{O}$, $n \in \mathbb{Z}$, $a \in F$.
Preuve : Si $f \in C_C^{\infty}(F)$, elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs. En effet, $\sup (f)=\bigcup_{x \in \text{supp}(f)} U_x$ où $U_x$ ... | ||
\begin{proof}~{(Corollaire)}
On applique le lemme à $V=G$ où $G$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ et à $\chi=Id$.
$G^{(m)} \subseteq G \subseteq N(1)$ d'où $\forall m \, , \, G \subseteq N\left(\frac{1}{m}\right) $ et donc $G \subseteq \bigcap\limits_{m \geqslant 1} N\left(\frac{1}{m}\right) = ... |
Preuve : On applique le lemme à $V=G$ où $G$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ et à $X=\text{Id}$.
$G^{|m|} \leq G \leq N(1)$ d'où $G \leq N\left(\frac{1}{m}\right) \forall m$ d'où $G \leq \bigcap_{m \geqslant 1} N\left(\frac{1}{m}\right) = \{1\}$.
LEM (Lemme) = LEM liste $= \forall r \geqslant ... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] $|f(x) \psi(x y)|_{\infty} = |f(x)|_{\infty}$, donc l'intégrale est absolument convergente (on a même $x \mapsto f(x) \psi(x y)) \in C_c^{\infty}(F)$). \\
L'intégrale qui définit $\hat{f}$ a donc un sens.
\item[(ii),(iii)] Par linéarité, il suffit de prouver le t... |
Preuve:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $|f(x) \psi(x y)|_{\infty}=|f(x)|_{\infty}$, donc l'intégrale est absolument convergente (car $(x \mapsto f(x) \psi(x y)) \in C_c^{\infty}(F)$).
L'intégrale qui définit $\hat{f}$ a donc un sens. Prenons $a \in F$ et calculons:
\[
\begin{aligned}
\hat{f}(a y... | ||
\begin{prop} (Formule de Plancherel) Soient $f, g \in C_c^{\infty}(F)$. \\
On a $f \hat{g}, \hat{f g} \in C_c^{\infty}(F)$ et:
$$
\int_F f(x) \hat{g}(x) d x=\int_F \hat{f}(x) g(x) d x
$$
\end{prop}
|
PROP (Formule de Plancherel):
Les deux intégrales sont définies et égales.
Soient $f, g \in C_c^{\infty}(F)$. On a $f \hat{g}, \hat{f g} \in C_c^{\infty}(F)$ et :
$$
\int_F f(x) \hat{g}(x) \,dx = \int_F \hat{f}(x) g(x) \,dx
$$
| ||
\begin{lemme}
L'intégrale converge absolument pour $\Re(s)>0$, et est holomorphe sur ce domaine.
\end{lemme}
\begin{theorem}
Soit $\chi = \eta | \cdot |^s$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathcal{S}(F)$, la fonction $\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}$ est holomorphe sur $\Re(s) > 0$ et admet un prolongemen... |
\textbf{LEM:} L'intégrale converge absolument pour $\operatorname{Re}(s)>0$ et est holomorphe sur ce domaine.
\textbf{THM:} Soit $x=\eta 11^5$. On a pour toute $f \in \mathscr{H}(F)$ :
$$
\frac{Z(f, x)}{L(x)} \text{ est holomorphe sur } \operatorname{Re}(s)>0, \text{ et admet un prolongement holomorphe à }\mathbb... | ||
\begin{proof}~
Il suffit de prouver le corollaire pour $\psi_0 : x \mapsto \psi_p ( \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(x)$ car alors pour chaque $\psi \neq \1$, il existe $a \in \mathbb{Q}_{p}^*$ tel que $\psi=\left(\psi_0\right)_a$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\a{1.5} \def\b{2}
\path
(-\a,0) node (A) {$F$} ... |
Preuve : Il suffit de prouver le contraire pour $\Psi_0: x \mapsto \psi_T\left(\tau_{F / Q_T}(x)\right)$, car alors si $\psi \neq 1$, $\exists a \in \mathbb{Q}_p^k$ tel que $\psi=(\psi_0)_a$.
