UnluckyOrangutan/tactic-haveDraft9 · Datasets at Hugging Face

tactic stringlengths 3 5.37k	name stringlengths 1 49	haveDraft stringlengths 1 20.1k	goal stringlengths 7 28.7k
ext	a	(↑‖f‖₊ : ℝ) = (↑(sInf {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}) : ℝ)	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ ‖f‖₊ = sInf {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}
rw [NNReal.coe_sInf, coe_nnnorm, norm_def, NNReal.coe_image]	a	sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ (↑‖f‖₊ : ℝ) = (↑(sInf {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}) : ℝ)
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]	a	sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}}	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]	a₁	sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}}	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} ⊢ sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]	a₂	sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ (↑c : ℝ) * ‖x‖}}	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} a₁ : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}} ⊢ sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]	a₃	sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ∀ (x_1 : E), ‖(f : E → F) x_1‖ ≤ (↑⟨x, sorry⟩ : ℝ) * ‖x_1‖}	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} a₁ : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}} a₂ : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ (↑c : ℝ) * ‖x‖}} ⊢ sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]	a₄	sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (_ : 0 ≤ x), ∀ (x_1 : E), ‖(f : E → F) x_1‖ ≤ x * ‖x_1‖}	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} a₁ : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}} a₂ : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ (↑c : ℝ) * ‖x‖}} a₃ : sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ∀ (x_1 : E), ‖(f : E → F) x_1‖ ≤ (↑⟨x, sorry⟩ : ℝ) * ‖x_1‖} ⊢ sInf {c \| 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x \| ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c \| ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
rwa [← NNReal.coe_ne_zero]	rwa	(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0
rwa [← NNReal.coe_ne_zero]	rwa₁	(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 rwa : (↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0
rwa [← NNReal.coe_ne_zero]	rwa₂	(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 rwa rwa₁ : (↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0
rwa [← NNReal.coe_ne_zero]	rwa₃	(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 rwa rwa₁ rwa₂ : (↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0
rwa [← NNReal.coe_eq_one]	rwa	(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1	E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1
rwa [← NNReal.coe_eq_one]	rwa₁	(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1	E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 rwa : (↑‖x‖₊ : ℝ) = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1
rwa [← NNReal.coe_eq_one]	rwa₂	(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1	E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 rwa rwa₁ : (↑‖x‖₊ : ℝ) = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1
rwa [← NNReal.coe_eq_one]	rwa₃	(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1	E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 rwa rwa₁ rwa₂ : (↑‖x‖₊ : ℝ) = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1
lift r to ℝ≥0 using hr₀	intro	∀ (r : ℝ≥0), (↑r : ℝ) < ‖f‖ → ∃ x, (↑r : ℝ) * ‖x‖ < ‖(f : E → F) x‖	𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ hr₀ : 0 ≤ r hr : r < ‖f‖ ⊢ ∃ x, r * ‖x‖ < ‖(f : E → F) x‖
obtain ⟨y, hy⟩ := f.exists_mul_lt_apply_of_lt_opNNNorm hr	intro	∀ (y : E), r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ → ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
have hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 := nnnorm_ne_zero_iff.2 fun heq => by simp [heq, nnnorm_zero, map_zero] at hy	hy'	‖y‖₊ ≠ 0	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
have hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0 := (zero_le'.trans_lt hy).ne'	hfy	‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ← NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy	hy₁	r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ← NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy	hy'₁	‖y‖₊ ≠ 0	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 hy₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ← NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy	hfy₁	‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 hy₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy'₁ : ‖y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
