text stringlengths 128 2.05k |
|---|
[EQUATION] [EQUATION] Рассчитаем вероятность [MATH] В результате скрещивания могут получиться две особи, у которых в позиции [MATH] находится значение 0, только в том случае, если у обеих родительских особей в позиции [MATH] находилось значение 0. Вероятность выбора таких особей, с учетом вероятностного смысла величин ... |
[MATH] Аналогично находим вероятность того, что у одной из полученных в результате скрещивания особей в позиции [MATH] находится значение 1, а у второй – значение 0. [MATH] |
Далее, [MATH] так как в результате скрещивания могут получиться две особи, у которых в позиции [MATH] находится значение 1, только в том случае, если это значение находилось в позиции [MATH] у обеих родительских особей. |
Подставив найденные выражения в формулу ( 18 ), получим, что для каждого [MATH] [MATH] [EQUATION] [EQUATION] [EQUATION] Так как [MATH] пар особей в [MATH] генерируются независимо одним и тем же способом, то [MATH] равна |
[EQUATION] Q.E.D. Данная теорема и следствие позволяют сделать вывод о том, что вероятность вырождения гена и, следовательно, степень разнообразия популяции зависят только от вероятности мутации и размера популяции генетического алгоритма и не зависят от вероятности скрещивания. Таким образом проявляется важное свойств... |
Из теоремы следует, что вероятность вырождения значения 0 или 1 в гене [MATH] равна [EQUATION] Таким образом, при [MATH] вероятность вырождения гена в любой позиции уменьшается с увеличением размера популяции [MATH] , а также с приближением [MATH] к 1/2, ибо условие [MATH] эквивалентно |
[EQUATION] что означает [MATH] , т.к. на концах интервала [MATH] . Таким образом, наибольшее разнообразие достигается при [MATH] , что и следовало ожидать. |
С использованием полученной формулы для вероятности [MATH] можно на каждом шаге КГА выбирать такую наименьшую приемлемую вероятность мутации, которая дает желаемое количество невырожденных генов. Например, в качестве требования невырожденности популяции может быть условие того, чтобы число невырожденных позиций на кажд... |
Теоретические результаты о времени первого достижения оптимума для КГА В теории ЭА, как правило, рассматриваются вопросы трудоемкости отыскания наилучшего возможного генотипа в процессе работы некоторого ЭА на выбранном классе задач. При этом в первую очередь интересуются средним числом пробных решений до первого получ... |
. Для анализа времени первого достижения оптимального генотипа, как правило, используются такие методы теории вероятностей, как цепи Маркова, мартингалы, случайные процессы со сносом, стохастическое доминирование и др. |
Рассмотрим КГА при [MATH] с постоянным значением параметра [MATH] Как выясняется, этот алгоритм неэффективен даже на классе линейных функций приспособленности. |
Теорема 4.1 Если [MATH] , то КГА при численности популяции [MATH] и вероятности мутации [MATH] при константных [MATH] [MATH] , получает оптимум функции [MATH] |
с вероятностью не более [MATH] за [MATH] поколений, где [MATH] – положительные константы. Аналогичный вывод был получен из анализа КГА при [MATH] в случае функции OneMax |
Теорема 4.2 Если [MATH] , то КГА при [MATH] [MATH] где [MATH] [MATH] для любой положительной константы [MATH] и размере популяции |
[MATH] при достаточно большой константе [MATH] , имеет среднее время достижения оптимума [MATH] Аналогичный результат получен для КГА с вероятностью мутации [MATH] где [MATH] -константа, но при условии, что приспособленность имеет вид [MATH] , и [MATH] |
Глава 2 Модификации генетических алгоритмов Операторы селекции Для сравнения различных операторов селекции, которые будут описаны далее, необходимо выбрать некоторую характеристику, которая имеет одинаковый смысл для всех из них. Возмем в качестве такой характеристики число, сколько раз фиксированная особь отбирается в... |
