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|---|---|---|
定理 85
4 练习 90
5 问题 94
第 5 章 整函数 96
1 Jensen 公式. 97
2 有限阶函数 99
3 无穷乘积 101
3. 1 一般性 101
3.2 例子 正弦函数的乘积公式 102
4 Weierstrass 无穷乘积 104
5 Hadamard 因子分解定理 106
6 练习 110
7 问题 113
第 6 章 Gamma 函数和 Zeta 函数 115
I Gamma 函数 115
1.1 解析延拓 116
\( {1.2\Gamma } \) 函数的性质 118
2 Zeta 函数 122
2. 1 泛函方程和解析延拓 122
3 练习 127
4 问题 131
第 7 章 \( \; \) Zeta 函数和素数定理 133
1 Zeta 函数的零点 134
\( {1.1}\;1/\zeta \left( s\right) \) 的估计 137
2 函数 \( \psi \) 和 \( {\psi }_{1} \) 的简化 138
\( {2.1}{\psi }_{1} \) 的渐近证明 142
3 练习 146
4 问题 149
第 8 章 共形映射 151
1 共形等价和举例 152
1.1 圆盘和上半平面 153
1.2 进一步举例 154
1.3 带形区域中的 Dirichlet 问题 156
2 Schwarz 引理 圆盘和上半平面的自同构 160
2. 1 圆盘内的自同构 161
2.2 上半平面的自同构 163
3 黎曼映射定理 164
3. 1 必要条件和定理的陈述 164
3. 2 Montel 定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz-Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4.5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第 9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式. 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2.1 柯西定理的一般形式的证明 268
注记和参考. 270
参考文献 273
## 第 1 章 复分析预备知识
在过去的两个世纪里, 数学获得了长足的发展, 这在很大程度上要得益于复数的引进。而矛盾的是, 这一切都是建立在一个看似荒谬的理念之上, 那就是有一些数它们的平方是负数.
E. Borel, 1952
本章主要介绍一些重要的预备知识, 包括复数与复平面的基本性质、收敛性以及定义在复平面上的集合, 这些知识在第一册 (傅里叶分析) 中都已经提到过.
随后给出解析函数的一些主要概念, 此类函数是一类具有某种特性的可微函数. 接着又讨论了柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations) 和幂级数.
最后, 定义了曲线及函数沿曲线积分的概念. 特别地, 我们将证明一个很重要的结论,即如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用.
这些预备知识将贯穿整个复分析的始终.
## 1 复数和复平面
本节中的很多结论在本书第一册中都已经用到过.
## 1.1 基本性质
复数的基本形式为 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,其中 \( x, y \) 均为任意实数, \( \mathrm{i} \) 是虚单位,它满足 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) . 实数 \( x, y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,常记为
\[
x = \operatorname{Re}\left( z\right), y = \operatorname{Im}\left( z\right) .
\]
实数可以看作虚部为零的复数, 而实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数.
复数集一般记为 \( \mathbf{C} \) ,不难看出,复数和欧式空间中的平面中的点是一一对应的. 事实上,对任意复数 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C} \) ,都有唯一的点 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) 与之对应,反之亦然. 例如,0 相当于原点,而 \( \mathrm{i} \) 相当于点 \( \left( {0,1}\right) \) . 自然地,将平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的 \( x \) 轴和 \( y \) 轴分别定义为实轴和虚轴,因为 \( x \) 轴上的点对应着实数, \( y \) 轴上非原点的点对应着纯虚数. 这样表示复数 \( z \) 的平面称为复平面或 \( z \) 平面. (见图 1)
只要保证 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) ,复数的加法和乘法运算
图 1 复平面
完全遵循实数的运算法则. 如果 \( {z}_{1} = {x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1} \) , \( {z}_{2} = {x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2} \) ,那么
\[
{z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) + \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right) ,
\]
\[
= \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{y}_{1} + {y}_{2}}\right)
\]
并且
\[
{z}_{1}{z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{2} + \mathrm{i}{x}_{1}{y}_{2} + \mathrm{i}{y}_{1}{x}_{2} + {\mathrm{i}}^{2}{y}_{1}{y}_{2}
\]
\[
= \left( {{x}_{1}{x}_{2} - {y}_{1}{y}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1}{y}_{2} + {y}_{1}{x}_{2}}\right) \text{.}
\]
由上述两个公式定义的复数的加法和乘法运算一定遵循以下运算规律:
- 交换律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C},{z}_{1} + {z}_{2} = \)
\( {z}_{2} + {z}_{1} \) 且 \( {z}_{1}{z}_{2} = {z}_{2}{z}_{1} \) .
- 结合律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},\left( {{z}_{1} + {z}_{2}}\right) + {z}_{3} = {z}_{1} + \left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) \) 且 \( \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) {z}_{3} = {z}_{1}\left( {{z}_{2}{z}_{3}}\right) \) .
- 分配律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},{z}_{1}\left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) = {z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} \) .
显然,复数的加法相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中二维向量的加法,而复数的乘法则相当于引入了带有伸缩的旋转. 事实上, 可以引入极坐标来表示复数, 观察到某个复数与 \( \mathrm{i} \) 相乘,则相当于该复数按逆时针方向旋转 \( \pi /2 \) .
复数的模或绝对值与欧几里得 (Euclidean) 平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的模长的定义是一致的. 通常,复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的绝对值定义为
\[
\left| z\right| = {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{1/2},
\]
所以 \( \left| z\right| \) 恰好是点 \( \left( {x, y}\right) \) 到原点的距离. 特别地,对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,均满足三角不等式
\[
\left| {z + w}\right| \leq \left| z\right| + \left| w\right| .
\]
与此同时,还可以得到另外几个比较重要的不等式,即对任意 \( z \in \mathbf{C} \) ,总满足 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| ,\left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) ,并且对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,
\[
\parallel z\parallel - \parallel w\parallel \leq \left| {z - w}\right| .
\]
这是因为下面的三角不等式
\[
\left| z\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| w\right| \text{ 和 }\left| w\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| z\right|
\]
定义复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的共轭复数为
\[
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
\]
它是由复数在复平面中关于实轴反射而来, 也就是说, 在复平面中, 两个共轭复数一定是关于实轴对称的. 事实上,当且仅当 \( z = \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为实数,当且仅当 \( z = - \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为纯虚数 \( \left( {z\text{不等于 0}}\right) \) .
易证
\[
\operatorname{Re}\left( z\right) = \frac{z + \bar{z}}{2},\;\operatorname{Im}\left( z\right) = \frac{z - \bar{z}}{2\mathrm{i}}.
\]
且 \( {\left| z\right| }^{2} = z\bar{z} \) ,有推论,只要 \( z \neq 0 \) ,那么
\[
\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
任意非零复数都可以表示为极坐标的形式, 即
\[
z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },
\]
其中 \( r > 0 \) 表示复数 \( z \) 的模, \( \theta \in \mathbf{R} \) 表示复数 \( z \) 的辐角（任意非零复数 \( z \) 都有无穷多个辐角,两个辐角间相差 \( {2\pi } \) 的整数倍),以 \( \arg z \) 表示其中的一个特定值,即主值, 称为复数 \( z \) 的主辐角,且
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta .
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right| = 1 \) ,所以 \( r = \left| z\right| \) ,而 \( \theta \) 则是从原点
图 2 复数的极坐标形式
出发且通过复数 \( z \) 的射线与实轴的正方向所成的角 (逆时针方向为正) (见图 2).
根据复数的极坐标表达方式,若 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) , \( w = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,那么
\[
{zw} = {rs}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \varphi }\right) }.
\]
因此,复数的乘法就相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的相似扩大 (也就是带有伸缩的旋转).
## 1.2 收敛性
根据上面所提到的复数的算术和几何性质, 得到复数的收敛和极限的重要概念.
序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) ,若存在 \( w \in \mathbf{C} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left| {{z}_{n} - w}\right| = 0\text{ (或者 }w = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n}\text{ ),}
\]
则称序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 收敛于 \( w \) .
以上收敛的概念并不是新的定义. 事实上,因为复数集 \( \mathbf{C} \) 中的绝对值和欧几里得平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中定义的距离是一致的,所以序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当序列在复平面上对应的点列收敛于 \( w \) 在复平面中对应的点.
特别地,序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 的实部序列和虚部序列分别收敛于 \( w \) 的实部和虚部, 此结论作为练习留给读者证明.
若得不到序列确切的收敛值 (例如 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}1/{n}^{3} \) ),此时也可以由序列本身来描述收敛. 序列 \( \left| {z}_{n}\right| \) 称为柯西列 (或基本列),当 \( n, m \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \rightarrow 0
\]
也就是说,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( N > 0 \) ,当 \( n, m > N \) 时,总有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) . 实分析中一个很重要的结论是实数集 \( \mathbf{R} \) 是完备的,实数集中任何柯西列都收敛 \( {}^{ \ominus } \) .
---
称为柯西收敛准则, 等价于 Bolzano- Weierstrass 定理.
---
序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为柯西列当且仅当 \( {z}_{n} \) 的实部和虚部均为柯西列,因此复数集 \( \mathbf{C} \) 中的任何柯西列都在 \( \mathbf{C} \) 中收敛. 从而得出以下结论.
定理 1.1 复数集 \( \mathrm{C} \) 是完备的.
接下来我们考虑一些简单的拓扑知识, 这些知识对于研究函数是非常必要的. 并注意到, 这里并没有引入新的概念, 而是将之前的概念用新的词汇重新描述而已.
## 1.3 复平面中的集合
如果 \( {z}_{0} \in \mathbf{C}, r > 0 \) ,定义 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 为以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开圆盘,集合 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 中的任意元素与 \( {z}_{0} \) 之差的绝对值都小于半径 \( r \) ,即
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
这就是指平面中以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘. 以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的闭圆盘记为 \( {\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq r}\right\} ,
\]
并且开圆盘和闭圆盘的边界都是圆周
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
因为单位圆盘 (中心在原点, 半径为 1 的开圆盘) 在接下来的章节中扮演着重要的角色,这里记为 \( D \) ,
\[
D = \{ z \in \mathbf{C} : \left| z\right| < 1\} .
\]
给定集合 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) ,如果存在 \( r > 0 \) 使得
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \subset \Omega ,
\]
称 \( {z}_{0} \) 为 \( \Omega \) 的内点. 集合 \( \Omega \) 的内部是由它的所有内点组成的集合. 因此,如果集合 \( \Omega \) 中的所有点都是它的内点,则 \( \Omega \) 为开集,此定义与 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中开集的定义是一致的.
如果集合 \( \Omega \) 的余集 \( {\Omega }^{\mathrm{c}} = \mathrm{C} - \Omega \) 是开集,那么集合 \( \Omega \) 称为闭集. 这个性质可以按照极限点更好地描述. 如果存在序列 \( {z}_{n} \in \Omega \) ,且总有 \( {z}_{n} \neq z \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = z \) , 则称点 \( z \in \mathbf{C} \) 是集合 \( \Omega \) 中的极限点. 读者容易证明集合为闭集当且仅当该集合包含了它所有的极限点. 集合 \( \Omega \) 的闭包是由集合 \( \Omega \) 与它的极限点合并构成的,通常记为 \( \bar{\Omega } \) . 集合 \( \Omega \) 的边界等于它的闭包减去它的内部,通常记为 \( \partial \Omega \) .
集合 \( \Omega \) 有界等价于存在 \( M > 0 \) 使得任意的 \( z \in \Omega \) 均满足 \( \left| z\right| < M \) . 也就是说, 集合 \( \Omega \) 必包含在某个大的圆周内. 如果集合 \( \Omega \) 有界,定义它的直径为
\[
\operatorname{diam}\left( \Omega \right) = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in \Omega }}\left| {z - w}\right| .
\]
有界闭集 \( \Omega \) 称为紧的. 根据实变量的情形,可以证明以下结论.
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与 | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz-Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4.5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第 9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式. 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2.1 柯西定理的一般形式的证明 268
注记和参考. 270
参考文献 273
## 第 1 章 复分析预备知识
在过去的两个世纪里, 数学获得了长足的发展, 这在很大程度上要得益于复数的引进。而矛盾的是, 这一切都是建立在一个看似荒谬的理念之上, 那就是有一些数它们的平方是负数.
E. Borel, 1952
本章主要介绍一些重要的预备知识, 包括复数与复平面的基本性质、收敛性以及定义在复平面上的集合, 这些知识在第一册 (傅里叶分析) 中都已经提到过.
随后给出解析函数的一些主要概念, 此类函数是一类具有某种特性的可微函数. 接着又讨论了柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations) 和幂级数.
最后, 定义了曲线及函数沿曲线积分的概念. 特别地, 我们将证明一个很重要的结论,即如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用.
这些预备知识将贯穿整个复分析的始终.
## 1 复数和复平面
本节中的很多结论在本书第一册中都已经用到过.
## 1.1 基本性质
复数的基本形式为 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,其中 \( x, y \) 均为任意实数, \( \mathrm{i} \) 是虚单位,它满足 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) . 实数 \( x, y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,常记为
\[
x = \operatorname{Re}\left( z\right), y = \operatorname{Im}\left( z\right) .
\]
实数可以看作虚部为零的复数, 而实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数.
复数集一般记为 \( \mathbf{C} \) ,不难看出,复数和欧式空间中的平面中的点是一一对应的. 事实上,对任意复数 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C} \) ,都有唯一的点 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) 与之对应,反之亦然. 例如,0 相当于原点,而 \( \mathrm{i} \) 相当于点 \( \left( {0,1}\right) \) . 自然地,将平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的 \( x \) 轴和 \( y \) 轴分别定义为实轴和虚轴,因为 \( x \) 轴上的点对应着实数, \( y \) 轴上非原点的点对应着纯虚数. 这样表示复数 \( z \) 的平面称为复平面或 \( z \) 平面. (见图 1)
只要保证 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) ,复数的加法和乘法运算
图 1 复平面
完全遵循实数的运算法则. 如果 \( {z}_{1} = {x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1} \) , \( {z}_{2} = {x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2} \) ,那么
\[
{z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) + \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right) ,
\]
\[
= \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{y}_{1} + {y}_{2}}\right)
\]
并且
\[
{z}_{1}{z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{2} + \mathrm{i}{x}_{1}{y}_{2} + \mathrm{i}{y}_{1}{x}_{2} + {\mathrm{i}}^{2}{y}_{1}{y}_{2}
\]
\[
= \left( {{x}_{1}{x}_{2} - {y}_{1}{y}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1}{y}_{2} + {y}_{1}{x}_{2}}\right) \text{.}
\]
由上述两个公式定义的复数的加法和乘法运算一定遵循以下运算规律:
- 交换律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C},{z}_{1} + {z}_{2} = \)
\( {z}_{2} + {z}_{1} \) 且 \( {z}_{1}{z}_{2} = {z}_{2}{z}_{1} \) .
- 结合律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},\left( {{z}_{1} + {z}_{2}}\right) + {z}_{3} = {z}_{1} + \left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) \) 且 \( \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) {z}_{3} = {z}_{1}\left( {{z}_{2}{z}_{3}}\right) \) .
- 分配律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},{z}_{1}\left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) = {z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} \) .
显然,复数的加法相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中二维向量的加法,而复数的乘法则相当于引入了带有伸缩的旋转. 事实上, 可以引入极坐标来表示复数, 观察到某个复数与 \( \mathrm{i} \) 相乘,则相当于该复数按逆时针方向旋转 \( \pi /2 \) .
复数的模或绝对值与欧几里得 (Euclidean) 平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的模长的定义是一致的. 通常,复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的绝对值定义为
\[
\left| z\right| = {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{1/2},
\]
所以 \( \left| z\right| \) 恰好是点 \( \left( {x, y}\right) \) 到原点的距离. 特别地,对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,均满足三角不等式
\[
\left| {z + w}\right| \leq \left| z\right| + \left| w\right| .
\]
与此同时,还可以得到另外几个比较重要的不等式,即对任意 \( z \in \mathbf{C} \) ,总满足 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| ,\left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) ,并且对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,
\[
\parallel z\parallel - \parallel w\parallel \leq \left| {z - w}\right| .
\]
这是因为下面的三角不等式
\[
\left| z\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| w\right| \text{ 和 }\left| w\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| z\right|
\]
定义复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的共轭复数为
\[
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
\]
它是由复数在复平面中关于实轴反射而来, 也就是说, 在复平面中, 两个共轭复数一定是关于实轴对称的. 事实上,当且仅当 \( z = \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为实数,当且仅当 \( z = - \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为纯虚数 \( \left( {z\text{不等于 0}}\right) \) .
易证
\[
\operatorname{Re}\left( z\right) = \frac{z + \bar{z}}{2},\;\operatorname{Im}\left( z\right) = \frac{z - \bar{z}}{2\mathrm{i}}.
\]
且 \( {\left| z\right| }^{2} = z\bar{z} \) ,有推论,只要 \( z \neq 0 \) ,那么
\[
\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
任意非零复数都可以表示为极坐标的形式, 即
\[
z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },
\]
其中 \( r > 0 \) 表示复数 \( z \) 的模, \( \theta \in \mathbf{R} \) 表示复数 \( z \) 的辐角（任意非零复数 \( z \) 都有无穷多个辐角,两个辐角间相差 \( {2\pi } \) 的整数倍),以 \( \arg z \) 表示其中的一个特定值,即主值, 称为复数 \( z \) 的主辐角,且
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta .
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right| = 1 \) ,所以 \( r = \left| z\right| \) ,而 \( \theta \) 则是从原点
图 2 复数的极坐标形式
出发且通过复数 \( z \) 的射线与实轴的正方向所成的角 (逆时针方向为正) (见图 2).
根据复数的极坐标表达方式,若 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) , \( w = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,那么
\[
{zw} = {rs}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \varphi }\right) }.
\]
因此,复数的乘法就相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的相似扩大 (也就是带有伸缩的旋转).
## 1.2 收敛性
根据上面所提到的复数的算术和几何性质, 得到复数的收敛和极限的重要概念.
序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) ,若存在 \( w \in \mathbf{C} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left| {{z}_{n} - w}\right| = 0\text{ (或者 }w = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n}\text{ ),}
\]
则称序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 收敛于 \( w \) .
以上收敛的概念并不是新的定义. 事实上,因为复数集 \( \mathbf{C} \) 中的绝对值和欧几里得平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中定义的距离是一致的,所以序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当序列在复平面上对应的点列收敛于 \( w \) 在复平面中对应的点.
特别地,序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 的实部序列和虚部序列分别收敛于 \( w \) 的实部和虚部, 此结论作为练习留给读者证明.
若得不到序列确切的收敛值 (例如 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}1/{n}^{3} \) ),此时也可以由序列本身来描述收敛. 序列 \( \left| {z}_{n}\right| \) 称为柯西列 (或基本列),当 \( n, m \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \rightarrow 0
\]
也就是说,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( N > 0 \) ,当 \( n, m > N \) 时,总有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) . 实分析中一个很重要的结论是实数集 \( \mathbf{R} \) 是完备的,实数集中任何柯西列都收敛 \( {}^{ \ominus } \) .
---
称为柯西收敛准则, 等价于 Bolzano- Weierstrass 定理.
---
序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为柯西列当且仅当 \( {z}_{n} \) 的实部和虚部均为柯西列,因此复数集 \( \mathbf{C} \) 中的任何柯西列都在 \( \mathbf{C} \) 中收敛. 从而得出以下结论.
定理 1.1 复数集 \( \mathrm{C} \) 是完备的.
接下来我们考虑一些简单的拓扑知识, 这些知识对于研究函数是非常必要的. 并注意到, 这里并没有引入新的概念, 而是将之前的概念用新的词汇重新描述而已.
## 1.3 复平面中的集合
如果 \( {z}_{0} \in \mathbf{C}, r > 0 \) ,定义 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 为以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开圆盘,集合 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 中的任意元素与 \( {z}_{0} \) 之差的绝对值都小于半径 \( r \) ,即
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
这就是指平面中以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘. 以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的闭圆盘记为 \( {\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq r}\right\} ,
\]
并且开圆盘和闭圆盘的边界都是圆周
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
因为单位圆盘 (中心在原点, 半径为 1 的开圆盘) 在接下来的章节中扮演着重要的角色,这里记为 \( D \) ,
\[
D = \{ z \in \mathbf{C} : \left| z\right| < 1\} .
\]
给定集合 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) ,如果存在 \( r > 0 \) 使得
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \subset \Omega ,
\]
称 \( {z}_{0} \) 为 \( \Omega \) 的内点. 集合 \( \Omega \) 的内部是由它的所有内点组成的集合. 因此,如果集合 \( \Omega \) 中的所有点都是它的内点,则 \( \Omega \) 为开集,此定义与 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中开集的定义是一致的.
如果集合 \( \Omega \) 的余集 \( {\Omega }^{\mathrm{c}} = \mathrm{C} - \Omega \) 是开集,那么集合 \( \Omega \) 称为闭集. 这个性质可以按照极限点更好地描述. 如果存在序列 \( {z}_{n} \in \Omega \) ,且总有 \( {z}_{n} \neq z \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = z \) , 则称点 \( z \in \mathbf{C} \) 是集合 \( \Omega \) 中的极限点. 读者容易证明集合为闭集当且仅当该集合包含了它所有的极限点. 集合 \( \Omega \) 的闭包是由集合 \( \Omega \) 与它的极限点合并构成的,通常记为 \( \bar{\Omega } \) . 集合 \( \Omega \) 的边界等于它的闭包减去它的内部,通常记为 \( \partial \Omega \) .
集合 \( \Omega \) 有界等价于存在 \( M > 0 \) 使得任意的 \( z \in \Omega \) 均满足 \( \left| z\right| < M \) . 也就是说, 集合 \( \Omega \) 必包含在某个大的圆周内. 如果集合 \( \Omega \) 有界,定义它的直径为
\[
\operatorname{diam}\left( \Omega \right) = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in \Omega }}\left| {z - w}\right| .
\]
有界闭集 \( \Omega \) 称为紧的. 根据实变量的情形,可以证明以下结论.
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集合 \( \Omega \) 是紧的充分必要条件是 \( \Omega \) 的任意开覆盖中必可选出一个有限子覆盖.
关于紧还有一个很重要的性质, 就是嵌套集. 这个结论不但在第 2 章的 Gour-sat 定理的证明中用到, 早在开始研究复值函数论时就已经用过.
命题 1.4 如果 \( {\Omega }_{1} \supset {\Omega }_{2} \supset \cdots \supset {\Omega }_{n} \supset \cdots \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的非空紧集序列,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0,
\]
那么一定存在唯一的 \( w \in \mathbf{C} \) ,使得对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) .
证明 在每个 \( {\Omega }_{n} \) 中选择一个 \( {z}_{n} \) . 根据条件 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,则 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是柯西列, 因此 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 一定收敛于某个极限值,不妨设该极限为 \( w \) . 又因为 \( {\Omeg | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式. 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2.1 柯西定理的一般形式的证明 268
注记和参考. 270
参考文献 273
## 第 1 章 复分析预备知识
在过去的两个世纪里, 数学获得了长足的发展, 这在很大程度上要得益于复数的引进。而矛盾的是, 这一切都是建立在一个看似荒谬的理念之上, 那就是有一些数它们的平方是负数.
E. Borel, 1952
本章主要介绍一些重要的预备知识, 包括复数与复平面的基本性质、收敛性以及定义在复平面上的集合, 这些知识在第一册 (傅里叶分析) 中都已经提到过.
随后给出解析函数的一些主要概念, 此类函数是一类具有某种特性的可微函数. 接着又讨论了柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equations) 和幂级数.
最后, 定义了曲线及函数沿曲线积分的概念. 特别地, 我们将证明一个很重要的结论,即如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用.
这些预备知识将贯穿整个复分析的始终.
## 1 复数和复平面
本节中的很多结论在本书第一册中都已经用到过.
## 1.1 基本性质
复数的基本形式为 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,其中 \( x, y \) 均为任意实数, \( \mathrm{i} \) 是虚单位,它满足 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) . 实数 \( x, y \) 分别称为复数 \( z \) 的实部和虚部,常记为
\[
x = \operatorname{Re}\left( z\right), y = \operatorname{Im}\left( z\right) .
\]
实数可以看作虚部为零的复数, 而实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数.
复数集一般记为 \( \mathbf{C} \) ,不难看出,复数和欧式空间中的平面中的点是一一对应的. 事实上,对任意复数 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C} \) ,都有唯一的点 \( \left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) 与之对应,反之亦然. 例如,0 相当于原点,而 \( \mathrm{i} \) 相当于点 \( \left( {0,1}\right) \) . 自然地,将平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的 \( x \) 轴和 \( y \) 轴分别定义为实轴和虚轴,因为 \( x \) 轴上的点对应着实数, \( y \) 轴上非原点的点对应着纯虚数. 这样表示复数 \( z \) 的平面称为复平面或 \( z \) 平面. (见图 1)
只要保证 \( {\mathrm{i}}^{2} = - 1 \) ,复数的加法和乘法运算
图 1 复平面
完全遵循实数的运算法则. 如果 \( {z}_{1} = {x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1} \) , \( {z}_{2} = {x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2} \) ,那么
\[
{z}_{1} + {z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) + \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right) ,
\]
\[
= \left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{y}_{1} + {y}_{2}}\right)
\]
并且
\[
{z}_{1}{z}_{2} = \left( {{x}_{1} + \mathrm{i}{y}_{1}}\right) \left( {{x}_{2} + \mathrm{i}{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {x}_{1}{x}_{2} + \mathrm{i}{x}_{1}{y}_{2} + \mathrm{i}{y}_{1}{x}_{2} + {\mathrm{i}}^{2}{y}_{1}{y}_{2}
\]
\[
= \left( {{x}_{1}{x}_{2} - {y}_{1}{y}_{2}}\right) + \mathrm{i}\left( {{x}_{1}{y}_{2} + {y}_{1}{x}_{2}}\right) \text{.}
\]
由上述两个公式定义的复数的加法和乘法运算一定遵循以下运算规律:
- 交换律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C},{z}_{1} + {z}_{2} = \)
\( {z}_{2} + {z}_{1} \) 且 \( {z}_{1}{z}_{2} = {z}_{2}{z}_{1} \) .
- 结合律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},\left( {{z}_{1} + {z}_{2}}\right) + {z}_{3} = {z}_{1} + \left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) \) 且 \( \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) {z}_{3} = {z}_{1}\left( {{z}_{2}{z}_{3}}\right) \) .
- 分配律: 对任意的 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C},{z}_{1}\left( {{z}_{2} + {z}_{3}}\right) = {z}_{1}{z}_{2} + {z}_{1}{z}_{3} \) .
显然,复数的加法相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中二维向量的加法,而复数的乘法则相当于引入了带有伸缩的旋转. 事实上, 可以引入极坐标来表示复数, 观察到某个复数与 \( \mathrm{i} \) 相乘,则相当于该复数按逆时针方向旋转 \( \pi /2 \) .
复数的模或绝对值与欧几里得 (Euclidean) 平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的模长的定义是一致的. 通常,复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的绝对值定义为
\[
\left| z\right| = {\left( {x}^{2} + {y}^{2}\right) }^{1/2},
\]
所以 \( \left| z\right| \) 恰好是点 \( \left( {x, y}\right) \) 到原点的距离. 特别地,对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,均满足三角不等式
\[
\left| {z + w}\right| \leq \left| z\right| + \left| w\right| .
\]
与此同时,还可以得到另外几个比较重要的不等式,即对任意 \( z \in \mathbf{C} \) ,总满足 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| ,\left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq \left| z\right| \) ,并且对任意 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,
\[
\parallel z\parallel - \parallel w\parallel \leq \left| {z - w}\right| .
\]
这是因为下面的三角不等式
\[
\left| z\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| w\right| \text{ 和 }\left| w\right| \leq \left| {z - w}\right| + \left| z\right|
\]
定义复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) 的共轭复数为
\[
\bar{z} = x - \mathrm{i}y,
\]
它是由复数在复平面中关于实轴反射而来, 也就是说, 在复平面中, 两个共轭复数一定是关于实轴对称的. 事实上,当且仅当 \( z = \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为实数,当且仅当 \( z = - \bar{z} \) 时复数 \( z \) 为纯虚数 \( \left( {z\text{不等于 0}}\right) \) .
易证
\[
\operatorname{Re}\left( z\right) = \frac{z + \bar{z}}{2},\;\operatorname{Im}\left( z\right) = \frac{z - \bar{z}}{2\mathrm{i}}.
\]
且 \( {\left| z\right| }^{2} = z\bar{z} \) ,有推论,只要 \( z \neq 0 \) ,那么
\[
\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
任意非零复数都可以表示为极坐标的形式, 即
\[
z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },
\]
其中 \( r > 0 \) 表示复数 \( z \) 的模, \( \theta \in \mathbf{R} \) 表示复数 \( z \) 的辐角（任意非零复数 \( z \) 都有无穷多个辐角,两个辐角间相差 \( {2\pi } \) 的整数倍),以 \( \arg z \) 表示其中的一个特定值,即主值, 称为复数 \( z \) 的主辐角,且
\[
{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = \cos \theta + \mathrm{i}\sin \theta .
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right| = 1 \) ,所以 \( r = \left| z\right| \) ,而 \( \theta \) 则是从原点
图 2 复数的极坐标形式
出发且通过复数 \( z \) 的射线与实轴的正方向所成的角 (逆时针方向为正) (见图 2).
根据复数的极坐标表达方式,若 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) , \( w = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,那么
\[
{zw} = {rs}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {\theta + \varphi }\right) }.
\]
因此,复数的乘法就相当于平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的相似扩大 (也就是带有伸缩的旋转).
## 1.2 收敛性
根据上面所提到的复数的算术和几何性质, 得到复数的收敛和极限的重要概念.
序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) ,若存在 \( w \in \mathbf{C} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\left| {{z}_{n} - w}\right| = 0\text{ (或者 }w = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n}\text{ ),}
\]
则称序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 收敛于 \( w \) .
以上收敛的概念并不是新的定义. 事实上,因为复数集 \( \mathbf{C} \) 中的绝对值和欧几里得平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中定义的距离是一致的,所以序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当序列在复平面上对应的点列收敛于 \( w \) 在复平面中对应的点.
特别地,序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 收敛于 \( w \) 当且仅当 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 的实部序列和虚部序列分别收敛于 \( w \) 的实部和虚部, 此结论作为练习留给读者证明.
若得不到序列确切的收敛值 (例如 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}1/{n}^{3} \) ),此时也可以由序列本身来描述收敛. 序列 \( \left| {z}_{n}\right| \) 称为柯西列 (或基本列),当 \( n, m \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| \rightarrow 0
\]
也就是说,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( N > 0 \) ,当 \( n, m > N \) 时,总有 \( \left| {{z}_{n} - {z}_{m}}\right| < \varepsilon \) . 实分析中一个很重要的结论是实数集 \( \mathbf{R} \) 是完备的,实数集中任何柯西列都收敛 \( {}^{ \ominus } \) .
---
称为柯西收敛准则, 等价于 Bolzano- Weierstrass 定理.
---
序列 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 为柯西列当且仅当 \( {z}_{n} \) 的实部和虚部均为柯西列,因此复数集 \( \mathbf{C} \) 中的任何柯西列都在 \( \mathbf{C} \) 中收敛. 从而得出以下结论.
定理 1.1 复数集 \( \mathrm{C} \) 是完备的.
接下来我们考虑一些简单的拓扑知识, 这些知识对于研究函数是非常必要的. 并注意到, 这里并没有引入新的概念, 而是将之前的概念用新的词汇重新描述而已.
## 1.3 复平面中的集合
如果 \( {z}_{0} \in \mathbf{C}, r > 0 \) ,定义 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 为以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开圆盘,集合 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 中的任意元素与 \( {z}_{0} \) 之差的绝对值都小于半径 \( r \) ,即
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
这就是指平面中以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘. 以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的闭圆盘记为 \( {\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{\bar{D}}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq r}\right\} ,
\]
并且开圆盘和闭圆盘的边界都是圆周
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
因为单位圆盘 (中心在原点, 半径为 1 的开圆盘) 在接下来的章节中扮演着重要的角色,这里记为 \( D \) ,
\[
D = \{ z \in \mathbf{C} : \left| z\right| < 1\} .
\]
给定集合 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) ,如果存在 \( r > 0 \) 使得
\[
{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \subset \Omega ,
\]
称 \( {z}_{0} \) 为 \( \Omega \) 的内点. 集合 \( \Omega \) 的内部是由它的所有内点组成的集合. 因此,如果集合 \( \Omega \) 中的所有点都是它的内点,则 \( \Omega \) 为开集,此定义与 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中开集的定义是一致的.
如果集合 \( \Omega \) 的余集 \( {\Omega }^{\mathrm{c}} = \mathrm{C} - \Omega \) 是开集,那么集合 \( \Omega \) 称为闭集. 这个性质可以按照极限点更好地描述. 如果存在序列 \( {z}_{n} \in \Omega \) ,且总有 \( {z}_{n} \neq z \) ,使得 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{z}_{n} = z \) , 则称点 \( z \in \mathbf{C} \) 是集合 \( \Omega \) 中的极限点. 读者容易证明集合为闭集当且仅当该集合包含了它所有的极限点. 集合 \( \Omega \) 的闭包是由集合 \( \Omega \) 与它的极限点合并构成的,通常记为 \( \bar{\Omega } \) . 集合 \( \Omega \) 的边界等于它的闭包减去它的内部,通常记为 \( \partial \Omega \) .
集合 \( \Omega \) 有界等价于存在 \( M > 0 \) 使得任意的 \( z \in \Omega \) 均满足 \( \left| z\right| < M \) . 也就是说, 集合 \( \Omega \) 必包含在某个大的圆周内. 如果集合 \( \Omega \) 有界,定义它的直径为
\[
\operatorname{diam}\left( \Omega \right) = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in \Omega }}\left| {z - w}\right| .
\]
有界闭集 \( \Omega \) 称为紧的. 根据实变量的情形,可以证明以下结论.
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集合 \( \Omega \) 是紧的充分必要条件是 \( \Omega \) 的任意开覆盖中必可选出一个有限子覆盖.
关于紧还有一个很重要的性质, 就是嵌套集. 这个结论不但在第 2 章的 Gour-sat 定理的证明中用到, 早在开始研究复值函数论时就已经用过.
命题 1.4 如果 \( {\Omega }_{1} \supset {\Omega }_{2} \supset \cdots \supset {\Omega }_{n} \supset \cdots \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的非空紧集序列,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0,
\]
那么一定存在唯一的 \( w \in \mathbf{C} \) ,使得对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) .
证明 在每个 \( {\Omega }_{n} \) 中选择一个 \( {z}_{n} \) . 根据条件 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,则 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是柯西列, 因此 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 一定收敛于某个极限值,不妨设该极限为 \( w \) . 又因为 \( {\Omega }_{n} \) 为紧集,所以对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) . 下面证明 \( w \) 的唯一性,假设存在 \( {w}^{\prime } \) 也满足条件,且 \( {w}^{\prime } \neq w \) ,那么 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| > 0 \) ,这与 \( \operatorname{diam | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集合 \( \Omega \) 是紧的充分必要条件是 \( \Omega \) 的任意开覆盖中必可选出一个有限子覆盖.
关于紧还有一个很重要的性质, 就是嵌套集. 这个结论不但在第 2 章的 Gour-sat 定理的证明中用到, 早在开始研究复值函数论时就已经用过.
命题 1.4 如果 \( {\Omega }_{1} \supset {\Omega }_{2} \supset \cdots \supset {\Omega }_{n} \supset \cdots \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的非空紧集序列,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,
\[
\operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0,
\]
那么一定存在唯一的 \( w \in \mathbf{C} \) ,使得对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) .
证明 在每个 \( {\Omega }_{n} \) 中选择一个 \( {z}_{n} \) . 根据条件 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,则 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 是柯西列, 因此 \( \left\{ {z}_{n}\right\} \) 一定收敛于某个极限值,不妨设该极限为 \( w \) . 又因为 \( {\Omega }_{n} \) 为紧集,所以对所有的 \( n, w \in {\Omega }_{n} \) . 下面证明 \( w \) 的唯一性,假设存在 \( {w}^{\prime } \) 也满足条件,且 \( {w}^{\prime } \neq w \) ,那么 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| > 0 \) ,这与 \( \operatorname{diam}\left( {\Omega }_{n}\right) \rightarrow 0 \) 矛盾,即 \( w \) 是唯一的.
最后要介绍的概念就是连通性. 开集 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是连通的,即如果它不能分成两个不相交的非空开集 \( {\Omega }_{1},{\Omega }_{2} \) ,使得
\[
\Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2}
\]
复数集 \( \mathbf{C} \) 中连通的开集称为区域. 类似地,闭集 \( F \) 是连通的,即如果它不能分成两个不相交的非空闭集 \( {F}_{1},{F}_{2} \) ,使得 \( F = {F}_{1} \cup {F}_{2} \) .
连通性还可以等价地用曲线描述,这种描述应用更广泛: \( \Omega \) 是连通的开集, 当且仅当 \( \Omega \) 中的任意两点都可以由含于 \( \Omega \) 内的某条曲线 \( \gamma \) 连接起来. 详见练习 5.
## 2 定义在复平面上的函数
## 2.1 连续函数
设 \( f \) 是定义在复数集合 \( \Omega \) 上的函数. 若对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,总存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( z,{z}_{0} \in \) \( \Omega ,\left| {z - {z}_{0}}\right| < \delta \) 时,总有 \( \left| {f\left( z\right) - f\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon \) ,则称函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处连续. 或等价地定义为对任意序列 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots \mid \subset \Omega }\right. \) ,如果 \( \lim {z}_{n} = {z}_{0} \) ,那么 \( \lim f\left( {z}_{n}\right) = f\left( {z}_{0}\right) \) .
如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 中的任意一点处都连续,则称 \( f \) 在集合 \( \Omega \) 上连续. 连续函数的和或乘积依然是连续的.
因为复数收敛的概念与平面 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的点的收敛是一致的,所以函数 \( f \) 关于复变量 \( z = x + \mathrm{i}y \) 是连续的当且仅当函数 \( f \) 关于两个实变量 \( x, y \) 都是连续的.
根据三角不等式,如果函数 \( f \) 是连续的,那么实值函数 \( \left| {(f\left( z\right) }\right| \) 也一定是连续的. 如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,使得对任意的点 \( z \in \Omega \) ,总有
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right|
\]
则函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点取得最大值. 类似地可以定义最小值.
定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值.
此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了.
## 2.2 全纯函数
接下来引入复分析中的一个非常重要的概念, 它与之前的讨论有区别, 实际上就是引入真复形的概念.
令 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的复变函数. 如果当 \( h \rightarrow 0 \) 时, 比值
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}
\]
(1)
的极限存在,其中 \( h \in \mathbf{C}, h \neq 0 \) 且 \( {z}_{0} + h \in \Omega \) ,称函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,将此极限值记为 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) ,并称为 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处的微商,即
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}.
\]
需要强调的是, \( h \) 是一个可从任意方向上趋于 0 的复数.
如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每个点处都是可微的,则称函数 \( f \) 在集合 \( \Omega \) 上是全纯的. \( F \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的闭子集,如果函数 \( f \) 在某些包含 \( F \) 的开集上是全纯的,则称函数 \( f \) 在闭集 \( F \) 上是全纯的. 如果函数 \( f \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,则称 \( f \) 为整函数.
“全纯的” 有时也可以说是 “正则的” 或 “复可微的”. 式 (1) 中对复可微的定义与一般的实变量函数中微分的定义是完全类似的. 但是, 复变函数的全纯性要比实变量函数的可微性具有更好的性质. 例如, 全纯函数存在无穷阶复微分, 也就是说只要复变函数一阶可微, 就能保证其微分还可以继续微分, 直到无穷多阶. 而实变量函数却存在一阶可微而二阶就不可微的情况. 因此, 任何一个全纯函数都是解析的, 可以在任何点处展成幂级数 (幂级数将在下一节讨论), “解析的” 可以作为 “全纯的” 的同义词. 与复变函数相比, 某些实变函数即使存在无穷阶微分, 也不能展成幂级数. (见练习 23)
例 1 函数 \( f\left( z\right) = z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 1 \) . 事实上,任何多项式函数
\[
p\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z + \cdots + {a}_{n}{z}^{n}
\]
在整个复平面上都是全纯的. 并且
\[
{p}^{\prime }\left( z\right) = {a}_{1} + \cdots + n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
应用下面的命题 2.2 很容易证明.
例 2 函数 \( 1/z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中任何不包含原点的开集上都是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \) \( - 1/{z}^{2} \) .
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. 其他的全纯函数的例子将在后面的章节中介绍, 这些在本书的引言中也已提及.
从上面的式 (1) 中不难知道,函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,当且仅当存在复数 \( a \) ,使得
\[
f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) - {ah} = {h\psi }\left( h\right)
\]
(2)
满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\psi \left( h\right) = 0 \) ,其中 \( \psi \) 是关于无穷小量 \( h \) 的函数,显然 \( a = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) . 从这个形式中容易知道,函数 \( f \) 可微必连续. 类似于实变函数的讨论,应用式 (2) 不难证明以下关于全纯函数的一些重要性质.
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z | 定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列. | Null |
定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值.
此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了.
## 2.2 全纯函数
接下来引入复分析中的一个非常重要的概念, 它与之前的讨论有区别, 实际上就是引入真复形的概念.
令 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的复变函数. 如果当 \( h \rightarrow 0 \) 时, 比值
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}
\]
(1)
的极限存在,其中 \( h \in \mathbf{C}, h \neq 0 \) 且 \( {z}_{0} + h \in \Omega \) ,称函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,将此极限值记为 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) ,并称为 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处的微商,即
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h}.
\]
需要强调的是, \( h \) 是一个可从任意方向上趋于 0 的复数.
如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每个点处都是可微的,则称函数 \( f \) 在集合 \( \Omega \) 上是全纯的. \( F \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的闭子集,如果函数 \( f \) 在某些包含 \( F \) 的开集上是全纯的,则称函数 \( f \) 在闭集 \( F \) 上是全纯的. 如果函数 \( f \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,则称 \( f \) 为整函数.
“全纯的” 有时也可以说是 “正则的” 或 “复可微的”. 式 (1) 中对复可微的定义与一般的实变量函数中微分的定义是完全类似的. 但是, 复变函数的全纯性要比实变量函数的可微性具有更好的性质. 例如, 全纯函数存在无穷阶复微分, 也就是说只要复变函数一阶可微, 就能保证其微分还可以继续微分, 直到无穷多阶. 而实变量函数却存在一阶可微而二阶就不可微的情况. 因此, 任何一个全纯函数都是解析的, 可以在任何点处展成幂级数 (幂级数将在下一节讨论), “解析的” 可以作为 “全纯的” 的同义词. 与复变函数相比, 某些实变函数即使存在无穷阶微分, 也不能展成幂级数. (见练习 23)
例 1 函数 \( f\left( z\right) = z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 1 \) . 事实上,任何多项式函数
\[
p\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z + \cdots + {a}_{n}{z}^{n}
\]
在整个复平面上都是全纯的. 并且
\[
{p}^{\prime }\left( z\right) = {a}_{1} + \cdots + n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
应用下面的命题 2.2 很容易证明.
例 2 函数 \( 1/z \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中任何不包含原点的开集上都是全纯的,且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \) \( - 1/{z}^{2} \) .
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. 其他的全纯函数的例子将在后面的章节中介绍, 这些在本书的引言中也已提及.
从上面的式 (1) 中不难知道,函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,当且仅当存在复数 \( a \) ,使得
\[
f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) - {ah} = {h\psi }\left( h\right)
\]
(2)
满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\psi \left( h\right) = 0 \) ,其中 \( \psi \) 是关于无穷小量 \( h \) 的函数,显然 \( a = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) . 从这个形式中容易知道,函数 \( f \) 可微必连续. 类似于实变函数的讨论,应用式 (2) 不难证明以下关于全纯函数的一些重要性质.
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi | 定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值. | 此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了. |
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. 其他的全纯函数的例子将在后面的章节中介绍, 这些在本书的引言中也已提及.
从上面的式 (1) 中不难知道,函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 处是可微的,当且仅当存在复数 \( a \) ,使得
\[
f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) - {ah} = {h\psi }\left( h\right)
\]
(2)
满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\psi \left( h\right) = 0 \) ,其中 \( \psi \) 是关于无穷小量 \( h \) 的函数,显然 \( a = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) . 从这个形式中容易知道,函数 \( f \) 可微必连续. 类似于实变函数的讨论,应用式 (2) 不难证明以下关于全纯函数的一些重要性质.
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考 | 例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. | 事实上,\n\n\[\n\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},\n\]\n\n当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同. |
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且
\[
{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.
\]
此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为
\[
{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,
\]
其中 \( z \in \Omega \) .
## 复值函数映射
接下来我们阐述复变量与实变量的关系. 事实上, 通过上面的例 3 不难看出, 复可微的概念和通常二元实变函数可微的概念是不同的. 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 相当于变换 \( F : \left( {x, y}\right) \vdash \left( {x, - y}\right) \) ,在实变量的情况下是可微的. 它在一点处的微商就是一个由坐标函数的偏导数构成的 \( 2 \times 2 \) Jordan 矩阵给出的线性变换. 事实上, \( F \) 是线性的, 所以它在任意点处的微商都相等. 这就意味着 \( F \) 实际上是不定可微的. 特别地, 实可微不能保证函数 \( f \) 是全纯的.
这个例子使我们联系到一般的复值函数 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,由 \( {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) 的映射 \( F\left( {x, y}\right) = \) \( \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) (u, v \) 就是对应的两个坐标函数).
回忆前面的内容,如果存在线性变换 \( J : {\mathbf{R}}^{2} \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,使得当 \( \left| H\right| \rightarrow 0\left( {H \in {\mathbf{R}}^{2}}\right) \) 时,
\[
\frac{\left| F\left( {P}_{0} + H\right) - F\left( {P}_{0}\right) - J\left( H\right) \right| }{\left| H\right| } \rightarrow 0
\]
(3)
则称 \( F\left( {x, y}\right) = \left( {u\left( {x, y}\right), v\left( {x, y}\right) }\right) \) 在点 \( {P}_{0} = \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 处是可微的.
等价地, 若满足
\[
F\left( {{P}_{0} + H}\right) - F\left( {P}_{0}\right) = J\left( H\right) + \left| H\right| \Psi \left( H\right) ,
\]
当 \( \left| H\right| \rightarrow 0 \) 时, \( \left| {\Psi \left( H\right) }\right| \rightarrow 0 \) ,也可以说 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处是可微的. 其中线性变换 \( J \) 是唯一的,并且它被称为函数 \( F \) 在点 \( {P}_{0} \) 处的微商. 如果函数 \( F \) 是可微的, \( u, v \) 的一阶偏导数都存在,并且线性变换 \( J \) 描述为
\[
J = {J}_{F}\left( {x, y}\right) = \left( \begin{array}{ll} \partial u/\partial x & \partial u/\partial y \\ \partial v/\partial x & \partial v/\partial y \end{array}\right) ,
\]
称其为 \( F \) 的 Jordan 矩阵. 在复可微的情况下,微商 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \) 是一个复数,而在实变量的情况下则是个矩阵. 它们二者间的联系则是由组成 Jordan 矩阵 \( J \) 的元素,即关于 \( u, v \) 的偏导数构成的. 考虑式 (1) 当 \( h \) 为实数时的极限,首先考虑实数情况,即 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2},{h}_{2} = 0 \) 时,函数 \( f\left( z\right) = f\left( {x, y}\right) \) ,其中 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,在点 \( {z}_{0} = {x}_{0} + \mathrm{i}{y}_{0} \) 处的微商
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{1} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0} + {h}_{1},{y}_{0}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{{h}_{1}}
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial x \) 表示通常所说的关于变量 \( x \) 的偏导数. (固定 \( {y}_{0} \) ,则函数 \( f \) 为关于变量 \( x \) 的复变函数). 现在令 \( h \) 为纯虚数,即 \( h = \mathrm{i}{h}_{2} \) ,类似可得
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{{h}_{2} \rightarrow 0}}\frac{f\left( {{x}_{0},{y}_{0} + {h}_{2}}\right) - f\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) }{\mathrm{i}{h}_{2}}
\]
\[
= \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right)
\]
其中 \( \partial /\partial y \) 表示关于变量 \( y \) 的偏导数. 因此如果函数是全纯的,其一定满足
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}.
\]
记 \( f = u + \mathrm{i}v \) ,然后将其实部与虚部分开,并用 \( 1/\mathrm{i} = - \mathrm{i} \) ,且函数 \( u, v \) 偏导数存在, 那么将满足如下的非平凡关系
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这就是所谓的柯西-黎曼方程式, 它将实分析与复分析完美地结合起来.
为了更进一步地阐述以上事实, 下面引入两个微分算子,
\[
\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) ,\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial x} - \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial }{\partial y}}\right) .
\]
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考察此级数是否绝对收敛,就是要研究级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| {z}^{n}\right|
\]
是否收敛. 我们知道,如果式 (5) 在某点 \( {z}_{0} \) 处绝对收敛,那么此级数在圆域 \( \left| z\right| \) \( \leq {z}_{0} \) 内都是收敛的. 下面证明总存在某个开圆盘 (可能是空集) 使得幂级数在此圆盘内是绝对收敛的.
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的 | 命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:\n\n( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .\n\n(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .\n\n(iii) 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么 \( f/g \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,且\n\n\[{\left( \frac{f}{g}\right) }^{\prime } = \frac{{f}^{\prime }g - f{g}^{\prime }}{{g}^{2}}.\] | 此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为\n\n\[{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,\]\n\n其中 \( z \in \Omega \) . |
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且
\[
{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
又因为
\[
\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) ,
\]
所以
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right)
\]
\[
= 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.}
\]
再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) .
\( F \) 可微的充分必要条件是. 如果 \( H = \left( {{h}_{1},{h}_{2}}\right) \) ,且 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,那么根据柯西- 黎曼方程式, 上面的公式等价于
\[
{J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( H\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) = {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) h,
\]
这里用一对实数分别作为实部与虚部确定了一个复数. 最终再应用柯西-黎曼方程将上面的结果等价为
\[
\det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = {\left( \frac{\partial u}{\partial x}\right) }^{2} + {\left( \frac{\partial u}{\partial y}\right) }^{2} = {\left| 2\frac{\partial u}{\partial z}\right| }^{2} = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}.
\]
(4)
到目前为止,我们假设了 \( f \) 是全纯函数,并推导出它的实部和虚部所满足的关系. 下面的定理包含了一个重要内容, 这个内容可以完全证明我们的结论.
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考察此级数是否绝对收敛,就是要研究级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| {z}^{n}\right|
\]
是否收敛. 我们知道,如果式 (5) 在某点 \( {z}_{0} \) 处绝对收敛,那么此级数在圆域 \( \left| z\right| \) \( \leq {z}_{0} \) 内都是收敛的. 下面证明总存在某个开圆盘 (可能是空集) 使得幂级数在此圆盘内是绝对收敛的.
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得
\[
\left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1.
\]
根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,
\[
{\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}.
\]
根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.
如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的.
注意: 在收敛圆盘的边界上,即 \( \left| z\right| = R \) 上,情况比较复杂,级数可能收敛也可能发散. (见练习 19)
此外, 在整个复平面上都收敛的例子还有三角函数的幂级数, 定义为
\[
\cos z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !},
\]
其中当 \( z \in \mathbf{R} \) 时,它与通常的余弦函数和正弦函数的幂级数的定义是一致的. 联系三角函数和复指数函数的公式
\[
\cos z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\text{ 和 }\sin z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
\]
称为余弦函数和正弦函数的欧拉公式.
幂级数是一类很重要的解析函数, 最突出的特点是它容易处理.
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[ | 命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么\n\n\[ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) . \]\n\n并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的情形下 \( F \) 是可微的,且\n\n\[ \det {J}_{F}\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \right| }^{2}. \] | 证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且\n\n\[ {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right) \]\n\n\[ = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \]\n\n又因为\n\n\[ \frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial v}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial v}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right) \]\n\n\[ = \frac{1}{2}\left( {-\frac{\partial u}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial u}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) }\right) , \]\n\n所以\n\n\[ \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) + \mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \]\n\n\[ = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) \text{.} \]\n\n再根据柯西-黎曼方程给出 \( \partial f/\partial z = 2\partial u/\partial z \) . |
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,
\]
\[
v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得
\[
f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,
\]
其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}.
\]
## 2.3 幂级数
复指数函数的幂级数是幂级数中的一个很重要的例子,对 \( z \in \mathbf{C} \) ,其幂级数定义为
\[
{\mathrm{e}}^{z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{n!}.
\]
当 \( z \) 为实数时,此定义与通常的指数函数的幂级数的定义是一致的. 事实上,对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) ,以上级数是绝对收敛的,记
\[
\left| \frac{{z}^{n}}{n!}\right| = \frac{{\left| z\right| }^{n}}{n!}
\]
那么 \( \left| {\mathrm{e}}^{z}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n}/n! = {\mathrm{e}}^{\left| z\right| } < + \infty \) . 事实上,此估值表明, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的幂级数在复数集 \( \mathbf{C} \) 上的任意圆域内都是一致收敛的. 本节将证明函数 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是全纯的 (是整函数), 并且它的导数就是将其幂级数逐项求导, 因此,
\[
{\left( {\mathrm{e}}^{z}\right) }^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n\frac{{z}^{n - 1}}{n!} = \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{m}}{m!} = {\mathrm{e}}^{z},
\]
也就是说 \( {\mathrm{e}}^{z} \) 的导数还是它本身.
与之不同的是, 几何级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{n}
\]
在圆域 \( \left| z\right| < 1 \) 内是绝对收敛的,并且其和函数为 \( 1/\left( {1 - z}\right) \) ,此函数在开集 \( \mathbf{C} - \) 1 \} 上是全纯的. 它的证明与实数情况下的证明是一致的, 首先求其部分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{z}^{n} = \frac{1 - {z}^{N + 1}}{1 - z}
\]
当 \( \left| z\right| < 1 \) 时显然有 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{z}^{N + 1} = 0 \) .
更一般地, 幂级数可写成下列形式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
(5)
其中 \( {a}_{n} \in \mathbf{C} \) . 要考察此级数是否绝对收敛,就是要研究级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| {z}^{n}\right|
\]
是否收敛. 我们知道,如果式 (5) 在某点 \( {z}_{0} \) 处绝对收敛,那么此级数在圆域 \( \left| z\right| \) \( \leq {z}_{0} \) 内都是收敛的. 下面证明总存在某个开圆盘 (可能是空集) 使得幂级数在此圆盘内是绝对收敛的.
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得
\[
\left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1.
\]
根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,
\[
{\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}.
\]
根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.
如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的.
注意: 在收敛圆盘的边界上,即 \( \left| z\right| = R \) 上,情况比较复杂,级数可能收敛也可能发散. (见练习 19)
此外, 在整个复平面上都收敛的例子还有三角函数的幂级数, 定义为
\[
\cos z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !},
\]
其中当 \( z \in \mathbf{R} \) 时,它与通常的余弦函数和正弦函数的幂级数的定义是一致的. 联系三角函数和复指数函数的公式
\[
\cos z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\text{ 和 }\sin z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
\]
称为余弦函数和正弦函数的欧拉公式.
幂级数是一类很重要的解析函数, 最突出的特点是它容易处理.
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[
\left| {\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < {3\varepsilon },
\]
定理得证.
接下来看此定理的应用.
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right | 定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) . | 证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得\n\n\[ u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,\]\n\n\[ v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\left( {x, y}\right) = \frac{\partial v}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial v}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{2}\left( h\right) ,\]\n\n其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( {\psi }_{i}\left( h\right) \rightarrow 0\left( {i = 1,2}\right) \) . 再根据柯西-黎曼方程式得\n\n\[ f\left( {z + h}\right) - f\left( z\right) = \left( {\frac{\partial u}{\partial x} - \mathrm{i}\frac{\partial u}{\partial y}}\right) \left( {{h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2}}\right) + \left| h\right| \psi \left( h\right) ,\]\n\n其中当 \( \left| h\right| \) 趋于零时, \( \psi \left( h\right) = {\psi }_{1}\left( h\right) + {\psi }_{2}\left( h\right) \rightarrow 0 \) . 因此 \( f \) 是全纯的且\n\n\[ {f}^{\prime }\left( z\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}. \] |
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称为收敛圆盘,特别地,指数函数的幂级数的收敛半径 \( R = + \infty \) ,几何级数的收敛半径 \( R = 1 \) .
证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得
\[
\left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1.
\]
根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,
\[
{\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}.
\]
根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.
如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的.
注意: 在收敛圆盘的边界上,即 \( \left| z\right| = R \) 上,情况比较复杂,级数可能收敛也可能发散. (见练习 19)
此外, 在整个复平面上都收敛的例子还有三角函数的幂级数, 定义为
\[
\cos z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{2n}}{\left( {2n}\right) !},\sin z = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{{2n} + 1}}{\left( {{2n} + 1}\right) !},
\]
其中当 \( z \in \mathbf{R} \) 时,它与通常的余弦函数和正弦函数的幂级数的定义是一致的. 联系三角函数和复指数函数的公式
\[
\cos z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}\text{ 和 }\sin z = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}
\]
称为余弦函数和正弦函数的欧拉公式.
幂级数是一类很重要的解析函数, 最突出的特点是它容易处理.
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[
\left| {\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < {3\varepsilon },
\]
定理得证.
接下来看此定理的应用.
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack \) 上是光滑的. 其中,在点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,\cdots, n - 1}\right) \) 处的右导数和左导数不一定相等.
称两个参数化法
\[
z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}\text{ 和 }\widetilde{z} : \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}.
\]
等价,即存在从闭区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 到 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续可导的双射 \( s \mapsto t\left( s\right) \) ,使得 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 且
\[
\widetilde{z}\left( s\right) = z\left( {t\left( s\right) }\right) .
\]
其中 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 表示变化方向一致,也就是说当 \( s \) 从 \( c \) 到 \( d \) 变化时, \( t\left( s\right) \) 也对应着从 \( a \) 到 \( b \) 变化. 所有的参数化法就等价于函数 \( z\left( t\right) \) 能够确定一条有向光滑曲线 \( \gamma \subset \) \( \mathbf{C} \) ,称其为 \( t \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的曲线,曲线的方向与 \( t \) 从 \( a \) 到 \( b \) 变化时 \( z \) 的变化时 \( z \) 的变化方向一致. 与曲线 \( \gamma \) 方向相反的曲线定义为 \( {\gamma }^{ - } \) (曲线 \( \gamma \) 与 \( {\gamma }^{ - } \) 在复平面上重合). 关于曲线 \( {\gamma }^{ - } \) 的特殊的参数化法记为 \( {z}^{ - } : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,定义为
\[
{z}^{ - }\left( t\right) = z\left( {a + b - t}\right) .
\]
同样也容易定义分段光滑曲线. 点 \( z\left( a\right) \) 和 \( z\left( b\right) \) 称为曲线的端点,并且端点的取得并不依赖于参数化法. 因为曲线 \( \gamma \) 是有向的,很自然地称曲线 \( \gamma \) 以 \( z\left( a\right) \) 为起点, \( z\left( b\right) \) 为终点.
如果对任意的参数化法 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称光滑或分段光滑的曲线是封闭的. 如果曲线不是自相交的,也就是说当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,则称光滑或分段光滑曲线是单的. 当然,如果是闭曲线,除了 \( s = a, t = b \) 时,当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,仍称曲线是单的 (见图 3).
图 3 闭的分段光滑曲线
为了简单, 我们称任意分段光滑曲线为曲线, 因为这将是我们主要的研究对象.
举一个很基本也很简单的例子圆周. 考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
其正向 (逆时针方向) 由下列标准的参数化法给出
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{,}
\]
同时, 其负向 (顺时针方向) 为
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{.}
\]
在接下来的章节中,记 \( C \) 为一般的正定向圆周.
函数沿曲线的积分是研究全纯函数的重要工具. 简而言之, 复分析中的一个重要定理为如果函数在封闭曲线 \( \gamma \) 所围成的区域的内部是全纯的,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
在下一章中将重点讨论此定理的等价定理 (称为柯西定理), 而这里我们只着重介绍积分的一些必要的概念和性质.
在复数集 \( \mathbf{C} \) 中给定一条光滑曲线 \( \gamma \) ,将其参数化: \( z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}, f \) 是定义在曲线 \( \gamma \) 上的连续函数,那么定义函数 \( f \) 沿曲线 \( \gamma \) 的积分为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
为了更好地理解上述积分,需要特别指出的是,上式等号右边的积分取决于曲线 \( \gamma \) 的参数化法的选择. 假设 \( \widetilde{z} \) 也是曲线 \( \gamma \) 的一种参数化法,那么积分中变量的形式和链 | 定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得\n\n( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.\n\n(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.\n\n如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即\n\n\[ 1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}. \] | 证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得\n\n\[ \left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1. \]\n\n根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,\n\n\[ {\left| {a}_{n}\parallel {z}_{n}\right| }^{n} \leq {\left\lbrack \left( L + \varepsilon \right) \left| z\right| \right\rbrack }^{n} = {r}^{n}. \]\n\n根据比较审敛法,几何级数 \( \sum {r}^{n} \) 收敛,那么级数 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 也收敛.\n\n如果 \( \left| z\right| > R \) ,类似地可以证明此级数中必存在一个无界的子列,因此级数是发散的. |
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因
为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以
\[
\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}
\]
因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.
下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},
\]
令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记
\[
f\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,
\]
其中,
\[
{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +
\]
\[
\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .
\]
因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{{\left( {z}_{0} + h\right) }^{n} - {z}_{0}^{n}}{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| n{r}^{n - 1}.
\]
上式的最右端是一个收敛级数的尾部,当 \( \left| z\right| < R \) 时,函数 \( g \) 是绝对收敛的,因此,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {N}_{1} \) ,当 \( N > {N}_{1} \) 时,有
\[
\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| < \varepsilon .
\]
又因为 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}{S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = g\left( {z}_{0}\right) \) ,所以存在 \( {N}_{2} \) ,当 \( N > {N}_{2} \) 时,有
\[
\left| {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
如果取 \( N \) 使得 \( N > {N}_{1} \) 且 \( N > {N}_{2} \) ,那么存在 \( \delta > 0 \) 使得 \( \left| h\right| < \delta \) ,即
\[
\left| {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) }\right| < \varepsilon ,
\]
又因为多项式的导数就是由逐项求导得到的,所以当 \( \left| h\right| < \delta \) 时,有
\[
\left| {\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) }\right| < {3\varepsilon },
\]
定理得证.
接下来看此定理的应用.
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack \) 上是光滑的. 其中,在点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,\cdots, n - 1}\right) \) 处的右导数和左导数不一定相等.
称两个参数化法
\[
z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}\text{ 和 }\widetilde{z} : \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}.
\]
等价,即存在从闭区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 到 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续可导的双射 \( s \mapsto t\left( s\right) \) ,使得 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 且
\[
\widetilde{z}\left( s\right) = z\left( {t\left( s\right) }\right) .
\]
其中 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 表示变化方向一致,也就是说当 \( s \) 从 \( c \) 到 \( d \) 变化时, \( t\left( s\right) \) 也对应着从 \( a \) 到 \( b \) 变化. 所有的参数化法就等价于函数 \( z\left( t\right) \) 能够确定一条有向光滑曲线 \( \gamma \subset \) \( \mathbf{C} \) ,称其为 \( t \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的曲线,曲线的方向与 \( t \) 从 \( a \) 到 \( b \) 变化时 \( z \) 的变化时 \( z \) 的变化方向一致. 与曲线 \( \gamma \) 方向相反的曲线定义为 \( {\gamma }^{ - } \) (曲线 \( \gamma \) 与 \( {\gamma }^{ - } \) 在复平面上重合). 关于曲线 \( {\gamma }^{ - } \) 的特殊的参数化法记为 \( {z}^{ - } : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,定义为
\[
{z}^{ - }\left( t\right) = z\left( {a + b - t}\right) .
\]
同样也容易定义分段光滑曲线. 点 \( z\left( a\right) \) 和 \( z\left( b\right) \) 称为曲线的端点,并且端点的取得并不依赖于参数化法. 因为曲线 \( \gamma \) 是有向的,很自然地称曲线 \( \gamma \) 以 \( z\left( a\right) \) 为起点, \( z\left( b\right) \) 为终点.
如果对任意的参数化法 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称光滑或分段光滑的曲线是封闭的. 如果曲线不是自相交的,也就是说当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,则称光滑或分段光滑曲线是单的. 当然,如果是闭曲线,除了 \( s = a, t = b \) 时,当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,仍称曲线是单的 (见图 3).
图 3 闭的分段光滑曲线
为了简单, 我们称任意分段光滑曲线为曲线, 因为这将是我们主要的研究对象.
举一个很基本也很简单的例子圆周. 考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
其正向 (逆时针方向) 由下列标准的参数化法给出
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{,}
\]
同时, 其负向 (顺时针方向) 为
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{.}
\]
在接下来的章节中,记 \( C \) 为一般的正定向圆周.
函数沿曲线的积分是研究全纯函数的重要工具. 简而言之, 复分析中的一个重要定理为如果函数在封闭曲线 \( \gamma \) 所围成的区域的内部是全纯的,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
在下一章中将重点讨论此定理的等价定理 (称为柯西定理), 而这里我们只着重介绍积分的一些必要的概念和性质.
在复数集 \( \mathbf{C} \) 中给定一条光滑曲线 \( \gamma \) ,将其参数化: \( z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}, f \) 是定义在曲线 \( \gamma \) 上的连续函数,那么定义函数 \( f \) 沿曲线 \( \gamma \) 的积分为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
为了更好地理解上述积分,需要特别指出的是,上式等号右边的积分取决于曲线 \( \gamma \) 的参数化法的选择. 假设 \( \widetilde{z} \) 也是曲线 \( \gamma \) 的一种参数化法,那么积分中变量的形式和链式法则表示为
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{c}^{d}\left( {z\left( {t\left( s\right) }\right) }\right) {z}^{\prime }\left( {t\left( s\right) }\right) {t}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s = {\int }_{c}^{b}f\left( {\widetilde{z}\left( s\right) }\right) {\widetilde{z}}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s.
\]
这也就完全阐述了函数 \( f \) 在光滑曲线 \( \gamma \) 上的积分.
若曲线 \( \gamma \) 是分段光滑的,则函数 \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 上的积分就等于函数. \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 的各段光滑曲线上的积分之和. 因此,如果 \( z\left( t\right) \) 是曲线 \( \gamma \) 的分段光滑的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\int }_{{a}_{k}}^{{a}_{k + 1}}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
根据以上定义,光滑曲线 \( \gamma \) 的长度定义为
\[
\text{ length }\left( \gamma \right) = {\int }_{a}^{b}\left| {{z}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t.
\]
根据上面的讨论不难知道, 上述长度的定义同样依赖于曲线的参数化法. 并且,如果曲线 \( \gamma \) 仅仅是分段光滑的,那么其长度应该是各段光滑部分的长度之和.
性质 3.1 连续函数在曲线上的积分满足下列性质:
( i ) 它是线性的,即如果 \( \alpha ,\beta \in \mathbf{C} \) ,那么
\[
{\int }_{\gamma }\left( {{\alpha f}\left( z\right) + {\beta g}\left( z\right) }\right) \mathrm{d}z = \alpha {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z + \beta {\int }_{\gamma }g\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(ii) 如果 \( {\gamma }^{ - } \) 是曲线 \( \gamma \) 的负向曲线,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = - {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(iii) 满足不等式
\[
\left| {{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \gamma }} \mid f\left( z\right) \cdot \op | 定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即\n\n\[ \n{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.\n\]\n\n所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径. | 证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因\n\n为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以\n\n\[ \n\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}\n\]\n\n因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,即 \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n - 1} \) 有相同的收敛半径.\n\n下面证明 \( f \) 的导数. 不妨令\n\n\[ \ng\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1},\n\]\n\n令 \( R \) 为幂级数 \( f \) 的收敛半径,并设 \( \left| {z}_{0}\right| < r < R \) ,记\n\n\[ \nf\left( z\right) = {S}_{N}\left( z\right) + {E}_{N}\left( z\right) ,\n\]\n\n其中,\n\n\[ \n{S}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{N}{a}_{n}{z}^{n},{E}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.\n\]\n\n那么,当 \( h \) 满足 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) 时,有\n\n\[ \n\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} - g\left( {z}_{0}\right) = \left( {\frac{{S}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {S}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h} - {S}_{N}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right) +\n\]\n\n\[ \n\left( {{S}^{\prime }{}_{N}\left( {z}_{0}\right) - g\left( {z}_{0}\right) }\right) + \left( \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right) .\n\]\n\n因为 \( {a}^{n} - {b}^{n} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{n - 1} + {a}^{n - 2}b + \cdots + a{b}^{n - 2} + {b}^{n - 1}}\right) \) ,所以只要 \( \left| {z}_{0}\right| < r \) 且 \( \left| {{z}_{0} + h}\right| < r \) ,就有\n\n\[ \n\left| \frac{{E}_{N}\left( {{z}_{0} + h}\right) - {E}_{N}\left( {z}_{0}\right) }{h}\right| \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left| {a}_{n}\right| \left| \frac{ |
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n},
\]
那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}.
\]
如果定义在开集 \( \Omega \) 上的函数 \( f \) 可以展成以 \( {z}_{0} \in \Omega \) 为中心的幂级数,且此幂级数有正的收敛半径,即在以 \( {z}_{0} \) 为中心的某邻域内满足
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
那么称函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处是解析的. 如果 \( f \) 在 \( \Omega \) 内任意点处都能展成这样的幂级数,则称 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是解析的.
根据定理 2.6, \( \Omega \) 上的解析函数也是全纯的. 其逆定理 (每一个全纯函数也是解析的) 将在下一章证明. 根据这个结论可知 “全纯的” 和 “解析的” 是可交换的.
## 3 沿曲线的积分
在曲线的定义中, 要注意区分定义在复平面上 (并赋予方向) 的一维几何对象和它的参数化法,即从某闭区间到复数集 \( \mathbf{C} \) 上的映射,并且此映射并不是唯一确定的.
参数化曲线是指关于参数 \( t \) 的函数 \( z\left( t\right) \) ,即定义在闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \mathbf{R} \) 到复平面上的映射. 接下来给参数化法加一些正则条件, 这些条件在本书中的情形都已证明. 称参数化曲线是光滑的,即如果 \( {z}^{\prime }\left( t\right) \) 存在,并在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并且对任意 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{z}^{\prime }\left( t\right) \neq 0 \) . 在点 \( t = a \) 和 \( t = b \) 处, \( {z}^{\prime }\left( a\right) \) 和 \( {z}^{\prime }\left( b\right) \) 分别指的是下列单侧极限
\[
{z}^{\prime }\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ + }}}\frac{z\left( {a + h}\right) - z\left( a\right) }{h},{z}^{\prime }\left( b\right) = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow {0}^{ - }}}\frac{z\left( {b + h}\right) - z\left( b\right) }{h}.
\]
通常分别称之为 \( z\left( t\right) \) 在点 \( a \) 处的右导数和在点 \( b \) 处的左导数.
类似地,称参数化曲线是分段光滑的,即如果 \( z \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续,并存在点
\[
a = {a}_{0} < {a}_{1} < \cdots < {a}_{n} = b,
\]
使得 \( z\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {{a}_{k},{a}_{k + 1}}\right\rbrack \) 上是光滑的. 其中,在点 \( {a}_{k}\left( {k = 1,\cdots, n - 1}\right) \) 处的右导数和左导数不一定相等.
称两个参数化法
\[
z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}\text{ 和 }\widetilde{z} : \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}.
\]
等价,即存在从闭区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 到 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续可导的双射 \( s \mapsto t\left( s\right) \) ,使得 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 且
\[
\widetilde{z}\left( s\right) = z\left( {t\left( s\right) }\right) .
\]
其中 \( {t}^{\prime }\left( s\right) > 0 \) 表示变化方向一致,也就是说当 \( s \) 从 \( c \) 到 \( d \) 变化时, \( t\left( s\right) \) 也对应着从 \( a \) 到 \( b \) 变化. 所有的参数化法就等价于函数 \( z\left( t\right) \) 能够确定一条有向光滑曲线 \( \gamma \subset \) \( \mathbf{C} \) ,称其为 \( t \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的曲线,曲线的方向与 \( t \) 从 \( a \) 到 \( b \) 变化时 \( z \) 的变化时 \( z \) 的变化方向一致. 与曲线 \( \gamma \) 方向相反的曲线定义为 \( {\gamma }^{ - } \) (曲线 \( \gamma \) 与 \( {\gamma }^{ - } \) 在复平面上重合). 关于曲线 \( {\gamma }^{ - } \) 的特殊的参数化法记为 \( {z}^{ - } : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathbf{R}}^{2} \) ,定义为
\[
{z}^{ - }\left( t\right) = z\left( {a + b - t}\right) .
\]
同样也容易定义分段光滑曲线. 点 \( z\left( a\right) \) 和 \( z\left( b\right) \) 称为曲线的端点,并且端点的取得并不依赖于参数化法. 因为曲线 \( \gamma \) 是有向的,很自然地称曲线 \( \gamma \) 以 \( z\left( a\right) \) 为起点, \( z\left( b\right) \) 为终点.
如果对任意的参数化法 \( z\left( a\right) = z\left( b\right) \) ,则称光滑或分段光滑的曲线是封闭的. 如果曲线不是自相交的,也就是说当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,则称光滑或分段光滑曲线是单的. 当然,如果是闭曲线,除了 \( s = a, t = b \) 时,当 \( s \neq t \) 时能保证 \( z\left( s\right) \neq z\left( t\right) \) ,仍称曲线是单的 (见图 3).
图 3 闭的分段光滑曲线
为了简单, 我们称任意分段光滑曲线为曲线, 因为这将是我们主要的研究对象.
举一个很基本也很简单的例子圆周. 考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆周 \( {C}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) ,定义为
\[
{C}_{r}\left( {z}_{0}\right) = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {z - {z}_{0}}\right| = r}\right\} .
\]
其正向 (逆时针方向) 由下列标准的参数化法给出
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{,}
\]
同时, 其负向 (顺时针方向) 为
\[
z\left( t\right) = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}\text{,其中}t \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \text{.}
\]
在接下来的章节中,记 \( C \) 为一般的正定向圆周.
函数沿曲线的积分是研究全纯函数的重要工具. 简而言之, 复分析中的一个重要定理为如果函数在封闭曲线 \( \gamma \) 所围成的区域的内部是全纯的,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
在下一章中将重点讨论此定理的等价定理 (称为柯西定理), 而这里我们只着重介绍积分的一些必要的概念和性质.
在复数集 \( \mathbf{C} \) 中给定一条光滑曲线 \( \gamma \) ,将其参数化: \( z : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C}, f \) 是定义在曲线 \( \gamma \) 上的连续函数,那么定义函数 \( f \) 沿曲线 \( \gamma \) 的积分为
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
为了更好地理解上述积分,需要特别指出的是,上式等号右边的积分取决于曲线 \( \gamma \) 的参数化法的选择. 假设 \( \widetilde{z} \) 也是曲线 \( \gamma \) 的一种参数化法,那么积分中变量的形式和链式法则表示为
\[
{\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{c}^{d}\left( {z\left( {t\left( s\right) }\right) }\right) {z}^{\prime }\left( {t\left( s\right) }\right) {t}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s = {\int }_{c}^{b}f\left( {\widetilde{z}\left( s\right) }\right) {\widetilde{z}}^{\prime }\left( s\right) \mathrm{d}s.
\]
这也就完全阐述了函数 \( f \) 在光滑曲线 \( \gamma \) 上的积分.
若曲线 \( \gamma \) 是分段光滑的,则函数 \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 上的积分就等于函数. \( f \) 在曲线 \( \gamma \) 的各段光滑曲线上的积分之和. 因此,如果 \( z\left( t\right) \) 是曲线 \( \gamma \) 的分段光滑的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{\int }_{{a}_{k}}^{{a}_{k + 1}}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
根据以上定义,光滑曲线 \( \gamma \) 的长度定义为
\[
\text{ length }\left( \gamma \right) = {\int }_{a}^{b}\left| {{z}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t.
\]
根据上面的讨论不难知道, 上述长度的定义同样依赖于曲线的参数化法. 并且,如果曲线 \( \gamma \) 仅仅是分段光滑的,那么其长度应该是各段光滑部分的长度之和.
性质 3.1 连续函数在曲线上的积分满足下列性质:
( i ) 它是线性的,即如果 \( \alpha ,\beta \in \mathbf{C} \) ,那么
\[
{\int }_{\gamma }\left( {{\alpha f}\left( z\right) + {\beta g}\left( z\right) }\right) \mathrm{d}z = \alpha {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z + \beta {\int }_{\gamma }g\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(ii) 如果 \( {\gamma }^{ - } \) 是曲线 \( \gamma \) 的负向曲线,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = - {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(iii) 满足不等式
\[
\left| {{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \gamma }} \mid f\left( z\right) \cdot \operatorname{length}\left( \gamma \right) .
\]
证明 第一个性质从积分的定义或黎曼积分的线性性质中很容易得到, 第二个性质留给读者证明, 而第三个性质也很容易证明,
\[
\left| {{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {f\left( {z\left( t\right) }\right) }\right| {\int }_{a}^{b}\left| {{z}^{\prime }\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \gamma }}\left| {f\left( z\right) }\right| \cdot \operatorname{length}\left( \gamma \right) .
\]
前面已经提过,柯西定理指的是若 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数, \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 内的任意一条封闭曲线, 则
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
原函数的存在给了上述现象一个合理的解释. 如果 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的函数,其原函数是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,记为 \( F \) ,即对任意的 \( z \in \Omega ,{F}^{\prime }\left( z\right) = f\left( z\right) \) .
定理 3.2 若连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上具有原函数 \( F,\gamma \) 是 \( \Omega \) 内分别以 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 为起止点的曲线, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = F\left( {w}_{2}\right) - F\left( {w}_{1}\right) .
\]
证明 如果 \( \gamma \) 是光滑的,此证明仅仅是链式法则和微积分的基本定理的简单应用. 事实上,如果 \( z\left( t\right) : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是曲线 \( \gamma \) 的参数化法,那么 \( z\left( a\right) = {w}_{1}, z\left( b\right) = \) \( {w}_{2} \) ,则
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}{F}^{\prime }\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F\left( {z\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) \text{.}
\]
如果 \( \gamma \) 只是分段光滑的,那么跟前面的讨论类似,可以得到一个可加和
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( {F\left( {z\left( {a}_{k + 1}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{k}\right) }\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {z\left( {a}_{n}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) \text{.}
\]
推论 3.3 如果 \( \gamma \) 是开集 \( \Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \Omega \) 上存在原函数, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是因为封闭曲线的起止点重合了.
例如,函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) ,在开集 \( \mathbf{C} - \{ 0\} \) 上不存在原函数,因为如果集合 \( C \) 是单位圆周,其参数化法为 \( z\left( t\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},0 \leq t \leq {2\pi } \) ,那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = {2\pi }\mathrm{i} \neq 0.
\]
在随后的章节中, 我们将会看到这种简单的计算, 它提供了一些函数在封闭曲线上的积分不等于零的例子, 而这才是定理的核心.
推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数.
证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,
\[
{\int }_{\gamma }{f}^{\prime }\lef | 推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶. | 前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}, \]\n\n\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果\n\n\[ g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}, \]\n\n那么 \( f \) 可以由 \( g \) 通过变换得到,令 \( f\left( z\right) = g\left( w\right) \) ,其中 \( w = z - {z}_{0} \) . 根据求导的链式法则\n\n\[ {f}^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}. \] |
定理 3.2 若连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上具有原函数 \( F,\gamma \) 是 \( \Omega \) 内分别以 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 为起止点的曲线, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = F\left( {w}_{2}\right) - F\left( {w}_{1}\right) .
\]
证明 如果 \( \gamma \) 是光滑的,此证明仅仅是链式法则和微积分的基本定理的简单应用. 事实上,如果 \( z\left( t\right) : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是曲线 \( \gamma \) 的参数化法,那么 \( z\left( a\right) = {w}_{1}, z\left( b\right) = \) \( {w}_{2} \) ,则
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}{F}^{\prime }\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F\left( {z\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t
\]
\[
= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) \text{.}
\]
如果 \( \gamma \) 只是分段光滑的,那么跟前面的讨论类似,可以得到一个可加和
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( {F\left( {z\left( {a}_{k + 1}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{k}\right) }\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {z\left( {a}_{n}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{0}\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) \text{.}
\]
推论 3.3 如果 \( \gamma \) 是开集 \( \Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \Omega \) 上存在原函数, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是因为封闭曲线的起止点重合了.
例如,函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) ,在开集 \( \mathbf{C} - \{ 0\} \) 上不存在原函数,因为如果集合 \( C \) 是单位圆周,其参数化法为 \( z\left( t\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},0 \leq t \leq {2\pi } \) ,那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = {2\pi }\mathrm{i} \neq 0.
\]
在随后的章节中, 我们将会看到这种简单的计算, 它提供了一些函数在封闭曲线上的积分不等于零的例子, 而这才是定理的核心.
推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数.
证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,
\[
{\int }_{\gamma }{f}^{\prime }\left( z\right) \mathrm{d}z = f\left( w\right) - f\left( {w}_{0}\right) .
\]
根据假设, \( {f}^{\prime } = 0 \) ,所以上述积分为零,即 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) .
符号注释: 为了方便,习惯用符号 \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 来表示存在常数 \( C > 0 \) 使得在某关键点的某邻域内满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . 另外,当 \( \left| {f\left( z\right) /g\left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) 时有 \( f\left( z\right) = o\left( {g\left( z\right) }\right) .f\left( z\right) \sim g\left( z\right) \) 就意味着 \( f\left( z\right) /g\left( z\right) \rightarrow 1 \) .
## 4 练习
1. 根据下列关系将 \( z \) 所满足的集合在复平面上用几何图像描述出来.
(a) \( \left| {z - {z}_{1}}\right| = \left| {z - {z}_{2}}\right| \) ,其中 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C} \) .
(b) \( 1/z = \bar{z} \) .
(c) \( \operatorname{Re}\left( z\right) = 3 \) .
(d) \( \operatorname{Re}\left( z\right) > c \) ,(或者 \( \geq c \) ) 其中 \( c \in \mathbf{R} \) .
(e) \( \operatorname{Re}\left( {{az} + b}\right) > 0 \) ,其中 \( a, b \in \mathbf{C} \) .
(f) \( \left| z\right| = \operatorname{Re}\left( z\right) + 1 \) .
(g) \( \operatorname{Im}\left( z\right) = c \) ,其中 \( c \in \mathbf{R} \) .
2. 令 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 表示 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的内积. 也就是说,如果 \( Z = \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right), W = \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) , 那么
\[
\langle Z, W\rangle = {x}_{1}{x}_{2} + {y}_{1}{y}_{2}
\]
类似地,在复数集 \( \mathbf{C} \) 中定义 Hermitian 内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \)
\[
\left( {z, w}\right) = \overline{zw}.
\]
Hermitian 内积没有对称性,但具有共轭对称性,对任意的 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,有
\[
\left( {z, w}\right) = \left( \overline{w, z}\right) .
\]
因此,
\[
\langle z, w\rangle = \frac{1}{2}\left\lbrack {\left( {z, w}\right) + \left( {w, z}\right) }\right\rbrack = \operatorname{Re}\left( {z, w}\right) ,
\]
其中 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C},\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) .
3. 令 \( \omega = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,其中 \( s \geq 0,\varphi \in \mathbf{R} \) ,那么方程 \( {z}^{n} = \omega (n \) 为自然数) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中有多少个解?
4. 众所周知,在复数集 \( \mathbf{C} \) 中不存在完全的排序. 换句话说,复数之间不存在顺序 \( > \) 的关系,因此规定:
( \( \mathrm{i} \) ) 对任意两个复数 \( z, w \) ,关系 \( z \succ w, w \succ z \) 和 \( z = w \) 存在且只能存在一个.
(ii) 对任意 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C} \) ,若 \( {z}_{1} \succ {z}_{2} \) 就意味着 \( {z}_{1} + {z}_{3} \succ {z}_{2} + {z}_{3} \) .
(iii) 对任意 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C} \) ,若 \( {z}_{3} > 0 \) ,那么 \( {z}_{1} \succ {z}_{2} \) 就意味着 \( {z}_{1}{z}_{3} \succ {z}_{2}{z}_{3} \) .
【提示: 上述关系成立的前提是认为 \( \mathrm{i} > 0 \) . ]
5. 称集合 \( \Omega \) 是顺向连通的,即如果 \( \Omega \) 中任意两点都可以由 \( \Omega \) 内的某条（分段光滑的) 曲线所连接. 此定义的目的是要证明开集 \( \Omega \) 是顺向连通的当且仅当 \( \Omega \) 是连通的.
(a) 首先假设开集 \( \Omega \) 是顺向连通的,那么可记 \( \Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2} \) ,其中 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 为交集为空的开集,选择两点 \( {w}_{1} \in {\Omega }_{1},{w}_{2} \in {\Omega }_{2} \) ,并令 \( \gamma \) 为 \( \Omega \) 中连接 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 的一条曲线,考虑此曲线的参数化法 \( z : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \Omega \) ,其中 \( z\left( 0\right) = {w}_{1}, z\left( 1\right) = {w}_{2} \) . 并令
\[
{t}^{ * } = \mathop{\sup }\limits_{{0 \leq t \leq 1}}\left\{ {t : z\left( s\right) \in {\Omega }_{1},0 \leq s < t}\right\} .
\]
通过考虑点 \( z\left( {t}^{ * }\right) \) 便可找到矛盾之处.
(b) 反之,假设 \( \Omega \) 是连通的开集,选定一点 \( w \in \Omega \) ,并令 \( {\Omega }_{1} \subset \Omega \) 为所有在 \( \Omega \) 中能与 \( w \) 连成曲线的点所组成的集合,同时取 \( {\Omega }_{2} \) 为在 \( \Omega \) 中不能与 \( w \) 连成曲线的点的集合. 证明 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 都是开集,并且二者交集为空,并集为 \( \Omega \) . 最后,证明 \( {\Omega }_{1} \) 非空,并可以由此推断出 \( \Omega = {\Omega }_{1} \) .
事实上, 上述证明表明, 我们用来定义顺向连通的曲线的类型和正则性可能是不严格的,当 \( \Omega \) 是开集时,它并没有表明连通和顺向连通两个定义的区别. 例如, 我们可以说所有的曲线都是连续的或者说是简单的多项式直线 \( {}^{ \ominus } \) .
6. 令 \( \Omega \) 为复数集 \( \mathrm{C} \) 中的开集, \( z \in \Omega \) . 在 \( \Omega \) 中包含 \( z \) 的连通分支 (或单支) 记为集合 \( {C}_{z},\Omega \) 中所有的点 \( w \) 都可以通过含于 \( \Omega \) 中的某条曲线与 \( z \) 相连.
(a) 首先证明 \( {C}_{z} \) 是连通的开集. 那么, \( w \in {C}_{z} \) 就等价于: ( i ) \( z \in {C}_{z} \) ; ( ii ) \( w \in \) \( {C}_{z} \) 就意味着 \( z \in {C}_{w} \) ; (iii ) 如果 \( w \in {C}_{z}, z \in {C}_{\zeta } \) ,那么 \( w \in {C}_{\zeta } \) .
因此 \( \Omega \) 是所有连通分支的并,并且任意两个分支要么交集为空要么重合.
(b) 证明 \( \Omega \) 至多有可数个不同的连通分支.
(c) 证明如果 \( \Omega \) 是某个紧集的余集,那么 \( \Omega \) 只有一个无界分支.