obtain ⟨k, hk₁, hk₂⟩ := NormedField.exists_lt_nnnorm_lt 𝕜 hy	intro	∀ (k : 𝕜), r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ → ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ → ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
refine ⟨k • y, (nnnorm_smul k y).symm ▸ (NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy').1 hk₂, ?_⟩	intro	r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊
have : ‖σ₁₂ k‖₊ = ‖k‖₊ := Subtype.ext RingHomIsometric.is_iso	this	‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro	r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₁	r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₂	r / ‖(f : E → F) y‖₊ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ intro₁ : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₃	r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ intro₁ : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊ intro₂ : r / ‖(f : E → F) y‖₊ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₄	r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ intro₁ : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊ intro₂ : r / ‖(f : E → F) y‖₊ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₃ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₅	r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ intro₁ : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊ intro₂ : r / ‖(f : E → F) y‖₊ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₃ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₄ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₆	r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ intro₁ : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊ intro₂ : r / ‖(f : E → F) y‖₊ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₃ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₄ intro₅ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
rwa [map_smulₛₗ f, nnnorm_smul, ← div_lt_iff₀ hfy.bot_lt, div_eq_mul_inv, this]	intro₇	r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ this : ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊ intro : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k • (f : E → F) y‖₊ intro₁ : r < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ * ‖(f : E → F) y‖₊ intro₂ : r / ‖(f : E → F) y‖₊ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₃ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ intro₄ intro₅ intro₆ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊
by_cases hr₀ : r < 0	pos	r < 0 → ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ hr : r < ‖f‖ ⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖
by_cases hr₀ : r < 0	neg	¬r < 0 → ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ hr : r < ‖f‖ pos : r < 0 → ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖ ⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖
lift r to ℝ≥0 using not_lt.1 hr₀	neg	∀ (r : ℝ≥0), (↑r : ℝ) < ‖f‖ → ¬(↑r : ℝ) < 0 → ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ (↑r : ℝ) < ‖(f : E → F) x‖	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ hr : r < ‖f‖ hr₀ : ¬r < 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖
refine csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) ?_ fun ub hub => ?_	refine_1	∀ a ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊
refine csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) ?_ fun ub hub => ?_	refine_2	∀ ub < ‖f‖₊, ∃ a ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1, ub < a	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F refine_1 : ∀ a ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊ ⊢ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊
obtain ⟨x, hx, hxf⟩ := f.exists_lt_apply_of_lt_opNNNorm hub	refine_2	∀ (x : E), ‖x‖₊ < 1 → ub < ‖(f : E → F) x‖₊ → ∃ a ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1, ub < a	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ub : ℝ≥0 hub : ub < ‖f‖₊ ⊢ ∃ a ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1, ub < a
have hbdd : ∀ y ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊ := by rintro - ⟨x, hx, rfl⟩ exact f.unit_le_opNorm x (mem_closedBall_zero_iff.1 hx)	hbdd	∀ y ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
refine le_antisymm (csSup_le ((nonempty_closedBall.mpr zero_le_one).image _) hbdd) ?_	refine	‖f‖₊ ≤ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1)	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F hbdd : ∀ y ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊ ⊢ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1) = ‖f‖₊
