Q stringlengths 0 980 | S stringlengths 56 5.48k | A stringlengths 8 16 |
|---|---|---|
<img src="/get_file?id=66720" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Через концы <i>A</i>, <i>B</i> дуги окружности в 62° проведены касательные <i>AC</i> и <i>BC</i>. Найдите угол <i>ACB</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги. В треугольнике <i>ABC:</i>$\angle ACB=180 градусов минус левая круглая скобка \angle BAC плюс \angle CBA правая круглая скобка =180 градусов минус \cup AB=180 градусов минус 62 градусов =118 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</... | Ответ: 118 |
<img src="/get_file?id=66720" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Касательные <i>CA</i> и <i>CB</i> к окружности образуют угол <i>ACB</i>, равный 122°. Найдите величину меньшей дуги <i>AB</i>, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>АВС</i> равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол <i>ВAC</i> равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · ... | Ответ: 58 |
<img src="/get_file?id=66716" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите угол <i>ACO</i>, если его сторона <i>CA</i> касается окружности, <i>O</i> — центр окружности, сторона <i>CO</i> пересекает окружность в точке <i>B</i>, дуга <i>АВ</i> окружности, заключённая внутри этого угла равна 64°. Ответ дайте в... | Касательная к окружности перпендикулярна радиусу; центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Следовательно, треугольник <i>OAC</i> прямоугольный и в нём$\angle ACO=90 градусов минус \angle AOC=90 градусов минус \cup AB=90 градусов минус 64 градусов =26 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</spa... | Ответ: 26 |
<img src="/get_file?id=66716" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>ACO</i> равен 28°, где <i>O</i> — центр окружности. Его сторона <i>CA</i> касается окружности. Найдите величину меньшей дуги <i>AB</i> окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. | Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, приведённому в точку касания. Поэтому треугольник <i>AOC</i> прямоугольный. Его острый угол <i>O</i> равен 90° − 28° = 62°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Поэтому он также равен 62°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 62. | Ответ: 62 |
<img src="/get_file?id=66717" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите угол <i>ACO</i>, если его сторона <i>CA</i> касается окружности, <i>O</i> — центр окружности, сторона <i>CO</i> пересекает окружность в точках <i>B</i> и <i>D</i>, а дуга <i>AD</i> окружности, заключенная внутри этого угла, равна 116... | Заметим, что <i>DB</i> — диаметр окружности, поэтому дуга <i>AB</i>, не содержащая точки <i>D</i>, равна 180° − 116° = 64°. На эту дугу опирается центральный угол <i>AOB</i>, поэтому он равен 64°. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательным, поэтому треугольник <i>AOC</i> прямоугольный. Тогда $\... | Ответ: 26 |
<img src="/get_file?id=66717" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>ACO</i> равен 24°. Его сторона <i>CA</i> касается окружности с центром в точке <i>О</i>. Сторона <i>CO</i> пересекает окружность в точках <i>B</i> и <i>D</i> (см. рис.). Найдите градусную меру дуги <i>AD</i> окружности, заключенной вн... | Заметим, что <i>DB</i> — диаметр окружности. Тогда точка <i>A</i> делит дугу <i>DB</i> на дуги <i>x</i> и 180° − <i>x</i>. Угол между двумя секущими (или между секущей и касательной) равен полуразности высекаемых ими дуг:$ дробь: числитель: x минус левая круглая скобка 180 градусов минус x правая круглая скобка , зна... | Ответ: 114 |
<img src="/get_file?id=113272" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника. | Площадь треугольника равна произведению его полупериметра (<i>p</i>) на радиус вписанной окружности (<i>r</i>):$S=pr=6 умножить на 1=6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=113273" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника. | Из формулы $S=pr,$ где <i>p</i> — полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности:$P= дробь: числитель: 2S, знаменатель: r конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 24, знаменатель: 2 конец дроби =24. $ <span style="letter-spacing:2px ... | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=113275" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь. | Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна <i>S</i>, полупериметр равен <i>p</i>, радиус окружности равен <i>R</i>. Тогда $S=Rp=3 умножить на дробь: числитель: 20, знаменатель: 2 конец дроби =30. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=113450" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6. | Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113449" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника. | Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру:$r= дробь: числитель: 2S_ABC, знаменатель: P_ABC конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC в квадрате синус 60 градусов , знаменатель: 3AC конец дроби = дробь: числитель: AC синус 60 градусов , зна... | Ответ: 18 |
<img src="/get_file?id=113448" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Сторона правильного треугольника равна $ корень из 3.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру: $r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB в квадрате синус A, знаменатель: дробь: числитель: 3AB, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чи... | Ответ: 0,5 |