В процессе работы ГА, как правило, происходит сближение приспособленности особей в популяции. В результате операторы пропорциональной селекции все меньше <<отличают>> (в смысле вероятности селекции) наиболее приспособленных особей от отстающих. Способ решения этой проблемы, предложенный Д.Голдбергом, состоит в масштаби... |
(см. приведенный выше пример применения ГА к задаче ЦЛП). Альтернативный подход состоит в использовании ранжирования особей Для фиксированной популяции [MATH] биекция [MATH] называется ранжированием, если для всех [MATH] выполняется: |
[EQUATION] Значение [MATH] называется рангом особи [MATH] в популяции [MATH] Ранговая селекция (ranking selection). Предложена в работе Goldberg & Deb |
. Пусть функция [MATH] , такая что [MATH] . Тогда [MATH] называется ранжирующей функцией. При заданной ранжирующей функции оператор селекции с распределением вероятностей |
[EQUATION] называется ранжирующей селекцией. Такая селекция не теряет <<чувствительности>> при сколь угодно малых различиях приспособленности особей. |
Частный случай, где [EQUATION] при [MATH] называется линейным ранжированием. Легко видеть, что условия ранжирующей функции выполняются. |
Особь с рангом [MATH] имеет вероятность селекции, равную [MATH] , а особь с рангом 1 – вероятность [MATH] . Если положить [MATH] , то особь с рангом 1 имеет нулевую вероятность селекции (наибольшая дифференциация селективности по рангу). Если же |
[MATH] , то распределение вероятностей селекции стремится к равномерному. Ранговая селекция при [MATH] состоит в применении оператора селекции КГА с подстановкой рангов особей [MATH] |
вместо значений их приспособленности. Упражнение. Найти функцию [MATH] для пропорциональной селекции, где в качестве приспособленности используется ранг особи. |
Турнирная селекция (tournament selection). Оператор турнирной селекции с размером турнира [MATH] (или оператор [MATH] -турнирной селекции) при построении очередного решения из текущей популяции извлекает [MATH] особей с равномерным распределением и выбирает лучшую из них (точнее, особь с наибольшим рангом). |
Сравним среднее число повторений фиксированной особи [MATH] при 2-турнирной селекции (обозначаем далее через [MATH] ) и при пропорциональной селекции КГА с подстановкой рангов особей вместо значений их приспособленности (обозначаем через |
[MATH] ). Заметим, что в турнирной селекции вероятность выбора особи [MATH] с рангом [MATH] есть [EQUATION] [EQUATION] В частности, при [MATH] имеем: |
[EQUATION] Сравним эту величину с [MATH] . Легко видеть, что при использовании ранжирования в пропорциональной селекции [EQUATION] |
что приближается к [MATH] при больших [MATH] По формуле дисперсии для схемы Бернулли нетрудно показать, что [EQUATION] [EQUATION] |
и при [MATH] имеем [MATH] следовательно, при больших значениях [MATH] [MATH] 2-турнирная селекция становится близка к стандартной пропорциональной селекции и по дисперсии. |
Упражнение. Найти функцию [MATH] для турнирной селекции. Наконец, [MATH] -селекция, один из наиболее простых операторов селекции в ЭА, аналогичен массовому отбору в растениеводстве и животноводстве: из популяции численностью [MATH] отбираются [MATH] особей с наибольшими значениями функции приспособленности и родительск... |
5.1 Стратегии управления популяцией Обновление всей популяции на каждой итерации КГА соответствует подходу, применяемому при имитационном моделировании в популяционной генетике (см., например, |
), однако, для ускорения поиска генотипов с высокой приспособленностью общая схема ГА зачастую модифицируется. Основная мотивация при этом состоит в том, что в КГА даже генотип, существенно превышающий по пригодности все прочие особи популяции, с большой вероятностью будет исключен из рассмотрения уже на следующей итер... |
Элитарная стратегия. На кажой итерации ГА, во-первых, строится очередная популяция [MATH] по правилам КГА. Во-вторых, если по приспособленности все генотипы новой популяции уступают максимально приспособленной ( элитной особи [MATH] из предыдущей популяции, то один из наименее приспособленных генотипов в [MATH] заменяе... |
