UnluckyOrangutan/tactic-haveDraft6 · Datasets at Hugging Face

tactic stringlengths 1 5.59k	name stringlengths 1 85	haveDraft stringlengths 1 44.5k	goal stringlengths 7 64.3k
of_symm_smul,	this	(aeval a : R[X] → A) X • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M m : AEval R M a ⊢ ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (X • m) = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m
aeval_X	aeval_X	a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M m : AEval R M a ⊢ (aeval a : R[X] → A) X • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m
apply (of R M a).symm.injective	a	((of R M a).symm : AEval R M a → M) ((r • f) • m) = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ (r • f) • m = r • f • m
of_symm_smul,	a	(aeval a : R[X] → A) (r • f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ ((of R M a).symm : AEval R M a → M) ((r • f) • m) = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)
map_smul,	a	(r • (aeval a : R[X] → A) f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ (aeval a : R[X] → A) (r • f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)
smul_assoc,	a	r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ (r • (aeval a : R[X] → A) f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)
map_smul,	a	r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = r • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (f • m)	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)
of_symm_smul	a	r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m	R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = r • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (f • m)
simp_rw [RingHom.id_apply, AddHom.toFun_eq_coe, LinearMap.coe_toAddHom, LinearMap.comp_apply, LinearEquiv.coe_toLinearMap] at h ⊢	simp_rw	(f : M → N) (((of R M a).symm : AEval R M a → M) (((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • m)) = ((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • (f : M → N) (((of R M a).symm : AEval R M a → M) m)	R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝¹⁰ : CommSemiring R inst✝⁹ : Semiring A a : A inst✝⁸ : Algebra R A inst✝⁷ : AddCommMonoid M inst✝⁶ : Module A M inst✝⁵ : Module R M inst✝⁴ : IsScalarTower R A M N : Type u_4 inst✝³ : AddCommMonoid N inst✝² : Module R N inst✝¹ : Module R[X] N inst✝ : IsScalarTower R R[X] N f : M →ₗ[R] N hf : ∀ (m : M), (f : M → N) (a • m) = X • (f : M → N) m p : R[X] n : ℕ k : R h : ∀ (x : AEval R M a), (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun (((C : R → R[X]) k * X ^ n) • x) = (RingHom.id R[X] : R[X] → R[X]) ((C : R → R[X]) k * X ^ n) • (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun x m : AEval R M a ⊢ (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun (((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • m) = (RingHom.id R[X] : R[X] → R[X]) ((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun m
ext p	h	p ∈ annihilator R[X] (AEval R M a) ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)	R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M ⊢ annihilator R[X] (AEval R M a) = RingHom.ker (aeval a)
simp_rw [mem_annihilator, RingHom.mem_ker]	h	(∀ (m : AEval R M a), p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0	R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ p ∈ annihilator R[X] (AEval R M a) ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)
change (∀ m : M, aeval a p • m = 0) ↔ _	h	(∀ (m : M), (aeval a : R[X] → A) p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0	R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ (∀ (m : AEval R M a), p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0
ext p	h	p ∈ ⊤.annihilator ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)	R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M ⊢ ⊤.annihilator = RingHom.ker (aeval a)
simp only [Submodule.mem_annihilator, Submodule.mem_top, forall_true_left, RingHom.mem_ker]	h	(∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0	R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ p ∈ ⊤.annihilator ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)
change (∀ m : M, aeval a p • m = 0) ↔ _	h	(∀ (m : M), (aeval a : R[X] → A) p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0	R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ (∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0
ext	a	x✝ ∈ (↑((fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), sorry⟩) ((fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := sorry }) p)) : Submodule R M) ↔ x✝ ∈ (↑p : Submodule R M)	R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M p : ↥((Algebra.lsmul R R M : A → End R M) a).invtSubmodule ⊢ (fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), ⋯⟩) ((fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := ⋯ }) p) = p
ext	h	x✝ ∈ (fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := sorry }) ((fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), sorry⟩) q) ↔ x✝ ∈ q	R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M q : Submodule R[X] (AEval R M a) ⊢ (fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := ⋯ }) ((fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), ⋯⟩) q) = q
obtain ⟨x, hx⟩ := x	mk	((of R M a).symm : AEval R M a → M) (↑⟨x, sorry⟩ : AEval R M a) ∈ p	R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M p : Submodule R M hp : p ∈ ((Algebra.lsmul R R M : A → End R M) a).invtSubmodule x : ↥((mapSubmodule R M a : ↥((Algebra.lsmul R R M : A → End R M) a).invtSubmodule → Submodule R[X] (AEval R M a)) ⟨p, hp⟩) ⊢ ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (↑x : AEval R M a) ∈ p
refine (Fintype.truncEquivFinOfCardEq <\| Fintype.card_coe s).lift (fun e ↦ (finAntidiagonal s.card n).map ⟨fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, ?_⟩) fun e₁ e₂ ↦ ?_	refine_1	Injective fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ ⊢ Finset (ι → μ)
refine (Fintype.truncEquivFinOfCardEq <\| Fintype.card_coe s).lift (fun e ↦ (finAntidiagonal s.card n).map ⟨fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, ?_⟩) fun e₁ e₂ ↦ ?_	refine_2	(fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ = (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ refine_1 : Injective fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((_fvar.12352 : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0 ⊢ Finset (ι → μ)
ext i	refine_1	f i = g i	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f g : Fin #s → μ hfg : (fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) f = (fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) g ⊢ f = g
ext f	refine_2	f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ ↔ f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s ⊢ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ = (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂
simp only [mem_map, mem_finAntidiagonal]	refine_2	(∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f) ↔ ∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f : ι → μ ⊢ f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ ↔ f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂
refine Equiv.exists_congr ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr <\| .refl _) fun g ↦ ?_	refine_2	∑ i, g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) g = f ↔ ∑ i, ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) (((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g) = f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f : ι → μ ⊢ (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f) ↔ ∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f
