conversations listlengths 2 2 |
|---|
[
{
"from": "user",
"value": "Gegee 'n rasionale getal, skryf dit as 'n breuk in sy eenvoudigste vorm en bereken die produk van die resulterende teller en noemer. Vir hoeveel rasionale getalle tussen 0 en 1 sal $20_{}^{}!$ die resulterende produk wees?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>D... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $ \\mathcal{H}$ 'n oneindig-dimensionele Hilbert-ruimte wees, laat $ d>0$, en veronderstel dat $ S$ 'n versameling punte (nie noodwendig telbaar nie) in $ \\mathcal{H}$ is sodat die afstand tussen enige twee verskillende punte in $ S$ gelyk is aan $ d$. Toon aan dat daar 'n ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind die res wanneer $9 \\times 99 \\times 999 \\times \\cdots \\times \\underbrace{99\\cdots9}_{\\text{999 9's}}$ gedeël word deur $1000$ ."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is om die res te vind wanneer ons die produk van 9 × 99 × 999 × ... tot '... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bereken die gemiddelde molekulêre spoed v in die swaar gas radon (Rn) in m/s"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is om die gemiddelde molekulêre spoed van radongas te bereken. Ek is nie heeltemal seker hoe om daaraan te begin nie, maar ek dink dit he... |
[
{
"from": "user",
"value": "Twee kapasitors met kapasitansiewaardes $C_{1}=2000 \\pm 10 \\mathrm{pF}$ en $C_{2}=3000 \\pm 15 \\mathrm{pF}$ is in serie gekoppel. Die spanning wat oor hierdie kombinasie toegepas word, is $V=5.00 \\pm 0.02 \\mathrm{~V}$. Wat is die persentasiefout in die berekening van die ene... |
[
{
"from": "user",
"value": "Een basis van 'n trapesium is $100$ eenhede langer as die ander basis. Die lynstuk wat die middelpunte van die bene verbind, verdeel die trapesium in twee gebiede waarvan die oppervlaktes in die verhouding $2: 3$ is. Laat $x$ die lengte wees van die lynstuk wat die bene van die t... |
[
{
"from": "user",
"value": "Gestel 'n taal $L \\subseteq \\{0,1\\}^*$ is in $\\textbf{P}_{angel}$ as daar 'n polinoom $p : \\mathbb{N} \\mapsto \\mathbb{N}$, 'n reeks stringe $\\{\\alpha_n\\}_{n \\in \\mathbb{N}}$ met $\\alpha_n \\in \\{0,1\\}^{p(n)}$, en 'n deterministiese polinoomtyd Turingmasjien $M$ bes... |
[
{
"from": "user",
"value": "In 'n wiskundetoets is die aantal deelnemers $N < 40$. Die slaagsyfer is vasgestel op $65$. Die toetsuitslae is\nas volg:\nDie gemiddelde van al die deelnemers is $66$, dié van die bevorderdes $71$ en dié van die druipelinge $56$.\nAs gevolg van 'n fout in die bewoording van 'n v... |
[
{
"from": "user",
"value": "Kathy het $5$ rooi kaarte en $5$ groen kaarte. Sy skommel die $10$ kaarte en lê $5$ van die kaarte in 'n ewekansige volgorde in 'n ry uit. Sy sal gelukkig wees as en slegs as al die rooi kaarte wat uitgelê is langs mekaar is en al die groen kaarte wat uitgelê is langs mekaar is. ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vierkant $AIME$ het sylengtes van $10$ eenhede. Gelykbenige driehoek $GEM$ het basis $EM$, en die oppervlakte wat driehoek $GEM$ en vierkant $AIME$ gemeen het, is $80$ vierkante eenhede. Vind die lengte van die hoogtelyn na $EM$ in $\\triangle GEM$."
