tactic stringlengths 1 5.59k | name stringlengths 1 85 | haveDraft stringlengths 1 44.5k | goal stringlengths 7 64.3k |
|---|---|---|---|
cases b | none | 1 • none = none | M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
b : Option α
⊢ 1 • b = b |
cases b | some | 1 • some val✝ = some val✝ | M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
b : Option α
none : 1 • none = none
⊢ 1 • b = b |
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n <;>
ext | h | SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝ | A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x |
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n <;>
ext | h | SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝ | A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
h : SMul.smul _fvar.10715 _fvar.10750 = SMul.smul _fvar.10715 _fvar.10750
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x |
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n | h | SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul | A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x |
convert AddMonoidHom.map_zsmul f.hom x n | h | SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul | A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
h : SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul
⊢ {
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
(n • x) =
(RingHom.id ℤ : ℤ → ℤ) n •
{
toFun :=
(⇑(ConcreteCategory.hom f) :
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u) →
(↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)),
map_add' := ⋯ }.toFun
x |
ext | h | SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝ | A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
e_1✝ : (↑B : Type u) = (↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)
e_2✝ : (↑A : Type u) = (↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A) : Type u)
⊢ SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul |
ext | h | SMul.smul x✝¹ x✝ = SMul.smul x✝¹ x✝ | A B : ModuleCat ℤ
f : (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj A ⟶ (forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B
n : ℤ
x : (↑A : Type u)
e_1✝ : (↑B : Type u) = (↑((forget₂ (ModuleCat ℤ) AddCommGrp).obj B) : Type u)
⊢ SMulZeroClass.toSMul = SubNegMonoid.toZSMul |
rw [isColimit_iff_bijective_desc, ← Function.Bijective.of_comp_iff _
(quotQuotUliftAddEquiv F).bijective, ← AddEquiv.coe_toAddMonoidHom,
← AddMonoidHom.coe_comp, Quot.desc_quotQuotUliftAddEquiv] | rw | Function.Bijective
(⇑(AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (Quot.desc F c)) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) | J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Nonempty (IsColimit (uliftFunctor.mapCocone c)) |
isColimit_iff_bijective_desc, | this | Function.Bijective
(⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) | J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Nonempty (IsColimit (uliftFunctor.mapCocone c)) |
← Function.Bijective.of_comp_iff _
(quotQuotUliftAddEquiv F).bijective, | this | Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F) : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor))) | J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
(⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) |
← AddEquiv.coe_toAddMonoidHom, | this | Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor))) | J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F) : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor))) |
← AddMonoidHom.coe_comp, | this | Function.Bijective
(⇑((Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)).comp (quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) | J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
((⇑(Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)) :
Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor) → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) ∘
(⇑(quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom : Colimits.Quot F → Colimits.Quot (F ⋙ uliftFunctor))) |
Quot.desc_quotQuotUliftAddEquiv | this | Function.Bijective
(⇑(AddEquiv.ulift.symm.toAddMonoidHom.comp (Quot.desc F c)) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) | J : Type w
x✝ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ AddCommGrp
c : Cocone F
hc : IsColimit c
⊢ Function.Bijective
(⇑((Quot.desc (F ⋙ uliftFunctor) (uliftFunctor.mapCocone c)).comp (quotQuotUliftAddEquiv F).toAddMonoidHom) :