Таким образом, если ГА применяется для решения задачи безусловной оптимизации ( ), то последовательность значений целевой функции элитных фенотипов [MATH] будет неубывающей. Более того, как показал Г. Рудольф |
, при [MATH] [MATH] дополнение КГА элитарной стратегией обеспечивает сходимость последовательности [MATH] к оптимальному значению целевой функции задачи ( ) почти наверное. |
Вместо одной элитной особи в ГА может сохраняться некоторое подмножество генотипов текущей популяции, имеющих высокую приспособленность (см., например, |
). Такие стратегии называются частичной заменой популяции . Следующая стратегия может рассматриваться как предельный случай расширения множества элитных особей. |
Стационарная стратегия управления популяцией. При этой стратегии на каждой итерации ГА в популяцию добавляются два генотипа, полученных применением операторов кроссинговера и мутации. Каждая новая особь замещает некоторый <<неперспективный>> генотип. При этом в качестве <<неперспективного>> может быть взят генотип с на... |
Особенностью стационарной стратегии управления популяцией является значительно более быстрое <<сужение>> области поиска, по сравнению с КГА. В связи с этим, во многих реализациях стационарной стратегии управления популяцией при совпадении новой особи с одной из имеющихся в популяции, новая особь в популяцию не добавляе... |
Элитная рекомбинация (elitist recombination) (не путать с популяцией с элитой): особи текущей популяции случайным образом переставляются и последовательно выбираются пары родительских особей |
[MATH] для скрещивания. Каждая пара потомков сравнивается с соответствующими родительскими особями, и лучшие две из четырех особей помещаются в новую популяцию. |
Операторы скрещивания и мутации Наряду с оператором одноточечного кроссинговера КГА, в генетических алгоритмах используются и другие операторы рекомбинации родительских генотипов. Общей чертой для всех из них является, так называемое, свойство передачи генов : значение для каждого гена потомка выбирается из значений со... |
В некоторых вариантах кроссинговера результатом является один генотип (см., например, ), однако, наиболее распространены операторы с двумя выходными генотипами. Во втором случае, с целью сохранения разнообразия популяции, стремятся построить как можно более удаленные один от другого генотипы потомков. |
Пусть даны родительские генотипы [MATH] [MATH] , для которых порождается пара генотипов потомков [MATH] . Если в задаче отсутствуют ограничения, или схема представления решений такова, что [MATH] , тогда уместно использовать, так называемую, маску кроссинговера . Под этим термином понимают вспомогательную последователь... |
[EQUATION] для [MATH] . Рассмотрим два примера использования маски кроссинговера. Равномерный кроссинговер. Данный оператор определяется выбором маски кроссинговера с равномерным распределением на множестве [MATH] . При действии этого оператора [MATH] -ый ген, |
[MATH] , копируется в генотип потомка из [MATH] -той позиции генотипа одного или другого родителя с равными вероятностями, независимо от выбора других генов. |
[MATH] -точечный кроссинговер. Данный оператор представляет собой обобщение одноточечного кроссинговера. В строке генотипа выбирается [MATH] различных координат скрещивания [MATH] с равномерным распределением среди всевозможных таких наборов. Обозначим [MATH] , тогда маска кроссинговера определяется следующим образом: |
[EQUATION] для [MATH] . Данный оператор имеет то свойство, что при задании четного числа точек скрещивания [MATH] , первая и последняя координаты одного родителя всегда переходят одному потомку. Наоборот, при нечетном [MATH] эти координаты копируются в каждый из генотипов потомков от разных родителей. |