},
{
"from": "assista... |
[
{
"from": "user",
"value": "Beskou die volgende tweepersoonspeletjie. 'n Aantal klippies lê op die tafel. Twee spelers speel om die beurt. 'n Skuif behels die verwydering van $x$ klippies van die tafel af, waar $x$ die kwadraat van enige positiewe heelgetal is. Die speler wat nie 'n skuif kan maak nie, verl... |
[
{
"from": "user",
"value": "Gestel $a,\\,b,$ en $c$ is drie komplekse getalle met produk $1$. Neem aan dat geeneen van $a,\\,b,$ en $c$ reëel is of absolute waarde $1$ het nie. Definieer\n\\begin{tabular}{c c c} $p=(a+b+c)+\\left(\\dfrac 1a+\\dfrac 1b+\\dfrac 1c\\right)$ & \\text{en} & $q=\\dfrac ab+\\dfr... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bewys dat die funksie \\[ f(\\nu)= \\int_1^{\\frac{1}{\\nu}} \\frac{dx}{\\sqrt{(x^2-1)(1-\\nu^2x^2)}}\\]\n(waar die positiewe waarde van die vierkantswortel geneem word) monotonies afnemend is in die interval $ 0<\\nu<1$ . [P. Turan]"
},
{
"from": "assistant",
"value"... |
[
{
"from": "user",
"value": "Joanie neem 'n $\\$6,\\!000$ lening uit om vir haar motor te betaal. Die jaarlikse rentekoers op die lening is $12\\%$. Sy maak geen betalings vir 4 jaar nie, maar moet al die geld wat sy skuld aan die einde van 4 jaar terugbetaal. Hoeveel meer geld sal sy skuld as die rente kwar... |
[
{
"from": "user",
"value": "'n Funksie $f:[0,\\infty)\\to[0,\\infty)$ is integreerbaar en $$ \\int_0^\\infty f(x)^2 dx<\\infty,\\quad \\int_0^\\infty xf(x) dx <\\infty $$ Bewys die volgende ongelykheid. $$ \\left(\\int_0^\\infty f(x) dx \\right)^3 \\leq 8\\left(\\int_0^\\infty f(x)^2 dx \\right) \\left(\\in... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $n\\geq1$ 'n positiewe heelgetal wees. $n$ lampe word in 'n lyn geplaas. By minuut 0 is sommige lampe aan (moontlik almal van hulle). Elke minuut verander die toestand van die lampe: 'n Lamp is aan by minuut $t+1$ as en slegs as presies een van sy bure by minuut $t$ aan is (... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vir haar nulde projek by die Toorskool moet Emilia ses perfek-gevormde appelbome kweek. Eers plant sy ses boomsaailinge aan die einde van Dag $0$. Op elke dag daarna probeer Emilia haar toorkuns gebruik om elke saailing in 'n perfek-gevormde appelboom te verander, en vir elke saa... |
[
{
"from": "user",
"value": "In kwantummeganika, wanneer die interaksie tussen die elektron en die proton in 'n waterstofatoom bereken word, is dit nodig om die volgende volume-integraal (oor die hele ruimte) te bereken:\n$$\n\\mathbf{I}=\\int \\mathbf{B}(\\mathbf{r})|\\Psi(\\mathbf{r})|^{2} d V\n$$\n\nwaar ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Beskou die additiewe groep $\\mathbb{Z}^{2}$. Laat $H$ die kleinste subgroep wees wat $(3,8), (4,-1)$ en $(5,4)$ bevat.\nLaat $H_{xy}$ die kleinste subgroep wees wat $(0,x)$ en $(1,y)$ bevat. Vind 'n paar $(x,y)$ met $x>0$ sodat $H=H_{xy}$."
},
{
"from": "assistant",
... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind die som van alle positiewe heelgetalle $n$ sodat wanneer $1^3+2^3+3^3+\\cdots +n^3$ deur $n+5$ gedeel word, die res $17$ is."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem is om alle positiewe heelgetalle n te vind sodat wanneer ons die som van die derd... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vir enige positiewe heelgetal $a,$ dui $\\sigma(a)$ die som van die positiewe heelgetaldelers van $a$ aan. Laat $n$ die kleinste positiewe heelgetal wees sodat $\\sigma(a^n)-1$ deelbaar is deur $2021$ vir alle positiewe heelgetalle $a$. Vind die som van die priemfaktore in die pr... |
[
{
"from": "user",
"value": "Carl kies 'n *funksionele uitdrukking** $E$ wat 'n eindige, nie-leë string is, gevorm uit 'n stel $x_1, x_2, \\dots$ van veranderlikes en toepassings van 'n funksie $f$, saam met optelling, aftrekking, vermenigvuldiging (maar nie deling nie), en vaste reële konstantes. Hy beskou ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bereken die gemiddelde molekulêre spoed v in die ligte gas waterstof (H2) in m/s"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is om die gemiddelde molekulêre spoed van waterstofgas (H2) te bereken in meter per sekonde. Ek moet dalk die formule gebruik vir gem... |
[
{
"from": "user",
"value": "Stel jou voor 'n radioaktiewe kern X(Z,A) kan na Y(Z-2, A-4) verval deur 'n alfa-deeltjie uit te straal met 'n parsiële halfleeftyd van 3.0 minute. X(Z,A) kan ook na Q(Z+1,A) verval deur $\\beta^-$-verval met 'n parsiële halfleeftyd van 0.098 minute. As die aanvanklike aantal X-k... |
[
{
"from": "user",
"value": "Beskou enige reghoekige tabel met 'n eindige aantal rye en kolomme, met 'n reële getal $a(r, c)$ in die sel in ry $r$ en kolom $c$. 'n Paar $(R, C)$, waar $R$ 'n versameling rye is en $C$ 'n versameling kolomme, word 'n saalpaar genoem indien die volgende twee voorwaardes bevredi... |
[
{
"from": "user",
"value": "Die baan van 'n asteroïde wat naby die Aarde kom, kan soos volg gemodelleer word: verwaarloos gravitasie-effekte as gevolg van ander liggame, en aanvaar dat die asteroïde van ver af inkom met 'n sekere spoed $v$ en hefboomarmafstand $r$ tot die Aarde se middelpunt. Op 26 Januarie... |
[
{
"from": "user",
"value": "2 mol $\\mathrm{Hg}(g)$ word verbrand in 'n bomkalorimeter met 'n vaste volume met 'n oormaat $\\mathrm{O}_{2}$ by $298 \\mathrm{~K}$ en 1 atm om $\\mathrm{HgO}(s)$ te vorm. Gedurende die reaksie styg die temperatuur van $298.0 \\mathrm{~K}$ na $312.8 \\mathrm{~K}$. Indien die hi... |
[
{
"from": "user",
"value": "B.4 As $\\Delta E_{r m s}=5.54 \\times 10^{-17} \\mathrm{~J}$, bereken die wgk-spoed van die Be-kerne, $\\mathrm{V}_{\\mathrm{Be}}$, en beraam dus $T_{\\mathrm{c}}$. (Wenk: $\\Delta E_{r m s}$ hang af van die wgk-waarde van die komponent van snelheid langs die siglyn)."
