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id stringlengths 17 22 | set stringdate 2603-01-01 00:00:00 2603-01-01 00:00:00 | subject stringclasses 4
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values | point_value int32 1 55 | question stringlengths 32 1.56k | answer listlengths 1 12 | solution stringlengths 32 3.4k | knowledge_points stringlengths 2 77 | images images listlengths 0 27 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
zh_2603_math_0001 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $R$ 为实数集，设集合 $A=\{x|1<x<3\}$，集合 $B=\{x|(x+1)(x-2)\geqslant0\}$，则 $A\cup(\complement_{\mathbb{R}}B)=$() \n\nA. $\{x|-1<x<3\}$ B. $\{x|-1<x<1\}$ C. $\{x|1<x<2\}$ D. $\{x|2<x<3\}$ | [
"A"
] | 【解】解：$B=\{x|x\leqslant-1$ 或 $x\geqslant2\}$，所以 $\complement_{\mathbf{R}}B=\{x|-1<x<2\}$，又 $A=\{x|1<x<3\}$，则 $A\cup\complement_{\mathbf{R}}B=\{x|-1<x<3\}$。故选：$A$。 | 集合的并、交、补混合运算 | |
zh_2603_math_0002 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 设函数 $f(x)=\frac{1-2x}{1+x}$。下列函数中为奇函数的是？\n\nA. $y=f(x-1)-2$ B. $y=f(x-1)+2$\n\nC. $y=f(x+1)-2$ D. $y=f(x+1)+2$ | [
"B"
] | 解：$\because$ $f(x)=\frac{1-2x}{1+x}$ 的定义域为{x|x≠-1}，$\therefore$ $f(x-1)$ 的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称。y=f(x-1)=$\frac{1-2(x-1)}{1+x-1}$=$\frac{3-2x}{x}$=$\frac{3}{x}$-2。对于A，g(x)=f(x-1)-2=$\frac{3}{x}$-4，g(-x)=f(x-1)-2=-$\frac{3}{x}$-4，g(x)+g(-x)≠0，所以g(x)不是奇函数。对于B，h(x)=f(x-1)+2=$\frac{3}{x}$，且h(-x)=-$\frac{3}{x}$，h(x)+h(-x)=0，所以... | 函数的奇偶性 | |
zh_2603_math_0003 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=-3x上，则cos2θ = ()
A. $-\frac{3}{5}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{5}$ | [
"C"
] | 【解答】解：若角θ的终边在直线y=-3x上，则tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{-3x}{x}$=-3，所以cos2θ=$\frac{cos^{2}θ-sin^{2}θ}{cos^{2}θ+sin^{2}θ}$=$\frac{(cos^{2}θ-sin^{2}θ)\div cos^{2}θ}{(cos^{2}θ+sin^{2}θ)\div cos^{2}θ}$=$\frac{1-tan^{2}θ}{1+tan^{2}θ}$=$\frac{1-9}{1+9}$=$\frac{4}{5}$。故选C。 | 二倍角的三角函数值求法；任意角三角函数的定义 | |
zh_2603_math_0004 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知tanα=3，tan(α+β)=$\frac{1}{7}$，则tan2β=（） \n\nA. $-\frac{4}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $-\frac{4}{3}$ D. $\frac{4}{3}$ | [
"D"
] | 【解】由已知得，tanβ=tan[(α+β)-α]=\frac{tan(α+β)-tanα}{1+tan(α+β)tanα}=\frac{\frac{1}{7}-3}{1+\frac{1}{7}\times3}=-2，所以\tan2β=\frac{2\tanβ}{1-\tan^2β}=\frac{-4}{1-4}=\frac{4}{3}。故选：D。 | 两角和与差的三角函数求值 | |
zh_2603_math_0005 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 将函数 $y=\sin 2x$ 图像上的所有点向右平移 $\frac{\pi}{10}$ 个单位，\n\n再将所得图像上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），则所得图像对应的函数解析式为（）\n\nA. $y=\sin(4x-\frac{\pi}{10})$ B. $y=\sin(x-\frac{\pi}{10})$ C. $y=\sin(4x-\frac{\pi}{5})$ D. $y=\sin(x-\frac{\pi}{5})$ | [
"C"
] | 【解析】根据三角函数图像变换的概念，将 $y=\sin 2x$ 图像上的所有点向右平移 $\frac{\pi}{10}$ 个单位，得到 $y=\sin 2(x-\frac{\pi}{10})=\sin(2x-\frac{\pi}{5})$ 的图像。再将所得图像上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），得到函数 $y=\sin[2(2x)-\frac{\pi}{5}]=\sin(4x-\frac{\pi}{5})$ 的图像。故选 C。 | 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像变换 | |
zh_2603_math_0006 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 酒驾是严重违反交通法规、危害交通安全的行为。根据国家有关规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量每100毫升达到$20 \sim 79 \mathrm{mg}$为酒后驾车，$80 \mathrm{mg}$及以上为醉酒驾车。假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了每$100 \mathrm{~mL}$含$240 \mathrm{mg}$。如果在停止喝酒后，他血液中的酒精含量以每小时$20 \%$的速度减少，且他想要在不违反交通法规的情况下驾驶汽车，则他至少需要经过多少小时才能驾驶汽车？（参考数据：$\lg 2 \approx 0.3, \lg 3 \approx 0.48$）
A. 11
B. 10
C. 9
D. ... | [
"A"
] | 【解答】解：假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了每100 mL含240 mg。如果在停止喝酒后，他血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，且他想要在不违反交通法规的情况下驾驶汽车，
则每100 mL血液中的酒精含量必须低于20 mg，
即经过$t$小时后，$240(1-20\%)^t < 20$，所以$0.8^t < \frac{1}{12}$，
两边取对数得$t \lg 0.8 < -\lg 12$，
即$t > \frac{-\lg 12}{\lg 0.8} = \frac{\lg 12}{1-\lg 8} = \frac{\lg 3 + 2\lg 2}{1-3\lg 2} \approx \fra... | 根据实际问题选择函数类型 | |
zh_2603_math_0007 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且满足 $f(-x)=f(2+x)$。若 $f(1)=2$，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2022)=$() \n\nA. \-2022 B. 0 C. 2 D. 2022 | [
"C"
] | 解：由于 $f(x)$ 是定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，有 $f(0)=0$，$f(-x)=-f(x)$；又 $f(-x)=f(2+x)\Rightarrow f(2+x)=-f(x)\Rightarrow f(x+4)=f(x)$，即 $f(x)$ 是周期为4的函数，$f(2)=-f(0)=0$，所以 $f(2)=0$。又 $f(1)=2$，则 $f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2$，$f(4)=f(4-4)=f(0)=0$，因此 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0$。而 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2022)=505[f(1)+f(2)+f(3)+f... | 抽象函数的奇偶性；抽象函数的周期性 | |
zh_2603_math_0008 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9. 函数 $f(x)=\cos(2x+\varphi)(0<\varphi<\pi)$ 的图象关于点 $(\frac{2\pi}{3},0)$ 中心对称，则 （）\n\nA. 直线 $x=-\frac{7\pi}{12}$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条对称轴\n\nB. 将 $y=\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后得到函数 $f(x)$ 的图象\n\nC. 函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{19\pi}{24}, \pi)$ 上单调递增\n\nD. 函数 $f(x)$ 在区间 $[\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{6}]$ 上的值域为 $[-... | [
"AB"
] | 解：$f(x)$ 的图象关于点 $(\frac{2\pi}{3},0)$ 中心对称，则 $f(\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{4\pi}{3}+\varphi)=0$，所以 $\frac{4\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$，即 $\varphi=\frac{5\pi}{6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$。由于 $0<\varphi<\pi$，得 $\varphi=\frac{\pi}{6}$，因此 $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。由 $f(-\frac{7\pi}{12})=\cos(-\pi)=-1... | 余弦函数的图象；函数 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的图象变换 | |
zh_2603_math_0009 | 2603 | math | 选择题 | 6 | (多选题) 10. 已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，则下列不等式恒成立的是（ ）\n\nA. $a^{2}+b^{2}\geqslant8$ B. $\log_{2}a+\log_{2}b\geqslant2$ C. $2^{a}+2^{b}\geqslant8$ D. $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\leqslant4$ | [
"ACD"
] | 解：对于选项A：已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，有 $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=4^{2}-2ab\geqslant16-2(\frac{a+b}{2})^{2}=8$，当 $a=b=2$ 时取等号，故A正确；对于选项B：已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，有 $\log_{2}a+\log_{2}b=\log_{2}ab\leqslant\log_{2}(\frac{a+b}{2})^{2}=\log_{2}4=2$，当 $a=b=2$ 时取等号，故B错误；对于选项C：已知 $a>0$，$b>0$，且 $a+b=4$，有 $2^{a}+2^{b}\geqslant2\sqr... | 基本不等式及其应用 | |
zh_2603_math_0010 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 命题“$\forall x\in\mathbb{R},\ln(x^2+1)>0$”的否定是________________。 | [
"$ \\exists x_{0} \\in \\mathbb{R}, \\ln (x_{0}^{2}+1) \\leqslant 0.$"
] | 【解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，因此命题“$\forall x\in \mathbf{R},\ln (x^{2}+1)>0$”的否定为：$\exists x_{0}\in \mathbf{R},\ln (x_{0}^{2}+1)\leqslant 0.$ 故答案为：$\exists x_{0}\in \mathbf{R},\ln (x_{0}^{2}+1)\leqslant 0.$ | 求全称量词命题的否定 | |
zh_2603_math_0011 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(-1)=0$，则不等式 $f(\lg x)>0$ 的解集为____________________。 | [
"（\\frac{1}{10}，10）"
] | 【解】由于偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(-1)=0$，则 $f(1)=f(-1)=0$。于是 $f(\lg x)>0 \Leftrightarrow |\lg x|<1 \Leftrightarrow -1<\lg x<1$，解得 $\frac{1}{10}<x<10$。因此原不等式的解集为 $(\frac{1}{10},10)$。故答案为：$(\frac{1}{10},10)$。 | 奇偶性与单调性的综合应用 | |
zh_2603_math_0012 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 设当 x=θ 时，函数 $f(x)=2\sin x+\cos x$ 取得最小值，则 $\cos(\theta+\frac{\pi}{4})=$____________________。 | [
"$\\frac{\\sqrt{10}}{10}$"
] | 【解】对于 $f(x)=2\sin x+\cos x=\sqrt{5}\sin(x+\alpha)$，其中 $\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}$，且 α 为锐角。当 x=θ 时，函数取得最小值，∴ $\sqrt{5}\sin(\theta+\alpha)=-\sqrt{5}$，即 $\sin(\theta+\alpha)=-1$，∴ $\cos(\theta+\alpha)=0$。于是可令 $\theta+\alpha=-\frac{\pi}{2}$，即 $\theta=-\frac{\pi}{2}-\alpha$，所以 $\cos(\thet... | 两角和与差公式；三角函数的最值 | |
zh_2603_math_0013 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 15. 求值：
(1) 若 $a^{\frac{2}{5}}=\frac{4}{25}(a>0)$，求 $\log_{\frac{2}{5}}a$ 的值；
(2) 若 $(\sqrt{3})^{m}=5$，$\log_{27}5=n$，求 $9^{m-3n}$ 的值。 | [
"5",
"$25$"