Каждый из описанных операторов кроссинговера может быть реализован и в варианте с одним генотипом потомка (для этого достаточно отбросить второй генотип). Далее будет рассмотрен оператор кроссинговера, при котором естественным образом строится только один генотип потомка. |
Непредвзятые операторы мутации. Обобщением рассмотренных ранее операторов мутации является класс непредвзятых операторов мутации, введенный в работе |
В случае, когда генотип является битовой строкой, непредвзятость мутаций состоит в том, что вероятность того или иного действия над каждым битом не зависит от его значения и позиции. Условия непредвзятости мутации [MATH] можно формально представить следующим образом. |
1. Для любых [MATH] [EQUATION] 2. Для любых [MATH] и любой перестановки [MATH] [EQUATION] где [MATH] обозначает применение перестановки [MATH] ко всем позициям битовой строки, т.е. |
[MATH] Легко проверить, что этому определению удовлетворяют оператор побитовой мутации из КГА и оператор точечной мутации: равновероятно выбрать одну позицию в генотипе и инвертировать выбранный бит. |
6.1 Недвоичная кодировка: особенности мутации и скрещивания Примеры: балансировка ротора и задача наименьшего покрытия 6.2 Кроссинговер с частичным отображением для задач на перестановках |
Рассмотрим некоторые операторы, применяемые в задаче коммивояжера и других задачах, где допустимыми решениями являются перестановки. При описании этих операторов под случайным выбором понимается выбор с равномерным распределением среди всех возможных вариантов. |
Оператор кроссинговера с частичным отображением был предложен в работе Д. Голдберга и Р. Лингле и кратко обозначается PMX. Рассмотрим действие кроссинговера PMX на иллюстративном примере. |
Пусть даны следующие родительские генотипы с координатами скрещивания [MATH] [MATH] =( 1 9) [MATH] =( 4 3). Сначала выполняется обмен средними участками генотипов, прочие гены при этом считаются неопределенными: |
( x x) ( x x). Далее, для каждого из неопределенных значений проверяется, можно ли в этой позиции оставить прежнее значение. Например, в первом из указанных генотипов нельзя оставить 1 на первой позиции, т.к. 1 уже зафиксирована в четвертом гене, однако можно оставить на месте значения 2, 3 и 9. Аналогично, во втором г... |
( x 9) ( x 3). Наконец, остальные значения заполняются такими же попарными обменами, какими изменялись средние участки, только теперь обмен происходит не между генотипами, а внутри каждого из них. В рассматриваемом примере 4 меняется на 1, 5 – на 8, 6 – на 7, 7 – на 6. Таким образом, результат кроссинговера имеет вид: |
[MATH] = ( 4 9) [MATH] =( 1 3). Формализуем оператор PMX-кроссинговера в общем случае. Пусть пара перестановок [MATH] [MATH] вычисляется по заданным родительским перестановкам [MATH] [MATH] . В процедуре PMX-кроссинговера два индекса [MATH] [MATH] , где [MATH] , выбираются с равномерным распределением и компоненты пере... |
[MATH] от [MATH] до [MATH] копируются в перестановки потомков [MATH] [MATH] с обменом: [MATH] [MATH] [MATH] . Далее, для каждого [MATH] проверяется, можно ли в этой позиции оставить значение из родительского решения, а именно, если [MATH] |
отсутствует среди скопированных генов, то полагаем [MATH] . Аналогично модифицируется [MATH] Остальные компоненты [MATH] заполняются с помощью отображений [MATH] |
[MATH] . В каждом гене [MATH] строки [MATH] полагаем [MATH] , если значение [MATH] еще отсутствует [MATH] ; иначе [MATH] , если значение |
[MATH] еще отсутствует в [MATH] , и так далее. Вторая перестановка заполняется аналогично с использованием отображения [MATH] 6.3 Порядковый кроссинговер для задач на перестановках |
[MATH] [MATH] [MATH] Данный оператор сохраняет абсолютные позиции элементов, заимствованных от одного родителя, и относительные позиции элементов, заимствованных у другого. |
Как показали эксперименты, порядковый кроссинговер, также как кроссинговер PMX, дает хорошие результаты в задачах составления расписаний, где большое значение имеет то, какие работы выполняются раньше, а какие – позже. В то же время, для задачи коммивояжера и задач составления расписаний, где важно учитывать длительнос... |
