tactic stringlengths 1 5.59k | name stringlengths 1 85 | haveDraft stringlengths 1 44.5k | goal stringlengths 7 64.3k |
|---|---|---|---|
refine ⟨fun x _hx ↦ rfl, fun m _hm x hx ↦ ?_, fun m _hm x hx ↦ ?_⟩ | refine_1 | HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeries 𝕜 f x m) (ftaylorSeries 𝕜 f x m.succ).curryLeft s x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f (ftaylorSeries 𝕜 f) s |
refine ⟨fun x _hx ↦ rfl, fun m _hm x hx ↦ ?_, fun m _hm x hx ↦ ?_⟩ | refine_2 | ContinuousWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeries 𝕜 f x m) s x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
refine_1 : HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeries ... |
apply HasFDerivAt.hasFDerivWithinAt | refine_1 | HasFDerivAt (fun x ↦ ftaylorSeries 𝕜 f x m) (ftaylorSeries 𝕜 f x m.succ).curryLeft x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
m : ℕ
_hm : (↑m : WithTop ℕ∞) < n
x : E
hx : x ∈ s
⊢... |
apply (DifferentiableAt.continuousAt (𝕜 := 𝕜) ?_).continuousWithinAt | apply | DifferentiableAt 𝕜 (fun x ↦ ftaylorSeries 𝕜 f x m) x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
m : ℕ
_hm : (↑m : WithTop ℕ∞) ≤ n
x : E
hx : x ∈ s
⊢... |
refine ⟨insert x s ∩ v, inter_mem_nhdsWithin _ vx, ftaylorSeries 𝕜 g, ?_, fun i ↦ ?_⟩ | intro | HasFTaylorSeriesUpToOn n f (ftaylorSeries 𝕜 g) (insert x s ∩ v) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
g : E → F
fg : EqOn f g (insert x s)
hg :... |
refine ⟨insert x s ∩ v, inter_mem_nhdsWithin _ vx, ftaylorSeries 𝕜 g, ?_, fun i ↦ ?_⟩ | intro | AnalyticOn 𝕜 (fun x ↦ ftaylorSeries 𝕜 g x i) (insert x s ∩ v) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
g : E → F
fg : EqOn f g (insert x s)
hg :... |
suffices HasFTaylorSeriesUpToOn n g (ftaylorSeries 𝕜 g) (insert x s ∩ v) from
this.congr (fun y hy ↦ fg hy.1) | intro | HasFTaylorSeriesUpToOn n g (ftaylorSeries 𝕜 g) (insert x s ∩ v) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
g : E → F
fg : EqOn f g (insert x s)
hg :... |
let F' := UniformSpace.Completion F | let | HasSum (fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y) f' | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
rw [← b.isEmbedding.hasSum_iff] | rw | HasSum ((⇑b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') ∘ fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y)
((b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') f') | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
← b.isEmbedding.hasSum_iff | this | HasSum ((⇑b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') ∘ fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y)
((b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') f') | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
have : HasFPowerSeriesWithinOnBall (a ∘ f) (a.compFormalMultilinearSeries p) s x r :=
a.comp_hasFPowerSeriesWithinOnBall h | have | HasSum ((⇑b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') ∘ fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y)
((b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') f') | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
apply HasFDerivWithinAt.fderivWithin _ (hu _ h'y) | apply | HasFDerivWithinAt ((⇑a : F → F') ∘ f) (a.comp f') (insert x s) (x + y) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
convert Z with n | h | ((⇑b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') ∘ fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y) n =
((a.compFormalMultilinearSeries p).derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F') fun x ↦ y | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
ext v | h | (((⇑b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F') ∘ fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y) n : E → F') v =
(((a.compFormalMultilinearSeries p).derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F') fun x ↦ y : E → F') v | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
simp only [FormalMultilinearSeries.derivSeries,
ContinuousLinearMap.compFormalMultilinearSeries_apply,
FormalMultilinearSeries.changeOriginSeries,
ContinuousLinearMap.compContinuousMultilinearMap_coe, ContinuousLinearEquiv.coe_coe,
LinearIsometryEquiv.coe_coe, Function.comp_apply, ContinuousMultilinearM... | h | ∑ c,
((b : (E →L[𝕜] F) → E →L[𝕜] F')
((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F → E →L[𝕜] F)
((p.changeOriginSeriesTerm 1 n (↑c : Finset (Fin (1 + n))) sorry :
(Fin n → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F)
fun... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
f' : E →L[𝕜] F
y : E
hy ... |
refine ⟨hr.r_le.trans p.radius_le_radius_derivSeries, hr.r_pos, fun {y} hy h'y ↦ ?_⟩ | refine | HasSum (fun n ↦ (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) fun x ↦ y) (fderivWithin 𝕜 f s (x + y)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
apply hr.hasSum_derivSeries_of_hasFDerivWithinAt (by simpa [edist_zero_eq_enorm] using h'y) hy | hf' | HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s (x + y)) (insert x s) (x + y) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
