input stringlengths 10 24.4k | target stringlengths 13 7.07k |
|---|---|
case a
p : ℕ
R : Type ?u.1510099
idx : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
⊢ ↑(map (Int.castRingHom ℚ)) (↑(bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n)) =
↑(map (Int.castRingHom ℚ)) (↑(bind₁ fun i => ↑(rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ) | have := sorry |
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.82447
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝ : Nonempty α
h : Preconnected (G □ H)
⊢ Preconnected H | have (b₁ b₂ : β) : Reachable H b₁ b₂ := sorry |
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : IsAddHaarMeasure μ
s : Set E
u : ℕ → E
sb : Metric.Bounded s
hu : Metric.Bounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : Measur... | have (h : ¬↑↑μ s = 0) : False := sorry |
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
⊢ IsQuasiSeparated (f '' s) | have (U V : Set β) (hU : U ⊆ f '' s) (hU' : IsOpen U) (hU'' : IsCompact U) (hV : V ⊆ f '' s) (hV' : IsOpen V) (hV'' : IsCompact V) : IsCompact (U ∩ V) := sorry |
case convert_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ f ⁻¹' U ⊆ s | have (x : α) (hx : x ∈ f ⁻¹' U) : x ∈ s := sorry |
case convert_3
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V
⊢ f ⁻¹' V ⊆ s | have (x : α) (hx : x ∈ f ⁻¹' V) : x ∈ s := sorry |
f : Bool → Bool → Bool
h : f false false = false
m : ℕ
⊢ ∀ (b : Bool) (n : ℕ),
binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0)
(fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)) (bit b n) 0 =
bif f true false then bit b n else 0 | have (b✝ : Bool) (n✝ : ℕ) : binaryRec (fun n => bif f false true then n else 0)
(fun a m Ia => binaryRec (bif f true false then bit a m else 0) fun b n x => bit (f a b) (Ia n)) (bit b✝ n✝) 0 =
bif f true false then bit b✝ n✝ else 0 := sorry |
case succ
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
n✝ : ℕ
i_ih : approx (↑f) n✝ ≤ approx (↑f) (Nat.succ n✝)
⊢ approx (↑f) (Nat.succ n✝) ≤ approx (↑f) (Nat.succ (Nat.succ n✝)) | have (i✝ : α) : approx (↑f) (Nat.succ n✝) i✝ ≤ approx (↑f) (Nat.succ (Nat.succ n✝)) i✝ := sorry |
α : Type u_1
E : Type ?u.361138
F : Type ?u.361141
F' : Type ?u.361144
G : Type ?u.361147
𝕜 : Type ?u.361150
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m :... | have (i : G') (hi : i ∈ SimpleFunc.range f) : 0 ≤ ↑(T (↑f ⁻¹' {i})) i := sorry |
R : Type u
M : Type v
K : Type u₁
V : Type u₂
ι : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
⊢ LinearMap.comp (toDual (dualBasis b)) (toDual b) = Dual.eval R M | have (i j : ι) : ↑(↑(LinearMap.comp (toDual (dualBasis b)) (toDual b)) (↑b i)) (↑(dualBasis b) j) =
↑(↑(Dual.eval R M) (↑b i)) (↑(dualBasis b) j) := sorry |
C : Type u₁
inst✝² : Category C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category D
E : Type u₃
inst✝ : Category E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
⊢ ∀ {Z : D} (g h : F.obj Y ⟶ Z), F.map f ≫ g = F.map f ≫ h → g = h | have (Z : D) (g h : F.obj Y ⟶ Z) (H : F.map f ≫ g = F.map f ≫ h) : g = h := sorry |
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type ?u.1931672
inst✝⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensio... | have (h : ∀ (x : E) (y : (fun x => F) x), inner (↑A x) y = inner x (↑B y)) : A = ↑adjoint B := sorry |
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n | have x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n := sorry |
case intro.intro.intro