have := Fintype.sum_equiv (e₂.symm.trans e₁) _ g fun _ ↦ rfl	refine_2	∑ i, g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) g = f ↔ ∑ i, ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) (((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g) = f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f : ι → μ g : Fin #s → μ ⊢ ∑ i, g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) g = f ↔ ∑ i, ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) (((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g) = f
induction' Fintype.truncEquivFinOfCardEq (Fintype.card_coe s) using Trunc.ind with e	a	f ∈ Trunc.lift (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) sorry (Trunc.mk e) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ ⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) ⋯ (Fintype.truncEquivFinOfCardEq ⋯) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
simp only [Trunc.lift_mk, mem_map, mem_finAntidiagonal, Embedding.coeFn_mk]	a	(∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s ⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) ⋯ (Trunc.mk e) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
constructor	a	(∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s ⊢ (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
constructor	a	(s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) → ∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s a : (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
refine ⟨f ∘ (↑) ∘ e.symm, ?_, by ext i; have := not_imp_comm.1 (hf i); aesop⟩	a	∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = s.sum f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ ∃ a, ∑ i, a i = s.sum f ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f
ext i	h	(if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f i	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f
have := not_imp_comm.1 (hf i)	h	(if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f i	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s i : ι ⊢ (if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f i
rw [← sum_attach s]	a	∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = ∑ x ∈ s.attach, f (↑x : ι)	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ ∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = s.sum f
← sum_attach s	a	∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = ∑ x ∈ s.attach, f (↑x : ι)	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ ∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = s.sum f
ext	h	a✝ ∈ ∅.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ ⊢ ∅.piAntidiag 0 = {0}
ext f	h	f ∈ (cons i s sorry).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p ↦ map (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) sorry	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ ⊢ (cons i s hi).piAntidiag n = (antidiagonal n).disjiUnion (fun p ↦ map (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯
simp only [mem_piAntidiag, sum_cons, ne_eq, mem_cons, mem_disjiUnion, mem_antidiagonal, mem_map, addLeftEmbedding_apply, Prod.exists]	h	(f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ ⊢ f ∈ (cons i s hi).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p ↦ map (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯
constructor	h	(f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) → ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ ⊢ (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f
constructor	h	(∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f) → f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ h : (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) → ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f ⊢ (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f
refine ⟨_, _, hn, update f i 0, ⟨sum_update_of_notMem hi _ _, fun j ↦ ?_⟩, by aesop⟩	h	¬update f i 0 j = 0 → j ∈ s	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ hn : f i + ∑ x ∈ s, f x = n hf : ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s ⊢ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f
have := fun h₁ h₂ ↦ (hf j h₁).resolve_left h₂	h	¬update f i 0 j = 0 → j ∈ s	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ hn : f i + ∑ x ∈ s, f x = n hf : ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s j : ι ⊢ ¬update f i 0 j = 0 → j ∈ s
ext	h	a✝ ∈ s.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}	ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝⁵ : DecidableEq ι inst✝⁴ : AddCommMonoid μ inst✝³ : PartialOrder μ inst✝² : CanonicallyOrderedAdd μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι ⊢ s.piAntidiag 0 = {0}
ext	h	a✝ ∈ univ.piAntidiag n ↔ a✝ ∈ Nat.antidiagonalTuple k n	n k : ℕ ⊢ univ.piAntidiag n = Nat.antidiagonalTuple k n
ext f	h	f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ SMul.smul n (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}
refine mem_smul_finset.trans ?_	h	(∃ y ∈ s.piAntidiag m, n • y = f) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ ⊢ f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}
simp only [mem_smul_finset, mem_filter, mem_piAntidiag, Function.Embedding.coeFn_mk, exists_prop, and_assoc]	h	(∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ ⊢ (∃ y ∈ s.piAntidiag m, n • y = f) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}
constructor	h	(∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) → s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ ⊢ (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i
constructor	h	(s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i) → ∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ h : (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) → s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i ⊢ (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i
have (i) : n ∣ f i := by by_cases hi : i ∈ s · exact hfdvd _ hi · rw [not_imp_comm.1 (hfsup _) hi] exact dvd_zero _	h	∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i ⊢ ∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f
by_cases hi : i ∈ s	pos	n ∣ f i	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι ⊢ n ∣ f i
by_cases hi : i ∈ s	neg	n ∣ f i	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι pos : n ∣ f i ⊢ n ∣ f i
rw [not_imp_comm.1 (hfsup _) hi]	neg	n ∣ 0	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι hi : i ∉ s ⊢ n ∣ f i
not_imp_comm.1 (hfsup _) hi	neg	n ∣ 0	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι hi : i ∉ s ⊢ n ∣ f i
refine ⟨fun i ↦ f i / n, ?_⟩	h	∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i ↦ f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i ↦ f i / n) = f	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i this : ∀ (i : ι), n ∣ f i ⊢ ∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f
simp [funext_iff, Nat.mul_div_cancel', ← Nat.sum_div, *]	h	∀ (i : ι), n ≤ f i → i ∈ s	ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i this : ∀ (i : ι), n ∣ f i ⊢ ∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i ↦ f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i ↦ f i / n) = f
rw [map_eq_image]	rw	image (⇑{ toFun := fun x ↦ n • x, inj' := sorry } : (ι → ℕ) → ι → ℕ) (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ map { toFun := fun x ↦ n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}
