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8000	https://www.ncbi.nlm.nih.gov/books/NBK609553/	List of example formulae for %TBSA burn calculation - Standards and recommendations for burns care in mass casualty incidents - NCBI Bookshelf An official website of the United States government Here's how you know The .gov means it's official. Federal government websites often end in .gov or .mil. Before sharing sensitive information, make sure you're on a federal government site. The site is secure. The https:// ensures that you are connecting to the official website and that any information you provide is encrypted and transmitted securely. Log inShow account info Close Account Logged in as: username Dashboard Publications Account settings Log out Access keysNCBI HomepageMyNCBI HomepageMain ContentMain Navigation Bookshelf Search database Search term Search Browse Titles Advanced Help Disclaimer NCBI Bookshelf. A service of the National Library of Medicine, National Institutes of Health. Standards and recommendations for burns care in mass casualty incidents [Internet]. Geneva: World Health Organization; 2024. Standards and recommendations for burns care in mass casualty incidents [Internet]. Show details Geneva: World Health Organization; 2024. Contents Search term < PrevNext > Annex 2 List of example formulae for %TBSA burn calculation View in own window \| FORMULA NAME \| FORMULA \| --- \| \| Wallace Rule of Nines (adults) \| 9% full head and neck (anterior and posterior surfaces); 9% anterior and posterior surfaces of each upper limb (18% for both); 9% anterior torso; 9% lower abdomen/trunk; 9% upper back; 9% lower back; 18% anterior and posterior surfaces of each lower limb (36% for both); 1% perineum. \| \| Wallace Rule of Nines (children) \| 18% full head and neck (anterior and posterior surfaces); 9% anterior and posterior surfaces of each upper limb (18% for both); 9% anterior torso; 9% lower abdomen/trunk; 9% upper back; 9% lower back; 13.5% anterior and posterior surfaces of each lower limb (27% for both); 1% perineum. \| \| Wallace Rule of Nines (infants) \| 21% full head and neck (anterior and posterior surfaces); 10% anterior and posterior surfaces of each upper limb (20% for both); 13% anterior torso/trunk; 13% back; 13.5% anterior and posterior surfaces of each lower limb (27% for both); 5% buttocks; 1% perineum. \| \| Rule of Palm (Palmer) \| Patient’s palm represents 1%. Estimate from fingers positioned together. \| \| Lund-Browder Chart (adults) \| 3.5% anterior head; 3.5% posterior head; 1% anterior neck; 1% posterior neck; 2% upper anterior arm; 2% upper posterior arm; 1.5% lower anterior arm; 1.5% lower posterior arm; 1.5% anterior palm; 1.5% posterior palm; 13% anterior trunk/abdomen; 13% back; 4.75% anterior thigh; 4.75% posterior thigh; 3.5% anterior shin; 3.5% posterior calf; 1.75% anterior foot; 1.75% posterior foot; 2.5% each buttock; 1% perineum. \| \| Lund-Browder Chart (age variation – 0, 1, 5, 10, 15) \| Modifications to above for each age variation of age 0, 1, 5, 10, 15 \| \| Smartphone applications \| Various integrated formulae utilizing predefined device or object dimensions as representative percentage. \| © World Health Organization 2024. Sales, rights and licensing. To purchase WHO publications, see To submit requests for commercial use and queries on rights and licensing, see Third-party materials. If you wish to reuse material from this work that is attributed to a third party, such as tables, figures or images, it is your responsibility to determine whether permission is needed for that reuse and to obtain permission from the copyright holder. The risk of claims resulting from infringement of any third-party-owned component in the work rests solely with the user. Some rights reserved. This work is available under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 IGO licence (CC BY-NC-SA 3.0 IGO; Under the terms of this licence, you may copy, redistribute and adapt the work for non-commercial purposes, provided the work is appropriately cited, as indicated below. In any use of this work, there should be no suggestion that WHO endorses any specific organization, products or services. The use of the WHO logo is not permitted. If you adapt the work, then you must license your work under the same or equivalent Creative Commons licence. If you create a translation of this work, you should add the following disclaimer along with the suggested citation: “This translation was not created by the World Health Organization (WHO). WHO is not responsible for the content or accuracy of this translation. The original English edition shall be the binding and authentic edition”. Any mediation relating to disputes arising under the licence shall be conducted in accordance with the mediation rules of the World Intellectual Property Organization ( Bookshelf ID: NBK609553 Contents < PrevNext > Share on Facebook Share on Twitter Views PubReader Print View Cite this Page PDF version of this title (1.9M) Other titles in this collection WHO Guidelines Approved by the Guidelines Review Committee Recent Activity Clear)Turn Off)Turn On) List of example formulae for %TBSA burn calculation - Standards and recommendati...List of example formulae for %TBSA burn calculation - Standards and recommendations for burns care in mass casualty incidents Your browsing activity is empty. Activity recording is turned off. Turn recording back on) See more... Follow NCBI Connect with NLM National Library of Medicine 8600 Rockville Pike Bethesda, MD 20894 Web Policies FOIA HHS Vulnerability Disclosure Help Accessibility Careers NLM NIH HHS USA.gov PreferencesTurn off External link. Please review our privacy policy. Cite this Page Close Standards and recommendations for burns care in mass casualty incidents [Internet]. Geneva: World Health Organization; 2024. Annex 2, List of example formulae for %TBSA burn calculation. Available from: Making content easier to read in Bookshelf Close We are experimenting with display styles that make it easier to read books and documents in Bookshelf. Our first effort uses ebook readers, which have several "ease of reading" features already built in. The content is best viewed in the iBooks reader. You may notice problems with the display of some features of books or documents in other eReaders. Cancel Download Share Share on Facebook Share on Twitter URL
8001	https://www.spanishunicorn.com/como-se-forma-el-imperfecto-de-subjuntivo/	¿Cómo se forma el imperfecto de subjuntivo? (423.) - Spanish Unicorn TIENDA TIENDA Spanish Unicorn Ejercicios de español B1-B2 . Ejercicios de gramática . Pretérito Imperfecto de Subjuntivo ¿Cómo se forma el imperfecto de subjuntivo? (423.) On 19/06/2023 by SpanishUnicorn Ejercicios de conjugación: verbos irregulares, imperfecto de subjuntivo forma: -‘ese’ ¿Cómo se forma el imperfecto de subjuntivo? Los 14 verbos: conducir, venir, tener, traer, pedir, dormir, dar, leer, morir, elegir, seguir, reír, sonreír, traducir. Atención! Tenemos ejercicios para practicar la conjugación de los verbos: hablar, comer, escribir, andar, decir, estar, haber, hacer, ir, poder, poner, querer, saber, ser, forma -ara Aquí los encuentras. 1. Conducir 2. Venir 3. Traer 4. Tener 5. Pedir 6. Dormir 7. Dar Comprar los ejercicios 8. Leer 9. Morir 10. Elegir 11. Seguir 12. Reír 13. Sonreír 14. Traducir Crucigrama – ¿Cómo se forma el imperfecto de subjuntivo? Actividades relacionadas Ejercicios: Como si…. Las Vegas con imperfecto de subjuntivo Pretérito imperfecto de subjuntivo: usos, ejemplos, conjugación, ejercicios Crucigramas de conjugación Casi todos los ejercicios con subjuntivo. Completa Conducir Venir Traer Tener Pedir Dormir Dar Leer Morir Elegir Seguir Reír Sonreír Traducir Soluciones Conducir yo condujese tú condujeses él condujese nosotros condujésemos vosotros condujeseis ellos condujesen Venir yo viniese tú vinieses él viniese nosotros viniésemos vosotros vinieseis ellos viniesen Traer yo trajese tú trajeses él trajese nosotros trajésemos vosotros trajeseis ellos trajesen Tener yo tuviese tú tuvieses él tuviese nosotros tuviésemos vosotros tuvieseis ellos tuviesen Pedir yo pidiese tú pidieses él pidiese nosotros pidiésemos vosotros pidieseis ellos pidiesen Dormir yo durmiese tú durmieses él durmiese nosotros durmiésemos vosotros durmieseis ellos durmiesen Dar yo diese tú dieses él diese nosotros diésemos vosotros dieseis ellos diesen Leer yo leyese tú leyeses él leyese nosotros leyésemos vosotros leyeseis ellos leyesen Morir yo muriese tú murieses él muriese nosotros muriésemos vosotros murieseis ellos muriesen Elegir yo eligiese tú eligieses él eligiese nosotros eligiésemos vosotros eligieseis ellos eligiesen Seguir yo siguiese tú siguieses él siguiese nosotros siguiésemos vosotros siguieseis ellos siguiesen Reír yo riese tú rieses él riese nosotros riésemos vosotros rieseis ellos riesen Sonreír yo sonriese tú sonrieses él sonriese nosotros sonriésemos vosotros sonrieseis ellos sonriesen Traducir yo tradujese tú tradujeses él tradujese nosotros tradujésemos vosotros tradujeseis ellos tradujesen Ejercicio-CONJUG.-IMPERFECTO-DE-SUBJ.-2-Descarga Tags:conjugación, imperfecto de subjuntivo Save Search Search Ejercicios de escuchaVocabulario españolEjercicios de gramáticaEjercicios de Pretérito PerfectoEjercicios de Verbos ReflexivosEjercicios de Verbos Irregulares en PresenteEl Imperativo en EspañolEjercicios de SubjuntivoSobre nosotrosContactoPolítica de Cookies, Política de Privacidad Copyright 2017- Spanishunicorn.com Contacto: info@spanishunicorn.com error: Content is protected !!
8002	https://web.ped.nm.gov/wp-content/uploads/2025/01/ALG-2-Creating-Equations-2.1.pdf	New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide The NMIS is a teacher-influenced tool, designed to provide instructional planning support at the programmatic level for districts and instructional level for teachers. Its foundation stems from the vision and mission of the PED and came into existence to assure that students in NM will be engaged in a culturally and linguistically responsive educational system that meets the social, emotional, and academic needs of ALL students. This is also rooted in the belief that all students must have access to on-grade-level standards, focusing on acceleration. The purpose of this tool is to help educators understand each of the grade level standards and how those standards connect to the students’ overall preparation for college and career readiness. Standards are defined as the most critical prerequisite skills and knowledge. This document is color-coded to reflect both anchor and priority standards. Though previous emphasis was placed on priority standards to address lost learning due to COVID-19, New Mexico teachers should note that moving forward, while priority standards allow for acceleration of learning, all standards should be addressed in instruction throughout the school year. In this guide you will find: ● A breakdown of each of the grade level standards within the cluster, including: ○ Standards of Mathematical Practice ○ Common Misconceptions ○ Identification of Priority Standards, as identified by NMPED. ○ Level of Rigor Identification ● Sample aligned assessment items ● Suggested Student Discourse Guide ● A multilayered system of supports (MLSS) and culturally and linguistically responsive instruction (CLR) guide 1 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide Key Priority Standard Priority standards, as identified by NMPED, are denoted with red highlighting. Priority standards are the most critical prerequisite skills and knowledge a student needs. This does not mean that these are only standards required to be taught, just these are the standards that will allow for the acceleration the students of New Mexico need during this time. Conceptual Understanding Conceptual Understanding standards help students build a deep understanding of the how and why of mathematics. Application Application standards help students identify the appropriate concepts and skills to tackle novel real-world problems. Procedural Skill and Fluency Procedural standards help students develop efficiency and accuracy in computations. Standards Breakdown ● Create equations that describe numbers or relationships. ○ HSA.CED.A.1 ○ HSA.CED.A.2 ○ HSA.CED.A.3 ○ HSA.CED.A.4 2 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide Grade CCSS Domain CCSS Cluster A2 Creating Equations Create equations that describe numbers or relationships Cluster Standard: HSA.CED.A.1 Standard Standards for Mathematical Practice Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions. ● SMP 1: Make sense of problems and persevere in solving them. ● SMP 4: Model with mathematics. Clarification Statement Students Who Demonstrate Understanding Can... ● Equations and inequalities can be created to represent and solve real world and mathematical problems. ● Students check their solutions to real-world problems which can be found by modeling them with equations and graphs. ● Constraints are necessary to balance a mathematical model with real-world context. Variable quantities may be able to take on only certain values and expressing these restrictions, or constraints, algebraically in an important part of modeling with mathematics. ● Formulas are equations with specific meaning that show the relationship between two or more quantities and are written in the same way literal equations are solved for a given variable, by isolating the desired variable on one side of the equation. ● All the standards in the Creating Equations group carry a modeling star, denoting their connection with the Modeling category in high school. This connotes not only an increase in the complexity of the equations studied, but an upgrade of the student’s ability in every part of the modeling cycle. ● Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. ● Write equations in one variable and use them to solve problems. ● Write inequalities in one variable and use them to solve problems. 3 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide DOK Blooms 1-2 Understand, Apply, Analyze 4 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide Grade CCSS Domain CCSS Cluster A2 Creating Equations Create equations that describe numbers or relationships Cluster Standard: HSA.CED.A.2 Standard Standards for Mathematical Practice HSA.CED.A.2: Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities, graph equations on coordinate axes with labels and scales. ● SMP 1: Make sense of problems and persevere in solving them. ● SMP 4: Model with mathematics. Clarification Statement Students Who Demonstrate Understanding Can... ● Equations and inequalities can be created to represent and solve real world and mathematical problems. ● Students check their solutions to real-world problems which can be found by modeling them with equations and graphs. ● Constraints are necessary to balance a mathematical model with real-world context. Variable quantities may be able to take on only certain values and expressing these restrictions, or constraints, algebraically is an important part of modeling with mathematics. ● Formulas are equations with specific meaning that show the relationship between two or more quantities and are written in the same way literal equations are solved for a given variable, by isolating the desired variable on one side of the equation. ● All the standards in the Creating Equations group carry a modeling star, denoting their connection with the Modeling category in high school. This connotes not only an increase in the complexity of the equations studied, but an upgrade of the student’s ability in every part of the modeling cycle. ● Create equations in two or more variables based on a given context. ● Write equations in two or more variables based on a given context. ● Graph equations on coordinate axes with scales clearly labeling the axes, defining what the values on the axes represent and the unit of measure. ● Select intervals for the scale that are appropriate for the context and display adequate information about the relationship. ● Analyze points on and off a graph and interpret them in context. 5 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide DOK Blooms 1-2 Understand, Apply, Analyze Grade CCSS Domain CCSS Cluster A2 Creating Equations Create equations that describe numbers or relationships Cluster Standard: HSA.CED.A.3 Standard Standards for Mathematical Practice Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or nonviable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods. ● SMP 2: Reason abstractly and quantitatively. ● SMP 4: Model with mathematics. Clarification Statement Students Who Demonstrate Understanding Can... ● Equations and inequalities can be created to represent and solve real world and mathematical problems. ● Students check their solutions to real-world problems which can be found by modeling them with equations and graphs. ● Constraints are necessary to balance a mathematical model with real-world context. Variable quantities may be able to take on only certain values and expressing these restrictions, or constraints, algebraically in an important part of modeling with mathematics. ● Identify constraints of equations, inequalities, and systems of equations and inequalities given a context. ● Interpret solutions of equations, inequalities, and systems of equations and inequalities as viable or non-viable given a context. ● Interpret solutions analytically and graphically to answer questions about the quantities in context. 6 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide ● Formulas are equations with specific meaning that show the relationship between two or more quantities and are written in the same way literal equations are solved for a given variable, by isolating the desired variable on one side of the equation. ● All the standards in the Creating Equations group carry a modeling star, denoting their connection with the Modeling category in high school. This connotes not only an increase in the complexity of the equations studied, but an upgrade of the student’s ability in every part of the modeling cycle. DOK Blooms 1-3 Understand, Apply, Analyze, Evaluate 7 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide Grade CCSS Domain CCSS Cluster A2 Creating Equations Create equations that describe numbers or relationships Cluster Standard: HSA.CED.A.4 Standard Standards for Mathematical Practice Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm's law V = IR to highlight resistance R. ● SMP4: Reason abstractly and quantitatively. ● SMP7: Look for and make use of structure. Clarification Statement Students Who Demonstrate Understanding Can... ● Equations and inequalities can be created to represent and solve real world and mathematical problems. ● Students check their solutions to real-world problems which can be found by modeling them with equations and graphs. ● Constraints are necessary to balance a mathematical model with real-world context. Variable quantities may be able to take on only certain values and expressing these restrictions, or constraints, algebraically in an important part of modeling with mathematics. ● Formulas are equations with specific meaning that show the relationship between two or more quantities and are written in the same way literal equations are solved for a given variable, by isolating the desired variable on one side of the equation. ● All the standards in the Creating Equations group carry a modeling star, denoting their connection with the Modeling category in high school. This connotes not only an increase in the complexity of the equations studied, but an upgrade of the student’s ability in every part of the modeling cycle. ● Solve for a specified variable in a literal equation. 8 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide DOK Blooms 1-2 Understand, Apply Common Misconceptions ● Students may believe only linear and quadratic expressions can be used within inequalities. ● Students may believe that ellipses and hyperbolas are the same, but are reversed on the axis ● Students may believe absolute value cannot be inverted and struggle when there is more than one term inside absolute value ● Students may believe that midpoint and distance are the same thing and confuse the formulas. 9 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide Student Discourse Guide ● Purposeful, rich classroom discourse offers students the opportunity to express their ideas, thinking, and to critique the reasoning of others in a variety of ways (writing, drawing, verbal). Purposeful implementation of classroom discourse allows students to activate funds of knowledge and to refine their mathematical understanding. When students have frequent opportunities for discourse, they find various paths to solutions and reveal knowledge or misunderstandings to educators. The process also allows educators to honor students' culture, lived experiences and evolving math identities. ● Discourse that focuses on tasks that promote reasoning and problem solving is a primary mechanism for developing conceptual understanding and meaningful learning of mathematics (Michaels, O’Connor, and Resnick, 2008) Domain: Creating Equations Strand: Create equations that describe numbers or relationships Suggested Student Discourse Questions ● How can you simplify a rational function? Why or why not? ● Create an equation and inequality in one variable How could you create an equation and inequality in one variable? How is your method different from your partner? ● How could you rearrange formulas to highlight a specific quantity? Solve for a specific unknown. For example, A = LW, find width. ● The challenge continues to examine US census data to select and refine a model for the population of the United States over time. Check to see if it is changing at a constant rate or at equal proportional rates. How could the information from the table be used to model a linear or exponential function? 10 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide ASSESSMENT GUIDE ● Create equations that describe numbers or relationships Grade CCSS Domain CCSS Cluster A2 Creating Equations Create equations that describe numbers or relationships Sample Task #1 (Constructed Response) 11 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide MLSS AND CLR GUIDE ● Create equations that describe numbers or relationships CCSS Domain CCSS Cluster Creating Equations Create equations that describe numbers or relationships Culturally and Linguistically Responsive Instruction Relevance to Families and Communities During a unit focused on HS.CED.A: Create equations that describe numbers or relationships cluster, consider options for learning from your families and communities the cultural and linguistic ways this mathematics exists outside of school to create stronger home to school connections for students, for example, how statistics are used to describe how the risk of different cultural and ethnic groups for developing breast cancer and how this might affect medical breast cancer screening frequency recommendations. Example: During a unit focused on creating equations in two variables, consider options for learning from your families and communities the cultural and linguistic ways this mathematics exists outside of school to create stronger home to school connections for students, for example, exploring how changing the structure for an equation is similar to how a sentence can be re-structured to convey different meanings depending on the structure of the words. Cross-Curricular Connections Economics: Linear programming with a system of inequalities is often used to model the constraint of resources for production. Consider providing a connection where students are starting their own business and must maximize profit or production with the possible solutions of the system. Science: There are many formulas in science such as Ohm’s Law and the Doppler formulas that may require isolating and solving for a specific variable given certain conditions. Consider providing a connection where students must rearrange the same formulas in multiple ways to highlight different quantities of interest. Validate/Affirm/Build/Bridge ● How can you design your mathematics classroom to intentionally and purposefully legitimize the home culture and ● Building Procedural Fluency from Conceptual Understanding: Instruction should build from conceptual understanding to allow students opportunities to make meaning of mathematics before focusing on procedures. When new learning begins with procedures it hinders students with 12 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide languages of students and reverse the negative stereotypes regarding the mathematical abilities of students of marginalized cultures and languages? ● How can you create connections between the cultural and linguistic behaviors of your students’ home culture and language, the culture and language of school mathematics to support students in creating mathematical identities as capable mathematicians that can use mathematics within school and society? strong prior familiarity with school mathematics procedures for solving problems from learning to build more methods for solving tasks that occur outside of school mathematics. For example, when studying HS.CED.A: Create equations that describe numbers or relationships cluster the types of mathematical tasks are critical because fluency in Algebra is akin to becoming fluent in a spoken or written language. Fluency is essential to obtaining a deep understanding of the function and meaning of any language. Algebra is no different. Planning for Multi-Layered System of Supports Vertical Alignment Previous Learning Current Learning Future Learning ● Connect to the work of Algebra 1 around linear, quadratic, and exponential (integer inputs only) with this cluster. (HSA.CED.A) ● Connect to graphing systems of equations and inequalities. (HSA.REI.7) ● Connect to solving equations in one variable including those equations with coefficients represented by variables. (HSA.REI.3-4) ● Connect to communicating relevant domain and range for linear, exponential and quadratic functions. (HSF.IF.4) ● Connect to graphing equations and inequalities. (HSF.IF.7) ● ● Connect to extending knowledge to include additional types of functions such as trigonometric, rational, and polynomial. (HSA.CED.1-4) ● Connect to communicating relevant domain and range for all types of functions. (HSF.IF.4) 13 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide Suggested Instructional Strategies Pre-Teach Level of Intensity Essential Question Examples Targeted What pre-teaching will prepare students to productively struggle with the mathematics for this cluster within your HQIM? Some learners may benefit from targeted pre-teaching that focuses on creating equations that describe numbers or relationships because this cluster requires students to create equations they have already studied from relationships and contexts. A recap of the key features of the families of functions studied can help students more easily apply their prior learnings to these problems. Intensive What critical understandings will prepare students to access the mathematics for this cluster? 8.F.B.4: This standard provides a foundation for work with creating equations that describe numbers or relationships because this standard called on students to specifically write linear equations from a given relationship and explain the parts of the equation in context of a scenario. If students have unfinished learning within this standard, based on assessment data, consider ways to provide intensive pre-teaching support prior to the start of the unit to ensure students are ready to access grade level instruction and assignments. Universal Support Framework A student should know/understand... A student should be able to do... Potential Scaffolds ● Different forms of an expression can be equivalent and are useful in different contexts. ● The addition, subtraction, multiplication, or division of rational expressions results in another rational expression. ● When a situation and its potential constraints will be ● Use the structure of an expression and the properties of mathematics to rewrite it in a different form. ● Perform the operations of addition, subtraction, multiplication, and division with rational expressions. ● Determine ● Build on students’ experience with the following skills: ○ Graphing on the coordinate plane (6.NS.C.8) ○ Solving systems of equations / inequalities (8.EE.C.8) ○ Adding / subtracting / multiplying / dividing and simplify fractions ○ Writing and solving one-step and two-step equations (HSA.REI.B.3, HSA.REI.B.4) ○ Modeling linear, exponential, quadratic and absolute value functions (HSF.LE.A, HSF.LE.B) ○ Different forms of linear (linear 14 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide represented by all available types of equations/inequalities, including simple root function, or a system of those equations/inequalities. ● When solving graphically/with a table is more efficient than solving algebraically. reasonable solutions based on the context of real-world problems from graphs of equations/inequali ties and systems of equations/inequali ties. ● Solve systems using a graph and a table as well as rewrite an equation as two functions (and vice versa). standard form, point-slope form, slope intercept form) and quadratic equations (quadratic standard form and vertex form) (HSF.LE.A) ● Cognitive Strategies ○ Repeatedly model the strategies ○ Monitor the students’ use of the strategies ○ Provide feedback to students ○ Teach self-questioning and self-monitoring strategies ○ Introduce multiple means of representation for mathematical ideas ● Encourage students to use alternative tools to better access the grade level content. Examples include: ○ Desmos.com ○ Graphing calculator ○ Sketch a graph ○ Create a table of values ○ Algebra tiles ○ Graphic organizers Re-Teach Level of Intensity Essential Question Examples Targeted What formative assessment data (e.g., tasks, exit tickets, observations) will help identify content needing to be revisited during a unit? For example, students may benefit from re-engaging with content during a unit on creating equations that describe numbers or relationships by clarifying mathematical ideas and/or concepts through a short mini-lesson because students may see problems as having one specific solution when infinitely many solutions are appropriate. Students may benefit from revisiting contexts with inequalities and discussing many potential solutions and why they each make sense in context of the problem. Further, students may benefit from discussing why a solution can be found mathematically but why it may not make sense in context of a problem. Intensive What assessment data will help identify content needing to be revisited for For example, some students may benefit from intensive extra time during and after a unit creating equations that describe numbers or relationships by addressing 15 Revised 11/01/2022 New Mexico Instructional Scope Algebra 2 Creating Equations Guide intensive interventions? conceptual understanding because students must have a firm grasp of the features of equations and inequalities before they can model scenarios with them. Students may require support in conceptualizing the different families of functions and/or the difference between an equation and an inequality. Extension Essential Question Examples What type of extension will offer additional challenges to ‘broaden’ your student’s knowledge of the mathematics developed within your HQIM? Some learners may benefit from an extension such as open-ended tasks linking multiple disciplines when creating equations that describe numbers or relationships because once students are fluent in applying equations to contexts, they can be challenged by selecting their own problems relating to specific careers or interests. 16 Revised 11/01/2022
8003	https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/aqm/justsix.pdf	Particles in a Magnetic Field The purpose of this chapter is to understand how quantum particles react to magnetic ﬁelds. In contrast to later sections, we will not yet place these particles inside solids, for the simple reason that there is plenty of interesting behaviour to discover before we do this. Later, in Section 4.1, we will understand how these magnetic ﬁelds a↵ect the electrons in solids. Before we get to describe quantum e↵ects, we ﬁrst need to highlight a few of the more subtle aspects that arise when discussing classical physics in the presence of a magnetic ﬁeld. 6.1 Gauge Fields Recall from our lectures on Electromagnetism that the electric ﬁeld E(x, t) and mag-netic ﬁeld B(x, t) can be written in terms a scalar potential φ(x, t) and a vector potential A(x, t), E = −rφ −@A @t and B = r ⇥A (6.1) Both φ and A are referred to as gauge ﬁelds. When we ﬁrst learn electromagnetism, they are introduced merely as handy tricks to help solve the Maxwell equations. However, as we proceed through theoretical physics, we learn that they play a more fundamental role. In particular, they are necessary if we want to discuss a Lagrangian or Hamiltonian approach to electromagnetism. We will soon see that these gauge ﬁelds are quite indispensable in quantum mechanics. The Lagrangian for a particle of charge q and mass m moving in a background electromagnetic ﬁelds is L = 1 2m ˙ x2 + q ˙ x · A −qφ (6.2) The classical equation of motion arising from this Lagrangian is m¨ x = q (E + ˙ x ⇥B) This is the Lorentz force law. Before we proceed I should warn you of a minus sign issue. We will work with a general charge q. However, many textbooks work with the charge of the electron, written as q = −e. If this minus sign leans to confusion, you should blame Benjamin Franklin. – 166 – An Example: Motion in a Constant Magnetic Field We’ll take a constant magnetic ﬁeld, pointing in the z-direction: B = (0, 0, B). We’ll take E = 0. The particle is free in the z-direction, with the equation of motion m¨ z = 0. The more interesting dynamics takes place in the (x, y)-plane where the equations of motion are m¨ x = qB ˙ y and m¨ y = −qB ˙ x (6.3) which has general solution is x(t) = X + R sin(!B(t −t0)) and y(t) = Y + R cos(!B(t −t0)) We see that the particle moves in a circle which, for B > 0 B Figure 78: and q > 0, is in a clockwise direction. The cyclotron frequency is deﬁned by !B = qB m (6.4) The centre of the circle (X, Y ), the radius of the circle R and the phase t0 are all arbitrary. These are the four integration constants expected in the solution of two, second order di↵erential equations. 6.1.1 The Hamiltonian The canonical momentum in the presence of gauge ﬁelds is p = @L @ ˙ x = m ˙ x + qA (6.5) This clearly is not the same as what we naively call momentum, namely m ˙ x. The Hamiltonian is given by H = ˙ x · p −L = 1 2m(p −qA)2 + qφ Written in terms of the velocity of the particle, the Hamiltonian looks the same as it would in the absence of a magnetic ﬁeld: H = 1 2m ˙ x2 + qφ. This is the statement that a magnetic ﬁeld does no work and so doesn’t change the energy of the system. However, there’s more to the Hamiltonian framework than just the value of H. We need to remember which variables are canonical. This information is encoded in the Poisson bracket structure of the theory (or, in fancy language, the symplectic structure on phase space). The fact that x and p are canonical means that {xi, pj} = δij with {xi, xj} = {pi, pj} = 0 – 167 – In the quantum theory, this structure transferred onto commutation relations between operators, which become [xi, pj] = i~δij with [xi, xj] = [pi, pj] = 0 6.1.2 Gauge Transformations The gauge ﬁelds A and φ are not unique. We can change them as φ ! φ −@↵ @t and A ! A + r↵ (6.6) for any function ↵(x, t). Under these transformations, the electric and magnetic ﬁelds (6.1) remain unchanged. The Lagrangian (6.2) changes by a total derivative, but this is suﬃcient to ensure that the resulting equations of motion (6.3) are unchanged. Di↵erent choices of ↵are said to be di↵erent choices of gauge. We’ll see some examples below. The existence of gauge transformations is a redundancy in our description of the system: ﬁelds which di↵er by the transformation (6.6) describe physically identical conﬁgurations. Nothing that we can physically measure can depend on our choice of gauge. This, it turns out, is a beautifully subtle and powerful restriction. We will start to explore some of these subtleties in Sections 6.3 and 6.4 The canonical momentum p deﬁned in (6.5) is not gauge invariant: it transforms as p ! p + qr↵. This means that the numerical value of p can’t have any physical meaning since it depends on our choice of gauge. In contrast, the velocity of the particle ˙ x is gauge invariant, and therefore physical. The Schr¨ odinger Equation Finally, we can turn to the quantum theory. We’ll look at the spectrum in the next section, but ﬁrst we wish to understand how gauge transformations work. Following the usual quantisation procedure, we replace the canonical momentum with p 7! −i~r The time-dependent Schr¨ odinger equation for a particle in an electric and magnetic ﬁeld then takes the form i~@ @t = H = 1 2m ⇣ −i~r −qA ⌘2 + qφ (6.7) The shift of the kinetic term to incorporate the vector potential A is sometimes referred to as minimal coupling. – 168 – Before we solve for the spectrum, there are two lessons to take away. The ﬁrst is that it is not possible to formulate the quantum mechanics of particles moving in electric and magnetic ﬁelds in terms of E and B alone. We’re obliged to introduce the gauge ﬁelds A and φ. This might make you wonder if, perhaps, there is more to A and φ than we ﬁrst thought. We’ll see the answer to this question in Section 6.3. (Spoiler: the answer is yes.) The second lesson follows from looking at how (6.7) fares under gauge transforma-tions. It is simple to check that the Schr¨ odinger equation transforms covariantly (i.e. in a nice way) only if the wavefunction itself also transforms with a position-dependent phase (x, t) ! eiq↵(x,t)/~ (x, t) (6.8) This is closely related to the fact that p is not gauge invariant in the presence of a mag-netic ﬁeld. Importantly, this gauge transformation does not a↵ect physical probabilities which are given by \| \|2. The simplest way to see that the Schr¨ odinger equation transforms nicely under the gauge transformation (6.8) is to deﬁne the covariant derivatives Dt = @ @t + iq ~ φ and Di = @ @xi −iq ~ Ai In terms of these covariant derivatives, the Schr¨ odinger equation becomes i~Dt = −~ 2mD2 (6.9) But these covariant derivatives are designed to transform nicely under a gauge trans-formation (6.6) and (6.8). You can check that they pick up only a phase Dt ! eiq↵/~ Dt and Di ! eiq↵/~ Di This ensures that the Schr¨ odinger equation (6.9) transforms covariantly. 6.2 Landau Levels Our task now is to solve for the spectrum and wavefunctions of the Schr¨ odinger equa-tion. We are interested in the situation with vanishing electric ﬁeld, E = 0, and constant magnetic ﬁeld. The quantum Hamiltonian is H = 1 2m(p −qA)2 (6.10) – 169 – We take the magnetic ﬁeld to lie in the z-direction, so that B = (0, 0, B). To proceed, we need to ﬁnd a gauge potential A which obeys r ⇥A = B. There is, of course, no unique choice. Here we pick A = (0, xB, 0) (6.11) This is called Landau gauge. Note that the magnetic ﬁeld B = (0, 0, B) is invariant under both translational symmetry and rotational symmetry in the (x, y)-plane. How-ever, the choice of A is not; it breaks translational symmetry in the x direction (but not in the y direction) and rotational symmetry. This means that, while the physics will be invariant under all symmetries, the intermediate calculations will not be manifestly invariant. This kind of compromise is typical when dealing with magnetic ﬁeld. The Hamiltonian (6.10) becomes H = 1 2m # p2 x + (py −qBx)2 + p2 z $ Because we have manifest translational invariance in the y and z directions, we have [py, H] = [pz, H] = 0 and can look for energy eigenstates which are also eigenstates of py and pz. This motivates the ansatz (x) = eikyy+ikzz χ(x) (6.12) Acting on this wavefunction with the momentum operators py = −i~@y and pz = −i~@z, we have py = ~ky and pz = ~kz The time-independent Schr¨ odinger equation is H = E . Substituting our ansatz (6.12) simply replaces py and pz with their eigenvalues, and we have H (x) = 1 2m h p2 x + (~ky −qBx)2 + ~2k2 z i (x) = E (x) We can write this as an eigenvalue equation for the equation χ(x). We have ˜ Hχ(x) = ✓ E −~2k2 z 2m ◆ χ(x) where ˜ H is something very familiar: it’s the Hamiltonian for a harmonic oscillator in the x direction, with the centre displaced from the origin, ˜ H = 1 2mp2 x + m!2 B 2 (x −kyl2 B)2 (6.13) – 170 – The frequency of the harmonic oscillator is again the cyloctron frequency !B = qB/m, and we’ve also introduced a length scale lB. This is a characteristic length scale which governs any quantum phenomena in a magnetic ﬁeld. It is called the magnetic length. lB = s ~ qB To give you some sense for this, in a magnetic ﬁeld of B = 1 Tesla, the magnetic length for an electron is lB ⇡2.5 ⇥10−8 m. Something rather strange has happened in the Hamiltonian (6.13): the momentum in the y direction, ~ky, has turned into the position of the harmonic oscillator in the x direction, which is now centred at x = kyl2 B. We can immediately write down the energy eigenvalues of (6.13); they are simply those of the harmonic oscillator E = ~!B ✓ n + 1 2 ◆ + ~2k2 z 2m n = 0, 1, 2, . . . (6.14) The wavefunctions depend on three quantum numbers, n 2 N and ky, kz 2 R. They are n,k(x, y) ⇠eikyy+ikzz Hn(x −kyl2 B)e−(x−kyl2 B)2/2l2 B (6.15) with Hn the usual Hermite polynomial wavefunctions of the harmonic oscillator. The ⇠ reﬂects the fact that we have made no attempt to normalise these these wavefunctions. The wavefunctions look like strips, extended in the y direction but exponentially localised around x = kyl2 B in the x direction. However, you shouldn’t read too much into this. As we will see shortly, there is large degeneracy of wavefunctions and by taking linear combinations of these states we can cook up wavefunctions that have pretty much any shape you like. 6.2.1 Degeneracy The dynamics of the particle in the z-direction is una↵ected by the magnetic ﬁeld B = (0, 0, B). To focus on the novel physics, let’s restrict to particles with kz = 0. The energy spectrum then coincides with that of a harmonic oscillator, En = ~!B ✓ n + 1 2 ◆ (6.16) – 171 – In the present context, these are called Landau levels. We E k n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=0 Figure 79: Landau Lev-els see that, in the presence of a magnetic ﬁeld, the energy levels of a particle become equally spaced, with the gap between each level proportional to the magnetic ﬁeld B. Note that the energy spectrum looks very di↵erent from a free particle moving in the (x, y)-plane. The states in a given Landau level are not unique. In-stead, there is a huge degeneracy, with many states hav-ing the same energy. We can see this in the form of the wavefunctions (6.15) which, when kz = 0, depend on two quantum numbers, n and ky. Yet the energy (6.16) is independent of ky. Let’s determine how large this degeneracy of states is. To do so, we need to restrict ourselves to a ﬁnite region of the (x, y)-plane. We pick a rectangle with sides of lengths Lx and Ly. We want to know how many states ﬁt inside this rectangle. Having a ﬁnite size Ly is like putting the system in a box in the y-direction. The wavefunctions must obey (x, y + Ly, z) = (x, y, z) ) eikyLy = 1 This means that the momentum ky is quantised in units of 2⇡/Ly. Having a ﬁnite size Lx is somewhat more subtle. The reason is that, as we mentioned above, the gauge choice (6.11) does not have manifest translational invariance in the x-direction. This means that our argument will be a little heuristic. Because the wavefunctions (6.15) are exponentially localised around x = kyl2 B, for a ﬁnite sample restricted to 0 x Lx we would expect the allowed ky values to range between 0 ky Lx/l2 B. The end result is that the number of states in each Landau level is given by N = Ly 2⇡ Z Lx/l2 B 0 dk = LxLy 2⇡l2 B = qBA 2⇡~ (6.17) where A = LxLy is the area of the sample. Strictly speaking, we should take the integer part of the answer above. The degeneracy (6.17) is very very large. Throwing in some numbers, there are around 1010 degenerate states per Landau level for electrons in a region of area A = 1 cm2 in a magnetic ﬁeld B ⇠0.1 T. This large degeneracy ultimately, this leads to an array of dramatic and surprising physics. – 172 – 6.2.2 Symmetric Gauge It is worthwhile to repeat the calculations above using a di↵erent gauge choice. This will give us a slightly di↵erent perspective on the physics. A natural choice is symmetric gauge A = −1 2x ⇥B = B 2 (−y, x, 0) (6.18) This choice of gauge breaks translational symmetry in both the x and the y directions. However, it does preserve rotational symmetry about the origin. This means that angular momentum is now a good quantum number to label states. In this gauge, the Hamiltonian is given by H = 1 2m "✓ px + qBy 2 ◆2 + ✓ py −qBx 2 ◆2 + p2 z # = −~2 2mr2 + qB 2mLz + q2B2 8m (x2 + y2) (6.19) where we’ve introduced the angular momentum operator Lz = xpy −ypx We’ll again restrict to motion in the (x, y)-plane, so we focus on states with kz = 0. It turns out that complex variables are particularly well suited to describing states in symmetric gauge, in particular in the lowest Landau level with n = 0. We deﬁne w = x + iy and ¯ w = x −iy Correspondingly, the complex derivatives are @ = 1 2 ✓@ @x −i @ @y ◆ and ¯ @ = 1 2 ✓@ @x + i @ @y ◆ which obey @w = ¯ @ ¯ w = 1 and @ ¯ w = ¯ @w = 0. The Hamiltonian, restricted to states with kz = 0, is then given by H = −2~2 m @ ¯ @ −!B 2 Lz + m!2 B 8 w ¯ w where now Lz = ~(w@ −¯ w ¯ @) – 173 – It is simple to check that the states in the lowest Landau level take the form 0(w, ¯ w) = f(w)e−\|w\|2/4l2 B for any holomorphic function f(w). These all obey H 0(w, ¯ w) = ~!B 2 0(w, ¯ w) which is the statement that they lie in the lowest Landau level with n = 0. We can further distinguish these states by requiring that they are also eigenvalues of Lz. These are satisﬁed by the monomials, 0 = wMe−\|w\|2/4l2 B ) Lz 0 = ~M 0 (6.20) for some positive integer M. Degeneracy Revisited In symmetric gauge, the proﬁles of the wavefunctions (6.20) form concentric rings around the origin. The higher the angular momentum M, the further out the ring. This, of course, is very di↵erent from the strip-like wavefunctions that we saw in Landau gauge (6.15). You shouldn’t read too much into this other than the fact that the proﬁle of the wavefunctions is not telling us anything physical as it is not gauge invariant. However, it’s worth revisiting the degeneracy of states in symmetric gauge. The wavefunction with angular momentum M is peaked on a ring of radius r = p 2MlB. This means that in a disc shaped region of area A = ⇡R2, the number of states is roughly (the integer part of) N = R2/2l2 B = A/2⇡l2 B = qBA 2⇡~ which agrees with our earlier result (6.17). 6.2.3 An Invitation to the Quantum Hall E↵ect Take a system with some ﬁxed number of electrons, which are restricted to move in the (x, y)-plane. The charge of the electron is q = −e. In the presence of a magnetic ﬁeld, these will ﬁrst ﬁll up the N = eBA/2⇡~ states in the n = 0 lowest Landau level. If any are left over they will then start to ﬁll up the n = 1 Landau level, and so on. Now suppose that we increase the magnetic ﬁeld B. The number of states N housed in each Landau level will increase, leading to a depletion of the higher Landau levels. At certain, very special values of B, we will ﬁnd some number of Landau levels that are exactly ﬁlled. However, generically there will be a highest Landau level which is only partially ﬁlled. – 174 – Figure 80: The integer quantum Hall ef-fect. Figure 81: The fractional quantum Hall e↵ect. This successive depletion of Landau levels gives rise to a number of striking signatures in di↵erent physical quantities. Often these quantities oscillate, or jump discontinuously as the number of occupied Landau levels varies. One particular example is the de Haas van Alphen oscillations seen in the magnetic susceptibility which we describe in Section 4.3.4. Another example is the behaviour of the resistivity ⇢. This relates the current density J = (Jx, Jy) to the applied electric ﬁeld E = (Ex, Ey), E = ⇢J In the presence of an applied magnetic ﬁeld B = (0, 0, B), the electrons move in circles. This results in components of the current which are both parallel and perpendicular to the electric ﬁeld. This is modelled straightforwardly by taking ⇢to be a matrix ⇢= ⇢xx ⇢xy −⇢xy ⇢xx ! where the form of the matrix follows from rotational invariance. Here ⇢xx is called the longitudinal resistivity while ⇢xy is called the Hall resistivity. In very clean samples, in strong magnetic ﬁelds, both components of the resistivity exhibit very surprising behaviour. This is shown in the left-hand ﬁgure above. The Hall resistivity ⇢xy increases with B by forming a series of plateaux, on which it takes values ⇢xy = 2⇡~ e2 1 ⌫ ⌫2 N The value of ⌫(which is labelled i = 2, 3, . . . in the data shown above) is measured to be an integer to extraordinary accuracy — around one part in 109. Meanwhile, – 175 – the longitudinal resistivity vanishes when ⇢xy lies on a plateaux, but spikes whenever there is a transition between di↵erent plateaux. This phenomenon, called the integer Quantum Hall E↵ect, was discovered by Klaus von Klitzing in 1980. For this, he was awarded the Nobel prize in 1985. It turns out that the integer quantum Hall e↵ect is a direct consequence of the existence of discrete Landau levels. The plateaux occur when precisely ⌫2 Z+ Landau levels are ﬁlled. Of course, we’re very used to seeing integers arising in quantum mechanics — this, after all, is what the “quantum” in quantum mechanics means. However, the quantisation of the resistivity ⇢xy is something of a surprise because this is a macroscopic quantity, involving the collective behaviour of many trillions of electrons, swarming through a hot and dirty system. A full understanding of the integer quantum Hall e↵ect requires an appreciation of how the mathematics of topology ﬁts in with quantum mechanics. David Thouless (and, to some extent, Duncan Haldane) were awarded the 2016 Nobel prize for understanding the underlying role of topology in this system. Subsequently it was realised that similar behaviour also happens when Landau levels are partially ﬁlled. However, it doesn’t occur for any ﬁlling, but only very special values. This is referred to as the fractional quantum Hall e↵ect. The data is shown in the right-hand ﬁgure. You can see clear plateaux when the lowest Landau level has ⌫= 1 3 of its states ﬁlled. There is another plateaux when ⌫= 2 5 of the states are ﬁlled, followed by a bewildering pattern of further plateaux, all of which occur when ⌫ is some rational number. This was discovered by Tsui and St¨ ormer in 1982. It called the Fractional Quantum Hall E↵ect. The 1998 Nobel prize was awarded to Tsui and Stormer, together with Laughlin who pioneered the ﬁrst theoretical ideas to explain this behaviour. The fractional quantum Hall e↵ect cannot be explained by treating the electrons as free. Instead, it requires us to take interactions into account. We have seen that each Landau level has a macroscopically large degeneracy. This degeneracy is lifted by interactions, resulting in a new form of quantum liquid which exhibits some magical properties. For example, in this state of matter the electron — which, of course, is an indivisible particle — can split into constituent parts! The ⌫= 1 3 state has excitations which carry 1/3 of the charge of an electron. In other quantum Hall states, the excitations have charge 1/5 or 1/4 of the electron. These particles also have a number of other, even stranger properties to do with their quantum statistics and there is hope that these may underly the construction of a quantum computer. – 176 – We will not delve into any further details of the quantum Hall e↵ect. Suﬃce to say that it is one of the richest and most beautiful subjects in theoretical physics. You can ﬁnd a fuller exploration of these ideas in the lecture notes devoted to the Quantum Hall E↵ect. 6.3 The Aharonov-Bohm E↵ect In our course on Electromagnetism, we learned that the gauge potential Aµ is unphys-ical: the physical quantities that a↵ect the motion of a particle are the electric and magnetic ﬁelds. Yet we’ve seen above that we cannot formulate quantum mechanics without introducing the gauge ﬁelds A and φ. This might lead us to wonder whether there is more to life than E and B alone. In this section we will see that things are, indeed, somewhat more subtle. 