theorem stringlengths 3 121 | tactic stringlengths 3 4.55k | state_before stringlengths 7 9.32k | state_after stringlengths 7 19k |
|---|---|---|---|
Cardinal.mk_set_nat | simp | ⊢ #(Set ℕ) = 𝔠 | no goals |
CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.map_π_liftedConeElement | have := congrFun
(preservesLimitsIso_inv_π A (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement' F) | C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
F : I ⥤ A.Elements
i : I
⊢ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement F) = (F.obj i).snd | C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
F : I ⥤ A.Elements
i : I
this :
((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).inv ≫ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i)) (liftedConeElement' F) =
limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i (liftedConeElement' F)
⊢ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement F) = (F.obj i).snd |
CategoryTheory.CategoryOfElements.CreatesLimitsAux.map_π_liftedConeElement | simp_all [liftedConeElement] | C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
F : I ⥤ A.Elements
i : I
this :
((preservesLimitIso A (F ⋙ π A)).inv ≫ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i)) (liftedConeElement' F) =
limit.π ((F ⋙ π A) ⋙ A) i (liftedConeElement' F)
⊢ A.map (limit.π (F ⋙ π A) i) (liftedConeElement F) = (F.obj i).snd | no goals |
Equiv.Perm.apply_mem_support | rw [mem_support, mem_support, Ne, Ne, apply_eq_iff_eq] | α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
⊢ f x ∈ f.support ↔ x ∈ f.support | no goals |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | constructor <;> introv h | α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
⊢ (∀ (i j : ℕ), (c₀ i) (c₁ j) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z | case mp
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i j : ℕ), (c₀ i) (c₁ j) ≤ z
i : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
case mpr
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ j) ≤ z |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply h | case mp
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i j : ℕ), (c₀ i) (c₁ j) ≤ z
i : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ i) ≤ z | no goals |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply le_trans _ (h (max i j)) | case mpr
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ j) ≤ z | α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ j) ≤ (c₀ (max i j)) (c₁ (max i j)) |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | trans c₀ i (c₁ (max i j)) | α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ j) ≤ (c₀ (max i j)) (c₁ (max i j)) | α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ j) ≤ (c₀ i) (c₁ (max i j))
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ (max i j)) ≤ (c₀ (max i j)) (c₁ (max i j)) |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply (c₀ i).monotone | α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ j) ≤ (c₀ i) (c₁ (max i j)) | case a
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ c₁ j ≤ c₁ (max i j) |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply c₁.monotone | case a
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ c₁ j ≤ c₁ (max i j) | case a.a
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ j ≤ max i j |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply le_max_right | case a.a
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ j ≤ max i j | no goals |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply c₀.monotone | α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ (c₀ i) (c₁ (max i j)) ≤ (c₀ (max i j)) (c₁ (max i j)) | case a
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ i ≤ max i j |
OmegaCompletePartialOrder.ContinuousHom.forall_forall_merge | apply le_max_left | case a
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c₀ : Chain (α →𝒄 β)
c₁ : Chain α
z : β
h : ∀ (i : ℕ), (c₀ i) (c₁ i) ≤ z
i j : ℕ
⊢ i ≤ max i j | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inr_f_descCochain_v | simpa only [Cochain.comp_v _ _ (zero_add n) p₁ p₁ p₂ (add_zero p₁) h₁₂, Cochain.ofHom_v]
using Cochain.congr_v (inr_descCochain φ α β h) p₁ p₂ (by omega) | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
⊢ (inr φ).f p₁ ≫ (descCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ = β.v p₁ p₂ h₁₂ | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inr_f_descCochain_v | omega | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂
⊢ p₁ + n = p₂ | no goals |
Real.Wallis.W_pos | induction' k with k hk | k : ℕ
⊢ 0 < W k | case zero
⊢ 0 < W 0
case succ
k : ℕ
hk : 0 < W k
⊢ 0 < W (k + 1) |
Real.Wallis.W_pos | unfold W | case zero
⊢ 0 < W 0 | case zero
⊢ 0 < ∏ i ∈ range 0, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) |