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
⊢ ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ | have (this : Setoid X := separationSetoid X) : ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ := sorry |
case intro.intro.intro
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
⊢ ∃ I, PseudoMetricS... | have (d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬(x, y) ∈ U n then (1 / 2) ^ Nat.find h else 0) : ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ := sorry |
case intro.intro.intro
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := f... | have hd_symm : ∀ x y, d x y = d y x := sorry |
case intro.intro.intro
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := f... | have hr : (1 / 2 : ℝ≥0) ∈ Ioo (0 : ℝ≥0) 1 := sorry |
case intro.intro.intro
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := f... | have (I : PseudoMetricSpace X := PseudoMetricSpace.ofPreNNDist d (_ : ∀ (x : X), d x x = 0) hd_symm) : ∃ I, PseudoMetricSpace.toUniformSpace = inst✝¹ := sorry |
case intro.intro.intro
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := f... | have hdist_le : ∀ x y, dist x y ≤ d x y := sorry |
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬... | have (x y : X) : d x y = 0 ↔ x ≈ y := sorry |
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬... | have (x y : X) : d x y = d y x := sorry |
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬... | have (x y : X) (n : ℕ) : (1 / 2) ^ n ≤ d x y ↔ ¬(x, y) ∈ U n := sorry |
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X → ℝ≥0 := fun x y => if h : ∃ n, ¬... | have (x₁ x₂ x₃ x₄ : X) : d x₁ x₄ ≤ 2 * max (d x₁ x₂) (max (d x₂ x₃) (d x₃ x₄)) := sorry |
case intro.intro.intro.refine'_1
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X ... | have (n : ℕ) (hn : True) (x : X × X) (hx : x ∈ U n) : ↑(d x.fst x.snd) < (fun a => ↑a) (1 / 2) ^ n := sorry |
case intro.intro.intro.refine'_2
X✝ : Type ?u.116434
X : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : IsCountablyGenerated (𝓤 X)
U : ℕ → Set (X × X)
hU_symm : ∀ (n : ℕ), SymmetricRel (U n)
hU_comp : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, m < n → U n ○ (U n ○ U n) ⊆ U m
hB : HasAntitoneBasis (𝓤 X) U
this : Setoid X := separationSetoid X
d : X → X ... | have (n : ℕ) (x✝ : True) (x : X × X) (hx : x ∈ {p | dist p.fst p.snd < (fun a => ↑a) (1 / 2) ^ (n + 1)}) : x ∈ U n := sorry |
l : Type ?u.127855
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
⊢ ⅟A = A⁻¹ | have (this : Invertible (det A) := detInvertibleOfInvertible A) : ⅟A = A⁻¹ := sorry |
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type ?u.131928
inst✝ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Type u_2
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ (s : Finset ι), ∑ i in s, f i x') s x | have (b : Finset ι) : LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ∑ i in b, f i x') s x := sorry |
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type ?u.140011
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type ?u.140106
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type ?u.140201
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
... | have := sorry |
case intro
ι : Type ?u.6042
X : Type u_2
E : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : NormalSpace X
inst✝³ : ParacompactSpace X
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
U : X → Set X
hU :... | have (x i : X) (hi : ↑(PartitionOfUnity.toFun univ f i) x ≠ 0) : x ∈ U i := sorry |
case intro