<img src="/get_file?id=113279" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $ дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби . $ Найдите сторону этого треугольника. | Известно, что $r = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби a, $ а по условию $r = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби . $ Следовательно, $ дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби a= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби , $ поэтому длина стор... | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=113379" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона ромба равна 1, острый угол равен $30 градусов.$ Найдите радиус вписанной окружности этого ромба. | <img src="/get_file?id=113380" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус <i>r</i> вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты <i>d</i>. Поэтому$r= дробь: числитель: d, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: DH, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AD синус A, знаменатель: 2 конец... | Ответ: 0,25 |
<img src="/get_file?id=113381" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба. | <img src="/get_file?id=113382" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Радиус <i>r</i> вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты <i>d</i>. Поэтому $AD= дробь: числитель: DH, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: d, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 2r, знаменатель: с... | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=113281" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен $ корень из 3.$ | <img src="/get_file?id=113282" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Пусть точка <i>О</i> — центр окружности. Треугольник <i>АОВ</i> является равнобедренным с углом при вершине 60° (см. рис.), поэтому этот треугольник равносторонний. Радиус <i>ОН</i> вписанной в шестиугольник окружности является высотой, би... | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113336" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $ корень из 3.$ | <img src="/get_file?id=113335" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><b>Приведем другое решение.</b>Соединим центр <i>O</i> вписанной окружности с вершинами шестиугольника, при этом шестиугольник будет разбит на 6 равных треугольников. Рассмотрим треугольник <i>AOB</i>. Он равнобедренный, угол при вершине рав... | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=113355" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $2 плюс корень из 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. | Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: $r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2a минус a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая кру... | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=113356" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AC</i> = 4, <i>BC</i> = 3, угол <i>C</i> равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности. | Имеем:$r= дробь: числитель: AC плюс BC минус AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AC плюс BC минус корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 7 минус корень из 25, знаменатель: 2 конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. <b>Привед... | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=113286" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности. | Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:Тогда <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5. <b>Приведем решение Лены Кисловой.</b>Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади найдем ... | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=113287" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника. | <img src="/get_file?id=113288" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Пусть точки <i>H</i> и <i>K</i> являются точками касания окружности со сторонами <i>AB</i> и <i>СВ</i> соответственно. Треугольники <i>HOB</i> и <i>KOB</i> равны, т. к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, ... | Ответ: 22 |
<img src="/get_file?id=113455" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции. | <img src="/get_file?id=113185" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB плюс CD=BC плюс AD,$$MK= дробь: числитель: DC плюс AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числите... | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=113456" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии. | <img src="/get_file?id=113186" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB плюс CD=BC плюс AD,$$MK= дробь: числитель: DC плюс AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: P_ABCD, знаменатель: 4 конец дроби =10. $ <span style="... | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=115301" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности. | Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен половине ее высоты, то есть половине стороны <i>AD</i>. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Каждая из этих сумм равна половине периметра четырехугольника, поэтому $AD плюс BC=11.... | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113454" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В четырехугольник <i>ABCD</i> вписана окружность, <i>AB</i> = 10, <i>CD</i> = 16. Найдите периметр четырехугольника <i>ABCD</i>. | В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда <i>AB + CD = BC + AD</i>. Тогда$P_ABCD=AB плюс CD плюс BC плюс DA=2 левая круглая скобка AB плюс CD правая круглая скобка =52.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 52. | Ответ: 52 |