] | 解：(1) 由已知得 a=$((\frac{4}{25})^{\frac{5}{2}}$=$((\frac{2}{5})^{2\times\frac{5}{2}}$=$((\frac{2}{5})^{5}$，则 $\log_{\frac{2}{5}}a=\log_{\frac{2}{5}}(\frac{2}{5})^{5}=5$；(2) 由已知得 $3^{\frac{m}{2}}=5$，即 $3^{m}=25$，由 $\log_{27}5=n$，得 $27^{n}=3^{3n}=5$，则 $9^{m-3n}=3^{2(m-3n)}=\frac{3^{2m}}{(3^{3n})^{2}}=\frac{25^{2}}{5^{2}}=25... | 对数运算的求值；有理指数幂与根式化简运算的求值 | |
zh_2603_math_0014 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 函数 $f(x)=2\sqrt{3}\sin x\sin(x-\frac{\pi}{2})-2\cos^{2}x+1.$ \n\n(1) 讨论函数 $f(x)$ 在 $[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6}]$ 上的单调性； \n\n(2) 若 $f(x_{0})=-\frac{6}{5}$，$x_{0}\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，求 $\cos2x_{0}$ 的值。 | [
"函数 $f(x)$ 在 $[\\frac{\\pi}{4},\\frac{2\\pi}{3}]$ 上单调增，在 $[\\frac{2\\pi}{3},\\frac{5\\pi}{6}]$ 上单调递减",
"$\\frac{3-4\\sqrt{3}}{10}$"
] | [解答] 解：$f(x)=2\sqrt{3}\sin x\sin(x-\frac{\pi}{2})-2\cos^{2}x+1=-2\sqrt{3}\sin x\cos x-2\cos^{2}x+1=-\sqrt{3}\sin2x-\cos2x$ $=-2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ ， \n\n(1) 因为 $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}]$，所以 $2x+\frac{\pi}{6} \in [\frac{2\pi}{3}, \frac{11\pi}{6}]$， \n\n当 $2x+\frac{\pi}{6} \in [\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}]$... | 三角恒等变换的应用；两角和与差的三角函数；二倍角三角函数 | |
zh_2603_math_0015 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层。某地正在建设一购物中心，计划建造能使用40年的隔热层。已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元。该建筑每年的能源消耗费用$P$（单位：万元）与隔热层厚度$x$（单位：cm）满足关系式：$P(x)=\frac{m}{4x+5}$，(0≤x≤10)。如果不建造隔热层，每年的能源消耗费用为9万元。设$f(x)$为隔热层的建造成本与40年的能源消耗费用之和。
(1) 求$m$的值及$f(x)$的表达式；
(2) 当隔热层厚度为多少时，总费用$f(x)$达到最小值，并求出最小值。 | [
"$m=45$ ，$f(x)=\\frac{1800}{4x+5}+8x$，（0≤x≤10）",
"当隔热层的厚度为 $6.25cm$ 时，总费用 $f(x)$ 达到最小值110万元"
] | 解：(1) 由题意，$P(0)=\frac{m}{5}=9$，所以$m=45$，$f(x)=40P(x)+8x=40×\frac{45}{4x+5}+8x=\frac{1800}{4x+5}+8x$，(0≤x≤10)；(2) $f(x)=\frac{1800}{4x+5}+8x=\frac{1800}{4x+5}+2(4x+5)-10 ≥2\sqrt{\frac{1800}{4x+5}}·2(4x+5)-10=2×60-10=110$。当且仅当$\frac{1800}{4x+5}=2(4x+5)$，即$x=6.25$时取等号，所以当隔热层厚度为6.25 cm时，总费用$f(x)$取得最小值110万元。 | 根据实际问题选择函数类型 | |
zh_2603_math_0016 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=e^{-ax}$，函数 $g(x)$ 是定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的奇函数。当 $x>0$ 时，$g(x)=f(x)$，且 $g(\ln\frac{1}{2})=-16$。\n\n(1) 求实数 $a$ 的值，并写出函数 $g(x)$ 在实数集 $\mathbb{R}$ 上的解析式；(2) 若 $h(x)=\ln(f(x)+1)+mx$ 是偶函数，求实数 $m$ 的值。 | [
"a=-4，$g(x)=\\left\\{\\begin{array}{l l}\\mathrm{e}^{4x},&x>0\\\\0,&x=0\\\\-\\mathrm{e}^{-4x},&x<0\\end{array}\\right.$",
"$m=-2$"
] | 解：(1) 当 $x>0$ 时，函数 $g(x)=f(x)=e^{-ax}$。由于 $g(x)$ 是实数集 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，$\ln\frac{1}{2}=-\ln2<0$，则 $g(\ln\frac{1}{2})=g(-\ln2)=-g(\ln2)=-e^{-a\ln2}=-(e^{\ln2})^{-a}=-2^{-a}=-16$，即 $2^{-a}=2^{4}$，所以 $a=-4$。因此当 $x>0$ 时，$g(x)=e^{4x}$。由于 $g(x)$ 是奇函数，当 $x=0$ 时，$g(0)=0$；当 $x<0$ 时，$g(x)=-g(-x)=-e^{-4x}$。所以函数 $g(x)=\left\{\be... | 函数与方程的综合应用；函数解析式的求解方法与常用方法；奇偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合 | |
zh_2603_math_0017 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=\log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{8})$ 和 $g(x)=\log\frac{1}{2}\sqrt{x}$。
(1) 当 $x\in[2, 16]$ 时，求函数 $h(x)=f(x)g(x)$ 的值域；
(2) 若 $\forall x \in [2, 16]$，不等式 $f(x^2) \cdot f(\sqrt{x}) + k \cdot g(x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围。 | [
"$[-4,\\frac{9}{4}]$",
"$(-\\infty, -12)$"
] | 解：(1) $f(x)=\log_{\sqrt{2}}(\frac{x}{8})=2(\log_{2}x-3)$，$g(x)=\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x}=-\frac{1}{2}\log_{2}x$，因此 $h(x)=f(x)g(x)=-\log_{2}x(\log_{2}x-3)$。设 $\log_{2}x=t$，由 $x\in[2,16]$ 得 $t\in[1,4]$。令 $m(t)=-t(t-3)=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$ $(1\leq t\leq 4)$。当 $t=\frac{3}{2}$，即 $x=2\sqrt{2}$ 时，$h(x)_{max}=\fr... | 恒成立问题；对数函数的定义域 | |
zh_2603_math_0018 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知集合A={y|y=log_{2}x, x>\frac{1}{2}}, B={y|y=\frac{1}{2^{x}}, x>0}, 则A∩B=( ) \n\nA. {x| -1<y<1} B. {y|0<y<1} C. {y|y>1} D. ∅ | [
"B"
] | 【解析】解：集合A={y|y=log_{2}x, x>\frac{1}{2}}={y|y>-1}, B={y|y=\frac{1}{2^{x}}, x>0}={y|0<y<1}, 则A∩B={y|0<y<1}. 故选B. | 集合交集运算；指数函数的值域；对数函数的值域 | |
zh_2603_math_0019 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 2. 已知 $a\geqslant0$, $b\geqslant0$，且 $ab+2a-b=6$，则 $a+b$ 的最小值为（ ）
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$ | [
"B"
] | 【解析】由 $ab+2a-b=6$ 得 $(a-1)(b+2)=4$。因为 $a\geqslant0$，$b\geqslant0$，则 $b+2>0$，可知 $a-1>0$。于是 $a+b=(a-1)+(b+2)-1\geqslant2\sqrt{(a-1)(b+2)}-1=4-1=3$，当且仅当 $a-1=b+2$ 时取等号，即 $a=3$，$b=0$。故选：B。 | 利用基本不等式求最值 | |
zh_2603_math_0020 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 在平面直角坐标系中，设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴。将角α的终边逆时针旋转$\frac{\pi}{6}$，与单位圆交点的纵坐标为$\frac{3}{5}$。则$\sin(\frac{\pi}{6}-2\alpha)=$() \n\nA. $-\frac{7}{25}$ B. $\frac{7}{25}$ C. $-\frac{16}{25}$ D. $\frac{16}{25}$ | [
"B"
] | [解]由题意，得$\sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{5}$。所以$\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})=\cos[2(\alpha+\frac{\pi}{6})]=1-2\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{6})=1-2\times\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$。因此$\sin(\frac{\pi}{6}-2\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}-(2\alpha+\frac{\pi}{3})]=\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{7}{25}$。故选B。 | 二倍角的三角函数求值；任意角三角函数的定义 | |
zh_2603_math_0021 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 4. $\sin 1$，$\cos 1$，$\tan 1$ 与 1 的大小顺序是 ( ) \n\nA. $\tan 1 > 1 > \cos 1 > \sin 1$ B. $\tan 1 > 1 > \sin 1 > \cos 1$ C. $1 > \tan 1 > \sin 1 > \cos 1$ D. $1 > \sin 1 > \cos 1 > \tan 1$ | [
"B"
] | 解：因为 1 = $\frac{180°}{\pi}$ ≈ 57°18′ > 45°，所以 1 弧度是第一象限角。在第一象限，$y = \tan x$ 单调递增，因此 $\tan 1 > \tan 45° = 1$；在第一象限，$y = \cos x$ 单调递减，因此 $\cos 1 < \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$；在第一象限，$y = \sin x$ 单调递增，因此 $1 = \sin 90° > \sin 1 > \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$；综上所述，$\tan 1 > 1 > \sin 1 > \cos 1$。故选 B。 | 正弦函数的单调性；余弦函数的单调性；正切函数的单调性与周期性 | |
zh_2603_math_0022 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 8月29日，华为在其官方网站正式发布Mate60手机。其大部分组件已实现国产化，5G技术遥遥领先。5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：$C=\mathrm{W} \log _{2}\left(1+\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}\right)$。该公式表明，在受噪声干扰的信道中，最大信息传输速率$C$取决于信道带宽$\mathrm{W}$、信道内信号的平均功率$\mathrm{S}$以及信道内的高斯噪声功率$N$，其中$\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}$称为信噪比。当信噪比很大时，对数中的1可以忽略。根据香农公式，若带宽$\mathrm{W}$保持不变，信噪比从1000提升至5... | [
"C"
] | 解：由题意得，$\frac{W1\log_{2}5000}{W1\log_{2}1000}-1=\frac{1g5000}{1g1000}-1=\frac{3+1g5}{3}-1=\frac{4-1g2}{3}-1\approx\frac{1-0.301}{3}\approx23\%$，所以$C$大约增加23%。
故选：C。 | 根据实际问题选择合适的函数类型 | |
zh_2603_math_0023 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 6. 下列函数中，既是减函数又是奇函数的是 ( ) \n\nA. $y=ln(x^{2}+1)$\n\nB. $y=ln\frac{1+x}{1-x}$\n\nC. $y=ln(e^{x}+1)-\frac{1}{2}x$\n\nD. $y=ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)$ | [
"D"
] | 解：A：$y=ln\left(1+x^{2}\right)$ 是偶函数，不符合条件；B：由 $\frac{1+x}{1-x}>0$ 得 -1<x<1，由于 $t(x)=\frac{1+x}{1-x}=-1-\frac{2}{x-1}$ 在 (-1,1) 上单调递增，根据复合函数的单调性，$y=ln\frac{1+x}{1-x}$ 在 (-1,1) 上单调递增，不符合条件；C：设 $g(x)=ln\left(1+e^{x}\right)-\frac{1}{2}x=ln\left(1+e^{x}\right)-ln\frac{1}{2}x=ln\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x\right)$ ，定义域为 $... | 奇偶性与单调性的综合。#JYEOO.COM 鸡优网 | |
zh_2603_math_0024 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)$，对于任意 $x, y \in \mathbb{R}$，恒满足 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x) \cdot f(y)$，且 $f(1)=\frac{1}{2}$，则下列说法正确的是 ( ) \n\nA. $f(0)=0$\n\nB. $f(x)$ 是奇函数\n\nC. $f(x)≥-1$\n\nD. $f(2025)=1$ | [
"C"
] | [解] 根据已知条件，可取 $f(x)=\cos \frac{\pi x}{3}$，则 $f(0)=1$，$f(x)$ 是偶函数，$f(x)\geqslant-1$，且 $f(2025)=\cos (675\pi)=-1$。\n\n因此 $ABD$ 错误，$C$ 正确。故选 $C$。 | 抽象函数的周期性；函数值；抽象函数的奇偶性 | |
zh_2603_math_0025 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=3\sqrt{5}\sin\omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x(\omega>0)$ 在区间 $[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ 上恰有两个对称中心，且 $f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{\pi}{2})$，则 $\omega$ 的所有可能取值之和为 () \n\nA. $6$ B. $\frac{21}{2}$ C. $\frac{23}{2}$ D. $16$ | [
"D"