map_eq_image	map_eq_image	image (⇑{ toFun := fun x ↦ n • x, inj' := sorry } : (ι → ℕ) → ι → ℕ) (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ map { toFun := fun x ↦ n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) \| ∀ i ∈ s, n ∣ f i}
ext f	h	f ∈ map { toFun := fun m a ↦ Multiset.count a (↑m : Multiset ι), inj' := sorry } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ ⊢ map { toFun := fun m a ↦ Multiset.count a (↑m : Multiset ι), inj' := ⋯ } (s.sym n) = s.piAntidiag n
simp only [Sym.val_eq_coe, mem_map, mem_sym_iff, Embedding.coeFn_mk, funext_iff, Sym.exists, Sym.mem_mk, Sym.coe_mk, exists_and_left, exists_prop, mem_piAntidiag, ne_eq]	h	(∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ f : ι → ℕ ⊢ f ∈ map { toFun := fun m a ↦ Multiset.count a (↑m : Multiset ι), inj' := ⋯ } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n
constructor	h	(∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ f : ι → ℕ ⊢ (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s
constructor	h	(s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s) → ∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ f : ι → ℕ h : (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s ⊢ (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s
refine ⟨∑ a ∈ s, f a • {a}, ?_, ?_⟩	h	∀ a ∈ ∑ a ∈ s, f a • {a}, a ∈ s	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι f : ι → ℕ hf : ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s ⊢ ∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = s.sum f ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x
refine ⟨∑ a ∈ s, f a • {a}, ?_, ?_⟩	h	(∑ a ∈ s, f a • {a}).card = s.sum f ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x (∑ a ∈ s, f a • {a}) = f x	ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι f : ι → ℕ hf : ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s h : ∀ a ∈ ∑ a ∈ s, f a • {a}, a ∈ s ⊢ ∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = s.sum f ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x
by_cases hp : p = 0	pos	p.mirror.natDegree = p.natDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
by_cases hp : p = 0	neg	p.mirror.natDegree = p.natDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] pos : p.mirror.natDegree = p.natDegree ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
hp,	pos	(mirror 0).natDegree = natDegree 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
mirror_zero	pos	natDegree 0 = natDegree 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ (mirror 0).natDegree = natDegree 0
rw [mirror, natDegree_mul', reverse_natDegree, natDegree_X_pow, tsub_add_cancel_of_le p.natTrailingDegree_le_natDegree]	rw	p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
mirror,	this	(p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
natDegree_mul',	this	p.reverse.natDegree + (X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ (p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree
natDegree_mul',	this	p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R this : p.reverse.natDegree + (X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree ⊢ (p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree
leadingCoeff_X_pow,	this	p.reverse.leadingCoeff * 1 ≠ 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0
mul_one,	this	p.reverse.leadingCoeff ≠ 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.reverse.leadingCoeff * 1 ≠ 0
reverse_leadingCoeff,	this	p.trailingCoeff ≠ 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.reverse.leadingCoeff ≠ 0
Ne,	this	¬p.trailingCoeff = 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.trailingCoeff ≠ 0
trailingCoeff_eq_zero	trailingCoeff_eq_zero	¬p = 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ ¬p.trailingCoeff = 0
by_cases hp : p = 0	pos	p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
by_cases hp : p = 0	neg	p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] pos : p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
hp,	pos	(mirror 0).natTrailingDegree = natTrailingDegree 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
mirror_zero	pos	natTrailingDegree 0 = natTrailingDegree 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ (mirror 0).natTrailingDegree = natTrailingDegree 0
mirror,	neg	(p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
natTrailingDegree_mul_X_pow ((mt reverse_eq_zero.mp) hp),	neg	p.reverse.natTrailingDegree + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ (p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
natTrailingDegree_reverse,	neg	0 + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ p.reverse.natTrailingDegree + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
zero_add	neg	p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ 0 + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree
by_cases h2 : p.natDegree < n	pos	p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
by_cases h2 : p.natDegree < n	neg	p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ pos : p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n) ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
rw [coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (by rwa [mirror_natDegree])]	pos	0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (by rwa [mirror_natDegree])	pos	0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
mirror_natDegree	mirror_natDegree	p.natDegree < n	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ p.mirror.natDegree < n
by_cases h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree	pos	0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
by_cases h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree	neg	0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n pos : 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n) ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
rw [revAt_le h1, coeff_eq_zero_of_lt_natTrailingDegree]	pos	p.natDegree + p.natTrailingDegree - n < p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
revAt_le h1,	pos	0 = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
coeff_eq_zero_of_lt_natTrailingDegree	pos	0 = 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)
coeff_eq_zero_of_lt_natTrailingDegree	pos	p.natDegree + p.natTrailingDegree - n < p.natTrailingDegree	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree pos : 0 = 0 ⊢ 0 = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)
← revAtFun_eq,	neg	0 = p.coeff (revAtFun (p.natDegree + p.natTrailingDegree) n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)
revAtFun,	neg	0 = p.coeff (if n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree then p.natDegree + p.natTrailingDegree - n else n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff (revAtFun (p.natDegree + p.natTrailingDegree) n)
if_neg h1,	neg	0 = p.coeff n	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff (if n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree then p.natDegree + p.natTrailingDegree - n else n)
coeff_eq_zero_of_natDegree_lt h2	neg	0 = 0	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff n
rw [revAt_le (h2.trans (Nat.le_add_right _ _))]	neg	p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)	R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : n ≤ p.natDegree ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