rw [← sSup_unit_ball_eq_nnnorm]	rw	sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' ball 0 1) ≤ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1)	𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F hbdd : ∀ y ∈ (fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1, y ≤ ‖f‖₊ ⊢ ‖f‖₊ ≤ sSup ((fun x ↦ ‖(f : E → F) x‖₊) '' closedBall 0 1)
rw [toEuclidean.image_symm_eq_preimage, closedBall_eq_preimage]	rw	closedBall x r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ ⊢ closedBall x r = (⇑toEuclidean.symm : EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E)) → E) '' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r
rw [toEuclidean.image_symm_eq_preimage, closedBall_eq_preimage]	rw₁	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ rw : closedBall x r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r ⊢ closedBall x r = (⇑toEuclidean.symm : EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E)) → E) '' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r
rw [toEuclidean.image_symm_eq_preimage, closedBall_eq_preimage]	rw₂	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ rw : closedBall x r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r rw₁ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r ⊢ closedBall x r = (⇑toEuclidean.symm : EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E)) → E) '' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r
rw [closedBall_eq_image]	rw	IsCompact ((⇑toEuclidean.symm : EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E)) → E) '' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r)	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ ⊢ IsCompact (closedBall x r)
rw [ball_eq_preimage, ← toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h, closedBall_eq_preimage]	rw	closure ((⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ h : r ≠ 0 ⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
rw [ball_eq_preimage, ← toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h, closedBall_eq_preimage]	rw₁	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' closure (Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ h : r ≠ 0 rw : closure ((⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r ⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
rw [ball_eq_preimage, ← toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h, closedBall_eq_preimage]	rw₂	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = closedBall x r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ h : r ≠ 0 rw : closure ((⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r rw₁ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' closure (Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r ⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
rw [ball_eq_preimage, ← toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h, closedBall_eq_preimage]	rw₃	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ h : r ≠ 0 rw : closure ((⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r rw₁ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' closure (Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r rw₂ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = closedBall x r ⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
rw [ball_eq_preimage, ← toEuclidean.preimage_closure, closure_ball (toEuclidean x) h, closedBall_eq_preimage]	rw₄	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E r : ℝ h : r ≠ 0 rw : closure ((⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r rw₁ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' closure (Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r) = closedBall x r rw₂ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = closedBall x r rw₃ : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r = (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) ⁻¹' Metric.closedBall ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r ⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
rw [ball_eq_preimage, ← image_subset_iff] at h	h₁	(⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) '' s ⊆ Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) R	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E R : ℝ s : Set E x : E hR : 0 < R hs : IsClosed s h : s ⊆ ball x R ⊢ ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r
rcases exists_pos_lt_subset_ball hR (toEuclidean.isClosed_image.2 hs) h with ⟨r, hr, hsr⟩	intro	∀ r ∈ Ioo 0 R, (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) '' s ⊆ Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) r → ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E R : ℝ s : Set E x : E hR : 0 < R hs : IsClosed s h : (⇑toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) '' s ⊆ Metric.ball ((toEuclidean : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x) R ⊢ ∃ r ∈ Ioo 0 R, s ⊆ ball x r