] | 【解析】解：由已知函数 $f(x)=3\sqrt{5}\sin\omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x(\omega>0)=6\sqrt{5}\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})$ 在区间 $[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$ 上恰有两个对称中心，且 $f(\frac{\pi}{6})=f(\frac{\pi}{2})$，则其最小正周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，且有 $\frac{T}{2}\leqslant\frac{\pi}{3}<\frac{3T}{2}$，即 $\frac{\pi}{\omega}\leqslant\frac{\pi}... | 正弦函数的奇偶性与对称性；三角恒等变换与化简求值 | |
zh_2603_math_0026 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9.已知函数 $f(x)=\frac{2^{x}-b}{2^{x}+b}$，且 $f(2)=\frac{3}{5}$，则（ ）
A．b=1 B．f(x)是减函数 C．函数f(x)的值域为(-1, 1) D．不等式f(3x^{2}-1)+f(x-3)<0的解集为(-\frac{4}{3}, 1) | [
"ACD"
] | 解：对于函数$f(x)=\frac{2^{x}-b}{2^{x}+b}$，则$f(2)=\frac{4-b}{4+b}=\frac{3}{5}$，解得b=1，A正确；$f(x)=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=1-\frac{2}{2^{x}+1}$，$f(x)$在R上单调递增，B错误；$\because 2^{x}>0$，$\therefore 2^{x}+1>1$，$0<\frac{1}{2^{x}+1}<1$，$-2<\frac{-2}{2^{x}+1}<0$，$\therefore -1<1+\frac{-2}{2^{x}+1}<1$，$\therefore$函数$f(x)$的值域为(-1, 1)，C正确；$... | 奇偶性与单调性的综合 | |
zh_2603_math_0027 | 2603 | math | 选择题 | 6 | (多选题)10. 下列命题中，正确的是（ ）\n\nA. 若$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$，则$a>b$\n\nB. 若$0<ac<bc$，则$a^{2}<b^{2}$\n\nC. 若$b>a>0$，$m>0$，则$\frac{b}{a}>\frac{b+m}{a+m}$ \n\nD. 若a＜b＜0，则$(a+\frac{1}{b})^{2}＞(b+\frac{1}{a})^{2}$ | [
"BCD"
] | [解析]解：当a=-1，b=1时，A显然错误；由0＜ac＜bc，得c≠0，当c>0时，得0＜a＜b，则$a^{2}＜b^{2}$，当c<0时，得b＜a＜0，则$a^{2}＜b^{2}$，B正确；若b>a>0，m>0，则b(a+m)-a(b+m)=(b-a)m>0，所以b(a+m)>a(b+m)>0，因此$\frac{b}{a}＞\frac{b+m}{a+m}$，C正确；若a<b<0，则$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}＜0$，所以a+$\frac{1}{b}$ ＜ b+$\frac{1}{a}$ ＜0，因此(a+$\frac{1}{b}$)^{2}＞(b+$\frac{1}{a}$)^{2}，D正确。故选：BCD。 | 等式与不等式的性质 | |
zh_2603_math_0028 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）11. 在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，定义“15°旋转跳跃”如下：以原点O为中心，将当前点绕O逆时针旋转15°，再将新点到O的距离乘以$\sqrt{3}$。从A开始，连续进行n次“15°旋转跳跃”，得到点列$P_{1}$，$P_{2}$，…，$P_{n}$。参考数据：ln1013=6.92，ln3=1.10。下列说法正确的是（ ）\n\nA. 点$P_{1}$的坐标为$(2\sqrt{3}\cos15^{\circ}, 2\sqrt{3}\sin15^{\circ})$\n\nB. 设$P_{n}$的坐标为$(x_{n}, y_{n})$，则$x_{n}+y_{n}=2^{\frac{3}{2}}3^{\frac... | [
"AC"
] | 解：以原点O为中心，将点A(2,0)绕O逆时针旋转15°，再将新点到O的距离乘以$\sqrt{3}$得到点$P_{1}$。则$|O P_{1}|=2\sqrt{3}$，且15°角的终边为$O P_{1}$。设$P_{1}(x,y)$，则$x=2\sqrt{3}\cos 15^{\circ}$，$y=2\sqrt{3}\sin 15^{\circ}$，所以$P_{1}(2\sqrt{3}\cos 15^{\circ},2\sqrt{3}\sin 15^{\circ})$，故A正确。同理可得$x_{n}=2\cdot(\sqrt{3})^{n}\cos (15n)^{\circ}$，$y_{n}=2\cdot(\sqrt{3})^{n}... | 轨迹方程 | |
zh_2603_math_0029 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 若幂函数 $f(x)=(m^{2}-3m+3)x^{m}$ 为偶函数，且函数 $y=f(x)-ax+a+1$ 的最小值为 2，则实数 $a=$______。 | [
"2"
] | 【解答】解：因为 $f(x)=(m^{2}-3m+3)x^{m}$ 是幂函数，所以 $m^{2}-3m+3=1$，解得 $m=1$ 或 $m=2$。当 $m=1$ 时，$f(x)=x$ 是奇函数，不符合条件；当 $m=2$ 时，$f(x)=x^{2}$ 是偶函数，符合条件。此时，函数 $y=f(x)-a x+a+1=x^{2}-a x+a+1=(x-\frac{a}{2})^{2}-\frac{a^{2}}{4}+a+1$，则当 $x=\frac{a}{2}$ 时，函数取得最小值 $-\frac{a^{2}}{4}+a+1$，则 $-\frac{a^{2}}{4}+a+1=2$，整理得：$a^{2}-4a+4=0$，解得 $a=2$... | 利用函数的最值求解函数或参数；求幂函数的解析式 | |
zh_2603_math_0030 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 13. 设计一条宽30m的道路弯道。弯道的内侧边缘和外侧边缘分别是两个同心圆上的圆弧。弯道中心线到圆心的距离为$45m$（如图所示）。中心线与弯道的内、外侧边缘等距。道路外侧边缘的弧长为$40\pi m$。则该段道路所占面积为________。（单位：$m^{2}$） | [
"900\\pi"
] | 解：由题意，道路的外半径为$OC=45+15=60$，内半径为$OE=45-15=30$。则圆心角为$\frac{40\pi}{60}=\frac{2\pi}{3}$。因此，道路所占面积为$S=S_{扇形COD}-S_{扇形EOF}=\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{3}\times60^{2}-\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{3}\times30^{2}=900\pi m^{2}.$ 故答案为：$900\pi.$ | 扇形面积公式；弧长公式 | |
zh_2603_math_0031 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 如图所示为一个抽象的城区道路网，其中线段 $|AB|$ 为欧氏空间定义的两点间最短距离，但在城区道路网中，我们只能沿道路行走，不能穿越墙壁。在“曼哈顿几何”中，两点间最短距离记为 $d(A,B)$，定义为 $d(A,B)=|AC|+|CB|$。若 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $d(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$，也称为“曼哈顿距离”。设 $d(a,n)=|ax-1|+|ax-2|+|ax-3|+\cdots+|ax-n|$ 为“曼哈顿拓展距离”，它由 $n$ 个绝对值的和组成，其中 $n$ 为正整数。例如：$d(3,2)=|3x-1|+|3x-2|$。若 $\forall x\in\m... | [
"(-\\infty,1]"
] | 解：根据曼哈顿距离的定义：$d(A,B)=\left|AC\right|+\left|CB\right|$，若 $A\left(x_{1},y_{1}\right)$，$B\left(x_{2},y_{2}\right)$，则 $d(A,B)=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right|$。由此可得，对于 $\forall x\in\mathbf{R}$，$d(3,2)\geqslant m$ 恒成立。当 $x\leqslant\frac{1}{3}$ 时，$d(3,2)=\left|3x-1\right|+\left|3x-2\right|=1-3x+2-3x=3-6x\geq... | 两点间距离公式 | |
zh_2603_math_0032 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 如图所示，单位圆$O$与$x$轴正半轴交于点$A$，点$C$、$B$在圆$O$上，且点$C$在第一象限。点$B$的坐标为$\left(\frac{2}{5}, \frac{\sqrt{21}}{5}\right)$，$\angle AOC=\alpha$，$\triangle BOC$为等边三角形。
(1) 求$\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}$的值；
(2) 化简$\frac{\sin(\pi-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin(\frac{3\pi}... | [
"（1） $\\frac{2}{5}$",
"（2） $\\frac{\\sqrt{21}-2\\sqrt{3}}{10}$"
] | 解：(1) 由题意，$\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\sqrt{3}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1)+\frac{\sqrt{3}}{2}(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha=\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})$。又因为$\angle AOC=\alpha$，则角$\alpha+\frac{\p... | 二倍角的三角函数值求法；任意角的三角函数定义；利用诱导公式化简求值 | |
zh_2603_math_0033 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 设函数 $f(x)=ax-(1+a^{2})x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x|f(x)>0\}$。
(I) 求 $I$ 的长度（注：区间 (α, β) 的长度定义为 β-α）；(II) 给定常数 $k \in (0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 的最小长度。 | [
"None"
] | [解] (I) 由于方程 $ax-(1+a^{2})x^{2}=0(a>0)$ 有两个实根 $x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{a}{1+a^{2}}>0$，$f(x)>0$ 的解集为 $\{x|x_{1}<x<x_{2}\}$，因此区间 $I=(0,\frac{a}{1+a^{2}})$，区间长度为 $\frac{a}{1+a^{2}}$。
(II) 令 $d(a)=\frac{a}{1+a^{2}}$，则 $d'(a)=\frac{1-a^{2}}{(1+a^{2})^{2}}$。
令 $d'(a)=0$ 得 $a=1$。由于 $0<k<1$，
当 $1-k\leqslant a<1$ 时，$d'(a)>0$，所... | 基本初等函数的导数；一元二次不等式及其应用 | |
zh_2603_math_0034 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 三角形ABC的顶点A和B分别在矩形CDEF的边DE和EF上移动，已知$CD=\sqrt{3}$，$DE=1$，$\angle ACB=\frac{\pi}{4}$。设$\angle ACD=\theta$，三角形ABC的面积为$f(\theta)$。\n\n(1) 推导$f(\theta)$的表达式；(2) 求$f(\theta)$的最小值。 | [
"(1) $f(\\theta)=\\frac{\\sqrt{6}}{4\\cos\\theta\\cos(\\frac{\\pi}{4}-\\theta)}$，$\\theta\\in[0,\\frac{\\pi}{6}]$",
"(2) $\\sqrt{6}-\\sqrt{3}$"
] | 解：(1) 在直角三角形ADC中，AC=$\frac{CD}{\cos\angle ACD}$=$\frac{\sqrt{3}}{\cos\theta}$，\n\n在直角三角形BCF中，$\angle BCF$=$\frac{\pi}{2}$-$\angle ACB$- $\theta$=$\frac{\pi}{4}$-$\theta$，所以BC=$\frac{CF}{\cos\angle BCF}$=$\frac{1}{\cos( \frac{\pi}{4}-\theta )}$，\n\n因此，三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC·BCsin$\frac{\pi}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×... | 三角形中的几何计算；三角恒等式的应用 | |
zh_2603_math_0035 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 定义中心对称函数：设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$。若对于 $\forall x \in D$，有 $f(2m-x)+f(x)=2n$，则称函数 $f(x)$ 为中心对称函数，其中 $(m,n)$ 是函数 $f(x)$ 的对称中心。例如，函数 $y=\frac{1}{x}+1$ 是一个中心对称函数，其对称中心为 $(0,1)$。 \n\n(1) 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的图像关于点 $(1,2)$ 中心对称，且当 x>1 时，$f(x)=x(x+1)$，求 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的值； \n\n(2) 已知函数 $f(x)=\frac{1}{2^{x}-1}$ 是一个中心对... | [
"（1） $f(0)=-2$ ， $f(1)=2$",
"(2) $(0, -\\frac{1}{2})$",
"(3) [-4, -1]"
] | [解答] 解：由于 f(x) 满足对于 $\forall x\in D$，有 $f(2m-x)+f(x)=2n$，则称函数 f(x) 为中心对称函数，其中 (m,n) 是函数 f(x) 的对称中心。 \n\n(1) 首先，由当 x>1 时，f(x)=x(x+1)，得 f(2)=2×(2+1)=6。由于函数 f(x) 的图像关于点 (1,2) 中心对称，有 f(2-x)+f(x)=4。令 x=1，则 2f(1)=4，所以 f(1)=2。 \n\n令 x=0，则 f(2)+f(0)=4，所以 f(0)=4-f(2)=4-6=-2。 (2) 令 $2^{x}-1\neq0$，解得 x≠0，所以 f(x) 的定义域为 $(-\infty,0... | 函数恒成立问题；奇偶函数图像的对称性；奇偶性与单调性的综合 | |
zh_2603_math_0036 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 19. 已知集合 $A=\{1, 2, \cdots, n-1\}$，集合 $\mathbb{B}_{m}=\left\{\mathbf{x}\left|\frac{\mathbf{x}^{2}-\mathbf{m}}{\mathbf{n}}\in\mathbb{Z},\mathbf{x},\mathbf{m}\in A\right.\right\}$，且 $|B_{m}|$ 表示集合 $B_{m}$ 中元素的个数。\n\n(1) 若 n=5，求 $B_{1}$ 和 $B_{2}$；(2) 若 n=97。 ① 求 $|B_{m}|$ 的最大值；② 证明：$|B_{1}|+|B_{2}|+\cdots+|B_{n-1}|\geq96.... | [
"（1） $B_{1}=\\{1，4\\},B_{2}=\\varnothing$",
"（2）①2；②证明见解答."
