tactic stringlengths 3 5.37k | name stringlengths 1 49 | haveDraft stringlengths 1 20.1k | goal stringlengths 7 28.7k |
|---|---|---|---|
ext | a | (ββfββ : β) = (β(sInf {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}) : β) | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
β’ βfββ = sInf {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ} |
rw [NNReal.coe_sInf, coe_nnnorm, norm_def, NNReal.coe_image] | a | sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, hβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}} | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
β’ (ββfββ : β) = (β(sInf {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}) : β) |
simp_rw [β NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk,
exists_prop] | a | sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (β(c * βxββ) : β)}} | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
β’ sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, hβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}} |
simp_rw [β NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk,
exists_prop] | aβ | sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (βc : β) * (ββxββ : β)}} | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
a :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (β(c * βxββ) : β)}}
β’ sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, hβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}} |
simp_rw [β NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk,
exists_prop] | aβ | sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ (βc : β) * βxβ}} | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
a :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (β(c * βxββ) : β)}}
aβ :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (βc : β) * (ββxββ : β)}}
β’ sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, hβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}} |
simp_rw [β NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk,
exists_prop] | aβ | sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β (x_1 : E), β(f : E β F) x_1β β€ (ββ¨x, sorryβ© : β) * βx_1β} | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
a :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (β(c * βxββ) : β)}}
aβ :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (βc : β) * (ββxββ : β)}}
aβ :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ (βc : β) * βxβ}}
β’ sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, hβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}} |
simp_rw [β NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk,
exists_prop] | aβ | sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (_ : 0 β€ x), β (x_1 : E), β(f : E β F) x_1β β€ x * βx_1β} | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
a :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (β(c * βxββ) : β)}}
aβ :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), (ββ(f : E β F) xββ : β) β€ (βc : β) * (ββxββ : β)}}
aβ :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, sorryβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ (βc : β) * βxβ}}
aβ :
sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β (x_1 : E), β(f : E β F) x_1β β€ (ββ¨x, sorryβ© : β) * βx_1β}
β’ sInf {c | 0 β€ c β§ β (x : E), β(f : E β F) xβ β€ c * βxβ} =
sInf {x | β (h : 0 β€ x), β¨x, hβ© β {c | β (x : E), β(f : E β F) xββ β€ c * βxββ}} |
rwa [β NNReal.coe_ne_zero] | rwa | (ββxββ : β) β 0 | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
M : ββ₯0
hM : β (x : E), βxββ β 0 β β(f : E β F) xββ β€ M * βxββ
x : E
hx : βxβ β 0
β’ βxββ β 0 |
rwa [β NNReal.coe_ne_zero] | rwaβ | (ββxββ : β) β 0 | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
M : ββ₯0
hM : β (x : E), βxββ β 0 β β(f : E β F) xββ β€ M * βxββ
x : E
hx : βxβ β 0
rwa : (ββxββ : β) β 0
β’ βxββ β 0 |
rwa [β NNReal.coe_ne_zero] | rwaβ | (ββxββ : β) β 0 | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
M : ββ₯0
hM : β (x : E), βxββ β 0 β β(f : E β F) xββ β€ M * βxββ