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
ι : Type u_1
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f g : (i : ι) → H i
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcopr... | have (i : ι) : Disjoint ((fun i => range (ϕ i)) i) (⨆ (j : ι) (_ : j ≠ i), (fun i => range (ϕ i)) j) := sorry |
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
ι : Type u_1
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) →... | have hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i) := sorry |
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
ι : Type u_1
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) →... | have hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H j) := sorry |
case intro.intro.intro.intro.intro.a
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
ι : Type u_1
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (... | have (j : { j // j ≠ i }) (a✝ : j ∈ Finset.univ) : Nat.coprime (Fintype.card (H ↑j)) (Fintype.card (H i)) := sorry |
case intro.intro.hcomm
G : Type u_3
inst✝³ : Group G
ι : Type u_1
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
hcomm : ∀ (i j : ι), i ≠ j → ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (↑(ϕ i) x) (↑(ϕ j) y)
f✝ g : (i : ι) → H i
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintyp... | have (i✝ j✝ : { j // ¬j = i }) (hj : i✝ ≠ j✝) : ∀ (x : H ↑i✝) (y : H ↑j✝), Commute (↑(ϕ ↑i✝) x) (↑(ϕ ↑j✝) y) := sorry |
case mp.right
α : Type u_1
β : Type ?u.93781
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
h : totalVariation s ≪ μ
⊢ (toJordanDecomposition s).negPart ≪ μ | have (S : Set α) (x✝ : MeasurableSet S) (hS₂ : ↑↑μ S = 0) : ↑↑(toJordanDecomposition s).negPart S = 0 := sorry |
case mp.right
α : Type u_1
β : Type ?u.93781
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
h : totalVariation s ≪ μ
S : Set α
x✝ : MeasurableSet S
hS₂ : ↑↑μ S = 0
⊢ ↑↑(toJordanDecomposition s).negPart S = 0 | have := sorry |
case mpr
α : Type u_1
β : Type ?u.93781
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
h : (toJordanDecomposition s).posPart ≪ μ ∧ (toJordanDecomposition s).negPart ≪ μ
⊢ totalVariation s ≪ μ | have (S : Set α) (x✝ : MeasurableSet S) (hS₂ : ↑↑μ S = 0) : ↑↑(totalVariation s) S = 0 := sorry |
case refl
ι : Type ?u.13117
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
π : ι → Type ?u.13128
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_1
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ (a b ... | have : A_min = B_min := sorry |
case refl.refl
ι : Type ?u.13117
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
π : ι → Type ?u.13128
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_1
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹ : ∀ ... | have : A_max = B_max := sorry |
case refl.refl.refl
ι : Type ?u.13117
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
π : ι → Type ?u.13128
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_1
A B : LinearOrder α
A_le A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
lt_iff_le_not_le✝¹ : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
le_antisymm✝¹... | have : A_compare = B_compare := sorry |
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
⊢ f = g | haveI := sorry |
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : HasStrictTerminalObjects C
I : C
hI : IsTerminal I
A : C
f g : I ⟶ A
this : IsIso f
⊢ f = g | haveI := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_1
s t✝ : Set α
