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MCM_CN/1992/92建模题目/92建模题目.md

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+# 1992年第1届全国大学生数学建模竞赛
+
+# A 题 施肥效果分析
+
+某地区作物生长所需的营养素主要是氮（ $N$ ），钾（ $K$ ），磷（ $P$ ）。某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表格所示，其中  $ha$  表示公顷， $t$  表示吨， $kg$  表示公斤，当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于  $N$  的施肥量做实验时， $P$  与  $K$  的施肥量分别取为  $196kg / ha$  与  $372kg / ha$ 。
+
+试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价.
+
+土豆：
+
+<table><tr><td colspan="2">N</td><td colspan="2">P</td><td rowspan="12"></td><td colspan="2">K</td></tr><tr><td>施肥量 (kg /ha)</td><td>产量 (t /ha)</td><td>施肥量 (kg /ha)</td><td>产量 (t /ha)</td><td>施肥量 (kg /ha)</td><td>产量 (t /ha)</td></tr><tr><td>0</td><td>15.18</td><td>0</td><td>33.46</td><td>0</td><td>18.98</td></tr><tr><td>34</td><td>21.36</td><td>24</td><td>32.47</td><td>47</td><td>27.35</td></tr><tr><td>67</td><td>25.72</td><td>49</td><td>36.06</td><td>93</td><td>34.86</td></tr><tr><td>101</td><td>32.29</td><td>73</td><td>37.96</td><td>140</td><td>38.52</td></tr><tr><td>135</td><td>34.03</td><td>98</td><td>41.04</td><td>186</td><td>38.44</td></tr><tr><td>202</td><td>39.45</td><td>147</td><td>40.09</td><td>279</td><td>39.73</td></tr><tr><td>259</td><td>43.15</td><td>196</td><td>41.26</td><td>372</td><td>38.43</td></tr><tr><td>336</td><td>43.46</td><td>245</td><td>42.17</td><td>465</td><td>43.87</td></tr><tr><td>404</td><td>40.84</td><td>294</td><td>40.36</td><td>258</td><td>42.77</td></tr><tr><td>471</td><td>30.75</td><td>342</td><td>42.73</td><td>251</td><td>65.22</td></tr></table>
+
+生菜：  
+
+<table><tr><td colspan="2">N</td><td rowspan="12"></td><td colspan="2">P</td><td rowspan="12"></td><td colspan="2">K</td></tr><tr><td>施肥量 (kg /ha)</td><td>产量 (t /ha)</td><td>施肥量 (kg /ha)</td><td>产量 (t /ha)</td><td>施肥量 (kg /ha)</td><td>产量 (t /ha)</td></tr><tr><td>0</td><td>11.02</td><td>0</td><td>6.39</td><td>0</td><td>15.75</td></tr><tr><td>28</td><td>12.07</td><td>49</td><td>9.48</td><td>47</td><td>16.76</td></tr><tr><td>56</td><td>14.56</td><td>98</td><td>12.46</td><td>93</td><td>16.89</td></tr><tr><td>84</td><td>16.27</td><td>147</td><td>14.33</td><td>140</td><td>16.24</td></tr><tr><td>112</td><td>17.75</td><td>196</td><td>17.10</td><td>186</td><td>17.56</td></tr><tr><td>168</td><td>22.59</td><td>294</td><td>21.94</td><td>279</td><td>19.20</td></tr><tr><td>224</td><td>21.63</td><td>391</td><td>22.64</td><td>372</td><td>17.97</td></tr><tr><td>280</td><td>19.34</td><td>489</td><td>21.34</td><td>465</td><td>15.84</td></tr><tr><td>336</td><td>16.12</td><td>587</td><td>22.07</td><td>558</td><td>20.11</td></tr><tr><td>392</td><td>14.11</td><td>685</td><td>24.53</td><td>651</td><td>19.40</td></tr></table>
+
+试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价.
+
+# B题 实验数据分解
+
+组成生命蛋白质的若干种氨基酸可形成不同的组合。通过质谱试验测定分子量来分析某个生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题主是如何将它的分子量  $X$  分解为几个氨基酸的已知分子量  $a[i] (i = 1, 2, \dots, n)$  之和。某实验室所研究的问题中：
+
+$$
+n = 1 8,
+$$
+
+$a[1:18] = 57, 71, 87, 97, 99, 101, 103, 113, 114, 115, 128, 129, 131, 137, 147, 156, 163, 186.$
+
+$x$  为正整数  $\leq 1000$
+
+针对该实验室拥有或不拥有微型计算机的情况，对上述问题提出你们的解答，并就所研讨的数学模型与方法在一般情形下进行讨论.

MCM_CN/1992/A题/1992年A题 施肥效果分析/1992年A题 施肥效果分析.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+(N), (P), (K)。
+
+ha kg
+
+N 195kg/ha 372kg/ha。
+
+<table><tr><td colspan="2">N</td><td colspan="2">P</td><td colspan="2">K</td></tr><tr><td>(kg/ha)</td><td>(t/ha)</td><td>(kg/ha)</td><td>(t/ha)</td><td>(kg/ha)</td><td>(t/ha)</td></tr><tr><td>0</td><td>15.18</td><td>0</td><td>33.46</td><td>0</td><td>18.98</td></tr><tr><td>34</td><td>21.36</td><td>24</td><td>32.47</td><td>47</td><td>27.35</td></tr><tr><td>67</td><td>25.72</td><td>49</td><td>36.06</td><td>93</td><td>34.86</td></tr><tr><td>101</td><td>32.29</td><td>73</td><td>37.96</td><td>140</td><td>38.52</td></tr><tr><td>135</td><td>34.03</td><td>98</td><td>41.04</td><td>186</td><td>38.44</td></tr><tr><td>202</td><td>39.45</td><td>147</td><td>40.09</td><td>279</td><td>37.73</td></tr><tr><td>259</td><td>43.15</td><td>196</td><td>41.26</td><td>372</td><td>38.43</td></tr><tr><td>336</td><td>43.46</td><td>245</td><td>42.17</td><td>465</td><td>43.87</td></tr><tr><td>404</td><td>40.83</td><td>294</td><td>40.36</td><td>558</td><td>42.77</td></tr><tr><td>471</td><td>30.75</td><td>342</td><td>42.73</td><td>651</td><td>46.22</td></tr></table>
+
+<table><tr><td colspan="2">N</td><td colspan="2">P</td><td colspan="2">K</td></tr><tr><td>(kg/ha)</td><td>(t/ha)</td><td>(kg/ha)</td><td>(t/ha)</td><td>(kg/ha)</td><td>(t/ha)</td></tr><tr><td>0</td><td>11.02</td><td>0</td><td>6.39</td><td>0</td><td>15.75</td></tr><tr><td>28</td><td>12.70</td><td>49</td><td>9.48</td><td>47</td><td>16.76</td></tr><tr><td>56</td><td>14.56</td><td>98</td><td>12.46</td><td>93</td><td>16.89</td></tr><tr><td>84</td><td>6.17</td><td>147</td><td>14.33</td><td>140</td><td>16.24</td></tr><tr><td>112</td><td>17.25</td><td>196</td><td>17.10</td><td>168</td><td>17.56</td></tr><tr><td>168</td><td>22.59</td><td>294</td><td>21.94</td><td>279</td><td>19.20</td></tr><tr><td>224</td><td>21.63</td><td>394</td><td>22.64</td><td>372</td><td>17.97</td></tr><tr><td>280</td><td>19.34</td><td>489</td><td>21.34</td><td>465</td><td>15.84</td></tr><tr><td>336</td><td>16.12</td><td>587</td><td>22.07</td><td>554</td><td>20.11</td></tr><tr><td>392</td><td>14.11</td><td>685</td><td>24.53</td><td>651</td><td>19.40</td></tr></table>

MCM_CN/1992/A题/关于施肥效果分析问题的评注/关于施肥效果分析问题的评注.md

@@ -0,0 +1,108 @@
+养元素对另一种的导数)等于它们的价格之反比时，可取得资源或投入的最小成本组合。
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial P}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial P}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {P}} \\ \frac {\partial K}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {K}} \\ \frac {\partial K}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {P}}{P _ {K}} \end{array} \right. \tag {7}
+$$
+
+从(7)中即可求得一定产量下使成本最小的营养元素量.
+
+# 五、模型优缺点与改进
+
+模型最大优点在于对原始数据拟合时，采用多种方法进行，使之愈来愈完善，具有很高的拟合精度和适度性。在此基础上，对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息，并且，所得结论与客观事实很好地吻合，从而进一步说明模型是合理的。
+
+在实际问题中，产量受作物种类、植株密度、施肥量、气候条件等各种因素的作用。我们仅考虑了施肥量影响，但稍加修改便能适合不同情况，如：
+
+1. 考虑植株密度：在原有数据基础上，加上一组植株密度变化数据，用同样方法建立四元二次模型，并加以讨论。  
+2. 土壤肥力影响：在实际环境中，每块地肥力不等，有高产田与低产田之分。将土壤肥力也当作影响作物产量的一个因子，同样可进行分析。
+
+在模型建立中，还可进行异常值检验，将其删除或加权，重新拟合后讨论。
+
+# 参考文献
+
+[1] 张乃生等, 晋东南旱地玉米“产量——施肥”多元回归模型及其应用分析, 数理统计与管理, 1(1989), 10-13.  
+[2] 约翰·内特(美)等,应用线性回归模型,中国统计出版社,1990.  
+[3] 北京大学概率统计系，SAS/STAT 软件“回归分析过程”，1991.  
+[4] J·法朗士(英)等, 农业中的数学模型, 农业出版社, 1991.  
+[5]厄尔O·黑迪(美)等,农业生产函数,农业出版社,1991.
+
+# 关于施肥效果分析问题的评注
+
+项可风
+
+（中国科学院系统科学研究所，北京 100080）
+
+1992年全国大学生数学模型竞赛，北京赛区共有46个队参赛，其中有26个队选做《施肥效果分析》题。我参加了本题的阅卷工作，总的情况很不错，都抓住问题的实质。应用回归方法去建立模型，而后用统计方法分析施肥效果。北京师范大学数学系队，获得北京赛区的特等奖，本期发表该队喻梅，金青松，唐福明等三位同学的文章，作为本题最优秀的一份答卷，供读者参阅。
+
+下面就本次竞赛中被普遍忽视的几个问题提出一点看法。本文所使用符号与数据可
+
+参看喻梅等的文章。
+
+# 一、多因素轮换法试验，不可能估计交互作用
+
+在氮(N)、磷(P)、钾(K)，三种施肥试验中，本题的设计是，当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第7水平上，如对土豆产量关于N的施肥量做试验时，P与K的施肥量分别取为  $196\mathrm{kg / ha}$  与  $372\mathrm{kg / ha}$  。这样的设计称为因素轮换法。
+
+现假定施肥量与产量间关系，可用三元二次多项表示：
+
+$$
+\begin{array}{l} E (Q) = b _ {0} + b _ {N} N + b _ {P} P + b _ {K} K + b _ {N N} N ^ {2} \div b _ {P P} P ^ {2} + b _ {K K} K ^ {2} \\ + b _ {N P} N P + b _ {N K} N K + b _ {P K} P K, \tag {1} \\ \end{array}
+$$
+
+式中最后三项为二个变元的交叉项，反应了因素间的交互效应。
+
+记  $(n_{0}, p_{0}, k_{0})$  为  $\mathbf{N}, \mathbf{P}, \mathbf{K}$  施肥量的7水平值。若将坐标原点移到  $(n_{0}, p_{0}, k_{0})$  点，模型(1)用新的坐标表示。模型方程是不变的。不难证明，在新的坐标表示下，(1)式所对应的设计矩阵  $X$  。它的最后三列全为零。相应地，回归系数估计的正规方程中， $b_{NP}, b_{NK}, b_{PK}$  的系数也为零。也就是说， $b_{NP}, b_{NK}, b_{PK}$  可任意给定。用统计术语来说，回归系数  $b_{NP}, b_{NK}, b_{PK}$  是不可估的。
+
+但为什么用逐步回归方法对土豆产量建模时，却出现交叉项呢？
+
+在对变量进行中心化和标准化后，虽然设计矩阵  $X$  的最后三列不为零列。但是可以证明它们可以分别用常数项，二个一次项所对应的三列线性表出。因此不能说它反应的是交互效应，更确切地说，交互效应与一次项效应混杂，不可能分离出来。这主要是因素轮换法设计的弊病所造成。
+
+# 二、区组效应不可忽视
+
+本试验在  $(n_0, p_0, k_0)$  点，重复了三次试验。以土豆为例，在肥量  $n_0 = 259, p_0 = 196, k_0 = 372(\mathrm{kg / ha})$ ，点上三次试验的产量为43.15，41.26， $38.43(t / ha)$ 。平均值  $\bar{y} = 40.95(t / ha)$ ，标准差  $\hat{\sigma} = 2.38$ ，若用  $2\sigma$  原理，试验的30个值均落在  $\bar{y} \pm 2\sigma^2$  区间（36.19，45.71）之中，这显然不合理。造成不合理的原因，在于我们假定三次重复产量的波动完全由随机误差产生。但实际上三次重复带有系统误差，这种系统误差主要来源于土壤肥力，生长期的管理措施等多种试验中的外界条件变化。在试验设计中，把在试验实施过程中，外界环境条件的差异所造成的系统偏差称为区组效应。在本题中，对应每种营养素的10次施肥试验，可以当作一个区组。区组内的10次试验可认为试验条件较为一致，而不同区组间，差别较大。设  $\beta_N, \beta_P, \beta_K$  分别为三个区组效应量。将其放入模型(1)式中，不失一般性，可假定
+
+$$
+\beta_ {N} + \beta_ {P} + \beta_ {K} = 0, \tag {2}
+$$
+
+这样我们就能得到唯一解。
+
+在本问题中，由于交叉项不可估，模型(1)对三个变量来说是可分离的，可对三组数据，分别作成三个一元二次曲线。三个模型可得三个常数项，在常数项中，混杂着区组效应。每个常数项减去它们的平均值，即为(2)式中区组效应估计。在应用模型作施肥效果
+
+分析时，区组效应要从模型中扣除，以提高使用的精确度。
+
+# 三、试验设计的改进问题
+
+在农作物产量的施肥试验中，因素之间常常存在着交互作用，这在设计试验时，应该把这点考虑进去。由于因素轮换法，不可能考察到交互效应，一般要用多因素的析因设计。假如，仅仅要拟合一个完全二次多项式模型，下面推荐一种响应曲面设计法。也叫二次复合设计。在三因素试验中，总共只要做15次试验，就可以用很简单方法，估计出10个回归系。现以土豆试验为例，其15个试验设计点为
+
+<table><tr><td>因素 试号</td><td>N</td><td>P</td><td>K</td><td>因素 试号</td><td>N</td><td>P</td><td>K</td></tr><tr><td>1</td><td>179</td><td>146</td><td>272</td><td>9</td><td>356</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>2</td><td>179</td><td>146</td><td>472</td><td>10</td><td>161</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>3</td><td>179</td><td>246</td><td>272</td><td>11</td><td>259</td><td>257</td><td>372</td></tr><tr><td>4</td><td>179</td><td>246</td><td>472</td><td>12</td><td>259</td><td>135</td><td>372</td></tr><tr><td>5</td><td>339</td><td>146</td><td>272</td><td>13</td><td>259</td><td>196</td><td>494</td></tr><tr><td>6</td><td>339</td><td>146</td><td>472</td><td>14</td><td>259</td><td>196</td><td>250</td></tr><tr><td>7</td><td>339</td><td>246</td><td>272</td><td>15</td><td>259</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>8</td><td>339</td><td>246</td><td>472</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
+
+复合设计由三部分点组成，首先选择一个中心点，例如15号试验以原试验的7水平为中心点。而后以该点为中心，对每因素选一适当步长，再选二个水平值。例如上面设计，N、P、K的步长分别为
+
+$$
+\Delta N = 8 0, \Delta P = 5 0, \Delta K = 1 0 0 (\mathrm {k g / h a})
+$$
+
+中心点下，上二个水平值为
+
+$$
+N _ {0} \pm \Delta N = (1 7 9, 3 3 9), P _ {0} \pm \Delta P = (1 4 6, 2 4 6), K _ {0} \pm \Delta K = (2 7 2, 4 7 2).
+$$
+
+再按  $2^{3} = 8$  析因试验法排列8次试验，即上表中1—8号试验。第三批试验是在以中心对称的坐标轴上的两个点，即上表的9—14号。水平计算按公式：
+
+$$
+N = N _ {0} \pm \sqrt {\frac {\sqrt {8 \times 1 5} - 8}{2}} \Delta N = (1 6 1, 3 5 6),
+$$
+
+$$
+P = P _ {0} \pm \sqrt {\frac {\sqrt {8 \times 1 5} - 8}{2}} \Delta P = (1 3 5, 2 5 7),
+$$
+
+$$
+K = K _ {0} \pm \sqrt {\frac {\sqrt {8 \times 1 5} - 8}{2}} \Delta K = (2 5 0, 4 9 4).
+$$
+
+这样每个因素共取了五个水平，但只从  $5^{3} = 125$  个网格点中选出15个试验点。由于设计的有规则性，保证回归系数计算也很简单。有兴趣读者可参看[1]中的第14章内容。
+
+# 参考文献
+
+[1] 项可风、吴启光, 试验设计与数据分析, 上海科技出版社, 1989 年.

MCM_CN/1992/A题/施肥方案对作物_蔬菜的影响/施肥方案对作物_蔬菜的影响.md

@@ -0,0 +1,207 @@
+# 施肥方案对作物、蔬菜的影响
+
+喻梅 金青松 唐福明
+
+教练：刘来福
+
+（北京师范大学数学系，北京 100875）
+
+摘要 对土豆和生菜,分别建立了产量与施肥水平之间的多元二次回归模型。运用SAS/STAT软件依次采用全回归、逐步回归和二次响应面回归。在确认模型具完美适度性基础上,进行线性相关、交互作用、最佳响应水平、强影响变量、回归曲面形状等分析。同时,将两种作物进行比较,得出一系列颇有实用价值的结论。分析结果表明:土豆的产量对N具有强线性依赖性,而生菜是对P;施肥的交互作用对土豆影响较大,对生菜则无强影响;最佳施肥方案中N,P,K的用量土豆为292,246,542(公斤/公顷),生菜为213,667,427(公斤/公顷)对应产量为45.18和23.13吨/公顷,且均在试验范围内达到,可信性强;对土豆,强影响因子依次为N→K→P,对生菜为P→N→K;回归曲面上凸,沿(N,P,K)=(1,0,0)方向下降迅速。因此,施肥中应特别注意N的使用量。
+
+# 一、问题重述
+
+对某地区作物进行施肥水平对产量影响的实验，以土豆和生菜为例，试验中，分别取了  $\mathbf{N},\mathbf{P},\mathbf{K}$  的十种水平，在将其中两种的用量固定在第7水平时，对第三种分别取十种水平。也就是，对土豆和生菜分别给出了30组观测数据（见表1）。其中，可控制变量为 $\mathbf{N},\mathbf{P},\mathbf{K}$  的施用量，单位  $\mathrm{kg / ha}$ ，响应变量为产量，单位  $t / \mathrm{ha}$ 。由此试验结果出发，分析施肥量与产量之间关系，并找出最优的施肥方案。
+
+表 1 原始数据(以土豆为例)  
+
+<table><tr><td>序号</td><td>产量</td><td>N</td><td>P</td><td>K</td><td>序号</td><td>产量</td><td>N</td><td>P</td><td>K</td></tr><tr><td>1</td><td>18.98</td><td>259</td><td>196</td><td>0</td><td>16</td><td>40.09</td><td>259</td><td>147</td><td>372</td></tr><tr><td>2</td><td>27.35</td><td>259</td><td>196</td><td>47</td><td>17</td><td>41.26</td><td>259</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>3</td><td>34.86</td><td>259</td><td>196</td><td>93</td><td>18</td><td>42.17</td><td>259</td><td>245</td><td>372</td></tr><tr><td>4</td><td>38.52</td><td>259</td><td>196</td><td>140</td><td>19</td><td>40.36</td><td>259</td><td>294</td><td>372</td></tr><tr><td>5</td><td>38.44</td><td>259</td><td>196</td><td>186</td><td>20</td><td>42.73</td><td>259</td><td>342</td><td>372</td></tr><tr><td>6</td><td>37.73</td><td>259</td><td>196</td><td>279</td><td>21</td><td>15.18</td><td>0</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>7</td><td>38.43</td><td>259</td><td>196</td><td>372</td><td>22</td><td>21.36</td><td>34</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>8</td><td>43.87</td><td>259</td><td>196</td><td>465</td><td>23</td><td>25.72</td><td>67</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>9</td><td>42.77</td><td>259</td><td>196</td><td>558</td><td>24</td><td>32.29</td><td>101</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>10</td><td>46.22</td><td>259</td><td>196</td><td>651</td><td>25</td><td>34.03</td><td>135</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>11</td><td>33.46</td><td>259</td><td>0</td><td>372</td><td>26</td><td>39.45</td><td>202</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>12</td><td>32.47</td><td>259</td><td>24</td><td>372</td><td>27</td><td>43.15</td><td>259</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>13</td><td>36.06</td><td>259</td><td>49</td><td>372</td><td>28</td><td>43.46</td><td>336</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>14</td><td>37.96</td><td>259</td><td>73</td><td>372</td><td>29</td><td>40.83</td><td>404</td><td>196</td><td>372</td></tr><tr><td>15</td><td>41.04</td><td>259</td><td>98</td><td>372</td><td>30</td><td>30.75</td><td>471</td><td>196</td><td>372</td></tr></table>
+
+从农作物栽培学的原理和经验，采用多元二次回归函数，一般可刻划施肥量与产量关系（见文献[1]）.
+
+# 二、假设
+
+1. 在实验中，除施肥量，其它影响因子：如环境条件、种植密度、土壤肥力等，均处于同等水平；  
+2.各次实验独立，误差项均服从  $N(0,\sigma^2),\sigma >0$  ，自变量  $N,P,K$  的观测无误差；  
+3.符号说明：
+
+$Q$  ——产量；
+
+$N, P, K$  ——氮，磷，钾肥的施用量；
+
+$\bar{Q} (\bar{N},\bar{P},\bar{K})$  一  $Q(N,P,K)$  的样本均值；
+
+$S_{Q}(S_{N}, S_{P}, S_{K})$  ——  $Q(N, P, K)$  的样本标准差；
+
+VIF——方差膨胀因子（Variance Inflation Factor）；
+
+$R$  ——复相关系数.
+
+# 三、模型建立与模型分析
+
+在固定其它生产条件下，仅考虑施肥量与产量间的关系，用三元二次多项式进行拟合。回归模型为
+
+$$
+\begin{array}{l} E (Q) = b _ {0} + b _ {N} N + b _ {P} P + b _ {K} K + b _ {N N} N ^ {2} + b _ {N P} N P \\ + b _ {N K} N K + b _ {P P} P ^ {2} + b _ {P K} P K + b _ {K K} K ^ {2}, \tag {1} \\ \end{array}
+$$
+
+其观测为
+
+$$
+Q _ {n \times 1} = X _ {n \times p} \beta_ {p \times 1} + \varepsilon_ {n \times 1.} \tag {2}
+$$
+
+其中， $Q_{n \times 1}$  为可观测随机向量； $X_{n \times p}$  为观测阵，其中元素为原始数据中各变量及由其生成的二次项，交互项； $\beta_{p \times 1}$  为未知参数向量； $\varepsilon_{n \times 1}$  不可观测的随机误差，服从  $N(0, \sigma^2 I_n)$ .
+
+对土豆和生菜分别讨论．(2)中，  $n = 30$  ，  $p = 10$
+
+# （一）全回归
+
+1. 数据变换。以VIF作为检验共线性影响的标准(见文献[2]和[3])，记  $C = (c_{ij}) = (X'X)^{-1}$ ， $R(i)$  为变量  $x_i$  对其余  $p - 1$  个自变量的复相关系数，则有
+
+$$
+c _ {i i} = (1 - R ^ {2} (i)) ^ {- 1} \quad (i = 1, 2, \dots , p),
+$$
+
+称  $c_{ii}$  为变量  $x_{i}$  的方差膨胀因子。一般认为，当VIF最大值接近或超过10，共线性显著，最小二乘所得结果失真；而当均趋于1时，认为共线性影响很弱。
+
+直接对原始数据拟合，VIF最大值接近10，故将原始数据进行相关变换，即
+
+令  $Q' = (Q - \overline{Q}) / S_{Q}$ ,  $N' = (N - \overline{N}) / S_{N}$ ,  $P' = (P - \overline{P}) / S_{P}$ ,  $K' = (K - \overline{K}) / S_{K}$ . 以下仍以  $Q, N, P, K$  记标准化后的变量.
+
+2. 全回归 先以土豆为例。结果表明，系数矩阵不满秩，相关变换仅消除了一次项与平方项间共线性影响，而交互项仍可表为其它项的线性组合。故仅对一次项和平方项
+
+表 2 参数估计  
+
+<table><tr><td>Variable</td><td>Parameter Estimate</td><td>Standard Error</td><td>T for H0: Parameter = 0</td><td>Prob &gt; |T|</td></tr><tr><td>INTERCEP</td><td>0.617546</td><td>0.09903863</td><td>6.235</td><td>0.0001</td></tr><tr><td>N</td><td>0.416751</td><td>0.06230654</td><td>6.689</td><td>0.0001</td></tr><tr><td>P</td><td>0.204971</td><td>0.06510116</td><td>3.148</td><td>0.0045</td></tr><tr><td>K</td><td>0.467305</td><td>0.06487691</td><td>7.203</td><td>0.0001</td></tr><tr><td>NN</td><td>-0.375899</td><td>0.03662213</td><td>-10.264</td><td>0.0001</td></tr><tr><td>NP</td><td>0</td><td>0.00000000</td><td>.</td><td>.</td></tr><tr><td>NK</td><td>0</td><td>0.00000000</td><td>.</td><td>.</td></tr><tr><td>PP</td><td>-0.108386</td><td>0.03873551</td><td>--2.798</td><td>0.0102</td></tr><tr><td>PK</td><td>0</td><td>0.00000000</td><td>.</td><td>.</td></tr><tr><td>KK</td><td>-0.√54556</td><td>0.02853910</td><td>--4.010</td><td>0.0005</td></tr></table>
+
+进行回归。参数估计与显著性检验结果见表2
+
+（1）模型的适度性。VIF均接近于1，相关变换后的模型基本上消除了多重共线性影响；方差分析中，  $F$  检验的  $P$  值为0.0001，回归方程极其显著，真实值与回归值间  $R$  达 $95.9\%$  ，拟合度极高；再由残差对观测的散点图，残差均匀分布在零值两侧，无系统偏差。因此，模型是适度的。  
+（2）参数估计。表2给出了参数估计值、估计方差及显著性检验结果。其中，t-检验的  $P$  值均小于0.05，参数显著不为0，含  $N$  的参数更为显著；参数估计的方差均很小，因此参数的置信区间相对于参数值很窄（如  $b_{NN}$  的  $95\%$  置信区间上、下限为  $(-0.375899 \pm 0.0483)$ ），参数估计有较强实用价值。  
+（3）相关分析．由  $Q$  与含  $N$  项间相关系数均很大，如与  $N$  为0.54，与  $NN$  为-0.62，与  $NK$  为0.72等，知土豆产量对含  $N$  项线性依赖性极强；而对含  $P$  的较弱，如和  $P$  为0.12，和  $PP$  为0.07等． $N, P, K$  之间仅有极弱负相关，如  $N$  和  $P$  为-0.05， $N$  和  $K$  为-0.05， $P$  和  $K$  为-0.06.  
+（4）预测与回判。模型可以给出对给定  $N, P, K$  水平下， $Q$  的预测值和预测区间。对原始数据作回判表明，原始数据均落在置信水平为0.95的预测区间内。
+
+对生菜可作类似分析，其结果是：VIF接近1，方差分析中  $F$  检验的  $P$  值为0.0001， $R$  为  $92.7\%$  ，残差均匀分布，无系统偏向，模型适度；参数推断中，取显著性水平  $0.05, b_{0}, b_{P}, b_{NN}, b_{PP}, b_{KK}$  显著不为0，参数估计方差均较小， $P$  的作用最为显著；生菜的产量对含  $P$  项线性依赖性极强， $N, P, K$  之间仅有极弱的负相关；原始数据均落入置信水平为0.95的预测区间。
+
+从以上分析中初步得出：土豆对  $N$  依赖强，对  $P$  弱；而生菜对  $P$  依赖强。这与土豆是块茎生长作物，需  $N$  量高，生菜是蔬菜作物，需  $P$  量高的规律是吻合的。
+
+# （二）逐步回归
+
+逐步回归结果表明：对于土豆，首先进入模型的是  $NK$  项，其次是  $NN$  项；参数检验中， $b_{NN}, b_{NK}, b_{PK}, b_{KK}, b_{PP}$  显著不为0；将保留在模型中和进入模型的显著性水平均置为0.99时，一次项中只有  $N$  进入，但在参数检验中不显著，此时  $R$  仍为  $95.9\%$ ；同(一)
+
+中进行适度检验, 模型是适度的, 且原始数据的回判结果表明, 逐步回归模���与全回归模型是一致的。回归模型的不唯一性是由自变量间存在较强共线性所引起的。
+
+因此，初步推断：施肥交互作用对土豆的产量影响较大，主要是  $NK$  和  $PK$ 。逐步回归也再次证实(一)中结论：土豆对  $N$  依赖性较强。土豆产量的回归模型为
+
+$$
+\begin{array}{l} Q ^ {\prime} = 0. 7 3 + 0. 1 2 N ^ {\prime} + 1. 2 7 N ^ {\prime} K ^ {\prime} + 0. 8 8 P ^ {\prime} K ^ {\prime} - 0. 3 8 \left(N ^ {\prime}\right) ^ {2} \\ - 0. 1 1 \left(P ^ {\prime}\right) ^ {2} - 0. 1 5 \left(K ^ {\prime}\right) ^ {2}, \tag {3} \\ \end{array}
+$$
+
+(3)式中，  $Q^{\prime} = (Q - 36.03) / 7.73$  ，  $N^{\prime} = (N - 239.63) / 94.47$
+
+$$
+K ^ {\prime} = (K - 3 4 1. 0 3) / 1 5 2. 7 7, P ^ {\prime} = (P - 1 7 9. 6) / 6 9. 9 7.
+$$
+
+$Q, N, P, K$  为实际值.
+
+对生菜，首先进入模型的是  $P$  ，模型中包含  $P, NN, K, PP, KK, N, R$  达  $92.7\%$  ；将两种显著性水平均置为0.99时，交互项仍不能进入模型。说明施肥交互作用对生菜产量无显著影响；同时再次表明生菜对  $P$  依赖较强。生菜的回归模型为
+
+$$
+\begin{array}{l} Q ^ {\prime} = 0. 6 0 + 0. 0 5 N + 0. 7 0 P ^ {\prime} + 0. 1 6 K ^ {\prime} - 0. 3 4 \cdot (N ^ {\prime}) ^ {2} \\ - 1. 4 0 \left(P ^ {\prime}\right) ^ {2} - 1. 4 0 \left(K ^ {\prime}\right) ^ {2}, \tag {4} \\ \end{array}
+$$
+
+(4)式中，  $Q^{\prime} = (Q - 17.14) / 4.18$  ，  $N^{\prime} = (N - 205.30) / 79.99$
+
+$$
+P ^ {\prime} = (P - 3 5 8. 5 3) / 1 3 9. 6 4, K ^ {\prime} = (K - 3 4 1. 0 3) / 1 3 2. 7 7.
+$$
+
+$Q, N, P, K$  为实际值.
+
+逐步回归分析表明：交互作用对土豆和生菜是不同的。在建模时应考虑此因素，从而得到合理的模型。
+
+# （三）二次响应面回归
+
+在拟合过程中，用编码值使各变量水平在  $[-1,1]$  以消除共线性影响，而后拟合二次回归模型。
+
+对土豆， $R$  仍为  $95.9\%$ 。因子分析（见表3）说明： $N$  的影响最大，其次是  $K$ ，而  $P$  的影响相对很小。对回归曲面典型特征的分析表明：最佳响应水平为  $(N, P, K) = (292, 246, 542)$ ，最优产量为45.18，最大值在试验范围内达到，可信性强；回归曲面上凸，沿  $(N, P, K) = (1, 0, 0)$  方向下降迅速，沿着  $(N, P, K) = (0, 1, 0)$  方向变化最为平缓。因此，当  $K, P$  取最佳水平时，产量对  $N$  在最佳水平附近取值敏感，而当  $K, N$  取最佳水平时，对  $P$  在最优值附近的波动不敏感。
+
+表3 因子分析  
+
+<table><tr><td>Factor</td><td>Degrees of Freedom</td><td>Sum of Squares</td><td>Mean Square</td><td>F-Ratio</td><td>Prob&gt;F</td></tr><tr><td>N</td><td>2</td><td>1207.178634</td><td>603.589317</td><td>98.8</td><td>0.0000</td></tr><tr><td>K</td><td>2</td><td>621.884601</td><td>310.942300</td><td>50.895</td><td>0.0000</td></tr><tr><td>P</td><td>2</td><td>170.807278</td><td>85.403639</td><td>13.979</td><td>0.0001</td></tr></table>
+
+对生菜， $R$  为  $92.8\%$ 。因子分析中， $P$  影响最大， $N$  次之， $K$  最小。回归曲面上，最佳响应水平为  $(N, P, K) = (213, 667, 427)$ 。对应最优产量 23.13，在试验范围内达到；沿  $(N, P, K) = (1, 0, 0)$  方向下降迅速。故当  $P, K$  取最优量时，产量对  $N$  的取值敏感。
+
+因此，在施肥中，应特别注意  $N$  的使用量不能过高。
+
+# 四、模型的应用分析
+
+前面已用统计方法讨论了土豆、生菜对  $\mathbf{N},\mathbf{P},\mathbf{K}$  的不同反应，得出比较满意的结果。下面，我们对模型换个角度加以讨论。
+
+# （一）边际产量（以土豆为例）
+
+施肥是否增产，幅度如何？这是科学施肥管理中应明确的。从生产函数派生出的边际产量方程，说明了因营养元素投入的微小变化而引起产量的变化率或斜率。
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial Q}{\partial N} = S _ {Q} \left[ \frac {b _ {N}}{S _ {N}} + \frac {b _ {N K}}{S _ {N}} \left(\frac {K - \bar {K}}{S _ {K}}\right) - 2 b _ {N N} \frac {(N - \bar {N})}{S _ {N} ^ {2}} \right] \\ \frac {\partial Q}{\partial P} = S _ {Q} \left[ \frac {b _ {K K}}{S _ {P}} \left(\frac {K - \bar {K}}{S _ {K}}\right) - 2 \frac {b _ {P P}}{S _ {P} ^ {2}} (P - \bar {P}) \right] \\ \frac {\partial Q}{\partial K} = S _ {Q} \left[ \frac {b _ {N K}}{S _ {K}} \left(\frac {N - \bar {N}}{S _ {N}}\right) + \frac {b _ {P K}}{S _ {N}} \left(\frac {P - \bar {P}}{S _ {P}}\right) - \frac {2 b _ {K K} (K - \bar {K})}{S _ {K} ^ {2}} \right] \end{array} \right. \tag {5}
+$$
+
+在土豆的回归方程中，各营养元素的交互作用，使任何一种的边际产量都包含自身和另两种元素的固定量。从方程组(5)中可看出，交互作用对土豆的影响较大。因土壤中本身所含三种营养元素有限，单独使用一种或两种对应的产量都不很高。换句话说，一种营养元素的生产率是受另两种与之配合使用的营养素高度制约的。
+
+明确肥料用量对施肥效果的影响，有助于实现施肥的定量管理。现用生产函数的二阶导数作为指标进行分析。
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial^ {2} Q}{\partial N ^ {2}} = - 2 \frac {b _ {N N} S _ {Q}}{S _ {N} ^ {2}} = - 0. 0 0 0 6 5 1 \\ \frac {\partial^ {2} Q}{\partial P ^ {2}} = - 2 \frac {b _ {P P} S _ {Q}}{S _ {P} ^ {2}} = - 0. 0 0 0 3 4 2 4 4 \\ \frac {\partial^ {2} Q}{\partial K ^ {2}} = - 2 \frac {b _ {K K} S _ {Q}}{S _ {K} ^ {2}} = - 0. 0 0 0 1 3 5 6 1 8 \end{array} \right. \tag {6}
+$$
+
+我们把肥效作为作物对施肥量敏感程度的一个指标。它指的是在原有基础上，每增施单位肥料所增加的作物产量。从(6)式中可知，肥效随用量的递减速率是  $N > P > K$ 。因此，种植土豆时，钾肥可采用较高的施用量，而氮肥施用量不能过高。当(5)式中
+
+$$
+\frac {\partial Q}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial K} = 0
+$$
+
+时，得到最优产量及相应的  $N, P, K$  水平，与统计结果相符。
+
+对生菜的边际产量和肥效递减性也可作同样讨论。
+
+# （二）营养元素的最佳组合
+
+对于土豆，从上面分析知，对  $N, P, K$  的交互作用很敏感。在考虑某一元素最佳投入时，必须考虑另两种对其的交互作用。当生产资源的边际替代率（即当产量一定时，一种营
+
+养元素对另一种的导数)等于它们的价格之反比时，可取得资源或投入的最小成本组合。
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial P}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial P}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {P}} \\ \frac {\partial K}{\partial N} = \frac {\partial Q}{\partial N} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {N}}{P _ {K}} \\ \frac {\partial K}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P} / \left(\frac {\partial Q}{\partial K}\right) = - \frac {P _ {P}}{P _ {K}} \end{array} \right. \tag {7}
+$$
+
+从(7)中即可求得一定产量下使成本最小的营养元素量.
+
+# 五、模型优缺点与改进
+
+模型最大优点在于对原始数据拟合时，采用多种方法进行，使之愈来愈完善，具有很高的拟合精度和适度性。在此基础上，对模型作进一步讨论便可得到一系列可靠而实用的信息，并且，所得结论与客观事实很好地吻合，从而进一步说明模型是合理的。
+
+在实际问题中，产量受作物种类、植株密度、施肥量、气候条件等各种因素的作用。我们仅考虑了施肥量影响，但稍加修改便能适合不同情况，如：
+
+1. 考虑植株密度：在原有数据基础上，加上一组植株密度变化数据，用同样方法建立四元二次模型，并加以讨论。  
+2. 土壤肥力影响：在实际环境中，每块地肥力不等，有高产田与低产田之分。将土壤肥力也当作影响作物产量的一个因子，同样可进行分析。
+
+在模型建立中，还可进行异常值检验，将其删除或加权，重新拟合后讨论。
+
+# 参考文献
+
+[1] 张乃生等, 晋东南旱地玉米“产量——施肥”多元回归模型及其应用分析, 数理统计与管理, 1(1989), 10-13.  
+[2] 约翰·内特(美)等,应用线性回归模型,中国统计出版社,1990.  
+[3] 北京大学概率统计系，SAS/STAT 软件“回归分析过程”，1991.  
+[4] J·法朗士(英)等, 农业中的数学模型, 农业出版社, 1991.  
+[5]厄尔O·黑迪(美)等,农业生产函数,农业出版社,1991.
+
+# 关于施肥效果分析问题的评注
+
+项可风
+
+（中国科学院系统科学研究所，北京 100080）
+
+1992年全国大学生数学模型竞赛，北京赛区共有46个队参赛，其中有26个队选做《施肥效果分析》题。我参加了本题的阅卷工作，总的情况很不错，都抓住问题的实质。应用回归方法去建立模型，而后用统计方法分析施肥效果。北京师范大学数学系队，获得北京赛区的特等奖，本期发表该队喻梅，金青松，唐福明等三位同学的文章，作为本题最优秀的一份答卷，供读者参阅。
+
+下面就本次竞赛中被普遍忽视的几个问题提出一点看法。本文所使用符号与数据可

MCM_CN/1992/B题/1992年B题 实验数据分解/1992年B题 实验数据分解.md

@@ -0,0 +1,15 @@
+1992 B
+
+$$
+a [ i ] \quad (i = 1, 2, \dots , n) \qquad \circ
+$$
+
+$$
+n = 1 8
+$$
+
+$$
+a [ 1: 1 8 ] = 5 7, 7 1, 8 7, 9 7, 9 9, 1 0 1, 1 0 3, 1 1 3, 1 1 4, 1 1 5, 1 2 8, 1 2 9, 1 3 1, 1 3 7, 1 4 7, 1 5 6, 1 6 3, 1 8 6.
+$$
+
+X

MCM_CN/1992/B题/关于_蛋白质氨基酸的组合问题_的评注/关于_蛋白质氨基酸的组合问题_的评注.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# 关于“蛋白质氨基酸的组合问题”的评注
+
+韩继业
+
+（中国科学院应用数学研究所，北京 100080）
+
+摘要 本文介绍1992年数学模型竞赛中一个离散数学问题的一个比较好的答案，并且扼要地讨论了大规模离散数学问题的一些求解途径，最后阐述了离散数学在理论上和实用上的重要意义.
+
+关于蛋白质的氨基酸的可能组成，问题是：生命蛋白质是由一些氨基酸的不同组合构成的，现只考虑18种主要的氨基酸，它们的分子量分别为57, 71, 87, 97, 99, 101, 103, 113, 114, 115, 128, 129, 131, 137, 147, 156, 163, 186。令  $a_{i}$  表示上述分子量  $(i \leqslant 18)$ ，给定某一蛋白质的分子量  $X (X \leqslant 1000, X$  为正整数），设计出数学模型以给出该蛋白质的所有可能组成。即确定该蛋白质是由哪几种氨基酸组成以及每种氨基酸的个数。
+
+上述问题易被描述为线性不定方程式  $\sum_{i=1}^{18} a_i x_i = X$ ，这里  $x_i$  是第  $i$  种氨基酸的个数  $(i = 1, \dots, 18)$ ，它只取非负整数。该蛋白质的所有可能组成都包括在方程式  $\sum_{i=1}^{18} a_i x_i = X$  的所有非负整数解中。从理论上说，采用枚举法可以求出此方程式的全部非负整数解。但实际上，当  $X$  很大时，方程式的全部解（指非负整数解）的个数是一很大数目（如  $X = 1000$ ，解的个数为 28268），并且解的个数随  $X$  的增大以指数关系增加。一般的蛋白质的分子量大于 5000，所以即使利用计算机也难以得出全部解。同时大量的解无实际意义。解决这类大规模离散数学问题，需要建立若干补充的约束条件，以尽可能多地消除无实际意义的解。另一方面也需要从数学上研究离散数学问题的性质，以探求更快的求解算法。
+
+去年北京市大学生数学模型竞赛时，有近半数的参赛小组选择了这一试题。各小组在使用计算机的条件下都能较快地求出28268个解  $(X = 1000)$  。很多小组从数学上考虑了一些技巧，以简化算法。但如  $X$  变大，例如  $X = 1500$  ，解的个数将急剧增大，很多小组所考虑的简化计算的技巧将失去作用。这时建立补充的约束条件显得非常重要。中国人民大学的程龙，张云军和赵蕊小组，在建立约束条件方面被认为处理得比较好，他们的答案获得了去年北京市数学模型竞赛的特等奖（见本期文章“蛋白质氨基酸的组合问题”）。他们在比较多地查阅了有机化学有关文献后，首先注意到：生命蛋白质中氮的含量一般占总量的  $15\% - 17\%$  。利用这一性质建立的约束条件对  $X = 1000$  可使解的个数从28268减为10954。即消除了一半以上的无实际意义的解。其次，他们注意到生命蛋白质中常见的氨基酸是由氮、碳、氢、氧和硫五种元素组成，并且利用质谱实验法可以得到化合物的分子结构的信息及准确分子量和分子式。利用这一情况，建立了若干约束条件。令  $d_{i}(j = 1, \dots, 5)$  表示氮等五种元素的原子总个数，若  $d_{i}$  已知，则有约束条件  $\sum_{i=1}^{18} c_{ij} x_{i} = d_{j}, j = 1, \dots, 5$  ，其中  $c_{ij}$  是第  $i$  种氨基酸中所含的第  $j$  种元素的数目。这
+
+组约束条件消除了更多的不需要考虑的解，使解的个数减少到原来解的数目的廿分之一。他们还考虑了其他的约束条件。尽管有些约束条件的合理性需要讨论，但这种处理一些离散数学问题的途径是有效的。
+
+离散数学问题，特别是离散最优化(或组合最优化)问题目前在国民经济方面、工程技术方面和军事方面等有广泛的应用背景。例如平板的最优激光钻孔、油田的最优勘探、血液银行的管理、基因密码、计算机切割的最优安排、交通工具的调度计划、板材的最优切割、偏好和选择判断的汇集、生产过程的调变安排、工厂的最优选址等等。都可归结为离散最优化问题。这门学科随着计算机的迅速发展而在理论、方法和实用上得到了巨大的发展，许多组合优化问题没有快速的计算机就不能被解决。1984年美国数学科学资金来源特别委员会在其报告“进一步繁荣美国数学”中提出：近几十年内国际上数学发展的趋向包括了“离散数学的作用将不断扩大”（趋向的其他内容是“对非线性问题的关注将进一步增长，概率分析的作用将不断扩大，大规模科学计算将进一步发展”等）。这种现象已经反映到国外数学模型课程的内容以及数模竞赛的题目方面，值得我们重视。
+
+![](images/513c33225dbf3c4e5afa641aa56d6880a079485a39a3cf92f103754d5a8aad9f.jpg)  
+（上接第31页）
+
+![](images/3ca0d077b199dd58783f3e09a9c60d1eb885105be40e2afb873e14e45b587629.jpg)  
+第15题  
+第16题
+
+上面给出了七种进行偏差分析的方法，每种方法都是从各自的角度进行分析，所得结论也不尽相同，读者可根据自己的需要及兴趣利用其中的某些结论或进行综合分析。

MCM_CN/1992/B题/蛋白质氨基酸的组合问题/蛋白质氨基酸的组合问题.md

@@ -0,0 +1,275 @@
+# 蛋白质氨基酸的组合问题
+
+程龙 张云军 赵.
+
+教练：胡云芳 龙永红
+
+（中国人民大学经济信息管理系、财政金融系，北京 100372）
+
+摘要 试题B要求参赛者给出模型测定，给定分子量的某一蛋白质的氨基酸组成，这是一个组合问题。文章首先给出了一般的多元线性方程模型，测试结果表明当  $X = 1000$  时，解的个数为28268个，而实际蛋白质的分子量均在5000以上，因此文章对一般模型加入补充信息和约束条件，给出模型A、B、C和D。考虑到不拥有微机的情况，加强了补充信息和约束条件，给出了模型E和F。文章还对每一个模型都选取了一组或多组数据进行测试，并对测试结果，主要是解的个数与运行时间作了分析。
+
+从整体结构上, 文章划分为三部分。第一部分是建立模型前的准备, 包括问题重述, 问题分析, 假设条件和符号约定; 第二部分是文章的主体, 详细阐述了最一般模型及改进模型 A 至 F 的建立, 数据测试和结果分析; 第三部分是建立模型的善后工作, 包括对模型进一步推广和改进的设想, 模型误差分析和优缺点分析。
+
+# 一、问题的提出
+
+生命蛋白质是由若干种氨基酸的不同组合构成的。各种氨基酸的已知分子量  $a[i]$ $(i = 1,2,\dots n)$  分别如下：
+
+$$
+\begin{array}{l} n = 1 8 \\ a [ 1: 1 8 ] = 5 7, 7 1, 8 7, 9 7, 9 9, 1 0 1, 1 0 3, 1 1 3, 1 1 4, 1 1 5, 1 2 8, 1 2 9, 1 3 1, 1 3 7, 1 4 7, 1 5 6, 1 6 3, \\ \end{array}
+$$
+
+给定某一蛋白质的分子量  $X$  ( $X \leqslant 1000$  且  $X$  为正整数) 设计数学模型给出该蛋白质的所有可能的组成。即确定该蛋白质是哪几种氨基酸组成以及每种氨基酸的数目。
+
+# 二、问题的分析
+
+根据给定的分子量  $X$  及  $a_{i}$  测定蛋白质的组成，实际是求多元线性方程：
+
+$$
+\sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X
+$$
+
+的所有整数解的问题。一般采用枚举法求解，即将所有可能的组合代入方程试验，等式成立即为解。在本问题中，所有可能的组合共有  $\prod_{i=1}^{18} ([X / a_i] + 1)$  种。因此对于所有的组合，一方面计算量大、耗费时间长（对于计算机尚且如此，在没有微机的情况下更是无法
+
+想象的);另一方面,给出的解个数过多反而失去了解的意义。考虑到这一点,模型的设计和改进围绕着减少运算时间和缩小解的范围的思路展开,根据实际化学试验研究中采取的办法,对一般模型加入辅助信息和约束条件。对实现模型的程序的改进则从改良算法和加入合理判断条件出发。
+
+# 三、模型假设
+
+1. 给定的蛋白质的分子量  $X$  和氨基酸已知分子量  $\pmb{a}_{i}$  是准确的，没有测试误差；  
+2. 假设所有被测定的蛋白质均由给定分子量的这几种氨基酸构成，而不含有其它种类的氨基酸。实际中，构成生命蛋白质的主要氨基酸有 20 种[1-6]，其中两对氨基酸的分子量相等（见附录 C）；  
+3. 假设蛋白质分子式构成过程中，各个氨基酸分子之间相互结合的方式不影响蛋白质的分子量。通过计算可知，给定的已知分子量均是氨基酸分子失去1分子水后的分子量。因而在此假设条件下，给定的蛋白质分子量X只是几个已知分子量之和而不考虑其它因素；  
+4. 假设被测定的蛋白质所含氨基酸的个数  $\geqslant 2$  ，即  $X \geqslant 114$  
+5. 假设氨基酸分子结合过程中是任意排列组合的，不存在互斥或互补现象，即任何两种氨基酸都可以同时存在于同一个蛋白质中，没有任何一种氨基酸的存在是以其它氨基酸的存在为前提的。实际中这一假设是成立的[1-6]。  
+6. 假设在蛋白质中，每种氨基酸存在的概率是相等的，不存在某种必须存在的氨基酸；  
+7. 假设该实验室拥有测定物质化学性质的仪器。
+
+使用符号说明
+
+$a_{i}$  第  $i$  种氨基酸的已知分子量；  
+$x_{i}$  被测定的蛋白质所含第  $i$  种氨基酸的数目；  
+$c_{ij}$  第  $i$  种氨基酸所含第  $j$  种元素的数目；  
+$d_{j}$  被测定的蛋白质中第  $j$  种元素的数目；
+
+其中  $j = 1$ $C$  元素；  $j = 2$ $N$  元素；
+
+$j = 3$ $o$  元素；  $j = 4$  H元素；
+
+$\pmb{X}$  被测定的蛋白质的分子量.
+
+# 四、最一般的模型
+
+在没有任何其它补充信息和约束条件的情况下，最一般的模型可以表示为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X; \\ x _ {i} \text {是 非 负 整 数} (i = 1, 2, \dots 1 8), \end{array} \right.
+$$
+
+该模型的解(及解的个数)是由附录A的程序给出的。此程序采用了深度优先算法，遍
+
+历了整个解空间，由于采用了分枝限界，其实际最坏的时间效率也是远小于  $\prod_{i=1}^{18} ([X / a_i] + 1)$  的。下面的表1��该模型的试验数据。可以看出，当分子量每增加100时，解的个数和运行时间大约增为原来的3倍。
+
+当  $X = 1000$  时，解的个数已达28268个。因此在实际应用中该模型已无多大可行性。为此必须对模型作某些方面的改进，排除无效解，减少解的个数。
+
+在化学中，我们知道，生命蛋白质氮的含量约占总量的  $16\%$  左右（其波动范围为  $15\% - 17\%$ ）。蛋白质含量测定的凯式定氮法就是利用了这个性质。在附录A的程序中，我们给出了考虑含氮量的模型（而且下面的几个模型B、C、D也考虑了这种情况）。
+
+在表1中，已给出了考虑含氮量时的解的个数和运行时间的数据。可以看出，经过这种改进，效果一般比以前好得多。
+
+表1  
+
+<table><tr><td rowspan="2">蛋白质分子量X</td><td colspan="2">未考虑含氮量的模型</td><td colspan="2">考虑含氮量的模型</td></tr><tr><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>200</td><td>4</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>300</td><td>14</td><td>1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>400</td><td>45</td><td>2</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>500</td><td>158</td><td>5</td><td>115</td><td>3</td></tr><tr><td>600</td><td>522</td><td>15</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>700</td><td>1508</td><td>43</td><td>763</td><td>23</td></tr><tr><td>800</td><td>4291</td><td>125</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>900</td><td>11249</td><td>321</td><td>4301</td><td>133</td></tr><tr><td>1000</td><td>28268</td><td>810</td><td>10954</td><td>335</td></tr><tr><td>1001</td><td></td><td></td><td>10177</td><td>329</td></tr></table>
+
+# 模型A
+
+已知蛋白质的分子式.
+
+根据有关质谱实验在有机化学中的应用方面的材料[2]可知质谱法可以“得到有关分子结构的信息以及化合物的准确分子量和分子式”，因此在模型A中加入如下的假设：
+
+假设  $8a$  假设蛋白质的分子式是已知的。根据有关资料[1-6]，生命蛋白质中常见的氨基酸是由C、N、O、H、S五种元素组成的（见附录C）。已知蛋白质的分子式，即已知各种元素原子的总数目  $d_{j}(j = 1,2,3,4)$ 。（由于把S作特殊处理， $d_{j}$  只有4种。）
+
+模型A可以表示为：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X; \\ \sum_ {i = 1} ^ {1 8} c _ {i j} x _ {i} = d _ {j}; (j = 1, 2, 3, 4) \\ x _ {i} \text {为 非 负 整 数 ,} i = 1, 2, \dots \dots , 1 8. \end{array} \right.
+$$
+
+对该模型有两点说明：
+
+1. 常见的20种氨基酸中，有两对的分子量相等。其中亮氨酸与异亮氨酸为同分异构，分子量与分子式均相同，因而不会影响该模型的计算。而另一对谷酰氨酸与赖氨酸仅是分子量相同，分子式不同。因此在模型中，把含硫的两种氨基酸作特殊处理后，还剩下16种分子量不同，然后加入一个变量，用以区分谷酰氨酸与赖氨酸。最后将结果合并。  
+2. 常见的这 20 种氨基酸中, 只有两种氨基酸, 即半胱氨酸与蛋氨酸含有  $S$  元素。因此在蛋白质分子式中含有  $S$  元素时, 可以通过简单的计算(以及化学试验), 确定含  $S$  的氨基酸的种类和数目。我们的模型即假设对含  $S$  的情况已作过特殊处理。
+
+当然，这样的模型可表为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \sum_ {i = 1} ^ {1 7} a _ {i} x _ {i} = X, \\ \sum_ {i = 1} ^ {1 7} c _ {i j} x _ {i} = d _ {j} (j = 1, 2, 3, 4) \\ x _ {i} \text {为 非 负 整 数} (i = 1, 2, \dots , 1 7). \end{array} \right.
+$$
+
+在下面的表2中我们给出了一些试验数据，
+
+表 2  
+
+<table><tr><td>蛋白质分子量X</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>369</td><td>3</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>569</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>671</td><td>24</td><td>6</td></tr><tr><td>982</td><td>618</td><td>118</td></tr><tr><td>1133</td><td>1195</td><td>239</td></tr></table>
+
+与前面的最一般模型的解的情况作比较，可以看出，解的个数约为最一般模型的1/20，运行的时间也大大地缩短了。
+
+当然，由于氮的含量（对应其原子个数）事先已知道，所以不必再讨论含氮量的情况。（但我们的数据并不是来源于实际的蛋白质，所以可能含氮量是不符合前面所提到的性质的。）
+
+# 模型B
+
+已知蛋白质中某些氨基酸是存在的.
+
+在实际的蛋白质一级结构测定[3]中，通常可以对蛋白质经过充分水解后所得到的氨基酸混合液作离子交换层析、纸层析或薄层层析，定性研究的结果可以确定该蛋白质所含的全部或部分氨基酸种类。
+
+在本模型中，给出如下的假设：
+
+假设  $8b$  已知被测定的蛋白质中肯定含有其中的  $k$  种氨基酸，其分子量为  $\bar{a}_j(j = 1,2,\dots ,k)$  ，很显然对应的  $\bar{x}_j\geqslant 1(j = 1,2,\dots ,k)$
+
+因��，可假设  $X' = X - \sum_{i=1}^{k} \tilde{a}_i$ ，即  $X$  中先扣除已知存在的  $k$  种氨基酸的分子量（都先减去一份），现在的模型实际上已同最一般的模型。
+
+$$
+x _ {i} ^ {\prime} = \left\{ \begin{array}{l l} x _ {i} - 1 & (i \text {对 应 的 氨 基 酸 是 已 知 存 在 的}); \\ x _ {i} & (\text {其 他 的} i). \end{array} \right.
+$$
+
+则模型表为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} ^ {\prime} = X ^ {\prime}; \\ x _ {i} ^ {\prime} \text {为 非 负 整 数 (} i = 1, 2, \dots , 1 8). \end{array} \right.
+$$
+
+我们注意到，在最一般的模型中，解的个数和运行时间是分子量  $X$  的单增函数（一般如此）。所以减少  $X$  就可减少解的个数和运行时间。
+
+下面的表3给出了一些试验数据。含氮量的情况也作了类似最一般模型的处理。
+
+表3  
+
+<table><tr><td rowspan="2">蛋白质分子量X</td><td colspan="2">未考虑含氮量的模型</td><td colspan="2">考虑含氮量的模型</td></tr><tr><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>300</td><td>0</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>400</td><td>3</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>500</td><td>12</td><td>1</td><td>8</td><td>1</td></tr><tr><td>600</td><td>32</td><td>1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>700</td><td>139</td><td>4</td><td>67</td><td>2</td></tr><tr><td>800</td><td>420</td><td>12</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>900</td><td>1287</td><td>37</td><td>459</td><td>14</td></tr><tr><td>1000</td><td>3631</td><td>104</td><td>1570</td><td>48</td></tr><tr><td>1001</td><td>3741</td><td>107</td><td>1219</td><td>38</td></tr><tr><td>1200</td><td></td><td></td><td>8821</td><td>276</td></tr></table>
+
+表中的解是针对已知存在分子量为57,71,87三种氨基酸的.
+
+# 模型C
+
+已知蛋白质中只含有某几种氨基酸。
+
+在比较成功的氨基酸定性分析中，可以得到被测定的蛋白质完全水解生成的氨基酸的全部种类，从而可给出如下的假设：
+
+假设  $8c$  假设某蛋白质由且仅由  $\pmb{k}$  种已知的氨基酸（或  $\pmb{k}$  种不同的分子量对应的氨基酸）构成.
+
+只要  $k < 18$ ，就可以减少变量个数，从而提高求解速度，减少解的个数，使解限制在一定的范围之内。而且我们知道已知的氨基酸是肯定存在的，即对应的  $x_{i} \geqslant 1$ ，这样我们
+
+可以令  $X^{\prime} = X - \sum_{i = 1}^{k}a_{i}^{\prime}$
+
+$(a_{i}^{\prime}$  是存在的  $k$  种氨基酸的分子量，  $i = 1,2,\dots ,k)$  ，又令  $x_{i}^{\prime \prime} = x_{i}^{\prime} - 1$
+
+$(x_{i}^{\prime}$  对应  $k$  种氨基酸，  $i = 1,2,\dots ,k)$
+
+模型可表为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \sum a _ {i} ^ {\prime} x _ {i} ^ {\prime \prime} = X ^ {\prime} \\ x _ {i} ^ {\prime \prime} \text {为 非 负 整 数} (i = 1, 2, \dots , k) _ {\bullet} \end{array} \right.
+$$
+
+下面的表4给出了一些试验数据。很显然，由于  $X$  的量的减少，运行时间和解的个数也会减少。
+
+对考虑含氮量的情况也作了测试。
+
+表4a  
+
+<table><tr><td>蛋白质分子量X</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>500</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>600</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>700</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>800</td><td>1</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>900</td><td>2</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>1000</td><td>4</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>1001</td><td>3</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>1100</td><td>5</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>1200</td><td>10</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>2000</td><td>120</td><td>3</td></tr></table>
+
+不考虑会氮量的模型，假设由且仅由57、71、87、97、99五种构成
+
+表4b  
+
+<table><tr><td>蛋白质分子量X</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>300</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>400</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>500</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>600</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>750</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>800</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>900</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>1000</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr></table>
+
+考虑含氮量的模型，假设由且仅由57、71、87三种构成
+
+表4e  
+
+<table><tr><td rowspan="2">蛋白质分子量X</td><td rowspan="2">已知氨基酸的分 子量</td><td colspan="2">未考虑含氮量的模型</td><td colspan="2">考虑含氮量的模型</td></tr><tr><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>612</td><td>57 115 163</td><td>1</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>579</td><td>71 87 103 128</td><td>1</td><td>&lt;1</td><td>1</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>697</td><td>57 101 128 137</td><td>1</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>1439</td><td>97 103 129 163</td><td>2</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>887</td><td>99 115 147 156</td><td>1</td><td>&lt;1</td><td>1</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>2069</td><td>57 87 101 114 128 156</td><td>132</td><td>3</td><td>60</td><td>1</td></tr><tr><td>2035</td><td>71 99 113 131 163</td><td>29</td><td>&lt;1</td><td>2</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>3047</td><td>57 71 89 114 128 147</td><td>1604</td><td>31</td><td>614</td><td>18</td></tr></table>
+
+# 模型D
+
+18种已知氨基酸分子量的平均值为118.5，因而平均来看对于  $X \leqslant 1000$  的蛋白质来说其所含氨基酸的分子数在8一9之间，为简化起见，我们不妨设每种氨基酸分子的数目仅为0或1．因而模型表示为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {1 8} a _ {i} x _ {i} = X; \\ x _ {i} = 0 \text {或} 1; \end{array} \right.
+$$
+
+运行结果如下表：
+
+表5  
+
+<table><tr><td rowspan="2">蛋白质分子量X</td><td colspan="2">未考虑含氮量的模型</td><td colspan="2">考虑含氮量的模型</td></tr><tr><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td><td>解的个数</td><td>运行时间(秒)</td></tr><tr><td>200</td><td>4</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>300</td><td>8</td><td>&lt;1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>400</td><td>21</td><td>1</td><td>0</td><td>&lt;1</td></tr><tr><td>500</td><td>53</td><td>2</td><td>40</td><td>1</td></tr><tr><td>600</td><td>87</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>700</td><td>171</td><td>5</td><td>101</td><td>3</td></tr><tr><td>800</td><td>226</td><td>6</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>900</td><td>371</td><td>10</td><td>146</td><td>5</td></tr><tr><td>1000</td><td>393</td><td>12</td><td>202</td><td>7</td></tr><tr><td>1001</td><td>379</td><td>11</td><td>148</td><td>8</td></tr><tr><td>1100</td><td>363</td><td>12</td><td></td><td></td></tr><tr><td>1200</td><td>392</td><td>13</td><td>166</td><td>6</td></tr><tr><td>2000</td><td>0</td><td>6</td><td></td><td></td></tr><tr><td>3000</td><td>0</td><td>5</td><td></td><td></td></tr></table>
+
+# 模型E
+
+若实验室不拥有微机，但可能拥有较先进的化学分析设备。设实验室可对完全水解后的氨基酸混合液作定性的分析[1-3]，并可以通过质谱仪测得蛋白质的分子式[2]。因而若设构成被测蛋白质的氨基酸分别为第  $i_1,\dots ,i_k$  种，则模型可以进一步简化为：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l} \sum_ {i = 1} ^ {k} a _ {i l} x _ {i l} = X \\ \sum_ {i = 1} ^ {k} c _ {i j} x _ {i l} = d _ {j} (j = 1, \dots , 4) \\ x _ {i l} \text {为 正 整 数} (l = 1, \dots , k). \end{array} \right.
+$$
+
+当  $k$  的取值不大(如  $k \leqslant 8$ ) 的情况下, 可先求出线性方程组的通解, 然后再找出其整数解. 然而当  $k$  的取值较大时, 对手工计算来说, 该模型就不太可行了.
+
+# 模型F
+
+进一步假设实验室拥有先进的氨基酸自动分析仪，可对完全水解后的氨基酸混合液作定性和定量分析，得出被测蛋白质所含氨基酸的种类及各种氨基酸之间的比例关系为： $b_{i_1}: b_{i_2} \cdots b_{i_k}[1]$ ，因而模型可表述为：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} X = \sum_ {l = 1} ^ {k} a _ {i l} x _ {i l} = r \sum_ {l = 1} ^ {k} a _ {i l} b _ {i l} \\ \text {其 中} x _ {i l} = r \cdot b _ {i l}, (l = 1, \dots , k); \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+\therefore r = X / \sum_ {l = 1} ^ {k} a _ {i _ {l}} b _ {i _ {l}}
+$$
+
+经过上述简单的运算便能得出问题的解，并且解是唯一的，可见氨基酸自动分析仪对解决本问题是比较方便的。
+
+# 模型的改进方向
+
+从上述各模型可以看出：变量众多是解决该问题的困难所在，因而寻找有效的减少变量个数的方法是模型进一步改进的重要方向。除了作上述的一些改进外，我们还可以从所给氨基酸分子量的内部联系出发，得到它们之间的一些关系，如
+
+$$
+\begin{array}{l} 7 1 = 5 7 + 1 4 \quad 9 9 = 5 7 + 4 2 = 5 7 + 3 \times 1 4 \\ 1 1 3 = 5 7 + 5 6 = 5 7 + 4 \times 1 4 \\ \end{array}
+$$
+
+类似的分解可以使变量的个数大大减少，从而也大大减少计算量（特别是人工求解）。当然，如此求出解后再进行组合得原问题的解也是较复杂的。
+
+在实际求解过程中我们发现：只进行纯粹的分解而得到的解并非都符合实际情况。由此，我们从实际应用的角度出发，充分利用可能得到的信息，对一般模型作了一系列的改进。除此之外，我们还可以利用其它一些信息，如(1)质谱分析仪可以测定分子的结构，据此我们可以分析单键和双键的数目，也可以根据羟基、苯环等的性质测定其数目；(2)根据R基的不同可以将氨基酸分为极性和非极性或者中性、酸性、碱性，通过酸碱中和滴定、电泳分离等方式测试出蛋白质中每类氨基酸的含量，从而将18个变量的模型分解为几组变量较少的模型[2,4]。然后再进行与上述模型相似的计算。总之，如果能充分利用现实中得到的有用信息，将其作为约束条件纳入模型中去进行综合考虑，我们相信其效果将会更好。
+
+# 模型的误差分析
+
+1、 $X$  的测定误差是影响结果正确的一个重要因素。如果  $X$  的测量值与真实值相差 1，其结果将会有很大的变化。  
+2、 $a_{i}$  的测量误差对模型的结果也会有一定的影响。  
+3. 在生命蛋白质含氮量的约束条件中, 关于含氮量的范围在不同的资料中有点不同, 有为  $15\% - 17\%$ , 亦有为  $15\% - 17.6\%$ , 但确实说明有些规律存在, 我们取了  $15\% - 17\%$  可能会引起误差.
+
+# 模型的优点
+
+我们给出的一系列模型，特别是“最一般的模型”适用范围较广，这主要表现在：
+
+1. 无论  $X$  增大或者氨基酸的种类增多模型总是有效的，并可以给出所有可能的解。同时由于组成生命蛋白质最主要的氨基酸只有20种，分子量只有18种，因而我们的模型对于分析蛋白质组成这一问题更有实际意义。  
+2. 考虑到不同实验室的设备条件和获取以上信息的能力不同，我们给出了模型A一C、E、F以满足不同的实际情况的需要。
+
+3. 我们建立这些模型的方法和思想对其它类似问题也很适用，象多糖等类似高分子化合物的组成分析，我们只需改变模型中的某些参数就可作类似分析。
+
+# 模型的缺点
+
+1. 我们模型的缺点仍然在于如何解决模型给出的解数目太多的问题。例如当  $X = 1000$  时，最一般的模型给出了 28268 个解，改进的模型中最多可以将其减少到几个，然而一般来说蛋白质的分子量都在 5000 以上，那么解的个数（即使是改进的模型）将仍然是很可观的。  
+2. 在改进的模型中，由于约束条件对试验数据的要求较严格，因而我们构造的某些测试数据可能是不现实的，从而某些模型中得到了不太理想的结果。  
+3. 一些模型所加入的约束条件可能也有不太现实的，如模型D中假设  $x_{i} = 0$  或1就可能与现实不太相符，但如果将0-1约束改为下限和上限的约束可能就比较实际了。  
+4. 蛋白质含氮量的约束条件只是基于一般情况，而没有考虑例外情况。
+
+附录C 20种常见氨基酸的名称，分子式和分子量  
+
+<table><tr><td>分子量</td><td>名称</td><td>分 子 式</td><td>元 C</td><td>素 N</td><td>数 O</td><td>目 H</td></tr><tr><td>57</td><td>甘氨酸</td><td>NH₃CH₂COOH</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td></tr><tr><td>71</td><td>丙氨酸</td><td>CH₃NH₂CHCOOH</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>5</td></tr><tr><td>87</td><td>丝氨酸</td><td>HOCH₂NH₂CHCOOH</td><td>3</td><td>1</td><td>2</td><td>5</td></tr><tr><td>97</td><td>脯氨酸</td><td>CH₂CH₂CH₂NHCHCOOH</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>7</td></tr><tr><td>99</td><td>缬氨酸</td><td>CH₃CH₃CHNH₂CHCOOH</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>101</td><td>苏氨酸</td><td>CH₃CHCHNH₂CHCOOH</td><td>4</td><td>1</td><td>2</td><td>7</td></tr><tr><td>103</td><td>半胱氨酸</td><td>HSCH₂NH₂CHCOOH</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>5</td></tr><tr><td>113</td><td>亮氨酸</td><td>CH₃CH₃CHCH₃NH₂CHCOOH</td><td>6</td><td>1</td><td>1</td><td>11</td></tr><tr><td>113</td><td>异亮氨酸</td><td>CH₃CH₃CH₂CHNH₂CHCOOH</td><td>6</td><td>1</td><td>1</td><td>11</td></tr><tr><td>114</td><td>天冬酰胺</td><td>NH₄COCH₂NH₂CHCOOH</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>6</td></tr><tr><td>115</td><td>天冬氨酸</td><td>OHOOCH₃NH₂CHCOOH</td><td>4</td><td>1</td><td>3</td><td>5</td></tr><tr><td>128</td><td>谷酰胺</td><td>NH₄COCH₂CH₂NH₂CHCOOH</td><td>5</td><td>2</td><td>2</td><td>8</td></tr><tr><td>128</td><td>赖氨酸</td><td>NH₃CH₃CH₂CH₂NH₂CHCOOH</td><td>6</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>129</td><td>谷氨酸</td><td>OHCOCH₂CH₂NH₂CHCOOH</td><td>5</td><td>1</td><td>3</td><td>7</td></tr><tr><td>131</td><td>蛋氨酸</td><td>CH₃SCH₂CH₂NH₂CHCOOH</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>137</td><td>组氨酸</td><td>CHNCHNHCCH₂NH₂CHCOOH</td><td>6</td><td>3</td><td>1</td><td>7</td></tr><tr><td>147</td><td>苯丙氨酸</td><td>C₆H₅CH₂NH₂CHCOOH</td><td>9</td><td>1</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>156</td><td>精氨酸</td><td>NH₂NHCNHCH₂CH₃CH₂NH₂CHCOOH</td><td>6</td><td>4</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>163</td><td>酪氨酸</td><td>OHC₆H₄CH₃NH₂CHCOOH</td><td>9</td><td>1</td><td>2</td><td>9</td></tr><tr><td>186</td><td>色氨酸</td><td>C₆H₄NHCHCCH₂NH₂CHCOOH</td><td>11</td><td>2</td><td>1</td><td>10</td></tr></table>
+
+注. 表中给出的分子量及元素数目都是原氨基羧除去 1 分子水后的值。
+
+# 参考文献
+
+[！] R.M. 罗伯茨等, 近代实验有机化学导论, 上海科学技术出版社.  
+[2] 基础有机化学,人民教育出版社.  
+[3] L.F. 费赛尔, K.L 威廉森, 有机实验, 高等教育出版社.  
+[4] C.D. 古奇, D.F. 帕斯托, 有机化学基础, ���等教育出版社.  
+[5] 黄梅丽, 江小梅, 食品化学, 中国人民大学出版社.  
+[6] 华东华北区粮食学校编写组, 有机化学, 江西人民出版社.  
+[7] 邹海明, 余祥宣, 计算机算法基础, 华中工学院出版社.

MCM_CN/1995/A题/飞行管理模型的线性化处理方法/飞行管理模型的线性化处理方法.md

@@ -0,0 +1,129 @@
+# 飞行管理模型的线性化处理方法
+
+刘铁成 张良 聂兆虎
+
+（山东大学，济南250100）
+
+指导教师：许宝刚
+
+编者按：该答卷针对飞行管理问题的实际背景，采用计算机模拟和线性规划相结合的方法较好地解决了问题。论述条理清晰，计算结果正确。所采用方法的特点是运算时间短，普适性较强具有一定的启发性，特将有关部分予以发表。
+
+关键词：线性规划，模拟，管理。
+
+# 一、模拟与线性规划模型
+
+要解决飞行角度调整问题，首先要判断出哪些飞机会在区域内发生碰撞，令  $l_{i,j}(t) = (x_i(t) - x_j(t))^2 + (y_j(t) - y_j(t))^2 - 64$  ，整理得
+
+$$
+l _ {i, j} (t) = a t ^ {2} + b t + c
+$$
+
+其中
+
+$$
+a = 4 \nu^ {2} \sin^ {2} \left(\frac {\theta_ {i} ^ {0} - \theta_ {j} ^ {0}}{2}\right), \nu = \nu_ {i} = \nu_ {j}
+$$
+
+$$
+b = 2 \nu \left[ \left(x _ {i} ^ {0} - x _ {j} ^ {0}\right) \left(\cos \theta_ {i} ^ {0} - \cos \theta_ {j} ^ {0}\right) + \left(y _ {i} ^ {0} - y _ {j} ^ {0}\right) \left(\sin \theta_ {i} ^ {0} - \sin \theta_ {j} ^ {0}\right) \right]
+$$
+
+$$
+c = \left(x _ {i} ^ {0} - x _ {j} ^ {0}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} ^ {0} - y _ {j} ^ {0}\right) ^ {2} - 6 4
+$$
+
+两架飞机  $\mathbf{P}_{\mathrm{i}}$  和  $\mathbf{P}_{\mathrm{j}}$  在区域内发生碰撞的条件是：
+
+1）两架飞机间的最短距离小于等于8公里；  
+2）刚达到距离8公里时两飞机仍在区域内。
+
+由条件1)可得约束
+
+$$
+b ^ {2} - 4 a c \geq 0 \tag {3}
+$$
+
+且两飞机距离达到8公里的时刻为
+
+$$
+T _ {i j} = \frac {- b - \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}}{2 a}
+$$
+
+由条件2)可得下列约束
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} T _ {i, j} > 0 \\ 0 \leq x _ {i} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \\ 0 \leq x _ {j} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \\ 0 \leq y _ {i} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \\ 0 \leq y _ {j} \left(T _ {i, j}\right) \leq 1 6 0 \end{array} \right. \tag {4}
+$$
+
+如果  $P_{i}$  和  $P_{j}$  同时满足(3)和(4)，它们就会在区域内相撞，否则不会在区域内相撞，根据上述结论，我们编制了计算机程序Aircraft Administration（程序见附录），求出各个相撞的飞机，并对相撞的任何两架飞机进行调整，使其满足：
+
+（1）调整后相撞飞机的总数量不大于调整前相撞飞机的总数量；  
+（2）两架相撞飞机设为  $P_{i}, P_{j}$ 。若  $P_{i}$  调整后相撞飞机的总数量小于  $P_{j}$  调整后的相撞飞机的总数量，则优先考虑调整飞机  $P_{i}$ 。  
+(3) 若  $P_{i}$  调整后相撞飞机的总数量等于  $P_{j}$  调整后的相撞飞机的总数量, 则调整角度较小的一个飞机。
+
+依照上述原则，经过反复调整，即可得到一个满足题目要求的较优的调整范围。
+
+对给定的两架飞机  $P_{i}$  和  $P_{j}$ , 我们考虑它们的相对运动,  $P_{i}$  和  $P_{j}$  相撞当且仅当  $P_{i}$  在某一时刻以相对速度  $\vec{\nu}_{i,j}$  进入以  $P_{j}$  为圆心, 以8公里为半径的圆形区域内, 如图1所示, 设图中的圆的半径为8公里,  $\mathrm{O}$  点有一架飞机  $P_{i}, C$  点有一架飞机  $P_{j}$ , 则  $\angle \mathrm{AOB}$  即为  $P_{i}$  相对于  $P_{j}$  做相对运动时的禁飞方向。
+
+![](images/49309aeb8f6f2a32b56aa24f54b1cd6c2ea9d4529dc12b4dd34ebb598eb5cc04.jpg)  
+图1
+
+在给出线性规划模型之前，我们先给出模型中要用到的符号和函数的定义。
+
+令  $f: [0, 2\pi] \times [0, 2\pi] - \{[(\alpha, \alpha)] | 0 \leq \alpha \leq 2\pi\} \rightarrow [0, 2\pi]$ ，对  $\alpha \in [0, 2\pi]$  和  $\beta \in [0, 2\pi]$ ，令
+
+$$
+f (\alpha , \beta) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\alpha + \beta + \pi}{2} & \text {当} \alpha > \beta \text {且} \alpha + \beta <   3 \pi \\ \frac {\alpha + \beta - 3 \pi}{2} & \text {当} \alpha > \beta \text {且} \alpha + \beta \geq 3 \pi \\ \frac {\alpha + \beta + 3 \pi}{2} & \text {当} \alpha <   \beta \text {且} \alpha + \beta <   \pi \\ \frac {\alpha + \beta - \pi}{2} & \text {当} \alpha <   \beta \text {且} \alpha + \beta \geq \pi \end{array} \right.
+$$
+
+易见  $f(\alpha, \beta)$  是  $\alpha$  和  $\beta$  的线性函数，且  $\theta_{ij} = f(\theta_i, \theta_j)$ 。
+
+令  $\varphi_{i,j}$  是点  $(x_{i}(0),y_{i}(0))$  指向点  $(x_{j}(0),y_{j}(0))$  的向量与X轴正向的夹角， $\varphi_{i,j}$  的值由下式给出，
+
+$$
+\varphi_ {i, j} = \left\{ \begin{array}{l l} a r c c t g \frac {x _ {j} (0) - x _ {i} (0)}{y _ {j} (0) - y _ {i} (0)} & \text {当} y _ {j} (0) - y _ {i} (0) > 0 \\ \pi + a r c c t g \frac {x _ {j} (0) - x _ {i} (0)}{y _ {j} (0) - y _ {i} (0)} & \text {当} y _ {j} (0) - y _ {i} (0) <   0 \\ \frac {\pi}{2} & \text {当} y _ {j} (0) = y _ {i} (0) \end{array} \right.
+$$
+
+令  $d_{i,j} = \sqrt{(x_i(0) - x_j(0))^2 + (y_i(0) - y_j(0))^2},\psi_{ij} = \arcsin \frac{8}{d_{i,j}}$  ，则不碰撞的条件为：  $\theta_{i,j} - \varphi_{i,j} > \psi_{i,j}$  或  $\varphi_{i,j} - \theta_{i,j} > \psi_{i,j}$  。令
+
+$$
+g (\theta_ {i, j}, \varphi_ {i, j}) = \left\{ \begin{array}{l l} \theta_ {i, j} - \varphi_ {i, j} & \text {当} \theta_ {i, j} > \varphi_ {i, j} \\ \varphi_ {i, j} - \theta_ {i, j} & \text {当} \theta_ {i, j} <   \varphi_ {i, j} \end{array} \right.
+$$
+
+设第  $i$  架飞机为避免相撞需沿逆时针调整  $\triangle \theta_{i}^{1}$  或沿顺时针调整  $\triangle \theta_{i}^{2}$ ，且二者之中至少有一个为零（非零的值就是飞机飞行角度调整的幅度  $\triangle \theta_{i}$ ）。我们以所有飞机的调整幅度之和最小为目标，建立线性规划模型如下：
+
+目标函数  $\min z = \sum_{i=1}^{n} (\triangle \theta_i^1 + \triangle \theta_i^2)$
+
+约束条件
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l} a _ {i} ^ {1} + a _ {i} ^ {2} \leq 1 & i = 1, 2, \dots , n \\ a _ {i} ^ {1} = 0, 1 & i = 1, 2, \dots , n \\ a _ {i} ^ {2} = 0, 1 & i = 1, 2, \dots , n \\ \triangle \theta_ {i} ^ {j} \leq \frac {\pi}{6} a _ {i} ^ {j} & i = 1, 2, \dots , n, j = 1, 2 \\ \theta_ {i} = \theta_ {i} ^ {0} + \theta_ {i} ^ {1} - \theta_ {i} ^ {2} & i = 1, 2, \dots , n \\ \theta_ {i, j} = f (\theta_ {i}, \theta_ {j}) \\ g (\theta_ {i, j}, \varphi_ {i, j}) > \psi_ {i, j} & i = 1, 2, \dots , n - 1, j = i + 1, \dots , n \end{array} \right.
+$$
+
+对一般的情况来讲，当  $\theta_{i}$  是个未知量时，线性函数  $f(\theta_{i},\theta_{j})$  和  $g(\theta_{i,j},\psi_{i,j})$  都难以确定。但在给定数据的条件下，可先运用计算机模拟得到一可行的调整方案  $\{\triangle \theta_{1}^{\prime},\triangle \theta_{2}^{\prime},\dots ,$ $\triangle \theta_{n}^{\prime}\}$ ，在此方案的基础上，以各飞机的初始飞行角度为主要依据，确定  $f(\theta_{i},\theta_{j})$  和  $g(\theta_{i,j},$ $\psi_{i,j})$  （当  $\triangle \theta_{i}^{\prime},(1\leq i\leq n)$  都比较小时，此方法尤其有效），故我们的线性规划模型是可行的，对得出的解我们继续用计算机模拟进行优化，在各飞机的飞行角度调整幅度之和不增加的条件下，使各飞机调整幅度尽量均衡，即，使调整幅度最大的飞机的调整角度最小，因此，我们认为我们所设计的这一模型对处理实际问题是会非常有效的。
+
+# 飞行管理问题的逐步逼近搜索方法
+
+# 王崧 于劲松 陆昱
+
+（北京大学，北京100871）
+
+指导教师：雷功炎
+
+编者按：本文给出了一种逐步逼近的搜索方法，它尽管不能保证求出最优解，但具有以下三个特点：(1)简单易于编程计算。(2)对目标为绝对值函数与平方和函数两种模型都适用。(3)由计算结果看出对该问题是一个可行的方法。这里只摘录了原文的部分段落。
+
+关键词：搜索法，全局最优解，局部最优解
+
+# 模型的建立
+
+由于要求中方向解的误差不超过0.01度，我们可以只考虑样本空间  $\Omega = [-30^{\circ}, 30^{\circ}] \times \dots \times [-30^{\circ}, 30^{\circ}]$  中所有坐标均为0.01的整数倍的点。令
+
+$$
+\Omega^ {\prime} = \{\triangle \alpha \in \Omega | 1 0 0 \triangle \alpha_ {i} \text {为 整 数}, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}.
+$$
+
+则  $\Omega^{\prime}$  中共有  $6001^{6} \cong 4.7 \times 10^{22}$  个点。要通过遍历  $\Omega^{\prime}$  中所有元素来求最小值是不可能的。因此，我们采取了一种搜索算法，实践证明它可在允许的时间消耗下给出较优解（通过本文中后面的具体例子中用此搜索结果与证明了的最优解的比较，我们发现此结果已完全满足了我们的要求）。仍然记
+
+$$
+F (\triangle \alpha) = \left\{ \begin{array}{l l} + \infty & \text {存 在} i, j, D I S T (A _ {i}, A _ {j}) \leq 8 \\ f (\triangle \alpha) & \text {其 它} \end{array} \right.
+$$

MCM_CN/1995/A题/飞行管理模型的能量梯度求解法/飞行管理模型的能量梯度求解法.md

@@ -0,0 +1,164 @@
+其中  $f(\triangle \alpha)$  为目标函数方向角改变量的绝对值和（或平方和）， $\mathrm{DIST}(A_i, A_j)$  为飞机  $A_i$  和  $A_j$  之间的距离。
+
+方法一（基本思路）：
+
+首先在  $\Omega^{\prime}$  中以较大跨度均匀地取N个点，通过遍历计算找到其中使  $F(\triangle \alpha)$  取最小值的点，然后以该点为中心，找一个较小的区域，在其中再取  $N$  个点，在这  $N$  个点中找到使  $F(\triangle \alpha)$  取最小值的点。如此迭代下去，当区域足够小，或者连续两次找到的点非常接近时（即如果连续两次迭代所得结果位置相邻且目标函数之差小于  $0.1^{\circ}$ ），我们就认为找到了较优的解，此时停止迭代。
+
+此方法的优点在于：它是一个注重全空间的算法。较其它方法，如逐次调整法等，它比较有效地避免了局部行为（即迭代过程中结果收敛到一个局部极小值而非全局最小值的现象）。当点数  $N$  选取适当时，时间消耗很少，但它仍有一些不足，主要问题是： $N$  取得较小时，样本点在空间中的分布过于稀疏，仍然有可能出现局部行为。为此，我们在方法一的基础上做了改进，得到方法二。
+
+方法二（改进思路）：
+
+首先在  $\Omega^{\prime}$  中均匀地取  $N$  个点，通过遍历计算找到其中使  $F(\triangle \alpha)$  取最小的  $M$  个点。以这  $M$  个点为中心作  $M$  个小区域，在每一个小区域中均匀地取  $N$  个点，计算出这  $MN$  个点中使  $F(\triangle \alpha)$  取最小值的  $M$  个点，如此迭代下去，直到找到较优的解（关于较优的解的判别方法同方法一）关于方法二的细节问题参见算法描述，方法二所用时间约为方法一的  $M$  倍（实际上略少于  $M$  倍），而在  $M$  值与小区域的选取方法较好时，可有效地避免局部行为。这个优点在算法描述一节中得到了很好的体现。
+
+# 飞行管理模型的能量梯度求解法
+
+刘学 胡晨 陈涵
+
+（清华大学，北京100084）
+
+指导教师：高策理
+
+编者按：本问题建模后构成一个非线性规划，求最优解有相当难度，针对本问题本文用一个表征全局性质的能量来表达飞机位置，当达到最佳位置时能量取最小，从而构成能量梯度调整模型，按此模型获得了本问题最优解。本文为作者原论文中部分内容。
+
+关键词：能量梯度，同步算法，异步算法
+
+针对以上问题，我们考虑利用一个能够表征全局性质的量来辅助调节每架飞机的位置。由于最优解对应于一个函数的极值，我们设想用能量来表达飞机的位置，当达到最佳
+
+位置时，能量最小。由此我们可以设想，每架飞机的方向角在其调整方向上的能量梯度表达了这架飞机的调整趋势。通过比较这些趋势并在趋势上逐步搜索。我们有理由相信其调整过程将向一个较优的结果运动。
+
+为此，我们定义  $[\triangle \theta_{1},\triangle \theta_{2},\dots ,\triangle \theta_{6}]$  空间的能量函数如下：
+
+$$
+E = \sum_ {i} \sum_ {j > i} E _ {i j}
+$$
+
+其中  $E_{ij} = 0$  ，  $d_{min,ij}\geqslant 8$
+
+$$
+E _ {i j} = 8 - d _ {\min , i j}, \quad d _ {\min , i j} <   8
+$$
+
+当  $i,j$  两架飞机之间的最小距离  $d_{\min,ij} \geqslant 8$  时， $E_{ij} = 0$  表示它们之间无碰撞产生；而当  $d_{\min,ij} < 8$  时，定义  $E_{ij} = 8 - d_{\min,ij}$ ，这反映了碰撞的严重程度。很明显，此能量函数  $E$  表示了在  $\triangle \theta_1, \triangle \theta_2, \dots, \triangle \theta_6$  的调节量作用下，当前飞机航向所引起的碰撞严重程度。
+
+我们在  $[\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6}]$  空间上，只要找到E的零点，便可符合题目的要求。为此，我们提出了能量梯度法。
+
+对于各梯度的计算为：
+
+$$
+d _ {\min , j k} = \left| \triangle \vec {P} _ {j k} \right| \cdot \left| \sin \left(\varphi_ {\triangle v, j k} ^ {0} - \varphi_ {\triangle P} + \frac {\triangle \theta_ {j} + \triangle \theta_ {k}}{2}\right) \right|
+$$
+
+$$
+\frac {\partial E}{\partial \triangle \theta_ {k}} = \sum_ {j \neq k} \frac {\partial E _ {j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}}
+$$
+
+$$
+\text {而} \frac {\partial E _ {j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} = 0, \qquad E _ {j k} = 0;
+$$
+
+$$
+\frac {\partial E _ {j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} = - \frac {\partial d _ {\min , j k}}{\partial \triangle \theta_ {k}} = \pm | \triangle \vec {P} _ {j k} | \left| c o s \left(\varphi_ {\triangle v, j k} ^ {0} - \psi_ {\triangle p} + \frac {\triangle \theta_ {j} + \triangle \theta_ {k}}{2}\right) \right| \frac {1}{2} E _ {j k} \neq 0;
+$$
+
+当  $\sin (\varphi_{\triangle \nu ,jk}^0 -\varphi_{\triangle P} + \frac{\triangle\theta_j + \triangle\theta_k}{2}) > 0$  时，上式中的  $\pm 1$  取  $+1$  ；反之，取��1。
+
+每次调整的步长由下式决定：stepk=  $\frac{threshold}{\frac{\partial E}{\partial\triangle\theta_k}}$  其中，threshold为能量下降的期望值， $-30^{\circ}\leqslant \triangle \theta_{i}\leqslant 30^{\circ},\triangle \vec{p}_{jk} = \vec{p}_i - \vec{p}_j,\psi_{\triangle \nu} = \frac{1}{2} (\pm \pi +\theta_i + \theta_j)\theta_i > \theta_j$  取  $+1,\theta_{i}\leqslant \theta_{j}$  取-1。
+
+# 一、同步调整
+
+在此我们首先采用同步调节的方法。在此方法中，每次对六架飞机均做调整，如算法(3,4)所示（参见后文）。
+
+在调节过程中，如果有两架飞机之间距离较小，则此两架飞机在梯度方向上的调整幅度应加大。我们建立如下的函数以说明这种思想：
+
+# 二、异步顺序调整
+
+同步调节不可避免地带来一种局限性，即当一架飞机调节后，再调整另一架飞机时，是按前一飞机未调整之前的参数计算的，因此同步调节时，总体性质的体现不很好，不能多架飞机相互兼顾。为此，我们认为，在调节一架飞机后，就更新所有参数，再利用梯度调节下一架飞机的方法更为合理。由此我们提出了异步顺序梯度调节方法。
+
+# 三、异步优化顺序调整
+
+但是由上述模型可以看出，每个飞机调节的梯度值是不同的，有的飞机方向角的变化对最后能量的减小起着明显的作用，因此我们没有理由不先考虑这些飞机。我们改进梯度模型为异步优化顺序模型，即每次调节后更新参数并计算每个飞机调节的梯度，找到梯度绝对值最大的飞机优先进行调整。
+
+# 四、同步梯度算法
+
+1）计算当前总能量  $E$  ，若  $E = 0$  ，则已符合要求，转6；  
+2）对于  $k = 1,2,\dots ,6$  ，分别计算  $\frac{\partial E}{\partial\triangle\theta_k}$  即能量  $E$  在  $\triangle \theta_{k}$  方向上的梯度；（计算方法参见2.5节）。  
+3）根据  $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$  决定  $\triangle \theta_k$  的变化量 step_k；（见 2.5 节）  
+4）令  $\triangle \theta_{k} = \triangle \theta_{k} + step_{k}$  
+5）转1；  
+6）算法结束，此时  $(\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6})$  即为所求的各架飞机航向角度的偏移量。
+
+# 五、异步顺序梯度算法
+
+0）  $k = 0$
+
+0.1）  $k = k + 1$  ；如果  $k > 6$  则令  $k = 1$  
+1）计算当前总能量  $E$  ，若  $E = 0$  ，则已符合要求，转6；  
+2）对于当前的  $k$  ，计算  $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$  即能量  $E$  在  $\triangle \theta_k$  方向上的梯度；（计算方法参见2.5节）  
+3）根据  $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$  决定  $\triangle \theta_k$  的变化量 step_k；（见2.5节）  
+4）令  $\triangle \theta_{k} = \triangle \theta_{k} + step_{k}$  
+5）转0.1；  
+6）算法结束，此时  $(\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6})$  即为所求的各架飞机航向角度的偏移量。
+
+# 六、异步优化顺序梯度算法
+
+1）计算当前总能量  $E$  ，若  $E = 0$  ，则已符合要求，转6；  
+2）对于  $k = 1,2,\dots ,6$  ，分别计算  $\frac{\partial E}{\partial\triangle\theta_k}$  即能量  $E$  在  $\triangle \theta_{k}$  方向上的梯度；（计算方法参见2.5节）。
+
+2.1）从  $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}, k = 1, \dots, 6$ ，中选出梯度的最大值，及其对应的  $k$  
+3）根据  $\frac{\partial E}{\partial \triangle \theta_k}$  决定  $\triangle \theta_k$  的变化量  $step_k$ ；（见2.5节）  
+4）令  $\triangle \theta_{k} = \triangle \theta_{k} + ste p_{k}$  
+5）转1；  
+6）算法结束，此时  $(\triangle \theta_{1}, \triangle \theta_{2}, \dots, \triangle \theta_{6})$  即为所求的各架飞机航向角度的偏移量。
+
+# 七、同步梯度模型
+
+我们选取阈值为0.1，用同步梯度模型对三组数据计算结果如下：
+
+<table><tr><td>数据组号</td><td>飞机1</td><td>飞机2</td><td>飞机3</td><td>飞机4</td><td>飞机5</td><td>飞机6</td><td>总角度</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2.338</td><td>-0.298</td><td>0.521</td><td>1.369</td><td>4.53</td></tr><tr><td>2</td><td>-6.761</td><td>0</td><td>1.862</td><td>-1.644</td><td>0.464</td><td>2.257</td><td>12.98</td></tr><tr><td>3</td><td>2.114</td><td>6.104</td><td>2.659</td><td>-6.429</td><td>-1.364</td><td>2.424</td><td>21.00</td></tr></table>
+
+# 八、异步顺序梯度模型
+
+我们选取阈值为0.1，用异步顺序梯度模型对三组数据计算结果如下：
+
+<table><tr><td>数据组号</td><td>飞机1</td><td>飞机2</td><td>飞机3</td><td>飞机4</td><td>飞机5</td><td>飞机6</td><td>总角度</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2.498</td><td>-0.149</td><td>0.464</td><td>1.163</td><td>4.27</td></tr><tr><td>2</td><td>-6.199</td><td>0</td><td>2.389</td><td>-1.123</td><td>0.407</td><td>1.776</td><td>11.89</td></tr><tr><td>3</td><td>2.149</td><td>-6.010</td><td>2.126</td><td>-6.354</td><td>-1.255</td><td>2.401</td><td>20.29</td></tr></table>
+
+# 九、异步优化顺序梯度模型
+
+我们选取阈值为0.1，用异步优化顺序梯度模型对三组数据计算结果如下：
+
+<table><tr><td>数据组号</td><td>飞机1</td><td>飞机2</td><td>飞机3</td><td>飞机4</td><td>飞机5</td><td>飞机6</td><td>总角度</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2.819</td><td>0</td><td>0</td><td>0.819</td><td>3.63</td></tr><tr><td>2</td><td>0.922</td><td>0</td><td>1.541</td><td>-2.544</td><td>0</td><td>3.610</td><td>8.61</td></tr></table>
+
+# 飞行管理问题约束条件的线性化
+
+徐元军 曾九林 韩伟群
+
+（中南林学院，株州412000）
+
+指导教师：潘冬光
+
+编者按：本文从相对运动出发，给出了两架飞机不碰撞条件的几何描述，得到了两机不碰撞的方向角范围，并对有关条件作了线性化处理，从而使原来的非线性约束化为线性约束。其特点在于：对约束条件的简化，注意了保留在区域内不碰，在区域外碰撞的角度范围，考虑较为全面。当然，对这一条件还可有其他处理方式。此处发表的是该文有关部分的摘录，编者只增添了极少的语句，使文意联贯。
+
+关键词：碰撞条件，约束条件。
+
+$$
+x _ {i} = v t \operatorname {C o s} \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + x _ {i 0} \quad 0 \leqslant x _ {i} \leqslant 1 6 0
+$$
+
+$$
+y _ {i} = v t \sin \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + y _ {i 0} \quad 0 \leqslant y _ {i} \leqslant 1 6 0
+$$
+
+则飞机  $i$  与  $j$  间距离
+
+$$
+d = \sqrt {\left(x _ {i} - j _ {i}\right) 2 + \left(u _ {i} - y _ {j}\right) 2}
+$$
+
+$(x_{i},y_{i})$  表示第  $i$  架飞机在  $\pmb{t}$  时刻的坐标
+
+$(x_{i0},y_{i0})$  表示第  $i$  架飞机在  $t = 0$  时的坐标  $(i = 1,2,3,4,5;j = i + 1,i + 2\dots \dots 6)$  新进入飞机编号为6。
+
+考虑利用两架飞机在区域内的相对速度来判断飞机的碰撞条件。
+
+$\theta_{i}$  表示两点的连线为始边，  $i$  为圆心逆时针旋转到  $\boldsymbol{v}_{i}$  的角（在两点连线的左端反向为负）。  
+$\theta_{j}$  表示以两点的连线为始边， $j$  为圆心顺时针旋转到  $v_{j}$  的角（在两点连线的右端），反向为负。

