Datasets:
problem
stringlengths 3
4.13k
| answer
stringlengths 1
159
| solution
stringlengths 25
4.39k
| unit
stringclasses 116
values | level
stringclasses 6
values | type
stringclasses 7
values |
|---|---|---|---|---|---|
次の関数を考える： \[f(x) = \left\{
\begin{array}{cl} ax+3, &\text{}x>2\text{のとき}, \\
x-5 &\text{ } -2 \le x \le 2\text{のとき}, \\
2x-b &\text{ } x < -2\text{のとき}.
\end{array}
\right.\]
区分的に定義された関数が連続である（つまり、グラフを紙から鉛筆を離さずに描ける）とき，$a+b$ の値を求めよ。
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0
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区分的に定義された関数が連続であるためには、各区間の境界 $x=2$ と $x=-2$ で関数の値が一致する必要がある。
まず、$x=2$ において $ax+3$ と $x-5$ が等しくなければならない。すなわち、$a(2)+3 = 2-5$ である。これを解くと、$2a+3 = -3$ より $2a = -6$ となり $a = -3$ を得る。
次に、$x=-2$ において $x-5$ と $2x-b$ が等しくなければならない。すなわち、$-2-5 = 2(-2)-b$ である。これを解くと、$-7 = -4 - b$ より $-b = -3$ となり $b = 3$ を得る。
したがって、$a+b = -3 + 3 = \boxed{0}$ である。
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微分
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Level 5
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Algebra
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長方形の帯状隊形とは、$r$ 行それぞれに $m$ 人のバンドメンバーが並ぶ隊形のことであり、$m$ と $r$ は整数である。あるバンドは100人未満のメンバーがいる。監督は彼らを長方形の隊形に並べようとすると、2人のメンバーが余ってしまう。もし各行のメンバー数を1人増やし、行の数を2減らすと、新しい隊形ではちょうど全メンバーが収まる。バンドのメンバー数として考えられる最大の人数はいくらか？
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98
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最初の隊形で余りが出たとき、各行のメンバー数を $x$ とする。与えられた情報から2つの方程式が立てられる：
$$rx+2=m$$
$$(r-2)(x+1)=m$$
これらを等しいと置くと、
$$rx+2=(r-2)(x+1)=rx-2x+r-2$$
$$2=-2x+r-2$$
$$4=r-2x$$
バンドのメンバーは100人未満である。最初の式より、$rx$ は98未満でなければならない。最後の式について $r$ と $x$ の値をいくつか推測して確かめてみる。$r=18$ とすると $x=7$ となり、$rx=126$ で大きすぎる。$r=16$ とすると $x=6$ となり、$rx=96$ で98未満である。2番目の隊形で確認すると、$(16-2)(6+1)=14\cdot 7=98$ となり、条件を満たす。これが最大であるため、バンドのメンバー数として考えられる最大の人数は $\boxed{98}$ である。
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二次方程式
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Level 5
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Algebra
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多項式 $(4 +5x^3 +100 +2\pi x^4 + \sqrt{10}x^4 +9)$ の次数はいくつですか？
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4
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この多項式は標準形で書かれていません。しかし、標準形に書き直す必要はなく、係数に注意を払う必要もありません。単に $x$ の指数を見ればよいです。$x^4$ の項があり、それより高い次数の項は存在しないので、この多項式の次数は $\boxed{4}$ です。
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数と式
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Level 3
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Algebra
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次の式を計算せよ：$\left\lceil3\left(6-\frac12\right)\right\rceil$。
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17
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まず、$3\left(6-\frac12\right)=18-1-\frac12=17-\frac12$ である。$0\le\frac12<1$ なので、$\left\lceil17-\frac12\right\rceil=\boxed{17}$ となる。
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数と式
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Level 3
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Algebra
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サムは20日間の期間で雇用されました。働いた日には1日あたり\$60を稼ぎます。働かなかった日には、稼ぎから\$30が差し引かれます。20日間の期間終了時、彼は\$660を受け取りました。彼は何日働かなかったでしょうか。
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6
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サムが働いた日数を $x$、働かなかった日数を $y$ とします。与えられた情報を表すために、次の連立方程式を立てることができます。
\begin{align*}
x+y &= 20 \\
60x - 30y &= 660
\end{align*}
最初の式はサムが働く総日数を表し、2番目の式は彼の総利益を表します。最初の式から $x = 20 - y$ となります。これを2番目の式に代入すると、$60(20-y) - 30y = 660$ となります。両辺を10で割り、展開すると $120 - 6y - 3y = 66$ となります。これを整理すると $-9y = -54$、すなわち $y = 6$ となります。したがって、サムは働かなかった日数は $\boxed{6}$ 日です。
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連立方程式
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Level 3
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Algebra
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円 $x^2 - 6x + y^2 + 2y = 9$ の中心を求めよ。
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(3, -1)
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平方完成すると、$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 19$ となる。よって、この円の中心は $\boxed{(3, -1)}$ である。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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すべての $q>0$ に対して、不等式 $$ rac{3(pq^2+p^2q+3q^2+3pq)}{p+q}>2p^2q$$ が成り立つような $p$ の値の範囲を求めなさい。答えは区間表記で小数形式で表しなさい。
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[0,3)
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まず、複雑な式を整理する。左辺の分子を因数分解してみると、
\begin{align*}
pq^2+p^2q+3q^2+3pq &= q(pq + p^2 + 3q + 3p) \\
&= q[ p(q+p) + 3(q+p) ] \\
&= q(p+3)(q+p).
\end{align*}
これを元の不等式の分子に代入すると、
$$\frac{3q(p+3)(p+q)}{p+q}>2p^2q.$$
左辺の分子と分母に $p+q$ が共通していることに注意する。この項は $p+q \neq 0$ のときのみ約分できる。不等式がすべての $q > 0$ で成り立つような $p$ の値を求めたいので、$p + q \neq 0$ となるために $p \geq 0$ が必要である。
また、この不等式がすべての $q>0$ で成り立たなければならないので、両辺の $q$ を約分できる。これにより、
\begin{align*}
3(p+3)&>2p^2\Rightarrow\\
3p+9&>2p^2 \Rightarrow\\
0&>2p^2-3p-9.
\end{align*}
次に、この二次不等式を解く。二次式 $2p^2-3p-9$ は因数分解すると $(2p+3)(p-3)$ となる。根は $p=3$ と $p=-1.5$ である。この放物線は上に凸なので、$2p^2 - 3p - 9$ の値が根の間で負になる。したがって、不等式の解は $-1.5<p<3$ である。ただし、先の条件 $0 \leq p$ も考慮すると、区間表記で答えは $\boxed{[0,3)}$ となる。
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二次不等式
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Level 5
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Algebra
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$x = 2$、$y = 5$ のとき、$\frac{x^4+2y^2}{6}$ の値を求めよ。
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11
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\[\frac{x^4 + 2y^2}{6} = \frac{2^4 + 2(5^2)}{6} = \frac{16+2(25)}{6} = \frac{16+50}{6} = \frac{66}{6} = \boxed{11}.\]
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数と式
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Level 1
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Algebra
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次の図のように、正方形の列と2つの正方形の列それぞれに並んだ整数の並びは、それぞれが異なる等差数列を形成しています。$N$の値を求めなさい。
[asy]
unitsize(0.35inch);
draw((0,0)--(7,0)--(7,1)--(0,1)--cycle);
draw((1,0)--(1,1));
draw((2,0)--(2,1));
draw((3,0)--(3,1));
draw((4,0)--(4,1));
draw((5,0)--(5,1));
draw((6,0)--(6,1));
draw((6,2)--(7,2)--(7,-4)--(6,-4)--cycle);
draw((6,-1)--(7,-1));
draw((6,-2)--(7,-2));
draw((6,-3)--(7,-3));
draw((3,0)--(4,0)--(4,-3)--(3,-3)--cycle);
draw((3,-1)--(4,-1));
draw((3,-2)--(4,-2));
label("21",(0.5,0.8),S);
label("14",(3.5,-1.2),S);
label("18",(3.5,-2.2),S);
label("$N$",(6.5,1.8),S);
label("-17",(6.5,-3.2),S);
[/asy]
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-7
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$18 - 14 = 4$なので、左の列の正方形の等差数列の公差は$4$です。したがって、14の上の数は$14 - 4 = 10$であり、10の上の数は$10 - 4 = 6$となります。これはまた、横の列の4番目の数でもあるので、横の列の公差は$(6 - 21)/3 = -5$です。
すると、横の列の7番目（最後）の数は$21 - 5 \cdot 6 = -9$です。右の列では、公差は$[(-17) - (-9)]/4 = -2$なので、$N = -9 - (-2) = \boxed{-7}$となります。
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数列
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Level 2
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Algebra
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ティムは年利 $7\%$ で四半期ごとに複利計算する銀行にお金を投資したいと考えています。彼が $5$ 年後に合計 $\$60,\!000$ を手にしたい場合、最も近いドル単位でいくら投資すればよいでしょうか？
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\$42409
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公式 $A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$ を思い出します。ここで $A$ は最終残高、$P$ は元本、$r$ は年利、$t$ は年数、$n$ は1年間の複利計算回数です。この公式は、利息が $1/n$ 年ごとに利率 $r/n$ で複利計算されることを表しています。
与えられた情報を代入すると、
\[60,\!000=P\left(1+\frac{0.07}{4}\right)^{4 \cdot 5}.\]
$P$ について解くと、$P=42409.474...$ となり、最も近いドル単位に四捨五入すると $\boxed{\$42409}$ です。
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指数・対数
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Level 5
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Algebra
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点 $(9, -5)$ と $(-3, -1)$ はある円の直径の両端の点である。この円の中心の座標の和はいくつか。
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0
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円の中心は任意の直径の中点に位置する。したがって、円の中心は $\left(\frac{9+(-3)}{2}, \frac{(-5)+(-1)}{2}\right) = (3, -3)$ である。よって、円の中心の座標の和は $3 + (-3) = \boxed{0}$ となる。
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平面上の曲線と複素数平面
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Level 3
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Algebra
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与えられた関数を考える：
$$
\begin{array}{ccc}
f(x) & = & 5x^2 - \frac{1}{x}+ 3\\
g(x) & = & x^2-k
\end{array}
$$
もし $f(2) - g(2) = 2$ ならば、$k$ の値は何か？
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\frac{-33}{2}
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$f(2) = 5(2)^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{45}{2}$ および $g(2) = (2)^2 - k = 4 - k$ を代入する。すると $f(2) - g(2) = 2$ より $\frac{45}{2} - 4 + k = 2$ となる。$k$ について解くと、$k = \frac{4}{2} - \frac{45}{2} + \frac{8}{2}$ となり、$\boxed{k = \frac{-33}{2}}$ を得る。
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数と式
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Level 4
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Algebra
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ベランジェールとアメリカからの交換留学生エミリーはパリにあるベーカリーにいます。この店はユーロとアメリカドルの両方を受け付けます。彼女たちはケーキを買いたいのですが、どちらも十分なお金を持っていません。ケーキの値段が6ユーロで、エミリーは5ドル札を持っているとき、1ユーロ＝1.25 USD とすると、ベランジェールはケーキ代のうち何ユーロを負担する必要がありますか？
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2 \text{ euros}
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最も簡単な解法は、すべてをユーロに換算することです。エミリーの5ドル札は、$5\text{ USD} \times \frac{1\text{ euro}}{1.25\text{ USD}}=4\text{ euros}$ に相当します。二人で合計6ユーロ必要なので、ベランジェールは$6-4=\boxed{2 \text{ euros}}$ を負担しなければなりません。
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一次方程式
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Level 2
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Algebra
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次の式を簡単にせよ: $\sqrt[3]{1+8} \cdot \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{8}}$.