Real.Wallis.W_pos | simp | case zero
⊢ 0 < ∏ i ∈ range 0, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) | no goals |
Real.Wallis.W_pos | rw [W_succ] | case succ
k : ℕ
hk : 0 < W k
⊢ 0 < W (k + 1) | case succ
k : ℕ
hk : 0 < W k
⊢ 0 < W k * ((2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 1) * ((2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 3))) |
Real.Wallis.W_pos | refine mul_pos hk (mul_pos (div_pos ?_ ?_) (div_pos ?_ ?_)) <;> positivity | case succ
k : ℕ
hk : 0 < W k
⊢ 0 < W k * ((2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 1) * ((2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 3))) | no goals |
Filter.atTop_eq_generate_Ici | rcases isEmpty_or_nonempty α with hα|hα | ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
⊢ atTop = generate (range Ici) | case inl
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : IsEmpty α
⊢ atTop = generate (range Ici)
case inr
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : Nonempty α
⊢ atTop = generate (range Ici) |
Filter.atTop_eq_generate_Ici | simp only [eq_iff_true_of_subsingleton] | case inl
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : IsEmpty α
⊢ atTop = generate (range Ici) | no goals |
Filter.atTop_eq_generate_Ici | simp [(atTop_basis (α := α)).eq_generate, range] | case inr
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : Nonempty α
⊢ atTop = generate (range Ici) | no goals |
Equiv.Perm.support_inv | simp_rw [Finset.ext_iff, mem_support, not_iff_not, inv_eq_iff_eq.trans eq_comm, imp_true_iff] | α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g σ : Perm α
⊢ σ⁻¹.support = σ.support | no goals |
List.foldl_eq_foldlM | induction l generalizing b <;> simp [*, foldl] | β : Type u_1
α : Type u_2
f : β → α → β
b : β
l : List α
⊢ foldl f b l = List.foldlM f b l | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_v_descCochain_v | rw [← h₂₃, ← h₁₂, ← h, add_comm m, add_assoc, neg_add_cancel_left] | C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.115469, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ p₁ + m = p₃ | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_v_descCochain_v | simpa only [Cochain.comp_v _ _ (show -1 + n = m by omega) p₁ p₂ p₃
(by omega) (by omega)] using
Cochain.congr_v (inl_descCochain φ α β h) p₁ p₃ (by omega) | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ (inl φ).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α β h).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯ | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_v_descCochain_v | omega | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ -1 + n = m | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_v_descCochain_v | omega | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ p₁ + -1 = p₂ | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_v_descCochain_v | omega | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ p₂ + n = p₃ | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_v_descCochain_v | omega | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃
⊢ p₁ + m = p₃ | no goals |
List.map_append | intro l₁ | α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
⊢ ∀ (l₁ l₂ : List α), map f (l₁ ++ l₂) = map f l₁ ++ map f l₂ | α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l₁ : List α
⊢ ∀ (l₂ : List α), map f (l₁ ++ l₂) = map f l₁ ++ map f l₂ |
List.map_append | induction l₁ <;> intros <;> simp_all | α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l₁ : List α
⊢ ∀ (l₂ : List α), map f (l₁ ++ l₂) = map f l₁ ++ map f l₂ | no goals |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | rw [norm_toSimpleFunc, snorm_one_eq_lintegral_nnnorm] | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
⊢ ‖f‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | have h_eq := SimpleFunc.map_apply (fun x => (‖x‖₊ : ℝ≥0∞)) (toSimpleFunc f) | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | simp_rw [← h_eq] | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(toSimpleFunc f) x‖₊ ∂μ).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) x ∂μ).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | rw [SimpleFunc.lintegral_eq_lintegral, SimpleFunc.map_lintegral, ENNReal.toReal_sum] | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) x ∂μ).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∑ a ∈ (toSimpleFunc f).range, (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∀ a ∈ (toSimpleFunc f).range, ↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | congr | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∑ a ∈ (toSimpleFunc f).range, (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal =
∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | case e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (fun a => (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal) = fun x => (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | ext1 x | case e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ (fun a => (↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a})).toReal) = fun x => (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | case e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
⊢ (↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal = (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | rw [ENNReal.toReal_mul, mul_comm, ← ofReal_norm_eq_coe_nnnorm,
ENNReal.toReal_ofReal (norm_nonneg _)] | case e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
⊢ (↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal = (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ | no goals |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | intro x _ | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
⊢ ∀ a ∈ (toSimpleFunc f).range, ↑‖a‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {a}) ≠ ⊤ | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
⊢ ↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | by_cases hx0 : x = 0 | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
⊢ ↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤ | case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
hx0 : x = 0
⊢ ↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | rw [hx0] | case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
hx0 : x = 0
⊢ ↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤ | case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
hx0 : x = 0
⊢ ↑‖0‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {0}) ≠ ⊤ |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | simp | case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
hx0 : x = 0
⊢ ↑‖0‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {0}) ≠ ⊤ | no goals |
MeasureTheory.L1.SimpleFunc.norm_eq_sum_mul | exact
ENNReal.mul_ne_top ENNReal.coe_ne_top
(SimpleFunc.measure_preimage_lt_top_of_integrable _ (SimpleFunc.integrable f) hx0).ne | case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc G 1 μ)
h_eq : ∀ (a : α), ↑(SimpleFunc.map (fun x => ↑‖x‖₊) (toSimpleFunc f)) a = ↑‖↑(toSimpleFunc f) a‖₊
x : G
a✝ : x ∈ (toSimpleFunc f).range
hx0 : ¬x = 0
⊢ ↑‖x‖₊ * μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x}) ≠ ⊤ | no goals |
CategoryTheory.hom_inr_inl_false | cases f | C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
X : C
Y : D
f : inr X ⟶ inl Y
⊢ False | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inr_descCochain | simp [descCochain] | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
⊢ (Cochain.ofHom (inr φ)).comp (descCochain φ α β h) ⋯ = β | no goals |
List.foldrM_cons | simp only [foldrM] | m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
a : α
l : List α
f : α → β → m β
b : β
⊢ foldrM f b (a :: l) = foldrM f b l >>= f a | m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
a : α
l : List α
f : α → β → m β
b : β
⊢ List.foldlM (fun s a => f a s) b (a :: l).reverse = List.foldlM (fun s a => f a s) b l.reverse >>= f a |
List.foldrM_cons | induction l <;> simp_all | m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
a : α
l : List α
f : α → β → m β
b : β
⊢ List.foldlM (fun s a => f a s) b (a :: l).reverse = List.foldlM (fun s a => f a s) b l.reverse >>= f a | no goals |
Cardinal.beth_one | simpa using beth_succ 0 | ⊢ beth 1 = 𝔠 | no goals |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | induction' n with n IH | n : ℕ
⊢ W n = 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1)) | case zero
⊢ W 0 = 2 ^ (4 * 0) * ↑0! ^ 4 / (↑(2 * 0)! ^ 2 * (2 * ↑0 + 1))
case succ
n : ℕ
IH : W n = 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ W (n + 1) = 2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 / (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | simp only [W, prod_range_zero, Nat.factorial_zero, mul_zero, pow_zero,
algebraMap.coe_one, one_pow, mul_one, algebraMap.coe_zero, zero_add, div_self, Ne,
one_ne_zero, not_false_iff] | case zero
⊢ W 0 = 2 ^ (4 * 0) * ↑0! ^ 4 / (↑(2 * 0)! ^ 2 * (2 * ↑0 + 1)) | case zero
⊢ 1 = 1 * ↑1 ^ 4 / (↑1 ^ 2 * (2 * ↑0 + 1)) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | norm_num | case zero
⊢ 1 = 1 * ↑1 ^ 4 / (↑1 ^ 2 * (2 * ↑0 + 1)) | no goals |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | unfold W at IH ⊢ | case succ
n : ℕ
IH : W n = 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ W (n + 1) = 2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 / (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) | case succ
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ∏ i ∈ range (n + 1), (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 / (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | rw [prod_range_succ, IH, _root_.div_mul_div_comm, _root_.div_mul_div_comm] | case succ
