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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | intro x hx y hy | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hCne : C.Nonempty
x : α
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y : α
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c : α
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hac : a • c = x
d : α
hd : d ∈ C.mulStab
had : b • d = y
hxymem : x * y ∈ s ∩ a • ... | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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d : α
hd : d ∈ C.mulStab
had : b • d = y✝
hxymem : x✝ * y✝ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | rw [smul_mulStab hd, smul_mulStab hc, mem_mulStab hCne, ← smul_smul,
(mem_mulStab hCne).mp hy, (mem_mulStab hCne).mp hx] | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hCne : C.Nonempty
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hd : d ∈ C.mulStab
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hxymem : x✝ * y✝ ... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | rw [singleton_mul] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hxymem : x * y ∈ s ∩ a • C.mulSt... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hxymem : x * y ∈ s ∩ a • C.mulSt... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | rfl | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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had : b • d = y
hxymem : x * y ∈ s ∩ a • C.mulSt... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | rw [smul_eq_iff_eq_inv_smul, ← smul_assoc, smul_eq_mul, mul_assoc, mul_comm c _, ← mul_assoc, ←
mul_assoc, ← mul_assoc, mul_assoc _ a b, inv_mul_self (a * b), one_mul, ← smul_eq_mul,
smul_assoc, smul_mulStab hc, smul_mulStab hd] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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had : b • d = y
hsubset : (s ∩ a • C.mulStab * (... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | apply subset_trans (mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
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hac : a • c = x
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | simp only [smul_mul_smul, mulStab_mul_mulStab, subset_refl] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hsubset : (s ∩ a • C.mulStab * (... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_mul_ssubset_mulStab | [36, 1] | [82, 79] | convert hxy | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hab : ¬(a * c * (b * d)) • C.mulStab ⊆ s * t
hd : d ∈ C.mulStab
had : b • d = y
hsubset : (s ∩ a • C.m... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | obtain rfl | hCne := C.eq_empty_or_nonempty | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
⊢ (C ∪ s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab = (s ∩ a • C.m... | case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' : Finset α
a b : α
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hC : Disjoint ∅ (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab))
⊢ (∅ ∪ s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab = (s ∩ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | refine'
((subset_inter (mulStab_mul_ssubset_mulStab hs₁ ht₁ hab).subset Subset.rfl).trans
inter_mulStab_subset_mulStab_union).antisymm'
fun x hx => _ | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
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⊢ (C ∪ s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulSt... | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
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x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | replace hx := (mem_mulStab $ (hs₁.mul ht₁).mono subset_union_right).mp hx | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ (C ∪ s ∩ a • C.mulStab * (t ... | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • (C ∪ s ∩ a • C.mulStab * (t ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | rw [smul_finset_union] at hx | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • (C ∪ s ∩ a • C.mulStab * (t ... | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | suffices hxC : x ∈ C.mulStab by
rw [(mem_mulStab hCne).mp hxC] at hx
rw [mem_mulStab_iff_subset_smul_finset (hs₁.mul ht₁)]
exact hC.symm.left_le_of_le_sup_left (le_sup_right.trans hx.ge) | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
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x : α
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | rw [mem_mulStab_iff_smul_finset_subset hCne] | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab *... | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | obtain h | h := disjoint_or_nonempty_inter (x • C) (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)) | case inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab *... | case inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
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x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | have hUn :
((C.biUnion fun y => x • y • C.mulStab) ∩
(s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))).Nonempty := by
have : (x • C.biUnion fun y => y • C.mulStab) = C.biUnion fun y => x • y • C.mulStab :=
biUnion_image
simpa [← this] | case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulSt... | case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulSt... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | simp_rw [biUnion_inter, biUnion_nonempty, ← smul_assoc, smul_eq_mul] at hUn | case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulSt... | case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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a b : α
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ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | obtain ⟨y, hy, hyne⟩ := hUn | case inr.inr
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulSt... | case inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | have hxyCsubC : (x * y) • C.mulStab ⊆ x • C := by
rw [← smul_eq_mul, smul_assoc, smul_finset_subset_smul_finset_iff]
exact smul_finset_mulStab_subset hy | case inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
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hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | have hxysub : (x * y) • C.mulStab ⊆ s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab) :=
hxyC.left_le_of_le_sup_left (hxyCsubC.trans $ subset_union_left.trans hx.subset') | case inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | suffices s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab) ⊂ (a * b) • C.mulStab by
have := (card_le_card hxysub).not_lt ((card_lt_card this).trans_eq ?_)
cases this
