tactic stringlengths 1 5.59k | name stringlengths 1 85 | haveDraft stringlengths 1 44.5k | goal stringlengths 8 62.2k |
|---|---|---|---|
| smul r x _ hpx => | a | x ∈ s → x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
⊢ r • x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) |
| smul r x _ hpx => | a | x ∈ adjoin R s →
y ∈ adjoin R s →
x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x + y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigr... |
| smul r x _ hpx => | a | 0 ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigr... |
| smul r x _ hpx => | a | x ∈ adjoin R s →
y ∈ adjoin R s →
x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) →
y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) → x * y ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
x✝ : A
r : R
x : A
hx✝ : x ∈ adjoin R s
hpx : x ∈ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A)
a : _fvar.190166 ∈ s → _fvar.190166 ∈ span R (↑(Subsemigr... |
apply span_le.2 _ | apply | (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ⊆ (↑(adjoin R s).toSubmodule : Set A) | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
⊢ span R (↑(Subsemigroup.closure s) : Set A) ≤ (adjoin R s).toSubmodule |
apply GaloisConnection.l_bot | gc | GaloisConnection (adjoin R) SetLike.coe | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
⊢ adjoin R ⊥ = ⊥ |
apply GaloisConnection.l_bot | u | NonUnitalSubalgebra R A → Set A | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
gc : GaloisConnection (adjoin R) SetLike.coe
⊢ adjoin R ⊥ = ⊥ |
apply SetLike.coe_injective | a | (↑(NonUnitalSubalgebra.map f (⨅ i, S i)) : Set B) = (↑(⨅ i, NonUnitalSubalgebra.map f (S i)) : Set B) | F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁹ : Module R A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : FunLike F A B
inst✝⁵ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
ι : Sort u_2
in... |
NonUnitalSubsemiring.closure_empty, | this | x ∈ Submodule.span R (↑⊥ : Set A) ↔ x = 0 | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R (↑(NonUnitalSubsemiring.closure ∅) : Set A) ↔ x = 0 |
NonUnitalSubsemiring.coe_bot, | this | x ∈ Submodule.span R {0} ↔ x = 0 | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R (↑⊥ : Set A) ↔ x = 0 |
Submodule.span_zero_singleton, | this | x ∈ ⊥ ↔ x = 0 | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
x : A
⊢ x ∈ Submodule.span R {0} ↔ x = 0 |
ext | h | x✝ ∈ ⊥.toSubmodule ↔ x✝ ∈ ⊥ | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
⊢ ⊥.toSubmodule = ⊥ |
rw [h] | rw | x ∈ ⊤ | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ S |
h | h | x ∈ ⊤ | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : S = ⊤
x : A
⊢ x ∈ S |
ext x | h | x ∈ S ↔ x ∈ ⊤ | R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
S : NonUnitalSubalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
⊢ S = ⊤ |
ext | h | x✝ ∈ ⊤.prod ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : IsScalarTower R B B
inst✝ : SMulCommClass R B B
⊢ ⊤.prod ⊤ = ⊤ |
subst hT | subst | ↥(iSup K) →ₙₐ[R] B | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
simp only | simp | (f i : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
rw [hf i k hik, hf j k hjk] | rw | ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
hf i k hik, | hf | ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = (f j : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
hf j k hjk | hf | ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) ⟨x, sorry⟩ = ((f k).comp (inclusion sorry) : ↥(K j) → B) ⟨x, sorry⟩ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
coe_iSup_of_directed dir | coe_iSup_of_directed | ⋃ i, (↑(K i) : Set A) ⊆ ⋃ i, (↑(K i) : Set A) | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
dsimp | dsimp | ∀ (x : ↥(iSup K)),
Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry (r • x) =
r • Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry x | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
apply Set.iUnionLift_unary (coe_iSup_of_directed dir) _ (fun _ x => r • x)
(fun _ _ => rfl) | h | ∀ (i : ι) (x : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), (f i : ↥(K i) → B) (r • x) = r • (f i : ↥(K i) → B) x | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· + ·)) | hopi | ∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)),
