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|---|---|---|
定理 85
4 练习 90
5 问题 94
第 5 章 整函数 96
1 Jensen 公式. 97
2 有限阶函数 99
3 无穷乘积 101
3. 1 一般性 101
3.2 例子 正弦函数的乘积公式 102
4 Weierstrass 无穷乘积 104
5 Hadamard 因子分解定理 106
6 练习 110
7 问题 113
第 6 章 Gamma 函数和 Zeta 函数 115
I Gamma 函数 115
1.1 解析延拓 116
\( {1.2\Gamma } \) 函数的性质 118
2 Zeta 函数 122
2. 1 泛函方程和解析延拓 122
3 练习 127
4 问... | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz-Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4.5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第 9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和... | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1... | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集... | 定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列. | Null |
定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值.
此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了.
## 2.2 全纯函数
接下来引入复分析中的一个非常重要的概念, 它与之前的讨论有区别, 实际上就是引入真复形的概念.
令 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的复变函数. 如果当 \( h \rightarrow 0 \) 时, 比值
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {... | 定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值. | 此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了. |
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. ... | 例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. | 事实上,\n\n\[\n\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},\n\]\n\n当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同. |
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}... | 命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:\n\n( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .\n\n(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .\n\n(iii) 如果 \( g\lef... | 此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为\n\n\[{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,\]\n\n其中 \( z \in \Omega \) . |
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的... | 命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么\n\n\[ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) . \]\n\n并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么... | 证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且\n\n\[ {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right) \]\n\n\[ = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\r... |
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1... | 定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) . | 证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得\n\n\[ u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,\]\n\n\[ v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\lef... |
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称... | 定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得\n\n( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.\n\n(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.\n\n如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即\n\n\[ 1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}. \] | 证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得\n\n\[ \left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1. \]\n\n根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,\... |
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\pri... | 定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即\n\n\[ \n{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.\n\]\n\n所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径. | 证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因\n\n为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以\n\n\[ \n\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}\n\]\n\n因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,... |
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) =... | 推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶. | 前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}, \]\n\n\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果\n\n\[ g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}... |
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