UnluckyOrangutan/tactic-haveDraft10 · Datasets at Hugging Face

type stringlengths 1 45.9k	tactic stringlengths 3 8.85k	removals listlengths 0 38	name stringlengths 1 85	kind stringclasses 3 values	goal stringlengths 7 67.7k
b • c < b • d	refine lt_of_le_of_lt (IsOrderedSMul.smul_le_smul_right a b h₁ c) ?_	[]	refine	goal	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d ⊢ a • c < b • d
¬b • d ≤ b • c	refine lt_of_le_not_ge (IsOrderedSMul.smul_le_smul_left c d (le_of_lt h₂) b) ?_	[]	refine	goal	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d ⊢ b • c < b • d
b • d ≤ b • c → False	by_contra hbdc	[]	by_contra	goal	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d ⊢ ¬b • d ≤ b • c
d ≤ c	have h : d ≤ c := IsOrderedCancelSMul.le_of_smul_le_smul_left b d c hbdc	[]	h	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c ⊢ False
c ≤ d ∧ ¬d ≤ c	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₂	[ "h₂", "hbdc", "h" ]	h₃	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c h : d ≤ c ⊢ False
b • d ≤ b • c	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₂	[ "h₂", "hbdc", "h" ]	hbdc₁	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c h : d ≤ c h₃ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c ⊢ False
d ≤ c	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₂	[ "h₂", "hbdc", "h" ]	h₄	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c h : d ≤ c h₃ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c hbdc₁ : b • d ≤ b • c ⊢ False
a • d < b • d	refine lt_of_le_of_lt (IsOrderedSMul.smul_le_smul_left c d h₂ a) ?_	[]	refine	goal	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d ⊢ a • c < b • d
¬b • d ≤ a • d	refine lt_of_le_not_ge (IsOrderedSMul.smul_le_smul_right a b (le_of_lt h₁) d) ?_	[]	refine	goal	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d ⊢ a • d < b • d
b • d ≤ a • d → False	by_contra hbad	[]	by_contra	goal	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d ⊢ ¬b • d ≤ a • d
b ≤ a	have h : b ≤ a := IsOrderedCancelSMul.le_of_smul_le_smul_right b a d hbad	[]	h	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d ⊢ False
a ≤ b ∧ ¬b ≤ a	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁	[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]	h₃	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a ⊢ False
c ≤ d	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁	[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]	h₄	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a h₃ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ⊢ False
b • d ≤ a • d	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁	[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]	hbad₁	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a h₃ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a h₄ : c ≤ d ⊢ False
b ≤ a	rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁	[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]	h₅	hypothesis	G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a h₃ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a h₄ : c ≤ d hbad₁ : b • d ≤ a • d ⊢ False
(↑c : R) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rw [← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, smul_eq_zero]	[]	rw	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommMonoid M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M c : ℕ x : M ⊢ c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0
NoZeroSMulDivisors ℕ M	haveI := Nat.noZeroSMulDivisors R M	[]	this	hypothesis	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommMonoid M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M ⊢ 2 • v = 0 ↔ v = 0
∀ (m n : ℕ), (↑m : R) = (↑n : R) → (↑m : M) = (↑n : M)	refine ⟨fun m n h => @Nat.cast_injective M _ _ _ _ ?_⟩	[]	refine	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M ⊢ CharZero R
m • 1 = (↑n : M)	rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[]	rw	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)
m • 1 = n • 1	rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[]	rw₁	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)
(↑m : R) • 1 = n • 1	rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[]	rw₂	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)
(↑m : R) • 1 = (↑n : R) • 1	rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[]	rw₃	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 rw₂ : (↑m : R) • 1 = n • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)
(↑n : R) • 1 = (↑n : R) • 1	rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[]	rw₄	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 rw₂ : (↑m : R) • 1 = n • 1 rw₃ : (↑m : R) • 1 = (↑n : R) • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)
(↑n : R) • 1 = (↑n : R) • 1	rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[]	rw₅	goal	R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 rw₂ : (↑m : R) • 1 = n • 1 rw₃ : (↑m : R) • 1 = (↑n : R) • 1 rw₄ : (↑n : R) • 1 = (↑n : R) • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)
v = -v ↔ 2 • v = 0	rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]	[]	rw	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M ⊢ v = -v ↔ v = 0
v = -v ↔ v + v = 0	rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]	[]	rw₁	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ 2 • v = 0 ⊢ v = -v ↔ v = 0
v = -v ↔ v = -v	rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]	[]	rw₂	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ 2 • v = 0 rw₁ : v = -v ↔ v + v = 0 ⊢ v = -v ↔ v = 0
v = -v ↔ v = -v	rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]	[]	rw₃	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ 2 • v = 0 rw₁ : v = -v ↔ v + v = 0 rw₂ : v = -v ↔ v = -v ⊢ v = -v ↔ v = 0
v = -v ↔ v = 0	rw [eq_comm, self_eq_neg R M]	[]	rw	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M ⊢ -v = v ↔ v = 0
v = 0 ↔ v = 0	rw [eq_comm, self_eq_neg R M]	[]	rw₁	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ v = 0 ⊢ -v = v ↔ v = 0
v = 0 ↔ v = 0	rw [eq_comm, self_eq_neg R M]	[]	rw₂	goal	R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ v = 0 rw₁ : v = 0 ↔ v = 0 ⊢ -v = v ↔ v = 0
(↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
(↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₁	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₂	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₃	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₄	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₅	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ rwa₄ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