【提示: 关于 (b), 可以另外获得不可数个不相交的开球. 现在, 每一个球都包含一个具有有理坐标的点. 关于 \( \left( \mathrm{c}\right) \) ,注意到大圆盘的余集包含的紧集是连通的. ]
7. 这里所引入的映射族在复分析中起着重要的作用. 这些映射有时称为 Blas-chke 因子, 将会在后面的章节中出现.
---
\( \ominus \) 多角形线就是分段光滑曲线,是由有限条直线段连接而成.
---
(a) 令 \( z \) 和 \( w \) 是两个复数,且 \( \bar{z}w \neq 1 \) . 证明: 如果 \( \left| z\right| < 1,\left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\left| \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}\right| < 1
\]
如果 \( \left| z\right| = 1,\left| w\right| = 1 \) ,那么
\[
\left| \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}\right| = 1
\]
【提示: 为什么假设 \( z \) 是实数呢? 因为这样很容易证明
\[
\left( {r - w}\right) \left( {r - \bar{w}}\right) \leq \left( {1 - {rw}}\right) \left( {1 - r\bar{w}}\right) ,
\]
其中,选取合适的 \( r \) 和 \( \left| w\right| \) 能使得等号成立. ]
(b) 在单位圆盘 \( D \) 内取定一点 \( w \) ,映射
\[
F : z \mapsto \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}
\]
满足下列条件
( i ) 映射 \( F \) 在其单位圆盘内是全纯函数 \( \left( {F : D \rightarrow D}\right) \) .
(ii) 映射 \( F \) 可以互换 0 与 \( w \) ,即 \( F\left( 0\right) = w, F\left( w\right) = 0 \) .
(iii) 如果 \( \left| z\right| = 1 \) ,那么 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) .
(iv) \( F : D \rightarrow D \) 是双射. 【提示: 计算 \( F \circ F \) . 】
8. 假设 \( U \) 和 \( V \) 是定义在复平面上的开集. 证明: 如果 \( f : U \rightarrow V, g : V \rightarrow \mathbf{C} \) 是两个可微函数 (在实数情况下就相当于具有两个变量 \( x \) 和 \( y \) 的函数),并且复合函数为 \( h = g \circ f \) ,那么
\[
\frac{\partial h}{\partial z} = \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial z},
\]
且
\[
\frac{\partial h}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} + \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}.
\]
这就是复数形式的链式法则.
9. 证明: 在极坐标系中, 柯西-黎曼方程为
\[
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta } = - \frac{\partial v}{\partial r}.
\]
利用上述方程证明对数函数
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }, - \pi < \theta < \pi \) ,在区域 \( r > 0, - \pi < \theta < \pi \) 内是全纯函数.
10. 证明:
\[
4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = 4\frac{\partial }{\partial \bar{z}}\frac{\partial }{\partial z} = \Delta ,
\]
其中 \( \Delta \) 是调和算子 (Laplacian 算子)
\[
\Delta = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}
\]
11. 利用练习 10 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么 \( f \) 的实部和虚部是调和的, 并且它们的调和算子为零.
12. 考虑函数
\[
f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) = \sqrt{\left| x\right| \left| y\right| },
\]
其中 \( x, y \in \mathbf{R} \) . 证明: 函数 \( f \) 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不是全纯的.
13. 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数. 以下任何一个条件成立都能推断出 \( f \) 是常数.
(a) \( \operatorname{Re}\left( f\right) \) 是常数;
(b) \( \operatorname{Im}\left( f\right) \) 是常数;
(c) \( \left| f\right| \) 是常数.
14. 假设 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{N} \) 和 \( {\left\{ {b}_{n}\right\} }_{n = 1}^{N} \) 是两个有限复数列. 令 \( {B}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{b}_{n} \) 为级数 \( \sum {b}_{n} \) 的部分和,并规定 \( {B}_{0} = 0 \) . 证明: 分部求和公式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = M}}^{N}{a}_{n}{b}_{n} = {a}_{N}{B}_{N} - {a}_{M}{B}_{M - 1} - \mathop{\sum }\limits_{{n = M}}^{{N - 1}}\left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) {B}_{n}.
\]
15. Abel 定理. 假设级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} \) 收敛. 证明:
\[
\m | 定理 3.2 若连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上具有原函数 \( F,\gamma \) 是 \( \Omega \) 内分别以 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 为起止点的曲线, 那么\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = F\left( {w}_{2}\right) - F\left( {w}_{1}\right) .\n\] | 证明 如果 \( \gamma \) 是光滑的,此证明仅仅是链式法则和微积分的基本定理的简单应用. 事实上,如果 \( z\left( t\right) : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是曲线 \( \gamma \) 的参数化法,那么 \( z\left( a\right) = {w}_{1}, z\left( b\right) = \) \( {w}_{2} \) ,则\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t \n\]\n\n\[ \n= {\int }_{a}^{b}{F}^{\prime }\left( {z\left( t\right) }\right) {z}^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t \n\]\n\n\[ \n= {\int }_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F\left( {z\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t \n\]\n\n\[ \n= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) .\n\]\n\n如果 \( \gamma \) 只是分段光滑的,那么跟前面的讨论类似,可以得到一个可加和\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}\left( {F\left( {z\left( {a}_{k + 1}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{k}\right) }\right) }\right) \n\]\n\n\[ \n= F\left( {z\left( {a}_{n}\right) }\right) - F\left( {z\left( {a}_{0}\right) }\right) \n\]\n\n\[ \n= F\left( {z\left( b\right) }\right) - F\left( {z\left( a\right) }\right) .\n\] |
推论 3.3 如果 \( \gamma \) 是开集 \( \Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \Omega \) 上存在原函数, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是因为封闭曲线的起止点重合了.
例如,函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) ,在开集 \( \mathbf{C} - \{ 0\} \) 上不存在原函数,因为如果集合 \( C \) 是单位圆周,其参数化法为 \( z\left( t\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},0 \leq t \leq {2\pi } \) ,那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = {2\pi }\mathrm{i} \neq 0.
\]
在随后的章节中, 我们将会看到这种简单的计算, 它提供了一些函数在封闭曲线上的积分不等于零的例子, 而这才是定理的核心.
推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数.
证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,
\[
{\int }_{\gamma }{f}^{\prime }\left( z\right) \mathrm{d}z = f\left( w\right) - f\left( {w}_{0}\right) .
\]
根据假设, \( {f}^{\prime } = 0 \) ,所以上述积分为零,即 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) .
符号注释: 为了方便,习惯用符号 \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 来表示存在常数 \( C > 0 \) 使得在某关键点的某邻域内满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . 另外,当 \( \left| {f\left( z\right) /g\left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) 时有 \( f\left( z\right) = o\left( {g\left( z\right) }\right) .f\left( z\right) \sim g\left( z\right) \) 就意味着 \( f\left( z\right) /g\left( z\right) \rightarrow 1 \) .
## 4 练习
1. 根据下列关系将 \( z \) 所满足的集合在复平面上用几何图像描述出来.
(a) \( \left| {z - {z}_{1}}\right| = \left| {z - {z}_{2}}\right| \) ,其中 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C} \) .
(b) \( 1/z = \bar{z} \) .
(c) \( \operatorname{Re}\left( z\right) = 3 \) .
(d) \( \operatorname{Re}\left( z\right) > c \) ,(或者 \( \geq c \) ) 其中 \( c \in \mathbf{R} \) .
(e) \( \operatorname{Re}\left( {{az} + b}\right) > 0 \) ,其中 \( a, b \in \mathbf{C} \) .
(f) \( \left| z\right| = \operatorname{Re}\left( z\right) + 1 \) .
(g) \( \operatorname{Im}\left( z\right) = c \) ,其中 \( c \in \mathbf{R} \) .
2. 令 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 表示 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的内积. 也就是说,如果 \( Z = \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right), W = \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) , 那么
\[
\langle Z, W\rangle = {x}_{1}{x}_{2} + {y}_{1}{y}_{2}
\]
类似地,在复数集 \( \mathbf{C} \) 中定义 Hermitian 内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \)
\[
\left( {z, w}\right) = \overline{zw}.
\]
Hermitian 内积没有对称性,但具有共轭对称性,对任意的 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,有
\[
\left( {z, w}\right) = \left( \overline{w, z}\right) .
\]
因此,
\[
\langle z, w\rangle = \frac{1}{2}\left\lbrack {\left( {z, w}\right) + \left( {w, z}\right) }\right\rbrack = \operatorname{Re}\left( {z, w}\right) ,
\]
其中 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C},\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) .
3. 令 \( \omega = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,其中 \( s \geq 0,\varphi \in \mathbf{R} \) ,那么方程 \( {z}^{n} = \omega (n \) 为自然数) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中有多少个解?
4. 众所周知,在复数集 \( \mathbf{C} \) 中不存在完全的排序. 换句话说,复数之间不存在顺序 \( > \) 的关系,因此规定:
( \( \mathrm{i} \) ) 对任意两个复数 \( z, w \) ,关系 \( z \succ w, w \succ z \) 和 \( z = w \) 存在且只能存在一个.
(ii) 对任意 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C} \) ,若 \( {z}_{1} \succ {z}_{2} \) 就意味着 \( {z}_{1} + {z}_{3} \succ {z}_{2} + {z}_{3} \) .
(iii) 对任意 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C} \) ,若 \( {z}_{3} > 0 \) ,那么 \( {z}_{1} \succ {z}_{2} \) 就意味着 \( {z}_{1}{z}_{3} \succ {z}_{2}{z}_{3} \) .
【提示: 上述关系成立的前提是认为 \( \mathrm{i} > 0 \) . ]
5. 称集合 \( \Omega \) 是顺向连通的,即如果 \( \Omega \) 中任意两点都可以由 \( \Omega \) 内的某条（分段光滑的) 曲线所连接. 此定义的目的是要证明开集 \( \Omega \) 是顺向连通的当且仅当 \( \Omega \) 是连通的.
(a) 首先假设开集 \( \Omega \) 是顺向连通的,那么可记 \( \Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2} \) ,其中 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 为交集为空的开集,选择两点 \( {w}_{1} \in {\Omega }_{1},{w}_{2} \in {\Omega }_{2} \) ,并令 \( \gamma \) 为 \( \Omega \) 中连接 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 的一条曲线,考虑此曲线的参数化法 \( z : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \Omega \) ,其中 \( z\left( 0\right) = {w}_{1}, z\left( 1\right) = {w}_{2} \) . 并令
\[
{t}^{ * } = \mathop{\sup }\limits_{{0 \leq t \leq 1}}\left\{ {t : z\left( s\right) \in {\Omega }_{1},0 \leq s < t}\right\} .
\]
通过考虑点 \( z\left( {t}^{ * }\right) \) 便可找到矛盾之处.
(b) 反之,假设 \( \Omega \) 是连通的开集,选定一点 \( w \in \Omega \) ,并令 \( {\Omega }_{1} \subset \Omega \) 为所有在 \( \Omega \) 中能与 \( w \) 连成曲线的点所组成的集合,同时取 \( {\Omega }_{2} \) 为在 \( \Omega \) 中不能与 \( w \) 连成曲线的点的集合. 证明 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 都是开集,并且二者交集为空,并集为 \( \Omega \) . 最后,证明 \( {\Omega }_{1} \) 非空,并可以由此推断出 \( \Omega = {\Omega }_{1} \) .
事实上, 上述证明表明, 我们用来定义顺向连通的曲线的类型和正则性可能是不严格的,当 \( \Omega \) 是开集时,它并没有表明连通和顺向连通两个定义的区别. 例如, 我们可以说所有的曲线都是连续的或者说是简单的多项式直线 \( {}^{ \ominus } \) .
6. 令 \( \Omega \) 为复数集 \( \mathrm{C} \) 中的开集, \( z \in \Omega \) . 在 \( \Omega \) 中包含 \( z \) 的连通分支 (或单支) 记为集合 \( {C}_{z},\Omega \) 中所有的点 \( w \) 都可以通过含于 \( \Omega \) 中的某条曲线与 \( z \) 相连.
(a) 首先证明 \( {C}_{z} \) 是连通的开集. 那么, \( w \in {C}_{z} \) 就等价于: ( i ) \( z \in {C}_{z} \) ; ( ii ) \( w \in \) \( {C}_{z} \) 就意味着 \( z \in {C}_{w} \) ; (iii ) 如果 \( w \in {C}_{z}, z \in {C}_{\zeta } \) ,那么 \( w \in {C}_{\zeta } \) .
因此 \( \Omega \) 是所有连通分支的并,并且任意两个分支要么交集为空要么重合.
(b) 证明 \( \Omega \) 至多有可数个不同的连通分支.
(c) 证明如果 \( \Omega \) 是某个紧集的余集,那么 \( \Omega \) 只有一个无界分支.
【提示: 关于 (b), 可以另外获得不可数个不相交的开球. 现在, 每一个球都包含一个具有有理坐标的点. 关于 \( \left( \mathrm{c}\right) \) ,注意到大圆盘的余集包含的紧集是连通的. ]
7. 这里所引入的映射族在复分析中起着重要的作用. 这些映射有时称为 Blas-chke 因子, 将会在后面的章节中出现.
---
\( \ominus \) 多角形线就是分段光滑曲线,是由有限条直线段连接而成.
---
(a) 令 \( z \) 和 \( w \) 是两个复数,且 \( \bar{z}w \neq 1 \) . 证明: 如果 \( \left| z\right| < 1,\left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\left| \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}\right| < 1
\]
如果 \( \left| z\right| = 1,\left| w\right| = 1 \) ,那么
\[
\left| \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}\right| = 1
\]
【提示: 为什么假设 \( z \) 是实数呢? 因为这样很容易证明
\[
\left( {r - w}\right) \left( {r - \bar{w}}\right) \leq \left( {1 - {rw}}\right) \left( {1 - r\bar{w}}\right) ,
\]
其中,选取合适的 \( r \) 和 \( \left| w\right| \) 能使得等号成立. ]
(b) 在单位圆盘 \( D \) 内取定一点 \( w \) ,映射
\[
F : z \mapsto \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}
\]
满足下列条件
( i ) 映射 \( F \) 在其单位圆盘内是全纯函数 \( \left( {F : D \rightarrow D}\right) \) .
(ii) 映射 \( F \) 可以互换 0 与 \( w \) ,即 \( F\left( 0\right) = w, F\left( w\right) = 0 \) .
(iii) 如果 \( \left| z\right| = 1 \) ,那么 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) .
(iv) \( F : D \rightarrow D \) 是双射. 【提示: 计算 \( F \circ F \) . 】
8. 假设 \( U \) 和 \( V \) 是定义在复平面上的开集. 证明: 如果 \( f : U \rightarrow V, g : V \rightarrow \mathbf{C} \) 是两个可微函数 (在实数情况下就相当于具有两个变量 \( x \) 和 \( y \) 的函数),并且复合函数为 \( h = g \circ f \) ,那么
\[
\frac{\partial h}{\partial z} = \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial z},
\]
且
\[
\frac{\partial h}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} + \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}.
\]
这就是复数形式的链式法则.
9. 证明: 在极坐标系中, 柯西-黎曼方程为
\[
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta } = - \frac{\partial v}{\partial r}.
\]
利用上述方程证明对数函数
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }, - \pi < \theta < \pi \) ,在区域 \( r > 0, - \pi < \theta < \pi \) 内是全纯函数.
10. 证明:
\[
4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = 4\frac{\partial }{\partial \bar{z}}\frac{\partial }{\partial z} = \Delta ,
\]
其中 \( \Delta \) 是调和算子 (Laplacian 算子)
\[
\Delta = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}
\]
11. 利用练习 10 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么 \( f \) 的实部和虚部是调和的, 并且它们的调和算子为零.
12. 考虑函数
\[
f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) = \sqrt{\left| x\right| \left| y\right| },
\]
其中 \( x, y \in \mathbf{R} \) . 证明: 函数 \( f \) 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不是全纯的.
13. 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数. 以下任何一个条件成立都能推断出 \( f \) 是常数.
(a) \( \operatorname{Re}\left( f\right) \) 是常数;
(b) \( \operatorname{Im}\left( f\right) \) 是常数;
(c) \( \left| f\right| \) 是常数.
14. 假设 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{N} \) 和 \( {\left\{ {b}_{n}\right\} }_{n = 1}^{N} \) 是两个有限复数列. 令 \( {B}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{b}_{n} \) 为级数 \( \sum {b}_{n} \) 的部分和,并规定 \( {B}_{0} = 0 \) . 证明: 分部求和公式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = M}}^{N}{a}_{n}{b}_{n} = {a}_{N}{B}_{N} - {a}_{M}{B}_{M - 1} - \mathop{\sum }\limits_{{n = M}}^{{N - 1}}\left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) {B}_{n}.
\]
15. Abel 定理. 假设级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} \) 收敛. 证明:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow {1}^{ - }}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}{a}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}
\]
【提示: 利用部分和】换句话说, 如果级数收敛, 那么它的 Abel 可和有相同的极限. 为了给出更精确的定义, 并且获得可求和方法的更多资料, 请读者参考本书第一册第 2 章.
16. 确定 (a) \( \sim \left( \mathrm{d}\right) \) 情况下幂级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 的收敛半径:
(a) \( {a}_{n} = {\left( \log n\right) }^{2} \) ;
(b) \( {a}_{n} = n \) !;
(c) \( {a}_{n} = \frac{{n}^{2}}{{4}^{n} + {3n}} \) ;
(d) \( {a}_{n} = {\left( n!\right) }^{3}/\left( {3n}\right) ! \) 【提示: 应用 Stirling 公式,即对 \( c > 0, n! \sim \) \( \left. {c{n}^{n + \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-n}\text{. }}\right\rbrack \) ;
(e) 求超几何级数 (高斯级数)
\[
F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma ;z}\right) = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdots \left( {\alpha + n - 1}\right) \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdots \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdots \left( {\gamma + n - 1}\right) }{z}^{n}
\]
的收敛半径,这里 \( \alpha ,\beta \in \mathrm{C} \) ,并且 \( \gamma \neq 0, - 1, - 2,\cdots \) .
(f) 求 \( r \) 阶的 Bessel 函数的收敛半径:
\[
{J}_{r}\left( z\right) = {\left( \frac{z}{2}\right) }^{r}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n!\left( {n + r}\right) !}{\lef | 推论 3.3 如果 \( \\gamma \) 是开集 \( \\Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \\Omega \) 上存在原函数, 那么\n\n\[ \n{\\int }_{\\gamma }f\\left( z\\right) \\mathrm{d}z = 0.\n\] | 这是因为封闭曲线的起止点重合了. |
推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数.
证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,
\[
{\int }_{\gamma }{f}^{\prime }\left( z\right) \mathrm{d}z = f\left( w\right) - f\left( {w}_{0}\right) .
\]
根据假设, \( {f}^{\prime } = 0 \) ,所以上述积分为零,即 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) .
符号注释: 为了方便,习惯用符号 \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 来表示存在常数 \( C > 0 \) 使得在某关键点的某邻域内满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . 另外,当 \( \left| {f\left( z\right) /g\left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) 时有 \( f\left( z\right) = o\left( {g\left( z\right) }\right) .f\left( z\right) \sim g\left( z\right) \) 就意味着 \( f\left( z\right) /g\left( z\right) \rightarrow 1 \) .
## 4 练习
1. 根据下列关系将 \( z \) 所满足的集合在复平面上用几何图像描述出来.
(a) \( \left| {z - {z}_{1}}\right| = \left| {z - {z}_{2}}\right| \) ,其中 \( {z}_{1},{z}_{2} \in \mathbf{C} \) .
(b) \( 1/z = \bar{z} \) .
(c) \( \operatorname{Re}\left( z\right) = 3 \) .
(d) \( \operatorname{Re}\left( z\right) > c \) ,(或者 \( \geq c \) ) 其中 \( c \in \mathbf{R} \) .
(e) \( \operatorname{Re}\left( {{az} + b}\right) > 0 \) ,其中 \( a, b \in \mathbf{C} \) .
(f) \( \left| z\right| = \operatorname{Re}\left( z\right) + 1 \) .
(g) \( \operatorname{Im}\left( z\right) = c \) ,其中 \( c \in \mathbf{R} \) .
2. 令 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 表示 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 中的内积. 也就是说,如果 \( Z = \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right), W = \left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) \) , 那么
\[
\langle Z, W\rangle = {x}_{1}{x}_{2} + {y}_{1}{y}_{2}
\]
类似地,在复数集 \( \mathbf{C} \) 中定义 Hermitian 内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \)
\[
\left( {z, w}\right) = \overline{zw}.
\]
Hermitian 内积没有对称性,但具有共轭对称性,对任意的 \( z, w \in \mathbf{C} \) ,有
\[
\left( {z, w}\right) = \left( \overline{w, z}\right) .
\]
因此,
\[
\langle z, w\rangle = \frac{1}{2}\left\lbrack {\left( {z, w}\right) + \left( {w, z}\right) }\right\rbrack = \operatorname{Re}\left( {z, w}\right) ,
\]
其中 \( z = x + \mathrm{i}y \in \mathbf{C},\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} \) .
3. 令 \( \omega = s{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) ,其中 \( s \geq 0,\varphi \in \mathbf{R} \) ,那么方程 \( {z}^{n} = \omega (n \) 为自然数) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 中有多少个解?
4. 众所周知,在复数集 \( \mathbf{C} \) 中不存在完全的排序. 换句话说,复数之间不存在顺序 \( > \) 的关系,因此规定:
( \( \mathrm{i} \) ) 对任意两个复数 \( z, w \) ,关系 \( z \succ w, w \succ z \) 和 \( z = w \) 存在且只能存在一个.
(ii) 对任意 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C} \) ,若 \( {z}_{1} \succ {z}_{2} \) 就意味着 \( {z}_{1} + {z}_{3} \succ {z}_{2} + {z}_{3} \) .
(iii) 对任意 \( {z}_{1},{z}_{2},{z}_{3} \in \mathbf{C} \) ,若 \( {z}_{3} > 0 \) ,那么 \( {z}_{1} \succ {z}_{2} \) 就意味着 \( {z}_{1}{z}_{3} \succ {z}_{2}{z}_{3} \) .
【提示: 上述关系成立的前提是认为 \( \mathrm{i} > 0 \) . ]
5. 称集合 \( \Omega \) 是顺向连通的,即如果 \( \Omega \) 中任意两点都可以由 \( \Omega \) 内的某条（分段光滑的) 曲线所连接. 此定义的目的是要证明开集 \( \Omega \) 是顺向连通的当且仅当 \( \Omega \) 是连通的.
(a) 首先假设开集 \( \Omega \) 是顺向连通的,那么可记 \( \Omega = {\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2} \) ,其中 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 为交集为空的开集,选择两点 \( {w}_{1} \in {\Omega }_{1},{w}_{2} \in {\Omega }_{2} \) ,并令 \( \gamma \) 为 \( \Omega \) 中连接 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 的一条曲线,考虑此曲线的参数化法 \( z : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \Omega \) ,其中 \( z\left( 0\right) = {w}_{1}, z\left( 1\right) = {w}_{2} \) . 并令
\[
{t}^{ * } = \mathop{\sup }\limits_{{0 \leq t \leq 1}}\left\{ {t : z\left( s\right) \in {\Omega }_{1},0 \leq s < t}\right\} .
\]
通过考虑点 \( z\left( {t}^{ * }\right) \) 便可找到矛盾之处.
(b) 反之,假设 \( \Omega \) 是连通的开集,选定一点 \( w \in \Omega \) ,并令 \( {\Omega }_{1} \subset \Omega \) 为所有在 \( \Omega \) 中能与 \( w \) 连成曲线的点所组成的集合,同时取 \( {\Omega }_{2} \) 为在 \( \Omega \) 中不能与 \( w \) 连成曲线的点的集合. 证明 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 都是开集,并且二者交集为空,并集为 \( \Omega \) . 最后,证明 \( {\Omega }_{1} \) 非空,并可以由此推断出 \( \Omega = {\Omega }_{1} \) .
事实上, 上述证明表明, 我们用来定义顺向连通的曲线的类型和正则性可能是不严格的,当 \( \Omega \) 是开集时,它并没有表明连通和顺向连通两个定义的区别. 例如, 我们可以说所有的曲线都是连续的或者说是简单的多项式直线 \( {}^{ \ominus } \) .
6. 令 \( \Omega \) 为复数集 \( \mathrm{C} \) 中的开集, \( z \in \Omega \) . 在 \( \Omega \) 中包含 \( z \) 的连通分支 (或单支) 记为集合 \( {C}_{z},\Omega \) 中所有的点 \( w \) 都可以通过含于 \( \Omega \) 中的某条曲线与 \( z \) 相连.
(a) 首先证明 \( {C}_{z} \) 是连通的开集. 那么, \( w \in {C}_{z} \) 就等价于: ( i ) \( z \in {C}_{z} \) ; ( ii ) \( w \in \) \( {C}_{z} \) 就意味着 \( z \in {C}_{w} \) ; (iii ) 如果 \( w \in {C}_{z}, z \in {C}_{\zeta } \) ,那么 \( w \in {C}_{\zeta } \) .
因此 \( \Omega \) 是所有连通分支的并,并且任意两个分支要么交集为空要么重合.
(b) 证明 \( \Omega \) 至多有可数个不同的连通分支.
(c) 证明如果 \( \Omega \) 是某个紧集的余集,那么 \( \Omega \) 只有一个无界分支.
【提示: 关于 (b), 可以另外获得不可数个不相交的开球. 现在, 每一个球都包含一个具有有理坐标的点. 关于 \( \left( \mathrm{c}\right) \) ,注意到大圆盘的余集包含的紧集是连通的. ]
7. 这里所引入的映射族在复分析中起着重要的作用. 这些映射有时称为 Blas-chke 因子, 将会在后面的章节中出现.
---
\( \ominus \) 多角形线就是分段光滑曲线,是由有限条直线段连接而成.
---
(a) 令 \( z \) 和 \( w \) 是两个复数,且 \( \bar{z}w \neq 1 \) . 证明: 如果 \( \left| z\right| < 1,\left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\left| \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}\right| < 1
\]
如果 \( \left| z\right| = 1,\left| w\right| = 1 \) ,那么
\[
\left| \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}\right| = 1
\]
【提示: 为什么假设 \( z \) 是实数呢? 因为这样很容易证明
\[
\left( {r - w}\right) \left( {r - \bar{w}}\right) \leq \left( {1 - {rw}}\right) \left( {1 - r\bar{w}}\right) ,
\]
其中,选取合适的 \( r \) 和 \( \left| w\right| \) 能使得等号成立. ]
(b) 在单位圆盘 \( D \) 内取定一点 \( w \) ,映射
\[
F : z \mapsto \frac{w - z}{1 - \bar{w}z}
\]
满足下列条件
( i ) 映射 \( F \) 在其单位圆盘内是全纯函数 \( \left( {F : D \rightarrow D}\right) \) .
(ii) 映射 \( F \) 可以互换 0 与 \( w \) ,即 \( F\left( 0\right) = w, F\left( w\right) = 0 \) .
(iii) 如果 \( \left| z\right| = 1 \) ,那么 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) .
(iv) \( F : D \rightarrow D \) 是双射. 【提示: 计算 \( F \circ F \) . 】
8. 假设 \( U \) 和 \( V \) 是定义在复平面上的开集. 证明: 如果 \( f : U \rightarrow V, g : V \rightarrow \mathbf{C} \) 是两个可微函数 (在实数情况下就相当于具有两个变量 \( x \) 和 \( y \) 的函数),并且复合函数为 \( h = g \circ f \) ,那么
\[
\frac{\partial h}{\partial z} = \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial z} + \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial z},
\]
且
\[
\frac{\partial h}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial g}{\partial z}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} + \frac{\partial g}{\partial \bar{z}}\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}.
\]
这就是复数形式的链式法则.
9. 证明: 在极坐标系中, 柯西-黎曼方程为
\[
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta } = - \frac{\partial v}{\partial r}.
\]
利用上述方程证明对数函数
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }, - \pi < \theta < \pi \) ,在区域 \( r > 0, - \pi < \theta < \pi \) 内是全纯函数.
10. 证明:
\[
4\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial \bar{z}} = 4\frac{\partial }{\partial \bar{z}}\frac{\partial }{\partial z} = \Delta ,
\]
其中 \( \Delta \) 是调和算子 (Laplacian 算子)
\[
\Delta = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}
\]
11. 利用练习 10 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么 \( f \) 的实部和虚部是调和的, 并且它们的调和算子为零.
12. 考虑函数
\[
f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) = \sqrt{\left| x\right| \left| y\right| },
\]
其中 \( x, y \in \mathbf{R} \) . 证明: 函数 \( f \) 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不是全纯的.
13. 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的全纯函数. 以下任何一个条件成立都能推断出 \( f \) 是常数.
(a) \( \operatorname{Re}\left( f\right) \) 是常数;
(b) \( \operatorname{Im}\left( f\right) \) 是常数;
(c) \( \left| f\right| \) 是常数.
14. 假设 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{N} \) 和 \( {\left\{ {b}_{n}\right\} }_{n = 1}^{N} \) 是两个有限复数列. 令 \( {B}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{b}_{n} \) 为级数 \( \sum {b}_{n} \) 的部分和,并规定 \( {B}_{0} = 0 \) . 证明: 分部求和公式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = M}}^{N}{a}_{n}{b}_{n} = {a}_{N}{B}_{N} - {a}_{M}{B}_{M - 1} - \mathop{\sum }\limits_{{n = M}}^{{N - 1}}\left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) {B}_{n}.
\]
15. Abel 定理. 假设级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n} \) 收敛. 证明:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow {1}^{ - }}}\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{r}^{n}{a}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}
\]
【提示: 利用部分和】换句话说, 如果级数收敛, 那么它的 Abel 可和有相同的极限. 为了给出更精确的定义, 并且获得可求和方法的更多资料, 请读者参考本书第一册第 2 章.
16. 确定 (a) \( \sim \left( \mathrm{d}\right) \) 情况下幂级数 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 的收敛半径:
(a) \( {a}_{n} = {\left( \log n\right) }^{2} \) ;
(b) \( {a}_{n} = n \) !;
(c) \( {a}_{n} = \frac{{n}^{2}}{{4}^{n} + {3n}} \) ;
(d) \( {a}_{n} = {\left( n!\right) }^{3}/\left( {3n}\right) ! \) 【提示: 应用 Stirling 公式,即对 \( c > 0, n! \sim \) \( \left. {c{n}^{n + \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-n}\text{. }}\right\rbrack \) ;
(e) 求超几何级数 (高斯级数)
\[
F\left( {\alpha ,\beta ,\gamma ;z}\right) = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{\alpha \left( {\alpha + 1}\right) \cdots \left( {\alpha + n - 1}\right) \beta \left( {\beta + 1}\right) \cdots \left( {\beta + n - 1}\right) }{n!\gamma \left( {\gamma + 1}\right) \cdots \left( {\gamma + n - 1}\right) }{z}^{n}
\]
的收敛半径,这里 \( \alpha ,\beta \in \mathrm{C} \) ,并且 \( \gamma \neq 0, - 1, - 2,\cdots \) .
(f) 求 \( r \) 阶的 Bessel 函数的收敛半径:
\[
{J}_{r}\left( z\right) = {\left( \frac{z}{2}\right) }^{r}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n!\left( {n + r}\right) !}{\left( \frac{z}{2}\right) }^{2n},
\]
其中 \( r \) 为正整数.
17. 证明: \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 0}^{+\infty } \) 是非零复数序列,如果
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{\left| {a}_{n + 1}\right| }{\left| {a}_{n}\right| } = L
\]
那么
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = L.
\]
特别地, 上述的比值法可以用来计算幂级数的收敛半径.
18. 如果 \( f \) 是以原点为中心的幂级数,证明: \( f \) 可以在其收敛圆盘中的任何点处展成幂级数
【提示: 令 \( z = {z}_{0} + \left( {z - {z}_{0}}\right) \) ,再将 \( {z}^{n} \) 二项式展开. 】
19. 证明:
(a) 级数 \( \sum n{z}^{n} \) 在单位圆中任何点处都不收敛.
(b) 级数 \( \sum {z}^{n}/{n}^ | 推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数. | 证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.\n\n因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }{f}^{\prime }\left( z\right) \mathrm{d}z = f\left( w\right) - f\left( {w}_{0}\right) .\n\]\n\n根据假设, \( {f}^{\prime } = 0 \) ,所以上述积分为零,即 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) . |
定理 1.1 如果 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集,且 \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 中,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯函数.
证明 记 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 为初始三角形 (方向取正,即逆时针方向), \( {d}^{\left( 0\right) } \) 和 \( {p}^{\left( 0\right) } \) 分别表示 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 的直径和周长. 首先将组成周线的三角形的三边各取中点,连接中点就会得到四个新的小三角形,记为 \( {T}_{1}^{\left( 1\right) },{T}_{2}^{\left( 1\right) },{T}_{3}^{\left( 1\right) },{T}_{4}^{\left( 1\right) } \) ,这四个小三角形全等且都与 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 相似, 其方向如图 1 所示, 与之前三角形的方向是一致的.
图 \( 1{T}^{\left( 0\right) } \) 的对分
因为每一条连接中点的线段积分时都从彼此正好相反的方向取了两次, 刚好相互抵消, 所以
\[
{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}_{1}}\left( \mathrm{i}\right) f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{2}}\left( \mathrm{i}\right) f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{3}\left( 1\right) }f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{4}\left( 1\right) }f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
(2)
则至少存在某个 \( j \) 满足
\[
\left| {{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq 4\left| {{\int }_{{T}_{j}^{\left( 1\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| ,
\]
否则式 (2) 就矛盾了. 此时记满足上式的 \( {T}_{j}{}^{\left( 1\right) } \) 为 \( {T}^{\left( 1\right) } \) . 同样分别记 \( {d}^{\left( 1\right) } \) 和 \( {p}^{\left( 1\right) } \) 为 \( {T}^{\left( 1\right) } \) 的直径和周长. 那么 \( {d}^{\left( 1\right) } = \left( {1/2}\right) {d}^{\left( 0\right) },{p}^{\left( 1\right) } = \left( {1/2}\right) {p}^{\left( 0\right) } \) . 接下来我们对 \( {T}^{\left( 1\right) } \) 重复这样做, 连续地重复这个过程, 就得到一个三角形序列
\[
{T}^{\left( 0\right) },{T}^{\left( 1\right) },\cdots ,{T}^{\left( n\right) },\cdots
\]
满足
\[
\left| {{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {4}^{n}\left| {{\int }_{{T}^{\left( n\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right|
\]
且
\[
{d}^{\left( n\right) } = {2}^{-n}{d}^{\left( 0\right) },{p}^{\left( n\right) } = {2}^{-n}{p}^{\left( 0\right) },
\]
其中 \( {d}^{\left( n\right) } \) 和 \( {p}^{\left( n\right) } \) 分别表示 \( {T}^{\left( n\right) } \) 的直径和周长. 周线 \( {T}^{\left( n\right) } \) 及其内部记为实三角形区域 \( {\Gamma }^{\left( n\right) } \) ,显然
\[
{\Gamma }^{\left( 0\right) } \supset {\Gamma }^{\left( 1\right) } \supset \cdots \supset {\Gamma }^{\left( n\right) } \supset \cdots ,
\]
它们的直径是趋于 0 的. 根据第 1 章中命题 1.4,存在 \( {z}_{0} \) 属于所有的 \( {\Gamma }^{\left( n\right) } \) ,且函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点是全纯的,可写成
\[
f\left( z\right) = f\left( {z}_{0}\right) + {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \left( {z - {z}_{0}}\right) + \psi \left( z\right) \left( {z - {z}_{0}}\right) ,
\]
其中当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \psi \left( z\right) \rightarrow 0 \) . 因为常数 \( f\left( {z}_{0}\right) \) 和线性函数 \( {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) \left( {z - {z}_{0}}\right) \) 都存在原函数, 就可以对上式积分, 根据上一章推论 3.3 得
\[
{\int }_{{T}^{\left( n\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}^{\left( n\right) }}\psi \left( z\right) \left( {z - {z}_{0}}\right) \mathrm{d}z.
\]
(3)
现在, \( {z}_{0} \) 属于实三角形 \( {\Gamma }^{\left( n\right) } \) 的内部, \( z \) 是 \( {\Gamma }^{\left( n\right) } \) 边界上的点,所以 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq {d}^{\left( n\right) } \) , 那么根据式 (3) 和上一章命题 3.1 中的 (iii), 可对积分估值
\[
\left| {{\int }_{{T}^{\left( n\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\varepsilon }_{n}{d}^{\left( n\right) }{p}^{\left( n\right) },
\]
其中当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( {\varepsilon }_{n} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in {T}^{\left( n\right) }}}\left| {\psi \left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) . 因此,
\[
\left| {{\int }_{{T}^{\left( n\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\varepsilon }_{n}{4}^{-n}{d}^{\left( 0\right) }{p}^{\left( 0\right) },
\]
所以
\[
\left| {{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {4}^{n}\left| {{\int }_{{T}^{\left( n\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\varepsilon }_{n}{d}^{\left( 0\right) }{p}^{\left( 0\right) }.
\]
当 \( n \rightarrow + \infty \) 时,便可推出积分为 0,定理证毕.
推论 1.2 如果 \( f \) 是开集 \( \Omega \) 中的全纯函
图 2 矩形分割成两个三角形
数, \( \Omega \) 中包含矩形周线 \( R \) 及其内部,那么
\[
{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
此推论很显然, 只要连接矩形的一条对角线得到两个全等的三角形即可. 选择好方向, 如图 2 所示.
\[
{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{2}}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
## 2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理
首先需要证明 Goursat 定理的推论: 在圆盘内原函数存在.
定理 2.1 定义在开圆盘上的全纯函数在该圆盘内具有原函数.
证明 首先不失一般性假设圆盘是以原点为中
图 3 多边形线 \( {\gamma }_{z} \)
心的,记为 \( D \) . 任取一点 \( z \in D \) ,用水平和铅垂的折线连接 0 与 \( z \) ,如图 3 所示,首先沿水平方向连接 0 与 \( \widetilde{z} \) ,其中 \( \widetilde{z} = \operatorname{Re}\left( z\right) \) ,然后沿铅垂方向连接 \( \widetilde{z} \) 和 \( z \) . 此折线当然是分段光滑的,方向是从 0 到 \( z \) ,记此多边形线 (由至少两条线段构成的折线称为多边形线) 为 \( {\gamma }_{z} \) . 定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
显然,函数 \( F\left( z\right) \) 是根据 \( {\gamma }_{z} \) 的选择定义出来的. 函数 \( F\left( z\right) \) 在 \( D \) 上是全纯的,且 \( {F}^{\prime }\left( z\right) = f\left( z\right) \) . 为了证明,任意取定 \( z \in D \) ,取复数集 \( \mathbf{C} \) 中足够小的元素 \( h \) ,使得 \( z + h \) 始终包含在圆盘 \( D \) 内. 考虑增量
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z + h}}f\left( w\right) \mathrm{d}w - {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
也就是函数 \( f \) 首先沿着 \( {\gamma }_{z + h} \) 的初始方向积分,然后再沿着 \( {\gamma }_{z} \) 的反方向积分 (这是因为上式中等号后面的第二项前面的符号是减号). 如图 4a) 所示,函数 \( f \) 是在分段光滑的直线上积分的, 当积分线段方向相反时积分就可以抵消, 所以抵消掉图 4 a) 中带有两个相反积分方向的线段后就得到了图 4b), 然后可以将图 4b) 补成一个长方形回路和一个三角形回路,如图 4c) 所示. 根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在闭回路上积分为零, 所以, 除去积分为零的路径, 积分路径就只剩下图 4d), 即从点 \( z \) 到点 \( z + h \) 的线段.
图 4 多边形线 \( {\gamma }_{z} \) 和 \( {\gamma }_{z + h} \) 的关系
根据上述讨论, 原积分式就化简为
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
其中 \( \eta \) 是从点 \( z \) 指向点 \( z + h \) 的直线段. 因为函数 \( f \) 在 \( z \) 点连续,所以
\[
f\left( w\right) = f\left( z\right) + \psi \left( w\right) .
\]
其中当 \( w \rightarrow z \) 时, \( \psi \left( w\right) \rightarrow 0 \) . 因此,
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( z\right) \mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w
\]
\[
= f\left( z\right) {\int }_{\eta }\mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
(4)
一方面,常数 1 有原函数 \( w \) ,应用第 1 章中的定理 3.2,式 (4) 最右边的第一个积分就是 \( h \) ( \( \eta \) 的长度). 另一方面,根据估值
\[
\left| {{\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{w \in \eta }}\left| {\psi \left( w\right) }\right| \left| h\right| .
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时,上式的上确界就趋于零,因此根据式 (4),有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) ,
\]
这也就证明了在圆盘内函数 \( F \) 是函数 \( f \) 的原函数.
上述定理具有局部性, 任何全纯函数具有原函数, 仅限制在开圆盘内. 但是若能证明此定理在其他开集中也成立才是更重要的. 我们马上回到之前所讨论的 “周线” 上进一步讨论.
定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线.
证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证.
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
事实上, 只要周线的 “内部” 定义明确, 并且在周线及其内部构造适当的多边形路径, 定理及其推论就可以成立. 当周线是圆周时, 其内部就是一个圆盘, 此时难题简单了, 只要选择水平和铅垂的路径就可以了.
接下来的定义不是很严格, 但是应用起来却很明确. 将任意封闭曲线称为周线, 其内部的定义很明确, 类似于定理 2.1 中的曲线及其内部的某个邻域. 曲线的正方形是指当沿周线的正方向走时其内部总在左手边. 这和圆周的正方向的定义是一致的. 例如, 圆周、三角形和矩形周线的正方向都是这样定义的.
另一个很重要的周线例子就是 “锁眼” 周线 \( \Gamma \) ,如图 5 所示,将在柯西积分公式的证明中用到. “锁眼” 周线 \( \Gamma \) 由近似的两个圆构成,一个大的,一个小的, 由一条狭窄的走廊连接. 周线 \( \Gamma \) 的内部可以记为 \( {\Gamma }_{\mathrm{{int}}} \) ,其是由周线围成的区域. 在 \( {\Gamma }_{\text{int }} \) 内指定一点 \( {z}_{0} \) ,如果 \( f \) 在周线 \( \Gamma \) 及其内部是全纯的,那么它在稍微大点的锁眼周线及其内部也一定是全纯的,记为 \( \Lambda \) ,其内部记为 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) ,所以 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 包含 \( \Gamma \cup {\Gamma }_{\text{int }} \) . 如果 \( z \in {\Lambda }_{\text{int }} \) ,令 \( {\gamma }_{z} \) 表示 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内部连接 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的任意曲线,由有限条水平和铅垂的线段组成 (见图 6).
图 5 锁眼周线
图 6 曲线 \( {\gamma }_{z} \)
如果 \( {\eta }_{z} \) 是另一条任意曲线,如推论 1.2 (Goursat 定理的矩形定义),满足
\[
{\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{{\eta }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
那么定义 \( F \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内是明确的. 其中 \( F \) 是 \( f \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内的原函数,因此 \( {\int }_{\Gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
重点在于对于周线 \( \gamma \) 很容易得到
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
只要 \( f \) 在开集中是全纯函数,并且此开集包含周线 \( \gamma \) 及其内部.
在应用中遇到的其他类型的周线的例子, 柯西定理及其推论依然适用, 如图 7 所示.
对于我们所遇到的很多种周线, 柯西定理是足够用了, 问题就在于更一般的曲线. 这些一般的曲线整理在附录 \( \mathrm{B} \) 中,那里证明了分段光滑曲线的 Jordan 定理. 此定理阐述了一条简单的封闭的分段光滑曲线的内部的定义, 称为 “单连通的”. 作为推论, 尽管是证明了更一般的周线的情况, 但柯西定理依然适用.
图 7 周线举例
## 3 一些积分估值
这里的想法始于柯西定理. 我们将根据定理给出几个积分估值的例子, 至于更系统的方法, 积分留数方面的问题将在下一章给出.
例 1 如果 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
(5)
\( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换,这个事实在 | 定理 1.1 如果 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集,且 \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 中,那么\n\n\[{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,\]\n\n其中 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯函数. | 证明 记 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 为初始三角形 (方向取正,即逆时针方向), \( {d}^{\left( 0\right) } \) 和 \( {p}^{\left( 0\right) } \) 分别表示 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 的直径和周长. 首先将组成周线的三角形的三边各取中点,连接中点就会得到四个新的小三角形,记为 \( {T}_{1}^{\left( 1\right) },{T}_{2}^{\left( 1\right) },{T}_{3}^{\left( 1\right) },{T}_{4}^{\left( 1\right) } \) ,这四个小三角形全等且都与 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 相似, 其方向如图 1 所示, 与之前三角形的方向是一致的.\n\n\n\n图 \( 1{T}^{\left( 0\right) } \) 的对分\n\n因为每一条连接中点的线段积分时都从彼此正好相反的方向取了两次, 刚好相互抵消, 所以\n\n\[{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}_{1}}\left( \mathrm{i}\right) f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{2}}\left( \mathrm{i}\right) f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{3}\left( 1\right) }f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{4}\left( 1\right) }f\left( z\right) \mathrm{d}z.\]\n\n(2)\n\n则至少存在某个 \( j \) 满足\n\n\[ \left| {{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq 4\left| {{\int }_{{T}_{j}^{\left( 1\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| ,\]\n\n否则式 (2) 就矛盾了. 此时记满足上式的 \( {T}_{j}{}^{\left( 1\right) } \) 为 \( {T}^{\left( 1\right) } \) . 同样分别记 \( {d}^{\left( 1\right) } \) 和 \( {p}^{\left( 1\right) } \) 为 \( {T}^{\left( 1\right) } \) 的直径和周长. 那么 \( {d}^{\left( 1\right) } = \left( {1/2}\right) {d}^{\left( 0\right) },{p}^{\left( 1\right) } = \left( {1/2}\right) {p}^{\left( 0\right) } \) . 接下来我们对 \( {T}^{\left( 1\right) } \) 重复这样做, 连续地重复这个过程, 就得到一个三角形序列\n\n\[{T}^{\left( 0\right) },{T}^{\left( 1\right) },\cdots ,{T}^{\left( n\right) },\cdots\]\n\n满足\n\n\[ \left| {{\int }_{{T}^{\left( 0\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {4}^{n}\left| {{\int }_{{T}^{\left( n\right) }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \]\n\n且\n\n\[{d}^{\l |
推论 1.2 如果 \( f \) 是开集 \( \Omega \) 中的全纯函
图 2 矩形分割成两个三角形
数, \( \Omega \) 中包含矩形周线 \( R \) 及其内部,那么
\[
{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
此推论很显然, 只要连接矩形的一条对角线得到两个全等的三角形即可. 选择好方向, 如图 2 所示.
\[
{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{2}}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
## 2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理
首先需要证明 Goursat 定理的推论: 在圆盘内原函数存在.
定理 2.1 定义在开圆盘上的全纯函数在该圆盘内具有原函数.
证明 首先不失一般性假设圆盘是以原点为中
图 3 多边形线 \( {\gamma }_{z} \)
心的,记为 \( D \) . 任取一点 \( z \in D \) ,用水平和铅垂的折线连接 0 与 \( z \) ,如图 3 所示,首先沿水平方向连接 0 与 \( \widetilde{z} \) ,其中 \( \widetilde{z} = \operatorname{Re}\left( z\right) \) ,然后沿铅垂方向连接 \( \widetilde{z} \) 和 \( z \) . 此折线当然是分段光滑的,方向是从 0 到 \( z \) ,记此多边形线 (由至少两条线段构成的折线称为多边形线) 为 \( {\gamma }_{z} \) . 定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
显然,函数 \( F\left( z\right) \) 是根据 \( {\gamma }_{z} \) 的选择定义出来的. 函数 \( F\left( z\right) \) 在 \( D \) 上是全纯的,且 \( {F}^{\prime }\left( z\right) = f\left( z\right) \) . 为了证明,任意取定 \( z \in D \) ,取复数集 \( \mathbf{C} \) 中足够小的元素 \( h \) ,使得 \( z + h \) 始终包含在圆盘 \( D \) 内. 考虑增量
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z + h}}f\left( w\right) \mathrm{d}w - {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
也就是函数 \( f \) 首先沿着 \( {\gamma }_{z + h} \) 的初始方向积分,然后再沿着 \( {\gamma }_{z} \) 的反方向积分 (这是因为上式中等号后面的第二项前面的符号是减号). 如图 4a) 所示,函数 \( f \) 是在分段光滑的直线上积分的, 当积分线段方向相反时积分就可以抵消, 所以抵消掉图 4 a) 中带有两个相反积分方向的线段后就得到了图 4b), 然后可以将图 4b) 补成一个长方形回路和一个三角形回路,如图 4c) 所示. 根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在闭回路上积分为零, 所以, 除去积分为零的路径, 积分路径就只剩下图 4d), 即从点 \( z \) 到点 \( z + h \) 的线段.
图 4 多边形线 \( {\gamma }_{z} \) 和 \( {\gamma }_{z + h} \) 的关系
根据上述讨论, 原积分式就化简为
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
其中 \( \eta \) 是从点 \( z \) 指向点 \( z + h \) 的直线段. 因为函数 \( f \) 在 \( z \) 点连续,所以
\[
f\left( w\right) = f\left( z\right) + \psi \left( w\right) .
\]
其中当 \( w \rightarrow z \) 时, \( \psi \left( w\right) \rightarrow 0 \) . 因此,
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( z\right) \mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w
\]
\[
= f\left( z\right) {\int }_{\eta }\mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
(4)
一方面,常数 1 有原函数 \( w \) ,应用第 1 章中的定理 3.2,式 (4) 最右边的第一个积分就是 \( h \) ( \( \eta \) 的长度). 另一方面,根据估值
\[
\left| {{\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{w \in \eta }}\left| {\psi \left( w\right) }\right| \left| h\right| .
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时,上式的上确界就趋于零,因此根据式 (4),有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) ,
\]
这也就证明了在圆盘内函数 \( F \) 是函数 \( f \) 的原函数.
上述定理具有局部性, 任何全纯函数具有原函数, 仅限制在开圆盘内. 但是若能证明此定理在其他开集中也成立才是更重要的. 我们马上回到之前所讨论的 “周线” 上进一步讨论.
定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线.
证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证.
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
事实上, 只要周线的 “内部” 定义明确, 并且在周线及其内部构造适当的多边形路径, 定理及其推论就可以成立. 当周线是圆周时, 其内部就是一个圆盘, 此时难题简单了, 只要选择水平和铅垂的路径就可以了.
接下来的定义不是很严格, 但是应用起来却很明确. 将任意封闭曲线称为周线, 其内部的定义很明确, 类似于定理 2.1 中的曲线及其内部的某个邻域. 曲线的正方形是指当沿周线的正方向走时其内部总在左手边. 这和圆周的正方向的定义是一致的. 例如, 圆周、三角形和矩形周线的正方向都是这样定义的.
另一个很重要的周线例子就是 “锁眼” 周线 \( \Gamma \) ,如图 5 所示,将在柯西积分公式的证明中用到. “锁眼” 周线 \( \Gamma \) 由近似的两个圆构成,一个大的,一个小的, 由一条狭窄的走廊连接. 周线 \( \Gamma \) 的内部可以记为 \( {\Gamma }_{\mathrm{{int}}} \) ,其是由周线围成的区域. 在 \( {\Gamma }_{\text{int }} \) 内指定一点 \( {z}_{0} \) ,如果 \( f \) 在周线 \( \Gamma \) 及其内部是全纯的,那么它在稍微大点的锁眼周线及其内部也一定是全纯的,记为 \( \Lambda \) ,其内部记为 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) ,所以 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 包含 \( \Gamma \cup {\Gamma }_{\text{int }} \) . 如果 \( z \in {\Lambda }_{\text{int }} \) ,令 \( {\gamma }_{z} \) 表示 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内部连接 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的任意曲线,由有限条水平和铅垂的线段组成 (见图 6).
图 5 锁眼周线
图 6 曲线 \( {\gamma }_{z} \)
如果 \( {\eta }_{z} \) 是另一条任意曲线,如推论 1.2 (Goursat 定理的矩形定义),满足
\[
{\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{{\eta }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
那么定义 \( F \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内是明确的. 其中 \( F \) 是 \( f \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内的原函数,因此 \( {\int }_{\Gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
重点在于对于周线 \( \gamma \) 很容易得到
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
只要 \( f \) 在开集中是全纯函数,并且此开集包含周线 \( \gamma \) 及其内部.
在应用中遇到的其他类型的周线的例子, 柯西定理及其推论依然适用, 如图 7 所示.
对于我们所遇到的很多种周线, 柯西定理是足够用了, 问题就在于更一般的曲线. 这些一般的曲线整理在附录 \( \mathrm{B} \) 中,那里证明了分段光滑曲线的 Jordan 定理. 此定理阐述了一条简单的封闭的分段光滑曲线的内部的定义, 称为 “单连通的”. 作为推论, 尽管是证明了更一般的周线的情况, 但柯西定理依然适用.
图 7 周线举例
## 3 一些积分估值
这里的想法始于柯西定理. 我们将根据定理给出几个积分估值的例子, 至于更系统的方法, 积分留数方面的问题将在下一章给出.
例 1 如果 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
(5)
\( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换,这个事实在本书第一册第 5 章的定理 1.4 中已经证明过了, 这里又给出了一种新的证明方法.
如果 \( \xi = 0 \) ,积分 \( {}^{ \ominus } \) 就是已知的,即
\[
1 = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x.
\]
现在假设 \( \xi > 0 \) ,并且定义函数 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\pi {z}^{2}} \) ,它是整函数,是周线 \( {\gamma }_{R} \) 内部的特殊的全纯函数, 如图 8 所示.
图 8 例 1 中周线 \( {\gamma }_{R} \)
周线 \( {\gamma }_{R} \) 是由顶点为 \( R, R + \mathrm{i}\xi , - R + \mathrm{i}\xi , - R \) 组成的矩形,其正方向为逆时针方向. 根据柯西定理,
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
(6)
水平方向下面的线段只在实轴上, 所以是实数上的积分, 表示为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 1 . 铅垂方向右边线段上的积分为
\[
I\left( R\right) = {\int }_{0}^{\xi }f\left( {R + \mathrm{i}y}\right) \mathrm{{id}}y = {\int }_{0}^{\xi }{\mathrm{e}}^{-\pi \left( {{R}^{2} + 2\mathrm{i}{Ry} - {y}^{2}}\right) }\mathrm{{id}}y.
\]
因为 \( \xi \) 已经取定,并且可以估计
\[
\left| {I\left( R\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{-\pi {R}^{2}}.
\]
所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时此积分趋于 0 . 类似地,当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,铅垂方向左边线段上的积分也是趋近于 0 的, 原因相同. 最后, 水平方向上面的线段积分为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {\left( x + \mathrm{i}\xi \right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,根据式 (6) 可知
\[
0 = 1 - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x,
\]
并且我们需要的公式是确定的. 当 \( \xi < 0 \) 时,只要考虑的是在半平面与实轴对称的矩形周线即可.
---
\( \ominus \) 积分根据 \( \Gamma \left( {1/2}\right) = \sqrt{\pi } \) 求出,其中 \( \Gamma \) 是 Gamma 函数,将在第 6 章介绍.
---
在先前的例子中已经用过积分周线移位的方法, 此方法还有许多其他的应用. 注意, 式 (5) 的积分可以认为是在实线上处理的, 根据柯西定理积分周线在复平面上向上或向下移动 (取决于 \( \xi \) 的选取).
例 2 另一个典型的例子是
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}.
\]
这里考虑函数 \( f\left( z\right) = (1 - \)
图 9 例 2 中的锯齿状半圆周周线
\( \left. {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}\right) /{z}^{2} \) ,考虑在上半平面上的锯齿状的半圆周周线上的积分, 位置在 \( x \) 轴上,如图 9 所示.
其中 \( \varepsilon \) 和 \( R \) 分别表示小圆周和大圆周的半径, \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 和 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 分别表示小的圆周线和大的圆周线, 其方向分别取负方向和正方向, 根据柯西定理, 有
\[
{\int }_{-R}^{-\varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z + {\int }_{\varepsilon }^{R}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{R}^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
令 \( R \rightarrow + \infty \) ,那么
\[
\left| \frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\right| \leq \frac{2}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
因此在 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 上的积分就趋于零,且
\[
{\int }_{\left| x\right| \geq \varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z.
\]
接下来, 记
\[
f\left( z\right) = \frac{-\mathrm{i}z}{{z}^{2}} + E\left( z\right) .
\]
其中,当 \( z \rightarrow 0 \) 时 \( E\left( z\right) \) 是有界的,同时,在 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 上有 \( z = \varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },\mathrm{\;d}z = \mathrm{i}\varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta \) ,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z \rightarrow {\int }_{\pi }^{0}\left( {-\mathrm{{ii}}}\right) \mathrm{d}\theta = - \pi .
\]
只取实部积分得
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi .
\]
也就证明了 \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \) .
## 4 柯西积分公式
表示公式, 特别是积分表示公式在数学中起着重要作用, 因为它可以将函数在较小集上的表现在大集上重新呈现. 例如, 在本书第一册中圆盘上的稳态热传导方程, 就可以用泊松积分公式
\[
u\left( {r,\theta }\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{P}_{r}\lef | 推论 1.2 如果 \( f \) 是开集 \( \Omega \) 中的全纯函数, \( \Omega \) 中包含矩形周线 \( R \) 及其内部,那么\n\n\[{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 此推论很显然, 只要连接矩形的一条对角线得到两个全等的三角形即可. 选择好方向, 如图 2 所示.\n\n\[{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{2}}f\left( z\right) \mathrm{d}z.\] |
定理 2.1 定义在开圆盘上的全纯函数在该圆盘内具有原函数.
证明 首先不失一般性假设圆盘是以原点为中
图 3 多边形线 \( {\gamma }_{z} \)
心的,记为 \( D \) . 任取一点 \( z \in D \) ,用水平和铅垂的折线连接 0 与 \( z \) ,如图 3 所示,首先沿水平方向连接 0 与 \( \widetilde{z} \) ,其中 \( \widetilde{z} = \operatorname{Re}\left( z\right) \) ,然后沿铅垂方向连接 \( \widetilde{z} \) 和 \( z \) . 此折线当然是分段光滑的,方向是从 0 到 \( z \) ,记此多边形线 (由至少两条线段构成的折线称为多边形线) 为 \( {\gamma }_{z} \) . 定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
显然,函数 \( F\left( z\right) \) 是根据 \( {\gamma }_{z} \) 的选择定义出来的. 函数 \( F\left( z\right) \) 在 \( D \) 上是全纯的,且 \( {F}^{\prime }\left( z\right) = f\left( z\right) \) . 为了证明,任意取定 \( z \in D \) ,取复数集 \( \mathbf{C} \) 中足够小的元素 \( h \) ,使得 \( z + h \) 始终包含在圆盘 \( D \) 内. 考虑增量
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z + h}}f\left( w\right) \mathrm{d}w - {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
也就是函数 \( f \) 首先沿着 \( {\gamma }_{z + h} \) 的初始方向积分,然后再沿着 \( {\gamma }_{z} \) 的反方向积分 (这是因为上式中等号后面的第二项前面的符号是减号). 如图 4a) 所示,函数 \( f \) 是在分段光滑的直线上积分的, 当积分线段方向相反时积分就可以抵消, 所以抵消掉图 4 a) 中带有两个相反积分方向的线段后就得到了图 4b), 然后可以将图 4b) 补成一个长方形回路和一个三角形回路,如图 4c) 所示. 根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在闭回路上积分为零, 所以, 除去积分为零的路径, 积分路径就只剩下图 4d), 即从点 \( z \) 到点 \( z + h \) 的线段.
图 4 多边形线 \( {\gamma }_{z} \) 和 \( {\gamma }_{z + h} \) 的关系
根据上述讨论, 原积分式就化简为
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
其中 \( \eta \) 是从点 \( z \) 指向点 \( z + h \) 的直线段. 因为函数 \( f \) 在 \( z \) 点连续,所以
\[
f\left( w\right) = f\left( z\right) + \psi \left( w\right) .
\]
其中当 \( w \rightarrow z \) 时, \( \psi \left( w\right) \rightarrow 0 \) . 因此,
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( z\right) \mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w
\]
\[
= f\left( z\right) {\int }_{\eta }\mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
(4)
一方面,常数 1 有原函数 \( w \) ,应用第 1 章中的定理 3.2,式 (4) 最右边的第一个积分就是 \( h \) ( \( \eta \) 的长度). 另一方面,根据估值
\[
\left| {{\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w}\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{w \in \eta }}\left| {\psi \left( w\right) }\right| \left| h\right| .
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时,上式的上确界就趋于零,因此根据式 (4),有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) ,
\]
这也就证明了在圆盘内函数 \( F \) 是函数 \( f \) 的原函数.
上述定理具有局部性, 任何全纯函数具有原函数, 仅限制在开圆盘内. 但是若能证明此定理在其他开集中也成立才是更重要的. 我们马上回到之前所讨论的 “周线” 上进一步讨论.
定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线.
证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证.
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
事实上, 只要周线的 “内部” 定义明确, 并且在周线及其内部构造适当的多边形路径, 定理及其推论就可以成立. 当周线是圆周时, 其内部就是一个圆盘, 此时难题简单了, 只要选择水平和铅垂的路径就可以了.
接下来的定义不是很严格, 但是应用起来却很明确. 将任意封闭曲线称为周线, 其内部的定义很明确, 类似于定理 2.1 中的曲线及其内部的某个邻域. 曲线的正方形是指当沿周线的正方向走时其内部总在左手边. 这和圆周的正方向的定义是一致的. 例如, 圆周、三角形和矩形周线的正方向都是这样定义的.
另一个很重要的周线例子就是 “锁眼” 周线 \( \Gamma \) ,如图 5 所示,将在柯西积分公式的证明中用到. “锁眼” 周线 \( \Gamma \) 由近似的两个圆构成,一个大的,一个小的, 由一条狭窄的走廊连接. 周线 \( \Gamma \) 的内部可以记为 \( {\Gamma }_{\mathrm{{int}}} \) ,其是由周线围成的区域. 在 \( {\Gamma }_{\text{int }} \) 内指定一点 \( {z}_{0} \) ,如果 \( f \) 在周线 \( \Gamma \) 及其内部是全纯的,那么它在稍微大点的锁眼周线及其内部也一定是全纯的,记为 \( \Lambda \) ,其内部记为 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) ,所以 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 包含 \( \Gamma \cup {\Gamma }_{\text{int }} \) . 如果 \( z \in {\Lambda }_{\text{int }} \) ,令 \( {\gamma }_{z} \) 表示 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内部连接 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的任意曲线,由有限条水平和铅垂的线段组成 (见图 6).
图 5 锁眼周线
图 6 曲线 \( {\gamma }_{z} \)
如果 \( {\eta }_{z} \) 是另一条任意曲线,如推论 1.2 (Goursat 定理的矩形定义),满足
\[
{\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{{\eta }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
那么定义 \( F \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内是明确的. 其中 \( F \) 是 \( f \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内的原函数,因此 \( {\int }_{\Gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
重点在于对于周线 \( \gamma \) 很容易得到
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
只要 \( f \) 在开集中是全纯函数,并且此开集包含周线 \( \gamma \) 及其内部.
在应用中遇到的其他类型的周线的例子, 柯西定理及其推论依然适用, 如图 7 所示.
对于我们所遇到的很多种周线, 柯西定理是足够用了, 问题就在于更一般的曲线. 这些一般的曲线整理在附录 \( \mathrm{B} \) 中,那里证明了分段光滑曲线的 Jordan 定理. 此定理阐述了一条简单的封闭的分段光滑曲线的内部的定义, 称为 “单连通的”. 作为推论, 尽管是证明了更一般的周线的情况, 但柯西定理依然适用.
图 7 周线举例
## 3 一些积分估值
这里的想法始于柯西定理. 我们将根据定理给出几个积分估值的例子, 至于更系统的方法, 积分留数方面的问题将在下一章给出.
例 1 如果 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
(5)
\( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换,这个事实在本书第一册第 5 章的定理 1.4 中已经证明过了, 这里又给出了一种新的证明方法.
如果 \( \xi = 0 \) ,积分 \( {}^{ \ominus } \) 就是已知的,即
\[
1 = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x.
\]
现在假设 \( \xi > 0 \) ,并且定义函数 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\pi {z}^{2}} \) ,它是整函数,是周线 \( {\gamma }_{R} \) 内部的特殊的全纯函数, 如图 8 所示.
图 8 例 1 中周线 \( {\gamma }_{R} \)
周线 \( {\gamma }_{R} \) 是由顶点为 \( R, R + \mathrm{i}\xi , - R + \mathrm{i}\xi , - R \) 组成的矩形,其正方向为逆时针方向. 根据柯西定理,
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
(6)
水平方向下面的线段只在实轴上, 所以是实数上的积分, 表示为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 1 . 铅垂方向右边线段上的积分为
\[
I\left( R\right) = {\int }_{0}^{\xi }f\left( {R + \mathrm{i}y}\right) \mathrm{{id}}y = {\int }_{0}^{\xi }{\mathrm{e}}^{-\pi \left( {{R}^{2} + 2\mathrm{i}{Ry} - {y}^{2}}\right) }\mathrm{{id}}y.
\]
因为 \( \xi \) 已经取定,并且可以估计
\[
\left| {I\left( R\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{-\pi {R}^{2}}.
\]
所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时此积分趋于 0 . 类似地,当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,铅垂方向左边线段上的积分也是趋近于 0 的, 原因相同. 最后, 水平方向上面的线段积分为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {\left( x + \mathrm{i}\xi \right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,根据式 (6) 可知
\[
0 = 1 - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x,
\]
并且我们需要的公式是确定的. 当 \( \xi < 0 \) 时,只要考虑的是在半平面与实轴对称的矩形周线即可.
---
\( \ominus \) 积分根据 \( \Gamma \left( {1/2}\right) = \sqrt{\pi } \) 求出,其中 \( \Gamma \) 是 Gamma 函数,将在第 6 章介绍.
---
在先前的例子中已经用过积分周线移位的方法, 此方法还有许多其他的应用. 注意, 式 (5) 的积分可以认为是在实线上处理的, 根据柯西定理积分周线在复平面上向上或向下移动 (取决于 \( \xi \) 的选取).
例 2 另一个典型的例子是
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}.
\]
这里考虑函数 \( f\left( z\right) = (1 - \)
图 9 例 2 中的锯齿状半圆周周线
\( \left. {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}\right) /{z}^{2} \) ,考虑在上半平面上的锯齿状的半圆周周线上的积分, 位置在 \( x \) 轴上,如图 9 所示.
其中 \( \varepsilon \) 和 \( R \) 分别表示小圆周和大圆周的半径, \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 和 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 分别表示小的圆周线和大的圆周线, 其方向分别取负方向和正方向, 根据柯西定理, 有
\[
{\int }_{-R}^{-\varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z + {\int }_{\varepsilon }^{R}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{R}^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
令 \( R \rightarrow + \infty \) ,那么
\[
\left| \frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\right| \leq \frac{2}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
因此在 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 上的积分就趋于零,且
\[
{\int }_{\left| x\right| \geq \varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z.
\]
接下来, 记
\[
f\left( z\right) = \frac{-\mathrm{i}z}{{z}^{2}} + E\left( z\right) .
\]
其中,当 \( z \rightarrow 0 \) 时 \( E\left( z\right) \) 是有界的,同时,在 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 上有 \( z = \varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },\mathrm{\;d}z = \mathrm{i}\varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta \) ,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z \rightarrow {\int }_{\pi }^{0}\left( {-\mathrm{{ii}}}\right) \mathrm{d}\theta = - \pi .
\]
只取实部积分得
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi .
\]
也就证明了 \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \) .
## 4 柯西积分公式
表示公式, 特别是积分表示公式在数学中起着重要作用, 因为它可以将函数在较小集上的表现在大集上重新呈现. 例如, 在本书第一册中圆盘上的稳态热传导方程, 就可以用泊松积分公式
\[
u\left( {r,\theta }\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{P}_{r}\left( {\theta - \varphi }\right) u\left( {1,\varphi }\right) \mathrm{d}\varphi
\]
(7)
以及圆周上的边界值完全决定.
全纯函数的情况也类似. 这并不奇怪, 因为全纯函数的实部与虚部是调和的 \( {}^{ \ominus } \) . 这里将证明积分表示公式在某种意义上是不依赖于调和函数理论的. 事实上, 回顾泊松积分公式 (7), 它可以作为以下定理的推论 (见练习 11 和练习 12).
定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\d | 定理 2.1 定义在开圆盘上的全纯函数在该圆盘内具有原函数. | 证明 首先不失一般性假设圆盘是以原点为中\n\n心的,记为 \( D \) . 任取一点 \( z \in D \) ,用水平和铅垂的折线连接 0 与 \( z \) ,如图 3 所示,首先沿水平方向连接 0 与 \( \widetilde{z} \) ,其中 \( \widetilde{z} = \operatorname{Re}\left( z\right) \) ,然后沿铅垂方向连接 \( \widetilde{z} \) 和 \( z \) . 此折线当然是分段光滑的,方向是从 0 到 \( z \) ,记此多边形线 (由至少两条线段构成的折线称为多边形线) 为 \( {\gamma }_{z} \) . 定义\n\n\[ F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w. \]\n\n显然,函数 \( F\left( z\right) \) 是根据 \( {\gamma }_{z} \) 的选择定义出来的. 函数 \( F\left( z\right) \) 在 \( D \) 上是全纯的,且 \( {F}^{\prime }\left( z\right) = f\left( z\right) \) . 为了证明,任意取定 \( z \in D \) ,取复数集 \( \mathbf{C} \) 中足够小的元素 \( h \) ,使得 \( z + h \) 始终包含在圆盘 \( D \) 内. 考虑增量\n\n\[ F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{{\gamma }_{z + h}}f\left( w\right) \mathrm{d}w - {\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w. \]\n\n也就是函数 \( f \) 首先沿着 \( {\gamma }_{z + h} \) 的初始方向积分,然后再沿着 \( {\gamma }_{z} \) 的反方向积分 (这是因为上式中等号后面的第二项前面的符号是减号). 如图 4a) 所示,函数 \( f \) 是在分段光滑的直线上积分的, 当积分线段方向相反时积分就可以抵消, 所以抵消掉图 4 a) 中带有两个相反积分方向的线段后就得到了图 4b), 然后可以将图 4b) 补成一个长方形回路和一个三角形回路,如图 4c) 所示. 根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在闭回路上积分为零, 所以, 除去积分为零的路径, 积分路径就只剩下图 4d), 即从点 \( z \) 到点 \( z + h \) 的线段.\n\n根据上述讨论, 原积分式就化简为\n\n\[ F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w. \]\n\n其中 \( \eta \) 是从点 \( z \) 指向点 \( z + h \) 的直线段. 因为函数 \( f \) 在 \( z \) 点连续,所以\n\n\[ f\left( w\right) = f\left( z\right) + \psi \left( w\right) . \]\n\n其中当 \( w \rightarrow z \) 时, \( \psi \left( w\right) \rightarrow 0 \) . 因此,\n\n\[ F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( z\right) \mathrm{d}w + {\int }_{\eta }\psi \left( w\right) \mathrm{d}w \]\n\n\[ = f\left( z\right) { |
定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线.
证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证.
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
事实上, 只要周线的 “内部” 定义明确, 并且在周线及其内部构造适当的多边形路径, 定理及其推论就可以成立. 当周线是圆周时, 其内部就是一个圆盘, 此时难题简单了, 只要选择水平和铅垂的路径就可以了.
接下来的定义不是很严格, 但是应用起来却很明确. 将任意封闭曲线称为周线, 其内部的定义很明确, 类似于定理 2.1 中的曲线及其内部的某个邻域. 曲线的正方形是指当沿周线的正方向走时其内部总在左手边. 这和圆周的正方向的定义是一致的. 例如, 圆周、三角形和矩形周线的正方向都是这样定义的.
另一个很重要的周线例子就是 “锁眼” 周线 \( \Gamma \) ,如图 5 所示,将在柯西积分公式的证明中用到. “锁眼” 周线 \( \Gamma \) 由近似的两个圆构成,一个大的,一个小的, 由一条狭窄的走廊连接. 周线 \( \Gamma \) 的内部可以记为 \( {\Gamma }_{\mathrm{{int}}} \) ,其是由周线围成的区域. 在 \( {\Gamma }_{\text{int }} \) 内指定一点 \( {z}_{0} \) ,如果 \( f \) 在周线 \( \Gamma \) 及其内部是全纯的,那么它在稍微大点的锁眼周线及其内部也一定是全纯的,记为 \( \Lambda \) ,其内部记为 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) ,所以 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 包含 \( \Gamma \cup {\Gamma }_{\text{int }} \) . 如果 \( z \in {\Lambda }_{\text{int }} \) ,令 \( {\gamma }_{z} \) 表示 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内部连接 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的任意曲线,由有限条水平和铅垂的线段组成 (见图 6).
图 5 锁眼周线
图 6 曲线 \( {\gamma }_{z} \)
如果 \( {\eta }_{z} \) 是另一条任意曲线,如推论 1.2 (Goursat 定理的矩形定义),满足
\[
{\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{{\eta }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
那么定义 \( F \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内是明确的. 其中 \( F \) 是 \( f \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内的原函数,因此 \( {\int }_{\Gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
重点在于对于周线 \( \gamma \) 很容易得到
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
只要 \( f \) 在开集中是全纯函数,并且此开集包含周线 \( \gamma \) 及其内部.
在应用中遇到的其他类型的周线的例子, 柯西定理及其推论依然适用, 如图 7 所示.
对于我们所遇到的很多种周线, 柯西定理是足够用了, 问题就在于更一般的曲线. 这些一般的曲线整理在附录 \( \mathrm{B} \) 中,那里证明了分段光滑曲线的 Jordan 定理. 此定理阐述了一条简单的封闭的分段光滑曲线的内部的定义, 称为 “单连通的”. 作为推论, 尽管是证明了更一般的周线的情况, 但柯西定理依然适用.
图 7 周线举例
## 3 一些积分估值
这里的想法始于柯西定理. 我们将根据定理给出几个积分估值的例子, 至于更系统的方法, 积分留数方面的问题将在下一章给出.
例 1 如果 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
(5)
\( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换,这个事实在本书第一册第 5 章的定理 1.4 中已经证明过了, 这里又给出了一种新的证明方法.
如果 \( \xi = 0 \) ,积分 \( {}^{ \ominus } \) 就是已知的,即
\[
1 = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x.
\]
现在假设 \( \xi > 0 \) ,并且定义函数 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\pi {z}^{2}} \) ,它是整函数,是周线 \( {\gamma }_{R} \) 内部的特殊的全纯函数, 如图 8 所示.
图 8 例 1 中周线 \( {\gamma }_{R} \)
周线 \( {\gamma }_{R} \) 是由顶点为 \( R, R + \mathrm{i}\xi , - R + \mathrm{i}\xi , - R \) 组成的矩形,其正方向为逆时针方向. 根据柯西定理,
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
(6)
水平方向下面的线段只在实轴上, 所以是实数上的积分, 表示为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 1 . 铅垂方向右边线段上的积分为
\[
I\left( R\right) = {\int }_{0}^{\xi }f\left( {R + \mathrm{i}y}\right) \mathrm{{id}}y = {\int }_{0}^{\xi }{\mathrm{e}}^{-\pi \left( {{R}^{2} + 2\mathrm{i}{Ry} - {y}^{2}}\right) }\mathrm{{id}}y.
\]
因为 \( \xi \) 已经取定,并且可以估计
\[
\left| {I\left( R\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{-\pi {R}^{2}}.
\]
所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时此积分趋于 0 . 类似地,当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,铅垂方向左边线段上的积分也是趋近于 0 的, 原因相同. 最后, 水平方向上面的线段积分为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {\left( x + \mathrm{i}\xi \right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,根据式 (6) 可知
\[
0 = 1 - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x,
\]
并且我们需要的公式是确定的. 当 \( \xi < 0 \) 时,只要考虑的是在半平面与实轴对称的矩形周线即可.
---
\( \ominus \) 积分根据 \( \Gamma \left( {1/2}\right) = \sqrt{\pi } \) 求出,其中 \( \Gamma \) 是 Gamma 函数,将在第 6 章介绍.
---
在先前的例子中已经用过积分周线移位的方法, 此方法还有许多其他的应用. 注意, 式 (5) 的积分可以认为是在实线上处理的, 根据柯西定理积分周线在复平面上向上或向下移动 (取决于 \( \xi \) 的选取).
例 2 另一个典型的例子是
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}.
\]
这里考虑函数 \( f\left( z\right) = (1 - \)
图 9 例 2 中的锯齿状半圆周周线
\( \left. {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}\right) /{z}^{2} \) ,考虑在上半平面上的锯齿状的半圆周周线上的积分, 位置在 \( x \) 轴上,如图 9 所示.
其中 \( \varepsilon \) 和 \( R \) 分别表示小圆周和大圆周的半径, \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 和 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 分别表示小的圆周线和大的圆周线, 其方向分别取负方向和正方向, 根据柯西定理, 有
\[
{\int }_{-R}^{-\varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z + {\int }_{\varepsilon }^{R}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{R}^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
令 \( R \rightarrow + \infty \) ,那么
\[
\left| \frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\right| \leq \frac{2}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
因此在 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 上的积分就趋于零,且
\[
{\int }_{\left| x\right| \geq \varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z.
\]
接下来, 记
\[
f\left( z\right) = \frac{-\mathrm{i}z}{{z}^{2}} + E\left( z\right) .
\]
其中,当 \( z \rightarrow 0 \) 时 \( E\left( z\right) \) 是有界的,同时,在 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 上有 \( z = \varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },\mathrm{\;d}z = \mathrm{i}\varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta \) ,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z \rightarrow {\int }_{\pi }^{0}\left( {-\mathrm{{ii}}}\right) \mathrm{d}\theta = - \pi .
\]
只取实部积分得
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi .
\]
也就证明了 \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \) .
## 4 柯西积分公式
表示公式, 特别是积分表示公式在数学中起着重要作用, 因为它可以将函数在较小集上的表现在大集上重新呈现. 例如, 在本书第一册中圆盘上的稳态热传导方程, 就可以用泊松积分公式
\[
u\left( {r,\theta }\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{P}_{r}\left( {\theta - \varphi }\right) u\left( {1,\varphi }\right) \mathrm{d}\varphi
\]
(7)
以及圆周上的边界值完全决定.
全纯函数的情况也类似. 这并不奇怪, 因为全纯函数的实部与虚部是调和的 \( {}^{ \ominus } \) . 这里将证明积分表示公式在某种意义上是不依赖于调和函数理论的. 事实上, 回顾泊松积分公式 (7), 它可以作为以下定理的推论 (见练习 11 和练习 12).
定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \) ,忽略锁眼 \( z \) ,如图 10 所示.
这里的 \( \delta \) 是走廊的宽度, \( \varepsilon \) 是以 \( z \) 为中心的小圆
图 10 锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \)
周的半径. 因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在远离 \( \zeta = z \) 的点处是全纯的,则根据柯西定理选择合适的周线有
\[
{\int }_{{\Gamma }_{\delta ,\varepsilon }}F\left( \zeta \right) \mathrm{d}\zeta = 0.
\]
现在使走廊的宽度 \( \delta \) 趋于 0,根据函数 \( F \) 的连续性, 走廊上有两个方向上的积分抵消了. 剩下的部分由两条曲线组成,一条是具有正方向的大圆周边界 \( C \) , 另一条则是以 \( z \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径具有负方向 (顺时针方向) 的小圆周 \( {C}_{\varepsilon } \) . 首先考虑在小圆周上的积分,首先将 \( F\left( \zeta \right) \) 变形为
\[
F\left( \zeta \right) = \frac{f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }{\zeta - z} + \frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}.
\]
(8)
因为 \( f \) 是全纯函数,式 (8) 等号右边的第一项是有界的,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时它在 \( {C}_{\varepsilon } \) 上的积分也趋于 0 . 考察第二项的积分
\[
{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = f\left( z\right) {\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{1}{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
= - f\left( z\right) {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\varepsilon {\mathrm{{ie}}}^{-\mathrm{i}t}}{\varepsilon {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = - f\left( z\right) {2\pi }\mathrm{i},
\]
---
\( \ominus \) 这个结论可以由柯西-黎曼方程直接推出. 读者可以参见第 1 章的练习 11 .
---
因此有
\[
0 = {\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) .
\]
定理得证.
注释: 前面讨论的周线仅限于用柯西积分公式积分的简单例子,例如,如果 \( f \) 在包含矩形周线 (方向取正) \( R \) 及其内部的开集中是全纯的,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{R}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 属于 \( R \) 的内部. 只要重复定理 4.1 的证明,将圆形锁眼换成矩形锁眼就能证明这个结论.
值得注意的是,当 \( z \) 落在 \( R \) 的外部时,上面的积分就不存在了,因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在 \( R \) 的内部才是全纯的. 当然,除了圆周,其他类型的周线也会有类似的结论.
利用柯西积分公式的推论, 可以得到关于全纯函数的第二个重要性质, 即正则性. 也可以得到更进一步的积分公式,即利用函数 \( f \) 在圆周边界上的值来表示 \( f \) 在圆盘内部的导函数.
推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么
\[
{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 可以是 \( C \) 的内部的任意点. 和前面定理中提到的一样,这里的圆周 \( C \) 仍然取正向.
证明 用数学归纳法. 当 \( n = 0 \) 时就是简单的柯西积分公式,自然成立. 假设当取 \( n - 1 \) 时公式成立,即
\[
{f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\le | 定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,\]\n\n其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线. | 证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证. |
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
事实上, 只要周线的 “内部” 定义明确, 并且在周线及其内部构造适当的多边形路径, 定理及其推论就可以成立. 当周线是圆周时, 其内部就是一个圆盘, 此时难题简单了, 只要选择水平和铅垂的路径就可以了.
接下来的定义不是很严格, 但是应用起来却很明确. 将任意封闭曲线称为周线, 其内部的定义很明确, 类似于定理 2.1 中的曲线及其内部的某个邻域. 曲线的正方形是指当沿周线的正方向走时其内部总在左手边. 这和圆周的正方向的定义是一致的. 例如, 圆周、三角形和矩形周线的正方向都是这样定义的.
另一个很重要的周线例子就是 “锁眼” 周线 \( \Gamma \) ,如图 5 所示,将在柯西积分公式的证明中用到. “锁眼” 周线 \( \Gamma \) 由近似的两个圆构成,一个大的,一个小的, 由一条狭窄的走廊连接. 周线 \( \Gamma \) 的内部可以记为 \( {\Gamma }_{\mathrm{{int}}} \) ,其是由周线围成的区域. 在 \( {\Gamma }_{\text{int }} \) 内指定一点 \( {z}_{0} \) ,如果 \( f \) 在周线 \( \Gamma \) 及其内部是全纯的,那么它在稍微大点的锁眼周线及其内部也一定是全纯的,记为 \( \Lambda \) ,其内部记为 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) ,所以 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 包含 \( \Gamma \cup {\Gamma }_{\text{int }} \) . 如果 \( z \in {\Lambda }_{\text{int }} \) ,令 \( {\gamma }_{z} \) 表示 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内部连接 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的任意曲线,由有限条水平和铅垂的线段组成 (见图 6).
图 5 锁眼周线
图 6 曲线 \( {\gamma }_{z} \)
如果 \( {\eta }_{z} \) 是另一条任意曲线,如推论 1.2 (Goursat 定理的矩形定义),满足
\[
{\int }_{{\gamma }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{{\eta }_{z}}f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
那么定义 \( F \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内是明确的. 其中 \( F \) 是 \( f \) 在 \( {\Lambda }_{\text{int }} \) 内的原函数,因此 \( {\int }_{\Gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) .
重点在于对于周线 \( \gamma \) 很容易得到
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
只要 \( f \) 在开集中是全纯函数,并且此开集包含周线 \( \gamma \) 及其内部.
在应用中遇到的其他类型的周线的例子, 柯西定理及其推论依然适用, 如图 7 所示.
对于我们所遇到的很多种周线, 柯西定理是足够用了, 问题就在于更一般的曲线. 这些一般的曲线整理在附录 \( \mathrm{B} \) 中,那里证明了分段光滑曲线的 Jordan 定理. 此定理阐述了一条简单的封闭的分段光滑曲线的内部的定义, 称为 “单连通的”. 作为推论, 尽管是证明了更一般的周线的情况, 但柯西定理依然适用.
图 7 周线举例
## 3 一些积分估值
这里的想法始于柯西定理. 我们将根据定理给出几个积分估值的例子, 至于更系统的方法, 积分留数方面的问题将在下一章给出.
例 1 如果 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
(5)
\( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换,这个事实在本书第一册第 5 章的定理 1.4 中已经证明过了, 这里又给出了一种新的证明方法.
如果 \( \xi = 0 \) ,积分 \( {}^{ \ominus } \) 就是已知的,即
\[
1 = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x.
\]
现在假设 \( \xi > 0 \) ,并且定义函数 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\pi {z}^{2}} \) ,它是整函数,是周线 \( {\gamma }_{R} \) 内部的特殊的全纯函数, 如图 8 所示.
图 8 例 1 中周线 \( {\gamma }_{R} \)
周线 \( {\gamma }_{R} \) 是由顶点为 \( R, R + \mathrm{i}\xi , - R + \mathrm{i}\xi , - R \) 组成的矩形,其正方向为逆时针方向. 根据柯西定理,
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
(6)
水平方向下面的线段只在实轴上, 所以是实数上的积分, 表示为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 1 . 铅垂方向右边线段上的积分为
\[
I\left( R\right) = {\int }_{0}^{\xi }f\left( {R + \mathrm{i}y}\right) \mathrm{{id}}y = {\int }_{0}^{\xi }{\mathrm{e}}^{-\pi \left( {{R}^{2} + 2\mathrm{i}{Ry} - {y}^{2}}\right) }\mathrm{{id}}y.
\]
因为 \( \xi \) 已经取定,并且可以估计
\[
\left| {I\left( R\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{-\pi {R}^{2}}.
\]
所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时此积分趋于 0 . 类似地,当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,铅垂方向左边线段上的积分也是趋近于 0 的, 原因相同. 最后, 水平方向上面的线段积分为
\[
{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {\left( x + \mathrm{i}\xi \right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-R}^{R}{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,根据式 (6) 可知
\[
0 = 1 - {\mathrm{e}}^{\pi {\xi }^{2}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x,
\]
并且我们需要的公式是确定的. 当 \( \xi < 0 \) 时,只要考虑的是在半平面与实轴对称的矩形周线即可.
---
\( \ominus \) 积分根据 \( \Gamma \left( {1/2}\right) = \sqrt{\pi } \) 求出,其中 \( \Gamma \) 是 Gamma 函数,将在第 6 章介绍.
---
在先前的例子中已经用过积分周线移位的方法, 此方法还有许多其他的应用. 注意, 式 (5) 的积分可以认为是在实线上处理的, 根据柯西定理积分周线在复平面上向上或向下移动 (取决于 \( \xi \) 的选取).
例 2 另一个典型的例子是
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}.
\]
这里考虑函数 \( f\left( z\right) = (1 - \)
图 9 例 2 中的锯齿状半圆周周线
\( \left. {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}\right) /{z}^{2} \) ,考虑在上半平面上的锯齿状的半圆周周线上的积分, 位置在 \( x \) 轴上,如图 9 所示.