simp_rw [card_smul_finset] | case inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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α : Type u_1
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x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | apply ssubset_of_subset_not_subset | case inr.inr.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hx : x • C ∪ x • (s ∩... | case inr.inr.intro.intro.h₁
α : Type u_1
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x : α
hx : x • C ∪ x • (... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | simp [hs₁] | case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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⊢ (∅ ∪ s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab = (s ∩ ... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | rw [(mem_mulStab hCne).mp hxC] at hx | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b •... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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x : α
hx : C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.m... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | rw [mem_mulStab_iff_subset_smul_finset (hs₁.mul ht₁)] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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inst✝¹ : CommGroup α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | exact hC.symm.left_le_of_le_sup_left (le_sup_right.trans hx.ge) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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x : α
hx : C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.m... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | exact h.left_le_of_le_sup_right (le_sup_left.trans_eq hx) | case inr.inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulSt... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | have : (x • C.biUnion fun y => y • C.mulStab) = C.biUnion fun y => x • y • C.mulStab :=
biUnion_image | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
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hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b •... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | simpa [← this] | α : Type u_1
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inst✝ : DecidableEq α
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x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | rw [← smul_eq_mul, smul_assoc, smul_finset_subset_smul_finset_iff] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | exact smul_finset_mulStab_subset hy | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | convert disjoint_smul_finset_mulStab_mul_mulStab fun hxyC => _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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α : Type u_1
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | rw [mul_mulStab] at hxyC | case convert_7
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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α : Type u_1
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mul... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | exact C.mul_mulStab.symm | case h.e'_5
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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a b : α
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hCne : C.Nonempty
x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | have := (card_le_card hxysub).not_lt ((card_lt_card this).trans_eq ?_) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
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x : α
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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hCne : C.Nonempty
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
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s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
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α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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a b : α
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hCne : C.Nonempty
x : α
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https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | simp_rw [card_smul_finset] | case refine_1
α : Type u_1
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x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulS... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | refine' (mul_subset_mul inter_subset_right inter_subset_right).trans _ | case inr.inr.intro.intro.h₁
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (... | case inr.inr.intro.intro.h₁
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | simp only [smul_mul_smul, mulStab_mul_mulStab, subset_refl] | case inr.inr.intro.intro.h₁
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
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hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | contrapose! hab | case inr.inr.intro.intro.h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hab : ¬(a * b) • C.mulStab ⊆ s * t
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (... | case inr.inr.intro.intro.h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mulStab_union | [84, 1] | [131, 73] | exact hab.trans (mul_subset_mul inter_subset_left inter_subset_left) | case inr.inr.intro.intro.h₂
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hs₁ : (s ∩ a • C.mulStab).Nonempty
ht₁ : (t ∩ b • C.mulStab).Nonempty
hC : Disjoint C (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab))
hCne : C.Nonempty
x : α
hx : x • C ∪ x • (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulS... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | set H := C.mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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hconv : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * C.mulStab).card ≤ C.card + C.mulStab.card
hnotconv : (C ∪ s' * t').card + (C ∪ s' * t').mu... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
ih : (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hnotconv : (C ∪ s' * t').card + (C ∪ s' * t').mulStab.card < (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * (C ∪ s' * t').mulStab).card
hCun : (C... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | set H' := (s' * t').mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
ih : (s' * (s' * t').mulStab).card + (t' * (s' * t').mulStab).card ≤ (s' * t').card + (s' * t').mulStab.card
hnotconv : (C ∪ s' * t').card + (C ∪ s' * t').mulStab.card < (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * (C ∪ s' * t').mulStab).card