a b✝ x y : α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : ncard t ≤ ncard s
ht : autoParam (Set.Finite t) _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a ha, b = f a ha | have (f' : ↑s → ↑t := fun x => { val := f ↑x (_ : ↑x ∈ s), property := (_ : f ↑x (_ : ↑x ∈ s) ∈ t) }) : ∃ a ha, b = f a ha := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_1
s t✝ : Set α
a b✝ x y : α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : ncard t ≤ ncard s
ht : autoParam (Set.Finite t) _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x =... | have finj : f'.Injective := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_1
s t✝ : Set α
a b✝ x y : α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : ncard t ≤ ncard s
ht : autoParam (Set.Finite t) _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x =... | have hft := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_1
s t✝ : Set α
a b✝ x y : α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : ncard t ≤ ncard s
ht : autoParam (Set.Finite t) _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x =... | have hft' := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_1
s t✝ : Set α
a b✝ x y : α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : ncard t ≤ ncard s
ht : autoParam (Set.Finite t) _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s → ↑t := fun x =... | have (f'' : (a : α) → a ∈ toFinset s → β := fun a h => f a (_ : a ∈ s)) : ∃ a ha, b = f a ha := sorry |
case convert_2
α : Type u_2
β : Type u_1
s t✝ : Set α
a b✝ x y : α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : ncard t ≤ ncard s
ht : autoParam (Set.Finite t) _auto✝
b : β
hb : b ∈ t
f' : ↑s ... | have (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ toFinset s) (ha₂ : a₂ ∈ toFinset s) (h : f'' a₁ ha₁ = f'' a₂ ha₂) : a₁ = a₂ := sorry |
case pos
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : { fst := a, snd := b }.snd < { fst := a, snd := b }.fst
h : ¬↑g b < ↑g a
h₁ : ↑f (↑g b) ≤ ↑f (↑g a)
⊢ (if ↑f (↑g a) ≤ ↑f (↑g b) then -1 else 1) =
(if ↑f { fst := ↑g b, snd := ↑g a }.fst ≤ ↑f { fst := ↑g b, snd := ↑g a }.... | have : f (g b) ≠ f (g a) := sorry |
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
r : R
⊢ leadingCoeff (X ^ n + ↑C r) = 1 | have (✝ : Nontrivial R) : leadingCoeff (X ^ n + ↑C r) = 1 := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type ?u.9632
δ : Type ?u.9635
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
F : Type u_1
inst✝ : RelHomClass F r s
f : F
a : α
⊢ Acc s (↑f a) → Acc r a | have (b : β) (h : ↑f a = b) : Acc s b → Acc r a := sorry |
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type ?u.9632
δ : Type ?u.9635
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
F : Type u_1
inst✝ : RelHomClass F r s
f : F
a : α
b : β
h : ↑f a = b
⊢ Acc s b → Acc r a | have (ac : Acc s b) : Acc r a := sorry |
𝕜 : Type u_2
E : Type u_1
F : Type ?u.822903
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace { x // x ∈ K }
x : E
⊢ ↑(orthogonalProjection K) x = ↑(Submodule.linearProjOfIsCompl K Kᗮ (... | have : IsCompl K Kᗮ := sorry |
α : Type u
β : Type v
inst✝ : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
⊢ TotallyBounded (range s) | have (a : Set (α × α)) (ha : a ∈ 𝓤 α) : ∃ t, t ⊆ range s ∧ Set.Finite t ∧ range s ⊆ ⋃ (y : α) (_ : y ∈ t), {x | (x, y) ∈ a} := sorry |
case intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : UniformSpace α
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
a : Set (α × α)