rw [toEuclidean.toHomeomorph.nhds_eq_comap x]	rw	(Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) (𝓝 ((toEuclidean.toHomeomorph : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x))).HasBasis (fun r ↦ 0 < r) (closedBall x)	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E ⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r ↦ 0 < r) (closedBall x)
rw [toEuclidean.toHomeomorph.nhds_eq_comap x]	rw	(Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) (𝓝 ((toEuclidean.toHomeomorph : E → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ E))) x))).HasBasis (fun r ↦ 0 < r) (ball x)	E : Type u_1 inst✝⁶ : AddCommGroup E inst✝⁵ : TopologicalSpace E inst✝⁴ : IsTopologicalAddGroup E inst✝³ : T2Space E inst✝² : Module ℝ E inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E inst✝ : FiniteDimensional ℝ E x : E ⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r ↦ 0 < r) (ball x)
simp only [Euclidean.dist]	simp	ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun x ↦ Dist.dist ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f x)) ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g x))	F : Type u_2 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F G : Type u_3 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G inst✝ : FiniteDimensional ℝ G f g : F → G n : ℕ∞ hf : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) f hg : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) g h : ∀ (x : F), f x ≠ g x ⊢ ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun x ↦ Euclidean.dist (f x) (g x)
apply ContDiff.dist ℝ	hf₁	ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun y ↦ (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f y)	F : Type u_2 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F G : Type u_3 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G inst✝ : FiniteDimensional ℝ G f g : F → G n : ℕ∞ hf : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) f hg : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) g h : ∀ (x : F), f x ≠ g x ⊢ ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun x ↦ Dist.dist ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f x)) ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g x))
apply ContDiff.dist ℝ	hg₁	ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun y ↦ (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g y)	F : Type u_2 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F G : Type u_3 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G inst✝ : FiniteDimensional ℝ G f g : F → G n : ℕ∞ hf : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) f hg : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) g h : ∀ (x : F), f x ≠ g x hf₁ : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun y ↦ (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f y) ⊢ ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun x ↦ Dist.dist ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f x)) ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g x))
apply ContDiff.dist ℝ	hne	∀ (x : F), (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f x) ≠ (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g x)	F : Type u_2 inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F inst✝³ : NormedSpace ℝ F G : Type u_3 inst✝² : NormedAddCommGroup G inst✝¹ : NormedSpace ℝ G inst✝ : FiniteDimensional ℝ G f g : F → G n : ℕ∞ hf : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) f hg : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) g h : ∀ (x : F), f x ≠ g x hf₁ : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun y ↦ (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f y) hg₁ : ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun y ↦ (toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g y) ⊢ ContDiff ℝ (↑n : WithTop ℕ∞) fun x ↦ Dist.dist ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (f x)) ((toEuclidean : G → EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ G))) (g x))
have : ∀ X, Mono ((whiskerRight f H).app X) := by intros; dsimp; infer_instance	this	∀ (X : K), Mono ((whiskerRight f H).app X)	K : Type u inst✝⁵ : Category.{v, u} K C : Type u' inst✝⁴ : Category.{v', u'} C D : Type u'' inst✝³ : Category.{v'', u''} D F G : K ⥤ C f : F ⟶ G inst✝² : HasPullbacks C inst✝¹ : Mono f H : C ⥤ D inst✝ : H.PreservesMonomorphisms ⊢ Mono (whiskerRight f H)
dsimp	dsimp	Mono (H.map (f.app X✝))	K : Type u inst✝⁵ : Category.{v, u} K C : Type u' inst✝⁴ : Category.{v', u'} C D : Type u'' inst✝³ : Category.{v'', u''} D F G : K ⥤ C f : F ⟶ G inst✝² : HasPullbacks C inst✝¹ : Mono f H : C ⥤ D inst✝ : H.PreservesMonomorphisms X✝ : K ⊢ Mono ((whiskerRight f H).app X✝)