] | 解：(1) $\mathbf{B}_{1}=\{\mathbf{x}|\frac{x^{2}-1}{5}\in\mathbb{Z},\ \mathbf{x},m\in A\}=\{1,4\},B_{2}=\varnothing;$ (2) ① $|B_{m}|$ 的最大值为 2，证明如下：$\frac{1^{2}-1}{97}=0\in\mathbb{Z},\frac{96^{2}-1}{97}=\frac{97\times95}{97}=95\in\mathbb{Z}$，则 1, 96 $\in B_{1}$，即存在非空集合 $B_{m}$。取非空集合 $B_{m}$，且 $x_{0}\in B$，(i) $\frac{x_{0}... | 数列求和。 | |
zh_2603_math_0037 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 1. 与 $-2025^{\circ}$ 终边相同的角是 ( )
A. $25^{\circ}$ B. $113^{\circ}$ C. $135^{\circ}$ D. $225^{\circ}$ | [
"C"
] | [分析] 利用终边相同的角的概念，找出与 $-2025^{\circ}$ 终边相同且在 $0^{\circ}\sim360^{\circ}$ 范围内的角。
解：由于 $-2025^{\circ}=135^{\circ}-360^{\circ}\times6$，与 $-2025^{\circ}$ 终边相同的角是 $135^{\circ}$。故选 C。 | 终边相同的角 | |
zh_2603_math_0038 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $cos(\frac{9\pi}{2}-\alpha)=\frac{7}{8}$，则 $sin(3\pi+\alpha)=$()
A. $-\frac{7}{8}$ B. $\frac{7}{8}$ C. $-\frac{\sqrt{15}}{8}$ D. $\frac{\sqrt{15}}{8}$ | [
"A"
] | [解析] 解：因为 $cos(\frac{9\pi}{2}-\alpha)=cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=sin\alpha=\frac{7}{8}$，所以 $sin(3\pi+\alpha)=-sin\alpha=-\frac{7}{8}$。故选：A。 | 利用诱导公式进行化简与求值 | |
zh_2603_math_0039 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知tanα=2，则$\frac{4\sinα-2\cosα}{5\sinα+3\cosα}$的值为（）\n\nA. $-\frac{10}{7}$ B. $\frac{10}{7}$ C. $-\frac{6}{13}$ D. $\frac{6}{13}$ | [
"D"
] | 【解答】解：由题意，将$\frac{4\sin\alpha-2\cos\alpha}{5\sin\alpha+3\cos\alpha}$变形，代入$\tan\alpha=2$，得$\frac{4\sin\alpha-2\cos\alpha}{5\sin\alpha+3\cos\alpha}=\frac{4\tan\alpha-2}{5\tan\alpha+3}=\frac{8-2}{10+3}=\frac{6}{13}$。故选：D。 | 同角三角函数的基本关系 | |
zh_2603_math_0040 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 折扇与书画的结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值。图片展示了一把书法折扇的一部分，则扇面的面积为（）
A．1000cm^{2} B．900cm^{2} C．800cm^{2} D．700cm^{2} | [
"B"
] | 【解析】解：如图所示，
延长$AD$与$BC$交于点$O$，
设扇形半径$OA=r$，圆心角$\angle AOB=\alpha$，则$\begin{cases}60=\alpha r \\30=\alpha (r-20)\end{cases}$，解得$\alpha=1.5$，$r=40$，
所以扇面的面积为$\frac{1}{2} \times 40 \times 60-\frac{1}{2} \times 30 \times (40-20)=900 c m^{2}$。
因此，选：B。 | 扇形面积公式 | |
zh_2603_math_0041 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 5. 若 $a=\sin35^{\circ}$, $b=\cos55^{\circ}$, $c=\tan48^{\circ}$，则 ( ) \n\nA. $c<b<a$ B. $b<a<c$ C. $b<c<a$ D. $a<b<c$ | [
"D"
] | [解析] 根据题意，$a=\sin33^{\circ}$，$b=\cos55^{\circ}$，$c=\tan48^{\circ}$。利用诱导公式，$b=\cos55^{\circ}=\sin35^{\circ}$。函数 $y=\sin x$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上单调递增；因此 $\sin33^{\circ}<\sin35^{\circ}=\cos55^{\circ}<1$。函数 $y=\tan x$ 在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 上单调递增，所以 $\tan48^{\circ}>\tan45^{\circ}=1$。因此 $a<b<c$。故选 D。 | 正弦函数的单调性；正切函数的单调性与周期性 | |
zh_2603_math_0042 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 函数 $f(x)=\left(1-\frac{2}{1+e^{x}}\right) \sin x$ 的图像大致形状为（ ）\\n\n | [
"A"
] | 【分析】判断函数的奇偶性，结合对称性和极限思想进行判断。\\n\n解：$f(x)=\frac{1+e^{x}-2}{1+e^{x}}\cdot\sin x=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot\sin x$ ，\\n则 $f(-x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\cdot\sin(-x)=\frac{1-e^{x}}{1+e^{x}}(-\sin x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot\sin x=f(x)$ ，\\n所以函数 $f(x)$ 是偶函数，其图像关于y轴对称，排除C和D。\\n当x>0且x→0时，$f(x)>0$，排除B。\\n故选：A。 | 函数的图像及其变换 | |
zh_2603_math_0043 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $\frac{\cos2\theta}{\cos(\theta-\frac{\pi}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\sin2\theta$=() \n\nA. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{5}{4}$ D. $\frac{3}{2}$ | [
"B"
] | 【解】解：因为 $\frac{\cos2\theta}{\cos(\theta-\frac{\pi}{4})}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， \n所以 $\frac{\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta}{\cos\theta\cos\frac{\pi}{4}+\sin\theta\sin\frac{\pi}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$， \n所以 $\frac{(\cos\theta-\sin\theta)(\cos\theta+\sin\theta)}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\theta+\sin\theta)}$=$\frac{\sqrt{2}}... | 求二倍角三角函数值 | |
zh_2603_math_0044 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 若点 $P_{k}$ 的坐标为 $(\sin\frac{1-k}{12}\pi,\sin\frac{5+k}{12}\pi)$，始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 $OP_{k}$，对应的角为 $\theta_{k}$（$O$ 为原点），则 $\cos\theta_{1}+\cos\theta_{2}+\cos\theta_{3}+\cdots+\cos\theta_{25}=$() \n\nA. $-1$ B. $0$ C. $1$ D. $2$ | [
"B"
] | [解析] 解：点 $P_{k}$ 的坐标为 $(\sin \frac{1-k}{12} \pi$, $\sin \frac{5+k}{12} \pi)$。利用三角恒等式 $\sin \alpha=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$，可得： \n$\sin \frac{1-k}{12} \pi=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{1-k}{12} \pi\right)=\cos \frac{5+k}{12} \pi$， \n所以点 $P_{k}$ 的坐标可表示为 $(\cos \frac{5+k}{12} \pi$, $\sin \frac{5+k}{12} \pi... | 任意角三角函数的定义 | |
zh_2603_math_0045 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9. 下列命题中正确的是( ) \n\nA．小于90°的角是锐角 B．若角α与角β的终边相同，则α=β C．钝角是第二象限角 D．经过4小时，时针旋转了-120° | [
"CD"
] | 【分析】根据角的定义，对各选项逐一分析即可。\n\n解：小于90°的角还包括零角和负角；锐角是大于0°且小于90°的角，故A错误；\n若$\alpha=90^{\circ}$，$\beta=90^{\circ}+360^{\circ}=450^{\circ}$，则角α与角β的终边相同，但$\alpha\neq\beta$，故B错误；\n因为大于90°且小于180°的角是钝角，钝角的终边在第二象限，所以钝角是第二象限角，故C正确；\n经过4小时，时针旋转了$-\frac{4}{12}\times360^{\circ}=-120^{\circ}$，故D正确。\n故选：CD。 | 终边相同的角；象限角与轴线角；任意角的概念 | |
zh_2603_math_0046 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （选择题）10. 已知函数 $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$，则（ ）\n\nA. $\frac{\pi}{2}$ 是 $f(x)$ 的一个周期\n\nB. $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbb{Z}$ 对称\n\nC. $x=\frac{\pi}{3}$ 是 $f(x)$ 的一个零点\n\nD. $f(x)$ 在区间 $[-\frac{7\pi}{12},-\frac{\pi}{12}]$ 上单调递增 | [
"BD"
] | 【解】解：函数 $f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})$，$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，所以 $\frac{\pi}{2}$ 不是 $f(x)$ 的一个周期，A 不正确；\n令 $2x+\frac{\pi}{6}=k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，解得 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbb{Z}$，\n则 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}$，$k\in\mathbb{Z}$ 对称，B 正确；\n因为 $f(\frac{\pi}{3})=\cos(2\times\frac{... | 余弦函数的单调性；三角函数的周期性；余弦函数的图像 | |
zh_2603_math_0047 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）11. 已知偶函数 $f(x)$ 定义在 $\mathbf{R}$ 上，且 $f(x)+f(-x-2)=-2$，$f(0)=1$，则下列说法正确的是（ ） \n\nA. $f(x)=f(x+4)$ \n\nB. 函数 $f(x)$ 的图像关于直线 x=2 对称 \n\nC. $f(3)=1$ \n\nD. $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(20)=-20$ | [
"ABD"
] | 【解答】解：因为 $f(x)$ 是偶函数，且 $f(x)+f(-x-2)=-2$，所以 $f(x)+f(x-2)=-2$，即 $f(x)=-f(x-2)-2$， \n则 $f(x+4)=-f(x+2)-2=-(-f(x)-2)-2=f(x)$，周期为4，故 A 正确； \n因为 $f(x)$ 是偶函数，$f(-x)=f(x)=f(x+4)$，即函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称，故 B 正确； \n因为 $f(1)+f(3)=-2$，且函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称， \n所以 $f(1)=f(3)=-1$，$f(0)=f(4)=1$，$f(2)+f(0)=-2$，$f(2)=-3$，故 C ... | 抽象函数的周期性；函数的奇偶性 | |
zh_2603_math_0048 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 12. 角 $\frac{\pi}{4}+\alpha$ 和 $\frac{\pi}{4}-\alpha$ 的终边分别与单位圆交于点 $A$ 和 $B$，则 $A$ 与 $B$ 的位置关系是__________。 | [
"关于直线 $y=x$ 对称．"
] | [解] 设点 $A$ 的坐标为 $(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha),\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha))$，点 $B$ 的坐标为 $(\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha),\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha))$。则 $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}+\alpha)]=\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)$，$\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)=\cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}+\alpha)]=\cos(... | 任意角的三角函数定义 | |
zh_2603_math_0049 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知 $2\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$，则 $\cos(2\alpha+\frac{\pi}{6})=$____________________。 | [
"-\\frac{\\sqrt{3}}{6}."
] | 【解】解：因为 $2\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\sqrt{3}\sin\alpha\cos\alpha$，所以 $1+\cos2\alpha-\frac{1-\cos2\alpha}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha$，即 $\frac{3}{2}\cos2\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2\alpha=-\frac{1}{2}$，所以 $\cos(2\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\alpha-\frac{1}{2}\sin2\alpha=\frac{1}{2\sqrt{3}}=-\... | 二倍角三角函数；同角三角函数的基本关系 | |
zh_2603_math_0050 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知函数 $f(x)=2\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})+1$，$\omega>0$ 在 $(0,\pi)$ 上恰有两个零点，则 $\omega$ 的取值范围是________________。 | [
"(1,\\frac{5}{3}]."