其中 \( \varepsilon \) 和 \( R \) 分别表示小圆周和大圆周的半径, \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 和 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 分别表示小的圆周线和大的圆周线, 其方向分别取负方向和正方向, 根据柯西定理, 有
\[
{\int }_{-R}^{-\varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z + {\int }_{\varepsilon }^{R}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x + {\int }_{{\gamma }_{R}^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
令 \( R \rightarrow + \infty \) ,那么
\[
\left| \frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\right| \leq \frac{2}{{\left| z\right| }^{2}}
\]
因此在 \( {\gamma }_{R}^{ + } \) 上的积分就趋于零,且
\[
{\int }_{\left| x\right| \geq \varepsilon }\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = - {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z.
\]
接下来, 记
\[
f\left( z\right) = \frac{-\mathrm{i}z}{{z}^{2}} + E\left( z\right) .
\]
其中,当 \( z \rightarrow 0 \) 时 \( E\left( z\right) \) 是有界的,同时,在 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{ + } \) 上有 \( z = \varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },\mathrm{\;d}z = \mathrm{i}\varepsilon {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta \) ,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{ + }}\frac{1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{{z}^{2}}\mathrm{\;d}z \rightarrow {\int }_{\pi }^{0}\left( {-\mathrm{{ii}}}\right) \mathrm{d}\theta = - \pi .
\]
只取实部积分得
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi .
\]
也就证明了 \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{1 - \cos x}{{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \) .
## 4 柯西积分公式
表示公式, 特别是积分表示公式在数学中起着重要作用, 因为它可以将函数在较小集上的表现在大集上重新呈现. 例如, 在本书第一册中圆盘上的稳态热传导方程, 就可以用泊松积分公式
\[
u\left( {r,\theta }\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{P}_{r}\left( {\theta - \varphi }\right) u\left( {1,\varphi }\right) \mathrm{d}\varphi
\]
(7)
以及圆周上的边界值完全决定.
全纯函数的情况也类似. 这并不奇怪, 因为全纯函数的实部与虚部是调和的 \( {}^{ \ominus } \) . 这里将证明积分表示公式在某种意义上是不依赖于调和函数理论的. 事实上, 回顾泊松积分公式 (7), 它可以作为以下定理的推论 (见练习 11 和练习 12).
定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \) ,忽略锁眼 \( z \) ,如图 10 所示.
这里的 \( \delta \) 是走廊的宽度, \( \varepsilon \) 是以 \( z \) 为中心的小圆
图 10 锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \)
周的半径. 因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在远离 \( \zeta = z \) 的点处是全纯的,则根据柯西定理选择合适的周线有
\[
{\int }_{{\Gamma }_{\delta ,\varepsilon }}F\left( \zeta \right) \mathrm{d}\zeta = 0.
\]
现在使走廊的宽度 \( \delta \) 趋于 0,根据函数 \( F \) 的连续性, 走廊上有两个方向上的积分抵消了. 剩下的部分由两条曲线组成,一条是具有正方向的大圆周边界 \( C \) , 另一条则是以 \( z \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径具有负方向 (顺时针方向) 的小圆周 \( {C}_{\varepsilon } \) . 首先考虑在小圆周上的积分,首先将 \( F\left( \zeta \right) \) 变形为
\[
F\left( \zeta \right) = \frac{f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }{\zeta - z} + \frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}.
\]
(8)
因为 \( f \) 是全纯函数,式 (8) 等号右边的第一项是有界的,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时它在 \( {C}_{\varepsilon } \) 上的积分也趋于 0 . 考察第二项的积分
\[
{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = f\left( z\right) {\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{1}{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
= - f\left( z\right) {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\varepsilon {\mathrm{{ie}}}^{-\mathrm{i}t}}{\varepsilon {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = - f\left( z\right) {2\pi }\mathrm{i},
\]
---
\( \ominus \) 这个结论可以由柯西-黎曼方程直接推出. 读者可以参见第 1 章的练习 11 .
---
因此有
\[
0 = {\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) .
\]
定理得证.
注释: 前面讨论的周线仅限于用柯西积分公式积分的简单例子,例如,如果 \( f \) 在包含矩形周线 (方向取正) \( R \) 及其内部的开集中是全纯的,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{R}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 属于 \( R \) 的内部. 只要重复定理 4.1 的证明,将圆形锁眼换成矩形锁眼就能证明这个结论.
值得注意的是,当 \( z \) 落在 \( R \) 的外部时,上面的积分就不存在了,因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在 \( R \) 的内部才是全纯的. 当然,除了圆周,其他类型的周线也会有类似的结论.
利用柯西积分公式的推论, 可以得到关于全纯函数的第二个重要性质, 即正则性. 也可以得到更进一步的积分公式,即利用函数 \( f \) 在圆周边界上的值来表示 \( f \) 在圆盘内部的导函数.
推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么
\[
{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 可以是 \( C \) 的内部的任意点. 和前面定理中提到的一样,这里的圆周 \( C \) 仍然取正向.
证明 用数学归纳法. 当 \( n = 0 \) 时就是简单的柯西积分公式,自然成立. 假设当取 \( n - 1 \) 时公式成立,即
\[
{f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
当 \( h \) 足够小时, \( {f}^{\left( n - 1\right) } \) 的微商为
\[
\frac{{f}^{\left( n - 1\right) }\lef | 推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0\] | 证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . |
定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \) ,忽略锁眼 \( z \) ,如图 10 所示.
这里的 \( \delta \) 是走廊的宽度, \( \varepsilon \) 是以 \( z \) 为中心的小圆
图 10 锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \)
周的半径. 因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在远离 \( \zeta = z \) 的点处是全纯的,则根据柯西定理选择合适的周线有
\[
{\int }_{{\Gamma }_{\delta ,\varepsilon }}F\left( \zeta \right) \mathrm{d}\zeta = 0.
\]
现在使走廊的宽度 \( \delta \) 趋于 0,根据函数 \( F \) 的连续性, 走廊上有两个方向上的积分抵消了. 剩下的部分由两条曲线组成,一条是具有正方向的大圆周边界 \( C \) , 另一条则是以 \( z \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径具有负方向 (顺时针方向) 的小圆周 \( {C}_{\varepsilon } \) . 首先考虑在小圆周上的积分,首先将 \( F\left( \zeta \right) \) 变形为
\[
F\left( \zeta \right) = \frac{f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }{\zeta - z} + \frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}.
\]
(8)
因为 \( f \) 是全纯函数,式 (8) 等号右边的第一项是有界的,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时它在 \( {C}_{\varepsilon } \) 上的积分也趋于 0 . 考察第二项的积分
\[
{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = f\left( z\right) {\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{1}{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
= - f\left( z\right) {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\varepsilon {\mathrm{{ie}}}^{-\mathrm{i}t}}{\varepsilon {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = - f\left( z\right) {2\pi }\mathrm{i},
\]
---
\( \ominus \) 这个结论可以由柯西-黎曼方程直接推出. 读者可以参见第 1 章的练习 11 .
---
因此有
\[
0 = {\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) .
\]
定理得证.
注释: 前面讨论的周线仅限于用柯西积分公式积分的简单例子,例如,如果 \( f \) 在包含矩形周线 (方向取正) \( R \) 及其内部的开集中是全纯的,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{R}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 属于 \( R \) 的内部. 只要重复定理 4.1 的证明,将圆形锁眼换成矩形锁眼就能证明这个结论.
值得注意的是,当 \( z \) 落在 \( R \) 的外部时,上面的积分就不存在了,因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在 \( R \) 的内部才是全纯的. 当然,除了圆周,其他类型的周线也会有类似的结论.
利用柯西积分公式的推论, 可以得到关于全纯函数的第二个重要性质, 即正则性. 也可以得到更进一步的积分公式,即利用函数 \( f \) 在圆周边界上的值来表示 \( f \) 在圆盘内部的导函数.
推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么
\[
{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 可以是 \( C \) 的内部的任意点. 和前面定理中提到的一样,这里的圆周 \( C \) 仍然取正向.
证明 用数学归纳法. 当 \( n = 0 \) 时就是简单的柯西积分公式,自然成立. 假设当取 \( n - 1 \) 时公式成立,即
\[
{f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
当 \( h \) 足够小时, \( {f}^{\left( n - 1\right) } \) 的微商为
\[
\frac{{f}^{\left( n - 1\right) }\left( {z + h}\right) - {f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) }{h} = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}f\left( \zeta \right) \frac{1}{h}\left\lbrack {\frac{1}{{\left( \zeta - z - h\right) }^{n}} - \frac{1}{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}}\right\rbrack \mathrm{d}\zeta .
\]
(9)
根据公式
\[
{A}^{n} - {B}^{n} = \left( {A - B}\right) \left( {{A}^{n - 1} + {A}^{n - 2}B + \cdots + A{B}^{n - 2} + {B}^{n - 1}}\right)
\]
令 \( A = 1/\left( {\zeta - z - h}\right), B = 1/\left( {\zeta - z}\right) \) ,那么式 (9) 中的中括号内的项就变为
\[
\frac{h}{\left( {\zeta - z - h}\right) \left( {\zeta - z}\right) }\left( {{A}^{n - 1} + {A}^{n - 2}B + \cdots + A{B}^{n - 2} + {B}^{n - 1}}\right) .
\]
因为 \( h \) 足够小,所以 \( z + h \) 和 \( z \) 都在圆周 \( C \) 的内部,因此,当 \( h \) 趋于 0 时,上面的微商一定收敛于
\[
\frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}f\left( \zeta \right) \left\lbrack \frac{1}{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\right\rbrack \left\lbrack \frac{n}{{\left( \zeta - z\right) }^{n - 1}}\right\rbrack \mathrm{d}\zeta = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
所以当取 \( n \) 时也是成立的,定理得证.
从现在开始, 定理 4.1 和推论 4.2 统称为柯西积分公式.
推论 4.3 (柯西不等式) 如果函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 的闭包的开集内是全纯的, 圆盘 \( D \) 的中心为 \( {z}_{0} \) ,半径为 \( R \) ,那么
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{n!\parallel f{\parallel }_{C}}{{R}^{n}},
\]
其中 \( \parallel f{\parallel }_{C} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in C}}\left| {f\left( z\right) }\right| \) 表示 \( \left| f\right| \) 在圆周 \( C \) 上的上确界.
证明 对 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) 应用柯西积分公式,得
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| = \left| {\frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
= \frac{n!}{2\pi }\left| {{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) }^{n + 1}}R\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta }\right|
\]
\[
\leq \frac{n!}{2\pi }\frac{\parallel f\parallel }{{R}^{n}}{2\pi }.
\]
柯西积分公式的另一个很重要的推论就是它与幂级数的关系. 根据第 1 章的内容, 幂级数在其收敛圆盘内是全纯的, 并且其逆命题也是成立的, 正是下面的定理.
定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为
\[
{a}_{n} = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }{n!}.
\]
证明 取定 \( z \in D \) . 根据柯西积分公式得
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
(10)
其中 \( C \) 表示圆盘的边界. 因为
\[
\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - {z}_{0} - \left( {z - {z}_{0}}\right) } = \frac{1}{\zeta - {z}_{0}}\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) },
\]
(11)
其中 \( \zeta \in \mathbf{C}, z \in D \) ,那么一定存在 \( 0 < r < 1 \) 使得
\[
\left| \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right| < r
\]
因此, 可以将其展成几何级数
\[
\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) }^{n},
\]
(12)
此级数对所有的 \( \zeta \in \mathbf{C} \) 都是收敛的. 结合式 (10)、式 (11) 和式 (12),将无穷项和与积分交换得
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left( {\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right) \cdot {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
这就证明了幂级数的展开,根据推论 4.2,进一步得到系数 \( {a}_{n} \) 的表达式.
值得注意的是, 因为幂级数定义不定可微 (复) 函数, 上面的定理也可以证明全纯函数是自不定可微的.
除此以外,另一个重要问题是函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的幂级数展开,其收敛圆盘不管有多大,只要其闭包包含在 \( \Omega \) 内即可. 特别地,如果函数 \( f \) 是整的（就是说在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 内都是全纯的),上面的定理就表示 \( f \) 在零点展成幂级数,即 \( f\left( z\right) = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,它在整个复数集上都是收敛的.
推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数.
证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.
对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R},
\]
其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) .
迄今为止, 代数学的基本定理可以很好地证明了.
推论 4.6 任意一个非常数的具有复系数的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 内至少有一个根.
证明 用反证法,假设 \( P \) 没有根,那么 \( 1/P\left( z\right) \) 是有界的全纯函数. 不妨假设 \( {a}_{n} \neq 0 \) ,多项式函数变形为
\[
\frac{P\left( z\right) }{{z}^{n}} = {a}_{n} + \left( {\frac{{a}_{n - 1}}{z}\cdots + \frac{{a}_{0}}{{z}^{n}}}\right) ,
\]
只要 \( z \neq 0 \) . 因为当 \( \left| z\right| \rightarrow + \infty \) 时括号内的每一项都趋于 0 . 可以推出存在 \( R > 0 \) , 令 \( c = \left| {a}_{n}\right| /2 \) ,只要 \( \left| z\right| > R \) ,那么
\[
\left| {P\left( z\right) }\right| \geq c{\left| z\right| }^{n}
\]
特别地,当 \( \left| z\right| > R \) 时, \( P \) 的倒数是有界的. 又因为 \( P \) 是连续的,在圆盘 \( \left| z\right| \leq R \) 内没有根,所以在 \( \left| z\right| \leq R \) 内 \( P \) 的倒数也是有界的. 因此函数 \( 1/P\left( z\right) \) 在整个复数集上都是有界的,根据 Liouville 定理, \( 1/P \) 是常数,这与题设 \( P \) 不是常数矛盾, 所以原假设不成立.
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) .
\]
证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得
\[
P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}}\right) + {b}_{0},
\]
其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,
\[
P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) ,
\]
其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成
\[
P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) ,
\]
其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) .
最后, 讨论解析延拓. 只要知道函数在适当的任意小子集上的值, 就能完全确定一个全纯函数. 注意,定理中的集合 \( \Omega \) 是连通的.
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) | 定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta . \] | 证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \) ,忽略锁眼 \( z \) ,如图 10 所示.\n\n这里的 \( \delta \) 是走廊的宽度, \( \varepsilon \) 是以 \( z \) 为中心的小圆周的半径. 因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在远离 \( \zeta = z \) 的点处是全纯的,则根据柯西定理选择合适的周线有\n\n\[ {\int }_{{\Gamma }_{\delta ,\varepsilon }}F\left( \zeta \right) \mathrm{d}\zeta = 0. \]\n\n现在使走廊的宽度 \( \delta \) 趋于 0,根据函数 \( F \) 的连续性, 走廊上有两个方向上的积分抵消了. 剩下的部分由两条曲线组成,一条是具有正方向的大圆周边界 \( C \) , 另一条则是以 \( z \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径具有负方向 (顺时针方向) 的小圆周 \( {C}_{\varepsilon } \) . 首先考虑在小圆周上的积分,首先将 \( F\left( \zeta \right) \) 变形为\n\n\[ F\left( \zeta \right) = \frac{f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }{\zeta - z} + \frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}. \]\n\n(8)\n\n因为 \( f \) 是全纯函数,式 (8) 等号右边的第一项是有界的,因此当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时它在 \( {C}_{\varepsilon } \) 上的积分也趋于 0 . 考察第二项的积分\n\n\[ {\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{f\left( z\right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = f\left( z\right) {\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{1}{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta \]\n\n\[ = - f\left( z\right) {\int }_{0}^{2\pi }\frac{\varepsilon {\mathrm{{ie}}}^{-\mathrm{i}t}}{\varepsilon {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t = - f\left( z\right) {2\pi }\mathrm{i}, \]\n\n因此有\n\n\[ 0 = {\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) . \]\n\n定理得证. |
推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么
\[
{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 可以是 \( C \) 的内部的任意点. 和前面定理中提到的一样,这里的圆周 \( C \) 仍然取正向.
证明 用数学归纳法. 当 \( n = 0 \) 时就是简单的柯西积分公式,自然成立. 假设当取 \( n - 1 \) 时公式成立,即
\[
{f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
当 \( h \) 足够小时, \( {f}^{\left( n - 1\right) } \) 的微商为
\[
\frac{{f}^{\left( n - 1\right) }\left( {z + h}\right) - {f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) }{h} = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}f\left( \zeta \right) \frac{1}{h}\left\lbrack {\frac{1}{{\left( \zeta - z - h\right) }^{n}} - \frac{1}{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}}\right\rbrack \mathrm{d}\zeta .
\]
(9)
根据公式
\[
{A}^{n} - {B}^{n} = \left( {A - B}\right) \left( {{A}^{n - 1} + {A}^{n - 2}B + \cdots + A{B}^{n - 2} + {B}^{n - 1}}\right)
\]
令 \( A = 1/\left( {\zeta - z - h}\right), B = 1/\left( {\zeta - z}\right) \) ,那么式 (9) 中的中括号内的项就变为
\[
\frac{h}{\left( {\zeta - z - h}\right) \left( {\zeta - z}\right) }\left( {{A}^{n - 1} + {A}^{n - 2}B + \cdots + A{B}^{n - 2} + {B}^{n - 1}}\right) .
\]
因为 \( h \) 足够小,所以 \( z + h \) 和 \( z \) 都在圆周 \( C \) 的内部,因此,当 \( h \) 趋于 0 时,上面的微商一定收敛于
\[
\frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}f\left( \zeta \right) \left\lbrack \frac{1}{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\right\rbrack \left\lbrack \frac{n}{{\left( \zeta - z\right) }^{n - 1}}\right\rbrack \mathrm{d}\zeta = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
所以当取 \( n \) 时也是成立的,定理得证.
从现在开始, 定理 4.1 和推论 4.2 统称为柯西积分公式.
推论 4.3 (柯西不等式) 如果函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 的闭包的开集内是全纯的, 圆盘 \( D \) 的中心为 \( {z}_{0} \) ,半径为 \( R \) ,那么
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{n!\parallel f{\parallel }_{C}}{{R}^{n}},
\]
其中 \( \parallel f{\parallel }_{C} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in C}}\left| {f\left( z\right) }\right| \) 表示 \( \left| f\right| \) 在圆周 \( C \) 上的上确界.
证明 对 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) 应用柯西积分公式,得
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| = \left| {\frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
= \frac{n!}{2\pi }\left| {{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) }^{n + 1}}R\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta }\right|
\]
\[
\leq \frac{n!}{2\pi }\frac{\parallel f\parallel }{{R}^{n}}{2\pi }.
\]
柯西积分公式的另一个很重要的推论就是它与幂级数的关系. 根据第 1 章的内容, 幂级数在其收敛圆盘内是全纯的, 并且其逆命题也是成立的, 正是下面的定理.
定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为
\[
{a}_{n} = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }{n!}.
\]
证明 取定 \( z \in D \) . 根据柯西积分公式得
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
(10)
其中 \( C \) 表示圆盘的边界. 因为
\[
\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - {z}_{0} - \left( {z - {z}_{0}}\right) } = \frac{1}{\zeta - {z}_{0}}\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) },
\]
(11)
其中 \( \zeta \in \mathbf{C}, z \in D \) ,那么一定存在 \( 0 < r < 1 \) 使得
\[
\left| \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right| < r
\]
因此, 可以将其展成几何级数
\[
\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) }^{n},
\]
(12)
此级数对所有的 \( \zeta \in \mathbf{C} \) 都是收敛的. 结合式 (10)、式 (11) 和式 (12),将无穷项和与积分交换得
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left( {\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right) \cdot {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
这就证明了幂级数的展开,根据推论 4.2,进一步得到系数 \( {a}_{n} \) 的表达式.
值得注意的是, 因为幂级数定义不定可微 (复) 函数, 上面的定理也可以证明全纯函数是自不定可微的.
除此以外,另一个重要问题是函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的幂级数展开,其收敛圆盘不管有多大,只要其闭包包含在 \( \Omega \) 内即可. 特别地,如果函数 \( f \) 是整的（就是说在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 内都是全纯的),上面的定理就表示 \( f \) 在零点展成幂级数,即 \( f\left( z\right) = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,它在整个复数集上都是收敛的.
推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数.
证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.
对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R},
\]
其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) .
迄今为止, 代数学的基本定理可以很好地证明了.
推论 4.6 任意一个非常数的具有复系数的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 内至少有一个根.
证明 用反证法,假设 \( P \) 没有根,那么 \( 1/P\left( z\right) \) 是有界的全纯函数. 不妨假设 \( {a}_{n} \neq 0 \) ,多项式函数变形为
\[
\frac{P\left( z\right) }{{z}^{n}} = {a}_{n} + \left( {\frac{{a}_{n - 1}}{z}\cdots + \frac{{a}_{0}}{{z}^{n}}}\right) ,
\]
只要 \( z \neq 0 \) . 因为当 \( \left| z\right| \rightarrow + \infty \) 时括号内的每一项都趋于 0 . 可以推出存在 \( R > 0 \) , 令 \( c = \left| {a}_{n}\right| /2 \) ,只要 \( \left| z\right| > R \) ,那么
\[
\left| {P\left( z\right) }\right| \geq c{\left| z\right| }^{n}
\]
特别地,当 \( \left| z\right| > R \) 时, \( P \) 的倒数是有界的. 又因为 \( P \) 是连续的,在圆盘 \( \left| z\right| \leq R \) 内没有根,所以在 \( \left| z\right| \leq R \) 内 \( P \) 的倒数也是有界的. 因此函数 \( 1/P\left( z\right) \) 在整个复数集上都是有界的,根据 Liouville 定理, \( 1/P \) 是常数,这与题设 \( P \) 不是常数矛盾, 所以原假设不成立.
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) .
\]
证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得
\[
P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}}\right) + {b}_{0},
\]
其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,
\[
P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) ,
\]
其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成
\[
P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) ,
\]
其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) .
最后, 讨论解析延拓. 只要知道函数在适当的任意小子集上的值, 就能完全确定一个全纯函数. 注意,定理中的集合 \( \Omega \) 是连通的.
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成
\[
f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,
\]
其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.
证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且
\[
\Omega = U \cup V.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕.
下面给出本定理的推论.
推论 \( {4.9}^{ - } \) 假设 \( f \) 和 \( g \) 都是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,在 \( \Omega \) 的某个非空开子集中 (或者更一般的,以 \( \Omega \) 内的点为极限点的数列上) 恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) ,那么,在整个 \( \Omega \) 上恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) .
假设给出两个函数 \( f \) 和 \( F \) ,它们分别在区域 \( \Omega \) 和 \( {\Omega }^{\prime } \) 上解析,且 \( \Omega \subset {\Omega }^{\prime } \) . 如果这两个函数在 \( \Omega \) 上是一致的,那么称 \( F \) 是函数 \( f \) 在集合 \( {\Omega }^{\prime } \) 上的解析延拓. 上面的推论保证了解析延拓的唯一性,因此函数 \( F \) 是由 \( f \) 唯一确定的.
## 5 应用
这一小节, 我们将集中给出前面所证明的定理的各种推论.
## 5. 1 Morera 定理
下面的定理是柯西定理的逆定理.
定理 5.1 假设 \( f \) 在开圆盘 \( D \) 上是连续函数,如果对包含在 \( D \) 内的任意三角形周线 \( T \) 均有
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 根据定理 2.1 的证明,函数 \( f \) 在 \( D \) 上有原函数 \( F \) 满足 \( {F}^{\prime } = f \) . 根据正则性定理,函数 \( F \) 是不定复可微的,所以 \( f \) 是全纯的.
## 5.2 全纯函数列
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, | 推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么\n\n\[ \n{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,\n\]\n\n其中 \( z \) 可以是 \( C \) 的内部的任意点. 和前面定理中提到的一样,这里的圆周 \( C \) 仍然取正向. | 证明 用数学归纳法. 当 \( n = 0 \) 时就是简单的柯西积分公式,自然成立. 假设当取 \( n - 1 \) 时公式成立,即\n\n\[ \n{f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}\mathrm{\;d}\zeta .\n\]\n\n当 \( h \) 足够小时, \( {f}^{\left( n - 1\right) } \) 的微商为\n\n\[ \n\frac{{f}^{\left( n - 1\right) }\left( {z + h}\right) - {f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) }{h} = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}f\left( \zeta \right) \frac{1}{h}\left\lbrack {\frac{1}{{\left( \zeta - z - h\right) }^{n}} - \frac{1}{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}}\right\rbrack \mathrm{d}\zeta .\n\]\n\n(9)\n\n根据公式\n\n\[ \n{A}^{n} - {B}^{n} = \left( {A - B}\right) \left( {{A}^{n - 1} + {A}^{n - 2}B + \cdots + A{B}^{n - 2} + {B}^{n - 1}}\right)\n\]\n\n令 \( A = 1/\left( {\zeta - z - h}\right), B = 1/\left( {\zeta - z}\right) \) ,那么式 (9) 中的中括号内的项就变为\n\n\[ \n\frac{h}{\left( {\zeta - z - h}\right) \left( {\zeta - z}\right) }\left( {{A}^{n - 1} + {A}^{n - 2}B + \cdots + A{B}^{n - 2} + {B}^{n - 1}}\right) .\n\]\n\n因为 \( h \) 足够小,所以 \( z + h \) 和 \( z \) 都在圆周 \( C \) 的内部,因此,当 \( h \) 趋于 0 时,上面的微商一定收敛于\n\n\[ \n\frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}f\left( \zeta \right) \left\lbrack \frac{1}{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\right\rbrack \left\lbrack \frac{n}{{\left( \zeta - z\right) }^{n - 1}}\right\rbrack \mathrm{d}\zeta = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,\n\]\n\n所以当取 \( n \) 时也是成立的,定理得证. |
推论 4.3 (柯西不等式) 如果函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 的闭包的开集内是全纯的, 圆盘 \( D \) 的中心为 \( {z}_{0} \) ,半径为 \( R \) ,那么
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{n!\parallel f{\parallel }_{C}}{{R}^{n}},
\]
其中 \( \parallel f{\parallel }_{C} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in C}}\left| {f\left( z\right) }\right| \) 表示 \( \left| f\right| \) 在圆周 \( C \) 上的上确界.
证明 对 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) 应用柯西积分公式,得
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| = \left| {\frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
= \frac{n!}{2\pi }\left| {{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) }^{n + 1}}R\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta }\right|
\]
\[
\leq \frac{n!}{2\pi }\frac{\parallel f\parallel }{{R}^{n}}{2\pi }.
\]
柯西积分公式的另一个很重要的推论就是它与幂级数的关系. 根据第 1 章的内容, 幂级数在其收敛圆盘内是全纯的, 并且其逆命题也是成立的, 正是下面的定理.
定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为
\[
{a}_{n} = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }{n!}.
\]
证明 取定 \( z \in D \) . 根据柯西积分公式得
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
(10)
其中 \( C \) 表示圆盘的边界. 因为
\[
\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - {z}_{0} - \left( {z - {z}_{0}}\right) } = \frac{1}{\zeta - {z}_{0}}\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) },
\]
(11)
其中 \( \zeta \in \mathbf{C}, z \in D \) ,那么一定存在 \( 0 < r < 1 \) 使得
\[
\left| \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right| < r
\]
因此, 可以将其展成几何级数
\[
\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) }^{n},
\]
(12)
此级数对所有的 \( \zeta \in \mathbf{C} \) 都是收敛的. 结合式 (10)、式 (11) 和式 (12),将无穷项和与积分交换得
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left( {\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right) \cdot {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
这就证明了幂级数的展开,根据推论 4.2,进一步得到系数 \( {a}_{n} \) 的表达式.
值得注意的是, 因为幂级数定义不定可微 (复) 函数, 上面的定理也可以证明全纯函数是自不定可微的.
除此以外,另一个重要问题是函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的幂级数展开,其收敛圆盘不管有多大,只要其闭包包含在 \( \Omega \) 内即可. 特别地,如果函数 \( f \) 是整的（就是说在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 内都是全纯的),上面的定理就表示 \( f \) 在零点展成幂级数,即 \( f\left( z\right) = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,它在整个复数集上都是收敛的.
推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数.
证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.
对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R},
\]
其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) .
迄今为止, 代数学的基本定理可以很好地证明了.
推论 4.6 任意一个非常数的具有复系数的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 内至少有一个根.
证明 用反证法,假设 \( P \) 没有根,那么 \( 1/P\left( z\right) \) 是有界的全纯函数. 不妨假设 \( {a}_{n} \neq 0 \) ,多项式函数变形为
\[
\frac{P\left( z\right) }{{z}^{n}} = {a}_{n} + \left( {\frac{{a}_{n - 1}}{z}\cdots + \frac{{a}_{0}}{{z}^{n}}}\right) ,
\]
只要 \( z \neq 0 \) . 因为当 \( \left| z\right| \rightarrow + \infty \) 时括号内的每一项都趋于 0 . 可以推出存在 \( R > 0 \) , 令 \( c = \left| {a}_{n}\right| /2 \) ,只要 \( \left| z\right| > R \) ,那么
\[
\left| {P\left( z\right) }\right| \geq c{\left| z\right| }^{n}
\]
特别地,当 \( \left| z\right| > R \) 时, \( P \) 的倒数是有界的. 又因为 \( P \) 是连续的,在圆盘 \( \left| z\right| \leq R \) 内没有根,所以在 \( \left| z\right| \leq R \) 内 \( P \) 的倒数也是有界的. 因此函数 \( 1/P\left( z\right) \) 在整个复数集上都是有界的,根据 Liouville 定理, \( 1/P \) 是常数,这与题设 \( P \) 不是常数矛盾, 所以原假设不成立.
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) .
\]
证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得
\[
P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}}\right) + {b}_{0},
\]
其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,
\[
P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) ,
\]
其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成
\[
P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) ,
\]
其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) .
最后, 讨论解析延拓. 只要知道函数在适当的任意小子集上的值, 就能完全确定一个全纯函数. 注意,定理中的集合 \( \Omega \) 是连通的.
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成
\[
f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,
\]
其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.
证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且
\[
\Omega = U \cup V.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕.
下面给出本定理的推论.
推论 \( {4.9}^{ - } \) 假设 \( f \) 和 \( g \) 都是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,在 \( \Omega \) 的某个非空开子集中 (或者更一般的,以 \( \Omega \) 内的点为极限点的数列上) 恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) ,那么,在整个 \( \Omega \) 上恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) .
假设给出两个函数 \( f \) 和 \( F \) ,它们分别在区域 \( \Omega \) 和 \( {\Omega }^{\prime } \) 上解析,且 \( \Omega \subset {\Omega }^{\prime } \) . 如果这两个函数在 \( \Omega \) 上是一致的,那么称 \( F \) 是函数 \( f \) 在集合 \( {\Omega }^{\prime } \) 上的解析延拓. 上面的推论保证了解析延拓的唯一性,因此函数 \( F \) 是由 \( f \) 唯一确定的.
## 5 应用
这一小节, 我们将集中给出前面所证明的定理的各种推论.
## 5. 1 Morera 定理
下面的定理是柯西定理的逆定理.
定理 5.1 假设 \( f \) 在开圆盘 \( D \) 上是连续函数,如果对包含在 \( D \) 内的任意三角形周线 \( T \) 均有
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 根据定理 2.1 的证明,函数 \( f \) 在 \( D \) 上有原函数 \( F \) 满足 \( {F}^{\prime } = f \) . 根据正则性定理,函数 \( F \) 是不定复可微的,所以 \( f \) 是全纯的.
## 5.2 全纯函数列
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
与实变量的情况截然不同: 连续可微函数列的极限函数可能是不可微的. 例如,我们知道,定义在区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数都可以由多项式函数近似,根据 Weierstrass 定理 (见本丛书第一册的第 5 章), 并非所有连续函数都可微.
我们进一步讨论函数列的导函数列的收敛定理. 回忆之前的内容,如果函数 \( f \) 是收敛半径为 \( R \) 的幂级数,那么 \( {f}^{\prime } \) 就是由 \( f \) 的级数逐项求导而来,并且 \( {f}^{\prime } \) 也是收敛半径为 \( R \) 的幂级数. (见第 1 章中的定理 2.6) 特别地,如果 \( {S}_{n} \) 是级数 \( f \) 的部分和,那么 \( {S}^{\prime }{}_{n} \) 也是级数 \( {f}^{\prime } \) 的部分和,并且,在 \( f \) 的收敛圆盘内的每个闭子集中都一致收敛于 \( {f}^{\prime } \) . 下面的定理介绍的就是这个事实.
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) | 推论 4.3 (柯西不等式) 如果函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 的闭包的开集内是全纯的, 圆盘 \( D \) 的中心为 \( {z}_{0} \) ,半径为 \( R \) ,那么\n\n\[ \left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{n!\parallel f{\parallel }_{C}}{{R}^{n}}, \]\n\n其中 \( \parallel f{\parallel }_{C} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in C}}\left| {f\left( z\right) }\right| \) 表示 \( \left| f\right| \) 在圆周 \( C \) 上的上确界. | 证明 对 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) 应用柯西积分公式,得\n\n\[ \left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| = \left| {\frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right| \]\n\n\[ = \frac{n!}{2\pi }\left| {{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) }^{n + 1}}R\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta }\right| \]\n\n\[ \leq \frac{n!}{2\pi }\frac{\parallel f\parallel }{{R}^{n}}{2\pi }. \] |
定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为
\[
{a}_{n} = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }{n!}.
\]
证明 取定 \( z \in D \) . 根据柯西积分公式得
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
(10)
其中 \( C \) 表示圆盘的边界. 因为
\[
\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - {z}_{0} - \left( {z - {z}_{0}}\right) } = \frac{1}{\zeta - {z}_{0}}\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) },
\]
(11)
其中 \( \zeta \in \mathbf{C}, z \in D \) ,那么一定存在 \( 0 < r < 1 \) 使得
\[
\left| \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right| < r
\]
因此, 可以将其展成几何级数
\[
\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) }^{n},
\]
(12)
此级数对所有的 \( \zeta \in \mathbf{C} \) 都是收敛的. 结合式 (10)、式 (11) 和式 (12),将无穷项和与积分交换得
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left( {\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right) \cdot {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
这就证明了幂级数的展开,根据推论 4.2,进一步得到系数 \( {a}_{n} \) 的表达式.
值得注意的是, 因为幂级数定义不定可微 (复) 函数, 上面的定理也可以证明全纯函数是自不定可微的.
除此以外,另一个重要问题是函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的幂级数展开,其收敛圆盘不管有多大,只要其闭包包含在 \( \Omega \) 内即可. 特别地,如果函数 \( f \) 是整的（就是说在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 内都是全纯的),上面的定理就表示 \( f \) 在零点展成幂级数,即 \( f\left( z\right) = \) \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,它在整个复数集上都是收敛的.
推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数.
证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.
对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R},
\]
其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) .
迄今为止, 代数学的基本定理可以很好地证明了.
推论 4.6 任意一个非常数的具有复系数的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 内至少有一个根.
证明 用反证法,假设 \( P \) 没有根,那么 \( 1/P\left( z\right) \) 是有界的全纯函数. 不妨假设 \( {a}_{n} \neq 0 \) ,多项式函数变形为
\[
\frac{P\left( z\right) }{{z}^{n}} = {a}_{n} + \left( {\frac{{a}_{n - 1}}{z}\cdots + \frac{{a}_{0}}{{z}^{n}}}\right) ,
\]
只要 \( z \neq 0 \) . 因为当 \( \left| z\right| \rightarrow + \infty \) 时括号内的每一项都趋于 0 . 可以推出存在 \( R > 0 \) , 令 \( c = \left| {a}_{n}\right| /2 \) ,只要 \( \left| z\right| > R \) ,那么
\[
\left| {P\left( z\right) }\right| \geq c{\left| z\right| }^{n}
\]
特别地,当 \( \left| z\right| > R \) 时, \( P \) 的倒数是有界的. 又因为 \( P \) 是连续的,在圆盘 \( \left| z\right| \leq R \) 内没有根,所以在 \( \left| z\right| \leq R \) 内 \( P \) 的倒数也是有界的. 因此函数 \( 1/P\left( z\right) \) 在整个复数集上都是有界的,根据 Liouville 定理, \( 1/P \) 是常数,这与题设 \( P \) 不是常数矛盾, 所以原假设不成立.
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) .
\]
证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得
\[
P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}}\right) + {b}_{0},
\]
其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,
\[
P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) ,
\]
其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成
\[
P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) ,
\]
其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) .
最后, 讨论解析延拓. 只要知道函数在适当的任意小子集上的值, 就能完全确定一个全纯函数. 注意,定理中的集合 \( \Omega \) 是连通的.
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成
\[
f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,
\]
其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.
证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且
\[
\Omega = U \cup V.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕.
下面给出本定理的推论.
推论 \( {4.9}^{ - } \) 假设 \( f \) 和 \( g \) 都是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,在 \( \Omega \) 的某个非空开子集中 (或者更一般的,以 \( \Omega \) 内的点为极限点的数列上) 恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) ,那么,在整个 \( \Omega \) 上恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) .
假设给出两个函数 \( f \) 和 \( F \) ,它们分别在区域 \( \Omega \) 和 \( {\Omega }^{\prime } \) 上解析,且 \( \Omega \subset {\Omega }^{\prime } \) . 如果这两个函数在 \( \Omega \) 上是一致的,那么称 \( F \) 是函数 \( f \) 在集合 \( {\Omega }^{\prime } \) 上的解析延拓. 上面的推论保证了解析延拓的唯一性,因此函数 \( F \) 是由 \( f \) 唯一确定的.
## 5 应用
这一小节, 我们将集中给出前面所证明的定理的各种推论.
## 5. 1 Morera 定理
下面的定理是柯西定理的逆定理.
定理 5.1 假设 \( f \) 在开圆盘 \( D \) 上是连续函数,如果对包含在 \( D \) 内的任意三角形周线 \( T \) 均有
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 根据定理 2.1 的证明,函数 \( f \) 在 \( D \) 上有原函数 \( F \) 满足 \( {F}^{\prime } = f \) . 根据正则性定理,函数 \( F \) 是不定复可微的,所以 \( f \) 是全纯的.
## 5.2 全纯函数列
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
与实变量的情况截然不同: 连续可微函数列的极限函数可能是不可微的. 例如,我们知道,定义在区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数都可以由多项式函数近似,根据 Weierstrass 定理 (见本丛书第一册的第 5 章), 并非所有连续函数都可微.
我们进一步讨论函数列的导函数列的收敛定理. 回忆之前的内容,如果函数 \( f \) 是收敛半径为 \( R \) 的幂级数,那么 \( {f}^{\prime } \) 就是由 \( f \) 的级数逐项求导而来,并且 \( {f}^{\prime } \) 也是收敛半径为 \( R \) 的幂级数. (见第 1 章中的定理 2.6) 特别地,如果 \( {S}_{n} \) 是级数 \( f \) 的部分和,那么 \( {S}^{\prime }{}_{n} \) 也是级数 \( {f}^{\prime } \) 的部分和,并且,在 \( f \) 的收敛圆盘内的每个闭子集中都一致收敛于 \( {f}^{\prime } \) . 下面的定理介绍的就是这个事实.
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 内,且有
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{F\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
因此,
\[
\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{\left| F\left( \zeta \right) \right| }{{\left| \zeta - z\right| }^{2}}\left| {\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
\leq \frac{1}{2\pi }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| \frac{1}{{\delta }^{2}}{2\pi \delta }
\]
\[
= \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right|
\]
当然, 一阶导数的情况并无特别, 但事实上, 根据定理 5.3 的思路可以推断出,任意 \( k \geq 0, k \) 阶导函数列 \( {\left\{ {f}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于 \( {f}^{\left( k\right) } \) .
实际上, 可以根据定理 5.2 构造满足特定性质的全纯函数作为级数, 即
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{f}_{n}\left( z\right) .
\]
(14)
如果每一个 \( {f}_{n} \) | 定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}, \]\n\n其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为\n\n\[ {a}_{n} = \frac{{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }{n!}. \] | 证明 取定 \( z \in D \) . 根据柯西积分公式得\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta , \]\n\n其中 \( C \) 表示圆盘的边界. 因为\n\n\[ \frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - {z}_{0} - \left( {z - {z}_{0}}\right) } = \frac{1}{\zeta - {z}_{0}}\frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) }, \]\n\n其中 \( \zeta \in \mathbf{C}, z \in D \) ,那么一定存在 \( 0 < r < 1 \) 使得\n\n\[ \left| \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right| < r \]\n因此, 可以将其展成几何级数\n\n\[ \frac{1}{1 - \left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( \frac{z - {z}_{0}}{\zeta - {z}_{0}}\right) }^{n}, \]\n\n此级数对所有的 \( \zeta \in \mathbf{C} \) 都是收敛的. 结合式 (10)、式 (11) 和式 (12),将无穷项和与积分交换得\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\left( {\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right) \cdot {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}. \]\n\n这就证明了幂级数的展开,根据推论 4.2,进一步得到系数 \( {a}_{n} \) 的表达式. |
推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数.
证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.
对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R},
\]
其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) .
迄今为止, 代数学的基本定理可以很好地证明了.
推论 4.6 任意一个非常数的具有复系数的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 内至少有一个根.
证明 用反证法,假设 \( P \) 没有根,那么 \( 1/P\left( z\right) \) 是有界的全纯函数. 不妨假设 \( {a}_{n} \neq 0 \) ,多项式函数变形为
\[
\frac{P\left( z\right) }{{z}^{n}} = {a}_{n} + \left( {\frac{{a}_{n - 1}}{z}\cdots + \frac{{a}_{0}}{{z}^{n}}}\right) ,
\]
只要 \( z \neq 0 \) . 因为当 \( \left| z\right| \rightarrow + \infty \) 时括号内的每一项都趋于 0 . 可以推出存在 \( R > 0 \) , 令 \( c = \left| {a}_{n}\right| /2 \) ,只要 \( \left| z\right| > R \) ,那么
\[
\left| {P\left( z\right) }\right| \geq c{\left| z\right| }^{n}
\]
特别地,当 \( \left| z\right| > R \) 时, \( P \) 的倒数是有界的. 又因为 \( P \) 是连续的,在圆盘 \( \left| z\right| \leq R \) 内没有根,所以在 \( \left| z\right| \leq R \) 内 \( P \) 的倒数也是有界的. 因此函数 \( 1/P\left( z\right) \) 在整个复数集上都是有界的,根据 Liouville 定理, \( 1/P \) 是常数,这与题设 \( P \) 不是常数矛盾, 所以原假设不成立.
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) .
\]
证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得
\[
P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}}\right) + {b}_{0},
\]
其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,
\[
P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) ,
\]
其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成
\[
P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) ,
\]
其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) .
最后, 讨论解析延拓. 只要知道函数在适当的任意小子集上的值, 就能完全确定一个全纯函数. 注意,定理中的集合 \( \Omega \) 是连通的.
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成
\[
f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,
\]
其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.
证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且
\[
\Omega = U \cup V.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕.
下面给出本定理的推论.
推论 \( {4.9}^{ - } \) 假设 \( f \) 和 \( g \) 都是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,在 \( \Omega \) 的某个非空开子集中 (或者更一般的,以 \( \Omega \) 内的点为极限点的数列上) 恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) ,那么,在整个 \( \Omega \) 上恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) .
假设给出两个函数 \( f \) 和 \( F \) ,它们分别在区域 \( \Omega \) 和 \( {\Omega }^{\prime } \) 上解析,且 \( \Omega \subset {\Omega }^{\prime } \) . 如果这两个函数在 \( \Omega \) 上是一致的,那么称 \( F \) 是函数 \( f \) 在集合 \( {\Omega }^{\prime } \) 上的解析延拓. 上面的推论保证了解析延拓的唯一性,因此函数 \( F \) 是由 \( f \) 唯一确定的.
## 5 应用
这一小节, 我们将集中给出前面所证明的定理的各种推论.
## 5. 1 Morera 定理
下面的定理是柯西定理的逆定理.
定理 5.1 假设 \( f \) 在开圆盘 \( D \) 上是连续函数,如果对包含在 \( D \) 内的任意三角形周线 \( T \) 均有
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 根据定理 2.1 的证明,函数 \( f \) 在 \( D \) 上有原函数 \( F \) 满足 \( {F}^{\prime } = f \) . 根据正则性定理,函数 \( F \) 是不定复可微的,所以 \( f \) 是全纯的.
## 5.2 全纯函数列
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
与实变量的情况截然不同: 连续可微函数列的极限函数可能是不可微的. 例如,我们知道,定义在区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数都可以由多项式函数近似,根据 Weierstrass 定理 (见本丛书第一册的第 5 章), 并非所有连续函数都可微.
我们进一步讨论函数列的导函数列的收敛定理. 回忆之前的内容,如果函数 \( f \) 是收敛半径为 \( R \) 的幂级数,那么 \( {f}^{\prime } \) 就是由 \( f \) 的级数逐项求导而来,并且 \( {f}^{\prime } \) 也是收敛半径为 \( R \) 的幂级数. (见第 1 章中的定理 2.6) 特别地,如果 \( {S}_{n} \) 是级数 \( f \) 的部分和,那么 \( {S}^{\prime }{}_{n} \) 也是级数 \( {f}^{\prime } \) 的部分和,并且,在 \( f \) 的收敛圆盘内的每个闭子集中都一致收敛于 \( {f}^{\prime } \) . 下面的定理介绍的就是这个事实.
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 内,且有
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{F\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
因此,
\[
\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{\left| F\left( \zeta \right) \right| }{{\left| \zeta - z\right| }^{2}}\left| {\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
\leq \frac{1}{2\pi }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| \frac{1}{{\delta }^{2}}{2\pi \delta }
\]
\[
= \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right|
\]
当然, 一阶导数的情况并无特别, 但事实上, 根据定理 5.3 的思路可以推断出,任意 \( k \geq 0, k \) 阶导函数列 \( {\left\{ {f}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于 \( {f}^{\left( k\right) } \) .
实际上, 可以根据定理 5.2 构造满足特定性质的全纯函数作为级数, 即
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{f}_{n}\left( z\right) .
\]
(14)
如果每一个 \( {f}_{n} \) 在复平面上给定的区域 \( \Omega \) 内都是全纯的,并且级数在 \( \Omega \) 的紧子集中一致收敛,那么根据定理 5.2,函数 \( F \) 在区域 \( \Omega \) 上也是全纯的. 各种特殊的函数都可以表示成如式 (14) 那样级数的形式. 如黎曼 \( \zeta \) 函数,将在第 6 章讨论.
接下来讨论用积分定义一元函数.
## 5.3 按照积分定义全纯函数
许多函数都可以按照积分形式定义, 形如
\[
f\left( z\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
或者也可以用某些积分的极限定义函数. 这里的函数 \( F \) 首先是全纯的,其次是连续的. 这里的积分就是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的黎曼积分. 稍后的问题就是确定 \( f \) 是全纯函数.
接下来的定理是给 \( F \) 加上充分条件,该条件实践中也是满足的,这样很容易得出 \( f \) 是全纯函数.
对变量进行简单的线性变换,并假设 \( a = 0, b = 1 \) .
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.
那么,函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
其在 \( \Omega \) 上是全纯的.
第二个条件指的是 \( F \) 在两种讨论下都是联合连续的.
要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,只要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 内的任意圆盘 \( D \) 内是全纯的即可. 根据 Morera 定理,对任意包含在 \( D \) 内的三角形周线 \( T \) 有
\[
{\int }_{T}{\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}z = 0.
\]
交换积分次序, 并应用条件 ( i ) 就可以证明. 不管怎样, 我们可以围绕改变积分次序来讨论问题. 思路就是将积分看成黎曼和的极限, 然后再应用上一小节的内容即可证明.
证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和
\[
{f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) .
\]
根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \de | 推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数. | 证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.\n\n对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有\n\n\[ \left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R}, \]\n\n其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) . |
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) .
\]
证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得
\[
P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}}\right) + {b}_{0},
\]
其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,
\[
P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) ,
\]
其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成
\[
P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) ,
\]
其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) .
最后, 讨论解析延拓. 只要知道函数在适当的任意小子集上的值, 就能完全确定一个全纯函数. 注意,定理中的集合 \( \Omega \) 是连通的.
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成
\[
f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,
\]
其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.
证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且
\[
\Omega = U \cup V.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕.
下面给出本定理的推论.
推论 \( {4.9}^{ - } \) 假设 \( f \) 和 \( g \) 都是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,在 \( \Omega \) 的某个非空开子集中 (或者更一般的,以 \( \Omega \) 内的点为极限点的数列上) 恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) ,那么,在整个 \( \Omega \) 上恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) .
假设给出两个函数 \( f \) 和 \( F \) ,它们分别在区域 \( \Omega \) 和 \( {\Omega }^{\prime } \) 上解析,且 \( \Omega \subset {\Omega }^{\prime } \) . 如果这两个函数在 \( \Omega \) 上是一致的,那么称 \( F \) 是函数 \( f \) 在集合 \( {\Omega }^{\prime } \) 上的解析延拓. 上面的推论保证了解析延拓的唯一性,因此函数 \( F \) 是由 \( f \) 唯一确定的.
## 5 应用
这一小节, 我们将集中给出前面所证明的定理的各种推论.
## 5. 1 Morera 定理
下面的定理是柯西定理的逆定理.
定理 5.1 假设 \( f \) 在开圆盘 \( D \) 上是连续函数,如果对包含在 \( D \) 内的任意三角形周线 \( T \) 均有
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 根据定理 2.1 的证明,函数 \( f \) 在 \( D \) 上有原函数 \( F \) 满足 \( {F}^{\prime } = f \) . 根据正则性定理,函数 \( F \) 是不定复可微的,所以 \( f \) 是全纯的.
## 5.2 全纯函数列
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
与实变量的情况截然不同: 连续可微函数列的极限函数可能是不可微的. 例如,我们知道,定义在区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数都可以由多项式函数近似,根据 Weierstrass 定理 (见本丛书第一册的第 5 章), 并非所有连续函数都可微.
我们进一步讨论函数列的导函数列的收敛定理. 回忆之前的内容,如果函数 \( f \) 是收敛半径为 \( R \) 的幂级数,那么 \( {f}^{\prime } \) 就是由 \( f \) 的级数逐项求导而来,并且 \( {f}^{\prime } \) 也是收敛半径为 \( R \) 的幂级数. (见第 1 章中的定理 2.6) 特别地,如果 \( {S}_{n} \) 是级数 \( f \) 的部分和,那么 \( {S}^{\prime }{}_{n} \) 也是级数 \( {f}^{\prime } \) 的部分和,并且,在 \( f \) 的收敛圆盘内的每个闭子集中都一致收敛于 \( {f}^{\prime } \) . 下面的定理介绍的就是这个事实.
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 内,且有
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{F\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
因此,
\[
\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{\left| F\left( \zeta \right) \right| }{{\left| \zeta - z\right| }^{2}}\left| {\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
\leq \frac{1}{2\pi }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| \frac{1}{{\delta }^{2}}{2\pi \delta }
\]
\[
= \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right|
\]
当然, 一阶导数的情况并无特别, 但事实上, 根据定理 5.3 的思路可以推断出,任意 \( k \geq 0, k \) 阶导函数列 \( {\left\{ {f}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于 \( {f}^{\left( k\right) } \) .
实际上, 可以根据定理 5.2 构造满足特定性质的全纯函数作为级数, 即
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{f}_{n}\left( z\right) .
\]
(14)
如果每一个 \( {f}_{n} \) 在复平面上给定的区域 \( \Omega \) 内都是全纯的,并且级数在 \( \Omega \) 的紧子集中一致收敛,那么根据定理 5.2,函数 \( F \) 在区域 \( \Omega \) 上也是全纯的. 各种特殊的函数都可以表示成如式 (14) 那样级数的形式. 如黎曼 \( \zeta \) 函数,将在第 6 章讨论.
接下来讨论用积分定义一元函数.
## 5.3 按照积分定义全纯函数
许多函数都可以按照积分形式定义, 形如
\[
f\left( z\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
或者也可以用某些积分的极限定义函数. 这里的函数 \( F \) 首先是全纯的,其次是连续的. 这里的积分就是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的黎曼积分. 稍后的问题就是确定 \( f \) 是全纯函数.
接下来的定理是给 \( F \) 加上充分条件,该条件实践中也是满足的,这样很容易得出 \( f \) 是全纯函数.
对变量进行简单的线性变换,并假设 \( a = 0, b = 1 \) .
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.
那么,函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
其在 \( \Omega \) 上是全纯的.
第二个条件指的是 \( F \) 在两种讨论下都是联合连续的.
要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,只要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 内的任意圆盘 \( D \) 内是全纯的即可. 根据 Morera 定理,对任意包含在 \( D \) 内的三角形周线 \( T \) 有
\[
{\int }_{T}{\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}z = 0.
\]
交换积分次序, 并应用条件 ( i ) 就可以证明. 不管怎样, 我们可以围绕改变积分次序来讨论问题. 思路就是将积分看成黎曼和的极限, 然后再应用上一小节的内容即可证明.
证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和
\[
{f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) .
\]
根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left| {F\left( {z,{s}_{1}}\right) - F\left( {z,{s}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
那么,当 \( n > 1/\delta, z \in D \) 时,
\[
\left| {{f}_{n}\left( z\right) - f\left( z\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s}\right|
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}\left| {F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) }\right| \mathrm{d}s
\]
\[
< \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\varepsilon }{n}
\]
\[
= \varepsilon \text{.}
\]
根据定理 5.2 推导出函数 \( f \) 在 \( D \) 上是全纯的. 从而推导出 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
## 5. 4 Schwarz 反射原理
在实分析中, 很多情况下需要将定义在某个集合上的函数延拓到更大的集合上. 对于连续函数存在几种扩张方法, 更一般的情况下, 是应用改变其光滑度的方法. 当然, 这种方法的难度会随着我们对扩张条件的增多而增大.
对全纯函数而言, 扩张难度很大. 不但是因为全纯函数在其定义邻域内是不定可微的, 还因为它有些很难改变的特性. 例如, 存在定义在圆盘上的全纯函数, 它在这个圆盘的闭包上是连续的, 但是在任何包含圆盘的闭包的较大区域上可能不再连续 (也不解析) (这种现象将在问题 1 中讨论). 再如, 如果全纯函数在某个小开集 (甚至非零线段) 上变为零, 那么该函数恒等于零.
Schwarz 反射原理是一种简单的扩张现象, 其实用价值很高. 其证明由两部分组成, 首先是给出扩张定义, 然后再核实扩张出的函数是否是全纯的. 下面就从这两点出发.
令 \( \Omega \) 是 \( \mathbf{C} \) 中的开集,它关于实轴是对称的,也就是说当且仅当 \( \bar{z} \in \Omega \) 时 \( z \in \Omega \) . 用 \( {\Omega }^ | 推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成\n\n\[ P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) . \] | 证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得\n\n\[ P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}\right) + {b}_{0}, \]\n\n其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} = {a}_{n} \) . 因为 \( P\left( {w}_{1}\right) = 0 \) ,所以 \( {b}_{0} = 0 \) ,因此,\n\n\[ P\left( z\right) = \left( {z - {w}_{1}}\right) \left\lbrack {{b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n - 1} + \cdots + {b}_{1}}\right\rbrack = \left( {z - {w}_{1}}\right) Q\left( z\right) , \]\n\n其中 \( Q \) 是 \( n - 1 \) 阶多项式. 反复应用推论 4.6,通过多项式的降阶,可推出 \( P\left( z\right) \) 有 \( n \) 个根,并且它可以表示成\n\n\[ P\left( z\right) = c\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\right) , \]\n\n其中 \( c \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的某个数. 因为多项式的最高项系数是 \( c \) ,所以 \( c = {a}_{n} \) . |
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成
\[
f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,
\]
其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.
证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且
\[
\Omega = U \cup V.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕.
下面给出本定理的推论.
推论 \( {4.9}^{ - } \) 假设 \( f \) 和 \( g \) 都是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,在 \( \Omega \) 的某个非空开子集中 (或者更一般的,以 \( \Omega \) 内的点为极限点的数列上) 恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) ,那么,在整个 \( \Omega \) 上恒有 \( f\left( z\right) = g\left( z\right) \) .
假设给出两个函数 \( f \) 和 \( F \) ,它们分别在区域 \( \Omega \) 和 \( {\Omega }^{\prime } \) 上解析,且 \( \Omega \subset {\Omega }^{\prime } \) . 如果这两个函数在 \( \Omega \) 上是一致的,那么称 \( F \) 是函数 \( f \) 在集合 \( {\Omega }^{\prime } \) 上的解析延拓. 上面的推论保证了解析延拓的唯一性,因此函数 \( F \) 是由 \( f \) 唯一确定的.
## 5 应用
这一小节, 我们将集中给出前面所证明的定理的各种推论.
## 5. 1 Morera 定理
下面的定理是柯西定理的逆定理.
定理 5.1 假设 \( f \) 在开圆盘 \( D \) 上是连续函数,如果对包含在 \( D \) 内的任意三角形周线 \( T \) 均有
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 根据定理 2.1 的证明,函数 \( f \) 在 \( D \) 上有原函数 \( F \) 满足 \( {F}^{\prime } = f \) . 根据正则性定理,函数 \( F \) 是不定复可微的,所以 \( f \) 是全纯的.
## 5.2 全纯函数列
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
与实变量的情况截然不同: 连续可微函数列的极限函数可能是不可微的. 例如,我们知道,定义在区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数都可以由多项式函数近似,根据 Weierstrass 定理 (见本丛书第一册的第 5 章), 并非所有连续函数都可微.
我们进一步讨论函数列的导函数列的收敛定理. 回忆之前的内容,如果函数 \( f \) 是收敛半径为 \( R \) 的幂级数,那么 \( {f}^{\prime } \) 就是由 \( f \) 的级数逐项求导而来,并且 \( {f}^{\prime } \) 也是收敛半径为 \( R \) 的幂级数. (见第 1 章中的定理 2.6) 特别地,如果 \( {S}_{n} \) 是级数 \( f \) 的部分和,那么 \( {S}^{\prime }{}_{n} \) 也是级数 \( {f}^{\prime } \) 的部分和,并且,在 \( f \) 的收敛圆盘内的每个闭子集中都一致收敛于 \( {f}^{\prime } \) . 下面的定理介绍的就是这个事实.
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 内,且有
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{F\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
因此,
\[
\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{\left| F\left( \zeta \right) \right| }{{\left| \zeta - z\right| }^{2}}\left| {\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
\leq \frac{1}{2\pi }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| \frac{1}{{\delta }^{2}}{2\pi \delta }
\]
\[
= \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right|
\]
当然, 一阶导数的情况并无特别, 但事实上, 根据定理 5.3 的思路可以推断出,任意 \( k \geq 0, k \) 阶导函数列 \( {\left\{ {f}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于 \( {f}^{\left( k\right) } \) .
实际上, 可以根据定理 5.2 构造满足特定性质的全纯函数作为级数, 即
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{f}_{n}\left( z\right) .
\]
(14)
如果每一个 \( {f}_{n} \) 在复平面上给定的区域 \( \Omega \) 内都是全纯的,并且级数在 \( \Omega \) 的紧子集中一致收敛,那么根据定理 5.2,函数 \( F \) 在区域 \( \Omega \) 上也是全纯的. 各种特殊的函数都可以表示成如式 (14) 那样级数的形式. 如黎曼 \( \zeta \) 函数,将在第 6 章讨论.
接下来讨论用积分定义一元函数.
## 5.3 按照积分定义全纯函数
许多函数都可以按照积分形式定义, 形如
\[
f\left( z\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
或者也可以用某些积分的极限定义函数. 这里的函数 \( F \) 首先是全纯的,其次是连续的. 这里的积分就是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的黎曼积分. 稍后的问题就是确定 \( f \) 是全纯函数.
接下来的定理是给 \( F \) 加上充分条件,该条件实践中也是满足的,这样很容易得出 \( f \) 是全纯函数.
对变量进行简单的线性变换,并假设 \( a = 0, b = 1 \) .
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.
那么,函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
其在 \( \Omega \) 上是全纯的.
第二个条件指的是 \( F \) 在两种讨论下都是联合连续的.
要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,只要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 内的任意圆盘 \( D \) 内是全纯的即可. 根据 Morera 定理,对任意包含在 \( D \) 内的三角形周线 \( T \) 有
\[
{\int }_{T}{\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}z = 0.
\]
交换积分次序, 并应用条件 ( i ) 就可以证明. 不管怎样, 我们可以围绕改变积分次序来讨论问题. 思路就是将积分看成黎曼和的极限, 然后再应用上一小节的内容即可证明.
证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和
\[
{f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) .
\]
根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left| {F\left( {z,{s}_{1}}\right) - F\left( {z,{s}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
那么,当 \( n > 1/\delta, z \in D \) 时,
\[
\left| {{f}_{n}\left( z\right) - f\left( z\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s}\right|
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}\left| {F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) }\right| \mathrm{d}s
\]
\[
< \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\varepsilon }{n}
\]
\[
= \varepsilon \text{.}
\]
根据定理 5.2 推导出函数 \( f \) 在 \( D \) 上是全纯的. 从而推导出 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
## 5. 4 Schwarz 反射原理
在实分析中, 很多情况下需要将定义在某个集合上的函数延拓到更大的集合上. 对于连续函数存在几种扩张方法, 更一般的情况下, 是应用改变其光滑度的方法. 当然, 这种方法的难度会随着我们对扩张条件的增多而增大.
对全纯函数而言, 扩张难度很大. 不但是因为全纯函数在其定义邻域内是不定可微的, 还因为它有些很难改变的特性. 例如, 存在定义在圆盘上的全纯函数, 它在这个圆盘的闭包上是连续的, 但是在任何包含圆盘的闭包的较大区域上可能不再连续 (也不解析) (这种现象将在问题 1 中讨论). 再如, 如果全纯函数在某个小开集 (甚至非零线段) 上变为零, 那么该函数恒等于零.
Schwarz 反射原理是一种简单的扩张现象, 其实用价值很高. 其证明由两部分组成, 首先是给出扩张定义, 然后再核实扩张出的函数是否是全纯的. 下面就从这两点出发.
令 \( \Omega \) 是 \( \mathbf{C} \) 中的开集,它关于实轴是对称的,也就是说当且仅当 \( \bar{z} \in \Omega \) 时 \( z \in \Omega \) . 用 \( {\Omega }^{ + } \) 表示 \( \Omega \) 在上半平面的部分, \( {\Omega }^{ - } \) 表示 \( \Omega \) 在下半平面的部分.
并且,令 \( I = \Omega \cap \mathbf{R} \) ,因此 \( I \) 就是 \( \Omega \)
图 11 关于实轴对称的开集
内部 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 的分界线,恰好在实轴上, 因此
\[
{\Omega }^{ + } \cup I \cup {\Omega }^{ - } = \Omega .
\]
下面的定理涉及的问题是 \( I \) 非空.
定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .
\]
那么函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ + }, \\ {f}^{ + }\left( z\right) = {f}^{ - }\left( z\right) & z \in I, \\ {f}^{ - }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ - } \end{matrix}\right.
\]
在整个 \( \Omega \) 上是全纯的.
证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \( T \) 的一个边或一个顶点落在 \( I \) 上,剩余的部分在上半圆盘中. 如果 \( {T}_{\varepsilon } \) 是将三角形 \ | 定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0. | 证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}. \]\n\n如果 \( f \) 不恒等于 0,总存在一个最小的数 \( m \) 使得 \( {a}_{m} \neq 0 \) ,那么函数可以写成\n\n\[ f\left( z\right) = {a}_{m}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}\left( {1 + g\left( {z - {z}_{0}}\right) }\right) ,\]\n\n其中,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( g\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 趋于 0 . 取收敛于 \( {z}_{0} \) 的数列中的一个点 \( {w}_{k} \) ,令 \( z = {w}_{k} \neq \) \( {z}_{0} \) ,那么 \( {a}_{m}{\left( {w}_{k} - {z}_{0}\right) }^{m} \neq 0,1 + g\left( {{w}_{k} - {z}_{0}}\right) \neq 0 \) 这与 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) 矛盾.\n\n证明中默认集合 \( \Omega \) 是连通的. 令 \( U \) 表示 \( \Omega \) 中使得 \( f\left( z\right) = 0 \) 的点构成的集合的内部,那么根据上面的讨论, \( U \) 一定是一个非空的开集. 又因为如果 \( {z}_{n} \in U,{z}_{n} \rightarrow z \) , 根据连续性, \( f\left( z\right) = 0 \) 且 \( f \) 在 \( z \) 的某个邻域内恒等于 0,所以 \( z \in U \) ,也就是说 \( U \) 也是闭集. 现在,令 \( V \) 表示集合 \( U \) 在 \( \Omega \) 内的余集,那么 \( V \) 和 \( U \) 是两个不相交的开集, 并且\n\n\[ \Omega = U \cup V. \]\n\n因为 \( \Omega \) 是连通的,所以 \( V \) 和 \( U \) 必有一个是空集 (根据第 1 章中连通的两个等价定义). 因为 \( {z}_{0} \in U \) ,所以 \( V \) 是空集, \( U = \Omega \) . 定理证毕. |
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z.
\]
所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
与实变量的情况截然不同: 连续可微函数列的极限函数可能是不可微的. 例如,我们知道,定义在区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数都可以由多项式函数近似,根据 Weierstrass 定理 (见本丛书第一册的第 5 章), 并非所有连续函数都可微.
我们进一步讨论函数列的导函数列的收敛定理. 回忆之前的内容,如果函数 \( f \) 是收敛半径为 \( R \) 的幂级数,那么 \( {f}^{\prime } \) 就是由 \( f \) 的级数逐项求导而来,并且 \( {f}^{\prime } \) 也是收敛半径为 \( R \) 的幂级数. (见第 1 章中的定理 2.6) 特别地,如果 \( {S}_{n} \) 是级数 \( f \) 的部分和,那么 \( {S}^{\prime }{}_{n} \) 也是级数 \( {f}^{\prime } \) 的部分和,并且,在 \( f \) 的收敛圆盘内的每个闭子集中都一致收敛于 \( {f}^{\prime } \) . 下面的定理介绍的就是这个事实.
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 内,且有
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{F\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
因此,
\[
\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{\left| F\left( \zeta \right) \right| }{{\left| \zeta - z\right| }^{2}}\left| {\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
\leq \frac{1}{2\pi }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| \frac{1}{{\delta }^{2}}{2\pi \delta }
\]
\[
= \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right|
\]
当然, 一阶导数的情况并无特别, 但事实上, 根据定理 5.3 的思路可以推断出,任意 \( k \geq 0, k \) 阶导函数列 \( {\left\{ {f}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于 \( {f}^{\left( k\right) } \) .
实际上, 可以根据定理 5.2 构造满足特定性质的全纯函数作为级数, 即
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{f}_{n}\left( z\right) .
\]
(14)
如果每一个 \( {f}_{n} \) 在复平面上给定的区域 \( \Omega \) 内都是全纯的,并且级数在 \( \Omega \) 的紧子集中一致收敛,那么根据定理 5.2,函数 \( F \) 在区域 \( \Omega \) 上也是全纯的. 各种特殊的函数都可以表示成如式 (14) 那样级数的形式. 如黎曼 \( \zeta \) 函数,将在第 6 章讨论.
接下来讨论用积分定义一元函数.
## 5.3 按照积分定义全纯函数
许多函数都可以按照积分形式定义, 形如
\[
f\left( z\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
或者也可以用某些积分的极限定义函数. 这里的函数 \( F \) 首先是全纯的,其次是连续的. 这里的积分就是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的黎曼积分. 稍后的问题就是确定 \( f \) 是全纯函数.
接下来的定理是给 \( F \) 加上充分条件,该条件实践中也是满足的,这样很容易得出 \( f \) 是全纯函数.
对变量进行简单的线性变换,并假设 \( a = 0, b = 1 \) .
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.
那么,函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
其在 \( \Omega \) 上是全纯的.
第二个条件指的是 \( F \) 在两种讨论下都是联合连续的.
要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,只要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 内的任意圆盘 \( D \) 内是全纯的即可. 根据 Morera 定理,对任意包含在 \( D \) 内的三角形周线 \( T \) 有
\[
{\int }_{T}{\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}z = 0.
\]
交换积分次序, 并应用条件 ( i ) 就可以证明. 不管怎样, 我们可以围绕改变积分次序来讨论问题. 思路就是将积分看成黎曼和的极限, 然后再应用上一小节的内容即可证明.
证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和
\[
{f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) .
\]
根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left| {F\left( {z,{s}_{1}}\right) - F\left( {z,{s}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
那么,当 \( n > 1/\delta, z \in D \) 时,
\[
\left| {{f}_{n}\left( z\right) - f\left( z\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s}\right|
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}\left| {F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) }\right| \mathrm{d}s
\]
\[
< \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\varepsilon }{n}
\]
\[
= \varepsilon \text{.}
\]
根据定理 5.2 推导出函数 \( f \) 在 \( D \) 上是全纯的. 从而推导出 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
## 5. 4 Schwarz 反射原理
在实分析中, 很多情况下需要将定义在某个集合上的函数延拓到更大的集合上. 对于连续函数存在几种扩张方法, 更一般的情况下, 是应用改变其光滑度的方法. 当然, 这种方法的难度会随着我们对扩张条件的增多而增大.
对全纯函数而言, 扩张难度很大. 不但是因为全纯函数在其定义邻域内是不定可微的, 还因为它有些很难改变的特性. 例如, 存在定义在圆盘上的全纯函数, 它在这个圆盘的闭包上是连续的, 但是在任何包含圆盘的闭包的较大区域上可能不再连续 (也不解析) (这种现象将在问题 1 中讨论). 再如, 如果全纯函数在某个小开集 (甚至非零线段) 上变为零, 那么该函数恒等于零.
Schwarz 反射原理是一种简单的扩张现象, 其实用价值很高. 其证明由两部分组成, 首先是给出扩张定义, 然后再核实扩张出的函数是否是全纯的. 下面就从这两点出发.
令 \( \Omega \) 是 \( \mathbf{C} \) 中的开集,它关于实轴是对称的,也就是说当且仅当 \( \bar{z} \in \Omega \) 时 \( z \in \Omega \) . 用 \( {\Omega }^{ + } \) 表示 \( \Omega \) 在上半平面的部分, \( {\Omega }^{ - } \) 表示 \( \Omega \) 在下半平面的部分.
并且,令 \( I = \Omega \cap \mathbf{R} \) ,因此 \( I \) 就是 \( \Omega \)
图 11 关于实轴对称的开集
内部 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 的分界线,恰好在实轴上, 因此
\[
{\Omega }^{ + } \cup I \cup {\Omega }^{ - } = \Omega .
\]
下面的定理涉及的问题是 \( I \) 非空.
定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .
\]
那么函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ + }, \\ {f}^{ + }\left( z\right) = {f}^{ - }\left( z\right) & z \in I, \\ {f}^{ - }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ - } \end{matrix}\right.
\]
在整个 \( \Omega \) 上是全纯的.
证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \( T \) 的一个边或一个顶点落在 \( I \) 上,剩余的部分在上半圆盘中. 如果 \( {T}_{\varepsilon } \) 是将三角形 \( T \) 落在 \( I \) 上的边或点稍微提高得到的三角形周线 (见图 12a)),那么 \( {\int }_{{T}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . 然后令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) ,根据连续性推出
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
图 12
a) 提升顶点 b) 分割三角形
如果三角形周线 \( T \) 的内部经过 \( I \) ,可以通过分割三角形 (见图 12b)) 将问题转化成一条边或一个顶点落在 \( I \) 上的情况. 根据 Morera 定理可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的.
接下来, 用上面的符号来定义扩张原理.
定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) .
证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式
\[
F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}
\]
然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数
\[
f\left( \bar{z}\right) = \sum {a}_{n}{\left( \bar{z} - {\bar{z}}_{0}\right) }^{n}.
\]
因此
\[
F\left( z\right) = \sum {\bar{a}}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 而在 \( I \) 上, \( f \) 是实值函数, \( \overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) \) ,因此 \( F \) 在 \( I \) 上是连续的. 定理证毕.
## 5. 5 Runge 近似定理
根据 Weierstrass 定理可知, 任何定义在紧区间上的连续函数都可以由多项式一致近似 \( {}^{ \ominus } \) . 考虑到这个结果,在复分析中也会有类似的近似. 问题就在于: 当紧集 \( K \subset \mathbf{C} \) (复数集) 满足什么条件时,能保证全纯函数可以由 \( K \) 中的多项式函数一致近似呢?
首先以幂级数展开式为例. 我们知道,如果 \( f \) 是定义在圆盘 \( D \) 上的全纯函数, 那么它可以展成幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,此幂级数在每个紧子集 \( K \subset D \) 上都是一致收敛的. 根据幂级数的部分和可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 内的任何紧子集上都可以由多项式函数一致近似.
但是,更一般的, \( K \) 必须满足一定的条件,例如在单位圆周 \( K = C \) 上考虑函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) . 已知 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i} \) ,但是对任意多项式 \( p \) ,根据柯西定理 \( {\int }_{C}p\left( z\right) \mathrm{d}z = \) 0 . 如果多项式可以近似函数, 那就矛盾了.
要想满足近似条件,集合 \( K \) 就必须满足它的余拓扑: \( {K}^{c} \) 必须是连通的. 事实上,当 \( f\left( z\right) = 1/z \) 时,上面的例子只要稍微修正,集合 \( K \) 就满足条件了,见问题 4 .
相反的,如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么一致近似就是存在的,此结果来自 Runge 定理: 对任意集合 \( K \) 上的具有 “奇点” \( {}^{ \ominus } \) 的有理函数在 \( K \) 的余集上存在一致近似. 这个结论是值得注意的,因为有理函数是全局定义,而 \( f \) 仅仅是在 \( K \) 的某个邻域内给出的. 更特别地, \( f \) 的定义不依赖于集合 \( K \) 的构成,使得定理的推论更加显著.
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} | 定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的. | 证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有\n\n\[ \n{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0. \n\]\n\n根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且\n\n\[ \n{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z. \n\]\n\n所以 \( {\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,根据 Goursat 定理,函数 \( f \) 在集合 \( D \) 上是全纯的. 根据集合 \( D \) 的任意性,以及 \( D \) 的闭包在 \( \Omega \) 内,可知函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. |
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta }\left( z\right) \subset \Omega }\right\} .
\]
也就是说 \( {\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 中距离 \( \Omega \) 的边界大于 \( \delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {\Omega }_{\delta }}}\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| ,
\]
(13)
其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\Omega }_{\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \in {\Omega }_{\delta },{D}_{\delta }\left( z\right) \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 内,且有
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{F\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
因此,
\[
\left| {{F}^{\prime }\left( z\right) }\right| \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{{C}_{\delta }\left( z\right) }\frac{\left| F\left( \zeta \right) \right| }{{\left| \zeta - z\right| }^{2}}\left| {\mathrm{\;d}\zeta }\right|
\]
\[
\leq \frac{1}{2\pi }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right| \frac{1}{{\delta }^{2}}{2\pi \delta }
\]
\[
= \frac{1}{\delta }\mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in \Omega }}\left| {F\left( \zeta \right) }\right|
\]
当然, 一阶导数的情况并无特别, 但事实上, 根据定理 5.3 的思路可以推断出,任意 \( k \geq 0, k \) 阶导函数列 \( {\left\{ {f}_{n}^{\left( k\right) }\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于 \( {f}^{\left( k\right) } \) .
实际上, 可以根据定理 5.2 构造满足特定性质的全纯函数作为级数, 即
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{f}_{n}\left( z\right) .
\]
(14)
如果每一个 \( {f}_{n} \) 在复平面上给定的区域 \( \Omega \) 内都是全纯的,并且级数在 \( \Omega \) 的紧子集中一致收敛,那么根据定理 5.2,函数 \( F \) 在区域 \( \Omega \) 上也是全纯的. 各种特殊的函数都可以表示成如式 (14) 那样级数的形式. 如黎曼 \( \zeta \) 函数,将在第 6 章讨论.
接下来讨论用积分定义一元函数.
## 5.3 按照积分定义全纯函数
许多函数都可以按照积分形式定义, 形如
\[
f\left( z\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
或者也可以用某些积分的极限定义函数. 这里的函数 \( F \) 首先是全纯的,其次是连续的. 这里的积分就是区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的黎曼积分. 稍后的问题就是确定 \( f \) 是全纯函数.
接下来的定理是给 \( F \) 加上充分条件,该条件实践中也是满足的,这样很容易得出 \( f \) 是全纯函数.
对变量进行简单的线性变换,并假设 \( a = 0, b = 1 \) .
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.
那么,函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
其在 \( \Omega \) 上是全纯的.
第二个条件指的是 \( F \) 在两种讨论下都是联合连续的.
要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,只要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 内的任意圆盘 \( D \) 内是全纯的即可. 根据 Morera 定理,对任意包含在 \( D \) 内的三角形周线 \( T \) 有
\[
{\int }_{T}{\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}z = 0.
\]
交换积分次序, 并应用条件 ( i ) 就可以证明. 不管怎样, 我们可以围绕改变积分次序来讨论问题. 思路就是将积分看成黎曼和的极限, 然后再应用上一小节的内容即可证明.
证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和
\[
{f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) .
\]
根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left| {F\left( {z,{s}_{1}}\right) - F\left( {z,{s}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
那么,当 \( n > 1/\delta, z \in D \) 时,
\[
\left| {{f}_{n}\left( z\right) - f\left( z\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s}\right|
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}\left| {F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) }\right| \mathrm{d}s
\]
\[
< \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\varepsilon }{n}
\]
\[
= \varepsilon \text{.}
\]
根据定理 5.2 推导出函数 \( f \) 在 \( D \) 上是全纯的. 从而推导出 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
## 5. 4 Schwarz 反射原理
在实分析中, 很多情况下需要将定义在某个集合上的函数延拓到更大的集合上. 对于连续函数存在几种扩张方法, 更一般的情况下, 是应用改变其光滑度的方法. 当然, 这种方法的难度会随着我们对扩张条件的增多而增大.
对全纯函数而言, 扩张难度很大. 不但是因为全纯函数在其定义邻域内是不定可微的, 还因为它有些很难改变的特性. 例如, 存在定义在圆盘上的全纯函数, 它在这个圆盘的闭包上是连续的, 但是在任何包含圆盘的闭包的较大区域上可能不再连续 (也不解析) (这种现象将在问题 1 中讨论). 再如, 如果全纯函数在某个小开集 (甚至非零线段) 上变为零, 那么该函数恒等于零.
Schwarz 反射原理是一种简单的扩张现象, 其实用价值很高. 其证明由两部分组成, 首先是给出扩张定义, 然后再核实扩张出的函数是否是全纯的. 下面就从这两点出发.
令 \( \Omega \) 是 \( \mathbf{C} \) 中的开集,它关于实轴是对称的,也就是说当且仅当 \( \bar{z} \in \Omega \) 时 \( z \in \Omega \) . 用 \( {\Omega }^{ + } \) 表示 \( \Omega \) 在上半平面的部分, \( {\Omega }^{ - } \) 表示 \( \Omega \) 在下半平面的部分.
并且,令 \( I = \Omega \cap \mathbf{R} \) ,因此 \( I \) 就是 \( \Omega \)
图 11 关于实轴对称的开集
内部 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 的分界线,恰好在实轴上, 因此
\[
{\Omega }^{ + } \cup I \cup {\Omega }^{ - } = \Omega .
\]
下面的定理涉及的问题是 \( I \) 非空.
定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .
\]
那么函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ + }, \\ {f}^{ + }\left( z\right) = {f}^{ - }\left( z\right) & z \in I, \\ {f}^{ - }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ - } \end{matrix}\right.
\]
在整个 \( \Omega \) 上是全纯的.
证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \( T \) 的一个边或一个顶点落在 \( I \) 上,剩余的部分在上半圆盘中. 如果 \( {T}_{\varepsilon } \) 是将三角形 \( T \) 落在 \( I \) 上的边或点稍微提高得到的三角形周线 (见图 12a)),那么 \( {\int }_{{T}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . 然后令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) ,根据连续性推出
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
图 12
a) 提升顶点 b) 分割三角形
如果三角形周线 \( T \) 的内部经过 \( I \) ,可以通过分割三角形 (见图 12b)) 将问题转化成一条边或一个顶点落在 \( I \) 上的情况. 根据 Morera 定理可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的.
接下来, 用上面的符号来定义扩张原理.
定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) .
证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式
\[
F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}
\]
然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数
\[
f\left( \bar{z}\right) = \sum {a}_{n}{\left( \bar{z} - {\bar{z}}_{0}\right) }^{n}.
\]
因此
\[
F\left( z\right) = \sum {\bar{a}}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 而在 \( I \) 上, \( f \) 是实值函数, \( \overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) \) ,因此 \( F \) 在 \( I \) 上是连续的. 定理证毕.
## 5. 5 Runge 近似定理
根据 Weierstrass 定理可知, 任何定义在紧区间上的连续函数都可以由多项式一致近似 \( {}^{ \ominus } \) . 考虑到这个结果,在复分析中也会有类似的近似. 问题就在于: 当紧集 \( K \subset \mathbf{C} \) (复数集) 满足什么条件时,能保证全纯函数可以由 \( K \) 中的多项式函数一致近似呢?
首先以幂级数展开式为例. 我们知道,如果 \( f \) 是定义在圆盘 \( D \) 上的全纯函数, 那么它可以展成幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,此幂级数在每个紧子集 \( K \subset D \) 上都是一致收敛的. 根据幂级数的部分和可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 内的任何紧子集上都可以由多项式函数一致近似.
但是,更一般的, \( K \) 必须满足一定的条件,例如在单位圆周 \( K = C \) 上考虑函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) . 已知 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i} \) ,但是对任意多项式 \( p \) ,根据柯西定理 \( {\int }_{C}p\left( z\right) \mathrm{d}z = \) 0 . 如果多项式可以近似函数, 那就矛盾了.
要想满足近似条件,集合 \( K \) 就必须满足它的余拓扑: \( {K}^{c} \) 必须是连通的. 事实上,当 \( f\left( z\right) = 1/z \) 时,上面的例子只要稍微修正,集合 \( K \) 就满足条件了,见问题 4 .
相反的,如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么一致近似就是存在的,此结果来自 Runge 定理: 对任意集合 \( K \) 上的具有 “奇点” \( {}^{ \ominus } \) 的有理函数在 \( K \) 的余集上存在一致近似. 这个结论是值得注意的,因为有理函数是全局定义,而 \( f \) 仅仅是在 \( K \) 的某个邻域内给出的. 更特别地, \( f \) 的定义不依赖于集合 \( K \) 的构成,使得定理的推论更加显著.
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被多项式一致近似.
上述定理的第二点是指: 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么奇点可以被 “推” 到无穷远处, 因此有理函数就可以转变成多项式.
定理的关键就是积分表达公式, 这仅仅是正方形周线下的柯西积分公式的简单推论.
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{n}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
( 15 )
证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .
令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamm | 定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) . | 证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集\n\n\[ \n{\Omega }_{\delta } = \\left\{ {z \\in \\Omega : {\\bar{D}}_{\\delta }\\left( z\\right) \\subset \\Omega }\\right\} .\n\] \n\n也就是说 \( {\\Omega }_{\\delta } \) 表示 \( \\Omega \) 中距离 \( \\Omega \) 的边界大于 \( \\delta \) 的点的集合. 要证明定理只要证明对任 \n\n\[ \n\\mathop{\\sup }\\limits_{{z \\in {\\Omega }_{\\delta }}}\\left| {{F}^{\\prime }\\left( z\\right) }\\right| \\leq \\frac{1}{\\delta }\\mathop{\\sup }\\limits_{{\\zeta \\in \\Omega }}\\left| {F\\left( \\zeta \\right) }\\right| ,\n\] \n\n(13)\n\n其中 \( F = {f}_{n} - f \) 在 \( \\Omega \) 上是全纯函数. 上面的不等式 (13) 是由柯西积分公式和 \( {\\Omega }_{\\delta } \) 的定义决定的,因为对任意的 \( z \\in {\\Omega }_{\\delta },{D}_{\\delta }\\left( z\\right) \) 的闭包包含在 \( \\Omega \) 内,且有\n\n\[ \n{F}^{\\prime }\\left( z\\right) = \\frac{1}{{2\\pi }\\mathrm{i}}{\\int }_{{C}_{\\delta }\\left( z\\right) }\\frac{F\\left( \\zeta \\right) }{{\\left( \\zeta - z\\right) }^{2}}\\mathrm{\\;d}\\zeta .\n\] \n\n因此,\n\n\[ \n\\left| {{F}^{\\prime }\\left( z\\right) }\\right| \\leq \\frac{1}{2\\pi }{\\int }_{{C}_{\\delta }\\left( z\\right) }\\frac{\\left| F\\left( \\zeta \\right) \\right| }{{\\left| \\zeta - z\\right| }^{2}}\\left| {\\mathrm{\\;d}\\zeta }\\right|\n\] \n\n\[ \n\\leq \\frac{1}{2\\pi }\\mathop{\\sup }\\limits_{{\\zeta \\in \\Omega }}\\left| {F\\left( \\zeta \\right) }\\right| \\frac{1}{{\\delta }^{2}}{2\\pi \\delta }\n\] \n\n\[ \n= \\frac{1}{\\delta }\\mathop{\\sup }\\limits_{{\\zeta \\in \\Omega }}\\left| {F\\left( \\zeta \\right) }\\right|\n\] |
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.
那么,函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s,
\]
其在 \( \Omega \) 上是全纯的.
第二个条件指的是 \( F \) 在两种讨论下都是联合连续的.
要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,只要证明 \( f \) 在 \( \Omega \) 内的任意圆盘 \( D \) 内是全纯的即可. 根据 Morera 定理,对任意包含在 \( D \) 内的三角形周线 \( T \) 有
\[
{\int }_{T}{\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s\mathrm{\;d}z = 0.
\]
交换积分次序, 并应用条件 ( i ) 就可以证明. 不管怎样, 我们可以围绕改变积分次序来讨论问题. 思路就是将积分看成黎曼和的极限, 然后再应用上一小节的内容即可证明.
证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和
\[
{f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) .
\]
根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left| {F\left( {z,{s}_{1}}\right) - F\left( {z,{s}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
那么,当 \( n > 1/\delta, z \in D \) 时,
\[
\left| {{f}_{n}\left( z\right) - f\left( z\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s}\right|
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}\left| {F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) }\right| \mathrm{d}s
\]
\[
< \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\varepsilon }{n}
\]
\[
= \varepsilon \text{.}
\]
根据定理 5.2 推导出函数 \( f \) 在 \( D \) 上是全纯的. 从而推导出 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的.
## 5. 4 Schwarz 反射原理
在实分析中, 很多情况下需要将定义在某个集合上的函数延拓到更大的集合上. 对于连续函数存在几种扩张方法, 更一般的情况下, 是应用改变其光滑度的方法. 当然, 这种方法的难度会随着我们对扩张条件的增多而增大.
对全纯函数而言, 扩张难度很大. 不但是因为全纯函数在其定义邻域内是不定可微的, 还因为它有些很难改变的特性. 例如, 存在定义在圆盘上的全纯函数, 它在这个圆盘的闭包上是连续的, 但是在任何包含圆盘的闭包的较大区域上可能不再连续 (也不解析) (这种现象将在问题 1 中讨论). 再如, 如果全纯函数在某个小开集 (甚至非零线段) 上变为零, 那么该函数恒等于零.
Schwarz 反射原理是一种简单的扩张现象, 其实用价值很高. 其证明由两部分组成, 首先是给出扩张定义, 然后再核实扩张出的函数是否是全纯的. 下面就从这两点出发.
令 \( \Omega \) 是 \( \mathbf{C} \) 中的开集,它关于实轴是对称的,也就是说当且仅当 \( \bar{z} \in \Omega \) 时 \( z \in \Omega \) . 用 \( {\Omega }^{ + } \) 表示 \( \Omega \) 在上半平面的部分, \( {\Omega }^{ - } \) 表示 \( \Omega \) 在下半平面的部分.