},
{
... |
[
{
"from": "user",
"value": "$(BEL 5)$ Laat $G$ die swaartepunt van die driehoek $OAB$ wees. $(a)$ Bewys dat alle keëlsneë wat deur die punte $O,A,B,G$ gaan, hiperbole is. $(b)$ Vind die lokus van die middelpunte van hierdie hiperbole."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>So, die... |
[
{
"from": "user",
"value": "10) Die handvatsel van 'n gelling melk is verstop weens 'n vervaardigingsfout. Nadat die doppie verwyder is en van die melk uitgegooi is, is die vlak van die melk in die hoofgedeelte van die beker laer as in die handvatsel, soos in die figuur getoon. Watter stelling is waar van d... |
[
{
"from": "user",
"value": "Die rye reële getalle $\\left\\{a_{i}\\right\\}_{i=1}^{\\infty}$ en $\\left\\{b_{i}\\right\\}_{i=1}^{\\infty}$ voldoen aan $a_{n+1}=\\left(a_{n-1}-1\\right)\\left(b_{n}+1\\right)$ en $b_{n+1}=a_{n} b_{n-1}-1$ vir $n \\geq 2$, met $a_{1}=a_{2}=2015$ en $b_{1}=b_{2}=2013$. Evalueer... |
[
{
"from": "user",
"value": "Gegee is reële getalle $x, y$. Vir enige paar reële getalle $a_{0}, a_{1}$, definieer 'n ry deur $a_{n+2}=x a_{n+1}+y a_{n}$ vir $n \\geq 0$. Veronderstel dat daar 'n vaste nie-negatiewe heelgetal $m$ bestaan sodat, vir elke keuse van $a_{0}$ en $a_{1}$, die getalle $a_{m}, a_{m+... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $\\omega$ 'n niereële wortel van $x^3 = 1$ wees, en laat\n\\[\\mathbf{M} = \\begin{pmatrix} -\\omega^2 & - \\omega \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}.\\]Bepaal die som van die inskrywings van $\\mathbf{M} + \\mathbf{M}^2 + \\mathbf{M}^3 + \\dots + \\mathbf{M}^{2009}.$"
},
{
"... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind die aantal permutasies van $1, 2, 3, 4, 5, 6$ sodat vir elke $k$ met $1$ $\\leq$ $k$ $\\leq$ $5$ , ten minste een van die eerste $k$ terme van die permutasie groter is as $k$ ."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem is om die aantal permutasies ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind kontinue funksies $x(t),\\ y(t)$ sodat\n $\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ x(t)=1+\\int_{0}^{t}e^{-2(t-s)}x(s)ds$\n $\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ y(t)=\\int_{0}^{t}e^{-2(t-s)}\\{2x(s)+3y(s)\\}ds$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek het hierdie twee integraalve... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $P(x)$ 'n polinoom met heelgetalkoëffisiënte wees wat voldoen aan $P(17)=10$ en $P(24)=17.$ Gegewe dat $P(n)=n+3$ twee verskillende heelgetaloplossings $n_1$ en $n_2$ het, vind die produk $n_1\\cdot n_2.$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem s... |
[
{
"from": "user",
"value": "Segmente $\\overline{AB}, \\overline{AC},$ en $\\overline{AD}$ is sye van 'n kubus en $\\overline{AG}$ is 'n diagonaal deur die middel van die kubus. Punt $P$ voldoen aan $BP=60\\sqrt{10}$ , $CP=60\\sqrt{5}$ , $DP=120\\sqrt{2}$ , en $GP=36\\sqrt{7}$ . Vind $AP.$"
},
{
"fr... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $(a_i)_{1\\le i\\le2015}$ 'n ry wees wat bestaan uit $2015$ heelgetalle, en laat $(k_i)_{1\\le i\\le2015}$ 'n ry wees van $2015$ positiewe heelgetalle (positiewe heelgetal sluit $0$ uit). Laat $$ A=\\begin{pmatrix}a_1^{k_1}&a_1^{k_2}&\\cdots&a_1^{k_{2015}}a_2^{k_1}&a_2^{k_2}... |
[
{
"from": "user",
"value": "Ana, Bob en Cao ry fiets teen konstante spoed van onderskeidelik $8.6$ meter per sekonde, $6.2$ meter per sekonde en $5$ meter per sekonde. Hulle begin almal op dieselfde tyd fietsry vanaf die noordoostelike hoek van 'n reghoekige veld waarvan die langer sy reg wes loop. Ana begi... |