ha : a ∈ 𝓤 α
n : ℕ
hn : ∀ (k : ℕ), k ≥ n → ∀ (l : ℕ), l ≥ n → (s k, s l) ∈ a
⊢ ∀ (y : ℕ), s y ∈ ⋃ (y : ℕ) (_ : y ∈ {k | k ≤ n}), {x | (x, s y) ∈ a} | have (m : ℕ) : s m ∈ ⋃ (y : ℕ) (_ : y ∈ {k | k ≤ n}), {x | (x, s y) ∈ a} := sorry |
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ 𝟙 X = 0 → f = 0 | have (h : 𝟙 X = 0) : f = 0 := sorry |
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category C
D : Type u'
inst✝² : Category D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitMono f
⊢ f = 0 → 𝟙 X = 0 | have (h : f = 0) : 𝟙 X = 0 := sorry |
case a
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type ?u.366938
M : ι → Type ?u.366943
N : Type u_3
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N
⊢ (⨆ (i : ι) (_ : p i), S i) ≤
LinearMap.range
(LinearMap.comp (↑(lsum ℕ) f... | have (i : ι) (hi : p i) (y : N) (hy : y ∈ S i) : ↑(LinearMap.comp (↑(lsum ℕ) fun i => Submodule.subtype (S i)) (filterLinearMap R (fun i => { x // x ∈ S i }) p))
(single i { val := y, property := hy }) =
y := sorry |
case a.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type ?u.366938
M : ι → Type ?u.366943
N : Type u_3
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N
v : Π₀ (i : ι), { x // x ∈ S i }
⊢ ↑(LinearMap.comp (↑(lsum ℕ) fun i => Submodu... | have (i : ι) (x✝ : ↑(↑(filterLinearMap R (fun i => { x // x ∈ S i }) p) v) i ≠ 0) : ↑((fun i => LinearMap.toAddMonoidHom ((fun i => Submodule.subtype (S i)) i)) i)
(↑(↑(filterLinearMap R (fun i => { x // x ∈ S i }) p) v) i) ∈
⨆ (i : ι) (_ : p i), S i := sorry |
case e_a.e_s.e_a
R : Type ?u.146799
m : ℕ
this : ∑ i in range (m + 1), choose (2 * m + 1) (2 * m + 1 - i) = ∑ i in range (m + 1), choose (2 * m + 1) i
⊢ 2 * m + 1 + 1 - (m + 1) = m + 1 | have A : m + 1 ≤ 2 * m + 1 := sorry |
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.68690
ι : Type ?u.68693
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝² : One β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : MetrizableSpace β
hf : StronglyMeasurable f
⊢ MeasurableSet (mulSupport f) | have (this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β) (this✝ : BorelSpace β) : MeasurableSet (mulSupport f) := sorry |
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type ?u.227504
ι : Type ?u.227507
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
⊢ MeasurableSet {a | f a... | have (this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)) (this✝ : BorelSpace (β × β)) : MeasurableSet {a | f a ≤ g a} := sorry |
case refine'_1
F : Type ?u.80713
α : Type u_1
β : Type ?u.80719
γ : Type ?u.80722
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α
h : s * t = 1
⊢ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a * b = 1 | have hst : (s * t).Nonempty := sorry |
case refine'_1.intro.intro
F : Type ?u.80713
α : Type u_1
β : Type ?u.80719
γ : Type ?u.80722
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α
h : s * t = 1
hst : Set.Nonempty (s * t)
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a * b = 1 | have H : ∀ {a b}, a ∈ s → b ∈ t → a * b = (1 : α) := sorry |
case hi.mk.mk
n : ℕ
ih : ∀ (m : ℕ), m ≤ n → card (treesOfNumNodesEq m) = catalan m
i j : ℕ
a✝¹ : (i, j) ∈ Nat.antidiagonal n
i' j' : ℕ
a✝ : (i', j') ∈ Nat.antidiagonal n
⊢ (i, j) ≠ (i', j') →
∀ ⦃a : Tree Unit⦄,
a ∈ pairwiseNode (treesOfNumNodesEq (i, j).fst) (treesOfNumNodesEq (i, j).snd) →
¬a ∈ pairw... | have (h : (i, j) ≠ (i', j')) (a : Tree Unit) : a ∈ pairwiseNode (treesOfNumNodesEq (i, j).fst) (treesOfNumNodesEq (i, j).snd) →
