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|---|---|---|
定理 85
4 练习 90
5 问题 94
第 5 章 整函数 96
1 Jensen 公式. 97
2 有限阶函数 99
3 无穷乘积 101
3. 1 一般性 101
3.2 例子 正弦函数的乘积公式 102
4 Weierstrass 无穷乘积 104
5 Hadamard 因子分解定理 106
6 练习 110
7 问题 113
第 6 章 Gamma 函数和 Zeta 函数 115
I Gamma 函数 115
1.1 解析延拓 116
\( {1.2\Gamma } \) 函数的性质 118
2 Zeta 函数 122
2. 1 泛函方程和解析延拓 122
3 练习 127
4 问... | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz-Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4.5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第 9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和... | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 194
1.2 Weierstrass \( \wp \) 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第 10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1.1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3.2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 \( \mathrm{A} \) 渐近 236
1... | 如果函数 \( f \) 具有原函数,并且存在全纯函数 \( F \) ,其导函数恰好是函数 \( f \) , 则对任意闭合曲线 \( \gamma \) ,有\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 这是柯西定理的第一部分, 在复函数理论中起着重要作用. |
定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列.
集合 \( \Omega \) 的开覆盖是指存在开集族 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) (不一定可数),使得
\[
\Omega \subset \mathop{\bigcup }\limits_{\alpha }{U}_{\alpha }
\]
与实数集 \( \mathbf{R} \) 中的情形类似,紧也有以下等价形式.
定理 1.3 集... | 定理 1.2 集合 \( \Omega \subset \mathrm{C} \) 是紧的充分必要条件是任意柯西列 \( \left| {z}_{n}\right| \subset \Omega \) 均有收敛于 \( \Omega \) 的子列. | Null |
定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值.
此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了.
## 2.2 全纯函数
接下来引入复分析中的一个非常重要的概念, 它与之前的讨论有区别, 实际上就是引入真复形的概念.
令 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的复变函数. 如果当 \( h \rightarrow 0 \) 时, 比值
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {... | 定理 2.1 定义在紧集 \( \Omega \) 上的连续函数一定是有界的,且在 \( \Omega \) 上可以取得最大值和最小值. | 此定理与实函数的情形是类似的, 这里就不再重复证明了. |
例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. 事实上,
\[
\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},
\]
当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同.
下一节将讨论全纯函数族中几个重要函数的幂级数. 包括函数 \( {\mathrm{e}}^{z},\sin z \) 和 \( \cos z \) ,其幂级数在全纯函数理论中扮演着非常重要的角色,这些在前面就已经提到过. ... | 例 3 函数 \( f\left( z\right) = \bar{z} \) 不是全纯的. | 事实上,\n\n\[\n\frac{f\left( {{z}_{0} + h}\right) - f\left( {z}_{0}\right) }{h} = \frac{\bar{h}}{h},\n\]\n\n当 \( h \rightarrow 0 \) 时极限不存在,因为 \( h \) 沿实轴和沿虚轴趋于 0 时极限值不同. |
命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:
( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .
(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .
(iii) 如果 \( g\left( {z}... | 命题 2.2 若 \( f, g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,那么:\n\n( i ) \( f + g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f + g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime } + {g}^{\prime } \) .\n\n(ii) \( f \cdot g \) 是定义在 \( \Omega \) 上的全纯函数,且 \( {\left( f \cdot g\right) }^{\prime } = {f}^{\prime }g + f{g}^{\prime } \) .\n\n(iii) 如果 \( g\lef... | 此外,如果 \( f : \Omega \rightarrow U, g : U \rightarrow \mathbf{C} \) 都是全纯函数,可微的链式法则表示为\n\n\[{\left( g \circ f\right) }^{\prime }\left( z\right) = {g}^{\prime }\left( {f\left( z\right) }\right) {f}^{\prime }\left( z\right) ,\]\n\n其中 \( z \in \Omega \) . |
命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么
\[
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) .
\]
并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么在实变量的... | 命题 2.3 如果函数 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处是可微的,那么\n\n\[ \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\left( {z}_{0}\right) = 0,{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) = 2\frac{\partial u}{\partial z}\left( {z}_{0}\right) . \]\n\n并且,如果记 \( F\left( {x, y}\right) = f\left( z\right) \) ,那么... | 证明 首先根据柯西-黎曼条件容易证明 \( \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \) ,并且\n\n\[ {f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial f}{\partial x}\left( {z}_{0}\right) + \frac{1}{\mathrm{i}}\frac{\partial f}{\partial y}\left( {z}_{0}\right) }\right) \]\n\n\[ = \frac{\partial f}{\partial z}\left( {z}_{0}\r... |
定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) .
证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得
\[
u\left( {x + {h}_{1... | 定理 2.4 (可微的充分条件) 若 \( f = u + \mathrm{i}v \) 是定义在开集 \( \Omega \) 上的复值函数. 如果 \( u \) 和 \( v \) 都具有连续的一阶偏导数,并在 \( \Omega \) 上满足柯西-黎曼方程式,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且 \( {f}^{\prime }\left( z\right) = \partial f/\partial z \) . | 证明 因为一阶偏导数连续必可微,令 \( h = {h}_{1} + \mathrm{i}{h}_{2} \) ,根据可微的定义得\n\n\[ u\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - u\left( {x, y}\right) = \frac{\partial u}{\partial x}{h}_{1} + \frac{\partial u}{\partial y}{h}_{2} + \left| h\right| {\psi }_{1}\left( h\right) ,\]\n\n\[ v\left( {x + {h}_{1}, y + {h}_{2}}\right) - v\lef... |
定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得
( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.
(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.
如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即
\[
1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}.
\]
其中,数 \( R \) 称为幂级数的收敛半径,区域 \( \left| z\right| < R \) 称... | 定理 2.5 对任意的幂级数,必存在 \( 0 \leq R \leq + \infty \) 使得\n\n( i ) 如果 \( \left| z\right| < R \) ,级数绝对收敛.\n\n(ii) 如果 \( \left| z\right| > R \) ,级数发散.\n\n如果规定 \( 1/0 = + \infty ,1/ + \infty = 0 \) ,那么 \( R \) 由 Hadamard 公式给出,即\n\n\[ 1/R = \limsup {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n}. \] | 证明 令 \( L = 1/R \) ,其中 \( R \) 是上面定理中定义的收敛半径,并假设 \( L \neq 0, + \infty \) (这两种简单的情况留为练习). 如果 \( \left| z\right| < R \) ,选择非常小的正数 \( \varepsilon > 0 \) 使得\n\n\[ \left( {L + \varepsilon }\right) \left| z\right| = r < 1. \]\n\n根据 \( L \) 的定义,只要 \( n \) 足够大,就有 \( {\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} \leq L + \varepsilon \) ,因此,\... |
定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.
\]
所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径.
证明 关于 \( {f}^{\pri... | 定理 2.6 幂级数 \( f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{z}^{n} \) 是定义在其收敛圆盘上的全纯函数. 它的导数依然是一个幂级数,是由函数 \( f \) 的幂级数逐项求导得到的,即\n\n\[ \n{f}^{\prime }\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}n{a}_{n}{z}^{n - 1}.\n\]\n\n所以, \( {f}^{\prime } \) 与 \( f \) 具有相同的收敛半径. | 证明 关于 \( {f}^{\prime } \) 的收敛半径的证明可直接通过 Hadamard 公式得到,事实上,因\n\n为 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}{n}^{1/n} = 1 \) ,所以\n\n\[ \n\text{limsup}{\left| {a}_{n}\right| }^{1/n} = \text{limsup}{\left| n{a}_{n}\right| }^{1/n}\text{,}\n\]\n\n因此, \( \sum {a}_{n}{z}^{n} \) 与 \( \sum n{a}_{n}{z}^{n} \) 有相同的收敛半径,... |
推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶.
前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果
\[
g\left( z\right) =... | 推论 2.7 幂级数在其收敛圆盘内是复可微的, 并且可逐项求导至任意阶. | 前面我们已经证明了以原点为中心的幂级数的可微性. 更一般地, 如果幂级数是以 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) 为中心,其展开式的形式为\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}, \]\n\n\( f \) 的收敛圆盘是以 \( {z}_{0} \) 为中心的,其收敛半径依然由 Hadamard 公式得到. 事实上, 如果\n\n\[ g\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}... |
定理 3.2 若连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上具有原函数 \( F,\gamma \) 是 \( \Omega \) 内分别以 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 为起止点的曲线, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = F\left( {w}_{2}\right) - F\left( {w}_{1}\right) .
\]
证明 如果 \( \gamma \) 是光滑的,此证明仅仅是链式法则和微积分的基本定理的简单应用. 事实上,如果 \( z\left( t\right) : \left\lbrack {a... | 定理 3.2 若连续函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上具有原函数 \( F,\gamma \) 是 \( \Omega \) 内分别以 \( {w}_{1} \) 和 \( {w}_{2} \) 为起止点的曲线, 那么\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = F\left( {w}_{2}\right) - F\left( {w}_{1}\right) .\n\] | 证明 如果 \( \gamma \) 是光滑的,此证明仅仅是链式法则和微积分的基本定理的简单应用. 事实上,如果 \( z\left( t\right) : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是曲线 \( \gamma \) 的参数化法,那么 \( z\left( a\right) = {w}_{1}, z\left( b\right) = \) \( {w}_{2} \) ,则\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{a}^{b}f\left( {z\left... |
推论 3.3 如果 \( \gamma \) 是开集 \( \Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \Omega \) 上存在原函数, 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
这是因为封闭曲线的起止点重合了.