并且,令 \( I = \Omega \cap \mathbf{R} \) ,因此 \( I \) 就是 \( \Omega \)
图 11 关于实轴对称的开集
内部 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 的分界线,恰好在实轴上, 因此
\[
{\Omega }^{ + } \cup I \cup {\Omega }^{ - } = \Omega .
\]
下面的定理涉及的问题是 \( I \) 非空.
定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .
\]
那么函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ + }, \\ {f}^{ + }\left( z\right) = {f}^{ - }\left( z\right) & z \in I, \\ {f}^{ - }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ - } \end{matrix}\right.
\]
在整个 \( \Omega \) 上是全纯的.
证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \( T \) 的一个边或一个顶点落在 \( I \) 上,剩余的部分在上半圆盘中. 如果 \( {T}_{\varepsilon } \) 是将三角形 \( T \) 落在 \( I \) 上的边或点稍微提高得到的三角形周线 (见图 12a)),那么 \( {\int }_{{T}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . 然后令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) ,根据连续性推出
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
图 12
a) 提升顶点 b) 分割三角形
如果三角形周线 \( T \) 的内部经过 \( I \) ,可以通过分割三角形 (见图 12b)) 将问题转化成一条边或一个顶点落在 \( I \) 上的情况. 根据 Morera 定理可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的.
接下来, 用上面的符号来定义扩张原理.
定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) .
证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式
\[
F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}
\]
然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数
\[
f\left( \bar{z}\right) = \sum {a}_{n}{\left( \bar{z} - {\bar{z}}_{0}\right) }^{n}.
\]
因此
\[
F\left( z\right) = \sum {\bar{a}}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 而在 \( I \) 上, \( f \) 是实值函数, \( \overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) \) ,因此 \( F \) 在 \( I \) 上是连续的. 定理证毕.
## 5. 5 Runge 近似定理
根据 Weierstrass 定理可知, 任何定义在紧区间上的连续函数都可以由多项式一致近似 \( {}^{ \ominus } \) . 考虑到这个结果,在复分析中也会有类似的近似. 问题就在于: 当紧集 \( K \subset \mathbf{C} \) (复数集) 满足什么条件时,能保证全纯函数可以由 \( K \) 中的多项式函数一致近似呢?
首先以幂级数展开式为例. 我们知道,如果 \( f \) 是定义在圆盘 \( D \) 上的全纯函数, 那么它可以展成幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,此幂级数在每个紧子集 \( K \subset D \) 上都是一致收敛的. 根据幂级数的部分和可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 内的任何紧子集上都可以由多项式函数一致近似.
但是,更一般的, \( K \) 必须满足一定的条件,例如在单位圆周 \( K = C \) 上考虑函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) . 已知 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i} \) ,但是对任意多项式 \( p \) ,根据柯西定理 \( {\int }_{C}p\left( z\right) \mathrm{d}z = \) 0 . 如果多项式可以近似函数, 那就矛盾了.
要想满足近似条件,集合 \( K \) 就必须满足它的余拓扑: \( {K}^{c} \) 必须是连通的. 事实上,当 \( f\left( z\right) = 1/z \) 时,上面的例子只要稍微修正,集合 \( K \) 就满足条件了,见问题 4 .
相反的,如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么一致近似就是存在的,此结果来自 Runge 定理: 对任意集合 \( K \) 上的具有 “奇点” \( {}^{ \ominus } \) 的有理函数在 \( K \) 的余集上存在一致近似. 这个结论是值得注意的,因为有理函数是全局定义,而 \( f \) 仅仅是在 \( K \) 的某个邻域内给出的. 更特别地, \( f \) 的定义不依赖于集合 \( K \) 的构成,使得定理的推论更加显著.
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被多项式一致近似.
上述定理的第二点是指: 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么奇点可以被 “推” 到无穷远处, 因此有理函数就可以转变成多项式.
定理的关键就是积分表达公式, 这仅仅是正方形周线下的柯西积分公式的简单推论.
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{n}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
( 15 )
证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .
令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.
因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格
图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集
的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right.
\]
因此,对所有的 \( z \) 有
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 \( z \) \( \in K \) 但又不在 \( Q \) 中方格的边界线上,那么式
(15) 就能确定了. 因为 \( {\gamma }_{n} \in {K}^{c} \) ,连续性能保证对所有的 \( z \in K \) ,式 (15) 成立.
因此, 定理 5.7 的第一部分就成为下面引理的一个推论.
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证.
最后,因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,就可以将极点推到无穷大了. 因为每个仅以 \( {z}_{0} \) 为奇点的有理函数都是一个以 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 为项的多项式,这足以证明下面的引理,从而完全证明定理 5.7.
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z | 定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:\n\n( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.\n\n(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是连续的.\n\n那么,函数 \( f \) 定义为\n\n\[ f\left( z\right) = {\int }_{0}^{1}F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s, \]\n\n其在 \( \Omega \) 上是全纯的. | 证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和\n\n\[ {f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) . \]\n\n根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函数一定是一致连续的,所以,如果 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) 使得当 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) 时,\n\n\[ \mathop{\sup }\limits_{{z \in D}}\left| {F\left( {z,{s}_{1}}\right) - F\left( {z,{s}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon . \]\n\n那么,当 \( n > 1/\delta, z \in D \) 时,\n\n\[ \left| {{f}_{n}\left( z\right) - f\left( z\right) }\right| = \left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) \mathrm{d}s}\right| \]\n\n\[ \leq \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\int }_{\left( {k - 1}\right) /n}^{k/n}\left| {F\left( {z, k/n}\right) - F\left( {z, s}\right) }\right| \mathrm{d}s \]\n\n\[ < \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{\varepsilon }{n} \]\n\n\[ = \varepsilon \text{.} \]\n\n根据定理 5.2 推导出函数 \( f \) 在 \( D \) 上是全纯的. 从而推导出 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. |
定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .
\]
那么函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ + }, \\ {f}^{ + }\left( z\right) = {f}^{ - }\left( z\right) & z \in I, \\ {f}^{ - }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ - } \end{matrix}\right.
\]
在整个 \( \Omega \) 上是全纯的.
证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \( T \) 的一个边或一个顶点落在 \( I \) 上,剩余的部分在上半圆盘中. 如果 \( {T}_{\varepsilon } \) 是将三角形 \( T \) 落在 \( I \) 上的边或点稍微提高得到的三角形周线 (见图 12a)),那么 \( {\int }_{{T}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . 然后令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) ,根据连续性推出
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
图 12
a) 提升顶点 b) 分割三角形
如果三角形周线 \( T \) 的内部经过 \( I \) ,可以通过分割三角形 (见图 12b)) 将问题转化成一条边或一个顶点落在 \( I \) 上的情况. 根据 Morera 定理可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的.
接下来, 用上面的符号来定义扩张原理.
定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) .
证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式
\[
F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}
\]
然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数
\[
f\left( \bar{z}\right) = \sum {a}_{n}{\left( \bar{z} - {\bar{z}}_{0}\right) }^{n}.
\]
因此
\[
F\left( z\right) = \sum {\bar{a}}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 而在 \( I \) 上, \( f \) 是实值函数, \( \overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) \) ,因此 \( F \) 在 \( I \) 上是连续的. 定理证毕.
## 5. 5 Runge 近似定理
根据 Weierstrass 定理可知, 任何定义在紧区间上的连续函数都可以由多项式一致近似 \( {}^{ \ominus } \) . 考虑到这个结果,在复分析中也会有类似的近似. 问题就在于: 当紧集 \( K \subset \mathbf{C} \) (复数集) 满足什么条件时,能保证全纯函数可以由 \( K \) 中的多项式函数一致近似呢?
首先以幂级数展开式为例. 我们知道,如果 \( f \) 是定义在圆盘 \( D \) 上的全纯函数, 那么它可以展成幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,此幂级数在每个紧子集 \( K \subset D \) 上都是一致收敛的. 根据幂级数的部分和可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 内的任何紧子集上都可以由多项式函数一致近似.
但是,更一般的, \( K \) 必须满足一定的条件,例如在单位圆周 \( K = C \) 上考虑函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) . 已知 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i} \) ,但是对任意多项式 \( p \) ,根据柯西定理 \( {\int }_{C}p\left( z\right) \mathrm{d}z = \) 0 . 如果多项式可以近似函数, 那就矛盾了.
要想满足近似条件,集合 \( K \) 就必须满足它的余拓扑: \( {K}^{c} \) 必须是连通的. 事实上,当 \( f\left( z\right) = 1/z \) 时,上面的例子只要稍微修正,集合 \( K \) 就满足条件了,见问题 4 .
相反的,如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么一致近似就是存在的,此结果来自 Runge 定理: 对任意集合 \( K \) 上的具有 “奇点” \( {}^{ \ominus } \) 的有理函数在 \( K \) 的余集上存在一致近似. 这个结论是值得注意的,因为有理函数是全局定义,而 \( f \) 仅仅是在 \( K \) 的某个邻域内给出的. 更特别地, \( f \) 的定义不依赖于集合 \( K \) 的构成,使得定理的推论更加显著.
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被多项式一致近似.
上述定理的第二点是指: 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么奇点可以被 “推” 到无穷远处, 因此有理函数就可以转变成多项式.
定理的关键就是积分表达公式, 这仅仅是正方形周线下的柯西积分公式的简单推论.
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{n}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
( 15 )
证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .
令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.
因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格
图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集
的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right.
\]
因此,对所有的 \( z \) 有
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 \( z \) \( \in K \) 但又不在 \( Q \) 中方格的边界线上,那么式
(15) 就能确定了. 因为 \( {\gamma }_{n} \in {K}^{c} \) ,连续性能保证对所有的 \( z \in K \) ,式 (15) 成立.
因此, 定理 5.7 的第一部分就成为下面引理的一个推论.
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证.
最后,因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,就可以将极点推到无穷大了. 因为每个仅以 \( {z}_{0} \) 为奇点的有理函数都是一个以 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 为项的多项式,这足以证明下面的引理,从而完全证明定理 5.7.
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.
现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .
如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是
\[
\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}.
\]
并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.
总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了.
## 6 练习
1. 证明:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi }}{4}.
\]
这个积分称为 Fresnel 积分. 这里 \( {\int }_{0}^{+\infty } \) 是指 \( \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R} \) .
【提示: 函数 \( {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}} \) 在图 14 所示的路径上的积分,并利用 \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi } \) . 】
2. 证明: \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2} \) .
【提示: 积分等于 \( \frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} - 1}{x}\mathrm{\;d}x \) . 应用半圆形齿
图 14 练习 1 中的周线
轮周线. 1
3. 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x\text{ 和 }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( a > 0 \) . 通过求 \( {\mathrm{e}}^{-{Az}} \) 的积分, \( A = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \) , 适当的角度 \( \omega \) 使得 \( \cos \omega = a/A \) .
4. 对所有的 \( \xi \in \mathbf{C} \) (复数集),证明: \( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = \) \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x. \)
5. 假设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是连续复可微的, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 内. 根据格林定理得
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
如果再附加上 \( {f}^{\prime } \) 也是连续的这个条件,就能证明 Goursat 定理 | 定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有\n\n\[ \n{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .\n\]\n\n那么函数 \( f \) 定义为\n\n\[ \nf\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ + }, \\ {f}^{ + }\left( z\right) = {f}^{ - }\left( z\right) & z \in I, \\ {f}^{ - }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ - } \end{matrix}\right.\n\]\n在整个 \( \Omega \) 上是全纯的. | 证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么\n\n\[ \n{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,\n\]\n\n这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \( T \) 的一个边或一个顶点落在 \( I \) 上,剩余的部分在上半圆盘中. 如果 \( {T}_{\varepsilon } \) 是将三角形 \( T \) 落在 \( I \) 上的边或点稍微提高得到的三角形周线 (见图 12a)),那么 \( {\int }_{{T}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . 然后令 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) ,根据连续性推出\n\n\[ \n{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\n\]\n\n如果三角形周线 \( T \) 的内部经过 \( I \) ,可以通过分割三角形 (见图 12b)) 将问题转化成一条边或一个顶点落在 \( I \) 上的情况. 根据 Morera 定理可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. |
定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) .
证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式
\[
F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}
\]
然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数
\[
f\left( \bar{z}\right) = \sum {a}_{n}{\left( \bar{z} - {\bar{z}}_{0}\right) }^{n}.
\]
因此
\[
F\left( z\right) = \sum {\bar{a}}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 而在 \( I \) 上, \( f \) 是实值函数, \( \overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) \) ,因此 \( F \) 在 \( I \) 上是连续的. 定理证毕.
## 5. 5 Runge 近似定理
根据 Weierstrass 定理可知, 任何定义在紧区间上的连续函数都可以由多项式一致近似 \( {}^{ \ominus } \) . 考虑到这个结果,在复分析中也会有类似的近似. 问题就在于: 当紧集 \( K \subset \mathbf{C} \) (复数集) 满足什么条件时,能保证全纯函数可以由 \( K \) 中的多项式函数一致近似呢?
首先以幂级数展开式为例. 我们知道,如果 \( f \) 是定义在圆盘 \( D \) 上的全纯函数, 那么它可以展成幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,此幂级数在每个紧子集 \( K \subset D \) 上都是一致收敛的. 根据幂级数的部分和可以推断出 \( f \) 在圆盘 \( D \) 内的任何紧子集上都可以由多项式函数一致近似.
但是,更一般的, \( K \) 必须满足一定的条件,例如在单位圆周 \( K = C \) 上考虑函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) . 已知 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i} \) ,但是对任意多项式 \( p \) ,根据柯西定理 \( {\int }_{C}p\left( z\right) \mathrm{d}z = \) 0 . 如果多项式可以近似函数, 那就矛盾了.
要想满足近似条件,集合 \( K \) 就必须满足它的余拓扑: \( {K}^{c} \) 必须是连通的. 事实上,当 \( f\left( z\right) = 1/z \) 时,上面的例子只要稍微修正,集合 \( K \) 就满足条件了,见问题 4 .
相反的,如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么一致近似就是存在的,此结果来自 Runge 定理: 对任意集合 \( K \) 上的具有 “奇点” \( {}^{ \ominus } \) 的有理函数在 \( K \) 的余集上存在一致近似. 这个结论是值得注意的,因为有理函数是全局定义,而 \( f \) 仅仅是在 \( K \) 的某个邻域内给出的. 更特别地, \( f \) 的定义不依赖于集合 \( K \) 的构成,使得定理的推论更加显著.
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被多项式一致近似.
上述定理的第二点是指: 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么奇点可以被 “推” 到无穷远处, 因此有理函数就可以转变成多项式.
定理的关键就是积分表达公式, 这仅仅是正方形周线下的柯西积分公式的简单推论.
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{n}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
( 15 )
证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .
令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.
因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格
图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集
的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right.
\]
因此,对所有的 \( z \) 有
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 \( z \) \( \in K \) 但又不在 \( Q \) 中方格的边界线上,那么式
(15) 就能确定了. 因为 \( {\gamma }_{n} \in {K}^{c} \) ,连续性能保证对所有的 \( z \in K \) ,式 (15) 成立.
因此, 定理 5.7 的第一部分就成为下面引理的一个推论.
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证.
最后,因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,就可以将极点推到无穷大了. 因为每个仅以 \( {z}_{0} \) 为奇点的有理函数都是一个以 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 为项的多项式,这足以证明下面的引理,从而完全证明定理 5.7.
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.
现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .
如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是
\[
\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}.
\]
并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.
总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了.
## 6 练习
1. 证明:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi }}{4}.
\]
这个积分称为 Fresnel 积分. 这里 \( {\int }_{0}^{+\infty } \) 是指 \( \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R} \) .
【提示: 函数 \( {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}} \) 在图 14 所示的路径上的积分,并利用 \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi } \) . 】
2. 证明: \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2} \) .
【提示: 积分等于 \( \frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} - 1}{x}\mathrm{\;d}x \) . 应用半圆形齿
图 14 练习 1 中的周线
轮周线. 1
3. 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x\text{ 和 }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( a > 0 \) . 通过求 \( {\mathrm{e}}^{-{Az}} \) 的积分, \( A = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \) , 适当的角度 \( \omega \) 使得 \( \cos \omega = a/A \) .
4. 对所有的 \( \xi \in \mathbf{C} \) (复数集),证明: \( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = \) \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x. \)
5. 假设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是连续复可微的, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 内. 根据格林定理得
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
如果再附加上 \( {f}^{\prime } \) 也是连续的这个条件,就能证明 Goursat 定理.
【提示: 格林定理指的是,如果 \( \left( {F, G}\right) \) 是连续可微的向量,那么
\[
{\int }_{T}F\mathrm{\;d}x + G\mathrm{\;d}y = {\int }_{T\text{ 的内部 }}\left( {\frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.
\]
\( F, G \) 满足柯西-黎曼方程. 1
6. \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开子集, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,且其内部也包含在 \( \Omega \) 中. 假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上除了周线 \( T \) 内部的某点 \( w \) 外都解析. 证明: 如果 \( f \) 在 \( w \) 附近有界, 那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
7. 假设 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) (复数集) 是全纯的,证明: 函数 \( f \) 的象的直径 \( d = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in D}} \) \( \left| {f\left( z\right) - f\left( w\right) }\right| \) 满足
\[
2\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \leq d.
\]
而且,当 \( f \) 是线性的,即 \( f\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z \) 时,等号成立.
注意: 与此结果相关的, 观察曲线的直径和本书第一册第 4 章问题 1 中描述的傅里叶级数之间的关系.
【提示: 当 \( 0 < r < 1 \) 时, \( 2{f}^{\prime }\left( 0\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| \zeta \right| = r}\frac{f\left( \zeta \right) - f\left( {-\zeta }\right) }{{\zeta }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta \) . ]
8. 如果函数 \( f \) 在带形区域 \( - 1 < y < 1, x \in \mathbf{R} \) 上是全纯的,则带形区域上所有的 \( z \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{\eta },
\]
其中 \( \eta \) 是给定的常数. 证明: 对任意阶数 \( n \geq 0 \) ,总存在 \( {A}_{n} \geq 0 \) ,则对所有 \( x \in \math | 定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) . | 证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式\n\n\[ F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}\]\n\n然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数\n\n\[ f\left( \bar{z}\right) = \sum {a}_{n}{\left( \bar{z} - {\bar{z}}_{0}\right) }^{n}.\]\n因此\n\n\[ F\left( z\right) = \sum {\bar{a}}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}\]\n\n在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 而在 \( I \) 上, \( f \) 是实值函数, \( \overline{f\left( x\right) } = f\left( x\right) \) ,因此 \( F \) 在 \( I \) 上是连续的. 定理证毕. |
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被多项式一致近似.
上述定理的第二点是指: 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么奇点可以被 “推” 到无穷远处, 因此有理函数就可以转变成多项式.
定理的关键就是积分表达公式, 这仅仅是正方形周线下的柯西积分公式的简单推论.
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{n}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
( 15 )
证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .
令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.
因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格
图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集
的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right.
\]
因此,对所有的 \( z \) 有
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 \( z \) \( \in K \) 但又不在 \( Q \) 中方格的边界线上,那么式
(15) 就能确定了. 因为 \( {\gamma }_{n} \in {K}^{c} \) ,连续性能保证对所有的 \( z \in K \) ,式 (15) 成立.
因此, 定理 5.7 的第一部分就成为下面引理的一个推论.
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证.
最后,因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,就可以将极点推到无穷大了. 因为每个仅以 \( {z}_{0} \) 为奇点的有理函数都是一个以 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 为项的多项式,这足以证明下面的引理,从而完全证明定理 5.7.
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.
现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .
如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是
\[
\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}.
\]
并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.
总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了.
## 6 练习
1. 证明:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi }}{4}.
\]
这个积分称为 Fresnel 积分. 这里 \( {\int }_{0}^{+\infty } \) 是指 \( \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R} \) .
【提示: 函数 \( {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}} \) 在图 14 所示的路径上的积分,并利用 \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi } \) . 】
2. 证明: \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2} \) .
【提示: 积分等于 \( \frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} - 1}{x}\mathrm{\;d}x \) . 应用半圆形齿
图 14 练习 1 中的周线
轮周线. 1
3. 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x\text{ 和 }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( a > 0 \) . 通过求 \( {\mathrm{e}}^{-{Az}} \) 的积分, \( A = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \) , 适当的角度 \( \omega \) 使得 \( \cos \omega = a/A \) .
4. 对所有的 \( \xi \in \mathbf{C} \) (复数集),证明: \( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = \) \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x. \)
5. 假设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是连续复可微的, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 内. 根据格林定理得
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
如果再附加上 \( {f}^{\prime } \) 也是连续的这个条件,就能证明 Goursat 定理.
【提示: 格林定理指的是,如果 \( \left( {F, G}\right) \) 是连续可微的向量,那么
\[
{\int }_{T}F\mathrm{\;d}x + G\mathrm{\;d}y = {\int }_{T\text{ 的内部 }}\left( {\frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.
\]
\( F, G \) 满足柯西-黎曼方程. 1
6. \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开子集, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,且其内部也包含在 \( \Omega \) 中. 假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上除了周线 \( T \) 内部的某点 \( w \) 外都解析. 证明: 如果 \( f \) 在 \( w \) 附近有界, 那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
7. 假设 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) (复数集) 是全纯的,证明: 函数 \( f \) 的象的直径 \( d = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in D}} \) \( \left| {f\left( z\right) - f\left( w\right) }\right| \) 满足
\[
2\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \leq d.
\]
而且,当 \( f \) 是线性的,即 \( f\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z \) 时,等号成立.
注意: 与此结果相关的, 观察曲线的直径和本书第一册第 4 章问题 1 中描述的傅里叶级数之间的关系.
【提示: 当 \( 0 < r < 1 \) 时, \( 2{f}^{\prime }\left( 0\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| \zeta \right| = r}\frac{f\left( \zeta \right) - f\left( {-\zeta }\right) }{{\zeta }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta \) . ]
8. 如果函数 \( f \) 在带形区域 \( - 1 < y < 1, x \in \mathbf{R} \) 上是全纯的,则带形区域上所有的 \( z \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{\eta },
\]
其中 \( \eta \) 是给定的常数. 证明: 对任意阶数 \( n \geq 0 \) ,总存在 \( {A}_{n} \geq 0 \) ,则对所有 \( x \in \mathbf{R} \) 有
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) }\right| \leq {A}_{n}{\left( 1 + \left| x\right| \right) }^{\eta }.
\]
【提示: 应用柯西不等式. 】
9. 若 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的有界开子集,并且 \( \varphi : \Omega \rightarrow \Omega \) 是全纯函数. 证明: 如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得
\[
\varphi \left( {z}_{0}\right) = {z}_{0},{\varphi }^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = 1,
\]
那么函数 \( \varphi \) 是线性的.
【提示: 为什么可以假设 \( {z}_{0} = 0 \) ? 在零点展开 \( \varphi \left( z\right) = z + {a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 证明如果 \( {\varphi }_{k} = \varphi \cdots \circ \varphi \left( {\varphi \text{的}k\text{次复合}}\right) \) ,那么, \( {\varphi }_{k}\left( z\right) = z + k{a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 应用柯西不等式,当 \( k \rightarrow + \infty \) 时得证. 这里应用了同阶符号 \( O \) ,当 \( z \rightarrow 0 \) 时, \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 是指当 \( \left| z\right| \rightarrow 0 \) 时,存在常数 \( C \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . ]
10. Weierstrass 定理表明,区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数可以由多项式一致近似. 是否每一个连续函数在闭的单位圆盘上都能由关于变量 \( z \) 的多项式函数一致近似?
11. \( f \) 是定义在以原点为中心 \( {R}_{0} \) 为半径的圆盘 \( {D}_{{R}_{0}} \) 上的全纯函数.
(a) 证明: 只要 \( 0 < R < {R}_{0},\;\left| z\right| < R \) ,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }}\right) \operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } + z}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } - z}\right) \mathrm{d}\varphi .
\]
(b) 证明:
\[
\operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } + r}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } - r}\right) = \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \gamma + {r}^{2}}.
\]
【提示: 对第一部分而言,注意到如果 \( w = {R}^{2}/\bar{z} \) ,那么函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - w}\right) \) 在以原点为中心, \( R \) 为半径的圆周上的积分为零. 据此,再加上一般的柯西积分公式即可证明. 1
12. 令 | 定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内. | 证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .\n\n令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.\n\n因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格\n\n\n\n图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集\n\n的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着\n\n\[ \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right. \]\n\n因此,对所有的 \( z \) 有\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta . \]\n\n如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 |
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{n}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
( 15 )
证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .
令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.
因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格
图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集
的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right.
\]
因此,对所有的 \( z \) 有
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 \( z \) \( \in K \) 但又不在 \( Q \) 中方格的边界线上,那么式
(15) 就能确定了. 因为 \( {\gamma }_{n} \in {K}^{c} \) ,连续性能保证对所有的 \( z \in K \) ,式 (15) 成立.
因此, 定理 5.7 的第一部分就成为下面引理的一个推论.
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证.
最后,因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,就可以将极点推到无穷大了. 因为每个仅以 \( {z}_{0} \) 为奇点的有理函数都是一个以 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 为项的多项式,这足以证明下面的引理,从而完全证明定理 5.7.
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.
现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .
如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是
\[
\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}.
\]
并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.
总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了.
## 6 练习
1. 证明:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi }}{4}.
\]
这个积分称为 Fresnel 积分. 这里 \( {\int }_{0}^{+\infty } \) 是指 \( \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R} \) .
【提示: 函数 \( {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}} \) 在图 14 所示的路径上的积分,并利用 \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi } \) . 】
2. 证明: \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2} \) .
【提示: 积分等于 \( \frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} - 1}{x}\mathrm{\;d}x \) . 应用半圆形齿
图 14 练习 1 中的周线
轮周线. 1
3. 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x\text{ 和 }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( a > 0 \) . 通过求 \( {\mathrm{e}}^{-{Az}} \) 的积分, \( A = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \) , 适当的角度 \( \omega \) 使得 \( \cos \omega = a/A \) .
4. 对所有的 \( \xi \in \mathbf{C} \) (复数集),证明: \( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = \) \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x. \)
5. 假设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是连续复可微的, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 内. 根据格林定理得
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
如果再附加上 \( {f}^{\prime } \) 也是连续的这个条件,就能证明 Goursat 定理.
【提示: 格林定理指的是,如果 \( \left( {F, G}\right) \) 是连续可微的向量,那么
\[
{\int }_{T}F\mathrm{\;d}x + G\mathrm{\;d}y = {\int }_{T\text{ 的内部 }}\left( {\frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.
\]
\( F, G \) 满足柯西-黎曼方程. 1
6. \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开子集, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,且其内部也包含在 \( \Omega \) 中. 假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上除了周线 \( T \) 内部的某点 \( w \) 外都解析. 证明: 如果 \( f \) 在 \( w \) 附近有界, 那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
7. 假设 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) (复数集) 是全纯的,证明: 函数 \( f \) 的象的直径 \( d = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in D}} \) \( \left| {f\left( z\right) - f\left( w\right) }\right| \) 满足
\[
2\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \leq d.
\]
而且,当 \( f \) 是线性的,即 \( f\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z \) 时,等号成立.
注意: 与此结果相关的, 观察曲线的直径和本书第一册第 4 章问题 1 中描述的傅里叶级数之间的关系.
【提示: 当 \( 0 < r < 1 \) 时, \( 2{f}^{\prime }\left( 0\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| \zeta \right| = r}\frac{f\left( \zeta \right) - f\left( {-\zeta }\right) }{{\zeta }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta \) . ]
8. 如果函数 \( f \) 在带形区域 \( - 1 < y < 1, x \in \mathbf{R} \) 上是全纯的,则带形区域上所有的 \( z \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{\eta },
\]
其中 \( \eta \) 是给定的常数. 证明: 对任意阶数 \( n \geq 0 \) ,总存在 \( {A}_{n} \geq 0 \) ,则对所有 \( x \in \mathbf{R} \) 有
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) }\right| \leq {A}_{n}{\left( 1 + \left| x\right| \right) }^{\eta }.
\]
【提示: 应用柯西不等式. 】
9. 若 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的有界开子集,并且 \( \varphi : \Omega \rightarrow \Omega \) 是全纯函数. 证明: 如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得
\[
\varphi \left( {z}_{0}\right) = {z}_{0},{\varphi }^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = 1,
\]
那么函数 \( \varphi \) 是线性的.
【提示: 为什么可以假设 \( {z}_{0} = 0 \) ? 在零点展开 \( \varphi \left( z\right) = z + {a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 证明如果 \( {\varphi }_{k} = \varphi \cdots \circ \varphi \left( {\varphi \text{的}k\text{次复合}}\right) \) ,那么, \( {\varphi }_{k}\left( z\right) = z + k{a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 应用柯西不等式,当 \( k \rightarrow + \infty \) 时得证. 这里应用了同阶符号 \( O \) ,当 \( z \rightarrow 0 \) 时, \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 是指当 \( \left| z\right| \rightarrow 0 \) 时,存在常数 \( C \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . ]
10. Weierstrass 定理表明,区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数可以由多项式一致近似. 是否每一个连续函数在闭的单位圆盘上都能由关于变量 \( z \) 的多项式函数一致近似?
11. \( f \) 是定义在以原点为中心 \( {R}_{0} \) 为半径的圆盘 \( {D}_{{R}_{0}} \) 上的全纯函数.
(a) 证明: 只要 \( 0 < R < {R}_{0},\;\left| z\right| < R \) ,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }}\right) \operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } + z}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } - z}\right) \mathrm{d}\varphi .
\]
(b) 证明:
\[
\operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } + r}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } - r}\right) = \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \gamma + {r}^{2}}.
\]
【提示: 对第一部分而言,注意到如果 \( w = {R}^{2}/\bar{z} \) ,那么函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - w}\right) \) 在以原点为中心, \( R \) 为半径的圆周上的积分为零. 据此,再加上一般的柯西积分公式即可证明. 1
12. 令 \( u \) 是定义在单位圆盘 \( D \) 内的实值函数. 假设 \( u \) 是二次连续可微的,并且是调和的,那么对任意点 \( \left( {x, y}\right) \in D \) ,满足
\[
{\Delta u}\left( {x, y}\right) = 0.
\]
(a) 证明: 在单位圆盘上存在全纯函数 \( f \) 使得
\[
\operatorname{Re}\left( f\right) = u.
\]
并且证明 \( f \) 的虚部是确定的,最多差一个实常数.
【提示: 根据上一章的内容, \( | 引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有\n\n--- | 证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .\n\n令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 表示 \( Q \) 中那些不属于两个相邻方格的公共边的方格的边 (见图 13 中的黑实线). 选择 \( d \) 使得对每一个 \( n,{\gamma }_{n} \subset \Omega \) ,并且 \( {\gamma }_{n} \) 不能覆盖集合 \( K \) ; 如果能够覆盖,那么 \( {\gamma }_{n} \) 属于 \( Q \) 中两个相邻方格,但这与 \( {\gamma }_{n} \) 的选择矛盾.\n\n因此,对任意 \( z \in K \) ,只要 \( z \) 不在 \( Q \) 中方格\n\n\n\n图 13 黑实线表示 \( {\gamma }_{n} \) 的并集\n\n的边界线上,就一定存在 \( j \) 使得 \( z \in {Q}_{j} \) ,柯西定理就意味着\n\n\[ \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = \left\{ \begin{matrix} f\left( z\right) & m = j, \\ 0 & m \neq j. \end{matrix}\right. \]\n\n因此,对所有的 \( z \) 有\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{M}\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\partial {Q}_{m}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta . \]\n\n如果 \( {Q}_{m} \) 和 \( {Q}_{m}^{\prime } \) 相邻,它们的公共边上的积分两个方向都有,就会相互抵消. 因此,如果 \( z \) \( \in K \) 但又不在 \( Q \) 中方格的边界线上,那么式\n\n(15) 就能确定了. 因为 \( {\gamma }_{n} \in {K}^{c} \) ,连续性能保证对所有的 \( z \in K \) ,式 (15) 成立. |
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon .
\]
根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证.
最后,因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,就可以将极点推到无穷大了. 因为每个仅以 \( {z}_{0} \) 为奇点的有理函数都是一个以 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 为项的多项式,这足以证明下面的引理,从而完全证明定理 5.7.
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.
现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .
如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是
\[
\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}.
\]
并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.
总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了.
## 6 练习
1. 证明:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi }}{4}.
\]
这个积分称为 Fresnel 积分. 这里 \( {\int }_{0}^{+\infty } \) 是指 \( \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R} \) .
【提示: 函数 \( {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}} \) 在图 14 所示的路径上的积分,并利用 \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi } \) . 】
2. 证明: \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2} \) .
【提示: 积分等于 \( \frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} - 1}{x}\mathrm{\;d}x \) . 应用半圆形齿
图 14 练习 1 中的周线
轮周线. 1
3. 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x\text{ 和 }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( a > 0 \) . 通过求 \( {\mathrm{e}}^{-{Az}} \) 的积分, \( A = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \) , 适当的角度 \( \omega \) 使得 \( \cos \omega = a/A \) .
4. 对所有的 \( \xi \in \mathbf{C} \) (复数集),证明: \( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = \) \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x. \)
5. 假设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是连续复可微的, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 内. 根据格林定理得
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
如果再附加上 \( {f}^{\prime } \) 也是连续的这个条件,就能证明 Goursat 定理.
【提示: 格林定理指的是,如果 \( \left( {F, G}\right) \) 是连续可微的向量,那么
\[
{\int }_{T}F\mathrm{\;d}x + G\mathrm{\;d}y = {\int }_{T\text{ 的内部 }}\left( {\frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.
\]
\( F, G \) 满足柯西-黎曼方程. 1
6. \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开子集, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,且其内部也包含在 \( \Omega \) 中. 假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上除了周线 \( T \) 内部的某点 \( w \) 外都解析. 证明: 如果 \( f \) 在 \( w \) 附近有界, 那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
7. 假设 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) (复数集) 是全纯的,证明: 函数 \( f \) 的象的直径 \( d = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in D}} \) \( \left| {f\left( z\right) - f\left( w\right) }\right| \) 满足
\[
2\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \leq d.
\]
而且,当 \( f \) 是线性的,即 \( f\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z \) 时,等号成立.
注意: 与此结果相关的, 观察曲线的直径和本书第一册第 4 章问题 1 中描述的傅里叶级数之间的关系.
【提示: 当 \( 0 < r < 1 \) 时, \( 2{f}^{\prime }\left( 0\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| \zeta \right| = r}\frac{f\left( \zeta \right) - f\left( {-\zeta }\right) }{{\zeta }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta \) . ]
8. 如果函数 \( f \) 在带形区域 \( - 1 < y < 1, x \in \mathbf{R} \) 上是全纯的,则带形区域上所有的 \( z \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{\eta },
\]
其中 \( \eta \) 是给定的常数. 证明: 对任意阶数 \( n \geq 0 \) ,总存在 \( {A}_{n} \geq 0 \) ,则对所有 \( x \in \mathbf{R} \) 有
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) }\right| \leq {A}_{n}{\left( 1 + \left| x\right| \right) }^{\eta }.
\]
【提示: 应用柯西不等式. 】
9. 若 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的有界开子集,并且 \( \varphi : \Omega \rightarrow \Omega \) 是全纯函数. 证明: 如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得
\[
\varphi \left( {z}_{0}\right) = {z}_{0},{\varphi }^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = 1,
\]
那么函数 \( \varphi \) 是线性的.
【提示: 为什么可以假设 \( {z}_{0} = 0 \) ? 在零点展开 \( \varphi \left( z\right) = z + {a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 证明如果 \( {\varphi }_{k} = \varphi \cdots \circ \varphi \left( {\varphi \text{的}k\text{次复合}}\right) \) ,那么, \( {\varphi }_{k}\left( z\right) = z + k{a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 应用柯西不等式,当 \( k \rightarrow + \infty \) 时得证. 这里应用了同阶符号 \( O \) ,当 \( z \rightarrow 0 \) 时, \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 是指当 \( \left| z\right| \rightarrow 0 \) 时,存在常数 \( C \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . ]
10. Weierstrass 定理表明,区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数可以由多项式一致近似. 是否每一个连续函数在闭的单位圆盘上都能由关于变量 \( z \) 的多项式函数一致近似?
11. \( f \) 是定义在以原点为中心 \( {R}_{0} \) 为半径的圆盘 \( {D}_{{R}_{0}} \) 上的全纯函数.
(a) 证明: 只要 \( 0 < R < {R}_{0},\;\left| z\right| < R \) ,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }}\right) \operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } + z}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } - z}\right) \mathrm{d}\varphi .
\]
(b) 证明:
\[
\operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } + r}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } - r}\right) = \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \gamma + {r}^{2}}.
\]
【提示: 对第一部分而言,注意到如果 \( w = {R}^{2}/\bar{z} \) ,那么函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - w}\right) \) 在以原点为中心, \( R \) 为半径的圆周上的积分为零. 据此,再加上一般的柯西积分公式即可证明. 1
12. 令 \( u \) 是定义在单位圆盘 \( D \) 内的实值函数. 假设 \( u \) 是二次连续可微的,并且是调和的,那么对任意点 \( \left( {x, y}\right) \in D \) ,满足
\[
{\Delta u}\left( {x, y}\right) = 0.
\]
(a) 证明: 在单位圆盘上存在全纯函数 \( f \) 使得
\[
\operatorname{Re}\left( f\right) = u.
\]
并且证明 \( f \) 的虚部是确定的,最多差一个实常数.
【提示: 根据上一章的内容, \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 2\partial u/\partial z \) . 因此,令 \( g\left( z\right) = 2\partial u/\partial z \) ,并证明 \( g \) 是全纯的. 找出函数 \( F \) ,使得 \( {F}^{\prime } = g \) ,证明 \( \operatorname{Re}\left( F\right) \) 与 \( u \) 仅差一个常数. ]
(b) 根据这个结果和练习 11, 由柯西积分公式得到泊松积分表达公式: 如果在单位圆盘中 \( u \) 是调和的,并且在单位圆盘的闭包中连续,那么,如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,则
\[
u\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{P}_{r}\left( {\theta - \varphi }\right) u\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\right) \mathrm{d}\varphi ,
\]
其中, \( {P}_{r}\left( \gamma \right) \) 称为泊松核,在单位圆盘中定义为
\[
{P}_{r}\left( \gamma \right) = \frac{1 - {r}^{2}}{1 - {2r}\cos \gamma + {r}^{2}}.
\]
13. 假设 \( f \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上解析,如果对任意的 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,其展开式
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{c}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
中的系数至少有一个等于 0,证明: \( f \) 是多项式.
【提示: 根据 \( {c}_{n}n! = {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) ,并应用可列性. 】
14. 假设 \( f \) 在包含闭单位圆盘的开集中除了它在单位圆盘中的极点 \( {z}_{0} \) 之外,都是全纯的. 试证: 如果
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
是函数 \( f \) 在开的单位圆盘中展成的幂级数,那么
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{a}_{n}}{{a}_{n + 1}} = {z}_{0}.
\]
15. 假设函数 \( f \) 在 \( \bar{D} \) 上非零连续,在 \( D \) 上全纯. 证明: 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时,
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| = 1,
\]
那么 \( f \) 是常数.
【提示: 当 \( \left| z\right| > 1 \) 时,用 \( f\left( z\right) = 1/\overline{f\left( {1/\bar{z}}\right) } \) 将函数 \( f \) 扩张到整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上,再讨论 Schwarz 反射原理. ]
## 7 问题
1. 这里有些例子, 是关于函数在单位圆盘内解析, 但在圆周上可能不解析. 给出下面的定义, \( f \) 在单位圆盘 \( D \) 上是解析的, \( D \) 的边界圆周记为 \( C \) . 点 \( w \) 在圆周 \( C \) 上,若存在函数 \( g \) ,在 \( w \) 的开邻域 \( U \) 内解析,使得在 \( D \cap U \) 上有 \( f = g \) ,那么点 \( w \) 对函数 \( f \) 是正则的. 如果函数 \( f \) 在圆周 \( C \) 上没有正则点,那么函数 \( f \) 在圆周 \( C \) 上不再解析.
(a) 对 \( | 引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数, 可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) . | 证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( t\right) \mathrm{d}t. \n\] \n\n因为 \( \gamma \) 与 \( K \) 不相交,最后的积分中的被积函数 \( F\left( {z, t}\right) \) 在 \( K \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是联合连续的,因为 \( K \) 是紧集,任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,当 \( \left| {{t}_{1} - {t}_{2}}\right| < \delta \) 时,有\n\n\[ \n\mathop{\sup }\limits_{{z \in K}}\left| {F\left( {z,{t}_{1}}\right) - F\left( {z,{t}_{2}}\right) }\right| < \varepsilon . \n\] \n\n根据定理 5.4 的证明,在 \( K \) 上可以用黎曼和近似积分 \( {\int }_{0}^{1}F\left( {z, t}\right) \mathrm{d}t \) . 因为黎曼和的每一项都是一个奇点在 \( \gamma \) 上的有理函数,引理得证. |
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}},
\]
这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.
现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .
如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是
\[
\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}.
\]
并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.
总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了.
## 6 练习
1. 证明:
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\sin \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = {\int }_{0}^{+\infty }\cos \left( {x}^{2}\right) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi }}{4}.
\]
这个积分称为 Fresnel 积分. 这里 \( {\int }_{0}^{+\infty } \) 是指 \( \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R} \) .
【提示: 函数 \( {\mathrm{e}}^{-{z}^{2}} \) 在图 14 所示的路径上的积分,并利用 \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi } \) . 】
2. 证明: \( {\int }_{0}^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2} \) .
【提示: 积分等于 \( \frac{1}{2\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x} - 1}{x}\mathrm{\;d}x \) . 应用半圆形齿
图 14 练习 1 中的周线
轮周线. 1
3. 计算积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\cos {bx}\mathrm{\;d}x\text{ 和 }{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{ax}}\sin {bx}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( a > 0 \) . 通过求 \( {\mathrm{e}}^{-{Az}} \) 的积分, \( A = \sqrt{{a}^{2} + {b}^{2}} \) , 适当的角度 \( \omega \) 使得 \( \cos \omega = a/A \) .
4. 对所有的 \( \xi \in \mathbf{C} \) (复数集),证明: \( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}} = \) \( {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x. \)
5. 假设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是连续复可微的, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 内. 根据格林定理得
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
如果再附加上 \( {f}^{\prime } \) 也是连续的这个条件,就能证明 Goursat 定理.
【提示: 格林定理指的是,如果 \( \left( {F, G}\right) \) 是连续可微的向量,那么
\[
{\int }_{T}F\mathrm{\;d}x + G\mathrm{\;d}y = {\int }_{T\text{ 的内部 }}\left( {\frac{\partial G}{\partial x} - \frac{\partial F}{\partial y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y.
\]
\( F, G \) 满足柯西-黎曼方程. 1
6. \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开子集, \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,且其内部也包含在 \( \Omega \) 中. 假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上除了周线 \( T \) 内部的某点 \( w \) 外都解析. 证明: 如果 \( f \) 在 \( w \) 附近有界, 那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
7. 假设 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) (复数集) 是全纯的,证明: 函数 \( f \) 的象的直径 \( d = \mathop{\sup }\limits_{{z, w \in D}} \) \( \left| {f\left( z\right) - f\left( w\right) }\right| \) 满足
\[
2\left| {{f}^{\prime }\left( 0\right) }\right| \leq d.
\]
而且,当 \( f \) 是线性的,即 \( f\left( z\right) = {a}_{0} + {a}_{1}z \) 时,等号成立.
注意: 与此结果相关的, 观察曲线的直径和本书第一册第 4 章问题 1 中描述的傅里叶级数之间的关系.
【提示: 当 \( 0 < r < 1 \) 时, \( 2{f}^{\prime }\left( 0\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| \zeta \right| = r}\frac{f\left( \zeta \right) - f\left( {-\zeta }\right) }{{\zeta }^{2}}\mathrm{\;d}\zeta \) . ]
8. 如果函数 \( f \) 在带形区域 \( - 1 < y < 1, x \in \mathbf{R} \) 上是全纯的,则带形区域上所有的 \( z \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left( 1 + \left| z\right| \right) }^{\eta },
\]
其中 \( \eta \) 是给定的常数. 证明: 对任意阶数 \( n \geq 0 \) ,总存在 \( {A}_{n} \geq 0 \) ,则对所有 \( x \in \mathbf{R} \) 有
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( x\right) }\right| \leq {A}_{n}{\left( 1 + \left| x\right| \right) }^{\eta }.
\]
【提示: 应用柯西不等式. 】
9. 若 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的有界开子集,并且 \( \varphi : \Omega \rightarrow \Omega \) 是全纯函数. 证明: 如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得
\[
\varphi \left( {z}_{0}\right) = {z}_{0},{\varphi }^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = 1,
\]
那么函数 \( \varphi \) 是线性的.
【提示: 为什么可以假设 \( {z}_{0} = 0 \) ? 在零点展开 \( \varphi \left( z\right) = z + {a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 证明如果 \( {\varphi }_{k} = \varphi \cdots \circ \varphi \left( {\varphi \text{的}k\text{次复合}}\right) \) ,那么, \( {\varphi }_{k}\left( z\right) = z + k{a}_{n}{z}^{n} + O\left( {z}^{n + 1}\right) \) . 应用柯西不等式,当 \( k \rightarrow + \infty \) 时得证. 这里应用了同阶符号 \( O \) ,当 \( z \rightarrow 0 \) 时, \( f\left( z\right) = O\left( {g\left( z\right) }\right) \) 是指当 \( \left| z\right| \rightarrow 0 \) 时,存在常数 \( C \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq C\left| {g\left( z\right) }\right| \) . ]
10. Weierstrass 定理表明,区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续函数可以由多项式一致近似. 是否每一个连续函数在闭的单位圆盘上都能由关于变量 \( z \) 的多项式函数一致近似?
11. \( f \) 是定义在以原点为中心 \( {R}_{0} \) 为半径的圆盘 \( {D}_{{R}_{0}} \) 上的全纯函数.
(a) 证明: 只要 \( 0 < R < {R}_{0},\;\left| z\right| < R \) ,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }}\right) \operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } + z}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } - z}\right) \mathrm{d}\varphi .
\]
(b) 证明:
\[
\operatorname{Re}\left( \frac{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } + r}{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma } - r}\right) = \frac{{R}^{2} - {r}^{2}}{{R}^{2} - {2Rr}\cos \gamma + {r}^{2}}.
\]
【提示: 对第一部分而言,注意到如果 \( w = {R}^{2}/\bar{z} \) ,那么函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - w}\right) \) 在以原点为中心, \( R \) 为半径的圆周上的积分为零. 据此,再加上一般的柯西积分公式即可证明. 1
12. 令 \( u \) 是定义在单位圆盘 \( D \) 内的实值函数. 假设 \( u \) 是二次连续可微的,并且是调和的,那么对任意点 \( \left( {x, y}\right) \in D \) ,满足
\[
{\Delta u}\left( {x, y}\right) = 0.
\]
(a) 证明: 在单位圆盘上存在全纯函数 \( f \) 使得
\[
\operatorname{Re}\left( f\right) = u.
\]
并且证明 \( f \) 的虚部是确定的,最多差一个实常数.
【提示: 根据上一章的内容, \( {f}^{\prime }\left( z\right) = 2\partial u/\partial z \) . 因此,令 \( g\left( z\right) = 2\partial u/\partial z \) ,并证明 \( g \) 是全纯的. 找出函数 \( F \) ,使得 \( {F}^{\prime } = g \) ,证明 \( \operatorname{Re}\left( F\right) \) 与 \( u \) 仅差一个常数. ]
(b) 根据这个结果和练习 11, 由柯西积分公式得到泊松积分表达公式: 如果在单位圆盘中 \( u \) 是调和的,并且在单位圆盘的闭包中连续,那么,如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,则
\[
u\left( z\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{P}_{r}\left( {\theta - \varphi }\right) u\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\right) \mathrm{d}\varphi ,
\]
其中, \( {P}_{r}\left( \gamma \right) \) 称为泊松核,在单位圆盘中定义为
\[
{P}_{r}\left( \gamma \right) = \frac{1 - {r}^{2}}{1 - {2r}\cos \gamma + {r}^{2}}.
\]
13. 假设 \( f \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上解析,如果对任意的 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,其展开式
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{c}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}
\]
中的系数至少有一个等于 0,证明: \( f \) 是多项式.
【提示: 根据 \( {c}_{n}n! = {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) ,并应用可列性. 】
14. 假设 \( f \) 在包含闭单位圆盘的开集中除了它在单位圆盘中的极点 \( {z}_{0} \) 之外,都是全纯的. 试证: 如果
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}
\]
是函数 \( f \) 在开的单位圆盘中展成的幂级数,那么
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{{a}_{n}}{{a}_{n + 1}} = {z}_{0}.
\]
15. 假设函数 \( f \) 在 \( \bar{D} \) 上非零连续,在 \( D \) 上全纯. 证明: 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时,
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| = 1,
\]
那么 \( f \) 是常数.
【提示: 当 \( \left| z\right| > 1 \) 时,用 \( f\left( z\right) = 1/\overline{f\left( {1/\bar{z}}\right) } \) 将函数 \( f \) 扩张到整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上,再讨论 Schwarz 反射原理. ]
## 7 问题
1. 这里有些例子, 是关于函数在单位圆盘内解析, 但在圆周上可能不解析. 给出下面的定义, \( f \) 在单位圆盘 \( D \) 上是解析的, \( D \) 的边界圆周记为 \( C \) . 点 \( w \) 在圆周 \( C \) 上,若存在函数 \( g \) ,在 \( w \) 的开邻域 \( U \) 内解析,使得在 \( D \cap U \) 上有 \( f = g \) ,那么点 \( w \) 对函数 \( f \) 是正则的. 如果函数 \( f \) 在圆周 \( C \) 上没有正则点,那么函数 \( f \) 在圆周 \( C \) 上不再解析.
(a) 对 \( \left| z\right| < 1 \) ,令
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{z}^{{2}^{n}}.
\]
注意,上面级数的收敛半径为 1 . 试证: 函数 \( f \) 在单位圆周外不再解析.
【提示: 假设 \( \theta = {2\pi p}/{2}^{k} \) ,其中 \( k \) 和 \( p \) 都是正整数. 令 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,那么当 \( r \rightarrow 1 \) 时, \( \left| {f\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \rightarrow + \infty \) . ]
(b) * 取定 \( 0 < \alpha < + \infty \) . 当 \( \left| z\right| < 1 \) 时,解析函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{n\alpha }}{z}^{{2}^{n}},
\]
证明: 函数 \( f \) 在单位圆周上仍然解析,但是在圆周外不再解析. 【在此背景下隐藏着一个任何地方都不可微的函数. 见本书第一册第 4 章. ]
2. * 对 \( \left| z\right| < 1 \) ,令
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}d\left( n\right) {z}^{n},
\]
其中, \( d\left( n\right) \) 表示因子数目为 \( n \) . 观察到此级数的收敛半径为 1 . 满足等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}d\left( n\right) {z}^{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{z}^{n}}{1 - {z}^{n}}.
\]
利用这个等式证明: 如果 \( z = r,0 < r < 1 \) ,那么当 \( r \rightarrow 1 \) 时,
\[
\left| {F\left( r\right) }\right| \geq c\frac{1}{1 - r}\log \left( {1/\left( {1 - r}\r | 引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似. | 证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么\n\n\[ \n\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}}, \n\]\n\n这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 的一致近似. 特别地,这也表明它的任何次幂 \( 1/{\left( z - {z}_{1}\right) }^{k} \) 都可以在 \( K \) 上由多项式一致近似.\n\n现在也足以证明 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上也可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似. 因为 \( {K}^{c} \) 是连通的,这样做就可以将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处. 令 \( \gamma \) 是 \( {K}^{c} \) 中的曲线,用区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上定义的 \( \gamma \left( t\right) \) 参数化,其中 \( \gamma \left( 0\right) = {z}_{0},\gamma \left( 1\right) = {z}_{1} \) . 如果令 \( \rho = \frac{1}{2}d(K \) , \( \gamma ) \) ,因为 \( \gamma \) 和 \( K \) 都是紧的,所以 \( \rho > 0 \) . 然后在 \( \gamma \) 上选择点列 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{l}}\right\} \) ,且 \( {w}_{0} = {z}_{0},{w}_{l} = {z}_{1} \) ,对所有的 \( 0 \leq j < l \) 都有 \( \left| {{w}_{j} - {w}_{j + 1}}\right| < \rho \) .\n\n如果 \( w \) 是 \( \gamma \) 上的一点, \( {w}^{\prime } \) 是除 \( w \) 外任何满足 \( \left| {w - {w}^{\prime }}\right| < \rho \) 的点,那么 \( 1/(z - \) \( w) \) 在 \( K \) 上可以由以 \( 1/\left( {z - {w}^{\prime }}\right) \) 为项的多项式一致近似,也就是\n\n\[ \n\frac{1}{z - w} = \frac{1}{z - {w}^{\prime }}\frac{1}{1 - \frac{w - {w}^{\prime }}{z - {w}^{\prime }}} \n\]\n\n\[ \n= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\frac{{\left( w - {w}^{\prime }\right) }^{n}}{{\left( z - {w}^{\prime }\right) }^{n + 1}}. \n\]\n\n并且对所有 \( z \in K \) ,上面的级数是一致收敛的,其部分和就是一个多项式近似.\n\n总之,通过有限数列 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 发现了 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 可以由以 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) 为项的多项式一致近似,从而将点 \( {z}_{0} \) 推到 \( {z}_{1} \) 处,此时引理和定理就都能够证明了. |
定理 1.1 假设函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( {z}_{0} \in \Omega \) 是它的零元,并且 \( f \) 在 \( \Omega \) 上不恒等于 0 . 那么存在 \( {z}_{0} \) 的邻域 \( U \subset \Omega \) 和定义在 \( U \) 上的非零函数 \( g \) ,同时存在唯一的正整数 \( n \) ,使得对所有的 \( z \in U \) ,有
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) .
\]
证明 因为 \( \Omega \) 是连通的,并且 \( f \) 不恒等于零,推出 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 的某个邻域内不恒等于零. 在一个以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘内,函数 \( f \) 可以展成幂级数,即
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{+\infty }}{a}_{k}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}.
\]
因为 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近不等于零,存在最小的正整数 \( n \) ,使得 \( {a}_{n} \neq 0 \) . 那么,可以写成
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}\left\lbrack {{a}_{n} + {a}_{n + 1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right\rbrack = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) ,
\]
其中, \( g \) 表示上式中括号中的级数,因此它是全纯的,并且不管 \( z \) 多么接近 \( {z}_{0}, g \) 都不会为零 (因为 \( {a}_{n} \neq 0 \) ). 要证明整数 \( n \) 的唯一性,假设
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}h\left( z\right) ,
\]
其中, \( h\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) . 如果 \( m > n \) ,那么,两边除以 \( {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n} \) 得
\[
g\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{m - n}h\left( z\right) ,
\]
因此令 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 则 \( g\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,显然矛盾. 如果 \( m < n \) ,类似地就能得到 \( h\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,也矛盾. 所以推出 \( m = n \) ,因此 \( h = g \) ,定理得证.
上面定理中的情况,我们称 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶零元 (或者称为 \( n \) 重的). 如果这个零元是一阶的, 称之为单的. 在数量上, 阶数可以描述函数趋于零的速度.
上述理论的重要性就在于,它可以准确地描述函数 \( 1/f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处奇点的类型.
为此,定义 \( {z}_{0} \) 的去心邻域: 以 \( {z}_{0} \) 为中心的开圆盘再去掉中心 \( {z}_{0} \) ,也就是集合
\[
\left\{ {z : 0 < \left| {z - {z}_{0}}\right| < r}\right\} ,
\]
其中 \( r > 0 \) . 如果函数 \( 1/f \) 以 \( {z}_{0} \) 为零元,并且在 \( {z}_{0} \) 的邻域中是全纯的,那么 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的极点.
定理 1.2 如果 \( {z}_{0} \in \Omega \) 是 \( f \) 的极点,那么在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中存在非零的全纯函数 \( h \) 和唯一的正整数 \( n \) 使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}h\left( z\right) .
\]
证明 根据前面的理论,在 \( {z}_{0} \) 点的某邻域内存在非零的全纯函数 \( g\left( z\right) \) 使得
\( 1/f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) \) ,因此 \( h\left( z\right) = 1/g\left( z\right) \) .
整数 \( n \) 称为极点的阶 (或称为重数),可以描述函数在 \( {z}_{0} \) 点附近增长的速度. 如果极点是一阶的, 称为单的.
下面的定理用到幂级数展开, 只要存在负阶的项, 就存在极点.
定理 1.3 如果 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的 \( n \) 阶极点,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n + 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
(1)
其中, \( G \) 是定义在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中的全纯函数.
证明 下面的证明来自前面定理中的乘性表现. 事实上,函数 \( h \) 可以展成幂级数
\[
h\left( z\right) = {A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots ,
\]
使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}\left( {{A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right)
\]
\[
= \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right)
\]
和
\[
\frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) }
\]
被称为函数 \( f \) 在极点 \( {z}_{0} \) 处的主部,系数 \( {a}_{-1} \) 为函数 \( f \) 在该极点处的留数,记为 \( {\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = {a}_{-1} \) . 留数很重要,因为主部中的其他项的阶都大于 1,在 \( {z}_{0} \) 的去心邻域中具有原函数. 因此,如果 \( P\left( z\right) \) 表示上面说的主部, \( C \) 是任意以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆周, 那么
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}P\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1}.
\]
关于留数点的重要性将在下一节留数公式中介绍.
据我们所知, 在很多例子中, 积分估值问题会简化成留数计算问题. 例如, 如果函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有单极点,那么显然
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\left( {z - {z}_{0}}\right) f\left( z\right) .
\]
如果这个极点是更高阶的, 也有类似的公式.
定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) .
\]
这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着
\[
{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) = {a}_{-n} + {a}_{-n + 1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots + {a}_{-1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1} + G\left( z\right) {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
## 2 留数公式
下面讨论很重要的留数公式. 我们的方法与上章讨论柯西定理的时候所用的方法相同: 先考虑圆周周线的特例, 它的内部就是个圆盘, 这是容易讨论的情况. 然后再讨论更一般的周线及其内部.
定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.
\]
证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.
注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{c}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-1}}{z - {z}_{0}}\mathrm{\;d}z = {a}_{-1}.
\]
类似地,当 \( k > 1 \) 时,应用相应的求导公式 (上一章的推论 4.2) 得
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-k}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
但是,在 \( {z}_{0} \) 的邻域中
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
其中, \( G \) 是全纯的. 根据柯西定理, \( {\int }_{{G}_{x}}G\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,因此 \( {\int }_{{G}_{x}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1} \) . 定理证毕.
这个定理也可以推广到圆周周线内包含有限个极点的情况, 也可推广到其他类型的周线的情况.
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \ | 定理 1.1 假设函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( {z}_{0} \in \Omega \) 是它的零元,并且 \( f \) 在 \( \Omega \) 上不恒等于 0 . 那么存在 \( {z}_{0} \) 的邻域 \( U \subset \Omega \) 和定义在 \( U \) 上的非零函数 \( g \) ,同时存在唯一的正整数 \( n \) ,使得对所有的 \( z \in U \) ,有\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) . \] | 证明 因为 \( \Omega \) 是连通的,并且 \( f \) 不恒等于零,推出 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 的某个邻域内不恒等于零. 在一个以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘内,函数 \( f \) 可以展成幂级数,即\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{+\infty }}{a}_{k}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}. \]\n\n因为 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近不等于零,存在最小的正整数 \( n \) ,使得 \( {a}_{n} \neq 0 \) . 那么,可以写成\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}\left\lbrack {{a}_{n} + {a}_{n + 1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right\rbrack = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) ,\]\n\n其中, \( g \) 表示上式中括号中的级数,因此它是全纯的,并且不管 \( z \) 多么接近 \( {z}_{0}, g \) 都不会为零 (因为 \( {a}_{n} \neq 0 \) ). 要证明整数 \( n \) 的唯一性,假设\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{m}h\left( z\right) ,\]\n\n其中, \( h\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) . 如果 \( m > n \) ,那么,两边除以 \( {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n} \) 得\n\n\[ g\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{m - n}h\left( z\right) ,\]\n\n因此令 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 则 \( g\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,显然矛盾. 如果 \( m < n \) ,类似地就能得到 \( h\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,也矛盾. 所以推出 \( m = n \) ,因此 \( h = g \) ,定理得证. |
定理 1.2 如果 \( {z}_{0} \in \Omega \) 是 \( f \) 的极点,那么在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中存在非零的全纯函数 \( h \) 和唯一的正整数 \( n \) 使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}h\left( z\right) .
\]
证明 根据前面的理论,在 \( {z}_{0} \) 点的某邻域内存在非零的全纯函数 \( g\left( z\right) \) 使得
\( 1/f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) \) ,因此 \( h\left( z\right) = 1/g\left( z\right) \) .
整数 \( n \) 称为极点的阶 (或称为重数),可以描述函数在 \( {z}_{0} \) 点附近增长的速度. 如果极点是一阶的, 称为单的.
下面的定理用到幂级数展开, 只要存在负阶的项, 就存在极点.
定理 1.3 如果 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的 \( n \) 阶极点,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n + 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
(1)
其中, \( G \) 是定义在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中的全纯函数.
证明 下面的证明来自前面定理中的乘性表现. 事实上,函数 \( h \) 可以展成幂级数
\[
h\left( z\right) = {A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots ,
\]
使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}\left( {{A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right)
\]
\[
= \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right)
\]
和
\[
\frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) }
\]
被称为函数 \( f \) 在极点 \( {z}_{0} \) 处的主部,系数 \( {a}_{-1} \) 为函数 \( f \) 在该极点处的留数,记为 \( {\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = {a}_{-1} \) . 留数很重要,因为主部中的其他项的阶都大于 1,在 \( {z}_{0} \) 的去心邻域中具有原函数. 因此,如果 \( P\left( z\right) \) 表示上面说的主部, \( C \) 是任意以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆周, 那么
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}P\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1}.
\]
关于留数点的重要性将在下一节留数公式中介绍.
据我们所知, 在很多例子中, 积分估值问题会简化成留数计算问题. 例如, 如果函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有单极点,那么显然
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\left( {z - {z}_{0}}\right) f\left( z\right) .
\]
如果这个极点是更高阶的, 也有类似的公式.
定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) .
\]
这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着
\[
{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) = {a}_{-n} + {a}_{-n + 1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots + {a}_{-1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1} + G\left( z\right) {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
## 2 留数公式
下面讨论很重要的留数公式. 我们的方法与上章讨论柯西定理的时候所用的方法相同: 先考虑圆周周线的特例, 它的内部就是个圆盘, 这是容易讨论的情况. 然后再讨论更一般的周线及其内部.
定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.
\]
证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.
注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{c}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-1}}{z - {z}_{0}}\mathrm{\;d}z = {a}_{-1}.
\]
类似地,当 \( k > 1 \) 时,应用相应的求导公式 (上一章的推论 4.2) 得
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-k}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
但是,在 \( {z}_{0} \) 的邻域中
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
其中, \( G \) 是全纯的. 根据柯西定理, \( {\int }_{{G}_{x}}G\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,因此 \( {\int }_{{G}_{x}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1} \) . 定理证毕.
这个定理也可以推广到圆周周线内包含有限个极点的情况, 也可推广到其他类型的周线的情况.
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( | 定理 1.2 如果 \( {z}_{0} \in \Omega \) 是 \( f \) 的极点,那么在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中存在非零的全纯函数 \( h \) 和唯一的正整数 \( n \) 使得\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}h\left( z\right) . \] | 证明 根据前面的理论,在 \( {z}_{0} \) 点的某邻域内存在非零的全纯函数 \( g\left( z\right) \) 使得\n\n\( 1/f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) \) ,因此 \( h\left( z\right) = 1/g\left( z\right) \) . |
定理 1.3 如果 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的 \( n \) 阶极点,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n + 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
(1)
其中, \( G \) 是定义在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中的全纯函数.
证明 下面的证明来自前面定理中的乘性表现. 事实上,函数 \( h \) 可以展成幂级数
\[
h\left( z\right) = {A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots ,
\]
使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}\left( {{A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right)
\]
\[
= \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right)
\]
和
\[
\frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) }
\]
被称为函数 \( f \) 在极点 \( {z}_{0} \) 处的主部,系数 \( {a}_{-1} \) 为函数 \( f \) 在该极点处的留数,记为 \( {\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = {a}_{-1} \) . 留数很重要,因为主部中的其他项的阶都大于 1,在 \( {z}_{0} \) 的去心邻域中具有原函数. 因此,如果 \( P\left( z\right) \) 表示上面说的主部, \( C \) 是任意以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆周, 那么
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}P\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1}.
\]
关于留数点的重要性将在下一节留数公式中介绍.
据我们所知, 在很多例子中, 积分估值问题会简化成留数计算问题. 例如, 如果函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有单极点,那么显然
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\left( {z - {z}_{0}}\right) f\left( z\right) .
\]
如果这个极点是更高阶的, 也有类似的公式.
定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) .
\]
这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着
\[
{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) = {a}_{-n} + {a}_{-n + 1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots + {a}_{-1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1} + G\left( z\right) {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
## 2 留数公式
下面讨论很重要的留数公式. 我们的方法与上章讨论柯西定理的时候所用的方法相同: 先考虑圆周周线的特例, 它的内部就是个圆盘, 这是容易讨论的情况. 然后再讨论更一般的周线及其内部.
定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.
\]
证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.
注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{c}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-1}}{z - {z}_{0}}\mathrm{\;d}z = {a}_{-1}.
\]
类似地,当 \( k > 1 \) 时,应用相应的求导公式 (上一章的推论 4.2) 得
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-k}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
但是,在 \( {z}_{0} \) 的邻域中
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
其中, \( G \) 是全纯的. 根据柯西定理, \( {\int }_{{G}_{x}}G\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,因此 \( {\int }_{{G}_{x}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1} \) . 定理证毕.
这个定理也可以推广到圆周周线内包含有限个极点的情况, 也可推广到其他类型的周线的情况.
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alph | 定理 1.3 如果 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的 \( n \) 阶极点,那么\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n + 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,\]\n\n其中, \( G \) 是定义在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中的全纯函数. | 证明 下面的证明来自前面定理中的乘性表现. 事实上,函数 \( h \) 可以展成幂级数\n\n\[ h\left( z\right) = {A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots ,\]\n\n使得\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}\left( {{A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right)\]\n\n\[ = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) \]\n\n和\n\n\[ \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } \]\n\n被称为函数 \( f \) 在极点 \( {z}_{0} \) 处的主部,系数 \( {a}_{-1} \) 为函数 \( f \) 在该极点处的留数,记为 \( {\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = {a}_{-1} \) . 留数很重要,因为主部中的其他项的阶都大于 1,在 \( {z}_{0} \) 的去心邻域中具有原函数. 因此,如果 \( P\left( z\right) \) 表示上面说的主部, \( C \) 是任意以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆周, 那么\n\n\[ \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}P\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1}. \] |
定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) .
\]
这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着
\[
{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) = {a}_{-n} + {a}_{-n + 1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots + {a}_{-1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1} + G\left( z\right) {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}.
\]
## 2 留数公式
下面讨论很重要的留数公式. 我们的方法与上章讨论柯西定理的时候所用的方法相同: 先考虑圆周周线的特例, 它的内部就是个圆盘, 这是容易讨论的情况. 然后再讨论更一般的周线及其内部.
定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.
\]
证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.
注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{c}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-1}}{z - {z}_{0}}\mathrm{\;d}z = {a}_{-1}.
\]
类似地,当 \( k > 1 \) 时,应用相应的求导公式 (上一章的推论 4.2) 得
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-k}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
但是,在 \( {z}_{0} \) 的邻域中
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
其中, \( G \) 是全纯的. 根据柯西定理, \( {\int }_{{G}_{x}}G\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,因此 \( {\int }_{{G}_{x}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1} \) . 定理证毕.
这个定理也可以推广到圆周周线内包含有限个极点的情况, 也可推广到其他类型的周线的情况.
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}},
\]
这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) .
可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么
\[
\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| }
\]
并且,
\[
\left| {\cosh {\pi z}}\right| = \left| \frac{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}{2}\right|
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\begin{Vmatrix}{{\mathrm{e}}^{\pi z}\left| -\right| {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}\end{Vmatrix}
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\pi R} - {\mathrm{e}}^{-{\pi R}}}\right)
\]
\[
\rightarrow + \infty \;\text{ (当 }R \rightarrow + \infty \text{ ) }
\]
这就证明了当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形右侧垂直边上的积分趋于 0 . 类似地也可以证明当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形左侧垂直边上的积分也趋于 0 . 最后,如果 \( I \) 表示我们想要计算的积分,那么函数在矩形的顶边上的积分就等于 \( = {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I \) ,这里用到了函数 \( \cosh {\pi \zeta } \) 的周期为 \( 2\mathrm{i} \) . 当 \( R \) 趋于无穷时取极限,留数公式为
\[
I - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I = {2\pi }\mathrm{i}\left( {\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}} - \frac{{\mathrm{e}}^{3\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}}\right)
\]
\[
= - 2{\ | 定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么\n\n\[{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) . | 这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着\n\n\[{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) = {a}_{-n} + {a}_{-n + 1}\left( {z - {z}_{0}\right) + \cdots + {a}_{-1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1} + G\left( z\right) {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}. |
定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.
\]
证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.
注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{c}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-1}}{z - {z}_{0}}\mathrm{\;d}z = {a}_{-1}.
\]
类似地,当 \( k > 1 \) 时,应用相应的求导公式 (上一章的推论 4.2) 得
\[
\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-k}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}}\mathrm{\;d}z = 0.
\]
但是,在 \( {z}_{0} \) 的邻域中
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
其中, \( G \) 是全纯的. 根据柯西定理, \( {\int }_{{G}_{x}}G\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,因此 \( {\int }_{{G}_{x}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1} \) . 定理证毕.
这个定理也可以推广到圆周周线内包含有限个极点的情况, 也可推广到其他类型的周线的情况.
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}},
\]
这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) .
可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么
\[
\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| }
\]
并且,
\[
\left| {\cosh {\pi z}}\right| = \left| \frac{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}{2}\right|
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\begin{Vmatrix}{{\mathrm{e}}^{\pi z}\left| -\right| {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}\end{Vmatrix}
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\pi R} - {\mathrm{e}}^{-{\pi R}}}\right)
\]
\[
\rightarrow + \infty \;\text{ (当 }R \rightarrow + \infty \text{ ) }
\]
这就证明了当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形右侧垂直边上的积分趋于 0 . 类似地也可以证明当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形左侧垂直边上的积分也趋于 0 . 最后,如果 \( I \) 表示我们想要计算的积分,那么函数在矩形的顶边上的积分就等于 \( = {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I \) ,这里用到了函数 \( \cosh {\pi \zeta } \) 的周期为 \( 2\mathrm{i} \) . 当 \( R \) 趋于无穷时取极限,留数公式为
\[
I - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I = {2\pi }\mathrm{i}\left( {\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}} - \frac{{\mathrm{e}}^{3\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}}\right)
\]
\[
= - 2{\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) ,
\]
并且,因为 \( 1 - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi } = - {\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}}\right) \) ,我们发现
\[
I = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}} = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) \left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) } = \frac{2}{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\p | 定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.\] | 证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,\]\n\n其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.\n\n注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出\n\n\[\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{c}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-1}}{z - {z}_{0}}\mathrm{\;d}z = {a}_{-1}.\n\]\n\n类似地,当 \( k > 1 \) 时,应用相应的求导公式 (上一章的推论 4.2) 得\n\n\[\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{\varepsilon }}\frac{{a}_{-k}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}}\mathrm{\;d}z = 0.\]\n\n但是,在 \( {z}_{0} \) 的邻域中\n\n\[f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,\]\n\n其中, \( G \) 是全纯的. 根据柯西定理, \( {\int }_{{G}_{x}}G\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) ,因此 \( {\int }_{{G}_{x}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {a}_{-1} \) . 定理证毕. |
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}},
\]
这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) .
可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么
\[
\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| }
\]
并且,
\[
\left| {\cosh {\pi z}}\right| = \left| \frac{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}{2}\right|
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\begin{Vmatrix}{{\mathrm{e}}^{\pi z}\left| -\right| {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}\end{Vmatrix}
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\pi R} - {\mathrm{e}}^{-{\pi R}}}\right)
\]
\[
\rightarrow + \infty \;\text{ (当 }R \rightarrow + \infty \text{ ) }
\]
这就证明了当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形右侧垂直边上的积分趋于 0 . 类似地也可以证明当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形左侧垂直边上的积分也趋于 0 . 最后,如果 \( I \) 表示我们想要计算的积分,那么函数在矩形的顶边上的积分就等于 \( = {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I \) ,这里用到了函数 \( \cosh {\pi \zeta } \) 的周期为 \( 2\mathrm{i} \) . 当 \( R \) 趋于无穷时取极限,留数公式为
\[
I - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I = {2\pi }\mathrm{i}\left( {\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}} - \frac{{\mathrm{e}}^{3\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}}\right)
\]
\[
= - 2{\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) ,
\]
并且,因为 \( 1 - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi } = - {\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}}\right) \) ,我们发现
\[
I = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}} = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) \left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) } = \frac{2}{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}} = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
类似地也可以计算下面的公式,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\frac{\sin {\pi a}}{\cosh {\pi x} + \cos {\pi a}}\mathrm{\;d}x = \frac{2\sinh {2\pi a\xi }}{\sinh {2\pi \xi }},
\]
只要 \( 0 < a < 1 \) ,且其中 \( \sinh z = \left( {{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}\right) /2 \) . 我们已经证明了上式中当 \( a = 1/2 \) 的情况. 这个等式可以用来证明带状泊松核的外推公式 (见第一册第 5 章问题 3), 或者证明平方和公式, 将在第 10 章介绍.
## 3 奇异性与亚纯函数
前面的第一小节我们已经介绍了函数在极点附近的解析性质. 这一小节, 我们将注意力转移到其他类型的孤立奇点上.
令函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果重新定义函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的值,使它在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,称奇点 \( {z}_{0} \) 为函数 \( f \) 的可去奇点.
定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点.
证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
(4)
根据上一章定理 5.4 的 | 推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.\] | 为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明. |
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.
等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式.
## 2. 1 例子
留数计算是计算大量积分的有力工具. 在下面给出的例子中, 计算了三个形如
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
的反常黎曼积分. 主要方法是将函数 \( f \) 延拓到整个复平面上,然后选择一类周线 \( {\gamma }_{R} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
通过计算 \( f \) 在其极点处的留数,很容易计算出 \( {\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z \) . 关键问题就是找到这样的周线 \( {\gamma }_{R} \) 使上面的极限成立. 并且, \( {\gamma }_{R} \) 的选择是根据函数 \( f \) 的衰变行为产生的.
例 1 首先, 应用周线积分证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \pi
\]
(2)
注意到,如果我们进行变量代换 \( x \mapsto x/y \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{y\mathrm{\;d}x}{{y}^{2} + {x}^{2}} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{P}_{y}\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
换句话说,根据公式 (2),对任意的 \( y > 0 \) ,泊松核 \( {P}_{y}\left( x\right) \) 的积分等于 1 . 根据第一册第 5 章的引理 2.5 很容易证明,这是因为函数 \( 1/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 是函数 \( \arctan x \) 的导函数. 这里, 我们给出一个留数计算, 它为式 (2) 的证明提供了另一种方法.
考虑函数
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{1 + {z}^{2}},
\]
这个函数除了单极点 \( \mathrm{i} \) 和 \( - \mathrm{i} \) 外,它在整个复平面上都是全纯的. 并且,我们选择的周线 \( {\gamma }_{R} \) 如图 1 所示. 周线由定义在实轴上的线段 \( \left\lbrack {-R, R}\right\rbrack \) 和以原点为中心的上半圆周组成. 因为上面的函数可以写成
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{\left( {z - \mathrm{i}}\right) \left( {z + \mathrm{i}}\right) },
\]
函数 \( f \) 在点 \( \mathrm{i} \) 处的留数就是 \( 1/2\mathrm{i} \) . 因此,如果 \( R \) 足够大,就有
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{2\mathrm{i}} = \pi .
\]
如果记 \( {C}_{R}^{ + } \) 为以 \( R \) 为半径的上半圆周,
图 1 例 1 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
那么
\[
\left| {{\int }_{{C}_{R}^{ + }}f\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\pi R}\frac{B}{{R}^{2}} \leq \frac{M}{R},
\]
其中,当 \( z \in {C}_{R}^{ + } \) 而且 \( R \) 很大时,我们已知 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq B/{\left| z\right| }^{2} \) . 因此当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,积分趋于 0 . 因此, 取极限就得到
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) \mathrm{d}x = \pi ,
\]
证毕. 注意到, 在这个例子中, 关于我们选的上半圆周并没什么特殊性. 若取下半圆周也可以类似地计算, 其他的极点和留数也类似可得.
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}},
\]
这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) .
可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么
\[
\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| }
\]
并且,
\[
\left| {\cosh {\pi z}}\right| = \left| \frac{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}{2}\right|
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\begin{Vmatrix}{{\mathrm{e}}^{\pi z}\left| -\right| {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}\end{Vmatrix}
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\pi R} - {\mathrm{e}}^{-{\pi R}}}\right)
\]
\[
\rightarrow + \infty \;\text{ (当 }R \rightarrow + \infty \text{ ) }
\]
这就证明了当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形右侧垂直边上的积分趋于 0 . 类似地也可以证明当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形左侧垂直边上的积分也趋于 0 . 最后,如果 \( I \) 表示我们想要计算的积分,那么函数在矩形的顶边上的积分就等于 \( = {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I \) ,这里用到了函数 \( \cosh {\pi \zeta } \) 的周期为 \( 2\mathrm{i} \) . 当 \( R \) 趋于无穷时取极限,留数公式为
\[
I - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I = {2\pi }\mathrm{i}\left( {\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}} - \frac{{\mathrm{e}}^{3\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}}\right)
\]
\[
= - 2{\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) ,
\]
并且,因为 \( 1 - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi } = - {\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}}\right) \) ,我们发现
\[
I = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}} = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) \left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) } = \frac{2}{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}} = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
类似地也可以计算下面的公式,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\frac{\sin {\pi a}}{\cosh {\pi x} + \cos {\pi a}}\mathrm{\;d}x = \frac{2\sinh {2\pi a\xi }}{\sinh {2\pi \xi }},
\]
只要 \( 0 < a < 1 \) ,且其中 \( \sinh z = \left( {{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}\right) /2 \) . 我们已经证明了上式中当 \( a = 1/2 \) 的情况. 这个等式可以用来证明带状泊松核的外推公式 (见第一册第 5 章问题 3), 或者证明平方和公式, 将在第 10 章介绍.
## 3 奇异性与亚纯函数
前面的第一小节我们已经介绍了函数在极点附近的解析性质. 这一小节, 我们将注意力转移到其他类型的孤立奇点上.
令函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果重新定义函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的值,使它在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,称奇点 \( {z}_{0} \) 为函数 \( f \) 的可去奇点.
定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点.
证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
(4)
根据上一章定理 5.4 的应用就能证明,式 (4) 右边的积分,当 \( z \neq {z}_{0} \) 时,定义了 \( D \) 上的全纯函数. 因此,定理得证.
为了证明式 (4),取定 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,应用如图 4 所示的周线类型.
多锁眼去掉了两个点 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) . 将走廊的边封闭,
图 4 黎曼定理证明中的多锁眼周线
| 推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.\]\n\n其中周线 \( \gamma \) 取正向. | 定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.\n\n等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式. |
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.
在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数
图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记
\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)
因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1,
\]
因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为
\[
{\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}.
\]
作为一个推论, 留数公式为
\[
{\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}.
\]
(3)
接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分
\[
{\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为
\[
- {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}\text{.}
\]
最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么
\[
\left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R},
\]
并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足
\[
I - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}I = - {2\pi }\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}},
\]
由此推出
\[
I = - {2\pi }\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}}{1 - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}a} - {\mathrm{e}}^{-\pi \mathrm{i}a}}
\]
\[
= \frac{\pi }{\sin {\pi a}}
\]
这样例 2 就计算完成了.
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}},
\]
这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) .
可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么
\[
\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| }
\]
并且,
\[
\left| {\cosh {\pi z}}\right| = \left| \frac{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}{2}\right|
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\begin{Vmatrix}{{\mathrm{e}}^{\pi z}\left| -\right| {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}\end{Vmatrix}
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\pi R} - {\mathrm{e}}^{-{\pi R}}}\right)
\]
\[
\rightarrow + \infty \;\text{ (当 }R \rightarrow + \infty \text{ ) }
\]
这就证明了当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形右侧垂直边上的积分趋于 0 . 类似地也可以证明当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形左侧垂直边上的积分也趋于 0 . 最后,如果 \( I \) 表示我们想要计算的积分,那么函数在矩形的顶边上的积分就等于 \( = {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I \) ,这里用到了函数 \( \cosh {\pi \zeta } \) 的周期为 \( 2\mathrm{i} \) . 当 \( R \) 趋于无穷时取极限,留数公式为
\[
I - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I = {2\pi }\mathrm{i}\left( {\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}} - \frac{{\mathrm{e}}^{3\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}}\right)
\]
\[
= - 2{\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) ,
\]
并且,因为 \( 1 - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi } = - {\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}}\right) \) ,我们发现
\[
I = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}} = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) \left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) } = \frac{2}{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}} = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
类似地也可以计算下面的公式,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\frac{\sin {\pi a}}{\cosh {\pi x} + \cos {\pi a}}\mathrm{\;d}x = \frac{2\sinh {2\pi a\xi }}{\sinh {2\pi \xi }},
\]
只要 \( 0 < a < 1 \) ,且其中 \( \sinh z = \left( {{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}\right) /2 \) . 我们已经证明了上式中当 \( a = 1/2 \) 的情况. 这个等式可以用来证明带状泊松核的外推公式 (见第一册第 5 章问题 3), 或者证明平方和公式, 将在第 10 章介绍.
## 3 奇异性与亚纯函数
前面的第一小节我们已经介绍了函数在极点附近的解析性质. 这一小节, 我们将注意力转移到其他类型的孤立奇点上.
令函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果重新定义函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的值,使它在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,称奇点 \( {z}_{0} \) 为函数 \( f \) 的可去奇点.
定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点.
证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
(4)
根据上一章定理 5.4 的应用就能证明,式 (4) 右边的积分,当 \( z \neq {z}_{0} \) 时,定义了 \( D \) 上的全纯函数. 因此,定理得证.
为了证明式 (4),取定 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,应用如图 4 所示的周线类型.
多锁眼去掉了两个点 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) . 将走廊的边封闭,
图 4 黎曼定理证明中的多锁眼周线
最终相互交迭, 取极限时积分相互抵消:
\[
{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = 0,
\]
其中, \( {\gamma }_{\varepsilon } \) 和 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{\prime } \) 分别表示以 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的两个小圆周, 并取负方向. 根据第 2 章第 4 小节柯西积分公式的证明, 我们发现
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) .
\]
对于第二个积分,我们假设 \( f \) 是有界的,并且, 因为 \( \varepsilon \) 很小, \( \zeta \) 远离 \( z \) ,因此,
\[
\left| {{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta }\right| \leq {C\varepsilon }.
\]
令 \( \varepsilon \) 趋于 0 就能证明了.
令人惊讶的是, 黎曼定理可以根据函数在奇点的某邻域内的一些表现来推导极点的特征.
推论 3.2 假设 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的孤立奇点. 那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的极点当且仅当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) .
证明 如果 \( {z}_{0} \) 是极点,那么 \( {z}_{0} \) 就是函数 \( 1/f \) 的零点,因此,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) \( \rightarrow + \infty \) . 反之,假设当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) ,那么函数 \( 1/f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近有界. \( 1/\left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) . 因此, \( {z}_{0} \) 点是 \( 1/f \) 的可去奇点,因此称 \( {z}_{0} \) 为极点.
孤立奇点分为三类:
- 可去奇点 ( \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近有界)
- 极点 (当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时, \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) )
- 本性奇点.
通常, 只要奇点既不是可去奇点, 又不是极点, 那就定义为本性奇点. 例如, 开始第 1 小节讨论的函数 \( {\mathrm{e}}^{1/z} \) 在 \( z = 0 \) 处是本性奇点. 我们已经观察到了函数在原点附近的这种本性. 全纯函数在可去奇点和极点处的表现是可控的, 但全纯函数在本性奇点附近却不同, 它的不规律性正是其典型特征. 下面的定理正说明这一点.
定理 3.3 (Casorati-Weierstrass) 假设函数 \( f \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 内是全纯的,并且 \( {z}_{0} \) 点是它的本性奇点. 那么,有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 在函数 \( f \) 下的象在复平面上稠密.
证明 用反证法证明. 假设有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left| {z}_{0}\right| \) 在函数 \( f \) 下的象不是稠密的,那么存在 \( w \in \mathbf{C} \) 和 \( \delta > 0 \) 使得对任意的 \( z \in {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left| {z}_{0}\right| \) 都有
\[
\left| {f\left( z\right) - w}\right| > \delta ,
\]
因此,在 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上定义一个新的函数
\[
g\left( z\right) = \frac{1}{f\left( z\right) - w},
\]
它是有孔圆盘上的全纯函数,并且以 \( 1/\delta \) 为界. 因此根据定理 3.1,点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( g \) 的可去奇点. 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么函数 \( f\left( z\right) - w \) 在点 \( { | \[ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) . | 为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.\n\n在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数\n\n\n\n图 2 例 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)\n\n\( f \) 的分母为零的唯一点是 \( z = \pi \mathrm{i} \) . 为了计算函数 \( f \) 在这一点的留数,首先记\n\n\( \left( {z - \pi \mathrm{i}}\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{1 + {\mathrm{e}}^{z}} = {\mathrm{e}}^{az}\frac{z - \pi \mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}. \)\n\n因为, \( {\mathrm{e}}^{z} \) 是它自己的导数,所以上式中等式右边的差商的倒数的极限为\n\n\[ \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {\pi i}}}\frac{{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}}}{z - \pi \mathrm{i}} = {\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}} = - 1, \]\n\n因此函数 \( f \) 在单极点 \( \pi \mathrm{i} \) 处的留数为\n\n\[ {\operatorname{res}}_{\pi \mathrm{i}}f = - {\mathrm{e}}^{{a\pi }\mathrm{i}}. \]\n\n作为一个推论, 留数公式为\n\n\[ {\int }_{{\gamma }_{R}}f = - {2\pi }{\mathrm{{ie}}}^{a\pi i}. \]\n\n(3)\n\n接下来我们研究函数 \( f \) 在矩形的每个边上的积分. 令 \( {I}_{R} \) 表示积分\n\n\[ {\int }_{-R}^{R}f\left( x\right) \mathrm{d}x \]\n\n并且 \( I \) 表示当 \( R \rightarrow + \infty \) 时, \( {I}_{R} \) 的极限值. 那么很明显, \( f \) 在矩形上面的横边 (方向是从右向左）上的积分为\n\n\[ - {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}a}{I}_{R}.\text{.} \]\n\n最后,如果 \( {A}_{R} = \{ R + \mathrm{i}t \mid 0 \leq t \leq {2\pi }\} \) 表示矩形靠右的垂直边,那么\n\n\[ \left| {{\int }_{{A}_{R}}f}\right| \leq {\int }_{0}^{2\pi }\left| \frac{{\mathrm{e}}^{a\left( {R + \mathrm{i}t}\right) }}{1 + {\mathrm{e}}^{R + \mathrm{i}t}}\right| \mathrm{d}t \leq C{\mathrm{e}}^{\left( {a - 1}\right) R}, \]\n\n并且,因为 \( a > 0 \) ,所以它以 \( C{\mathrm{e}}^{-{aR}} \) 为界,又因为 \( a < 1 \) ,所以当 \( R \rightarrow + \infty \) 时积分趋于 0,因此,当 \( R \) 趋于无穷时取极限,等式 (3) 满足\n\n\[ I - {\mat |
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章中的例 1). 因此应用如图 3 所示的矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) ,令其宽度趋于无穷,但高度固定.
