tactic
stringlengths 1
5.59k
| name
stringlengths 1
85
| haveDraft
stringlengths 1
44.5k
| goal
stringlengths 7
64.3k
|
|---|---|---|---|
cases b
|
none
|
1 • none = none
|
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
b : Option α
⊢ 1 • b = b
|
cases b
|
some
|
1 • some val✝ = some val✝
|
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
b : Option α
none : 1 • none = none
⊢ 1 • b = b
|
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n <;>
ext
|
h
|
SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝
|
A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x
|
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n <;>
ext
|
h
|
SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝
|
A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
h : SMul.smul _fvar.10715 _fvar.10750 = SMul.smul _fvar.10715 _fvar.10750
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x
|
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n
|
h
|
SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul
|
A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x
|
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n
|
h
|
SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul
|
A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
h : SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x
|
ext
|
h
|
SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝
|
A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
e_1✝ : (↑B : Type u) = (↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)
e_2✝ : (↑A : Type u) = (↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u)
⊢ SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul
|
ext
|
h
|
SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝
|
A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
e_1✝ : (↑B : Type u) = (↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)
⊢ SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul
|
rw [isColimit_iff_bijective_desc, ← Function.Bijective.of_comp_iff _
(quotQuotUliftAddEquiv F).bijective, ← AddEquiv.coe_toAddMonoidHom,
← AddMonoidHom.coe_comp, Quot.desc_quotQuotUliftAddEquiv]
|
rw
|
Function.Bijective
(⇑(AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (Quot.desc F c)) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v)))
|
J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Nonempty (IsColimit (uliftFunctor.mapCocone c))
|
isColimit_iff_bijective_desc,
|
this
|
Function.Bijective
(⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v)))
|
J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Nonempty (IsColimit (uliftFunctor.mapCocone c))
|
← Function.Bijective.of_comp_iff _
(quotQuotUliftAddEquiv F).bijective,
|
this
|
Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F) : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor)))
|
J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
(⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v)))
|
← AddEquiv.coe_toAddMonoidHom,
|
this
|
Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor)))
|
J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F) : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor)))
|
← AddMonoidHom.coe_comp,
|
this
|
Function.Bijective
(⇑((Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)).comp (quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v)))
|
J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor)))
|
Quot.desc_quotQuotUliftAddEquiv
|
this
|
Function.Bijective
(⇑(AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (Quot.desc F c)) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v)))
|
J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
(⇑((Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)).comp (quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v)))
|
refine le_of_forall_gt_imp_ge_of_dense fun d hd ↦ ?_
|
refine
|
c ≤ d
|
α : Type u_1
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
inst✝ : DenselyOrdered α
a b c : α
h : ∀ (a' : α), a' > a → ∀ (b' : α), b' > b → c ≤ a' * b'
⊢ c ≤ a * b
|
refine le_of_forall_lt_imp_le_of_dense fun d hd ↦ ?_
|
refine
|
d ≤ c
|
α : Type u_1
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
inst✝ : DenselyOrdered α
a b c : α
h : ∀ (a' : α), a' < a → ∀ (b' : α), b' < b → a' * b' ≤ c
⊢ a * b ≤ c
|
suffices ↑(n * n.gcdA p + p * n.gcdB p : ℤ) = ((n.gcd p : ℤ) : R) by simpa using this
|
suffices
|
(↑((↑n : ℤ) * n.gcdA p + (↑p : ℤ) * n.gcdB p) : R) = (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R)
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
⊢ (↑n : R) * (↑(n.gcdA p) : R) = (↑(n.gcd p) : R)
|
← Nat.gcd_eq_gcd_ab
|
this
|
(↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R) = (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R)
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
⊢ (↑((↑n : ℤ) * n.gcdA p + (↑p : ℤ) * n.gcdB p) : R) = (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R)