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ∏ i ∈ range (n + 1), (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 / (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) | case succ
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) /
(↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 / (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | refine (div_eq_div_iff ?_ ?_).mpr ?_ | case succ
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) /
(↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 / (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) | case succ.refine_1
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3)) ≠ 0
case succ.refine_2
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1) ≠ 0
case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) * (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 * (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | any_goals exact ne_of_gt (by positivity) | case succ.refine_1
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3)) ≠ 0
case succ.refine_2
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1) ≠ 0
case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) * (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 * (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) | case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) * (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 * (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | simp_rw [Nat.mul_succ, Nat.factorial_succ, pow_succ] | case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) * (↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * (n + 1)) * ↑(n + 1)! ^ 4 * (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) | case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * (↑n ! ^ 0 * ↑n ! * ↑n ! * ↑n ! * ↑n !) * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) *
(↑((2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!)) ^ 0 * ↑((2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!)) *
↑((2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!)) *
(2 * ↑(n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * n) * 2 * 2 * 2 * 2 *
(↑((n + 1) * n !) ^ 0 * ↑((n + 1) * n !) * ↑((n + 1) * n !) * ↑((n + 1) * n !) * ↑((n + 1) * n !)) *
(↑(2 * n)! ^ 0 * ↑(2 * n)! * ↑(2 * n)! * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | push_cast | case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * (↑n ! ^ 0 * ↑n ! * ↑n ! * ↑n ! * ↑n !) * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) *
(↑((2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!)) ^ 0 * ↑((2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!)) *
↑((2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!)) *
(2 * ↑(n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * n) * 2 * 2 * 2 * 2 *
(↑((n + 1) * n !) ^ 0 * ↑((n + 1) * n !) * ↑((n + 1) * n !) * ↑((n + 1) * n !) * ↑((n + 1) * n !)) *
(↑(2 * n)! ^ 0 * ↑(2 * n)! * ↑(2 * n)! * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) | case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * (↑n ! ^ 0 * ↑n ! * ↑n ! * ↑n ! * ↑n !) * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) *
(((2 * ↑n + 1 + 1) * ((2 * ↑n + 1) * ↑(2 * n)!)) ^ 0 * ((2 * ↑n + 1 + 1) * ((2 * ↑n + 1) * ↑(2 * n)!)) *
((2 * ↑n + 1 + 1) * ((2 * ↑n + 1) * ↑(2 * n)!)) *
(2 * (↑n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * n) * 2 * 2 * 2 * 2 *
(((↑n + 1) * ↑n !) ^ 0 * ((↑n + 1) * ↑n !) * ((↑n + 1) * ↑n !) * ((↑n + 1) * ↑n !) * ((↑n + 1) * ↑n !)) *
(↑(2 * n)! ^ 0 * ↑(2 * n)! * ↑(2 * n)! * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | ring_nf | case succ.refine_3
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 2 ^ (4 * n) * (↑n ! ^ 0 * ↑n ! * ↑n ! * ↑n ! * ↑n !) * ((2 * ↑n + 2) * (2 * ↑n + 2)) *
(((2 * ↑n + 1 + 1) * ((2 * ↑n + 1) * ↑(2 * n)!)) ^ 0 * ((2 * ↑n + 1 + 1) * ((2 * ↑n + 1) * ↑(2 * n)!)) *
((2 * ↑n + 1 + 1) * ((2 * ↑n + 1) * ↑(2 * n)!)) *
(2 * (↑n + 1) + 1)) =
2 ^ (4 * n) * 2 * 2 * 2 * 2 *
(((↑n + 1) * ↑n !) ^ 0 * ((↑n + 1) * ↑n !) * ((↑n + 1) * ↑n !) * ((↑n + 1) * ↑n !) * ((↑n + 1) * ↑n !)) *
(↑(2 * n)! ^ 0 * ↑(2 * n)! * ↑(2 * n)! * (2 * ↑n + 1) * ((2 * ↑n + 1) * (2 * ↑n + 3))) | no goals |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | exact ne_of_gt (by positivity) | case succ.refine_2
n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ ↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1) ≠ 0 | no goals |
Real.Wallis.W_eq_factorial_ratio | positivity | n : ℕ
IH :
∏ i ∈ range n, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 1) * ((2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)) =
2 ^ (4 * n) * ↑n ! ^ 4 / (↑(2 * n)! ^ 2 * (2 * ↑n + 1))
⊢ 0 < ↑(2 * (n + 1))! ^ 2 * (2 * ↑(n + 1) + 1) | no goals |
CategoryTheory.ColimitAdj.restrictYonedaHomEquiv_natural | ext x X | C : Type u₁
