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formal stringlengths 41 427k	informal stringclasses 1 value
Ordinal.bsup_eq_blsub_iff_succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} ⊢ bsup o f = blsub o f ↔ ∀ (a : Ordinal.{max u v}), a < blsub o f → succ a < blsub o f rw [← sup_eq_bsup, ← lsub_eq_blsub] ** α...
Ordinal.bsup_eq_blsub_iff_lt_bsup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} h : bsup o f = blsub o f i : Ordinal.{u} ⊢ ∀ (hi : i < o), f i hi < bsup o f rw [h] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_...
Ordinal.bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} ho : IsLimit o f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) (_ : succ a < o) ⊢ bsup o f = blsub o f rw [b...
Ordinal.blsub_eq_zero_iff α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4} ⊢ blsub o f = 0 ↔ o = 0 rw [← lsub_eq_blsub, lsub_eq_zero_iff] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s ...
Ordinal.blsub_zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5} ⊢ blsub 0 f = 0 rw [blsub_eq_zero_iff] ** Qed
Ordinal.blsub_type ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r✝ : α✝ → α✝ → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop α : Type u r : α → α → Prop inst✝ : IsWellOrder α r f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v} o : Ordinal.{max u v} ⊢ blsub (type r) f ≤ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) (_ : typein r a < ty...
Ordinal.blsub_le_of_brange_subset ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} o' : Ordinal.{v} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w} g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w} h : brange o f ⊆ brange o' g a : Ordinal.{m...
Ordinal.bsup_comp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w} hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ord...
Ordinal.blsub_comp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w} hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Or...
Ordinal.IsNormal.bsup_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊢ (Ordinal.bsup o fun x x_1 => f x) = f o rw [← IsNormal.bsup.{u, u, v} H (fun x _ => x) h.1, bsup_id_limit h.2] ** Qe...
Ordinal.IsNormal.blsub_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊢ (blsub o fun x x_1 => f x) = f o rw [← IsNormal.bsup_eq.{u, v} H h, bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit h] ** α : Type u...
Ordinal.isNormal_iff_lt_succ_and_bsup_eq ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} x✝ : (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o → (bsup o fun x x_1 => f x) = f o h₁ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (suc...
Ordinal.isNormal_iff_lt_succ_and_blsub_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} ⊢ IsNormal f ↔ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o → (blsub o fun x x_1 => f x) = f o rw [isNormal_iff_lt...
Ordinal.IsNormal.eq_iff_zero_and_succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g h : f = g ⊢ f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a) simp [h] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ :...
Ordinal.lt_blsub₂ ** case h.e'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o₁ : Ordinal.{u_4} o₂ : Ordinal.{u_5} op : {a : Ordinal.{u_4}} → a < o₁ → {b : Ordinal.{u_5}} → b < o₂ → Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6} a : Ordinal.{u_4} b : Ordinal.{u_5} ha : a < o₁ hb : b < o₂ ...
Ordinal.le_mex_of_forall α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{max u v} a : Ordinal.{max u v} H : ∀ (b : Ordinal.{max u v}), b < a → ∃ i, f i = b ⊢ a ≤ mex f by_contra' h ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : ...
Ordinal.ne_mex α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{max u v} ⊢ ∀ (i : ι), f i ≠ mex f simpa using mex_not_mem_range.{_, v} f ** Qed
Ordinal.mex_le_of_ne α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u_4 f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : ∀ (i : ι), f i ≠ a ⊢ a ∈ (range f)ᶜ simp [ha] ** Qed
Ordinal.exists_of_lt_mex α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u_4 f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_4 u_5} ha : a < mex f ⊢ ∃ i, f i = a by_contra' ha' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ...
Ordinal.mex_monotone α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 r : α✝ → α✝ → Prop s : β✝ → β✝ → Prop t : γ → γ → Prop α β : Type u f : α → Ordinal.{max u v} g : β → Ordinal.{max u v} h : range f ⊆ range g ⊢ mex f ≤ mex g refine' mex_le_of_ne fun i hi => _ ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 r : α✝ → α✝ → P...
Ordinal.mex_lt_ord_succ_mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{u} ⊢ mex f < ord (succ #ι) by_contra' h ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{u} h : o...
Ordinal.bmex_not_mem_brange α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5} ⊢ ¬bmex o f ∈ brange o f rw [← range_familyOfBFamily] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β...
Ordinal.le_bmex_of_forall α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_4 u_5} H : ∀ (b : Ordinal.{max u_4 u_5}), b < a → ∃ i hi, f i hi = b ⊢ a ≤ bmex o f by_contra' h ** α : T...
Ordinal.ne_bmex ** case h.e'_2.h.e'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} i : Ordinal.{u} hi : i < o ⊢ i = typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) i (_ : i < type fun x x_1 => x < x...
Ordinal.exists_of_lt_bmex α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : a < bmex o f ⊢ ∃ i hi, f i hi = a cases' exists_of_lt_mex ha with i hi ** case intro α : Type...
Ordinal.bmex_monotone ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o o' : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} g : (a : Ordinal.{u}) → a < o' → Ordinal.{max u v} h : brange o f ⊆ brange o' g ⊢ range (familyOfBFamily o f) ⊆ range (familyOfBFamily o...
Ordinal.bmex_lt_ord_succ_card α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} ⊢ bmex o f < ord (succ (card o)) rw [← mk_ordinal_out] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t :...
Ordinal.enumOrd_mem_aux S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S o : Ordinal.{u} ⊢ enumOrd S o ∈ S ∩ Ici (blsub o fun c x => enumOrd S c) rw [enumOrd_def'] ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S o : Ordinal.{u} ⊢ sInf (S ∩ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a)) ∈ S ∩ Ici ...