of_symm_smul,

this

(aeval a : R[X] → A) X • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M m : AEval R M a ⊢ ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (X • m) = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m

aeval_X

a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M m : AEval R M a ⊢ (aeval a : R[X] → A) X • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = a • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m

apply (of R M a).symm.injective

a

((of R M a).symm : AEval R M a → M) ((r • f) • m) = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ (r • f) • m = r • f • m

of_symm_smul,

a

(aeval a : R[X] → A) (r • f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ ((of R M a).symm : AEval R M a → M) ((r • f) • m) = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

map_smul,

a

(r • (aeval a : R[X] → A) f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ (aeval a : R[X] → A) (r • f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

smul_assoc,

a

r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ (r • (aeval a : R[X] → A) f) • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

map_smul,

a

r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = r • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (f • m)

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (r • f • m)

of_symm_smul

a

r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m

R : Type u_1 A : Type u_3 M : Type u_2 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M r : R f : R[X] m : AEval R M a ⊢ r • (aeval a : R[X] → A) f • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) m = r • ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (f • m)

simp_rw [RingHom.id_apply, AddHom.toFun_eq_coe, LinearMap.coe_toAddHom, LinearMap.comp_apply, LinearEquiv.coe_toLinearMap] at h ⊢

simp_rw

(f : M → N) (((of R M a).symm : AEval R M a → M) (((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • m)) = ((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • (f : M → N) (((of R M a).symm : AEval R M a → M) m)

R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝¹⁰ : CommSemiring R inst✝⁹ : Semiring A a : A inst✝⁸ : Algebra R A inst✝⁷ : AddCommMonoid M inst✝⁶ : Module A M inst✝⁵ : Module R M inst✝⁴ : IsScalarTower R A M N : Type u_4 inst✝³ : AddCommMonoid N inst✝² : Module R N inst✝¹ : Module R[X] N inst✝ : IsScalarTower R R[X] N f : M →ₗ[R] N hf : ∀ (m : M), (f : M → N) (a • m) = X • (f : M → N) m p : R[X] n : ℕ k : R h : ∀ (x : AEval R M a), (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun (((C : R → R[X]) k * X ^ n) • x) = (RingHom.id R[X] : R[X] → R[X]) ((C : R → R[X]) k * X ^ n) • (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun x m : AEval R M a ⊢ (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun (((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • m) = (RingHom.id R[X] : R[X] → R[X]) ((C : R → R[X]) k * X ^ (n + 1)) • (f ∘ₗ (↑(of R M a).symm : AEval R M a →ₗ[R] M)).toFun m

ext p

h

p ∈ annihilator R[X] (AEval R M a) ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)

