| STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor č. 1: Matematika a statistika Statistické zpracování dat o studiu studentů středních škol Aleš Manuel Papáček Jihočeský kraj Třeboň 2022 | |
| STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor č. 1: Matematika a statistika Statistické zpracování dat o studiu studentů středních škol Statistical processing of data on study of high school students Autoři: Aleš Manuel Papáček Škola: Gymnázium, Třeboň, Na Sadech 308, Na Sadech 308, 379 01 Třeboň Kraj: Jihočeský kraj Konzultant: Mgr. Martin Krynický Třeboň 2022 | |
| Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou práci SOČ vypracoval samostatně a použil jsem pouze prameny a literaturu uvedené v seznamu bibliografických záznamů. Prohlašuji, že tištěná verze a elektronická verze soutěžní práce SOČ jsou shodné. Nemám závažný důvod proti zpřístupňování této práce v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) ve znění pozdějších předpisů. V Třeboni dne 07.03. 2022 ………………………………………….. | |
| Anotace Ve své práci jsem se zabýval závislostí mezi známkami studentů a skutečnými znalostmi v dlouhodobé paměti (kvantifikováno souhrnnými testy bez přípravy). Dále jejich subjektivním zájmem o daný předmět a množstvím času věnovaném učivu a samostudiu. Data byla získána od studentů Gymnáziu Třeboň. Za pomoci statistického postupu testování hypotéz je možno přijmout tvrzení, že studenti dosahují lepších výsledků v předmětech, které je zajímají. Dále je představen způsob predikce příští výsledné známky na vysvědčení na základě známek z předchozích let za pomoci umělé inteligence a strojového učení. Úspěšnost programu byla značně ovlivněna přechody na distanční výuku a zpátky z ní, a tak byla úspěšnost programu pouze 45 %. Klíčová slova Statistika; korelace; testování hypotéz; strojové učení; prospěch Annotation In my work I dealt with the dependence between students' grades and real knowledge in long-term memory (quantified by comprehensive tests without preparation). Furthermore, their subjective interest in the subject and the amount of time devoted to the curriculum and self-study. Data were obtained from students of Gymnázium Třeboň. With the help of a statistical hypothesis testing procedure, it is possible to accept the statement that students achieve better results in subjects that interest them. Furthermore, the method of predicting the next final mark on the report based on marks from previous years with the help of artificial intelligence and machine learning is presented. The success of the program was affected by the transitions to and from distance education, so the success rate of the program was only 45%. Keywords Statistics; correlation; hypothesis testing; machine learning; grades | |
| Obsah Úvod 5 1 Úvod do statistiky 7 1.1 Základní pojmy a dělení 7 1.1.1 Inferenční statistika 8 1.2 Popisná statistika 8 1.2.1 Grafické znázornění 10 1.3 Charakteristiky polohy 10 1.3.1 Průměry 10 1.4 Míry variability 11 1.4.1 Normální rozdělení 13 1.5 Korelace 14 1.5.1 Pearsonův korelační koeficient 14 1.6 Kauzalita 16 1.6.1 Třetí jev 17 1.6.2 Náhodné korelace 17 1.7 Testování hypotéz 18 1.7.1 Chyby při testování hypotéz 19 1.7.2 Postup testování hypotéz 21 2 Strojové učení 23 2.1 Metody strojového učení 23 3 Sběr dat 26 3.1 Známky 26 3.1.1 Anonymizace dat 26 3.2 Testy 26 3.2.1 Vytvoření testů 27 3.3 Dotazníky 28 3.3.1 Ukázka dotazníku 29 3.4 Názor učitele 30 4 Vyhodnocení dat 31 4.1 Souhrnné výsledky testů a dotazníků 31 4.2 Porovnávání výsledků u chlapců a dívek 33 4.2.1 Souhrnné testy a dotazníky 34 4.2.2 Známky a absence 35 4.2.3 Čas věnovaný učivu 39 4.3 Korelace 40 4.4 Maturitní zkouška 44 4.4.1 Razantní zhoršení u maturity 46 4.5 Testování hypotéz 47 4.5.1 Vlastní hypotézy 50 4.6 Strojové učení a předpovídání výsledků 52 Závěr 56 Použité zdroje 58 Literatura 58 Internetové zdroje 58 Seznam obrázků 60 Seznam tabulek 61 Seznam rovnic 61 | |
| Úvod Mnoho lidí zastává názor, že známkování na střední a základní škole není prospěšné pro psychiku studentů a místo efektu motivace k učení jsou studenti a žáci spíše ve stresu, a známkování tak může mít negativní dopad. V distanční výuce byla otázka známkování ještě větším tématem kvůli tomu, že při zkoušení a písemných testech v online výuce není snadné kontrolovat samostatnou práci. Ve své práci proto chci zodpovědět na tyto otázky: • Jak spolu souvisí známky a znalosti studentů? • Jak se vyvíjí výsledné známky na vysvědčení v průběhu studia? • Ovlivňuje zájem o předmět výsledné známky? • Mají studenti, kteří věnují učivu více času, lepší výsledné známky? Dále se budu věnovat rozdílnému přístupu k vzdělávání u studentů a u studentek. Také tomu, jestli se přístup těchto dvou pohlaví mění v průběhu let a zda se dívky a chlapci zajímají více o některé předměty než opačné pohlaví. Budu zkoumat, jestli je pravda, že dívky jsou obecně snaživější a jestli studiu věnují více času. Informace k této práci budu čerpat hlavně z internetových zdrojů, různých bakalářských a diplomových prací a z jedné závěrečné práce1, která pro mě byla inspirující a kde bylo např. ukázáno, že průměrná známka z matematiky nekoreluje s časem věnovaným studiu matematiky. K popsání teorie a statistických nástrojů využiji online video kurzy pro vysoké školy z webu Mathematicator od Marka Valáška. V první kapitole si připravím teorii k statistickým metodám a šetření, hlouběji se budu věnovat kvantifikaci korelace mezi jednotlivými veličinami a zkoumání závislosti mezi nimi. Důležitou částí bude zavedení metodiky pro testování statistických hypotéz, tj. nástroje k ověření či vyvrácení našich domněnek na základě získaných dat. V druhé kapitole se zaměřím na metody strojového učení, pomocí nichž se pokusím předpovědět známky na konci bezprostředně následujícího ročníku. K tomu využiji známky z předchozích let a výsledky ve srovnávacích testech a dotaznících o zájmu studenta o daný předmět, které jsem pro tento účel vytvořil. Ve třetí kapitole budu popisovat samotný proces získávání dat pro následné šetření, tj. (i) vytvoření dotazníků pro učitele i studenty, (ii) vypracování srovnávacích testů z „hlavních“ předmětů, (iii) získání studijních výstupů studentů v průběhu studia na gymnáziu (známky v pololetí i na konci každého ročníku a počet zameškaných hodin v průběhu studia). Všechna tato data jsou reálná, získaná z osmi tříd z Gymnázia v Třeboni a jsou anonymizována tak, aby se k těmto citlivým údajům nedostal nikdo nepovolaný. Ve čtvrté praktické kapitole budu prezentovat samotné výsledky svých statistických šetření a pokusím se zjistit jejich příčinu. K získání dat využiji programovacího jazyka Java (konkrétně k provedení anonymizace a převedení dat získaných z programu Bakaláři do přehledné tabulky a odfiltrování nepotřebných údajů). Pro samotné zpracování dat a vytvoření grafů využiji program Microsoft Excel, který obsahuje všechny potřebné statistické funkce. Program na predikování výsledků vytvořím v jazyce Python, který obsahuje již připravené knihovny k strojovému učení. | |
| 1 Úvod do statistiky Již od pradávných dob mají lidé potřebu vést si různé evidence a nějak si urovnávat získané informace. Každý panovník, král, císař potřeboval mít přehled o počtu poddaných, majetku, velikosti armády, stavu zásob a mnoho dalšího. Právě statistika (i když v dnešním slova smyslu se začala vyvíjet až kolem 18. století) s tímto velmi pomáhala. Hlavním důvodem vedení si záznamů např. o počtu poddaných a jeho vývoji bylo vybírání daní. Na základě statistického šetření se dalo zjistit, jak se počet plátců daní mění a na základě toho odhadnout výši příjmů v průběhu let. Historici se domnívají, že vůbec první sčítání lidu proběhlo v Babylonii kolem roku 3800 př. n. l.2 Další zmínky o sčítání lidu se nacházejí i v Bibli3 – první za dob Mojžíše a egyptského zajetí nebo římský census v době narození Ježíše Krista. V současné době informací, rozvinutého průmyslu a vědy se statistika nachází na pozadí téměř všeho. Dají se pomocí ní zaznamenávat a zpracovávat všemožné informace, zpřehlednit je a na jejich základě vyvozovat různé důsledky. Pomocí statistických postupů nejdříve získáme data, poté je můžeme srovnávat mezi sebou a na základě těchto informací hledat různé příčiny, předpovídat další vývoj a rozhodovat se. Podle internetové encyklopedie Wikipedia4 je statistika „vědní obor, který se zabývá sběrem, organizací, analýzou, interpretací a prezentací empirických dat za účelem prohloubení znalostí určité oblasti, obvykle hromadného jevu.“ Jiná jednoduší definice uvádí: „Statistika je věda o zjišťování, zpracování, hodnocení a interpretaci (číselných) údajů.“5 1.1 Základní pojmy a dělení Názvosloví pro tuto kapitolu je přebráno z webu Mathematicator z online vysokoškolských kurzů Marka Valáška.6 Mezi základní pojmy, se kterými se ve statistice setkáme se řadí: Statistická jednotka – konkrétní prvek statistického souboru (např. konkrétní člověk) Statistický soubor – množina všech statistických jednotek (např. obyvatelstvo České republiky, soubor podniků v nějakém městě...) Statistický znak je určitá vlastnost (jev) statistické jednotky, kterou zkoumáme. Statistické znaky mohou být kvantitativní, nebo kvalitativní kvantitativní – lze porovnávat velikosti (např. věk, hmotnost, plat…) kvalitativní – nelze porovnávat velikosti, nemají číselný charakter, vyjadřujeme je slovy (např. povolání, vzdělání, město bydliště) Náhodná veličina – intuitivně si pod tímto pojmem lze představit nějaký znak, který měříme, popř. pokus, který provádíme. Přívlastek náhodná odpovídá tomu, že předem nevíme, jak tento pokus dopadne.7 1.1.1 Inferenční statistika Statistika inferenční (induktivní) se snaží vyvodit závěr pro celý soubor na základě dat získaných z určitého statistického výběru (vybraný soubor respondentů). Používá se v případě, kdy není možné nebo je velmi obtížné získat data z celého statistického souboru. Jedná se například o průzkumy veřejného mínění, volební průzkumy, dotazníky apod. V těchto případech je téměř nemožné získat odpovědi z celého statistického souboru, a tak se vybere výběr respondentů a na základě jejich odpovědí se vyvozují závěry pro celý soubor.8 Existují dva základní způsoby pro vytváření výběrového souboru, náhodný a reprezentativní výběr. Náhodný výběr je vytvořený ze základního souboru tak, že každá statistická jednotka ze základního souboru má stejnou pravděpodobnost, že bude vybrána. Reprezentativní výběr tvoříme tak, aby co nejlépe reprezentoval daný statistický soubor. Pokud bychom například chtěli udělat reprezentativní výběr ze statistického souboru všech občanů České republiky, museli bychom zohlednit, že v české republice je přibližně 51 procent žen a 49 procent mužů, stejný poměr bychom museli mít i v našem výběru. Dále bychom mohli zohlednit věkové rozdělení, jaká část občanů žije ve městech, jaký mají plat a mnoho dalších parametrů. Reprezentativita se téměř nedá kontrolovat a je velmi obtížné udělat správný reprezentativní výběr. 