x : E
hx : βxβ β 0
rwa rwaβ : (ββxββ : β) β 0
β’ βxββ β 0 |
rwa [β NNReal.coe_ne_zero] | rwaβ | (ββxββ : β) β 0 | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
M : ββ₯0
hM : β (x : E), βxββ β 0 β β(f : E β F) xββ β€ M * βxββ
x : E
hx : βxβ β 0
rwa rwaβ rwaβ : (ββxββ : β) β 0
β’ βxββ β 0 |
rwa [β NNReal.coe_eq_one] | rwa | (ββxββ : β) = 1 | E : Type u_4
F : Type u_6
instβΒ³ : SeminormedAddCommGroup E
instβΒ² : SeminormedAddCommGroup F
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : NormedSpace β F
f : E βL[β] F
C : ββ₯0
hf : β (x : E), βxββ = 1 β β(f : E β F) xββ β€ C
x : E
hx : βxβ = 1
β’ βxββ = 1 |
rwa [β NNReal.coe_eq_one] | rwaβ | (ββxββ : β) = 1 | E : Type u_4
F : Type u_6
instβΒ³ : SeminormedAddCommGroup E
instβΒ² : SeminormedAddCommGroup F
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : NormedSpace β F
f : E βL[β] F
C : ββ₯0
hf : β (x : E), βxββ = 1 β β(f : E β F) xββ β€ C
x : E
hx : βxβ = 1
rwa : (ββxββ : β) = 1
β’ βxββ = 1 |
rwa [β NNReal.coe_eq_one] | rwaβ | (ββxββ : β) = 1 | E : Type u_4
F : Type u_6
instβΒ³ : SeminormedAddCommGroup E
instβΒ² : SeminormedAddCommGroup F
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : NormedSpace β F
f : E βL[β] F
C : ββ₯0
hf : β (x : E), βxββ = 1 β β(f : E β F) xββ β€ C
x : E
hx : βxβ = 1
rwa rwaβ : (ββxββ : β) = 1
β’ βxββ = 1 |
rwa [β NNReal.coe_eq_one] | rwaβ | (ββxββ : β) = 1 | E : Type u_4
F : Type u_6
instβΒ³ : SeminormedAddCommGroup E
instβΒ² : SeminormedAddCommGroup F
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : NormedSpace β F
f : E βL[β] F
C : ββ₯0
hf : β (x : E), βxββ = 1 β β(f : E β F) xββ β€ C
x : E
hx : βxβ = 1
rwa rwaβ rwaβ : (ββxββ : β) = 1
β’ βxββ = 1 |
lift r to ββ₯0 using hrβ | intro | β (r : ββ₯0), (βr : β) < βfβ β β x, (βr : β) * βxβ < β(f : E β F) xβ | π : Type u_1
πβ : Type u_2
E : Type u_4
F : Type u_6
instββΆ : SeminormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : NontriviallyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
Οββ : π β+* πβ
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : β
hrβ : 0 β€ r
hr : r < βfβ
β’ β x, r * βxβ < β(f : E β F) xβ |
obtain β¨y, hyβ© := f.exists_mul_lt_apply_of_lt_opNNNorm hr | intro | β (y : E), r * βyββ < β(f : E β F) yββ β β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
have hy' : βyββ β 0 :=
nnnorm_ne_zero_iff.2 fun heq => by
simp [heq, nnnorm_zero, map_zero] at hy | hy' | βyββ β 0 | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * βyββ < β(f : E β F) yββ
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
have hfy : βf yββ β 0 := (zero_le'.trans_lt hy).ne' | hfy | β(f : E β F) yββ β 0 | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * βyββ < β(f : E β F) yββ
hy' : βyββ β 0
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
rw [β inv_inv βf yββ, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm βyββ, β
mul_assoc, β NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy | hyβ | r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * βyββ < β(f : E β F) yββ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
rw [β inv_inv βf yββ, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm βyββ, β
mul_assoc, β NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy | hy'β | βyββ β 0 | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * βyββ < β(f : E β F) yββ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
hyβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
rw [β inv_inv βf yββ, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm βyββ, β
mul_assoc, β NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy | hfyβ | β(f : E β F) yββ β 0 | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * βyββ < β(f : E β F) yββ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
hyβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy'β : βyββ β 0
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