R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M ⊢ annihilator R[X] (AEval R M a) = RingHom.ker (aeval a)

simp_rw [mem_annihilator, RingHom.mem_ker]

h

(∀ (m : AEval R M a), p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0

R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ p ∈ annihilator R[X] (AEval R M a) ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)

change (∀ m : M, aeval a p • m = 0) ↔ _

h

(∀ (m : M), (aeval a : R[X] → A) p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0

R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ (∀ (m : AEval R M a), p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0

ext p

h

p ∈ ⊤.annihilator ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)

R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M ⊢ ⊤.annihilator = RingHom.ker (aeval a)

simp only [Submodule.mem_annihilator, Submodule.mem_top, forall_true_left, RingHom.mem_ker]

h

(∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0

R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ p ∈ ⊤.annihilator ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)

change (∀ m : M, aeval a p • m = 0) ↔ _

h

(∀ (m : M), (aeval a : R[X] → A) p • m = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0

R : Type u_3 A : Type u_1 M : Type u_2 inst✝⁷ : CommSemiring R inst✝⁶ : Semiring A a : A inst✝⁵ : Algebra R A inst✝⁴ : AddCommMonoid M inst✝³ : Module A M inst✝² : Module R M inst✝¹ : IsScalarTower R A M inst✝ : FaithfulSMul A M p : R[X] ⊢ (∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a : R[X] → A) p = 0

ext

a

x✝ ∈ (↑((fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), sorry⟩) ((fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := sorry }) p)) : Submodule R M) ↔ x✝ ∈ (↑p : Submodule R M)

R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M p : ↥((Algebra.lsmul R R M : A → End R M) a).invtSubmodule ⊢ (fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), ⋯⟩) ((fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := ⋯ }) p) = p

ext

h

x✝ ∈ (fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := sorry }) ((fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), sorry⟩) q) ↔ x✝ ∈ q

R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M q : Submodule R[X] (AEval R M a) ⊢ (fun p ↦ let __AddSubmonoid := AddSubmonoid.map (of R M a) (↑p : Submodule R M).toAddSubmonoid; { toAddSubmonoid := __AddSubmonoid, smul_mem' := ⋯ }) ((fun q ↦ ⟨((Submodule.orderIsoMapComap (of R M a)).symm : Submodule R (AEval R M a) → Submodule R M) (Submodule.restrictScalars R q), ⋯⟩) q) = q

obtain ⟨x, hx⟩ := x

mk

((of R M a).symm : AEval R M a → M) (↑⟨x, sorry⟩ : AEval R M a) ∈ p

R : Type u_1 A : Type u_2 M : Type u_3 inst✝⁶ : CommSemiring R inst✝⁵ : Semiring A a : A inst✝⁴ : Algebra R A inst✝³ : AddCommMonoid M inst✝² : Module A M inst✝¹ : Module R M inst✝ : IsScalarTower R A M p : Submodule R M hp : p ∈ ((Algebra.lsmul R R M : A → End R M) a).invtSubmodule x : ↥((mapSubmodule R M a : ↥((Algebra.lsmul R R M : A → End R M) a).invtSubmodule → Submodule R[X] (AEval R M a)) ⟨p, hp⟩) ⊢ ((of R M a).symm : AEval R M a → M) (↑x : AEval R M a) ∈ p

refine (Fintype.truncEquivFinOfCardEq <| Fintype.card_coe s).lift (fun e ↦ (finAntidiagonal s.card n).map ⟨fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, ?_⟩) fun e₁ e₂ ↦ ?_

refine_1

Injective fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ ⊢ Finset (ι → μ)

refine (Fintype.truncEquivFinOfCardEq <| Fintype.card_coe s).lift (fun e ↦ (finAntidiagonal s.card n).map ⟨fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, ?_⟩) fun e₁ e₂ ↦ ?_

refine_2

(fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ = (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ refine_1 : Injective fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((_fvar.12352 : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0 ⊢ Finset (ι → μ)

ext i

refine_1

f i = g i

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f g : Fin #s → μ hfg : (fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) f = (fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) g ⊢ f = g

ext f

refine_2

f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ ↔ f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s ⊢ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ = (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂

simp only [mem_map, mem_finAntidiagonal]

refine_2

(∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f) ↔ ∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f : ι → μ ⊢ f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₁ ↔ f ∈ (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) e₂