6.3.1 Particles Moving around a Flux Tube Consider the set-up shown in the ﬁgure. We have a solenoid B=0 B Figure 82: of area A, carrying magnetic ﬁeld B = (0, 0, B) and therefore magnetic ﬂux Φ = BA. Outside the solenoid the magnetic ﬁeld is zero. However, the vector potential is not. This fol-lows from Stokes’ theorem which tells us that the line integral outside the solenoid is given by I A · dx = Z B · dS = Φ This is simply solved in cylindrical polar coordinates by Aφ = Φ 2⇡r Now consider a charged quantum particle restricted to lie in a ring of radius r outside the solenoid. The only dynamical degree of freedom is the angular coordinate φ 2 [0, 2⇡). The Hamiltonian is H = 1 2m (pφ −qAφ)2 = 1 2mr2 ✓ −i~ @ @φ −qΦ 2⇡ ◆2 We’d like to see how the presence of this solenoid a↵ects the particle. The energy eigenstates are simply = 1 p 2⇡r einφ n 2 Z (6.21) – 177 – Φ E n=1 n=2 n=0 Figure 83: The energy spectrum for a particle moving around a solenoid. where the requirement that is single valued around the circle means that we must take n 2 Z. Plugging this into the time independent Schr¨ odinger equation H = E , we ﬁnd the spectrum E = 1 2mr2 ✓ ~n −qΦ 2⇡ ◆2 = ~2 2mr2 ✓ n −Φ Φ0 ◆2 n 2 Z where we’ve deﬁned the quantum of ﬂux Φ0 = 2⇡~/q. (Usually this quantum of ﬂux is deﬁned using the electron charge q = −e, with the minus signs massaged so that Φ0 ⌘2⇡~/e > 0.) Note that if Φ is an integer multiple of Φ0, then the spectrum is una↵ected by the solenoid. But if the ﬂux in the solenoid is not an integral multiple of Φ0 — and there is no reason that it should be — then the spectrum gets shifted. We see that the energy of the particle knows about the ﬂux Φ even though the particle never goes near the region with magnetic ﬁeld. The resulting energy spectrum is shown in Figure 83. There is a slightly di↵erent way of looking at this result. Away from the solenoid, the gauge ﬁeld is a total divergence A = r↵with ↵= Φφ 2⇡ This means that we can try to remove it by redeﬁning the wavefunction to be ! ˜ = exp ✓−iq↵ ~ ◆ = exp ✓−iqΦ 2⇡~ φ ◆ However, there is an issue: the wavefunction should be single-valued. This, after all, is how we got the quantisation condition n 2 Z in (6.21). This means that the gauge transformation above is allowed only if Φ is an integer multiple of Φ0 = 2⇡~/q. Only in this case is the particle una↵ected by the solenoid. The obstacle arises from the fact that the wavefunction of the particle winds around the solenoid. We see here the ﬁrst glimpses of how topology starts to feed into quantum mechanics. – 178 – There are a number of further lessons lurking in this simple quantum mechanical set-up. You can read about them in the lectures on the Quantum Hall E↵ect (see Section 1.5.3) and the lectures on Gauge Theory (see Section 3.6.1). 6.3.2 Aharonov-Bohm Scattering The fact that a quantum particle can be a↵ected by A φ P 1 P 2 Figure 84: even when restricted to regions where B = 0 was ﬁrst pointed out by Aharonov and Bohm in a context which is closely related to the story above. They revisited the famous double-slit experiment, but now with a twist: a solenoid carrying ﬂux Φ is hidden behind the wall. This set-up is shown in the ﬁgure below. Once again, the particle is forbidden from going near the solenoid. Nonetheless, the presence of the magnetic ﬂux a↵ects the resulting interference pattern, shown as the dotted line in the ﬁgure. Consider a particle that obeys the free Schr¨ odinger equation, 1 2m ⇣ −i~r −qA ⌘2 = E We can formally remove the gauge ﬁeld by writing (x) = exp ✓iq ~ Z x A(x0) · dx0 ◆ φ(x) where the integral is over any path. Crucially, however, in the double-slit experiment there are two paths, P1 and P2. The phase picked up by the particle due to the gauge ﬁeld di↵ers depending on which path is taken. The phase di↵erence is given by ∆✓= q ~ Z P1 A · dx −q ~ Z P2 A · dx = q ~ I A · dx = q ~ Z B · dS Note that neither the phase arising from path P1, nor the phase arising from path P2, is gauge invariant. However, the di↵erence between the two phases is gauge invariant. As we see above, it is given by the ﬂux through the solenoid. This is the Aharonov-Bohm phase, eiqΦ/~, an extra contribution that arises when charged particles move around magnetic ﬁelds. The Aharonov-Bohm phase manifests in the interference pattern seen on the screen. As Φ is changed, the interference pattern shifts, an e↵ect which has been experimentally observed. Only when Φ is an integer multiple of Φ0 is the particle unaware of the presence of the solenoid. – 179 – 6.4 Magnetic Monopoles A magnetic monopole is a hypothetical object which emits a radial magnetic ﬁeld of the form B = gˆ r 4⇡r2 ) Z dS · B = g (6.22) Here g is called the magnetic charge. We learned in our ﬁrst course on Electromagnetism that magnetic monopoles don’t exist. First, and most importantly, they have never been observed. Second there’s a law of physics which insists that they can’t exist. This is the Maxwell equation r · B = 0 Third, this particular Maxwell equation would appear to be non-negotiable. This is because it follows from the deﬁnition of the magnetic ﬁeld in terms of the gauge ﬁeld B = r ⇥A ) r · B = 0 Moreover, as we’ve seen above, the gauge ﬁeld A is necessary to describe the quantum physics of particles moving in magnetic ﬁelds. Indeed, the Aharonov-Bohm e↵ect tells us that there is non-local information stored in A that can only be detected by particles undergoing closed loops. All of this points to the fact that we would be wasting our time discussing magnetic monopoles any further. Happily, there is a glorious loophole in all of these arguments, ﬁrst discovered by Dirac, and magnetic monopoles play a crucial role in our understanding of the more subtle e↵ects in gauge theories. The essence of this loophole is that there is an ambiguity in how we deﬁne the gauge potentials. In this section, we will see how this arises. 6.4.1 Dirac Quantisation It turns out that not any magnetic charge g is compatible with quantum mechanics. Here we present several di↵erent arguments for the allowed values of g. We start with the simplest and most physical of these arguments. Suppose that a particle with charge q moves along some closed path C in the background of some gauge potential A(x). Then, upon returning to its initial starting position, the wavefunction of the particle picks up a phase ! eiq↵/~ with ↵= I C A · dx (6.23) This is the Aharonov-Bohm phase described above. – 180 – B S C C S’ Figure 85: Integrating over S... Figure 86: ...or over S0. The phase of the wavefunction is not an observable quantity in quantum mechanics. However, as we described above, the phase in (6.23) is really a phase di↵erence. We could, for example, place a particle in a superposition of two states, one of which stays still while the other travels around the loop C. The subsequent interference will depend on the phase eiq↵/~, just like in the Aharonov-Bohm e↵ect. Let’s now see what this has to do with magnetic monopoles. We place our particle, with electric charge q, in the background of a magnetic monopole with magnetic charge g. We keep the magnetic monopole ﬁxed, and let the electric particle undergo some journey along a path C. We will ask only that the path C avoids the origin where the magnetic monopole is sitting. This is shown in the left-hand panel of the ﬁgure. Upon returning, the particle picks up a phase eiq↵/~ with ↵= I C A · dx = Z S B · dS where, as shown in the ﬁgure, S is the area enclosed by C. Using the fact that R S2 B · dS = g, if the surface S makes a solid angle ⌦, this phase can be written as ↵= ⌦g 4⇡ However, there’s an ambiguity in this computation. Instead of integrating over S, it is equally valid to calculate the phase by integrating over S0, shown in the right-hand panel of the ﬁgure. The solid angle formed by S0 is ⌦0 = 4⇡−⌦. The phase is then given by ↵0 = −(4⇡−⌦)g 4⇡ where the overall minus sign comes because the surface S0 has the opposite orientation to S. As we mentioned above, the phase shift that we get in these calculations is – 181 – observable: we can’t tolerate di↵erent answers from di↵erent calculations. This means that we must have eiq↵/~ = eiq↵0/~. This gives the condition qg = 2⇡~n with n 2 Z (6.24) This is the famous Dirac quantisation condition. The smallest such magnetic charge has n = 1. It coincides with the quantum of ﬂux, g = Φ0 = 2⇡~/q. Above we worked with a single particle of charge q. Obviously, the same argument must hold for any other particle of charge q0. There are two possibilities. The ﬁrst is that all particles carry charge that is an integer multiple of some smallest unit. In this case, it’s suﬃcient to impose the Dirac quantisation condition (6.24) where q is the smallest unit of charge. For example, in our world we should take q = ±e to be the electron or proton charge (or, if we look more closely in the Standard Model, we might choose to take q = −e/3, the charge of the down quark). The second possibility is that the particles carry electric charges which are irrational multiples of each other. For example, there may be a particle with charge q and another particle with charge p 2q. In this case, no magnetic monopoles are allowed. It’s sometimes said that the existence of a magnetic monopole would imply the quantisation of electric charges. This, however, has it backwards. (It also misses the point that we have a wonderful explanation of the quantisation of charges from the story of anomaly cancellation in the Standard Model.) There are two possible groups that could underly gauge transformations in electromagnetism. The ﬁrst is U(1); this has integer valued charges and admits magnetic monopoles. The second possibility is R; this has irrational electric charges and forbids monopoles. All the evidence in our world points to the fact that electromagnetism is governed by U(1) and that magnetic monopoles should exist. Above we looked at an electrically charged particle moving in the background of a magnetically charged particle. It is simple to generalise the discussion to particles that carry both electric and magnetic charges. These are called dyons. For two dyons, with charges (q1, g1) and (q2, g2), the generalisation of the Dirac quantisation condition requires q1g2 −q2g1 2 2⇡~Z This is sometimes called the Dirac-Zwanziger condition. – 182 – 6.4.2 A Patchwork of Gauge Fields The discussion above shows how quantum mechanics constrains the allowed values of magnetic charge. It did not, however, address the main obstacle to constructing a magnetic monopole out of gauge ﬁelds A when the condition B = r ⇥A would seem to explicitly forbid such objects. Let’s see how to do this. Our goal is to write down a conﬁguration of gauge ﬁelds which give rise to the magnetic ﬁeld (6.22) of a monopole which we will place at the origin. However, we will need to be careful about what we want such a gauge ﬁeld to look like. The ﬁrst point is that we won’t insist that the gauge ﬁeld is well deﬁned at the origin. After all, the gauge ﬁelds arising from an electron are not well deﬁned at the position of an electron and it would be churlish to require more from a monopole. This fact gives us our ﬁrst bit of leeway, because now we need to write down gauge ﬁelds on R3/{0}, as opposed to R3 and the space with a point cut out enjoys some non-trivial topology that we will make use of. Consider the following gauge connection, written in spherical polar coordinates AN φ = g 4⇡r 1 −cos ✓ sin ✓ (6.25) The resulting magnetic ﬁeld is B = r ⇥A = 1 r sin ✓ @ @✓(AN φ sin ✓) ˆ r −1 r @ @r(rAN φ )ˆ ✓ Substituting in (6.25) gives B = gˆ r 4⇡r2 (6.26) In other words, this gauge ﬁeld results in the magnetic monopole. But how is this possible? Didn’t we learn in kindergarten that if we can write B = r ⇥A then R dS · B = 0? How does the gauge potential (6.25) manage to avoid this conclusion? The answer is that AN in (6.25) is actually a singular gauge connection. It’s not just singular at the origin, where we’ve agreed this is allowed, but it is singular along an entire half-line that extends from the origin to inﬁnity. This is due to the 1/ sin ✓term which diverges at ✓= 0 and ✓= ⇡. However, the numerator 1 −cos ✓has a zero when ✓= 0 and the gauge connection is ﬁne there. But the singularity along the half-line ✓= ⇡remains. The upshot is that this gauge connection is not acceptable along the line of the south pole, but is ﬁne elsewhere. This is what the superscript N is there to remind us: we can work with this gauge connection s long as we keep north. – 183 – Now consider a di↵erent gauge connection AS φ = −g 4⇡r 1 + cos ✓ sin ✓ (6.27) This again gives rise to the magnetic ﬁeld (6.26). This time it is well behaved at ✓= ⇡, but singular at the north pole ✓= 0. The superscript S is there to remind us that this connection is ﬁne as long as we keep south. At this point, we make use of the ambiguity in the gauge connection. We are going to take AN in the northern hemisphere and AS in the southern hemisphere. This is allowed because the two gauge potentials are the same up to a gauge transformation, A ! A + r↵. Recalling the expression for r↵in spherical polars, we ﬁnd that for ✓6= 0, ⇡, we can indeed relate AN φ and AS φ by a gauge transformation, AN φ = AS φ + 1 r sin ✓@φ↵ where ↵= gφ 2⇡ (6.28) However, there’s still a question remaining: is this gauge transformation allowed? The problem is that the function ↵is not single valued: ↵(φ = 2⇡) = ↵(φ = 0) + g. And this should concern us because, as we’ve seen in (6.8), the gauge transformation also acts on the wavefunction of a quantum particle ! eiq↵/~ There’s no reason that we should require the gauge transformation ↵to be single-valued, but we do want the wavefunction to be single-valued. This holds for the gauge transformation (6.28) provided that we have qg = 2⇡~n with n 2 Z This, of course, is the Dirac quantisation condition (6.24). Mathematically, we have constructed of a topologically non-trivial U(1) bundle over the S2 surrounding the origin. In this context, the integer n is called the ﬁrst Chern number. 6.4.3 Monopoles and Angular Momentum Here we provide yet another derivation of the Dirac quantisation condition, this time due to Saha. The key idea is that the quantisation of magnetic charge actually follows from the more familiar quantisation of angular momentum. The twist is that, in the presence of a magnetic monopole, angular momentum isn’t quite what you thought. – 184 – To set the scene, let’s go back to the Lorentz force law dp dt = q ˙ x ⇥B with p = m ˙ x. Recall from our discussion in Section 6.1.1 that p deﬁned here is not the canonical momentum, a fact which is hiding in the background in the following derivation. Now let’s consider this equation in the presence of a magnetic monopole, with B = g 4⇡ r r3 The monopole has rotational symmetry so we would expect that the angular momen-tum, x ⇥p, is conserved. Let’s check: d(x ⇥p) dt = ˙ x ⇥p + x ⇥˙ p = x ⇥˙ p = qx ⇥( ˙ x ⇥B) = qg 4⇡r3 x ⇥( ˙ x ⇥x) = qg 4⇡ ✓˙ x r −˙ rx r2 ◆ = d dt ⇣qg 4⇡ˆ r ⌘ We see that in the presence of a magnetic monopole, the naive L θ Figure 87: angular momentum x ⇥p is not conserved! However, as we also noticed in the lectures on Classical Dynamics (see Section 4.3.2), we can easily write down a modiﬁed angular momentum that is conserved, namely L = x ⇥p −qg 4⇡ˆ r The extra term can be thought of as the angular momentum stored in E ⇥B. The surprise is that the system has angular momentum even when the particle doesn’t move. Before we move on, there’s a nice and quick corollary that we can draw from this. The angular momentum vector L does not change with time. But the angle that the particle makes with this vector is L · ˆ r = −qg 4⇡= constant This means that the particle moves on a cone, with axis L and angle cos ✓= −qg/4⇡L. – 185 – So far, our discussion has been classical. Now we invoke some simple quantum mechanics: the angular momentum should be quantised. In particular, the angular momentum in the z-direction should be Lz 2 1 2~Z. Using the result above, we have qg 4⇡= 1 2~n ) qg = 2⇡~n with n 2 Z Once again, we ﬁnd the Dirac quantisation condition. 6.5 Spin in a Magnetic Field As we’ve seen in previous courses, particles often carry an intrinsic angular momentum called spin S. This spin is quantised in half-integer units. For examples, electrons have spin 1 2 and their spin operator is written in terms of the Pauli matrices σ, S = ~ 2σ Importantly, the spin of any particle couples to a background magnetic ﬁeld B. The key idea here is that the intrinsic spin acts like a magnetic moment m which couples to the magnetic ﬁeld through the Hamiltonian H = −m · B The question we would like to answer is: what magnetic moment m should we associate with spin? A full answer to this question would require an ex-r q v Figure 88: tended detour into the Dirac equation. Here we pro-vide only some basic motivation. First consider a par-ticle of charge q moving with velocity v around a circle of radius r as shown in the ﬁgure. From our lectures on Electromagnetism, we know that the associated magnetic moment is given by m = −q 2r ⇥v = q 2mL where L = mr⇥v is the orbital angular momentum of the particle. Indeed, we already saw the resulting coupling H = −(q/2m)L · B in our derivation of the Hamiltonian in symmetric gauge (6.19). – 186 – Since the spin of a particle is another contribution to the angular momentum, we might anticipate that the associated magnetic moment takes the form m = g q 2mS where g is some dimensionless number. (Note: g is unrelated to the magnetic charge that we discussed in the previous section!) This, it turns out, is the right answer. However, the value of g depends on the particle under consideration. The upshot is that we should include a term in the Hamiltonian of the form H = −g q 2mS · B (6.29) The g-factor For fundamental particles with spin 1 2 — such as the electron — there is a long and interesting history associated to determining the value of g. For the electron, this was ﬁrst measured experimentally to be ge = 2 Soon afterwards, Dirac wrote down his famous relativistic equation for the electron. One of its ﬁrst successes was the theoretical prediction ge = 2 for any spin 1 2 particle. This means, for example, that the neutrinos and quarks also have g = 2. This, however, was not the end of the story. With the development of quantum ﬁeld theory, it was realised that there are corrections to the value ge = 2. These can be calculated and take the form of a series expansion, starting with ge = 2 ⇣ 1 + ↵ 2⇡+ . . . ⌘ ⇡2.00232 where ↵= e2/4⇡✏0~c ⇡1/137 is the dimensionless ﬁne structure constant which char-acterises the strength of the Coulomb force. The most accurate experimental measure-ment of the electron magnetic moment now yields the result ge ⇡2.00231930436182 ± 2.6 ⇥10−13 Theoretical calculations agree to the ﬁrst ten signiﬁcant ﬁgures or so. This is the most impressive agreement between theory and experiment in all of science! Beyond that, the value of ↵is not known accurately enough to make a comparison. Indeed, now the measurement of the electron magnetic moment is used to deﬁne the ﬁne structure constant ↵. – 187 – While all fundamental spin 1 2 particles have g ⇡2, this does not hold for more complicated objects. For example, the proton has gp ⇡5.588 while the neutron — which of course, is a neutral particle, but still carries a magnetic moment — has gn ⇡−3.823 where, because the neutron is neutral, the charge q = e is used in the formula (6.29). These measurements were one of the early hints that the proton and neutron are com-posite objects. 6.5.1 Spin Precession Consider a constant magnetic ﬁeld B = (0, 0, B). We would like to understand how this a↵ects the spin of an electron. We’ll take ge = 2. We write the electric charge of the electron as q = −e so the Hamiltonian is H = e~ 2mσ · B The eigenstates are simply the spin-up \|" i and spin-down \|# i states in the z-direction. They have energies H\|" i = ~!B 2 \|" i and H\|# i = −~!B 2 \|# i where !B = eB/m is the cyclotron frequency which appears throughout this chapter. What happens if we do not sit in an energy eigenstate. A ωB B S Figure 89: general spin state can be expressed in spherical polar coordinates as \| (✓, φ)i = cos(✓/2)\|" i + eiφ sin(✓/2)\|# i As a check, note that \| (✓= ⇡/2, φ)i is an eigenstate of σx when φ = 0, ⇡and an eigenstate of σy when φ = ⇡/2, 3⇡/2 as it should be. The evolution of this state is determined by the time-dependent Schr¨ odinger equation i~@\| i @t = H\| i – 188 – which is easily solved to give \| (✓, φ; t)i = ei!Bt/2h cos(✓/2)\|" i + ei(φ−!Bt) sin(✓/2)\|# i i We see that the e↵ect of the magnetic ﬁeld is to cause the spin to precess about the B axis, as shown in the ﬁgure. 6.5.2 A First Look at the Zeeman E↵ect The Zeeman e↵ect describes the splitting of atomic energy levels in the presence of a magnetic ﬁeld. Consider, for example, the hydrogen atom with Hamiltonian H = −~2 2mr2 − 1 4⇡✏0 e2 r The energy levels are given by En = −↵2mc2 2 1 n2 n 2 Z where ↵is the ﬁne structure constant. Each energy level has a degeneracy of states. These are labelled by the angular momentum l = 0, 1, . . . , n −1 and the z-component of angular momentum ml = −l, . . . , +l. Furthermore, each electron carries one of two spin states labelled by ms = ± 1 2. This results in a degeneracy given by Degeneracy = 2 n−1 X l=0 (2l + 1) = 2n2 Now we add a magnetic ﬁeld B = (0, 0, B). As we have seen, this results in perturbation to the Hamiltonian which, to leading order in B, is given by ∆H = e 2m(L + geS) · B In the presence of such a magnetic ﬁeld, the degeneracy of the states is split. The energy levels now depend on the quantum numbers n, ml and ms and are given by En,m,s = En + e 2m(ml + 2ms)B The Zeeman e↵ect is developed further in the Lectures on Topics in Quantum Mechanics. – 189 –
8004	https://chem.libretexts.org/Courses/Howard_University/General_Chemistry%3A_An_Atoms_First_Approach/Unit_6%3A_Kinetics_and_Equilibria/Chapter_16%3A_Aqueous_Acid-Base_Equilibria/Chapter_16.1%3A_The_Autoionization_of_Water	Skip to main content Chapter 16.1: The Autoionization of Water Last updated : May 27, 2025 Save as PDF Chapter 16: Aqueous Acid-Base Equilibria Chapter 16.2: A Qualitative Description of Acid-Base Equilibria Page ID : 28677 Anonymous LibreTexts ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}) \| \| \| --- \| \| \| Howard University General Chemistry: An Atoms First Approach \| \| Unit 1: Atomic Theory Unit 2: Molecular StructureUnit 3: Stoichiometry Unit 4: Thermochem & Gases Unit 5: States of Matter Unit 6: Kinetics & Equilibria Unit 7: Electro & Thermo Chemistry Unit 8: Materials \| \| Learning Objectives To understand the autoionization reaction of liquid water. To know the relationship among pH, pOH, and pKw. As you learned in Chapter 8 and Chapter 4, acids and bases can be defined in several different ways (Table 16.1.1 ). Recall that the Arrhenius definition of an acid is a substance that dissociates in water to produce H+ ions (protons), and an Arrhenius base is a substance that dissociates in water to produce OH− (hydroxide) ions. According to this view, an acid–base reaction involves the reaction of a proton with a hydroxide ion to form water. Although Brønsted and Lowry defined an acid similarly to Arrhenius by describing an acid as any substance that can donate a proton, the Brønsted–Lowry definition of a base is much more general than the Arrhenius definition. In Brønsted–Lowry terms, a base is any substance that can accept a proton, so a base is not limited to just a hydroxide ion. This means that for every Brønsted–Lowry acid, there exists a corresponding conjugate base with one fewer proton, as we demonstrated in Chapter 8 . Consequently, all Brønsted–Lowry acid–base reactions actually involve two conjugate acid–base pairs and the transfer of a proton from one substance (the acid) to another (the base). In contrast, the Lewis definition of acids and bases, discussed in Chapter 8, focuses on accepting or donating pairs of electrons rather than protons. A Lewis base is an electron-pair donor, and a Lewis acid is an electron-pair acceptor. Table 16.1.1 Definitions of Acids and Bases \| \| Acids \| Bases \| --- \| Arrhenius \| H+ donor \| OH− donor \| \| Brønsted–Lowry \| H+ donor \| H+ acceptor \| \| Lewis \| electron-pair acceptor \| electron-pair donor \| Because this chapter deals with acid–base equilibriums in aqueous solution, our discussion will use primarily the Brønsted–Lowry definitions and nomenclature. Remember, however, that all three definitions are just different ways of looking at the same kind of reaction: a proton is an acid, and the hydroxide ion is a base—no matter which definition you use. In practice, chemists tend to use whichever definition is most helpful to make a particular point or understand a given system. If, for example, we refer to a base as having one or more lone pairs of electrons that can accept a proton, we are simply combining the Lewis and Brønsted–Lowry definitions to emphasize the characteristic properties of a base. In Chapter 8, we also introduced the acid–base properties of water, its autoionization reaction, and the definition of pH. The purpose of this section is to review those concepts and describe them using the concepts of chemical equilibrium developed in Chapter 15 . Acid–Base Properties of Water The structure of the water molecule, with its polar O–H bonds and two lone pairs of electrons on the oxygen atom, was described in Chapter 8 and Chapter 4, and the structure of liquid water was discussed in Chapter 13 . Recall that because of its highly polar structure, liquid water can act as either an acid (by donating a proton to a base) or a base (by using a lone pair of electrons to accept a proton). For example, when a strong acid such as HCl dissolves in water, it dissociates into chloride ions (Cl−) and protons (H+). As you learned in Chapter 8, the proton, in turn, reacts with a water molecule to form the hydronium ion (H3O+): In this reaction, HCl is the acid, and water acts as a base by accepting an H+ ion. The reaction in Equation 16.1.1 is often written in a simpler form by removing H2O from each side: In Equation 16.1.2, the hydronium ion is represented by H+, although free H+ ions do not exist in liquid water. Water can also act as an acid, as shown in Equation 16.1.3. In this equilibrium reaction, H2O donates a proton to NH3, which acts as a base: Thus water is amphiproticSubstances that can behave as either an acid or a base in a chemical reaction, depending on the nature of the other reactant(s)., meaning that it can behave as either an acid or a base, depending on the nature of the other reactant. Notice that Equation 16.3 is an equilibrium reaction as indicated by the double arrow. The Ion-Product Constant of Liquid Water Because water is amphiprotic, one water molecule can react with another to form an OH− ion and an H3O+ ion in an autoionization process: The equilibrium constant K for this reaction can be written as follows: When pure liquid water is in equilibrium with hydronium and hydroxide ions at 25°C, the concentrations of the hydronium ion and the hydroxide ion are equal: [H3O+] = [OH−] = 1.003 × 10−7 M. Thus the number of dissociated water molecules is very small indeed, approximately 2 ppb. We can calculate [H2O] at 25°C from the density of water at this temperature (0.997 g/mL): With so few water molecules dissociated, the equilibrium of the autoionization reaction (Equation 16.4) lies far to the left. Consequently, [H2O] is essentially unchanged by the autoionization reaction and can be treated as a constant. Incorporating this constant into the equilibrium expression allows us to rearrange Equation 16.1.5 to define a new equilibrium constant, the ion-product constant of liquid water (Kw) with Substituting the values for [H3O+] and [OH−] at 25°C into this expression, Thus, to three significant figures, Kw = 1.01 × 10−14 M. Like any other equilibrium constant, Kw varies with temperature, ranging from 1.15 × 10−15 at 0°C to 4.99 × 10−13 at 100°C. In pure water, the concentrations of the hydronium ion and the hydroxide ion are equal, and the solution is therefore neutral. If [H3O+] > [OH−], however, the solution is acidic, whereas if [H3O+] < [OH−], the solution is basic. For an aqueous solution, the H3O+ concentration is a quantitative measure of acidity: the higher the H3O+ concentration, the more acidic the solution. Conversely, the higher the OH− concentration, the more basic the solution. In most situations that you will encounter, the H3O+ and OH− concentrations from the dissociation of water are so small (1.003 × 10−7 M) that they can be ignored in calculating the H3O+ or OH− concentrations of solutions of acids and bases, but this is not always the case. The Relationship among pH, pOH, and pKw The pH scale is a concise way of describing the H3O+ concentration and hence the acidity or basicity of a solution. Recall from Chapter 8 that pH and the H+ (H3O+) concentration are related as follows: Because the scale is logarithmic, a pH difference of 1 between two solutions corresponds to a difference of a factor of 10 in their hydronium ion concentrations. (Refer to Essential Skills 3 in Section 8.11 , if you need to refresh your memory about how to use logarithms.) Recall also that the pH of a neutral solution is 7.00 ([H3O+] = 1.0 × 10−7 M), whereas acidic solutions have pH < 7.00 (corresponding to [H3O+] > 1.0 × 10−7) and basic solutions have pH > 7.00 (corresponding to [H3O+] < 1.0 × 10−7). Similar notation systems are used to describe many other chemical quantities that contain a large negative exponent. For example, chemists use an analogous pOH scale to describe the hydroxide ion concentration of a solution. The pOH and [OH−] are related as follows: The constant Kw can also be expressed using this notation, where pKw = −log Kw. Because a neutral solution has [OH−] = 1.0 × 10−7, the pOH of a neutral solution is 7.00. Consequently, the sum of the pH and the pOH for a neutral solution at 25°C is 7.00 + 7.00 = 14.00. We can show that the sum of pH and pOH is equal to 14.00 for any aqueous solution at 25°C by taking the negative logarithm of both sides of Equation 16.7: Thus at any temperature, pH + pOH = pKw, so at 25°C, where Kw = 1.0 × 10−14, pH + pOH = 14.00. More generally, the pH of any neutral solution is half of the pKw at that temperature. The relationship among pH, pOH, and the acidity or basicity of a solution is summarized graphically in Figure 16.1.1 over the common pH range of 0 to 14. Notice the inverse relationship between the pH and pOH scales. Note the Pattern For any neutral solution, pH + pOH = 14.00 (at 25°C) and and pH=12pKw. Figure 16.1.1 The Inverse Relationship between the pH and pOH ScalesAs pH decreases, [H+] and the acidity increase. As pOH increases, [OH−] and the basicity decrease. Common substances have pH values that range from extremely acidic to extremely basic. Example 16.1.1 The Kw for water at 100°C is 4.99 × 10−13. Calculate pKw for water at this temperature and the pH and the pOH for a neutral aqueous solution at 100°C. Report pH and pOH values to two decimal places. Given: K w Asked for: pKw, pH, and pOH Strategy: A Calculate pKw by taking the negative logarithm of Kw. B For a neutral aqueous solution, [H3O+] = [OH−]. Use this relationship and Equation 16.7 to calculate [H3O+] and [OH−]. Then determine the pH and the pOH for the solution. Solution: A Because pKw is the negative logarithm of Kw, we can write The answer is reasonable: Kw is between 10−13 and 10−12, so pKw must be between 12 and 13. B Equation 16.1.7 shows that Kw = [H3O+][OH−]. Because [H3O+] = [OH−] in a neutral solution, we can let x = [H3O+] = [OH−]: Because x is equal to both [H3O+] and [OH−], pH = pOH = −log(7.06 × 10−7) = 6.15 (to two decimal places) We could obtain the same answer more easily (without using logarithms) by using the pKw. In this case, we know that pKw = 12.302, and from Equation 16.13, we know that pKw = pH + pOH. Because pH = pOH in a neutral solution, we can use Equation 16.13 directly, setting pH = pOH = y. Solving to two decimal places we obtain the following: Exercise Humans maintain an internal temperature of about 37°C. At this temperature, Kw = 3.55 × 10−14. Calculate pKw and the pH and the pOH of a neutral solution at 37°C. Report pH and pOH values to two decimal places. Answer: pKw = 13.45 pH = pOH = 6.73 Summary Water is amphiprotic: it can act as an acid by donating a proton to a base to form the hydroxide ion, or as a base by accepting a proton from an acid to form the hydronium ion (H3O+). The autoionization of liquid water produces OH− and H3O+ ions. The equilibrium constant for this reaction is called the ion-product constant of liquid water (Kw) and is defined as Kw = [H3O+][OH−]. At 25°C, Kw is 1.01 × 10−14; hence pH + pOH = pKw = 14.00. Key Takeaway For any neutral solution, pH + pOH = 14.00 (at 25°C) and pH = 1/2 pKw. Key Equations Ion-product constant of liquid water Equation 16.1.7: Kw = [H3O+][OH−] Definition of pH Equation 16.1.9: pH = −log10[H+] Equation 16.1.10: [H+] = 10−pH Definition of pOH Equation 16.1.11: pOH = −log10[OH+] Equation 16.1.12: [OH−] = 10−pOH Relationship among pH, pOH, and p K w Equation 16.1.13: pKw= pH + pOH Conceptual Problems What is the relationship between the value of the equilibrium constant for the autoionization of liquid water and the tabulated value of the ion-product constant of liquid water (Kw)? The density of liquid water decreases as the temperature increases from 25°C to 50°C. Will this effect cause Kw to increase or decrease? Why? Show that water is amphiprotic by writing balanced chemical equations for the reactions of water with HNO3 and NH3. In which reaction does water act as the acid? In which does it act as the base? Write a chemical equation for each of the following. Nitric acid is added to water. Potassium hydroxide is added to water. Calcium hydroxide is added to water. Sulfuric acid is added to water. Show that K for the sum of the following reactions is equal to Kw. Answers water is the base: water is the acid: Numerical Problems The autoionization of sulfuric acid can be described by the following chemical equation: At 25°C, K = 3 × 10−4. Write an equilibrium constant expression for K(H2SO4) that is analogous to Kw. The density of H2SO4 is 1.8 g/cm3 at 25°C. What is the concentration of H3SO4+? What fraction of H2SO4 is ionized? 2. An aqueous solution of a substance is found to have [H3O]+ = 2.48 × 10−8 M. Is the solution acidic, neutral, or basic? 3. The pH of a solution is 5.63. What is its pOH? What is the [OH−]? Is the solution acidic or basic? 4. State whether each solution is acidic, neutral, or basic. [H3O+] = 8.6 × 10−3 M [H3O+] = 3.7 × 10−9 M [H3O+] = 2.1 × 10−7 M [H3O+] = 1.4 × 10−6 M Calculate the pH and the pOH of each solution. 0.15 M HBr 0.03 M KOH 2.3 × 10−3 M HNO3 9.78 × 10−2 M NaOH 0.00017 M HCl 5.78 M HI Calculate the pH and the pOH of each solution. 25.0 mL of 2.3 × 10−2 M HCl, diluted to 100 mL 5.0 mL of 1.87 M NaOH, diluted to 125 mL 5.0 mL of 5.98 M HCl added to 100 mL of water 25.0 mL of 3.7 M HNO3 added to 250 mL of water 35.0 mL of 0.046 M HI added to 500 mL of water 15.0 mL of 0.0087 M KOH added to 250 mL of water. The pH of stomach acid is approximately 1.5. What is the [H+]? Given the pH values in parentheses, what is the [H+] of each solution? household bleach (11.4) milk (6.5) orange juice (3.5) seawater (8.5) tomato juice (4.2) A reaction requires the addition of 250.0 mL of a solution with a pH of 3.50. What mass of HCl (in milligrams) must be dissolved in 250 mL of water to produce a solution with this pH? If you require 333 mL of a pH 12.50 solution, how would you prepare it using a 0.500 M sodium hydroxide stock solution? Answers [H3SO4+] = 0.3 M; the fraction ionized is 0.02. pOH = 8.37; [OH−] = 4.3 × 10−9 M; acidic pH = 0.82; pOH = 13.18 pH = 12.5; pOH = 1.5 pH = 2.64; pOH = 11.36 pH = 12.990; pOH = 1.010 pH = 3.77; pOH = 10.23 pH = −0.762; pOH = 14.762 2.9 mg HCl Contributors Anonymous Modified by Joshua B. Halpern Chapter 16: Aqueous Acid-Base Equilibria Chapter 16.2: A Qualitative Description of Acid-Base Equilibria
8005	https://www.youtube.com/watch?v=wqXTnhVhXkI	Free Excel Project Tracker Template Excel University 56600 subscribers 134 likes Description 10681 views Posted: 26 Feb 2025 Track Your Projects Like a Pro! 📊 \| Excel Agile Gantt Chart Tutorial 🎓 Learn Excel with our full online course designed to get you confident and proficient in no time. 💡 Stop piecing it together—start excelling today! Try it for free for 7-days 🔥 👉 Need an easy way to manage your projects in Excel? 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ExcelTutorial #ProjectManagement #GanttChart #ExcelTips #Productivity #exceltemplate 00:00 - Introduction 00:11 - Exercise 1 00:31 - Exercise 2 02:43 - Exercise 3 2 comments Transcript: Introduction hello and welcome to project tracker my name is Jeff I'm glad you're here let's just Jump Right In in this short video I'm going to show you how to get use and modify a project tracking template let's start with the first exercise exercise one to get the template open up Excel Exercise 1 and go to file new in the search field type agile Gant we click the template and then select create and just like that we have this workbook now in our Excel the first worksheet is called about and you can read this to get some more information now let's figure out how to use this workbook and let's go to the next exercise exercise 2 now the Exercise 2 first thing I want to do is just kind of scroll out so we can see the whole template and what we can see is that we get a nice visual representation of the status of this entire project now the nice thing about this template is that we can scroll our view window in other words currently we're looking at about two months January and February But as time passes we can scroll so row eight is actually a scroll bar and we can click over here and you'll notice we're scrolling this window to the right similarly we can scroll on this side and we're scrolling to the left if we don't like using the scroll bar bar no problem we can use this scrolling increment cell instead and I'll zoom in here in a second but for now I can type zero if I want to scroll it to the right 30 days I can do 30 if I want to scroll it to the right 60 days I can do 60 and let's put this back to zero and those are a couple ways we can adjust the time period that we're viewing now let's scroll in and look at some of the details basically we would go through and we would update all of these columns for our project so we type in the description and then let's look at this category column if we set it to goal we're going to see this type of Icon we can also change it to Milestone and it's going to change it to this yellow flag icon we can also set it to on track it's going to go with green we can say this is a low risk and that'll update the formatting accordingly we can set it to medium risk and that is updated and we can set it to high risk and that is updated and in a little bit I'll show you how to update these Colors Let's go back and set this to goal we can also type in who this task is assigned to now this progress column allows us to manually type in the progress and the bar will update accordingly for example let's change this to 50 75 and 100 and you get the idea I'll set this back to 25% here's where we can type in the start date maybe this doesn't start till January 5th that's fine and we can also set the number of days and we could go through row by row making these type of updates now what if we wanted to update the colors or add new well that takes us to the next exercise in addition to these short videos I also offer formal training it's built for users at all skill levels learn more by using the link in the description you'll be getting your work done faster than ever exercise three let Exercise 3 me Zoom back out just for a second now all of this formatting in this region is defined by conditional formatting so if we want to make any changes we go to conditional formatting manage rules here I'm going to select this worksheet and then we can scroll down and update things as desired for example Le data bar we can click that edit Rule and then we can pick any color or formatting we'd like let me cancel that if we wanted to change the icons edit Rule and we can pick from a variety of different icons let me cancel that for low risk if we want to change that color we can edit rule format and pick any other color we'd like let me cancel that for high-risk once again we just pick that edit rule click format and make any changes that we'd like and if we changed any of those colors we'd want to update this Legend as well let me Zoom back in for a second all right what about adding rows let's go ahead and scroll down this is the end of the template and there's a note to add more data insert new rows above this one so what we would do is we'd select an entire row and insert and that way this new row inherits all the formulas and formatting from the row above so everything continues to work as expected for any new rows cool so that's how we can get use and modify our project tracking template thanks for joining me have a great day hey XL user if you ever need to create summary reports check out my pivot table for beginners video it starts at the beginning and shows how to store the data transactions in a table and then how to summarize those transactions with a pivot table report I hope it helps unlock the incredible power of pivot tables this video is a production of excel University [Music]
8006	https://www.aafp.org/pubs/afp/issues/2017/0101/p22.html	MATTHEW W. SHORT, LTC, MC, USA, KRISTINA G. BURGERS, MAJ, MC, USA, AND VINCENT T. FRY, MAJ, MC, USA Am Fam Physician. 2017;95(1):22-28 Patient information: See related handout on esophageal cancer, written by the authors of this article. Author disclosure: No relevant financial affiliations. Esophageal cancer has a poor prognosis and high mortality rate, with an estimated 16,910 new cases and 15,910 deaths projected in 2016 in the United States. Squamous cell carcinoma and adenocarcinoma account for more than 95% of esophageal cancers. Squamous cell carcinoma is more common in nonindustrialized countries, and important risk factors include smoking, alcohol use, and achalasia. Adenocarcinoma is the predominant esophageal cancer in developed nations, and important risk factors include chronic gastroesophageal reflux disease, obesity, and smoking. Dysphagia alone or with unintentional weight loss is the most common presenting symptom, although esophageal cancer is often asymptomatic in early stages. Physicians should have a low threshold for evaluation with endoscopy if any symptoms are present. If cancer is confirmed, integrated positron emission tomography and computed tomography should be used for initial staging. If no distant metastases are found, endoscopic ultrasonography should be performed to determine tumor depth and evaluate for nodal involvement. Localized tumors can be treated with endoscopic mucosal resection, whereas regional tumors are treated with esophagectomy, neoadjuvant chemotherapy, chemoradiotherapy, or a combination of modalities. Nonresectable tumors or tumors with distant metastases are treated with palliative interventions. Specific prevention strategies have not been proven, and there are no recommendations for esophageal cancer screening. Esophageal cancer is the eighth most common cancer worldwide. Nearly four out of five cases occur in nonindustrialized nations, with the highest rates in Asia and Africa.1,2 The National Cancer Institute estimates that in 2016, there will be 16,910 new cases and 15,910 deaths from esophageal cancer in the United States.3 Esophageal cancer is associated with a poor prognosis. Despite advances in diagnosis and treatment, the overall five-year survival rate for persons with esophageal cancer is 15% to 20% worldwide and in the United States.4 WHAT IS NEW ON THIS TOPIC: ESOPHAGEAL CANCER In a cohort study of 11,028 patients with low- and high-grade dysplasia Barrett esophagus, the overall incidence of esophageal adenocarcinoma was 0.12% per year. Antireflux surgery appears to have minimal benefit in preventing esophageal cancer. A Cochrane review of 53 studies evaluating palliation for dysphagia showed that self-expanding metal stents are safe, effective, and provide quicker relief than brachytherapy, radiotherapy, esophageal bypass surgery, and chemotherapy. \| Clinical recommendation \| Evidence rating \| References \| --- \| Upper endoscopy should be the initial diagnostic procedure in patients with symptoms suggestive of esophageal cancer. Biopsy of suspicious lesions should be performed. \| C \| 20, 21 \| \| Integrated positron emission tomography/computed tomography and endoscopic ultrasonography should be used for comprehensive staging of esophageal cancer. \| C \| 28–30 \| \| Endoscopic mucosal resection should be considered the first-line therapy for mucosal-based stage 0 or T1a tumors. \| C \| 22, 31 \| The two main subtypes of esophageal cancer are squamous cell carcinoma and adenocarcinoma. These subtypes account for more than 95% of malignant esophageal tumors. Rare subtypes of esophageal cancer, which are not discussed in this article, include lymphomas, melanomas, carcinoid tumors, and sarcomas.5 Squamous Cell Carcinoma of the Esophagus Squamous cell carcinoma is the most common subtype of esophageal cancer outside of the United States, accounting for 90% of cases worldwide.6 The highest rates occur in China, Central Asia, and East and South Africa.2 The incidence of squamous cell carcinoma in the United Sates is approximately three per 100,000 person-years.7 The incidence is consistent between sexes, is higher among blacks, and peaks from 60 to 70 years of age.8 Important risk factors for esophageal squamous cell carcinoma include smoking, alcohol use, and achalasia9,10 (Table 18–15 ). \| \| \| Squamous cell carcinoma \| \| Age 60 to 70 years \| \| Achalasia (10-fold risk) \| \| Smoking (ninefold risk) \| \| Alcohol use (three- to fivefold risk with ≥ three drinks per day) \| \| Black race (threefold risk) \| \| High-starch diet without fruits and vegetables \| \| Adenocarcinoma \| \| Age 50 to 60 years \| \| Male sex (eightfold risk) \| \| White race (fivefold risk) \| \| Gastroesophageal reflux disease (five- to sevenfold risk, depending on frequency of symptoms) \| \| Obesity (2.4-fold risk with body mass index > 30 kg per m2) \| \| Smoking (twofold risk) \| \| Barrett esophagus \| Esophageal Adenocarcinoma Esophageal adenocarcinoma is the predominant type of esophageal cancer in North America and Europe6 (Figure 1, Figure 2, and Figure 3). According to 2013 data from the National Cancer Institute, most cases occur in adults older than 50 years, and the incidence among persons 65 years and older is 11.8 to 16.3 per 100,000 person-years, with an eightfold higher risk in men compared with women and a fivefold higher risk in whites compared with blacks3 (Table 18–15 ). Major risk factors for esophageal adenocarcinoma include gastroesophageal reflux disease, obesity, and smoking.12–14 Barrett esophagus is a known precursor disease to esophageal adenocarcinoma with a low rate of conversion. A cohort study of 11,028 patients with low- and high-grade dysplasia Barrett esophagus followed over a five-year period showed that the overall incidence of esophageal adenocarcinoma was 0.12% per year.16 A 41% reduced risk of esophageal adenocarcinoma has been observed among persons with Helicobacter pylori infection.17 It is believed that gastric acid secretions that contribute to reflux disease and Barrett esophagus are reduced as a result of gastric mucosa atrophy caused by H. pylori.18 This association is still under investigation, and treatment of H. pylori infection continues to be recommended in accordance with American College of Gastroenterology guidelines. Clinical Presentation Esophageal cancer is often asymptomatic in the early stages. Patients with advanced disease may present with progressive dysphagia (solids first, followed by liquids as the disease progresses), unintentional weight loss (10% or more in the preceding three to six months), odynophagia (painful swallowing, often noticed initially with dry foods), new-onset dyspepsia, heartburn unresponsive to medication, chest pain, or signs of blood loss. Of these symptoms, dysphagia alone or combined with unintentional weight loss is the most common presentation in patients with esophageal cancer. Uncommon findings include cervical adenopathy, hematemesis, hemoptysis, or hoarseness from recurrent nerve involvement, which is present in less than 10% of patients at the time of diagnosis.19 Diagnosis The Society of Thoracic Surgeons and the National Comprehensive Cancer Network (NCCN) recommend that patients with the clinical presentation described previously undergo upper endoscopy as the initial diagnostic evaluation to exclude esophageal cancer 20,21 (Figure 420–23 ). Other indications warranting endoscopy include persistent upper abdominal symptoms despite medical therapy and upper abdominal symptoms in patients older than 45 years.24 Chromoendoscopy (topical application of stains to improve visualization of different mucosal tissues) and narrow band imaging (use of blue and green light to improve visualization of blood vessels and other mucosal features) are often used during endoscopy to improve identification of suspicious lesions. Biopsies of suspicious lesions should be performed, but if esophageal stricture prevents adequate biopsies, brush cytology can also be used.25 Barium studies should be reserved for patients unable to undergo upper endoscopy.15 Staging Staging usually involves multiple modalities in a stepwise approach and should be tailored to the patient as well as the experience of the clinicians and institution providing care.20 The diagnostic, staging, and treatment approach for patients with suspected esophageal cancer is outlined in Figure 4.20–23 STAGING CLASSIFICATION SYSTEM Accurate staging is important to establish the best treatment options. The most recent edition of the American Joint Committee on Cancer's Cancer Staging Manual released in 2010 continues to use the tumor-node-metastasis classification but also includes other prognostic variables.26 This edition incorporates a histologic grade (G) criteria and has a separate staging group for each type of esophageal cancer (Table 2).26 \| \| \| Primary tumor (T) \| \| Tis: high-grade dysplasia \| \| T1a: tumor invades lamina propria \| \| T1b: tumor invades submucosa \| \| T2: tumor invades muscularis propria \| \| T3: tumor invades adventitia \| \| T4a: tumor invades nearby structures (resectable) \| \| T4b: tumor invades nearby structures (unresectable)† \| \| Regional lymph nodes (N) \| \| N0: no regional lymph node metastases \| \| N1: 1 to 2 positive regional lymph nodes \| \| N2: 3 to 6 positive regional lymph nodes \| \| N3: ≥ 7 positive regional lymph nodes \| \| Distant metastasis (M) \| \| M0: no distant metastases \| \| M1: distant metastases \| \| Histologic grade (G) \| \| G1: well differentiated \| \| G2: moderately differentiated \| \| G3: poorly differentiated \| \| G4: undifferentiated \| LABORATORY TESTS After the diagnosis is confirmed with endoscopic biopsies, additional laboratory studies may be helpful in evaluating the tumor stage. The NCCN recommends evaluating for anemia with a complete blood count, which will influence therapy if the patient requires chemotherapy. The NCCN also recommends checking for elevated hepatic transaminase or alkaline phosphatase levels, which suggest liver or bone metastases, respectively.21 The use of serum tumor markers (i.e., antibodies to tumor-associated antigens) is under investigation and is not currently recommended for decision making in patients with local or regional disease.20 However, patients with documented or suspected metastatic esophageal junction cancer may be candidates for trastuzumab (Herceptin) therapy and should be assessed for HER2/neu overexpression.21 POSITRON EMISSION AND COMPUTED TOMOGRAPHY Positron emission tomography (PET) and computed tomography (CT) have specific roles in providing important staging information. CT is more sensitive than PET for evaluating local-regional lesions.27 Chest and abdominal CT with intravenous and oral contrast media should be ordered as the initial tests to evaluate mediastinal involvement, lung parenchyma, and liver metastasis. PET, however, is superior to CT for detecting distant metastatic sites.27 Both studies together (integrated PET/CT) have a sensitivity of 69% to 78% and a specificity of 82% to 88% for detecting all metastases.28 ENDOSCOPIC ULTRASONOGRAPHY If there are no distant metastases, endoscopic ultrasonography should be performed to determine the tumor depth of invasion and nodal involvement, which are both useful in providing prognostic information and guiding treatment options.29 The sensitivity and specificity of endoscopic ultrasonography for determining invasion range from 82% to 87% compared with 73% to 78% for standard endoscopy with narrow band imaging.30 In experienced centers, fine-needle aspiration of adjacent lymph nodes can be performed during the endoscopic ultrasonography.22 In addition, endoscopic mucosal resection of noncircumferential lesions smaller than 2 cm in diameter can provide prognostic information for staging and is potentially curative.21,22,31 OTHER STAGING PROCEDURES Additional staging options for more advanced local-regional disease include laparoscopy and thoracoscopy. Treatment There are many treatment options for squamous cell carcinoma and adenocarcinoma of the esophagus depending on the stage at diagnosis. Curative surgical therapy, chemotherapy, and chemoradiotherapy have all been shown to increase survival and improve the health-related quality of life for patients (Table 33,22,26,31 ). \| SEER stage \| AJCC stage \| Treatment \| Five-year survival rate \| --- --- \| \| Localized \| Stage I (T1, N0, M0) through stage IIB (T3, N0, M0) \| Endoscopic mucosal resection \| 41% \| \| \| \| Esophagectomy if invasion beyond the submucosa without lymph node involvement \| \| \| Regional \| Stage IIB (T1-2, N1, M0) through stage IIIC (any T classification, N3, M0) \| Esophagectomy with lymphadenectomy \| 23% \| \| \| \| Neoadjuvant/adjuvant chemotherapy or chemoradiotherapy \| \| \| Distant \| Stage IV \| Brachytherapy \| 5% \| \| \| \| Esophageal bypass surgery \| \| \| \| \| Jejunostomy or gastrostomy tubes \| \| \| \| \| Palliative chemotherapy \| \| \| \| \| Self-expanding mucosal stents \| \| \| \| \| Trastuzumab (Herceptin) therapy \| \| LOCALIZED TUMORS Mucosal-based tumors are limited to the mucosa (stage 0) or may invade the lamina propria without lymph node or distant involvement (stage I). The risk of lymphatic spread in these tumors is less than 2%, and endoscopic mucosal resection is the treatment of choice, especially for noncircumferential tumors less than 2 cm in diameter.22,31 Endoscopic mucosal resection successfully removes 91% to 98% of T1a cancers.32 Esophagectomy with lymphadenectomy is the treatment of choice for stage T1b tumors (extend through the muscularis mucosae and enter the submucosa) because there is a 20% risk of lymph node spread.33 The five-year survival rate for local disease is 41%.3 REGIONAL TUMORS For patients with potentially curable localized tumors (stage IIA/IIB), surgical resection via esophagectomy is the primary treatment. The optimal approach (thoracic vs. transhiatal) and technique (open vs. minimally invasive) have yet to be determined; randomized trials are needed to clarify outcomes in terms of survival and health-related quality of life. Currently, the risk of serious postoperative complications for all approaches and techniques is 30% to 50%, and in-hospital mortality is about 5%. Possible complications include anastomotic strictures and leaks causing pulmonary morbidities, recurrent laryngeal nerve injury, gastric outlet obstruction (esophagectomy with gastric reconstruction), and chylothorax.34 Outcomes appear to depend on the experience and volume of the surgeon and health care facility; for this reason, esophagectomies are increasingly performed at a few high-volume specialty centers.22,35 Advanced regional disease (stage III) often requires a more aggressive approach with perioperative chemotherapy. Neoadjuvant (before surgery) chemotherapy or chemoradiotherapy compared with esophagectomy alone has shown a two-year survival benefit of 5.1% with neoadjuvant chemotherapy (number needed to treat = 19) and 8.7% with chemoradiotherapy (number needed to treat = 11).36 Neoadjuvant chemotherapy and chemoradiotherapy are especially beneficial in adenocarcinoma.22 Adjuvant (after surgery) chemotherapy may be beneficial for patients with squamous cell carcinoma. For patients who experience residual or recurrent disease after complete resection, there is no good evidence for or against the use of chemotherapy or chemoradiotherapy. Occasionally, chemotherapy or chemoradiotherapy is used without surgery in patients who have resectable disease but are poor surgical candidates.29 The five-year survival rate for regional disease is 23%.3 DISTANT TUMORS Up to 75% of esophageal adenocarcinomas are too advanced for curative therapy at the time of diagnosis.35 Overall, the five-year survival rate for patients with distant metastases is only 5%.3 For those with stage IV esophageal cancer or whose disease is nonresectable, palliative strategies include chemotherapy, esophageal stents, brachytherapy (local radiotherapy), surgical placement of jejunostomy or gastrostomy tubes, and esophageal bypass surgery. A Cochrane review of 53 studies evaluating various options of palliation for dysphagia showed that self-expanding metal stents are safe, effective, and provide quicker relief than brachytherapy, radiotherapy, esophageal bypass surgery, and chemotherapy.37 Self-expanding metal stents are recommended over other modalities and are often used in conjunction with brachytherapy and radiotherapy to reduce risk of reintervention. Chemotherapy seems to offer greater benefit in squamous cell carcinoma than in adenocarcinoma; however, it may prolong life by only a few months.22 Trastuzumab in combination with other chemotherapies (except anthracyclines) has also been shown to extend survival by a few months in patients with HER2/neu gene overexpression.38 Prevention and Screening Some studies have shown a decreased risk of esophageal cancer with the use of proton pump inhibitors,39 aspirin or nonsteroidal anti-inflammatory drugs,40 and statins.41 Other studies, however, have not shown benefit. No recommendations exist to support use of these medications for the sole purpose of cancer prevention. Antireflux surgery also appears to have minimal benefit in preventing esophageal cancer.42 Antioxidants and mineral supplements have not been shown to decrease the risk of gastrointestinal cancers, including esophageal cancers.22,43 Attempts to reduce the risk factors of obesity and smoking have not been rigorously evaluated in the setting of esophageal cancer prevention. Nonetheless, primary care physicians should make lifestyle recommendations on the basis of promoting overall health. There are no recommendations for screening for esophageal cancer in the general population. Cancer surveillance guidelines exist for patients known to have Barrett esophagus.23 This article updates a previous article on this topic by Layke and Lopez.15 Data Sources: A Pub Med search was completed in Clinical Queries using the key terms Barrett esophagus, esophageal carcinoma, and esophageal neoplasm. The search included meta-analyses, randomized controlled trials, control trials, and reviews. Searches were also performed using Clinical Rules, the Cochrane database, Essential Evidence Plus, National Institute for Health and Care Excellence guidelines, and DynaMed. Search dates: May 3, 2015, and September 16, 2016. The views expressed are those of the authors and do not reflect the official policy of the Department of the Army, the Department of Defense, or the U.S. government. Continue Reading Copyright © 2017 by the American Academy of Family Physicians. This content is owned by the AAFP. A person viewing it online may make one printout of the material and may use that printout only for his or her personal, non-commercial reference. This material may not otherwise be downloaded, copied, printed, stored, transmitted or reproduced in any medium, whether now known or later invented, except as authorized in writing by the AAFP. 