[
{
"from": "user",
"value": "Beskou die heelgetal \\[N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \\cdots + \\underbrace{99\\ldots 99}_\\text{321 syfers}.\\] Vind die som van die syfers van $N$ ."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem is om die som van die syfers van N te vind, waar N die som is v... |
[
{
"from": "user",
"value": "'n Deeltjie is op die koördinaatvlak by $(5,0)$ geleë. Definieer 'n skuif vir die deeltjie as 'n antikloksgewyse rotasie van $\\pi/4$ radiale om die oorsprong, gevolg deur 'n translasie van $10$ eenhede in die positiewe $x$-rigting. Gegewe dat die deeltjie se posisie na $150$ sku... |
[
{
"from": "user",
"value": "Hoeveel positiewe heelgetalle minder as 10 000 het hoogstens twee verskillende syfers?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is: hoeveel positiewe heelgetalle minder as 10 000 het hoogstens twee verskillende syfers? Hmm, ek moet seker wees wat die vraa... |
[
{
"from": "user",
"value": "Identifiseer die finale produk wat vorm wanneer siklobutiel(siklopropiel)metanol met fosforsuur in water reageer.\nAntwoordkeuses:\n(A) [1,1'-bi(siklobutaan)]-1-een\n(B) 1,2-dimetielsikloheksa-1,4-dieen\n(C) 1,2,3,4,5,6-heksahidropentaleen\n(D) spiro[3.4]okt-5-een"
},
{
"... |
[
{
"from": "user",
"value": "Daar is 'n C-NOT-hek waar die voorwaarde is dat die eerste beheer-kwantumbis in die toestand \\left|0\\right\\rangle moet wees.\n\\left|\\psi\\right\\rangle =\\left(\\alpha\\left|0\\right\\rangle +\\beta\\left|1\\right\\rangle -\\gamma\\left|1\\right\\rangle \\right)\\varotimes\\... |
[
{
"from": "user",
"value": "'n Ideale gas word uitgebrei van $\\left(\\mathrm{p}_{1}, \\mathrm{~V}_{1}, \\mathrm{~T}_{1}\\right)$ na $\\left(\\mathrm{p}_{2}, \\mathrm{~V}_{2}, \\mathrm{~T}_{2}\\right)$ onder verskillende toestande. Die korrekte stelling(s) onder die volgende is/is\n\n[A] Die arbeid verrig o... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $ f: Z \\to Z$ sodanig wees dat $ f(1) \\equal{} 1, f(2) \\equal{} 20, f(\\minus{}4) \\equal{} \\minus{}4$ en $ f(x\\plus{}y) \\equal{} f(x) \\plus{}f(y)\\plus{}axy(x\\plus{}y)\\plus{}bxy\\plus{}c(x\\plus{}y)\\plus{}4 \\forall x,y \\in Z$ , waar $ a,b,c$ konstantes is.\n\n(a... |
[
{
"from": "user",
"value": "(d) Druk $\\frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ en $\\frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ uit in terme van $U$, waar $U=-\\frac{G M_{1}}{\\rho_{1}}-\\frac{G M_{2}}{\\rho_{2}}-\\frac{\\omega^{2}}{2}\\left(x^{2}+y^{2}\\right)$."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag vra om die t... |
[
{
"from": "user",
"value": "'n Trein met 'n deursnee-oppervlakte $S_{t}$ beweeg teen 'n spoed $v_{t}$ binne-in 'n lang tonnel met 'n deursnee-oppervlakte $S_{0}\\left(S_{0}=4 S_{t}\\right)$. Aanvaar dat byna al die lug (digtheid $\\rho$) voor die trein terugvloei tussen sy kante en die wande van die tonnel.... |
[
{
"from": "user",
"value": "’n IPv4-pakkie bevat die volgende data (in heksadesimale waarde) in die IP-kop: 4500 0034 B612 4000 4006 6F80 0A00 008B 5BC6 AEE0 . Bevat die kop ’n fout?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek moet kyk na die IPv4-pakkie se kop en bepaal of daar 'n fout in is... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bewys dat as elke subruimte van 'n Hausdorff-ruimte $X$ $\\sigma$-kompak is, dan is $X$ telbaar."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is: Bewys dat as elke subruimte van 'n Hausdorff-ruimte X sigma-kompak is, dan is X telbaar. Hmm. Eerstens moet ek se... |
