tactic stringlengths 1 5.59k | name stringlengths 1 937 | haveDraft stringlengths 1 44.5k | goal stringlengths 7 61k |
|---|---|---|---|
Submodule.map_comap_eq, | [anonymous] | range f ⊓ q = q | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
q : ... |
inf_eq_right | [anonymous] | q ≤ range f | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
q : ... |
rw [range_le_iff_comap] | [anonymous] | comap f ⊥ = ⊤ ↔ f = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f ≤ ⊥ ↔ f = 0 |
range_le_iff_comap | [anonymous] | comap f ⊥ = ⊤ ↔ f = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f ≤ ⊥ ↔ f = 0 |
← range_le_bot_iff, | [anonymous] | range f = ⊥ ↔ range f ≤ ⊥ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f = ⊥ ↔ f = 0 |
le_bot_iff | [anonymous] | range f = ⊥ ↔ range f = ⊥ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f = ⊥ ↔ range f ≤ ⊥ |
← hy, | [anonymous] | (g : M₂ → M₃) ((f : M → M₂) y) = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃... |
← comp_apply, | [anonymous] | (g ∘ₛₗ f : M → M₃) y = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃... |
h, | [anonymous] | (0 : M → M₃) y = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃... |
zero_apply | [anonymous] | 0 = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃... |
SetLike.le_def, | [anonymous] | ∀ ⦃x : M₂⦄, x ∈ p → x ∈ p' | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
hf :... |
(range_eq_top.1 hf).forall | [anonymous] | ∀ (x : M), (f : M → M₂) x ∈ p → (f : M → M₂) x ∈ p' | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
hf :... |
hx, | [anonymous] | x - (g : P → M) 0 = x | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
x : M
hx : x ∈ ker f
⊢ x - (g : P → M) ((f : M → P) x) = x |
map_zero, | [anonymous] | x - 0 = x | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
x : M
hx : x ∈ ker f
⊢ x - (g : P → M) 0 = x |
sub_zero | [anonymous] | x = x | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
x : M
hx : x ∈ ker f
⊢ x - 0 = x |
comp_sub, | [anonymous] | f ∘ₗ id - f ∘ₗ g ∘ₗ f = 0 | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
⊢ f ∘ₗ (id - g ∘ₗ f) = 0 |
comp_id, | [anonymous] | f - f ∘ₗ g ∘ₗ f = 0 | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
⊢ f ∘ₗ id - f ∘ₗ g ∘ₗ f = 0 |
← comp_assoc, | [anonymous] | f - (f ∘ₗ g) ∘ₗ f = 0 | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
⊢ f - f ∘ₗ g ∘ₗ f = 0 |
h, | [anonymous] | f - id ∘ₗ f = 0 | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
⊢ f - (f ∘ₗ g) ∘ₗ f = 0 |
id_comp, | [anonymous] | f - f = 0 | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
⊢ f - id ∘ₗ f = 0 |
sub_self | [anonymous] | 0 = 0 | R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
M : Type u_11
P : Type u_12
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
g : P →ₗ[R] M
h : f ∘ₗ g = id
⊢ f - f = 0 |
constructor | mp | ker f ≤ p → ∃ y ∈ range f, (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {y} ⊆ (↑p : Set M) | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
constructor | mpr | (∃ y ∈ range f, (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {y} ⊆ (↑p : Set M)) → ker f ≤ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
intro h | mp | ker f ≤ p → ∃ y ∈ range f, (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {y} ⊆ (↑p : Set M) | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
use 0 | h | 0 ∈ range f ∧ (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {0} ⊆ (↑p : Set M) | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
rw [← SetLike.mem_coe, range_coe] | h | 0 ∈ Set.range (⇑f : M → M₂) ∧ (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {0} ⊆ (↑p : Set M) | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
← SetLike.mem_coe, | h | 0 ∈ (↑(range f) : Set M₂) ∧ (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {0} ⊆ (↑p : Set M) | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
range_coe | h | 0 ∈ Set.range (⇑f : M → M₂) ∧ (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {0} ⊆ (↑p : Set M) | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
rintro ⟨y, h₁, h₂⟩ | mpr.intro.intro | (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {y} ⊆ (↑p : Set M) → y ∈ range f → ∀ (y : M₂), ker f ≤ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
rw [SetLike.le_def] | mpr.intro.intro | ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ker f → x ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
SetLike.le_def | mpr.intro.intro | ∀ ⦃x : M⦄, x ∈ ker f → x ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
intro z hz | mpr.intro.intro | z ∈ ker f → ∀ ⦃z_1 : M⦄, z ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
simp only [mem_ker, SetLike.mem_coe] at hz | mpr.intro.intro | (f : M → M₂) z = 0 | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