obtain β¨k, hkβ, hkββ© := NormedField.exists_lt_nnnorm_lt π hy | intro | β (k : π), r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ β βkββ < βyβββ»ΒΉ β β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
refine β¨k β’ y, (nnnorm_smul k y).symm βΈ (NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy').1 hkβ, ?_β© | intro | r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
β’ β x, βxββ < 1 β§ r < β(f : E β F) xββ |
have : βΟββ kββ = βkββ := Subtype.ext RingHomIsometric.is_iso | this | β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | intro | r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ | r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ | r / β(f : E β F) yββ < β(Οββ : π β πβ) kββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
introβ : r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ | r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < β(Οββ : π β πβ) kββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
introβ : r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ
introβ : r / β(f : E β F) yββ < β(Οββ : π β πβ) kββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ | r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
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f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
introβ : r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ
introβ : r / β(f : E β F) yββ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < β(Οββ : π β πβ) kββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ
| r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
introβ : r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ
introβ : r / β(f : E β F) yββ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ | r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
introβ : r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ
introβ : r / β(f : E β F) yββ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ introβ
: r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
rwa [map_smulββ f, nnnorm_smul, β div_lt_iffβ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this] | introβ | r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : ββ₯0
hr : r < βfββ
y : E
hy : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βyβββ»ΒΉ
hy' : βyββ β 0
hfy : β(f : E β F) yββ β 0
k : π
hkβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
hkβ : βkββ < βyβββ»ΒΉ
this : β(Οββ : π β πβ) kββ = βkββ
intro : r < β(Οββ : π β πβ) k β’ (f : E β F) yββ
introβ : r < β(Οββ : π β πβ) kββ * β(f : E β F) yββ
introβ : r / β(f : E β F) yββ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < β(Οββ : π β πβ) kββ
introβ introβ
introβ : r * β(f : E β F) yβββ»ΒΉ < βkββ
β’ r < β(f : E β F) (k β’ y)ββ |
by_cases hrβ : r < 0 | pos | r < 0 β β x, βxβ < 1 β§ r < β(f : E β F) xβ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : β
hr : r < βfβ
β’ β x, βxβ < 1 β§ r < β(f : E β F) xβ |
by_cases hrβ : r < 0 | neg | Β¬r < 0 β β x, βxβ < 1 β§ r < β(f : E β F) xβ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : β
hr : r < βfβ
pos : r < 0 β β x, βxβ < 1 β§ r < β(f : E β F) xβ
β’ β x, βxβ < 1 β§ r < β(f : E β F) xβ |
lift r to ββ₯0 using not_lt.1 hrβ | neg | β (r : ββ₯0), (βr : β) < βfβ β Β¬(βr : β) < 0 β β x, βxβ < 1 β§ (βr : β) < β(f : E β F) xβ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
r : β
hr : r < βfβ
hrβ : Β¬r < 0
β’ β x, βxβ < 1 β§ r < β(f : E β F) xβ |
refine csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) ?_
fun ub hub => ?_ | refine_1 | β a β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1, a β€ βfββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
β’ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1) = βfββ |
refine csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) ?_
fun ub hub => ?_ | refine_2 | β ub < βfββ, β a β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1, ub < a | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
refine_1 : β a β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1, a β€ βfββ
β’ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1) = βfββ |