对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数
图 3 例 3 中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
集), 令
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}},
\]
并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记
\[
\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}
\]
\[
= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}.
\]
已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}},
\]
这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) .
可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么
\[
\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| }
\]
并且,
\[
\left| {\cosh {\pi z}}\right| = \left| \frac{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}{2}\right|
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\begin{Vmatrix}{{\mathrm{e}}^{\pi z}\left| -\right| {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}}\end{Vmatrix}
\]
\[
\geq \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\pi R} - {\mathrm{e}}^{-{\pi R}}}\right)
\]
\[
\rightarrow + \infty \;\text{ (当 }R \rightarrow + \infty \text{ ) }
\]
这就证明了当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形右侧垂直边上的积分趋于 0 . 类似地也可以证明当 \( R \rightarrow + \infty \) 时,在矩形左侧垂直边上的积分也趋于 0 . 最后,如果 \( I \) 表示我们想要计算的积分,那么函数在矩形的顶边上的积分就等于 \( = {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I \) ,这里用到了函数 \( \cosh {\pi \zeta } \) 的周期为 \( 2\mathrm{i} \) . 当 \( R \) 趋于无穷时取极限,留数公式为
\[
I - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi }I = {2\pi }\mathrm{i}\left( {\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}} - \frac{{\mathrm{e}}^{3\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}}\right)
\]
\[
= - 2{\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) ,
\]
并且,因为 \( 1 - {\mathrm{e}}^{4\pi \xi } = - {\mathrm{e}}^{2\pi \xi }\left( {{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}}\right) \) ,我们发现
\[
I = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{{\mathrm{e}}^{2\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi }}} = 2\frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}{\left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } - {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) \left( {{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}}\right) } = \frac{2}{{\mathrm{e}}^{\pi \xi } + {\mathrm{e}}^{-{\pi \xi }}} = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
类似地也可以计算下面的公式,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\frac{\sin {\pi a}}{\cosh {\pi x} + \cos {\pi a}}\mathrm{\;d}x = \frac{2\sinh {2\pi a\xi }}{\sinh {2\pi \xi }},
\]
只要 \( 0 < a < 1 \) ,且其中 \( \sinh z = \left( {{\mathrm{e}}^{z} - {\mathrm{e}}^{-z}}\right) /2 \) . 我们已经证明了上式中当 \( a = 1/2 \) 的情况. 这个等式可以用来证明带状泊松核的外推公式 (见第一册第 5 章问题 3), 或者证明平方和公式, 将在第 10 章介绍.
## 3 奇异性与亚纯函数
前面的第一小节我们已经介绍了函数在极点附近的解析性质. 这一小节, 我们将注意力转移到其他类型的孤立奇点上.
令函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果重新定义函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 处的值,使它在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,称奇点 \( {z}_{0} \) 为函数 \( f \) 的可去奇点.
定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点.
证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
(4)
根据上一章定理 5.4 的应用就能证明,式 (4) 右边的积分,当 \( z \neq {z}_{0} \) 时,定义了 \( D \) 上的全纯函数. 因此,定理得证.
为了证明式 (4),取定 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,应用如图 4 所示的周线类型.
多锁眼去掉了两个点 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) . 将走廊的边封闭,
图 4 黎曼定理证明中的多锁眼周线
最终相互交迭, 取极限时积分相互抵消:
\[
{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = 0,
\]
其中, \( {\gamma }_{\varepsilon } \) 和 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{\prime } \) 分别表示以 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的两个小圆周, 并取负方向. 根据第 2 章第 4 小节柯西积分公式的证明, 我们发现
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) .
\]
对于第二个积分,我们假设 \( f \) 是有界的,并且, 因为 \( \varepsilon \) 很小, \( \zeta \) 远离 \( z \) ,因此,
\[
\left| {{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta }\right| \leq {C\varepsilon }.
\]
令 \( \varepsilon \) 趋于 0 就能证明了.
令人惊讶的是, 黎曼定理可以根据函数在奇点的某邻域内的一些表现来推导极点的特征.
推论 3.2 假设 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的孤立奇点. 那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的极点当且仅当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) .
证明 如果 \( {z}_{0} \) 是极点,那么 \( {z}_{0} \) 就是函数 \( 1/f \) 的零点,因此,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) \( \rightarrow + \infty \) . 反之,假设当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) ,那么函数 \( 1/f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近有界. \( 1/\left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) . 因此, \( {z}_{0} \) 点是 \( 1/f \) 的可去奇点,因此称 \( {z}_{0} \) 为极点.
孤立奇点分为三类:
- 可去奇点 ( \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近有界)
- 极点 (当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时, \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) )
- 本性奇点.
通常, 只要奇点既不是可去奇点, 又不是极点, 那就定义为本性奇点. 例如, 开始第 1 小节讨论的函数 \( {\mathrm{e}}^{1/z} \) 在 \( z = 0 \) 处是本性奇点. 我们已经观察到了函数在原点附近的这种本性. 全纯函数在可去奇点和极点处的表现是可控的, 但全纯函数在本性奇点附近却不同, 它的不规律性正是其典型特征. 下面的定理正说明这一点.
定理 3.3 (Casorati-Weierstrass) 假设函数 \( f \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 内是全纯的,并且 \( {z}_{0} \) 点是它的本性奇点. 那么,有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 在函数 \( f \) 下的象在复平面上稠密.
证明 用反证法证明. 假设有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left| {z}_{0}\right| \) 在函数 \( f \) 下的象不是稠密的,那么存在 \( w \in \mathbf{C} \) 和 \( \delta > 0 \) 使得对任意的 \( z \in {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left| {z}_{0}\right| \) 都有
\[
\left| {f\left( z\right) - w}\right| > \delta ,
\]
因此,在 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上定义一个新的函数
\[
g\left( z\right) = \frac{1}{f\left( z\right) - w},
\]
它是有孔圆盘上的全纯函数,并且以 \( 1/\delta \) 为界. 因此根据定理 3.1,点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( g \) 的可去奇点. 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么函数 \( f\left( z\right) - w \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是全纯的,这与原假设 \( {z}_{0} \) 是本性奇点矛盾. 又如果假设 \( g\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,那么函数 \( f\left( z\right) - w \) 在点 \( {z}_{0} \) 处有极点, 这也与 \( {z}_{0} \) 是本性奇点矛盾. 这样证明就完全了.
事实上, Picard 证明了一个有力的结果. 他证明了在上述定理的假设下, 函数 \( f \) 可以取到每一个复值无穷多次,至多有一个例外. 尽管我们不会证明这个重要的结论, 但是, 在后面的章节研究整函数时会给出简单的解释. 见第 5 章练习 11 .
现在来讨论仅有唯一类型的孤立奇点一极点的函数. 函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是亚纯的,即如果存在点列 \( \left\{ {{z}_{0},{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 在 \( \Omega \) 上没有极限点,并使得
( i ) 函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {{z}_{0},{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 上是全纯的;
(ii) \( \left\{ {{z}_{0},{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 是函数 \( f \) 的极点.
在延拓的复平面上讨论函数是亚纯的也是很有用的. 如果当 \( z \) 很大之后函数是全纯的, 可以根据前面已经归类出来的三种极点特征来描述它在无穷远处的表现. 因此,如果当 \( z \) 很大之后函数 \( f \) 是全纯的,我们考虑 \( F\left( z\right) = f\left( {1/z}\right) \) ,则 \( F \) 在原点的去心邻域内是全纯的. 如果 \( F \) 在原点有极点,那么说函数 \( f \) 在无穷大有极点. 类似地,如果说 \( F \) 在原点有本性奇点或可去奇点,则说函数 \( f \) 在无穷大有本性奇点或可去奇点. 定义在复平面上的亚纯函数当其满足在无穷大处是全纯的或者在无穷大处有极点时, 称函数在延拓的复平面上是全纯的.
此时, 回顾本章开始提到的定理, 能够给出它最简单的形式.
定理 3.4 在延拓的复平面上的全纯函数是有理函数.
证明 假设在延拓的平面上函数 \( f \) 是全纯的. 那么函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 在原点或者有极点或者有可去奇点, 并且任何一个情况都能说明函数在原点的去心邻域内是全纯的. 因此,函数 \( f \) 在平面上至多有有限个极点,记为 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{n} \) . 用到的方法就是在极点处 (包括无穷远处的) 减去函数 \( f \) 的主要部分. 在每一个极点 \( {z}_{k} \in \mathbf{C} \) 处可以写成
\[
f\left( z\right) = {f}_{k}\left( z\right) + {g}_{k}\left( z\right) ,
\]
其中 \( {f}_{k}\left( z\right) \) 是 \( f \) 在点 \( {z}_{k} \) 处的主要部分,并且 \( {g}_{k} \) 在 \( {z}_{k} \) 的整个邻域内是全纯的. 特别地, \( {f}_{k} \) 是关于 \( 1/\left( {z - {z}_{k}}\right) \) 的多项式. 类似地可记
\[
f\left( {1/z}\right) = {\widetilde{f}}_{\infty }\left( z\right) + {\widetilde{g}}_{\infty }\left( z\right) ,
\]
其中 \( {\widetilde{g}}_{\infty } \) 在原点的邻域内是全纯的, \( {\widetilde{f}}_{\infty } \) 是函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 在 0 点处的主要部分,因此它是 \( 1/z \) 的多项式. 最后,令 \( {f}_{\infty }\left( z\right) = {\widetilde{f}}_{\infty }\left( {1/z}\right) \) .
我们断言函数 \( H = f - {f}_{\infty } - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{f}_{k} \) 是整函数并且有界. 事实上,在极点 \( {z}_{k} \) 附近减去函数 \( f \) 的主要部分,使得函数 \( H \) 在这个地方具有可去奇点. 并且, \( H\left( {1/z}\right) \) 在 \( z = 0 \) 附近有界,因为我们减去了在 \( \infty \) 处的极点的主要部分. 这样就证明了我们的论点, 并且根据 Liouville 定理可以推出 \( H \) 是常数. 根据 \( H \) 的定义,函数 \( f \) 是有理函数,定理证毕.
注意到, 作为一个推论, 有理函数可以定义为描述了零点和极点的位置和重数再加上一个常数的函数.
## 黎曼球面
延拓的复平面,包括复数集 \( \mathbf{C} \) 和无穷大点,它有一个很方便的几何解释,接下来对此进行简要讨论.
考虑欧几 | 计算另一个傅里叶变换, \n\n\[ \n{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}, \n\] | 对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数集), 令 \n\n\[ \nf\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}}, \n\] \n\n并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \( \beta = 3\mathrm{i}/2 \) . 为了计算函数 \( f \) 在点 \( \alpha \) 处的留数,记 \n\n\[ \n\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\frac{2\left( {z - \alpha }\right) }{{\mathrm{e}}^{\pi z} + {\mathrm{e}}^{-{\pi z}}} \n\] \n\n\[ \n= 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}{\mathrm{e}}^{\pi z}\frac{\left( z - \alpha \right) }{{\mathrm{e}}^{2\pi z} - {\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }}. \n\] \n\n已知,上式右边的差商的倒数就是函数 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} \) 在 \( z = \alpha \) 处的值. 因此, \n\n\[ \n\mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow \alpha }}\left( {z - \alpha }\right) f\left( z\right) = 2{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha \xi }}{\mathrm{e}}^{\pi \alpha }\frac{1}{{2\pi }{\mathrm{e}}^{2\pi \alpha }} = \frac{{\mathrm{e}}^{\pi \xi }}{\pi \mathrm{i}}, \n\] \n\n这就证明了函数 \( f \) 在单极点 \( \alpha \) 处的留数为 \( {\mathrm{e}}^{\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . 类似地,可以求出函数 \( f \) 在单极点 \( \beta \) 处的留数为 \( - {\mathrm{e}}^{3\pi \xi }/\left( {\pi \mathrm{i}}\right) \) . \n\n可以证明当 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( f \) 在垂直边上的积分趋于零. 事实上,如果 \( z = R + \mathrm{i}y,0 \leq y \leq 2 \) ,那么 \n\n\[ \n\left| {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\right| \leq {\mathrm{e}}^{{4\pi }\left| \xi \right| } \n\] |
定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点.
证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
(4)
根据上一章定理 5.4 的应用就能证明,式 (4) 右边的积分,当 \( z \neq {z}_{0} \) 时,定义了 \( D \) 上的全纯函数. 因此,定理得证.
为了证明式 (4),取定 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,应用如图 4 所示的周线类型.
多锁眼去掉了两个点 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) . 将走廊的边封闭,
图 4 黎曼定理证明中的多锁眼周线
最终相互交迭, 取极限时积分相互抵消:
\[
{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = 0,
\]
其中, \( {\gamma }_{\varepsilon } \) 和 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{\prime } \) 分别表示以 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的两个小圆周, 并取负方向. 根据第 2 章第 4 小节柯西积分公式的证明, 我们发现
\[
{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) .
\]
对于第二个积分,我们假设 \( f \) 是有界的,并且, 因为 \( \varepsilon \) 很小, \( \zeta \) 远离 \( z \) ,因此,
\[
\left| {{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta }\right| \leq {C\varepsilon }.
\]
令 \( \varepsilon \) 趋于 0 就能证明了.
令人惊讶的是, 黎曼定理可以根据函数在奇点的某邻域内的一些表现来推导极点的特征.
推论 3.2 假设 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的孤立奇点. 那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的极点当且仅当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) .
证明 如果 \( {z}_{0} \) 是极点,那么 \( {z}_{0} \) 就是函数 \( 1/f \) 的零点,因此,当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) \( \rightarrow + \infty \) . 反之,假设当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) ,那么函数 \( 1/f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近有界. \( 1/\left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow 0 \) . 因此, \( {z}_{0} \) 点是 \( 1/f \) 的可去奇点,因此称 \( {z}_{0} \) 为极点.
孤立奇点分为三类:
- 可去奇点 ( \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近有界)
- 极点 (当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时, \( \left| {f\left( z\right) }\right| \rightarrow + \infty \) )
- 本性奇点.
通常, 只要奇点既不是可去奇点, 又不是极点, 那就定义为本性奇点. 例如, 开始第 1 小节讨论的函数 \( {\mathrm{e}}^{1/z} \) 在 \( z = 0 \) 处是本性奇点. 我们已经观察到了函数在原点附近的这种本性. 全纯函数在可去奇点和极点处的表现是可控的, 但全纯函数在本性奇点附近却不同, 它的不规律性正是其典型特征. 下面的定理正说明这一点.
定理 3.3 (Casorati-Weierstrass) 假设函数 \( f \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 内是全纯的,并且 \( {z}_{0} \) 点是它的本性奇点. 那么,有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 在函数 \( f \) 下的象在复平面上稠密.
证明 用反证法证明. 假设有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left| {z}_{0}\right| \) 在函数 \( f \) 下的象不是稠密的,那么存在 \( w \in \mathbf{C} \) 和 \( \delta > 0 \) 使得对任意的 \( z \in {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left| {z}_{0}\right| \) 都有
\[
\left| {f\left( z\right) - w}\right| > \delta ,
\]
因此,在 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上定义一个新的函数
\[
g\left( z\right) = \frac{1}{f\left( z\right) - w},
\]
它是有孔圆盘上的全纯函数,并且以 \( 1/\delta \) 为界. 因此根据定理 3.1,点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( g \) 的可去奇点. 如果 \( g\left( {z}_{0}\right) \neq 0 \) ,那么函数 \( f\left( z\right) - w \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是全纯的,这与原假设 \( {z}_{0} \) 是本性奇点矛盾. 又如果假设 \( g\left( {z}_{0}\right) = 0 \) ,那么函数 \( f\left( z\right) - w \) 在点 \( {z}_{0} \) 处有极点, 这也与 \( {z}_{0} \) 是本性奇点矛盾. 这样证明就完全了.
事实上, Picard 证明了一个有力的结果. 他证明了在上述定理的假设下, 函数 \( f \) 可以取到每一个复值无穷多次,至多有一个例外. 尽管我们不会证明这个重要的结论, 但是, 在后面的章节研究整函数时会给出简单的解释. 见第 5 章练习 11 .
现在来讨论仅有唯一类型的孤立奇点一极点的函数. 函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是亚纯的,即如果存在点列 \( \left\{ {{z}_{0},{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 在 \( \Omega \) 上没有极限点,并使得
( i ) 函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {{z}_{0},{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 上是全纯的;
(ii) \( \left\{ {{z}_{0},{z}_{1},{z}_{2},\cdots }\right\} \) 是函数 \( f \) 的极点.
在延拓的复平面上讨论函数是亚纯的也是很有用的. 如果当 \( z \) 很大之后函数是全纯的, 可以根据前面已经归类出来的三种极点特征来描述它在无穷远处的表现. 因此,如果当 \( z \) 很大之后函数 \( f \) 是全纯的,我们考虑 \( F\left( z\right) = f\left( {1/z}\right) \) ,则 \( F \) 在原点的去心邻域内是全纯的. 如果 \( F \) 在原点有极点,那么说函数 \( f \) 在无穷大有极点. 类似地,如果说 \( F \) 在原点有本性奇点或可去奇点,则说函数 \( f \) 在无穷大有本性奇点或可去奇点. 定义在复平面上的亚纯函数当其满足在无穷大处是全纯的或者在无穷大处有极点时, 称函数在延拓的复平面上是全纯的.
此时, 回顾本章开始提到的定理, 能够给出它最简单的形式.
定理 3.4 在延拓的复平面上的全纯函数是有理函数.
证明 假设在延拓的平面上函数 \( f \) 是全纯的. 那么函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 在原点或者有极点或者有可去奇点, 并且任何一个情况都能说明函数在原点的去心邻域内是全纯的. 因此,函数 \( f \) 在平面上至多有有限个极点,记为 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{n} \) . 用到的方法就是在极点处 (包括无穷远处的) 减去函数 \( f \) 的主要部分. 在每一个极点 \( {z}_{k} \in \mathbf{C} \) 处可以写成
\[
f\left( z\right) = {f}_{k}\left( z\right) + {g}_{k}\left( z\right) ,
\]
其中 \( {f}_{k}\left( z\right) \) 是 \( f \) 在点 \( {z}_{k} \) 处的主要部分,并且 \( {g}_{k} \) 在 \( {z}_{k} \) 的整个邻域内是全纯的. 特别地, \( {f}_{k} \) 是关于 \( 1/\left( {z - {z}_{k}}\right) \) 的多项式. 类似地可记
\[
f\left( {1/z}\right) = {\widetilde{f}}_{\infty }\left( z\right) + {\widetilde{g}}_{\infty }\left( z\right) ,
\]
其中 \( {\widetilde{g}}_{\infty } \) 在原点的邻域内是全纯的, \( {\widetilde{f}}_{\infty } \) 是函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 在 0 点处的主要部分,因此它是 \( 1/z \) 的多项式. 最后,令 \( {f}_{\infty }\left( z\right) = {\widetilde{f}}_{\infty }\left( {1/z}\right) \) .
我们断言函数 \( H = f - {f}_{\infty } - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{f}_{k} \) 是整函数并且有界. 事实上,在极点 \( {z}_{k} \) 附近减去函数 \( f \) 的主要部分,使得函数 \( H \) 在这个地方具有可去奇点. 并且, \( H\left( {1/z}\right) \) 在 \( z = 0 \) 附近有界,因为我们减去了在 \( \infty \) 处的极点的主要部分. 这样就证明了我们的论点, 并且根据 Liouville 定理可以推出 \( H \) 是常数. 根据 \( H \) 的定义,函数 \( f \) 是有理函数,定理证毕.
注意到, 作为一个推论, 有理函数可以定义为描述了零点和极点的位置和重数再加上一个常数的函数.
## 黎曼球面
延拓的复平面,包括复数集 \( \mathbf{C} \) 和无穷大点,它有一个很方便的几何解释,接下来对此进行简要讨论.
考虑欧几里得空间 \( {\mathbf{R}}^{3} \) ,空间中的坐标为 \( \left( {X, Y, Z}\right) \) ,其中 \( {XY} \) -平面就表示的是复数集 \( \mathbf{C} \) . 我们记以点 \( \left( {0,0,1/2}\right) \) 为球心, \( 1/2 \) 为半径的球为 \( S \) ; 此球的直径为一个单位,它的一个顶点在复平面上的原点处,如图 5 所示. 并且,我们令 \( N = (0 \) , \( 0,1) \) 为球的北极.
给定球面 \( S \) 上的点 \( W = (X, Y \) ,
图 5 黎曼球 \( S \) 和投影
\( Z) \) ,且此点异于北极点,连接点 \( N \) 和 \( W \) 的直线与 \( {XY} \) -平面相交于唯一的一点,这一点记为 \( w = x + \mathrm{i}y \) ; 点 \( w \) 称为 \( W \) 的投影点 (见图 5). 反过来,任给复数集 \( \mathbf{C} \) 上的一点 \( w \) ,北极点 \( N \) 和点 \( w = \left( {x, y,0}\right) \) 的连线与球相交于异于北极点 \( N \) 的唯一一点,称此点为 \( W \) . 这个几何
解释给出了一个关于有孔球面 \( S - \{ N\} \) 和复平面上的点的双射,这个双射的解析描述为: 根据 \( W \) 表示 \( w \) 为
\[
x = \frac{X}{1 - Z},\;y = \frac{Y}{1 - Z},
\]
用 \( w \) 表示 \( W \)
\[
X = \frac{x}{{x}^{2} + {y}^{2} + 1},\;Y = \frac{y}{{x}^{2} + {y}^{2} + 1},\;Z = \frac{{x}^{2} + {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2} + 1}.
\]
直观地看就是复平面可以覆盖在有孔球面 \( S - \{ N\} \) 之上.
随着点 \( w \) 在复平面上趋于无穷大 (也就是 \( \left| w\right| \rightarrow \infty \) ),对应着点 \( W \) 在球面上就无限靠近北极点 \( N \) . 简单地观察便可以看出,北极点 \( N \) 就是所谓的 “无穷大点”. 在球面 \( S \) 上定义北极点 \( N \) 为无穷大点,那么延拓的复平面就可以形象化为整个的二维球面 \( S \) ,这就是黎曼球面. 因为这个解释使得只要无界集 \( C \) 上加一点就能映到紧集 \( S \) 上,黎曼球有时也称为复数集 \( \mathbf{C} \) 的单点紧化.
这个解释的一个重要推论是: 尽管球面上的无穷大点可以从复数集 \( \mathbf{C} \) 中分离出来,需要得到特别的关注,但复数集 \( \mathbf{C} \) 上的所有点都可以与球面 \( S \) 上的异于无穷大点的其他点一一对应起来. 特别是定义在延拓的复平面上的亚纯函数可以认为是球面 \( S \) 到它本身上的映射,其中极点的象在 \( S \) 上就成了容易处理的点,命名为北极点 \( N \) . 根据这些原因 (还有其他的),黎曼球为复数集 \( \mathbf{C} \) 的构成和亚纯函数定理提供了很好的几何解释.
## 4 辐角原理与应用
通过这一节的讨论, 希望能对第 6 小节中对数的讨论有所帮助. 一般地, 函数 \( \log f\left( z\right) \) 是 “多值的”,因为在集合 \( f\left( z\right) \neq 0 \) 中它不能被唯一定义. 虽然如此,但函数可以写成 \( \log \left| {f\left( z\right) }\right| + \operatorname{iarg}f\left( z\right) \) ,其中, \( \log \left| {f\left( z\right) }\right| \) 是关于正数 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 的一个实变量的对数值 (因此它是唯一确定的),只是 \( \arg f\left( z\right) \) 需要讨论才能确定 (它等于加上一个 \( {2\pi } \) 的整数倍). 注意到,在任何情况下,函数 \( \log f\left( z\right) \) 的导数都等于 \( {f}^{\prime }\left( z\right) / \) \( f\left( z\right) \) ,它是单值的,并且积分
\[
{\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z
\]
可以看成当变量 \( z \) 穿过曲线 \( \gamma \) 时,函数 \( f \) 的辐角的变换. 并且,假设曲线是封闭的,这个变换可以完全根据函数 \( f \) 在 \( \gamma \) 内部的零点和极点确定. 下面我们就推导这个结论, 作为一个精确的定理.
首先, 观察加法公式
\[
\log \left( {{f}_{1}{f}_{2}}\right) = \log {f}_{1} + \log {f}_{2},
\]
此公式很一般, 就是我们通常说的对数的性质, 从这个加法公式中, 可以想到函数相乘的导数公式. 观察下面的公式:
\[
\frac{{\left( {f}_{1}{f}_{2}\right) }^{\prime }}{{f}_{1}{f}_{2}} = \frac{{f}_{1}^{\prime }{f}_{2} + {f}_{1}{f}_{2}^{\prime }}{{f}_{1}{f}_{2}} = \frac{{f}_{1}^{\prime }}{{f}_{1}} + \frac{{f}_{2}^{\prime }}{{f}_{2}},
\]
更一般地可以推广为
\[
\frac{{\left( \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{N}{f}_{k}\right) }^{\prime }}{\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{N}{f}_{k}} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\frac{{f}_{k}^{\prime }}{{f}_{k}}
\]
下面我们就应用这个公式. 如果函数 \( f \) 是全纯的,并且点 \( {z}_{0} \) 是它的 \( n \) 重零点, 我们可以写成
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) ,
\]
其中 \( g \) 是全纯函数,并且在 \( {z}_{0} \) 的邻域内无处为零,因此,
\[
\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) } = \frac{n}{z - {z}_{0}} + G\left( z\right) ,
\]
其中 \( G\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( z\right) /g\left( z\right) \) . 得出结论是,如果点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的 \( n \) 重零点,那么 \( {f}^{\prime }/f \) 在点 \( {z}_{0} \) 有单极点,并且其留数为 \( n \) . 注意到,类似的定理依然成立,如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 有 \( n \) 重极点,也就是说, \( f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}h\left( z\right) \) ,那么
\[
\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) } = \frac{-n}{z - {z}_{0}} + H\left( z\right) .
\]
因此,如果函数 \( f \) 是亚纯的,那么函数 \( {f}^{\prime }/f \) 在 \( f \) 的零点和极点处有单极点,其留数就等于 \( f \) 的零点的重数,或 \( f \) 的极点阶数的负值. 作为结论,关于留数公式的应用给出下面的定理.
定理 4.1 (辐角原理) 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中是亚纯的, 如果函数 \( f \) 在圆周 \( C \) 上没有极点,也没有零点,那么
\( \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) }\mathrm{d}z = \left( {f\text{在}C\text{的内部零点的个数}}\right) \) 减去 \( \left( {f\text{在}C\text{的内部极点的个数}}\right) \) , 其中, | 定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点. | 证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta . \]\n\n(4)\n\n根据上一章定理 5.4 的应用就能证明,式 (4) 右边的积分,当 \( z \neq {z}_{0} \) 时,定义了 \( D \) 上的全纯函数. 因此,定理得证.\n\n为了证明式 (4),取定 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,应用如图 4 所示的周线类型.\n\n多锁眼去掉了两个点 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) . 将走廊的边封闭,\n\n\n\n图 4 黎曼定理证明中的多锁眼周线\n\n最终相互交迭, 取极限时积分相互抵消:\n\n\[ {\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta + {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = 0, \]\n\n其中, \( {\gamma }_{\varepsilon } \) 和 \( {\gamma }_{\varepsilon }^{\prime } \) 分别表示以 \( z \) 和 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的两个小圆周, 并取负方向. 根据第 2 章第 4 小节柯西积分公式的证明, 我们发现\n\n\[ {\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = - {2\pi }\mathrm{i}f\left( z\right) . \]\n\n对于第二个积分,我们假设 \( f \) 是有界的,并且, 因为 \( \varepsilon \) 很小, \( \zeta \) 远离 \( z \) ,因此,\n\n\[ \left| {{\int }_{{\gamma }_{\varepsilon }^{\prime }}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta }\right| \leq {C\varepsilon }. \]\n\n令 \( \varepsilon \) 趋于 0 就能证明了. |
推论 4.2 对于其他类型的周线, 上面的定理依然成立.
作为辐角原理的应用, 我们将证明三个感兴趣的定理. 首先是, Rouché 定理, 它是说全纯函数可以不改变零点的个数而进行细微扰动. 然后, 我们证明了开映射定理, 即全纯函数将开集映为开集, 这个重要性质是全纯函数的特有本性. 最后是最大模原理: 定义在开集 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数在 \( \Omega \) 的内部不能获得它的最大值.
定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,
\]
那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数.
证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义
\[
{f}_{t}\left( z\right) = f\left( z\right) + \operatorname{tg}\left( z\right) ,
\]
使得 \( {f}_{0} = f \) 且 \( {f}_{1} = f + g \) . 令 \( {n}_{t} \) 表示函数 \( {f}_{t} \) 在圆周内部的零点个数 (按重数计算), 因此, \( {n}_{t} \) 是整数. 已知当 \( z \in C \) 时,满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| \) ,从而知道 \( {f}_{t} \) 在圆周内没有零点, 并且根据辐角原理, 可知
\[
{n}_{t} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{f}_{t}^{\prime }\left( z\right) }{{f}_{t}\left( z\right) }\mathrm{d}z.
\]
要想证明 \( {n}_{t} \) 是常数,只要证明它是关于 \( t \) 的连续函数即可. 用反证法,我们讨论如果 \( {n}_{t} \) 不是常数,根据介值定理,存在某个 \( {t}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 使得 \( {n}_{{t}_{0}} \) 不是整数,这与对所有的 \( t,{n}_{t} \in \mathbf{Z} \) 矛盾.
为了证明 \( {n}_{t} \) 的连续性,观察到函数 \( {f}_{t}^{\prime }\left( z\right) /{f}_{t}\left( z\right) \) 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( z \in C \) 是联合连续的. 此联合连续性对它的分子和分母分别都成立, 并且根据我们的假设条件, 能保证 \( {f}_{t}\left( z\right) \) 在圆周 \( C \) 上不等于零. 因此, \( {n}_{t} \) 是整数值且是连续的,它一定是常数. 只要令 \( {n}_{0} = {n}_{1} \) ,就是 Rouché 定理了.
下面, 我们看全纯函数的一个很重要的几何性质, 这个性质只有当把它们考虑成映射 (复平面到复平面上的映射) 的时候才能呈现出来.
如果映射是从开集映射到开集, 那么此映射是开的.
定理 4.4 (开映射定理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,且它不是常函数,那么 \( f \) 是开的.
证明 令 \( {w}_{0} \) 属于 \( f \) 的象,也就是说 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 我们证明所有 \( {w}_{0} \) 附近的点 \( w \) 也都是函数 \( f \) 的象.
定义 \( g\left( z\right) = f\left( z\right) - w \) 并可以写成
\[
g\left( z\right) = \left( {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right) + \left( {{w}_{0} - w}\right)
\]
\[
= F\left( z\right) + G\left( z\right) \text{.}
\]
现在选择 \( \delta > 0 \) 使得圆盘 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq \delta \) 包含在 \( \Omega \) 内,并且在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( f \) \( \left( z\right) \neq {w}_{0} \) . 然后我们选择 \( \varepsilon > 0 \) 使得在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上, \( \left| {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right| \geq \varepsilon \) . 现在如果 \( \left| {w - {w}_{0}}\right| < \varepsilon \) ,在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| > \left| {G\left( z\right) }\right| \) ,并根据 Rouché 定理,因为 \( F \) 在圆周内有一个零点,我们推出 \( g = F + G \) 在圆周内也只有一个零点.
下面的结论与全纯函数的大小有关. 我们将涉及全纯函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上的最大值与它的绝对值 \( \left| f\right| \) 在 \( \Omega \) 上的最大值一样.
定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值.
证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| \) ,矛盾.
推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立.
注意: 假设 \( \bar{\Omega } \) 是紧集 (它是有界的) 在推论中起着关键作用. 我们举个例子, 第 4 章内容中将要用到. 令 \( \Omega \) 是第一象限中的开集,以正实轴 \( x \geq 0 \) 和虚轴 \( y \geq 0 \) 为边界. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{z}^{2}} \) . 那么 \( F \) 是整的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上是连续的. 虽然在边界线 \( z = x \) 和 \( z = \mathrm{i}y \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) ,但是 \( F\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 上是无界的,例如,如果 \( z = r\sqrt{\mathrm{i}} = \) \( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}, F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{r}^{2}}. \)
## 5 同伦和单连通区域
柯西定理的一般形式和多值函数分析的关键是了解一个给定的全纯函数在什么区域内可以定义原函数. 通过研究对数函数,知道对数函数就可以作为 \( 1/z \) 的原函数. 问题是, 这不仅是个局部情况, 而且还是全局的. 要解释这种情况, 需要同伦的概念和单连通性的结论.
令 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 是开集 \( \Omega \) 中具有相同的起止点的两条曲线. 因此 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有两个参数化法,即
\[
{\gamma }_{0}\left( a\right) = {\gamma }_{1}\left( a\right) = \alpha \text{ 和 }{\gamma }_{0}\left( b\right) = {\gamma }_{1}\left( b\right) = \beta .
\]
这两条曲线在 \( \Omega \) 上称为同伦的,即如果对任意 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,存在曲线 \( {\gamma }_{s} \subset \Omega \) ,通过 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上参数化法,使得对每一个 \( s \) 满足
\[
{\gamma }_{s}\left( a\right) = \alpha \text{和}{\gamma }_{s}\left( b\right) = \beta \text{,}
\]
并对所有 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足
\[
{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 0} = {\gamma }_{0}\left( t\right) \text{ 和 }{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 1} = {\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
并且, \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( s \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是联合连续的.
简单地说,两条曲线同伦是指,如果一条曲线可以通过连续地变换且不离开 \( \Omega \) 而完全变成另一条曲线 (见图 6).
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的.
证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.
可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .
\]
确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且
\[
{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.
\]
这个情况如图 7 中所描述的.
图 7 用圆盘覆盖两条邻近曲线
并且我们选择 \( {z}_{0} = {w}_{0} \) 作为两条曲线的起点, \( {z}_{n + 1} = {w}_{n + 1} \) 作为两条曲线的终点. 在每一个圆盘 \( {D}_{i} \) 中,令 \( {F}_{i} \) 表示 \( f \) 的原函数 (第 2 章中的定理 2.1). 在 \( {D}_{i} \) 和 \( {D}_{i + 1} \) 的交集中, \( {F}_{i} \) 和 \( {F}_{i + 1} \) 是同一个函数的两个原函数,因此它们一定相差一个常数, 记为 \( {c}_{i} \) . 因此,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) = {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) ,
\]
并且,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) = {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) .
\]
(5)
这意味着
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f - {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i}\right) }\right\rbrack - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - \left( {{F}_{i}\left( {z}_{i}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{n}\left( {z}_{n + 1}\right) - {F}_{n}\left( {w}_{n + 1}\right) - \left( {{F}_{0}\left( {z}_{0}\right) - {F}_{0}\left( {w}_{0}\right) }\right) ,
\]
因为式 (5) 中间项都抵消掉了,就有了上面的等式. 最后因为 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 和 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 有相同的起止点, 我们就证明了
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f = {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f.
\]
通过将区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 细分成区间长度小于 \( \delta \) 的子区间 \( \left\lbrack {{s}_{i},{s}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可以将上面的讨论连续应用有限多次,就变成了从 \( {\gamma }_{0} \) 到 \( {\gamma }_{1} \) 上的了. 这样定理就得到了证明.
区域 \( \Omega \) 在复平面中是单连通的,当且仅当 \( \Omega \) 中任意两条具有相同起止点的曲线都是同伦的.
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \ | 定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有\n\n\[ \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,\]\n\n那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数. | 证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义\n\n\[ {f}_{t}\left( z\right) = f\left( z\right) + \operatorname{tg}\left( z\right) ,\]\n\n使得 \( {f}_{0} = f \) 且 \( {f}_{1} = f + g \) . 令 \( {n}_{t} \) 表示函数 \( {f}_{t} \) 在圆周内部的零点个数 (按重数计算), 因此, \( {n}_{t} \) 是整数. 已知当 \( z \in C \) 时,满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| \) ,从而知道 \( {f}_{t} \) 在圆周内没有零点, 并且根据辐角原理, 可知\n\n\[ {n}_{t} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{f}_{t}^{\prime }\left( z\right) }{{f}_{t}\left( z\right) }\mathrm{d}z.\]\n\n要想证明 \( {n}_{t} \) 是常数,只要证明它是关于 \( t \) 的连续函数即可. 用反证法,我们讨论如果 \( {n}_{t} \) 不是常数,根据介值定理,存在某个 \( {t}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 使得 \( {n}_{{t}_{0}} \) 不是整数,这与对所有的 \( t,{n}_{t} \in \mathbf{Z} \) 矛盾.\n\n为了证明 \( {n}_{t} \) 的连续性,观察到函数 \( {f}_{t}^{\prime }\left( z\right) /{f}_{t}\left( z\right) \) 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( z \in C \) 是联合连续的. 此联合连续性对它的分子和分母分别都成立, 并且根据我们的假设条件, 能保证 \( {f}_{t}\left( z\right) \) 在圆周 \( C \) 上不等于零. 因此, \( {n}_{t} \) 是整数值且是连续的,它一定是常数. 只要令 \( {n}_{0} = {n}_{1} \) ,就是 Rouché 定理了. |
定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,
\]
那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数.
证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义
\[
{f}_{t}\left( z\right) = f\left( z\right) + \operatorname{tg}\left( z\right) ,
\]
使得 \( {f}_{0} = f \) 且 \( {f}_{1} = f + g \) . 令 \( {n}_{t} \) 表示函数 \( {f}_{t} \) 在圆周内部的零点个数 (按重数计算), 因此, \( {n}_{t} \) 是整数. 已知当 \( z \in C \) 时,满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| \) ,从而知道 \( {f}_{t} \) 在圆周内没有零点, 并且根据辐角原理, 可知
\[
{n}_{t} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{f}_{t}^{\prime }\left( z\right) }{{f}_{t}\left( z\right) }\mathrm{d}z.
\]
要想证明 \( {n}_{t} \) 是常数,只要证明它是关于 \( t \) 的连续函数即可. 用反证法,我们讨论如果 \( {n}_{t} \) 不是常数,根据介值定理,存在某个 \( {t}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 使得 \( {n}_{{t}_{0}} \) 不是整数,这与对所有的 \( t,{n}_{t} \in \mathbf{Z} \) 矛盾.
为了证明 \( {n}_{t} \) 的连续性,观察到函数 \( {f}_{t}^{\prime }\left( z\right) /{f}_{t}\left( z\right) \) 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( z \in C \) 是联合连续的. 此联合连续性对它的分子和分母分别都成立, 并且根据我们的假设条件, 能保证 \( {f}_{t}\left( z\right) \) 在圆周 \( C \) 上不等于零. 因此, \( {n}_{t} \) 是整数值且是连续的,它一定是常数. 只要令 \( {n}_{0} = {n}_{1} \) ,就是 Rouché 定理了.
下面, 我们看全纯函数的一个很重要的几何性质, 这个性质只有当把它们考虑成映射 (复平面到复平面上的映射) 的时候才能呈现出来.
如果映射是从开集映射到开集, 那么此映射是开的.
定理 4.4 (开映射定理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,且它不是常函数,那么 \( f \) 是开的.
证明 令 \( {w}_{0} \) 属于 \( f \) 的象,也就是说 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 我们证明所有 \( {w}_{0} \) 附近的点 \( w \) 也都是函数 \( f \) 的象.
定义 \( g\left( z\right) = f\left( z\right) - w \) 并可以写成
\[
g\left( z\right) = \left( {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right) + \left( {{w}_{0} - w}\right)
\]
\[
= F\left( z\right) + G\left( z\right) \text{.}
\]
现在选择 \( \delta > 0 \) 使得圆盘 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq \delta \) 包含在 \( \Omega \) 内,并且在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( f \) \( \left( z\right) \neq {w}_{0} \) . 然后我们选择 \( \varepsilon > 0 \) 使得在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上, \( \left| {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right| \geq \varepsilon \) . 现在如果 \( \left| {w - {w}_{0}}\right| < \varepsilon \) ,在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| > \left| {G\left( z\right) }\right| \) ,并根据 Rouché 定理,因为 \( F \) 在圆周内有一个零点,我们推出 \( g = F + G \) 在圆周内也只有一个零点.
下面的结论与全纯函数的大小有关. 我们将涉及全纯函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上的最大值与它的绝对值 \( \left| f\right| \) 在 \( \Omega \) 上的最大值一样.
定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值.
证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| \) ,矛盾.
推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立.
注意: 假设 \( \bar{\Omega } \) 是紧集 (它是有界的) 在推论中起着关键作用. 我们举个例子, 第 4 章内容中将要用到. 令 \( \Omega \) 是第一象限中的开集,以正实轴 \( x \geq 0 \) 和虚轴 \( y \geq 0 \) 为边界. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{z}^{2}} \) . 那么 \( F \) 是整的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上是连续的. 虽然在边界线 \( z = x \) 和 \( z = \mathrm{i}y \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) ,但是 \( F\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 上是无界的,例如,如果 \( z = r\sqrt{\mathrm{i}} = \) \( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}, F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{r}^{2}}. \)
## 5 同伦和单连通区域
柯西定理的一般形式和多值函数分析的关键是了解一个给定的全纯函数在什么区域内可以定义原函数. 通过研究对数函数,知道对数函数就可以作为 \( 1/z \) 的原函数. 问题是, 这不仅是个局部情况, 而且还是全局的. 要解释这种情况, 需要同伦的概念和单连通性的结论.
令 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 是开集 \( \Omega \) 中具有相同的起止点的两条曲线. 因此 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有两个参数化法,即
\[
{\gamma }_{0}\left( a\right) = {\gamma }_{1}\left( a\right) = \alpha \text{ 和 }{\gamma }_{0}\left( b\right) = {\gamma }_{1}\left( b\right) = \beta .
\]
这两条曲线在 \( \Omega \) 上称为同伦的,即如果对任意 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,存在曲线 \( {\gamma }_{s} \subset \Omega \) ,通过 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上参数化法,使得对每一个 \( s \) 满足
\[
{\gamma }_{s}\left( a\right) = \alpha \text{和}{\gamma }_{s}\left( b\right) = \beta \text{,}
\]
并对所有 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足
\[
{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 0} = {\gamma }_{0}\left( t\right) \text{ 和 }{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 1} = {\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
并且, \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( s \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是联合连续的.
简单地说,两条曲线同伦是指,如果一条曲线可以通过连续地变换且不离开 \( \Omega \) 而完全变成另一条曲线 (见图 6).
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的.
证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.
可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .
\]
确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且
\[
{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.
\]
这个情况如图 7 中所描述的.
图 7 用圆盘覆盖两条邻近曲线
并且我们选择 \( {z}_{0} = {w}_{0} \) 作为两条曲线的起点, \( {z}_{n + 1} = {w}_{n + 1} \) 作为两条曲线的终点. 在每一个圆盘 \( {D}_{i} \) 中,令 \( {F}_{i} \) 表示 \( f \) 的原函数 (第 2 章中的定理 2.1). 在 \( {D}_{i} \) 和 \( {D}_{i + 1} \) 的交集中, \( {F}_{i} \) 和 \( {F}_{i + 1} \) 是同一个函数的两个原函数,因此它们一定相差一个常数, 记为 \( {c}_{i} \) . 因此,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) = {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) ,
\]
并且,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) = {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) .
\]
(5)
这意味着
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f - {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i}\right) }\right\rbrack - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - \left( {{F}_{i}\left( {z}_{i}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{n}\left( {z}_{n + 1}\right) - {F}_{n}\left( {w}_{n + 1}\right) - \left( {{F}_{0}\left( {z}_{0}\right) - {F}_{0}\left( {w}_{0}\right) }\right) ,
\]
因为式 (5) 中间项都抵消掉了,就有了上面的等式. 最后因为 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 和 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 有相同的起止点, 我们就证明了
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f = {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f.
\]
通过将区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 细分成区间长度小于 \( \delta \) 的子区间 \( \left\lbrack {{s}_{i},{s}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可以将上面的讨论连续应用有限多次,就变成了从 \( {\gamma }_{0} \) 到 \( {\gamma }_{1} \) 上的了. 这样定理就得到了证明.
区域 \( \Omega \) 在复平面中是单连通的,当且仅当 \( \Omega \) 中任意两条具有相同起止点的曲线都是同伦的.
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) | 定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有\n\n\[ \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,\]\n\n那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数. | 证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义\n\n\[ {f}_{t}\left( z\right) = f\left( z\right) + \operatorname{tg}\left( z\right) ,\]\n\n使得 \( {f}_{0} = f \) 且 \( {f}_{1} = f + g \) . 令 \( {n}_{t} \) 表示函数 \( {f}_{t} \) 在圆周内部的零点个数 (按重数计算), 因此, \( {n}_{t} \) 是整数. 已知当 \( z \in C \) 时,满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| \) ,从而知道 \( {f}_{t} \) 在圆周内没有零点, 并且根据辐角原理, 可知\n\n\[ {n}_{t} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{f}_{t}^{\prime }\left( z\right) }{{f}_{t}\left( z\right) }\mathrm{d}z.\]\n\n要想证明 \( {n}_{t} \) 是常数,只要证明它是关于 \( t \) 的连续函数即可. 用反证法,我们讨论如果 \( {n}_{t} \) 不是常数,根据介值定理,存在某个 \( {t}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 使得 \( {n}_{{t}_{0}} \) 不是整数,这与对所有的 \( t,{n}_{t} \in \mathbf{Z} \) 矛盾.\n\n为了证明 \( {n}_{t} \) 的连续性,观察到函数 \( {f}_{t}^{\prime }\left( z\right) /{f}_{t}\left( z\right) \) 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( z \in C \) 是联合连续的. 此联合连续性对它的分子和分母分别都成立, 并且根据我们的假设条件, 能保证 \( {f}_{t}\left( z\right) \) 在圆周 \( C \) 上不等于零. 因此, \( {n}_{t} \) 是整数值且是连续的,它一定是常数. 只要令 \( {n}_{0} = {n}_{1} \) ,就是 Rouché 定理了. |
定理 4.4 (开映射定理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,且它不是常函数,那么 \( f \) 是开的.
证明 令 \( {w}_{0} \) 属于 \( f \) 的象,也就是说 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 我们证明所有 \( {w}_{0} \) 附近的点 \( w \) 也都是函数 \( f \) 的象.
定义 \( g\left( z\right) = f\left( z\right) - w \) 并可以写成
\[
g\left( z\right) = \left( {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right) + \left( {{w}_{0} - w}\right)
\]
\[
= F\left( z\right) + G\left( z\right) \text{.}
\]
现在选择 \( \delta > 0 \) 使得圆盘 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq \delta \) 包含在 \( \Omega \) 内,并且在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( f \) \( \left( z\right) \neq {w}_{0} \) . 然后我们选择 \( \varepsilon > 0 \) 使得在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上, \( \left| {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right| \geq \varepsilon \) . 现在如果 \( \left| {w - {w}_{0}}\right| < \varepsilon \) ,在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| > \left| {G\left( z\right) }\right| \) ,并根据 Rouché 定理,因为 \( F \) 在圆周内有一个零点,我们推出 \( g = F + G \) 在圆周内也只有一个零点.
下面的结论与全纯函数的大小有关. 我们将涉及全纯函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上的最大值与它的绝对值 \( \left| f\right| \) 在 \( \Omega \) 上的最大值一样.
定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值.
证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| \) ,矛盾.
推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立.
注意: 假设 \( \bar{\Omega } \) 是紧集 (它是有界的) 在推论中起着关键作用. 我们举个例子, 第 4 章内容中将要用到. 令 \( \Omega \) 是第一象限中的开集,以正实轴 \( x \geq 0 \) 和虚轴 \( y \geq 0 \) 为边界. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{z}^{2}} \) . 那么 \( F \) 是整的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上是连续的. 虽然在边界线 \( z = x \) 和 \( z = \mathrm{i}y \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) ,但是 \( F\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 上是无界的,例如,如果 \( z = r\sqrt{\mathrm{i}} = \) \( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}, F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{r}^{2}}. \)
## 5 同伦和单连通区域
柯西定理的一般形式和多值函数分析的关键是了解一个给定的全纯函数在什么区域内可以定义原函数. 通过研究对数函数,知道对数函数就可以作为 \( 1/z \) 的原函数. 问题是, 这不仅是个局部情况, 而且还是全局的. 要解释这种情况, 需要同伦的概念和单连通性的结论.
令 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 是开集 \( \Omega \) 中具有相同的起止点的两条曲线. 因此 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有两个参数化法,即
\[
{\gamma }_{0}\left( a\right) = {\gamma }_{1}\left( a\right) = \alpha \text{ 和 }{\gamma }_{0}\left( b\right) = {\gamma }_{1}\left( b\right) = \beta .
\]
这两条曲线在 \( \Omega \) 上称为同伦的,即如果对任意 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,存在曲线 \( {\gamma }_{s} \subset \Omega \) ,通过 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上参数化法,使得对每一个 \( s \) 满足
\[
{\gamma }_{s}\left( a\right) = \alpha \text{和}{\gamma }_{s}\left( b\right) = \beta \text{,}
\]
并对所有 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足
\[
{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 0} = {\gamma }_{0}\left( t\right) \text{ 和 }{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 1} = {\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
并且, \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( s \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是联合连续的.
简单地说,两条曲线同伦是指,如果一条曲线可以通过连续地变换且不离开 \( \Omega \) 而完全变成另一条曲线 (见图 6).
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的.
证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.
可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .
\]
确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且
\[
{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.
\]
这个情况如图 7 中所描述的.
图 7 用圆盘覆盖两条邻近曲线
并且我们选择 \( {z}_{0} = {w}_{0} \) 作为两条曲线的起点, \( {z}_{n + 1} = {w}_{n + 1} \) 作为两条曲线的终点. 在每一个圆盘 \( {D}_{i} \) 中,令 \( {F}_{i} \) 表示 \( f \) 的原函数 (第 2 章中的定理 2.1). 在 \( {D}_{i} \) 和 \( {D}_{i + 1} \) 的交集中, \( {F}_{i} \) 和 \( {F}_{i + 1} \) 是同一个函数的两个原函数,因此它们一定相差一个常数, 记为 \( {c}_{i} \) . 因此,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) = {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) ,
\]
并且,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) = {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) .
\]
(5)
这意味着
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f - {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i}\right) }\right\rbrack - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - \left( {{F}_{i}\left( {z}_{i}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{n}\left( {z}_{n + 1}\right) - {F}_{n}\left( {w}_{n + 1}\right) - \left( {{F}_{0}\left( {z}_{0}\right) - {F}_{0}\left( {w}_{0}\right) }\right) ,
\]
因为式 (5) 中间项都抵消掉了,就有了上面的等式. 最后因为 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 和 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 有相同的起止点, 我们就证明了
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f = {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f.
\]
通过将区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 细分成区间长度小于 \( \delta \) 的子区间 \( \left\lbrack {{s}_{i},{s}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可以将上面的讨论连续应用有限多次,就变成了从 \( {\gamma }_{0} \) 到 \( {\gamma }_{1} \) 上的了. 这样定理就得到了证明.
区域 \( \Omega \) 在复平面中是单连通的,当且仅当 \( \Omega \) 中任意两条具有相同起止点的曲线都是同伦的.
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{s}\left( t\right) } \) ,其中,
\[
{r}_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {r}_{0}\left( t\right) + s{r}_{1}\left( t\right)
\]
和
\[
{\theta }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\theta }_{0}\left( t\right) + s{\theta }_{1}\left( t\right) .
\]
当 \( 0 \leq s \leq 1 \) 时就有 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \in \Omega \) .
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Om | 定理 4.4 (开映射定理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,且它不是常函数,那么 \( f \) 是开的. | 证明 令 \( {w}_{0} \) 属于 \( f \) 的象,也就是说 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 我们证明所有 \( {w}_{0} \) 附近的点 \( w \) 也都是函数 \( f \) 的象.\n\n定义 \( g\left( z\right) = f\left( z\right) - w \) 并可以写成\n\n\[ g\left( z\right) = \left( {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right) + \left( {{w}_{0} - w}\right) \]\n\n\[ = F\left( z\right) + G\left( z\right) \text{.} \]\n\n现在选择 \( \delta > 0 \) 使得圆盘 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| \leq \delta \) 包含在 \( \Omega \) 内,并且在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( f \) \( \left( z\right) \neq {w}_{0} \) . 然后我们选择 \( \varepsilon > 0 \) 使得在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上, \( \left| {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right| \geq \varepsilon \) . 现在如果 \( \left| {w - {w}_{0}}\right| < \varepsilon \) ,在圆周 \( \left| {z - {z}_{0}}\right| = \delta \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| > \left| {G\left( z\right) }\right| \) ,并根据 Rouché 定理,因为 \( F \) 在圆周内有一个零点,我们推出 \( g = F + G \) 在圆周内也只有一个零点. |
定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值.
证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| \) ,矛盾.
推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立.
注意: 假设 \( \bar{\Omega } \) 是紧集 (它是有界的) 在推论中起着关键作用. 我们举个例子, 第 4 章内容中将要用到. 令 \( \Omega \) 是第一象限中的开集,以正实轴 \( x \geq 0 \) 和虚轴 \( y \geq 0 \) 为边界. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{z}^{2}} \) . 那么 \( F \) 是整的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上是连续的. 虽然在边界线 \( z = x \) 和 \( z = \mathrm{i}y \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) ,但是 \( F\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 上是无界的,例如,如果 \( z = r\sqrt{\mathrm{i}} = \) \( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}, F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{r}^{2}}. \)
## 5 同伦和单连通区域
柯西定理的一般形式和多值函数分析的关键是了解一个给定的全纯函数在什么区域内可以定义原函数. 通过研究对数函数,知道对数函数就可以作为 \( 1/z \) 的原函数. 问题是, 这不仅是个局部情况, 而且还是全局的. 要解释这种情况, 需要同伦的概念和单连通性的结论.
令 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 是开集 \( \Omega \) 中具有相同的起止点的两条曲线. 因此 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有两个参数化法,即
\[
{\gamma }_{0}\left( a\right) = {\gamma }_{1}\left( a\right) = \alpha \text{ 和 }{\gamma }_{0}\left( b\right) = {\gamma }_{1}\left( b\right) = \beta .
\]
这两条曲线在 \( \Omega \) 上称为同伦的,即如果对任意 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,存在曲线 \( {\gamma }_{s} \subset \Omega \) ,通过 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上参数化法,使得对每一个 \( s \) 满足
\[
{\gamma }_{s}\left( a\right) = \alpha \text{和}{\gamma }_{s}\left( b\right) = \beta \text{,}
\]
并对所有 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足
\[
{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 0} = {\gamma }_{0}\left( t\right) \text{ 和 }{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 1} = {\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
并且, \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( s \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是联合连续的.
简单地说,两条曲线同伦是指,如果一条曲线可以通过连续地变换且不离开 \( \Omega \) 而完全变成另一条曲线 (见图 6).
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的.
证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.
可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .
\]
确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且
\[
{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.
\]
这个情况如图 7 中所描述的.
图 7 用圆盘覆盖两条邻近曲线
并且我们选择 \( {z}_{0} = {w}_{0} \) 作为两条曲线的起点, \( {z}_{n + 1} = {w}_{n + 1} \) 作为两条曲线的终点. 在每一个圆盘 \( {D}_{i} \) 中,令 \( {F}_{i} \) 表示 \( f \) 的原函数 (第 2 章中的定理 2.1). 在 \( {D}_{i} \) 和 \( {D}_{i + 1} \) 的交集中, \( {F}_{i} \) 和 \( {F}_{i + 1} \) 是同一个函数的两个原函数,因此它们一定相差一个常数, 记为 \( {c}_{i} \) . 因此,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) = {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) ,
\]
并且,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) = {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) .
\]
(5)
这意味着
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f - {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i}\right) }\right\rbrack - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - \left( {{F}_{i}\left( {z}_{i}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{n}\left( {z}_{n + 1}\right) - {F}_{n}\left( {w}_{n + 1}\right) - \left( {{F}_{0}\left( {z}_{0}\right) - {F}_{0}\left( {w}_{0}\right) }\right) ,
\]
因为式 (5) 中间项都抵消掉了,就有了上面的等式. 最后因为 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 和 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 有相同的起止点, 我们就证明了
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f = {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f.
\]
通过将区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 细分成区间长度小于 \( \delta \) 的子区间 \( \left\lbrack {{s}_{i},{s}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可以将上面的讨论连续应用有限多次,就变成了从 \( {\gamma }_{0} \) 到 \( {\gamma }_{1} \) 上的了. 这样定理就得到了证明.
区域 \( \Omega \) 在复平面中是单连通的,当且仅当 \( \Omega \) 中任意两条具有相同起止点的曲线都是同伦的.
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{s}\left( t\right) } \) ,其中,
\[
{r}_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {r}_{0}\left( t\right) + s{r}_{1}\left( t\right)
\]
和
\[
{\theta }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\theta }_{0}\left( t\right) + s{\theta }_{1}\left( t\right) .
\]
当 \( 0 \leq s \leq 1 \) 时就有 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \in \Omega \) .
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附 | 定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值. | 证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| \) ,矛盾. |
推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立.
注意: 假设 \( \bar{\Omega } \) 是紧集 (它是有界的) 在推论中起着关键作用. 我们举个例子, 第 4 章内容中将要用到. 令 \( \Omega \) 是第一象限中的开集,以正实轴 \( x \geq 0 \) 和虚轴 \( y \geq 0 \) 为边界. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{z}^{2}} \) . 那么 \( F \) 是整的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上是连续的. 虽然在边界线 \( z = x \) 和 \( z = \mathrm{i}y \) 上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| = 1 \) ,但是 \( F\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 上是无界的,例如,如果 \( z = r\sqrt{\mathrm{i}} = \) \( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}, F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{r}^{2}}. \)
## 5 同伦和单连通区域
柯西定理的一般形式和多值函数分析的关键是了解一个给定的全纯函数在什么区域内可以定义原函数. 通过研究对数函数,知道对数函数就可以作为 \( 1/z \) 的原函数. 问题是, 这不仅是个局部情况, 而且还是全局的. 要解释这种情况, 需要同伦的概念和单连通性的结论.
令 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 是开集 \( \Omega \) 中具有相同的起止点的两条曲线. 因此 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有两个参数化法,即
\[
{\gamma }_{0}\left( a\right) = {\gamma }_{1}\left( a\right) = \alpha \text{ 和 }{\gamma }_{0}\left( b\right) = {\gamma }_{1}\left( b\right) = \beta .
\]
这两条曲线在 \( \Omega \) 上称为同伦的,即如果对任意 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,存在曲线 \( {\gamma }_{s} \subset \Omega \) ,通过 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上参数化法,使得对每一个 \( s \) 满足
\[
{\gamma }_{s}\left( a\right) = \alpha \text{和}{\gamma }_{s}\left( b\right) = \beta \text{,}
\]
并对所有 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足
\[
{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 0} = {\gamma }_{0}\left( t\right) \text{ 和 }{\left. {\gamma }_{s}\left( t\right) \right| }_{s = 1} = {\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
并且, \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( s \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 和 \( t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是联合连续的.
简单地说,两条曲线同伦是指,如果一条曲线可以通过连续地变换且不离开 \( \Omega \) 而完全变成另一条曲线 (见图 6).
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的.
证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.
可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .
\]
确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且
\[
{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.
\]
这个情况如图 7 中所描述的.
图 7 用圆盘覆盖两条邻近曲线
并且我们选择 \( {z}_{0} = {w}_{0} \) 作为两条曲线的起点, \( {z}_{n + 1} = {w}_{n + 1} \) 作为两条曲线的终点. 在每一个圆盘 \( {D}_{i} \) 中,令 \( {F}_{i} \) 表示 \( f \) 的原函数 (第 2 章中的定理 2.1). 在 \( {D}_{i} \) 和 \( {D}_{i + 1} \) 的交集中, \( {F}_{i} \) 和 \( {F}_{i + 1} \) 是同一个函数的两个原函数,因此它们一定相差一个常数, 记为 \( {c}_{i} \) . 因此,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) = {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) ,
\]
并且,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) = {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) .
\]
(5)
这意味着
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f - {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i}\right) }\right\rbrack - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - \left( {{F}_{i}\left( {z}_{i}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{n}\left( {z}_{n + 1}\right) - {F}_{n}\left( {w}_{n + 1}\right) - \left( {{F}_{0}\left( {z}_{0}\right) - {F}_{0}\left( {w}_{0}\right) }\right) ,
\]
因为式 (5) 中间项都抵消掉了,就有了上面的等式. 最后因为 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 和 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 有相同的起止点, 我们就证明了
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f = {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f.
\]
通过将区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 细分成区间长度小于 \( \delta \) 的子区间 \( \left\lbrack {{s}_{i},{s}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可以将上面的讨论连续应用有限多次,就变成了从 \( {\gamma }_{0} \) 到 \( {\gamma }_{1} \) 上的了. 这样定理就得到了证明.
区域 \( \Omega \) 在复平面中是单连通的,当且仅当 \( \Omega \) 中任意两条具有相同起止点的曲线都是同伦的.
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{s}\left( t\right) } \) ,其中,
\[
{r}_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {r}_{0}\left( t\right) + s{r}_{1}\left( t\right)
\]
和
\[
{\theta }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\theta }_{0}\left( t\right) + s{\theta }_{1}\left( t\right) .
\]
当 \( 0 \leq s \leq 1 \) 时就有 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \in \Omega \) .
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( | 推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么\n\n\[ \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| . \] | 事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立. |
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的.
证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.
可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .
\]
确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且
\[
{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.
\]
这个情况如图 7 中所描述的.
图 7 用圆盘覆盖两条邻近曲线
并且我们选择 \( {z}_{0} = {w}_{0} \) 作为两条曲线的起点, \( {z}_{n + 1} = {w}_{n + 1} \) 作为两条曲线的终点. 在每一个圆盘 \( {D}_{i} \) 中,令 \( {F}_{i} \) 表示 \( f \) 的原函数 (第 2 章中的定理 2.1). 在 \( {D}_{i} \) 和 \( {D}_{i + 1} \) 的交集中, \( {F}_{i} \) 和 \( {F}_{i + 1} \) 是同一个函数的两个原函数,因此它们一定相差一个常数, 记为 \( {c}_{i} \) . 因此,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) = {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) ,
\]
并且,
\[
{F}_{i + 1}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i + 1}\left( {w}_{i + 1}\right) = {F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) .
\]
(5)
这意味着
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f - {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f = \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {z}_{i}\right) }\right\rbrack - \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}\left\lbrack {{F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right\rbrack
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{i = 0}}^{n}{F}_{i}\left( {z}_{i + 1}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i + 1}\right) - \left( {{F}_{i}\left( {z}_{i}\right) - {F}_{i}\left( {w}_{i}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{n}\left( {z}_{n + 1}\right) - {F}_{n}\left( {w}_{n + 1}\right) - \left( {{F}_{0}\left( {z}_{0}\right) - {F}_{0}\left( {w}_{0}\right) }\right) ,
\]
因为式 (5) 中间项都抵消掉了,就有了上面的等式. 最后因为 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 和 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 有相同的起止点, 我们就证明了
\[
{\int }_{{\gamma }_{{s}_{1}}}f = {\int }_{{\gamma }_{{s}_{2}}}f.
\]
通过将区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 细分成区间长度小于 \( \delta \) 的子区间 \( \left\lbrack {{s}_{i},{s}_{i + 1}}\right\rbrack \) ,我们可以将上面的讨论连续应用有限多次,就变成了从 \( {\gamma }_{0} \) 到 \( {\gamma }_{1} \) 上的了. 这样定理就得到了证明.
区域 \( \Omega \) 在复平面中是单连通的,当且仅当 \( \Omega \) 中任意两条具有相同起止点的曲线都是同伦的.
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{s}\left( t\right) } \) ,其中,
\[
{r}_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {r}_{0}\left( t\right) + s{r}_{1}\left( t\right)
\]
和
\[
{\theta }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\theta }_{0}\left( t\right) + s{\theta }_{1}\left( t\right) .
\]
当 \( 0 \leq s \leq 1 \) 时就有 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \in \Omega \) .
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = | 定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的, 那么\n\n\[{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,\]\n\n其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的. | 证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆盘完全包含在 \( \Omega \) 内. 否则,对任意的 \( \ell \geq 0 \) ,存在点 \( {z}_{\ell } \in K \) 和点 \( {w}_{\ell } \) 属于 \( \Omega \) 的余集,使得 \( \left| {{z}_{\ell } - {w}_{\ell }}\right| < 1/\ell \) . 根据 \( K \) 的紧性, 存在 \( \left\{ {z}_{t}\right\} \) 的子序列,记为 \( \left\{ {z}_{{t}_{k}}\right\} \) ,它收敛于点 \( z \in K \subset \Omega \) . 因此,我们也一定存在 \( {w}_{{\ell }_{k}} \rightarrow z \) ,并且因为 \( \left\{ {w}_{\ell }\right\} \) 在 \( \Omega \) 的余集中, \( \Omega \) 的余集是闭的,所以有 \( z \in {\Omega }^{c} \) . 显然矛盾.\n\n可以找到满足性质的 \( \varepsilon \) ,根据 \( F \) 的一致收敛性,我们可以选择 \( \delta \) 使得当 \( \mid {s}_{1} - \) \( {s}_{2} \mid < \delta \) 时,\n\n\[ \mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\left| {{\gamma }_{{s}_{1}}\left( t\right) - {\gamma }_{{s}_{2}}\left( t\right) }\right| < \varepsilon .\]\n\n确定 \( {s}_{1} \) 和 \( {s}_{2} \) 使得 \( \left| {{s}_{1} - {s}_{2}}\right| < \delta \) . 然后我们选择以 \( {2\varepsilon } \) 为半径的圆盘 \( \mid {D}_{0},\cdots \) , \( \left. {D}_{n}\right\} \) ,并在 \( {\gamma }_{{s}_{1}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{z}_{0},\cdots ,{z}_{n + 1}}\right\} \) ,在 \( {\gamma }_{{s}_{2}} \) 上选择连续点 \( \left\{ {{w}_{0},\cdots ,{w}_{n + 1}}\right\} \) ,使得圆盘的并集覆盖这两条曲线, 并且\n\n\[{z}_{i},{z}_{i + 1},{w}_{i},{w}_{i + 1} \in {D}_{i}.\] |
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21)
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{s}\left( t\right) } \) ,其中,
\[
{r}_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {r}_{0}\left( t\right) + s{r}_{1}\left( t\right)
\]
和
\[
{\theta }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\theta }_{0}\left( t\right) + s{\theta }_{1}\left( t\right) .
\]
当 \( 0 \leq s \leq 1 \) 时就有 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \in \Omega \) .
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{n},
\]
(6)
事实上,上式中,等式两边的导数都等于 \( 1/\left( {1 + z}\right) \) ,因此等式两边最多相差一个常数. 又因为当 \( z = 0 \) 时,等式两边都等于 0,因此它们相差的常数就是 0,也就是说, 式 (6) 的泰勒展式是成立的.
根据上面的讨论,在单连通区域上定义了一个对数函数,现在,对任意的 \( \alpha \in \) \( \mathbf{C} \) ,我们定义幂函数 \( {z}^{\alpha } \) . 如果 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) ,我们选择对数的一支, \( \log 1 = 0 \) ,并定义
\[
{z}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \log z}.
\]
记 \( {1}^{\alpha } = 1 \) ,如果 \( \alpha = 1/n \) ,那么
\[
{\left( {z}^{1/n}\right) }^{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\log z} = z.
\]
现在,任意的非零复数 \( w \) 都可以写成 \( w = {\mathrm{e}}^{z} \) . 这个事实的一般化结论会在下面的定理中给出,定理讨论了当函数 \( f \) 不为零时 \( \log f\left( z\right) \) 的存在.
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\ | 例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. | 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为\n\n\[ \n{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .\n\] \n\n注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 一定在连接 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 的线段上,因此一定在 \( D \) 内. 类似地,如果圆盘 \( D \) 替换成矩形区域,甚至更一般地, 任意开凸集, 结论依然成立. (见练习 21) |
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\right) \) 连续且是正的, \( {\theta }_{j}\left( t\right) \) 连续且 \( \left| {{\theta }_{j}\left( t\right) }\right| < \pi \) . 那么我们可以将 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 定义为 \( {r}_{s}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{s}\left( t\right) } \) ,其中,
\[
{r}_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {r}_{0}\left( t\right) + s{r}_{1}\left( t\right)
\]
和
\[
{\theta }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\theta }_{0}\left( t\right) + s{\theta }_{1}\left( t\right) .
\]
当 \( 0 \leq s \leq 1 \) 时就有 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \in \Omega \) .
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{n},
\]
(6)
事实上,上式中,等式两边的导数都等于 \( 1/\left( {1 + z}\right) \) ,因此等式两边最多相差一个常数. 又因为当 \( z = 0 \) 时,等式两边都等于 0,因此它们相差的常数就是 0,也就是说, 式 (6) 的泰勒展式是成立的.
根据上面的讨论,在单连通区域上定义了一个对数函数,现在,对任意的 \( \alpha \in \) \( \mathbf{C} \) ,我们定义幂函数 \( {z}^{\alpha } \) . 如果 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) ,我们选择对数的一支, \( \log 1 = 0 \) ,并定义
\[
{z}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \log z}.
\]
记 \( {1}^{\alpha } = 1 \) ,如果 \( \alpha = 1/n \) ,那么
\[
{\left( {z}^{1/n}\right) }^{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\log z} = z.
\]
现在,任意的非零复数 \( w \) 都可以写成 \( w = {\mathrm{e}}^{z} \) . 这个事实的一般化结论会在下面的定理中给出,定理讨论了当函数 \( f \) 不为零时 \( \log f\left( z\right) \) 的存在.
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( { | 定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数. | 证明 在 \\(\\Omega\\) 中取定点 \\({z}_{0}\\) ,并定义\n\n\\[ F\\left( z\\right) = {\\int }_{\\gamma }f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w, \\]\n\n其中积分是在 \\(\\Omega\\) 中任意连接点 \\({z}_{0}\\) 和 \\(z\\) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \\(\\Omega\\) 是单连通的,并且如果 \\(\\widetilde{\\gamma }\\) 是 \\(\\Omega\\) 中连接点 \\({z}_{0}\\) 和 \\(z\\) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有\n\n\\[ {\\int }_{\\gamma }f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w = {\\int }_{\\widetilde{\\gamma }}f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w. \\]\n\n现在我们记\n\n\\[ F\\left( {z + h}\\right) - F\\left( z\\right) = {\\int }_{\\eta }f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w, \\]\n\n其中 \\(\\eta\\) 是连接 \\(z\\) 和 \\(z + h\\) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现\n\n\\[ \\mathop{\\lim }\\limits_{{h \\rightarrow 0}}\\frac{F\\left( {z + h}\\right) - F\\left( z\\right) }{h} = f\\left( z\\right) . \\]\n\n因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论. |
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{n},
\]
(6)
事实上,上式中,等式两边的导数都等于 \( 1/\left( {1 + z}\right) \) ,因此等式两边最多相差一个常数. 又因为当 \( z = 0 \) 时,等式两边都等于 0,因此它们相差的常数就是 0,也就是说, 式 (6) 的泰勒展式是成立的.
根据上面的讨论,在单连通区域上定义了一个对数函数,现在,对任意的 \( \alpha \in \) \( \mathbf{C} \) ,我们定义幂函数 \( {z}^{\alpha } \) . 如果 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) ,我们选择对数的一支, \( \log 1 = 0 \) ,并定义
\[
{z}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \log z}.
\]
记 \( {1}^{\alpha } = 1 \) ,如果 \( \alpha = 1/n \) ,那么
\[
{\left( {z}^{1/n}\right) }^{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\log z} = z.
\]
现在,任意的非零复数 \( w \) 都可以写成 \( w = {\mathrm{e}}^{z} \) . 这个事实的一般化结论会在下面的定理中给出,定理讨论了当函数 \( f \) 不为零时 \( \log f\left( z\right) \) 的存在.
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 是定义在圆周上的全纯函数, 且这个圆周是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘的闭包的边界. 那么如果 \( n < 0 \) ,它的傅里叶系数为零. 同时,当 \( n \geq 0 \) 时,它的傅里叶系数就等于全纯函数 \( f \) 的幂级数展开式的系数 (直到 \( {r}^{n} \) 项). 当 \( n < 0 \) 时傅里叶系数为零这个性质,表明了全纯函数的另一个特性 (并且特别地是它是限制在任何圆周上的).
接下来,因为 \( {a}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) ,我们有了下面的推论.
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) | 定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数. | 证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义\n\n\[ F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w, \]\n\n其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有\n\n\[ {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w. \]\n\n现在我们记\n\n\[ F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w, \]\n\n其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现\n\n\[ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) . \]\n\n因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.\n\n推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足\n\n\[ {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \]\n\n这个推论可以根据原函数的存在直接得到. |
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有
\[
{\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w.
\]
现在我们记
\[
F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) .
\]
因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{n},
\]
(6)
事实上,上式中,等式两边的导数都等于 \( 1/\left( {1 + z}\right) \) ,因此等式两边最多相差一个常数. 又因为当 \( z = 0 \) 时,等式两边都等于 0,因此它们相差的常数就是 0,也就是说, 式 (6) 的泰勒展式是成立的.
根据上面的讨论,在单连通区域上定义了一个对数函数,现在,对任意的 \( \alpha \in \) \( \mathbf{C} \) ,我们定义幂函数 \( {z}^{\alpha } \) . 如果 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) ,我们选择对数的一支, \( \log 1 = 0 \) ,并定义
\[
{z}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \log z}.
\]
记 \( {1}^{\alpha } = 1 \) ,如果 \( \alpha = 1/n \) ,那么
\[
{\left( {z}^{1/n}\right) }^{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\log z} = z.
\]
现在,任意的非零复数 \( w \) 都可以写成 \( w = {\mathrm{e}}^{z} \) . 这个事实的一般化结论会在下面的定理中给出,定理讨论了当函数 \( f \) 不为零时 \( \log f\left( z\right) \) 的存在.
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 是定义在圆周上的全纯函数, 且这个圆周是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘的闭包的边界. 那么如果 \( n < 0 \) ,它的傅里叶系数为零. 同时,当 \( n \geq 0 \) 时,它的傅里叶系数就等于全纯函数 \( f \) 的幂级数展开式的系数 (直到 \( {r}^{n} \) 项). 当 \( n < 0 \) 时傅里叶系数为零这个性质,表明了全纯函数的另一个特性 (并且特别地是它是限制在任何圆周上的).
接下来,因为 \( {a}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) ,我们有了下面的推论.
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用 | 定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数. | 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义\n\n\[ F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w, \]\n\n其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有\n\n\[ {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w = {\int }_{\widetilde{\gamma }}f\left( w\right) \mathrm{d}w. \]\n\n现在我们记\n\n\[ F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) = {\int }_{\eta }f\left( w\right) \mathrm{d}w, \]\n\n其中 \( \eta \) 是连接 \( z \) 和 \( z + h \) 的线段. 如同第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现\n\n\[ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{F\left( {z + h}\right) - F\left( z\right) }{h} = f\left( z\right) . \]\n\n因此, 我们获得了柯西定理的另一解释, 即下面的推论.\n\n推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足\n\n\[ {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \]\n\n这个推论可以根据原函数的存在直接得到. |
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,并且希望这个对数是指数的逆运算, 那么很自然地规定
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta .
\]
这里及接下来,我们将按照惯例定义 \( \log r \) 为正数 \( r \) 的标准对数 \( {}^{ \ominus } \) . 在上面定义中, 比较麻烦的是 \( \theta \) ,它是唯一的,只是再加上 \( {2\pi } \) 的整数倍. 可是,对于给定的复数 \( z \) ,我们可以先定好 \( \theta \) 的选择,并且,如果复数 \( z \) 变化很小,则与之相应的 \( \theta \) 就是唯一的 (假设我们要求 \( \theta \) 的变化与 \( z \) 一致,都是连续的). 因此,“局部上” 可以给对数一个明确的定义,但这个定义并不是 “全局的”. 例如, \( z \) 从 1 开始,然后绕过原点再回到 1,这时它的对数却不能是原来的值,而是相差 \( {2\pi }\mathrm{i} \) 的整数倍,因此, 对数不是 “单值的”. 为了使对数成为一个单值函数, 必须在定义时就给出明确限制, 这就是所谓的选择对数的一支或一叶.
根据前面我们讨论的单连通区域可以很自然地定义对数函数的一支.
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{n},
\]
(6)
事实上,上式中,等式两边的导数都等于 \( 1/\left( {1 + z}\right) \) ,因此等式两边最多相差一个常数. 又因为当 \( z = 0 \) 时,等式两边都等于 0,因此它们相差的常数就是 0,也就是说, 式 (6) 的泰勒展式是成立的.
根据上面的讨论,在单连通区域上定义了一个对数函数,现在,对任意的 \( \alpha \in \) \( \mathbf{C} \) ,我们定义幂函数 \( {z}^{\alpha } \) . 如果 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) ,我们选择对数的一支, \( \log 1 = 0 \) ,并定义
\[
{z}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \log z}.
\]
记 \( {1}^{\alpha } = 1 \) ,如果 \( \alpha = 1/n \) ,那么
\[
{\left( {z}^{1/n}\right) }^{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\log z} = z.
\]
现在,任意的非零复数 \( w \) 都可以写成 \( w = {\mathrm{e}}^{z} \) . 这个事实的一般化结论会在下面的定理中给出,定理讨论了当函数 \( f \) 不为零时 \( \log f\left( z\right) \) 的存在.
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 是定义在圆周上的全纯函数, 且这个圆周是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘的闭包的边界. 那么如果 \( n < 0 \) ,它的傅里叶系数为零. 同时,当 \( n \geq 0 \) 时,它的傅里叶系数就等于全纯函数 \( f \) 的幂级数展开式的系数 (直到 \( {r}^{n} \) 项). 当 \( n < 0 \) 时傅里叶系数为零这个性质,表明了全纯函数的另一个特性 (并且特别地是它是限制在任何圆周上的).
接下来,因为 \( {a}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) ,我们有了下面的推论.
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用欧拉公式
\[
\sin {\pi z} = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
表明 \( \sin {\pi z} \) 的复零元都是正数,并且每个零元都是一阶的.
当 \( z = n \in \mathbf{Z} \) 时计算 \( 1/\sin {\pi z} \) 的留数.
2. 计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{4}}.
\]
函数 \( 1/\left( {1 + {z}^{4}}\right) \) 的极点在哪?
3. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{a}.
\]
4. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x\sin x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi {\mathrm{e}}^{-a}.
\]
5. 应用周线积分法证明: 对任意实数 \( \xi \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\mat | 推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0\] | 这个推论可以根据原函数的存在直接得到. |
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \log r \) .
换句话说, \( {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广.
证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \notin \Omega \) ,所以函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的. 定义
---
\( \ominus \) 标准对数意思是指基础的微积分中所说的正数的自然对数.
---
\[
{\log }_{\Omega }\left( z\right) = F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \in \Omega \) , \( {F}^{\prime }\left( z\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) }}\right) = {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } - z{F}^{\prime }\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 1\left( {1 - z{F}^{\prime }\left( z\right) }\right) {\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } = 0.
\]
因为 \( \Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\mathrm{e}}^{-F\left( z\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\left( 1\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .
最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,
\[
F\left( r\right) = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = \log r,
\]
这样定理就完全得到了证明.
例如,在裂纹平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \{ ( - \infty ,0\rbrack \} \) 中,定义对数的主支
\[
\log z = \log r + \mathrm{i}\theta ,
\]
其中 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,而 \( \left| \theta \right| < \pi \) . (这里省略了下标 \( \Omega \) ,只简单地写成 \( \log z \) . ) 为了证明它, 我们选择如图 8 所示的积分曲线 \( \gamma \) .
如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) ,且 \( \left| \theta \right| < \pi \) ,那么积分路
图 8 对数主支的积分路径
径就由从 1 到 \( r \) 的直线段和从 \( r \) 到 \( z \) 的弧线 \( \eta \) 构成. 那么
\[
\log z = {\int }_{1}^{r}\frac{\mathrm{d}x}{x} + {\int }_{\eta }\frac{\mathrm{d}w}{w}
\]
\[
= \log r + {\int }_{0}^{\theta }\frac{\mathrm{i}r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}{r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t}}\mathrm{\;d}t
\]
\[
= \log r + \mathrm{i}\theta \text{.}
\]
很重要的一点应该观察到, 在积分中
\[
\log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
例如,如果 \( {z}_{1} = {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}/3} = {z}_{2} \) ,那么对于对数的主支就有
\[
\log {z}_{1} = \log {z}_{2} = \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3},
\]
并且因为 \( {z}_{1}{z}_{2} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}/3} \) ,所以
\[
- \frac{{2\pi }\mathrm{i}}{3} = \log \left( {{z}_{1}{z}_{2}}\right) \neq \log {z}_{1} + \log {z}_{2}.
\]
最后,对于对数的主支,其泰勒展式依然成立,即是对 \( \left| z\right| < 1 \) ,存在
\[
\log \left( {1 + z}\right) = z - \frac{{z}^{2}}{2} + \frac{{z}^{3}}{3} - \cdots = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{n},
\]
(6)
事实上,上式中,等式两边的导数都等于 \( 1/\left( {1 + z}\right) \) ,因此等式两边最多相差一个常数. 又因为当 \( z = 0 \) 时,等式两边都等于 0,因此它们相差的常数就是 0,也就是说, 式 (6) 的泰勒展式是成立的.
根据上面的讨论,在单连通区域上定义了一个对数函数,现在,对任意的 \( \alpha \in \) \( \mathbf{C} \) ,我们定义幂函数 \( {z}^{\alpha } \) . 如果 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) ,我们选择对数的一支, \( \log 1 = 0 \) ,并定义
\[
{z}^{\alpha } = {\mathrm{e}}^{\alpha \log z}.
\]
记 \( {1}^{\alpha } = 1 \) ,如果 \( \alpha = 1/n \) ,那么
\[
{\left( {z}^{1/n}\right) }^{n} = \mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{1}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}\log z} = {\mathrm{e}}^{\log z} = z.
\]
现在,任意的非零复数 \( w \) 都可以写成 \( w = {\mathrm{e}}^{z} \) . 这个事实的一般化结论会在下面的定理中给出,定理讨论了当函数 \( f \) 不为零时 \( \log f\left( z\right) \) 的存在.
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 是定义在圆周上的全纯函数, 且这个圆周是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘的闭包的边界. 那么如果 \( n < 0 \) ,它的傅里叶系数为零. 同时,当 \( n \geq 0 \) 时,它的傅里叶系数就等于全纯函数 \( f \) 的幂级数展开式的系数 (直到 \( {r}^{n} \) 项). 当 \( n < 0 \) 时傅里叶系数为零这个性质,表明了全纯函数的另一个特性 (并且特别地是它是限制在任何圆周上的).
接下来,因为 \( {a}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) ,我们有了下面的推论.
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用欧拉公式
\[
\sin {\pi z} = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
表明 \( \sin {\pi z} \) 的复零元都是正数,并且每个零元都是一阶的.
当 \( z = n \in \mathbf{Z} \) 时计算 \( 1/\sin {\pi z} \) 的留数.
2. 计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{4}}.
\]
函数 \( 1/\left( {1 + {z}^{4}}\right) \) 的极点在哪?
3. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{a}.
\]
4. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x\sin x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi {\mathrm{e}}^{-a}.
\]
5. 应用周线积分法证明: 对任意实数 \( \xi \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {1 + {2\pi }\left| \xi \right| }\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\left| \xi \right| }.
\]
6. 证明: 对于 \( n \geq 1 \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{n + 1}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdots \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6\cdots \left( {2n}\right) }\pi .
\]
7. 证明: 当 \( a > 1 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{{\left( a + \cos \theta \right) }^{2}} = \frac{2\pi a}{{\left( {a}^{2} - 1\right) }^{3/2}}.
\]
8. 如果 \( a > \left| b\right|, a, b \in \mathbf{R} \) ,证明:
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{a + b\cos \theta } = \frac{2\pi }{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}.
\]
9. 证明:
\[
{\int }_{0}^{1}\log \left( {\sin {\pi x}}\right) \mathrm{d}x = - \log 2.
\]
【提示: 应用图 9 中的周线. 】
10. 证明: 如果 \( a > 0 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\log x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\ | 定理 6.1 假设 \( \\Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \\in \\Omega ,0 \\notin \\Omega \) . 那么在 \( \\Omega \) 内就存在对数 \( F\\left( z\\right) = {\\log }_{\\Omega }\\left( z\\right) \) 的一支,使得\n\n( i ) \( F \) 在 \( \\Omega \) 上是全纯的;\n\n(ii) 对任意的 \( z \\in \\Omega ,{\\mathrm{e}}^{F\\left( z\\right) } = z \) ;\n\n(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\\left( r\\right) = \\log r \) .\n\n换句话说, \( {\\log }_{\\Omega }\\left( z\\right) \) 的每一支都是定义在正数上的标准对数的推广. | 证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \\notin \\Omega \) ,所以函数 \( f\\left( z\\right) = 1/z \) 在 \( \\Omega \) 上是全纯的. 定义\n\n\[{\\log }_{\\Omega }\\left( z\\right) = F\\left( z\\right) = {\\int }_{\\gamma }f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w,\]\n\n其中 \( \\gamma \) 是 \( \\Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \\Omega \) 是单连通的,这个定义不依赖于路径的选择. 仿照定理 5.2 的证明方法,我们发现 \( F \) 是全纯的,并且对任意的 \( z \\in \\Omega \) , \( {F}^{\\prime }\\left( z\\right) = 1/z \) ,这就证明了 ( i ). 接下来证明 ( ii ),只要证明 \( z{\\mathrm{e}}^{-F\\left( z\\right) } = 1 \) 就足够了. 为此, 我们对等式的左边求导得\n\n\[\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}z}\\left( {z{\\mathrm{e}}^{-F\\left( z\\right) }}\\right) = {\\mathrm{e}}^{-F\\left( z\\right) } - z{F}^{\\prime }\\left( z\\right) {\\mathrm{e}}^{-F\\left( z\\right) } = 1\\left( {1 - z{F}^{\\prime }\\left( z\\right) }\\right) {\\mathrm{e}}^{-F\\left( z\\right) } = 0.\]\n\n因为 \( \\Omega \) 是连通的,根据第 1 章推论 3.4, \( z{\\mathrm{e}}^{-F\\left( z\\right) } \) 是常数. 将 \( z = 1 \) 带入计算指数值, 注意到 \( F\\left( 1\\right) = 0 \) ,这个常数一定是 1 .\n\n最后,如果 \( r \) 是趋于 1 的实数,我们可以选择实轴上从 1 到 \( r \) 的线段作为积分路径, 那么根据标准对数的积分公式,\n\n\[F\\left( r\\right) = {\\int }_{1}^{r}\\frac{\\mathrm{d}x}{x} = \\log r,\]\n\n这样定理就完全得到了证明. |
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},
\]
其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且
\[
{g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },
\]
并且给出简单的推论, 即
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,
\]
所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕.
## 7 傅里叶级数和调和函数
在第 4 章我们将描述关于复函数定理与实轴上的傅里叶分析之间一些有趣的联系. 研究动机是来自定义在圆周上的傅里叶级数和圆盘上的全纯函数的幂级数展开之间所存在的简单而直接的关系, 这正是我们现在要研究的.