例如,函数 \( f\left( z\right) = 1/z \) ,在开集 \( \mathbf{C} - \{ 0\} \) 上不存在原函数,因为如果集合 \( C \) 是单位圆周,其参数化法为 \( z\left( t\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t},0 \le... | 推论 3.3 如果 \( \\gamma \) 是开集 \( \\Omega \) 上的封闭曲线,函数 \( f \) 连续且在 \( \\Omega \) 上存在原函数, 那么\n\n\[ \n{\\int }_{\\gamma }f\\left( z\\right) \\mathrm{d}z = 0.\n\] | 这是因为封闭曲线的起止点重合了. |
推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数.
证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.
因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) ... | 推论 3.4 如果在区域 \( \Omega \) 上 \( f \) 是全纯函数,且 \( {f}^{\prime } = 0 \) ,那么 \( f \) 是常数. | 证明 取定一点 \( {w}_{0} \in \Omega \) . 只要证明对任意一点 \( w \in \Omega \) 都有 \( f\left( w\right) = f\left( {w}_{0}\right) \) 即可.\n\n因为 \( \Omega \) 是连通的,所以对任意一点 \( w \in \Omega \) 总存在分别以 \( {w}_{0} \) 和 \( w \) 为起止点的曲线 \( \gamma \) . 又因为 \( f \) 是全纯函数, \( f \) 一定是函数 \( {f}^{\prime } \) 的原函数,因此,\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }{f}^{\pri... |
定理 1.1 如果 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集,且 \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 中,那么
\[
{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯函数.
证明 记 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 为初始三角形 (方向取正,即逆时针方向), \( {d}^{\left( 0\right) } \) 和 \( {p}^{\left( 0\right) } \) 分别表示 \... | 定理 1.1 如果 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集,且 \( T \subset \Omega \) 是三角形周线,其内部也包含在 \( \Omega \) 中,那么\n\n\[{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,\]\n\n其中 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯函数. | 证明 记 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 为初始三角形 (方向取正,即逆时针方向), \( {d}^{\left( 0\right) } \) 和 \( {p}^{\left( 0\right) } \) 分别表示 \( {T}^{\left( 0\right) } \) 的直径和周长. 首先将组成周线的三角形的三边各取中点,连接中点就会得到四个新的小三角形,记为 \( {T}_{1}^{\left( 1\right) },{T}_{2}^{\left( 1\right) },{T}_{3}^{\left( 1\right) },{T}_{4}^{\left( 1\right) } \) ,这四个小三角形全... |
推论 1.2 如果 \( f \) 是开集 \( \Omega \) 中的全纯函
图 2 矩形分割成两个三角形
数, \( \Omega \) 中包含矩形周线 \( R \) 及其内部,那么
\[
{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
此推论很显然, 只要连接矩形的一条对角线得到两个全等的三角形即可. 选择好方向, 如图 2 所示.
\[
{\int }_{R}... | 推论 1.2 如果 \( f \) 是开集 \( \Omega \) 中的全纯函数, \( \Omega \) 中包含矩形周线 \( R \) 及其内部,那么\n\n\[{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.\] | 此推论很显然, 只要连接矩形的一条对角线得到两个全等的三角形即可. 选择好方向, 如图 2 所示.\n\n\[{\int }_{R}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{T}_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z + {\int }_{{T}_{2}}f\left( z\right) \mathrm{d}z.\] |
定理 2.1 定义在开圆盘上的全纯函数在该圆盘内具有原函数.
证明 首先不失一般性假设圆盘是以原点为中
图 3 多边形线 \( {\gamma }_{z} \)
心的,记为 \( D \) . 任取一点 \( z \in D \) ,用水平和铅垂的折线连接 0 与 \( z \) ,如图 3 所示,首先沿水平方向连接 0 与 \( \widetilde{z} \) ,其中 \( \widetilde{z} = \opera... | 定理 2.1 定义在开圆盘上的全纯函数在该圆盘内具有原函数. | 证明 首先不失一般性假设圆盘是以原点为中\n\n心的,记为 \( D \) . 任取一点 \( z \in D \) ,用水平和铅垂的折线连接 0 与 \( z \) ,如图 3 所示,首先沿水平方向连接 0 与 \( \widetilde{z} \) ,其中 \( \widetilde{z} = \operatorname{Re}\left( z\right) \) ,然后沿铅垂方向连接 \( \widetilde{z} \) 和 \( z \) . 此折线当然是分段光滑的,方向是从 0 到 \( z \) ,记此多边形线 (由至少两条线段构成的折线称为多边形线) 为 \( {\gamma }_{z} \) . 定义\n\n\[ ... |
定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,
\]
其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线.
证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证.
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存... | 定理 2.2 (圆盘上的柯西定理) 如果函数 \( f \) 在圆盘内是全纯函数,那么\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,\]\n\n其中 \( \gamma \) 是圆盘内的任意闭曲线. | 证明 因为 \( f \) 有原函数,应用第 1 章推论 3.3 即证. |
推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \... | 推论 2.3 假设 \( f \) 在某开集内是全纯函数,且此开集包含圆周线 \( C \) 及其内部, 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0\] | 证明 令集合 \( D \) 表示以圆周线 \( C \) 为边界的圆盘. 那么一定存在包含圆盘 \( D \) 的略大的圆盘 \( {D}^{\prime } \) ,使得函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内是全纯的,则在圆盘 \( {D}^{\prime } \) 内应用柯西定理推导出 \( {\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0 \) . |
定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta .
\]
证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \) ,忽略锁眼 \( z \) ,如图 10 所示.
这里的 ... | 定理 4.1 假设函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 及其边界的开集中是全纯的, \( C \) 表示圆盘的边界圆周,并且取正方向,那么对任意点 \( z \in D \) ,有\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta . \] | 证明 取定点 \( z \in D \) 并考虑锁眼周线 \( {\Gamma }_{\delta ,\varepsilon } \) ,忽略锁眼 \( z \) ,如图 10 所示.\n\n这里的 \( \delta \) 是走廊的宽度, \( \varepsilon \) 是以 \( z \) 为中心的小圆周的半径. 因为函数 \( F\left( \zeta \right) = f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \) 在远离 \( \zeta = z \) 的点处是全纯的,则根据柯西定理选择合适的周线有\n\n\[ {\int }_{{\Gamma }_{\del... |
推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么
\[
{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,
\]
其中 \( z \) 可以是 ... | 推论 4.2 如果 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 内是全纯的,那么 \( f \) 在 \( \Omega \) 内一定有无穷阶导数. 而且,如果 \( C \in \Omega \) 是一个圆周,其内部也在 \( \Omega \) 内,那么\n\n\[ \n{f}^{\left( n\right) }\left( z\right) = \frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,\n\]\n\n其中 \( z ... | 证明 用数学归纳法. 当 \( n = 0 \) 时就是简单的柯西积分公式,自然成立. 假设当取 \( n - 1 \) 时公式成立,即\n\n\[ \n{f}^{\left( n - 1\right) }\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - z\right) }^{n}}\mathrm{\;d}\zeta .\n\]\n\n当 \( h \) 足够小时, \( {f}^{\left( n - 1\right) } \) 的微... |
推论 4.3 (柯西不等式) 如果函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 的闭包的开集内是全纯的, 圆盘 \( D \) 的中心为 \( {z}_{0} \) ,半径为 \( R \) ,那么
\[
\left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{n!\parallel f{\parallel }_{C}}{{R}^{n}},
\]
其中 \( \parallel f{\parallel }_{C} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in C}}\left| {f\left( z\right) }\r... | 推论 4.3 (柯西不等式) 如果函数 \( f \) 在包含圆盘 \( D \) 的闭包的开集内是全纯的, 圆盘 \( D \) 的中心为 \( {z}_{0} \) ,半径为 \( R \) ,那么\n\n\[ \left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{n!\parallel f{\parallel }_{C}}{{R}^{n}}, \]\n\n其中 \( \parallel f{\parallel }_{C} = \mathop{\sup }\limits_{{z \in C}}\left| {f\left( z\right)... | 证明 对 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) \) 应用柯西积分公式,得\n\n\[ \left| {{f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) }\right| = \left| {\frac{n!}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta }\right| \]\n\n\[ = \frac{n!}{2\pi }\left| {{\int... |
定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n},
\]
其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为
\[
{a}_{n} = \frac{{f}^... | 定理 4.4 假设 \( f \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数. 如果 \( D \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内,那么 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点处展开成幂级数\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{a}_{n}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}, \]\n\n其中 \( z \in D \) ,并且,只要 \( n \geq 0 \) ,其系数为\n\n\[ {a}_{n} = \fra... | 证明 取定 \( z \in D \) . 根据柯西积分公式得\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta , \]\n\n其中 \( C \) 表示圆盘的边界. 因为\n\n\[ \frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - {z}_{0} - \left( {z - {z}_{0}}\right) } = \frac{1}{\zeta - {z}_{0}}\frac{1}{1 - \left( \fra... |
推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数.
