input stringclasses 1
value | output stringlengths 0 3.63k | instruction stringlengths 0 3.63k | data_source stringclasses 1
value |
|---|---|---|---|
\begin{defi}
Soit $C_c^{\infty}(F^*)$ l'espace des applications $F^* \longrightarrow \mathbb{C}$ localement constantes à support compact.
\end{defi}
|
\begin{defi}
Soit $C_c^{\infty}(F^*)$ l'espace des applications $F^* \longrightarrow \mathbb{C}$ localement constantes à support compact.
\end{defi}
| ||
\begin{defi}
On définit les fonctions zêta locales par :
$$
\mathcal{Z}(f, \chi) = \int_{F^*} f(x) \chi(x) \, dx^{\times}
$$
où $f \in C_c^{\infty}(F)$ et $\chi$ est un caractère multiplicatif de $F^*$, égal à $\eta |.|^s$.
\end{defi}
|
\begin{defi}
On définit les fonctions zêta locales par :
$$
\mathcal{Z}(f, \chi) = \int_{F^*} f(x) \chi(x) \, dx^{\times}
$$
où $f \in C_c^{\infty}(F)$ et $\chi$ est un caractère multiplicatif de $F^*$, égal à $\eta |.|^s$.
\end{defi}
| ||
\section{Fonctions L-abéliennes et théorème de Tate}
\subsection{Dualité pour les groupes abéliens localement compacts}
|
\section{Fonctions L-abéliennes et théorème de Tate}
\subsection{Dualité pour les groupes abéliens localement compacts}
| ||
\begin{proof}~
Cela résulte immédiatement de la décomposition topologique $F^{*} \simeq \OO^{\times} \times \mathbb{Z}$.
\end{proof}
|
\begin{proof}~
Cela résulte immédiatement de la décomposition topologique $F^{*} \simeq \OO^{\times} \times \mathbb{Z}$.
\end{proof}
| ||
\subsection{Théorie de Fourier sur les corps $p$-adiques}
On se donne $p$ premier et $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_{p}$. On note $\OO$ son anneau de valuation et $\varpi \in \OO$ une uniformisante. $q$ est le cardinal du corps résiduel.
|
\subsection{Théorie de Fourier sur les corps $p$-adiques}
On se donne $p$ premier et $F$ une extension finie de $\mathbb{Q}_{p}$. On note $\OO$ son anneau de valuation et $\varpi \in \OO$ une uniformisante. $q$ est le cardinal du corps résiduel.
| ||
\begin{proof}~
Il suffit de prouver le corollaire pour $\psi_0 : x \mapsto \psi_p ( \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(x)$ car alors pour chaque $\psi \neq \1$, il existe $a \in \mathbb{Q}_{p}^*$ tel que $\psi=\left(\psi_0\right)_a$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\a{1.5} \def\b{2}
\path
(-\a,0) node (A) {$F$} ... |
\begin{proof}~
Il suffit de prouver le corollaire pour $\psi_0 : x \mapsto \psi_p ( \operatorname{Tr}_{F/\Q_p}(x)$ car alors pour chaque $\psi \neq \1$, il existe $a \in \mathbb{Q}_{p}^*$ tel que $\psi=\left(\psi_0\right)_a$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\def\a{1.5} \def\b{2}
\path
(-\a,0) node (A) {$F$} ... | ||
\begin{proof}~
\underline{Séparation} : Soient $\chi, \phi \in \widehat{G}$ avec $\chi \neq \phi$. Il existe $g \in G$ tel que $\chi(g) \neq \phi(g)$. $\exists U \ni \chi(g) \; , \; V \ni \phi(g)$ ouverts tq $U \cap V = \varnothing$. Alors, $W(\{g\}, U) \ni \chi$ et $W(\{g\}, V) \ni \phi$ sont deux ouverts de $\hat{G... |
\begin{proof}~
\underline{Séparation} : Soient $\chi, \phi \in \widehat{G}$ avec $\chi \neq \phi$. Il existe $g \in G$ tel que $\chi(g) \neq \phi(g)$. $\exists U \ni \chi(g) \; , \; V \ni \phi(g)$ ouverts tq $U \cap V = \varnothing$. Alors, $W(\{g\}, U) \ni \chi$ et $W(\{g\}, V) \ni \phi$ sont deux ouverts de $\hat{G... | ||
\subsection{Fonctions zêtas locales (p-adiques)}
\begin{defi}
Un caractère multiplicatif de $F^{*}$ est un morphisme continu $\chi:(F^{*}, \times) \rightarrow(\mathbb{C}^*, \times)$.
\end{defi}
|
\subsection{Fonctions zêtas locales (p-adiques)}
\begin{defi}
Un caractère multiplicatif de $F^{*}$ est un morphisme continu $\chi:(F^{*}, \times) \rightarrow(\mathbb{C}^*, \times)$.
\end{defi}
| ||
\begin{lemme}
Pour toutes $f, g \in C_{c}^{\infty}(F)$ et tout caractère $\chi = \eta |.|^s$ avec $0 < \Re(s) < 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^{\vee}\right) \mathcal{Z}(g, \chi) = \mathcal{Z}(f, \chi) \mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)
$$
où chaque fonction $\mathcal{Z}$ est sur son domaine de ... |
\begin{lemme}
Pour toutes $f, g \in C_{c}^{\infty}(F)$ et tout caractère $\chi = \eta |.|^s$ avec $0 < \Re(s) < 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^{\vee}\right) \mathcal{Z}(g, \chi) = \mathcal{Z}(f, \chi) \mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)
$$
où chaque fonction $\mathcal{Z}$ est sur son domaine de ... | ||
\begin{proof}~ \\
L'équation fonctionnelle vient de celle entre $\mathcal{Z}$ et $\gamma$.
$\frac{\mathcal{Z}(f(x))}{L(\chi)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(s)>0$.
$\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(1-s)>0$ ie $\o... |
\begin{proof}~ \\
L'équation fonctionnelle vient de celle entre $\mathcal{Z}$ et $\gamma$.
$\frac{\mathcal{Z}(f(x))}{L(\chi)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(s)>0$.
$\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{f}, \chi^\vee\right)}{L\left(\chi^\vee\right)}$ est holomorphe pour $\operatorname{Re}(1-s)>0$ ie $\o... | ||
\begin{lemme}
On a $\varepsilon(\chi, \psi) \varepsilon\left(\chi^\vee, \psi\right)=\chi(-1)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
$\mathcal{Z}(\hat{\hat{f}}, \chi) \stackrel{\text { Fourier }}{=} \int_{F^*} f(-x) \chi(x) d x^\times=\chi(-1) \mathcal{Z}(f, \chi)$. \\
Or $\frac{\mathcal{Z}\hat{\hat{f}}, \chi)}{L(\c... |
\begin{lemme}
On a $\varepsilon(\chi, \psi) \varepsilon\left(\chi^\vee, \psi\right)=\chi(-1)$.
\end{lemme}
\begin{proof}
$\mathcal{Z}(\hat{\hat{f}}, \chi) \stackrel{\text { Fourier }}{=} \int_{F^*} f(-x) \chi(x) d x^\times=\chi(-1) \mathcal{Z}(f, \chi)$. \\
Or $\frac{\mathcal{Z}\hat{\hat{f}}, \chi)}{L(\c... | ||
\begin{lemme}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour $\Re(s) > 0$, l'intégrale converge absolument. \\
$s \mapsto \mathcal{Z}\left(f, \eta |.|^s\right)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s) > 0$.
\item[(ii)] $s \mapsto \mathcal{Z}\left(f, \eta |.|^s \right)$ admet un prolongement méromorphe à $\mathbb{C}$.
\end{e... |
\begin{lemme}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour $\Re(s) > 0$, l'intégrale converge absolument. \\
$s \mapsto \mathcal{Z}\left(f, \eta |.|^s\right)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s) > 0$.
\item[(ii)] $s \mapsto \mathcal{Z}\left(f, \eta |.|^s \right)$ admet un prolongement méromorphe à $\mathbb{C}$.