refine Equiv.exists_congr ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr <| .refl _) fun g ↦ ?_

refine_2

∑ i, g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) g = f ↔ ∑ i, ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) (((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g) = f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f : ι → μ ⊢ (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f) ↔ ∃ a, ∑ i, a i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) a = f

have := Fintype.sum_equiv (e₂.symm.trans e₁) _ g fun _ ↦ rfl

refine_2

∑ i, g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) g = f ↔ ∑ i, ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } : (Fin #s → μ) → ι → μ) (((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g) = f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 μ' : Type u_3 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ n✝ : μ s : Finset ι n : μ e₁ e₂ : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s f : ι → μ g : Fin #s → μ ⊢ ∑ i, g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₁ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) g = f ↔ ∑ i, ((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g i = n ∧ ({ toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e₂ : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } : (Fin #s → μ) → ι → μ) (((e₁.symm.trans e₂).arrowCongr (Equiv.refl μ) : (Fin #s → μ) → Fin #s → μ) g) = f

induction' Fintype.truncEquivFinOfCardEq (Fintype.card_coe s) using Trunc.ind with e

a

f ∈ Trunc.lift (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0, inj' := sorry } (finAntidiagonal (#s) n)) sorry (Trunc.mk e) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ ⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) ⋯ (Fintype.truncEquivFinOfCardEq ⋯) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

simp only [Trunc.lift_mk, mem_map, mem_finAntidiagonal, Embedding.coeFn_mk]

a

(∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s ⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e ↦ map { toFun := fun f i ↦ if hi : i ∈ s then f ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal (#s) n)) ⋯ (Trunc.mk e) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

constructor

a

(∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s ⊢ (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

constructor

a

(s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) → ∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι n : μ f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s a : (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ (∃ a, ∑ i, a i = n ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s

refine ⟨f ∘ (↑) ∘ e.symm, ?_, by ext i; have := not_imp_comm.1 (hf i); aesop⟩

a

∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = s.sum f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ ∃ a, ∑ i, a i = s.sum f ∧ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then a ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f

ext i

h

(if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f i

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ (fun i ↦ if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f

have := not_imp_comm.1 (hf i)

h

(if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, sorry⟩) else 0) = f i

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s i : ι ⊢ (if hi : i ∈ s then (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) ((e : { x // x ∈ s } → Fin #s) ⟨i, hi⟩) else 0) = f i

rw [← sum_attach s]

a

∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = ∑ x ∈ s.attach, f (↑x : ι)

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ ∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = s.sum f

← sum_attach s

a

∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = ∑ x ∈ s.attach, f (↑x : ι)

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι f : ι → μ e : { x // x ∈ s } ≃ Fin #s hf : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s ⊢ ∑ i, (f ∘ Subtype.val ∘ (⇑e.symm : Fin #s → { x // x ∈ s })) i = s.sum f

ext

h

a✝ ∈ ∅.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ ⊢ ∅.piAntidiag 0 = {0}

ext f

h

f ∈ (cons i s sorry).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p ↦ map (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) sorry

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ ⊢ (cons i s hi).piAntidiag n = (antidiagonal n).disjiUnion (fun p ↦ map (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯

simp only [mem_piAntidiag, sum_cons, ne_eq, mem_cons, mem_disjiUnion, mem_antidiagonal, mem_map, addLeftEmbedding_apply, Prod.exists]

h

(f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ ⊢ f ∈ (cons i s hi).piAntidiag n ↔ f ∈ (antidiagonal n).disjiUnion (fun p ↦ map (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then p.1 else 0) (s.piAntidiag p.2)) ⋯

constructor

h

(f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) → ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ ⊢ (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f

constructor

h

(∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f) → f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ h : (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) → ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f ⊢ (f i + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s) ↔ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f

refine ⟨_, _, hn, update f i 0, ⟨sum_update_of_notMem hi _ _, fun j ↦ ?_⟩, by aesop⟩

h

¬update f i 0 j = 0 → j ∈ s

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ hn : f i + ∑ x ∈ s, f x = n hf : ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s ⊢ ∃ a b, a + b = n ∧ ∃ a_1, (s.sum a_1 = b ∧ ∀ (i : ι), ¬a_1 i = 0 → i ∈ s) ∧ (addRightEmbedding fun t ↦ if t = i then a else 0 : (ι → μ) → ι → μ) a_1 = f

have := fun h₁ h₂ ↦ (hf j h₁).resolve_left h₂

h

¬update f i 0 j = 0 → j ∈ s

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝³ : DecidableEq ι inst✝² : AddCancelCommMonoid μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ i : ι s : Finset ι hi : i ∉ s n : μ f : ι → μ hn : f i + ∑ x ∈ s, f x = n hf : ∀ (i_1 : ι), ¬f i_1 = 0 → i_1 = i ∨ i_1 ∈ s j : ι ⊢ ¬update f i 0 j = 0 → j ∈ s