Set.inclusion sorry (x + y) = Set.inclusion sorry x + Set.inclusion sorry y | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· + ·)) | h | ∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), (f i : ↥(K i) → B) (x + y) = (f i : ↥(K i) → B) x + (f i : ↥(K i) → B) y | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· * ·)) | hopi | ∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)),
Set.inclusion sorry (x * y) = Set.inclusion sorry x * Set.inclusion sorry y | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
apply Set.iUnionLift_binary (coe_iSup_of_directed dir) dir _ (fun _ => (· * ·)) | h | ∀ (i : ι) (x y : (↑(↑(K i) : Set A) : Type v)), (f i : ↥(K i) → B) (x * y) = (f i : ↥(K i) → B) x * (f i : ↥(K i) → B) y | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
S : NonUnitalSubalgebra R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A... |
subst T | subst | K i ≤ iSup K →
(iSupLift K sorry f sorry (iSup K) sorry : ↥(iSup K) → B) ((inclusion sorry : ↥(K i) → ↥(iSup K)) x) =
(f i : ↥(K i) → B) x | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
dsimp [iSupLift] | dsimp | Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry
((inclusion sorry : ↥(K i) → ↥(iSup K)) x) =
(f i : ↥(K i) → B) x | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
apply Set.iUnionLift_inclusion | h | (↑(K i) : Set A) ⊆ (↑(iSup K) : Set A) | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
ext | h | ((iSupLift K sorry f sorry T sorry).comp (inclusion sorry) : ↥(K i) → B) x✝ = (f i : ↥(K i) → B) x✝ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
subst hT | subst | (↑x : A) ∈ iSup K → (iSupLift K sorry f sorry (iSup K) sorry : ↥(iSup K) → B) ⟨(↑x : A), sorry⟩ = (f i : ↥(K i) → B) x | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
dsimp [iSupLift] | dsimp | Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry
⟨(↑x : A), sorry⟩ =
(f i : ↥(K i) → B) x | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
subst hT | subst | (↑x : A) ∈ K i → (iSupLift K sorry f sorry (iSup K) sorry : ↥(iSup K) → B) x = (f i : ↥(K i) → B) ⟨(↑x : A), sorry⟩ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
dsimp [iSupLift] | dsimp | Set.iUnionLift (fun i ↦ (↑(K i) : Set A)) (fun i x ↦ (f i : ↥(K i) → B) x) sorry (↑(iSup K) : Set A) sorry x =
(f i : ↥(K i) → B) ⟨(↑x : A), sorry⟩ | R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x1 x2 ↦... |
mul_smul_comm, | this | r • a * b = r • (b * a) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • a * b = b * r • a |
smul_mul_assoc, | this | r • (a * b) = r • (b * a) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • a * b = r • (b * a) |
ha.comm | this | r • (b * a) = r • (b * a) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b : A
⊢ r • (a * b) = r • (b * a) |
smul_mul_assoc, | this | r • (a * (b * c)) = r • a * b * c | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • a * (b * c) = r • a * b * c |
smul_mul_assoc, | this | r • (a * (b * c)) = r • (a * b) * c | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * (b * c)) = r • a * b * c |
smul_mul_assoc, | this | r • (a * (b * c)) = r • (a * b * c) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * (b * c)) = r • (a * b) * c |
ha.left_assoc | this | r • (a * b * c) = r • (a * b * c) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (a * (b * c)) = r • (a * b * c) |
mul_smul_comm, | this | r • (b * a) * c = b * (r • a * c) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ b * r • a * c = b * (r • a * c) |
smul_mul_assoc, | this | r • (b * a * c) = b * (r • a * c) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a) * c = b * (r • a * c) |
smul_mul_assoc, | this | r • (b * a * c) = b * r • (a * c) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a * c) = b * (r • a * c) |
mul_smul_comm, | this | r • (b * a * c) = r • (b * (a * c)) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a * c) = b * r • (a * c) |
ha.mid_assoc | this | r • (b * (a * c)) = r • (b * (a * c)) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * a * c) = r • (b * (a * c)) |
mul_smul_comm, | this | r • (b * c * a) = b * (c * r • a) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ b * c * r • a = b * (c * r • a) |
mul_smul_comm, | this | r • (b * c * a) = b * r • (c * a) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * c * a) = b * (c * r • a) |