MCM_CN/1995/A题/飞行管理问题的实时算法/飞行管理问题的实时算法.md

@@ -0,0 +1,320 @@
+# 飞行管理问题的实时算法
+
+谭浩南 朱正光 刘剑
+
+（复旦大学，上海200433）
+
+# 指导教师：蔡志杰
+
+编者按：该文以区域内飞机调整飞行角幅度的平方和为目标函数，以自调整时刻起0.3小时内飞机两两不发生碰撞为约束条件，建立了一个非线性规划模型，用逐步求精的直接搜索和引入罚函数化为无约束极值用序列无约束最小化(SUMT)两种方法进行求解。
+
+作者在建模和求解时从实际需要出发，精益求精，将上述两种方法相结合，得到了精度高、基本上是实时的方法与程序，还对模型与方法作出了恰当的分析与评价，文章清晰、完整。
+
+摘要本文讨论了在一定区域空间内进行飞行管理避免飞机抽撞的模型，提出了直接搜索法和非线性规划(SUMT)法两种解法，并将两种方法有机结合，得出的算法在486微机上计算时间小于10秒，误差不超过0.01度，完全符合问题的要求。
+
+本文接着给出四种不同情况分别用两种方法求解，进行比较检验，取得很好的吻合，充分说明了模型3的可靠性。本文还对模型的误差进行分析并对模型进行推广。
+
+关键词：非线性规划，直接搜索，罚函数
+
+# 一、问题的提出（略）
+
+# 二、问题的分析
+
+该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，初步分析题意后可知约束条件是非线性的，难以化归为线性规划问题。由于题目涉及数据变量不是太多，可以考虑用逐步求精的直接搜索法求解。由于题目要求的精度较高，而对于计算时间的要求也较高，如果求解时间在2、3分钟以上将失去任何实际意义。我们将求解时间上限定为0.5分，以符合实际的要求。直接搜索法求的近似解难以同时满足两方面的要求。但直接搜索法至少能在较短的时间内得到一个较好的可行解，这就为运用非线性规划的方法提供了条件。非线性规划的算法种类繁多，但均只适用于某些类型的问题。由于缺乏适用的计算机软件包，我们自行编写了实现算法的程序。综合程序准备时间和收敛速度两方面因素我们选择了SUMT算法。SUTM算法与直接搜索法相结合，使我们能够在足够短的时间内找到问题的足够精确的解。
+
+# 三、模型假设及说明
+
+1. 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；  
+2. 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；  
+3. 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；  
+4. 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；  
+5. 最多考虑6架飞机；  
+6. 不必考虑飞机离开此区域后的状况；  
+7. 飞机进入控制区域后完全服从地面控制台的调度，飞机未接到指令时保持飞行状态不变。  
+8. 计算机从记录新进入飞机数据到给各飞机发指令间隔为  $t_1, t_1$  小于 0.5 分。  
+9. 飞机接到指令后可立即转到所需角度，即不考虑转弯半径的影响。
+
+说明：
+
+1. 假设3假定所有飞机速度均为  $800\mathrm{km / h}$ ，是出于对问题的简化。我们将在模型的推广中给出飞机速度各不相同时的对策。  
+2. 假设4是必要的，否则可以给出无解的例证，如图所示。对该假设可作如下解释：飞机在区域D外靠机上雷达自动保持与其他飞机距离大于  $60\mathrm{km}$ ，进入区域D后由地面控制台进行统一控制，保证飞机距离大于  $8\mathrm{km}$ 。  
+3. 假设5中6架飞机的假设是足够多的。以世界最繁忙的国际航空港之一希思罗机场邻近区域为例，
+
+![](images/915c8c757786d085c327ac68b4afb550ce25bca221ca2ba0d5d02537945725fd.jpg)
+
+因假设飞机在区域D作水平飞行，即知该区域内无机场。设在希思罗机场起降的飞机有一半穿过该区域，希思罗机场1992年起降总架次为22.5万次(文献6)，则平均每小时有15架飞机穿过该区域。而一架飞机穿过该区域最多需  $\frac{160 \times \sqrt{2}}{800} \approx 0.28$  小时，则任一时刻该区域上空飞机架数的期望值不超过4.5架。另外，事实上不同飞机的飞行高度是不同的，这就进一步减少了该区域同一水平面上飞机的数目。以上讨论虽然稍嫌粗略，但是足以说明6架飞机的假设是合理的。  
+4. 假设8是因为计算机从接到数据到发出命令间存在一个时滞，该时滞固然越小越好，但受机器限制，一般不能忽略。我们取0.5分为此时滞的一个上限，以使结果具有实际意义。当  $t < 1$  秒时，可以认为实现的是实时控制，时滞可以忽略不计。  
+5. 虽然假设2给出的调整范围为30度，但实践证明，10度的调整范围就已足够（从后面的模型1也可看出，即使两机相向飞行，各自所须的调整也不超过8度），因而在今后绝大多数讨论和程序的编制中都将搜索��间定为  $[-10, 10]$  度。
+
+# 四、文中用到的符号及说明
+
+$t_1$  时滞  $(x_{i,1},y_{i,1})$  第  $i$  架飞机的坐标
+
+$\alpha_{i_0}$  第  $i$  架飞机初始方位角  $t$  时间参数
+
+$\alpha_{i}$  第  $i$  架飞机方位角  $D_{i}(\alpha_{i},\alpha_{j})$  时刻  $t,i,j$  两机距离
+
+$C_{ij}$ $\cos \alpha_{i} - \cos \alpha_{j}$ $\min D(\alpha_i,\alpha_j)\quad i,j$  两机预计最短距离
+
+$S_{i j}$ $\sin \alpha_{i} - \sin \alpha_{j}$  飞机速度
+
+$\triangle x_{ij}$ $x_{i} - x_{j}$  偏差平方和函数
+
+△y 1 -y 求精次数
+
+$x$  逐步求精搜索法中每次求精每层循环次数
+
+$g_{ij}(x)$ $i,j$  飞机最短距离构成的不等式约束
+
+$h_{ij}(x)$  关于第  $i$  架飞机的等式约束
+
+$p(X,r)$  罚函数 权因子
+
+# 五、模型的建立及求解
+
+# （一）模型一（两架飞机的情形，
+
+# （二）模型二
+
+模型二直接将两机模型运用于多机问题，因为它等价于飞机之间两两不相撞。该模型讨论区域中有6架以下飞机时的情形，利用了模型1判别相撞的函数ifcrash，同模型1一样采取方向角调整幅度平方和最优为调整原则，从而导出目标函数和约束条件如下：
+
+$$
+\min  \quad f = \sum \left(\alpha_ {i} - \alpha_ {i 0}\right) ^ {2}
+$$
+
+$$
+s. t. \quad \min  D ^ {2} \left(\alpha_ {i}, \alpha_ {j}\right) \geq 6 4 \quad (i, j = 1, 2, \dots 6, j \neq j), t > 0;
+$$
+
+或  $t <   0$
+
+其中  $\min D^{2}(\alpha_{i},\alpha_{j}) = (-\frac{\triangle y_{ij}S_{ij} + \triangle x_{ij}C_{ij}}{C_{ii}^{2} + S_{ij}^{2}} C_{ij} + \triangle x_{ij})^{2}$
+
+$$
+\begin{array}{l} + \left(- \frac {\triangle y _ {i j} S _ {i j} + \triangle x _ {i j} C _ {i j}}{C _ {i j} ^ {2} + S _ {i j} ^ {2}} S _ {i j} + \triangle y _ {i j}\right) ^ {2} \\ = \frac {\left(\triangle x _ {i j} S _ {i j} - \triangle y _ {i j} C _ {i j}\right) ^ {2}}{C _ {i j} ^ {2} + S _ {i j} ^ {2}}, \\ t = - \frac {\triangle y _ {i j} S _ {i j} + \triangle x _ {i j} C _ {i j}}{V \left(C _ {i j} ^ {2} + S _ {i j} ^ {2}\right)} \\ \end{array}
+$$
+
+为使 ifcrash 函数只考虑区域中的飞机相撞情况, 我们可作如下修改: 因为飞机飞过该区域时间不超过 0.28 小时 (即飞正方形区域对角线时间), 我们可认为仅当  $\min \mathrm{D} < 8$ , 且  $0 < t < 0.28$  小时的时候, 飞机在区域中相撞; 否则不相撞。在实际计算时, 我们更把上限加大到 0.3 小时, 实际上是使不相撞的条件更苛刻了一些, 相当于对飞机飞离此区域后的情况也作了部分考虑, 提高了全局控制的安全性。
+
+对该模型我们采用直接搜索法讨论了一般情况下对原问题的求解，可在规定时间内得到一个近似解，如果放宽时限，则可得一个符合精度要求的最优解。
+
+直接搜索法原理十分简单：构造多重循环，对所有可能解进行判断，直接得出在一定精度范围内无可质疑的最优解。但如不使用任何技巧进行直接搜索，必将耗费大量时间。以本题为例，若在  $[-10, 10]$  度范围内进行搜索，步长0.01度，共6层循环，需计算  $6.4 \times 10^{19}$  次，在486DX66上计算一次循环内函数费时  $2.7 \times 10^{-5}$  秒，则此种算法算完显然是不可能的。
+
+为在30秒内算出一个较精确的解，我们采用了逐步求精的方法。即每次用一定的步长以较少的循环次数进行“粗选”，在“粗选”出的解附近以减小了的步长进行“精选”，逐次推进直到达到指定精度。
+
+设每次求精步长减小的倍数是相同的，则每次求精循环次数也相同，设为  $x$  ，我们考虑  $[-10,10]$  度区间，精度要求达到0.01度，设进行了n次求精，则
+
+$$
+\left(\frac {x}{2}\right) ^ {n} = 2 0 / 0. 0 1 = 2 0 0 0
+$$
+
+总循环次数  $L = n \times x^6 = (\log 2000) / (x / 2)) \times x^6$
+
+由此式可知  $x$  减小则  $\mathrm{L}$  减小，但若  $x$  太小则可能无法收敛到最优解。经验表明  $x$  在8次以上时才能达到较好的搜索效果。
+
+$$
+n = (\log 2 0 0 0) / (\log (8 / 2)) = 5. 4 \approx 5
+$$
+
+此时共需搜索最多  $5 \times 9^{6} = 265$  万次，需费时71.55秒。
+
+为将计算时间控制在30秒以内，我们又采取了一些优化方法，如
+
+a. 将底层循环内判别相撞的函数拆细分装在每层循环下，使在高层发现相撞后可提前结束循环；  
+b. 每进入新一层循环把已积累偏差平方和与已得最小偏差平方和比较，若大则结束该层循环。  
+b. 每进入新一层循环把已积累偏差平方和与已得最小偏差平方和比较，若大则结束该层循环。
+
+这些措施大大减少了平均搜索次数，使得在多数情况下计算时间少于30秒，但程序不能保证在30秒内结束运算，仍存在一些特异情况使计算时间接近最大耗时。我们又试用偏差绝对值和来代替平方和，发现对最优解影响有限，未能明显缩短计算时间。
+
+至此可知用直接搜索法在��有机器条件下难以满足题设要求，要利用该解法，地面控制台必须满足以下条件之一：
+
+1）拥有速度至少为486DX66三倍以上的电脑；  
+2）降低精度要求至0.1度（4次求精步长为7，需时至多10.81秒）。
+
+即使模型2不能直接用于飞行管理，它仍有以下作用：
+
+1）可算出符合精度要求的最优解供检验其他模型。  
+2）可在相当短的时间内算出具有一定精度的最优解作为其他算法的初值。当精度要求为1度时，它算出最优解最多只需4.3秒（两次求精步长分别为7,6），大多情况下运算
+
+时间为  $2\sim 3$  秒。
+
+# （三）模型三
+
+该模型将原问题归结为一个非线性规划问题，并用SUMT算法进行了求解。
+
+模型2给出的解法虽然不能满足题设要求，却能在较短时间内给出一个较接近最优解的可行解。由此可行解出发，用适当的非线性规划算法可较快得出满足精度要求的最优解。
+
+以  $\alpha_{i}(i = 1,2,\dots 6)$  为变量，在模型2中我们已经将问题归结为非线性规划问题，主要约束条件为
+
+$$
+\min  f = \sum \left(\alpha_ {i} - \alpha_ {j 0}\right) ^ {2} \tag {1}
+$$
+
+$$
+\min  \quad D ^ {2} \left(\alpha_ {i}, \alpha_ {j}\right) \geq 6 4 \quad (i, j = 1, 2, \dots 6, i \neq j)
+$$
+
+由于  $\mathrm{minD}^2 (\alpha_{\mathrm{i}},\alpha_{\mathrm{j}})$  的形式复杂，求导有困难，我们对(1)作一些改变，将目标函数改为
+
+$$
+f ^ {*} = \sum_ {i = 1} ^ {6} C _ {i, i 0} ^ {2} + S _ {i, i 0} ^ {2}
+$$
+
+$$
+C _ {i, i 0} = \cos \alpha_ {i} - \cos \alpha_ {i 0}, \quad S _ {i, i 0} = \sin \alpha_ {i} - \sin \alpha_ {i 0}
+$$
+
+将变量改为  $\mathrm{C}_{i,0}$ ， $\mathrm{S}_{i,0}(i = 1,2,\dots ,6)$  共12个，增加等式约束
+
+$$
+\left(C _ {i, i 0} + \cos_ {\alpha} i 0\right) ^ {2} + \left(S _ {i, i 0} + \sin \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} = 1 \quad (i = 1, 2, \dots , 6)
+$$
+
+使问题(1)变为一个12个变量，21个2次约束条件的目标函数求极小值的问题
+
+$$
+\min  f ^ {*} (X) = \sum_ {i = 1} ^ {6} \left(C _ {i, i 0} ^ {2} + S _ {i, i 0} ^ {2}\right)
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} s. t. g _ {i j} (X) = \min  D ^ {2} \left(C _ {i, i 0}, C _ {j, j 0}, S _ {i, i 0}, S _ {j, j 0}\right) - 6 4 \geq 0 \quad (i, j = 1, 2, \dots , 6 i <   j) \\ h _ {i} (X) = 0 \quad (i = 1, 2, \dots , 6) \\ \end{array}
+$$
+
+其中  $X = (C_{1,10}, C_{2,20}, \dots, C_{6,60}, S_{1,10}, S_{2,20}, \dots, S_{6,60})$  (2)
+
+$$
+\begin{array}{l} \min  D ^ {2} \left(C _ {i, j 0}, \quad C _ {j, j 0}, \quad S _ {j, j 0}, \quad S _ {j, j 0}\right) \\ = \frac {\left(\left(S _ {i , i 0} - S _ {i , j 0} + S _ {i 0 , j 0}\right) \cdot \triangle x _ {i j} - \left(C _ {i , i 0} - C _ {j , j 0} + C _ {i 0 , j 0}\right) \cdot \triangle \dot {y} _ {i j}\right) ^ {2}}{\left(S _ {i , i 0} - S _ {j , j 0} + S _ {i 0 , j 0}\right) ^ {2} + \left(C _ {i , i 0} - C _ {j , j 0} + C _ {i 0 , j 0}\right) ^ {2}} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+h _ {i} (X) = \left(C _ {i, i 0} + \cos \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} + \left(S _ {i, i 0} + \sin \alpha_ {i 0}\right) ^ {2} - 1
+$$
+
+Himmelblau 在文献[1]中列举了三类 12 种算法, 我们对这 12 种算法进行了比较, 主要是考虑其收敛速度的快慢, 其次由于没有现成的软件包可供使用, 必须自己编制有关程序, 程序准备时间的长短, 即算法变为程序的复杂程度也必须考虑。综合上述两方面因素, 我们选择了序列无约束最小化方法(Sequential Unconstrained Minimization Technique), 简称 SUMT 算法。
+
+SUMT法的基本思想是重复地求解一系列无约束问题，它们的解在极限情况下趋于非线性规划问题的极小点。算法的详细内容参见文献[1][2][3][4]，现概述如下：
+
+首先构造罚函数  $P(X_{k},r) = f^{*}(X_{k}) + r_{k}\sum_{i = 1}^{6}\frac{1}{g_{ij}(X)} +r_{k}\sum_{i = 1}^{6}h_{i}^{2}(X_{k})$  ，其中权因子 $r_k$  是一单调递减数列。对每个  $r_k$  值求  $Xi$  使  $P(X_{k},r_{k})$  取极小值。设精度要求  $\varepsilon$  ，当  $|X_{k}-$ $X_{k - 1}| <   \varepsilon$  时结束运算，即为符合所需精度要求的最优解。
+
+对此具体问题，我们置
+
+$$
+P (X, r) = f ^ {\prime} (X) + r _ {- 1} \sum_ {i = 1} ^ {6} h _ {i} ^ {2} (X) + r (- \sum_ {i, j = 1, i \neq j} ^ {6} \ln g _ {i j} (X))
+$$
+
+$$
+r _ {k} \rightarrow 0, \quad r _ {0} = \max  \left\{1 0 ^ {- 2}, \frac {\left| v ^ {*} \right|}{1 0 0} \right\}, \quad r _ {k} = \frac {r _ {k - 1}}{\sqrt [ 8 ]{1 0}}
+$$
+
+$$
+\varepsilon = 0. 5 \times 1 0 ^ {- 2}
+$$
+
+为此问题编制程序SUMT1对题目中的数据进行运算，初始值用模型2以精度为1度时算出的最优值代入，结果如下：
+
+<table><tr><td></td><td>初始角α0</td><td>偏转角△α</td></tr><tr><td>飞机1</td><td>243.00</td><td>0.00</td></tr><tr><td>飞机2</td><td>236.00</td><td>0.00</td></tr><tr><td>飞机3</td><td>220.50</td><td>2.14</td></tr><tr><td>飞机4</td><td>159.00</td><td>-0.42</td></tr><tr><td>飞机5</td><td>230.00</td><td>0.00</td></tr><tr><td>飞机6</td><td>52.00</td><td>1.49</td></tr></table>
+
+偏差平方和 6.98
+
+该程序运行时间为7.2秒。
+
+迄今为止，我们尚未讨论时滞对解的影响。在模型3中，Planesumt的运行时间是稳定的，约为4秒左右。用模型2的Solve求粗略最优解耗时在  $2\sim 4.3$  秒，随最优解出现位置不同而改变，加上裕量后我们可以在10秒以内给出最优解，故将时滞定为10秒，由假设7只需将各架飞机的坐标按原速度方向向前移动10秒内的位移，在此基础上求解即可，这在程序上实现起来相当简便。考虑时滞后得出的结果如下表所示：
+
+<table><tr><td></td><td>初始角α0</td><td>偏转角△α</td></tr><tr><td>飞机1</td><td>243.00</td><td>0.00</td></tr><tr><td>飞机2</td><td>236.00</td><td>0.00</td></tr><tr><td>飞机3</td><td>220.50</td><td>2.22</td></tr><tr><td>飞机4</td><td>159.00</td><td>-0.72</td></tr><tr><td>飞机5</td><td>230.00</td><td>2.13</td></tr><tr><td>飞机6</td><td>52.00</td><td>1.16</td></tr></table>
+
+偏差平方和 11.3292
+
+该模型运行结果在精度和耗时两方面都是令人满意的。我们建议地面控制台采用比486DX66快8倍以上的机器，这样就可以进行实时控制了。对题目所给例子给出的第一个最优解，可以认为即是在实时控制的假设下给出的。
+
+# 六、模型的检验及误差分析
+
+# （一）模型检验
+
+模型二用遍历所有可能解的方式得出最优解的，其解(在可能的精度内)的最优性是
+
+毋庸置疑的故我们可用模型二求出满足精度要求的解来检验模型3的结果。
+
+我们对3组数据分别用模型二和模型三进行求解，结果如下
+
+<table><tr><td></td><td>(X0,Y0,α0)</td><td>△α(Model 2)</td><td>△α(Model 3)</td></tr><tr><td>飞机1</td><td>(60,100,270)</td><td>-6.53</td><td>-6.55</td></tr><tr><td>飞机2</td><td>(70,100,270)</td><td>5.46</td><td>5.47</td></tr><tr><td>飞机3</td><td>(80,100,270)</td><td>3.08</td><td>3.09</td></tr><tr><td>飞机4</td><td>(50,100,270)</td><td>-4.16</td><td>-4.20</td></tr><tr><td>飞机5</td><td>(40,100,270)</td><td>-6.48</td><td>-6.54</td></tr><tr><td>飞机6</td><td>(0,40,0)</td><td>-4.30</td><td>-4.30</td></tr></table>
+
+第一组：为避免侧面碰撞，6架飞机都需转动较大的角度，这是较为极端的情况，偏差的平方和较大，但没有一架飞机需调整的角度在10度以上。
+
+<table><tr><td></td><td>(X0,Y0,α0)</td><td>△α(Model 2)</td><td>△α(Model 3)</td></tr><tr><td>飞机1</td><td>(60,80,180)</td><td>4.91</td><td>4.91</td></tr><tr><td>飞机2</td><td>(60,70,180)</td><td>2.54</td><td>2.58</td></tr><tr><td>飞机3</td><td>(60,60,180)</td><td>0.36</td><td>0.40</td></tr><tr><td>飞机4</td><td>(60,90,180)</td><td>-7.32</td><td>-7.33</td></tr><tr><td>飞机5</td><td>(60,100,180)</td><td>-4.35</td><td>-5.00</td></tr><tr><td>飞机6</td><td>(0,80,0)</td><td>4.16</td><td>4.17</td></tr></table>
+
+第二组：与第一组类似：但可能发生的碰撞是正面的。
+
+<table><tr><td></td><td>(X0,Y0,α0)</td><td>△α(Model 2)</td><td>△α(Model 3)</td></tr><tr><td>飞机1</td><td>(0,70,0)</td><td>1.62</td><td>1.62</td></tr><tr><td>飞机2</td><td>(55,5,90)</td><td>1.09</td><td>1.12</td></tr><tr><td>飞机3</td><td>(90,60,180)</td><td>1.91</td><td>1.92</td></tr><tr><td>飞机4</td><td>(40,130,270)</td><td>0.04</td><td>0.07</td></tr><tr><td>飞机5</td><td>(80,5,180)</td><td>0.00</td><td>0.00</td></tr><tr><td>飞机6</td><td>(0,60,0)</td><td>4.00</td><td>4.00</td></tr></table>
+
+第三组：四架飞机十字交错而过，另有两架飞机水平飞行，两个模型都给出了较令人满意的调度。
+
+各组数据吻合程度很好，且给出的调整方案也颇为符合逻辑，与一般常识相符，这说明模型三的算法是可靠的。值得指出的是以模型二的较粗略的可行解作为模型三的输入是非常必要的，这不但使解能快速收敛到指定精度，使计算时间符合要求，而且可用保证所求解的全局最优性。宾州大学教授James.P.Ignizio曾在其所著Goal Programming and Extensions中指出“非线性最优化…不具有用于求解问题的比较初等的通用方法，更令人失望的是非线性最优化不能保证对一个一般的问题找出整体最优解，除非这个问题具有非常特殊的形式。这意味着研究人员必须经常满足于只找出局部的最优解。事实上，即使所采用的方法能偶然找出整体最优解，但往往也很难判别这个最优解是整体的还是局部的。”这就指明了求一般的非线性规划问题的全局最优解目前尚无良策。如果没有模型2的输出作为模型3的输入，要找到全局最优解至少是相当困难的，时间上当然难以满足要求。
+
+# （二）误差分析
+
+# 1. 建模中的误差
+
+考察模型假设可知假设9带来一定误差，简单分析后可知考虑转弯半径使飞行轨迹在垂直飞行方向上产生一个偏差  $X$
+
+$X = (1 - \cos \theta)R$  ，���中  $R$  为转弯半径，  $\theta$  为转角。
+
+对最小转弯半径小于10公里的中小型飞机，转角小于15度时偏差
+
+$X \leq (1 - \cos 15^{\circ}) * 10 = 0.34$  公里
+
+对最小转弯半径约为40公里的大型飞机，转角小于8度时偏差
+
+$X \leq (1 - \cos 8^{\circ}) * 40 = 0.39$  公里
+
+两种情况下偏差均小于相撞条件8公里的  $5\%$  ，可以忽略不计。由于飞行管理中让一架飞机做大于8度的转向是较少发生的事（由模型1知两架距离为60公里的飞机在一条直线上相对飞行时，也只需一架转7.66度，一架转7.67度即可避免相撞。）故该处假设可以认为是合理的。下面给出发生极端情形时的一个对策：设一架大型飞机做30度的转弯，此时偏差  $X = (1 - \cos 30^{\circ}) * 40 = 5.36$  公里不可忽略。在飞机开始转弯后(转弯过程约需1.6分钟)地面控制站的计算机可算出一条曲率处处大于1/40的偏转线，以此曲线引导飞机飞回偏转线。这种局部调整法的优点在于计算简单，不对全局的调整角度方案产生影响，特别适用于这种小概率事件。
+
+# 2. 计算误差
+
+模型一、二计算过程中的误差仅来源于机器的截断误差，对于最后结果没有重大影响。
+
+模型三计算中的误差来源于
+
+a、建模过程中对目标函数进行替换时。
+
+b、用SUMT算法进行计算时。
+
+对于a我们对  $\triangle \alpha$  从0度到10度计算了  $c_{ii_0}^2 +s_{ii_0}^2$  以1度为基准的相对误差，如下表所示
+
+<table><tr><td>偏差(度)</td><td>偏差的平方</td><td>拟偏差</td><td>相对拟偏差</td><td>拟偏差相对误差</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>3.046E-4</td><td>3.046E-4</td><td>0</td></tr><tr><td>2</td><td>4</td><td>1.218E-4</td><td>1.218E-4</td><td>0</td></tr><tr><td>3</td><td>9</td><td>2.741E-3</td><td>2.741E-3</td><td>0</td></tr><tr><td>4</td><td>16</td><td>4.872E-3</td><td>4.874E-3</td><td>4.1E-4</td></tr><tr><td>5</td><td>25</td><td>7.611E-3</td><td>7.615E-3</td><td>5.2E-4</td></tr><tr><td>6</td><td>36</td><td>1.095E-2</td><td>1.097E-2</td><td>1.8E-3</td></tr><tr><td>7</td><td>49</td><td>1.491E-2</td><td>1.493E-2</td><td>1.3E-3</td></tr><tr><td>8</td><td>64</td><td>1.946E-2</td><td>1.949E-2</td><td>1.5E-3</td></tr><tr><td>9</td><td>81</td><td>2.462E-2</td><td>2.467E-2</td><td>2.0E-3</td></tr><tr><td>10</td><td>100</td><td>3.038E-2</td><td>3.046E-2</td><td>2.6E-3</td></tr></table>
+
+相对误差在  $0.3\%$  以下，这些表明替换函数对最后结果没有显著影响。
+
+对于  $\mathbf{b}$  我们认为文献[1][2][3][4]中提供的算法已考虑了误差问题。在程序中实际给出了两个误差控制是：相对精度界  $\varepsilon_{1}$  和绝对精度界  $\varepsilon_{2}$ ，当满足
+
+$$
+\left| x _ {j} (k, j) - x _ {j - 1} (k - 1, j - 1) \right| <   \varepsilon_ {1} \left| x _ {j} (k, j) \right| + \varepsilon_ {2}
+$$
+
+时程序结束。这保证了解的误差在精度要求以内。
+
+# 3. 输入误差对结果影响
+
+通过对输入数据给以小的扰动，经大量计算可得如下定性结果：
+
+a. 飞机位置有小的扰动对结果影响甚微，扰动增大时影响明显。  
+b. 飞机方向角的扰动对结果影响显著，扰动大小与结果变化幅度基本是在一个数量级上。
+
+以上结果说明为保证结果的准确性应尽量减小对飞机方向角测量的误差，同时对飞机位置测量的误差也应控制在一定范围以内。
+
+# 七、模型的评价及推广
+
+# （一）模型的评价
+
+模型三是我们得到的主要结果，该模型可对区域内任意位置、方向的6架以内的飞机给出调整对策，如果飞机管理的计算机计算速度比486DX66快10倍左右，则可实现实时控制。具有计算时间短、精度高的特点，实用性强，较为完满地解决了原始问题。建模过程中用到的非线性规划方法具有一般性，容易作出推广。缺点是当飞机数目增多时，非线性规划的规模增大了，计算时间增长较快，幸好对假设的分析表明这种情况是很少发生的。
+
+# （二）模型的推广（略）
+
+# 参考文献
+
+1. 实用非线性规划，D.M.Himmeblau  
+2. 非线性边值问题的一些解法, J.L.Lions  
+3. 线性与非线性规划引论，D.G.Luenberger  
+4. 最优设计的数学方法，程极泰  
+5. 无约束最优化计算方法，邓乃扬  
+6. 国际航空运输管理，顾其行  
+7. Goal Programming and Extensions, James. P. Lgnizio

MCM_CN/1995/A题/飞行管理问题的线性规划模型/飞行管理问题的线性规划模型.md

@@ -0,0 +1,255 @@
+$$
+\begin{array}{r l} & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - (1 - Z) M - Y M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} (1 - Z) M - Y M} \\ & {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j} = 0 + (Y - 1) M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} <   \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{r T _ {i}} + Z M + (Y - 1) M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} <   \operatorname {a r c c o s} \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} + (1 - Z) M + (Y - 1) M} \\ & {\text {(式 中} Z = 1, 0 \qquad y = 1, 0 \qquad M = 1 0 0 0 0 \qquad i = 1, 2, \dots n - 1, \quad j = i + 1, \dots n)} \end{array}
+$$
+
+# 飞行管理问题的线性规划模型
+
+孙旭山 魏华 吕晓光
+
+（清华大学，北京100084）
+
+编者按：这份答卷的作者没有参加全国的竞赛，而是按照同样的题目和要求参加了学校的竞赛。全国评委会的同志在评阅完全国的优秀答卷后审阅了本文，一致认为该文很有特色，特予发表。
+
+对本题一般都是建立了非线性规划模型，直接求解很困难。该文不仅运用相对速度将不相撞的约束条件线性化（对调整角改变量线性），而且经过合理的选择将目标函数也线性化，从而将整个问题成功地简化为线性规划模型。另外该文表述清晰，证明简洁。
+
+关键词：线性规划，相对速度
+
+# 一、数学模型
+
+# 1. 模型假设
+
+（1）新飞机进入边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作方向角改变（有的飞机方向角可不变）。
+
+（2）每架飞机整个过程中最多只改变一次方向角  
+（3）忽略飞机转向时间（即认为飞机在按收到指令后立即对方向角调整，且忽略其调整时间）  
+（4）新飞机进入空域前，在空城中飞行的飞机方向已调合适不会相撞  
+（5）对方向角的相同调整量的满意程度是一样的，且方向角调整越少，满意程度越高
+
+# 2. 模型介绍
+
+将每架飞机视为球状模型(二维平面为圆状模型)整个空域视为二维平面, 建立直角坐标系, 顶点为  $(0,0), (160,0), (160,160), (0,160)$ , 各方向角为飞行方向与  $x$  轴正向的夹角。每架飞机是一个以飞机坐标点为圆心, 以4公里为半径的圆(因为相撞距离限为8公里)。每架飞机在空域中的状态(位置速度)均可视为矢量, 速度为从坐标点出发。方向角为辐角, 800公里为模的矢量。各圆心按其速度方向运行。若有两圆在运行过程中相交即为该两架飞机相撞。
+
+# 3.名词、符号解释（如图1所示）
+
+$\alpha_{i,j}$  ：第  $i$  架飞机与第  $j$  架飞机的碰撞角，是两圆公切线交角中指向圆的那个角，规定
+
+$$
+\alpha_ {i j} = \alpha_ {j i}
+$$
+
+$\nu_{ij}$  : 第  $i$  架飞机相对于第  $j$  架飞机的相对飞行速度。
+
+$l_{ij}$  ：第  $i$  架飞机与第  $j$  架飞机圆心距。
+
+$\beta_{ij}$  ：第  $i$  架飞机相对于第  $j$  架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角，规定：以第  $i$  架飞机为原点， $i \rightarrow j$  连线从  $i$  指向  $j$  为正方向，逆时间旋转为正，顺时针旋转为负。
+
+$\triangle \theta_{i}$  ：第  $i$  架飞机相对于直角坐标系旋转的角（即方向角改变量），是代数量。
+
+$\triangle \beta_{ij}$  ：第  $i$  架飞机相对于第j架飞机  $\beta_{ij}$  的改变量。
+
+# 4. 判断准则
+
+不会相撞：当  $|\beta_{ij}| > \alpha_{ij}$  时，两架飞机不会相撞（两圆不相交）
+
+![](images/f8130df43d705f9f2d15571eb368a185470e5af388e70482842bd2622afdc11d.jpg)
+
+# 5. 决策目标
+
+题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，这个尽量小是针对每架飞机而言，同时也要求整体满意程度（即对管理层而言，应使每架飞机的调整都尽量的少），因此构造目标函数时，可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言，其调整量可满意，则由假设(5)知对
+
+其余飞机调整量均可满意，即要求每架飞机的调整量(绝对值)都小于某个数  $\varepsilon (\varepsilon \geqslant 0)$  。
+
+目标函数即是求  $\varepsilon$  的最小值  $\min \varepsilon$ 。
+
+# 二、建模方案
+
+# 1. 球形模型的建立
+
+（1）由于两架飞机如果相距大于8公里，则���会发生相碰，故可以考虑为4公里，两球不相交，则表明不会发生碰撞事故，若相交，则表明会发生碰撞事故。  
+（2）为了研究两球相撞，采用相对速度作为研究对象，因为飞机是否相撞的关键是相对速度。  
+（3）球形模型在分析碰撞问题中的运用，如图1示。
+
+AB,CD为公切线，  $\mathrm{ni} / / \mathrm{CD},\mathrm{mi} / /\mathrm{AB}$
+
+i,j不相撞的充要条件是  $\left|\beta_{ij}\right|_{\alpha_{ij}}$  （阴影区外）
+
+若  $\beta_{ij}$  在阴影区内则通过调整角  $(i,j$  的方向角）使  $\beta_{ij}$  移出阴影区以达到整个空域中的飞机系统不相撞
+
+（4）由球型模型建立起的函数及方程
+
+i）重要结论：对第  $i,j$  架飞机，其飞行方向角改变量  $(\triangle \theta_{i},\triangle \theta_{j})$  之和的一半即为其相对速度方向  $\beta_{ij}$  的改变量  $(\triangle \beta_{ij})$  ，
+
+即  $\triangle \beta_{ij} = \frac{\triangle\theta_i + \triangle\theta_j}{2}$
+
+证明：由题知  $|\nu_i| = 800km = A$
+
+设改变前的速度分别为  $\nu_{i1} = Ae^{i\theta_1}$  ，  $\nu_{j1} = Ae^{i\theta_j}$
+
+改变方向解后速度分别为
+
+$$
+\nu_ {i 2} = A e ^ {i (\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i})}, \quad \nu_ {j 2} = A e ^ {i (\theta , + \triangle \theta)}
+$$
+
+$$
+\nu_ {i j} = \nu_ {i 1} - \nu_ {j 1} = A \left[ e ^ {i \theta_ {1}} - e ^ {i \theta_ {j}} \right]
+$$
+
+改变后  $\nu_{ij}' = \nu_{i2} - \nu_{j2} = A[e^{i(\theta_1 + \triangle \theta_j)} - e^{i(\theta_j + \triangle \theta_j)}]$
+
+$$
+\begin{array}{l} \frac {\nu_ {i j} ^ {\prime}}{\nu_ {i j}} = \frac {A \left[ e ^ {i \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {j}\right)} - e ^ {i \left(\theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right)} \right]}{A \left[ e ^ {i \theta_ {i}} - e ^ {i \theta_ {j}} \right]} \\ = \frac {\cos \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + i \sin \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) - \cos \left(\theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right) - i \sin \left(\theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right)}{\cos \theta_ {i} + i \sin \theta_ {i} - \cos \theta_ {j} - i \sin \theta_ {j}}. \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \frac {2 \sin \frac {\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i} - \theta_ {j} - \triangle \theta_ {j}}{2} (\sin \frac {\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i} - \theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}}{2} - i \cos \frac {\theta_ {i} + \theta_ {j} + \triangle \theta_ {i} + \triangle \theta_ {j}}{2})}{2 \sin \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} (\sin \frac {\theta_ {i} + \theta_ {j}}{2} - i \cos \frac {\theta_ {i} + \theta_ {j}}{2})} \\ = \frac {\sin \frac {\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i} - \theta_ {j} - \triangle \theta_ {j}}{2}}{\sin \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2}} e ^ {i \left(\frac {\triangle \theta_ {i} + \triangle \theta}{2}\right)} \\ \end{array}
+$$
+
+即  $\nu_{i,j}$  与  $\nu_{i,j}$  复角相差  $\frac{\triangle\theta_i + \triangle\theta_j}{2}$
+
+$$
+\triangle \beta_ {i} = \frac {\triangle \theta_ {i} + \angle_ {N} \theta_ {i}}{2} \quad \text {证 毕}
+$$
+
+ii）因为忽略计算时间和转向时间故可得以下方程（不等式）
+
+由决策目标构造目标函数，  $\min X = \varepsilon (|\triangle \theta_i|\leqslant \varepsilon)$
+
+由飞机飞行方向角调整幅度不超过  $30^{\circ}$  知
+
+$$
+\left| \triangle \theta_ {i} \right| \leqslant 3 0 ^ {\circ}. \quad 0 <   \varepsilon \leqslant 3 0 ^ {\circ}
+$$
+
+为便整个系统在改变后不发生相碰事故，应有
+
+$$
+\left| \beta_ {i j} + \triangle \beta_ {i j} \right| > \alpha_ {i j}
+$$
+
+# 2. 总结函数及各约束条件
+
+$$
+\min  z = \varepsilon \tag {1}
+$$
+
+$$
+s. t. \quad | \beta_ {i j} + \triangle \beta_ {i j} | > \alpha_ {i j} \quad \triangle \beta_ {i j} = \frac {\triangle \theta_ {i} + \triangle \theta_ {j}}{2} \tag {2}
+$$
+
+$$
+\left| \triangle \theta_ {t} \right| \leqslant \varepsilon \tag {3}
+$$
+
+$$
+\left| \triangle \theta_ {i} \right| \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {4}
+$$
+
+$$
+0 ^ {\circ} \leqslant \varepsilon \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {5}
+$$
+
+# 3. 条件简化
+
+为了利用线性规划对条件(2)  $|\beta_{i_j} + \triangle \beta_{i_j}| > \alpha_{i_j}$  进行如下简化（说明见附录，编者略去）。
+
+当  $\beta_{i}, > 0$  时  $(2)\Rightarrow \beta_{i} + \triangle \beta_{i}, > \alpha_{i}$
+
+当  $\beta_{ij} < 0$  时  $(2) \Rightarrow \beta_{ii} + \triangle \beta_{ij} < -\alpha_{ij}$
+
+由于  $\triangle \theta_{i}$  可正可负，为使线性规划中各决策变量均大于等于零，故引入新的决策变量 $\triangle \theta_{i_1},\triangle \theta_{i_2}$  满足
+
+$\triangle \theta_{i} = \triangle \theta_{i1} - \triangle \theta_{i2}$  其中  $0 \leqslant \triangle \theta_{i1} \leqslant 30^{\circ}, 0 \leqslant \triangle \theta_{i2} \leqslant 30^{\circ}$
+
+# 4. 线性规划关系式
+
+$$
+\min  Z = \varepsilon \tag {6}
+$$
+
+$$
+s. t. \quad \beta_ {i j} > 0 \text {时} \quad \triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} + \triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} > 2 \alpha_ {i j} - 2 \beta_ {i j} \tag {7}
+$$
+
+$$
+\beta_ {i j} <   0 \text {时} \quad \triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} + \triangle \theta_ {j 1} - \triangle \theta_ {i 2} <   - 2 \alpha_ {i j} - 2 \beta_ {i j} \tag {8}
+$$
+
+$$
+\triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 2} \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {9}
+$$
+
+$$
+\triangle \theta_ {1 1} - \triangle \theta_ {r 2} \geqslant - 3 0 ^ {\circ} \tag {10}
+$$
+
+$$
+\triangle \theta_ {t 1} - \triangle \theta_ {t 2} \leqslant \varepsilon \tag {11}
+$$
+
+$$
+\triangle \theta_ {i 1} - \triangle \theta_ {i 3} \leqslant - \varepsilon \tag {12}
+$$
+
+$$
+\varepsilon \leqslant 3 0 ^ {\circ} \tag {13}
+$$
+
+$$
+\varepsilon , \triangle \theta_ {i 1}, \triangle \theta_ {i 2} \geqslant 0 \tag {14}
+$$
+
+[注]：其中  $\beta_{ij},\alpha_{ij}$  可由题中已经知道的参数计算得出
+
+设  $\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j$  为飞机在空间的位置的矢量，计算公式如下
+
+$$
+l _ {i j} = \left| \mathbf {x} _ {i} - \mathbf {x} _ {j} \right| \tag {15}
+$$
+
+$$
+\beta_ {i j} = \arg \left(v _ {i} - v _ {j}\right) - \arg \left(x _ {j} - x _ {1}\right) \tag {16}
+$$
+
+$$
+\alpha_ {i j} = \operatorname {a r c} \sin (8 / I _ {i j}) \tag {17}
+$$
+
+# 三、计算步骤
+
+1. 记录各飞机状态：位置（坐标），速度（大小，方向角）。  
+2. 计算各点间  $\beta_{ij},\alpha_{ij}$  
+3. 根据建模方案所提，列出目标函数及约束条件，产生LINDO文件(LINDO是用于计算线性规划的软件)  
+4. 调用LINDO得到此条件下的线性规划最优解。
+
+[注](1) 实际过程中, 可将 2,3,4 步过程合为一个模块. 这样可减少数据传递时间, 以提高效率。
+
+（2）程序清单及结果见附录（编者略去）
+
+# 四、结果检验
+
+对题目所给实例进行计算，清单见附表1（编者略去）
+
+$$
+\begin{array}{r l} & \text {方 案} \triangle \theta_ {1} = 0 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {2} = 0 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {3} = 1. 8 1 4 7 3 2 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {4} = - 0. 7 4 3 1 5 5 ^ {\circ}, \\ & \triangle \theta_ {5} = 0 ^ {\circ}, \triangle \theta_ {6} = 1. 8 1 4 7 3 2 ^ {\circ} \end{array}
+$$
+
+各方向角按此方案改动后，系统各飞机均满足  $|\beta_{ij}| > \alpha_{ij}$  （即不含相撞），其中有些飞机对满足临界不相撞条件，即  $|\beta_{ij}| - \alpha_{ij}$  的值  $< 0.01^{\circ}(0.01^{\circ}$  是题目要求的计算精度）
+
+将调整后各量再代入算法计算后得目标函数  $\min Z = \varepsilon = 0$  （即无需改动）
+
+经模拟程序（见附表4，编者略去）运行后，动态观察结果正确
+
+# 五、评价及推广
+
+1. 此模型采用球形模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判断标准既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算  
+2. 建模中作了适当的简化，将一个十分复杂的非线性规划问题简化为线性规划求解，既找到合理的解，又提高了运算速度及效率。这对于解决高速运行的飞机碰撞问题是大有裨益的，而且由题目所提供的例子计算出的结果是令人满意的。
+
+3. 简化模型所得的解不一定是最优解，考虑如下极端情况：六架飞机有两架的相对速度刚好与其连线平行，即  $\beta_{ij} = 0$  ，那么按简化模型应如何确定最优解呢？
+
+若假定  $\beta_{ij}^{\prime} = -\delta^{\prime}, \delta^{\prime} > 0$  且  $\delta^{\prime} \rightarrow 0$  则由简化模型可规划出一组解，若假定  $\beta_{ij}^{\prime} = +\delta^{\prime \prime}$ $\delta^{\prime \prime} > 0$  且  $\delta^{\prime \prime} \rightarrow 0$  同样可规划出一组解，这两组解中必是一优一劣，但因  $\beta_{ij}^{\prime}$  与  $\beta_{ij}^{\prime \prime}$  之差  $\rightarrow 0$  所以可认为它们相同，而由同一条件找出两组最优解是不可能的，所以简化模型的解不一定最优。
+
+但实际中，以上极端情况为少数，这正是本模型可取之处，且  $|\beta_{j}|$  越大可以认为，改变后的  $(\beta_{j} + \Delta \beta_{j})$  与  $\beta_{ij}$  反号的可能性越小，从而由简化模型得到的结果可能越接近最优。
+
+4. 关于模型约束条件数，由对称性知约束条件(2)的个数是  $C_n^2 (n$  是飞机数）所以约束条件数为  $4n + C_{n}^{2} = n(\frac{n + 7}{2})$  当飞机数增加后，约束条件数呈二次函数增加，计算量增加不大。  
+5. 若有若干架飞机同时进入时，依次计算，逐个调整，将它们视为有先后的进入空域，忽略调整时间，即可。

MCM_CN/1995/A题/飞行管理问题的逐步逼近搜索方法/飞行管理问题的逐步逼近搜索方法.md

@@ -0,0 +1,53 @@
+对一般的情况来讲，当  $\theta_{i}$  是个未知量时，线性函数  $f(\theta_{i},\theta_{j})$  和  $g(\theta_{i,j},\psi_{i,j})$  都难以确定。但在给定数据的条件下，可先运用计算机模拟得到一可行的调整方案  $\{\triangle \theta_{1}^{\prime},\triangle \theta_{2}^{\prime},\dots ,$ $\triangle \theta_{n}^{\prime}\}$ ，在此方案的基础上，以各飞机的初始飞行角度为主要依据，确定  $f(\theta_{i},\theta_{j})$  和  $g(\theta_{i,j},$ $\psi_{i,j})$  （当  $\triangle \theta_{i}^{\prime},(1\leq i\leq n)$  都比较小时，此方法尤其有效），故我们的线性规划模型是可行的，对得出的解我们继续用计算机模拟进行优化，在各飞机的飞行角度调整幅度之和不增加的条件下，使各飞机调整幅度尽量均衡，即，使调整幅度最大的飞机的调整角度最小，因此，我们认为我们所设计的这一模型对处理实际问题是会非常有效的。
+
+# 飞行管理问题的逐步逼近搜索方法
+
+# 王崧 于劲松 陆昱
+
+（北京大学，北京100871）
+
+指导教师：雷功炎
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+编者按：本文给出了一种逐步逼近的搜索方法，它尽管不能保证求出最优解，但具有以下三个特点：(1)简单易于编程计算。(2)对目标为绝对值函数与平方和函数两种模型都适用。(3)由计算结果看出对该问题是一个可行的方法。这里只摘录了原文的部分段落。
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+关键词：搜索法，全局最优解，局部最优解
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+# 模型的建立
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+由于要求中方向解的误差不超过0.01度，我们可以只考虑样本空间  $\Omega = [-30^{\circ}, 30^{\circ}] \times \dots \times [-30^{\circ}, 30^{\circ}]$  中所有坐标均为0.01的整数倍的点。令
+
+$$
+\Omega^ {\prime} = \{\triangle \alpha \in \Omega | 1 0 0 \triangle \alpha_ {i} \text {为 整 数}, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}.
+$$
+
+则  $\Omega^{\prime}$  中共有  $6001^{6} \cong 4.7 \times 10^{22}$  个点。要通过遍历  $\Omega^{\prime}$  中所有元素来求最小值是不可能的。因此，我们采取了一种搜索算法，实践证明它可在允许的时间消耗下给出较优解（通过本文中后面的具体例子中用此搜索结果与证明了的最优解的比较，我们发现此结果已完全满足了我们的要求）。仍然记
+
+$$
+F (\triangle \alpha) = \left\{ \begin{array}{l l} + \infty & \text {存 在} i, j, D I S T (A _ {i}, A _ {j}) \leq 8 \\ f (\triangle \alpha) & \text {其 它} \end{array} \right.
+$$
+
+其中  $f(\triangle \alpha)$  为目标函数方向角改变量的绝对值和（或平方和）， $\mathrm{DIST}(A_i, A_j)$  为飞机  $A_i$  和  $A_j$  之间的距离。
+
+方法一（基本思路）：
+
+首先在  $\Omega^{\prime}$  中以较大跨度均匀地取N个点，通过遍历计算找到其中使  $F(\triangle \alpha)$  取最小值的点，然后以该点为中心，找一个较小的区域，在其中再取  $N$  个点，在这  $N$  个点中找到使  $F(\triangle \alpha)$  取最小值的点。如此迭代下去，当区域足够小，或者连续两次找到的点非常接近时（即如果连续两次迭代所得结果位置相邻且目标函数之差小于  $0.1^{\circ}$ ），我们就认为找到了较优的解，此时停止迭代。
+
+此方法的优点在于：它是一个注重全空间的算法。较其它方法，如逐次调整法等，它比较有效地避免了局部行为（即迭代过程中结果收敛到一个局部极小值而非全局最小值的现象）。当点数  $N$  选取适当时，时间消耗很少，但它仍有一些不足，主要问题是： $N$  取得较小时，样本点在空间中的分布过于稀疏，仍然有可能出现局部行为，为此，我们在方法一的基础上做了改进，得到方法二。
+
+方法二（改进思路）：
+
+首先在  $\Omega^{\prime}$  中均匀地取  $N$  个点，通过遍历计算找到其中使  $F(\triangle \alpha)$  取最小的  $M$  个点。以这  $M$  个点为中心作  $M$  个小区域，在每一个小区域中均匀地取  $N$  个点，计算出这  $MN$  个点中使  $F(\triangle \alpha)$  取最小值的  $M$  个点，如此迭代下去，直到找到较优的解（关于较优的解的判别方法同方法一）关于方法二的细节问题参见算法描述，方法二所用时间约为方法一的  $M$  倍（实际上略少于  $M$  倍），而在  $M$  值与小区域的选取方法较好时，可有效地避免局部行为。这个优点在算法描述一节中得到了很好的体现。
+
+# 飞行管理模型的能量梯度求解法
+
+刘学 胡晨 陈涵
+
+（清华大学，北京100084）
+
+指导教师：高策理
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+编者按：本问题建模后构成一个非线性规划，求最优解有相当难度，针对本问题本文用一个表征全局性质的能量来表达飞机位置，当达到最佳位置时能量取最小，从而构成能量梯度调整模型，按此模型获得了本问题最优解。本文为作者原论文中部分内容。
+
+关键词：��量梯度，同步算法，异步算法
+
+针对以上问题，我们考虑利用一个能够表征全局性质的量来辅助调节每架飞机的位置。由于最优解对应于一个函数的极值，我们设想用能量来表达飞机的位置，当达到最佳

MCM_CN/1995/A题/飞行管理问题答卷评述/飞行管理问题答卷评述.md

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+# 飞行管理问题答卷评述
+
+谭永基
+
+（复旦大学，上海200433）
+
+本题是以空域飞行管理为背景，经简化和整理而成的一个赛题。该问题主要可以归结为非线性规划模型或经一定简化，建立线性规划模型。由于实际的需要，提出的算法应在计算机上快速地实现。
+
+# 一、非线性规划模型及求解
+
+设六架飞机在调整时的方向角为  $\theta_{i}$  ，调整后的方向角为  $\theta^{\prime}_{i} = \theta_{i} + \triangle \theta_{i}(i = 1,2,\dots ,6)$  设任意两架飞机在区域内的最短距离为  $d_{ij}(\theta_i,\theta_j)$  ，那么问题的非线性规划模型为
+
+$$
+\min  \sum_ {i = 1} ^ {6} | \triangle \theta_ {i} |
+$$
+
+使得
+
+$$
+d _ {i j} \left(\theta_ {i} + \triangle \theta_ {i}, \theta_ {j} + \triangle \theta_ {j}\right) > 8 \quad 1 \leqslant i, j \leqslant 6, i \neq j
+$$
+
+$$
+\mid \triangle \theta_ {i} \mid \leqslant 3 0 ^ {\circ}
+$$
+
+绝大多数答卷能正确建立模型，有的答卷在建模时，出于某些考虑加强了不碰撞的要求，如要求在调整后的  $0.2\sqrt{2}$  小时内不发生碰撞或永远不允许发生碰撞，从而简化了  $d_{ij}$  的表述。
+
+求解此模型的一种方法是枚举法，但是枚举工作量极大，必须采取逐步求精（细分）、隐式枚举、枚举和二分法相结合等技巧，方能在较短时间内求得符合精度的最优调整方案。参赛答卷中采用了许多提高枚举效率的措施。有的答卷在枚举时采用了Monte--Carlo法，随机产生大量  $\{\triangle \theta_{i}\}$  组合，从其中的可行解中选出最优解。这种方法可显著提高计算速度，有一定新意。
+
+另一种解法是引进惩罚函数，将问题化为无约束极值，然后将其极小化。在答卷中采用了丰富多彩的无约束化和极小化技术。有的方法，如能量梯度化有一定的特色。然而，非线性规划方法能否快速找到全局最优解，十分强烈地依赖于初值的选取。有的试卷用步长较粗的枚举得到的解作为初值，然后再用极小化的方法得到最优解，计算速度很快，可以实时调整，达到了实用的要求。
+
+有不少答卷用  $\sum_{i=1}^{6}|\triangle\theta_i|^2, \max_{1 \leq i \leq 6}|\triangle\theta_i|$  作为优化的目标，这都是合理的。
+
+# 二、线性规划模型
+
+若不考虑区域的范围，用相对运动的观点不难得出两架飞机调整方向角后不发生碰撞，调整角度应满足的条件。为简单起见，排除某些特殊的情形，条件是：
+
+① 若  $\theta_{i}^{\prime} < \theta_{j}^{\prime}, \alpha_{ij} < \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\theta_{i}^{\prime} + \theta_{j}^{\prime}}{2}\right) \mod 360^{\circ} < 360^{\circ} - \alpha_{ij}$
+
+或
+
+② 若  $\theta_{i}^{\prime} > \theta_{j}^{\prime}, \alpha_{ij} < \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\theta_{i}^{\prime} + \theta_{j}^{\prime}}{2}\right) \mod 360^{\circ} < 360^{\circ} - \alpha_{ij}$
+
+其中， $\theta_{i}^{*}, \theta_{j}^{*} \in [0, 360^{\circ}), \alpha_{ij} = \arcsin \left(\frac{8}{r_{ij}}\right), r_{ij}$  为调整时两飞机的距离，角度均以自i架飞机位置指向第  $j$  架飞机的矢量为始边计算。
+
+若以  $\sum_{i=1}^{6}|\triangle\theta_i|, \max_{1 \leqslant i \leqslant 6}|\triangle\theta_i|$  作为目标函数，以上述不碰撞条件和  $|\triangle\theta_i| \leqslant 30^\circ$  作为约束条件，是一个可归化为多个线性规划问题的规划问题。求解这一系列线性规划，比较它们的目标函数值就能得到原问题的最优解。
+
+许多答卷用类似的方法将问题归结为线性规划求解。但有不少答卷在建立不碰撞条件时疏忽了一些情形从而条件不够完整。对某些飞机初始位置，可能产生错误。
+
+由于变量较少，线性规划求解速度较快，这是采用这一模型的优点。然而，若必须排除在区域外的碰撞，由于条件不是线性的，归结为线性规划问题就有一定困难。有的答卷提出了一些克服这一困难的方法。较有成效的方法有两种。一种是在  $\triangle \theta_{i}$  不大时，将条件展开略去高阶项，另一种用低维枚举确定  $\triangle \theta_{i} + \triangle \theta_{j}$  的允许范围，再用线性规划求解。

MCM_CN/1995/A题/飞行管理问题约束条件的线性化/飞行管理问题约束条件的线性化.md

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+<table><tr><td>数据组号</td><td>飞机1</td><td>飞机2</td><td>飞机3</td><td>飞机4</td><td>飞机5</td><td>飞机6</td><td>总角度</td></tr><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2.819</td><td>0</td><td>0</td><td>0.819</td><td>3.63</td></tr><tr><td>2</td><td>0.922</td><td>0</td><td>1.541</td><td>-2.544</td><td>0</td><td>3.610</td><td>8.61</td></tr></table>
+
+# 飞行管理问题约束条件的线性化
+
+徐元军 曾九林 韩伟群
+
+（中南林学院，株州412000）
+
+指导教师：潘冬光
+
+编者按：本文从相对运动出发，给出了两架飞机不碰撞条件的几何描述，得到了两机不碰撞的方向角范围，并对有关条件作了线性化处理，从而使原来的非线性约束化为线性约束。其特点在于：对约束条件的简化，注意了保留在区域内不碰，在区域外碰撞的角度范围，考虑较为全面。当然，对这一条件还可有其他处理方式。此处发表的是该文有关部分的摘录，编者只增添了极少的语句，使文意联贯。
+
+关键词：碰撞条件，约束条件。
+
+$$
+x _ {i} = v t \operatorname {C o s} \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + x _ {i 0} \quad 0 \leqslant x _ {i} \leqslant 1 6 0
+$$
+
+$$
+y _ {i} = v t \sin \left(\theta^ {\prime} _ {i} + \triangle \theta_ {i}\right) + y _ {i 0} \quad 0 \leqslant y _ {i} \leqslant 1 6 0
+$$
+
+则飞机  $i$  与  $j$  间距离
+
+$$
+d = \sqrt {\left(x _ {i} - j _ {i}\right) 2 + \left(u _ {i} - y _ {j}\right) 2}
+$$
+
+$(x_{i},y_{i})$  表示第  $i$  架飞机在  $\pmb{t}$  时刻的坐标
+
+$(x_{i0},y_{i0})$  表示第  $i$  架飞机在  $t = 0$  时的坐标  $(i = 1,2,3,4,5;j = i + 1,i + 2\dots \dots 6)$  新进入飞机编号为6。
+
+考虑利用两架飞机在区域内的相对速度来判断飞机的碰撞条件。
+
+$\theta_{i}$  表示两点的连线为始边，  $i$  为圆心逆时针旋转到  $\boldsymbol{v}_{i}$  的角（在两点连线的左端反向为负）。  
+$\theta_{j}$  表示以两点的连线为始边， $j$  为圆心顺时针旋转到  $v_{j}$  的角（在两点连线的右端），反向为负。
+
+$\theta_{ij}$  表示由点  $i$  到圆（以点  $j$  为圆心，8为半径的圆）的切线与两点连线的夹角，  $(\theta_{i} > \theta_{j})$  。
+
+由计算可得合成速度角度
+
+$$
+\theta = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} & \quad \theta \leqslant \frac {\pi}{2} \\ \pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} & \quad \theta > \frac {\pi}{2} \end{array} \right.
+$$
+
+因为区域内所有飞机的坐标和方向角都是确定的，所以  $\theta_{i},\theta ,\theta_{ij}$  都是确定的，因此我们可以作出以下判断
+
+i）当  $\theta \leqslant 0$  时两飞机不会碰撞。
+
+ii)当  $\theta >\theta_{ij}$  时两飞机不会碰撞。
+
+iii）当  $0 < \theta < \theta_{i,j}$  时则必须对两飞机在区域内飞行的距离作讨论。
+
+对每架飞机而言，在30度的调整范围内，它的坐标和原始方向角是确定的。所以我们可以求出每架飞机飞出此区域所用的最大可能时间  $\mathrm{T_i}$  。
+
+当  $a$  对  $b$  以  $v_{ij}$  的速度飞行时， $\theta$  是确定的。
+
+$$
+\lg \theta (d - O B) = \sqrt {8 ^ {2} - O B ^ {2}}
+$$
+
+式中  $\mathrm{tg}\theta ,d$  都是定值，可解出OB
+
+当  $VT_{i}\cos \theta < (d - OB)$  时，飞机  $i$  和  $j$  就不会相碰
+
+我们为了简化后面规划的约束条件，可以把此处的约束放宽一些（因为上式中的Ti是比较强的约束）
+
+$vT_{i}\cos \theta <  \sqrt{d^{2} - 8^{2}}$  ，所以  $\theta <  \arccos \frac{\sqrt{d^2 - 8^2}}{vT_i}$
+
+综上所述，有：
+
+i）当  $\theta \leqslant 0$  或者  $\theta >\theta_{ij}$  时，两飞机不碰撞。
+
+ii）当  $0 < \theta < \theta_{ij}$  ，且  $\theta < \operatorname{arccos} \frac{\sqrt{\mathrm{d}^2 - 8^2}}{\mathrm{vT}_i}$  时，两飞机不碰撞。
+
+我们可以看出判断条件的表达式对  $\theta_{i}$  来说是线性的，所以对于变化后的  $\theta_{i} = \theta_{i} + \triangle \theta_{i}$  来说是线性的，对  $\theta_{i}$  也是线性的。因此可以将约束条件近似为：
+
+$$
+\begin{array}{r l} & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \theta_ {i j} - (1 - Z) M - Y M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} + \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \arccos  \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} - Z M - Y M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} > \arccos  \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} (1 - Z) M - Y M} \\ & {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j} = 0 + (Y - 1) M} \\ & {\frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} <   \arccos  \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{r T _ {i}} + Z M + (Y - 1) M} \\ & {\pi - \frac {\theta_ {i} - \theta_ {j}}{2} - \frac {\triangle \theta_ {i} - \triangle \theta_ {j}}{2} <   \arccos  \frac {\sqrt {d ^ {2} - 8 ^ {2}}}{v T _ {i}} + (1 - Z) M + (Y - 1) M} \\ & {\text {(式 中} Z = 1, 0 \qquad y = 1, 0 \qquad M = 1 0 0 0 0 \qquad i = 1, 2 \dots n - 1, \quad j = i + 1, \dots n)} \end{array}
+$$
+
+# 飞行管理问题的线性规划模型
+
+孙旭山 魏华 吕晓光
+
+（清华大学，北京100084）
+
+编者按：这份答卷的作者没有参加全国的竞赛，而是按照同样的题目和要求参加了学校的竞赛。全国评委会的同志在评阅完全国的优秀答卷后审阅了本文，一致认为该文很有特色，特予发表。
+
+对本题一般都是建立了非线性规划模型，直接求解很困难。该文不仅运用相对速度将不相撞的约束条件线性化（对调整角改变量线性），而且经过合理的选择将目标函数也线性化，从而将整个问题成功地简化为线性规划模型。另外该文表述清晰，证明简洁。
+
+关键词：线性规划，相对速度
+
+# 一、数学模型
+
+# 1. 模型假设
+
+（1）新飞机进入边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作方向角改变（有的飞机方向角可不变）。

MCM_CN/1995/B题/_天车与冶炼炉的作业调度_竞赛题的工业背景及其他/_天车与冶炼炉的作业调度_竞赛题的工业背景及其他.md

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+# “天车与冶炼炉的作业调度”竞赛题的工业背景及其他
+
+刘祥官 李吉鸾
+
+（浙江大学，杭州310027）
+
+又一度金秋收获的季节。又一届“大学生数学建模竞赛”的数学难题摆在了参赛队的面前。在短短的72个小时中(按参赛队计算为9个人·日作量)，参赛队必须完成赛题的数学建模的全套工作，包括实际问题的建模分析与计算，绘制出相关的图表，编制相应的计算机程序，给出正确的答案与讨论，最后还要写成一篇条理清晰、论证明确的论文，……。如此繁重的脑力劳动，许多参赛队出色地完成了。在批阅完毕全国22个赛区报送竞赛组委会评奖的“B题”79篇论文后，阅卷人的心都深深地为大学生们的智慧和创造力所震动。莘莘学子的智慧燧石在难题的撞击下，在时间、速度与质量竞争的压力下，迸发出了耀眼的火花。这智慧的火花就象炼钢炉中取样出来的钢水，钢花四射，发出耀眼的火花。这智慧的火花就象炼钢炉中取样出来的钢水，钢花四射，发出耀眼的光芒，令人兴奋，令人喜悦。
+
+“天车与冶炼炉的作业调度”这一道竞赛题，来源于我国自力更生建设起来的钢铁钒钛基地一攀枝花钢铁公司。原来的工业问题是：“攀钢提钒炼钢厂原料跨七车七炉作业的优化调度”。十多年前，为了提钒炼钢厂的生产跨上一个新台阶，为了企业的管理现代化，当时攀钢有远见卓识的领导人向数学工作者提出了这个数学难题。期望科技人员深入生产第一线，总结出天车与冶炼炉的生产调度规律，提出优化调度方案，指导车间的生产调度，提高天车与冶炼炉的劳动生产效率。同时论证生产线的最大通过能力，为公司的一项重要决策提供数量化的依据。为了解决这一文献本本上查阅不到的难题解法和求解思路，攀钢的科技人员来到北京，向中科院应用数学所、系统工程所的数学家们求教；攀钢顾问华罗庚教授和他的助手们，老一辈数学家许国志、越民义等都为该项难题的探索作过指导。到科学院数学所查阅了英国的《运筹学季刊》。我国著名的学府清华大学应用数学系的师生们接受了这一难题的科研工作；四川联合大学（原成都科技大学）应用数学系的师生们接受了这一难题的科研工作；四川联合大学（原成都科技大学）应用数学系的师生冒着炎热和高温来到攀钢提钒炼钢厂参加了包括2座提钒炉--2座混铁炉-3座转炉在内的“七车七炉作业的跟车调查”；攀钢的科技人员和调度人员在三九寒冬来到首钢炼钢厂，完成了2座混铁炉-3座转炉的“五车五炉作业的跟车调查”…。在大量调查数据的基础上，通过数理统计分析，建立起天车、冶炼炉的作业参数；采用了网络计划技术、动态规划、时间序列分析等运筹学的各种方法，建立起各种作业条件下的天车一冶炼炉作业优化调度方案，并论证了各种方案下的生产线通过能力。清华大学还编制了适合攀钢具体情况的整套计算机模拟软件GPSS，模拟天车一冶炼炉的作业和调度过程，验算了生产线的最大
+
+通过能力。经过攀钢和清华大学科研人员前后两年的努力工作。终于向攀钢领导交出了一份有份量的答卷。攀钢召开了有中国科学院应用数学所、科技政策与管理科学所、清华大学等教授专家参加的鉴定会。中国数学会运筹学会原秘书长桂湘云教授主持了鉴定会。鉴定意见认为该项应用数学工作达到了国内的领先水平。后来，台湾清华大学学者来到北京，在与清华大学学者的交流中，也对该项工业应用数学成果给予了高度的评价。
+
+综上所述，本次数学模型竞赛的“天车与冶炼炉的作业调度”问题是一道实实在在的从实际工业课题提炼、简化出来的数学问题。这种多车多炉的优化调度问题是每一个钢铁厂都普遍存在的生产问题。也正如一些学生在建模分析中指出的，不仅在冶金，而且在铁路运输等部门，都有类似的优化调度问题。因此，本题解答中好的数学建模就是要能够归纳提炼出具有通用性的数学模型与计算方法。要从数据中归纳出相关的计算公式，而不能仅仅是数据的罗列。可喜的是从优秀答卷中，我们可以看到建模方法的多样性与数学方法应用的灵活性。不完全列举，学生们使用的方法就有：线性规划、统筹法（网络计划技术PERT、CPM等）、动态规划、层次分析法、PETRI法、图论方法、排队论方法等等；运用已有的计算机软件包来解题的有MATHEMATICA、GPSS、DSS决策支持系统等，许多参赛队自行编制了计算及绘图程序。通过这些方法、手段的综合应用，许多参赛队建立了���关的模型与计算公式，计算出了具体结果。他们从工业企业生产实际的常识出发对结果进行科学的讨论分析并得到了正确的结论，取得了优秀的成绩。本期全文选登和部分摘录的论文就是其中优秀答卷的代表。
+
+在这里特别指出“天车一冶炼炉作业运行图”的绘制在本道难题的解答中，检验了学生们的创新思路和数学技巧。实际生产过程的调度作业是难以按照所建立的数学模型公式一一计算然后再去调度的。为了调度的简明性，工业中许多调度岗位都是使用“图上作业法”。这种方法也是数学中解决难题的一种有用方法。它比解析公式具有更直观、简明的效果。而要把天车一冶炼炉这8项生产设备的作业在一张运行图上简明地表达出来，确实要花一番研究的功夫。许多答卷绘制了常规调度使用的GANTT图即横道图。这是外国人创造的，写进了书本上的方法。在工程项目的网络计划技术中常常使用。然而这种传统的方法不足之处是不能直观反映各岗位作业之间的有机关联。特别是天车的作业不是孤立的，它要配合并服务于冶炼炉的作业。因此调度图如果不反映这种有机的联系是难以搞好动态调度的。一些优秀的答卷绘制了反映随时间推移各设备(包括天车与冶炼炉)综合作业状态的“二维调度图”显示了数学思维的创新之处。这种由生产车间的三维空间作业简化提炼而得到的“二维调度图”，其一是“时间维”，反映生产依时间动态推移的过程；其二是“空间维”，三维空间依题意简化为一维，抓住由冶炼炉与作业点相对位置确定的一维空间座标。在这样的时空二维平面上反映天车的作业过程就能把天车为冶炼炉作业服务的衔接关系准确地、简明地、动态地表达出来。它给调度人员一个完整的、直观的、各设备统筹兼顾的生产调度概念，因而受到调度人员的欢迎。迄今“七车七炉作业优化调度”的论文尚未发表，普通文献上也没有“二维调度图”的论述。参赛者能在短时间内建立“二维调度图”的概念，其数学图形提炼技巧和灵活应用的创新思路实属可贵。
+
+对于应用数学问题建模计算之后的分析与结论，是本赛题对参赛者的又一个考验。可以说，数学建模问题的“题外常识”，是作出结论的重要前提。并且通常是不在题目中“点明”的。成功的参赛者都充分注意到了这个问题。有些好的答卷没有使用任何计算机工具，
+
+然而他们成功地完成了计算分析，并得出正确的结论。究其成功之处在于他们把功夫下在动脑筋上。而有些参赛队在计算机上确实花了很大功夫，然而却未得出正确的结论。优秀的参赛队则在充分动脑筋的基础上，使用计算机也达到了较高的水平。这给我们一个启示：计算机只是“聪明人”更能干的工具。在本题的解答中，有些参赛队按要求完成了“设计一种满足上述要求的天车与冶炼炉的作业调度方案”，只计算了三台天车的作业数据，但未对模型作更深入的讨论和对比就下了“最优”结论，显然这样的解答是难以获得更好的成绩。而最令人惋惜的是，一些参赛队在充分比较三台天车方案、四台天车方案和五台天车方案之后，不能全面推敲“各台天车作业率尽量均衡”的实践含意，片面追求数字上的均衡，脱离了企业生产实际，以五台天车作业为“最优方案”，其结论当然也就令人难以赞同了。如果深入分析一下就可以得知五台天车作业之间的相互干扰，等待，让车所造成的被迫“无效作业”同样也要带来“天车作业率”的升高。此时并不能认为天车处于“无作业”的自由状态。更何况一台能够吊起120吨铁水（连同空罐将达到150吨）的天车价值数百万元。因此，应当明了，天车作业率的“均衡”是在作业率均不超过  $70\%$  意义下的均衡，有的参赛队也能机敏地列出了三台天车的“均匀”作业方案。参赛者应当能够理解：从企业实际出发，怎么能够设想仅仅为了“尽量均衡”天车的作业率，管理者会作出多花数百万元的决策呢。因此，在运用数学建模方法处理实际问题作出分析结论的时候，我们一定要避免陷入“数学脱离实际”的境地。这是积多年工业应用数学实践经验提出的忠告。
+
+本题的题目是“天车与冶炼炉的作业调度”，它包含运输工具与生产设备两方面的作业调度。精明的参赛者在很长的问题面前，越过“语文”这一关后，通过系统分析很快就会发现生产线科学管理的“中心”是冶炼炉而不是天车。就象是太阳系问题，按照“地心说”很难画出太阳的运行轨道，而按照“日心��”则地球的运行轨道一目了然一样。当计算好冶炼炉的作业要求后，按最大生产能力去安排天车的作业工序及其时间要求，天车服务于冶炼炉作业的关键问题也就一清二楚。成功的参赛队也就很快从天车作业率不大于  $70\%$  的要求中列出了计算最少所需天车台数的公式，判断出至少必须有三台天车才能完成基本工序。而不必用“穷举法”从一台天车作业计算到五台天车作业，一一进行比较。
+
+本题答案中，天车的“工序清单”绝大多数答卷均能正确回答。然而对于“调度规则”的阐述多数答卷则变成“天车作业时间表”。未能归纳成冶炼炉作业、天车作业的相关规则。这反映了参赛者尚缺乏理论提炼的基本功。从数据到公式(即规律)，再从规律到调度规则，这是一个从实际到理论，再用理论指导实践的提炼过程。个别成功的答卷能够归纳阐述天车一冶炼炉的“作业优先级”概念，如天车作业时间服从于冶炼炉作业时间，并按时间提前量作好准备；T2天车(即中间一台天车)作业优先；负载天车作业优先等“规则”。这些“规则”给调度人员以明确的调度指导，从而灵活地处理时间参数随机变动后的情况。当然，提炼“规则”是在全面理解了整个生产作业调度要素之后才能想出来的。即使不见得是完整的答案，也令人赞赏其对运筹学知识的灵活应用。
+
+对于本题中“提高钢产量到年产300万吨以上的建议”，许多答卷意识到本题的通过改善管理调度提高劳动生产率的挖潜含意，因而能够用计算结果作出冶炼炉作业和天车作业两方面的挖潜分析，给出了正确的回答。而建议再添一座甚至两座冶炼炉的参赛者，如果知道一座大型转炉需要数千万元以至上亿元的配套投资时，他就不会轻而易举地下笔写出这样的答案了。
+
+最后说到本题的数学知识要求和数学应用的思想方法问题。在参赛队充分理解本题的要求和进行求解之后，我们可以看到，只要有初等数学知识，完全不用计算机就能完成本题的全部解析计算。然而计算结果是否正确的前提和关键却是时间参数之间的逻辑关系分析是否正确。因此本题数学考验的核心是逻辑数学，是工序之间的“关系”，特别是时间参数的“衔接关系”。实际工业应用数学问题大量的是“离散数学”问题，要善于综合应用“肯定型”、“概率型”和“逻辑型”的数学工具。如果只习惯于自然科学中的“肯定型—连续型”数学问题的分析思路和解法，我们就常会在实际生产问题和管理问题面前束手无策。因为这些问题经常是离散的概率型、逻辑型问题。本赛题最后提出的时间参数随机问题的讨论就是基于这样的背景提出的。许多答卷能够按平均时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的β分布来讨论时间参数对生产的影响都是正确的。然而这里也要指出一些参赛队不恰当地把有计划的生产调度问题用随机排队模型来套。殊不知一条轨道上的N台天车到达某一工作点根本不是随机自由到达。套用不恰当的模型而得出不正确的结果，失之偏颇也就难免了。可以说，深入浅出的运用数学工具解决实际问题是应用数学的“Know How”；而相反用了高深的数学理论却脱离了问题的实际，实乃数学建模之“大忌”。
+
+“科技兴国”的号角召唤着有志于“科学技术面向经济建设”的学子。要使我国经济运行的质量赶超世界的先进水平，应用数学的参与大有作为。数学建模竞赛给有志者一个小试锋芒的机遇。我们期待着更多的优秀者脱颖而出，取得更好的成绩！
+
+# 天车与冶炼炉的作业调度
+
+邱玉平 谭小术 干斌
+
+（四川轻化工学院，自贡643033）
+
+指导教师：武亦文
+
+编者按：本文主要优点是能抓住主要的影响因素建立了“瓶颈模型”，通过详细、正确的数学论证分析了使用一至五台天车的可能性，并对使用三台天车的情形给出了详细的各天车的工序清单、天车炉子作业运行图。本文还用层次分析法给出了一种评估三、四、五台天车是否最优的模型，从而认为使用三台天车为最优。
+
+摘要：本模型首先考虑该车间工序的相互影响，抓住主要的影响因素（即各环节的过程速度）在满足生产条件和假设条件的情况下，利用“递推法”找到其钢年产量的决定因素，建立了较为实用的“瓶颈模型”，应用层次分析法确定了天车的台数为3台，再运用排队理论制定了天车调度的最优方案，求出了在所给条件下钢的年产量为：282.76万吨。
+
+关键词：瓶颈模型，排队论，层次分析法。

MCM_CN/1995/B题/冶炼车间的最优调度模型的检验/冶炼车间的最优调度模型的检验.md

@@ -0,0 +1,75 @@
+# 冶炼车间的最优调度模型的检验
+
+刘世兵 董小虎 巩禧云
+
+（安徽机电学院，芜湖241000）
+
+指导教师：王庚
+
+编者按：本文对模型安全性，稳定性，模型优缺点及推广进行了讨论。现摘录如下。
+
+关键词：数学模型，稳定性
+
+# 一、模型的检验
+
+# （一）模型安全性的检验
+
+由于我们的模型是用直接推断和启发式算法建立的，虽然结果使总产量达到了最大值，并尽量减小了作业率，但我们最担心的是两车是否会相撞的问题，由图中可以看出天车最可能相撞的地点是天车  $\mathbf{T}_{1}$  和天车  $\mathbf{T}_{2}$  在  $\mathbf{B}_{\mathbf{k}}$  垂直面上，为了检验天车的安全性问题，我们计算出两辆天车到达这一垂直面上最小时间间隔为10秒，由于相邻工作点之间可容纳一辆天车，天车经过相邻两工作点的时间仅为15秒，故可以认为模型具有较好的安全性。
+
+# （二）稳定性分析
+
+1. 对运行图上数据进行分析，当  $\triangle t < 10$  秒的微小变化时并不影响转炉的不间断生产，年产量不会有显著变化。  
+2. 当  $t_a$  不变时，只需满足  $t_e > t_0 + t_i, t_b < 30$  分钟时即使其它时间参数有较大的变动，结果仍不会发生显著变化，所以模型具有稳定性。
+
+# 二、模型的优缺点与推广
+
+通过与前面的直接推断法相比较，上述的模型优势是明显的。
+
+1. 模型具有良好的稳定性  
+2. 图示法的调度模型简明直观，易为操作人员所领会模型主要缺点在手工条件下制作状态运行图较为繁琐。
+
+推广
+
+1. 现在的模型是针对于三个阶段，三台天车以及七个工作点之间的最优调度问题，对于多阶段决策以多个过程的优化调度同样适用。
+
+2. 此模型不仅可以适用与天车冶炼炉之间的最优调度，并且也宜于工作分配，铁道部门的段场调度，以及多台机器多个工件加工顺序问题。
+
+# 天车作业调度的随机性分析
+
+杜序 袁灯山 杨黎明
+
+（北京航空航天大学，北京100083）
+
+# 指导教师：赵杰民
+
+编者按：本文对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行了定性的和定量的分析。现将有关内容摘录如下。
+
+关键词：随机性，作业率，调度。
+
+当  $t_a, t_b \cdots, t_k$  都是随机时，所给出的数值为它们的均值，设  $x = t_a + t_e + t_f, y = t_b + t_i$ 。由于人为的调配，除  $x, y$ ，其它对A，B炉的生产影响很微小，而  $x, y$  却直接关系到A炉的生产量，所以主要矛盾是  $x, y$ 。
+
+先说明随机对产量的影响，
+
+设  $x \sim N(a_1, \sigma_1), y \sim N(a_2, \sigma_2)$  则一个周期内有  $x_1$  和  $x_2, y_1, y_2, y_3$ ，当  $y_1 + y_2 + y_3 < x_1 + x_2$  时，生产照常运转，而当  $y_1 + y_2 + y_3 \geqslant x_1 + x_2$  时，A 要等待 B，那么整个生产周期要延长。可以求出每个周期延长的均值  $\mathfrak{m}$ 。
+
+$$
+y _ {i} \sim N \left(a _ {2}, \sigma_ {1}\right) (i = 1, 2, 3)
+$$
+
+则  $y_{1} + y_{2} + y_{3}\sim N(3a_{2},\sqrt{3}\sigma_{1})$
+
+$$
+x _ {i} \sim N \left(a _ {1}, \sigma_ {2}\right) (i = 1, 2)
+$$
+
+则  $x_{1} + x_{2}\sim N(2a_{1},\sqrt{2}\sigma_{2})$  。所以
+
+$$
+y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} - x _ {1} - x _ {2} \sim N \left(3 a _ {2} - 2 a _ {1}, \sigma_ {3}\right),
+$$
+
+其中  $\sigma_3 = \sqrt{3\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}$  ，且
+
+$$
+m = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {x}{\sqrt {2} \pi \sigma_ {3}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} d x = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} | _ {+ \infty} ^ {0} = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {(3 a _ {2} - 2 a _ {1}) ^ {2}}{2 \sigma_ {3} ^ {2}}}
+$$

MCM_CN/1995/B题/天车_冶炼炉作业调度的活动网络模型/天车_冶炼炉作业调度的活动网络模型.md

@@ -0,0 +1,89 @@
+文天车数目的讨论。
+
+3. 由天车一炉子作业运行图容易看出，T1，T2，T3任一时刻的位置至少相差相邻两个工作点间的距离，且保持顺序无交叉，故绝对不会出现天车相撞事故。  
+4. 由《调度规则说明书》容易知道调度的基本原则和先后顺序，参照各天车的详细工序清单，调度的安排便一目了然了。
+
+综上所述，我们所提出的调度方案符合要求。
+
+# （四）关于天车数目的进一步讨论：
+
+注意到  $\mathbf{m}(t) = \mathbf{n}(t) = 1$  时，对应模型一调度方案中的天车T2，T3，其作业率分别为  $61\%$  和  $58\%$ ，非常接近，故若  $\mathbf{m}(t) + \mathbf{n}(t) \geqslant 3$ ，而作业率又要尽量均衡的话，一方面造成天车的作业率太低（ $30\% - 40\%$ ），另一方面，因天车彼此的位置不能交换，而天车数目增加，不仅造成无效移动的增多（为了让位给其他天车工作），且增加相撞的可能性，并导致调度方案的复杂化。
+
+因此，我们选择三台天车相对独立运行的调度方案，不仅在产量上最大，而且在实际生产的管理中也是合理的。
+
+# 天车、冶炼炉作业调度的活动网络模型
+
+# 丁剑 张德 冯南
+
+（东南大学，南京210096）
+
+指导教师：姚瑞波
+
+编者按：本文将三台A炉、二台B炉、三台天车的作业活动构造成一个活动网络模型，对于确定型问题，可用关键路径法找出达最大钢产量的调度方案增产到300万吨/年的各种措施的产量，对于非确定性问题可用计划评审法讲座随机性的影响及控制方案。现将有关内容摘录如下。
+
+关键词：活动网络，关键路经法，计划评审法
+
+(1)  $\mathrm{Ai}^*$  或  $\mathrm{Bj}^*$ :  $\mathrm{Ai}$  (或  $\mathrm{Bj}$ ) 冶炼  
+(2) Tk place: Tk 空着运至 place 处  
+(3) Tk  $\square \rightarrow$  place: Tk 带一空罐或槽运至 place 处
+
+(4) Tk place: Tk 带一空槽或罐运至 place 处  
+(5) Tk place: Tk 在 place 处吊起一空槽或罐  
+(6) Tk place: Tk 在 place 处带起一满槽或罐  
+(7) Tk place: Tk 在 Place 处放下一空槽或罐  
+(8) Tk place: Tk 在 place 处放下一满槽或罐
+
+为使度钢产量尽可能高，A炉，B炉轮流冶炼完。
+
+所以我们考虑调度用3辆天车，使调度周期  $\mathrm{T} = \max \{\mathrm{T}' / 3, \mathrm{T}'' / 2\} = \mathrm{T}' / 3 = 18.42$ ，A炉满负荷生产，通过反复尝试和调整，定义初始状态如下：
+
+A(1) 空 A(2) 已生产 T, A(3) 已经生产 2T  
+B(1) 空 B(2) 已生产 T,
+
+T1在P空，T2在A(1）装满半钢，T3在B(1)装满原料
+
+结束时A(1)A(2)A(3)状态分别对应周期开始时A(2)A(3)A(1)的状态，
+
+B(1)B(2)状态对应B(2)B(1)状态，
+
+显然可以重新形成下一个周期，不断循环下去，得到活动网络如下：
+
+出于这种考虑，我们构造了一个有向图  $G(\mathbf{V},\mathbf{E}]$  ，其中  $\mathbf{E}$  为边集合，第一边  $\mathrm{ei}(\mathrm{ei}\in \mathbf{E})$  都代表了一个生产周期中的一项工作，ei的权Wi为进行该项工作的时间；图中每个节点代表某一刻生产进展状态，为了表示一些工作的先后约束关系，我们引入了权重为零的一些弧（这些边也被称为虚零弧），见下图，这样就恰如其分地表示了一个周期的流程。
+
+注：虚零弧在图中用虚线表示。
+
+# 确定性模型（所有时间都固定的情况）
+
+我们旨在寻找和调整图中的关键路径(critical path], 使其权和不超过 T, 这样就与原先的期望一致了。我们编制了 C 语言程序, 并且利用数学软件对其进行 CPM 分析。通过反复尝试和逐项调整, 得到 CPM 分析结果。
+
+在周期  $= 18.42$  的情况下，
+
+关键路径长度  $=$  周期  $= 18.42$
+
+根据CPM分析的各项活动完成最早时间和最晚时间，我们发现依据这一方案恰好可以在一个周期中完成各项工作，并且从一个周期到下一个周期过渡平稳自然，其中有些任务完成尚有节余时间，也就是说3辆车已达到最优的情况。
+
+![](images/e19dc641ef4acf0f9daaba7763d140c8fbf9adf51b0f33f517a195f9a16d3367.jpg)
+
+初态：
+
+T1: 在  $\mathbf{P}$  上, 空  
+T2: 在 A(1) 上, 满  
+T3: 在 B(1) 上, 满
+
+A(1)：刚生产好
+
+A(2)，A(3)：生产中  
+B(1)：刚生产好  
+B(2)：生产中
+
+终态：
+
+T1: 在  $\mathbf{P}$  上, 空  
+T2: 在 A(2) 上, 满  
+T3: 在 B(2) 上, 满
+
+A（2）：刚生产好
+
+A(3), A(1): 生产中  
+B(2)：刚生产好  
+B(1)：生产中

MCM_CN/1995/B题/天车与冶炼炉作业调度的Petri网模型/天车与冶炼炉作业调度的Petri网模型.md

@@ -0,0 +1,138 @@
+# 天车与冶炼炉作业调度的Petri网模型
+
+# 凌晖 熊德华 杨杰
+
+（南开大学，天津300071）
+
+指导教师：叶剑平
+
+编者按：本文在分析问题的基本特征基础上，应用Petri网作为模型，得出一个满足要求的优化调度方案。该文分析全面，说理清楚，在模型讨论与建议等方面都有独到之处。
+
+关键词：Petri网，容量函数，均衡原理
+
+为方便说明，我们将各项工序的代号及其所需时间列表如下：
+
+<table><tr><td>代号</td><td>工序</td><td>用时</td></tr><tr><td>1</td><td>天车在Q处吊原料</td><td>ty=3</td></tr><tr><td>2</td><td>天车运行至Bi</td><td>tx*(3-i)</td></tr><tr><td>3</td><td>放下满罐</td><td>ti=3</td></tr><tr><td>4</td><td>天车吊起原空罐</td><td>tk=2</td></tr><tr><td>5</td><td>天车返回Q</td><td>tx*(3-i)</td></tr><tr><td>6</td><td>天车放下空罐</td><td>tk=2</td></tr><tr><td>7</td><td>Bi冶炼半钢,到入空罐</td><td>tb=27</td></tr><tr><td>8</td><td>天车吊起半钢罐</td><td>td=3</td></tr><tr><td>9</td><td>运至Aj</td><td>tx*(3+i-j)</td></tr><tr><td>10</td><td>倒入Aj</td><td>te=5</td></tr><tr><td>11</td><td>天车返回Bi</td><td>tx*(3+i-j)</td></tr><tr><td>12</td><td>放下空罐</td><td>tc=2</td></tr><tr><td>13</td><td>天车从P吊槽</td><td>tg=2</td></tr><tr><td>14</td><td>运行至Aj</td><td>tx*</td></tr><tr><td>15</td><td>辅料加入Aj</td><td>ft=2</td></tr><tr><td>16</td><td>天车与空槽返回P</td><td>tx*j</td></tr><tr><td>17</td><td>放下空槽</td><td>th=1</td></tr><tr><td>18</td><td>Aj冶炼成品钢</td><td>ta=48</td></tr></table>
+
+从原料到成品钢的全部生产流程由下图给出：
+
+![](images/908a85cfdca4697d7da6f944f16ed7f5597d55e8e668aded7e3dbbaf3e482a7e.jpg)  
+图2
+
+为使成品钢产量尽量高，就必须使A炉尽可能满负荷生产，即尽量减少A炉的待料时间，因P处辅料可按时供给，所以调度方案的设计归结为实现A组炉与B组炉生产间隔的最佳匹配问题，下面给出几个结果：
+
+（1）产品上限：当A组炉满负荷生产时，成品钢产量达到其上限：  
+一年有效作业时间300天/每炉最短生产周期  $\times$  每炉产量  $\times$  炉数  $= 282$  万吨  
+（2）均衡原理：为实现B组炉，A组炉的尽量满负荷生产，应在调度中力求使A组炉，B组炉的冶炼间隔时间尽量均匀，且保证A组炉间隔大于B组炉间隔，否则必然会出现A组炉中某炉已炼完但B组炉不能及时供料，从而造成A炉的空闲，难以实现最大产量。  
+（3）最小周期：因寻求最佳调度的核心归结为A组炉与B组炉的生产匹配问题，由两组炉数的互质性知：
+
+最小周期：A组炉数  $\times \mathrm{B}$  组单炉平均生产周期
+
+A组单炉平均生产周期  $\times \mathrm{B}$  组炉数
+
+约110分
+
+其间生产出6炉成品钢。
+
+# 一、基本假设
+
+1. 根据作业过程与工序要求，假设该车间至少有原料罐3个，辅料槽1个，半钢罐1个；  
+2. 天车之间无区别，任一台均可完成工序中涉及天车的所有操作；  
+3. 任意两个相邻工作点间距离相等，天车运行时间与通过的距离成正比；  
+4. 考虑到天车绝对不允许相撞，假设当一台天车完成炉上作业后离开至少15秒（即tx)后，才允许另一台天车到达；记此安全延迟时间为  $\triangle x$ 。  
+5. 假设天车技术性能良好，在运行过程中不会出现停车故障或脱钩事故。
+
+# 二、模型一：Petri网分析
+
+# （一）初步分析
+
+由图2，在A组炉满负荷生产情形下，一个周期(110分  $+2\triangle \mathbf{x} = 110$  分30秒)内天车运行总时间最少为：
+
+[循环(13,14,15,16,17)时间+循环(1,2,3,4,5,6)时间+循环(8,9,10,11,12)时间]  $\times 6 = 168$  分，而为了使天车作业率不超过  $70\%$  ，两台天车的工作时间至多为110分30秒  $\times 2\times 70\% = 154.7$  分（168分，故至少应考虑三台天车。
+
+# （二）系统的Petri网模型描述
+
+# 1. Petri 网简介
+
+Petri 网 (有关定义参见附录一及参考文献[1]) 是关于分布式异步并行系统的理论, 是研究并行现象的强有力的工具, 若在 Petri 网中考虑时间因素, 为每个迁移规定一个发生延续时间, 即该迁移从发生到结束需要的时间, 就得到一个带定时的 Petri 网, 即时间网系统, 由于原问题是在一个较少规模的空间发生的, 所以时间网系统中引入的统一的全局时间是合理的。
+
+下面是系统的Petri网描述图：
+
+![](images/f33aeb66fbf7d93dafed6a94eaf5eb0261f44f4380ef9139d05e68ae6f9b681e.jpg)  
+图3
+
+图中圆圈表示场所，方框表示迁移，方框中的数字为迁移代表的操作。
+
+符号：S1：原料场地Q
+
+S2: Q 处天车处于空闲状态  
+S3：天车处于Bi，将要提起空罐，Bi即将冶炼半钢  
+S4: Bi处半钢冶炼完成  
+S5：中部的天车处于空闲  
+S6：半钢已倒入转炉Aj  
+S7：装载辅料的天车准备往Aj炉装料
+
+S8：装载辅料的天车加料完毕，Aj炉将开始冶炼成钢
+
+S9：P处天车处于空闲
+
+S10：成品钢出炉
+
+由此得出描述系统的Petri网  $\mathbf{P} = (\mathbf{S},\mathbf{R},\mathbf{F},\mathbf{K},\mathbf{W},\mathbf{M}0)$  ，其中容量函数  $\mathrm{K} = (\infty ,1,2,$ $2,\mathfrak{m},3,1,3,\mathfrak{n},\infty),1,\mathfrak{m},\mathfrak{n}\geqslant 0$  且  $1 + \mathfrak{m} + \mathfrak{n}\leqslant 5$  ，权函数W对每条边均为1(即每个操作对每种天车或原料只需一个单位)，初始标识  $\mathbf{M}0 = (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$  。
+
+现在对上述Petri网系统进行动态的分析。应用“均衡原理”，我们令K(S1)不为无穷，而是每隔18分左右产生一个token，且产生三个token的时间间隔为55分15秒，从图上易算出R1,R2循环，R4,R5，循环，R6,R7,R8循环的时间延迟都不超过12分，迁移R3虽需27分，但由于S3容量为2，所以S4能够以和S1产生token相同的间隔获得token，同理S6,S8,S10也如此。因此，在S1“均衡”产生token的前提下，S10能够“均衡”地接收token，从而整个Petri网成为一个不发生冲撞和死锁的系统，这种网络流动自然产生了一个初步的调度方案。
+
+# （三）调度方案的确定
+
+（1）从Petri网的图示中易于看出R1，R2循环，R4，R5循环，R6，R7，R8循环分别代表天车的3种典型任务；从Q处装原料并返回，从B炉运半钢至A炉并返回，三个循环的平均时间延迟分别为10分30秒，11分30秒，5分30秒，其作业率最高的也只有  $62\%$  。因此，天车数  $1 = \mathrm{m} = \mathrm{n} = 1$  是满足条件的最基本方案，并且由于此情况下天车作业互相独立，易知实际的无冲突的作业调度方案是存在的。  
+（2）由均衡原理"将A组单炉生产周期55分15秒划分为18分，18分，19分15秒，可得以下调度方案：
+
+各天车作业分工：
+
+a. 天车 T1 只负责从 P 装辅料至 A 炉, 每周期进行 6 次 R6, R7, R8 循环。  
+b. 天车 T2 只负责从 B 炉装半钢至 A 炉，每周期 6 次 R4, R5 循环。  
+c. 天车 T3 只负责从 Q 装原料至 B 炉, 每周期 6 次 R1, R2 循环。
+
+《工序清单》（略）
+
+《天车一炉子作业运行图》（略）
+
+《调度规则说明书》（略）
+
+（3）可以验证：
+
+1. 在本方案中已实现了A组炉的不间断生产，故产量已达最高。  
+2. 各天车的作业率（在满负荷情形下，一个周期110分30秒内）
+
+<table><tr><td>天车</td><td>T1</td><td>T2</td><td>T3</td></tr><tr><td>作业累计时间</td><td>36分</td><td>67分30秒</td><td>64分30秒</td></tr><tr><td>作业率</td><td>33%</td><td>61%</td><td>58%</td></tr></table>
+
+可见，T1，T2，T3的作业率均不超过  $70\%$  ，符合要求，关于均衡性的进一步讨论见下
+
+文天车数目的讨论。
+
+3. 由天车一炉子作业运行图容易看出，T1，T2，T3任一时刻的位置至少相差相邻两个工作点间的距离，且保持顺序无交叉，故绝对不会出现天车相撞事故。  
+4. 由《调度规则说明书》容易知道调度的基本原则和先后顺序，参照各天车的详细工序清单，调度的安排便一目了然了。
+
+综上所述，我们所提出的调度方案符合要求。
+
+# （四）关于天车数目的进一步讨论：
+
+注意到  $\mathbf{m}(t) = \mathbf{n}(t) = 1$  时，对应模型一调度方案中的天车T2，T3，其作业率分别为  $61\%$  和  $58\%$ ，非常接近，故若  $\mathbf{m}(t) + \mathbf{n}(t) \geqslant 3$ ，而作业率又要尽量均衡的话，一方面造成天车的作业率太低（ $30\% - 40\%$ ），另一方面，因天车彼此的位置不能交换，而天车数目增加，不仅造成无效移动的增多（为了让位给其他天车工作），且增加相撞的可能性，并导致调度方案的复杂化。
+
+因此，我们选择三台天车相对独立运行的调度方案，不仅在产量上最大，而且在实际生产的管理中也是合理的。
+
+# 天车、冶炼炉作业调度的活动网络模型
+
+# 丁剑 张德 冯南
+
+（东南大学，南京210096）
+
+指导教师：姚瑞波
+
+编者按：本文将三台A炉、二台B炉、三台天车的作业活动构造成一个活动网络模型，对于确定型问题，可用关键路径法找出达最大钢产量的调度方案增产到300万吨/年的各种措施的产量，对于非确定性问题可用计划评审法讲座随机性的影响及控制方案。现将有关内容摘录如下。
+
+关键词：活动网络，关键路经法，计划评审法
+
+(1)  $\mathrm{Ai}^*$  或  $\mathrm{Bj}^*$ :  $\mathrm{Ai}$  (或  $\mathrm{Bj}$ ) 冶炼  
+(2) Tk place: Tk 空着运至 place 处  
+(3) Tk  $\square \rightarrow$  place: Tk 带一空罐或槽运至 place 处

MCM_CN/1995/B题/天车与冶炼炉的作业调度/天车与冶炼炉的作业调度.md

@@ -0,0 +1,327 @@
+最后说到本题的数学知识要求和数学应用的思想方法问题。在参赛队充分理解本题的要求和进行求解之后，我们可以看到，只要有初等数学知识，完全不用计算机就能完成本题的全部解析计算。然而计算结果是否正确的前提和关键却是时间参数之间的逻辑关系分析是否正确。因此本题数学考验的核心是逻辑数学，是工序之间的“关系”，特别是时间参数的“衔接关系”。实际工业应用数学问题大量的是“离散数学”问题，要善于综合应用“肯定型”、“概率型”和“逻辑型”的数学工具。如果只习惯于自然科学中的“肯定型—连续型”数学问题的分析思路和解法，我们就常会在实际生产问题和管理问题面前束手无策。因为这些问题经常是离散的概率型、逻辑型问题。本赛题最后提出的时间参数随机问题的讨论就是基于这样的背景提出的。许多答卷能够按平均时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的正态分布或统筹法中数学期望时间的β分布来讨论时间参数对生产的影响都是正确的。然而这里也要指出一些参赛队不恰当地把有计划的生产调度问题用随机排队模型来套。殊不知一条轨道上的N台天车到达某一工作点根本不是随机自由到达。套用不恰当的模型而得出不正确的结果，失之偏颇也就难免了。可以说，深入浅出的运用数学工具解决实际问题是应用数学的“Know How”；而相反用了高深的数学理论却脱离了问题的实际，实乃数学建模之“大忌”。
+
+“科技兴国”的号角召唤着有志于“科学技术面向经济建设”的学子。要使我国经济运行的质量赶超世界的先进水平，应用数学的参与大有作为。数学建模竞赛给有志者一个小试锋芒的机遇。我们期待着更多的优秀者脱颖而出，取得更好的成绩！
+
+# 天车与冶炼炉的作业调度
+
+邱玉平 谭小术 干斌
+
+（四川轻化工学院，自贡643033）
+
+指导教师：武亦文
+
+编者按：本文主要优点是能抓住主要的影响因素建立了“瓶颈模型”，通过详细、正确的数学论证分析了使用一至五台天车的可能性，并对使用三台天车的情形给出了详细的各天车的工序清单、天车炉子作业运行图。本文还用层次分析法给出了一种评估三、四、五台天车是否最优的模型，从而认为使用三台天车为最优。
+
+摘要：本模型首先考虑该车间工序的相互影响，抓住主要的影响因素（即各环节的过程速度）在满足生产条件和假设条件的情况下，利用“递推法”找到其钢年产量的决定因素，建立了较为实用的“瓶颈模型”，应用层次分析法确定了天车的台数为3台，再运用排队理论制定了天车调度的最优方案，求出了在所给条件下钢的年产量为：282.76万吨。
+
+关键词：瓶颈模型，排队论，层次分析法。
+
+# 一、问题的提出（略）
+
+# 二、基本假设
+
+1. 设备在工作过程中一切正常，不会出现偶然事故；  
+2. 原料装配不在该生产工序范围之内（即该模型不考虑 F、Q 两处的装料时间）；  
+3. 在A组炉处加半钢和加辅料之间的时间间隔忽略不计：而且在此条件下的两天车之间不会发生碰撞；  
+4. 加料均为一次性加足；  
+5. 各天车运行时的速度都相同（即各相邻工作点之间的距离都相同）；  
+6. 有足够的原料罐，半钢罐和辅料罐；  
+7. A组炉和B组炉的加料时间间隔相同。  
+8. 任何一台天车没有不必要的工作状态（即：任何一台天车不会出现吊着料等待放卸）。
+
+# 三、建立模型
+
+# （一）模型中使用参数的说明：
+
+$T_{A}$  表示A组炉中任意一台炉在一个周期内的工作时间；  
+$T_{B}$  表示B组炉中任意一台炉在一个周期内的工作时间；  
+$T_{i}$  表示天车  $T_{i}$  在一个周期内的工作时间；  
+$m$  表示对应两工作点的单位距离段数；  
+$n$  表示天车T1工作的次数；  
+$k$  表示每台转炉每年的作业天数；  
+$t_{a}(n)$  表示A组炉中某一炉开始加料的时刻；  
+$t_b(n)$  表示B组炉中某一炉冶炼结束的时刻；  
+$t_i(n)$  表示天车  $T_{i}$  开始作业的时刻  $(\mathrm{i} = 1,2,3)$  
+$W$  表示成品钢的年产量；  
+$W_{a}$  A组炉平均每炉成品钢产量；  
+$t_{a}$  A组炉中冶炼一炉的成品钢所需时间(输出时间计入  $t_{a}$  中)；  
+$t_b$  B组炉中冶炼一炉半钢所需时间(输出时间计入  $t_h$  中)；  
+$t_i$  B组炉处放下原料罐所需时间；  
+$t_{o}$  B组炉处吊起原料空罐所需时间；  
+$t_{\mathrm{c}}$  B组炉处放下空半钢罐所需时间；
+
+$t_d$  B组炉处吊起半钢罐所需时间；  
+$t_e$  在A组炉处倒入半钢所需时间；  
+$t_f$  在A组炉处加入辅料所需时间；  
+$t_{g}$  在  $\mathbb{P}$  处吊起辅料槽所需时间；  
+$t_h$  在  $\mathbf{P}$  处放下空槽所需时间；  
+$t_{y}$  在  $\mathbf{Q}$  处吊起原料罐所需时间；  
+$t_k$  在  $\mathbf{Q}$  处放下空原料罐所需时间；  
+$t_x$  两相邻工作点之间天车运行时间；
+
+# （二）问题的分析：
+
+由于A组转炉数与B组冶炼炉数不相等，A组转炉与B组冶炼炉之间不能一一对应，因此A组转炉与B组冶炼炉之间只能交叉对应，其关系如下：
+
+![](images/ed7a15167335b400ae8b8c6eb1f92ccc885b44085b983a59216bf2b8316f9f48.jpg)
+
+在我们要解决的问题中，A组炉和B组炉在生产过程中反复出现，并同时要求天车的作业率均衡，所以我们应考虑生产过程为周期性变化。根据实际情况，我们把以上框图内的内容作为一个工作周期，然而我们要建立一个钢产量尽量高的模型这就必须使生产过程中的周期最短，利用在连串反应中反应最慢的环节决定着整个反应的反应速度的原理（即：连串反应的速度控制原理），分析所给问题，A组炉在一个周期内的工作时间  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$  与B组炉在一个周期内的工作时间  $\mathrm{T_B}$  为两个相对独立的变量，如果考虑到B组炉供应A组炉的生产工序，则  $\mathrm{T_A}$  和  $\mathrm{T_B}$  相互影响，并决定着成品钢的产量，而且  $\mathrm{T_A}$  与  $\mathrm{T_B}$  的关系满足以上所述的速度控制原理，因此我们可以根据这个原理来建立一个“瓶颈模型”。
+
+# （三）模型建立：
+
+在我们所要建立的模型中， $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$  和  $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$  满足连串反应速度控制原理，所以我们应先确定A，B中反应最慢的环节，即确定A，B两组炉生产过程由  $\max[\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}}]$  来决定，其中  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$ ， $\mathrm{T}_{\mathrm{B}}$  如下：
+
+$$
+T _ {A} = 2 \left(t _ {a} + t _ {e} + t _ {f}\right)
+$$
+
+$$
+T _ {B} = 3 \left(t _ {b} + t _ {i} + t _ {d} + m \cdot t _ {x}\right)
+$$
+
+由  $\max[\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}}]$  我们可以进行下一步寻找能够满足条件的天车运行工序，其具体寻找方法为：
+
+（1）如果  $\max [T_{\mathrm{A}}, T_{\mathrm{B}}] \times 70\% > \max [T_{1}, T_{2}, T_{3}]$ ，则由  $\max [T_{\mathrm{A}}, T_{\mathrm{B}}]$  所对应的那组炉来确定天车的运行工序，并由其确定循环周期；  
+（2）如果  $\max [T_{\mathrm{A}}, T_{\mathrm{B}}] \times 70\% < \max [T_{1}, T_{2}, T_{3}]$ ，则由  $\max [T_{1}, T_{2}, T_{3}]$  所对应的天车按A组炉与B组炉的关系确定运行工序，并由其确定循环周期。
+
+由于所建模型不能直接提出调度方案，因此我们只能用所给数据演示模型具体求解过程，给出其调度方案。由上面步骤，我们可先求出  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}, \mathrm{T}_{\mathrm{B}}$  的大小如下，（对应如上的A组炉与B组炉的循环过程）：
+
+$$
+T _ {A} = 2 \left(t _ {a} + t _ {e} + t _ {f}\right) = 2 \times (4 8 + 5 + 2) = 1 1 0 \quad (\text {单 位}: \min )
+$$
+
+$T_{B} = 3(t_{t} + t_{t} + t_{d} + m \cdot t_{r}) = 3 \times (27 + 3 + 3 + 0.25m) = 99 + 0.75$  （单位：min）
+
+由于  $n \leq 6$  （由厂房布局图可知），所以  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}} > 103.5 \geq \mathrm{T}_{\mathrm{B}}$ ，即A，B两组炉生产过程的速度由  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$  决定。
+
+现在我们由  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}}$  来进行下一步寻找满足条件的天车运行工序：
+
+（1）通过计算，只有一台天车和只有两台天车时，都不能满足天车的作业率小于 $70\%$  ，故我们不再考虑生产过程中只有一台或只有两台天车的情况。  
+（2）考虑有三台天车的情况：先假设一种最简单的情况——即辅料P处与A组炉之间有一台天车，A组炉与B组炉之间有一台天车，B组炉与原料Q处有一台天车，分布如下图：
+
+![](images/5831737ec962bcefdc2652ea81f917be1d24c47f3bc46c3ac75ef123c34df0c5.jpg)
+
+![](images/d0bcc2032192d5817fde996c08186c598e977e0243e24998194801a8b1a12b5e.jpg)
+
+![](images/198b1cae04adbed572670ac783fee3bc7a78a63c265909c6445eac28ddeb7584.jpg)
+
+![](images/d70edeb90f7cb5b8f517d1269eefce38fa03515cb94a4425847109eaac896416.jpg)
+
+![](images/81ea9b79dbd358f75f9e607c30b94a75bc222f63dbb48865f4ed34a33f6de27e.jpg)
+
+![](images/4a952522606a345997543ca2861840a17c009bb0c1a912bf31a1d3f9a4fb85c4.jpg)
+
+![](images/1a091c6556ebfa0a365f32ce54e21e4496eaa2d2b984c1f8b710b9d29258aad5.jpg)
+
+![](images/9a4f83356ed4a82ea8226ec77111fb763bfde584d9fff0ac5c4972f62dd8d385.jpg)
+
+按这种情况，我们求出每一台天车在一个周期内的工作时间，分别为：
+
+$$
+\mathrm {T} _ {1} = 3 6 \mathrm {m i n}
+$$
+
+$$
+\mathrm {T} _ {2} = 6 7. 5 \mathrm {m i n}
+$$
+
+$$
+\mathrm {T} _ {3} = 6 4. 5 \mathrm {m i n}
+$$
+
+因为  $\mathrm{T}_{\mathrm{A}} \times 70\% > \max[\mathrm{T}_{1}, \mathrm{T}_{2}, \mathrm{T}_{3}]$ ，所以在整个生产过程中，A组炉决定着整个生产工序，当有四台或五台天车时，按相同的方法得知，仍是A组炉决定着整个生产工序。但考虑到效益，产量，安全，调度难度，设备投资等主要影响因素，通过层次分析法（详见附录）我们得出了调用三台天车为最佳。
+
+下面我们来求有三台天车时的最佳调度方案：首先可以设其中一循环以A1开始，从此时开始计时，由于在同一个周期内，A1，A2，A3是按A1，A2，A3，A1，A2，A3的顺序加料的，且每相邻加料时间间隔相同（即  $\frac{T_{\mathrm{A}}}{6} = 18.33\mathrm{min}$ ），故A组炉中任一炉的开始加料时刻为：
+
+$$
+t _ {a} (n) = \frac {T _ {A} \cdot (n - 1)}{6} = 1 8. 3 3 (n - 1) \tag {1}
+$$
+
+在满足假设8的条件下，A组中每一炉的加料时刻决定了B组中对应冶炼炉的冶炼结束时刻，还决定了天车T1的开始吊料时刻和天车T2开始吊料的时刻，而B组炉的冶炼结束时刻决定了天车T3的开始吊料时刻，各时刻的求解式如下：
+
+$$
+t _ {b} (n) = t _ {a} (n) - m \cdot t _ {x} \tag {2}
+$$
+
+$$
+t _ {1} (n) = t _ {a} (n) + t _ {e} - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {g}\right) \tag {3}
+$$
+
+$$
+t _ {2} (n) = t _ {a} (n) - m \cdot t _ {x} \tag {4}
+$$
+
+$$
+t _ {3} (n) = t _ {b} (n) - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {y}\right) \tag {5}
+$$
+
+（注：以上四式中的  $m$  并非表示同一意义，而是表示与其情况对应的相关工作点之间的单位距离段数。）
+
+成品钢的年产量为：
+
+$$
+W = 2 4 \times 6 0 \times 6 \times \frac {W _ {a} \cdot k}{T _ {A}} = 8 6 4 0 \times \frac {W _ {a} \cdot k}{T _ {A}} \tag {6}
+$$
+
+(6)式中6为一个工作周期内生产成品钢的炉数，在以上(1)一(6)表达式中，(3)、(4)、(5)、(6)就是我们建立的模型（注：该模型是经判断确定以TA为基准的条件下才适用）
+
+# （四）调度方案
+
+# 1. 工序清单
+
+（1）各台天车的工序清单：
+
+T1: P处提料  $\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} \end{array} }} \end{array} }} \end{array} }} \end{array} }} \end{array} }\right.}\right.}$  返回P处放槽  $\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} \\ & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed{ \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\text{炉处倒料}\boxed { \begin{array}{r l} & {\boxed{\mathbf{P}},\mathrm{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\text{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\mathrm{s},\end{array} }} \end{array} }} \end{array} }}}\right.}\right.}\right.}\right.}$  暂停  
+T2：B炉处提料  $\vdash$  A炉处倒料  $\vdash$  返回B炉处放罐  $\vdash$  暂停  
+T3: Q处提料→B炉处放罐→B炉处提罐→返回Q处放罐→暂
+
+（2）各台天车在一个工作周期内的工序清单：
+
+![](images/bb3e6738d39e5398c9bed08fed72e56e189f0355f9f13b507f2857fbfeca22e8.jpg)  
+T1：天车T1在一个周期内的工序清单
+
+![](images/feba53948e4fa17bb825e64030c334892a2218f65a7fc1cef73b31e0eb31ae5a.jpg)
+
+![](images/96ce7281a2bc6c4d74e727aaf7fcab33d7349c0963860d7bee69e72eee955f5a.jpg)
+
+![](images/372623d3d731e65837e9ffc62049cf97c739c41d1c1ac9f5beac21f24c23753a.jpg)  
+T2：天车T2在一个周期内的工序清单（略） T3：天车T3在一个周期内的工序清单（略）
+
+![](images/05ce180ff721df18f3611b8b24a3240b700f93639c5f9ec9f2a11dd830e831cc.jpg)
+
+![](images/50e1ce4ce32d2620ebdf9331742c1ae1e779e1789e77d973b2abafe5e6cc34a0.jpg)
+
+# 2. 天车一炉子作业运行图
+
+![](images/8ddefbbdfad9d02f928140d3897fe296f567f2c44cf10243847e16ed9a823ce8.jpg)  
+t/min
+
+![](images/54615a719bb3e6a59dad090f911dc39e41975b3746403456aa4b0d3edc2796c2.jpg)  
+t/mi
+
+在以上图中，天车和炉子的作业运行图由以下分段函数来表示：
+
+$$
+f (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \text {停 止 状 态} \\ 1 & \text {工 作 状 态} \end{array} \right.
+$$
+
+![](images/7e5b2152000534e0e078b47222905c1ab8e57afbf1d1f6cd16d9e400b557cd39.jpg)
+
+由于我们假设在A组炉处天车T1与天车T2进料是连续的，无时间间隔，但不会发生碰撞，所以图中T1与T2在相同时刻处于同一个位置，（如上图所示的A，B两点）并不是违背条件的。
+
+# （五）调度规则说明书
+
+各天车的调度时刻分别由下面对应的式子确定：
+
+$$
+t _ {1} (n) = t _ {a} (n) + t _ {e} - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {g}\right)
+$$
+
+$$
+t _ {2} (n) = t _ {a} (n) - m \cdot t _ {x}
+$$
+
+$$
+t _ {3} (n) = t _ {b} (n) - \left(m \cdot t _ {x} + t _ {y}\right)
+$$
+
+各天车被调度后就按（一）中对应的工序正常工作。
+
+各天车在一个工作周期内的调度时间如下表：
+
+<table><tr><td></td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>T1</td><td>2.75</td><td>21.8</td><td>39.41</td><td>57.75</td><td>76.08</td><td>94.41</td></tr><tr><td>T2</td><td>-3.75</td><td>14.58</td><td>32.91</td><td>51.25</td><td>69.58</td><td>87.91</td></tr><tr><td>T3</td><td>-40.98</td><td>-22.34</td><td>-4.25</td><td>14.33</td><td>32.41</td><td>51.00</td></tr></table>
+
+# （六）各台天车在所给方案下的作业率：
+
+用前面的计算结果(天车T1，T2，T3在一个工作周期内的作业时间)求得对应天车的作业率见下表：
+
+<table><tr><td></td><td>T1</td><td>T2</td><td>T3</td></tr><tr><td>作业率</td><td>32.73%</td><td>61.36%</td><td>58.64%</td></tr></table>
+
+# （七）该车间成品钢的年产量为：
+
+$$
+W = 8 6 4 0 \cdot \frac {w _ {a} \cdot k}{T _ {A}} = 8 6 4 0 \times \frac {1 2 0 \times 3 0 0}{1 1 0} = 2 8 2 7 6 0 0 (\text {吨}) = 2 8 2. 7 6 (\text {万 吨})
+$$
+
+# 四、模型结果分析
+
+由于我们所建模型时把随机性参数  $t_{\mathrm{a}}, t_{\mathrm{b}}, \dots, t_{\mathrm{k}}$  取为其平均值，考虑为定值参数，这使所建模型运行后结果产生误差。对于  $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ ，由于天车有足够的休息时间，而且由A组炉决定其工作状态，按正态分布计算其概率接近于  $100\%$ ，对于成品年产量W，按正态分布计算其概率近似于  $87.5\%$ 。
+
+在不改变生产工艺条件的情况下，该车间成品钢年产量达300万吨的概率几乎为0，因此，要使钢年产量达到300万吨，我们必须对生产工序或每年的作业日作一定的调整，比如：缩短工作周期，增加年作业日等。经过计算，我们发现仅增加作业日，则需增加18.3天才能达到年产量300万吨；如增加工作日的同时缩短生产周期，则当缩短4分钟/(周期)时，只需增加7天就能达到年产量300万吨，如仅缩短工作周期，则只需缩短6.3分钟/(周期)。比较三者，我们建议采用适当增加作业日同时适当缩短工作周期来达到年产量300万吨，这样就避免了因工作周期过短而使天车的作业率超过  $70\%$  和作业日过多而造成职工抱怨强烈。
+
+# 五、模型的改进和推广
+
+由于我们时间有限，只能以演示的方式给出由A组炉决定整个生产过程的模型，而不能给出由B组炉或天车Ti决定整个生产过程的模型，因此，我们模型的改进方向是建立由B组炉或天车Ti决定整个生产过程的模型，达到对任何情况我们都可在判断后直接利用模型制定调度方案。
+
+我们所建立的模型不仅可用于天车调度，而且可用于工作时间与其它时间有矛盾时的人员的安排。交通(尤其是火车)调度等。
+
+# 六、模型优缺点
+
+1. 我们的“瓶颈模型”是按“递推法”逐渐满足条件而建立的，建模方法简单易懂，尽管建模过程中应用了层次分析法和排队理论，但仍可以只用初等数学方法便能制定出调度方案。  
+2. 所建模型的调度时刻清晰，便于操作。  
+3. 我们的模型先是按一般情况考虑的，具有一定的通用性，如遇到其它情况，只需抓住问题的“颈”，然后利用我们模型中回归递推的方法进行求解。有很强的适用性。  
+4. 由于我们在模型假设中有一些地方进行了连续化处理，这可能使模型在实际运用过程中对调度和操作的要求增强。
+
+# 参考文献
+
+1.《物理化学》，天津大学物理化学教研室编(第三版)，高等教育出版社  
+2.《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版  
+3. 《运筹学导论》，[美]B.E. 吉勒特著，机械工业出版社  
+4.《排队论及其应用》，陆凤山编，湖南科学技术出版社  
+5.《概率论》，同济大学数学教研室编，高等教育出版社  
+6.《层次分析法引论》，王莲芬许树柏编著，中国人民大学出版社  
+7.《大学生数学建模竞赛辅导教材》，叶其孝主编，湖南教育出版社
+
+# 附录一 用层次分析法确定天车的台数
+
+对采用三台，四台，五台天车都能满足工艺要求的情况下，要确定选取哪一种情况为最优方案时，可以将决策问题分解为三个层次
+
+运用一九尺度分别写出准则层对目标层(A矩阵)及方案层对准则层的判断矩阵(B1,B2,B3,B4,B5矩阵)：
+
+$$
+A = \left| \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 4 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 4 \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{3} & 1 & 3 & \frac {1}{2} \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{3} & \frac {1}{3} & 1 & 1 \\ \frac {1}{3} & \frac {1}{4} & 2 & 1 & 1 \end{array} \right|
+$$
+
+$$
+B 1 = \left| \begin{array}{l l l} 1 & 2 & 5 \\ \frac {1}{2} & 1 & 3 \\ \frac {1}{5} & \frac {1}{3} & 1 \end{array} \right|
+$$
+
+$$
+B 2 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & \frac {1}{3} & \frac {1}{8} \\ 3 & 1 & \frac {1}{3} \\ 8 & 3 & 1 \end{array} \right|
+$$
+
+$$
+B 3 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & 3 & 4 \\ \frac {1}{3} & 1 & 1 \\ \frac {1}{4} & 1 & 1 \end{array} \right|
+$$
+
+$$
+B 4 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & 2 & 4 \\ \frac {1}{2} & 1 & 2 \\ \frac {1}{4} & \frac {1}{2} & 1 \end{array} \right|
+$$
+
+$$
+B 5 = \left| \begin{array}{c c c} 1 & 3 & 8 \\ \frac {1}{3} & 1 & 3 \\ \frac {1}{8} & \frac {1}{3} & 1 \end{array} \right|
+$$
+
+由Perron定理可知：设  $\mathbf{n}$  阶方阵  $A > 0$  ，  $\lambda_{\mathrm{max}}$  为A的模最大的特征根，那么有：
+
+（1） $\lambda_{\max}$  必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；  
+（2）A的任何其它特征根  $\lambda$  恒有  $|\lambda| < \lambda_{\max}$ ；  
+（3） $\lambda_{\mathrm{max}}$  为A的单特征根，因而它对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。
+
+对于正矩阵A的最大特征根  $\lambda_{\mathrm{max}}$  及特征向量  $\omega$  可根据Perron定理，利用数值计算中的幂法求取；同时利用  $\mathrm{CI} = \frac{\lambda_{\mathrm{max}} - n}{n - 1}$  对每个判断矩阵进行一致性检验，查找相应阶数的平均随机致一性指标RI(阶数  $n = 3$  时  $\mathrm{RI} = 0.52, n = 5$  时  $\mathrm{RI} = 1.12$  )，并用  $\mathrm{CR} = \frac{\mathrm{CI}}{\mathrm{RI}}$  求得一致性比例CR，当  $\mathrm{CR} > 0.1$  时说明判断矩阵不合实际，应进行重新判断，直到  $\mathrm{CR} < 0.1$  时通过检验，当每一判断矩阵都通过一致性检验时，得到如下表所示值；然后进行组合权向量的计算。
+
+<table><tr><td>k</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td rowspan="3">ωk(B)</td><td>0.58155</td><td>0.08194</td><td>0.63376</td><td>0.57143</td><td>0.68173</td></tr><tr><td>0.30900</td><td>0.23628</td><td>0.19186</td><td>0.28571</td><td>0.23634</td></tr><tr><td>0.10945</td><td>0.68178</td><td>0.17438</td><td>0.14286</td><td>0.08193</td></tr><tr><td>λk</td><td>3.00367</td><td>3.00119</td><td>3.00884</td><td>3.00000</td><td>3.00148</td></tr><tr><td>CIk</td><td>0.00184</td><td>0.00060</td><td>0.00442</td><td>0.00000</td><td>0.00074</td></tr></table>
+
+从上表中可以看出各判断矩阵均通过一致性检验，并可得到
+
+$$
+\omega^ {(A)} = (0. 3 4 7 2 7, 0. 3 3 2 1 0, 0. 1 1 7 6 4, 0. 0 8 2 9 1, 0. 1 2 0 0 9) ^ {T}
+$$
+
+记：  $\mathbf{W} = \left[\omega_{1}^{(\mathrm{B})},\omega_{2}^{(\mathrm{B})},\omega_{3}^{(\mathrm{B})},\omega_{4}^{(\mathrm{B})},\omega_{5}^{(\mathrm{B})}\right]$  ，可得第三层对第一层的排序向量：
+
+$\omega_{31} = 0.43296, 0.26041, 0.30662$ ，此向量中权重最大的一项就是最优项（即我们所要寻找的最优项）；
+
+以上各计算步骤都是通过BASIC程序实现的。
+
+附录二：AHP层次分析源程序（略）

