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"text": "三、可重复的排列与组合可重复的排列 从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个元素 (同一元素允许重复取出), 按照一定的顺序排成一列, 叫做从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个元素的可重复排列, 这种排列的个数为 $n^m$.\n这个结论不难用乘法原理证明.\n可重复的组合从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个元素 (同一元素允许重复取出)并成一组, 叫做从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个元素的可重复组合, 这种组合的个数为 $\\mathrm{C}_{n+m-1}^n$.\n证明用 $1,2, \\cdots, n$ 表示 $n$ 个不同元素, 这时从这 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个元素的可重复组合具有下列形式:\n$$\n\\left\\{i_1, i_2, \\cdots, i_m\\right\\}\\left(1 \\leqslant i_1 \\leqslant i_2 \\leqslant \\cdots \\leqslant i_m \\leqslant n\\right) .\n$$\n因为允许重复选取,其中等号可以成立.\n将上述每个组合自左向右逐个分别加上: $0,1,2, \\cdots,(m-1)$, 得到 $\\left\\{j_1, j_2, \\cdots, j_m\\right\\}$, 其中 $j_1=i_1, j_2=i_2+1, \\cdots, j_m=i_m+(m-1)$, 满足 $1 \\leqslant j_1<j_2<\\cdots<j_m \\leqslant n+m-1$. 而 $\\left\\{j_1, j_2, \\cdots, j_m\\right\\}$ 恰是从 $n+m-1$ 个不同元素 $1,2,3, \\cdots, n+m-1$ 中取 $m$ 个不同元素的组合.\n所以从 $n$ 个不同元素中取 $m$ 个元素的可重复的组合数为 $\\mathrm{C}_{n+m-1}^m$.\n不全相异元素的全排列如果 $n$ 个元素中,分别有 $n_1, n_2, \\cdots, n_k$ 个元素相同, 且 $n_1+n_2+\\cdots+n_k=n$, 则这 $n$ 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列, 其不同的排列个数记为 $\\left(\\begin{array}{cccc} & n & & \\\\ n_1 & n_2 & \\cdots & n_k\\end{array}\\right)$, 则 $\\left(\\begin{array}{cccc} & n & \\\\ n_1 & n_2 & \\cdots & n_k\\end{array}\\right)=\\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \\cdots n_{k} !}$.\n证明设符合条件的排列数为 $f$,因为每类相同元素交换排列顺序,仍属于同一种排列, 如果每类元素都换成互不相同的元素, 则有 $n_{1} ! \\cdot n_{2} ! \\cdots \\cdots n_k$ ! 种变化,于是由乘法原理得 $n$ 个不同元素的排列数为 $f \\cdot n_{1} ! \\cdot n_{2} ! \\cdots \\cdots n_k$ !, 而实际上, $n$ 个不同元素的排列数应为 $n$ !, 于是得 $f \\cdot n_{1} ! \\cdot n_{2} ! \\cdots \\cdots n_{k} !=n !$, 故多组组合 把 $n$ 个相异元素分为 $k(k \\leqslant n)$ 个按照一定顺序排列的组, 其中第 $i$ 组有 $n_i$ 个元素 $\\left(i=1,2, \\cdots, k, n_1+n_2+\\cdots+n_k=n\\right)$, 则不同的分证明 从 $n$ 个元素中取出 $n_1$ 个元素有 $\\mathrm{C}_n^{n_1}$ 种方法, 从剩下 $n-n_1$ 个元素中取出 $n_2$ 个元素有 $\\mathrm{C}_{n^2 n_1}^{n_n}$ 种方法, 再依次选出 $n_3, \\cdots, n_k$ 个元素, 分别有 $\\mathrm{C}_{n-n_1-n_2}^{n_3}, \\cdots, \\mathrm{C}_{n-n_1-\\cdots-n_{k-1}}^{n_n}$ 种方法, 故由乘法原理得不同的分组方法的种数是\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\mathrm{C}_n^{n_1} \\cdot \\mathrm{C}_{n n_1}^{n_2} \\cdots \\cdots \\mathrm{C}_n^{n_k} n_1-\\cdots-n_{k-1} \\\\\n= & \\frac{n !}{n_{1} !\\left(n-n_1\\right) !} \\cdot \\frac{\\left(n-n_1\\right) !}{n_{2} !\\left(n-n_1-n_2\\right) !} \\cdots \\cdot \\frac{\\left(n-n_1-\\cdots-n_{k-1}\\right) !}{n_{k} !\\left(n-n_1-\\cdots-n_{k-1}-n_k\\right) !} \\\\\n= & \\frac{n !}{n_{1} ! n_{2} ! \\cdots n_{k} !} .\n\\end{aligned}\n$$\n注意多组组合与不全相异元素的全排列的计数公式完全相同,但它们的组合意义是不相同的.\n们也可用前面在证明不全相异元素的全排列公式的方法来证明多组组合公式,我们把这个证明留给读者自己去完成.", |