1.2 Popisná statistika Informace a názvosloví pro tuto kapitolu je převzato z materiálů pro předmět Pravděpodobnost a statistika od L. Průchy.9 Popisná neboli deskriptivní statistika se zabývá zjišťováním, analýzou a zpracováním velkého množství dat z nepřehledné formy mnoha čísel do podoby grafů a tabulek, dále vypočítává různé číselné hodnoty, které daný statistický soubor reprezentují, jako jsou například průměr, medián, rozptyl, variační koeficient aj. 1.2.1 Grafické znázornění Velké množství čísel a dat není moc přehledné a vyžaduje důkladné zkoumání, abychom zjistili, co se nám daná data snaží říct. Jednoduchá forma, jak data zobrazit, aby byla přehlednější, je pomocí grafického znázornění. Existuje velké množství typů různých grafů. Mezi nejběžnější patří např. histogram, polygon, sloupcový graf, kruhový diagram, krabicový graf. V této práci jsou použity převážně sloupcové grafy a k znázornění vývoje nějakého znaku v čase je použit polygon • Polygon – Na vodorovné ose znázorníme jednotlivé třídy a na svislou osu četnosti dané třídy. Tyto body spojíme úsečkami. • Sloupcový graf – je diagram, ve kterém jednotlivé třídy představují obdélníky. Výška těchto obdélníků je přímo úměrná hodnotě, kterou představují. Oproti histogramu jsou mezi jednotlivými obdélníky mezery. 1.3 Charakteristiky polohy Lidé mají snahu získané komplikované informace zjednodušovat a vyjádřit vlastnosti celého celku dat pouze za pomoci několika čísel. Tyto čísla charakterizují „polohu“ celého souboru, většinou jeho střed, dále také udávají vlastnosti souboru jako jeho „rozptýlenost“. 1.3.1 Průměry Aritmetický průměr (značí se x ̅) souboru kvantitativních znaků se spočítá jako součet všech znaků vydělený jejich počtem. x ̅=(x_1+x_2+…+x_n)/n Rovnice 1: vzorec pro aritmetický průměr Aritmetický průměr je velmi citlivý na extrémním hodnoty. Například aritmetický průměr pro statistický soubor {1;1;1;1;46} x ̅_1=10 pro statistický soubor {8,9,10,11,12} x ̅_2=10 Aritmetický průměr těchto dvou velmi odlišných souborů je stejný, kdybychom tedy měli k dispozici pouze aritmetický průměr, tak by nám tyto 2 statistické soubory připadali stejné. Medián (značí se x ̃ nebo x_50) je jednou ze základních charakteristik polohy, stejně jako modus či průměr vyjadřuje určitou střední polohu. Jedná se o prostřední hodnotu a získáme ho tak, že hodnoty seřadíme podle velikosti a pro soubor o 2m-1 prvcích je to x_m a pro soubor o 2m prvcích ho získáme, jako aritmetický průměr z hodnot x_m a x_(m+1) Medián spadá do kategorie robustních charakteristik, to znamená, že není lehce ovlivnitelný extrémními hodnotami. x ̃ {1;1;1;1;46} = 1 x ̃ {8,9,10,11,12} = 10 Aritmetické průměry obou souborů jsou 10, ale medián nám v tomto případě lépe ukáže, kde je "střed" souboru, jelikož není vychýlený extrémní hodnotou v prvním případě. Dále se běžně používají kvartily, které soubor rozdělují na čtvrtiny. První kvartil x_25 se nazývá dolní kvartil. Druhý kvartil x_50 je již zmíněný medián a třetí kvartil x_75 se nazývá horní kvartil. Dále se používají decily, ty dělí soubor na desetiny a percentily, ty dělí soubor na setiny. 1.4 Míry variability Variační rozpětí nám říká, jaký je rozsah dat, tedy o kolik se liší nejvyšší hodnota od nejnižší. R= x_max-x_min Rovnice 2: variační rozpětí Další užitečná hodnota, která nám říká, jaký je rozsah dat, je mezikvartilové rozpětí (IQR – interquartile range). Spočítá se jako rozdíl hodnoty třetího a prvního kvartilu. V tomto rozpětí od prvního do třetího kvartilu se nachází polovina dat. IQR= x_75-x_25 Rovnice 3: mezikvartilové rozpětí Rozptyl (značí se σ^2 nebo S^2) - nám říká, jak blízko jsou data uspořádaná kolem průměru, jak moc jsou "rozptýlená". Kdybychom chtěli tuto "rozptýlenost" spočítat jako klasický průměr z rozdílu každého prvku a průměru souboru (∑_(i=1)^n▒〖x_i-x ̅ 〗)/n vždy bychom dostali výsledek 0, jelikož rozdíly hodnot větších od průměru by se odečetly s rozdíly hodnot menších od průměru. Tohoto problému se zbavíme, pokud budeme počítat průměr z absolutních hodnot rozdílů hodnoty x_i a x ̅. Tato hodnota se nazývá průměrná absolutní odchylka d ̅, ale téměř se nepoužívá. d ̅=(∑_(i=1)^n▒|x_i-x ̅ | )/n Rovnice 4: vzorec pro průměrnou absolutní odchylku Rozptyl definuje jako průměr z rozdílů hodnot x_i-x ̅ umocněných na druhou. σ^2=(∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 )/n Rovnice 5: vzorec pro rozptyl Tento vzorec platí, pokud počítáme rozptyl z celého statistického souboru (populace). Pro počítání rozptylu z výběrového souboru, musíme vzorec upravit do následujícího tvaru. S^2=(∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅_v )^2 )/(n-1) Rovnice 6: vzorec pro rozptyl výběrového souboru Této úpravě se říká Besselova korekce10 (vynásobením rozptylu celé populace zlomkem n/(n-1)). Rozdíl mezi značením σ nebo S je ten, že σ je rozptyl spočítaný z celého statistického souboru (populace) a S pouze z jeho výběru. Směrodatná odchylka (značí se σ nebo S) se spočítá jako odmocnina z rozptylu a vyjadřuje například chybu v měření. S=√((∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 )/(n-1)) Rovnice 7: vzorec pro směrodatnou odchylku výběrového souboru σ=√((∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 )/n) Rovnice 8: vzorec pro směrodatnou odchylku Pokud bychom chtěli porovnat variabilitu několika rozdílných souborů, tak můžeme využít variačního koeficientu. Jde o relativní míru variability znaku X a uvádí se též v %. Má smysl pouze pro znak X, který nabývá pouze kladných anebo záporných hodnot. Udává, jakou částí se průměr podílí na směrodatné odchylce. v=σ/x ̅ Rovnice 9: vzorec pro variační koeficient Vzorce byly převzaty z materiálů pro 2. ročník FVHE v předmětu Biostatistika.11 1.4.1 Normální rozdělení Normální rozdělení dat (také Gaussovo rozdělení) je takové, které se řídí podle Gaussovy křivky. Předpis Gaussovy křivky je následující: f(x) = 1/(σ⋅√2π)⋅ e^((x-¯x)^2/(-2σ^2 )) Rovnice 10: funkční předpis Gaussovy křivky Normální rozdělení splňuje následující podmínky: • Medián, modus i průměr je stejný • Uspořádání je symetrické podle průměru (mediánu a modu) • Nejčastější hodnoty jsou uprostřed rozdělení a směrem do stran se četnost snižuje Obrázek 1 Normální rozdělení Skóre z nám říká, jak daleko od průměru se určitá hodnota nachází s ohledem na směrodatnou odchylku. Kolik směrodatných odchylek od průměru je daná hodnota. z_i=(x_i-¯x)/S Rovnice 11: vzorec skóre z Pro hodnoty z_i<0 je hodnota x_i menší než průměrná hodnota a pro hodnoty z_i>0 je hodnota x_i větší než průměrná hodnota. Tabulka 1 Percentily pro hodnoty skóre z Pokud se rozdělení dá aproximovat jako normální, existuje spojitost mezi skórem z a percentilem. Stačí si spočítat skóre z, podívat se do tabulky (tabulka č. 1) a zjistíme kde v normálním rozdělení se hodnota nachází, kolikátým je percentilem, tedy vyšší než kolik procent ostatních hodnot je. Když chceme zjistit, jaký výsledek z testu by žák musel získat, aby byl v horních 10 procentech žáků (90. percentil), podíváme se do tabulky a zjistíme, že 90. percentil přibližně odpovídá hodnotě 1.3 skóre z. Tedy žák by musel dosáhnout výsledku o 1.3 směrodatné odchylky vyšší, než je průměrný výsledek. 1.5 Korelace Při statistickém šetření zkoumáme často mnoho statistických znaků a některé z nich mohou být více či méně viditelně navzájem závislé. Korelace představuje vzájemný vztah mezi dvěma veličinami. Korelace může a nemusí být lineární, dále se rozlišuje kladná a záporná závislost. 1.5.1 Pearsonův korelační koeficient Pearsonův korelační koeficient (r_xy) nám říká, jestli jsou na sobě některé dva znaky lineárně závislé. Nabývá hodnot z uzavřeného intervalu [-1;1]. Pokud je hodnota blízká 1 jde o pozitivní lineární závislost a data lze aproximovat lineární funkcí (přímkou) s kladnou směrnicí. Při hodnotách blízkých -1 lze data také aproximovat přímkou, ale směrnice je záporná, jedná se o negativní lineární závislost. Pokud se hodnota korelačního koeficientu pohybuje kolem 0, pak mezi znaky není lineární závislost. Neznamená to ovšem, že by na sobě byly veličiny nezávislé, říká to pouze, že případná závislost není lineární. Pearsonův korelační koeficient spočítáme podle vzorce jako: r_xy=(∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)(y_i-y ̅)〗)/(√(∑_(i=1)^n▒(x_i-x ̅ )^2 ) √(∑_(i=1)^n▒(y_i-y ̅ )^2 )) Rovnice 12: Pearsonův korelační koeficient Výrazy ve jmenovateli jsou směrodatné rozptyly obou proměnných a v čitateli je suma součinů rozdílů hodnoty x_i a y_i od průměru x ̅ a y ̅. Pokud chceme číselnou hodnotou Pearsonova korelačního koeficientu vyjádřit pomocí slov, můžeme rozdělit příslušné hodnoty v absolutní hodnotě z intervalu 〈0;1〉 do několika tříd a slovně popsat od nulové závislosti po naprostou (lineární) závislost. Tato slovní interpretace je pouze orientační a nemá žádnou objektivní vypovídající hodnotu. Následující tabulka je převzata od M. Chráska.12 Tabulka 2 Interpretace hodnot Personova korelačního koeficientu Koeficient korelace Interpretace |r| = 1 naprostá závislost (funkční závislost) 1,00 1 |r| 0,90 velmi vysoká závislost 0,90 0 |r| 0,70 vysoká závislost 0,70 0 |r| 0,40 střední závislost 0,40 0 |r| 0,20 nízká závislost 0,20 0 |r| 0,00 slabá (nepoužitelná) závislost |r| = 0 naprostá nezávislost Obrázek 2 Příklady dat s různými hodnotami P. k. koeficientu 1.6 Kauzalita Kauzalita z lat. causa, příčina) nám říká, zda je nějaký děj či jev zapříčiněný jevem jiným. Pokud jsou na sobě dva jevy závislé, neznamená to ještě, že je jeden z nich příčinou toho druhého. Může se stát, že oba jevy jsou zapříčiněné jevem dalším (třetím), nebo že mezi nimi není žádná souvislost a korelace je čistě náhodná. "Korelace neimplikuje kauzalitu." Pokud spolu nějaké dva jevy korelují nemusí to nutně znamenat, že jeden vychází z druhého či naopak. Když je mezi některými jevy korelace, není vždy jasné, který jev způsobuje který. V roce 2011 byla provedena studie13, která ukazuje, že studenti, kteří kouří nebo pijí alkohol, mají průměrně horší známky než ostatní studenti. Jeden způsob interpretace této studie je ten, že pokud bude student (žák) kouřit či pít alkohol, bude mít špatné známky. Mohlo by to ale být i naopak, že pokud má student špatné známky, začne kvůli tomu pít alkohol nebo kouřit. Třetí interpretace by mohla být, že špatné známky i kouření/pití alkoholu způsobuje nějaký třetí jev, například špatná situace v rodině či vliv prostředí.14 1.6.1 Třetí jev Mnohdy se stane, že spolu nějaké dva jevy korelují, ale nemají kauzální vztah a jsou oba zapříčiněné jiným třetím často skrytým jevem. Při zkoumání prodeje zmrzliny se zjistilo, že množství prodané zmrzliny koreluje s množstvím lesních požárů, a co hůř i s množstvím utopených lidí. Někdo by mohl navrhnout, aby se prodej zmrzliny zakázal a tím by se počet utonulých i počet požárů snížil. To by ovšem byla pravda pouze pokud by prodej zmrzliny opravdu ovlivňoval kolik lidí se utopí a v kolika lesích vypukne požár. Myslet si toto by bylo velmi pošetilé, protože když se nad tím více zamyslíme, dojdeme k závěru, že všechny tyto tři jevy jsou závislé na dalším jevu – ročním období potažmo teplotě. Když je venku teplo, lidé si častěji dopřávají zmrzlinu, a i se častěji koupou. V zimě je venku chladno, a tak si mnoho lidí místo zmrzliny dá radši čaj a na koupání myslí jen otužilci. Požáry mohou být také zapříčiněné zvýšenou okolní teplotou a nižší vlhkostí vzduchu, a proto je v létě více požárů než v zimě. V minulosti lidé věřili, že vši jsou prospěšné pro naše zdraví. Toto je dalším příkladem toho, jak pošetilé může být plést si korelaci s kauzalitou. Bylo vypozorováno, že zdraví lidé mají často vši a lidé nemocní je měli zřídkakdy. Proto se mělo zato, že mít vši je zdravé. Skutečnost je ale ta, že vši jsou velice citlivé na tělesnou teplotu, a tak když některý člověk dostal nějakou nemoc a měl horečku, tak si veš našla jiného hostitele. | |
