task_id int64 1 20 | task stringlengths 70 498 | solution stringlengths 273 2.02k | answer stringlengths 0 205 | type stringclasses 9
values |
|---|---|---|---|---|
1 | Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $n$, dla których istnieją takie liczby $s_1, s_2, \dots, s_n \in \{-1, 1\}$, że $1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + \dots + n \cdot s_n = 0$. | Na początek zauważmy, że gdy $n$ jest postaci $4k + 1$ lub $4k + 2$ dla pewnego całkowitego $k$, to dla dowolnego wyboru liczb $s_1, s_2, \dots, s_n$ w sumie $1 \cdot s_1 + 2 \cdot s_2 + \dots + n \cdot s_n$ występuje dokładnie $2k + 1$ nieparzystych składników, wobec czego cała suma jest liczbą nieparzystą. Liczby $n$... | \boxed{iczby $n$ postaci $4k + 3$ i $4k + 4$ dla $k = 0, 1, 2, 3, \dots$} | teoria liczb |
2 | Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $(a, b, c)$ spełniające układ równań:
\[
a^2 + 4ab + b^2 = 1
\]
\[
b^2 + 4bc + c^2 = 1
\]
\[
c^2 + 4ca + a^2 = -2
\] | Porównując lewe strony pierwszego i drugiego równania otrzymujemy $a^2 + 4ab = 4bc + c^2$, skąd $0 = a^2 - c^2 + 4ab - 4bc = (a - c)(a + c + 4b)$. Jeśli $a - c = 0$, to $a = c$ i trzecie równanie przyjmuje postać $6a^2 = -2$. To jest sprzeczność, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. W takim razie $a - c ... | \boxed{(a, b, c) = (1, 0, -1)$ i $(a, b, c) = (-1, 0, 1)$} | algebra |
3 | Wyznaczyć wszystkie pary dodatnich liczb całkowitych $(m, n)$, dla których w każde pole nieskończonej szachownicy można wpisać liczby z $A = \{1, 2, \dots, mn\}$ tak, że w każdym prostokącie $m \times n$ lub $n \times m$ każda liczba występuje dokładnie raz. | Załóżmy, że udało się wpisać liczby w żądany sposób. Pole $(x, y)$ to pole w $x$-tej kolumnie i $y$-tym rzędzie. Rozważamy prostokąty $m \times n$ i $n \times m$ przesunięte o 1 kolumnę/wiersz. Jeśli żadna liczba $m, n$ nie dzieli drugiej, dochodzimy do sprzeczności, pokazując, że liczba $k$ powtarza się w prostokącie ... | \boxed{Pary $(m, n)$, dla których $m$ dzieli $n$ lub $n$ dzieli $m$.} | teoria liczb |
4 | Rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych, których nie można przedstawić w postaci $n^2 + p$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą, a $p$ liczbą pierwszą. | Dla dowolnej nieparzystej liczby $a \ge 3$ liczby $\left(\frac{3a+1}{2}\right)^2$ nie mogą być przedstawione w postaci $n^2 + p$. Przypuśćmy nie wprost, że $\left(\frac{3a+1}{2}\right)^2 = n^2 + p$ dla pewnego $n$ całkowitego i liczby pierwszej $p$. Możemy przyjąć $n \ge 0$. Wówczas
\[
p = \left(\frac{3a+1}{2}\right)... | \boxed{Tak, istnieje nieskończenie wiele takich liczb, np. $\left(\frac{3a+1}{2}\right)^2$ dla każdej nieparzystej liczby $a \ge 3$.} | teoria liczb |