∀ {n m : ℕ} {h : (↑n : R) = (↑m : R)}, n = m	refine ⟨fun {n m h} ↦ ?_⟩	[]	refine	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : Nontrivial M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M ⊢ CharZero R
∃ y, y ≠ 0	obtain ⟨x, hx⟩ := exists_ne (0 : M)	[]	x	original	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : Nontrivial M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M n m : ℕ h : (↑n : R) = (↑m : R) ⊢ n = m
(↑n : ℤ) • x = (↑m : ℤ) • x	replace h : (n : ℤ) • x = (m : ℤ) • x := by simp [← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]	[ "h" ]	h₁	hypothesis	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : Nontrivial M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M n m : ℕ h : (↑n : R) = (↑m : R) x : M hx : x ≠ 0 ⊢ n = m
(↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
(↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₁	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₂	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₃	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₄	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0	rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx	[ "hcx" ]	rwa₅	goal	R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ rwa₄ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0
(-2).toNat = 0	have h' : (-2 : ℤ).toNat = 0 := rfl	[]	h'	hypothesis	R : Type u B : Type v inst✝ : CommRing R A : Matrix B B ℤ i : B h : A i i = 2 ⊢ adE R A (i, i) = 0
(-2).toNat = 0	have h' : (-2 : ℤ).toNat = 0 := rfl	[]	h'	hypothesis	R : Type u B : Type v inst✝ : CommRing R A : Matrix B B ℤ i : B h : A i i = 2 ⊢ adF R A (i, i) = 0
((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app = φ.app	apply NatTrans.ext	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) ⊢ (fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ) = φ
∀ (M : ModuleCat R) (x : (↑M : Type u)), (AddCommGrp.Hom.hom (((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x = (AddCommGrp.Hom.hom (φ.app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x	ext M (x : M)	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) ⊢ ((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app = φ.app
(ConcreteCategory.hom ((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.map (ModuleCat.ofHom (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M : Type u) x)) ≫ φ.app (ModuleCat.of R (↑M : Type u))) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R (↑M : Type u))) : Type u)) 1 = (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R) ≫ (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.map (ModuleCat.ofHom (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M : Type u) x))) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R (↑M : Type u))) : Type u)) 1	have w := CategoryTheory.congr_fun (φ.naturality (ModuleCat.ofHom (LinearMap.toSpanSingleton R M x))) (1 : R)	[]	w	hypothesis	R : Type u inst✝ : Ring R φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) M : ModuleCat R x : (↑M : Type u) ⊢ (AddCommGrp.Hom.hom (((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x = (AddCommGrp.Hom.hom (φ.app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x
{ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ * y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app	apply NatTrans.ext	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ * y✝)), naturality := sorry } = { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }
∀ (x : ModuleCat R) (x_1 : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)), (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² * y✝)), naturality := sorry }.app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1 = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1	ext	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ * y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app
x✝² • y✝ • x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑x✝¹ : Type u) → (↑x✝¹ : Type u)) x✝	simp only [AdditiveFunctor.of_fst, ModuleCat.forget₂_obj, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, mul_smul, AddCommGrp.hom_ofHom]	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R x✝² y✝ : R x✝¹ : ModuleCat R x✝ : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) ⊢ (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² * y✝)), naturality := sorry }.app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝
{ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ + y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app	apply NatTrans.ext	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ + y✝)), naturality := sorry } = { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }
∀ (x : ModuleCat R) (x_1 : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)), (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² + y✝)), naturality := sorry }.app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1 = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1	ext	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ + y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app
x✝² • x✝ + y✝ • x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑x✝¹ : Type u) → (↑x✝¹ : Type u)) x✝	simp only [AdditiveFunctor.of_fst, ModuleCat.forget₂_obj, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, add_smul, AddCommGrp.hom_ofHom]	[]	app	goal	R : Type u inst✝ : Ring R x✝² y✝ : R x✝¹ : ModuleCat R x✝ : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) ⊢ (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² + y✝)), naturality := sorry }.app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝
a • b₂ ≤ a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁	rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁
a • b₂ ≤ b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁	rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₁	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ ≤ a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁
a • b₂ ≤ b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁	rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₂	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ ≤ a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁ rw₁ : a • b₂ ≤ b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁
a • a⁻¹ • b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁	rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁
b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁	rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₁	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁ ⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁
b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁	rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₂	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁ rw₁ : b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁ ⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁
a • b₂ < a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ < b₁	rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁
a • b₂ < b₁ ↔ a • b₂ < b₁	rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₁	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ < a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ < b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁
a • b₂ < b₁ ↔ a • b₂ < b₁	rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₂	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ < a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ < b₁ rw₁ : a • b₂ < b₁ ↔ a • b₂ < b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁
a • a⁻¹ • b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁	rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁
b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁	rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₁	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁ ⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁
b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁	rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]	[]	rw₂	goal	𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁ rw₁ : b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁ ⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁
(Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M	rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]	[]	rw	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M
((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).natDegree = finrank R M	rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]	[]	rw₁	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R rw : (Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M
finrank R M = finrank R M	rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]	[]	rw₂	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R rw : (Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M rw₁ : ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).natDegree = finrank R M ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M
finrank R M = finrank R M	rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]	[]	rw₃	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R rw : (Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M rw₁ : ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).natDegree = finrank R M rw₂ : finrank R M = finrank R M ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M
Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	rw [lieCharpoly, map_map]	[]	rw	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R ⊢ Polynomial.map (evalRingHom r) (lieCharpoly R M x y) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
let b := chooseBasis R L; Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	set b := chooseBasis R L	[]	set	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
(fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)	have aux : (fun i ↦ (b.repr y) i * r + (b.repr x) i) = b.repr (r • y + x) := by ext i; simp [mul_comm r]	[]	aux	hypothesis	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := sorry ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i = ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x) : ChooseBasisIndex R L → R) i	ext i	[]	h	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := sorry ⊢ (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)
Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := sorry aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₁	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₂	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₃	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₄	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₅	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₆	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₇	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₈	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₉	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₈ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
Polynomial.map (MvPolynomial.eval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₁₀	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₈ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₉ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
charpoly (((↑φ : L →ₗ[R] End R M) : L → End R M) (r • y + x)) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))	simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]	[]	simp_rw₁₁	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₈ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₉ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁₀ : Polynomial.map (MvPolynomial.eval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))
((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	rw	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	rw₁	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	rw₂	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	rw₃	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	rw₄	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	hF	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	hf	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	hf₁	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf : ∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	hf₂	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf hf₁ : ∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X).natDegree ≤ 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	hf₃	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf hf₁ hf₂ : ∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j
∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1	classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]	[]	hf₄	goal	R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf hf₁ hf₂ : ∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1 hf₃ : ∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