Ordinal.enumOrd_def S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊢ enumOrd S o = sInf (S ∩ {b \| ∀ (c : Ordinal.{u}), c < o → enumOrd S c < b}) rw [enumOrd_def'] S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊢ sInf (S ∩ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a)) = sInf (S ∩ {b \| ∀ (c : Ordinal.{u}), c < o → enumOrd S c < b}) congr ...
Ordinal.enumOrd_range S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o : Ordinal.{u_1} ⊢ enumOrd (range f) o = f o apply Ordinal.induction o ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o : Ordinal.{u_1} ⊢ ∀ (j : Ordinal.{u_1}), (∀ (k : Ordinal.{u_1}), k < j ...
Ordinal.enumOrd_univ S : Set Ordinal.{u} ⊢ enumOrd Set.univ = id rw [← range_id] S : Set Ordinal.{u} ⊢ enumOrd (range id) = id exact enumOrd_range strictMono_id ** Qed
Ordinal.enumOrd_zero S : Set Ordinal.{u} ⊢ enumOrd S 0 = sInf S rw [enumOrd_def] S : Set Ordinal.{u} ⊢ sInf (S ∩ {b \| ∀ (c : Ordinal.{u}), c < 0 → enumOrd S c < b}) = sInf S simp [Ordinal.not_lt_zero] ** Qed
Ordinal.enumOrd_succ_le S : Set Ordinal.{u} a b : Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ha : a ∈ S hb : enumOrd S b < a ⊢ enumOrd S (succ b) ≤ a rw [enumOrd_def] ** S : Set Ordinal.{u} a b : Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ha : a ∈ S hb : enumOrd S b < a ⊢ sInf (S ∩ {b_1 \| ∀ (c :...
Ordinal.enumOrd_le_of_subset S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S ⊆ T a : Ordinal.{u_1} ⊢ enumOrd T a ≤ enumOrd S a apply Ordinal.induction a ** S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S ⊆ T a : Ordinal.{u_1...
Ordinal.enumOrd_surjective S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊢ enumOrd S (sSup {a \| enumOrd S a ≤ s}) = s apply le_antisymm ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊢ enumOrd S (sSup {a \| enumOrd S a ≤ s})...
Ordinal.range_enumOrd S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ range (enumOrd S) = S rw [range_eq_iff] S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ (∀ (a : Ordinal.{u}), enumOrd S a ∈ S) ∧ ∀ (b : Ordinal.{u}), b ∈ S → ∃ a, enumOrd S a = b exact ⟨enumOrd_mem hS, enumOrd_...
Ordinal.eq_enumOrd S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ StrictMono f ∧ range f = S ↔ f = enumOrd S constructor case mp S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ StrictMono f ∧ range f = S → f = enumOrd S ...
Ordinal.one_add_nat_cast m : ℕ ⊢ 1 + ↑m = ↑(succ m) rw [← Nat.cast_one, ← Nat.cast_add, add_comm] m : ℕ ⊢ ↑(m + 1) = ↑(succ m) rfl ** Qed
Ordinal.nat_cast_mul ** m : ℕ ⊢ ↑(m * 0) = ↑m * ↑0 simp m n : ℕ ⊢ ↑(m * (n + 1)) = ↑m * ↑(n + 1) rw [Nat.mul_succ, Nat.cast_add, nat_cast_mul m n, Nat.cast_succ, mul_add_one] Qed
Ordinal.nat_cast_le m n : ℕ ⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n rw [← Cardinal.ord_nat, ← Cardinal.ord_nat, Cardinal.ord_le_ord, Cardinal.natCast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_lt m n : ℕ ⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n simp only [lt_iff_le_not_le, nat_cast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_inj m n : ℕ ⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n simp only [le_antisymm_iff, nat_cast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_sub m n : ℕ ⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n cases' le_total m n with h h case inl m n : ℕ h : m ≤ n ⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n rw [tsub_eq_zero_iff_le.2 h, Ordinal.sub_eq_zero_iff_le.2 (nat_cast_le.2 h)] case inl m n : ℕ h : m ≤ n ⊢ ↑0 = 0 rfl case inr m n : ℕ h : n ≤ m ⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n appl...
Ordinal.nat_cast_div m n : ℕ ⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n rcases eq_or_ne n 0 with (rfl \| hn) case inl m : ℕ ⊢ ↑(m / 0) = ↑m / ↑0 simp case inr m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n have hn' := nat_cast_ne_zero.2 hn case inr m n : ℕ hn : n ≠ 0 hn' : ↑n ≠ 0 ⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n apply le_antisymm ** cas...
Ordinal.nat_cast_mod m n : ℕ ⊢ ↑(m % n) = ↑m % ↑n rw [← add_left_cancel, div_add_mod, ← nat_cast_div, ← nat_cast_mul, ← Nat.cast_add, Nat.div_add_mod] ** Qed
Ordinal.lift_nat_cast ⊢ lift.{u, v} ↑0 = ↑0 simp n : ℕ ⊢ lift.{u, v} ↑(n + 1) = ↑(n + 1) simp [lift_nat_cast n] ** Qed
Cardinal.ord_aleph0 o : Ordinal.{u} h : o < ω ⊢ o < ord ℵ₀ rcases Ordinal.lt_lift_iff.1 h with ⟨o, rfl, h'⟩ case intro.intro o : Ordinal.{0} h' : o < type fun x x_1 => x < x_1 h : Ordinal.lift.{u, 0} o < ω ⊢ card (typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) o h')) < ℵ₀ exact lt_aleph0_iff_fin...
Cardinal.add_one_of_aleph0_le c : Cardinal.{u_1} h : ℵ₀ ≤ c ⊢ c + 1 = c rw [add_comm, ← card_ord c, ← card_one, ← card_add, one_add_of_omega_le] c : Cardinal.{u_1} h : ℵ₀ ≤ c ⊢ ω ≤ ord c rwa [← ord_aleph0, ord_le_ord] ** Qed
Ordinal.lt_add_of_limit a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c ⊢ a < b + c ↔ ∃ c', c' < c ∧ a < b + c' have := IsNormal.bsup_eq.{u, u} (add_isNormal b) h a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c this : (bsup c fun x x_1 => (fun x x_2 => x + x_2) b x) = (fun x x_1 => x + x_1) b c ⊢ a < b + c ↔ ∃ c', c' < c ∧ a < b + c' ...