<img src="/get_file?id=113290" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон. | В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В этом случае периметр четырехугольника вдвое больше суммы длин противоположных сторон, следовательно, в данном четырехугольнике сумма длин противоположных сторон равна 12, а значит, стороны длин... | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=113291" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В четырехугольник <i>ABCD</i> вписана окружность, <i>AB</i> = 10, <i>BC</i> = 11 и <i>CD</i> = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника. | В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда <i>AB + CD = BC + AD,</i> значит, $AD= левая круглая скобка AB плюс CD правая круглая скобка минус BC=14.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 14. | Ответ: 14 |
<img src="/get_file?id=113292" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>К окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. | Покажем, что сумма периметров отсеченных треугольников равна сумме длин сторон треугольника <i>АВС</i>, то есть равна его периметру. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек <i>K</i>, <i>H</i>, <i>O</i>, <i>F</i>, <i>N</i>, <i>M</i> соответственно равны друг другу (см. рис., равные отрезки выделены одинак... | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=113358" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите радиус <i>r</i> окружности, вписанной в четырехугольник $ABCD.$ Считайте, что стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите $r корень из 10.$ | Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.$r= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 в квадрате плюс 1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 2 конец дроби . $ $r корень из 10= дробь: числитель: корень из ... | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=113357" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> известно, что $АС = 36,ВС = 15,$ а угол $\angle C=90 градусов.$ Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности. | Найдём гипотенузу <i>AB</i>: $AB= корень из 36 в квадрате плюс 15 в квадрате = корень из 1296 плюс 225= корень из 1521=39.$ Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: $r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель:... | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=113359" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В четырёхугольник <i>ABCD</i>, периметр которого равен 54, вписана окружность, <i>AB</i> = 18. Найдите длину стороны <i>CD</i>. | В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB плюс CD=BC плюс AD,$ отсюда$2 умножить на левая круглая скобка 18 плюс CD правая круглая скобка =54 равносильно 18 плюс CD=27 равносильно CD=9.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 9. | Ответ: 9 |
<img src="/get_file?id=29050" style="float:right; margin:10px"/>Точки <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | Пусть меньшая часть окружности равна <i>x</i>, тогда$x плюс 3x плюс 5x=360 градусов равносильно x=40 градусов .$Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</sp... | Ответ: 100 |
<img src="/get_file?id=113196" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>A</i> четырехугольника <i>ABCD</i>, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол <i>C</i> этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. | Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому$\angle C=180 градусов минус \angle A=180 градусов минус 58 градусов =122 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 122. <b>Приведём другое решение.</b>Угол <i>A</i> вписанный и опирается на дугу <i>BCD</i>, след... | Ответ: 122 |
<img src="/get_file?id=113197" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Стороны четырехугольника <i>ABCD</i> <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i> стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $95 градусов,$ $49 градусов,$ $71 градусов,$ $145 градусов.$ Найдите угол <... | вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит$\angle B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup ADC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 145 градусов плюс 71 градусов правая круглая скобка =108 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span... | Ответ: 108 |
<img src="/get_file?id=113198" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Точки <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>, <i>D</i>, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги <i>AB</i>, <i>BC</i>, <i>CD</i> и <i>AD</i>, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол <... | Пусть дуга <i>AB</i> равна 4<i>x</i>, тогда $4x плюс 2x плюс 3x плюс 6x=360 градусов равносильно x=24 градусов .$ Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, $\angle A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \cup BC плюс \cup CD правая круглая скобка = дробь... | Ответ: 60 |
<img src="/get_file?id=113200" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырехугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Угол <i>ABD</i> равен 75°, угол <i>CAD</i> равен 35°. Найдите угол <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,$\angle ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup ADC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \cup AD плюс \cup CD правая круглая скобка =\angle ABD плюс \angle CAD=110 градусов . $ <span style="letter-spac... | Ответ: 110 |
<img src="/get_file?id=113201" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырехугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Угол <i>ABC</i> равен 110°, угол <i>ABD</i> равен 70°. Найдите угол <i>CAD</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,$\angle CAD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup CD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \cup ADC минус \cup AD правая круглая скобка =\angle ABC минус \angle ABD=40 градусов . $ <span style="let... | Ответ: 40 |