| 1.6.2 Náhodné korelace Občas se stane, že mezi nějakými dvěma jevy je vysoká korelace, i když mezi těmito jevy není žádná prokazatelná spojitost. Tomuto jevu se říká náhodná nebo falešná korelace. Z následujícího obrázku vyplývá, že počet sebevražd udušením se v USA koreluje s tím, kolik USA investuje do vědy, vesmírných akcí a technologií v období od roku 1999 do 2009. Koeficient korelace je velmi přesvědčivý r = 0.99715. Přesto není pravděpodobné, že by spolu tyto dva jevy souvisely, spíše jde o shodu náhod, ke které občas musí dojít, pokud sledujeme korelace dostatečně velkého množství veličin. Obrázek 3 Falešná korelace 1.7 Testování hypotéz Na začátku každého experimentu nebo šetření stojí často nějaká domněnka nebo tvrzení, které se snažíme potvrdit. Po provedení experimentu či jiného sběru dat můžeme na základě těchto získaných informací dané tvrzení potvrdit nebo vyvrátit, právě na toto slouží obor testování hypotéz. Hypotéza není ničím jiným než podmíněným výrokem o vztazích mezi dvěma nebo více proměnnými. Na rozdíl od problému, který je formulován v podobě otázky explicitně nebo implicitně vyjádřené, hypotéza je vždy tvrzením, byť i podmíněně formulovaným. 16 Rozlišujeme nulovou hypotézu (H_0) a alternativní hypotézu (H_1). Nulová hypotéza představuje situaci status quo, je to tvrzení, které je postaveno na nepřítomnosti rozdílu mezi sledovanými skupinami (tj. r = 0). Portál matematická biologie [J1]17uvádí analogii testování hypotéz se soudním procesem. V soudním procesu se předpokládá presumpce neviny, tedy že obžalovaný nemá spojitost se zločinem (nulová hypotéza). Alternativní hypotéza popírá nulovou hypotézu a vymezuje situaci, když nulová hypotéza neplatí (v příkladu se soudem by alternativní hypotézu představovalo tvrzení, že obžalovaný je vinen). Obě hypotézy jsou tedy vzájemně disjunktní (vylučují se) a může platit pouze jedna z nich, obě hypotézy také pokrývají všechny možnosti, které mohou nastat (obžalovaný je vinen nebo není, jiná možnost neexistuje). Pomocí statistických testů nad získanými daty poté rozhodujeme o platnosti nulové hypotézy (zda je obžalovaný nevinný), pokud se podaří najít dostatečně silná souvislost (nalezneme usvědčující důkazy) můžeme nulovou hypotézu odmítnout (obžalovaný je vinen). Praktická část této práce se věnuje zkoumání, zda existuje významná závislost mezi různými množinami dat. Nulová hypotézu tedy bude představovat tvrzení, že spolu dané dvě veličiny vůbec nesouvisí (podle předem stanovených kritérií, např. mezní hranice Pearsonova korelačního koeficientu). Alternativní hypotéza zastává tvrzení, že nějaká statisticky významná souvislost existuje. 1.7.1 Chyby při testování hypotéz Při testování hypotéz se však můžeme dopustit chyby způsobené nahodilostí náhodné veličiny a deklarovat tak opak skutečnosti. Může se stát, že nulovou hypotézu zamítneme i když je pravdivá (odsoudíme nevinného), tato chyba se nazývá chyba I. druhu. Pokud nulovou hypotézu neodmítneme a ve skutečnosti není pravdivá (zprostíme viny zločince), tak se dopouštíme chyby II. druhu. Na začátku testování si zvolíme maximální možnou pravděpodobnost chyby I. druhu, kterou jsme ještě ochotni přijmout (stanovíme si maximální pravděpodobnost, s jakou riskujeme falešně pozitivní výsledek). Tuto hodnotu (značí se α) nazýváme hladina významnosti testu a dále s ní pracujeme jako s pevně danou. Běžně se za hladinu významnosti volí hodnota α= 0.05, nebo α= 0.01. V mém vlastním testování budu upřednostňovat α= 0.01, tedy zvolím si 1% pravděpodobnost, s jakou riskuji chybu I. druhu, lze však zvolit i hladinu jinou, přísnější i méně přísnou. Riziko falešně negativního výsledku (chyba II. druhu) se značí β. Hodnota 1-β se nazývá síla testu, spolu s hladinou významnosti (α) tvoří klíčové charakteristiky každého statistického testu. Tabulka 3 možné výsledky rozhodovacího procesu při testování statistických hypotéz Rozhodnutí Skutečnost H_0 platí H_0 neplatí H_0 nezamítáme správné přijetí platné nulové hypotézy P = 1–α chyba II. Druhu P = β H_(0 ) zamítáme chyba I. Druhu P = α správné zamítnutí neplatné nulové hypotézy P = 1–β V analogii se soudem můžeme lépe pochopit, že nelze minimalizovat chybu prvního i druhého druhu zároveň jelikož jsou spolu propojené. Kdybychom při soudech požadovali malé množství důkazů, zvýší se sice procento právem odsouzených (tedy procento správně zamítnutých neplatných nulových hypotéz), ale zvýší se také procento odsouzených, kteří jsou nevinní (zvýší se zastoupení chyb I. druhu). Na druhou stranu, pokud bychom požadovali příliš mnoho důkazů, sníží se počet neprávem odsouzených (tedy procento správně nezamítnutých platných nulových hypotéz), ale zvýší se i počet skutečně vinných, kteří budou osvobozeni (zvýšení chyby II. druhu). 1.7.2 Postup testování hypotéz Při testování hypotézy postupujeme následovně18: 1. Formulace samotné zkoumané hypotézy – vytvoření H0 a H1 2. Zvolení si hladiny významnosti α 3. Určení testovacího kritéria (statistiky) a kritických hodnot - Testovací kritérium je rozdělení, které je známé pro platnou H0 - Možné hodnoty testovacího kritéria jsou rozděleny na dvě části, obor přijetí a obor zamítnutí. Kritické hodnoty jsou na rozhraní těchto dvou oborů. 4. Výpočet testu - Existuje mnoho statistických testů, mezi kterými se volí podle typu dat a hypotézy kterou testujeme - Test o existenci korelace dvou náhodných veličin - Výpočet kritické hodnoty Pearsonova korelačního koeficientu, pro kterou můžeme na hladině významnosti α zamítnout tvrzení že mezi veličinami neexistuje žádná významná závislost 5. Vyvození závěru - Vyvrátíme či přijmeme nulovou hypotézu na základě vypočítané p-hodnoty z hladiny významnosti α - p< kritická mez => Statisticky nevýznamný rozdíl – zamítnutí nulové hypotézy - p> kritická mez => Statisticky významný rozdíl – není možné nulovou hypotézu zamítnout | |
| 2 Strojové učení Jedním z hlavních projevů inteligence u živých tvorů je schopnost adaptovat se na měnící se podmínky a učit se novým věcem. Nelze se tedy divit, že se lidé od počátku vývoje výpočetních technologií snaží tuto schopnost v počítačích pomocí komplexních algoritmů napodobit. Strojové učení (SU nebo z angličtiny ML – machine learning) je podoborem aplikované matematiky, konkrétně oboru umělé inteligence. „Strojové učení je nauka o algoritmech, které umožňují učení umělých objektů. Učením se je rozuměno automatické zlepšování se na základě zkušeností.“19 Strojové učení se využívá například pro předpovídání nějakého výstupu na základě vstupních dat. 2.1 Metody strojového učení Pro potřeby této práce nás bude zajímat tzv. učení s učitelem. V této metodě je stroj nejdříve v první fázi (učící) učen na tréninkových datech, u kterých známe vstupní i výstupní veličiny. Mezi těmito skupinami dat program hledá spojitosti a vytvoří si prediktivní model. V druhé fázi na základě tohoto modelu vytváří predikce pro naše data, u kterých chceme odhadnout výstupní veličiny. Obrázek 4 Fáze strojového učení s učitelem Na následujícím schématu můžeme vidět vstupní data X, vzorová výstupní data Y, predikovaná výstupní data Y ̂, model s parametry M(b), chybovou funkcí LF a optimalizační (učící) algoritmus UA. Na začátku jsou nějak nastaveny parametry modelu (většinou náhodně). Učení pak probíhá způsobem, že vstupní data X jsou předkládána modelu M(b), ten poté predikuje data Y ̂, které se porovnají se skutečnými výstupními data Y. To, jak moc se od sebe liší, vyjadřuje chyba Err (angl. error) z chybové funkce LF (angl. loss function). Optimalizační algoritmus UA poté mění parametry b modelu M(b) tak, aby byla chyba co nejmenší.20 Obrázek 5 Schéma strojového učení V této práci je metoda strojového učení použita k předpovídání známek na vysvědčení v jednotlivých předmětech (výstupní data – vektor známek, jedna pro každého studenta) na základě znalosti známek z přechozích let a zájmu o daný předmět/hodnocení učitelem (vstupní data – matice, kde každý řádek obsahuje informace o jednom studentovi). Model data vyhodnocuje za pomoci rozhodovacích stromů, během trénovací fáze se pomocí odhalených vazeb vytvoří hierarchická struktura zvaná rozhodovací strom. Ta pak dokáže ze vstupních dat predikovat výsledek za pomoci vzniklých propojení v rozhodovacím stromu. V případě predikování známek může například model zjistit, že pokud by měl student jako poslední známku 1, získá poté v dalším roce také 1 nebo 2 a podle toho se strom dále větví. | |