b • c < b • d

refine lt_of_le_of_lt (IsOrderedSMul.smul_le_smul_right a b h₁ c) ?_

[]

refine

goal

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d ⊢ a • c < b • d

¬b • d ≤ b • c

refine lt_of_le_not_ge (IsOrderedSMul.smul_le_smul_left c d (le_of_lt h₂) b) ?_

[]

refine

goal

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d ⊢ b • c < b • d

b • d ≤ b • c → False

by_contra hbdc

[]

by_contra

goal

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d ⊢ ¬b • d ≤ b • c

d ≤ c

have h : d ≤ c := IsOrderedCancelSMul.le_of_smul_le_smul_left b d c hbdc

[]

h

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c ⊢ False

c ≤ d ∧ ¬d ≤ c

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₂

[ "h₂", "hbdc", "h" ]

h₃

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c h : d ≤ c ⊢ False

b • d ≤ b • c

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₂

[ "h₂", "hbdc", "h" ]

hbdc₁

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c h : d ≤ c h₃ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c ⊢ False

d ≤ c

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₂

[ "h₂", "hbdc", "h" ]

h₄

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : LE G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a ≤ b h₂ : c < d hbdc : b • d ≤ b • c h : d ≤ c h₃ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c hbdc₁ : b • d ≤ b • c ⊢ False

a • d < b • d

refine lt_of_le_of_lt (IsOrderedSMul.smul_le_smul_left c d h₂ a) ?_

[]

refine

goal

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d ⊢ a • c < b • d

¬b • d ≤ a • d

refine lt_of_le_not_ge (IsOrderedSMul.smul_le_smul_right a b (le_of_lt h₁) d) ?_

[]

refine

goal

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d ⊢ a • d < b • d

b • d ≤ a • d → False

by_contra hbad

[]

by_contra

goal

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d ⊢ ¬b • d ≤ a • d

b ≤ a

have h : b ≤ a := IsOrderedCancelSMul.le_of_smul_le_smul_right b a d hbad

[]

h

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d ⊢ False

a ≤ b ∧ ¬b ≤ a

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁

[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]

h₃

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a ⊢ False

c ≤ d

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁

[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]

h₄

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a h₃ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ⊢ False

b • d ≤ a • d

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁

[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]

hbad₁

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a h₃ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a h₄ : c ≤ d ⊢ False

b ≤ a

rw [@lt_iff_le_not_ge] at h₁

[ "h₁", "h₂", "hbad", "h" ]

h₅

hypothesis

G : Type u_1 P : Type u_2 inst✝³ : Preorder G inst✝² : Preorder P inst✝¹ : SMul G P inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P a b : G c d : P h₁ : a < b h₂ : c ≤ d hbad : b • d ≤ a • d h : b ≤ a h₃ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a h₄ : c ≤ d hbad₁ : b • d ≤ a • d ⊢ False

(↑c : R) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rw [← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, smul_eq_zero]

[]

rw

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommMonoid M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M c : ℕ x : M ⊢ c • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

NoZeroSMulDivisors ℕ M

haveI := Nat.noZeroSMulDivisors R M

[]

this

hypothesis

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommMonoid M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M ⊢ 2 • v = 0 ↔ v = 0

∀ (m n : ℕ), (↑m : R) = (↑n : R) → (↑m : M) = (↑n : M)

refine ⟨fun m n h => @Nat.cast_injective M _ _ _ _ ?_⟩

[]

refine

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M ⊢ CharZero R

m • 1 = (↑n : M)

rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[]

rw

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)

m • 1 = n • 1

rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[]

rw₁

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)