Ordinal.lt_omega o : Ordinal.{u_1} ⊢ o < ω ↔ ∃ n, o = ↑n simp_rw [← Cardinal.ord_aleph0, Cardinal.lt_ord, lt_aleph0, card_eq_nat] ** Qed
Ordinal.one_lt_omega ⊢ 1 < ω simpa only [Nat.cast_one] using nat_lt_omega 1 ** Qed
Ordinal.omega_isLimit o : Ordinal.{u_1} h : o < ω ⊢ succ o < ω let ⟨n, e⟩ := lt_omega.1 h o : Ordinal.{u_1} h : o < ω n : ℕ e : o = ↑n ⊢ succ o < ω rw [e] o : Ordinal.{u_1} h : o < ω n : ℕ e : o = ↑n ⊢ succ ↑n < ω exact nat_lt_omega (n + 1) ** Qed
Ordinal.omega_le o : Ordinal.{u_1} H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o a : Ordinal.{u_1} h : a < ω ⊢ a < o let ⟨n, e⟩ := lt_omega.1 h o : Ordinal.{u_1} H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o a : Ordinal.{u_1} h : a < ω n : ℕ e : a = ↑n ⊢ a < o rw [e, ← succ_le_iff] ** o : Ordinal.{u_1} H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o a : Ordinal.{u_1} h : a < ω n ...
Ordinal.isLimit_iff_omega_dvd a : Ordinal.{u_1} ⊢ IsLimit a ↔ a ≠ 0 ∧ ω ∣ a refine' ⟨fun l => ⟨l.1, ⟨a / ω, le_antisymm _ (mul_div_le _ _)⟩⟩, fun h => _⟩ ** case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a ⊢ a ≤ ω * (a / ω) refine' (limit_le l).2 fun x hx => le_of_lt _ case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsL...
Ordinal.add_mul_limit_aux ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : ∀ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c → (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊢ (a + b) * c' ≤ a * c apply (mul_le_mul_left' (le_succ c') _).trans a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : ∀ (c'...
Ordinal.add_mul_succ ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a ⊢ (a + b) * succ c = a * succ c + b ** induction c using limitRecOn with \| H₁ => simp only [succ_zero, mul_one] \| H₂ c IH => rw [mul_succ, IH, ← add_assoc, add_assoc _ b, ba, ← mul_succ] \| H₃ c l IH => rw [mul_succ, add_mul_limit_aux ba l IH, mul_succ, ad...
Ordinal.add_le_of_forall_add_lt a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : ∀ (d : Ordinal.{u_1}), d < b → a + d < c ⊢ a + b ≤ c have H : a + (c - a) = c := Ordinal.add_sub_cancel_of_le (by rw [← add_zero a] exact (h _ hb).le) ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : ∀ (d : Ordinal.{u_1}), d < b → a + d...
Ordinal.IsNormal.apply_omega f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hf : IsNormal f ⊢ Ordinal.sup (f ∘ Nat.cast) = f ω rw [← sup_nat_cast, IsNormal.sup.{0, u, u} hf] ** Qed
Ordinal.sup_mul_nat ** o : Ordinal.{u_1} ⊢ (sup fun n => o * ↑n) = o * ω rcases eq_zero_or_pos o with (rfl \| ho) case inl ⊢ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 * ω rw [zero_mul] case inl ⊢ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 exact sup_eq_zero_iff.2 fun n => zero_mul (n : Ordinal) case inr o : Ordinal.{u_1} ho : 0 < o ⊢...
Acc.rank_eq α : Type u r : α → α → Prop a b : α h : Acc r a ⊢ rank h = sup fun b => succ (rank (_ : Acc r ↑b)) change (Acc.intro a fun _ => h.inv).rank = _ α : Type u r : α → α → Prop a b : α h : Acc r a ⊢ rank (_ : Acc (fun x => r x) a) = sup fun b => succ (rank (_ : Acc r ↑b)) rfl ** Qed
Acc.rank_lt_of_rel α : Type u r : α → α → Prop a b : α hb : Acc r b h : r a b ⊢ succ (rank (_ : Acc r a)) ≤ rank hb rw [hb.rank_eq] α : Type u r : α → α → Prop a b : α hb : Acc r b h : r a b ⊢ succ (rank (_ : Acc r a)) ≤ sup fun b_1 => succ (rank (_ : Acc r ↑b_1)) refine' le_trans _ (Ordinal.le_sup _ ⟨a, h⟩...
WellFounded.rank_eq α : Type u r : α → α → Prop a b : α hwf : WellFounded r ⊢ rank hwf a = sup fun b => succ (rank hwf ↑b) rw [rank, Acc.rank_eq] α : Type u r : α → α → Prop a b : α hwf : WellFounded r ⊢ (sup fun b => succ (Acc.rank (_ : Acc r ↑b))) = sup fun b => succ (rank hwf ↑b) rfl ** Qed
TopCat.Presheaf.stalkToFiber_surjective X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ Function.Surjective (stalkToFiber F x) apply TopCat.stalkToFiber_surjective case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ ∀ (t : stalk F x), ∃ U f x_1, f { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = t intro t ** case w X...
TopCat.Presheaf.stalkToFiber_injective X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ Function.Injective (stalkToFiber F x) apply TopCat.stalkToFiber_injective ** case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) → stalk F ↑y), PrelocalPredicate.pred (Shea...