| 3 Sběr dat Data jsem získal celkem o 8 třídách z Gymnázia Třeboň. Z těchto osmi tříd čtyři, které už na gymnáziu nejsou (maturitní ročníky 2020 a 2021) a čtyři třídy, které na gymnáziu stále studují (maturitní ročníky 2022 a septimu + třetí ročník, tedy maturitní ročníky 2023). Jednalo se o 3 kategorie informací pro již odmaturované ročníky a 4 pro aktuální. Dohromady byly získány informace od 215 studentů a 18 vyučujících. 3.1 Známky Hlavní informace, které jsem o studentech získal, byly známky na vysvědčení za celou dobu studia. Díky tomu lze krásně sledovat vývoj studenta v průběhu studia. Právě známky jsou hlavní informace, na základě kterých jsem hledal korelace se zájmem o předmět, množství času věnovaného učení se, a to do školy i v některých mimoškolních aktivitách. Snažil jsem se v tomto vývoji najít například „body zlomu“, kdy se u studenta známky mezi jedním a druhým pololetím výrazně změnily, a to buď k lepšímu, nebo k horšímu. Dále jsem získal data o množství zameškaných hodin v jednotlivých pololetích. Pokud student z jakéhokoliv důvodu není při vyučování přítomen, tak to většinou znamená, že si látku musí doma doplnit sám a bez dohledu a výkladu učitele je větší šance nepochopení látky. 3.1.1 Anonymizace dat Kompletní data o vysvědčení studentů osmi tříd za celou dobu jejich studia jsou velice citlivé informace, a tak nebylo možné, abych k těmto informacím měl přístup. Bylo tedy nutné, aby se data nějak anonymizovala. Dále bylo potřeba přetransformovat data z formátu tabulky do jednoho dlouhého sloupce tak, aby jej šlo připojit k již získaným datům z testů, dotazníků a hodnocení učitelů. Jelikož se jednalo o obrovské množství dat, pololetní i finální vysvědčení každého z přibližně 220 studentů, tak jsem k tomuto úkolu využil počítač a vytvořil jsem program v programovacím jazyce Java. Pomocí klíčových slov program vybral potřebné údaje: známky z osmi zkoumaných předmětů a také zameškané hodiny v jednotlivých pololetích. Dále byl každému studentovi přidělen identifikační kód místo jména. Školou pověřený učitel následně provedl tuto anonymizaci a také si uchoval klíč k přeložení identifikačních kódů. 3.2 Testy Známky samotné nemusí vždy přesně odrážet úroveň znalostí daného studenta. Motivace k získání dobré známky je u každého studenta jiná, a tak mnozí studenti dohání obecné vědomosti a porozumění látce velkou pílí a učením se dané látky před testem či ústním zkoušením. Na druhou stranu jsou zde studenti, kteří přes svůj talent, chytrost a zájem o předmět nemají motivaci k získávání dobrých známek, a tak například neplní školní povinnosti a na test se neučí. To může vést k tomu, že lidé, kteří se „nabiflují“ vědomosti před testem mají často lepší známky nežli ti, kteří látce rozumí více, ale nevěnují školním povinnostem tolik času. Například kvůli tomu, že se domnívají, že předmětu rozumí natolik, že se učit nemusí nebo nejsou tak pilní a ochotní se doma připravovat. K získání přesnějších informací o dlouhodobých vědomostech v daných předmětech studenti absolvovali testy ze osmi „hlavních“ předmětů. Tyto předměty jsou: biologie, český jazyk, dějepis, fyzika, chemie, matematiky, základy společenských věd a zeměpis. Testy studenti psali na začátku školního roku v hodině daného předmětu. Časový limit na vyplnění jednoho testu byl 45 minut, avšak většina studentů byla hotova již v polovině času. Vyučující v hodině dohlédl na to, aby každý student pracoval samostatně a bez pomoci vnějších informací (internet, učebnice). Termín jednotlivých testů nebyl přesně určen, aby se studenti nijak nepřipravovali a aby test odrazil jejich skutečné znalosti. 3.2.1 Vytvoření testů Vytvoření objektivního testu z daného předmětu s určitým rozsahem a obtížností je velice náročné a jelikož v tomto oboru nemám velké zkušenosti, tak jsem jako zdroj využil již připravené testy od společnosti CERMAT. Jednalo se o testy z roku 2011, kdy byly vytvořeny jako jednotné písemné maturitní testy ze všech předmětů. Tyto testy byly látkou zaměřené na učivo celé střední školy a měly časový limit 90 minut. Za pomoci předsedů předmětových komisí jednotlivých předmětů jsem z testu vybral otázky, které pokrývali pouze učivo probírané v prvním a druhém ročníku (kvintě a sextě). Dále jsem odebral některé opakující se nebo zavádějící otázky a některé otázky doplnil podle školního vzdělávacího plánu tak, aby na každou oblast učiva byla v testu alespoň jedna otázka. Test obsahoval všechny možné druhy otázek, většina byla uzavřených, tedy bylo na výběr z několika možností, dále test obsahoval otázky seřazovacího typu (například v dějepise seřazení událostí podle letopočtů) a otázky, kde studenti měli za úkol vybrat všechna tvrzení, která (ne)platí. Jelikož se jednalo o test na učivo probírané v prvním a druhém ročníku střední školy, tak všechny třídy psaly test se stejným zadáním (septima i oktáva/ 3. i 4. ročník). Testy byly sestavovány tak, že se obtížnost otázek postupně zvyšovala, u první otázky byla úspěšnost přibližně 90 %, u posledních už pouze 30 %. Testy byly koncipovány tak, aby téměř nikdo nebyl schopný v časovém limitu zvládnout test na 100 %. Kdyby byl test moc jednoduchý, tak bychom nemohli rozlišit výsledky u studentů s plným počtem bodů. Každý ze sedmi testů měl jiný počet otázek podle jejich náročnosti. Test z dějepisu měl například 20 otázek, jelikož otázky testovali hlavně zapamatované znalosti. Z fyziky bylo otázek pouze 13, protože některé otázky vyžadovali náčrtky nebo pomocné výpočty na papíře. Obrázek 7 Otázka v testu z fyziky 3.3 Dotazníky Na konci každého testu byl připojen krátký dotazník, který měl za úkol zjistit, jaký má student přístup k danému předmětu. Informace o tom, jestli studenta předmět zajímá a baví může velice úzce souviset s tím jaké bude mít v předmětu výsledky a úroveň vědomostí. Každý měl také ohodnotit, jak si sám myslí, že předmětu rozumí. S výslednými známkami také velmi souvisí množství času investovaného do učení. Proto byly v dotazníku i otázky zaměřující se na to, kolik času student týdně věnuje danému předmětu: ve škole při vyučování, doma školním povinnostem (učení se na test nebo zkoušení, vypracovávání domácích úkolů) a doma mimoškolním aktivitám (korespondenční semináře, vědomostní olympiády, vlastní výzkum, poznávání okolí, sledovaní dění ve společnosti a v politice, jazykové a rétorické kurzy, sebevzdělávání nad rámec školního učiva). Přestože ve škole při vyučování je přímo vyhrazený čas k tomu se danou látku naučit, tak skutečnost je taková, že většina studentů neudrží plnou pozornost celou vyučovací hodinu. Když se například jedná o odpolední hodiny, tak jsou mnozí již tak psychicky vyčerpáni, že i kdyby se chtěli soustředit, tak to nezvládnou. Ve třídě plné spolužáků a kamarádů je také plno rušivých vlivů. Pro některé studenty je vyprávění spolužáka o tom, co dělal přechozí den zkrátka zajímavější než výklad učitele. Málokoho také zajímají všechny předměty, a tak mnozí dávají pozor pouze v jimi preferovaných hodinách. Někteří studenti jsou hodně zaměření na známky, a tak doma věnují nemálo času tomu, aby dohnali veškeré učivo, které ve škole nepochopili. Často se však učí právě za účelem získání dobré známky, a ne aby skutečně učivo pochopili. Na druhé straně spektra se nacházejí studenti, které výsledná známka nezajímá, a tak se do školy nepřipravují vůbec nebo pouze krátce a často až ve škole v jiných hodinách. Některé předměty (např. matematika, fyzika) se však dají naučit velice obtížně a pouhým „memorováním“ informací je to téměř nemožné. Některé výzkumy21 proti intuici ukazují, že doba učení matematiky nekoreluje s výslednými známkami z matematiky. Lidé, kteří matematice rozumí se totiž většinou nepotřebují na test vůbec připravovat, a přesto získají dobrou známku. Ti, kteří se snaží naučit matematiku jako dějepis, zase stráví hodiny času učením se, ale když v testu najdou příklad, který se neučili, tak jsou často bezradní. Jestli se student bude věnovat některým mimoškolním aktivitám v rámci některého předmětu ve velkém závisí, na jeho přirozeném talentu a na tom v jakém prostředí se pohybuje. Pokud někdo nemá například nadání pro matematiku, tak bychom po něm těžko mohli chtít, aby řešil matematickou olympiádu nebo některý z korespondenčních seminářů. Naopak studenti, kteří v některém předmětu vynikají, rádi zkusí něco navíc co pro ně bude náročnější než školní učivo, které lehce zvládají. Prostředí, ve kterém se student pohybuje může být podobně důležité, a to jak doma, tak ve škole. Pokud rodič nebo učitel rozpozná v žákovi/studentovi talent již v mladším věku a vede ho k rozvíjení tohoto talentu, tak má student do budoucna v tomto oboru obrovskou výhodu. Velmi pomůže, pokud existuje kolektiv, ve kterém mají všichni stejný zápal pro daný předmět, např.: zájmové vědomostní kroužky, skupinové znalostní soutěže nebo separace při vyučování podle schopností (volitelné semináře). 3.3.1 Ukázka dotazníku Dotazník měl celkem 6 otázek, z toho ve čtyřech šlo vybírat z rozsahu 1-10 a zbylé dvě otázky, zaměřené na množství času věnovaného předmětu byly otevřené, každý tedy mohl zadat podle sebe přesný počet hodin. Dotazník měl následující formu: 1. Jak zvládáš předmět? Jak se cítíš že předmětu a látce rozumíš? Nejde o známky, ale o skutečné znalosti a dovednosti. (odpovědi na škále 1-10) 2. Jak zvládáš splnit požadavky školy? Jak jsi schopný správně a v termínu odevzdávat úkoly? Umíš se naučit na test? (odpovědi na škále 1-10) 3. Jak tě to zajímá a baví? Baví tě daný předmět? (Nejde o učitele ale o látku) (odpovědi na škále 1-10) 4. Kolik procent času ve škole využiješ na práci v předmětu? Stává se, že se někteří hodně času v hodinách nevěnují předmětu. Např. si povídají, jsou na mobilu, dělají úkoly do jiného předmětu, prostě koukají z okna... Kolik času si myslíš, že skutečně dáváš pozor na hodinu a výklad? (3~30 %, 6-~60 % atd.) (odpovědi na škále 1-10) 5. Kolik času týdně věnuješ předmětu mimo školní požadavky? Jedná se o mimo školní aktivity, např. různé soutěže, olympiády, semináře, ale také sledování přednášek, diskusí, naučných videí (třeba i na YT). Také se počítají praktické získávání znalostí "v terénu". Nebo třeba naučné kroužky. (otevřená otázka) 6. Kolik času týdně věnuješ školním požadavkům na předmět? Kolik času týdně se doma učíš školní látku, dělání domácích úkolů (i dobrovolných), učení se před testem... (otevřená otázka) 3.4 Názor učitele Učitel, který téměř každý den vidí, jak kdo v hodině pracuje může poskytnout o studentech velmi cenná data. Ví, jestli studenta předmět zajímá, jestli je v hodině aktivní nebo pasivní, zda se věnuje něčemu navíc a jestli předmětu skutečně rozumí nehledě na výslednou známku, kterou získá z testů. Proto je i informace od učitelů o každém z jeho studentů zařazena mezi zpracovávaná data. Každý z učitelů vyplnil v každém konkrétním předmětu ve třídě, kterou učí tabulku, ve které každému ze studentů přiřadil jedno číslo z rozsahu 1-10. Nejedná se o hodnocení, které by se odvíjelo podle známek, ale hlavně se hodnotí zájem studenta o daný předmět (jestli je aktivní v hodině, zajímá se nad rámec školního učiva, účastní se olympiád nebo soutěží atd.) a jeho skutečné znalosti a vědomosti. Se známkami toto hodnocení přesto trochu souvisí, jelikož pokud student, který předmětu rozumí a zajímá se o něj zpravidla nemá problém získat dobrou známku, kdežto ten, který se o daný předmět vůbec nezajímá a ani není nijak zvlášť nadaný bude mít těžko samé jedničky. Přestože mnozí z učitelů své studenty vyučují řadu let, tak měli někteří problém s hodnocením pouze jedním číslem. Většina z učitelů učí více předmětů ve více z vybraných tříd, a tak od nich bylo potřeba vyplnit až 6 dotazníků (hodnocení přibližně 170 studentů). Proto jsem dotazník zkrátil pouze na ohodnocení každého studenta jedním číslem a připravil popis některých hodnot škály 1-10. Obrázek 8 Popis hodnot v dotazníku pro učitele 4 Vyhodnocení dat Surová data samotná jsou zbytečná, pokud je nezpracujeme do přehledné formy, abychom je mohli zkoumat a dále z nich vyvozovat nějaké závěry. Tato kapitola hledá odpovědi na otázky položené v úvodu a snaží se potvrdit či vyvrátit získané domněnky o studentech a vlivech na jejich studijní výstupy. 