5 | Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych zachodzi nierówność
\[
\sqrt{\frac{ab^2}{b+c}} + \sqrt{\frac{bc^2}{c+a}} + \sqrt{\frac{ca^2}{a+b}} \le \frac{1}{2} \sqrt{(a+b+c)^4 - (a^2+b^2+c^2)^2}
\] | Sposób 1: Oznaczmy lewą stronę przez $L$ i prawą przez $P$. $L^2 = A + 2B$, gdzie
\[
A = \frac{ab^2}{b+c} + \frac{bc^2}{c+a} + \frac{ca^2}{a+b}
\]
\[
B = \frac{ab^3c^2}{(b+c)(c+a)} + \frac{bc^3a^2}{(c+a)(a+b)} + \frac{ca^3b^2}{(a+b)(b+c)}
\]
$P^2 = \frac{1}{4} ((a+b+c)^2)^2 - (a^2+b^2+c^2)^2 = A + C + D$, gdzie
\... | algebra | |
6 | Dana jest liczba całkowita $n > 2$. Dodatnie liczby rzeczywiste $a_1, \dots, a_n$ spełniają równość $a_1^2 + \dots + a_n^2 = n$. Oznaczmy przez $A$ zbiór indeksów $i$, dla których $a_i > 2$. Udowodnić, że
\[
n \cdot \sum_{i \in A} a_i^2 + 4 \cdot \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 \le 4n^2
\] | Sposób 1: Skorzystano z nierówności między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną. Jeśli $A$ jest puste, nierówność redukuje się do klasycznej nierówności QM-AM. Dla niepustego $A$ oznaczono $B = \{i: a_i < 2\}$, $x = \sqrt{\sum_{i \in A} a_i^2 / k}$, $y = \sqrt{\sum_{i \in B} a_i^2 / l}$, $k = |A|$, $l = |B|$. Wyzn... | algebra | |
7 | Gra w $(n, k)$-kamienie rozgrywana jest na prostokątnej planszy z $n$ pól w rzędzie. Na początku na $k$-tym polu stoi kamień, pozostałe pola są puste. W każdej turze na każdym kamieniu stawiamy kropkę, następnie kładziemy kamień (bez kropki) na każdym polu sąsiadującym z dokładnie jednym polem z kropką, a na końcu zdej... | Analiza gry pokazuje, że po każdej turze wszystkie kamienie znajdują się na polach tej samej parzystości i parzystość zmienia się każdą turą. Stan gry można przedstawić jako ciąg zero-jedynkowy, a ruchy jako przekształcenia modulo 2. Z indukcji i analizy parzystości wynika, że gra kończy się porażką wtedy i tylko wtedy... | \boxed{szystkie pary dodatnich liczb całkowitych $(n, k)$, dla których gra w $(n, k)$-kamienie nigdy się nie kończy porażką, to te, dla których $n + 1$ nie jest potęgą dwójki, a $k \in \{1, 2, \dots, n\}$. | kombinatoryka |
8 | Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite $b$ o następującej własności: istnieją takie dodatnie liczby całkowite $a, k, \ell$, że liczby $a^k + b^\ell$ i $a^\ell + b^k$ są podzielne przez $b^{k+\ell}$, przy czym $k
eq \ell$. | Analiza zadania pokazuje, że jedyną możliwą wartością $b$ jest 1. Dla $b = 1$ warunki są spełnione dla dowolnego wyboru $a, k, \ell$. Dowód: Zakładając $k > \ell$, z podzielności wynika, że $b^k$ dzieli $b^\ell$, co jest możliwe tylko gdy $b = 1$. Alternatywnie, analizując rozkład na czynniki pierwsze dowolnej liczby $... | null | |