Colimits.Quot F → (↑(uliftFunctor.mapCocone c).pt : Type (max u v))) |
refine le_of_forall_gt_imp_ge_of_dense fun d hd ↦ ?_ | refine | c ≤ d | α : Type u_1
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
inst✝ : DenselyOrdered α
a b c : α
h : ∀ (a' : α), a' > a → ∀ (b' : α), b' > b → c ≤ a' * b'
⊢ c ≤ a * b |
refine le_of_forall_lt_imp_le_of_dense fun d hd ↦ ?_ | refine | d ≤ c | α : Type u_1
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x1 x2 ↦ x1 * x2) fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2
inst✝ : DenselyOrdered α
a b c : α
h : ∀ (a' : α), a' < a → ∀ (b' : α), b' < b → a' * b' ≤ c
⊢ a * b ≤ c |
suffices ↑(n * n.gcdA p + p * n.gcdB p : ℤ) = ((n.gcd p : ℤ) : R) by simpa using this | suffices | (↑((↑n : ℤ) * n.gcdA p + (↑p : ℤ) * n.gcdB p) : R) = (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R) | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
⊢ (↑n : R) * (↑(n.gcdA p) : R) = (↑(n.gcd p) : R) |
← Nat.gcd_eq_gcd_ab | this | (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R) = (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R) | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
⊢ (↑((↑n : ℤ) * n.gcdA p + (↑p : ℤ) * n.gcdB p) : R) = (↑(↑(n.gcd p) : ℤ) : R) |
CharP.natCast_gcdA_mul_intCast_eq_gcd, | this | (↑(n.gcd p) : R) = 1 | R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑(n.gcdA p) : R) * (↑n : R) = 1 |
h, | this | (↑1 : R) = 1 | R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑(n.gcd p) : R) = 1 |
Nat.cast_one | this | 1 = 1 | R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑1 : R) = 1 |
CharP.intCast_mul_natCast_gcdA_eq_gcd, | this | (↑(n.gcd p) : R) = 1 | R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑n : R) * (↑(n.gcdA p) : R) = 1 |
h, | this | (↑1 : R) = 1 | R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑(n.gcd p) : R) = 1 |
Nat.cast_one | this | 1 = 1 | R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
h : n.Coprime p
⊢ (↑1 : R) = 1 |
letI : Invertible (n : R) := invertibleOfCoprime h | letI | ⅟ (↑n : R) = (↑(n.gcdA p) : R) | R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
n : ℕ
inst✝ : Invertible (↑n : R)
h : n.Coprime p
⊢ ⅟ (↑n : R) = (↑(n.gcdA p) : R) |
have := CharP.nontrivial_of_char_ne_one (R := R) hp.ne_one | have | ¬p ∣ n | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsUnit (↑n : R)
⊢ ¬p ∣ n |
rw [← CharP.cast_eq_zero_iff (R := R)] | rw | ¬(↑n : R) = 0 | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsUnit (↑n : R)
this : Nontrivial R
⊢ ¬p ∣ n |
← CharP.cast_eq_zero_iff (R := R) | this | ¬(↑n : R) = 0 | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsUnit (↑n : R)
this : Nontrivial R
⊢ ¬p ∣ n |
obtain ⟨n, rfl | rfl⟩ := z.eq_nat_or_neg | intro | IsUnit (↑(↑n : ℤ) : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ (↑n : ℤ) | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
z : ℤ
hp : Nat.Prime p
⊢ IsUnit (↑z : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ z |
obtain ⟨n, rfl | rfl⟩ := z.eq_nat_or_neg | intro | IsUnit (↑(-(↑n : ℤ)) : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ -(↑n : ℤ) | R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
z : ℤ
hp : Nat.Prime p
intro : IsUnit (↑(↑_fvar.7273 : ℤ) : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ (↑_fvar.7273 : ℤ)
⊢ IsUnit (↑z : R) ↔ ¬(↑p : ℤ) ∣ z |
rw [← ringChar.spec, ← Ne] | rw | (↑t : K) ≠ 0 | K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible (↑t : K)
⊢ ¬ringChar K ∣ t |
← ringChar.spec, | this | ¬(↑t : K) = 0 | K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible (↑t : K)
⊢ ¬ringChar K ∣ t |
← Ne | Ne | (↑t : K) ≠ 0 | K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
t : ℕ
inst✝ : Invertible (↑t : K)
⊢ ¬(↑t : K) = 0 |
ext x | h | star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x | I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
⊢ star (Sum.elim x y) = Sum.elim (star x) (star y) |
cases x | h | star (Sum.elim x y) (Sum.inl val✝) = Sum.elim (star x) (star y) (Sum.inl val✝) | I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x✝ : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
x : I ⊕ J
⊢ star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x |
cases x | h | star (Sum.elim x y) (Sum.inr val✝) = Sum.elim (star x) (star y) (Sum.inr val✝) | I : Type u_1
J : Type u_2
α : Type u_3
x✝ : I → α
y : J → α
inst✝ : Star α
x : I ⊕ J