4.1 Souhrnné výsledky testů a dotazníků Souhrnné testy psali studenti čtyř tříd, dvě třídy z osmiletého gymnázia a dvě třídy z gymnázia čtyřletého. V obou z těchto dvou skupin jedna třída v třetím roce SŠ (třetí ročník a septima) a jedna třída v posledním čtvrtém roce SŠ (čtvrtý ročník a oktáva). Jednalo se testy ze sedmi „hlavních“ předmětů. Test z matematiky se píše každoročně na začátku třetího ročníku (septimy), bohužel se nedochovaly výsledky z testu z matematiky u čtvrtého ročníku, a tak je z těchto statistik vynechán. V některých předmětech se projevila výhoda kratší mezery od probírání učiva obsaženého v testu (testy obsahovaly látku probíranou v prvních třech pololetích SŠ). Například v dějepise byl průměrný počet získaných bodů (z 30 možných) u obou tříd studující 3. rokem SŠ 17,7 bodu. V maturitních třídách, které danou látku ve škole probírali již o dva roky dříve byl průměrný počet bodů 15,1, tedy o 17 % horší výsledek. Mladší studenti si dále vedli lépe v testech z chemie (o 9 % lepší výsledek, než maturitní ročníky) a ze základů společenských věd (o 7 % lepší výsledek, než maturitní ročníky). V testech z fyziky a zeměpisu si naopak vedli lépe maturitní ročníky. Z fyziky byly průměrně úspěšnější o 8 % a ze zeměpisu o 11 %. V testu z fyziky byly krom teoretických otázek obsaženy také početní příklady, s těmi si právě lépe poradili starší studenti z důvodu více zkušeností právě s počítáním podobných příkladů. Pokud se podíváme na jednotlivé třídy odděleně, tak zjistíme, že výsledky v jednotlivých testech byly ve většině případů velmi podobné. Největší rozdíl byl v testu z fyziky, kde třída oktáva získala o 6.8 bodu více než o ročník mladší septima (o 68 %), toto bylo způsobeno několika jedinci z třídy oktávy, kteří získali velmi vysoký počet bodů a celkový průměr třídy tak výrazně zvýšili. Pokud bychom sečetli průměrné body v jednotlivých třídách ze všech testů (krom matematiky), tak si nejlépe vedla třída oktáva s celkovým počtem 138 bodů (z 210 možných). Téměř stejného výsledku dosáhli třídy třetího ročníku a septimy (v tomto pořadí 121 a 119 bodů). Nejhorší výsledek předvedl čtvrtý ročník s 107 body. Obrázek 9 Průměrné výsledky testů Podle předpokladu, že studenti mají lepší výsledky v předmětech, které je zajímají by se dala předpokládat korelace průměrného zájmu ve třídách o předmět a průměrného výsledku z toho předmětu. To se ovšem potvrdilo pouze u biologie (korelační koeficient r=0,68 – vyšší střední závislost) a u chemie (korelační koeficient r=0,89 – vysoká závislost). U fyziky byl korelační koeficient záporný, tedy závislost byla spíše nepřímá. Třída septima, která je podle dotazníku třída s největším zájmem o fyziku v testu dosáhla nejhoršího výsledku. Těžko říct, čím je tento jev způsoben. Každý student vyplňoval dotazník sám podle sebe, vnímání zájmu o předmět je velmi subjektivní a každý ho vnímá jinak. Stupnice také nebyla nikterak popsána, a tak je lepší vyvozovat závěry z odpovědí každého studenta individuálně. Studenti maturitních ročníků mají častěji jasno v tom, které předměty je zajímají, a proto u ostatních předmětů dávali nízké hodnocení (průměrné hodnocení zájmu na škále 1-10 u čtvrtého ročníku bylo 5). Předmaturitní ročníky na druhou stranu často jasno nemají, a tak převládali neutrální odpovědi a u některých předmětů poté vysoké hodnocení (průměrné hodnocení zájmu na škále 1-10 u těchto ročníků bylo 6) Obrázek 10 Dotazník – zájem o předmět V jedné otázce dotazníku měli studenti subjektivně zhodnotit, jak se cítí, že zvládají daný předmět. Největší problémy mají studenti s fyzikou a nejmenší s českým jazykem. Čeština je náš mateřský jazyk, učíme se jej od narození a poté ve škole od první třídy. Naopak fyzika je náročná na přemýšlení a ve škole se jí věnuje až od druhého stupně. Další otázka byla zaměřen na to, kolik procent hodin studenti dávají pozor (hodnocení 6∼60 %). Odpovědi se v jednotlivých předmětech moc nelišily. Nejméně času dávají studenti pozor v hodinách biologie (62 % hodiny) a nejvíce v chemii (72 %). 4.2 Porovnávání výsledků u chlapců a dívek Chlapci i dívky mají od dětství často rozlišnou výchovu a způsob hraní si.22 Chlapci si většinou hrají s autíčky, stavebnicemi a legem a dívky si hrají na rodinu, s kytičkami a vymýšlejí si příběhy s postavičkami. (Toto je velice zjednodušené a je naprosto normální, že by si dívka hrála s autíčky nebo chlapec s panenkami.) V budoucnu tak mají chlapci větší tendenci směřovat k technickým oborům a dívky spíše humanitním. Dívky jsou také často pečlivější a svědomitější než chlapci, ve škole se více zapojují, doma se připravují, což může u dívek ve srovnání s chlapci vést k obecně lepšímu prospěchu. Tato kapitola se zabývá ověřením či vyvrácením těchto předpokladů. 4.2.1 Souhrnné testy a dotazníky Nejznatelnější rozdíl mezi výsledky testů u dívek a chlapců je v základech společenských věd, kde chlapci dosáhli v průměru lepšího výsledku o 21 %, v zeměpisu o 18 % a v matematice 16 %. Lepší výsledek měli chlapci také ve fyzice o 7 % a dějepisu 5 %. Dívky získali lepší hodnocení pouze v biologii o 7 %. V českém jazyce a chemie byl rozdíl získaných bodů zanedbatelný. Obrázek 11 Sebehodnocení souhrnné Situace se stane zajímavější, pokud se podíváme na porovnání zájmu dívek a chlapců o dané předměty a porovnáme ho s výsledky testů. Velký rozdíl mezi zájmem pro stejný předmět je v českém jazyce, ve kterém dívky průměrně hodnotili svůj zájem na stupnici od 1 do 10 číslem 6,6, kdežto chlapci pouze 4,83. Dívky dále průměrně jeví větší zájem o biologii (dívky 5,8, chlapci 4,9). I když v českém jazyce dívky dosáhly lepšího výsledku i v testech, tak byl rozdíl velmi malý oproti velkému rozdílu v zájmu (zájem vyšší o 37 %, ale bodový rozdíl byl pouhé 1,1 %). V biologii byl rozdíl znatelnější, dívky projevili zájem o 18 % vyšší než chlapci a dosáhli o 7 % lepšího výsledku. Dívky naopak jeví velmi malý zájem o předměty technického typu, podle dotazníku je jejich průměrný zájem o matematiku 3,58 oproti 5,19 u chlapců a o fyziku 3,07 oproti 4,91 u chlapců. V matematice je zájem chlapců vyšší o 45 % a bodový zisk vyšší o 16 %. Za povšimnutí stojí, že i přes rozdíl téměř 60 % mezi zájmem ve fyzice se chlapcům podařilo získat v testu pouze o 7 % lepší výsledek než dívkám. Tento jev se dá vysvětlit tím, že hodně chlapců zajímá pouze určité odvětví fyziky (například stroje, motory, elektrotechnika atd.) a o ostatní části fyziky se tolik nezajímají, a tak v testu na školní látku nedosáhnou lepšího výsledku než ostatní. Dívky se o fyziku obecně tolik nezajímají (3,07/10), ale školní látku se pílí zvládají naučit, proto často získají v testu lepší hodnocení než ten, koho fyzika zajímá více. Většího zájmu u chlapců se také dostává zeměpisu, dějepisu a základům společenských věd. Obrázek 12 Porovnání zájmu o předmět dívky/chlapci 4.2.2 Známky a absence Vývoj absence v průběhu studia se překvapivě mezi pohlavími tolik nelišší. Chlapci mají v průměru lehce vyšší absenci, tento rozdíl je výraznější na nižším gymnáziu, na gymnáziu vyšším je absence téměř stejná. Na nižším gymnáziu můžeme pozorovat (hlavně u dívek) trend zvýšené absence v druhém pololetí oproti prvnímu. Celková průměrná absence u dívek je 40 hodin za pololetí a u chlapců 44, tedy o 10 % vyšší. V druhém pololetí maturitního ročníku absence prudce klesla, prvním důvodem je zkrácené školní pololetí a druhým přejití na distanční výuku, ve které se absence téměř nepočítala. Na následujících grafech je porovnání absence/klasifikace mezi dívkami a chlapci. Jedná se o průměrné hodnoty ze všech studentů osmi pozorovaných tříd. Polygon obsahuje 16 vrcholů jeden za každé pololetí 8 let gymnázia. Označení 4.1 je pro kvartu první pololetí, 6.2. sexta druhé pololetí. Obrázek 13 Vývoj absence chlapci/dívky Podíváme-li se na vývoj známek na pololetním a konečném vysvědčení v průběhu celého studia průměrného chlapce a dívky, zjistíme velmi podobný průběh s rozdílem, že prospěch dívek je v průměru o 0.15 stupně lepší. Zajímavý je také trend lepších známek na konci školního roku než v pololetí, který se objevuje od vyššího gymnázia. Průměrná známka v pololetí na vyšším gymnáziu je 1.97, kdežto na konci školního roku 1.8. Studenti na pololetní vysvědčení neberou takový ohled, ale na konci školního roku se snaží mít lepší známky. Známky studentů se průměrně meziročně zhoršují, nejlepšího hodnocení dosahují žáci v prvním pololetí v primě (1,47) a nejhoršího v prvním pololetí oktávy (2,15). Tento jev se dá předpokládat, jelikož množství a náročnost učiva se časem zvyšuje. Obrázek 14 Vývoj známek chlapci/dívky Nyní se blíže zaměříme na vývoj známek v předmětech, ve kterých byl velký rozdíl chlapců a dívek v zájmu a výsledcích testů. V českém jazyce, o který mají větší zájem dívky, ani v matematice, o kterou mají větší zájem chlapci, není významný rozdíl v hodnocení v průběhu studia oproti průměrným známkám. V českém jazyce mají dívky v průměru lepší známku o 0,17 stupně. Největší rozdíl je na nižším gymnáziu, od gymnázia vyššího jsou známky dívek i chlapců téměř shodné. V tomto předmětu nelze pozorovat zhoršování známek jako v jiných případech, u chlapců je průměrná známka za vyšší gymnázium nepatrně lepší než na gymnáziu nižším. Obrázek 15 Vývoj známek v čj. chlapci/dívky Přestože chlapci mají o matematiku větší zájem, (také v testu získali v průměru lepší výsledek než dívky) tak i v matematice mají dívky v průměru lepší známky (o 0.19 stupně) než chlapci. Výrazně lepšího výsledku však chlapci dosahují při maturitě, (tento jev nastává v menší míře ve vícero předmětech) kde mají s průměrnou známkou 1,6 o 0,6 stupně lepší hodnocení než dívky, které na maturitním vysvědčení v průměru dostaly známku 2,2. Obrázek 16 Vývoj známek z matematiky chlapci/dívky Dívky mají sice lepší známky na vysvědčení, ale z testů bez přípravy vyšly lehce hůř než chlapci, kteří mají také v průměru lepší výsledky u maturity. Tento jev se dá vysvětlit, když se podíváme na množství času věnovaného školním povinnostem a učení se na testy. 