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"text": "最大公约数与最小公倍数.\n最大公约数是数论中的一个重要概念.\n设 $a 、 b$ 不全为零, 同时整除 $a 、 b$ 的整数 (如 \\pm 1 ) 称为它们的公约数.\n因 $a 、 b$ 不全为零, 故由第 1 单元中性质 (3) 推知, $a 、 b$ 的公约数只有有限多个, 我们将其中最大的一个称为 $a 、 b$ 的最大公约数, 用符号 $(a, b)$ 表示.\n显然, 最大公约数是一个正整数.\n当 $(a, b)=1$ 时 (即 $a, b$ 的公约数只有 \\pm 1 ), 我们称 $a$ 与 $b$ 互素 (互质). 读者在后面将看到,这种情形特别重要.\n对于多于两个的 (不全为零的) 整数 $a, b, \\cdots, c$, 可类似地定义它们的最大公约数 $(a, b, \\cdots, c)$. 若 $(a, b, \\cdots, c)=1$, 则称 $a, b, \\cdots, c$ 互素.\n请注意, 此时并不能推出 $a, b, \\cdots, c$ 两两互素 (即其中任意两个都互素); 但反过来, 若 $a, b, \\cdots, c$ 两两互素,则显然有 $(a, b, \\cdots, c)=1$.\n由定义不难得出最大公约数的一些简单性质:\n任意改变 $a 、 b$ 的符号不改变 $(a, b)$ 的值, 即有 $( \\pm a, \\pm b)=(a, b)$;\n$(a, b)$ 关于 $a 、 b$ 对称,即有 $(a, b)=(b, a)$;\n$(a, b)$ 作为 $b$ 的函数, 以 $a$ 为周期, 即对任意整数 $x$, 有 $(a, b+a x)=(a, b)$.\n下面 (1) 中的结论, 是建立最大公约数的性质的基础, 通常称为裴蜀等式.\n(1) 设 $a 、 b$ 是不全为 0 的整数,则存在整数 $x 、 y$,使得\n$$\na x+b y=(a, b) \\text {. }\n$$\n顺便提及,若 $x=x_0, y=y_0$ 是满足上式的一对整数,则等式\n$$\na\\left(x_0+b u\\right)+b\\left(y_0-a u\\right)=(a, b)(u \\text { 为任意整数 })\n$$\n表明,满足上式的 $x 、 y$ 有无穷多组; 并且,在 $a b>0$ 时,可选择 $x$ 为正 (负) 数, 此时 $y$ 则相应地为负 (正) 数.\n由 (1)易于推出下面的\n(2) 两个整数 $a 、 b$ 互素的充分必要条件是存在整数 $x 、 y$,使得\n$$\na x+b y=1 \\text {. }\n$$\n事实上, 条件的必要性是 (1) 的特例.\n反过来, 若有 $x 、 y$ 使等式成立, 设 $(a, b)=d$, 则 $d \\mid a$ 且 $d \\mid b$, 故 $d \\mid a x$ 及 $d \\mid b y$,于是 $d \\mid(a x+b y)$, 即 $d \\mid 1$, 从而 $d=1$.\n由(1)及 (2)不难导出下面的几个基本结论:\n(3) 若 $m|a, m| b$, 则 $m \\mid(a, b)$, 即 $a 、 b$ 的任一个公约数都是它们的最大公约数的约数.\n(4) 若 $m>0$, 则 $(m a, m b)=m(a, b)$.\n(5) 若 $(a, b)=d$, 则 $\\left(\\frac{a}{d}, \\frac{b}{d}\\right)=1$. 因此, 由两个不互素的整数,可自然地产生一对互素的整数.\n(6) 若 $(a, m)=1,(b, m)=1$, 则 $(a b, m)=1$. 这表明,与一个固定整数互素的整数之集关于乘法封闭.\n由此可推出: 若 $(a, b)=1$, 则对任意 $k>0$ 有 $\\left(a^k, b\\right)=1$, 进而对任意 $l>0$ 有 $\\left(a^k, b^l\\right)=1$.\n(7) 设 $b \\mid a c$. 若 $(b, c)=1$, 则 $b \\mid a$.\n(8) 设正整数 $a 、 b$ 之积是一个整数的 $k$ 次幂 $(k \\geqslant 2)$. 若 $(a, b)=1$, 则 $a 、 b$ 都是整数的 $k$ 次幂.\n一般地, 设正整数 $a, b, \\cdots, c$ 之积是一个整数的 $k$ 次幕.\n若 $a, b, \\cdots, c$ 两两互素, 则 $a, b, \\cdots, c$ 都是整数的 $k$ 次幂.\n(6)、(7)、(8)表现了互素的重要性, 它们的应用也最为广泛.\n现在, 我们简单地谈谈最小公倍数.\n设 $a 、 b$ 是两个非零整数,一个同时为 $a 、 b$ 倍数的数称为它们的一个公倍数.\n$a 、 b$ 的公倍数显然有无穷多个, 这其中最小的正数称为 $a 、 b$ 的最小公倍数,记作 $[a, b]$. 对于多个非零整数 $a, b, \\cdots, c$, 可类似地定义它们的最小公倍数 $[a, b, \\cdots, c]$.\n下面是最小公倍数的主要性质.\n(9) $a$ 与 $b$ 的任一公倍数都是 $[a, b]$ 的倍数.\n对于多于两个整数的情形, 类似的结论也成立.\n(10) 两个整数 $a 、 b$ 的最大公约数与最小公倍数满足\n$$\n(a, b)[a, b]=|a b| .\n$$\n但请注意, 对于多于两个整数的情形, 类似的结论不成立 (请读者举出例子). 然而我们有下面的\n(11) 若 $a, b, \\cdots, c$ 两两互素,则有\n$$\n[a, b, \\cdots, c]=|a b \\cdots c| .\n$$\n由此及(9) 可知, 若 $a|d, b| d, \\cdots, c \\mid d$, 且 $a, b, \\cdots, c$ 两两互素, 则有 $a b{ }^{\\prime} \\cdot c \\mid d$.\n互素,在数论中相当重要, 往往是许多问题的关键或基础.\n数学竞赛中, 有一些问题要求证明两个整数互素 (或求它们的最大公约数), 下面几个例子表现了处理这些问题的一个基本方法.", |