inst✝¹ : SmallCategory C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{u₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u₁
E₁ E₂ : ℰ
g : E₁ ⟶ E₂
c : Cocone ((CategoryOfElements.π P).leftOp ⋙ A)
t : IsColimit c
k : c.pt ⟶ E₁
⊢ (restrictYonedaHomEquiv A P E₂ t) (k ≫ g) = (restrictYonedaHomEquiv A P E₁ t) k ≫ (restrictedYoneda A).map g | case w.h.h
C : Type u₁
inst✝¹ : SmallCategory C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{u₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u₁
E₁ E₂ : ℰ
g : E₁ ⟶ E₂
c : Cocone ((CategoryOfElements.π P).leftOp ⋙ A)
t : IsColimit c
k : c.pt ⟶ E₁
x : Cᵒᵖ
X : P.obj x
⊢ ((restrictYonedaHomEquiv A P E₂ t) (k ≫ g)).app x X =
((restrictYonedaHomEquiv A P E₁ t) k ≫ (restrictedYoneda A).map g).app x X |
CategoryTheory.ColimitAdj.restrictYonedaHomEquiv_natural | apply (assoc _ _ _).symm | case w.h.h
C : Type u₁
inst✝¹ : SmallCategory C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{u₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u₁
E₁ E₂ : ℰ
g : E₁ ⟶ E₂
c : Cocone ((CategoryOfElements.π P).leftOp ⋙ A)
t : IsColimit c
k : c.pt ⟶ E₁
x : Cᵒᵖ
X : P.obj x
⊢ ((restrictYonedaHomEquiv A P E₂ t) (k ≫ g)).app x X =
((restrictYonedaHomEquiv A P E₁ t) k ≫ (restrictedYoneda A).map g).app x X | no goals |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | have hndf : f.natDegree ≠ 0 := by intro h; rw [h] at hfn; cases hfn | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | have hfn0 : f ≠ 0 := by intro h; rw [h] at hndf; exact hndf rfl | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
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K✝ : Type u
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n : ℕ
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(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
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⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | have hmf0 : map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f ≠ 0 := map_ne_zero hfn0 | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
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K✝ : Type u
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(fun n =>
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K✝¹ : Type v
L : Type w
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K✝ : Type u
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⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | rw [rootSet_def, aroots_def] | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
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K✝ : Type u
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⊢ Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n.succ f)) = ⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
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inst✝¹ : Field F
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K✝ : Type u
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n : ℕ
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(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
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K : Type u
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⊢ Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f).roots.toFinset = ⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | rw [algebraMap_succ, ← map_map, ← X_sub_C_mul_removeFactor _ hndf, Polynomial.map_mul] at hmf0 ⊢ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
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K✝ : Type u
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∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
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n
K : Type u
x✝ : Field K
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hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
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⊢ Algebra.adjoin K ↑(map (algebraMap K (SplittingFieldAux n.succ f)) f).roots.toFinset = ⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
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K✝ : Type u
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n : ℕ
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(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
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n
K : Type u
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hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
⊢ Algebra.adjoin K
↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor))
f.removeFactor).roots.toFinset =
⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | erw [roots_mul hmf0, Polynomial.map_sub, map_X, map_C, roots_X_sub_C, Multiset.toFinset_add,
Finset.coe_union, Multiset.toFinset_singleton, Finset.coe_singleton,