4.2.3 Čas věnovaný učivu Dívky ve všech předmětech s výjimkou dějepisu věnují učení se a přípravě do školy více času, v průměru přibližně necelé 2 hodiny na jeden předmět za týden, kdežto chlapci pouze hodinu a půl. Díky tomu, že se dívky věnují školnímu učivu více, tak poté získávají i lepší známky. Obrázek 17 Čas věnovaný školním povinnostem za týden chlapci/dívky Situace je jiná u množství času věnovaného danému předmětu v mimoškolních aktivitách. Předmětům, o které chlapci projevují větší zájem (ZSV., zem., fyz., děj., mat.) se také ve svém času více věnují. Tento čas však využívají k aktivitám, které nejsou přímo spojeny s školními povinnostmi. Největší rozdíl je u ZSV (40 minut navíc oproti dívkám) a dějepisu, (48 minut navíc). Tyto mimoškolní aktivity zahrnují převážně sledování (politických) diskusí, hospodářského a sociologického dění ve světě a čtení historických knih či sledování dokumentárních filmů. Obrázek 18 Čas věnovaný mimoškolním aktivitám za týden chlapci/dívky Dívky se průměrně studiu věnují 25,6 hodiny týdně, z čehož 62 % je učení se pro potřeby školy, chlapci se průměrně studiu věnují 24 hodiny týdně, ze kterých 49 % je příprava do školy a zbylá více než polovina je na mimoškolní aktivity. Jelikož značná část času spadající do kategorie školní povinnosti je ve skutečnosti učení se látky před testem (většina informací se uloží pouze do krátkodobé paměti), tak je pochopitelné, že dívky, kterým většinou na známkách záleží více než chlapcům, mají průměrně lepší známky. Naopak chlapci, kteří více než polovinu svého studia ve volném čase věnují mimoškolnímu vzdělání, mají výhodu v testech na obecné znalosti bez přípravy. Maturitní zkouška je značně náročnější než běžný test a není tak jednoduché naučit se nazpaměť všechny potřebné informace, ale je potřeba mít znalosti spojené v souvislostech a látce skutečně rozumět. Konkrétně matematice je velmi těžké se naučit způsobem „biflování se“ informací, v menších testech se sice lze naučit postup u konkrétních příkladů, ale jakmile přijdou příklady neznámé, daný student je v koncích. Proto je k maturitě z matematiky výhodnější přístup chlapců, kteří se matematice věnují více obecně. U maturity poté chlapci získají v průměru o 0,8 stupně lepší známku než na vysvědčení v druhém pololetí maturitního ročníku, kdežto dívky mají průměrně známku stejnou. 4.3 Korelace Tato kapitola se zabývá zkoumáním korelací veličin, tj. souvislostí mezi jednotlivými zkoumanými veličinami pospanými v grafech 17-19 a v tabulkách 4 a 5. Na následujícím grafu jsou vyobrazeny (Pearsonovy) korelační koeficienty mezi bodovým ziskem v testu a ostatními údaji ve čtyřech z osmi předmětů. Obrázek 19 Korelace zisku bodů a ostatních údajů Opravdu se projevila jistá souvislost mezi zájmem studentů o předmět a bodovým ziskem v testu z daného předmětu, nejvíce v matematice a dějepisu (korelační koeficienty 0,46 a 0,49 spadají do kategorie „střední závislost“). Testy z těchto předmětů obsahovaly nejvíce otázek zaměřených na oblasti, které se ve škole v hodinách tolik neprobírají, a tak se projevilo, kdo se těmto předmětům věnuje i mimo školní lavice. Za povšimnutí stojí jediná významnější nepřímá korelace. Ukázalo se, že studenti, kteří se doma více připravují do školy na matematiku, tak získali horší výsledek z testu než studenti, kteří se školním povinnostem věnují méně (závislost -0,28 spadá do kategorie „nízkých závislostí“). Naopak studenti, kteří se matematice věnují dobrovolně navíc, dosáhli lepšího výsledku. V matematice se také nejvíce projevila znalost svých schopností, kdy studenti i učitelé nejlépe odhadli, jak dobře matematice rozumí a jak dopadnou v testu. Nízká závislost s výsledkem testu se ukázala u sebereflexi studentů, kolik procent času dávají v hodině pozor. Na následujících grafech je znázorněna závislost mezi známkami na vysvědčení a ostatními údaji. Pro větší přehlednost jsou předměty rozděleny do dvou kategorií (přírodovědné předměty a humanitní). Korelační koeficienty u údajů jsou záporné z důvodu, že čím vyšší hodnota známky, tím je známka horší. Obrázek 20 Korelace známek a ostatních údajů u přírodovědných předmětů Nejsilnější závislosti se známkami mají hodnocení učiteli, kteří často odhadují znalosti studentů právě na základě jejich známek, a tak jejich hodnocení často právě známkám odpovídalo. Nízká závislost je mezi časem věnovaným školnímu učivu a známkami. Tyto předměty jsou velmi náročné a někteří studenti se je i přes snahu a velké množství času věnovanému studiu nezvládají naučit. Vysoká hodnota korelačního koeficientu nastává také u času věnovaného mimoškolním aktivitám. Ve fyzice tato hodnota dosahuje -0,72 („vysoká závislost“). Studenti, kteří jsou do fyziky natolik zapálení, že se jí věnují dobrovolně navíc většinou zvládají i školní učivo. Naopak ti, kteří mají s fyzikou problémy, se spíše snaží naučit školní látku. Obrázek 21 Korelace známek a ostatních údajů humanitní předměty U humanitních předmětů jsou závislosti zájmu o předmět, dávání pozor při hodinách či množství času věnovaného předmětu mimo školu výrazně nižší než u předmětů přírodovědných. Naopak vyšší hodnotu korelačního koeficientu můžeme pozorovat u množství času věnovaného školnímu učivu. Pokud se student věnuje těmto předmětům mimoškolně, znamená to většinou sledovaní dění ve světě, politických diskusí nebo sledovaní dokumentárních filmů. Tyto aktivity jsou skvělé pro obecný přehled, avšak získávat lepší známky z testů většinou nepomohou. Těmto předmětům se dá snáze naučit i bez většího zájmu o předmět, jelikož na školní úrovni se testy většinou zaměřují na popsání určité události či popsání pojmu, to je poté záležitost paměti a věnovaného času učení se. Některé předměty se sebou navzájem úzce souvisejí. Někdo je například nadaný na přírodní vědy, a tak pokud bude mít dobrý prospěch například z matematiky, tak bude mít pravděpodobně dobrý prospěch i z fyziky případně chemie. Naopak jsou studenti, kteří mají právě s těmito předměty problémy. Pokud by měli z matematiky špatné známky, budou mít pravděpodobně také špatné známky z fyziky (už jen kvůli tomu, že ve fyzice se hojně využívají znalosti matematiky). Tito studenti se mohou zajímat spíše o předměty humanitní, ze kterých tak budou mít i lepší prospěch. Největší souvislost mezi známkami v jednotlivých předmětech mají právě matematika a fyzika s korelačním koeficientem 0,89. Tabulka 4 Korelační koeficienty mezi známkami z přírodovědných předmětů Přírodovědné matematika Fyzika Chemie biologie matematika 1,00 0,89 0,76 0,68 fyzika 0,89 1,00 0,79 0,74 chemie 0,76 0,79 1,00 0,73 biologie 0,68 0,74 0,73 1,00 Mezi humanitními předměty mají nejvyšší hodnotu korelačního koeficientu ZSV s českým jazykem a stejnou hodnotu i s dějepisem. Zeměpis, který se řadí na pomezí přírodních a humanitních věd má naopak nejnižší korelační koeficienty s ostatními předměty. Tabulka 5 Korelační koeficienty mezi známkami z humanitních předmětů Humanitní český j. Dějepis ZSV zeměpis český j. 1,00 0,77 0,81 0,63 dějepis 0,77 1,00 0,81 0,72 ZSV 0,81 0,81 1,00 0,80 zeměpis 0,63 0,72 0,80 1,00 Pokud bychom zkoumali korelaci v předmětech mezi těmito kategoriemi navzájem, objevili bychom také jistou závislost, ale již ne tak silnou. Například korelační koeficient mezi známkami z matematiky a českého jazyka je 0,54 a mezi fyzikou a dějepisem 0,65. Tyto hodnoty jsou také vysoké (spadají do kategorie „střední závislost“), to je způsobeno tím, že se málo kdy stane, že rozdíl známek u jednoho studenta je vyšší než jedna. Studenti, kteří se snaží mají většinou samé jedničky nebo dvojky ze všech předmětů, další si známky drží na úrovni dvojek nebo trojek a ti, kterým učení opravdu nejde nebo se nesnaží, mají trojky a čtyřky. 4.4 Maturitní zkouška Maturitní vysvědčení je odlišné oproti ostatním vysvědčením z průběhu střední školy. Student si sice sám vybírá předměty, ze kterých chce maturovat, ale rozsah testované látky je daleko větší než u běžných testů. Proto je maturitní zkouška (první velká zkouška většiny studentů) tak náročná a často s ní mají problém i ti, pro které bylo studium do té doby snadné. V následující tabulce můžeme vidět různé charakteristiky maturit pro jednotlivé předměty. Tabulka 6 Maturita po jednotlivých předmětech předmět počet maturujících průměrná známka změna oproti vysvědčení hodnocení 4 nebo hůře hodnocení výborné ZSV 43 2,16 -0,44 16,28 % 39,53 % český jazyk 97 1,69 -0,13 5,15 % 48,45 % dějepis 15 1,47 -0,27 0,00 % 66,67 % zeměpis 36 2,17 -0,56 16,67 % 36,11 % matematika 21 2,05 -0,19 19,05 % 52,38 % fyzika 10 1,4 -0,20 0,00 % 60,00 % chemie 27 1,7 -0,11 7,41 % 55,56 % biologie 40 2,0 -0,43 10,00 % 45,00 % Na první pohled si můžeme všimnout popularity některých maturitních předmětů oproti jiným. Pouhých 10 studentů z 98 si vybralo maturitu z fyziky a 15 z dějepisu, oproti tomu ze základů společenských věd maturovala téměř polovina ze všech. Průměrné hodnocení téměř u všech předmětů je velmi blízko známce 2 (chvalitebné). Lepšího výsledku dosahují studenti maturující z fyziky a dějepisu, to je pravděpodobně způsobené tím, že jako maturitní si tyto předměty vybere menší část studentů, ale zřejmě zejména ti, kteří se o ně zajímají a mají velmi dobré znalosti. Naopak nejhorší známky se průměrné objevují u ZSV a zeměpisu. Z těchto předmětů maturuje mnoho studentů a pro mnohé může být tento předmět pouze doplněním počtu maturitních předmětů. Pokud se podíváme na rozdíl známky získané na posledním vysvědčením a známkou u maturity, zjistíme že průměrně je změna ve všech předmětech k horšímu (maturitní známka je horší). Nejvýraznější je rozdíl opět u ZSV a zeměpisu, kde je rozdíl téměř půl stupně. V těchto předmětech je také vysoký podíl „špatných známek“ (4 nebo 5), průměrně takovou známku dostane každý šestý. U matematiky je podíl lidí se „špatnou známkou“ ještě vyšší (každý pátý), u ní však více než polovina studentů získá hodnocení výborné (jednička). Vysoký podíl výborných hodnocení se vyskytuje také ve fyzice a dějepisu (již popsaný důvod), dále také v chemii (která má i přes velký počet maturujících nízkou průměrnou známku a nízký počet „špatných známek“) a českém jazyce. 4.4.1 Razantní zhoršení u maturity U 12 studentů z 98 (maturitní ročníky 2020 a 2021) se v některém z předmětů projevil významný propad (rozdíl dvou stupňů a více) mezi posledním vysvědčením a maturitou (u některých ve více předmětech). Tento jev by mohl být způsoben velkým rozdílem v obtížnosti získání dobrého hodnocení v průběhu studia a u maturity. Zatímco testy v průběhu roku se týkají pouze omezeného rozsahu učiva, u maturity se student musí naučit veškerou látku probranou za čtyři roky střední školy. Vícero z těchto studentů sdílelo společný jev zvýšené absence v posledním ročníku. U šesti z nich nastal tento propad v zeměpisu a všichni hodnotili zájem o předmět maximálně 6 (na stupnici od 1 do10, průměrné hodnocení 4,5). Dalším častým společným jevem je horší prospěch u ostatních předmětů. Propad v humanitních předmětech nastal u deseti studentů, v osmi z těchto případů byl prospěch v přírodovědných předmětech výrazně horší než v humanitních. Například průměrná známka z matematiky u studentů, u kterých nastalo „razantní zhoršení“ je 2,96 (v posledním ročníku). Razantní zlepšení nastalo (zlepšení o 2 nebo více stupňů) nastalo mezi všemi studenty maturujícími v letech 2020 a 2021 pouze dvakrát. 