\end{e... | ||
\begin{proof}(\cref{lem2})~
Par définition du conducteur, on a : $\left.\psi\right|_{\varpi^m \OO} \equiv 1, \left.\psi\right|_{\varpi^{m-1} \OO} \not \equiv 1 \text {. }$ \\
Donc, si $n \geqslant m$, on a $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^m \OO$ et l'intégrale vaut $\operatorname{Vol}(\varpi^m \OO, dx)$. \\
Supposons ... |
\begin{proof}(\cref{lem2})~
Par définition du conducteur, on a : $\left.\psi\right|_{\varpi^m \OO} \equiv 1, \left.\psi\right|_{\varpi^{m-1} \OO} \not \equiv 1 \text {. }$ \\
Donc, si $n \geqslant m$, on a $\varpi^n \OO \subseteq \varpi^m \OO$ et l'intégrale vaut $\operatorname{Vol}(\varpi^m \OO, dx)$. \\
Supposons ... | ||
\subsection{Calculs auxiliaires}
On cherche à obtenir des formules pour $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}$.\\
Dans ce passage, $\psi$ est un caractère additif non trivial de $F$ avec $n_\psi:=\min \left\{n \in \mathbb{Z}\,\mid \, \psi|_{\varpi^n \OO} \equiv 1\right\}$. \\
$\ch... |
\subsection{Calculs auxiliaires}
On cherche à obtenir des formules pour $\frac{\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^{\vee}\right)}{\mathcal{Z}(g, \chi)}$.\\
Dans ce passage, $\psi$ est un caractère additif non trivial de $F$ avec $n_\psi:=\min \left\{n \in \mathbb{Z}\,\mid \, \psi|_{\varpi^n \OO} \equiv 1\right\}$. \\
$\ch... | ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item Si $\chi=\chi^\vee$ on a $1-s=s$ c'est-à-dire $s=1/2$
et $\eta=\bar{\eta}$, c'est-à-dire $\eta$ est réel. \\
Ainsi $\chi(-1)= \pm 1$ et $\varepsilon(\chi, \psi)^2=\chi(-1)$ donc $\varepsilon(\chi, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
&\varepsilon... |
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item Si $\chi=\chi^\vee$ on a $1-s=s$ c'est-à-dire $s=1/2$
et $\eta=\bar{\eta}$, c'est-à-dire $\eta$ est réel. \\
Ainsi $\chi(-1)= \pm 1$ et $\varepsilon(\chi, \psi)^2=\chi(-1)$ donc $\varepsilon(\chi, \psi) \in \mathbb{U}_4$.
\item Plus généralement:
$$
\begin{aligned}
&\varepsilon... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] $ \Rightarrow$ Clair.
$\Leftarrow$ Montrons que pour $m \geqslant 1$, $\chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$ est un voisinage de $e$. \\
Par hypothèse, $\exists U \ni e$ ouvert de $G$ tel que $\chi(U) \subseteq N(1)$.
Par continuité de $\left\{\begin{array}{l}G^m \rightarrow G \... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] $ \Rightarrow$ Clair.
$\Leftarrow$ Montrons que pour $m \geqslant 1$, $\chi^{-1}(N(\frac{1}{m}))$ est un voisinage de $e$. \\
Par hypothèse, $\exists U \ni e$ ouvert de $G$ tel que $\chi(U) \subseteq N(1)$.
Par continuité de $\left\{\begin{array}{l}G^m \rightarrow G \... | ||
\subsubsection*{Construction des caractères additifs de $\mathbb{Q}_p$}
|
\subsubsection*{Construction des caractères additifs de $\mathbb{Q}_p$}
| ||
\begin{defi}
Si $\eta$ est un caractère non trivial de $\OO^{\times}$, on définit son conducteur comme le plus grand idéal $\varpi^n \OO$, $n \geq 1$, tel que $\left.\eta\right|_{1+\varpi^n \OO } \equiv 1$.
\end{defi}
|
\begin{defi}
Si $\eta$ est un caractère non trivial de $\OO^{\times}$, on définit son conducteur comme le plus grand idéal $\varpi^n \OO$, $n \geq 1$, tel que $\left.\eta\right|_{1+\varpi^n \OO } \equiv 1$.
\end{defi}
| ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Soit $f = \underbrace{\left(f - f(0) \1_{\OO}\right)}_{=: g \in C_c^{\infty}(F^*)} + f(0) \1_{\OO}$. \\
Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ est défini par une intégrale sur un compact :
$$
\int_{F^*} |g(x) \chi(x)|_{\infty} \, dx^{\times} = \int_{F^*} |g(x)|_{\infty} |x|^{\Re(... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Soit $f = \underbrace{\left(f - f(0) \1_{\OO}\right)}_{=: g \in C_c^{\infty}(F^*)} + f(0) \1_{\OO}$. \\
Ainsi, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ est défini par une intégrale sur un compact :
$$
\int_{F^*} |g(x) \chi(x)|_{\infty} \, dx^{\times} = \int_{F^*} |g(x)|_{\infty} |x|^{\Re(... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] En considérant $B(1, \varepsilon)$ dans $\mathbb{C}^*$, on observe que $\psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$ est un ouvert de $F$ qui contient $0$. \\
Il existe donc $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$, d'où $\psi(\varpi^n \OO) \s... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] En considérant $B(1, \varepsilon)$ dans $\mathbb{C}^*$, on observe que $\psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$ est un ouvert de $F$ qui contient $0$. \\
Il existe donc $n \in \mathbb{Z}$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \psi^{-1}(B(1, \varepsilon))$, d'où $\psi(\varpi^n \OO) \s... | ||
\begin{defi}
Le bidual de $G$ est le dual $\widehat{\hat{G}}$ de $\hat{G}$.
\end{defi}
Pour chaque $g \in G$, on dispose d'un morphisme de groupes $ev_{g}: \widehat{G} \longrightarrow \mathbb{U}$ défini par $\chi \mapsto \chi(g)$. \\
Pour voir que $ev_{g}$ est continue, il suffit de montrer que $\mathrm{ev_{g}}^{-1... |
\begin{defi}
Le bidual de $G$ est le dual $\widehat{\hat{G}}$ de $\hat{G}$.
\end{defi}
Pour chaque $g \in G$, on dispose d'un morphisme de groupes $ev_{g}: \widehat{G} \longrightarrow \mathbb{U}$ défini par $\chi \mapsto \chi(g)$. \\
Pour voir que $ev_{g}$ est continue, il suffit de montrer que $\mathrm{ev_{g}}^{-1... | ||
\begin{proof}~
\begin{align*}
\operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx^{\times}) &= \frac{1}{1 - q^{-1}} \int_{\OO^{\times}} \frac{dx}{|x|} \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \int_{\OO^{\times}} dx \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx) \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \big( \operatorname{Vol}(\OO, dx) -... |
\begin{proof}~
\begin{align*}
\operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx^{\times}) &= \frac{1}{1 - q^{-1}} \int_{\OO^{\times}} \frac{dx}{|x|} \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \int_{\OO^{\times}} dx \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx) \\
&= \frac{1}{1 - q^{-1}} \big( \operatorname{Vol}(\OO, dx) -... | ||
\begin{lemme}
On suppose $n_\chi>0$. Alors:
\begin{align*}
& \rightarrow \text { Si } n_\psi<n_{\chi}, \quad G(\chi, \psi)=0 \\
& \rightarrow \text{Si } n_\psi=n_{\chi}, \quad|G(\chi, \psi)|_{\infty}^2=\frac{|\OO / \mathcal{D} |^{-1 / 2} }{1-q^{-1}} \operatorname{Vol}\left(U_{n_\psi}, dx^{\times}\right) \\
& \rightarr... |
\begin{lemme}
On suppose $n_\chi>0$. Alors:
\begin{align*}
& \rightarrow \text { Si } n_\psi<n_{\chi}, \quad G(\chi, \psi)=0 \\
& \rightarrow \text{Si } n_\psi=n_{\chi}, \quad|G(\chi, \psi)|_{\infty}^2=\frac{|\OO / \mathcal{D} |^{-1 / 2} }{1-q^{-1}} \operatorname{Vol}\left(U_{n_\psi}, dx^{\times}\right) \\
& \rightarr... | ||
\begin{defi}
Un caractère $\chi$ de $F^*$ est non ramifié si $\left.\chi\right|_{\OO^{\times}} \equiv 1$. Dans la décomposition de la \cref{prop1}, cela revient à dire que $\eta=1$, donc $\chi=|.|^s$.
\end{defi}
|
\begin{defi}
Un caractère $\chi$ de $F^*$ est non ramifié si $\left.\chi\right|_{\OO^{\times}} \equiv 1$. Dans la décomposition de la \cref{prop1}, cela revient à dire que $\eta=1$, donc $\chi=|.|^s$.
\end{defi}
| ||
\begin{proof}~{(Corollaire)}
On applique le lemme à $V=G$ où $G$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ et à $\chi=Id$.