have : ∀ X, Epi ((whiskerRight f H).app X) := by intros; dsimp; infer_instance	this	∀ (X : K), Epi ((whiskerRight f H).app X)	K : Type u inst✝⁵ : Category.{v, u} K C : Type u' inst✝⁴ : Category.{v', u'} C D : Type u'' inst✝³ : Category.{v'', u''} D F G : K ⥤ C f : F ⟶ G inst✝² : HasPushouts C inst✝¹ : Epi f H : C ⥤ D inst✝ : H.PreservesEpimorphisms ⊢ Epi (whiskerRight f H)
dsimp	dsimp	Epi (H.map (f.app X✝))	K : Type u inst✝⁵ : Category.{v, u} K C : Type u' inst✝⁴ : Category.{v', u'} C D : Type u'' inst✝³ : Category.{v'', u''} D F G : K ⥤ C f : F ⟶ G inst✝² : HasPushouts C inst✝¹ : Epi f H : C ⥤ D inst✝ : H.PreservesEpimorphisms X✝ : K ⊢ Epi ((whiskerRight f H).app X✝)
constructor	comp_over	autoParam (f ≫ Y ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam	C : Type u inst✝⁸ : Category.{v, u} C X Y : C f : X ⟶ Y S S' : C inst✝⁷ : OverClass X S inst✝⁶ : OverClass X S' inst✝⁵ : OverClass Y S inst✝⁴ : OverClass Y S' inst✝³ : OverClass S S' inst✝² : IsOverTower X S S' inst✝¹ : IsOverTower Y S S' inst✝ : HomIsOver f S ⊢ HomIsOver f S'
rw [← comp_over (Y ↘ S), comp_over_assoc f, comp_over]	comp_over	autoParam (f ≫ Y ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam	C : Type u inst✝⁸ : Category.{v, u} C X Y : C f : X ⟶ Y S S' : C inst✝⁷ : OverClass X S inst✝⁶ : OverClass X S' inst✝⁵ : OverClass Y S inst✝⁴ : OverClass Y S' inst✝³ : OverClass S S' inst✝² : IsOverTower X S S' inst✝¹ : IsOverTower Y S S' inst✝ : HomIsOver f S ⊢ autoParam (f ≫ Y ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam
rw [← comp_over (Y ↘ S), comp_over_assoc f, comp_over]	comp_over₁	autoParam (X ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam	C : Type u inst✝⁸ : Category.{v, u} C X Y : C f : X ⟶ Y S S' : C inst✝⁷ : OverClass X S inst✝⁶ : OverClass X S' inst✝⁵ : OverClass Y S inst✝⁴ : OverClass Y S' inst✝³ : OverClass S S' inst✝² : IsOverTower X S S' inst✝¹ : IsOverTower Y S S' inst✝ : HomIsOver f S comp_over : autoParam (f ≫ Y ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam ⊢ autoParam (f ≫ Y ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam
rw [← comp_over (Y ↘ S), comp_over_assoc f, comp_over]	comp_over₂	autoParam (X ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam	C : Type u inst✝⁸ : Category.{v, u} C X Y : C f : X ⟶ Y S S' : C inst✝⁷ : OverClass X S inst✝⁶ : OverClass X S' inst✝⁵ : OverClass Y S inst✝⁴ : OverClass Y S' inst✝³ : OverClass S S' inst✝² : IsOverTower X S S' inst✝¹ : IsOverTower Y S S' inst✝ : HomIsOver f S comp_over : autoParam (f ≫ Y ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam comp_over₁ : autoParam (X ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam ⊢ autoParam (f ≫ Y ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam
rw [← comp_over (Y ↘ S), comp_over_assoc f, comp_over]	comp_over₃	autoParam (X ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam	C : Type u inst✝⁸ : Category.{v, u} C X Y : C f : X ⟶ Y S S' : C inst✝⁷ : OverClass X S inst✝⁶ : OverClass X S' inst✝⁵ : OverClass Y S inst✝⁴ : OverClass Y S' inst✝³ : OverClass S S' inst✝² : IsOverTower X S S' inst✝¹ : IsOverTower Y S S' inst✝ : HomIsOver f S comp_over : autoParam (f ≫ Y ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam comp_over₁ : autoParam (X ↘ S ≫ S ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam comp_over₂ : autoParam (X ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam ⊢ autoParam (f ≫ Y ↘ S' = X ↘ S') HomIsOver.comp_over._autoParam
have : HasLimit F := ⟨_, hc⟩	this	HasLimit F	C : Type u inst✝² : Category.{v, u} C J : Type w inst✝¹ : Category.{w', w} J P : ObjectProperty C inst✝ : P.IsClosedUnderIsomorphisms h : ∀ {F : J ⥤ C} [inst : HasLimit F], (∀ (j : J), P (F.obj j)) → P (limit F) F : J ⥤ C c : Cone F hc : IsLimit c hF : ∀ (j : J), P (F.obj j) ⊢ P c.pt
have : HasColimit F := ⟨_, hc⟩	this	HasColimit F	C : Type u inst✝² : Category.{v, u} C J : Type w inst✝¹ : Category.{w', w} J P : ObjectProperty C inst✝ : P.IsClosedUnderIsomorphisms h : ∀ {F : J ⥤ C} [inst : HasColimit F], (∀ (j : J), P (F.obj j)) → P (colimit F) F : J ⥤ C c : Cocone F hc : IsColimit c hF : ∀ (j : J), P (F.obj j) ⊢ P c.pt
rw [← NNRat.den_coe, ← Int.cast_natCast q.num, ← NNRat.num_coe]	rw	(↑q : ℚ) = (↑(↑q : ℚ).num : ℚ) / (↑(↑q : ℚ).den : ℚ)	q : ℚ≥0 ⊢ (↑q : ℚ) = (↑q.num : ℚ) / (↑q.den : ℚ)
rw [inv_def']	rw	0 ≤ (↑a.den : ℤ) /. a.num	a : ℚ ha : 0 ≤ a ⊢ 0 ≤ a⁻¹
ext	a	(↑q⁻¹ : ℚ) = (↑(divNat q.den q.num) : ℚ)	q : ℚ≥0 ⊢ q⁻¹ = divNat q.den q.num
ext	a	(↑(p / q) : ℚ) = (↑(divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num)) : ℚ)	p q : ℚ≥0 ⊢ p / q = divNat (p.num * q.den) (p.den * q.num)