obtain β¨x, hx, hxfβ© := f.exists_lt_apply_of_lt_opNNNorm hub | refine_2 | β (x : E), βxββ < 1 β ub < β(f : E β F) xββ β β a β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1, ub < a | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
ub : ββ₯0
hub : ub < βfββ
β’ β a β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1, ub < a |
have hbdd : β y β (fun x => βf xββ) '' closedBall 0 1, y β€ βfββ := by
rintro - β¨x, hx, rflβ©
exact f.unit_le_opNorm x (mem_closedBall_zero_iff.1 hx) | hbdd | β y β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1, y β€ βfββ | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
β’ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1) = βfββ |
refine le_antisymm (csSup_le ((nonempty_closedBall.mpr zero_le_one).image _) hbdd) ?_ | refine | βfββ β€ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1) | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
hbdd : β y β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1, y β€ βfββ
β’ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1) = βfββ |
rw [β sSup_unit_ball_eq_nnnorm] | rw | sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' ball 0 1) β€ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1) | π : Type u_11
πβ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
instββΆ : NormedAddCommGroup E
instββ΅ : SeminormedAddCommGroup F
instββ΄ : DenselyNormedField π
instβΒ³ : NontriviallyNormedField πβ
Οββ : π β+* πβ
instβΒ² : NormedSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace πβ F
instβ : RingHomIsometric Οββ
f : E βSL[Οββ] F
hbdd : β y β (fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1, y β€ βfββ
β’ βfββ β€ sSup ((fun x β¦ β(f : E β F) xββ) '' closedBall 0 1) |
rw [toEuclidean.image_symm_eq_preimage, closedBall_eq_preimage] | rw | closedBall x r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
β’ closedBall x r =
(βtoEuclidean.symm : EuclideanSpace β (Fin (finrank β E)) β E) ''
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r |
rw [toEuclidean.image_symm_eq_preimage, closedBall_eq_preimage] | rwβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
rw :
closedBall x r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r
β’ closedBall x r =
(βtoEuclidean.symm : EuclideanSpace β (Fin (finrank β E)) β E) ''
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r |
rw [toEuclidean.image_symm_eq_preimage, closedBall_eq_preimage] | rwβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
rw :
closedBall x r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r
β’ closedBall x r =
(βtoEuclidean.symm : EuclideanSpace β (Fin (finrank β E)) β E) ''
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r |
rw [closedBall_eq_image] | rw | IsCompact
((βtoEuclidean.symm : EuclideanSpace β (Fin (finrank β E)) β E) ''
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
β’ IsCompact (closedBall x r) |
rw [ball_eq_preimage, β toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h,
closedBall_eq_preimage] | rw | closure
((βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
h : r β 0
β’ closure (ball x r) = closedBall x r |
rw [ball_eq_preimage, β toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h,
closedBall_eq_preimage] | rwβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
closure (Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
h : r β 0
rw :
closure
((βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
β’ closure (ball x r) = closedBall x r |
rw [ball_eq_preimage, β toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h,
closedBall_eq_preimage] | rwβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
closedBall x r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
h : r β 0
rw :
closure
((βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
closure (Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
β’ closure (ball x r) = closedBall x r |
rw [ball_eq_preimage, β toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h,