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3
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最初の立方根は $\sqrt[3]{9}$ となる。$\sqrt[3]{8}=2$ であるから、二つ目の立方根は $\sqrt[3]{3}$ となる。これらを掛け合わせると $\sqrt[3]{27}=3$ となる。したがって、答えは $\boxed{3}$ である。
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平方根
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Level 2
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Algebra
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関数 $f(x)=x^3+3$ と $g(x) = 2x^2 + 2x +1$ を考える。$g(f(-2))$ の値を求めよ。
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41
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まず、$f(-2)=(-2)^3+3 = -5$ である。したがって、$g(f(-2))=g(-5)$ となる。次に、$g(-5)=2\cdot(-5)^2+2\cdot(-5)+1 = 41$ と計算できる。よって、求める値は $\boxed{41}$ である。
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二次関数
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Level 2
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Algebra
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関数 $f(x)$ を次のように定義する。
\[
f(x) =
\begin{cases}
x/2 & \text{$x$ が偶数のとき}, \\
3x+1 & \text{$x$ が奇数のとき}.
\end{cases}
\]
このとき，$f(f(f(f(1))))$ の値を求めよ。
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4
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各段階で値を計算すると，
$f(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4$;
$f(f(1)) = f(4) = 4/2 = 2$;
$f(f(f(1))) = f(2) = 2/2 = 1$;
したがって，$f(f(f(f(1)))) = f(1) = \boxed{4}$ となる。
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関数
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Level 2
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Algebra
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床関数 $\lfloor x\rfloor$ は、$x$ 以下の最大の整数を表す。例えば、$\lfloor3.5\rfloor=3$、$\lfloor\pi\rfloor=3$、$\lfloor -\pi\rfloor=-4$ である。方程式 $x-\lfloor x\rfloor=\frac1{\lfloor x\rfloor}$ を満たす正の解のうち、小さい方から3つの和を求めよ。答えは帯分数で表すこと。
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10\frac{1}{12}
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まず、$x$ の取り得る正の値として小さいものから順に考える。$x$ が正のとき、$0<x<1$ の範囲では方程式の右辺は $\frac{1}{0}$ となり定義されない。$1 \le x < 2$ のとき、右辺は $1$ であるが、$x - \lfloor x \rfloor$ は $1$ になり得ない。
$2 \le x<3$ のとき、右辺は $\frac{1}{2}$ であるから、$x - \lfloor x \rfloor = \frac{1}{2}$ となる。これは $x = 2 \frac{1}{2}$ のときに成り立つ。
$3 \le x<4$ のとき、右辺は $\frac{1}{3}$ であるから、$x - \lfloor x \rfloor = \frac{1}{3}$ となる。これは $x = 3 \frac{1}{3}$ のときに成り立つ。
$4 \le x<5$ のとき、右辺は $\frac{1}{4}$ であるから、$x - \lfloor x \rfloor = \frac{1}{4}$ となる。これは $x = 4 \frac{1}{4}$ のときに成り立つ。
したがって、方程式を満たす正の解のうち小さい方から3つの和は、$2 \frac{1}{2} +3 \frac{1}{3}+4 \frac{1}{4} = \boxed{10\frac{1}{12}}$ である。
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数と式
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Level 5
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Algebra
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関数 $f(x)$ を次で定義する：
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x^2 - 3 & (x\le 2) \\
a x + 4 & (x>2)
\end{cases}
\]
グラフ $y=f(x)$ が連続である（つまり，紙から鉛筆を離さずにグラフを描ける）とき，$a$ の値を求めよ。
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\frac{1}{2}
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関数 $f$ のグラフが連続であるためには，2つの場合分けの境目である $x=2$ において，2つのグラフがつながっていなければならない。すなわち，
\[ 2\cdot 2^2 - 3 = a\cdot 2 + 4 \]
が成り立つ必要がある。この方程式を解くと，
\[ 8 - 3 = 2a + 4 \]
\[ 5 = 2a + 4 \]
\[ 2a = 1 \]
\[ a = \frac{1}{2} \]
となる。よって，求める $a$ の値は $\boxed{\frac{1}{2}}$ である。
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微分
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Level 5
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Algebra
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関数 \[f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2 & \text{if } x\le 3, \\ ax - 1 & \text{if } x>3 \end{cases}\] が連続であるとき（つまりグラフを紙から鉛筆を離さずに描けるとき），定数 $a$ の値を求めよ。
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10
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関数 $f$ のグラフが連続であるためには，$x=3$ で2つの場合のグラフがつながっている必要がある。つまり，$x=3$ における左側の式の値と右側の式の値が等しくなければならない。したがって，$3(3^2) + 2 = a\cdot 3 - 1$ が成り立つ。これを解くと，$27+2=3a-1$，$29=3a-1$，$3a=30$，$a=10$ となる。よって，求める値は $\boxed{10}$ である。
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微分
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Level 5
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Algebra
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3つの蛇口が100ガロンの浴槽を6分で満たします。全ての蛇口が同じ速度で水を出すとき、6つの蛇口で25ガロンの浴槽を満たすには何秒かかりますか。
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45
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3つの蛇口が100ガロンの浴槽を6分で満たすので、6つの蛇口ならば2倍の速さで満たすことができる。つまり、100ガロンの浴槽を3分で満たせる。さらに、浴槽の容量が4分の1なので、満たす時間も4分の1になる。したがって、$3/4$分、すなわち$\boxed{45}$秒かかる。
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一次方程式
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Level 3
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Algebra
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点 $(1, 7)$ と $(3, 11)$ を通る直線は $y$ 軸とどの点で交わりますか？答えを座標の組で表しなさい。
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(0,5)
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$y$ 軸は $x$ 座標が $0$ の点の集合である。与えられた点を見ると、$x$ 座標が $2$ 減ると、$y$ 座標は $4$ 減っている。したがって、$x$ 座標が $1$ から $0$ へ $1$ 減るとき、$y$ 座標は $7$ から $2$ 減って $5$ になる。よって、交点は $\boxed{(0,5)}$ である。
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一次関数
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Level 3
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Algebra
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積 $(ax^3 + 3x^2 - 2x)(bx^2 - 7x - 4)$ を展開したときの $x^2$ の項の係数を求めよ。
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2
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$x^2$ の項が現れるのは、次数が $2$ になるような項の積に限られる。それは $3x^2$ と $-4$ の積、および $-2x$ と $-7x$ の積である。したがって、
$$(3x^2) \times (-4) + (-2x) \times (-7x) = -12x^2 + 14x^2 = 2x^2,$$
であり、係数は $\boxed{2}$ である。
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いろいろな式
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Level 3
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Algebra
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関数 $f$ が $f(3)=1$ を満たし、すべての $x$ に対して $f(2x)=2f(x)$ が成り立つとき、$f^{-1}(64)$ を求めよ。
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192
|
求めるものは、$f(x)=64$ となるような $x$ である。$x$ を2倍すると $f(x)$ も2倍になること、および $f(3)=1$ であることに注目する。
$f(2x)=2f(x)$ を繰り返し適用すると、
\begin{align*}
f(3)&=1,\\
f(6)&=2,\\
f(12)&=4,\\
f(24)&=8,\\
f(48)&=16,\\
f(96)&=32,\\
f(192)&=64.