4.5 Testování hypotéz V této kapitole ověřím pomocí metodiky popsané v kapitole 1.7 nejzajímavější domněnky získané na základě pozorovaných korelací z minulé kapitoly. Budu formulovat a ověřovat hypotézy o existenci korelace u dvou náhodných veličin, abych mohl rozhodnout, zda existuje mezi dvěma testovanými náhodnými veličinami významná závislost. V tomto statistickém testu nulová hypotéza vždy H0 představuje tvrzení, že mezi vstupními veličinami neexistuje žádná významná závislost (H_0: r=0), alternativní hypotéza H1 představuje tvrzení, že mezi vstupními veličinami závislost existuje (H_1: r≠0 ).23 Jelikož naše údaje nejsou data z celé populace, ale jedná se pouze o výběrový soubor, tak si nikdy nemůžeme být absolutně jistí, že hodnota korelačního koeficientu celého souboru není rovna nule. Mohlo se stát, že jsme náhodou vybrali soubor, ve kterém se korelace ukazuje i když v celé populaci být nemusí. Proto si volíme hladinu významnosti α, na které budeme situaci zkoumat. Tato hodnota určuje, jakou pravděpodobnost chyby I. druhu jsme ochotni riskovat, viz kapitola 1.7.1. Na základě zvolené hladiny významnosti poté vypočítáme kritické hodnoty Pearsonova korelačního koeficientu. Pokud poté korelační koeficient mezi zkoumanými veličinami překročí tuto kritickou mez, můžeme zamítnout nulovou hypotézu a říct, že existuje významná závislost. Kritickou mez vyčteme podobně jako u z-skóre z tabulky na základě počtu stupňů volnosti (počet statistických jednotek výběru) a hladiny významnosti α. Obrázek 22 Tabulkové hodnoty pro testování vzájemné závislosti dvou veličin Tuto tabulkovou hodnotu poté porovnáme s vypočtenou hodnotou k souboru dat zkoumaných veličin z stupňů volnosti (jejich počtu) a Pearsonova korelačního koeficientu. p=r⋅√((n-2)/(1-r^2 )) Rovnice 13: vzorec pro výpočet hodnoty k testování vzájemné závislosti dvou veličin Pokud bude tato hodnota vyšší než tabulková, můžeme zamítnout nulovou hypotézu (že mezi zkoumanými veličinami není žádná vzájemná souvislost). V opačném případě musíme nulovou hypotézu přijmout. Zlomovou hodnota P. k. koeficientu zjistíme vyjádřením r z rovnice č.19: r=√(p/(n+p^2-2)) Rovnice 14: vzorec pro výpočet kritické hodnoty P. k. koeficientu Pro hladinu významnosti α=0,01 a 212 stupňů volnosti (počet studentů) je kritická mez (z tabulky - obr. 11) 2,326 < p < 2.358 a r=0,16 Pro α=0,05; r=0,11 a pro hodnotu α=0,001; r=0,21 Tedy pokud bude korelační koeficient mezi veličinami větší než 0,16 je mezi veličinami na hladině významnosti α=0,01 statisticky významná závislost. 4.5.1 Vlastní hypotézy Budu testovat následující hypotézy o existenci korelace mezi veličinami: 1) Množství času věnovaného školní přípravě k matematice a výsledná známka. 2) Množství času věnovaného školní přípravě k matematice a výsledek v testu. 3) Množství času věnovaného matematice (mimo školně) a výsledek v testu. 4) Zájem o zeměpis a výsledná známka ze zeměpisu. 5) Dávání pozor při hodinách ZSV a výsledná známka. 6) Dávání pozor při hodinách fyziky a výsledná známka. 7) Množství zameškaných hodin a výsledná průměrná známka. Jelikož počet stupňů volnosti i hladina významnosti α (zvolil jsem hodnotu 0,01) je u všech hypotéz stejná, tak se postup zjednoduší na porovnání korelačního koeficientu s hodnotou 0,16 (vypočítáno výše). U hypotéz, u kterých je korelační koeficient r<0,16, musíme přijmout nulovou hypotézu, že mezi veličinami není významná závislost. V následujících bodech 1-7 okomentuji výsledky testování hypotéz 1-7: 1) Na hladině významnosti α=0,01 můžeme říct, že existuje korelace mezi množstvím času věnovaného školní přípravě k matematice a výsledné známce. Korelační koeficient r = 0,17, tedy pokud bychom si zvolili přísnější α, tak bychom museli přijmout nulovou hypotézu. 2) Absolutní hodnota |r|>0,16 (r=-0,28), tedy existuje korelace. Záporné znamínko však znamená, že čím více se studenti věnují domácí přípravě do školy k matematice, tím horší měli výsledné skóre ze souhrnného testu bez přípravy. Není to však zřejmě způsobené tím, že by učení se matematice mělo negativní vliv na matematické dovednosti studentů. Nejpravděpodobnější vysvětlení je takové, že ti, kteří dosáhli dobrých výsledků v srovnávacím testu z matematiky, mají většinou dobré matematické dovednosti, a tak se školní látku téměř neučí. 3) Existuje korelace mezi množstvím času věnovaného matematice (mimoškolně) a výsledku v testu. r=0,44>0,16 4) Přijímáme nulovou hypotézu – tj. neexistuje korelace mezi zájmem studenta o zeměpis a jeho výslednou známkou. |r|=0,05<0,16 5) Přijímáme nulovou hypotézu – neexistuje korelace mezi tím, jestli student dává pozor při hodinách ZSV a jeho výslednou známkou. |r|=0,04<0,16 6) Odmítáme nulovou hypotézu – existuje korelace mezi tím, jestli student dává pozor při hodinách fyziky a jeho výslednou známkou. |r|=0,34>0,16 7) Odmítáme nulovou hypotézu – existuje korelace mezi množstvím zameškaných hodin a průměrnou známkou na vysvědčení. |r|=0,208>0,16 (na hladině významnosti α=0,001 by tato závislost nebyla statisticky významná) 4.6 Strojové učení a předpovídání výsledků K této části byl vytvořen program, který na základě známek současných studentů z minulých let a dalších o nich získaných datech (zájem o předmět, sebehodnocení – rozumím předmětu, hodnocení učitelem a počtu zameškaných hodin) předpovídá jejich další známku na vysvědčení. Model (program) k tomuto účelu byl vytvořen v programovacím jazyce Python za pomoci již naprogramovaných knihoven (zejména Scikit-learn implementující právě modely strojového učení). Nejobtížnější částí bylo převedení dat do kompaktní homogenní podoby, kvůli různému počtu dosavadních známek u každé třídy. Také bylo potřeba vypořádat se s chybějícími údaji u některých kategorií a studentů. Nejprve byl model otestován na známých datech k ověření úspěšnosti. Predikce byla přesná v 62 % procentech případů, téměř v 95 % případů nebyla chyba větší než 5 %. Obrázek 23 Výpis z konzole – výsledky ověřování úspěšnosti V rámci této práce byly také programem vytvořeny skutečné predikce známek u skutečných studentů na pololetní vysvědčení ve školním roce 2021/2022. Dále program vytvořil predikce výsledků u maturity. Předpovídat maturitní výsledky bylo z důvodu menšího množství dat náročnější než předpovídat známky na vysvědčení. Každý maturuje z jiných předmětů a například z fyziky za poslední dva roky maturovalo 9 studentů. Navíc k maturitě každý student přistupuje jinak a jistou úlohu u maturity sehraje i náhoda (vylosování otázky). Proto tyto předpovědi nebudou s největší pravděpodobností tak přesné. | |
| identifikátor čj ZSV děj zem mat fyz che bio dovmoáa 1.0 1.0 1.0 1.0 3.0 2.0 2.0 3.0 hiumoáo 1.0 1.0 2.0 2.0 3.0 3.0 1.0 1.0 chaahíí 1.0 1.0 1.0 1.0 3.0 3.0 1.0 1.0 jtAAtoo 2.0 3.0 2.0 2.0 3.0 3.0 3.0 3.0 lsptiri 2.0 3.0 3.0 1.0 2.0 4.0 3.0 2.0 Tabulka 8 Predikce známek na vysvědčení pro prvních 5 studentů Obě tyto predikce byly vyexpedované do dokumentu (ve formátu xlsx), který byl předán konzultantovi práce Mgr. Martinovi Krynickému. V pololetí školního roku 2021/2022 tak již bylo možné ověřit úspěšnost predikcí známek se skutečnými známkami na pololetním vysvědčení. Ověření úspěšnosti predikcí maturitních vysvědčení bude možné provést po maturitních zkouškách v květnu 2022. Predikce známek na pololetních vysvědčení byla přesná v 45 % případů a v 85 % byl rozdíl maximálně jednoho stupně. Model měl tendenci studenty přeceňovat, v téměř polovině případů předpověděl lepší známku, než byla skutečná výsledná známka. Obrázek 24 Výpis z konzole –ověřování úspěšnosti předpovědí pololetních vysvědčení (predikce – skutečnost) Nejvíce chyb se model dopustil v matematice, fyzice a biologii, v těchto předmětech byla úspěšnost kolem „pouhých“ 35 %. Počet případů, ve kterých byla předpověď pro známku ve fyzice správná byl stejný jako počet přecenění o jeden stupeň. V biologii model předpovídal lepší známku ve více než polovině případů. Jedním z možných vysvětlení tohoto jevu je, že velkou část školního roku 2020/2021 a druhé pololetí roku 2019/2020 byla distanční výuka. Testy i zkoušení tak probíhaly online z domova, a tak se častěji objevovalo podvádění při testu, které bylo z domova velmi jednoduché. Toto vedlo k značnému zlepšení známek většiny studentů na vysvědčeních v tomto období. Látky bylo také celkově méně a hodnotila se i aktivita v hodinách a snaha, nejen výsledky testů a zkoušení jako při prezenční výuce. Ve většině předmětů se po návratu k prezenční výuce také musela zopakovat látka probraná právě v distanční výuce a k tomu ještě určená látka pro daný ročník. V kontrastu s distanční výukou, ve které byla snaha učivo zjednodušovat tak bylo první pololetí po plném návratu k prezenční výuce pro mnoho studentů velmi náročné. Model dává vyšší váhu známkám z nedávných vysvědčení než známkám z prvních vysvědčení na škole. Proto model dále předpovídal lepší známky i po návratu do prezenční výuky v školním roce 2021/2022. Ve skutečnosti se známky po návratu z distanční výuky u většiny studentů zhoršily. Nejvíce se tento jev projevil právě v předmětech jako matematika, fyzika a biologie. Například v biologii byla průměrná známka před začátkem distanční výuky 1,7, během distanční výuky se známka průměrně zlepšila na 1,53 a po návratu z distanční výuky se opět zhoršila na 1,96. | |
| Závěr V první části této práce jsem se věnoval potřebné teorii k dalšímu zpracování získaných dat, upřesnil jsem názvosloví a často používaná grafická znázornění. Dále jsem popsal samotný proces získávání dat a vytvoření souhrnných testů k ověření úrovně vědomostí studentů. Nejdůležitější částí této práce je poslední 4. kapitola, ve které jsem publikoval samotné výsledky mého zkoumání. Data byla získána od 8 tříd z Gymnázia Třeboň (celkem od 215 studentů a od 18 učitelů). Studenti absolvovali 8 testů z „hlavních“ předmětů a dále vyplnili sebehodnotící dotazník, zabývající se zájmem studentů o daný předmět, jejich subjektivním pocitem, jak předmět zvládají, a dále množstvím času věnovaného učivu ve škole i mimo ni. Od učitelů jsem získal hodnocení na každého žáka v jejich předmětu. Od školy se podařilo získat známky a další údaje, např. absenci v jednotlivých pololetích. Veškeré údaje byly anonymizovány, aby nedošlo k úniku citlivých údajů. V úvodu práce bylo položeno mnoho otázek, na které jsem hledal odpovědi, ale v průběhu zpracování dat se objevilo mnoho dalších zajímavých souvislostí, např. při souhrnném porovnávání dotazníků a výsledků testů po jednotlivých třídách se ukázalo, že studenti osmiletého gymnázia získali v průměru o 13 % více bodů než studenti gymnázia čtyřletého. Velká část 4. kapitoly se zabývala porovnáním studijních výstupů chlapců a dívek. Potvrdilo se, že v některých předmětech vynikají chlapci (technické předměty – matematika, fyzika a dále zeměpis, základy společenských věd a dějepis). Dívky naopak dosahovaly lepších výsledků v biologii, chemii a českém jazyce. O tyto předměty dívky projevily značně vyšší zájem než chlapci. I přes lepší výsledek chlapců v pěti z osmi testů mají dívky bez výjimky lepší známky, a to hlavně kvůli větší píli a domácí přípravě (kvantifikováno pomocí dotazníků). Dívky v průměru školnímu učivu věnují o 35 % více času než chlapci. Za pomoci statistického postupu testování hypotéz se podařilo potvrdit 5 ze 7 zkoumaných hypotéz. Nejdůležitější výsledky lze shrnout následovně: • Studenti dosahují lepších výsledků v předmětech, které je zajímají. • Studenti mají lepší známky v předmětech, kterým věnují čas při domácí přípravě. • Existuje