$G^{(m)} \subseteq G \subseteq N(1)$ d'où $\forall m \, , \, G \subseteq N\left(\frac{1}{m}\right) $ et donc $G \subseteq \bigcap\limits_{m \geqslant 1} N\left(\frac{1}{m}\right) = ... |
\begin{proof}~{(Corollaire)}
On applique le lemme à $V=G$ où $G$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ et à $\chi=Id$.
$G^{(m)} \subseteq G \subseteq N(1)$ d'où $\forall m \, , \, G \subseteq N\left(\frac{1}{m}\right) $ et donc $G \subseteq \bigcap\limits_{m \geqslant 1} N\left(\frac{1}{m}\right) = ... | ||
\underline{Continuité de $\theta^{-1}$} : \\
Là encore, il suffit de montrer que $\theta(B(0, \varepsilon))$ est un voisinage de $\1$ dans $\hat{F}$. \\
On souhaite donc trouver $K \subseteq F$ compact et $m \geq 1$ tels que $W(K, N(1 / m)) \subseteq \theta(B(0, \varepsilon))$.
Soit $x \in F$ tel que $\psi_0(x) \neq ... |
\underline{Continuité de $\theta^{-1}$} : \\
Là encore, il suffit de montrer que $\theta(B(0, \varepsilon))$ est un voisinage de $\1$ dans $\hat{F}$. \\
On souhaite donc trouver $K \subseteq F$ compact et $m \geq 1$ tels que $W(K, N(1 / m)) \subseteq \theta(B(0, \varepsilon))$.
Soit $x \in F$ tel que $\psi_0(x) \neq ... | ||
\begin{rmk}
\begin{enumerate}
\item[1)] Si $G$ est discret ses compacts sont les sous-groupes finis. La topologie compacte-ouverte est alors celle de la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$.
\item[2)] Pour $(\chi_n) \in \hat{G}^{\N}$ et $\chi \in \hat{G}$, $\chi_n \rightarrow \chi \Leftrightarrow \chi_n \text{... |
\begin{rmk}
\begin{enumerate}
\item[1)] Si $G$ est discret ses compacts sont les sous-groupes finis. La topologie compacte-ouverte est alors celle de la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$.
\item[2)] Pour $(\chi_n) \in \hat{G}^{\N}$ et $\chi \in \hat{G}$, $\chi_n \rightarrow \chi \Leftrightarrow \chi_n \text{... | ||
\begin{rmk}
Ici, on a fait jouer un rôle privilégié à $\psi_p$ mais \textit{a posteriori} le lemme vaut en remplaçant $\psi_p$ par n'importe quel morphisme $\psi \neq \1$ et $\Z_p$ par $\operatorname{Cond}(\psi)$.
\end{rmk}
|
\begin{rmk}
Ici, on a fait jouer un rôle privilégié à $\psi_p$ mais \textit{a posteriori} le lemme vaut en remplaçant $\psi_p$ par n'importe quel morphisme $\psi \neq \1$ et $\Z_p$ par $\operatorname{Cond}(\psi)$.
\end{rmk}
| ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[Opt 1 :]
$x \mapsto e^{2 i \pi x}$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U}$ trivial sur $\mathbb{Z}$. Par restriction et quotient, cela donne un morphisme
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{U} \\
x & \longmapsto e^{2 ... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[Opt 1 :]
$x \mapsto e^{2 i \pi x}$ est un morphisme de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{U}$ trivial sur $\mathbb{Z}$. Par restriction et quotient, cela donne un morphisme
$$
\left\{
\begin{aligned}
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} & \longrightarrow \mathbb{U} \\
x & \longmapsto e^{2 ... | ||
\begin{Théorème}~
\label{thm1}
\begin{enumerate}
\item[(i)] L'intégrale converge absolument pour tout $y \in F$.
\item[(ii)] $\hat{f} \in C_c^{\infty}(F)$.
\item[(iii)] $\forall x \in F \quad \widehat{\hat{f}}(x) = f(-x)$ (Formule d'inversion).
\end{enumerate}
\end{Théorème}
|
\begin{Théorème}~
\label{thm1}
\begin{enumerate}
\item[(i)] L'intégrale converge absolument pour tout $y \in F$.
\item[(ii)] $\hat{f} \in C_c^{\infty}(F)$.
\item[(iii)] $\forall x \in F \quad \widehat{\hat{f}}(x) = f(-x)$ (Formule d'inversion).
\end{enumerate}
\end{Théorème}
| ||
\begin{prop}
Soit $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \C^*$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item[i)] $\eta$ est localement constant, son noyau contient un sous-groupe ouvert compact $1+\varpi^n \OO$ avec $n$ assez grand.
\item[ii)] Im($\eta$) est un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$ (d... |
\begin{prop}
Soit $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \C^*$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item[i)] $\eta$ est localement constant, son noyau contient un sous-groupe ouvert compact $1+\varpi^n \OO$ avec $n$ assez grand.
\item[ii)] Im($\eta$) est un sous-groupe fini de $\mathbb{C}^*$ (d... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] $|f(x) \psi(x y)|_{\infty} = |f(x)|_{\infty}$, donc l'intégrale est absolument convergente (on a même $x \mapsto f(x) \psi(x y)) \in C_c^{\infty}(F)$). \\
L'intégrale qui définit $\hat{f}$ a donc un sens.
\item[(ii),(iii)] Par linéarité, il suffit de prouver le t... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] $|f(x) \psi(x y)|_{\infty} = |f(x)|_{\infty}$, donc l'intégrale est absolument convergente (on a même $x \mapsto f(x) \psi(x y)) \in C_c^{\infty}(F)$). \\
L'intégrale qui définit $\hat{f}$ a donc un sens.
\item[(ii),(iii)] Par linéarité, il suffit de prouver le t... | ||
\begin{lemme}
L'intégrale converge absolument pour $\Re(s)>0$, et est holomorphe sur ce domaine.
\end{lemme}
\begin{theorem}
Soit $\chi = \eta | \cdot |^s$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathcal{S}(F)$, la fonction $\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}$ est holomorphe sur $\Re(s) > 0$ et admet un prolongemen... |
\begin{lemme}
L'intégrale converge absolument pour $\Re(s)>0$, et est holomorphe sur ce domaine.
\end{lemme}
\begin{theorem}
Soit $\chi = \eta | \cdot |^s$. Alors, pour toute fonction $f \in \mathcal{S}(F)$, la fonction $\frac{\mathcal{Z}(f, \chi)}{L(\chi)}$ est holomorphe sur $\Re(s) > 0$ et admet un prolongemen... | ||
\begin{defi}
Soit $G$ un groupe abélien localement compact (LC). Un caractère unitaire de $G$ est un morphisme de groupes continu $\chi: G \rightarrow \mathbb{U}$.
On note $\hat{G}$ leur groupe, c'est le groupe dual.
- On munit $\hat{G}$ de la topologie engendrée par les ensembles
$$
W(K, U) = \{\chi \in \hat{G}... |
\begin{defi}
Soit $G$ un groupe abélien localement compact (LC). Un caractère unitaire de $G$ est un morphisme de groupes continu $\chi: G \rightarrow \mathbb{U}$.
On note $\hat{G}$ leur groupe, c'est le groupe dual.
- On munit $\hat{G}$ de la topologie engendrée par les ensembles
$$
W(K, U) = \{\chi \in \hat{G}... | ||
Soit $dx$ la mesure de Haar sur $F$ normalisée comme avant. \\
Alors $dx^{\times} = \frac{1}{1 - q^{-1}} \frac{dx}{|x|}$ est une mesure de Haar normalisée sur $F^*$.
\begin{lemme}
$\operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx^{\times}) = \operatorname{Vol}(\OO, dx) = |\OO/\mathcal{D}|^{-1/2}$
\end{lemme}
|
Soit $dx$ la mesure de Haar sur $F$ normalisée comme avant. \\
Alors $dx^{\times} = \frac{1}{1 - q^{-1}} \frac{dx}{|x|}$ est une mesure de Haar normalisée sur $F^*$.
\begin{lemme}
$\operatorname{Vol}(\OO^{\times}, dx^{\times}) = \operatorname{Vol}(\OO, dx) = |\OO/\mathcal{D}|^{-1/2}$
\end{lemme}
| ||
\begin{defi}
Le conducteur d'un caractère additif $\psi$ non trivial est l'idéal fractionnaire $\varpi^n \OO$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ et $\varpi^{n-1} \OO \nsubseteq \operatorname{Ker} \psi$. \\
On le note $\operatorname{Cond}(\psi)$.