\end{align*}
したがって、$f^{-1}(64)=\boxed{192}$ である。
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関数
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Level 5
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Algebra
|
方程式 $x^2+kx+5 = 0$ の2根が $
\sqrt{61}$ だけ異なるとする。$k$ のとり得る値のうち最大のものを求めよ。
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9
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二次方程式の解の公式より、この方程式の根は
\begin{align*}
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-4(5)(1)}}{2(1)}\\
&=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-20}}{2}.
\end{align*}
2根の差を求めたいので、大きい方から小さい方を引く：
\begin{align*}
\left(\frac{-k+\sqrt{k^2-20}}{2}\right)-\left(\frac{-k-\sqrt{k^2-20}}{2}\right)&=\frac{2\sqrt{k^2-20}}{2}\\
&=\sqrt{k^2-20}.
\end{align*}
この差が $\sqrt{61}$ に等しいと与えられているので、
\begin{align*}
\sqrt{k^2-20}&=\sqrt{61}\quad\Rightarrow\\
k^2-20&=61\quad\Rightarrow\\
k^2&=81\quad\Rightarrow\\
k&=\pm 9.
\end{align*}
したがって、$k$ のとり得る値のうち最大のものは $\boxed{9}$ である。
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二次方程式
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Level 5
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Algebra
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次の方程式を満たす $x$ の値を求めよ。ただし、答えは既約分数で表せ。
\[ \frac{\sqrt{3x+5}}{\sqrt{6x+5}}=\frac{\sqrt{5}}{3} \]
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\frac{20}{3}
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まず両辺を外項の積と内項の積で書き直し、その後両辺を2乗する。
\begin{align*}
\frac{\sqrt{3x+5}}{\sqrt{6x+5}} &= \frac{\sqrt{5}}{3} \\
3\sqrt{3x+5} &= \sqrt{5} \cdot \sqrt{6x+5} \\
\left(3\sqrt{3x+5}\right)^2 &= \left(\sqrt{5} \cdot \sqrt{6x+5}\right)^2 \\
9(3x+5) &= 5(6x+5) \\
27x + 45 &= 30x + 25 \\
20 &= 3x \\
x &= \boxed{\frac{20}{3}}.
\end{align*}
確認すると、この $x$ の値は元の方程式を満たしており、無縁解ではない。
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二次方程式
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Level 4
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Algebra
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点 $(-1,4)$ と $(2,-3)$ がある正方形の隣接する頂点である。この正方形の面積はいくつか。
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58
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正方形の一辺の長さは、与えられた2点間の距離である。つまり、$\sqrt{(-1 - 2)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$ となる。正方形の面積は一辺の長さの2乗であるから、$\boxed{58}$ である。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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ゼロでない数 $n$ のうち、不等式 $n^2 - 11n +24 \leq 0$ を満たす最大の整数 $n$ は何か。
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8
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$n^2-11n+24$ は $(n-3)(n-8)$ と因数分解できる。この値が $0$ 以下となるためには、一方の因数が $0$ 以下で、他方の因数が $0$ 以上でなければならない。具体的には、すべての $n$ について $n-8 < n-3$ であるから、$$n-8 \le 0 \le n-3$$ が成り立つ必要がある。最初の不等式 $n-8 \le 0$ から $n \le 8$ が得られ、2番目の不等式 $0 \le n-3$ から $n \ge 3$ が得られる。したがって、元の不等式を満たす $n$ は $3 \le n \le 8$ の範囲にある。この範囲に含まれる最大の整数は $n = \boxed{8}$ である。
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二次方程式
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Level 3
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Algebra
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方程式 $|x + 5| = 20$ の2つの解の正の差（大きい方から小さい方を引いた値）はいくつですか？
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40
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方程式の2つの解を $x_1$ と $x_2$ とし、$x_1 > x_2$ とします。このとき、
\[x_1 - x_2 = (x_1+5)-(x_2+5) = 20 - (-20) = \boxed{40}.\]
となります。
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数と式
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Level 3
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Algebra
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すべての実数 $r$, $s$ に対して、次の条件を満たす演算 $\\#$ を定義する： $r\\ \\#\\ 0 = r$, $r\\ \\#\\ s = s\\ \\#\\ r$, および $(r + 1)\\ \\#\\ s = (r\\ \\#\\ s) + s + 1$. このとき、 $11\\ \\#\\ 5$ の値を求めよ。
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71
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最初の2つの条件より、 $0 \\# 11 = 11 \\# 0 = 11$ が成り立つ。
3番目の条件において $r=0$, $s=11$ とすると、$1 \\# 11 = (0 \\# 11)+12 = 11+12$ を得る。
$r$ を $1$ 増やすごとに、 $r \\# 11$ は $s+1 = 11+1 = 12$ だけ増加する。ここで $11 \\# 5 = 5 \\# 11$ を求めるために $r$ を $5$ 回増やしたいので、 $0 \\# 11$ を $12$ で $5$ 回増加させればよい。したがって、
$11 \\# 5 = 5 \\# 11 = 11 + 5 \\cdot 12 = 11+60 = \\boxed{71}$.
より一般的には、
\[a \\# b = ab + a + b\]
が成り立つ。
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数と式
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Level 5
|
Algebra
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方程式 $(x+2)(x-3)=14$ を満たす $x$ の値の和を求めよ。
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1
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与えられた方程式の左辺を展開すると、$x^2-x-6=14 \Rightarrow x^2-x-20=0$ となる。二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の和は $-b/a$ で与えられるため、この方程式の解の和は $1/1=\boxed{1}$ である。
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二次方程式
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Level 3
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Algebra
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分母を有理化せよ: $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$。答えを最も簡単な形で表しなさい。
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\sqrt{2}+1
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分母から平方根を取り除くために、分子と分母に $(\sqrt{2}+1)$ を掛けると、分母の $\sqrt{2}$ が2乗され、$\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ が打ち消し合います。 $$\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\boxed{\sqrt{2}+1}$$
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平方根
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Level 3
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Algebra
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ある等差数列の第1項と第13項がそれぞれ5と29である。このとき、第50項を求めよ。
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103
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この等差数列の公差を$d$とする。すると、第13項は$5 + 12d = 29$と表せる。これを解いて$d = 2$を得る。よって、第50項は$5 + 49 \cdot 2 = \boxed{103}$である。
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数列
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Level 3
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Algebra
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次の式を整理せよ: $(2x - 5)(x + 7) - (x + 5)(2x - 1)$。
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-30
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それぞれの積を展開すると、
\begin{align*}
(2x-5)(x+7) &= 2x(x) + 2x(7) -5(x) -5(7)\\
&=2x^2 +14x - 5x -35\\
&= 2x^2 +9x - 35
\end{align*}
および
\begin{align*}
(x+5)(2x-1) &=x(2x) + x(-1) +5(2x) + 5(-1)\\
&=2x^2 -x + 10x -5\\
&=2x^2 +9x - 5.
\end{align*}
したがって、
\begin{align*}
&\ \ \ \ (2x-5)(x+7) - (x+5)(2x-1) \\
&= 2x^2+9x -35 - (2x^2 +9x -5) = \boxed{-30}.
\end{align*}
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いろいろな式
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Level 3
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Algebra
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方程式 $\frac{4x}{20}=\frac{5}{x}$ の解の総和を求めよ。
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0
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$\frac{4}{20}$ を $\frac{1}{5}$ と書き直し、両辺に $5x$ を掛けると $x^2=25$ を得る。この方程式の解は $\pm\sqrt{25}=\pm5$ であり、それらの和は $(-5)+5=\boxed{0}$ である。
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二次方程式
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Level 2
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Algebra
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次の関数の最小値をとる $x$ の値を求めよ: $2x^2 - 12x + 3$
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3
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平方完成を行う。
\begin{align*}
2x^2 -12x + 3 &= 2(x^2-6x) +3 \\
&= 2\left(x^2 -6x + (6/2)^2 - (6/2)^2\right) + 3\\
&= 2\left((x-3)^2 -3^2\right) + 3 \\
&= 2(x-3)^2 - 2\cdot 3^2 + 3\\
&= 2(x-3)^2 -15
\end{align*}
実数の平方は常に $0$ 以上であるため、$(x-3)^2 \ge 0$ であり、$(x-3)^2 = 0$ となるのは $x=3$ のときのみである。したがって、$2(x-3)^2 - 15$ が最小となる $x$ の値は $\boxed{3}$ である。
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二次関数
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Level 3
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Algebra
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正の数 $x$ が $x\cdot\lfloor x\rfloor=70$ を満たすとき、$x$ の値を求めなさい。答えは小数で表してください。
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8.75
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$\lfloor x\rfloor \leq x < \lfloor x\rfloor + 1$ である。このことから、すべての $x$ に対して $\lfloor x\rfloor^2 \leq x\cdot\lfloor x\rfloor < \left(\lfloor x\rfloor + 1\right)^2$ が成り立つ。特に $x\cdot\lfloor x\rfloor=70$ であり、$8^2<70<9^2$ なので、$8<x<9$ すなわち $\lfloor x\rfloor=8$ と結論できる。あとは割り算をすればよく、$x=\frac{70}{8}=\boxed{8.75}$ となる。
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数と式
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Level 4
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Algebra
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長方形の庭の周の長さは 60 フィートである。この長方形の長辺の長さが短辺の長さの 2 倍であるとき、この庭の面積は何平方フィートか。
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200
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長辺の長さを $l$、短辺の長さを $w$ とする。周の長さは $2l+2w$ で表される。与えられた条件から、次の方程式が立てられる。
$2l+2w=60$ より $l+w=30$ … (1)
また、長辺の長さは短辺の長さの 2 倍であるから、
$l=2w$ … (2)
(2) を (1) に代入すると、
$2w + w = 30$
$3w = 30$
$w = 10$
よって $l = 2 \times 10 = 20$ となる。
したがって、長方形の庭の面積は $lw = 20 \times 10 = \boxed{200}$ 平方フィートである。
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連立方程式
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Level 1
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Algebra
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関数 $f(x)$ は $f(x)=x^{2}-x$ で定義されている。$f(4)$ の値を求めよ。
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12
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$f(4)=4^2-4=16-4=\boxed{12}$ である。
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二次関数
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Level 1
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Algebra
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三角形の3辺の長さが $7$, $10$, $x^2$ であるとする。この三角形が存在するような正の整数 $x$ をすべて求めよ。答えはコンマで区切り、小さい順に並べよ。
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2, 3, \text{ and } 4
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三角形が存在するためには、三角形の2辺の長さの和が残る1辺の長さよりも大きくなければならない。したがって、次の3つの不等式が成り立つ： $x^2+7>10 \to x^2>3$, $x^2+10>7 \to x^2>-3$, および $7+10>x^2 \to x^2<17$。これより、$x^2>3$ と $x^2<17$ という2つの二次不等式が得られる。したがって、$x$ の取り得る値は $\boxed{2, 3, \text{ and } 4}$ である。
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数と式
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Level 4
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Algebra
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ある整数の平方は、その整数自身よりも 182 だけ大きい。この条件を満たすすべての整数の和を求めよ。
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1
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整数を $x$ とおく。条件より $x^2 = 182 + x$ であるから、$x^2 - x - 182 = 0$ となる。この二次方程式の解の和は、解と係数の関係より $-(-1) = \boxed{1}$ である。なお、解の一方が整数であると与えられているので、もう一方も整数であり、それらの和は 1 となる。
あるいは、$x^2 - x - 182 = 0$ を因数分解すると $(x - 14)(x + 13) = 0$ となる。したがって、条件を満たす整数は $14$ と $-13$ であり、それらの和は $14 + (-13) = 1$ となり、上記の結果と一致する。
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二次方程式
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Level 3
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Algebra
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ボールは放物線の軌道を描き、その高さ（フィート）は $-16t^2+64t+31$ で表されます。ここで $t$ は打ち上げ後の時間（秒）です。ボールの最大の高さは何フィートですか？
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95
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ボールの最大の高さを求めるには、式 $-16t^2+64t+31$ の最大値を求めます。平方完成を用いてこれを求めます。最初の2項から $-16$ をくくり出すと、
\[-16t^2+64t+31=-16(t^2-4t)+31.\]
平方完成するために、かっこの中で $(-4/2)^2=4$ を加えて引き、
\begin{align*}
-16(t^2-4t)+31&=-16(t^2-4t+4-4)+31\\
&=-16([t-2]^2-4)+31\\
&=-16(t-2)^2+95.