apply hr.hasSum_derivSeries_of_hasFDerivWithinAt (by simpa [edist_zero_eq_enorm] using h'y) hy | hu | UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
rw [insert_eq_of_mem hx] at hy ⊢ | hf' | HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s (x + y)) s (x + y) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
insert_eq_of_mem hx | hf' | HasFDerivWithinAt f (fderivWithin 𝕜 f s (x + y)) s (x + y) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
apply DifferentiableWithinAt.hasFDerivWithinAt | hf' | DifferentiableWithinAt 𝕜 f s (x + y) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
insert_eq_of_mem hx | hu | UniqueDiffOn 𝕜 s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hs... |
induction n with
| zero =>
rw [iteratedFDerivWithin_zero_eq_comp]
exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E[×0]→L[𝕜] F)
|>.comp_analyticOn h
| succ n IH =>
rw [iteratedFDerivWithin_succ_eq_comp_left]
apply AnalyticOnNhd.comp_analyticOn _ (IH.fderivWithin hu) (mapsTo_uni... | zero | AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s |
induction n with
| zero =>
rw [iteratedFDerivWithin_zero_eq_comp]
exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E[×0]→L[𝕜] F)
|>.comp_analyticOn h
| succ n IH =>
rw [iteratedFDerivWithin_succ_eq_comp_left]
apply AnalyticOnNhd.comp_analyticOn _ (IH.fderivWithin hu) (mapsTo_uni... | succ | AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
zero : AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s
⊢ AnalyticO... |
| zero => | succ | AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s |
rw [iteratedFDerivWithin_zero_eq_comp] | zero | AnalyticOn 𝕜 ((⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) ∘ f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s |
iteratedFDerivWithin_zero_eq_comp | zero | AnalyticOn 𝕜 ((⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) ∘ f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s |
| succ n IH => | zero | AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
⊢ AnalyticOn ... |
rw [iteratedFDerivWithin_succ_eq_comp_left] | succ | AnalyticOn 𝕜
((⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm :
(E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ E) F) ∘
fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s)
s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
⊢ AnalyticOn ... |
iteratedFDerivWithin_succ_eq_comp_left | succ | AnalyticOn 𝕜
((⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm :
(E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ E) F) ∘
fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s)
s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
⊢ AnalyticOn ... |
apply AnalyticOnNhd.comp_analyticOn _ (IH.fderivWithin hu) (mapsTo_univ _ _) | apply | AnalyticOnNhd 𝕜
(⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm :
(E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ E) F)
univ | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
n : ℕ
IH : AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
⊢ AnalyticOn ... |
refine ⟨fun x _hx ↦ rfl, fun m _hm x hx ↦ ?_, fun m _hm x hx ↦ ?_⟩ | refine_1 | HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ).curryLeft s x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s)... |
refine ⟨fun x _hx ↦ rfl, fun m _hm x hx ↦ ?_, fun m _hm x hx ↦ ?_⟩ | refine_2 | ContinuousWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) s x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
refine_1 : HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin... |
have := (h.iteratedFDerivWithin hu m x hx).differentiableWithinAt.hasFDerivWithinAt | refine_1 | HasFDerivWithinAt (fun x ↦ ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m) (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x m.succ).curryLeft s x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
n : WithTop ℕ∞
h : AnalyticOn 𝕜 f s
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
m : ℕ
_hm : (↑m : WithTop ℕ∞) < n
x : E
hx : x ∈ s
⊢ HasF... |
rw [← hs.analyticOn_iff_analyticOnNhd] at h ⊢ | rw | AnalyticOn 𝕜 (fderiv 𝕜 f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (fderiv 𝕜 f) s |
← hs.analyticOn_iff_analyticOnNhd | this | AnalyticOn 𝕜 (fderiv 𝕜 f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
hs : IsOpen s
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (fderiv 𝕜 f) s |
rw [← hs.analyticOn_iff_analyticOnNhd] at h ⊢ | rw | AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
hs : IsOpen s
n : ℕ
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s |
← hs.analyticOn_iff_analyticOnNhd | this | AnalyticOn 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
hs : IsOpen s
n : ℕ
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) s |
have : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm i := by simp [← h', hp.fderiv_eq] | intro | AnalyticAt 𝕜 (↑f.symm : F → E) ((↑f : E → F) a) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
a : E
i : E ≃L[𝕜] F
h0 : a ∈ f.source
h' : fderiv 𝕜 (↑f : E → F) a = (↑i : E →L[𝕜] F)
p : FormalMultilinearS... |
have : a = f (f.symm a) := by simp [h0] | have | AnalyticAt 𝕜 (↑f.symm : F → E) a | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