Nat.card_eq_of_equiv_fin α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 n : ℕ f : α ≃ Fin n ⊢ Nat.card α = n simpa only [card_eq_fintype_card, Fintype.card_fin] using card_congr f ** Qed
Nat.card_of_subsingleton α : Type u_1 β : Type u_2 a : α inst✝ : Subsingleton α ⊢ Nat.card α = 1 letI := Fintype.ofSubsingleton a α : Type u_1 β : Type u_2 a : α inst✝ : Subsingleton α this : Fintype α := Fintype.ofSubsingleton a ⊢ Nat.card α = 1 rw [card_eq_fintype_card, Fintype.card_ofSubsingleton a] ** Q...
Nat.card_of_isEmpty α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : IsEmpty α ⊢ Nat.card α = 0 simp ** Qed
Nat.card_sum α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : Finite α inst✝ : Finite β ⊢ Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β have := Fintype.ofFinite α α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : Finite α inst✝ : Finite β this : Fintype α ⊢ Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β have := Fintype.ofFinite β ** α : Type ...
Nat.card_prod ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 α : Type u_3 β : Type u_4 ⊢ Nat.card (α × β) = Nat.card α * Nat.card β simp only [Nat.card, mk_prod, toNat_mul, toNat_lift] Qed
Nat.card_pi α : Type u_1 β✝ : Type u_2 β : α → Type u_3 inst✝ : Fintype α ⊢ Nat.card ((a : α) → β a) = ∏ a : α, Nat.card (β a) simp_rw [Nat.card, mk_pi, prod_eq_of_fintype, toNat_lift, toNat_finset_prod] ** Qed
Nat.card_fun α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : Finite α ⊢ Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α haveI := Fintype.ofFinite α α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : Finite α this : Fintype α ⊢ Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α rw [Nat.card_pi, Finset.prod_const, Finset.card_univ, ← Nat.card_eq_fintyp...
Nat.card_zmod α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ ⊢ Nat.card (ZMod n) = n cases n case zero α : Type u_1 β : Type u_2 ⊢ Nat.card (ZMod zero) = zero exact @Nat.card_eq_zero_of_infinite _ Int.infinite case succ α : Type u_1 β : Type u_2 n✝ : ℕ ⊢ Nat.card (ZMod (succ n✝)) = succ n✝ rw [Nat.card_eq_fintype_ca...
PartENat.card_sum α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 α : Type u_3 β : Type u_4 ⊢ card (α ⊕ β) = card α + card β simp only [PartENat.card, Cardinal.mk_sum, map_add, Cardinal.toPartENat_lift] ** Qed
Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑n ≤ ↑toPartENat c ↔ ↑n ≤ c rw [← toPartENat_cast n, toPartENat_le_iff_of_le_aleph0 (le_of_lt (nat_lt_aleph0 n))] ** Qed
Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff α : Type u_1 β : Type u_2 c : Cardinal.{u_3} n : ℕ ⊢ ↑toPartENat c ≤ ↑n ↔ c ≤ ↑n rw [← toPartENat_cast n, toPartENat_le_iff_of_lt_aleph0 (nat_lt_aleph0 n)] ** Qed
Cardinal.natCast_eq_toPartENat_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑n = ↑toPartENat c ↔ ↑n = c rw [le_antisymm_iff, le_antisymm_iff, Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff, Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff] ** Qed
Cardinal.toPartENat_eq_natCast_iff α : Type u_1 β : Type u_2 c : Cardinal.{u_3} n : ℕ ⊢ ↑toPartENat c = ↑n ↔ c = ↑n rw [eq_comm, Cardinal.natCast_eq_toPartENat_iff, eq_comm] ** Qed
Cardinal.natCast_lt_toPartENat_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑n < ↑toPartENat c ↔ ↑n < c simp only [← not_le, Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff] ** Qed
Cardinal.toPartENat_lt_natCast_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑toPartENat c < ↑n ↔ c < ↑n simp only [← not_le, Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff] ** Qed
PartENat.card_eq_zero_iff_empty α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α = 0 ↔ IsEmpty α rw [← Cardinal.mk_eq_zero_iff] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α = 0 ↔ #α = 0 conv_rhs => rw [← Nat.cast_zero] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α = 0 ↔ #α = ↑0 simp only [← Car...
PartENat.card_le_one_iff_subsingleton α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α rw [← le_one_iff_subsingleton] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α ≤ 1 ↔ #α ≤ 1 conv_rhs => rw [← Nat.cast_one] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α ≤ 1 ↔ #α ≤ ↑1 rw [← ...
PartENat.one_lt_card_iff_nontrivial α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ 1 < card α ↔ Nontrivial α rw [← Cardinal.one_lt_iff_nontrivial] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ 1 < card α ↔ 1 < #α conv_rhs => rw [← Nat.cast_one] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ 1 < card α ↔ ↑1 < #α rw ...

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formal stringlengths 41 427k	informal stringclasses 1 value
Ordinal.bsup_eq_blsub_iff_succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} ⊢ bsup o f = blsub o f ↔ ∀ (a : Ordinal.{max u v}), a < blsub o f → succ a < blsub o f rw [← sup_eq_bsup, ← lsub_eq_blsub] ** α...
Ordinal.bsup_eq_blsub_iff_lt_bsup α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} h : bsup o f = blsub o f i : Ordinal.{u} ⊢ ∀ (hi : i < o), f i hi < bsup o f rw [h] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_...
Ordinal.bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} ho : IsLimit o f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} hf : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < o), f a ha < f (succ a) (_ : succ a < o) ⊢ bsup o f = blsub o f rw [b...
Ordinal.blsub_eq_zero_iff α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_5 u_4} ⊢ blsub o f = 0 ↔ o = 0 rw [← lsub_eq_blsub, lsub_eq_zero_iff] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s ...
Ordinal.blsub_zero α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < 0 → Ordinal.{max u_4 u_5} ⊢ blsub 0 f = 0 rw [blsub_eq_zero_iff] ** Qed
Ordinal.blsub_type ** α✝ : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r✝ : α✝ → α✝ → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop α : Type u r : α → α → Prop inst✝ : IsWellOrder α r f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v} o : Ordinal.{max u v} ⊢ blsub (type r) f ≤ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) (_ : typein r a < ty...