mul_smul_comm, | this | r • (b * c * a) = r • (b * (c * a)) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * c * a) = b * r • (c * a) |
ha.right_assoc | this | r • (b * (c * a)) = r • (b * (c * a)) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
r : R
a : A
ha : a ∈ Set.center A
b c : A
⊢ r • (b * c * a) = r • (b * (c * a)) |
mul_smul_comm, | this | r • (x * a) = r • a * x | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ x * r • a = r • a * x |
smul_mul_assoc, | this | r • (x * a) = r • (a * x) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ r • (x * a) = r • a * x |
ha x hx | ha | r • (a * x) = r • (a * x) | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s
⊢ r • (x * a) = r • (a * x) |
have : a ∈ centralizer R s := by simpa only [Commute.symm_iff (a := a)] using h | have | a ∈ centralizer R s | R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a b : A
s : Set A
hb : b ∈ adjoin R s
h : ∀ b ∈ s, Commute a b
⊢ Commute a b |
set r := Ioc (c - #s) c | set | ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ r, x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x |
rw [← sum_inter_add_sum_diff s r _] | rw | ∑ x ∈ s ∩ r, x + ∑ x ∈ s \ r, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
← sum_inter_add_sum_diff s r _ | sum_inter_add_sum_diff | ∑ x ∈ s ∩ r, x + ∑ x ∈ s \ r, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
gcongr | bc | ∑ x ∈ s \ r, x ≤ #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s ∩ r, x + ∑ x ∈ s \ r, x ≤ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
refine sum_le_card_nsmul _ _ _ fun x mx ↦ ?_ | bc | x ∈ s \ r → x ≤ c - (↑(#s) : ℤ) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s \ r, x ≤ #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
rw [mem_sdiff, mem_Ioc, not_and'] at mx | bc | x ∈ s ∧ (x ≤ c → ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s \ r
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ) |
mem_sdiff, | bc | x ∈ s ∧ x ∉ r | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s \ r
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ) |
mem_Ioc, | bc | x ∈ s ∧ ¬(c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s ∧ x ∉ r
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ) |
not_and' | bc | x ∈ s ∧ (x ≤ c → ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s ∧ ¬(c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c)
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ) |
have := mx.2 (hs _ mx.1) | bc | ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ s ∧ (x ≤ c → ¬c - (↑(#s) : ℤ) < x)
⊢ x ≤ c - (↑(#s) : ℤ) |
rw [inter_comm, card_sdiff_comm] | rw | #s = #r | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
inter_comm, | this | ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ s ∩ r, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
card_sdiff_comm | card_sdiff_comm | ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
card_sdiff_comm | card_sdiff_comm | #s = #r | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
card_sdiff_comm : ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(s \ r) • (c - (↑(#s) : ℤ)) = ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) |
Int.card_Ioc, | this | #s = (c - (c - (↑(#s) : ℤ))).toNat | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #s = #r |
sub_sub_cancel, | this | #s = (↑(#s) : ℤ).toNat | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #s = (c - (c - (↑(#s) : ℤ))).toNat |
Int.toNat_natCast | this | #s = #s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #s = (↑(#s) : ℤ).toNat |
rw [← sum_inter_add_sum_diff r s _] | rw | ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r, x |
← sum_inter_add_sum_diff r s _ | sum_inter_add_sum_diff | ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r, x |
gcongr | bc | #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r \ s, x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x |
refine card_nsmul_le_sum _ _ _ fun x mx ↦ ?_ | bc | x ∈ r \ s → c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ #(r \ s) • (c - (↑(#s) : ℤ)) ≤ ∑ x ∈ r \ s, x |
rw [mem_sdiff, mem_Ioc] at mx | bc | (c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c) ∧ x ∉ s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x |
mem_sdiff, | bc | x ∈ r ∧ x ∉ s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x |