] | 【解】解：令 $2\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})+1=0$，
解得 $\sin(2\omega x-\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$，
由于 $0<x<\pi$，可得 $-\frac{\pi}{6}<2\omega x-\frac{\pi}{6}<2\omega\pi-\frac{\pi}{6}$，
因为 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上恰有两个零点，
所以 $\frac{11\pi}{6}<2\omega\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{19\pi}{6}$，解得 $1<\omega\leqslant\frac{5}{3}$。
因此 $\om... | 正弦函数的图像 | |
zh_2603_math_0051 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 15. 化简并求值：
(1) $\tan20^{\circ}+4\sin20^{\circ}$;
(2) $\frac{\sqrt{3}\tan10^{\circ}+1}{(2\cos^{2}10^{\circ}-1)\sin10^{\circ}}$. | [
"(1) $\\sqrt{3}$",
"(2) 8"
] | 解：(1) tan20°+4sin20°=$\frac{sin20°}{cos20°}$+4sin20°=$\frac{sin20°+4sin20°cos20°}{cos20°}$
=$\frac{sin20°+2sin40°}{cos20°}$=$\frac{sin20°+2sin(60°-20°)}{cos20°}$
=$\frac{sin20°+\sqrt{3}cos20°-sin20°}{cos20°}$=$\sqrt{3}$;
(2) $\frac{\sqrt{3}tan10°+1}{(2cos^{2}10°-1)sin10°}$=$\frac{\sqrt{3}sin10°+cos10°}{cos20°sin10°}... | 两角和与差的三角函数值的求解 | |
zh_2603_math_0052 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 已知函数 $f(x)=2\sin x+1$。 \n\n(1) 请用“五点法”画出函数 $f(x)$ 在 $[\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{2}]$ 上的图像（先列表，再画图）； \n\n(2) 求 $y=f(2x+\frac{\pi}{3})\geqslant2$ 的解集。\n\n | [
"（1）列表如下： \\n\\n<table><thead><tr><td>x</td><td>π/6</td><td>π/2</td><td>π</td><td>3π/2</td></tr></thead><tbody><tr><td>sinx</td><td>1/2</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>2sinx+1</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>-1</td></tr></tbody></table>\\n\\n在平面直角坐标系中描点，再连线，得$f(x)$在$[\\frac{\\pi}{6}，\\frac{3\... | 【解】解：（1）列表如下： \n\n<table><thead><tr><td>x</td><td>π/6</td><td>π/2</td><td>π</td><td>3π/2</td></tr></thead><tbody><tr><td>sinx</td><td>1/2</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td></tr><tr><td>2sinx+1</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>-1</td></tr></tbody></table> \n\n在直角坐标系中描点，连线得到 $f(x)$ 在 $[\frac{\pi}{6},\frac{3\pi}{2}]... | 五点法画函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像 | |
zh_2603_math_0053 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 在三角形ABC中，BC=3，AD是BC边上的高，垂足D在线段BC上，且BD=2DC。已知三角形ABC的面积为3。
(1) 求 $\sin C$；
(2) 求 $\frac{\sin(\pi+B)\tan(\pi-B)}{\cos(\frac{\pi}{2}+B)\sin(\frac{\pi}{2}-B)}$ 的值；
(3) 求 $\sin 2A+\cos 2A-\tan 2A$ 的值。 | [
"（1） $\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$",
"（2） $\\sqrt{2}$",
"（3） $\\frac{11}{20}$"
] | 解：(1) 如图所示，因为BC=3，AD是BC边上的高，所以 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\times3AD=3$，解得AD=2。
由于 $BD=2DC$，则 $BD=2$，$CD=1$，于是 $\overline{AC}=\sqrt{\overline{AD}^2+\overline{DC}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$。在直角三角形ACD中，$\sin C=\frac{... | 三角形中的几何计算；利用诱导公式进行化简求值 | |
zh_2603_math_0054 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=2\sin^{2}x+2\sqrt{3}\sin x\cdot\cos x-1$。\n\n(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间；\n\n(2) 若 $g(x)=2f(x+a)(|a|<\frac{\pi}{2})$ 且 $g(0)=2$，求 $g(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi}{3},\pi]$ 上的最小值。 | [
"（1） $[k\\pi-\\frac{\\pi}{6},k\\pi+\\frac{\\pi}{3}]$ ， $k\\in\\mathbb{Z}$",
"（2） -4"
] | 解：(1) 由已知条件，$f(x)=2\times\frac{1-\cos2x}{2}+\sqrt{3}\sin2x-1=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$。令 $2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得 $k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{\pi}{3}$，$k\in\mathbb{Z}$。因此，$f(x)$ 的单调递增区间为 $[k\pi-\frac{\pi}{6... | 三角恒等式的应用；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性 | |
zh_2603_math_0055 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 人脸识别技术正深刻改变各行各业人们的生活。所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或图像，从中提取有效的识别信息，最终识别出目标身份。在人脸识别中，主要利用距离来测试样本之间的相似度。常用的距离有曼哈顿距离和余弦距离。对于二维空间中的两个点 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $B(x_{2},y_{2})$，$A$ 与 $B$ 的曼哈顿距离为：$d(A,B)=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$。$A$ 与 $B$ 的余弦距离为 $1-\cos(A,B)$，其中 $\cos(A,B)=\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\times\frac{x_{2}}{\sqr... | [
"（1）曼哈顿距离为2，其余弦距离为 $\\frac{1}{5}$",
"(2) ①$\\frac{9}{65}$",
"②$\\frac{222}{325}$"
] | 【解】解：(1) $d(A,B)=|2-1|+|-1-(-2)|=2$，1-cos(A,B)=1-($\frac{2}{\sqrt{5}}\times\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{-1}{\sqrt{5}}\times\frac{-2}{\sqrt{5}}$)=$\frac{1}{5}$，所以 A 与 B 的曼哈顿距离为 2，余弦距离为 $\frac{1}{5}$。 \n\n(2) ① 由已知得 $\cos (M, N)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha-\beta)=\frac{12}{13}$，因为 $0<\alpha<\be... | 三角函数的和差公式 | |
zh_2603_math_0056 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 1. 已知集合 $A=\{−2, 1, 2, 3\}$，$B=\{x|x=2k, k\in\mathbb{Z}\}$，则 $A\cap B=$ ( ) \n\nA. {－2, 1} B. {－2, 2} C. {1, 2} D. {2, 3} \n | [
"B"
] | 【解】解：集合 $A=\{−2,1,2,3\}$，$B=\{x|x=2k,k\in\mathbf{Z}\}$，则 $A\cap B=\{−2,2\}.$ 故选：B. \n | 交集及其运算 | |
zh_2603_math_0057 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 2. 已知命题 $p$：$\exists x\in\mathbb{N},x^{2}-2x+3>0$，则命题 $p$ 的否定是（ ）\n\nA. $\forall x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3\leq0$\n\nB. $\forall x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3>0$\n\nC. $\exists x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3\leq0$\n\nD. $\exists x\in\mathbb{N}$, $x^{2}-2x+3>0$ \n | [
"A"
] | 【解答】解：命题 $p$：$\exists x\in\mathbf{N}$, $x^{2}-2x+3>0$，则命题 $p$ 的否定是“$\forall x\in\mathbf{N}$, $x^{2}-2x+3\leq0.$”故选：A. \n | 求存在量词命题的否定 | |
zh_2603_math_0058 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为$\mathbb{R}$的是（ ）\n\nA. $y=2^{x}$ B. $y=(x-1)^{3}$ C. $y=x+\frac{1}{x}$ D. $y=|\ln x|$\n | [
"B"
] | 【解】解：对于A，函数$y=2^{x}$在其定义域$\mathbf{R}$上是增函数，但值域为$(0,+\infty)$，不满足条件；对于B，函数$y=(x-1)^{3}$在其定义域$\mathbf{R}$上是增函数，且值域为$\mathbf{R}$，满足条件；对于C，函数$y=x+\frac{1}{x}$是对勾函数，在其定义域$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$上不是增函数，不满足条件；对于D，函数$y=|\ln x|$在其定义域$(0,+\infty)$上不是增函数，不满足条件。故选：B。\n | 利用函数的单调性求解函数或参数；函数的值域 | |
zh_2603_math_0059 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $x_{0}$ 是函数 $f(x)=e^{x}+x^{3}$ 的一个零点，且 $a\in(-\infty,x_{0})$，$b\in(x_{0},0)$，则 ()\\nA. $f(a)<0$，$f(b)<0$ B. $f(a)>0$，$f(b)>0$ C. $f(a)>0$，$f(b)<0$ D. $f(a)<0$，$f(b)>0$ \\n | [
"D"
] | [解析] 解：因为 $y=e^{x}$ 和 $y=x^{3}$ 在 $\mathbf{R}$ 上都是增函数，所以 $f(x)=e^{x}+x^{3}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。又 $x_{0}$ 是函数 $f(x)=e^{x}+x^{3}$ 的一个零点，$a\in(-\infty,x_{0})$，$b\in(x_{0},0)$，因此 $f(a)<0$，$f(b)>0$。故选 D。\n | 函数零点判定定理 | |
zh_2603_math_0060 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知 $a>0$, $b>0$，则“$a+b\leq2$”是“$ab\leq1$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 | [
"A"
] | 【解析】解：$a>0$, $b>0$，“$a+b\leq2$”，$\Rightarrow2\geq a+b\geq2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\leq1$，所以“$ab\leq1$”成立。当 $a=10$, $b=0.1$ 时，$ab\leq1$，但 $a+b\leq2$ 不成立。即前者能推出后者，但后者不能推出前者。因此，对于 $a>0$, $b>0$，“$a+b\leq2$”是“$ab\leq1$”的充分不必要条件。故选 A。 | 充分不必要条件的判断 | |
zh_2603_math_0061 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=2\sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2})$ 的部分图象如图所示，则 () \n\n \n\nA. $\omega=1$, $\varphi=-\frac{\pi}{4}$ B. $\omega=1$, $\varphi=\frac{\pi}{4}$ C. $\omega=2$, $\varphi=-\frac{\pi}{4}$ D. $\omega=2$,... | [
"B"
] | [解析] 由题意，$\frac{1}{2}T=\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}$，即 $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi$，所以 $\omega=1$，因此 $f(x)=2\sin(x+\varphi)$。 \n\n又 $f(\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{4}\pi)=f(\frac{5\pi}{4})=2\sin(\frac{5\pi}{4}+\varphi)=-2$，所以 $\frac{5\pi}{4}+\varphi=2k\pi+\frac{3\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，解得 $\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k... | 由 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的部分图象确定其解析式 | |
zh_2603_math_0062 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 新闻推送涉及信息检索。若关键词 $w$ 出现在 $D_w$ 个网页中，则 $D_w$ 越大，$w$ 的权重越小；反之亦然。在信息检索中，最常用的权重是“逆文档频率指数 $I_w$”，其中 $I_w=\lg(\frac{D}{D_w})$，$D$ 为网页总数，$D>0$，$D_w>0$。若关键词 $a$ 的逆文档频率指数 $I_a$ 比关键词 $b$ 的逆文档频率指数 $I_b$ 大 2，则 ()\\n\\nA. $D_{b}=2D_{a}$ B. $D_{b}=10D_{a}$ C. $D_{b}=20D_{a}$ D. $D_{b}=100D_{a}$ \\n | [
"D"
] | 【解】解：关键词 $a$ 的逆文档频率指数 $I_{a}$ 比关键词 $b$ 的逆文档频率指数 $I_{b}$ 大 2，所以 $I_{a}-I_{b}=2$，即 $\lg(\frac{D}{D_{a}})-\lg(\frac{D}{D_{b}})=2$，因此 $\lg(\frac{D_{b}}{D_{a}})=2$，所以 $\frac{D_{b}}{D_{a}}=10^{2}=100$，即 $D_{b}=100D_{a}$。故选 D。\\n | 对数运算的求值 | |
zh_2603_math_0063 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 8. 函数 $f(x)=|sinx|+cosx$ 是（ ）
A. 最小值为 $-\sqrt{2}$ 的奇函数
B. 最大值为 $\sqrt{2}$ 的奇函数
C. 最小值为 $-\sqrt{2}$ 的偶函数
D. 最大值为 $\sqrt{2}$ 的偶函数
| [
"D"
] | 解：$\because f(x)=|\sin x|+\cos x$ , $\therefore f(-x)=|\sin(-x)|+\cos(-x)=|\sin x|+\cos x=f(x)$ , $\therefore f(x)$ 是偶函数，排除 $A$ 和 $B$ ; $\therefore f(2\pi+x)=|\sin(x+2\pi)|+\cos(x+2\pi)=|\sin x|+\cos x=f(x)$ , $\therefore$ 当 $x\in[0,\pi]$ 时，$x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$ , $\sin(x+\frac{\pi}{4})\in[... | 三角函数的最大值和最小值；函数的奇偶性 | |