9 | Dana jest liczba całkowita $n \ge 2$. Po polach planszy $n \times n$ porusza się ołowiany żołnierzyk, rozpoczynając swój spacer od narożnego pola. Przed wykonaniem kroku na kolejne (sąsiednie) pole, żołnierzyk może (ale nie musi) wykonać zwrot w prawo lub w lewo. Wyznaczyć najmniejszą liczbę zwrotów, jakie żołnierzyk m... | Minimalna liczba zwrotów, jakie musi wykonać żołnierzyk, wynosi $2n - 2$. Dowód: Jeśli żołnierzyk wykona mniej niż $2n - 2$ zwrotów, to istnieje co najmniej jedno pole, którego nie odwiedzi. Natomiast można skonstruować trasę, w której żołnierzyk odwiedza wszystkie pola, wykonując dokładnie $2n - 2$ zwroty – np. porusz... | \boxed{2n - 2}$ | null |
10 | Dane są liczby całkowite $k, n$ oraz liczba rzeczywista $\ell$, przy czym $k \ge 1$ i $n \ge 1$. Dane są też parami różne dodatnie liczby rzeczywiste $a_1, a_2, \dots, a_k$. Oznaczmy $S = \{a_1, a_2, \dots, a_k, -a_1, -a_2, \dots, -a_k\}$. Niech $A$ będzie liczbą rozwiązań równania $x_1 + x_2 + \dots + x_{2n} = 0$, gdz... | Niech $R(m, t)$ oznacza równanie $x_1 + x_2 + \dots + x_m = t$, z $x_i \in S$. Dla $t \in T$ (zbioru wszystkich sum $n$-elementowych podciągów), liczba rozwiązań $R(n, t) = R(n, -t)$. Oznaczmy tę liczbę przez $C_t$. Każde rozwiązanie $R(2n, 0)$ można podzielić na pierwsze $n$ elementów sumujących się do $t$ i drugie $n... | null | |
11 | Dane są takie parami różne liczby rzeczywiste $a, b, c, d, e$, że:
\[
ab + b = ac + a
\]
\[
bc + c = bd + b
\]
\[
cd + d = ce + c
\]
\[
de + e = da + d
\]
Udowodnić, że $abcde = 1$. | Zakładamy, że żaden z parametrów nie prowadzi do sprzeczności z założeniem o ich różności. Przekształcamy równania do postaci: $b(a+1) = a(c+1)$, $c(b+1) = b(d+1)$, $d(c+1) = c(e+1)$, $e(d+1) = d(a+1)$. Mnożąc stronami wszystkie równania i skracając niezerowe czynniki, otrzymujemy $e(b+1) = a(e+1)$. Następnie zapisujem... | null | |
12 | W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą:
\[
N(t) = N_0 \cdot k^t \quad \text{dla} \quad t \ge 0
\]
gdzie $N_0$ – liczebność początkowa, $k$ – stała dodatnia, $t$ ... | Z danych mamy $N(0) = 10\,000$, więc $N_0 = 10\,000$. Dla $t=2$:
\[
15\,625 = 10\,000 \cdot k^2 \implies k^2 = 1{,}5625 \implies k = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25
\]
Stosunek liczebności po godzinie do liczebności początkowej wynosi $k = 1{,}25$, co oznacza wzrost o $25\%$. | \boxed{25} | analiza matematyczna |
13 | Rozwiąż nierówność: $|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| < -2$. Zapisz obliczenia. | Rozważamy trzy przypadki wynikające z miejsc zerowych modułów ($x = -3, x = 2$):
1. $x \in (-\infty, -3)$: $-(x-2) + 2(x+3) < -2 \implies x+8 < -2 \implies x < -10$. Przedział: $(-\infty, -10)$.
2. $x \in [-3, 2)$: $-(x-2) - 2(x+3) < -2 \implies -3x-4 < -2 \implies x > -2/3$. Przedział: $(-2/3, 2)$.