|
CharP.natCast_gcdA_mul_intCast_eq_gcd,
|
this
|
(↑(n.gcd p) : R) = 1
|
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑(n.gcdA p) : R) * (↑n : R) = 1
|
h,
|
this
|
(↑1 : R) = 1
|
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑(n.gcd p) : R) = 1
|
Nat.cast_one
|
this
|
1 = 1
|
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑1 : R) = 1
|
CharP.intCast_mul_natCast_gcdA_eq_gcd,
|
this
|
(↑(n.gcd p) : R) = 1
|
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑n : R) * (↑(n.gcdA p) : R) = 1
|
h,
|
this
|
(↑1 : R) = 1
|
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑(n.gcd p) : R) = 1
|
Nat.cast_one
|
this
|
1 = 1
|
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑1 : R) = 1
|
letI : Invertible (n : R) := invertibleOfCoprime h
|
letI
|
⅟ (↑n : R) = (↑(n.gcdA p) : R)
|
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
n : ℕ
inst✝ : Invertible (↑n : R)
h : n.Coprime p
⊢ ⅟ (↑n : R) = (↑(n.gcdA p) : R)
|
have := CharP.nontrivial_of_char_ne_one (R := R) hp.ne_one
|
have
|
¬p ∣ n
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsUnit (↑n : R)
⊢ ¬p ∣ n
|
rw [← CharP.cast_eq_zero_iff (R := R)]
|
rw
|
¬(↑n : R) = 0
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsUnit (↑n : R)
this : Nontrivial R
⊢ ¬p ∣ n
|
← CharP.cast_eq_zero_iff (R := R)
|
this
|
¬(↑n : R) = 0
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsUnit (↑n : R)
this : Nontrivial R
⊢ ¬p ∣ n
|
obtain ⟨n, rfl | rfl⟩ := z.eq_nat_or_neg
|
intro
|
IsUnit (↑(↑n : ℤ) : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ (↑n : ℤ)
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
z : ℤ
hp : Nat.Prime p
⊢ IsUnit (↑z : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ z
|
obtain ⟨n, rfl | rfl⟩ := z.eq_nat_or_neg
|
intro
|
IsUnit (↑(-(↑n : ℤ)) : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ -(↑n : ℤ)
|
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
z : ℤ
hp : Nat.Prime p
intro : IsUnit (↑(↑_fvar.7273 : ℤ) : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ (↑_fvar.7273 : ℤ)
⊢ IsUnit (↑z : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ z
|
rw [← ringChar.spec, ← Ne]
|
rw
|
(↑t : K) ≠ 0
|
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible (↑t : K)
⊢ ¬ringChar K ∣ t
|
← ringChar.spec,
|
this
|
¬(↑t : K) = 0
|
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible (↑t : K)
⊢ ¬ringChar K ∣ t
|
← Ne
|
Ne
|
(↑t : K) ≠ 0
|
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible (↑t : K)
⊢ ¬(↑t : K) = 0
|
ext x
|
h
|
star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x
|
I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
⊢ star (Sum.elim x y) = Sum.elim (star x) (star y)
|
cases x
|
h
|
star (Sum.elim x y) (Sum.inl val✝) = Sum.elim (star x) (star y) (Sum.inl val✝)
|
I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x✝ : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
x : I ⊕ J
⊢ star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x
|
cases x
|
h
|
star (Sum.elim x y) (Sum.inr val✝) = Sum.elim (star x) (star y) (Sum.inr val✝)
|
I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x✝ : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
x : I ⊕ J
h : star (Sum.elim x✝ y) (Sum.inl _fvar.7127) = Sum.elim (star x✝) (star y) (Sum.inl _fvar.7127)
⊢ star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x
|
ext
|
hf
|
(Hom.hom (factorThruImage f ≫ ι f) : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x✝ = (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x✝
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
⊢ factorThruImage f ≫ ι f = f
|
haveI := F'.m_mono
|
haveI
|
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
0
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
0
|
apply injective_of_mono F'.m
|
a
|
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
0
|
change (F'.e ≫ F'.m) _ = _
|
a
|
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
rw [F'.fac, AddMonoidHom.map_zero]
|
a
|
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
0
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
F'.fac,
|
a
|
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
AddMonoidHom.map_zero
|
a
|
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
0
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0
|
intro x y
|
intro
|
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
⊢ ∀ (x y : ↥(Hom.hom f).range),
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type))
|
haveI := F'.m_mono
|
haveI
|
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
apply injective_of_mono F'.m
|
a
|
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
rw [AddMonoidHom.map_add]
|
a
|
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) +
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)))
|
AddMonoidHom.map_add
|
a
|
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) +
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)))