¬a ∈ pairwiseNode (treesOfNumNodesEq (i', j').fst) (treesOfNumNodesEq (i', j').snd) := sorry |
case hi.mk.mk.node
n : ℕ
ih : ∀ (m : ℕ), m ≤ n → card (treesOfNumNodesEq m) = catalan m
i j : ℕ
a✝¹ : (i, j) ∈ Nat.antidiagonal n
i' j' : ℕ
a✝ : (i', j') ∈ Nat.antidiagonal n
h : (i, j) ≠ (i', j')
a : Unit
l r : Tree Unit
⊢ node a l r ∈ pairwiseNode (treesOfNumNodesEq (i, j).fst) (treesOfNumNodesEq (i, j).snd) →
¬n... | have (h1 : node a l r ∈ pairwiseNode (treesOfNumNodesEq (i, j).fst) (treesOfNumNodesEq (i, j).snd)) (h2 : node a l r ∈ pairwiseNode (treesOfNumNodesEq (i', j').fst) (treesOfNumNodesEq (i', j').snd)) : False := sorry |
case right
M : Type ?u.2760785
N : Type ?u.2760788
G : Type ?u.2760791
R : Type u_1
S : Type ?u.2760797
F : Type ?u.2760800
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ ∀ (x : R), x ∈ primitiveRoots 1 R → x = 1 | have (x : R) (hx : x ∈ primitiveRoots 1 R) : x = 1 := sorry |
X : Type u_1
Y : Type ?u.15129
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
h : IsSeqCompact s
⊢ TotallyBounded s | have (V : Set (X × X)) (V_in : V ∈ 𝓤 X) : ∃ t, Set.Finite t ∧ s ⊆ ⋃ (y : X) (_ : y ∈ t), {x | (x, y) ∈ V} := sorry |
case intro.intro
X : Type u_1
Y : Type ?u.15129
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), Set.Finite t → ¬s ⊆ ⋃ (y : X) (_ : y ∈ t), {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → ¬u m ∈ ball (u n) V
⊢ Exists fun ⦃x⦄ => (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ (... | have (x : X) (x✝ : x ∈ s) (φ : ℕ → ℕ) (hφ : StrictMono φ) (huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)) : False := sorry |
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0✝ b0✝ : G
f : G →ₙ* H
hf : Function.Injective ↑f
a0 b0 : G
A B : Finset H
u : UniqueMul A B (↑f a0) (↑f b0)
⊢ UniqueMul (Finset.preimage A ↑f (_ : Set.InjOn (↑f) (↑f ⁻¹' ↑A)))
(Finset.preimage B ↑f (_ : Set.InjOn (↑f) (↑f ⁻¹' ↑B))) a0 b0 | have (a b : G) (ha : a ∈ Finset.preimage A ↑f (_ : Set.InjOn (↑f) (↑f ⁻¹' ↑A))) (hb : b ∈ Finset.preimage B ↑f (_ : Set.InjOn (↑f) (↑f ⁻¹' ↑B))) (ab : a * b = a0 * b0) : a = a0 ∧ b = b0 := sorry |
case h
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type ?u.103687
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑(ModelWithCorners.sym... | have : ContDiffOn 𝕜 n id (univ : Set E) := sorry |
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : Nonempty δ
f : α → γ
g : β → δ
h : Surjective (map f g)
c : γ
⊢ ∃ a, f a = c | have (inhabited_h : Inhabited δ) : ∃ a, f a = c := sorry |
α : Type u_4
β : Type u_3
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : Nonempty δ
f : α → γ
g : β → δ
h : Surjective (map f g)
d : δ
⊢ ∃ a, g a = d | have (inhabited_h : Inhabited γ) : ∃ a, g a = d := sorry |
case hf
σ : Type u_3
τ : Type u_1
R : Type u_2
S : Type ?u.129297
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
⊢ ∀ (i : σ), ↑(AlgHom.comp (expand p) (bind₁ f)) (X i) = ↑(bind₁ fun i => ↑(expand p) (f i)) (X i) | have (i : σ) : ↑(AlgHom.comp (expand p) (bind₁ f)) (X i) = ↑(bind₁ fun i => ↑(expand p) (f i)) (X i) := sorry |
case inl
ι : Type u_2
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
c : Set (PartialRefinement u s)
i : ι
ne : Set.Nonempty c
h : ∃ v, v ∈ c ∧ i ∈ v.carrier
⊢ i ∈ (Exists.choose h).carrier ↔ i ∈ chainSupCarrier c | have := sorry |
a b c : Int
h : a + b = a + c
⊢ b = c | have h₁ : -a + (a + b) = -a + (a + c) := sorry |
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : IsCycle f
x : α