zh_2603_math_0064 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 9. 已知点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是函数 $y=\ln x$ 图像上的两个不同点，则 ( )
A. $e^{y_1+y_2}>\frac{x_1+x_2}{2}$
B. $e^{y_1+x_2}<\frac{x_1+x_2}{2}$
C. $e^{y_1+y_2}>\frac{x_1^2+x_2^2}{2}$
D. $e^{y_1+y_2}<\frac{x_1^2+x_2^2}{2}$
| [
"D"
] | 解：设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$AB$ 的中点为 $M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$。设点 $N$ 在 $y=\ln x$ 的图像上，且 $MN∥x$ 轴，则 $N(e^{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})$。
由图可知，$N$ 在 $M$ 的左侧，即 $\mathrm{e}^{\frac{y_{1}+y_{2}}{2}}<\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，
$\therefore \mathrm{e}^{y_{1}+y_{2}}<\frac{(x_{1... | 对数函数的图像特征与底数的关系；利用基本不等式比较大小 | |
zh_2603_math_0065 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 函数 $f(x)=\ln(1+x)+\sqrt{4-x}$ 的定义域为 ________。 \n | [
"（-1，4］"
] | 【解】解：要使原函数有意义，需满足 $\left\{\begin{array}{l}1+x>0\\4-x≥0\end{array}\right.$，解得 -1<x≤4。因此函数 f(x)=ln(1+x)+$\sqrt{4-x}$ 的定义域为 (-1,4]。故答案为：(-1,4]。 \n | 求对数型复合函数的定义域 | |
zh_2603_math_0066 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 如果$x>1$，则$x+\frac{1}{x-1}$的最小值为____。 \n | [
"3"
] | 解：$\because x>1,$ $\therefore x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1\geqslant2\sqrt{(x-1)\cdot\frac{1}{x-1}+1}=3,$ 当且仅当$x-1=\frac{1}{x-1}$，即$x=2$时取等号，$\therefore$ 当$x=2$时，$x+\frac{1}{x-1}$取得最小值3，故答案为：3。 \n | 基本不等式及其应用 | |
zh_2603_math_0067 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 在直角坐标系 xOy 中，角 α 和角 β 均以 Ox 为始边。若角 α 的终边经过点 P($-\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$)，且角 β 的终边与角 α 的终边关于原点对称，则 $\sinα=$_____________________, $\cosβ=$_____________________。 \n | [
"$\\frac{3}{5}$",
"$\\frac{4}{5}$"
] | 【解】解：角 α 的终边经过点 P(-$\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$)，则 sinα=$\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{{(-\frac{4}{5})}^{2}+{{\frac{3}{5}}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，同理，cosα=-$\frac{4}{5}$，角 β 的终边与角 α 的终边关于原点对称，则 β=α+π+2kπ，k∈Z，cosβ=cos(α+π+2kπ)=-cosα=$\frac{4}{5}$。故答案为：$\frac{3}{5}$ ；$\frac{4}{5}$。 \n | 任意角的三角函数定义 | |
zh_2603_math_0068 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 将函数 $f(x)=\sin 2x$ 的图像向左平移 $\varphi$ （$\varphi>0$）个单位，得到函数 $g(x)$ 的图像。若函数 $g(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $\varphi$ 的一个可能值为 __________。 | [
"$\\frac{\\pi}{4}$"
] | [解答] 解：将函数 $f(x)=\sin2x$ 的图像向左平移 $\varphi$ （$\varphi>0$）个单位，得到函数 $g(x)=\sin(2x+2\varphi)$ 的图像。若函数 $g(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $2\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$ （$k\in\mathbb{Z}$），解得 $\varphi=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$ （$k\in\mathbb{Z}$）。由于 $\varphi>0$，当 $k=0$ 时，$\varphi=\frac{\pi}{4}$。因此，答案为：$\frac{\pi}{4}$（答案不唯一）。 | 函数 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的图像变换 | |
zh_2603_math_0069 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 15. 给定以下五个函数：$y=x$，$y=\frac{1}{x}$，$y=x^{2}$，$y=\ln x$，$y=e^{x}$，从中选择两个函数，分别记为 $f(x)$ 和 $g(x)$。若 $F(x)=f(x)+g(x)$ 的图像如图所示，则 $F(x)=$________。 \n\n \n | [
"$x^{2}+\\frac{1}{x}$"
] | 【解】由题意，因为 $F(x)$ 的定义域为 $\{x|x\neq0\}$，则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 中一定不含 $y=\ln x$，一定含函数 $y=\frac{1}{x}$。令 $f(x)=\frac{1}{x}$。当 $g(x)=x$ 时，$F(x)=x+\frac{1}{x}$，为奇函数，与图像不符。当 $g(x)=e^{x}$ 时，$F(x)=e^{x}+\frac{1}{x}$。当 $x\rightarrow-\infty$ 时，$F(x)<0$，与图像不符。当 $g(x)=x^{2}$ 时，$F(x)=x^{2}+\frac{1}{x}$。当 $x<-1$ 时，$F(x)=\frac{x^{3}+1}{x}<... | 函数的图像与图像变换；对数函数的图像 | |
zh_2603_math_0070 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x, & x\geqslant a, \\ 2^{x}+a, & x<a. \end{cases}$ 有以下四个结论： \n\n①当 $a=1$ 时，$f(x)$ 只有一个零点； \n\n②对于任意 $a>3$，$f(x)$ 既无最大值也无最小值； \n\n③存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增； \n\n④若 $f(x)$ 有最小值，则 $a$ 的最小值为 -1。 \n\n所有正确结论的序号是 ________。 \n | [
"①②④"
] | 解：对于①，当 a=1 时，f(x)=\begin{cases} x^{2}-2x, x\geqslant a \\ 2^{x}+a, x< a \end{cases}。当 x≥1 时，令 f(x)=0，即 $x^{2}-2x=0$，解得 x=0（舍去）或 x=2；当 x<1 时，令 f(x)=0，即 $2^{x}+1=0$，方程无解。因此当 a=1 时，f(x) 只有一个零点，故①正确。对于②，当 a>3 时，由于 $y=x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1$ 在 $[a,+\infty)$ 上严格递增，有 $x^{2}-2x\in[a^{2}-2a,+\infty)$，所以 f(x) 无最大值；又因为 $y=2^{x}+a$... | 分段函数的应用 | |
zh_2603_math_0071 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 17. 已知集合 $A=\{x|x^{2}+4x-5>0\}$, $B=\{x|\ (x-a)(x-1)\leq0\}$.
(1) 当 a=3 时，求集合 $A\cap B$ 和 $(\complement_{\mathbb{R}}A)\cup B$；
(2) 若 $A\cup B=R$，求实数 $a$ 的取值范围。
| [
"$A\\cap B=\\{x\\mid1<x\\leqslant3\\}$",
"$\\left(\\complement_{\\mathbb{R}}A\\right)\\cup B=\\{x\\mid-5\\leqslant x\\leqslant3\\}$",
"$\\{a\\vert a\\leqslant-5\\}$"
] | 解：(1) $A=\{x|x^{2}+4x-5>0\}=\{x|x<-5$ 或 $x>1\}$，$\complement_{\mathbf{R}}A=\{x|-5\leqslant x\leqslant1\}$。当 $a=3$ 时，$B=\{x|(x-3)(x-1)\leqslant0\}=\{x|1\leqslant x\leqslant3\}$。
所以 $A\cap B=\{x|1<x\leq3\}$，$(\complement_{\mathbb{R}}A)\cup B=\{x|-5\leq x\leq3\}$；
(2) 若 $A\cup B=R$，则 $\complement_{\mathbb{R}}A\subsete... | 解一元二次不等式；集合包含关系的应用；集合的交、并、补混合运算 | |
zh_2603_math_0072 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 已知函数 $f(x)=2\sin^{2}x+\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1$。 \n\n(I) 求 $f(\frac{\pi}{6})$ 的值； \n\n(II) 若 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，求 $f(x)$ 的最大值和最小值； \n\n(III) 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度，所得函数图象与函数 $y=\cos2x$ 的图象重合。求实数 $m$ 的最小值。 | [
"$\\frac{1}{2}$",
"$f(x)_{\\min}=f(0)=\\frac{1}{2}$",
"$f(x)_{\\max}=f(\\frac{\\pi}{3})=1$",
"$\\frac{\\pi}{3}$"
] | 解：(I) 函数 $f(x)=2\sin^{2}x+\cos(2x-\frac{\pi}{3})-1=\frac{1}{2}\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\cos2x=\sin(2x-\frac{\pi}{6})$。\n\n所以 $f(\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$。\n\n(II) 因为 $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，\n\n所以 $2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$，\n\n所以当 $x=0$ 时，$f(x)_{\min... | 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象变换；三角函数的极值；三角恒等变换的应用 | |
zh_2603_math_0073 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 已知函数$f(x)=a\sin\omega x\cos\omega x(a>0,\omega>0)$。从以下四个条件中选择两个作为已知，使得函数$f(x)$存在且唯一确定。\n\n条件①：$f(\frac{\pi}{4})=1$；\n\n条件②：$f(x)$是偶函数；\n\n条件③：$f(x)$的最大值为1；\n\n条件④：$f(x)$的图像的两条相邻对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。\n\n(1) 求$f(x)$的解析式；(2) 设$g(x)=f(x)-2\cos^{2}\omega x+1$，求函数$g(x)$在$(0,\pi)$上的单调递增区间。\n | [
"$f(x)=\\sin2x$",
"$[\\frac{7\\pi}{8}, \\pi)$ 和 $(0, \\frac{3\\pi}{8}]$"
] | 解：(1) $f(x)=a\sin\omega x\cos\omega x=\frac{1}{2}a\sin2\omega x$。当a≠0时，$f(x)$是奇函数，所以不能选择条件②。\n\n若选择①和③，即$f(x)=\frac{1}{2}a\sin2\omega x$的最大值为1，则$\frac{1}{2}a=1$，解得$a=2$，所以$f(x)=\sin2\omega x$，且$f(\frac{\pi}{4})=1$，所以$f(\frac{\pi}{4})=\sin(2\omega\times\frac{\pi}{4})=1$，即$\frac{\pi}{2}\omega=\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\m... | 正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性与对称性；由$y=A\sin(\omega x+\varphi)$的部分图像确定解析式；正弦函数的图像 | |
zh_2603_math_0074 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 已知函数 $f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(2^{x}+1)-mx$, $m\in\mathbb{R}$。 \n\n(1) 当 m=0 时，解不等式 $f(x) > -1$；(2) 若函数 $f(x)$ 是偶函数，求 m 的值；(3) 当 m=0 时，证明 $g(x)=2^{f(x)}$ 的单调性；(4) 当 m=-1 时，若函数 y=f(x) 的图像与直线 y=b 有公共点，求实数 b 的取值范围。 | [
"（-∞，0）",
"$-\\frac{1}{2}$",
"g（x）在R上单调递减",
"（-∞，0）"
] | 【解答】(1) 解：当 m=0 时，f(x)=log_{\frac{1}{2}}(2^x+1)，不等式 f(x) > -1，即 log_{\frac{1}{2}}(2^x+1) > log_{\frac{1}{2}}2。由于 y=log_{\frac{1}{2}}t 单调递减，可得 2^x+1 < 2，即 2^x < 1，解得 x < 0，解集为 (-∞, 0)。 \n\n(2) 解：若 $f(x)$ 是偶函数，则 $f(-x)=f(x)$。 \n\n$f(-x)=\log_{\frac{1}{2}}(2^{-x}+1)+mx$，所以 $\log_{\frac{1}{2}}(2^{-x}+1)+mx=\log_{\frac{1}{2... | 奇偶性与单调性的综合运用；奇函数与偶函数的性质 | |
zh_2603_math_0075 | 2603 | math | 解答题 | 10 | 21. 对于给定的正整数 $n$（$n\geqslant2$），设集合 $M=\{k\in\mathbb{Z}\mid-n\leqslant k\leqslant n\}$，$A$ 和 $B$ 是 $M$ 的非空子集，满足 $A\cup B=M$ 且 $A\cap B=\varnothing$。若对任意 $x\in A$，在集合 $B$ 中存在唯一确定的数 $y$ 使得 $x+y$ 为偶数，则记 $y=p(x)$，并称 $p\colon A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个“$P$ 函数”。 \n\n(Ⅰ) 当 $n=3$ 时，若集合 $A=\{-3,-1,1,3\}$，写出集合 $B$，并判断从集合 $A$ 到... | [
"B={−2，0，2}，不存在“P函数”",
"存在$x\\in A$,使得$p(x)=-x$",
"当n为奇数时，A={−n，−n+2，−n+4，…，−1，1，3，…，n−2}，或A={−n+1，−n+3，−n+5，…，0，2，…，n−3}，或A={−n，−n+1，−n+2，…，−1，0，1，…，n−4，n−3，n−2}． 当n为偶数时，A={−n+1，−n+3，−n+5，…，−1，1，3，…，n−3}，或A={−n，−n+2，−n+4，…，−2，0，2，…，n−4，n−2}，或A={−n，−n+1，−n+2，…，−1，0，1，…，n−4，n−3，n−2}．"
] | 【解】(Ⅰ) 解：$B=\{-2,0,2\}$。从集合 $A$ 到集合 $B$ 不存在“$P$ 函数”。理由如下：因为集合 $A$ 中的元素均为奇数，集合 $B$ 中的元素均为偶数，对任意 $x\in A$，$y\in B$，$x+y$ 为奇数，不满足条件。因此，从集合 $A$ 到集合 $B$ 不存在“$P$ 函数”。 \n\n(Ⅱ) 证明：假设不存在 $x\in A$ 使得 $p(x)=-x$，即对每一个 $x\in A$，$p(x)\neq -x$。由于 $p(x)$ 是 $B$ 中唯一确定的数使得 $x+p(x)$ 为偶数，可知 $-x\in A$。取 $a\in A$ 为奇数，则 $-a\in A$，设 $p(a)\in B... | 函数恒成立问题 | |
zh_2603_math_0076 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知$z=2-a+(a-1)i(a\in\mathbb{R})$为实数，则$|a+i|=$()\n\nA. $1$\n\nB. $\sqrt{2}$\n\nC. $\sqrt{3}$\n\nD. $2$ \n | [