MCM_CN/1995/B题/天车与冶炼炉的作业调度模型/天车与冶炼炉的作业调度模型.md

@@ -0,0 +1,79 @@
+# 天车与冶炼炉的作业调度模型
+
+杨银芳 郭安 蒋鹏
+
+（重庆工业管理学院，重庆630050）
+
+指导教师：宋江敏
+
+编者按：该参赛论文在对一台至五台天车这五个方案进行选优时采用了层次分析法，较为合理地设立准则层，有特色。现摘录有关内容如下。
+
+关键词：层次分析法，层次结构图，最优方案。
+
+我们采用关键路线法(CMP)作出从一台天车到五台天车情况下一个工作周期的各个网络图，通过编制程序（程序见附录3），找出关键路线，一个周期的运行时间，通过网络图分析，得出各种运行方案下年产量及《天车一炉子作业运行图》，由此可得各个方案下各台天车的作业率。
+
+要在这五个方案中择取最优方案，其实质为一多目标规划问题。运用层次分析法(AHP)进行双选择优。具体作法如下：
+
+# 一、得出递阶层次结构图
+
+![](images/204c9887e223f8543b91b24277f8a2d33ce04dba12b7c378f2646f2db65ac4ab.jpg)
+
+# 二、两两比较构造判断矩阵（见附录1）
+
+$$
+A = \left[ \begin{array}{c c c c c c} a 1 1 & a 1 2 & \dots & a 1 j & \dots & a l n \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a i 1 & a i 2 & \dots & a i j & \dots & a i n \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a n 1 & a n 2 & \dots & a n j & \dots & a n n \end{array} \right] _ {n} * n
+$$
+
+$a_{ij}$ $i$  对  $j$  的相对重要数字
+
+# 三、进行单排序
+
+利用和积法
+
+对A按列归一化
+
+$$
+\bar {W} _ {i j} = \frac {a _ {i j}}{\sum_ {k = 1} ^ {n} a _ {k j}}
+$$
+
+对  $\overline{W}_{ij}$  按行求和  $\overline{W}_i = \sum_{j = 1}^n\overline{W}_{ij}$
+
+将  $\overline{W}_i$  归一化  $\overline{W}_i = \frac{\overline{W}_i}{\sum_{i=1}^{n} \overline{W}_i} = (w1, \cdots, wn)$  即为特征向量
+
+$$
+\lambda_ {m a x} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {(A W) _ {i}}{n W _ {i}}
+$$
+
+# 四、一致性检验
+
+$$
+C I = \frac {(\lambda_ {m a x} - n)}{n - 1} R I \text {一 查 表 可 得} C R = \frac {C I}{R I}
+$$
+
+当  $\mathrm{CR} < 0.1$  时，具有满意的一致性
+
+# 五、层次总排序
+
+<table><tr><td>层次B
+层次C</td><td>B1/b1</td><td>B2/b2</td><td>...</td><td>Bn/bn</td><td>总排序</td></tr><tr><td>C1</td><td>w1</td><td>w1</td><td>...</td><td>w1</td><td>∑m
+j=1b
+j
+w1</td></tr><tr><td>C2</td><td>w2</td><td>w2</td><td>...</td><td>w2</td><td>∑m
+j=1b
+j
+w2</td></tr><tr><td>...</td><td colspan="5">......</td></tr><tr><td>Cn</td><td>wn</td><td>wn</td><td>...</td><td>wn</td><td>∑m
+j=1b
+j
+wn</td></tr></table>
+
+# 六、总排序的一致性检验
+
+$$
+C I = \sum_ {j = 1} ^ {3} a _ {j} (C I) _ {j} \quad R I = \sum_ {j = 1} ^ {3} a _ {j} (R I) _ {j}
+$$
+
+用FORTRAN编程可计算出层次总排序如下（由好到次）：
+
+3台天车  $\rightarrow 5$  台天车  $\rightarrow 4$  台天车  $\rightarrow 1$  台天车  $\rightarrow 2$  台天车
+
+即安排3台天车的方案为最优方案。

MCM_CN/1995/B题/天车与冶炼炉的操作模型/天车与冶炼炉的操作模型.md

@@ -0,0 +1,320 @@
+# 天车与冶炼炉的操作模型
+
+陈靖 周素华 黄秋波
+
+（湖南湘潭大学，湘潭，411105）
+
+指导教师：成央金
+
+编者按：本文通过基本数据的定量分析，给出三台天车的二种调度方案，在保证产量达到最大条件下使天车的作业率达到均衡而且使用率很高。本文条理清楚，是篇优秀答卷，文章主要缺点是对随机性情况未进行讨论。
+
+摘要：本文得到了模型1存在可行方案的充分条件，为  $\mathfrak{t}_1,\mathfrak{t}_2$  的确定提供了理论依据，得到的操作方案保证A组炉满负荷工作，且  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$  的作业率分别为  $32.7\% ,61.4\% ,58.6\%$  。针对作业率极不平衡的缺点，采用这样的思路：不增加天车的台数，  $\mathrm{T}_{1}$  负责一部分工作，  $\mathrm{T}_{3}$  负责 $\mathrm{T}_{2}$  一部分工作，提出另一套方案。获得了存在可行方案的充分条件，从理论上解决了  $\mathrm{t_1,t_2}$  的确定，且提出的方案保证A组炉满负荷工作且  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$  的作业率分别为  $52.7\% ,53.6\%$ $54.1\%$  ，模型2是很满意的，据此提出一套供现场工作人员使用的《操作规则说明书》对应用于实际生产过程进行了初步的讨论，为年产300万吨提出了一个建议。利用计算机用同样的思想对4台天车、5台天车的运动轨迹进行了模拟。
+
+关键词：作业调度，作业均衡，天车运行图
+
+# 一、背景与问题的重述（略）
+
+# 二、模型的假设
+
+假设一：天车运行是匀速的。
+
+假设二：两台天车必须在A或B工作点相继作业时，而这两台天车间又夹有一台天车，这就有因为让路带来的延迟，我们假设这种延迟非常小，可忽略不计。
+
+# 三、问题的分析
+
+A组转炉生产成品钢，成品钢的产量是工厂关注的一个首要问题，天车与冶炼炉的作业调度方案必须围绕这个问题来提出。因此，我们采用这样的思路：A组转炉尽可能不空闲，其余工作点尽可能为A组转炉提供最好的服务。在绝对没有天车相碰，各天车作业率尽可能均衡的情形下，A组中每个转炉处于连续工作状态，即A组炉出钢后立即加料，加料后立即冶炼。因加半钢和辅料不能同时进行，且所需时间分别为5分钟和2分钟，而冶
+
+炼时间为48分，所以，出一炉成品钢的最短时间为  $5 + 2 + 48 = 55$  分。又因A组炉有3个，所以，55分钟内可出3炉成品钢。若A组炉出钢顺序为  $\mathrm{A}_1, \mathrm{~A}_2, \mathrm{~A}_3$  ，且在0至55分钟里， $\mathrm{A}_1$  在  $\mathfrak{t}_1$  时刻出钢， $\mathrm{A}_2$  在  $\mathfrak{t}_2$  时刻出钢， $\mathrm{A}_3$  在55分钟出钢。以下所建立的模型，就是在保证对天车与冶炼炉作业调度的要求的前提下，求出  $\mathfrak{t}_1, \mathfrak{t}_2$  所应满足的条件，以此得到天车与冶炼炉的调度方案。
+
+# 四、模型的建立
+
+# 1. 模型1：
+
+B组炉轮流给A组炉供应半钢，我们采用下面的顺序：
+
+$$
+\mathrm {B} _ {1} \rightarrow \mathrm {A} _ {1}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {2}, \mathrm {B} _ {1} \rightarrow \mathrm {A} _ {3}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {1}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {2}, \mathrm {B} _ {2} \rightarrow \mathrm {A} _ {3}
+$$
+
+以110分钟作为一个周期，不妨设在一个周期内， $\mathbf{A}_1$  在  $\mathfrak{t}_1$  时刻出钢， $\mathbf{A}_2$  在  $\mathfrak{t}_2$  时刻出钢， $\mathbf{A}_3$  在55分钟时出钢，然后， $\mathbf{A}_1$  在  $55 + \mathfrak{t}_1$  时刻第二次出钢， $\mathbf{A}_2$  在  $55 + \mathfrak{t}_2$  时刻出钢， $\mathbf{A}_3$  在110分钟时出钢，如下图所示：
+
+![](images/ca29aa756f5ccf976e2c3b6c23e07dce3091f6ac83fca3f96d31327c914965fd.jpg)
+
+A组炉在一个周期内6个时刻出钢，天车  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$  在每时刻附近完成一次作业，这样，将一个周期分为6个阶段。天车  $\mathrm{T}_{1}$  负责给A组炉加辅料，  $\mathrm{T}_{2}$  把B组炉的半钢运至A组冶炼，  $\mathrm{T}_{3}$  负责将Q处原料运至B组炉，  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$  工作起点的确定的方法是：
+
+$\mathrm{T}_{2}$  ：当转炉  $\mathrm{A_k(1\leq K\leq 3)}$  成品钢出炉后，  $\mathrm{T}_{2}$  刚好将半钢送到  $\mathrm{A_k}$  处。
+
+$\mathrm{T}_{1}$  ：当  $\mathrm{T}_{2}$  给转炉  $\mathbf{A}_{\mathrm{k}}$  加完半钢后，  $\mathrm{T}_{1}$  刚好将辅料送到  $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$  处。
+
+$\mathrm{T}_{3}$  ：转炉  $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$  成品钢出炉后，  $\mathrm{T}_{1}$  刚好在该时刻将原料送到B组中相应的冶炼炉处。
+
+现在，我们计算一个周期内  $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$  在各时刻的工作始点，终点。
+
+$\mathrm{A}_{1}$  在  $t_1$  时刻出一炉钢；
+
+$\mathrm{T}_{2}$  ：因  $\mathrm{T}_{2}$  从  $\mathbf{B}_1$  吊一罐半钢在  $\mathfrak{t}_{1}$  时刻到达  $\mathbf{A}_{1}$  处，故  $\mathrm{T}_{2}$  的工作始点为：  $t_1 - 3t_x - t_d$  。当 $\mathrm{T}_{2}$  将送钢倒入  $\mathrm{A}_{1}$  后，将空罐返回  $\mathbf{B}_2$  处，因此  $\mathrm{T}_{2}$  的工作终点为：  $t_1 + t_e + 4t_r + t_c$
+
+$\mathrm{T}_{1}$  ：因为  $\mathrm{T}_{1}$  是在  $\mathrm{T}_{2}$  给  $\mathrm{A}_{1}$  倒完半钢后即给  $\mathrm{A}_{1}$  加辅料，故  $\mathrm{T}_{1}$  的工作始点为：
+
+$$
+t _ {1} + t _ {e} - t _ {x} - t _ {g}
+$$
+
+当  $\mathrm{T}_{1}$  将辅料倒完后，将空罐返回P处放下，因此  $\mathrm{T}_{1}$  的工作终点为：
+
+$$
+t _ {1} + t _ {e} + t _ {f} + t _ {x} + t _ {h}
+$$
+
+因此  $\mathrm{T}_{1}$  的工作终点为：  $t_1 + t_v + t_f + t_x + t_h$
+
+$\mathrm{T}_{3}$  ：因为  $\mathrm{T}_{3}$  是在  $\mathrm{T}_{2}$  将半钢提走以后即给  $\mathbf{B}_1$  送原料，所以  $\mathrm{T}_{3}$  的工作始点为：
+
+$$
+t _ {1} + 2 t _ {x} - t _ {y}
+$$
+
+当  $\mathrm{T}_{3}$  放下原料后，吊上一次空罐返回Q处放下空罐，故  $\mathrm{T}_{3}$  的工作终点为，
+
+$$
+t _ {1} + t _ {e} + t _ {o} + 2 t _ {x} + t _ {k} 。
+$$
+
+同理可得，在一个周期内，天车  $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$  在其它五个阶段的工作始点和终点（见
+
+表1）：
+
+现在我们分析B组炉在一个周期内的冶炼状态：因为，在第一阶段给  $\mathbf{B}_1$  的原料，因第二阶段将  $\mathbf{B}_2$  中半钢倒入  $\mathbf{A}_2$  ，到第三阶段供给  $\mathbf{A}_3$  使用，所以，在  $\mathfrak{t}_{\mathrm{l}}$  时刻，给  $\mathbf{B}_1$  加的原料供给  $\mathbf{A}_3$  使用，  $\mathbf{B}_1$  炉可以冶炼的时刻为  $t_1 + t_1$  。该罐原料必须炼成半钢出炉的时刻等于  $\mathbf{T}_2$  给 $\mathbf{A}_3$  加半钢的工作始点时刻，即为  $55 - \mathrm{t_x} - \mathrm{t_d}$  。为了保证有充足的时间冶炼半钢，有：  $55 - t_{x}- t_{i} - (t_{1} + t_{i})\leqslant 27$  。在一个周期内，B组炉的其它五个冶炼状态同理可得(见表2)。
+
+如果一个天车与冶炼的作业调度方案能使A组炉处于连续工作状态，称该方案为可行方案。
+
+下面的结论给出了上述方案可行的条件。
+
+定理1：当  $t_1, t_2$  满足下述三个条件
+
+$$
+\begin{array}{l} 1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t _ {1} \leqslant 2 2 - 2 t _ {x} \\ 3 6 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} \leqslant 4 5 - 5 t _ {x} \\ 1 1 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} - t _ {1} \leqslant 2 0 \\ \end{array}
+$$
+
+上述方案是可行的。
+
+证明：(1)在一个周期内每台天车在某一阶段的工作始点一定不小于上一阶段的工作终点。考察  $T_{1}$ ，得下述不等式组：
+
+$$
+\begin{array}{l} t _ {2} + t _ {e} - 2 t _ {x} - t _ {g} \geqslant t _ {1} + t _ {e} + t _ {f} + t _ {x} + t _ {h} \\ 5 5 + t _ {e} - 3 t _ {x} - t _ {g} \geqslant t _ {2} + t _ {e} + t _ {j} + 2 t _ {x} + t _ {h} \\ 5 5 + t _ {1} + t _ {2} \dots t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {e} + t _ {f} + 3 t _ {x} + t _ {h} \\ 5 5 + t _ {2} + t _ {e} - 2 t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {1} + t _ {e} + t _ {f} + t _ {x} + t _ {h} \\ 1 1 0 + t _ {e} - 3 t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {2} + t _ {e} + t _ {f} + 2 t _ {x} + t _ {h} \\ 1 1 0 + t _ {1} + t _ {e} - t _ {x} - t _ {g} \geqslant 5 5 + t _ {e} + t _ {f} + 3 t _ {x} + t _ {h} \\ \end{array}
+$$
+
+解得：
+
+$$
+t _ {1} \geqslant 6, \quad t _ {2} \leqslant 4 9 - t _ {x}, \quad t _ {2} - t _ {1} \geqslant 5 + 3 t _ {x}
+$$
+
+对  $\mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$  同理可得：
+
+$$
+\begin{array}{l} T _ {2} \quad t _ {1} \geqslant 1 0 + 6 t _ {x} = 1 1 + 2 t _ {x}; \quad t _ {2} \leqslant 4 5 - 5 t _ {x}; \quad t _ {2} - t _ {1} \geqslant 1 1 + 3 t _ {x} \\ T _ {3} \quad t _ {1} \geqslant 1 0 + 3 t _ {x}; \quad t _ {2} \leqslant 4 5 - 3 t _ {x}; \quad t _ {2} - t _ {1} \geqslant 1 1 + t _ {x} \\ \end{array}
+$$
+
+（2）为了保证冶炼区间的长度不小于27分钟，同理可以建立一个不等式组，并得出：
+
+$$
+t _ {1} \leqslant 2 2 - 2 t _ {x}; \quad t _ {2} \geqslant 3 6 + 3 t _ {x}; \quad t _ {2} - t _ {1} \leqslant 2 0
+$$
+
+综上所述，得到一个不等式组：
+
+$$
+\begin{array}{l} 1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t _ {1} \leqslant 2 2 - 2 t _ {x} \\ 3 6 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} \leqslant 4 5 - 5 t _ {x} \\ 1 1 + 3 t _ {x} \leqslant t _ {2} - t _ {1} \leqslant 2 0 \\ \end{array}
+$$
+
+（3）天车之间是不会碰撞的， $\mathbf{T}_{1}$  和  $\mathbf{T}_{3}$  肯定不会碰撞，考察  $\mathbf{T}_{1}$  与  $\mathbf{T}_{2}$ ，因  $\mathbf{T}_{2}$  离开  $\mathbf{A}_{k}$ ， $\mathbf{T}_{1}$  恰好赶到  $\mathbf{A}_{k}$ ，在  $\mathbf{A}_{k}$  的作业时间2分钟后即返回，而  $\mathbf{T}_{2}$  提半钢要花3分钟，因为下一阶段  $\mathbf{T}_{2}$  来A组炉来工作时肯定不会碰撞， $\mathbf{T}_{2}$  和  $\mathbf{T}_{3}$  因都在同一时刻， $\mathbf{T}_{2}$  到达  $\mathbf{A}_{k}$ ， $\mathbf{T}_{3}$  在  $\mathbf{B}_{1}(1 = 1, 2)$ ，而  $\mathbf{T}_{2}$  在  $\mathbf{A}_{k}$  加半钢要花5分钟，而  $\mathbf{T}_{3}$  在  $\mathbf{B}_{1}$  放下原料，提空罐也花5分钟，因此不会碰撞。
+
+上面结果告诉我们，如何选取  $t_1, t_2$ ，产生一个可行方案。我们现在计算一下可行方案
+
+中  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$  的作业率。根据表1得  $\mathrm{T}_{1}$  的作业时间为36分钟，  $\mathrm{T}_{2}$  的作业时间为67分30秒，  $\mathrm{T}_{3}$  的作业时间为64分30秒，其作业率分别为  $32.7\% ,61.4\% ,58.6\%$  。所得结果显示，天车的作业率很不均衡，我们在该模型的基础上进行改进。
+
+表1  
+
+<table><tr><td>工作点</td><td>T1</td><td>T2</td><td>T3</td></tr><tr><td>(1)始点</td><td>t1+t_c-tx-tg</td><td>t1-3tx-d</td><td>t1-2tx-ty</td></tr><tr><td>终点</td><td>t1+tc+tf+tx+th</td><td>t1+tc+4tx+tc</td><td>t1+t2+to+2tx+tk</td></tr><tr><td>(2)始点</td><td>t2+t_c-2tx-tg</td><td>t2-3tx-d</td><td>t1-tx-ty</td></tr><tr><td>终点</td><td>t2+tc+tf+2tx+th</td><td>t2+tc+2tx+tc</td><td>t2+ti+to+tx+tk</td></tr><tr><td>(3)始点</td><td>55+tc-3tx-tg</td><td>55-tx-d</td><td>55-2tx-ty</td></tr><tr><td>终点</td><td>55+tc+tf+3tx+th</td><td>55+tc+3tx+tc</td><td>55+t1+to+2tx+tk</td></tr><tr><td>(4)始点</td><td>55+t1+tc-tx-tg</td><td>55+t1-4tx-d</td><td>55+t1-tx-ty</td></tr><tr><td>终点</td><td>55+t1+tc+tf+tx+th</td><td>55+t1+tc+3tx+tc</td><td>55+t1+ti+to+2tx+tk</td></tr><tr><td>(5)始点</td><td>55+t2-2tx-tg</td><td>55+t2-2tx-d</td><td>55+t2-2tx-ty</td></tr><tr><td>终点</td><td>55+t2+tc+tf+2tx+th</td><td>55+t2+tc+3tx+tc</td><td>55+t2+ti+to+2tx+tk</td></tr><tr><td>(6)始点</td><td>110+t_c-3tx-tg</td><td>110--2tx-d</td><td>110-2tx-ty</td></tr><tr><td>终点</td><td>110+t_c+tf+3tx+th</td><td>110+t_c+3tx+tc</td><td>110+t_i+to+tx+th</td></tr></table>
+
+表2  
+
+<table><tr><td>B组可以开始冶炼时间</td><td>需要供应半钢时间</td></tr><tr><td>t1+t1</td><td>55+tx-td</td></tr><tr><td>t2+t1</td><td>55+t1-4tx-td</td></tr><tr><td>55+t1</td><td>55+t2-2tx-td</td></tr><tr><td>55+t1+t1</td><td>110-2tx-3</td></tr><tr><td>55+t2+t1</td><td>110+t1-3tx-td</td></tr><tr><td>110+t1</td><td>110+t2-3tx-td</td></tr></table>
+
+# 2. 模型2：
+
+模型1的缺点是天车的作业率极不均衡，在模型1的基础上，不增加天车台数，我们采用这样的处理办法： $\mathsf{T}_{1}$  从P点出发，从Q点吊出一罐原料到B1，并负责空罐的返回，然后返回P点所花时间不超过13分钟，在第一阶段与第二阶段之间， $\mathsf{T}_{1}, \mathsf{T}_{2}, \mathsf{T}_{3}$  都有一段空闲时间（三个区间的交集）不小于13分钟，就有可能解决天车的作业率极不平均的问题。
+
+在模型一的基础上作如下修改：在第一阶段  $\mathbf{T}_{1}$  从  $\mathbf{Q}$  点吊一罐原料B1，并负责空罐的返回，然后返回到P点，在第二阶段， $\mathbf{T}_{3}$  不工作。在第四阶段， $\mathbf{T}_{1}$  仅从  $\mathbf{Q}$  点吊一罐原料至B1，不负责空罐的返回。第五阶段， $\mathbf{T}_{3}$  从B1吊一罐半钢至  $\mathbf{A}_{\mathbf{k}}$ ，并带回上阶段的空半钢罐， $\mathbf{T}_{2}$  不工作。为了设计操作规则说明书，让  $\mathbf{T}_{3}$  较  $\mathbf{T}_{2}$  产生延缓时间，这里为  $t_{x}$ 。
+
+类似于模型一，得到天车  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2},\mathrm{T}_{3}$  在一个周期内每个阶段的工作始点，终点，及B组炉的6个冶炼状态(如表三，表四）。
+
+下面的定理给出了方案可行的条件：
+
+定理2：当  $t_1, t_2$  满足下述不等式，上述方案是可行的：
+
+$$
+1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t _ {1} \leqslant 2 2 - 3 t _ {x}
+$$
+
+$$
+3 4 \leqslant t _ {2} \leqslant 4 0
+$$
+
+$$
+t _ {2} - t _ {1} \geqslant 2 5
+$$
+
+证明：
+
+（1）在第一阶段和第二阶之间，  $\mathsf{T}_{\mathrm{l}}$  空闲区间为：  $[t_1 + 8 + t_x,t2 + 3 - 2t_x]$
+
+$\mathrm{T}_{2}$  的空闲区间为：  $[t1 + 8,t2 - 3 - 3t_{x}]$
+
+$\mathrm{T}_{1}$  和  $\mathrm{T}_{2}$  的公共空闲区间为：  $[t1 + 8 + t_x,t2 - 3 - 3t_x]$
+
+由此推得，  $t2 - 3 - 3t_x - (t1 + 8 + t_x)\geqslant 13$  即：  $t2 - t1\geqslant 25$
+
+对第四阶段与第五阶段，同理可得：  $t2 - t1\geqslant 11 + 2t_{x}$
+
+综合上述，有  $t2 - t1 \geqslant 25$
+
+（2）根据表3，某一阶段天车的工作始点必须不小于上一阶段的终点，得天车  $\mathrm{T}_{1},\mathrm{T}_{2}$ $\mathrm{T}_{3}$  能够运行的条件：
+
+$$
+T _ {1}: t 1 \geqslant 6 \quad T _ {2}: t 1 \geqslant 1 1 + 2 t _ {x} \quad T _ {3}: t 1 \geqslant 1 0 + 3 t _ {x}
+$$
+
+$$
+t 2 \leqslant 4 9 - t _ {x} \quad t 2 \leqslant 5 5 - 3 t _ {x}. \quad t 2 \leqslant 4 0.
+$$
+
+$$
+t 2 - t 1 \geqslant 1 8 + 3 t _ {x}.
+$$
+
+（3）根据表4，供应半钢的时间与原料到达  $\mathbf{B}_1$  处放下后的时���差必须不小于冶炼出半钢的时间  $t_b = 27$  分钟，我们有下面的不等式：
+
+$$
+t 1 \leqslant 2 2 - 3 t _ {x}
+$$
+
+$$
+t 2 \geqslant 3 4
+$$
+
+综合上述四个不等式组，得：
+
+$$
+1 1 + 2 t _ {x} \leqslant t 1 \leqslant 2 2 - 3 t _ {x}
+$$
+
+$$
+3 4 \leqslant t 2 \leqslant 4 0
+$$
+
+$$
+t 2 - t 1 \geqslant 2 5
+$$
+
+所以，只要我们选择满足上述不等式的  $t1, t2$ ，我们便能得出3台天车互帮的可行的调度方案。且满足设计要求(1)，(2)，(3)，(4)。对于要求(3)，因为互帮是在  $\mathbf{T}_1, \mathbf{T}_2, \mathbf{T}_3$  均空闲的区间段实现的，在互帮时，天车跟着平行移动即可，所以不会相撞。对于要求(2)，我们在天车运行状态表中给出了三台天车的作业率，从表中结果显示，三台天车的作业率达到了很好的均衡，下面，我们给出操作规则说明书。
+
+# 3. 操作规则说明书
+
+先根据A组炉的冶炼时间确定  $\mathbf{T}_2$  的运动时刻，由  $\mathbf{T}_3$  的工作始点与  $\mathbf{T}_2$  的工作始点的延缓时间可以确定  $\mathbf{T}_3$  的工作始点，再由  $\mathbf{T}_1$  与  $\mathbf{T}_2$  的延缓关系可以确定  $\mathbf{T}_1$  的工作始点 $\mathbf{T}_1$
+
+规则1：如果有天车给  $\mathbf{A}_{\mathbf{k}}(\mathbf{k} = 1,2,3)$  加半钢，过  $3 - \mathrm{k}*\mathrm{t}_{\mathrm{x}}$  后，吊辅料槽至  $\mathbf{A}_{\mathbf{k}}$  ，返回P
+
+规则2：(1)上半周期
+
+当给  $\mathbf{A}_1$  加完辅料后，返回  $\mathbf{P}$  放下空槽，立即赴  $\mathbf{Q}$  点，途经  $\mathbf{B}_2$  取空罐带到  $\mathbf{Q}$ ，取原料一罐至工作点  $\mathbf{B}_2$ ，放下原料罐，返回  $\mathbf{P}$ 。
+
+(2）下半周期
+
+给  $\mathrm{A}_{1}$  加完辅料后，返回P放下空槽，立即赴Q点，取原料罐返回  $\mathbf{B}_1$  ，放下原料罐，返回P点
+
+这样上下半周期交替进行.
+
+$\mathrm{T}_{2}$
+
+规则1：从  $\mathrm{A_k(k = 1,2,3)}$  出成品钢时刻来确定  $\mathrm{T}_{2}$  的工作始点（前推得）分别为：
+
+$$
+t _ {1} - 3 - 3 t _ {x}, t _ {2} - 3 - 3 t _ {x}, 5 2 - t _ {x}, 5 1 + t _ {1}, 1 0 7 - 2 t _ {x}
+$$
+
+规则2：出现天车  $\mathbf{T}_{1}$  越过工作点  $\mathrm{A}_{1}$  （天车  $\mathbf{T}_{1}$  帮  $\mathbf{T}_{3}$  吊原料）则  $\mathbf{T}_{2}$  向Q点移动，然后随着  $\mathbf{T}_{1}$  返回出发点.
+
+规则3：出现天车  $\mathrm{T}_{3}$  越过B组炉（  $\mathrm{T}_{3}$  帮  $\mathrm{T}_{2}$  吊半钢）则主动将车移到  $\mathrm{A}_{2}$ ，等  $\mathrm{A}_{3}$  加完半钢后随  $\mathrm{T}_{3}$  返回到B组炉的另一个出发点
+
+$\mathrm{T}_{3}$
+
+规则1：在同一星期里的第一、三、四、六阶段给B组炉添加原料，添加对象分别为 $\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_1,\mathrm{B}_2,\mathrm{B}_2$  ，启动时刻较  $\mathbf{T}_2$  分别缓30秒、1分、0、30秒.
+
+规则2：在第五阶段帮  $\mathrm{T}_{2}$  从  $\mathbf{B}_1$  吊半钢到  $\mathbf{A}_2$ ，从上一阶段  $\mathrm{T}_{2}$  停止后过  $t_2 - t_1 - 11 - 2t_r$ ，这一时刻为本次启动时刻。
+
+*注：所给  ${\mathrm{t}}_{1}$  、  ${\mathrm{t}}_{2}$  只要满足定理 2 要求,根据模型 2 得到“天车一炉子运行图”.
+
+# 4. 应用实际生产过程的讨论：
+
+上述操作方案在  $t_a, t_b, \dots, t_k$  确定的情况下提出，但在实际生产过程中，这些量往往带有随机性，而我们给现场工作人员的《操作规则说明书》是这样设计的：由A组炉的冶炼状态确定  $\mathrm{T}_2$  的工作时刻， $\mathrm{T}_1$  根据天车给A组炉加半钢的时刻来确定，根据  $\mathrm{T}_2$  的行动时刻来确定  $\mathrm{T}_3$  的行动时刻， $\mathrm{T}_3$  较  $\mathrm{T}_2$  有延缓时间，每一个动作都是根据与其对应动作的延缓时间来确定自己的行动时刻，因此，我们只要尽量保持延缓时间不变。
+
+# 5. 工序清单
+
+$\mathbf{T}_{1}$  负责从  $\mathbf{P}$  向A组炉加辅料，且在上周期帮  $\mathrm{T}_{3}$  从  $\mathbf{B}_{2}$  提一罐原料并带回空罐，在下增周期帮  $\mathrm{T}_{3}$  向  $\mathbf{B}_{1}$  提一罐原料.
+
+$\mathrm{T}_{2}$  负责从B组炉提半钢到A组炉
+
+$\mathrm{T}_{3}$  负责从  $\mathbf{Q}$  向组炉提原料且在下半周期帮  $\mathrm{T}_{2}$  从  $\mathrm{B}_{1}$  提一罐半钢至  $\mathrm{A}_{2}$ , 再返回  $\mathbf{Q}$  点各个天车详细的工序清单见天车运行状态图.
+
+# 6. 年产量的估计
+
+每55分钟出3炉钢，每炉120吨，一天能产钢约9425.45吨，一年以300工作日计算，则年产量约为282.76万吨。
+
+《天车一炉子作业运行图》见表。
+
+# 五、年产300万吨的建议
+
+# 1. 提高劳动生产效率
+
+年产300万吨，一年按300天计算，每天需生产一万吨， $\mathrm{A}_{\mathrm{k}}$  出一炉钢的时间为51.84分钟，在现有的设备技术条件下，冶炼时间48分不能变，只能改变加半���和辅料的时间为3.84分钟，只能缩短添加半钢和辅料的时间。
+
+# 2. 购进设备和进行技术改造
+
+购置新的转炉和半钢冶炼炉，对工艺过程进行改造。
+
+表3  
+
+<table><tr><td>工作点</td><td>T1</td><td>T2</td><td>T3</td></tr><tr><td>(1)始点</td><td>t1+3+tх</td><td>t1-3-3tx</td><td>t1-3-tx</td></tr><tr><td>终点</td><td>t1+8+tх</td><td>t1+8</td><td>t1+7+3tx</td></tr><tr><td>(2)始点</td><td>t1+8+tх</td><td rowspan="2">移动 2tx</td><td rowspan="2">不动</td></tr><tr><td>终点</td><td>t1+21+tх</td></tr><tr><td>(3)始点</td><td>t2+3-2tx</td><td>t2-3-3tx</td><td rowspan="2">不动</td></tr><tr><td>终点</td><td>t2+8+2tx</td><td>t2+7+2tx</td></tr><tr><td>(4)始点</td><td>58-3tx</td><td>52-tx</td><td>52-tx</td></tr><tr><td>终点</td><td>63+3tx</td><td>62+2tx</td><td>63+3tx</td></tr><tr><td>(5)始点</td><td>58+t1-tx</td><td>51+t1</td><td>52+t1</td></tr><tr><td>终点</td><td>63+t1+tx</td><td>62+t1+3tx</td><td>62+t1+2tx</td></tr><tr><td>(6)始点</td><td>63+t1+tx</td><td rowspan="2">移动 4tx</td><td rowspan="2">不动</td></tr><tr><td>终点</td><td>72+t1+tx</td></tr><tr><td>(7)始点</td><td>58+t-2tx</td><td rowspan="2">移动 5tx</td><td>52+t1</td></tr><tr><td>终点</td><td>63+t2+2tx</td><td>62+t1+2tx</td></tr><tr><td>(8)始点</td><td>113-3tx</td><td>107-2tx</td><td>107</td></tr><tr><td>终点</td><td>118+3tx</td><td>117+tx</td><td>117+2tx</td></tr></table>
+
+表4  
+
+<table><tr><td>B组可以开始冶炼时间</td><td>需要供应半钢时间</td></tr><tr><td>t1+tx+3</td><td>52-tx</td></tr><tr><td>t1+20+tx</td><td>51+t1</td></tr><tr><td>55+tx+3</td><td>52++t2-2tx</td></tr><tr><td>55+t1+tx+3</td><td>107-2tx</td></tr><tr><td>71+t1+tx</td><td>107+t1-3tx</td></tr><tr><td>110+tx+3</td><td>107+t2-3tx</td></tr></table>
+
+# 六、模型的评价和改进方向
+
+我们从简单的三台天车(模型1)方案入手，始终以保证A组转炉不间断出钢从而达到高产为中心，致力于使各天车的作业率达到较高程度上的均衡，提出了不同改进方案，得到以三台天车互相帮助为核心的调度方案的模型2。细致分析了每台天车的各次启动、停止时刻的相互关系，得到一系列可行解、满意解的约束条件。在共同的高产条件下(A组转炉不间断)，比较得模型2的作业率均衡做得最好(在1周其内， $\mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2, \mathrm{T}_3$  作业率分别为  $52.7\% , 53.6\% , 54.1\%$  )，作业率最大差额  $1.4\%$  ，均衡程度令人比较满意。我们又试着模拟了以增加天车台数为主要思想的4台天车方案（见附录），得出  $\mathrm{T}_1 - \mathrm{T}_4$  的作业率分别为  $43.6\% , 36\% , 39\% , 39\%$  。当然这是由于时间关系不能对它作进一步的调整，但该
+
+模型各车的均衡是以作业水平的下降为代价，而我们则希望尽量避免这种下降。沿这种改进方向(增加天车台数)我们也尝试了一下五台天车的方案(运行图见附录)，因时间关系未作进一步研究。总之，模型2是我们这次重点研究并得出较好结果的方案，我们所推崇的改进方案是不降低生产率，尽量不增加天车台数，尽量不降低平均作业率的对各台天车工作时间重新调配的方案。
+
+半钢冶炼炉状态表  
+
+<table><tr><td>半钢冶炼炉</td><td>冶炼允许开始时间</td><td>半钢出炉时间</td><td>冶炼规定开始时间</td><td>冶炼区间</td></tr><tr><td>B1</td><td>t1+tx+3</td><td>52-tx</td><td>55-tx-30=25-tx</td><td>[25-tx,52-tx]</td></tr><tr><td>B2</td><td>t1+20</td><td>51+t1</td><td>55+t1-4tx-30=25+t1-4tx=24+t1</td><td>[24+tx,51+tx]</td></tr><tr><td>B1</td><td>55+tx+3=58+tx</td><td>52+t2-2tx</td><td>55+t2-2tx-30=25+t2-2tx</td><td>[25+t2-2tx,52+t2-2tx]</td></tr><tr><td>B2</td><td>55+t1+tx+3=58+t1+tx</td><td>107-2tx</td><td>110+2tx-30=80-2tx</td><td>[80-2tx,107-2tx]</td></tr><tr><td>B1</td><td>72+t1+tx-4tx=71+t1+tx</td><td>107+t1-3tx</td><td>110+t1-3tx-30=80+t1-3tx</td><td>[80+t1-3tx,107+t1-3tx]</td></tr><tr><td>B2</td><td>110+tx-3=113+tx</td><td>107+t2-3tx</td><td>110+t2-3tx-30=80+t2-3tx</td><td>[80+t2-3tx,107+t2-3tx]</td></tr></table>
+
+天车运行状态表  
+
+<table><tr><td>天车</td><td>工作区间</td><td>动作说明</td></tr><tr><td rowspan="9">T1</td><td>t1+3-tx→t1+8+tx</td><td>从P处提一槽辅料注入A1,并返回P点放下空槽,共用时间:2+tx+2+tx+1=5+2tx</td></tr><tr><td>t1+8+tx→t1+21+tx</td><td>从P出发将B2处空罐送至Q放下,提一罐原料注入B2,返回P,共用时间:5tx+2+tx+2+3+tx+3+5tx=13(帮T3完成一次)</td></tr><tr><td>t2+3-2tx→t2+8+2tx</td><td>从P处提一槽辅料注入A2,并返回P点放下空槽,共用时间:2+2tx+2+2tx+1=6</td></tr><tr><td>58-3tx→63+3tx</td><td>从P处提一槽辅料注入A3,并返回P点放下空槽,共用时间:2+3tx+2+3tx+1=6+2tx</td></tr><tr><td>58+t1-tx→63+t1+tx</td><td>从P处提一槽辅料注入A1,并返回P点放下空槽,共用时间:2+tx+2+tx+1=5+2tx</td></tr><tr><td>63+t1+tx→72+t1+tx</td><td>从P处出发到达Q点,提一罐原料放到B1,并返回P点放下空槽,共用时间:6tx+3+2tx+3+4tx=9(帮T3做半次,未提空罐)</td></tr><tr><td>58+t2-2tx→63+t2+2tx</td><td>从P处提一槽辅料注入A3,并返回P点放下空槽,共用时间:2+2tx+2+2tx+1=5+4tx</td></tr><tr><td>113-3tx→118+3tx</td><td>从P处提一槽辅料注入A3,并返回P点放下空槽,共同时间:2+3tx+2+3tx+1=6+2tx</td></tr><tr><td>共用作业时间:58'</td><td>作业率:58/110=52.7%</td></tr><tr><td rowspan="9">T2</td><td>t1-3-3tx→t1+8</td><td>从B1提一罐半钢注入A1,并返至B2放下空罐,共同时间:3+3tx+5+4tx+2=11+3tx</td></tr><tr><td>移动时间为2tx,时刻定位较宽松</td><td colspan="1">被T1从B2位置挤至Q(tx),(可在T1到来前自行移至Q点),T1返回后顺势加到B2位置(tx)</td></tr><tr><td>t2-3-3tx→t2+7+2tx</td><td colspan="1">从B2提一罐半钢注入A2,并返至B1放下空罐,共用时间:3+3tx+5+2tx+2=11+3tx</td></tr><tr><td>52-tx→62+2tx</td><td colspan="1">从B1提一罐半钢注入A3,并返至B2放下空罐,共用时间:3+tx+5+2tx+2=11+3tx</td></tr><tr><td>51+t1→62+t1+3tx</td><td colspan="1">从B2提一罐半钢注入A1,并返至B1放下空罐,共用时间:3+4tx+5+3tx+2=11+3tx</td></tr><tr><td>移动时间为4tx,时刻定位较宽松</td><td colspan="1">被T1从B1位置挤至Q(2tx)(也可自行提前移至Q),T1返回后顺势加到B2位置Q1(2tx)</td></tr><tr><td>移动时间为5tx,时刻定位较宽松</td><td colspan="1">被T3从B1位置挤至A2(2tx)(也可自行提前移至Q),T3返回后顺势加到B2位置(3tx)</td></tr><tr><td>107-2tx→117+tx</td><td colspan="1">从B2提一罐半钢注入A3,并返至B1放下空罐,共用时间:3+2tx+5+tx+2=10+3tx</td></tr><tr><td>共用作业时间:59°</td><td colspan="1">作业率:59/110=53.6%</td></tr><tr><td rowspan="6">T3</td><td>t1-3+tx→t1+7+3tx</td><td>从Q提一罐原料放入B1,并将空罐送回Q,共用时间:3+2tx+3+2+2tx+2=10+4tx=11</td></tr><tr><td>52-tx→62+3tx</td><td colspan="1">从Q提一罐原料放入B1,并将空罐送回Q,共用时间:3+2tx+3+2+2tx+2=10+4tx=11</td></tr><tr><td>52+t1→62+t1+2tx</td><td colspan="1">从Q提一罐原料放入B2,并将空罐送回Q,共用时间:3+tx+3+2+tx+2=10+2tx</td></tr><tr><td>51+t2→67'30''+t2</td><td colspan="1">从Q点出发,从B1提一罐原料注入A2,并返回B2放下空罐,再返回B1取一空罐送至Q点入下,共用时间:2tx+3+2tx+5+3tx+2+tx+2=16'30"</td></tr><tr><td>107→117+2tx</td><td colspan="1">从Q提一罐原放入B1,并从B1提回一空罐送回Q处放下,共用时间:3+tx+3+2+tx+2=10+2tx</td></tr><tr><td>共用作业时间:59'30"</td><td colspan="1">作业率:59.5/110=54.1%</td></tr></table>
+
+# 参考文献
+
+1. 吴望名, 图论及其应用, 北京: 科学出版社.  
+2. 王天平, 组合数学, 武汉: 华中理工大学出版社.
+
+图1 模型1  
+![](images/995e3788f302c1e0cfc14a6cb8d06ff584442801c29d1603c3a0d8a73f5621ea.jpg)  
+横轴表示时间。纵轴表示位置，粗黑线表示  $\mathsf{T}_{1}$  的运动轨迹。虚线表示T，的运动轨迹，细实线表示T，的运动轨迹
+
+图2 模型2  
+![](images/7b2f2ded5223819850a9645b7c61e981add54edff39f7fd6c30d487013d85743.jpg)  
+横轴表示时间，纵轴表示位置，粗黑线表示  $\mathsf{T}_{1}$  的运动轨迹，细实表示  $\mathsf{T}_{2}$  的运动轨迹，虚线表示  $\mathsf{T}_{3}$  的运动轨迹

MCM_CN/1995/B题/天车作业调度的随机性分析/天车作业调度的随机性分析.md

@@ -0,0 +1,115 @@
+2. 此模型不仅可以适用与天车冶炼炉之间的最优调度，并且也宜于工作分配，铁道部门的段场调度，以及多台机器多个工件加工顺序问题。
+
+# 天车作业调度的随机性分析
+
+杜序 袁灯山 杨黎明
+
+（北京航空航天大学，北京100083）
+
+# 指导教师：赵杰民
+
+编者按：本文对各种随机数据对天车的作业率、天车的调度和钢产量的影响进行了定性的和定量的分析。现将有关内容摘录如下。
+
+关键词：随机性，作业率，调度。
+
+当  $t_a, t_b \cdots, t_k$  都是随机时，所给出的数值为它们的均值，设  $x = t_a + t_e + t_f, y = t_b + t_i$ 。由于人为的调配，除  $x, y$ ，其它对A，B炉的生产影响很微小，而  $x, y$  却直接关系到A炉的生产量，所以主要矛盾是  $x, y$ 。
+
+先说明随机对产量的影响，
+
+设  $x \sim N(a_1, \sigma_1), y \sim N(a_2, \sigma_2)$  则一个周期内有  $x_1$  和  $x_2, y_1, y_2, y_3$ ，当  $y_1 + y_2 + y_3 < x_1 + x_2$  时，生产照常运转，而当  $y_1 + y_2 + y_3 \geqslant x_1 + x_2$  时，A 要等待 B，那么整个生产周期要延长。可以求出每个周期延长的均值  $\mathfrak{m}$ 。
+
+$$
+y _ {i} \sim N \left(a _ {2}, \sigma_ {1}\right) (i = 1, 2, 3)
+$$
+
+则  $y_{1} + y_{2} + y_{3}\sim N(3a_{2},\sqrt{3}\sigma_{1})$
+
+$$
+x _ {i} \sim N \left(a _ {1}, \sigma_ {2}\right) (i = 1, 2)
+$$
+
+则  $x_{1} + x_{2}\sim N(2a_{1},\sqrt{2}\sigma_{2})$  。所以
+
+$$
+y _ {1} + y _ {2} + y _ {3} - x _ {1} - x _ {2} \sim N \left(3 a _ {2} - 2 a _ {1}, \sigma_ {3}\right),
+$$
+
+其中  $\sigma_3 = \sqrt{3\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2}$  ，且
+
+$$
+m = \int_ {0} ^ {\infty} \frac {x}{\sqrt {2} \pi \sigma_ {3}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} d x = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {1}{2 \sigma_ {3} ^ {2}} (x - 3 a _ {2} + 2 a _ {1}) ^ {2}} | _ {+ \infty} ^ {0} = \frac {\sigma_ {3}}{\sqrt {2 \pi}} e ^ {- \frac {(3 a _ {2} - 2 a _ {1}) ^ {2}}{2 \sigma_ {3} ^ {2}}}
+$$
+
+$a_1, a_2$  分别用均值来估计。令  $a_1 = \overline{x} = 55$ ,  $a_2 = \overline{y} = 30$ 。因此  $m = \frac{\sigma_3}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{200}{\sigma_3^2}}$ 。
+
+如果  $x, y$  有数据可查，则可对  $x, y$  进行方差估计，便可求出  $\sigma_{1}$  和  $\sigma_{2}$ ，得到  $\sigma_{3}$ ，求出  $\mathfrak{m}$ 。应用极大似然法估计：
+
+$$
+\hat {\sigma} _ {1} ^ {2} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} (x _ {i} - \bar {x}) ^ {2},
+$$
+
+$$
+\hat {\sigma} _ {2} ^ {2} = \frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {n} (y _ {1} - \bar {y}) ^ {2},
+$$
+
+$$
+\hat {\sigma} _ {3} ^ {2} = \sqrt {3 \hat {\sigma} _ {1} ^ {2} + 2 \hat {\sigma} _ {2} ^ {2}} 。
+$$
+
+若  $\hat{\sigma}_{3}$  很小，即  $\hat{\sigma}_{1},\hat{\sigma}_{2}$  很小，  $\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_i$  主要集中在均值  $\overline{\mathbf{x}},\overline{\mathbf{y}}$  附近，则  $\mathrm{m}\rightarrow 0$  ，生产周期几乎没有变化。若  $\hat{\sigma}_{3}$  比较大时，则可得  $\mathbf{x}_i,\mathbf{y}_i$  比较分散，  $\mathrm{m}$  很大，钢产量就会大大下降，设原周期为T，原产量为W，则新周期为
+
+$$
+\mathrm {T} ^ {\prime} = \mathrm {T} + \mathrm {m}
+$$
+
+钢产量应为  $\frac{1440}{\mathrm{T}'} \times 300 \times 720 \triangleq \mathbf{W}'$
+
+$$
+\frac {W ^ {\prime}}{W} = \frac {T}{T ^ {\prime}} = \frac {T}{T + m} = \frac {1}{1 + \frac {m}{T}}
+$$
+
+其次考虑随机条件下各天车的作业率变化，以  $\mathrm{T}_{3}$  为例。
+
+设  $\beta$  为一周期内  $\mathbf{T}_3$  的作业时间。因为
+
+$$
+\beta = 6 \left(t _ {y} + t _ {i} + t _ {o} + t _ {k}\right) + 1 8 t _ {x}
+$$
+
+而  $\beta$  中各数值均为正态分布，即
+
+$$
+t _ {y} \sim N (3, \sigma), t _ {i} \sim N (3, \sigma), t _ {o} \sim N (2, \sigma), t _ {k} \sim N (2, \sigma), t _ {x} \sim N (0. 2 5, \sigma)
+$$
+
+则  $\beta \sim \mathrm{N}(64.5, \sqrt{42}\sigma), \sigma$  的估计值  $\hat{\sigma} = \frac{1}{\mathfrak{n}} (t_{y_k} - \bar{t}_y)^2$
+
+因为  $t_{y_k}$  与  $\bar{t}_y$  一般相差不会很大（在几秒之内），所以  $\hat{\sigma}$  也很小。取  $\sigma = \frac{1}{9}$  时，则  $\beta$  几乎落在[63,65]之间，所以随机性对天车的作业率影响不大。
+
+最后分析随机性对调度的影响
+
+调度过程中，如果因为随机性使B处装半钢的时间增长，就可以导致A炉的等待，引起周期增长。而随机性若使B处装半钢时间缩短却并不会导致周期的缩短。因而在考虑随机性的情况下应使天车  $\mathrm{T}_{2}$  的运行稍作提前。同样为使辅料的添加顺利进行，也要求  $\mathrm{T}_{1}$  运行稍作提前。T3控制B炉的冶炼，由于B炉有几分钟的等待时间，所以随机性对  $\mathrm{T}_{3}$  的调度几乎无影响。
+
+综上所述，又考虑到调度方便，在考虑随机性的情况下，可使  $\mathrm{T}_1,\mathrm{T}_2,\mathrm{T}_3$  运行较理想
+
+情况下稍作提前。
+
+# 锁具装箱问题的补充讨论
+
+# —1994年全国大学生数学建模竞赛题的补充讨论
+
+代西武 李英 周万勇 张继生
+
+（北京联合大学机械工程学院，北京100020）
+
+编者按大学生数学建模竞赛及相应的活动深受我国大学生的欢迎，成千上万参加培训或竞赛的同学不仅从培训、参赛三天的紧张拼搏中学到了许许多多课堂上学不到的东西，得到了初步的科研实战的锻炼，培养了合作攻关的精神，而且许多教师和同学意识到三天竞赛活动的结束不是数学建模活动的结束，他们中不少人在竞赛结束后继续进行师生结合的创造性的数学建模活动，特别是继续对自己所选的参赛题进行深入研究并取得更好的结果。我们认为是值得提倡的。这里发表的文章正是北京联合大学机械工程学院师生在竞赛活动后师生结合继续对竞赛题进行研究所取得的成果的反映。
+
+摘要 本文将锁具装箱问题抽象为二部图  $\mathrm{G}(\mathrm{V},\mathrm{E})$  ，根据图论知识，利用计算机得出主要结论：锁具图  $\mathbf{G}$  的独立数  $\alpha (\mathrm{G}) = 2940$  。从而推得，对于任何一种装箱方案，团体顾客的购买量超过2940套锁具时，就一定会出现互开的情形。
+
+关键词 二部图，独立数，对集（匹配），覆盖数。
+
+# 一、引言
+
+某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，槽高从  $\{1,2,3,4,5,6\}$  中任取一数。但由于工艺条件及其它原因，制造锁具时对5个槽高还有限制：至少有三个不同的数，相邻两槽的高度差不能是5。这样所生产出的互不相同的锁具称为一批。同一批中的两个锁具，在当前工艺条件下，若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一槽的高度差为1，就会出现互开情形。从顾客的利益出发，都希望“一把钥匙开一把锁”。但该厂的销售部门在产品的装箱过程中，只是简单地将一批产品中的任意60个锁具装入一箱出售。而团体顾客往往购买几箱到几十箱，因而就不可避免地出现锁具互开的情形。团体顾客对此抱怨尤深，也因此影响了该厂的销售量。
+
+针对这个问题，需要提出一个合理的、可行的锁具装箱方案，以避免锁具互开的情况。

MCM_CN/1999/A题/1999a全国二等奖/1999a全国二等奖.md

@@ -0,0 +1,212 @@
+# 自动化车床管理问题的优化模型
+
+刘宇，张琦，刘丽娟，贺兴时（指导教师）
+
+（1.西北纺织工学院机械设计96班，陕西西安710048；2.西北纺织工学院基础部，陕西西安710048）
+
+TG 519.1
+
+摘要：以单位预防性换刀周期  $(t_{\mathrm{p}})$  内单位零件上的平均费用作为目标函数，建立了两个关于自动化车床管理的检查间隔及刀具更换策略的随机优化模型。对题给数据统计分析后得出刀具寿命服从正态分布，采用离散递推的方法求出一个  $t_{\mathrm{p}}$  内的期望故障次数；用MATLAB软件编程，在不同  $t_{\mathrm{p}}$  下对不同检查周期  $(t_{\mathrm{c}})$  进行穷举和比较，找出使目标值最小的  $t_{\mathrm{p}}$  及  $t_{\mathrm{c}}$  值。针对题给的费用的多样性问题，在上述模型I的基础上进一步假设，建立了两个过渡模型作为费用多样性问题的两种特殊情况，然后建立了模型Ⅱ。针对定期检查周期的缺点，提出了等概率（故障）周期检查方式，以获得更高的经济效益。文中还利用随机模拟对模型I的合理性与较优性进行了定量检验，对后续作了定性分析。
+
+关键词：随机优化模型；近似正态分布；MATLAB软件包 自动化车床
+
+中图分类号：O211.9 文献标识码：A 文章编号：1001-7305(2000)02-0185-06
+
+# 1 问题的描述
+
+用自动化车床连续加工某种零件, 通过检查零件来确定工序是否出现故障. 故障原因为刀具损坏的概率是  $95\%$ , 其他原因概率为  $5\%$ , 且工序出现故障是完全随机的, 在生产任一零件时, 出现故障的机会均等.
+
+现积累有100次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如表1.计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀，具体生产工序的费用参数为：
+
+(a) 故障时生产零件损失费用  $f = 200$  元/件；  
+（b）检查的费用  $t = 10$  元/次；  
+(c) 发现故障进行调节使恢复正常的平均费用  $d = 3000$  元/次（包括刀具费）：
+
+(d) 未发现故障时更换一把新刀的费用  $k = 1000$  元/次.
+
+问题（1）假定工序有故障时产品的零件均不合格，正常时产出的零件均合格，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略.
+
+（2）假设工序有故障时产出零件合格的占  $40\%$  ，不合格占  $60\%$  ，正常时有  $2\%$  不合格，工序正常而误断有故障而停机造成损失费用为1500元/次. 设计效益最好检查间隔和刀具更换策略.
+
+（3）在（2）的情况下可否改进检查方式获得更高的效益，
+
+表 1 100 次刀具故障记录 (完成的零件数)  
+
+<table><tr><td>459</td><td>362</td><td>624</td><td>542</td><td>509</td><td>584</td><td>433</td><td>748</td><td>815</td><td>505</td></tr><tr><td>612</td><td>452</td><td>434</td><td>982</td><td>640</td><td>742</td><td>565</td><td>706</td><td>593</td><td>680</td></tr><tr><td>926</td><td>653</td><td>164</td><td>487</td><td>734</td><td>608</td><td>428</td><td>1 153</td><td>593</td><td>844</td></tr><tr><td>527</td><td>552</td><td>513</td><td>781</td><td>474</td><td>388</td><td>824</td><td>538</td><td>862</td><td>659</td></tr><tr><td>775</td><td>859</td><td>755</td><td>649</td><td>697</td><td>515</td><td>628</td><td>954</td><td>771</td><td>609</td></tr><tr><td>402</td><td>960</td><td>885</td><td>610</td><td>292</td><td>837</td><td>473</td><td>677</td><td>358</td><td>138</td></tr><tr><td>699</td><td>634</td><td>555</td><td>570</td><td>84</td><td>416</td><td>606</td><td>1 062</td><td>484</td><td>120</td></tr><tr><td>447</td><td>654</td><td>564</td><td>339</td><td>280</td><td>246</td><td>687</td><td>539</td><td>790</td><td>581</td></tr><tr><td>621</td><td>724</td><td>531</td><td>512</td><td>577</td><td>496</td><td>468</td><td>499</td><td>544</td><td>645</td></tr><tr><td>764</td><td>558</td><td>378</td><td>765</td><td>666</td><td>763</td><td>217</td><td>715</td><td>310</td><td>851</td></tr></table>
+
+# 2 模型假设及符号说明
+
+# 2.1 模型假设
+
+（1）在模型I，中，假设检查为定期检查，预防性定期换刀；  
+（2）假定生产每件产品，所用时间为一定值1；  
+（3）假定生产任一零件时出现故障的机会均相等；  
+（4）在模型I中，故障出现在两次检查间造成的零件损失个数为均匀分布，即均值为  $t_c / 2$  个；  
+（5）假定模型I中工序故障时产生的零件均为不合格，正常时产生的零件均为合格品；  
+（6）在模型I中假定工序正常时生产的零件有  $2\%$  为不合格品，而工序故障时生产的零件有  $40\%$  为合格品， $60\%$  为不合格品。
+
+# 2.2 符号说明
+
+$f(t)$  一刀具寿命的概率密度函数；
+
+$t_{p}$  —— 预防性更换刀具间隔期；
+
+$t_{c}$  一 检查周期；
+
+$H(t_{\mathrm{p}})$  间隔期  $(0,t_{\mathrm{p}})$  内刀具故障次数的期望；
+
+$\overline{C}_1(t_p)$  一单位换刀周期内的总费用；
+
+$C_{1}(t_{p})$  一平均每单位零件所用费用；
+
+$k$  一无故障换刀费用，  $k = 1000$  元/次；
+
+$d$  —发现故障进行调节使正常的平均费用，  $d = 3000$  元/次；
+
+$t$  —每次检查费用，  $t = 10$  元/次；
+
+$f$  ——坏零件损失费用，  $f = 200$  元/件；
+
+$L$  —误停机造成损失，  $L = 1500$  元/次；
+
+$H(n)$  间隔期  $(0, n)$  内的预期故障次数.
+
+# 3 问题分析与建模
+
+由题目所提供数据信息，得出刀具寿命近似成正态分布（具体过程略），即故障出现概率密度近似成正态分布。
+
+# 3.1 问题（1）的分析及建模
+
+题目要求在刀具加工一定件数后更换刀具，即每加工一定件数零件后不管此时是否存在故障都在此处换刀，为预防性换刀.因为假定检查周期固定，那么对于模型I，预防换刀周期循环情况如图1所示.
+
+由图1知，当检查到A点时，此零件为合格，那么在检查周期  $t_{ci}$  内零件全部合格；当检查到  $\pmb{B}$  点时，此零件为不合格，那么由假设（4）得在检查周期  $t_{cf}$  内零件一半不合格；这样，在一个预防换刀周期内的总费用包括4部分，即检查费用  $(x_{1})$  ；一旦检查出次品，则必存在故障，对故障调整使恢复正常
+
+![](images/e0cbf138a14c8d34c263078f5a63c3de87e4213aedd82c9767b692ea743b20db.jpg)  
+图1 预防性换刀周期循环图
+
+所需的费用  $(x_{2})$  ，例如  $B$  点处；一旦检查出次品，次品的损失费用  $(x_{3})$  ；预防换刀费用  $(x_{4})$
+
+其中  $x_{1}$  为定值. 如果  $t_{p}$  和  $t_{c}$  一定，则检查次数为定值，即  $x_{1}$  也为定值.  $x_{2}, x_{3}$  费用将随着机床出现故障次数而变化，而故障次数为随机变量，但长期运行中故障出现次数将有一个期望值. 现已知刀具的寿命近似服从正态分布，故求出现刀具故障次数的期望  $H(t_{p}), H(t_{p}) / 95\%$  即为系统故障出现的预期值.
+
+在一个预防性换刀周期  $(0, t_{\mathrm{p}})$  内，第一次故障可能在生产第  $1, 2, \dots, t_{\mathrm{p}}$  个零件时发生。设  $m_{i}$  为第一次故障发生在生产第  $i$  个零件时，在间隔区间  $(0, t_{\mathrm{p}})$  内预期故障数  $(i = 1, 2, \dots, t_{\mathrm{p}})$ ， $p_{i-1,i}$  为第一次故障发生在间隔期  $(i - 1, i)$  内的概率  $(i = 1, 2, \dots, t_{\mathrm{p}})$ ，则有
+
+$$
+H (t _ {p}) = \sum_ {i = 1} ^ {i _ {p}} m _ {i} P _ {i - 1, i}.
+$$
+
+因为每个零件检查次数至多1次，故当检查第1个零件就发生故障的话，那么在间隔  $(0, t_{\mathrm{p}})$  内的预期故障数等于在第一件发生的故障数加上预期在其余  $(t_{\mathrm{p}} - 1)$  次发生的故障数。即有
+
+$$
+m _ {1} = 1 + H \left(t _ {\mathrm {p}} - 1\right);
+$$
+
+当检查第  $2,3,\dots ,t_{\mathfrak{p}}$  个零件时发生第一次故障，一般地，有
+
+$$
+m _ {i} = 1 + H \left(t _ {\mathrm {p}} - 1 - (i - 1)\right) \quad (i = 1, 2, \dots , t _ {\mathrm {p}}).
+$$
+
+又因为第  $i$  个零件发生故障的概率应为
+
+$$
+\int_ {i} ^ {i + 1} f (t) \mathrm {d} t \quad (i = 0, 1, \dots , t _ {\mathrm {p}} - 1),
+$$
+
+于是有一般递推公式：
+
+$$
+H \left(t _ {p}\right) = \sum_ {i = 0} ^ {t _ {p} - 1} \left[ 1 + H \left(t _ {p} - i - 1\right) \right] \int_ {1} ^ {t + 1} f (t) d t \quad \left(t _ {p} \geqslant 1\right).
+$$
+
+而  $H(0) = 0$  ，表示当生产0个零件时，预期的故障数为0.
+
+取一个换刀周期来研究，则在间隔期  $(0, t_{\mathrm{p}})$  内的预期总费用为：
+
+$$
+\bar {C} _ {1} \left(t _ {\mathrm {p}}\right) = K + d \cdot \frac {H \left(t _ {\mathrm {p}}\right)}{95 \%} + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \cdot \frac {t _ {\mathrm {c}}}{2} \cdot H \left(t _ {\mathrm {p}}\right),
+$$
+
+其中  $K$  为预防换刀费用， $d \cdot \frac{H(t_{\mathrm{p}})}{95\%}$  为故障调节使恢复正常的费用， $t \cdot \frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}}$  为检查费用， $f \cdot \frac{t_{\mathrm{c}}}{2} \cdot H(t_{\mathrm{p}})$  为坏零件损失费用.
+
+则目标函数为：
+
+$$
+\min  C _ {1} \left(t _ {\mathrm {p}}\right) = \left[ K + d \cdot \frac {H \left(t _ {\mathrm {p}}\right)}{95 \%} + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \cdot \frac {t _ {\mathrm {c}}}{2} \cdot H \left(t _ {\mathrm {p}}\right) \right] / t _ {\mathrm {p}}.
+$$
+
+# 3.2 问题（2）分析与建模
+
+模型Ⅱ是以模型Ⅰ为基础的，第1个模型为第Ⅱ个模型的特殊情况.在由特殊模型推导出一般模型的情况下，首先建立两个过渡模型：
+
+① 假设当工序处于正常状态下，次品率为  $2\%$ ；而当工序不正常时，生产的零件全部为次品，则有：
+
+平均每个零件费用  $=$  （预防换刀费用一故障调整费十检查费十坏零件损失费）/预防换刀周期内生产的零件个数，即
+
+$$
+\begin{array}{l} C \left(t _ {\mathrm {p}}\right) _ {1} = \left[ K + d \cdot \frac {H \left(t _ {2}\right)}{95 \%} + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \cdot H \left(t _ {\mathrm {p}}\right) \times t _ {\mathrm {c}} / 2 \right. \\ \left. + \left(\frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} - H (t _ {\mathrm {p}})\right) \times 2 \% \times (L + f) \right] / t _ {\mathrm {p}}. \\ \end{array}
+$$
+
+② 假设当工序处于正常状态产品全为正品，而当工序处于不正常状态下，次品率为  $60\%$  ，有：
+
+平均每个零件费用  $=$  （预防换刀费用  $+$  故障调整费  $+$  检查费  $+$  坏零件损失费）/预防换刀周期内生产的零件个数，即
+
+$$
+C \left(t _ {p}\right) _ {2} = \left[ K + d \cdot \frac {H \left(t _ {p}\right)}{95 \%} \times 60 \% + t \cdot \frac {t _ {p}}{t _ {c}} + f \cdot H \left(t _ {p}\right) \times \frac {t _ {c}}{2} \cdot 60 \% \right] / t _ {p}.
+$$
+
+综合上述两个模型，得出模型  $\mathbb{I}$  为：
+
+$$
+\begin{array}{l} \min  C _ {1} \left(t _ {\mathrm {p}}\right) = \left\{K + d \cdot \frac {H \left(t _ {\mathrm {p}}\right)}{95 \%} \times 60 \% + t \cdot \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} + f \times \left[ \frac {t _ {\mathrm {p}}}{t _ {\mathrm {c}}} - H \left(t _ {\mathrm {p}}\right) \times 60 \% \right] \times 2 \% + \right. \\ f \cdot H (t _ {p}) \times \frac {t _ {c}}{2} \cdot 60 \% + L \times \left[ \frac {t _ {p}}{t _ {c}} - H (t _ {p}) \times 60 \% \right] \cdot 2 \% \Bigg / t _ {p}. \\ \end{array}
+$$
+
+其中：  $K$  为预防换刀费用；  $d \cdot \frac{H(t_{\mathrm{p}})}{95\%} \times 60\%$  为故障调节使恢复费用；  $t \cdot \frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}}$  为检查费用；  $f \times \left[\frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}} - H(t_{\mathrm{p}}) \times 60\%\right] \times 2\% + f \cdot H(t_{\mathrm{p}}) \times \frac{t_{\mathrm{c}}}{2} \cdot 60\%$  为坏零件损失费用；  $L \times \left[\frac{t_{\mathrm{p}}}{t_{\mathrm{c}}} - H(t_{\mathrm{p}}) \times 60\%\right] \cdot 2\%$  为误停机造成损失费用.
+
+该模型稍高估计了误停机费用和坏零件损失费用. 但不难验证, 若利用这个高估的模型求目标模型取最小值时的  $t_{\mathrm{p}}, t_{\mathrm{c}}$  与实际相差很小.
+
+# 4 模型求解与结果分析
+
+刀具故障密度函数  $f(t)$  近似服从正态分布，且  $\mu = 600, \sigma = 196.62$  ，故确定一个  $t_p$  ，就可以得到一个  $H(t_p)$ . 确定  $t_p$  范围，取  $[\mu - 3\sigma, \mu - 3\sigma]$  （3σ原则），有  $t_p \in [10.14, 1189.86]$ . 而实际上当  $t_p$  不到1000时，刀具早已报废.
+
+所以取一较合理区间，即：  $t_{\mathfrak{p}} \in [0,900]$  分别对模型I，I及过渡模型1与2，  $t_{\mathfrak{p}}$  从1到 $900,t_{\mathrm{c}}$  为1到  $t_{\mathfrak{p}}$  进行两维搜索，求出各目标函数值，结果见表2.
+
+表 2 模型结果  
+
+<table><tr><td>模型</td><td>预防换刀周期(次)</td><td>检查周期(次)</td><td>目标值
+(平均每个零件费用,元/件).</td></tr><tr><td>模型Ⅰ</td><td>340</td><td>19</td><td>4.8440</td></tr><tr><td>过渡模型1</td><td>300</td><td>46</td><td>5.9054</td></tr><tr><td>过渡模型2</td><td>370</td><td>16</td><td>4.5741</td></tr><tr><td>模型Ⅰ</td><td>313</td><td>40</td><td>5.8193</td></tr></table>
+
+应用 SPSS 大型数理统计软件 explore 子过程画出直方图、框图, 并进行了正态性检验 (略). 正态性检验方法采用 Lilliefors 检验.
+
+用计算机仿真实验，对机床在假设的条件下进行随机模拟.当  $t_p = 340,t_c = 19$  时，分别进行1000,3000,6000,9000次仿真模拟，求出平均单位零件费用，见表3.
+
+表3  $t_{\mathrm{p}} = 340,t_{\mathrm{c}} = 19$  时的模拟结果  
+
+<table><tr><td>预防性换刀周期次数</td><td>平均单位零件费用</td><td>预防性换刀周期次数</td><td>平均单位零件费用</td></tr><tr><td>1000</td><td>4.7676</td><td>6000</td><td>4.8735</td></tr><tr><td>3000</td><td>4.8110</td><td>9000</td><td>4.9050</td></tr></table>
+
+$C(t_{\mathfrak{p}}) = 4.8440$  ，与实际相吻合，说明本文中的模型是正确的.对其它  $t_{\mathfrak{p}}$  和  $t_{\mathrm{c}}$  分别进行横纵项比较，1000次模拟(结果略).可知当  $t_\mathrm{p} = 340,t_\mathrm{c} = 19$  时，要优于其它策略.
+
+用计算机进行大型穷举其它策略， $t_p$  取  $200 \sim 600, t_c = 1, 2, \dots, t_p$ ，进行模拟比较，花费  $3.4\mathrm{h}, t_p = 2340, t_c = 19$  仍为最佳策略，可见模型 I 是最佳策略。
+
+# 5 结束语
+
+过渡模型1在模型I的基础上添加了工序正常时有误停机费用和次品费用的变动，结果相对于模型  $\mathbf{I}, t_{\mathrm{p}}$  变小，而  $t_{\mathrm{c}}$  增大。分析认为，在故障次数可以准确检出情况下，若缩短  $t_{\mathrm{c}}$  则引入误停机可能性会增加，况且正常运行下的  $2\%$  次品为不可消除性系统损失，故应将  $t_{\mathrm{c}}$  加长，从而减小误停机可能。当  $t_{\mathrm{c}}$  加长时，换刀周期若太长，则又会造成大量故障下次品费用，故换刀周期变短合理。
+
+模型Ⅱ在模型I基础上对工序故障后表现出来的概率作了修改.即在模型Ⅱ中刀具发生故障的隐蔽性较强，应缩短检查周期以较准确地查出刀具故障，消除隐患；另一方面由
+
+于刀具出现故障时仍会生产好零件, 而这种现象有利于厂方提高效益, 故适当加长换刀周期会更好.
+
+模型Ⅰ为过渡模型1与模型2的有机组合，其结果均处于模型1与模型2的结果之间。由于过渡模型1与过渡模型2可看作为模型Ⅱ的两种端点情况，故相对于过渡模型1与过渡模型2来说结果合理。
+
+模型Ⅱ结果相对于模型I结果  $t_{\mathrm{p}}$  减少而  $t_{\mathrm{c}}$  增加.分析认为，在接近刀具正常工作后的一段时间内，发生故障的概率较小，若检查过勤，则会引入误检而误停机，故应加长  $t_{\mathrm{c}}$  当  $t_{\mathrm{c}}$  加长后，随着刀具生产零件个数的增加，故障发生概率加大；如果  $t_{\mathrm{p}}$  不减小，则加长  $t_{\mathrm{c}}$  又会引入漏检而生产过多次品，故  $t_{\mathrm{p}}$  应减小.由对结果数值的定性分析可知所建模型合理.
+
+从刀具的寿命概率密度函数曲线上可以看出，在一换刀周期内（如  $t_{\mathrm{p}} = 313$ ），若以等件数周期进行检查，则前几次检查周期内发生故障概率较小，会造成检查费用浪费。而在后几次检查周期内发生故障概率相对较大，却造成漏查而产生次品零件损失。如果我们不采用定期检查法，而采用等概率周期检查法，即在每一个检查周期内发生故障的概率相等，从而确定不同检查时刻，将进一步提高经济效益。
+
+# Problem of automatic lathe management
+
+LI Yu, ZHANG Qi, LIi- jux et al
+
+(Mechanical Eng. Dept., NWITTST, Xi'an 710048, China)
+
+Abstract: Two random optimal models are established for determining examining interval and replacement tactics of cutting tools on automatic lathe, whose objective are to minimize the average cost of a single part within a precautionary replacement interval  $(t_{\mathfrak{p}})$ . In term of statistical analysis of given data, the life-span distribution function of the cutting tools is accorded with the approximate normal distribution. Then, with discontinu- recurrent method, expect the number of cutting tools breakdown in a precautionary replacement interval are attained. By means of enumeration and comparison method with Matlab software, the optimum checking interval and the optimum replacement interval for cutting tools are gained, which could minimize the average cost of a single part. Due to the variety of the cost concerned, based on model I, transitional mode I and transitional model II are established with more assumption, in fact, which are models under special situation. With the help of those two models, model II is established. Due to shortcoming of equal checking method, an equal probability method is offered for more profits. By means of random stimulation, the qualitative analysis is made to model I as for its rationality and advantage, then, the quantitative analysis to the other models.
+
+Key words: random optimal model; approximate normal distribution; Matlab software

MCM_CN/1999/A题/刀具问题的仿真及灵敏度分析/刀具问题的仿真及灵敏度分析.md

@@ -0,0 +1,153 @@
+$$
+\begin{array}{l} + \quad_ {u} ^ {+} g (x) d x [ \begin{array}{l} n \\ j = 1 \end{array} 0 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 (j t + a + f (j s - (0. 9 8 (j (s - 1) + j - 1)) \\ + 0. 9 8 ^ {n} (n t + k + f (u - (0. 9 8 (u - n) + n))) ] \\ \end{array}
+$$
+
+3
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} s & 1 & 1 0 0, u & 1 0 0 & 6 0 0 & & , & F (s, u) & \\ : s = 5 4, u = 3 0 4, & & & 9. 3 7 6 8 1, & u & s & & , & \\ u = 3 0 6, & & 9. 4 0 0 4 4 \end{array} ; s = 5 1,
+$$
+
+4
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {,} \\ [ 0, 2 2 8 0 0 ] \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {:} \\ \text {,} E (F) \quad E (N) \\ \text {,} \\ 9. 5 7 3 5 4 \end{array} ,
+$$
+
+# Mathematical Model of Automatic Managing of Lathe
+
+YANG Zhen-hua, Q IU Zhong-hua
+
+(Nanjing University of Posts & Telecommunications, Nanjing 210003)
+
+Abstract In this paper, we establish the mathematical model of problem A of 1999 Chinese Undergraduate Mathematical Contest in Modeling——automatic managing of lathe. Then we give the solution of this model
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {,} \\ \text {(}, \quad 2 1 0 0 9 6) \\ \text {:} \\ \text {,} \quad \mathrm {C M C M - 9 9 A} \\ \text {,} \quad \mathrm {p} _ {1} (\quad), \quad \mathrm {p} _ {2} (\quad), \mathrm {k}, \mathrm {f}, \mathrm {d} \\ \text {()} \end{array} ,
+$$
+
+1
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} C M C M - 9 9 A & & & & & & & & \\ , & & & & & & & & \\ & (\quad & 1 & , & \quad & 1 0 & ), & & \\ & , & & & & , & & & \\ & & & & & . & & & \\ 2 & , & p _ {1} & & & , p _ {2} & & , & p _ {1} = \\ 3, p _ {2} = 0. 4, & & & , & & , & , & \\ , & & , & & 7 & , & \text {I I V} & ( \\ ) \text {，} & . \\ n & , s = 1, 2, \dots \\ \text {I} & s n & , \quad - & ; \\ \text {I I} & s n & , \quad - & ; \\ & & - & s n + 1 & , \quad - & ; \\ \text {I I I} & s n & , \quad , \quad s n + 1 & , \quad - & ; \\ \text {I V} & s n & , \quad , \quad s n + 1 & , \quad - & ; \\ & & & , \quad s n + 2 & , \quad - \\ & & , \quad s n + 1 & , \quad , \quad s n + 2 & , \quad - \\ & & & - \text {.} \\ \text {V}, \text {V I}, \text {V I I} & \text {I I}, \text {I I I}, \text {I V}, \quad s n + 1, s n + 2 \quad s n - 1, s n - 2 \end{array}
+$$
+
+2
+
+$$
+1, \quad p _ {1} = 1, p _ {2} = 0,
+$$
+
+$$
+u: \quad , n: \quad ,
+$$
+
+$$
+(u, n) = (3 5 4, 1 9),
+$$
+
+$$
+= 4 6 2 8 /
+$$
+
+$$
+2, \tag {10}
+$$
+
+）
+
+<table><tr><td>n</td><td>u</td><td>353</td><td>354</td><td>355</td><td>356</td></tr><tr><td>17</td><td></td><td>4.634</td><td>4.645</td><td>4.638</td><td>4.645</td></tr><tr><td>18</td><td></td><td>4.633</td><td>4.640</td><td>4.634</td><td>4.635</td></tr><tr><td>19</td><td></td><td>4.636</td><td>4.628</td><td>4.636</td><td>4.639</td></tr><tr><td>20</td><td></td><td>4.629</td><td>4.639</td><td>4.639</td><td>4.637</td></tr></table>
+
+2.1
+
+(1)  $u$  354, n 19,
+
+$$
+p _ {1} = 1, p _ {2} = 0, \quad 1, (u, n)
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} = (3 5 4, 1 9) \\ 1 9; \\ \end{array}
+$$
+
+<table><tr><td></td><td>u( )</td><td>n( )</td><td>( )</td></tr><tr><td>I</td><td>270</td><td>45</td><td>9.459</td></tr><tr><td>II</td><td>270</td><td>45</td><td>9.722</td></tr><tr><td>III</td><td>295</td><td>117</td><td>9.346</td></tr><tr><td>IV</td><td>305</td><td>33</td><td>9.327</td></tr><tr><td>V</td><td>270</td><td>45</td><td>9.752</td></tr><tr><td>VI</td><td>284</td><td>108</td><td>9.350</td></tr><tr><td>VII</td><td>318</td><td>29</td><td>9.342</td></tr></table>
+
+(2)
+
+I,
+
+II V,
+
+2%
+
+III VI
+
+II V.
+
+II V
+
+III VI
+
+(117
+
+）， 100
+
+IV VII,
+
+IV VII
+
+II III
+
+V VI
+
+，
+
+(3)  $u$
+
+5%.
+
+(5)
+
+IV
+
+<table><tr><td>(u,n)</td><td>I</td><td>II</td><td>III</td><td>IV</td><td>V</td><td>VI</td><td>VII</td></tr><tr><td>(295,117)</td><td>9.567</td><td>9.975</td><td>9.346</td><td>9.460</td><td>9.977</td><td>9.363</td><td>9.487</td></tr><tr><td>(305,33)</td><td>9.729</td><td>10.298</td><td>9.927</td><td>9.327</td><td>10.289</td><td>10.050</td><td>9.416</td></tr><tr><td>(284,108)</td><td>9.510</td><td>9.795</td><td>9.345</td><td>9.397</td><td>9.825</td><td>9.350</td><td>9.399</td></tr><tr><td>(318,29)</td><td>9.669</td><td>10.098</td><td>10.076</td><td>9.370</td><td>10.156</td><td>10.127</td><td>9.342</td></tr></table>
+
+$(u,n)$
+
+$$
+(u, n) \quad p _ {1}, p _ {2}
+$$
+
+3  
+
+<table><tr><td rowspan="2">n</td><td colspan="5">p1= 0.99</td></tr><tr><td>290</td><td>295</td><td>300</td><td>305</td><td>310</td></tr><tr><td>28</td><td>7.385</td><td>7.384</td><td>7.395</td><td>7.296</td><td>7.491</td></tr><tr><td>31</td><td>7.420</td><td>7.371</td><td>7.312</td><td>7.348</td><td>7.313</td></tr><tr><td>34</td><td>7.312</td><td>7.293</td><td>7.231</td><td>7.333</td><td>7.415</td></tr><tr><td>37</td><td>7.284</td><td>7.332</td><td>7.428</td><td>7.428</td><td>7.361</td></tr></table>
+
+<table><tr><td colspan="5">u, n</td></tr><tr><td colspan="5">2. p2 = 0.3,</td></tr><tr><td>n u</td><td>290</td><td>300</td><td>310</td><td>320</td></tr><tr><td>30</td><td>9.254</td><td>9.230</td><td>9.247</td><td>9.218</td></tr><tr><td>35</td><td>9.260</td><td>9.204</td><td>9.203</td><td>9.285</td></tr><tr><td>40</td><td>9.283</td><td>9.229</td><td>9.204</td><td>9.208</td></tr><tr><td>45</td><td>9.247</td><td>9.193</td><td>9.206</td><td>9.354</td></tr></table>
+
+![](images/d5b4dc6572c840992ca0fa572deb3b91fe6c1134c82a73076a81b055d7a9b709.jpg)
+
+<table><tr><td>n</td><td>u</td><td>300</td><td>305</td><td>310</td><td>315</td><td>320</td></tr><tr><td>70</td><td></td><td>6 793</td><td>6 789</td><td>6 745</td><td>6 733</td><td>6 708</td></tr><tr><td>75</td><td></td><td>6 698</td><td>6 866</td><td>6 847</td><td>6 793</td><td>6 803</td></tr><tr><td>80</td><td></td><td>6 700</td><td>6 677</td><td>6 690</td><td>6 663</td><td>6 679</td></tr><tr><td>85</td><td></td><td>6 726</td><td>6 721</td><td>6 710</td><td>6 710</td><td>6 696</td></tr><tr><td>,</td><td></td><td></td><td></td><td>,</td><td></td><td></td></tr></table>
+
+<table><tr><td colspan="6">3. k=800,</td></tr><tr><td>n u</td><td>260</td><td>265</td><td>270</td><td>275</td><td>280</td></tr><tr><td>45</td><td>8 679</td><td>8 689</td><td>8 651</td><td>8 812</td><td>8 768</td></tr><tr><td>50</td><td>8 694</td><td>8 789</td><td>8 687</td><td>8 753</td><td>8 691</td></tr><tr><td>55</td><td>8 665</td><td>8 667</td><td>8 640</td><td>8 600</td><td>8 830</td></tr><tr><td>60</td><td>8 715</td><td>8 736</td><td>8 713</td><td>8 653</td><td>8 697</td></tr></table>
+
+<table><tr><td colspan="6">d=4000,</td></tr><tr><td>n u</td><td>260</td><td>265</td><td>270</td><td>275</td><td>280</td></tr><tr><td>30</td><td>9.676</td><td>9.632</td><td>9.600</td><td>9.707</td><td>9.635</td></tr><tr><td>35</td><td>9.663</td><td>9.630</td><td>9.574</td><td>9.543</td><td>9.538</td></tr><tr><td>40</td><td>9.602</td><td>9.585</td><td>9.538</td><td>9.545</td><td>9.520</td></tr><tr><td>45</td><td>9.567</td><td>9.522</td><td>9.539</td><td>9.665</td><td>9.620</td></tr></table>
+
+![](images/172d13cc8061ee0fab2342b5e4536ce8d03c43b04c152c2fa7e240319c306b23.jpg)
+
+# The Simulation and Sensitivity Analysis for Knife Problem
+
+ZHAO Guirqin, ZHOU Lin
+
+(Southeast University, Nanjing 210096)
+
+Abstract A s to the problem A in CMCM - 99, this article firstly search out the approximate optimal solution to knife-replacement period, check period and the minimum cost for unit good-product through computer artificial simulation, and then have sensitivity analysis for  $p_1$  (the probability of good-product produced by good knife),  $p_2$  (the probability of good-product produced by bad knife),  $k$ ,  $f$ ,  $d$ , at last concludes that  $u$  (the knife-replacement period) is the most important optimizing parameter.
+
+![](images/29ed085b2920f1c9f302f8183af74ed8d7df376a8221c17544f0adf047219f35.jpg)  
+策略I
+
+![](images/da7f01a72ac59f8fcf9bc14961a6939d331b51208d2053cfd5a8e86638389b24.jpg)  
+策略IV
+
+# 说明
+
+在生产零件时，必须考虑  $5\%$  的非刀具故障。具体方法为：生成一个均匀分布的  $RV$ ， $error - pos$  初始值为 0， $error - pos = error - pos + RV$ ，若该零件为第  $error - pos$  个零件，则该零件必为坏零件，同时  $error - pos + = RV$ 。

MCM_CN/1999/A题/自动化车床最优刀具检测更换模型/自动化车床最优刀具检测更换模型.md

@@ -0,0 +1,771 @@
+![](images/4e6e47745495541b22be4fdbb59af298366d1d77fe5b51d45aa7235ef6ef2303.jpg)
+
+# 1 （）
+
+2
+
+(1)
+
+(2)
+
+3000
+
+95%
+
+/
+
+(3)
+
+2
+
+5%
+
+(4)  
+(5)  
+(6)  
+(7)  
+(8)
+
+(1500 / )
+
+3
+
+Tc  
+T  
+$T(C)$  
+Tc
+
+$$
+T ^ {*}
+$$
+
+$$
+T \left(C\right) ^ {*}
+$$
+
+$$
+T c ^ {*} T ^ {*}
+$$
+
+$$
+f (x)
+$$
+
+$$
+F (x)
+$$
+
+$$
+f
+$$
+
+$$
+1 0 / .
+$$
+
+$$
+d
+$$
+
+$$
+k
+$$
+
+$$
+\mu
+$$
+
+$$
+\sigma
+$$
+
+$$
+2 0 0 /
+$$
+
+$$
+3 0 0 0 / (\quad).
+$$
+
+$$
+1 0 0 0 / .
+$$
+
+4
+
+4.1
+
+1.
+
+$$
+D = \frac {\int_ {i = 1} ^ {n} \left(i - \frac {n + 1}{2}\right) x _ {(i)}}{n ^ {\frac {3}{2}} \sqrt {\int_ {i = 1} ^ {n} \left(x _ {i} - \overline {{x}}\right) ^ {2}}}
+$$
+
+$$
+Y = \frac {(D - 0 2 8 2 0 9 4 7 9) \sqrt {n}}{0 0 2 9 9 8 5 9 8}
+$$
+
+$$
+\left\{Y \quad Y _ {\alpha / 2} \quad Y \quad Y _ {1 - \alpha / 2} \right\} \quad \alpha = 0. 0 5 \quad n = 1 0 0, \quad \left\{Y \right.
+$$
+
+$$
+- 2. 5 4 \quad Y \quad 1. 3 1 \} Y = - 1. 2 9 3 3
+$$
+
+$$
+D = 0. 2 7 8 2
+$$
+
+$$
+, \quad \alpha = 0. 0 5
+$$
+
+2.
+
+$$
+: f (t) = f _ {N} (r; \sigma^ {2}, x) = \frac {1}{\sigma \sqrt {2 \pi}} e ^ {- (1 - x) ^ {2} / 2 \sigma^ {2}}
+$$
+
+$$
+\bar {x} = \frac {1}{N} _ {i = 1} ^ {N} x _ {i}
+$$
+
+$$
+\sigma^ {2} \quad S ^ {2} = \frac {1}{N - 1} _ {i = 1} ^ {N} (x _ {i} - \overrightarrow {x}) ^ {2}
+$$
+
+$$
+\bar {x} = 6 0 0 \quad \sigma = 1 9 6. 6 2 9 1 6 9 5
+$$
+
+$$
+(
+$$
+
+$$
+F (t) = F _ {N} (t; \sigma^ {2}, x) = \int_ {0} ^ {t} f (x) d x
+$$
+
+4.2
+
+$$
+T (C) = \frac {U}{\text {}}
+$$
+
+4.2.1
+
+U
+
+N
+
+（
+
+），
+
+N
+
+1.
+
+T
+
+T
+
+$T$  ，
+
+N [1-
+
+$F(T)$  ],
+
+$$
+N [ 1 - F (T) ]
+$$
+
+U1
+
+$$
+P _ {1} U _ {1} = N [ 1 - F (T) ] P _ {1}
+$$
+
+2.
+
+T
+
+$$
+, \quad N \cdot F (T),
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} N \cdot F (T) \\ U = U _ {1} + U _ {2} \\ F (T) \quad T \\ \end{array}
+$$
+
+U2
+
+$$
+P _ {2} \quad U _ {2} = N \cdot F (T) \cdot P _ {2}
+$$
+
+2
+
+$$
+, F (t) = \begin{array}{l} t \\ 0 \end{array} f (x) d x, \quad t = T \quad F (T)
+$$
+
+$$
+T \quad P _ {1} \quad P _ {2}
+$$
+
+1.
+
+$P_{1}$
+
+(1)
+
+$T$
+
+$g_{1}t$
+
+T
+
+(2)
+
+:0
+
+(3)
+
+$$
+P _ {1} = g _ {1} t + k + 0
+$$
+
+$U_{1}$  ：
+
+$$
+U _ {1} = N \left[ \begin{array}{l l} 1 - & F (T) \end{array} \right] [ g _ {1} t + K + 0 ]
+$$
+
+2.
+
+P2
+
+![](images/f39cde078c805da24ec5fbb214c6d8a562376abe57c6422244a8f822c4a63248.jpg)  
+损失零件数
+
+1
+
+(1)
+
+: d
+
+(2)
+
+：
+
+T
+
+$T$  （20  $x$  （20  $x$
+
+$$
+, \quad \begin{array}{c} T \\ 0 \end{array} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x
+$$
+
+$$
+\frac {f (x)}{F (T)}
+$$
+
+T
+
+x
+
+$$
+W _ {x} =
+$$
+
++
+
+a.
+
+$$
+, \quad [ g _ {2} + 1 ] t (g _ {2}
+$$
+
+x
+
+，
+
+$$
+x / T c
+$$
+
+）
+
+b.
+
+$$
+, \quad [ T c - H ] f
+$$
+
+H
+
+$$
+P _ {2} = \left. \begin{array}{l} T \\ 0 \end{array} \right\{\left[ g _ {2} + 1 \right] t + \left[ T c - H \right] f \left\{\frac {f (x)}{F (T)} d x + d \right.
+$$
+
+$$
+U _ {2} = N \cdot F (T) \left\{\left.\begin{array}{l}T\\0\end{array}\right\}\left[ g _ {2} + 1 \right] t + \left[ T c - H \right] f \right\} \frac {f (x)}{F (T)} d x + d \left. \right\}
+$$
+
+$$
+U = U _ {1} + U _ {2}
+$$
+
+：
+
+$$
+N [ 1 - F (T) ] T + N \cdot F (T) _ {0} ^ {T} x \frac {f (x)}{F (T)} d x
+$$
+
+$$
+T (C) = \frac {U}{=}
+$$
+
+$$
+\frac {U _ {1} + U _ {2}}{N [ 1 - F (T) T ] + N \cdot F (T) x \frac {f (x)}{F (T)} d x} \left(U _ {1}, U _ {2}\right)
+$$
+
+$$
+N \quad , \quad T, T c \quad , T (c) \quad . \quad T (c)
+$$
+
+$$
+T = 4 0 0, T _ {c} = 1 6
+$$
+
+$$
+T \quad (3 5 0, 4 5 0)
+$$
+
+$$
+T (C) ^ {*} = 4. 6 1 5
+$$
+
+$$
+T ^ {*} = 3 6 9
+$$
+
+$$
+T c ^ {*} = 1 8
+$$
+
+4.3
+
+2
+
+area
+
+![](images/ddf8b7f40249aabf84d0cd54335410475422f0a3cbeed39bdcd2c714b998f700.jpg)  
+2
+
+Tc
+
+$g_{1}(T)$  ， 2
+
+2
+
+area,
+
+$g_{1}(T) = F(T)divarea(div$  (1)
+
+T
+
+X
+
+x
+
+$g_{2}(x)$
+
+$g_{2}(x) = [F(x - 1)\text{div area}] + 1$  (2)
+
+$H(x) = F^{-1}[g_2(x)\times area] - x$ $(H(x) <   T - x)$
+
+H  $(x)$  T- x T-x (3)
+
+(1) (2) (3)
+
+$$
+T (C) ^ {*} = 4. 4 0 5
+$$
+
+$$
+T ^ {*} = 3 6 9
+$$
+
+$$
+a r e a ^ {*} = 0. 0 0 6
+$$
+
+5%,
+
+$Tc(n)$  ：
+
+$$
+T c (n) = F ^ {- 1} [ a r e a \times n ] - F ^ {- 1} [ a r e a (n - 1) ]
+$$
+
+$Tc(n)$
+
+<table><tr><td>1</td><td>106</td><td>106</td><td>11</td><td>9</td><td>303</td></tr><tr><td>2</td><td>50</td><td>156</td><td>12</td><td>9</td><td>312</td></tr><tr><td>3</td><td>31</td><td>187</td><td>13</td><td>9</td><td>321</td></tr><tr><td>4</td><td>24</td><td>211</td><td>14</td><td>7</td><td>328</td></tr><tr><td>5</td><td>19</td><td>230</td><td>15</td><td>8</td><td>336</td></tr><tr><td>6</td><td>16</td><td>246</td><td>16</td><td>7</td><td>343</td></tr><tr><td>7</td><td>14</td><td>260</td><td>17</td><td>7</td><td>350</td></tr><tr><td>8</td><td>12</td><td>272</td><td>18</td><td>6</td><td>356</td></tr><tr><td>9</td><td>12</td><td>284</td><td>19</td><td>7</td><td>363</td></tr><tr><td>10</td><td>10</td><td>294</td><td>20</td><td>6</td><td>369</td></tr></table>
+
+4.4
+
+2%
+
+$$
+\begin{array}{c}1500\\ 40\% \end{array} ;
+$$
+
+40%
+
+$$
+T (C) = \frac {U}{U _ {1}}
+$$
+
+$$
+U _ {2}
+$$
+
+$$
+N
+$$
+
+$$
+: N \cdot F (T) (F (T)
+$$
+
+$$
+: N [ 1 - F (T) ]
+$$
+
+$$
+U _ {1} = N [ 1 - F (T) ] P _ {1}
+$$
+
+$$
+U _ {2} = N \cdot F (T) \cdot P _ {2}
+$$
+
+$$
+T \quad P _ {1} P _ {2}
+$$
+
+1.
+
+(1)  $k$  
+(2)
+
+$$
+g _ {1} t
+$$
+
+(3)
+
+$$
+T / T c
+$$
+
+2%
+
+![](images/47eb55d3ac496162263f46d7915fdcd7617ac6eeeccf658b87a090af7cffb0ad.jpg)
+
+![](images/4711dae17ac9f31642dccc3fbd35ed4b8921d47f80ed1963b31756f8b46a5c75.jpg)
+
+$$
+, \quad : 2 \% g _ {1} = \frac {g _ {1}}{50}
+$$
+
+(4)
+
+$$
+T \times 2 \%
+$$
+
+$$
+: \frac {g _ {1}}{5 0} \times 1 5 0 0 = 3 0 g _ {1}
+$$
+
+(1) (2) (3) (4)
+
+![](images/af43d040318e69d2e2e85a9bc1016667229d073a3cf28080f660f7d2ab51e654.jpg)
+
+![](images/ef5ef6ea6e746370629fd4238b293d86470645f658299e4520b4c48630bf7d7f.jpg)
+
+$P_{1}$
+
+$$
+P _ {1} = k + g _ {1} t + 3 0 g _ {1} + \frac {T f}{5 0}
+$$
+
+$$
+U _ {1} \quad :
+$$
+
+$$
+U _ {1} = N [ 1 - F (T) ] \left[ k + g _ {1} t + 3 0 g _ {1} + \frac {T f}{5 0} \right]
+$$
+
+2.
+
+$$
+U _ {2} = N \cdot F (T) \cdot P _ {2}, \quad P _ {2}
+$$
+
+$x$  T
+
+$$
+: P _ {2} = \begin{array}{l} T \\ 0 \end{array} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x
+$$
+
+x
+
+W2
+
+(1)
+
+$$
+: (g _ {2} - 1) t (g _ {2}
+$$
+
+）
+
+(2)
+
+（
+
+(3)
+
+）：
+
+$$
+(g_{2} - 1)\times 2\% \times 1500 = 30(g_{2} - 1)
+$$
+
+(3)
+
+2%
+
+$$
+\begin{array}{c} \vdots \\ 2 \% x f = \frac {x f}{50} \end{array}
+$$
+
+(4)
+
+：
+
+$$
+40 \%
+$$
+
+$$
+40\% ,
+$$
+
+$$
+g _ {2} \quad (
+$$
+
+$$
+0)
+$$
+
+$$
+g _ {1} (
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c} g _ {1} - & g _ {2} \end{array}
+$$
+
+）
+
+$$
+\begin{array}{c c c c} & & \text {,} \\ & & \text {g} _ {1} - \text {g} _ {2} \\ & & 0. 4 ^ {i} \\ H & T _ {C} & X \\ & & T _ {C} \\ & & \cdot \\ & & \text {g} _ {1} - \text {g} _ {2} \\ & & 0. 4 ^ {i} t \\ T - x H & , \end{array}
+$$
+
+0,
+
+0
+
+(5)
+
+$$
+\vdots
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \left(1 - 0. 4 ^ {g _ {1} - g _ {2} + 1}\right) d \\ 0. 4 ^ {g _ {1} - g _ {2} + 1} \quad g _ {1} - g _ {2} + 1 \end{array}
+$$
+
+(6)
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+T - x > H
+$$
+
+a
+
+$$
+0. 6 H f
+$$
+
+b.
+
+$$
+T - x > H
+$$
+
+$$
+\left(H ^ {\prime} + 0. 4 T _ {c} + 0. 4 ^ {2} T _ {c} + \dots 0. 4 ^ {g _ {1} - g _ {2}} T _ {c}\right) 0. 6 f
+$$
+
+$$
+T - x H,
+$$
+
+：
+
+$$
+(T - x) \cdot 0. 6 f
+$$
+
+$$
+U _ {2} = N \cdot F (T) \int_ {0} ^ {T} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x
+$$
+
+WX
+
+(1)
+
+(1)
+
+(4)
+
+(5)
+
+(6)
+
+$$
+U = \left[ k + g _ {1} t + 3 0 g _ {1} + \frac {T f}{5 0} \right] \cdot N \cdot [ 1 - F (T) ] + \int_ {0} ^ {T} W _ {x} \frac {f (x)}{F (T)} d x \cdot N \cdot F (T)
+$$
+
+(1)
+
+$$
+N[1 - F(T)]T\times 98\%
+$$
+
+(2)
+
+$$
+N \cdot F (T) \left[ \begin{array}{c} T \\ 0 \end{array} \left(98 \% x + \frac {(6)}{0.6 f} 0.4\right) \frac {f (x)}{F (T)} d x \right] \tag{1}
+$$
+
+$$
+T (C) = \frac {W}{(1) + (2)} \quad T \quad T c \quad T (c) \tag {1}
+$$
+
+）
+
+$$
+T (C) ^ {*} = 9. 2 6 8
+$$
+
+$$
+T ^ {*} = 3 0 6
+$$
+
+$$
+T c ^ {\cdot} = 2 8
+$$
+
+（
+
+$$
+) g _ {2} (x) \left(x\right) H (x)
+$$
+
+）
+
+$$
+T (C) ^ {*} = 9. 0 4 7
+$$
+
+$$
+T ^ {*} = 3 1 6
+$$
+
+$$
+a r e a ^ {*} = 0. 0 1 7
+$$
+
+$$
+40 \%
+$$
+
+4.405 9.047.
+
+4.5
+
+$$
+( \begin{array}{c c} & \\ & 3 \end{array} )
+$$
+
+40%
+
+2%
+
+Bayes
+
+.）
+
+5
+
+[3]
+
+[1]  
+[2]  
+[3]
+
+# The Optimum Checking and Replacing Model for the Cutting Tool of the Automatic Machine Tool
+
+QIZheng-jun， RENYi, SI Yong
+
+(Dalian University of Technology, Dalian 116024)
+
+Abstract Through statistical analysis of more than 100 times breakdown of cutting tools on the automatic machine tool, the checking and replacing model has been studied for cutting tool to machine only one part continuously. In this paper, by using of the  $D$  inspection method for the large-scale sample situation in the probability theory, it has been proved that the occurring law of cutting tools's breakdown accords with the normal distribution. After figuring out the life-span distribution function of the system process, the multi-objective function equation has been obtained in which the unit expected loss of the qualified part is taken as objective and the checking interval as well as the regular replacement interval for cutting tool are variables. By means of enumeration and comparison methods to look for the solution on the microcomputer, the optimum checking interval and the optimum replacing strategy for the cutting tool have been given which could bring out the optimal economic profit in the system process. Since the occurring law of cutting tools's breakdown accords the normal distribution, the improved model has been presented by adopting the regular unequal interval checking method and the better results than these of equal interval checking method are obtained
+
+By using the algorithm mentioned above, the function has been solved fairly and the optimum solution has been got. In this paper two study cases are described. For case 1, the intervals of replacing and checking are 369 and 18 respectively, the loss of unit qualified part is 4.615 Yuan and it will be down to 4.405 Yuan if the unequal interval is adopted. For case 2, under complicated conditions, the intervals of replacing and checking are 306 and 28 respectively, the loss of unit qualified part is 9.268 Yuan and it will change to 9.047 Yuan when using unequal interval. These results provide a more advantage proof for the improved model using the unequal interval checking method
+
+# 1 （ ）
+
+2
+
+(1)  
+(2)  
+(3)  
+(4) 1  
+(5)  
+(6)  
+(7)  $X1X2$  ，  $X1X2$
+
+3
+
+n: n
+
+m: m
+
+T:
+
+$T = n\cdot m$