\end{align*}
$-16(t-2)^2$ は常に非正であるため、この式の最大値は $-16(t-2)^2=0$ のときに達成され、その最大値は $0+95=\boxed{95}$ フィートです。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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カレンは午前9時40分から同じ日の午後1時20分まで休まず車を運転し、165マイルの距離を走行しました。彼女の平均速度は時速何マイルですか？
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45
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平均速度は、移動距離を移動時間で割ることで定義されます。カレンは165マイルを$3\frac{40}{60}=3\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$時間で走行したので、平均速度は$\frac{165}{\frac{11}{3}}=3\cdot15=\boxed{45}$マイル毎時となります。
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一次方程式
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Level 3
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Algebra
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式 $\frac{9x^3+4x^2+11x+7}{x^2+bx+8}$ の定義域がすべての実数となるような、整数 $b$ の最大値を求めよ。
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5
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この式の定義域がすべての実数となるためには、分母の二次式 $x^2+bx+8 = 0$ が実数解を持たなければならない。この二次式の判別式は $b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = b^2 - 32$ である。二次式が実数解を持たないのは、判別式が負であるとき、すなわち $b^2 - 32 < 0$、または $b^2 < 32$ のときである。この不等式を満たす最大の整数 $b$ は $\boxed{5}$ である。
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二次方程式
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Level 5
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Algebra
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小数$ rac{0.ar{666}}{1.ar{333}}$を既約分数で表しなさい。
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\frac{1}{2}
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分子が$\frac{2}{3}$、分母が$\frac{4}{3}$であると気づけば、値は$\frac{1}{2}$と求められます。もし気づかなければ、分子を$x$と置きます。$x$に10を掛け、$x$を引くと、$9x = 6$となり、$x = \frac{2}{3}$です。次に、分母は$1 + \frac{x}{2}$であることに気づくと、全体の分数の値は$\boxed{\frac{1}{2}}$となります。
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数と式
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Level 3
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Algebra
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点 $(3,7)$ と点 $(5,1)$ の中点の座標を求めよ。
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(4,4)
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2点の中点の座標を $(x,y)$ とすると、$x$ は $x$ 座標 $3$ と $5$ の平均、$y$ は $y$ 座標 $7$ と $1$ の平均でなければならない。$3$ と $5$ の平均は $\frac{3+5}{2}=4$、$7$ と $1$ の平均は $\frac{7+1}{2}=4$ であるから、$(x,y) = \boxed{(4,4)}$ である。
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平面上の曲線と複素数平面
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Level 2
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Algebra
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ある直線の傾きは $-7$ であり、点 $(3,0)$ を通る。この直線の方程式は $y = mx+b$ の形で書ける。$m+b$ の値を求めよ。
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14
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まず、$y=mx+b$ の形の直線において傾きは $m$ に等しい。したがって、この直線は $y=-7x+b$ の形をとる。次に、点 $(3,0)$ を代入して $b$ を求める：
\begin{align*}
0&=-7(3)+b\\
\Rightarrow\qquad 0&=-21+b\\
\Rightarrow\qquad 21&=b
\end{align*}
よって、$m+b$ の値は $-7+21=\boxed{14}$ である。
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一次関数
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Level 3
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Algebra
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円 $C$ の方程式が $x^2-6y-3=-y^2-4x$ で与えられている。$(a,b)$ が $C$ の中心、$r$ がその半径であるとき、$a+b+r$ の値を求めよ。
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5
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方程式 $x^2-6y-3=-y^2-4x$ を書き換えると、$x^2+4x+y^2-6y=3$ となる。平方完成を行うと、$(x+2)^2-4+(y-3)^2-9=3$、すなわち $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ を得る。これは半径 $r=4$、中心 $(a,b)=(-2,3)$ の円を表す。したがって、$a+b+r=-2+3+4=\boxed{5}$ である。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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関数 $f(x) = x^2-2x + m$ と $g(x) = x^2-2x + 4m$ について、$x = 4$ のとき、$2f(4) = g(4)$ が成り立つ。このとき $m$ の値を求めよ。
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4
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$2f(4)=g(4)$ より、$2\left(16-8+m\right)=16-8+4m$ が成り立つ。左辺を展開すると $16+2m=8+4m$、すなわち $8=2m$ となり、$m=\boxed{4}$ である。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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すべての定数 $t$ の積を求めよ。ただし、$t$ は二次式 $x^2 + tx - 10$ が $(x+a)(x+b)$ の形に因数分解できるようなものであり、$a$ と $b$ は整数であるとする。
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729
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$x^2 + tx - 10 = (x+a)(x+b)$ と因数分解できるとすると、
\[x^2 + tx -10 = x^2 + ax +bx +ab = x^2 +(a+b)x + ab\]
が成り立つ。したがって、$ab = -10$ であり、そのような $a$ と $b$ に対して $t = a+b$ となる。$a$ と $b$ の整数の組は以下の通りである。
\[\begin{array}{ccc}
a & b & a+b \\ \hline
-1 & 10 & 9 \\
-2 & 5 & 3 \\
-5 & 2 & -3 \\
-10 & 1 & -9
\end{array}\]
これらの $t = a+b$ の取り得る値の積は、$(9)(3)(-3)(-9) = 27^2 = \boxed{729}$ となる。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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次の式を因数分解せよ：$58x^5-203x^{11}$。
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-29x^5(7x^6-2)
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$58=2\cdot29$、$203=7\cdot29$ であるから、共通因数 $29x^5$ でくくると、
$$58x^5-203x^{11}=\boxed{-29x^5(7x^6-2)}$$ となる。
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展開と因数分解
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Level 3
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Algebra
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次の式を評価せよ。ただし $a=4$, $b=1$ とする。 \[ (a^2+b)^2 - (a^2-b)^2 \]
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64
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最も速い方法は、平方の差の因数分解を利用することだろう。\begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= \bigl[ (a^2 + b) + (a^2 - b) \bigr] \cdot
\bigl[ (a^2 + b) - (a^2 - b) \bigr] \\
&= ( a^2 + b + a^2 - b) \cdot (a^2 + b - a^2 +b ) \\
&= (2 a^2 ) \cdot (2 b) \\
&= 4 a^2 b.
\end{align*}ここで $a=4$, $b=1$ であるから、この最後の式は \[ 4 \cdot 4^2 \cdot 1 = 4 \cdot 16 = \boxed{64} \]となり、これが答えである。
あるいは、最初に $a$ と $b$ の値を代入してから展開してもよい。その場合、\begin{align*}
(a^2 + b)^2 - (a^2 - b)^2 &= (4^2 + 1)^2 - (4^2 -1)^2 \\
&= (16 + 1)^2 - (16- 1)^2 \\
&= 17^2 - 15^2 .