\end{defi}
|
\begin{defi}
Le conducteur d'un caractère additif $\psi$ non trivial est l'idéal fractionnaire $\varpi^n \OO$ tel que $\varpi^n \OO \subseteq \operatorname{Ker} \psi$ et $\varpi^{n-1} \OO \nsubseteq \operatorname{Ker} \psi$. \\
On le note $\operatorname{Cond}(\psi)$.
\end{defi}
| ||
\begin{proof}~
Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. \\
En effet, $\operatorname{supp}(f)=\bigcup\limits_{x \in \text{supp} (f)} U_x$ où $U_x$ est tel que $\left.f\right|_{U_x}$ est constante. Comme $\operatorname{supp}(f)$ est compact, on a un recouvrement fini.\\
Soient $\alpha_1, ... |
\begin{proof}~
Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs. \\
En effet, $\operatorname{supp}(f)=\bigcup\limits_{x \in \text{supp} (f)} U_x$ où $U_x$ est tel que $\left.f\right|_{U_x}$ est constante. Comme $\operatorname{supp}(f)$ est compact, on a un recouvrement fini.\\
Soient $\alpha_1, ... | ||
\begin{proof}~
Pour $\Re(s) > 0$, on a :
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(g, \chi) &= \int_{F^*} g(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
&= \overset{\text{nuls si } k < n_\psi}{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}} \int_{\varpi^k \OO^{\times}} \1_{\varpi^{n_\psi} \OO}(x) \psi(x) \overbrace{\chi(x)}^{=|x|^s=q^{-ks}} \, dx^{\times} \\
... |
\begin{proof}~
Pour $\Re(s) > 0$, on a :
$$
\begin{aligned}
\mathcal{Z}(g, \chi) &= \int_{F^*} g(x) \chi(x) \, dx^{\times} \\
&= \overset{\text{nuls si } k < n_\psi}{\sum_{k=-\infty}^{+\infty}} \int_{\varpi^k \OO^{\times}} \1_{\varpi^{n_\psi} \OO}(x) \psi(x) \overbrace{\chi(x)}^{=|x|^s=q^{-ks}} \, dx^{\times} \\
... | ||
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)^{p^n}=\psi(1)=1$, ainsi, $\exists a_n \in \mathbb{Z}$ tel que $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$. \\
On prend bien sûr $a_0=1$ (car $\psi(1) = 1)$. \\
De plus, $\psi\left(\frac{1}{p^{n+1}}\right)^{p}=\psi\left(\frac{1}{p^n}\righ... |
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)^{p^n}=\psi(1)=1$, ainsi, $\exists a_n \in \mathbb{Z}$ tel que $\psi\left(\frac{1}{p^n}\right)=e^{\frac{2 i a_n \pi}{p^n}}$. \\
On prend bien sûr $a_0=1$ (car $\psi(1) = 1)$. \\
De plus, $\psi\left(\frac{1}{p^{n+1}}\right)^{p}=\psi\left(\frac{1}{p^n}\righ... | ||
\underline{Continuité de $\theta$} : \\
Il suffit de voir que $\theta^{-1}(W(K, N(1)))$ est un voisinage de $0$ dans $F$, pour les $K \subseteq F$ compact. \\
Or, $\theta^{-1}(W(K, N(1)))=\left\{a \in F \mid \psi_0(a K) \subseteq N(1)\right\}.
$ Comme $K$ est compact, on peut trouver $\varepsilon > 0$ tel que $B(0, \v... |
\underline{Continuité de $\theta$} : \\
Il suffit de voir que $\theta^{-1}(W(K, N(1)))$ est un voisinage de $0$ dans $F$, pour les $K \subseteq F$ compact. \\
Or, $\theta^{-1}(W(K, N(1)))=\left\{a \in F \mid \psi_0(a K) \subseteq N(1)\right\}.
$ Comme $K$ est compact, on peut trouver $\varepsilon > 0$ tel que $B(0, \v... | ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] Cette décomposition dépend fortement du choix de $\varpi$.
\item[2)] $\chi |_{\OO^{\times}}=\eta |_{\OO^{\times}}$, $\eta$ est donc déterminé par $\chi$.
\item[3)] $\chi(\varpi)=\mid \varpi\mid^s=q^{-s}=e^{-s \log q}$. \\
$s$ est donc bien défini mod... |
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] Cette décomposition dépend fortement du choix de $\varpi$.
\item[2)] $\chi |_{\OO^{\times}}=\eta |_{\OO^{\times}}$, $\eta$ est donc déterminé par $\chi$.
\item[3)] $\chi(\varpi)=\mid \varpi\mid^s=q^{-s}=e^{-s \log q}$. \\
$s$ est donc bien défini mod... | ||
Pour l'inclusion réciproque, on va montrer que $\forall \chi \in W , \; \forall K_1 \subseteq G$ compact $\forall m \geq 1 , \\ W(\chi) := W \cap \chi \cdot W(K_1, N(1 / m))$ est un voisinage de $\chi$ pour $\tau_0$.\\
\ \\
$K$ étant un voisinage compact de $e$ dans $G$, $\exists V$ voisinage ouvert de $e$ dans $G$ t... |
Pour l'inclusion réciproque, on va montrer que $\forall \chi \in W , \; \forall K_1 \subseteq G$ compact $\forall m \geq 1 , \\ W(\chi) := W \cap \chi \cdot W(K_1, N(1 / m))$ est un voisinage de $\chi$ pour $\tau_0$.\\
\ \\
$K$ étant un voisinage compact de $e$ dans $G$, $\exists V$ voisinage ouvert de $e$ dans $G$ t... | ||
\begin{prop}
\label{prop1}
Tout caractère multiplicatif $\chi:F^{*} \rightarrow \mathbb{C}^*$ s'écrit $\chi=\eta \cdot |.|^s$ où $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \mathbb{C}^*$ est un caractère étendu à $F^{*}$ par $\eta(\varpi)=1$ et $s \in \mathbb{C}$.
\end{prop}
|
\begin{prop}
\label{prop1}
Tout caractère multiplicatif $\chi:F^{*} \rightarrow \mathbb{C}^*$ s'écrit $\chi=\eta \cdot |.|^s$ où $\eta : \OO^{\times} \rightarrow \mathbb{C}^*$ est un caractère étendu à $F^{*}$ par $\eta(\varpi)=1$ et $s \in \mathbb{C}$.
\end{prop}
| ||
\begin{lemme}
On a un isomorphisme de groupes additifs:
$$
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Q}_p / \mathbb{Z}_p
$$
\end{lemme}
|
\begin{lemme}
On a un isomorphisme de groupes additifs:
$$
\mathbb{Z}[1 / p] / \mathbb{Z} \simeq \mathbb{Q}_p / \mathbb{Z}_p
$$
\end{lemme}
| ||
\begin{EX}
\begin{enumerate}
\item[1)] La $v.a$ normalisée sur $f$ n'est pas à support compact.
\item[2)] $x \mapsto |x| \cdot \1_{\mathbb{Z}_p}(x)$ n'est pas localement constante en $0$.
\item[3)] Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, alors $|f|_{\infty} \in C_c^{\infty}(F)$. $f$ est donc continue, à support compa... |
\begin{EX}
\begin{enumerate}
\item[1)] La $v.a$ normalisée sur $f$ n'est pas à support compact.
\item[2)] $x \mapsto |x| \cdot \1_{\mathbb{Z}_p}(x)$ n'est pas localement constante en $0$.
\item[3)] Si $f \in C_c^{\infty}(F)$, alors $|f|_{\infty} \in C_c^{\infty}(F)$. $f$ est donc continue, à support compa... | ||
\begin{Cor}
Le seul sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ est trivial.
\end{Cor}
|
\begin{Cor}
Le seul sous-groupe de $\mathbb{C}^*$ inclus dans $N(1)$ est trivial.
\end{Cor}
| ||
\begin{EX}
\begin{enumerate}
\item Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple, $x \mapsto |x|$).
\item Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f|_{F^*}$ est localement constante.\\
~- Si $f(0) = 0$, alors $\exists U$ voisinage de $0$ avec $f(U) = 0$. \\
Da... |
\begin{EX}
\begin{enumerate}
\item Les caractères multiplicatifs sont localement constants, mais pas à support compact (par exemple, $x \mapsto |x|$).