rw [← SetLike.mem_coe, range_coe, Set.mem_range] at h₁ | mpr.intro.intro | (f : M → M₂) z = 0 → (∃ y_1, (f : M → M₂) y_1 = y) → z ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
← SetLike.mem_coe, | mpr.intro.intro | (f : M → M₂) z = 0 → y ∈ (↑(range f) : Set M₂) → z ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
range_coe, | mpr.intro.intro | (f : M → M₂) z = 0 → y ∈ Set.range (⇑f : M → M₂) → z ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
Set.mem_range | mpr.intro.intro | (f : M → M₂) z = 0 → (∃ y_1, (f : M → M₂) y_1 = y) → z ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
obtain ⟨x, hx⟩ := h₁ | mpr.intro.intro.intro | (f : M → M₂) x = y | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
have hx' : x ∈ p := h₂ hx | mpr.intro.intro.intro | x ∈ p → z ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
have hxz : z + x ∈ p := by
apply h₂
simp [hx, hz] | mpr.intro.intro.intro | z + x ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
apply h₂ | a._@.Mathlib.Data.Set.Defs._hyg.87 | z + x ∈ (⇑f : M → M₂) ⁻¹' {y} | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
suffices z + x - x ∈ p by simpa only [this, add_sub_cancel_right] | mpr.intro.intro.intro | z + x - x ∈ p | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : Ring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
p : Submodule ... |
map_subtype_top | [anonymous] | p ≤ p' ↔ p ≤ p' | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
⊢ map p.subtype ⊤ ≤ p' ↔ p ≤ p' |
apply Submodule.map_injective_of_injective N.subtype_injective | a._@.Mathlib.Logic.Function.Defs._hyg.1041 | map N.subtype ((N₁ ⊔ N₂).submoduleOf N) = map N.subtype (N₁.submoduleOf N ⊔ N₂.submoduleOf N) | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N₁ N₂ N : Submodule R M
h₁ : N₁ ≤ N
h₂ : N₂ ≤ N
⊢ (N₁ ⊔ N₂).submoduleOf N = N₁.submoduleOf N ⊔ N₂.submoduleOf N |
simp only [submoduleOf, map_comap_eq] | a._@.Mathlib.Logic.Function.Defs._hyg.1041 | range N.subtype ⊓ (N₁ ⊔ N₂) = map N.subtype (comap N.subtype N₁ ⊔ comap N.subtype N₂) | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N₁ N₂ N : Submodule R M
h₁ : N₁ ≤ N
h₂ : N₂ ≤ N
⊢ map N.subtype ((N₁ ⊔ N₂).submoduleOf N) = map N.subtype (N₁.submoduleOf N ⊔ N₂.submoduleOf N) |
← map_top, | [anonymous] | map (inclusion sorry) ⊤ = comap q.subtype p | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ range (inclusion sorry) = comap q.subtype p |
inclusion, | [anonymous] | map (codRestrict q p.subtype sorry) ⊤ = comap q.subtype p | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ map (inclusion sorry) ⊤ = comap q.subtype p |
LinearMap.map_codRestrict, | [anonymous] | comap q.subtype (map p.subtype ⊤) = comap q.subtype p | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ map (codRestrict q p.subtype sorry) ⊤ = comap q.subtype p |
map_top, | [anonymous] | comap q.subtype (range p.subtype) = comap q.subtype p | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ comap q.subtype (map p.subtype ⊤) = comap q.subtype p |
range_subtype | [anonymous] | comap q.subtype p = comap q.subtype p | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p q : Submodule R M
h : p ≤ q
⊢ comap q.subtype (range p.subtype) = comap q.subtype p |
dsimp | [anonymous] | map p.subtype p₁ ≤ map p.subtype p₂ ↔ p₁ ≤ p₂ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
V₂ : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p : Submodule R M
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝¹ : FunLike ... |
map_le_iff_le_comap, | [anonymous] | p₁ ≤ comap p.subtype (map p.subtype p₂) ↔ p₁ ≤ p₂ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
V₂ : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p : Submodule R M
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝¹ : FunLike ... |
comap_map_eq_of_injective (show Injective p.subtype from Subtype.coe_injective) p₂ | [anonymous] | p₁ ≤ p₂ ↔ p₁ ≤ p₂ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
V : Type u_8
V₂ : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p : Submodule R M
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_10
inst✝¹ : FunLike ... |
have h₁ : f.comp (0 : ker f →ₗ[R] M) = 0 := comp_zero _ | [anonymous] | f ∘ₛₗ 0 = 0 → ker f = ⊥ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f ∘ₛₗ u = f ∘ₛₗ v → u = v
⊢ ker f = ⊥ |
rw [← Submodule.range_subtype (ker f),
← h 0 (ker f).subtype (Eq.trans h₁ (comp_ker_subtype f).symm)] | [anonymous] | range 0 = ⊥ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f ∘ₛₗ u = f ∘ₛₗ v → u = v
h₁ : f ∘ₛₗ 0 = 0
⊢ ker f = ⊥ |
← Submodule.range_subtype (ker f), | [anonymous] | range (ker f).subtype = ⊥ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f ∘ₛₗ u = f ∘ₛₗ v → u = v
h₁ : f ∘ₛₗ 0 = 0
⊢ ker f = ⊥ |
← h 0 (ker f).subtype (Eq.trans h₁ (comp_ker_subtype f).symm) | [anonymous] | range 0 = ⊥ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f ∘ₛₗ u = f ∘ₛₗ v → u = v
h₁ : f ∘ₛₗ 0 = 0