证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.
对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有
\[
\left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R},
\]
其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \... | 推论 4.5 (Liouville 定理) 如果 \( f \) 是整函数并且有界,那么 \( f \) 是整数. | 证明 因为复数集 \( \mathbf{C} \) 是连通的,可以应用第 1 章中的推论 3.4,只要能证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) 即可.\n\n对任意 \( {z}_{0} \in \mathbf{C} \) ,任意整数 \( R > 0 \) ,根据柯西不等式,有\n\n\[ \left| {{f}^{\prime }\left( {z}_{0}\right) }\right| \leq \frac{B}{R}, \]\n\n其中 \( B \) 是函数 \( f \) 的界. 只要令 \( R \rightarrow + \infty \) 就可以证明 \( {f}^{\prime } = 0 \) ... |
推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成
\[
P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}}\... | 推论 4.7 任意一个阶数为 \( n \geq 1 \) 的多项式函数 \( P\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + \cdots + {a}_{0} \) 在复数集 \( \mathbf{C} \) 上有 \( n \) 个根. 如果它的 \( n \) 个根分别记为 \( {w}_{1},\cdots ,{w}_{n} \) ,那么多项式函数 \( P \) 就可以写成\n\n\[ P\left( z\right) = {a}_{n}\left( {z - {w}_{1}}\right) \left( {z - {w}_{2}}\right) \cdots \left( {z - {w}_{n}... | 证明 根据推论 4.6, \( P \) 肯定有一个根,不妨记为 \( {w}_{1} \) ,将 \( z = \left( {z - {w}_{1}}\right) + {w}_{1} \) 替换多项式函数 \( P \) 中的 \( z \) ,再根据二项式公式得\n\n\[ P\left( z\right) = {b}_{n}{\left( z - {w}_{1}\right) }^{n} + \cdots + {b}_{1}\left( {z - {w}_{1}\right) + {b}_{0}, \]\n\n其中 \( {b}_{0},\cdots ,{b}_{n - 1} \) 是新的系数,而 \( {b}_{n} =... |
定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0 .
也就是说,如果全纯函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 内的零点在 \( \Omega \) 内累积,那么 \( f = 0 \) .
证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left... | 定理 4.8 假设 \( f \) 是区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,如果存在 \( \Omega \) 内的某个数列,且其极限点也在 \( \Omega \) 内,使得 \( f \) 在该数列上的值都为 0,那么函数 \( f \) 就等于 0. | 证明 假设 \( {z}_{0} \in \Omega \) ,是数列 \( {\left\{ {w}_{k}\right\} }_{k = 1}^{+\infty } \) 的极限点,且 \( f\left( {w}_{k}\right) = 0 \) . 那么函数 \( f \) 在以 \( {z}_{0} \) 为中心的很小的圆盘内恒等于 0 . 因此在 \( \Omega \) 内选择以 \( {z}_{0} \) 为中心的圆盘 \( D \) ,并考虑函数 \( f \) 在圆盘内的幂级数展开\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\inft... |
定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的.
证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有
\[
{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0.
\]
根据题设,在圆盘 \( ... | 定理 5.2 如果 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一列全纯函数,在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( f \) ,那么函数 \( f \) 是全纯的. | 证明 记集合 \( D \) 为任意圆盘,其闭包包含在 \( \Omega \) 内, \( T \) 是 \( D \) 内的任意三角形周线. 那么,因为每个 \( {f}_{n} \) 都是全纯的,根据 Goursat 定理,有\n\n\[ \n{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z = 0. \n\]\n\n根据题设,在圆盘 \( D \) 的闭包内 \( {f}_{n} \rightarrow f \) ,因此 \( f \) 是连续的,并且\n\n\[ \n{\int }_{T}{f}_{n}\left( z\right) \mathrm{d}z \rightarrow ... |
定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) .
证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集
\[
{\Omega }_{\delta } = \left\{ {z \in \Omega : {\bar{D}}_{\delta... | 定理 5.3 在定理 5.2 的条件下,导函数列 \( {\left\{ {f}^{\prime }{}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 在 \( \Omega \) 中的每一个紧子集中都一致收敛于函数 \( {f}^{\prime } \) . | 证明 不失一般性,我们不妨假设定理中的函数列在整个 \( \Omega \) 上是一致收敛的. 给定 \( \delta > 0,{\Omega }_{\delta } \) 表示 \( \Omega \) 的子集\n\n\[ \n{\Omega }_{\delta } = \\left\{ {z \\in \\Omega : {\\bar{D}}_{\\delta }\\left( z\\right) \\subset \\Omega }\\right\} .\n\] \n\n也就是说 \( {\\Omega }_{\\delta } \) 表示 \( \\Omega \) 中距离 \( \\Omega \) 的边界大于 \( \... |
定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:
( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.
(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Omega ... | 定理 5.4 令函数 \( F\left( {z, s}\right) \) 定义在区域 \( \left( {z, s}\right) \in \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上,其中 \( \Omega \) 是复数集 \( \mathbf{C} \) 中的开集. 假设 \( F\left( {z, s}\right) \) 满足以下条件:\n\n( i ) \( F\left( {z, s}\right) \) 固定 \( z \) 对变量 \( s \) 是全纯函数.\n\n(ii) \( F\left( {z, s}\right) \) 在区域 \( \Om... | 证明 对任意 \( n \geq 1 \) ,考虑黎曼和\n\n\[ {f}_{n}\left( z\right) = \left( {1/n}\right) \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}F\left( {z, k/n}\right) . \]\n\n根据条件 ( i ), \( {f}_{n} \) 在 \( \Omega \) 上是全纯函数,并且,在任意其闭包包含在 \( \Omega \) 内的圆盘 \( D \) 上,函数列 \( {\left\{ {f}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 一致收敛于函数 \( f \) . 因为闭子集中的连续函... |
定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .
\]
那么函数 \( f \) 定义为
\[
f\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {\Omega }^{ ... | 定理 5.5 (对称原理) 如果 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) 分别是 \( {\Omega }^{ + } \) 和 \( {\Omega }^{ - } \) 上的全纯函数,在 \( I \) 上扩张函数使其连续,对任意 \( x \in I \) . 有\n\n\[ \n{f}^{ + }\left( x\right) = {f}^{ - }\left( x\right) .\n\]\n\n那么函数 \( f \) 定义为\n\n\[ \nf\left( z\right) = \left\{ \begin{matrix} {f}^{ + }\left( z\right) & z \in {... | 证明 首先 \( f \) 在整个 \( \Omega \) 上是连续的. 唯一的困难是证明 \( f \) 在 \( I \) 上是全纯的. 假设 \( D \) 是以 \( I \) 上的点为中心包含在 \( \Omega \) 内的圆盘,根据 Morera 定理可以证明 \( f \) 在圆盘 \( D \) 上是全纯的. 假设 \( T \) 是 \( D \) 中的三角形周线,如果 \( T \) 不与 \( I \) 相交,那么\n\n\[ \n{\int }_{T}f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0,\n\]\n\n这是因为函数 \( f \) 在上半圆盘或下半圆盘中都是全纯的. 假设 \... |
定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) .
证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式
\[
F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}... | 定理 5.6 (Schwarz 反射原理) 假设 \( f \) 是定义在 \( {\Omega }^{ + } \) 上的全纯函数,如果 \( f \) 可以保证连续性地扩张到 \( I \) 上,并且在 \( I \) 上是实值函数,那么一定存在函数 \( F \) ,其在整个 \( \Omega \) 上都是全纯的,且在 \( {\Omega }^{ + } \) 上, \( F = f \) . | 证明 首先定义 \( F\left( z\right) \) 在 \( z \in {\Omega }^{ - } \) 上的表达式\n\n\[ F\left( z\right) = \overline{f\left( \bar{z}\right) }\text{.}\]\n\n然后证明 \( F \) 在 \( {\Omega }^{ - } \) 上是全纯的. 如果 \( z,{z}_{0} \in {\Omega }^{ - },\bar{z},{\bar{z}}_{0} \in {\Omega }^{ + } \) ,函数 \( f \) 在 \( {\bar{z}}_{0} \) 点展成幂级数\n\n\[ f\left( ... |
定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内.
如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被多项式一致近似.
上述定理的第二点是指: 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的,那么奇点可以被 “推” 到无穷远处, 因此有理函数就可以转变成多项式.
定理的关键就是积分表达公式, 这仅仅是正方形周线下的柯西积分公式的简单推论.
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, ... | 定理 5.7 任何定义在紧集 \( K \) 的某个邻域内的全纯函数在 \( K \) 内都可以被有理函数一致近似,而且此有理函数的奇点都在 \( {K}^{c} \) 内. | 证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .\n\n令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{... |
引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有
---
\( \ominus \) 证明见第一册第 5 章的 1.8 小节.