závislost mezi výslednými známkami a počtem zameškaných hodin (větší absence odpovídá horším známkám). Významnou součástí práce je program, který pomocí strojového učení předpovídá výsledné známky na vysvědčení (či u maturity). To se děje na základě známek z přechozích let a ostatních údajů získaných o studentech. Úspěšnost predikcí známek na pololetním vysvědčení ve školním roce 2021/2022 byla přibližně 45 % (tj. úplné shody predikované známky a skutečného výsledku je dosaženo v 60 % případů) a u 85 % studentů je chyba maximálně jednoho stupně. Ve 43 % případů model predikoval lepší známku, než byla skutečná, to pravděpodobně souvisí s tím, že známky většiny studentů byly v distanční výuce lepší, než před ní nebo po ní. Při testování hypotéz i ve strojovém učení je velmi důležitá velikost souboru, se kterým pracujeme. Domnívám se proto, že by mohlo být přínosné provést podobný výzkum s více daty sesbíranými z více škol. Takový výzkum by mohl odhalit další skryté souvislosti. Dalším prostorem pro zlepšení je využití pokročilejších programů určených přímo k statistickému zpracování dat, např. programovacího jazyka R. Zajímavé by také bylo sledovat další studijní výsledky stejných studentů i dále na vysokých školách. Tato práce potvrdila řadu domněnek o studentech a jejich studijních výstupech, avšak poukázala i na drobné problémy našeho školského systému. Studenti se často učí pouze za účelem získání lepší výsledné známky. Při vypracovávání testů bez přípravy s nimi mnohdy mají problémy a úspěšnější se stávají studenti, kteří se zaměřují více na předmět jako celek. Tento jev se projevuje hlavně u matematiky a fyziky. Mnoho studentů má problém s maturitní zkouškou a stává se, že student, který měl v průběhu studia dobrý prospěch u maturity dostane výrazně horší známku. To je způsobeno velkým rozdílem v náročnosti získání dobrého hodnocení v průběhu studia a u maturity. Studenti přípravu na maturitu často podceňují, a to hlavně v zeměpisu a základech společenských věd, které berou jako „jednoduché“ předměty. Dále se v datech ukázala poměrně nízká korelace mezi procentem času pozornosti v hodinách a výslednou známkou. Konkrétně vyšla pro přírodovědné předměty korelace r=0,38 a pro humanitní předměty r=0,07, což podle tabulky č. 1 představuje slabou (nepoužitelnou) závislost. Na úplný závěr podotknu, že práce pro mě byla velkým přínosem, jelikož statistika a její postupy (testování hypotéz) ani strojové učení se v ČR na středních školách téměř neprobírají. Velmi cennou zkušeností byl pro mě i samotný proces přípravy dotazníků a vytvoření testů. Bylo zapotřebí komunikace s vedením školy a také se samotnými učiteli a předsedy předmětových komisí. Všichni byli velmi ochotní a ve všem mi vyšli vstříc. | |
| Použité zdroje Literatura HUFF, Darrel, Jak lhát se statistikou, Praha 2013 BIBLE, Nový zákon – Gedeonské cestovní vydání, Praha 2008 PRÁŠILOVÁ, Alžběta, Zpracování dat v R-studiu, Třeboň 2018 závěrečná práce Gymnázia Třeboň Internetové zdroje BERKOVCOVÁ, Helena, Učební text ze statistiky pro studenty kombinovaného studia obchodních akademií, Brno 2011 (diplomová práce přírodovědecké fakulty Masarykovy), s. 1. HOLČÍK, Jiří, KOMENDA, Martin a kol., Matematická biologie: e-learningová učebnice, https://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=aplikovana-analyza-klinickych-a-biologickych-dat--biostatistika-pro-matematickou-biologii--uvod-do-testovani-hypotez--nulova-hypoteza/, staženo 9. 12. 2021. HONZÍK, Petr, Strojové učení, FEKT Vysokého učení technického v Brně 2006, s. 8 Charakteristika variability, https://cit.vfu.cz/statpotr/POTR/Teorie/Predn1/variabil.htm, staženo 15.12.2021 CHRÁSKA, Miroslav, Základy výzkumu v pedagogice, Olomouc 1998, s. 201 New world encyclopedia, Census, https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Census, staženo 15.12.2021 PAPÁČKOVÁ, Marie Guadalupe, Hudba a matematika, Třeboň 2018 závěrečná práce Gymnázia Třeboň PELIKÁN, Jiří, Základy empirického výzkumu pedagogických jevů, Praha 1998, s 44. PRŮCHA, Ladislav, Popisná statistika, http://home.zcu.cz/~potmesil/Skripta%20-%20Pravdepodobnost%20Statistika/Prucha%20CVUT%20Praha/7%20popisne%20statistiky_Prucha.pdf, staženo 15.12.2021 PRYOR Stefan, Connecticut school health survey youth risk behavior report, https://portal.ct.gov/-/media/Departments-and-gencies/DPH/CSHS/YBC2011ReportForWebpdf.pdf, staženo 22.11. 2021 Spurious correlations, https://www.tylervigen.com/spurious-correlations, staženo 22.11.2021, staženo 9.12. 2021. TODD Brenda K., Preferences for ‘Gender-typed’ Toys in Boys and Girls Aged 9 to 32 Months 2016, https://doi.org/10.1002/icd.1986, staženo 19.12 2021 TUŘIČOVÁ Marie, Náhodná veličina a její rozdělení 2020, https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~turcic/nahodna_velicina_a_rozdeleni.pdf, staženo 15.12. 2021 VALÁŠEK Marek, Statistika 1 - Popisná statistika, https://mathematicator.com/kurz/statistika-1-popisna-statistika, staženo 9.12. 2021 Wikipedia, Korelační diagram, https://cs.wikipedia.org/wiki/Korela%C4%8Dn%C3%AD_diagram, staženo 22.11. 2021 Wikipedia, Statistika, https://cs.wikipedia.org/wiki/Statistika, staženo 15.12.2021 | |
| Seznam obrázků Obrázek 1 Normální rozdělení 12 Obrázek 2 Příklady dat s různými hodnotami P. k. koeficientu 14 Obrázek 3 Falešná korelace 16 Obrázek 4 Fáze strojového učení s učitelem 20 Obrázek 5 Schéma strojového učení 21 Obrázek 7 Otázka v testu z fyziky 24 Obrázek 8 Popis hodnot v dotazníku pro učitele 27 Obrázek 9 Průměrné výsledky testů 28 Obrázek 10 Dotazník – zájem o předmět 29 Obrázek 11 Sebehodnocení souhrnné 30 Obrázek 12 Porovnání zájmu o předmět dívky/chlapci 31 Obrázek 13 Vývoj absence chlapci/dívky 32 Obrázek 14 Vývoj známek chlapci/dívky 33 Obrázek 15 Vývoj známek v čj. chlapci/dívky 34 Obrázek 16 Vývoj známek z matematiky chlapci/dívky 34 Obrázek 17 Čas věnovaný školním povinnostem za týden chlapci/dívky 35 Obrázek 18 Čas věnovaný mimoškolním aktivitám za týden chlapci/dívky 36 Obrázek 19 Korelace zisku bodů a ostatních údajů 37 Obrázek 20 Korelace známek a ostatních údajů u přírodovědných předmětů 38 Obrázek 21 Korelace známek a ostatních údajů humanitní předměty 39 Obrázek 22 Tabulkové hodnoty pro testování vzájemné závislosti dvou veličin 43 Obrázek 23 Výpis z konzole – výsledky ověřování úspěšnosti 45 Obrázek 24 Výpis z konzole –ověřování úspěšnosti předpovědí pololetních vysvědčení (predikce – skutečnost) 46 | |
| Seznam tabulek Tabulka 1 Percentily pro hodnoty skóre z 13 Tabulka 2 Interpretace hodnot Personova korelačního koeficientu 14 Tabulka 3 Možné výsledky rozhodovacího procesu při testování statistických hypotéz. 17 Tabulka 4 Možné výsledky rozhodovacího procesu a jejich příslušné pravděpodobnosti. 18 Tabulka 5 Korelační koeficienty mezi známkami z přírodovědných předmětů 40 Tabulka 6 Korelační koeficienty mezi známkami z humanitních předmětů 40 Tabulka 7 Maturita po jednotlivých předmětech 41 Tabulka 9 Predikce známek v jednotlivých předmětech 47 Seznam rovnic Rovnice 1: vzorec pro aritmetický průměr 9 Rovnice 2: variační rozpětí 10 Rovnice 3: mezikvartilové rozpětí 10 Rovnice 4: vzorec pro průměrnou absolutní odchylku 10 Rovnice 5: vzorec pro rozptyl 11 Rovnice 6: vzorec pro rozptyl výběrového souboru 11 Rovnice 7: vzorec pro směrodatnou odchylku výběrového souboru 11 Rovnice 8: vzorec pro směrodatnou odchylku 11 Rovnice 9: vzorec pro variační koeficient 11 Rovnice 10: funkční předpis Gaussovy křivky 12 Rovnice 11: vzorec skóre z 13 Rovnice 12: Pearsonův korelační koeficient 14 Rovnice 13: vzorec pro výpočet hodnoty k testování vzájemné závislosti dvou veličin 43 Rovnice 14: vzorec pro výpočet kritické hodnoty P. k. koeficientu 43 1 PAPÁČKOVÁ, Marie Guadalupe, Hudba a matematika, Třeboň 2018 (závěrečná práce Gymnázia Třeboň), s. 32. 2 New world encyclopedia, Census, https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Census, staženo 15.12.2021 3 Bible, Nový zákon, Praha 2008, (Lk 2, 1-3), s. 96 4 Wikipedia, Statistika, https://cs.wikipedia.org/wiki/Statistika, staženo 15.12.2021 5 BERKOVCOVÁ, Helena, Učební text ze statistiky pro studenty kombinovaného studia obchodních akademií, Brno 2011 (diplomová práce přírodovědecké fakulty Masarykovy), s. 1. 6 VALÁŠEK Marek, Statistika 1 - Popisná statistika, https://mathematicator.com/kurz/statistika-1-popisna-statistika, staženo 9.12. 2021 7TURČIČOVÁ Marie, Náhodná veličina a její rozdělení 2020, https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~turcic/nahodna_velicina_a_rozdeleni.pdf, staženo 15.12. 2021https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~turcic/nahodna_velicina_a_rozdeleni.pdf, staženo 9. 12. 2021. 8 PRŮCHA, Ladislav, Popisná statistika, http://home.zcu.cz/~potmesil/Skripta%20-%20Pravdepodobnost%20Statistika/Prucha%20CVUT%20Praha/7%20popisne%20statistiky_Prucha.pdf, staženo 15.12.2021 9 PRŮCHA Ladislav, Popisná statistika, s. 116-120 10 HOLČÍK, Jiří, KOMENDA, Martin a kol., Popis a vizualizace kvantitativních dat, Matematická biologie: e-learningová učebnice, https://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=aplikovana-analyza-klinickych-a-biologickych-dat--biostatistika-pro-matematickou-biologii--data-jejich-popis-a-vizualizace--vyznam-popisu-a-vizualizace-dat--popis-a-vizualizace-kvantitativnich-dat, staženo 16.12. 2021 11 Charakteristika variability, https://cit.vfu.cz/statpotr/POTR/Teorie/Predn1/variabil.htm, staženo 15.12.2021 12 CHRÁSKA, Miroslav, Základy výzkumu v pedagogice, Olomouc 1998, s. 201 13Commissioner Stefan Pryor, CONNECTICUT SCHOOL HEALTH SURVEY YOUTH RISK BEHAVIOR REPORT, https://portal.ct.gov/-/media/Departments-and-Agencies/DPH/CSHS/YBC2011ReportForWebpdf.pdf, staženo 22.11. 2021 14 HUFF, Darrel, Jak lhát se statistikou, Praha 2013 15 Spurious correlations, https://www.tylervigen.com/spurious-correlations, staženo 22.11.2021 16 PELIKÁN, Jiří, Základy empirického výzkumu pedagogických jevů, Praha 1998, s 44. 17 HOLČÍK, Jiří, KOMENDA, Martin a kol., Matematická biologie: e-learningová učebnice, Testování hypotéz 18 PRÁŠILOVÁ, Alžběta, Zpracování dat v R-Studiu, Třeboň 2018 (závěrečná práce Gymnázia Třeboň), s. 15-16. 19 HONZÍK, Petr, Strojové učení, FEKT Vysokého učení technického v Brně 2006, s. 8 20 HONZÍK, Petr, Strojové učení, s. 9 21 PAPÁČKOVÁ, Marie Guadalupe, Hudba a matematika, Třeboň 2018 (závěrečná práce Gymnázia Třeboň), s. 32. 22 Brenda K. TODD, TODD Brenda K., Preferences for ‘Gender-typed’ Toys in Boys and Girls Aged 9 to 32 Months, University of London 2016, https://doi.org/10.1002/icd.1986, staženo 19.12 2021 23 HOLČÍK, Jiří, KOMENDA, Martin a kol., Nulová hypotéza, Matematická biologie: e-learningová učebnice, s. 42 [J1]Raději bych nepoužívala zkrácené citace, zas tolik jich tu nemáš, aby to výrazně prodlužovalo text. --------------- ------------------------------------------------------------ --------------- ------------------------------------------------------------ 49 |