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8007	https://static.uni-graz.at/fileadmin/veranstaltungen/additive2016/Talks/li_y_slides.pdf	Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences over ﬁnite cyclic groups Yuanlin Li Brock University January 2016 Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Content 1 1. Introduction and Notation 2 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. 5 Bibliography Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation G – Additive ﬁnite abelian group Zn = Z/nZ – Cyclic group of order n F(G) – Free abelian monoid with basis G. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation G – Additive ﬁnite abelian group Zn = Z/nZ – Cyclic group of order n F(G) – Free abelian monoid with basis G. An element of F(G) is called a sequence of G, and A sequence of length l over G can be written in the form S = g1 · . . . · gl for some g1, . . . , gl ∈G. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation G – Additive ﬁnite abelian group Zn = Z/nZ – Cyclic group of order n F(G) – Free abelian monoid with basis G. An element of F(G) is called a sequence of G, and A sequence of length l over G can be written in the form S = g1 · . . . · gl for some g1, . . . , gl ∈G. S is called a zero-sum sequence if the sum of all elements of S is zero, and a zero-sum free sequence if S does not contain a nonempty zero-sum subsequence. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation G – Additive ﬁnite abelian group Zn = Z/nZ – Cyclic group of order n F(G) – Free abelian monoid with basis G. An element of F(G) is called a sequence of G, and A sequence of length l over G can be written in the form S = g1 · . . . · gl for some g1, . . . , gl ∈G. S is called a zero-sum sequence if the sum of all elements of S is zero, and a zero-sum free sequence if S does not contain a nonempty zero-sum subsequence.If S is a zero-sum sequence, but no proper nontrivial subsequence of S has sum zero, then S is called a minimal zero-sum sequence. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation G – Additive ﬁnite abelian group Zn = Z/nZ – Cyclic group of order n F(G) – Free abelian monoid with basis G. An element of F(G) is called a sequence of G, and A sequence of length l over G can be written in the form S = g1 · . . . · gl for some g1, . . . , gl ∈G. S is called a zero-sum sequence if the sum of all elements of S is zero, and a zero-sum free sequence if S does not contain a nonempty zero-sum subsequence.If S is a zero-sum sequence, but no proper nontrivial subsequence of S has sum zero, then S is called a minimal zero-sum sequence. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation Deﬁnition 1.1 Let G = Zn, for a sequence S = (n1g) · . . . · (nlg), 1 ≤ n1, . . . , nl ≤n, the index of S is deﬁned by ind(S) = min{∥S∥g\|g ∈Zn, with Zn = ⟨g⟩}, where ∥S∥g = n1+···+nl ord(g) . Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation Deﬁnition 1.1 Let G = Zn, for a sequence S = (n1g) · . . . · (nlg), 1 ≤ n1, . . . , nl ≤n, the index of S is deﬁned by ind(S) = min{∥S∥g\|g ∈Zn, with Zn = ⟨g⟩}, where ∥S∥g = n1+···+nl ord(g) . The index of a sequence is a crucial invariant in the in-vestigation of (minimal) zero-sum sequences (resp. of zero-sum free sequences) over cyclic groups. Recently, there are considerable publications on this subject (see for example, [4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12]). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation Deﬁnition 1.1 Let G = Zn, for a sequence S = (n1g) · . . . · (nlg), 1 ≤ n1, . . . , nl ≤n, the index of S is deﬁned by ind(S) = min{∥S∥g\|g ∈Zn, with Zn = ⟨g⟩}, where ∥S∥g = n1+···+nl ord(g) . The index of a sequence is a crucial invariant in the in-vestigation of (minimal) zero-sum sequences (resp. of zero-sum free sequences) over cyclic groups. Recently, there are considerable publications on this subject (see for example, [4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12]).We say that two sequences S1 and S2 are equivalent and write S1 ∼S2 if S2 can be obtained from S1 through multiplication by an integer coprime to n and rearrangement of terms. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation Deﬁnition 1.1 Let G = Zn, for a sequence S = (n1g) · . . . · (nlg), 1 ≤ n1, . . . , nl ≤n, the index of S is deﬁned by ind(S) = min{∥S∥g\|g ∈Zn, with Zn = ⟨g⟩}, where ∥S∥g = n1+···+nl ord(g) . The index of a sequence is a crucial invariant in the in-vestigation of (minimal) zero-sum sequences (resp. of zero-sum free sequences) over cyclic groups. Recently, there are considerable publications on this subject (see for example, [4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12]).We say that two sequences S1 and S2 are equivalent and write S1 ∼S2 if S2 can be obtained from S1 through multiplication by an integer coprime to n and rearrangement of terms. Clearly, ind(S1) = ind(S2). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation Deﬁnition 1.1 Let G = Zn, for a sequence S = (n1g) · . . . · (nlg), 1 ≤ n1, . . . , nl ≤n, the index of S is deﬁned by ind(S) = min{∥S∥g\|g ∈Zn, with Zn = ⟨g⟩}, where ∥S∥g = n1+···+nl ord(g) . The index of a sequence is a crucial invariant in the in-vestigation of (minimal) zero-sum sequences (resp. of zero-sum free sequences) over cyclic groups. Recently, there are considerable publications on this subject (see for example, [4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12]).We say that two sequences S1 and S2 are equivalent and write S1 ∼S2 if S2 can be obtained from S1 through multiplication by an integer coprime to n and rearrangement of terms. Clearly, ind(S1) = ind(S2). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation σ(S) –the sum of all terms of S. h(S) –the maximum multiplicity of a term in S. P (S) –the set of all subsums of S, and P k (S)– the set of k-term subsums of S, where k ∈N. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation σ(S) –the sum of all terms of S. h(S) –the maximum multiplicity of a term in S. P (S) –the set of all subsums of S, and P k (S)– the set of k-term subsums of S, where k ∈N. Deﬁnition 1.2 Let S be a minimal zero-sum (resp. zero-sum free) sequence of elements over abelian group G. An element g0 in S is called splittable if there exist two elements x, y ∈G such that x + y = g0 and Sg−1 0 xy is a minimal zero-sum (resp. zero-sum free) sequence as well; otherwise, g0 is called unsplittable. S is called splittable if at least one of the elements of S is splittable; otherwise, it is called unsplittable. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation σ(S) –the sum of all terms of S. h(S) –the maximum multiplicity of a term in S. P (S) –the set of all subsums of S, and P k (S)– the set of k-term subsums of S, where k ∈N. Deﬁnition 1.2 Let S be a minimal zero-sum (resp. zero-sum free) sequence of elements over abelian group G. An element g0 in S is called splittable if there exist two elements x, y ∈G such that x + y = g0 and Sg−1 0 xy is a minimal zero-sum (resp. zero-sum free) sequence as well; otherwise, g0 is called unsplittable. S is called splittable if at least one of the elements of S is splittable; otherwise, it is called unsplittable. Clearly, if S is a minimal zero-sum sequence and S′ is ob-tained from S by splitting some elements of S, then \|S\| ≤\|S′\| and ind(S) ≤ind(S′). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation σ(S) –the sum of all terms of S. h(S) –the maximum multiplicity of a term in S. P (S) –the set of all subsums of S, and P k (S)– the set of k-term subsums of S, where k ∈N. Deﬁnition 1.2 Let S be a minimal zero-sum (resp. zero-sum free) sequence of elements over abelian group G. An element g0 in S is called splittable if there exist two elements x, y ∈G such that x + y = g0 and Sg−1 0 xy is a minimal zero-sum (resp. zero-sum free) sequence as well; otherwise, g0 is called unsplittable. S is called splittable if at least one of the elements of S is splittable; otherwise, it is called unsplittable. Clearly, if S is a minimal zero-sum sequence and S′ is ob-tained from S by splitting some elements of S, then \|S\| ≤\|S′\| and ind(S) ≤ind(S′). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation In this talk we will focus on the following three aspects in zero-sum theory. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation In this talk we will focus on the following three aspects in zero-sum theory. 1 long zero-sum free sequences. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation In this talk we will focus on the following three aspects in zero-sum theory. 1 long zero-sum free sequences. 2 n-zero-sum free sequences. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation In this talk we will focus on the following three aspects in zero-sum theory. 1 long zero-sum free sequences. 2 n-zero-sum free sequences. 3 Subsums of a long zero-sum free sequence (When may those subsums form an interval?). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Introduction and Notation In this talk we will focus on the following three aspects in zero-sum theory. 1 long zero-sum free sequences. 2 n-zero-sum free sequences. 3 Subsums of a long zero-sum free sequence (When may those subsums form an interval?). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences A zero-sum free sequence in Zn of length ≥cn with c a con-stant is referred as to a long zero-sum free sequence. The study of long zero-sum free sequences in Zn has attracted considerable attention recently. There are several related re-sults on the structure of zero-sum free sequences. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences A zero-sum free sequence in Zn of length ≥cn with c a con-stant is referred as to a long zero-sum free sequence. The study of long zero-sum free sequences in Zn has attracted considerable attention recently. There are several related re-sults on the structure of zero-sum free sequences. W. Gao characterized the zero-sum free sequences of lengths roughly greater than 2n 3 . Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences A zero-sum free sequence in Zn of length ≥cn with c a con-stant is referred as to a long zero-sum free sequence. The study of long zero-sum free sequences in Zn has attracted considerable attention recently. There are several related re-sults on the structure of zero-sum free sequences. W. Gao characterized the zero-sum free sequences of lengths roughly greater than 2n 3 . S. Savchev and F. Chen , and P. Yuan independently proved that each zero-sum free se-quence S in Zn with \|S\| > n 2 has index less than 1. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences A zero-sum free sequence in Zn of length ≥cn with c a con-stant is referred as to a long zero-sum free sequence. The study of long zero-sum free sequences in Zn has attracted considerable attention recently. There are several related re-sults on the structure of zero-sum free sequences. W. Gao characterized the zero-sum free sequences of lengths roughly greater than 2n 3 . S. Savchev and F. Chen , and P. Yuan independently proved that each zero-sum free se-quence S in Zn with \|S\| > n 2 has index less than 1. We now consider the general structure of the zero-sum free sequences S in Zn of length n 3 + 1 < \|S\| ≤n 2 , and our ﬁrst main result (Theorem 2.2) shows that by removing at most two elements from S, the index of the remaining sequence is not more than 1 −4 n. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences The following lemma is essential to approach our main results. Lemma 2.1 [11, 12] Let n ≥13 be an odd integer, and S be an unsplittable minimal zero-sum sequence of length \|S\| > ⌊n 3 ⌋+ 2 over Zn. If ind(S) ≥2, then S ∼gα(n + s 2 g)2t((n −s 2 + 1)g), where g is a generator of Zn, t ≥1, s is odd with s ≥3 and 2α + 2ts + 2 −s = n. Moreover, ind(S) = 2. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences The First Main Result. Theorem 2.2 Let n ≥50 be an odd integer, and S be a zero-sum free sequence of length ⌊n 3 ⌋+ 1 < \|S\| ≤⌊n 2 ⌋over Zn. Then, by removing at most two elements from S, the remaining se-quence is equivalent to a sequence whose index is not more than 1 −4/n. Proof of Theorem2.2. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences The First Main Result. Theorem 2.2 Let n ≥50 be an odd integer, and S be a zero-sum free sequence of length ⌊n 3 ⌋+ 1 < \|S\| ≤⌊n 2 ⌋over Zn. Then, by removing at most two elements from S, the remaining se-quence is equivalent to a sequence whose index is not more than 1 −4/n. Proof of Theorem2.2. Let S be a zero-sum free sequence over Zn with l = \|S\| > ⌊n 3 ⌋+1. Then S1 = S(−σ(S)) is a minimal zero-sum sequence of length \|S1\| > ⌊n 3 ⌋+ 2. By splitting S1 if necessary, we eventually obtain an unsplittable minimal zero-sum sequence S′. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences The First Main Result. Theorem 2.2 Let n ≥50 be an odd integer, and S be a zero-sum free sequence of length ⌊n 3 ⌋+ 1 < \|S\| ≤⌊n 2 ⌋over Zn. Then, by removing at most two elements from S, the remaining se-quence is equivalent to a sequence whose index is not more than 1 −4/n. Proof of Theorem2.2. Let S be a zero-sum free sequence over Zn with l = \|S\| > ⌊n 3 ⌋+1. Then S1 = S(−σ(S)) is a minimal zero-sum sequence of length \|S1\| > ⌊n 3 ⌋+ 2. By splitting S1 if necessary, we eventually obtain an unsplittable minimal zero-sum sequence S′. Then, we have \|S1\| ≤\|S′\| and ind(S) < ind(S1) ≤ind(S′). (1) Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences The First Main Result. Theorem 2.2 Let n ≥50 be an odd integer, and S be a zero-sum free sequence of length ⌊n 3 ⌋+ 1 < \|S\| ≤⌊n 2 ⌋over Zn. Then, by removing at most two elements from S, the remaining se-quence is equivalent to a sequence whose index is not more than 1 −4/n. Proof of Theorem2.2. Let S be a zero-sum free sequence over Zn with l = \|S\| > ⌊n 3 ⌋+1. Then S1 = S(−σ(S)) is a minimal zero-sum sequence of length \|S1\| > ⌊n 3 ⌋+ 2. By splitting S1 if necessary, we eventually obtain an unsplittable minimal zero-sum sequence S′. Then, we have \|S1\| ≤\|S′\| and ind(S) < ind(S1) ≤ind(S′). (1) Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences 1 Case 1: If ind(S′) ≤1, then ind(S) < 1 by (1). Thus S ∼(n1h) · . . . · (nlh) with ord(h) = n and ind(S) = ∥S∥h = n1+···+nl n . If ni + nj ≥4 for some 1 ≤i ̸= j ≤l, then Pl k=1 nk−ni−nj n ≤ Pl k=1 nk−4 n < 1 −4 n. If ni + nj ≤3 for all i, j, then there is at most one i such that ni = 2, and for all other j ̸= i, nj = 1. So Pl k=1 nk ≤⌊n 2 ⌋+ 1 (as l ≤⌊n 2 ⌋), and thus ind(S) ≤ ⌊n 2 ⌋+1 n < 1 −4 n. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences 1 Case 1: If ind(S′) ≤1, then ind(S) < 1 by (1). Thus S ∼(n1h) · . . . · (nlh) with ord(h) = n and ind(S) = ∥S∥h = n1+···+nl n . If ni + nj ≥4 for some 1 ≤i ̸= j ≤l, then Pl k=1 nk−ni−nj n ≤ Pl k=1 nk−4 n < 1 −4 n. If ni + nj ≤3 for all i, j, then there is at most one i such that ni = 2, and for all other j ̸= i, nj = 1. So Pl k=1 nk ≤⌊n 2 ⌋+ 1 (as l ≤⌊n 2 ⌋), and thus ind(S) ≤ ⌊n 2 ⌋+1 n < 1 −4 n. 2 Case 2:. If ind(S′) > 1, then by Lemma 2.1, S′ ∼ gα( n+s 2 g)2t(( n−s 2 + 1)g) ∼(2g)α(sg)2t((n −s + 2)g) = T. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences 1 Case 1: If ind(S′) ≤1, then ind(S) < 1 by (1). Thus S ∼(n1h) · . . . · (nlh) with ord(h) = n and ind(S) = ∥S∥h = n1+···+nl n . If ni + nj ≥4 for some 1 ≤i ̸= j ≤l, then Pl k=1 nk−ni−nj n ≤ Pl k=1 nk−4 n < 1 −4 n. If ni + nj ≤3 for all i, j, then there is at most one i such that ni = 2, and for all other j ̸= i, nj = 1. So Pl k=1 nk ≤⌊n 2 ⌋+ 1 (as l ≤⌊n 2 ⌋), and thus ind(S) ≤ ⌊n 2 ⌋+1 n < 1 −4 n. 2 Case 2:. If ind(S′) > 1, then by Lemma 2.1, S′ ∼ gα( n+s 2 g)2t(( n−s 2 + 1)g) ∼(2g)α(sg)2t((n −s + 2)g) = T. By removing 3 elements from T, including sg and (n − s+2)g, the remaining sequence has index not more than 1 −4/n. If we remove two elements from S such that, including the elements sg and (n−s+2)g, at least three terms of T are left out, then the remaining sequence of S has index not more than 1 −4/n. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long zero-sum free sequences 1 Case 1: If ind(S′) ≤1, then ind(S) < 1 by (1). Thus S ∼(n1h) · . . . · (nlh) with ord(h) = n and ind(S) = ∥S∥h = n1+···+nl n . If ni + nj ≥4 for some 1 ≤i ̸= j ≤l, then Pl k=1 nk−ni−nj n ≤ Pl k=1 nk−4 n < 1 −4 n. If ni + nj ≤3 for all i, j, then there is at most one i such that ni = 2, and for all other j ̸= i, nj = 1. So Pl k=1 nk ≤⌊n 2 ⌋+ 1 (as l ≤⌊n 2 ⌋), and thus ind(S) ≤ ⌊n 2 ⌋+1 n < 1 −4 n. 2 Case 2:. If ind(S′) > 1, then by Lemma 2.1, S′ ∼ gα( n+s 2 g)2t(( n−s 2 + 1)g) ∼(2g)α(sg)2t((n −s + 2)g) = T. By removing 3 elements from T, including sg and (n − s+2)g, the remaining sequence has index not more than 1 −4/n. If we remove two elements from S such that, including the elements sg and (n−s+2)g, at least three terms of T are left out, then the remaining sequence of S has index not more than 1 −4/n. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Lower bound on h(S) Let S be a zero-sum free sequence over Zn. An extensively used result of Bovey et al states that if \|S\| = l > n/2, then h(S) ≥2l −n + 1. S. Savchev and F. Chen , and P. Yuan gave a more precisely lower bound on h(S) for zero-sum free sequences of length l > n/2 independently. We now give a lower bound for h(S) when the length of S is between ⌊n 3 ⌋+ 1 and ⌊n 2 ⌋. Theorem 2.3 Let n ≥13 be an odd integer and l be an integer satisfying ⌊n 3 ⌋+1 < l ≤⌊n 2 ⌋. Let S be a zero-sum free sequence of length l over Zn, and i be an positive integer such that 1 ≤i ≤3 and 4l −4 −n ≡i( mod 3). If ind(S) > 1, then (a) h(S) ≥3l −2 −n, if 2n+5−i 5 ≤l ≤⌊n 2 ⌋; (b) h(S) ≥⌊4l−4−n 3 ⌋+ 1, if ⌊n 3 ⌋+ 1 < l < 2n+5−i 5 . Moreover, these estimates are best possible. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Lower bound on h(S) Proof. By the assumption and Theorem 2.2, we may assume S = (2g)u(sg)vWg1g2, \|\|S(g1g2)−1\|\|g ≤1−4 n, ind(S) = ∥S∥g, where s ≥3, W\|S, 1 ≥\|W\| ≥0 and 2g, sg / ∈W. We claim that g / ∈S. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Lower bound on h(S) Proof. By the assumption and Theorem 2.2, we may assume S = (2g)u(sg)vWg1g2, \|\|S(g1g2)−1\|\|g ≤1−4 n, ind(S) = ∥S∥g, where s ≥3, W\|S, 1 ≥\|W\| ≥0 and 2g, sg / ∈W. We claim that g / ∈S. Then n −4 ≥n\|\|S(g1g2)−1\|\|g ≥2u + 3(l −2 −u) = 3l −6 −u. (2) n−4 ≥n\|\|S(g1g2)−1\|\|g ≥2u+3v+4(l−2−u−v) = 4l−8−2u−v (3) The above inequalities yield that u ≥3l −2−n and 2u+ v ≥ 4l −4 −n, respectively. Since h(S) ≥max{u, v}, we have h(S) ≥max{3l −2 −n, ⌈4l−4−n 3 ⌉}. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Lower bound on h(S) Proof. By the assumption and Theorem 2.2, we may assume S = (2g)u(sg)vWg1g2, \|\|S(g1g2)−1\|\|g ≤1−4 n, ind(S) = ∥S∥g, where s ≥3, W\|S, 1 ≥\|W\| ≥0 and 2g, sg / ∈W. We claim that g / ∈S. Then n −4 ≥n\|\|S(g1g2)−1\|\|g ≥2u + 3(l −2 −u) = 3l −6 −u. (2) n−4 ≥n\|\|S(g1g2)−1\|\|g ≥2u+3v+4(l−2−u−v) = 4l−8−2u−v (3) The above inequalities yield that u ≥3l −2−n and 2u+ v ≥ 4l −4 −n, respectively. Since h(S) ≥max{u, v}, we have h(S) ≥max{3l −2 −n, ⌈4l−4−n 3 ⌉}. We next show that the above estimates are best possible by ﬁnding some extremal sequences S with h(S) = 3l −2 −n and h(S) = ⌈4l−4−n 3 ⌉, respectively. This can be done by the case by case argument on i = 1, 2, 3. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Lower bound on h(S) Proof. By the assumption and Theorem 2.2, we may assume S = (2g)u(sg)vWg1g2, \|\|S(g1g2)−1\|\|g ≤1−4 n, ind(S) = ∥S∥g, where s ≥3, W\|S, 1 ≥\|W\| ≥0 and 2g, sg / ∈W. We claim that g / ∈S. Then n −4 ≥n\|\|S(g1g2)−1\|\|g ≥2u + 3(l −2 −u) = 3l −6 −u. (2) n−4 ≥n\|\|S(g1g2)−1\|\|g ≥2u+3v+4(l−2−u−v) = 4l−8−2u−v (3) The above inequalities yield that u ≥3l −2−n and 2u+ v ≥ 4l −4 −n, respectively. Since h(S) ≥max{u, v}, we have h(S) ≥max{3l −2 −n, ⌈4l−4−n 3 ⌉}. We next show that the above estimates are best possible by ﬁnding some extremal sequences S with h(S) = 3l −2 −n and h(S) = ⌈4l−4−n 3 ⌉, respectively. This can be done by the case by case argument on i = 1, 2, 3. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long n-zero-sum free sequences The n-zero-sum free sequences in Zn play an important role in the investigation of the structure of zero-sum free sequences. Savchev and Chen characterized n−zero-sum free sequences of length \|S\| ≥3n 2 −1. Our main theorem below characterizes those sequences S with \|S\| = n + l where l ≥n/p + p −2 and p is the smallest prime divisor of \|G\| = n. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long n-zero-sum free sequences The n-zero-sum free sequences in Zn play an important role in the investigation of the structure of zero-sum free sequences. Savchev and Chen characterized n−zero-sum free sequences of length \|S\| ≥3n 2 −1. Our main theorem below characterizes those sequences S with \|S\| = n + l where l ≥n/p + p −2 and p is the smallest prime divisor of \|G\| = n. Theorem 3.1 Let G be a ﬁnite abelian group of order n, and l ≥n/p+p−2 be an integer where p is the smallest prime divisor of n. Let S be a n-zero-sum free sequence over G of length \|S\| = n + ℓ. Then, there is an element g ∈G such that −g + S = 0hTS′ with h = h(S) ≥ℓ+ 1, T is a zero-sum sequence of length \|T\| ≤\|G\|−h−1, and S′ is zero-sum free of length \|S′\| ≥ℓ+1. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long n-zero-sum free sequences The n-zero-sum free sequences in Zn play an important role in the investigation of the structure of zero-sum free sequences. Savchev and Chen characterized n−zero-sum free sequences of length \|S\| ≥3n 2 −1. Our main theorem below characterizes those sequences S with \|S\| = n + l where l ≥n/p + p −2 and p is the smallest prime divisor of \|G\| = n. Theorem 3.1 Let G be a ﬁnite abelian group of order n, and l ≥n/p+p−2 be an integer where p is the smallest prime divisor of n. Let S be a n-zero-sum free sequence over G of length \|S\| = n + ℓ. Then, there is an element g ∈G such that −g + S = 0hTS′ with h = h(S) ≥ℓ+ 1, T is a zero-sum sequence of length \|T\| ≤\|G\|−h−1, and S′ is zero-sum free of length \|S′\| ≥ℓ+1. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography long n-zero-sum free sequences Corollary 3.2 Let p be the smallest prime dividing n, and S be an n-zero-sum free sequence over Zn of length \|S\| = n + ℓ, where ℓ≥ n/p + p −2 is an integer. Then, there exists g ∈Zn such that −g + S = 0hTS′ with h ≥ℓ+ 1, T is a zero-sum sequence of length \|T\| ≤ n −h −1, and S′ is zero-sum free with \|S′\| ≥ℓ+ 1. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Subsums Let S be a long zero-sum free sequence in Zn. We investigate when subsums of S ( with \|S\| ≥(n + 2)/3) form an interval: Question: Let S be a long zero-sum free sequence over Zn. Does there exist a sequence T, such that T ∼S and subsums of T form an interval ? (such T is referred as to a smooth sequence). Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Subsums Let S be a long zero-sum free sequence in Zn. We investigate when subsums of S ( with \|S\| ≥(n + 2)/3) form an interval: Question: Let S be a long zero-sum free sequence over Zn. Does there exist a sequence T, such that T ∼S and subsums of T form an interval ? (such T is referred as to a smooth sequence). In , S. Savchev and F. Chen showed that if S is a zero-sum free sequence of length \|S\| > n 2 over Zn, then ind(S) < 1. Thus there exists a sequence T, such that T ∼S and σ(T) < n (as positive integers)(clearly, 1 ∈T as \|T\| = \|S\| > n/2). Moreover, P(T) = [1, σ(T)] is an interval (i.e., T is smooth). Next we will show that if S is a zero-sum free sequence over Zn of length \|S\| ≥n+2 3 such that 1 ∈S and σ(S) < n (as positive integers), then P(S) is an interval except for one special case. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Subsums Let S be a long zero-sum free sequence in Zn. We investigate when subsums of S ( with \|S\| ≥(n + 2)/3) form an interval: Question: Let S be a long zero-sum free sequence over Zn. Does there exist a sequence T, such that T ∼S and subsums of T form an interval ? (such T is referred as to a smooth sequence). In , S. Savchev and F. Chen showed that if S is a zero-sum free sequence of length \|S\| > n 2 over Zn, then ind(S) < 1. Thus there exists a sequence T, such that T ∼S and σ(T) < n (as positive integers)(clearly, 1 ∈T as \|T\| = \|S\| > n/2). Moreover, P(T) = [1, σ(T)] is an interval (i.e., T is smooth). Next we will show that if S is a zero-sum free sequence over Zn of length \|S\| ≥n+2 3 such that 1 ∈S and σ(S) < n (as positive integers), then P(S) is an interval except for one special case. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Subsums Theorem 4.1 Let S be a sequence with positive integer terms of length \|S\| = t ≥n+2 3 , and σ(S) < n. If 1 ∈S, then P(S) is an interval except for the case when S = S0nl, where P(S0) is an interval and nl > σ(S0) + 1. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Subsums Theorem 4.1 Let S be a sequence with positive integer terms of length \|S\| = t ≥n+2 3 , and σ(S) < n. If 1 ∈S, then P(S) is an interval except for the case when S = S0nl, where P(S0) is an interval and nl > σ(S0) + 1. We remark that the sequence S in the above theorem can be regarded as a zero-sum free sequence S over Zn of length \|S\| ≥ n+2 3 such that 1 ∈S and σ(S) < n (as positive integers). Such S has ind(S) < 1 and it is almost smooth. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Subsums Theorem 4.1 Let S be a sequence with positive integer terms of length \|S\| = t ≥n+2 3 , and σ(S) < n. If 1 ∈S, then P(S) is an interval except for the case when S = S0nl, where P(S0) is an interval and nl > σ(S0) + 1. We remark that the sequence S in the above theorem can be regarded as a zero-sum free sequence S over Zn of length \|S\| ≥ n+2 3 such that 1 ∈S and σ(S) < n (as positive integers). Such S has ind(S) < 1 and it is almost smooth. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Thank you! Author: Yuanlin Li Address: Department of Mathematics and Statistics Brock University Canada Email: yli@brocku.ca Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Bibliography I J.D. Bovey, P. Erd˝ os, I. Niven, Conditions for a zero sum modulo n, Canad. Math. Bull. 18 (1) (1975) 27 C29. W. Gao, Zero sums in ﬁnite cyclic groups, Integers(2000), A12, 7 pp. W. Gao, Y. Li, P. Yuan and J. Zhuang, On the structure of long zero-sum free sequences and n-zero-sum free se-quences over ﬁnite cyclic groups, Arch. Math 105(2015), 361-370. A. Geroldinger, Additive group theory and non-unique factorizations, in Combinatorial number Theory and Ad-ditive Group Theory, eds. A. Geroldinger and I. Ruzsa, Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona (Birkh˝ auser, Basel, 2009), pp. 1-86. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Bibliography II Y. Li and J. Peng, Minimal zero-sum sequences of length four over ﬁnite cyclic groups II, Int. J. Number Theory, 9(2013), 845-866. Y. Li, C. Plyley, P. Yuan and X. Zeng, Minimal zero sum sequences of length four over ﬁnite cyclic groups, J. Number Theory. 130(2010), 2033-2048. J. Peng, Y. Li, Minimal zero-sum sequences of length ﬁve over ﬁnite cyclic groups, Ars Combinatoria, 112(2013), 373-384. S. Savchev and F. Chen, Long zero-free sequences in ﬁnite cyclic groups, Discrete Math. 307(2007), 2671-2679. S. Savchev and F. Chen, Long n-zero-free sequences in ﬁnite cyclic groups, Discrete Math. 308(2008), 1-8. Long zero-sum free and n-zero-sum free sequences Li 1. Introduction and Notation 2. On long zero-sum free sequences over Zn 3. long n-zero-sum free sequences over Zn 4. Subsums of a long zero-sum free sequence. Bibliography Bibliography III P. Yuan, On the index of minimal zero-sum sequences over ﬁnite cyclic groups, J. Combin. Theory Ser. A 114(2007), no. 8, 1545-1551. P. Yuan and Y. Li, Long unsplittable zero-sum sequences over a ﬁnite cyclic group, Int. J. Number Theory, Ac-cepted, 2015. X. Zeng, P. Yuan and Y. Li, On the structure of long un-splittable minimal zero-sum sequences, Submitted, 2015.
8008	https://sco.wikipedia.org/wiki/Volt	Volt - Wikipedia Jump to content [x] Main menu Main menu move to sidebar Dern Navigation Main page Commonty Yett Mercat Cross Recent chynges Wale page allevolie Help Rake Rake [x] Appearance Appearance move to sidebar Dern Text Small Standard Large This page always uses small font size Width Standard Wide The content is as wide as possible for your browser window. Color (beta) Automatic Light Dark This page is always in light mode. Propines Mak accoont Log in [x] Personal tuils Propines Mak accoont Log in Volt [x] 112 leids Afrikaans Alemannisch Aragonés العربية مصرى অসমীয়া Asturianu Azərbaycanca تۆرکجه Žemaitėška Беларуская Беларуская (тарашкевіца) Български বাংলা བོད་ཡིག Brezhoneg Bosanski Català کوردی Čeština Чӑвашла Dansk Deutsch Ελληνικά English Esperanto Español Eesti Euskara فارسی Suomi Français Nordfriisk Furlan Frysk Gaeilge 贛語 Galego עברית हिन्दी Fiji Hindi Hrvatski Kreyòl ayisyen Magyar Հայերեն Interlingua Bahasa Indonesia Ido Íslenska Italiano 日本語 Patois ქართული Қазақша 한국어 Къарачай-малкъар Kurdî Кыргызча Latina Limburgs Lombard Lietuvių Latviešu Македонски മലയാളം Монгол मराठी Bahasa Melayu မြန်မာဘာသာ नेपाली नेपाल भाषा Nederlands Norsk nynorsk Norsk bokmål Occitan Polski Piemontèis پنجابی Português Română Tarandíne Русский Sardu Sicilianu Srpskohrvatski / српскохрватски Simple English Slovenčina Slovenščina Shqip Српски / srpski Svenska Kiswahili தமிழ் తెలుగు Тоҷикӣ ไทย Tagalog Türkçe Татарча / tatarça Тыва дыл Українська اردو Oʻzbekcha / ўзбекча Vèneto Tiếng Việt Winaray 吴语中文文言閩南語 / Bân-lâm-gí 粵語 IsiZulu Eedit airtins Airticle Collogue [x] Scots Read Eedit Eedit soorce See history [x] Tuilkist Tuils move to sidebar Dern Actions Read Eedit Eedit soorce See history General Whit airts tae here Relatit chynges Uplaid file Permanent airtin Page information Cite this airticle Get shortened URL Download QR code Eedit interleid airtins Prent/export Create a beuk Doonload as PDF Prent version In ither projects Wikimedia Commons Wikidata item Frae Wikipedia, the free beuk o knawledge \| Volt \| \| Josephson junction array chip developed bi the Naitional Bureau o Staundarts as a staundart volt \| \| Unit information \| \| Unit seestem \| SI derived unit \| \| Unit o \| Electric potential, electromotive force \| \| Seembol \| V \| \| Named efter \| Alessandro Volta \| \| In SI base units: \| 1 V = 1 kg·m2·s-3·A-1 \| The volt is the SI derivate unit for electric potential an voltage (derived frae the ampere an watt). It is named tae honour Alessandro Volta, that inventit the voltaic pile, the first chemical battery, in 1800. The volt is defined as the potential differ athort a conductor whan a current o ae ampere dissipates ae watt o pouer. It syne haes the base SI representation m2·kg·s−3·A−1, that can be representit juist as weel bi ae joule o energy per coulomb o chairge, or J·C−1. In essence, the volt meisurs hou muckle kinetic energy ilka electron cairies. Ye can syne muliplee the voltage in a circuit bi the current flowe, the ampere, tae gie the tot o electric pouer in the circuit, in watts. Syne 1990 the defineition o the volt is mainteent internaitionally uisin the Josephson effect, whaur a conventional vailyie is uised for the Josephson constant, fixt bi the 18t CGPM as K{J-90} = 0.4835979 GHz/µV. Taen frae " Categeries: SI derived units Units o electrical potential Hidden category: Pages uisin deprecatit eemage syntax This page wis last eeditit on 11 October 2013, at 14:47. Text is available unner the Creative Commons Attribution-ShareAlike License; additional terms mey apply. See Terms o Uiss fur details. Preevacie policie Aboot Wikipedia Disclamation Code of Conduct Deveelopers Statistics Cookie statement Mobile view Edit preview settings Rake Rake Volt 112 leidsEik topic
8009	https://puzzleaday.wordpress.com/category/matchstick/page/3/	Matchstick \| Puzzle a Day \| Page 3 Puzzle a Day A new puzzle, riddle, game or interesting tidbit posted every day MenuSkip to content Home About Search Search for: Matchstick Move Three Matchsticks April 28, 2023 March 5, 2023 / Puzzling / Leave a comment Your challenge today is to get the coin into the house by moving three matchsticks. You are not permitted to touch the coin (or use the matchsticks to touch the coin). The house will look the same afterwards; however, it may have a different orientation. Try the puzzle out using real matchsticks and a coin. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue: To reach the solution, the matchsticks comprising the left wall and the left side of the roof, both from the original house, remain static. Scroll down for the answer. Answer: To reach this solution, the matchsticks comprising the left wall and the left side of the roof, both from the original house, remain static. The matchstick on the right side of the roof gets tilted upwards, above the coin, the right side of the floor gets tilted upwards and the base of the right wall gets tilted to the left. The final result is the house pictured. This puzzle is best given to someone sitting around a table using matches and a coin. A Match Challenge August 22, 2021 July 29, 2021 / Puzzling / Leave a comment The above image depicts 12 matches arranged in a 3×3 square. The square has an enclosed area of 9 square units. Your task is to rearrange the 12 matches to form a shape with an enclosed area of 4 square units. All 12 matches must be used, the matches must not be broken or placed on top of one another and each of the 12 matches must form the perimeter of the final shape. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue: A triangle with sides of 3, 4 and 5 matches has an area of 6 square units. You need to modify this shape to create a shape of 4 square units. Scroll down for the answer. Answer: A triangle with sides of 3, 4 and 5 matches forms an enclosed area of 6 square units. In order to remove two of these square units, it’s necessary to create a ‘dent’ in the triangle as pictured below. The resultant shape has an enclosed area of 4 square units. A Match Stick Puzzler March 13, 2021 February 14, 2021 / Puzzling / Leave a comment The above match stick equation lays in front of you on a table. The equation reads 59 + 12 = 98. What is the least number of match sticks you need to move, to make this equation correct? As always, you can’t turn the equals sign into an inequality sign. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue: There is a solution that involves moving zero match sticks. Scroll down for the answer. Answer: 0 match sticks need to be moved. You simply need to walk around to the opposite side of the table to see the correct equation. In other words, the equation upside-down reads 86 = 21 + 65 which is a correct equation. A Matchstick Puzzle With Multiple Answers November 16, 2020 November 17, 2020 / Puzzling / Leave a comment By moving just one matchstick in the above equation, can you make the equation correct? How many entirely distinct solutions can you work out? As always, you can’t turn the equals sign into an inequality sign. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue: One solution involves moving the last matchstick so the right side of the equation will read ’14’. Scroll down for the answer. Answer: There are also variations of the below solutions. Thanks to the people following for pointing out these further two solutions. -1+1+1+1=1+1 1+1+1+1=+4 Match the Matches November 4, 2020 September 10, 2020 / Puzzling / Leave a comment By moving just one matchstick, how can you make the left side of the equation as close as possible in value to the right side of the equation? As always, you can’t turn the equals sign into an inequality sign? Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue:One of the matches that makes up 23 has to move to the ‘2 side’ of the equation. Scroll down for the answer. Answer:By moving an ‘I’ from the top, left side of the equation and placing it horizontally on the ‘II’ on the right side of the equation, the equation reads 22/7 = π. Although not perfectly accurate, the question only required that both sides of the equation be as close as possible in value. Move Just Two Matchsticks August 20, 2020 August 20, 2020 / Puzzling / Leave a comment By moving just two matchsticks, can you make this equation correct? As always, you can’t turn the equals sign into an inequality sign. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue: The values of the 4 and 9 need to change. Scroll down for the answer. Answer: Alternatively, you can turn the first digit into 3 and the second digit into 5. Another answer is: 4 + 2 – 7 = -1. There are further answers if you use a superfluous two match sticks to create a plus sign e.g. 4 + 4 – 7 = +1. Turn Four Squares Into Five July 25, 2020 July 25, 2020 / Puzzling / Leave a comment By moving just two match sticks, can you turn the four squares that appear below into five squares? Match sticks are allowed to overlap. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue: Place two match sticks inside an already existing square. Scroll down for the answer. Answer: There are multiple answers. Three of these appear below. If match sticks don’t need to be involved in any square there are more solutions: A Hidden Word June 30, 2020 May 19, 2020 / Puzzling / Leave a comment Can you combine the two rows above to find the hidden word? Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue:Both rows need to be flipped and joined together. Scroll down for the answer. Answer: LOTTO. By flipping the two rows vertically, the word ‘LOTTO’ emerges. Turn 3 Squares Into 2 January 18, 2020 January 18, 2020 / Puzzling / Leave a comment Move 3 of the above matchsticks to create just 2 squares. Each matchstick needs to be used and there can’t be any stray matchsticks. Scroll down for a clue and further down for the answer. Clue:The squares will be different sizes. One with have sides of length 1 matchstick and the other will have sides of length 2 matchsticks. Scroll down for the answer. Answer: Add Lines to Make 10 December 18, 2019 November 22, 2019 / Puzzling / Leave a comment A. Add 5 lines to the below 4 lines to make 10. B. Add 3 lines to the below 4 lines to make 10. Scroll down for the clues and further down for the answers. Clues: A. ‘10’ can take several forms. B. Use x and – . Scroll down for the answers. Answers: A. By adding 5 lines, the word ‘TEN’ is spelt. B. By adding just three lines, the equation now reads: 11 x 1 – 1 which is equivalent to 10. Posts navigation ← Older posts Newer posts → My new book, The Encyclopedia of Science Oddities,is available on Amazon. It features the most mind-blowing facts in all of science—in an encyclopedic format. Check it out here. My book,The World's First Book of TRUE Lateral Thinking Puzzles, is available on Amazon. Every puzzle in the book actually happened! The puzzles are all new & each answer contains a fascinating, factual backstory. Check it out here. My book,The Ultimate Book of Geography Oddities, is now available on Amazon. 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8010	https://dresden.academic.wlu.edu/files/2017/08/BinetJISsecond.pdf	A Simpliﬁed Binet Formula for k-Generalized Fibonacci Numbers Gregory P. B. Dresden Department of Mathematics Washington and Lee University Lexington, VA 24450 dresdeng@wlu.edu Zhaohui Du Shanghai, China zhao.hui.du@gmail.com Abstract In this paper, we present a Binet-style formula that can be used to produce the k-generalized Fibonacci numbers (that is, the Tribonaccis, Tetranaccis, etc.). Further-more, we show that in fact one needs only take the integer closest to the ﬁrst term of this Binet-style formula in order to generate the desired sequence. 1 Introduction Let k ≥2 and deﬁne F (k) n , the nth k-generalized Fibonacci number, as follows: F (k) n =      0, if n < 1; 1, if n = 1; F (k) n−1 + F (k) n−2 + · · · + F (k) n−k, if n > 1 These numbers are also called generalized Fibonacci numbers of order k, Fibonacci k-step numbers, Fibonacci k-sequences, or k-bonacci numbers. Note that for k = 2, we have F (2) n = Fn, our familiar Fibonacci numbers. For k = 3 we have the so-called Tribonaccis (sequence number A000073 in Sloane’s Encyclopedia of Integer Sequences), followed by the Tetranaccis (A000078) for k = 4, and so on. According to Kessler and Schiﬀ, these numbers also appear in probability theory and in certain sorting algorithms. We present here a chart of these numbers for the ﬁrst few values of k: k name ﬁrst few non-zero terms 2 Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . 3 Tribonacci 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, . . . 4 Tetranacci 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, . . . 5 Pentanacci 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, . . . 1 We remind the reader of the famous Binet formula (also known as the de Moivre formula) that can be used to calculate Fn, the Fibonacci numbers: Fn = 1 √ 5 " 1 + √ 5 2 !n − 1 − √ 5 2 !n# = αn −βn α −β for α > β the two roots of x2 −x −1 = 0. For our purposes, it is convenient (and not particularly diﬃcult) to rewrite this formula as follows: Fn = α −1 2 + 3(α −2)αn−1 + β −1 2 + 3(β −2)βn−1 (1) We leave the details to the reader. Our ﬁrst (and very minor) result is the following representation of F (k) n : Theorem 1. For F (k) n the nth k-generalized Fibonacci number, then F (k) n = k X i=1 αi −1 2 + (k + 1)(αi −2)αn−1 i (2) for α1, . . . , αk the roots of xk −xk−1 −· · · −1 = 0. This is a new presentation, but hardly a new result. There are many other ways of representing these k-generalized Fibonacci numbers, as seen in the articles [2, 3, 4, 5, 7, 8, 9]. Our Eq. (2) of Theorem 1 is perhaps slightly easier to understand, and it also allows us to do some analysis (as seen below). We point out that for k = 2, Eq. (2) reduces to the variant of the Binet formula (for the standard Fibonacci numbers) from Eq. (1). As shown in three distinct proofs [9, 10, 13], the equation xk −xk−1 −· · · −1 = 0 from Theorem 1 has just one root α such that \|α\| > 1, and the other roots are strictly inside the unit circle. We can conclude that the contribution of the other roots in Eq. 2 will quickly become trivial, and thus: F (k) n ≈ α −1 2 + (k + 1)(α −2)αn−1 for n suﬃciently large. (3) It’s well known that for the Fibonacci sequence F (2) n = Fn, the “suﬃciently large” n in Eq. (3) is n = 0, as shown here: n 0 1 2 3 4 5 6 Fn 0 1 1 2 3 5 8 1 √ 5 1+ √ 5 2 n 0.447 0.724 1.171 1.894 3.065 4.960 8.025 \|error\| .447 .277 .171 .106 .065 .040 .025 2 It is perhaps surprising to discover that a similar statement holds for all the k-generalized Fibonacci numbers. Let’s ﬁrst deﬁne rnd(x) to be the the value of x rounded to the nearest integer: rnd(x) = ⌊x + 1 2⌋. Then, our main result is the following: Theorem 2. For F (k) n the nth k-generalized Fibonacci number, then F (k) n = rnd α −1 2 + (k + 1)(α −2)αn−1 for all n ≥2 −k and for α the unique positive root of xk −xk−1 −· · · −1 = 0. We point out that this theorem is not as trivial as one might think. Note the error term for the generalized Fibonacci numbers of order k = 6, as seen in the following chart; it is not monotone decreasing in absolute value. n 0 1 2 3 4 5 6 7 F (6) n 0 1 1 2 4 8 16 32 α−1 2+7(α−2)α5 0.263 0.522 1.035 2.053 4.072 8.078 16.023 31.782 \|error\| .263 .478 .035 .053 .072 .078 .023 .218 We also point out that not every recurrence sequence admits such a simple formula as seen in Theorem 2. Consider, for example, the scaled Fibonacci sequence 10, 10, 20, 30, 50, 80, . . . , which has Binet formula: 10 √ 5 1 + √ 5 2 !n −10 √ 5 1 − √ 5 2 !n . This can be written as rnd 10 √ 5 1+ √ 5 2 n , but only for n ≥5. As another example, the sequence 1, 2, 8, 24, 80, . . . (deﬁned by Gn = 2Gn−1 + 4Gn−2) can be written as Gn = (1 + √ 5)n 2 √ 5 −(1 − √ 5)n 2 √ 5 , but because both 1 + √ 5 and 1 − √ 5 have absolute value greater than 1, then it would be impossible to express Gn in terms of just one of these two numbers. 2 Previous Results We point out that for k = 3 (the Tribonacci numbers), our Theorem 2 was found earlier by Spickerman . His formula (modiﬁed slightly to match our notation) reads as follows, where α is the real root, and σ and σ are the two complex roots, of x3 −x2 −x −1 = 0: F (3) n = rnd α2 (α −σ)(α −σ)αn−1 (4) 3 It is not hard to show that for k = 3, our coeﬃcient α−1 2+(k+1)(α−2) from Theorem 2 is equal to Spickerman’s coeﬃcient α2 (α−σ)(α−σ). We leave the details to the reader. In a subsequent article , Spickerman and Joyner developed a more complex version of our Theorem 1 to represent the generalized Fibonacci numbers. Using our notation, and with {αi} the set of roots of xk −xk−1 −· · · −1 = 0, their formula reads F (k) n = k X i=1 αk+1 i −αk i 2αk i −(k + 1)αn−1 i (5) It is surprising that even after calculating out the appropriate constants in their Eq. (5) for 2 ≤k ≤10, neither Spickerman nor Joyner noted that they could have simply taken the ﬁrst term in Eq. (5) for all n ≥0, as Spickerman did in Eq. (4) for k = 3. The Spickerman-Joyner Eq. (5) was extended by Wolfram to the case with arbitrary starting conditions (rather than the initial sequence 0, 0, . . . , 0, 1). In the next section we will show that our Eq. (2) in Theorem 1 is equivalent to the Spickerman-Joyner formula given above (and thus is a special case of Wolfram’s formula). Finally, we note that the polynomials xk −xk−1 −· · ·−1 in Theorem 1 have been studied rather extensively. They are irreducible polynomials with just one zero outside the unit circle. That single zero is located between 2(1−2−k) and 2 (as seen in Wolfram’s article ; Miles gave earlier and less precise results). It is also known [13, Lemma 3.11] that the polynomials have Galois group Sk for k ≤11; in particular, their zeros can not be expressed in radicals for 5 ≤k ≤11. Wolfram conjectured that the Galois group is always Sk. Cipu and Luca were able to show that the Galois group is not contained in the alternating group Ak, and for k ≥3 it is not 2-nilpotent. They point out that this means the zeros of the polynomials xk −xk−1 −· · · −1 for k ≥3 can not be constructed by ruler and compass, but the question of whether they are expressible using radicals remains open for k ≥12. 3 Preliminary Lemmas First, a few statements about the the number α. Lemma 3. Let α > 1 be the real positive root of xk −xk−1 −· · · −x −1 = 0. Then, 2 −1 k < α < 2 (6) In addition, 2 −1 3k < α < 2 for k ≥4. (7) Proof. We begin by computing the following chart for k ≤5: k 2 −1 k 2 −1 3k α 2 1.5 1.833 . . . 1.618 . . . 3 1.666 . . . 1.889 . . . 1.839 . . . 4 1.75 1.916 . . . 1.928 . . . 5 1.8 1.933 . . . 1.966 . . . 4 It’s clear that 2−1 k < α < 2 for 2 ≤k ≤5 and that 2−1 3k < α < 2 for 4 ≤k ≤5. We now focus on k ≥6. At this point, we could ﬁnish the proof by appealing to 2(1 −2−k) < α < 2 as seen in the article [13, Lemma 3.6], but here we present a simpler proof. Let f(x) = (x −1)(xk −xk−1 −· · · −x −1) = xk+1 −2xk + 1. We know from our earlier discussion that f(x) has one real zero α > 1. Writing f(x) as xk(x −2) + 1, we have f 2 −1 3k = 2 −1 3k k −1 3k + 1 (8) For k ≥6, it’s easy to show 3k < 5 3 k = 2 −1 3 k < 2 −1 3k k Substituting this inequality into the right-hand side of (8), we can re-write (8) as f 2 −1 3k < (3k) · −1 3k + 1 = 0. Finally, we note that f(2) = 2k+1 −2 · 2k + 1 = 1 > 0, so we can conclude that our root α is within the desired bounds of 2 −1/3k and 2 for k ≥6. We now have a lemma about the coeﬃcients of αn−1 in Theorems 1 and 2. Lemma 4. Let k ≥2 be an integer, and let m(k)(x) = x −1 2 + (k + 1)(x −2). Then, 1. m(k)(2 −1/k) = 1. 2. m(k)(2) = 1 2. 3. m(k)(x) is continuous and decreasing on the interval [2 −1/k, ∞). 4. m(k)(x) > 1 x on the interval (2 −1/k, 2). Proof. Parts 1 and 2 are immediate. As for 3, note that we can rewrite m(k)(x) as m(k)(x) = 1 k + 1 1 + 1 − 2 k+1 x −(2 − 2 k+1) ! which is simply a scaled translation of the map y = 1/x. In particular, since this m(k)(x) has a vertical asymptote at x = 2− 2 k+1, then by parts 1 and 2 we can conclude that m(k)(x) is indeed continuous and decreasing on the desired interval. To show part 4, we ﬁrst note that in solving 1 x = m(k)(x), we obtain a quadratic equation with the two intersection points x = 2 and x = k. It’s easy to show that 1 x < m(k)(x) at x = 2 −1/k, and since both functions 1 x and m(k)(x) are continuous on the interval [2 −1/k, ∞) and intersect only at x = 2 and x = k ≥2, we can conclude that 1 x < m(k)(x) on the desired interval. 5 Lemma 5. For a ﬁxed value of k ≥2 and for n ≥2 −k, deﬁne En to be the error in our Binet approximation of Theorem 2, as follows: En = F (k) n − α −1 2 + (k + 1)(α −2) · αn−1 = F (k) n −m(k)(α) · αn−1, for α the positive real root of xk −xk−1 −· · · −x −1 = 0 and m(k) as deﬁned in Lemma 4. Then, En satisﬁes the same recurrence relation as F (k) n : En = En−1 + En−2 + · · · + En−k (for n ≥2). Proof. By deﬁnition, we know that F (k) n satisﬁes the recurrence relation: F (k) n = F (k) n−1 + · · · + F (k) n−k (9) As for the term m(k)(α) · αn−1, note that α is a root of xk −xk−1 −· · · −1 = 0, which means that αk = αk−1 + · · · + 1, which implies m(k)(α) · αn−1 = m(k)(α)αn−2 + · · · + m(k)(α)αn−(k+1) (10) We combine Equations (9) and (10) to obtain the desired result. 4 Proof of Theorem 1 As mentioned above, Spickerman and Joyner proved the following formula for the k-generalized Fibonacci numbers: F (k) n = k X i=1 αk+1 i −αk i 2αk i −(k + 1)αn−1 i (11) Recall that the set {αi} is the set of roots of xk −xk−1 −· · · −1 = 0. We now show that this formula is equivalent to our Eq. (2) in Theorem 1: F (k) n = k X i=1 αi −1 2 + (k + 1)(αi −2)αn−1 i (12) Since αk i −αk−1 i −· · · −1 = 0, we can multiply by αi −1 to get αk+1 i −2αk i = −1, which implies (αi −2) = −1 · α−k i . We use this last equation to transform (12) as follows: αi −1 2 + (k + 1)(αi −2) = αi −1 2 + (k + 1)(−α−k i ) = αk+1 i −αk i 2αk i −(k + 1) This establishes the equivalence of the two formulas (11) and (12), as desired. □ 6 5 Proof of Theorem 2 Let En be as deﬁned in Lemma 5. We wish to show that \|En\| < 1 2 for all n ≥2 −k. We proceed by ﬁrst showing that \|En\| < 1 2 for n = 0, then for n = −1, −2, −3, . . . , 2 −k, then for n = 1, and ﬁnally that this implies \|En\| < 1 2 for all n ≥2 −k. To begin, we note that since our initial conditions give us that F (k) n = 0 for n = 0, −1, −2, . . . , 2 −k, then we need only show \|m(k)(α) · αn−1\| < 1/2 for those values of n. Starting with n = 0, it’s easy to check by hand that m(k)(α) · α−1 < 1/2 for k = 2 and 3, and as for k ≥4, we have the following inequality from Lemma 3: 2 −1 3k < α, which implies α−1 < 3k 6k −1. Also, by Lemma 4, m(k)(α) < m(k)(2 −1/3k) = 3k −1 5k −1, so thus: m(k)(α) · α−1 < 3k −1 5k −1 · 3k 6k −1 < (3k) · 1 (5k −1) · 2 < 1 2, as desired. Thus, 0 < \|m(k)(α) · α−1\| < 1/2 for all k, as desired. Since α−1 < 1, we can conclude that for n = −1, −2, . . . , 2 −k, then \|En\| = m(k)(α) · αn−1 < 1/2. Turning our attention now to E1, we note that F (k) 1 = 1 (again by deﬁnition of our initial conditions) and that 1 2 = m(2) < m(α) < m(2 −1/k) = 1 which immediately gives us \|E1\| < 1/2. As for En with n ≥2, we know from Lemma 5 that En = En−1 + En−2 + · · · + En−k (for n ≥2) Suppose for some n ≥2 that \|En\| ≥1/2. Let n0 be the smallest positive such n. Now, subtracting the following two equations: En0+1 = En0 + En0−1 + · · · + En0−(k−1) En0 = En0−1 + En0−2 + · · · + En0−k gives us: En0+1 = 2En0 −En0−k Since \|En0\| ≥\|En0−k\| (the ﬁrst, by assumption, being larger than, and the second smaller than, 1/2), we can conclude that \|En0+1\| > \|En0\|. In fact, we can apply this argument repeatedly to show that \|En0+i\| > · · · > \|En0+1\| > \|En0\|. However, this contradicts the observation from Eq. (3) that the error must eventually go to 0. We conclude that \|En\| < 1/2 for all n ≥2, and thus for all n ≥2 −k. □ 7 6 Acknowledgement The ﬁrst author would like to thank J. Siehler for inspiring this paper with his work on Tribonacci numbers. References M. Cipu and F. Luca, On the Galois group of the generalized Fibonacci polynomial, An. S ¸tiint ¸. Univ. Ovidius Constant ¸a Ser. Mat. 9 (2001), 27–38. David E. Ferguson, An expression for generalized Fibonacci numbers, Fibonacci Quart. 4 (1966), 270–273. I. Flores, Direct calculation of k-generalized Fibonacci numbers, Fibonacci Quart. 5 (1967), 259–266. Hyman Gabai, Generalized Fibonacci k-sequences, Fibonacci Quart. 8 (1970), 31–38. Dan Kalman, Generalized Fibonacci numbers by matrix methods, Fibonacci Quart. 20 (1982), 73–76. 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Wolfram, Solving generalized Fibonacci recurrences, Fibonacci Quart. 36 (1998), 129–145. 8 2000 Mathematics Subject Classiﬁcation: Primary 11B39, Secondary 11C08, 33F05, 65D20. Keywords: k-generalized Fibonacci numbers, Binet, Tribonacci, Tetranacci, Pentanacci. (Concerned with sequences A000073, A000078, and A001591.) Received February 23, 2014. 9