(C) 奇点是指使得函数不是全纯的点, 也称为 “极点”, 将在下一章中定义.
---
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}... | 引理 5.8 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( K \subset \Omega \) 是紧集. 那么在 \( \Omega - K \) 存在有限条线 \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{N} \) 时,对任意 \( z \in K \) 有\n\n--- | 证明 令 \( d = c \cdot d\left( {K,{\Omega }^{c}}\right) \) ,其中 \( c \) 是小于 \( 1/\sqrt{2} \) 的任意常数,用平行于坐标轴的直线划分方格,步长取 \( d \) .\n\n令 \( Q = \left\{ {{Q}_{1},{Q}_{2},\cdots ,{Q}_{M}}\right\} \) 表示可以覆盖集合 \( K \) 的有限个方格,每个方格的边缘取正方向 (用 \( \partial {Q}_{m} \) 表示方格 \( {Q}_{m} \) 的边界). 最后, \( {\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{... |
引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数,
可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) .
证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么
\[
{\int }_{\gamma... | 引理 5.9 对任意属于 \( \Omega - K \) 的线段 \( \gamma ,\gamma \) 上存在一列具有奇点的有理函数, 可以在 \( K \) 上一致近似积分 \( {\int }_{\gamma }f\left( \zeta \right) /\left( {\zeta - z}\right) \mathrm{d}\zeta \) . | 证明 如果 \( \gamma \left( t\right) : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \mathbf{C} \) 是线段 \( \gamma \) 的参数化法,那么\n\n\[ \n{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta = {\int }_{0}^{1}\frac{f\left( {\gamma \left( t\right) }\right) }{\gamma \left( t\right) - z}{\gamma }^{\prime }\left( ... |
引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似.
证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么
\[
\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{... | 引理 5.10 如果 \( {K}^{c} \) 是连通的, \( {z}_{0} \notin K \) ,那么函数 \( 1/\left( {z - {z}_{0}}\right) \) 在 \( K \) 上可以由多项式一致近似. | 证明 首先在 \( K \) 中的一个大的以原点为中心的开圆盘 \( D \) 外选择一点 \( {z}_{1} \) ,那么\n\n\[ \n\frac{1}{z - {z}_{1}} = - \frac{1}{{z}_{1}}\frac{1}{1 - z/{z}_{1}} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }} - \frac{{z}^{n}}{{z}_{1}^{n + 1}}, \n\]\n\n这个级数对 \( z \in K \) 是一致收敛的,级数的部分和就是一个多项式,是在 \( K \) 上对 \( 1/\left( {z - {z}_{1}}\right) \) ... |
定理 1.1 假设函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( {z}_{0} \in \Omega \) 是它的零元,并且 \( f \) 在 \( \Omega \) 上不恒等于 0 . 那么存在 \( {z}_{0} \) 的邻域 \( U \subset \Omega \) 和定义在 \( U \) 上的非零函数 \( g \) ,同时存在唯一的正整数 \( n \) ,使得对所有的 \( z \in U \) ,有
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) .
\]
证明 因为 \( ... | 定理 1.1 假设函数 \( f \) 在连通的开集 \( \Omega \) 上是全纯的, \( {z}_{0} \in \Omega \) 是它的零元,并且 \( f \) 在 \( \Omega \) 上不恒等于 0 . 那么存在 \( {z}_{0} \) 的邻域 \( U \subset \Omega \) 和定义在 \( U \) 上的非零函数 \( g \) ,同时存在唯一的正整数 \( n \) ,使得对所有的 \( z \in U \) ,有\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) . \] | 证明 因为 \( \Omega \) 是连通的,并且 \( f \) 不恒等于零,推出 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 的某个邻域内不恒等于零. 在一个以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘内,函数 \( f \) 可以展成幂级数,即\n\n\[ f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{+\infty }}{a}_{k}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{k}. \]\n\n因为 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 附近不等于零,存在最小的正整数 \( n \) ,使得 \( {a}_{n} \neq 0 \... |
定理 1.2 如果 \( {z}_{0} \in \Omega \) 是 \( f \) 的极点,那么在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中存在非零的全纯函数 \( h \) 和唯一的正整数 \( n \) 使得
\[
f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}h\left( z\right) .
\]
证明 根据前面的理论,在 \( {z}_{0} \) 点的某邻域内存在非零的全纯函数 \( g\left( z\right) \) 使得
\( 1/f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left... | 定理 1.2 如果 \( {z}_{0} \in \Omega \) 是 \( f \) 的极点,那么在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中存在非零的全纯函数 \( h \) 和唯一的正整数 \( n \) 使得\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}h\left( z\right) . \] | 证明 根据前面的理论,在 \( {z}_{0} \) 点的某邻域内存在非零的全纯函数 \( g\left( z\right) \) 使得\n\n\( 1/f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}g\left( z\right) \) ,因此 \( h\left( z\right) = 1/g\left( z\right) \) . |
定理 1.3 如果 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的 \( n \) 阶极点,那么
\[
f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n + 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,
\]
(1)
其中, \( G \) 是定义在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中的全纯函数.
证明 下... | 定理 1.3 如果 \( {z}_{0} \) 点是函数 \( f \) 的 \( n \) 阶极点,那么\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}} + \frac{{a}_{-n + 1}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n + 1}} + \cdots + \frac{{a}_{-1}}{\left( z - {z}_{0}\right) } + G\left( z\right) ,\]\n\n其中, \( G \) 是定义在 \( {z}_{0} \) 的某邻域中的全纯函数. | 证明 下面的证明来自前面定理中的乘性表现. 事实上,函数 \( h \) 可以展成幂级数\n\n\[ h\left( z\right) = {A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots ,\]\n\n使得\n\n\[ f\left( z\right) = {\left( z - {z}_{0}\right) }^{-n}\left( {{A}_{0} + {A}_{1}\left( {z - {z}_{0}}\right) + \cdots }\right)\]\n\n\[ = \frac{{a}_{-n}}{{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n... |
定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么
\[
{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) .
\]
这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着
\[
{\left( z - {... | 定理 1.4 如果 \( f \) 在 \( {z}_{0} \) 点具有 \( n \) 阶极点,那么\n\n\[{\operatorname{res}}_{{z}_{0}}f = \mathop{\lim }\limits_{{z \rightarrow {z}_{0}}}\frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\right) }^{n - 1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) . | 这个定理只是式 (1) 的推论, 它意味着\n\n\[{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}f\left( z\right) = {a}_{-n} + {a}_{-n + 1}\left( {z - {z}_{0}\right) + \cdots + {a}_{-1}{\left( z - {z}_{0}\right) }^{n - 1} + G\left( z\right) {\left( z - {z}_{0}\right) }^{n}. |
定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.
\]
证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中, \( {C}_{\v... | 定理 2.1 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{0} \) 外,是全纯的. 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }{\operatorname{ires}}_{{z}_{0}}f.\] | 证明 这里也要用到锁眼周线来消除极点, 令走廊的宽度趋于零, 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{C}_{\varepsilon }}f\left( z\right) \mathrm{d}z,\]\n\n其中, \( {C}_{\varepsilon } \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心, \( \varepsilon \) 为半径的小圆周.\n\n注意到,根据柯西积分公式 (上一章的定理 4.1) 将其应用到常函数 \( f = {a}_{-1} \) 上, 很容易推出\n\n\[\frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}... |
推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明.
推论 2.3 假... | 推论 2.2 假设函数 \( f \) 在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么\n\n\[{\int }_{C}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.\] | 为了证明, 考虑多锁眼周线, 形成回路, 从而消除每一个极点. 令走廊的宽度趋于零. 取极限时, 大圆周上的积分等于所有小圆周上的积分之和, 根据定理 2.1 即可证明. |
推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.
\]
其中周线 \( \gamma \) 取正向.
定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼... | 推论 2.3 假设函数 \( f \) 在包含周线 \( \gamma \) 及其内部的开集中,除了极点 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 外, 是全纯的. 那么\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f.\]\n\n其中周线 \( \gamma \) 取正向. | 定理的证明需要根据所给周线 \( \gamma \) 选择对应的锁眼形状,由此,应用定理 2.1 可以简化绕着极点的锁眼上的积分.\n\n等式 \( {\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = {2\pi }\mathrm{i}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\operatorname{res}}_{{z}_{k}}f \) 就是留数公式. |
例 2 下面这个积分在第 6 章中非常重要.
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) .
\]
为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \... | \[ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{1 + {\mathrm{e}}^{x}}\mathrm{\;d}x = \frac{\pi }{\sin {\pi a}}\;\left( {0 < a < 1}\right) . | 为了证明这个公式,令 \( f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{az}/\left( {1 + {\mathrm{e}}^{z}}\right) \) ,考虑位于上半平面的矩形周线, 其底边在实轴上从 \( - R \) 到 \( R \) ,其宽度为 \( {2\pi } \) ,如图 2 所示.\n\n在矩形周线 \( {\gamma }_{R} \) 的内部使得函数\n\n\n\n图 2 例 2 ... |
例 3 计算另一个傅里叶变换,
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }},
\]
其中,
\[
\cosh z = \frac{{\mathrm{e}}^{z} + {\mathrm{e}}^{-z}}{2}.