(↑m : R) • 1 = n • 1

rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[]

rw₂

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)

(↑m : R) • 1 = (↑n : R) • 1

rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[]

rw₃

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 rw₂ : (↑m : R) • 1 = n • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)

(↑n : R) • 1 = (↑n : R) • 1

rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[]

rw₄

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 rw₂ : (↑m : R) • 1 = n • 1 rw₃ : (↑m : R) • 1 = (↑n : R) • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)

(↑n : R) • 1 = (↑n : R) • 1

rw [← nsmul_one, ← nsmul_one, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, ← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[]

rw₅

goal

R : Type u_1 inst✝³ : Semiring R M : Type u_3 inst✝² : AddCommMonoidWithOne M inst✝¹ : CharZero M inst✝ : Module R M m n : ℕ h : (↑m : R) = (↑n : R) rw : m • 1 = (↑n : M) rw₁ : m • 1 = n • 1 rw₂ : (↑m : R) • 1 = n • 1 rw₃ : (↑m : R) • 1 = (↑n : R) • 1 rw₄ : (↑n : R) • 1 = (↑n : R) • 1 ⊢ (↑m : M) = (↑n : M)

v = -v ↔ 2 • v = 0

rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]

[]

rw

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M ⊢ v = -v ↔ v = 0

v = -v ↔ v + v = 0

rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]

[]

rw₁

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ 2 • v = 0 ⊢ v = -v ↔ v = 0

v = -v ↔ v = -v

rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]

[]

rw₂

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ 2 • v = 0 rw₁ : v = -v ↔ v + v = 0 ⊢ v = -v ↔ v = 0

v = -v ↔ v = -v

rw [← two_nsmul_eq_zero R M, two_smul, add_eq_zero_iff_eq_neg]

[]

rw₃

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ 2 • v = 0 rw₁ : v = -v ↔ v + v = 0 rw₂ : v = -v ↔ v = -v ⊢ v = -v ↔ v = 0

v = -v ↔ v = 0

rw [eq_comm, self_eq_neg R M]

[]

rw

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M ⊢ -v = v ↔ v = 0

v = 0 ↔ v = 0

rw [eq_comm, self_eq_neg R M]

[]

rw₁

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ v = 0 ⊢ -v = v ↔ v = 0

v = 0 ↔ v = 0

rw [eq_comm, self_eq_neg R M]

[]

rw₂

goal

R : Type u_3 M : Type u_4 inst✝⁴ : Semiring R inst✝³ : CharZero R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M v : M rw : v = -v ↔ v = 0 rw₁ : v = 0 ↔ v = 0 ⊢ -v = v ↔ v = 0

(↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

(↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₁

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₂

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₃

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₄

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₅

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝³ : Ring R inst✝² : AddCommGroup M inst✝¹ : Module R M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ rwa₄ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

∀ {n m : ℕ} {h : (↑n : R) = (↑m : R)}, n = m

refine ⟨fun {n m h} ↦ ?_⟩

[]

refine

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : Nontrivial M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M ⊢ CharZero R

∃ y, y ≠ 0

obtain ⟨x, hx⟩ := exists_ne (0 : M)

[]

x

original

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : Nontrivial M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M n m : ℕ h : (↑n : R) = (↑m : R) ⊢ n = m

(↑n : ℤ) • x = (↑m : ℤ) • x

replace h : (n : ℤ) • x = (m : ℤ) • x := by simp [← Nat.cast_smul_eq_nsmul R, h]

[ "h" ]

h₁

hypothesis

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : Nontrivial M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M n m : ℕ h : (↑n : R) = (↑m : R) x : M hx : x ≠ 0 ⊢ n = m

(↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

(↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₁

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₂

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₃

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₄

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0

rwa [← Nat.cast_smul_eq_nsmul ℤ c x, smul_eq_zero, Nat.cast_eq_zero] at hcx

[ "hcx" ]

rwa₅

goal

R : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁴ : Ring R inst✝³ : AddCommGroup M inst✝² : Module R M inst✝¹ : AddCommGroup M inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M c : ℕ x : M hcx : c • x = 0 rwa : (↑c : ℤ) • x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₁ : (↑c : ℤ) = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 rwa₂ rwa₃ rwa₄ : c = 0 ∨ x = 0 → c = 0 ∨ x = 0 ⊢ c = 0 ∨ x = 0

(-2).toNat = 0

have h' : (-2 : ℤ).toNat = 0 := rfl

[]

h'

hypothesis

R : Type u B : Type v inst✝ : CommRing R A : Matrix B B ℤ i : B h : A i i = 2 ⊢ adE R A (i, i) = 0

(-2).toNat = 0

have h' : (-2 : ℤ).toNat = 0 := rfl

[]

h'

hypothesis

R : Type u B : Type v inst✝ : CommRing R A : Matrix B B ℤ i : B h : A i i = 2 ⊢ adF R A (i, i) = 0

((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app = φ.app

apply NatTrans.ext

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) ⊢ (fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ) = φ

∀ (M : ModuleCat R) (x : (↑M : Type u)), (AddCommGrp.Hom.hom (((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x = (AddCommGrp.Hom.hom (φ.app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x

ext M (x : M)

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) ⊢ ((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app = φ.app

(ConcreteCategory.hom ((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.map (ModuleCat.ofHom (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M : Type u) x)) ≫ φ.app (ModuleCat.of R (↑M : Type u))) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R (↑M : Type u))) : Type u)) 1 = (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R) ≫ (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.map (ModuleCat.ofHom (LinearMap.toSpanSingleton R (↑M : Type u) x))) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R (↑M : Type u))) : Type u)) 1

have w := CategoryTheory.congr_fun (φ.naturality (ModuleCat.ofHom (LinearMap.toSpanSingleton R M x))) (1 : R)

[]

w

hypothesis

R : Type u inst✝ : Ring R φ : End (AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)) M : ModuleCat R x : (↑M : Type u) ⊢ (AddCommGrp.Hom.hom (((fun r ↦ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) r), naturality := sorry }) ((fun φ ↦ (ConcreteCategory.hom (φ.app (ModuleCat.of R R)) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj (ModuleCat.of R R)) : Type u)) 1) φ)).app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x = (AddCommGrp.Hom.hom (φ.app M) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj M) : Type u)) x

{ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ * y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app

apply NatTrans.ext

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ * y✝)), naturality := sorry } = { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }

∀ (x : ModuleCat R) (x_1 : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)), (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² * y✝)), naturality := sorry }.app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1 = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1

ext

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ * y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app

x✝² • y✝ • x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑x✝¹ : Type u) → (↑x✝¹ : Type u)) x✝

simp only [AdditiveFunctor.of_fst, ModuleCat.forget₂_obj, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, mul_smul, AddCommGrp.hom_ofHom]

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R x✝² y✝ : R x✝¹ : ModuleCat R x✝ : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) ⊢ (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² * y✝)), naturality := sorry }.app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } * { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝

{ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ + y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app

apply NatTrans.ext

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ + y✝)), naturality := sorry } = { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }

∀ (x : ModuleCat R) (x_1 : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)), (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² + y✝)), naturality := sorry }.app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1 = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x) : Type u)) x_1

ext

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R x✝ y✝ : R ⊢ { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝ + y✝)), naturality := sorry }.app = ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app

x✝² • x✝ + y✝ • x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑x✝¹ : Type u) → (↑x✝¹ : Type u)) x✝

simp only [AdditiveFunctor.of_fst, ModuleCat.forget₂_obj, DistribMulAction.toAddMonoidHom_apply, add_smul, AddCommGrp.hom_ofHom]