假设函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,使得 \( f \) 的幂级数展开式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
此级数在圆盘内是收敛的.
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 是定义在圆周上的全纯函数, 且这个圆周是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘的闭包的边界. 那么如果 \( n < 0 \) ,它的傅里叶系数为零. 同时,当 \( n \geq 0 \) 时,它的傅里叶系数就等于全纯函数 \( f \) 的幂级数展开式的系数 (直到 \( {r}^{n} \) 项). 当 \( n < 0 \) 时傅里叶系数为零这个性质,表明了全纯函数的另一个特性 (并且特别地是它是限制在任何圆周上的).
接下来,因为 \( {a}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) ,我们有了下面的推论.
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用欧拉公式
\[
\sin {\pi z} = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
表明 \( \sin {\pi z} \) 的复零元都是正数,并且每个零元都是一阶的.
当 \( z = n \in \mathbf{Z} \) 时计算 \( 1/\sin {\pi z} \) 的留数.
2. 计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{4}}.
\]
函数 \( 1/\left( {1 + {z}^{4}}\right) \) 的极点在哪?
3. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{a}.
\]
4. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x\sin x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi {\mathrm{e}}^{-a}.
\]
5. 应用周线积分法证明: 对任意实数 \( \xi \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {1 + {2\pi }\left| \xi \right| }\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\left| \xi \right| }.
\]
6. 证明: 对于 \( n \geq 1 \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{n + 1}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdots \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6\cdots \left( {2n}\right) }\pi .
\]
7. 证明: 当 \( a > 1 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{{\left( a + \cos \theta \right) }^{2}} = \frac{2\pi a}{{\left( {a}^{2} - 1\right) }^{3/2}}.
\]
8. 如果 \( a > \left| b\right|, a, b \in \mathbf{R} \) ,证明:
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{a + b\cos \theta } = \frac{2\pi }{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}.
\]
9. 证明:
\[
{\int }_{0}^{1}\log \left( {\sin {\pi x}}\right) \mathrm{d}x = - \log 2.
\]
【提示: 应用图 9 中的周线. 】
10. 证明: 如果 \( a > 0 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\log x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2a}\log a.
\]
【提示: 用图 10 中的周线. 】
图 9 练习 9 中的周线
图 10 练习 10 中的周线
11. 证明: 如果 \( \left| a\right| < 1 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {1 - a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right| \mathrm{d}\theta = 0.
\]
并证明如果假设 \( \left| a\right| \leq 1 \) ,那么上面的结论依然成立.
12. 假设 \( u \) 不是整数. 证明:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( u + n\right) }^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{{\left( \sin \pi u\right) }^{2}}.
\]
根据函数
\[
f\left( z\right) = \frac{\pi \cot {\pi z}}{{\left( u + z\right) }^{2}}
\]
在圆周 \( \left| z\right| = {R}_{N} = N + 1/2 \) ( \( N \) 是整数,且 \( N \geq \left| u\right| \) ) 上的积分,加上函数 \( f \) 在圆周内的留数,当 \( N \) 趋于无穷大时的极限值.
注意: 这个恒等式有两个其他出处, 应用傅里叶级数, 在第一册中给出.
13. 假设函数 \( f\left( z\right) \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是全纯的. 并假设对某个 \( \varepsilon > 0 \) , \( z \) 在 \( {z}_{0} \) 附近满足不等式
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left| z - {z}_{0}\right| }^{-1 + \varepsilon },
\]
证明: 点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的可去奇点.
14. 证明: 任何整函数都是单射,可以表示为线性函数 \( f\left( z\right) = {az} + b \) 的形式, 其中, \( a, b \in \mathbf{C} \) ,并且 \( a \neq 0 \) .
【提示: 对函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 应用 Casorati-Weierstrass 定理】
15. 用柯西不等式或最大模原理证明下面的问题.
(a) 证明: 如果 \( f \) 是整函数,并满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{\left| z\right| = R}}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{R}^{k} + B,
\]
其中 \( R > 0, k \geq 0 \) 是某个整数, \( A, B > 0 \) 是某常数,那么 \( f \) 是阶数小于等于 \( k \) 的多项式.
(b) 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在单位圆盘内的全纯函数,并且函数有界,在扇形区域 \( \theta < \arg z < \varphi \) 内当 \( \left| z\right| \rightarrow 1 \) 时一致收敛于 0,那么 \( f = 0 \) .
(c) 令 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) 是复平面上单位圆盘上的点. 证明: 在单位圆周上存在一点 \( z \) 使得 \( z \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积至少是 1 . 并证明在单位圆周上存在一点 \( w \) 使得 \( w \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积正好等于 1 .
(d) 如果整函数 \( f \) 的实部是有界的,那么函数 \( f \) 是常数.
16. 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 在包含圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 的区域内是全纯的. 假设函数 \( f \) 的唯一零元在 \( z = 0 \) 处,圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内的其他点都不为零. 令
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = f\left( z\right) + {\varepsilon g}\left( z\right) .
\]
证明: 如果 \( \varepsilon \) 足够小,那么
(a) \( {f}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内有唯一的零元,并且
(b) 如果 \( {z}_{\varepsilon } \) 是这个零元,映射 \( \varepsilon \mid - {z}_{\varepsilon } \) 是连续的.
17. 令 \( f \) 不是常函数,并且在包含单位圆盘的闭包的开集中是全纯的.
(a) 证明: 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| = 1 \) ,那么函数 \( f \) 的象包含在单位圆盘中. 【提示: 必须证明 \( f\left( z\right) = {w}_{0} \) ,对任意 \( {w}_{0} \in D \) 都有一个根. 由此,就足以证明 \( f\left( z\right) = \) 0 有一个根, 为什么呢? 用最大模原理能推出. ]
(b) 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \geq 1 \) ,并且,存在点 \( {z}_{0} \in D \) 使得 \( \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| < 1 \) ,那么 \( f \) 的象包含在单位圆盘中.
18. 应用同伦曲线重新证明:
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
柯西积分公式.
【提示: 圆周 \( C \) 是以 \( z \) 为中心的小圆周,并注意到差分 \( \left( {f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }\right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 是有界的. ]
19. 证明: 调和函数的最大值原理, 也就是:
(a) 如果 \( u \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数实值调和函数,那么 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 上不能达到最大值 (或最小值).
(b) 假设区域 \( \Omega \) 的紧闭包是 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( u \) 在 \( \Omega \) 上是调和的,且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| .
\]
【提示: 要证明第一部分,假设 \( u \) 在 \( {z}_{0} \) 点取得极大值. 取函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近是全纯的,且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\ri | 定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得\n\n\[ f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.\]\n\n定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支. | 证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数\n\n\[ g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},\]\n\n其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这个定义不依赖于路径 \( \gamma \) 的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的. 根据第 2 章中定理 2.1 的证明,我们发现函数 \( g \) 是全纯的,且\n\n\[ {g}^{\prime }\left( z\right) = \frac{{f}^{\prime }\left( z\right) }{f\left( z\right) },\]\n\n并且给出简单的推论, 即\n\n\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left( {f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) }}\right) = 0,\]\n\n所以 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-g\left( z\right) } \) 是常数. 求 \( {z}_{0} \) 处的值我们发现 \( f\left( {z}_{0}\right) {\mathrm{e}}^{-{c}_{0}} = 1 \) ,所以对所有 \( z \in \Omega \) , \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理证毕. |
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .
\]
最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式
\[
\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta
\]
依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零.
接下来给出定理的解释. 考虑函数 \( f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 是定义在圆周上的全纯函数, 且这个圆周是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的圆盘的闭包的边界. 那么如果 \( n < 0 \) ,它的傅里叶系数为零. 同时,当 \( n \geq 0 \) 时,它的傅里叶系数就等于全纯函数 \( f \) 的幂级数展开式的系数 (直到 \( {r}^{n} \) 项). 当 \( n < 0 \) 时傅里叶系数为零这个性质,表明了全纯函数的另一个特性 (并且特别地是它是限制在任何圆周上的).
接下来,因为 \( {a}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) ,我们有了下面的推论.
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用欧拉公式
\[
\sin {\pi z} = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
表明 \( \sin {\pi z} \) 的复零元都是正数,并且每个零元都是一阶的.
当 \( z = n \in \mathbf{Z} \) 时计算 \( 1/\sin {\pi z} \) 的留数.
2. 计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{4}}.
\]
函数 \( 1/\left( {1 + {z}^{4}}\right) \) 的极点在哪?
3. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{a}.
\]
4. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x\sin x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi {\mathrm{e}}^{-a}.
\]
5. 应用周线积分法证明: 对任意实数 \( \xi \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {1 + {2\pi }\left| \xi \right| }\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\left| \xi \right| }.
\]
6. 证明: 对于 \( n \geq 1 \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{n + 1}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdots \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6\cdots \left( {2n}\right) }\pi .
\]
7. 证明: 当 \( a > 1 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{{\left( a + \cos \theta \right) }^{2}} = \frac{2\pi a}{{\left( {a}^{2} - 1\right) }^{3/2}}.
\]
8. 如果 \( a > \left| b\right|, a, b \in \mathbf{R} \) ,证明:
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{a + b\cos \theta } = \frac{2\pi }{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}.
\]
9. 证明:
\[
{\int }_{0}^{1}\log \left( {\sin {\pi x}}\right) \mathrm{d}x = - \log 2.
\]
【提示: 应用图 9 中的周线. 】
10. 证明: 如果 \( a > 0 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\log x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2a}\log a.
\]
【提示: 用图 10 中的周线. 】
图 9 练习 9 中的周线
图 10 练习 10 中的周线
11. 证明: 如果 \( \left| a\right| < 1 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {1 - a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right| \mathrm{d}\theta = 0.
\]
并证明如果假设 \( \left| a\right| \leq 1 \) ,那么上面的结论依然成立.
12. 假设 \( u \) 不是整数. 证明:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( u + n\right) }^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{{\left( \sin \pi u\right) }^{2}}.
\]
根据函数
\[
f\left( z\right) = \frac{\pi \cot {\pi z}}{{\left( u + z\right) }^{2}}
\]
在圆周 \( \left| z\right| = {R}_{N} = N + 1/2 \) ( \( N \) 是整数,且 \( N \geq \left| u\right| \) ) 上的积分,加上函数 \( f \) 在圆周内的留数,当 \( N \) 趋于无穷大时的极限值.
注意: 这个恒等式有两个其他出处, 应用傅里叶级数, 在第一册中给出.
13. 假设函数 \( f\left( z\right) \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是全纯的. 并假设对某个 \( \varepsilon > 0 \) , \( z \) 在 \( {z}_{0} \) 附近满足不等式
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left| z - {z}_{0}\right| }^{-1 + \varepsilon },
\]
证明: 点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的可去奇点.
14. 证明: 任何整函数都是单射,可以表示为线性函数 \( f\left( z\right) = {az} + b \) 的形式, 其中, \( a, b \in \mathbf{C} \) ,并且 \( a \neq 0 \) .
【提示: 对函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 应用 Casorati-Weierstrass 定理】
15. 用柯西不等式或最大模原理证明下面的问题.
(a) 证明: 如果 \( f \) 是整函数,并满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{\left| z\right| = R}}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{R}^{k} + B,
\]
其中 \( R > 0, k \geq 0 \) 是某个整数, \( A, B > 0 \) 是某常数,那么 \( f \) 是阶数小于等于 \( k \) 的多项式.
(b) 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在单位圆盘内的全纯函数,并且函数有界,在扇形区域 \( \theta < \arg z < \varphi \) 内当 \( \left| z\right| \rightarrow 1 \) 时一致收敛于 0,那么 \( f = 0 \) .
(c) 令 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) 是复平面上单位圆盘上的点. 证明: 在单位圆周上存在一点 \( z \) 使得 \( z \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积至少是 1 . 并证明在单位圆周上存在一点 \( w \) 使得 \( w \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积正好等于 1 .
(d) 如果整函数 \( f \) 的实部是有界的,那么函数 \( f \) 是常数.
16. 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 在包含圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 的区域内是全纯的. 假设函数 \( f \) 的唯一零元在 \( z = 0 \) 处,圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内的其他点都不为零. 令
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = f\left( z\right) + {\varepsilon g}\left( z\right) .
\]
证明: 如果 \( \varepsilon \) 足够小,那么
(a) \( {f}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内有唯一的零元,并且
(b) 如果 \( {z}_{\varepsilon } \) 是这个零元,映射 \( \varepsilon \mid - {z}_{\varepsilon } \) 是连续的.
17. 令 \( f \) 不是常函数,并且在包含单位圆盘的闭包的开集中是全纯的.
(a) 证明: 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| = 1 \) ,那么函数 \( f \) 的象包含在单位圆盘中. 【提示: 必须证明 \( f\left( z\right) = {w}_{0} \) ,对任意 \( {w}_{0} \in D \) 都有一个根. 由此,就足以证明 \( f\left( z\right) = \) 0 有一个根, 为什么呢? 用最大模原理能推出. ]
(b) 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \geq 1 \) ,并且,存在点 \( {z}_{0} \in D \) 使得 \( \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| < 1 \) ,那么 \( f \) 的象包含在单位圆盘中.
18. 应用同伦曲线重新证明:
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
柯西积分公式.
【提示: 圆周 \( C \) 是以 \( z \) 为中心的小圆周,并注意到差分 \( \left( {f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }\right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 是有界的. ]
19. 证明: 调和函数的最大值原理, 也就是:
(a) 如果 \( u \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数实值调和函数,那么 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 上不能达到最大值 (或最小值).
(b) 假设区域 \( \Omega \) 的紧闭包是 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( u \) 在 \( \Omega \) 上是调和的,且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| .
\]
【提示: 要证明第一部分,假设 \( u \) 在 \( {z}_{0} \) 点取得极大值. 取函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近是全纯的,且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,并证明 \( f \) 不是开的. 第二部分可以直接由第一部分得到. ]
20. 这个练习表明了均方收敛在解析函数的一致收敛中有着重要地位. 如果 \( U \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 的开子集,均方泛数定义为
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}^{2}\left( U\right) } = {\left( {\int }_{U}{\left| f\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\right) }^{1/2},
\]
并且, 上确界泛数为
\[
\parallel f{\parallel }_{L + \infty \left( U\right) } = \mathop{\sup }\limits_{{z \in U}}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
(a) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 的某邻域内是全纯的,证明: 对任意的 \( 0 < s < r \) ,存在常数 \( C > 0 \) (依赖于 \( s \) 和 \( r \) ) 使得
\[
\parallel f{\parallel }_{L + \infty \left( {{D}_{s}\left( {z}_{0}\right) }\right) } \leq C\parallel f{\parallel }_{{L}^{2}\left( {{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) }\right) }.
\]
(b) 证明: 如果 \( \left| {f}_{n}\right| \) 是由均方泛数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{{L}^{2}\left( U\right) } \) 定义的全纯函数的柯西列,那么序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( U \) 的每个紧子集中都一致收敛于一个全纯函数. 【提示: 应用均值性质. 】
21. 若某集合具有几何性质, 那么能保证这个集合是单连通的.
(a) 开集 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是凸的,即如果 \( \Omega \) 中的任意两点的连线段都包含在 \( \Omega \) 内. 证明: 凸开集是单连通的.
(b) 更一般地,开集 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) 是星形的,如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得对任意 \( z \in \Omega \) , 两点间的连线都包含在 \( \Omega \) 内. 证明: 星形的开集是单连通的. 推断半平面 \( \mathrm{C} - \) \( \left| \left( {-\infty ,0}\right\rbrack \right| \) (更一般的任何扇形、凸的或非凸的) 是单连通的.
(c) 还有哪些其他的开集也是单连通的?
22. 证明: 不存在这样的全纯函数 \( f \) ,它是定义在单位圆盘 \( D \) 上的,并在 \( D \) 的 | 定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为\n\n\[ \n{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,\n\]\n\n同时,当 \( n < 0 \) 时,\n\n\[ \n0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .\n\] | 证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有\n\n\[ \n{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,\n\]\n\n其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) 作为圆周的参数化法,我们发现,对 \( n \geq 0 \) ,得到\n\n\[ \n{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{0}^{2\pi }\frac{f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{{\left( {z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}r\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta \n\]\n\n\[ \n= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) \theta }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}\theta \n\]\n\n\[ \n= \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta .\n\]\n\n最后,当 \( n < 0 \) 时,经过计算表明,下面的等式\n\n\[ \n\frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta \n\]\n\n依然成立. 因为 \( - n > 0 \) ,函数 \( f\left( \zeta \right) {\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{-n - 1} \) 在圆盘上是全纯的,并根据柯西定理最后的积分为零. |
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用欧拉公式
\[
\sin {\pi z} = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
表明 \( \sin {\pi z} \) 的复零元都是正数,并且每个零元都是一阶的.
当 \( z = n \in \mathbf{Z} \) 时计算 \( 1/\sin {\pi z} \) 的留数.
2. 计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{4}}.
\]
函数 \( 1/\left( {1 + {z}^{4}}\right) \) 的极点在哪?
3. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{a}.
\]
4. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x\sin x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi {\mathrm{e}}^{-a}.
\]
5. 应用周线积分法证明: 对任意实数 \( \xi \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {1 + {2\pi }\left| \xi \right| }\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\left| \xi \right| }.
\]
6. 证明: 对于 \( n \geq 1 \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{n + 1}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdots \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6\cdots \left( {2n}\right) }\pi .
\]
7. 证明: 当 \( a > 1 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{{\left( a + \cos \theta \right) }^{2}} = \frac{2\pi a}{{\left( {a}^{2} - 1\right) }^{3/2}}.
\]
8. 如果 \( a > \left| b\right|, a, b \in \mathbf{R} \) ,证明:
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{a + b\cos \theta } = \frac{2\pi }{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}.
\]
9. 证明:
\[
{\int }_{0}^{1}\log \left( {\sin {\pi x}}\right) \mathrm{d}x = - \log 2.
\]
【提示: 应用图 9 中的周线. 】
10. 证明: 如果 \( a > 0 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\log x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2a}\log a.
\]
【提示: 用图 10 中的周线. 】
图 9 练习 9 中的周线
图 10 练习 10 中的周线
11. 证明: 如果 \( \left| a\right| < 1 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {1 - a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right| \mathrm{d}\theta = 0.
\]
并证明如果假设 \( \left| a\right| \leq 1 \) ,那么上面的结论依然成立.
12. 假设 \( u \) 不是整数. 证明:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( u + n\right) }^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{{\left( \sin \pi u\right) }^{2}}.
\]
根据函数
\[
f\left( z\right) = \frac{\pi \cot {\pi z}}{{\left( u + z\right) }^{2}}
\]
在圆周 \( \left| z\right| = {R}_{N} = N + 1/2 \) ( \( N \) 是整数,且 \( N \geq \left| u\right| \) ) 上的积分,加上函数 \( f \) 在圆周内的留数,当 \( N \) 趋于无穷大时的极限值.
注意: 这个恒等式有两个其他出处, 应用傅里叶级数, 在第一册中给出.
13. 假设函数 \( f\left( z\right) \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是全纯的. 并假设对某个 \( \varepsilon > 0 \) , \( z \) 在 \( {z}_{0} \) 附近满足不等式
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left| z - {z}_{0}\right| }^{-1 + \varepsilon },
\]
证明: 点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的可去奇点.
14. 证明: 任何整函数都是单射,可以表示为线性函数 \( f\left( z\right) = {az} + b \) 的形式, 其中, \( a, b \in \mathbf{C} \) ,并且 \( a \neq 0 \) .
【提示: 对函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 应用 Casorati-Weierstrass 定理】
15. 用柯西不等式或最大模原理证明下面的问题.
(a) 证明: 如果 \( f \) 是整函数,并满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{\left| z\right| = R}}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{R}^{k} + B,
\]
其中 \( R > 0, k \geq 0 \) 是某个整数, \( A, B > 0 \) 是某常数,那么 \( f \) 是阶数小于等于 \( k \) 的多项式.
(b) 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在单位圆盘内的全纯函数,并且函数有界,在扇形区域 \( \theta < \arg z < \varphi \) 内当 \( \left| z\right| \rightarrow 1 \) 时一致收敛于 0,那么 \( f = 0 \) .
(c) 令 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) 是复平面上单位圆盘上的点. 证明: 在单位圆周上存在一点 \( z \) 使得 \( z \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积至少是 1 . 并证明在单位圆周上存在一点 \( w \) 使得 \( w \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积正好等于 1 .
(d) 如果整函数 \( f \) 的实部是有界的,那么函数 \( f \) 是常数.
16. 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 在包含圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 的区域内是全纯的. 假设函数 \( f \) 的唯一零元在 \( z = 0 \) 处,圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内的其他点都不为零. 令
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = f\left( z\right) + {\varepsilon g}\left( z\right) .
\]
证明: 如果 \( \varepsilon \) 足够小,那么
(a) \( {f}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内有唯一的零元,并且
(b) 如果 \( {z}_{\varepsilon } \) 是这个零元,映射 \( \varepsilon \mid - {z}_{\varepsilon } \) 是连续的.
17. 令 \( f \) 不是常函数,并且在包含单位圆盘的闭包的开集中是全纯的.
(a) 证明: 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| = 1 \) ,那么函数 \( f \) 的象包含在单位圆盘中. 【提示: 必须证明 \( f\left( z\right) = {w}_{0} \) ,对任意 \( {w}_{0} \in D \) 都有一个根. 由此,就足以证明 \( f\left( z\right) = \) 0 有一个根, 为什么呢? 用最大模原理能推出. ]
(b) 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \geq 1 \) ,并且,存在点 \( {z}_{0} \in D \) 使得 \( \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| < 1 \) ,那么 \( f \) 的象包含在单位圆盘中.
18. 应用同伦曲线重新证明:
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
柯西积分公式.
【提示: 圆周 \( C \) 是以 \( z \) 为中心的小圆周,并注意到差分 \( \left( {f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }\right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 是有界的. ]
19. 证明: 调和函数的最大值原理, 也就是:
(a) 如果 \( u \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数实值调和函数,那么 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 上不能达到最大值 (或最小值).
(b) 假设区域 \( \Omega \) 的紧闭包是 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( u \) 在 \( \Omega \) 上是调和的,且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| .
\]
【提示: 要证明第一部分,假设 \( u \) 在 \( {z}_{0} \) 点取得极大值. 取函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近是全纯的,且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,并证明 \( f \) 不是开的. 第二部分可以直接由第一部分得到. ]
20. 这个练习表明了均方收敛在解析函数的一致收敛中有着重要地位. 如果 \( U \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 的开子集,均方泛数定义为
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}^{2}\left( U\right) } = {\left( {\int }_{U}{\left| f\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\right) }^{1/2},
\]
并且, 上确界泛数为
\[
\parallel f{\parallel }_{L + \infty \left( U\right) } = \mathop{\sup }\limits_{{z \in U}}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
(a) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 的某邻域内是全纯的,证明: 对任意的 \( 0 < s < r \) ,存在常数 \( C > 0 \) (依赖于 \( s \) 和 \( r \) ) 使得
\[
\parallel f{\parallel }_{L + \infty \left( {{D}_{s}\left( {z}_{0}\right) }\right) } \leq C\parallel f{\parallel }_{{L}^{2}\left( {{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) }\right) }.
\]
(b) 证明: 如果 \( \left| {f}_{n}\right| \) 是由均方泛数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{{L}^{2}\left( U\right) } \) 定义的全纯函数的柯西列,那么序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( U \) 的每个紧子集中都一致收敛于一个全纯函数. 【提示: 应用均值性质. 】
21. 若某集合具有几何性质, 那么能保证这个集合是单连通的.
(a) 开集 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是凸的,即如果 \( \Omega \) 中的任意两点的连线段都包含在 \( \Omega \) 内. 证明: 凸开集是单连通的.
(b) 更一般地,开集 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) 是星形的,如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得对任意 \( z \in \Omega \) , 两点间的连线都包含在 \( \Omega \) 内. 证明: 星形的开集是单连通的. 推断半平面 \( \mathrm{C} - \) \( \left| \left( {-\infty ,0}\right\rbrack \right| \) (更一般的任何扇形、凸的或非凸的) 是单连通的.
(c) 还有哪些其他的开集也是单连通的?
22. 证明: 不存在这样的全纯函数 \( f \) ,它是定义在单位圆盘 \( D \) 上的,并在 \( D \) 的边界 \( \partial D \) 上广义连续,使得对 \( z \in \partial D \) 满足 \( f\left( z\right) = 1/z \) .
## 9 问题
1. * 考虑定义在单位圆盘上的全纯映射: \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) ,且满足 \( f\left( 0\right) = 0 \) . 根据开映射定理,象 \( f\left( D\right) \) 包含了一个以原点为中心的小圆盘. 问题是: 是否存在 \( r > 0 \) 使得对所有的 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) 满足 \( f\left( 0\right) = 0 \) ,都有 \( {D}_{r}\left( 0\right) \subset f\left( D\right) \) ?
(a) 证明: 如果函数 \( f \) 没有更多的约束条件,则不存在这样的 \( r \) . 只要找到 \( D \) 上的全纯函数列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 使得 \( 1/n \notin f\left( D\right) \) . 计算 \( {f}_{n}^{\prime }\left( 0\right) \) ,并讨论.
(b) 假设给函数 \( f \) 附加条件,使其满足 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) . 证明: 虽然有这个假设, 仍然不存在满足条件的 \( r \) .
【提示: 试试 \( {f}_{\varepsilon }\left( z\right) = \varepsilon \left( {{\mathrm{e}}^{z/\varepsilon } - 1}\right) \) . ]
根据 Koebe-Bieberbach 定理,如果加上条件 \( f\left( 0\right) = 0 \) 和 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) ,并假设 \( f \) 为单射,那么就存在这样的 \( r \) ,并且,最优值就是 \( r = 1/4 \) .
(c) 第一步,证明如果 \( h\left( z\right) = \frac{1}{z} + {c}_{0} + {c}_{1}z + {c}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 是解析的并且是单射, 当 \( 0 < \left| z\right| < 1 \) ,有 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}n{\left| {c}_{n}\right| }^{2} \leq 1 \) .
【提示: 计算 \( h\left( {{D}_{\rho }\left( 0\right) -\{ 0\} }\right) \) ,其中, \( 0 < \rho < 1 \) ,并令 \( \rho \rightarrow 1 \) . ]
(d) 如果 \( f\left( z\right) = z + {a}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 满足定理的假设,证明存在另一个函数 \( g \) 使得 \( {g}^{2}\left( z\right) = f\left( {z}^{2}\right) \) 也满足定理的假设.
【提示: 函数 \( f\left( z\right) /z \) 没有零点,因此存在 \( \psi \) 使得 \( {\psi }^{2}\left( z\right) = f\left( z\right) /z \) ,并且 \( \psi \left( 0\right) = 1 \) . 可以确定,函数 \( g\left( z\right) = {z\psi }\left( {z}^{2}\right) \) 是单射. ]
(e) 注意到,上一个问题中, \( \left| {a}_{2}\right| \leq 2 \) ,并且,当且仅当对某个 \( \theta \in \mathbf{R} \) 满足
\[
f\left( z\right) = \frac{z}{{\left( 1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z\right) }^{2}}
\]
时, 上个问题中的等式仍然成立.
【提示: 如何将函数 \( 1/g\left( z\right) \) 展成幂级数? 用 \( \left( \mathrm{c}\right) \) 部分. 】
(f) 如果函数 \( h\left( z\right) = \frac{1}{z} + {c}_{0} + {c}_{1}z + {c}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 是定义在 \( D \) 上的单射,除了 \( {z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 两点外,证明 \( \left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| \leq 4 \) .
【提示: 看函数 \( 1/\left( {h\left( z\right) - {z}_{j}}\right) \) 的幂级数的展开式的第二个系数. 】
(g) 完善定理的证明.
【提示: 如果函数 \( f \) 避开 \( w \) ,那么 \( 1/ | 推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有\n\n\[ f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,\] | 取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论. |
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部.
## 8 练习
1. 利用欧拉公式
\[
\sin {\pi z} = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
表明 \( \sin {\pi z} \) 的复零元都是正数,并且每个零元都是一阶的.
当 \( z = n \in \mathbf{Z} \) 时计算 \( 1/\sin {\pi z} \) 的留数.
2. 计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{4}}.
\]
函数 \( 1/\left( {1 + {z}^{4}}\right) \) 的极点在哪?
3. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi \frac{{\mathrm{e}}^{-a}}{a}.
\]
4. 证明: 对任意 \( a > 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{x\sin x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \pi {\mathrm{e}}^{-a}.
\]
5. 应用周线积分法证明: 对任意实数 \( \xi \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2}\left( {1 + {2\pi }\left| \xi \right| }\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\left| \xi \right| }.
\]
6. 证明: 对于 \( n \geq 1 \) ,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{{\left( 1 + {x}^{2}\right) }^{n + 1}} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdots \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6\cdots \left( {2n}\right) }\pi .
\]
7. 证明: 当 \( a > 1 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{{\left( a + \cos \theta \right) }^{2}} = \frac{2\pi a}{{\left( {a}^{2} - 1\right) }^{3/2}}.
\]
8. 如果 \( a > \left| b\right|, a, b \in \mathbf{R} \) ,证明:
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{a + b\cos \theta } = \frac{2\pi }{\sqrt{{a}^{2} - {b}^{2}}}.
\]
9. 证明:
\[
{\int }_{0}^{1}\log \left( {\sin {\pi x}}\right) \mathrm{d}x = - \log 2.
\]
【提示: 应用图 9 中的周线. 】
10. 证明: 如果 \( a > 0 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\log x}{{x}^{2} + {a}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{2a}\log a.
\]
【提示: 用图 10 中的周线. 】
图 9 练习 9 中的周线
图 10 练习 10 中的周线
11. 证明: 如果 \( \left| a\right| < 1 \) ,那么
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {1 - a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right| \mathrm{d}\theta = 0.
\]
并证明如果假设 \( \left| a\right| \leq 1 \) ,那么上面的结论依然成立.
12. 假设 \( u \) 不是整数. 证明:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( u + n\right) }^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{{\left( \sin \pi u\right) }^{2}}.
\]
根据函数
\[
f\left( z\right) = \frac{\pi \cot {\pi z}}{{\left( u + z\right) }^{2}}
\]
在圆周 \( \left| z\right| = {R}_{N} = N + 1/2 \) ( \( N \) 是整数,且 \( N \geq \left| u\right| \) ) 上的积分,加上函数 \( f \) 在圆周内的留数,当 \( N \) 趋于无穷大时的极限值.
注意: 这个恒等式有两个其他出处, 应用傅里叶级数, 在第一册中给出.
13. 假设函数 \( f\left( z\right) \) 在有孔圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是全纯的. 并假设对某个 \( \varepsilon > 0 \) , \( z \) 在 \( {z}_{0} \) 附近满足不等式
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\left| z - {z}_{0}\right| }^{-1 + \varepsilon },
\]
证明: 点 \( {z}_{0} \) 是函数 \( f \) 的可去奇点.
14. 证明: 任何整函数都是单射,可以表示为线性函数 \( f\left( z\right) = {az} + b \) 的形式, 其中, \( a, b \in \mathbf{C} \) ,并且 \( a \neq 0 \) .
【提示: 对函数 \( f\left( {1/z}\right) \) 应用 Casorati-Weierstrass 定理】
15. 用柯西不等式或最大模原理证明下面的问题.
(a) 证明: 如果 \( f \) 是整函数,并满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{\left| z\right| = R}}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{R}^{k} + B,
\]
其中 \( R > 0, k \geq 0 \) 是某个整数, \( A, B > 0 \) 是某常数,那么 \( f \) 是阶数小于等于 \( k \) 的多项式.
(b) 证明: 如果函数 \( f \) 是定义在单位圆盘内的全纯函数,并且函数有界,在扇形区域 \( \theta < \arg z < \varphi \) 内当 \( \left| z\right| \rightarrow 1 \) 时一致收敛于 0,那么 \( f = 0 \) .
(c) 令 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) 是复平面上单位圆盘上的点. 证明: 在单位圆周上存在一点 \( z \) 使得 \( z \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积至少是 1 . 并证明在单位圆周上存在一点 \( w \) 使得 \( w \) 到点 \( {w}_{j}\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 的距离的乘积正好等于 1 .
(d) 如果整函数 \( f \) 的实部是有界的,那么函数 \( f \) 是常数.
16. 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 在包含圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 的区域内是全纯的. 假设函数 \( f \) 的唯一零元在 \( z = 0 \) 处,圆盘 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内的其他点都不为零. 令
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = f\left( z\right) + {\varepsilon g}\left( z\right) .
\]
证明: 如果 \( \varepsilon \) 足够小,那么
(a) \( {f}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在 \( \left| z\right| \leq 1 \) 内有唯一的零元,并且
(b) 如果 \( {z}_{\varepsilon } \) 是这个零元,映射 \( \varepsilon \mid - {z}_{\varepsilon } \) 是连续的.
17. 令 \( f \) 不是常函数,并且在包含单位圆盘的闭包的开集中是全纯的.
(a) 证明: 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| = 1 \) ,那么函数 \( f \) 的象包含在单位圆盘中. 【提示: 必须证明 \( f\left( z\right) = {w}_{0} \) ,对任意 \( {w}_{0} \in D \) 都有一个根. 由此,就足以证明 \( f\left( z\right) = \) 0 有一个根, 为什么呢? 用最大模原理能推出. ]
(b) 如果当 \( \left| z\right| = 1 \) 时 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \geq 1 \) ,并且,存在点 \( {z}_{0} \in D \) 使得 \( \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| < 1 \) ,那么 \( f \) 的象包含在单位圆盘中.
18. 应用同伦曲线重新证明:
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta
\]
柯西积分公式.
【提示: 圆周 \( C \) 是以 \( z \) 为中心的小圆周,并注意到差分 \( \left( {f\left( \zeta \right) - f\left( z\right) }\right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 是有界的. ]
19. 证明: 调和函数的最大值原理, 也就是:
(a) 如果 \( u \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数实值调和函数,那么 \( u \) 在区域 \( \Omega \) 上不能达到最大值 (或最小值).
(b) 假设区域 \( \Omega \) 的紧闭包是 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( u \) 在 \( \Omega \) 上是调和的,且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {u\left( z\right) }\right| .
\]
【提示: 要证明第一部分,假设 \( u \) 在 \( {z}_{0} \) 点取得极大值. 取函数 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近是全纯的,且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,并证明 \( f \) 不是开的. 第二部分可以直接由第一部分得到. ]
20. 这个练习表明了均方收敛在解析函数的一致收敛中有着重要地位. 如果 \( U \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 的开子集,均方泛数定义为
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}^{2}\left( U\right) } = {\left( {\int }_{U}{\left| f\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y\right) }^{1/2},
\]
并且, 上确界泛数为
\[
\parallel f{\parallel }_{L + \infty \left( U\right) } = \mathop{\sup }\limits_{{z \in U}}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
(a) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{r}\left( {z}_{0}\right) \) 的某邻域内是全纯的,证明: 对任意的 \( 0 < s < r \) ,存在常数 \( C > 0 \) (依赖于 \( s \) 和 \( r \) ) 使得
\[
\parallel f{\parallel }_{L + \infty \left( {{D}_{s}\left( {z}_{0}\right) }\right) } \leq C\parallel f{\parallel }_{{L}^{2}\left( {{D}_{r}\left( {z}_{0}\right) }\right) }.
\]
(b) 证明: 如果 \( \left| {f}_{n}\right| \) 是由均方泛数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{{L}^{2}\left( U\right) } \) 定义的全纯函数的柯西列,那么序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( U \) 的每个紧子集中都一致收敛于一个全纯函数. 【提示: 应用均值性质. 】
21. 若某集合具有几何性质, 那么能保证这个集合是单连通的.
(a) 开集 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是凸的,即如果 \( \Omega \) 中的任意两点的连线段都包含在 \( \Omega \) 内. 证明: 凸开集是单连通的.
(b) 更一般地,开集 \( \Omega \subset \mathbf{C} \) 是星形的,如果存在点 \( {z}_{0} \in \Omega \) 使得对任意 \( z \in \Omega \) , 两点间的连线都包含在 \( \Omega \) 内. 证明: 星形的开集是单连通的. 推断半平面 \( \mathrm{C} - \) \( \left| \left( {-\infty ,0}\right\rbrack \right| \) (更一般的任何扇形、凸的或非凸的) 是单连通的.
(c) 还有哪些其他的开集也是单连通的?
22. 证明: 不存在这样的全纯函数 \( f \) ,它是定义在单位圆盘 \( D \) 上的,并在 \( D \) 的边界 \( \partial D \) 上广义连续,使得对 \( z \in \partial D \) 满足 \( f\left( z\right) = 1/z \) .
## 9 问题
1. * 考虑定义在单位圆盘上的全纯映射: \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) ,且满足 \( f\left( 0\right) = 0 \) . 根据开映射定理,象 \( f\left( D\right) \) 包含了一个以原点为中心的小圆盘. 问题是: 是否存在 \( r > 0 \) 使得对所有的 \( f : D \rightarrow \mathbf{C} \) 满足 \( f\left( 0\right) = 0 \) ,都有 \( {D}_{r}\left( 0\right) \subset f\left( D\right) \) ?
(a) 证明: 如果函数 \( f \) 没有更多的约束条件,则不存在这样的 \( r \) . 只要找到 \( D \) 上的全纯函数列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 使得 \( 1/n \notin f\left( D\right) \) . 计算 \( {f}_{n}^{\prime }\left( 0\right) \) ,并讨论.
(b) 假设给函数 \( f \) 附加条件,使其满足 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) . 证明: 虽然有这个假设, 仍然不存在满足条件的 \( r \) .
【提示: 试试 \( {f}_{\varepsilon }\left( z\right) = \varepsilon \left( {{\mathrm{e}}^{z/\varepsilon } - 1}\right) \) . ]
根据 Koebe-Bieberbach 定理,如果加上条件 \( f\left( 0\right) = 0 \) 和 \( {f}^{\prime }\left( 0\right) = 1 \) ,并假设 \( f \) 为单射,那么就存在这样的 \( r \) ,并且,最优值就是 \( r = 1/4 \) .
(c) 第一步,证明如果 \( h\left( z\right) = \frac{1}{z} + {c}_{0} + {c}_{1}z + {c}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 是解析的并且是单射, 当 \( 0 < \left| z\right| < 1 \) ,有 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}n{\left| {c}_{n}\right| }^{2} \leq 1 \) .
【提示: 计算 \( h\left( {{D}_{\rho }\left( 0\right) -\{ 0\} }\right) \) ,其中, \( 0 < \rho < 1 \) ,并令 \( \rho \rightarrow 1 \) . ]
(d) 如果 \( f\left( z\right) = z + {a}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 满足定理的假设,证明存在另一个函数 \( g \) 使得 \( {g}^{2}\left( z\right) = f\left( {z}^{2}\right) \) 也满足定理的假设.
【提示: 函数 \( f\left( z\right) /z \) 没有零点,因此存在 \( \psi \) 使得 \( {\psi }^{2}\left( z\right) = f\left( z\right) /z \) ,并且 \( \psi \left( 0\right) = 1 \) . 可以确定,函数 \( g\left( z\right) = {z\psi }\left( {z}^{2}\right) \) 是单射. ]
(e) 注意到,上一个问题中, \( \left| {a}_{2}\right| \leq 2 \) ,并且,当且仅当对某个 \( \theta \in \mathbf{R} \) 满足
\[
f\left( z\right) = \frac{z}{{\left( 1 - {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z\right) }^{2}}
\]
时, 上个问题中的等式仍然成立.
【提示: 如何将函数 \( 1/g\left( z\right) \) 展成幂级数? 用 \( \left( \mathrm{c}\right) \) 部分. 】
(f) 如果函数 \( h\left( z\right) = \frac{1}{z} + {c}_{0} + {c}_{1}z + {c}_{2}{z}^{2} + \cdots \) 是定义在 \( D \) 上的单射,除了 \( {z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 两点外,证明 \( \left| {{z}_{1} - {z}_{2}}\right| \leq 4 \) .
【提示: 看函数 \( 1/\left( {h\left( z\right) - {z}_{j}}\right) \) 的幂级数的展开式的第二个系数. 】
(g) 完善定理的证明.
【提示: 如果函数 \( f \) 避开 \( w \) ,那么 \( 1/f \) 就没有零点和 \( 1/w \) . ]
2. 令 \( u \) 是定义在单位圆盘上的调和函数,并且在其闭包上是连续的. 在 \( \left| {z}_{0}\right| < 1 \) 时推断泊松积分公式
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1 - {\left| {z}_{0}\right| }^{2}}{{\left| {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - {z}_{0}\rig | 推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有\n\n\[ u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,\] | 回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部. |
定理 2.1 如果对某个 \( a > 0 \) ,函数 \( f \) 属于 \( {F}_{a} \) ,那么对任意的 \( 0 \leq b \leq a \) 满足 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq B{\mathrm{e}}^{-{2\pi b}\left| \xi \right| }. \)
证明 回顾前面的内容 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x \) ,根据积分定义 \( \widehat{f} \) ,当 \( b = 0 \)
时,容易得到 \( \widehat{f} \) 有界,如果 \( f \) 是微减的,则 \( \widehat{f} \) 为指数函数,它的界为 1 .
现在假设 \( 0 < b < a \) ,并且首先
图 1 定理 2.1 中的证明中当 \( \xi > 0 \) 时的周线
假设 \( \xi > 0 \) . 主要的步骤就是选定合适的周线积分. 选择实轴, 与实轴下方 \( b \) 个单位的矩形周线. 正好考虑图 1 中的周线,并且函数选择 \( g\left( z\right) = \) \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }} \) .
当要求 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( g \) 在两个铅垂边上的积分就收敛于零. 例如, 在铅垂的靠右边的一条边上的积分可以估值为
\[
\left| {{\int }_{-R - \mathrm{i}b}^{-R}g\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\int }_{0}^{b}\left| {f\left( {-R - \mathrm{i}t}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {-R - \mathrm{i}t}\right) \xi }}\right| \mathrm{d}t
\]
\[
\leq {\int }_{0}^{b}\frac{A}{{R}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi t\xi }}\mathrm{d}t
\]
\[
= O\left( {1/{R}^{2}}\right) \text{.}
\]
对于周线中靠左边的铅垂边上的积分可以有类似的估值. 因此, 通过在大的矩形周线上应用柯西定理,我们发现当 \( R \) 趋于无穷大时的极限值就是
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {x - \mathrm{i}b}\right) \xi }\mathrm{d}x,
\]
(1)
它有估值
\[
\left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{A}{1 + {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi b\xi }}\mathrm{d}x \leq B{\mathrm{e}}^{-{2\pi b\xi }},
\]
其中 \( B \) 是个合适的常数. 当 \( \xi < 0 \) 时讨论是类似的,只是选择的周线是高于实轴 \( b \) 个单位, 这样就可以完成定理的证明.
这个结论是说,当 \( f \in F \) 时,在无穷远处 \( \widehat{f} \) 会快速趋于零. 我们注意到,进一步的研究可以扩充 \( f \) 所属的函数类 (也就是说将 \( a \) 扩大),那么 \( b \) 选择的越大,衰退会越快. 我们将会用到第 3 小节中圆周的思路,描述函数 \( f \) 下的 \( \widehat{f} \) 的主要的衰退条件: 紧支柱.
因为 \( \widehat{f} \) 在实数集 \( \mathbf{R} \) 上迅速减小,所以傅里叶反演公式的积分有意义,并且回到这个恒等式的复分析证明中.
定理 2.2 如果 \( f \in F \) ,那么傅里叶反演公式成立,对所有的 \( x \in \mathbf{R} \) 满足
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
除了周线积分以外, 定理的证明还要用到一个简单的等式.
引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \frac{1}{A + \mathrm{i}B}.
\]
证明 因为 \( A > 0 \) 且 \( B \in \mathbf{R} \) ,我们有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\left( {A + {Bi}}\right) \xi }\right| = {\mathrm{e}}^{-{A\xi }} \) ,并且积分收敛. 所以根据定义
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi .
\]
但是
\[
{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = {\left\lbrack -\frac{{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }}{A + \mathrm{i}B}\right\rbrack }_{0}^{R},
\]
当 \( R \) 趋于零时,积分趋于 \( 1/\left( {A + B\mathrm{i}}\right) \) .
现在证明反演定理. 同样是要讨论 \( \xi \) 的符号,首先将积分写成
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
先讨论第二个积分. 因为 \( f \in {F}_{a} \) 且选择 \( 0 < b < a \) . 重复定理 2.1 的证明,或简单地应用公式 (1), 我们得到
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }\mathrm{d}u,
\]
因此,应用引理和积分关于 \( \xi \) 的收敛性,我们发现
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{2\pi ix\xi }\mathrm{d}\xi = {\int }_{0}^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}u\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b - x}\right) \xi }\mathrm{d}\xi \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \frac{1}{{2\pi b} + {2\pi }\mathrm{i}\left( {u - x}\right) }\mathrm{d}u
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) }{u - \mathrm{i}b - x}\mathrm{\;d}u
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta
\]
其中 \( {L}_{1} \) 表示直线 \( \{ u - \mathrm{i}b : u \in \mathbf{R}\} \) ,方向是从左至右 (也就是说, \( {L}_{1} \) 是低于实轴 \( b \) 个单位的实线). 对于积分,当 \( \xi < 0 \) 时,类似的推论有
\[
{\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中, \( {L}_{2} \) 是高于实轴 \( b \) 个单位的实线,方向也是从左至右. 现在任给 \( x \in \mathbf{R} \) ,考虑图 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \) .
函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - x}\right) \) 在 \( x \) 处有单极点,其留数为 \( f\left( x\right) \) ,因此,留数公式为
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{R}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
图 2 定理 2.2 的证明中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
令 \( R \) 趋于无穷大,很容易知道在铅垂边上的积分趋于 0,因此,结合前面的结论得到
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
= {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
则定理得证.
三个定理中的最后一个定理是泊松求和公式.
定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) .
\]
证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\left( {{2\pi }\mathrm{i}}\right) \) . 因此函数 \( f\left( z\right) /\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 在整数 \( n \) 处有单极点,留数为 \( f\left( n\right) /{2\pi }\mathrm{i} \) . 因此,我们可以用图 3 中的周线应用留数公式,其中 \( N \) 是个整数.
图 3 定理 2.4 的证明中的周线 \( {\gamma }_{N} \)
因此得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}f\left( n\right) = {\int }_{{\gamma }_{N}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大,并且因为 \( f \) 是微减的,那么这个和就收敛于 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) \) ,并且可以知道在垂直线段上的积分趋于 0 . 因此取极限得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z - {\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z,
\]
(2)
其中 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 分别是低于实轴和高于实轴 \( b \) 个单位的实线.
现在,根据结论: 如果 \( \left| w\right| > 1 \) ,那么
84 \$
\[
\frac{1}{w - 1} = {w}^{-1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{-n},
\]
不容心
因此在 \( {L}_{1} \) 上 (当 \( \left| {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}\right| > 1 \) ) 有
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
并且,如果 \( \left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\frac{1}{w - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{n}
\]
使得在 \( {L}_{2} \) 上
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
将上面的结论替换到式 (2) 中得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) \left( {{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) z}\mathrm{\;d}z + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) x}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nx}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {n + 1}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {-n}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right)
\]
其中,根据方程 (1) 我们已经将 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 移动到实轴,与移动到下方的情况是类似的.
泊松求和公式还有许多影响深远的推论, 我们通过推导出几个重要的恒等式来结束这一小节, 这几个恒等式在接下来的应用中起着重要作用.
首先回忆第 2 章中例 1 中的计算,它表明,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}}.
\]
对于任意给定的 \( t > 0 \) 和 \( a \in \mathbf{R} \) ,在上面的积分中用变量代换 \( x \mid - {t}^{1/2}\left( {x + a}\right) \) 就能证明函数 \( f\left( x\right) = {\mat | 定理 2.1 如果对某个 \( a > 0 \) ,函数 \( f \) 属于 \( {F}_{a} \) ,那么对任意的 \( 0 \leq b \leq a \) 满足 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq B{\mathrm{e}}^{-{2\pi b}\left| \xi \right| }. | 证明 回顾前面的内容 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x \) ,根据积分定义 \( \widehat{f} \) ,当 \( b = 0 \) 时,容易得到 \( \widehat{f} \) 有界,如果 \( f \) 是微减的,则 \( \widehat{f} \) 为指数函数,它的界为 1 . 现在假设 \( 0 < b < a \) ,并且首先假设 \( \xi > 0 \) . 主要的步骤就是选定合适的周线积分. 选择实轴, 与实轴下方 \( b \) 个单位的矩形周线. 正好考虑图 1 中的周线,并且函数选择 \( g\left( z\right) = \) \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }} \) . 当要求 \( R \) 趋于无穷大时,函数 \( g \) 在两个铅垂边上的积分就收敛于零. 例如, 在铅垂的靠右边的一条边上的积分可以估值为 \[ \left| {{\int }_{-R - \mathrm{i}b}^{-R}g\left( z\right) \mathrm{d}z}\right| \leq {\int }_{0}^{b}\left| {f\left( {-R - \mathrm{i}t}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {-R - \mathrm{i}t}\right) \xi }}\right| \mathrm{d}t \] \[ \leq {\int }_{0}^{b}\frac{A}{{R}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi t\xi }}\mathrm{d}t \] \[ = O\left( {1/{R}^{2}}\right) \text{.} \] 对于周线中靠左边的铅垂边上的积分可以有类似的估值. 因此, 通过在大的矩形周线上应用柯西定理,我们发现当 \( R \) 趋于无穷大时的极限值就是 \[ \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {x - \mathrm{i}b}\right) \xi }\mathrm{d}x, \] (1) 它有估值 \[ \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{A}{1 + {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi b\xi }}\mathrm{d}x \leq B{\mathrm{e}}^{-{2\pi b\xi }}, \] 其中 \( B \) 是个合适的常数. 当 \( \xi < 0 \) 时讨论是类似的,只是选择的周线是高于实轴 \( b \) 个单位, 这样就可以完成定理的证明. |
定理 2.2 如果 \( f \in F \) ,那么傅里叶反演公式成立,对所有的 \( x \in \mathbf{R} \) 满足
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
除了周线积分以外, 定理的证明还要用到一个简单的等式.
引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \frac{1}{A + \mathrm{i}B}.
\]
证明 因为 \( A > 0 \) 且 \( B \in \mathbf{R} \) ,我们有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\left( {A + {Bi}}\right) \xi }\right| = {\mathrm{e}}^{-{A\xi }} \) ,并且积分收敛. 所以根据定义
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi .
\]
但是
\[
{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = {\left\lbrack -\frac{{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }}{A + \mathrm{i}B}\right\rbrack }_{0}^{R},
\]
当 \( R \) 趋于零时,积分趋于 \( 1/\left( {A + B\mathrm{i}}\right) \) .
现在证明反演定理. 同样是要讨论 \( \xi \) 的符号,首先将积分写成
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
先讨论第二个积分. 因为 \( f \in {F}_{a} \) 且选择 \( 0 < b < a \) . 重复定理 2.1 的证明,或简单地应用公式 (1), 我们得到
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }\mathrm{d}u,
\]
因此,应用引理和积分关于 \( \xi \) 的收敛性,我们发现
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{2\pi ix\xi }\mathrm{d}\xi = {\int }_{0}^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}u\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b - x}\right) \xi }\mathrm{d}\xi \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \frac{1}{{2\pi b} + {2\pi }\mathrm{i}\left( {u - x}\right) }\mathrm{d}u
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) }{u - \mathrm{i}b - x}\mathrm{\;d}u
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta
\]
其中 \( {L}_{1} \) 表示直线 \( \{ u - \mathrm{i}b : u \in \mathbf{R}\} \) ,方向是从左至右 (也就是说, \( {L}_{1} \) 是低于实轴 \( b \) 个单位的实线). 对于积分,当 \( \xi < 0 \) 时,类似的推论有
\[
{\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中, \( {L}_{2} \) 是高于实轴 \( b \) 个单位的实线,方向也是从左至右. 现在任给 \( x \in \mathbf{R} \) ,考虑图 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \) .
函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - x}\right) \) 在 \( x \) 处有单极点,其留数为 \( f\left( x\right) \) ,因此,留数公式为
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{R}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
图 2 定理 2.2 的证明中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
令 \( R \) 趋于无穷大,很容易知道在铅垂边上的积分趋于 0,因此,结合前面的结论得到
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
= {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
则定理得证.
三个定理中的最后一个定理是泊松求和公式.
定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) .
\]
证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\left( {{2\pi }\mathrm{i}}\right) \) . 因此函数 \( f\left( z\right) /\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 在整数 \( n \) 处有单极点,留数为 \( f\left( n\right) /{2\pi }\mathrm{i} \) . 因此,我们可以用图 3 中的周线应用留数公式,其中 \( N \) 是个整数.
图 3 定理 2.4 的证明中的周线 \( {\gamma }_{N} \)
因此得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}f\left( n\right) = {\int }_{{\gamma }_{N}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大,并且因为 \( f \) 是微减的,那么这个和就收敛于 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) \) ,并且可以知道在垂直线段上的积分趋于 0 . 因此取极限得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z - {\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z,
\]
(2)
其中 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 分别是低于实轴和高于实轴 \( b \) 个单位的实线.
现在,根据结论: 如果 \( \left| w\right| > 1 \) ,那么
84 \$
\[
\frac{1}{w - 1} = {w}^{-1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{-n},
\]
不容心
因此在 \( {L}_{1} \) 上 (当 \( \left| {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}\right| > 1 \) ) 有
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
并且,如果 \( \left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\frac{1}{w - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{n}
\]
使得在 \( {L}_{2} \) 上
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
将上面的结论替换到式 (2) 中得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) \left( {{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) z}\mathrm{\;d}z + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) x}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nx}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {n + 1}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {-n}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right)
\]
其中,根据方程 (1) 我们已经将 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 移动到实轴,与移动到下方的情况是类似的.
泊松求和公式还有许多影响深远的推论, 我们通过推导出几个重要的恒等式来结束这一小节, 这几个恒等式在接下来的应用中起着重要作用.
首先回忆第 2 章中例 1 中的计算,它表明,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}}.
\]
对于任意给定的 \( t > 0 \) 和 \( a \in \mathbf{R} \) ,在上面的积分中用变量代换 \( x \mid - {t}^{1/2}\left( {x + a}\right) \) 就能证明函数 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{\pi t}{\left( x + a\right) }^{2}} \) 的傅里叶变换是 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}/t}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{a\xi }} \) . 对两个函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) (它们都属于函数类 \( F \) ) 应用泊松求和公式得到下面的关系式:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\pi t}{\left( n + a\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\pi {n}^{2}/t}{\mathrm{e}}^{2\pi ina}.
\]
(3)
这个恒等式很显然是收敛的. 例如,特例当 \( a = 0 \) 时,这个变换就是 “theta 函数”: 如果对于 \( t > 0 \) ,定义 \( \vartheta \) 为级数 \( \vartheta \left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-\pi {n}^{2}t} \) ,那么式 (3) 正好表示为
\[
\vartheta \left( t\right) = {t}^{-1/2}\vartheta \left( {1/t}\right) ,
\]
(4)
其中 \( t > 0 \) . 这个等式将在第 6 章中用到,用于推导黎曼 zeta 函数的主要泛函方程, 而且可以得出黎曼 zeta 函数的解析连续性. 对一般情况 \( a \in \mathbf{R} \) ,将在第 10 章用来确定更普通的一种 Jacobi theta 函数 \( \Theta \) .
作为泊松求和公式的另一个应用, 我们可以回顾第 3 章中的例 3 , 也就是函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 也是它自己的傅里叶变换,即
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
这就意味着,如果 \( t > 0 \) 且 \( a \in \mathbf{R} \) ,那么函数 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{ax}}/\cosh \left( {{\pi x}/t}\right) \) 的傅里叶变换就是 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = t/\cosh \left( {\pi \left( {\xi + a}\right) t}\right) \) ,并且泊松求和公式为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{an}}}{\cosh \left( {{\pi n}/t}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{t}{\cosh \left( {\pi \left( {n + a}\right) t}\right) }.
\]
(5)
这个定理将用在第 10 章中的二平方定理.
## 3 Paley-Wiener 定理
这一小节我们转变一下思路: 不去假设函数 \( f \) 的解析性,而是假设傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
的正确性,其中,在满足条件 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq A/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 和 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\ | 定理 2.2 如果 \( f \in F \) ,那么傅里叶反演公式成立,对所有的 \( x \in \mathbf{R} \) 满足\n\n\[ f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi . \] | 现在证明反演定理. 同样是要讨论 \( \xi \) 的符号,首先将积分写成\n\n\[ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi . \]\n\n先讨论第二个积分. 因为 \( f \in {F}_{a} \) 且选择 \( 0 < b < a \) . 重复定理 2.1 的证明,或简单地应用公式 (1), 我们得到\n\n\[ \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }\mathrm{d}u, \]\n\n因此,应用引理和积分关于 \( \xi \) 的收敛性,我们发现\n\n\[ {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{2\pi ix\xi }\mathrm{d}\xi = {\int }_{0}^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }{\mathrm{e }} |
引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \frac{1}{A + \mathrm{i}B}.
\]
证明 因为 \( A > 0 \) 且 \( B \in \mathbf{R} \) ,我们有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\left( {A + {Bi}}\right) \xi }\right| = {\mathrm{e}}^{-{A\xi }} \) ,并且积分收敛. 所以根据定义
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi .
\]
但是
\[
{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = {\left\lbrack -\frac{{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }}{A + \mathrm{i}B}\right\rbrack }_{0}^{R},
\]
当 \( R \) 趋于零时,积分趋于 \( 1/\left( {A + B\mathrm{i}}\right) \) .
现在证明反演定理. 同样是要讨论 \( \xi \) 的符号,首先将积分写成
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
先讨论第二个积分. 因为 \( f \in {F}_{a} \) 且选择 \( 0 < b < a \) . 重复定理 2.1 的证明,或简单地应用公式 (1), 我们得到
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }\mathrm{d}u,
\]
因此,应用引理和积分关于 \( \xi \) 的收敛性,我们发现
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{2\pi ix\xi }\mathrm{d}\xi = {\int }_{0}^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \xi }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}u\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {u - \mathrm{i}b - x}\right) \xi }\mathrm{d}\xi \mathrm{d}u
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) \frac{1}{{2\pi b} + {2\pi }\mathrm{i}\left( {u - x}\right) }\mathrm{d}u
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{f\left( {u - \mathrm{i}b}\right) }{u - \mathrm{i}b - x}\mathrm{\;d}u
\]
\[
= \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta
\]
其中 \( {L}_{1} \) 表示直线 \( \{ u - \mathrm{i}b : u \in \mathbf{R}\} \) ,方向是从左至右 (也就是说, \( {L}_{1} \) 是低于实轴 \( b \) 个单位的实线). 对于积分,当 \( \xi < 0 \) 时,类似的推论有
\[
{\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中, \( {L}_{2} \) 是高于实轴 \( b \) 个单位的实线,方向也是从左至右. 现在任给 \( x \in \mathbf{R} \) ,考虑图 2 中的周线 \( {\gamma }_{R} \) .
函数 \( f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - x}\right) \) 在 \( x \) 处有单极点,其留数为 \( f\left( x\right) \) ,因此,留数公式为
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{\gamma }_{R}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
图 2 定理 2.2 的证明中的周线 \( {\gamma }_{R} \)
令 \( R \) 趋于无穷大,很容易知道在铅垂边上的积分趋于 0,因此,结合前面的结论得到
\[
f\left( x\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta - \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - x}\mathrm{\;d}\zeta
\]
\[
= {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
则定理得证.
三个定理中的最后一个定理是泊松求和公式.
定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) .
\]
证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\left( {{2\pi }\mathrm{i}}\right) \) . 因此函数 \( f\left( z\right) /\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 在整数 \( n \) 处有单极点,留数为 \( f\left( n\right) /{2\pi }\mathrm{i} \) . 因此,我们可以用图 3 中的周线应用留数公式,其中 \( N \) 是个整数.
图 3 定理 2.4 的证明中的周线 \( {\gamma }_{N} \)
因此得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}f\left( n\right) = {\int }_{{\gamma }_{N}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大,并且因为 \( f \) 是微减的,那么这个和就收敛于 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) \) ,并且可以知道在垂直线段上的积分趋于 0 . 因此取极限得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z - {\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z,
\]
(2)
其中 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 分别是低于实轴和高于实轴 \( b \) 个单位的实线.
现在,根据结论: 如果 \( \left| w\right| > 1 \) ,那么
84 \$
\[
\frac{1}{w - 1} = {w}^{-1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{-n},
\]
不容心
因此在 \( {L}_{1} \) 上 (当 \( \left| {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}\right| > 1 \) ) 有
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
并且,如果 \( \left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\frac{1}{w - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{n}
\]
使得在 \( {L}_{2} \) 上
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
将上面的结论替换到式 (2) 中得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) \left( {{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) z}\mathrm{\;d}z + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) x}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nx}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {n + 1}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {-n}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right)
\]
其中,根据方程 (1) 我们已经将 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 移动到实轴,与移动到下方的情况是类似的.
泊松求和公式还有许多影响深远的推论, 我们通过推导出几个重要的恒等式来结束这一小节, 这几个恒等式在接下来的应用中起着重要作用.
首先回忆第 2 章中例 1 中的计算,它表明,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}}.
\]
对于任意给定的 \( t > 0 \) 和 \( a \in \mathbf{R} \) ,在上面的积分中用变量代换 \( x \mid - {t}^{1/2}\left( {x + a}\right) \) 就能证明函数 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{\pi t}{\left( x + a\right) }^{2}} \) 的傅里叶变换是 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}/t}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{a\xi }} \) . 对两个函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) (它们都属于函数类 \( F \) ) 应用泊松求和公式得到下面的关系式:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\pi t}{\left( n + a\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\pi {n}^{2}/t}{\mathrm{e}}^{2\pi ina}.
\]
(3)
这个恒等式很显然是收敛的. 例如,特例当 \( a = 0 \) 时,这个变换就是 “theta 函数”: 如果对于 \( t > 0 \) ,定义 \( \vartheta \) 为级数 \( \vartheta \left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-\pi {n}^{2}t} \) ,那么式 (3) 正好表示为
\[
\vartheta \left( t\right) = {t}^{-1/2}\vartheta \left( {1/t}\right) ,
\]
(4)
其中 \( t > 0 \) . 这个等式将在第 6 章中用到,用于推导黎曼 zeta 函数的主要泛函方程, 而且可以得出黎曼 zeta 函数的解析连续性. 对一般情况 \( a \in \mathbf{R} \) ,将在第 10 章用来确定更普通的一种 Jacobi theta 函数 \( \Theta \) .
作为泊松求和公式的另一个应用, 我们可以回顾第 3 章中的例 3 , 也就是函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 也是它自己的傅里叶变换,即
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
这就意味着,如果 \( t > 0 \) 且 \( a \in \mathbf{R} \) ,那么函数 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{ax}}/\cosh \left( {{\pi x}/t}\right) \) 的傅里叶变换就是 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = t/\cosh \left( {\pi \left( {\xi + a}\right) t}\right) \) ,并且泊松求和公式为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{an}}}{\cosh \left( {{\pi n}/t}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{t}{\cosh \left( {\pi \left( {n + a}\right) t}\right) }.
\]
(5)
这个定理将用在第 10 章中的二平方定理.
## 3 Paley-Wiener 定理
这一小节我们转变一下思路: 不去假设函数 \( f \) 的解析性,而是假设傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
的正确性,其中,在满足条件 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq A/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 和 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\prime }/\left( {1 + {\xi }^{2}}\right) \) 时,
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
关于反演公式在此条件下的证明请读者参见第一册第 5 章.
首先指出, 定理 2.1 在局部范围内是可逆的. | 引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么\n\n\[ \n{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \frac{1}{A + \mathrm{i}B}. \n\] | 证明 因为 \( A > 0 \) 且 \( B \in \mathbf{R} \) ,我们有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\left( {A + {Bi}}\right) \xi }\right| = {\mathrm{e}}^{-{A\xi }} \) ,并且积分收敛. 所以根据定义\n\n\[ \n{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi . \n\]\n\n但是\n\n\[ \n{\int }_{0}^{R}{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = {\left\lbrack -\frac{{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }}{A + \mathrm{i}B}\right\rbrack }_{0}^{R}, \n\]\n\n当 \( R \) 趋于零时,积分趋于 \( 1/\left( {A + B\mathrm{i}}\right) \) . |
定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) .
\]
证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\left( {{2\pi }\mathrm{i}}\right) \) . 因此函数 \( f\left( z\right) /\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 在整数 \( n \) 处有单极点,留数为 \( f\left( n\right) /{2\pi }\mathrm{i} \) . 因此,我们可以用图 3 中的周线应用留数公式,其中 \( N \) 是个整数.
图 3 定理 2.4 的证明中的周线 \( {\gamma }_{N} \)
因此得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}f\left( n\right) = {\int }_{{\gamma }_{N}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大,并且因为 \( f \) 是微减的,那么这个和就收敛于 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) \) ,并且可以知道在垂直线段上的积分趋于 0 . 因此取极限得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z - {\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z,
\]
(2)
其中 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 分别是低于实轴和高于实轴 \( b \) 个单位的实线.
现在,根据结论: 如果 \( \left| w\right| > 1 \) ,那么
84 \$
\[
\frac{1}{w - 1} = {w}^{-1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{-n},
\]
不容心
因此在 \( {L}_{1} \) 上 (当 \( \left| {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}\right| > 1 \) ) 有
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
并且,如果 \( \left| w\right| < 1 \) ,那么
\[
\frac{1}{w - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{n}
\]
使得在 \( {L}_{2} \) 上
\[
\frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}.
\]
将上面的结论替换到式 (2) 中得到
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) \left( {{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) \left( {\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}}\right) \mathrm{d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{1}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) z}\mathrm{\;d}z + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{{L}_{2}}f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\left( {n + 1}\right) x}\mathrm{\;d}x + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nx}}\mathrm{\;d}z
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {n + 1}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}\widehat{f}\left( {-n}\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right)
\]
其中,根据方程 (1) 我们已经将 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 移动到实轴,与移动到下方的情况是类似的.
泊松求和公式还有许多影响深远的推论, 我们通过推导出几个重要的恒等式来结束这一小节, 这几个恒等式在接下来的应用中起着重要作用.
首先回忆第 2 章中例 1 中的计算,它表明,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 是它自己的傅里叶变换:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi ix\xi }}\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}}.
\]
对于任意给定的 \( t > 0 \) 和 \( a \in \mathbf{R} \) ,在上面的积分中用变量代换 \( x \mid - {t}^{1/2}\left( {x + a}\right) \) 就能证明函数 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{\pi t}{\left( x + a\right) }^{2}} \) 的傅里叶变换是 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}/t}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{a\xi }} \) . 对两个函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) (它们都属于函数类 \( F \) ) 应用泊松求和公式得到下面的关系式:
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\pi t}{\left( n + a\right) }^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-\pi {n}^{2}/t}{\mathrm{e}}^{2\pi ina}.
\]
(3)
这个恒等式很显然是收敛的. 例如,特例当 \( a = 0 \) 时,这个变换就是 “theta 函数”: 如果对于 \( t > 0 \) ,定义 \( \vartheta \) 为级数 \( \vartheta \left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-\pi {n}^{2}t} \) ,那么式 (3) 正好表示为
\[
\vartheta \left( t\right) = {t}^{-1/2}\vartheta \left( {1/t}\right) ,
\]
(4)
其中 \( t > 0 \) . 这个等式将在第 6 章中用到,用于推导黎曼 zeta 函数的主要泛函方程, 而且可以得出黎曼 zeta 函数的解析连续性. 对一般情况 \( a \in \mathbf{R} \) ,将在第 10 章用来确定更普通的一种 Jacobi theta 函数 \( \Theta \) .
作为泊松求和公式的另一个应用, 我们可以回顾第 3 章中的例 3 , 也就是函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 也是它自己的傅里叶变换,即
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}.
\]
这就意味着,如果 \( t > 0 \) 且 \( a \in \mathbf{R} \) ,那么函数 \( f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{ax}}/\cosh \left( {{\pi x}/t}\right) \) 的傅里叶变换就是 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = t/\cosh \left( {\pi \left( {\xi + a}\right) t}\right) \) ,并且泊松求和公式为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{an}}}{\cosh \left( {{\pi n}/t}\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{t}{\cosh \left( {\pi \left( {n + a}\right) t}\right) }.
\]
(5)
这个定理将用在第 10 章中的二平方定理.
## 3 Paley-Wiener 定理
这一小节我们转变一下思路: 不去假设函数 \( f \) 的解析性,而是假设傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
的正确性,其中,在满足条件 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq A/\left( {1 + {x}^{2}}\right) \) 和 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\prime }/\left( {1 + {\xi }^{2}}\right) \) 时,
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x.
\]
关于反演公式在此条件下的证明请读者参见第一册第 5 章.
首先指出, 定理 2.1 在局部范围内是可逆的.
定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\right. \) 上是全纯的,函数 \( f\left( x\right) \) 是定义在实数集 \( \mathbf{R} \) 上的.
证明 定义
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
因为在对 \( \widehat{f} \) 的假设条件下,积分是绝对收敛的,它可以优化为
\[
A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
当 \( b < a \) 时它是有限的. 并且对于 \( z \in {S}_{b} \) ,有
\[
\left| {f\left( z\right) - {f}_{n}\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{\left| \xi \right| \geq n}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
\[
\rightarrow 0\text{当}n \rightarrow + \infty \text{,}
\]
因此序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( {S}_{b} \) 上一致收敛于 \( f \) ,这样,根据第 2 章中定理 5.2,上述定理得证.
我们暂时离开主题注意下面的事实.
推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) .
因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) .
Paley-Wiener 定理比前面的定理更深入, 并且它描述出了函数的傅里叶变换的本性,即这些傅里叶变换在给定区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑.
定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的.
方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( \mathbf{C} \) 上定义一个复值函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
也就是说,当 \( z \) 是实数时, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,并且根据第 2 章定理 5.4 函数 \( g \) 是全纯的. 最后,如果 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,有
\[
\left| {g\left( z\right) }\right| \leq {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi y}}\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
\leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| }\text{. }
\]
反之,函数 \( f \) 扩充到复平面上时是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) (其中 \( A > 0) \) 时,证明稍微复杂些. 首先注意到,如果函数 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑,那么函数就是强有界的 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| y\right| } \) ,而不是假设有界 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| z\right| } \) . 这就要求我们归纳出更强的条件, 使得这个强有界成立. 虽然如此, 这依然不足以证明结论,因为我们还需要当 \( x \rightarrow + \infty \) 时的衰退条件 (当 \( y \neq 0 \) 时),由此来确保积分在无穷远处的收敛性. 因此,首先要假设函数 \( f \) 具有更好的性质,然后,在每一步的证明中再把附加条件去掉.
第一步,我们首先假设函数 \( f \) 在复平面上是全纯的,并满足条件,关于变量 \( x \) 是衰退的,关于变量 \( y \) 是增长的:
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}}.
\]
(6)
那么在这种强假设的条件下证明如果 \( \left| \xi \right| > M \) ,那么 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 为了证明,首先假设 \( \xi > M \) ,并写出
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x
\]
| 定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) . \] | 证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\left( {{2\pi }\mathrm{i}}\right) \) . 因此函数 \( f\left( z\right) /\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 在整数 \( n \) 处有单极点,留数为 \( f\left( n\right) /{2\pi }\mathrm{i} \) . 因此,我们可以用图 3 中的周线应用留数公式,其中 \( N \) 是个整数.\n\n\n\n图 3 定理 2.4 的证明中的周线 \( {\gamma }_{N} \)\n\n因此得到\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}f\left( n\right) = {\int }_{{\gamma }_{N}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z. \]\n\n令 \( N \) 趋于无穷大,并且因为 \( f \) 是微减的,那么这个和就收敛于 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) \) ,并且可以知道在垂直线段上的积分趋于 0 . 因此取极限得\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = {\int }_{{L}_{1}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z - {\int }_{{L}_{2}}\frac{f\left( z\right) }{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\mathrm{\;d}z, \]\n\n其中 \( {L}_{1} \) 和 \( {L}_{2} \) 分别是低于实轴和高于实轴 \( b \) 个单位的实线.\n\n现在,根据结论: 如果 \( \left| w\right| > 1 \) ,那么\n\n\[ \frac{1}{w - 1} = {w}^{-1}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{-n}, \]\n\n因此在 \( {L}_{1} \) 上 (当 \( \left| {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}\right| > 1 \) ) 有\n\n\[ \frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z}\mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{nz}}. \]\n\n并且,如果 \( \left| w\right| < 1 \) ,那么\n\n\[ \frac{1}{w - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{w}^{n} \]\n\n使得在 \( {L}_{2} \) 上\n\n\[ \frac{1}{{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1} = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}. \] |
定理 2.1 在局部范围内是可逆的.
定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\right. \) 上是全纯的,函数 \( f\left( x\right) \) 是定义在实数集 \( \mathbf{R} \) 上的.
证明 定义
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
因为在对 \( \widehat{f} \) 的假设条件下,积分是绝对收敛的,它可以优化为
\[
A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
当 \( b < a \) 时它是有限的. 并且对于 \( z \in {S}_{b} \) ,有
\[
\left| {f\left( z\right) - {f}_{n}\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{\left| \xi \right| \geq n}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
\[
\rightarrow 0\text{当}n \rightarrow + \infty \text{,}
\]
因此序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( {S}_{b} \) 上一致收敛于 \( f \) ,这样,根据第 2 章中定理 5.2,上述定理得证.
我们暂时离开主题注意下面的事实.
推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) .
因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) .
Paley-Wiener 定理比前面的定理更深入, 并且它描述出了函数的傅里叶变换的本性,即这些傅里叶变换在给定区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑.
定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的.
方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( \mathbf{C} \) 上定义一个复值函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
也就是说,当 \( z \) 是实数时, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,并且根据第 2 章定理 5.4 函数 \( g \) 是全纯的. 最后,如果 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,有
\[
\left| {g\left( z\right) }\right| \leq {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi y}}\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
\leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| }\text{. }
\]
反之,函数 \( f \) 扩充到复平面上时是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) (其中 \( A > 0) \) 时,证明稍微复杂些. 首先注意到,如果函数 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑,那么函数就是强有界的 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| y\right| } \) ,而不是假设有界 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| z\right| } \) . 这就要求我们归纳出更强的条件, 使得这个强有界成立. 虽然如此, 这依然不足以证明结论,因为我们还需要当 \( x \rightarrow + \infty \) 时的衰退条件 (当 \( y \neq 0 \) 时),由此来确保积分在无穷远处的收敛性. 因此,首先要假设函数 \( f \) 具有更好的性质,然后,在每一步的证明中再把附加条件去掉.
第一步,我们首先假设函数 \( f \) 在复平面上是全纯的,并满足条件,关于变量 \( x \) 是衰退的,关于变量 \( y \) 是增长的:
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}}.
\]
(6)
那么在这种强假设的条件下证明如果 \( \left| \xi \right| > M \) ,那么 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 为了证明,首先假设 \( \xi > M \) ,并写出
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x - \mathrm{i}y}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\xi \left( {x - \mathrm{i}y}\right) }\mathrm{d}x.
\]
这里已经将实轴下移了 \( y > 0 \) 个单位,如同式 (1) 中的讨论. 其绝对值是有界的
\[
\left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\prime }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi My} - {2\pi \xi y}}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\leq C{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}\left( {\xi - M}\right) }.
\]
令 \( y \) 趋于无穷大,并因为 \( \xi - M > 0 \) ,证明出 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论将实轴上移 \( y > 0 \) 个单位时,当 \( \xi < - M \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) .
第二步,我们弱化条件 (6),仅仅是假设函数 \( f \) 满足
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
(7)
在定理中这仍然是个很强的条件,但是比条件 (6) 弱些. 首先假设 \( \xi > M \) ,对 \( \varepsilon \) \( > 0 \) 考虑下面的辅助函数
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
观察到数量 \( 1/{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) 的绝对值在下半平面 (包含实轴) 的闭包内小于等于 1, 并且当 \( \varepsilon \) 趋于 0 时它会收敛于 1 . 特别地,这就能证明当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时, \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) \rightarrow \widehat{f}\left( \xi \right) \) , 这是因为
\[
\left| {{\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) - \widehat{f}\left( \xi \right) \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\right| f\left( x\right) \left| {\;\left\lbrack {\frac{1}{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon x\right) }^{2}} - 1}\right\rbrack \mathrm{d}x}\right. \text{,}
\]
再加上函数 \( f \) 在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减.
对于任意的 \( \varepsilon \) ,我们有
\[
\left| {{f}_{\varepsilon }\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime \prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}},
\]
因此,根据第一步,通过求 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时的极限必有 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) = 0 \) ,因此 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论 \( \xi < - M \) 的情况,这时我们就要在上半平面讨论,并且讨论的因子换为 \( 1/ \) \( {\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) .
第三步, 要想证明定理, 只要证明第二步中的条件 (7) 成立就足够了. 事实上,只要取出适当的常数,证明对任意的实数 \( x \) 满足 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1 \) ,对任意的复数 \( z \) 满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么就有
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
证明此结论需要用到一个很有创意也很有价值的理论, 就是 Phragmén 和 Lindelöf 所提出的如何使得函数在各种大的区域上满足最大模原理. 下面我们就来介绍这个特殊的结论.
定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域
\[
S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}
\]
内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1
\]
换句话说,如果 \( F \) 在 \( S \) 的边界上有界且界为 1,并且只是有简单的增长,那么 \( F \) 在整个区域上都以 1 为界. 通过接下来简单的观察,对函数 \( F \) 进行一定的限制是必要的. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) . 那么函数在 \( S \) 的边界是以 1 为界,但是如果 \( x \) 是实数,当 \( x \rightarrow + \infty \) 时 \( F\left( x\right) \) 是无界的. 下面给出定理 3.4 的证明.
证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .
如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令
\[
{F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.
\]
这里选择对数的主要分支来定义 \( {z}^{3/2} \) 使得如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) (其中 \( - \pi < \theta < \pi \) ),那么 \( {z}^{3/2} = {r}^{3/2}{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\theta /2} \) . 因此, \( {F}_{\varepsilon } \) 在 \( S \) 内是全纯的,并且直到 \( S \) 的边界都是连续的. 另外,
\[
\left| {\varepsilon }^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| = {\varepsilon }^{-{\varepsilon r3}/2}\cos \left( {3\theta }\right) /2),
\]
因为在扇形上 \( - \pi /4 < \theta < \pi /4 \) ,所以给出不等式
\[
- \frac{\pi }{2} < - \frac{3\pi }{8} < \frac{3\theta }{2} < \frac{3\pi }{8} < \frac{\pi }{2}
\]
因此 \( \cos \left( {{3\theta }/2}\right) \) 在扇形上都是正的. 再加上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,就能证明当 \( \left| z\right| \rightarrow + \) \( \infty \) 时, \( {F}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在闭的扇形内迅速减少,特别地, \( {F}_{\varepsilon } \) 是有界的. 我们有这样的结论, 对所有的 \( z \in \bar{S} \) 满足 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其中 \( \bar{S} \) 表示 \( S \) 的闭包. 为了证明这个结论,我们定义
\[
M = \mathop{\sup }\limits_{{z \in \bar{S}}}\left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| .
\]
假设 \( F \) 不等于零,令 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 为点列,使得 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( {w}_{j}\right) }\right| \rightarrow M \) . 因为 \( M \neq 0 \) ,且当 \( \left| z\right| \) 在扇形上逐渐变大时 \( {F}_{\varepsilon } \) 会趋于零,因此 \( {w}_{j} \) 不能趋于无穷大,并且我们推断出此序列会趋于定点 \( w \in \bar{S} \) . 根据最大模原理, \( w \) 不会是 \( S \) 的内点,因此 \( w \) 位于 \( S \) 的边界上. 但是在边界上首先有假设的 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其次有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| \leq 1 \) ,所以 \( M \leq 1 \) ,上面的结论就证明了.
最后,我们可以令 \( \varepsilon \) 趋于零来推断定理的证明.
关于 Phragmén - Lindelöf 定理的进一步概括会在练习 9 和问题 3 中涉及.
现在我们必须利用这个结论来证明 Paley-Wiener 定理, 也就是证明如果 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1,\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| } \) . 首先,将 Phragmén - Lindelöf 定理中的扇形旋转到第一象限,也就是 \( Q = \{ z = x + \mathrm{i}y : x > 0, y > 0\} \) ,结论仍然成立. 那么, 我们考虑函数
\[
F\left( z\right) = f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{Mz}},
\]
并注意到函数 \( F \) 在正实轴和正虚轴上以 1 为界. 因为在这个象限中 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,根据 Phragmén - Lindelöf 定理推导出对 \( Q \) 中的所有 \( z \) 都满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) , 这就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{2\pi My} \) . 类似地可以在其他象限中推导第三步并证明 Paley-Wiener 定理.
在 Paley-Wiener 定理之后, 还可以用另一种方法证明, 此时, 函数的特征是其傅里叶变换对所有的负数 \( \xi \) 都等于零.
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\ | 定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\right. \) 上是全纯的,函数 \( f\left( x\right) \) 是定义在实数集 \( \mathbf{R} \) 上的. | 证明 定义\n\n\[ \n{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi , \n\]\n\n根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为\n\n\[ \nf\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi , \n\]\n\n因为在对 \( \widehat{f} \) 的假设条件下,积分是绝对收敛的,它可以优化为\n\n\[ \nA{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi \n\]\n\n当 \( b < a \) 时它是有限的. 并且对于 \( z \in {S}_{b} \) ,有\n\n\[ \n\left| {f\left( z\right) - {f}_{n}\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{\left| \xi \right| \geq n}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi \n\]\n\n\[ \n\rightarrow 0\text{当}n \rightarrow + \infty \text{,} \n\]\n\n因此序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( {S}_{b} \) 上一致收敛于 \( f \) ,这样,根据第 2 章中定理 5.2,上述定理得证. |
定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\right. \) 上是全纯的,函数 \( f\left( x\right) \) 是定义在实数集 \( \mathbf{R} \) 上的.
证明 定义
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
因为在对 \( \widehat{f} \) 的假设条件下,积分是绝对收敛的,它可以优化为
\[
A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
当 \( b < a \) 时它是有限的. 并且对于 \( z \in {S}_{b} \) ,有
\[
\left| {f\left( z\right) - {f}_{n}\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{\left| \xi \right| \geq n}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi
\]
\[
\rightarrow 0\text{当}n \rightarrow + \infty \text{,}
\]
因此序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( {S}_{b} \) 上一致收敛于 \( f \) ,这样,根据第 2 章中定理 5.2,上述定理得证.
我们暂时离开主题注意下面的事实.
推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) .
因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) .
Paley-Wiener 定理比前面的定理更深入, 并且它描述出了函数的傅里叶变换的本性,即这些傅里叶变换在给定区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑.
定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的.
方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( \mathbf{C} \) 上定义一个复值函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
也就是说,当 \( z \) 是实数时, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,并且根据第 2 章定理 5.4 函数 \( g \) 是全纯的. 最后,如果 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,有
\[
\left| {g\left( z\right) }\right| \leq {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi y}}\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
\leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| }\text{. }
\]
反之,函数 \( f \) 扩充到复平面上时是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) (其中 \( A > 0) \) 时,证明稍微复杂些. 首先注意到,如果函数 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑,那么函数就是强有界的 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| y\right| } \) ,而不是假设有界 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| z\right| } \) . 这就要求我们归纳出更强的条件, 使得这个强有界成立. 虽然如此, 这依然不足以证明结论,因为我们还需要当 \( x \rightarrow + \infty \) 时的衰退条件 (当 \( y \neq 0 \) 时),由此来确保积分在无穷远处的收敛性. 因此,首先要假设函数 \( f \) 具有更好的性质,然后,在每一步的证明中再把附加条件去掉.
第一步,我们首先假设函数 \( f \) 在复平面上是全纯的,并满足条件,关于变量 \( x \) 是衰退的,关于变量 \( y \) 是增长的:
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}}.
\]
(6)
那么在这种强假设的条件下证明如果 \( \left| \xi \right| > M \) ,那么 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 为了证明,首先假设 \( \xi > M \) ,并写出
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x - \mathrm{i}y}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\xi \left( {x - \mathrm{i}y}\right) }\mathrm{d}x.
\]
这里已经将实轴下移了 \( y > 0 \) 个单位,如同式 (1) 中的讨论. 其绝对值是有界的
\[
\left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\prime }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi My} - {2\pi \xi y}}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\leq C{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}\left( {\xi - M}\right) }.
\]
令 \( y \) 趋于无穷大,并因为 \( \xi - M > 0 \) ,证明出 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论将实轴上移 \( y > 0 \) 个单位时,当 \( \xi < - M \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) .
第二步,我们弱化条件 (6),仅仅是假设函数 \( f \) 满足
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
(7)
在定理中这仍然是个很强的条件,但是比条件 (6) 弱些. 首先假设 \( \xi > M \) ,对 \( \varepsilon \) \( > 0 \) 考虑下面的辅助函数
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
观察到数量 \( 1/{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) 的绝对值在下半平面 (包含实轴) 的闭包内小于等于 1, 并且当 \( \varepsilon \) 趋于 0 时它会收敛于 1 . 特别地,这就能证明当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时, \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) \rightarrow \widehat{f}\left( \xi \right) \) , 这是因为
\[
\left| {{\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) - \widehat{f}\left( \xi \right) \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\right| f\left( x\right) \left| {\;\left\lbrack {\frac{1}{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon x\right) }^{2}} - 1}\right\rbrack \mathrm{d}x}\right. \text{,}
\]
再加上函数 \( f \) 在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减.
对于任意的 \( \varepsilon \) ,我们有
\[
\left| {{f}_{\varepsilon }\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime \prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}},
\]
因此,根据第一步,通过求 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时的极限必有 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) = 0 \) ,因此 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论 \( \xi < - M \) 的情况,这时我们就要在上半平面讨论,并且讨论的因子换为 \( 1/ \) \( {\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) .
第三步, 要想证明定理, 只要证明第二步中的条件 (7) 成立就足够了. 事实上,只要取出适当的常数,证明对任意的实数 \( x \) 满足 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1 \) ,对任意的复数 \( z \) 满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么就有
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
证明此结论需要用到一个很有创意也很有价值的理论, 就是 Phragmén 和 Lindelöf 所提出的如何使得函数在各种大的区域上满足最大模原理. 下面我们就来介绍这个特殊的结论.
定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域
\[
S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}
\]
内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1
\]
换句话说,如果 \( F \) 在 \( S \) 的边界上有界且界为 1,并且只是有简单的增长,那么 \( F \) 在整个区域上都以 1 为界. 通过接下来简单的观察,对函数 \( F \) 进行一定的限制是必要的. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) . 那么函数在 \( S \) 的边界是以 1 为界,但是如果 \( x \) 是实数,当 \( x \rightarrow + \infty \) 时 \( F\left( x\right) \) 是无界的. 下面给出定理 3.4 的证明.
证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .
如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令
\[
{F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.