hCun : (C... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hnotconv : (C ∪ s' * t').card + (C ∪ s' * t').mulStab.card < (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * (C ∪ s' * t').mulStab).card
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
hconv : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * H).card ≤ C.card + H.card
H' ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | set C' := C ∪ s' * t' | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hnotconv : (C ∪ s' * t').card + (C ∪ s' * t').mulStab.card < (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * (C ∪ s' * t').mulStab).card
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
hconv : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * H).card ≤ C.card + H.card
H' ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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a b : α
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
hconv : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * H).card ≤ C.card + H.card
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
ih : (s' * H').card + (t' * H').card ≤ (s' * t').card + H'.card
hsub : H' ⊆ H
C' : ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | zify at hconv hnotconv ih | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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H : Finset α := C.mulStab
hconv : (s ∩ t).card + ((s ∪ t) * H).card ≤ C.card + H.card
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
ih : (s' * H').card + (t' * H').card ≤ (s' * t').card + H'.card
hsub : H' ⊆ H
C' : ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | calc
(((s ∪ t) * H).card - ((s ∪ t) * H').card : ℤ) <
C.card + H.card - (s ∩ t).card - (C'.card + H'.card - (s ∩ t).card) := by
rw [← hCun]
linarith [hconv, hnotconv]
_ = H.card - (s' * t').card - H'.card := by
rw [card_union_of_disjoint hdisj, Int.ofNat_add]
abel
_ ≤ H.card - (s' * H').card... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | rw [← hCun] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | linarith [hconv, hnotconv] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | rw [card_union_of_disjoint hdisj, Int.ofNat_add] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
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H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | abel | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.mul_aux1 | [133, 1] | [158, 69] | linarith [ih] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hdisj : Disjoint C (s' * t')
H : Finset α := C.mulStab
H' : Finset α := (s' * t').mulStab
hsub : H' ⊆ H
C' : Finset α := C ∪ s' * t'
hCun : C'.mulStab = H'
hconv : ↑(s ∩ t).card + ↑((s ∪ t) * H).card ≤ ↑C.card + ↑H.card
hnotconv : ↑C... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_smul_mulStab | [160, 1] | [168, 29] | suffices Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab) by
simpa [mul_comm, disjoint_comm, mulStab_mul] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ Disjoint s (a • s.mulStab) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab) |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_smul_mulStab | [160, 1] | [168, 29] | apply disjoint_smul_finset_mulStab_mul_mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab) | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s * s.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_smul_mulStab | [160, 1] | [168, 29] | rw [mul_comm, mulStab_mul] | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s * s.mulStab | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_smul_mulStab | [160, 1] | [168, 29] | contrapose! has | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
⊢ ¬a • s.mulStab ⊆ s | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : a • s.mulStab ⊆ s
⊢ a • s.mulStab ⊆ t |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_smul_mulStab | [160, 1] | [168, 29] | exact subset_trans has hst | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : a • s.mulStab ⊆ s
⊢ a • s.mulStab ⊆ t | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_smul_mulStab | [160, 1] | [168, 29] | simpa [mul_comm, disjoint_comm, mulStab_mul] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s s' t t' C : Finset α
a b : α
hst : s ⊆ t
has : ¬a • s.mulStab ⊆ t
this : Disjoint (a • s.mulStab) (s * s.mulStab)
⊢ Disjoint s (a • s.mulStab) | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | obtain rfl | hC := C.eq_empty_or_nonempty | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).c... | case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • ∅.mulStab)
hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab
⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | simp | case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • ∅.mulStab)
hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab
⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ b • ∅.mulStab)).mulS... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [card_sdiff
(subset_trans (mul_subset_mul_left hst)
(subset_trans (mul_subset_mul_right inter_subset_right) _)),
card_smul_finset, Int.ofNat_sub] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulS... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | apply le_trans (card_le_card (mul_subset_mul_left hst)) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab).card... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab * C.mulStab).card ≤ C.mulStab.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | apply
le_trans (card_le_card inter_mul_subset)
(le_of_le_of_eq (card_le_card inter_subset_right) _) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab * C.mulStab).card ≤ C.mulStab.card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (a • C.mulStab * C.mulStab).card = C.mulStab.card |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, card_smul_finset] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (a • C.mulStab * C.mulStab).card = C.mulStab.card | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | simp only [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, Subset.rfl] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [← Int.ofNat_sub (card_le_card (mul_subset_mul_left hst)), ←