[]

app

goal

R : Type u inst✝ : Ring R x✝² y✝ : R x✝¹ : ModuleCat R x✝ : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) ⊢ (AddCommGrp.Hom.hom ({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) (x✝² + y✝)), naturality := sorry }.app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝ = (AddCommGrp.Hom.hom (({ app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) x✝²), naturality := sorry } + { app := fun M ↦ AddCommGrp.ofHom (DistribMulAction.toAddMonoidHom (↑M : Type u) y✝), naturality := sorry }).app x✝¹) : (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u) → (↑((AdditiveFunctor.of (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp)).obj.obj x✝¹) : Type u)) x✝

a • b₂ ≤ a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁

rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁

a • b₂ ≤ b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁

rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₁

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ ≤ a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁

a • b₂ ≤ b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁

rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₂

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ ≤ a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁ rw₁ : a • b₂ ≤ b₁ ↔ a • b₂ ≤ b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ ≤ b₂ ↔ a • b₂ ≤ b₁

a • a⁻¹ • b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁

rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁

b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁

rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₁

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁ ⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁

b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁

rw [← smul_le_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₂

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁ rw₁ : b₂ ≤ a • b₁ ↔ b₂ ≤ a • b₁ ⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁

a • b₂ < a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ < b₁

rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁

a • b₂ < b₁ ↔ a • b₂ < b₁

rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₁

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ < a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ < b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁

a • b₂ < b₁ ↔ a • b₂ < b₁

rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₂

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • b₂ < a • a⁻¹ • b₁ ↔ a • b₂ < b₁ rw₁ : a • b₂ < b₁ ↔ a • b₂ < b₁ ⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁

a • a⁻¹ • b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁

rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 ⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁

b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁

rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₁

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁ ⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁

b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁

rw [← smul_lt_smul_iff_of_neg_left h, smul_inv_smul₀ h.ne]

[]

rw₂

goal

𝕜 : Type u_1 G : Type u_2 inst✝⁷ : Field 𝕜 inst✝⁶ : LinearOrder 𝕜 inst✝⁵ : IsStrictOrderedRing 𝕜 inst✝⁴ : AddCommGroup G inst✝³ : PartialOrder G inst✝² : IsOrderedAddMonoid G inst✝¹ : Module 𝕜 G a : 𝕜 b₁ b₂ : G inst✝ : PosSMulStrictMono 𝕜 G h : a < 0 rw : a • a⁻¹ • b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁ rw₁ : b₂ < a • b₁ ↔ b₂ < a • b₁ ⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ < a • b₁

(Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M

rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]

[]

rw

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M

((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).natDegree = finrank R M

rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]

[]

rw₁

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R rw : (Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M

finrank R M = finrank R M

rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]

[]

rw₂

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R rw : (Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M rw₁ : ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).natDegree = finrank R M ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M

finrank R M = finrank R M

rw [lieCharpoly, (polyCharpoly_monic _ _).natDegree_map, polyCharpoly_natDegree]

[]

rw₃

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R rw : (Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).natDegree = finrank R M rw₁ : ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).natDegree = finrank R M rw₂ : finrank R M = finrank R M ⊢ (lieCharpoly R M x y).natDegree = finrank R M

Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

rw [lieCharpoly, map_map]

[]

rw

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R ⊢ Polynomial.map (evalRingHom r) (lieCharpoly R M x y) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

let b := chooseBasis R L; Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

set b := chooseBasis R L

[]

set

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

(fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)

have aux : (fun i ↦ (b.repr y) i * r + (b.repr x) i) = b.repr (r • y + x) := by ext i; simp [mul_comm r]

[]

aux

hypothesis

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := sorry ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i = ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x) : ChooseBasisIndex R L → R) i

ext i

[]

h

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := sorry ⊢ (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)

Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := sorry aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₁

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₂

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₃

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₄

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₅

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₆

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₇

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₈

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₉

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₈ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

Polynomial.map (MvPolynomial.eval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₁₀