rw [inv_def, divNat, num, coe_mk, Rat.divInt_ofNat, ← Rat.mk_eq_mkRat _ _ (num_ne_zero.mpr hq), Int.natAbs_natCast]	rw	(↑q.den : ℤ).natAbs.Coprime q.num	q : ℚ≥0 hq : q ≠ 0 ⊢ q⁻¹.num = q.den
rw [inv_def, divNat, den, coe_mk, Rat.divInt_ofNat, ← Rat.mk_eq_mkRat _ _ (num_ne_zero.mpr hq)]	rw	(↑q.den : ℤ).natAbs.Coprime q.num	q : ℚ≥0 hq : q ≠ 0 ⊢ q⁻¹.den = q.num
ext1	a	(↑((↑q.num : ℚ≥0) / (↑q.den : ℚ≥0)) : ℚ) = (↑q : ℚ)	q : ℚ≥0 ⊢ (↑q.num : ℚ≥0) / (↑q.den : ℚ≥0) = q
ext	a₁	(↑(a ^ 0) : ℚ) = (↑1 : ℚ)	a : ℚ≥0 ⊢ a ^ 0 = 1
norm_cast	a₁	a ^ 0 = 1	a : ℚ≥0 ⊢ (↑(a ^ 0) : ℚ) = (↑1 : ℚ)
norm_cast	a₂	a ^ 0 = 1	a : ℚ≥0 a₁ : a ^ 0 = 1 ⊢ (↑(a ^ 0) : ℚ) = (↑1 : ℚ)
norm_cast	a₃	a ^ 0 = 1	a : ℚ≥0 a₁ a₂ : a ^ 0 = 1 ⊢ (↑(a ^ 0) : ℚ) = (↑1 : ℚ)
norm_cast	a₄	a ^ 0 = 1	a : ℚ≥0 a₁ a₂ a₃ : a ^ 0 = 1 ⊢ (↑(a ^ 0) : ℚ) = (↑1 : ℚ)
ext	a₁	(↑(a ^ (↑n.succ : ℤ)) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n : ℤ) * a) : ℚ)	n : ℕ a : ℚ≥0 ⊢ a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a
norm_cast	a₁	a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a	n : ℕ a : ℚ≥0 ⊢ (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ)) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n : ℤ) * a) : ℚ)
norm_cast	a₂	a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a	n : ℕ a : ℚ≥0 a₁ : a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a ⊢ (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ)) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n : ℤ) * a) : ℚ)
norm_cast	a₃	a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a	n : ℕ a : ℚ≥0 a₁ a₂ : a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a ⊢ (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ)) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n : ℤ) * a) : ℚ)
norm_cast	a₄	a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a	n : ℕ a : ℚ≥0 a₁ a₂ a₃ : a ^ (↑n.succ : ℤ) = a ^ (↑n : ℤ) * a ⊢ (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ)) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n : ℤ) * a) : ℚ)
ext	a₁	(↑(a ^ Int.negSucc n) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ : ℚ)	n : ℕ a : ℚ≥0 ⊢ a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹
norm_cast	a₁	a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹	n : ℕ a : ℚ≥0 ⊢ (↑(a ^ Int.negSucc n) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ : ℚ)
norm_cast	a₂	a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹	n : ℕ a : ℚ≥0 a₁ : a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ ⊢ (↑(a ^ Int.negSucc n) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ : ℚ)
norm_cast	a₃	a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹	n : ℕ a : ℚ≥0 a₁ a₂ : a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ ⊢ (↑(a ^ Int.negSucc n) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ : ℚ)
norm_cast	a₄	a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹	n : ℕ a : ℚ≥0 a₁ a₂ a₃ : a ^ Int.negSucc n = (a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ ⊢ (↑(a ^ Int.negSucc n) : ℚ) = (↑(a ^ (↑n.succ : ℤ))⁻¹ : ℚ)
ext	a	(↑0⁻¹ : ℚ) = (↑0 : ℚ)	⊢ 0⁻¹ = 0
ext	a	(↑(q * q⁻¹) : ℚ) = (↑1 : ℚ)	q : ℚ≥0 h : q ≠ 0 ⊢ q * q⁻¹ = 1
rw [one_mul]	rw	‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖	𝕜 : Type u_1 E : Type u_2 inst✝⁴ : RCLike 𝕜 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E x y : E ⊢ ‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫‖ ≤ 1 * ‖x‖ * ‖y‖
rcases eq_or_ne n 0 with rfl \| hn	inl	schnirelmannDensity A * (↑0 : ℝ) ≤ (↑(#({a ∈ Ioc 0 0 \| a ∈ A})) : ℝ)	A : Set ℕ inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ A n : ℕ ⊢ schnirelmannDensity A * (↑n : ℝ) ≤ (↑(#({a ∈ Ioc 0 n \| a ∈ A})) : ℝ)
rcases eq_or_ne n 0 with rfl \| hn	inr	n ≠ 0 → schnirelmannDensity A * (↑n : ℝ) ≤ (↑(#({a ∈ Ioc 0 n \| a ∈ A})) : ℝ)	A : Set ℕ inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ A n : ℕ inl : schnirelmannDensity A * (↑0 : ℝ) ≤ (↑(#({a ∈ Ioc 0 0 \| a ∈ A})) : ℝ) ⊢ schnirelmannDensity A * (↑n : ℝ) ≤ (↑(#({a ∈ Ioc 0 n \| a ∈ A})) : ℝ)
rw [Nat.cast_one, div_one, Nat.cast_le_one]	rw	#({a ∈ Ioc 0 1 \| a ∈ A}) ≤ 1	A : Set ℕ inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ A ⊢ (↑(#({a ∈ Ioc 0 1 \| a ∈ A})) : ℝ) / (↑1 : ℝ) ≤ 1
rcases k.eq_zero_or_pos with rfl \| hk'	inl	0 ∉ A → schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑0 : ℝ)⁻¹	A : Set ℕ inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ A k : ℕ hk : k ∉ A ⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k : ℝ)⁻¹
rcases k.eq_zero_or_pos with rfl \| hk'	inr	k > 0 → schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k : ℝ)⁻¹	A : Set ℕ inst✝ : DecidablePred fun x ↦ x ∈ A k : ℕ hk : k ∉ A inl : 0 ∉ A → schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑0 : ℝ)⁻¹ ⊢ schnirelmannDensity A ≤ 1 - (↑k : ℝ)⁻¹