\end{align*}ここで $17^2 = 289$, $15^2 = 225$ なので、答えは \[ 289 - 225 = 64 \]となり、先ほどと同じ結果が得られる。
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いろいろな式
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Level 2
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Algebra
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以下にある関数 $y=u(x)$ のグラフの一部を示す。
[asy]
import graph; size(5.5cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-3.25,xmax=3.25,ymin=-3.25,ymax=3.25;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=1.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
real f1(real x){return -x+3*sin(x*pi/3);}
draw(graph(f1,-3.25,3.25),linewidth(1));
clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle);
[/asy]
$u(-2.33)+u(-0.81)+u(0.81)+u(2.33)$ の正確な値を求めよ。
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0
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グラフから $u(-2.33)$, $u(-0.81)$, $u(0.81)$, $u(2.33)$ の正確な値を読み取ることはできない。しかし、グラフの対称性（原点を中心とした $180^\circ$ 回転に対して不変）から、視覚的に確認できる区間において $u(-x) = -u(x)$ が成り立つことがわかる。したがって、特に $$u(-2.33)+u(2.33) = 0$$ および $$u(-0.81)+u(0.81) = 0$$ となる。よって、$u(-2.33)+u(-0.81)+u(0.81)+u(2.33)$ の正確な値は $\boxed{0}$ である。
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二次関数
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Level 3
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Algebra
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2つの数の和は$45$で、差は$3$である。このとき、2つのうち小さい方の数はいくつか？
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21
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大きい方の数を$x$、小さい方の数を$y$とする。$x+y=45$、$x-y=3$が成り立つ。よって、$y=\frac{1}{2}((x+y)-(x-y))=\frac{1}{2}(45-3)=\boxed{21}$。
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連立方程式
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Level 1
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Algebra
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もし $m+\frac{1}{m}=8$ ならば，$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+4$ の値はいくつですか？
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66
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与えられた式を両辺とも2乗すると，$m^2+2(m)\left(\frac{1}{m}\right) +\frac{1}{m^2}=64$ となります。したがって，$m^2+\frac{1}{m^2}+4 = \boxed{66}$ です。
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いろいろな式
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Level 3
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Algebra
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Krzysztofは2次方程式 $11x^2-44x-99=0$ を平方完成を用いて解いた。その過程で、彼は等価な方程式 $$(x+r)^2 = s$$ を得た。ここで、$r$ と $s$ は定数である。
$r+s$ の値を求めよ。
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11
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方程式 $11x^2-44x-99=0$ の両辺を $11$ で割ると、 $$x^2-4x-9 = 0$$ を得る。
$x^2-4x-9$ の定数項以外が一致する平方形は $(x-2)^2$ であり、これは $x^2-4x+4$ に等しく、したがって $(x^2-4x-9)+13$ と表せる。
よって、両辺に $13$ を加えることで、Krzysztofは方程式 $x^2-4x-9 = 0$ を $$(x-2)^2 = 13$$ と書き換えた。
ここで $r=-2$、$s=13$ であるから、$r+s = \boxed{11}$ となる。
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二次方程式
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Level 5
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Algebra
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次の対数の値を求めよ: $\log_3\frac{1}{\sqrt3}$.
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-\frac{1}{2}
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$3^x=\frac{1}{\sqrt3}$ となる $x$ を求める。$\frac{1}{\sqrt3}$ の分子と分母に $\sqrt3$ を掛けると $\frac{\sqrt3}{3}$ となる。$\frac{\sqrt3}{3}$ を因数分解すると $\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}$ であり、これは $3^{\frac12} \cdot 3^{-1}$ と等しい。元の式に戻ると、$3^x=3^{\frac12} \cdot 3^{-1}=3^{\frac12 + (-1)}$ となる。したがって $x=\frac12 + (-1) = -\frac12$ である。$3^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt3}$ であるから、$\log_3\frac{1}{\sqrt3}=\boxed{-\frac12}$.
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指数・対数
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Level 3
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Algebra
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$31^2$ を計算するために、エミリーは頭の中で $30^2$ の値を求め、それに $61$ を加えます。エミリーは $29^2$ を計算するために $30^2$ からある数を引きます。彼女は何を引きますか？
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59
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$29^2 = (30 - 1)^2 = 30^2 - 2\cdot 30 \cdot 1 +1 = 30^2 - 59$ であることが分かります。したがって、エミリーは $\boxed{59}$ を引きます。
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展開と因数分解
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Level 2
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Algebra
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方程式 $|x-7| = |x+1|$ を満たす異なる解はいくつあるか？
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1
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$|x-7| = |x+1|$ のとき，$x-7 = x+1$ または $x-7 = -(x+1)$ が成り立つ．$x-7 = x+1$ を整理すると $0=8$ となり解は存在しない．したがって，$x-7 = x+1$ を満たす $x$ の値はない．一方，$x-7 = -(x+1)$ のとき，$x-7 = -x-1$ となり，$2x = 6$ より $x=3$ を得る．よって，解は $oxed{1}$ つである．
（チャレンジ：$y=|x-7|$ と $y=|x+1|$ のグラフを考えることで，この問題を素早く解く方法を考えてみよう．）
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絶対値・方程式
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Level 4
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Algebra
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方程式 $|y-6| + 2y = 9$ を $y$ について解け。
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3
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場合分けをして考える。$y \ge 6$ の場合と $y < 6$ の場合である。
場合1: $y \ge 6$ のとき。
このとき $|y-6| = y-6$ であるから、方程式は $y-6+2y=9$ となる。よって $3y = 15$ すなわち $y=5$ を得る。しかし $y=5$ は $y \ge 6$ を満たさない。実際 $y=5$ を検算すると $|5-6| + 2 \cdot 5 = 1 + 10 = 11$ となり、$9$ とはならない。したがって $y=5$ は解ではない。
場合2: $y < 6$ のとき。
このとき $|y-6| = -(y-6) = -y+6$ であるから、方程式は $-y+6+2y = 9$ となる。よって $y = \boxed{3}$ を得る。$y=3$ は $y < 6$ を満たすので、これは解として妥当である。
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一次方程式
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Level 4
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Algebra
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方程式 $x^2-mx+2=0$ の解を $a$, $b$ とする。$a+(1/b)$ と $b+(1/a)$ が方程式 $x^2-px+q=0$ の解であるとき、$q$ の値を求めよ。
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\frac{9}{2}
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$a$, $b$ は $x^2 - mx + 2 = 0$ の解であるから、
\[
x^2 - mx + 2 = (x-a)(x-b) \quad \text{かつ} \quad ab = 2.
\]
同様に、$x^2 - px + q$ の定数項は $a + (1/b)$ と $b + (1/a)$ の積であるので、
\[
q=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)= ab+1+1+\frac{1}{ab}=2+2+\frac{1}{2}=\boxed{\frac{9}{2}}.
\]
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二次方程式
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Level 5
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Algebra
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関数 $f(x)=3x-2$ とし、$g(x)=f(f(f(f(x))))$ とする。$g$ の定義域が $0\leq x\leq 2$ であるとき、$g$ の値域を求めよ。
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\boxed{-80\leq g(x)\leq 82}
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関数を繰り返し適用して $g$ を求めます：
\begin{align*}
f(f(x))&=3(3x-2)-2=9x-8\\
f(f(f(x)))&=3(9x-8)-2=27x-26\\
f(f(f(f(x))))&=3(27x-26)-2=81x-80
\end{align*}
これは単調増加で連続な関数です。定義域内での最小値は $x=0$ のとき $-80$、最大値は $x=2$ のとき $-80+2(81)=82$ となります。この間のすべての値をとるので、値域は $\boxed{-80\leq g(x)\leq 82}$ です。
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一次関数
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Level 5
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Algebra
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円の方程式 $x^2+y^2=-2x-10y-16$ で表される円の中心は $(x, y)$ である。$x+y$ の値を求めよ。
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-6
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円の方程式を標準形に変形するために平方完成を行う。まず、定数項以外の項を左辺に移項すると、$x^2+2x+y^2+10y=-16$ となる。$x$ について平方完成するために $(2/2)^2=1$ を両辺に加え、$y$ について平方完成するために $(10/2)^2=25$ を両辺に加える。すると、
\begin{align*}
x^2+2x+y^2+10y&=-16\\
\Rightarrow x^2+2x+1+y^2+10y+25&=10\\
\Rightarrow (x+1)^2+(y+5)^2&=10
\end{align*}
となる。したがって、円の中心は点 $(-1,-5)$ であるから、$x+y=-1+(-5)=\boxed{-6}$ である。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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ワンダは三角形 $ABC$ のフェルマー点 $P$ を求めようとしています。ここで、点 $A$ は原点、点 $B$ は $(8,-1)$、点 $C$ は $(5,4)$ にあります（フェルマー点とは、三角形の各頂点からの距離の合計が最小になる点のことです）。彼女はその点が $P = (4,2)$ にあると予想し、$P$ から三角形 $ABC$ の各頂点までの距離の合計を計算しました。その結果が $m + n\sqrt{5}$ という形で得られ、$m$ と $n$ は整数であるとき、$m + n$ の値を求めなさい。
[asy]
string sp(pair P1, string P2){return "$" + P2 + "\,(" + string(P1.x) + "," + string(P1.y) + ")$";}
size(150); defaultpen(fontsize(10)); draw((-3,0)--(10,0),Arrows(4)); draw((0,-3)--(0,8),Arrows(4)); pair A=(0,0),B=(8,-1),C=(5,4),P=(4,2); draw(A--B--C--cycle, linewidth(0.7)); draw(A--P, dashed); draw(B--P, dashed); draw(C--P, dashed); label(sp(A,"A"),A,NW); label(sp(B,"B"),B,S); label(sp(C,"C"),C,N); label(sp(P,"P"),P,(-0.5,-2.8)); dot(A); dot(B); dot(C); dot(P);
[/asy]
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8
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距離の公式により、
\begin{align*}
AP &= \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} \\
BP &= \sqrt{(4-8)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \\
CP &= \sqrt{(4-5)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}
\end{align*}
したがって、$AP + BP + CP = 5 + 3\sqrt{5}$ となり、$m+n = \boxed{8}$ です。
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平面上の曲線と複素数平面
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Level 4
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Algebra
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$(3-2i)^2$ を簡約せよ（答えは $a+bi$ の形で表すこと）。
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5-12i
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$(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)= 3(3) + 3(-2i) -2i(3) - 2i(-2i) = 9-6i-6i -4 = \boxed{5-12i}$.