\]
也就是说,函数 \( 1/\cosh {\pi x} \) 是它自己的傅里叶变换,此性质函数 \( {\mathrm{e}}^{-\pi {x}^{2}} \) 也具有（见第 2 章... | 计算另一个傅里叶变换, \n\n\[ \n{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}}{\cosh {\pi x}}\mathrm{\;d}x = \frac{1}{\cosh {\pi \xi }}, \n\] | 对于取定的 \( \xi \in \mathbf{R} \) (实数集), 令 \n\n\[ \nf\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{z\xi }}}{\cosh {\pi z}}, \n\] \n\n并注意到当 \( {\mathrm{e}}^{\pi z} = - {\mathrm{e}}^{-{\pi z}} \) 时,也就是当 \( {\mathrm{e}}^{2\pi z} = - 1 \) 时,函数 \( f \) 的分母为零. 换句话说,矩形周线中函数 \( f \) 的极点为 \( \alpha = \mathrm{i}/2 \) 和 \... |
定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点.
证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z... | 定理 3.1 (可去奇点处的黎曼定理) 假设函数 \( f \) 在开集 \( \Omega \) 上除了点 \( {z}_{0} \) 处没定义之外是全纯的,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega - \left\{ {z}_{0}\right\} \) 上是有界的,那么 \( {z}_{0} \) 是 \( f \) 的可去奇点. | 证明 因为这是个局部问题,只要我们考虑以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘 \( D \) ,其中圆盘 \( D \) 的闭包包含在 \( \Omega \) 中. 令 \( C \) 表示圆盘 \( D \) 的边界圆周线并取正方向 (顺时针方向). 我们将证明,如果 \( z \in D \) 并且 \( z \neq {z}_{0} \) ,那么在定理的假设条件下有\n\n\[ f\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{f\left( \zeta \right) }{\zeta - z}\mathrm{\;d}\zeta . \]\n... |
推论 4.2 对于其他类型的周线, 上面的定理依然成立.
作为辐角原理的应用, 我们将证明三个感兴趣的定理. 首先是, Rouché 定理, 它是说全纯函数可以不改变零点的个数而进行细微扰动. 然后, 我们证明了开映射定理, 即全纯函数将开集映为开集, 这个重要性质是全纯函数的特有本性. 最后是最大模原理: 定义在开集 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数在 \( \Omega \) 的内部不能获得它的最大值.
定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有
\[
\lef... | 定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有\n\n\[ \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,\]\n\n那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数. | 证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义\n\n\[ {f}_{t}\left( z\right) = f\left( z\right) + \operatorname{tg}\left( z\right) ,\]\n\n使得 \( {f}_{0} = f \) 且 \( {f}_{1} = f + g \) . 令 \( {n}_{t} \) 表示函数 \( {f}_{t} \) 在圆周内部的零点个数 (按重数计算), 因此, \( {n}_{t} \) 是整数. 已知当 \( z \in C \) 时,满足 \( \left| {f\left( z\right) }\... |
定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,
\]
那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数.
证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义
\[
{f}_{t}\left( z\right) = f\left( z... | 定理 4.3 (Rouché 定理) 假设函数 \( f \) 和 \( g \) 都是定义在包含圆周 \( C \) 及其内部的开集上的全纯函数. 如果对所有的 \( z \in C \) 有\n\n\[ \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {g\left( z\right) }\right| ,\]\n\n那么函数 \( f \) 和 \( f + g \) 在圆周 \( C \) 的内部有相同的零点数. | 证明 对 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 定义\n\n\[ {f}_{t}\left( z\right) = f\left( z\right) + \operatorname{tg}\left( z\right) ,\]\n\n使得 \( {f}_{0} = f \) 且 \( {f}_{1} = f + g \) . 令 \( {n}_{t} \) 表示函数 \( {f}_{t} \) 在圆周内部的零点个数 (按重数计算), 因此, \( {n}_{t} \) 是整数. 已知当 \( z \in C \) 时,满足 \( \left| {f\left( z\right) }\... |
定理 4.4 (开映射定理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,且它不是常函数,那么 \( f \) 是开的.
证明 令 \( {w}_{0} \) 属于 \( f \) 的象,也就是说 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 我们证明所有 \( {w}_{0} \) 附近的点 \( w \) 也都是函数 \( f \) 的象.
定义 \( g\left( z\right) = f\left( z\right) - w \) 并可以写成
\[
g\left( z\right) = \left( {f\left( z\right) - {w}_{... | 定理 4.4 (开映射定理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的全纯函数,且它不是常函数,那么 \( f \) 是开的. | 证明 令 \( {w}_{0} \) 属于 \( f \) 的象,也就是说 \( {w}_{0} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 我们证明所有 \( {w}_{0} \) 附近的点 \( w \) 也都是函数 \( f \) 的象.\n\n定义 \( g\left( z\right) = f\left( z\right) - w \) 并可以写成\n\n\[ g\left( z\right) = \left( {f\left( z\right) - {w}_{0}}\right) + \left( {{w}_{0} - w}\right) \]\n\n\[ = F\left( z\right) + G\l... |
定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值.
证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left... | 定理 4.5 (最大模原理) 如果 \( f \) 是定义在区域 \( \Omega \) 上的非常数全纯函数,那么 \( f \) 在区域 \( \Omega \) 上取不到最大值. | 证明 用反证法,假设 \( f \) 在点 \( {z}_{0} \) 处获得了最大值. 因为函数 \( f \) 是全纯的,它是一个开映射,因此,如果 \( D \subset \Omega \) 是以 \( {z}_{0} \) 为中心的小圆盘,它的象 \( f\left( D\right) \) 是开集,并且包含 \( f\left( {z}_{0}\right) \) . 这就证明了存在点 \( z \in D \) 使得 \( \left| {f\left( z\right) }\right| > \left| {f\left( {z}_{0}\right) }\right| \) ,矛盾. |
推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \... | 推论 4.6 假设区域 \( \Omega \) 有紧闭包 \( \bar{\Omega } \) ,如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的,并且在 \( \bar{\Omega } \) 上连续, 那么\n\n\[ \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{z \in \Omega - \Omega }}\left| {f\left( z\right) }\right| . \] | 事实上,因为 \( f\left( z\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上连续,那么 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上可以获得最大值; 如果 \( f \) 不是常函数,它在 \( \Omega \) 上不能获得最大值. 如果 \( f \) 是常函数,那么推论也自然成立. |
定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯
图 6 曲线的同伦
的, 那么
\[
{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,
\]
其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{... | 定理 5.1 如果函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的, 那么\n\n\[{\int }_{{\gamma }_{0}}f\left( z\right) \mathrm{d}z = {\int }_{{\gamma }_{1}}f\left( z\right) \mathrm{d}z,\]\n\n其中两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) 在 \( \Omega \) 上是同伦的. | 证明 证明的关键在于两条曲线的选择, 它们要具有相同的起止点, 那么在这两条曲线上的积分就是相等的. 回忆定义,函数 \( F\left( {s, t}\right) = {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是连续的. 特别地,因为 \( F \) 的象,我们记为 \( K \) ,是一个紧集,存在 \( \varepsilon > 0 \) 使得每一个以 \( {3\varepsilon } \) 为半径, \( F \) 的象中的点为中心的圆... |
例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为
\[
{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .
\]
注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每... | 例 1 圆盘 \( D \) 是单连通的. | 事实上,如果 \( {\gamma }_{0}\left( t\right) \) 和 \( {\gamma }_{1}\left( t\right) \) 是圆盘 \( D \) 内的两条曲线,我们定义 \( {\gamma }_{s}\left( t\right) \) 为\n\n\[ \n{\gamma }_{s}\left( t\right) = \left( {1 - s}\right) {\gamma }_{0}\left( t\right) + s{\gamma }_{1}\left( t\right) .\n\] \n\n注意到,如果 \( 0 \leq s \leq 1 \) ,那么对每一个 \( t \) ,点 ... |
例 2 有裂缝的平面 \( \Omega = \mathrm{C} - \left\{ {( - \infty ,0\rbrack }\right\} \) 是单连通的. 对于 \( \Omega \) 内的两条曲线 \( {\gamma }_{0} \) 和 \( {\gamma }_{1} \) ,我们记 \( {\gamma }_{j}\left( t\right) = {r}_{j}\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{j}\left( t\right) }\left( {j = 0,1}\right) \) ,其中 \( {r}_{j}\left( t\rig... | 定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数. | 证明 在 \\(\\Omega\\) 中取定点 \\({z}_{0}\\) ,并定义\n\n\\[ F\\left( z\\right) = {\\int }_{\\gamma }f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w, \\]\n\n其中积分是在 \\(\\Omega\\) 中任意连接点 \\({z}_{0}\\) 和 \\(z\\) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \\(\\Omega\\) 是单连通的,并且如果 \\(\\widetilde{\\gamma }\\) 是 \\(\\Omega\\) 中连接点 \\({z}_{0}\\) 和 \\(z\\) 的另一条曲线,根据定理 5.... |
例 3 做些许尝试就可以证明周线的内部是单连通的. 只要将周线的内部分成若干子区域. 它的一般形式将在练习 4 中给出.