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8012	https://huggingface.co/datasets/eef123/putnam_archive-v1/viewer/default/train	eef123/putnam_archive-v1 · Datasets at Hugging Face Datasets: eef123 / putnam_archive-v1 like 0 Dataset cardData StudioFiles Files and versions xetCommunity Subset (1) default·360 rows Split (1) train·360 rows SQL Console \| question string lengths 39 1.65k \| solution string lengths 154 9.07k \| plain_text string lengths 1 243 \| latex string lengths 0 323 \| --- --- \| \| Find the least number $A$ such that for any two squares of combined area 1, a rectangle of area $A$ exists such that the two squares can be packed in the rectangle (without interior overlap). You may assume that the sides of the squares are parallel to the sides of the rectangle. \| If $x$ and $y$ are the sides of two squares with combined area 1, then $x^2 + y^2 = 1$. Suppose without loss of generality that $x \geq y$. Then the shorter side of a rectangle containing both squares without overlap must be at least $x$, and the longer side must be at least $x+y$. Hence the desired value of $A$ is the maximum of $x(x+y)$. To find this maximum, we let $x = \cos \theta, y = \sin \theta$ with $\theta \in [0, \pi/4]$. Then we are to maximize \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta &= \frac 12 (1 + \cos 2\theta + \sin 2\theta) \ &= \frac 12 + \sqrt{2}/2 \cos (2\theta - \pi/4) \ &\leq 1 + \sqrt{2}/2, with equality for $\theta = \pi/8$. Hence this value is the desired value of $A$. \| 1 + \sqrt{2}/2 \| (\boxed{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}) \| \| Let $C_1$ and $C_2$ be circles whose centers are 10 units apart, and whose radii are 1 and 3. Find, with proof, the locus of all points $M$ for which there exists points $X$ on $C_1$ and $Y$ on $C_2$ such that $M$ is the midpoint of the line segment $XY$. \| Let $O_1$ and $O_2$ be the centers of $C_1$ and $C_2$, respectively. (We are assuming $C_1$ has radius 1 and $C_2$ has radius 3.) Then the desired locus is an annulus centered at the midpoint of $O_1O_2$, with inner radius 1 and outer radius 2. For a fixed point $Q$ on $C_2$, the locus of the midpoints of the segments $PQ$ for $P$ lying on $C_1$ is the image of $C_1$ under a homothety centered at $Q$ of radius $1/2$, which is a circle of radius $1/2$. As $Q$ varies, the center of this smaller circle traces out a circle $C_3$ of radius $3/2$ (again by homothety). By considering the two positions of $Q$ on the line of centers of the circles, one sees that $C_3$ is centered at the midpoint of $O_1O_2$, and the locus is now clearly the specified annulus. \| The locus of all points $M$ is an annulus centered at the midpoint of $O_1O_2$, with inner radius 1 and outer radius 2. \| (\boxed{\text{The locus of all points } M \text{ is an annulus centered at the midpoint of } O_1O_2, \text{ with inner radius 1 and outer radius 2.}}) \| \| Suppose that each of 20 students has made a choice of anywhere from 0 to 6 courses from a total of 6 courses offered. Prove or disprove: there are 5 students and 2 courses such that all 5 have chosen both courses or all 5 have chosen neither course. \| The claim is false. There are $\binom{6}{3} = 20$ ways to choose 3 of the 6 courses; have each student choose a different set of 3 courses. Then each pair of courses is chosen by 4 students (corresponding to the four ways to complete this pair to a set of 3 courses) and is not chosen by 4 students (corresponding to the 3-element subsets of the remaining 4 courses). Note: Assuming that no two students choose the same courses, the above counterexample is unique (up to permuting students). This may be seen as follows: Given a group of students, suppose that for any pair of courses (among the six) there are at most 4 students taking both, and at most 4 taking neither. Then there are at most $120=(4+4)\binom{6}{2}$ pairs $(s,p)$, where $s$ is a student, and $p$ is a set of two courses of which $s$ is taking either both or none. On the other hand, if a student $s$ is taking $k$ courses, then he/she occurs in $f(k)=\binom{k}{2}+\binom{6-k}{2}$ such pairs $(s,p)$. As $f(k)$ is minimized for $k=3$, it follows that every student occurs in at least $6=\binom{3}{2}+\binom{3}{2}$ such pairs $(s,p)$. Hence there can be at most $120/6=20$ students, with equality only if each student takes 3 courses, and for each set of two courses, there are exactly 4 students who take both and exactly 4 who take neither. Since there are only 4 ways to complete a given pair of courses to a set of 3, and only 4 ways to choose 3 courses not containing the given pair, the only way for there to be 20 students (under our hypotheses) is if all sets of 3 courses are in fact taken. This is the desired conclusion. However, Robin Chapman has pointed out that the solution is not unique in the problem as stated, because a given selection of courses may be made by more than one student. One alternate solution is to identify the 6 courses with pairs of antipodal vertices of an icosahedron, and have each student pick a different face and choose the three vertices touching that face. In this example, each of 10 selections is made by a pair of students. \| The claim is false. \| (\boxed{\text{The claim is false.}}) \| \| Let $S$ be the set of ordered triples $(a, b, c)$ of distinct elements of a finite set $A$. Suppose that \begin{enumerate} \item $(a,b,c) \in S$ if and only if $(b,c,a) \in S$; \item $(a,b,c) \in S$ if and only if $(c,b,a) \notin S$; \item $(a,b,c)$ and $(c,d,a)$ are both in $S$ if and only if $(b,c,d)$ and $(d,a,b)$ are both in $S$. \end{enumerate} Prove that there exists a one-to-one function $g$ from $A$ to $R$ such that $g(a) < g(b) < g(c)$ implies $(a,b,c) \in S$. Note: $R$ is the set of real numbers. \| In fact, we will show that such a function $g$ exists with the property that $(a,b,c) \in S$ if and only if $g(d) < g(e) < g(f)$ for some cyclic permutation $(d,e,f)$ of $(a,b,c)$. We proceed by induction on the number of elements in $A$. If $A = {a,b,c}$ and $(a,b,c) \in S$, then choose $g$ with $g(a) < g(b) < g(c)$, otherwise choose $g$ with $g(a) > g(b) > g(c)$. Now let $z$ be an element of $A$ and $B = A - {z}$. Let $a_{1}, \dots, a_{n}$ be the elements of $B$ labeled such that $g(a_{1}) < g(a_{2}) < \cdots < g(a_{n})$. We claim that there exists a unique $i \in {1, \dots, n}$ such that $(a_{i}, z, a_{i+1}) \in S$, where hereafter $a_{n+k} = a_{k}$. We show existence first. Suppose no such $i$ exists; then for all $i,k \in {1, \dots, n}$, we have $(a_{i+k}, z, a_{i}) \notin S$. This holds by property 1 for $k=1$ and by induction on $k$ in general, noting that (a_{i+k+1}, z, a_{i+k}), &(a_{i+k}, z, a_{i}) \in S \ &\Rightarrow (a_{i+k}, a_{i+k+1}, z), (z, a_{i}, a_{i+k}) \in S \ &\Rightarrow (a_{i+k+1},z,a_{i}) \in S. Applying this when $k=n$, we get $(a_{i-1}, z, a_{i}) \in S$, contradicting the fact that $(a_{i}, z, a_{i-1}) \in S$. Hence existence follows. Now we show uniqueness. Suppose $(a_{i}, z, a_{i+1}) \in S$; then for any $j \neq i-1, i, i+1$, we have $(a_{i}, a_{i+1}, a_{j}), (a_{j}, a_{j+1}, a_{i}) \in S$ by the assumption on $G$. Therefore (a_{i}, z, a_{i+1}), (a_{i+1}, a_{j}, a_{i}) \in S &\Rightarrow (a_{j}, a_{i}, z) \in S \ (a_{i}, z, a_{j}), (a_{j}, a_{j+1}, a_{i}) \in S &\Rightarrow (z, a_{j}, a_{j+1}), so $(a_{j}, z, a_{j+1}) \notin S$. The case $j =i+1$ is ruled out by [ (a_{i}, z, a_{i+1}), (a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i}) \in S \Rightarrow (z, a_{i+1}, a_{i+2}) \in S ] and the case $j=i-1$ is similar. Finally, we put $g(z)$ in $(g(a_{n}), + \infty)$ if $i = n$, and $(g(a_{i}), g(a_{i+1}))$ otherwise; an analysis similar to that above shows that $g$ has the desired property. \| (\boxed{\text{There exists a one-to-one function } g \text{ from } A \text{ to } \mathbb{R} \text{ such that } g(a) < g(b) < g(c) \text{ implies } (a,b,c) \in S.}) \| (\boxed{\text{There exists a one-to-one function } g \text{ from } A \text{ to } \mathbb{R} \text{ such that } g(a) < g(b) < g(c) \text{ implies } (a,b,c) \in S.}) \| \| If $p$ is a prime number greater than 3 and $k = \lfloor 2p/3 \rfloor$, prove that the sum [ \binom p1 + \binom p2 + \cdots + \binom pk ] of binomial coefficients is divisible by $p^2$. \| (due to Lenny Ng) For $1 \leq n \leq p-1$, $p$ divides $\binom pn$ and 1/p \binom pn &= 1/n p-1/1 p-2/2 \cdots p-n+1/n-1 \ &\equiv (-1)^{n-1}/n \mymod{p}, where the congruence $x \equiv y \mymod{p}$ means that $x-y$ is a rational number whose numerator, in reduced form, is divisible by $p$. Hence it suffices to show that [ \sum_{n=1}^k (-1)^{n-1}/n \equiv 0 \mymod{p}. ] We distinguish two cases based on $p \mymod{6}$. First suppose $p = 6r+1$, so that $k = 4r$. Then \sum_{n=1}^{4r} (-1)^{n-1}/n &= \sum_{n=1}^{4r} 1/n - 2 \sum_{n=1}^{2r} 1/2n \ &= \sum_{n=1}^{2r} \left( 1/n - 1/n \right) + \sum_{n=2r+1}^{3r} \left( 1/n + 1/6r+1-n \right) \ &= \sum_{n=2r+1}^{3r} p/n(p-n) \equiv 0 \mymod{p}, since $p = 6r+1$. Now suppose $p = 6r+5$, so that $k = 4r + 3$. A similar argument gives \sum_{n=1}^{4r+3}\ (-1)^{n-1}/n &= \sum_{n=1}^{4r+3} 1/n + 2 \sum_{n=1}^{2r+1} 1/2n \ &= \sum_{n=1}^{2r+1} \left( 1/n - 1/n \right) + \sum_{n=2r+2}^{3r+2} \left( 1/n + 1/6r+5-n \right) \ &= \sum_{n=2r+2}^{3r+2} p/n(p-n) \equiv 0 \mymod{p}. \| 0 \| (\boxed{0}) \| \| Let $c>0$ be a constant. Give a complete description, with proof, of the set of all continuous functions $f: R \to R$ such that $f(x) = f(x^2+c)$ for all $x \in R$. Note that $R$ denotes the set of real numbers. \| We first consider the case $c \leq 1/4$; we shall show in this case $f$ must be constant. The relation [ f(x) = f(x^2 + c) = f((-x)^2 + c) = f(-x) ] proves that $f$ is an even function. Let $r_1 \leq r_2$ be the roots of $x^2 + c - x$, both of which are real. If $x > r_{2}$, define $x_{0} = x$ and $x_{n+1} = \sqrt{x_{n} - c}$ for each positive integer $x$. By induction on $n$, $r_{2} < x_{n+1} < x_{n}$ for all $n$, so the sequence ${x_{n}}$ tends to a limit $L$ which is a root of $x^{2} + c = x$ not less than $r_{2}$. Of course this means $L = r_{2}$. Since $f(x) = f(x_{n})$ for all $n$ and $x_{n} \to r_{2}$, we conclude $f(x) = f(r_{2})$, so $f$ is constant on $x \geq r_{2}$. If $r_{1} < x < r_{2}$ and $x_{n}$ is defined as before, then by induction, $x_{n} < x_{n+1} < r_{2}$. Note that the sequence can be defined because $r_{1} > c$; the latter follows by noting that the polynomial $x^{2} - x + c$ is positive at $x = c$ and has its minimum at $1/2 > c$, so both roots are greater than $c$. In any case, we deduce that $f(x)$ is also constant on $r_{1} \leq x \leq r_{2}$. Finally, suppose $x < r_{1}$. Now define $x_{0} = x, x_{n+1} = x_{n}^{2} + c$. Given that $x_{n} < r_{1}$, we have $x_{n+1} > x_{n}$. Thus if we had $x_{n} < r_{1}$ for all $n$, by the same argument as in the first case we deduce $x_{n} \to r_{1}$ and so $f(x) = f(r_{1})$. Actually, this doesn't happen; eventually we have $x_{n} > r_{1}$, in which case $f(x) = f(x_{n}) = f(r_{1})$ by what we have already shown. We conclude that $f$ is a constant function. (Thanks to Marshall Buck for catching an inaccuracy in a previous version of this solution.) Now suppose $c > 1/4$. Then the sequence $x_n$ defined by $x_0 = 0$ and $x_{n+1} = x_n^2 + c$ is strictly increasing and has no limit point. Thus if we define $f$ on $[x_0, x_1]$ as any continuous function with equal values on the endpoints, and extend the definition from $[x_n, x_{n+1}]$ to $[x_{n+1}, x_{n+2}]$ by the relation $f(x) = f(x^2 + c)$, and extend the definition further to $x < 0$ by the relation $f(x) = f(-x)$, the resulting function has the desired property. Moreover, any function with that property clearly has this form. \| The set of all continuous functions \| (\boxed{\text{The set of all continuous functions } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ such that } f(x) = f(x^2 + c) \text{ for all } x \in \mathbb{R} \text{ is:}}) \| \| Define a \textbf{selfish} set to be a set which has its own cardinality (number of elements) as an element. Find, with proof, the number of subsets of ${1, 2, \ldots, n}$ which are \textit{minimal} selfish sets, that is, selfish sets none of whose proper subsets is selfish. \| Let $[n]$ denote the set ${1,2,\ldots,n}$, and let $f_n$ denote the number of minimal selfish subsets of $[n]$. Then the number of minimal selfish subsets of $[n]$ not containing $n$ is equal to $f_{n-1}$. On the other hand, for any minimal selfish subset of $[n]$ containing $n$, by subtracting 1 from each element, and then taking away the element $n-1$ from the set, we obtain a minimal selfish subset of $[n-2]$ (since $1$ and $n$ cannot both occur in a selfish set). Conversely, any minimal selfish subset of $[n-2]$ gives rise to a minimal selfish subset of $[n]$ containing $n$ by the inverse procedure. Hence the number of minimal selfish subsets of $[n]$ containing $n$ is $f_{n-2}$. Thus we obtain $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$. Since $f_1=f_2=1$, we have $f_n=F_n$, where $F_n$ denotes the $n$th term of the Fibonacci sequence. \| (F_n) \| (\boxed{F_n}) \| \| Show that for every positive integer $n$, [ \left( 2n-1/e \right)^{2n-1/2} < 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) < \left( 2n+1/e \right)^{2n+1/2}. ] \| By estimating the area under the graph of $\ln x$ using upper and lower rectangles of width 2, we get \int_1^{2n-1} \ln x\,dx &\leq 2(\ln(3) + \cdots + \ln(2n-1)) \ &\leq \int_3^{2n+1} \ln x\,dx. Since $\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C$, we have, upon exponentiating and taking square roots, % %\left( 2n-1/e \right)^{2n-1/2} %< (2n-1)^{2n-1/2} e^{-n+1} %&\leq 1 \cdot 3 \cdots (2n-1) \ %&\leq (2n+1)^{2n+1/2} e^{-n+1}/3^{3/2} %< \left( 2n+1/e \right)^{2n+1/2}, % \left( 2n-1/e \right)^{2n-1/2} &< (2n-1)^{2n-1/2} e^{-n+1} \ & \leq 1 \cdot 3 \cdots (2n-1) \ & \leq (2n+1)^{2n+1/2} e^{-n+1}/3^{3/2} \ &< \left( 2n+1/e \right)^{2n+1/2}, using the fact that $1 < e < 3$. \| (\left( 2n-1/e \right)^{2n-1/2} < 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) < \left( 2n+1/e \right)^{2n+1/2}) \| (\boxed{\left( 2n-1/e \right)^{2n-1/2} < 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) < \left( 2n+1/e \right)^{2n+1/2}}) \| \| Given that ${x_1, x_2, \ldots, x_n} = {1, 2, \ldots, n}$, find, with proof, the largest possible value, as a function of $n$ (with $n \geq 2$), of [ x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_{n-1}x_n + x_nx_1. ] \| View $x_1, \dots, x_n$ as an arrangement of the numbers $1, 2, \dots, n$ on a circle. We prove that the optimal arrangement is [ \dots, n-4, n-2, n, n-1, n-3, \dots ] To show this, note that if $a, b$ is a pair of adjacent numbers and $c,d$ is another pair (read in the same order around the circle) with $a < d$ and $b > c$, then the segment from $b$ to $c$ can be reversed, increasing the sum by [ ac + bd - ab - cd = (d-a)(b-c) > 0. ] Now relabel the numbers so they appear in order as follows: [ \dots, a_{n-4}, a_{n-2}, a_n = n, a_{n-1}, a_{n-3}, \dots ] where without loss of generality we assume $a_{n-1} > a_{n-2}$. By considering the pairs $a_{n-2}, a_n$ and $a_{n-1}, a_{n-3}$ and using the trivial fact $a_n > a_{n-1}$, we deduce $a_{n-2} > a_{n-3}$. We then compare the pairs $a_{n-4}, a_{n-2}$ and $a_{n-1}, a_{n-3}$, and using that $a_{n-1} > a_{n-2}$, we deduce $a_{n-3} > a_{n-4}$. Continuing in this fashion, we prove that $a_n > a_{n-1} > \dots > a_1$ and so $a_k = k$ for $k = 1, 2, \dots, n$, i.e.\ that the optimal arrangement is as claimed. In particular, the maximum value of the sum is \begin{multline} 1 \cdot 2 + (n-1)\cdot n + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \cdots + (n-2)\cdot n \ \begin{aligned} &= 2 + n^2 - n + (1^2 - 1) + \cdots + [(n-1)^2 - 1] \ &= n^2 - n + 2 - (n-1) + (n-1)n(2n-1)/6 \ &= 2n^3 + 3n^2 - 11n + 18/6. \end{aligned} \end{multline} Alternate solution: We prove by induction that the value given above is an upper bound; it is clearly a lower bound because of the arrangement given above. Assume this is the case for $n-1$. The optimal arrangement for $n$ is obtained from some arrangement for $n-1$ by inserting $n$ between some pair $x, y$ of adjacent terms. This operation increases the sum by $nx + ny - xy = n^2 - (n-x)(n-y)$, which is an increasing function of both $x$ and $y$. In particular, this difference is maximal when $x$ and $y$ equal $n-1$ and $n-2$. Fortunately, this yields precisely the difference between the claimed upper bound for $n$ and the assumed upper bound for $n-1$, completing the induction. \| (2n^3 + 3n^2 - 11n + 18/6) \| (\boxed{2n^3 + 3n^2 - 11n + 18/6}) \| \| For any square matrix $A$, we can define $\sin A$ by the usual power series: [ \sin A = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/(2n+1)! A^{2n+1}. ] Prove or disprove: there exists a $2 \times 2$ matrix $A$ with real entries such that [ \sin A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1996 \ 0 & 1 \end{array} \right). ] \| Suppose such a matrix $A$ exists. If the eigenvalues of $A$ (over the complex numbers) are distinct, then there exists a complex matrix $C$ such that $B=CAC^{-1}$ is diagonal. Consequently, $\sin B$ is diagonal. But then $\sin A=C^{-1}(\sin B)C$ must be diagonalizable, a contradiction. Hence the eigenvalues of $A$ are the same, and $A$ has a conjugate $B=CAC^{-1}$ over the complex numbers of the form [ \left( \begin{array}{cc} x & y\ 0 & x \end{array} \right). ] A direct computation shows that [ \sin B = \left( \begin{array}{cc} \sin x & y\cdot \cos x\ 0 & \sin x \end{array} \right). ] Since $\sin A$ and $\sin B$ are conjugate, their eigenvalues must be the same, and so we must have $\sin x=1$. This implies $\cos x=0$, so that $\sin B$ is the identity matrix, as must be $\sin A$, a contradiction. Thus $A$ cannot exist. Alternate solution (due to Craig Helfgott and Alex Popa): Define both $\sin A$ and $\cos A$ by the usual power series. Since $A$ commutes with itself, the power series identity [ \sin^2 A+\cos^2 A = I ] holds. But if $\sin A$ is the given matrix, then by the above identity, $\cos^2 A$ must equal $\left( \begin{array}{cc} 0 & -2\cdot 1996\ 0 & 0 \end{array} \right)$ which is a nilpotent matrix. Thus $\cos A$ is also nilpotent. However, the square of any $2\times 2$ nilpotent matrix must be zero (e.g., by the Cayley-Hamilton theorem). This is a contradiction. \| There does not exist a $2 \times 2$ matrix $A$ with real entries such that $\sin A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1996 \ 0 & 1 \end{array} \right)$. \| (\boxed{\text{There does not exist a } 2 \times 2 \text{ matrix } A \text{ with real entries such that } \sin A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1996 \ 0 & 1 \end{array} \right).}) \| \| Given a finite string $S$ of symbols $X$ and $O$, we write $\Delta(S)$ for the number of $X$'s in $S$ minus the number of $O$'s. For example, $\Delta(XOOXOOX) = -1$. We call a string $S$ \textbf{balanced} if every substring $T$ of (consecutive symbols of) $S$ has $-2 \leq \Delta(T) \leq 2$. Thus, $XOOXOOX$ is not balanced, since it contains the substring $OOXOO$. Find, with proof, the number of balanced strings of length $n$. \| Consider a $1 \times n$ checkerboard, in which we write an $n$-letter string, one letter per square. If the string is balanced, we can cover each pair of adjacent squares containing the same letter with a $1 \times 2$ domino, and these will not overlap (because no three in a row can be the same). Moreover, any domino is separated from the next by an even number of squares, since they must cover opposite letters, and the sequence must alternate in between. Conversely, any arrangement of dominoes where adjacent dominoes are separated by an even number of squares corresponds to a unique balanced string, once we choose whether the string starts with $X$ or $O$. In other words, the number of balanced strings is twice the number of acceptable domino arrangements. We count these arrangements by numbering the squares $0,1,\dots,n-1$ and distinguishing whether the dominoes start on even or odd numbers. Once this is decided, one simply chooses whether or not to put a domino in each eligible position. Thus we have $2^{\lfloor n/2 \rfloor}$ arrangements in the first case and $2^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}$ in the second, but note that the case of no dominoes has been counted twice. Hence the number of balanced strings is [ 2^{\lfloor (n+2)/2 \rfloor} + 2^{\lfloor (n+1)/2 \rfloor} - 2. ] \| (2^{\lfloor (n+2)/2 \rfloor} + 2^{\lfloor (n+1)/2 \rfloor} - 2) \| (\boxed{2^{\lfloor (n+2)/2 \rfloor} + 2^{\lfloor (n+1)/2 \rfloor} - 2}) \| \| Let $(a_1, b_1), (a_2, b_2), \ldots, (a_n, b_n)$ be the vertices of a convex polygon which contains the origin in its interior. Prove that there exist positive real numbers $x$ and $y$ such that \begin{gather} (a_1, b_1)x^{a_1} y^{b_1} + (a_2, b_2)x^{a_2}y^{b_2} + \cdots \ + (a_n, b_n)x^{a_n}y^{b_n} = (0,0). \end{gather} \| We will prove the claim assuming only that the convex hull of the points $(a_{i}, b_{i})$ contains the origin in its interior. (Thanks to Marshall Buck for pointing out that the last three words are necessary in the previous sentence!) Let $u = \log x, v = \log y$ so that the left-hand side of the given equation is \begin{multline} (a_1, b_1) \exp(a_1 u + b_1 v) + (a_2, b_2) \exp(a_2 u + b_2 v) + \ \cdots + (a_n, b_n) \exp(a_n u + b_n v). \end{multline} Now note that (1) is the gradient of the function \begin{gather} f(u,v) = exp(a_1 u + b_1 v) + exp(a_2 u + b_2 v) + \ \cdots + exp(a_n u + b_n v), \end{gather} and so it suffices to show $f$ has a critical point. We will in fact show $f$ has a global minimum. Clearly we have [ f(u,v) \geq \exp\left( \max_i (a_i u + b_i v) \right). ] Note that this maximum is positive for $(u,v) \neq (0,0)$: if we had $a_i u + b_i v < 0$ for all $i$, then the subset $ur + vs < 0$ of the $rs$-plane would be a half-plane containing all of the points $(a_i, b_i)$, whose convex hull would then not contain the origin, a contradiction. The function $\max_{i} (a_{i}u + b_{i}v)$ is clearly continuous on the unit circle $u^{2} + v^{2} = 1$, which is compact. Hence it has a global minimum $M > 0$, and so for all $u,v$, [ \max_{i} (a_{i} u + b_{i} v) \geq M \sqrt{u^{2} + v^{2}}. ] In particular, $f \geq n+1$ on the disk of radius $\sqrt{(n+1)/M}$. Since $f(0,0) = n$, the infimum of $f$ is the same over the entire $uv$-plane as over this disk, which again is compact. Hence $f$ attains its infimal value at some point in the disk, which is the desired global minimum. Noam Elkies has suggested an alternate solution as follows: for $r > 0$, draw the loop traced by (1) as $(u,v)$ travels counterclockwise around the circle $u^2 + v^2 = r^2$. For $r=0$, this of course has winding number 0 about any point, but for $r$ large, one can show this loop has winding number 1 about the origin, so somewhere in between the loop must pass through the origin. (Proving this latter fact is a little tricky.) \| There exist positive real numbers \| (\boxed{\text{There exist positive real numbers } x \text{ and } y \text{ such that the equation holds.}}) \| \| A right circular cone has base of radius 1 and height 3. A cube is inscribed in the cone so that one face of the cube is contained in the base of the cone. What is the side-length of the cube? \| Consider the plane containing both the axis of the cone and two opposite vertices of the cube's bottom face. The cross section of the cone and the cube in this plane consists of a rectangle of sides $s$ and $s\sqrt{2}$ inscribed in an isosceles triangle of base $2$ and height $3$, where $s$ is the side-length of the cube. (The $s\sqrt{2}$ side of the rectangle lies on the base of the triangle.) Similar triangles yield $s/3 = (1-s\sqrt{2}/2)/1$, or $s = (9\sqrt{2} - 6)/7.$ \| (\frac{9\sqrt{2} - 6}{7}) \| (\boxed{\frac{9\sqrt{2} - 6}{7}}) \| \| Let $s$ be any arc of the unit circle lying entirely in the first quadrant. Let $A$ be the area of the region lying below $s$ and above the $x$-axis and let $B$ be the area of the region lying to the right of the $y$-axis and to the left of $s$. Prove that $A+B$ depends only on the arc length, and not on the position, of $s$. \| First solution: to fix notation, let $A$ be the area of region $DEFG$, and $B$ be the area of $DEIH$; further let $C$ denote the area of sector $ODE$, which only depends on the arc length of $s$. If $[XYZ]$ denotes the area of triangle $[XYZ]$, then we have $A = C + [OEG] - [ODF]$ and $B = C + [ODH] - [OEI]$. But clearly $[OEG] = [OEI]$ and $[ODF] = [ODH]$, and so $A + B = 2C$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (2); \draw (0,2) -- (0,0) -- (2,0); \draw (1.732,0) -- (1.732,1) -- (0,1); \draw (.7,0) -- (.7,1.873) -- (0,1.873); \draw (1.732,1) -- (0,0) -- (.7,1.873); \draw (0,0) node[anchor=north east] {$O$}; \draw (.7,0) node[anchor=north] {$F$}; \draw (1.732,0) node[anchor=north] {$G$}; \draw (1.732,1) node[anchor=south west] {$E$}; \draw (.7,1.873) node[anchor=south west] {$D$}; \draw (0,1) node[anchor=east] {$I$}; \draw (0,1.7) node[anchor=east] {$H$}; \end{tikzpicture} \end{center} Second solution: We may parametrize a point in $s$ by any of $x$, $y$, or $\theta = \tan^{-1} (y/x)$. Then $A$ and $B$ are just the integrals of $y\,dx$ and $x\,dy$ over the appropriate intervals; thus $A+B$ is the integral of $x\,dy - y\,dx$ (minus because the limits of integration are reversed). But $d\theta = x\,dy - y\,dx$, and so $A+B = \Delta \theta$ is precisely the radian measure of $s$. (Of course, one can perfectly well do this problem by computing the two integrals separately. But what's the fun in that?) \| 2C \| (\boxed{2C}) \| \| Let $f$ be a real function on the real line with continuous third derivative. Prove that there exists a point $a$ such that [f(a)\cdot f'(a) \cdot f''(a) \cdot f'''(a)\geq 0 .] \| If at least one of $f(a)$, $f'(a)$, $f''(a)$, or $f'''(a)$ vanishes at some point $a$, then we are done. Hence we may assume each of $f(x)$, $f'(x)$, $f''(x)$, and $f'''(x)$ is either strictly positive or strictly negative on the real line. By replacing $f(x)$ by $-f(x)$ if necessary, we may assume $f''(x)>0$; by replacing $f(x)$ by $f(-x)$ if necessary, we may assume $f'''(x)>0$. (Notice that these substitutions do not change the sign of $f(x) f'(x) f''(x) f'''(x)$.) Now $f''(x)>0$ implies that $f'(x)$ is increasing, and $f'''(x)>0$ implies that $f'(x)$ is convex, so that $f'(x+a)>f'(x)+a f''(x)$ for all $x$ and $a$. By letting $a$ increase in the latter inequality, we see that $f'(x+a)$ must be positive for sufficiently large $a$; it follows that $f'(x)>0$ for all $x$. Similarly, $f'(x)>0$ and $f''(x)>0$ imply that $f(x)>0$ for all $x$. Therefore $f(x) f'(x) f''(x) f'''(x)>0$ for all $x$, and we are done. \| There exists a point \| (\boxed{\text{There exists a point } a \text{ such that } f(a) \cdot f'(a) \cdot f''(a) \cdot f'''(a) \geq 0}) \| \| Let $A_1=0$ and $A_2=1$. For $n>2$, the number $A_n$ is defined by concatenating the decimal expansions of $A_{n-1}$ and $A_{n-2}$ from left to right. For example $A_3=A_2 A_1=10$, $A_4=A_3 A_2 = 101$, $A_5=A_4 A_3 = 10110$, and so forth. Determine all $n$ such that $11$ divides $A_n$. \| The number of digits in the decimal expansion of $A_n$ is the Fibonacci number $F_n$, where $F_1=1$, $F_2=1$, and $F_n=F_{n-1} +F_{n-2}$ for $n>2$. It follows that the sequence ${A_n}$, modulo 11, satisfies the recursion $A_n=(-1)^{F_{n-2}}A_{n-1} + A_{n-2}$. (Notice that the recursion for $A_n$ depends only on the value of $F_{n-2}$ modulo 2.) Using these recursions, we find that $A_7 \equiv 0$ and $A_8 \equiv 1$ modulo 11, and that $F_7 \equiv 1$ and $F_8 \equiv 1$ modulo 2. It follows that $A_n \equiv A_{n+6}$ (mod 11) for all $n\geq 1$. We find that among $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$, and $A_6$, only $A_1$ vanishes modulo 11. Thus 11 divides $A_n$ if and only if $n=6k+1$ for some nonnegative integer $k$. \| ( n = 6k + 1 ) for some nonnegative integer \| (\boxed{n = 6k + 1 \text{ for some nonnegative integer } k}) \| \| Let $\mathcal F$ be a finite collection of open discs in $\mathbb R^2$ whose union contains a set $E\subseteq \mathbb R^2$. Show that there is a pairwise disjoint subcollection $D_1,\ldots, D_n$ in $\mathcal F$ such that [E\subseteq \cup_{j=1}^n 3D_j.] Here, if $D$ is the disc of radius $r$ and center $P$, then $3D$ is the disc of radius $3r$ and center $P$. \| Define the sequence $D_i$ by the following greedy algorithm: let $D_1$ be the disc of largest radius (breaking ties arbitrarily), let $D_2$ be the disc of largest radius not meeting $D_1$, let $D_3$ be the disc of largest radius not meeting $D_1$ or $D_2$, and so on, up to some final disc $D_n$. To see that $E \subseteq \cup_{j=1}^n 3D_j$, consider a point in $E$; if it lies in one of the $D_i$, we are done. Otherwise, it lies in a disc $D$ of radius $r$, which meets one of the $D_i$ having radius $s \geq r$ (this is the only reason a disc can be skipped in our algorithm). Thus the centers lie at a distance $t < s+r$, and so every point at distance less than $r$ from the center of $D$ lies at distance at most $r + t < 3s$ from the center of the corresponding $D_i$. \| E \subseteq \cup_{j=1}^n 3D_j \| (\boxed{E \subseteq \cup_{j=1}^n 3D_j}) \| \| Let $A, B, C$ denote distinct points with integer coordinates in $\mathbb R^2$. Prove that if [(\|AB\|+\|BC\|)^2<8\cdot [ABC]+1] then $A, B, C$ are three vertices of a square. Here $\|XY\|$ is the length of segment $XY$ and $[ABC]$ is the area of triangle $ABC$. \| Recall the inequalities $\|AB\|^2 + \|BC\|^2 \geq 2\|AB\|\|BC\|$ (AM-GM) and $\|AB\|\|BC\| \geq 2[ABC]$ (Law of Sines). Also recall that the area of a triangle with integer coordinates is half an integer (if its vertices lie at $(0,0), (p,q), (r,s)$, the area is $\|ps-qr\|/2$), and that if $A$ and $B$ have integer coordinates, then $\|AB\|^2$ is an integer (Pythagoras). Now observe that 8[ABC] &\leq \|AB\|^2+\|BC\|^2 + 4[ABC] \ &\leq \|AB\|^2 + \|BC\|^2 + 2\|AB\| \|BC\| \ &< 8[ABC]+1, and that the first and second expressions are both integers. We conclude that $8[ABC] = \|AB\|^2+ \|BC\|^2+4[ABC]$, and so $\|AB\|^2+\|BC\|^2 = 2\|AB\| \|BC\| = 4[ABC]$; that is, $B$ is a right angle and $AB=BC$, as desired. \| $A, B, C$ are three vertices of a square. \| (\boxed{A, B, C \text{ are three vertices of a square.}}) \| \| Find the minimum value of [(x+1/x)^6-(x^6+1/x^6)-2/(x+1/x)^3+(x^3+1/x^3)] for $x>0$. \| Notice that \begin{gather} (x+1/x)^6-(x^6+1/x^6)-2/(x+1/x)^3+(x^3+1/x^3) = \ (x+1/x)^3-(x^3+1/x^3)=3(x+1/x) \end{gather} (difference of squares). The latter is easily seen (e.g., by AM-GM) to have minimum value 6 (achieved at $x=1$). \| 6 \| (\boxed{6}) \| \| Given a point $(a,b)$ with $0<bsphere cap'' $\{(x,y,z)\,\|\,x^2+y^2+z^2=1,\,z\geq z_0\}$ is simply $2\pi(1-z_0)$. (This result is easily verified using calculus; we omit the derivation here.) Now the desired surface area is just $2\pi$ minus the surface areas of five identical halves of sphere caps; these caps, up to isometry, correspond to $z_0$ being the distance from the center of the pentagon to any of its sides, i.e., $z_0 = \cos \pi/5$. Thus the desired area is $2\pi - 5/2 \left(2\pi (1-\cos\pi/5)\right) = 5\pi\cos\pi/5 - 3\pi$ (i.e., $B=\pi/2$). \| 5\pi\cos\pi/5 - 3\pi \| $\boxed{5\pi\cos\pi/5 - 3\pi}$ \| \| Find necessary and sufficient conditions on positive integers $m$ and $n$ so that \[\sum_{i=0}^{mn-1} (-1)^{\lfloor i/m \rfloor +\lfloor i/n\rfloor}=0.\] \| For convenience, define $f_{m,n}(i) = \lfloor i/m \rfloor + \lfloor i/n \rfloor$, so that the given sum is $S(m,n) = \sum_{i=0}^{mn-1} (-1)^{f_{m,n}(i)}$. If $m$ and $n$ are both odd, then $S(m,n)$ is the sum of an odd number of $\pm 1$'s, and thus cannot be zero. Now consider the case where $m$ and $n$ have opposite parity. Note that $\lfloor i/m \rfloor + \lfloor k - i+1/m \rfloor = k-1$ for all integers $i,k,m$. Thus $\lfloor i/m \rfloor + \lfloor mn-i-1/m \rfloor = n-1$ and $\lfloor i/n \rfloor + \lfloor mn-i-1/n \rfloor = m-1$; this implies that $f_{m,n}(i) + f_{m,n}(mn-i-1) = m+n-2$ is odd, and so $(-1)^{f_{m,n}(i)} = -(-1)^{f_{m,n}(mn-i-1)}$ for all $i$. It follows that $S(m,n) = 0$ if $m$ and $n$ have opposite parity. Now suppose that $m=2k$ and $n=2l$ are both even. Then $\lfloor 2j/2m \rfloor = \lfloor 2j+1/2m \rfloor$ for all $j$, so $S$ can be computed as twice the sum over only even indices: \[ S(2k, 2l) = 2 \sum_{i=0}^{2kl-1} (-1)^{f_{k,l}(i)} = S(k,l)(1 + (-1)^{k+l}). \] Thus $S(2k,2l)$ vanishes if and only if $S(k,l)$ vanishes (if $1 + (-1)^{k+l} = 0$, then $k$ and $l$ have opposite parity and so $S(k,l)$ also vanishes). Piecing our various cases together, we easily deduce that $S(m,n) = 0$ if and only if the highest powers of 2 dividing $m$ and $n$ are different. \| The highest powers of 2 dividing $m$ and $n$ are different. \| $\boxed{\text{The highest powers of 2 dividing } m \text{ and } n \text{ are different.}}$ \| \| Let $N$ be the positive integer with 1998 decimal digits, all of them 1; that is, \[N=1111\cdots 11.\] Find the thousandth digit after the decimal point of $\sqrt N$. \| Write $N=(10^{1998}-1)/9$. Then \sqrt{N} &=10^{999}/3\sqrt{1-10^{-1998}} \\ &=10^{999}/3 (1-1/210^{-1998} + r), where $r<10^{-2000}$. Now the digits after the decimal point of $10^{999}/3$ are given by $.3333\ldots$, while the digits after the decimal point of $1/610^{-999}$ are given by $.00000\ldots 1666666\ldots$. It follows that the first 1000 digits of $\sqrt N$ are given by $.33333\ldots 3331$; in particular, the thousandth digit is $1$. \| 1 \| $\boxed{1}$ \| \| Prove that, for any integers $a, b, c$, there exists a positive integer $n$ such that $\sqrt{n^3+an^2+bn+c}$ is not an integer. \| First solution: Write $p(n) = n^3 + an^2 + bn + c$. Note that $p(n)$ and $p(n+2)$ have the same parity, and recall that any perfect square is congruent to 0 or 1 (mod 4). Thus if $p(n)$ and $p(n+2)$ are perfect squares, they are congruent mod 4. But $p(n+2) - p(n) \equiv 2n^2 + 2b$ (mod 4), which is not divisible by 4 if $n$ and $b$ have opposite parity. % % and likewise for $p(n+1)$ and $p(n+3)$. %But thethird difference'' of $p$ is $p(n) - %3p(n+1) + 3p(n+2) - p(n+3) = 6$ (easy calculation), so that $p(n) + %p(n+1) - p(n+2) - p(n+3) \equiv 2$ (mod 4). Thus not all of $p(n), p(n+1), %p(n+2), p(n+3)$ can be perfect squares. %(n+2)^3 + a(n+2)^2 + b(n+2) + c %n^3 + an^2 + bn + c %== 2n^2 + 2b Second solution: We prove more generally that for any polynomial $P(z)$ with integer coefficients which is not a perfect square, there exists a positive integer $n$ such that $P(n)$ is not a perfect square. Of course it suffices to assume $P(z)$ has no repeated factors, which is to say $P(z)$ and its derivative $P'(z)$ are relatively prime. In particular, if we carry out the Euclidean algorithm on $P(z)$ and $P'(z)$ without dividing, we get an integer $D$ (the discriminant of $P$) such that the greatest common divisor of $P(n)$ and $P'(n)$ divides $D$ for any $n$. Now there exist infinitely many primes $p$ such that $p$ divides $P(n)$ for some $n$: if there were only finitely many, say, $p_1, \dots, p_k$, then for any $n$ divisible by $m = P(0) p_1 p_2 \cdots p_k$, we have $P(n) \equiv P(0) \pmod{m}$, that is, $P(n)/P(0)$ is not divisible by $p_1, \dots, p_k$, so must be $\pm 1$, but then $P$ takes some value infinitely many times, contradiction. In particular, we can choose some such $p$ not dividing $D$, and choose $n$ such that $p$ divides $P(n)$. Then $P(n+kp) \equiv P(n) + kp P'(n) (\mathrm{mod}\,p)$ (write out the Taylor series of the left side); in particular, since $p$ does not divide $P'(n)$, we can find some $k$ such that $P(n+kp)$ is divisible by $p$ but not by $p^2$, and so is not a perfect square. Third solution: (from David Rusin, David Savitt, and Richard Stanley independently) Assume that $n^{3}+an^{2}+bn+c$ is a square for all $n>0$. For sufficiently large $n$, (n^{3/2} + 1/2 an^{1/2} - 1)^{2} &< n^{3} + an^{2}+bn+c \ &< (n^{3/2}+ 1/2 an^{1/2}+1)^{2}; thus if $n$ is a large even perfect square, we have $n^{3}+an^{2}+bn+c = (n^{3/2} + 1/2 an^{1/2})^{2}$. We conclude this is an equality of polynomials, but the right-hand side is not a perfect square for $n$ an even non-square, contradiction. (The reader might try generalizing this approach to arbitrary polynomials. A related argument, due to Greg Kuperberg: write $\sqrt{n^3+an^2+bn+c}$ as $n^{3/2}$ times a power series in $1/n$ and take two finite differences to get an expression which tends to 0 as $n \to \infty$, contradiction.) Note: in case $n^3 + an^2 + bn + c$ has no repeated factors, it is a square for only finitely many $n$, by a theorem of Siegel; work of Baker gives an explicit (but large) bound on such $n$. (I don't know whether the graders will accept this as a solution, though.) \| (\boxed{\text{For any integers } a, b, c, \text{ there exists a positive integer } n \text{ such that } \sqrt{n^3+an^2+bn+c} \text{ is not an integer.}}) \| (\boxed{\text{For any integers } a, b, c, \text{ there exists a positive integer } n \text{ such that } \sqrt{n^3+an^2+bn+c} \text{ is not an integer.}}) \| \| Let $S$ be the smallest set of positive integers such that \begin{enumerate} \| We claim that the positive integers not in $S$ are $1$ and all multiples of $5$. If $S$ consists of all other natural numbers, then $S$ satisfies the given conditions: note that the only perfect squares not in $S$ are $1$ and numbers of the form $(5k)^2$ for some positive integer $k$, and it readily follows that both (b) and (c) hold. Now suppose that $T$ is another set of positive integers satisfying (a), (b), and (c). Note from (b) and (c) that if $n \in T$ then $n+5 \in T$, and so $T$ satisfies the following property: \begin{itemize} \| {1 and all multiples of 5} \| (\boxed{1 \text{ and all multiples of 5}}) \| \| Let $Q_0(x) = 1$, $Q_1(x) = x$, and [ Q_n(x) = (Q_{n-1}(x))^2 - 1/Q_{n-2(x)} ] for all $n \geq 2$. Show that, whenever $n$ is a positive integer, $Q_n(x)$ is equal to a polynomial with integer coefficients. \| Define $P_n(x)$ for $P_0(x) = 1$, $P_1(x) = x$, and $P_n(x) = x P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)$. We claim that $P_n(x) = Q_n(x)$ for all $n \geq 0$; since $P_n(x)$ clearly is a polynomial with integer coefficients for all $n$, this will imply the desired result. Since ${P_n}$ and ${Q_n}$ are uniquely determined by their respective recurrence relations and the initial conditions $P_0,P_1$ or $Q_0,Q_1$, it suffices to check that ${P_n}$ satisfies the same recurrence as $Q$: that is, $(P_{n-1}(x))^2-P_n(x)P_{n-2}(x) = 1$ for all $n \geq 2$. Here is one proof of this: for $n \geq 1$, define the $2\times 2$ matrices [ M_n = \begin{pmatrix} P_{n-1}(x) & P_n (x) \ P_{n-2}(x) & P_{n-1}(x) \end{pmatrix}, \quad T = \begin{pmatrix} x & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} ] with $P_{-1}(x) = 0$ (this value being consistent with the recurrence). Then $\det(T) = 1$ and $T M_{n} = M_{n+1}$, so by induction on $n$ we have [ (P_{n-1}(x))^2-P_n(x)P_{n-2}(x) = \det(M_n) = \det(M_1) = 1. ] \noindent \textbf{Remark:} A similar argument shows that any second-order linear recurrent sequence also satisfies a quadratic second-order recurrence relation. A familiar example is the identity $F_{n-1} F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^{n}$ for $F_n$ the $n$-th Fibonacci number. More examples come from various classes of \emph{orthogonal polynomials}, including the Chebyshev polynomials mentioned below. \noindent \| (Q_n(x)) is a polynomial with integer coefficients for all \| (\boxed{Q_n(x) \text{ is a polynomial with integer coefficients for all } n \geq 0}) \| \| Let $a$ and $b$ be real numbers with $a 0$. Since $\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx = 0$, we have I_1-I_0 &= \int_a^b f(x)/g(x)(f(x)-g(x)) \, dx \ &= \int_a^b (f(x)-g(x))^2/g(x) \,dx > 0, where the inequality follows from the fact that the integrand is a nonnegative continuous function on $[a,b]$ that is not identically $0$. Now for $n \geq 0$, the Cauchy--Schwarz inequality gives I_n I_{n+2} &= \left( \int_a^b (f(x))^{n+1}/(g(x))^n\,dx \right) \left( \int_a^b (f(x))^{n+3}/(g(x))^{n+2}\,dx \right) \ &\geq \left(\int_a^b (f(x))^{n+2}/(g(x))^{n+1}\,dx \right)^2 = I_{n+1}^2. It follows that the sequence ${I_{n+1}/I_n}{n=0}^\infty$ is nondecreasing. Since $I_1/I_0>1$, this implies that $I{n+1}>I_n$ for all $n$; also, $I_n/I_0 = \prod_{k=0}^{n-1} (I_{k+1}/I_k) \geq (I_1/I_0)^n$, and so $\lim_{n\to\infty} I_n = \infty$ since $I_1/I_0>1$ and $I_0 > 0$. \noindent \textbf{Remark:} Noam Elkies suggests the following variant of the previous solution, which eliminates the need to separately check that $I_1 > I_0$. First, the proof that $I_n I_{n+2} \geq I_{n+1}^2$ applies also for $n=-1$ under the convention that $I_{-1} = \int_a^b g(x)\,dx$ (as in the fourth solution below). Second, this equality must be strict for each $n \geq -1$: otherwise, the equality condition in Cauchy--Schwarz would imply that $g(x) = c f(x)$ identically for some $c>0$, and the equality $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,dx$ would then force $c=1$, contrary to assumption. Consequently, the sequence $I_{n+1}/I_n$ is strictly increasing; since $I_0/I_{-1} = 1$, it follows that for $n \geq 0$, we again have $I_{n+1}/I_n \geq I_1/I_0 > 1$ and so on. \| (\boxed{I_1, I_2, I_3, \dots \text{ is an increasing sequence with } \lim_{n \to \infty} I_n = \infty}) \| (\boxed{I_1, I_2, I_3, \dots \text{ is an increasing sequence with } \lim_{n \to \infty} I_n = \infty}) \| \| A class with $2N$ students took a quiz, on which the possible scores were $0,1,\dots,10$. Each of these scores occurred at least once, and the average score was exactly $7.4$. Show that the class can be divided into two groups of $N$ students in such a way that the average score for each group was exactly $7.4$. \| Let $a_1,\dots,a_{2N}$ be the scores in nondecreasing order, and define the sums $s_i = \sum_{j=i+1}^{i+N} a_j$ for $i=0,\dots,N$. Then $s_0 \leq \cdots \leq s_{N}$ and $s_0 + s_{N} = \sum_{j=1}^{2N} a_j = 7.4(2N)$, so $s_0 \leq 7.4N \leq s_N$. Let $i$ be the largest index for which $s_i \leq 7.4N$; note that we cannot have $i = N$, as otherwise $s_0 = s_N = 7.4N$ and hence $a_1 = \cdots = a_{2N} = 7.4$, contradiction. Then $7.4N - s_i < s_{i+1} - s_i = a_{i+N+1} - a_i$ and so [ a_i < s_i + a_{i+N+1} - 7.4N \leq a_{i+N+1}; ] since all possible scores occur, this means that we can find $N$ scores with sum $7.4N$ by taking $a_{i+1}, \dots, a_{i+N+1}$ and omitting one occurrence of the value $s_i + a_{i+N+1} - 7.4N$. \noindent \textbf{Remark:} David Savitt (via Art of Problem Solving) points out that a similar argument applies provided that there are an even number of students, the total score is even, and the achieved scores form a block of consecutive integers. \noindent \| The class can be divided into two groups of $N$ students in such a way that the average score for each group is exactly $7.4$. \| (\boxed{\text{The class can be divided into two groups of } N \text{ students in such a way that the average score for each group is exactly } 7.4.}) \| \| Each of the integers from $1$ to $n$ is written on a separate card, and then the cards are combined into a deck and shuffled. Three players, $A$, $B$, and $C$, take turns in the order $A,B,C,A,\dots$ choosing one card at random from the deck. (Each card in the deck is equally likely to be chosen.) After a card is chosen, that card and all higher-numbered cards are removed from the deck, and the remaining cards are reshuffled before the next turn. Play continues until one of the three players wins the game by drawing the card numbered $1$. Show that for each of the three players, there are arbitrarily large values of $n$ for which that player has the highest probability among the three players of winning the game. \| Let $a_n, b_n, c_n$ be the probabilities that players $A$, $B$, $C$, respectively, will win the game. We compute these by induction on $n$, starting with the values [ a_1 = 1, \qquad b_1 = 0, \qquad c_1 = 0. ] If player $A$ draws card $k$, then the resulting game state is that of a deck of $k-1$ cards with the players taking turns in the order $B,C,A,B,\dots$. In this state, the probabilities that players $A, B, C$ will win are $c_{k-1}, a_{k-1}, b_{k-1}$ provided that we adopt the convention that [ a_0 = 0, \qquad b_0 = 0, \qquad c_0 = 1. ] We thus have [ a_n = 1/n \sum_{k=1}^{n} c_{k-1}, \quad b_n = 1/n \sum_{k=1}^{n} a_{k-1}, \quad c_n = 1/n \sum_{k=1}^{n} b_{k-1}. ] Put [ x_n = a_n - b_n, \quad y_n = b_n - c_n, \quad z_n = c_n - a_n; ] we then have x_{n+1} &= n/n+1 x_n + 1/n+1z_n, \ y_{n+1} &= n/n+1 y_n + 1/n+1x_n, \ z_{n+1} &= n/n+1 z_n + 1/n+1y_n. Note that if $a_{n+1} = b_{n+1} = c_{n+1} = 0$, then [ x_n = -nz_n = n^2y_n = -n^3x_n = n^4z_n ] and so $x_n = z_n = 0$, or in other words $a_n = b_n = c_n$. By induction on $n$, we deduce that $a_n, b_n, c_n$ cannot all be equal. That is, the quantities $x_n, y_n, z_n$ add up to zero and at most one of them vanishes; consequently, the quantity $r_n = \sqrt{x_n^2 + y_n^2 + z_n^2}$ is always positive and the quantities [ x'n = x_n/r_n, \quad y'_n = y_n/r_n, \quad z'_n = z_n/r_n ] form the coordinates of a point $P_n$ on a fixed circle $C$ in $\mathbb{R}^3$. Let $P'_n$ be the point $(z_n, x_n, y_n)$ obtained from $P_n$ by a clockwise rotation of angle $2\pi/3$. The point $P{n+1}$ then lies on the ray through the origin passing through the point dividing the chord from $P_n$ to $P'n$ in the ratio $1:n$. The (clockwise) arc from $P_n$ to $P{n+1}$ therefore has a measure of [ \arctan \sqrt{3}/2n-1 = \sqrt{3}/2n-1 + O(n^{-3}); ] these measures form a null sequence whose sum diverges. It follows that any arc of $C$ contains infinitely many of the $P_n$; taking a suitably short arc around the point $(\sqrt{2}/2, 0, -\sqrt{2}/2)$, we deduce that for infinitely many $n$, $A$ has the highest winning probability, and similarly for $B$ and $C$. \noindent \textbf{Remark:} From the previous analysis, we also deduce that [ r_{n+1}/r_n = \sqrt{n^2-n+1}/n+1 = 1 - 3/2(n+1) + O(n^{-2}), ] from which it follows that $r_n \sim c n^{-3/2}$ for some $c>0$. \noindent \| For each of the three players, there are arbitrarily large values of \| (\boxed{\text{For each of the three players, there are arbitrarily large values of } n \text{ for which that player has the highest probability among the three players of winning the game.