MCM_CN/1999/A题/自动化车床管理(1)/自动化车床管理(1).md

@@ -0,0 +1,373 @@
+Abstract In the article, the optimum tactics of the regular check to working procedures and the replacement of cutting tools in the course of continuous component processing by automatic lathes has been discussed
+
+For question one, the optimum model of average management cost used for regular check and adjustment of component has been made out by applying the theory of management cost and method of probability statistics, the best designed interval of check and cutting tools replacement in the working procedure has been obtained
+
+For question two, based on question one, the objective functions has been established, and the optimum tactics of the best designed interval of check and the replacement of cutting tools has been obtained considering the average loss brought about by unqualified products at the interval of check and the average loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown
+
+The automatic checking and adjusting system the breakdown of working procedures has been designed by using automatic devices, and the algorithm flow chart has been given too. Thus the loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown would be avoided, and the benefit of working procedure would be increased
+
+1 （）  
+2
+
+$$
+C = \overline {{}}
+$$
+
+3
+
+1. 2. 3. 4. 5.
+
+1.
+
+4
+
+f t d k X
+
+$$
+t = 1 0 /
+$$
+
+$$
+f = 2 0 0 /
+$$
+
+$$
+d = 3 0 0 0 /
+$$
+
+$$
+F (x)
+$$
+
+$$
+p (x)
+$$
+
+$$
+\tau_ {0}
+$$
+
+$$
+\tau_ {1}
+$$
+
+$$
+E (L)
+$$
+
+$$
+E (T)
+$$
+
+$$
+C
+$$
+
+$$
+\text {(} \quad) \quad k = 1 0 0 0 /
+$$
+
+5
+
+5.1
+
+1. 100
+
+$$
+\quad \text {(} \quad). \quad : \quad \alpha = 0. 1 0
+$$
+
+$$
+N (\mu , \sigma^ {2}) \quad , \quad \mu = 6 0 0, \sigma^ {2} = 1 9 5. 6 4 ^ {2}.
+$$
+
+2.
+
+$$
+95\%, \quad \quad \quad \quad \quad . \quad \quad , \quad \quad , \quad X \quad N (0.95\mu , (0.95\sigma) ^ {2})
+$$
+
+3.
+
+$$
+\tau_ {1} = m \tau_ {0} (m = 1, 2, \dots)
+$$
+
+5.2
+
+1.  $I($
+
+$$
+X > \tau_ {1}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} : \quad L _ {1} = m t + k; \\ n \tau_ {0} <   X \quad (n + 1) \tau_ {0} \quad (n = 0, 1, 2, \dots , m - 1) \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+: \quad L _ {n} = (n + 1) t + d + [ (n + 1) \tau_ {0} - X ] f
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} E (L) = \underset {m \tau_ {0}} {L} _ {1} p (x) d x + \underset {n = 0} {\overset {m - 1} {\enspace}} _ {n \tau_ {0}} ^ {(n + 1) \tau_ {0}} L _ {n} p (x) d x \\ E (T) = m \tau p (x) d x + \begin{array}{l l} (m - 1) & (n + 1) \tau_ {0} \\ n = 0 & n \tau_ {0} \end{array} (n + 1) \tau_ {0} p (x) d x \\ \end{array}
+$$
+
+$\tau_0$ $\tau_{1}, C = \frac{E(L)}{E(T)}$ $\tau_0 = 18(18)$ ,  $\tau_{1} = 342(342)$
+
+2 II（
+
+3 III(
+
+$$
+\begin{array}{l} C = 4. 7 5 \quad . \\ \left. \frac {1}{n (x)}\right). \\ \end{array}
+$$
+
+（  $\mathcal{X}$  ，  $[x,x + dx]$  ），  $n(x)$  .T0(x)=
+
+$$
+n (x) = \sqrt {\frac {f}{t} \cdot \frac {p (x)}{1 - F (x)}}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} : p (x) d x \quad [ x, x + d x ] \\ 1 - F (x) x \\ , \frac {p (x) d x}{1 - F (x)} \quad x \quad , [ t, t + d t ] \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+p (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} 1 8 5 . 9} e ^ {- \frac {(x - 5 7 0) ^ {2}}{2 \times 1 8 5 . 9 ^ {2}}}
+$$
+
+1  
+2  $d_{2} = \left\lfloor \frac{1}{n(d_{1})}\right\rfloor ;$
+
+3
+
+$$
+d _ {3} = \left[ \frac {1}{n (d _ {1} + d _ {2})} \right];
+$$
+
+：
+
+：
+
+<table><tr><td>i</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td></tr><tr><td>di</td><td>72</td><td>42</td><td>32</td><td>26</td><td>22</td><td>20</td><td>18</td><td>16</td><td>15</td><td>14</td><td>13</td><td>12</td><td>12</td><td>11</td><td>10</td></tr><tr><td>i</td><td>16</td><td>17</td><td>18</td><td>19</td><td>20</td><td>21</td><td>22</td><td>23</td><td>24</td><td>25</td><td>26</td><td>27</td><td>28</td><td>29</td><td>30</td></tr><tr><td>di</td><td>10</td><td>10</td><td>9</td><td>9</td><td>9</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>8</td><td>7</td><td>7</td><td>7</td><td>7</td><td>7</td><td>7</td></tr><tr><td>i</td><td>31</td><td>32</td><td>33</td><td>34</td><td>35</td><td>36</td><td>37</td><td>38</td><td>39</td><td>40</td><td>41</td><td>42</td><td>43</td><td colspan="2">......</td></tr><tr><td>di</td><td>7</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>5</td><td>5</td><td>5</td><td colspan="2">......</td></tr></table>
+
+$d_{i}$
+
+(2)
+
+$$
+C = \frac {E (L)}{E (T)},
+$$
+
+$$
+C = 5. 3 4 4,
+$$
+
+(2)
+
+(2)
+
+$$
+\tau_ {1} = 2 4 2
+$$
+
+$$
+7 2 \quad 1 1 4 \quad 1 4 6
+$$
+
+172 194 214 232 242
+
+，
+
+6
+
+1.
+
+1)
+
+$$
+X \quad N \left(5 7 0, 1 8 5. 9 ^ {2}\right),
+$$
+
+：
+
+$$
+X _ {i} (i = 1, 2, \dots , 1 0 0 0) \quad (\quad : 1 0 0 0 \quad)
+$$
+
+2)
+
+T0
+
+T1,
+
+X
+
+Li
+
+$$
+L _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} k + \frac {\tau_ {1}}{\tau_ {0}} t & [ X _ {i} ] > \tau_ {1} \quad ([ X _ {i} ]) \\ d + \frac {\tau_ {1}}{\tau_ {0}} \cdot t & [ X _ {i} ] = \tau_ {1} \\ d + \left[ \frac {X _ {i}}{\tau_ {0}} \right] t + (\tau_ {0} - [ X _ {i} ] \% \tau_ {0}) f & [ X _ {i} ] <   \tau_ {1} \quad (\%) \end{array} \right.
+$$
+
+3)
+
+C
+
+$$
+C = \begin{array}{c} 1 0 0 0 \\ \frac {L _ {i}}{1 0 0 0} \\ T _ {i} \\ i = 1 \end{array}
+$$
+
+$$
+T _ {i} = \left\{\left( \begin{array}{l} \boldsymbol {\tau} _ {1} \\ \left[ \frac {\boldsymbol {X} _ {i}}{\boldsymbol {\tau} _ {0}} \right] + 1 \end{array} \right) \boldsymbol {\tau} _ {0} \right.
+$$
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} X _ {i} \end{array} \right] \quad \tau_ {1}
+$$
+
+4)
+
+$$
+\tau_ {0}, \tau_ {1}
+$$
+
+T0
+
+$$
+(0, 2 0 0), \tau_ {i}
+$$
+
+$$
+(0, 1 0 0 0)
+$$
+
+$$
+C
+$$
+
+$$
+\tau_ {0} = 1 8,
+$$
+
+$$
+, \tau_ {1} = 3 7 8,
+$$
+
+$$
+4. 1 6 \quad .
+$$
+
+1
+
+，
+
+<table><tr><td></td><td>τ0</td><td>τ1</td><td>C</td></tr><tr><td>I</td><td>18</td><td>342</td><td>4.75</td></tr><tr><td></td><td>18</td><td>378</td><td>4.16</td></tr></table>
+
+I
+
+I
+
+2
+
+$$
+X \quad N (5 7 0, 1 8 5. 8 6 ^ {2})
+$$
+
+）  $q(q$
+
+$$
+P (P
+$$
+
+）
+
+$$
+P - C q - C
+$$
+
+：
+
+<table><tr><td>P</td><td>0 01</td><td>0 012</td><td>0 014</td><td>0 016</td><td>0 018</td><td>0 02</td><td>0 022</td><td>0 024</td><td>0 026</td><td>0 028</td><td>0 03</td><td>0 035</td></tr><tr><td>T0</td><td>13</td><td>13</td><td>12</td><td>12</td><td>12</td><td>11</td><td>11</td><td>11</td><td>10</td><td>10</td><td>9</td><td>7</td></tr><tr><td>m</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>T1</td><td>286</td><td>286</td><td>264</td><td>264</td><td>264</td><td>242</td><td>242</td><td>242</td><td>220</td><td>220</td><td>198</td><td>154</td></tr><tr><td>C</td><td>6 3</td><td>6 5</td><td>6 7</td><td>6 88</td><td>7.05</td><td>7.22</td><td>7.37</td><td>7.52</td><td>7.64</td><td>7.76</td><td>7.85</td><td>7.93</td></tr></table>
+
+<table><tr><td>q</td><td>0 1</td><td>0 2</td><td>0 3</td><td>0 4</td><td>0 5</td><td>0 6</td><td>0 7</td><td>0 8</td><td>0 9</td></tr><tr><td>T0</td><td>12</td><td>12</td><td>12</td><td>11</td><td>11</td><td>11</td><td>11</td><td>11</td><td>11</td></tr><tr><td>m</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>T1</td><td>264</td><td>264</td><td>242</td><td>242</td><td>242</td><td>242</td><td>242</td><td>242</td><td>242</td></tr><tr><td>C</td><td>7.06</td><td>7.14</td><td>7.18</td><td>7.21</td><td>7.22</td><td>7.22</td><td>7.22</td><td>7.21</td><td>7.20</td></tr></table>
+
+$$
+P - C q - C
+$$
+
+$$
+, P q
+$$
+
+$$
+, P \quad C
+$$
+
+$$
+C
+$$
+
+$$
+0. 4
+$$
+
+$$
+C \quad . \quad P - C
+$$
+
+P
+
+$$
+q \quad . \quad q - C \quad , \quad q
+$$
+
+$$
+, C \quad P
+$$
+
+$$
+q
+$$
+
+P
+
+$P$  ， C
+
+![](images/d9f6d15a2283f3ba6a39475097a86535de2241aa5e2f272ccb74dbe7bf29338e.jpg)  
+p-c图
+
+![](images/fff7fc2e8269ae9cea3b78e73eac813cef3909c3fa87361b92cfdba04c6e58aa.jpg)  
+q-c图
+
+(1500 / ),
+
+C
+
+3
+
+<table><tr><td>μ</td><td>570</td><td>570</td><td>580</td><td>590</td><td>600</td><td>600</td></tr><tr><td>σ</td><td>185.86</td><td>195.64</td><td>185.86</td><td>185.86</td><td>185.86</td><td>195.64</td></tr><tr><td>C</td><td>4.75</td><td>4.9</td><td>4.63</td><td>4.51</td><td>4.4</td><td>4.55</td></tr><tr><td>Δ</td><td>0</td><td>3.2%</td><td>2.5%</td><td>5%</td><td>7.4%</td><td>4.2%</td></tr></table>
+
+$\Delta$
+
+$$
+\mu \quad \left| \frac {C - C _ {0}}{C _ {0}} \right| \times 100 \% (C _ {0} \quad 4.75)
+$$
+
+7
+
+1.  
+2  
+3
+
+[1]  
+[2]  
+[3]
+
+# The Management of An Automatic Lathe
+
+SH IM ing, L N Chao-you, FANG B in
+
+(The Naval University of Engineering, Wuhan 430033)
+
+Abstract The management of an automatic lathe is discussed. The detemination of exam in ing interval and change tactics of cutting-tool leads to the analysis of an optimization problem of expectation loss of a single part An effective computation is given. Three examples results have been obtained

MCM_CN/1999/A题/自动化车床管理/自动化车床管理.md

@@ -0,0 +1,275 @@
+By using the algorithm mentioned above, the function has been solved fairly and the optimum solution has been got. In this paper two study cases are described. For case 1, the intervals of replacing and checking are 369 and 18 respectively, the loss of unit qualified part is 4.615 Yuan and it will be down to 4.405 Yuan if the unequal interval is adopted. For case 2, under complicated conditions, the intervals of replacing and checking are 306 and 28 respectively, the loss of unit qualified part is 9.268 Yuan and it will change to 9.047 Yuan when using unequal interval. These results provide a more advantage proof for the improved model using the unequal interval checking method
+
+1 （ ）
+
+2
+
+(1)
+
+(2)
+
+(3)
+
+(4) 1
+
+(5)
+
+(6)
+
+(7)  $X1X2$  ，  $X1X2$
+
+3
+
+n: n
+
+m: m
+
+T:  $T = n\cdot m$
+
+$\overline{T}$  （ ）
+
+$F$  ：  $F = 200 / \cdot$
+
+$J: \quad J = 10 /$
+
+D:  $D = 3000 / ()$
+
+$K$  ：  $K = 1000 / \cdot$
+
+M:  $M = 1500 /$
+
+$\overline{C} (n,m)$
+
+$\overline{S} (n,m)$
+
+X1:
+
+X2:
+
+X:
+
+4
+
+：
+
+1
+
+；
+
+[1]).
+
+2
+
+1
+
+m
+
+5
+
+1.
+
+MATLAB 100
+
+$H_{0} X_{1}$
+
+$$
+f \left(x _ {1}\right) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} e ^ {- \frac {(x - \mu) ^ {2}}{2 \sigma^ {2}}} - <   x <   +
+$$
+
+$$
+\hat {\mu} = 6 0 0, \hat {\sigma} = 1 9 6 6 2 9 2,
+$$
+
+X (0 1200) 12  $H_{0}$  X
+
+$$
+f \left(x _ {1}\right) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \times 1 9 6 6 2 9 2} e ^ {- \frac {\left(\tau - 6 0 0\right) ^ {2}}{2 \times 1 9 6 6 2 9 2 ^ {2}}}
+$$
+
+$P_{i}$
+
+$$
+\begin{array}{l} \begin{array}{l} 1 2 \\ i = 1 \end{array} \left(f _ {i} - n P _ {i}\right) ^ {2} / n P _ {i} = 4 0 9 \\ \lambda_ {0. 0 5} ^ {2} (1 2 - 2 - 1) = \lambda_ {0. 0 5} ^ {2} (9) = 1 6 9 1 9 > 4. 0 9 \\ \alpha = 0. 0 5 \tag {2} \\ \end{array}
+$$
+
+X2
+
+$$
+F \left(X _ {2}\right) = \begin{array}{l} x _ {2} \\ k = 1 \end{array} p (1 - p) ^ {k - 1}, \quad (0 <   p <   1), E \left(X _ {2}\right) = \frac {1}{p}
+$$
+
+$$
+95\% ,\quad 5\% ,
+$$
+
+$$
+\frac {E \left(x _ {2}\right)}{E \left(x _ {1}\right)} = \frac {1}{\mu p} = \frac {95 \%}{5 \%} = 19
+$$
+
+$$
+p = 0 0 0 0 8 7 7 1 9
+$$
+
+$$
+X = \mathbf {M} \mathbf {N} \left(X _ {1}, X _ {2}\right), X
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} F _ {x} (x) = 1 - \left(1 - F _ {x _ {1}} (x)\right) \left(1 - F _ {x _ {2}} (x)\right) \\ = 1 - \left(1 - \Phi \left(\frac {x - \mu}{\sigma}\right)\right) \left(1 - p (1 - p) ^ {k - 1}\right) \\ = 1 - \left(1 - \Phi \left(\frac {x - \mu}{\sigma}\right)\right) (1 - p) ^ {x} \tag {2} \\ \end{array}
+$$
+
+2. 1:
+
+$$
+n \quad 1, \quad m \quad , \quad m
+$$
+
+$$
+C _ {1} = (J \cdot m + K) \times P \{X > n \cdot m \}
+$$
+
+$$
+k \quad , \quad (k - 1) n + i \quad (\quad).
+$$
+
+$$
+i (\text {出 现 故 障}) \tag {0}
+$$
+
+$C_2$
+
+$$
+\begin{array}{l} C _ {2} = \int_ {k = 1} ^ {m} \left[ J \cdot k + D + F \cdot \frac {i - 1}{P \{(k - 1) n <   X k n \}} \right] \cdot P \{(k - 1) n <   X k n \} \\ T \qquad , \qquad \qquad n, m \qquad , \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \overline {{T}} = E (n, m) = \begin{array}{l} n m \\ 0 \end{array} t \mathrm {d} F (t) + \begin{array}{l} n m f (t) \mathrm {d} t \end{array} \\ = m n F (n m) - \begin{array}{l} ^ {m} \\ 0 \end{array} F (t) d t + n m 1 - F (n m) \\ = \begin{array}{c} n m \\ 0 \end{array} 1 - F (t) d t \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\bar {S} (n, m) = \frac {\bar {C} (n , m)}{\bar {T}} = \frac {C _ {1} + C _ {2}}{\bar {T}} \tag {3}
+$$
+
+3 2:
+
+（ ）：
+
+![](images/c7421e99299ad1f6eb554705b39c444a438f6442a38528062d05826546d6cc3b.jpg)
+
+(1)  $kn + i$  ，  $P\{X = kn + i\} .$
+
+$$
+(k n + i) \quad , \quad t
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} (k + 1) n \quad t n \quad t - k - 1 \quad , \quad 0. 6 \times \\ 0. 4 ^ {t - k - 1}. \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\quad , \quad k n + i \quad . \quad (k n + i - 1) \times
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} 0. 0 2 \quad , \quad (k n + i - 1) \times 0. 0 2 \times F \quad . \quad k \quad k \times 0. 0 2 \\ k \times 0. 0 2 \times M \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+k n + i \quad t n \quad ,
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \left(t n - k n - i + 1\right) \times 0. 6, \quad \left(t n - k n - i + 1\right) \times 0. 6 \times F, \quad t \\ \begin{array}{c c} J \cdot & t \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+t, \quad S _ {k, i, t}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} S _ {k, i, t} = \left\{J \bullet t + D + (m - k n - i + 1) \times 0. 6 + (k n + i - 1) \times 0. 0 2 \right. \\ \times F + 0. 0 2 M k \} \times \frac {0 . 6 \times 0 . 4 ^ {t - k - 1}}{t n} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} t = k + 1, k + 2, \dots , m \\ , \quad , \quad , \quad 0. 4 ^ {m - k}. \\ : \quad J m \quad K \quad (m n - k n - i) \times 0. 6 + \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+(k n + i + 1) \times 0. 0 2 \cdot F \quad 0. 0 2 M k.
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} S _ {k, i, m} = \left\{J ^ {\bullet} m + D + (m n - k n - i) \times 0. 6 + (k n + i + 1) \times 0. 0 2 \right. \\ \times F + 0. 0 2 M k \} \times \frac {0 . 4 ^ {m - k}}{m n} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} S _ {k, i, m} = \left\{J ^ {\bullet} m + D + (m n - k n - i) \times 0. 6 + (k n + i + 1) \times 0. 0 2 \right. \\ \times F + 0. 0 2 M k \} \times \frac {0 . 4 ^ {m - k}}{m n} \\ \quad : \quad (1) \\ S _ {1} = \begin{array}{l} m \\ t = k + 1 \end{array} S _ {k, i, t} \quad k = 0, 1, 2, \dots , m - 1; i = 1, 2, \dots , n \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+m, \quad P \{X \quad n m + 1 \}, \tag {2}
+$$
+
+$$
+S _ {2} = (J \cdot m + K + 0. 0 2 F \cdot n \cdot m + 0. 0 2 M \cdot m) / (m \cdot n)
+$$
+
+(1) (2)
+
+$$
+\overline {{S _ {n , m}}} = \sum_ {k = 0} ^ {m - 1} \sum_ {i = 1} ^ {n} S _ {1} \bullet P \left\{X = k n + i \right\} + S _ {2} \bullet P \left\{X \quad n m + 1 \right\}
+$$
+
+6
+
+600
+
+1, C
+
+X1
+
+T m·n
+
+600 ， 200 900 n m ， 1  
+100) 10 m (2030),n (10  
+20) 1,  $n = 18,m = 20,\overline{S_{n\cdot m}} = 4.62$
+
+( ).
+
+2,  
+T  
+n·m
+
+$$
+n = 4 8, m = 6, \bar {S _ {n}}. m = 1 1. 1 6
+$$
+
+7
+
+2,
+
+2
+
+2
+
+2
+
+[1]  
+[2]  
+[3]
+
+<table><tr><td>m
+n</td><td>10</td><td>20</td><td>30</td><td>40</td><td>50</td><td>60</td><td>70</td><td>80</td><td>90</td></tr><tr><td>10</td><td>11.14</td><td>6.33</td><td>5.04</td><td>4.83</td><td>5.20</td><td>5.87</td><td>6.60</td><td>7.19</td><td>7.56</td></tr><tr><td>20</td><td>5.63</td><td>4.71</td><td>6.31</td><td>8.12</td><td>8.87</td><td>8.98</td><td>8.99</td><td>8.99</td><td>8.99</td></tr><tr><td>30</td><td>4.77</td><td>7.07</td><td>10.02</td><td>10.48</td><td>10.49</td><td>10.49</td><td>10.49</td><td>10.48</td><td>10.48</td></tr><tr><td>40</td><td>5.20</td><td>10.72</td><td>12.06</td><td>12.07</td><td>12.07</td><td>12.07</td><td>12.06</td><td>12.06</td><td>12.06</td></tr><tr><td>50</td><td>6.88</td><td>13.45</td><td>13.68</td><td>13.68</td><td>13.68</td><td>13.68</td><td>13.68</td><td>13.67</td><td>13.67</td></tr><tr><td>60</td><td>9.60</td><td>15.30</td><td>15.31</td><td>15.31</td><td>15.31</td><td>15.30</td><td>15.30</td><td>15.30</td><td>15.29</td></tr><tr><td>70</td><td>12.90</td><td>16.96</td><td>16.96</td><td>16.99</td><td>16.94</td><td>16.94</td><td>16.94</td><td>16.93</td><td>16.94</td></tr><tr><td>80</td><td>15.22</td><td>18.60</td><td>18.60</td><td>18.59</td><td>18.59</td><td>18.58</td><td>18.58</td><td>18.57</td><td>18.57</td></tr><tr><td>90</td><td>19.11</td><td>20.25</td><td>20.25</td><td>20.89</td><td>20.23</td><td>20.23</td><td>20.22</td><td>20.21</td><td>20.21</td></tr><tr><td>100</td><td>21.47</td><td>21.90</td><td>21.90</td><td>21.89</td><td>21.88</td><td>21.87</td><td>21.87</td><td>21.86</td><td>21.85</td></tr></table>
+
+# The Management of Automatic Lathe
+
+YU Jie, JIANG A im in, L IRong-bing
+
+(Nanjing University of Aeronautics and A stronautics, Nanjing 210016)
+
+Abstract Optimal maintenance policy problem in a system is discussed and analysed in this paper. Due to the random variable concerned, one objective mathematical model of expectation value is developed By using enumerative search method, we obtain optimal policy. The process is checked once every producing 18 parts When the process is checked 20 times, the knife has to be changed According to this policy, the average minimal cost for producing a part is  $4.62\text{¥}$ .
+
+Finally, we point out some factors not to be considered in the model, and analyse the influence of these factors. Moreover, some modification is proposed
+
+1 （）  
+2 1. 100 2. 2.

MCM_CN/1999/A题/自动化车床管理建模分析/自动化车床管理建模分析.md

@@ -0,0 +1,228 @@
+(A ).
+
+1999
+
+A
+
+1
+
+1.
+
+100
+
+1)
+
+k.
+
+2)
+
+$t,$
+
+3)
+
+，
+
+4)
+
+5)
+
+6)
+
+L.
+
+2.
+
+$L_{2}$
+
+L3
+
+3.
+
+：
+
+$$
+L _ {1} = \frac {k}{u}, L _ {2} = \frac {t}{n}, L _ {3} = (m + h) f + d / c
+$$
+
+m
+
+, n
+
+$u, n$
+
+$$
+L = \frac {k}{u} + \frac {t}{n} + \frac {m f}{c} + \frac {d}{c} \tag {1}
+$$
+
+m, c 3),
+
+$$
+\begin{array}{l} (1 - p) ^ {n - i} \cdot p / 1 - (1 - p) ^ {n}, i = 1, \dots \dots n, \\ m = \int_ {i = 1} ^ {n} i (1 - p) ^ {n - i} p / 1 - (1 - p) ^ {n} \tag {2} \\ m = \frac {n + 1}{2} + \frac {n ^ {2} - 1}{1 2} p + O \left(p ^ {2}\right) \doteq \frac {n + 1}{2} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} p = \frac {1}{c}, \quad O (p) (1) \\ L = \frac {k}{u} + \frac {t}{n} + \frac {(n + 1) f}{2 c} + \frac {d}{c} (3) \\ \end{array}
+$$
+
+c 100
+
+600  $95\%$
+
+5%,
+
+$$
+b = a \cdot \frac {9 5}{5} =
+$$
+
+11400
+
+100  $F(x)$
+
+$$
+a _ {u} = \frac {1}{F (u)} \left(\int_ {c = 1} ^ {u - 1} i \cdot \left(F (i) - F (i - 1) + u (1 - F (u))\right) \right. \tag {4}
+$$
+
+$F(x)$ $f(x)$
+
+$$
+a _ {u} = \frac {1}{F (u)} \left( \begin{array}{c} u \\ o \end{array} t f (t) \mathrm {d} t + u (1 - F (u))\right)
+$$
+
+$$
+c \quad a _ {u} \quad b \quad , \quad 1 / c = 1 / a _ {u} + 1 / b,
+$$
+
+$$
+c = \frac {1}{1 / a _ {u} + 1 / b} \tag {5}
+$$
+
+$c$  （20  $u$
+
+4. (3)
+
+(3)
+
+$$
+n = \sqrt {\frac {2 c t}{f}} \tag {6}
+$$
+
+$L$  50,  $u = 100,150,200,\ldots$  L
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c c} n & , & & L & & & u & n & & . & & & \\ & & , & & & & , & & & , & & & & \cdot \\ & , & & & & , & & n = 1 & & & & & u & u _ {1}, \\ & n & & & n _ {1}, & (u _ {1}, n _ {1}) & & , \end{array}
+$$
+
+5.
+
+$$
+\begin{array}{l} \frac {n + 1}{2} + W \cdot n \left[ \int_ {j = 1} ^ {s} \binom {j} {i = 1} W ^ {i - 1} (1 - W) \frac {(1 - p) ^ {(j - 1) n} - (1 - p) ^ {(j n)}}{1 - (1 - p) ^ {u}} \right] \\ \div \frac {n + 1}{2} + n \frac {W}{1 - W} \tag {7} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} W = 40\% \quad , p \quad , u = \text{sn}. \\ L = \frac {k}{u} + \frac {1}{n} t + (1 - p) ^ {n} v e + \frac {f}{c} \left(\frac {n + 1}{2} + n \frac {W}{1 - W}\right) + \frac {d}{c} \tag {8} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+v = 2 \% \quad , e = 1500
+$$
+
+6.
+
+2
+
+1.  
+1)  
+2)  
+3)  $F(x)$  F(x)
+
+$$
+f (x)).
+$$
+
+4)  $n,$  （20  $u = \textit{sn}$  
+2.  
+1)  $u$  ，  $c_{1} = (s - 1)t + k$  
+2)  $u$
+
+$$
+\begin{array}{l} c _ {2} = \int_ {i = 1} ^ {s - 1} \left(i t + d + f \cdot \frac {n + 1}{2}\right) \frac {F (i n) - F ((i - 1) n)}{F (u)} \\ + \left(s - 1\right) t + k + f \frac {n + 1}{2} \left. \right] \frac {F (u) - F ((s - 1) n)}{F (u)} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} c _ {a} = c _ {1} (1 - F (u)) + c _ {2} F (u) \doteq \left(d + f \frac {n + 1}{2}\right) F (u) \\ + k (1 - F (u)) + \frac {t}{n} \left(u - \int_ {0} ^ {u} F (x) d x\right) \tag {9} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+T _ {a} = \int_ {o} ^ {u} x f (x) d x + u (1 - F (u)) = u - \int_ {o} ^ {u} F (x) d x \tag {10}
+$$
+
+$$
+L = \frac {C _ {a}}{T _ {a}} \tag {11}
+$$
+
+3.  $q = 1 / 11400$
+
+$C_{o} = \sum_{j = 1}^{u - 1}\left(\frac{j}{n}\right)t + d + f\frac{n + 1}{2}$  (1-  $q)^{j - 1}q + \left(s - 1\right)t + k\left(1 - q\right)^{u - 1}$  (12)
+
+$$
+T _ {o} = \int_ {j = 1} ^ {u - 1} j (1 - q) ^ {j - 1} q + u (1 - q) ^ {u - 1} = \frac {1 - (1 - q) ^ {u}}{q} \tag {13}
+$$
+
+$C_{a},$  2.
+
+$$
+C = C _ {o} 1 - (1 - q) ^ {u} + C _ {a} (1 - q) ^ {u}
+$$
+
+$$
+T = T _ {o} 1 - (1 - q) ^ {u} + T _ {a} (1 - q) ^ {u} \tag {14}
+$$
+
+$$
+L = \frac {C}{T} \tag {15}
+$$
+
+$(u,n)$
+
+$F(x)$
+
+1
+
+4.  $F(x)$  （20 1
+
+） 2.
+
+1)  $x_{1}$ $(\mathrm{~~\xi~}),x_{2}$  ，  $Y = \mathrm{m}$  in  $(x_{1},x_{2})$
+
+$G(x),\quad G(x)$ $F(x).$
+
+2)  $x_{1},\qquad 0.95,\quad Y = 0.95x_{1},$
+
+$$
+G (x) \qquad F (x).
+$$
+
+3)  $G(x) = 0.95F(x) + 0.05H(x),$  （20  $H(x)$
+
+$F(x)$
+
+,1)
+
+,2) 3)
+
+5.
+
+[1]  
+[2]
+
+,1979( ).
+
+,1988.
+
+# Some Analysis on Maintenance Strategies of the Automatic Lathe
+
+SUN Shan-ze
+
+(Peking University, Beijing 100871)
+
+Abstract This paper analysed the problem A of CMCM in 1999. Two kinds of answers and some cases in the submitted papers from provinces are presented

MCM_CN/1999/A题/自动化车床管理的数学模型/自动化车床管理的数学模型.md

@@ -0,0 +1,210 @@
+![](images/352206a1ea266f42d5b7805140fb0739bab892ded6116d465f8dc96c780045b8.jpg)
+
+1
+
+1.  $N(\mu, \sigma^2)$ ,  $\mu = 600.0$ ,  $\sigma = 195.644$
+
+$$
+\sigma = 1 9 6. 6 3, \quad , \quad \text {g} (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi} \sigma} \exp
+$$
+
+$$
+\left(- \frac {x - \mu^ {2}}{2 \sigma^ {2}}\right).
+$$
+
+2.  $s$  （20 ． u
+
+3.  $f = 200 / \text{,}$  （20  $t = 10 / \text{，}$  （20  $d =$
+
+$$
+3 0 0 0 / a = 1 5 0 0 / k = 1 0 0 0 /
+$$
+
+$$
+n = \left[ \frac {u - 1}{s} \right].
+$$
+
+2
+
+$$
+E (F) \quad , E (N)
+$$
+
+$$
+\mathrm {m} \operatorname {i n} F (s, u) = \frac {E (F)}{E (N)}
+$$
+
+$$
+E \left(F\right) = \underset {m} {\overset {} {F}} _ {M} ^ {(m)} P ^ {(m)},
+$$
+
+$$
+E \left(N\right) = \underset {m} {N} ^ {(m)} P ^ {(m)}.
+$$
+
+$,M$
+
+$E(F)$ $E(N)$
+
+n ；  $i = n + 2$  （20
+
+）.
+
+$j$
+
+（  $j - 1$
+
+）  $(1\quad j\quad n + 1)$
+
+$$
+(j = n + 1 \quad n).
+$$
+
+( ) 1  $i$  n: (1) 1  $j$ $i-1$ ; (2)  $i$ $j$ $n$ ; (3)  $j=n+1$  
+( )  $i = n + 1$ ; (1)  $1 \quad j \quad n$ ; (2)  $j = n + 1$ ;  
+（）  $i = n + 2$  ：(1)  $1j\quad n;$  (2)  $j = n + 1;$
+
+# $E(F)$ $E(N)$
+
+（）1  $i\quad n,$ $\begin{array}{l}\left[(i - 1)s,is\right)\qquad s\qquad :\\ \left[(i - 1)s + r,(i - 1)s + r + 1\right](r = 0,1,\dots,s - 1)\end{array}$  
+(1)  $1 \quad j \quad i - 1$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c} & : & j - 1 & & , & 0. 9 8 ^ {j - 1}, & j \\ 0. 0 2, & , & & & : P = & \frac {(i - 1) s + r + 1}{(i - 1) s + r} g (x)   \mathrm {d} x \bullet 0. 9 8 ^ {j - 1} \bullet 0. 0 2 \\ & : j & & , j - 1 & & , 1 & & j (s - 1) \\ & 0. 9 8 & j (s - 1) & & , & & 0. 9 8 j (s - 1). \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} N = j (s - 1) 0. 9 8 + j - 1. \\ \begin{array}{c c c c c} & \vdots & & \\ 9 8 \%. & & , & & \\ 9 8 \%, & & (\quad) & & \\ : \quad j & , & j t; & j s & , \\ & j s - N, & f (j s - N); & , & \\ a, \quad : F = j t + f (j s - N) + a. \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ \end{array}
+$$
+
+(2)  $i j n$
+
+$$
+P = \begin{array}{l} (i - 1) s + r + 1 \\ (i - 1) s + r \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {i - 1} \cdot 0. 4 ^ {j - i} \cdot 0. 6
+$$
+
+$$
+N = 0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) + 0. 4 (j - i + 1) (s - 1) - r) + j - 1
+$$
+
+$$
+F = j t + f (j s - N) + d
+$$
+
+(3)  $j = n + 1$
+
+$$
+P = \begin{array}{l} (i - 1) s + r + 1 \\ (i - 1) s + r \end{array} g (x) d x \cdot 0.98 ^ {i - 1} \cdot 0 4 ^ {n - i + i}
+$$
+
+$$
+N = 0. 9 8 \left(\left(i - 1\right) (s - 1) + r\right) + 0. 4 (u - (i - 1) s - r - (n - i + 1)) + n
+$$
+
+$$
+F = n t + f (u - N) + d
+$$
+
+（）  $i = n + 1$  ，  $[ns,u)$  （20  $u - ns$
+
+$$
+[ h, h + 1), (h = n s, n s + 1, \dots , u - 1)
+$$
+
+(1)  $1 \quad j \quad n$
+
+$$
+P = \begin{array}{c} h + 1 \\ h \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2
+$$
+
+$$
+N = 0. 9 8 j (s - 1) + j - 1
+$$
+
+$$
+F = j \cdot t + f \cdot (j \cdot s - N) + a
+$$
+
+(2)  $j = n + 1$
+
+$$
+P = \begin{array}{c} h + 1 \\ h \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {n}
+$$
+
+$$
+N = 0. 9 8 (h - n) + 0. 4 (u - h) + n
+$$
+
+$$
+F = n ^ {\bullet} t + f ^ {\bullet} (u - N) + d
+$$
+
+（ ）  $i = n + 2$
+
+(1) 1  $j$  n
+
+$$
+P = \begin{array}{c} + \\ u \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2
+$$
+
+$$
+N = 0. 9 8 j (s - 1) + j - 1
+$$
+
+$$
+F = j t + f (j s - N) + a
+$$
+
+(2)  $j = n + 1$
+
+$$
+P = \begin{array}{c} + \\ u \end{array} g (x) d x \cdot 0. 9 8 ^ {n}
+$$
+
+$$
+N = 0. 9 8 (u - n) + n
+$$
+
+$$
+F = n t + f (u - N) + k
+$$
+
+：
+
+$$
+\begin{array}{l} E (N) = \int_ {i = 1} ^ {n} \left\{\int_ {r = 0} ^ {s - 1} \int_ {(i - 1) s + r} ^ {(i - 1) s + r + 1} g (x) d x \cdot \left[ \int_ {j = 1} ^ {i - 1} 0. 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 \cdot (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1) \right. \right. \\ + \underset {j = i} {\overset {n} {0}} 9 8 ^ {i - 1} \cdot 0. 4 ^ {j - i} \cdot 0. 6 \cdot (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) \\ + 0. 4 ((j - i + 1) (s - 1) - r) + j - 1) \\ + 0. 9 8 ^ {i - 1} \cdot 0. 4 ^ {n - i + 1} \cdot (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) \\ + 0. 4 (u - (r - 1) s - r - (n - i + 1)) + n ] \} \\ + \underset {h = n s} {\overset {u - 1} {h}} g (x) d x \left[ \underset {j = 1} {\overset {n} {0}} 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 \cdot ((0. 9 8 j (s - 1) + j - 1) \right. \\ \left. + 0. 9 8 ^ {n} \left(0. 9 8 (h - n) + 0. 4 (u - h) + n\right) \right] \\ + \underset {u} {\overset {+} {}} g (x) d x \left[ \begin{array}{l} n \\ j = 1 \end{array} \right. 0 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0 0 2 \cdot (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1) \\ \left. + 0. 9 8 ^ {n} \left(0. 9 8 (u - n) + n\right) \right] \\ \end{array}
+$$
+
+n
+
+$$
+\begin{array}{l} E (F) = \underset {i = 1} {\overset {n} {\left\{ \begin{array}{l l} & s - 1 \\ & r = 0 \end{array} \right.}} \underset {(i - 1) s + r} {(i - 1) s + r + 1} g (x) d x \cdot \underset {j = 1} {\overset {i - 1} {\left[ \begin{array}{l l} & 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 0 2 \cdot (j t + a \end{array} \right.}} \\ + f (j s - (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1))) \\ + \quad_ {j = i} 0. 9 8 ^ {j - 1} \cdot 0. 4 ^ {j - 1} \cdot 0. 6 (j t + d + f (j s - (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r) \\ + 0. 4 \left(\left(j - 1 + 1\right) (s - 1) - r\right) + j - 1)) \\ + 0. 9 8 ^ {i - 1} 0 4 ^ {n - i + 1} (n t + d + f (u - (0. 9 8 ((i - 1) (s - 1) + r)) \\ \left. \left. + 0. 4 (u - (s - 1) - r - (n - i + 1)) + n)\right) \right] \rbrace \\ u - 1 \quad h + 1 \quad n \\ + \underset {h = n s} {\mathrm {g}} (x) \mathrm {d} x [ \underset {j = 1} {\mathrm {0}} 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 (j t + a + f (j s - (0. 9 8 j (s - 1) + j - 1)) \\ \left. + 0. 9 8 ^ {n} (n t + d + f (u - (0. 9 8 (h - n) + 0. 4 (u - h) + n)) ] \right. \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} + \quad_ {u} ^ {+} g (x) d x [ \begin{array}{l} n \\ j = 1 \end{array} 0 9 8 ^ {j - 1} 0 0 2 (j t + a + f (j s - (0. 9 8 (j (s - 1) + j - 1)) \\ + 0. 9 8 ^ {n} (n t + k + f (u - (0. 9 8 (u - n) + n))) ] \\ \end{array}
+$$
+
+3
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} s & 1 & 1 0 0, u & 1 0 0 & 6 0 0 & , & F (s, u) & , \\ : s = 5 4, u = 3 0 4, & & & 9. 3 7 6 8 1, & u & s & , & : s = 5 1, \\ u = 3 0 6, & & 9. 4 0 0 4 4 \end{array}
+$$
+
+4
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} & , & 1 & : \\ , & [ 0, 2 2 8 0 0 ] & . & & : \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \text {m i n} F (s, u) = \frac {E (F)}{E (N)} \\ & , E (F) & E (N) \\ & & , & , & \\ & , & & , & \\ & 9. 5 7 3 5 4 & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\ & & & , & \\
+$$
+
+# Mathematical Model of Automatic Managing of Lathe
+
+YANG Zhen-hua, Q IU Zhong-hua
+
+(Nanjing University of Posts & Telecommunications, Nanjing 210003)
+
+Abstract In this paper, we establish the mathematical model of problem A of 1999 Chinese Undergraduate Mathematical Contest in Modeling——automatic managing of lathe. Then we give the solution of this model
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {,} \\ \text {(}, \quad 2 1 0 0 9 6) \\ \text {:} \\ \text {,} \quad \mathrm {C M C M - 9 9 A} \\ \text {,} \quad \mathrm {p} _ {1} (\quad), \quad \mathrm {p} _ {2} (\quad), \mathrm {k}, \mathrm {f}, \mathrm {d} \\ \text {()} \end{array} ,
+$$

MCM_CN/1999/A题/车床管理优化模型/车床管理优化模型.md

@@ -0,0 +1,202 @@
+# The Management of Automatic Lathe
+
+YU Jie, JIANG A im in, L IRong-bing
+
+(Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016)
+
+Abstract Optimal maintenance policy problem in a system is discussed and analysed in this paper. Due to the random variable concerned, one objective mathematical model of expectation value is developed By using enumerative search method, we obtain optimal policy. The process is checked once every producing 18 parts When the process is checked 20 times, the knife has to be changed According to this policy, the average minimal cost for producing a part is  $4.62\text{¥}$ .
+
+Finally, we point out some factors not to be considered in the model, and analyse the influence of these factors. Moreover, some modification is proposed
+
+1 （）  
+2 1. 100 2. 2.
+
+（ ）；
+
+3. ；  
+4.  
+5. 1
+
+# 3
+
+$f$ $,f = 200 / \text{；}$ $t$ $,t = 10 / \text{；}$ $d$ $,d = 3000 / \text{；}$ $k$ $,k = 1000 / \text{；}$ $L$ $;$ $n$  （ ）；  
+ $\overline{u}$  （ ）；  
+ $\overline{u}^*$  （ ；  
+ $\overline{u}$  （ ；  
+ $\overline{u}$  （ ；  
+ $\overline{u}^*$  （ ；  
+l ， ；  
+ $p$  （ ；  
+ $p^{1}$
+
+# 4
+
+# 5
+
+100  $N$  (600, 195.6²).
+
+# 5.1 1
+
+$L$  ：  
+ $\mathrm{I} =$  ；  
+ $\mathrm{II} =$  ；  
+ $\mathrm{III} =$  ；  
+ $\mathrm{IV} =$
+
+n ， t/n，：
+
+$$
+\begin{array}{l} I = t / n \\ \overline {{u}} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\mathrm {I I} = d / \overline {{u}}
+$$
+
+III,
+
+$l$  （20 1  $l\cdot f,$
+
+$$
+l \cdot f / \overline {{u}}:
+$$
+
+$$
+\langle
+$$
+
+$$
+\Pi = l \cdot f / \overline {{u}}
+$$
+
+IV,
+
+n
+
+(1)  
+(2)  
+(3)
+
+(n-1) 0 x x ... x x x
+
+(n)
+
+$$
+; 2 ^ {\prime \prime} x ^ {\prime \prime} \quad .
+$$
+
+$$
+1 ^ {\prime \prime} 0 ^ {\prime \prime}
+$$
+
+(1)
+
+(2)
+
+$$
+\frac {1 + 2 + \dots + n}{n} = \frac {n + 1}{2}
+$$
+
+$\frac{n + 1}{2} f,$ $\frac{u + 1}{2}\cdot \frac{f}{u},$
+
+$$
+\mathrm {I V} = \frac {n + 1}{2} \cdot \frac {f}{u}
+$$
+
+$$
+L = \frac {t}{n} + \frac {d}{\bar {u}} + \frac {l \cdot f}{\bar {u}} + \frac {n + 1}{2} \cdot \frac {f}{\bar {u}} \tag {1}
+$$
+
+$$
+n, \quad n:
+$$
+
+$$
+L = - \frac {t}{n ^ {2}} - \frac {1}{2} \cdot \frac {f}{u}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} L = 0, \quad : \\ n = \sqrt {\frac {2 t \cdot \bar {u}}{f}} \tag {2} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+n = \sqrt {\frac {2 (l + \bar {u}) t}{f - d / \bar {u}}} \tag {3}
+$$
+
+$$
+l \quad , \quad l = 1
+$$
+
+(1)
+
+(1)  $p_{1} = 0.05;$  
+(2)
+
+$$
+L ^ {*} = \frac {k}{u} + \left[ \frac {t}{n} + \frac {d}{u ^ {*}} + \frac {l \cdot f}{u ^ {*}} + \frac {n + 1}{2} \cdot \frac {f}{u ^ {*}} \right] \tag {4}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \overline {{u}} ^ {*}, \\ \overline {{u ^ {*}}} = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad = \quad \\ 5 \% , \\ \begin{array}{c c} \overline {{u}} & : \\ \overline {{u}} & = \overline {{\overline {{u}}}} = \overline {{\overline {{u}}}} = \overline {{\overline {{u}}}} \times \overline {{\overline {{u}}}} = \overline {{u}} \cdot \frac {1}{p} \\ & \overline {{u}}, \overline {{u ^ {*}}, \overline {{u}}} \end{array} \\ \overline {{\mu}} = \frac {1}{\frac {1}{u ^ {*}} + \frac {1}{u}} \\ \end{array}
+$$
+
+1 :
+
+$$
+\mathrm {M} \text {i n}: L = \frac {k}{\bar {u}} + \left[ \frac {t}{n} + \frac {d}{\bar {u}} + \frac {l \cdot f}{\bar {u}} + \frac {n + l}{2} \cdot \frac {f}{\bar {u}} \right] \tag {5}
+$$
+
+$$
+L = 0 \quad :
+$$
+
+$$
+n = \sqrt {\frac {2 \cdot \bar {u} - \cdot t}{f}} \tag {6}
+$$
+
+$$
+n = \sqrt {\frac {2 (\bar {u} - + l) t}{f ^ {-} d / \bar {u}}} \tag {7}
+$$
+
+15( )，
+
+$$
+\bar {\mu} = 3 6 5 (\quad),
+$$
+
+：
+
+$$
+L = 4. 6 5 (\quad).
+$$
+
+5.2
+
+$$
+2 (）
+$$
+
+5.3
+
+$$
+3
+$$
+
+<table><tr><td colspan="101">n</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="100">m,</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>,</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="100">1.</td><td>2% ,</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td colspan="100"></td><td></td></tr></table>
+
+# The Optimum Model of Lathe Management
+
+ZHANG Jirwei, HAN Fang-hua, GU Li-long
+
+(Gansu University of Technology, Lanzou 730050)
+
+Abstract In the article, the optimum tactics of the regular check to working procedures and the replacement of cutting tools in the course of continuous component processing by automatic lathes has been discussed
+
+For question one, the optimum model of average management cost used for regular check and adjustment of component has been made out by applying the theory of management cost and method of probability statistics, the best designed interval of check and cutting tools replacement in the working procedure has been obtained
+
+For question two, based on question one, the objective functions has been established, and the optimum tactics of the best designed interval of check and the replacement of cutting tools has been obtained considering the average loss brought about by unqualified products at the interval of check and the average loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown
+
+The automatic checking and adjusting system the breakdown of working procedures has been designed by using automatic devices, and the algorithm flow chart has been given too. Thus the loss of machine stop for being misregarded as existing breakdown would be avoided, and the benefit of working procedure would be increased
+
+1 （ ）  
+2

MCM_CN/1999/B题/_钻井布局_问题评述/_钻井布局_问题评述.md

@@ -0,0 +1,540 @@
+ing method, graph theory method, sight method and operation-in-graph method. For the given numerical examples, the obtained solution to problem (1) is 4 and the available old drillings are  $P_{2}$ ,  $P_{4}, P_{5}, P_{10}$ ; the solution to problem (2) is 6 and the available old drillings are  $P_{1}, P_{6}, P_{7}, P_{8}, P_{9}$ ,  $P_{11}$ . Finally, for problem (3), this paper gives a sufficient and necessary condition for n old drillings being available
+
+1
+
+80
+
+66
+
+99
+
+1999
+
+450052)
+
+“
+
+2
+
+(1)
+
+$$
+[ x ] =
+$$
+
+$$
+x
+$$
+
+$$
+(x
+$$
+
+$$
+),
+$$
+
+$$
+r (x) = [ x + \frac {1}{2} ] (x
+$$
+
+$$
+).
+$$
+
+Ceiling)
+
+NT,
+
+ROUND()
+
+(floor).
+
+[x]
+
+$$
+\left\{x \right\} = x - [ x ], \quad f (x) = \left| x - r (x) \right|
+$$
+
+(2)
+
+$$
+\begin{array}{l} P \left(a, b\right) \quad X \left(x, y\right), \\ d (P, X) = \max  \left\{\left| x - a \right|, \left| y - b \right| \right\}, \\ \begin{array}{c c} \cdot & , \quad l _ {2} \\ \rho (P, X) = \sqrt {(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2}}, \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\text {＂ ＂} ( \begin{array}{c c c} & & \\ & & \end{array} ), \quad n \quad P _ {i}
+$$
+
+$$
+Q = [ 0, 1; 0, 1 ] = \{(x, y) | 0 x 1, 0 y 1 \}
+$$
+
+$\{x\}$
+
+Q ， , , Q, 1
+
+$$
+\overline {{P _ {i} (a _ {i} , b _ {i})}} \quad \overline {{P _ {j} (a _ {j} , b _ {j})}}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} d \left(\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}\right) = \max  \left\{\mathrm {m} \ln \left\{\left| \bar {a _ {i}} - \bar {a _ {j}} \right|, 1 - \left| \bar {a _ {i}} - \bar {a _ {j}} \right| \right\}, \mathrm {m} \ln \left\{\left| \bar {b _ {i}} - \bar {b _ {j}} \right|, 1 - \left| \bar {b _ {i}} - \bar {b _ {j}} \right| \right\} \right. \\ = \max  \left\{f \left(\left| \overline {{a _ {i}}} - \overline {{a _ {j}}} \right|\right), f \left(\left| \overline {{b _ {i}}} - \overline {{b _ {j}}} \right|\right) \right\}, \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\overline {{a _ {i}}} = \left\{a _ {i} \right\}, \overline {{b _ {i}}} = \left\{b _ {i} \right\}.
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \cdot , \quad \frac {Q}{(\overline {{P}} _ {i} , \overline {{P}} _ {j})} \\ \left| \begin{array}{l l} \overline {{a _ {i}}} - & \overline {{a _ {j}}} \\ \overline {{b _ {i}}} - & \overline {{b _ {j}}} \end{array} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left| \begin{array}{l l} \overline {{a _ {i}}} - & \overline {{a _ {j}}} \\ \overline {{b _ {i}}} - & \overline {{b _ {j}}} \end{array} \right| \quad 1 - 2 \epsilon , \\ 2 \epsilon \quad \left| \begin{array}{l l} \overline {{b _ {i}}} - & \overline {{b _ {j}}} \end{array} \right| \quad 1 - 2 \epsilon \end{array} \right.
+$$
+
+(3)
+
+A A
+
+$\left( {c\text{)}G}\right)$  (   )
+
+a) , (b) G
+
+), (d)
+
+（
+
+(a) (d) ，(c) 1 1 1 1 1 1  
+(i)  
+(ii)  
+(i),
+
+(ii), (5).
+
+3
+
+$$
+\begin{array}{c c} & \text {,} \\ a _ {i}, b _ {i} & 0 (i = 1, 2, \dots , n), \\ & O \end{array} \quad \begin{array}{c c} & P _ {i} \\ & (s, t), \end{array} \quad \begin{array}{c c} & O x y \\ & 0 \quad s <   1, 0 \quad t <   1. \end{array} \quad \begin{array}{c c} & \cdot \\ & N \\ & N \end{array} ,
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} & & & & Q & & . & N \\ (s + p, t + q), & p, q & Z (\quad Z & &). & 1) & , & \epsilon - \\ U _ {\epsilon} (P _ {i}) = & \{(x, y) | a _ {i} - \epsilon & x & a _ {i} + \epsilon , b _ {i} - \epsilon & y & b _ {i} + \epsilon \} \end{array}
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} a _ {i} - \epsilon s + x _ {i} a _ {i} + \epsilon \\ b _ {i} - \epsilon t + y _ {i} b _ {i} + \epsilon \\ 0 s, t <   1 \\ x _ {i}, y _ {i} Z \end{array} \right. \tag {3.1}
+$$
+
+$$
+, P _ {i} \quad . \quad (s, t), (3. 1)
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l l l l} a _ {i} - & \epsilon - & s & [ a _ {i} + & \epsilon - & s ] \\ b _ {i} - & \epsilon - & t & [ b _ {i} + & \epsilon - & t ]. \end{array} \right. \tag {3.2}
+$$
+
+$$
+P _ {i} \quad u _ {i} = 1, \quad u _ {i} = 0, \quad 1)
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \max  _ {i = 1} ^ {n} u _ {i} \\ \text {s t} (a _ {i} - \epsilon - s - [ a _ {i} + \epsilon - s ]) u _ {i} \quad 0, i = 1, \dots , n \\ \left(b _ {i} - \epsilon - t - [ b _ {i} + \epsilon - t ]\right) u _ {i} \quad 0, i = 1, \dots , n \\ 0 \quad s, t <   1 \\ u _ {i} \quad \{0, 1 \}, i = 1, \dots , n. \end{array} \right.
+$$
+
+2)
+
+$$
+\begin{array}{c c c c} \Phi \left(0 \quad \varphi_ {2} \frac {\pi}{2}\right) & , & P _ {i} \\ . & N & , \end{array} \qquad \qquad (a _ {i}, b _ {i}). \qquad \qquad a _ {i} \quad b _ {i} \quad \varphi_ {(s, t)}.
+$$
+
+E
+
+$$
+S _ {\epsilon} \left(P _ {i}\right) = \{(x, y) \mid (x - a _ {i}) ^ {2} + (y - b _ {i}) ^ {2} \quad \epsilon^ {2} \}.
+$$
+
+$$
+S \epsilon (P _ {i}) \subset U \epsilon (P _ {i}). \quad \tag {3.2}
+$$
+
+$$
+(s + \left[ a _ {i} + \epsilon - s \right], t + \left[ b _ {i} + \epsilon - t \right]).
+$$
+
+$$
+, P _ {i}
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} a _ {i} - \epsilon - s [ a _ {i} + \epsilon - s ] \\ b _ {i} - \epsilon - t [ b _ {i} + \epsilon - t ] \\ (s + [ a _ {i} + \epsilon - s ]) ^ {2} + (t + [ b _ {i} + \epsilon - t ]) ^ {2} \quad \epsilon^ {2} \end{array} \right. \tag {3.3}
+$$
+
+2)
+
+$$
+\max  _ {i = 1} ^ {n} u _ {i} (s, t)
+$$
+
+$$
+u _ {i} (s, t) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & (3. 3) \\ 0, & \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+0 \quad s, t <   1.
+$$
+
+1), 2)
+
+$$
+(s, t, \mathcal {Q}),
+$$
+
+3),
+
+3)
+
+3)
+
+n
+
+n
+
+4
+
+$$
+( \begin{array}{c} 9 9 \\ \hline \end{array} )
+$$
+
+$$
+\left(a _ {i}, b _ {i}\right).
+$$
+
+, n
+
+$$
+i = 1, 2, \dots , n
+$$
+
+$$
+(3. 1)
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} a _ {i} - \epsilon s + x _ {i} a _ {i} + \epsilon (i = 1, \dots , n) \\ x _ {i} Z (i = 1, \dots , n), 0 s <   1, \\ b _ {i} - \epsilon t + y _ {i} b _ {i} + \epsilon (i = 1, \dots , n) \\ y _ {i} Z (i = 1, \dots , n), 0 t <   1. \end{array} \right. \tag {4.2}
+$$
+
+(4.1).
+
+$$
+a _ {i} - \epsilon - 1 <   a _ {i} - \epsilon - s x _ {i} a _ {i} + \epsilon - s a _ {i} + \epsilon ,
+$$
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l l} a _ {i} - & \epsilon \end{array} \right] \quad x _ {i} \quad \left[ \begin{array}{l l} a _ {i} + & \epsilon \end{array} \right].
+$$
+
+$$
+a _ {i} - \in 1 <   x _ {i} \quad x _ {i} \quad . \quad \alpha = [ a _ {i} - \epsilon ], \beta_ {i} = [ a _ {i} + \epsilon ].
+$$
+
+$$
+\epsilon <   \frac {1}{4}.
+$$
+
+$$
+0 \quad \beta_ {i -} \quad \alpha_ {i} \quad 1.
+$$
+
+$$
+(4 1)
+$$
+
+$x_{i}$
+
+$\alpha_{i}$ $\beta_{i}$
+
+(4.1)
+
+(i)  $\max_{1} (a_i - \alpha_i) = \min_{1} (a_i + \alpha_i)$ ,  
+(ii)  $\max_{1} a_i - \epsilon \beta_i$ $\min_{1} a_i + \epsilon \beta_i$ .
+
+(i)  $\max (a_{i} - \epsilon - \alpha_{i})$ $s\min (a_i + \epsilon - \alpha_i), x_i = \alpha_i (i = 1, \dots, n)$ ;
+
+(ii)  $\max (a_{i} - \epsilon -\beta_{i})$ $s\quad \mathrm{min}(a_i + \epsilon -\beta_i),x_i = \beta_i(i = 1,\dots ,n),$
+
+(4.1)
+
+(4.1)
+
+$$
+\mathcal {X} 1, \dots , \mathcal {X} n \quad S
+$$
+
+$$
+s \quad \frac {1}{2},
+$$
+
+$$
+x _ {i} = \alpha (i = 1, \dots , n).
+$$
+
+$$
+x _ {i} = \beta_ {i} = \alpha_ {i} + 1,
+$$
+
+$$
+\frac {1}{2} + a _ {i} - \epsilon <   \frac {1}{2} + [ a _ {i} - \epsilon ] + 1 s + x _ {i} a _ {i} + \epsilon ,
+$$
+
+$$
+\epsilon \frac {1}{4},
+$$
+
+$$
+a _ {i} - \in - \alpha_ {i} s a _ {i} + \in - \alpha_ {i} (i = 1, \dots , n)
+$$
+
+(i)
+
+$$
+x _ {i} = \beta_ {i},
+$$
+
+(ii)
+
+(4.1) (4.2)
+
+1
+
+, n
+
+$$
+\begin{array}{l} \max  _ {1} (a _ {i} - \epsilon - [ a _ {i} - \epsilon ]) \quad \min  _ {1} (a _ {i} + \epsilon - [ a _ {i} - \epsilon ]) \\ \max  _ {1} \left(a _ {i} - \epsilon - [ a _ {i} + \epsilon ]\right) \quad \min  _ {1} \left(a _ {i} + \epsilon - [ a _ {i} + \epsilon ]\right), \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\max  _ {1} \max  _ {i} (b _ {i} - \epsilon - [ b _ {i} - \epsilon ]) \quad \max  _ {1} \min  _ {n} (b _ {i} + \epsilon - [ b _ {i} - \epsilon ])
+$$
+
+$$
+\max  _ {1 i n} \left(b _ {i} - \epsilon - [ b _ {i} + \epsilon ]\right) \quad \min  _ {1 i n} \left(b _ {i} + \epsilon - [ b _ {i} + \epsilon ]\right).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {:} \quad O (n). \quad \max  \quad \min  \end{array}
+$$
+
+$$
+n - 1.
+$$
+
+$\varphi$
+
+5
+
+$$
+P _ {i} \left(a _ {i}, b _ {i}\right) \quad \overline {{P _ {i}}} \left(\overline {{a _ {i}}}, \overline {{b _ {i}}}\right), \quad \overline {{a _ {i}}} = \left\{a _ {i} \right\} = a _ {i -} [ a _ {i} ], \overline {{b _ {i}}} = \left\{b _ {i} \right\} = b _ {i -} [ b _ {i} ], i = 1, \dots , n.
+$$
+
+$$
+\bar {P} _ {1}, \bar {P} _ {2}, \dots , \bar {P} _ {n} \quad Q = [ 0, 1; 0, 1 ] \quad . \quad , \tag {s,t}
+$$
+
+$$
+Q \quad (s, t). \quad , \quad P _ {i}
+$$
+
+$$
+\overline {{P}} _ {i} \quad (s, t) \quad . \quad , P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {n} \quad \overline {{P}} _ {1}, \overline {{P}} _ {2}, \dots , \overline {{P}} _ {n}
+$$
+
+2
+
+$$
+i, j (1 \quad i, j \quad n)
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \left| \overline {{a _ {i}}} - \overline {{a _ {j}}} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left| \overline {{a _ {i}}} - \overline {{a _ {j}}} \right| \quad 1 - 2 \epsilon \\ \left| \overline {{b _ {i}}} - \overline {{b _ {j}}} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left| \overline {{b _ {i}}} - \overline {{b _ {j}}} \right| \quad 1 - 2 \epsilon \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+\mathrm {S} 2 \quad Q, \quad d \left(\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}\right) \quad 2 \epsilon \quad n
+$$
+
+$$
+X (s, t) \quad Q \quad d (\bar {P} _ {i}, X) \quad \epsilon (i = 1, \dots , n). \quad i \quad j, d (\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j})
+$$
+
+$$
+d \left(\bar {P} _ {i}, X\right) + d \left(\bar {P} _ {j}, X\right) 2 \epsilon , \quad i \quad j, d \left(\bar {P} _ {i}, \bar {P} _ {j}\right) 2 \epsilon ,
+$$
+
+$$
+\overline {{P}} _ {i _ {0}}, \overline {{P}} _ {j _ {0}},
+$$
+
+$$
+\ldots , n) \quad K \quad 2 \epsilon \quad K \quad X, \quad d \left(\bar {P} _ {i}, X\right) \quad \epsilon (i = 1, \dots , n), \quad n
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c} & , & 2 & & 1 & & . \\ & & & & & & 2 \end{array}
+$$
+
+$$
+O \left(n ^ {2}\right), \quad n (n - 1) \quad . \quad 2 \quad .
+$$
+
+：
+
+$$
+\max  \left\{f \left(\left| a _ {i} - a _ {j} \right|\right), f \left(\left| b _ {i} - b _ {j} \right|\right) \right\} \quad 2 \epsilon ,
+$$
+
+$$
+f (x) = \left| x - r (x) \right|, r (x) = [ x + \frac {1}{2} ] (\quad \S 2).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c c c c c c c} , & & & & , & & & & ( & \varphi \vartheta & & . & & & & , \\ & & Q & . & & & Q & & , Q & & & & & & ( \\ Q & & & ). & & & & & , & & & Q & & & , \\ & & & & & ( & & . & . & , \\ & & & & & & . & “ & ” & & . & & Q = [ 0, 1; \end{array}
+$$
+
+$$
+\left. \begin{array}{l} 0, 1 ] \end{array} \right.:
+$$
+
+$$
+A = [ 0, \frac {1}{4}; 0, 1 ], B = [ \frac {1}{4}, \frac {3}{4}; 0, 1 ], C = [ \frac {3}{4}, 1; 0, 1 ].
+$$
+
+$$
+A, C \quad , \quad B \quad (\quad B \quad A \quad C) > \frac {1}{2}
+$$
+
+$$
+> 2 \epsilon ,
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} 1 ] & & , & & Q \cdot & & Q \\ & & & & & & & Q \end{array} , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
+$$
+
+$$
+n \quad Q \quad . \quad , n
+$$
+
+$$
+\epsilon \quad n \quad , \quad N \quad (s, t).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} 3 & n & \epsilon & , \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c} \text {(i)} \\ 2 \epsilon \end{array}
+$$
+
+$$
+\mathrm {(i i)} \quad \epsilon
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} & \vdots & n \\ \hline \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ \hline \end{array}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+\left( \begin{array}{c} (i) \end{array} \right),
+$$
+
+$$
+\left(\begin{array}{c c}&(\mathrm {i i})\\&\end{array}\right). \quad \left( \right.\begin{array}{c c}&(\mathrm {i})\\&(\mathrm {i i})\end{array}, \quad r \in \quad n
+$$
+
+$$
+C, \quad r ^ {*}. \quad r ^ {*} r. \quad , C
+$$
+
+$$
+P _ {t} (t \quad 3). \quad C \quad t \quad A. \quad :
+$$
+
+$$
+\text {(a)} A \quad , \quad A \quad r ^ {*} \quad n \quad , \quad C
+$$
+
+$$
+\text {(b)} A \quad , \quad C \quad A \quad , \quad r ^ {*} \quad r.
+$$
+
+$$
+\left. \quad \text {(c)} A, P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {t} \right., C
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} & r ^ {*} & \kappa \end{array}
+$$
+
+$$
+r ^ {*} = r \quad \epsilon \quad .
+$$
+
+$$
+, n
+$$
+
+$$
+3 \quad , \quad n \quad (\quad),
+$$
+
+$O\left(n^{3}\right)$
+
+$\varphi$
+
+# 6
+
+(1) 3),
+
+（ ）
+
+(2) 1
+
+0.01
+
+$\varphi$  (0  $\varphi <  \frac{\pi}{2}$
+
+（ 2
+
+2),
+
+$\varphi$
+
+(3) 1
+
+NP一
+
+一
+
+(4) 3  
+?  
+(5)  $l_{1}$  (rectilinear).  
+(6)  $N$
+
+Location)
+
+$(s,t)$  ，
+
+# Commentary on the Layout Problem of Exploratory Wels
+
+LN Yirxun
+
+(Department of Mathematics, Zhengzhou University, Zhengzhou 450052)
+
+Abstract This paper presents a review on problem  $B$  of the CUMCM 99: the layout problem of exploratory wells, in which the background, models, different approaches and further studies are summarized

MCM_CN/1999/B题/钻井布局/钻井布局.md

@@ -0,0 +1,194 @@
+n2
+
+[1] , 1989.  
+[2] MATLAB , 1995. 11.  
+[3] ，. 1997,8
+
+# Location Arrangement Model of Drilling Well
+
+CHEN Gang, GUO Cheng-liang, WU Ting-bin
+
+(Dalian University of Technology, Dalian 116024)
+
+Abstract The key idea of this paper is to determine the invariants with respect to coordinate transformations. For the first problem, the authors find that all the wells can be moved into a single grid, and the distance from each well to the nearest crunode is a constant, therefor the question is greatly simplified. For the second question, since the Euclidean distance between two wells is constant under coordinates transformations, a series of necessary conditions are obtained to conclude whether the all given wells can be used. Furthermore, a optimization model is established to get a necessary and sufficient condition. The arithmetic of the second questino fits the third question as well. We can use the same method to treat the third question as in the second one
+
+1 （ ）
+
+2
+
+$$
+x o y \quad , \quad S;
+$$
+
+$$
+x _ {1} o _ {1} y _ {1}, \quad S _ {1};
+$$
+
+$$
+x 2 o 2 y 2 \quad ,
+$$
+
+$$
+, \quad S _ {2};
+$$
+
+$$
+D _ {i j} \quad P _ {i} ^ {*} \quad P _ {j} ^ {*} \quad (i \quad j; i, j = 1, 2, \dots , n).
+$$
+
+3
+
+$$
+z _ {\max } = \quad Z _ {i}, Z _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & i \\ 0, & i \end{array} \right. \quad i = 1, 2, \dots , n
+$$
+
+$$
+, \quad w = z _ {\max }
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} Z _ {i}, & & & & ^ {[ 1 ]} f & . & & & D & , D & \epsilon \\ , & & 0 & & ^ {[ 1 ]} \epsilon & & P _ {i} & & & & & \epsilon \end{array}
+$$
+
+$$
+, \quad P _ {i}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c c c} , & p - & \cdot & \cdot & , & \epsilon - & & 2 \epsilon \\ ; & \cdot_ {2}, & \epsilon - & \epsilon & . \end{array}
+$$
+
+4
+
+4.1
+
+$$
+a, \quad m, n, \quad : (a + m) m o d 1 = (a + n) m o d 1 (\quad).
+$$
+
+1
+
+$S_{1}$
+
+$$
+P _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right), \quad C = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & x <   1 \\ 0 & y <   1 \end{array} \right. \quad P _ {i} ^ {*} \left(x _ {i} ^ {*}, y _ {i} ^ {*}\right)
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x _ {i} ^ {*} = x _ {i} m o d 1 \\ y _ {i} ^ {*} = y _ {i} m o d 1 \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+P _ {i} (\quad) \quad C,
+$$
+
+$$
+P _ {i} ^ {*} (\quad), \quad C
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} P _ {i} & & P _ {i} ^ {*} \\ & , & f \left(P _ {i} ^ {*}\right) \end{array} , \quad f \left(P _ {i}\right).
+$$
+
+$$
+2 \epsilon , \quad P _ {i} ^ {*} \quad P _ {i} \quad \epsilon -
+$$
+
+$$
+P ^ {*} \quad \in - \quad , \quad P _ {i} ^ {*}
+$$
+
+$$
+C \quad , \quad \epsilon -
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c} S & S \end{array}
+$$
+
+![](images/4b334319b51a37d48592776a127b373e0c3432a960da04db830d79f650a86b2a.jpg)
+
+![](images/cc57ea50c58f11d6df2e0444eab8e7137d33e60d241f156fef5093c9bc4a027d.jpg)  
+1
+
+![](images/2ebbe7d7a5535566c4cf4ca9476ee85f3e0d937c6db305da09e798d24a1504a8.jpg)  
+2
+
+2,
+
+$A,B,C$
+
+$$
+A ^ {\star}, A ^ {\star}, C ^ {\star}.
+$$
+
+$$
+1 + \epsilon
+$$
+
+04,
+
+05,
+
+2,4,5,
+
+10
+
+4.2
+
+$$
+S S _ {1} S _ {2}
+$$
+
+![](images/18917a5a66933db2dd1b5e70ee8804ff2fe96c8b309b9a857e63800350e5cf9d.jpg)  
+$S_{1}$  
+3
+
+![](images/af61965ce84bfb0ab2ecb1a67946fb6a3b2c9d0f4783bc1fa454d9c23610f7ce.jpg)  
+$S_{2}$  
+4,  
+4
+
+![](images/1db355006780c561bb57a977950da4b17f0088c46a6f8d350b2714b5afb7a2fc.jpg)
+
+9, 11  
+4.3
+
+![](images/d9ada49d7550bc0e824e66fbc47c204bee901cf9fd68595741930ec69df314ea.jpg)
+
+![](images/fa3b95087b21f922cc6e67d4088e5c5953bc7008bf0216d8b243e3f939d17dda.jpg)
+
+$\therefore m - 1 \neq  0$  ;  
+：
+
+$$
+R > \epsilon , \quad W <   n.
+$$
+
+![](images/89c0905e8e518dbba0dd81e6c31725b02768bfbb9a510e839fc14da585b3d0b2.jpg)  
+5
+
+$$
+\begin{array}{l} n \quad m (m \quad n) \quad , \quad P Q \quad S, T. \quad P Q \quad S T \\ O \quad , \quad : \\ 1. \quad O, R = | O P | = | O Q |; \\ \end{array}
+$$
+
+![](images/7ca6090300d7ffe9218c1cbea34c8c7e601a12118c02180493aa8818d9843ec8.jpg)
+
+# Well-Drilling Layout
+
+XU Sheng-yang, CHEN Si-duo, JN Hao
+
+(Wuhan Automatic Polytechnic University, Wuhan 430070)
+
+Abstract By transforming the availability of the original wells into the 0-1 programming
+
+problem, the objective function is built We present them mapping principle, to map the locations of the original wells into a unique unit block of the mesh, so as to simplify the solution of the model U sing them mapping algorithm and the ergodic algorithm, we solve the problem under the direction constraint Then we generalize the algorithms to the solution without the direction constraint We studied the sufficient conditions and give some criteria of the availability on three particular conditions. The method of bisection on perpendicular at midpoint is presented
+
+![](images/08b9be46610e778e1b64245e5d6ecf01a357fd166fae51553ce36db523e469a0.jpg)
+
+1 （ ）  
+2
+
+![](images/3269813d9b55f4936a61554b2404e82d28c7b73ad19627ef9b306029331e5247.jpg)
+
+$\begin{array}{l}\vdots \\ i\qquad (a,b),(a + 1,b + 1)\\ i,y = i_y - [i_y] + b,\qquad [x]\quad x \end{array}$ $i,i_{x} = i_{x} - [i_{x}] + a;$  ：  $(\texttt{-1},\texttt{-1}),(\texttt{0,0});(\texttt{-1,0}),(\texttt{0,1});(\texttt{0,-1}),(\texttt{1,0});(\texttt{0,0}),(\texttt{1,1})$ $-2\epsilon$  （-0.5，-0.5），

MCM_CN/1999/B题/钻井布局模型/钻井布局模型.md

@@ -0,0 +1,1134 @@
+![](images/751e3e20518e6bafe7c1b4bd00ca1cabb975ad56cd721493d343a85f53c3a30e.jpg)
+
+1 （）
+
+2
+
+(1)  
+(2)  
+(3)  
+(4)
+
+3
+
+[X] X
+
+$\epsilon$
+
+$P_{i}$  （20  $\mathrm{i}\qquad (a_i,b_i)$
+
+P i (m,n)
+
+$X_{i}$ $P_{i}$
+
+Q 2ε
+
+W (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
+
+$x,y$
+
+M-N A A→ A A= m i+ nj,m,n Z,i,j  $m,n$  A A→ M-N
+
+M-N P  $P_{i}P_{j}$  d 2e m,n d M-N . Z,m,n  
+4  
+4.1
+
+， P， ，Pi ，P W 1-1 n 0,1） (1,1) 2E-2E-1 Q 4.2 Q P2 P2 X 0(0,0)(E,0) (1,0)(1+E,0) 1-1
+
+1.
+
+W .  $(x,y)$  ，  $(x,y)$  ：  $\left\{ \begin{array}{ll}x = x - [x]\\ y = y - [y] \end{array} \right.$  2.  $1 - 1$  P2, P2 P0,
+
+3.
+
+Q
+
+$$
+[ 1, 1 + \epsilon ]
+$$
+
+W
+
+$$
+X, Y
+$$
+
+$$
+A _ {i} = \{(x, y) | x [ a _ {i}, a _ {i} + 2 \epsilon ], (x, y) \quad \{(a _ {1}, b _ {1}), (a _ {2}, b _ {2}), \dots , (a _ {n}, b _ {n}) \} \} \quad (i = 1, 2, \dots , n)
+$$
+
+$$
+B _ {i} = \{(x, y) | y [ b _ {i}, b _ {i} + 2 \epsilon ], (x, y) \quad \{(a _ {1}, b _ {1}), (a _ {2}, b _ {2}), \dots , (a _ {n}, b) \} \} \quad (i = 1, 2, \dots , n)
+$$
+
+$$
+C _ {i j} = A _ {i} \quad B _ {j} (i = 1, 2, \dots , n; j = 1, 2, \dots , n)
+$$
+
+$$
+C _ {i j}
+$$
+
+$$
+\left(a _ {i}, b _ {i}\right)
+$$
+
+4.
+
+$$
+C _ {i j} ,
+$$
+
+N
+
+4.3
+
+4.4
+
+2-1
+
+$$
+m, n \quad Z \quad \left| S _ {P _ {i} P _ {j}} - \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right| \quad 2 \epsilon \quad \left(\quad S _ {P _ {j}} \quad P _ {i}, P _ {j} \quad .\right)
+$$
+
+$$
+P _ {i}, P _ {j}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \begin{array}{c c c} X _ {i}, X _ {j} & S _ {P _ {i} X _ {i}} & \epsilon , S _ {P _ {j} X _ {j}} \\ m, n & S _ {X _ {i} X _ {j}} = \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \end{array} \\ S _ {P _ {i} P _ {j}} \quad S _ {X _ {i} X _ {j}} + S _ {P _ {i} X _ {i}} + S _ {P _ {j} X _ {j}} \\ S _ {P _ {i} P _ {j}} + S _ {P _ {i} X _ {i}} + S _ {P _ {j} X _ {j}} \quad S _ {X _ {i} X _ {j}} \\ \left| S _ {P _ {i} P _ {j}} - S _ {X _ {i} X _ {j}} \right| \quad \left| S _ {P _ {i} X _ {i}} + S _ {P _ {j} X _ {j}} \right| \quad 2 \epsilon \\ \left| S _ {P _ {i} P _ {j}} - \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right| 2 \epsilon \tag {1} \\ \end{array}
+$$
+
+![](images/efefada8888c321c1d47040476fa65426e95b9a9d3de669f67e4b52da4eced1b.jpg)  
+2-1
+
+$$
+P _ {1} P _ {2} \quad X _ {1}, X _ {2} (\quad X _ {1} \quad P _ {1} \quad , X _ {2} \quad P _ {2})
+$$
+
+$$
+\left| X _ {1} X _ {2} \right| = \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \quad P _ {1}, P _ {2} \quad X _ {1} X _ {2}
+$$
+
+$$
+\left| P _ {1} X _ {1} \right| = \left| P _ {2} X _ {2} \right| = \frac {\left| \left| P _ {1} P _ {2} \right| - \left| X _ {1} X _ {2} \right| \right|}{2} = \frac {\left| \left| P _ {1} P _ {2} \right| - \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right|}{2} \epsilon
+$$
+
+$$
+\left| X _ {1} X _ {2} \right| = \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} m, n Z
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}
+$$
+
+$$
+2 - 1 \quad n \quad M - N
+$$
+
+$$
+\xrightarrow {X _ {2} X _ {3}} \xrightarrow {X _ {3} X _ {1}} \begin{array}{l l} 2 - 2 & X _ {1}, X _ {2}, X _ {3} \\ \mathrm {M} - \mathrm {N} & (m _ {1}, n _ {1}), (m _ {2}, n _ {2}), (m _ {3}, n _ {3}) \end{array} : \quad X _ {1} \stackrel {{\prime}} {{X}} _ {2},
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{c} ^ {3} \\ m _ {i} = 0 \\ 3 \\ n _ {i} = 0 \\ \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}} + \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}} + \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} = 0, \end{array} \right. \tag {2}
+$$
+
+(2)
+
+$$
+\begin{array}{l} \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}}, \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}}, \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} \quad : \\ \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}} = m _ {1} i _ {1} + n _ {1} j _ {1} \\ \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}} = m _ {2} i _ {2} + n _ {2} j _ {2} \\ \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} = m _ {3} i _ {3} + n _ {3} j _ {3} \end{array} \right. \\ \begin{array}{l} \left( \begin{array}{c c c c c} & 2 - 2) \\ 2 & Z, \end{array} \right), & x, y \\ & Y _ {2}, Y _ {3} & \overrightarrow {Y _ {1} Y _ {2}} = m _ {1} \overrightarrow {i} + n _ {1} \overrightarrow {j}, \overrightarrow {Y _ {2} Y _ {3}} = m _ {2} \overrightarrow {i} + n _ {2} \overrightarrow {j} \\ = - & (\overrightarrow {Y _ {1} Y _ {2}} + \overrightarrow {Y _ {2} Y _ {3}}) = - (m _ {1} + m _ {2}) \overrightarrow {i} - (n _ {1} + n _ {2}) \overrightarrow {j} \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+m _ {1} + m _ {2} + m _ {3} = 0, n _ {1} + n _ {2} + n _ {3} = 0
+$$
+
+$$
+\overrightarrow {Y _ {3} Y _ {1}} = m _ {3} i _ {3} + n _ {3} j _ {3}
+$$
+
+$$
+Y _ {1} Y _ {2} Y _ {3} \quad X _ {1} X _ {2} X _ {3}
+$$
+
+$$
+Y _ {1} Y _ {2} Y _ {3} \quad Y _ {1} Y _ {2} Y _ {3}
+$$
+
+$$
+Y _ {1}, Y _ {2}, Y _ {3}
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, X _ {3}
+$$
+
+$$
+(m _ {i}, n _ {i})
+$$
+
+$$
+2 - 2
+$$
+
+$$
+2 - 2
+$$
+
+$$
+P _ {1} P _ {2} P _ {3}
+$$
+
+![](images/ff8659012be429bc332c1449f834fe4364ae1da05faee8d3cc1158d406e8ea52.jpg)  
+2- 2
+
+$$
+2 - 3, \quad P _ {1} P _ {2}, P _ {1} P _ {3}, P _ {2} P _ {3}
+$$
+
+$$
+(m _ {1}, n _ {1}), (m _ {2}, n _ {2}), (m _ {3}, n _ {3})  ,
+$$
+
+$$
+\sqrt {m _ {1} ^ {2} + n _ {1} ^ {2}}
+$$
+
+AB.
+
+$$
+\left| P \backslash A \right| <   \epsilon \quad \left| P _ {2} B \right| <   \epsilon .
+$$
+
+$$
+A B C
+$$
+
+$$
+(m _ {1}, n _ {1}), (m _ {2}, n _ {2}), (m _ {3}, n _ {3})
+$$
+
+$$
+A, B, C
+$$
+
+$$
+A, B, C
+$$
+
+$$
+A B C
+$$
+
+$$
+P _ {1} P _ {2} P _ {3}
+$$
+
+$$
+P _ {1} P _ {2} P _ {3}
+$$
+
+$$
+A B C
+$$
+
+$$
+),
+$$
+
+$$
+C
+$$
+
+$$
+P _ {3}
+$$
+
+$$
+).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} 2 - & 3 & n \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} 2 - & 3 & n \end{array}
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {n}
+$$
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N}
+$$
+
+$$
+\vdots
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} m _ {1 2} + m _ {2 i} + m _ {i 1} = 0 \\ n _ {1 2} + n _ {2 i} + n _ {i 1} = 0 \end{array} \quad (i = 3, 4, \dots , n) \right. \tag {3}
+$$
+
+$$
+\left( \begin{array}{c} m _ {i j}, n _ {i j} \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+(
+$$
+
+$$
+\mathrm {M - N}
+$$
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N}
+$$
+
+$$
+i = j, m _ {i j} = 0, n _ {i j} = 0.
+$$
+
+$$
+X _ {1}
+$$
+
+，
+
+$$
+X _ {2}
+$$
+
+$$
+(m _ {1 2},
+$$
+
+$n_{12})$
+
+$$
+\mathrm {M - N}
+$$
+
+，
+
+）.
+
+$$
+(m _ {1 i}, n _ {1 i}),
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}
+$$
+
+$$
+\mathrm {M - N}
+$$
+
+$$
+(3)
+$$
+
+$$
+X _ {1} X _ {2}
+$$
+
+.
+
+(3)
+
+$$
+X _ {1} X _ {2}
+$$
+
+$$
+X _ {i}.
+$$
+
+n
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {n}
+$$
+
+$$
+(3)
+$$
+
+X1
+
+$$
+X _ {2}, X _ {3}, X _ {4}
+$$
+
+X1
+
+X1
+
+$$
+\left| X _ {1} X _ {i} \right| = \left| X _ {1} X _ {i} \right|,
+$$
+
+$$
+X _ {2}, X _ {3}, X _ {4}
+$$
+
+$$
+X _ {1} X _ {1}
+$$
+
+$$
+X _ {2}, X _ {3}, X _ {4}
+$$
+
+$$
+2 - 4
+$$
+
+n
+
+$$
+X _ {i} (i = 1, 2, \dots , n)
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, X _ {3}
+$$
+
+，
+
+：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} m _ {1 2} + m _ {2 i} + m _ {i 1} = 0 \\ n _ {1 2} + n _ {2 i} + n _ {i 1} = 0 \\ m _ {2 3} + m _ {3 i} + m _ {i 2} = 0 \\ n _ {2 3} + n _ {3 i} + n _ {i 2} = 0 \end{array} \quad (i = 3, 4, \dots , n) \right. \tag {4}
+$$
+
+（  $m_{ij},n_{ij}$  2-3 mij,nij）
+
+1.  $n = 3$  2-2,  
+2.  $n = k - 1$  
+3.  $n = k$  1
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} m _ {1 2} + m _ {2 k} + m _ {k 1} = 0 \\ n _ {1 2} + n _ {2 k} + n _ {k 1} = 0 \\ m _ {2 3} + m _ {3 k} + m _ {k 2} = 0 \\ n _ {2 3} + n _ {3 k} + n _ {k 2} = 0 \end{array} \right. \tag {5}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {G} _ {2 X _ {k}}, X _ {3} X _ {k}, \quad (5) \end{array} , \quad \begin{array}{l} \text {G} _ {2 X _ {k}} = m _ {1 k} \cdot \overrightarrow {i + n _ {1 k}} \cdot \overrightarrow {j} (m _ {1 k} = - m _ {k 1}, n _ {1 k} = - n _ {k 1}, \overrightarrow {i, j}) \\ \overrightarrow {X _ {2} X _ {k}} = m _ {2 k} \cdot \overrightarrow {i + n _ {2 k}} \cdot \overrightarrow {X _ {3} X _ {k}} = \end{array} ,
+$$
+
+$$
+m _ {3 k} \cdot \overrightarrow {i} + n _ {3 k} \cdot \overrightarrow {j}.
+$$
+
+$$
+\left| X _ {1} X _ {k} \right| = \left| X _ {1} X _ {k} \right|, \left| X _ {2} X _ {k} \right| = \left| X _ {2} X _ {k} \right|, \left| X _ {2} X _ {k} \right| = \left| X _ {2} X _ {k} \right|
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, X _ {3} \quad .
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} X _ {k} & X _ {k} \\ \hline \end{array} ,   X _ {k}
+$$
+
+$$
+n = k
+$$
+
+$$
+i = 3, \quad \overrightarrow {X _ {1} X _ {2}}, \quad \overrightarrow {X _ {2} X _ {3}}, \overrightarrow {X _ {3} X _ {1}} \quad G
+$$
+
+G  $X_{i}(i3)$ $(m_{12},n_{12}),(m_{23},n_{23}),(m_{31},n_{31})$
+
+2- 2, (4)
+
+$i > 3$  ，  $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}$  2-2 (4)
+
+2-3 2-4 2-4
+
+2-3
+
+2-4  $P_{i}P_{j}(i = 1,2,\dots,n;j = 1,2,\dots,n)$
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad m _ {i j}, n _ {i j} \quad 2 - 4 \quad (4) \quad , \quad n
+$$
+
+n ( ）.
+
+2-3 2-2
+
+2-5 n  $P_{i}(a_{i},b_{i})$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \left(x _ {i} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {1}\right) ^ {2} = m _ {i 1} ^ {2} + n _ {i 1} ^ {2} \\ \left(x _ {i} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {2}\right) ^ {2} = m _ {i 2} ^ {2} + n _ {i 2} ^ {2} \\ \left(x _ {i} - x _ {3}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {3}\right) ^ {2} = m _ {i 3} ^ {2} + n _ {i 3} ^ {2} \end{array} \quad (i = 2, 3, \dots , n) \right. \tag {6}
+$$
+
+$$
+\sqrt {\left(x _ {i} - a _ {i}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - b _ {i}\right) ^ {2}} \quad \epsilon (i = 1, 2, \dots , n) \tag {7}
+$$
+
+（  $m_{ij},n_{ij}$  1  $P_{i}P_{j}$  （20  $\mathrm{M - N}$  2-4,  $i = j,\quad m_{ij} = 0,n_{ij} =$
+
+$$
+0  , \qquad \begin{array}{c c} \frac {m _ {i i}}{n _ {i j}} \\ \hline \end{array} , \qquad \begin{array}{c c} \frac {m _ {1 2}}{n _ {1 2}} & \frac {m _ {1 3}}{n _ {1 3}} \end{array} ).
+$$
+
+(6)
+
+$$
+X _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) (i = 1, 2, \dots , n),
+$$
+
+$$
+\left| X _ {i} X _ {j} \right| = \sqrt {m _ {i j} ^ {2} + n _ {i j} ^ {2}}, \quad \overrightarrow {X _ {i} X _ {j}} \quad \mathrm {M - N} \quad (m _ {i j}, n _ {i j}). \quad m _ {i j}, n _ {i j}
+$$
+
+$$
+2 - 4
+$$
+
+$$
+(4)
+$$
+
+$$
+2 - 4
+$$
+
+$$
+\left(\frac {m _ {i j}}{n _ {i j}}\right)
+$$
+
+$$
+X _ {i}
+$$
+
+$$
+m _ {i j}, n _ {i j}
+$$
+
+$$
+(4) \quad (3), \quad 2 - 3) \quad X _ {i} (i = 1, 2, \dots , n) \tag {4}
+$$
+
+$$
+\left| P _ {i} X _ {i} \right| \quad \in_ {i} (i = 1, 2, \dots , n), \quad P _ {i} (i = 1, 2, \dots , n) \tag {7}
+$$
+
+n
+
+$$
+), \quad X _ {i} (x _ {i}, y _ {i})
+$$
+
+(7)
+
+X i
+
+$$
+\left| P _ {i} X _ {i} \right| \in \left(X _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \right.
+$$
+
+G
+
+$$
+\overrightarrow {X \cdot X _ {j}}
+$$
+
+Xj
+
+G
+
+$$
+m _ {i j}, n _ {i j},
+$$
+
+$$
+m _ {i j}, n _ {i j}
+$$
+
+(6)
+
+4.5
+
+$$
+\begin{array}{c c} 1 & 1 2 \end{array}
+$$
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad ,
+$$
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad . \quad P _ {i},
+$$
+
+$$
+P _ {j} \quad \mathrm {M - N}, \quad i j \quad P _ {i} P _ {j} \quad \mathrm {M - N},
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} P _ {i}, P _ {j} & \mathrm {M - N} \\ & , & m, n, & \end{array} \quad 0 \quad \text {.}
+$$
+
+）
+
+2# 0
+
+3# 0 0
+
+4# 1 1 1
+
+5# 1 1 1
+
+6# 2 1 0 1 0
+
+7# 1 1 3 1 1
+
+8# 1 2 1 0 1 1
+
+9# 3 2 0 1 1 1 1
+
+10# 1 3 1 1 3 1 2 1 0
+
+11# 2 1 1 1 1 1 1 1 0
+
+12# 2 3 0 1 1 2 2 0 1 0 0
+
+1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 8# 9# 10# 11#
+
+2 2-1,
+
+M-N 1
+
+band
+
+3 2-2,
+
+T conduct,
+
+4 3 k
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad 2 - 4, \quad .
+$$
+
+$$
+\mathrm {M} - \mathrm {N} \quad : (\quad 4
+$$
+
+）
+
+<table><tr><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>8</td></tr><tr><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>9</td></tr><tr><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>11</td></tr><tr><td>2</td><td>4</td><td>5</td><td>10</td></tr><tr><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>8</td></tr><tr><td>1</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr></table>
+
+4 PREDUCT.CPP,SECOND.CPP
+
+5 k
+
+$$
+\left( \begin{array}{l l} : \frac {m _ {1}}{n _ {1}} = \frac {m _ {2}}{n _ {2}} = & \dots \dots = \end{array} \right.
+$$
+
+$\frac{m_k}{n_k}$  ）  $X_{1},X_{2},X_{3}.$  （20  $X_{1},X_{2},X_{3}$  ， (6)
+
+$$
+f \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right) = \sqrt {\left(a _ {1} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(b _ {1} - y _ {1}\right) ^ {2}} - \epsilon
+$$
+
+$$
+g \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right), h \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right)
+$$
+
+$$
+g _ {i - 1} \left(x _ {1}, x _ {2}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, y _ {2}, \dots , y _ {k}\right) = \sqrt {\left(a _ {i} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - y _ {i}\right) ^ {2}} - \epsilon
+$$
+
+$$
+h _ {i - 1} = \left(x _ {i} - x _ {1}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {1}\right) ^ {2} - \left(m _ {i 1} ^ {2} + n _ {i 1} ^ {2}\right)
+$$
+
+$$
+h _ {k + i - 3} = \left(x _ {i} - x _ {2}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {2}\right) ^ {2} - \left(m _ {i 2} ^ {2} + n _ {i 2} ^ {2}\right)
+$$
+
+$$
+h _ {2 k + i - 6} = \left(x _ {i} - x _ {3}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {3}\right) ^ {2} - \left(m _ {i 3} ^ {2} + n _ {i 3} ^ {2}\right)
+$$
+
+$$
+(i = \quad 1, 2, \dots , k)
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \operatorname {m} \inf  f (x _ {1}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, \dots , y _ {k}) \\ \begin{array}{c c} \text {s t} & g _ {i} (x _ {1}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, \dots , y _ {k}) \quad 0 \end{array} \\ h _ {i} \left(x _ {1}, \dots , x _ {k}, y _ {1}, \dots , y _ {k}\right) = 0 \\ \end{array}
+$$
+
+2-5 (6)(7)
+
+$\mathrm{minf}(x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_k)$  0  $X_{i}(x_{i},y_{i})$  (6） ，n
+
+$\mathrm{minf}\left(x_{1},\dots,x_{k},y_{1},\dots,y_{k}\right) > 0$  ，  $n$
+
+MATLAB, constr
+
+$$
+: \{1, 6, 7, 8, 9, 1 1 \}.
+$$
+
+$$
+X _ {i} \left(x _ {i}, y _ {i}\right) \quad \mathrm {M} - \mathrm {N} \quad , \quad 1 2
+$$
+
+,6
+
+$$
+: S _ {9} = 0. 0 4 9 <   \epsilon
+$$
+
+4.6
+
+：（
+
+1 2-1:n  $P_{j}\left| - \sqrt{m_{ij}^{2} + n_{ij}^{2}}\right|$  2ε
+
+$$
+P _ {i}, P _ {j} \text {,} \quad (m _ {i j}, n _ {i j})
+$$
+
+2 2-3:n
+
+$$
+P _ {i}, P _ {j}, P _ {k}
+$$
+
+M-N  $(m_{i},n_{i})$  2-2 (2).
+
+3.
+
+2-4:
+
+n
+
+$$
+P _ {i} P _ {j} (i = 1, 2, \dots , n; j = 1, 2, \dots , n)
+$$
+
+M-N
+
+$$
+m _ {i j}, n _ {i j}
+$$
+
+2-4
+
+(4),
+
+n
+
+n
+
+（
+
+0.
+
+$$
+2 - 5: n
+$$
+
+2-5
+
+(7).
+
+n
+
+4
+
+$$
+X _ {i} \left(c _ {i}, d _ {i}\right),
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x _ {i} = f _ {i} (\theta , \Delta x, \Delta y) = \cos \theta \left(c _ {i} + \Delta x\right) + \sin \theta \left(d _ {i} + \Delta y\right) \\ y _ {i} = f _ {i} (\theta , \Delta x, \Delta y) = - \sin \theta \left(c _ {i} + \Delta x\right) + \cos \theta \left(d _ {i} + \Delta y\right) \end{array} \right. \tag {8}
+$$
+
+$$
+3 - 3 (
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+n
+$$
+
+$P_{i}$
+
+n
+
+$$
+S _ {i},
+$$
+
+$S_{i}$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\left(a _ {i} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - y _ {i}\right) ^ {2}} \quad \epsilon \\ \sqrt {\left(a _ {j} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {j} - y _ {i}\right) ^ {2}} \quad S _ {i j} + \epsilon \\ \sqrt {\left(a _ {j} - x _ {i}\right) ^ {2} + \left(b _ {j} - y _ {i}\right) ^ {2}} \geqslant S _ {i j} - \epsilon \end{array} \right. \tag {9}
+$$
+
+$$
+j = 1, 2, \dots , i - 1, i + 1, \dots , n; S _ {i j} = \sqrt {\left(x _ {i} - x _ {j}\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y _ {j}\right) ^ {2}}) \tag {8}
+$$
+
+(9)
+
+$$
+(\theta , \Delta x, \Delta y)
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\left(a _ {i} - f _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2} + \left(b _ {i} - g _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2}} \\ \left| \sqrt {\left(a _ {i} - f _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2} + \left(b _ {j} - g _ {i} (\theta , \Delta x , \Delta y)\right) ^ {2}} \right| \end{array} \epsilon \right. \tag {10}
+$$
+
+X
+
+4.7
+
+3-1
+
+$$
+P _ {1}, P _ {2}
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, s = \left| X _ {1} X _ {2} \right|, \quad P _ {1}
+$$
+
+$$
+R = s + \epsilon , r = s -
+$$
+
+E
+
+$$
+P _ {2}
+$$
+
+E
+
+$S_{2}$
+
+P1
+
+$S_{1}$
+
+$$
+\left| X _ {1} P _ {1} \right|
+$$
+
+$$
+\in \left| X _ {2} P _ {2} \right|
+$$
+
+$$
+,
+$$
+
+$$
+\equiv
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+.
+
+X1
+
+$$
+S _ {1}, X _ {2}
+$$
+
+$$
+S _ {2}.
+$$
+
+$$
+X
+$$
+
+$$
+,
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+S _ {1}
+$$
+
+$$
+, X
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+3
+
+1
+
+）
+
+$$
+\mathrm {t}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+s
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+\perp
+$$
+
+X
+
+$$
+P _ {1}
+$$
+
+$$
+{ } _ { 1 } X
+$$
+
+$$
+X _ {2}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+,
+$$
+
+$$
+X _ {2}
+$$
+
+$$
+S _ {2} (
+$$
+
+$$
+\mathbf {S} _ {2}
+$$
+
+$$
+P _ {2}
+$$
+
+$$
+S _ {2}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+X
+$$
+
+$$
+P _ {1}
+$$
+
+$$
+{ } _ { 1 } X
+$$
+
+$$
+X _ {2}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+. \vert
+$$
+
+$$
+\mathbf {D}
+$$
+
+$$
+\downharpoonleft
+$$
+
+$$
+\cdot
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+\mathbf {D}
+$$
+
+$$
+| _ {v}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} X _ {2} \quad , \quad \left| X _ {2} P _ {1} \right| > R = s + \epsilon \\ \left| X _ {1} X _ {2} \right| \quad \left| X _ {2} P _ {1} \right| - \left| X _ {1} P _ {1} \right| > s + \epsilon - \epsilon = s \\ \left| X _ {1} X _ {2} \right| > \left| X _ {1} X _ {2} \right|, \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c} X _ {2} & S _ {2}, & X _ {1} \\ \hline \end{array} \quad S _ {1}
+$$
+
+$$
+s > \left| P _ {1} P _ {2} \right|
+$$
+
+3-2 3-1
+
+$$
+S _ {1}, S _ {2}, S _ {3}  ,
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} : & X _ {1} & S _ {1}, X _ {2} & S _ {2}, X _ {3} & S _ {3}. \end{array}
+$$
+
+![](images/97162fe09c4e53c1b44d828a9410518e97bee4f65efb505e3e558a752e1c2e84.jpg)
+
+![](images/adfa1e22af10bf7e3916b4500f3d34feea46ac19dd5a55f5f74c29b5ec3ad0d8.jpg)  
+3-1
+
+$$
+P _ {1}, P _ {2}, P _ {3} \quad , \quad 3 - 2
+$$
+
+$$
+\left| X _ {1} P _ {1} \right| \quad \in , \left| X _ {2} P _ {2} \right|
+$$
+
+$$
+\epsilon , \left| X _ {3} P _ {3} \right| \quad \epsilon
+$$
+
+![](images/5dadbd0889de4c4b8254198bfd5dff63ba4a71aa3c329212ce9e6687a049131d.jpg)  
+3-2
+
+$$
+P _ {1}, \quad 3 - 1, \quad X _ {1} \quad S _ {1}, \quad X _ {1}, X _ {3}
+$$
+
+$$
+X _ {1} \quad S _ {1}, \quad X _ {1}, X _ {2}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c} \text {3 - 3} & n \end{array}
+$$
+
+$$
+\left| X _ {i} P _ {i} \right| \quad \epsilon_ {i} (i = 1, 2, \dots , n).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \Phi , \quad X _ {i} \quad \Phi , \quad X _ {i} \quad , \quad n \\ \epsilon . \quad , \quad n \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} n \quad S _ {1}, S _ {2}, \dots , S _ {n}. \\ P _ {i} \quad n, \quad S _ {i} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\left| X _ {i} P _ {i} \right|
+$$
+
+$$
+X _ {1}, X _ {2}, \dots , X _ {n} \quad X _ {i} \quad S _ {i}, \quad n
+$$
+
+5
+
+(1) n  
+(2)  
+n 1  
+(3) M-N  
+(4)
+
+n2
+
+[1] ，. 1989  
+[2] MATLAB , 1995. 11.  
+[3] ，. 1997,8
+
+# Location Arrangement Model of Drilling Well
+
+CHEN Gang, GUO Cheng-liang, WU Ting-bin
+
+(Dalian University of Technology, Dalian 116024)
+
+Abstract The key idea of this paper is to determine the invariants with respect to coordinate transformations. For the first problem, the authors find that all the wells can be moved into a single grid, and the distance from each well to the nearest crunode is a constant, therefor the question is greatly simplified. For the second question, since the Euclidean distance between two wells is constant under coordinates transformations, a series of necessary conditions are obtained to conclude whether the all given wells can be used. Furthermore, a optimization model is established to get a necessary and sufficient condition. The arithmetic of the second questino fits the third question as well We can use the same method to treat the third question as in the second one
+
+![](images/954274bcc0a91ea43935522352a8822386530d57b555fd13359a1c8199e62b20.jpg)