Ordinal.blsub_le_of_brange_subset ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} o' : Ordinal.{v} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max (max u v) w} g : (a : Ordinal.{v}) → a < o' → Ordinal.{max (max u v) w} h : brange o f ⊆ brange o' g a : Ordinal.{m...
Ordinal.bsup_comp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w} hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ord...
Ordinal.blsub_comp ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o o' : Ordinal.{max u v} f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w} hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Or...
Ordinal.IsNormal.bsup_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊢ (Ordinal.bsup o fun x x_1 => f x) = f o rw [← IsNormal.bsup.{u, u, v} H (fun x _ => x) h.1, bsup_id_limit h.2] ** Qe...
Ordinal.IsNormal.blsub_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} H : IsNormal f o : Ordinal.{u} h : IsLimit o ⊢ (blsub o fun x x_1 => f x) = f o rw [← IsNormal.bsup_eq.{u, v} H h, bsup_eq_blsub_of_lt_succ_limit h] ** α : Type u...
Ordinal.isNormal_iff_lt_succ_and_bsup_eq ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} x✝ : (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o → (bsup o fun x x_1 => f x) = f o h₁ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (suc...
Ordinal.isNormal_iff_lt_succ_and_blsub_eq α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v} ⊢ IsNormal f ↔ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), IsLimit o → (blsub o fun x x_1 => f x) = f o rw [isNormal_iff_lt...
Ordinal.IsNormal.eq_iff_zero_and_succ α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hf : IsNormal f hg : IsNormal g h : f = g ⊢ f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a) simp [h] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ :...
Ordinal.lt_blsub₂ ** case h.e'_3 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o₁ : Ordinal.{u_4} o₂ : Ordinal.{u_5} op : {a : Ordinal.{u_4}} → a < o₁ → {b : Ordinal.{u_5}} → b < o₂ → Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6} a : Ordinal.{u_4} b : Ordinal.{u_5} ha : a < o₁ hb : b < o₂ ...
Ordinal.le_mex_of_forall α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{max u v} a : Ordinal.{max u v} H : ∀ (b : Ordinal.{max u v}), b < a → ∃ i, f i = b ⊢ a ≤ mex f by_contra' h ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : ...
Ordinal.ne_mex α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{max u v} ⊢ ∀ (i : ι), f i ≠ mex f simpa using mex_not_mem_range.{_, v} f ** Qed
Ordinal.mex_le_of_ne α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u_4 f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : ∀ (i : ι), f i ≠ a ⊢ a ∈ (range f)ᶜ simp [ha] ** Qed
Ordinal.exists_of_lt_mex α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u_4 f : ι → Ordinal.{max u_5 u_4} a : Ordinal.{max u_4 u_5} ha : a < mex f ⊢ ∃ i, f i = a by_contra' ha' ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ...
Ordinal.mex_monotone α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 r : α✝ → α✝ → Prop s : β✝ → β✝ → Prop t : γ → γ → Prop α β : Type u f : α → Ordinal.{max u v} g : β → Ordinal.{max u v} h : range f ⊆ range g ⊢ mex f ≤ mex g refine' mex_le_of_ne fun i hi => _ ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 γ : Type u_3 r : α✝ → α✝ → P...
Ordinal.mex_lt_ord_succ_mk α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{u} ⊢ mex f < ord (succ #ι) by_contra' h ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop ι : Type u f : ι → Ordinal.{u} h : o...
Ordinal.bmex_not_mem_brange α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5} ⊢ ¬bmex o f ∈ brange o f rw [← range_familyOfBFamily] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β...
Ordinal.le_bmex_of_forall α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_4 u_5} H : ∀ (b : Ordinal.{max u_4 u_5}), b < a → ∃ i hi, f i hi = b ⊢ a ≤ bmex o f by_contra' h ** α : T...
Ordinal.ne_bmex ** case h.e'_2.h.e'_1 α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} i : Ordinal.{u} hi : i < o ⊢ i = typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) i (_ : i < type fun x x_1 => x < x...
Ordinal.exists_of_lt_bmex α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u_4} f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5} a : Ordinal.{max u_5 u_4} ha : a < bmex o f ⊢ ∃ i hi, f i hi = a cases' exists_of_lt_mex ha with i hi ** case intro α : Type...
Ordinal.bmex_monotone ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o o' : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} g : (a : Ordinal.{u}) → a < o' → Ordinal.{max u v} h : brange o f ⊆ brange o' g ⊢ range (familyOfBFamily o f) ⊆ range (familyOfBFamily o...
Ordinal.bmex_lt_ord_succ_card α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t : γ → γ → Prop o : Ordinal.{u} f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} ⊢ bmex o f < ord (succ (card o)) rw [← mk_ordinal_out] ** α : Type u_1 β : Type u_2 γ : Type u_3 r : α → α → Prop s : β → β → Prop t :...
Ordinal.enumOrd_mem_aux S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S o : Ordinal.{u} ⊢ enumOrd S o ∈ S ∩ Ici (blsub o fun c x => enumOrd S c) rw [enumOrd_def'] ** S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S o : Ordinal.{u} ⊢ sInf (S ∩ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a)) ∈ S ∩ Ici ...
Ordinal.enumOrd_def S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊢ enumOrd S o = sInf (S ∩ {b \| ∀ (c : Ordinal.{u}), c < o → enumOrd S c < b}) rw [enumOrd_def'] S : Set Ordinal.{u} o : Ordinal.{u} ⊢ sInf (S ∩ Ici (blsub o fun a x => enumOrd S a)) = sInf (S ∩ {b \| ∀ (c : Ordinal.{u}), c < o → enumOrd S c < b}) congr ...