}}) \| \| The 30 edges of a regular icosahedron are distinguished by labeling them $1,2,\dots,30$. How many different ways are there to paint each edge red, white, or blue such that each of the 20 triangular faces of the icosahedron has two edges of the same color and a third edge of a different color? [Note: the top matter on each exam paper included the logo of the Mathematical Association of America, which is itself an icosahedron.] \| The number of such colorings is $2^{20} 3^{10} = 61917364224$. \noindent \textbf{First solution:} Identify the three colors red, white, and blue with (in some order) the elements of the field $\mathbb{F}3$ of three elements (i.e., the ring of integers mod 3). The set of colorings may then be identified with the $\mathbb{F}_3$-vector space $\mathbb{F}_3^E$ generated by the set $E$ of edges. Let $F$ be the set of faces, and let $\mathbb{F}_3^F$ be the $\mathbb{F}_3$-vector space on the basis $F$; we may then define a linear transformation $T: \mathbb{F}_3^E \to \mathbb{F}_3^F$ taking a coloring to the vector whose component corresponding to a given face equals the sum of the three edges of that face. The colorings we wish to count are the ones whose images under $T$ consist of vectors with no zero components. We now show that $T$ is surjective. (There are many possible approaches to this step; for instance, see the following remark.) Let $\Gamma$ be the dual graph of the icosahedron, that is, $\Gamma$ has vertex set $F$ and two elements of $F$ are adjacent in $\Gamma$ if they share an edge in the icosahedron. The graph $\Gamma$ admits a hamiltonian path, that is, there exists an ordering $f_1,\dots,f{20}$ of the faces such that any two consecutive faces are adjacent in $\Gamma$. For example, such an ordering can be constructed with $f_1,\dots,f_5$ being the five faces sharing a vertex of the icosahedron and $f_{16},\dots,f_{20}$ being the five faces sharing the antipodal vertex. For $i=1,\dots,19$, let $e_i$ be the common edge of $f_i$ and $f_{i+1}$; these are obviously all distinct. By prescribing components for $e_1,\dots,e_{19}$ in turn and setting the others to zero, we can construct an element of $\mathbb{F}3^E$ whose image under $T$ matches any given vector of $\mathbb{F}_3^F$ in the components of $f_1,\dots,f{19}$. The vectors in $\mathbb{F}3^F$ obtained in this way thus form a 19-dimensional subspace; this subspace may also be described as the vectors for which the components of $f_1,\dots,f{19}$ have the same sum as the components of $f_{2},\dots,f_{20}$. By performing a mirror reflection, we can construct a second hamiltonian path $g_1,\dots,g_{20}$ with the property that [ g_1 = f_1, g_2 = f_5, g_3 = f_4, g_4 = f_3, g_5 = f_2. ] Repeating the previous construction, we obtain a \emph{different} 19-dimensional subspace of $\mathbb{F}3^F$ which is contained in the image of $T$. This implies that $T$ is surjective, as asserted earlier. Since $T$ is a surjective homomorphism from a 30-dimensional vector space to a 20-dimensional vector space, it has a 10-dimensional kernel. Each of the $2^{20}$ elements of $\mathbb{F}_3^F$ with no zero components is then the image of exactly $3^{10}$ colorings of the desired form, yielding the result. \noindent \textbf{Remark:} There are many ways to check that $T$ is surjective. One of the simplest is the following (from Art of Problem Solving, user \texttt{Ravi12346}): form a vector in $\mathbb{F}^E$ with components $2,1,2,1,2$ at the five edges around some vertex and all other components 0. This maps to a vector in $\mathbb{F}^F$ with only a single nonzero component; by symmetry, every standard basis vector of $\mathbb{F}^F$ arises in this way. \noindent \textbf{Second solution:} (from Bill Huang, via Art of Problem Solving user \texttt{superpi83}) Let $v$ and $w$ be two antipodal vertices of the icosahedron. Let $S_v$ (resp.\ $S_w$) be the set of five edges incident to $v$ (resp.\ $w$). Let $T_v$ (resp.\ $T_w$) be the set of five edges of the pentagon formed by the opposite endpoints of the five edges in $S_v$ (resp. $S_w$). Let $U$ be the set of the ten remaining edges of the icosahedron. Consider any one of the $3^{10}$ possible colorings of $U$. The edges of $T_v \cup U$ form the boundaries of five faces with no edges in common; thus each edge of $T_v$ can be colored in one of two ways consistent with the given condition, and similarly for $T_w$. That is, there are $3^{10} 2^{10}$ possible colorings of $T_v \cup T_w \cup U$ consistent with the given condition. To complete the count, it suffices to check that there are exactly $2^5$ ways to color $S_v$ consistent with any given coloring of $T_v$. Using the linear-algebraic interpretation from the first solution, this follows by observing that (by the previous remark) the map from $\mathbb{F}_3^{S_v}$ to the $\mathbb{F}_3$-vector space on the faces incident to $v$ is surjective, and hence an isomorphism for dimensional reasons. A direct combinatorial proof is also possible. \| 61917364224 \| (\boxed{61917364224}) \| \| Let $L_1$ and $L_2$ be distinct lines in the plane. Prove that $L_1$ and $L_2$ intersect if and only if, for every real number $\lambda\neq 0$ and every point $P$ not on $L_1$ or $L_2$, there exist points $A_1$ on $L_1$ and $A_2$ on $L_2$ such that $\overrightarrow{PA_2} = \lambda \overrightarrow{PA_1}$. \| Recall that $L_1$ and $L_2$ intersect if and only if they are not parallel. In one direction, suppose that $L_1$ and $L_2$ intersect. Then for any $P$ and $\lambda$, the dilation (homothety) of the plane by a factor of $\lambda$ with center $P$ carries $L_1$ to another line parallel to $L_1$ and hence not parallel to $L_2$. Let $A_2$ be the unique intersection of $L_2$ with the image of $L_1$, and let $A_1$ be the point on $L_1$ whose image under the dilation is $A_2$; then $\overrightarrow{PA_2} = \lambda \overrightarrow{PA_1}$. In the other direction, suppose that $L_1$ and $L_2$ are parallel. Let $P$ be any point in the region between $L_1$ and $L_2$ and take $\lambda = 1$. Then for any point $A_1$ on $L_1$ and any point $A_2$ on $L_2$, the vectors $\overrightarrow{PA_1}$ and $\overrightarrow{PA_2}$ have components perpendicular to $L_1$ pointing in opposite directions; in particular, the two vectors cannot be equal. \noindent \textbf{Reinterpretation:} (by Karl Mahlburg) In terms of vectors, we may find vectors $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ and scalars $c_1, c_2$ such that $L_i = {\vec{x} \in \mathbb{R}^2: \vec{v}_i \cdot \vec{x} = c_i}$. The condition in the problem amounts to finding a vector $\vec{w}$ and a scalar $t$ such that $P + \vec{w} \in L_1, P + \lambda w \in L_2$; this comes down to solving the linear system \vec{v}_1 \cdot (P + \vec{w}) &= c_1 \ \vec{v}_2 \cdot (P + \lambda \vec{w}) &= c_2 which is nondegenerate and solvable for all $\lambda$ if and only if $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ are linearly independent. \| $L_1$ and $L_2$ intersect if and only if, for every real number $\lambda \neq 0$ and every point $P$ not on $L_1$ or $L_2$, there exist points $A_1$ on $L_1$ and $A_2$ on $L_2$ such that $\overrightarrow{PA_2} = \lambda \overrightarrow{PA_1}$. \| (\boxed{L_1 \text{ and } L_2 \text{ intersect if and only if, for every real number } \lambda \neq 0 \text{ and every point } P \text{ not on } L_1 \text{ or } L_2, \text{ there exist points } A_1 \text{ on } L_1 \text{ and } A_2 \text{ on } L_2 \text{ such that } \overrightarrow{PA_2} = \lambda \overrightarrow{PA_1}.}) \| \| Suppose that a positive integer $N$ can be expressed as the sum of $k$ consecutive positive integers [ N = a + (a+1) +(a+2) + \cdots + (a+k-1) ] for $k=2017$ but for no other values of $k>1$. Considering all positive integers $N$ with this property, what is the smallest positive integer $a$ that occurs in any of these expressions? \| We prove that the smallest value of $a$ is 16. Note that the expression for $N$ can be rewritten as $k(2a+k-1)/2$, so that $2N = k(2a+k-1)$. In this expression, $k>1$ by requirement; $k < 2a+k-1$ because $a>1$; and obviously $k$ and $2a+k-1$ have opposite parity. Conversely, for any factorization $2N = mn$ with $1<m<n$ and $m,n$ of opposite parity, we obtain an expression of $N$ in the desired form by taking $k = m$, $a = (n+1-m)/2$. We now note that $2017$ is prime. (On the exam, solvers would have had to verify this by hand. Since $2017 < 45^2$, this can be done by trial division by the primes up to 43.) For $2N = 2017(2a+2016)$ not to have another expression of the specified form, it must be the case that $2a+2016$ has no odd divisor greater than 1; that is, $2a+2016$ must be a power of 2. This first occurs for $2a+2016=2048$, yielding the claimed result. \textbf{Reinterpretation:} (by Karl Mahlburg) To avoid $N$ having another representation, for $k = 2, \dots, 2016$, we must have [ N \not\equiv \begin{cases} k/2 & k \equiv 0 \pmod{2} \ 0 & k \equiv 1 \pmod{2}. \end{cases} ] Consequently, $N \not\equiv 0 \pmod{p}$ for any odd prime $p<2017$ and $N \equiv 0 \pmod{1024}$. Since $N$ must be divisible by 2017, this again yields the claimed value of $a$. \| 16 \| (\boxed{16}) \| \| Suppose that $f(x) = \sum{i=0}^\infty c_i x^i$ is a power series for which each coefficient $c_i$ is $0$ or $1$. Show that if $f(2/3) = 3/2$, then $f(1/2)$ must be irrational. \| Suppose by way of contradiction that $f(1/2)$ is rational. Then $\sum_{i=0}^{\infty} c_i 2^{-i}$ is the binary expansion of a rational number, and hence must be eventually periodic; that is, there exist some integers $m,n$ such that $c_i = c_{m+i}$ for all $i \geq n$. We may then write [ f(x) = \sum_{i=0}^{n-1} c_i x^i + x^n/1-x^m \sum_{i=0}^{m-1} c_{n+i} x^i. ] Evaluating at $x = 2/3$, we may equate $f(2/3) = 3/2$ with [ 1/3^{n-1} \sum_{i=0}^{n-1} c_i 2^i 3^{n-i-1} + 2^n 3^m/3^{n+m-1(3^m-2^m)} \sum_{i=0}^{m-1} c_{n+i} 2^i 3^{m-1-i}; ] since all terms on the right-hand side have odd denominator, the same must be true of the sum, a contradiction. \noindent \textbf{Remark:} Greg Marks asks whether the assumption that $f(2/3)=3/2$ further ensures that $f(1/2)$ is transcendental. We do not know of any existing results that would imply this. However, the following result follows from a theorem of T. Tanaka (Algebraic independence of the values of power series generated by linear recurrences, \textit{Acta Arith.} \textbf{74} (1996), 177--190), building upon work of Mahler. Let ${a_n}{n=0}^\infty$ be a linear recurrent sequence of positive integers with characteristic polynomial $P$. Suppose that $P(0), P(1), P(-1) \neq 0$ and that no two distinct roots of $P$ have ratio which is a root of unity. Then for $f(x) = \sum{n=0}^\infty x^{a_n}$, the values $f(1/2)$ and $f(2/3)$ are algebraically independent over $\QQ$. (Note that for $f$ as in the original problem, the condition on ratios of roots of $P$ fails.) \| $f(1/2)$ must be irrational \| (\boxed{f(1/2) \text{ must be irrational}}) \| \| Evaluate the sum \begin{gather} \sum_{k=0}^\infty \left( 3 \cdot \ln(4k+2)/4k+2 - \ln(4k+3)/4k+3 - \ln(4k+4)/4k+4 - \ln(4k+5)/4k+5 \right) \ = 3 \cdot \ln 2/2 - \ln 3/3 - \ln 4/4 - \ln 5/5 + 3 \cdot \ln 6/6 - \ln 7/7 \ - \ln 8/8 - \ln 9/9 + 3 \cdot \ln 10/10 - \cdots . \end{gather} (As usual, $\ln x$ denotes the natural logarithm of $x$.) \| Define $a_k = \log k/k - \log(k+1)/k+1$. The infinite sum $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converges to $0$ since $\sum_{k=1}^n a_k$ telescopes to $-\log(n+1)/n+1$ and this converges to $0$ as $n\to\infty$. Note that $a_k > 0$ for $k \geq 3$ since $\log x/x$ is a decreasing function of $x$ for $x>e$, and so the convergence of $\sum_{k=1}^\infty a_k$ is absolute. Write $S$ for the desired sum. Then since $3a_{4k+2}+2a_{4k+3}+a_{4k+4} = (a_{4k+2}+a_{4k+4})+2(a_{4k+2}+a_{4k+3})$, we have S &= \sum_{k=0}^\infty (3a_{4k+2}+2a_{4k+3}+a_{4k+4}) \ &= \sum_{k=1}^\infty a_{2k}+\sum_{k=0}^\infty 2(a_{4k+2}+a_{4k+3}), where we are allowed to rearrange the terms in the infinite sum since $\sum a_k$ converges absolutely. Now $2(a_{4k+2}+a_{4k+3}) = \log(4k+2)/2k+1-\log(4k+4)/2k+2 = a_{2k+1}+(\log 2)(1/2k+1-1/2k+2)$, and summing over $k$ gives \sum_{k=0}^\infty 2(a_{4k+2}+a_{4k+3}) &= \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} + (\log 2) \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}/k\ &= \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} +(\log 2)^2. Finally, we have S &= \sum_{k=1}^\infty a_{2k} + \sum_{k=0}^\infty a_{2k+1} +(\log 2)^2 \ &= \sum_{k=1}^\infty a_k +(\log 2)^2 = (\log 2)^2. \noindent \| ((\log 2)^2) \| (\boxed{(\log 2)^2}) \| \| A line in the plane of a triangle $T$ is called an \emph{equalizer} if it divides $T$ into two regions having equal area and equal perimeter. Find positive integers $a>b>c$, with $a$ as small as possible, such that there exists a triangle with side lengths $a, b, c$ that has exactly two distinct equalizers. \| The desired integers are $(a,b,c) = (9,8,7)$. Suppose we have a triangle $T = \triangle ABC$ with $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ and $a>b>c$. Say that a line is an \textit{area equalizer} if it divides $T$ into two regions of equal area. A line intersecting $T$ must intersect two of the three sides of $T$. First consider a line intersecting the segments $AB$ at $X$ and $BC$ at $Y$, and let $BX=x$, $BY=y$. This line is an area equalizer if and only if $xy\sin B = 2\operatorname{area}(\triangle XBY) = \operatorname{area}(\triangle ABC) = 1/2ac\sin B$, that is, $2xy=ac$. Since $x \leq c$ and $y \leq a$, the area equalizers correspond to values of $x,y$ with $xy=ac/2$ and $x \in [c/2,c]$. Such an area equalizer is also an equalizer if and only if $p/2=x+y$, where $p=a+b+c$ is the perimeter of $T$. If we write $f(x) = x+ac/(2x)$, then we want to solve $f(x) = p/2$ for $x \in [c/2,c]$. Now note that $f$ is convex, $f(c/2) = a+c/2 > p/2$, and $f(c) = a/2+c < p/2$; it follows that there is exactly one solution to $f(x)=p/2$ in $[c/2,c]$. Similarly, for equalizers intersecting $T$ on the sides $AB$ and $AC$, we want to solve $g(x) = p/2$ where $g(x) = x+bc/(2x)$ and $x \in [c/2,c]$; since $g$ is convex and $g(c/2)<p/2$, $g(c) < p/2$, there are no such solutions. It follows that if $T$ has exactly two equalizers, then it must have exactly one equalizer intersecting $T$ on the sides $AC$ and $BC$. Here we want to solve $h(x) = p/2$ where $h(x) = x+ab/(2x)$ and $x \in [a/2,a]$. Now $h$ is convex and $h(a/2) > p/2$, $h(a) > p/2$; thus $h(x) = p/2$ has exactly one solution $x \in [a/2,a]$ if and only if there is $x_0 \in [a/2,a]$ with $h'(x_0) = 0$ and $h(x_0) = p/2$. The first condition implies $x_0 = \sqrt{ab/2}$, and then the second condition gives $8ab = p^2$. Note that $\sqrt{ab/2}$ is in $[a/2,a]$ since $a>b$ and $a<b+c<2b$. We conclude that $T$ has two equalizers if and only if $8ab=(a+b+c)^2$. Note that $(a,b,c) = (9,8,7)$ works. We claim that this is the only possibility when $a>b>c$ are integers and $a \leq 9$. Indeed, the only integers $(a,b)$ such that $2 \leq b < a \leq 9$ and $8ab$ is a perfect square are $(a,b) = (4,2)$, $(6,3)$, $(8,4)$, $(9,2)$, and $(9,8)$, and the first four possibilities do not produce triangles since they do not satisfy $a<2b$. This gives the claimed result. \| (9,8,7) \| (\boxed{(9,8,7)}) \| \| Find the number of ordered $64$-tuples $(x_0,x_1,\dots,x_{63})$ such that $x_0,x_1,\dots,x_{63}$ are distinct elements of ${1,2,\dots,2017}$ and [ x_0 + x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \cdots + 63 x_{63} ] is divisible by 2017. \| The desired count is $2016!/1953!- 63! \cdot 2016$, which we compute using the principle of inclusion-exclusion. As in A2, we use the fact that 2017 is prime; this means that we can do linear algebra over the field $\mathbb{F}{2017}$. In particular, every nonzero homogeneous linear equation in $n$ variables over $\mathbb{F}{2017}$ has exactly $2017^{n-1}$ solutions. For $\pi$ a partition of ${0,\dots,63}$, let $\|\pi\|$ denote the number of distinct parts of $\pi$, Let $\pi_0$ denote the partition of ${0,\dots,63}$ into 64 singleton parts. Let $\pi_1$ denote the partition of ${0,\dots,63}$ into one 64-element part. For $\pi, \sigma$ two partitions of ${0,\dots,63}$, write $\pi \| \sigma$ if $\pi$ is a refinement of $\sigma$ (that is, every part in $\sigma$ is a union of parts in $\pi$). By induction on $\|\pi\|$, we may construct a collection of integers $\mu_\pi$, one for each $\pi$, with the properties that [ \sum_{\pi \| \sigma} \mu_\pi = \begin{cases} 1 & \sigma = \pi_0 \ 0 & \sigma \neq \pi_0 \end{cases}. ] Define the sequence $c_0, \dots, c_{63}$ by setting $c_0 = 1$ and $c_i = i$ for $i>1$. Let $N_\pi$ be the number of ordered 64-tuples $(x_0,\dots,x_{63})$ of elements of $\mathbb{F}{2017}$ such that $x_i = x_j$ whenever $i$ and $j$ belong to the same part and $\sum{i=0}^{63} c_i x_i$ is divisible by 2017. Then $N_\pi$ equals $2017^{\|\pi\|-1}$ unless for each part $S$ of $\pi$, the sum $\sum_{i \in S} c_i$ vanishes; in that case, $N_\pi$ instead equals $2017^{\|\pi\|}$. Since $c_0, \dots, c_{63}$ are positive integers which sum to $1 + 63 \cdot 64/2 = 2017$, the second outcome only occurs for $\pi = \pi_1$. By inclusion-exclusion, the desired count may be written as [ \sum_{\pi} \mu_\pi N_\pi = 2016 \cdot \mu_{\pi_1} + \sum_{\pi} \mu_\pi 2017^{\|\pi\|-1}. ] Similarly, the number of ordered 64-tuples with no repeated elements may be written as [ 64! \binom{2017}{64} = \sum_{\pi} \mu_\pi 2017^{\|\pi\|}. ] The desired quantity may thus be written as $2016!/1953! + 2016 \mu_{\pi_1}$. It remains to compute $\mu_{\pi_1}$. We adopt an approach suggested by David Savitt: apply inclusion-exclusion to count distinct 64-tuples in an \emph{arbitrary} set $A$. As above, this yields [ \|A\|(\|A\|-1) \cdots (\|A\|-63) = \sum_{\pi} \mu_\pi \|A\|^{\|\pi\|}. ] Viewing both sides as polynomials in $\|A\|$ and comparing coefficients in degree 1 yields $\mu_\pi = -63!$ and thus the claimed answer. \noindent \| 2016!/1953! - 63! \cdot 2016 \| (\boxed{2016!/1953! - 63! \cdot 2016}) \| \| Let $A$ be a positive real number. What are the possible values of $\sum_{j=0}^\infty x_j^2$, given that $x_0,x_1,\ldots$ are positive numbers for which $\sum_{j=0}^\infty x_j=A$? \| The possible values comprise the interval $(0, A^2)$. To see that the values must lie in this interval, note that [ \left(\sum_{j=0}^m x_j\right)^2 = \sum_{j=0}^m x_j^2 + \sum_{0\leq j<k\leq m} 2x_jx_k, ] so $\sum_{j=0}^m x_j^2 \leq A^2 - 2x_0x_1$. Letting $m \to \infty$, we have $\sum_{j=0}^\infty x_j^2 \leq A^2-2x_0x_1 < A^2$. To show that all values in $(0, A^2)$ can be obtained, we use geometric progressions with $x_1/x_0 = x_2/x_1 = \cdots = d$ for variable $d$. Then $\sum_{j=0}^\infty x_j = x_0/(1-d)$ and [ \sum_{j=0}^\infty x_j^2 = x_0^2/1-d^2 = 1-d/1+d \left( \sum_{j=0}^\infty x_j \right)^2. ] As $d$ increases from 0 to 1, $(1-d)/(1+d)$ decreases from 1 to 0. Thus if we take geometric progressions with $\sum_{j=0}^\infty x_j = A$, $\sum_{j=0}^\infty x_j^2$ ranges from 0 to $A^2$. Thus the possible values are indeed those in the interval $(0, A^2)$, as claimed. \| (0, A^2) \| (\boxed{(0, A^2)}) \| \| Prove that there exist infinitely many integers $n$ such that $n,n+1,n+2$ are each the sum of the squares of two integers. [Example: $0=0^2+0^2$, $1=0^2+1^2$, $2=1^2+1^2$.] \| First solution: Let $a$ be an even integer such that $a^2+1$ is not prime. (For example, choose $a \equiv 2 \pmod{5}$, so that $a^2+1$ is divisible by 5.) Then we can write $a^2+1$ as a difference of squares $x^2-b^2$, by factoring $a^2+1$ as $rs$ with $r \geq s > 1$, and setting $x = (r+s)/2$, $b = (r-s)/2$. Finally, put $n=x^2-1$, so that $n=a^2+b^2$, $n+1 = x^2$, $n+2 = x^2+1$. Second solution: It is well-known that the equation $x^2-2y^2=1$ has infinitely many solutions (the so-called Pell'' equation). Thus setting $n=2y^2$ (so that $n=y^2+y^2$, $n+1=x^2+0^2$, $n+2=x^2+1^2$) yields infinitely many $n$ with the desired property. Third solution: As in the first solution, it suffices to exhibit $x$ such that $x^2-1$ is the sum of two squares. We will take $x=3^{2^n}$, and show that $x^2-1$ is the sum of two squares by induction on $n$: if $3^{2^n}-1 = a^2+b^2$, then (3^{2^{n+1}}-1) &= (3^{2^n} - 1)(3^{2^n}+1) \\ &= (3^{2^{n-1}}a+b)^2 + (a-3^{2^{n-1}}b)^2. Fourth solution (by Jonathan Weinstein): Let $n=4k^4+4k^2=(2k^2)^2+(2k)^2$ for any integer $k$. Then $n+1=(2k^2+1)^2+0^2$ and $n+2=(2k^2+1)^2+1^2$. \| $\boxed{4k^4+4k^2}$ \| $\boxed{4k^4+4k^2}$ \| \| The octagon $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$ is inscribed in a circle, with the vertices around the circumference in the given order. Given that the polygon $P_1P_3P_5P_7$ is a square of area 5, and the polygon $P_2P_4P_6P_8$ is a rectangle of area 4, find the maximum possible area of the octagon. \| The maximum area is $3 \sqrt{5}$. We deduce from the area of $P_1P_3P_5P_7$ that the radius of the circle is $\sqrt{5/2}$. An easy calculation using the Pythagorean Theorem then shows that the rectangle $P_2P_4P_6P_8$ has sides $\sqrt{2}$ and $2\sqrt{2}$. For notational ease, denote the area of a polygon by putting brackets around the name of the polygon. By symmetry, the area of the octagon can be expressed as \[ [P_2P_4P_6P_8] + 2[P_2P_3P_4] + 2[P_4P_5P_6]. \] Note that $[P_2P_3P_4]$ is $\sqrt{2}$ times the distance from $P_3$ to $P_2P_4$, which is maximized when $P_3$ lies on the midpoint of arc $P_2P_4$; similarly, $[P_4P_5P_6]$ is $\sqrt{2}/2$ times the distance from $P_5$ to $P_4P_6$, which is maximized when $P_5$ lies on the midpoint of arc $P_4P_6$. Thus the area of the octagon is maximized when $P_3$ is the midpoint of arc $P_2P_4$ and $P_5$ is the midpoint of arc $P_4P_6$. In this case, it is easy to calculate that $[P_2P_3P_4] = \sqrt{5}-1$ and $[P_4P_5P_6] = \sqrt{5}/2-1$, and so the area of the octagon is $3\sqrt{5}$. \| 3\sqrt{5} \| $\boxed{3\sqrt{5}}$ \| \| Show that the improper integral \[ \lim_{B\to\infty}\int_{0}^B \sin(x) \sin(x^2)\,dx\] converges. \| To avoid some improper integrals at 0, we may as well replace the left endpoint of integration by some $\epsilon > 0$. We now use integration by parts: \int_\epsilon^B \sin x \sin x^2\,dx &= \int_\epsilon^B \sin x/2x \sin x^2 (2x\,dx) \\ &= \left. -\sin x/2x \cos x^2 \right\|_\epsilon^B \\ &\mbox{} + \int_\epsilon^B \left( \cos x/2x - \sin x/2x^2 \right) \cos x^2\,dx. Now $\sin x/2x \cos x^2$ tends to 0 as $B \to \infty$, and the integral of $\sin x/2x^2 \cos x^2$ converges absolutely by comparison with $1/x^2$. Thus it suffices to note that \int_\epsilon^B \cos x/2x \cos x^2\,dx &= \int_\epsilon^B \cos x/4x^2 \cos x^2(2x\,dx) \\ &= \left. \cos x/4x^2 \sin x^2 \right\|_\epsilon^B \\ &\mbox{} - \int_\epsilon^B 2x\cos x - \sin x/4x^3 \sin x^2\,dx, and that the final integral converges absolutely by comparison to $1/x^3$. An alternate approach is to first rewrite $\sin x \sin x^2$ as $1/2(\cos (x^2-x) - \cos (x^2+x))$. Then \int_\epsilon^B \cos(x^2+x)\,dx &= - \left. \sin (x^2+x)/2x+1 \right\|_\epsilon^B \\ &\mbox{} - \int_\epsilon^B 2\sin(x^2+x)/(2x+1)^2\,dx converges absolutely, and $\int_0^B \cos (x^2-x)$ can be treated similarly. \| The improper integral converges. \| $\boxed{\text{The improper integral converges.}}$ \| \| Three distinct points with integer coordinates lie in the plane on a circle of radius $r>0$. Show that two of these points are separated by a distance of at least $r^{1/3}$. \| Let $a,b,c$ be the distances between the points. Then the area of the triangle with the three points as vertices is $abc/4r$. On the other hand, the area of a triangle whose vertices have integer coordinates is at least 1/2 (for example, by Pick's Theorem). Thus $abc/4r \geq 1/2$, and so \[ \max\{a,b,c\} \geq (abc)^{1/3} \geq (2r)^{1/3} > r^{1/3}. \] \| $\max\{a,b,c\} \geq r^{1/3}$ \| $\boxed{\max\{a,b,c\} \geq r^{1/3}}$ \| \| Let $f(x)$ be a polynomial with integer coefficients. Define a sequence $a_0,a_1,\ldots$ of integers such that $a_0=0$ and $a_{n+1}=f(a_n)$ for all $n\geq 0$. Prove that if there exists a positive integer $m$ for which $a_m=0$ then either $a_1=0$ or $a_2=0$. \| Recall that if $f(x)$ is a polynomial with integer coefficients, then $m-n$ divides $f(m)-f(n)$ for any integers $m$ and $n$. In particular, if we put $b_n = a_{n+1} - a_n$, then $b_n$ divides $b_{n+1}$ for all $n$. On the other hand, we are given that $a_0=a_m=0$, which implies that $a_1=a_{m+1}$ and so $b_0=b_m$. If $b_0=0$, then $a_0=a_1=\cdots=a_m$ and we are done. Otherwise, $\|b_0\| = \|b_1\| = \|b_2\| = \cdots$, so $b_n = \pm b_0$ for all $n$. Now $b_0 + \cdots + b_{m-1} = a_m - a_0 = 0$, so half of the integers $b_0, \dots, b_{m-1}$ are positive and half are negative. In particular, there exists an integer $0<k<m$ such that $b_{k-1} = -b_k$, which is to say, $a_{k-1} = a_{k+1}$. From this it follows that $a_n = a_{n+2}$ for all $n \geq k-1$; in particular, for $m=n$, we have \[ a_0 = a_m = a_{m+2} = f(f(a_0)) = a_2. \] \| $a_2 = 0$ \| $\boxed{a_2 = 0}$ \| \| Let $a_j,b_j,c_j$ be integers for $1\leq j\leq N$. Assume for each $j$, at least one of $a_j,b_j,c_j$ is odd. Show that there exist integers $r$, $s$, $t$ such that $ra_j+sb_j+tc_j$ is odd for at least $4N/7$ values of $j$, $1\leq j\leq N$. \| Consider the seven triples $(a,b,c)$ with $a,b,c \in \{0,1\}$ not all zero. Notice that if $r_j, s_j, t_j$ are not all even, then four of the sums $ar_j + bs_j + ct_j$ with $a,b,c \in \{0,1\}$ are even and four are odd. Of course the sum with $a=b=c=0$ is even, so at least four of the seven triples with $a,b,c$ not all zero yield an odd sum. In other words, at least $4N$ of the tuples $(a,b,c,j)$ yield odd sums. By the pigeonhole principle, there is a triple $(a,b,c)$ for which at least $4N/7$ of the sums are odd. \| $\boxed{4N/7}$ \| $\boxed{4N/7}$ \| \| Prove that the expression \[ gcd(m,n)/n\binom{n}{m} \] is an integer for all pairs of integers $n\geq m\geq 1$. \| Since $\gcd(m,n)$ is an integer linear combination of $m$ and $n$, it follows that \[gcd(m,n)/n\binom{n}{m}\] is an integer linear combination of the integers \[m/n\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1} \mbox{ and } n/n\binom{n}{m}=\binom{n}{m} \] and hence is itself an integer. \| $\gcd(m,n)/n\binom{n}{m}$ is an integer. \| $\boxed{\gcd(m,n)/n\binom{n}{m} \text{ is an integer.}}$ \| \| Let $f(t)=\sum_{j=1}^N a_j \sin(2\pi jt)$, where each $a_j$ is real and $a_N$ is not equal to 0. Let $N_k$ denote the number of zeroes (including multiplicities) of $d^k f/dt^k$. Prove that \[N_0\leq N_1\leq N_2\leq \cdots \mbox{ and } \lim_{k\to\infty} N_k = 2N.\] [Editorial clarification: only zeroes in $[0, 1)$ should be counted.] \| Put $f_k(t) = df^k/dt^k$. Recall Rolle's theorem: if $f(t)$ is differentiable, then between any two zeroes of $f(t)$ there exists a zero of $f'(t)$. This also applies when the zeroes are not all distinct: if $f$ has a zero of multiplicity $m$ at $t=x$, then $f'$ has a zero of multiplicity at least $m-1$ there. Therefore, if $0 \leq a_0 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_r < 1$ are the roots of $f_k$ in $[0,1)$, then $f_{k+1}$ has a root in each of the intervals $(a_0, a_1), (a_1, a_2), \dots, (a_{r-1}, a_r)$, so long as we adopt the convention that the empty interval $(t,t)$ actually contains the point $t$ itself. There is also a root in thewraparound'' interval $(a_r, a_0)$. Thus $N_{k+1} \geq N_k$. Next, note that if we set $z = e^{2\pi i t}$; then [ f_{4k}(t) = 1/2i \sum_{j=1}^N j^{4k} a_j (z^j - z^{-j}) ] is equal to $z^{-N}$ times a polynomial of degree $2N$. Hence as a function of $z$, it has at most $2N$ roots; therefore $f_k(t)$ has at most $2N$ roots in $[0,1]$. That is, $N_k \leq 2N$ for all $N$. To establish that $N_k \to 2N$, we make precise the observation that [ f_k(t) = \sum_{j=1}^N j^{4k} a_j \sin(2\pi j t) ] is dominated by the term with $j=N$. At the points $t = (2i+1)/(2N)$ for $i=0,1, \dots, N-1$, we have $N^{4k} a_N \sin (2\pi N t) = \pm N^{4k} a_N$. If $k$ is chosen large enough so that [ \|a_N\| N^{4k} > \|a_1\| 1^{4k} + \cdots + \|a_{N-1}\| (N-1)^{4k}, ] then $f_k((2i+1)/2N)$ has the same sign as $a_N \sin (2\pi N at)$, which is to say, the sequence $f_k(1/2N), f_k(3/2N), \dots$ alternates in sign. Thus between these points (again including the wraparound'' interval) we find $2N$ sign changes of $f_k$. Therefore $\lim_{k \to \infty} N_k = 2N$. \| $N_0 \leq N_1 \leq N_2 \leq \cdots$ and \| $\boxed{N_0 \leq N_1 \leq N_2 \leq \cdots \text{ and } \lim_{k \to \infty} N_k = 2N}$ \| \| Let $f(x)$ be a continuous function such that $f(2x^2-1)=2xf(x)$ for all $x$. Show that $f(x)=0$ for $-1\leq x\leq 1$. \| For $t$ real and not a multiple of $\pi$, write $g(t) = f(\cos t)/\sin t$. Then $g(t+\pi) = g(t)$; furthermore, the given equation implies that \[ g(2t) = f(2\cos^2 t - 1)/\sin (2t) = 2(\cos t) f(\cos t)/\sin(2t) = g(t). \] In particular, for any integer $n$ and $k$, we have \[ g(1+n\pi/2^k) = g(2^k + n\pi) = g(2^k) = g(1). \] Since $f$ is continuous, $g$ is continuous where it is defined; but the set $\{1+n\pi/2^k \| n,k\in{\mathbb{Z}}\}$ is dense in the reals, and so $g$ must be constant on its domain. Since $g(-t) = -g(t)$ for all $t$, we must have $g(t) = 0$ when $t$ is not a multiple of $\pi$. Hence $f(x) = 0$ for $x \in (-1,1)$. Finally, setting $x=0$ and $x=1$ in the given equation yields $f(-1) = f(1) = 0$. \| $ f(x) = 0 $ for \| $\boxed{f(x) = 0 \text{ for } -1 \leq x \leq 1}$ \| \| Let $S_0$ be a finite set of positive integers. We define finite sets $S_1,S_2,\ldots$ of positive integers as follows: the integer $a$ is in $S_{n+1}$ if and only if exactly one of $a-1$ or $a$ is in $S_n$. Show that there exist infinitely many integers $N$ for which $S_N=S_0\cup\{N+a: a\in S_0\}$. \| We claim that all integers $N$ of the form $2^k$, with $k$ a positive integer and $N>\max\{S_0\}$, satisfy the desired conditions. It follows from the definition of $S_n$, and induction on $n$, that \sum_{j \in S_n} x^j &\equiv (1+x) \sum_{j \in S_{n-1}} x^j \\ &\equiv (1+x)^n \sum_{j \in S_0} x^j \pmod{2}. From the identity $(x+y)^2 \equiv x^2+y^2 \pmod{2}$ and induction on $n$, we have $(x+y)^{2^n} \equiv x^{2^n} + y^{2^n} \pmod{2}$. Hence if we choose $N$ to be a power of 2 greater than $\max\{S_0\}$, then \[ \sum_{j \in S_n} \equiv (1+x^N) \sum_{j \in S_0} x^j \] and $S_N=S_0\cup\{N+a: a\in S_0\}$, as desired. \| All integers $N$ of the form $2^k$, with $k$ a positive integer and $N>\max\{S_0\}$, satisfy the desired conditions. \| $\boxed{\text{All integers } N \text{ of the form } 2^k, \text{ with } k \text{ a positive integer and } N>\max\{S_0\}, \text{ satisfy the desired conditions.}}$ \| \| Let $B$ be a set of more than $2^{n+1}/n$ distinct points with coordinates of the form $(\pm 1,\pm 1,\ldots,\pm 1)$ in $n$-dimensional space with $n\geq 3$. Show that there are three distinct points in $B$ which are the vertices of an equilateral triangle. \| For each point $P$ in $B$, let $S_P$ be the set of points with all coordinates equal to $\pm 1$ which differ from $P$ in exactly one coordinate. Since there are more than $2^{n+1}/n$ points in $B$, and each $S_P$ has $n$ elements, the cardinalities of the sets $S_P$ add up to more than $2^{n+1}$, which is to say, more than twice the total number of points. By the pigeonhole principle, there must be a point in three of the sets, say $S_P, S_Q, S_R$. But then any two of $P, Q, R$ differ in exactly two coordinates, so $PQR$ is an equilateral triangle, as desired. \| There are three distinct points in $B$ which are the vertices of an equilateral triangle. \| $\boxed{\text{There are three distinct points in } B \text{ which are the vertices of an equilateral triangle.}}$ \| \| For a positive integer $n$, let $f_n(x) = \cos(x) \cos(2x) \cos(3x) \cdots \cos(nx)$. Find the smallest $n$ such that $\|f_n''(0)\| > 2023$. \| If we use the product rule to calculate $f_n''(x)$, the result is a sum of terms of two types: terms where two distinct factors $\cos(m_1x)$ and $\cos(m_2x)$ have each been differentiated once, and terms where a single factor $\cos(mx)$ has been differentiated twice. When we evaluate at $x=0$, all terms of the first type vanish since $\sin(0)=0$, while the term of the second type involving $(\cos(mx))''$ becomes $-m^2$. Thus \[ \|f_n''(0)\| = \left\|-\sum_{m=1}^n m^2\right\| = n(n+1)(2n+1)/6. \] The function $g(n) = n(n+1)(2n+1)/6$ is increasing for $n\in\mathbb{N}$ and satisfies $g(17)=1785$ and $g(18)=2109$. It follows that the answer is $n=18$. \| 18 \| $\boxed{18}$ \| \| Let $n$ be an even positive integer. Let $p$ be a monic, real polynomial of degree $2n$; that is to say, $p(x) = x^{2n} + a_{2n-1} x^{2n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ for some real coefficients $a_0, \dots, a_{2n-1}$. Suppose that $p(1/k) = k^2$ for all integers $k$ such that $1 \leq \|k\| \leq n$. Find all other real numbers $x$ for which $p(1/x) = x^2$. \| The only other real numbers with this property are $\pm 1/n!$. (Note that these are indeed \emph{other} values than $\pm 1, \dots, \pm n$ because $n>1$.) Define the polynomial $q(x) = x^{2n+2}-x^{2n}p(1/x) = x^{2n+2}-(a_0x^{2n}+\cdots+a_{2n-1}x+1)$. The statement that $p(1/x)=x^2$ is equivalent (for $x\neq 0$) to the statement that $x$ is a root of $q(x)$. Thus we know that $\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm n$ are roots of $q(x)$, and we can write \[ q(x) = (x^2+ax+b)(x^2-1)(x^2-4)\cdots (x^2-n^2) \] for some monic quadratic polynomial $x^2+ax+b$. Equating the coefficients of $x^{2n+1}$ and $x^0$ on both sides gives $0=a$ and $-1=(-1)^n(n!)^2 b$, respectively. Since $n$ is even, we have $x^2+ax+b = x^2-(n!)^{-2}$. We conclude that there are precisely two other real numbers $x$ such that $p(1/x)=x^2$, and they are $\pm 1/n!$. \| $\pm 1/n!$ \| $\boxed{\pm 1/n!}$ \| \| Determine the smallest positive real number $r$ such that there exist differentiable functions $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ and $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ satisfying \begin{enumerate} \| Suppose by way of contradiction that there exist some $f,g$ satisfying the stated conditions for some $0 < r<\pi/2$. We first note that we can assume that $f(x) \neq 0$ for $x\in [0,r)$. Indeed, by continuity, $\{x\,\|\,x\geq 0 \text{ and } f(x)=0\}$ is a closed subset of $[0,\infty)$ and thus has a minimum element $r'$ with $0<r'\leq r$. After replacing $r$ by $r'$, we now have $f(x)\neq 0$ for $x\in [0,r)$. Next we note that $f(r)=0$ implies $g(r) \neq 0$. Indeed, define the function $k :\thinspace \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ by $k(x) = f(x)^2+g(x)^2$. Then $\|k'(x)\| = 2\|f(x)f'(x)+g(x)g'(x))\| \leq 4\|f(x)g(x)\| \leq 2k(x)$, where the last inequality follows from the AM-GM inequality. It follows that $\left\|d/dx (\log k(x))\right\| \leq 2$ for $x \in [0,r)$; since $k(x)$ is continuous at $x=r$, we conclude that $k(r) \neq 0$. Now define the function $h\colon [0,r) \to (-\pi/2,\pi/2)$ by $h(x) = \tan^{-1}(g(x)/f(x))$. We compute that \[ h'(x) = f(x)g'(x)-g(x)f'(x)/f(x)^2+g(x)^2 \] and thus \[ \|h'(x)\| \leq \|f(x)\|\|g'(x)\|+\|g(x)\|\|f'(x)\|/f(x)^2+g(x)^2 \leq \|f(x)\|^2+\|g(x)\|^2/f(x)^2+g(x)^2 = 1. \] Since $h(0) = 0$, we have $\|h(x)\| \leq x<r$ for all $x\in [0,r)$. Since $r<\pi/2$ and $\tan^{-1}$ is increasing on $(-r,r)$, we conclude that $\|g(x)/f(x)\|$ is uniformly bounded above by $\tan r$ for all $x\in [0,r)$. But this contradicts the fact that $f(r)=0$ and $g(r) \neq 0$, since $\lim_{x\to r^-} g(x)/f(x) = \infty$. This contradiction shows that $r<\pi/2$ cannot be achieved. \noindent \| $\pi/2$ \| $\boxed{\pi/2}$ \| \| Let $v_1, \dots, v_{12}$ be unit vectors in $\mathbb{R}^3$ from the origin to the vertices of a regular icosahedron. Show that for every vector $v \in \mathbb{R}^3$ and every $\varepsilon > 0$, there exist integers $a_1,\dots,a_{12}$ such that $\\| a_1 v_1 + \cdots + a_{12} v_{12} - v \\| < \varepsilon$. \| The assumption that all vertices of the icosahedron correspond to vectors of the same length forces the center of the icosahedron to lie at the origin, since the icosahedron is inscribed in a unique sphere. Since scaling the icosahedron does not change whether or not the stated conclusion is true, we may choose coordinates so that the vertices are the cyclic permutations of the vectors $(\pm 1/2, \pm 1/2 \phi, 0)$ where $\phi = 1+\sqrt{5}/2$ is the golden ratio. The subgroup of $\RR^3$ generated by these vectors contains $G \times G \times G$ where $G$ is the subgroup of $\RR$ generated by 1 and $\phi$. Since $\phi$ is irrational, it generates a dense subgroup of $\RR/\ZZ$; hence $G$ is dense in $\RR$, and so $G \times G \times G$ is dense in $\RR^3$, proving the claim. \| The subgroup of $\RR^3$ generated by the vectors is dense in $\RR^3$. \| $\boxed{\text{The subgroup of }\mathbb{R}^3\text{ generated by the vectors is dense in }\mathbb{R}^3.}$ \| \| For a nonnegative integer $k$, let $f(k)$ be the number of ones in the base 3 representation of $k$. Find all complex numbers $z$ such that \[ \sum_{k=0}^{3^{1010}-1} (-2)^{f(k)} (z+k)^{2023} = 0. \] \| The complex numbers $z$ with this property are \[ -3^{1010}-1/2 \text{ and } -3^{1010}-1/2\pm\sqrt{9^{1010}-1}/4\,i. \] We begin by noting that for $n \geq 1$, we have the following equality of polynomials in a parameter $x$: \[ \sum_{k=0}^{3^n-1} (-2)^{f(k)} x^k = \prod_{j=0}^{n-1} (x^{2\cdot 3^j}-2x^{3^j}+1). \] This is readily shown by induction on $n$, using the fact that for $0\leq k\leq 3^{n-1}-1$, $f(3^{n-1}+k)=f(k)+1$ and $f(2\cdot 3^{n-1}+k)=f(k)$. Now define ashift'' operator $S$ on polynomials in $z$ by $S(p(z))=p(z+1)$; then we can define $S^m$ for all $m\in\mathbb{Z}$ by $S^m(p(z))$, and in particular $S^0=I$ is the identity map. Write [ p_n(z) := \sum_{k=0}^{3^n-1}(-2)^{f(k)}(z+k)^{2n+3} ] for $n \geq 1$; it follows that p_n(z) &= \prod_{j=0}^{n-1}(S^{2\cdot 3^j}-2S^{3^j}+I) z^{2n+3} \ &= S^{(3^n-1)/2} \prod_{j=0}^{n-1}(S^{3^j}-2I+S^{-3^j}) z^{2n+3}. Next observe that for any $\ell$, the operator $S^\ell-2I+S^{-\ell}$ acts on polynomials in $z$ in a way that decreases degree by $2$. More precisely, for $m\geq 0$, we have (S^\ell-2I+S^{-\ell})z^m &= (z+\ell)^m-2z^m+(z-\ell)^m \ &= 2{m\choose 2}\ell^2z^{m-2}+2{m\choose 4}\ell^4z^{m-4}+O(z^{m-6}). We use this general calculation to establish the following: for any $1\leq i\leq n$, there is a nonzero constant $C_i$ (depending on $n$ and $i$ but not $z$) such that \begin{gather} \nonumber \prod_{j=1}^{i} (S^{3^{n-j}}-2I+S^{-3^{n-j}}) z^{2n+3} \ \nonumber = C_i\left(z^{2n+3-2i}+\textstyle{(2n+3-2i)(n+1-i)/6}(\sum_{j=1}^i 9^{n-j})z^{2n+1-2i}\right) \ +O(z^{2n-1-2i}). \label{eq:product} \end{gather} Proving \eqref{eq:product} is a straightforward induction on $i$: the induction step applies $S^{3^{n-i-1}}-2I+S^{-3^{n-i-1}}$ to the right hand side of \eqref{eq:product}, using the general formula for $(S^\ell-2I+S^{-\ell})z^m$. Now setting $i=n$ in \eqref{eq:product}, we find that for some $C_n$, [ \prod_{j=0}^{n-1}(S^{3^j}-2I+S^{-3^j}) z^{2n+3} = C_n\left(z^3+9^n-1/16z\right). ] The roots of this polynomial are $0$ and $\pm \sqrt{9^n-1}/4 i$, and it follows that the roots of $p_n(z)$ are these three numbers minus $3^n-1/2$. In particular, when $n=1010$, we find that the roots of $p_{1010}(z)$ are as indicated above. \| -3^{1010}-1/2 \text{ and } -3^{1010}-1/2\pm\sqrt{9^{1010}-1}/4\,i \| (\boxed{-3^{1010}-\frac{1}{2} \text{ and } -3^{1010}-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{9^{1010}-1}}{4}i}) \| \| Alice and Bob play a game in which they take turns choosing integers from $1$ to $n$. Before any integers are chosen, Bob selects a goal of odd'' oreven''. On the first turn, Alice chooses one of the $n$ integers. On the second turn, Bob chooses one of the remaining integers. They continue alternately choosing one of the integers that has not yet been chosen, until the $n$th turn, which is forced and ends the game. Bob wins if the parity of ${k\colon \mbox{the number $k$ was chosen on the $k$th turn}}$ matches his goal. For which values of $n$ does Bob have a winning strategy? \| (Communicated by Kai Wang) For all $n$, Bob has a winning strategy. Note that we can interpret the game play as building a permutation of ${1,\dots,n}$, and the number of times an integer $k$ is chosen on the $k$-th turn is exactly the number of fixed points of this permutation. For $n$ even, Bob selects the goal even''. Divide $\{1,\dots,n\}$ into the pairs $\{1,2\},\{3,4\},\dots$; each time Alice chooses an integer, Bob follows suit with the other integer in the same pair. For each pair $\{2k-1,2k\}$, we see that $2k-1$ is a fixed point if and only if $2k$ is, so the number of fixed points is even. For $n$ odd, Bob selects the goalodd''. On the first turn, if Alice chooses 1 or 2, then Bob chooses the other one to transpose into the strategy for $n-2$ (with no moves made). We may thus assume hereafter that Alice's first move is some $k > 2$, which Bob counters with 2; at this point there is exactly one fixed point. Thereafter, as long as Alice chooses $j$ on the $j$-th turn (for $j \geq 3$ odd), either $j+1 < k$, in which case Bob can choose $j+1$ to keep the number of fixed points odd; or $j+1=k$, in which case $k$ is even and Bob can choose 1 to transpose into the strategy for $n-k$ (with no moves made). Otherwise, at some odd turn $j$, Alice does not choose $j$. At this point, the number of fixed points is odd, and on each subsequent turn Bob can ensure that neither his own move nor Alice's next move does not create a fixed point: on any turn $j$ for Bob, if $j+1$ is available Bob chooses it; otherwise, Bob has at least two choices available, so he can choose a value other than $j$. \| For all $n$, Bob has a winning strategy. \| (\boxed{\text{For all } n, \text{ Bob has a winning strategy.}}) \| \| Consider an $m$-by-$n$ grid of unit squares, indexed by $(i,j)$ with $1 \leq i \leq m$ and $1 \leq j \leq n$. There are $(m-1)(n-1)$ coins, which are initially placed in the squares $(i,j)$ with $1 \leq i \leq m-1$ and $1 \leq j \leq n-1$. If a coin occupies the square $(i,j)$ with $i \leq m-1$ and $j \leq n-1$ and the squares $(i+1,j), (i,j+1)$, and $(i+1,j+1)$ are unoccupied, then a legal move is to slide the coin from $(i,j)$ to $(i+1,j+1)$. How many distinct configurations of coins can be reached starting from the initial configuration by a (possibly empty) sequence of legal moves? \| The number of such configurations is $\binom{m+n-2}{m-1}$. Initially the unoccupied squares form a path from $(1,n)$ to $(m,1)$ consisting of $m-1$ horizontal steps and $n-1$ vertical steps, and every move preserves this property. This yields an injective map from the set of reachable configurations to the set of paths of this form. Since the number of such paths is evidently $\binom{m+n-2}{m-1}$ (as one can arrange the horizontal and vertical steps in any order), it will suffice to show that the map we just wrote down is also surjective; that is, that one can reach any path of this form by a sequence of moves. This is easiest to see by working backwards. Ending at a given path, if this path is not the initial path, then it contains at least one sequence of squares of the form $(i,j) \to (i,j-1) \to (i+1,j-1)$. In this case the square $(i+1,j)$ must be occupied, so we can undo a move by replacing this sequence with $(i,j) \to (i+1,j) \to (i+1,j-1)$. \| (\binom{m+n-2}{m-1}) \| (\boxed{\binom{m+n-2}{m-1}}) \| \| For each positive integer $n$, let $k(n)$ be the number of ones in the binary representation of $2023 \cdot n$. What is the minimum value of $k(n)$? \| We record the factorization $2023 = 7\cdot 17^2$. We first rule out $k(n)=1$ and $k(n)=2$. If $k(n)=1$, then $2023n = 2^a$ for some $a$, which clearly cannot happen. If $k(n)=2$, then $2023n=2^a+2^b=2^b(1+2^{a-b})$ for some $a>b$. Then $1+2^{a-b} \equiv 0\pmod{7}$; but $-1$ is not a power of $2$ mod $7$ since every power of $2$ is congruent to either $1$, $2$, or $4 \pmod{7}$. We now show that there is an $n$ such that $k(n)=3$. It suffices to find $a>b>0$ such that $2023$ divides $2^a+2^b+1$. First note that $2^2+2^1+1=7$ and $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$; thus if $a \equiv 2\pmod{3}$ and $b\equiv 1\pmod{3}$ then $7$ divides $2^a+2^b+1$. Next, $2^8+2^5+1 = 17^2$ and $2^{16\cdot 17} \equiv 1 \pmod{17^2}$ by Euler's Theorem; thus if $a \equiv 8 \pmod{16\cdot 17}$ and $b\equiv 5 \pmod{16\cdot 17}$ then $17^2$ divides $2^a+2^b+1$. We have reduced the problem to finding $a,b$ such that $a\equiv 2\pmod{3}$, $a\equiv 8\pmod{16\cdot 17}$, $b\equiv 1\pmod{3}$, $b\equiv 5\pmod{16\cdot 17}$. But by the Chinese Remainder Theorem, integers $a$ and $b$ solving these equations exist and are unique mod $3\cdot 16\cdot 17$. Thus we can find $a,b$ satisfying these congruences; by adding appropriate multiples of $3\cdot 16\cdot 17$, we can also ensure that $a>b>1$. \noindent \| 3 \| (\boxed{3}) \| \| A sequence $y_1,y_2,\dots,y_k$ of real numbers is called \emph{zigzag} if $k=1$, or if $y_2-y_1, y_3-y_2, \dots, y_k-y_{k-1}$ are nonzero and alternate in sign. Let $X_1,X_2,\dots,X_n$ be chosen independently from the uniform distribution on $[0,1]$. Let $a(X_1,X_2,\dots,X_n)$ be the largest value of $k$ for which there exists an increasing sequence of integers $i_1,i_2,\dots,i_k$ such that $X_{i_1},X_{i_2},\dots,X_{i_k}$ is zigzag. Find the expected value of $a(X_1,X_2,\dots,X_n)$ for $n \geq 2$. \| The expected value is $2n+2/3$. Divide the sequence $X_1,\dots,X_n$ into alternating increasing and decreasing segments, with $N$ segments in all. Note that removing one term cannot increase $N$: if the removed term is interior to some segment then the number remains unchanged, whereas if it separates two segments then one of those decreases in length by 1 (and possibly disappears). From this it follows that $a(X_1,\dots,X_n) = N+1$: in one direction, the endpoints of the segments form a zigzag of length $N+1$; in the other, for any zigzag $X_{i_1},\dots, X_{i_m}$, we can view it as a sequence obtained from $X_1,\dots,X_n$ by removing terms, so its number of segments (which is manifestly $m-1$) cannot exceed $N$. For $n \geq 3$, $a(X_1,\dots,X_n) - a(X_2,\dots,X_{n})$ is 0 if $X_1, X_2, X_3$ form a monotone sequence and 1 otherwise. Since the six possible orderings of $X_1,X_2,X_3$ are equally likely, [ \mathbf{E}(a(X_1,\dots,X_n) - a(X_1,\dots,X_{n-1})) = 2/3. ] Moreover, we always have $a(X_1, X_2) = 2$ because any sequence of two distinct elements is a zigzag. By linearity of expectation plus induction on $n$, we obtain $\mathbf{E}(a(X_1,\dots,X_n)) = 2n+2/3$ as claimed. \| 2n+2/3 \| (\boxed{2n+2/3}) \| \| For a nonnegative integer $n$ and a strictly increasing sequence of real numbers $t_0,t_1,\dots,t_n$, let $f(t)$ be the corresponding real-valued function defined for $t \geq t_0$ by the following properties: \begin{enumerate} \| The minimum value of $T$ is 29. Write $t_{n+1} = t_0+T$ and define $s_k = t_k-t_{k-1}$ for $1\leq k\leq n+1$. On $[t_{k-1},t_k]$, we have $f'(t) = k(t-t_{k-1})$ and so $f(t_k)-f(t_{k-1}) = k/2 s_k^2$. Thus if we define [ g(s_1,\ldots,s_{n+1}) = \sum_{k=1}^{n+1} ks_k^2, ] then we want to minimize $\sum_{k=1}^{n+1} s_k = T$ (for all possible values of $n$) subject to the constraints that $g(s_1,\ldots,s_{n+1}) = 4045$ and $s_k \geq 1$ for $k \leq n$. We first note that a minimum value for $T$ is indeed achieved. To see this, note that the constraints $g(s_1,\ldots,s_{n+1}) = 4045$ and $s_k \geq 1$ place an upper bound on $n$. For fixed $n$, the constraint $g(s_1,\ldots,s_{n+1}) = 4045$ places an upper bound on each $s_k$, whence the set of $(s_1,\ldots,s_{n+1})$ on which we want to minimize $\sum s_k$ is a compact subset of $\mathbb{R}^{n+1}$. Now say that $T_0$ is the minimum value of $\sum_{k=1}^{n+1} s_k$ (over all $n$ and $s_1,\ldots,s_{n+1}$), achieved by $(s_1,\ldots,s_{n+1}) = (s_1^0,\ldots,s_{n+1}^0)$. Observe that there cannot be another $(s_1,\ldots,s_{n'+1})$ with the same sum, $\sum_{k=1}^{n'+1} s_k = T_0$, satisfying $g(s_1,\ldots,s_{n'+1}) > 4045$; otherwise, the function $f$ for $(s_1,\ldots,s_{n'+1})$ would satisfy $f(t_0+T_0) > 4045$ and there would be some $T<T_0$ such that $f(t_0+T) = 4045$ by the intermediate value theorem. We claim that $s_{n+1}^0 \geq 1$ and $s_k^0 = 1$ for $1\leq k\leq n$. If $s_{n+1}^0<1$ then & g(s_1^0,\ldots,s_{n-1}^0,s_n^0+s_{n+1}^0)-g(s_1^0,\ldots,s_{n-1}^0,s_n^0,s_{n+1}^0) \ &\quad = s_{n+1}^0(2ns_n^0-s_{n+1}^0) > 0, contradicting our observation from the previous paragraph. Thus $s_{n+1}^0 \geq 1$. If $s_k^0>1$ for some $1\leq k\leq n$ then replacing $(s_k^0,s_{n+1}^0)$ by $(1,s_{n+1}^0+s_k^0-1)$ increases $g$: &g(s_1^0,\ldots,1,\ldots,s_{n+1}^0+s_k^0-1)-g(s_1^0,\ldots,s_k^0,\ldots,s_{n+1}^0) \ &\quad= (s_k^0-1)((n+1-k)(s_k^0+1)+2(n+1)(s_{n+1}^0-1)) > 0, again contradicting the observation. This establishes the claim. Given that $s_k^0 = 1$ for $1 \leq k \leq n$, we have $T = s_{n+1}^0 + n$ and [ g(s_1^0,\dots,s_{n+1}^0) = n(n+1)/2 + (n+1)(T-n)^2. ] Setting this equal to 4045 and solving for $T$ yields [ T = n+\sqrt{4045/n+1 - n/2}. ] For $n=9$ this yields $T = 29$; it thus suffices to show that for all $n$, [ n+\sqrt{4045/n+1 - n/2} \geq 29. ] This is evident for $n \geq 30$. For $n \leq 29$, rewrite the claim as [ \sqrt{4045/n+1 - n/2} \geq 29-n; ] we then obtain an equivalent inequality by squaring both sides: [ 4045/n+1 - n/2 \geq n^2-58n+841. ] Clearing denominators, gathering all terms to one side, and factoring puts this in the form [ (9-n)(n^2 - 95/2 n + 356) \geq 0. ] The quadratic factor $Q(n)$ has a minimum at $95/4 = 23.75$ and satisfies $Q(8) = 40, Q(10) = -19$; it is thus positive for $n \leq 8$ and negative for $10 \leq n \leq 29$. \| 29 \| (\boxed{29}) \| \| Determine which positive integers $n$ have the following property: For all integers $m$ that are relatively prime to $n$, there exists a permutation $\pi\colon {1,2,\dots,n} \to {1,2,\dots,n}$ such that $\pi(\pi(k)) \equiv mk \pmod{n}$ for all $k \in {1,2,\dots,n}$. \| The desired property holds if and only if $n = 1$ or $n \equiv 2 \pmod{4}$. Let $\sigma_{n,m}$ be the permutation of $\ZZ/n\ZZ$ induced by multiplication by $m$; the original problem asks for which $n$ does $\sigma_{n,m}$ always have a square root. For $n=1$, $\sigma_{n,m}$ is the identity permutation and hence has a square root. We next identify when a general permutation admits a square root. \begin{lemma} \label{lem:2023B5-2} A permutation $\sigma$ in $S_n$ can be written as the square of another permutation if and only if for every even positive integer $m$, the number of cycles of length $m$ in $\sigma$ is even. \end{lemma} \begin{proof} We first check the only if'' direction. Suppose that $\sigma = \tau^2$. Then every cycle of $\tau$ of length $m$ remains a cycle in $\sigma$ if $m$ is odd, and splits into two cycles of length $m/2$ if $m$ is even. We next check theif'' direction. We may partition the cycles of $\sigma$ into individual cycles of odd length and pairs of cycles of the same even length; then we may argue as above to write each partition as the square of another permutation. \end{proof} Suppose now that $n>1$ is odd. Write $n = p^e k$ where $p$ is an odd prime, $k$ is a positive integer, and $\gcd(p,k) = 1$. By the Chinese remainder theorem, we have a ring isomorphism [ \ZZ/n\ZZ \cong \ZZ/p^e \ZZ \times \ZZ/k \ZZ. ] Recall that the group $(\ZZ/p^e \ZZ)^\times$ is cyclic; choose $m \in \ZZ$ reducing to a generator of $(\ZZ/p^e \ZZ)^\times$ and to the identity in $(\ZZ/k\ZZ)^\times$. Then $\sigma_{n,m}$ consists of $k$ cycles (an odd number) of length $p^{e-1}(p-1)$ (an even number) plus some shorter cycles. By Lemma~\ref{lem:2023B5-2}, $\sigma_{n,m}$ does not have a square root. Suppose next that $n \equiv 2 \pmod{4}$. Write $n = 2k$ with $k$ odd, so that [ \ZZ/n\ZZ \cong \ZZ/2\ZZ \times \ZZ/k\ZZ. ] Then $\sigma_{n,m}$ acts on ${0} \times \ZZ/k\ZZ$ and ${1} \times \ZZ/k\ZZ$ with the same cycle structure, so every cycle length occurs an even number of times. By Lemma~\ref{lem:2023B5-2}, $\sigma_{n,m}$ has a square root. Finally, suppose that $n$ is divisible by 4. For $m = -1$, $\sigma_{n,m}$ consists of two fixed points ($0$ and $n/2$) together with $n/2-1$ cycles (an odd number) of length 2 (an even number). By Lemma~\ref{lem:2023B5-2}, $\sigma_{n,m}$ does not have a square root. \| ( n = 1 ) or \| (\boxed{n = 1 \text{ or } n \equiv 2 \pmod{4}}) \| \| Let $n$ be a positive integer. For $i$ and $j$ in ${1,2,\dots,n}$, let $s(i,j)$ be the number of pairs $(a,b)$ of nonnegative integers satisfying $ai +bj=n$. Let $S$ be the $n$-by-$n$ matrix whose $(i,j)$ entry is $s(i,j)$. For example, when $n=5$, we have $S = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 2 & 2 & 2 \ 3 & 0 & 1 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \ 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. Compute the determinant of $S$. \| The determinant equals $(-1)^{\lceil n/2 \rceil-1} 2 \lceil n/2 \rceil$. To begin with, we read off the following features of $S$. \begin{itemize} \item $S$ is symmetric: $S_{ij} = S_{ji}$ for all $i,j$, corresponding to $(a,b) \mapsto (b,a)$). \item $S_{11} = n+1$, corresponding to $(a,b) = (0,n),(1,n-1),\dots,(n,0)$. \item If $n = 2m$ is even, then $S_{mj} = 3$ for $j=1,m$, corresponding to $(a,b) = (2,0),(1,n/2j),(0,n/j)$. \item For $n/2 < i \leq n$, $S_{ij} = # (\ZZ \cap {n-i/j, n/j})$, corresponding to $(a,b) = (1, n-i/j), (0, n/j)$. \| ((-1)^{\lceil n/2 \rceil-1} 2 \lceil n/2 \rceil) \| (\boxed{(-1)^{\lceil n/2 \rceil-1} 2 \lceil n/2 \rceil}) \| \| Let $S$ be a set of real numbers which is closed under multiplication (that is, if $a$ and $b$ are in $S$, then so is $ab$). Let $T$ and $U$ be disjoint subsets of $S$ whose union is $S$. Given that the product of any {\em three} (not necessarily distinct) elements of $T$ is in $T$ and that the product of any three elements of $U$ is in $U$, show that at least one of the two subsets $T,U$ is closed under multiplication. \| Suppose on the contrary that there exist $t_{1}, t_{2} \in T$ with $t_{1}t_{2} \in U$ and $u_{1}, u_{2} \in U$ with $u_{1}u_{2} \in T$. Then $(t_{1}t_{2})u_{1}u_{2} \in U$ while $t_{1}t_{2}(u_{1}u_{2}) \in T$, contradiction. \| At least one of the subsets $T$, $U$ is closed under multiplication. \| (\boxed{\text{At least one of the subsets } T, U \text{ is closed under multiplication.