). 6.4 Мутация в задачах на перестановках Мутация обмена состоит в обмене пары генов из случайно выбранных позиций в данной на вход перестановке. С точки зрения локального поиска для задачи коммивояжера, при действии этого оператора выполняется шаг в случайно выбранную точку из окрестности 2-city swap |
Мутация сдвига состоит в перемещении гена из случайно выбранной позиции на случайное число позиций влево или вправо. Содержимое всех промежуточных генов при этом сдвигается на одну позицию. |
Мутация <<2-замена>> определяется наиболее просто в случае задачи коммивояжера в терминах фенотипов, то есть обходов графа [MATH] . В обходе, заданном входным генотипом случайным образом выбираются два несмежных ребра и заменяются двумя новыми ребрами, которые в данном случае определяются однозначно. С точки зрения лок... |
Упражнение 6.1 Описать алгоритм, осуществляющий мутацию <<2-замена>> в указанной выше недвоичной кодировке решений задачи коммивояжера. |
Задача оптимальной рекомбинации Пусть решается задача условной максимизации в пространстве двоичных строк длины [MATH] . Рассмотрим вычислительную сложность задачи отыскания <<наилучшего>> генотипа, как результата кроссинговера для заданной пары родительских генотипов при условии выполнения свойства передачи генов. |
С учетом свойства передачи генов сформулируем задачу оптимальной рекомбинации : для произвольных заданных родительских генотипов [MATH] , представляющих допустимые решения, требуется найти представляющий допустимое решение генотип [MATH] , такой что: |
1) для каждого [MATH] выполняется [MATH] или [MATH] 2) [MATH] имеет максимальное значение приспособленности среди всех генотипов, удовлетворяющих условию 1) и кодирующих при этом допустимые решения. |
Далее множество номеров координат, в которых родительские генотипы различны, будем обозначать через [MATH] В качестве примера эффективно разрешимой задачи оптимальной рекомбинации рассмотрим следующую известную задачу из теории графов. Пусть имеется граф [MATH] с множеством вершин |
[MATH] и множеством ребер [MATH] . Задача о наибольшем независимом множестве состоит в отыскании такого подмножества [MATH] , что ни одно ребро [MATH] не инцидентно сразу двум вершинам из [MATH] (т.е. [MATH] – независимое множество) и мощность этого множества максимальна. |
Естественным будет представление решений с помощью вектора-индикатора из [MATH] , где [MATH] тогда и только тогда, когда вершина [MATH] принадлежит искомому подмножеству. Пусть [MATH] для любого допустимого решения [MATH] . Как замечено в работе Э.Балаша и В.Нихауса |
, при использовании данного представления решений задача оптимальной рекомбинации разрешима за полиномиальное время. Для того чтобы в этом убедиться, рассмотрим произвольные родительские независимые множества [MATH] [MATH] и соответствующие им генотипы [MATH] [MATH] . Исходя из свойства передачи генов, решение-потомок ... |
[MATH] , кроме того, в [MATH] не должно быть элементов множества [MATH] , а вершины с номерами из множества [MATH] необходимо выбрать оптимальным образом. Последнее требование формулируется, как задача о наибольшем независимом множестве в подграфе, порожденном множеством вершин с номерами из [MATH] . Легко видеть, что ... |
Для отыскания наибольшего независимого множества в двудольном графе [MATH] можно воспользоваться тем фактом, что наибольшее независимое множество всегда является дополнением наименьшего вершинного покрытия [MATH] , то есть такого наименьшего по мощности множества вершин, что каждое ребро инцидентно хотя бы одной из них... |
Задача о наименьшем вершинном покрытии двудольного графа [MATH] эффективно разрешима с помощью алгоритма построения минимального разреза во вспомогательном графе, состоящем из графа [MATH] и дополнительных вершины-источника [MATH] вершины-стока [MATH] . Источник [MATH] соединяется со всеми вершинами одной доли, а сток ... |