"B"
] | 解：因为$z=2-a+(a-1)i(a\in\mathbf{R})$为实数，所以$a-1=0$，即$a=1$，则$|a+i|=|1+i|=\sqrt{2}$。因此，选：B。 | 复数的模 | |
zh_2603_math_0077 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知集合 $A=\{x|\log_{2}x<1\}$，$B=\{x||x|<2\}$，则 $A \cap (\complement_{\mathbb{R}} B)=$ ( )\n\nA. $\{x|0<x<2\}$ B. $\{x|0\leqslant x\leqslant 2\}$ C. $\{x|-2<x<2\}$ D. $\emptyset$ \n | [
"D"
] | 解：$A=\{x|\log_{2}x<1\}=\{x|0<x<2\}$，$B=\{x||x|<2\}=\{x|-2<x<2\}$，\n\n根据集合的补集运算，得 $C_{\mathbb{R}}B=\{x|x\leqslant-2$ 或 $x\geqslant2\}$。根据集合的交集运算，得 $A\cap(C_{\mathbb{R}}B)=\varnothing$。故选 D。 | 指数不等式和对数不等式的解法；集合的并集、交集、补集的混合运算 | |
zh_2603_math_0078 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 不共线，且 $|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$，则 $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影向量为 ()
A. $2\overrightarrow{b}$
B. $\overrightarrow{b}$
C. $-2\overrightarrow{b}$
D. $-\overrightarrow{b}$ | [
"D"
] | 解：由 $|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$，得 $(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})^{2}=(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})^{2}$，即 $\overrightarrow{a}^{2}+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{b}^{2}=\overrightarrow{a}^{2}-4\overrightarrow{a}\cd... | 平面向量的投影向量 | |
zh_2603_math_0079 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $a_{4}+a_{6}=26$，$S_{5}=35$，则 $a_{10}=$()
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
| [
"B"
] | 解：设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$。由 $a_{4}+a_{6}=26$ 和 $S_{5}=35$，
得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+3d+a_{1}+5d=26 \\ 5a_{1}+10d=35\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ d=3\end{array}\right.$，所以 $a_{10}=a_{1}+9d=1+9\times3=28$。
故选：B。 | 求等差数列前 n 项和 | |
zh_2603_math_0080 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，上顶点为B，且$|F_1F_2|$、$|BF_2|$、$|F_1F_2|+|BF_2|$依次成等比数列，则C的离心率为（）
A. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
| [
"B"
] | 解：设椭圆的半焦距为c，则$|F_{1}F_{2}|=2c$，$|BF_{2}|=a$，所以$2c$，$a$，$2c+a$依次成等比数列，即$a^{2}=2c\cdot(2c+a)$，得$a^{2}=4c^{2}+2ac$，从而$1=4(\frac{c}{a})^{2}+2(\frac{c}{a})$，即$4e^{2}+2e-1=0$，解得$e=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$，又因为$0<e<1$，所以C的离心率为$e=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。故选：$B$。 | 求椭圆的离心率 | |
zh_2603_math_0081 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=(a+\frac{2}{2^x-1})\sin x$，若函数 $y=f(x)$ 的图像关于y轴对称，则 $a$ 的值为（） \n\nA. $-1$ B. $1$ C. $-2$ D. $2$ \n | [
"B"
] | 解：由于函数 $y=f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，所以函数 $y=f(x)$ 是偶函数。因为 $y=\sin x$ 是奇函数，所以函数 $g(x)=a+\frac{2}{2^{x}-1}$ 必须是奇函数。因此 $g(-x)=-g(x)$，即 $a+\frac{2}{2^{-x}-1}=-\left(a+\frac{2}{2^{x}-1}\right)$，所以 $2a=2$，解得 $a=1$。故选：B。 | 指数函数的图像 | |
zh_2603_math_0082 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $\sin(A-B)=2\sin C$，a=$2\sqrt{2}$，则bc的最大值为（ ） \n\nA. $2\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{3}$ C. 4 D. $4\sqrt{2}$ \n | [
"A"
] | 解：由 $\sin(A-B)=2\sin C$，得 $\sin A\cos B-\cos A\sin B=2\sin C$，则a· $\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$-b· $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ =2c，整理得 $a^{2}-b^{2}=2c^{2}$，因为a=2$\sqrt{2}$，所以 8=b^{2}+2c^{2}\geqslant2$\sqrt{2}$bc，故 bc≤≤2$\sqrt{2}$，当且仅当 b=$\sqrt{2}$c=2时取等号。故选：A。 | 解三角形 | |
zh_2603_math_0083 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知函数 $f(x)=ax\ln x-x^{3}$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是 () \n\nA. $(\frac{1}{e},+\infty)$ B. $(\frac{3}{e},+\infty)$ C. $(\frac{4}{e},+\infty)$ D. $(\frac{6}{e},+\infty)$ \n | [
"D"
] | 解：函数 $f(x)=ax\ln x-x^{3}$ 的定义域为 $(0,+\infty)$。求导得 $f'(x)=a\left(\ln x+1\right)-3x^{2}$。函数 $f(x)$ 有两个极值点等价于 $f'(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不等的正根。显然，当 $\ln x+1=0$，即 $x=\frac{1}{e}$ 时，$f'(x)\neq0$，所以 $x=\frac{1}{e}$ 不是 $f'(x)=0$ 的根。则 $a(\ln x+1)=3x^{2}\Rightarrow a=\frac{3x^{2}}{\ln x+1}$。令 $g(x)=\frac{3x^{2}}{\ln x+1}$（$x... | 利用导数求解函数极值 | |
zh_2603_math_0084 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （多选题）9. 函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A>0,\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 在一个周期内的图像如图所示。下列说法正确的是？\n\nA. $f(0)=\sqrt{3}$\n\nB. 函数的解析式为 $f(x)=2\sin(\frac{2}{3}x+\frac{\pi}{6})$\n\nC. 将函数 $f(x)$ 的图像向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到一个奇函数\n\nD. 当 $x\in[-\pi,\frac{\pi}{2}]$ 时，函数 $f(x)$ 的值域为 $[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$ \n | [
"AC"
] | 解：由已知信息，$f(x)$ 的最大值为 $A=2$，函数的周期为 $T=4(\pi-\frac{\pi}{4})=3\pi$，可得 $\omega=$ 由于 $f(\frac{\pi}{4})=2$ 是函数的最大值，所以 $\frac{2}{3}\times\frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi(k\in\mathbb{Z})$。结合 $0<\varphi<\pi$，得到 $\varphi=\frac{\pi}{3}$，因此 $f(x)=2\sin(\frac{2x}{3}+\frac{\pi}{3})$，这表明选项 B 错误；根据 $f(0)=2\sin\frac{\pi}{3}=\s... | 函数 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的图像变换；由 $y=A\sin(\omegax+\varphi)$ 的部分图像确定其解析式 | |
zh_2603_math_0085 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （选择题）10. 若函数 $f(x)=x^{3}-3x+3$，则 （ ）\n\nA．$f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减 B．当 $x\in[0, 2]$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[3, 5]$ C．$f(x)$ 有一个零点 D．曲线 $y=f(x)$ 关于点 $(0, 3)$ 对称\n | [
"ACD"
] | 解：由题意得 $f'(x)=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)$。对于选项 A，令 $f'(x)=3x^{2}-3<0$，解得 $-1<x<1$，所以 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减，故 A 正确；对于选项 B，当 $x\in[0, 1]$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，当 $x\in(1, 2]$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，且 $f(0)=3$，$f(1)=1$，$f(2)=5$，所以当 $x\in[0, 2]$ 时，$f(x)$ 的值域为 $[1, 5]$，故 B 错误；对于选项 C，由于 $f(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上单调递减，在 $(-\infty, ... | 利用导数求函数的单调性与单调区间；简单函数的值域；判断函数零点的存在性 | |
zh_2603_math_0086 | 2603 | math | 选择题 | 6 | （选择题）11：已知$F$为抛物线$C: y^{2}=4x$的焦点，且不经过原点的直线$l$与抛物线交于$A$、$B$两点，下列说法中正确的是（ ）\n\nA. 若直线$l$经过点$F$，则$|AB|$的最小值为2\n\nB. 若直线$l$经过点$F$，点$A$在第一象限，且$|AF|=4$，则直线$AB$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$\n\nC. 若$|AB|=6$，线段$AB$的中点为$M$，则点$M$到$y$轴距离的最小值为2\n\nD. 若直线$l$经过点$F$，则原点在以$AB$为直径的圆内 | [
"BCD"
] | 解：由于抛物线$C$的方程为$y^{2}=4x$，则$C$的焦点$F$为$F(1,0)$，准线为$x=-1$。对于A：由抛物线定义，有$|AF|=x_{1}+1$，$|BF|=x_{2}+1$，所以$|AB|=|AF|+|BF|=(x_{1}+x_{2})+2$。设$x=my+1$，联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\y^{2}=4x\end{array}\right.$，化简得$y^{2}-4my-4=0$。设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$y_{1}+y_{2}=4m$，故$x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})+2=4m^{2}+2$，于是$... | 直线与抛物线综合问题 | |
zh_2603_math_0087 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知圆C: (x-1)^2+(y-2)^2=25，过点P(3,1)且所得弦长最短的直线方程为__________。 | [
"2x-y-5=0"
] | 解：由题意，圆C: (x-1)^2+(y-2)^2=25的圆心为C(1,2)，半径r=5。因为(3-1)^2+(1-2)^2<25，所以点P在圆C内。当且仅当弦所在直线垂直于CP时，弦长最短。由C(1,2)和P(3,1)可得直线CP的斜率为k_{CP}=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，因此最短弦所在直线的斜率为k=$\frac{-1}{k_{CP}}$=2，直线方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0。 | 圆内一点与弦及其最值；过定点的直线 | |
zh_2603_math_0088 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 已知曲线 $y=e^{x}+1$ 在 $x=0$ 处的切线与曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 也相切，则 $a=$ ______。 | [
"2"
] | 解：因为 $y=e^{x}+1$ 的导数为 $y^{\prime}=e^{x}$，当 x=0 时，y=2，$y^{\prime}=1$，所以曲线 $y=e^{x}+1$ 在 x=0 处的切线方程为 $y=x+2$。
因为 $y=\ln (x+1)+a$ 的导数为 $y^{\prime}=\frac{1}{x+1}$，设切线 $y=x+2$ 与曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 相切于点 $(t,\ln (t+1)+a)$，则 $\frac{1}{t+1}=1$，解得 $t=0$，所以切点为 $(0,a)$。因为该点在切线 $y=x+2$ 上，所以 $a=2$。 | 利用导数求曲线在某点处的切线方程 | |
zh_2603_math_0089 | 2603 | math | 填空题 | 5 | 在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=PC$，$AB=BC=4$，$AB \perp BC$，且三棱锥 $P-ABC$ 的体积为 $\frac{32}{3}$，则该三棱锥的外接球的表面积为 ________。 \n | [
"36π"
] | 解：因为在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA=PB=PC$，$AB=BC=4$，$AB\bot BC$，所以 $AC=4\sqrt{2}$。取 $AC$ 的中点 $O_{1}$，则 $O_{1}$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心，$\triangle ABC$ 的外接圆的半径为 $\frac{AC}{2}=2\sqrt{2}$。连接 $PO_{1}$。因为 $PA=PC$，所以 $PO_{1}\perp AC$。又 $\begin{cases}PA=PB\\PO_{1}=PO_{1}\\O_{1}A=O_{1}B=2\sqrt{2}\end{cases}$，所以 $\triangle PO_{1}A\cong\t... | 球的表面积 | |
zh_2603_math_0090 | 2603 | math | 解答题 | 13 | 近年来，某公司根据电影和动漫元素开发了一些豪华轿车模型玩具。现抽取部分儿童，调查其是否喜欢豪华轿车模型。所得数据汇总如下表。
<table> <tr> <td>性别</td> <td>男</td> <td>女</td> </tr> <tr> <td>喜欢豪华轿车模型</td> <td>340</td> <td>160</td> </tr> <tr> <td>不喜欢豪华轿车模型</td> <td>300</td> <td>200</td> </tr> <tr> </tr></table>
(1) 按性别分层，采用分层随机抽样从不喜欢豪华轿车模型的儿童中随机抽取10人。然后从这10人中随机抽取3人。求至少有一名女生的概率。
(2)... | [
"（1）\\frac{5}{6}",
"（2）不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性"
] | 解：(1) 按性别分层，采用分层随机抽样从不喜欢豪华轿车模型的儿童中随机抽取10人。然后从这10人中随机抽取3人。由于其中有6名男生和4名女生，则至少有一名女生的概率为 P=$1-\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