MCM_CN/1999/B题/钻井布局的数学模型/钻井布局的数学模型.md

@@ -0,0 +1,418 @@
+problem, the objective function is built We present them mapping principle, to map the locations of the original wells into a unique unit block of the mesh, so as to simplify the solution of the model U sing them mapping algorithm and the ergodic algorithm, we solve the problem under the direction constraint Then we generalize the algorithms to the solution without the direction constraint We studied the sufficient conditions and give some criteria of the availability on three particular conditions. The method of bisection on perpendicular at midpoint is presented
+
+![](images/e039b7e0a294e23016ab0fe437bac98a34a93e551f7d6994c91caaed802e6fac.jpg)
+
+![](images/5c90e5e17e3fd08d4834b42431c11539da5cd4dd338bc2a272c3b5daacb12be2.jpg)
+
+1 （ ）
+
+2
+
+![](images/3dec073912aad16dfc058a0f71cbd97e611b8948a7acd14cb164ecdf6ed23007.jpg)
+
+$X_{j}$ $P_{i}$
+
+$$
+\begin{array}{c c} \vdots & \\ i & (a, b), (a + 1, b + 1) \end{array}
+$$
+
+$$
+i _ {y} = i _ {y} - [ i _ {y} ] + b, \quad [ x ] \quad x
+$$
+
+$$
+i, i _ {x} = i _ {x} - [ i _ {x} ] + a;
+$$
+
+：
+
+$$
+(- 1, - 1), (0, 0); (- 1, 0), (0, 1); (0, - 1), (1, 0); (0, 0), (1, 1)
+$$
+
+$2\epsilon$
+
+$$
+(- 0. 5, - 0. 5),
+$$
+
+(0.5, 0.5)
+
+E
+
+3
+
+3.1
+
+1.
+
+$$
+(a, b), \quad P _ {i} \quad (F _ {i x}, P _ {i y}),
+$$
+
+$$
+a + N _ {i} - \epsilon P _ {i x} a + N _ {i} + \epsilon
+$$
+
+$$
+b + N _ {j} - \epsilon P _ {i y} b + N _ {j} + \epsilon ,
+$$
+
+$N_{i}$ $N_{j}$
+
+$$
+M \left(X _ {i}, Y _ {i}\right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad a + N _ {i} - \epsilon X _ {i} \quad a + N _ {i} + \epsilon , b + N _ {j} - \epsilon Y _ {i} \quad b + N _ {i} + \epsilon \\ 0, \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+F (a, b) = \max  \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} M (X _ {i}, Y _ {i})\right).
+$$
+
+2.
+
+$$
+0. 0 1,
+$$
+
+$$
+1 0 0 \quad ( \begin{array}{c c} & \\ & 1 \end{array} ),
+$$
+
+$$
+1 0 0 \times 1 0 0
+$$
+
+$$
+O \left(n / \rho^ {2}\right), n \quad , \rho
+$$
+
+$$
+(0. 3 6, 0. 4 6),
+$$
+
+3.
+
+12
+
+$P_{i}$
+
+,2ε
+
+$(2\epsilon /\rho)^{2}$
+
+,2ε
+
+$O\left(n^{2}\left(\epsilon /\rho\right)^{2}\right)$
+
+n
+
+4. ： II
+
+131
+
+(1)  $P_{i} \quad P_{j} \quad A$  
+(2)  $P_{i}\quad A$
+
+A
+
+,
+
+A
+
+A
+
+，A
+
+A, A
+
+， A
+
++
+
+n
+
+$$
+\left(C _ {n} ^ {2} + n\right) n,
+$$
+
+$$
+O \left(n ^ {3}\right),
+$$
+
+5.
+
+$$
+\begin{array}{l} , P _ {i}, P _ {j} \quad [ (- \epsilon , - \epsilon); (1 + \epsilon , 1 + \epsilon) ] \quad P _ {i}, P _ {j}, \quad P _ {i}, P _ {j} \\ d \left(P _ {i}, P _ {j}\right) 2 \epsilon , \quad P _ {i}, P _ {j} \quad , \quad 2 \epsilon \quad . \quad n \\ \end{array}
+$$
+
+n  
+n
+
+n
+
+$$
+\begin{array}{l} \quad : \quad A \quad [ (- \epsilon , - \epsilon); (1 + \epsilon , 1 + \epsilon) ], \quad \rho \quad . \quad A \\ \frac {1 + 2 \epsilon}{\rho} \quad . \quad 1 \quad a \quad P _ {j} \quad , 2 \epsilon \quad . \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+A _ {1} = \left( \begin{array}{c c c c c} & & & & \\ & “ & ” & & \\ & & & A \end{array} \right)
+$$
+
+6. :
+
+1.5 1  $G[V,E],V$  （20  $i\quad j$
+
+$i,j$
+
+( ).
+
+1.5.1  $G$
+
+1.5.2  $P_{i}, P_{j}$
+
+$N_{1},N_{2}$
+
+$$
+\begin{array}{l} d _ {x} \left(P _ {i}, P _ {j}\right) \quad \left[ N _ {1} - 2 \epsilon , N _ {1} + 2 \epsilon \right], \\ d _ {y} \left(P _ {i}, P _ {j}\right) \quad \left[ N _ {2} - 2 \epsilon , N _ {2} + 2 \epsilon \right], \\ \begin{array}{c c} d _ {x} & d _ {y} \\ & (\quad). \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+1.5.3
+
+（ ）
+
+G n
+
+$$
+\begin{array}{c c} G & G \\ & \overline {{G}} \end{array}
+$$
+
+$,V^{\star}$ $G$
+
+G （ ）
+
+V
+
+NP
+
+E
+
+7.
+
+$$
+O \left(n ^ {3}\right).
+$$
+
+$$
+\epsilon / \rho = 5.
+$$
+
+$$
+O \left(n \left(, \epsilon / \rho\right) ^ {2}\right),
+$$
+
+NP
+
+3.2
+
+1.
+
+$$
+\Delta \Theta \quad \frac {\rho}{R}, R
+$$
+
+$$
+, \left. \frac {\pi}{2} \right]
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c} 0 ^ {\circ} & 9 0 ^ {\circ} \end{array}
+$$
+
+$$
+\rho = 0. 0 1,
+$$
+
+2000
+
+$$
+\Delta \theta 1. 0 4 \times 1 0 ^ {- 3}.
+$$
+
+0.62).
+
+6
+
+1,6,7,8,9,11.
+
+(0.47,
+
+2.
+
+$\Delta \theta$
+
+2.2.1
+
+$$
+a, b
+$$
+
+$$
+2 \epsilon , \quad d = \sqrt {\left(a _ {x} - b _ {x}\right) ^ {2} + \left(a _ {y} - b _ {y}\right) ^ {2}}
+$$
+
+$$
+( \begin{array}{c} \end{array} )
+$$
+
+222
+
+$$
+a, b
+$$
+
+$$
+m, n \quad \left| _ {d -} \sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}} \right|
+$$
+
+$d_{2}$
+
+E
+
+$$
+, a
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c} d _ {1} & b \end{array}
+$$
+
+$$
+(m, n)
+$$
+
+$$
+4 \epsilon ,
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+^ {1}
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+\cdot
+$$
+
+$$
+(n)
+$$
+
+$$
+4 \epsilon ,
+$$
+
+$$
+d
+$$
+
+$$
+a
+$$
+
+$$
+b
+$$
+
+$$
+)
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+d _ {1}
+$$
+
+$$
+d _ {2}
+$$
+
+$$
+\begin{array} { c } \epsilon \\ \epsilon <   <   d , \\ \Delta \theta > \frac { 2 \epsilon } { d } , d _ { 2 } > \epsilon \qquad ( m , n ) \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } , d _ { 1 } \quad d _ { 2 } \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { d } . \\ \Delta \theta \frac { 4 \epsilon } { \text { ~ d ~ } } . \\ 3 . \\ : \\ \theta ( \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ : \\ 3 . \\ : \\ \theta ( \\ ) , \\ \epsilon = ( 1 + \delta ) \epsilon , & \delta > 0 & \epsilon & \epsilon \\ , & k . & & \Delta \theta , \\ | _ { R i \Delta \theta | } , & R _ { i } & i & , \\ | _ { R i \Delta \theta | } & . & R = \max  \left\{ R _ { 1 } , R _ { 2 } , \dots , R _ { n } \right\} , & | _ { R \Delta \theta | }   \epsilon -   \epsilon =   \delta \epsilon , \\ | _ { \Delta \theta | } & \delta \epsilon / R , & & ( * ) \\ ( & & & \delta \epsilon \\ ) , & ( * ) & , & k k . \\ , & ; & & \delta ,     \epsilon = ( 1 +   \delta )   \epsilon & , \\ p = 2 | _ { \Delta \theta | } = 2 \delta \epsilon / R & , & 0       \frac { \pi } { 2 } & , & M . \\ \epsilon , & & m .     m = M , & & M , & . & m <   \\ M , & & \delta ,     p & , & . & . & . \\ & & \theta , & \epsilon & & m , & . \\ [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [   [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | = ( 1 +   \delta )   \epsilon & , & p = 2 \\ (\ast ) & , & R & , & \epsilon = ( 1 +   \delta )   \epsilon & , & p = 2 \\ |\Delta \theta | & , & & , & & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & , & .
+$$
+
+$$
+f (x, y) = \max   _ {n} \left\{\left(x _ {i} - x\right) ^ {2} + \left(y _ {i} - y\right) ^ {2} \right\},
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l l} \text {s t} & \operatorname {m i n f} (x, y), \end{array}
+$$
+
+$$
+(x, y) \quad (\quad).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} 5. 0 4, y = 1. 7 0, R = \sqrt {f (x , y)} = 4. 5 5. \quad R \\ N = 1 2 0, \quad 9 0 ^ {\circ} / 1 2 0 = 0. 7 5 ^ {\circ}. \quad \delta = \frac {\pi R}{4 N \epsilon} \quad 0. 6, \epsilon \quad 1. 6 \epsilon , \\ M = 6 \\ \end{array}
+$$
+
+![](images/7c1fa05743c58539a2252065088e8c79f0d3171dc47cd9ad51b8663109133677.jpg)
+
+3.3
+
+1.
+
+![](images/58f0603e2b6a3dca5f5e1421f0bce333268c118c3a08f39a185b6c871a48e276.jpg)
+
+(1) - 0.5 < x i 0.5, - 0.5 < y i 0.5;  
+(2)  $x_{i} - x_{i}$ $y_{i} - y_{i}$
+
+![](images/582b5e5c1528a217662c17c0a8a525d8edd89214f6109cbbcced5aa69933bd1a.jpg)
+
+2.
+
+![](images/e7364ab4fee67a537c4796427d38c3b45a9b304728cc3c75759c32c45adbe876.jpg)
+
+![](images/a68e0dc0f55476d1beef85bf02f2f11813bb5e33acea861b7c4c32ac4c413058.jpg)
+
+![](images/3654a39575fe9eb20056f979b10ac8ed1e36c2a1878df51551cb8ce35692d606.jpg)
+
+![](images/fb297be8d2973a5e8498a09b6264509e0f2479c0ab50edc0a8ae89036436ca83.jpg)
+
+3.
+
+![](images/5049c0d9fd7e94e7cf6c7902a115c34704d5a1d18800dd8b792350eaa36ef004.jpg)
+
+![](images/fc005151f757b5436ffb403bf200182bd9711452fb34c2ed4238c4b7a80d8ad1.jpg)
+
+# The Mathematical model of Borehole Layout
+
+HU Hai-yang, CHEN Jian, LU Xin
+
+(Nanjing University, Nanjing 210093)
+
+Abstract In this thesis, we begin our research of mathematical model of borehole layout with an eye to the whole and then analyze step by step the efficiency, flexibility and complexity of all kinds of calculating methods. At last, we get a relativity better method to make out the number of boreholes that can be utilized under different circumferences
+
+To the first question, after the demonstration of an overall research model, precise local model and a graphizalmode, and after the discussion of the flexibility and complexity of various calculating methods, we come to the answer ramedy, that only four used boreholes can be utilized at most, numbered 2, 4, 5, and 10
+
+To the second question, we offer an overall research model, a precise local model as well as a revolving vector model. In particular, we give a theoretical demonstration of the local model. The answer we get is that only 6 used boreholes can be utilized at most, numbered 1, 6, 7, 8, 9, and 11 and that the net will revolve 44.37 with a coordinate (0.47, 0.67).
+
+To the third question, in order to judge whether all of the given boreholes can be used, we enumerate the ample requirements and the compulsory requirements together with the appropriately effective calculating method

MCM_CN/1999/B题/钻井布局的设计/钻井布局的设计.md

@@ -0,0 +1,578 @@
+![](images/4ebb1df46fe272ad2ffb9537313f3996de36a778210062d1542f4541238264d4.jpg)
+
+1 （）  
+2
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} 1 & , & , & . & P _ {i} \left(a _ {i}, b _ {i}\right), \\ i = 1, \dots , n. \end{array}
+$$
+
+$$
+2. \quad , \qquad 1 \qquad N
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c} 3. & & & & \\ & & , & & N \\ & N & & & & . \end{array}
+$$
+
+3  
+3.1 (1)
+
+$$
+\begin{array}{l} N \\ I _ {X _ {t}} \end{array} \quad \begin{array}{r l r l} & N & & X _ {i} \\ N _ {X _ {i}}, f (N _ {X _ {i}}) & . & & : \\ \max  f (N _ {X}) & \\ \text {s t} \max  \left\{\left| x - x _ {i} \right|, \left| y - y _ {i} \right| \right\} & 0. 5; \\ X = (x, y), X _ {i} = (x _ {i}, y _ {i}). & \\ & , & & \\ (\quad) & 0. 0 1, & \epsilon & 0. 0 5 \end{array}
+$$
+
+(0.01
+
+$$
+\begin{array}{l} 1 \quad Q _ {1} = (x _ {1}, y _ {1}), Q _ {2} = (x _ {2}, y _ {2}) \\ D _ {x} = \operatorname {m i n} \left\{x _ {1} - x _ {2} - \left[ x _ {1} - x _ {2} \right], 1 + \left[ x _ {1} - x _ {2} \right] - \left(x _ {1} - x _ {2}\right) \right\} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+D _ {y} = \operatorname {m i n} \left\{y _ {1} - y _ {2} - \left[ y _ {1} - y _ {2} \right], 1 + \left[ y _ {1} - y _ {2} \right] - \left(y _ {1} - y _ {2}\right) \right\}
+$$
+
+$$
+D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) = \max  \left\{D _ {x}, D _ {y} \right\} \quad : [ x ] \quad x.
+$$
+
+$$
+D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) \quad Q _ {1} \quad Q _ {2} \quad . \quad D (Q) \quad Q
+$$
+
+$$
+: \quad N _ {Q}, \quad D (P _ {i}, Q) \quad P _ {i} \quad N _ {Q}
+$$
+
+$$
+, \quad D (P _ {i}, Q) \quad P _ {i} \quad N _ {Q}.
+$$
+
+：
+
+$$
+1 D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) = D \left(Q _ {2}, Q _ {1}\right).
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l l l l} 2 & 0 & D \left(Q _ {1}, Q _ {2}\right) & 0. 5 \end{array}
+$$
+
+$$
+1 \quad N _ {Q} \quad , P _ {i} \quad , \quad P _ {i} \quad \Leftrightarrow D (P _ {i}, Q) \quad \epsilon
+$$
+
+$$
+2 \quad P _ {1}, P _ {2} \quad , \quad N, \quad P _ {1}, P _ {2}
+$$
+
+$$
+: D \left(P _ {1}, P _ {2}\right) 2 \epsilon
+$$
+
+2  $,f(N_{X})$  （20  $P_{1},\dots ,P_{n}$  X ）
+
+：
+
+(1)  $Q$  ，  $N_{Q},D(P_{i},Q)\quad \in ,i = 1,\dots,n,$  （20  $P_{i}$
+
+$P_{i}$  （20  $f(N_{Q})$
+
+(2)  $Q$  （ 1 (0.01 ），
+
+100 ，  $)100^{2} = 10000f(N_{\varrho}),$
+
+（ ），
+
+4,  $P_{2}, P_{4}, P_{5}, P_{10}$
+
+: (1) : 0.58-0.63; (2) : 0.45-0.54
+
+II
+
+I 10000. ：  $Q = P_{i},(i = 1,\dots ,n),$  I  $f(N_{\varrho}),\qquad Q\qquad P_{i}$
+
+, 2∈ (0.01)  $f(N_{Q}),\qquad 11^{2}\quad f(N_{Q}).$
+
+$11^{2}\times 12\quad f(N_{Q})(\quad ,\quad Q\quad ,$
+
+： ， ） ， ：
+
+4,  $P_{2}, P_{4}, P_{5}, P_{10}$
+
+: (1) : 0.58———0.63; (2) : 0.45———0.54;
+
+III
+
+$$
+a _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} 1, D (P _ {i}, P _ {j}) & 2 \epsilon \\ 0, D (P _ {i}, P _ {j}) > 2 \epsilon^ {\prime} \end{array} \quad A = (a _ {i j}) \quad n \right., \quad A \quad (
+$$
+
+5).
+
+：
+
+4,  $P_{2}, P_{4}, P_{5}, P_{10}$
+
+IV
+
+$$
+P _ {i} = \left(a _ {i}, b _ {i}\right), \quad P _ {i} ^ {\prime \prime} = \left(a _ {i} ^ {\prime \prime}, b _ {i} ^ {\prime \prime}\right)
+$$
+
+$$
+a _ {i} = a _ {i -} [ a _ {i} ], \quad b _ {i} = b _ {i -} [ b _ {i} ] \quad (i = 1, \dots , n)
+$$
+
+$$
+a _ {i} ^ {\prime \prime} = a _ {i} - [ a _ {i} ] + 1, \quad b _ {i} ^ {\prime \prime} = b _ {i} - [ b _ {i} ] + 1 \quad (i = 1, \dots , n)
+$$
+
+$$
+P _ {i}, (i = 1, \dots , n)
+$$
+
+01
+
+1.1
+
+$$
+P _ {i} \quad P _ {i} ^ {\prime} (i = 1, \dots , n)
+$$
+
+( 1).
+
+Q1
+
+$P_{10}$
+
+4,
+
+$P_{2}, P_{4}, P_{5}$
+
+V
+
+IV
+
+0.1
+
+（
+
+1
+
+）
+
+4,
+
+：
+
+：
+
+2
+
+$P_{5}$  ，  $P_{10}$
+
+3.2 (2)
+
+N
+
+.
+
+N
+
+.
+
+，
+
+2
+
+0
+
+0
+
+）
+
+0=
+
+$$
+\mathrm {m i n} (\theta , \theta), \quad \theta \quad N
+$$
+
+(1)
+
+$N_{X}$
+
+$N_{X}(\theta)$
+
+0
+
+，
+
+$N_{X} = N_{X}(0)$
+
+$$
+N _ {x _ {i}} (\theta), \quad g (N _ {x _ {i}} (\theta))
+$$
+
+$$
+\max  g \left(N _ {X} (\theta)\right)
+$$
+
+s t
+
+$$
+\max  \left\{\left| x \right|, \left| y \right| \right\}
+$$
+
+0.5
+
+0
+
+$$
+\theta <   \begin{array}{c} \pi \\ 2 \end{array} .
+$$
+
+$$
+, X = (x, y).
+$$
+
+(1),
+
+IQ
+
+$$
+2 \quad Q _ {1} = (x _ {1}, y _ {1}), Q _ {2} = (x _ {2}, y _ {2})
+$$
+
+$$
+D _ {x} = \operatorname {m i n} \left\{x _ {1} - x _ {2} - \left[ x _ {1} - x _ {2} \right], 1 + \left[ x _ {1} - x _ {2} \right] - \left(x _ {1} - x _ {2}\right) \right\}
+$$
+
+$$
+D _ {y} = \operatorname {m i n} \left\{y _ {1} - y _ {2} - \left[ y _ {1} - y _ {2} \right], 1 + \left[ y _ {1} - y _ {2} \right] - \left(y _ {1} - y _ {2}\right) \right\}
+$$
+
+$$
+\rho (Q _ {1}, Q _ {2}) = \sqrt {D _ {x} ^ {2} + D _ {y} ^ {2}}
+$$
+
+$$
+\rho (Q _ {1}, Q _ {2}) \quad Q _ {1} \quad Q _ {2}
+$$
+
+$$
+\rho (Q) \quad Q
+$$
+
+$$
+Q
+$$
+
+：
+
+$$
+N _ {Q}, \quad \rho (P _ {i, Q})
+$$
+
+$P_{i}$
+
+$$
+N _ {\varrho}
+$$
+
+$$
+, \quad \rho (P _ {i, Q})
+$$
+
+$$
+P _ {i} \quad N _ {Q}
+$$
+
+：
+
+3  $\rho (Q_{1},Q_{2}) = \rho (Q_{2},Q_{1}).$  
+4 0  $\rho (Q_{1},Q_{2})$  0.5  
+3  $N_{Q}$  ，Pi  
+4  $P_{1}, P_{2}$
+
+$$
+: \rho \left(P _ {1}, P _ {2}\right) 2 \epsilon
+$$
+
+$$
+4 \quad , g (N _ {x})
+$$
+
+$$
+\mathrm {P} _ {1}, \dots , \mathrm {P} _ {n}
+$$
+
+$$
+\mathbf {X}
+$$
+
+$$
+\epsilon
+$$
+
+$$
+, \tag {1}
+$$
+
+$$
+\alpha
+$$
+
+$$
+P _ {i}
+$$
+
+$$
+P _ {i} (\alpha) = \left(a _ {i} (\alpha), b _ {i} (\alpha)\right).
+$$
+
+$$
+P _ {i} (\alpha), \tag {1}
+$$
+
+$$
+\frac {\pi}{2}
+$$
+
+$$
+, \quad (\quad) \alpha
+$$
+
+$$
+R = \max  _ {i} \rho (P _ {i}), \alpha
+$$
+
+$$
+0. 0 1, \quad R \alpha \quad 0. 0 1, \quad \alpha \frac {0 . 0 1}{R}.
+$$
+
+$$
+, R \quad 1 0, \quad \alpha \quad 0. 0 0 1.
+$$
+
+$$
+\frac {\pi}{2}, \quad \frac {\pi}{2 \alpha} 1 5 7 0.
+$$
+
+$$
+, \alpha \quad \frac {1}{2 0 0 0} \times \frac {\pi}{2}, \quad 4 0 0 0 \quad ,
+$$
+
+$$
+4 0 0 0 \times 1 0 0 ^ {2}
+$$
+
+$$
+( \begin{array}{c} \end{array} ).
+$$
+
+$$
+6, \quad : P _ {1}, P _ {6}, P _ {7}, P _ {8}, P _ {9}, P _ {1 4}
+$$
+
+II
+
+$$
+I \quad , \quad 4 0 0 0 \times 1 0 0 ^ {2}
+$$
+
+$$
+: \quad Q = P _ {i}, (i = 1, \dots , n),
+$$
+
+$$
+I \quad g \left(N _ {Q}\right), \quad Q \quad P _ {i}
+$$
+
+$$
+\epsilon \quad (0. 0 1)
+$$
+
+$$
+g \left(N _ {\varrho}\right), \quad 1 1 ^ {2} \quad g \left(N _ {\varrho}\right).
+$$
+
+$$
+1 1 ^ {2} \times 1 2 \quad g (N _ {\varrho}) (\quad ,
+$$
+
+$$
+Q \quad , \quad).
+$$
+
+$$
+\alpha = \frac {1}{2 0 0 0} \times \frac {\pi}{2}, \quad P _ {i} \quad , \quad P _ {i} (\alpha) = (a _ {i} (\alpha),
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} b _ {i} (\alpha)), \\ P _ {i} (\alpha), \tag {1} \\ , \quad \frac {\pi}{2} \quad . \quad 4 0 0 0 \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\times 1 1 ^ {2} \times 1 2 g (N _ {\varrho}) (\quad , \quad N _ {\varrho}, \quad),
+$$
+
+$$
+( \begin{array}{c} \end{array} ).
+$$
+
+$$
+(2):
+$$
+
+![](images/78a089ce49c56ee4e5c5d6617917820dfe97fe8abfaa5d3cf20d8105d6fc1728.jpg)
+
+$$
+\begin{array}{l} \left[ b _ {1} \right], 1 + \left[ b _ {i} \right] - \left. b _ {1} \right\} \\ D \left(P _ {i}, P _ {1}\right) = \max  \left\{\left| a _ {i} - a _ {1} \right|, \left| b _ {i} - b _ {1} \right| \right\} \quad (i = 2, \dots , n) \\ P _ {1} = P _ {1}, \quad i _ {0} \quad \{1, \dots , n \}, j _ {0} \quad \{1, \dots , n \}, \\ a _ {i _ {0}} = \underset {1} {\operatorname {m i n}} \left\{a _ {i} \right\}, b _ {j _ {0}} = \underset {1} {\operatorname {m i n}} \left\{b _ {i} \right\} \\ Q = \left(a _ {i _ {0}} + \epsilon , b _ {j _ {0}} + \epsilon\right) \quad N _ {\mathcal {Q}}, \quad D \left(P _ {i}, Q\right) \quad \epsilon (i = 2, \dots , n), \quad 1, P _ {1}, \dots , \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} P _ {n} & ; & , & i, D (P _ {i}, Q) = D (P _ {i}, Q) > \epsilon , \\ & & & a _ {i} - (a _ {i _ {0}} + \epsilon) > \epsilon & b _ {i} - (b _ {j _ {0}} + \epsilon) > \epsilon \\ & a _ {i} - (a _ {i _ {0}} + \epsilon) > \epsilon , & a _ {i} - a _ {i _ {0}} > 2 \epsilon , & D (P _ {i}, P _ {i _ {0}}) = D (P _ {i}, P _ {i _ {0}}) > 2 \epsilon , \\ & , & 2 & . \\ & , & . \\ & \vdots \\ & , & & 2 \epsilon , & \max   \rho (P _ {i}, P _ {j}) > 2 \epsilon , \end{array} .
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} \mathrm {P} _ {1}, \ldots , P _ {n} & & . \\ , n & & P _ {1}, P _ {2}, \ldots P _ {n} \\ \max  _ {1} \rho (P, P _ {i}) & \epsilon & , & , & . \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c} 6 & P _ {1}, \dots , P _ {n} \\ & \exists P & \underset {j = 1} {\overset {n} {\operatorname * {P}}} \left\{P \left| \rho (P, P _ {j}) \quad \epsilon \right. \right\} & \underset {1 i n} {\max } \rho (P, P _ {i}) \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c c c} & , & \exists   j, P, & \rho (P, P _ {j}) & \epsilon_ {\texttt {m a x}} \rho (P, P _ {i}) & \epsilon & N _ {  P}, \\ P _ {2} \dots , P _ {n} & & . & & & & \end{array} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
+$$
+
+$$
+N _ {P}, \quad P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {n} \quad , \tag {3}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \rho (P, P _ {i}) \quad \epsilon , i = 1, 2, \dots , n. \end{array}
+$$
+
+$$
+P \quad_ {j = 1} ^ {n} \{P \left| \rho (P, P _ {j}) \quad \epsilon \right\} \quad \max  _ {1 i n} \rho (P, P _ {i}) \quad \epsilon
+$$
+
+：
+
+$$
+j = 1, 2, \dots , n, \quad P \quad P _ {j} \quad , \epsilon
+$$
+
+$$
+\rho (P, P _ {1}), \dots , \rho (P, P _ {n})). \quad P,
+$$
+
+$$
+\max  _ {1} \rho (P, P _ {i}) \quad \epsilon
+$$
+
+$$
+P _ {1}, P _ {2}, \dots , P _ {n} \quad , \quad ;
+$$
+
+$$
+2. \tag {2.}
+$$
+
+$$
+\alpha \quad (\quad , \alpha
+$$
+
+$$
+P _ {i} (\alpha) = \left(a _ {i} (\alpha), b _ {i} (\alpha)\right),
+$$
+
+$$
+P _ {i} (\alpha),
+$$
+
+π 2
+
+$$
+P _ {1}, \dots , P _ {n}
+$$
+
+4
+
+[1] ． ： ,1987.  
+[2] 1996, 6.  
+[3] 1996,5.  
+[4] ． ： ,1995,4.  
+[5] 1990, 10.
+
+# Mine Drilling Distribution
+
+ZHU Zhen-bo, XIE W en-chong, PIXing-yu
+
+(Airforce Radar Institute, Wuhan 430010)
+
+Abstract This paper offers a mathematical model of mine drillings distribution and its solution by using different optimization methods, such as all-sided searching method, partial-search-
+
+ing method, graph theory method, sight method and operation-in-graph mehtod For the given numerical examples, the obtained solution to problem (1) is 4 and the available old drillings are  $P_{2}$ ,  $P_{4}, P_{5}, P_{10}$ ; the solution to problem (2) is 6 and the available old drillings are  $P_{1}, P_{6}, P_{7}, P_{8}, P_{9}$ ,  $P_{11}$ . Finally, for problem (3), this paper gives a sufficient and necessary condition for n old drillings being available
+
+1
+
+80
+
+66
+
+99
+
+1999
+
+450052)
+
+”
+
+）
+
+D ( )
+
+2
+
+(1)
+
+$$
+[ x ] =
+$$
+
+$$
+x
+$$
+
+$$
+(x
+$$
+
+$$
+),
+$$
+
+$$
+r (x) = [ x + \frac {1}{2} ] (x
+$$
+
+$$
+).
+$$
+
+Ceiling)
+
+NT,
+
+ROUND()
+
+(floor).
+
+[x]
+
+$$
+\left\{x \right\} = x - [ x ], \quad f (x) = \left| x - r (x) \right|
+$$

MCM_CN/2001/论文/A题优秀论文/利用切片的二维空间相关操作实现血管的三维重建/利用切片的二维空间相关操作实现血管的三维重建.md

@@ -0,0 +1,223 @@
+:1005-3085(2002)05-0029-06
+
+![](images/9fb59980222e0473d29ef56f152759a1a2f52d7d992863fa11f22f958509efbb.jpg)
+
+1
+
+R,R
+
+R
+
+R
+
+R;
+
+R
+
+1
+
+0.bmp
+
+99.bmp
+
+X-Y
+
+2R
+
+$\mathrm{(y = 260}$
+
+280)
+
+A, A
+
+B, |AB|
+
+$$
+| \mathrm {A B} |
+$$
+
+$$
+2 \mathrm {R} = 6 0, \mathrm {R} = 3 0 (\quad)
+$$
+
+2
+
+R
+
+$$
+f (x, y) \quad g (x, y)
+$$
+
+![](images/abb193c557b6af37ebbddb359fc13523a3caa827539e0300ebb6c6579ad853ec.jpg)  
+1
+
+$$
+f (x) = \sum_ {i = 1} g (x - x _ {i}), \quad g (x)
+$$
+
+$$
+: g (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & / x / <   a / 2 \\ 0 & / x / <   a / 2 ^ {x _ {i}} \end{array} \right.
+$$
+
+$$
+f (x), \quad g (x)
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} g (x) \oplus f (x) = \int_ {-} ^ {+} g \left(x ^ {\prime} - x\right) f \left(x ^ {\prime}\right) d x ^ {\prime} = \sum_ {i = 1} ^ {N} \int_ {-} ^ {+} g \left(x ^ {\prime} - x\right) g \left(x ^ {\prime} - x _ {i}\right) d x ^ {\prime} (1) \\ : x ^ {\prime \prime} = x ^ {\prime} - x _ {i}, \\ g (x) \oplus f (x) = \sum_ {i = 1} ^ {N} \int_ {-} ^ {+} g (x" + x _ {i} - x) g (x") d x" \\ = \sum_ {i = 1} ^ {N} \int_ {-} ^ {+} g (x ^ {\prime \prime} - (x - x _ {i})) g (x) ^ {\prime \prime} d x ^ {\prime \prime} \\ = \sum_ {i = 1} ^ {N} c (x - x _ {i}) (2) \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} c (x) = g (x) \oplus g (x), \\ f (x) \quad , g (x) \oplus f (x) \\ f (x) \quad g (x) \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+, \quad f (x) \quad g (x)
+$$
+
+$$
+g (x) \oplus f (x)
+$$
+
+$$
+g (x) \quad f (x)
+$$
+
+$$
+g (x, y) \oplus f (x, y) \Leftrightarrow G ^ {*} (u, v) F (u, v),
+$$
+
+$$
+, G F \quad g (x, y) \quad f (x, y)
+$$
+
+$$
+g (x, y)
+$$
+
+$$
+f (x, y)
+$$
+
+# MA TLAB
+
+$$
+R = 3 0
+$$
+
+( 2)
+
+![](images/48983b23c3c35bf7e2b050c7752330b2538648c395ff262ba3a2e9a03131a4de.jpg)
+
+![](images/0a7d03a42500bc723ba1373150253e1306c9bb7fc9068288c54539d09514c5df.jpg)
+
+![](images/5ece256a5699e2c1fe39ebab13d1743ecd8e161e43517a297b9d524b87f914b6.jpg)
+
+2
+
+$R = 30$
+
+![](images/4d05b1f26617399e9e90b396debcec8e29066c3c9163f2f462eec1d6e54abdfa.jpg)
+
+2
+
+3
+
+3
+
+（
+
+1
+
+10
+
+$= 85$
+
+Z
+
+0
+
+90
+
+Z
+
+0
+
+10
+
+40
+
+（
+
+Z
+
+Z
+
+Z
+
+![](images/abec53417cfe83f8c1de4bfe4df61c4a4befa5c398ac93856257911c6a951d43.jpg)  
+0
+
+![](images/1484db6251ff03e6b69bc3a71c45c68bae31f33c2a2ca29243f77e181ad4cce3.jpg)  
+99
+
+3
+
+4-5
+
+（
+
+4)
+
+MathCAD2000
+
+1
+
+4
+
+![](images/07907da1025838f9e3f816dc631568c8e72703fc480425979dedeea410669fab.jpg)
+
+![](images/1498a2827eab63727d5bf46bb5bfc9213dcbe3685033903b0405bde387299369.jpg)
+
+![](images/bd36d6529d1f58c56289ac1498ce9ea119f1edd473d68fd2fd0a7f601456f9a6.jpg)  
+(c)  $Z, Y$
+
+![](images/ad35a85fe472f7dfae5c7ec65fdad2d0a2c3ceb989153024f94fcf94be113832.jpg)  
+(d)  $X,Z$
+
+4
+
+$$
+, \quad Z = 5 2
+$$
+
+$90^{\circ}$
+
+52 85
+
+4f
+
+$$
+\begin{array}{l} T (u, v) = / G (u, v) + R (u, v) / ^ {2} \\ = / G (u, v) / ^ {2} + 1 + G (u, v) \exp [ - i a u ] + G ^ {*} (u, v) \exp [ i a u ] \\ \end{array}
+$$
+
+$G(u,v)$  ，  $R(u,v,)$
+
+4f
+
+$f(x,y)$ $f(u,v)T(u,v)$ $= (/G(u,v)/^2 +1)F(u,v)F(u,v)G(u,v)\exp [-iau] + F(u,v)G^* (u,v)\exp [iau]$ $F(u,v)f(x,y)$ $4f$ $F(u,v)T(u,v)$ $F(u,v)G^{*}(u,v)$ $f(x,y)$ $g(x,y)$  CCD(Charge Coupled Device)
+
+[1] ,Jutamulia S. [M]. : ,1998  
+[2] ,1984
+
+# Three-dimensional reconstruction of blood vessels from a 2D correlation analysis of vessel slices
+
+HU Yr-bin，XIANGJie，CHENG Xiang
+
+Adviser: WANG Luopeng
+
+(Department of Physics, Peking University, Beijing 100871, PR China)
+
+Abstract: The concept of correlation has been widely used in image processing to identify and locate similar parts in different images. In this report we utilized FFT and iFFT to do correlation operations on a set of 2D blood vessel slices to reconstruct the spatial shapes of the vessel body and its axes curve. The radius of the blood vessel was determined and used to draw the 3D structures of the vessel and its axes via MathCAD. We've cut slices from the computer generated figure and the result well fit the given slice bitmaps. We also analyzed both the strong and weak points of our method and presented a brief discussion on how to make a 3D reconstruction by methods in modern optical information processing instead of pure math and computational means.
+
+Key words: model; reconstruction; FFT

MCM_CN/2001/论文/A题优秀论文/管道切片的三维重建/管道切片的三维重建.md

@@ -0,0 +1,109 @@
+:1005-3085(2002)05-0022-07
+
+![](images/6901ae3652a2d57f237a063d7c5da5cba218772a5dd4a7e2afa51a19f966be7e.jpg)
+
+1 （）  
+2 （）  
+3
+
+![](images/9f170e00ec8b0af8d5b4de1e5dc2ef78fdafc162b393ecef58a01f594426997d.jpg)
+
+<table><tr><td>BMP</td><td>,</td><td>,</td><td>,</td></tr><tr><td>BMP</td><td>,</td><td>,</td><td>,</td></tr><tr><td>BMP</td><td>,</td><td>,</td><td>,</td></tr><tr><td>,</td><td>,</td><td>,</td><td>,</td></tr><tr><td>,</td><td>,</td><td>,</td><td>,</td></tr><tr><td>4</td><td>,</td><td>:</td><td>,</td></tr><tr><td>1</td><td rowspan="2">2:</td><td rowspan="2" colspan="2">Z ± 1, Z ± 2, ..., Z ± 29</td></tr><tr><td>1,</td></tr><tr><td>2</td><td>Z(Z)</td><td colspan="2">( R )</td></tr><tr><td></td><td>√R2 - i2 (i = 1,2,...,29)</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>:</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>:</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>,</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>,</td><td>,</td><td>;</td></tr><tr><td>3</td><td>,</td><td>,</td><td></td></tr><tr><td>,</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>, 100 BMP</td><td></td><td></td></tr><tr><td>BMP</td><td>BMP</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>0 1</td><td>0 1</td><td>BMP</td></tr><tr><td></td><td>512 × 512</td><td>,</td><td>16</td></tr><tr><td>4</td><td>,</td><td></td><td>16</td></tr><tr><td></td><td>0 1</td><td>,</td><td></td></tr><tr><td></td><td>,</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>,</td><td></td><td></td></tr><tr><td>H</td><td>E</td><td>,</td><td>1, D, B, F,</td></tr><tr><td></td><td>:</td><td>0 1</td><td></td></tr><tr><td></td><td>,</td><td>,</td><td></td></tr><tr><td></td><td>1,</td><td></td><td></td></tr></table>
+
+50.BMP(
+
+$$
+x [ 1 ], x [ 2 ], \dots ,
+$$
+
+![](images/59bf8ea06e20ae76224a43b25882b58e7ad411b7c36945001d81870a25905662.jpg)  
+1  
+E
+
+$$
+\begin{array}{l} x [ n ]; y [ 1 ], y [ 2 ], \dots , y [ n ] \\ \min  x = \min  \left\{x [ 1 ], x [ 2 ], \dots , x [ n ] \right\}, \\ \max  x = \max  \left\{x [ 1 ], x [ 2 ], \dots , x [ n ] \right\}, \\ \min  y = \min  \left\{y [ 1 ], y [ 2 ], \dots , y [ n ] \right\}, \\ \max  y = \max  \left\{y [ 1 ], y [ 2 ], \dots , y [ n ] \right\} \\ \min  x, \max  x, \min  y, \max  y \\ \end{array}
+$$
+
+D, D
+
+![](images/ad3386a43d1c1f646b2dedf4c6bc94d1f5c5168e2dab6366bc364d0d669d33fd.jpg)
+
+0,
+
+（R
+
+A,
+
+R
+
+R
+
+（
+
+），
+
+Pascal
+
+![](images/a2e40d196ee993f53bdfa0addae2fdf8681cc2a42abd969f60fe116b39451863.jpg)  
+图2 最大圆的搜索过程
+
+1
+
+<table><tr><td></td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td></td><td>29.8</td><td>(29.7,29.9)</td><td>(29.7,29.9)</td><td>(29.8,29.9)</td><td>(29.8,29.9)</td><td>(29.8,29.9)</td></tr><tr><td></td><td>(0.1,160.5)</td><td>(0.1,160.2)</td><td>(0.1,159.8)</td><td>(0.1,159.9)</td><td>(0.1,160.1)</td><td>(0.1,160.2)</td></tr></table>
+
+R
+
+0. BMP
+
+X
+
+Bresenham
+
+BMP
+
+Bresenham
+
+R
+
+BMP
+
+1)  $x_0 = 0, y_0 = R, \quad f_0 = 1, g_0 = 2 \times (1 - R)$  
+2)  $i = 0\quad \left[\frac{R}{\sqrt{2}} +\frac{1}{2}\right] - 1,\quad x_{i + 1} = x_i + 1,$
+
+$$
+\begin{array}{l} / f _ {i} / \quad / g _ {i} /, \quad y _ {i + 1} = y _ {i}, f _ {i + 1} = f _ {i} + 2 x _ {i} + 3, g _ {i + 1} = f _ {i + 1} - 2 y _ {i} + 1, \\ / f _ {i} / > / g _ {i} /, \quad y _ {i + 1} = y _ {i} - 1, f _ {i + 1} = g _ {i} + 2 x _ {i} + 3, g _ {i + 1} = f _ {i + 1} - 2 y _ {i} + 3, \\ (x _ {i + 1}, y _ {i + 1}) \\ \end{array}
+$$
+
+![](images/b20ba1f36291d47696b0815b185c5a1c3c37e552e10037c7c597604215a97ece.jpg)
+
+![](images/45cec2bff65fc3f168d685ced3a048c218852f133c6717ad1049959fe5c61134.jpg)
+
+![](images/e4ec3a84d923bb12f19a3aef1ba0840c72b12dbea1b99960aabc789dd173995f.jpg)
+
+![](images/6b6c582f44c95b29e74937c0db30e44770431f2ba895eb95c885402338f22687.jpg)
+
+![](images/aedd9e5bd0287afbe18aaa6558a4f55a10c93384844b21d85e3a568c84ac64a4.jpg)
+
+![](images/fe6525fb6bb02adf274c47051a124c7db6d5e870667238d2e644cb1eb5aa9160.jpg)
+
+BMP
+
+BMP
+
+6
+
+[1] [M]. ,1998  
+[2] [M]. ,1995  
+[3] Kenneth. R. Castleman. [M]. : .1981
+
+# 3D Reconstruction of Pipeline Slice
+
+LIAO Worpeng，DENGJurrye，WANGDan
+
+Advisor: Mathematical Modeling Tutor Group
+
+（Hohai University，Nanjing 210098）
+
+Abstract: This article proves that there exists the biggest circle on each slice, whose center is on the pipeline center curve. By constructing the continuous model and the discrete one, we are able to determine the biggest circle on 0. bmp slice, of which radius is 30 and center coordinate is (0,160). Using the predetermined condition that the biggest circle should be contained in each slice, we find out all possible coordinates of the pipeline center curve on corresponding slices. For each slice, basing on the principle that a slice which lies on over 29 under 29 layers of the slice must contain a corresponding section of the sphere of radius 30, we filtrate the coordinates of the pipeline center curve and determine the more precise one. However, there are still some coordinates of the pipeline center curve left to be filtrated, such as slices from 71 to 99, due to the information is not enough. Further, we use the pointed end property to determine the coordinates of the pipeline center curve on other slices. The projecting figures on each coordinate plane are smooth and fluent. In the end, by using the coordinates to reconstruct all the slices and comparing the slices with the original ones, we found that the error of different pixels is less than  $3\%$ . The result is satisfied.
+
+Key words: continuous model; discrete model; pointed end property

MCM_CN/2001/论文/A题优秀论文/血管切片的三维重建/血管切片的三维重建.md

@@ -0,0 +1,333 @@
+:1005-3085(2002)05-0041-06
+
+```txt
+： C( i) Z= i C( i) P1(i),P2(i) 0 (i) 100 59.   
+1238pixel 100 ：   
+x(t)=-0.207806-0.610303t+0.206455t²-0.0144935t³ +0.000517774t⁴-8.394241977754047×10⁻⁶t⁵ +6.133353112035975×10⁻⁸t⁶-1.6673218267444805×10⁻¹⁰t⁷ y(t)=158.211+1.86595t-0.266798t²+0.0141407t³ -0.000325412t⁴+3.043275597680807×10⁻⁶t⁵ -9.899171274615063×10⁻⁹t⁶   
+z(t)=t 40 (i)(30 i 69), (i)(30 i 69),   
+: ; ;   
+: AMS(2000) 65D17 :O242.1 :A
+```
+
+# 1 （）
+
+# 2
+
+1) ， ( ）  
+2)  
+3) 1,  
+4)  $K(t)$ $(\frac{1}{K(t)} > R, R$
+
+3
+
+<table><tr><td>pixel</td><td></td></tr><tr><td>C</td><td></td></tr><tr><td>C</td><td></td></tr><tr><td>C(i)(x,y)</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr><tr><td>Q(i)(x(ti),y(ti))</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr><tr><td>D(i)</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr><tr><td>R</td><td></td></tr><tr><td>S</td><td></td></tr><tr><td>K(t)</td><td>{x(t),y(t),z(t)}</td></tr><tr><td>Sj(i)</td><td>Z=i (0 i 99,1 j 2)</td></tr><tr><td>Pj(i)(xj(i),yj(i))</td><td>Z=i (0 i 99,1 j 2)</td></tr><tr><td>(i)</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr><tr><td>(i)</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr><tr><td>δ(i)</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr><tr><td>δ(i)</td><td>Z=i (0 i 99)</td></tr></table>
+
+4
+
+1),
+
+$$
+\begin{array}{l} = 9 9 \quad \begin{array}{l l} & 1 0 0 \\ 1 0 0 \end{array} \quad \begin{array}{l l} & Z = 0, Z = 1, \dots \dots , Z \\ X O Y \end{array} \\ \begin{array}{c c c c c c c c} & C ^ {(i)} & & Z = i \\ \partial^ {(i)} & , & P _ {1} ^ {(i)}, P _ {2} ^ {(i)} & \partial^ {(i)} \end{array} , \qquad \qquad \begin{array}{c c c c c c c c} & C ^ {(i)} & & P _ {1} ^ {(i)}, P _ {2} ^ {(i)} \end{array} \\ \begin{array}{c c c c c c c c c c c} & & & & & & & & & \\ & a & & & & L _ {1}, & a & L _ {1} & & b & & b \\ L _ {2} & L _ {1} & , & & a b & & c & & , & a c & \\ & ( & 2) \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+5
+
+![](images/0d880c1d4a8bbdb46a321ee252a7615c5a46203123ceb9db14ca2589daa4568b.jpg)  
+1
+
+![](images/6d7425d9e56f1eb76366c7f37f7b0d80331a09a52bd9cd9d76ffadc6dbd05b2d.jpg)  
+2
+
+1)  
+2)
+
+$a_{i}$
+
+bj
+
+$d_{ij}$
+
+$d_{i} = \min d_{ij}$
+
+$a_{i}$
+
+$$
+\begin{array}{l} d _ {i}  , \qquad D = \max  _ {i} d _ {i}  , \qquad D \\ n \quad c _ {i} (1 \quad i \quad n), \quad c _ {i} \quad n - 1 \\ \end{array}
+$$
+
+Step1. 100  $VC + +$
+
+Step2.  $Z = 99$
+
+$D^{(99)}$
+
+C
+
+$Z = 99$
+
+$$
+C ^ {(9 9)} (x, y) \quad D ^ {(9 9)} = 5 9. 1 3 5 4 p i x e l,
+$$
+
+$$
+P _ {1} ^ {(9 9)} \left(x _ {1} ^ {(9 9)}, y _ {1} ^ {(9 9)}\right),
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} P _ {2} ^ {(9 9)} \left(x _ {2} ^ {(9 9)}, y _ {2} ^ {(9 9)}\right), \quad C ^ {(9 9)} \\ C ^ {(9 9)}, \quad C ^ {(9 9)} (1 5, - 1 8 8) \\ \end{array}
+$$
+
+Step3.  $Z = i$  （20  $C^{(i)}\qquad P_1^{(i)}\left(x_1^{(i)},y_1^{(i)}\right),P_2^{(i)}\left(x_2^{(i)},y_2^{(i)}\right),$
+
+$$
+C ^ {(i - 1)} \quad Z = i
+$$
+
+$$
+C ^ {(i)}
+$$
+
+$$
+Z = i - 1
+$$
+
+$$
+P _ {1} ^ {(i)} \left(x _ {1} ^ {(i)}, y _ {1} ^ {(i)}\right), P _ {2} ^ {(i)} \left(x _ {2} ^ {(i)}, y _ {2} ^ {(i)}\right)
+$$
+
+$$
+, 3 0 p i x e l
+$$
+
+$$
+\partial^ {(i)}
+$$
+
+$$
+S _ {1} ^ {(i)}, S _ {2} ^ {(i)} \quad C ^ {(i - 1)} \quad D ^ {(i - 1)} \quad , \quad Z = 9 8, Z =
+$$
+
+$$
+9 7, \dots .. Z = 0 \quad , \quad D ^ {(i)}, \quad C ^ {(i)} (x, y), (i =
+$$
+
+$$
+(0, 1, \dots \dots , 9 8)
+$$
+
+Step4.  $D^{(i)}(0\quad i\quad 99)$
+
+59. 1238pixel,  $R = 29$
+
+$$
+5 6 1 9 p i x e l
+$$
+
+Step5. 100
+
+Mathematica
+
+(1)
+
+XOY，YOZ，XOZ
+
+(2)
+
+$$
+C \colon (x (t), y (t), t), \quad x (t), y (t) \quad t
+$$
+
+$z(t) = t$  ，Mathematica (Statistics' NonlinearFit')
+
+$C$  ：
+
+$$
+\begin{array}{l} x (t) = - 0. 2 0 7 8 0 6 - 0. 6 1 0 3 0 3 t + 0. 2 0 6 4 5 5 t ^ {2} - 0. 0 1 4 4 9 3 5 t ^ {3} \\ + 0. 0 0 0 5 1 7 7 7 4 t ^ {4} - 8. 3 9 4 2 4 1 9 7 7 7 5 4 0 4 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ + 6. 1 3 3 3 5 3 1 1 2 0 3 5 9 7 5 \times 1 0 ^ {- 8} t ^ {6} - 1. 6 6 7 3 2 1 8 2 6 7 4 4 4 8 0 5 \times 1 0 ^ {- 1 0} t ^ {7} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} y (t) = 1 5 8. 2 1 1 + 1. 8 6 5 9 5 t - 0. 2 6 6 7 9 8 t ^ {2} + 0. 0 1 4 1 4 0 7 t ^ {3} \\ - 0. 0 0 0 3 2 5 4 1 2 t ^ {4} + 3. 0 4 3 2 7 5 5 9 7 6 8 0 8 0 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ - 9. 8 9 9 1 7 1 2 7 4 6 1 5 0 6 3 \times 1 0 ^ {- 9} t ^ {6} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+z (t) = t
+$$
+
+![](images/a6cc68e3a9fe2b4eb04f806267ab4a41de58e79a5c831186b91e5f8fb4b6090c.jpg)  
+XOY，YOZ，XOZ
+
+![](images/98773d2fdbc12d1c9a4cb038fa13a8751ce0163f962ace8336444ae279e9509e.jpg)  
+3
+
+![](images/5ae930bdc2e1ff69df498ba87df11b470866cc96e6b2f2022b942823309e8aef.jpg)
+
+3
+
+6
+
+$$
+\begin{array}{c c c c} & \vdots & C ^ {\prime}: \{x (t), y (t), t \}, \\ R & C ^ {\prime} & S ^ {\prime} & Z = i (i = 3 0, 3 1 \dots .. 6 9) \\ 4 0 & (i) & (i) & (i) \\ & & , \end{array}
+$$
+
+96.8024%, 40
+
+$$
+5 \quad Z = 3 0, Z = 4 0, Z = 5 0, Z = 6 0, Z = 6 9 \quad , \tag {4}
+$$
+
+$$
+\left( \begin{array}{c c} & S ^ {\prime} \end{array} \right)
+$$
+
+$$
+C ^ {\prime}: \{x (t), y (t), t \}, \quad C ^ {\prime}
+$$
+
+$$
+, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \cdot “ ”
+$$
+
+$$
+C ^ {\prime} \quad R, \quad R \quad C ^ {\prime} \quad S ^ {\prime}
+$$
+
+$$
+Z = i \quad S ^ {\prime} \quad 4 0 \quad (i = 3 0, 3 1 \dots \dots 6 9), \quad \partial^ {(i)}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \begin{array}{c c c} \text {"} & & \\ & \text {"} & \\ & & x \\ & & y \end{array} \quad , \quad y \quad) \quad \begin{array}{c c c} \text {"} & & \\ & & \\ & & \partial^ {(i)} \end{array} \\ \text {‘} = 3. 3 5 7 2 2 \text {p i x e l} \\ \end{array}
+$$
+
+：
+
+$$
+Z = i (3 0 \quad i \quad 6 9)
+$$
+
+$$
+Z = i \quad , \quad t = t _ {1}
+$$
+
+$$
+t _ {s} = s \times (t _ {2} - t _ {1}) / 2 4 0 + t _ {1},
+$$
+
+$$
+C ^ {\prime} ,
+$$
+
+$$
+Z = i
+$$
+
+$$
+Z = i
+$$
+
+$$
+Z = i
+$$
+
+$$
+R
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+t _ {1}
+$$
+
+$$
+C ^ {\prime}
+$$
+
+$$
+t _ {2}
+$$
+
+$$
+,
+$$
+
+$$
+[ t _ {1}, t _ {2} ] 2 4 0
+$$
+
+$$
+
+$$
+
+$$
+s
+$$
+
+$$
+2 4 0
+$$
+
+![](images/c9b58807fe83c35e10c137580fd651668dfa258604cb1dd9a54cc4a19b39131c.jpg)
+
+7
+
+$R_0$
+
+$Z = i$
+
+$R_{0}$
+
+$R_{0}$
+
+1/2pixel
+
+$R_{0}$
+
+1/2pixel,
+
+$R_{0}$
+
+1/2pixel
+
+$R_{0}$
+
+[1] , , .Mathematica [M].,1999 10  
+[2] [M]. : ,1986 11  
+[3] C [M]. : ,1991 7  
+[4] [M]. ,2001 1  
+[5] [M].2001 1  
+[6] [M].1999 4
+
+# Re-construction of Vessel in Three Dimension
+
+LIU Hardong, CHEN Lu, JIANG Hao
+
+The tutor: LU Qinhe
+
+(Suzhou University, Suzhou 215006, P. R. China)
+
+Abstract : The re - construction of vessel in three dimension will be discussed in this essay. We first show the following proposition.
+
+Proposition Let  $C$  be a curve along which the center of a ball moves,  $(i)$  a section sliced from the original vessel by the plane  $Z = i$ , and  $\partial^{(i)}$  the boundary of  $(i)(0 \quad i \quad 99)$ . Let  $C^{(i)}$  be the intersection point of  $C$  with the plane  $Z = i(0 \quad i \quad 99)$ , then there are a line segment with two end points  $P_{1}^{(i)}, P_{2}^{(i)}$ ,  $(P_{j}^{(i)} \partial^{(i)}, 0 \quad i \quad 99, 1 \quad j \quad 2)$  such that  $C^{(i)}$  is the middle point of the line segment
+
+$P_{1}^{(i)}$ $P_{2}^{(i)}$  and two parallel tangent lines which touch  $\partial^{(i)}$  only at  $P_{1}^{(i)}$ ,  $P_{2}^{(i)}$  respectively (0 i 99).
+
+On the basis of the proposition shown above,  $C^{(i)}(0 \quad i \quad 99)$  and the diameter of the vessel  $D = 59.1238$  pixel have been found. The equation of  $C$  is simulated by coordinate data of 100 intersection points:
+
+$$
+\begin{array}{l} x (t) = - 0. 2 0 7 8 0 6 - 0. 6 1 0 3 0 3 t + 0. 2 0 6 4 5 5 t ^ {2} - 0. 0 1 4 4 9 3 5 t ^ {3} \\ + 0. 0 0 0 5 1 7 7 7 4 t ^ {4} - 8. 3 9 4 2 4 1 9 7 7 7 5 4 0 4 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ + 6. 1 3 3 3 5 3 1 1 2 0 3 5 9 7 5 \times 1 0 ^ {- 8} t ^ {6} - 1. 6 6 7 3 2 1 8 2 6 7 4 4 4 8 0 5 \times 1 0 ^ {- 1 0} t ^ {7} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} y (t) = 1 5 8. 2 1 1 + 1. 8 6 5 9 5 t - 0. 2 6 6 7 9 8 t ^ {2} + 0. 0 1 4 1 4 0 7 t ^ {3} \\ - 0. 0 0 0 3 2 5 4 1 2 t ^ {4} + 3. 0 4 3 2 7 5 5 9 7 6 8 0 8 0 7 \times 1 0 ^ {- 6} t ^ {5} \\ - 9. 8 9 9 1 7 1 2 7 4 6 1 5 0 6 3 \times 1 0 ^ {- 9} t ^ {6} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+z (t) = t
+$$
+
+On the ground of that equation, the simulated vessel in three dimension is figured out, and at the same time, the 40 sections sliced from the simulated vessel are also made out, matching the original vessel at the average rate as much as  $96.8024\%$ .
+
+Key words: tangent lines; polynomial fit

MCM_CN/2001/论文/A题优秀论文/血管的三维重建/血管的三维重建.md

@@ -0,0 +1,195 @@
+:1005-3085(2002)05-0035-06
+
+![](images/258c7b77e67e008b6b6a4b8a5e418745428b265b475a3670bec282e92d260988.jpg)
+
+1 （）
+
+1).  
+2).  
+3).
+
+2
+
+1).  $i$  
+2).  $R = \frac{1}{100}_{i=0}^{99} R_{i}$  
+3).  $C_i$  Bezier  
+4). 2)3
+
+$R_{i}$ $C_i,i = 0,1,\dots ,99$
+
+3
+
+1).
+
+Bmp (Mathematica)
+
+2).
+
+Matlab edge()
+
+3).
+
+00.bmp
+
+100
+
+100
+
+$$
+R = 2 9. 7 5
+$$
+
+4).
+
+Bézier
+
+，
+
+（
+
+1) :
+
+4
+
+$\begin{array}{r l} & {\mathrm{~\textit~{\textbf~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~ \textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~ {}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\ & {\mathrm{~~\textit~{\textit~{\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{ ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \text it ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ 2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\ & {\mathrm{~~\textit~{\textit~{\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit~{~\textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ { ~ \textit ~ {\mathcal{E}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\ & {\mathrm{~~\textit~{\textit~{\mathcal{E} r s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i ng t h e m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S T A T E D I N G T H E M A T B O L D S}}} = |D(r,p) - R|}\\ & {\mathrm{~~\mathcal{E} r s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t}}}}\\ & {\mathrm{~~\mathcal{E} r s t a t e d i n g t h e m a t h e r m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g t h e m a t b o l d s t a t e d i n g}}\\ & {\mathrm{~~\mathcal{E} r s t a t e d i n g} (z);}\end{array}$ $= 0;$ $s(z)$  200 :p Average (z); 4 , 4 , 200 ; p(i,z)i=1,2,...,200; Average (z) = 1/200i=1(p(i,z)) (2)
+
+1).  $r(s)$  （20  $z$ $(0\leq z\leq 99)$  
+2).
+
+$$
+z <   3 0
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c c c c} : & z & , & x - y \\ \hline \end{array} , \begin{array}{c c c c c} \frac {d x}{d z} & \frac {d y}{d z} & \frac {d z}{d x} & \frac {d z}{d y} \end{array}
+$$
+
+z 99 ， (3)：
+
+![](images/c6e4ba78e19172d5b12dcc5a6b0f9dc478157319ab183c31cbf916b41ccbd7cf.jpg)
+
+![](images/1183d8e106af3ebecd214f66abe99879cb2908495d2489893a34ca3d2d7ea4a5.jpg)
+
+$$
+x = 0, y - z
+$$
+
+![](images/7cf4a8226a3e0129804b84d2564ff6ae19231d745db408982759cc3abbd692fb.jpg)  
+1
+
+$$
+z = 0, x - y
+$$
+
+![](images/3882f867551439ffdfe2e8dbfdfbe5ecabf53f8f7fbdc90cc0a9fb6b233f1da5.jpg)
+
+![](images/3e5ae017361f5e7f54f48d6062fed586b5dcf518ba5bdf143ca8487d7c452747.jpg)  
+2
+
+：p
+
+![](images/cd6b107ce077bf0c9668278b65359a797d8501655cc1422515315364914bfabb.jpg)
+
+$$
+(i) = \frac {N (i) - P (i) + M (i) - P (i)}{M (i)}
+$$
+
+$$
+z = i \quad , \quad z \quad [ i - R, i + R ] \quad z = i
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} [ 2 R + 1 ] \quad , \quad \sqrt {\left(R ^ {2} - (z - i) ^ {2}\right)} \quad , \quad [ 2 R + 1 ] \\ \begin{array}{l} z = i \\ 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0 \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+(30) = 5.7\%, \quad (40) = 6.5\%, \quad (50) = 7.1\%, \quad (60) = 6.8\%, \quad (70) = 6.5\%; \\ , \quad 5 \quad , \quad (i)
+$$
+
+![](images/ce9a2443a09e351e03c2ae36109953cae3ff018248b392360e944a8a9bb9c33f.jpg)  
+30  
+95  
+4
+
+![](images/5448ed9d5abb8b7a3778b8747760984dd9c650d4adc7ddaf3fa4c6b148688377.jpg)  
+(5  
+95
+
+5
+
+$$
+\{\{7 0, 2 8 0 \}, \{7 1, 2 8 5 \}, \{7 2, 2 8 9 \}, \{7 3, 2 9 3 \}, \{7 4, 2 9 6 \} \} \quad R = 2 9. 6 1 4
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x = 2 5 0 \\ y = 2 5 0 \\ z \quad (-, \quad) \end{array} , \quad : \right.
+$$
+
+![](images/c27e505a67caa8ecb7992f589c46203a9f4e99218de79cd6fd74e14161923299.jpg)
+
+![](images/592193e377b923836314be3197bdcc462340929b93499304dc1955568efa72d3.jpg)
+
+![](images/71d5e2519ddb983c12f02d31b686aef936987a6cb85bd3b0b67b2fb99561e8a6.jpg)
+
+L1 , L2
+
+![](images/b2fa4f8832f6c540dd211572198a389ee4f262ea838bef1dc22d008f7b3531dd.jpg)
+
+30,40,50,60,70
+
+1
+
+<table><tr><td></td><td>(30)</td><td>(40)</td><td>(50)</td><td>(60)</td><td>(70)</td></tr><tr><td></td><td>5.7 %</td><td>6.5 %</td><td>7.1 %</td><td>6.8 %</td><td>6.5 %</td></tr><tr><td></td><td>3.2 %</td><td>2.5 %</td><td>2.7 %</td><td>3.0 %</td><td>3.2 %</td></tr></table>
+
+1)  
+2)  
+3)  
+4)
+
+[1]
+
+Mathematica
+
+[M]. :
+
+,1998
+
+[2]
+
+[M].
+
+,1996
+
+[3]
+
+[M]. : ,1999
+
+[4]
+
+[M].
+
+,1986
+
+[5]
+
+Barhill R E, Riesenfeld R F. Computer Aided Geometric Design[M]. Academic Press New York, 1974
+
+[6]
+
+[J].
+
+. Vol. 13 Ser A Suppl. 1998,87 - 90
+
+# 3D Rebuilding of Vessel
+
+XU Jin，LIUXue-feng，BAI Rong-gang
+
+Adviser: DOU Dou
+
+(University of Science and Technology of China, Hefei 230026)
+
+Abstract: Given a problem of 3D rebuilding of vessel, we consider vessel with constant radius and have built a model to calculate the axis and radius of vessel. In this model we deal with each slice and get the inscribed circle with maximum radius, whose center is just on the axis of vessel, and it's radius just vessel's radius.
+
+In this model, we have introduced two efficient ways to analyse the error. We find that error increases when the angle between the axis and the slice decreases. To handle this problem, we cut the vessel in different directions. The result is good.
+
+Key words : vessel ; 3D rebuilding ; constant radius

MCM_CN/2001/论文/A题优秀论文/血管管道的三维重建/血管管道的三维重建.md

@@ -0,0 +1,270 @@
+:1005-3085(2002)05-0047-07
+
+![](images/8ce132d06bbce1d64a7f7352196e6c39de9b7303b68728cc1574f942000f294d.jpg)
+
+1
+
+1.1
+
+100 0.  
+bmp 1.bmp ... 99.bmp, 512 (pixel) , :  
+; ； 1  
+Z , 1  $Z = 0$  , 100  $Z = 99$   
+, , X Y Y Z X
+
+1.2
+
+2
+
+![](images/52acc6d7d69ac0826c736449700a54622dfd8ae0fa1416e1f90f416f403cbb9c.jpg)  
+）
+
+1  
+2
+
+（
+
+）
+
+3
+
+XY YZ YZ
+
+100
+
+$512\times 512$
+
+MATLAB
+
+Imread
+
+0 1(0
+
+,1
+
+3.1
+
+2
+
+![](images/01301b62f2671aa887978ea2679aad9d995b15a8201f6408769f082ddadeb78a.jpg)
+
+29.529  
+3.2  
+3.2.1
+
+![](images/d985996d3629985d261bdcb21ca9b508c3688c63472509fe87931985ad570108.jpg)
+
+(3)
+
+k
+
+$A\left(X_{0},Y_{0}\right)$
+
+$k + 1$
+
+MATLAB
+
+100
+
+![](images/4bd7991033c41bdf95dbdb1adbeed39562ec7c4155bef4409ef8dc0e599a6a86.jpg)  
+4
+
+3.3 XY YZ ZX
+
+100
+
+1
+
+5
+
+yz
+
+）
+
+15
+
+100
+
+（ ）
+
+（ ）
+
+（+
+
+，
+
+Z
+
+100
+
+2
+
+100
+
+（
+
+4
+
+），
+
+6 yz
+
+（ ）
+
+（ ）
+
+6
+
+6 5
+
+7
+
+7 4
+
+![](images/5b54741cddf785243d9fada89950f56fcfd8c2fbbfe0f96d2552fe9a91d6134d.jpg)  
+5
+
+![](images/b234e2baf40fcde0a46a78a2bd16fe65a20c6d06ceeb82f00319e8a871bc4d98.jpg)
+
+![](images/5d44a84f38483ae72252ff4ed82c833385037b8eea08c79d71b851cc759e832c.jpg)  
+6
+
+![](images/d1e8745a94d413a6c90a77663487b4c45014bc04e619bf55012917a33d545453.jpg)
+
+4
+
+R1 R2
+
+$\mathrm{R}_{99}$ $\mathrm{R}_{100}$
+
+R :29.529
+
+1
+
+100
+
+xy）,
+
+![](images/6f25e8c9b5d90a5ca17a7c6e9e32d659c7647db7e478c42d786f6e7d1e553320.jpg)  
+7
+
+1
+
+<table><tr><td>X</td><td>Y</td><td>Z</td><td>X</td><td>Y</td><td>Z</td></tr><tr><td>0.94557</td><td>-160.01</td><td>0</td><td>3.2166</td><td>-160.2</td><td>0</td></tr><tr><td>1.0959</td><td>-159.95</td><td>1</td><td>2.4788</td><td>-160.19</td><td>1</td></tr><tr><td></td><td></td><td>( )</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>47.72</td><td>180.4</td><td>99</td><td>48.94</td><td>179.84</td><td>99</td></tr></table>
+
+XY YZ ZX
+
+， 91113
+
+， 81012
+
+14 15
+
+（
+
+![](images/53a4fdc181a2927f2c27f9a88917d69d67fa2b77823d1d3e18094037f32c6de4.jpg)
+
+![](images/1ed62cb3cd1c5ffb77fd74b49416cf0196ac41853aa3e17e510911d7051438b8.jpg)
+
+![](images/e441c8461d8195d935271a13ec001dd00043a48f7dc166eb4dad62b3911e45b0.jpg)
+
+![](images/961c79ed01c486a59322d1c06dfe00df7e6a8ab28fc6f9c970a72e1c4a3f1f54.jpg)
+
+![](images/9bb789212537ad1ba75210b8822bb2a69cbd03fd3f1f39f82176b29a5fcb40fd.jpg)
+
+![](images/5937f2d0f1f5ca51a4c197acac2defad82134d484f3f7799559a5ae4cf0da8b9.jpg)
+
+![](images/489c54371cdb9898a6b57ba8106ec434c162fedd82f2d91552203724f97945e4.jpg)  
+5
+
+![](images/9c2369c909c8aecb3b8b69f10e69e7569ea05168f81b4c40726303d180904ef9.jpg)
+
+16
+
+6
+
+6.1
+
+50
+
+50
+
+( 16) Z
+
+5
+
+( 49.bmp)
+
+17 18,
+
+5
+
+( 4.bmp)
+
+![](images/2f082c75e5a0be97aa098a0df42482aeaf4cc4dc138694c747d8ac0c12956391.jpg)  
+16
+
+6.2
+
+(1)
+
+(2)
+
+(3)
+
+![](images/4610d934854038480f9b55c36b6e2e2d3cf0daf16a28183b708e2fe508f9f6ac.jpg)  
+17
+
+![](images/b252ca0d736b16b4933a7a91d5125ecbc30bea0790639874be8f7aee63a1f85a.jpg)  
+18  
+50
+
+7
+
+(1)
+
+(2)
+
+(3)
+
+MA TLAB
+
+bmp  $512\times 512$ $1024\times 1024$
+
+[1] MATLAB 5[M]. , 1999.  
+[2] [M]. , 1978.  
+[3] J.， ( ) [M]. : ,1980. （74）
+
+[1] ( ) [M]. ,1986  
+[2] ， [M]. : ,1999  
+[3] ,Matlab [M]. : ,2000
+
+# The Optimum Mathematical Model on the Bus Dispatch
+
+BO Lirjun, YAO Werpeng, WANG Yarrhui
+
+Adviser: LIU Hong-wei
+
+(XiDian University, Xi'an 710071)
+
+Abstract :This paper presents an optimal method of peak curve according to the Fisher algorithm of serial specimen clustering. We conclude 5 uphill passenger-flow peak ranges:  $5:00 - 6:00$  , 6:00-9:00, 9:00-16:00, 16:00-18:00, 18:00-23:00, and 5 downhill passenger-flow peak ranges:  $5:00 - 7:00$  , 7:00-9:00, 9:00-16:00, 16:00-19:00, 19:00-23:00.
+
+Then, under the peak ranges, two algorithm models, and, are established. Comparing the calculated results of the foregoing models, we conclude: model is applied to two interval high peaks, and model is applied to three others. With the smooth method between every two time-sections, we make the bus time schedule of two starting stations, and get 47 needed buses at least. In this scheme, passengers' satisfaction rate is  $98.2\%$ , and the bus ccompany's is  $76.23\%$ .
+
+By the end, we set a random optimum model by the theory of random service system, and give the probability sensitivity and error analysis. Further, we get a better scheme for collecting operation data.
+
+Key words: serial specimen culstering; passenger-flow; peak; bus number; smooth method; random service
+
+（ 53）
+
+# Reestablishment of three dimensional blood vessel
+
+DING Fengping， ZHOU Lifeng， LI Xiao-peng
+
+Adviser: Mathematical Modeling Tutor Group
+
+(Zhejiang University of Technology, Zhejiang Hangzhou 310032, China)
+
+Abstract : The reestablishment of the three dimensional blood vessel is presented in the article. According to the information given by the problem, 100 pieces of sliced sheet of blood vessel are inputted into the program and transformed into data matrixes. Then three steps are given to reestablish the blood vessel. Firstly, the radius of the blood vessel is obtained by searching the biggest inscribed circle of the sliced sheet and here two solutions are given by using tangent method and the biggest overlay. Secondly, the track of the centre of the scrolling ball is hunted by grid method, Monte Carlo method and non - linear optimization method respectively. Thirdly, the projection of the central axes is positioned precisely on three planes. At last verifying of the reestablished blood vessel and error analysis are carried out to test the precision of the model.
+
+Key words: reestablishment of three dimensional image; track; overlay

MCM_CN/2001/论文/B题优秀论文/公交车调度优化模型/公交车调度优化模型.md

@@ -0,0 +1,296 @@
+19
+
+2002 02
+
+Vol. 19 Supp.
+
+Feb. 2002
+
+:1005-3085(2002)05-0095-06
+
+![](images/688d00af8d87cd606ab4d202a79395f00cf3198015ab3bb4ef34ba24fe0e2b04.jpg)
+
+1
+
+![](images/d98e4b8e516c4d885a1e805bf3b7e51f496ca29d57d1dbe4845c2ba12b181abc.jpg)
+
+2
+
+1) ；  
+2) ；  
+3)  
+4)  
+5)  
+6)
+
+3
+
+$A_{j}$
+
+$$
+Q _ {u} (i j), Q _ {u} (i j), Q _ {d} (i j), Q _ {d} (i j)
+$$
+
+__________
+
+1)  
+2)  
+3) 1
+
+（ ）
+
+1)  $i$  （20  $Q(i):$
+
+$$
+Q (i) = \sum_ {j = 1} ^ {N _ {1}} Q _ {u} (i j) + \sum_ {j = 1} ^ {N _ {2}} Q _ {d} (i j) \quad i = 1, 2, 3, \dots \dots m \tag {1}
+$$
+
+2)  $K(i)$
+
+$$
+K (i) = Q (i) / \bar {Q} = Q (i) / \left(\frac {1}{m} \sum_ {i = 1} ^ {m} Q (i)\right) \quad i = 1, 2, 3, \dots \dots m \tag {2}
+$$
+
+$$
+T _ {a} = \{i | K (i) \geq 1. 8 \}, \quad T _ {a} \quad ; \quad T _ {b} = \{i | 1. 0 \quad K (i) <   1. 8 \}, \quad T _ {b}
+$$
+
+$$
+; \quad T _ {c} = \{i | K (i) <   1. 0 \}, \quad T _ {c} \quad , \quad K (s) = \max  \{K (i) \}, \quad s
+$$
+
+3)  $Q(i)$
+
+$$
+Q (i) = \sum_ {j = 1} ^ {N _ {1}} \left(Q _ {u} (i j) - Q _ {u} (i j)\right) + \sum_ {j = 1} ^ {N _ {2}} \left(Q _ {d} (i j) - Q _ {d} (i j)\right) \tag {3}
+$$
+
+4)
+
+$$
+Q _ {u} (i) = \sum_ {j = 1} ^ {K _ {1}} \left(Q _ {u} (i j) - Q _ {u} (i j)\right), \quad Q _ {d} (i) = \sum_ {j = 1} ^ {K _ {2}} \left(Q _ {d} (i j) - Q _ {d} (i j)\right), \quad K _ {1}, K _ {2}
+$$
+
+， ：
+
+$$
+Q (i) = \max  \left\{Q _ {u} (i), Q _ {d} (i) \right\} \tag {4}
+$$
+
+5)  $t_0(i)$
+
+$$
+t _ {0} (i) = t _ {0 0} + T _ {i} \tag {5}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c} t _ {0 0} \\ : 0 \leq T _ {i} \leq 2 (\end{array} \quad , \quad t _ {0 0} = \left(\sum_ {j = 2} ^ {N _ {1}} L _ {j} + \sum_ {j = 2} ^ {N _ {2}} L _ {j}\right) / v; \quad T _ {i}
+$$
+
+6)  $q_{i}$
+
+：
+
+$$
+q _ {i} = r _ {i} \cdot q _ {0} \tag {6}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} : q _ {0} \quad (q _ {0} = 1 0 0); \\ r _ {i}, 50 \% = r \leq r _ {i} \leq r = 120 \% \\ \end{array}
+$$
+
+7)  $f_{i}$  ： i
+
+$$
+f _ {i} = \frac {Q (j)}{q _ {i}} \tag {7}
+$$
+
+8)
+
+(1)  $A_{i}$ $f_{i}$
+
+$$
+A _ {i} = \left\{ \begin{array}{l} \frac {f _ {i}}{i}, t _ {i} > t _ {0} (i) \\ f _ {i}, t _ {i} \leq t _ {0} (i) \end{array} , \quad i \right. \quad \text {e n k l}. \quad , \quad i = \frac {t _ {i}}{t _ {0} (i)},
+$$
+
+$$
+A _ {i} = \left\{ \begin{array}{c c c} A _ {i} \neg , i & T _ {a} \\ \mathsf {L} _ {A _ {i}} & T _ {b} & T _ {c}, f _ {i} = A _ {i} \end{array} , \right. \tag {8}
+$$
+
+(2)  $A_{s}$  A,
+
+s ；
+
+(3)  $A_{n} \quad A_{w}$
+
+$$
+K (s) \quad r _ {i} \quad :
+$$
+
+$$
+A _ {n} = \frac {A _ {0} r _ {s}}{K (s) r _ {f}} \tag {9}
+$$
+
+$r_{s}$
+
+$r_f$  1.0 1.20,
+
+$= 1.0$ $A_{w} = A - A_{n}$
+
+(4)
+
+9)
+
+(1)
+
+$$
+I _ {i} = \left\{ \begin{array}{l l} \min  \left\{ \begin{array}{l l} T _ {2}, t _ {i} / f _ {i} \\ \min  \left\{ \begin{array}{l l} T _ {1}, t _ {i} / f _ {i} \end{array} \right. \end{array} \right\}, i & T _ {a} \\ \min  \left\{ \begin{array}{l l} T _ {1}, t _ {i} / f _ {i} \end{array} \right\}, i & T _ {b} \quad T _ {c} \end{array} \right. \tag {10}
+$$
+
+(2)
+
+$$
+t _ {i} \quad I _ {i} \quad , \quad I _ {i} = E + a (E) \quad I \quad ; a
+$$
+
+）
+
+$$
+I _ {d} (i) = I _ {i} \neg = E + 1, I _ {x} (i) = \mathrm {L} I _ {i} = E \tag {11}
+$$
+
+$$
+t _ {i} \quad I _ {d} (i), I _ {x} (i)
+$$
+
+$$
+S _ {d}, S _ {x},
+$$
+
+$A_{i}$
+
+$$
+S _ {d} = t _ {i} - A _ {i} I _ {x} (i), \quad S _ {x} = A _ {i} - S _ {d} \tag {12}
+$$
+
+10.  $M$  ：
+
+$$
+T _ {0} (\quad)
+$$
+
+$$
+, t _ {m} = \min  _ {i} \left\{t _ {0} (i) \right\},
+$$
+
+$$
+M = \left(T _ {0} \times 6 0\right) / t _ {m} \tag {13}
+$$
+
+（ ）
+
+（ ）
+
+$$
+A \times 2 M \quad P = \left(x _ {s, j}\right) _ {A \times 2 M},
+$$
+
+$$
+x _ {s, (2 k - 1)}, x _ {s, 2 k}
+$$
+
+$$
+s \quad k \quad (k = 1, 2, \dots M) \quad A 1 3, A 0
+$$
+
+$$
+i = \left\lfloor x _ {s, 2 k - 1} (x _ {s, 2 k}) \quad 0 \quad , \quad x _ {s, j} \quad 0 \quad , \quad i = \right.
+$$
+
+$$
+x _ {s, j}
+$$
+
+S
+
+$$
+k _ {1} (s) = \min  _ {j} \left\{j \mid s _ {s, j} \quad 0 \right\}, \quad k _ {2} (s) = \max  _ {j} \left\{j \mid s _ {s, j} \quad 0 \right\}, \tag {14}
+$$
+
+$$
+\mathsf {L} _ {k _ {1} (s) / 2}, \quad \mathsf {L} _ {k _ {2} (s) / 2}; \quad s
+$$
+
+$$
+\max  \sum_ {s = 1} ^ {A} \left(k _ {1} (s) + \left(2 M - k _ {2} (s)\right) \right. \tag {15}
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{c} \left| x _ {s, j} - x _ {s, (j - 1)} \right| = \left[ \frac {t _ {0} (i)}{2} \right] \\ \left| x _ {s, j} - x _ {s, j} \right| \quad \left\{I _ {d} (i), I _ {x} (i) \right\} \\ 5 \leq x _ {s, j} \leq 2 3 \\ j = 2, 3,.. 2 M \\ s = 1, 2, .., A \end{array} \right. \tag {16}
+$$
+
+（ ）
+
+$x_{s,j}$  1
+
+1
+
+1 （ ）  
+
+<table><tr><td rowspan="2"></td><td colspan="2">1</td><td colspan="2">2</td><td colspan="2">3</td><td colspan="2">4</td><td colspan="2">5</td><td colspan="2">6</td></tr><tr><td>A 13</td><td>A 0</td><td>A 13</td><td>A 0</td><td>A 13</td><td>A 0</td><td>A 13</td><td>A 0</td><td>A 13</td><td>A 0</td><td>A 13</td><td>A 0</td></tr><tr><td>24</td><td></td><td>5 :00</td><td>5 :50</td><td>6 :36</td><td>7 :21</td><td>8 :06</td><td>8 :51</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>25</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>7 :22</td><td>8 :08</td><td>8 :54</td><td>9 :40</td><td>10 :25</td><td>11 :11</td><td>11 :56</td><td></td></tr><tr><td>26</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>7 :24</td><td>8 :10</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>27</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>7 :26</td><td>8 :12</td><td>8 :57</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>28</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>7 :28</td><td>8 :14</td><td>9 :00</td><td>9 :45</td><td>10 :32</td><td>11 :16</td><td>12 :02</td><td>12 :50</td></tr><tr><td>29</td><td></td><td>5 :10</td><td>6 :00</td><td>6 :44</td><td>7 :30</td><td>8 :16</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>30</td><td></td><td></td><td>6 :02</td><td>6 :46</td><td>7 :32</td><td>8 :18</td><td>9 :05</td><td>9 :50</td><td></td><td></td><td>2 :07</td><td></td></tr><tr><td>31</td><td></td><td></td><td>6 :04</td><td>6 :48</td><td>7 :34</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>32</td><td></td><td>5 :20</td><td>6 :06</td><td>6 :50</td><td>7 :36</td><td>8 :21</td><td>9 :07</td><td>9 :55</td><td>10 :39</td><td>11 :22</td><td>12 :12</td><td></td></tr><tr><td>33</td><td></td><td></td><td>6 :08</td><td>6 :52</td><td>7 :38</td><td>8 :24</td><td>9 :10</td><td>10 :00</td><td>10 :46</td><td>11 :30</td><td>12 :17</td><td>13 :01</td></tr></table>
+
+（ ）
+
+$$
+\overline {{q _ {i}}} \quad i
+$$
+
+$$
+, \overline {{q _ {i}}} = \frac {Q (i)}{A _ {i}}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} p _ {i} = \left\{ \begin{array}{c c} \overline {{q _ {i}}} - 1 0 0 \\ \frac {1 0 0}{1 0 0}, & \overline {{q _ {i}}} > 1 0 0 \\ 0, & \overline {{q _ {i}}} \leq 1 0 0, \end{array} \right., \\ p _ {i} = \left\{ \begin{array}{c c} \frac {q ^ {\star} - \overline {{q _ {i}}}}{q ^ {\star}}, & \overline {{q _ {i}}} <   q ^ {\star} \\ 0, & \overline {{q _ {i}}} \geq q ^ {\star} \end{array} \right. \\ q \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} p = \frac {1}{m} \sum_ {i} ^ {m} p _ {i}, \quad p = \frac {1}{m} \sum_ {i} ^ {m} p _ {i}, \quad p, p \\ p \quad (0 \leq p, p \leq 1) \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+p ^ {\star} = 0. 8, p = 0. 3 2, p = 0. 5 4.
+$$
+
+4
+
+$$
+\begin{array}{l} [ 1 ] \quad . \quad [ M ]. \quad : \quad , 1 9 8 7 \\ [ 2 ] \quad . \quad [ \mathrm {M} ]. \quad : \quad , 1 9 9 7 \\ \end{array}
+$$
+
+# The Optimizing Modle on the Dispatch of Buses
+
+L I Cheng-gong, TUO Xiao-wei, GUO Shang-bin
+
+Teacher: QI Zhong-bin
+
+(Lanzhou Higher Polytechnical College, Lanzhou 730050)
+
+Abstract: This passage discusses the problem of how to determine the timetable of the buses on a certain route under the condition of known statistical data of passenger flow at various stops during every time period. Under normal conditions, bus companies arrange the vehicle dispatching timetable on the basis of investigated data with the "succession" method during work days to make a group
+
+of buses "file in and out" during operation period while we have mainly done the research on the uneven variation of the passenger flow in time and space, the research on the laws of how to dispatch buses and we have established a target planning model which has realized the dispatching plan of "some early and some late" and when there are more, when there are fewer. Under the circumstances of ensuring certain benefits and the satisfaction of passengers, the overall operating time of the buses in operation has been made the shortest, the dispatching timetable has been got, while the number for the least buses is 42 and the ratio of satisfaction between passengers and bus companies is 0.48:0.46
+
+Key words: Bus Dispatching; Passenger Flow; Target-Planning
+
+（ 94）
+
+# Optimization of Dispatching Buses
+
+FU Chang-jian Yang Cai-xia Qin Min
+
+Advisor: CHEN Jin-min
+
+(SiChuan University, Chengdu 610064)
+
+Abstract: It is to find out the best way to dispatch buses. We set a optimized model whose target function is the profit of bus company. At the same time, it guarantee the proportion that the passengers waiting for their buses more than  $10\mathrm{min}$  (or  $5\mathrm{min}$ ) in the total is less than given before. First, every station's nonparameter distribution function about the number of passengers is fitted by method of least squares. We use a simple method to estimate that at least 43 buses are needed, and then, we use Maple to get the optimal solution refer to it. It shows the best plans for dispatching buses in different conditions of the number of passengers. It can help bus company to get the top profit, meanwhile the passengers may not wait for their bus for a long time. In the end, we evaluate and popularize the model, and point out the effective way to improve it.
+
+Key words: dispatching buses; optimized model; method of least squares

MCM_CN/2001/论文/B题优秀论文/公交车调度问题的数学模型/公交车调度问题的数学模型.md

@@ -0,0 +1,218 @@
+19
+
+2002
+
+02
+
+:1005-3085(2002)05-0101-06
+
+![](images/d012b485ec841372db26083e9694f18fc787e9f42e68e7ebf4566b5b39c7afc9.jpg)
+
+1
+
+2
+
+1)
+
+![](images/fadb40811af7609c92a0481f17aea4ac64c847317228977ac545bbce6735463b.jpg)
+
+2)
+
+：  
+3)
+
+3
+
+1)  
+(1)
+
+$$
+\begin{array}{l} : j = 1, 2, \dots , n; \\ \text {R} \quad : \quad t \quad j \quad u _ {j} (t), j = 1, 2, \dots , n; \\ \text {R} \quad : \quad t \quad j \quad d _ {j} (t), j = 1, 2, \dots , n; \\ \text {®} \quad : \quad j - 1 \quad j \quad (\quad j \quad) _ {: \quad j}, \\ j = 2, \dots , n; \\ \begin{array}{c c c c} \mathbb {R} & : B; & \overline {{B}}; \\ \mathbb {R} & & \mathfrak {t}; & \overline {{t}}; \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+(2)
+
+$$
+\quad : \quad T = \left( \begin{array}{l l l l l} T _ {0}, & T _ {1}, & T _ {2}, & \dots , & T _ {k}, & \dots , & T _ {m} \end{array} \right),
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} , T _ {0}: \quad j = 1; \\ T _ {k}: \quad k \quad j = 1, k = 1, 2, \dots , m \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {®} \quad k \quad j \quad : T _ {k 1} = T _ {k}, T _ {k j} = T _ {k 1} + \begin{array}{c} j - 1 \\ \ell = 1 \end{array} \ell , j = 2, 3, \dots , n - 1; \end{array}
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} k \quad j \quad : P _ {k} (T _ {k j}), k = 1, 2, \dots m; j = 1, 2, \dots , n - 1; \\ \begin{array}{c c c c c c c} \text {⑧} & k & j & , & \\ & W _ {k j} (0): & T _ {k - 1 j} & T _ {k j} & ; \end{array} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+W _ {k j} (h): \quad k \quad j \quad , \quad h
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} h _ {k j}: \quad k \quad j \quad , \\ W _ {k j} \left(h _ {k j}\right) > 0, W _ {k j} \left(h _ {k j} + 1\right) = 0 \\ \end{array}
+$$
+
+(1)
+
+(3)
+
+$$
+\begin{array}{l} \begin{array}{l l} \text {⑧} & \mathrm {k} \\ & \end{array} \quad j \quad , \quad \begin{array}{c c} & \\ & T _ {k j} \end{array} , \\ a _ {k j} = \max  \left\{\left(P _ {k} \left(T _ {k j - 1}\right) - d _ {j} (t) d t\right), 0 \right\} \\ \begin{array}{c c c c c c c} \text {®} & k & j & , \\ & & & & & & \end{array} \quad , j \\ b _ {k j} = \bar {B} - a _ {k j}, \\ k - 1 \quad j \quad k \quad j \quad , \\ \end{array}
+$$
+
+![](images/47409f1810916f69fa2e7487deddb7ca4e077310c91bf1e69bf1c2bf0261b795.jpg)
+
+$$
+P _ {k j} = \begin{array}{l} h _ {k j} \\ h = 0 \end{array} W _ {k j} (h); \quad : h _ {k + 1 j} = 0;
+$$
+
+$$
+\therefore \quad h _ {k j} ^ {*} > 0,
+$$
+
+$$
+P _ {k j} = b _ {k j}; \quad : h _ {k + 1 j} = h _ {k j} ^ {*} + 1,
+$$
+
+：
+
+$$
+W _ {k + 1 j} (h + 1) = W _ {k j} (h), h = 0, 1, \dots , \left(h _ {k j} ^ {*} - 1\right)
+$$
+
+$$
+h _ {k j}
+$$
+
+$$
+W _ {k + 1 j} \left(h _ {k j} ^ {*}\right) = \underset {h = h _ {k j} ^ {*}} {W _ {k j}} (h) - b _ {k j}.
+$$
+
+， ： k j
+
+$$
+P _ {k} \left(T _ {k j}\right) = a _ {k j} + P _ {k j}
+$$
+
+$$
+= \left\{\begin{array}{l l}a _ {k j} + \underset {h = 0} {\overset {h _ {k j}} {\rightleftharpoons}} W _ {k j} (h),&h _ {k j} ^ {*} = 0,\\\overline {{B}},&h _ {k j} ^ {*} > 0, k = 1, 2, \dots m; j = 1, 2, \dots n - 1\end{array}\right.
+$$
+
+(4)
+
+$\mathbb{R}^{\text{圆}}$  （20  $k$  1  $j$  ， h
+
+$$
+W _ {k j} (h), h = 1, \dots , h _ {k j}
+$$
+
+：
+
+$$
+W T _ {k j} (h) = T _ {k j} - T _ {k - h j}, h = 1, \dots , h _ {k j}.
+$$
+
+$\begin{array}{rlr}{:}[T_1,T], & {} & {[T_1,T_m],}\\ {= 5} \end{array}$
+
+$$
+\begin{array}{l} \text {O v e r} W _ {1} (T) = \frac {\left.\begin{array}{l l}T _ {k j}&\left[ T _ {1} , T _ {2} \right]\\&\end{array}\right\} W T _ {k j} (h) 5 , h = 1 , \dots , h _ {k j} \left. \right\}}{\sum_ {T _ {k j}} P _ {k} (T _ {k j})} \\ = \frac {1 0}{,} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+\text {O v e r} W _ {2} (T) = \frac {\left\{W _ {k j} (h) / W T _ {k j} (h) \quad 1 0 , h = 1 , \dots , h _ {k j} \right\}}{\sum_ {T _ {k j} \backslash l} P _ {k} (T _ {k j})}
+$$
+
+$$
+50 \% = \frac {50 \%}{\times (\quad - 1))},
+$$
+
+$$
+\operatorname {C a p}. \log (T) = \frac {\left. \left(1 \right| \frac {B - P _ {k} \left(T _ {k j}\right)}{B} \quad 0 . 5 \right\}}{m \times (n - 1)}
+$$
+
+(5)
+
+$$
+T = \left( \begin{array}{c c c c c} T _ {0}, & T _ {1}, & T _ {2}, & \dots T _ {k}, & \dots T _ {m} \end{array} \right), \quad :
+$$
+
+$$
+\min  _ {T} C = \text {O v e r} W _ {1} (T) + \text {O v e r} W _ {2} (T) + \text {C a p . l o w} (T),
+$$
+
+(6)
+
+2)
+
+3,
+
+![](images/0f28f6e9ffb6c17f56f4e53618495e0a054470ff26ecf4de3ff90cf01af01ac5.jpg)  
+3
+
+3)
+
+(1)
+
+(1
+
+$$
+u _ {j} (t) \quad d _ {j} (t)
+$$
+
+(2)
+
+$$
+j; B = 1 0 0, \bar {B} = 1 2 0
+$$
+
+(3)
+
+$$
+I _ {3} \quad I _ {2}, \quad I _ {3}
+$$
+
+$$
+\hat {t} = 5 (\quad); \quad \overline {{t}} = 1 0 (\quad)
+$$
+
+$$
+\begin{array}{l} \quad 3 \quad : J _ {1}, J _ {2}, J _ {3}, \quad T _ {0}, T _ {1}, \dots , T _ {m} (4) \\ \text {O v e r} W _ {1} = (5) \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+, \text {Over} W _ {2} = \quad , \text {Cap} - \text {low} = 50 \%
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c c} , & , \quad 1 / 3, \\ & : \text {T o t a l} = \end{array} \qquad \begin{array}{c c} C \\ & ; \end{array}
+$$
+
+up.bus) (down.bus)
+
+：
+
+A.
+
+<table><tr><td>\( \left( {{J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}}\right) \)</td><td>Over \( {W}_{2} \)</td><td>Over \( {W}_{1} \)</td><td>Cap. low</td><td>C</td><td>Total</td><td>up. bus</td><td>down. bus</td></tr><tr><td>(3,2,2)</td><td>0.0006</td><td>0.0941</td><td>0.6175</td><td>0.2374</td><td>420</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>(4,2,3)</td><td>0.0488</td><td>0.1161</td><td>0.4140</td><td>0.1930</td><td>331</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>(4,3,3)</td><td>0.1016</td><td>0.3194</td><td>0.4031</td><td>0.2747</td><td>301</td><td>15</td><td>15</td></tr><tr><td>(5,2,3)</td><td>0.0517</td><td>0.1336</td><td>0.3390</td><td>0.1748</td><td>295</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>(5,3,3)</td><td>0.1204</td><td>0.3585</td><td>0.3150</td><td>0.2646</td><td>265</td><td>15</td><td>15</td></tr><tr><td>(5,2,4)</td><td>0.1565</td><td>0.1336</td><td>0.3301</td><td>0.2067</td><td>280</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>(6,2,2)</td><td>0.0364</td><td>0.1632</td><td>0.3414</td><td>0.1803</td><td>299</td><td>22</td><td>22</td></tr><tr><td>(6,3,3)</td><td>0.1344</td><td>0.3704</td><td>0.2547</td><td>0.2532</td><td>240</td><td>15</td><td>15</td></tr></table>
+
+$B$
+
+(4,3,2) (4,3,2), (4,2,3)
+
+<table><tr><td>\( \left( {{J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}}\right) \)</td><td>Over \( {W}_{2} \)</td><td>Over \( {W}_{1} \)</td><td>Cap. low</td><td>C</td><td>Total</td><td>up. bus</td><td>down. bus</td></tr><tr><td>(4,3,2)</td><td>0.0184</td><td>0.1733</td><td>0.4126</td><td>0.2014</td><td>330</td><td>45</td><td>15</td></tr><tr><td>(4,2,3)</td><td>0.0860</td><td>0.2547</td><td>0.4507</td><td>0.2638</td><td>331</td><td>15</td><td>45</td></tr><tr><td>(5,3,1)</td><td>0.0252</td><td>0.0842</td><td>0.5672</td><td>0.2255</td><td>385</td><td>135</td><td>15</td></tr><tr><td>(5,3,2)</td><td>0.0250</td><td>0.1912</td><td>0.3341</td><td>0.1834</td><td>295</td><td>45</td><td>15</td></tr><tr><td>(5,2,3)</td><td>0.1035</td><td>0.2933</td><td>0.3790</td><td>0.2586</td><td>295</td><td>15</td><td>45</td></tr><tr><td>(5,3,3)</td><td>0.1204</td><td>0.3585</td><td>0.3150</td><td>0.2646</td><td>265</td><td>15</td><td>15</td></tr><tr><td>(5,4,2)</td><td>0.0922</td><td>0.2912</td><td>0.3260</td><td>0.2365</td><td>280</td><td>56</td><td>11</td></tr><tr><td>(6,3,2)</td><td>0.0528</td><td>0.2203</td><td>0.2793</td><td>0.1841</td><td>269</td><td>45</td><td>15</td></tr></table>
+
+C ,A (5,2,3) （ ）
+
+# A Mathematical Model of Bus Scheduling
+
+TAN Ze-guang, JIANG Qiyuan
+
+(Tsinghua University, Beijing 100084)
+
+Abstract: In this paper the background of the problem and idea of mathematical modeling are given. A specific mathematical model and corresponding numerical results are presented.
+
+Key words: bus scheduling; mathematical model