}}) \| \| For what pairs $(a,b)$ of positive real numbers does the improper integral [ \int_{b}^{\infty} \left( \sqrt{\sqrt{x+a}-\sqrt{x}} - \sqrt{\sqrt{x}-\sqrt{x-b}} \right)\,dx ] converge? \| The integral converges iff $a=b$. The easiest proof uses big-O'' notation and the fact that $(1+x)^{1/2} = 1 + x/2 + O(x^{2})$ for $\|x\|<1$. (Here $O(x^{2})$ means bounded by a constant times $x^{2}$.) So \sqrt{x+a}-\sqrt{x} &= x^{1/2}(\sqrt{1+a/x} - 1) \\ &= x^{1/2}(1 + a/2x + O(x^{-2})), hence \[ \sqrt{\sqrt{x+a} - \sqrt{x}} = x^{1/4} (a/4x + O(x^{-2})) \] and similarly \[ \sqrt{\sqrt{x} - \sqrt{x-b}} = x^{1/4} (b/4x + O(x^{-2})). \] Hence the integral we're looking at is \[ \int_{b}^{\infty} x^{1/4} ((a-b)/4x + O(x^{-2}))\,dx. \] The term $x^{1/4} O(x^{-2})$ is bounded by a constant times $x^{-7/4}$, whose integral converges. Thus we only have to decide whether $x^{-3/4} (a-b)/4$ converges. But $x^{-3/4}$ has divergent integral, so we get convergence if and only if $a=b$ (in which case the integral telescopes anyway). \| $a=b$ \| $\boxed{a=b}$ \| \| The number $d_{1}d_{2}\dots d_{9}$ has nine (not necessarily distinct) decimal digits. The number $e_{1}e_{2}\dots e_{9}$ is such that each of the nine 9-digit numbers formed by replacing just one of the digits $d_{i}$ is $d_{1}d_{2}\dots d_{9}$ by the corresponding digit $e_{i}$ ($1 \leq i \leq 9$) is divisible by 7. The number $f_{1}f_{2}\dots f_{9}$ is related to $e_{1}e_{2}\dots e_{9}$ is the same way: that is, each of the nine numbers formed by replacing one of the $e_{i}$ by the corresponding $f_{i}$ is divisible by 7. Show that, for each $i$, $d_{i}-f_{i}$ is divisible by 7. [For example, if $d_{1}d_{2}\dots d_{9} = 199501996$, then $e_{6}$ may be 2 or 9, since $199502996$ and $199509996$ are multiples of 7.] \| Let $D$ and $E$ be the numbers $d_{1}\dots d_{9}$ and $e_{1}\dots e_{9}$, respectively. We are given that $(e_{i} - d_{i})10^{9-i} + D \equiv 0 \pmod 7$ and $(f_{i} - e_{i})10^{9-i} + E \equiv 0 \pmod 7$ for $i=1, \dots, 9$. Sum the first relation over $i=1,\dots,9$ and we get $E - D + 9D \equiv 0 \pmod 7$, or $E + D \equiv 0 \pmod 7$. Now add the first and second relations for any particular value of $i$ and we get $(f_{i} - d_{i})10^{9-i} + E + D \equiv 0 \pmod 7$. But we know $E+D$ is divisible by 7, and 10 is coprime to 7, so $d_{i} - f_{i} \equiv 0 \pmod 7$. \| $d_{i} - f_{i} \equiv 0 \pmod 7$ \| $\boxed{d_{i} - f_{i} \equiv 0 \pmod 7}$ \| \| Suppose we have a necklace of $n$ beads. Each bead is labeled with an integer and the sum of all these labels is $n-1$. Prove that we can cut the necklace to form a string whose consecutive labels $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ satisfy \[ \sum_{i=1}^{k} x_{i} \leq k-1 \qquad \mbox{for} \quad k=1,2,\dots,n. \] \| Let $s_{k} = x_{1} + \cdots + x_{k} - k(n-1)/n$, so that $s_{n} = s_{0} = 0$. These form a cyclic sequence that doesn't change when you rotate the necklace, except that the entire sequence gets translated by a constant. In particular, it makes sense to choose $x_{i}$ for which $s_{i}$ is maximum and make that one $x_{n}$; this way $s_{i} \leq 0$ for all $i$, which gives $x_{1} + \cdots + x_{i} \leq i(n-1)/n$, but the right side may be replaced by $i-1$ since the left side is an integer. \| $\boxed{\sum_{i=1}^{k} x_{i} \leq k-1}$ \| $\boxed{\sum_{i=1}^{k} x_{i} \leq k-1}$ \| \| Let $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ be differentiable (real-valued) functions of a single variable $f$ which satisfy dx_{1}/dt &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\ dx_{2}/dt &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} \\ \vdots && \vdots \\ dx_{n}/dt &= a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{nn}x_{n} for some constants $a_{ij}>0$. Suppose that for all $i$, $x_{i}(t) \to 0$ as $t \to \infty$. Are the functions $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ necessarily linearly dependent? \| Everyone (presumably) knows that the set of solutions of a system of linear first-order differential equations with constant coefficients is $n$-dimensional, with basis vectors of the form $f_{i}(t) \vec{v}_{i}$ (i.e.\ a function times a constant vector), where the $\vec{v}_{i}$ are linearly independent. In particular, our solution $\vec{x}(t)$ can be written as $\sum_{i=1}^{n} c_{i}f_{i}(t) \vec{v}_{1}$. Choose a vector $\vec{w}$ orthogonal to $\vec{v}_{2}, \dots, \vec{v}_{n}$ but not to $\vec{v}_1$. Since $\vec{x}(t) \to 0$ as $t \to \infty$, the same is true of $\vec{w} \cdot \vec{x}$; but that is simply $(\vec{w} \cdot \vec{v}_{1}) c_{1} f_{1}(t)$. In other words, if $c_{i} \neq 0$, then $f_{i}(t)$ must also go to 0. However, it is easy to exhibit a solution which does not go to 0. The sum of the eigenvalues of the matrix $A = (a_{ij})$, also known as the trace of $A$, being the sum of the diagonal entries of $A$, is nonnegative, so $A$ has an eigenvalue $\lambda$ with nonnegative real part, and a corresponding eigenvector $\vec{v}$. Then $e^{\lambda t} \vec{v}$ is a solution that does not go to 0. (If $\lambda$ is not real, add this solution to its complex conjugate to get a real solution, which still doesn't go to 0.) Hence one of the $c_{i}$, say $c_{1}$, is zero, in which case $\vec{x}(t) \cdot \vec{w} = 0$ for all $t$. \| No \| $\boxed{\text{No}}$ \| \| Suppose that each of $n$ people writes down the numbers 1,2,3 in random order in one column of a $3 \times n$ matrix, with all orders equally likely and with the orders for different columns independent of each other. Let the row sums $a,b,c$ of the resulting matrix be rearranged (if necessary) so that $a \leq b \leq c$. Show that for some $n \geq 1995$, it is at least four times as likely that both $b=a+1$ and $c=a+2$ as that $a=b=c$. \| View this as a random walk/Markov process with states $(i,j,k)$ the triples of integers with sum 0, corresponding to the difference between the first, second and third rows with their average (twice the number of columns). Adding a new column adds on a random permutation of the vector $(1,0,-1)$. I prefer to identify the triple $(i,j,k)$ with the point $(i-j) + (j-k)\omega + (k-i)\omega^{2}$ in the plane, where $\omega$ is a cube root of unity. Then adding a new column corresponds to moving to one of the six neighbors of the current position in a triangular lattice. What we'd like to argue is that for large enough $n$, the ratio of the probabilities of being in any two particular states goes to 1. Then in fact, we'll see that eventually, about six times as many matrices have $a=b-1,b=c-1$ than $a=b=c$. This is a pain to prove, though, and in fact is way more than we actually need. Let $C_{n}$ and $A_{n}$ be the probability that we are at the origin, or at a particular point adjacent to the origin, respectively. Then $C_{n+1} = A_{n}$. (In fact, $C_{n+1}$ is $1/6$ times the sum of the probabilities of being at each neighbor of the origin at time $n$, but these are all $A_{n}$.) So the desired result, which is that $C_{n}/A_{n} \geq 2/3$ for some large $n$, is equivalent to $A_{n+1}/A_{n} \geq 2/3$. Suppose on the contrary that this is not the case; then $A_{n} < c (2/3)^{n}$ for some constant $n$. However, if $n=6m$, the probability that we chose each of the six types of moves $m$ times is already $(6m)!/[m!^{6} 6^{6m}]$, which by Stirling's approximation is asymptotic to a constant times $m^{-5/2}$. This term alone is bigger than $c (2/3)^{n}$, so we must have $A_{n+1}/A_{n} \geq 2/3$ for some $n$. (In fact, we must have $A_{n+1}/A_{n} \geq 1-\epsilon$ for any $\epsilon>0$.) \| For some $n \geq 1995$, it is at least four times as likely that both $b=a+1$ and $c=a+2$ as that $a=b=c$. \| $\boxed{\text{For some } n \geq 1995, \text{ it is at least four times as likely that both } b=a+1 \text{ and } c=a+2 \text{ as that } a=b=c.}$ \| \| For a partition $\pi$ of $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, let $\pi(x)$ be the number of elements in the part containing $x$. Prove that for any two partitions $\pi$ and $\pi'$, there are two distinct numbers $x$ and $y$ in $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ such that $\pi(x) = \pi(y)$ and $\pi'(x) = \pi'(y)$. [A {\em partition} of a set $S$ is a collection of disjoint subsets (parts) whose union is $S$.] \| For a given $\pi$, no more than three different values of $\pi(x)$ are possible (four would require one part each of size at least 1,2,3,4, and that's already more than 9 elements). If no such $x, y$ exist, each pair $(\pi(x), \pi'(x))$ occurs for at most 1 element of $x$, and since there are only $3 \times 3$ possible pairs, each must occur exactly once. In particular, each value of $\pi(x)$ must occur 3 times. However, clearly any given value of $\pi(x)$ occurs $k\pi(x)$ times, where $k$ is the number of distinct partitions of that size. Thus $\pi(x)$ can occur 3 times only if it equals 1 or 3, but we have three distinct values for which it occurs, contradiction. \| There are two distinct numbers $x$ and $y$ in $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ such that $\pi(x) = \pi(y)$ and $\pi'(x) = \pi'(y)$. \| $\boxed{\text{There are two distinct numbers } x \text{ and } y \text{ in } \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \text{ such that } \pi(x) = \pi(y) \text{ and } \pi'(x) = \pi'(y)}$ \| \| An ellipse, whose semi-axes have lengths $a$ and $b$, rolls without slipping on the curve $y = c \sin \left( x/a \right)$. How are $a,b,c$ related, given that the ellipse completes one revolution when it traverses one period of the curve? \| For those who haven't taken enough physics,rolling without slipping'' means that the perimeter of the ellipse and the curve pass at the same rate, so all we're saying is that the perimeter of the ellipse equals the length of one period of the sine curve. So set up the integrals: \begin{multline} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(-a \sin \theta)^{2} + (b \cos \theta)^{2}}\, d\theta\ = \int_{0}^{2\pi a} \sqrt{1 + (c/a \cos x/a)^{2}}\,dx. \end{multline} Let $\theta = x/a$ in the second integral and write 1 as $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta$ and you get \begin{multline} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta}\,d\theta\ = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^{2} \sin^{2} \theta + (a^{2} + c^{2}) \cos^{2} \theta}\,d\theta. \end{multline} Since the left side is increasing as a function of $b$, we have equality if and only if $b^{2} = a^{2} + c^{2}$. \| ( b^2 = a^2 + c^2 ) \| (\boxed{b^2 = a^2 + c^2}) \| \| To each positive integer with $n^{2}$ decimal digits, we associate the determinant of the matrix obtained by writing the digits in order across the rows. For example, for $n=2$, to the integer 8617 we associate $\det \left( \begin{array}{cc} 8 & 6 \ 1 & 7 \end{array} \right) = 50$. Find, as a function of $n$, the sum of all the determinants associated with $n^{2}$-digit integers. (Leading digits are assumed to be nonzero; for example, for $n=2$, there are 9000 determinants.) \| For $n=1$ we obviously get 45, while for $n=3$ the answer is 0 because it both changes sign (because determinants are alternating) and remains unchanged (by symmetry) when you switch any two rows other than the first one. So only $n=2$ is left. By the multilinearity of the determinant, the answer is the determinant of the matrix whose first (resp. second) row is the sum of all possible first (resp. second) rows. There are 90 first rows whose sum is the vector $(450, 405)$, and 100 second rows whose sum is $(450, 450)$. Thus the answer is $450\times 450 - 450 \times 405 = 45 \times 450 = 20250.$ \| 20250 \| (\boxed{20250}) \| \| Evaluate [ \sqrt{2207 - 1/2207-\frac{1{2207-\dots}}}. ] Express your answer in the form $a+b\sqrt{c}/d$, where $a,b,c,d$ are integers. \| The infinite continued fraction is defined as the limit of the sequence $L_{0} = 2207, L_{n+1} = 2207-1/L_{n}$. Notice that the sequence is strictly decreasing (by induction) and thus indeed has a limit $L$, which satisfies $L = 2207 - 1/L$, or rewriting, $L^{2} - 2207L + 1 = 0$. Moreover, we want the greater of the two roots. Now how to compute the eighth root of $L$? Notice that if $x$ satisfies the quadratic $x^{2} - ax + 1 = 0$, then we have 0 &= (x^{2} - ax + 1)(x^{2} + ax + 1) \ &= x^{4} - (a^{2} - 2)x^{2} + 1. Clearly, then, the positive square roots of the quadratic $x^{2} - bx + 1$ satisfy the quadratic $x^{2} - (b^{2}+2)^{1/2}x + 1 = 0$. Thus we compute that $L^{1/2}$ is the greater root of $x^{2} - 47x + 1 = 0$, $L^{1/4}$ is the greater root of $x^{2} - 7x+ 1 =0$, and $L^{1/8}$ is the greater root of $x^{2} - 3x + 1 = 0$, otherwise known as $(3 + \sqrt{5})/2$. \| (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) \| (\boxed{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}) \| \| A game starts with four heaps of beans, containing 3,4,5 and 6 beans. The two players move alternately. A move consists of taking \textbf{either} \begin{itemize} \| This problem is dumb if you know the Sprague-Grundy theory of normal impartial games (see Conway, Berlekamp and Guy, {\it Winning Ways}, for details). I'll describe how it applies here. To each position you assign a {\em nim-value} as follows. A position with no moves (in which case the person to move has just lost) takes value 0. Any other position is assigned the smallest number not assigned to a valid move from that position. For a single pile, one sees that an empty pile has value 0, a pile of 2 has value 1, a pile of 3 has value 2, a pile of 4 has value 0, a pile of 5 has value 1, and a pile of 6 has value 0. You add piles just like in standard Nim: the nim-value of the composite of two games (where at every turn you pick a game and make a move there) is the base 2 addition without carries'' (i.e.\ exclusive OR) of the nim-values of the constituents. So our starting position, with piles of 3, 4, 5, 6, has nim-value $2 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 3$. A position is a win for the player to move if and only if it has a nonzero value, in which case the winning strategy is to always move to a 0 position. (This is always possible from a nonzero position and never from a zero position, which is precisely the condition that defines the set of winning positions.) In this case, the winning move is to reduce the pile of 3 down to 2, and you can easily describe the entire strategy if you so desire. \| 3 \| $\boxed{3}$ \| \| For a positive real number $\alpha$, define \[ S(\alpha) = \{ \lfloor n\alpha \rfloor : n = 1,2,3,\dots \}. \] Prove that $\{1,2,3,\dots\}$ cannot be expressed as the disjoint union of three sets $S(\alpha), S(\beta)$ and $S(\gamma)$. [As usual, $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer $\leq x$.] \| Obviously $\alpha, \beta, \gamma$ have to be greater than 1, and no two can both be rational, so without loss of generality assume that $\alpha$ and $\beta$ are irrational. Let $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ denote the fractional part of $x$. Then $m \in S(\alpha)$ if and only if $f(m/\alpha) \in (1-1/\alpha,1) \cup \{0\}$. In particular, this means that $S(\alpha) \cap \{1, \dots, n\}$ contains $\lceil (n+1)/\alpha \rceil -1$ elements, and similarly. Hence for every integer $n$, \[ n = \left\lceil \frac{n+1}\alpha \right\rceil + \left\lceil \frac{n+1}\beta \right\rceil + \left\lceil \frac{n+1}\gamma \right\rceil -3. \] Dividing through by $n$ and taking the limit as $n \to \infty$ shows that $1/\alpha + 1/\beta + 1/\gamma = 1$. That in turn implies that for all $n$, \[ \left\{ - n+1/\alpha \right\} + \left\{ - n+1/\beta \right\} + \left\{ - n+1/\gamma \right\} = 2. \] Our desired contradiction is equivalent to showing that the left side actually takes the value 1 for some $n$. Since the left side is an integer, it suffices to show that $\{ -(n+1)/\alpha\} + \{-(n+1)/\beta\} < 1$ for some $n$. A result in ergodic theory (the two-dimensional version of the Weil equidistribution theorem) states that if $1,r,s$ are linearly independent over the rationals, then the set of points $(\{nr\}, \{ns\}$ is dense (and in fact equidistributed) in the unit square. In particular, our claim definitely holds unless $a/\alpha + b/\beta = c$ for some integers $a,b,c$. On the other hand, suppose that such a relation does hold. Since $\alpha$ and $\beta$ are irrational, by the one-dimensional Weil theorem, the set of points $(\{-n/\alpha\}, \{-n/\beta\}$ is dense in the set of $(x,y)$ in the unit square such that $ax + by$ is an integer. It is simple enough to show that this set meets the region $\{(x,y) \in [0,1]^{2}: x+y<1\}$ unless $a+b$ is an integer, and that would imply that $1/\alpha + 1/\beta$, a quantity between 0 and 1, is an integer. We have our desired contradiction. \| The set $\{1,2,3,\dots\}$ cannot be expressed as the disjoint union of three sets $S(\alpha), S(\beta)$, and $S(\gamma)$. \| $\boxed{\text{The set } \{1,2,3,\dots\} \text{ cannot be expressed as the disjoint union of three sets } S(\alpha), S(\beta), \text{ and } S(\gamma).}$ \| \| A rectangle, $HOMF$, has sides $HO=11$ and $OM=5$. A triangle $ABC$ has $H$ as the intersection of the altitudes, $O$ the center of the circumscribed circle, $M$ the midpoint of $BC$, and $F$ the foot of the altitude from $A$. What is the length of $BC$? \| The centroid $G$ of the triangle is collinear with $H$ and $O$ (Euler line), and the centroid lies two-thirds of the way from $A$ to $M$. Therefore $H$ is also two-thirds of the way from $A$ to $F$, so $AF = 15$. Since the triangles $BFH$ and $AFC$ are similar (they're right triangles and \[ \angle HBC = \pi/2 - \angle C = \angle CAF), \] we have \[ BF/FH = AF/FC \] or \[ BF \cdot FC = FH \cdot AF = 75. \] Now \[ BC^2 = (BF + FC)^2 = (BF - FC)^2 + 4 BF \cdot FC, \] but \[ BF - FC = BM+MF-(MC-MF) = 2MF = 22, \] so \[ BC = \sqrt{22^2 + 4 \cdot 75} = \sqrt{784} = 28. \] \| 28 \| $\boxed{28}$ \| \| Players $1,2,3,\ldots,n$ are seated around a table, and each has a single penny. Player 1 passes a penny to player 2, who then passes two pennies to player 3. Player 3 then passes one penny to Player 4, who passes two pennies to Player 5, and so on, players alternately passing one penny or two to the next player who still has some pennies. A player who runs out of pennies drops out of the game and leaves the table. Find an infinite set of numbers $n$ for which some player ends up with all $n$ pennies. \| We show more precisely that the game terminates with one player holding all of the pennies if and only if $n = 2^m + 1$ or $n = 2^m + 2$ for some $m$. First suppose we are in the following situation for some $k \geq 2$. (Note: for us, amove'' consists of two turns, starting with a one-penny pass.) \begin{itemize} \item Except for the player to move, each player has $k$ pennies; \item The player to move has at least $k$ pennies. \| ( n = 2^m + 1 ) or \| (\boxed{n = 2^m + 1 \text{ or } n = 2^m + 2}) \| \| Evaluate \begin{gather} \int_0^\infty \left(x-x^3/2+\frac{x^5}{2\cdot 4}-x^7/2\cdot 4\cdot 6+\cdots\right) \ \left(1+x^2/2^2+ x^4/2^2\cdot 4^2+x^6/2^2\cdot 4^2 \cdot 6^2+\cdots\right)\,dx. \end{gather} \| Note that the series on the left is simply $x \exp (-x^2/2)$. By integration by parts, [ \int_0^\infty x^{2n+1} e^{-x^2/2} dx = 2n \int_0^\infty x^{2n-1} e^{-x^2/2} dx ] and so by induction, [ \int_0^\infty x^{2n+1} e^{-x^2/2} dx = 2 \times 4 \times \cdots \times 2n. ] Thus the desired integral is simply [ \sum_{n=0}^\infty 1/2^n n! = \sqrt{e}. ] \| (\sqrt{e}) \| (\boxed{\sqrt{e}}) \| \| Let $G$ be a group with identity $e$ and $\phi:G\rightarrow G$ a function such that [\phi(g_1)\phi(g_2)\phi(g_3)=\phi(h_1)\phi(h_2)\phi(h_3)] whenever $g_1g_2g_3=e=h_1h_2h_3$. Prove that there exists an element $a\in G$ such that $\psi(x)=a\phi(x)$ is a homomorphism (i.e. $\psi(xy)=\psi(x)\psi(y)$ for all $x,y\in G$). \| In order to have $\psi(x) = a \phi(x)$ for all $x$, we must in particular have this for $x = e$, and so we take $a = \phi(e)^{-1}$. We first note that [ \phi(g) \phi(e) \phi(g^{-1}) = \phi(e) \phi(g) \phi(g^{-1}) ] and so $\phi(g)$ commutes with $\phi(e)$ for all $g$. Next, we note that [ \phi(x) \phi(y) \phi(y^{-1}x^{-1}) = \phi(e) \phi(xy) \phi(y^{-1}x^{-1}) ] and using the commutativity of $\phi(e)$, we deduce [ \phi(e)^{-1} \phi(x) \phi(e)^{-1} \phi(y) = \phi(e)^{-1} \phi(xy) ] or $\psi(xy) = \psi(x) \psi(y)$, as desired. \| (a = \phi(e)^{-1}) \| (\boxed{a = \phi(e)^{-1}}) \| \| Let $N_n$ denote the number of ordered $n$-tuples of positive integers $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ such that $1/a_1 + 1/a_2 +\ldots + 1/a_n=1$. Determine whether $N_{10}$ is even or odd. \| We may discard any solutions for which $a_1 \neq a_2$, since those come in pairs; so assume $a_1 = a_2$. Similarly, we may assume that $a_3 = a_4$, $a_5 = a_6$, $a_7 = a_8$, $a_9=a_{10}$. Thus we get the equation [ 2/a_1 + 2/a_3 + 2/a_5 + 2/a_7 + 2/a_9 = 1. ] Again, we may assume $a_1 = a_3$ and $a_5 = a_7$, so we get $4/a_1 + 4/a_5 + 2/a_9 = 1$; and $a_1 = a_5$, so $8/a_1 + 2/a_9 = 1$. This implies that $(a_1-8)(a_9-2) = 16$, which by counting has 5 solutions. Thus $N_{10}$ is odd. \| odd \| (\boxed{\text{odd}}) \| \| For a positive integer $n$ and any real number $c$, define $x_k$ recursively by $x_0=0$, $x_1=1$, and for $k\geq 0$, [x_{k+2}=cx_{k+1}-(n-k)x_k/k+1.] Fix $n$ and then take $c$ to be the largest value for which $x_{n+1}=0$. Find $x_k$ in terms of $n$ and $k$, $1\leq k\leq n$. \| Clearly $x_{n+1}$ is a polynomial in $c$ of degree $n$, so it suffices to identify $n$ values of $c$ for which $x_{n+1} = 0$. We claim these are $c = n-1-2r$ for $r=0,1,\dots, n-1$; in this case, $x_k$ is the coefficient of $t^{k-1}$ in the polynomial $f(t) = (1-t)^r (1+t)^{n-1-r}$. This can be verified by noticing that $f$ satisfies the differential equation [ f'(t)/f(t) = n-1-r/1+t - r/1-t ] (by logarithmic differentiation) or equivalently, (1-t^2) f'(t) &= f(t) [(n-1-r)(1-t) - r(1+t)] \ &= f(t) [(n-1-2r) - (n-1)t] and then taking the coefficient of $t^{k}$ on both sides: \begin{gather} (k+1) x_{k+2} - (k-1) x_k = \ (n-1-2r) x_{k+1} - (n-1) x_{k}. \end{gather} In particular, the largest such $c$ is $n-1$, and $x_k = \binom{n-1}{k-1}$ for $k= 1, 2, \dots, n$. Greg Kuperberg has suggested an alternate approach to show directly that $c=n-1$ is the largest root, without computing the others. Note that the condition $x_{n+1} = 0$ states that $(x_1, \dots, x_n)$ is an eigenvector of the matrix [ A_{ij} = \left{ \begin{array}{cc} i & j = i + 1 \ n-j & j=i-1 \ 0&\mbox{otherwise} \end{array} \right. ] with eigenvalue $c$. By the Perron-Frobenius theorem, $A$ has a unique eigenvector with positive entries, whose eigenvalue has modulus greater than or equal to that of any other eigenvalue, which proves the claim. \| ( x_k = \binom{n-1}{k-1} ) \| (\boxed{x_k = \binom{n-1}{k-1}}) \| \| Let ${x}$ denote the distance between the real number $x$ and the nearest integer. For each positive integer $n$, evaluate [F_n=\sum_{m=1}^{6n-1} \min({m/6n},{m/3n}).] (Here $\min(a,b)$ denotes the minimum of $a$ and $b$.) \| It is trivial to check that $m/6n={m/6n}\leq {m/3n}$ for $1\leq m\leq 2n$, that $1-m/3n={m/3n}\leq {m/6n}$ for $2n\leq m\leq 3n$, that $m/3n-1={m/3n}\leq {m/6n}$ for $3n\leq m\leq 4n$, and that $1-m/6n={m/6n}\leq {m/3n}$ for $4n\leq m\leq 6n$. Therefore the desired sum is \begin{gather} \sum_{m=1}^{2n-1} m/6n +\sum_{m=2n}^{3n-1} \left(1-m/3n \right) \ +\sum_{m=3n}^{4n-1} \left(m/3n-1 \right) + \sum_{m=4n}^{6n-1} \left( 1-m/6n \right) =n. \end{gather} \| n \| (\boxed{n}) \| \| Let $f$ be a twice-differentiable real-valued function satisfying [f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x),] where $g(x)\geq 0$ for all real $x$. Prove that $\|f(x)\|$ is bounded. \| It suffices to show that $\|f(x)\|$ is bounded for $x \geq 0$, since $f(-x)$ satisfies the same equation as $f(x)$. But then d/dx\left( (f(x))^2 + (f'(x))^2 \right) &= 2f'(x)(f(x)+f''(x)) \ &= -2xg(x)(f'(x))^2 \leq 0, so that $(f(x))^2 \leq (f(0))^2 + (f'(0))^2$ for $x\geq 0$. \| (\|f(x)\|) is bounded. \| (\boxed{\|f(x)\| \text{ is bounded.}}) \| \| For each positive integer $n$, write the sum $\sum_{m=1}^n 1/m$ in the form $p_n/q_n$, where $p_n$ and $q_n$ are relatively prime positive integers. Determine all $n$ such that 5 does not divide $q_n$. \| The only such $n$ are the numbers 1--4, 20--24, 100--104, and 120--124. For the proof let [H_n=\sum_{m=1}^n 1/m] and introduce the auxiliary function [I_n=\sum_{1\leq m\leq n, (m,5)=1} 1/m.] It is immediate (e.g., by induction) that $I_n\equiv 1,-1,1,0,0$ (mod $5$) for $n\equiv 1,2,3,4,5$ (mod 5) respectively, and moreover, we have the equality [\label{()} H_n= \sum_{m=0}^k 1/5^m I_{\lfloor n/5^m \rfloor},] where $k=k(n)$ denotes the largest integer such that $5^k\leq n$. We wish to determine those $n$ such that the above sum has nonnegative 5--valuation. (By the 5--valuation of a number $a$ we mean the largest integer $v$ such that $a/5^v$ is an integer.) If $\lfloor n/5^k \rfloor\leq 3$, then the last term in the above sum has 5--valuation $-k$, since $I_1$, $I_2$, $I_3$ each have valuation 0; on the other hand, all other terms must have 5--valuation strictly larger than $-k$. It follows that $H_n$ has 5--valuation exactly $-k$; in particular, $H_n$ has nonnegative 5--valuation in this case if and only if $k=0$, i.e., $n=1$, 2, or 3. Suppose now that $\lfloor n/5^k \rfloor=4$. Then we must also have $20\leq \lfloor n/5^{k-1}\rfloor \leq 24$. The former condition implies that the last term of the above sum is $I_4/5^k=1/(12\cdot 5^{k-2})$, which has 5--valuation $-(k-2)$. It is clear that $I_{20}\equiv I_{24}\equiv 0$ (mod 25); hence if $\lfloor n/5^{k-1}\rfloor$ equals 20 or 24, then the second--to--last term of the above sum (if it exists) has valuation at least $-(k-3)$. The third--to--last term (if it exists) is of the form $I_r/5^{k-2}$, so that the sum of the last term and the third to last term takes the form $(I_r+1/12)/5^{k-2}$. Since $I_r$ can be congruent only to 0,1, or -1 (mod 5), and $1/12\equiv 3$ (mod 5), we conclude that the sum of the last term and third--to--last term has valuation $-(k-2)$, while all other terms have valuation strictly higher. Hence $H_n$ has nonnegative 5--valuation in this case only when $k\leq 2$, leading to the values $n=4$ (arising from $k=0$), 20,24 (arising from $k=1$ and $\lfloor n/5^{k-1}\rfloor = 20$ and 24 resp.), 101, 102, 103, and 104 (arising from $k=2$, $\lfloor n/5^{k-1}\rfloor = 20$) and 120, 121, 122, 123, and 124 (arising from $k=2$, $\lfloor n/5^{k-1}\rfloor=24$). Finally, suppose $\lfloor n/5^k \rfloor=4$ and $\lfloor n/5^{k-1} \rfloor=21$, 22, or 23. Then as before, the first condition implies that the last term of the sum in () has valuation $-(k-2)$, while the second condition implies that the second--to--last term in the same sum has valuation $-(k-1)$. Hence all terms in the sum () have 5--valuation strictly higher than $-(k-1)$, except for the second--to--last term, and therefore $H_n$ has 5--valuation $-(k-1)$ in this case. In particular, $H_n$ is integral (mod 5) in this case if and only if $k\leq 1$, which gives the additional values $n=21$, 22, and 23. \| 1, 2, 3, 4, 20, 21, 22, 23, 24, 100, 101, 102, 103, 104, 120, 121, 122, 123, 124 \| (\boxed{1, 2, 3, 4, 20, 21, 22, 23, 24, 100, 101, 102, 103, 104, 120, 121, 122, 123, 124}) \| \| Let $a_{m,n}$ denote the coefficient of $x^n$ in the expansion of $(1+x+x^2)^m$. Prove that for all [integers] $k\geq 0$, [0\leq \sum_{i=0}^{\lfloor 2k/3\rfloor} (-1)^i a_{k-i,i}\leq 1.] \| Let $s_k = \sum_i (-1)^{i} a_{k-1,i}$ be the given sum (note that $a_{k-1,i}$ is nonzero precisely for $i = 0, \dots, \lfloor 2k/3 \rfloor)$. Since [ a_{m+1,n} = a_{m,n} + a_{m,n-1} + a_{m,n-2}, ] we have s_k - s_{k-1} + s_{k+2} &= \sum_i (-1)^i (a_{n-i,i} + a_{n-i,i+1} + a_{n-i,i+2}) \ &= \sum_i (-1)^i a_{n-i+1,i+2} = s_{k+3}. By computing $s_0 = 1, s_1 = 1, s_2 = 0$, we may easily verify by induction that $s_{4j} = s_{4j+1} = 1$ and $s_{4j+2} = s_{4j+3} = 0$ for all $j \geq 0$. (Alternate solution suggested by John Rickert: write $S(x,y) = \sum_{i=0}^\infty (y+xy^2+x^2y^3)^i$, and note note that $s_k$ is the coefficient of $y^k$ in $S(-1,y) = (1+y)/(1-y^4)$.) \| 0 \| (\boxed{0 \leq \sum_{i=0}^{\lfloor 2k/3\rfloor} (-1)^i a_{k-i,i} \leq 1}) \| \| Prove that for $n\geq 2$, [ \overbrace{2^{2^{\cdots^{2}}}}^{\mbox{$n$ terms}} \equiv \overbrace{2^{2^{\cdots^{2}}}}^{\mbox{$n-1$ terms}} \quad \pmod{n}. ] \| Define the sequence $x_1 = 2$, $x_n = 2^{x_{n-1}}$ for $n > 1$. It suffices to show that for every $n$, $x_m \equiv x_{m+1} \equiv \cdots \pmod n$ for some $m < n$. We do this by induction on $n$, with $n=2$ being obvious. Write $n = 2^a b$, where $b$ is odd. It suffices to show that $x_m \equiv \cdots$ modulo $2^a$ and modulo $b$, for some $m < n$. For the former, we only need $x_{n-1} \geq a$, but clearly $x_{n-1} \geq n$ by induction on $n$. For the latter, note that $x_m \equiv x_{m+1} \equiv \cdots \pmod b$ as long as $x_{m-1} \equiv x_m \equiv \cdots \pmod{\phi(b)}$, where $\phi(n)$ is the Euler totient function. By hypothesis, this occurs for some $m < \phi(b) + 1 \leq n$. (Thanks to Anoop Kulkarni for catching a lethal typo in an earlier version.) \| (\boxed{x_m \equiv x_{m+1} \equiv \cdots \pmod{n}}) \| (\boxed{x_m \equiv x_{m+1} \equiv \cdots \pmod{n}}) \| \| The dissection of the 3--4--5 triangle shown below (into four congruent right triangles similar to the original) has diameter $5/2$. Find the least diameter of a dissection of this triangle into four parts. (The diameter of a dissection is the least upper bound of the distances between pairs of points belonging to the same part.) \| The answer is $25/13$. Place the triangle on the cartesian plane so that its vertices are at $C=(0,0), A=(0,3), B=(4,0)$. Define also the points $D=(20/13,24/13),$ and $E=(27/13,0)$. We then compute that 25/13 &= AD=BE=DE\ 27/13 &= BC - CE = BE < BC \ 39/13 &= AC < \sqrt{AC^2 + CE^2} = AE \ 40/13 &= AB - AD = BD < AB and that $AD < CD$. In any dissection of the triangle into four parts, some two of $A,B,C,D,E$ must belong to the same part, forcing the least diameter to be at least $25/13$. We now exhibit a dissection with least diameter $25/13$. (Some variations of this dissection are possible.) Put $F = (15/13, 19/13)$, $G = (15/13, 0)$, $H = (0, 19/13)$, $J = (32/15, 15/13)$, and divide $ABC$ into the convex polygonal regions $ADFH$, $BEJ$, $CGFH$, $DFGEJ$. To check that this dissection has least diameter $25/13$, it suffices (by the following remark) to check that the distances \begin{gather} AD, AF, AH, BE, BJ, DE, CF, CG, CH, \ DF, DG, DH, DJ, EF, EG, EJ, FG, FH, FJ, GJ \end{gather} are all at most $25/13$. This can be checked by a long numerical calculation, which we omit in favor of some shortcuts: note that $ADFH$ and $BEJ$ are contained in circular sectors centered at $A$ and $B$, respectively, of radius $25/13$ and angle less than $\pi/3$, while $CGFH$ is a rectangle with diameter $CF < 25/13$. \noindent \textbf{Remark.} The preceding argument uses implicitly the fact that for $P$ a simple closed polygon in the plane, if we let $S$ denote the set of points on or within $P$, then the maximum distance between two points of $S$ occurs between some pair of vertices of $P$. This is an immediate consequence of the compactness of $S$ (which guarantees the existence of a maximum) and the convexity of the function taking $(x,y) \in S \times S$ to the squared distance between $x$ and $y$ (which is obvious in terms of Cartesian coordinates). \| 25/13 \| (\boxed{25/13}) \| \| Let $A$ and $B$ be points on the same branch of the hyperbola $xy=1$. Suppose that $P$ is a point lying between $A$ and $B$ on this hyperbola, such that the area of the triangle $APB$ is as large as possible. Show that the region bounded by the hyperbola and the chord $AP$ has the same area as the region bounded by the hyperbola and the chord $PB$. \| \textbf{First solution:} Without loss of generality, assume that $A$ and $B$ lie in the first quadrant with $A = (t_1,1/t_1)$, $B = (t_2,1/t_2)$, and $t_1 0$, the map $(x,y) \mapsto (\lambda x, \lambda^{-1} y)$ preserves both areas and the hyperbola $xy=1$. We may thus rescale the picture so that $A,B$ are symmetric across the line $y=x$, with $A$ above the line. As $P$ moves from $A$ to $B$, the area of $APB$ increases until $P$ passes through the point $(1,1)$, then decreases. Consequently, $P = (1,1)$ achieves the maximum area, and the desired equality is obvious by symmetry. Alternatively, since the hyperbola is convex, the maximum is uniquely achieved at the point where the tangent line is parallel to $AB$, and by symmetry that point is $P$. \| The region bounded by the hyperbola and the chord $AP$ has the same area as the region bounded by the hyperbola and the chord $PB$. \| (\boxed{\text{The region bounded by the hyperbola and the chord } AP \text{ has the same area as the region bounded by the hyperbola and the chord } PB.}) \| \| Let $a_0=1$, $a_1=2$, and $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}$ for $n\geq 2$. Find an odd prime factor of $a_{2015}$. \| \noindent \textbf{First solution:} One possible answer is $181$. By induction, we have $a_n = ((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n)/2 = (\alpha^n+\beta^n)/2$ for all $n$, where $\alpha = 2+\sqrt{3}$ and $\beta = 2-\sqrt{3}$. Now note that if $k$ is an odd positive integer and $a_n \neq 0$, then $a_{kn}/a_n = \alpha^{kn}+\beta^{kn}/\alpha^n+\beta^n = \alpha^{(k-1)n}-\alpha^{(k-2)n}\beta^n+\cdots-\alpha^n\beta^{(k-2)n}+\beta^{(k-1)n}$. This expression is both rational (because $a_n$ and $a_{kn}$ are integers) and of the form $a+b\sqrt{3}$ for some integers $a,b$ by the expressions for $\alpha,\beta$; it follows that it must be an integer, and so $a_{kn}$ is divisible by $a_n$. Applying this to $n=5$ and $k=403$, we find that $a_{2015}$ is divisible by $a_5 = 362$ and thus by $181$. \noindent \textbf{Second solution:} By rewriting the formula for $a_n$ as $a_{n-2} = 4a_{n-1} - a_n$, we may extend the sequence backwards to define $a_n$ for all integers $n$. Since $a_{-1} = 2$, we may see by induction that $a_{-n} = a_n$ for all $n$. For any integer $m$ and any prime $p$ dividing $a_m$, $p$ also divides $a_{-m}$; on the other hand, $p$ cannot divide $a_{-m+1}$, as otherwise $p$ would also divide $a_{-m+2}, \dots, a_0 = 1$, a contradiction. We can thus find an integer $k$ such that $a_{m+1} \equiv k a_{-m+1} \pmod{p}$; by induction on $n$, we see that $a_n \equiv k a_{n-2m} \pmod{p}$ for all $n$. In particular, if $k$ is odd, then $p$ also divides $a_{km}$; we thus conclude (again) that $a_{2015}$ is divisible by $a_5 = 362$ and thus by $181$. \noindent \textbf{Remark:} Although it was not needed in the solution, we note in passing that if $a_n \equiv 0 \pmod{p}$, then $a_{2n+k} \equiv -a_{k} \pmod{p}$ for all $k$. \noindent \textbf{Remark:} One can find other odd prime factors of $a_{2015}$ in the same manner. For example, $a_{2015}$ is divisible by each of the following quantities. (The prime factorizations were computed using the \texttt{Magma} computer algebra system.) a_{13} &= 2 \times 6811741 \ a_{31} &= 2 \times 373 \times 360250962984637 \ a_{5 \cdot 13} &= 2 \times 181 \times 6811741 \ &\quad \times 3045046274679316654761356161 \ a_{5 \cdot 31} &= 1215497709121 \times 28572709494917432101 \ &\quad \times 13277360555506179816997827126375881581 \ a_{13 \cdot 31} &= 2 \times 373 \times 193441 \times 6811741 \times 360250962984637 \ &\quad \times 16866100753000669 \ &\quad \times 79988387992470656916594531961 \times p_{156} where $p_{156}$ is a prime of 156 decimal digits. Dividing $a_{2015}$ by the product of the primes appearing in this list yields a number $N$ of 824 decimal digits which is definitely not prime, because $2^N \not\equiv 2 \pmod{N}$, but whose prime factorization we have been unable to establish. Note that $N$ is larger than a 2048-bit RSA modulus, so the difficulty of factoring it is not surprising. One thing we can show is that each prime factor of $N$ is %divisible by congruent to $1$ modulo $6 \times 2015 = 12090$, thanks to the following lemma. \begin{lemma} Let $n$ be an odd integer. Then any odd prime factor $p$ of $a_n$ which does not divide $a_m$ for any divisor $m$ of $n$ is congruent to $1$ modulo $\lcm(6,n)$. (By either solution of the original problem, $p$ also does not divide $a_m$ for any positive integer $m<n$.) \end{lemma} \begin{proof} We first check that $p \equiv 1 \pmod{3}$. In $\FF_q = \FF_p(\sqrt{3})$ we have $(\alpha/\beta)^n \equiv -1$. If $p \equiv 2 \pmod{3}$, then $q = p^2$ and $\alpha$ and $\beta$ are conjugate in $p$; consequently, the equality $\alpha^n = -\beta^n$ in $\FF_{q^2}$ means that $\alpha^n = c \sqrt{3}$, $\beta^n = - c \sqrt{3}$ for some $c \in \FF_p$. But then $-3c^2 = \alpha^n \beta^n = 1$ in $\FF_q$ and hence in $\FF_p$, which contradicts $p \equiv 2 \pmod{3}$ by quadratic reciprocity. By the previous paragraph, $\alpha$ and $\beta$ may be identified with elements of $\FF_p$, and we have $(\alpha/\beta)^n \equiv -1$, but the same does not hold with $n$ replaced by any smaller value. Since $\FF_p^\times$ is a cyclic group of order $p-1$, this forces $p \equiv 1 \pmod{n}$ as claimed. \end{proof} \| 181 \| (\boxed{181}) \| \| Compute [ \log_2 \left( \prod_{a=1}^{2015} \prod_{b=1}^{2015} (1+e^{2\pi i a b/2015}) \right) ] Here $i$ is the imaginary unit (that is, $i^2=-1$). \| The answer is $13725$. We first claim that if $n$ is odd, then $\prod_{b=1}^{n} (1+e^{2\pi i ab/n}) = 2^{\gcd(a,n)}$. To see this, write $d = \gcd(a,n)$ and $a = da_1$, $n=dn_1$ with $\gcd(a_1,n_1) = 1$. Then $a_1, 2a_1,\dots,n_1 a_1$ modulo $n_1$ is a permutation of $1,2,\dots,n_1$ modulo $n_1$, and so $\omega^{a_1},\omega^{2a_1},\dots,\omega^{n_1 a_1}$ is a permutation of $\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n_1}$; it follows that for $\omega = e^{2\pi i/n_1}$, [ \prod_{b=1}^{n_1} (1+e^{2\pi i a b/n}) = \prod_{b=1}^{n_1} (1+e^{2\pi i a_1 b/n_1}) = \prod_{b=1}^{n_1} (1+\omega^b). ] Now since the roots of $z^{n_1}-1$ are $\omega,\omega^2,\ldots,\omega^{n_1}$, it follows that $z^{n_1}-1 = \prod_{b=1}^{n_1} (z-\omega^b)$. Setting $z=-1$ and using the fact that $n_1$ is odd gives $\prod_{b=1}^{n_1} (1+\omega^b) = 2$. Finally, $\prod_{b=1}^{n} (1+e^{2\pi i ab/n}) = (\prod_{b=1}^{n_1} (1+e^{2\pi i ab/n}))^d = 2^d$, and we have proven the claim. From the claim, we find that &\log_2 \left( \prod_{a=1}^{2015} \prod_{b=1}^{2015} (1+e^{2\pi i a b/2015}) \right) \ &= \sum_{a=1}^{2015} \log_2 \left(\prod_{b=1}^{2015} (1+e^{2\pi i a b/2015}) \right) \ &= \sum_{a=1}^{2015} \gcd(a,2015). Now for each divisor $d$ of $2015$, there are $\phi(2015/d)$ integers between $1$ and $2015$ inclusive whose $\gcd$ with $2015$ is $d$. Thus [ \sum_{a=1}^{2015} \gcd(a,2015) = \sum_{d\|2015} d\cdot \phi(2015/d). ] We factor $2015 = pqr$ with $p=5$, $q=13$, and $r=31$, and calculate &\sum_{d\|pqr} d\cdot \phi(pqr/d) \ &= 1 \cdot (p-1)(q-1)(r-1) + p \cdot (q-1)(r-1) \ &\quad + q\cdot (p-1)(r-1) + r\cdot (p-1)(q-1) + pq \cdot (r-1) \ & \quad + pr\cdot (q-1) + qr\cdot (p-1) + pqr \cdot 1 \ &\quad = (2p-1)(2q-1)(2r-1). When $(p,q,r) = (5,13,31)$, this is equal to $13725$. \noindent \textbf{Remark:} Noam Elkies suggests the following similar but shorter derivation of the equality $\prod_{b=1}^{n_1} (1 + \omega^b) = 2$: write [ \prod_{b=1}^{n_1-1} (1 + \omega^b) = \prod_{b=1}^{n_1 - 1} (1 - \omega^{2b})/\prod_{b=1^{n_1-1} (1 - \omega^b)} ] and note (as above) that $\omega^2, \omega^{4}, \dots, \omega^{2(n_1-1)}$ is a permutation of $\omega, \dots, \omega^{n_1-1}$, so the two products in the fraction are equal. \noindent \textbf{Remark:} The function $f(n) = \sum_{d\|n} d\cdot \phi(n/d)$ is multiplicative: for any two coprime positive integers $m,n$, we have $f(mn) = f(m) f(n)$. This follows from the fact that $f(n)$ is the convolution of the two multiplicative functions $n \mapsto n$ and $n \mapsto \phi(n)$; it can also be seen directly using the Chinese remainder theorem. \| 13725 \| (\boxed{13725}) \| \| For each real number $x$, let [ f(x) = \sum_{n\in S_x} 1/2^n, ] where $S_x$ is the set of positive integers $n$ for which $\lfloor nx \rfloor$ is even. What is the largest real number $L$ such that $f(x) \geq L$ for all $x \in [0,1)$? (As usual, $\lfloor z \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $z$.) \| The answer is $L = 4/7$. For $S \subset \mathbb{N}$, let $F(S) = \sum_{n\in S} 1/2^n$, so that $f(x) = F(S_x)$. Note that for $T = {1,4,7,10,\ldots}$, we have $F(T) = 4/7$. We first show by contradiction that for any $x \in [0,1)$, $f(x) \geq 4/7$. Since each term in the geometric series $\sum_n 1/2^n$ is equal to the sum of all subsequent terms, if $S,S'$ are different subsets of $\mathbb{N}$ and the smallest positive integer in one of $S,S'$ but not in the other is in $S$, then $F(S) \geq F(S')$. Assume $f(x) < 4/7$; then the smallest integer in one of $S_x,T$ but not in the other is in $T$. Now $1 \in S_x$ for any $x \in [0,1)$, and we conclude that there are three consecutive integers $n,n+1,n+2$ that are not in $S_x$: that is, $\lfloor nx\rfloor$, $\lfloor (n+1)x\rfloor$, $\lfloor (n+2)x\rfloor$ are all odd. Since the difference between consecutive terms in $nx$, $(n+1)x$, $(n+2)x$ is $x<1$, we conclude that $\lfloor nx\rfloor = \lfloor (n+1)x\rfloor = \lfloor (n+2)x\rfloor$ and so $x<1/2$. But then $2\in S_x$ and so $f(x) \geq 3/4$, contradicting our assumption. It remains to show that $4/7$ is the greatest lower bound for $f(x)$, $x\in [0,1)$. For any $n$, choose $x = 2/3-\epsilon$ with $0<\epsilon<1/(9n)$; then for $1\leq k\leq n$, we have $0<m\epsilon<1/3$ for $m \leq 3n$, and so \lfloor (3k-2)x \rfloor &= \lfloor (2k-2)+2/3-(3k-2)\epsilon \rfloor = 2k-2 \ \lfloor (3k-1)x \rfloor &= \lfloor (2k-1)+1/3-(3k-1)\epsilon \rfloor = 2k-1 \ \lfloor (3k)x \rfloor &= \lfloor (2k-1)+1-3k\epsilon \rfloor = 2k-1. It follows that $S_x$ is a subset of $S = {1,4,7,\ldots,3n-2,3n+1,3n+2,3n+3,\ldots}$, and so $f(x) = F(S_x) \leq f(S) = (1/2+1/2^4+\cdots+1/2^{3n+1})+1/2^{3n+1}$. This last expression tends to $4/7$ as $n\to\infty$, and so no number greater than $4/7$ can be a lower bound for $f(x)$ for all $x\in [0,1)$. \| 4/7 \| (\boxed{4/7}) \| \| Let $q$ be an odd positive integer, and let $N_q$ denote the number of integers $a$ such that $0 < a < q/4$ and $\gcd(a,q) = 1$. Show that $N_q$ is odd if and only if $q$ is of the form $p^k$ with $k$ a positive integer and $p$ a prime congruent to $5$ or $7$ modulo $8$. \| \textbf{First solution:} By inclusion-exclusion, we have N_q &= \sum_{d\|q} \mu(d) \left\lfloor \lfloor q/4\rfloor/d \right\rfloor \ &= \sum_{d\|q} \mu(d) \left\lfloor q/d/4 \right\rfloor \ &\equiv \sum_{d\|q \mbox{\, \small squarefree}} \left\lfloor q/d/4 \right\rfloor \pmod{2}, where $\mu$ is the M\"obius function. Now [ \left\lfloor q/d/4 \right\rfloor \equiv \begin{cases} 0 \pmod{2} & \mbox{if } q/d\equiv 1, 3 \pmod{8} \ 1 \pmod{2} & \mbox{if } q/d\equiv 5, 7 \pmod{8}. \end{cases} ] So $N_q$ is odd if and only if $q$ has an odd number of squarefree factors $q/d$ congruent to $5$ or $7$ (mod~8). If $q$ has a prime factor $p$ congruent to 1 or 3 (mod~8), then the squarefree factors $d$ of $q$ occur in pairs $c,pc$, which are either both 1 or 3 (mod~8) or both 5 or 7 (mod~8). Hence $q$ must have an even number of factors that are congruent to $5$ or $7$ (mod~8), and so $N_q$ is even in this case. If $q$ has two prime factors $p_1$ and $p_2$, each congruent to either 5 or 7 (mod~8), then the squarefree factors $d$ of $q$ occur in quadruples $d,p_1d,q_1d,p_1q_1d$, which are then congruent respectively to some permutation of 1,3,5,7 (mod~8) (if $p_1$ and $p_2$ are distinct mod 8) or are congruent respectively to $d,p_1d,p_1d,d$ (mod~8). Either way, we see that exactly two of the four residues are congruent to $5$ or $7$ (mod~8). Thus again $q$ must have an even number of factors that are $5$ or $7$ (mod~8), and so $N_q$ is even in this case as well. If $q=1$, then $N_q=0$ is even. The only case that remains is that $q=p^k$ is a positive power of a prime $p$ congruent to 5 or 7 (mod~8). In this case, $q$ has two squarefree factors, $1$ and $p$, of which exactly one is congruent to $5$ or $7$ (mod~8). We conclude that $N_q$ is odd in this case, as desired. \noindent \textbf{Second solution:} Consider the set $S$ of all integers in ${1,\ldots,q-1}$ that are even and relatively prime to $q$. Then the product of all elements in $S$ is [ 2^{\phi(q)/2}\prod_{{1\leq a\leq (q-1)/2}\atop{(a,q)=1}} a. ] On the other hand, we can rewrite the set of elements in $S \pmod{q}$ as a set $T$ of residues in the interval $[-(q-1)/2,(q-1)/2]$. Then for each $1\leq a\leq (q-1)/2$ with $(a,q)=1$, $T$ contains exactly one element from ${a,-a}$: if $-2r \equiv 2s \pmod{q}$ for some $r,s\in{1,\ldots,(q-1)/2}$, then $r \equiv -s \pmod{q}$, which is impossible given the ranges of $r$ and $s$. Thus the product of all elements in $T$ is [ (-1)^n \prod_{{1\leq a\leq (q-1)/2}\atop{(a,q)=1}} a, ] where $n$ denotes the number of elements of $S$ greater than $(q-1)/2$. We conclude that $(-1)^n \equiv 2^{\phi(q)/2} \pmod{q}$. However, note that the number of elements of $S$ less than $(q-1)/2$ is equal to $N_q$, since dividing these numbers by 2 gives exactly the numbers counted by $N_q$. Hence the total cardinality of $S$ is $N_q + n$; however, this cardinality also equals $\phi(q)/2$ because the numbers in ${1,\dots,q-1}$ relatively prime to $q$ come in pairs ${a,q-a}$ in each of which exactly one member is even. We thus obtain (-1)^{N_q} &= (-1)^{\phi(q)/2 + n} \ &\equiv (-1)^{\phi(q)/2} 2^{\phi(q)/2} = (-2)^{\phi(q)/2} \pmod{q}. If $q=1$, then $N_q$ is even. If $q$ has more than one prime factor, then the group $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ has exponent dividing $\phi(q)/2$, so $(-1)^{N_q}\equiv (-2)^{\phi(q)/2} \equiv 1 \pmod{q}$, and thus $N_q$ must be even in this case as well. Finally, suppose that $q$ is a prime power $p^k$ with $p$ odd and $k$ positive. Since $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ is a cyclic group of order $\phi(q)=p^{k-1}(p-1)$, in which the only square roots of unity are $\pm 1$, it follows that $(-2)^{\phi(q)/2}\equiv \pm 1 \pmod{q}$ in accordance with whether $(-2)^{(p-1)/2} \equiv \pm 1 \pmod{p}$, i.e., whether $-2$ is a quadratic residue or nonresidue. But recall that $-2$ is a quadratic residue modulo $p$ if and only if $p\equiv 1, 3 \pmod{8}$. Thus $N_q$ is odd in this case if and only if $p\equiv 5$ or $7 \pmod{8}$. We conclude that for any odd integer $q\geq 1$, the quantity $N_q$ is odd if and only if $q=p^k$ with $k$ positive and $p$ a prime that is 5 or 7 (mod~8). \noindent \textbf{Remark:} The combination of the two solutions recovers Gauss's criterion for when $-2$ is a quadratic residue modulo $p$, with essentially the original proof. \| ( q ) is of the form \| (\boxed{q \text{ is of the form } p^k \text{ with } k \text{ a positive integer and } p \text{ a prime congruent to } 5 \text{ or } 7 \text{ modulo } 8}) \| \| Let $n$ be a positive integer. Suppose that $A$, $B$, and $M$ are $n\times n$ matrices with real entries such that $AM = MB$, and such that $A$ and $B$ have the same characteristic polynomial. Prove that $\det(A-MX) = \det(B-XM)$ for every $n\times n$ matrix $X$ with real entries. \| \textbf{First solution:} (by Noam Elkies) Using row and column operations, we may construct invertible matrices $U,V$ such that $U^{-1} M V$ is a block diagonal matrix of the form [ \begin{pmatrix} I & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}. ] Put $A' = U^{-1} A U, M' = U^{-1} M V, B' = V^{-1} B V$, $X' = V^{-1} X U$, so that $A' M' = M' B'$, $\det(A-MX) = \det(U^{-1}(A-MX)U) = \det(A' - M'X')$, and $\det(B-XM) = \det(V^{-1}(B-XM)V) = \det(B' - X'M')$. Form the corresponding block decompositions [ A' = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}, B' = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}, X' = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \ X_{21} & X_{22} \end{pmatrix}. ] We then have [ A' M' = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \ A_{21} & 0 \end{pmatrix}, \qquad M' B' = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \ 0 & 0 \end{pmatrix}, ] so we must have $A_{11} = B_{11}$ and $A_{21} = B_{12} = 0$; in particular, the characteristic polynomial of $A$ is the product of the characteristic polynomials of $A_{11}$ and $A_{22}$, and the characteristic polynomial of $B$ is the product of the characteristic polynomials of $B_{11}$ and $B_{22}$. Since $A_{11} = B_{11}$, it follows that $A_{22}$ and $B_{22}$ have the same characteristic polynomial. Since [ X' M' = \begin{pmatrix} X_{11} & 0 \ X_{21} & 0 \end{pmatrix}, \qquad M' X' = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \ 0 & 0 \end{pmatrix}, ] we conclude that \det(A-MX) &= \det(A'-M'X') \ &= \det \begin{pmatrix} A_{11}-X_{11} & A_{12} - X_{12} \ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \ &= \det(A_{11}-X_{11}) \det(A_{22}) \ &= \det(B_{11}-X_{11}) \det(B_{22}) \ &= \det \begin{pmatrix} B_{11}-X_{11} & 0 \ B_{21}-X_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \ &= \det(B'-X'M') \ &= \det(B-XM), as desired. (By similar arguments, $A-MX$ and $B-XM$ have the same characteristic polynomial.) \noindent \textbf{Second solution:} We prove directly that $A-MX$ and $B-XM$ have the same characteristic polynomial, i.e., for any $t \in \mathbb{R}$, writing $A_t = A-tI$, $B_t = B-tI$, we have [ \det(A_t - MX) = \det(B_t - XM). ] For fixed $A,B,M$, the stated result is a polynomial identity in $t$ and the entries of $X$. It thus suffices to check it assuming that $A_t,B_t, X$ are all invertible. Since $AM = MB$, we also have $A_t M = M B_t$, so $A_tMB_t^{-1} = M$. Since $\det(A_t) = \det(B_t)$ by hypothesis, \det(A_t - MX) &= \det (A_t - A_tM B_t^{-1} X)\ &= \det(A_t) \det(1 - M B_t^{-1} X) \ &= \det(A_t) \det(X) \det(B_t)^{-1} \det(X^{-1} B_t - M) \ &= \det(X) \det(X^{-1} B_t - M) \ &= \det(B_t - XM). \noindent \textbf{Remark:} One can also assert directly that $\det(1 - M B_t^{-1} X) = \det(1 - X M B_t^{-1})$ using the fact that for any square matrices $U$ and $V$, $UV$ and $VU$ have the same characteristic polynomial; the latter is again proved by reducing to the case where one of the two matrices is invertible, in which case the two matrices are similar. \noindent \textbf{Third solution:} (by Lev Borisov) We will check that for each positive integer $k$, [ \Trace((A-MX)^k) = \Trace((B- XM)^k). ] This will imply that $A-MX$ and $B-XM$ have the same characteristic polynomial, yielding the desired result. We establish the claim by expanding both sides and comparing individual terms. By hypothesis, $A^k$ and $B^k$ have the same characteristic polynomial, so $\Trace(A^k) = \Trace(B^k)$. To compare the other terms, it suffices to check that for any sequence $i_1, i_2,\dots, i_m$ of nonnegative integers, & \Trace(A^{i_1} MX A^{i_2} MX \cdots A^{i_{m-1}} MX A^{i_m})\ &\quad = \Trace(B^{i_1} XM B^{i_2} XM \cdots B^{i_{m-1}} XM B^{i_m}). To establish this equality, first apply the remark following the previous solution to write & \Trace(A^{i_1} MX A^{i_2} MX \cdots A^{i_{m-1}} MX A^{i_m})\ &\quad = \Trace(A^{i_m + i_1} MX A^{i_2} MX \cdots A^{i_{m-1}} MX). Then apply the relation $AM = MB$ repeatedly to commute $M$ past $A$, to obtain [ \Trace(M B^{i_m + i_1} X M B^{i_2} XM \cdots XM B^{i_{m-1}} X). ] Finally, apply the remark again to shift $MB^{i_m}$ from the left end to the right end. \noindent \textbf{Remark:} The conclusion holds with $\RR$ replaced by an arbitrary field. In the second solution, one must reduce to the case of an infinite field, e.g., by replacing the original field with an algebraic closure. The third solution only applies to fields