\item Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, $f|_{F^*}$ est localement constante.\\
~- Si $f(0) = 0$, alors $\exists U$ voisinage de $0$ avec $f(U) = 0$. \\
Da... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$. Or, ce dernier est compact. Il suffit donc de montrer que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.
Soit $\phi \in \mathbb{U}^G$ qui ... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $G$ est discret, $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est muni de la topologie induite par la topologie produit sur $\mathbb{U}^G$. Or, ce dernier est compact. Il suffit donc de montrer que $\hat{G} \subseteq \mathbb{U}^G$ est fermé.
Soit $\phi \in \mathbb{U}^G$ qui ... | ||
\begin{lemme}
La topologie compacte-ouverte est engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ avec $K \subseteq G$ compact, $\alpha \in \U $, $\varepsilon > 0$.
\end{lemme}
|
\begin{lemme}
La topologie compacte-ouverte est engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ avec $K \subseteq G$ compact, $\alpha \in \U $, $\varepsilon > 0$.
\end{lemme}
| ||
\begin{lemme}
Soit $G$ un groupe topologique localement compact.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Un morphisme de groupe $\chi: G \rightarrow \U$ est continu si et seulement si $\chi^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e:=1_G$.
\item[(ii)] La famille des $W(K, N(1))$ indexée par les compacts $K$ de $G$ est un... |
\begin{lemme}
Soit $G$ un groupe topologique localement compact.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Un morphisme de groupe $\chi: G \rightarrow \U$ est continu si et seulement si $\chi^{-1}(N(1))$ est un voisinage de $e:=1_G$.
\item[(ii)] La famille des $W(K, N(1))$ indexée par les compacts $K$ de $G$ est un... | ||
\begin{proof}~
\underline{Unicité} : Si $a, b \in \mathbb{Q}_{p}$ vérifient $\forall x \in \mathbb{Q}_{p} \quad \psi_{p}(a x)=\psi_{p}(b x)$, alors pour tout $x \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi_{p}((a-b)x)=0$, c'est-à-dire $(a-b) x \in \mathbb{Z}_{p}$. Ceci implique $a-b=0$, sans quoi $(a-b) \cdot \varpi^{-v_{p}(a-b)-1... |
\begin{proof}~
\underline{Unicité} : Si $a, b \in \mathbb{Q}_{p}$ vérifient $\forall x \in \mathbb{Q}_{p} \quad \psi_{p}(a x)=\psi_{p}(b x)$, alors pour tout $x \in \mathbb{Q}_{p}$, $\psi_{p}((a-b)x)=0$, c'est-à-dire $(a-b) x \in \mathbb{Z}_{p}$. Ceci implique $a-b=0$, sans quoi $(a-b) \cdot \varpi^{-v_{p}(a-b)-1... | ||
\begin{rmk}
Dans un cadre global, pour un corps de nombres $K / \mathbb{Q}$, on a donc, pour presque tout $p$ : $\forall v \mid p$, la forme $\alpha=\operatorname{Tr}_{K_v / \Q_p} p$ est à déterminant (dans une $\mathbb{Z}_{p}$-base de $\OO_{K_v}$) dans $\OO_{K_v}^*$. Dans ce cas, $\mathcal{D}_{K_v / \mathbb{Q}_p}... |
\begin{rmk}
Dans un cadre global, pour un corps de nombres $K / \mathbb{Q}$, on a donc, pour presque tout $p$ : $\forall v \mid p$, la forme $\alpha=\operatorname{Tr}_{K_v / \Q_p} p$ est à déterminant (dans une $\mathbb{Z}_{p}$-base de $\OO_{K_v}$) dans $\OO_{K_v}^*$. Dans ce cas, $\mathcal{D}_{K_v / \mathbb{Q}_p}... | ||
\begin{proof}~
Par le lemme précédent, un voisinage $V$ de $\chi$ contient un $\bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \ni \chi$. \\
On note $m_i := \sup\limits_{k \in K_i} |\chi(k_i) - \alpha_i| < \varepsilon_i$. Prenons $0 < \eta < \min\limits_{1 \leq i \leq n} \frac{\v... |
\begin{proof}~
Par le lemme précédent, un voisinage $V$ de $\chi$ contient un $\bigcap\limits_{i=1}^n W\left(K_i, B\left(\alpha_i, \varepsilon_i\right)\right) \ni \chi$. \\
On note $m_i := \sup\limits_{k \in K_i} |\chi(k_i) - \alpha_i| < \varepsilon_i$. Prenons $0 < \eta < \min\limits_{1 \leq i \leq n} \frac{\v... | ||
Notons $\tau$ (resp. $\tau_0$) la topologie sur $W = W_0$ induite par celle de $\hat{G}$ (resp. $\hat{G}_0$). On souhaite montrer $\tau = \tau_0$.\\
Les compacts de $G_0$ sont finis, donc compacts pour $G$, d'où $\tau_0 \subset \tau$. \\
|
Notons $\tau$ (resp. $\tau_0$) la topologie sur $W = W_0$ induite par celle de $\hat{G}$ (resp. $\hat{G}_0$). On souhaite montrer $\tau = \tau_0$.\\
Les compacts de $G_0$ sont finis, donc compacts pour $G$, d'où $\tau_0 \subset \tau$. \\
| ||
\begin{lemme}
\label{lem}
Soit $m \geqslant 1$. Soit $1_G \in V \subseteq G$. Pour tout homomorphisme $\chi: G \rightarrow \mathbb{U}$ tel que $\chi\left(V^{(m)}\right) \subseteq N(1)$, on a $\chi(V) \subseteq N\left(\frac{1}{m}\right)$.
\end{lemme}
|
\begin{lemme}
\label{lem}
Soit $m \geqslant 1$. Soit $1_G \in V \subseteq G$. Pour tout homomorphisme $\chi: G \rightarrow \mathbb{U}$ tel que $\chi\left(V^{(m)}\right) \subseteq N(1)$, on a $\chi(V) \subseteq N\left(\frac{1}{m}\right)$.
\end{lemme}
| ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] $|\chi(\varpi)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0$, (car $\chi(\varpi)=|\varpi|^s=e^{-s \log q}$).
\item[2)] $\OO^{\times}$ est compact donc $\widehat{\OO^{\times}}$ est discret.\\
De $F^*=\OO^{\times} \times \mathbb{Z}$, on tire $\widehat{F^*}=\widehat{\OO^{... |
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] $|\chi(\varpi)|=1 \Leftrightarrow \operatorname{Re}(s)=0$, (car $\chi(\varpi)=|\varpi|^s=e^{-s \log q}$).
\item[2)] $\OO^{\times}$ est compact donc $\widehat{\OO^{\times}}$ est discret.\\
De $F^*=\OO^{\times} \times \mathbb{Z}$, on tire $\widehat{F^*}=\widehat{\OO^{... | ||
\begin{defi}
$C_c^{\infty}(F^*)$ est l'espace des applications $F^* \longrightarrow \mathbb{C}$ localement constantes sur $F^*$ à support compact.
\end{defi}
|
\begin{defi}
$C_c^{\infty}(F^*)$ est l'espace des applications $F^* \longrightarrow \mathbb{C}$ localement constantes sur $F^*$ à support compact.
\end{defi}
| ||
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] La condition $(iii)$ détermine la mesure $dx$ sur $F$. Une mesure qui vérifie $(iii)$ est dite autoduale pour le caractère $\psi$.
\item[2)] Rappel: $\operatorname{cond}(\psi) = \mathcal{D}^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{rmk}
|
\begin{rmk}~
\begin{enumerate}
\item[1)] La condition $(iii)$ détermine la mesure $dx$ sur $F$. Une mesure qui vérifie $(iii)$ est dite autoduale pour le caractère $\psi$.
\item[2)] Rappel: $\operatorname{cond}(\psi) = \mathcal{D}^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{rmk}
| ||
\begin{prop}
$\hat{G}$ muni de la topologie compacte-ouverte est un groupe topologique séparé : on l'appelle le dual de Pontryagin de $G$.
\end{prop}
|
\begin{prop}
$\hat{G}$ muni de la topologie compacte-ouverte est un groupe topologique séparé : on l'appelle le dual de Pontryagin de $G$.
\end{prop}
| ||
\begin{prop}
$C_c^{\infty}(F^*)$ est l'espace vectoriel engendré par les fonctions $\1_{a(1+\varpi^m \OO)}$, $n \geqslant 1$, $a \in F^*$.