ext

h

a✝ ∈ s.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}

ι : Type u_1 μ : Type u_2 inst✝⁵ : DecidableEq ι inst✝⁴ : AddCommMonoid μ inst✝³ : PartialOrder μ inst✝² : CanonicallyOrderedAdd μ inst✝¹ : HasAntidiagonal μ inst✝ : DecidableEq μ s : Finset ι ⊢ s.piAntidiag 0 = {0}

ext

h

a✝ ∈ univ.piAntidiag n ↔ a✝ ∈ Nat.antidiagonalTuple k n

n k : ℕ ⊢ univ.piAntidiag n = Nat.antidiagonalTuple k n

ext f

h

f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ SMul.smul n (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

refine mem_smul_finset.trans ?_

h

(∃ y ∈ s.piAntidiag m, n • y = f) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ ⊢ f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

simp only [mem_smul_finset, mem_filter, mem_piAntidiag, Function.Embedding.coeFn_mk, exists_prop, and_assoc]

h

(∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ ⊢ (∃ y ∈ s.piAntidiag m, n • y = f) ↔ f ∈ {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

constructor

h

(∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) → s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ ⊢ (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i

constructor

h

(s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i) → ∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ h : (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) → s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i ⊢ (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i

have (i) : n ∣ f i := by by_cases hi : i ∈ s · exact hfdvd _ hi · rw [not_imp_comm.1 (hfsup _) hi] exact dvd_zero _

h

∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i ⊢ ∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f

by_cases hi : i ∈ s

pos

n ∣ f i

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι ⊢ n ∣ f i

by_cases hi : i ∈ s

neg

n ∣ f i

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι pos : n ∣ f i ⊢ n ∣ f i

rw [not_imp_comm.1 (hfsup _) hi]

neg

n ∣ 0

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι hi : i ∉ s ⊢ n ∣ f i

not_imp_comm.1 (hfsup _) hi

neg

n ∣ 0

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i i : ι hi : i ∉ s ⊢ n ∣ f i

refine ⟨fun i ↦ f i / n, ?_⟩

h

∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i ↦ f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i ↦ f i / n) = f

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i this : ∀ (i : ι), n ∣ f i ⊢ ∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f

simp [funext_iff, Nat.mul_div_cancel', ← Nat.sum_div, *]

h

∀ (i : ι), n ≤ f i → i ∈ s

ι : Type u_1 inst✝¹ : DecidableEq ι inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ) s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 f : ι → ℕ hfsum : s.sum f = n * m hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i this : ∀ (i : ι), n ∣ f i ⊢ ∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i ↦ f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i ↦ f i / n) = f

rw [map_eq_image]

rw

image (⇑{ toFun := fun x ↦ n • x, inj' := sorry } : (ι → ℕ) → ι → ℕ) (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ map { toFun := fun x ↦ n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

map_eq_image

image (⇑{ toFun := fun x ↦ n • x, inj' := sorry } : (ι → ℕ) → ι → ℕ) (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ map { toFun := fun x ↦ n • x, inj' := ⋯ } (s.piAntidiag m) = {f ∈ s.piAntidiag (n * m) | ∀ i ∈ s, n ∣ f i}

ext f

h

f ∈ map { toFun := fun m a ↦ Multiset.count a (↑m : Multiset ι), inj' := sorry } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ ⊢ map { toFun := fun m a ↦ Multiset.count a (↑m : Multiset ι), inj' := ⋯ } (s.sym n) = s.piAntidiag n

simp only [Sym.val_eq_coe, mem_map, mem_sym_iff, Embedding.coeFn_mk, funext_iff, Sym.exists, Sym.mem_mk, Sym.coe_mk, exists_and_left, exists_prop, mem_piAntidiag, ne_eq]

h

(∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ f : ι → ℕ ⊢ f ∈ map { toFun := fun m a ↦ Multiset.count a (↑m : Multiset ι), inj' := ⋯ } (s.sym n) ↔ f ∈ s.piAntidiag n

constructor

h

(∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ f : ι → ℕ ⊢ (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s

constructor

h

(s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s) → ∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι n : ℕ f : ι → ℕ h : (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) → s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s ⊢ (∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = n ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s

refine ⟨∑ a ∈ s, f a • {a}, ?_, ?_⟩

h

∀ a ∈ ∑ a ∈ s, f a • {a}, a ∈ s

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι f : ι → ℕ hf : ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s ⊢ ∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = s.sum f ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x

refine ⟨∑ a ∈ s, f a • {a}, ?_, ?_⟩

h

(∑ a ∈ s, f a • {a}).card = s.sum f ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x (∑ a ∈ s, f a • {a}) = f x