of characteristic 0 or positive characteristic greater than $n$. \noindent \textbf{Remark:} It is tempting to try to reduce to the case where $M$ is invertible, as in this case $A-MX$ and $B-XM$ are in fact similar. However, it is not clear how to make such an argument work. \| (\det(A-MX) = \det(B-XM)) \| (\boxed{\det(A-MX) = \det(B-XM)}) \| \| Let $f$ be a three times differentiable function (defined on $\mathbb{R}$ and real-valued) such that $f$ has at least five distinct real zeros. Prove that $f + 6f' + 12f'' + 8f'''$ has at least two distinct real zeros. \| Let $g(x) = e^{x/2} f(x)$. Then $g$ has at least $5$ distinct real zeroes, and by repeated applications of Rolle's theorem, $g', g'', g'''$ have at least $4,3,2$ distinct real zeroes, respectively. But [ g'''(x) = 1/8 e^{x/2} (f(x) + 6 f'(x) + 12 f''(x) + 8 f'''(x)) ] and $e^{x/2}$ is never zero, so we obtain the desired result. \| (f + 6f' + 12f'' + 8f''') has at least two distinct real zeros. \| (\boxed{f + 6f' + 12f'' + 8f''' \text{ has at least two distinct real zeros}}) \| \| Given a list of the positive integers $1,2,3,4,\dots$, take the first three numbers $1,2,3$ and their sum $6$ and cross all four numbers off the list. Repeat with the three smallest remaining numbers $4,5,7$ and their sum $16$. Continue in this way, crossing off the three smallest remaining numbers and their sum, and consider the sequence of sums produced: $6, 16, 27, 36, \dots$. Prove or disprove that there is some number in the sequence whose base 10 representation ends with $2015$. \, \| We will prove that 42015 is such a number in the sequence. Label the sequence of sums $s_0, s_1, \dots$, and let $a_n, b_n, c_n$ be the summands of $s_n$ in ascending order. We prove the following two statements for each nonnegative integer $n$: \begin{enumerate} \| 42015 \| (\boxed{42015}) \| \| Let $S$ be the set of all $2 \times 2$ real matrices [ M = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} ] whose entries $a,b,c,d$ (in that order) form an arithmetic progression. Find all matrices $M$ in $S$ for which there is some integer $k>1$ such that $M^k$ is also in $S$. \| \textbf{First solution:} Any element of $S$ can be written as $M = \alpha A + \beta B$, where $A = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{smallmatrix} \right)$, $B = \left( \begin{smallmatrix} -3 & -1 \ 1 & 3 \end{smallmatrix} \right)$, and $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$. Note that $A^2 = \left( \begin{smallmatrix} 4 & 4 \ 4 & 4 \end{smallmatrix} \right)$ and $B^3 = \left( \begin{smallmatrix} -24 & -8 \ 8 & 24 \end{smallmatrix} \right)$ are both in $S$, and so any matrix of the form $\alpha A$ or $\beta B$, $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, satisfies the given condition. We claim that these are also the only matrices in $S$ satisfying the given condition. Indeed, suppose $M = \alpha A + \beta B$ where $\alpha,\beta \neq 0$. Let $C = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 1/\sqrt{2} \ -1 & 1/\sqrt{2} \end{smallmatrix} \right)$ with inverse $C^{-1} = \left( \begin{smallmatrix} 1/2 & -1/2 \ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{smallmatrix} \right)$. If we define $D = C^{-1}MC$, then $D = 2\alpha \left( \begin{smallmatrix} 0 & \gamma \ \gamma & 1 \end{smallmatrix} \right)$ where $\gamma = -\beta\sqrt{2}/\alpha$. Now suppose that $M^k$ is in $S$ with $k\geq 2$. Since $\left( \begin{smallmatrix} 1 & -1 \end{smallmatrix} \right) A \left( \begin{smallmatrix} 1 \ -1 \end{smallmatrix} \right) = \left( \begin{smallmatrix} 1 & -1 \end{smallmatrix} \right) B \left( \begin{smallmatrix} 1 \ -1 \end{smallmatrix} \right) = 0$, we have $\left( \begin{smallmatrix} 1 & -1 \end{smallmatrix} \right) M^k \left( \begin{smallmatrix} 1 \ -1 \end{smallmatrix} \right) = 0$, and so the upper left entry of $C^{-1} M^k C = D^k$ is $0$. On the other hand, from the expression for $D$, an easy induction on $k$ shows that $D^k = (2\alpha)^k \left( \begin{smallmatrix} \gamma^2 p_{k-1} & \gamma p_k \ \gamma p_k & p_{k+1} \end{smallmatrix} \right)$, where $p_k$ is defined inductively by $p_0 = 0$, $p_1 = 1$, $p_{k+2} = \gamma^2 p_k + p_{k+1}$. In particular, it follows from the inductive definition that $p_k > 0$ when $k \geq 1$, whence the upper left entry of $D^k$ is nonzero when $k \geq 2$, a contradiction. \noindent \textbf{Remark:} A variant of this solution can be obtained by diagonalizing the matrix $M$. \textbf{Second solution:} If $a,b,c,d$ are in arithmetic progression, then we may write [ a = r-3s, b=r-s, c=r+s, d=r+3s ] for some $r,s$. If $s=0$, then clearly all powers of $M$ are in $xS$. Also, if $r=0$, then one easily checks that $M^3$ is in $S$. We now assume $rs\neq 0$, and show that in that case $M$ cannot be in $S$. First, note that the characteristic polynomial of $M$ is $x^2-2rx-8s^2$, and since $M$ is nonsingular (as $s\neq 0$), this is also the minimal polynomial of $M$ by the Cayley-Hamilton theorem. By repeatedly using the relation $M^2=2rM+8s^2I$, we see that for each positive integer, we have $M^k = t_k M + u_k I$ for unique real constants $t_k, u_k$ (uniqueness follows from the independence of $M$ and $I$). Since $M$ is in $S$, we see that $M^k$ lies in $S$ only if $u_k=0$. On the other hand, we claim that if $k>1$, then $rt_k>0$ and $u_k>0$ if $k$ is even, and $t_k>0$ and $ru_k>0$ if $k$ is odd (in particular, $u_k$ can never be zero). The claim is true for $k=2$ by the relation $M^2=2rM+8s^2I$. Assuming the claim for $k$, and multiplying both sides of the relation $M^k = t_k M + u_k I$ by $M$, yields [ M^{k+1} = t_k (2rM+8s^2I) + u_k M = (2rt_k+u_k) M + 8s^2t_k I, ] implying the claim for $k+1$. \noindent \textbf{Remark:} (from \url{artofproblemsolving.com}, user \texttt{hoeij}) Once one has $u_k = 0$, one can also finish using the relation $M \cdot M^k = M^k \cdot M$. \| (\alpha A) or \| (\boxed{\alpha A \text{ or } \beta B, \alpha,\beta \in \mathbb{R}}) \| \| Let $T$ be the set of all triples $(a,b,c)$ of positive integers for which there exist triangles with side lengths $a,b,c$. Express [ \sum_{(a,b,c) \in T} 2^a/3^b 5^c ] as a rational number in lowest terms. \| \textbf{First solution:} The answer is $17/21$. For fixed $b,c$, there is a triangle of side lengths $a,b,c$ if and only if $\|b-c\|c$. Then S_1 &= \sum_{b=1}^\infty \sum_{c=b}^\infty 2^{b+c}-2^{c-b+1}/3^b 5^c \\ &= \sum_{b=1}^\infty \left( \left( \left(2/3\right)^b-2/6^b \right) \sum_{c=b}^\infty \left(2/5 \right)^c \right) \\ &= \sum_{b=1}^\infty \left( \left(2/3\right)^b-2/6^b \right) 5/3 \left( 2/5 \right)^b \\ &= \sum_{b=1}^\infty \left( 5/3 \left(4/15\right)^b - 10/3 \left(1/15\right)^b \right) \\ &= 85/231. Similarly, S_2 &= \sum_{c=1}^\infty \sum_{b=c+1}^\infty 2^{b+c}-2^{b-c+1}/3^b 5^c \\ &= \sum_{c=1}^\infty \left( \left( \left(2/5\right)^c-2/10^c \right) \sum_{b=c+1}^\infty \left(2/3 \right)^b \right) \\ &= \sum_{c=1}^\infty \left( \left(2/5\right)^c-2/10^c \right) 3 \left( 2/3 \right)^{c+1} \\ &= \sum_{c=1}^\infty \left( 2 \left(4/15\right)^c - 4 \left(1/15\right)^c \right) \\ &= 34/77. We conclude that $S = S_1+S_2 = 17/21$. \noindent \textbf{Second solution:} Recall that the real numbers $a,b,c$ form the side lengths of a triangle if and only if \[ s-a, s-b, s-c > 0 \qquad s = a+b+c/2, ] and that if we put $x = 2(s-a), y = 2(s-b), z = 2(s-c)$, [ a = y+z/2, b = z+x/2, c = x+y/2. ] To generate all \emph{integer} triples $(a,b,c)$ which form the side lengths of a triangle, we must also assume that $x,y,z$ are either all even or all odd. We may therefore write the original sum as [ %\sum_{(a,b,c) \in T} 2^a/3^b 5^c %= \sum_{x,y,z >0 \mbox{\small \,odd}} 2^{(y+z)/2}/3^{(z+x)/2 5^{(x+y)/2}} + \sum_{x,y,z >0 \mbox{\small \,even}} 2^{(y+z)/2}/3^{(z+x)/2 5^{(x+y)/2}}. ] To unify the two sums, we substitute in the first case $x = 2u+1, y = 2v+1, z = 2w+1$ and in the second case $x = 2u+2, y = 2v+2, z = 2w+2$ to obtain \sum_{(a,b,c) \in T} 2^a/3^b 5^c &= \sum_{u,v,w=1}^\infty 2^{v+w}/3^{w+u 5^{u+v}} \left( 1 + 2^{-1}/3^{-1 5^{-1}} \right) \ &= 17/2 \sum_{u=1}^\infty \left( 1/15 \right)^u \sum_{v=1}^\infty \left( 2/5 \right)^v \sum_{w=1}^\infty \left( 2/3 \right)^w \ &= 17/2 1/15/1-1/15 2/5/1-2/5 2/3/1-2/3 \ &= 17/21. \| 17/21 \| (\boxed{17/21}) \| \| Let $P_n$ be the number of permutations $\pi$ of ${1,2,\dots,n}$ such that [ \|i-j\| = 1 \mbox{ implies } \|\pi(i) -\pi(j)\| \leq 2 ] for all $i,j$ in ${1,2,\dots,n}$. Show that for $n \geq 2$, the quantity [ P_{n+5} - P_{n+4} - P_{n+3} + P_n ] does not depend on $n$, and find its value. \| The answer is 4. Assume $n \geq 3$ for the moment. We write the permutations $\pi$ counted by $P_n$ as sequences $\pi(1),\pi(2),\ldots,\pi(n)$. Let $U_n$ be the number of permutations counted by $P_n$ that end with $n-1,n$; let $V_n$ be the number ending in $n,n-1$; let $W_n$ be the number starting with $n-1$ and ending in $n-2,n$; let $T_n$ be the number ending in $n-2,n$ but not starting with $n-1$; and let $S_n$ be the number which has $n-1,n$ consecutively in that order, but not at the beginning or end. It is clear that every permutation $\pi$ counted by $P_n$ either lies in exactly one of the sets counted by $U_n, V_n, W_n, T_n, S_n$, or is the reverse of such a permutation. Therefore [ P_n = 2 (U_n + V_n + W_n+ T_n+ S_n). ] By examining how each of the elements in the sets counted by $U_{n+1}, V_{n+1}, W_{n+1}, T_{n+1}, S_{n+1}$ can be obtained from a (unique) element in one of the sets counted by $U_n, V_n, W_n, T_n, S_n$ by suitably inserting the element $n+1$, we obtain the recurrence relations U_{n+1} &= U_n+W_n+T_n, \ V_{n+1}&=U_n, \ W_{n+1}&=W_n, \ T_{n+1}&=V_n, \ S_{n+1}&=S_n+V_n. Also, it is clear that $W_n=1$ for all $n$. So far we have assumed $n \geq 3$, but it is straightforward to extrapolate the sequences $P_n,U_n,V_n,W_n,T_n,S_n$ back to $n=2$ to preserve the preceding identities. Hence for all $n \geq 2$, P_{n+5} &= 2(U_{n+5}+V_{n+5}+W_{n+5}+T_{n+5}+S_{n+5}) \ &= 2((U_{n+4}+W_{n+4}+T_{n+4})+U_{n+4}\ & \qquad + W_{n+4}+V_{n+4}+(S_{n+4}+V_{n+4})) \ &= P_{n+4} + 2(U_{n+4}+W_{n+4}+V_{n+4}) \ &= P_{n+4} + 2((U_{n+3}+W_{n+3}+T_{n+3})+W_{n+3}+U_{n+3}) \ &= P_{n+4} + P_{n+3} + 2(U_{n+3}-V_{n+3}+W_{n+3}-S_{n+3}) \ &= P_{n+4} + P_{n+3} + 2((U_{n+2}+W_{n+2}+T_{n+2})-U_{n+2}\ &\qquad +W_{n+2}-(S_{n+2}-V_{n+2})) \ &= P_{n+4} + P_{n+3} + 2(2W_{n+2}+T_{n+2}-S_{n+2}-V_{n+2}) \ &= P_{n+4} + P_{n+3} + 2(2W_{n+1}+V_{n+1}\ &\qquad -(S_{n+1}+V_{n+1})-U_{n+1}) \ &= P_{n+4} + P_{n+3} + 2(2W_n+U_n-(S_n+V_n)-U_n\ &\qquad -(U_n+W_n+T_n)) \ &= P_{n+4} + P_{n+3} - P_n + 4, as desired. \noindent \textbf{Remark:} There are many possible variants of the above solution obtained by dividing the permutations up according to different features. For example, Karl Mahlburg suggests writing [ P_n = 2P'n, \qquad P'_n = Q'_n + R'_n ] where $P'_n$ counts those permutations counted by $P_n$ for which $1$ occurs before 2, and $Q'_n$ counts those permutations counted by $P'_n$ for which $\pi(1) = 1$. One then has the recursion [ Q'_n = Q'{n-1} + Q'{n-3} + 1 ] corresponding to the cases where $\pi(1), \pi(2) = 1,2$; where $\pi(1), \pi(2), \pi(3) = 1,3,2$; and the unique case $1,3,5,\dots,6,4,2$. Meanwhile, one has [ R'_n = R'{n-1} + Q'{n-2} ] corresponding to the cases containing $3,1,2,4$ (where removing 1 and reversing gives a permutation counted by $R'{n-1}$); and where $4$ occurs before $3, 1, 2$ (where removing $1,2$ and reversing gives a permutation counted by $Q'{n-2}$). \noindent \textbf{Remark:} The permutations counted by $P_n$ are known as {\it key permutations}, and have been studied by E.S. Page, Systematic generation of ordered sequences using recurrence relations, {\it The Computer Journal} {\bf 14} (1971), no. 2, 150--153. We have used the same notation for consistency with the literature. The sequence of the $P_n$ also appears as entry A003274 in the On-line Encyclopedia of Integer Sequences (\url{ \| 4 \| (\boxed{4}) \| \| For each positive integer $k$, let $A(k)$ be the number of odd divisors of $k$ in the interval $[1, \sqrt{2k})$. Evaluate [ \sum{k=1}^\infty (-1)^{k-1} A(k)/k. ] \| (from \url{artofproblemsolving.com}) We will prove that the sum converges to $\pi^2/16$. Note first that the sum does not converge absolutely, so we are not free to rearrange it arbitrarily. For that matter, the standard alternating sum test does not apply because the absolute values of the terms does not decrease to 0, so even the convergence of the sum must be established by hand. Setting these issues aside momentarily, note that the elements of the set counted by $A(k)$ are those odd positive integers $d$ for which $m = k/d$ is also an integer and $d < \sqrt{2dm}$; if we write $d = 2\ee-1$, then the condition on $m$ reduces to $m \geq \ee$. In other words, the original sum equals [ S_1 := \sum_{k=1}^\infty \sum_{{\ee \geq 1, m \geq \ee}\atop{k = m(2\ee-1)}} (-1)^{m-1}/m(2\ee-1), ] and we would like to rearrange this to [ S_2 := \sum_{\ee=1}^\infty 1/2\ee-1 \sum_{m=\ee}^\infty (-1)^{m-1}/m, ] in which both sums converge by the alternating sum test. In fact a bit more is true: we have [ \left\| \sum_{m=\ee}^\infty (-1)^{m-1}/m \right\| < 1/\ee, ] so the outer sum converges absolutely. In particular, $S_2$ is the limit of the truncated sums [ S_{2,n} = \sum_{\ee(2\ee-1) \leq n} 1/2\ee-1 \sum_{m=\ee}^\infty (-1)^{m-1}/m. ] To see that $S_1$ converges to the same value as $S_2$, write [ S_{2,n} - \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} A(k)/k = \sum_{\ee(2\ee-1) \leq n} 1/2\ee-1 \sum_{m=\lfloor n/2\ee-1+1 \rfloor}^\infty (-1)^{m-1}/m. ] The expression on the right is bounded above in absolute value by the sum $\sum_{\ee(2\ee-1) \leq n} 1/n$, in which the number of summands is %at most $\sqrt{n/2}$ and so the total is bounded by $1/\sqrt{2n}$. at most $\sqrt{n}$ (since $\sqrt{n}(2\sqrt{n}-1)\geq n$), and so the total is bounded above by $1/\sqrt{n}$. Hence the difference converges to zero as $n \to \infty$; that is, $S_1$ converges and equals $S_2$. We may thus focus hereafter on computing $S_2$. We begin by writing [ S_2 = \sum_{\ee=1}^\infty 1/2\ee-1 \sum_{m=\ee}^\infty (-1)^{m-1} \int_0^1 t^{m-1}\,dt. ] Our next step will be to interchange the inner sum and the integral, but again this requires some justification. \begin{lemma} Let $f_0, f_1, \dots$ be a sequence of continuous functions on $[0,1]$ such that for each $x \in [0,1]$, we have [ f_0(x) \geq f_1(x) \geq \cdots \geq 0. ] Then [ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^1 f_n(t)\,dt = \int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n f_n(t) \right)\,dt ] provided that both sums converge. \end{lemma} \begin{proof} Put $g_n(t) = f_{2n}(t) - f_{2n+1}(t) \geq 0$; we may then rewrite the desired equality as [ \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 g_n(t) \,dt = \int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty g_n(t) \right)\,dt, ] which is a case of the Lebesgue monotone convergence theorem. \end{proof} By Lemma~1, we have S_2 &= \sum_{\ee=1}^\infty 1/2\ee-1 \int_0^1 \left( \sum_{m=\ee}^\infty (-1)^{m-1} t^{m-1} \right) \,dt \ &= \sum_{\ee=1}^\infty 1/2\ee-1 \int_0^1 (-t)^{\ee-1}/1+t \,dt. Since the outer sum is absolutely convergent, we may freely interchange it with the integral: S_2 &= \int_0^1 \left( \sum_{\ee=1}^\infty 1/2\ee-1 (-t)^{\ee-1}/1+t \right)\,dt \ &= \int_0^1 1/\sqrt{t(1+t)} \left( \sum_{\ee=1}^\infty (-1)^{\ee-1} t^{\ee-1/2}/2\ee-1 \right) \,dt \ &= \int_0^1 1/\sqrt{t(1+t)} \arctan(\sqrt{t})\,dt \ &= \int_0^1 2/1+u^2 \arctan(u)\,du \qquad (u = \sqrt{t}) \ &= \arctan(1)^2 - \arctan(0)^2 = \pi^2/16. \| (\pi^2/16) \| (\boxed{\pi^2/16}) \| \| Show that every positive integer is a sum of one or more numbers of the form $2^r 3^s$, where $r$ and $s$ are nonnegative integers and no summand divides another. (For example, 23 = 9 + 8 + 6.) \| We proceed by induction, with base case $1 = 2^0 3^0$. Suppose all integers less than $n-1$ can be represented. If $n$ is even, then we can take a representation of $n/2$ and multiply each term by 2 to obtain a representation of $n$. If $n$ is odd, put $m = \lfloor \log_3 n \rfloor$, so that $3^m \leq n < 3^{m+1}$. If $3^m = n$, we are done. Otherwise, choose a representation $(n-3^m)/2 = s_1 + \cdots + s_k$ in the desired form. Then [ n = 3^m + 2s_1 + \cdots + 2s_k, ] and clearly none of the $2s_i$ divide each other or $3^m$. Moreover, since $2s_i \leq n-3^m < 3^{m+1} - 3^m$, we have $s_i < 3^m$, so $3^m$ cannot divide $2s_i$ either. Thus $n$ has a representation of the desired form in all cases, completing the induction. \textbf{Remarks:} This problem is originally due to Paul Erd\H{o}s. Note that the representations need not be unique: for instance, [ 11 = 2+9 = 3+8. ] \| Every positive integer can be expressed as a sum of one or more numbers of the form \| (\boxed{\text{Every positive integer can be expressed as a sum of one or more numbers of the form } 2^r 3^s, \text{ where } r \text{ and } s \text{ are nonnegative integers and no summand divides another.}}) \| \| Let $\mathbf{S} = {(a,b) \| a = 1, 2, \dots,n, b = 1,2,3}$. A \emph{rook tour} of $\mathbf{S}$ is a polygonal path made up of line segments connecting points $p_1, p_2, \dots, p_{3n}$ in sequence such that \begin{enumerate} \| We will assume $n \geq 2$ hereafter, since the answer is 0 for $n=1$. \textbf{First solution:} We show that the set of rook tours from $(1,1)$ to $(n,1)$ is in bijection with the set of subsets of ${1,2,...,n}$ that include $n$ and contain an even number of elements in total. Since the latter set evidently contains $2^{n-2}$ elements, so does the former. We now construct the bijection. Given a rook tour $P$ from $(1,1)$ to $(n,1)$, let $S=S(P)$ denote the set of all $i \in {1,2,\ldots,n}$ for which there is either a directed edge from $(i,1)$ to $(i,2)$ or from $(i,3)$ to $(i,2)$. It is clear that this set $S$ includes $n$ and must contain an even number of elements. Conversely, given a subset $S={a_1,a_2,\ldots,a_{2r}=n} \subset {1,2,\ldots,n}$ of this type with $a_1<a_2<\cdots1$. In this case, for $r_j = e^{i \theta_j}$, we have $z - r_j = (z - \cos (\theta_j)) + \sin(\theta_j) i$, so the real part of $1/z-r_j - 1/2z$ is [ z - \cos(\theta_j)/z^2 - 2z \cos(\theta_j) + 1 - 1/2z = z^2-1/2z(z^2 - 2z \cos(\theta_j) + 1) > 0. ] Hence $g'(z)/g(z)$ has positive real part, so $g'(z)/g(z)$ and hence $g(z)$ are nonzero. Applying the same argument after replacing $p(z)$ by $p(e^{i \theta} z)$, we deduce that $g'$ cannot have any roots outside the unit circle. Applying the same argument after replacing $p(z)$ by $z^n p(1/z)$, we also deduce that $g'$ cannot have any roots inside the unit circle. Hence all roots of $g'$ have absolute value 1, as desired. \textbf{Third solution:} Write $p(z) = c \prod_{j=1}^n (z - r_j)$ and put $r_j = e^{2 i \theta_j}$. Note that $g(e^{2 i \theta})$ is equal to a nonzero constant times h(\theta) &= \prod_{j=1}^n \frac{e^{i (\theta + \theta_j)} - e^{-i(\theta + \theta_j)}}{2i} = \prod_{j=1}^n \sin(\theta +\theta_j). Since $h$ has at least $2n$ roots (counting multiplicity) in the interval $[0, 2\pi)$, $h'$ does also by repeated application of Rolle's theorem. Since $g'(e^{2 i \theta}) = 2i e^{2i \theta} h'(\theta)$, $g'(z^2)$ has at least $2n$ roots on the unit circle. Since $g'(z^2)$ is equal to $z^{-n-1}$ times a polynomial of degree $2n$, $g'(z^2)$ has all roots on the unit circle, as then does $g'(z)$. \textbf{Remarks:} The second solution imitates the proof of the Gauss-Lucas theorem: the roots of the derivative of a complex polynomial lie in the convex hull of the roots of the original polynomial. The second solution is close to problem B3 from the 2000 Putnam. A hybrid between the first and third solutions is to check that on the unit circle, $\mathrm{Re}(zg'(z)/g(z)) = 0$ while between any two roots of $p$, $\mathrm{Im}(zg'(z)/g(z))$ runs from $+\infty$ to $-\infty$ and so must have a zero crossing. (This only works when $p$ has distinct roots, but the general case follows by the continuity of the roots of a polynomial as functions of the coefficients.) One can also construct a solution using Rouch\'e's theorem. \| All zeros of \| (\boxed{\text{All zeros of } g'(z) = 0 \text{ have absolute value 1.}}) \| \| Let $H$ be an $n \times n$ matrix all of whose entries are $\pm 1$ and whose rows are mutually orthogonal. Suppose $H$ has an $a \times b$ submatrix whose entries are all $1$. Show that $ab \leq n$. \| \textbf{First solution:} Choose a set of $a$ rows $r_1, \dots, r_a$ containing an $a \times b$ submatrix whose entries are all 1. Then for $i,j \in{1, \dots, a}$, we have $r_i \cdot r_j = n$ if $i=j$ and 0 otherwise. Hence [ \sum_{i,j=1}^a r_i \cdot r_j = an. ] On the other hand, the term on the left is the dot product of $r_1 + \cdots + r_a$ with itself, i.e., its squared length. Since this vector has $a$ in each of its first $b$ coordinates, the dot product is at least $a^2 b$. Hence $an \geq a^2 b$, whence $n \geq ab$ as desired. \textbf{Second solution:} (by Richard Stanley) Suppose without loss of generality that the $a \times b$ submatrix occupies the first $a$ rows and the first $b$ columns. Let $M$ be the submatrix occupying the first $a$ rows and the last $n-b$ columns. Then the hypothesis implies that the matrix $MM^T$ has $n-b$'s on the main diagonal and $-b$'s elsewhere. Hence the column vector $v$ of length $a$ consisting of all 1's satisfies $MM^T v = (n-ab)v$, so $n-ab$ is an eigenvalue of $MM^T$. But $MM^T$ is semidefinite, so its eigenvalues are all nonnegative real numbers. Hence $n-ab \geq 0$. \textbf{Remarks:} A matrix as in the problem is called a \emph{Hadamard matrix}, because it meets the equality condition of Hadamard's inequality: any $n \times n$ matrix with $\pm 1$ entries has absolute determinant at most $n^{n/2}$, with equality if and only if the rows are mutually orthogonal (from the interpretation of the determinant as the volume of a paralellepiped whose edges are parallel to the row vectors). Note that this implies that the columns are also mutually orthogonal. A generalization of this problem, with a similar proof, is known as \emph{Lindsey's lemma}: the sum of the entries in any $a \times b$ submatrix of a Hadamard matrix is at most $\sqrt{abn}$. Stanley notes that Ryser (1981) asked for the smallest size of a Hadamard matrix containing an $r \times s$ submatrix of all 1's, and refers to the URL \texttt{www3.interscience.wiley.com/cgi-bin/ abstract/110550861/ABSTRACT} for more information. \| ( n \geq ab ) \| (\boxed{n \geq ab}) \| Previous 1 2 3 4 Next Ctrl+K -- The SQL console is powered by DuckDB WASM and runs entirely in the browser. -- Get started by typing a query or selecting a view from the options below. SELECT FROM train LIMIT 10; Subsets and Splits train Loading... Saved Queries Top Community Queries No community queries yet The top public SQL queries from the community will appear here once available.
8013	https://catdir.loc.gov/catdir/toc/ecip0824/2008033720.html	Table of contents for A first course in probability Table of contents for A first course in probability / Sheldon Ross. Bibliographic record and links to related information available from the Library of Congress catalog. Note: Contents data are machine generated based on pre-publication provided by the publisher. Contents may have variations from the printed book or be incomplete or contain other coding. Preface vii 1 Combinatorial Analysis 1 1.1 Introduction............................... 1 1.2 TheBasicPrincipleofCounting .................... 2 1.3 Permutations .............................. 3 1.4 Combinations.............................. 6 1.5 MultinomialCoef_cients ........................ 10 1.6 TheNumberofIntegerSolutionsofEquations............ 12 Summary ................................ 15 Problems ................................ 16 TheoreticalExercises.......................... 19 Self-TestProblemsandExercises.................... 22 2 Axioms of Probability 24 2.1 Introduction............................... 24 2.2 SampleSpaceandEvents........................ 24 2.3 AxiomsofProbability.......................... 29 2.4 SomeSimplePropositions ....................... 31 2.5 SampleSpacesHavingEquallyLikelyOutcomes ........... 37 2.6 ProbabilityasaContinuousSetFunction............... 49 2.7 ProbabilityasaMeasureofBelief ................... 53 Summary ................................ 54 Problems ................................ 55 TheoreticalExercises.......................... 61 Self-TestProblemsandExercises.................... 63 iv Contents 3 Conditional Probability and Independence 66 3.1 Introduction ............................... 66 3.2 ConditionalProbabilities ........................ 66 3.3 Bayes'Formula ............................. 72 3.4 IndependentEvents ........................... 87 3.5 P(·\|F) IsaProbability ......................... 101 Summary ................................ 110 Problems ................................ 111 TheoreticalExercises .......................... 124 Self-TestProblemsandExercises. ................... 128 4 Random Variables 132 4.1 RandomVariables............................ 132 4.2 DiscreteRandomVariables ....................... 138 4.3 ExpectedValue ............................. 140 4.4 Expectation of a Function of a Random Variable ............ 144 4.5 Variance ................................. 148 4.6 The Bernoulli and Binomial Random Variables ............ 150 4.6.1 Properties of Binomial Random Variables . . . ........ 155 4.6.2 Computing the Binomial Distribution Function ........ 158 4.7 ThePoissonRandomVariable ..................... 160 4.7.1 Computing the Poisson Distribution Function . ........ 173 4.8 Other Discrete Probability Distributions . . . . ............ 173 4.8.1 TheGeometricRandomVariable. . . . ............ 173 4.8.2 The Negative Binomial Random Variable . . . ........ 175 4.8.3 The Hypergeometric Random Variable ............ 178 4.8.4 TheZeta(orZipf)Distribution . . . . . ............ 182 4.9 Properties of the Cumulative Distribution Function . . ........ 183 Summary ................................ 185 Problems ................................ 187 TheoreticalExercises .......................... 197 Self-TestProblemsandExercises. ................... 201 5 Continuous Random Variables 205 5.1 Introduction ............................... 205 5.2 Expectation and Variance of Continuous Random Variables . . . . . . 209 5.3 TheUniformRandomVariable ..................... 214 5.4 NormalRandomVariables ....................... 218 5.4.1 The Normal Approximation to the Binomial Distribution . . . 225 5.5 ExponentialRandomVariables ..................... 230 5.5.1 HazardRateFunctions ..................... 234 5.6 OtherContinuousDistributions..................... 237 5.6.1 TheGammaDistribution .................... 237 5.6.2 TheWeibullDistribution .................... 239 5.6.3 TheCauchyDistribution .................... 239 5.6.4 TheBetaDistribution...................... 240 Contents v 5.7 The Distribution of a Function of a Random Variable . ........ 242 Summary ................................ 244 Problems ................................ 247 TheoreticalExercises .......................... 251 Self-TestProblemsandExercises. ................... 254 6 Jointly Distributed Random Variables 258 6.1 JointDistributionFunctions ...................... 258 6.2 IndependentRandomVariables..................... 267 6.3 SumsofIndependentRandomVariables . . . . ............ 280 6.4 Conditional Distributions: Discrete Case . . . . ............ 288 6.5 Conditional Distributions: Continuous Case . . ............ 291 6.6 OrderStatistics............................. 296 6.7 Joint Probability Distribution of Functions of Random Variables . . . 300 6.8 ExchangeableRandomVariables ................... 308 Summary ................................ 311 Problems ................................ 313 TheoreticalExercises .......................... 319 Self-TestProblemsandExercises. ................... 323 7 Properties of Expectation 327 7.1 Introduction ............................... 327 7.2 ExpectationofSumsofRandomVariables . . . ............ 328 7.2.1 Obtaining Bounds from Expectations viatheProbabilisticMethod ................. 342 7.2.2 The Maximum-Minimums Identity . . ............ 344 7.3 MomentsoftheNumberofEventsthatOccur . ............ 347 7.4 Covariance, Variance of Sums, and Correlations ............ 355 7.5 ConditionalExpectation ........................ 365 7.5.1 De_nitions ........................... 365 7.5.2 Computing Expectations by Conditioning . . . ........ 367 7.5.3 Computing Probabilities by Conditioning . . . ........ 376 7.5.4 ConditionalVariance ...................... 380 7.6 Conditional Expectation and Prediction . . . . ............ 382 7.7 MomentGeneratingFunctions ..................... 387 7.7.1 Joint Moment Generating Functions . . ............ 397 7.8 Additional Properties of Normal Random Variables . . ........ 399 7.8.1 The Multivariate Normal Distribution . ............ 399 7.8.2 The Joint Distribution of the Sample Mean andSampleVariance ...................... 402 7.9 GeneralDe_nitionofExpectation ................... 404 Summary ................................ 405 Problems ................................ 408 TheoreticalExercises .......................... 418 Self-TestProblemsandExercises. ................... 426 vi Contents 8 Limit Theorems 430 8.1 Introduction............................... 430 8.2 Chebyshev'sInequalityandtheWeakLawofLargeNumbers..... 430 8.3 TheCentralLimitTheorem....................... 434 8.4 TheStrongLawofLargeNumbers................... 443 8.5 OtherInequalities............................ 445 8.6 BoundingTheErrorProbability .................... 454 Summary ................................ 456 Problems ................................ 457 TheoreticalExercises.......................... 459 Self-TestProblemsandExercises.................... 461 9 Additional Topics in Probability 463 9.1 ThePoissonProcess .......................... 463 9.2 MarkovChains ............................. 466 9.3 Surprise,Uncertainty,andEntropy................... 472 9.4 CodingTheoryandEntropy ...................... 476 Summary ................................ 483 TheoreticalExercises.......................... 484 Self-TestProblemsandExercises.................... 485 10 Simulation 487 10.1Introduction............................... 487 10.2GeneralTechniquesforSimulatingContinuousRandomVariables .. 490 10.2.1 TheInverseTransformationMethod.............. 490 10.2.2 TheRejectionMethod ..................... 491 10.3SimulatingfromDiscreteDistributions................. 497 10.4VarianceReductionTechniques..................... 499 10.4.1 UseofAntitheticVariables................... 500 10.4.2 VarianceReductionbyConditioning.............. 501 10.4.3 ControlVariates ........................ 503 Summary ................................ 503 Problems ................................ 504 Self-TestProblemsandExercises.................... 506 APPENDICES A Answers to Selected Problems 508 B Solutions to Self-Test Problems and Exercises 511 Index 561 Library of Congress Subject Headings for this publication: Probabilities -- Textbooks.
8014	https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/EquationWithFoutPointsOnLine.shtml	An Equation Involving Four Collinear Points Typesetting math: 100% Site... What's new Content page Front page Index page About Privacy policy Help with math Subjects... Arithmetic Algebra Geometry Probability Trigonometry Visual illusions Articles... Cut the knot! What is what? Inventor's paradox Math as language Problem solving Collections... Outline mathematics Book reviews Interactive activities Did you know? Eye opener Analogue gadgets Proofs in mathematics Things impossible Index/Glossary Simple math... Fast Arithmetic Tips Stories for young Word problems Games and puzzles Our logo Make an identity Elementary geometry An Equation Involving Four Collinear Points Here's a problem by Leo Giugiuc that was offered at the 2015 Romanian Regional Olympiad for grade 10 (Problem 3.) Solve the following equation in complex numbers: () \|z\|+\|z−5 i\|=\|z−2 i\|+\|z−3 i\|. Leo supplied the first three solutions. I have added one more, and Grégoire Nicollier added the fifth, one line, solution. Later Leo sent a solution by Seclaman Dan Radu. Solution 1 Note that (1) \|z−2 i\|=\|2 5(z−5 i)+3 5 z\|≤2 5\|z−5 i\|+3 5\|z\|. Similarly, (2) \|z−3 i\|≤3 5\|z−5 i\|+2 5\|z\|. The combination of (1) and (2) tells us that (3) \|z\|+\|z−5 i\|≤\|z−2 i\|+\|z−3 i\|. Now, we have an equality in (3) only if both (1) and (2) are equalities which requires (4) z¯¯¯(z−5 i)≥0. Let z=a+b i,a,b∈R. Then (4) becomes (a−b i)(a+b i−5 i)≥0, i.e., a 2+b(b−5)−5 a i≥0. This is only possible when a=0, implying b(b−5)≥0. This is equivalent to b<0 or b>5. Thus the solution is the set {b i:b<0 or b>5}. Solution 2 This solution makes use of the well-known Hlawka's inequaility: (5) \|x+y\|+\|y+z\|+\|z+x\|≤\|x\|+\|y\|+\|z\|+\|x+y+z\| which holds for any there complex numbers x,y,z (and has an analog in vector spaces with scalar product.) To use the inequality rewrite () as \|z\|+\|−2 i\|+\|−3 i\|+\|z−5 i\|=\|z−2 i\|+\|−2 i−3 i\|+\|z−3 i\|. By Hlawka's inequaility, \|z\|+\|−2 i\|+\|−3 i\|+\|z−5 i\|≥\|z−2 i\|+\|−2 i−3 i\|+\|z−3 i\| which is (3). For there to be equality, it is necessary that (a b)¯¯¯¯¯¯¯¯¯c(a+b+c)≥0. So, setting a=−2 i,b=−3 i and c=z we have to require (2 i⋅3 i)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯z(z−5 i)≥0, or z(z−5 i)≥0. Let z=a+b i, where a,b∈R. Then (a+b i)[a+(b−5)i]≥0, or equivalently, a=0 and b(b−5)≥0 which gives b∈(−∞,0]∪[5,∞). Solution 3 Here's a more general formulation: Let points A,B,C,D lie on line d (in this order), with A B=C D;M a point in the plane. Then () M A+M D=M B+M C if and only if M∈d∖{A D}. Using vectors, we have M B−→−=k M A−→−+(1−k)M D−→−, where k∈(0,1).M C−→−=k M D−→−+(1−k)M A−→−. It follows that (6) M B=\|M B−→−\|=\|k M A−→−+(1−k)M D−→−\|=k M A+(1−k)M D and, similarly (7) M C=k M D+(1−k)M A. Combining (6) and (7) gives (8) M B+M C≤M A+M D. (8) becomes an equality only if (6) and (7) are equalities, i.e., when vectors M A−→− and M D−→− are collinear and have the same orientation. This is exactly equivalent to M∈d∖{A D}. Solution 4 As in the Solution #3, the four points A,B,C,D need not lie on the y-axis, but may be collinear on any lie. For convenience I choose the x-axis, with points A,B,C,D having coordinates a,b,c,d, respectfully (so that a<b<c<d). The situation is reminiscent of an optimization problem of building a house on a straight road. I start with giving a general formulation: Let point M in the plane have coordinates (x,y). Assume A B=C D. Then () holds if and only if y=0 and x∈(−∞,a]∪[d,∞). First we establish that for points outside the x-axis the equality in () cannot hold. Let M′ be the reflection of M in the midpoint of A D, or B C, which is the same because A B=C D: By the construction, the parallelogram M B C M′ is located entirely within the parallelogram M A D M′ such that its perimeter is less than that of the latter: 2(B M+C M)<2(A M+D M). Thus, we have only inspect points M on the x-axis. For b≤x≤c,B M+C M=c−b while A M+D M=d−a. The latter still holds for, say a<x<b. However, M B+M C=(b−x)+(c−x)<(b−a)+[(c−b)+(b−x)]<[(b−a)+(c−b)]+(b−a)<(c−a)+(d−c)=d−a=A M+D M. By analogy, the equality in () can't hold for c<x<d either. Let now x≤a. In this case, M B+M C=(b−x)+(c−x)=(b−a)+(c−a)+2(a−x)=(d−c)+(c−a)+2(a−x)=(d−a)+2(a−x)=(d−x)+(a−x)=A M+D M, and, similarly, for x≥d. Solution 5 The solutions are the points common to two ellipses with the same major axis and are thus the possible end points of the major axis. Solution 6 Square the two sides of () to obtain first z⋅z¯¯¯+(z−5 i)(z+5 i)+2\|z 2−5 i z\|=(z−2 i)(z+2 i)+(z−3 i)(z+3 i)+2\|z 2−5 i z−6\|. which is then simplified to \|z 2−5 i z\|+6=\|z 2−5 i z−6\|. Denoting Z=z 2−5 i z we obtain \|Z\|+6=\|Z−6\|. Due to the triangle inequality, this implies that Z is real and not positive: Z∈R and Z≤0. Thus, for z we have a quadratic equation z 2−5 i z=a≤0, with a real a. Solving this equation we obtain z=5 i±−25+4 a−−−−−−−−√2=i 2(5±25−4 a−−−−−−√)=A i, where A=1 2(5±25−4 a−−−−−−√),a≤0. Choosing sign "+" gives A=1 2(5+25−4 a−−−−−−√)≥5. Choosing sign "-" gives A=1 2(5−25−4 a−−−−−−√)≤0. \|Contact\|\|Front page\|\|Contents\|\|Algebra\| Copyright © 1996-2018 Alexander Bogomolny 73256213
8015	https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/mkqwjf/why_do_we_flip_the_direction_of_an_inequality/	Why do we flip the direction of an inequality when we divide or multiply by a negative number : r/learnmath Skip to main contentWhy do we flip the direction of an inequality when we divide or multiply by a negative number : r/learnmath Open menu Open navigationGo to Reddit Home r/learnmath A chip A close button Log InLog in to Reddit Expand user menu Open settings menu Go to learnmath r/learnmath r/learnmath Post all of your math-learning resources here. Questions, no matter how basic, will be answered (to the best ability of the online subscribers). 403K Members Online •5 yr. ago antichain Why do we flip the direction of an inequality when we divide or multiply by a negative number I've made it all the way to graduate school doing applied math and I still don't understand intuitively why this is the rule. Read more Share Related Answers Section Related Answers rules for flipping inequality sign in math Effective strategies for mastering algebra Best online tools for geometry practice Tips for improving mental math speed Applications of probability in everyday life New to Reddit? Create your account and connect with a world of communities. Continue with Email Continue With Phone Number By continuing, you agree to ourUser Agreementand acknowledge that you understand thePrivacy Policy. Public Anyone can view, post, and comment to this community 0 0 Top Posts Reddit reReddit: Top posts of April 5, 2021 Reddit reReddit: Top posts of April 2021 Reddit reReddit: Top posts of 2021 Reddit RulesPrivacy PolicyUser AgreementAccessibilityReddit, Inc. © 2025. All rights reserved. Expand Navigation Collapse Navigation
8016	https://www.reddit.com/r/PhysicsStudents/comments/z2m6fq/kinematics_from_where_did_we_derive_the_rule/	[kinematics] from where did we derive the rule y=x•tan(theta)? ive never used it before and i don’t understand how did we use it to get the y : r/PhysicsStudents Skip to main content[kinematics] from where did we derive the rule y=x•tan(theta)? ive never used it before and i don’t understand how did we use it to get the y : r/PhysicsStudents Open menu Open navigationGo to Reddit Home r/PhysicsStudents A chip A close button Log InLog in to Reddit Expand user menu Open settings menu Go to PhysicsStudents r/PhysicsStudents r/PhysicsStudents A place for physics students of any level to discuss the intricate profoundness of the universe. 119K Members Online •3 yr. ago No-Dimension69 [kinematics] from where did we derive the rule y=x•tan(theta)? ive never used it before and i don’t understand how did we use it to get the y HW Help Share Related Answers Section Related Answers Impact of dark matter on galaxy formation Role of symmetry in particle physics Career paths with a physics PhD Using Python for physics simulations Applications of plasma physics in industry New to Reddit? Create your account and connect with a world of communities. Continue with Google Continue with Google. Opens in new tab Continue with Email Continue With Phone Number By continuing, you agree to ourUser Agreementand acknowledge that you understand thePrivacy Policy. Public Anyone can view, post, and comment to this community 0 0 Top Posts Reddit reReddit: Top posts of November 23, 2022 Reddit reReddit: Top posts of November 2022 Reddit reReddit: Top posts of 2022 Reddit RulesPrivacy PolicyUser AgreementAccessibilityReddit, Inc. © 2025. All rights reserved. Expand Navigation Collapse Navigation
8017	https://en.aqua-fish.net/fish/finger-fish	Aqua-Fish.Net - since 2005 Cookies seem to be disabled in your browser, therefore this website will NOT work properly! Please, consider enabling Cookies in order to maximise your user experience while browsing. Recent discussions at Aqua-Fish+ ✗ ja at Aquarium Water Chemistry: Essential Guide to pH, Ammonia, Nitrites & More on ja at Comprehensive Care Guide for Peacock Cichlid (Aulonocara) – Habitat, Breeding & Tank Setup on …display more of the recent discussions ja at Caring for Rainbow Sharks: Tank Setup, Behavior, and Maintenance Guide on ja at Comprehensive Guide to Clown Loach Care: Habitat, Diet, Behavior & Health on ja at Comprehensive Guide to White Cloud Mountain Minnow Care: Habitat, Diet, and Breeding on ja at A Comprehensive Guide to Aquarium Air Stones: Usage, Suppliers, and Product Images on ja at Comprehensive Guide to Caring for and Breeding Electric Blue Haps on ja at Complete Guide to Growing and Propagating Hygrophila Corymbosa in Aquariums on PondSealer at Garden Pond Guide: Design, Construction, Equipment & Year-Round Care on TheFishWorks at A guide on growing aquarium plants with FAQ, forum and species on Finger fish - Monodactylus argenteus Scientific name: Monodactylus argenteus Common name: Finger fish Family: Monodactylidae Usual size in fish tanks: 16 - 20 cm (6.3 - 7.87 inch) 014 Recommended pH range: 7.5 - 8.5 Recommended water hardness: 10 - 20°N (178.57 - 357.14ppm) 0°C 32°F30°C 86°F Recommended temperature range: 24 - 28 °C (75.2 - 82.4°F) The way how these fish reproduce: Spawning Where the species comes from: Southeast Asia Temperament to its own species: peaceful Temperament toward other fish species: peaceful Usual place in the tank: Middle levels General Information Monodactylus argenteus—sold as Silver Moony, Mono or Fingerfish—is a flat, diamond-shaped schooling fish from coastal estuaries and mangroves of the Indo–West Pacific (East Africa & Red Sea through South/Southeast Asia to northern Australia). Juveniles often ascend into brackish or even fresh reaches; adults are largely marine. In aquaria it commonly reaches 16–20 cm (6.3–7.9″). Keep in groups (≥5–6) for stable social behavior. Food & Feeding Omnivore with a strong grazing tendency. Use algae/spirulina pellets or flakes as the staple, and rotate frozen/live items (mysis, brine shrimp, chopped prawn, krill) several times weekly. Offer blanched greens (spinach, peas, nori) to support gut health. Feed modest portions 2× daily to protect water quality. Sexing No reliable external differences. Sexes look alike; sexing is impractical in typical home aquaria. Breeding M. argenteus is a pelagic egg-scatterer in nature. Home-aquarium breedings are not confirmed; commercial production (if any) involves marine conditions and large systems. Treat as display fish rather than a breeding project. Lifespan Typically ~8–10 years with ample space, correct salinity, and excellent water quality. Tank Requirements & Water Parameters Tank size: very active, tall-bodied schooler—use a long tank of at least 150 cm / 5′ (larger preferred) for a group; provide open swimming lanes. Salinity (key): juveniles thrive in low brackish (≈ SG 1.005–1.010). As they mature, gradually raise to mid/high brackish (≈ SG 1.012–1.018) and ultimately near-marine (≈ SG 1.018–1.022) for adults. Avoid sudden jumps; increase over weeks. Water chemistry: pH 7.5–8.5; hardness 10–20 °dH (alkaline, mineral-rich water buffers pH). Temperature: 24–28 °C (75–82 °F) is ideal; Stability matters more than the absolute number. Filtration & flow: robust filtration, strong oxygenation, and some current; brackish systems need marine-grade salt mix, not „aquarium salt“. Aquascape: hardscape (roots/wood/rock), open water, and a tight-fitting lid—excellent jumpers. Maintenance: weekly water changes; avoid abrupt parameter swings. Compatibility & Tank Mates Generally peaceful but assertive at feeding; best in a shoal. Suitable companions are other brackish-to-marine species of similar size and activity (scats, archerfish, larger mollies in lower brackish, monos of the same species). Avoid tiny, slow or delicate freshwater fishes—long term salinity needs are incompatible. Behaviour & Usual Place in the Tank Active mid–upper water column swimmer; uses open water but retreats to cover when startled. Group size strongly influences confidence and reduces nipping. Short Description Silver Moonies are hardy, fast-moving estuary fishes that start in low brackish water and do best in increasing salinity with age, ultimately near marine as adults. Provide a large, alkaline, well-filtered tank, a mixed omnivorous diet with greens, and a proper shoal for best behavior and longevity. Q&A Is freshwater okay long term? Not recommended. Keep juveniles in low brackish and raise salinity as they mature. How many should I keep? At least 5–6; singletons are more skittish and nippy. Do they eat plants? They’ll graze soft leaves; use tougher plants or macroalgae in brackish setups. Pictures Bought by aqua-fish.net from jjphoto.dk. ✗ Did you know? Paradise fish love Guppies; As meal, of course. Having floating plants in your tank often helps fry survive. Foam in your filter should be cleaned regularly, however not too often. Chloramine is deadly to fish, it is a result of chlorine being mixed with ammonia. Aquarium chillers should be used when raising coldwater fish; Most aquarists don’t even know that Goldfish are coldwater. Please, verify whether your login and password are valid. If you don't have an account here, register one free of charge, please. Click here to close this box. You have been logged out successfully! This box will close automatically! Something went wrong during processing your message, please try again! Your message has been sent, thanks a lot! Page has been saved, refresh it now, please! The page has been created, you will now be redirected! URL already exists! 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8019	https://www.teacherspayteachers.com/browse?search=fluency%20multiplication%202s	Fluency Multiplication 2s \| TPT Log InSign Up Cart is empty Total: $0.00 View Wish ListView Cart Grade Elementary Preschool Kindergarten 1st grade 2nd grade 3rd grade 4th grade 5th grade Middle school 6th grade 7th grade 8th grade High school 9th grade 10th grade 11th grade 12th grade Adult education Resource type Student practice Independent work packet Worksheets Assessment Graphic organizers Task cards Flash cards Teacher tools Classroom management Teacher manuals Outlines Rubrics Syllabi Unit plans Lessons Activities Games Centers Projects Laboratory Songs Clip art Classroom decor Bulletin board ideas Posters Word walls Printables Seasonal Holiday Black History Month Christmas-Chanukah-Kwanzaa Earth Day Easter Halloween Hispanic Heritage Month Martin Luther King Day Presidents' Day St. Patrick's Day Thanksgiving New Year Valentine's Day Women's History Month Seasonal Autumn Winter Spring Summer Back to school End of year ELA ELA by grade PreK ELA Kindergarten ELA 1st grade ELA 2nd grade ELA 3rd grade ELA 4th grade ELA 5th grade ELA 6th grade ELA 7th grade ELA 8th grade ELA High school ELA Elementary ELA Reading Writing Phonics Vocabulary Grammar Spelling Poetry ELA test prep Middle school ELA Literature Informational text Writing Creative writing Writing-essays ELA test prep High school ELA Literature Informational text Writing Creative writing Writing-essays ELA test prep Math Math by grade PreK math Kindergarten math 1st grade math 2nd grade math 3rd grade math 4th grade math 5th grade math 6th grade math 7th grade math 8th grade math High school math Elementary math Basic operations Numbers Geometry Measurement Mental math Place value Arithmetic Fractions Decimals Math test prep Middle school math Algebra Basic operations Decimals Fractions Geometry Math test prep High school math Algebra Algebra 2 Geometry Math test prep Statistics Precalculus Calculus Science Science by grade PreK science Kindergarten science 1st grade science 2nd grade science 3rd grade science 4th grade science 5th grade science 6th grade science 7th grade science 8th grade science High school science By topic Astronomy Biology Chemistry Earth sciences Physics Physical science Social studies Social studies by grade PreK social studies Kindergarten social studies 1st grade social studies 2nd grade social studies 3rd grade social studies 4th grade social studies 5th grade social studies 6th grade social studies 7th grade social studies 8th grade social studies High school social studies Social studies by topic Ancient history Economics European history Government Geography Native Americans Middle ages Psychology U.S. History World history Languages Languages American sign language Arabic Chinese French German Italian Japanese Latin Portuguese Spanish Arts Arts Art history Graphic arts Visual arts Other (arts) Performing arts Dance Drama Instrumental music Music Music composition Vocal music Special education Speech therapy Social emotional Social emotional Character education Classroom community School counseling School psychology Social emotional learning Specialty Specialty Career and technical education Child care Coaching Cooking Health Life skills Occupational therapy Physical education Physical therapy Professional development Service learning Vocational education Other (specialty) Fluency Multiplication 2s 570+results Sort by: Relevance Relevance Rating Rating Count Price (Ascending) Price (Descending) Most Recent Sort by: Relevance Relevance Rating Rating Count Price (Ascending) Price (Descending) Most Recent Search Grade Subject Supports Price Format All filters Filters Grade Elementary Preschool Kindergarten 1st grade 2nd grade 3rd grade 4th grade 5th grade Middle school 6th grade 7th grade 8th grade High school 9th grade 10th grade 11th grade 12th grade Adult education Not grade specific More Subject Art Coloring pages Graphic arts Other (arts) English language arts Handwriting Reading Vocabulary Math Algebra Applied math Arithmetic Basic operations Calculus Fractions Graphing Math test prep Measurement Mental math Numbers Order of operations Place value Other (math) Performing arts Vocal music Science More World languages Spanish For all subjects Price Free Under $5 $5-10 $10 and up On sale Format Digital Boom Cards Canva Other (digital) Easel Easel Activities Easel Assessments Google Apps Image Interactive whiteboards Activboard Activities SMART Notebook More Microsoft Microsoft PowerPoint Microsoft Word PDF Video Resource type Classroom decor Bulletin board ideas Posters Word walls Forms Classroom forms Teacher tools Lessons Awards and certificates Classroom management Homeschool curricula Lectures Rubrics Teacher manuals Thematic unit plans Tools for common core Unit plans Yearlong curriculum Printables Hands-on activities Activities Centers Internet activities Bell ringers Escape rooms Games Songs More Instruction Handouts Interactive notebooks Student assessment Assessment Critical thinking and problem solving Study guides Study skills Test preparation Student practice Independent work packet Worksheets Flash cards Graphic organizers Homework Task cards Workbooks Standard Theme Seasonal Autumn Back to school End of year Spring Summer Winter Holiday Christmas-Chanukah-Kwanzaa Earth Day Easter Halloween New Year St. Patrick's Day Thanksgiving Valentine's Day More Audience TPT sellers Homeschool Parents Staff & administrators More Language English (UK) More Programs & methods Programs Early intervention GATE / Gifted and Talented Montessori More Supports ESL, EFL, and ELL Special education Data Screenings and assessments Visual supports Other (special education) More Multiplication Fact Fluency Games: Multiply by 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 7s, 8s, 9s Created by Math Teacher Love What if you had a set of no-prep multiplication math games that will engage students as they build their multiplication fact fluency? Maze Race is a perfect set of multiplication fact fluency games to use during math centers or for math workshop games. Students will be engaged as they get repeated multiplication fact practice. Each math fact game board focuses on one set of multiplication facts at a time including multiplying by 2s, 3s, 4s, 5s, ;6s, 7s, 8s, and 9s. ❤️Students will love practic 3 rd - 5 th Basic Operations, Math, Other (Math) CCSS 3.OA.C.7 Bundle (8 products) $8.75 Original Price $8.75 $4.95 Price $4.95 Rated 4.78 out of 5, based on 36 reviews 4.8(36) Add to cart Wish List Free Multiplication Facts Fluency Game: Multiplication Fact Practice for 2s& 3s Created by Differentiated Teaching with Rebecca Davies This Multiplication Facts Fluency Game includes fun multiplication fact practice for factors 2s& 3s. It is a small sample of my larger multiplication fluency bundle. Multiplication math fact fluency is an important skill for students to master. Research has shown that when students know their multiplication facts and can recall them with automaticity, they can devote more mental energy to other tasks (like problem-solving). Love these puzzles? Get the full version (including facts to 12 & 3 rd - 4 th Arithmetic, Math, Mental Math CCSS 3.OA.A.1 , 3.OA.C.7 FREE Rated 4.92 out of 5, based on 107 reviews 4.9(107) Log in to Download Wish List Free Multiplication Fact Fluency Game 2s Multiplication Facts: Multiply by 2, x2 Created by Math Teacher Love Maze Race is a math game that will engage students as they build their multiplication fact fluency. This no prep game is perfect for math centers or for students to take home to practice math facts. Each game board focuses on one set of multiplication facts at a time. This version focuses on building fluency with 2s. Materials:-printed game board -one 10-sided dice -two different colored crayons/markers Directions: (2-3 Players) Alternate turns to see who can reach the end of the maze first! O 3 rd - 4 th Basic Operations, Math, Mental Math CCSS 3.OA.C.7 Also included in:Multiplication Fact Fluency Games: Multiply by 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 7s, 8s, 9s FREE Rated 4.88 out of 5, based on 24 reviews 4.9(24) Log in to Download Wish List 2s, 5s &10s Multiplication& Division Fluency Bundle \| 3rd Grade Math Activities Created by Michelle Payne LLC This comprehensive bundle includes everything you need to help your 3rd-grade students master 2s, 5s and 10s multiplication facts fluently and with confidence! Featuring engaging task cards, bump games, worksheets, and interactive "I Have, Who Has" games, this resource is designed to provide hands-on learning and reinforcement for multiplication skills. Perfect for math centers, small groups, or independent practice! Topics Covered2s, 5s and 10s Multiplication fact fluency Single-digit multiplic 2 nd - 5 th Basic Operations, Math, Mental Math CCSS 3.OA.A.1 , 3.OA.A.2 , 3.OA.A.4 +1 Bundle (15 products) $24.50 Original Price $24.50 $19.60 Price $19.60 Add to cart Wish List Multiplication Fact Bingo: Fluency Game for Multiplication Facts 2s and 3s Created by Divide by Zero Your students will love practicing their multiplication facts with this highly-engaging multiplication fact bingo game! This print-and-go bingo game is designed to help students master their 2s and 3s times tables (up to 12). Bingo is an awesome way to help students develop multiplication fact fluency, and isolating a handful of facts makes the game even more fun and effective. This resources includes: 30 unique bingo cards26 calling cards (2s and 3s multiplication facts)Perfect for math cent 3 rd Math $2.25 Original Price $2.25 Rated 5 out of 5, based on 2 reviews 5.0(2) Add to cart Wish List Multiplication Fact Fluency Practice (2s-12s) - Mystery Pixel Art GROWING BUNDLE Created by Victoria Hamilton This GROWING bundle will include 15 mystery pixel art digital activities at a steep discount! 