(2) 原假设：喜欢豪华轿车模型与性别相互独立。则 $\chi^{2}=\frac{1000\times(340\times200-300\times160)^{2}}{500\times500\times360\times640}\approx6.944<10.828$。因此，不能拒绝原假设。即在 $\alpha=0.001$ 的独立性检验... | 独立性检验 | |
zh_2603_math_0091 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，且 $2S_{n}=3a_{n}-2n-1$ ($n\in\mathbb{N}^{*}$)。
(1) 证明：$\{a_{n}+1\}$ 是等比数列；
(2) 设 $b_{n}=\frac{n(a_{n}+1)}{4}$，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$。 | [
"（1）$\\{a_{n}+1\\}$是以4为首项，3为公比的等比数列",
"（2）$T_{n}=\\frac{2n-1}{4}\\times3^{n}+\\frac{1}{4}$"
] | (1) 证明：因为 $2S_{n}=3a_{n}-2n-1\left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$，当 $n=1$ 时，$2a_{1}=3a_{1}-2-1$，解得 $a_{1}=3$；当 $n\geqslant2$ 时，$2S_{n-1}=3a_{n-1}-2n+1$，所以 $2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)=3\left(a_{n}-a_{n-1}\right)-2$，即 $a_{n}=3a_{n-1}+2$，于是 $a_{n}+1=3\left(a_{n-1}+1\right)\left(n\geqslant2\right)$，且 $a_{1}+1=4$。因此，数列 $\left\... | 数列求和；数列递推关系 | |
zh_2603_math_0092 | 2603 | math | 解答题 | 15 | 已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过焦点且垂直于椭圆C长轴的弦长为1。\n\n(1) 求椭圆C的方程；\n\n(2) 已知过点F_{2}的直线l与椭圆C交于A、B两点，当△F_{1}AB的面积最大时，求直线l的方程。 | [
"（1）$\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$",
"（2）$x+\\sqrt{2}y-\\sqrt{3}=0$ or $x-\\sqrt{2}y-\\sqrt{3}=0$"
] | 解：(1) 设椭圆C的半焦距为c。因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以点(c, $\frac{1}{2}$)在椭圆C上，故$\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{1}{4b^{2}}=1$。又椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。同时$a^{2}=b^{2}+c^{2}$。解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$。\n\n因此椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$。\n\n(2) 易知直线l不垂直于y轴。设直线l的方程为x=my+$\sqrt{3}$，A(x_{1}, y_{1})，B(x_{2}, ... | 直线与椭圆的综合应用；根据椭圆的几何性质求标准方程 | |
zh_2603_math_0093 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 如图所示，在四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$SA=AD=2$，$AB=2\sqrt{2}$，$SC=4$，$M$ 为 $SB$ 的中点，$SA \perp$ 平面 $ABCD$。\n\n(1) 求证：$MC\bot BD$，\n\n(2) 若点 P 是棱 SC 上的动点，且直线 AP 与平面 AMC 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$，求 $\frac{SP}{SC}$ 的值。 | [
"（1）证明见解答",
"（2）\\frac{SP}{SC}=\\frac{1}{4}"
] | 解：(1) 证明：取 $AB$ 的中点 $N$，连接 $MN$、$CN$，设 $BD$ 与 $CN$ 交于点 $Q$。易知 $\tan \angle DBC=\frac{DC}{BC}=\sqrt{2}$，$\tan \angle BNC=\frac{BC}{BN}=\sqrt{2}$。整理得 $\tan \angle DBC=\tan \angle BNC$，所以 $\angle BNC=\angle DBC$。因此 $\angle BNC+\angle ABD=\angle DBC+\angle ABD=90^{\circ}$，故 $BD\perp CN$。因为 $SA\perp$ 平面 $ABCD$，$MN//SA$，所以 $... | 利用空间向量法求线面角；直线与平面垂直 | |
zh_2603_math_0094 | 2603 | math | 解答题 | 17 | 已知函数 $f(x)=lnx-mx$, $g(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}$\n\n(1) 若 m=1，求曲线 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程；\n\n(2) 讨论 f(x) 的单调性；\n\n(3) 设 h(x)=f(x)+g(x)，若 h(x) 有两个极值点，求 m 的取值范围。 | [
"（1）y=-1",
"（2）当m≤0时，f(x)在（0，+∞）上单调递增；当m>0时，f(x)在（0，\\frac{1}{m}）上单调递增，在（\\frac{1}{m}，+∞）上单调递减",
"（3）(2,+∞)"
] | 解：(1) 由 $m=1$，得 $f(x)=\ln x-x$，则 $f(1)=-1$，又 $f'(x)=\frac{1}{x}-1$，所以 $f'(1)=0$，故曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=-1$；\n\n(2) 函数 f(x) 的定义域为 (0, +∞)，$f^{'}(x)=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$。当 m≤0 时，对任意 x>0 均有 $f^{'}(x)>0$，所以 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增；当 m>0 时，令 $f^{'}(x)=0$，得 x=$\frac{1}{m}$，当 x∈($\frac{1}{m}$, +∞) 时，$f^{'}(x)<0... | 利用导数求函数的单调性与单调区间；利用导数求极值点；利用导数求曲线在某点处的切线方程 | |
zh_2603_math_0095 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知一组数据：2,5,7,x,10，平均数为6。该组数据的第60百分位数是（ ）
A. 7
B. 6.5
C. 6
D. 5.5
| [
"B"
] | 【分析】先根据平均数求出x的值，再将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求出数值。
解：数据组2,5,7,x,10的平均数为6；$\frac{2+5+7+x+10}{5}$ =6，解得x=6。所以数据为：2,5,6,7,10。由于$5\times60\%$ =3，该组数据的第60百分位数为：$\frac{6+7}{2}$ =6.5。因此，选：B。
| 百分位数；平均数 | |
zh_2603_math_0096 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 2. 若复数 $z$ 满足 $z(3+4i)=25$，则 $z$ 在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
| [
"D"
] | 【分析】将已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 $z$ 的坐标得答案。
【解答】由 $z(3+4i)=25$，得 $z=\frac{25}{3+4i}=\frac{25(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{25(3-4i)}{3^{2}+4^{2}}=3-4i$。因此，$z$ 在复平面内对应的点的坐标为 (3, -4)，位于第四象限。故选 D。
| 复数的代数表示及其几何意义 | |
zh_2603_math_0097 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知集合 $A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}$，$B=\{x|0<x<5,x\in\mathbb{N}\}$，则 $A\cap B=$()\n\nA. {1, 2, 3, 4} B. {3, 4} C. {1, 2} D. {1} \n | [
"C"
] | 【分析】首先将集合 $A$ 和 $B$ 具体化，然后利用交集运算规则得到答案。\n\n【解答】解：集合 $A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}=\{1,2\}$；$B=\{x|0<x<5,x\in\mathbb{N}\}=\{1,2,3,4\}$，所以 $A\cap B=\{1,2\}$。因此选：C。\n | 求集合的交集 | |
zh_2603_math_0098 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 已知x∈R，则“$x^{2}-x>0$”是“$\frac{x+1}{x-2}>0$”的_______条件
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 | [
"B"
] | 【分析】分别解两个不等式，再判断关系。
【解答】因为$x^{2}-x>0$，解得x>1或x<0。
$\frac{x+1}{x-2}>0$等价于(x+1)(x-2)>0，所以x>2或x<-1。因此“$x^{2}-x>0$”是“$\frac{x+1}{x-2}>0$”的必要不充分条件。故选B。 | 充分必要条件的判断 | |
zh_2603_math_0099 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 5. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a^2=b^2+bc+c^2$，则角 $A$ 为（ ）\n\nA. $\frac{\pi}{3}$\n\nB. $\frac{\pi}{6}$\n\nC. $\frac{2\pi}{3}$\n\nD. $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$\n | [
"C"
] | [分析] 根据已知条件，利用余弦定理得 $\cos A=-\frac{1}{2}$，进而求解。\n\n[解答] 由 $a^{2}=b^{2}+bc+c^{2}$，即 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=-bc$，根据余弦定理有 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}$。又因为 $A\in(0,\pi)$，所以 $A=\frac{2\pi}{3}$。故选 C。\n | 余弦定理 | |
zh_2603_math_0100 | 2603 | math | 选择题 | 5 | 抛物线有一个重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点。已知抛物线$C$：$y^{2}=2px$（$p>0$），一束平行于$x$轴的光线经过点$A(3,1)$，射到抛物线$C$上的点$B$。经抛物线$C$反射后，经过抛物线$C$的焦点$F$。若$|AB|+|BF|=5$，则抛物线$C$的准线方程为（ ）\n\nA. $x=-4$ B. $x=-2$ C. $x=-1$ D. $x=-\frac{1}{2}$ \n | [
"B"
] | [分析]根据抛物线的定义，即可得到答案。\n\n[解答]由抛物线的定义，得$|AB|+|BF|=3+\frac{p}{2}=5$，解得$p=4$。则抛物线$C$的准线方程为$x=-\frac{p}{2}=-2$。故选B。\n | 抛物线的焦点和准线 |
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LiveK12Bench
A bilingual (Chinese/English) K12 high school benchmark dataset covering four STEM subjects: Mathematics, Physics, Chemistry, and Biology. Questions are sourced from real Chinese high school exam papers and are available in both Chinese and English.
Dataset Structure
The dataset has four splits:
| Split | Language | Description |
|---|---|---|
zh_2603 |
Chinese | March 2026 batch — Chinese |
zh_2605 |
Chinese | May 2026 batch — Chinese |
en_2603 |
English | March 2026 batch — English |
en_2605 |
English | May 2026 batch — English |
Each split covers four subjects: biology, chemistry, math, physics.
Fields
| Field | Type | Description |
|---|---|---|
id |
string | Unique ID, e.g. zh_2603_math_0001 |
set |
string | Source batch: "2603" or "2605" |
subject |
string | biology / chemistry / math / physics |
question_type |
string | Question type (zh: 选择题 / 填空题 / 解答题 / 证明题; en: Multiple Choice / Fill in the Blank / Open-ended / Proof) |
point_value |
int | Score for this question |
question |
string | Question text (LaTeX inline math with $...$) |
answer |
list[str] | Answer(s). Choice: ["A"], ["ACD"]; fill/open: text |
solution |
string | Step-by-step solution |
knowledge_points |
string | Knowledge points / learning objectives covered |
images |
list[Image] | Referenced diagrams/figures (empty list if none) |
Dataset Statistics
| Category | Overall | Mathematics | Physics | Chemistry | Biology |
|---|---|---|---|---|---|
| Task Modality | |||||
| Text-Only (TO) | 1,096 | 617 (56.3%) | 65 (5.9%) | 240 (21.9%) | 174 (15.9%) |
| Text-Image (TI) | 1,018 | 155 (15.2%) | 331 (32.5%) | 292 (28.7%) | 240 (23.6%) |
| Image-Only (IO, Exam-mode) | 2,114 | 772 (36.5%) | 220 (10.4%) | 532 (25.2%) | 414 (19.6%) |
| Question Type | |||||
| Multiple-Choice (MCQ) | 1,473 | 444 (30.1%) | 274 (18.6%) | 419 (28.4%) | 336 (22.8%) |
| Fill-in-the-Blank (FIB) | 164 | 119 (72.6%) | 26 (15.9%) | 18 (11.0%) | 1 (0.6%) |
| Question-Answering (Q&A) | 477 | 209 (43.8%) | 96 (20.1%) | 95 (19.9%) | 77 (16.1%) |
| Total | 2,114 | 772 (36.5%) | 396 (18.7%) | 532 (25.2%) | 414 (19.6%) |
Usage
from datasets import load_dataset
ds = load_dataset("Shawn-wxh/livek12bench")
# Access Chinese math questions from the 2603 batch
zh_math = ds["zh_2603"].filter(lambda x: x["subject"] == "math")
# Access English biology multiple-choice
en_bio_mc = ds["en_2605"].filter(
lambda x: x["subject"] == "biology" and x["question_type"] == "Multiple Choice"
)
# Get a question
example = ds["en_2603"][0]
print(example["question"])
print(example["answer"])
print(example["solution"])
License
CC BY-NC 4.0 — Free for non-commercial research and educational use.
Citation
@dataset{livek12bench2026,
title = {LiveK12Bench},
year = {2026},
note = {HuggingFace dataset}
}
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