MCM_CN/2001/论文/B题优秀论文/关于公交车调度的优化问题/关于公交车调度的优化问题.md

@@ -0,0 +1,362 @@
+19
+
+2002 02
+
+Vol. 19 Supp.
+
+Feb. 2002
+
+:1005-3085(2002)05-0089-06
+
+![](images/a699f773d7bde9cb2a4607c7fa1e490aa10843a04773a506bbd45fba485ccf94.jpg)
+
+1 （ ）
+
+2
+
+1)  
+2)  
+3)  
+4)  
+5)
+
+50%
+
+6)  
+7)  
+8)
+
+A13
+
+20
+
+10
+
+A0
+
+5
+
+3
+
+$N_{a}$  ： A13 （ ）
+
+$N_{b}$  ： A0
+
+$T_{1}$  ：
+
+$T_{2}$  ：
+
+$T_{3}$  ：
+
+$T_{4}$  ：
+
+$T_{5}$  ：
+
+$T_{6}$  ：
+
+$T_{a}(i,j)$  ：  $j$
+
+$N_{1}(i,j):j$  （20  $i$
+
+$N_{e}(i,j)$  ：  $j$  （20  $i$
+
+$D(j,j - 1):j$  （20  $(j - 1)$
+
+$f_{1}(j): \quad j$
+
+$g_{1}(j): \quad j$
+
+$f_{2}(j): \quad j$
+
+$g_{2}(j): \quad j$
+
+G:
+
+A：
+
+B :  $B: i = 1,2,3$
+
+$N(t)$  ： （ ）
+
+$q_{t}:t$  （ ）
+
+$Q(i,j):i$  j
+
+4
+
+1)
+
+i)
+
+ii)
+
+iii)
+
+2)
+
+$$
+N (t) = N (t - 1) + q _ {t}, \quad q _ {t} \quad t
+$$
+
+（ ）
+
+$$
+N
+$$
+
+$$
+( \begin{array}{c} \end{array} )
+$$
+
+$$
+N (t)
+$$
+
+$$
+,
+$$
+
+t
+
+t
+
+5
+
+$$
+2 2: 0 0 - 2 3: 0 0
+$$
+
+$$
+5: 0 0 - 6: 0 0
+$$
+
+，
+
+$$
+Z = G - \left(N _ {a} + N _ {b}\right) \times A - B
+$$
+
+G
+
+$$
+, \left(N _ {a} + N _ {b}\right) \times A + B
+$$
+
+$$
+N _ {a} = \left[ \frac {4 \times 6 0}{T _ {1}} + \frac {7 \times 6 0}{T _ {2}} + \frac {2 \times 6 0}{T _ {3}} + \frac {5 \times 6 0}{T _ {2}} \right]
+$$
+
+$$
+N _ {b} = \left[ \frac {7 \times 6 0}{T _ {5}} + \frac {3 \times 6 0}{T _ {4}} + \frac {4 \times 6 0}{T _ {5}} + \frac {4 \times 6 0}{T _ {6}} \right]
+$$
+
+， （ ）
+
+$$
+I: \max  Z = G - (N _ {a} + N _ {b}) \times A - B
+$$
+
+$$
+s. t. P \}
+$$
+
+$$
+t > 1 0
+$$
+
+$$
+\} <   \quad_ {1}
+$$
+
+$$
+P \left\{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) > 1 2 0 \right\} <
+$$
+
+$$
+P \{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) <   5 0 \} <   3
+$$
+
+$$
+P \left\{ \begin{array}{c c} & t > 5 \\ & \end{array} \right. \quad \left. \right\} <   _ {1}
+$$
+
+$$
+P \{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) > 1 2 0 \} <
+$$
+
+$$
+P \left\{Q (i, j) + N _ {e} (i, j) - N _ {l} (i, j) <   5 0 \right\} <
+$$
+
+6
+
+1)
+
+Z,  $\max Z \Leftrightarrow \max T$
+
+10 （5 ）
+
+$50\%$  ， max  $Z$  1
+
+$$
+: \max  T = t
+$$
+
+s.t.
+
+$$
+\frac {T _ {a} (i + 1 , j) - 1 0}{\frac {T _ {a} (i , j)}{T _ {a} (i + 1 , j)} f _ {i} (j) d t}
+$$
+
+$$
+Q (i, j) + \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} f _ {i} (j) d t - \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} g _ {i} (j) d t \quad 1 2 0
+$$
+
+$$
+\frac { \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1 , j) - 5 \\ T _ {a} (i , j) \end{array} f _ {i} (j) d t }{\frac {T _ {a} (i + 1 , j)}{T _ {a} (i , j)} f _ {i} (j) d t}
+$$
+
+$$
+Q (i, j) + \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} f _ {i} (j) d t - \begin{array}{c} T _ {a} (i + 1, j) \\ T _ {a} (i, j) \end{array} g _ {i} (j) d t \quad 1 2 0
+$$
+
+$$
+\begin{array}{c} t > 0, \quad i = 1, 2 \\ \vdots \end{array}
+$$
+
+i)
+
+$$
+, A _ {1 3}, A _ {1 2}, A _ {1 1}, A _ {1 0}, A _ {9} \quad >
+$$
+
+ii)
+
+$$
+\begin{array}{c c c} A _ {0}, A _ {2}, A _ {3}, A _ {4} & > \\ 5 & (4) \end{array} ,
+$$
+
+$F_{i}$  ，  $G_{i}$
+
+T Matlab
+
+$$
+\begin{array}{c c} , & \mathrm {T} \\ & F _ {i}  ,   G _ {i} \end{array} ,
+$$
+
+$$
+, \quad F _ {i} (t) = k _ {i} \times t, G _ {i} (t) = p _ {i}
+$$
+
+$$
+\times t, k _ {i}, p _ {i}
+$$
+
+$$
+= 5 \% , \quad :
+$$
+
+$$
+\therefore \max  T = t
+$$
+
+$$
+\mathrm {s . t .} \quad 1 9 t - 2 0 0 \quad 0 (\quad 1 9 t - 1 0 0 \quad 0)
+$$
+
+$$
+k _ {1} t - 1 2 0 \quad 0
+$$
+
+$$
+k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t - 1 2 0 \quad 0
+$$
+
+$$
+k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t + k _ {3} t - p _ {3} t - 1 2 0 \quad 0
+$$
+
+$$
+k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t + k _ {3} t - p _ {3} t + k _ {4} t - p _ {4} t - 1 2 0 \quad 0
+$$
+
+$$
+k _ {1} t + k _ {2} t - p _ {2} t + k _ {3} u - p _ {3} t + k _ {4} t - p _ {4} t + k _ {5} t - p _ {5} t - 1 2 0 \quad 0
+$$
+
+$$
+t > 0
+$$
+
+$$
+( \begin{array}{c c c c} 1 9 t - 2 0 0 & 0, & 1 9 t - 1 0 0 & 0) \end{array}
+$$
+
+5
+
+Matlab
+
+<table><tr><td>5:00-6:00</td><td>6:00-7:00</td><td>7:00-8:00</td><td>8:00-9:00</td><td>9:00-10:00</td><td>10:00-11:00</td><td>11:00-12:00</td><td>12:00-13:00</td><td>13:00-14:00</td></tr><tr><td>10.52</td><td>2.45</td><td>1.434</td><td>2.848</td><td>5.4962</td><td>6.0352</td><td>5.3137</td><td>5.6479</td><td>6.9231</td></tr><tr><td>/</td><td>6.929</td><td>2.616</td><td>2.2339</td><td>3.951</td><td>6.5874</td><td>7.3022</td><td>8.6747</td><td>8.08</td></tr><tr><td>14:00-15:00</td><td>15:00-16:00</td><td>16:00-17:00</td><td>17:00-18:00</td><td>18:00-19:00</td><td>19:00-20:00</td><td>20:00-21:00</td><td>21:00-22:00</td><td>22:00-23:00</td></tr><tr><td>8.1725</td><td>8.2664</td><td>3.3755</td><td>2.5974</td><td>8.0268</td><td>10.526</td><td>10.526</td><td>10.526</td><td>/</td></tr><tr><td>7.079</td><td>5.53</td><td>3.2787</td><td>1.9934</td><td>2.9789</td><td>6.5995</td><td>9.2190</td><td>9.3023</td><td>10.5263</td></tr></table>
+
+：25 ,36 （
+
+$$
+\begin{array}{c c} , & \\ \mathrm {A 1 3} & 7: 0 0 - 8: 0 0, \\ & 2 0 2 3 \end{array} \quad \begin{array}{c c} , & \\ \mathrm {T} = 5. 2 6 & , \\ \mathrm {3 6 2 6} & \\ \mathrm {= 3 6 2 6 - 2 0 2 3 = 1 6 0 3 (\quad)} \end{array}
+$$
+
+T
+
+<table><tr><td colspan="2">120 %()</td></tr><tr><td colspan="2">( &lt;50%)</td></tr><tr><td colspan="2">2)</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">43</td></tr><tr><td colspan="2">3)</td></tr><tr><td colspan="2">i)</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">ii)</td></tr><tr><td colspan="2">A)</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">B)</td></tr><tr><td colspan="2">C)</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">,</td></tr><tr><td colspan="2">Maple</td></tr><tr><td colspan="2">j</td></tr><tr><td colspan="2">Xij ,</td></tr><tr><td colspan="2">Ci</td></tr><tr><td colspan="2">i = {0/1}</td></tr><tr><td colspan="2">min z = ∑j=118j=0Xij</td></tr><tr><td colspan="2">s.t C0 + Ci = m</td></tr><tr><td colspan="2">X11 = C1 - X11 0</td></tr><tr><td colspan="2">X01 = C0 - X01 0</td></tr><tr><td colspan="2">X1j = C1 + ∑m=1j-1X0m - ∑m=1jX1m 0</td></tr><tr><td colspan="2">X0j = C0 + ∑m=1j-1X1m - ∑m=1jX0m 0</td></tr><tr><td colspan="2">∑m=118X0m = ∑m=118X1m</td></tr><tr><td colspan="2">1) 60 - 120</td></tr></table>
+
+2) 44-120
+
+44
+
+$$
+m = 4 8, C _ {0} = 4 2, C _ {1} = 6, z = 5 9 0
+$$
+
+60 120
+
+60, Maple  $j = 2,3\dots 18$
+
+$$
+: C _ {0} = 6 2, C _ {1} = 4, m = 6 6, Z = 4 7 6,
+$$
+
+44
+
+120
+
+43 Maple
+
+7  
+8  
+[1]  
+[2]  
+[3]  
+[4]
+
+Maple
+
+(2)
+
+（ 100）
+
+of buses "file in and out" during operation period while we have mainly done the research on the uneven variation of the passenger flow in time and space, the research on the laws of how to dispatch buses and we have established a target planning model which has realized the dispatching plan of "some early and some late" and when there are more, when there are fewer. Under the circumstances of ensuring certain benefits and the satisfaction of passengers, the overall operating time of the buses in operation has been made the shortest, the dispatching timetable has been got, while the number for the least buses is 42 and the ratio of satisfaction between passengers and bus companies is 0.48:0.46
+
+Key words: Bus Dispatching; Passenger Flow; Target-Planning
+
+（ 94）
+
+# Optimization of Dispatching Buses
+
+FU Chang-jian Yang Cai-xia Qin Min
+
+Advisor: CHEN Jin-min
+
+(SiChuan University, Chengdu 610064)
+
+Abstract: It is to find out the best way to dispatch buses. We set a optimized model whose target function is the profit of bus company. At the same time, it guarantee the proportion that the passengers waiting for their buses more than  $10\mathrm{min}$  (or  $5\mathrm{min}$ ) in the total is less than given before. First, every station's nonparameter distribution function about the number of passengers is fitted by method of least squares. We use a simple method to estimate that at least 43 buses are needed, and then, we use Maple to get the optimal solution refer to it. It shows the best plans for dispatching buses in different conditions of the number of passengers. It can help bus company to get the top profit, meanwhile the passengers may not wait for their bus for a long time. In the end, we evaluate and popularize the model, and point out the effective way to improve it.
+
+Key words: dispatching buses; optimized model; method of least squares

MCM_CN/2005/论文/A题论文/水质的评价和预测模型/水质的评价和预测模型.md

@@ -0,0 +1,276 @@
+文章编号：1005-3085(2005)07-0035-06
+
+# 水质的评价和预测模型
+
+张震，张超，张昊
+
+指导教师：指导组
+
+(解放军信息工程大学信息工程学院，郑州450002）
+
+编者按：本文构造了“S”型的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行了动态加权；根据7个观测站的位置将干流分为8段，计算中间6段的排污量，将本段内所有污染源等效为一个段中央的连续稳定源，计算出其对该段段末观测站浓度的影响值。以上两点具有独到想法。全文思路正确，表述清晰，假设可靠。
+
+摘要：本文首先考虑到水质类别的差异和相同类别水质在数量上的差异对综合评价的影响，构造“S”形的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行“动态加权”，建立基于逼近理想点排序法的评价模型和利用灰色关联度的分析方法，对长江水质状况做出了综合评价；其次，根据7个观测站的位置将干流分成8段，把每段河道内所有污染源都等效为一个段中央的连续稳定源，分别利用稳态条件下的一维水质模型及质量守恒定律，得出中间6段每个月的排污量，综合比较各河段一年多来的总排污量得到主要污染源的分布区域；然后，用每年不可饮用类水的百分比之和刻画水质状况，综合利用灰色GM(1,1)模型和时间序列分析方法，对变化趋势进行了预测；最后，建立不可饮用类水的百分比与长江水总流量和废水排放量的线性回归模型，计算在满足约束条件下排污量的极限值，用排污量的预测值减去极限值，得到未来10年的污水处理量。
+
+关键词：逼近理想点排序法；一维水质模型；GM(1,1)模型；时间序列分析；线性回归
+
+分类号：AMS(2000)76Z10
+
+中图分类号：O212
+
+文献标识码：A
+
+# 1 问题分析
+
+问题一要求对长江两年多的水质情况做出定量的综合评价，应先对一个月内各观测站的水质情况做出评价，然后再综合考虑每个月的情况给出评价。附表所给出的水质评价仅仅体现了污染最严重的一项指标所达到的水质类别，即突出主因素，为进一步细化评判，还要综合兼顾其他各因素的作用，并且对于此种多属性问题，可以借助“空间距离”概念的角度来解决，因此采用“逼近理想解的排序法”（TOPSIS法）。在综合评价中，各指标水质类别区间的差异可以通过数据标准化消除，在确定各指标权重时，为体现出各项指标水质类别的差异以及相同类别水质在数量上的差异，想到构造一个“S”形曲线作为变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行动态赋权。
+
+问题二要求污染物主要的分布区域，可用七个观测站把干流分成八段，将每段作为一个区域，考虑中间的六个区域。由于段尾观测站的观测值受上游以及本段污染源的影响，所以，考虑用段首观测站的观测值代替上游的污染源，将本段内所有污染源等效为一个段中央的连续稳定源，利用一维水质模型求出两者对段尾观测站的影响值，将两个影响值相加就等于段尾观测站的观测值，从而求解每段排污源的排污量。
+
+问题三要求对长江未来水质污染的发展趋势做出预测。首先，要确定预测水质污染的物理量。因为IV、V、劣V类的水质属于不可饮用类水，所以用这三类水质每个时段的每个评价范围所对应百分比之和刻画水质的污染。分析可知，此数据具有确定的增长趋势和平稳的周期波动特性。则用以下方法预测：①利用灰色GM(1,1)模型对此序列的确定性增长趋势进行预测，②利用时间序列分析法对此序列的平稳周期变化趋势进行预测。两种预测值之和在一定的
+
+程度上体现出水质污染的发展趋势。
+
+问题四是要在满足一定约束条件下，求出未来10年内每年需要处理的废水量。首先，要对未来10年的废水排放量做出预测；然后，在满足约束条件时，求出所允许的废水排放量的极限值，这两个量之差就是每年要处理的废水量。每年长江水的总流量及废水排放总量会对不可饮用类水的百分比含量产生影响，可以采用“线性回归”的方法来刻画此关系，由此能够得到所允许废水排放量的极限值。
+
+# 2 模型假设与符号说明
+
+# 2.1 模型假设
+
+1) 假设问题中所给出的数据能客观地反映现实情况，值得相信；  
+2）假设河道的长度远大于其宽度与深度：  
+3）假设相邻观测点间河道中的污染源可等效成稳定连续点源，且位于该段河道的中央；  
+4) 假设在短时期内，河道中各观测点间的水流速度保持稳定。
+
+# 2.2 符号说明（略）
+
+# 3 模型的建立及求解
+
+# 3.1 问题一
+
+# 3.1.1 某个月内河流沿线的17个观测点水质情况的量化评价
+
+# 1) 构造变权函数
+
+四项污染物对水质的污染程度分为I、II、III、IV、V、劣V类6个等级，不妨设对应的数值分别为1，2，3，4，5，6(见图1)。分析可知，当水质的类别从I变化到III时，其权值变化应该较缓慢；从III类水变到IV水时，其权值变化应该非常大，这体现出水将发生质的变化（从可饮用到不可饮用）；而且水质越差，相应的权值也要越大，这样才能突出首要污染物。依据以上情况，构造增长的“S”形曲线作为变权函数：
+
+$$
+f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \alpha \sqrt [ 3 ]{x - \beta} + \gamma , & x \geq 0 \\ 0, & x <   0, \end{array} \right.
+$$
+
+其中  $\alpha, \beta, \gamma$  为待定的常数。
+
+当  $x = 1$  ，即水质最好时，令相应的量化值  $f(1) = 0.05$  ；为了说明I、II、III的之间的相对变化较小，令  $f(3) = 0.25$  ；当  $x = 6$  时，其值为1，此时污染最严重。对应以上三个点，求得  $\alpha = 0.35, \beta = 3.48, \gamma = 0.52$  。于是得到  $f(x)$  的具体表达式为：
+
+$$
+f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0. 3 5 \sqrt [ 3 ]{x - 3 . 4 8} + 0. 5 2, & x \geq 0 \\ 0, & x <   0. \end{array} \right.
+$$
+
+最后，经计算可得水质类型I至劣V所对应的量化值分别为(0.05,0.12,0.25,0.8,0.92,1)。
+
+# 2) 求权重矩阵
+
+以其中的某一个月为例，将17个观测点的4项监测指标的浓度提取出来，构造出原始评判矩阵  $R = (r_{ij})_{17 \times 4}$ ；再将元素  $r_{ij}$  的值变换成污染类别，把类别对应的数值代入变权函数，得到量化矩阵；对量化矩阵中每一行的指标做归一化，得到权重矩阵W。对于两年来的每个月，都能得到一个权重矩阵。
+
+![](images/ab1576d86034b1c06543599e576cd94d263b102b167806fe36c8cc7563129bc4.jpg)  
+图1：变权函数示意图
+
+# 3) 基于 TOPSIS 法的综合评价模型
+
+step1: 评价指标的极性和极值处理，得到规范化矩阵  $\mathbf{X}$
+
+溶解氧的指标是极大型，PH值的指标是居中型的，其它两种是极小型的。对评价指标进行极小型处理，得到评价指标的极型一致化矩阵  $R^{*} = (r_{i1}^{*}, r_{i2}, r_{i3}, r_{i4}^{*})$ ，然后进行极值处理，得到规范化矩阵  $X = (x_{ij})_{17 \times 4}$ ，其中
+
+$$
+x _ {i j} = \frac {r _ {i j} ^ {*} - \underset {1 \leqslant i \leqslant 1 7} {\min} r _ {i j} ^ {*}}{\underset {1 \leqslant i \leqslant 1 7} {\max} r _ {i j} ^ {*} - \underset {1 \leqslant i \leqslant 1 7} {\min} r _ {i j} ^ {*}} \quad (i = 1, 2, 3, \dots , 1 7; \quad j = 1, 2, 3, 4).
+$$
+
+step2: 构造加权规范决策矩阵  $\mathbb{Z}$
+
+依据得到权重矩阵  $\mathbb{W}$ ，令：  $z_{ij} = x_{ij}\times w_{ij}(i = 1,2,3,\dots ,17;j = 1,2,3,4)$  ，由此就在决策矩阵  $\mathbb{Z}$  中体现了水质类别的差异和相同类别水质数量上的差异。
+
+step3: 确定理想解及负理想解，并计算综合评价值
+
+设理想解为  $z^{+}$  ，负理想解为  $z^{-}$  ，则综合评价值为：  $b_{i} = \frac{d_{i}^{+}}{d_{i}^{+} + d_{i}^{-}}$
+
+其中
+
+$$
+d _ {i} ^ {+} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {4} \left(z _ {i j} - z _ {i} ^ {+}\right) ^ {2}}, \quad d _ {i} ^ {-} = \sqrt {\sum_ {j = 1} ^ {4} \left(z _ {i j} - z _ {i} ^ {-}\right) ^ {2}}.
+$$
+
+此时，各类污染指标越大，被评价对象的状态越接近负理想解，得到的综合评价值越大，河流污染程度就越严重；反之则接近理想解，综合评价值小，污染程度就越轻。
+
+step4: 评价模型的求解
+
+依据附件三中的数据，利用MATLAB编程求出两年多来每个月中17个观测点水质的评价值。以2003年6月为例，17个观测站的评价值分别为{0.186, 0.235, 0.448, 0.25, 0.252, 0.244, 0.266, 0.57, 0.197, 0.608, 0.117, 0.471, 0.2, 0.208, 0.475, 0.245, 0.196}。
+
+# 3.1.2 基于灰色关联的方法综合分析17个观测点水质的污染情况
+
+# 1) 选定母序列和比较序列
+
+定义评价值矩阵  $\mathbb{H}$ ，其中的元素  $h_{ij}$  表示第  $j(j = 1,2,3,\dots ,17)$  个观测点在第  $i(i = 1,2,3,\dots ,28)$  个月的评价值(由3.1.1求得)。令  $h_{i0} = \min_{1\leqslant j\leqslant 17}h_{ij}$ ，则母序列  $h_{i0}$ $(i = 1,2,3,\dots ,28)$  是构造出来的最理想评判值序列。由  $h_{i1},h_{i2},h_{i3}\dots ,h_{i17}$  分别构成17个子序列（比较序列）。
+
+# 2) 计算关联度
+
+子序列中每个数值与母序列中相应数值的关联系数为：  $v_{j}(i) = \frac{a + \rho\times b}{\Delta_{j}(i) + \rho\times b}$  ，其中
+
+$$
+\Delta_{j}(i) = |h_{ij} - h_{i0}|,\qquad a = \min_{1\leqslant j\leqslant 17}\min_{1\leqslant i\leqslant 28}\Delta_{j}(i),\qquad b = \max_{1\leqslant j\leqslant 17}\max_{1\leqslant i\leqslant 28}\Delta_{j}(i),\rho = 0.5.
+$$
+
+把关联系数取均值得到关联度：
+
+$$
+u _ {j} = \frac {1}{2 8} \sum_ {i = 1} ^ {2 8} v _ {j} (i) \quad (j = 1, 2, \dots , 1 7),
+$$
+
+关联度表示观测站评判值序列和理想��判值序列相关联的程度，数值越大，观测站的水质情况越好。
+
+# 3.1.3 模型的求解
+
+利用MATLAB编程得到17个观测点水质的综合评价值及排名，如表1所示：
+
+表 1: 各观测点的综合评价值及排名  
+
+<table><tr><td>观测点</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td><td>15</td><td>16</td><td>17</td></tr><tr><td>综合评判值 (×10-3)</td><td>797</td><td>850</td><td>780</td><td>668</td><td>790</td><td>755</td><td>741</td><td>533</td><td>773</td><td>667</td><td>925</td><td>663</td><td>632</td><td>685</td><td>423</td><td>682</td><td>725</td></tr><tr><td>排名</td><td>3</td><td>2</td><td>5</td><td>12</td><td>4</td><td>7</td><td>8</td><td>16</td><td>6</td><td>13</td><td>1</td><td>14</td><td>15</td><td>10</td><td>17</td><td>11</td><td>9</td></tr></table>
+
+由综合排名得到：湖北丹江口胡家岭的水质情况最好，而江西南昌滁槎的水质情况最差。
+
+# 3.2 问题二
+
+# 3.2.1 一维水质模型
+
+依据文献[2]，我们得到流体中的一维水质模型： $\frac{\partial C}{\partial t} = D_x \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - u_x \frac{\partial C}{\partial x} - K C$ ，其中  $x$  为河流的长度， $C$  为流体中污染物的浓度分布， $u_x$  为水流速度， $D_x$  为弥散系数， $K$  为流体的降解系数。稳态条件下的一般河流，扩散作用可以忽略，上面的方程变为  $u_x \frac{\partial C}{\partial x} = K C$ ，若给定初始条件为  $C(0) = C_0$  时，得到  $C = C_0 \exp \left\{-\frac{K x}{u_x}\right\}$ 。
+
+# 3.2.2 第  $n$  段河道中污染源排放量模型的建立
+
+# 1) 确定段内的水流速度
+
+每一段内的水速取前后两个观测站水速观测值的均值，即  $\frac{U_n + U_{n+1}}{2}$ ，其中  $U_n$  和  $U_{n+1}$  分别为第  $n$  段河道中段首观测站和段尾观测站的水流速度。
+
+2) 段首观测站上游所有污染源对段尾观测站的影响值  $C_{n+1}^{(1)}$
+
+用段首观测站的观测值代替上游污染源的影响，根据一维水质模型，得到
+
+$$
+C _ {n + 1} ^ {(1)} = C _ {n} \exp \left\{- \frac {2 K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\} \quad (n = 1, 2, 3, \dots , 6) \tag {1}
+$$
+
+3) 本段污染源对段尾观测站的影响值  $C_{n+1}^{(2)}$
+
+首先，段中央等效污染点的浓度值等于单位时间排污量与水流量的比值，即  $2\frac{B_n}{V_n + V_{n+1}}$ 。
+
+其次，根据一维水质模型，得到本段污染源对段尾观测站的影响值为
+
+$$
+C _ {n + 1} ^ {(2)} = \frac {2 B _ {n}}{V _ {n + 1} + V _ {n}} \exp \left\{- \frac {K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\} (n = 1, 2, 3, \dots , 6) \tag {2}
+$$
+
+其中  $B_{n}$  为第  $n$  段河道中污染源每月的排污量， $V_{n}$  为第  $n$  段河道中段首观测站的水流量， $L_{n}$  为第  $n$  段河流的长度。
+
+# 4) 列方程求解污染源排放量  $B_{n}$
+
+根据质量守恒定律，观测点单位时间内流入的污染物的量等于单位时间内流出的量，于是  $C_{n + 1}V_{n + 1} = C_{n + 1}^{(1)}V_{n + 1} + C_{n + 1}^{(2)}V_{n + 1}$  ，即
+
+$$
+C _ {n + 1} = C _ {n + 1} ^ {(1)} + C _ {n + 1} ^ {(2)} \tag {3}
+$$
+
+将(1)、(2)、(3)式联立得到
+
+$$
+B _ {n} = \frac {V _ {n + 1} + V _ {n}}{2} \left(C _ {n + 1} - C _ {n} \exp \left\{- \frac {2 K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\}\right) \exp \left\{\frac {K L _ {n}}{U _ {n + 1} + U _ {n}} \right\} \tag {4}
+$$
+
+# 3.2.3 问题二的求解
+
+将附件3中所给出的数据代入(4)式，求出每个月中各段河道污染源的排污量。最后，得到6段河道在13个月中高锰酸盐的排污总量为{113203.8, 1874725, 9935280, 9763920, 14898750, 12192310}（吨）；氮氨排污总量为{22425.3, 161422.1, 1266054, 714477, 345246.6, 1014997}（吨）
+
+进行比较后，得到河道中高锰酸盐污染源主要分布在第5河段（江西九江一安徽安庆），氨氮的污染源主要分布在第3河段（湖北宜昌一湖南岳阳）。
+
+# 3.3 问题三
+
+根据分析，可以将河道中IV类、V类和劣V类水的总含量来刻画长江水质情况，对附件4中数据统计后，得到过去10年中各种情况下不可饮用类水的含量百分比序列。将序列  $X_0$  分解为  $Y_0$  和  $Z_0$  ，其中  $Y_0$  反映  $X_0$  的确定性增长趋势， $Z_0$  反映  $X_0$  的平稳周期变化趋势。
+
+# 3.3.1 利用灰色  $\mathrm{GM}(1,1)$  模型对  $X_0$  序列的确定性增长趋势进行预测
+
+利用MATLAB编程进行求解，得到  $X_0$  序列的确定性增长趋势  $\pmb{Y}_0$ 。
+
+# 3.3.2 利用时间序列分析法对序列  $X_0$  的平稳周期变化趋势进行预测
+
+从原始序列  $X_0$  中，消除确定性增长的趋势  $Y_0$  ，就能得到平稳周期变化趋势，即
+
+$$
+\{Z _ {0} (1), \dots , Z _ {0} (1 0) \} = \{X _ {0} (1), \dots , X _ {0} (1 0) \} - \{Y _ {0} (1), \dots , Y _ {0} (1 0) \}
+$$
+
+对于此平稳变���序列，可利用时间序列分析法中的ARMA模型进行预测。根据  $\rho_{k}$  和  $\varphi_{kk}$  的拖尾性和截尾性，利用MATLAB编程进行预报，得到平稳变化趋势的预测值  $Z_{0}$  。最后，综合确定性增长趋势  $Y_{0}$  和平稳随机变化趋势  $Z_{0}$  的预测值，得到  $X_{0}$  序列的预测值。这样，就可以得到未来10年中各种情况下废水含量百分比的预测值。
+
+以全流域在枯水期中不可饮用类水含量百分比为例
+
+$$
+\{X _ {0} (1), \dots , X _ {0} (1 0) \} = \{6. 9, 1 7. 2, 3 2. 7, 1 4. 3, 2 3, 2 6. 8, 2 8. 7, 3 2. 4, 2 7. 5, 3 2. 2 \}
+$$
+
+得到未来10年废水含量百分比的预测值为
+
+$$
+\{X _ {0} (1 1), \dots , X _ {0} (2 0) \} = \{3 4. 0 0, 3 5. 9 3, 3 7. 9 6, 4 0. 1 1, 4 2. 3 7, 4 4. 7 7, 4 7. 3 0, 4 9. 9 8, 5 2. 8 1, 5 5. 8 0 \}
+$$
+
+# 3.3.3 分析长江未来水质污染的发展趋势
+
+根据预测值分析可知，若不采取任何治理手段，在10年后，长江的非饮用水（IV类、V类和劣V类）含量在一年中的大多数情况下都将超过  $50\%$  ，而且其比例还在逐年增加。正如专家给出的预测（附件1）：若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃。
+
+# 3.4 问题四
+
+# 3.4.1 污水百分比与水的总流量和废水排放总量的函数关系
+
+根据分析可知，一年内污水百分比不仅和废水排放总量有关，而且也与水的总流量有关系，并且可以看成是线性关系。所以建立二元线性回归模型，在此问题中，以一年中所有检测
+
+数据的平均值来刻画出整体的情况（即水文年中的数据），利用MATLAB编程，可分别求得一年内干流中IV、V类水百分比之和  $p_1$  与总流量  $v$  和排放量  $m$  的函数关系。以及IV、V、劣V类水百分比之和  $p_2$  与  $v$  和  $m$  的函数关系。实际情况中，总流量的变化很小，所以取前10年总流量的平均值来代替，即  $v = 9894.1$  亿立方米，得到简化的模型
+
+$$
+p _ {1} = 0. 1 5 4 9 7 m - 2 0. 1 9 2 6 \quad p _ {2} = 0. 2 0 5 9 m - 2 8. 9 7 2 9
+$$
+
+# 3.4.2 满足函数关系约束下废水排放量的极限值
+
+一年内干流中IV、V类水百分比之和要小于  $20\%$  ，即  $p_1 = 0.15497m - 20.1926 \leqslant 0.2$  ；一年内干流中劣V类水百分比要不大于0，那么IV、V、劣V类水百分比之和应该小于等于IV、V类水百分比之和，即  $p_2 = 0.2059m - 28.9729 \leqslant 0.2$  ；取两种约束范围的交集，得到废水排放量的极限为  $m^{max} = 131.59$  亿吨。
+
+# 3.4.3 未来10年内废水排放量的预测值
+
+利用灰色  $\mathrm{GM}(1,1)$  模型进行预测，得到未来10年污水排放量的预测值：
+
+$$
+\{3 0 3. 0 1, 3 2 2. 5 2, 3 4 3. 2 9, 3 6 5. 3 9, 3 8 8. 9 2, 4 1 3. 9 6, 4 4 0. 6 1, 4 6 8. 9 8, 4 9 9. 1 8, 5 3 1. 3 2 \} \quad (\text {亿 吨})
+$$
+
+# 3.4.4 未来10年内的污水处理量的预测值
+
+用排污量的预测值减去极限值，得到未来十年的污水处理量：
+
+$$
+\{1 7 1. 4 2, 1 9 0. 9 3, 2 1 1. 7, 2 3 3. 8, 2 5 7. 3 3, 2 8 2. 3 7, 3 0 9. 0 2, 3 3 7. 3 9, 3 6 7. 5 9, 3 9 9. 7 3 \} \quad (\text {亿 吨})
+$$
+
+# 4 模型的评价和改进 (略)
+
+# 参考文献：
+
+[1] 岳超源. 决策理论与方法[M]. 北京：科学出版社，2003  
+[2] 郑彤等. 环境系统数学模型[M]. 北京：化学工业出版社，2003  
+[3] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005  
+[4] 张树京等. 时间序列分析简明教程[M]. 北京：清华大学出版社，2003
+
+# An Evaluation and Prediction Model of Water Quality
+
+ZHANG Zhen, ZHANG Chao, ZHANG Hao
+
+Instructor: Instructor Group
+
+(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, PLA, Zhengzhou 450002)
+
+Abstract: The difference of water quality and quantity have an effect on the comprehensive evaluation of water quality. At first an "S" -like variable-value function dynamically weights the pollution evaluation standards of identical kinds for different water quality categories. Then, by making an evaluation model based on TOPSIS and using the analysis method of Grey Correlation, the water quality of Changjiang River is evaluated. Secondly, the main stream is divided into eight parts according to the positions of the seven observation points. All the polluting sources in each part are equal to a continuously stable source in the center of the part. By using the one-dimensional water quality model in the stable state and Quality Conservation Law to get the monthly pollutant amount in the middle six parts, and by comprehensively comparing the pollutant amount of different parts over one year, the distribution area of the main polluting sources can be got. Thirdly, the description of the state of water quality by the yearly undrinkable water percentage is made, and by using of the Grey GM(1,1) model and time sequence analysis method, the variation tendency is estimated. Last, in light of developing a linear regression model of the undrinkable water percentage in relation to the overall flow and waste water flow in Changjiang River, the limit of pollutant amount under restrictions is resolved. By subtracting the limit from the estimation value of pollutant amount, the waste water disposal amount can be predicted in ten years.
+
+Keywords: TOPSIS; greycorrelation; one-dimensional water quality model; GM(1,1) model; time sequence analysis; linear regression

MCM_CN/2005/论文/A题论文/长江水质的评价预测模型/长江水质的评价预测模型.md

@@ -0,0 +1,237 @@
+文章编号：1005-3085(2005)07-0041-06
+
+# 长江水质的评价预测模型
+
+谯程骏，张东辉，张敏
+
+指导教师：教练组
+
+(成都理工大学地球科学学院，成都610059)
+
+编者按：本文思路清晰，表述流畅，文章特点是：对不同水质指标用不同方法做标准化处理，再综合评价，主要污染源位置的确定和未来水质发展趋势预测等问题中均有完整的数学模型。不足之处是，没有结合长江水质的整体评价。
+
+摘要：本问题是一个对长江的水质进行综合评价、预测和控制的问题。首先对各项数据做归一化处理；再建立变权函数，确定四项水质指标的污染权值，进行动态加权，根据水质污染的指标对长江17个观测站每个月的水质排序；再用决策分析方法中的Borda法对28个月进行水质综合排序。先假定排污口分别位于江段上游和下游的情况下，取均值作为江段单位时间排污量。在对长江未来水质污染的发展趋势作预测时，通过可饮用水(I类、II类、III类)和污染水(IV类、V类)的比例变化来进行分析，建立排污量与时间的灰色预测模型，得出未来10年的排污量。建立可饮用水和污染水与总流量和排污量的二元线性回归预测模型，从得到的结果看，可饮用水的比例逐年减少，水污染愈来愈严重。关于未来10年污水处理量，主要在问题3的基础上，得出长江的极限载污量，与预测排污量相减，求得每年需要的污水量。
+
+关键词：Borda法；一维水质模型；灰色预测；二元线性回归预测
+
+分类号：AMS(2000)92C35
+
+中图分类号：O212
+
+文献标识码：A
+
+# 1 问题重述及模型假设（略）
+
+# 2 问题分析
+
+问题1首先应采用合理的方法实现数据的标准化。其次建立变权函数，确定四项标准物的污染度权值；根据水质综合的指标，对长江从上游到下游的17个观测点给出每个月的水质排序。再用决策分析方法对28个月进行水质综合排序。
+
+问题2通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。把7个观测站点分为6个江段，计算各江段的排污量。利用一维水质模型可以得到每个江段中污染物浓度变化，再通过假设排污口的位置，结合流量计算各江段的单位时间排污量，以此确定主要污染源所在江段。
+
+问题3分两步解决本问题：第一步建立长江排污量与时间(年)的数学模型；第二建立各级别水比例与总流量和排污量的关系模型。在问题3已建模型的基础上，问题4加上两个约束条件，求解得出长江的极限载污量，进而求得每年需要处理的污水量。
+
+# 3 模型的建立与求解
+
+# 3.1 问题1的模型建立与求解
+
+# 3.1.1 数据的归一化处理
+
+# 1)  $PH$  值的谷形处理
+
+由限值表知，对于  $\mathrm{I} \sim \mathrm{V}$  类地表水， $PH$  值介于6到9。在数据处理上，我们认为，由于中性液体的  $PH = 7$  ，随着液体  $PH$  值远离7(即大于和小于)的值的增加，其被污染的程度越大，数据处理应反映这个近似谷形关系。处理方法为
+
+$$
+p _ {i k} = \frac {\left| P _ {i k} - 7 . 0 \right|}{9 - 6}, \tag {1}
+$$
+
+其中，  $p_{ik}$  表示第  $i$  个地区第  $k$  个月的  $PH$  值  $(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28)$  。
+
+# 2)  $DO$  值的归一化处理
+
+对于污染物而言，应该遵循值越大，污染越严重的原则。但对于溶解氧值，含量与污染度却成反向关系，因此，所选的隶属度函数必须是一个减函数。经过求解，得到所需的减函数隶属度函数为
+
+$$
+d _ {i k} = \left\{ \begin{array}{l l} - 0. 1 3 4 8 D _ {i k} + 1, & 0 \leq D _ {i k} \leq 7. 5 \\ 0, & D _ {i k} > 7. 5. \end{array} \right. \tag {2}
+$$
+
+# 3)  $NH3 - N$  值和  $CODm$  值的归一化处理
+
+针对这两组数据的离散化程度并不是很高，可以采用极差变换法。
+
+$$
+n _ {i k} = \frac {N _ {i k} - \min  \left\{N _ {i k} \right\}}{\max  \left\{N _ {i k} \right\} - \min  \left\{N _ {i k} \right\}}, \tag {3}
+$$
+
+其中，  $(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28)$  。于是得到17个地区28个月的  $NH3 - N$  的归一化值  $n_{ik}$  。同理，得  $CODMn$  的归一化值  $c_{ik}$  。
+
+# 4）归一化处理结果-检测数据矩阵
+
+通过上述数据的处理方法，对附件3的28张检测表进行处理，就能得到17个地区28个月的检测数据矩阵：  $A_{ij}^{k}(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28;j = 1,2,3,4)$
+
+# 3.1.2 变权函数的确定
+
+分析附件3，发现某地区的水质类别是由  $DO$  、  $NH3 - N$  和  $CODMn$  含量决定的，且由三者的最差级别决定。这种现象定义为水质类别的不越界性。定义限值表中  $\mathrm{I} \sim \mathrm{劣V}$  六个等级的权值分别为  $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\}$ ，发现只要权值间��足下列关系：  $x_{6}: x_{5} \geqslant 2$ ；  $x_{5}: x_{3} \geqslant 3$ ， $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$  相互接近可以有效地防止越界的发生。
+
+经过验证，一种可行的权值定量化为  $x_{3} = 2, x_{5} = 9, x_{6} = 18$  。用变动权值的办法刻画模糊评语集{轻度污染，中度污染，严重污染}的等级权值。考虑到人们对于明显水质优劣有强烈的感觉，而对于同一个级别的水质类型感觉上的差异并不明显。通过心理函数，求出变动权值  $x_{1}, x_{2}, x_{4}$  。综合分析选取Logist模型，利用Matlab软件的非线性回归命令，求出曲线方程得
+
+$$
+y = 1. 5 + \frac {1 8}{1 + 1 9 . 6 e ^ {- 1 1 . 6 (x - 0 . 5 8)}}, \tag {4}
+$$
+
+其中，  $y\in x_{i}(i = 1,2,\dots ,6)$  表示六个等级的变动权值；  $\pmb{x}$  表示经离散化后的数据。
+
+利用式(4)处理限值表，得到17个地区28个月的变动权值矩阵  $\beta_{ij}^{k}$  。对权值归一化处理
+
+$$
+\alpha_ {i j} ^ {k} = \frac {\beta_ {i j} ^ {k}}{\max  \left\{\beta_ {i 3} ^ {k} \right\}}, \tag {5}
+$$
+
+其中，  $(i = 1,2,\dots ,17;k = 1,2,\dots ,28)$
+
+# 3.1.3 17个地区28个月的水质污染值
+
+对检测数据矩阵  $A_{ij}^{k}$  和变动权值矩阵  $\alpha_{ij}^{k}$  进行加权求和，得到水质污染值  $S_{i}^{k}$  为
+
+$$
+S _ {i} ^ {k} = \sum_ {j = 1} ^ {4} \alpha_ {i j} ^ {k} A _ {i j} ^ {k}. \tag {6}
+$$
+
+# 3.1.4 17个地区的水质综合排序
+
+求解得到17个地区28个月的水质综合排序可以得到对长江流域整体的污染程度进行更加细致的描述。现在采用决策分析中的Borda法进行水质综合排序。用Borda法处理数据，得到17个地区28个月的水质污染综合排序(见表1)。
+
+表1：水质污染综合排名（按污染量从小到大进行排名）  
+
+<table><tr><td>排名</td><td>点位名称</td><td>累积评分</td><td rowspan="10"></td><td>排名</td><td>点位名称</td><td>累积评分</td></tr><tr><td>1</td><td>江西九江河西水厂</td><td>385</td><td>10</td><td>四川宜宾凉姜沟</td><td>191</td></tr><tr><td>2</td><td>湖北丹江口胡家岭</td><td>379</td><td>11</td><td>湖北武汉宗关</td><td>182</td></tr><tr><td>3</td><td>江苏南京林山</td><td>361</td><td>12</td><td>四川泸州沱江二桥</td><td>176</td></tr><tr><td>4</td><td>安徽安庆皖河口</td><td>342</td><td>13</td><td>湖南岳阳岳阳楼</td><td>163</td></tr><tr><td>5</td><td>重庆朱沱</td><td>264</td><td>14</td><td>湖南岳阳城陵矶</td><td>161</td></tr><tr><td>6</td><td>四川攀枝花</td><td>263</td><td>15</td><td>湖南长沙新港</td><td>116</td></tr><tr><td>7</td><td>湖北宜昌南津关</td><td>256</td><td>16</td><td>四川乐山岷江大桥</td><td>85</td></tr><tr><td>8</td><td>江西九江蛤蟆石</td><td>247</td><td>17</td><td>江西南昌源槎</td><td>15</td></tr><tr><td>9</td><td>江苏扬州三江营</td><td>222</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
+
+# 3.2 问题2的建模与求解
+
+# 3.2.1 模型的建立
+
+某一污染物扩散所满足的微分方程是一个抛物线方程，结合实际问题的假设，常可假定其水流近似地处于稳定状态，断面沿程均匀。普通对流扩散方程为
+
+$$
+\frac {\partial C}{\partial t} + u \frac {\partial C}{\partial x} = D \frac {\partial^ {2} C}{\partial x ^ {2}} - k C, \tag {7}
+$$
+
+其中，  $u$  表示断面平均流速，  $u = Q / A(m / s)$
+
+上式是解决污染物浓度的一般原理，结合问题2的实际情况，进行进一步地分析。假设观测站干流的污染物浓度在一个月内保持稳定，则：  $\partial C / \partial t = 0$  。又弥散系数  $D$  是分子热运动造成污染物扩散的程度大小，它相对于江河流速  $\pmb{u}$  来说是微不足道的，可以忽略不计，即：  $D = 0$  。所以上式进一步简化为
+
+$$
+\boldsymbol {u} = \frac {d C}{d x} = - k C, \tag {8}
+$$
+
+其中，  $u$  表示断面平均流速；  $C$  为某组分子在  $\pmb{x}$  断面的浓度；  $k$  为讲解常数。由此求出长江干流污染物浓度  $C_x$  与距观测站长度  $\pmb{x}$  米的函数关系
+
+$$
+C _ {x} = C _ {i} e ^ {- \frac {k}{u _ {i}} x}. \tag {9}
+$$
+
+在距离上游为  $L_{i}$  时河水浓度为
+
+$$
+C _ {L _ {i}} = C _ {i} e ^ {- \frac {k}{u _ {i}} L _ {i}}. \tag {10}
+$$
+
+由于排污口的位置难以确定，为方便处理，现假设排污口位于第  $i$  段干流的下游某处结合上式，可得下游排污口排污浓度为  $C_i^{\prime}$ ，方程为
+
+$$
+C _ {i} ^ {\prime} = \frac {C _ {i + 1} \times Q _ {i + 1} - C _ {I _ {i}} \times Q _ {i}}{Q _ {i + 1} - Q _ {i}}. \tag {11}
+$$
+
+又假设排污口位于第  $i$  江段的上游，其排污浓度为
+
+$$
+C _ {i} ^ {\prime \prime} = \frac {C _ {i} ^ {\prime}}{e ^ {- \frac {k}{\mu_ {i}} L _ {i}}}. \tag {12}
+$$
+
+把排污口位于上游或位于下游不同情况下的平均单位时间排污量，平均取值作为此江段上的排污量。由常识，在下一站点浓度不变时，排��口位于上游的排污量显然高于排污口位于下游的排污量，并依次作为衡量排污量多少的指标。
+
+综上所述，长江第  $i$  段干流的污染物平均单位时间的排放量（毫克/秒）为
+
+$$
+\overline {{D _ {i}}} = \frac {C _ {i} ^ {\prime \prime} \times \left(Q _ {i + 1} - Q _ {i}\right) + C _ {i} ^ {\prime} \times \left(Q _ {i + 1} - Q _ {i}\right)}{2}. \tag {13}
+$$
+
+# 3.2.2 模型的求解
+
+对于一维单河段水质模型，两种污染物浓度相对较高的河段就是高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要所在地区。利用Matlab软件求解得：长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数的污染源主要在湖北宜昌到湖南岳阳段、江西九江到安徽安庆段。氨氮的污染源主要在湖北宜昌到湖南岳阳段、湖南岳阳到江西九江段。
+
+# 3.3 问题3的建模与求解
+
+# 3.3.1 长江总流量问题
+
+分析长江每年总流量的数据，发现总流量是随年份随机地沉浮变动，总的来说，变化很小。因此我们用均值法得出未来10年的长江每年总流量：
+
+$$
+Q = \frac {\sum_ {i = 0} ^ {1 0} q _ {i}}{1 0}, \tag {14}
+$$
+
+其中，  $Q$  表示未来10年的长江每年平均总流量；  $q_{i}$  为  $1995\sim 2004$  年的长江每年总流量。
+
+# 3.3.2 建立长江每年排污量与时间(年)的灰色预测模型（略）
+
+# 3.3.3 建立各级别水比例与总流量、排污量的二元线性回归模型
+
+长江流域地域广阔，水系发达，属于区域水质系统。需要预测枯水期、丰水期、水文年三段时期的全流域、干流、支流的排污情况。问题总共涉及到18种情况。建立模型时，只需研究可饮用水和中度污染水的各种情况。
+
+第一、可饮用水比例的二元线性回归模型为
+
+$$
+y _ {i j} ^ {(1)} = a _ {i j} ^ {(1)} + b _ {i j} ^ {(1)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(1)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(1)}. \tag {15}
+$$
+
+第二、中度污染水比例的二元线性回归模型为
+
+$$
+y _ {i j} ^ {(2)} = a _ {i j} ^ {(2)} + b _ {i j} ^ {(2)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(2)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(2)}, \tag {16}
+$$
+
+其中， $y$  表示水比例；(1)、(2)分别表示可饮用水和中度污染水； $x_{1}$ 、 $x_{2}$  分别表示年总流量和年总排污量； $i = 1,2,3$  分别表示枯水期、丰水期和水文年； $j = 1,2,3$  分别表示全流域、干流和支流。
+
+由(16)式可以得到长江在三时段、三个流域、可饮用水、中度污染水比例预测模型为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \hat {x} ^ {(0)} (k + 1) = x ^ {(1)} (k + 1) - x ^ {(1)} (k) = \left(x ^ {(0)} (1) - \frac {b}{a}\right) \left(e ^ {- a k} - e ^ {- a (k - 1)}\right) \\ y _ {i j} ^ {(1)} = a _ {i j} ^ {(1)} + b _ {i j} ^ {(1)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(1)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(1)}; y _ {i j} ^ {(2)} = a _ {i j} ^ {(2)} + b _ {i j} ^ {(2)} x _ {1} + c _ {i j} ^ {(2)} x _ {2} + y _ {i j} ^ {(2)}. \end{array} \right.
+$$
+
+这样求得未来10年的可饮用水、中度污染水水量比例。如  $2005 \sim 2014$  年枯水期全流域可饮用水比例分别为：57.524 54.003 50.29 46.372 42.24 37.881 33.283 28.434 23.317 17.92。可看出不采取治污措施，可饮用水比例将逐年递减。
+
+# 3.4 问题4的分析、建模与求解
+
+结合问题三的  $(GM(1,1))$  模型预测的  $2005\sim 2014$  年10年的排污量  $\hat{x}^{(0)}(k)$  ，每年需处理的污水量为
+
+$$
+D _ {k} = \hat {x} ^ {(0)} (k) - \min  \left\{x _ {2} ^ {(1)}, x _ {2} ^ {(2)} \right\}
+$$
+
+求解得，未来10年每年需要处理的污水量如表2所示：
+
+表2：  $2005\sim 2014$  每年需处理的污水量(单位：亿吨)  
+
+<table><tr><td>年份</td><td>2005</td><td>2006</td><td>2007</td><td>2008</td><td>2009</td></tr><tr><td>污水处理量</td><td>137.4</td><td>153.88</td><td>171.26</td><td>189.6</td><td>208.94</td></tr><tr><td>年份</td><td>2010</td><td>2011</td><td>2012</td><td>2013</td><td>2014</td></tr><tr><td>污水处理量</td><td>229.34</td><td>250.86</td><td>273.56</td><td>297.51</td><td>322.7</td></tr></table>
+
+# 4 模型的评价、改进及推广（略）
+
+# 参考文献：
+
+[1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003  
+[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005  
+[3] 王华东, 万国江等. 水环境污染概论[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1984  
+[4] 袁慰平. 孙志忠等. 计算方法与实习[M]. 南京：东南大学出版社，2000  
+[5]郑彤．陈青云.环境系统数学模型[M].北京：化学工业出版社，2003  
+[6] 熊燕，许晓东. Borda评分法与认可票法的联系与比较[J]. 华中科技大学学报，2005,22(增刊):132-133
+
+[7] 刘圣勇. 一维水质模型对河流污染物扩散的简单模拟[J]. 水运管理，2005,27(4):33-35
+
+# The Model of Evaluation and Forecast for Yangtse River's Water Quality
+
+QIAO Cheng-jun, ZHANG Dong-hui, ZHANG Min  
+Instructor: Instructor Group
+
+(Science of Earth Institute, Chengdu University of Technology, Sichuan 610059)
+
+Abstract: This issue focuses on making synthetical evaluation, calculation and controlling to Yangtse River's water quality. Firstly, disposing of all data into one category, then establishing changeable value function, and defining the pollution value of four items water quality indexes. We carry on dynamic additional power and putting the water quality each month in order which about Yangtse River's seventeen observatories according to the indexes of water quality pollution. While calculating the development trend to twenty-eight months water pollution through Borda method of decision-analysis methodology, making analyze to the proportion change between drinking water (I II IIIcategory) and sewage (IV V category) and establishing the weather calculation pattern of discharge sewage volume and time, to get the discharge sewage volume of the future ten years, also we build the secondary gender regression calculation pattern about drinking water and sewage with total volume and discharge sewage volume. The results showed that, the drinking water's proportion decreased year after year and water pollution became more and more serious. Concerning the sewage treatment volume in the ten years future, we can get the limited sewage volume of Yangtse River on the basis of the questoin Three and subtract calculation sewage volume to defin.
+
+Keywords: Borda method; ashy calculation; secondary gender regression calculation; primary dimensional water quality pattern

MCM_CN/2005/论文/A题论文/长江水质综合评价与预测的数学模型/长江水质综合评价与预测的数学模型.md

@@ -0,0 +1,281 @@
+# 长江水质综合评价与预测的数学模型
+
+韩中庚
+
+(解放军信息工程大学信息工程学院，郑州450002)
+
+摘要：本文针对2005年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛的A题“长江水质评价和预测”问题，首先概括地介绍了这个问题的立意与背景，然后给出了解决这个问题的一种可行的解决方案及结果，最后根据评卷情况、对评卷要点、问题的解决方法和答卷中存在的问题做了综合评述。
+
+关键词：长江水质；水质类型；综合评价与预测；水质模型
+
+分类号：AMS(2000)62P12
+
+中图分类号：TB114
+
+文献标识码：A
+
+# 1 问题的立意与背景
+
+水是人类赖以生存的资源，保护水资源等于保护我们自己，尤其是对大江大河的水资源的保护和治理是重中之重。根据环保部门公布的数据，我国现有的水资源符合饮用水标准（I类Ⅲ类水）的只有  $30\%$  ，其余的  $70\%$  都不能作饮用水，部分河流已被污染成了废水河。长江是我国第一、世界第三大河流，长江水的污染程度日趋严重，正面临六大危机：“森林覆盖率下降，泥沙含量增加，生态环境急剧恶化；枯水期不断提前；水质恶化，危及城市饮用水；物种受到威胁，珍稀水生物日益灭绝；固体废物严重污染，威胁水闸与电厂安全；湿地面积缩减，水的天然自洁功能日益丧失”。为此，长江水污染问题已引起了政府和有关专家的高度重视，国家环保局于2005年初掀起了一场“环保风暴”，一次刮停对环境污染严重的发电厂建设项目30多项，其中长江流域占了22项。国家主要领导人也强调指出：“要彻底改变以牺牲环境、破坏资源为代价的粗放型增长方式；不能以牺牲环境为代价去换取一时的经济增长；不能以眼前发展损害长远利益；不能用局部发展损害全局利益。”在2005年3月召开的“两会”上，许多人大代表和政协委员齐声呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染”。
+
+2004年10月，由全国政协委员、中国发展研究院执行院长章琦教授发起，并联合组织几十名专家学者成立了“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃。”同时，专家们也上书国务院，并发出了“拿什么拯救癌变长江？”的呼唤。
+
+正是在这样的一种背景下，我们提出了“长江水质评价与预测”问题。目前，长江的污染究竟达到了什么程度、主要的污染源在哪里、未来的发展趋势究竟会如何？10年后的长江究竟会变成什么样？会不会也像现在的淮河、海河一样变成一条最大的污水河？如果是这样，现在国家花巨资建设的“南水北调工程”岂不是毫无利用价值了！为此，我们围绕这个问题查阅了大量的相关文献资料，并先后咨询了中国发展研究院执行院长章琦教授，华东师范大学的陆健健教授，长江水利管理委员会（武汉）信息中心、《长江年鉴》编辑部、水利部中国水环境研究院信息中心和水质研究所、华北水利水电学院等单位，得到了有关专家和部门的支持与帮助，经过多方努力，多种途径搜集整理得到了所需要的珍贵数据资料。同时，我们也了解到，
+
+目前还没有人用完全定量的方法来研究相关问题。根据多年的统计资料显示，长江流域的面积占中国版图的  $54\%$  ，GDP 占全国的  $54\%$  ；2002年长江流域的排污总量为256亿吨，即平均每秒812吨，几乎都占了全国排污总量的一半之多，2003年达到了270多亿吨，比上个世纪80年代增加了一倍多。在长江流域生活着4亿人口；如果考虑到南水北调工程的影响，那么长江水质的好坏将影响到8亿人口的生活质量，为此，研究解决长江污染的问题是多么重要，这也是我们研究这个问题的意义所在。
+
+# 2 问题的解决思路
+
+根据这个问题的实际背景和现有的观测数据，首先依据近两年17个观测点的数据对相应地区的水质情况做定量综合评价与分析；然后依据这些地点的相对地理位置、水流量和水质数据，利用简化的一维水质模型推算出相应的排污量，从而可以确定出长江干流的主要污染源所在的区段；再根据长江过去10年的总体水质检测分类数据，利用灰色系统理论和回归分析等方法，对未来长江水质发展趋势进行预测，并对可能控制水质的条件进行研究。
+
+问题1）按国家标准(GB3838-2002)的规定，关于地表水的评价指标共有24项，但对水质污染最主要的是四项：PH���、溶解氧(DO)、高锰酸盐指数(CODMn)和氨氮(NH3-N)，按国标将水质可分为I类、II类、III类、IV类、V类、劣V类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。为此，由过去两年多17个观测站的水质数据做综合评价时，要充分考虑这些指标不同类别的“质的差异”和同类别的“量的差异”。在这里，首先通过极差等变换将相关数据做标准化处理，然后利用动态加权法合理地构造综合评价指标函数，使能充分地体现水质的类别差异和同类别水的数量差异。最后依据综合指标值的大小对各地区的水质状况做出分析评价。
+
+问题2）根据干流各观测站的水质数据和相应站点的位置关系，考虑到上游的污水会对下游的水质造成一定的影响，同时江河本身都有一定的自洁能力。一般说来自洁规律与江河的水流量、流速、水流断面、水流距离等参数有关，通常上游的水质对下游的影响服从一维水质模型。为了简化计算，不妨假设在一定的时间内流速是均匀的，水流断面变化不大，则可将其一维水质模型简化为简单的常微分方程。由此可以推算出上游的污水对下游的影响程度，从而可以计算出干流各个区段的排污量，即可确定主要的污染源所在的地区。
+
+问题3）根据过去近10年长江的总体水污染状况的检测数据，可以看出长江总体水污染的严重程度呈现快速增长的趋势，主要是年排污总量的增加，在总水流量变化不大的情况下，使得污染河段比例的增加，即每年污染情况主要与当年的排污量和总水流量等因素有关。为此，首先可以根据过去10年排污量，利用灰色预测方法对未来的年排污量做出预测，然后利用回归分析方法确定出可饮用（或不可饮用）水的比例与总排污量和总水流量的关系式。最后根据总排污量的增长趋势来推断出可饮用（或不可饮用）水比例的变化趋势，从而可以预测出未来10年长江水质的变化情况。
+
+问题4）用问题3)类似的方法，首先利用过去10年的相关数据确定出的不可饮用水、劣V类水的比例与总排污量和总水流量的关系式，然后根据题目要求的条件可以求出未来10年的污水处理量。
+
+# 3 长江水质的综合评价模型
+
+# 3.1 数据的标准化处理
+
+首先要对所给的水质指标进行统一的无量纲化标准处理，使各项指标具有可比性。设四项水质指标溶解氧、高锰酸盐指数、氨氮和PH值的指标值分别为  $x_{1}, x_{2}, x_{3}$  和  $x_{4}$ 。
+
+1) 指标溶解氧的处理 为了与其它指标的度量标准一致性，首先将指标数据作极小化处理，即令倒数变换  $x_{1}^{\prime} = \frac{1}{x_{1}}$ ，然后通过极差变换  $x_{1}^{\prime \prime} = \frac{x_{1}^{\prime}}{0.5}$  将其数据标准化，对应的分类区间变为
+
+$$
+\left. \right.\left( \right.a _ {1} ^ {(1)}, b _ {1} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {2} ^ {(1)}, b _ {2} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {3} ^ {(1)}, b _ {3} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {4} ^ {(1)}, b _ {4} ^ {(1)} \left. \right], \left( \right.a _ {5} ^ {(1)}, b _ {5} ^ {(1)} \left. \right], \left(a _ {6} ^ {(1)}, b _ {6} ^ {(1)}\right).
+$$
+
+2)指标高锰酸盐指数的处理对所有高锰酸盐指标数据作极差处理，将其数据标准化，即令  $x_{2}^{\prime} = \frac{x_{2}}{15}$  ，对应的分类区间随之变为
+
+$$
+\left. \right.\left( \right.a _ {1} ^ {(2)}, b _ {1} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {2} ^ {(2)}, b _ {2} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {3} ^ {(2)}, b _ {3} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {4} ^ {(2)}, b _ {4} ^ {(2)} \left. \right], \left( \right.a _ {5} ^ {(2)}, b _ {5} ^ {(2)} \left. \right], \left(a _ {6} ^ {(2)}, b _ {6} ^ {(2)}\right).
+$$
+
+3）指标氨氮的处理对所有氨氮指标数据作极差处理，将其数据标准化，即令  $x_{3}^{\prime} = \frac{x_{3}}{2}$  对应的分类区间随之变为
+
+$$
+\left(a _ {1} ^ {(3)}, b _ {1} ^ {(3)} \right], \left(a _ {2} ^ {(3)}, b _ {2} ^ {(3)} \right], \left(a _ {3} ^ {(3)}, b _ {3} ^ {(3)} \right], \left(a _ {4} ^ {(3)}, b _ {4} ^ {(3)} \right], \left(a _ {5} ^ {(3)}, b _ {5} ^ {(3)} \right], \left(a _ {6} ^ {(3)}, b _ {6} ^ {(3)}\right).
+$$
+
+4) 指标 PH 值的处理 PH 值（酸碱度）的大小反映出水质呈酸碱性的程度。通常的水生物都适应于中性水质，即酸碱度的平衡值（PH 值略大于 7），在这里不妨取正常值的中值 7.5。当  $PH < 7.5$  时水质偏碱性，当  $PH > 7.5$  时偏酸性，而偏离值越大水质就越坏。为此，对所有的 PH 值指标数据作均值差处理，即令  $x_4' = \frac{2}{3} |x_4 - 7.5|$ ，则将其数据标准化。
+
+# 3.2 综合评价指标的确定方法
+
+考虑到一个地区的污染指标的变化不仅与其所属的类型有关，而且即便是同属一个类型也有一定的数值差异。为此，在确定综合评价指标时，既要能体现同类型的指标数量差异，也要能体现不同类型指标之间的差异，而且更要能体现不同类型等级差的差异。于是，在这里采用动态加权法来确定相应的综合评价指标。根据实际不妨取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即
+
+$$
+w _ {i} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & x \leq \alpha_ {i} \\ 1 - e ^ {- \left(\frac {x - \alpha_ {i}}{\sigma_ {i}}\right) ^ {2}}, & x \geq \alpha_ {i} \end{array} \right. (i = 1, 2, 3), \tag {1}
+$$
+
+其中  $\alpha_{i}$  取指标  $x_{i}$  的I类水标准区间的中值，即  $\alpha_{i} = \frac{b_{1}^{(i)} - a_{1}^{(i)}}{2}$ ， $\sigma_{i}$  由  $w_{i}(a_{4}^{(i)}) = 0.9 (i = 1,2,3)$  确定。由实际数据经计算可得  $\alpha_{1} = 0.1333, \alpha_{2} = 0.0667, \alpha_{3} = 0.0375, \sigma_{1} = 0.1757, \sigma_{2} = 0.2197, \sigma_{3} = 0.3048$ ，则代入(1)式可以得到DO、CODm和NH3-N三项指标的权值函数。考虑到差异较大的是前三项指标，以及指标PH值的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为0.8，而PH值的影响权值取0.2。因此，某地区某一时间的水质综合评价指标定义为
+
+$$
+X = 0. 8 \sum_ {i = 1} ^ {3} w _ {i} \left(x _ {i}\right) x _ {i} + 0. 2 x _ {4}. \tag {2}
+$$
+
+根据2003年6月到2005年9月17个主要观测站的28组实际检测数据，经计算可得各观测站所在区段的水质综合评价指标值，即可得到一个  $17 \times 28$  阶的综合评价矩阵  $(X_{ij})_{17 \times 28}$ 。
+
+# 3.3 各地区水质的综合排序与评价
+
+由17个观测点28个月的水质综合评价指标  $X_{ij}(i = 1,2,\dots ,17;j = 1,2,\dots ,28)$  ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越大水质越差。由此可得反映17个观测点（地区）水质污
+
+染程度的28个排序结果，利用决策论中Borda数法[1]来确定综合排序方案。记第  $j$  个月的排序方案中排在第  $i$  个站点  $S_{i}$  后面的站点个数为  $B_{j}(S_{i})$  ，则站点  $S_{i}$  的Borda数为
+
+$$
+B (S _ {i}) = \sum_ {j = 1} ^ {2 8} B _ {j} (S _ {i}), \quad (i = 1, 2, \dots , 1 7).
+$$
+
+经计算可得到各站点的Borda数及总排序结果如表1所示。
+
+表1：各观测点的 Borda 数及水污染情况总排序  
+
+<table><tr><td>观测站点</td><td>S1</td><td>S2</td><td>S3</td><td>S4</td><td>S5</td><td>S6</td><td>S7</td><td>S8</td><td>S9</td><td>S10</td><td>S11</td><td>S12</td><td>S13</td><td>S14</td><td>S15</td><td>S16</td><td>S17</td></tr><tr><td>Borda数</td><td>203</td><td>136</td><td>143</td><td>234</td><td>106</td><td>139</td><td>138</td><td>378</td><td>232</td><td>271</td><td>60</td><td>357</td><td>277</td><td>264</td><td>438</td><td>214</td><td>217</td></tr><tr><td>总排序</td><td>11</td><td>15</td><td>12</td><td>7</td><td>16</td><td>13</td><td>14</td><td>2</td><td>8</td><td>5</td><td>17</td><td>3</td><td>4</td><td>6</td><td>1</td><td>10</td><td>9</td></tr></table>
+
+由表1可以看出，各观测站（地区）所在的江段的水质污染的情况，水质最差的是观测点  $S_{15}$ ，即是江西南昌赣江鄱阳湖入口地区；其次是观测点  $S_{8}$ ，即四川乐山岷江与大渡河的汇合地区；第三位的是  $S_{12}$ ，即湖南长沙湘江洞庭湖地区；干流水质最差的是湖南岳阳段  $(S_{4})$ ，主要污染可能是来自于洞庭湖。干流水质最好的区段是江西九江（鄂赣交界）段  $(S_{5})$ ，支流水质最好的是湖北丹江口水库  $(S_{11})$ 。
+
+# 4 长江干流主要污染源的确定模型
+
+针对问题2)，分析确定长江干流主要的污染物来自哪些地区。由于一个江段的水质污染，主要来处自本地区的污水和上游扩散下来污水两个部分的合成。一般说来，对于某一江段内的水质情况与该段内的排污量和上游的水质有关，在这里我们用排污速率（即每秒钟排污的含量）的大小来判断其排污量的多少。根据长江干流上的七个主要观测站点，将其分为六段，逐段分析其排污情况，即可以找出主要污染物的污染源所在的区域。
+
+# 4.1 一维水质模型
+
+假设长江干流中的污染物的分布浓度为  $C(\mathrm{mg / L})$  ，各河段断面为均匀的，平均流速记为  $u(\mathrm{m / s})$  ，不考虑扩散，且自净能力使污染物的浓度也不随时间变化，则  $C$  满足一维水质模型  $u\frac{dC}{dx} +kC = 0$  ，其中  $\pmb{k}$  为污染物的降解系数  $(1 / s)$  。如果初值条件为  $C(0) = C_0$  ，则可求得一维水质模型的解，即污染物的浓度随着水流的流动自然降解的规律为  $C = C_0e^{-k\frac{x}{u}}$  。
+
+对于长江干流上任一江段AB，即起点为A，终点为B，距离为  $d(\mathfrak{m})$  ，不妨假设段内有  $_n$  个排污口（包括支流入口和直排口），第  $_i$  个排污口的流量、平均流速、污染物的浓度分别为  $q_{i},u_{i},c_{i}$  ，而用  $Q_{i},U_{i},C_{i}$  分别表示该江段干流的水流量、流速和污染物浓度。则
+
+$$
+C _ {i} = \frac {q _ {i} c _ {i} + Q _ {i - 1} f \left(C _ {i - 1}\right)}{Q _ {i - 2} q _ {i}}, \quad Q _ {i} = Q _ {i - 1} + q _ {i} (i = 1, 2, \dots , n + 1), \tag {3}
+$$
+
+其中  $f(C_{i-1}) = C_{i-1} e^{-k \frac{x_i - 1}{U_{i-1}}}$ 。如果已知起始点 A 和终点 B 的水流量、流速、污染物浓度分别为  $q_0, u_0, c_0$  和  $q_{n+1}, u_{n+1}, c_{n+1}$ ，则在江段 AB 内的总排污量为  $w_{AB} = \sum_{i=1}^{n} c_i q_i$ 。即为实际上每秒钟排出的污染物的总量（排污速率）。实际中，因为不知道一个江段内排污口的个数和相应的排污量，要精确计算总排污量是困难的。为此，我们只须计算一个江段内可能的最大总排污量（上界）和最小排污量（下界），分别记为  $w_{\max}$  和  $w_{\min}$ 。事实上，当所有排污都集中在江段的源头时，对该江段的水质影响最大。相反的，当所有的排污都集中在江段的终点时，对该江段的水质影响最小，据此来确定该江段的总排污量的上界和下界值。
+
+# 4.2 污染物排放量的确定方法
+
+1) 排污量的上界值 假设江段 AB 内的所有排污都集中在 A 点（源头）处，即在 A 点均匀混合后，经过 AB 段内的降解到 B 点，则  $C_B = C_1 e^{-k \frac{p}{U_B}}$ ，于是  $C_1 = C_B e^{k \frac{p}{U_B}}$ 。又根据(3)式可得
+
+$$
+C _ {1} = \frac {q _ {1} c _ {1} + Q _ {0} C _ {0}}{Q _ {0} + q _ {1}} = \frac {q _ {1} c _ {1} + Q _ {A} C _ {A}}{Q _ {B}},
+$$
+
+故有该江段内总排污量的上界值为
+
+$$
+w _ {\max } = q _ {1} c _ {1} = C _ {1} Q _ {B} - Q _ {A} C _ {A} = Q _ {B} C _ {B} e ^ {k \frac {g}{v _ {B}}} - Q _ {A} C _ {A} (g / s). \tag {4}
+$$
+
+2)排污量的下界值假设江段AB内的所有排污都集中在B点（段末）处，类似地可得  $C_1 = C_B = \frac{q_1c_1 + Q_A C_A e^{-k\frac{\pi}{U_A}}}{Q_B}$ ，故有该江段内总排污量的下界值为
+
+$$
+w _ {\min } = q _ {1} c _ {1} = C _ {B} Q _ {B} - C _ {A} Q _ {A} e ^ {- k \frac {P}{V _ {B}}} (g / s). \tag {5}
+$$
+
+对于任意一个江段AB，由起始点和终点的污染浓度  $C_A,C_B$  、水流量  $Q_{A},Q_{B}$  、流速  $U_{A},U_{B}$  、距离  $\pmb{x}$  （均已给定）和降解系数  $\pmb{k}$  ，则根据(4)式和(5)式就可以计算出该AB段的污染物总排放量的变化区间  $[w_{\min},w_{\max}]$  。
+
+3) 平均相对排污量 根据所给数据，对于每一个月每一江段都可以确定一个排污量变化区间，记第  $j$  个月排污量的变化区间为  $[w_{\min}^{(j)}, w_{\max}^{(j)}](j = 1,2,\dots ,13)$  。按月份取均值得  $\overline{w}_{\min} = \frac{1}{13}\sum_{j = 1}^{13}w_{\min}^{(j)}, \overline{w}_{\max} = \frac{1}{13}\sum_{j = 1}^{13}w_{\max}^{(j)}$  ，则每一个江段都有确定的排污量区间  $[\overline{w}_{\min}, \overline{w}_{\max}]$  。取中值  $w_{\mathrm{med}} = \frac{1}{2} (\overline{w}_{\min} + \overline{w}_{\max})$  ，即为一个江段13个月的平均排污量。如果该江段的距离总长为  $d(\mathrm{km})$  ，则一个江段每秒、每公里的排污量为  $w_0 = \frac{w_{\mathrm{med}}}{d} (\mathrm{kg / s}\cdot \mathrm{km})$  ，称其为平均相对排污量。对每一江段都有一个平均相对排污量指标，它是一个可比性的指标，由此指标的大小可以确定长江干流排量最大的区段，即可以确定主要污染源。
+
+# 4.3 长江干流主要污染源的确定方法
+
+根据附件3中所给的“长江干流主要观测站点的基本数据”，对于指标CODMn和NH3-N的降解系数为  $k = 0.2(1 / \text{天})$  。按上述的方法分别计算可得结果及按排污速率大小排序如表2和表3所示。
+
+表2：指标 CODmn 的排放量及排序结果  
+
+<table><tr><td>江段</td><td>S1~S2</td><td>S2~S3</td><td>S3~S4</td><td>S4~S5</td><td>S5~S6</td><td>S6~S7</td></tr><tr><td>[whmin,whmax]</td><td>[31.32,49.03]</td><td>[30.07,68.07]</td><td>[39.12,78.72]</td><td>[20.29,49.04]</td><td>[14.15,18.58]</td><td>[23.16,40.15]</td></tr><tr><td>相对排污量w0</td><td>0.04229</td><td>0.06307</td><td>0.15</td><td>0.0693</td><td>0.0998</td><td>0.0682</td></tr><tr><td>排序</td><td>6</td><td>5</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>4</td></tr></table>
+
+表3：指标 NH3-N 的排放量及排序结果  
+
+<table><tr><td>江段</td><td>S1~S2</td><td>S2~S3</td><td>S3~S4</td><td>S4~S5</td><td>S5~S6</td><td>S6~S7</td></tr><tr><td>[ωmin, ωmax]</td><td>[28.11,63.12]</td><td>[30.47,83.58]</td><td>[42.52,113.09]</td><td>[22.52,60.78]</td><td>[15.79,22.05]</td><td>[8.47,28.1]</td></tr><tr><td>相对排污量w0</td><td>0.048</td><td>0.0733</td><td>0.197</td><td>0.0833</td><td>0.1154</td><td>0.0393</td></tr><tr><td>排序</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>6</td></tr></table>
+
+从上面的结果可以看出，CODMn和NH3-N的主要污染源都在  $S_{3} \sim S_{4}$  段，即在湖北宜昌到湖南岳阳之间的地区，可能是来自于三陕水库下游和洞庭湖一带，直观地分析此与实际数据完全相符。
+
+# 5 长江水质的预测模型
+
+要研究长江未来水质的总体变化情况，问题只需要预测10年后长江水是否还可以饮用，即I类、Ⅱ类、Ⅲ类水的比例总和为多少？
+
+# 5.1 可饮用水量变化规律的预测
+
+由过去10年长江流域的总排污量分别为(174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285)（亿吨）和总水流量分别为(9205,9513,9171.26,13127,9513,9924,8892.8,10210,9980,9405)(亿立方米），其变化规律可以视为时间（年）  $t$  的函数，不妨分别记为  $w_{1} = \phi_{1}(t)$  和  $w_{2} = \phi_{2}(t)$  。因为每年各水质类型的变化主要与总排污量和水流量有关，为此以  $\phi_1(t),\phi_2(t)$  为解释变量，可饮用水的比例总和为响应变量，利用过去的检测数据作多元线性回归，从而可以得到可饮用水的比例与  $\phi_1(t)$  和  $\phi_2(t)$  函数关系。即考虑一般的线性多元回归模型为
+
+$$
+y = a \phi_ {1} (t) + b \phi_ {2} (t) + c \tag {6}
+$$
+
+由过去10年可饮用水的比例观测值  $(\phi_{1}(t_{k}),\phi_{2}(t_{k}),y_{k})(k = 1,2,\dots ,10)$  ，用最小二乘法求得回归系数的估计值  $(a,b,c)$  ，代入(6)式中就可以得到可饮用水的比例与排污量和水流量的关系式。事实上，根据过去10年中枯水期、丰水期和水文年的可饮用水比例分别可得回归系数  $(a_i^{(k)},b_i^{(k)},c_i^{(k)})(i,k = 1,2,3)$  如表4所示。
+
+表4：回归模型的系数  
+
+<table><tr><td>水期</td><td colspan="3">枯水期</td><td colspan="3">丰水期</td><td colspan="3">水文年</td></tr><tr><td>系数</td><td>a_i(1)</td><td>b_i(1)</td><td>c_i(1)</td><td>a_i(2)</td><td>b_i(2)</td><td>c_i(2)</td><td>a_i(3)</td><td>b_i(3)</td><td>c_i(3)</td></tr><tr><td>全流域</td><td>-0.1405</td><td>0.0018</td><td>89.0214</td><td>-0.1907</td><td>0.0008</td><td>113.2105</td><td>-0.1489</td><td>0.0016</td><td>96.8396</td></tr><tr><td>干流</td><td>-0.3123</td><td>0.0036</td><td>112.0766</td><td>-0.2428</td><td>0.0020</td><td>116.0260</td><td>-0.1846</td><td>0.0039</td><td>85.1549</td></tr><tr><td>支流</td><td>-0.0419</td><td>0.0005</td><td>76.4087</td><td>-0.1480</td><td>0.0001</td><td>109.1528</td><td>-0.1015</td><td>0.0002</td><td>97.4869</td></tr></table>
+
+将其代入回归模型(6)式中就得到各个水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比变化规律：
+
+$$
+y _ {i} ^ {(k)} = a _ {i} ^ {(k)} \phi_ {1} (t) + b _ {i} ^ {(k)} \phi_ {2} (t) + c _ {i} ^ {(k)} \quad (i, k = 1, 2, 3). \tag {7}
+$$
+
+利用这个模型可以对未来的水质情况（可饮用水的比例）进行预测分析。
+
+# 5.2 未来10年的总排污量预测
+
+由于过去10年的长江流域的总排污量是总体增加的趋势，为此用灰色预测模型GM(1,1)对未来10年的总排污量做出预测。依次记过去10年的总排污量为基本序列，记为
+
+$$
+W ^ {(0)} = (w ^ {(0)} (1), w ^ {(0)} (2), \dots , w ^ {(0)} (1 0)).
+$$
+
+对  $W^{(0)}$  作AGO序列和MEAN序列，求解  $\mathrm{GM}(1,1)$  模型可以得到未来10年的排污总量的平均值为  $\overline{w} = 303.3804$  亿吨。因主要是考虑10年后的情况，所以中间可以认为每年是均匀增长，这里平均年增长量为  $\triangle w = \overline{w} -285 = 18.3804$  （亿吨），则未来10年的排污量分别为  $w_{k} = 285 + k\triangle w(k = 1,2,\dots ,10)$  ，经计算可得未来10年的排污总量（单位为亿吨），即
+
+$$
+W = (3 0 3, 3 2 2, 3 4 0, 3 5 9, 3 7 7, 3 9 5, 4 1 4, 4 3 2, 4 5 0, 4 6 9). \tag {8}
+$$
+
+# 5.3 未来10年的水质变化规律预测
+
+根据各水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比的变化模型(7)，由未来10年的排污总量(8)式和相应的水流总量就可以计算出未来10年的各水期的全流域、干流和支流可饮用水的百分比的变化情况。注意到水流量没有明显的变化规律，在这里用过去10年的平均水流量9894.1亿立方米来表示未来10年的平均年水流量，即  $\phi_{2}(t) = 9894.1$  。经计算得未来10年相应可饮用水的比例如表5所示。
+
+表5：未来10年的各水期可饮用水的比例预测值  
+
+<table><tr><td></td><td>年份</td><td>2005</td><td>2006</td><td>2007</td><td>2008</td><td>2009</td><td>2010</td><td>2011</td><td>2012</td><td>2013</td><td>2014</td></tr><tr><td rowspan="3">枯水期</td><td>全流域</td><td>64.1100</td><td>61.4397</td><td>58.9100</td><td>56.2397</td><td>53.7099</td><td>51.1802</td><td>48.5099</td><td>45.9802</td><td>43.4505</td><td>40.7802</td></tr><tr><td>干流</td><td>53.3414</td><td>47.4078</td><td>41.7865</td><td>35.8529</td><td>30.2316</td><td>24.6103</td><td>18.6767</td><td>13.0553</td><td>7.4340</td><td>1.5004</td></tr><tr><td>支流</td><td>69.0851</td><td>68.2897</td><td>67.5362</td><td>66.7409</td><td>65.9874</td><td>65.2339</td><td>64.4385</td><td>63.6850</td><td>62.9315</td><td>62.1362</td></tr><tr><td rowspan="3">丰水期</td><td>全流域</td><td>63.5670</td><td>59.9443</td><td>56.5123</td><td>52.8897</td><td>49.4577</td><td>46.0257</td><td>42.4030</td><td>38.9710</td><td>35.5390</td><td>31.9164</td></tr><tr><td>干流</td><td>62.3132</td><td>57.6991</td><td>53.3279</td><td>48.7139</td><td>44.3427</td><td>39.9715</td><td>35.3574</td><td>30.9862</td><td>26.6150</td><td>22.0010</td></tr><tr><td>支流</td><td>65.0405</td><td>62.2289</td><td>59.5652</td><td>56.7535</td><td>54.0899</td><td>51.4262</td><td>48.6145</td><td>45.9509</td><td>43.2872</td><td>40.4755</td></tr><tr><td rowspan="3">水文年</td><td>全流域</td><td>67.3625</td><td>64.5330</td><td>61.8525</td><td>59.0230</td><td>56.3425</td><td>53.6619</td><td>50.8325</td><td>48.1519</td><td>45.4714</td><td>42.6419</td></tr><tr><td>干流</td><td>68.2090</td><td>64.7008</td><td>61.3774</td><td>57.8693</td><td>54.5458</td><td>51.2223</td><td>47.7142</td><td>44.3908</td><td>41.0673</td><td>37.5592</td></tr><tr><td>支流</td><td>68.6906</td><td>66.7622</td><td>64.9353</td><td>63.0069</td><td>61.1800</td><td>59.3531</td><td>57.4247</td><td>55.5978</td><td>53.7709</td><td>51.8425</td></tr></table>
+
+由此结果可见，按目前的污染状况，如果不采取有效的综合治理措施，10年后到枯水期时长江干流可饮用水的比例也只剩下  $1.5\%$  了，即有  $98.5\%$  的江段水都成了IV类，或V类，甚至劣V类水，不可饮用了，水中也不会再有生物存在。正像专家所说：“长江生态10年内将濒临崩溃。”就是在丰水期，也有  $78\%$  的江段都变成了非饮用水，污染的状况十分严重。
+
+# 6 长江水质的控制模型
+
+针对问题4)，如果要求未来长江干流IV类、V类和劣V类水的比例总和不超过  $20\%$  ，即可饮用水比例不小于  $80\%$  ，就要求(6)式中的  $y \geq 80$  ，则  $a\phi_{1}(t) + b\phi_{2}(t) + c \geq 80$  。同时要求没有劣V类水，用类似模型(6)的方法，可得到长江干流IV类和V类水的比例总和与总排污量  $\phi_{1}(t)$  和水流量  $\phi_{2}(t)$  的关系  $y' = a'\phi_{1}(t) + b'\phi_{2}(t) + c'$ ，根据题目要求则应有  $y' \leq 20$  ，且劣V类水的比例  $100 - y - y' = 0$  。于是未来10年允许的排污量  $\phi_{1}(t)$  则应满足
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} a \phi_ {1} (t) + b \phi_ {2} (t) + c \geq 8 0, \\ a ^ {\prime} \phi_ {1} (t) + b ^ {\prime} \phi_ {2} (t) + c ^ {\prime} \leq 2 0, \\ 1 0 0 - (a + a ^ {\prime}) \phi_ {1} (t) - (b + b ^ {\prime}) \phi_ {2} (t) - c + c ^ {\prime}) = 0. \end{array} \right.
+$$
+
+取水流量  $\phi_{2}(t)$  为平均值9894.1，分别计算枯水期和丰水期允许的平均年排污量为217亿吨和230亿吨。再根据未来10的正常排污量预测值，则可以得未来10年内每年需要处理的污水数量如表6所示。
+
+表6：未来10年的需要处理污水量预测值  
+
+<table><tr><td>年份</td><td>2005</td><td>2006</td><td>2007</td><td>2008</td><td>2009</td><td>2010</td><td>2011</td><td>2012</td><td>2013</td><td>2014</td></tr><tr><td>排污量预测值</td><td>303</td><td>322</td><td>340</td><td>359</td><td>377</td><td>395</td><td>414</td><td>432</td><td>450</td><td>469</td></tr><tr><td>枯水期处理量</td><td>86</td><td>105</td><td>123</td><td>142</td><td>160</td><td>178</td><td>197</td><td>215</td><td>233</td><td>252</td></tr><tr><td>丰水期处理量</td><td>73</td><td>92</td><td>110</td><td>129</td><td>147</td><td>165</td><td>184</td><td>202</td><td>220</td><td>239</td></tr><tr><td>年处理区间值</td><td>[73,86]</td><td>[92,105]</td><td>[110,123]</td><td>[129,142]</td><td>[147,160]</td><td>[165,178]</td><td>[184,197]</td><td>[202,215]</td><td>[220,233]</td><td>[239,252]</td></tr></table>
+
+由结果可知，因为年排污量在逐年增加，要保持一定的水质指标就必须要增加污水的处理量，具体数值的多少主要取决于年水流量的大小。当水流量相对较大时，有利于水质的改善，污水处理量可以减少，也能保证水质的要求；当水流量相对较小时，会加重水质污染程度，故要增加污水处理量。为此，给出一个污水处理允许的区间值，通常情况下，根据水流量的大小在相应的区间内确定污水处理量。
+
+# 7 对问题的综合评述
+
+“长江水质的评价和预测”问题被用作2005年全国大学生数学建模竞赛A题，使得自己为此所做的工作和付出得到了专家和同行们的肯定，为此深感荣幸和欣慰，同时能够为全国大学生数学建模竞赛活动尽微薄之力而感到高兴。竞赛之后，有幸应邀参加了湖南与湖北赛区联合、河南赛区及全国的阅卷工作，在此期间很多专家们都对这个题目给予了很高的评价和赞赏，尤其是对题目的立意、题材和内容等方面，以及问题的开放性、灵活性、创造性和即��性的体现等方面都给予了好评。但也有的老师反映，这个题目太大了，要解决的问题太多了，尤其是数据量太大、太复杂了，学生在三天之内很难完成好。确实像这样一个实际的问题，数据也基本都是原始数据，短时间内解决实属不易，而且还要求做好更难了。尽管如此，在甲组参赛队中还是有  $60\%$  以上队都选作了这个题目，这反映了同学们对这个题目的偏爱和兴趣，同时也反映出广大青年学生勇于挑战，敢于拼搏的精神和气质，值得称赞。从送到全国评奖的答卷也让我们欣慰地看到很多同学完成的还是很出色的，充分地体现出了同学们的创新精神和从事实际科研的能力与素质，我想这也是我们数学建模竞赛的目的所在。2005年的赛题的突出特点是：开放性强，实用性强，数据信息量大，可解方法灵活多样。我认为这是现代实际科研工作的特点之一，也应该是数学建模的一个发展方向。
+
+# 7.1 解决问题的主要方法概述
+
+由于“长江水质评价和预测”问题实际背景和特点，解决问题的可行方法灵活多样，从问题的数值结果上很难说明方法的对与错，但从实际问题来分析还是可以看出方法之间的差异，可也以判断出方法的优与劣，有些方法所得到的结果明显的不符合实际。
+
+对于问题1)是多因素多属性的综合评价分析问题，可用的方法有综合加权法、模糊综合评判法、主成份分析法、灰色聚类、多目标决策、神经网络等方法，无论用哪一种方法都应该有一个合理的综合评价指标（函数），作为综合评价的依据。有一部分参赛队没有用任何综合评价的方法，只是对所给的数据做了一些简单的统计计算，即统计各类水出现的次数、频率，或取平均值即得到一个评价结果，这显然是不可取的。
+
+对于问题2)是由历史数据来确定长江干流的主要污染源，事实上这是一个微分方程的反问题。大多数参赛队都是利用简化的一维水质模型（连续形式或差分形式）研究污染物的降解作用，从而可以确定各地区污染物的浓度变化。有一部分参赛队考虑了干流上排污源的影响，并
+
+假设排污点在江段内均匀分布，或者所有的排污源都集中在某一点处等处理方法，这些都是合理的做法。最后根据各江段排污量的多少确定主要的污染源在哪里。
+
+对于问题3)是对未来10年水质变化的预测问题，即是一个典型的小样本的预测问题，可用的方法有很多，如灰色预测、时间序列、回归分析、拟合（指数据拟合、线性拟合、分段非线性拟合、二次拟合）等等。只是这些方法如何来使用，使用方法不当可能会导致错误，有的会得到荒唐的结果。事实上，对于没有明显变化规律（或趋势）的数据样本做预测，用任何方法都是不可靠的。因为各单项比例都没有明显的变化趋势，所以有很多的参赛队都是对I类、II类、III类、IV类、V类和劣V类水的比例分别做预测的，所得到的结果都是不可靠的，比如各类水的比例预测值之和大于  $100\%$  是个明显的错误。
+
+对于问题4)是在问题3)的基础上进一步研究对水质的控制问题。事实上，该问题与问题3)紧密相关的问题，但有些参赛队把它们看成两个不相关的问题，使得问题人为的复杂化了。如果在问题3)中找出了可饮用水（或不可饮用水）的比例与总排污量和水流的关系，通过预测总排污量和水流量来计算出可饮用水的比例，而不是直接对各类水的比例进行预测，则问题4)就是水到渠成的事情了。否则问题4)就变成了与问题3)独立的问题，只能重复做上述的工作，使工作量大大增加。值得我们注意的是，在有多种可能的方法（或模型）时，要学会综合比较、优化选择合理有效的方法（或模型），而不是简单地套用某一种方法（或模型），这正向人们所说的“不要光重视最优化模型，更要重视模型的最优化。”
+
+# 7.2 答卷中出现的主要问题概述
+
+由于该问题的开放性和解决方法的非惟一性等特点，所用知识和方法在以往的赛题中也并不多见，这就使得有些学生感到困惑和陌生，在处理问题时不知所示，因此出现了一些问题或错误。
+
+1）对问题1)的理解。很多人对“长江水质情况做出定量的综合评价”的理解不当，甚至有人认为在理解上有歧义，不知道该评什么，用什么数据来评，如何来评等？其实出现这些模糊概念的关键是不清楚什么是“综合评价”，让我们看一下相关解释。“综合”一把事物的各个部分、方面、因素结合成一个统一整体加以考察；即把各种不同而互相关联的事物或现象组合在一起。“评价”——泛指衡量人物、事物的作用或价值。因此，“综合评价”的基本含义就不言而喻了。要构成“综合评价”的问题必须要有五个要素[2]：“被评价对象；评价指标；权重系数；综合评价模型（函数）和评价者”。解决综合评价问题的一般步骤是：“明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系；评价指标的标准化处理；确定相对权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值，并进行排序或分类”。这是任何一个综合评价问题都必须要做的工作。于是，问题1)要评什么，用什么数据来评，如何来评等问题就不言自明了吧。  
+2）由于某些人对定量的综合评价方法不了解，就出现了仅对水质的类型做简单的统计计算，以各类水出现的次数或概率来评价，或以各类水出现的平均次数来评价。此类作法的主要问题是：缺少科学性，不符合综合评价的要求，不能区分同类水质中的数量差异。还有队说国标中关于水的分类方法不合理，自己试图给出一种自认为合理的分类标准。也有的队硬给某个地区或整个长江的水质进行分类，这就等于是修改了国标或自定分类标准，这也是不合适的。  
+3）有相当多的参赛队在评价中，不考虑PH值在综合评价中的影响是不合适的。虽然PH值大小对水的分类无影响，但对水质是有很大影响的，过酸或过碱性的水质对生态环境的影响是很大的。  
+4）有些队在建立综合评价指标时，对原始数据没有作标准化处理（无量纲化，或归一化等），这在综合评价中是一个低级的错误，违背了综合评价指标“可公度性”的要求。还有一
+
+些仅用所给数据简单的作图描点分析，缺少定量依据。很多答卷没有给出明确的分析结果。
+
+5）对于问题2)，有些队没有考虑长江的自然降解功能，仅对17个观测点的数据做统计，依据浓度的大小得到结果是不合适的。有相当多的一些参赛队都没有考虑干流上的排污源（包括支流和直排口等）的排污影响。有的参赛队是以两观测站之间的观测数据计算出来的排污总量的大小来确定污染源是不太合理的，因为站点之间的距离不同，排污总量不是可比指标。个别的队对降解系数为0.2不理解，认为是有  $20\%$  的污染物被降解掉了，剩下的  $80\%$  流到下游。也有的队通过一维水质模型计算出来的排污量为负值的情况没有做出合理的解释说明。
+
+6) 对于问题3)，有很多的队是对各类水质的比例直接作预测的，明显的是不合理的，主要是各单类比例没有明显的变化规律可寻，用任何方法预测都是不可靠的，从而出现了各类水的比例总和大于  $10\%$  的错误结果。各类水的比例变化应与总的年排污量和总水流量有关，有的队没有考虑总水流量的影响，只考虑排污量的影响不合适。很多的队都是用拟合的方法来做预测的，方法虽可行，但用指数拟合和二次函数拟合增长过快，线性拟合效果欠佳，三次以上的高次拟合是拟合问题的一大忌。对长江的年总流量用任何方法预测都不太合理，因为没有明显的趋势，所以取平均值较好。
+
+7）对于问题4)，大多数队都是在问题3)中直接对各类水比例做的预测，没有找出各类水比例与年排污总量和水流总量之间的关系，为此要解决问题4)必须要先解决这个问题，使得问题复杂化。有的队对题意的理解有误，如题目中要求“四类水和五类水的比例不超过  $20\%$  ”，他认为是两类水分别小于等于  $20\%$  。还有个别的队把所给长江长度的百分比理解成长江水浓度的百分比，于是对总排污量直接处理  $80\%$  ，即得到污水的处理量，显然是错误的。还有少数队直接对长江水总流量进行处理  $80\%$  ，从而得到了污水处理量达到几仟亿吨的荒唐结果。八九仟立方米的滔滔长江水如何来处理呢？这应该是一个常识性的问题。
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+# 8 结束语
+
+2005年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛工作圆满的结束了，作为“长江水质评价和预测”问题的命题人，同全国的25446名参赛大学生一样也是一个参与者，同样也有深刻的感受和非常的收获。从开始考虑这个问题到搜集数据，直到最后形成题目，在这大半年的时间里让我感慨万千，酸甜苦辣可以说是一言难尽，在这里也不想赘述。在这个题目发布以后，引起的国内多家媒体和十多家网站的关注报道，这也说明了这个题目的时效性。在几次评卷过程中，接触到了很多专家教授和同行们，从他们对赛题的不同看法和评价中，也都给了我很多的启迪。我个人觉得中国的数学建模竞赛已经历十几个年头了���可以说是从当初的初级阶段发展到中级阶段，目前应该是正处在从中级往高级迈进的一个时期。总结历史展望未来，中国的大学生数学建模竞赛应该向何处发展，尤其是竞赛题应该如何发展？在开放性问题上个人觉得应该寻求适合中国国情的“中国式开放”，而不要套学“美国式开放”。一个理由是在中国可以共享的信息资源还很有限，虽然解决问题的必要数据资料客观存在，但是事实上很多都是属于主管部门的专利，所以我们无法获取。有人说：“如果把长江水质评价和预测问题中所给的数据都去掉就像美国的赛题了。”不错，我也相信这一点。我用了近几个月时间，动用了网络、电话、人力、物力、财力等资源才收集到这些宝贵的数据资料，让参赛学生三天内如何能做到呢？简直是天方夜谭。因此，我们的数学建模竞赛应向何处发展，赛题应如何开放？是值得我们共同关心、思考和研究的课题。
+
+虽然今年的竞赛已落下帷幕，但围绕着这个问题也留给我们很多的思考，从题目本身还有很多有待于进一步讨论研究的问题。同时由于评卷规则的限制，没能看到所有参赛队的答卷，
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+可能还有很多好的答卷和很好的做法没有看到，这里讲的不一定全面。因此，也希望有更多的同行和学生一起来讨论、交流和研究相关的问题，本人的E-mail：zhghan@163.com。
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+致谢：对全国组委会的专家、中国发展研究院的章琦教授、华东师大的陆健健教授和《长江年鉴》编辑部、水利部中国水环境研究院信息中心和水质研究所的有关专家，以及多年给予我关心和帮助的同行们一并表示衷心的感谢。
+
+# 参考文献：
+
+[1] 岳超源. 决策理论与方法[M]. 北京：科学出版社，2003  
+[2] 郭亚军. 综合评价理论与方法[M]. 北京：科学出版社，2002  
+[3] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M]. 北京：高等教育出版社，2005  
+[4] 韩中庚. 招聘公务员问题的优化模型与评述[J]. 工程数学学报, 2004, 21(7):147-154  
+[5] 韩中庚. 研究生录取问题的优化模型与评述[J]. 数学的实践与认识, 2005,35(7):126-135  
+[6] 国家环保总局. 长江流域水质检测数据[R/OL]. http://www2.sepa.gov.cn/apps/Queryqgzdwaterenv.jsp
+
+# The Mathematical Model of Water Quality Comprehensive Evaluation and Prediction of the Yangtze River
+
+HAN Zhong-geng
+
+(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, PLA, zhengzhou 450002)
+
+Abstract: In this paper, according to the problem A of 2005 HIGHER EDUCATION PRESS CUP CUMCM, the motivation and background of the problem of water quality evaluation and prediction of the Yangtze River are introduced. Then the practicable solution methods and its results of the problem are given. Finally, according to the grading papers process, the comprehensive comments of the outline of grading, the solution methods and the existing problems are given.
+
+Keywords: water quality of the Yangtze River; water quality class ification; comprehensive evaluation and prediction; water quality model