closedBall_eq_preimage] | rwβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
h : r β 0
rw :
closure
((βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
closure (Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
closedBall x r
β’ closure (ball x r) = closedBall x r |
rw [ball_eq_preimage, β toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h,
closedBall_eq_preimage] | rwβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
r : β
h : r β 0
rw :
closure
((βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
closure (Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r) =
closedBall x r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
closedBall x r
rwβ :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r =
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) β»ΒΉ'
Metric.closedBall ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r
β’ closure (ball x r) = closedBall x r |
rw [ball_eq_preimage, β image_subset_iff] at h | hβ | (βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) '' s β
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) R | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
R : β
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h : s β ball x R
β’ β r β Ioo 0 R, s β ball x r |
rcases exists_pos_lt_subset_ball hR (toEuclidean.isClosed_image.2 hs) h with β¨r, hr, hsrβ© | intro | β r β Ioo 0 R,
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) '' s β
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) r β
β r β Ioo 0 R, s β ball x r | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
R : β
s : Set E
x : E
hR : 0 < R
hs : IsClosed s
h :
(βtoEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) '' s β
Metric.ball ((toEuclidean : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x) R
β’ β r β Ioo 0 R, s β ball x r |
rw [toEuclidean.toHomeomorph.nhds_eq_comap x] | rw | (Filter.comap (βtoEuclidean.toHomeomorph : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E)))
(π ((toEuclidean.toHomeomorph : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x))).HasBasis
(fun r β¦ 0 < r) (closedBall x) | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
β’ (π x).HasBasis (fun r β¦ 0 < r) (closedBall x) |
rw [toEuclidean.toHomeomorph.nhds_eq_comap x] | rw | (Filter.comap (βtoEuclidean.toHomeomorph : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E)))
(π ((toEuclidean.toHomeomorph : E β EuclideanSpace β (Fin (finrank β E))) x))).HasBasis
(fun r β¦ 0 < r) (ball x) | E : Type u_1
instββΆ : AddCommGroup E
instββ΅ : TopologicalSpace E
instββ΄ : IsTopologicalAddGroup E
instβΒ³ : T2Space E
instβΒ² : Module β E
instβΒΉ : ContinuousSMul β E
instβ : FiniteDimensional β E
x : E
β’ (π x).HasBasis (fun r β¦ 0 < r) (ball x) |
simp only [Euclidean.dist] | simp | ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun x β¦
Dist.dist ((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f x))
((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g x)) | F : Type u_2
instββ΄ : NormedAddCommGroup F
instβΒ³ : NormedSpace β F
G : Type u_3
instβΒ² : NormedAddCommGroup G
instβΒΉ : NormedSpace β G
instβ : FiniteDimensional β G
f g : F β G
n : ββ
hf : ContDiff β (βn : WithTop ββ) f
hg : ContDiff β (βn : WithTop ββ) g
h : β (x : F), f x β g x
β’ ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun x β¦ Euclidean.dist (f x) (g x) |
apply ContDiff.dist β | hfβ | ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun y β¦ (toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f y) | F : Type u_2
instββ΄ : NormedAddCommGroup F
instβΒ³ : NormedSpace β F
G : Type u_3
instβΒ² : NormedAddCommGroup G
instβΒΉ : NormedSpace β G
instβ : FiniteDimensional β G
f g : F β G
n : ββ
hf : ContDiff β (βn : WithTop ββ) f
hg : ContDiff β (βn : WithTop ββ) g
h : β (x : F), f x β g x
β’ ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun x β¦
Dist.dist ((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f x))
((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g x)) |