\end{prop}
\begin{proof}
Les fonctions $1+\varpi^m \OO$, $n \geqslant 1$, forment une base de voisinages de $1$ dans $F^*$, et sont compacts. La fin de la preuve est laissée e... |
\begin{prop}
$C_c^{\infty}(F^*)$ est l'espace vectoriel engendré par les fonctions $\1_{a(1+\varpi^m \OO)}$, $n \geqslant 1$, $a \in F^*$.
\end{prop}
\begin{proof}
Les fonctions $1+\varpi^m \OO$, $n \geqslant 1$, forment une base de voisinages de $1$ dans $F^*$, et sont compacts. La fin de la preuve est laissée e... | ||
\begin{rmk}~
On peut regarder l'ensemble des $\mathcal{Z}(f, \chi)$ pour $f \in C_c^{\infty}(F)$ comme une partie de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$. \\
Il s'agit en fait d'un sous-$\mathbb{C}[q^{\pm s}]$-module qui contient $1$. \\
C'est donc un idéal fractionnaire de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\r... |
\begin{rmk}~
On peut regarder l'ensemble des $\mathcal{Z}(f, \chi)$ pour $f \in C_c^{\infty}(F)$ comme une partie de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\right)$. \\
Il s'agit en fait d'un sous-$\mathbb{C}[q^{\pm s}]$-module qui contient $1$. \\
C'est donc un idéal fractionnaire de $\mathbb{C}\left(q^{-s}\r... | ||
\begin{rap}
Si $G$ est séparable et $\exists D \subseteq G$ dénombrable et dense, alors la topologie est $\sigma$-compacte.
\end{rap}
|
\begin{rap}
Si $G$ est séparable et $\exists D \subseteq G$ dénombrable et dense, alors la topologie est $\sigma$-compacte.
\end{rap}
| ||
\subsection{Fonctions zêta archimédiennes:}
- On prend $F=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On fixe un caractère additif de $F$ :
$$
\psi_{\mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{U}, x \mapsto e^{-2 i \pi x}
$$
$$
\psi_{\mathbb{C}}=\psi_{\mathbb{R}} \circ T_{\mathbb{C}}.
$$
On considère la mesure de Lebesgue $dx$ sur $... |
\subsection{Fonctions zêta archimédiennes:}
- On prend $F=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On fixe un caractère additif de $F$ :
$$
\psi_{\mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{U}, x \mapsto e^{-2 i \pi x}
$$
$$
\psi_{\mathbb{C}}=\psi_{\mathbb{R}} \circ T_{\mathbb{C}}.
$$
On considère la mesure de Lebesgue $dx$ sur $... | ||
\begin{lemme}
Si $n_\chi>0$, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ admet un prolongement holomorphe qui ne s'annule jamais.
\end{lemme}
\begin{proof}~
En effet, on a pour $\Re(s) > 0$ :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = q^{-\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G\left(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right) .
$$
\end{proof}
|
\begin{lemme}
Si $n_\chi>0$, $\mathcal{Z}(g, \chi)$ admet un prolongement holomorphe qui ne s'annule jamais.
\end{lemme}
\begin{proof}~
En effet, on a pour $\Re(s) > 0$ :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = q^{-\left(n_\psi-n_\chi\right) s} G\left(\eta, \psi_{\varpi^{n_\psi-n_\chi}}\right) .
$$
\end{proof}
| ||
\begin{lemme}
Si $n_\chi=0$, c'est-à-dire si $\eta \equiv 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = \frac{\operatorname{vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right)}{1-\chi(\varpi)} = \frac{\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right)}{1-q^{-s}}
$$
\end{lemme}
|
\begin{lemme}
Si $n_\chi=0$, c'est-à-dire si $\eta \equiv 1$, on a :
$$
\mathcal{Z}(g, \chi) = \frac{\operatorname{vol}\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right)}{1-\chi(\varpi)} = \frac{\left(\OO^{\times}, dx^{\times}\right)}{1-q^{-s}}
$$
\end{lemme}
| ||
\begin{Théorème}
Le morphisme canonique
$\left\{\begin{array}{l}
G \rightarrow \widehat{\hat{G}} \\
g \mapsto ev_g
\end{array}\right.$ est un isomorphisme de groupes topologiques.
Ainsi, $G \simeq \hat{\hat{G}}$ naturellement.
\end{Théorème}
|
\begin{Théorème}
Le morphisme canonique
$\left\{\begin{array}{l}
G \rightarrow \widehat{\hat{G}} \\
g \mapsto ev_g
\end{array}\right.$ est un isomorphisme de groupes topologiques.
Ainsi, $G \simeq \hat{\hat{G}}$ naturellement.
\end{Théorème}
| ||
\begin{lemme}
Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère additif.
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\psi$ est localement constant (c'est-à-dire que $\operatorname{Ker} \psi$ est ouvert).
\item[(ii)] $\psi$ prend ses valeurs dans $U_{\infty} \subseteq \mathbb{U}$.
\end{enumerate}
\end{lemme}
|
\begin{lemme}
Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère additif.
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\psi$ est localement constant (c'est-à-dire que $\operatorname{Ker} \psi$ est ouvert).
\item[(ii)] $\psi$ prend ses valeurs dans $U_{\infty} \subseteq \mathbb{U}$.
\end{enumerate}
\end{lemme}
| ||
\begin{proof}(\cref{thm1})~
Nous avions $\hat{f}(y) = \psi(a y) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x y) \,dx$
$$
= \operatorname{Vol}(\varpi^n \OO, dx) \psi(a y) \1_{\varpi^{-n} \mathcal{D}^{-1}}(y)
$$
Donc, $\widehat{\hat{f}} \in C_c^{\infty}(F)$. Maintenant, pour $x \in F$, on calcule :
$$
\begin{aligned}
\widehat{\hat{f}}(... |
\begin{proof}(\cref{thm1})~
Nous avions $\hat{f}(y) = \psi(a y) \int_{\varpi^n \OO} \psi(x y) \,dx$
$$
= \operatorname{Vol}(\varpi^n \OO, dx) \psi(a y) \1_{\varpi^{-n} \mathcal{D}^{-1}}(y)
$$
Donc, $\widehat{\hat{f}} \in C_c^{\infty}(F)$. Maintenant, pour $x \in F$, on calcule :
$$
\begin{aligned}
\widehat{\hat{f}}(... | ||
Équation fonctionnelle:
À $\chi$, est associé $\chi^{\vee}$ tel que $\chi^{\vee}(x) = |x| \chi(x)^{-1} = |x| \bar{\eta(x)} |x|^{-s}$,
$$
\left. \qquad \qquad \; \; = \bar{\eta}(x) |x|^{1-s} \right.
$$
En quelque sorte, $\vee: \left\{
\begin{array}{l}
\eta \leftrightarrow \vec{\eta} \\
s \leftrightarrow 1-s
\end{arra... |
Équation fonctionnelle:
À $\chi$, est associé $\chi^{\vee}$ tel que $\chi^{\vee}(x) = |x| \chi(x)^{-1} = |x| \bar{\eta(x)} |x|^{-s}$,
$$
\left. \qquad \qquad \; \; = \bar{\eta}(x) |x|^{1-s} \right.
$$
En quelque sorte, $\vee: \left\{
\begin{array}{l}
\eta \leftrightarrow \vec{\eta} \\
s \leftrightarrow 1-s
\end{arra... | ||
\begin{proof}~
\begin{itemize}
\item[$\rightarrow$] Si $n_\psi<n_{\chi}$, alors $\OO^{\times}= \bigsqcup\limits_{a \in \OO^{\times} / U_n} a U_n$, (où $n = n_\chi - 1 \geq n_\psi$), donc:
$$
G(\chi, \psi)=\sum_{a \in \OO^{\times} / U_n} \int_{a U_n} \chi(x) \psi(x) \, dx^{\times}=\sum_{a \in \OO^{\times} /... |
\begin{proof}~
\begin{itemize}
\item[$\rightarrow$] Si $n_\psi<n_{\chi}$, alors $\OO^{\times}= \bigsqcup\limits_{a \in \OO^{\times} / U_n} a U_n$, (où $n = n_\chi - 1 \geq n_\psi$), donc:
$$
G(\chi, \psi)=\sum_{a \in \OO^{\times} / U_n} \int_{a U_n} \chi(x) \psi(x) \, dx^{\times}=\sum_{a \in \OO^{\times} /... | ||
\begin{prop} (Formule de Plancherel) Soient $f, g \in C_c^{\infty}(F)$. \\
On a $f \hat{g}, \hat{f g} \in C_c^{\infty}(F)$ et:
$$
\int_F f(x) \hat{g}(x) d x=\int_F \hat{f}(x) g(x) d x
$$
\end{prop}
|
\begin{prop} (Formule de Plancherel) Soient $f, g \in C_c^{\infty}(F)$. \\
On a $f \hat{g}, \hat{f g} \in C_c^{\infty}(F)$ et:
$$
\int_F f(x) \hat{g}(x) d x=\int_F \hat{f}(x) g(x) d x
$$
\end{prop}
| ||
\begin{rmk}
On peut formuler une variante où l'on part d'un caractère $\psi_0 \neq \1$ de $F$ et où l'on en déduit les autres par translation $x \mapsto \psi_0(ax)$ pour $a \in F$.