hx : ↑f x ≠ x
⊢ toCycle f hf = ↑(toList f x) | have key : (Finset.univ : Finset α).val = x ::ₘ Finset.univ.val.erase x := sorry |
case refine'_2
ι : Type ?u.15491641
𝕜 : Type ?u.15491644
E : Type u_1
F : Type ?u.15491650
A : Type ?u.15491653
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∀ (n : ℕ),
m ≤ n →
((∀ (k : ℕ), k... | have (p : ℕ) (hmp : m ≤ p) (IH :) ((∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m p → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) →) ((∑ k in Finset.Ico m p, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in a m..a p, f x ∂μ) (h : ∀ (k : ℕ), k ∈ Ico m (p + 1) → IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) : (∑ k in Finset.Ico m (p + 1), ∫ (x : ℝ)... |
case refine'_2.hab
ι : Type ?u.15491641
𝕜 : Type ?u.15491644
E : Type u_1
F : Type ?u.15491650
A : Type ?u.15491653
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
p : ℕ
hmp : m ≤ p
IH :
(∀ (k : ℕ), k ∈ ... | have (k : ℕ) (hk : k ∈ Ico m p) : k ∈ Ico m (p + 1) := sorry |
case refine'_2
ι : Type ?u.15491641
𝕜 : Type ?u.15491644
E : Type u_1
F : Type ?u.15491650
A : Type ?u.15491653
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : MeasureTheory.Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
p : ℕ
hmp : m ≤ p
IH :
(∀ (k : ℕ), k ∈ Ico ... | have (k : ℕ) (hk : k ∈ Ico m p) : IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1)) := sorry |
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p a : α
h : p ∈ factors a
⊢ a ≠ 0 | have (ha : a = 0) : False := sorry |
α : Type u_1
S : Set (Set α)
h_pi : IsPiSystem S
⊢ IsPiSystem (insert ∅ S) | have (s : Set α) (hs : s ∈ insert ∅ S) (t : Set α) (ht : t ∈ insert ∅ S) (hst : Set.Nonempty (s ∩ t)) : s ∩ t ∈ insert ∅ S := sorry |
α : Type u_3
E : Type u_2
F : Type ?u.5042165
G : Type ?u.5042168
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ (i : ι), i ∈ s → Memℒp (f i) p
⊢ Memℒp (fun a => ∑ i in s, f i... | haveI : DecidableEq ι := sorry |
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : Intersecting ↑s
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * card t = Fintype.card α ∧ Intersecting ↑t | have := sorry |
x : ℂ
hx : cos x = 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖sin x‖ / ‖cos x‖) (𝓝[{x}ᶜ] x) atTop | have A : sin x ≠ 0 := sorry |
x : ℂ
hx : cos x = 0
A : sin x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => ‖sin x‖ / ‖cos x‖) (𝓝[{x}ᶜ] x) atTop | have B : Tendsto cos (𝓝[≠] x) (𝓝[≠] 0) := sorry |
case tail.intro.intro.intro.intro.inl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
... | have := sorry |
case tail.intro.intro.intro.intro.inl.none
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e... | have (c0 : f₂ c₂ = none) : ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁ := sorry |
case tail.intro.intro.intro.intro.inl.some
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e... | have (g₂ : σ₂) (gg : tr g₁ g₂) (cg : Reaches₁ f₂ c₂ g₂) : ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁ := sorry |
V : Type u
inst✝⁴ : Category V
inst✝³ : HasImages V
A✝ B✝ C D : V
f✝ : A✝ ⟶ B✝
g : B✝ ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroObject V
inst✝¹ : Preadditive V
inst✝ : HasEqualizers V
A B : V
f : A ⟶ B
h : Exact f 0
⊢ Epi f | have e₁ := sorry |
V : Type u
inst✝⁴ : Category V
inst✝³ : HasImages V
A✝ B✝ C D : V
f✝ : A✝ ⟶ B✝
g : B✝ ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroObject V
inst✝¹ : Preadditive V
inst✝ : HasEqualizers V
A B : V
f : A ⟶ B
h : Exact f 0