apply ContDiff.dist β | hgβ | ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun y β¦ (toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g y) | F : Type u_2
instββ΄ : NormedAddCommGroup F
instβΒ³ : NormedSpace β F
G : Type u_3
instβΒ² : NormedAddCommGroup G
instβΒΉ : NormedSpace β G
instβ : FiniteDimensional β G
f g : F β G
n : ββ
hf : ContDiff β (βn : WithTop ββ) f
hg : ContDiff β (βn : WithTop ββ) g
h : β (x : F), f x β g x
hfβ : ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun y β¦ (toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f y)
β’ ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun x β¦
Dist.dist ((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f x))
((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g x)) |
apply ContDiff.dist β | hne | β (x : F),
(toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f x) β
(toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g x) | F : Type u_2
instββ΄ : NormedAddCommGroup F
instβΒ³ : NormedSpace β F
G : Type u_3
instβΒ² : NormedAddCommGroup G
instβΒΉ : NormedSpace β G
instβ : FiniteDimensional β G
f g : F β G
n : ββ
hf : ContDiff β (βn : WithTop ββ) f
hg : ContDiff β (βn : WithTop ββ) g
h : β (x : F), f x β g x
hfβ : ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun y β¦ (toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f y)
hgβ : ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun y β¦ (toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g y)
β’ ContDiff β (βn : WithTop ββ) fun x β¦
Dist.dist ((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (f x))
((toEuclidean : G β EuclideanSpace β (Fin (finrank β G))) (g x)) |
have : β X, Mono ((whiskerRight f H).app X) := by intros; dsimp; infer_instance | this | β (X : K), Mono ((whiskerRight f H).app X) | K : Type u
instββ΅ : Category.{v, u} K
C : Type u'
instββ΄ : Category.{v', u'} C
D : Type u''
instβΒ³ : Category.{v'', u''} D
F G : K β₯€ C
f : F βΆ G
instβΒ² : HasPullbacks C
instβΒΉ : Mono f
H : C β₯€ D
instβ : H.PreservesMonomorphisms
β’ Mono (whiskerRight f H) |
dsimp | dsimp | Mono (H.map (f.app Xβ)) | K : Type u
instββ΅ : Category.{v, u} K
C : Type u'
instββ΄ : Category.{v', u'} C
D : Type u''
instβΒ³ : Category.{v'', u''} D
F G : K β₯€ C
f : F βΆ G
instβΒ² : HasPullbacks C
instβΒΉ : Mono f
H : C β₯€ D
instβ : H.PreservesMonomorphisms
Xβ : K
β’ Mono ((whiskerRight f H).app Xβ) |
have : β X, Epi ((whiskerRight f H).app X) := by intros; dsimp; infer_instance | this | β (X : K), Epi ((whiskerRight f H).app X) | K : Type u
instββ΅ : Category.{v, u} K
C : Type u'
instββ΄ : Category.{v', u'} C
D : Type u''
instβΒ³ : Category.{v'', u''} D
F G : K β₯€ C
f : F βΆ G
instβΒ² : HasPushouts C
instβΒΉ : Epi f
H : C β₯€ D
instβ : H.PreservesEpimorphisms
β’ Epi (whiskerRight f H) |
dsimp | dsimp | Epi (H.map (f.app Xβ)) | K : Type u
instββ΅ : Category.{v, u} K
C : Type u'
instββ΄ : Category.{v', u'} C
D : Type u''
instβΒ³ : Category.{v'', u''} D
F G : K β₯€ C
f : F βΆ G
instβΒ² : HasPushouts C
instβΒΉ : Epi f
H : C β₯€ D
instβ : H.PreservesEpimorphisms
Xβ : K
β’ Epi ((whiskerRight f H).app Xβ) |
constructor | comp_over | autoParam (f β« Y β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam | C : Type u
instββΈ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X βΆ Y
S S' : C
instββ· : OverClass X S
instββΆ : OverClass X S'
instββ΅ : OverClass Y S
instββ΄ : OverClass Y S'
instβΒ³ : OverClass S S'
instβΒ² : IsOverTower X S S'
instβΒΉ : IsOverTower Y S S'
instβ : HomIsOver f S
β’ HomIsOver f S' |
rw [β comp_over (Y β S), comp_over_assoc f, comp_over] | comp_over | autoParam (f β« Y β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam | C : Type u
instββΈ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X βΆ Y
S S' : C
instββ· : OverClass X S
instββΆ : OverClass X S'
instββ΅ : OverClass Y S
instββ΄ : OverClass Y S'
instβΒ³ : OverClass S S'
instβΒ² : IsOverTower X S S'
instβΒΉ : IsOverTower Y S S'
instβ : HomIsOver f S
β’ autoParam (f β« Y β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam |
rw [β comp_over (Y β S), comp_over_assoc f, comp_over] | comp_overβ | autoParam (X β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam | C : Type u
instββΈ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X βΆ Y
S S' : C
instββ· : OverClass X S
instββΆ : OverClass X S'
instββ΅ : OverClass Y S
instββ΄ : OverClass Y S'
instβΒ³ : OverClass S S'
instβΒ² : IsOverTower X S S'
instβΒΉ : IsOverTower Y S S'
instβ : HomIsOver f S
comp_over : autoParam (f β« Y β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam
β’ autoParam (f β« Y β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam |
rw [β comp_over (Y β S), comp_over_assoc f, comp_over] | comp_overβ | autoParam (X β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam | C : Type u
instββΈ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X βΆ Y
S S' : C
instββ· : OverClass X S
instββΆ : OverClass X S'
instββ΅ : OverClass Y S
instββ΄ : OverClass Y S'
instβΒ³ : OverClass S S'
instβΒ² : IsOverTower X S S'
instβΒΉ : IsOverTower Y S S'
instβ : HomIsOver f S
comp_over : autoParam (f β« Y β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam
comp_overβ : autoParam (X β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam
β’ autoParam (f β« Y β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam |
rw [β comp_over (Y β S), comp_over_assoc f, comp_over] | comp_overβ | autoParam (X β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam | C : Type u
instββΈ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X βΆ Y
S S' : C
instββ· : OverClass X S
instββΆ : OverClass X S'
instββ΅ : OverClass Y S
instββ΄ : OverClass Y S'
instβΒ³ : OverClass S S'
instβΒ² : IsOverTower X S S'
instβΒΉ : IsOverTower Y S S'
instβ : HomIsOver f S
comp_over : autoParam (f β« Y β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam
comp_overβ : autoParam (X β S β« S β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam
comp_overβ : autoParam (X β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam
β’ autoParam (f β« Y β S' = X β S') HomIsOver.comp_over._autoParam |
have : HasLimit F := β¨_, hcβ© | this | HasLimit F | C : Type u
instβΒ² : Category.{v, u} C
J : Type w
instβΒΉ : Category.{w', w} J
P : ObjectProperty C
instβ : P.IsClosedUnderIsomorphisms
h : β {F : J β₯€ C} [inst : HasLimit F], (β (j : J), P (F.obj j)) β P (limit F)
F : J β₯€ C
c : Cone F
hc : IsLimit c
hF : β (j : J), P (F.obj j)
β’ P c.pt |
have : HasColimit F := β¨_, hcβ© | this | HasColimit F | C : Type u
instβΒ² : Category.{v, u} C
J : Type w
instβΒΉ : Category.{w', w} J
P : ObjectProperty C
instβ : P.IsClosedUnderIsomorphisms
h : β {F : J β₯€ C} [inst : HasColimit F], (β (j : J), P (F.obj j)) β P (colimit F)
F : J β₯€ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
hF : β (j : J), P (F.obj j)
β’ P c.pt |
rw [β NNRat.den_coe, β Int.cast_natCast q.num, β NNRat.num_coe] | rw | (βq : β) = (β(βq : β).num : β) / (β(βq : β).den : β) | q : ββ₯0
β’ (βq : β) = (βq.num : β) / (βq.den : β) |
rw [inv_def'] | rw | 0 β€ (βa.den : β€) /. a.num | a : β
ha : 0 β€ a
β’ 0 β€ aβ»ΒΉ |
ext | a | (βqβ»ΒΉ : β) = (β(divNat q.den q.num) : β) | q : ββ₯0
β’ qβ»ΒΉ = divNat q.den q.num |
ext | a | (β(p / q) : β) = (β(divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num)) : β) | p q : ββ₯0
β’ p / q = divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num) |
rw [inv_def, divNat, num, coe_mk, Rat.divInt_ofNat, β Rat.mk_eq_mkRat _ _ (num_ne_zero.mpr hq),
Int.natAbs_natCast] | rw | (βq.den : β€).natAbs.Coprime q.num | q : ββ₯0
hq : q β 0
β’ qβ»ΒΉ.num = q.den |
rw [inv_def, divNat, den, coe_mk, Rat.divInt_ofNat, β Rat.mk_eq_mkRat _ _ (num_ne_zero.mpr hq)] | rw | (βq.den : β€).natAbs.Coprime q.num | q : ββ₯0
hq : q β 0
β’ qβ»ΒΉ.den = q.num |
ext1 | a | (β((βq.num : ββ₯0) / (βq.den : ββ₯0)) : β) = (βq : β) | q : ββ₯0
β’ (βq.num : ββ₯0) / (βq.den : ββ₯0) = q |
ext | aβ | (β(a ^ 0) : β) = (β1 : β) | a : ββ₯0
β’ a ^ 0 = 1 |
norm_cast | aβ | a ^ 0 = 1 | a : ββ₯0
β’ (β(a ^ 0) : β) = (β1 : β) |