⊢ range (ker f).subtype =... |
range_comp, | [anonymous] | Submodule.map g (range f) = range g | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ... |
hf, | [anonymous] | Submodule.map g ⊤ = range g | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ... |
Submodule.map_top | [anonymous] | range g = range g | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ... |
refine Submodule.mem_map.trans ⟨?_, ?_⟩ <;> simp_rw [Submodule.mem_comap] | refine_1 | (∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x |
refine Submodule.mem_map.trans ⟨?_, ?_⟩ <;> simp_rw [Submodule.mem_comap] | refine_2 | (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
refine_1 : (∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M'... |
refine Submodule.mem_map.trans ⟨?_, ?_⟩ | refine_1 | (∃ y ∈ Submodule.comap O.subtype N, (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x |
refine Submodule.mem_map.trans ⟨?_, ?_⟩ | refine_2 | (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y ∈ Submodule.comap O.subtype N, (ϕ : ↥O → M') y = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
refine_1 : (∃ y ∈ Submodule.comap O.subtype N, (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M... |
simp_rw [Submodule.mem_comap] | refine_1 | (∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ (∃ y ∈ Submodule.comap O.subtype N, (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, so... |
simp_rw [Submodule.mem_comap] | refine_2 | (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y ∈ Submodule.comap O.subtype N, (ϕ : ↥O → M... |
rintro ⟨⟨y, yO⟩, yN : y ∈ N, h⟩ | refine_1.intro.mk.intro | (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x → y ∈ N → y ∈ O → ∀ (y : M), ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ (∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sor... |
rintro ⟨y, yO, yN, h⟩ | refine_2.intro.intro.intro | (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x → y ∈ N → y ∈ O → ∀ (y : M), ∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') y = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'
⊢ (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, (O.subtype : ↥O → M) y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M'... |
refine mem_submoduleImage.trans ⟨?_, ?_⟩ | refine_1 | (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x |
refine mem_submoduleImage.trans ⟨?_, ?_⟩ | refine_2 | (∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'
refine_1 : (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ... |
rintro ⟨y, yO, yN, h⟩ | refine_1.intro.intro.intro | (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x → y ∈ N → y ∈ O → ∀ (y : M), ∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'
⊢ (∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ↥O → M') ... |
rintro ⟨y, yN, h⟩ | refine_2.intro.intro | (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x → y ∈ N → ∀ (y : M), ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'
⊢ (∃ y, ∃ (_ : y ∈ N), (ϕ : ↥O → M') ⟨y, sorry⟩ = x) → ∃ y, ∃ (_ : y ∈ O), y ∈ N ∧ (ϕ : ↥O → M') ... |
submoduleImage, | [anonymous] | Submodule.map ϕ (Submodule.comap O.subtype N) = range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion sorry) | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
⊢ ϕ.submoduleImage N = range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion sorry) |
range_comp, | [anonymous] | Submodule.map ϕ (Submodule.comap O.subtype N) = Submodule.map ϕ (range (Submodule.inclusion sorry)) | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
⊢ Submodule.map ϕ (Submodule.comap O.subtype N) = range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion sorry) |
Submodule.range_inclusion | [anonymous] | Submodule.map ϕ (Submodule.comap O.subtype N) = Submodule.map ϕ (Submodule.comap O.subtype N) | R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_10
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
⊢ Submodule.map ϕ (Submodule.comap O.subtype N) = Submodule.map ϕ (range (Submodule.inclusion sorry)) |
← range_eq_top, | [anonymous] | range f.rangeRestrict = ⊤ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ Surjective (⇑f.rangeRestrict : M → ↥(range f)) |
range_rangeRestrict | [anonymous] | ⊤ = ⊤ | R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring R₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
⊢ range f.rangeRestrict = ⊤ |
rcases hf.of_le hn 1 le_rfl with ⟨u, H, p, hp⟩ | intro.intro.intro | HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1 : WithTop ℕ∞) f p u | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x |
rcases hf.of_le hn 1 le_rfl with ⟨u, H, p, hp⟩ | intro.intro.intro | E' → FormalMultilinearSeries 𝕂 E' F' | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x |
rcases hf.of_le hn 1 le_rfl with ⟨u, H, p, hp⟩ | intro.intro.intro | u ∈ 𝓝[insert x univ] x | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x |