MCM_CN/2008/A题/数码相机定位/数码相机定位.md

@@ -0,0 +1,784 @@
+# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
+
+# 承诺书
+
+我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则
+
+我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
+
+我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
+
+我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
+
+我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
+
+我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 2108373
+
+所属学校（请填写完整的全名）： 南京大学
+
+参赛队员 (打印并签名)：1. 箈庆
+
+2. 周超  
+3. 俞庆进
+
+指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名):
+
+日期：2008年9月22日
+
+赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
+
+# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
+
+# 编号专用页
+
+赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
+
+赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
+
+<table><tr><td>评阅人</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>评分</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>备注</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
+
+全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
+
+全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
+
+# 数码相机定位
+
+# 摘要
+
+本文假设数码相机成像原理为小孔成像，在此基础上，通过两种合理的模型对数码相机定位问题进行了较深入的研究。
+
+针对问题一和二，我们建立了两种不同模型——变换矩阵模型和公切线模型。在变换矩阵模型中，建立了物、像、相机三个坐标系，分别称为世界坐标系，像坐标系和光心坐标系。研究世界坐标系向像坐标系的变换矩阵  $M = (a_{ij})_{3 \times 4}$ ，推导出圆在像坐标系中的像为椭圆。利用灰度检测可以得到像中各椭圆圆周上各点的坐标，通过多元线性回归拟合出各椭圆方程；对单独一个圆进行研究时，在合理的近似前提下，以圆心为世界坐标系的原点，可求出该圆心所成像在像坐标系中的坐标  $u = a_{14}, v = a_{24}$  。最后我们求得5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：(-50.00, 51.32, -417.20)、(-23.54, 49.47, -417.20)、(33.86, 45.24, -417.20)、(-60.05, -31.22, -417.20)、(18.52, -31.48, -417.20)。在公切线模型中，通过简单几何证明，得出在小孔成像时，公切线交点的像就是公切线像的交点，联系题目中所给标靶的特殊性（所有圆全等），得出像平面中公切线交点连线的交点就是标靶中对应圆心的像，并设计了一种算法得到5个圆心所成像在光心坐标系中的坐标分别为（单位：mm）：(-49.92, 51.36, -417.20)、(-23.47, 49.34, -417.20)、(33.88, 45.05, -417.20)、(-60.04, -31.29, -417.20)、(18.58, -31.56, -417.20)。
+
+在问题三中，我们用计算机模拟的方法，统计和分析了我们模型的在不同的情况下所得到的结果与理论值之间的误差，并着重研究了相机与标靶的距离和像平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。结果表明在一定的前提下，当相机与标靶的距离大于200毫米， $-0.5 \leq a \leq 0.5$ 以及 $-1 \leq b \leq 0.5$ （单位为弧度）时，我们的结果与理论值相差不到一个像素，有着较好的稳定性和精度。
+
+问题四中，通过每个相机旋转变换矩阵  $\mathbf{R}$  和平移向量  $\mathrm{T}$ ，可以得到两相机的变换关系： $R = R_{1}R_{2}^{-1}$ 、 $T = R_{1}R_{2}^{-1}T_{2} + T_{1}$ ，即相对位置关系，并理论推导了从两相机中像在光心坐标系中的参数得到物在世界坐标中的参数，实现双目定位。另外在相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面基础上，我们还给出另外一种合理模型，通过矢量的方法求出物相对于光心坐标系的精确位置，从而可以得到两相机的相对位置。
+
+关键词：相机定位、小孔成像、变换矩阵、公切线、计算机模拟
+
+# 一、问题重述
+
+数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
+
+标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而像平面上的园一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
+
+有人设计靶标如下，取1个边长为  $100\mathrm{mm}$  的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心， $12\mathrm{mm}$  为半径作圆。以AC边上距离A点  $30\mathrm{mm}$  处的B为圆心， $12\mathrm{mm}$  为半径作圆。用一位置固定的数码相机摄得其像。利用所得图像，具体解决如下几个问题：
+
+(1) 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的焦点, x-y 平面平行于像平面;  
+(2) 对由图 2、图 3 分别给出的靶标及其像, 计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距 (即焦点到像平面的距离) 是 1577 个像素单位 (1 毫米约为 3.78 个像素单位), 相机分辨率为  $1024 \times 786$ ;  
+(3) 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；  
+(4) 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
+
+# 二、模型假设
+
+a.本题中数码相机成像系统看成是小孔成像；  
+b.灰度检测前将图像改成黑白图的误差不予考虑。
+
+# 三、符号说明
+
+$O_W$  ：世界坐标系
+
+$O_{C}$  ：光心坐标系
+
+$O_{P}$  ：像坐标系
+
+$R$  ：旋转矩阵
+
+$T$  ：平移向量
+
+$M$  ：空间变换矩阵
+
+$f$  ：焦距（mm）
+
+$L$  : 每毫米的像素单位
+
+$P$  ：图像矩阵
+
+$B_{k}$  ：第  $\mathbf{k}$  个圆的边缘点集
+
+# 四、模型的建立与求解
+
+引理：
+
+我们针对小孔模型提出一些内在性质并给予简单证明。
+
+![](images/5215a9c9dfb719e71a7cdd6ad4eefc27c6d86687d6bf9e4a534a5ec051a52a3e.jpg)  
+图1
+
+性质1：直线经小孔后所得到的像仍为直线。
+
+证明：如图， $a$ 、 $g$  分别为物平面和像平面， $b$  为与像平面平行的平面，点 O 为小孔，AC 为  $a$  上的线段，B 为 AC 上任一点，经小孔 O 后得  $g$  上直线  $A_{2}C_{2}$ 。由 AC 和 O 可以确定一个平面 OAC，所以  $A_{2}C_{2}$  为平面 OAC 和平面  $g$  的交线；设 B 经小孔成像到  $g$  上的  $B_{2}$  点。因为  $B_{2}$  同时在平面 OAC 和平面  $g$  上，所以  $B_{2}$  必在两平面交线即  $A_{2}C_{2}$  上。因为 B 为 AC 上任一点，所以直线 AC 经小孔 O 成像为  $g$  平面上的直线  $A_{2}C_{2}$ ，故直线经小孔后所得到的像仍为直线。
+
+性质2：线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段（经小孔成像后所得到的线段）的中点。
+
+证明: 如图,  $A_{1} C_{1}$  为平面 OAC 与  $\mathbf{b}$  平面的交线,  $B_{1}$  为 B 所对应点。因为  $\mathbf{b}$  平行于  $\mathbf{g}$ , 平面 OAC 分别交  $\mathbf{b} 、 \mathbf{g}$  与  $A_{1} C_{1} 、 A_{2} C_{2}$ , 则  $A_{1} C_{1}$  与  $A_{2} C_{2}$  相互平行。
+
+当  $a$  与  $b$  不重合即  $q$  不为 0 时, 如 B 为 AC 中点, 因为  $C C_{1}$  与  $A A_{1}$  相交, 则  $B_{1}$  必然
+
+不是  $A_{1} C_{1}$  中点, 所以  $\mathrm{B}_{2}$  也必然不是  $A_{2} C_{2}$  中点, 也就是说线段中点经小孔成像所得点不一定还是像线段的中点, 仅当该线段平行于像平面时才仍是中点。
+
+性质3：两直线交点的像仍是两直线像的交点。
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+证明：如下图： $a$  平面上两直线  $AB$  与  $\mathbf{CD}$  交于点  $\mathbf{E}$ ，经小孔  $O$  两直线分别得到  $b$  平面上的像  $A_{1}B_{1}$  和  $C_{1}D_{1}$ ，点  $E$  在  $b$  平面上的像为  $E_{1}$ ，则平面  $ABB_{1}A_{1}$  与  $CDD_{1}C_{1}$  交于直线  $OE$ ，平面  $ABB_{1}A_{1}$  与  $CDD_{1}C_{1}$  分别交平面  $b$  于直线  $A_{1}B_{1}$  与  $C_{1}D_{1}$ ，则  $E_{1}$  同时在平面  $ABB_{1}A_{1}$ 、 $CDD_{1}C_{1}$  与  $b$  上，则  $E_{1}$  同时在  $A_{1}B_{1}$  和  $C_{1}D_{1}$  上，即  $b$  平面上， $A_{1}B_{1}$  和  $C_{1}D_{1}$  交于  $E_{1}$  点，两直线交点的像仍是两直线像的交点。
+
+我们将此结论推广到曲线的情形，很显然结论也必然成立。只要在曲线相交处对两曲线取无限小段，那么就可以看成是直线相交的情形。
+
+![](images/54ccf020c882c155edd79338da36793c4ce6a9f76e61da843581fd3009eb97fa.jpg)  
+图二
+
+性质4：圆经小孔成像为椭圆.
+
+![](images/28218bc1e396615213372949ebea47db80d338993703737df3e6e39d9bf020ee.jpg)  
+图三
+
+证明：如图所示，圆  $O$  经小孔成像如图。在一个与圆  $O$  所在平面平行的平面上所成像仍然是圆，如图中圆  $O_{2}$ （这点很容易通过以上三个性质得到）。那么对于在与圆  $O$  所在平面不平行的平面上的像，则可以看成是用一个平面去截图中的圆锥（当然图中圆锥可以无限的延长），根据圆锥曲线的定义可知，所截出来的图形就是椭圆。且可以看出圆心  $O$  在截面上所成的像  $O_{1}$  并不是椭圆中心  $M$ （只有截面与圆平面平行时才是椭圆中心），所以圆经小孔成像为椭圆得证。
+
+性质5：圆的某一条切线的切点的像，仍然是椭圆的切线，而且切点的像就是椭圆的切点。
+
+证明：由性质3的推广可知，任意两条曲线的交点的像就是他们两个像的交点。
+
+因为圆中切线与圆是相交于一点的，那么像中切线的像与圆的像（椭圆）至少也会有个交点。假设圆的切线的像不再是像当中椭圆的切线，则切线的像与椭圆必有两个交点。根据光路可逆原理，我们可以把原来的圆看成是像（椭圆）经小孔所得到的像。那么对于另外一个交点，它的原像也必然是原像平面上两曲线的交点，则原像平面中处切点外还有另外一交点，产生矛盾，故假设不成立，所以结论得证。
+
+# 模型一：变换矩阵模型
+
+# 问题一
+
+在标靶上，以某个圆的圆心为原点建立空间直角坐标系，由  $\mathrm{X_w},\mathrm{Y_w},\mathrm{Z_w}$  轴组成，称其为世界坐标系；在像空间上建立像坐标系，由  $u$  、  $\nu$  轴组成；由于摄像机可以安放在环境中的任何一个位置，我们也建立一个坐标系来描述，由 $X_{C}$  、  $Y_{C}$  、  $Z_{C}$  轴组成，原点位于光心，称其为光心坐标系。光心坐标系与世界坐标系间的转换可以同过旋转矩阵  $\mathbf{R}$  和平移矩阵  $\mathbf{T}$  来实现。如空间一点  $\mathbf{P}$  在世界坐标系和光心坐标系中的坐标分别为  $(X_W Y_W Z_W)^T, (X_C Y_C Z_C)^T$  ，于是存在关系：
+
+$$
+\left[ X _ {C} Y _ {C} Z _ {C} 1 \right] ^ {T} = \left[ \begin{array}{l l} R & T \\ 0 ^ {T} & 1 \end{array} \right] \left[ X _ {W} Y _ {W} Z _ {W} 1 \right] ^ {T} = M _ {1} \left[ X _ {W} Y _ {W} Z _ {W} 1 \right] ^ {T}.
+$$
+
+其中  $\mathbb{R}$  为  $3 \times 3$  的正交单位矩阵， $0^T = (000)^T$ ， $M_1$  为  $4 \times 4$  矩阵， $0^T$  和  $\mathbf{1}$  的加入只是为了方便以后的计算。空间点  $p$  的像在像坐标系的位置与  $p$  在光心坐标系中的关系如图可得：
+
+$$
+x = \frac {f X _ {C}}{Z _ {C}}, y = \frac {f Y _ {C}}{Z _ {C}}
+$$
+
+其中  $(x, y)$  为点  $p$  的像在像坐标系的坐标，写成矩阵形式就是：
+
+$$
+Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {C} \\ Y _ {C} \\ Z _ {C} \\ 1 \end{array} \right]. \tag {1}
+$$
+
+所以可以得到：
+
+$$
+Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]. \tag {2}
+$$
+
+参照附录中对于旋转矩阵的说明，我们可以得到：
+
+$$
+Z _ {C} = \left[ \begin{array}{c} \sin b \\ - \sin a \cos b \\ \cos a \cos b \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \end{array} \right] - T _ {Z} = X _ {W} \sin b - Y _ {W} \sin a \cos b - T _ {Z}
+$$
+
+所以由：
+
+$$
+Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = M _ {0} \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]
+$$
+
+可得：
+
+$$
+\left(X _ {W} \sin b - Y _ {W} \sin a \cos b - T _ {Z}\right) u = a _ {1 1} X _ {W} + a _ {1 2} Y _ {W} + a _ {1 4}
+$$
+
+$$
+\left(X _ {W} \sin b - Y _ {W} \sin a \cos b - T _ {Z}\right) v = a _ {2 1} X _ {W} + a _ {2 2} Y _ {W} + a _ {2 4}
+$$
+
+可以通过上式解得：
+
+$$
+X _ {W} = \frac {\left(u T _ {Z} a _ {2 2} + v a _ {1 4} \sin a \cos b + a _ {1 4} a _ {2 2}\right) - \left(v T _ {Z} a _ {1 2} + u a _ {2 4} \sin a \cos b + a _ {1 2} a _ {2 4}\right)}{\left(u a _ {2 2} \sin b - v a _ {1 1} \sin a \cos b - a _ {1 1} a _ {2 2}\right) - \left(v a _ {1 2} \sin b - u a _ {2 1} \sin a \cos b - a _ {2 1} a _ {1 2}\right)}
+$$
+
+$$
+Y _ {W} = \frac {\left(- u T _ {Z} a _ {2 1} + v a _ {1 4} \sin b - a _ {1 4} a _ {2 1}\right) - \left(- v T _ {Z} a _ {1 1} + u a _ {2 4} \sin b - a _ {1 1} a _ {2 4}\right)}{\left(u a _ {2 2} \sin b - v a _ {1 1} \sin a \cos b - a _ {1 1} a _ {2 2}\right) - \left(v a _ {1 2} \sin b - u a _ {2 1} \sin a \cos b - a _ {2 1} a _ {1 2}\right)}
+$$
+
+因为  $X_{W} 、 Y_{W}$  为圆周上的点，所以在世界坐标系满足：
+
+$$
+X _ {W} ^ {2} + Y _ {W} ^ {2} = r ^ {2}
+$$
+
+带入可得到二次曲线方程：
+
+$$
+\begin{array}{l} [ (T _ {Z} a _ {2 2} - a _ {2 4} \sin a \cos b) u - (T _ {Z} a _ {1 2} - a _ {1 4} \sin a \cos b) v + (a _ {1 4} a _ {2 2} + a _ {1 2} a _ {2 4}) ] ^ {2} \\ + \left[ - \left(T _ {Z} a _ {2 1} + a _ {2 4} \sin b\right) u + \left(a _ {1 4} \sin b + T _ {Z} a _ {1 1}\right) v - \left(a _ {1 4} a _ {2 1} + a _ {1 1} a _ {2 4}\right) \right] ^ {2} \\ = r ^ {2} \left[ \left(a _ {2 2} \sin b + a _ {2 1} \sin a \cos b\right) u - \left(a _ {1 1} \sin a \cos b + a _ {1 2} \sin b\right) v - \left(a _ {1 1} a _ {2 2} - a _ {2 1} a _ {1 2}\right) \right] ^ {2} \\ \end{array}
+$$
+
+其代表一椭圆。
+
+注意到此处的  $Z_{C}$  是标靶上圆上点在光心坐标系中  $Z_{C}$  方向上的坐标。对于本
+
+题来说, 因为标靶在光心坐标系中  $Z_{C}$  方向上的坐标应该大于相机的两倍焦距,即应在 1 米附近; 而对于标靶上一个圆, 其半径仅为  $12 \mathrm{~mm}$ , 当标靶平面与光心坐标系中  $X_{C} O_{C} Y_{C}$  平面存在一定夹角  $\mathbf{q}$  时, 那么一个圆上所有点在  $Z_{C}$  上坐标的差异只是  $12 \sin \mathbf{q}$ , 与 1m 相比较而言, 其误差是比较小的, 所以我们可以近似认为对于标靶上同一个圆上的点, 其  $Z_{C}$  是相同的 (后面我们将来讨论这种近似所带来的误差, 会发现其误差是非常小的, 可见这种近似的合理性),
+
+所以在此情况下，我们认为  $Z_{c}$  是不变的值，于是有：
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{c c c c} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]. \tag {3}
+$$
+
+由于在处理像平面上的点时，我们经常用的单位为像素，对像平面坐标为  $(x, y)$  的点，改用像素为单位后，其坐标为：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} u = x L \\ v = y L \end{array} \right.
+$$
+
+其中  $\mathrm{L}$  为每毫米的像素单位。于是：
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l l} L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{l l l} L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = M \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] \dots (5)
+$$
+
+其中  $M$  为一  $3 \times 4$  的坐标变换矩阵，而且在相机本身内部参数和相对标靶的位置不变时， $M$  是一个常数矩阵。由上式可以看出对于世界坐标系中的任意一点  $(X_{W}, Y_{W}, Z_{W})$ ，经坐标变换矩阵  $M$  变换，便可以得到其像在像坐标系中的坐标  $(u, v)$ 。
+
+针对题目所给信息，为简化模型，我们可分别随标靶中每个圆分别讨论（因为对每个圆讨论的方法完全相同，故本文只详细讨论一个圆，其他的可完全类比）。对某个圆讨论时，取该圆所处坐标系为世界坐标系，坐标原点取在圆心处（后面会发现这样选取的精妙之处），所得像处于像坐标系，数码相机处于摄像坐标系。可以很直觉的发现圆周上的点是至关重要的，那么我们先来探讨圆周上的各点及其所成像的位置。
+
+因为在圆周上，注意到此时的世界坐标系里只需其二维情形，取  $Z_{\mathrm{w}} = 0$  ，故其曲线方程为：
+
+$$
+X _ {W} ^ {2} + Y _ {W} ^ {2} = r ^ {2}
+$$
+
+因为变换矩阵  $M$  为  $3 \times 4$  矩阵，可设
+
+$$
+M = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & a _ {1 3} & a _ {1 4} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & a _ {2 3} & a _ {2 4} \\ a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} & a _ {3 4} \end{array} \right]
+$$
+
+所以圆周上任意一点  $(X_W, Y_W, Z_W)$ ，经坐标变换矩阵  $M$  变换后得到像在像坐标系的坐标：
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array} \right] = M \left[ \begin{array}{c} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & a _ {1 3} & a _ {1 4} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & a _ {2 3} & a _ {2 4} \\ a _ {3 1} & a _ {3 2} & a _ {3 3} & a _ {3 4} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \dots \dots \dots \dots \dots \dots (6)
+$$
+
+有：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} u = a _ {1 1} X _ {W} + a _ {1 2} Y _ {W} + a _ {1 4} \\ v = a _ {2 1} X _ {W} + a _ {2 2} Y _ {W} + a _ {2 4} \end{array} \right. \dots \tag {7}
+$$
+
+与圆的曲线方程联立可得像的曲线方程：
+
+$$
+\left[ \frac {a _ {2 2} (u - a _ {1 4}) - a _ {1 2} (v - a _ {2 4})}{a _ {1 1} a _ {2 2} - a _ {2 1} a _ {1 2}} \right] ^ {2} + \left[ \frac {a _ {1 2} (u - a _ {1 4}) - a _ {1 1} (v - a _ {2 4})}{a _ {1 2} a _ {2 1} - a _ {2 2} a _ {1 1}} \right] ^ {2} = r ^ {2}
+$$
+
+从上式不能很显然的发现什么性质，所以我们将其展开：
+
+$$
+\begin{array}{l} \left(a _ {2 1} ^ {2} + a _ {2 2} ^ {2}\right) u ^ {2} + \left(a _ {1 1} ^ {2} + a _ {1 2} ^ {2}\right) v ^ {2} - 2 \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + a _ {1 2} a _ {2 2}\right) u v - \left[ 2 a _ {1 4} \left(a _ {2 1} ^ {2} + a _ {2 2} ^ {2}\right) + a _ {2 4} \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + a _ {1 2} a _ {2 2}\right) \right] u \\ - 2 \left[ a _ {2 4} \left(a _ {1 1} ^ {2} + a _ {1 2} ^ {2}\right) + a _ {1 4} \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + a _ {1 2} a _ {2 2}\right) \right] v + \left[ \left(a _ {2 1} ^ {2} + a _ {2 2} ^ {2}\right) a _ {1 4} ^ {2} + \left(a _ {1 1} ^ {2} + a _ {1 2} ^ {2}\right) a _ {2 4} ^ {2} - 2 \left(a _ {1 1} a _ {2 1} + \right. \right. \\ \left. a _ {1 2} a _ {2 2}\right) a _ {1 4} a _ {2 4} - \left(a _ {1 2} a _ {2 1} - a _ {2 2} a _ {1 1}\right) ^ {2} r ^ {2} ] = 0 \dots \dots (8) \\ \end{array}
+$$
+
+简化上式为：
+
+$$
+k _ {1} + k _ {2} v + k _ {3} u + k _ {4} u v + k _ {5} v ^ {2} + k _ {6} u ^ {2} = 0 \dots \tag {9}
+$$
+
+可见这是一个一般二次曲线方程，故其图像为一椭圆（当然也可能会是一条直线，暂不考虑这种情况）。其中  $k_{1}$  至  $k_{6}$  分别为上式的系数。观察（8）式可以发现这个重要信息： $u$ 、 $v$  都是  $a_{14}$ 、 $a_{24}$  和  $u^{2}$ 、 $v^{2}$ 、 $uv$  的系数组成，而  $a_{14}$ 、 $a_{24}$  正是世界坐标系的圆心经转换矩阵得到的像坐标系的坐标。所以其简化式可变为：
+
+$$
+k _ {1} - \left(2 a _ {2 4} k _ {5} + a _ {1 4} k _ {4}\right) v - \left(2 a _ {1 4} k _ {6} + a _ {2 4} k _ {4}\right) u + k _ {4} u v + k _ {5} v ^ {2} + k _ {6} u ^ {2} = 0 \dots \dots (1 0)
+$$
+
+我们所需要求的是圆心在像坐标系的像坐标的坐标，由于我们将世界坐标系的原点放在圆心，故圆心在世界坐标系中的坐标为  $(0,0)$ ，根据（7）式，在像坐标系的像坐标的坐标为：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} u _ {o} = a _ {1 4} \\ v _ {o} = a _ {2 4} \end{array} \right.
+$$
+
+于是我们的问题转化为求解  $a_{14} \cdot a_{24}$ ，而由我们（10）式的分析，我们可以得到：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} - \left(2 a _ {2 4} k _ {5} + a _ {1 4} k _ {4}\right) = k _ {2} \\ - \left(2 a _ {1 4} k _ {6} + a _ {2 4} k _ {4}\right) = k _ {3} \end{array} \right. \dots \tag {11}
+$$
+
+上式为关于  $a_{14}, a_{24}$  的二元一次方程组，于是问题又转化为求出  $k_{i} (2 \leq i \leq 6)$ ，我们知道（9）式是圆的像在像平面的曲线方程，而  $k_{i}$  为方程的系数，下面我们来求解这个方程。
+
+我们的数据来源于数码相机拍摄的照片，所以我们首先需要从照片中获取数据。我们知道，现代的数码照片的存储原理基于点阵。例如在一张灰度照片中存储了  $n \times m$  的矩阵  $P$ ，矩阵中的每个元素  $P(i, j)$  记录的是一个灰度值，表示这张照片在该点的明暗程度（而在一张彩色照片里每个点存储的是一组 RGB）。所以我们的直接数据是一个  $768 \times 1024$  的矩阵，下面我们需要在这个矩阵中提取圆的像的边缘以便求解该圆的像的曲线方程。
+
+传统的图像边缘检测的算法有基于灰度直方图的边缘检测、基于梯度的边缘检测、Laplacan 边缘算子、Canny 边缘检测算子、模糊推理的边缘检测和Mallat小波边缘检测算子等，不同的算法有着不一样的应用背景，而在本文中所需处理的照片经过简单的处理后可以转化为单色的照片，所以用最简单的基于灰度直方图的边缘检测算法便可得出较理想的效果。
+
+![](images/8adf4ff79997ee4b1621a22d478de4af695e9e49ed1de6e01b707da785694952.jpg)  
+图四 经过黑白处理后的照片
+
+经过黑白处理后，所有点的灰度值只有0（黑色）和255（白色）两种，我们用下面的算法进行边缘检测（对圆A、B、C、E、D依次编号为圆1、2、3、4、5）：
+
+# 边缘检测算法：
+
+Step 1 设灰度阈值  $T$ , 当某点的灰度小于  $T$  时, 表示其为黑色, 反之则为白色。在本文中我们取  $T = 128$ ;
+
+Step 2 为每个圆的像估算一个矩形邻域，使得该矩形邻域可以完全包含该圆的像且仅包含该圆的像；
+
+Step 3 对第  $\mathbf{k}$  个圆的像，执行第4-6步（ $\mathbf{k} = \mathbf{1}$ ，2，3，4，5）；
+
+Step 4 对矩形邻域进行逐行扫面，当出现  $P(i - 1, j) \geq T$  且  $P(i, j) < T$
+
+或者  $P(i, j) < T$  且  $P(i + 1, j) \geq T$  时将  $P(i, j)$  加入该圆的像的边缘点集  $B_{k}$ ;
+
+Step 5 对矩形邻域进行逐列扫面，当出现  $P(i,j - 1) \geq T$  且  $P(i,j) < T$
+
+或者  $P(i,j) < T$  且  $P(i,j + 1)\geq T$  时将  $P(i,j)$  加入该圆的像的边缘点集  $B_{k}$
+
+Step 6 除去  $B_{k}$  中重复的点。
+
+我们得到的点集  $B_{k} = \{(u_{i}, v_{i}) | i \in Z^{+}$  且  $(u_{i}, v_{i})$  位与第  $i$  个圆的像的边缘  $\}$ , 这里  $u_{i}, v_{i}$  的单位为像素, 像坐标系以左上角为原点, 图片的正下方为  $u$  轴, 正右方为  $v$  轴。
+
+对于每一个圆，我们将其所有边缘点带入其曲线方程：
+
+$$
+k _ {1} + v _ {i} k _ {2} + u _ {i} k _ {3} + u _ {i} v _ {i} k _ {4} + v _ {i} ^ {2} k _ {5} + u _ {i} ^ {2} k _ {6} = 0, \quad 1 \leq i \leq \left| B _ {k} \right| \dots \dots \dots (1 2)
+$$
+
+我们得到了关于  $k_{i}(1 \leq i \leq 6)$  的线性齐次方程组，而且在这个方程组中，方程的个数远远大于未知数的个数，而且我们发现若直接求解往往只能得到零解，于是我们将其化为多元线性回归模型求解。
+
+由上文讨论，像的曲线为椭圆，故平方项系数不为零，故原方程可化为：
+
+$$
+\frac {k _ {1}}{k _ {6}} + v _ {i} \frac {k _ {2}}{k _ {6}} + u _ {i} \frac {k _ {3}}{k _ {6}} + u _ {i} v _ {i} \frac {k _ {4}}{k _ {6}} + v _ {i} ^ {2} \frac {k _ {5}}{k _ {6}} + u _ {i} ^ {2} = 0, \quad 1 \leq i \leq \left| B _ {k} \right| \dots \tag {13}
+$$
+
+令  $b_{j} = \frac{k_{j}}{k_{6}}, 1 \leq j \leq 5$ ，则有：
+
+$$
+- u _ {i} ^ {2} = b _ {1} + v _ {i} b _ {2} + u _ {i} b _ {3} + u _ {i} v _ {i} b _ {4} + v _ {i} ^ {2} b _ {5}, \quad 1 \leq i \leq \left| B _ {k} \right| \dots \dots \dots \dots . (1 4)
+$$
+
+上式是典型的多元线性回归模型，应用最小二乘法可以求解。当我们解出了  $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}$  后，由（11）式得：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} - (2 a _ {2 4} b _ {5} + a _ {1 4} b _ {4}) = b _ {2} \\ - (2 a _ {1 4} + a _ {2 4} b _ {4}) = b _ {3} \end{array} \right.
+$$
+
+于是我们得到了圆心的像在  $uov$  平面上的坐标：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} u _ {o} = a _ {1 4} = \frac {2 b _ {3} b _ {5} - b _ {2} b _ {4}}{b _ {4} ^ {2} - 4 b _ {5}} \\ v _ {o} = a _ {2 4} = \frac {2 b _ {2} - b _ {3} b _ {4}}{b _ {4} ^ {2} - 4 b _ {5}} \end{array} \right. \dots \tag {15}
+$$
+
+最后，我们需要将坐标转换到题目中给定的坐标系中，（ $\mathbf{x}$  与  $\mathbf{v}$  同向， $\mathbf{y}$  与  $\mathbf{u}$  反向）即：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{c} x _ {o} = \left(v _ {o} - 5 1 2\right) / L \\ y _ {o} = \left(3 8 4 - u _ {o}\right) / L \\ z _ {o} = - f / L \end{array} \right. \tag {16}
+$$
+
+# 问题二
+
+首先，我们用matlab实现边缘检测算法，我们得到了每个圆的像的边缘点集  $B_{k}$ ，如下图：
+
+![](images/1b1d45a2b53feffc403b576e81eeee1e5e33587b622537e13b604fa27d62213a.jpg)  
+图五
+
+然后我们对每个圆的像的边缘点用多元线性回归去求该圆的像的曲线方程（置信度取0.05），如下表所示：
+
+表 1 第 1 个圆的像的曲线方程参数  
+
+<table><tr><td>参数</td><td>参数估计值</td><td colspan="2">参数置信区间</td></tr><tr><td>b1</td><td>140397.20023</td><td>[139748.34930</td><td>141046.05115]</td></tr><tr><td>b2</td><td>-640.44473</td><td>[-644.04310</td><td>-636.84637]</td></tr><tr><td>b3</td><td>-407.58657</td><td>[-409.32833</td><td>-405.84480]</td></tr><tr><td>b4</td><td>0.08784</td><td>[0.08246</td><td>0.09323]</td></tr><tr><td>b5</td><td>0.96592</td><td>[0.96064</td><td>0.97120]</td></tr><tr><td colspan="4">R²=0.99999393, F= 11279037.31254, p=0</td></tr></table>
+
+表 2 第 2 个圆的像的曲线方程参数  
+
+<table><tr><td>参数</td><td>参数估计值</td><td colspan="2">参数置信区间</td></tr><tr><td>b1</td><td>227111.11949</td><td>[225858.66719</td><td>228363.57179]</td></tr><tr><td>b2</td><td>-869.84886</td><td>[-875.31270</td><td>-864.38502]</td></tr><tr><td>b3</td><td>-453.55647</td><td>[-456.21530</td><td>-450.89765]</td></tr><tr><td>b4</td><td>0.14049</td><td>[0.13421</td><td>0.14677]</td></tr><tr><td>b5</td><td>0.99545</td><td>[0.98926</td><td>1.00165]</td></tr><tr><td colspan="4">R²=0.999993179, F=9786431.732757331, p=0</td></tr></table>
+
+表 3 第 3 个圆的像的曲线方程参数  
+
+<table><tr><td>参数</td><td>参数估计值</td><td colspan="2">参数置信区间</td></tr><tr><td>b1</td><td>521021.19332</td><td colspan="2">[517789.67136 524252.71528]</td></tr><tr><td>b2</td><td>-1431.47741</td><td colspan="2">[-1441.06500 -1421.88982]</td></tr><tr><td>b3</td><td>-603.80738</td><td colspan="2">[-608.27782 -599.33694]</td></tr><tr><td>b4</td><td>0.27703</td><td colspan="2">[0.27005 0.28402]</td></tr><tr><td>b5</td><td>1.07232</td><td colspan="2">[1.06508 1.07957]</td></tr><tr><td colspan="4">R²=0.99999442, F=11019117.97897741, p=0</td></tr></table>
+
+表 4 第 4 个圆的像的曲线方程参数  
+
+<table><tr><td>参数</td><td>参数估计值</td><td colspan="2">参数置信区间</td></tr><tr><td>b1</td><td>343623.44295</td><td colspan="2">[342627.40480 344619.48111]</td></tr><tr><td>b2</td><td>-557.42512</td><td colspan="2">[-561.92415 -552.92609]</td></tr><tr><td>b3</td><td>-1057.92607</td><td colspan="2">[-1059.63303 -1056.21910]</td></tr><tr><td>b4</td><td>0.19027</td><td colspan="2">[0.18428 0.19625]</td></tr><tr><td>b5</td><td>0.81131</td><td colspan="2">[0.80593 0.81670]</td></tr><tr><td colspan="4">R²=0.9999918, F=75335174.25731819, p=0</td></tr></table>
+
+表 5 第 5 个圆的像的曲线方程参数  
+
+<table><tr><td>参数</td><td>参数估计值</td><td colspan="2">参数置信区间</td></tr><tr><td>b1</td><td>660749.59267</td><td>[ 657278.55376</td><td>6.64220.63157]</td></tr><tr><td>b2</td><td>-1228.17779</td><td>[-1237.71197</td><td>-1218.64362]</td></tr><tr><td>b3</td><td>-120816690</td><td>[-1212.41769</td><td>-1203.91612]</td></tr><tr><td>b4</td><td>0.34664</td><td>[0.33934</td><td>0.35393]</td></tr><tr><td>b5</td><td>0.90414</td><td>[0.89715</td><td>0.91114]</td></tr><tr><td colspan="4">R²=0.99999914, F=65011077.78295716, p=0</td></tr></table>
+
+在上表最后一行中， $\mathbb{R}^2$  是回归方程的决定系数， $\mathbf{F}$  为  $\mathbf{F}$  统计量值， $\mathbf{p}$  为与  $\mathbf{F}$  统计量对应的概率值。从数据看来， $\mathbb{R}^2$  都达到了  $99.999\%$  以上，表明  $-u^2$  的  $99.999\%$  以上的可以由我们求出来的方程确定， $\mathbf{F}$  值远远超过  $\mathbf{F}$  检验的临界值， $\mathbf{p}$  更是远小于置信度 0.05，所以我们求出的曲线方程是高度精确的。
+
+将以上数据代入（15）式，我们便得到了五个圆心的像的坐标：
+
+表 6 圆心像的坐标  
+
+<table><tr><td>圆</td><td>u0</td><td>v0</td><td>u0(像素)</td><td>v0(像素)</td></tr><tr><td>1</td><td>189.61023</td><td>322.89682</td><td>190</td><td>323</td></tr><tr><td>2</td><td>197.06280</td><td>423.00273</td><td>197</td><td>423</td></tr><tr><td>3</td><td>213.26380</td><td>639.91289</td><td>213</td><td>640</td></tr><tr><td>4</td><td>501.87983</td><td>284.67960</td><td>502</td><td>285</td></tr><tr><td>5</td><td>503.07979</td><td>582.75218</td><td>503</td><td>582</td></tr></table>
+
+用（16）式将其转换到题目所给的坐标系：
+
+表7 光心坐标系下圆心像的坐标  
+
+<table><tr><td>圆</td><td>x_o(mm)</td><td>y_o(mm)</td><td>z_o(mm)</td></tr><tr><td>1</td><td>-50.00000</td><td>51.32275</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>2</td><td>-23.54497</td><td>49.47089</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>3</td><td>33.86243</td><td>45.23809</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>4</td><td>-60.05291</td><td>-31.21693</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>5</td><td>18.51851</td><td>-31.48148</td><td>-417.19577</td></tr></table>
+
+以上我们就求解出标靶上各圆圆心的像在像坐标系下的具体坐标。
+
+# 模型二：公切线模型
+
+![](images/a165acbc67f3006c12ab31f2c769e48562579765f33ba16a9e90e15ea90465e8.jpg)  
+图六
+
+![](images/437f1343d64affa979bf25cd610e323bb8220593965a322732fe6dc1c16a12a6.jpg)  
+图七
+
+如图所示，为标靶平面与像平面的示意图。图中直线为公切线。物平面内，圆  $O_{1}$  与  $O_{2} 、 O_{3}$  的公切点分别为  $B 、 D$  和 A、C，对应像平面中为椭圆  $O_{1}^{\prime}$  与椭圆  $O_{2}^{\prime} 、 O_{3}^{\prime}$  的公切点分别为  $D^{\prime} 、 B^{\prime}$  和 C、A，由本文所给出的性质可以很容易得出  $D^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime} 、 A^{\prime}$  分别为  $D 、 B 、 C 、 A$  的像点。
+
+![](images/0ef26add9b8002185afbf5c4866e48dbcf44ef46d6fb15b5d0fcf78656a3be42.jpg)  
+图八
+
+![](images/57f8d9aed6b022f86890473419f37f877e1a8e09e8d7a82b75234f7f00915898.jpg)  
+图九
+
+在标靶平面，显然四边形  $PQRS$  为正方形，则  $PR$  与  $QS$  连线交于圆心  $O_{1}$ ，由引理中性质3可知  $P'Q'R'S'$  分别为  $PQRS$  的像，则  $P'R'$  与  $Q'S'$  也分别为  $PR$  与  $QS$  的像，则圆心  $O_{1}$  在像平面所对应的像为  $P'R'$  与  $Q'S'$  的交点  $O_{1}'$  （注意这里  $O_{1}'$  并不一定就是该椭圆中心）。
+
+两椭圆公切线求解算法如下：
+
+Step 1: 由模型一中灰度检测，我们已经得到像平面上椭圆圆周上各点坐标；  
+Step 2: 在两椭圆上各任取一点, 连成直线  $l$ , 固定其中一点 (静点), 扫描另一点 (动点) 所在椭圆的圆周上各点, 每扫描到一点在直线  $l$  上方 (或下方, 对应的是另一条切线), 用该点取代动点成为新的动点, 此时直线  $l$  也变成静点和此新的动点的连线, 扫描一周后停止。  
+Step 3: 固定此时的动点 (这时就称之为静点), 扫描另一椭圆圆周上各点, 当该点在直线  $l$  ���方时, 取代动点成为新的动点, 此时直线  $l$  也变成静点和新的动点的连线, 扫描一周后停止;  
+Step 4: 循环 step2 和 step3, 直至两椭圆圆周上都不再存在位于直线  $l$  上方的点, 此时的  $l$  就是两椭圆的公切线。
+
+对该算法而言，收敛速度很快，一次迭代后就几乎接近了切点，所以可以用来高效地计算切点。
+
+我们按照上述思想编写了程序，所得的切线图如下：
+
+![](images/5c9a51d7240df56c802f2b59dd90d21d8e41df990f4351c8ebc7a6d00a132c57.jpg)  
+图十
+
+在我们的程序中，我们还计算了切线之间的交点及其交点连线的交点，即上文所分析的圆心的像，结果如下：
+
+表 8 圆心像的坐标  
+
+<table><tr><td>圆</td><td>u0</td><td>v0</td><td>u0(像素)</td><td>v0(像素)</td></tr><tr><td>1</td><td>189.87734</td><td>323.30371</td><td>190</td><td>323</td></tr><tr><td>2</td><td>197.51240</td><td>423.29359</td><td>198</td><td>423</td></tr><tr><td>3</td><td>213.70159</td><td>640.08497</td><td>214</td><td>640</td></tr><tr><td>4</td><td>502.26962</td><td>285.03296</td><td>502</td><td>285</td></tr><tr><td>5</td><td>503.31215</td><td>582.23246</td><td>503</td><td>582</td></tr></table>
+
+表 9 光心坐标系下圆心像的坐标  
+
+<table><tr><td>圆</td><td>x_o(mm)</td><td>y_o(mm)</td><td>z_o(mm)</td></tr><tr><td>1</td><td>-49.91965</td><td>51.35520</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>2</td><td>-23.46730</td><td>49.33535</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>3</td><td>33.88491</td><td>45.052489</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>4</td><td>-60.04419</td><td>-31.28799</td><td>-417.19577</td></tr><tr><td>5</td><td>18.58001</td><td>-31.56405</td><td>-417.19577</td></tr></table>
+
+# 问题三
+
+在这个部分中，我们针对我们在问题1，2中的方法可能带来的误差及稳定性提出了一种基于计算机模拟的检验方法。
+
+在我们的前面的推导中, 我们知道任意一个点在世界坐标系上的点的坐标和其像在像坐标系的点的坐标满足 (0) 式, 在模型中我们为了简化计算把  $Z_{c}$  作为了一个常量来计算 (而事实上当拍摄距离较远, 标靶上的圆又较小时, 这种假设是合理的), 这带来了我们的第一个误差; 我们的模型中的另外两个个误差来自于边缘检测的精确度和用多元线性回归来计算像的曲线方程所带来的误差, 而实际上边缘检测的误差实际上来自于数字图像本身 (由于一张图片只能存储有限的点, 所以将具体的像点映射到像素矩阵时会带来误差, 但不会超过一个像素), 而从问题二的结果中我们可以得知多元线性回归求曲线方程有着很高的精度, 所以这两个误差相对于我们的第一个误差影响非常的小。
+
+我们知道，（2）式在我们的针孔模型中是精确成立的，如果我们知道了相机和标靶的确切的位置关系，那么对于标靶上的任意一点，我们总可以根据（2）式计算出该点的像在像坐标系中的位置，也就是说在这个前提下，圆心的像在像坐标系中的位置可以精确计算出来，这就是我们这个模型中的理论解。我们的目的就是分析我们模型的解和理论解之间的关系。
+
+在提出检验方法之前，我们先提出下面的引理。
+
+引理 1: 若世界坐标系上按照旋转矩阵  $R_{3 \times 3}$  进行旋转, 然后按向量
+
+\[
+\begin{aligned}
+T &= (X_{T}, Y_{T}, Z_{T}) \text{进行平移得到像坐标系，那么原来在世界坐标系中的一点} \\
+p(X_{W}, Y_{W}, Z_{W}) \text{在光心坐标系中的坐标的  $Z$  轴分量 } Z_{C} \text{ 满足：}
+\end{aligned}
+\]
+
+$$
+Z _ {C} = R _ {3 1} X _ {W} + R _ {3 2} Y _ {W} + R _ {3 3} Z _ {W} + Z _ {T}
+$$
+
+证明：直接由（0）式化简可得。
+
+在我们下面的方法中, 我们的世界坐标系  $O_{W}$  的原点在半径为  $12 \mathrm{~mm}$  的圆的圆心上,  $X_{W} O Y_{W}$  平面与圆所在平面平行, 光心坐标系  $O_{C}$  的原点及相机的光心,  $X_{W} O Y_{W}$  平面与像平面平行, 将光心坐标系  $O_{C}$  沿主光轴平移到主光轴与像平面的交点即得像坐标系  $O_{P}$ , 如下图:
+
+![](images/4413891f18d075314a1f4bd005875bc4bed91b0d01b92eeba4daa81b8121bab5.jpg)  
+图十一
+
+引理2：圆心的像在像平面的坐标的理论值为  $(-\frac{LfX_T}{Z_T}, -\frac{LfY_T}{Z_T}, 0)$
+
+证明：由：
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} u _ {o} \\ v _ {o} \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{l l l} L & 0 & 0 \\ 0 & L & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{- Z _ {T}} \left[ \begin{array}{l l l l} L f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & L f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]
+$$
+
+得：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} u _ {o} = - \frac {L f X _ {T}}{Z _ {T}} \\ v _ {o} = - \frac {L f Y _ {T}}{Z _ {T}} \end{array} \right.
+$$
+
+# 检验方法的提出：
+
+Step1 选取合理的旋转矩阵  $R$  和平移向量  $T$  ，即初始化相机与标靶的相对位置。
+
+Step 2 在圆周上进行等间隔采样，对于每一个采样点，其在世界坐标系的坐标可以表示为  $(12\cos q, 12\sin q, 0)$ ，那么可以得到其像点在像坐标系的坐标为：
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} M _ {0} \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{R _ {3 1} X _ {W} + R _ {3 2} Y _ {W} + R _ {3 3} Z _ {W} - Z _ {T}} M _ {0} \left[ \begin{array}{l} 1 2 \cos q \\ 1 2 \sin q \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]
+$$
+
+Step 3 经过第二步后我们得到了圆的像的边缘点集，这些点是精确的，也是我们的模型中可以从图片中准确获取的，所以我们将这个边缘点集作为我们模型的输入，然后利用该边缘点集按照我们的模型求解出圆心的像在像坐标中的坐标  $(u, v, 0)$ 。
+
+Step 4 计算  $(u, v, 0)$  与理论值  $(u_{o}, v_{o}, 0)$  的误差  $\mathbf{D}$  （这里用欧氏距离计算）。
+
+Step 5 重复执行1到4步，统计误差数据。
+
+在用计算机进行模拟的时候，我们特别关心两个问题，一是相机与标靶的距离对结果的影响；二是像平面与圆平面之间的偏角（由旋转矩阵  $R$  决定）对结果的影响。
+
+接下来我们来研究  $R$  和  $T$  的合理选取的问题。
+
+由上文的分析可知，旋转矩阵  $R$  中的三个参数  $a, b, l$  分别代表  $y$  轴向  $z$  轴旋转的角度， $z$  轴向  $x$  轴旋转的角度， $x$  轴向  $y$  轴旋转的角度，例如下图：
+
+![](images/028578259993774ab1d72e9049350c6cf9a1d44e622baeaffe1e93489ab4d236.jpg)  
+图十二
+
+我们几乎不用考虑  $I \neq 0$  的情况，因为这实际上是将相机左右倾斜，这并不影响拍出的物体的形状和大小，而只会影响拍出的物体在整张照片中的位置。而
+
+$a \neq 0$  对应的情景时我们在物体的上（下）前方将镜头对着其进行拍摄， $b \neq 0$  对应的情景时我们在物体左（右）前方将镜头对着其进行拍摄， $a, b$  体取值范围为  $\left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]$ 。
+
+对  $T = (X_{T}, Y_{T}, Z_{T})$ ，由于圆心在光心坐标系的坐标即  $(-X_{T}, -Y_{T}, -Z_{T})$ ，而圆必须在相机的前方，故  $-Z_{T} > 0$ ，即有  $Z_{T} < 0$ 。除此之外，还需考虑  $T$  的长度，即相机与标靶的距离，从我们前一问的数据中，可以估算出这段距离大约在 500 毫米左右。
+
+基于以上分析，下面我们用计算机模拟的方式对我们的模型进行检验。
+
+# 1. 相机与标靶的距离对结果的影响
+
+令  $a = g = 0$  ，  $b = -0.7$  ，  $T = (-k,0,-k),1\leq k\leq 1000$  ，我们对每一个  $k$  对应的相机和标靶的相对位置计算出我们模型的解与理论解的误差。
+
+实验结果表明，当  $1 \leq k \leq 20$  ，即相机与标靶的距离大约小于30毫米时，存在较大误差，模型很不稳定，误差图如下：
+
+![](images/d93c4a3150d932b2509102d83b074526ff50a08892080e6b80c35a7f241e442e.jpg)  
+图十三
+
+特别指出的是，当  $k$  在某个数附近时出现了极不稳定的情况，误差也达到了极大值。
+
+同时，模拟结果也表明，当  $k \geq 140$  时，即相机与模型的距离大约大于200毫米时，误差始终保持在1个像素以内，而且随着  $\mathbf{k}$  的增加误差  $\mathbf{D}$  在不断减小。
+
+![](images/ed24aae822dab44f6831c9d8217b2917cc77387b5e23a14a39fb1b7c6b396569.jpg)  
+图十四
+
+这个结论表明，在相机距离标靶在200毫米（即20厘米）以上时有着非常高的精度以及稳定性，而我们实际拍摄时的物距很少小于20厘米，而且本文中的物距大约是500毫米左右，由图可以知道当距离大于500毫米时，误差仅仅在0.1个像素之内，所以可以认为我们的模型是比较理想的。
+
+2. 像平面与圆平面之间的偏角对结果的影响。
+
+# 2.1 a的变化对结果的影响
+
+从直观上来说， $a$  的变化对应相机的“上仰”或“下翻”， $a = \pm \frac{p}{2}$  对应的相机状态为镜头水平朝上或水平向下，所以当  $a$  变化时是会带来误差的。
+
+令  $g = 0, b = -0.7$ ， $T = (-350, 0, -350)$ ， $a \in [-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}]$ ，在计算机处理时，我们对  $[- \frac{p}{2}, \frac{p}{2}]$  这个区间进行等间隔采样已得到  $a$  值，对于每一个  $a$  值计算出我们模型的解与理论解的误差。
+
+![](images/83bbccad65f41ef700ee1311fa6a3cdfe3308ba6a1bee73548c1806d9ed74947.jpg)  
+图十五
+
+由图可以知道当  $a$  在  $\left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]$  变化时，误差始终在 2 个像素以内，而且在  $a = 0$  时取得最小误差。特别是当  $-0.5 \leq a \leq 0.5$  时误差小于一个像素，对我们模型的结果几乎没有产生影响。
+
+# 2.2  $b$  的变化对结果的影响
+
+从直观上来说，在  $a = 0$  的前提下，像平面和圆所在平面都在铅垂面， $b$  的变化直接对应着像平面和圆所在平面的夹角的变化，所以也会带来误差。我们采用同样的方法用于检验  $b$  的变化对结果的影响。这里我们令  $g = a = 0$  ， $T = (-350,0,-350)$ ， $b \in [-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}]$ ，计算出我们模型的解与理论解的误差
+
+![](images/4ba32f6efd2d306f19d9f95b1a0d2f1714859c8cf94fa841f505ce04f549b2cc.jpg)  
+图十六
+
+从图中我们发现， $b$  的变化对结果的产生的误差稍大于  $a$ ，但是最大的误差只有 2 个像素左右，但是大约在  $-1 \leq b \leq 0.5$  时误差仍然小于 1 个像素，可以说对我们的模型的结果几乎没有影响。
+
+在我们模拟出来的结果中，我们发现除了在  $b = 0$  外还有一处的误差达到局部最小误差且接近于零，这是在我们的模型里没有得出的结论，我们通过大量实验模拟发现这个结论总是成立，而且在通过对数据的反推得到下面的猜想。
+
+猜想: 在本题所建的坐标系中, 若世界坐标系的  $Z$  轴过光心  $O_{C}$ , 则用我们的模型可以得到精确的圆心像在像坐标系中的坐标。
+
+# 3 总结
+
+总体而言，在合理的相机与标靶的相对位置的前提下，我们的模型是很理想的：边缘提取以及线性回归的误差可以忽略不计；像平面与圆平面之间的偏角对结果也几乎不会造成影响，相比而言相机与标靶在距离内在小于200毫米会造成
+
+很大的误差，而且在小于20毫米时极不稳定，但是在大于200毫米时误差始终不超过一个像素，而且随着距离的增大误差趋向于零。所以对于合理的相机与标靶的相对位置，我们的模型始终是有效而精确的。
+
+# 问题四
+
+用两部相机进行拍摄定位时，就会存在两个相机坐标系，我们记为  $C_1: X_{C1}Y_{C1}Z_{C1}$ 、 $C_2: X_{C2}Y_{C2}Z_{C2}$ ，世界坐标系与两者的关系分别为  $R_1$ 、 $T_1$  和  $R_2$ 、 $T_2$ ，对任意一点，其在世界坐标系与两个相机坐标系下的坐标为  $P_W$ 、 $\mathbf{P}_{C1}$ 、 $P_{C2}$ ，则由上文可得：
+
+$$
+\begin{array}{l} P _ {C 1} = R _ {1} P _ {W} + T _ {1} \\ P _ {C 2} = R _ {2} P _ {W} + T _ {2} \\ \end{array}
+$$
+
+消去  $P_W$  得：
+
+$$
+P _ {C 1} = R _ {1} R _ {2} ^ {- 1} P _ {C 2} - R _ {1} R _ {2} ^ {- 1} T _ {2} + T _ {1}
+$$
+
+令  $R = R_{1}R_{2}^{-1}$  、  $T = R_{1}R_{2}^{-1}T_{2} + T_{1}$  ，则可得到两相机坐标系的转换关系：
+
+$$
+P _ {C 1} = R P _ {C 2} + T \dots \tag {12}
+$$
+
+对两相机分别标定，则可得到相应的  $R_{1} 、 T_{1} 、 R_{2} 、 T_{2}$ ，从而可得两相机坐标系的转换关系，即得到这两部相机的相对位置。
+
+因为有：
+
+$$
+Z _ {C} \left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = M _ {0} \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]
+$$
+
+所以对于世界坐标系里一点  $P$  在两个光心坐标系的两个像点  $P_{1} 、 P_{2}$ , 有:
+
+$$
+\begin{array}{l} Z _ {C 1} \left[ \begin{array}{l} x _ {1} \\ y _ {1} \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} ^ {1} & a _ {1 2} ^ {1} & a _ {1 3} ^ {1} & a _ {1 4} ^ {1} \\ a _ {2 1} ^ {1} & a _ {2 2} ^ {1} & a _ {2 3} ^ {1} & a _ {2 4} ^ {1} \\ a _ {3 1} ^ {1} & a _ {3 2} ^ {1} & a _ {3 3} ^ {1} & a _ {3 4} ^ {1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] \\ Z _ {C 2} \left[ \begin{array}{l} x _ {2} \\ y _ {2} \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} ^ {2} & a _ {1 2} ^ {2} & a _ {1 3} ^ {2} & a _ {1 4} ^ {2} \\ a _ {2 1} ^ {2} & a _ {2 2} ^ {2} & a _ {2 3} ^ {2} & a _ {2 4} ^ {2} \\ a _ {3 1} ^ {2} & a _ {3 2} ^ {2} & a _ {3 3} ^ {2} & a _ {3 4} ^ {2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] \\ \end{array}
+$$
+
+式中  $(x_{1},y_{1},1),(x_{2},y_{2},1)$  分别为  $P_{1}$  、  $\mathbf{P}_{2}$  在两个光心坐标系的奇次坐标，
+
+$(X_{W},Y_{W},Z_{W},1)$  为  $P$  在世界坐标系里的奇次坐标。展开上式可得：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} {\left(x _ {1} a _ {3 1} ^ {1} - a _ {1 1} ^ {1}\right) X _ {W} + \left(x _ {1} a _ {3 2} ^ {1} - a _ {1 2} ^ {1}\right) Y _ {W} + \left(x _ {1} a _ {3 3} ^ {1} - a _ {1 3} ^ {1}\right) Z _ {W} = x _ {1} a _ {3 4} ^ {1} - a _ {1 4} ^ {1}} \\ {\left(y _ {1} a _ {3 1} ^ {1} - a _ {2 1} ^ {1}\right) X _ {W} + \left(y _ {1} a _ {3 2} ^ {1} - a _ {2 2} ^ {1}\right) Y _ {W} + \left(y _ {1} a _ {3 3} ^ {1} - a _ {2 3} ^ {1}\right) Z _ {W} = y _ {1} a _ {3 4} ^ {1} - a _ {2 4} ^ {1}} \end{array} \right. \dots \tag {13}
+$$
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} {\left(x _ {2} a _ {3 1} ^ {2} - a _ {1 1} ^ {2}\right) X _ {W} + \left(x _ {2} a _ {3 2} ^ {2} - a _ {1 2} ^ {2}\right) Y _ {W} + \left(x _ {2} a _ {3 3} ^ {2} - a _ {1 3} ^ {2}\right) Z _ {W} = x _ {2} a _ {3 4} ^ {2} - a _ {1 4} ^ {2}} \\ {\left(y _ {2} a _ {3 1} ^ {2} - a _ {2 1} ^ {2}\right) X _ {W} + \left(y _ {2} a _ {3 2} ^ {2} - a _ {2 2} ^ {2}\right) Y _ {W} + \left(y _ {2} a _ {3 3} ^ {2} - a _ {2 3} ^ {2}\right) Z _ {W} = y _ {2} a _ {3 4} ^ {2} - a _ {2 4} ^ {2}} \end{array} \dots \dots \dots \dots . (1 4) \right.
+$$
+
+方程  $(a)$  表示过  $P_{1}$  点在世界坐标系下的直线方程, 方程  $(b)$  表示过  $P_{2}$  点在世界坐标系下的直线方程, 那么  $(a)$  与  $(b)$  联立就可以得到两直线的交点, 即得到原来在世界坐标系下的物点坐标, 这样我们就通过双目定位的方法, 从两相机中像在光心坐标系中的参数推导出了物在世界坐标中的参数, 达到了定位的目的. 如图:
+
+![](images/e1d690feb7f6d28dd522f74f1e98b65826ba779e2744de30115e6fd507d21b9b.jpg)  
+图十七
+
+现在我们再给出另外一种可行的模型：
+
+根据假设，我们认为相机的光心和像屏中心的连线垂直于象平面。
+
+![](images/bc181e04d88c5e20658c3cc62d96375487baea08c2388d7ba2c1ba2ec710f113.jpg)  
+图十八
+
+问题一、二中我们已经求得了靶标上圆在像屏上面的坐标，以摄像机的光心为原点，建立空间中的直角坐标系。 $x - y$  平面平行于像平面， $Z$  轴即为相机的光轴。
+
+可以标出象平面上所有点的坐标，这里设为  $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ 、 $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ 、 $(a_{3}, b_{3}, c_{3})$ ，这三个点对应在靶标平面上的三个点，这样点A的到原点地向量为  $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ ，由于A，O，A'在同一条直线上，那么A'坐标可以表示为  $k_{1}(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ ，同理  $B'C'$  点的坐标为  $k_{2}(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ ， $k_{3}(a_{3}, b_{3}, c_{3})$ ，由于ABC三个点之间的相对位置是固定的，也即  $AB$ 、 $AC$ 、 $BC$  的长度是已知的，设为  $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 、 $L_{3}$ ，可以得。
+
+$$
+\left| \mathrm {A B} \right| ^ {2} = \left(\mathrm {k} _ {1} \mathrm {a} _ {1} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {a} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {1} \mathrm {b} _ {1} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {b} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {1} \mathrm {c} _ {1} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {c} _ {2}\right) ^ {2};
+$$
+
+$$
+\left| \mathbf {B C} \right| ^ {2} = \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {a} _ {3} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {a} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {b} _ {3} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {b} _ {2}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {c} _ {3} - \mathrm {k} _ {2} \mathrm {c} _ {2}\right) ^ {2};
+$$
+
+$$
+\left| \mathrm {A C} \right| ^ {2} = \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {a} _ {3} - \mathrm {k} _ {1} \mathrm {a} _ {1}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {b} _ {3} - \mathrm {k} _ {1} \mathrm {b} _ {1}\right) ^ {2} + \left(\mathrm {k} _ {3} \mathrm {c} _ {3} - \mathrm {k} _ {1} \mathrm {c} _ {1}\right) ^ {2}
+$$
+
+即得到三个方程，未知数为  $k_{1} 、 k_{2} 、 k_{3}$ ，下面就可以解得三个方程。
+
+该方程展开后是这种形式，
+
+$$
+k _ {1} ^ {2} + p _ {1} k _ {1} k _ {2} + q _ {1} k _ {2} ^ {2} = r _ {1}
+$$
+
+$$
+k _ {2} ^ {2} + p _ {2} k _ {2} k _ {3} + q _ {2} k _ {3} ^ {2} = r _ {2}
+$$
+
+$$
+k _ {3} ^ {2} + p _ {3} k _ {3} k _ {1} + q _ {3} k _ {1} ^ {2} = r _ {3}
+$$
+
+该方程直接求解比较困难，附录中提供了一种求解方案。
+
+这样靶标上的点关于我们建立的坐标系的绝对位置可以求得。这三个点为  $A, B, C$  。
+
+同样的道理我们可以得到靶标上三个点关于第二个相机为原点坐标系的坐标。如图：
+
+![](images/c8a659257d2b1a04fc719d366c4dbd07c06bab51f8eaf240d2d4f27d4893850f.jpg)  
+图十九
+
+在求得 A 点关于两个坐标系的坐标后, 也就是知道了向量  $\overrightarrow{AO}_{1} \cdot \overrightarrow{AO}_{2}$ , 那么就可
+
+以知道  $O_{2} O_{1} = \overline{A O_{1}} - \overline{A O_{2}}$  即两个相机的相对位置。
+
+# 五、模型的思考
+
+# 1.离心率问题
+
+观察题中所给的像图，可以很明显的看出不同椭圆的离心率是不相同的，那么是什么原因导致同一世界坐标系下不同位置的圆经转换后而形成离心率不同的椭圆的呢？
+
+前文已经给出坐标系转换的变换矩阵  $M$ ，如下：
+
+$$
+\left[ \begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array} \right] = \frac {1}{Z _ {C}} \left[ \begin{array}{l l l l} f & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} R, T \\ 0 ^ {T}, 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right] = M \left[ \begin{array}{l} X _ {W} \\ Y _ {W} \\ Z _ {W} \\ 1 \end{array} \right]
+$$
+
+观察坐标变换矩阵，对世界坐标系中的不同点， $R$ 、 $\mathrm{T}$ 、 $f$  都有相同的值，唯一的不同就是  $Z_{C}$ ，也就说明最终导致离心率不同的因素就是  $Z_{C}$ ，即点在相机坐标系里的  $Z_{C}$  方向上的坐标。设想如题中所给定的标靶平面与光心坐标系的  $X_{C} - Y_{C}$  平面平行，那么很直观的可以到处最后所成的像都是相同的，即有相同的离心率。
+
+2. 我们分别给出了两种相机定标的方法，并且可以互为印证。变换矩阵模型具有很强的适应性，对一般的双目定标问题给出了求解的方法。公切线模型主要是在平面上讨论问题，比较直观，容易理解；  
+3.本文是建立在小孔成像的基础之上，而实际相机成像是透镜成像，远离图像中心处，镜头畸变会比较大，从而会给小孔成像模型带来一定误差；  
+4. 矩阵模型中对旋转矩阵  $\mathbb{R}$  的求解不能非常清晰明确的给出，需要进一步完善。
+
+# 参考文献
+
+[1] 马颂德 张正友，计算机视觉，北京：科学出版社，1998  
+[2] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2003  
+[3] 李庆扬等，非线性方程组的数值解法，北京：科学出版社，1997  
+[4] 陈亚浙 吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，北京：科学出版社，1991
+
+附录
+
+1.坐标系旋转变换
+
+对于二维的坐标旋转变换，如由  $xoy$  绕  $o$  点逆时针旋转  $q$  到新的坐标系  $x'oy'$ ，则有以下变换关系：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x = x ^ {\prime} \cos q - y \sin q \\ y = x ^ {\prime} \sin q + y ^ {\prime} \cos q \end{array} \right.
+$$
+
+即：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x ^ {\prime} = x \cos q + y \sin q \\ y ^ {\prime} = - x \sin q + y \cos q \end{array} \right.
+$$
+
+此时有：
+
+$$
+R = \left[ \begin{array}{c c} \cos q & \sin q \\ - \sin q & \cos q \end{array} \right]
+$$
+
+且  $\mathbf{R}$  是正交的单位矩阵。
+
+推广到三维情况，三维坐标系里的旋转我们可以等效为坐标系分别以  $x$ 、 $y$ 、 $z$  轴为转轴旋转，统一规定旋转方向为正面坐标系的逆时针旋转，绕  $x$ 、 $y$ 、 $z$  轴旋转的角度分别为  $a$ 、 $b$ 、 $g$ 。
+
+初始坐标为  $(x,y,z)$  经绕  $x$  轴旋转  $\pmb{a}$  后得：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} = x \\ y _ {1} = y \cos a + z \sin a \\ z _ {1} = - y \sin a + z \cos a \end{array} \right.
+$$
+
+再绕  $y$  轴旋转  $\pmb{b}$  可得：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x _ {2} = - z _ {1} \sin b + x _ {1} \cos b \\ y _ {2} = y _ {1} \\ z _ {2} = z _ {1} \cos b + x _ {1} \sin b \end{array} \right.
+$$
+
+再经  $z$  轴旋转  $\pmb{g}$  可得：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} x _ {3} = x _ {2} \cos \boldsymbol {g} + y _ {2} \sin \boldsymbol {g} \\ y _ {3} = - x _ {2} \sin \boldsymbol {g} + y _ {2} \cos \boldsymbol {g} \\ z _ {3} = z _ {2} \end{array} \right.
+$$
+
+那么此三维坐标系经旋转最后可得到坐标系XYZ与原坐标系的坐标转换关
+
+系为
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} X = x _ {3} = x \cos b \cos g + y (\sin a \sin b \cos g + \cos a \sin g) + z (- \cos a \sin b \cos g + \sin a \sin g) \\ Y = y _ {3} = x (- \cos b \sin g) + y (- \sin a \sin b \sin g + \cos a \cos g) + z (\cos a \sin b \sin g + \sin a \cos g) \\ Z = z _ {3} = x \sin b + y (- \sin a \cos b) + z \cos a \cos b \end{array} \right.
+$$
+
+所以三维情况下的坐标旋转矩阵为：
+
+$$
+R = \left[ \begin{array}{c c c} \cos b \cos g & \sin a \sin b \cos g + \cos a \sin g & - \cos a \sin b \cos g + \sin a \sin g \\ - \cos b \sin g & - \sin a \sin b \sin g + \cos a \cos g & \cos a \sin b \sin g + \sin a \cos g \\ \sin b & - \sin a \cos b & \cos a \cos b \end{array} \right]
+$$
+
+非线性方程组的求解
+
+有映象  $\mathrm{F}:\mathrm{D}\subseteq \mathrm{R}^{\mathrm{n}}\to \mathrm{R}^{\mathrm{n}}$  。求解非线性方程组
+
+$\mathrm{F}(\mathrm{x}) = 0$  ,假定  $\mathrm{X^{*}\in D}$  是方程的一个精确解，  $\mathbf{X}^{\mathrm{k}}$  是  $\mathbf{X}^*$  的一个近似，通过  $\mathbf{X}^{\mathrm{k}}$  可以定义仿射映像：
+
+$$
+\mathrm {L} _ {\mathrm {k}}: \mathrm {R} ^ {\mathrm {n}} \rightarrow \mathrm {R} ^ {\mathrm {n}}
+$$
+
+为  $\mathrm{L_k(x) = A_k(x - x^k) + F(x^k)}$  ，其中  $\mathrm{A_k\in L(R^n)}$  为非奇异  ${\bf n}$  阶矩阵，显然 $\mathrm{L_k(x) = F(x^k)}$  ，若用线性方程组  $\mathrm{L_k(x) = A_k(x - x^k) + F(x^k) = 0}$  的解  $\mathbf{x} = \mathbf{x}^{k + 1}$  作为方程的新近似，即  $x^{k + 1} = x^{k} - A_{k}^{-1}F(x^{k}),k = 0,1\dots \dots$  即为非线性方程的线性化迭代法。
+
+对所有的  $\mathbf{k}$  都取  $A_{k} \equiv A \in L(R^{n})$  非奇异，于是  $x^{k+1} = x^{k} - A^{-1}F(x^{k}), k = 0,1$ . 成为  $\mathbf{n}$  维平行弦方法。
+
+应用Newton法解非线性方程组，还可以得到更好的收敛速度和自校正的特点，但由于时间限制，我们并没有深入分析下去。

MCM_CN/2008/B题/B1919（陈寅）[1]../B1919（陈寅）[1]...md

@@ -0,0 +1,741 @@
+# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
+
+# 承诺书
+
+我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则
+
+我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
+
+我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
+
+我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
+
+我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
+
+我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1919
+
+所属学校（请填写完整的全名）： 华南农业大学
+
+参赛队员 (打印并签名)：1. 张迪英  
+2. 麦培元  
+3. 陈寅
+
+指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): 金玲玉
+
+日期：2008年9月22日
+
+赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
+
+# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
+
+# 编号专用页
+
+赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
+
+赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
+
+<table><tr><td>评阅人</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>评分</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>备注</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
+
+全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
+
+全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
+
+# 高等教育学费标准问题的研究
+
+# 摘要
+
+本文主要分两个不同的角度对学费标准问题进行了研究，第一角度是通过建立综合评价模型来制定学费合理性的评价方法，第二角度是通过建立多目标规划模型来制定合理的学费价格体系。
+
+从第一个角度出发，建立了一个综合评价模型（模型一）来制定学费合理性的评价方法，运用这种方法可按照各类学校或专业的学费合理程度的高低对其进行综合排序。
+
+模型一首先是从教育投资效益的角度出发来分析“学费的合理性”的影响因素，构造了劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标，并利用极差标准化法对这5个指标进行标准化处理。然后运用偏大型正态分布函数作为动态加权函数，对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标，指标的数值越大说明学费的合理性越高。模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。若将全国所有普通高等学校按照省份分为31类，应用模型一，各类高校学费的综合评价结果是浙江省、湖北省、江西省高校的学费合理性最大，福建省高校的学费合理性最小。
+
+从第二个角度出发，建立了一个多目标规划模型（模型二）来制定合理的学费价格体系，运用这个体系可制定出全国整体水平的最优学费价格和生均奖贷助学金。
+
+模型二是从全国整体水平出发，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束，建立多目标规划模型。通过线性加权将多目标规划模型化为单目标规划模型，用LINGO软件求得全局最优解。求解的结果是全国普通高等学校最优的平均学费价格是4298.35元，生均奖贷助学金是644.75元。分析结果得出，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，应当进行适当地下调高校学费，下调的幅度大概为  $12.84\%$  ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为  $5.79\%$  。
+
+模型的改进方面，在模型二的基础上，建立了一个能够对具体学校的具体专业学费进行合理定价的模型。
+
+本文的最大的亮点在于学费价格体系中不仅考虑了学费标准，还考虑了奖贷助学金的发放标准。另外，运用了偏大型正态分布函数作为动态加权函数，对评价指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标也是本文的一个优点。最后，本文还对制定学费标准的具体方案给出了建议，并对三个模型在实际中的应用价值进行了讨论。
+
+关键词：高等教育学费标准 多目标规划 综合评价指标 学费价格体系
+
+# 一 问题的提出
+
+学费政策是教育财政政策的重要组成部分。在现行制度下，大学学费标准的制定和实行属于地方管辖，即由学校所属地区的地方政府物价局根据当地物价水平来确定，所以全国各地的大学学费标准及其确定方式也不尽相同。[1]
+
+高等教育的学费问题涉及到每一个大学生及其家庭。过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又会导致学校财力不足而无法保证培养质量。根据相关规定，高等教育属于非义务教育，其成本主要是根据高等教育收益分享情况进行分摊，即遵循“谁收益、谁负担”的原则。基于此理论，我国于1993年试行并轨招生，缴费上学制度开始在部分高校试行。到1997年，全国高校全部并轨收费。然而，自高等教育实行收费政策以来，收费标准出现了逐步攀升的情况，以至于学费水平在一定程度上成了人们关注的社会问题，也成为人们争议的社会焦点。[2]
+
+本文需解决的问题是根据中国国情，收集相关数据，并据此建立数学模型，对学费标准进行定量分析，得出明确的、有说服力的结论。然后根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。
+
+# 二 问题的分析
+
+高等教育的经费主要由政府拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成，其中由受教育者及其家庭所承担的学费是本文主要的讨论对象。目前学费收入已成为高等学校办学经费的主要来源之一，也已成为维系学生与学校经济关系的主要纽带。在学费的背后，体现着市场经济下学生、学校之间重要的经济关系。高等教育学费是一种作为市场主体的高等学校和学生之间的自愿市场交换行为，其中高等教育是一种商品，学费是高等教育产品的价格表现。因此，无论从形式还是内容上其价格的性质都已经具备。简而言之，高等教育学费就是一种价格。[3]
+
+为了探讨学费的标准，首先要分析普通高等学校教育经费的收入来源和支出用途，根据《2007中国教育经费统计年鉴》，分析得出高校经费的收入来源和支出用途，如下图所示：
+
+![](images/f9812d75e48db0ecd69d2ee5803d012d89f2401d35146fe0aa0e8647f90f68e3.jpg)  
+图1 普通高等学校经费的收入和支出
+
+另外，为了照顾符合接受高等教育条件但是家庭经济困难的学生，可以通过申请奖学金、贷学金和助学金来获得资助、减少学费的支出。因此，在研究学费标准时，不仅要考虑学费自身的标准，还要兼顾考虑奖学金、贷学金和助学金的标准。这里为了简化问题，我们将奖学金、贷学金和助学金结合起来进行分析，统称为“奖贷助学金”。
+
+对于这个问题，我们考虑从整体和局部两个角度出发来分析和解决问题。
+
+首先，从整体出发，分成三个步骤来对我国的学费价格进行定量分析。
+
+![](images/cd8bb5ed80f568be1505d08f84ca883d4e00a816f4ce48a6063fb728045ba338.jpg)  
+图2 整体解题步骤
+
+第一步是探讨学费价格的影响因素，即在确定学费时需要考虑哪些因素的影响。比如，主要的影响因素有家庭经济承担能力、生均培养成本的分担情况和学校的财政能力等。然后根据分析结果来收集所需的相关数据。
+
+第二步是建立一个评价学费是否合理的方法，来分析目前我国高等教育学费的合理性，即确定学费的收取是否合理。概括地说，就是根据前面的分析结果，结合主要的相关因素，利用综合评价方法，建立一个评价准则，然后运用这个评价方法，可对几类学校或专业的学费合理性进行评价。
+
+第三步是根据学费价格的影响因素，制定出科学合理的学费价格体系，即确定最优的学费价格和奖贷助学金。简单地说，科学合理的学费价格体系是指既能使学生有能力支付，又能满足学校财务需求、并保证教学质量。
+
+以上三个步骤是对全国的平均学费价格水平进行总体分析。
+
+然后，具体地，从局部出发，结合三个方面对问题进行深入探讨。
+
+![](images/f146a23aec7f19cb09a5af6fd13374946bb887a45296835ba14f2e18e3077861.jpg)  
+图3 局部分析的三个方面
+
+这里的局部性是指具体考虑适合某个地区的某类学校中某个专业的学费价格体系。
+
+第一方面是考虑地区差异对学费价格的影响，主要是考虑当地的区域经济发展水平的影响。我国各地区的经济发展并不均衡，各地居民的经济收入状况也存在差异，导致了高校的学费水平也存在区域差异。
+
+第二方面是考虑学科专业差异对学费价格的影响，即考虑专业的冷热门、专业的培养需求和对社会的贡献率的影响。也就是说，相对而言，热门专业的学生应缴纳较高的学费，来与其毕业后较高的收益想匹配。同时，某些专业自身的特点使���培养成本较高，相应地要求就读的学生缴纳较高的学费，比如艺术类专业。而对于社会回报率较高、个人回报率较低的专业，其学费应保持在一个较低的水平。[5]
+
+第三方面是考虑办学层次的差异，即考虑学校的性质是本科院校、专科院校还是民办院校。学费和教育成本的关系非常密切，本科院校属于重点学校，其教育成本一般比专科院校的教育成本高，因为本科院校需要聘请更多的优秀教学科研人员，所以需要支付更高的薪酬；同时，本科院校的科研、教学、生活设施一般要比专科院校完善，这也会带来更多的投入。又因为重点学校的需求也比普通学校多，所以理论上其学费价格也
+
+应该比较高，才能使成本与收益相匹配。但是由于重点学校得到政府和社会提供的财政经费要远高于普通学校，因此能够接受相对较低的学费。这就是我国高等教育中普遍存在“高质低价、低质高价”现象的原因。另外，民办高校由于缺少政府的财政扶持，主要依靠学费作为办学经费的主要来源，所以其学费水平应高于同类的公立院校。
+
+以上三个方面的分析是对问题的细化和深化，使得学费的确定标准更加具体、更加具有针对性。
+
+# 三 模型的假设
+
+（1）假设各类学校学费价格的制定互不影响。  
+（2）假设国家和社会对普通高等学校的资助金额能够全部到位。  
+（3）假设不考虑流动资金的时延性。
+
+# 四符号的说明
+
+<table><tr><td>\(I_i\)</td><td>模型一的第i个指标(i=1,2,···,5);</td><td>\(w_i\)</td><td>模型一第i个指标的权值(i=1,2,···,5)</td></tr><tr><td>\(M_1\)</td><td>应届应该毕业的学生总数;</td><td>\(M_1&#x27;\)</td><td>应届实际毕业的学生人数;</td></tr><tr><td>\(M_2\)</td><td>学校教职工人数;</td><td>\(M_2&#x27;\)</td><td>高校的教师总数;</td></tr><tr><td>\(S_2\)</td><td>年获得国家授权的科研项目数;</td><td>\(M_3\)</td><td>学校用于教学性经费的支出</td></tr><tr><td>\(Y_i\)</td><td>模型二的第i个指标(i=1,2,3,4);</td><td>\(C_i\)</td><td>第i个比率(i=1,2,3,4);</td></tr><tr><td>\(x_1\)</td><td>学费价格;</td><td>\(x_2\)</td><td>生均奖贷助学金;</td></tr><tr><td>\(F\)</td><td>高等学校经费总收入;</td><td>\(F&#x27;\)</td><td>高等学校经费总支出;</td></tr><tr><td>\(F_1\)</td><td>国家对高校的财政拨款;</td><td>\(F_2\)</td><td>社会对高校的捐资经费;</td></tr><tr><td>\(F_3\)</td><td>学校自筹资金;</td><td>\(F_4\)</td><td>高校教职工的工资福利;</td></tr><tr><td>\(F_5\)</td><td>学校公务费;</td><td>\(F_6\)</td><td>学校设备建设;</td></tr><tr><td>\(f_1\)</td><td>国家生均拨款;</td><td>\(f_2\)</td><td>生均社会捐资经费;</td></tr><tr><td>\(f_3\)</td><td>生均学校自筹资金;</td><td>\(f\)</td><td>生均教育培养成本;</td></tr><tr><td>\(E\)</td><td>恩格尔系数;</td><td>\(N\)</td><td>学生总人数;</td></tr><tr><td>\(p_1\)</td><td>居民人均收入;</td><td>\(p_2\)</td><td>大学毕业生的人均工资;</td></tr><tr><td>\(\overline{p}_2\)</td><td>人均工资;</td><td>\(p_3\)</td><td>平均家庭收入;</td></tr><tr><td>\(p_4\)</td><td>人均GDP;</td><td>λ</td><td>专业培养系数;</td></tr><tr><td>μ</td><td>专业的社会贡献系数;</td><td>ξ</td><td>学校重点系数;</td></tr></table>
+
+# 五 模型的建立与求解
+
+本节主要分为两大部分，第一部分是通过建立综合评价模型来制定学费合理性的评价方法。模型一中，以劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标为评价指标，运用偏大型正态分布函数对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标，模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。第二部分是通过建立多目标规划模型来制定合理的学费价格体系。模型二中，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担约束、社会经济约束和学校财力约束。模型二可制定出全国整体水平的最优学费价格和生均奖贷助学金。
+
+# 5.1学费合理性的综合评价方法
+
+# 5.1.1 模型一的分析
+
+建立这个模型的目的是为了对学费的合理性进行综合评价，这就需要对评价指标进行设置。在问题的分析中提过，高等教育是一种商品，学费是高等教育产品的价格表现，因此所设置的评价指标要能够反映出高等学校的教育投资效益。评价指标的设置必须能够充分反映办学目标的要求，既要结合当前的实际又要着眼于未来。
+
+高等教育的宏观效益包括社会效益和经济效益两大方面。高等教育的社会职能是教学、科研、生产三者相结合，是培养高��人才和发展科学文化技术的部门，因此从某种意义上讲，其社会效益也包含在经济效益内。
+
+结合实际情况和理论分析，构建了评价指标体系，包括了以下5个评价指标：
+
+指标1：劳动成果指标；
+
+指标2：科研成果指标；
+
+指标3：劳动占用指标；
+
+指标4：劳动消耗指标；
+
+指标5：资源利用指标。
+
+# 指标分析：
+
+# （1）劳动成果指标
+
+这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中的劳动成果，这个劳动成果是指接受高等教育学生的质量，这里用毕业生的人数来进行度量。如果实际毕业的学生人数占应该毕业人数的比例较小的话，就说明毕业生的质量达不到基本条件，劳动成果的合格率太低；如果实际毕业的学生人数占应该毕业人数的比例较大，就说明毕业生的质量达到基本条件，劳动成果的合格率较高。所以这个指标的数值越大，效益越好。劳动成果指标可表示为
+
+$$
+I _ {2} = \frac {M _ {1} ^ {\prime}}{M _ {1}}, \tag {1}
+$$
+
+其中， $M_{1}$  为应届应该毕业的学生总数； $M_{1}^{\prime}$  为应届实际毕业的学生人数。
+
+# （2）科研成果指标
+
+科研成果是作为考核高校内部投资效益的辅助指标，这里用学校教职工人均创造的科研成果数来进行量化。如果学校人均创造的科研成果数越多，则说明学校师资力量大，
+
+科研能力强；如果学校人均创造的科研成果数越少，则说明学校师资力量小，科研能力弱。所以这个指标的数值越大，效益越好。科研成果指标可表示为
+
+$$
+I _ {3} = \frac {S _ {2}}{M _ {2}}, \tag {2}
+$$
+
+其中， $M_{2}$  为学校教职工人数； $S_{2}$  为年获得国家授权的科研项目数。
+
+# （3）劳动占用指标
+
+这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对劳动资源的占用情况，这里是用学校中学生与教师的比例来进行量化。如果学生与教师的比例越大，则说明单位劳动力的服务范围越大，因此对劳动力资源的占用就越小；如果学生与教师的比例越小，则说明单位劳动力的服务范围越小，因此对劳动力资源的占用就越大。所以这个指标的数值越大，效益越好。劳动占用指标可表示为
+
+$$
+I _ {4} = \frac {N}{M _ {2} ^ {\prime}}, \tag {3}
+$$
+
+其中， $N$  为高校的在校学生总数； $M_2'$  为高校的教师总数。
+
+# （4）劳动消耗指标
+
+这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对劳动资源的消耗程度，这里是用学校用于培养每一名大学生的年实际消耗来进行量化。如果高校对于劳动的消耗程度越快，则需要的投资就越多。这个指标的数值越小，效益越好。劳动消耗指标可表示为
+
+$$
+I _ {1} = \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} / N + x _ {1}, \tag {4}
+$$
+
+其中， $F_{1}$  为国家财政拨款； $F_{2}$  为社会捐资经费； $F_{3}$  为学校自筹资金；
+
+$N$  为高校的学生总数；  $x_{1}$  为学费价格。
+
+# （5）资源利用指标
+
+这个指标衡量的是高校在提供教育的过程中对资源的利用情况，这里是用学校教学性经费占教育事业总支出的比例来进行量化。如果学校教学性经费占教育事业总支出的比例越大，说明学校把越多的经费放在教学质量上，即把资源主要利用在教学上。这个指标的数值越大，效益越好。资源利用指标可表示为
+
+$$
+I _ {5} = \frac {M _ {3} ^ {\prime}}{M _ {3}} \tag {5}
+$$
+
+其中， $M_{3}$  为学校用于教学性经费的支出； $M_{3}^{\prime}$  为学校用于教育事业的总支出。
+
+# 5.1.2 模型一的建立
+
+基于5.1.1的分析，以  $(1)\sim (5)$  为评价指标，建立综合评价模型。这个模型的作用是对于已知的若干类学校的学费价格及其相关的基本情况，求出这些学校的学费价格的综合评价指标，然后可按照综合评价指标的大小对这些学校进行排序，其综合评价指标越大的学校，其学费价格的合理性越高。
+
+在建立评价指标体系时，考虑了5个指标，其中有4个指标是越大越好，1个指标是越小越好。同时，由于不同指标的性质不同，量纲不同，之间不具有可比性。为了得到一个实用性更强的综合评价模型，我们首先将各指标统一成标准化指标。
+
+这里应用相对隶属度的定义，取方案集的最大特征值对优的相对隶属度为1，方案集的最小特征值对优的相对隶属度为0。
+
+具体地，对于“值越大越好”的指标，已知进行评价的  $k$  类学校的指标值，其极差标准化的公式为
+
+$$
+\frac {I _ {k} - \min  \{I \}}{\max  \{I \} - \min  \{I \}} \tag {6}
+$$
+
+对于“值越小越好”的指标，已知进行评价的  $k$  类学校的指标值，其极差标准化的公式为
+
+$$
+\frac {\operatorname* {m a x} \left\{I \right\} - I _ {k}}{\operatorname* {m a x} \left\{I \right\} - \operatorname* {m i n} \left\{I \right\}} \tag {7}
+$$
+
+然后采用动态加权法来确定相应的综合评价指标，这里取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即
+
+$$
+w _ {i} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & x \leq \alpha_ {i} \\ 1 - \exp \left[ - \left(\frac {x - \alpha_ {i}}{\sigma_ {i}}\right) ^ {2} \right], & x \geq \alpha_ {i} \end{array} \quad (i = 1, 2, \dots , 5) \right. \tag {8}
+$$
+
+由实际数据经计算可得  $\alpha_{1} = 0.7112$  ，  $\alpha_{2} = 0.6567$  ，  $\alpha_{3} = 0.1733$  ，  $\alpha_{4} = 0.6694$  ，  $\alpha_{5} = 0.3376$  ；  $\sigma_{1} = 0.2186$  ，  $\sigma_{2} = 0.2348$  ，  $\sigma_{3} = 0.2433$  ，  $\sigma_{4} = 0.2542$  ，  $\sigma_{5} = 0.2208$  。代入上式可以得到5项指标的权值函数。因此，某类学校学费合理性的综合评价指标定义为
+
+$$
+R = \sum_ {i = 1} ^ {5} w _ {i} \left(I _ {i}\right) \times I _ {i} \tag {9}
+$$
+
+这个模型的优点是适用性和灵活性强。通过收集相应的数据，这个模型可适用于评价和比较不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。这里不同类型的学校是指可根据实际需要对学校进行分类，比如可以将学校按所在省份分为广东省高校、湖南省高校等；或按学校性质分为本科高校、专科高校和民办高校；或按学校特点分为师范类、理工类等。
+
+# 5.1.3 模型一的应用
+
+具体地，我们将全国所有的普通高等学校按其所在省份分为31类，再应用模型一，对全国31个省份的高校学费价格进行综合评价分析。
+
+首先，收集模型一所需要用到的数据，如下表所列
+
+表 1 求解模型一所收集的数据  
+
+<table><tr><td>各省份应届应该毕业的学生总数</td><td>各省份应届实际毕业的学生人数</td></tr><tr><td>各省份普通高校教职工人数</td><td>各省份年获得国家授权的科研项目数</td></tr><tr><td>各省份普通高校的在校学生总数</td><td>各省份高校获得的政府财政拨款</td></tr><tr><td>各省份高校获得的社会捐资经费</td><td>各省份的高校自筹资金</td></tr><tr><td>各省份的高校学生总数</td><td>各省份的高校学费价格</td></tr><tr><td>各省份高校用于教学性经费的支出</td><td>各省份高校用于教育事业的总支出</td></tr></table>
+
+注：以上数据来源于《2007 中国统计年鉴》和《2007 中国教育经费统计年鉴》, 其中部
+
+分数据是通过年鉴中的相关数据计算求得的。
+
+然后，应用综合评价模型，运用Matlab软件编程进行求解，先求出模型中5个评价指标的值（其具体数值见附录的表9）；接着将5个指标的数据进行标准化（其具体数值见附录的表10）；再对5个指标标准化后的值进行动态加权，得出31个省份的综合评价指数。按照综合评价指标的大小对这些学校进行排序，其综合评价指标越大的学校，其学费价格的合理性越高。结果如下表所示：
+
+表 2 各省份的综合评价指数和排序  
+
+<table><tr><td>省份</td><td>综合评价指数</td><td>排序</td><td>省份</td><td>综合评价指数</td><td>排序</td></tr><tr><td>北京</td><td>0.8362</td><td>12</td><td>湖北</td><td>1.5572</td><td>2</td></tr><tr><td>天津</td><td>0.4335</td><td>25</td><td>湖南</td><td>1.1926</td><td>7</td></tr><tr><td>河北</td><td>1.2022</td><td>6</td><td>广东</td><td>1.2025</td><td>5</td></tr><tr><td>山西</td><td>0.299</td><td>29</td><td>广西</td><td>0.082</td><td>30</td></tr><tr><td>内蒙古</td><td>0.4725</td><td>24</td><td>海南</td><td>0.8415</td><td>11</td></tr><tr><td>辽宁</td><td>0.5116</td><td>22</td><td>重庆</td><td>0.3773</td><td>28</td></tr><tr><td>吉林</td><td>1.1511</td><td>8</td><td>四川</td><td>0.4794</td><td>23</td></tr><tr><td>黑龙江</td><td>0.5633</td><td>21</td><td>贵州</td><td>0.7434</td><td>15</td></tr><tr><td>上海</td><td>0.8856</td><td>10</td><td>云南</td><td>0.6255</td><td>18</td></tr><tr><td>江苏</td><td>0.5791</td><td>20</td><td>西藏</td><td>1.225</td><td>4</td></tr><tr><td>浙江</td><td>1.6356</td><td>1</td><td>陕西</td><td>0.5807</td><td>19</td></tr><tr><td>安徽</td><td>0.7944</td><td>14</td><td>甘肃</td><td>0.7131</td><td>17</td></tr><tr><td>福建</td><td>0.056</td><td>31</td><td>青海</td><td>0.9641</td><td>9</td></tr><tr><td>江西</td><td>1.5491</td><td>3</td><td>宁夏</td><td>0.409</td><td>27</td></tr><tr><td>山东</td><td>0.4278</td><td>26</td><td>新疆</td><td>0.7202</td><td>16</td></tr><tr><td>河南</td><td>0.7967</td><td>13</td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
+
+由上表结果可知，在全国的31个省份中，浙江省高校的学费合理性最高，其次是湖北省和江西省；福建省高校的合理性最低。
+
+# 5.2 制定科学合理的学费价格体系
+
+# 5.2.1 数据的处理
+
+# (1) 生均奖贷助学金
+
+对于适合接受高等教育但又经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获���资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。因此，奖助贷学金的发放，从一定程度上降低了受教育者在经济上的负担。也就是说，对于经济困难的学生，可能所制定的学费超过其经济承受能力，但由于奖助贷学金的资助，使得贫困生实际交纳的学费又降低到其经济承受能力之内。因此，在制定学费标准时，同时要结合考虑奖贷助学金的制定对其产生的影响。
+
+这里为了便于和学费进行统计分析，引入一个生均奖贷助学金的概念。
+
+生均奖贷助学金是指每个受教育学生可以摊分到的奖贷助学金，其中奖贷助学金是对奖学金、贷学金和助学金的统称。其计算方法为
+
+$$
+\text {生 均 奖 助 贷 学 金} = \frac {\text {全 国 奖 贷 助 学 金 支 出}}{\text {学 生 总 数}}.
+$$
+
+# (2) 生均教育培养成本
+
+一般来说教育培养成本是指学校为培养高级专门人才而开支的费用，它是确定收费标准的基础。而生均教育培养成本就是指学校培养每个学生而开支的平均费用。
+
+按照我国颁布的《高等学校收费管理暂行办法》，教育培养成本包括公务费、业务费、设备购置费、修缮费、教职工作人员经费等正常办学费用支出。因此，将教育培养成本除以学生总数就可得到生均教育培养成本。
+
+# 5.2.2 模型二的分析
+
+建立这个模型的目的是为了制定对于全国整体水平来说合理的学费价格和生均奖贷助学金。我们以学费价格和生均奖贷助学金作为变量，设全国高等学校的平均学费价格为  $x_{1}$ ，平均的生均奖贷助学金为  $x_{2}$  。结合实际，主要考虑制定合理的学费价格和生均奖贷助学金，以满足如下几个需求因素：
+
+目标1：培养质量指标最大；
+
+目标2：学生就读指标最大；
+
+目标3：办学收益指标最大；
+
+目标4：学生收益指标最大。
+
+# 目标分析：
+
+# 目标1：培养质量指标最大
+
+高校是高等教育的供给方，而学费具有价格的功能，因此学费价格会影响高校所供给的培养质量。同时，培养质量是高等教育的一个核心指标，其质量需要有相应的经费来做保障，即运用学费的价格功能能够促使高校提高办学质量。
+
+对于培养质量，我们主要从三方面进行衡量，分别是师资力量、教育设备和教学氛围。师资力量主要体现在教师人数和教师级别上，这可以用教育经费中教职工的工资费用来衡量；教育设备可以用教育经费中在教学设备上的花费来衡量；教学氛围主要体现在学生的学习积极性上，可以用教育经费中学校奖学金的资助力度来衡量。这三方面的花费在教育经费总支出中的比重可以从一定程度上反映出培养质量。
+
+如果学校的经费越充足，则可以花费在这三方面的经费就越多，相应地，学校对学生的培养质量就越高。也就是说，学费价格会对培养质量产生影响，因为学费越高，学校的经费就越充足。
+
+因此结合全国高校在师资、设备和奖贷助学金这三方面的费用和学费价格，定义一个培养质量指标。因为培养质量越大越好，所以培养质量指标最大可表示为
+
+$$
+\max  Y _ {1} = \frac {x _ {1}}{f _ {1}} \times \frac {F _ {4} + F _ {6} + N x _ {2}}{F ^ {\prime}}, \tag {10}
+$$
+
+其中，  $F^{\prime} = \sum_{i = 4}^{7}F_{i} + Nx_{2}$  ，  $F^{\prime}$  为全国高校经费的总支出；
+
+$x_{1}$  为全国高等学校的平均学费价格；  $x_{2}$  为全国平均的生均奖贷助学金；
+
+$f_{1}$  为国家生均拨款；  $N$  为全国高校的学生总数；
+
+$F_{4}$  为全国高校教职工的工资福利；  $F_{6}$  为全国高校的设备费用。
+
+在这个指标中， $\frac{F_{4} + F_{6} + Nx_{2}}{F^{\prime}}$  是学校培养质量型经费占教育事业总支出的比例，如
+
+果学费越高或生均奖贷助学金越高，则花费在培养质量的经费就越多，培养质量也越大。
+
+# 目标2：学生就读指标最大
+
+虽然学费越高，学校对学生的培养质量也越高，但是过高的学费会使学生无力支付，为此我们建立第二个目标函数。我国目前的高等教育是处于供不应求的情况，教育部门按照高考成绩和考生志愿来分配学位。但是由于学费价格的影响，对于无法承担这个学费价格的学生，可能会选择放弃这个受教育机会。也就是说，学费价格的提高或降低对高校学生的就读率产生影响。如果学费越高，在经济上无法承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越低；相反地，如果学费越低，在经济上能够承担的学生就越多，则学校的学生就读率就越高。
+
+因此结合恩格尔系数、居民人均收入和学费、生均奖贷助学金的关系，定义一个学生就读指标。因为学生就读指标越大越好，所以学生就读指标最大可表示为
+
+$$
+\max  Y _ {2} = \frac {(1 - E) \times p _ {1}}{x _ {1} - x _ {2}}, \tag {11}
+$$
+
+其中， $E$  为恩格尔系数； $p_1$  为全国的居民人均收入。
+
+因为恩格尔系数反映了居民均收入中用于购买食物的百分比，所以在这个指标的计算公式中，分子表示居民均收入中满足温饱之后的可支配金额；分母是将学费价格减去生均奖贷助学金，即平均每个学生为缴纳学费所支出的费用。如果这个指标越大，说明居民的人均支配金额能够承受学费的能力越大，相应地，学校的学生就读率就越高。
+
+# 目标3：办学收益指标最大
+
+在问题的分析中提过，高等教育是一种商品，它是非义务教育，因此，学校作为一个经营者，必然希望自己在经济上的获利越多越好。学校的收入来源包括国家拨款、社会捐资、学校自筹资金和学费收入，学校的支出包括教职工的工资福利、学生的奖贷助学金、公务费、设备建设费用和基建支出。将这些收入和支出摊分到每个学生身上，如果学校在每个学生身上的获利越多，则其办学总获利就越大；相反地，如果学校在每个学生身上的获利越少，则其办学总获利就越少。
+
+因此定义一个办学获利指标来衡量学校在每个学生身上的获利。因为对于学校而言，办学获利指标越大越好，所以办学获利指标最大可表示为
+
+$$
+\max  Y _ {3} = \frac {f _ {1} + f _ {2} + f _ {3} + x _ {1}}{\sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} / N + x _ {2}}, \tag {12}
+$$
+
+其中， $f_{1}$  为国家生均拨款； $f_{2}$  为生均社会捐资经费； $f_{3}$  为生均学校自筹资金；
+
+$F_{4}$  为全国高校教职工的工资福利；  $F_{5}$  为全国高校的公务费用；
+
+$F_{6}$  为全国高校的设备费用；  $F_{7}$  为全国高校的基建支出费用；
+
+$N$  为全国高校的学生总数。
+
+# 目标4：学生收益指标最大
+
+对于学生而言，选择接受高等教育相当于是对自身进行一种投资，因为在当今社会，拥有的专业知识水平越高，则竞争力也越大，相应得到的工资也会越高。也就是说，学生在大学期间是一个投资的阶段，而大学毕业之后是一个获利的阶段。如果相对于大学期间的投资而言，毕业后获得的利润越大的话，那么表明学生接受高等教育的收益越大。
+
+因此结合学生投入的资金和毕业后获利的资金之间的关系，定义一个学生收益指标来衡量每个学生的投资和获利比。因为对于学生而言，收益指标越大越好，所以学生收益指标最大可表示为
+
+$$
+\max  \quad Y _ {4} = \frac {p _ {2} - \bar {p} _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}}, \tag {13}
+$$
+
+其中， $p_2$  是全国大学毕业生的人均工资； $\overline{p}_2$  是全国的人均工资。
+
+在这个指标中，分子是大学毕业生人均工资比全国人均工资的差值，它反映了接受大学教育与全国平均教育程度的利润差。分母是将学费价格减去生均奖贷助学金，即平均每个学生为缴纳学费所支出的费用。如果这个指标越大，说明学费的制定使得学生获得的收益越大。
+
+# 约束分析：
+
+# （1）成本分担约束
+
+美国经济学家布鲁斯·约翰斯顿在其出版的《高等教育的成本分担：英国、联邦德国、法国、瑞典和美国的学生财政资助》一书中，提出了著名的成本分担理论，即应由政府、学生家庭和社会捐赠共同分担高等教育的成本。因此，学费标准应根据年生均教育培养成本的一定比例确定。我国规定[8]，现阶段高等学校学费占年生均教育培养成本的比例最高不得超过  $25\%$  。则成本分担约束可表示为
+
+$$
+\frac {x _ {1}}{f} \leq C _ {1}, \tag {14}
+$$
+
+其中，  $f = \sum_{i=4}^{7} F_i / N + x_2$ ，  $f$  是生均教育培养成本；
+
+$C_{1}$  是比例阈值，可根据需要设定。这里根据国家规定，取  $C_{1} = 25\%$  。
+
+# （2）家庭负担约束
+
+高等教育投资对于受教育者来讲是一种教育消费，对于家庭来说是整个家庭消费的一部分。收费越高，会过多挤占家庭在其它方面的消费，加重家庭的生活负担。所以高等教育收费政策的制定必须考虑我国居民承受能力，特别是奖贷助学金的发放，就是为了确保弱势群体在接受高等教育时不受经济条件的限制，为更多的人提供接受高等教育的机会，促进教育资源得到有效的配置。因此需要约束学费价格来促进教育公平的实现。
+
+因而，收费标准的确定必须建立在学生及其家庭的经济基础之上，在学生及家庭的经济承受能力的允许范围之内。则家庭负担约束可表示为
+
+$$
+\frac {x _ {1} - x _ {2}}{p _ {3}} \leq C _ {2}, \tag {15}
+$$
+
+其中， $p_3$  是平均家庭收入，即等于全国居民人均收入乘���全国平均家庭规模；
+
+$C_{2}$  是比例阈值，可根据需要设定。
+
+# （3）社会经济约束
+
+合理的大学学费价格必须是社会可以承受的价格。近30年的改革开放使我国在经济、科技、文化和教育等各方面都有了显著进步，最显著的变化之一就是人均GDP的提高。但是如果高校学费的增长大大高于人均GDP的增长，就会出现大学学费与人均GDP严重“倒挂”的现象。基于国民承受能力的角度，必须根据人均GDP，对我国高
+
+校的学费标准进行限制。从世界整体水平而言，学费占人均GDP的比例一般在  $20\%$  左右。则社会经济约束可表示为
+
+$$
+\frac {x _ {1}}{p _ {4}} \leq C _ {3}, \tag {16}
+$$
+
+其中， $p_4$  是全国人均GDP； $C_3$  是比例阈值，这里根据世界水平取  $C_3 = 20\%$  。
+
+# （4）学校财力约束
+
+过低的学费会使学校财力不足而无法保证其教学正常运作，因此，学生缴纳的学费总数需要能够保障学校教学工作的开展，即学校的总收入必须大于学校的总支出。则学校财力约束可表示为
+
+$$
+N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i}, \tag {17}
+$$
+
+其中， $F_{1}$  为国家财政拨款； $F_{2}$  为社会捐资经费； $F_{3}$  为学校自筹资金；
+
+$F_{4}$  为全国高校教职工的工资福利；  $F_{5}$  为全国高校的公务费用；
+
+$F_{6}$  为全国高校的设备费用；  $F_{7}$  为全国高校的基建支出费用；
+
+$N$  为全国高校的学生总数。
+
+# （5）学费资助约束
+
+为了确保贫困生在接受高等教育时不受经济条件的限制，学校发放给贫困生助学金或贷学金；为了鼓励品学兼优的学生，学校发放给优秀生奖学金。这些资助费用都从一定程度上减免了学生的学费。本文为了便于计算，提出一个生均奖贷助学金的概念，即将奖贷助学金摊分给每个受教育学生，其中奖贷助学金是对奖学金、贷学金和助学金的统称。为了在资助学生的同时又保证学校的利益，生均奖贷助学金占学费的比例需要有一个上限。则学费资助约束可表示为
+
+$$
+\frac {x _ {2}}{x _ {1}} \leq C _ {4}, \tag {18}
+$$
+
+其中， $C_4$  是比例阈值，可根据需要设定。
+
+# 5.2.3 模型二的建立
+
+针对这个多目标决策问题，基于5.2.1的分析，以  $(10)\sim (13)$  为目标，以  $(14)\sim (18)$  为约束，建立多目标规划模型如下：
+
+$$
+\begin{array}{l} \max  \quad Y _ {1} = \frac {x _ {1}}{f _ {1}} \times \frac {F _ {4} + F _ {6} + N x _ {2}}{F ^ {\prime}} \\ \max  \quad Y _ {2} = \frac {(1 - E) \times p _ {1}}{x _ {1} - x _ {2}} \\ \max  \quad Y _ {3} = \frac {f _ {1} + f _ {2} + f _ {3} + x _ {1}}{\sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} / N + x _ {2}} \\ \max  \quad Y _ {4} = \frac {p _ {2} - \bar {p} _ {2}}{x _ {1} - x _ {2}} \\ \end{array}
+$$
+
+$$
+s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} - x _ {2} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right.
+$$
+
+模型说明：
+
+目标1为培养质量指标最大，目标2为学生就读指标最大，目标3为办学获利指标最大，目标4为学生收益指标最大；
+
+约束1为成本分担约束，约束2为家庭负担约束，约束3是社会经济约束，约束4是学校财力约束，约束5是学费资助约束；
+
+$x_{1}$  为全国高等学校的平均学费价格；  $x_{2}$  为全国平均的生均奖贷助学金；
+
+$F_{1}$  为国家财政拨款；  $F_{2}$  为社会捐资经费；  $F_{3}$  为学校自筹资金；
+
+$F_{4}$  为全国高校教职工的工资福利；  $F_{5}$  为全国高校的公务费用；
+
+$F_{6}$  为全国高校的设备费用；  $F_{7}$  为全国高校的基建支出费用；
+
+$N$  为全国高校的学生总数；  $F^{\prime}$  为全国高校经费的总支出；  $E$  为恩格尔系数；
+
+$p_{1}$  为全国的居民人均收入；  $p_{2}$  是全国大学毕业生的人均工资；
+
+$\overline{p}_{2}$  是全国的人均工资；  $p_{3}$  是平均家庭收入；  $p_{4}$  是全国人均GDP；
+
+$f$  是生均教育培养成本； $f_{1}$  为国家生均拨款； $f_{2}$  为生均社会捐资经费；
+
+$f_{3}$  为生均学校自筹资金；  $C_{1}$  ，  $C_{2}$  ，  $C_{3}$  ，  $C_{4}$  是比例阈值。
+
+# 5.2.4 模型二的求解
+
+# （1）数据的收集
+
+为了对模型二进行求解，首先我们收集求解模型所需要用到的数据，如下表所列：
+
+表 3 求解模型二所用的数据  
+
+<table><tr><td>数据名称</td><td>数据</td></tr><tr><td>全国普通高等学校国家财政拨款</td><td>125,957,124,000元</td></tr><tr><td>全国普通高等学校社会捐资经费</td><td>1,933,151,000元</td></tr><tr><td>全国普通高等学校自筹资金</td><td>56,972,147,000元</td></tr><tr><td>全国高校教职工的工资福利</td><td>92,109,757,000元</td></tr><tr><td>全国高校的公务费用</td><td>82,509,664,000元</td></tr><tr><td>全国高校的设备费用</td><td>36,744,586,000元</td></tr><tr><td>全国高校的基建支出费用</td><td>37,113,047,000元</td></tr><tr><td>全国高校的学生总数</td><td>19,158,000人</td></tr><tr><td>全国的居民人均收入</td><td>7174.7元</td></tr><tr><td>全国人均GDP</td><td>18268元</td></tr><tr><td>全国恩格尔系数</td><td>39.8%</td></tr><tr><td>全国平均家庭户规模</td><td>3.17人/户</td></tr><tr><td>全国大学毕业生的人均工资</td><td>33444元</td></tr><tr><td>全国的人均工资</td><td>21001元</td></tr></table>
+
+注：以上数据来源于《2007 中国统计年鉴》和《2007 中国教育经费统计年鉴》，其中部分数据是通过年鉴中的相关数据计算求得的。
+
+# （2）模型的求解
+
+这是一个多目标决策问题，其求解可采用多属性效用函数，将多目标规划模型转化为单目标规划模型来求解。
+
+首先，这里考虑到模型二中的4个目标函数都是要求最大化，因此我们运用线性加权法将多目标规划模型化为单目标规划模型来求解，加权得到的优化模型如下所示：
+
+$$
+\max  Z = \omega_ {1} Y _ {1} + \omega_ {2} Y _ {2} + \omega_ {3} Y _ {3} + \omega_ {4} Y _ {4} \tag {19}
+$$
+
+$$
+s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} - x _ {2} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right.
+$$
+
+根据前面的分析，约束条件中的4个比例阈值分别取为  $C_1 = 25\%$  、  $C_2 = 20\%$  、  $C_3 = 20\%$  、  $C_4 = 15\%$  。另外，取  $\omega_{1} = \omega_{2} = \omega_{3} = \omega_{4} = 0.25$  ，然后运用LINGO软件编程求解全局最优解，得到的结果为
+
+表 4 全国水平的合理学费价格 (单位：元)  
+
+<table><tr><td>项目</td><td>费用</td></tr><tr><td>学费</td><td>4298.35</td></tr><tr><td>生均奖贷助学金</td><td>644.75</td></tr></table>
+
+上表显示，全国普通高等学校每位学生每年的平均学费为4298.35元，生均奖贷助学金为644.75元是最优值。
+
+由《2007中国教育经费统计年鉴》中的数据，用全国高等学校的总学费收入除以在校学生数，得到目前普通高等学校的平均学费为4931.58元；用全国高等学校的总奖助学金除以在校学生数，得到目前普通高等学校的生均奖贷助学金为609.46元。
+
+根据结果可知，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，进行适当地下调，下调的幅度大概为  $12.84\%$  ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为  $5.79\%$  。这样既能够减少学生的经济负担，又可以保证培养质量，同时也不会影响学校教学工作的正常运作。
+
+# 六 模型的改进
+
+运用模型二，我们可以制定出针对全国高等学校平均水平的合理学费价格和生均奖贷助学金。在实际生活中，不同地区、不同类型的学校、不同专业的学生所需要缴纳的学费各不相同。为了能够具体地制定出某地区某个学校中某个专业的合理学费价格，在模型的改进方面，我们考虑对模型二进行改进，建立一个能够计算出具体地区、具体学校、具体专业的模型。
+
+在问题的分析中提过，地区、学校类型和专业这三个因素都会对学费价格产生影响。为了衡量这些因素所产生的影响，我们制定了以下三个系数：
+
+# (1) 社会贡献系数  $\lambda$
+
+这个系数是根据专业性质来确定的。对于不同的专业，由于其学生毕业之后对社会的贡献不同，相应地，国家的资助力度也不相同。比如师范类专业，由于师范类专业学生毕业后大部分为国家的教育事业服务，对社会的贡献较大，而教师的工资水平不高，所以个人获得的回报较少，因此国家对师范类专业的资助力度较大。因此，对于这种社会贡献率较高、个人回报率较低的专业，由于国家的资助力度较大，所以其学费可以保持在一个较低的水平。
+
+针对这种情况，我们根据专业性质定义一个社会贡献系数，来对不同专业获得的国家资助力度对学费产生的影响进行量化。
+
+这里我们将专业分为7大类，分别是理工类、文科类、商科类、师范类、艺术类、农林类、医科类。根据每个专业的性质，对其社会贡献系数进行估计，如下表所示：
+
+表 5 各专业的社会贡献系数  
+
+<table><tr><td>专业</td><td>理工类</td><td>文科类</td><td>商科类</td><td>师范类</td><td>艺术类</td><td>农林类</td><td>医科类</td></tr><tr><td>社会贡献系数</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1.5</td><td>1</td><td>1.8</td><td>1.2</td></tr></table>
+
+# (2) 专业培养系数  $\mu$
+
+这个系数是根据专业特点来确定的。对于不同的专业，受教育学生的培养成本不同。某些专业自身的特点使其培养成本较高，相应地要求就读的学生缴纳较高的学费，比如艺术类专业。
+
+针对这种情况，我们根据专业特点定义一个专业培养系数，来对不同专业的生均培养成本对学费产生的影响进行量化。
+
+根据每个专业的特点，对其社会贡献系数进行估计，如下表所示：
+
+表 6 各专业的专业培养系数  
+
+<table><tr><td>专业</td><td>理工类</td><td>文科类</td><td>商科类</td><td>师范类</td><td>艺术类</td><td>农林类</td><td>医科类</td></tr><tr><td>专业培养系数</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0.8</td><td>1.8</td><td>0.8</td><td>1.6</td></tr></table>
+
+# （3）学校重点系数  $\xi$
+
+由于重点学校得到政府和社会提供的财政经费要远高于普通学校，因此重点高校能够接受相对较低的学费。这就是我国高等教育中普遍存在“高质低价、低质高价”现象的原因。另外，民办高校由于缺少政府的财政扶持，主要依靠学费作为办学经费的主要来源，所以其学费水平应高于同类的公立院校。
+
+针对这种情况，我们根据学校性质定义一个学校重点系数，来对不同类学校获得的国家资助力度对学费产生的影响进行量化。
+
+这里我们将学校按其重点程度分为3类，分别是重点本科学校、普通本科学校和专科学校。根据每类学校的性质，对其学校重点系数进行估计，如下表所示：
+
+表 7 各类学校的学校重点系数  
+
+<table><tr><td>学校</td><td>重点本科</td><td>普通本科</td><td>专科</td></tr><tr><td>学校重点系数</td><td>1.5</td><td>1.2</td><td>1</td></tr></table>
+
+建立这个改进模型的目的是为了制定某类学校具体专业的合理学费价格和生均奖贷助学金。我们以学费价格和生均奖贷助学金作为变量，设该学校该专业的学费价格为  $x_{1}$ ，生均奖贷助学金为  $x_{2}$  。
+
+在模型二的基础上，结合以上3个系数，建立如下多目标规划模型，这个改进模型的优点是能够对某类学校具体专业的学费和生均奖贷助学金进行合理定价。
+
+max  $Y_{1} = \frac{x_{1} / \lambda}{\mu\xi F_{1}}\times \frac{F_{4} + F_{6} + x_{2}\times N}{F^{\prime}}$
+
+max  $Y_{2} = \frac{(1 - E)\times p_{1}}{x_{1} - x_{2}}$
+
+$\max Y_{3} = \frac{\mu\xi(F_{1} + F_{2} + F_{3}) / N + x_{1} / \lambda}{(F_{4} + F_{5}) / N + x_{2}}$
+
+max  $Y_{4} = \frac{\mu\xi\left(p_{2} - \overline{p}_{2}\right)}{x_{1} - x_{2}}$
+
+$$
+s. t. \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} \leq C _ {1} \mu \xi f \\ x _ {1} \leq C _ {2} p _ {3} \\ x _ {1} \leq C _ {3} p _ {4} \\ N x _ {2} + \sum_ {i = 4} ^ {7} F _ {i} \leq N x _ {1} + \sum_ {i = 1} ^ {3} F _ {i} \\ x _ {2} \leq C _ {4} x _ {1} \\ x _ {1}, x _ {2} > 0 \end{array} \right.
+$$
+
+模型说明：
+
+目标1为培养质量指标最大，目标2为学生就读指标最大，目标3为办学获利指标最大，目标4为学生收益指标最大；
+
+约束 1 为成本分担约束，约束 2 为家庭负担约束，约束 3 是社会经济约束，约束 4 是学校财力约束，约束 5 是学费资助约束；
+
+$x_{1}$  为该校该专业的学费价格；  $x_{2}$  为该校该专业的生均奖贷助学金；
+
+$\lambda$  是该专业的培养系数； $\mu$  是该专业的社会贡献系数； $\xi$  是该校的学校重点系数；
+
+$F_{1}$  为该校获得的国家财政拨款；  $F_{2}$  为该校获得的社会捐资经费；  $F_{3}$  为该校的自筹资金；
+
+$F_{4}$  为该校教职工的工资福利；  $F_{5}$  为该校的公务费用；
+
+$F_{6}$  为该校的设备费用；  $F_{7}$  为该校的基建支出费用；
+
+$N$  为该校的学生总数；  $F^{\prime}$  为该校经费的总支出；  $E$  为该校所在地的恩格尔系数；
+
+$p_{1}$  为当地的居民人均收入；  $p_{2}$  是该校该专业大学毕业生的人均工资；
+
+$\bar{p}_{2}$  是当地的人均工资； $p_{3}$  是当地平均家庭收入； $p_{4}$  是当地人均 GDP；
+
+$f$  是生均教育培养成本;  $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$  是比例阈值。
+
+# 七 模型的讨论
+
+# 7.1 模型的评价
+
+模型一是从教育投资效益的角度出发来分析“学费的合理性”的影响因素，构造了劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标。然后运用偏大型正态分布函数对这5个指标进行动态加权，构造出学费合理性的综合评价指标。模型一可适用评价不同类型的学校的学费合理性或不同专业的学费合理性。
+
+模型二是从全国整体水平出发，以培养质量指标最大、学生就读比例指标最大、学校办学收益指标最大和学生收益指标最大为5个目标函数，同时考虑成本分担约束、家庭负担���束、社会经济约束和学校财力约束，建立多目标规划模型。通过线性加权将多目标规划模型化为单目标规划模型，用LINGO软件求得全局最优解。
+
+模型的改进方面，在模型二的基础上，引进了社会贡献系数、专业培养系数和学校重点系数，建立了一个能够对某类学校（本科、专科）的具体专业的学费进行合理定价的模型。
+
+# 7.2 模型的优点
+
+(1) 模型的适用性和灵活性强，通过收集不同的相关数据，即可对各个地区的学校学费、各类学校的学费和不同专业的学费进行定量分析。  
+(2) 综合评价模型中运用偏大型正态分布函数作为动态加权函数, 这种动态加权可以使指标更加关心该地区的强项, 忽略弱项, 使模型更有针对性的分析不同地区的特点, 并且使差别更加鲜明, 排序更加有据。  
+（3）模型的有良好的可推广性，模型只需修改必要的变量，就可以适用于不同地区，专业的学费定价问题。
+
+# 7.3 模型的缺点
+
+(1) 指标的定义存在一定的主观性, 由于问题的复杂因素较多, 不能对所有因素进行全面的考虑。  
+(2) 模型涉及到很多方面的相关数据, 对数据的收集有一定的依赖性。
+
+# 八 给教育部门的报告
+
+# 当前高等教育学费的合理性分析
+
+自1994年招生和收费并轨以来，特别是1999年扩招以来，贫困大学生就业越来越成为社会各界关注的热点问题。高等教育是实现社会分层的重要机制，也是弱势群体获得社会升迁的重要途径。一个人能否接受高等教育，在很大程度上决定了他是否能在未来的生活中处于优势地位。学费对高等教育入学机会由重要影响，所以研究学费有十分重要的社会意义。
+
+为了研究当前高等教育学费的合理性，我们建立了一个综合评价模型来进行量化分析。这种方法是从教育投资效益的角度出发，构造了包括有劳动消耗指标、劳动成果指标、科研成果指标、劳动占用指标、资源利用指标的综合评价体系。
+
+应用这个综合评价体系，我们对31个省份的普通高等学校的学费合理性进行量化分析，并根据综合评价指标的大小来比较不同省份高校学费的合理性。结果表明，浙江省、湖北省、江西省的学费合理性最大，福建省的学费合理性最小。具体的评价结果如下图所示：
+
+![](images/b21a4203b7ef7de56f4f57d428be1c38fb6228a22db82dac60b6927353981fc7.jpg)
+
+![](images/e28467246ce5fad0da93cfa911c86fbeae56e61dce473d0a1be0c051fdf8158c.jpg)
+
+![](images/489faa5eebb1c63e34b54814bd76a7c0738263dbb269e9656dc38c4f662faca5.jpg)  
+图4 各地区的综合指标值
+
+为了确保弱势群体在接受高等教育时不受经济条件的限制，为更多的人提供接受高等教育的机会，促进教育资源得到有效的配置。因此需要制定一个合理的学费价格来促
+
+进教育公平的实现。
+
+因此我们又从全国整体水平出发，希望能够制定一个合理的学费价格，使得一方面既能够提高培养质量、提高学生就读比例、提高学校办学收益和学生收益；另一方面又能够满足成本分担、家庭负担、社会经济和学校财力的要求。
+
+为了照顾符合接受高等教育条件但是家庭经济困难的学生，国家规定贫困生可以通过申请奖学金、贷学金和助学金来获得资助、减少学费的支出。因此，在研究学费标准时，不仅要考虑学费自身的标准，还要兼顾考虑奖学金、贷学金和助学金的标准。这里我们将奖学金、贷学金和助学金结合起来进行分析，统称为“奖贷助学金”。
+
+经过计算分析，我们提出一个学费价格的调整方案：将全国普通高等学校的平均学费价格调整为4298.35元，生均奖贷助学金为644.75元，即全国的奖贷助学金支出调整为12,352,120,500元。
+
+而目前普通高等学校的平均学费为4931.58元，全国的奖贷助学金支出为10,597,273,000元，即生均奖贷助学金为609.46元。对比可知，目前全国普通高等学校学费的制定存在普遍过高的现象，应当进行适当地下调，下调的幅度大概为  $12.84\%$  ；同时，需要适当地增加奖贷助学金的发放金额，增加的幅度大概为  $5.79\%$  。
+
+综上所述，普通高等学校学费水平偏高是造成教育不公平的原因之一，它涉及到广大居民的根本利益。因此，我们认为制定学费政策时要构建合理的高等教育成本分担体系，完善各种资助制度，制定合理的高等教育学费制度，使学费政策符合社会的整体利益，从而实现高等教育机会的公平性。这样才能使高校贫困生问题得到缓解，才能使我国的教育事业健康发展。
+
+# 九 参考文献
+
+[1] 乔锦忠，大学学费额度确定探讨，2004年中国教育经济学学术年会论文  
+[2] 赵勤，高等教育学费���格机制影响因素分析，事业财会，总第106期，第  $9\sim 11$  页，2007年  
+[3] 张庆亮，杨莲娜，高等教育学费的价格属性、影响因素及其实施保障，国家教育行政学院学报，第  $48\sim 52$  页，2006年4月  
+[4] 谭章禄，张小萍，高等教育学费价格市场模型分析，黑龙江高教研究，总第140期，第  $1\sim 3$  页，2005年  
+[5] 冯涛，我国大学学费定价的实证分析及政策建议，中国物价，第  $31\sim 37$  页，2008年3月  
+[6] 冯涛，陈松，我国大学学费定价的理论依据及改进建议——基于收益论和居住地的视角，价格理论与实践，第  $29\sim 30$  页，2008年第3期  
+[7] 章茂山，中国民办高校学费问题研究，厦门大学博士学位论文，2007年5月  
+[8] 周晓红，我国高等教育学费问题研究述评，2004年中国教育经济学学术年会论文  
+[9] 陈家洪，高等教育投资效益的综合评价，第  $47\sim 48$  页，统计与决策，2006年9月  
+[10] 丁建立，我国高等教育投资效益的量标与评价，第  $47\sim 48$  页，江苏高教，1995年第6期
+
+# 十附录
+
+# （1）模型一中5个评价指标的值
+
+表 9 模型一 5 个评价指标的值  
+
+<table><tr><td>省份</td><td>劳动消耗指标</td><td>劳动成果指标</td><td>科研成果指标</td><td>劳动占用指标</td><td>资源利用指标</td></tr><tr><td>北京</td><td>9.2389219</td><td>0.9170158</td><td>0.0944949</td><td>15.81</td><td>0.6423242</td></tr><tr><td>天津</td><td>4.1408728</td><td>0.8640795</td><td>0.0984868</td><td>16.59</td><td>0.6051613</td></tr><tr><td>河北</td><td>3.7669293</td><td>0.8957839</td><td>0.0511205</td><td>18.16</td><td>0.654553</td></tr><tr><td>山西</td><td>4.2364112</td><td>0.8290212</td><td>0.028753</td><td>17.77</td><td>0.6816482</td></tr><tr><td>内蒙古</td><td>5.1140588</td><td>0.8078648</td><td>0.0314106</td><td>15.54</td><td>0.771388</td></tr><tr><td>辽宁</td><td>4.39178</td><td>0.8769239</td><td>0.0875259</td><td>17.48</td><td>0.6508745</td></tr><tr><td>吉林</td><td>4.0047469</td><td>0.9198072</td><td>0.04088</td><td>16.86</td><td>0.6467239</td></tr><tr><td>黑龙江</td><td>3.9563064</td><td>0.8584228</td><td>0.053068</td><td>17.96</td><td>0.6442573</td></tr><tr><td>上海</td><td>9.0696594</td><td>0.885584</td><td>0.2317065</td><td>17.46</td><td>0.6503511</td></tr><tr><td>江苏</td><td>5.0936295</td><td>0.7879077</td><td>0.1463013</td><td>18.54</td><td>0.5502117</td></tr><tr><td>浙江</td><td>7.8962631</td><td>0.8504223</td><td>0.444113</td><td>18.67</td><td>0.5696199</td></tr><tr><td>安徽</td><td>3.8043723</td><td>0.7831904</td><td>0.0388102</td><td>18.47</td><td>0.6238151</td></tr><tr><td>福建</td><td>5.4303459</td><td>0.8121126</td><td>0.1386738</td><td>17.33</td><td>0.615177</td></tr><tr><td>江西</td><td>2.4524244</td><td>0.6580119</td><td>0.0232741</td><td>18.91</td><td>0.5184224</td></tr><tr><td>山东</td><td>3.7277935</td><td>0.7529803</td><td>0.1315292</td><td>17.07</td><td>0.5997779</td></tr><tr><td>河南</td><td>3.6747183</td><td>0.7483184</td><td>0.0628846</td><td>18.4</td><td>0.6585752</td></tr><tr><td>湖北</td><td>3.1056982</td><td>0.9219834</td><td>0.0413504</td><td>17.79</td><td>0.4955911</td></tr><tr><td>湖南</td><td>3.8959615</td><td>0.8734991</td><td>0.0651858</td><td>18.66</td><td>0.5160728</td></tr><tr><td>广东</td><td>7.9977604</td><td>0.80755</td><td>0.4337849</td><td>18.15</td><td>0.5816968</td></tr><tr><td>广西</td><td>4.7304478</td><td>0.7520608</td><td>0.0367529</td><td>17.19</td><td>0.6596294</td></tr><tr><td>海南</td><td>5.1970856</td><td>0.7634708</td><td>0.029067</td><td>19.07</td><td>0.6708091</td></tr><tr><td>重庆</td><td>4.6023657</td><td>0.8303164</td><td>0.1146869</td><td>18.2</td><td>0.5525373</td></tr><tr><td>四川</td><td>4.2204102</td><td>0.7558833</td><td>0.0803992</td><td>18.21</td><td>0.5659039</td></tr><tr><td>贵州</td><td>6.2960595</td><td>0.8524645</td><td>0.0524478</td><td>18.39</td><td>0.7394335</td></tr><tr><td>云南</td><td>6.9840893</td><td>0.8597668</td><td>0.0512716</td><td>17.6</td><td>0.7742064</td></tr><tr><td>西藏</td><td>12.934458</td><td>0.8671928</td><td>0.0303484</td><td>14.11</td><td>0.9552459</td></tr><tr><td>陕西</td><td>3.2105099</td><td>0.8338848</td><td>0.0281083</td><td>15.84</td><td>0.5473129</td></tr><tr><td>甘肃</td><td>4.5320993</td><td>0.8738312</td><td>0.0295067</td><td>18.01</td><td>0.7091713</td></tr><tr><td>青海</td><td>7.9831837</td><td>0.863837</td><td>0.0160649</td><td>14.13</td><td>0.8582669</td></tr><tr><td>宁夏</td><td>6.4983533</td><td>0.7715708</td><td>0.0382334</td><td>17.27</td><td>0.7627281</td></tr><tr><td>新疆</td><td>7.6648313</td><td>0.8976068</td><td>0.0469783</td><td>16.69</td><td>0.7022879</td></tr></table>
+
+# （2）模型一中5个评价指标进行标准化后的值
+
+表 10 模型一中 5 个评价指标标准化后的值  
+
+<table><tr><td>省份</td><td>劳动消耗指标</td><td>劳动成果指标</td><td>科研成果指标</td><td>劳动占用指标</td><td>资源利用指标</td></tr><tr><td>天津</td><td>0.8389</td><td>0.7806</td><td>0.1926</td><td>0.5</td><td>0.2384</td></tr><tr><td>河北</td><td>0.8746</td><td>0.9007</td><td>0.0819</td><td>0.8165</td><td>0.3458</td></tr><tr><td>山西</td><td>0.8298</td><td>0.6478</td><td>0.0296</td><td>0.7379</td><td>0.4048</td></tr><tr><td>内蒙古</td><td>0.7461</td><td>0.5677</td><td>0.0359</td><td>0.2883</td><td>0.6</td></tr><tr><td>辽宁</td><td>0.815</td><td>0.8293</td><td>0.1669</td><td>0.6794</td><td>0.3378</td></tr><tr><td>吉 林</td><td>0.8519</td><td>0.9918</td><td>0.058</td><td>0.5544</td><td>0.3288</td></tr><tr><td>黑龙江</td><td>0.8565</td><td>0.7592</td><td>0.0864</td><td>0.7762</td><td>0.3234</td></tr><tr><td>上 海</td><td>0.3687</td><td>0.8621</td><td>0.5038</td><td>0.6754</td><td>0.3367</td></tr><tr><td>江 苏</td><td>0.748</td><td>0.4921</td><td>0.3043</td><td>0.8931</td><td>0.1188</td></tr><tr><td>浙 江</td><td>0.4807</td><td>0.7289</td><td>1</td><td>0.9194</td><td>0.1611</td></tr><tr><td>安 徽</td><td>0.871</td><td>0.4742</td><td>0.0531</td><td>0.879</td><td>0.279</td></tr><tr><td>福 建</td><td>0.7159</td><td>0.5838</td><td>0.2864</td><td>0.6492</td><td>0.2602</td></tr><tr><td>江 西</td><td>1</td><td>0</td><td>0.0168</td><td>0.9677</td><td>0.0497</td></tr><tr><td>山 东</td><td>0.8783</td><td>0.3598</td><td>0.2697</td><td>0.5968</td><td>0.2267</td></tr><tr><td>河 南</td><td>0.8834</td><td>0.3421</td><td>0.1094</td><td>0.8649</td><td>0.3546</td></tr><tr><td>湖 北</td><td>0.9377</td><td>1</td><td>0.0591</td><td>0.7419</td><td>0</td></tr><tr><td>湖 南</td><td>0.8623</td><td>0.8163</td><td>0.1148</td><td>0.9173</td><td>0.0446</td></tr><tr><td>广 东</td><td>0.471</td><td>0.5665</td><td>0.9759</td><td>0.8145</td><td>0.1873</td></tr><tr><td>广 西</td><td>0.7827</td><td>0.3563</td><td>0.0483</td><td>0.621</td><td>0.3569</td></tr><tr><td>海 南</td><td>0.7382</td><td>0.3995</td><td>0.0304</td><td>1</td><td>0.3812</td></tr><tr><td>重 庆</td><td>0.7949</td><td>0.6527</td><td>0.2304</td><td>0.8246</td><td>0.1239</td></tr><tr><td>四 川</td><td>0.8313</td><td>0.3708</td><td>0.1503</td><td>0.8266</td><td>0.153</td></tr><tr><td>贵 州</td><td>0.6333</td><td>0.7366</td><td>0.085</td><td>0.8629</td><td>0.5305</td></tr><tr><td>云 南</td><td>0.5677</td><td>0.7643</td><td>0.0822</td><td>0.7036</td><td>0.6061</td></tr><tr><td>西 藏</td><td>0</td><td>0.7924</td><td>0.0334</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>陕 西</td><td>0.9277</td><td>0.6663</td><td>0.0281</td><td>0.3488</td><td>0.1125</td></tr><tr><td>甘 肃</td><td>0.8016</td><td>0.8176</td><td>0.0314</td><td>0.7863</td><td>0.4647</td></tr><tr><td>青 海</td><td>0.4724</td><td>0.7797</td><td>0</td><td>0.004</td><td>0.789</td></tr><tr><td>宁 夏</td><td>0.614</td><td>0.4302</td><td>0.0518</td><td>0.6371</td><td>0.5812</td></tr><tr><td>新 疆</td><td>0.5027</td><td>0.9077</td><td>0.0722</td><td>0.5202</td><td>0.4497</td></tr></table>
+
+# (3) 模型一的程序
+
+```matlab
+function [data, ans1, ans2, mean1, std1, we] = sta
+load matlab.mat;
+%±ê×1/4》-a = min(data(:, 1));
+b = max(data(:, 1));
+data(:, 1) = (b-data(:, 1)) / (b-a);
+for j = 2:5
+    a = min(data(:, j));
+    b = max(data(:, j));
+    data(:, j) = (data(:, j) - a) / (b - a);
+end
+%µUO»ÖÖ¼OE"ÄFDIar = 0.5;aaa
+for j = 1:5a
+    w(j) = (1 - ar) * ar^j;
+end
+ans1 = w(1) * data(:, 1) + w(2) * data(:, 2) + w(3) * data(:, 3) + w(4) * data(:, 4) + w(5) * data(:, 5);
+plot(1:31, ans1, '*');
+%^-I^-½OE"ÄFDIfor j = 1:5mean1(j) = mean(data(:, j));std1(j) = std(data(:, j));end
+ans2 = zeros(31, 1);
+```
+
+（4）模型二的程序：  
+for  $i = 1:31$    
+for  $j = 1:5$    
+ans2(i)  $\equiv$  ans2(i)+weight(j,mean1(j),std1(j),data(i,j))*data(i,j); we(i,j)  $\equiv$  weight(j,mean1(j),std1(j),data(i,j));   
+end   
+end   
+figure(2)   
+plot(1:31,ans2,'*');   
+function y  $\equiv$  weight(j,mu,secma,x)   
+if x<=mu   
+y=0;   
+else y=1-exp(-(x-mu)^2/secma^2);   
+end
+
+```txt
+model:  
+data:  
+F1=125957124000;  
+F2=1933151000;  
+F3=56972147000;  
+F4=92109757000;  
+F5=82509664000;  
+F6=36744586000;  
+F7=37113047000;  
+N=19158000;  
+!N=17388000;  
+E=0.398;  
+p1=7174.7;  
+p2=33444;  
+p2g=21001;  
+p4=18268;  
+C1=0.25;  
+C2=0.2;  
+C3=0.2;  
+C4=0.15;  
+enddata  
+max=0.25*x1/sf1*(F4+F6+N*x2)/FP+0.25*(1-E)*p1/(x1-x2)+0.25*(sf1+sf2+sf3+x1)/(F4+F5+F6+F7)*N+x2+0.25*(p2-p2g)/(x1-x2);  
+x1<C1*sf;  
+x1<C2*p3;  
+x1-x2<C3*p4;  
+N*x2+F4+F5+F6+F7<N*x1+F1+F2+F3;  
+x2<C4*x1;  
+f=(F4+F5+F6+F7)/N+x2;  
+FP=(F4+F5+F6+F7)+N*x2;  
+p3=3.17*7174.7;  
+sf1=F1/N;  
+sf2=F2/N;  
+sf3=F2/N;  
+end
+```