<img src="/get_file?id=66698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона правильного треугольника равна $ корень из 3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда$R= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 синус B конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 синус 60 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: кор... | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=66698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $ корень из 3.$ Найдите сторону этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда$CB=2R синус A=2 корень из 3 синус 60 градусов =2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=66699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все углы равны по $60 градусов .$ По теореме синусов имеем:$R= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 синус B конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: 2 синус A умножить на синус B конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 синус в квадрате 60 градусов конец дроби... | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=66699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника. | Треугольник <i>ABC</i> правильный, значит, все его углы равны по 60°. Имеем:$CH=AC синус A=2R синус B синус A=2 умножить на 3 синус в квадрате 60 градусов =6 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =4,5. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4,5. <b>Приведем другое решение.</b>Центр окруж... | Ответ: 4,5 |
<img src="/get_file?id=66649" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. | вписанный угол опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, <i>AB</i> − диаметр.$R= дробь: числитель: D, знаменатель: 2 конец дроби =6. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66649" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника. | Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, <i>AB</i> — диаметр.$AB=D=2R=8.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=66649" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = 4, <i>BC</i> = 3, угол <i>C</i> равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. | Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Поэтому$R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби =2,5. $ <span style="lette... | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=29572" style="float:right;margin:10px"/> Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника. | Сумма двух равных углов при основании треугольника равна 60°, поэтому каждый из них равен 30°. Тогда по теореме синусов $d= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=29574" style="float:right;margin:10px"/> Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6? | <img src="/get_file?id=29573" style="float:right;margin:10px"/> Заметим, что $\angle AOB= дробь: числитель: 360 градусов , знаменатель: 6 конец дроби =60 градусов. $ Значит, треугольник <i>AOB</i> — равносторонний. Тогда$AB=AO=R=6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66701" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна 1. Противолежащий ей угол <i>C</i> равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | По теореме синусов имеем: $R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 синус 30 градусов конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=35247" style="float:right;margin:10px"/> Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах | По теореме синусов $R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус C конец дроби = дробь: числитель: R, знаменатель: 2 синус C конец дроби , $тогда <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. <b>Приведём другое решение.</b><img src="/get_file?id=35248" style="float:right;margin:10px"/>Пусть <i>O</i> — центр окр... | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=66701" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Угол <i>C</i> треугольника <i>ABC</i>, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону <i>AB</i> этого треугольника. | По теореме синусов:$AB=2R синус C=2 умножить на 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=47348" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> равна 1. Противолежащий ей угол <i>C</i> равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Используем теорему синусов:$R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle C конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 синус 150 градусов конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ<... | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=66657" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сторона <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> c тупым углом <i>C</i> равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | По теореме синусов:$ синус \angle C = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: R, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $Поскольку угол <i>C</i> тупой, а его синус равен $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , $ это угол 150°. <span styl... | Ответ: 150 |
<img src="/get_file?id=10708" style="float:right;margin:10px"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>EF</i> — средняя линия. Площадь треугольника <i>BEF</i> равна 4. Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>. | Т. к. <i>EF</i> — средняя линия, <i>AC=2EF, CB=2EB, AB=2FB,</i> следовательно, треугольники <i>ABC</i> и <i>EFB</i> подобны, коэффициент подобия равен 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, тогда $S_ABC=4S_EFB=4 умножить на 4 =16.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</spa... | Ответ: 16 |