h : star (Sum.elim x✝ y) (Sum.inl _fvar.7127) = Sum.elim (star x✝) (star y) (Sum.inl _fvar.7127)
⊢ star (Sum.elim x✝ y) x = Sum.elim (star x✝) (star y) x |
ext | hf | (Hom.hom (factorThruImage f ≫ ι f) : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x✝ = (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x✝ | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
⊢ factorThruImage f ≫ ι f = f |
haveI := F'.m_mono | haveI | (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
0 | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
0 |
apply injective_of_mono F'.m | a | (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
0 |
change (F'.e ≫ F'.m) _ = _ | a | (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 |
rw [F'.fac, AddMonoidHom.map_zero] | a | (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
0 | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 |
F'.fac, | a | (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 |
AddMonoidHom.map_zero | a | (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
0 | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑0 : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type)) 0 |
intro x y | intro | (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
⊢ ∀ (x y : ↥(Hom.hom f).range),
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) |
haveI := F'.m_mono | haveI | (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
apply injective_of_mono F'.m | a | (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
rw [AddMonoidHom.map_add] | a | (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) +
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type))) |
AddMonoidHom.map_add | a | (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) +
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type))) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type))) |
change (F'.e ≫ F'.m) _ = (F'.e ≫ F'.m) _ + (F'.e ≫ F'.m) _ | a | (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) =
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type))) +
(ConcreteCategory.hom F'.m : (↑F'.I : Type) → (↑H : Type))
((ConcreteCategory.hom F'.e : (↑G : Type) → (↑F'.I : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type))) |
rw [F'.fac] | a | (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
F'.fac | a | (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) sorry) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
rw [(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2] | a | (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2 | a | (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription
(fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑(x + y) : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
rw [(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2] | a | (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2 | a | (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
rw [(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2] | a | (↑(x + y) : (↑H : Type)) = (↑x : (↑H : Type)) + (↑y : (↑H : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
(Classical.indefiniteDescription (fun z => f z = _) _).2 | a | (↑(x + y) : (↑H : Type)) = (↑x : (↑H : Type)) + (↑y : (↑H : Type)) | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x y : ↥(Hom.hom f).range
this : Mono F'.m
⊢ (↑(x + y) : (↑H : Type)) =
(↑x : (↑H : Type)) +
(ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x = (↑y : (↑H : Type))) ⋯) :
(↑G : Type)) |
ext x | hf | (Hom.hom (lift F' ≫ F'.m) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x = (Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
⊢ lift F' ≫ F'.m = ι f |
change (F'.e ≫ F'.m) _ = _ | hf | (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (Hom.hom (lift F' ≫ F'.m) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x |
rw [F'.fac, (Classical.indefiniteDescription _ x.2).2] | hf | (↑x : (↑H : Type)) = (Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x |
F'.fac, | hf | (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
sorry) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (ConcreteCategory.hom (F'.e ≫ F'.m) : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x |
(Classical.indefiniteDescription _ x.2).2 | hf | (↑x : (↑H : Type)) = (Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x | G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : (↑(image f) : Type)
⊢ (ConcreteCategory.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type))
(↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 ↦ (Hom.hom f : (↑G : Type) → (↑H : Type)) x_1 = (↑x : (↑H : Type)))
⋯) :
(↑G : Type)) =
(Hom.hom (ι f) : (↑(image f) : Type) → (↑H : Type)) x |
cases p | mk | { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := sorry } = q | A : Type v
B : Type w
C : Type w'
R : Type v
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : Star R
p q : NonUnitalStarSubsemiring R
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ p = q |
cases q | mk | { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, star_mem' := sorry } =
{ toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := sorry } | A : Type v
B : Type w
C : Type w'
R : Type v
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : Star R
q : NonUnitalStarSubsemiring R
toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring R
star_mem'✝ : ∀ {a : R}, a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := star_mem'✝ } = q |
congr | mk | toNonUnitalSubsemiring✝¹ = toNonUnitalSubsemiring✝ | A : Type v
B : Type w
C : Type w'
R : Type v
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : Star R
toNonUnitalSubsemiring✝¹ : NonUnitalSubsemiring R
star_mem'✝¹ : ∀ {a : R}, a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝¹.carrier
toNonUnitalSubsemiring✝ : NonUnitalSubsemiring R
star_mem'✝ : ∀ {a : R}, a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubsemiring✝.carrier
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝¹, star_mem' := star_mem'✝¹ } =
{ toNonUnitalSubsemiring := toNonUnitalSubsemiring✝, star_mem' := star_mem'✝ } |
ext x | h | x ∈ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) ↔ x ∈ (↑s : Set M) | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Submonoid M
⊢ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) = (↑s : Set M) |
refine ⟨?_, fun h => ⟨x, h, 1, s.one_mem, mul_one x⟩⟩ | h | x ∈ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) → x ∈ (↑s : Set M) | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Submonoid M
x : M
⊢ x ∈ (↑s : Set M) * (↑s : Set M) ↔ x ∈ (↑s : Set M) |
pow_succ | pow_succ | closure (s ^ (n + 1) * s) = closure (s ^ (n + 1) * s) | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Set M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ closure (s ^ (n + 2)) = closure (s ^ (n + 1) * s) |
gcongr ?_ ⊔ _ | h₁ | closure (s ^ (n + 1)) ≤ closure s | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Set M
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ closure (s ^ (n + 1)) ⊔ closure s ≤ closure s ⊔ closure s |
gcongr | h | s ⊆ s ^ n | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
s : Set M
n : ℕ
hs : 1 ∈ s
hn : n ≠ 0
⊢ closure s ≤ closure (s ^ n) |
closure_eq, | this | H ⊔ closure (↑K : Set M) ≤ H ⊔ K | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
H K : Submonoid M
⊢ closure (↑H : Set M) ⊔ closure (↑K : Set M) ≤ H ⊔ K |
closure_eq | closure_eq | H ⊔ K ≤ H ⊔ K | M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
H K : Submonoid M
⊢ H ⊔ closure (↑K : Set M) ≤ H ⊔ K |
obtain ⟨⟨nx, hx⟩, ⟨ny, hy⟩⟩ := And.intro hx hy | mul | ∃ n, r ^ n • (x * y) ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝ : x ∈ closure s
hy✝ : y ∈ closure s
hx : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
⊢ ∃ n, r ^ n • (x * y) ∈ closure (r • s) |
use ny + nx | h | r ^ (ny + nx) • (x * y) ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ ∃ n, r ^ n • (x * y) ∈ closure (r • s) |
rw [pow_add, mul_smul, ← smul_mul_assoc, mul_comm, ← smul_mul_assoc] | h | r ^ ny • y * r ^ nx • x ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ (ny + nx) • (x * y) ∈ closure (r • s) |
pow_add, | h | (r ^ ny * r ^ nx) • (x * y) ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ (ny + nx) • (x * y) ∈ closure (r • s) |
mul_smul, | h | r ^ ny • r ^ nx • (x * y) ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ (r ^ ny * r ^ nx) • (x * y) ∈ closure (r • s) |
← smul_mul_assoc, | h | r ^ ny • (r ^ nx • x * y) ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ ny • r ^ nx • (x * y) ∈ closure (r • s) |
mul_comm, | h | r ^ ny • (y * r ^ nx • x) ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ ny • (r ^ nx • x * y) ∈ closure (r • s) |
← smul_mul_assoc | h | r ^ ny • y * r ^ nx • x ∈ closure (r • s) | M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
N : Type u_7
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x✝ x y : N
hx✝¹ : x ∈ closure s