rcases hf.of_le hn 1 le_rfl with ⟨u, H, p, hp⟩ | intro.intro.intro | Set E' | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x |
simp only [nhdsWithin_univ, mem_univ, insert_eq_of_mem] at H | intro.intro.intro | u ∈ 𝓝 x | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
u : Set E'
H : u ∈ 𝓝[insert x ... |
have := hp.hasStrictFDerivAt le_rfl H | intro.intro.intro | HasStrictFDerivAt f
((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F' : ContinuousMultilinearMap 𝕂 (fun i ↦ E') F' → E' →L[𝕂] F') (p x 1)) x →
HasStrictFDerivAt f f' x | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
u : Set E'
p : E' → FormalMulti... |
hf'.unique this.hasFDerivAt | intro.intro.intro | HasStrictFDerivAt f
((continuousMultilinearCurryFin1 𝕂 E' F' : ContinuousMultilinearMap 𝕂 (fun i ↦ E') F' → E' →L[𝕂] F') (p x 1)) x | n : WithTop ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
f' : E' →L[𝕂] F'
x : E'
hf : ContDiffAt 𝕂 n f x
hf' : HasFDerivAt f f' x
hn : 1 ≤ n
u : Set E'
p : E' → FormalMulti... |
set f' := fun y => continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F (p y 1) | [anonymous] | E → E →L[ℝ] F | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith... |
have hder : ∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y := fun y hy =>
(hf.hasFDerivWithinAt le_rfl (subset_insert x s hy)).mono (subset_insert x s) | [anonymous] | (∀ y ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' y) s y) → ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F :=
fun y ↦ ... |
have hcont : ContinuousWithinAt f' s x :=
(continuousMultilinearCurryFin1 ℝ E F).continuousAt.comp_continuousWithinAt
((hf.cont _ le_rfl _ (mem_insert _ _)).mono (subset_insert x s)) | [anonymous] | ContinuousWithinAt f' s x | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F :=
fun y ↦ ... |
replace hK : ‖f' x‖₊ < K := by simpa only [f', LinearIsometryEquiv.nnnorm_map] | [anonymous] | ‖f' x‖₊ < K | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
s : Set E
x : E
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x s)
hs : Convex ℝ s
K : ℝ≥0
hK : ‖p x 1‖₊ < K
f' : E → E →L[ℝ] F :=
fun y ↦ ... |
rcases hf 1 le_rfl with ⟨t, hst, p, hp⟩ | intro.intro.intro | HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1 : WithTop ℕ∞) f p t | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t |
rcases hf 1 le_rfl with ⟨t, hst, p, hp⟩ | intro.intro.intro | E → FormalMultilinearSeries ℝ E F | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t |
rcases hf 1 le_rfl with ⟨t, hst, p, hp⟩ | intro.intro.intro | t ∈ 𝓝[insert x s] x | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t |
rcases Metric.mem_nhdsWithin_iff.mp hst with ⟨ε, ε0, hε⟩ | intro.intro.intro.intro.intro | Metric.ball x ε ∩ insert x s ⊆ t | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1 : Wi... |
rcases Metric.mem_nhdsWithin_iff.mp hst with ⟨ε, ε0, hε⟩ | intro.intro.intro.intro.intro | ε > 0 | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1 : Wi... |
rcases Metric.mem_nhdsWithin_iff.mp hst with ⟨ε, ε0, hε⟩ | intro.intro.intro.intro.intro | ℝ | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1 : Wi... |
replace hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ insert x s) := hp.mono hε | intro.intro.intro.intro.intro | HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ insert x s) → ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
t : Set E
hst : t ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑1 : Wi... |
rw [← insert_eq_of_mem (Metric.mem_ball_self ε0), ← insert_inter_distrib] at hp | intro.intro.intro.intro.intro | HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s)) | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ ins... |
← insert_eq_of_mem (Metric.mem_ball_self ε0), | intro.intro.intro.intro.intro | HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε) ∩ insert x s) | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (Metric.ball x ε ∩ ins... |
← insert_inter_distrib | intro.intro.intro.intro.intro | HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball x ε ∩ s)) | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball... |
rcases hp.exists_lipschitzOnWith ((convex_ball _ _).inter hs) with ⟨K, t, hst, hft⟩ | intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro | LipschitzOnWith K f t | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball... |
rcases hp.exists_lipschitzOnWith ((convex_ball _ _).inter hs) with ⟨K, t, hst, hft⟩ | intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro | t ∈ 𝓝[Metric.ball x ε ∩ s] x | E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
hf : ContDiffWithinAt ℝ 1 f s x
hs : Convex ℝ s
p : E → FormalMultilinearSeries ℝ E F
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn 1 f p (insert x (Metric.ball... |
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