Algebra.adjoin_union_eq_adjoin_adjoin, ← Set.image_singleton,
Algebra.adjoin_algebraMap K (SplittingFieldAux n f.removeFactor),
AdjoinRoot.adjoinRoot_eq_top, Algebra.map_top] | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
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n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
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hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
⊢ Algebra.adjoin K
↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor))
f.removeFactor).roots.toFinset =
⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
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hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range
↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) =
⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | have := IsScalarTower.adjoin_range_toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor)
(SplittingFieldAux n f.removeFactor)
(f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range
↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) =
⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
this :
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range)
(f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range
↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) =
⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | refine this.trans ?_ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
this :
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range)
(f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin ↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range
↑(map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor).roots.toFinset) =
⊤ | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
this :
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range)
(f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
⊤ |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | rw [ih _ (natDegree_removeFactor' hfn), Subalgebra.restrictScalars_top] | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
hfn0 : f ≠ 0
hmf0 :
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) *
map (algebraMap (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)) f.removeFactor ≠
0
this :
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (↥(IsScalarTower.toAlgHom K (AdjoinRoot f.factor) (SplittingFieldAux n f.removeFactor)).range)
(f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor)))
⊢ Subalgebra.restrictScalars K
(Algebra.adjoin (AdjoinRoot f.factor) (f.removeFactor.rootSet (SplittingFieldAux n f.removeFactor))) =
⊤ | no goals |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | intro h | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
⊢ f.natDegree ≠ 0 | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
h : f.natDegree = 0
⊢ False |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | rw [h] at hfn | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
h : f.natDegree = 0
⊢ False | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : 0 = n.succ
h : f.natDegree = 0
⊢ False |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | cases hfn | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : 0 = n.succ
h : f.natDegree = 0
⊢ False | no goals |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | intro h | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
⊢ f ≠ 0 | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
h : f = 0
⊢ False |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | rw [h] at hndf | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : f.natDegree ≠ 0
h : f = 0
⊢ False | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : natDegree 0 ≠ 0
h : f = 0
⊢ False |
Polynomial.SplittingFieldAux.adjoin_rootSet | exact hndf rfl | F : Type u
K✝¹ : Type v
L : Type w
inst✝³ : Field K✝¹
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
n✝ : ℕ
K✝ : Type u
inst✝ : Field K✝
n : ℕ
ih :
(fun n =>
∀ {K : Type u} [inst : Field K] (f : K[X]),
f.natDegree = n → Algebra.adjoin K (f.rootSet (SplittingFieldAux n f)) = ⊤)
n
K : Type u
x✝ : Field K
f : K[X]
hfn : f.natDegree = n.succ
hndf : natDegree 0 ≠ 0
h : f = 0
⊢ False | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_descCochain | omega | C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.111535, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
⊢ -1 + n = m | no goals |
CochainComplex.mappingCone.inl_descCochain | simp [descCochain] | C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
⊢ (inl φ).comp (descCochain φ α β h) ⋯ = α | no goals |
MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_const | cases isEmpty_or_nonempty α | α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x | case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x