[
{
"from": "user",
"value": "Daar is 'n positiewe reële getal $x$ wat nie gelyk is aan óf $\\tfrac{1}{20}$ óf $\\tfrac{1}{2}$ nie, sodat \\[\\log_{20x} (22x)=\\log_{2x} (202x).\\] Die waarde $\\log_{20x} (22x)$ kan geskryf word as $\\log_{10} (\\tfrac{m}{n})$, waar $m$ en $n$ relatief priem positiewe heelget... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $\\theta$ 'n konstante getal wees sodat $0\\leq \\theta \\leq \\pi.$\nEvalueer\n\n\\[ \\int_0^{2\\pi} \\sin 8x|\\sin (x-\\theta)|\\ dx. \\]"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek moet die integraal evalueer van 0 tot 2π van sin(8x) maal die absolute waard... |
[
{
"from": "user",
"value": "Sê dat 'n heelgetal $A$ lekker is indien daar verskeie opeenvolgende heelgetalle, insluitend $A$, bestaan wat se som 2014 is. Wat is die kleinste lekker heelgetal?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem sê dat 'n heelgetal A \"lekker\" is as daar ver... |
[
{
"from": "user",
"value": "In driehoek $ABC$, sny swaartelyne $AD$ en $CE$ mekaar by $P$, $PE=1.5$, $PD=2$, en $DE=2.5$. Wat is die oppervlakte van $AEDC$?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek het hierdie probleem oor driehoek ABC waar die swaartelyne AD en CE mekaar sny by P. Hulle g... |
[
{
"from": "user",
"value": "Rangskik die nukleofiele (1. 4-metielsikloheksan-1-olaat, 2. Hidroksied, 3. Propionaat, 4. Metanol, 5. Etaantiolaat) in volgorde van afnemende reaktiwiteit in 'n waterige oplossing (A). Kies ook die korrekte opsie uit die volgende stellings (B).\n\n1. In 'n substitusiereaksie, as... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat\n\\[\\mathbf{A} = \\renewcommand{\\arraystretch}{1.5} \\begin{pmatrix} \\frac{\\sqrt{3}}{2} & 0 & -\\frac{1}{2} \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ \\frac{1}{2} & 0 & \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\end{pmatrix} \\renewcommand{\\arraystretch}{1}.\\]Bereken $\\mathbf{A}^{2018}.$"
},
{
"from"... |
[
{
"from": "user",
"value": "Wesyu is 'n boer, en sy is besig om 'n cao-weikamp ('n familielid van die koei) te bou. Sy begin met 'n driehoek $A_{0} A_{1} A_{2}$ waar hoek $A_{0}$ $90^{\\circ}$ is, hoek $A_{1}$ $60^{\\circ}$ is, en $A_{0} A_{1}$ is 1. Sy brei dan die weikamp uit. Eerstens verleng sy $A_{2} A... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat 'n omgewingsbasis van 'n punt $x$ op die reële lyn bestaan uit alle Lebesgue-meetbare versamelings wat $x$ bevat en waarvan die digtheid by $x$ gelyk is aan $1$. Toon aan dat hierdie vereiste 'n topologie definieer wat reëlmatig is, maar nie normaal nie.\n\n*A. Csaszar*"
}... |
[
{
"from": "user",
"value": "Patchouli skryf 'n eksamen met $k > 1$ dele, genommer Deel $1, 2, \\dots, k$. Dit is bekend dat vir $i = 1, 2, \\dots, k$, Deel $i$ bevat $i$ meervoudigekeuse-vrae, elkeen met $(i+1)$ antwoordkeuses. Dit is bekend dat as sy elke liewe vraag lukraak raai, is die waarskynlikheid da... |
[
{
"from": "user",
"value": "Jackie en Phil het twee regverdige munte en 'n derde muntstuk wat met 'n waarskynlikheid van $\\frac47$ op kop val. Jackie gooi die drie munte, en dan gooi Phil die drie munte. Laat $\\frac {m}{n}$ die waarskynlikheid wees dat Jackie dieselfde aantal koppe as Phil kry, waar $m$ e... |
[
{
"from": "user",