<img src="/get_file?id=29775" style="float:right;margin:10px"/> Периметр равнобедренного треугольника равен 25. Боковая сторона равна 7. Найдите основание. | В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому их сумма равна 14. Основание равно разности периметра и суммы боковых сторон, поэтому оно равно 11. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
<img src="/get_file?id=29775" style="float:right;margin:10px"/> Периметр равнобедренного треугольника равен 22. Основание равно 10. Найдите боковую сторону. | В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Их сумма равна разности периметра и основания треугольника, то есть 12. Следовательно, каждая из боковых сторон равна 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=11489" style="float:right;margin:10px" width="150"/> Отрезок <i>DE</i> — средняя линия треугольника <i>ABC</i>, параллельная стороне <i>AB</i>. Периметр треугольника <i>CDE</i> равен 7. Найдите периметр треугольника <i>ABC</i>. | Треугольники <i>ABC</i> и <i>CDE</i> подобны с коэффициентом подобия 2, поэтому периметр <i>ABC</i> вдвое больше периметра <i>CDE</i>. Тем самым, он равен 14. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 14. | Ответ: 14 |
Точки <i>D</i>, <i>E</i>, <i>F</i> − середины сторон треугольника <i>ABC</i>. Периметр треугольника <i>DEF</i> равен 5. Найти периметр треугольника <i>ABC</i>. | Стороны треугольника <i>FED</i> являются средними линиями треугольника <i>ABC</i>, поэтому длины сторон треугольника <i>ABC</i> вдвое больше длин сторон треугольника <i>FED</i>. Следовательно, периметр треугольника <i>ABC</i> вдвое больше периметра треугольника <i>FED</i>, поэтому он равен 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=19087" style="float:right;margin:10px"/>В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> угол <i>С</i> равен 48°. Найдите угол между стороной <i>AB</i> и высотой <i>АН</i> этого треугольника. | Угол <i>СВА</i> равен (180° − 48°) : 2 = 66°, поэтому искомый угол <i>ВАН</i> равен 90° − 66° = 24°. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=19095" style="float:right;margin:10px"/>В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> угол <i>В</i> равен 27°. Найдите угол между стороной <i>АС</i> и высотой <i>АН</i> этого треугольника. | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому угол <i>CAB</i> равен углу <i>CBA</i> и равен 27°. Рассмотрим треугольник <i>ABH</i>, он прямоугольный, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, откуда ∠<i>BAH</i> = 90° − 27° = 63°. Следовательно, искомый угол <i>CAH</i> равен 63° − 2... | Ответ: 36 |
<img src="/get_file?id=108694" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108721" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=108697" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $bx плюс c=0.$ | Заметим, что $|bx плюс c|=0$ в точке излома, т. е. при $x=2.$ Значит, корнем уравнения $bx плюс c=0$ является число 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=108698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108722" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=108699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $bx плюс c=0.$ | Заметим, что $|bx плюс c|=0$ в точке излома, т. е. при $x=3.$ Значит, корнем уравнения $bx плюс c=0$ является число 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=108711" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108723" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Ясно, что $b не равно 0,$ иначе $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |c| плюс d,$ а тогда графиком функции была бы прямая. Излом графика находится в точке $x = минус дробь: числитель: c, знаменатель: b конец дроби ,$ а п... | Ответ: -3 |
<img src="/get_file?id=108714" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $bx плюс c=0.$ | Заметим, что $|bx плюс c|=0$ в точке излома. найдём её. Левее точки излома функция задается уравнением $y= минус 4x минус 7,$ правее точки излома — уравнением $y= минус 5.$ Решим уравнение$ минус 4x минус 7= минус 5 равносильно x= минус 0,5.$ | Ответ: -0,5 |
<img src="/get_file?id=108716" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108715" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=108718" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108717" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=108719" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax плюс |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=10.$ | <img src="/get_file?id=108720" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=108725" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=19.$ | <img src="/get_file?id=108724" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: -5 |
<img src="/get_file?id=108756" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax плюс d=0.$ | <img src="/get_file?id=108755" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=108760" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax=d.$ | <img src="/get_file?id=108759" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Оче... | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=108761" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax минус |bx плюс c| плюс d,$ где числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> и <i>d</i> — целые. Найдите корень уравнения $ax=d.$ | В любом из случаев раскрытия модуля получаем линейную функцию $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l,$ где угловой коэффициент $k=a плюс |b|$ или $k=a минус |b|, $ а свободный член $l=d плюс |c|$ или $l=d минус |c|.$ Очевидно, что $a плюс |b| больше или равно a минус |b|,$ значит, большему значению ... | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=66170" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="19%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вписанный в окружность угол <i>ABC</i>. Найдите его градусную величину. | $\angle ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \overset\frownAC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 45 градусов=22,5 градусов$ | Ответ: 22,5 |