\end{rmk}
|
\begin{rmk}
On peut formuler une variante où l'on part d'un caractère $\psi_0 \neq \1$ de $F$ et où l'on en déduit les autres par translation $x \mapsto \psi_0(ax)$ pour $a \in F$.
\end{rmk}
| ||
\begin{Cor}
Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère non trivial. \\
Tout caractère de $F$ est de la forme $\psi_a:=(x \mapsto \psi(a x))$ pour un unique $a \in F$.
En fait, l'application $\theta:\left\{\begin{array}{l}F \rightarrow \hat{F} \text{ (dual de Pontryagin) } \\ a \mapsto \psi_a\end{array}\righ... |
\begin{Cor}
Soit $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ un caractère non trivial. \\
Tout caractère de $F$ est de la forme $\psi_a:=(x \mapsto \psi(a x))$ pour un unique $a \in F$.
En fait, l'application $\theta:\left\{\begin{array}{l}F \rightarrow \hat{F} \text{ (dual de Pontryagin) } \\ a \mapsto \psi_a\end{array}\righ... | ||
\underline{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}
Pour $F=\R: $ Comme $\R^*=\{ \pm 1\} \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi = \left(\operatorname{sgn}\right)^{\varepsilon}\left|\cdot\right|^{s},$ avec $ \in \C, \, \varepsilon \in\{0,1\}$ et $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. \\
Pour $F=\C: $ Comme $\C... |
\underline{Caractères multiplicatifs de $F^*$:}
Pour $F=\R: $ Comme $\R^*=\{ \pm 1\} \times \R_{+}^* $,\\
Un caractère s'écrit $\chi = \left(\operatorname{sgn}\right)^{\varepsilon}\left|\cdot\right|^{s},$ avec $ \in \C, \, \varepsilon \in\{0,1\}$ et $|\cdot|$ est la valeur absolue usuelle. \\
Pour $F=\C: $ Comme $\C... | ||
\begin{proof}~
La topologie engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ est clairement moins fine que la compacte-ouverte. \\
Soient $K \subseteq G$ compact, $U \subseteq \U$ ouvert. Il suffit de montrer que $\forall \chi \in W(K, U)$, $\exists n$, $\exists K_i$, $\alpha_i$, $\varepsilon_i$ tels que $\chi ... |
\begin{proof}~
La topologie engendrée par les $W(K, B(\alpha, \varepsilon))$ est clairement moins fine que la compacte-ouverte. \\
Soient $K \subseteq G$ compact, $U \subseteq \U$ ouvert. Il suffit de montrer que $\forall \chi \in W(K, U)$, $\exists n$, $\exists K_i$, $\alpha_i$, $\varepsilon_i$ tels que $\chi ... | ||
\begin{prop} \\
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K_i, U) = W\left(\bigcup\limits_{i=1}^n K_i, U\right)$
\item[(ii)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K, U_i) = W\left(K, \bigcap\limits_{i=1}^n U_i\right)$
\item[(iii)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K_i, U_i) \subseteq W\left(\bigcup\limits_{i=1}^n... |
\begin{prop} \\
\begin{enumerate}
\item[(i)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K_i, U) = W\left(\bigcup\limits_{i=1}^n K_i, U\right)$
\item[(ii)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K, U_i) = W\left(K, \bigcap\limits_{i=1}^n U_i\right)$
\item[(iii)] $\bigcap\limits_{i=1}^n W(K_i, U_i) \subseteq W\left(\bigcup\limits_{i=1}^n... | ||
\begin{defi}
Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on définit sa transformée de Fourier $\hat{f} : F \rightarrow \mathbb{C}$ par:
$$
\forall y \in F \quad \hat{f}(y) = \int_F f(x) \psi(x y) \,dx
$$
\end{defi}
|
\begin{defi}
Pour $f \in C_c^{\infty}(F)$, on définit sa transformée de Fourier $\hat{f} : F \rightarrow \mathbb{C}$ par:
$$
\forall y \in F \quad \hat{f}(y) = \int_F f(x) \psi(x y) \,dx
$$
\end{defi}
| ||
\begin{proof}~
$\exists y \in N\left(\frac{1}{r+1}\right)$ tel que $x^{r+1} = y^{r+1}$, donc $\exists \zeta \in \mathbb{U}_{r+1}$ tel que
$$
\begin{aligned}
& x = y \zeta, \quad y = \exp\left(\frac{2 i \pi t}{3}\right) \text{ avec } t \in \left] \frac{-1}{r+1}, \frac{1}{r+1}\right[ \\
& \zeta = \exp\left(\frac{2... |
\begin{proof}~
$\exists y \in N\left(\frac{1}{r+1}\right)$ tel que $x^{r+1} = y^{r+1}$, donc $\exists \zeta \in \mathbb{U}_{r+1}$ tel que
$$
\begin{aligned}
& x = y \zeta, \quad y = \exp\left(\frac{2 i \pi t}{3}\right) \text{ avec } t \in \left] \frac{-1}{r+1}, \frac{1}{r+1}\right[ \\
& \zeta = \exp\left(\frac{2... | ||
\begin{proof}~
$\int_F f(x)\left(\int_F g(y) \psi(x y) d y\right) d x=\int_{F \times F} f(x) g(y) \psi(x y)(d x d y)$
par Fubini, autorisé car $\int_F|f(x)|_{\infty} \int|g(y)|_{\infty} d y d x<+\infty$.\\
L'expression est symétrique en $f$ et $g$, d'où le résultat.
\end{proof}
|
\begin{proof}~
$\int_F f(x)\left(\int_F g(y) \psi(x y) d y\right) d x=\int_{F \times F} f(x) g(y) \psi(x y)(d x d y)$
par Fubini, autorisé car $\int_F|f(x)|_{\infty} \int|g(y)|_{\infty} d y d x<+\infty$.\\
L'expression est symétrique en $f$ et $g$, d'où le résultat.
\end{proof}
| ||
\begin{defi}
Un caractère additif de $F$ est un morphisme continu
$$
\chi: (F,+) \rightarrow (\mathbb{C}^*, \times).
$$
On a donc pour tous $x, y \in F$,
$$
\chi(x+y) = \chi(x) \chi(y).
$$
\end{defi}
|
\begin{defi}
Un caractère additif de $F$ est un morphisme continu
$$
\chi: (F,+) \rightarrow (\mathbb{C}^*, \times).
$$
On a donc pour tous $x, y \in F$,
$$
\chi(x+y) = \chi(x) \chi(y).
$$
\end{defi}
| ||
\subsubsection*{Construction des caractères de $F$, extension finie de $\mathbb{Q}_p$.}
L'idée est de prendre une forme $\Q_{p}$-linéaire $l: F \rightarrow \Q_p$, puis de considérer $\psi \circ l$ pour $\psi$ un caractère de $\mathbb{Q}_{p}$. \\
On identifie $F$ à $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}\left(F, \Q_p\r... |
\subsubsection*{Construction des caractères de $F$, extension finie de $\mathbb{Q}_p$.}
L'idée est de prendre une forme $\Q_{p}$-linéaire $l: F \rightarrow \Q_p$, puis de considérer $\psi \circ l$ pour $\psi$ un caractère de $\mathbb{Q}_{p}$. \\
On identifie $F$ à $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}\left(F, \Q_p\r... | ||
\begin{lemme}
$\forall r \geq 1$. Si $x \in N\left(\frac{1}{r}\right)$ est tel que $x^{r+1} \in N(1)$, alors $x \in N\left(\frac{1}{r+1}\right)$.
\end{lemme}
|
\begin{lemme}
$\forall r \geq 1$. Si $x \in N\left(\frac{1}{r}\right)$ est tel que $x^{r+1} \in N(1)$, alors $x \in N\left(\frac{1}{r+1}\right)$.