ext

a

(↑‖f‖₊ : ℝ) = (↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}) : ℝ)

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ ‖f‖₊ = sInf {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}

rw [NNReal.coe_sInf, coe_nnnorm, norm_def, NNReal.coe_image]

a

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ (↑‖f‖₊ : ℝ) = (↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}) : ℝ)

simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]

a

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}}

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F ⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}

simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]

a₁

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}}

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} ⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}

simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]

a₂

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ (↑c : ℝ) * ‖x‖}}

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} a₁ : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}} ⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}

simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]

a₃

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ∀ (x_1 : E), ‖(f : E → F) x_1‖ ≤ (↑⟨x, sorry⟩ : ℝ) * ‖x_1‖}

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} a₁ : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}} a₂ : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ (↑c : ℝ) * ‖x‖}} ⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}

simp_rw [← NNReal.coe_le_coe, NNReal.coe_mul, coe_nnnorm, mem_setOf_eq, NNReal.coe_mk, exists_prop]

a₄

sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (_ : 0 ≤ x), ∀ (x_1 : E), ‖(f : E → F) x_1‖ ≤ x * ‖x_1‖}

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F a : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑(c * ‖x‖₊) : ℝ)}} a₁ : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), (↑‖(f : E → F) x‖₊ : ℝ) ≤ (↑c : ℝ) * (↑‖x‖₊ : ℝ)}} a₂ : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, sorry⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ (↑c : ℝ) * ‖x‖}} a₃ : sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ∀ (x_1 : E), ‖(f : E → F) x_1‖ ≤ (↑⟨x, sorry⟩ : ℝ) * ‖x_1‖} ⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}

rwa [← NNReal.coe_ne_zero]

rwa

(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0

rwa [← NNReal.coe_ne_zero]

rwa₁

(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 rwa : (↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0

rwa [← NNReal.coe_ne_zero]

rwa₂

(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 rwa rwa₁ : (↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0

rwa [← NNReal.coe_ne_zero]