Ordinal.enumOrd_range S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o : Ordinal.{u_1} ⊢ enumOrd (range f) o = f o apply Ordinal.induction o ** S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1} hf : StrictMono f o : Ordinal.{u_1} ⊢ ∀ (j : Ordinal.{u_1}), (∀ (k : Ordinal.{u_1}), k < j ...
Ordinal.enumOrd_univ S : Set Ordinal.{u} ⊢ enumOrd Set.univ = id rw [← range_id] S : Set Ordinal.{u} ⊢ enumOrd (range id) = id exact enumOrd_range strictMono_id ** Qed
Ordinal.enumOrd_zero S : Set Ordinal.{u} ⊢ enumOrd S 0 = sInf S rw [enumOrd_def] S : Set Ordinal.{u} ⊢ sInf (S ∩ {b \| ∀ (c : Ordinal.{u}), c < 0 → enumOrd S c < b}) = sInf S simp [Ordinal.not_lt_zero] ** Qed
Ordinal.enumOrd_succ_le S : Set Ordinal.{u} a b : Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ha : a ∈ S hb : enumOrd S b < a ⊢ enumOrd S (succ b) ≤ a rw [enumOrd_def] ** S : Set Ordinal.{u} a b : Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ha : a ∈ S hb : enumOrd S b < a ⊢ sInf (S ∩ {b_1 \| ∀ (c :...
Ordinal.enumOrd_le_of_subset S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S ⊆ T a : Ordinal.{u_1} ⊢ enumOrd T a ≤ enumOrd S a apply Ordinal.induction a ** S✝ : Set Ordinal.{u} S T : Set Ordinal.{u_1} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S hST : S ⊆ T a : Ordinal.{u_1...
Ordinal.enumOrd_surjective S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊢ enumOrd S (sSup {a \| enumOrd S a ≤ s}) = s apply le_antisymm ** case a S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S s : Ordinal.{u} hs : s ∈ S ⊢ enumOrd S (sSup {a \| enumOrd S a ≤ s})...
Ordinal.range_enumOrd S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ range (enumOrd S) = S rw [range_eq_iff] S : Set Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ (∀ (a : Ordinal.{u}), enumOrd S a ∈ S) ∧ ∀ (b : Ordinal.{u}), b ∈ S → ∃ a, enumOrd S a = b exact ⟨enumOrd_mem hS, enumOrd_...
Ordinal.eq_enumOrd S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ StrictMono f ∧ range f = S ↔ f = enumOrd S constructor case mp S : Set Ordinal.{u} f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S ⊢ StrictMono f ∧ range f = S → f = enumOrd S ...
Ordinal.one_add_nat_cast m : ℕ ⊢ 1 + ↑m = ↑(succ m) rw [← Nat.cast_one, ← Nat.cast_add, add_comm] m : ℕ ⊢ ↑(m + 1) = ↑(succ m) rfl ** Qed
Ordinal.nat_cast_mul ** m : ℕ ⊢ ↑(m * 0) = ↑m * ↑0 simp m n : ℕ ⊢ ↑(m * (n + 1)) = ↑m * ↑(n + 1) rw [Nat.mul_succ, Nat.cast_add, nat_cast_mul m n, Nat.cast_succ, mul_add_one] Qed
Ordinal.nat_cast_le m n : ℕ ⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n rw [← Cardinal.ord_nat, ← Cardinal.ord_nat, Cardinal.ord_le_ord, Cardinal.natCast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_lt m n : ℕ ⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n simp only [lt_iff_le_not_le, nat_cast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_inj m n : ℕ ⊢ ↑m = ↑n ↔ m = n simp only [le_antisymm_iff, nat_cast_le] ** Qed
Ordinal.nat_cast_sub m n : ℕ ⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n cases' le_total m n with h h case inl m n : ℕ h : m ≤ n ⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n rw [tsub_eq_zero_iff_le.2 h, Ordinal.sub_eq_zero_iff_le.2 (nat_cast_le.2 h)] case inl m n : ℕ h : m ≤ n ⊢ ↑0 = 0 rfl case inr m n : ℕ h : n ≤ m ⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n appl...
Ordinal.nat_cast_div m n : ℕ ⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n rcases eq_or_ne n 0 with (rfl \| hn) case inl m : ℕ ⊢ ↑(m / 0) = ↑m / ↑0 simp case inr m n : ℕ hn : n ≠ 0 ⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n have hn' := nat_cast_ne_zero.2 hn case inr m n : ℕ hn : n ≠ 0 hn' : ↑n ≠ 0 ⊢ ↑(m / n) = ↑m / ↑n apply le_antisymm ** cas...
Ordinal.nat_cast_mod m n : ℕ ⊢ ↑(m % n) = ↑m % ↑n rw [← add_left_cancel, div_add_mod, ← nat_cast_div, ← nat_cast_mul, ← Nat.cast_add, Nat.div_add_mod] ** Qed
Ordinal.lift_nat_cast ⊢ lift.{u, v} ↑0 = ↑0 simp n : ℕ ⊢ lift.{u, v} ↑(n + 1) = ↑(n + 1) simp [lift_nat_cast n] ** Qed
Cardinal.ord_aleph0 o : Ordinal.{u} h : o < ω ⊢ o < ord ℵ₀ rcases Ordinal.lt_lift_iff.1 h with ⟨o, rfl, h'⟩ case intro.intro o : Ordinal.{0} h' : o < type fun x x_1 => x < x_1 h : Ordinal.lift.{u, 0} o < ω ⊢ card (typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) o h')) < ℵ₀ exact lt_aleph0_iff_fin...