hy✝¹ : y ∈ closure s
hx✝ : ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)
hy✝ : ∃ n, r ^ n • y ∈ closure (r • s)
nx : ℕ
hx : r ^ nx • x ∈ closure (r • s)
ny : ℕ
hy : r ^ ny • y ∈ closure (r • s)
⊢ r ^ ny • (y * r ^ nx • x) ∈ closure (r • s) |
rw [inv_one] | rw | 1 ∈ (↑S : Set G) | α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
S✝ : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s t u : Set M
inst✝ : Group G
S : Submonoid G
⊢ 1⁻¹ ∈ (↑S : Set G) |
inv_one | inv_one | 1 ∈ (↑S : Set G) | α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
S✝ : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
s t u : Set M
inst✝ : Group G
S : Submonoid G
⊢ 1⁻¹ ∈ (↑S : Set G) |
apply le_antisymm | a | closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹ | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ = (closure s)⁻¹ |
apply le_antisymm | a | (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹ | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
a : closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹
⊢ closure s⁻¹ = (closure s)⁻¹ |
rw [closure_le, coe_inv, ← Set.inv_subset, inv_inv] | a | s ⊆ (↑(closure s) : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹ |
closure_le, | a | s⁻¹ ⊆ (↑(closure s)⁻¹ : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s⁻¹ ≤ (closure s)⁻¹ |
coe_inv, | a | s⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G)⁻¹ | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s⁻¹ ⊆ (↑(closure s)⁻¹ : Set G) |
← Set.inv_subset, | a | s⁻¹⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G)⁻¹ |
inv_inv | a | s ⊆ (↑(closure s) : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s⁻¹⁻¹ ⊆ (↑(closure s) : Set G) |
rw [inv_le, closure_le, coe_inv, ← Set.inv_subset] | a | s⁻¹ ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹ |
inv_le, | a | closure s ≤ (closure s⁻¹)⁻¹ | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ (closure s)⁻¹ ≤ closure s⁻¹ |
closure_le, | a | s ⊆ (↑(closure s⁻¹)⁻¹ : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ closure s ≤ (closure s⁻¹)⁻¹ |
coe_inv, | a | s ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G)⁻¹ | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ (↑(closure s⁻¹)⁻¹ : Set G) |
← Set.inv_subset | a | s⁻¹ ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G) | G : Type u_2
inst✝ : Group G
s : Set G
⊢ s ⊆ (↑(closure s⁻¹) : Set G)⁻¹ |
change S.map _ = S | change | map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd α M : α → Monoid.End M) 1) S = S | α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
S✝ : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : MulDistribMulAction α M
S : Submonoid M
⊢ 1 • S = S |
rw [Submonoid.closure_eq_image_prod] | rw | (List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO | α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(Submonoid.closure s) : Set α).IsPWO |
Submonoid.closure_eq_image_prod | this | (List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO | α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (↑(Submonoid.closure s) : Set α).IsPWO |
refine (h.partiallyWellOrderedOn_sublistForall₂ (· ≤ ·)).image_of_monotone_on ?_ | refine | ∀ a₁ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s},
∀ a₂ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}, List.SublistForall₂ (fun x1 x2 ↦ x1 ≤ x2) a₁ a₂ → a₁.prod ≤ a₂.prod | α : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : IsOrderedCancelMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO
⊢ (List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO |
cases p | mk | { toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝, star_mem' := sorry } = q | F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : StarHomClass F A B
p q : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ p = q |
cases q | mk | { toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝¹, star_mem' := sorry } =
{ toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝, star_mem' := sorry } | F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : StarHomClass F A B
q : NonUnitalStarSubalgebra R A
toNonUnitalSubalgebra✝ : NonUnitalSubalgebra R A
star_mem'✝ : ∀ {a : A}, a ∈ toNonUnitalSubalgebra✝.carrier → star a ∈ toNonUnitalSubalgebra✝.carrier
h : (fun {s} ↦ s.carrier) = fun {s} ↦ s.carrier
⊢ { toNonUnitalSubalgebra := toNonUnitalSubalgebra✝, star_mem' := star_mem'✝ } = q |
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