a : F
i : E ≃L[𝕜] F
h0 : a ∈ f.target
h : AnalyticAt 𝕜 (↑f : E → F) ((↑f.symm : F → E) a)
h' : fderiv 𝕜 (↑f ... |
rw [this] | rw | AnalyticAt 𝕜 (↑f.symm : F → E) ((↑f : E → F) ((↑f.symm : F → E) a)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
a : F
i : E ≃L[𝕜] F
h0 : a ∈ f.target
h : AnalyticAt 𝕜 (↑f : E → F) ((↑f.symm : F → E) a)
h' : fderiv 𝕜 (↑f ... |
this | this | AnalyticAt 𝕜 (↑f.symm : F → E) ((↑f : E → F) ((↑f.symm : F → E) a)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : PartialHomeomorph E F
a : F
i : E ≃L[𝕜] F
h0 : a ∈ f.target
h : AnalyticAt 𝕜 (↑f : E → F) ((↑f.symm : F → E) a)
h' : fderiv 𝕜 (↑f ... |
induction n with
| zero => exact h
| succ n IH => simpa only [Function.iterate_succ', Function.comp_apply] using IH.deriv | zero | AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[0] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[n] f) s |
induction n with
| zero => exact h
| succ n IH => simpa only [Function.iterate_succ', Function.comp_apply] using IH.deriv | succ | AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[n + 1] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
n : ℕ
zero : AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[0] f) s
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[n] f) s |
| zero => | succ | AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[n + 1] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[0] f) s |
| succ n IH => | zero | AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[0] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOnNhd 𝕜 f s
n : ℕ
IH : AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[n] f) s
⊢ AnalyticOnNhd 𝕜 (deriv^[n + 1] f) s |
dsimp only | refine_2 | (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F → E →L[𝕜] F)
(p.changeOrigin (z - x) 1) =
fderiv 𝕜 f z | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ EMetric.... |
rw [← h.fderiv_eq, add_sub_cancel] | refine_2 | (↑‖z - x‖₊ : ℝ≥0∞) < r | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ EMetric.... |
← h.fderiv_eq, | refine_2 | fderiv 𝕜 f (x + (z - x)) = fderiv 𝕜 f z | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ EMetric.... |
← h.fderiv_eq, | refine_2 | (↑‖z - x‖₊ : ℝ≥0∞) < r | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
n : ℕ
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x (n + 1) r
z : E
hz : z ∈ EMetric.... |
refine HasFiniteFPowerSeriesOnBall.bound_zero_of_eq_zero (fun y hy ↦ ?_) h.r_pos fun n ↦ ?_ | inl | fderiv 𝕜 f y = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (fder... |
refine HasFiniteFPowerSeriesOnBall.bound_zero_of_eq_zero (fun y hy ↦ ?_) h.r_pos fun n ↦ ?_ | inl | p.derivSeries n = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
inl : fderiv 𝕜 f _fvar.471610 = 0
... |
rw [Filter.EventuallyEq.fderiv_eq (f := fun _ ↦ 0)] | inl | fderiv 𝕜 (fun x ↦ 0) y = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ f... |
rw [Filter.EventuallyEq.fderiv_eq (f := fun _ ↦ 0)] | inl | f =ᶠ[𝓝 y] fun x ↦ 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
inl... |
Filter.EventuallyEq.fderiv_eq (f := fun _ ↦ 0) | inl | fderiv 𝕜 (fun x ↦ 0) y = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
⊢ f... |
Filter.EventuallyEq.fderiv_eq (f := fun _ ↦ 0) | inl | f =ᶠ[𝓝 y] fun x ↦ 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
inl... |
apply ContinuousMultilinearMap.ext | inl | ∀ (x : Fin n → E), (p.derivSeries n : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) x = (0 : (Fin n → E) → E →L[𝕜] F) x | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
⊢ p.derivSeries n = 0 |
change (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p.changeOriginSeries 1 n a) = 0 | inl | (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F → E →L[𝕜] F)
((p.changeOriginSeries 1 n : (Fin n → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) a) =
0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
a : Fin n → E
⊢ (p.derivSerie... |
rw [p.changeOriginSeries_finite_of_finite h.finite 1 (Nat.zero_le _)] | inl | (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F → E →L[𝕜] F)
((0 : (Fin n → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) a) =
0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
a : Fin n → E
⊢ (continuousMu... |
p.changeOriginSeries_finite_of_finite h.finite 1 (Nat.zero_le _) | inl | (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F → E →L[𝕜] F)
((0 : (Fin n → E) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) a) =
0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r
n : ℕ
a : Fin n → E
⊢ (continuousMu... |
induction n with
| zero =>
rw [iteratedFDeriv_zero_eq_comp]
exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E[×0]→L[𝕜] F).comp_cpolynomialOn h
| succ n IH =>
rw [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left]
convert ContinuousLinearMap.comp_cpolynomialOn ?g IH.fderiv
case g => exact ↑(contin... | zero | CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s |
induction n with
| zero =>
rw [iteratedFDeriv_zero_eq_comp]