norm_cast | aβ | a ^ 0 = 1 | a : ββ₯0
aβ : a ^ 0 = 1
β’ (β(a ^ 0) : β) = (β1 : β) |
norm_cast | aβ | a ^ 0 = 1 | a : ββ₯0
aβ aβ : a ^ 0 = 1
β’ (β(a ^ 0) : β) = (β1 : β) |
norm_cast | aβ | a ^ 0 = 1 | a : ββ₯0
aβ aβ aβ : a ^ 0 = 1
β’ (β(a ^ 0) : β) = (β1 : β) |
ext | aβ | (β(a ^ (βn.succ : β€)) : β) = (β(a ^ (βn : β€) * a) : β) | n : β
a : ββ₯0
β’ a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a |
norm_cast | aβ | a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a | n : β
a : ββ₯0
β’ (β(a ^ (βn.succ : β€)) : β) = (β(a ^ (βn : β€) * a) : β) |
norm_cast | aβ | a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a | n : β
a : ββ₯0
aβ : a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a
β’ (β(a ^ (βn.succ : β€)) : β) = (β(a ^ (βn : β€) * a) : β) |
norm_cast | aβ | a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a | n : β
a : ββ₯0
aβ aβ : a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a
β’ (β(a ^ (βn.succ : β€)) : β) = (β(a ^ (βn : β€) * a) : β) |
norm_cast | aβ | a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a | n : β
a : ββ₯0
aβ aβ aβ : a ^ (βn.succ : β€) = a ^ (βn : β€) * a
β’ (β(a ^ (βn.succ : β€)) : β) = (β(a ^ (βn : β€) * a) : β) |
ext | aβ | (β(a ^ Int.negSucc n) : β) = (β(a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ : β) | n : β
a : ββ₯0
β’ a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ |
norm_cast | aβ | a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ | n : β
a : ββ₯0
β’ (β(a ^ Int.negSucc n) : β) = (β(a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ : β) |
norm_cast | aβ | a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ | n : β
a : ββ₯0
aβ : a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ
β’ (β(a ^ Int.negSucc n) : β) = (β(a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ : β) |
norm_cast | aβ | a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ | n : β
a : ββ₯0
aβ aβ : a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ
β’ (β(a ^ Int.negSucc n) : β) = (β(a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ : β) |
norm_cast | aβ | a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ | n : β
a : ββ₯0
aβ aβ aβ : a ^ Int.negSucc n = (a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ
β’ (β(a ^ Int.negSucc n) : β) = (β(a ^ (βn.succ : β€))β»ΒΉ : β) |
ext | a | (β0β»ΒΉ : β) = (β0 : β) | β’ 0β»ΒΉ = 0 |
ext | a | (β(q * qβ»ΒΉ) : β) = (β1 : β) | q : ββ₯0
h : q β 0
β’ q * qβ»ΒΉ = 1 |
rw [one_mul] | rw | ββͺ(x, y).1, (x, y).2β«β β€ βxβ * βyβ | π : Type u_1
E : Type u_2
instββ΄ : RCLike π
instβΒ³ : SeminormedAddCommGroup E
instβΒ² : InnerProductSpace π E
instβΒΉ : NormedSpace β E
instβ : IsScalarTower β π E
x y : E
β’ ββͺ(x, y).1, (x, y).2β«β β€ 1 * βxβ * βyβ |
rcases eq_or_ne n 0 with rfl | hn | inl | schnirelmannDensity A * (β0 : β) β€ (β(#({a β Ioc 0 0 | a β A})) : β) | A : Set β
instβ : DecidablePred fun x β¦ x β A
n : β
β’ schnirelmannDensity A * (βn : β) β€ (β(#({a β Ioc 0 n | a β A})) : β) |
rcases eq_or_ne n 0 with rfl | hn | inr | n β 0 β schnirelmannDensity A * (βn : β) β€ (β(#({a β Ioc 0 n | a β A})) : β) | A : Set β
instβ : DecidablePred fun x β¦ x β A
n : β
inl : schnirelmannDensity A * (β0 : β) β€ (β(#({a β Ioc 0 0 | a β A})) : β)
β’ schnirelmannDensity A * (βn : β) β€ (β(#({a β Ioc 0 n | a β A})) : β) |
rw [Nat.cast_one, div_one, Nat.cast_le_one] | rw | #({a β Ioc 0 1 | a β A}) β€ 1 | A : Set β
instβ : DecidablePred fun x β¦ x β A
β’ (β(#({a β Ioc 0 1 | a β A})) : β) / (β1 : β) β€ 1 |
rcases k.eq_zero_or_pos with rfl | hk' | inl | 0 β A β schnirelmannDensity A β€ 1 - (β0 : β)β»ΒΉ | A : Set β
instβ : DecidablePred fun x β¦ x β A
k : β
hk : k β A
β’ schnirelmannDensity A β€ 1 - (βk : β)β»ΒΉ |
rcases k.eq_zero_or_pos with rfl | hk' | inr | k > 0 β schnirelmannDensity A β€ 1 - (βk : β)β»ΒΉ | A : Set β
instβ : DecidablePred fun x β¦ x β A
k : β
hk : k β A
inl : 0 β A β schnirelmannDensity A β€ 1 - (β0 : β)β»ΒΉ
β’ schnirelmannDensity A β€ 1 - (βk : β)β»ΒΉ |
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