|
change (F'.e ≫ F'.m) _ = (F'.e ≫ F'.m) _ + (F'.e ≫ F'.m) _
|
a
|
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) +
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)))
|
rw [F'.fac]
|
a
|
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
F'.fac
|
a
|
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
rw [(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2]
|
a
|
(↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2
|
a
|
(↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
rw [(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2]
|
a
|
(↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2
|
a
|
(↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
rw [(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2]
|
a
|
(↑(x + y) : (↑H : Type)) = (↑x : (↑H : Type)) + (↑y : (↑H : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2
|
a
|
(↑(x + y) : (↑H : Type)) = (↑x : (↑H : Type)) + (↑y : (↑H : Type))
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))
|
ext x
|
hf
|
(Hom.hom (lift F' ≫ F'.m) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x = (Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
⊢ lift F' ≫ F'.m = ι f
|
change (F'.e ≫ F'.m) _ = _
|
hf
|
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (Hom.hom (lift F' ≫ F'.m) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
rw [F'.fac, (Classical.indefiniteDescription _ x.2).2]
|
hf
|
(↑x : (↑H : Type)) = (Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
F'.fac,
|
hf
|
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
(Classical.indefiniteDescription _ x.2).2
|
hf
|
(↑x : (↑H : Type)) = (Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x
|
cases p
|
mk
|
{ toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := sorry } = q
|
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
R : Type v
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : Star R
p q : NonUnitalStarSubsemiring R
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ p = q
|
cases q
|
mk
|
{ toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, star_mem' := sorry } =
{ toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := sorry }
|
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
R : Type v
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : Star R
q : NonUnitalStarSubsemiring R
toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring R
star_mem'✝ : ∀ {a : R}, a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := star_mem'✝ } = q
|
congr
|
mk
|
toNonUnitalSubsemiring✝¹ = toNonUnitalSubsemiring✝
|
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
R : Type v
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : Star R
toNonUnitalSubsemiring✝¹ : NonUnitalSubsemiring R
star_mem'✝¹ : ∀ {a : R}, a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier
toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring R
star_mem'✝ : ∀ {a : R}, a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, star_mem' := star_mem'✝¹ } =
{ toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := star_mem'✝ }
|
ext x
|
h
|
x ∈ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) ↔ x ∈ (↑s : Set M)
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Submonoid M
⊢ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) = (↑s : Set M)
|
refine ⟨?_, fun h => ⟨x, h, 1, s.one_mem, mul_one x⟩⟩
|
h
|
x ∈ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) → x ∈ (↑s : Set M)
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) ↔ x ∈ (↑s : Set M)
|
pow_succ
|
pow_succ
|
closure (s ^ (n + 1) * s) = closure (s ^ (n + 1) * s)
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Set M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ closure (s ^ (n + 2)) = closure (s ^ (n + 1) * s)
|
gcongr ?_ ⊔ _
|
h₁
|
closure (s ^ (n + 1)) ≤ closure s
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Set M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ closure (s ^ (n + 1)) ⊔ closure s ≤ closure s ⊔ closure s
|
gcongr
|
h
|
s ⊆ s ^ n
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Set M
n : ℕ
hs : 1 ∈ s
hn : n ≠ 0
⊢ closure s ≤ closure (s ^ n)
|
closure_eq,
|
this
|
H ⊔ closure (↑K : Set M) ≤ H ⊔ K
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
H K : Submonoid M
⊢ closure (↑H : Set M) ⊔ closure (↑K : Set M) ≤ H ⊔ K
|
closure_eq
|
closure_eq
|
H ⊔ K ≤ H ⊔ K
|
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
H K : Submonoid M
⊢ H ⊔ closure (↑K : Set M) ≤ H ⊔ K
|
obtain ⟨⟨nx, hx⟩, ⟨ny, hy⟩⟩ := And.intro hx hy
|
mul
|
∃ n, r ^ n • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝ : x ∈ closure s
hy✝ : y ∈ closure s
hx : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
⊢ ∃ n, r ^ n • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
use ny + nx
|
h
|
r ^ (ny + nx) • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ ∃ n, r ^ n • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