ι : Type u_1 inst✝ : DecidableEq ι s : Finset ι f : ι → ℕ hf : ∀ (i : ι), ¬f i = 0 → i ∈ s h : ∀ a ∈ ∑ a ∈ s, f a • {a}, a ∈ s ⊢ ∃ s_1, (∀ a ∈ s_1, a ∈ s) ∧ s_1.card = s.sum f ∧ ∀ (x : ι), Multiset.count x s_1 = f x

by_cases hp : p = 0

pos

p.mirror.natDegree = p.natDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree

by_cases hp : p = 0

neg

p.mirror.natDegree = p.natDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] pos : p.mirror.natDegree = p.natDegree ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree

hp,

pos

(mirror 0).natDegree = natDegree 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree

mirror_zero

pos

natDegree 0 = natDegree 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ (mirror 0).natDegree = natDegree 0

rw [mirror, natDegree_mul', reverse_natDegree, natDegree_X_pow, tsub_add_cancel_of_le p.natTrailingDegree_le_natDegree]

rw

p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree

mirror,

this

(p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree

natDegree_mul',

this

p.reverse.natDegree + (X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ (p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree

natDegree_mul',

this

p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R this : p.reverse.natDegree + (X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree ⊢ (p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natDegree = p.natDegree

leadingCoeff_X_pow,

this

p.reverse.leadingCoeff * 1 ≠ 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0

mul_one,

this

p.reverse.leadingCoeff ≠ 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.reverse.leadingCoeff * 1 ≠ 0

reverse_leadingCoeff,

this

p.trailingCoeff ≠ 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.reverse.leadingCoeff ≠ 0

Ne,

this

¬p.trailingCoeff = 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ p.trailingCoeff ≠ 0

trailingCoeff_eq_zero

¬p = 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 a✝ : Nontrivial R ⊢ ¬p.trailingCoeff = 0

by_cases hp : p = 0

pos

p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

by_cases hp : p = 0

neg

p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] pos : p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

hp,

pos

(mirror 0).natTrailingDegree = natTrailingDegree 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

mirror_zero

pos

natTrailingDegree 0 = natTrailingDegree 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : p = 0 ⊢ (mirror 0).natTrailingDegree = natTrailingDegree 0

mirror,

neg

(p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ p.mirror.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

natTrailingDegree_mul_X_pow ((mt reverse_eq_zero.mp) hp),

neg

p.reverse.natTrailingDegree + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ (p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree).natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

natTrailingDegree_reverse,

neg

0 + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ p.reverse.natTrailingDegree + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

zero_add

neg

p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] hp : ¬p = 0 ⊢ 0 + p.natTrailingDegree = p.natTrailingDegree

by_cases h2 : p.natDegree < n

pos

p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

by_cases h2 : p.natDegree < n

neg

p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ pos : p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n) ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

rw [coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (by rwa [mirror_natDegree])]

pos

0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (by rwa [mirror_natDegree])

pos

0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

mirror_natDegree

p.natDegree < n

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ p.mirror.natDegree < n

by_cases h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree

pos

0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

by_cases h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree

neg

0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n pos : 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n) ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

rw [revAt_le h1, coeff_eq_zero_of_lt_natTrailingDegree]

pos

p.natDegree + p.natTrailingDegree - n < p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

revAt_le h1,

pos

0 = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

coeff_eq_zero_of_lt_natTrailingDegree

pos

0 = 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)

coeff_eq_zero_of_lt_natTrailingDegree

pos

p.natDegree + p.natTrailingDegree - n < p.natTrailingDegree

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree pos : 0 = 0 ⊢ 0 = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)

← revAtFun_eq,

neg

0 = p.coeff (revAtFun (p.natDegree + p.natTrailingDegree) n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

revAtFun,

neg

0 = p.coeff (if n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree then p.natDegree + p.natTrailingDegree - n else n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff (revAtFun (p.natDegree + p.natTrailingDegree) n)

if_neg h1,

neg

0 = p.coeff n

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff (if n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree then p.natDegree + p.natTrailingDegree - n else n)

coeff_eq_zero_of_natDegree_lt h2

neg

0 = 0

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : p.natDegree < n h1 : ¬n ≤ p.natDegree + p.natTrailingDegree ⊢ 0 = p.coeff n

rw [revAt_le (h2.trans (Nat.le_add_right _ _))]

neg

p.mirror.coeff n = p.coeff (p.natDegree + p.natTrailingDegree - n)

R : Type u_1 inst✝ : Semiring R p : R[X] n : ℕ h2 : n ≤ p.natDegree ⊢ p.mirror.coeff n = p.coeff ((revAt (p.natDegree + p.natTrailingDegree) : ℕ → ℕ) n)

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