"value": "'n Stilstaande bron stuur klank uit met 'n frekwensie van $f_{0}=492 \\mathrm{~Hz}$. Die klank word weerkaats deur 'n groot motor wat die bron nader teen 'n spoed van $2 \\mathrm{~ms}^{-1}$. Die weerkaatste sein word deur die bron ontvang en met die oorspronklike gesuperponeer. W... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $S$ die versameling heelgetalle wees tussen 1 en $2^{40}$ waarvan die binêre uitbreidings presies twee 1'e het. As 'n getal ewekansig uit $S$ gekies word, is die waarskynlikheid dat dit deelbaar is deur 9 gelyk aan $p/q$, waar $p$ en $q$ relatief priem positiewe heelgetalle ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind die kleinste positiewe heelgetal $m$ sodat $m^2 - m + 11$ die produk is van minstens vier nie noodwendig verskillende priemgetalle."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem is om die kleinste positiewe heelgetal m te vind sodat m² - m + 11 die pro... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $P$ die versameling van alle geordende pare $ \\left(p,q\\right)$ van nie-negatiewe heelgetalle aandui. Vind alle funksies $f: P \\rightarrow \\mathbb{R}$ wat voldoen aan\n\\[ f(p,q) \\equal{} \\begin{cases} 0 & \\text{as} \\; pq \\equal{} 0, \n1 \\plus{} \\frac{1}{2} f(p+1,... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $a_{1}, a_{2}, \\ldots$ 'n ry van positiewe heelgetalle wees sodat vir heelgetalle $n>2, a_{n}=$ $3 a_{n-1}-2 a_{n-2}$. Hoeveel sulke rye $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ is daar sodat $a_{2010} \\leq 2^{2012}$ ?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem... |
[
{
"from": "user",
"value": "'n Regte reghoekige prisma $P_{}$ (d.w.s., 'n reghoekige blok) het sylengtes van heelgetalle $a, b, c,$ met $a\\le b\\le c.$ 'n Vlak parallel aan een van die vlakke van $P_{}$ sny $P_{}$ in twee prismas, waarvan een gelykvormig is aan $P_{},$ en beide het 'n nie-nul volume. Gegew... |
[
{
"from": "user",
"value": "Driehoek $ABC_0$ het 'n regte hoek by $C_0$. Sy sylengtes is paarsgewys relatief priem positiewe heelgetalle, en sy omtrek is $p$. Laat $C_1$ die voet van die hoogtelyn na $\\overline{AB}$ wees, en vir $n \\geq 2$, laat $C_n$ die voet van die hoogtelyn na $\\overline{C_{n-2}B}$ i... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind die agtste term van die ry $1440,$ $1716,$ $1848,\\ldots,$ waarvan die terme gevorm word deur die ooreenstemmende terme van twee rekenkundige rye te vermenigvuldig."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem sê dat daar 'n ry is: 1440, 1716, 1848, .... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind die aantal heeltallige waardes van $k$ in die geslote interval $[-500,500]$ waarvoor die vergelyking $\\log(kx)=2\\log(x+2)$ presies een reële oplossing het."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem is om die aantal heelgetalwaardes van k in die i... |
[
{
"from": "user",
"value": "Gegewe dat positiewe heelgetalle $a,b$ voldoen aan \\[\\frac{1}{a+\\sqrt{b}}=\\sum_{i=0}^\\infty \\frac{\\sin^2\\left(\\frac{10^\\circ}{3^i}\\right)}{\\cos\\left(\\frac{30^\\circ}{3^i}\\right)},\\] waar alle hoeke in grade is, bereken $a+b$.\n\n*2021 CCA Math Bonanza Spanronde #1... |
[
{
"from": "user",
"value": "Noem 'n positiewe heelgetal $N$ 'n $\\textit{7-10 dubbel}$ as die syfers van die basis-7-voorstelling van $N$ 'n basis-10-getal vorm wat twee keer $N$ is. Byvoorbeeld, $51$ is 'n 7-10 dubbel omdat sy basis-7-voorstelling $102$ is. Wat is die grootste 7-10 dubbel?"