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いろいろな式
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Level 3
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Algebra
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$d\not=0$ とする． $\left(12d+13+14d^2\right)+\left(2d+1\right)$ を $ad+b+cd^2$ の形で表すことができる．ここで $a$, $b$, $c$ は整数である．このとき $a+b+c$ を求めよ．
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42
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$d$ の項を足すと $14d$ となる．定数項を足すと $14$ となる．$d^2$ の項を足すと $14d^2$ となる．よって，全体を足すと $14d+14+14d^2$ となるので，$a+b+c = \boxed{42}$ である．
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数と式
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Level 2
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Algebra
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ある数列は、初項以降の各項が直前の項に反比例し、比例定数は一定である。初項が2で第2項が5であるとき、第12項を求めよ。
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5
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2つの量が反比例するとは、それらの積が一定であることである。したがって、この数列の隣接する項の積は常に一定である。初項と第2項が2と5であるから、隣接する項の積は常に10である。よって、第3項は $10/5=2$、第4項は $10/2=5$ となり、以降も同様に続く。これより、$n$ が偶数のとき第 $n$ 項は常に5であることが分かる。したがって、第12項は $\boxed{5}$ である。
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数列
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Level 4
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Algebra
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変数 $f$, $g$, $h$, $j$ には $5$, $6$, $7$, $8$ がそれぞれ一つずつ割り当てられるが、順序は任意である。四つの積 $fg$, $gh$, $hj$, $fj$ の和として取り得る最大値は何か。
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169
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積の組を考えるために、次の恒等式を用いる：
\[
(f+g+h+j)^2 = f^2+g^2+h^2+j^2+2(fg+fh+fj+gh+gj+hj)
\]
これより、
\[
fg+gh+hj+fj = \frac{(f+g+h+j)^2-f^2-g^2-h^2-j^2}{2} - (fh+gj)
\]
と変形できる。
右辺の分数部分は、$f$, $g$, $h$, $j$ に具体的な数値をどのように割り当てても値が変わらない。したがって、$fg+gh+hj+fj$ を最大にするには、$fh+gj$ を最小化すればよい。
$fh+gj$ の取り得る値は、割り当て方により異なるが、具体的に計算すると、$5\cdot8+6\cdot7=82$ が最小値となる。
よって、求める最大値は
\[
\frac{(5+6+7+8)^2-5^2-6^2-7^2-8^2}{2} - 82 = \boxed{169}
\]
である。
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数と式
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Level 5
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Algebra
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方程式 $$(x-5)(2x+9) = x^2-13x+40$$ の異なる2つの解を $p$ と $q$ とする。$(p + 3)(q + 3)$ の値を求めよ。
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-112
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左辺を展開して整理してもよいが、$x^2-13x+40 = (x-5)(x-8)$ と因数分解できることに気づくと、与式は $(x-5)(2x+9) = (x-5)(x-8)$ と書き換えられる。これを変形すると、$(x-5)(2x+9) - (x-5)(x-8) = (x-5)(x+17) = 0$ となる。よって、$p$ と $q$ は $5$ と $-17$ であり、$(p + 3)(q + 3) = (8)(-14) = \boxed{-112}$ である。
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二次方程式
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Level 4
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Algebra
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どのような整数 $n$ に対して $√n ≤ √{4n - 6} < √{2n + 5}$ が成り立つか，そのような整数 $n$ はいくつあるか求めよ。
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4
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左側の不等式の両辺を2乗すると $n \le 4n-6$ となり，$6 \le 3n$ すなわち $2 \le n$ が得られる。
右側の不等式の両辺を2乗すると $4n-6 < 2n+5$ となり，$2n < 11$ すなわち $n < 5.5$ が得られる。
したがって，$n$ は $\{2,3,4,5\}$ のいずれかであり，すべて実際に不等式を満たすことを確認できる。
よって，求める個数は $\boxed{4}$ である。
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数と式
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Level 4
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Algebra
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次の式の値を求めよ： $x = 3$ のとき，$(2x + 5)^2$ の値はいくつか？
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121
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$x = 3$ を代入すると，$(2x+5)^2 = (2\cdot 3 + 5)^2 = 11^2 = \boxed{121}$ となる。
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文字式
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Level 1
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Algebra
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方程式 $16^{16}+16^{16}+16^{16}+16^{16}=2^x$ において、$x$ の値を求めよ。
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66
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左辺 $16^{16}+16^{16}+16^{16}+16^{16}$ を書き換えると、$4\cdot16^{16}=2^2\cdot(2^4)^{16}=2^2\cdot2^{64}=2^{66}$ となる。$2^{66}=2^x$ であるから、$x$ の値は $\boxed{66}$ である。
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指数・対数
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Level 4
|
Algebra
|
2つの連続したページ番号の積が $18{,}360$ である。この2つのページ番号の和はいくつか？
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271
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ページ番号を $n$ と $n + 1$ とする。問題は方程式 $n(n+1) = 18360$ で表せる。これを変形すると $n^2 + n - 18360=0$ となる。
二次方程式の解の公式を用いると、$$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\cdot 18360}}{2}$$ となる。よって、$n = 135$ が得られる。したがって、$n + (n + 1) = \boxed{271}$ である。
この方程式は因数分解も可能だが、時間の節約にはならない。より迅速に解くには、$18360$ が $135^2=18225$ と $136^2=18496$ の間にあることに気づき、$n$ が整数であることから $n = 135$ と推測する方法もある。これを元の方程式に代入して確かめれば、$n + (n + 1) = \boxed{271}$ となる。
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二次方程式
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Level 4
|
Algebra
|
方程式 $x^2-5x+5=0$ の2つの解の差の絶対値を求めよ。
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\sqrt{5}
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この2次方程式の2つの解を $r_1$, $r_2$ とする。2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解と係数の関係より、解の和は $-\frac{b}{a}$、解の積は $\frac{c}{a}$ であるから、$r_1+r_2=5$, $r_1r_2=5$ が成り立つ。最初の式を2乗すると $r_1^2+2r_1r_2+r_2^2=25$ となる。
ここで、$(r_1-r_2)^2=r_1^2-2r_1r_2+r_2^2$ であるから、解の差の2乗は和の2乗から積の4倍を引くことで得られる： $r_1^2-2r_1r_2+r_2^2=r_1^2+2r_1r_2+r_2^2-4r_1r_2=25-4(5)=5$。したがって、$|r_1-r_2|=\boxed{\sqrt{5}}$。
あるいは、解の公式を用いて解を $\dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$ と求め、その正の差を計算しても同じく $\boxed{\sqrt{5}}$ が得られる。
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二次方程式
|
Level 5
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Algebra
|
次の方程式を$x$について解け：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{6}$。
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3
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両辺から$\frac12$を引くと、$\frac1x = \frac56-\frac12 = \frac13$となる。したがって、両辺の逆数を取ると$x = \boxed{3}$を得る。
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一次方程式
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Level 1
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Algebra
|
ある二次関数 $f(x)$ のグラフの一部が以下に示されています。
$g(x)=-f(x)$ および $h(x)=f(-x)$ とします。$a$ をグラフ $y=f(x)$ と $y=g(x)$ の交点の数、$b$ をグラフ $y=f(x)$ と $y=h(x)$ の交点の数とします。このとき、$10a+b$ の値を求めなさい。
[asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
if(usegrid) {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
} else {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
}
if(useticks) {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, Ticks("%",TicksArry , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, Ticks("%",TicksArrx , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
} else {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
}
};
rr_cartesian_axes(-2,5,-2,4);
real f(real x) {return (x-1)*(x-3)/2;}
draw(graph(f,-1,5,operator ..), red);
[/asy]
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21
|
ここで、$y=g(x)$ のグラフと $y=h(x)$ のグラフは、それぞれ $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸、$y$ 軸に関して対称移動させたものであることに注意します。したがって、元のグラフはこれら2つのグラフと、それぞれその $x$ 切片と $y$ 切片で交わります。これは次の図に示されています: [asy]
size(150);
real ticklen=3;
real tickspace=2;
real ticklength=0.1cm;
real axisarrowsize=0.14cm;
pen axispen=black+1.3bp;
real vectorarrowsize=0.2cm;
real tickdown=-0.5;
real tickdownlength=-0.15inch;
real tickdownbase=0.3;
real wholetickdown=tickdown;
void rr_cartesian_axes(real xleft, real xright, real ybottom, real ytop, real xstep=1, real ystep=1, bool useticks=false, bool complexplane=false, bool usegrid=true) {
import graph;
real i;
if(complexplane) {
label("$\textnormal{Re}$",(xright,0),SE);
label("$\textnormal{Im}$",(0,ytop),NW);
} else {
label("$x$",(xright+0.4,-0.5));
label("$y$",(-0.5,ytop+0.2));
}
ylimits(ybottom,ytop);
xlimits( xleft, xright);
real[] TicksArrx,TicksArry;
for(i=xleft+xstep; i<xright; i+=xstep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArrx.push(i);
}
}
for(i=ybottom+ystep; i<ytop; i+=ystep) {
if(abs(i) >0.1) {
TicksArry.push(i);
}
}
if(usegrid) {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
} else {
xaxis(BottomTop(extend=false), Ticks("%", TicksArrx ,pTick=gray(0.22),extend=true),p=invisible);//,above=true);