exact ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F →L[𝕜] E[×0]→L[𝕜] F).comp_cpolynomialOn h
| succ n IH =>
rw [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left]
convert ContinuousLinearMap.comp_cpolynomialOn ?g IH.fderiv
case g => exact ↑(contin... | succ | CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
zero : CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.it... |
| zero => | succ | CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s |
rw [iteratedFDeriv_zero_eq_comp] | zero | CPolynomialOn 𝕜 ((⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) ∘ f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s |
iteratedFDeriv_zero_eq_comp | zero | CPolynomialOn 𝕜 ((⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm : F → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) ∘ f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s |
| succ n IH => | zero | CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 0 f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iter... |
rw [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left] | succ | CPolynomialOn 𝕜
((⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm :
(E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ E) F) ∘
_root_.fderiv 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f))
s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iter... |
iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left | succ | CPolynomialOn 𝕜
((⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm :
(E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ E) F) ∘
_root_.fderiv 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f))
s | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iter... |
convert ContinuousLinearMap.comp_cpolynomialOn ?g IH.fderiv | h | (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm :
(E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x ↦ E) F) =
(⇑(↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x ↦ E) F).symm.toLinearEquiv,
continuous_toFun := sorry, continuous_in... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜
((⇑(cont... |
convert ContinuousLinearMap.comp_cpolynomialOn ?g IH.fderiv | convert | (E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F) →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ E) F | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : CPolynomialOn 𝕜 (_root_.iteratedFDeriv 𝕜 n f) s
h : (⇑(continuousMultilinearCur... |
induction n with
| zero => exact h
| succ n IH => simpa only [Function.iterate_succ', Function.comp_apply] using IH.deriv | zero | CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[0] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n] f) s |
induction n with
| zero => exact h
| succ n IH => simpa only [Function.iterate_succ', Function.comp_apply] using IH.deriv | succ | CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n + 1] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
zero : CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[0] f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n] f) s |
| zero => | succ | CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n + 1] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[0] f) s |
| succ n IH => | zero | CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[0] f) s | 𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
n : ℕ
IH : CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n] f) s
⊢ CPolynomialOn 𝕜 (deriv^[n + 1] f) s |
ext y | h | ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 ((i : ι) → E i) F :
ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F → ((i : ι) → E i) →L[𝕜] F)
(f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1) :
((i : ι) → E i) → F)
y =
(f.linearDeriv x : ((i : ι) → E i) → F) y | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
rw [continuousMultilinearCurryFin1_apply, linearDeriv_apply,
changeOrigin, FormalMultilinearSeries.sum] | h | (∑' (n : ℕ),
(f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n :
(Fin n → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E i) → F)
(Fin.snoc 0 y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
continuousMultilinearCurryFin1_apply, | h | (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1 : (Fin 1 → (i : ι) → E i) → F) (Fin.snoc 0 y) =
(f.linearDeriv x : ((i : ι) → E i) → F) y | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
linearDeriv_apply, | h | (f.toFormalMultilinearSeries.changeOrigin x 1 : (Fin 1 → (i : ι) → E i) → F) (Fin.snoc 0 y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
changeOrigin, | h | ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1).sum x : (Fin 1 → (i : ι) → E i) → F) (Fin.snoc 0 y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
FormalMultilinearSeries.sum | h | (∑' (n : ℕ),
(f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n :
(Fin n → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E i) → F)
(Fin.snoc 0 y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
have (l) : 1 + l ≠ Fintype.card ι := by
rw [add_comm, Fintype.card_eq_zero]; exact Nat.succ_ne_zero _ | h | (∑' (n : ℕ),