例 4 与上面的例子不同,有孔平面 \( \mathbf{C} - \left| 0\right| \) 不是单连通的. 直观地考虑两条将原点围在内部的曲线即可. 只要不经过原点, 一条曲线到另一条曲线不可能是连续的. 要想得到严格的证明需要进一步的理论, 由下面的定理给出.
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\le... | 定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数. | 证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义\n\n\[ F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w, \]\n\n其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有\n\n\[ {\int... |
定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数.
证明 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义
\[
F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w,
\]
其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的... | 定理 5.2 任何定义在单连通区域内的全纯函数都具有原函数. | 在 \( \Omega \) 中取定点 \( {z}_{0} \) ,并定义\n\n\[ F\left( z\right) = {\int }_{\gamma }f\left( w\right) \mathrm{d}w, \]\n\n其中积分是在 \( \Omega \) 中任意连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的曲线上进行的. 这个定义不依赖于曲线的选择,因为 \( \Omega \) 是单连通的,并且如果 \( \widetilde{\gamma } \) 是 \( \Omega \) 中连接点 \( {z}_{0} \) 和 \( z \) 的另一条曲线,根据定理 5.1 有\n\n\[ {\int }_... |
推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足
\[
{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0
\]
这个推论可以根据原函数的存在直接得到.
关于有孔平面不是单连通的这个事实,可以通过观察函数 \( 1/z \) 在单位圆周上的积分得到,这个积分等于 \( {2\pi }\mathrm{i} \) ,而不等于 0 .
## 6 复对数
假设要定义一个非零复数的对数. 如果 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\th... | 推论 5.3 如果函数 \( f \) 在单连通区域 \( \Omega \) 内是全纯的,那么对 \( \Omega \) 内的任意闭曲线 \( \gamma \) 满足\n\n\[{\int }_{\gamma }f\left( z\right) \mathrm{d}z = 0\] | 这个推论可以根据原函数的存在直接得到. |
定理 6.1 假设 \( \Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \in \Omega ,0 \notin \Omega \) . 那么在 \( \Omega \) 内就存在对数 \( F\left( z\right) = {\log }_{\Omega }\left( z\right) \) 的一支,使得
( i ) \( F \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的;
(ii) 对任意的 \( z \in \Omega ,{\mathrm{e}}^{F\left( z\right) } = z \) ;
(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \( F\left( r\right) = \lo... | 定理 6.1 假设 \( \\Omega \) 是单连通区域,且 \( 1 \\in \\Omega ,0 \\notin \\Omega \) . 那么在 \( \\Omega \) 内就存在对数 \( F\\left( z\\right) = {\\log }_{\\Omega }\\left( z\\right) \) 的一支,使得\n\n( i ) \( F \) 在 \( \\Omega \) 上是全纯的;\n\n(ii) 对任意的 \( z \\in \\Omega ,{\\mathrm{e}}^{F\\left( z\\right) } = z \) ;\n\n(iii) 当 \( r \) 为 1 附近的实数时, \... | 证明 构造函数 \( F \) 是函数 \( 1/z \) 的原函数. 因为 \( 0 \\notin \\Omega \) ,所以函数 \( f\\left( z\\right) = 1/z \) 在 \( \\Omega \) 上是全纯的. 定义\n\n\[{\\log }_{\\Omega }\\left( z\\right) = F\\left( z\\right) = {\\int }_{\\gamma }f\\left( w\\right) \\mathrm{d}w,\]\n\n其中 \( \\gamma \) 是 \( \\Omega \) 中连接 1 和 \( z \) 的曲线. 因为 \( \\Omega \) 是... |
定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.
\]
定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支.
证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数
\[
g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\... | 定理 6.2 如果 \( f \) 是定义在单连通区域 \( \Omega \) 内的处处不等于零的全纯函数,那么在区域 \( \Omega \) 上一定存在一个全纯函数 \( g \) ,使得\n\n\[ f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) }.\]\n\n定理中函数 \( g\left( z\right) \) 可以记为 \( \log f\left( z\right) \) ,并定义了对数的一支. | 证明 在 \( \Omega \) 中取定一点 \( {z}_{0} \) ,并定义函数\n\n\[ g\left( z\right) = {\int }_{\gamma }\frac{{f}^{\prime }\left( w\right) }{f\left( w\right) }\mathrm{d}w + {c}_{0},\]\n\n其中 \( \gamma \) 是 \( \Omega \) 中从点 \( {z}_{0} \) 到点 \( z \) 的任意路径,并且 \( {c}_{0} \) 是一个复数,能使得 \( {\mathrm{e}}^{{c}_{0}} = f\left( {z}_{0}\right) \) . 这... |
定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,
\]
同时,当 \( n < 0 \) 时,
\[
0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\le... | 定理 7.1 对任意的 \( n \geq 0 \) 和 \( 0 < r < R \) ,函数 \( f \) 的幂级数展开的系数为\n\n\[ \n{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{n\theta }}\mathrm{d}\theta ,\n\]\n\n同时,当 \( n < 0 \) 时,\n\n\[ \n0 = \frac{1}{{2\pi }{r}^{n}}{\int }_{0}^... | 证明 因为 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {z}_{0}\right) = {a}_{n}n! \) ,根据柯西积分公式,有\n\n\[ \n{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f\left( \zeta \right) }{{\left( \zeta - {z}_{0}\right) }^{n + 1}}\mathrm{\;d}\zeta ,\n\]\n\n其中 \( \gamma \) 是半径为 \( 0 < r < R \) ,中心为 \( {z}_{0} \) 的正向圆周. 选择 \( \zeta = {z}... |
推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论.
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\ri... | 推论 7.2 (均值性质) 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有\n\n\[ f\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,\] | 取等式两边的实数部分, 可以获得下面的推论. |
推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有
\[
u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,
\]
回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u ... | 推论 7.3 如果函数 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上是全纯的,并且 \( u = \operatorname{Re}\left( f\right) \) ,那么对任意的 \( 0 < r < R \) ,有\n\n\[ u\left( {z}_{0}\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }u\left( {{z}_{0} + r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \mathrm{d}\theta ,\] | 回顾前面的内容,当 \( f \) 是全纯函数时,它的实部 \( u \) 是调和的. 事实上,上面的推论只是定义在圆盘 \( {D}_{R}\left( {z}_{0}\right) \) 上的调和函数的一个性质. 这来自第 2 章的练习 12,该练习中表明, 定义在圆盘上的任何调和函数都是该圆盘中的某个全纯函数的实部. |
定理 2.1 如果对某个 \( a > 0 \) ,函数 \( f \) 属于 \( {F}_{a} \) ,那么对任意的 \( 0 \leq b \leq a \) 满足 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq B{\mathrm{e}}^{-{2\pi b}\left| \xi \right| }. \)
证明 回顾前面的内容 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\x... | 定理 2.1 如果对某个 \( a > 0 \) ,函数 \( f \) 属于 \( {F}_{a} \) ,那么对任意的 \( 0 \leq b \leq a \) 满足 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq B{\mathrm{e}}^{-{2\pi b}\left| \xi \right| }. | 证明 回顾前面的内容 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}x \) ,根据积分定义 \( \widehat{f} \) ,当 \( b = 0 \) 时,容易得到 \( \widehat{f} \) 有界,如果 \( f \) 是微减的,则 \( \widehat{f} \) 为指数函数,它的界为 1 . 现在假设 \( 0 < b < a \) ,并且首先假设 \( \xi > 0 \) . 主要的步骤就是选... |
定理 2.2 如果 \( f \in F \) ,那么傅里叶反演公式成立,对所有的 \( x \in \mathbf{R} \) 满足
\[
f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi .
\]
除了周线积分以外, 定理的证明还要用到一个简单的等式.
引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\le... | 定理 2.2 如果 \( f \in F \) ,那么傅里叶反演公式成立,对所有的 \( x \in \mathbf{R} \) 满足\n\n\[ f\left( x\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi . \] | 现在证明反演定理. 同样是要讨论 \( \xi \) 的符号,首先将积分写成\n\n\[ {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi = {\int }_{-\infty }^{0}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi + {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\... |
引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \frac{1}{A + \mathrm{i}B}.
\]
证明 因为 \( A > 0 \) 且 \( B \in \mathbf{R} \) ,我们有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\left( {A + {Bi}}\right) \xi }\right| = {\mathrm{e}}^{-{A\xi }} \) ,并且积分收敛. 所以根据定义
... | 引理 2.3 如果 \( A \) 是正数, \( B \) 是实数,那么\n\n\[ \n{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \frac{1}{A + \mathrm{i}B}. \n\] | 证明 因为 \( A > 0 \) 且 \( B \in \mathbf{R} \) ,我们有 \( \left| {\mathrm{e}}^{-\left( {A + {Bi}}\right) \xi }\right| = {\mathrm{e}}^{-{A\xi }} \) ,并且积分收敛. 所以根据定义\n\n\[ \n{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\left( {A + \mathrm{i}B}\right) \xi }\mathrm{d}\xi = \mathop{\lim }\limits_{{R \rightarrow + \infty }}{\int }_{0}^{R}{\... |
定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) .