},
{
"f... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vir 'n sekere heelgetal $m$ , het die polinoom $x^3 - 2011x + m$ die drie heelgetalwortels $a$ , $b$ , en $c$ . Vind $|a| + |b| + |c|$ ."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem sê vir 'n sekere heelgetal m, het die polinoom x³ - 2011x + m drie heelget... |
[
{
"from": "user",
"value": "Vind alle getalle $ n $ waarvoor daar drie (nie noodwendig verskillende) eenheidswortels van orde $ n $ bestaan waarvan die som $ 1 $ is."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is om alle getalle n te vind waar daar drie eenheidswortels van orde n is (n... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $S = \\{2^0,2^1,2^2,\\ldots,2^{10}\\}$ . Beskou al die moontlike positiewe verskille van pare elemente van $S$ . Laat $N$ die som van al hierdie verskille wees. Vind die res wanneer $N$ deur $1000$ gedeel word."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die prob... |
[
{
"from": "user",
"value": "a. Lei 'n uitdrukking af vir die afwyking van die kompas, $\\delta \\theta$, vanaf noord as 'n funksie van $K_{b}$, $K_{s}$, en $\\theta$."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag vra vir 'n uitdrukking vir die afwyking van die kompas, δθ, as 'n funksie v... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bewys dat die som van die kwadrate van enige drie onderling verskillende positiewe onewe heelgetalle voorgestel kan word as die som van die kwadrate van ses (nie noodwendig verskillende nie) positiewe heelgetalle."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die proble... |
[
{
"from": "user",
"value": "Elke eenheidsvierkant van 'n 3-by-3 eenheidsvierkantrooster moet óf blou óf rooi gekleur word. Vir elke vierkant is enige kleur ewe waarskynlik om gebruik te word. Die waarskynlikheid om 'n rooster te verkry wat nie 'n 2-by-2 rooi vierkant het nie, is $\\frac {m}{n}$, waar $m$ en... |
[
{
"from": "user",
"value": "Die funksie $f$ , gedefinieer op die versameling van geordende pare van positiewe heelgetalle, voldoen aan die volgende eienskappe: \\[f(x, x) = x,\\; f(x, y) = f(y, x), {\\rm \\ and\\ } (x+y)f(x, y) = yf(x, x+y).\\] Bereken $f(14,52)$ ."
},
{
"from": "assistant",
"va... |
[
{
"from": "user",
"value": "Jon en Steve ry met hulle fietse op 'n paadjie wat parallel loop met twee spoorlyne, langs mekaar, wat in 'n oos/wes rigting strek. Jon ry oos teen $20$ myl per uur, en Steve ry wes teen $20$ myl per uur. Twee treine van gelyke lengte, wat in teenoorgestelde rigtings teen konstan... |
[
{
"from": "user",
"value": "Los die blokkiesraaisel op. Jy word 'n leidraad as inset gegee en die aantal letters tussen hakies.\n\nOpgemerkte geringe veranderinge in ondersoekers se fasiliteit (8,4)"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die raaisel is 'n blokkiesraaisel waar ek 'n leidraad... |
[
{
"from": "user",
"value": "Neutrino's is uiters ligte deeltjies en tree selde in wisselwerking met materie. Die Son straal neutrino's uit, elk met 'n energie van $8 \\times 10^{-14} \\mathrm{~J}$ en bereik 'n fluksdigtheid van $10^{11}$ neutrino's $/\\left(\\mathrm{s} \\mathrm{cm}^{2}\\right)$ by die Aarde... |
[
{
"from": "user",
"value": "In driehoek $ABC$ is $\\tan \\angle CAB = 22/7$ , en die hoogtelyn vanaf $A$ verdeel $BC$ in segmente met lengtes $3$ en $17$ . Wat is die oppervlakte van driehoek $ABC$ ?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek het 'n driehoek ABC waarvan die tan van hoek CAB ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Veronderstel die kodewoord wat ons gebruik om 'n stogastiese veranderlike X te beskryf, begin altyd met 'n simbool gekies uit die versameling {7, 8, 9}, gevolg deur binêre syfers {0, 1}. Dus het ons 'n ternêre kode vir die eerste simbool en binêr daarna. Gee die optimale uniek de... |
[
{
"from": "user",
"value": "Die hoekpunte van 'n reëlmatige negehoek (9-sydige veelhoek) moet met die syfers 1 tot 9 gemerk word sodanig dat die som van die getalle op elke drie opeenvolgende hoekpunte 'n veelvoud van 3 is. Twee aanvaarbare rangskikkings word as ononderskeibaar beskou indien die een van die... |
[
{
"from": "user",
"value": "Gary het 'n groot drankie gekoop, maar het slegs $m/n$ daarvan gedrink, waar $m$ en $n$ relatief priem positiewe heelgetalle is. As hy die helfte soveel gekoop het en twee keer soveel gedrink het, sou hy slegs $2/9$ soveel drankie vermors het. Vind $m+n$."