$$
\left(\psi_b=(\psi_0)_{a b}\right)
$$
On prend donc $\psi=\psi_0$ comme référence. $\theta$ est un morphisme bijectif, il fa... | ||
\begin{proof}~
Pour $\Re(s) > 0$, on a :
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(g, \chi) &= \int_{F^*} g(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
&= \overset{\text{nuls si } k < n_\psi}{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}} \int_{\varpi^k \OO^{\times}} \1_{\varpi^{n_\psi} \OO}(x) \psi(x) \overbrace{\chi(x)}^{=|x|^s=q^{-ks}} \, dx^{\times} \\
... |
Preuve $=\operatorname{Pour} \operatorname{Re}(s)>0$, on a: termes nuls si $k<n_\psi \quad=|x|^s=q^{-k s}$
$$
\begin{aligned}
Z(g, X)=\int_{F^x} g(x) X(x) \, dx^x & =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \int_{\pi^k O^x} \mathbb{1}_{\pi^{m_\psi} O}(x) \psi(x) X(x) \, dx^x \\
& =\sum_{k=n_\psi}^{+\infty} q^{-k s} \int_{\sigma^k O... | ||
\underline{Continuité de $\theta^{-1}$} : \\
Là encore, il suffit de montrer que $\theta(B(0, \varepsilon))$ est un voisinage de $\1$ dans $\hat{F}$. \\
On souhaite donc trouver $K \subseteq F$ compact et $m \geq 1$ tels que $W(K, N(1 / m)) \subseteq \theta(B(0, \varepsilon))$.
Soit $x \in F$ tel que $\psi_0(x) \neq ... |
Continuité de $\theta^{-1}$ :
Là encore, il suffit de montrer que $\theta(B(0, \varepsilon))$ est un voisinage de 1 dans $\hat{F}$. On souhaite donc trouver $K \subseteq F$ compact et $m \geqslant 1$ tels que $W(K, N(1 / m)) \subseteq \theta(B(0, \varepsilon))$.
Soit $x \in F$ tel que $\psi_0(x) \neq 1$. $\exists m \... | ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] Cette décomposition dépend fortement du choix de $\varpi$.
\item[2)] $\chi |_{\OO^{\times}}=\eta |_{\OO^{\times}}$, $\eta$ est donc déterminé par $\chi$.
\item[3)] $\chi(\varpi)=\mid \varpi\mid^s=q^{-s}=e^{-s \log q}$. \\
$s$ est donc bien défini mod... |
C $R Q$ :
(1) Cette décomposition dépend fortement du choix de $\omega$.
(2) $\left.x\right|_{\mathcal{O}^x} = \eta \mid_{\mathcal{O}^x}$, $\eta$ est donc déterminé par $x$.
(3) $x(\pi) = |\pi|^s = q^{-s} = e^{-s \log q}$
$s$ est donc bien défini modulo $\frac{2 i \pi}{\log q} \mathbb{Z}$. En particulier, $\operatorna... | ||
\begin{EX}
\begin{enumerate}
\item Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple, $x \mapsto |x|$).
\item Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f|_{F^*}$ est localement constante.\\
~- Si $f(0) = 0$, alors $\exists U$ voisinage de $0$ avec $f(U) = 0$. \\
Da... |
EX :
(1) Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple $x \mapsto |x|$).
(2) Pour $f \in C_C^*(F)$, $\left.f\right|_{F^*}$ est localement constante.
$\rightarrow S_i f(0)=0$, alors $\exists u$ voisinage ouvert de 0 avec $f(u)=0$.
Dans ce cas, $\sup (f) \subseteq F \mi... | ||
\begin{proof}~
Par le lemme précédent, un voisinage $V$ de $\chi$ contient un $\bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \ni \chi$. \\
On note $m_i := \sup\limits_{k \in K_i} |\chi(k_i) - \alpha_i| < \varepsilon_i$. Prenons $0 < \eta < \min\limits_{1 \leq i \leq n} \frac{\v... |
Preuve : Par le lemme précédent, un voisinage $V$ de $X$ contient un $k^n \in \prod_{i=1}^n W(K_i, B(\alpha_i, \varepsilon_i))$ tel que $X \in \prod_{i=1}^n W(K_i, B(\alpha_i, \varepsilon_i))$. On a $m_i := \sup_{k \in K_i} \lvert X(k_i) - \alpha_i \rvert < \varepsilon_i$. Choisissons $0 < \eta < \min_{1 \leq i \leq n... | ||
\begin{rmk}~
On peut regarder l'ensemble des $\mathcal{Z}(f, \chi)$ pour $f \in C_c^{\infty}(F)$ comme une partie de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$. \\
Il s'agit en fait d'un sous-$\mathbb{C}[q^{\pm s}]$-module qui contient $1$. \\
C'est donc un idéal fractionnaire de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right... |
Rmk : On peut regarder l'ensemble des $Z(f, X)$ pour $f \in C_c^{\infty}(F)$ comme une partie de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$. Il s'agit en fait d'un sous-$\mathbb{C}[q \pm 5]$-module qui contient 1. C'est donc un idéal fractionnaire de $\mathbb{C}\left(q^{-5}\right)$ engendré par $\frac{1}{P\left(q^{-5}\right)}$, ... | ||
Soit $dx$ la mesure de Haar sur $F$ normalisée comme avant. \\
Alors $dx^{\times} = \frac{1}{1 - q^{-1}} \frac{dx}{|x|}$ est une mesure de Haar normalisée sur $F^*$.
\begin{lemme}
$\operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx^{\times}) = \operatorname{Vol}(\OO, dx) = |\OO/\mathcal{D}|^{-1/2}$
\end{lemme}
|
Soit $dx$ la mesure de Haar sur $F$ normalisée comme avant. \\
Alors $dx^{\times} = \frac{1}{1 - q^{-1}} \frac{dx}{|x|}$ est une mesure de Haar normalisée sur $F^*$.