(f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 n :
(Fin n → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E i) → F)
(Fin.snoc 0 y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
rw [add_comm, Fintype.card_eq_zero] | rw | l + 1 ≠ 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
add_comm, | this | l + 1 ≠ Fintype.card ι | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
Fintype.card_eq_zero | this | l + 1 ≠ 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
simp_rw [Fintype.sum_empty, changeOriginSeries_support _ (this _), zero_apply _, tsum_zero] | h | (0 : (Fin 1 → (i : ι) → E i) → F) (Fin.snoc 0 y) = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
rw [tsum_eq_single (Fintype.card ι - 1), changeOriginSeries] | h | ((∑ s,
f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1)
(↑s : Finset (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)))) sorry :
(Fin (Fintype.card ι - 1) → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
rw [tsum_eq_single (Fintype.card ι - 1), changeOriginSeries] | h | ∀ (b' : ℕ),
b' ≠ Fintype.card ι - 1 →
((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 b' :
(Fin b' → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x) =
0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
tsum_eq_single (Fintype.card ι - 1), | h | ((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 (Fintype.card ι - 1) :
(Fin (Fintype.card ι - 1) → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E i) → F)
(Fin.snoc 0 y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
tsum_eq_single (Fintype.card ι - 1), | h | ∀ (b' : ℕ),
b' ≠ Fintype.card ι - 1 →
((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeries 1 b' :
(Fin b' → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x) =
0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
f.changeOriginSeries_support hm, | h | ((0 : (Fin m → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F) fun x_1 ↦ x) = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
zero_apply | h | 0 = 0 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
rw [sum_apply, ContinuousMultilinearMap.sum_apply, Fin.snoc_zero] | h | (∑ a,
((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1)
(↑a : Finset (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)))) sorry :
(Fin (Fintype.card ι - 1) → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E ... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
sum_apply, | h | (∑ a,
(f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1)
(↑a : Finset (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)))) sorry :
(Fin (Fintype.card ι - 1) → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
ContinuousMultilinearMap.sum_apply, | h | ∑ a,
((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1)
(↑a : Finset (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)))) sorry :
(Fin (Fintype.card ι - 1) → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E i... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
Fin.snoc_zero | h | (∑ a,
((f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm 1 (Fintype.card ι - 1)
(↑a : Finset (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)))) sorry :
(Fin (Fintype.card ι - 1) → (i : ι) → E i) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i ↦ (i : ι) → E i) F)
fun x_1 ↦ x :
(Fin 1 → (i : ι) → E ... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
simp_rw [changeOriginSeriesTerm_apply] | h | ∑ x_1,
(f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1)) : (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)) → (i : ι) → E i) → F)
((↑x_1 : Finset (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)))).piecewise (fun x_2 ↦ x) fun x ↦ y) =
∑ i, (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
refine (Fintype.sum_bijective (?_ ∘ Fintype.equivFinOfCardEq (Nat.add_sub_of_le
Fintype.card_pos).symm) (.comp ?_ <| Equiv.bijective _) _ _ fun i ↦ ?_).symm | h | Fin (Nat.succ 0 + (Fintype.card ι - Nat.succ 0)) → { s // #s = Fintype.card ι - 1 } | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
refine (Fintype.sum_bijective (?_ ∘ Fintype.equivFinOfCardEq (Nat.add_sub_of_le
Fintype.card_pos).symm) (.comp ?_ <| Equiv.bijective _) _ _ fun i ↦ ?_).symm | h | Function.Bijective fun x ↦ ⟨{x}ᶜ, sorry⟩ | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
refine (Fintype.sum_bijective (?_ ∘ Fintype.equivFinOfCardEq (Nat.add_sub_of_le
Fintype.card_pos).symm) (.comp ?_ <| Equiv.bijective _) _ _ fun i ↦ ?_).symm | h | (f : ((i : ι) → E i) → F) (Function.update x i (y i)) =
(f.toFormalMultilinearSeries (1 + (Fintype.card ι - 1)) : (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1)) → (i : ι) → E i) → F)
((↑(((fun x ↦ ⟨{x}ᶜ, sorry⟩) ∘
(⇑(Fintype.equivFinOfCardEq sorry) : ι → Fin (Nat.succ 0 + (Fintype.card ι - Nat.succ 0))))
... | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
card_compl, | this | Fintype.card (Fin (1 + (Fintype.card ι - 1))) - #{x✝} = Fintype.card ι - 1 | 𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
x : (i : ι) → E i
inst✝ : Decidabl... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.