Cardinal.add_one_of_aleph0_le c : Cardinal.{u_1} h : ℵ₀ ≤ c ⊢ c + 1 = c rw [add_comm, ← card_ord c, ← card_one, ← card_add, one_add_of_omega_le] c : Cardinal.{u_1} h : ℵ₀ ≤ c ⊢ ω ≤ ord c rwa [← ord_aleph0, ord_le_ord] ** Qed
Ordinal.lt_add_of_limit a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c ⊢ a < b + c ↔ ∃ c', c' < c ∧ a < b + c' have := IsNormal.bsup_eq.{u, u} (add_isNormal b) h a b c : Ordinal.{u} h : IsLimit c this : (bsup c fun x x_1 => (fun x x_2 => x + x_2) b x) = (fun x x_1 => x + x_1) b c ⊢ a < b + c ↔ ∃ c', c' < c ∧ a < b + c' ...
Ordinal.lt_omega o : Ordinal.{u_1} ⊢ o < ω ↔ ∃ n, o = ↑n simp_rw [← Cardinal.ord_aleph0, Cardinal.lt_ord, lt_aleph0, card_eq_nat] ** Qed
Ordinal.one_lt_omega ⊢ 1 < ω simpa only [Nat.cast_one] using nat_lt_omega 1 ** Qed
Ordinal.omega_isLimit o : Ordinal.{u_1} h : o < ω ⊢ succ o < ω let ⟨n, e⟩ := lt_omega.1 h o : Ordinal.{u_1} h : o < ω n : ℕ e : o = ↑n ⊢ succ o < ω rw [e] o : Ordinal.{u_1} h : o < ω n : ℕ e : o = ↑n ⊢ succ ↑n < ω exact nat_lt_omega (n + 1) ** Qed
Ordinal.omega_le o : Ordinal.{u_1} H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o a : Ordinal.{u_1} h : a < ω ⊢ a < o let ⟨n, e⟩ := lt_omega.1 h o : Ordinal.{u_1} H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o a : Ordinal.{u_1} h : a < ω n : ℕ e : a = ↑n ⊢ a < o rw [e, ← succ_le_iff] ** o : Ordinal.{u_1} H : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ o a : Ordinal.{u_1} h : a < ω n ...
Ordinal.isLimit_iff_omega_dvd a : Ordinal.{u_1} ⊢ IsLimit a ↔ a ≠ 0 ∧ ω ∣ a refine' ⟨fun l => ⟨l.1, ⟨a / ω, le_antisymm _ (mul_div_le _ _)⟩⟩, fun h => _⟩ ** case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsLimit a ⊢ a ≤ ω * (a / ω) refine' (limit_le l).2 fun x hx => le_of_lt _ case refine'_1 a : Ordinal.{u_1} l : IsL...
Ordinal.add_mul_limit_aux ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : ∀ (c' : Ordinal.{u_1}), c' < c → (a + b) * succ c' = a * succ c' + b c' : Ordinal.{u_1} h : c' < c ⊢ (a + b) * c' ≤ a * c apply (mul_le_mul_left' (le_succ c') _).trans a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a l : IsLimit c IH : ∀ (c'...
Ordinal.add_mul_succ ** a b c : Ordinal.{u_1} ba : b + a = a ⊢ (a + b) * succ c = a * succ c + b ** induction c using limitRecOn with \| H₁ => simp only [succ_zero, mul_one] \| H₂ c IH => rw [mul_succ, IH, ← add_assoc, add_assoc _ b, ba, ← mul_succ] \| H₃ c l IH => rw [mul_succ, add_mul_limit_aux ba l IH, mul_succ, ad...
Ordinal.add_le_of_forall_add_lt a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : ∀ (d : Ordinal.{u_1}), d < b → a + d < c ⊢ a + b ≤ c have H : a + (c - a) = c := Ordinal.add_sub_cancel_of_le (by rw [← add_zero a] exact (h _ hb).le) ** a b c : Ordinal.{u_1} hb : 0 < b h : ∀ (d : Ordinal.{u_1}), d < b → a + d...
Ordinal.IsNormal.apply_omega f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u} hf : IsNormal f ⊢ Ordinal.sup (f ∘ Nat.cast) = f ω rw [← sup_nat_cast, IsNormal.sup.{0, u, u} hf] ** Qed
Ordinal.sup_mul_nat ** o : Ordinal.{u_1} ⊢ (sup fun n => o * ↑n) = o * ω rcases eq_zero_or_pos o with (rfl \| ho) case inl ⊢ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 * ω rw [zero_mul] case inl ⊢ (sup fun n => 0 * ↑n) = 0 exact sup_eq_zero_iff.2 fun n => zero_mul (n : Ordinal) case inr o : Ordinal.{u_1} ho : 0 < o ⊢...
Acc.rank_eq α : Type u r : α → α → Prop a b : α h : Acc r a ⊢ rank h = sup fun b => succ (rank (_ : Acc r ↑b)) change (Acc.intro a fun _ => h.inv).rank = _ α : Type u r : α → α → Prop a b : α h : Acc r a ⊢ rank (_ : Acc (fun x => r x) a) = sup fun b => succ (rank (_ : Acc r ↑b)) rfl ** Qed
Acc.rank_lt_of_rel α : Type u r : α → α → Prop a b : α hb : Acc r b h : r a b ⊢ succ (rank (_ : Acc r a)) ≤ rank hb rw [hb.rank_eq] α : Type u r : α → α → Prop a b : α hb : Acc r b h : r a b ⊢ succ (rank (_ : Acc r a)) ≤ sup fun b_1 => succ (rank (_ : Acc r ↑b_1)) refine' le_trans _ (Ordinal.le_sup _ ⟨a, h⟩...
WellFounded.rank_eq α : Type u r : α → α → Prop a b : α hwf : WellFounded r ⊢ rank hwf a = sup fun b => succ (rank hwf ↑b) rw [rank, Acc.rank_eq] α : Type u r : α → α → Prop a b : α hwf : WellFounded r ⊢ (sup fun b => succ (Acc.rank (_ : Acc r ↑b))) = sup fun b => succ (rank hwf ↑b) rfl ** Qed
TopCat.Presheaf.stalkToFiber_surjective X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ Function.Surjective (stalkToFiber F x) apply TopCat.stalkToFiber_surjective case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ ∀ (t : stalk F x), ∃ U f x_1, f { val := x, property := (_ : x ∈ U.obj) } = t intro t ** case w X...