rw [pow_add, mul_smul, ← smul_mul_assoc, mul_comm, ← smul_mul_assoc]
|
h
|
r ^ ny • y * r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ (ny + nx) • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
pow_add,
|
h
|
(r ^ ny * r ^ nx) • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ (ny + nx) • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
mul_smul,
|
h
|
r ^ ny • r ^ nx • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ (r ^ ny * r ^ nx) • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
← smul_mul_assoc,
|
h
|
r ^ ny • (r ^ nx • x * y) ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ ny • r ^ nx • (x * y) ∈ closure (r • s)
|
mul_comm,
|
h
|
r ^ ny • (y * r ^ nx • x) ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ ny • (r ^ nx • x * y) ∈ closure (r • s)
|
← smul_mul_assoc
|
h
|
r ^ ny • y * r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
|
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ ny • (y * r ^ nx • x) ∈ closure (r • s)
|
rw [inv_one]
|
rw
|
1 ∈ (↑S : Set G)
|
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
S✝ : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s t u : Set M
inst✝ : Group G
S : Submonoid G
⊢ 1⁻¹ ∈ (↑S : Set G)
|
inv_one
|
inv_one
|
1 ∈ (↑S : Set G)
|
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
S✝ : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s t u : Set M
inst✝ : Group G
S : Submonoid G
⊢ 1⁻¹ ∈ (↑S : Set G)
|
apply le_antisymm
|
a
|
closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ = (closure s)⁻¹
|
apply le_antisymm
|
a
|
(closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
a : closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹
⊢ closure s⁻¹ = (closure s)⁻¹
|
rw [closure_le, coe_inv, ← Set.inv_subset, inv_inv]
|
a
|
s ⊆ (↑(closure s) : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹
|
closure_le,
|
a
|
s⁻¹ ⊆ (↑(closure s)⁻¹ : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹
|
coe_inv,
|
a
|
s⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G)⁻¹
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s⁻¹ ⊆ (↑(closure s)⁻¹ : Set G)
|
← Set.inv_subset,
|
a
|
s⁻¹⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G)⁻¹
|
inv_inv
|
a
|
s ⊆ (↑(closure s) : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s⁻¹⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G)
|
rw [inv_le, closure_le, coe_inv, ← Set.inv_subset]
|
a
|
s⁻¹ ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹
|
inv_le,
|
a
|
closure s ≤ (closure s⁻¹)⁻¹
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹
|
closure_le,
|
a
|
s ⊆ (↑(closure s⁻¹)⁻¹ : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s ≤ (closure s⁻¹)⁻¹
|
coe_inv,
|
a
|
s ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G)⁻¹
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ (↑(closure s⁻¹)⁻¹ : Set G)
|
← Set.inv_subset
|
a
|
s⁻¹ ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G)
|
G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G)⁻¹
|
change S.map _ = S
|
change
|
map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd α M : α → Monoid.End M) 1) S = S
|
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
S✝ : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α M
S : Submonoid M
⊢ 1 • S = S
|
rw [Submonoid.closure_eq_image_prod]
|
rw
|
(List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO
|
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(Submonoid.closure s) : Set α).IsPWO
|
Submonoid.closure_eq_image_prod
|
this
|
(List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO
|
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(Submonoid.closure s) : Set α).IsPWO
|
refine (h.partiallyWellOrderedOn_sublistForall₂ (· ≤ ·)).image_of_monotone_on ?_
|
refine
|
∀ a₁ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s},
∀ a₂ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}, List.SublistForall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) a₁ a₂ → a₁.prod ≤ a₂.prod
|
α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO
|
cases p
|
mk
|
{ toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝, star_mem' := sorry } = q
|
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : StarHomClass F A B
p q : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ p = q
|
cases q
|
mk
|
{ toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝¹, star_mem' := sorry } =
{ toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝, star_mem' := sorry }
|
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : StarHomClass F A B
q : NonUnitalStarSubalgebra R A
toNonUnitalSubalgebra✝ : NonUnitalSubalgebra R A
star_mem'✝ : ∀ {a : A}, a ∈ toNonUnitalSubalgebra✝.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubalgebra✝.carrier
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝, star_mem' := star_mem'✝ } = q
|
End of preview. Expand
in Data Studio
- Downloads last month
- 16