Генотип [MATH] , являющийся вектором-индикатором множества [MATH] представляет собой решение задачи оптимальной рекомбинации для задачи о наибольшем независимом множестве. |
Приведенный результат Балаша и Нихауса может быть сформулирован как Теорема 7.1 (Балаш, Нихаус ) Задача оптимальной рекомбинации для задачи о независимом множестве разрешима за полиномиальное время. |
Упражнение 7.1 Показать, что для задачи о наименьшем вершинном покрытии при тех же предположениях о способе представления решений (т.е. [MATH] задача оптимальной рекомбинации эффективно разрешима. |
Рассмотренная здесь постановка задачи оптимальной рекомбинации может быть модифицирована – см., например, Выбор наиболее подходящей формулировки этой подзадачи и методов ее решения делается на основе вычислительного эксперимента. |
Генетический алгоритм как метод локального поиска 8.1 Задачи комбинаторной оптимизации Пусть [MATH] обозначает множество всевозможных строк из нулей и единиц произвольной длины, а [MATH] – множество натуральных чисел. Для [MATH] символом [MATH] обозначается длина строки [MATH] |
Далее величина [MATH] будет называться полиномиально ограниченной относительно величины [MATH] , если существует полином с положительными коэффициентами относительно [MATH] , ограничивающий сверху значения [MATH] |
Пусть [MATH] обозначает множество вещественных чисел. Определение 8.1 Задача комбинаторной оптимизации – это тройка [MATH] , где [MATH] называется множеством индивидуальных задач из [MATH] , и выполнены следующие условия: |
1. Существует детерминированная машина Тьюринга, распознающая принадлежность строки исходных данных [MATH] множеству Inst за время, полиномиально ограниченное относительно [MATH] |
2. [MATH] – множество допустимых решений индивидуальной задачи [MATH] причем размерность пространства решений [MATH] для некоторого полинома poly |
3. Для [MATH] за полиномиально ограниченное время относительно [MATH] вычислима целевая функция [MATH] , которую требуется максимизировать (если |
[MATH] – задача максимизации) или минимизировать (если [MATH] – задача минимизации). Если различные решения имеют разную длину записи, то [MATH] наибольшая длина допустимого решения задачи. Далее через [MATH] |
обозначается оптимальное решение индивидуальной задачи [MATH] , т. е. [MATH] , если [MATH] – задача максимизации, либо [MATH] , если [MATH] – задача минимизации. |
Далее ГА рассматривается в предположении [MATH] представление решений совпадает с кодировкой решений задачи [MATH] а задача комбинаторной оптимизации имеет критерий <<на максимум>>. |
Кроме того будем предполагать, что при [MATH] функция приспособленности имеет вид [MATH] Если же [MATH] , то функция приспособленности [MATH] принимает значение меньше, чем на любом допустимом решении, что соответствует штрафу за нарушение ограничений задачи. |
8.2 Задача поиска локального оптимума Пусть для всякого элемента [MATH] определена некоторая его окрестность [MATH] . Совокупность |
[MATH] называется системой окрестностей Определение 8.2 Если для [MATH] при всяком [MATH] выполняется неравенство [MATH] в случае задачи максимизации или [MATH] в случае задачи минимизации, то решение [MATH] называется локальным оптимумом в системе окрестностей [MATH] |
Глобальный оптимум, т.е. оптимальное решение задачи комбинаторной оптимизации является частным случаем локального оптимума. Если [MATH] – метрика, заданная для всех элементов [MATH] , то [MATH] называется системой окрестностей радиуса [MATH] , порожденной метрикой [MATH] |
Алгоритм локального поиска начинает свою работу с некоторого допустимого решения. Далее, на каждой итерации алгоритма происходит переход от текущего решения к новому допустимому решению в его окрестности, имеющему лучшее значение целевой функции, чем текущее решение. Процесс продолжается, пока не будет достигнут локаль... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.