MCM_CN/2008/B题/B1920/B1920.md

@@ -0,0 +1,1057 @@
+# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
+
+# 承诺书
+
+我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则
+
+我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
+
+我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
+
+我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
+
+我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
+
+我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 1920
+
+所属学校（请填写完整的全名）： 华南农业大学
+
+参赛队员（打印并签名）：1. 吴沛
+
+2. 林华秋  
+3. 黄伟光
+
+指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名): _____ 房少梅
+
+日期：2008年9月22日
+
+赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
+
+# 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
+
+# 编号专用页
+
+赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
+
+赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
+
+<table><tr><td>评阅人</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>评分</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>备注</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>
+
+全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
+
+全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
+
+# 高等教育学费标准的探讨
+
+摘要：本文根据我国高等教育发展的实际需要，探讨高等教育学费标准的制定问题。在对相关数据进行收集并用数据挖掘的知识对数据进行分析的基础上，首先通过建立学费规律模型找到当前学费制定的标准，然后建立学费评价模型对原有学费标准进行评价，接着提出学费寻优模型找出最佳学费价格，并结合此模型建立学费控制模型对最佳学费价格进行调控，最后再给有关部门提出有关学费标准的建议。
+
+模型I学费规律模型。本文通过分析学费与生均事业性经费支出等量的关系，运用多元回归分析的方法，建立了反映当前学费制定规律的多元线性回归方程。对不同类别学校的情况进行回归分析，并引入能够反映专业差异的学费专业差异常数项，更好的表达学费在不同类别学校间和不同专业间的差别。
+
+模型Ⅱ学费评价模型。本文通过定义由学费的近期满意度和远期满意度所组成的综合满意度，来对学费标准进行评价。其中，近期满意度由学生近期满意度、学校近期满意度和政府近期满意度组成，并通过动态加权的方法综合，让模型更好的顾及三者的利益。通过对高等教育“性价比”的研究，建立了高校教育质量与经费关系的logistic模型。在远期满意度的定义中，引入个人收益率和社会收益率的概念，并用经济学的理论建立个人收益率模型和社会收益率模型来对这两个量进行求解。通过建立本评价系统，实现对模型I学费标准的评价，经过对收集的相关数据进行分析，得到的结论是近几年的学费标准并不令人满意，学费价格偏高。
+
+模型III学费寻优模型。本文建立多目标规划模型来对学费进行寻优。在规划目标的制定上，综合考虑学生、学校、政府的利益，以及近期利益和远期收益，然后采用模拟退火算法来寻求学费的最优值，将得到的最优学费带入模型II中进行评价，通过比较，发现模型III的学费标准相对模型I，满意度有明显的提高，从而进一步验证了模型的有效性。最后对模型III进行灵敏度分析，得到模型稳定的结果。
+
+模型IV学费控制模型。结合模型III灵敏度分析，建立学费控制模型。
+
+本文的亮点在于：学费评价系统对学费近期满意度和远期满意度的考虑，以及对学生、学校、政府三者利益的平衡；对三者满意度进行动态加权；高校教学质量模型、个人收益率模型、社会收益率模型的建立；学费寻优模型对多个目标的考虑；模型III求解算法的设计；学费控制模型的提出。
+
+关键词：数据挖掘；多元回归分析；满意度；多目标规划；模拟退火；学费控制
+
+# 1. 问题的重述
+
+高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关���。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
+
+学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。
+
+根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是建模分析的基础和重要组成部分。论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。
+
+最后，根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。
+
+# 2. 问题的分析
+
+# 2.1 影响学费价格因素的分析
+
+高校的教学成本。学费的多少最根本还是决定与高校教学成本的多少，高校教育经费的多少，直接影响学费的多少。
+
+居民社会承受能力。居民用于包括学费在内的教育支出是其总支出的一部分，支付学费的能力取决于居民支出的结构和水平，最终取决于其收入水平。当前我国公立高校的学费水平而言，无论是从国际比较与是从我国居民的实际承受能力来说，都已达到了一个非常高的水平。在欧美发达国家，家庭收入普遍较高，公立高校学生平均成本的  $20\%$  需要受教育者补偿时，这种负担的绝对数虽然很高，但也仅占一般家庭收入的  $10\% - 15\%$  左右。在中等收入国家，如果学生平均成本中的  $20\%$  需要受教育者补偿时，这种负担一般占人均可支配收入的  $25\% - 30\%$  左右。而在低收入国家，这种负担可达到  $50\%$  以上。因此，在进行同等教育成本补偿时，对个人或家庭所产生的经济压力在发达国家和发展中国家差别较大。
+
+国家高等教育的财政政策。高等教育成本主要有两类补偿主体：政府与学生(或学生家庭)。政府补偿的比例取决于政府的高等教育财政政策。
+
+高等教育的个人收益。根据谁受益谁付费的原则，高等教育的受益方应当成为教育成本的分担者，因此在制定高等教育学费标准时，个人收益率的变化就成为一个很重要的影响因素。
+
+高等教育的社会收益。高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。
+
+社会收益的多少直接关系到政府对高等教育投资的多少，也间接对学费的多少造成影响。
+
+![](images/b8e709047a8531a970ea67e883aee3ee5845e81e922a17e41367b8369b2ff402.jpg)  
+图1影响学费价格因素
+
+# 2.2 各类学校学费及各专业学费差异分析
+
+我们将学校分成一本，二本，大专三类，把专业分成理工类、文科类、艺术类三类。分析这些不同类学校，不同类专业的历年学费值，有：
+
+![](images/d7ea11440458ec82b8c71bbfedfd7d902f9d77dbad468372ed0c7667670e768a.jpg)  
+图2不同类学校的平均学费
+
+![](images/fbcae0a7b5598ac6b01b4a981458528d8f13d003b42637646a04eaf85f4dab02.jpg)  
+图3不同专业的平均学费
+
+# 2.3 对问题所需数据的收集和分析
+
+由于题目没有给出具体数据，所以需要寻找和处理数据，为模型的分析与求解服务。这里利用到数据挖掘的知识，包括数据审查、数据清理、数据转换和数据验证四大步骤。根据模型需要用到的因素，我们找到2002-2006年的中国统计年鉴、中国教育经费统计年鉴等统计量，进而分析数据。根据处理对象的特点及
+
+每一步骤的不同目标，对数据进行预处理，统计数据预处理可采用的方法包括描述及探索性分析、缺失值处理、异常值处理、数据变换技术、信度与效度检验、宏观数据诊断等六大类。我们选用恰当的方法开展统计数据预处理，以保证数据分析结论真实、有效。
+
+其中由于2005年的教育经费数据缺失严重，在力不能及的情况下，我们选择跳过05年的数据，在模型和分析上做了相关的处理。最后我们整理得到的资料：在年份上包括2002、2003、2004、2006年次；在教育经费上包括分地区普通高等学校的各种收入、支出与生均支出数据，分地区一本与二本的普通高等学校的各种收入、支出与生均支出数据，在教育情况上包括各级各类学校情况、各级各类学生情���等；在民生上包括人民生活基本情况、居民年均收入、支出与消费的统计情况，还有城镇居民与农村居民的差异情况等。我们相信处理后的数据是真实、有效的。
+
+# 3. 模型的假设
+
+(1)假设我国高等院校招生人数不受市场经济规律的调控；  
+(2)假设我国高等院校都不是以盈利为目的，筹集资金只是为了自身的建设；  
+(3)假设一本高校都是中央属学校，二本高校都是地方属学校；  
+(4)假设高校只分成一本，二本和大专三类，专业的分类只分成理工类、文科类、艺术类；  
+(5)假设所使用的数据都真实准确；  
+(6)假设大学生毕业工作后银行储存利率不变；  
+(7)假设教育劳动生产率的增长率不变。
+
+# 4. 符号约定
+
+T1：一本普通高等学校生均实际学费；  
+T2：二本普通高等学校生均实际学费；
+
+$E$  ：综合满意度；  
+$S$  ：近期满意度指标；  
+$L$  ：远期满意度指标；  
+$D_{1}$  ：学生近期满意度；  
+$D_{2}$  ：学校近期满意度；
+
+$D_{3}$  ：政府近期满意度；
+
+$R_{1}$  ：高等教育的个人收益率；
+
+$R_{2}$  ：高等教育的社会收益率；
+
+$Q$  ：高校教学质量模型；
+
+$f$  ：生均学费；
+
+A：国家生均补助；
+
+$N$  ：每年校均招生人数；
+
+$V$  ：学生大学四年总支出；
+
+$C$  ：教育总成本；
+
+$F$  ：每年校均经费；
+
+$W$  ：每个家庭平均年纯收入。
+
+注：关于钱的量如不特别说明，都以元为单位。
+
+# 5. 模型的建立与求解
+
+我们建模的总思路是：首先根据近几年的高校学费及相关数据用多元回归分析的方法建立了能够反映当前学费制定规律的学费规律模型，然后再建立能够对学费价格进行评价的学费评价模型，并对近几年的高校学费进行评价，接着提出能够寻找最佳学费价格的学费寻优模型，并结合此模型建立了能够方便相关部门控制最佳学费价格的学费控制模型。
+
+![](images/2e3f1cd8262f612df081dcfda02474b24f7bbd3e24e274c7fcb236402e834e53.jpg)  
+图4建模总思路
+
+# 5.1 模型I——学费规律模型的建立与求解
+
+我们为了找到当前学费价格的制定规律，运用多元线性回归的方法建立了学费规律模型。
+
+注意：由于大专类高校的数据较难找，所以我们这里只对一本，二本类学校进行回归分析。
+
+# 5.1.1我国普通高等学校学费情况及特点
+
+# (1)普通高校学费的总体情况
+
+近几年，随着我国普通高等学校招生人数的迅速增长，普通高校的生均实际学费不断提高(见表1)，2006年达到5218.87元， $2002\sim 2006$  年期间生均实际学费逐年递增。由此导致我国普通高校生均实际学费与生均事业性经费支出之比从2002年的  $35.24\%$  提高到2006年的  $39.72\%$  ，提高了近5个百分点。2006年我国普通高校的学费已占学校事业性经费支出的近四成，这个比例远高于国外的水平。
+
+表 1 2002~2006 年我国普通高校生均实际学费与教育经费支出情况表  
+
+<table><tr><td>年份</td><td>教育经费支出(万元)</td><td>生均教育经费支出</td><td>实际收取的学费(万元)</td><td>生均实际学费(元)</td><td>生均事业性经费支出(元)</td><td>生均实际学费与事业性经费支出之比(%)</td></tr><tr><td>2002</td><td>13981627.2</td><td>15119.56</td><td>4038636.6</td><td>4367.33</td><td>12394.32</td><td>35.24</td></tr><tr><td>2003</td><td>17122424.8</td><td>14962.77</td><td>5330225.7</td><td>4657.92</td><td>12147.76</td><td>38.34</td></tr><tr><td>2004</td><td>20208857.8</td><td>14928.92</td><td>6653772.1</td><td>4915.35</td><td>12122.22</td><td>40.54</td></tr><tr><td>2006</td><td>25907432.7</td><td>15332.80</td><td>8818205.3</td><td>5218.87</td><td>13136.34</td><td>39.72</td></tr></table>
+
+注：①表中数据是根据各年的《中国教育经费统计年鉴》计算而得；②实际学费指学校按照规定的标准向学生实际收取的学费，生均实际学费的计算方法：先按照经费支出和生均经费支出求出年平均学生数，再用实际学费除以年平均学生数；③生均教育经费支出包括生均事业性经费支出和生均基建支出两部分。
+
+# (2)普通高校学费在不同类别高校间存在差异
+
+从不同属性的高校来看，2006年一本普通高等学校生均实际学费(5218.87元)与二本普通高等学校生均实际学费(4830.28元)相差无几，甚至要高，但一本普通高校的生均教育经费支出和生均事业性经费支出(分别为24740.35元和21701.16元)，却是二本普通高校生均教育经费支出和生均事业性经费支出(分别为13231.01元和11080.44元)的近两倍。2006年一本普通高校的生均实际学费与生均事业性经费支出之比为  $24.04\%$  ，而二本普通高校的这一比例却高达 $43.59\%$  。
+
+# (3)普通高校学费在不同地区间存在显著差异
+
+��不同地区的高校来看，生均实际学费(见附录1的表1)、生均经费支出以及学费与事业性经费支出之比(限于篇幅，详表略)的地区差异都很大。2006年
+
+一本普通高校生均实际学费最高的广东(8730.66元)是最低的福建(3467.76元)高出2.52倍，各地区一本普通高校生均实际学费的标准差系数为0.2024；二本普通高校生均实际学费最高的浙江(7649.53元)是最低的内蒙古(3431.821602元)高出2.23倍，各地区二本普通高校生均实际学费的标准差系数为0.239。
+
+# 5.1.2普通高等学校学费的影响因素分析
+
+事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入比重。以及事业收入中非学费收入所占比重等因素对高校学费的影响。
+
+从理论上分析．首先，如前所述，学费作为普通高等学校收入的一部分．与学校的经费支出，尤其是事业性经费支出有关。其次．学费与教育经费收入中除学费外的其他主要收入所占比重有关。由于普通高等学校教育经费收入中．预算内事业性经费拨款与事业收入之和占了绝大部分(2006年的比重为  $79.36\%$  ）．因此．学费应与预算内事业性经费拨款占教育经费收入比重．以及事业收入中非学费收入所占比重有关。根据对实际数据的观察，我们也得出了同样的结论。
+
+各地经济发展水平与普通高等学校学费的关系。
+
+根据附录1的表1中的数据，我们分别计算一本和二本普通高等学校生均实际学费与地区人均GDP的相关系数。结果分别为0.18和0.74，说明一本普通高等学校生均实际学费与地区人均GDP基本无关。二本普通高等学校生均实际学费与地区人均GDP中度相关。直接观察数据可以看出，二本普通高等学校学费最高的10个地区中有7个是东部地区。学费最低的11个地区中有9个是西部地区；一本普通高等学校学费最高的5个地区中有3个是东部地区。2个是西部地区。学费最低的5个地区中有4个是东部地区，1个是中部地区。可见，二本普通高等学校的学费，东部地区普遍较高，西部地区普遍较低；一本普通高等学校学费的东中西部差距不明显。这说明二本普通高等学校的学费与地区的经济发展水平有关，而一本普通高等学校的学费与地区经济发展水平的相关性较低。综合上述分析可以得出，普通高校学费的主要影响因素有事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入比重、事业收入中非学费收入所占比重和人均GDP（仅限于二本普通高校）。
+
+# 5.1.3 普通高等学校学费模型的建立
+
+# (1)一本普通高等学校生均实际学费模型
+
+根据上述分析，我们建立一本普通高等学校生均实际学费模型形式如下：
+
+$$
+T 1 = C (1) + C (2) \times E 1 + C (3) \times B 1 + C (4) \times N 1 \tag {1.1}
+$$
+
+其中．  $T1$  、  $E1$  、  $B1$  、  $N1$  分别表示一本普通高等学校生均实际学费、生均事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比、事业收入中非学费收入所占百分比．  $C(1) 、 C(2) 、 C(3) 、 C(4)$  表示待估计的参数。
+
+采用SAS编程得到：
+
+![](images/429875caa5dafc29eddb0f9bb636b170fc96a32dc3fa0ea5c50cc1aca6007a87.jpg)  
+图5sas程序运行结果截图
+
+根据以上的结果。  $F$  值小于0.0001，模型是有效的，可以写出模型的估计式如下：
+
+$$
+T 1 = 7 4 5 4. 0 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1
+$$
+
+由上式可知：在其它自变量不变的情况下。一本普通高等学校生均事业性经费支出每增加1000元．生均实际学费平均提高224.61元；预算内事业性经费拨款占教育经费收入的比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低73.65132元；事业收入中非学费收入所占比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低77.49088元。
+
+# (2)二本普通高等学校生均实际学费模型
+
+由于二本普通高等学校生均实际学费与地区的经济水平发展有关，因此我们希望在建立二本普通高等学校生均实际学费模型时加人人均GDP这一指标。考虑到人均GDP与生均事业性经费支出高度线性相关(相关系数为0.81)，直接引入模型会使自变量之间产生多重共线性。我们改为引人生均事业性经费指数这一指标。它是生均事业性经费支出与人均GDP之比，在生均事业性经费支出一定的情况下，它与人均GDP成反比。经过以上分析，我们建立二本普通高等学校生均实际学费模型形式如下：
+
+$$
+T 2 = C ^ {\prime} (1) + C ^ {\prime} (2) \times E (2) + C ^ {\prime} (3) \times B (2) + C ^ {\prime} (4) \times N 2 + C ^ {\prime} (5) \times I 2 \tag {1.2}
+$$
+
+其中， $T2$ 、 $E2$ 、 $B1$ 、 $N2$ 、 $I2$ 分别表示二本普通高等学校生均实际学费、生均事业性经费支出、预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比、事业收入中非学费收入所占百分比、生均事业性经费指数． $C^{\prime}(1)$ 、 $C^{\prime}(2)$ 、 $C^{\prime}(3)$ 、 $C^{\prime}(4)$ 、 $C^{\prime}(5)$ 表示待估计的参数。根据31个地区二本普通高等学校2006年的经费数据．估计方法和过程与1中类似(限于篇幅．估计过程和结果表略)。
+
+利用SAS编程得到数据并写出模型的估计式如下：
+
+$$
+T 2 = 5 4 9 1. 6 5 4 6 4 + 0. 1 6 0 6 9 \times E 2 - 3 1. 7 3 2 8 3 \times B 2 - 6. 3 2 9 2 5 \times N 2 - 1 3. 5 0 0 4 3 \times I 2
+$$
+
+由上式可知：在其它自变量不变的情况下。二本普通高等学校生均事业性经费支出每增加1000元，生均实际学费平均提高160.69元；预算内事业性经费拨款占教育经费收入的比重每提高1个百分点，生均实际学费平均降低31.73283元的业收入中非学费收入所占比重每提高1个百分点，生均实际学费平均降低6.32925元；生均事业性经费指数每提高1百分点(在生均事业性经费支出不变的情况下，相当于地区人均GDP减少)。生均实际学费平均降低13.50043元。
+
+# (3)模型的进一步讨论：
+
+由于以上的模型的数据的求解是在生均数据基础之上的，并没有考虑到各专业之间的差异，现在本文对以上模型进行进一步的讨论。
+
+根据北京市中央部属高校本专科生学费标准：重点院校一般专业不超过5000元，理工科专业不超过5500元，外语医科专业不超过6000元，艺术专业不超过1万元。可以知道各专业的学费之间只是相差一个常数，因此，为了区分不同专业的学费的不同，我们采取一种简单的处理办法：
+
+$\Delta T1 =$  属国家普通高等学校生均学费-各专业属国家高等学校的生均学费再令：
+
+$$
+T ^ {\prime} 1 = T 1 + \Delta T 1
+$$
+
+属地方普通高等学校生均学费也可以按照该方法进行相应的处理。
+
+$\Delta T2 =$  属地方普通高等学校生均学费-各专业属地方高等学校的生均学费
+
+$$
+T ^ {\prime} 2 = T 2 + \Delta T 2
+$$
+
+例如，按照该方法求得北京重点院校各专业的学费：
+
+北京重点院校理工专业的学费：
+
+$$
+(T 1) _ {1} = 7 1 0 7. 3 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1
+$$
+
+北京重点院校外语医科专业学费为：
+
+$$
+(T 1) _ {2} = 7 6 0 7. 3 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1
+$$
+
+北京重点院校艺术专业学费：
+
+$$
+(T 1) _ {3} = 1 1 6 0 7. 3 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1
+$$
+
+# 5.2 模型 II——学费评价模型的建立与求解
+
+对所制定的学费标准是否满意，我们从评价时间和评价者两个角度来建立评价系统。
+
+从评价时间考虑，我们设置了近期满意度指标和远期满意度指标，这主要是考虑到评价者对学费标准进行评价时既会从眼前的得益考虑，也会从长远的得益考虑。
+
+从评价者角度，我们考虑到学费的制定应该能够顾及到学生、学校和政府的利益，所以要考虑这三者的满意程度，于是在设置近期满意度指标的时候从学生、学校和政府三者的近期满意度来进行设计。而在设计远期满意度的时候则是从个人收益率和社会收益率的角度来设计。
+
+![](images/45a9b3fc0415b7962034f8862821adf6f09641527a23b3b681a7dd90fbb289b7.jpg)  
+图6学费评价系统满意度关系图
+
+# 5.2.1近期满意度指标
+
+对于近期满意度指标，我们从学生、学校和政府三者的近期满意度来设计。定义近期满意度  $S$  与学生近期满意度  $D_{1}$  、学校近期满意度  $D_{2}$  、政府近期满意度  $D_{3}$  的关系：
+
+$$
+S = \sum_ {i = 1} ^ {3} \omega_ {i} D _ {i} \tag {2.1}
+$$
+
+说明：这里  $\omega_{i}, D_{i} \in [0,1]$  且  $\sum_{i=1}^{3} \omega_{i} = 1$ ，从平衡三者满意度的目标出发，不妨取  $\omega_{1} = \frac{1}{3}, \omega_{2} = \frac{1}{3}, \omega_{3} = \frac{1}{3}$ 。
+
+# (1)定义学生近期满意度  $D_{1}$
+
+学生在对学费进行评价的时候会考虑两个问题：一是自己能否支付；二是接受高等教育的“性价比”。
+
+对于学生考虑的第一个问题，我们用学费占家庭年纯收入的比例  $p_1$  来量度，显然，这个比例越小，学生越满意，设每个家庭年纯收入平均为  $W$ ，生均学费为  $f$ ，则：
+
+$$
+p _ {1} = \frac {f}{W} \tag {2.2}
+$$
+
+对于学生考虑的第二个问题，所谓的“性价比”，指的就是高校教学质量与学费的比值，显然这个比值越大，即“性价比”越高，学生越满意，设这个“性价比”为  $p_2$ ，高校教学质量指标值为  $Q$ ，则：
+
+$$
+p _ {2} = \frac {Q}{f} \tag {2.3}
+$$
+
+由于式子中高校教学质量指标值  $Q$  没有现成的数据，也没有现成的量化标准，那么我们建立了模型来对其进行量化。
+
+# 建立高校教学质量模型
+
+分析高校的教育质量，教育部关于高等学校的教学条件判别指标在于：包括具有高级职务教师占专任教师的比例、生均占地面积、生均宿舍面积、百名学生配教学用计算机台数、百名学生配多媒体教室和语音实验室座位数、新增教学科研仪器设备所占比例、生均年进书量。但是经过各类学校数据的分析，发现以上各条件在一个学校的教育质量提高过程中，所表现的特征是一致的：在学校发展初期，资金投入不多时，各指标会缓慢提高；到了学校发展中期，经过积累资金比较充裕，学校的办学指标快速提升；到了学校的稳定期，各类指标的提升趋于平稳，即使资金投入再多，也只是渐渐接近一个常量。
+
+我们把这种变化以logistic模型来模拟：定义  $Q$  为一个反应教学质量高低的量，设一间学校一年的经费  $F$  的教育质量为  $Q(F)$  ，教育质量能到达的最高值为  $Q_{m}$  ，面积增长率为  $r\big(1 - Q(F) / Q_m\big)$  ，则可建立教育质量随经费增长的logistic模型：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} \frac {d Q}{d F} = r \left(1 - \frac {Q}{Q _ {m}}\right) Q \\ Q (F _ {0}) = Q _ {0} \end{array} \right.
+$$
+
+解该微分方程可得：
+
+$$
+Q (F) = \frac {Q _ {m}}{1 + \left(\frac {Q _ {m}}{Q _ {0}} - 1\right) e ^ {- r \left(F - F _ {0}\right)}} \tag {2.4}
+$$
+
+![](images/703ac9858ea718b80ccf3006976ce7007fcb5cb75b8d82911da8d7c146360ed0.jpg)  
+图7 logistic模型的  $S$  型号曲线
+
+对于模型参数的求解：
+
+我们设计  $Q$  的取值范围为  $[0,1]$ , 所以令  $Q_{m} = 1$  且当  $F_{0} = 0$  时,  $Q_{0} = 0.1$ ; 对于  $r$
+
+的求解, 我们假设美国的高等教育的教学质量  $Q$  值为 0.9 , 则通过网上查找数据得知美国的高等教育每年校均教育经费为 213000 万元, 则可求得  $r = 2.127 \times 10^{-5}$  。
+
+再看式(2.3)会发现  $Q$  与  $f$  的量纲不一致，所以要采用极值差方法将  $f$  化成取值范围为[0,1]的量  $f'$ ，则式子(2.3)变成：
+
+$$
+p _ {2} = \frac {Q}{f ^ {\prime}} \tag {2.5}
+$$
+
+我们通过  $p_{1}^{\prime} = 1 - p_{1}$  将  $p_{1}$  变成极大型指标, 并通过极值差方法将  $p_{2}$  化成取值范围为  $[0,1]$  的量  $p_{2}^{\prime}$ , 统一量纲, 再用线性加权的方法得到学生近期满意度  $D_{1}$ :
+
+$$
+D _ {1} = \frac {1}{2} p _ {1} ^ {\prime} + \frac {1}{2} p _ {2} ^ {\prime} \tag {2.6}
+$$
+
+# (2)定义学校近期满意度  $D_{2}$
+
+我们这里认为学校在对学费进行评价时，会认为学费越多越好，因为这样就能保证学校有充足的资金进行运作和发展，于是我们直接用学校总共收取的学费作为其量度，学校总共收取的学费  $f_{\text{总}}$  等于生均学费  $f$  与高校一年校均招收的学生数  $N$  的乘积，即：
+
+$$
+f _ {\text {总}} = f \cdot N \tag {2.7}
+$$
+
+用极值差方法将  $f_{\text{总}}$  化成取值范围为  $[0,1]$  的量  $f_{\text{总}}^{\prime}$ ，则可以将其作为学校近期满意度  $D_{2}$ ：
+
+$$
+D _ {2} = f _ {\text {总}} ^ {\prime} \tag {2.8}
+$$
+
+# (3)定义政府近期满意度  $D_{3}$
+
+政府每年都要向高校拨款支持教育事业的发展，从政府的角度考虑，一方面希望提高高校教学质量，另一方面又希望不需要承担过多的教育经费，也就是希望学生承担多一些教育经费，这样就可以把更多的钱投入到再生产等其他方面的发展。
+
+对于政府第一个考虑的方面，我们可以用之前的高校教学质量指标值  $Q$  来衡量。
+
+对于政府第二个考虑的方面，我们可以用政府对一间学校一年总拨款额  $A_{\text{总}}$  占该学校一年教育经费  $F$  的比例  $p_{3}$  来衡量，其中  $A_{\text{总}} = A \cdot N$ ， $A$  为国家生均拨款，则有：
+
+$$
+p _ {3} = \frac {A _ {\text {总}}}{F} = \frac {A \cdot N}{F} \tag {2.9}
+$$
+
+通过  $p_3' = 1 - p_3$  将  $p_3$  化成极大型指标，再用线性加权的方法得到政府近期满意度  $D_3$ :
+
+$$
+D _ {3} = \frac {1}{2} Q + \frac {1}{2} p _ {3} ^ {\prime} \tag {2.10}
+$$
+
+# (4)对三个近期满意度指标进行动态加权
+
+制定的学费应该是让学生、学校和政府三者都尽可能满意，如果三者都非常满意，那是最理想的状态，但显然难以让三者都非常满意，那么我们思考能否建
+
+立模型让三者中不出现任何一方是不满意的呢?也就是说虽然难以让三者都非常满意，但却可以让三者都不会出现不满意的情况。于是我们考虑通过动态加权的方法，将指标间的“质差”表现出来，令当其中一方出现不满意的时候整个满意度得分会被较大的拉低，来使得该制定的学费标准不会被采纳。
+
+根据以上分析，我们先对三者的满意���进行模糊分类：
+
+表 2 三个近期满意度指标的分类规则表  
+
+<table><tr><td></td><td>不满意</td><td>一般满意或非常满意</td></tr><tr><td>学生</td><td>[0,0.3]</td><td>(0.3,1]</td></tr><tr><td>学校</td><td>[0,0.3]</td><td>(0.3,1]</td></tr><tr><td>政府</td><td>[0,0.3]</td><td>(0.3,1]</td></tr></table>
+
+假设第  $i (i = 1,2,3)$  个评价指标对于综合评价效果的影响大约是随着类别  $p_{k} (k = 1,2)$  的增加而按正幂次增加，同时在某一类中随着指标值的增加按照相应的一个幂函数增加，故可对第  $i$  个评价指标设定分段幂函数为变权函数，即：
+
+$$
+\omega_ {i} (D _ {i}) = D _ {i} ^ {\frac {1}{k}} \quad k = 1, 2
+$$
+
+则有该分段变幂函数的图象为:
+
+![](images/87e618d4a4b0245e92ca39f61cf3e1a6d47009a5bec04edb9c352d901329b292.jpg)  
+图8分段变幂函数
+
+由此可以构造动态加权后的近期满意度指标  $S$  如下：
+
+$$
+S = \sum_ {i = 1} ^ {3} \omega_ {i} \left(D _ {i}\right) D _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {3} D _ {i} ^ {k + 1 / k} \quad k = 1, 2 \tag {2.11}
+$$
+
+# 5.2.2 远期满意度指标
+
+对于远期满意度指标，我们从个人和社会两个角度考虑。对于个人来说，交学费上学的长远目的是希望将来能够有较高的个人收益率，而对于社会来说，投资教育长远来说也是希望能够得到较高的社会收益率。于是我们用个人收益率  $R_{1}$  和社会收益率  $R_{2}$  来设计这个远期满意度  $L$ ，有：
+
+$$
+L = \frac {1}{2} R _ {1} + \frac {1}{2} R _ {2} \tag {2.12}
+$$
+
+# (1)建立个人收益率模型
+
+这里的收益主要是指高等教育的个人收益。高等教育个人收益率计算的基本方法是通过统计大学毕业参加工作的人年均收入与非大学毕业的人参加工作的年均收入之差额，进而推算出高等教育的个人收益率。
+
+我们首先假设将劳动者划分为两个群体：一个群体接受了  $m$  年(此为平均值，下同)的高等教育，另一个群体并未接受高等教育，而是参加工作，且不存在失业。又假定一个接受过高等教育的学生在其接受  $m$  年的高等教育之后的工作年限为  $n$  年(此亦为平均值，下同)，于是该生在  $n$  年中的实际纯收人为  $Y_{4,1}$ ， $Y_{4,2}$ ，…， $Y_{4,n}$ ，并且其在接受高等教育的  $m$  年中没有任何收入，只是支出。假定其每年的支付分别为  $C_1$ ， $C_2$ ，…， $C_m$ ，设利率水平为  $r$ ，考虑到货币的时间价值，则
+
+该学生在  $m$  年的总支出为：
+
+$$
+V = \sum_ {t = 1} ^ {m} \frac {C _ {t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} \tag {2.13}
+$$
+
+该学生在这  $m + n$  年中实际纯收入的现金流量现值为：
+
+$$
+V _ {4} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - \sum_ {t = 1} ^ {m} \frac {C _ {t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - V \tag {2.14}
+$$
+
+而若该学生不接受高等教育，则由上述假设，他比接受高等教育的情况多工作  $m$  年（因为退休的年龄基本上与接受高等教育者是一样的），又他在这  $m + n$  年中的实际纯收入分别为  $Y_{3,1}$ ， $Y_{3,2}$ ，…， $Y_{3,m}$ ， $Y_{3,m+1}$ ，…， $Y_{3,m+n}$ ，则该学生在这  $m + n$  年中的实际纯收入的现金流量现值为：
+
+$$
+V _ {3} = \sum_ {t = 1} ^ {m + n} \frac {Y _ {3 , t}}{(1 + r _ {1}) ^ {t}}
+$$
+
+所以，高等教育的个人收益率为：
+
+$$
+R _ {1} = \frac {V _ {4} - V _ {3}}{V} \tag {2.15}
+$$
+
+由上面的分析可以知道，
+
+$$
+V _ {4} - V _ {3} = \sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - V - \sum_ {t = 1} ^ {m + n} \frac {Y _ {3 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} = \left(\sum_ {t = 1} ^ {n} \frac {Y _ {4 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}} - \sum_ {t = 1} ^ {m + n} \frac {Y _ {3 , t}}{\left(1 + r _ {1}\right) ^ {t}}\right) - V
+$$
+
+其中，  $\sum_{t = 1}^{n}\frac{Y_{4,t}}{(1 + r_1)^t} -\sum_{t = 1}^{m + n}\frac{Y_{3,t}}{(1 + r_1)^t} = Y_4,$ $V = c^{\prime \prime}$  ，所以
+
+(2.15)式可转化成
+
+$$
+R _ {1} = \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - c ^ {\prime \prime}}{c ^ {\prime \prime}} = \frac {2 3 5 5 4 7 . 3 6 - c ^ {\prime \prime}}{c ^ {\prime \prime}} \tag {2.16}
+$$
+
+# (2)建立社会收益率模型
+
+教育（或高等教育）投资的社会收益率，指一定时期内一个国家和地区由于教育（或高等教育）投资而获得的收益与教育（或高等教育）成本的比率，也可以表示为人均收益额与人均教育成本的比率。
+
+所以本文从以下两方面入手：教育（或高等教育）投资而获得的收益和教育（或高等教育）的成本。
+
+由于投资发生在现在而收益发生在未来，这种终生收益只能采取推算的办法。其具体步骤如下：
+
+# ①确定各级教育的劳动简化系数
+
+劳动简化系数，在教育投资收益率的测算总是指某一教育���度的劳动力与小学教育程度的劳动力（视为基数1）。
+
+所以，现在要确定各级教育的劳动简化系数  $K_{i}$  。本文认为学生的受教育程度越高，其劳动生产率也相应越高。若以第一级(如小学教育程度)劳动者的工资为基数，作为一个简单劳动单位，则可以按不同教育程度劳动者的工资比例逐级折算，得到简化系数。
+
+据联合国教科组织提供的研究成果，劳动生产率与劳动者文化程度呈高度的正相关关系。与文盲相比，小学毕业可提高劳动生产率  $43\%$  ，初中毕业可提高 $108\%$  ，大学毕业可提高  $300\%$  。
+
+由此推算，并以小学毕业为基数1，则各级教育程度的比例系数为：文盲 $K_{0} = 0.6993$ ，小学  $K_{1} = 1$ ，初中  $K_{2} = 1.4545$ ，高中  $K_{3} = 1.9029$ （按 $1.08 + (3 - 1.08) \times 3 / 7$  推算）， $K_{4} = 2.7972$ 。
+
+# (2)计算平均教育程度的劳动生产率
+
+本文构建了公式  $\frac{Y}{L} -\frac{Y}{KL}$  ，用以反映因教育而使每个劳动者多创造的GDP（因教育而提高的劳动生产率)。该公式中，  $\frac{Y}{L}$  是按实有劳动量计算的劳动生产率，其中既包含教育的影响，也包含教育之外的其他因素的影响；  $\frac{Y}{KL}$  是按简化劳动量计算的劳动生产率,应理解为只包含教育之外的其他因素的影响。二者的差额即应理解为是由于教育而使劳动生产率提高的部分，也即平均教育程度的劳动生产率。
+
+# (3)计算第  $i$  级教育程度劳动者比低一级教育劳动者年人均多创造的 GDP
+
+根据以上的定义可以知道：
+
+$$
+y _ {i} ^ {\prime} = \left(K _ {i} - K _ {i - 1}\right) \times \left(\frac {Y}{L} - \frac {Y}{K L}\right) \tag {2.17}
+$$
+
+所以，大学教育程度劳动者比高中教育程度劳动者年人均多创造GDP：
+
+$$
+y _ {4} ^ {\prime} = (2. 7 9 7 2 - 1. 9 0 2 9) \times \left(\frac {Y}{L} - \frac {Y}{K L}\right) = 0. 8 9 4 3 \times \left(\frac {Y}{L} - \frac {Y}{K L}\right) \tag {2.18}
+$$
+
+# ④测算各级教育程度劳动人均终生多创造GDP
+
+我们以各级教育劳动者由于受教育而多创造的劳动生产率表示教育收益，这其中涉及到教育所提高的劳动生产率  $\left(\frac{Y}{L} -\frac{Y}{KL}\right)$  随时间而增长的问题。因此，在测算各级教育程度劳动者人均终生多创造的GDP时，应当考虑到教育劳动生产率的增长率。若以  $a$  代表教育劳动生产率增长率，根据相关文献知道  $a \leq 5\%$  ，不妨设定  $a = 4\%$  ，以  $Y_{i}$  表示劳动者由于受教育人均终生多创造的GDP。所以，接受大学程度教育的劳动者的比接受高中程度教育的劳动者终生多创造的GDP：
+
+$$
+Y _ {4} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} y _ {4, t} ^ {\prime} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} y _ {4, 0} ^ {\prime} (1 + a) ^ {t} = y _ {4, 0} ^ {\prime} \times \sum_ {t = 1} ^ {3 4} (1 + a) ^ {t} = y _ {4} ^ {\prime} \times \sum_ {t = 1} ^ {3 4} (1 + a) ^ {t}
+$$
+
+同时收益却产生在劳动者一生的工作时间内，这就必然产生资本的时间价值问题，因此，应采用“贴现”的方法将收益的未来值转变为现值。即根据：
+
+复利终值(目前货币的未来值) = 现值  $\times (1 + \text{利率})^t$
+
+从而：
+
+货币未来值未来货币的现值  $= \frac{\text{货币未来值}}{(1 + \text{利率})^t}$
+
+若以  $r$  代表利率, 则上述公式应为:
+
+$$
+Y _ {4} ^ {\prime} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} \frac {y _ {4 , t} ^ {\prime}}{(1 + r) ^ {t}} = \sum_ {t = 1} ^ {3 4} \frac {y _ {4 , 0} ^ {\prime} (1 + a) ^ {t}}{(1 + r) ^ {t}} = y _ {4} ^ {\prime} \times \sum_ {t = 1} ^ {3 4} \left(\frac {1 + a}{1 + r}\right) ^ {t}
+$$
+
+教育成本计算：
+
+教育成本的定义：教育总成本(以  $C$  表示)包括国家(社会)支付的教育经费（以  $c^{\prime}$  表示）、受教育期间个人或家庭支付的学杂费和生活费额外支出（  $c^{\prime \prime}$  表示），以及由于就学所放弃的收入(通常称为机会成本，以  $c^{\prime \prime \prime}$  表示)。
+
+其中  $c^{\prime} = \sum_{t = 1}^{t}\frac{c_{t}^{\prime}}{(1 + r)^{5 - t}}$  ，  $c'' = \sum_{t = 1}^{t}\frac{c_{t}^{\prime\prime}}{(1 + r)^{5 - t}}$  ，  $c^{\prime \prime} = \sum_{t = 1}^{t}\frac{c_{t}^{\prime\prime}}{(1 + r)^{5 - t}}$
+
+所以有每个学生教育总成本：
+
+$$
+C = c ^ {\prime} + c ^ {n} + c ^ {m}
+$$
+
+即大学教育社会收益率：
+
+$$
+R _ {2} = \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - C}{C} \tag {2.19}
+$$
+
+⑤模型参数估计
+
+# 国家（社会）支付的生均高等教育经费测算
+
+根据《中国统计年鉴》计算得到，2002、2003、2004和2006年期间，扣除学杂费后大学生均教育经费支出分别为15119.56元、14962.77元、14928.92元和15332.8元。
+
+从而得到  $2002 \sim 2006$  年期间生均教育经费支出合计为：
+
+$$
+c ^ {\prime} = \frac {1 5 1 1 9 . 5 6}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {4}} + \frac {1 4 9 6 2 . 7 7}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {3}} + \frac {1 4 9 2 8 . 9 2}{(1 + 0 . 0 2 2 5) ^ {2}} + \frac {1 5 3 3 2 . 8}{1 . 0 2 5 2} = 5 7 2 3 3. 4 3
+$$
+
+# 受高等教育期间个人或家庭支付的学杂费和生活费额外支出测算
+
+由于大学生在大学就读期间只是支出，设其  $t$  年的支付分别为  $c_{t}^{*}$ ，其中  $c_{t}^{*}$  包括学生的学杂费和生活费额外支出，设利率水平为  $r$ ，考虑到货币的时间价值， $f_{t}$  表示  $t$  年所交的学费，同时我们选取了如下一些数据：2002~2006 年期间大学生在大学期间的追加的生活费，分别为：6029.88 元、6510.94 元、7182.1 元和 8606.55 元，则该学生在就读大学的 4 年中的总支出为：
+
+$$
+c ^ {"} = \frac {f _ {1} + 6 0 2 9 . 8 8}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {4}} + \frac {f _ {2} + 6 5 1 0 . 9 4}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {3}} + \frac {f _ {3} + 7 1 8 2 . 1}{(1 + 0 . 0 2 2 5) ^ {2}} + \frac {f _ {4} + 8 6 0 6 . 5 5}{1 + 0 . 0 2 5 2}
+$$
+
+# 由于就学而少为社会所作的贡献（机会成本）测算
+
+为了和教育收益相对应,本文所指大学教育的机会成本,以由于接受大学教育失去工作机会人均少为社会创造的价值来加以反映,相当于受高中教育的劳动者4年所创造的人均GDP之和。由于接受高中教育的劳动者的年均收创造的GDP为14209元，按照以上的计算方法求得：
+
+$$
+c ^ {m} = \frac {1 4 2 0 9}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {4}} + \frac {1 4 2 0 9}{(1 + 0 . 0 1 9 8) ^ {3}} + \frac {1 4 2 0 9}{(1 + 0 . 0 2 2 5) ^ {2}} + \frac {1 4 2 0 9}{1 + 0 . 0 2 5 2} = 5 3 9 8 5. 6 8
+$$
+
+假设利率不变，并设定  $r = 2.52\%$
+
+求得  $Y_4' = 235547.36$
+
+$$
+\text {所 以 ，} R _ {2} = \frac {1 2 4 3 2 8 . 2 5 - c ^ {\prime \prime}}{1 1 1 2 1 9 . 1 1 + c ^ {\prime \prime}}
+$$
+
+# 5.2.3学费标准的综合满意度
+
+因为近期满意度和远期满意度已达到统一的标准，即类型和量纲都一致，又因为两者间相互独立，故可直接通过线性加权综合：
+
+$$
+E = \frac {1}{2} S + \frac {1}{2} L \tag {2.20}
+$$
+
+![](images/0a72c23625701a1bb0e9008c35b4ab93d1855718f46110924be8ed709a91ecd9.jpg)  
+图9学费评价系统
+
+# 5.2.4 用模型 II 对模型 I 进行评价
+
+通过用java编程（程序见附录2)，用评价模型对由模型I得到近几年的一本学校理工类专业，文科类专业，艺术类专业的学费进行评价有：
+
+表 3 学费评价得分表  
+
+<table><tr><td></td><td>理工类专业</td><td>文科类专业</td><td>艺术类专业</td></tr><tr><td>综合满意度（年平均值）</td><td>0.58</td><td>0.52</td><td>0.64</td></tr></table>
+
+由上表可以知道，模型I的学费标准普遍满意度不高，说明该学费标准不够合理。
+
+# 5.3 模型III——学费寻优模型的建立与求解
+
+为了实现对最佳学费标准的求解，我们建立了多目标规划模型。
+
+一个最佳的学费标准应该是既能顾及学生、学校、政府的利益，又能考虑到近期的利益和远期的利益。于是我们主要考虑以下几个因素：
+
+目标一：学生近期利益最大
+
+目标二：学校近期利益最大
+
+目标三：政府近期利益最大
+
+目标四：个人远期收益率最大
+
+目标五：社会远期收益率最大
+
+# 5.3.1 目标分析
+
+# (1)目标一：学生近期利益最大
+
+在学生交学费上大学这件事情上，可以把学生作为消费者，那么消费者在对商品的价格进行考虑时，往往并不是只考虑价格的大小，而会综合考虑商品的质
+
+量和价格，即所谓的“性价比”，于是我们认为“性价比”这一指标能够衡量学生近期的利益大小，由前面的5.2.1中(1)的研究有“性价比”的量化式为：
+
+$$
+p _ {2} = \frac {Q}{f ^ {\prime}} \tag {3.1}
+$$
+
+# (2)目标二：学校近期利益最大
+
+学校在考虑学费的制定这个问题的时候，因为我国高校招生人数基本上是政策决定而不是依据市场经济规律调节，所以作为校方从近期利益考虑总会希望学费定得越高，那么进行学校运作和发展的资金就越足，所以用学校所能得到的总学费作为学校近期利益的体现，由前面的5.2.1中(2)的关于总学费的研究有：
+
+$$
+f _ {\text {总}} = f \cdot N \tag {3.2}
+$$
+
+# (3)目标三：社会近期利益最大
+
+政府每年都要向高校拨款支持教育事业的发展，从政府的近期利益考虑，政府并不希望需要承担过多的教育经费，也就是希望学生承担多一些教育经费，这样就可以把更多的钱投入到再生产等其他方面的发展，我们可以用政府对一间学校总拨款额  $A_{\text{总}}$  占该学校一年教育经费  $F$  的比例  $p_{3}$  来衡量，通过  $p_{3}^{\prime} = 1 - p_{3}$  将  $p_{3}$  化成极大型指标，由前面的5.2.1中(3)的研究有：
+
+$$
+p _ {3} ^ {\prime} = 1 - \frac {A \cdot N}{F} \tag {3.3}
+$$
+
+# (4)目标四：个人远期收益率最大
+
+学生交学费上学，可以看作是一种投资行为，投资行为讲求收益率，而且这种收益不会在近期体现，而是会在远期体现。而事实上不同类别的学校的学生，不同专业的学生出到社会后的工资待遇等都会存在差异，而且明显。于是不同类别，不同专业间的学生就有着不同的收益率，学生当然希望自身的收益率能够达到最大化，由前面的5.2.2中(1)的关于个人收益率的研究有：
+
+$$
+R _ {1} = \frac {V _ {4} - V _ {3}}{V} \tag {3.4}
+$$
+
+# (5)目标五：社会远期收益率最大
+
+高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，所以国家也会参与高等教育事业的投资，作为政府一方，是希望这种社会远期收益率最大化的，由前面的5.2.2中(2)的关于社会收益率的研究有：
+
+$$
+R _ {2} = \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - C}{C} \tag {3.5}
+$$
+
+# 5.3.2 约束分析
+
+# (1)学生支付能力约束
+
+所谓学生支付能力，就是指学生交学费的能力，我们认为该能力与该学生的家庭纯收入，国家生均拨款，还有学生获得的奖学金有关，于是得到如下约束：
+
+$$
+f \leq W + A + J
+$$
+
+说明:  $W$  为学生的家庭年纯收入,  $A$  为国家生均拨款,  $J$  为奖学金。
+
+# (2)学校教育经费需求约束
+
+学校教育经费的来源主要有政府财政拨款，学校自筹，社会捐赠，事业收入
+
+（包括学费收入部分和非学费收入部分）。
+
+政府财政拨款可以认为是5.2.1的(3)中定义的  $A_{\text{总}} = A \cdot N$  ，定义学校自筹费用为  $Z_{1}$ ，社会捐赠费用为  $Z_{2}$ ，事业收入的非学费收入部分为  $Z_{3}$ ，学费收入为  $f_{\text{总}} = f \cdot N$  ，则有如下约束：
+
+$$
+A \cdot N + Z _ {1} + Z _ {2} + Z _ {3} + f \cdot N \geq F
+$$
+
+说明： $F$  为高校一年的教育经费。
+
+# 5.3.3 模型III建立
+
+$$
+\begin{array}{l} \max  \frac {Q}{f ^ {\prime}} \\ \max  f \cdot N \\ \max  \quad 1 - \frac {A \cdot N}{F} \\ \max  \frac {V _ {4} - V _ {3}}{V} \tag {3.6} \\ \max  \frac {Y _ {4} ^ {\prime} - C}{C} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} f \leq W + A + J \\ A \cdot N + Z _ {1} + Z _ {2} + Z _ {3} + f \cdot N \geq F \\ f \geq 0 \end{array} \right. \\ \end{array}
+$$
+
+# 5.3.4 模型III的求解
+
+在对综合目标的求解上，我们首先将该多目标规划转换成单目标规划，将五个目标统一标准化后进行线性加权，权值的确定参考前面评价模型的确定方法，则转化后的模型为：
+
+$$
+\begin{array}{l} \max  \frac {1}{6} p _ {2} ^ {\prime} + \frac {1}{6} f _ {\text {总}} ^ {\prime} + \frac {1}{6} p _ {3} ^ {\prime} + \frac {1}{4} R _ {1} + \frac {1}{4} R _ {2} \\ s. t. \left\{ \begin{array}{l} f \leq W + A + J \\ A \cdot N + Z _ {1} + Z _ {2} + Z _ {3} + f \cdot N \geq F \\ f \geq 0 \end{array} \right. \tag {3.7} \\ \end{array}
+$$
+
+为了求解该规划模型，我们采用了模拟退火算法对最优解进行搜索。
+
+模拟退火算法思想：模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。用固体退火模拟优化问题，将内能模拟为目标函数值，温度演化成控制参数，即得到解优化问题的模拟退火算法：由初始解和控制参数初值开始，对当前解重复“产生新解  $\rightarrow$  计算目标函数差  $\rightarrow$  接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减温度值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值  $T_{0}$  、当前的控制参数  $T_{\text {em }}$  及其衰减因子  $\Delta T$  、每个  $T_{\text {em }}$  值
+
+时的最大迭代次数ML和停止条件Stop。
+
+模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
+
+(1) 初始化: 初始温度  $T_{0}$  (充分大), 初始解状态  $S^{\prime}$  (是算法迭代的起点), 每个  $T_{\text {em}}$  值的最大迭代次数  $ML$ ;  
+(2)对  $k = 1,\dots ,L$  做第(3)至第6步：  
+(3)产生新解  $S^{\prime \prime}$  
+(4) 计算增量  $df = f(S^{\prime \prime}) - f(S^{\prime})$ ，其中  $df$  为评价函数；  
+(5) 若  $df < 0$  则接受  $S^{*}$  作为新的当前解，否则以概率  $\exp(-df / Tem)$  接受  $S^{*}$  作为新的当前解；  
+(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序（终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法）；  
+(7) Tem 逐渐减少, 且  $T_{\text{em}} \rightarrow 0$ , 然后转第 2 步。
+
+控制参数的确定：
+
+$T_{0}$  ：初始温度，应该比较大，为了所求的解更加接近最优解，本文中令初始温度  $T_{0} = 20000$ ；
+
+Tem：温度变化量；
+
+$\Delta T$  : ���减因子, 为了计算的方便本文中令  $\Delta T = 1$ ;
+
+$ML$  ：每个  $T$  值时的最大迭代次数，令  $ML = 100$
+
+$N L$  ：每个  $T$  值时的迭代次数；
+
+Stop: 迭代停止的条件, 本文中当  $N L \geq M L$  和  $T \leq 0$  时令程序迭代停止;
+
+$f(x)$  ：目标函数为对以上多目标规划进行处理后的单目标规划；
+
+$df$  ：相邻的两个解对应的目标函数的差；
+
+由于本问题在求解的过程中的目标之差  $df$  绝对值的范围  $(0,1)$ , 相对于温度变化量是非常小, 这样会使得每一次对不符合的解的否定几乎是零, 所以本文中设计的接受不符合解的概率为  $e^{\frac{-df \times T_0}{T}}$  。
+
+同时，本规划问题是有约束条件的规划问题，所以在每一次产生新解的时候都对新解进行判断，如果满足约束条件就进行模拟，否则就重新选择进行选择新解。
+
+![](images/6f560d8836a68700f65916a50c2959e473b74b896cf05df22eb472acceaddded.jpg)  
+图10 模拟退火算法流程图
+
+我们用与模型 I 相同的一本学校理工类专业的相关数据（由于其他数据较难找，这里只用这一种情况进行对比），用 java 编程求解最优学费（具体程序见附录 3），有：
+
+表 4 学费寻优模型求解结果列表 (单位：元)  
+
+<table><tr><td>学生最满意学费值</td><td>4512.9</td></tr><tr><td>学校最满意学费值</td><td>5684.8</td></tr><tr><td>政府最满意学费值</td><td>5723.5</td></tr><tr><td>近期最满意学费值</td><td>5529.4</td></tr><tr><td>远期最满意学费值</td><td>4915.4</td></tr><tr><td>综合最满意学费值</td><td>5015.2</td></tr></table>
+
+与前面的模型 I 进行比较有:
+
+表 5 模型 I 与模型 III 的满意度对比表  
+
+<table><tr><td></td><td>模型Ⅰ</td><td>模型Ⅲ</td></tr><tr><td>通过模型Ⅱ计算的满意度（年平均值）</td><td>0.58</td><td>0.86</td></tr></table>
+
+由上表可见模型 III 得到的学费的满意度更高，也在一定程度上验证了模型 III 的有效性。
+
+![](images/709599e743391e570196bfed6d771155a2865268fe2b4c2e16e1a842e326988d.jpg)  
+图11学费寻优系统
+
+# 5.4 模型 IV——学费控制模型的建立与求解
+
+为了让有关部门能够更方便的对最优学费进行控制，我们利用前面多目标规划的灵敏度分析的结果来建立最优学费的控制模型。
+
+# (1)控制目标
+
+我们这里把最优学费的值  $f$  作为控制模型的控制目标。
+
+# (2)控制变量
+
+由于影响最优学费的因素有很多，我们这里选择了几个主要的因素而且是可控制的因素作为有关部门的控制手段。
+
+我们选择了控制高校事业收入的非学费收入，控制教育经费，控制国家拨款，控制学生人数四个方法来作为控制学费的手段。
+
+那么在我们所建立的控制模型中定义了如下控制变量：
+
+$\Delta Z_{3}$  ：高校事业收入的非学费收入的改变量；
+
+$\Delta F$  : 高校一年教育经费的改变量;
+
+$\Delta A$  :国家生均拨款的改变量;
+
+$\Delta N$  :高校一年校均招生人数的改变量。
+
+# (3)控制模型
+
+根据控制目标及控制变量的设定，我们建立了如下学费控制模型：
+
+$$
+\left\{ \begin{array}{l} f = f ^ {*} + \Delta f \\ \Delta f = l _ {1} \cdot \rho_ {1} \cdot \frac {\Delta Z _ {3}}{1 0 ^ {4}} + l _ {2} \cdot \rho_ {2} \cdot \frac {\Delta F}{1 0 ^ {5}} + l _ {3} \cdot \rho_ {3} \cdot \frac {\Delta A}{1 0 ^ {3}} + l _ {4} \cdot \rho_ {4} \cdot \frac {\Delta N}{1 0 ^ {2}} \\ \sum_ {i = 1} ^ {4} l _ {i} \leq 1 \\ l _ {i} \in \{0, 1 \} \end{array} \right. \tag {4.1}
+$$
+
+模型说明：
+
+(1)  $f^{*}$  表示原来的最优学费值, 即控制前的最优学费值;  
+(2)  $\Delta f$  表示控制后最优学费值的改变量;  
+③  $\rho_{1}$  表示在改变高校事业收入的非学费收入而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 高校事业收入的非学费收入每增加 10000 元, 最优学费值  $f$  的改变量;  $\rho_{2}$  表示在改变高校一年教育经费而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 高校一年教育经费每增加 100000 元, 最优学费值  $f$  的改变量;  $\rho_{3}$  表示在改变国家生均补助而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 国家生均补助每增加 1000 元, 最优学费值  $f$  的改变量;  $\rho_{4}$  表示在改变高校一年校均招生人数而其他影响最优学费的因素不改变的情况下, 高校一年校均招生人数每增加 100 人, 最优学费值  $f$  的改变量;  
+(4)  $l_{i}$  是一个 0-1 变量, 当取值为 0 时, 表示不改变第  $i$  个影响因素的取值, 即不改变第  $i$  个控制变量; 当取值为 1 时, 表示改变第  $i$  个影响因素的取值, 即改变第  $i$  个控制变量。但由于  $\rho_{1} 、 \rho_{2} 、 \rho_{3} 、 \rho_{4}$  参数的估计方法都是采用固定其他影响因素不变只改变某个影响因素来就得, 并且模型 III 不属于一般的线性方程模型, 所以当同时改变多个影响因素时, 通过将各个影响因素分别对最优学费值的影响直接相加来求得多个影响因素共同作用时对最优学费值的影响显然是不可
+
+行的, 所以我们的控制模型设计成每次控制的时候只能改变某个因素, 而不能同时改变多个因素, 所以就有了  $\sum_{i=1}^{4} l_{i} \leq 1$  约束。
+
+# (4)控制模型的参数估计
+
+我们通过模型 III 的灵敏度分析对模型中  $\rho_{1} 、 \rho_{2} 、 \rho_{3} 、 \rho_{4}$  进行估计，估计结果：
+
+$$
+\rho_ {1} = - 8. 3 3, \rho_ {2} = 1 0. 7 3, \rho_ {3} = - 5 3. 6 2, \rho = - 2 6. 4 8
+$$
+
+# (5)学费控制系统的建立
+
+结合以上的学费控制模型和之前的学费寻优模型建立学费控制系统：
+
+![](images/d13470016c51b71bbaca1c522d4098ddc92aca67637feaa249f2d00c958cb094.jpg)  
+图12学费控制系统
+
+# 6. 模型的讨论、灵敏度分析与误差分析
+
+# 6.1 模型的讨论
+
+# (1)模型一
+
+模型一的建立的基础是对已有的数据的分析，例如通过对比不同高校中生均实际学费和生均事业性经费的支出之间的比例，可以看出国家对不同级别的普通高等学校之间的资源的分配是存在着差异，其中一本普通高校的生均教育经费支出和生均事业性经费支出是二本普通高校生均教育经费支出和生均事业性经费支出的近两倍。
+
+在对数据分析的基础之上，针对不同的级别的普通高等学校差异，建立起不同的多元回归模型。同时为了考虑不同的专业之间学费的差异，分析出不同的专业的学费主要就是常数项的不同，建立了不同类型学校不同专业的学费模型。
+
+该模型的建立是为了探讨现有的学费的收费标准，反映了真实的情况，但是其主要是决策者制定的，其考虑的主要方面是决策者的利益，没有过多的考虑学生的利益，从现有的学费过高的情况可以说明这一现实。
+
+# (2)模型二
+
+为了说明现有的学费标准的好坏，需要对学费的标准进行评价，本文从学生近期满意度、学校近期满意度、政府近期满意度、个人收益率和社会收益率五个不同的目标进行加权，建立起学费评价模型。其中为了对一些目标进行量化处理，
+
+本文中建立了高校教学质量模型、个人收益率模型和社会收益率模型。根据模型求解可以知道现有的收费标准并不十分合理。
+
+# (3)模型三
+
+在模型二分析的基础上，本文中建立起多目标规划模型，该模型总和考虑了多方的利益。求解的过程中，为了求解方便对多目标进行归一化的处理，并利用模拟退火算法求解模型的最优解。
+
+# (4)模型四
+
+为了进一步完善问题的解决，本文提出了控制模型，即是给决策者一个控制学费增长的途径，即：可以通过选择控制高校事业收入的非学费收入，控制教育经费，控制国家拨款，控制学生人数四个方法来作为控制学费的手段。
+
+# 6.2灵敏度分析
+
+# (1)模型一
+
+根据已知的数据，对模型的参数进行估计，由  $F$  值小于0.0001，可以知道该模型是有效的。同时模型求解得：
+
+$$
+T 1 = 7 4 5 4. 0 6 5 4 0 + 0. 2 2 4 6 1 \times E 1 - 7 3. 6 5 1 3 2 \times B 1 - 7 7. 4 9 0 8 8 \times N 1
+$$
+
+由上式可知：在其它自变量不变的情况下。一本普通高等学校生均事业性经费支出每增加1000元．生均实际学费平均提高224.61元；预算内事业性经费拨款占教育经费收入的比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低73.65132元；事业收入中非学费收入所占比重每提高1个百分点．生均实际学费平均降低77.49088元。
+
+# (2)模型三
+
+在模拟退火算法的实现中，通过改变决策因素中的某一个的值，而不改变其他的值的大小，通过多次进行求解，最后将所得到的结果进行平均得到该因素对学费的贡献系数。得到：在改变高校事业收入的非学费收入而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，高校事业收入的非学费收入每增加10000元，最优学费值  $f$  的改变量为-8.33；在改变高校一年教育经费而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，高校一年教育经费每增加100000元，最优学费值  $f$  的改变量为10.73；在改变国家生均补助而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，国家生均补助每增加1000元，最优学费值  $f$  的改变量-53.62；在改变高校一年校均招生人数而其他影响最优学费的因素不改变的情况下，高校一年校均招生人数每增加100人，最优学费值  $f$  的改变量-26.48。
+
+从以上的分析可以知道，该模型得到的结果是稳定的。
+
+# 6.3 误差分析
+
+# 模型三：
+
+本模型的求解是采用一种有效的求解算法—模拟退火，该算法是一种基于蒙特卡罗���代求解法的一种启发式随机搜索过程，所以利用该算法所求得的解是一个有效的解，而不是一个精确的解。在本模型中，利用该算法所求得的解是有效的，具有实际的意义。
+
+# 7. 模型的评价、改进与推广
+
+# 7.1 模型的评价
+
+# (1)模型的优点
+
+①模型建立的合理性，模型的建立是在对收集的数据进行充分的挖掘的基础之上的，通过数据之间的关系提炼出各个变量之间的关系，建立起模型；  
+②对一些未量化的指标建立模型，进行合理的量化，例如对教学质量的量化建立高校教学质量模型、对个人收益率建立个人收益率模型和对社会收益率建立起社会收益模型；  
+(3)采用动态加权的加权方法对各短期目标进行动态加权, 使得虽然难以让三者都非常满意, 但却可以让三者都不会出现不满意的情况;  
+④模型的建立是按照问题的解决的思路进行的，首先分析和发现现有规律，然后对现有的规律进行评价，其次根据评价标准建立新模型，最后建立控制模型供决策者决策，层次渐进易于理解；
+
+# (2)模型的缺点
+
+①为了简化模型的求解，本文中将大学生毕业工作后银行储存利率和教育劳动生产率的增长率设定为不变，可能对模型的求解带来一定的误差；  
+(2)本文中并没有过多的考虑了模型中的数据中不是很重要的因素;
+
+# 7.2 模型的改进
+
+①针对缺点一，可以通过参照更多的不同年份的数据进行求解，同时也可以参考一些比较权威的资料对未来的银行储存利率和教育劳动生产率的增长率进行估计，然后进行求解；  
+②针对缺点二，可以系统地分析了目前学费过高的问题，从影响学费的原因上着手，建立评价模型找出问题所在，以多目标规划寻优并给出有效的控制模型。但除了减轻学生的的学费负担这方面，其实我们还可以从增加学生的支付能力这方面考虑：学生遇到上高校的资金困难时，可以有多种途径来解决，包括绿色通道、特困生补助、奖学金、学费减免、勤工助学、贷款和其他手段，这些资助手段的提供主体为政府、高校、社会及个人。虽然这些奖助对于高额的学费无疑杯水车薪，而且选拔严格人数较少，但若能加大这方面的力度，让社会和政府的资金能更多的落到需要帮忙的群体上，那无疑变相降低了学费，平衡了各方压力，以此建立模型可以进一步优化原有的寻优与控制模型；  
+③本文提出了关于政府、学校与学生三方的满意度，表示三方对学费问题的矛盾对立的关系。但其实在教育经费的调配之外，还有方法是可以同时增加三者满意度，那就是解决高校系统的资金利用率问题。分析数据，教育系统的经费逐年增加，而事业经费比重却持续下降，可以得出结论是政府在高教系统上的投入很高，即成本很高，但依然不能满足高校的实际支出，扩招是一个方面，但问题不仅在人数的增加上。再分析高校对于资金的利用情况，发现如人员使用效率、
+
+生均图书册书这类重要的指标，在一本和二本之间，在好的学校和不好的学校之间，区别非常明显，人员使用效率的差异从1：120的优秀水平到1：60的人员空闲状态都有。提高教育系统的资金利用率、增大投入-产出比，已经成为学费居高不下的另一条解决出路！如果能从这方面考虑建模，寻找资金利用率的最优化，或许能更完美的解决现在的学费问题；；
+
+# 7.3 模型的推广
+
+可以用于一般费用的制定及控制的问题。
+
+# 8. 写给有关部门的报告
+
+根据之前建立的学费规律、评价、寻优和控制模型，结合现在高等院校的实际情况，提出以下建议：
+
+1.关于学费的制定。对于一所成熟的普通高等院校，生均实际学费占事业性经费高达  $40\%$  是非常不合理的，对比国外平均  $20\%$  的水平，我国生均实际学费的收取太高了，而学费的过高是由于对成本的核算过高，说明我国对于学费的控制和制定存在很大的改进空间，需要进一步加强对我国普通高校学费的管理。如高校应利用数学建模的方法对教育事业成本进行细致的评估，为科学的制定高校学费标准奠定基础；而在制定学费的考量中，应权衡好政府、学校和学生三方面的利益，兼顾短期的还有长期的利益，还要考虑不同地区的经济发展水平和居民收入的高低。得到制定学费的方案后应加强落实对我国高校经费支出的监控，并提高高校经费的使用效率。  
+2.关于高等院校规模的快速增长。从1999年开始,高等院校的连年扩招,从2000~2006年的在校学生数年平均增长速度达到  $15.2\%$  ,增长率在2002年达到最高峰  $20.1\%$  ，这两年有所回落，2005~2006年的增长率已回到  $11.4\%$  的水平。而随着学生人数的快速增长，国家财政拨款却没有以同样的速率增加，导致学生的负担越来越大。因此，适当的控制普通高校的增长速度,能有效的渐缓学费的增加速度,减低学生家庭的负担。  
+3. 关于政府事业性经费拨款的提高。由之前的分析得知政府事业性经费拨款的增加速度跟不上事业经费支出的增长速度，因而导致学费的过高。所以要增加普通高校预算内的事业性经费拨款占教育经费收入的比重，减轻学费的增加压力。而加大拨款的同时，还要注意加强监督、深化行政改革和精简机构、加强投资风险分析，使之提高资金的利用率，增大教育事业的投入-产出比。  
+4.关于加大科研力度。结合学费控制模型的结果，我们发现高校还能通过加大科研能力来促进发展。科研能力和科技成果转化水平是高校促进社会经济发展、提高社会劳动生产率的重要标志，能提高普通高校校办产业、勤工俭学和社会服务收入，虽然现在这部分资金对教育经费的提升不大，但如果加大投入使之占教育经费的比例提高，也能有效减缓学费的超速增长,同时这也是高等教育迅速发展的有力保证。  
+5. 关于教育经费的配置要科学合理。现在的教育经费一般用于三个方面，一是人员经费，二是公用经费，三是专用经费，最近几年，人员经费所占比重增幅越来越大。比如，教职工工资的增加，由于物价上涨发放各类补贴的增多，以
+
+及学校方方面面雇用临时工人数的增多，这样，发展的结果，人头费比重日益增高，还有就是各种专用经费的无限量使用。比如，这几年，学校医疗费的严重超支，有的高校通常情况下是一年十几万、几十万元，有的累计超支竟达到了几百万元，碰到一个突发的危重病人，一人年就需要上万元、几万、十几万元，以致学校能用于发展教育的有限补充经费，严重地被挤占，使本来就紧张的高教经费更加紧张。
+
+# 参考文献
+
+[1]韩中庚，数学建模竞赛，北京：科学出版社，2007；  
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+[5]谷宏伟，教育致贫及其后果-转轨时期中国低收入家庭的教育困境.东北财经大学博士论文，P36-P102,2007;  
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+[10]BAZYKINAD, Nonlinear dynamics of interacting populations [M], Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1998.
+
+# 附录
+
+# 1. 模型分析及求解中用到的部分数据：
+
+表1  
+
+<table><tr><td colspan="2">一本普通高等学校</td><td colspan="2">二本普通高等学校</td></tr><tr><td>地区</td><td>生均实际学费(元)</td><td>地区</td><td>生均实际学费</td></tr><tr><td>北京</td><td>5846.705661</td><td>北京</td><td>5272.585592</td></tr><tr><td>天津</td><td>3869.184692</td><td>天津</td><td>4826.41108</td></tr><tr><td>河北</td><td>5663.819234</td><td>河北</td><td>5734.218747</td></tr><tr><td>辽宁</td><td>5419.302827</td><td>山西</td><td>6673.873255</td></tr><tr><td>吉林</td><td>3692.777916</td><td>内蒙古</td><td>3431.821602</td></tr><tr><td>黑龙江</td><td>4592.744294</td><td>辽宁</td><td>6132.827433</td></tr><tr><td>上海</td><td>8175.100876</td><td>吉林</td><td>4581.904845</td></tr><tr><td>江苏</td><td>4344.635054</td><td>黑龙江</td><td>6010.14146</td></tr><tr><td>浙江</td><td>6459.207306</td><td>上海</td><td>7170.887545</td></tr><tr><td>安徽</td><td>4806.842747</td><td>江苏</td><td>4121.119648</td></tr><tr><td>福建</td><td>3467.762322</td><td>浙江</td><td>7649.529579</td></tr><tr><td>山东</td><td>3644.97313</td><td>安徽</td><td>4130.412231</td></tr><tr><td>湖北</td><td>6383.027541</td><td>福建</td><td>5413.084978</td></tr><tr><td>湖南</td><td>4597.84744</td><td>江西</td><td>5079.627448</td></tr><tr><td>广东</td><td>8730.664648</td><td>山东</td><td>4698.474195</td></tr><tr><td>重庆</td><td>6283.58682</td><td>河南</td><td>4527.699943</td></tr><tr><td>四川</td><td>4603.296779</td><td>湖北</td><td>4731.62131</td></tr><tr><td>陕西</td><td>4674.665357</td><td>湖南</td><td>4385.601409</td></tr><tr><td>甘肃</td><td>4628.847957</td><td>广东</td><td>6456.004129</td></tr><tr><td>宁夏</td><td>3987.695978</td><td>广西</td><td>4073.114929</td></tr><tr><td>北京</td><td>5846.705661</td><td>海南</td><td>5216.919548</td></tr><tr><td>天津</td><td>3869.184692</td><td>重庆</td><td>4462.421428</td></tr><tr><td>河北</td><td>5663.819234</td><td>四川</td><td>4222.518311</td></tr><tr><td>辽宁</td><td>5419.302827</td><td>贵州</td><td>3640.389538</td></tr><tr><td>吉林</td><td>3692.777916</td><td>云南</td><td>4592.36736</td></tr><tr><td>黑龙江</td><td>4592.744294</td><td>西藏</td><td>3474.660779</td></tr><tr><td>上海</td><td>8175.100876</td><td>陕西</td><td>5013.113491</td></tr><tr><td></td><td></td><td>甘肃</td><td>3436.972172</td></tr><tr><td></td><td></td><td>青海</td><td>3337.685058</td></tr><tr><td></td><td></td><td>宁夏</td><td>3623.952959</td></tr><tr><td></td><td></td><td>新疆</td><td>3616.910939</td></tr></table>
+
+表 2 分地区一本普通高等学校教育经费分析表  
+
+<table><tr><td>地区</td><td>生均实际学费</td><td>生均事业性经费支出</td><td>预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比</td><td>事业收入中非学费收入所占百分比</td></tr><tr><td>北京</td><td>5846.705661</td><td>31523.26</td><td>50.57773768</td><td>58.98081</td></tr><tr><td>天 津</td><td>3869.184692</td><td>18170.61</td><td>46.8390009</td><td>52.00136</td></tr><tr><td>河 北</td><td>5663.819234</td><td>10605.29</td><td>44.71100343</td><td>10.33385</td></tr><tr><td>辽 宁</td><td>5419.302827</td><td>19242.81</td><td>43.63809624</td><td>46.00014</td></tr><tr><td>吉 林</td><td>3692.777916</td><td>19405.21</td><td>59.19695352</td><td>45.10985</td></tr><tr><td>黑 龙 江</td><td>4592.744294</td><td>26276.19</td><td>27.32194702</td><td>64.85454</td></tr><tr><td>上 海</td><td>8175.100876</td><td>28302.18</td><td>50.70643176</td><td>37.40617</td></tr><tr><td>江 苏</td><td>4344.635054</td><td>22600.82</td><td>45.66974674</td><td>58.09054</td></tr><tr><td>浙 江</td><td>6459.207306</td><td>37959.5</td><td>72.41947302</td><td>61.77723</td></tr><tr><td>安 徽</td><td>4806.842747</td><td>28976.5</td><td>68.10288745</td><td>43.48084</td></tr><tr><td>福 建</td><td>3467.762322</td><td>19579.92</td><td>58.34208387</td><td>58.0095</td></tr><tr><td>山 东</td><td>3644.97313</td><td>20516.99</td><td>49.46214166</td><td>60.17014</td></tr><tr><td>湖 北</td><td>6383.027541</td><td>18897.62</td><td>46.28926558</td><td>32.11491</td></tr><tr><td>湖 南</td><td>4597.84744</td><td>18140.81</td><td>53.58950368</td><td>46.1328</td></tr><tr><td>广 东</td><td>8730.664648</td><td>26816.56</td><td>42.38488867</td><td>25.53498</td></tr><tr><td>重 庆</td><td>6283.58682</td><td>16892.91</td><td>47.93786506</td><td>29.94247</td></tr><tr><td>四 川</td><td>4603.296779</td><td>18494.07</td><td>43.50074332</td><td>57.93205</td></tr><tr><td>陕 西</td><td>4674.665357</td><td>20629.83</td><td>55.80101527</td><td>39.78141</td></tr><tr><td>甘 肃</td><td>4628.847957</td><td>16093.46</td><td>57.12720689</td><td>19.89903</td></tr><tr><td>宁 夏</td><td>3987.695978</td><td>14898.71</td><td>82.08129878</td><td>0</td></tr></table>
+
+表 3 分地区二本普通高等学校教育经费分析表  
+
+<table><tr><td>地区</td><td>生均实际学费</td><td>生均事业性经费支出</td><td>事业收入中非学费收入所占百分比</td><td>预算内事业性经费拨款占教育经费收入百分比</td></tr><tr><td>北京</td><td>5272.585592</td><td>27242.01</td><td>34.14545316</td><td>71.90543868</td></tr><tr><td>天津</td><td>4826.41108</td><td>11832.23</td><td>35.79058516</td><td>71.65280674</td></tr><tr><td>河北</td><td>5734.218747</td><td>8915.6</td><td>5.974861847</td><td>36.9197128</td></tr><tr><td>山西</td><td>6673.873255</td><td>9915.6</td><td>17.06095502</td><td>60.53879466</td></tr><tr><td>内蒙古</td><td>3431.821602</td><td>7641.9</td><td>16.75938685</td><td>51.22579289</td></tr><tr><td>辽宁</td><td>6132.827433</td><td>13100.96</td><td>20.23059197</td><td>39.33367755</td></tr><tr><td>吉林</td><td>4581.904845</td><td>9904.02</td><td>16.20780373</td><td>45.10710593</td></tr><tr><td>黑龙江</td><td>6010.14146</td><td>9778.03</td><td>17.05018936</td><td>36.47558764</td></tr><tr><td>上海</td><td>7170.887545</td><td>21278.27</td><td>16.26836395</td><td>55.87346469</td></tr><tr><td>江苏</td><td>4121.119648</td><td>11155.87</td><td>26.82623521</td><td>38.92084613</td></tr><tr><td>浙江</td><td>7649.529579</td><td>20643.59</td><td>25.46749825</td><td>30.78650049</td></tr><tr><td>安徽</td><td>4130.412231</td><td>6803.15</td><td>19.09563078</td><td>30.56446674</td></tr><tr><td>福建</td><td>5413.084978</td><td>11650.16</td><td>20.44873654</td><td>42.2504944</td></tr><tr><td>江西</td><td>5079.627448</td><td>7169.89</td><td>16.93669565</td><td>25.54689165</td></tr><tr><td>山东</td><td>4698.474195</td><td>8530.1</td><td>16.34878546</td><td>35.4525775</td></tr><tr><td>河南</td><td>4527.699943</td><td>8703.57</td><td>13.59255108</td><td>42.4842572</td></tr><tr><td>湖北</td><td>4731.62131</td><td>8837.34</td><td>24.92942142</td><td>25.53651546</td></tr><tr><td>湖南</td><td>4385.601409</td><td>8147.08</td><td>17.55398128</td><td>29.14435253</td></tr><tr><td>广东</td><td>6456.004129</td><td>15324.11</td><td>20.18840588</td><td>41.74186458</td></tr><tr><td>广西</td><td>4073.114929</td><td>8612.13</td><td>19.92747744</td><td>40.24628466</td></tr><tr><td>海南</td><td>5216.919548</td><td>7324.93</td><td>18.29522753</td><td>26.49584726</td></tr><tr><td rowspan="10">重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆</td><td>4462.421428</td><td>9548.26</td><td>28.58272045</td><td>39.13414415</td></tr><tr><td>4222.518311</td><td>8551.58</td><td>31.96911409</td><td colspan="1">30.86748207</td></tr><tr><td>3640.389538</td><td>8682.07</td><td>18.38878774</td><td colspan="1">41.95802956</td></tr><tr><td>4592.36736</td><td>12227.62</td><td>72.71145665</td><td colspan="1">45.60383369</td></tr><tr><td>3474.660779</td><td>13757.59</td><td>25.0473754</td><td colspan="1">37.19232404</td></tr><tr><td>5013.113491</td><td>8826.6</td><td>22.07738391</td><td colspan="1">33.31717564</td></tr><tr><td>3436.972172</td><td>8240.61</td><td>18.67271198</td><td colspan="1">45.10271967</td></tr><tr><td>3337.685058</td><td>10719.15</td><td>6.23757621</td><td colspan="1">74.08826671</td></tr><tr><td>3623.952959</td><td>10828.01</td><td>14.35676255</td><td colspan="1">52.28528394</td></tr><tr><td>3616.910939</td><td>9601.79</td><td>27.78086805</td><td colspan="1">45.11144242</td></tr></table>
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+表 4 02-06 年普通高等院校调查数据 1  
+
+<table><tr><td>年份</td><td>全国生均教 育经费输出</td><td>高等院校在 校学生</td><td>平均学杂费与生活费</td><td>每个家庭年 纯收入平均 值</td><td>生均学费</td></tr><tr><td>2006</td><td>15332.8</td><td>17388441</td><td>5218.87+8696.55</td><td>21793.2</td><td>5218.87</td></tr><tr><td>2004</td><td>14928.92</td><td>15617767</td><td>4915.35+7182.1</td><td>18537.6</td><td>4915.35</td></tr><tr><td>2003</td><td>14962.77</td><td>13334969</td><td>4657.92+6510.94</td><td>16641.6</td><td>4657.92</td></tr><tr><td>2002</td><td>15119.56</td><td>11086002</td><td>4367.33+6029.88</td><td>15267.6</td><td>4367.33</td></tr></table>
+
+表 5 02-06 年普通高等院校调查数据 2  
+
+<table><tr><td>年份</td><td>高校平均一
+年招手的学
+生数</td><td>国家生均拨款</td><td>平均每所学校的
+捐赠费</td><td>平均每所学校
+事业收入的非
+学费部分</td><td>高等院校数
+目</td></tr><tr><td>2006</td><td>9313.57</td><td>6650.53</td><td>1035431.7</td><td>18629153</td><td>1867</td></tr><tr><td>2004</td><td>8715.27</td><td>6355.15</td><td>983120.54</td><td>14265521</td><td>1792</td></tr><tr><td>2003</td><td>7703.62</td><td>4947.76</td><td>991895.28</td><td>12464827</td><td>1731</td></tr><tr><td>2002</td><td>7143.04</td><td>4794.32</td><td>1010504.37</td><td>11401659</td><td>1552</td></tr></table>
+
+# 2. 实现学费评价模型的java程序：
+
+import java.util.*;
+
+public class pingjia {
+
+private static final int size = 4;
+
+private static final int max = 10000;
+
+private static final int  $min = 4000$
+
+double shouru[] = {15267.6, 16641.6, 18537.6, 21793.2}; //四年的每个家庭平均纯收入
+
+double xuefei[] = {4367.33,4657.92,4915.35,5218.87}; //四年的每年学生平均学费
+
+double renshu[] = {7143.04, 7703.62, 8715.27, 9313.57}; //四年平均每所学校招收人数
+
+double bokuan[] = {4794.32, 4947.76, 6355.15, 6650.53}; //四年国家对每个学
+
+生的平均拨款
+
+double shehui[] = {1010504.37,991895.28,983120.54,1035431.7}; //四年社会对平均每所学校捐款
+
+double feixue[] = {11401658.5, 12464827.26, 14265520.64, 18629153.18}; //学校非学费事业收入
+
+double feiyong[] = {82564836.9, 97231012.7, 111615689.17, 143001384.57}; // 学校每年总费用
+
+public double studuan(double f1,double w){ //学生短期目标函数double  $\mathrm{v} = 0.0$  double temp  $= 0.0$  if(f1  $\equiv$  4000){ f1  $= 4001$  1 } v=1-f1/w; temp  $=$  (max-f1)/(max-min);   
+System.out.println(temp); temp  $=$  temp/0.63;  $\mathrm{v} = (\mathrm{v} + \mathrm{temp}) / 2$  if(v>=1){ v  $= 0.99$  1 } return v;   
+}   
+public double xueduan(double f){ //学校短期目标函数double  $\mathrm{v} = 0.0$  double max  $= 10000.0$  double min  $= 4000.0$  .  $\mathrm{v} = (\mathrm{f - min}) / (\mathrm{max - min})$  ： return v;   
+}   
+public double zhengduan(double f,double f2){ //政府短期目标函数double  $\mathrm{v} = 0.0$  ：  $\mathrm{v} = 1\text{-f / f2};$ $\mathrm{v} = (0.63 + \mathrm{v}) / 2$  ： return v;   
+}   
+public double dongtai(double f){ //动态加权函数double  $\mathrm{v} = 0.0$
+
+if(f<0||f>1.0){}else if(f>=0&&f<=0.3){v=f;}else{v=Math.sqrt(f);}return v;public double shechang(double f){ //社会利益目标double  $\mathrm{v} = 0.0$  double temp  $= 0.0$  double  $\mathbf{r} = 0.0$  double shenghuo[]  $=$  {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55};double rate[]  $=$  {0.0198,0.0198,0.0225,0.0252};for(int  $\mathrm{i} = 0;\mathrm{i} <   \mathrm{size};\mathrm{i} + + )$  {temp  $=$  Math.pow(1+rate[i],size-i);temp  $=$  (shenghuo[i]  $^+$  f)/temp;  $\mathrm{v} = \mathrm{v} +$  temp;}r  $=$  (124328.25-v)/(111219.11+v);return r;   
+public double peoplechang(double f){ //个人利益目标double  $\mathrm{v} = 0.0$  double temp  $= 0.0$  double  $\mathbf{r} = 0.0$  double shenghuo[]  $=$  {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55};double rate[]  $=$  {0.0198,0.0198,O.0225,O.0252};for(int  $\mathrm{i} = 0;\mathrm{i} <   \mathrm{size};\mathrm{i} + + )$  {temp  $=$  Math.pow(1+rate[i],size-i);temp  $=$  (shenghuo[i]  $^+$  f)/temp;  $\mathrm{v} = \mathrm{v} +$  temp;}r  $=$  (235547.36-v)/(v+53985.68);r  $= 2^{*}\mathrm{r / 5}$  return r;
+
+public void total(){ //总目标函数  
+int index  $= 0$    
+double mubiao1  $= 0.0$    
+double mubiao2  $= 0.0$    
+double mubiao3  $= 0.0$    
+double mubiao4  $= 0.0$    
+double mubiao5  $= 0.0$    
+double temp  $= 0.0$    
+double tt  $= 0.0$    
+for(index  $= 0$  ;index  $\leqslant$  size;index++){  
+mubiaol  $=$  studuan(xuefei[index],shouru[index]);  
+mubiaol  $=$  mubiaol\*dongtai(mubiaol);  
+mubiao2  $=$  xueduan(xuefei[index]);  
+mubiao2  $=$  mubiao2\*dongtai(mubiao2);  
+temp  $\equiv$  renshu[index]\*bokuan[index];  
+mubiao3  $=$  zhengduan(feiyong[index],temp);  
+mubiao3  $=$  mubiao3\*dongtai(mubiao3);  
+mubiao4  $=$  shechang(xuefei[index]);  
+mubiao5  $=$  peoplechang(xuefei[index]);  
+tt  $= 0.5^{*}$  (mubiaol+mubiao2+mubiao3)+0.5\*(mubiao4+mubiao5);  
+System.out.println("第"+(index+1)+""评价结果为:"+tt);
+
+# 3. 实现学费寻优模型的java程序：
+
+import java.util.\*;   
+public class moni{ private static final double max  $= 10000.0$  private static final double min  $= 4000.0$  private static final double  $\mathrm{F} = 143001384.57$  private static final double  $\mathrm{N} = 9313.57$
+
+private static final double  $\mathrm{W} = 21793.2$    
+private static final int  $\mathrm{ML} = 100$    
+private static final double  $Z1 = 1035431.7$    
+private static final double  $Z2 = 18629153.18$    
+private static final double  $\mathrm{A} = 6650.53$
+
+private int  $\mathrm{T} = 0$    
+private int  $\mathbf{L} = 0$    
+private double ff  $= 0.0$    
+private double f1  $= 0.0$    
+private double f2  $= 0.0$    
+private double df  $= 0.0$    
+private double e  $= 0.0$    
+private double fuhao  $= 0.0$    
+private double randmax  $= 500$    
+private double r  $= 0.0$
+
+```txt
+private boolean loop1 = true;  
+private boolean loop2 = true;  
+private boolean loop3 = true;  
+private Random rand = null;
+```
+
+public void init(){  $\mathrm{T} = 20000$ $\mathrm{ff} = 6431.0$  rand  $=$  new Random();   
+}   
+public void Simulation(){ init(); do{ do{ if(T==0){ //如果T=0时，退出程序 loop1=false; System.out.println("最优解为："+ff+"温度为："+T); break; } do{ //生成新解 f1  $=$  ff; r  $=$  rand.nextDouble(); fuhao  $=$  rand.nextDouble(); if(fuhao<=0.5){ f2  $=$  ff-randmax\*r; }else{ f2  $=$  ff+randmax\*r; } if(f2>=4000.0&&f2<=10000){
+
+```javascript
+if((f2+20000<=W+A)&&&(A*N+Z1+Z2+N*(f2+3000)>=F)){ loop3=false; } } while (loop3); //新解结束 df = total(f1)-total(f2); //判断接受新解 if(df<=0){ ff = f2; T = T-1; L = 0; loop3 = true; }else{ r = rand.nextDouble(); System.out.println("r=" + r); e = Math.exp(-df*20000/T); if(r<=e){ ff = f2; T = T-1; L = 0; loop3 = true; }else{ L++; if(L>=ML){ loop1 = false; loop2 = false; System.out.println("最有解为：" + ff); } } } //接受新解结束 }while (loop2); } while (loop1); } public double total(double f){ //总目标函数 double value = 0.0; value = mubiao1(f)/6+mubiao2(f)/6+mubiao3(f)/6+mubiao4(f)/4+mubiao5(f)/4; return value; } public double mubiao1(double f){ double v = 0.0; double tf = (f-min)/(max-min); //进行极值差转化 v = school(f)/tf;
+```
+
+return v;   
+public double school(double f){ double  $\mathrm{v} = 0.0$  .  $\mathrm{v} = 0.53$  return v;   
+public double mubiao2(double f){ double  $\mathrm{v} = 0.0$  ..  $\mathrm{v} = (\mathrm{f - min}) / (\mathrm{max - min})$  .. return v;   
+public double mubiao3(double f){ double  $\mathrm{v} = 0.0$  ..  $\mathrm{v} = \mathrm{f}^{*}\mathrm{N} / \mathrm{F}$  .. return v;   
+public double mubiao4(double f){ double  $\mathrm{v} = 0.0$  .. double temp  $= 0.0$  .. double r  $= 0.0$  .. double shenghuo[]  $=$  {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55}; double rate[]  $=$  {0.0198,0.0198,0.0225,0.0252}; for(int i=0;i<4;i++){ temp  $=$  Math.pow(1+rate[i],4-i); temp  $=$  (shenghuo[i]  $^+$  f)/temp;  $\mathrm{v} = \mathrm{v + }$  temp; }  $\mathbf{r} = (235547.36\mathrm{-v}) / (\mathrm{v} + 53985.68)$ $\mathrm{r} = 2^{*}\mathrm{r} / 5$  return r;   
+public double mubiao5(double f){ double  $\mathrm{v} = 0.0$
+
+double temp  $= 0.0$    
+double  $\mathrm{r} = 0.0$    
+double shenghuo[]  $=$  {6029.88,6510.94,7182.1,8606.55}; double rate[]  $=$  {0.0198,0.0198,0.0225,0.0252}; for(int  $\mathrm{i = 0;i <   4;i + + )}$  { temp  $=$  Math.pow(1+rate[i],4-i); temp  $=$  (shenghuo[i]  $^+$  f)/temp;  $\mathrm{v} = \mathrm{v} +$  temp; }  $\mathrm{r} = (124328.25 - \mathrm{v}) / (111219.11 + \mathrm{v})$  return r;