e₁ : Epi (Subobject.arrow (imageSubobject f) ≫ inv (Subobject.arrow (kernelSubobject 0)))
⊢ Epi f | have e₂ : Epi (((imageSubobject f).arrow ≫ inv (kernelSubobject 0).arrow) ≫
(kernelSubobject 0).arrow) := sorry |
V : Type u
inst✝⁴ : Category V
inst✝³ : HasImages V
A✝ B✝ C D : V
f✝ : A✝ ⟶ B✝
g : B✝ ⟶ C
h✝ : C ⟶ D
inst✝² : HasZeroObject V
inst✝¹ : Preadditive V
inst✝ : HasEqualizers V
A B : V
f : A ⟶ B
h : Exact f 0
e₁ : Epi (Subobject.arrow (imageSubobject f) ≫ inv (Subobject.arrow (kernelSubobject 0)))
e₂ : Epi ((imageSubobject... | haveI : Epi (image.ι f) := sorry |
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
r ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
x : E
r' : ℝ
r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ (y :... | have (y : E) (hy : y ∈ ball x r') (z : E) (hz : z ∈ ball x r') : 0 ≤ r := sorry |
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
l : List α
H : Pairwise R l
⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => Lex R (reverse l₁) (reverse l₂)) (sublists l) | have := sorry |
case inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type ?u.12477
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ a b : ℕ
hab : coprime a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p k : ℕ
hp : Prime p
left✝ : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
⊢ k ≤ ↑(factorization a) p + ↑(factorization b) p → k ≤ ↑(factorization a) p ∨ k ≤ ↑(factorization b) p | have : a.factorization p = 0 ∨ b.factorization p = 0 := sorry |
R : Type ?u.12477
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ a b : ℕ
hab : coprime a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p k : ℕ
hp : Prime p
left✝ : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
⊢ ¬p ∈ (factorization a).support ∩ (factorization b).support | have (t : p ∈ (factorization a).support ∩ (factorization b).support) : False := sorry |
ι : Type ?u.1119536
α : Type u_1
β : Type ?u.1119542
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : IsCycle f
hg : IsCycle g
h : support f ⊆ support g
h' : ∀ (x : α), x ∈ support f → ↑f x = ↑g x
⊢ f = g | have : f.support = g.support := by
refine' le_antisymm h _
intro z hz
obtain ⟨x, hx, _⟩ := id hf
have hx' : g x ≠ x := by rwa [← h' x (mem_support.mpr hx)]
obtain ⟨m, hm⟩ := hg.exists_pow_eq hx' (mem_support.mp hz)
have h'' : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x := sorry |
ι : Type ?u.1119536
α : Type u_1
β : Type ?u.1119542
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : IsCycle f
hg : IsCycle g
h : support f ⊆ support g
h' : ∀ (x : α), x ∈ support f → ↑f x = ↑g x
⊢ support g ≤ support f | have (z : α) (hz : z ∈ support g) : z ∈ support f := sorry |
case intro.intro
ι : Type ?u.1119536
α : Type u_1
β : Type ?u.1119542
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : IsCycle f
hg : IsCycle g
h : support f ⊆ support g
h' : ∀ (x : α), x ∈ support f → ↑f x = ↑g x
z : α
hz : z ∈ support g
x : α
hx : ↑f x ≠ x
right✝ : ∀ ⦃y : α⦄, ↑f y ≠ y → SameCycle f... | have hx' : g x ≠ x := sorry |
case intro.intro.intro
ι : Type ?u.1119536
α : Type u_1
β : Type ?u.1119542
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : IsCycle f
hg : IsCycle g
h : support f ⊆ support g
h' : ∀ (x : α), x ∈ support f → ↑f x = ↑g x
z : α
hz : z ∈ support g
x : α
hx : ↑f x ≠ x
right✝ : ∀ ⦃y : α⦄, ↑f y ≠ y → SameC... | have h'' : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x := sorry |
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