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"text": "我们经常遇到这样一些现象或问题:\n在一群人中,有的两个人之间互相认识, 有的互不相识;\n一次足球锦标赛有若干个队参加, 其中有的两个队之间比赛过, 有的没有比赛过;\n有若干个大城市, 有的两个城市之间有航线相通, 有的没有航线相通;\n平面上的一个点集中, 其中任意两点之间, 有的距离为 1 , 有的距离不为 1 .\n在上面这些现象或问题中都包含两方面的内容: 其一是一些 \"对象\", 如人群、足球队、城市、点等等; 其二是这些对象两两之间的某种特定关系, 如 \"互相认识\"、\"比赛过\"、\"通航\"、\"距离为 1 \"等.\n为了表示这些对象和他们之间的关系, 我们可以用一个点表示一个对象, 称这些点为顶点, 如果两个对象之间有所讨论的关系, 就在相应的两点之间连上一条线, 称这些线为边, 这样就构成了一个图形.\n这个用来表示某类对象及它们间特定关系的, 由若干个顶点与连接某些顶点的边构成的图形, 我们直观地称之为图 *.\n图论是以图作为研究对象的一个数学分支.\n例如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i1.png>) 中给出了 3 个图 $G_1 、 G_2 、 G_3$, 其中顶点由小圆圈表示.\n图的一般数学定义为: 一个图 $G$ 是一个三元组 $(V, E, \\phi)$, 其中 $V$ 和 $E$ 是两个不相交的集合, $V$ 非空, $\\phi$ 是 $E$ 到 $V$ 的一个映射, $V 、 E 、 \\phi$ 分别称为图 $G$ 的顶点集、边集和关联函数.\n我们注意到, 在直观地叙述图的定义中, 并没有规定这些顶点的位置以及边的曲直长短, 也没有规定这些顶点、边都要在同一平面中, 不过, 连结两点的边不能通过第三个顶点, 也不能与自己相交.\n在图论中, 如果两个图 $G$ 与 $G^{\\prime}$ 的顶点之间可以建立起一一对应, 并且 $G$ 中连接顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 之间的边数 $k(k=0,1,2, \\cdots)$ 与连接 $G^{\\prime}$ 中相应的顶点 $v_i^{\\prime}$ 与 $v_j^{\\prime}$ 的边数相同时, 便称图 $G$ 与 $G^{\\prime}$ 是同构的,认为 $G$ 与 $G^{\\prime}$ 是相同的图.\n例如, 如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i1.png>) 中的三个图 $G_1 、 G_2 、 G_3$ 是同构的.\n如果对图 $G=(V, E)$ 与 $G^{\\prime}=\\left(V^{\\prime}, E^{\\prime}\\right)$ 有 $V^{\\prime} \\subseteq V, E^{\\prime} \\subseteq E$, 即图 $G^{\\prime}$ 的顶点都是图 $G$ 的顶点, 图 $G^{\\prime}$ 的边也都是图 $G$ 的边, 则称 $G^{\\prime}$ 是 $G$ 的子图, 例如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i2.png>) 中的 $G_1 、 G_2$ 都是 $G$ 的子图.\n若在一个图 $G$ 中的两个顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 之间有边 $e$ 相连, 则称点 $v_i$ 与 $v_j$ 是相邻的, 否则就称点 $v_i$ 与 $v_j$ 是不相邻的.\n如果顶点 $v$ 是边 $e$ 的一个端点, 称点 $v$ 与边 $e$ 是关联的.\n如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i3.png>) 中, 顶点 $v_1$ 与 $v_2$ 是相邻的, 而顶点 $v_2$ 与顶点 $v_5$ 是不相邻的.\n顶点 $v_3$ 与边 $e_4$ 是关联的.\n有些顶点本身也有边相连, 这样的边称为环.\n如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i3.png>) 所示的边 $e_6$ 是环.\n连结两个顶点的边有时可能不止一条, 若两个顶点之间有 $k(k \\geqslant 2)$ 条边相连,则称这些边为平行边.\n例如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i3.png>) 中的边 $e_1 、 e_2$ 是平行边.\n如果一个图没有环, 并且没有平行边, 这样的图称为简单图.\n如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i1.png>) 中的 $G_1 、 G_2 、 G_3$ 都是简单图, 而如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i3.png>) 所示的就不是一个简单图.\n在简单图中, 连结顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 之间的边可用 $\\left(v_i, v_j\\right)$ 表示.\n当然, $\\left(v_i, v_j\\right)$ 与 $\\left(v_j, v_i\\right)$ 表示的是同一条边.\n如果一个简单图中, 每两个顶点之间都有一条边, 这样的图称为完全图.\n通常将有 $n$ 个顶点的完全图记为 $K_n$. 如图(<FilePath:./images/volume12/figures/fig-c1i4.png>) 中是完全图 $K_3 、 K_4 、 K_5$. 完全图 $K_n$ 的边的数目是 $\\mathrm{C}_n^2=\\frac{1}{2} n(n-1)$.\n在图 $G=(V, E)$ 中, 若顶点个数 $|V|(|V|$ 也称为 $G$ 的阶 $)$ 和边数 $|E|$ 都是有限的, 则称图 $G$ 是有限图.\n如果 $|V|$ 或 $|E|$ 是无限的, 则称 $G$ 为无限图.\n本篇中,除非特别说明,我们所说的图都是指有限简单图.\n利用上述的这些基本概念可以帮助我们思考并解决一些问题.\n本书中的例题和习题包括图论问题和利用图论方法解决的问题.", |