card_sdiff (mul_subset_mul_left hst)] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulSt... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulSt... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑(a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulSt... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulSta... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | apply card_le_card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulSta... | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | refine' fun x hx => mem_sdiff.mpr ⟨_, _⟩ | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.... | case a.refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | have hx' := (mem_sdiff.mp hx).2 | case a.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... | case a.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | contrapose! hx' | case a.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... | case a.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | obtain ⟨y, hyst, d, hd, hxyd⟩ := mem_mul.mp hx' | case a.refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | obtain ⟨c, hc, hcx⟩ := mem_smul_finset.mp (mem_sdiff.mp hx).1 | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [← hcx, ← eq_mul_inv_iff_mul_eq] at hxyd | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | have hyC : y ∈ a • C.mulStab := by
rw [hxyd, smul_mul_assoc, smul_mem_smul_finset_iff, ← mulStab_mul_mulStab]
apply mul_mem_mul hc ((mem_mulStab hC).mpr (inv_smul_eq_iff.mpr _))
exact Eq.symm ((mem_mulStab hC).mp (hst hd)) | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | replace hyst : y ∈ s := by
apply or_iff_not_imp_right.mp (mem_union.mp hyst)
contrapose! hsC
exact not_disjoint_iff.mpr ⟨y, hsC, hyC⟩ | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [eq_mul_inv_iff_mul_eq, hcx] at hxyd | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [← hxyd] | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | exact mul_mem_mul (mem_inter.mpr ⟨hyst, hyC⟩) hd | case a.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulS... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | apply smul_finset_subset_smul (mem_union_left t has) (mem_sdiff.mp hx).1 | case a.refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • ... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | rw [hxyd, smul_mul_assoc, smul_mem_smul_finset_iff, ← mulStab_mul_mulStab] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | apply mul_mem_mul hc ((mem_mulStab hC).mpr (inv_smul_eq_iff.mpr _)) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
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hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | exact Eq.symm ((mem_mulStab hC).mp (hst hd)) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
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has : a ∈ s
hsC : Disjoint t (a • C.mulStab)
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... | no goals |
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
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x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | contrapose! hsC | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
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hx' : x ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.disjoint_mul_sub_card_le | [170, 1] | [218, 55] | exact not_disjoint_iff.mpr ⟨y, hsC, hyC⟩ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
x : α
hx : x ∈ a • C.mulStab \ (s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ b • C.mulStab)).mulStab)
hx' : x ... | no goals |
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ a • C.mulStab * (s... | case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab
⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ a • ∅.mulSta... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | simp | case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab ⊆ ∅.mulStab
⊢ ↑∅.mulStab.card - ↑(s ∩ a • ∅.mulStab * (s ∩ a • ∅.mulStab * (t ∩ a • ∅.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ a • ∅.mulSta... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | rw [card_sdiff, Int.ofNat_sub (card_le_card _), card_smul_finset] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ a ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ a ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | all_goals
apply subset_trans (mul_subset_mul_left hst)
rw [← union_inter_distrib_right]
refine' subset_trans (mul_subset_mul_right inter_subset_right) _
simp only [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, Subset.rfl] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab
α :... | no goals |
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inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ a ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | apply le_trans (add_le_add_left (Int.ofNat_le.mpr $ card_union_le _ _) _) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ ... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ ... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | norm_num | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑C.mulStab.card - ↑(s ∩ a • C.mulStab * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab).card -
↑(t ∩ ... | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | apply subset_trans (mul_subset_mul_left hst) | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ a • C.mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | rw [← union_inter_distrib_right] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | refine' subset_trans (mul_subset_mul_right inter_subset_right) _ | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (s ∪ t) ∩ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | simp only [smul_mul_assoc, mulStab_mul_mulStab, Subset.rfl] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ a • C.mulStab * C.mulStab ⊆ a • C.mulStab | no goals |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | rw [← Int.ofNat_sub (card_le_card (mul_subset_mul_left hst)), ←
card_sdiff (mul_subset_mul_left hst)] | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑(a • C.mulStab \
((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab))... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑(a • C.mulStab \
((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab))... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | norm_cast | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ ↑(a • C.mulStab \
((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab))... | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).... |
https://github.com/YaelDillies/LeanCamCombi.git | 034199694e3b91536d03bc4a8b0cdbd659cdf50f | LeanCamCombi/Kneser/Kneser.lean | Finset.inter_mul_sub_card_le | [220, 1] | [267, 55] | apply card_le_card | α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ (a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab)).... | case a
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' t✝ t' C✝ : Finset α
a✝ b a : α
s t C : Finset α
has : a ∈ s
hst : (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulStab ⊆ C.mulStab
hC : C.Nonempty
⊢ a • C.mulStab \ ((s ∩ a • C.mulStab ∪ t ∩ a • C.mulStab) * (s ∩ a • C.mulStab * (t ∩ a • C.mulStab)).mulS... |
Subsets and Splits
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