3. $x \in [2, \inf... | \boxed{ \in (-\infty, -10) \cup (-2/3, \infty)} | algebra |
14 | Dany jest okrąg o środku $S=(2, 3)$ i promieniu $r=5$. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia tego okręgu z prostą o równaniu $y = 2x - 1$. | Równanie okręgu to $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25$. Podstawiamy $y = 2x - 1$:
\[
(x-2)^2 + (2x-1-3)^2 = 25 \implies (x-2)^2 + (2x-4)^2 = 25
\]
\[
x^2 - 4x + 4 + 4x^2 - 16x + 16 = 25 \implies 5x^2 - 20x - 5 = 0 \implies x^2 - 4x - 1 = 0
\]
Obliczamy wyróżnik $\Delta = 16 + 4 = 20$. Pierwiastki to $x_1 = 2-\sqrt{5}$ oraz ... | \boxed{2-\sqrt{5}, 3-2\sqrt{5}) i (2+\sqrt{5}, 3+2\sqrt{5}) | geometria analityczna |
15 | Dany jest trapez $ABCD$, w którym $AB || CD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Pole trójkąta $ABE$ jest równe $25$, a pole trójkąta $CDE$ jest równe $9$. Oblicz pole trapezu $ABCD$. | Trójkąty $ABE$ i $CDE$ są podobne (kąty naprzemianległe). Skala podobieństwa $k = \sqrt{P_{ABE} / P_{CDE}} = \sqrt{25/9} = 5/3$. Pola trójkątów $ADE$ i $BCE$ są równe i wynoszą $\sqrt{P_{ABE} \cdot P_{CDE}} = \sqrt{25 \cdot 9} = 15$. Pole trapezu to suma pól czterech trójkątów: $25 + 9 + 15 + 15 = 64$. | \boxed{64} | geometria |
16 | Rozwiąż równanie: $\sin(2x) + \cos(x) = 0$ w przedziale $[-\pi, \pi]$. | Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: $2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \implies \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0$. Mamy dwa przypadki:
1. $\cos(x) = 0 \implies x \in \{-\pi/2, \pi/2\}$.
2. $\sin(x) = -1/2 \implies x \in \{-5\pi/6, -\pi/6, 7\pi/6, \dots\}$. W zadanym przedziale są to $-\pi/6$ oraz $-5\pi/6$. | \boxed{\pi/2, \pi/2, -\pi/6, -5\pi/6} | trygonometria |
17 | W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ dzieli bok $BC$ w stosunku $1:2$. Oblicz cosinus kąta $BAD$. | Przyjmijmy bok trójkąta $a=3$, wtedy $BD=1$ i $DC=2$. Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$:
\[
AD^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 9 + 1 - 3 = 7 \implies AD = \sqrt{7}
\]
Ponownie z twierdzenia cosinusów dla kąta $\alpha = \angle BAD$:
\[
1^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sq... | \boxed{\frac{5\sqrt{7}}{14}} | geometria |
18 | Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - (m-3)x + m = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek $x_1^2 + x_2^2 > 10$. | Warunki: 1) $\Delta > 0 \implies (m-3)^2 - 4m > 0 \implies m^2 - 10m + 9 > 0 \implies m \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.
2) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m-3)^2 - 2m > 10 \implies m^2 - 8m - 1 > 0$.
Rozwiązujemy nierówność kwadratową dla $m$ i wyznaczamy część wspólną z warunkiem na deltę. | \boxed{ \in (-\infty, 4-\sqrt{17}) \cup (9, \infty)} | algebra z parametrem |
19 | W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest równa $H$, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $\alpha$. Oblicz objętość ostrosłupa. | Niech $a$ będzie krawędzią podstawy. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa $H$, wysokość ściany bocznej $h_s$ i połowę boku podstawy $a/2$ mamy:
\[
\frac{H}{a/2} = \tan(\alpha) \implies a = \frac{2H}{\tan(\alpha)}
\]
Objętość $V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} \left(\frac{2H}{\tan(\alpha)}... | \boxed{\frac{4H^3}{3\tan^2(\alpha)}} | geometria przestrzenna |
20 | Rozważamy stożki o odległości środka podstawy od tworzącej równej $5$. Objętość $V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$ dla $h \in (5, \infty)$. Wyznacz $h$, dla którego objętość jest najmniejsza. | Obliczamy pochodną $V'(h)$:
\[
V'(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{3h^2(h^2-25) - h^3(2h)}{(h^2-25)^2} = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{h^4 - 75h^2}{(h^2-25)^2}
\]
$V'(h) = 0 \implies h^2(h^2 - 75) = 0$. Ponieważ $h > 5$, otrzymujemy $h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$. Analiza znaku pochodnej potwierdza, że jest to minimum l... | \boxed{\sqrt{3}} | analiza matematyczna |
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 7