LEM : $\operatorname{Vol}\left(O^x, dx^x\right)=\operatorname{Vol}(O, dx)=|O / D|^{-1 / 2}$
| ||
\begin{rmk}
Dans un cadre global, pour un corps de nombres $K / \mathbb{Q}$, on a donc, pour presque tout $p$ : $\forall v \mid p$, la forme $\alpha=\operatorname{Tr}_{K_v / \Q_p} p$ est à déterminant (dans une $\mathbb{Z}_{p}$-base de $\OO_{K_v}$) dans $\OO_{K_v}^*$. Dans ce cas, $\mathcal{D}_{K_v / \mathbb{Q}_p}... |
- REMARQUE : Dans un cadre global, pour un corps de nombres $K / \mathbb{Q}$, on a donc une paire presque partout $p: \forall v \mid p$, la forme $\alpha=\tau_{K_v / Q_p}$ est à
PROP : Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi: \left\{
\begin{array}{l}
F \rightarrow \mathbb{C}^... | ||
Équation fonctionnelle:
À $\chi$, est associé $\chi^{\vee}$ tel que $\chi^{\vee}(x) = |x| \chi(x)^{-1} = |x| \bar{\eta(x)} |x|^{-s}$,
$$
\left. \qquad \qquad \; \; = \bar{\eta}(x) |x|^{1-s} \right.
$$
En quelque sorte, $\vee: \left\{
\begin{array}{l}
\eta \leftrightarrow \vec{\eta} \\
s \leftrightarrow 1-s
\end{arra... |
Équation fonctionnelle :
Pour \( X \), on considère \( X^v \) tel que \( X^v(x) = |x| X(x)^{-1} = |x| \overline{\eta(x)}|x|^{-5} \).
\[
X^v(x) = \bar{\eta}(x)|x|^{1-5}
\]
En d'autres termes, \( v : \{\eta \leftrightarrow \bar{\eta}, s \leftrightarrow 1-s\} \).
| ||
On considère $W_0 = \{\chi \in \hat{G}_0 \mid \chi(K) \subseteq \overline{N(1 / 4)}\}$ et $W = W(K, \overline{N(1 / 4)})$ et on veut montrer que $W$ est compact.
$W_0$ l'est, car il est fermé dans $\hat{G}_0$ qui est compact par (i).\\
\ \\
Bien sûr, $W \subseteq W_0$.
Mais on a aussi $W_0 \subseteq W$, car si $K \su... |
On considère $W_0 = \left\{X \in \hat{G}_0 \mid X(K) \leq \overline{N(1 / 4)}\right\}$ et $W = W(K, \overline{N(1 / 4)})$. On veut montrer que $W$ est compact. $W_0$ l'est, car il est fermé dans $\hat{G}_0$ qui est compact par (i).
De plus, $W \subset W_0$.
Mais on a aussi $W_0 \subseteq W$, car si $K \subseteq X^{-1}... | ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item Si $\chi=\chi^\vee$ on a $1-s=s$ c'est-à-dire $s=1/2$
et $\eta=\bar{\eta}$, c'est-à-dire $\eta$ est réel. \\
Ainsi $\chi(-1)= \pm 1$ et $\varepsilon(\chi, \psi)^2=\chi(-1)$ donc $\varepsilon(\chi, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
&\varepsilon... |
\textbf{RQ:}
\begin{enumerate}
\item Si $X=X^2$ alors $1-S=S$ c'est-à-dire $S=1/2$ et $\eta=\bar{\eta}$, donc $\eta$ est réel. De plus, $x(-1)=\pm 1$ et $\varepsilon(x, \psi)^2=x(-1)$, donc $\varepsilon(x, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
... | ||
\begin{prop}
Soit $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \C^*$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item[i)] $\eta$ est localement constant, son noyau contient un sous-groupe ouvert compact $1+\varpi^n \OO$ avec $n$ assez grand.
\item[ii)] Im($\eta$) est un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$ (d... |
- PROP : Soit $\eta : \mathbb{Q}_p^* \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère multiplicatif.
(i) $\eta$ est localement constant, son noyau contient un 1-sous-groupe compact $1+\sqrt{\omega}\mathcal{O}$ avec $n$ assez grand.