\]
这里选择对数的主要分支来定义 \( {z}^{3/2} \) 使得如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) (其中 \( - \pi < \theta < \pi \) ),那么 \( {z}^{3/2} = {r}^{3/2}{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\theta /2} \) . 因此, \( {F}_{\varepsilon } \) 在 \( S \) 内是全纯的,并且直到 \( S \) 的边界都是连续的. 另外,
\[
\left| {\varepsilon }^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| = {\varepsilon }^{-{\varepsilon r3}/2}\cos \left( {3\theta }\right) /2),
\]
因为在扇形上 \( - \pi /4 < \theta < \pi /4 \) ,所以给出不等式
\[
- \frac{\pi }{2} < - \frac{3\pi }{8} < \frac{3\theta }{2} < \frac{3\pi }{8} < \frac{\pi }{2}
\]
因此 \( \cos \left( {{3\theta }/2}\right) \) 在扇形上都是正的. 再加上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,就能证明当 \( \left| z\right| \rightarrow + \) \( \infty \) 时, \( {F}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在闭的扇形内迅速减少,特别地, \( {F}_{\varepsilon } \) 是有界的. 我们有这样的结论, 对所有的 \( z \in \bar{S} \) 满足 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其中 \( \bar{S} \) 表示 \( S \) 的闭包. 为了证明这个结论,我们定义
\[
M = \mathop{\sup }\limits_{{z \in \bar{S}}}\left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| .
\]
假设 \( F \) 不等于零,令 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 为点列,使得 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( {w}_{j}\right) }\right| \rightarrow M \) . 因为 \( M \neq 0 \) ,且当 \( \left| z\right| \) 在扇形上逐渐变大时 \( {F}_{\varepsilon } \) 会趋于零,因此 \( {w}_{j} \) 不能趋于无穷大,并且我们推断出此序列会趋于定点 \( w \in \bar{S} \) . 根据最大模原理, \( w \) 不会是 \( S \) 的内点,因此 \( w \) 位于 \( S \) 的边界上. 但是在边界上首先有假设的 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其次有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| \leq 1 \) ,所以 \( M \leq 1 \) ,上面的结论就证明了.
最后,我们可以令 \( \varepsilon \) 趋于零来推断定理的证明.
关于 Phragmén - Lindelöf 定理的进一步概括会在练习 9 和问题 3 中涉及.
现在我们必须利用这个结论来证明 Paley-Wiener 定理, 也就是证明如果 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1,\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| } \) . 首先,将 Phragmén - Lindelöf 定理中的扇形旋转到第一象限,也就是 \( Q = \{ z = x + \mathrm{i}y : x > 0, y > 0\} \) ,结论仍然成立. 那么, 我们考虑函数
\[
F\left( z\right) = f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{Mz}},
\]
并注意到函数 \( F \) 在正实轴和正虚轴上以 1 为界. 因为在这个象限中 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,根据 Phragmén - Lindelöf 定理推导出对 \( Q \) 中的所有 \( z \) 都满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) , 这就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{2\pi My} \) . 类似地可以在其他象限中推导第三步并证明 Paley-Wiener 定理.
在 Paley-Wiener 定理之后, 还可以用另一种方法证明, 此时, 函数的特征是其傅里叶变换对所有的负数 \( \xi \) 都等于零.
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = | 定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\right. \) 上是全纯的,函数 \( f\left( x\right) \) 是定义在实数集 \( \mathbf{R} \) 上的. | 证明 定义\n\n\[ \n{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi , \n\]\n\n根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为\n\n\[ \nf\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi , \n\]\n\n因为在对 \( \widehat{f} \) 的假设条件下,积分是绝对收敛的,它可以优化为\n\n\[ \nA{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi \n\]\n\n当 \( b < a \) 时它是有限的. 并且对于 \( z \in {S}_{b} \) ,有\n\n\[ \n\left| {f\left( z\right) - {f}_{n}\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{\left| \xi \right| \geq n}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi b}\left| \xi \right| }\mathrm{d}\xi \n\]\n\n\[ \n\rightarrow 0\text{当}n \rightarrow + \infty \text{,} \n\]\n\n因此序列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( {S}_{b} \) 上一致收敛于 \( f \) ,这样,根据第 2 章中定理 5.2,上述定理得证. |
推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) .
因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) .
Paley-Wiener 定理比前面的定理更深入, 并且它描述出了函数的傅里叶变换的本性,即这些傅里叶变换在给定区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑.
定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的.
方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( \mathbf{C} \) 上定义一个复值函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
也就是说,当 \( z \) 是实数时, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,并且根据第 2 章定理 5.4 函数 \( g \) 是全纯的. 最后,如果 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,有
\[
\left| {g\left( z\right) }\right| \leq {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi y}}\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
\leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| }\text{. }
\]
反之,函数 \( f \) 扩充到复平面上时是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) (其中 \( A > 0) \) 时,证明稍微复杂些. 首先注意到,如果函数 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑,那么函数就是强有界的 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| y\right| } \) ,而不是假设有界 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| z\right| } \) . 这就要求我们归纳出更强的条件, 使得这个强有界成立. 虽然如此, 这依然不足以证明结论,因为我们还需要当 \( x \rightarrow + \infty \) 时的衰退条件 (当 \( y \neq 0 \) 时),由此来确保积分在无穷远处的收敛性. 因此,首先要假设函数 \( f \) 具有更好的性质,然后,在每一步的证明中再把附加条件去掉.
第一步,我们首先假设函数 \( f \) 在复平面上是全纯的,并满足条件,关于变量 \( x \) 是衰退的,关于变量 \( y \) 是增长的:
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}}.
\]
(6)
那么在这种强假设的条件下证明如果 \( \left| \xi \right| > M \) ,那么 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 为了证明,首先假设 \( \xi > M \) ,并写出
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x - \mathrm{i}y}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\xi \left( {x - \mathrm{i}y}\right) }\mathrm{d}x.
\]
这里已经将实轴下移了 \( y > 0 \) 个单位,如同式 (1) 中的讨论. 其绝对值是有界的
\[
\left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\prime }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi My} - {2\pi \xi y}}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\leq C{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}\left( {\xi - M}\right) }.
\]
令 \( y \) 趋于无穷大,并因为 \( \xi - M > 0 \) ,证明出 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论将实轴上移 \( y > 0 \) 个单位时,当 \( \xi < - M \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) .
第二步,我们弱化条件 (6),仅仅是假设函数 \( f \) 满足
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
(7)
在定理中这仍然是个很强的条件,但是比条件 (6) 弱些. 首先假设 \( \xi > M \) ,对 \( \varepsilon \) \( > 0 \) 考虑下面的辅助函数
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
观察到数量 \( 1/{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) 的绝对值在下半平面 (包含实轴) 的闭包内小于等于 1, 并且当 \( \varepsilon \) 趋于 0 时它会收敛于 1 . 特别地,这就能证明当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时, \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) \rightarrow \widehat{f}\left( \xi \right) \) , 这是因为
\[
\left| {{\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) - \widehat{f}\left( \xi \right) \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\right| f\left( x\right) \left| {\;\left\lbrack {\frac{1}{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon x\right) }^{2}} - 1}\right\rbrack \mathrm{d}x}\right. \text{,}
\]
再加上函数 \( f \) 在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减.
对于任意的 \( \varepsilon \) ,我们有
\[
\left| {{f}_{\varepsilon }\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime \prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}},
\]
因此,根据第一步,通过求 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时的极限必有 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) = 0 \) ,因此 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论 \( \xi < - M \) 的情况,这时我们就要在上半平面讨论,并且讨论的因子换为 \( 1/ \) \( {\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) .
第三步, 要想证明定理, 只要证明第二步中的条件 (7) 成立就足够了. 事实上,只要取出适当的常数,证明对任意的实数 \( x \) 满足 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1 \) ,对任意的复数 \( z \) 满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么就有
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
证明此结论需要用到一个很有创意也很有价值的理论, 就是 Phragmén 和 Lindelöf 所提出的如何使得函数在各种大的区域上满足最大模原理. 下面我们就来介绍这个特殊的结论.
定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域
\[
S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}
\]
内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1
\]
换句话说,如果 \( F \) 在 \( S \) 的边界上有界且界为 1,并且只是有简单的增长,那么 \( F \) 在整个区域上都以 1 为界. 通过接下来简单的观察,对函数 \( F \) 进行一定的限制是必要的. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) . 那么函数在 \( S \) 的边界是以 1 为界,但是如果 \( x \) 是实数,当 \( x \rightarrow + \infty \) 时 \( F\left( x\right) \) 是无界的. 下面给出定理 3.4 的证明.
证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .
如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令
\[
{F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.
\]
这里选择对数的主要分支来定义 \( {z}^{3/2} \) 使得如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) (其中 \( - \pi < \theta < \pi \) ),那么 \( {z}^{3/2} = {r}^{3/2}{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\theta /2} \) . 因此, \( {F}_{\varepsilon } \) 在 \( S \) 内是全纯的,并且直到 \( S \) 的边界都是连续的. 另外,
\[
\left| {\varepsilon }^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| = {\varepsilon }^{-{\varepsilon r3}/2}\cos \left( {3\theta }\right) /2),
\]
因为在扇形上 \( - \pi /4 < \theta < \pi /4 \) ,所以给出不等式
\[
- \frac{\pi }{2} < - \frac{3\pi }{8} < \frac{3\theta }{2} < \frac{3\pi }{8} < \frac{\pi }{2}
\]
因此 \( \cos \left( {{3\theta }/2}\right) \) 在扇形上都是正的. 再加上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,就能证明当 \( \left| z\right| \rightarrow + \) \( \infty \) 时, \( {F}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在闭的扇形内迅速减少,特别地, \( {F}_{\varepsilon } \) 是有界的. 我们有这样的结论, 对所有的 \( z \in \bar{S} \) 满足 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其中 \( \bar{S} \) 表示 \( S \) 的闭包. 为了证明这个结论,我们定义
\[
M = \mathop{\sup }\limits_{{z \in \bar{S}}}\left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| .
\]
假设 \( F \) 不等于零,令 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 为点列,使得 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( {w}_{j}\right) }\right| \rightarrow M \) . 因为 \( M \neq 0 \) ,且当 \( \left| z\right| \) 在扇形上逐渐变大时 \( {F}_{\varepsilon } \) 会趋于零,因此 \( {w}_{j} \) 不能趋于无穷大,并且我们推断出此序列会趋于定点 \( w \in \bar{S} \) . 根据最大模原理, \( w \) 不会是 \( S \) 的内点,因此 \( w \) 位于 \( S \) 的边界上. 但是在边界上首先有假设的 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其次有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| \leq 1 \) ,所以 \( M \leq 1 \) ,上面的结论就证明了.
最后,我们可以令 \( \varepsilon \) 趋于零来推断定理的证明.
关于 Phragmén - Lindelöf 定理的进一步概括会在练习 9 和问题 3 中涉及.
现在我们必须利用这个结论来证明 Paley-Wiener 定理, 也就是证明如果 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1,\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| } \) . 首先,将 Phragmén - Lindelöf 定理中的扇形旋转到第一象限,也就是 \( Q = \{ z = x + \mathrm{i}y : x > 0, y > 0\} \) ,结论仍然成立. 那么, 我们考虑函数
\[
F\left( z\right) = f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{Mz}},
\]
并注意到函数 \( F \) 在正实轴和正虚轴上以 1 为界. 因为在这个象限中 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,根据 Phragmén - Lindelöf 定理推导出对 \( Q \) 中的所有 \( z \) 都满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) , 这就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{2\pi My} \) . 类似地可以在其他象限中推导第三步并证明 Paley-Wiener 定理.
在 Paley-Wiener 定理之后, 还可以用另一种方法证明, 此时, 函数的特征是其傅里叶变换对所有的负数 \( \xi \) 都等于零.
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数.
证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi ,
\]
并且,我们根据 \( z = x + \mathrm{i}y, y \geq 0 \) ,函数 \( f \) 延拓成
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
注意到, 上面的积分是收敛的, 并且
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}\xi }{1 + {\xi }^{2}} < + \infty ,
\]
要证明的就是 \( f \) 的有界性. 函数
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{0}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
在上半平面的闭包中一致收敛于函数 \( f\left( z\right) \) ,其中函数 \( f \) 连续,且在上半平面的内部是全纯的.
反过来,考虑定理 3.3 证明的实质. 对 \( \varepsilon \) 和 \( \delta \) 取正值时,我们记
\[
{f}_{\varepsilon ,\delta }\left( z\right) = \frac{f\left( {z + \mathrm{i}\delta }\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
那么 \( {f}_{\varepsilon ,\delta } \) 在包含上半平面的闭包的区域上是全纯的. 应用柯西定理已经证实,对任意的 \( \xi < 0,{\widehat{f}}_{\varepsilon ,\delta }\left( \xi \right) = 0 \) . 然后,通过求极限,对于 \( \xi < 0 \) 的情况满足 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon ,0}\left( \xi \right) = 0 \) 最后对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = | 推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) . | 因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) . |
定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的.
方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( \mathbf{C} \) 上定义一个复值函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi .
\]
也就是说,当 \( z \) 是实数时, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,并且根据第 2 章定理 5.4 函数 \( g \) 是全纯的. 最后,如果 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,有
\[
\left| {g\left( z\right) }\right| \leq {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi y}}\mathrm{\;d}\xi
\]
\[
\leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| }\text{. }
\]
反之,函数 \( f \) 扩充到复平面上时是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) (其中 \( A > 0) \) 时,证明稍微复杂些. 首先注意到,如果函数 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上支撑,那么函数就是强有界的 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| y\right| } \) ,而不是假设有界 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left| z\right| } \) . 这就要求我们归纳出更强的条件, 使得这个强有界成立. 虽然如此, 这依然不足以证明结论,因为我们还需要当 \( x \rightarrow + \infty \) 时的衰退条件 (当 \( y \neq 0 \) 时),由此来确保积分在无穷远处的收敛性. 因此,首先要假设函数 \( f \) 具有更好的性质,然后,在每一步的证明中再把附加条件去掉.
第一步,我们首先假设函数 \( f \) 在复平面上是全纯的,并满足条件,关于变量 \( x \) 是衰退的,关于变量 \( y \) 是增长的:
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}}.
\]
(6)
那么在这种强假设的条件下证明如果 \( \left| \xi \right| > M \) ,那么 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 为了证明,首先假设 \( \xi > M \) ,并写出
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
= {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( {x - \mathrm{i}y}\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}\xi \left( {x - \mathrm{i}y}\right) }\mathrm{d}x.
\]
这里已经将实轴下移了 \( y > 0 \) 个单位,如同式 (1) 中的讨论. 其绝对值是有界的
\[
\left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq {A}^{\prime }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi My} - {2\pi \xi y}}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
\[
\leq C{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}\left( {\xi - M}\right) }.
\]
令 \( y \) 趋于无穷大,并因为 \( \xi - M > 0 \) ,证明出 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论将实轴上移 \( y > 0 \) 个单位时,当 \( \xi < - M \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) .
第二步,我们弱化条件 (6),仅仅是假设函数 \( f \) 满足
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
(7)
在定理中这仍然是个很强的条件,但是比条件 (6) 弱些. 首先假设 \( \xi > M \) ,对 \( \varepsilon \) \( > 0 \) 考虑下面的辅助函数
\[
{f}_{\varepsilon }\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
观察到数量 \( 1/{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) 的绝对值在下半平面 (包含实轴) 的闭包内小于等于 1, 并且当 \( \varepsilon \) 趋于 0 时它会收敛于 1 . 特别地,这就能证明当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时, \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) \rightarrow \widehat{f}\left( \xi \right) \) , 这是因为
\[
\left| {{\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) - \widehat{f}\left( \xi \right) \leq {\int }_{-\infty }^{+\infty }}\right| f\left( x\right) \left| {\;\left\lbrack {\frac{1}{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon x\right) }^{2}} - 1}\right\rbrack \mathrm{d}x}\right. \text{,}
\]
再加上函数 \( f \) 在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减.
对于任意的 \( \varepsilon \) ,我们有
\[
\left| {{f}_{\varepsilon }\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {A}^{\prime \prime }\frac{{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }}{1 + {x}^{2}},
\]
因此,根据第一步,通过求 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时的极限必有 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon }\left( \xi \right) = 0 \) ,因此 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 类似地可以讨论 \( \xi < - M \) 的情况,这时我们就要在上半平面讨论,并且讨论的因子换为 \( 1/ \) \( {\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2} \) .
第三步, 要想证明定理, 只要证明第二步中的条件 (7) 成立就足够了. 事实上,只要取出适当的常数,证明对任意的实数 \( x \) 满足 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1 \) ,对任意的复数 \( z \) 满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么就有
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| }.
\]
证明此结论需要用到一个很有创意也很有价值的理论, 就是 Phragmén 和 Lindelöf 所提出的如何使得函数在各种大的区域上满足最大模原理. 下面我们就来介绍这个特殊的结论.
定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域
\[
S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}
\]
内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1
\]
换句话说,如果 \( F \) 在 \( S \) 的边界上有界且界为 1,并且只是有简单的增长,那么 \( F \) 在整个区域上都以 1 为界. 通过接下来简单的观察,对函数 \( F \) 进行一定的限制是必要的. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) . 那么函数在 \( S \) 的边界是以 1 为界,但是如果 \( x \) 是实数,当 \( x \rightarrow + \infty \) 时 \( F\left( x\right) \) 是无界的. 下面给出定理 3.4 的证明.
证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .
如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令
\[
{F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.
\]
这里选择对数的主要分支来定义 \( {z}^{3/2} \) 使得如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) (其中 \( - \pi < \theta < \pi \) ),那么 \( {z}^{3/2} = {r}^{3/2}{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\theta /2} \) . 因此, \( {F}_{\varepsilon } \) 在 \( S \) 内是全纯的,并且直到 \( S \) 的边界都是连续的. 另外,
\[
\left| {\varepsilon }^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| = {\varepsilon }^{-{\varepsilon r3}/2}\cos \left( {3\theta }\right) /2),
\]
因为在扇形上 \( - \pi /4 < \theta < \pi /4 \) ,所以给出不等式
\[
- \frac{\pi }{2} < - \frac{3\pi }{8} < \frac{3\theta }{2} < \frac{3\pi }{8} < \frac{\pi }{2}
\]
因此 \( \cos \left( {{3\theta }/2}\right) \) 在扇形上都是正的. 再加上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,就能证明当 \( \left| z\right| \rightarrow + \) \( \infty \) 时, \( {F}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在闭的扇形内迅速减少,特别地, \( {F}_{\varepsilon } \) 是有界的. 我们有这样的结论, 对所有的 \( z \in \bar{S} \) 满足 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其中 \( \bar{S} \) 表示 \( S \) 的闭包. 为了证明这个结论,我们定义
\[
M = \mathop{\sup }\limits_{{z \in \bar{S}}}\left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| .
\]
假设 \( F \) 不等于零,令 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 为点列,使得 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( {w}_{j}\right) }\right| \rightarrow M \) . 因为 \( M \neq 0 \) ,且当 \( \left| z\right| \) 在扇形上逐渐变大时 \( {F}_{\varepsilon } \) 会趋于零,因此 \( {w}_{j} \) 不能趋于无穷大,并且我们推断出此序列会趋于定点 \( w \in \bar{S} \) . 根据最大模原理, \( w \) 不会是 \( S \) 的内点,因此 \( w \) 位于 \( S \) 的边界上. 但是在边界上首先有假设的 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其次有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| \leq 1 \) ,所以 \( M \leq 1 \) ,上面的结论就证明了.
最后,我们可以令 \( \varepsilon \) 趋于零来推断定理的证明.
关于 Phragmén - Lindelöf 定理的进一步概括会在练习 9 和问题 3 中涉及.
现在我们必须利用这个结论来证明 Paley-Wiener 定理, 也就是证明如果 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1,\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| } \) . 首先,将 Phragmén - Lindelöf 定理中的扇形旋转到第一象限,也就是 \( Q = \{ z = x + \mathrm{i}y : x > 0, y > 0\} \) ,结论仍然成立. 那么, 我们考虑函数
\[
F\left( z\right) = f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{Mz}},
\]
并注意到函数 \( F \) 在正实轴和正虚轴上以 1 为界. 因为在这个象限中 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,根据 Phragmén - Lindelöf 定理推导出对 \( Q \) 中的所有 \( z \) 都满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) , 这就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{2\pi My} \) . 类似地可以在其他象限中推导第三步并证明 Paley-Wiener 定理.
在 Paley-Wiener 定理之后, 还可以用另一种方法证明, 此时, 函数的特征是其傅里叶变换对所有的负数 \( \xi \) 都等于零.
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数.
证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi ,
\]
并且,我们根据 \( z = x + \mathrm{i}y, y \geq 0 \) ,函数 \( f \) 延拓成
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
注意到, 上面的积分是收敛的, 并且
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}\xi }{1 + {\xi }^{2}} < + \infty ,
\]
要证明的就是 \( f \) 的有界性. 函数
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{0}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
在上半平面的闭包中一致收敛于函数 \( f\left( z\right) \) ,其中函数 \( f \) 连续,且在上半平面的内部是全纯的.
反过来,考虑定理 3.3 证明的实质. 对 \( \varepsilon \) 和 \( \delta \) 取正值时,我们记
\[
{f}_{\varepsilon ,\delta }\left( z\right) = \frac{f\left( {z + \mathrm{i}\delta }\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
那么 \( {f}_{\varepsilon ,\delta } \) 在包含上半平面的闭包的区域上是全纯的. 应用柯西定理已经证实,对任意的 \( \xi < 0,{\widehat{f}}_{\varepsilon ,\delta }\left( \xi \right) = 0 \) . 然后,通过求极限,对于 \( \xi < 0 \) 的情况满足 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon ,0}\left( \xi \right) = 0 \) 最后对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = {\widehat{f}}_{0,0}\left( \xi \right) = 0 \) .
注意: 读者可能会注意到上述定理与第 3 章中定理 7.1 有些类似. 这里我们讨论的是定义在上半平面的全纯函数, 而前面则讨论的是定义在一个圆盘上的全纯函数. 并且,现在讨论的是当 \( \xi < 0 \) 时,傅里叶变换等于零,而之前讨论的则是当 \( n < 0 \) 时,傅里叶系数等于零.
## 4 练习
1. 假设函数 \( f \) 连续且微减,且对所有的 \( \xi \in \mathbf{R} \) 满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 逐步完成以下证明过程,并最终证明 \( f = 0 \) .
(a) 对任意给定的实数 \( t \) 考虑两个函数
\[
A\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{t}f\left( x\r | 定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. | 方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为\n\n\[ f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi . \]\n\n因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( \mathbf{C} \) 上定义一个复值函数\n\n\[ g\left( z\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi . \]\n\n也就是说,当 \( z \) 是实数时, \( g\left( z\right) = f\left( z\right) \) ,并且根据第 2 章定理 5.4 函数 \( g \) 是全纯的. 最后,如果 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,有\n\n\[ \left| {g\left( z\right) }\right| \leq {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi \xi y}}\mathrm{\;d}\xi \]\n\n\[ \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| }\text{. } \] |
定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域
\[
S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}
\]
内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1
\]
换句话说,如果 \( F \) 在 \( S \) 的边界上有界且界为 1,并且只是有简单的增长,那么 \( F \) 在整个区域上都以 1 为界. 通过接下来简单的观察,对函数 \( F \) 进行一定的限制是必要的. 考虑函数 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) . 那么函数在 \( S \) 的边界是以 1 为界,但是如果 \( x \) 是实数,当 \( x \rightarrow + \infty \) 时 \( F\left( x\right) \) 是无界的. 下面给出定理 3.4 的证明.
证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .
如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令
\[
{F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.
\]
这里选择对数的主要分支来定义 \( {z}^{3/2} \) 使得如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) (其中 \( - \pi < \theta < \pi \) ),那么 \( {z}^{3/2} = {r}^{3/2}{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\theta /2} \) . 因此, \( {F}_{\varepsilon } \) 在 \( S \) 内是全纯的,并且直到 \( S \) 的边界都是连续的. 另外,
\[
\left| {\varepsilon }^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| = {\varepsilon }^{-{\varepsilon r3}/2}\cos \left( {3\theta }\right) /2),
\]
因为在扇形上 \( - \pi /4 < \theta < \pi /4 \) ,所以给出不等式
\[
- \frac{\pi }{2} < - \frac{3\pi }{8} < \frac{3\theta }{2} < \frac{3\pi }{8} < \frac{\pi }{2}
\]
因此 \( \cos \left( {{3\theta }/2}\right) \) 在扇形上都是正的. 再加上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,就能证明当 \( \left| z\right| \rightarrow + \) \( \infty \) 时, \( {F}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在闭的扇形内迅速减少,特别地, \( {F}_{\varepsilon } \) 是有界的. 我们有这样的结论, 对所有的 \( z \in \bar{S} \) 满足 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其中 \( \bar{S} \) 表示 \( S \) 的闭包. 为了证明这个结论,我们定义
\[
M = \mathop{\sup }\limits_{{z \in \bar{S}}}\left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| .
\]
假设 \( F \) 不等于零,令 \( \left\{ {w}_{j}\right\} \) 为点列,使得 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( {w}_{j}\right) }\right| \rightarrow M \) . 因为 \( M \neq 0 \) ,且当 \( \left| z\right| \) 在扇形上逐渐变大时 \( {F}_{\varepsilon } \) 会趋于零,因此 \( {w}_{j} \) 不能趋于无穷大,并且我们推断出此序列会趋于定点 \( w \in \bar{S} \) . 根据最大模原理, \( w \) 不会是 \( S \) 的内点,因此 \( w \) 位于 \( S \) 的边界上. 但是在边界上首先有假设的 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其次有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| \leq 1 \) ,所以 \( M \leq 1 \) ,上面的结论就证明了.
最后,我们可以令 \( \varepsilon \) 趋于零来推断定理的证明.
关于 Phragmén - Lindelöf 定理的进一步概括会在练习 9 和问题 3 中涉及.
现在我们必须利用这个结论来证明 Paley-Wiener 定理, 也就是证明如果 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq 1,\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| y\right| } \) . 首先,将 Phragmén - Lindelöf 定理中的扇形旋转到第一象限,也就是 \( Q = \{ z = x + \mathrm{i}y : x > 0, y > 0\} \) ,结论仍然成立. 那么, 我们考虑函数
\[
F\left( z\right) = f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{Mz}},
\]
并注意到函数 \( F \) 在正实轴和正虚轴上以 1 为界. 因为在这个象限中 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,根据 Phragmén - Lindelöf 定理推导出对 \( Q \) 中的所有 \( z \) 都满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) , 这就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{2\pi My} \) . 类似地可以在其他象限中推导第三步并证明 Paley-Wiener 定理.
在 Paley-Wiener 定理之后, 还可以用另一种方法证明, 此时, 函数的特征是其傅里叶变换对所有的负数 \( \xi \) 都等于零.
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数.
证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi ,
\]
并且,我们根据 \( z = x + \mathrm{i}y, y \geq 0 \) ,函数 \( f \) 延拓成
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
注意到, 上面的积分是收敛的, 并且
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}\xi }{1 + {\xi }^{2}} < + \infty ,
\]
要证明的就是 \( f \) 的有界性. 函数
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{0}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
在上半平面的闭包中一致收敛于函数 \( f\left( z\right) \) ,其中函数 \( f \) 连续,且在上半平面的内部是全纯的.
反过来,考虑定理 3.3 证明的实质. 对 \( \varepsilon \) 和 \( \delta \) 取正值时,我们记
\[
{f}_{\varepsilon ,\delta }\left( z\right) = \frac{f\left( {z + \mathrm{i}\delta }\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
那么 \( {f}_{\varepsilon ,\delta } \) 在包含上半平面的闭包的区域上是全纯的. 应用柯西定理已经证实,对任意的 \( \xi < 0,{\widehat{f}}_{\varepsilon ,\delta }\left( \xi \right) = 0 \) . 然后,通过求极限,对于 \( \xi < 0 \) 的情况满足 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon ,0}\left( \xi \right) = 0 \) 最后对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = {\widehat{f}}_{0,0}\left( \xi \right) = 0 \) .
注意: 读者可能会注意到上述定理与第 3 章中定理 7.1 有些类似. 这里我们讨论的是定义在上半平面的全纯函数, 而前面则讨论的是定义在一个圆盘上的全纯函数. 并且,现在讨论的是当 \( \xi < 0 \) 时,傅里叶变换等于零,而之前讨论的则是当 \( n < 0 \) 时,傅里叶系数等于零.
## 4 练习
1. 假设函数 \( f \) 连续且微减,且对所有的 \( \xi \in \mathbf{R} \) 满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 逐步完成以下证明过程,并最终证明 \( f = 0 \) .
(a) 对任意给定的实数 \( t \) 考虑两个函数
\[
A\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{t}f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z\left( {x - t}\right) }\mathrm{d}x
\]
和
\[
B\left( z\right) = - {\int }_{t}^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z\left( {x - t}\right) }\mathrm{d}x.
\]
对任意的 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,证明: \( A\left( \xi \right) = B\left( \xi \right) \) .
(b) 证明: 若函数 \( F \) 在上半平面的闭包内等于函数 \( A \) ,在下半平面等于 \( B \) ,那么函数 \( F \) 是整的且有界的,当然也是连续的. 事实上,这样的函数 \( F = 0 \) .
(c) 推导: 对所有 \( t \) ,
\[
{\int }_{-\infty }^{t}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
并最终推导出 \( f = 0 \) .
2. 如果 \( f \in {F}_{a} \) ,其中 \( a > 0 \) ,那么对任意的正整数 \( n \) ,当 \( 0 \leq b < a \) 时, \( {f}^{\left( n\right) } \in {F}_{b} \) . 【提示: 参照第 2 章练习 8 的解决方法. 】
3. 证明: 根据围线积分,如果 \( a > 0 \) 且 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{a}{{a}^{2} + {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| },
\]
并证明
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi = \frac{1\;a}{\pi {a}^{2} + {x}^{2}}.
\]
4. 假设 \( Q \) 至少是 2 阶多项式,且具有不同的根,且不在实轴上. 根据 \( Q \) 的根计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{Q\left( x\right) }\mathrm{d}x\;\xi \in \mathbf{R}.
\]
当几个根重合时, 会怎样?
【提示: 分别讨论 \( \xi < 0,\xi = 0 \) 和 \( \xi > 0 \) 的情况. 应用留数. 】
5. 更一般地,令 \( R\left( x\right) = P\left( x\right) /Q\left( x\right) \) 是有理函数,其中多项式 \( Q \) 的阶数比多项式 \( R \) 的阶数至少高两阶,且在实轴上 \( Q\left( x\right) \neq 0 \) .
(a) 证明: 如果 \( {\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{k} \) 是 \( Q \) 在上半平面的根,那么存在多项式 \( {P}_{j}\left( \xi \right) \) ,其阶数低于 \( {\alpha }_{j} \) 的重数,使得当 \( \xi < 0 \) 时,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }R\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{P}_{j}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha }_{j}\xi },
\]
(b) 特别地,如果函数 \( Q\left( z\right) \) 在上半平面没有零点,那么对 \( \xi < 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }R\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = 0.
\]
(c) 当 \( \xi > 0 \) 时,证明类似的结论.
(d) 证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }R\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = O\left( {\mathrm{e}}^{-a\left| \xi \right| }\right) \;\xi \in \mathbf{R},
\]
其中, \( a > 0 \) 是某个常数,并令 \( \left| \xi \right| \rightarrow + \infty \) . 最好根据 \( R \) 的根定义常数 \( a \) .
【提示: 部分 (a) 用留数. 当函数 \( f\left( z\right) = R\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }} \) 求微分时 \( \xi \) 会出现 (如同上一章中定理 1.4 中的公式). 对于部分 (c) 在下半平面讨论. 】
6. 证明: 当 \( a > 0 \) 时,有
\[
\frac{1}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{a}{{a}^{2} + {n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| n\right| },
\]
因此证明和式等于 \( \coth {\pi a} \) .
7. 泊松求和公式可以应用于一些特殊的例子, 这些例子通常可以提供一些有趣的等式.
(a) 令 \( \tau \) 是个定值,其中 \( \operatorname{Im}\left( \tau \right) > 0 \) . 对函数
\[
f\left( z\right) = {\left( \tau + z\right) }^{-k}
\]
应用泊松求和公式,其中 \( k \) 是个整数,大于等于 2,则获得等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( \tau + n\right) }^{k}} = \frac{{\left( -2\pi \mathrm{i}\right) }^{k}}{\left( {k - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{{+\infty }}{m}^{k - 1}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{m\tau }}.
\]
(b) 在上面公式中,令 \( k = 2 \) ,证明: 如果 \( \operatorname{Im}\left( \tau \right) > 0 \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( \tau + n\right) }^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{{\sin }^{2}\left( {\pi \tau }\right) }.
\]
(c) 推导当 \( \tau \) 是任意复数而不是整数时上述等式是否依然成立? 【提示: 对于 (a) 可以应用留数,当 \( \xi < 0 \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当 \( \xi > 0 \) 时, \( \widehat{f}\left( \xi \right) = \) \( \frac{{\left( -2\pi \mathrm{i}\right) }^{k}}{\left( {k - 1}\right) !}{\xi }^{k - 1}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi \tau }} \) . ]
8. 假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 内具有紧支柱,并令 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) . 证明:
\[
{a}_{n} = \frac{{\left( 2\pi \mathrm{i}\right) }^{n}}{n!}{\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\xi }^{n}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
由此推出
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\sup {\left( n!\left| {a}_{n}\right| \right) }^{1/n} \leq {2\pi M}.
\]
反过来,令 \( f \) 是任意幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,且满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\sup {\left( n!\left| {a}_{n}\right| \right) }^{1/n} \leq {2\pi M} \) . 那么, \( f \) 在复平面上是全纯的,并且,对任意的 \( \varepsilon > 0 \) | 定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域\n\n\[ S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}\]\n\n内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有\n\n\[ \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \] | 证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .\n\n如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令\n\n\[ {F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.\]\n\n这里选择对数的主要分支来定义 \( {z}^{3/2} \) 使得如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \) (其中 \( - \pi < \theta < \pi \) ),那么 \( {z}^{3/2} = {r}^{3/2}{\mathrm{e}}^{3\mathrm{i}\theta /2} \) . 因此, \( {F}_{\varepsilon } \) 在 \( S \) 内是全纯的,并且直到 \( S \) 的边界都是连续的. 另外,\n\n\[ \left| {\varepsilon }^{-\varepsilon {z}^{3/2}}\right| = {\varepsilon }^{-{\varepsilon r3}/2}\cos \left( {3\theta }\right) /2),\]\n\n因为在扇形上 \( - \pi /4 < \theta < \pi /4 \) ,所以给出不等式\n\n\[ - \frac{\pi }{2} < - \frac{3\pi }{8} < \frac{3\theta }{2} < \frac{3\pi }{8} < \frac{\pi }{2} \]\n\n因此 \( \cos \left( {{3\theta }/2}\right) \) 在扇形上都是正的. 再加上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) ,就能证明当 \( \left| z\right| \rightarrow + \) \( \infty \) 时, \( {F}_{\varepsilon }\left( z\right) \) 在闭的扇形内迅速减少,特别地, \( {F}_{\varepsilon } \) 是有界的. 我们有这样的结论, 对所有的 \( z \in \bar{S} \) 满足 \( \left| {{F}_{\varepsilon }\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,其中 \( \bar{S} \) 表示 \( S \) 的闭包. |
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数.
证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi ,
\]
并且,我们根据 \( z = x + \mathrm{i}y, y \geq 0 \) ,函数 \( f \) 延拓成
\[
f\left( z\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
注意到, 上面的积分是收敛的, 并且
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}\xi }{1 + {\xi }^{2}} < + \infty ,
\]
要证明的就是 \( f \) 的有界性. 函数
\[
{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{0}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi
\]
在上半平面的闭包中一致收敛于函数 \( f\left( z\right) \) ,其中函数 \( f \) 连续,且在上半平面的内部是全纯的.
反过来,考虑定理 3.3 证明的实质. 对 \( \varepsilon \) 和 \( \delta \) 取正值时,我们记
\[
{f}_{\varepsilon ,\delta }\left( z\right) = \frac{f\left( {z + \mathrm{i}\delta }\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.
\]
那么 \( {f}_{\varepsilon ,\delta } \) 在包含上半平面的闭包的区域上是全纯的. 应用柯西定理已经证实,对任意的 \( \xi < 0,{\widehat{f}}_{\varepsilon ,\delta }\left( \xi \right) = 0 \) . 然后,通过求极限,对于 \( \xi < 0 \) 的情况满足 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon ,0}\left( \xi \right) = 0 \) 最后对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = {\widehat{f}}_{0,0}\left( \xi \right) = 0 \) .
注意: 读者可能会注意到上述定理与第 3 章中定理 7.1 有些类似. 这里我们讨论的是定义在上半平面的全纯函数, 而前面则讨论的是定义在一个圆盘上的全纯函数. 并且,现在讨论的是当 \( \xi < 0 \) 时,傅里叶变换等于零,而之前讨论的则是当 \( n < 0 \) 时,傅里叶系数等于零.
## 4 练习
1. 假设函数 \( f \) 连续且微减,且对所有的 \( \xi \in \mathbf{R} \) 满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 逐步完成以下证明过程,并最终证明 \( f = 0 \) .
(a) 对任意给定的实数 \( t \) 考虑两个函数
\[
A\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{t}f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z\left( {x - t}\right) }\mathrm{d}x
\]
和
\[
B\left( z\right) = - {\int }_{t}^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}z\left( {x - t}\right) }\mathrm{d}x.
\]
对任意的 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,证明: \( A\left( \xi \right) = B\left( \xi \right) \) .
(b) 证明: 若函数 \( F \) 在上半平面的闭包内等于函数 \( A \) ,在下半平面等于 \( B \) ,那么函数 \( F \) 是整的且有界的,当然也是连续的. 事实上,这样的函数 \( F = 0 \) .
(c) 推导: 对所有 \( t \) ,
\[
{\int }_{-\infty }^{t}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
并最终推导出 \( f = 0 \) .
2. 如果 \( f \in {F}_{a} \) ,其中 \( a > 0 \) ,那么对任意的正整数 \( n \) ,当 \( 0 \leq b < a \) 时, \( {f}^{\left( n\right) } \in {F}_{b} \) . 【提示: 参照第 2 章练习 8 的解决方法. 】
3. 证明: 根据围线积分,如果 \( a > 0 \) 且 \( \xi \in \mathbf{R} \) ,那么
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{a}{{a}^{2} + {x}^{2}}{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| },
\]
并证明
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi = \frac{1\;a}{\pi {a}^{2} + {x}^{2}}.
\]
4. 假设 \( Q \) 至少是 2 阶多项式,且具有不同的根,且不在实轴上. 根据 \( Q \) 的根计算积分
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{Q\left( x\right) }\mathrm{d}x\;\xi \in \mathbf{R}.
\]
当几个根重合时, 会怎样?
【提示: 分别讨论 \( \xi < 0,\xi = 0 \) 和 \( \xi > 0 \) 的情况. 应用留数. 】
5. 更一般地,令 \( R\left( x\right) = P\left( x\right) /Q\left( x\right) \) 是有理函数,其中多项式 \( Q \) 的阶数比多项式 \( R \) 的阶数至少高两阶,且在实轴上 \( Q\left( x\right) \neq 0 \) .
(a) 证明: 如果 \( {\alpha }_{1},\cdots ,{\alpha }_{k} \) 是 \( Q \) 在上半平面的根,那么存在多项式 \( {P}_{j}\left( \xi \right) \) ,其阶数低于 \( {\alpha }_{j} \) 的重数,使得当 \( \xi < 0 \) 时,有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }R\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{P}_{j}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{\alpha }_{j}\xi },
\]
(b) 特别地,如果函数 \( Q\left( z\right) \) 在上半平面没有零点,那么对 \( \xi < 0 \) 有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }R\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = 0.
\]
(c) 当 \( \xi > 0 \) 时,证明类似的结论.
(d) 证明:
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }R\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x = O\left( {\mathrm{e}}^{-a\left| \xi \right| }\right) \;\xi \in \mathbf{R},
\]
其中, \( a > 0 \) 是某个常数,并令 \( \left| \xi \right| \rightarrow + \infty \) . 最好根据 \( R \) 的根定义常数 \( a \) .
【提示: 部分 (a) 用留数. 当函数 \( f\left( z\right) = R\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }} \) 求微分时 \( \xi \) 会出现 (如同上一章中定理 1.4 中的公式). 对于部分 (c) 在下半平面讨论. 】
6. 证明: 当 \( a > 0 \) 时,有
\[
\frac{1}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{a}{{a}^{2} + {n}^{2}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| n\right| },
\]
因此证明和式等于 \( \coth {\pi a} \) .
7. 泊松求和公式可以应用于一些特殊的例子, 这些例子通常可以提供一些有趣的等式.
(a) 令 \( \tau \) 是个定值,其中 \( \operatorname{Im}\left( \tau \right) > 0 \) . 对函数
\[
f\left( z\right) = {\left( \tau + z\right) }^{-k}
\]
应用泊松求和公式,其中 \( k \) 是个整数,大于等于 2,则获得等式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( \tau + n\right) }^{k}} = \frac{{\left( -2\pi \mathrm{i}\right) }^{k}}{\left( {k - 1}\right) !}\mathop{\sum }\limits_{{m = 1}}^{{+\infty }}{m}^{k - 1}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{m\tau }}.
\]
(b) 在上面公式中,令 \( k = 2 \) ,证明: 如果 \( \operatorname{Im}\left( \tau \right) > 0 \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left( \tau + n\right) }^{2}} = \frac{{\pi }^{2}}{{\sin }^{2}\left( {\pi \tau }\right) }.
\]
(c) 推导当 \( \tau \) 是任意复数而不是整数时上述等式是否依然成立? 【提示: 对于 (a) 可以应用留数,当 \( \xi < 0 \) 时 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当 \( \xi > 0 \) 时, \( \widehat{f}\left( \xi \right) = \) \( \frac{{\left( -2\pi \mathrm{i}\right) }^{k}}{\left( {k - 1}\right) !}{\xi }^{k - 1}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi \tau }} \) . ]
8. 假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 内具有紧支柱,并令 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) . 证明:
\[
{a}_{n} = \frac{{\left( 2\pi \mathrm{i}\right) }^{n}}{n!}{\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\xi }^{n}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
由此推出
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\sup {\left( n!\left| {a}_{n}\right| \right) }^{1/n} \leq {2\pi M}.
\]
反过来,令 \( f \) 是任意幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) ,且满足 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\sup {\left( n!\left| {a}_{n}\right| \right) }^{1/n} \leq {2\pi M} \) . 那么, \( f \) 在复平面上是全纯的,并且,对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {A}_{\varepsilon } > 0 \) 使得
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {A}_{\varepsilon }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\left( {M + \varepsilon }\right) \left| z\right| }.
\]
9. 此问题是类似于 Phragmén-Lindelöf 定理的进一步结论.
(a) 令 \( F \) 是定义在右半平面上的全纯函数,并且可以延拓到其边界,即虚轴上. 假设对任意的 \( y \in \mathbf{R} \) 都有 \( \left| {F\left( {\mathrm{i}y}\right) }\right| \leq 1 \) ,那么
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c{\left| z\right| }^{\gamma }},
\]
其中 \( c, C > 0,\gamma < 1 \) . 证明: 在整个右半平面上,对所有的 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) .
(b) 更一般地,令 \( S \) 是扇形区域,顶点在原点,顶角为 \( \pi /\beta \) . 令 \( F \) 是定义在 \( S \) 上的全纯函数,且在 \( S \) 的闭包上连续,从而在 \( S \) 的边界上 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且对任意 \( z \in S \) ,有
\[
\left| {F\left( z\right) }\right| \leq C{\mathrm{e}}^{c{\left| z\right| }^{\alpha }},
\]
其中 \( c, C > 0,0 < \alpha < \beta \) . 证明: 对任意 \( z \in S,\left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) .
10. 我们知道,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 本身就是它的傅里叶变换,根据这一点,此练习概括了该函数的几个性质.
假设 \( f\left( z\right) \) 是整函数,且满足
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| \leq c{\mathrm{e}}^{-a{x}^{2} + b{y}^{2}},
\]
其中 \( a, b, c > 0 \) . 令
\[
\widehat{f}\left( \zeta \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\zeta }}\mathrm{d}x.
\]
那么, \( \widehat{f} \) 是关于变量 \( \zeta \) 的整函数,满足
\[
\left| {\widehat{f}\left( {\xi + \mathrm{i}\eta }\right) }\right| \leq {c}^{\prime }{\mathrm{e}}^{-{a}^{\prime }{\xi }^{2} + {b}^{\prime }{\eta }^{2}},
\]
其中 \( {a}^{\prime },{b}^{\prime },{c}^{\prime } > 0 \) .
【提示: 证明如果假设 \( \xi > 0 \) ,那么 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{a}^{\prime }{\xi }^{2}}\right) \) ,并对于固定的 \( y > 0 \) ,将积分周线改为 \( x - \mathrm{i}y \) ,并且 \( - \infty < x < + \infty \) . 那么
\[
\widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {{\mathrm{e}}^{-{2\pi y\xi }}{\mathrm{e}}^{b{y}^{2}}}\right) .
\]
最后,选择 \( y = {d\xi } \) ,其中 \( d \) 是很小的常量. ]
11. 通过证明下面的事实, 可以得到比练习 10 中更工整的公式.
假设 \( f\left( z\right) \) 是二阶的整函数,也就是说
\[
f\left( z\right) = O\left( {\mathrm{e}}^{{c}_{1}{\left| z\right| }^{2}}\right) ,
\]
其中 \( {c}_{1} > 0 \) . 假设 \( x \) 为实数时,有
\[
f\left( x\right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{c}_{2}{\left| x\right| }^{2}}\right) ,
\]
其中 \( {c}_{2} > 0 \) . 那么
\[
\left| {f\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }\right| = O\left( {\mathrm{e}}^{-a{x}^{2} + b{y}^{2}}\right) ,
\]
其中 \( a, b > 0 \) . 反之显然也是正确的.
12. 一个函数和它的傅里叶变换在无穷远处不能同时很小, 这个原则将由下面讨论的 Hardy 定理给出.
如果 \( f \) 是定义在实数集 \( \mathbf{R} \) 上的函数,满足
\[
f\left( x\right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{\pi }^{{x}^{2}}}\right) \text{ 和 }\widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-\pi {\xi }^{2}}\right) ,
\]
那么, \( f \) 是函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 的常数倍. 结果,如果 \( f\left( x\right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{\pi A}{x}^{2}}\right) \) ,并且 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = \) \( O\left( {\mathrm{e}}^{-{\pi B}{\xi }^{2}}\right) \) ,其中 \( {AB} > 1 \) ,且 \( A, B > 0 \) ,那么函数 \( f \) 恒等于零.
(a) 如果 \( f \) 是偶函数,证明: \( \widehat{f} \) 延拓成偶的整函数. 并且,如果 \( g\left( z\right) = \) \( \widehat{f}\left( {z}^{1/2}\right) \) ,那么 \( g \) 满足
\[
\left| {g\left( x\right) }\right| \leq c{\mathrm{e}}^{-{\pi x}}\text{ 和 }\left| {g\left( z\right) }\right| \leq c{\mathrm{e}}^{{\pi R}{\sin }^{2}\left( {\theta /2}\right) } \leq c{\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| },
\]
其中 \( x \in \mathbf{R} \) 且 \( z = R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }, R \geq 0,\theta \in \mathbf{R} \) .
(b) 将 Phragmén-Lindelöf 原则应用于函数
\[
F\left( z | 定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数. | 证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式\n\n\[ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi ,\]\n\n并且,我们根据 \( z = x + \mathrm{i}y, y \geq 0 \) ,函数 \( f \) 延拓成\n\n\[ f\left( z\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}\mathrm{d}\xi .\n\]\n\n注意到, 上面的积分是收敛的, 并且\n\n\[ \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}\xi }{1 + {\xi }^{2}} < + \infty ,\]\n\n要证明的就是 \( f \) 的有界性. 函数\n\n\[ {f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{0}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi \]\n\n在上半平面的闭包中一致收敛于函数 \( f\left( z\right) \) ,其中函数 \( f \) 连续,且在上半平面的内部是全纯的.\n\n反过来,考虑定理 3.3 证明的实质. 对 \( \varepsilon \) 和 \( \delta \) 取正值时,我们记\n\n\[ {f}_{\varepsilon ,\delta }\left( z\right) = \frac{f\left( {z + \mathrm{i}\delta }\right) }{{\left( 1 - \mathrm{i}\varepsilon z\right) }^{2}}.\]\n\n那么 \( {f}_{\varepsilon ,\delta } \) 在包含上半平面的闭包的区域上是全纯的. 应用柯西定理已经证实,对任意的 \( \xi < 0,{\widehat{f}}_{\varepsilon ,\delta }\left( \xi \right) = 0 \) . 然后,通过求极限,对于 \( \xi < 0 \) 的情况满足 \( {\widehat{f}}_{\varepsilon ,0}\left( \xi \right) = 0 \) 最后对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = {\widehat{f}}_{0,0}\left( \xi \right) = 0 \). |
定理 1.1 令 \( \Omega \) 表示包含圆盘 \( {D}_{R} \) 的闭包的开集,并假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的, \( f\left( 0\right) \neq 0 \) ,且在圆周 \( {C}_{R} \) 上都不等于零. 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 表示函数 \( f \) 在圆盘内的零点 (包含零元的重数) \( {}^{ \ominus } \) ,那么
\[
\log \left| {f\left( 0\right) }\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left( \frac{\left| {z}_{k}\right| }{R}\right) + \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta .
\]
(1)
此定理的证明包含几个步骤.
第一步,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是满足假设的两个函数,且满足定理的结论,那么两个函数的乘积 \( {f}_{1}{f}_{2} \) 同样满足定理的假设和公式 (1). 这一点可以根据 \( \log {xy} = \log x + \log y \) 简单地推导出来,其中 \( x \) 和 \( y \) 是正数. 并且函数 \( {f}_{1}{f}_{2} \) 的零点是函数 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 的零点之和.
第二步, 函数
\[
g\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{\left( {z - {z}_{1}}\right) \cdots \left( {z - {z}_{N}}\right) }
\]
定义在 \( \Omega = \left\{ {{z}_{1},\cdots ,{z}_{N}}\right\} \) 上,该函数在每个 \( {z}_{j} \) 附近有界. 因此,每个 \( {z}_{j} \) 都是可去奇点, 那么函数可以表达为
\[
f\left( z\right) = \left( {z - {z}_{1}}\right) \cdots \left( {z - {z}_{N}}\right) g\left( z\right) ,
\]
其中 \( g \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( {D}_{R} \) 的闭包上没有零点. 根据第一步,就足以证明函数 \( g \) 满足 Jensen 公式,形如 \( z - {z}_{j} \) 的函数也满足 Jensen 公式.
第三步,首先证明在 \( {D}_{R} \) 的闭包上没有零点的函数 \( g \) 满足式 (1). 进一步,我们必须令下面的等式成立,
\[
\log \left| {g\left( 0\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {g\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta .
\]
在一个稍微大点的圆盘上记 \( g\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{h\left( z\right) } \) ,其中 \( h \) 在圆盘上是全纯的. 这可能是因为圆盘是单连通的,且可以定义 \( h = \log g \) (见第 3 章定理 6.2). 现在我们注意到
---
就是说每个零点出现的次数称为该零点的重数.
---
\[
\left| {g\left( z\right) }\right| = \left| {\mathrm{e}}^{h\left( z\right) }\right| = \left| {\mathrm{e}}^{\operatorname{Re}\left( {h\left( z\right) }\right) + \mathrm{i}\operatorname{Im}\left( {h\left( z\right) }\right) }\right| = {\mathrm{e}}^{\operatorname{Re}\left( {h\left( z\right) }\right) }
\]
使得 \( \left| {g\left( z\right) }\right| = \operatorname{Re}\left( {h\left( z\right) }\right) \) . 再根据平均值性质 (第 3 章的命题 7.3) 就可以证明函数 \( g \) 满足式 (1).
第四步,最后一步来证明函数形如 \( f\left( z\right) = z - w \) 满足式 (1),其中 \( w \in {D}_{R} \) . 也就是要证明
\[
\log \left| w\right| = \log \left( \frac{\left| w\right| }{R}\right) + \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - w}\right| \mathrm{d}\theta .
\]
因为 \( \log \left( {\left| w\right| /R}\right) = \log \left| w\right| - \log R,\log \left| {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - w}\right| = \log R + \log \left| {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - w/R}\right| \) , 只要证明当 \( \left| a\right| < 1 \) 时,有
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } - a}\right| \mathrm{d}\theta = 0
\]
即可. 这等价于当 \( \left| a\right| < 1 \) 时,
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {1 - a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right| \mathrm{d}\theta = 0,
\]
这里只要进行变量代换 \( \theta \vdash - \theta \) 就可以了.
为了证明它,应用函数 \( F\left( z\right) = 1 - {az} \) ,此函数在单位圆盘的闭包中没有零点. 作为一个推论,在半径略大于 1 的圆盘中存在全纯函数 \( G \) 使得 \( F\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{G\left( z\right) } \) ,那么 \( \left| F\right| = {\mathrm{e}}^{\operatorname{Re}\left( G\right) } \) ,因此 \( \log \left| F\right| = \operatorname{Re}\left( G\right) \) . 因为 \( F\left( 0\right) = 1 \) ,所以 \( \log \left| {F\left( 0\right) }\right| = 0 \) ,并且调和函数 \( \log \left| {F\left( z\right) }\right| \) 应用平均值性质 (第 3 章中命题 7.3 ) 就能证明定理.
Jensen 公式可以推导出全纯函数的增长与其在一个圆盘中的零元的个数之间联系的恒等式. 如果 \( f \) 是定义在圆盘 \( {D}_{R} \) 的闭包内的全纯函数,记 \( n\left( r\right) \) (或者当问题中需要指出函数时用 \( {n}_{f}\left( r\right) \) 表示) 表示函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{r} \) 中的零元个数 (包括零元的重数),其中 \( 0 < r < R \) . 注意到, \( n\left( r\right) \) 是关于变量 \( r \) 的非减函数,这一点既简单又有用.
可以肯定,如果 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) ,且 \( f \) 在圆周 \( {C}_{R} \) 上不为零,那么
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
(2)
这个公式可以由 Jensen 等式和下面的引理直接证明.
引理 1.2 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 是 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R} \) 内的零元,那么
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| .
\]
证明 首先我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r}.
\]
如果我们定义特征函数
\[
{\eta }_{k}\left( r\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & r > \left| {z}_{k}\right| , \\ 0 & r \leq \left| {z}_{k}\right| , \end{array}\right.
\]
那么 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\eta }_{k}\left( r\right) = n\left( r\right) \) ,且引理可以由公式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{0}^{R}{\eta }_{k}\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = {\int }_{0}^{R}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\eta }_{k}\left( r\right) }\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = {\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r}
\]
证明.
## 2 有限阶函数
令 \( f \) 是整函数. 如果存在正数 \( \rho \) 和常数 \( A, B > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{B{\left| z\right| }^{\rho }},
\]
那么我们说函数 \( f \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) . 我们定义 \( f \) 的增长阶为
\[
{\rho }_{f} = \inf \rho ,
\]
其中关于 \( \rho > 0 \) 的下确界就能保证 \( f \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) .
例如,函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 的增长阶为 2 .
定理 2.1 如果 \( f \) 是增长阶 \( \leq \rho \) 的整函数,那么
( i ) 对常数 \( C > 0 \) 和任意足够大的 \( r \) ,满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{\rho } \) .
(ii) 如果 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零元,并且 \( {z}_{k} \neq 0 \) ,那么对任意 \( s > \rho \) 我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left| {z}_{k}\right| }^{s}} < + \infty
\]
证明 当 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) 时,只要对 \( n\left( r\right) \) 进行估值就足够证明定理了. 事实上,考虑函数 \( F\left( z\right) = f\left( z\right) /{z}^{l} \) ,其中 \( \ell \) 表示函数 \( f \) 在区域内零元的个数. 那么 \( {n}_{f}\left( r\right) \) 和 \( {n}_{F}\left( r\right) \) 仅仅差一个常数,并且 \( F \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) .
如果 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) 应用式 (2),也就是
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
选择 \( R = {2r} \) ,这个公式就意味着
\[
{\int }_{r}^{2r}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
一方面,因为 \( n\left( r\right) \) 是增长的,我们有
\[
{\int }_{r}^{2r}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} \geq n\left( r\right) {\int }_{r}^{2r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = n\left( r\right) \left\lbrack {\log {2r} - \log r}\right\rbrack = n\left( r\right) \log 2,
\]
另一方面, \( f \) 的增长条件给出
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta \leq {\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {A{\mathrm{e}}^{B{R}^{\rho }}}\right| \mathrm{d}\theta \leq {C}^{\prime }{r}^{\rho },
\]
其中 \( r \) 是任意大数. 因此对某个合适的常数 \( C > 0 \) 和足够大的数 \( r \) 就满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{p}. \)
下面的估值用来证明定理的第二部分.
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| {z}_{k}\right| \geq 1}}{\left| {z}_{k}\right| }^{-s} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{{2k} \leq \left| {z}_{k}\right| < {2}^{j + 1}}}{\left| {z}_{k}\right| }^{-s}}\right)
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{js}}n\left( {2}^{j + 1}\right)
\]
\[
\leq c\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{js}}2\left( {j + 1}\right) \rho
\]
\[
\leq {c}^{\prime }\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{\left( {2}^{p - s}\right) }^{j}
\]
\[
< + \infty \text{.}
\]
因为 \( s > \rho \) ,所以上式中最后的级数是收敛的.
定理的 (ii) 部分是一个值得注意的事实, 将在本章的下一小节中用到.
这里可以给出定理的两个简单例子, 每个例子都没有得到改善, 必须要满足条件 \( s > \rho \) .
例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mathrm{i}x \) ,其中 \( x \in \mathbf{R} \) ,很明显函数 \( f \) 的增长阶刚好等于 1 . 但是在每个整数 \( z = n \) 点处函数 \( f \) 都为零,并且当 \( s > 1 \) 时 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \neq 0}}1/{\left| n\right| }^{s} < + \infty \) .
例 2 考虑函数 \( f\left( z\right) = \cos {z}^{1/2} \) ,其级数定义为
\[
\cos {z}^{1/2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{\left( {2n}\right) !}.
\]
那么 \( f \) 是整函数,并且很容易看到
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\left| z\right| },
\]
且函数 \( f \) 的增长阶是 \( 1/2 \) . 此外,当 \( {z}_{n} = {\left( \left( n + 1/2\right) \pi \right) }^{2} \) 时 \( f\left( z\right) = 0 \) ,同时当 \( s > 1/2 \) 时, \( \mathop{\sum }\limits_{n}1/{\left| {z}_{n}\right| }^{\mathrm{s}} < + \infty \) .
很实际的问题是,是否对任意复数列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 总存在整函数 \( f \) 恰好以该序列中的点为零元. 其中,一个必要条件是序列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 是不可积的,也就是说
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}\left| {z}_{k}\right| = + \infty
\]
否则,根据第 2 章定理 4.8,函数 \( f \) 会恒等于零. Weierstrass 已经证明此条件亦是充分条件, 只要构造合适的函数, 使函数刚好具有指定的零点即可. 首先构造以下乘积形式的函数
\[
\left( {z - {z}_{1}}\right) \left( {z - {z}_{2}}\right) \cdots ,
\]
当零元序列是有限个时, 上面的这个特例就提供了一种解决问题的方法. 通常, Weierstrass 表明如何在上面的乘积中插入因子以保证序列是收敛的, 但是又不会引入新的零点.
在一般性构造函数之前, 我们先来回顾无穷乘积并研究一个基本案例.
## 3 无穷乘积
## 3. 1 一般性
给出复数序列 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) ,我们说乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
是收敛的, 只要部分乘积的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
存在.
下面的命题是保证乘积存在的必要条件.
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n | 定理 1.1 令 \( \Omega \) 表示包含圆盘 \( {D}_{R} \) 的闭包的开集,并假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的, \( f\left( 0\right) \neq 0 \) ,且在圆周 \( {C}_{R} \) 上都不等于零. 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 表示函数 \( f \) 在圆盘内的零点 (包含零元的重数) \( {}^{ \ominus } \) ,那么\n\n\[ \n\log \left| {f\left( 0\right) }\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left( \frac{\left| {z}_{k}\right| }{R}\right) + \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta .\n\] | (1)\n\n此定理的证明包含几个步骤.\n\n第一步,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是满足假设的两个函数,且满足定理的结论,那么两个函数的乘积 \( {f}_{1}{f}_{2} \) 同样满足定理的假设和公式 (1). 这一点可以根据 \( \log {xy} = \log x + \log y \) 简单地推导出来,其中 \( x \) 和 \( y \) 是正数. 并且函数 \( {f}_{1}{f}_{2} \) 的零点是函数 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 的零点之和.\n\n第二步, 函数\n\n\[ g\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{\left( {z - {z}_{1}}\right) \cdots \left( {z - {z}_{N}}\right) } \]\n\n定义在 \( \Omega = \left\{ {{z}_{1},\cdots ,{z}_{N}}\right\} \) 上,该函数在每个 \( {z}_{j} \) 附近有界. 因此,每个 \( {z}_{j} \) 都是可去奇点, 那么函数可以表达为\n\n\[ f\left( z\right) = \left( {z - {z}_{1}}\right) \cdots \left( {z - {z}_{N}}\right) g\left( z\right) ,\]\n\n其中 \( g \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( {D}_{R} \) 的闭包上没有零点. 根据第一步,就足以证明函数 \( g \) 满足 Jensen 公式,形如 \( z - {z}_{j} \) 的函数也满足 Jensen 公式.\n\n第三步,首先证明在 \( {D}_{R} \) 的闭包上没有零点的函数 \( g \) 满足式 (1). 进一步,我们必须令下面的等式成立,\n\n\[ \log \left| {g\left( 0\right) }\right| = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {g\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta .\n\n在一个稍微大点的圆盘上记 \( g\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{h\left( z\right) } \) ,其中 \( h \) 在圆盘上是全纯的. 这可能是因为圆盘是单连通的,且可以定义 \( h = \log g \) (见第 3 章定理 6.2). 现在我们注意到 |
引理 1.2 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 是 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R} \) 内的零元,那么
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| .
\]
证明 首先我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r}.
\]
如果我们定义特征函数
\[
{\eta }_{k}\left( r\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & r > \left| {z}_{k}\right| , \\ 0 & r \leq \left| {z}_{k}\right| , \end{array}\right.
\]
那么 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\eta }_{k}\left( r\right) = n\left( r\right) \) ,且引理可以由公式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{0}^{R}{\eta }_{k}\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = {\int }_{0}^{R}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\eta }_{k}\left( r\right) }\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = {\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r}
\]
证明.
## 2 有限阶函数
令 \( f \) 是整函数. 如果存在正数 \( \rho \) 和常数 \( A, B > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \mathbf{C} \) 满足
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{B{\left| z\right| }^{\rho }},
\]
那么我们说函数 \( f \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) . 我们定义 \( f \) 的增长阶为
\[
{\rho }_{f} = \inf \rho ,
\]
其中关于 \( \rho > 0 \) 的下确界就能保证 \( f \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) .
例如,函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 的增长阶为 2 .
定理 2.1 如果 \( f \) 是增长阶 \( \leq \rho \) 的整函数,那么
( i ) 对常数 \( C > 0 \) 和任意足够大的 \( r \) ,满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{\rho } \) .
(ii) 如果 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零元,并且 \( {z}_{k} \neq 0 \) ,那么对任意 \( s > \rho \) 我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left| {z}_{k}\right| }^{s}} < + \infty
\]
证明 当 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) 时,只要对 \( n\left( r\right) \) 进行估值就足够证明定理了. 事实上,考虑函数 \( F\left( z\right) = f\left( z\right) /{z}^{l} \) ,其中 \( \ell \) 表示函数 \( f \) 在区域内零元的个数. 那么 \( {n}_{f}\left( r\right) \) 和 \( {n}_{F}\left( r\right) \) 仅仅差一个常数,并且 \( F \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) .
如果 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) 应用式 (2),也就是
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
选择 \( R = {2r} \) ,这个公式就意味着
\[
{\int }_{r}^{2r}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
一方面,因为 \( n\left( r\right) \) 是增长的,我们有
\[
{\int }_{r}^{2r}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} \geq n\left( r\right) {\int }_{r}^{2r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = n\left( r\right) \left\lbrack {\log {2r} - \log r}\right\rbrack = n\left( r\right) \log 2,
\]
另一方面, \( f \) 的增长条件给出
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta \leq {\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {A{\mathrm{e}}^{B{R}^{\rho }}}\right| \mathrm{d}\theta \leq {C}^{\prime }{r}^{\rho },
\]
其中 \( r \) 是任意大数. 因此对某个合适的常数 \( C > 0 \) 和足够大的数 \( r \) 就满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{p}. \)
下面的估值用来证明定理的第二部分.
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| {z}_{k}\right| \geq 1}}{\left| {z}_{k}\right| }^{-s} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{{2k} \leq \left| {z}_{k}\right| < {2}^{j + 1}}}{\left| {z}_{k}\right| }^{-s}}\right)
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{js}}n\left( {2}^{j + 1}\right)
\]
\[
\leq c\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{js}}2\left( {j + 1}\right) \rho
\]
\[
\leq {c}^{\prime }\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{\left( {2}^{p - s}\right) }^{j}
\]
\[
< + \infty \text{.}
\]
因为 \( s > \rho \) ,所以上式中最后的级数是收敛的.
定理的 (ii) 部分是一个值得注意的事实, 将在本章的下一小节中用到.
这里可以给出定理的两个简单例子, 每个例子都没有得到改善, 必须要满足条件 \( s > \rho \) .
例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mathrm{i}x \) ,其中 \( x \in \mathbf{R} \) ,很明显函数 \( f \) 的增长阶刚好等于 1 . 但是在每个整数 \( z = n \) 点处函数 \( f \) 都为零,并且当 \( s > 1 \) 时 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \neq 0}}1/{\left| n\right| }^{s} < + \infty \) .
例 2 考虑函数 \( f\left( z\right) = \cos {z}^{1/2} \) ,其级数定义为
\[
\cos {z}^{1/2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{\left( {2n}\right) !}.
\]
那么 \( f \) 是整函数,并且很容易看到
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\left| z\right| },
\]
且函数 \( f \) 的增长阶是 \( 1/2 \) . 此外,当 \( {z}_{n} = {\left( \left( n + 1/2\right) \pi \right) }^{2} \) 时 \( f\left( z\right) = 0 \) ,同时当 \( s > 1/2 \) 时, \( \mathop{\sum }\limits_{n}1/{\left| {z}_{n}\right| }^{\mathrm{s}} < + \infty \) .
很实际的问题是,是否对任意复数列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 总存在整函数 \( f \) 恰好以该序列中的点为零元. 其中,一个必要条件是序列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 是不可积的,也就是说
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}\left| {z}_{k}\right| = + \infty
\]
否则,根据第 2 章定理 4.8,函数 \( f \) 会恒等于零. Weierstrass 已经证明此条件亦是充分条件, 只要构造合适的函数, 使函数刚好具有指定的零点即可. 首先构造以下乘积形式的函数
\[
\left( {z - {z}_{1}}\right) \left( {z - {z}_{2}}\right) \cdots ,
\]
当零元序列是有限个时, 上面的这个特例就提供了一种解决问题的方法. 通常, Weierstrass 表明如何在上面的乘积中插入因子以保证序列是收敛的, 但是又不会引入新的零点.
在一般性构造函数之前, 我们先来回顾无穷乘积并研究一个基本案例.
## 3 无穷乘积
## 3. 1 一般性
给出复数序列 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) ,我们说乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
是收敛的, 只要部分乘积的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
存在.
下面的命题是保证乘积存在的必要条件.
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零.
这就是第一册中第 8 章命题 1.9 , 下面重述这个证明.
证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}{\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + {a}_{n}}\right) } = {\mathrm{e}}^{{B}_{N}},
\]
其中 \( {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} \) ,而 \( {b}_{n} = \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) . 根据幂级数展开知道,如果 \( \left| z\right| < 1/2 \) ,那么 \( \left| {\log \left( {1 + z}\right) }\right| \leq 2\left| z\right| \) . 因此, \( \left| {b}_{n}\right| \leq 2\left| {a}_{n}\right| \) ,当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {B}_{N} \) 收敛于复数, 记为 \( B \) . 又因为指数函数是连续的,所以推断出当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {\mathrm{e}}^{{B}_{n}} \) 收敛于 \( {\mathrm{e}}^{B} \) ,这就证明了命题的第一个结论. 同时注意到,如果对所有的 \( n \) 都有 \( 1 + {a}_{n} \neq 0 \) ,那么, 乘积就收敛于非零极限,因为极限值可以表达成 \( {\mathrm{e}}^{B} \) .
更一般地, 可以考虑全纯函数的乘积.
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\left( z\right) \) .
(ii) 如果 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么
\[
\frac{{F}^{\prime }\left( z\right) }{F\left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{F}^{\prime }{}_{n}\left( z\right) }{{F}_{n}\left( z\right) }.
\]
证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\left( z\right) = 1 + {a}_{n}\left( z\right) \) ,其中 \( \left| {{a}_{n}\left( z\right) }\right| \leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\left( z\right) \) .
下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \Omega \) 内的紧子集,并令
\[
{G}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\left( z\right) .
\]
我们已经证明了在 \( \Omega \) 上 \( {G}_{n} \rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列
---
102 \$ 不容心
---
\( \left\{ {{G}^{\prime }{}_{N}}\right\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\prime }{}_{N}/{G}_{N} \rightarrow {F}^{\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,
\[
\frac{{G}_{N}^{\prime }}{{G}_{N}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{{F}_{n}^{\prime }}{{F}_{n}}
\]
因此, 该定理的第二部分也得到了证明.
## 3.2 例子 正弦函数的乘积公式
在应用 Weierstrass 乘积的一般理论之前, 我们先来考虑下面这个关键的例子, 就是关于正弦函数的乘积公式
\[
\frac{\sin {\pi z}}{\pi } = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
(3)
这个等式来源于余切函数的求和公式 \( \left( {\cot {\pi z} = \cos {\pi z}/\sin {\pi z}}\right) \) ,即
\[
\pi \cot {\pi z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
(4)
第一个公式对所有的复数 \( z \) 都满足,而第二个公式则要求当 \( z \) 不能是整数时成立. 要对求和 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} \) 有恰当的理解,如果将和式平分为两部分,一部分的 \( n \) 是正的, 另一部分是负的,那么两部分将都不收敛. 只有将两部分极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} \) 抵消, 才能保证同上面式 (4) 中的级数那样是收敛的.
要证明式 (4) 不但要用函数 \( \pi \cot {\pi z} \) ,还要用到级数具有一样的结构性质. 事实上,注意到,如果设 \( F\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,那么函数 \( F \) 具有下列性质:
( i ) 当 \( z \) 不是整数时 \( F\left( {z + 1}\right) = F\left( z\right) \) ;
( ii ) \( F\left( z\right) = \frac{1}{z} + {F}_{0}\left( z\right) \) ,其中 \( {F}_{0} \) 在 0 附近是解析的;
(iii) \( F\left( z\right) \) 在整数处取得单极点,并且没有其他的奇点.
那么, 我们注意到函数
\[
\mathop{ | 引理 1.2 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 是 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R} \) 内的零元,那么\n\n\[{\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| .\] | 证明 首先我们有\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r}.\n\]\n\n如果我们定义特征函数\n\n\[ {\eta }_{k}\left( r\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & r > \left| {z}_{k}\right| , \\ 0 & r \leq \left| {z}_{k}\right| , \end{array}\right.\n\]\n\n那么 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\eta }_{k}\left( r\right) = n\left( r\right) \) ,且引理可以由公式\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{0}^{R}{\eta }_{k}\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = {\int }_{0}^{R}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\eta }_{k}\left( r\right) }\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = {\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r}\n\]\n\n证明. |
定理 2.1 如果 \( f \) 是增长阶 \( \leq \rho \) 的整函数,那么
( i ) 对常数 \( C > 0 \) 和任意足够大的 \( r \) ,满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{\rho } \) .
(ii) 如果 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零元,并且 \( {z}_{k} \neq 0 \) ,那么对任意 \( s > \rho \) 我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left| {z}_{k}\right| }^{s}} < + \infty
\]
证明 当 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) 时,只要对 \( n\left( r\right) \) 进行估值就足够证明定理了. 事实上,考虑函数 \( F\left( z\right) = f\left( z\right) /{z}^{l} \) ,其中 \( \ell \) 表示函数 \( f \) 在区域内零元的个数. 那么 \( {n}_{f}\left( r\right) \) 和 \( {n}_{F}\left( r\right) \) 仅仅差一个常数,并且 \( F \) 的增长阶小于等于 \( \rho \) .
如果 \( f\left( 0\right) \neq 0 \) 应用式 (2),也就是
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
选择 \( R = {2r} \) ,这个公式就意味着
\[
{\int }_{r}^{2r}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} \leq \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta - \log \left| {f\left( 0\right) }\right| .
\]
一方面,因为 \( n\left( r\right) \) 是增长的,我们有
\[
{\int }_{r}^{2r}n\left( x\right) \frac{\mathrm{d}x}{x} \geq n\left( r\right) {\int }_{r}^{2r}\frac{\mathrm{d}x}{x} = n\left( r\right) \left\lbrack {\log {2r} - \log r}\right\rbrack = n\left( r\right) \log 2,
\]
另一方面, \( f \) 的增长条件给出
\[
{\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {f\left( {R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right| \mathrm{d}\theta \leq {\int }_{0}^{2\pi }\log \left| {A{\mathrm{e}}^{B{R}^{\rho }}}\right| \mathrm{d}\theta \leq {C}^{\prime }{r}^{\rho },
\]
其中 \( r \) 是任意大数. 因此对某个合适的常数 \( C > 0 \) 和足够大的数 \( r \) 就满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{p}. \)
下面的估值用来证明定理的第二部分.
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| {z}_{k}\right| \geq 1}}{\left| {z}_{k}\right| }^{-s} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}\left( {\mathop{\sum }\limits_{{{2k} \leq \left| {z}_{k}\right| < {2}^{j + 1}}}{\left| {z}_{k}\right| }^{-s}}\right)
\]
\[
\leq \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{js}}n\left( {2}^{j + 1}\right)
\]
\[
\leq c\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-{js}}2\left( {j + 1}\right) \rho
\]
\[
\leq {c}^{\prime }\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{\left( {2}^{p - s}\right) }^{j}
\]
\[
< + \infty \text{.}
\]
因为 \( s > \rho \) ,所以上式中最后的级数是收敛的.
定理的 (ii) 部分是一个值得注意的事实, 将在本章的下一小节中用到.
这里可以给出定理的两个简单例子, 每个例子都没有得到改善, 必须要满足条件 \( s > \rho \) .
例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mathrm{i}x \) ,其中 \( x \in \mathbf{R} \) ,很明显函数 \( f \) 的增长阶刚好等于 1 . 但是在每个整数 \( z = n \) 点处函数 \( f \) 都为零,并且当 \( s > 1 \) 时 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \neq 0}}1/{\left| n\right| }^{s} < + \infty \) .
例 2 考虑函数 \( f\left( z\right) = \cos {z}^{1/2} \) ,其级数定义为
\[
\cos {z}^{1/2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{\left( {2n}\right) !}.
\]
那么 \( f \) 是整函数,并且很容易看到
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\left| z\right| },
\]
且函数 \( f \) 的增长阶是 \( 1/2 \) . 此外,当 \( {z}_{n} = {\left( \left( n + 1/2\right) \pi \right) }^{2} \) 时 \( f\left( z\right) = 0 \) ,同时当 \( s > 1/2 \) 时, \( \mathop{\sum }\limits_{n}1/{\left| {z}_{n}\right| }^{\mathrm{s}} < + \infty \) .
很实际的问题是,是否对任意复数列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 总存在整函数 \( f \) 恰好以该序列中的点为零元. 其中,一个必要条件是序列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 是不可积的,也就是说
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}\left| {z}_{k}\right| = + \infty
\]
否则,根据第 2 章定理 4.8,函数 \( f \) 会恒等于零. Weierstrass 已经证明此条件亦是充分条件, 只要构造合适的函数, 使函数刚好具有指定的零点即可. 首先构造以下乘积形式的函数
\[
\left( {z - {z}_{1}}\right) \left( {z - {z}_{2}}\right) \cdots ,
\]
当零元序列是有限个时, 上面的这个特例就提供了一种解决问题的方法. 通常, Weierstrass 表明如何在上面的乘积中插入因子以保证序列是收敛的, 但是又不会引入新的零点.
在一般性构造函数之前, 我们先来回顾无穷乘积并研究一个基本案例.
## 3 无穷乘积
## 3. 1 一般性
给出复数序列 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) ,我们说乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
是收敛的, 只要部分乘积的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
存在.
下面的命题是保证乘积存在的必要条件.
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零.
这就是第一册中第 8 章命题 1.9 , 下面重述这个证明.
证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}{\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + {a}_{n}}\right) } = {\mathrm{e}}^{{B}_{N}},
\]
其中 \( {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} \) ,而 \( {b}_{n} = \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) . 根据幂级数展开知道,如果 \( \left| z\right| < 1/2 \) ,那么 \( \left| {\log \left( {1 + z}\right) }\right| \leq 2\left| z\right| \) . 因此, \( \left| {b}_{n}\right| \leq 2\left| {a}_{n}\right| \) ,当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {B}_{N} \) 收敛于复数, 记为 \( B \) . 又因为指数函数是连续的,所以推断出当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {\mathrm{e}}^{{B}_{n}} \) 收敛于 \( {\mathrm{e}}^{B} \) ,这就证明了命题的第一个结论. 同时注意到,如果对所有的 \( n \) 都有 \( 1 + {a}_{n} \neq 0 \) ,那么, 乘积就收敛于非零极限,因为极限值可以表达成 \( {\mathrm{e}}^{B} \) .
更一般地, 可以考虑全纯函数的乘积.
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\left( z\right) \) .
(ii) 如果 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么
\[
\frac{{F}^{\prime }\left( z\right) }{F\left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{F}^{\prime }{}_{n}\left( z\right) }{{F}_{n}\left( z\right) }.
\]
证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\left( z\right) = 1 + {a}_{n}\left( z\right) \) ,其中 \( \left| {{a}_{n}\left( z\right) }\right| \leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\left( z\right) \) .
下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \Omega \) 内的紧子集,并令
\[
{G}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\left( z\right) .
\]
我们已经证明了在 \( \Omega \) 上 \( {G}_{n} \rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列
---
102 \$ 不容心
---
\( \left\{ {{G}^{\prime }{}_{N}}\right\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\prime }{}_{N}/{G}_{N} \rightarrow {F}^{\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,
\[
\frac{{G}_{N}^{\prime }}{{G}_{N}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{{F}_{n}^{\prime }}{{F}_{n}}
\]
因此, 该定理的第二部分也得到了证明.
## 3.2 例子 正弦函数的乘积公式
在应用 Weierstrass 乘积的一般理论之前, 我们先来考虑下面这个关键的例子, 就是关于正弦函数的乘积公式
\[
\frac{\sin {\pi z}}{\pi } = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
(3)
这个等式来源于余切函数的求和公式 \( \left( {\cot {\pi z} = \cos {\pi z}/\sin {\pi z}}\right) \) ,即
\[
\pi \cot {\pi z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
(4)
第一个公式对所有的复数 \( z \) 都满足,而第二个公式则要求当 \( z \) 不能是整数时成立. 要对求和 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} \) 有恰当的理解,如果将和式平分为两部分,一部分的 \( n \) 是正的, 另一部分是负的,那么两部分将都不收敛. 只有将两部分极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} \) 抵消, 才能保证同上面式 (4) 中的级数那样是收敛的.
要证明式 (4) 不但要用函数 \( \pi \cot {\pi z} \) ,还要用到级数具有一样的结构性质. 事实上,注意到,如果设 \( F\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,那么函数 \( F \) 具有下列性质:
( i ) 当 \( z \) 不是整数时 \( F\left( {z + 1}\right) = F\left( z\right) \) ;
( ii ) \( F\left( z\right) = \frac{1}{z} + {F}_{0}\left( z\right) \) ,其中 \( {F}_{0} \) 在 0 附近是解析的;
(iii) \( F\left( z\right) \) 在整数处取得单极点,并且没有其他的奇点.
那么, 我们注意到函数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}
\]
也同样满足上述三个性质. 事实上,性质 (i) 很简单,通过观察发现,从 \( z \) 到 \( z + 1 \) 仅仅是将无穷和中的项推移了一项而已. 简言之
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + 1 + n} = \frac{1}{z + 1 + N} - \frac{1}{z - N} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大来证明性质 ( i ). 性质 ( ii ) 和性质 ( iii ) 也是很明显的,因为和可以表达成 \( \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} \) .
因此, 函数定义为
\[
\Delta \left( z\right) = F\left( z\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n},
\]
其是周期的,因为 \( \Delta \left( {z + 1}\right) = \Delta \left( z\right) \) ,并且根据性质 (ii), \( \Delta \) 在原点处的奇点是可去的,另外,根据周期性,它在任何整数处的奇点也都是可去的,这就是说 \( \Delta \) 是整函数.
要证明我们的公式,只要证明函数 \( \Delta \) 在复平面上是有界的就足够了. 根据上面的周期性,只要在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内证明就可以. 这是因为任意的 \( {z}^{\prime } \in \) \( \mathrm{C} \) ,都可以写成 \( {z}^{\prime } = z + k \) 的形式,其中 \( z \) 在带形区域内, \( k \) 是一个整数. 因为 \( \Delta \) 是全纯的,它在矩形区域 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq 1 \) 上是有界的,我们只要控制 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| > 1 \) 时的函数表现即可. 如果 \( \operatorname{Im}\left( z\right) > 1 \) ,并且 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,那么
\[
\cot {\pi z} = \mathr | 定理 2.1 如果 \( f \) 是增长阶 \( \leq \rho \) 的整函数,那么\n\n( i ) 对常数 \( C > 0 \) 和任意足够大的 \( r \) ,满足 \( n\\left( r\\right) \\leq C{r}^{\\rho } \).\n\n(ii) 如果 \( {z}_{1},{z}_{2},\\cdots \) 表示 \( f \) 的零元,并且 \( {z}_{k} \\neq 0 \) ,那么对任意 \( s > \\rho \) 我们有\n\n\[ \n\\mathop{\\sum }\\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\\frac{1}{{\\left| {z}_{k}\\right| }^{s}} < + \\infty \n\] | 证明 当 \( f\\left( 0\\right) \\neq 0 \) 时,只要对 \( n\\left( r\\right) \) 进行估值就足够证明定理了. 事实上,考虑函数 \( F\\left( z\\right) = f\\left( z\\right) /{z}^{l} \) ,其中 \( \\ell \) 表示函数 \( f \) 在区域内零元的个数. 那么 \( {n}_{f}\\left( r\\right) \) 和 \( {n}_{F}\\left( r\\right) \) 仅仅差一个常数,并且 \( F \) 的增长阶小于等于 \( \\rho \) .\n\n如果 \( f\\left( 0\\right) \\neq 0 \) 应用式 (2),也就是\n\n\[ \n{\\int }_{0}^{R}n\\left( x\\right) \\frac{\\mathrm{d}x}{x} = \\frac{1}{2\\pi }{\\int }_{0}^{2\\pi }\\log \\left| {f\\left( {R{\\mathrm{e}}^{\\mathrm{i}\\theta }}\\right) }\\right| \\mathrm{d}\\theta - \\log \\left| {f\\left( 0\\right) }\\right| .\n\]\n\n选择 \( R = {2r} \) ,这个公式就意味着\n\n\[ \n{\\int }_{r}^{2r}n\\left( x\\right) \\frac{\\mathrm{d}x}{x} \\leq \\frac{1}{2\\pi }{\\int }_{0}^{2\\pi }\\log \\left| {f\\left( {R{\\mathrm{e}}^{\\mathrm{i}\\theta }}\\right) }\\right| \\mathrm{d}\\theta - \\log \\left| {f\\left( 0\\right) }\\right| .\n\]\n\n一方面,因为 \( n\\left( r\\right) \) 是增长的,我们有\n\n\[ \n{\\int }_{r}^{2r}n\\left( x\\right) \\frac{\\mathrm{d}x}{x} \\geq n\\left( r\\right) {\\int }_{r}^{2r}\\frac{\\mathrm{d}x}{x} = n\\left( r\\right) \\left\\lbrack {\\log {2r} - \\log r}\\right\\rbrack = n\\left( r\\right) \\log 2,\n\]\n\n另一方面, \( f \) 的增长条件给出\n\n\[ \n{\\int }_{0}^{2\\pi }\\log \\left| {f\\left( {R{\\mathrm{e}}^{\\mathrm{i}\\theta }}\\right) }\\right| \\mathrm{d}\\theta \\leq {\\int }_{0}^{2\\pi }\\log \\left| {A{\\mathrm{e}}^{B{R}^{\\rho }}}\\right| \\mathrm{d}\\theta \\leq {C}^{\\prime }{r}^{\\rho },\n\]\n\n其中 \( r \) 是任意大数. 因此对某个合适的常数 \( C > 0 \) 和足够大的数 \( r \) 就满足 \( n\\left( r\\right) \\leq C{r}^{p}. \) |
例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mathrm{i}x \) ,其中 \( x \in \mathbf{R} \) ,很明显函数 \( f \) 的增长阶刚好等于 1 . 但是在每个整数 \( z = n \) 点处函数 \( f \) 都为零,并且当 \( s > 1 \) 时 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \neq 0}}1/{\left| n\right| }^{s} < + \infty \) .
例 2 考虑函数 \( f\left( z\right) = \cos {z}^{1/2} \) ,其级数定义为
\[
\cos {z}^{1/2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{\left( {2n}\right) !}.
\]
那么 \( f \) 是整函数,并且很容易看到
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\left| z\right| },
\]
且函数 \( f \) 的增长阶是 \( 1/2 \) . 此外,当 \( {z}_{n} = {\left( \left( n + 1/2\right) \pi \right) }^{2} \) 时 \( f\left( z\right) = 0 \) ,同时当 \( s > 1/2 \) 时, \( \mathop{\sum }\limits_{n}1/{\left| {z}_{n}\right| }^{\mathrm{s}} < + \infty \) .
很实际的问题是,是否对任意复数列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 总存在整函数 \( f \) 恰好以该序列中的点为零元. 其中,一个必要条件是序列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 是不可积的,也就是说
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}\left| {z}_{k}\right| = + \infty
\]
否则,根据第 2 章定理 4.8,函数 \( f \) 会恒等于零. Weierstrass 已经证明此条件亦是充分条件, 只要构造合适的函数, 使函数刚好具有指定的零点即可. 首先构造以下乘积形式的函数
\[
\left( {z - {z}_{1}}\right) \left( {z - {z}_{2}}\right) \cdots ,
\]
当零元序列是有限个时, 上面的这个特例就提供了一种解决问题的方法. 通常, Weierstrass 表明如何在上面的乘积中插入因子以保证序列是收敛的, 但是又不会引入新的零点.
在一般性构造函数之前, 我们先来回顾无穷乘积并研究一个基本案例.
## 3 无穷乘积
## 3. 1 一般性
给出复数序列 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) ,我们说乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
是收敛的, 只要部分乘积的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
存在.
下面的命题是保证乘积存在的必要条件.
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零.
这就是第一册中第 8 章命题 1.9 , 下面重述这个证明.
证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}{\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + {a}_{n}}\right) } = {\mathrm{e}}^{{B}_{N}},
\]
其中 \( {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} \) ,而 \( {b}_{n} = \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) . 根据幂级数展开知道,如果 \( \left| z\right| < 1/2 \) ,那么 \( \left| {\log \left( {1 + z}\right) }\right| \leq 2\left| z\right| \) . 因此, \( \left| {b}_{n}\right| \leq 2\left| {a}_{n}\right| \) ,当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {B}_{N} \) 收敛于复数, 记为 \( B \) . 又因为指数函数是连续的,所以推断出当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {\mathrm{e}}^{{B}_{n}} \) 收敛于 \( {\mathrm{e}}^{B} \) ,这就证明了命题的第一个结论. 同时注意到,如果对所有的 \( n \) 都有 \( 1 + {a}_{n} \neq 0 \) ,那么, 乘积就收敛于非零极限,因为极限值可以表达成 \( {\mathrm{e}}^{B} \) .