rwa₃

(↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F M : ℝ≥0 hM : ∀ (x : E), ‖x‖₊ ≠ 0 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ M * ‖x‖₊ x : E hx : ‖x‖ ≠ 0 rwa rwa₁ rwa₂ : (↑‖x‖₊ : ℝ) ≠ 0 ⊢ ‖x‖₊ ≠ 0

rwa [← NNReal.coe_eq_one]

rwa

(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1

E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1

rwa [← NNReal.coe_eq_one]

rwa₁

(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1

E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 rwa : (↑‖x‖₊ : ℝ) = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1

rwa [← NNReal.coe_eq_one]

rwa₂

(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1

E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 rwa rwa₁ : (↑‖x‖₊ : ℝ) = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1

rwa [← NNReal.coe_eq_one]

rwa₃

(↑‖x‖₊ : ℝ) = 1

E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E inst✝² : SeminormedAddCommGroup F inst✝¹ : NormedSpace ℝ E inst✝ : NormedSpace ℝ F f : E →L[ℝ] F C : ℝ≥0 hf : ∀ (x : E), ‖x‖₊ = 1 → ‖(f : E → F) x‖₊ ≤ C x : E hx : ‖x‖ = 1 rwa rwa₁ rwa₂ : (↑‖x‖₊ : ℝ) = 1 ⊢ ‖x‖₊ = 1

lift r to ℝ≥0 using hr₀

intro

∀ (r : ℝ≥0), (↑r : ℝ) < ‖f‖ → ∃ x, (↑r : ℝ) * ‖x‖ < ‖(f : E → F) x‖

𝕜 : Type u_1 𝕜₂ : Type u_2 E : Type u_4 F : Type u_6 inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ hr₀ : 0 ≤ r hr : r < ‖f‖ ⊢ ∃ x, r * ‖x‖ < ‖(f : E → F) x‖

obtain ⟨y, hy⟩ := f.exists_mul_lt_apply_of_lt_opNNNorm hr

intro

∀ (y : E), r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ → ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

have hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 := nnnorm_ne_zero_iff.2 fun heq => by simp [heq, nnnorm_zero, map_zero] at hy

hy'

‖y‖₊ ≠ 0

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

have hfy : ‖f y‖₊ ≠ 0 := (zero_le'.trans_lt hy).ne'

hfy

‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ← NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy

hy₁

r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ← NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy

hy'₁

‖y‖₊ ≠ 0

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 hy₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

rw [← inv_inv ‖f y‖₊, NNReal.lt_inv_iff_mul_lt (inv_ne_zero hfy), mul_assoc, mul_comm ‖y‖₊, ← mul_assoc, ← NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy'] at hy

hfy₁

‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖y‖₊ < ‖(f : E → F) y‖₊ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 hy₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy'₁ : ‖y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

obtain ⟨k, hk₁, hk₂⟩ := NormedField.exists_lt_nnnorm_lt 𝕜 hy

intro

∀ (k : 𝕜), r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ → ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ → ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

refine ⟨k • y, (nnnorm_smul k y).symm ▸ (NNReal.lt_inv_iff_mul_lt hy').1 hk₂, ?_⟩

intro

r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ ⊢ ∃ x, ‖x‖₊ < 1 ∧ r < ‖(f : E → F) x‖₊

have : ‖σ₁₂ k‖₊ = ‖k‖₊ := Subtype.ext RingHomIsometric.is_iso

this

‖(σ₁₂ : 𝕜 → 𝕜₂) k‖₊ = ‖k‖₊

𝕜 : Type u_11 𝕜₂ : Type u_12 E : Type u_13 F : Type u_14 inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜 inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂ σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂ inst✝² : NormedSpace 𝕜 E inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂ f : E →SL[σ₁₂] F r : ℝ≥0 hr : r < ‖f‖₊ y : E hy : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖y‖₊⁻¹ hy' : ‖y‖₊ ≠ 0 hfy : ‖(f : E → F) y‖₊ ≠ 0 k : 𝕜 hk₁ : r * ‖(f : E → F) y‖₊⁻¹ < ‖k‖₊ hk₂ : ‖k‖₊ < ‖y‖₊⁻¹ ⊢ r < ‖(f : E → F) (k • y)‖₊