TopCat.Presheaf.stalkToFiber_injective X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ Function.Injective (stalkToFiber F x) apply TopCat.stalkToFiber_injective ** case w X : TopCat F : Presheaf (Type v) X x : ↑X ⊢ ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : { x_1 // x_1 ∈ U.obj }) → stalk F ↑y), PrelocalPredicate.pred (Shea...
Nat.card_eq_of_equiv_fin α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 n : ℕ f : α ≃ Fin n ⊢ Nat.card α = n simpa only [card_eq_fintype_card, Fintype.card_fin] using card_congr f ** Qed
Nat.card_of_subsingleton α : Type u_1 β : Type u_2 a : α inst✝ : Subsingleton α ⊢ Nat.card α = 1 letI := Fintype.ofSubsingleton a α : Type u_1 β : Type u_2 a : α inst✝ : Subsingleton α this : Fintype α := Fintype.ofSubsingleton a ⊢ Nat.card α = 1 rw [card_eq_fintype_card, Fintype.card_ofSubsingleton a] ** Q...
Nat.card_of_isEmpty α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : IsEmpty α ⊢ Nat.card α = 0 simp ** Qed
Nat.card_sum α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : Finite α inst✝ : Finite β ⊢ Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β have := Fintype.ofFinite α α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝¹ : Finite α inst✝ : Finite β this : Fintype α ⊢ Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β have := Fintype.ofFinite β ** α : Type ...
Nat.card_prod ** α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 α : Type u_3 β : Type u_4 ⊢ Nat.card (α × β) = Nat.card α * Nat.card β simp only [Nat.card, mk_prod, toNat_mul, toNat_lift] Qed
Nat.card_pi α : Type u_1 β✝ : Type u_2 β : α → Type u_3 inst✝ : Fintype α ⊢ Nat.card ((a : α) → β a) = ∏ a : α, Nat.card (β a) simp_rw [Nat.card, mk_pi, prod_eq_of_fintype, toNat_lift, toNat_finset_prod] ** Qed
Nat.card_fun α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : Finite α ⊢ Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α haveI := Fintype.ofFinite α α : Type u_1 β : Type u_2 inst✝ : Finite α this : Fintype α ⊢ Nat.card (α → β) = Nat.card β ^ Nat.card α rw [Nat.card_pi, Finset.prod_const, Finset.card_univ, ← Nat.card_eq_fintyp...
Nat.card_zmod α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ ⊢ Nat.card (ZMod n) = n cases n case zero α : Type u_1 β : Type u_2 ⊢ Nat.card (ZMod zero) = zero exact @Nat.card_eq_zero_of_infinite _ Int.infinite case succ α : Type u_1 β : Type u_2 n✝ : ℕ ⊢ Nat.card (ZMod (succ n✝)) = succ n✝ rw [Nat.card_eq_fintype_ca...
PartENat.card_sum α✝ : Type u_1 β✝ : Type u_2 α : Type u_3 β : Type u_4 ⊢ card (α ⊕ β) = card α + card β simp only [PartENat.card, Cardinal.mk_sum, map_add, Cardinal.toPartENat_lift] ** Qed
Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑n ≤ ↑toPartENat c ↔ ↑n ≤ c rw [← toPartENat_cast n, toPartENat_le_iff_of_le_aleph0 (le_of_lt (nat_lt_aleph0 n))] ** Qed
Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff α : Type u_1 β : Type u_2 c : Cardinal.{u_3} n : ℕ ⊢ ↑toPartENat c ≤ ↑n ↔ c ≤ ↑n rw [← toPartENat_cast n, toPartENat_le_iff_of_lt_aleph0 (nat_lt_aleph0 n)] ** Qed
Cardinal.natCast_eq_toPartENat_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑n = ↑toPartENat c ↔ ↑n = c rw [le_antisymm_iff, le_antisymm_iff, Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff, Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff] ** Qed
Cardinal.toPartENat_eq_natCast_iff α : Type u_1 β : Type u_2 c : Cardinal.{u_3} n : ℕ ⊢ ↑toPartENat c = ↑n ↔ c = ↑n rw [eq_comm, Cardinal.natCast_eq_toPartENat_iff, eq_comm] ** Qed
Cardinal.natCast_lt_toPartENat_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑n < ↑toPartENat c ↔ ↑n < c simp only [← not_le, Cardinal.toPartENat_le_natCast_iff] ** Qed
Cardinal.toPartENat_lt_natCast_iff α : Type u_1 β : Type u_2 n : ℕ c : Cardinal.{u_3} ⊢ ↑toPartENat c < ↑n ↔ c < ↑n simp only [← not_le, Cardinal.natCast_le_toPartENat_iff] ** Qed
PartENat.card_eq_zero_iff_empty α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α = 0 ↔ IsEmpty α rw [← Cardinal.mk_eq_zero_iff] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α = 0 ↔ #α = 0 conv_rhs => rw [← Nat.cast_zero] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α = 0 ↔ #α = ↑0 simp only [← Car...
PartENat.card_le_one_iff_subsingleton α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α rw [← le_one_iff_subsingleton] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α ≤ 1 ↔ #α ≤ 1 conv_rhs => rw [← Nat.cast_one] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ card α ≤ 1 ↔ #α ≤ ↑1 rw [← ...
PartENat.one_lt_card_iff_nontrivial α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ 1 < card α ↔ Nontrivial α rw [← Cardinal.one_lt_iff_nontrivial] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ 1 < card α ↔ 1 < #α conv_rhs => rw [← Nat.cast_one] α✝ : Type u_1 β : Type u_2 α : Type u_3 ⊢ 1 < card α ↔ ↑1 < #α rw ...