case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : Nonempty α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x |
MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_const | have h_univ_empty : (univ : Set α) = ∅ := Subsingleton.elim _ _ | case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x | case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
h_univ_empty : Set.univ = ∅
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x |
MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_const | rw [h_univ_empty, hT_empty] | case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
h_univ_empty : Set.univ = ∅
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x | case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
h_univ_empty : Set.univ = ∅
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = 0 x |
MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_const | simp only [setToSimpleFunc, ContinuousLinearMap.zero_apply, sum_empty,
range_eq_empty_of_isEmpty] | case inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : IsEmpty α
h_univ_empty : Set.univ = ∅
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = 0 x | no goals |
MeasureTheory.SimpleFunc.setToSimpleFunc_const | exact setToSimpleFunc_const' T x | case inr
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → F →L[ℝ] F'
hT_empty : T ∅ = 0
x : F
m : MeasurableSpace α
h✝ : Nonempty α
⊢ setToSimpleFunc T (const α x) = (T Set.univ) x | no goals |
Int.subNatNat_add_left | unfold subNatNat | m n : Nat
⊢ subNatNat (m + n) m = ↑n | m n : Nat
⊢ (match m - (m + n) with
| 0 => ofNat (m + n - m)
| k.succ => -[k+1]) =
↑n |
Int.subNatNat_add_left | rw [Nat.sub_eq_zero_of_le (Nat.le_add_right ..), Nat.add_sub_cancel_left, ofNat_eq_coe] | m n : Nat
⊢ (match m - (m + n) with
| 0 => ofNat (m + n - m)
| k.succ => -[k+1]) =
↑n | no goals |
Module.DirectLimit.of.zero_exact | simp [hx0] | R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : x = 0
⊢ (f i i ⋯) x = 0 | no goals |
Module.DirectLimit.of.zero_exact | simp [DirectSum.apply_eq_component, hx0] | R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : ¬x = 0
⊢ i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x) | no goals |
Module.DirectLimit.of.zero_exact | simp only [DirectSum.toModule_lof] at hxj | R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j
⊢ (f i j hij) x = 0 | R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j
hxj : (totalize G f i j) x = 0
⊢ (f i j hij) x = 0 |
Module.DirectLimit.of.zero_exact | rwa [totalize_of_le hij] at hxj | R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j
hxj : (totalize G f i j) x = 0
⊢ (f i j hij) x = 0 | no goals |
List.getLast_map | simpa using h | α : Type ?u.90807
β : Type ?u.90816
f : α → β
l : List α
h : map f l ≠ []
⊢ l ≠ [] | no goals |
List.getLast_map | cases l | α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
l : List α
h : map f l ≠ []
⊢ (map f l).getLast h = f (l.getLast ⋯) | case nil
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
h : map f [] ≠ []
⊢ (map f []).getLast h = f ([].getLast ⋯)
case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (map f (head✝ :: tail✝)).getLast h = f ((head✝ :: tail✝).getLast ⋯) |
List.getLast_map | simp at h | case nil
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
h : map f [] ≠ []
⊢ (map f []).getLast h = f ([].getLast ⋯) | no goals |
List.getLast_map | simp only [← getElem_cons_length _ _ _ rfl] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (map f (head✝ :: tail✝)).getLast h = f ((head✝ :: tail✝).getLast ⋯) | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (map f (head✝ :: tail✝)).getLast h = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] |
List.getLast_map | simp only [map_cons] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (map f (head✝ :: tail✝)).getLast h = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (f head✝ :: map f tail✝).getLast ⋯ = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] |
List.getLast_map | simp only [← getElem_cons_length _ _ _ rfl] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (f head✝ :: map f tail✝).getLast ⋯ = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (f head✝ :: map f tail✝)[(map f tail✝).length] = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] |
List.getLast_map | simp only [← map_cons, getElem_map] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ (f head✝ :: map f tail✝)[(map f tail✝).length] = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ f (head✝ :: tail✝)[(map f tail✝).length] = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] |
List.getLast_map | simp | case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
head✝ : α
tail✝ : List α
h : map f (head✝ :: tail✝) ≠ []
⊢ f (head✝ :: tail✝)[(map f tail✝).length] = f (head✝ :: tail✝)[tail✝.length] | no goals |
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