<img src="/get_file?id=66176" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге с размером клетки $ дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см $ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в к... | <img src="/get_file?id=66175" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус ко... | Ответ: 12 |
<img src="/get_file?id=66335" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="21%"/>На клетчатой бумаге с размером клетки 1 $\times$ 1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. | Треугольник прямоугольный, значит, радиус описанной вокруг него окружности равен половине гипотенузы. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=66336" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на $ Пи .$ Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=66337" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда$S= Пи умножить на 2 в квадрате минус Пи умножить на 1 в квадрате =3 Пи .$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=66323" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки $ дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см \times дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из Пи конец дроби см $ изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в ... | <img src="/get_file?id=66325" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><img src="/get_file?id=66324" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Выполним дополнительное построение и из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 найдем квадрат радиуса круга: $R в квадрате = левая круглая скобка дробь: числи... | Ответ: 7,5 |
<img src="/get_file?id=66339" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $\times$ 1 см изображено кольцо. Найдите его площадь. В ответ запишите площадь, делённую на $ Пи .$ Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=66340" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь кольца <i>S</i><sub>к</sub> равна разности площади большого и малого кругов. Радиус малого круга равен 2 см, его квадрат равен 4 см<sup>2</sup>. Квадрат радиуса большого круга найдем по теореме Пифагора для треугольника с катетами 1 с... | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66350" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры. | Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153. <span style="letter-spacing:2px "... | Ответ: 153 |
<img src="/get_file?id=66368" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры. | Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6 клеток, радиус внутреннего равен 3 клетки. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разнос... | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=66378" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры. | Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7. <span style="l... | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=66386" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге изображен круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора. | Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=66389" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32? | <img src="/get_file?id=66390" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Заметим, что $ косинус P'OP = дробь: числитель: P'O, знаменатель: OP конец дроби = дробь: числитель: P'O, знаменатель: OM конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $ Тог... | Ответ: 96 |
<img src="/get_file?id=66394" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности. | <img src="/get_file?id=66395" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Изображенная на рисунке окружность вписана в квадрат со стороной 5, поэтому радиус этой окружности равен 2,5. Но при чём тут вписанный треугольник? <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,5. | Ответ: 2,5 |
<img src="/get_file?id=66350" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры. | Площадь круга определяется по формуле $S= Пи r в квадрате .$ Т. к. из рисунка видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше внутреннего, значит, его площадь в 4 раза больше площади внутреннего круга и равна 136. Площадь закрашенной фигуры равна разности площади внешнего круга и площади внутреннего и равна 136 − 34 ... | Ответ: 102 |
<img src="/get_file?id=66404" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите величину угла <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол <i>ABC</i> опирается на четверть окружности, то есть на дугу 90°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому он равен 45°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 45. | Ответ: 45 |
<img src="/get_file?id=66402" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите градусную величину дуги <i>AC</i> окружности, на которую опирается угол <i>ABC.</i> Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=66403" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Искомая дуга окружности равна опирающемуся на нее центральному углу. Пусть точка <i>О</i> — центр окружности. Поставим на меньшую дугу <i>ВС</i> окружности точку <i>D</i> симметрично относительно <i>ОС</i> (см. рис.) и соединим точки <i>A</i... | Ответ: 45 |