\end{lemme}
| ||
Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si $n_\chi>0$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{Z}(g, \chi)=\int_{F^{\times}} g(x) \chi(x) \, dx^{... |
Pour $\chi=\eta |.|^s$, on a $n_\chi=n_\eta$. Considérons $g \in C_c^\infty(F)$ définie par :
$$
g(x)= \begin{cases}
\psi(x) & \text{ si } x \in \varpi^{n_\psi-n_\chi} \ . \\
0 & \text{ sinon }
\end{cases}
$$
$\rightarrow$ Si $n_\chi>0$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathcal{Z}(g, \chi)=\int_{F^{\times}} g(x) \chi(x) \, dx^{... | ||
\begin{rmk}
\begin{enumerate}
\item[1)] $\1$ est le caractère trivial : $\forall g \in G \; , \; \1(g) = 1$, alors on a $B_K(\1, \varepsilon) = W(K, B(1, \varepsilon))$ c'est donc un ouvert, et $B_K(\chi, \varepsilon) = \chi \cdot B_K(\1, \varepsilon)$ l'est aussi.
\item[2)] Soient $m \geq 1$ un entier et $V... |
\begin{rmk}
\begin{enumerate}
\item[1)] $\1$ est le caractère trivial : $\forall g \in G \; , \; \1(g) = 1$, alors on a $B_K(\1, \varepsilon) = W(K, B(1, \varepsilon))$ c'est donc un ouvert, et $B_K(\chi, \varepsilon) = \chi \cdot B_K(\1, \varepsilon)$ l'est aussi.
\item[2)] Soient $m \geq 1$ un entier et $V... | ||
\begin{defi}
La différente inverse de $F / \mathbb{Q}_{p}$ est définie comme
$$
\mathcal{D}_{F / \mathbb{Q}_{p}}^{-1}:=\left\{x \in F \mid \forall y \in \OO \quad \operatorname{Tr}_{F / \mathbb{Q}_p}(x y) \in \mathbb{Z}_{p}\right\}.
$$
C'est un idéal fractionnaire de $F$ qui contient $\OO$. La diffé... |
\begin{defi}
La différente inverse de $F / \mathbb{Q}_{p}$ est définie comme
$$
\mathcal{D}_{F / \mathbb{Q}_{p}}^{-1}:=\left\{x \in F \mid \forall y \in \OO \quad \operatorname{Tr}_{F / \mathbb{Q}_p}(x y) \in \mathbb{Z}_{p}\right\}.
$$
C'est un idéal fractionnaire de $F$ qui contient $\OO$. La diffé... | ||
\begin{proof}~
Si $n_\chi>0$, on a pour $\Re(s)<1$ : \\
$\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=\int_{F^*} \hat{g}(x) \chi^\vee(x) dx^\times=| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{n_\chi-n_\psi} \underbrace{\int_{-U_{n_\chi}} \chi^\vee(x) dx^\times}_{ = \chi^\vee (-1) \operatorname{Vol}(U_{n_\chi},dx^\times)} $. \\
\ ... |
\begin{proof}~
Si $n_\chi>0$, on a pour $\Re(s)<1$ : \\
$\mathcal{Z}\left(\hat{g}, \chi^\vee\right)=\int_{F^*} \hat{g}(x) \chi^\vee(x) dx^\times=| \OO / \mathcal{D} |^{-1/2} q^{n_\chi-n_\psi} \underbrace{\int_{-U_{n_\chi}} \chi^\vee(x) dx^\times}_{ = \chi^\vee (-1) \operatorname{Vol}(U_{n_\chi},dx^\times)} $. \\
\ ... | ||
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Soit $U \ni 1$ un ouvert de $\C^*$.\\
$\eta^{-1}(U)$ est un ouvert contenant $1$. Il existe donc $n \geq 1$ tel que $1+\varpi^n \OO \subseteq \eta^{-1}(U)$. \\
Si $U$ est assez petit, on sait que le seul sous-groupe de $C^*$ inclus dans $U$ est $\{1\}$. \\
Pour un tel $U... |
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item[(i)] Soit $U \ni 1$ un ouvert de $\C^*$.\\
$\eta^{-1}(U)$ est un ouvert contenant $1$. Il existe donc $n \geq 1$ tel que $1+\varpi^n \OO \subseteq \eta^{-1}(U)$. \\
Si $U$ est assez petit, on sait que le seul sous-groupe de $C^*$ inclus dans $U$ est $\{1\}$. \\
Pour un tel $U... | ||
\begin{Théorème}
Soit $G$ un groupe topologique (abélien) localement compact.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $G$ est discret, alors $\hat{G}$ est compact.
\item[(ii)] Si $G$ est compact, alors $\hat{G}$ est discret.
\item[(iii)] $\hat{G}$ est un groupe topologique localement compact.
\end{enumerate}
\end{... |
\begin{Théorème}
Soit $G$ un groupe topologique (abélien) localement compact.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Si $G$ est discret, alors $\hat{G}$ est compact.
\item[(ii)] Si $G$ est compact, alors $\hat{G}$ est discret.
\item[(iii)] $\hat{G}$ est un groupe topologique localement compact.
\end{enumerate}
\end{... | ||
\begin{proof}~
Soit $\left(e_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ une $\Q_p$-base de $F$, on note $\left(e_i^*\right)$ la base duale, de sorte que : \\ $\forall x \in F$, $x=\sum\limits_{i=1}^n e_i^*(x) e_i$. \\
Soit $\psi$ un caractère additif de $F$. \\
Pour chaque $i$, $\left\{
\begin{array}{l}
\mathbb{Q}_{p} \longri... |
\begin{proof}~
Soit $\left(e_i\right)_{1 \leq i \leq n}$ une $\Q_p$-base de $F$, on note $\left(e_i^*\right)$ la base duale, de sorte que : \\ $\forall x \in F$, $x=\sum\limits_{i=1}^n e_i^*(x) e_i$. \\
Soit $\psi$ un caractère additif de $F$. \\
Pour chaque $i$, $\left\{
\begin{array}{l}
\mathbb{Q}_{p} \longri... | ||
\begin{prop}
L'espace vectoriel complexe $C_c^{\infty}(F)$ est engendré par les fonctions caractéristiques des ensembles $a+\varpi^n \OO$, $n \in \mathbb{Z}$, $a \in F$.
\end{prop}
|
\begin{prop}
L'espace vectoriel complexe $C_c^{\infty}(F)$ est engendré par les fonctions caractéristiques des ensembles $a+\varpi^n \OO$, $n \in \mathbb{Z}$, $a \in F$.
\end{prop}
| ||
\begin{lemme}
\label{lem2}
Pour $\phi$ caractère non trivial et $\varpi^m \OO$ son conducteur, on a:
$$\int_{\varpi^n \OO} \phi(x) \,dx = \left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{Vol}(\varpi^n \OO, dx) & \text{si }n \geq m\\
0 & \text{si }n < m
\end{array} \right. $$
$$\text{Si } \phi = 1 \text{ alors } \int_{\varpi^... |
\begin{lemme}
\label{lem2}
Pour $\phi$ caractère non trivial et $\varpi^m \OO$ son conducteur, on a:
$$\int_{\varpi^n \OO} \phi(x) \,dx = \left\{\begin{array}{ll}
\operatorname{Vol}(\varpi^n \OO, dx) & \text{si }n \geq m\\
0 & \text{si }n < m
\end{array} \right. $$
$$\text{Si } \phi = 1 \text{ alors } \int_{\varpi^... | ||
\begin{prop}
Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi:
\left\{
\begin{array}{l}
F \rightarrow \mathbb{C}^* \\
x \mapsto \psi_{p}\left(\operatorname{Tr}_{F/Q_{p}}(a x)\right)
\end{array}
\right.
\text{pour un unique $a \in F$.}
$$
$\psi$ est trivial ssi $a=0$. Si $a ... |
\begin{prop}
Tout caractère additif $\psi: F \rightarrow \mathbb{C}^*$ est de la forme
$$
\psi:
\left\{
\begin{array}{l}
F \rightarrow \mathbb{C}^* \\
x \mapsto \psi_{p}\left(\operatorname{Tr}_{F/Q_{p}}(a x)\right)
\end{array}
\right.
\text{pour un unique $a \in F$.}
$$
$\psi$ est trivial ssi $a=0$. Si $a ... |
- Downloads last month
- 6