mem_Ioc | bc | (c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c) ∧ x ∉ s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
r : Finset ℤ := Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
x : ℤ
mx : x ∈ r ∧ x ∉ s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) ≤ x |
convert sum_le_sum_Ioc hs | h | ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
⊢ ∑ x ∈ s, x ≤ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) |
refine sum_nbij (c - ·) ?_ ?_ ?_ (fun _ _ ↦ rfl) | h | ∀ a ∈ range #s, (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) a ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
⊢ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x |
refine sum_nbij (c - ·) ?_ ?_ ?_ (fun _ _ ↦ rfl) | h | Set.InjOn (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) (↑(range #s) : Set ℕ) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
h : ∀ a ∈ range #s, (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) a ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x |
refine sum_nbij (c - ·) ?_ ?_ ?_ (fun _ _ ↦ rfl) | h | Set.SurjOn (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) (↑(range #s) : Set ℕ) (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
h : ∀ a ∈ range #s, (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) a ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
h₁ : Set.InjOn (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) (↑(range #s) : Set ℕ)
⊢ ∑ n ∈ range #s, (c - (↑n : ℤ)) = ∑ x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c, x |
rw [mem_Ioc] | h | c - (↑(#s) : ℤ) < (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∧ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ≤ c | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c |
mem_Ioc | h | c - (↑(#s) : ℤ) < (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∧ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ≤ c | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c |
rw [mem_range] at mx | h | x < #s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) < c - (↑x : ℤ) ∧ c - (↑x : ℤ) ≤ c |
mem_range | h | x < #s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℕ
mx : x ∈ range #s
⊢ c - (↑(#s) : ℤ) < c - (↑x : ℤ) ∧ c - (↑x : ℤ) ≤ c |
simp_rw [coe_range, Set.mem_image, Set.mem_Iio] | h | ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
⊢ x ∈ (fun x ↦ c - (↑x : ℤ)) '' (↑(range #s) : Set ℕ) |
rw [mem_coe, mem_Ioc] at mx | h | c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x |
mem_coe, | h | x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ (↑(Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c) : Set ℤ)
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x |
mem_Ioc | h | c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : x ∈ Ioc (c - (↑(#s) : ℤ)) c
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x |
use (c - x).toNat | h | (c - x).toNat < #s ∧ c - (↑(c - x).toNat : ℤ) = x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, x ≤ c
x : ℤ
mx : c - (↑(#s) : ℤ) < x ∧ x ≤ c
⊢ ∃ x_1 < #s, c - (↑x_1 : ℤ) = x |
set r := Ico c (c + #s) | set | ∑ x ∈ r, x ≤ ∑ x ∈ s, x | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
⊢ ∑ x ∈ Ico c (c + (↑(#s) : ℤ)), x ≤ ∑ x ∈ s, x |
rw [← sum_inter_add_sum_diff r s _] | rw | ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ)) |
← sum_inter_add_sum_diff r s _ | sum_inter_add_sum_diff | ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ)) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ)) |
refine add_le_add_left (sum_le_card_nsmul _ _ _ fun x mx ↦ ?_) _ | refine | x ∈ r \ s → x ≤ c + (↑(#s) : ℤ) | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
⊢ ∑ x ∈ r ∩ s, x + ∑ x ∈ r \ s, x ≤ ∑ x ∈ r ∩ s, x + #(r \ s) • (c + (↑(#s) : ℤ)) |
rw [mem_sdiff, mem_Ico] at mx | rw | (c ≤ x ∧ x < c + (↑(#s) : ℤ)) ∧ x ∉ s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ x ≤ c + (↑(#s) : ℤ) |
mem_sdiff, | this | x ∈ r ∧ x ∉ s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
x : ℤ
mx : x ∈ r \ s
⊢ x ≤ c + (↑(#s) : ℤ) |
mem_Ico | mem_Ico | (c ≤ x ∧ x < c + (↑(#s) : ℤ)) ∧ x ∉ s | s : Finset ℤ
c : ℤ
hs : ∀ x ∈ s, c ≤ x
r : Finset ℤ := Ico c (c + (↑(#s) : ℤ))
x : ℤ
mx : x ∈ r ∧ x ∉ s
⊢ x ≤ c + (↑(#s) : ℤ) |
Subsets and Splits
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