},
{
"from": "a... |
[
{
"from": "user",
"value": "Elke roosterpunt met nie-negatiewe koördinate word met 'n nie-negatiewe heelgetal geëtiketteer op so 'n manier dat die punt $(0,0)$ met 0 geëtiketteer word, en vir elke $x, y \\geq 0$, is die versameling van die etikette op die punte $(x, y),(x, y+1)$, en $(x+1, y)$ gelyk aan \\{... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $f(x)$ die produk wees van funksies wat gemaak word deur vier funksies herhaaldelik uit drie funksies $x,\\ \\sin x,\\ \\cos x$ te neem. Vind die minimum waarde van $\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}f(x)\\ dx.$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem s... |
[
{
"from": "user",
"value": "a. Wat is die elektriese potensiaal by 'n hoek van dieselfde kubus? Skryf jou antwoord in terme van $\\rho, a, \\epsilon_{0}$, en enige nodige numeriese konstantes."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is oor die elektriese potensiaal by 'n hoek van '... |
[
{
"from": "user",
"value": "Beskou Konvolusionele Neurale Netwerk D2 wat insetbeelde van grootte 32x32 met 1 kleurkanaal neem. Die eerste laag van D2 gebruik 4 filters van grootte 5x5, 'n stapgrootte van 2, en nulvulling met 'n wydte van 1. Beskou CNN D2 wat insetbeelde van grootte 32x32 met 1 kleurkanaal n... |
[
{
"from": "user",
"value": "Presies 2/5de van die kinders in 'n sekere klas is meisies. As daar 100 seuns in die klas is, hoeveel meisies is daar in die klas?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die probleem sê dat presies 2/5de van die kinders in 'n klas meisies is, en daar is 100 seuns... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bepaal die kleinste positiewe heelgetal $A$ met 'n onewe aantal syfers en die eienskap dat beide $A$ en die getal $B$, wat geskep word deur die middelste syfer van die getal $A$ te verwyder, deelbaar is deur $2018$."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek moet ... |
[
{
"from": "user",
"value": "In driehoek $ABC,$ as mediaan $\\overline{AD}$ 'n hoek van $45^\\circ$ maak met sy $\\overline{BC},$ vind dan die waarde van $|\\cot B - \\cot C|.$"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek het 'n driehoek ABC waar die mediaan AD 'n hoek van 45 grade maak met sy ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Gestel 'n student wat versiende is, dra 'n bril wat hom toelaat om op 'n afstand van 20cm van sy oë tot by die boek te lees. Sy nabypuntafstand is 63cm. As sy bril 1.5cm van sy oë af is, wat is die brekingskrag van sy brillense?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<t... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bereken $\\sum_{k=1}^{1007}\\left(\\cos \\left(\\frac{\\pi k}{1007}\\right)\\right)^{2014}$."
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Die vraag is om die som van k=1 tot 1007 van cos(πk/1007) tot die mag van 2014 te bereken. Hmm, dis nogal 'n hoë mag en 'n groot aa... |
[
{
"from": "user",
"value": "Bepaal watter stel van die onderstaande toestande slegs verstrengelde toestande is:\n(a) (1/√30)* (|00>+ 2i|01>− 3|10>− 4i|11>)\n(b) (1/5)* (|00>+ 2i|01>− 2|10>− 4i|11>)\n(c) (1/2)(|00>+ |01>+|10>− |11>)\n(d) (1/2)(|00>+ |01>-|10>− |11>)\nAntwoordkeuses:\n(A) b,d\n(B) a,c\n(C) c,... |
[
{
"from": "user",
"value": "Driehoek $ABC$ het sylengtes $AB = 9$ , $BC =$ $5\\sqrt{3}$ , en $AC = 12$ . Punte $A = P_{0}, P_{1}, P_{2}, ... , P_{2450} = B$ is op lynstuk $\\overline{AB}$ met $P_{k}$ tussen $P_{k-1}$ en $P_{k+1}$ vir $k = 1, 2, ..., 2449$ , en punte $A = Q_{0}, Q_{1}, Q_{2}, ... , Q_{2450} ... |
[
{
"from": "user",
"value": "Laat $L$ die lyn wees met helling $\\frac{5}{12}$ wat die punt $A = (24,-1)$ bevat, en laat $M$ die lyn wees loodreg op lyn $L$ wat die punt $B = (5,6)$ bevat. Die oorspronklike koördinaat-asse word uitgevee, en lyn $L$ word die $x$-as gemaak en lyn $M$ die $y$-as. In die nuwe ko... |
[
{
"from": "user",
"value": "Die ontbindingsreaksie $2 \\mathrm{~N}_{2} \\mathrm{O}_{5}(g) \\stackrel{\\Delta}{\\rightarrow} 2 \\mathrm{~N}_{2} \\mathrm{O}_{4}(g)+\\mathrm{O}_{2}(g)$ word in 'n geslote silinder onder isotermiese, isochoriese toestande by 'n aanvanklike druk van $1 \\mathrm{~atm}$ begin. Na $... |
[
{
"from": "user",
"value": "Die meerderheid van sterre in ons Melkweg vorm en ontwikkel in meervoudige sterrestelsels. Hieronder word vyf potensiële meervoudige sterrestelsels voorgestel. Hoeveel van hierdie stelsels kan saam bestaan?\n\nW Virginis-tipe ster, G2V, M4V, RGB-ster(1.5Msun)\n\nWD (B5 toe op die... |
[
{
"from": "user",
"value": "Voer 2 iterasies uit met die Müller-metode vir die volgende vergelyking: log_{10}(x) - x + 3 = 0, x_0 = 1/4, x_1 = 1/2, x_2 = 1. Wat is die desimale waarde van x_3?"
},
{
"from": "assistant",
"value": "<think>Ek moet die Müller-metode toepas op die vergelyking log₁₀(x... |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.