yaxis(LeftRight(extend=false),Ticks("%", TicksArry ,pTick=gray(0.22),extend=true), p=invisible);//,Arrows);
}
if(useticks) {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, Ticks("%",TicksArry , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, Ticks("%",TicksArrx , pTick=black+0.8bp,Size=ticklength), above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
} else {
xequals(0, ymin=ybottom, ymax=ytop, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
yequals(0, xmin=xleft, xmax=xright, p=axispen, above=true, Arrows(size=axisarrowsize));
}
};
rr_cartesian_axes(-5,5,-4,4);
real f(real x) {return (x-1)*(x-3)/2;}
real g(real x) {return -f(x);}
real h(real x) {return f(-x);}
draw(graph(f,-1,5,operator ..), red);
draw(graph(g,-1,5,operator ..), cyan);
draw(graph(h,-5,1,operator ..), blue);
draw((-2,-5)--(0,-5),red); label("$y=f(x)$",(0,-5),E);
draw((-2,-6)--(0,-6),cyan); label("$y=g(x)$",(0,-6),E);
draw((-2,-7)--(0,-7),blue); label("$y=h(x)$",(0,-7),E);
dot((1,0),magenta); dot((3,0),magenta); dot((0,1.5),purple);
[/asy]
元のグラフは $x$ 切片を2つ、$y$ 切片を1つ持つので、$a=2$ であり、$b\ge 1$ です。元の関数は単射ではありませんが、グラフが $y$ 軸に関する対称移動によって得られるグラフと $y$ 切片以外で交わる可能性はあります。しかし、グラフから明らかなようにそのような交点は存在しないので、$b=1$ です。したがって、$10a+b = 10(2)+1 = \boxed{21}$ となります。
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二次関数
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Level 5
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Algebra
|
方程式 $x^2-5x+5=9$ を満たす $x$ の値の和を求めよ。
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5
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方程式の両辺から $9$ を引くと、$x^2 - 5x - 4 = 0$ となる。この二次方程式の解の和は、一次の項の係数の符号を変えたものであるから、和は $\boxed{5}$ である。
（これは、二次方程式の解を $r,s$ とすると、$(x-r)(x-s) = x^2 - (r+s)+rs = 0$ が成り立つことから導かれる。）
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二次方程式
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Level 3
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Algebra
|
次の式を簡単にし、分母を有理化せよ：$$\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}}.$$
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\sqrt{3}-1
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まず、$\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ の部分を考える。分母の共役を分子と分母に掛けると、
$$\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$
これを元の式に代入し、分子と分母に $2$ を掛けると、
\begin{align*}
\frac{1}{1+ \frac{1}{\sqrt{3}+1}} & = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}} \\
& = \frac{2}{2 + \sqrt{3} - 1} \\
& = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}.
\end{align*}
この式の分子と分母に $\sqrt{3}-1$ を掛けて整理すると、
\begin{align*}\frac{2}{\sqrt{3} + 1} &= \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\&= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \boxed{\sqrt{3}-1}.\end{align*}
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平方根
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Level 4
|
Algebra
|
ある等差数列の最初の3項はそれぞれ1、10、19である。第21項の値を求めよ。
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181
|
この等差数列の公差は $10 - 1 = 9$ である。よって、第21項は $1 + 9 \cdot 20 = \boxed{181}$ である。
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数列
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Level 1
|
Algebra
|
次の不等式を満たす整数 $n$ はいくつあるか。
$$(n+3)(n-7) \le 0$$
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11
|
2つの正の数の積は正であり、2つの負の数の積も正である。したがって、2つの数の積が $0$ 以下であるためには、一方の数が $0$ 以上であり、他方の数が $0$ 以下でなければならない。
$(n+3)(n-7)\le 0$ のとき、$n+3 \ge n-7$ であることから、具体的には $n+3 \ge 0$ かつ $n-7 \le 0$ でなければならない。
最初の条件 $n+3 \ge 0$ は、$n \ge -3$ のときに成り立つ。
2番目の条件 $n-7 \le 0$ は、$n \le 7$ のときに成り立つ。
両方の条件が同時に成り立つため、解は $-3$ 以上 $7$ 以下の整数である。すなわち
$$n = -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7.$$
これを数えると、解は $\boxed{11}$ 個ある。
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二次方程式
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Level 3
|
Algebra
|
次のグラフは $y=ax^2+bx+c$ のグラフである。ただし、$a$, $b$, $c$ は整数である。$a-b+c$ の値を求めよ。
[asy]
size(150);
Label f;
f.p=fontsize(4);
xaxis(-3,3,Ticks(f, 1.0));
yaxis(-4,4,Ticks(f, 1.0));
real f(real x)
{
return x^2+2x-1;
}
draw(graph(f,-2.7,.7),linewidth(1),Arrows(6));
[/asy]
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-2
|
$x=-1$ のとき、$y = a-b+c$ である。グラフは点 $(-1,-2)$ を通っているように見える。$a$, $b$, $c$ が整数であることから、$x=-1$ のとき $y$ は整数であることがわかるので、グラフは確かに点 $(-1,-2)$ を通っている。したがって、$x=-1$ のとき $y=-2$ であるから、$a-b+c = \boxed{-2}$ である。
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二次関数
|
Level 4
|
Algebra
|
次の等差数列の項が与えられています: $\frac{1}{2}, x-1, 3x, \ldots$. $x$ を求めなさい。
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-\frac{5}{2}
|
等差数列では、どの連続する2項も共通の差を持ちます。すなわち、$(x-1) - \frac{1}{2} = (3x) - (x-1)$、つまり $x - \frac{3}{2} = 2x+1$ が成り立ちます。これを解くと、$x = \boxed{-\frac{5}{2}}$ となります。
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数列
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Level 5
|
Algebra
|
ゼロでない数 $x$ に対して、$ rac{x^8+12x^4+36}{x^4+6}$ を計算せよ。ここで $x=5$ とする。
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631
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$ rac{x^8+12x^4+36}{x^4+6}$ を簡約することを考える。$ rac{x^8+12x^4+36}{x^4+6}$ の分子は完全平方形であり、$ rac{x^8+12x^4+36}{x^4+6} = rac{(x^4+6)^2}{x^4+6}$ と書ける。この式を約分すると $x^4+6$ となる。したがって、$x=5$ を代入すると $5^4+6 = 625+6 = 631$ である。よって、答えは $oxed{631}$ である。
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数と式
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Level 3
|
Algebra
|
$x-y=15$, $xy=4$ のとき、$x^2+y^2$ の値を求めなさい。
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233
|
与えられた第1の式の両辺を2乗すると、$x^2-2xy+y^2=225$ となる。よって、$x^2+y^2=225+2xy$ であることがわかる。$xy=4$ であるから、$x^2+y^2=225+2(4)=\boxed{233}$ となる。
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いろいろな式
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Level 3
|
Algebra
|
円の方程式 $x^2+y^2=-4x+6y-12$ で表される円の中心と点 $(1,7)$ との距離を求めよ。
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5
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左辺に項を移項すると、$x^2+4x+y^2-6y=-12$ となる。$x$ について平方完成するために、両辺に $(4/2)^2=4$ を加える。$y$ について平方完成するために、両辺に $(6/2)^2=9$ を加える。すると、方程式は $x^2+4x+4+y^2-6y+9=1 \Rightarrow (x+2)^2+(y-3)^2=1$ となる。したがって、この円の中心は $(-2,3)$ である。この中心と点 $(1,7)$ との距離は $\sqrt{(1-(-2))^2+(7-3)^2}=\boxed{5}$ である。
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二次関数
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Level 4
|
Algebra
|
正の整数からなる等比数列が与えられる。初項が $3$ で第 $4$ 項が $192$ であるとき、この数列の第 $3$ 項を求めよ。
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48
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等比数列の公比を $r$ とする。第 $4$ 項は $3\cdot r^3 = 192$ より、$r^3 = 64$ となる。したがって $r = 4$ である。よって第 $3$ 項は $3 \cdot r^2 = 3 \cdot 4^2 = \boxed{48}$ となる。
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数列
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Level 2
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Algebra
|
関数 $y= rac{x+2}{5x-7}$ について、垂直漸近線が存在する $x$ の値を求めよ。
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\frac{7}{5}
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垂直漸近線は分母が $0$ となり、$y$ が定義されない点に現れます。分母が $0$ となる条件は $5x-7=0$ であり、これを解くと $x=\boxed{\frac{7}{5}}$ となります。
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二次関数
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Level 4
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Algebra
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正の整数からなる等比数列があり、初項が2、第5項が162である。この数列の第6項を求めよ。
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486
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この等比数列の公比を$r$とする。$2\cdot r^4=162$より、$r^4=81$、したがって$r=3$（正の整数より）。よって、第6項は$2 \cdot r^5 = 2 \cdot 3^5 = \boxed{486}$となる。
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数列
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Level 2
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Algebra
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点 $(0,4)$ と $(1,3)$ が $x$ 軸上に中心を持つ円の周上にあるとき、この円の半径を求めよ。
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5
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円の中心を $(x,0)$ とする。中心から点 $(0,4)$ までの距離と、中心から点 $(1,3)$ までの距離は等しいので、距離の公式を用いると、
\begin{align*}
\sqrt{(x-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+(0-3)^2}\\
\Rightarrow\qquad \sqrt{x^2+16}&=\sqrt{(x-1)^2+9}\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=(x-1)^2+9\\
\Rightarrow\qquad x^2+16&=x^2-2x+1+9\\
\Rightarrow\qquad 16&=-2x+10\\
\Rightarrow\qquad 6&=-2x\\
\Rightarrow\qquad x&=-3
\end{align*}
これより、円の中心は $(-3,0)$ と分かる。次に半径を求める。再び距離の公式を用いて、
\begin{align*}
\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}&=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}\\
&=\sqrt{9+16}\\
&=\sqrt{25}=5.