更一般地, 可以考虑全纯函数的乘积.
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\left( z\right) \) .
(ii) 如果 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么
\[
\frac{{F}^{\prime }\left( z\right) }{F\left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{F}^{\prime }{}_{n}\left( z\right) }{{F}_{n}\left( z\right) }.
\]
证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\left( z\right) = 1 + {a}_{n}\left( z\right) \) ,其中 \( \left| {{a}_{n}\left( z\right) }\right| \leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\left( z\right) \) .
下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \Omega \) 内的紧子集,并令
\[
{G}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\left( z\right) .
\]
我们已经证明了在 \( \Omega \) 上 \( {G}_{n} \rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列
---
102 \$ 不容心
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\( \left\{ {{G}^{\prime }{}_{N}}\right\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\prime }{}_{N}/{G}_{N} \rightarrow {F}^{\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,
\[
\frac{{G}_{N}^{\prime }}{{G}_{N}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{{F}_{n}^{\prime }}{{F}_{n}}
\]
因此, 该定理的第二部分也得到了证明.
## 3.2 例子 正弦函数的乘积公式
在应用 Weierstrass 乘积的一般理论之前, 我们先来考虑下面这个关键的例子, 就是关于正弦函数的乘积公式
\[
\frac{\sin {\pi z}}{\pi } = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
(3)
这个等式来源于余切函数的求和公式 \( \left( {\cot {\pi z} = \cos {\pi z}/\sin {\pi z}}\right) \) ,即
\[
\pi \cot {\pi z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
(4)
第一个公式对所有的复数 \( z \) 都满足,而第二个公式则要求当 \( z \) 不能是整数时成立. 要对求和 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} \) 有恰当的理解,如果将和式平分为两部分,一部分的 \( n \) 是正的, 另一部分是负的,那么两部分将都不收敛. 只有将两部分极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} \) 抵消, 才能保证同上面式 (4) 中的级数那样是收敛的.
要证明式 (4) 不但要用函数 \( \pi \cot {\pi z} \) ,还要用到级数具有一样的结构性质. 事实上,注意到,如果设 \( F\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,那么函数 \( F \) 具有下列性质:
( i ) 当 \( z \) 不是整数时 \( F\left( {z + 1}\right) = F\left( z\right) \) ;
( ii ) \( F\left( z\right) = \frac{1}{z} + {F}_{0}\left( z\right) \) ,其中 \( {F}_{0} \) 在 0 附近是解析的;
(iii) \( F\left( z\right) \) 在整数处取得单极点,并且没有其他的奇点.
那么, 我们注意到函数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}
\]
也同样满足上述三个性质. 事实上,性质 (i) 很简单,通过观察发现,从 \( z \) 到 \( z + 1 \) 仅仅是将无穷和中的项推移了一项而已. 简言之
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + 1 + n} = \frac{1}{z + 1 + N} - \frac{1}{z - N} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大来证明性质 ( i ). 性质 ( ii ) 和性质 ( iii ) 也是很明显的,因为和可以表达成 \( \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} \) .
因此, 函数定义为
\[
\Delta \left( z\right) = F\left( z\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n},
\]
其是周期的,因为 \( \Delta \left( {z + 1}\right) = \Delta \left( z\right) \) ,并且根据性质 (ii), \( \Delta \) 在原点处的奇点是可去的,另外,根据周期性,它在任何整数处的奇点也都是可去的,这就是说 \( \Delta \) 是整函数.
要证明我们的公式,只要证明函数 \( \Delta \) 在复平面上是有界的就足够了. 根据上面的周期性,只要在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内证明就可以. 这是因为任意的 \( {z}^{\prime } \in \) \( \mathrm{C} \) ,都可以写成 \( {z}^{\prime } = z + k \) 的形式,其中 \( z \) 在带形区域内, \( k \) 是一个整数. 因为 \( \Delta \) 是全纯的,它在矩形区域 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq 1 \) 上是有界的,我们只要控制 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| > 1 \) 时的函数表现即可. 如果 \( \operatorname{Im}\left( z\right) > 1 \) ,并且 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,那么
\[
\cot {\pi z} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} + {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}}{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} - {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}},
\]
且这个数量的绝对值是有界的. 又因为
\[
\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} = \frac{1}{x + \mathrm{i}y} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }{{x}^{2} - {y}^{2} - {n}^{2} + 2\mathrm{i}{xy}},
\]
因此,如果 \( y > 1 \) ,我们有
\[
\left| {\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}}\right| \leq C + C\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{y}{{y}^{2} + {n}^{2}}.
\]
上式中等号右边的和式可以由积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{y}{{y}^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
表示,因为函数 \( y/\left( {{y}^{2} + {x}^{2}}\right) \) 关于变量 \( x \) 是递减的,再者,当变量变换为 \( x \mid - {yx} \) 时, 积分与 \( y \) 无关,因此是有界的. 类似地,也可以讨论当 \( \operatorname{Im}\left( z\right) < - 1 \) 时 \( \Delta \) 也是有界的. 从而证明了在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内 \( \Delta \) 是有界的. 因此 \( \Delta \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是有界的,再根据 Liouville 定理, \( \Delta \left( z\right) \) 是个常数. 通过观察又发现 \( \Delta \) 是奇函数, 那么这个常数一定是零, 这就证明了式 (4).
接下来证明式 (3), 我们令
\[
G\left( z\right) = \frac{\sin {\pi z}}{\pi }\text{ 和 }P\left( z\right) = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
由命题 3.2 和我们已知的级数 \( \sum 1/{n}^{2} < + \infty \) ,保证了乘积 \( P\left( z\right) \) 是收敛的,并且,不考虑整数我们有
\[
\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
因为 \( {G}^{\prime }\left( z\right) /G\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,余切公式 (4) 给出
\[
{\left( \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\right) }^{\prime } = \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\left\lbrack {\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } - \frac{{G}^{\prime }\left( z\right) }{G\left( z\right) }}\right\rbrack = 0,
\]
因此 \( P\left( z\right) = {cG}\left( z\right) \) ,其中 \( c \) 是某个常数. 将公式除以 \( z \) 并考虑 \( z \rightarrow 0 \) 时的极限,发现 \( c = 1 \) .
注意: 关于式 (4) 和式 (3) 的其他证明方法,如通过与 \( {\pi }^{2}/{\left( \sin \pi z\right) }^{2} \) 类似的等式积分来证明, 在第 3 章练习 12 中和第 4 章练习 7 中均已给出. 此外, 还可以应用傅里叶级数证明, 详见第一册第 3 章和第 5 章的练习.
## 4 Weierstrass 无穷乘积
现在, 我们转到 Weierstrass 构造指定零点的整函数.
定理 4.1 给定任意复数列 \( | 例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是\n\n\[ \nf\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}}, \n\]\n\n这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mathrm{i}x \) ,其中 \( x \in \mathbf{R} \) ,很明显函数 \( f \) 的增长阶刚好等于 1 . 但是在每个整数 \( z = n \) 点处函数 \( f \) 都为零,并且当 \( s > 1 \) 时 \( \mathop{\sum }\limits_{{n \neq 0}}1/{\left| n\right| }^{s} < + \infty \) . | Null |
例 2 考虑函数 \( f\left( z\right) = \cos {z}^{1/2} \) ,其级数定义为
\[
\cos {z}^{1/2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{\left( {2n}\right) !}.
\]
那么 \( f \) 是整函数,并且很容易看到
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\left| z\right| },
\]
且函数 \( f \) 的增长阶是 \( 1/2 \) . 此外,当 \( {z}_{n} = {\left( \left( n + 1/2\right) \pi \right) }^{2} \) 时 \( f\left( z\right) = 0 \) ,同时当 \( s > 1/2 \) 时, \( \mathop{\sum }\limits_{n}1/{\left| {z}_{n}\right| }^{\mathrm{s}} < + \infty \) .
很实际的问题是,是否对任意复数列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 总存在整函数 \( f \) 恰好以该序列中的点为零元. 其中,一个必要条件是序列 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 是不可积的,也就是说
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow + \infty }}\left| {z}_{k}\right| = + \infty
\]
否则,根据第 2 章定理 4.8,函数 \( f \) 会恒等于零. Weierstrass 已经证明此条件亦是充分条件, 只要构造合适的函数, 使函数刚好具有指定的零点即可. 首先构造以下乘积形式的函数
\[
\left( {z - {z}_{1}}\right) \left( {z - {z}_{2}}\right) \cdots ,
\]
当零元序列是有限个时, 上面的这个特例就提供了一种解决问题的方法. 通常, Weierstrass 表明如何在上面的乘积中插入因子以保证序列是收敛的, 但是又不会引入新的零点.
在一般性构造函数之前, 我们先来回顾无穷乘积并研究一个基本案例.
## 3 无穷乘积
## 3. 1 一般性
给出复数序列 \( {\left\{ {a}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) ,我们说乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
是收敛的, 只要部分乘积的极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right)
\]
存在.
下面的命题是保证乘积存在的必要条件.
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零.
这就是第一册中第 8 章命题 1.9 , 下面重述这个证明.
证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}{\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + {a}_{n}}\right) } = {\mathrm{e}}^{{B}_{N}},
\]
其中 \( {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} \) ,而 \( {b}_{n} = \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) . 根据幂级数展开知道,如果 \( \left| z\right| < 1/2 \) ,那么 \( \left| {\log \left( {1 + z}\right) }\right| \leq 2\left| z\right| \) . 因此, \( \left| {b}_{n}\right| \leq 2\left| {a}_{n}\right| \) ,当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {B}_{N} \) 收敛于复数, 记为 \( B \) . 又因为指数函数是连续的,所以推断出当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {\mathrm{e}}^{{B}_{n}} \) 收敛于 \( {\mathrm{e}}^{B} \) ,这就证明了命题的第一个结论. 同时注意到,如果对所有的 \( n \) 都有 \( 1 + {a}_{n} \neq 0 \) ,那么, 乘积就收敛于非零极限,因为极限值可以表达成 \( {\mathrm{e}}^{B} \) .
更一般地, 可以考虑全纯函数的乘积.
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\left( z\right) \) .
(ii) 如果 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么
\[
\frac{{F}^{\prime }\left( z\right) }{F\left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{F}^{\prime }{}_{n}\left( z\right) }{{F}_{n}\left( z\right) }.
\]
证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\left( z\right) = 1 + {a}_{n}\left( z\right) \) ,其中 \( \left| {{a}_{n}\left( z\right) }\right| \leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\left( z\right) \) .
下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \Omega \) 内的紧子集,并令
\[
{G}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\left( z\right) .
\]
我们已经证明了在 \( \Omega \) 上 \( {G}_{n} \rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列
---
102 \$ 不容心
---
\( \left\{ {{G}^{\prime }{}_{N}}\right\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\prime }{}_{N}/{G}_{N} \rightarrow {F}^{\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,
\[
\frac{{G}_{N}^{\prime }}{{G}_{N}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{{F}_{n}^{\prime }}{{F}_{n}}
\]
因此, 该定理的第二部分也得到了证明.
## 3.2 例子 正弦函数的乘积公式
在应用 Weierstrass 乘积的一般理论之前, 我们先来考虑下面这个关键的例子, 就是关于正弦函数的乘积公式
\[
\frac{\sin {\pi z}}{\pi } = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
(3)
这个等式来源于余切函数的求和公式 \( \left( {\cot {\pi z} = \cos {\pi z}/\sin {\pi z}}\right) \) ,即
\[
\pi \cot {\pi z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
(4)
第一个公式对所有的复数 \( z \) 都满足,而第二个公式则要求当 \( z \) 不能是整数时成立. 要对求和 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} \) 有恰当的理解,如果将和式平分为两部分,一部分的 \( n \) 是正的, 另一部分是负的,那么两部分将都不收敛. 只有将两部分极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} \) 抵消, 才能保证同上面式 (4) 中的级数那样是收敛的.
要证明式 (4) 不但要用函数 \( \pi \cot {\pi z} \) ,还要用到级数具有一样的结构性质. 事实上,注意到,如果设 \( F\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,那么函数 \( F \) 具有下列性质:
( i ) 当 \( z \) 不是整数时 \( F\left( {z + 1}\right) = F\left( z\right) \) ;
( ii ) \( F\left( z\right) = \frac{1}{z} + {F}_{0}\left( z\right) \) ,其中 \( {F}_{0} \) 在 0 附近是解析的;
(iii) \( F\left( z\right) \) 在整数处取得单极点,并且没有其他的奇点.
那么, 我们注意到函数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}
\]
也同样满足上述三个性质. 事实上,性质 (i) 很简单,通过观察发现,从 \( z \) 到 \( z + 1 \) 仅仅是将无穷和中的项推移了一项而已. 简言之
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + 1 + n} = \frac{1}{z + 1 + N} - \frac{1}{z - N} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大来证明性质 ( i ). 性质 ( ii ) 和性质 ( iii ) 也是很明显的,因为和可以表达成 \( \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} \) .
因此, 函数定义为
\[
\Delta \left( z\right) = F\left( z\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n},
\]
其是周期的,因为 \( \Delta \left( {z + 1}\right) = \Delta \left( z\right) \) ,并且根据性质 (ii), \( \Delta \) 在原点处的奇点是可去的,另外,根据周期性,它在任何整数处的奇点也都是可去的,这就是说 \( \Delta \) 是整函数.
要证明我们的公式,只要证明函数 \( \Delta \) 在复平面上是有界的就足够了. 根据上面的周期性,只要在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内证明就可以. 这是因为任意的 \( {z}^{\prime } \in \) \( \mathrm{C} \) ,都可以写成 \( {z}^{\prime } = z + k \) 的形式,其中 \( z \) 在带形区域内, \( k \) 是一个整数. 因为 \( \Delta \) 是全纯的,它在矩形区域 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq 1 \) 上是有界的,我们只要控制 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| > 1 \) 时的函数表现即可. 如果 \( \operatorname{Im}\left( z\right) > 1 \) ,并且 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,那么
\[
\cot {\pi z} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} + {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}}{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} - {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}},
\]
且这个数量的绝对值是有界的. 又因为
\[
\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} = \frac{1}{x + \mathrm{i}y} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }{{x}^{2} - {y}^{2} - {n}^{2} + 2\mathrm{i}{xy}},
\]
因此,如果 \( y > 1 \) ,我们有
\[
\left| {\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}}\right| \leq C + C\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{y}{{y}^{2} + {n}^{2}}.
\]
上式中等号右边的和式可以由积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{y}{{y}^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
表示,因为函数 \( y/\left( {{y}^{2} + {x}^{2}}\right) \) 关于变量 \( x \) 是递减的,再者,当变量变换为 \( x \mid - {yx} \) 时, 积分与 \( y \) 无关,因此是有界的. 类似地,也可以讨论当 \( \operatorname{Im}\left( z\right) < - 1 \) 时 \( \Delta \) 也是有界的. 从而证明了在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内 \( \Delta \) 是有界的. 因此 \( \Delta \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是有界的,再根据 Liouville 定理, \( \Delta \left( z\right) \) 是个常数. 通过观察又发现 \( \Delta \) 是奇函数, 那么这个常数一定是零, 这就证明了式 (4).
接下来证明式 (3), 我们令
\[
G\left( z\right) = \frac{\sin {\pi z}}{\pi }\text{ 和 }P\left( z\right) = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
由命题 3.2 和我们已知的级数 \( \sum 1/{n}^{2} < + \infty \) ,保证了乘积 \( P\left( z\right) \) 是收敛的,并且,不考虑整数我们有
\[
\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
因为 \( {G}^{\prime }\left( z\right) /G\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,余切公式 (4) 给出
\[
{\left( \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\right) }^{\prime } = \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\left\lbrack {\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } - \frac{{G}^{\prime }\left( z\right) }{G\left( z\right) }}\right\rbrack = 0,
\]
因此 \( P\left( z\right) = {cG}\left( z\right) \) ,其中 \( c \) 是某个常数. 将公式除以 \( z \) 并考虑 \( z \rightarrow 0 \) 时的极限,发现 \( c = 1 \) .
注意: 关于式 (4) 和式 (3) 的其他证明方法,如通过与 \( {\pi }^{2}/{\left( \sin \pi z\right) }^{2} \) 类似的等式积分来证明, 在第 3 章练习 12 中和第 4 章练习 7 中均已给出. 此外, 还可以应用傅里叶级数证明, 详见第一册第 3 章和第 5 章的练习.
## 4 Weierstrass 无穷乘积
现在, 我们转到 Weierstrass 构造指定零点的整函数.
定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数.
回顾前面的内容,如果全纯函数 \( f \) 在点 \( z = a \) 处等于零,那么零点 \( a \) 的重数是整数 \( m \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - a\right) }^{m}g\left( z\right) ,
\]
其中 \( g \) 是全纯的,并且在 \( a \) 的某个邻域内没有其他的零点. 或者说 \( m \) 是函数 \( f \) 在点 \( a \) 处展开成幂级数的最小的非零 | 命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零. | 证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成\n\n\[ \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n |
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零.
这就是第一册中第 8 章命题 1.9 , 下面重述这个证明.
证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}{\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + {a}_{n}}\right) } = {\mathrm{e}}^{{B}_{N}},
\]
其中 \( {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} \) ,而 \( {b}_{n} = \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) . 根据幂级数展开知道,如果 \( \left| z\right| < 1/2 \) ,那么 \( \left| {\log \left( {1 + z}\right) }\right| \leq 2\left| z\right| \) . 因此, \( \left| {b}_{n}\right| \leq 2\left| {a}_{n}\right| \) ,当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {B}_{N} \) 收敛于复数, 记为 \( B \) . 又因为指数函数是连续的,所以推断出当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {\mathrm{e}}^{{B}_{n}} \) 收敛于 \( {\mathrm{e}}^{B} \) ,这就证明了命题的第一个结论. 同时注意到,如果对所有的 \( n \) 都有 \( 1 + {a}_{n} \neq 0 \) ,那么, 乘积就收敛于非零极限,因为极限值可以表达成 \( {\mathrm{e}}^{B} \) .
更一般地, 可以考虑全纯函数的乘积.
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\left( z\right) \) .
(ii) 如果 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么
\[
\frac{{F}^{\prime }\left( z\right) }{F\left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{F}^{\prime }{}_{n}\left( z\right) }{{F}_{n}\left( z\right) }.
\]
证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\left( z\right) = 1 + {a}_{n}\left( z\right) \) ,其中 \( \left| {{a}_{n}\left( z\right) }\right| \leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\left( z\right) \) .
下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \Omega \) 内的紧子集,并令
\[
{G}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\left( z\right) .
\]
我们已经证明了在 \( \Omega \) 上 \( {G}_{n} \rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列
---
102 \$ 不容心
---
\( \left\{ {{G}^{\prime }{}_{N}}\right\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\prime }{}_{N}/{G}_{N} \rightarrow {F}^{\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,
\[
\frac{{G}_{N}^{\prime }}{{G}_{N}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{{F}_{n}^{\prime }}{{F}_{n}}
\]
因此, 该定理的第二部分也得到了证明.
## 3.2 例子 正弦函数的乘积公式
在应用 Weierstrass 乘积的一般理论之前, 我们先来考虑下面这个关键的例子, 就是关于正弦函数的乘积公式
\[
\frac{\sin {\pi z}}{\pi } = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
(3)
这个等式来源于余切函数的求和公式 \( \left( {\cot {\pi z} = \cos {\pi z}/\sin {\pi z}}\right) \) ,即
\[
\pi \cot {\pi z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
(4)
第一个公式对所有的复数 \( z \) 都满足,而第二个公式则要求当 \( z \) 不能是整数时成立. 要对求和 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} \) 有恰当的理解,如果将和式平分为两部分,一部分的 \( n \) 是正的, 另一部分是负的,那么两部分将都不收敛. 只有将两部分极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} \) 抵消, 才能保证同上面式 (4) 中的级数那样是收敛的.
要证明式 (4) 不但要用函数 \( \pi \cot {\pi z} \) ,还要用到级数具有一样的结构性质. 事实上,注意到,如果设 \( F\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,那么函数 \( F \) 具有下列性质:
( i ) 当 \( z \) 不是整数时 \( F\left( {z + 1}\right) = F\left( z\right) \) ;
( ii ) \( F\left( z\right) = \frac{1}{z} + {F}_{0}\left( z\right) \) ,其中 \( {F}_{0} \) 在 0 附近是解析的;
(iii) \( F\left( z\right) \) 在整数处取得单极点,并且没有其他的奇点.
那么, 我们注意到函数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}
\]
也同样满足上述三个性质. 事实上,性质 (i) 很简单,通过观察发现,从 \( z \) 到 \( z + 1 \) 仅仅是将无穷和中的项推移了一项而已. 简言之
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + 1 + n} = \frac{1}{z + 1 + N} - \frac{1}{z - N} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大来证明性质 ( i ). 性质 ( ii ) 和性质 ( iii ) 也是很明显的,因为和可以表达成 \( \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} \) .
因此, 函数定义为
\[
\Delta \left( z\right) = F\left( z\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n},
\]
其是周期的,因为 \( \Delta \left( {z + 1}\right) = \Delta \left( z\right) \) ,并且根据性质 (ii), \( \Delta \) 在原点处的奇点是可去的,另外,根据周期性,它在任何整数处的奇点也都是可去的,这就是说 \( \Delta \) 是整函数.
要证明我们的公式,只要证明函数 \( \Delta \) 在复平面上是有界的就足够了. 根据上面的周期性,只要在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内证明就可以. 这是因为任意的 \( {z}^{\prime } \in \) \( \mathrm{C} \) ,都可以写成 \( {z}^{\prime } = z + k \) 的形式,其中 \( z \) 在带形区域内, \( k \) 是一个整数. 因为 \( \Delta \) 是全纯的,它在矩形区域 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq 1 \) 上是有界的,我们只要控制 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| > 1 \) 时的函数表现即可. 如果 \( \operatorname{Im}\left( z\right) > 1 \) ,并且 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,那么
\[
\cot {\pi z} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} + {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}}{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} - {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}},
\]
且这个数量的绝对值是有界的. 又因为
\[
\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} = \frac{1}{x + \mathrm{i}y} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }{{x}^{2} - {y}^{2} - {n}^{2} + 2\mathrm{i}{xy}},
\]
因此,如果 \( y > 1 \) ,我们有
\[
\left| {\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}}\right| \leq C + C\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{y}{{y}^{2} + {n}^{2}}.
\]
上式中等号右边的和式可以由积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{y}{{y}^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
表示,因为函数 \( y/\left( {{y}^{2} + {x}^{2}}\right) \) 关于变量 \( x \) 是递减的,再者,当变量变换为 \( x \mid - {yx} \) 时, 积分与 \( y \) 无关,因此是有界的. 类似地,也可以讨论当 \( \operatorname{Im}\left( z\right) < - 1 \) 时 \( \Delta \) 也是有界的. 从而证明了在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内 \( \Delta \) 是有界的. 因此 \( \Delta \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是有界的,再根据 Liouville 定理, \( \Delta \left( z\right) \) 是个常数. 通过观察又发现 \( \Delta \) 是奇函数, 那么这个常数一定是零, 这就证明了式 (4).
接下来证明式 (3), 我们令
\[
G\left( z\right) = \frac{\sin {\pi z}}{\pi }\text{ 和 }P\left( z\right) = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
由命题 3.2 和我们已知的级数 \( \sum 1/{n}^{2} < + \infty \) ,保证了乘积 \( P\left( z\right) \) 是收敛的,并且,不考虑整数我们有
\[
\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
因为 \( {G}^{\prime }\left( z\right) /G\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,余切公式 (4) 给出
\[
{\left( \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\right) }^{\prime } = \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\left\lbrack {\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } - \frac{{G}^{\prime }\left( z\right) }{G\left( z\right) }}\right\rbrack = 0,
\]
因此 \( P\left( z\right) = {cG}\left( z\right) \) ,其中 \( c \) 是某个常数. 将公式除以 \( z \) 并考虑 \( z \rightarrow 0 \) 时的极限,发现 \( c = 1 \) .
注意: 关于式 (4) 和式 (3) 的其他证明方法,如通过与 \( {\pi }^{2}/{\left( \sin \pi z\right) }^{2} \) 类似的等式积分来证明, 在第 3 章练习 12 中和第 4 章练习 7 中均已给出. 此外, 还可以应用傅里叶级数证明, 详见第一册第 3 章和第 5 章的练习.
## 4 Weierstrass 无穷乘积
现在, 我们转到 Weierstrass 构造指定零点的整函数.
定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数.
回顾前面的内容,如果全纯函数 \( f \) 在点 \( z = a \) 处等于零,那么零点 \( a \) 的重数是整数 \( m \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - a\right) }^{m}g\left( z\right) ,
\]
其中 \( g \) 是全纯的,并且在 \( a \) 的某个邻域内没有其他的零点. 或者说 \( m \) 是函数 \( f \) 在点 \( a \) 处展开成幂级数的最小的非零幂次. 根据前面的知识,由于我们允许数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的重复出现, 这样, 定理就能保证规定了零点及零点的重数的整函数的存在性.
回到证明的开始,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是两个整函数,并且 \( z = {a}_{n} \) 是它们有且仅有的零点,那么函数 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 在所有的 \( z = {a}_{n} \) 处,有它的可去奇点. 因此 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 是整函数,且处处无零点,以至于存在整函数 \( g \) 使得 \( {f}_{1}\left( z\right) /{f}_{2}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,这如同第 3 章第 6 小节的内容. 因此 \( {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理最终得到了证明.
定理得到了证明,我们就无需再关注于将函数构造成有且仅有数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 作为其零点的整函数. 下面我们要关注的是,函数 \( \sin {\pi z} \) 的乘积公式 \( \mathop{\prod }\limits_{n}\left( {1 - z/{a}_{n}}\right) \) 带给我们的启示. 问题是此乘积只有当取得合适的 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 时才是收敛的,因此我们要通过在其中插入指数因子进行调整. 这些因子既可以保证乘积的收敛性, 同时又不增加新的零点.
对任意的整数 \( k \geq 0 \) 我们定义典范因子
\[
{E}_{0}\left( z\right) = 1 - z\text{和}{E}_{k}\left( z\right) = \left( {1 - z}\right) {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\text{,}
\]
整数 \( k \) 称为典范因子的度.
引理 4.2 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么 \( \left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数.
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) } \) , 因此,
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k} = {\mat | 命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零. | 证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积写成\n\n\[ \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 + {a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}{\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + {a}_{n}}\right) } = {\mathrm{e}}^{{B}_{N}}, \]\n\n其中 \( {B}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{b}_{n} \) ,而 \( {b}_{n} = \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) . 根据幂级数展开知道,如果 \( \left| z\right| < 1/2 \) ,那么 \( \left| {\log \left( {1 + z}\right) }\right| \leq 2\left| z\right| \) . 因此, \( \left| {b}_{n}\right| \leq 2\left| {a}_{n}\right| \) ,当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {B}_{N} \) 收敛于复数, 记为 \( B \) . 又因为指数函数是连续的,所以推断出当 \( N \rightarrow + \infty \) 时, \( {\mathrm{e}}^{{B}_{n}} \) 收敛于 \( {\mathrm{e}}^{B} \) ,这就证明了命题的第一个结论. 同时注意到,如果对所有的 \( n \) 都有 \( 1 + {a}_{n} \neq 0 \) ,那么, 乘积就收敛于非零极限,因为极限值可以表达成 \( {\mathrm{e}}^{B} \) . |
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\left( z\right) \) .
(ii) 如果 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么
\[
\frac{{F}^{\prime }\left( z\right) }{F\left( z\right) } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{{F}^{\prime }{}_{n}\left( z\right) }{{F}_{n}\left( z\right) }.
\]
证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\left( z\right) = 1 + {a}_{n}\left( z\right) \) ,其中 \( \left| {{a}_{n}\left( z\right) }\right| \leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\left( z\right) \) .
下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \Omega \) 内的紧子集,并令
\[
{G}_{N}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\left( z\right) .
\]
我们已经证明了在 \( \Omega \) 上 \( {G}_{n} \rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列
---
102 \$ 不容心
---
\( \left\{ {{G}^{\prime }{}_{N}}\right\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\prime }{}_{N}/{G}_{N} \rightarrow {F}^{\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,
\[
\frac{{G}_{N}^{\prime }}{{G}_{N}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}\frac{{F}_{n}^{\prime }}{{F}_{n}}
\]
因此, 该定理的第二部分也得到了证明.
## 3.2 例子 正弦函数的乘积公式
在应用 Weierstrass 乘积的一般理论之前, 我们先来考虑下面这个关键的例子, 就是关于正弦函数的乘积公式
\[
\frac{\sin {\pi z}}{\pi } = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
(3)
这个等式来源于余切函数的求和公式 \( \left( {\cot {\pi z} = \cos {\pi z}/\sin {\pi z}}\right) \) ,即
\[
\pi \cot {\pi z} = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
(4)
第一个公式对所有的复数 \( z \) 都满足,而第二个公式则要求当 \( z \) 不能是整数时成立. 要对求和 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} \) 有恰当的理解,如果将和式平分为两部分,一部分的 \( n \) 是正的, 另一部分是负的,那么两部分将都不收敛. 只有将两部分极限 \( \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n} \) 抵消, 才能保证同上面式 (4) 中的级数那样是收敛的.
要证明式 (4) 不但要用函数 \( \pi \cot {\pi z} \) ,还要用到级数具有一样的结构性质. 事实上,注意到,如果设 \( F\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,那么函数 \( F \) 具有下列性质:
( i ) 当 \( z \) 不是整数时 \( F\left( {z + 1}\right) = F\left( z\right) \) ;
( ii ) \( F\left( z\right) = \frac{1}{z} + {F}_{0}\left( z\right) \) ,其中 \( {F}_{0} \) 在 0 附近是解析的;
(iii) \( F\left( z\right) \) 在整数处取得单极点,并且没有其他的奇点.
那么, 我们注意到函数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n} = \mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}
\]
也同样满足上述三个性质. 事实上,性质 (i) 很简单,通过观察发现,从 \( z \) 到 \( z + 1 \) 仅仅是将无穷和中的项推移了一项而已. 简言之
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + 1 + n} = \frac{1}{z + 1 + N} - \frac{1}{z - N} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| n\right| \leq N}}\frac{1}{z + n}.
\]
令 \( N \) 趋于无穷大来证明性质 ( i ). 性质 ( ii ) 和性质 ( iii ) 也是很明显的,因为和可以表达成 \( \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} \) .
因此, 函数定义为
\[
\Delta \left( z\right) = F\left( z\right) - \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}\frac{1}{z + n},
\]
其是周期的,因为 \( \Delta \left( {z + 1}\right) = \Delta \left( z\right) \) ,并且根据性质 (ii), \( \Delta \) 在原点处的奇点是可去的,另外,根据周期性,它在任何整数处的奇点也都是可去的,这就是说 \( \Delta \) 是整函数.
要证明我们的公式,只要证明函数 \( \Delta \) 在复平面上是有界的就足够了. 根据上面的周期性,只要在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内证明就可以. 这是因为任意的 \( {z}^{\prime } \in \) \( \mathrm{C} \) ,都可以写成 \( {z}^{\prime } = z + k \) 的形式,其中 \( z \) 在带形区域内, \( k \) 是一个整数. 因为 \( \Delta \) 是全纯的,它在矩形区域 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| \leq 1 \) 上是有界的,我们只要控制 \( \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) }\right| > 1 \) 时的函数表现即可. 如果 \( \operatorname{Im}\left( z\right) > 1 \) ,并且 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,那么
\[
\cot {\pi z} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}} = \mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} + {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}}{{\mathrm{e}}^{-{2\pi y}} - {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x}},
\]
且这个数量的绝对值是有界的. 又因为
\[
\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}} = \frac{1}{x + \mathrm{i}y} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2\left( {x + \mathrm{i}y}\right) }{{x}^{2} - {y}^{2} - {n}^{2} + 2\mathrm{i}{xy}},
\]
因此,如果 \( y > 1 \) ,我们有
\[
\left| {\frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}}\right| \leq C + C\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{y}{{y}^{2} + {n}^{2}}.
\]
上式中等号右边的和式可以由积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }\frac{y}{{y}^{2} + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x
\]
表示,因为函数 \( y/\left( {{y}^{2} + {x}^{2}}\right) \) 关于变量 \( x \) 是递减的,再者,当变量变换为 \( x \mid - {yx} \) 时, 积分与 \( y \) 无关,因此是有界的. 类似地,也可以讨论当 \( \operatorname{Im}\left( z\right) < - 1 \) 时 \( \Delta \) 也是有界的. 从而证明了在带形区域 \( \left| {\operatorname{Re}\left( z\right) }\right| \leq 1/2 \) 内 \( \Delta \) 是有界的. 因此 \( \Delta \) 在整个复数集 \( \mathbf{C} \) 上是有界的,再根据 Liouville 定理, \( \Delta \left( z\right) \) 是个常数. 通过观察又发现 \( \Delta \) 是奇函数, 那么这个常数一定是零, 这就证明了式 (4).
接下来证明式 (3), 我们令
\[
G\left( z\right) = \frac{\sin {\pi z}}{\pi }\text{ 和 }P\left( z\right) = z\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - \frac{{z}^{2}}{{n}^{2}}}\right) .
\]
由命题 3.2 和我们已知的级数 \( \sum 1/{n}^{2} < + \infty \) ,保证了乘积 \( P\left( z\right) \) 是收敛的,并且,不考虑整数我们有
\[
\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } = \frac{1}{z} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\frac{2z}{{z}^{2} - {n}^{2}}.
\]
因为 \( {G}^{\prime }\left( z\right) /G\left( z\right) = \pi \cot {\pi z} \) ,余切公式 (4) 给出
\[
{\left( \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\right) }^{\prime } = \frac{P\left( z\right) }{G\left( z\right) }\left\lbrack {\frac{{P}^{\prime }\left( z\right) }{P\left( z\right) } - \frac{{G}^{\prime }\left( z\right) }{G\left( z\right) }}\right\rbrack = 0,
\]
因此 \( P\left( z\right) = {cG}\left( z\right) \) ,其中 \( c \) 是某个常数. 将公式除以 \( z \) 并考虑 \( z \rightarrow 0 \) 时的极限,发现 \( c = 1 \) .
注意: 关于式 (4) 和式 (3) 的其他证明方法,如通过与 \( {\pi }^{2}/{\left( \sin \pi z\right) }^{2} \) 类似的等式积分来证明, 在第 3 章练习 12 中和第 4 章练习 7 中均已给出. 此外, 还可以应用傅里叶级数证明, 详见第一册第 3 章和第 5 章的练习.
## 4 Weierstrass 无穷乘积
现在, 我们转到 Weierstrass 构造指定零点的整函数.
定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数.
回顾前面的内容,如果全纯函数 \( f \) 在点 \( z = a \) 处等于零,那么零点 \( a \) 的重数是整数 \( m \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - a\right) }^{m}g\left( z\right) ,
\]
其中 \( g \) 是全纯的,并且在 \( a \) 的某个邻域内没有其他的零点. 或者说 \( m \) 是函数 \( f \) 在点 \( a \) 处展开成幂级数的最小的非零幂次. 根据前面的知识,由于我们允许数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的重复出现, 这样, 定理就能保证规定了零点及零点的重数的整函数的存在性.
回到证明的开始,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是两个整函数,并且 \( z = {a}_{n} \) 是它们有且仅有的零点,那么函数 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 在所有的 \( z = {a}_{n} \) 处,有它的可去奇点. 因此 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 是整函数,且处处无零点,以至于存在整函数 \( g \) 使得 \( {f}_{1}\left( z\right) /{f}_{2}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,这如同第 3 章第 6 小节的内容. 因此 \( {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理最终得到了证明.
定理得到了证明,我们就无需再关注于将函数构造成有且仅有数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 作为其零点的整函数. 下面我们要关注的是,函数 \( \sin {\pi z} \) 的乘积公式 \( \mathop{\prod }\limits_{n}\left( {1 - z/{a}_{n}}\right) \) 带给我们的启示. 问题是此乘积只有当取得合适的 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 时才是收敛的,因此我们要通过在其中插入指数因子进行调整. 这些因子既可以保证乘积的收敛性, 同时又不增加新的零点.
对任意的整数 \( k \geq 0 \) 我们定义典范因子
\[
{E}_{0}\left( z\right) = 1 - z\text{和}{E}_{k}\left( z\right) = \left( {1 - z}\right) {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\text{,}
\]
整数 \( k \) 称为典范因子的度.
引理 4.2 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么 \( \left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数.
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) } \) , 因此,
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k} = {\mathrm{e}}^{w},
\]
其中 \( w = - \mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n \) . 注意到,因为 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,所以
\[
\left| w\right| \leq {\left| z\right| }^{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n - k - 1}/n \leq {\left| z\right| }^{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-j} \leq 2{\left| z\right| }^{k + 1}.
\]
特别地,我们有 \( \left| w\right| \leq 1 \) ,这就意味着
\[
\left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - {\mathrm{e}}^{w}}\right| \leq {c}^{\prime }\left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1}.
\]
注意: 非常重要的一点是,引理的证明中的常数 \( c \) 的选择并不依赖于整数 \( k \) . 事实上,仔细观察证明过程会发现,如果我们令 \( {c}^{\prime } = \mathrm{e} \) ,那么 \( c = 2\mathrm{e} \) .
假设我们给定一个函数以原点为 \( m \) 阶零点,并且在点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 处是非零的零点. 定义 Weierstrass 乘积
\[
f\left( z\right) = {z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
我们断定此函数具有我们想要的性质. 也就是说 \( f \) 是个整函数,原点是它的 \( m \) 阶零点,数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的点都是它的零点,并且 \( f \) 在其他地方都不等于零.
固定 \( R > 0 \) ,并假设 \( z \) 属于圆盘 \( \left| z\right| < R \) . 我们将证明 \( f \) 在圆盘内具有我们所有想要的性质,并且因为 \( R \) 的任意性,这样定理就将得到证明.
我们可以在 \( f \) 的公式中考虑两类因子,并根据 \( \left| {a}_{n}\right| \leq {2R} \) 和 \( \left| {a}_{n}\right| > {2R} \) 两种情况进行选择. 第一种情况 \( \left| {a}_{n}\right| \leq | 命题 3.2 假设 \( \\left\\{ {F}_{n}\\right\\} \) 是定义在开集 \( \\Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \\in \\Omega \) 满足\n\n\[ \n\\sum {c}_{n} < + \\infty \\text{ 和 }\\left| {{F}_{n}\\left( z\\right) - 1}\\right| \\leq {c}_{n},\n\]\n\n那么, 有\n\n( i ) 乘积 \( \\mathop{\\prod }\\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\\left( z\\right) \) 在 \( \\Omega \) 内一致收敛于全纯函数 \( F\\left( z\\right) \) .\n\n(ii) 如果 \( {F}_{n}\\left( z\\right) \) 对任意的 \( n \) 都不会为零,那么\n\n\[ \n\\frac{{F}^{\\prime }\\left( z\\right) }{F\\left( z\\right) } = \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\\frac{{F}^{\\prime }{}_{n}\\left( z\\right) }{{F}_{n}\\left( z\\right) }.\n\] | 证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\\left( z\\right) = 1 + {a}_{n}\\left( z\\right) \) ,其中 \( \\left| {{a}_{n}\\left( z\\right) }\\right| \\leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\\left( z\\right) \) .\n\n下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \\Omega \) 内的紧子集,并令\n\n\[ \n{G}_{N}\\left( z\\right) = \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = 1}}^{N}{F}_{n}\\left( z\\right) .\n\]\n\n我们已经证明了在 \( \\Omega \) 上 \( {G}_{n} \\rightarrow F \) 是一致的,因此根据第 2 章中的定理 5.3,序列\n\n---\n\n102 \$ 不容心\n\n---\n\n\( \\left\\{ {{G}^{\\prime }{}_{N}}\\right\\} \) 在 \( K \) 上一致收敛于 \( {F}^{\\prime } \) . 因为 \( {G}_{N} \) 在 \( K \) 上是一致有界的,可以推导出在 \( K \) 上 \( {G}^{\\prime }{}_{N}/{G}_{N} \\rightarrow {F}^{\\prime }/F \) 是一致的. 又因为 \( K \) 是 \( \\Omega \) 中的任意紧子集,则 \( \\Omega \) 中的任意点极限都存在. 此外, 如同第 3 章第 4 小节中看到的那样,\n\n\[ \n\\frac{{G}_{N}^{\\prime }}{{G}_{N}} = \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = 1}}^{N}\\frac{{F}_{n}^{\\prime }}{{F}_{n}}\n\]\n\n因此, 该定理的第二部分也得到了证明. |
定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数.
回顾前面的内容,如果全纯函数 \( f \) 在点 \( z = a \) 处等于零,那么零点 \( a \) 的重数是整数 \( m \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - a\right) }^{m}g\left( z\right) ,
\]
其中 \( g \) 是全纯的,并且在 \( a \) 的某个邻域内没有其他的零点. 或者说 \( m \) 是函数 \( f \) 在点 \( a \) 处展开成幂级数的最小的非零幂次. 根据前面的知识,由于我们允许数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的重复出现, 这样, 定理就能保证规定了零点及零点的重数的整函数的存在性.
回到证明的开始,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是两个整函数,并且 \( z = {a}_{n} \) 是它们有且仅有的零点,那么函数 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 在所有的 \( z = {a}_{n} \) 处,有它的可去奇点. 因此 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 是整函数,且处处无零点,以至于存在整函数 \( g \) 使得 \( {f}_{1}\left( z\right) /{f}_{2}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,这如同第 3 章第 6 小节的内容. 因此 \( {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理最终得到了证明.
定理得到了证明,我们就无需再关注于将函数构造成有且仅有数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 作为其零点的整函数. 下面我们要关注的是,函数 \( \sin {\pi z} \) 的乘积公式 \( \mathop{\prod }\limits_{n}\left( {1 - z/{a}_{n}}\right) \) 带给我们的启示. 问题是此乘积只有当取得合适的 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 时才是收敛的,因此我们要通过在其中插入指数因子进行调整. 这些因子既可以保证乘积的收敛性, 同时又不增加新的零点.
对任意的整数 \( k \geq 0 \) 我们定义典范因子
\[
{E}_{0}\left( z\right) = 1 - z\text{和}{E}_{k}\left( z\right) = \left( {1 - z}\right) {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\text{,}
\]
整数 \( k \) 称为典范因子的度.
引理 4.2 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么 \( \left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数.
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) } \) , 因此,
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k} = {\mathrm{e}}^{w},
\]
其中 \( w = - \mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n \) . 注意到,因为 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,所以
\[
\left| w\right| \leq {\left| z\right| }^{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n - k - 1}/n \leq {\left| z\right| }^{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-j} \leq 2{\left| z\right| }^{k + 1}.
\]
特别地,我们有 \( \left| w\right| \leq 1 \) ,这就意味着
\[
\left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - {\mathrm{e}}^{w}}\right| \leq {c}^{\prime }\left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1}.
\]
注意: 非常重要的一点是,引理的证明中的常数 \( c \) 的选择并不依赖于整数 \( k \) . 事实上,仔细观察证明过程会发现,如果我们令 \( {c}^{\prime } = \mathrm{e} \) ,那么 \( c = 2\mathrm{e} \) .
假设我们给定一个函数以原点为 \( m \) 阶零点,并且在点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 处是非零的零点. 定义 Weierstrass 乘积
\[
f\left( z\right) = {z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
我们断定此函数具有我们想要的性质. 也就是说 \( f \) 是个整函数,原点是它的 \( m \) 阶零点,数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的点都是它的零点,并且 \( f \) 在其他地方都不等于零.
固定 \( R > 0 \) ,并假设 \( z \) 属于圆盘 \( \left| z\right| < R \) . 我们将证明 \( f \) 在圆盘内具有我们所有想要的性质,并且因为 \( R \) 的任意性,这样定理就将得到证明.
我们可以在 \( f \) 的公式中考虑两类因子,并根据 \( \left| {a}_{n}\right| \leq {2R} \) 和 \( \left| {a}_{n}\right| > {2R} \) 两种情况进行选择. 第一种情况 \( \left| {a}_{n}\right| \leq {2R} \) 仅仅存在有限项 (因为 \( \left| {a}_{n}\right| \rightarrow + \infty \) ),并且我们看到这有限项的乘积在点 \( z = {a}_{n} \) 处都等于零,其中 \( \left| {a}_{n}\right| < R \) . 如果 \( \left| {a}_{n}\right| \geq {2R} \) , 我们有 \( \left| {z/{a}_{n}}\right| \leq 1/2 \) ,那么前面的引理意味着
\[
\left| {1 - {E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \leq c{\left| \frac{z}{{a}_{n}}\right| }^{n + 1} \leq \frac{c}{{2}^{n + 1}}.
\]
注意到根据前面的内容, \( c \) 不依赖于 \( n \) . 因此,乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \geq {2R}}}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
当 \( \left| z\right| < R \) 时就定义了一个全纯函数,并且根据第 3 节中的命题,此函数在圆盘中不为零. 这就证明了函数 \( f \) 具有我们想要的性质,并且 Weierstrass 定理的证明也就完善了.
## 5 Hadamard 因子分解定理
本节的定理是结合函数的增长和零点个数的关系与前面的乘积定理而进行讨论的. Weierstrass 定理表明,一个函数以点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 为零点,就有下面的形式
\[
{\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
Hadamard 通过证明有限阶函数的情况将上面的结果进行改善, 典范因子的度可以是一个常数,那么 \( g \) 是多项式.
回顾前面的知识,一个整函数具有小于等于 \( \rho \) 的增长阶,即如果
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{B{\left| z\right| }^{p}},
\]
并且 \( f \) 的增长阶 \( {\rho }_{0} \) 是这样的 \( \rho \) 的上确界.
之前我们已经证明了的一个基本结论是,如果 \( f \) 的增长阶 \( \leq \rho \) ,那么对所有大的 \( r \) 满足
\[
n\left( r\right) \leq C{r}^{\rho },
\]
并且如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 是 \( f \) 的非零零点, \( s > \rho \) ,那么
\[
\sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} < + \infty
\]
定理 5.1 假设 \( f \) 是整函数,具有 \( {\rho }_{0} \) 阶增长阶. 令 \( k \) 是整数,使得 \( k \leq {\rho }_{0} < \) \( k + 1 \) . 如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零点 (非零),那么
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{P\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) ,
\]
其中, \( P \) 是小于等于 \( k \) 阶的多项式, \( m \) 是函数 \( f \) 在 \( z = 0 \) 点的零点的阶数.
## 重要引理
这里我们收集了几个引理, 将在 Hadamard 定理的证明中用到.
引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}},
\]
并且如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq \left| {1 - z}\right| {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,我们可以用幂级数定义 \( 1 - z \) 的对数,使得
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{z}^{n}/n} = {\mathrm{e}}^{-\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n} = {e}^{w}.
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{w}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| w\right| } \) ,且 \( \left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,引理的第一部分就证明了. 对于第二部分,如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - z}\right| \left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| ,
\]
并且存在 \( {c}^{\prime } > 0 \) ,使得
\[
\left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| {z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
那么当 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) 时引理中的不等式就得到了证明.
当 \( z \) 远离零点 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 取值时, Hadamard 定理的关键包括找到典范因子的乘积的下界. 因此,我们接下来可以首先在以 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 中的点为中心的小圆盘的余集上估计这个乘积.
引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }},
\]
这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , \( 3,\cdots \) .
---
2107
---
证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
上式中第二个乘积的估值与 \( z \) 无关. 事实上,根据前面的引理
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-c{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k + 1}}
\]
\[
\geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}}\mathop{\sum }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}.
\]
但是 \( \left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| \) ,并且 \( s < k + 1 \) ,所以我们必有
\[
{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k - 1} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k - 1}.
\]
因此,级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} \) 收敛就意味着
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( c > 0 \) .
为了估计第一个乘积, 我们应用引理 5.2 的第二部分, 并写成
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{t}{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}}.
\]
(5)
现在注意到
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}} = {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2{\left| z\right| }^{1 + k}},
\]
此外,我们有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k} \) ,因此证明了
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }\left| {z/{a}_{n}}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}.
\]
这就是式 (5) 的右边第一个乘积的估计,此处应用引理时对 \( z \) 是有限制的. 事实上,当 \( z \) 不属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的圆盘时,必有 \( \left| {{a}_{n} - z}\right| \geq \) \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) . 因此,
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| \frac{{a}_{n} - z}{{a}_{n}}\right|
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}{\left| {a}_{n}\right| }^{-1}
\]
\[
= \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2}.
\]
最后,对第一个乘积的估计是因为对任意的 \( {s}^{\prime } > s \) ,有
\[
\left( {k + 2}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \le | 定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数. | 回到证明的开始,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是两个整函数,并且 \( z = {a}_{n} \) 是它们有且仅有的零点,那么函数 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 在所有的 \( z = {a}_{n} \) 处,有它的可去奇点. 因此 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 是整函数,且处处无零点,以至于存在整函数 \( g \) 使得 \( {f}_{1}\left( z\right) /{f}_{2}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,这如同第 3 章第 6 小节的内容. 因此 \( {f}_{1}\left( z\right) = {f}_{2}\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,定理最终得到了证明. |
引理 4.2 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么 \( \left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数.
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) } \) , 因此,
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k} = {\mathrm{e}}^{w},
\]
其中 \( w = - \mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n \) . 注意到,因为 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,所以
\[
\left| w\right| \leq {\left| z\right| }^{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{\left| z\right| }^{n - k - 1}/n \leq {\left| z\right| }^{k + 1}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-j} \leq 2{\left| z\right| }^{k + 1}.
\]
特别地,我们有 \( \left| w\right| \leq 1 \) ,这就意味着
\[
\left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - {\mathrm{e}}^{w}}\right| \leq {c}^{\prime }\left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1}.
\]
注意: 非常重要的一点是,引理的证明中的常数 \( c \) 的选择并不依赖于整数 \( k \) . 事实上,仔细观察证明过程会发现,如果我们令 \( {c}^{\prime } = \mathrm{e} \) ,那么 \( c = 2\mathrm{e} \) .
假设我们给定一个函数以原点为 \( m \) 阶零点,并且在点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 处是非零的零点. 定义 Weierstrass 乘积
\[
f\left( z\right) = {z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
我们断定此函数具有我们想要的性质. 也就是说 \( f \) 是个整函数,原点是它的 \( m \) 阶零点,数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的点都是它的零点,并且 \( f \) 在其他地方都不等于零.
固定 \( R > 0 \) ,并假设 \( z \) 属于圆盘 \( \left| z\right| < R \) . 我们将证明 \( f \) 在圆盘内具有我们所有想要的性质,并且因为 \( R \) 的任意性,这样定理就将得到证明.
我们可以在 \( f \) 的公式中考虑两类因子,并根据 \( \left| {a}_{n}\right| \leq {2R} \) 和 \( \left| {a}_{n}\right| > {2R} \) 两种情况进行选择. 第一种情况 \( \left| {a}_{n}\right| \leq {2R} \) 仅仅存在有限项 (因为 \( \left| {a}_{n}\right| \rightarrow + \infty \) ),并且我们看到这有限项的乘积在点 \( z = {a}_{n} \) 处都等于零,其中 \( \left| {a}_{n}\right| < R \) . 如果 \( \left| {a}_{n}\right| \geq {2R} \) , 我们有 \( \left| {z/{a}_{n}}\right| \leq 1/2 \) ,那么前面的引理意味着
\[
\left| {1 - {E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \leq c{\left| \frac{z}{{a}_{n}}\right| }^{n + 1} \leq \frac{c}{{2}^{n + 1}}.
\]
注意到根据前面的内容, \( c \) 不依赖于 \( n \) . 因此,乘积
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \geq {2R}}}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
当 \( \left| z\right| < R \) 时就定义了一个全纯函数,并且根据第 3 节中的命题,此函数在圆盘中不为零. 这就证明了函数 \( f \) 具有我们想要的性质,并且 Weierstrass 定理的证明也就完善了.
## 5 Hadamard 因子分解定理
本节的定理是结合函数的增长和零点个数的关系与前面的乘积定理而进行讨论的. Weierstrass 定理表明,一个函数以点 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 为零点,就有下面的形式
\[
{\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{n}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
Hadamard 通过证明有限阶函数的情况将上面的结果进行改善, 典范因子的度可以是一个常数,那么 \( g \) 是多项式.
回顾前面的知识,一个整函数具有小于等于 \( \rho \) 的增长阶,即如果
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{B{\left| z\right| }^{p}},
\]
并且 \( f \) 的增长阶 \( {\rho }_{0} \) 是这样的 \( \rho \) 的上确界.
之前我们已经证明了的一个基本结论是,如果 \( f \) 的增长阶 \( \leq \rho \) ,那么对所有大的 \( r \) 满足
\[
n\left( r\right) \leq C{r}^{\rho },
\]
并且如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 是 \( f \) 的非零零点, \( s > \rho \) ,那么
\[
\sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} < + \infty
\]
定理 5.1 假设 \( f \) 是整函数,具有 \( {\rho }_{0} \) 阶增长阶. 令 \( k \) 是整数,使得 \( k \leq {\rho }_{0} < \) \( k + 1 \) . 如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零点 (非零),那么
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{P\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) ,
\]
其中, \( P \) 是小于等于 \( k \) 阶的多项式, \( m \) 是函数 \( f \) 在 \( z = 0 \) 点的零点的阶数.
## 重要引理
这里我们收集了几个引理, 将在 Hadamard 定理的证明中用到.
引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}},
\]
并且如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq \left| {1 - z}\right| {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,我们可以用幂级数定义 \( 1 - z \) 的对数,使得
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{z}^{n}/n} = {\mathrm{e}}^{-\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n} = {e}^{w}.
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{w}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| w\right| } \) ,且 \( \left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,引理的第一部分就证明了. 对于第二部分,如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - z}\right| \left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| ,
\]
并且存在 \( {c}^{\prime } > 0 \) ,使得
\[
\left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| {z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
那么当 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) 时引理中的不等式就得到了证明.
当 \( z \) 远离零点 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 取值时, Hadamard 定理的关键包括找到典范因子的乘积的下界. 因此,我们接下来可以首先在以 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 中的点为中心的小圆盘的余集上估计这个乘积.
引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }},
\]
这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , \( 3,\cdots \) .
---
2107
---
证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
上式中第二个乘积的估值与 \( z \) 无关. 事实上,根据前面的引理
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-c{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k + 1}}
\]
\[
\geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}}\mathop{\sum }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}.
\]
但是 \( \left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| \) ,并且 \( s < k + 1 \) ,所以我们必有
\[
{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k - 1} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k - 1}.
\]
因此,级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} \) 收敛就意味着
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( c > 0 \) .
为了估计第一个乘积, 我们应用引理 5.2 的第二部分, 并写成
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{t}{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}}.
\]
(5)
现在注意到
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}} = {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2{\left| z\right| }^{1 + k}},
\]
此外,我们有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k} \) ,因此证明了
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }\left| {z/{a}_{n}}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}.
\]
这就是式 (5) 的右边第一个乘积的估计,此处应用引理时对 \( z \) 是有限制的. 事实上,当 \( z \) 不属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的圆盘时,必有 \( \left| {{a}_{n} - z}\right| \geq \) \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) . 因此,
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| \frac{{a}_{n} - z}{{a}_{n}}\right|
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}{\left| {a}_{n}\right| }^{-1}
\]
\[
= \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2}.
\]
最后,对第一个乘积的估计是因为对任意的 \( {s}^{\prime } > s \) ,有
\[
\left( {k + 2}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\log \left| {a}_{n}\right| \leq \left( {k + 2}\right) n\left( {2\left| z\right| }\right) \log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq c{\left| z\right| }^{s}\log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq {c}^{\prime }{\left| z\right| }^{{s}^{\prime }},
\]
同时,第二个乘积是根据定理 2.1 有 \( n\left( {2\left| z\right| }\right) \leq c{\left| z\right| }^{s} \) . 因为我们限制 \( s \) 满足 \( s > \) \( {\rho }_{0} \) ,且选择 \( s \) 的初值足够接近 \( {\rho }_{0} \) ,使得引理的结论能成立 (将 \( s \) 用 \( {s}^{\prime } \) 代替).
推论 5.4 存在半径序列 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots \) ,其中 \( {r}_{m} \rightarrow + \infty \) ,使得
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{p}}\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
证明 因为 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < + \infty \) ,存在一个整数 \( N \) 使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < 1/{10}.
\]
因此,给定任意两个足够大的整数 \( L \) 和 \( L + 1 \) ,总能找到正数 \( r \) 满足 \( L \leq r \leq L + 1 \) ,使得以原点为圆心 \( r \) 为半径的圆周与引理 5.3 中闭的圆盘没有交集. 否则,区间的并集为
\[
{I}_{n} = \left\lbrack {\left| {a}_{n}\right| - \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}},\left| {a}_{n}\right| + \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}}}\right\rbrack
\]
(其区间长度为 \( 2{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) ) 将会覆盖整个区间 \( \left\lbrack {L, L + 1}\right\rbrack \) (见图 1). 这也就意味着 \( 2\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \geq 1 \) ,这与已知矛盾. 那么根据前面的引理,当 \( \left| z\right| = r \) 时就可以证明推论了.
Hadamard 定理的证明
令
| 引理 4.2 如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,那么 \( \\left| {1 - {E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| \\leq c{\\left| z\\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数. | 证明 如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\\mathrm{e}}^{\\log \\left( {1 - z}\\right) } \) , 因此,\n\n\[ \n{E}_{k}\\left( z\\right) = {\\mathrm{e}}^{\\log \\left( {1 - z}\\right) + z + {z}^{2}/2 + \\cdots + {z}^{k}/k} = {\\mathrm{e}}^{w},\n\]\n\n其中 \( w = - \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n \) . 注意到,因为 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,所以\n\n\[ \n\\left| w\\right| \\leq {\\left| z\\right| }^{k + 1}\\mathop{\\sum }\\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{\\left| z\\right| }^{n - k - 1}/n \\leq {\\left| z\\right| }^{k + 1}\\mathop{\\sum }\\limits_{{j = 0}}^{{+\infty }}{2}^{-j} \\leq 2{\\left| z\\right| }^{k + 1}.\n\]\n\n特别地,我们有 \( \\left| w\\right| \\leq 1 \) ,这就意味着\n\n\[ \n\\left| {1 - {E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| = \\left| {1 - {\\mathrm{e}}^{w}}\\right| \\leq {c}^{\\prime }\\left| w\\right| \\leq c{\\left| z\\right| }^{k + 1}.\n\]\n\n注意: 非常重要的一点是,引理的证明中的常数 \( c \) 的选择并不依赖于整数 \( k \) . 事实上,仔细观察证明过程会发现,如果我们令 \( {c}^{\\prime } = \\mathrm{e} \) ,那么 \( c = 2\\mathrm{e} \) . |
定理 5.1 假设 \( f \) 是整函数,具有 \( {\rho }_{0} \) 阶增长阶. 令 \( k \) 是整数,使得 \( k \leq {\rho }_{0} < \) \( k + 1 \) . 如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零点 (非零),那么
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{P\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) ,
\]
其中, \( P \) 是小于等于 \( k \) 阶的多项式, \( m \) 是函数 \( f \) 在 \( z = 0 \) 点的零点的阶数.
## 重要引理
这里我们收集了几个引理, 将在 Hadamard 定理的证明中用到.
引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}},
\]
并且如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq \left| {1 - z}\right| {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,我们可以用幂级数定义 \( 1 - z \) 的对数,使得
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{z}^{n}/n} = {\mathrm{e}}^{-\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n} = {e}^{w}.
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{w}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| w\right| } \) ,且 \( \left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,引理的第一部分就证明了. 对于第二部分,如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - z}\right| \left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| ,
\]
并且存在 \( {c}^{\prime } > 0 \) ,使得
\[
\left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| {z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
那么当 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) 时引理中的不等式就得到了证明.
当 \( z \) 远离零点 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 取值时, Hadamard 定理的关键包括找到典范因子的乘积的下界. 因此,我们接下来可以首先在以 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 中的点为中心的小圆盘的余集上估计这个乘积.
引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }},
\]
这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , \( 3,\cdots \) .
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证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
上式中第二个乘积的估值与 \( z \) 无关. 事实上,根据前面的引理
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-c{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k + 1}}
\]
\[
\geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}}\mathop{\sum }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}.
\]
但是 \( \left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| \) ,并且 \( s < k + 1 \) ,所以我们必有
\[
{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k - 1} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k - 1}.
\]
因此,级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} \) 收敛就意味着
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( c > 0 \) .
为了估计第一个乘积, 我们应用引理 5.2 的第二部分, 并写成
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{t}{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}}.
\]
(5)
现在注意到
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}} = {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2{\left| z\right| }^{1 + k}},
\]
此外,我们有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k} \) ,因此证明了
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }\left| {z/{a}_{n}}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}.
\]
这就是式 (5) 的右边第一个乘积的估计,此处应用引理时对 \( z \) 是有限制的. 事实上,当 \( z \) 不属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的圆盘时,必有 \( \left| {{a}_{n} - z}\right| \geq \) \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) . 因此,
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| \frac{{a}_{n} - z}{{a}_{n}}\right|
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}{\left| {a}_{n}\right| }^{-1}
\]
\[
= \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2}.
\]
最后,对第一个乘积的估计是因为对任意的 \( {s}^{\prime } > s \) ,有
\[
\left( {k + 2}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\log \left| {a}_{n}\right| \leq \left( {k + 2}\right) n\left( {2\left| z\right| }\right) \log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq c{\left| z\right| }^{s}\log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq {c}^{\prime }{\left| z\right| }^{{s}^{\prime }},
\]
同时,第二个乘积是根据定理 2.1 有 \( n\left( {2\left| z\right| }\right) \leq c{\left| z\right| }^{s} \) . 因为我们限制 \( s \) 满足 \( s > \) \( {\rho }_{0} \) ,且选择 \( s \) 的初值足够接近 \( {\rho }_{0} \) ,使得引理的结论能成立 (将 \( s \) 用 \( {s}^{\prime } \) 代替).
推论 5.4 存在半径序列 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots \) ,其中 \( {r}_{m} \rightarrow + \infty \) ,使得
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{p}}\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
证明 因为 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < + \infty \) ,存在一个整数 \( N \) 使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < 1/{10}.
\]
因此,给定任意两个足够大的整数 \( L \) 和 \( L + 1 \) ,总能找到正数 \( r \) 满足 \( L \leq r \leq L + 1 \) ,使得以原点为圆心 \( r \) 为半径的圆周与引理 5.3 中闭的圆盘没有交集. 否则,区间的并集为
\[
{I}_{n} = \left\lbrack {\left| {a}_{n}\right| - \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}},\left| {a}_{n}\right| + \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}}}\right\rbrack
\]
(其区间长度为 \( 2{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) ) 将会覆盖整个区间 \( \left\lbrack {L, L + 1}\right\rbrack \) (见图 1). 这也就意味着 \( 2\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \geq 1 \) ,这与已知矛盾. 那么根据前面的引理,当 \( \left| z\right| = r \) 时就可以证明推论了.
Hadamard 定理的证明
令
\[
E\left( z\right) = {z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
图 1 区间 \( {I}_{n} \)
要证明 \( E \) 是整函数,我们重复定理 4.1 的证明. 根据引理 4.2,对任意足够大的整数 \( n \) ,有
\[
\left| {1 - {E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \leq c{\left| \frac{z}{{a}_{n}}\right| }^{k + 1},
\]
Stand
并且级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 收敛. (回顾条件 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ) 函数 \( E \) 有 \( f \) 的零点,所以, \( f/E \) 是全纯的并且没有零点. 因此,
\[
\frac{f\left( z\right) }{E\left( z\right) } = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) },
\]
其中 \( g \) 是某个整函数. 事实上 \( f \) 具有 \( {\rho }_{0} \) 阶的增长,并且因为在推论 5.4 中对函数 \( E \) 的估计, 我们有
\[
{\mathrm{e}}^{\operatorname{Re}\left( {g\left( z\right) }\right) } = \left| \frac{f\left( z\right) }{E\left( z\right) }\right| \leq {c}^{\prime }{\mathrm{e}}^{c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( \left| z\right| = {r}_{m} \) . 这就证明了
\[
\operatorname{Re}\left( {g\left( z\right) }\right) \leq C{\left| z\right| }^{s},\;\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
再加上接下来的引理, Hadamard 定理的证明就完整了.
引理 5.5 假设 \( g \) 是整函数,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( g\right) \) ,当 \( \left| z\right| = r \) 时满足
\[
u\left( z\right) \leq C{r}^{s}.
\]
对一系列正实数 \( r \) 直到它趋于无穷大都是成立的. 那么 \( g \) 是不大于 \( s \) 阶的多项式.
证明 我们可以将函数 \( g \) 在原点处展成幂级数
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
在第 3 章的最后一节已经证明 (作为柯西积分公式的一个简单应用)
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }g\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{{in}}\theta }\mathrm{d}\theta = \left\{ \begin{array}{ll} {a}_{n}{r}^{n} & n \geq 0 \\ 0 & n < 0. \end{array}\right.
\]
(6)
取复数共轭会发现当 \( n > 0 \) 时,
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\overline{g\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = 0,
\]
(7)
并且因为 \( {2u} = g + \bar{g} \) ,结合等式 (6) 和等式 (7) 可以获得当 \( n > 0 \) 时,有
\[
{a}_{n}{r}^{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
当 \( n = 0 \) 时只有将等式 (6) 两边分别取实部就会发现
\[
2\operatorname{Re}\left( {a}_{0}\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta .
\]
当 \( n \neq 0 \) 时,我们回顾前面一个简单的事实,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }} \) 在任意以原点为圆心的圆周上的积分都会等于零. 因此,当 \( n > 0 \) 时,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{\pi {r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) - C{r}^{s}}\right\rbrack {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
因此,
\[
\left| {a}_{n}\right| \leq \frac{1}{\pi {r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {C{r}^{s} - u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}\theta \leq {2C}{r}^{s - n} - 2\operatorname{Re}\left( {a}_{0}\right) {r}^{-n}.
\]
令 \( r \) 趋于无穷,并且是沿着引理证明的假设中给出的序列,这样就可以证明对 \( n > \) \( s \) 有 \( {a}_{n} = 0 \) . 此时引理和 Hadamard 定理的证明完毕.
## 6 练习
1. 给出 Jensen 公式的另一种证明方法, 在单位圆盘上用函数 (称为 Blasch | 定理 5.1 假设 \( f \) 是整函数,具有 \( {\rho }_{0} \) 阶增长阶. 令 \( k \) 是整数,使得 \( k \leq {\rho }_{0} < \) \( k + 1 \) . 如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零点 (非零),那么\n\n\[ f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{P\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) ,\]\n\n其中, \( P \) 是小于等于 \( k \) 阶的多项式, \( m \) 是函数 \( f \) 在 \( z = 0 \) 点的零点的阶数. | Null |
引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}},
\]
并且如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq \left| {1 - z}\right| {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,我们可以用幂级数定义 \( 1 - z \) 的对数,使得
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{k}{z}^{n}/n} = {\mathrm{e}}^{-\mathop{\sum }\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n} = {e}^{w}.
\]
因为 \( \left| {\mathrm{e}}^{w}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| w\right| } \) ,且 \( \left| w\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,引理的第一部分就证明了. 对于第二部分,如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| = \left| {1 - z}\right| \left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| ,
\]
并且存在 \( {c}^{\prime } > 0 \) ,使得
\[
\left| {\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| \geq {\mathrm{e}}^{-\left| {z + {z}^{2}/2 + \cdots + {z}^{k}/k}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
那么当 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) 时引理中的不等式就得到了证明.
当 \( z \) 远离零点 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 取值时, Hadamard 定理的关键包括找到典范因子的乘积的下界. 因此,我们接下来可以首先在以 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 中的点为中心的小圆盘的余集上估计这个乘积.
引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }},
\]
这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , \( 3,\cdots \) .
---
2107
---
证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
上式中第二个乘积的估值与 \( z \) 无关. 事实上,根据前面的引理
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-c{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k + 1}}
\]
\[
\geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}}\mathop{\sum }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}.
\]
但是 \( \left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| \) ,并且 \( s < k + 1 \) ,所以我们必有
\[
{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k - 1} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k - 1}.
\]
因此,级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} \) 收敛就意味着
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( c > 0 \) .
为了估计第一个乘积, 我们应用引理 5.2 的第二部分, 并写成
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{t}{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}}.
\]
(5)
现在注意到
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}} = {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2{\left| z\right| }^{1 + k}},
\]
此外,我们有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k} \) ,因此证明了
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }\left| {z/{a}_{n}}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}.
\]
这就是式 (5) 的右边第一个乘积的估计,此处应用引理时对 \( z \) 是有限制的. 事实上,当 \( z \) 不属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的圆盘时,必有 \( \left| {{a}_{n} - z}\right| \geq \) \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) . 因此,
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| \frac{{a}_{n} - z}{{a}_{n}}\right|
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}{\left| {a}_{n}\right| }^{-1}
\]
\[
= \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2}.
\]
最后,对第一个乘积的估计是因为对任意的 \( {s}^{\prime } > s \) ,有
\[
\left( {k + 2}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\log \left| {a}_{n}\right| \leq \left( {k + 2}\right) n\left( {2\left| z\right| }\right) \log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq c{\left| z\right| }^{s}\log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq {c}^{\prime }{\left| z\right| }^{{s}^{\prime }},
\]
同时,第二个乘积是根据定理 2.1 有 \( n\left( {2\left| z\right| }\right) \leq c{\left| z\right| }^{s} \) . 因为我们限制 \( s \) 满足 \( s > \) \( {\rho }_{0} \) ,且选择 \( s \) 的初值足够接近 \( {\rho }_{0} \) ,使得引理的结论能成立 (将 \( s \) 用 \( {s}^{\prime } \) 代替).
推论 5.4 存在半径序列 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots \) ,其中 \( {r}_{m} \rightarrow + \infty \) ,使得
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{p}}\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
证明 因为 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < + \infty \) ,存在一个整数 \( N \) 使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < 1/{10}.
\]
因此,给定任意两个足够大的整数 \( L \) 和 \( L + 1 \) ,总能找到正数 \( r \) 满足 \( L \leq r \leq L + 1 \) ,使得以原点为圆心 \( r \) 为半径的圆周与引理 5.3 中闭的圆盘没有交集. 否则,区间的并集为
\[
{I}_{n} = \left\lbrack {\left| {a}_{n}\right| - \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}},\left| {a}_{n}\right| + \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}}}\right\rbrack
\]
(其区间长度为 \( 2{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) ) 将会覆盖整个区间 \( \left\lbrack {L, L + 1}\right\rbrack \) (见图 1). 这也就意味着 \( 2\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \geq 1 \) ,这与已知矛盾. 那么根据前面的引理,当 \( \left| z\right| = r \) 时就可以证明推论了.
Hadamard 定理的证明
令
\[
E\left( z\right) = {z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
图 1 区间 \( {I}_{n} \)
要证明 \( E \) 是整函数,我们重复定理 4.1 的证明. 根据引理 4.2,对任意足够大的整数 \( n \) ,有
\[
\left| {1 - {E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \leq c{\left| \frac{z}{{a}_{n}}\right| }^{k + 1},
\]
Stand
并且级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 收敛. (回顾条件 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ) 函数 \( E \) 有 \( f \) 的零点,所以, \( f/E \) 是全纯的并且没有零点. 因此,
\[
\frac{f\left( z\right) }{E\left( z\right) } = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) },
\]
其中 \( g \) 是某个整函数. 事实上 \( f \) 具有 \( {\rho }_{0} \) 阶的增长,并且因为在推论 5.4 中对函数 \( E \) 的估计, 我们有
\[
{\mathrm{e}}^{\operatorname{Re}\left( {g\left( z\right) }\right) } = \left| \frac{f\left( z\right) }{E\left( z\right) }\right| \leq {c}^{\prime }{\mathrm{e}}^{c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( \left| z\right| = {r}_{m} \) . 这就证明了
\[
\operatorname{Re}\left( {g\left( z\right) }\right) \leq C{\left| z\right| }^{s},\;\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
再加上接下来的引理, Hadamard 定理的证明就完整了.
引理 5.5 假设 \( g \) 是整函数,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( g\right) \) ,当 \( \left| z\right| = r \) 时满足
\[
u\left( z\right) \leq C{r}^{s}.
\]
对一系列正实数 \( r \) 直到它趋于无穷大都是成立的. 那么 \( g \) 是不大于 \( s \) 阶的多项式.
证明 我们可以将函数 \( g \) 在原点处展成幂级数
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
在第 3 章的最后一节已经证明 (作为柯西积分公式的一个简单应用)
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }g\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{{in}}\theta }\mathrm{d}\theta = \left\{ \begin{array}{ll} {a}_{n}{r}^{n} & n \geq 0 \\ 0 & n < 0. \end{array}\right.
\]
(6)
取复数共轭会发现当 \( n > 0 \) 时,
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\overline{g\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = 0,
\]
(7)
并且因为 \( {2u} = g + \bar{g} \) ,结合等式 (6) 和等式 (7) 可以获得当 \( n > 0 \) 时,有
\[
{a}_{n}{r}^{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
当 \( n = 0 \) 时只有将等式 (6) 两边分别取实部就会发现
\[
2\operatorname{Re}\left( {a}_{0}\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta .
\]
当 \( n \neq 0 \) 时,我们回顾前面一个简单的事实,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }} \) 在任意以原点为圆心的圆周上的积分都会等于零. 因此,当 \( n > 0 \) 时,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{\pi {r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) - C{r}^{s}}\right\rbrack {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
因此,
\[
\left| {a}_{n}\right| \leq \frac{1}{\pi {r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {C{r}^{s} - u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}\theta \leq {2C}{r}^{s - n} - 2\operatorname{Re}\left( {a}_{0}\right) {r}^{-n}.
\]
令 \( r \) 趋于无穷,并且是沿着引理证明的假设中给出的序列,这样就可以证明对 \( n > \) \( s \) 有 \( {a}_{n} = 0 \) . 此时引理和 Hadamard 定理的证明完毕.
## 6 练习
1. 给出 Jensen 公式的另一种证明方法, 在单位圆盘上用函数 (称为 Blaschke 因子)
\[
{\psi }_{\alpha }\left( z\right) = \frac{\alpha - z}{1 - \bar{\alpha }z}.
\]
【提示: 函数 \( f/\left( {{\psi }_{{z}_{1}}\cdots {\psi }_{{z}_{N}}}\right) \) 没有零点. 1
2. 找出下列整函数的增长阶:
(a) \( p\left( z\right) \) ,这里 \( p \) 是一个多项式.
(b) \( {\mathrm{e}}^{b{z}^{n}} \) ,其中 \( b \neq 0 \) .
(c) \( {\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{z}} \) .
3. 证明: 如果 \( \tau \) 给定,且 \( \operatorname{Im}\left( \tau \right) > 0 \) ,那么 Jacobi theta 函数
| 引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,那么\n\n\[ \n\\left| {{E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| \\geq {\\mathrm{e}}^{-c\\left| z\\right| ^{k + 1}},\n\]\n\n并且如果 \( \\left| z\\right| \\geq 1/2 \) ,那么\n\n\[ \n\\left| {{E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| \\geq \\left| {1 - z}\\right| {\\mathrm{e}}^{-{c}^{\\prime }\\left| z\\right| ^{k}}.\n\] | 证明 如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,我们可以用幂级数定义 \( 1 - z \) 的对数,使得\n\n\[ \n{E}_{k}\\left( z\\right) = {\\mathrm{e}}^{\\log \\left( {1 - z}\\right) + \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = 1}}^{k}{z}^{n}/n} = {\\mathrm{e}}^{-\\mathop{\\sum }\\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n} = {e}^{w}.\n\]\n\n因为 \( \\left| {\\mathrm{e}}^{w}\\right| \\geq {\\mathrm{e}}^{-\\left| w\\right| } \) ,且 \( \\left| w\\right| \\leq c\\left| z\\right| ^{k + 1} \) ,引理的第一部分就证明了. 对于第二部分,如果 \( \\left| z\\right| \\geq 1/2 \) ,那么\n\n\[ \n\\left| {{E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| = \\left| {1 - z}\\right| \\left| {\\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \\cdots + {z}^{k}/k}\\right| ,\n\]\n\n并且存在 \( {c}^{\\prime } > 0 \) ,使得\n\n\[ \n\\left| {\\mathrm{e}}^{z + {z}^{2}/2 + \\cdots + {z}^{k}/k}\\right| \\geq {\\mathrm{e}}^{-\\left| {z + {z}^{2}/2 + \\cdots + {z}^{k}/k}\\right| } \\geq {\\mathrm{e}}^{-{c}^{\\prime }\\left| z\\right| ^{k}}.\n\]\n\n那么当 \( \\left| z\\right| \\geq 1/2 \) 时引理中的不等式就得到了证明. |
引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }},
\]
这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , \( 3,\cdots \) .
---
2107
---
证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成
\[
\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
上式中第二个乘积的估值与 \( z \) 无关. 事实上,根据前面的引理
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right)
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-c{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k + 1}}
\]
\[
\geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}}\mathop{\sum }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}.
\]
但是 \( \left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| \) ,并且 \( s < k + 1 \) ,所以我们必有
\[
{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k - 1} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k - 1}.
\]
因此,级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} \) 收敛就意味着
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( c > 0 \) .
为了估计第一个乘积, 我们应用引理 5.2 的第二部分, 并写成
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{t}{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}}.
\]
(5)
现在注意到
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k}} = {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2{\left| z\right| }^{1 + k}},
\]
此外,我们有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k} \) ,因此证明了
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }\left| {z/{a}_{n}}\right| } \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}.
\]
这就是式 (5) 的右边第一个乘积的估计,此处应用引理时对 \( z \) 是有限制的. 事实上,当 \( z \) 不属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的圆盘时,必有 \( \left| {{a}_{n} - z}\right| \geq \) \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) . 因此,
\[
\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| \frac{{a}_{n} - z}{{a}_{n}}\right|
\]
\[
\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}{\left| {a}_{n}\right| }^{-1}
\]
\[
= \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 2}.
\]
最后,对第一个乘积的估计是因为对任意的 \( {s}^{\prime } > s \) ,有
\[
\left( {k + 2}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\log \left| {a}_{n}\right| \leq \left( {k + 2}\right) n\left( {2\left| z\right| }\right) \log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq c{\left| z\right| }^{s}\log 2\left| z\right|
\]
\[
\leq {c}^{\prime }{\left| z\right| }^{{s}^{\prime }},
\]
同时,第二个乘积是根据定理 2.1 有 \( n\left( {2\left| z\right| }\right) \leq c{\left| z\right| }^{s} \) . 因为我们限制 \( s \) 满足 \( s > \) \( {\rho }_{0} \) ,且选择 \( s \) 的初值足够接近 \( {\rho }_{0} \) ,使得引理的结论能成立 (将 \( s \) 用 \( {s}^{\prime } \) 代替).
推论 5.4 存在半径序列 \( {r}_{1},{r}_{2},\cdots \) ,其中 \( {r}_{m} \rightarrow + \infty \) ,使得
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{p}}\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
证明 因为 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < + \infty \) ,存在一个整数 \( N \) 使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} < 1/{10}.
\]
因此,给定任意两个足够大的整数 \( L \) 和 \( L + 1 \) ,总能找到正数 \( r \) 满足 \( L \leq r \leq L + 1 \) ,使得以原点为圆心 \( r \) 为半径的圆周与引理 5.3 中闭的圆盘没有交集. 否则,区间的并集为
\[
{I}_{n} = \left\lbrack {\left| {a}_{n}\right| - \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}},\left| {a}_{n}\right| + \frac{1}{{\left| {a}_{n}\right| }^{k + 1}}}\right\rbrack
\]
(其区间长度为 \( 2{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) ) 将会覆盖整个区间 \( \left\lbrack {L, L + 1}\right\rbrack \) (见图 1). 这也就意味着 \( 2\mathop{\sum }\limits_{{n = N}}^{{+\infty }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \geq 1 \) ,这与已知矛盾. 那么根据前面的引理,当 \( \left| z\right| = r \) 时就可以证明推论了.
Hadamard 定理的证明
令
\[
E\left( z\right) = {z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) .
\]
图 1 区间 \( {I}_{n} \)
要证明 \( E \) 是整函数,我们重复定理 4.1 的证明. 根据引理 4.2,对任意足够大的整数 \( n \) ,有
\[
\left| {1 - {E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \leq c{\left| \frac{z}{{a}_{n}}\right| }^{k + 1},
\]
Stand
并且级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 收敛. (回顾条件 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ) 函数 \( E \) 有 \( f \) 的零点,所以, \( f/E \) 是全纯的并且没有零点. 因此,
\[
\frac{f\left( z\right) }{E\left( z\right) } = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) },
\]
其中 \( g \) 是某个整函数. 事实上 \( f \) 具有 \( {\rho }_{0} \) 阶的增长,并且因为在推论 5.4 中对函数 \( E \) 的估计, 我们有
\[
{\mathrm{e}}^{\operatorname{Re}\left( {g\left( z\right) }\right) } = \left| \frac{f\left( z\right) }{E\left( z\right) }\right| \leq {c}^{\prime }{\mathrm{e}}^{c{\left| z\right| }^{s}},
\]
其中 \( \left| z\right| = {r}_{m} \) . 这就证明了
\[
\operatorname{Re}\left( {g\left( z\right) }\right) \leq C{\left| z\right| }^{s},\;\left| z\right| = {r}_{m}.
\]
再加上接下来的引理, Hadamard 定理的证明就完整了.
引理 5.5 假设 \( g \) 是整函数,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( g\right) \) ,当 \( \left| z\right| = r \) 时满足
\[
u\left( z\right) \leq C{r}^{s}.
\]
对一系列正实数 \( r \) 直到它趋于无穷大都是成立的. 那么 \( g \) 是不大于 \( s \) 阶的多项式.
证明 我们可以将函数 \( g \) 在原点处展成幂级数
\[
g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n}.
\]
在第 3 章的最后一节已经证明 (作为柯西积分公式的一个简单应用)
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }g\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{{in}}\theta }\mathrm{d}\theta = \left\{ \begin{array}{ll} {a}_{n}{r}^{n} & n \geq 0 \\ 0 & n < 0. \end{array}\right.
\]
(6)
取复数共轭会发现当 \( n > 0 \) 时,
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\overline{g\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta = 0,
\]
(7)
并且因为 \( {2u} = g + \bar{g} \) ,结合等式 (6) 和等式 (7) 可以获得当 \( n > 0 \) 时,有
\[
{a}_{n}{r}^{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
当 \( n = 0 \) 时只有将等式 (6) 两边分别取实部就会发现
\[
2\operatorname{Re}\left( {a}_{0}\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta .
\]
当 \( n \neq 0 \) 时,我们回顾前面一个简单的事实,函数 \( {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }} \) 在任意以原点为圆心的圆周上的积分都会等于零. 因此,当 \( n > 0 \) 时,有
\[
{a}_{n} = \frac{1}{\pi {r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) - C{r}^{s}}\right\rbrack {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
因此,
\[
\left| {a}_{n}\right| \leq \frac{1}{\pi {r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }\left\lbrack {C{r}^{s} - u\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) }\right\rbrack \mathrm{d}\theta \leq {2C}{r}^{s - n} - 2\operatorname{Re}\left( {a}_{0}\right) {r}^{-n}.
\]
令 \( r \) 趋于无穷,并且是沿着引理证明的假设中给出的序列,这样就可以证明对 \( n > \) \( s \) 有 \( {a}_{n} = 0 \) . 此时引理和 Hadamard 定理的证明完毕.
## 6 练习
1. 给出 Jensen 公式的另一种证明方法, 在单位圆盘上用函数 (称为 Blaschke 因子)
\[
{\psi }_{\alpha }\left( z\right) = \frac{\alpha - z}{1 - \bar{\alpha }z}.
\]
【提示: 函数 \( f/\left( {{\psi }_{{z}_{1}}\cdots {\psi }_{{z}_{N}}}\right) \) 没有零点. 1
2. 找出下列整函数的增长阶:
(a) \( p\left( z\right) \) ,这里 \( p \) 是一个多项式.
(b) \( {\mathrm{e}}^{b{z}^{n}} \) ,其中 \( b \neq 0 \) .
(c) \( {\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{z}} \) .
3. 证明: 如果 \( \tau \) 给定,且 \( \operatorname{Im}\left( \tau \right) > 0 \) ,那么 Jacobi theta 函数
\[
\Theta \left( {z/\tau }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\mathrm{e}}^{\pi \mathrm{i}{n}^{2}\tau }{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{nz}}
\]
是 2 阶的关于 \( z \) 的函数. 关于 \( \Theta \) 的更深的性质将在第 10 章研究.
【提示: 当 \( t > 0, n \geq 4\left| z\right| /t \) 时, \( - {n}^{2}t + {2n}\left| z\right| \leq - {n}^{2}t/2 \) . ]
4. 给定 \( t > 0 \) ,并定义 \( F\left( z\right) \) 为
\[
F\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-{2\pi nt}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}}\right) .
\]
那么这个乘积就定义了一个关于 \( z \) 的整函数.
(a) 证明: \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{a{\left| z\right| }^{2}} \) ,因此 \( F \) 是 2 阶的.
(b) 点 \( z = - \mathrm{i}{nt} + m \) 是函数 \( F \) 的所有零点,其中 \( n \geq 1 \) 且 \( m, n \) 都是整数. 因此如果 \( {z}_{n} \) 是零点的列举,我们有
\[
\sum \frac{1}{{\left| {z}_{n}\right| }^{2}} = + \infty \text{但是}\sum \frac{1}{{\left| {z}_{n}\right| }^{2 + \varepsilon }} < + \infty \text{.}
\]
【提示: 要证明 (a) 需要将 \( F\left( z\right) \) 写成 \( F\left( z\right) = {F}_{1}\left( z\right) {F}_{2}\left( z\right) \) ,其中
\[
{F}_{1}\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{N}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-{2\pi nt}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z}}\right) \text{ 和 }{F}_{2}\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{n = N + 1}}^{{+\infty }}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-{2\pi nt}}{\mathrm{e}}^{{2\pi }\m | 引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有\n\n\[ \n\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}, \n\]\n\n这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , \( 3,\cdots \) . | 证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成\n\n\[ \n\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) . \n\]\n\n上式中第二个乘积的估值与 \( z \) 无关. 事实上,根据前面的引理\n\n\[ \n\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \n\]\n\n\[ \n\geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\mathrm{e}}^{-c{\left| z/{a}_{n}\right| }^{k + 1}} \n\]\n\n\[ \n\geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}}\mathop{\sum }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1}. \n\]\n\n但是 \( \left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| \) ,并且 \( s < k + 1 \) ,所以我们必有\n\n\[ \n{\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} = {\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| {a}_{n}\right| }^{s - k - 1} \leq C{\left| {a}_{n}\right| }^{-s}{\left| z\right| }^{s - k - 1}. \n\]\n\n因此,级数 \( \sum {\left| {a}_{n}\right| }^{-s} \) 收敛就意味着\n\n\[ \n\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{s}}, \n\]\n\n其中 \( c > 0 \) .\n\n为了估计第一个乘积, 我们应用引理 5.2 的第二部分, 并写成\n\n\[ \n\left| {\mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}\left| {1 - \frac{z}{{a}_{n}}}\right| |
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