(ii) Im $\eta$ est un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$ (donc à valeurs dans $\mathbb{U}_{\infty... | ||
\begin{proof}(\cref{lem2})~
Par définition du conducteur, on a : $\left.\psi\right|_{\varpi^m \OO} \equiv 1, \left.\psi\right|_{\varpi^{m-1} \OO} \not \equiv 1 \text {. }$ \\
Donc, si $n \geqslant m$, on a $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^m \OO$ et l'intégrale vaut $\operatorname{Vol}(\varpi^m \OO, dx)$. \\
Supposons ... |
Preuve: $\left.\psi\right|_{\varpi^m O} \equiv 1, \left.\psi\right|_{\varpi_{\omega-1}^{m-1}} \neq 1.$
Donc si $n \geqslant m$, on a $w^n O \leqslant \varpi^m O$ et l'intégrale vaut $\operatorname{Vol}(\varpi^m O, dx)$.
Si $n<m$, $\exists a \in \omega^0 O$ tel que $\psi(a) \neq 1$. Alors,
$$
\begin{aligned}
& \i... | ||
\subsection{Fonctions zêta archimédiennes:}
- On prend $F=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On fixe un caractère additif de $F$ :
$$
\psi_{\mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{U}, x \mapsto e^{-2 i \pi x}
$$
$$
\psi_{\mathbb{C}}=\psi_{\mathbb{R}} \circ T_{\mathbb{C}}.
$$
On considère la mesure de Lebesgue $dx$ sur $... |
\textbf{6) Fonctions thêta archimédiennes:}
On prend $F=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On fixe un caractère additif de $F$:
$$
\psi_{\mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow U, x \mapsto e^{-2 i \pi x}
$$
$$
\psi_{\mathbb{C}}=\psi_{\mathbb{R}} \circ \operatorname{tr}_{C_{\mathbb{R}}}
$$
avec $z=x+... | ||
\underline{Continuité de $\theta$} : \\
Il suffit de voir que $\theta^{-1}(W(K, N(1)))$ est un voisinage de $0$ dans $F$, pour les $K \subseteq F$ compact. \\
Or, $\theta^{-1}(W(K, N(1)))=\left\{a \in F \mid \psi_0(a K) \subseteq N(1)\right\}.
$ Comme $K$ est compact, on peut trouver $\varepsilon > 0$ tel que $B(0, \v... |
Continuité de $\theta$ :
Il suffit de voir que $\theta^{-1}(W(K, N(1)))$ est un voisinage de 0 dans $F$, puisque les $W(K, N(1))$, pour $K$ compact dans $F$, forment une base de voisinages de 1 dans $\hat{F}$.
Or, $\theta^{-1}(W(K, N(1)))=\left\{a \in F \mid \psi_0(a K) \subseteq N(1)\right\}$. $K$ étant compact, on p... | ||
\begin{defi}
On définit aussi le facteur \(L\) par: \(L(\chi):=\left\{\begin{array}{lc}1 &\text {si $\chi$ non ramifié, ie si } n_\chi > 0 \\
\frac{1}{1-\chi(\varpi)}=\frac{1}{1-q^{-s}} &\text{sinon}\end{array}\right.\)
Et le facteur epsilon : \(\varepsilon(\chi, \psi)=\gamma(\chi, \psi) \f... |
- DEF: On définit aussi le facteur $L$ par : $L(X):=\left\{\begin{array}{l}1 \text { si } X \text { ramifié } \\ \frac{1}{1-X(x)}=\frac{1}{1-q^{-5}}\end{array}\right.$ sinon et le facteur epsilon $=\quad \varepsilon(X, \psi)=\gamma(X, \psi) \frac{L(X)}{L\left(X^v\right)}$.
PROP: La fonction $\varepsilon$ est holomor... | ||
\begin{proof}~
$\int_F f(x)\left(\int_F g(y) \psi(x y) d y\right) d x=\int_{F \times F} f(x) g(y) \psi(x y)(d x d y)$
par Fubini, autorisé car $\int_F|f(x)|_{\infty} \int|g(y)|_{\infty} d y d x<+\infty$.\\
L'expression est symétrique en $f$ et $g$, d'où le résultat.
\end{proof}
|
Preuve :
$$
\int_F f(x)\left(\int_F g(y) \psi(x y) \,dy\right) \,dx = \int_{F \times F} f(x) g(y) \psi(x y) \,(dx \,dy)
$$
par Fubini, autorisé car $\int_F|f(x)|_{\infty} \int |g(y)|_{\infty} \,dy \,dx < +\infty$. L'expression est symétrique en $f$ et $g$, d'où le résultat. ㅁ
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