\end{align*}
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二次関数
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Level 5
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Algebra
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座標平面上に $33$ 角形 $P_1$ が描かれている。$33$ 個の頂点の $x$ 座標の合計は $99$ である。$P_1$ の各辺の中点を結んでできる $33$ 角形を $P_2$ とする。さらに $P_2$ の各辺の中点を結んでできる $33$ 角形を $P_3$ とする。$P_3$ の頂点の $x$ 座標の合計を求めよ。
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99
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$P_1$ の頂点の $x$ 座標を $x_1,x_2,\ldots,x_{33}$ とする。中点の公式により、$P_2$ の頂点の $x$ 座標は $\frac{x_1+x_2}2,\frac{x_2+x_3}2,\ldots,\frac{x_{33}+x_1}2$ となる。これらの合計は $\frac{2x_1+2x_2+\cdots +2x_{33}}2=x_1+x_2+\cdots+x_{33}$ である。同様に、$P_3$ の頂点の $x$ 座標の合計は $P_2$ の頂点の $x$ 座標の合計に等しい。したがって、求める答えは $\boxed{99}$ である。
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ベクトル
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Level 5
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Algebra
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関数 $f(x)$ を $x > -2$ のとき $f(x) = \left\lceil\dfrac{1}{x+2}\right\rceil$ と定義し、$x < -2$ のとき $f(x) = \left\lfloor\dfrac{1}{x+2}\right\rfloor$ と定義する。ただし、$x = -2$ では定義されないものとする。このとき、$f(x)$ の値域に含まれない整数を求めよ。
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0
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$x > -2$ のとき、$\dfrac{1}{x+2}$ はすべての正の値を取りうる。よって、$f(x)$ は $x > -2$ の範囲ですべての正の整数をとる。
$x < -2$ のとき、$\dfrac{1}{x+2}$ はすべての負の値を取りうる。よって、$f(x)$ は $x < -2$ の範囲ですべての負の整数をとる。
したがって、$f(x)$ の値域は整数全体から $0$ を除いたものである。
答えは $\boxed{0}$ である。
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数と式
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Level 4
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Algebra
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関数 $f(x)$ の値が以下の表で与えられている．
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $f(x)$ & 3 & 1 & 5 & 4 & 2 \\ \hline
\end{tabular}
$f^{-1}$ が存在するとすると，$f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1)))$ の値はいくつか．
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3
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まず，$f(2) = 1$ であるから，$f^{-1}(1) = 2$ である．したがって，
$$f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = f^{-1}(f^{-1}(2)).$$
次に，$f(5) = 2$ であるから，$f^{-1}(2) = 5$ である．よって，$f^{-1}(f^{-1}(2)) = f^{-1}(5)$．
最後に，$f(3) = 5$ であるから，$f^{-1}(5) = 3$ である．したがって，$f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(1))) = \boxed{3}$．
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数と式
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Level 4
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Algebra
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分母を有理化せよ: $
displaystyle\frac{21}{\sqrt{21}}$.
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\sqrt{21}
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$\dfrac{21}{\sqrt{21}} = \dfrac{21}{\sqrt{21}} \cdot \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = \dfrac{21\sqrt{21}}{21} = \boxed{\!\sqrt{21}}$.
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平方根
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Level 2
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Algebra
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関数 $y=|x+7|-|x-2|$ の値域を求めよ。
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[-9, 9]
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$x<-7$ のとき、$x+7$ と $x-2$ はともに負である。よって、
$$y=-(x+7)-(-(x-2)) = -(x+7)-(-x+2) = -9.$$
$x\geq 2$ のとき、$x+7$ と $x-2$ はともに非負である。よって、
$$y=x+7-(x-2) = x+7-x+2 = 9.$$
$-7\leq x< 2$ のとき、$x+7$ は非負、$x-2$ は負である。よって、
$$y=x+7-(-(x-2)) = x+7-(-x+2) = 2x+5.$$
ここで、$x=-7$ を代入すると $2(-7)+5=-9$、$x=2$ を代入すると $2(2)+5=9$ となる。この区間では関数は連続かつ単調増加であるから、$-9$ から $9$ までのすべての値をとり、それ以外の値はとらない。したがって、値域は $y \in \boxed{[-9, 9]}$ である。
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二次関数
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Level 5
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Algebra
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$a^2$ が $b^3$ に反比例するとする。$a=7$ のとき $b=3$ であるならば、$b=6$ のときの $a^2$ の値を求めよ。
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6.125
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$a^2$ が $b^3$ に反比例するから、ある定数 $k$ について $(a^2)(b^3)=k$ が成り立つ。$a=7$ かつ $b=3$ のとき、$k=(7^2)(3^3)=(49)(27)=1323$ である。したがって $b=6$ のとき、
\begin{align*}
(a^2)(6^3)&=1323
\\
216a^2&=1323
\\
\Rightarrow\qquad a^2&=\boxed{6.125}
\end{align*}
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比例反比例
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Level 4
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Algebra
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次の方程式を解き，$x$ を求めよ： $$5^{x + 4} = 125^x.$$
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2
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右辺を $5$ を底とする形に書き換えると，$125^x = (5^3)^x = 5^{3x}$ となる．したがって方程式は $$5^{x + 4} = 5^{3x}$$ となる．指数を比較すると $$x + 4 = 3x$$ を得る．これを解くと $2x = 4$ より $\boxed{x = 2}$ である．
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指数・対数
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Level 2
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Algebra
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方程式 $(x-4)^3=\left(\frac18\right)^{-1}$ を解き，$x$ の値を求めよ．
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6
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まず，$\left(\frac18\right)^{-1} = 8$ であるため，与式は $(x-4)^3 = 8$ となります．両辺の立方根を取ると $x-4 = 2$ となるので，$x=\boxed{6}$ です．
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二次方程式
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Level 2
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Algebra
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以下の等差数列において $x>0$ となる $x$ を求めよ: $1^2, x^2, 3^2, \ldots$。
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\sqrt{5}
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項 $x^2$ は $1^2 = 1$ と $3^2 = 9$ の平均であるため、$x^2 = (1 + 9)/2 = 5$ となる。$x > 0$ より、$x = \boxed{\sqrt{5}}$。
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数列
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Level 5
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Algebra
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ある日、ユタ州ソルトレイクシティの気温は、正午からの経過時間を $t$ 時間として、$-t^2 +12t+50$ で与えられました。気温がちょうど77度となるような $t$ の値のうち、最大のものはいくつですか？
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9
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気温が77度となる条件を立てると、
\begin{align*}
-t^2 +12t+50 &= 77 \\
t^2 - 12t + 27 &= 0 \\
(t-3)(t-9) &= 0
\end{align*}
したがって、気温が77度となるのは $t=3$ と $t=9$ のちょうど2回であることが分かります。求める最大の $t$ の値は $\boxed{9}$ です。
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二次方程式
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Level 3
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Algebra
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以下の式を $x$ について整理せよ：\[2x+8x^2+9-(4-2x-8x^2).\] 答えを $ax^2 +bx+c$ の形で表せ。ただし $a$, $b$, $c$ は数である。
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16x^2+4x+5
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与えられた式は $2x+8x^2+9-4+2x+8x^2$ と書き直せる。同類項をまとめると、この式は $(2x+2x)+(8x^2+8x^2)+(9-4)=\boxed{16x^2+4x+5}$ となる。
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展開と因数分解
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Level 2
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Algebra
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連立方程式 \begin{align*}
3x+y&=a,\\
2x+5y&=2a,
\end{align*} が $x=2$ である解 $(x,y)$ を持つとき、$a$ の値を求めよ。
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\frac{26}{3}
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$x=2$ を代入すると、
\begin{align*}
y+6&=a,\\
5y+4&=2a.
\end{align*}
を得る。
第1式を $5$ 倍して第2式から引くと、
$$-26=-3a \Rightarrow a=\boxed{\frac{26}{3}}.$$
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連立方程式
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Level 3
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Algebra
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in Data Studio
Competition Math (Japanese Translation)
qwedsacf/competition_math の日本語翻訳版です。
データセットの説明
数学コンペティションレベルの問題、解答、解法を含むデータセットです。元のデータセット（MATH dataset）を日本語に翻訳しました。 難易度はLevel 1〜Level 5の5段階、分野は7種類（Algebra, Counting & Probability, Geometry, Intermediate Algebra, Number Theory, Prealgebra, Precalculus）に分類されています。
使用方法
from datasets import load_dataset
ds = load_dataset("kfsky/competition-math-japanese")
print(ds["train"][0])
カラム
| カラム名 | 説明 |
|---|---|
| problem | 数学の問題文（日本語） |
| answer | 解答（\boxed{}から抽出） |
| solution | 解法の詳細（日本語） |
| unit | 数学の単元名（日本語） |
| level | 難易度（Level 1〜5） |
| type | 分野（Algebra等7種類） |
ライセンス
元データセットと同じ MIT License に従います。
謝辞
- 元データセット: qwedsacf/competition_math
- MATH Dataset: hendrycks/math
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