\]
证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\l... | 定理 2.4 如果 \( f \in F \) ,那么\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}f\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n \in \mathbf{Z}}}\widehat{f}\left( n\right) . \] | 证明 因为 \( f \in {F}_{a} \) ,并且选择某个 \( b \) 满足 \( 0 < b < a \) . 函数 \( 1/\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 有整数的单极点,并且对应的留数为 \( 1/\left( {{2\pi }\mathrm{i}}\right) \) . 因此函数 \( f\left( z\right) /\left( {{\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}z} - 1}\right) \) 在整数 \( n \) 处有单极点,留数为 \( f\left( n\right) /{2\pi... |
定理 2.1 在局部范围内是可逆的.
定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right)... | 定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\... | 证明 定义\n\n\[ \n{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi , \n\]\n\n根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为\n\n\[ \nf\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \x... |
定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\... | 定理 3.1 假设函数 \( \widehat{f} \) 满足衰退条件 \( \left| {\widehat{f}\left( \xi \right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| } \) ,其中常数 \( a, A > 0 \) . 那么对任意的 \( 0 < b < a \) ,函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} = \left\{ {z \in \mathbf{C} : \left| {\operatorname{Im}\left( z\right) < b}\right| \mid }\... | 证明 定义\n\n\[ \n{f}_{n}\left( z\right) = {\int }_{-n}^{n}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi z}}\mathrm{\;d}\xi , \n\]\n\n根据第 2 章中的定理 5.4,函数 \( {f}_{n} \) 是整函数. 并注意到函数 \( f\left( z\right) \) 在带形区域 \( {S}_{b} \) 上定义为\n\n\[ \nf\left( z\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\widehat{f}\left( \x... |
推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) .
因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) .
Pa... | 推论 3.2 如果对某个实数 \( a > 0 \) ,函数 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = O\left( {\mathrm{e}}^{-{2\pi a}\left| \xi \right| }\right) \) ,并且函数 \( f \) 在非空开区间内会趋于零,那么 \( f = 0 \) . | 因为,根据定理函数 \( f \) 在包含实线的区域内是解析的,所以这个推论就是第 2 章中定理 4.8 的推论. 特别地, 我们在第一册第 5 章中练习 21 中已经证明了, 称函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都没有紧支柱,除非 \( f = 0 \) . |
定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的.
方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\righ... | 定理 3.3 假设函数 \( f \) 是连续的,并在实数集 \( \mathbf{R} \) 上微减. 那么函数 \( f \) 扩充到复平面上是整函数,并且满足 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq A{\mathrm{e}}^{{2\pi M}\left| z\right| } \) ,其中 \( A > 0 \) ,当且仅当 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. | 方法很简单,假设 \( \widehat{f} \) 在区间 \( \left\lbrack {-M, M}\right\rbrack \) 上是支撑的. 那么函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 都是微减的, 并且傅里叶反演公式表示为\n\n\[ f\left( x\right) = {\int }_{-M}^{M}\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{\xi x}}\mathrm{\;d}\xi . \]\n\n因为积分是有界的,我们可以将积分中的变量 \( x \) 代换为复变量 \( z \) ,因此在复数集 \( ... |
定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域
\[
S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}
\]
内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有
\... | 定理 3.4 假设 \( F \) 在扇形区域\n\n\[ S = \{ z : - \pi /4 < \arg z < \pi /4\}\]\n\n内是全纯函数,且它在 \( S \) 的闭包上是连续的. 假设在扇形区域的边界上满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,并且存在常数 \( C, c > 0 \) 使得对扇形区域内的所有 \( z \) 满足 \( \left| {F\left( z\right) }\right| \leq \) \( C{\mathrm{e}}^{c\left| z\right| } \) . 那么对任意 \( z \in S \) ,有... | 证明 我们的想法是将函数 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 中的 “弊” 转化成 “利”. 简言之,将 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{2}} \) 修改成 \( {\mathrm{e}}^{{z}^{\alpha }} \) ,其中 \( \alpha < 2 \) . 为了简单,我们先令 \( \alpha = 3/2 \) .\n\n如果 \( \varepsilon > 0 \) ,令\n\n\[ {F}_{\epsilon }\left( z\right) = F\left( z\right) {\mathrm{e}}^{-\epsilon {z}^{3/2}}.\]\n\n这里选择对数... |
定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数.
证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式
\[
f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\inf... | 定理 3.5 假设函数 \( f \) 和 \( \widehat{f} \) 微减. 那么对任意的 \( \xi < 0,\widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) ,当且仅当 \( f \) 可以延拓成在上半闭平面 \( \{ z = x + \mathrm{i}y : y \geq 0\} \) 上的连续有界函数,且 \( f \) 本身在其内部是全纯函数. | 证明 首先假设对 \( \xi < 0 \) ,满足 \( \widehat{f}\left( \xi \right) = 0 \) . 根据傅里叶反演公式\n\n\[ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{+\infty }\widehat{f}\left( \xi \right) {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}{x\xi }}\mathrm{d}\xi ,\]\n\n并且,我们根据 \( z = x + \mathrm{i}y, y \geq 0 \) ,函数 \( f \) 延拓成\n\n\[ f\left( z\right) = {\int }_{0}^{+\inft... |
定理 1.1 令 \( \Omega \) 表示包含圆盘 \( {D}_{R} \) 的闭包的开集,并假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的, \( f\left( 0\right) \neq 0 \) ,且在圆周 \( {C}_{R} \) 上都不等于零. 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 表示函数 \( f \) 在圆盘内的零点 (包含零元的重数) \( {}^{ \ominus } \) ,那么
\[
\log \left| {f\left( 0\right) }\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \l... | 定理 1.1 令 \( \Omega \) 表示包含圆盘 \( {D}_{R} \) 的闭包的开集,并假设函数 \( f \) 在 \( \Omega \) 上是全纯的, \( f\left( 0\right) \neq 0 \) ,且在圆周 \( {C}_{R} \) 上都不等于零. 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 表示函数 \( f \) 在圆盘内的零点 (包含零元的重数) \( {}^{ \ominus } \) ,那么\n\n\[ \n\log \left| {f\left( 0\right) }\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\lo... | (1)\n\n此定理的证明包含几个步骤.\n\n第一步,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是满足假设的两个函数,且满足定理的结论,那么两个函数的乘积 \( {f}_{1}{f}_{2} \) 同样满足定理的假设和公式 (1). 这一点可以根据 \( \log {xy} = \log x + \log y \) 简单地推导出来,其中 \( x \) 和 \( y \) 是正数. 并且函数 \( {f}_{1}{f}_{2} \) 的零点是函数 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 的零点之和.\n\n第二步, 函数\n\n\[ g\left( z\right) = \f... |
引理 1.2 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 是 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R} \) 内的零元,那么
\[
{\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| .
\]
证明 首先我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| = \mathop{\sum }\limi... | 引理 1.2 如果 \( {z}_{1},\cdots ,{z}_{N} \) 是 \( f \) 在圆盘 \( {D}_{R} \) 内的零元,那么\n\n\[{\int }_{0}^{R}n\left( r\right) \frac{\mathrm{d}r}{r} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| .\] | 证明 首先我们有\n\n\[ \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}\log \left| \frac{R}{{z}_{k}}\right| = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{N}{\int }_{\left| {z}_{k}\right| }^{R}\frac{\mathrm{d}r}{r}.\n\]\n\n如果我们定义特征函数\n\n\[ {\eta }_{k}\left( r\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & r > \left| {z}_{k}\right| , \\ 0 & r \leq \left| {z}_{... |
定理 2.1 如果 \( f \) 是增长阶 \( \leq \rho \) 的整函数,那么
( i ) 对常数 \( C > 0 \) 和任意足够大的 \( r \) ,满足 \( n\left( r\right) \leq C{r}^{\rho } \) .