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₈ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₉ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

charpoly (((↑φ : L →ₗ[R] End R M) : L → End R M) (r • y + x)) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

simp_rw [← coe_aeval_eq_evalRingHom, ← AlgHom.comp_toRingHom, MvPolynomial.comp_aeval, map_add, map_mul, aeval_C, Algebra.algebraMap_self, RingHom.id_apply, aeval_X, aux, MvPolynomial.coe_aeval_eq_eval, polyCharpoly_map_eq_charpoly, LieHom.coe_toLinearMap]

[]

simp_rw₁₁

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹⁰ : CommRing R inst✝⁹ : LieRing L inst✝⁸ : LieAlgebra R L inst✝⁷ : AddCommGroup M inst✝⁶ : Module R M inst✝⁵ : LieRingModule L M inst✝⁴ : LieModule R L M inst✝³ : Module.Finite R L inst✝² : Free R L inst✝¹ : Module.Finite R M inst✝ : Free R M x y : L r : R b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L aux : (fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) = (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R) simp_rw : Polynomial.map ((↑(aeval r) : R[X] →+* R).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁ : Polynomial.map (↑((aeval r).comp (MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₂ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₃ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X) + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₄ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i)) * (aeval r : R[X] → R) X + (aeval r : R[X] → R) ((C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i))) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₅ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (algebraMap R R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₆ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * (aeval r : R[X] → R) X + (RingHom.id R : R → R) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₇ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * (aeval r : R[X] → R) X + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₈ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i * r + ((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₉ : Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) simp_rw₁₀ : Polynomial.map (MvPolynomial.eval (⇑((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) (r • y + x)) : ChooseBasisIndex R L → R)) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x)) ⊢ Polynomial.map ((evalRingHom r).comp (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) (((b.repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X])) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly b) = charpoly ((φ : L → End R M) (r • y + x))

((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

rw

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

rw₁

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

rw₂

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

rw₃

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

(((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

rw₄

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

(((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

hF

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

hf

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

hf₁

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf : ∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

hf₂

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf hf₁ : ∀ (i : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X).natDegree ≤ 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

hf₃

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf hf₁ hf₂ : ∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1

classical rw [← mul_one j, lieCharpoly, coeff_map] apply MvPolynomial.aeval_natDegree_le · apply (polyCharpoly_coeff_isHomogeneous φ (chooseBasis R L) _ _ hij).totalDegree_le intro k apply Polynomial.natDegree_add_le_of_degree_le · apply (Polynomial.natDegree_C_mul_le _ _).trans simp only [natDegree_X, le_rfl] · simp only [natDegree_C, zero_le]

[]

hf₄

goal

R : Type u_2 L : Type u_3 M : Type u_4 inst✝¹¹ : CommRing R inst✝¹⁰ : LieRing L inst✝⁹ : LieAlgebra R L inst✝⁸ : AddCommGroup M inst✝⁷ : Module R M inst✝⁶ : LieRingModule L M inst✝⁵ : LieModule R L M inst✝⁴ : Module.Finite R L inst✝³ : Free R L inst✝² : Module.Finite R M inst✝¹ : Free R M x y : L inst✝ : Nontrivial R i j : ℕ hij : i + j = finrank R M rw : ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₁ : ((Polynomial.map (↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) ((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L))).coeff i).natDegree ≤ j * 1 rw₂ rw₃ rw₄ : (((↑(MvPolynomial.aeval fun i ↦ (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) i) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) i)) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R →+* R[X]) : MvPolynomial (ChooseBasisIndex R L) R → R[X]) (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i)).natDegree ≤ j * 1 hF : (((↑φ : L →ₗ[R] End R M).polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff i).totalDegree ≤ j hf hf₁ hf₂ : ∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X + (C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) x : ChooseBasisIndex R L → R) k)).natDegree ≤ 1 hf₃ : ∀ (k : ChooseBasisIndex R L), ((C : R → R[X]) ((((chooseBasis R L).repr : L → ChooseBasisIndex R L →₀ R) y : ChooseBasisIndex R L → R) k) * X).natDegree ≤ 1 ⊢ ((lieCharpoly R M x y).coeff i).natDegree ≤ j

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