text/0032.json

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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume11/chapter1.tex",
    "text": "四、相异元素的圆排列和项链数圆排列 将 $n$ 个不同元素不分首尾排成一圈,称为 $n$ 个相异元素的圆排列, 其排列种数为 $(n-1) !$.\n证明因为 $n$ 个不同的直线排列 $A_1 A_2 \\cdots A_{n-1} A_n, A_2 A_3 \\cdots A_n A_1$, $A_3 A_4 \\cdots A_1 A_2, \\cdots, A_n A_1 \\cdots A_{n-2} A_{n-1}$, 分别将其首尾相连排成一圈得到的是同一种圆排列, 而 $n$ 个相异元素的全排列有 $n$ ! 个,故 $n$ 个相异元素的圆排列个数为 $\\frac{n !}{n}=(n-1) !$.\n项链数将 $n$ 粒不同的珠子用线串成一副项链, 则得到的不同项链数当 $n=1$ 或 2 时为 1 , 当 $n \\geqslant 3$ 时为 $\\frac{1}{2}(n-1) !$.\n证明若 $n=1$ 或 2 , 则项链数显然为 1 . 当 $n \\geqslant 3$ 时,若 $n$ 粒不同珠子的两个圆排列仅有顺时针与逆时针方向上的区别, 则这两个圆排列对应的是同一副项链.\n故当 $n \\geqslant 3$ 时, 项链数应为对应的圆排列数的一半, 即为 $\\frac{1}{2}(n -1) !$.",
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