<img src="/get_file?id=42072" style="float:right;margin:10px"/>Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки <nobr>1 см × 1 см (см. рис.).</nobr> Ответ дайте в квадратных сантиметрах. | <img src="/get_file?id=42073" style="float:right;margin:10px"/>Площадь трапеции равна разности площади большого прямоугольника и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёхугольника. Поэтому $S=7 умножить на 8 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить н... | Ответ: 25 |
Площадь треугольника <i>ABC</i> равна 12. <i>DE</i> ― средняя линия этого треугольника, параллельная стороне <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции <i>ABDE</i>. | Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольника вчетверо меньше: она равна 3. Тогда искомая площадь трапеции равна 12 − 3 = 9. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 9. | Ответ: 9 |
<img src="/get_file?id=109325" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a.$ Найдите $f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка .$ | График функции имеет горизонтальную асимптоту <i>y</i> = 1, значит, <i>a</i> = 1. По графику <i>f</i>(3) = 2, тогда $ дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=2 равносильно k=3. $ Таким образом, $f левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: минус 12 конец... | Ответ: 0,75 |
<img src="/get_file?id=109326" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\dfrackx плюс a.$ Найдите, при каком значении <i>x</i> значение функции равно 0,8. | График функции имеет горизонтальную асимптоту <i>y</i> = 1, значит, <i>a</i> = 1. По графику <i>f</i>(3) = 2, тогда $ дробь: числитель: k, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1=2 равносильно k=3. $ Таким образом, $ дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби плюс 1=0,8 равносильно x= минус дробь: числитель: 3, зн... | Ответ: -15 |
<img src="/get_file?id=108643" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 13... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $c=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 2 минус 3 конец дроби плюс 2=1 равносильно a=1. $Таким образом, $f левая кру... | Ответ: 2,1 |
<img src="/get_file?id=108644" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 9... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 1,$ значит, $c= минус 1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=5,$ значит, $b= минус 5.$По графику $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =0,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 6 минус 5 конец дроби минус 1=0 равносильно a=1. $Таким образо... | Ответ: -0,75 |
<img src="/get_file?id=108692" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка м... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3,$ значит, $c=3.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби плюс 3=4 равносильно a=2. $Таким образом, $f левая кру... | Ответ: 2,875 |
<img src="/get_file?id=108647" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка д... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4,$ значит, $c=4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =2,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 4 минус 3 конец дроби плюс 4=2 равносильно a= минус 2. $Таким образом, $f ле... | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=108648" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 1... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 4,$ значит, $c= минус 4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2,$ значит, $b= минус 2.$По графику $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 5,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 1 минус 2 конец дроби минус 4= минус 5 равн... | Ответ: -3,625 |
<img src="/get_file?id=108663" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка д... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=5,$ значит, $c=5.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2,$ значит, $b= минус 2.$По графику $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 5 минус 2 конец дроби плюс 5=4 равносильно a= минус 3. $Таким образом, $f ле... | Ответ: 9,5 |
<img src="/get_file?id=108664" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка д... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $c=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $b=2.$По графику $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 0 плюс 2 конец дроби плюс 2=4 равносильно a=4. $Таким образом, $f левая круг... | Ответ: 3,5 |
<img src="/get_file?id=108665" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 1... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=1,$ значит, $c=1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=5,$ значит, $b= минус 5.$По графику $f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = минус 1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 7 минус 5 конец дроби плюс 1= минус 1 равносильно a= минус 4. $Таким ... | Ответ: 0,2 |
<img src="/get_file?id=108667" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка 4... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 1,$ значит, $c= минус 1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 1,$ значит, $b=1.$По графику $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =0,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 4 плюс 1 конец дроби минус 1=0 равносильно a= мину... | Ответ: -1,6 |
<img src="/get_file?id=108668" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> — целые. Найдите $f левая круглая скобка д... | График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4,$ значит, $c=4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $b=2.$По графику $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =5,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 3 плюс 2 конец дроби плюс 4=5 равносильно a= минус 1. $Таким обр... | Ответ: 3,6 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.