(ii) 如果 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零元,并且 \( {z}_{k} \neq 0 \) ,那么对任意 \( s > \rho \) 我们有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\frac{1}{{\left| {z}_{k}\right| }^{s... | 定理 2.1 如果 \( f \) 是增长阶 \( \leq \rho \) 的整函数,那么\n\n( i ) 对常数 \( C > 0 \) 和任意足够大的 \( r \) ,满足 \( n\\left( r\\right) \\leq C{r}^{\\rho } \).\n\n(ii) 如果 \( {z}_{1},{z}_{2},\\cdots \) 表示 \( f \) 的零元,并且 \( {z}_{k} \\neq 0 \) ,那么对任意 \( s > \\rho \) 我们有\n\n\[ \n\\mathop{\\sum }\\limits_{{k = 1}}^{{+\infty }}\\frac{1}{{\\left| ... | 证明 当 \( f\\left( 0\\right) \\neq 0 \) 时,只要对 \( n\\left( r\\right) \) 进行估值就足够证明定理了. 事实上,考虑函数 \( F\\left( z\\right) = f\\left( z\\right) /{z}^{l} \) ,其中 \( \\ell \) 表示函数 \( f \) 在区域内零元的个数. 那么 \( {n}_{f}\\left( r\\right) \) 和 \( {n}_{F}\\left( r\\right) \) 仅仅差一个常数,并且 \( F \) 的增长阶小于等于 \( \\rho \) .\n\n如果 \( f\\left( 0\\rig... |
例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是
\[
f\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}},
\]
这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mathrm{i}x ... | 例 1 考虑函数 \( f\left( z\right) = \sin {\pi z} \) . 回顾欧拉公式,也就是\n\n\[ \nf\left( z\right) = \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\pi z}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\pi z}}}{2\mathrm{i}}, \n\]\n\n这也就意味着 \( \left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\pi \left| z\right| } \) ,并且 \( f \) 的增长阶 \( \leq 1 \) . 只要令 \( z = \mat... | Null |
例 2 考虑函数 \( f\left( z\right) = \cos {z}^{1/2} \) ,其级数定义为
\[
\cos {z}^{1/2} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{{+\infty }}{\left( -1\right) }^{n}\frac{{z}^{n}}{\left( {2n}\right) !}.
\]
那么 \( f \) 是整函数,并且很容易看到
\[
\left| {f\left( z\right) }\right| \leq {\mathrm{e}}^{\left| z\right| },
\]
且函数 \( f \) 的增长阶是 \( 1/2 \) .... | 命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零. | 证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积... |
命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零.
这就是第一册中第 8 章命题 1.9 , 下面重述这个证明.
证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们... | 命题 3.1 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| < + \infty \) ,那么乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}\left( {1 + {a}_{n}}\right) \) 是收敛的. 并且,当且仅当其中一个因子为零时该乘积会收敛于零. | 证明 如果 \( \sum \left| {a}_{n}\right| \) 收敛,那么对任意足够大的整数 \( n \) 必有 \( \left| {a}_{n}\right| < 1/2 \) . 如果有必要可以忽略有限项,我们可以假设对所有的 \( n \) 不等式成立. 特别地,我们可以用通常的幂级数定义 \( \log \left( {1 + {a}_{n}}\right) \) (见第 3 章式 (6)),并且此对数只要 \( \left| z\right| < 1 \) 就满足 \( 1 + z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 + z}\right) } \) . 因此,我们可以将部分乘积... |
命题 3.2 假设 \( \left\{ {F}_{n}\right\} \) 是定义在开集 \( \Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \in \Omega \) 满足
\[
\sum {c}_{n} < + \infty \text{ 和 }\left| {{F}_{n}\left( z\right) - 1}\right| \leq {c}_{n},
\]
那么, 有
( i ) 乘积 \( \mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n}\left( z\right) \) 在 \( \O... | 命题 3.2 假设 \( \\left\\{ {F}_{n}\\right\\} \) 是定义在开集 \( \\Omega \) 内的全纯函数序列. 如果存在常数 \( {c}_{n} > 0 \) 使得对任意的 \( z \\in \\Omega \) 满足\n\n\[ \n\\sum {c}_{n} < + \\infty \\text{ 和 }\\left| {{F}_{n}\\left( z\\right) - 1}\\right| \\leq {c}_{n},\n\]\n\n那么, 有\n\n( i ) 乘积 \( \\mathop{\\prod }\\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{F}_{n... | 证明 先证明第一部分,注意到对任意的 \( z \) 可以按照前一个命题的讨论,记 \( {F}_{n}\\left( z\\right) = 1 + {a}_{n}\\left( z\\right) \) ,其中 \( \\left| {{a}_{n}\\left( z\\right) }\\right| \\leq {c}_{n} \) . 那么,这个估值对于 \( z \) 是一致成立的,因为 \( {c}_{n} \) 是连续的. 因此,这个乘积一致收敛于一个全纯函数,记这个函数为 \( F\\left( z\\right) \) .\n\n下面证明定理的第二部分. 假设 \( K \) 是 \( \\Omega \) 内的... |
定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数.
回顾前面的内容,如果全纯函数 \( f \) 在点 \( ... | 定理 4.1 给定任意复数列 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) ,其中,当 \( n \rightarrow + \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{a}_{n}\end{Vmatrix} \rightarrow + \infty \) ,存在整函数 \( f \) ,满足在点 \( z = {a}_{n} \) 处为零,且没有其他的零点. 任意其他的整函数都可以写成 \( f\left( z\right) {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) 的形式,其中 \( g \) 是整函数. | 回到证明的开始,首先注意到,如果 \( {f}_{1} \) 和 \( {f}_{2} \) 是两个整函数,并且 \( z = {a}_{n} \) 是它们有且仅有的零点,那么函数 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 在所有的 \( z = {a}_{n} \) 处,有它的可去奇点. 因此 \( {f}_{1}/{f}_{2} \) 是整函数,且处处无零点,以至于存在整函数 \( g \) 使得 \( {f}_{1}\left( z\right) /{f}_{2}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{g\left( z\right) } \) ,这如同第 3 章第 6 小节的内容. 因此 \( {f... |
引理 4.2 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么 \( \left| {1 - {E}_{k}\left( z\right) }\right| \leq c{\left| z\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数.
证明 如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\mathrm{e}}^{\log \left( {1 - z}\right) } \) , 因此,
\[
{E}_{k}\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{\log \le... | 引理 4.2 如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,那么 \( \\left| {1 - {E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| \\leq c{\\left| z\\right| }^{k + 1} \) ,其中 \( c \) 是大于零的某个常数. | 证明 如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,那么按照幂级数定义对数,我们有 \( 1 - z = {\\mathrm{e}}^{\\log \\left( {1 - z}\\right) } \) , 因此,\n\n\[ \n{E}_{k}\\left( z\\right) = {\\mathrm{e}}^{\\log \\left( {1 - z}\\right) + z + {z}^{2}/2 + \\cdots + {z}^{k}/k} = {\\mathrm{e}}^{w},\n\]\n\n其中 \( w = - \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = k + 1}... |
定理 5.1 假设 \( f \) 是整函数,具有 \( {\rho }_{0} \) 阶增长阶. 令 \( k \) 是整数,使得 \( k \leq {\rho }_{0} < \) \( k + 1 \) . 如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零点 (非零),那么
\[
f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{P\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) ,
\]
其中, \( P \)... | 定理 5.1 假设 \( f \) 是整函数,具有 \( {\rho }_{0} \) 阶增长阶. 令 \( k \) 是整数,使得 \( k \leq {\rho }_{0} < \) \( k + 1 \) . 如果 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots \) 表示 \( f \) 的零点 (非零),那么\n\n\[ f\left( z\right) = {\mathrm{e}}^{P\left( z\right) }{z}^{m}\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) ,\]\n\n其中, \( P... | Null |
引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \left| z\right| \leq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{k + 1}},
\]
并且如果 \( \left| z\right| \geq 1/2 \) ,那么
\[
\left| {{E}_{k}\left( z\right) }\right| \geq \left| {1 - z}\right| {\mathrm{e}}^{-{c}^{\prime }{\left| z\right| }^{k}}.
\]
证明 ... | 引理 5.2 典范乘积满足如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,那么\n\n\[ \n\\left| {{E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| \\geq {\\mathrm{e}}^{-c\\left| z\\right| ^{k + 1}},\n\]\n\n并且如果 \( \\left| z\\right| \\geq 1/2 \) ,那么\n\n\[ \n\\left| {{E}_{k}\\left( z\\right) }\\right| \\geq \\left| {1 - z}\\right| {\\mathrm{e}}^{-{c}^{\\prime }... | 证明 如果 \( \\left| z\\right| \\leq 1/2 \) ,我们可以用幂级数定义 \( 1 - z \) 的对数,使得\n\n\[ \n{E}_{k}\\left( z\\right) = {\\mathrm{e}}^{\\log \\left( {1 - z}\\right) + \\mathop{\\sum }\\limits_{{n = 1}}^{k}{z}^{n}/n} = {\\mathrm{e}}^{-\\mathop{\\sum }\\limits_{{n = k + 1}}^{{+\infty }}{z}^{n}/n} = {e}^{w}.\n\]\n\n因为 \( \\left| {\\mat... |
引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有
\[
\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }},
\]
这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1,2 \) , ... | 引理 5.3 对任意的 \( s \) ,满足 \( {\rho }_{0} < s < k + 1 \) ,我们有\n\n\[ \n\left| {\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) }\right| \geq {\mathrm{e}}^{-c{\left| z\right| }^{\delta }}, \n\]\n\n这里的 \( z \) 是属于以 \( {a}_{n} \) 为中心, \( {\left| {a}_{n}\right| }^{-k - 1} \) 为半径的小圆盘的余集,其中 \( n = 1... | 证明 这个引理的证明非常的巧妙. 首先乘积写成\n\n\[ \n\mathop{\prod }\limits_{{n = 1}}^{{+\infty }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| \leq 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) \mathop{\prod }\limits_{{\left| {a}_{n}\right| > 2\left| z\right| }}{E}_{k}\left( {z/{a}_{n}}\right) . \... |
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