13 out of the 15 products included in this bundle are currently available, including 11 pixel art activities that each focus on a single multiplication fact family (2S-12S) and 2 mixed multiplication fact practice pixel art activities (2s-12s). This bundle will have everything you need for no-prep dedicated multiplication fact fluency practice! Purchasing the bundle now will give you the best discou 3 rd - 6 th Basic Operations, Mental Math CCSS 3.OA.C.7 Bundle (13 products) $19.50 Original Price $19.50 $12.00 Price $12.00 Add to cart Wish List Multiplication Fluency 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 7s, 8s, 9s Jeopardy + Pixel Art Created by Gamified EduTech Unleash the power of math with our Multiplication Fluency 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 7s, 8s, 9s Jeopardy + Pixel Art Bundle! Featuring Jeopardy-Style Math Games and Pixel Art Math Activities, this collection turns Multiplication Fluency: 2s-9s math problems into an exciting adventure. Engage your students and boost their math skills with fun, interactive learning. Classroom Challenge is an educational twist on the classic Jeopardy game. Played on Google Sheets, this interactive game transforms l 1 st - 4 th Arithmetic, Basic Operations Bundle (3 products) $13.35 Original Price $13.35 $9.95 Price $9.95 Add to cart Wish List Multiplication Facts Fluency Practice (2s) Christmas and Winter Math Pixel Art Created by Pick Up and Go Resources This No-Prep Multiplication Facts Google Sheets™ Christmas/Winter math pixel art activity is what you need for digital review. Practice multiplication facts fluency with the 2 times tables with this digital self-checking Christmas pixel art. It is fun, engaging and interactive. This multiplication facts activity could be used as a review, bell ringer, or in place of a traditional worksheet. Best of all, it’s a massive time saver for you because it is No-Prep and it requires no manual grading. 3 rd Math CCSS 3.OA.C.7 Also included in:Multiplication Facts Christmas Holiday Pixel Art BUNDLE FREE Rated 4.73 out of 5, based on 26 reviews 4.7(26) Log in to Download Wish List 2s, 5s, and 10s Multiplication Task Card - 3rd Grade Multiplication Fluency Game Created by Michelle Payne LLC This self-checking math activity will have your students excited to review their multiplication facts! This Multiplication Scavenger Hunt Bundle includes three engaging scavenger hunts targeting the 2s, 5s, and 10s multiplication facts. Use them as whole group review, small group practice, or independent centers—no matter how you implement them, your students will love the movement and challenge! Topics Covered: Multiplying by 2, 5, and 10 Multiplication fluency Self-checking problem solving Mo 2 nd - 5 th Basic Operations, Mental Math, Other (Math) CCSS 3.OA.A.1 Bundle (3 products) $9.00 Original Price $9.00 $7.20 Price $7.20 Add to cart Wish List Karate Math - White Belt Multiplication/Division Fluency 0,1,2s Created by Fifth Grade Favess Karate Math: Multiplication& Division Fluency Packet Kickstart your students' multiplication and division skills with the Karate Math fluency packet, the first step in a fun, motivating, and rewarding journey toward mastering math facts! This packet is designed to give students independent practice with the 0, 1, and 2 multiplication and division facts, helping them build a solid foundation. The packets progressively build on each other, so make sure to grab them all as your students advance! Not Grade Specific Arithmetic, Basic Operations, Mental Math CCSS 5.NBT.B.5 , 5.NBT.B.6 , 3.OA.A.1 +8 Also included in:Multiplication and Division Fluency - Karate Math Complete Set $10.00 Original Price $10.00 Add to cart Wish List 2s, 5s, and 10s Multiplication Bump Game - 3rd Grade Multiplication Fluency Game Created by Michelle Payne LLC Looking for a fun and low-prep way to reinforce multiplication facts? This Multiplication Bump Game Bundle includes three interactive games focusing on the 2s, 5s, and 10s multiplication facts. Perfect for math centers, early finishers, or small groups—students will roll, multiply, and bump their way to fluency while having a blast! Topics Covered: Multiplying by 2, 5, and 10 Mental math and fact fluency Multiplying by factors up to 12What's Included: ✖️ 2s Multiplication Bump Game ✖️ 5s Mu 2 nd - 4 th Basic Operations, Mental Math, Other (Math) CCSS 3.OA.A.1 Bundle (3 products) $4.50 Original Price $4.50 $3.60 Price $3.60 Add to cart Wish List Multiplication Fact Fluency (0s, 1s, 2s, 5s, 10s) Pear Deck Google Slides Created by Miss Brown's Bunch Just assign and go! Multiplication facts practice (0s, 1s, 2s, 5s, 10s) using google slides for Pear Deck. Pear Deck is already connected, so just login in and launch your lesson! Perfect interactive way to engage kids while also getting real time formative assessments. Students will use the draw tool to either type or draw their answer in the box. Slides can also be used and assigned on Google Classroom. 30 problems included. 2 nd - 4 th Arithmetic, Mental Math $5.00 Original Price $5.00 Add to cart Wish List 2s Multiplication Fluency Game: Roll and Write Created by The Tasteful Teacher This multiplication fact fluency game helps ALL students master their multiplication facts! Multiplying is made into a fun game as students roll dice to determine which number they will multiply by the given number on the board. This game comes with step-by-step instructions at the top of each game board so students can play independently, as a group, or in stations. This file comes will facts fluency game boards that allow students to practice multiplying by 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, and 2 nd - 6 th Algebra, Basic Operations, Numbers $1.50 Original Price $1.50 Add to cart Wish List Multiplication Fact Fluency Practice for Basic Multiplication Facts Booklet - 2s Created by Caffeine Queen Teacher Help students master multiplication facts. Designed to make learning times tables easy and motivating, this set includes 9 worksheets, flashcards, and 4 half-page timed tests. Perfect for extra practice, understanding concepts, and achieving mastery in 3rd grade, 4th grade, and special education. This set is part of a BUNDLE!What's Inside:9 worksheetsFlashcardsAnswer keysBooklet-style formatINCLUDED PAGES:Cover Page for 2sHundreds Board (up to 120): Skip counting and pattern buildingMultiples Ma 3 rd - 4 th Basic Operations, Math, Mental Math CCSS 3.OA.C.7 Also included in:Multiplication Fact Fluency Practice for ALL Basic Multiplication Facts Booklets $3.00 Original Price $3.00 Rated 5 out of 5, based on 1 reviews 5.0(1) Add to cart Wish List Fact Fluency Multiplication 2s Math Game - WipeOut Freebie Created by Rulers and Pan Balances This fun and interactive game will keep your students engaged and excited about learning those multiplication facts. Two teams face-off trying to state the answer to the multiplication fact before their opponent. The team that wipes out the other team wins the game. Watch out for those waves though as they add excitement and fun to the game. If you see a wipeout, both teams lose a player! However, the party wave, allows teammates to return to the game. Some waves allows players to take off to th K - 5 th Basic Operations, Math CCSS 3.OA.C.7 , 4.OA.A.1 FREE Rated 4.67 out of 5, based on 9 reviews 4.7(9) Log in to Download Wish List 2s, 5s, 10s Multiplication Single-Digit Worksheets \| Multiplication Fact Fluency Created by Michelle Payne LLC Save time and build fluency with this targeted bundle of worksheets focused on the 2s, 5s, and 10s multiplication facts! These no-prep worksheets are perfect for reinforcing fact families, developing mental math skills, and giving your students consistent, focused practice with the most commonly taught fact families. Each worksheet provides a clean layout and a variety of problems to help students gain speed and confidence while working independently. Topics Covered: Multiplying by 2, 5 and 10 F 2 nd - 5 th Basic Operations, Mental Math, Other (Math) CCSS 3.OA.A.1 , 3.OA.C.7 Bundle (3 products) $2.00 Original Price $2.00 $1.60 Price $1.60 Add to cart Wish List Jeopardy Multiplication Fluency Practice 1s, 2s, 3s, 4s, 5s \| 4 Game Templates Created by Gamified EduTech This Multiplication Fluency Practice Games is a fun and engaging way to reinforce Multiplication Practice (1s, 2s, 3s, 4s, 5s) skills? This Jeopardy-style game, played directly on Google Sheets, offers the perfect blend of excitement and education. Ideal for use as an icebreaker, a subject introduction, or a review, this game turns math practice into a competitive and interactive experience. It's a great tool to help students sharpen their multiplying skills while having fun! What You Get 2 nd - 4 th Arithmetic, Math, Numbers Also included in:Multiplication Fluency 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 7s, 8s, 9s Jeopardy + Pixel Art $4.95 Original Price $4.95 Add to cart Wish List Digital Twos (2s) Multiplication Fact Fluency Practice - Mystery Pixel Art Created by Victoria Hamilton This fun and interactive digital activity is the perfect way for your students to practice their 2s multiplication facts! This digital resource uses Google Sheets and can easily be assigned using Google Classroom or shared with students as a forced copy link via email, Canvas, or Seesaw. Want to try out a mystery pixel art before you buy it? Check out my freebie HERE!Here's how it works:This self-checking activity includes 24 multiplication fact questions - all in the 2s family. Each 2s fact 3 rd - 6 th Math, Mental Math CCSS 3.NBT.A.3 , 3.OA.C.7 Also included in:Multiplication Fact Fluency Practice (2s-12s) - Mystery Pixel Art GROWING BUNDLE $1.50 Original Price $1.50 Add to cart Wish List Digital Mixed Multiplication (2s-12s) Fact Fluency Practice - Mystery Pixel Art Created by Victoria Hamilton This fun and interactive digital activity is the perfect way for your students to practice their mixed multiplication facts! This digital resource uses Google Sheets and can easily be assigned using Google Classroom or shared with students as a forced copy link via email, Canvas, or Seesaw. Want to try out a mystery pixel art before you buy it? Check out my freebie HERE!Here's how it works:This self-checking activity includes 24 mixed multiplication fact problems, 1s through 12s, with an extr 3 rd - 6 th Math, Mental Math CCSS 3.NBT.A.3 , 3.OA.C.7 Also included in:Multiplication Fact Fluency Practice (2s-12s) - Mystery Pixel Art GROWING BUNDLE $1.50 Original Price $1.50 Add to cart Wish List FREE Multiplication Fact Fluency / Multiplication 2s Facts – Boom Cards Created by Carrie Lutz - Classroom Callouts Need a fun way for your students to practice the Multiplication 2s Facts? These FREE Multiplication Facts Digital Boom Cards provide a fun and engaging way to practice the Times Tables. And, because these are a twist on traditional flash cards, they will have even your most unmotivated students wanting to play more! How to play:Students will use the Big Mouth code to create the equation. Then they will type in the numbers from the code, multiply the two numbers together, then submit their answ 1 st - 3 rd Arithmetic, Basic Operations Also included in:Multiplication Fact Fluency – Boom Cards Bundle FREE Rated 5 out of 5, based on 9 reviews 5.0(9) Log in to Download Wish List Multiplication Fact Fluency Boom Cards Bundle 2s-10s Created by Teach and Run Students can practice their multiplication facts on these fill in the blank digital task cards . A fun space themed activity that is great for developing multiplication math fact fluency! This bundle includes fact practices for 2s through the 10s Boom Cards™. There are 20 cards in each deck. Just assign the decks to your students. Boom Cards™ are self grading, and you can have access to data on student performance. What a great way for your 3rd grade and 4th grade students to build their multi 3 rd - 5 th Basic Operations, Math CCSS 3.NBT.A.3 Bundle (9 products) $24.00 Original Price $24.00 $19.20 Price $19.20 Rated 5 out of 5, based on 1 reviews 5.0(1) Add to cart Wish List Math Fact Fluency Multiplication& Division 2s Boom Cards™ Distance Learning Created by Erica Ellison at Rated E for Every Mind Students practice math fact fluency with 40 no-prep self-checking digital task cards. Students multiply and divide by 2 to build fluency and automaticity. BOOM Cards are the way to go! They require no extra prep from the teacher. Why should I use BOOM Cards?self-pacing for studentsself-checking for studentsengaging for studentsimmediate feedbackstress free for teachersno grading for teachersWhy should I purchase this deck?This deck includes 40 digital task cards that support instruction and sk 3 rd - 5 th Math CCSS 3.OA.C.7 Also included in:Math Fact Fluency Multiplication & Division Facts of 2-12s Boom Cards™ $3.00 Original Price $3.00 Rated 5 out of 5, based on 1 reviews 5.0(1) Add to cart Wish List Homerun: A Multiplication Fact Game for Fluency with 2s Created by Grandwood Games This baseball-themed center activity is sure to motivate those sports-loving students in your classroom. Students can play this tic-tac-toe type game with a partner to practice their multiplication fluency. This game focuses on multiplication facts of 2. There are three versions of the game board for varying levels of play. The rules for all the games are the same -- all you change is the dice selected. No Prep Required: Simply print out the game board, grab some dice and two-colored 2 nd - 4 th Basic Operations, Math, Mental Math CCSS 3.OA.C.7 $1.00 Original Price $1.00 Rated 5 out of 5, based on 1 reviews 5.0(1) Add to cart Wish List Multiplication Facts Fluency Practice (2s) Thanksgiving and Fall Math Pixel Art Created by Pick Up and Go Resources This No-Prep Multiplication Facts Google Sheets™ Thanksgiving/Fall math pixel art activity is what you need for digital review. Practice multiplication facts fluency with the 2 times tables with this digital self-checking Thanksgiving pixel art. It is fun, engaging and interactive. This multiplication facts activity could be used as a review, bell ringer, or in place of a traditional worksheet. Best of all, it’s a massive time saver for you because it is No-Prep and it requires no manual grad 3 rd Math, Numbers CCSS 3.OA.C.7 Also included in:Multiplication Facts Fluency Practice to 10 Thanksgiving and Fall Math Pixel Art $3.00 Original Price $3.00 Rated 5 out of 5, based on 1 reviews 5.0(1) Add to cart Wish List 1 2 3 4 5 Showing 1-24 of 570+results TPT is the largest marketplace for PreK-12 resources, powered by a community of educators. Facebook Instagram Pinterest Twitter About Who we are We're hiring Press Blog Gift Cards Support Help & FAQ Security Privacy policy Student privacy Terms of service Tell us what you think Updates Get our weekly newsletter with free resources, updates, and special offers. 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8020	https://www.youtube.com/watch?v=ZOgBhPyce2A	Complex Analysis: Complex Derivatives - d/dz(e^z) Polar Pi 24200 subscribers 107 likes Description 14469 views Posted: 28 Dec 2017 Jesus Christ is NOT white. Jesus Christ CANNOT be white, it is a matter of biblical evidence. Jesus said don't image worship. Beyond this, images of white Jesus are not just blasphemous and criminal, white Jesus is from Satan ( the imposter.) Why? Let's look at what Satan does: 1) He is incredibly narcissistic and promotes himself shamelessly. 2) He misleads and confuses. 3) He pushes people away from Jesus Christ God, the Holy Trinity, the one and only messiah. White Jesus does all three of the above and more -- matching the ways of Satan. Statues of Christ are equally offensive to God the Christ. While money is the biggest idol, Jesus spoke sufficiently against carved images. New content (not found on this channel) on many topics including complex analysis, test prep, etc can be found (+ regularly updated) on my website: polarpi.com You can also find me on Tik Tok @reuslovesmath and @polarpiny Full Playlist in Complex Analysis: In this video, I show you how to find the derivative of f(z)=e^z where z=x+iy. That is, "z" is a complex variable. Full Playlist of Algebra 1 videos: Full playlist of geometry videos: Full Playlist of Algebra 2 videos: Full Playlist of Trigonometry Videos: Full Playlist of Precalculus videos: Full Playlist of Calculus 1 videos: Full Playlist of Calculus 2 videos: Full Playlist of Calculus 3 videos: Full Playlist of Linear Algebra Videos: Full Playlist of Differential Equations Videos: Full Playlist of Number Theory Videos: Full Playlist of Complex Analysis Videos: Full Playlist of Discrete Math videos: Full Playlist of Mathematical Analysis videos: Full Playlist of Abstract Algebra videos: Full Playlist of Numerical Analysis: Playlist of Most Difficult Integrals: 3 comments Transcript: and the derivation of the cauchy-riemann conditions for checking whether or not a certain function of a complex variable is analytic we saw that there are two formulas by which we can find f prime of z given that f of Z is equal to U of XY plus I times V of XY so given that F of Z is in this form we saw in the definition of a derivative for complex functions that is the derivation of the cauchy-riemann conditions and I'll link that video below this one we saw that there are two formulas by which we can find f prime one of them involved partials that have to do with X and the other involved partials that have to do with why and here's on the right the one that the formula that involves partials of X so we can use this formula to find F prime in general but in this specific case where F of Z is equal to e to the Z all right let's get started so to start we can rewrite F of Z as e to the X plus iy where we note that Z is X plus iy and then bi exponent rules we can write this as e to the x times e to the I Y but then this is equal to e to the x times cosine Y plus I times sine Y and distributing the e to the X we write that this is the same as e to the X cosine Y plus e to the X well I forgot the I plus I times e to the X sine Y right and now if we compare this to this we see that we've got it in the form U of XY plus I times V of X Y so all we have to do is find UX and then VX and then do UX plus IV X and that's going to be F prime so then F prime of is going to have to equal well if this is U of XY what is the partial with respect to X well we should know some multivariable calculus but when we take the partial derivative with respect to X of this we see the cosine Y is gonna be a constant and the derivative of e to the X is just e to the X so we get that UX this guy is just e to the X cosine Y okay cool and then we have plus I right and there's a plus times VX and similarly VX is going to be since this is V of XY VX which is the partial with respect to X of this guy I circled too much but this guy is going to be e to the X sine Y again sine Y is a constant the derivative of e to the X is e to the X so e to the X sine Y but wait this here is f of Z which is e to the Z and this here is identical to F of f of Z so F prime of Z for F of Z equals e to the Z is itself anticlimactically so F prime of Z here our answer is e to the Z yeah cool all right keep watching there'll be more examples and a lot more videos on complex analysis by the way because the function f of Z equals e to the Z is analytic everywhere we say that its entire yeah cool take care
8021	https://stats.stackexchange.com/questions/394648/differences-between-prior-distribution-and-prior-predictive-distribution	machine learning - Differences between prior distribution and prior predictive distribution? - Cross Validated Join Cross Validated By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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Prior distribution is sort of fine to understand but I have found it vague to understand the use of prior predictive distribution and why it is different from prior distribution. machine-learning bayesian inference data-mining hierarchical-bayesian Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Improve this question Follow Follow this question to receive notifications asked Feb 27, 2019 at 9:36 xabzakabecdxabzakabecd 3,655 2 2 gold badges 21 21 silver badges 42 42 bronze badges Add a comment\| 2 Answers 2 Sorted by: Reset to default This answer is useful 44 Save this answer. Show activity on this post. Predictive here means predictive for observations. The prior distribution is a distribution for the parameters whereas the prior predictive distribution is a distribution for the observations. If X X denotes the observations and we use the model (or likelihood) p(x∣θ)p(x∣θ) for θ∈Θ θ∈Θ then a prior distribution is a distribution for θ θ, for example p β(θ)p β(θ) where β β is a set of hyperparameters. Note that there's no conditioning on β β, and therefore the hyperparameters are considered fixed, which is not the case in hierarchical models but this not the point here. The prior predictive distribution is the distribution of X X "averaged" over all possible values of θ θ: p β(x)=∫Θ p(x,θ)d θ=∫Θ p(x∣θ)p β(θ)d θ p β(x)=∫Θ p(x,θ)d θ=∫Θ p(x∣θ)p β(θ)d θ This distribution is prior as it does not rely on any observation. We can also define in the same way the posterior predictive distribution, that is if we have a sample X=(X 1,…,X n)X=(X 1,…,X n), the posterior predictive distribution is: p β(x∣X)=∫Θ p(x,θ∣X)d θ=∫Θ p(x∣θ,X)p β(θ∣X)d θ=∫Θ p(x∣θ)p β(θ∣X)d θ.p β(x∣X)=∫Θ p(x,θ∣X)d θ=∫Θ p(x∣θ,X)p β(θ∣X)d θ=∫Θ p(x∣θ)p β(θ∣X)d θ. The last line is based on the assumption that the upcoming observation is independent of X X given θ θ. Thus the posterior predictive distribution is constructed the same way as the prior predictive distribution but while in the latter we weight with p β(θ)p β(θ) in the former we weight with p β(θ∣X)p β(θ∣X) that is with our "updated" knowledge about θ θ. Example : Beta-Binomial Suppose our model is X∣θ∼B i n(n,θ)X∣θ∼B i n(n,θ) i.e P(X=x∣θ)=θ x(1−θ)n−x P(X=x∣θ)=θ x(1−θ)n−x. Here Θ=[0,1]Θ=[0,1]. We also assume a beta prior distribution for θ θ, β(a,b)β(a,b), where (a,b)(a,b) is the set of hyper parameters. The prior predictive distribution, p a,b(x)p a,b(x), is the beta-binomial distribution with parameters (n,a,b)(n,a,b). This discrete distribution gives the probability of getting k k successes out of n n trials given the hyper-parameters (a,b)(a,b) on the probability of success. Now suppose we observe n 1 n 1 draws (x 1,…,x n 1)(x 1,…,x n 1) with m m successes. Since the binomial and beta distributions are conjugate distributions we have: p(θ∣X=m)∝θ m(1−θ)n 1−m×θ a−1(1−θ)b−1∝θ a+m−1(1−θ)n 1+b−m−1∝β(a+m,n 1+b−m)p(θ∣X=m)∝θ m(1−θ)n 1−m×θ a−1(1−θ)b−1∝θ a+m−1(1−θ)n 1+b−m−1∝β(a+m,n 1+b−m) Thus θ∣X θ∣X follows a beta distribution with parameters (a+m,n 1+b−m)(a+m,n 1+b−m). Then, p a,b(x∣X=m)p a,b(x∣X=m) is also a beta-binomial distribution but this time with parameters (n 2,a+m,b+n 1−m)(n 2,a+m,b+n 1−m) rather than (n 2,a,b)(n 2,a,b). Upon a β(a,b)β(a,b) prior distribution and a B i n(n,θ)B i n(n,θ) likelihood, if we observe m m successes out of n 1 n 1 trials, the posterior predictive distribution is a beta-binomial with parameters (n 2,a+x,b+n 1−x)(n 2,a+x,b+n 1−x). Note that n 2 n 2 and n 1 n 1 play different roles here, since the posterior predictive distribution is about: Given my current knowledge on θ θ after observing m m successes out of n 1 n 1 trials, i.e β(n 1,a+x,n+b−x)β(n 1,a+x,n+b−x), what probability do I have of observing k k successes out of n 2 n 2 additional trials? I hope this is useful and clear. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Dec 9, 2019 at 18:24 answered Feb 27, 2019 at 12:06 periwinkleperiwinkle 3,593 13 13 silver badges 23 23 bronze badges 3 1 Yeap, I believe I have understood what you have explained here. Thank you very much.xabzakabecd –xabzakabecd 2019-02-27 13:30:10 +00:00 Commented Feb 27, 2019 at 13:30 good answer, but your integral expressions don't look right, and clearly have unstated assumptions about the prior/likelihood built in. The general integral is p(x\|X)=∫p(x,θ\|X)d θ p(x\|X)=∫p(x,θ\|X)d θ (ie integrate joint distribution to get marginal)probabilityislogic –probabilityislogic 2019-12-09 14:16:39 +00:00 Commented Dec 9, 2019 at 14:16 @probabilityislogic Thank you for pointing this out. I edited my answer, I hope this is better now.periwinkle –periwinkle 2019-12-09 18:27:03 +00:00 Commented Dec 9, 2019 at 18:27 Add a comment\| This answer is useful 14 Save this answer. Show activity on this post. Let Y Y be a random variable representing the (maybe future) data. We have a (parametric) model for Y Y with Y∼f(y∣θ),θ∈Θ Y∼f(y∣θ),θ∈Θ, Θ Θ the parameter space. Then we have a prior distribution represented by π(θ)π(θ). Given an observation of Y Y, the posterior distribution of θ θ is f(θ∣y)=f(y∣θ)π(θ)∫Θ f(y∣θ)π(θ)d θ f(θ∣y)=f(y∣θ)π(θ)∫Θ f(y∣θ)π(θ)d θ The prior predictive distribution of Y Y is then the (modeled) distribution of Y Y marginalized over the prior, that is, integrated over π(θ)π(θ): f(y)=∫Θ f(y∣θ)π(θ)d θ f(y)=∫Θ f(y∣θ)π(θ)d θ that is, the denominator in Bayes theorem above. This is also called the preposterior distribution of Y Y. This tells you what data (that is Y Y) you expect to see before learning more about θ θ. This have many uses, for instance in design of experiments, for an example, see Experimental Design on Testing Proportions or Intersections of chemistry and statistics. Another use is as a way to understand the prior distribution better. Say you are interested in modeling the variation in weight of elephants, and your prior distribution leads to a prior predictive with substantial probability over 20 tons. Then you might want to rethink, typical weight of largest elephants is seldom above 6 tons, so a substantial probability over 20 tons seem wrong. One interesting paper in this direction is Gelman (which do not use the terminology ...) Finally, preposterior concepts are typically not useful with uninformative priors, they require prior modeling taken serious. One example is the following: Let Y∼N(θ,1)Y∼N(θ,1) with a flat prior π(θ)=1 π(θ)=1. Then the prior predictive of Y Y is f(y)=∫∞−∞1 2 π−−√e−1 2(y−θ)2 d θ=1 f(y)=∫−∞∞1 2 π e−1 2(y−θ)2 d θ=1 so is itself uniform, so not very useful. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Dec 9, 2019 at 13:00 julyan 388 2 2 silver badges 8 8 bronze badges answered Feb 27, 2019 at 11:55 kjetil b halvorsen♦kjetil b halvorsen 85.2k 32 32 gold badges 215 215 silver badges 694 694 bronze badges Add a comment\| Your Answer Thanks for contributing an answer to Cross Validated! Please be sure to answer the question. Provide details and share your research! But avoid … Asking for help, clarification, or responding to other answers. Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. Use MathJax to format equations. MathJax reference. To learn more, see our tips on writing great answers. 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8022	https://www.studocu.com/row/document/university-of-moratuwa/power-electronics-ii/353245038-solutions-of-david-k-cheng-pdf/103440918	353245038 Solutions Manual for Field and Wave Electromagnetics by Cheng - Studocu Skip to document Teachers University High School Discovery Sign in Welcome to Studocu Sign in to access study resources Sign in Register Guest user Add your university or school 0 followers 0 Uploads 0 upvotes New Home My Library AI Notes Ask AI AI Quiz Chats Recent You don't have any recent items yet. My Library Courses You don't have any courses yet. Add Courses Books You don't have any books yet. Studylists You don't have any Studylists yet. 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PUBLISHING COMPANY Reading, Massachusetts Menio Park, California New York Don Mills, Ontario Wokingham, England Amsterdam Bonn Sydney Singapore Tokyo Madrid San Juan Solutions Manual Second Edition Field and Wave Electromagnetics David K. Cheng Life Fellow, Fellow, I.E. C. Eng. PUBLISHING COMPANY Reading, Massachusetts Menio Park, California New York Don Mills, Ontario Wokingham, England Amsterdam Bonn Sydney Singapore Tokyo Madrid San Juan Chapter 2 Vector Analysis P23) c) e) A f) g) A.(BXC) h) (AxB)xC Let where 1 For CIA: 2 For CLB: Cx Cy 3 Solving 0,0, and simultaneously, we obtain C and a any For A 1B B everywhere, Ax Ay Az Bz which requires that Bx Bz Chapter 2 Vector Analysis P23) c) e) A f) g) A.(BXC) h) (AxB)xC Let where 1 For CIA: 2 For CLB: Cx Cy 3 Solving 0,0, and simultaneously, we obtain C and a any For A 1B B everywhere, Ax Ay Az Bz which requires that Bx Bz A Let A,B, and C denote the vertices of a triangle, and and be the midpoints of sides AB and AC, respectively. The following vector relations hdd: c 1AC 8 BTC BC Q.E. JA ax cosa a ay sind, ag axcosp a,sing a) a a a3 COS cosd cos 3 sinxsing b) as ay a2 a8 x a corp sing 0 (sind cosd sind 0 az sin (a) sina cosasing. Ax: c Ex: C BXC. B x : A Magnitude relations: AB Single CA SinocA BC singe Hence. Sin Eze singer EME B Sir c . 3 A Let A,B, and C denote the vertices of a triangle, and and be the midpoints of sides AB and AC, respectively. The following vector relations hdd: c 1AC 8 BTC BC Q.E. JA ax cosa a ay sind, ag axcosp a,sing a) a a a3 COS cosd cos 3 sinxsing b) as ay a2 a8 x a corp sing 0 (sind cosd sind 0 az sin (a) sina cosasing. Ax: c Ex: C BXC. B x : A Magnitude relations: AB Single CA SinocA BC singe Hence. Sin Eze singer EME B Sir c . 3 P F , 0. F 1 P. Consider line L1: c, which has a slope equal to Denete the shifted line passing through the origin and parallel to L, as Li : b, O. The position vector of a point (x,y) on Li is IF we introduce the vector n ax b, aybz, we can write the equation of Li as Thus the vector h is 1 to F, , and is normal to both L, and Li. If follows that the two lines L, and L2 are perpendicular to each other if and only if their normal vectors n and aybz are orthogenal: 0, which implies or of that is, , the slopes of lines L2 and L, are the negative reciprocals of each other. P. a) Letting the position vector of a point in the plane be R I K ayy 122 and introducing the vector aybit inb3, we can write the given equation as (a constant). 4 P F , 0. F 1 P. Consider line L1: c, which has a slope equal to Denete the shifted line passing through the origin and parallel to L, as Li : b, O. The position vector of a point (x,y) on Li is IF we introduce the vector n ax b, aybz, we can write the equation of Li as Thus the vector h is 1 to F, , and is normal to both L, and Li. If follows that the two lines L, and L2 are perpendicular to each other if and only if their normal vectors n and aybz are orthogenal: 0, which implies or of that is, , the slopes of lines L2 and L, are the negative reciprocals of each other. P. a) Letting the position vector of a point in the plane be R I K ayy 122 and introducing the vector aybit inb3, we can write the given equation as (a constant). 4 b) d) g) iacoso. a) Along direct path O. The equation of P, P2 is Se 10. b) Along path 2 This path_has two segments. From P, to A : From A tc P2: F Hence, (Path 2 ) Vector field Fis not Conservative a) x dx 4ydy: 6 b) d) g) iacoso. a) Along direct path O. The equation of P, P2 is Se 10. b) Along path 2 This path_has two segments. From P, to A : From A tc P2: F Hence, (Path 2 ) Vector field Fis not Conservative a) x dx 4ydy: 6 b) dx Equalline integrals along two specific paths do not necessarily imply a conservative field. E is a servative field in this case because E, sing sing and g COS offering case E E. it rsin2ddr P3 (3,4, There is no change in from P3 P4. it a) ())0045 On the surface of the sphere on (agzing). ds 75 sing The first step is to find the expression for the unit normal aymt ap to the given surface. The given four corner points of the surface lead to the following four equations: 7 b) dx Equalline integrals along two specific paths do not necessarily imply a conservative field. E is a servative field in this case because E, sing sing and g COS offering case E E. it rsin2ddr P3 (3,4, There is no change in from P3 P4. it a) ())0045 On the surface of the sphere on (agzing). ds 75 sing The first step is to find the expression for the unit normal aymt ap to the given surface. The given four corner points of the surface lead to the following four equations: 7 Top face À a, p1 I2, Step 8(75) race Bottom face Sherra A O. button face Walls : 25 az2z, Swalls walls A 25 S 1,200TT. is S. Divergence theoren fails here because F has a singularity inside the volume at P t or Referring to Fig. IVE. note that the areas on the opposite sides of a differential volume in cylindrical coordinates are the same in and but are different in the Let us first evaluate the contributions to A of the inside and outside faces. On the inside face: S A. ds . .05 inside inside inside face face face H.O. (5,4,2). 2 9 Top face À a, p1 I2, Step 8(75) race Bottom face Sherra A O. button face Walls : 25 az2z, Swalls walls A 25 S 1,200TT. is S. Divergence theoren fails here because F has a singularity inside the volume at P t or Referring to Fig. IVE. note that the areas on the opposite sides of a differential volume in cylindrical coordinates are the same in and but are different in the Let us first evaluate the contributions to A of the inside and outside faces. On the inside face: S A. ds . .05 inside inside inside face face face H.O. (5,4,2). 2 9 On the outside face. S A. ds A, ) () so AZ. outside face Ar dAr ar H.O. AQAZ (5,43,23) Adding 2 and 3 we have 3 S inside A. ds (A, trair DAr ) ArApAZ H.O. outside face face (109020) Aradaz H.O, 4 where H.O. contain second and higher powers of or The sum of the contributions of the front and back faces (differential area Ar AZ) is S front back I A a Aradaz H.O., S face face (5) where H.O. contain second and higher powers of AD Similarly the sum of the contributions of the top and bottom faces (differential area is top A. ds (rSAZ) Aradaz H.O., huttom 6 face face where H.D. contain second and higher powers of AI. Combining 4 5 and 6 in 1, , dividing AV and letting Dr AD AZ o, we get (rAr) 00 3A JAz, oz where the subscript 0 has been dropped for simplicity. to On the outside face. S A. ds A, ) () so AZ. outside face Ar dAr ar H.O. AQAZ (5,43,23) Adding 2 and 3 we have 3 S inside A. ds (A, trair DAr ) ArApAZ H.O. outside face face (109020) Aradaz H.O, 4 where H.O. contain second and higher powers of or The sum of the contributions of the front and back faces (differential area Ar AZ) is S front back I A a Aradaz H.O., S face face (5) where H.O. contain second and higher powers of AD Similarly the sum of the contributions of the top and bottom faces (differential area is top A. ds (rSAZ) Aradaz H.O., huttom 6 face face where H.D. contain second and higher powers of AI. Combining 4 5 and 6 in 1, , dividing AV and letting Dr AD AZ o, we get (rAr) 00 3A JAz, oz where the subscript 0 has been dropped for simplicity. to Side 3: A. Signi 4 side3 Combining 3 and 4: Sides S 123 side2 Side 4: Side4 2 Combining (and Sides Rosing., 2ft (Agsing) Robect H.O. Substituting 2 and D. we cbtain () Rsing where the subscript 0 has been dropped For simplicity. costs Aabsi P a) F irrotational or 12 Side 3: A. Signi 4 side3 Combining 3 and 4: Sides S 123 side2 Side 4: Side4 2 Combining (and Sides Rosing., 2ft (Agsing) Robect H.O. Substituting 2 and D. we cbtain () Rsing where the subscript 0 has been dropped For simplicity. costs Aabsi P a) F irrotational or 12 which gives three b) F No also OF or or a 2y or It JV. av ay aV az :: 13 which gives three b) F No also OF or or a 2y or It JV. av ay aV az :: 13 R PCZY) R R2 R3 0 to Consider the conditions in the a) VAL 4TTE Q where Ep will have a if the point Pdoes not lie in the b) On the conducting Along the .: so, Tmax.,af Similarly for on the vertical conducting conducting plane changing x to Y and Refer to Example 2nea 276 R PCZY) R R2 R3 0 to Consider the conditions in the a) VAL 4TTE Q where Ep will have a if the point Pdoes not lie in the b) On the conducting Along the .: so, Tmax.,af Similarly for on the vertical conducting conducting plane changing x to Y and Refer to Example 2nea 276 Same as C12 in problem a) From Eqs. and ay 27750 b) Equation for lines everywhere tangent to the electric field lines is obtained requiring dy Which reduces to dy Integrating, we obtain cr where K is a constant. of radio having centers at (O,K). V1 V2 fe a, Capacitance per unit length add 2 TTE dis 1 d, Lmdid a,az Four equations: We obtain a,a2 did diddie Q,Q2 and d,d2 D1 a, a,a, 2a,az 2a2 2a, 2Q2 2a, 2 TT E. D1 a 2TTE cosh 12(a) a2 ax) a, 30 Same as C12 in problem a) From Eqs. and ay 27750 b) Equation for lines everywhere tangent to the electric field lines is obtained requiring dy Which reduces to dy Integrating, we obtain cr where K is a constant. of radio having centers at (O,K). V1 V2 fe a, Capacitance per unit length add 2 TTE dis 1 d, Lmdid a,az Four equations: We obtain a,a2 did diddie Q,Q2 and d,d2 D1 a, a,a, 2a,az 2a2 2a, 2Q2 2a, 2 TT E. D1 a 2TTE cosh 12(a) a2 ax) a, 30 Vo 0 a todand foo, a d4 D a) Qo and system of image charges: In left sphere In right sphere Qo at at d, at d2. a3 at d . a a at etro. Vo 4TrEa (II . a) Required boundary conditions: Grounded conducting plane at 2 Grounded conducting a b If plane. at 3 Shape of curved boundary defined : y or (a hyperbola) b) Required boundary conditions: 4 Grounded plane at 2 Grounded plane at 3 Grounded plane at 4 If V sinh V(x,y) Vo Curved boundary 32 Vo 0 a todand foo, a d4 D a) Qo and system of image charges: In left sphere In right sphere Qo at at d, at d2. a3 at d . a a at etro. Vo 4TrEa (II . a) Required boundary conditions: Grounded conducting plane at 2 Grounded conducting a b If plane. at 3 Shape of curved boundary defined : y or (a hyperbola) b) Required boundary conditions: 4 Grounded plane at 2 Grounded plane at 3 Grounded plane at 4 If V sinh V(x,y) Vo Curved boundary 32 Eq. a2 P2 P1 x At P,: b c, D a and simplringii b) Force perunitlength P. R Qi do d Q(b (See next page.) Required boundary conditions at and From and the pothesesin parts a) and b: In order to satisfy the at we require and 31 Eq. a2 P2 P1 x At P,: b c, D a and simplringii b) Force perunitlength P. R Qi do d Q(b (See next page.) Required boundary conditions at and From and the pothesesin parts a) and b: In order to satisfy the at we require and 31 353245038 Solutions Manual for Field and Wave Electromagnetics by Cheng Download Download AI Tools Ask AI Multiple Choice Flashcards Quiz Video Audio Lesson 5 0 Save 353245038 Solutions Manual for Field and Wave Electromagnetics by Cheng Course: Power Electronics II (4064) 3 documents University: University of Moratuwa Info More info Download Download AI Tools Ask AI Multiple Choice Flashcards Quiz Video Audio Lesson 5 0 Save Too long to read on your phone? 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8023	https://math.stackexchange.com/questions/1466343/what-does-vanishing-mean-in-the-context-of-linear-algebra	ordinary differential equations - What does 'vanishing' mean in the context of Linear Algebra? - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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Is going to 0 0 what they are talking about? linear-algebra ordinary-differential-equations terminology Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications edited Oct 6, 2015 at 0:01 Peter Woolfitt 21.5k 6 6 gold badges 59 59 silver badges 91 91 bronze badges asked Oct 5, 2015 at 23:57 Ryan MarrenRyan Marren 61 1 1 silver badge 2 2 bronze badges 2 2 "Mathematics. (of a number, quantity, or function) to become zero."Pedro –Pedro♦ 2015-10-06 00:03:08 +00:00 Commented Oct 6, 2015 at 0:03 3 In particular, the Kodaira vanishing theorem says that a certain group is zero, not that either Kodaira or his theorem vanished.Andreas Blass –Andreas Blass 2015-10-06 09:17:54 +00:00 Commented Oct 6, 2015 at 9:17 Add a comment\| 2 Answers 2 Sorted by: Reset to default This answer is useful 9 Save this answer. Show activity on this post. It's traditional mathematical English to say "x x vanishes" to mean x=0 x=0. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Oct 6, 2015 at 0:01 Rob ArthanRob Arthan 51.7k 4 4 gold badges 53 53 silver badges 106 106 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 4 Save this answer. Show activity on this post. Your interpretation is correct. "The Wronskian vanishes" means the Wronskian is equal to 0 0. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Oct 6, 2015 at 0:01 Peter WoolfittPeter Woolfitt 21.5k 6 6 gold badges 59 59 silver badges 91 91 bronze badges Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions linear-algebra ordinary-differential-equations terminology See similar questions with these tags. 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On being a Maître de conférence (France): Importance of Postdoc I have a lot of PTO to take, which will make the deadline impossible Matthew 24:5 Many will come in my name! Gluteus medius inactivity while riding alignment in a table with custom separator Does a Linux console change color when it crashes? How to home-make rubber feet stoppers for table legs? Any knowledge on biodegradable lubes, greases and degreasers and how they perform long term? Why include unadjusted estimates in a study when reporting adjusted estimates? Xubuntu 24.04 - Libreoffice What’s the usual way to apply for a Saudi business visa from the UAE? Why do universities push for high impact journal publications? Making sense of perturbation theory in many-body physics My dissertation is wrong, but I already defended. How to remedy? How to convert this extremely large group in GAP into a permutation group. How do you emphasize the verb "to be" with do/does? Direct train from Rotterdam to Lille Europe In the U.S., can patients receive treatment at a hospital without being logged? Childhood book with a girl obsessed with homonyms who adopts a stray dog but gives it back to its owners more hot questions Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. 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8024	https://www2.math.upenn.edu/~deturck/m114/notes/parametric.pdf	Parametric curves in the plane 1. The idea of parametric equations. Up to now, we’ve been used to describing curves in the xy-plane by specifying a single equation that relates x and y, such as y = x2 to deﬁne a parabola or x2 + y2 = 2 to deﬁne the circle of radius √ 2 centered at the origin. This way of describing a curve is sometimes called extrinsic, because it speciﬁes the curve by giving a way to test whether a given point lies on the curve. For instance, the point (2, 3) is not on the parabola y = x2 because 3 ̸= 22, but the point (3, 9) is because 9 = 32. In basic calculus, we sometimes made a distinction between “implicitly” and “explicitly” deﬁned curves. The y = x2 deﬁnition of the parabola is “explicit” because it clearly deﬁnes y as a function of x: to ﬁnd the (only) point on the parabola that has x = 5, you just substitute x = 5 into x2 to learn that y = 25, so the point (5, 25) is on the parabola, so that ﬁnding points on the parabola involves substituting values in for x but not having to solve any equations (I realize that this is belaboring the point). On the other hand, in x2 +y2 = 2, if you’re told that x = 2/3, then you still have to solve the equation 4/9 + y2 = 2 for y to ﬁnd the (two) points on the circle, namely (2/3, √ 14/3) and (2/3, − √ 14/3), which have x = 2/3. So the equation x2 + y2 = 2 implicitly deﬁnes y as a function of x, once we’ve decided which of the positive or negative square roots to use. The point here is that in these extrinsic ways of describing a curve, we start with the 2-dimensional plane (where the values of x and y are unrestricted), and place one equation constraint on x and y, which reduces the dimension of points under consideration by one – so the resulting curves such as the parabola y = x2 and the circle x2 +y2 = 1 are one-dimensional objects. An alternative, intrinsic way to deﬁne a curve in the plane is via parametric equations. This way of deﬁning a curve involves using an additional variable, called the parameter, and x and y are given as functions of this new variable. The letter t is often used for the parameter and in many applications t depends on time, and so writing x = f(t), y = g(t) for some functions f and g tells, for each value of the time t, where some object is in the xy-plane. There are several basic examples of parametric equations that are good to know: (1) Graphs of functions. Using parametric equations is a true generalization of the y = f(x) explicit extrinsic way to deﬁne a curve. To see this, consider the parabola y = x2 again. To write this parametrically, we could write x = t, y = t2, and it’s obvious that for any function f(x) the curve y = f(x) can be expressed parametrically as x = t, y = f(t). There are a lot of other ways to express the parabola, though – in fact we can set x equal to any expression in t, and then y should be the square of that expression, and we’ll get at least part of the parabola. For instance, the graph of x = et, y = e2t will give the right half of the parabola, whereas x = cos t, y = cos2 t will give the part of the parabola for x between −1 and 1. (2) Straight lines. It’s always important to know how to write the equation of a line. Recall that to specify a line, we need to specify one point on the line and the direction 2 parametric equations of the line. In extrinsic form, this is usually done using the slope of the line, so the line through the point (a, b) with slope m is y = b + m(x −a) (how can you make a direct translation of this into parametric form?). When we’re thinking parametrically, it’s better to specify the direction of a line by giving a vector that points in the direction the line is supposed to go. Our textbook writes vectors in the plane as ⟨p, q⟩for the vector that points p units to the right and q units up (you may have written this as pi + qj in physics class). The slope of a line that goes in the direction of ⟨p, q⟩is q/p, and the parametric form of the line that goes through the point (a, b) in this direction is x = a + pt, y = b + qt. Not so bad. One thing made easier by this way of thinking is writing the line through the two points (a1, b1) and (a2, b2). The vector ⟨a2 −a1 , b2 −b1⟩points from the ﬁrst point to the second, so the line is given parametrically by x = a1 +(a2 −a1)t, y = b1 +(b2 −b1)t. As we shall see, one advantage of this parametric form of the equation of a line is that when we look at lines in higher dimensional spaces, the parametric form generalizes pretty easily, where the explicit extrinsic form does not. (3) Circles. The (implicit, extrinsic) equation of the unit circle centered at the origin is x2 + y2 = 1. To put this in parametric form, we need two functions of t (one for x and one for y) whose squares add up to 1. So we could let x = cos t and y = sin t, for instance. If we think of the values (1, 0) of x and y for t = 0 as where the curve “starts”, and then see which points on the circle we get as t increases, we can see that the parametric equations x = cos t, y = sin t describes the circle starting at (1, 0) and traversed counterclockwise at a steady speed so that it takes 2π time units to go once around the circle. How do the parametric equations x = sin t, y = cos t describe the circle? How about x = cos 3t, y = sin 3t ? It’s not too hard to see that the parametric equations x = a + r cos t, y = b + r sin t describe the circle of radius r centered at the point (a, b). This will come in handy when we do some animations in Maple. 2. Calculus with parametric equations. All the fundamental calculus concepts such as limits, derivatives and integrals can be adapted to the parametric setting. There are no new techniques to learn, but some interpretation of the concepts is needed. Limits. There’s nothing new as regards limits – it’s just that since there are two functions x(t) and y(t), you have to do two limits to ﬁgure out which point (x(t), y(t)) approaches as t goes to some value. And from limits comes the idea of continuity, and again there’s nothing new. Derivatives. Again, since there are two functions, you have to take two derivatives. If we recall what we used derivatives for before, namely for giving the slope of a graph at a point, you can see easily that, since dx = dx dt dt and dy = dy dt dt and since the slope of a curve at a point is given by the derivative dy/dx of y with respect to x, we have slope = dy dx = dy/dt dx/dt d deturck 3 in parametric form. You can use the slope to ﬁnd the equation of tangent lines to parametric graphs, but it’s more natural (and generalizable to higher dimensions) to use the parametric form of lines described above to get equations of tangent lines. So, if for a certain value t0 of t, it is the case that x(t0) = a, y(t0) = b, x′(t0) = c and y′(t0) = d, then the parametric equations of the line tangent to the curve at (a, b) are x = a + ct, y = b + dt, since the tangent line should go through the point (a, b) and go in the direction of the vector ⟨c, d⟩. One thing to recall is that we used to ﬁnd the highest and lowest points on curves by setting dy/dx = 0 and solving for x. We set dy/dx = 0 because we were looking for points where the tangent line is horizontal. In parametric form, this will happen when dy/dt = 0 – you can solve this for t and then substitute the values obtained back into both x(t) and y(t) to get candidates for the highest and lowest points on parametric curves. But parametric curves can also have vertical tangents – these happen when dx/dt = 0. Integrals. We used integrals to ﬁnd areas, arclengths etc. We’ll do these two tasks for paramet-ric curves. When we had a curve described by expressing y as a function of x, we calculated the area between a part of the curve and the x-axis by doing an integral of the form R y dx. Likewise, to calculate the area between a part of a curve and the y axis we would express x as a function of y and do an integral of the form R x dy. If x and y are both functions of a parameter t, then we can express dx as x′(t) dt and dy as y′(t) dt. This gives us (at least) two ways of doing areas related to parametrically-described curves. One thing we have to be careful of is the sign of dx or dy – in other words, we have to check whether x and/or y is increasing or decreasing as the parameter t increases. Here’s an example: The circle of radius 2 centered at the origin is given parametrically by x = 2 cos t, y = 2 sin t. Note that the circle is traversed counter-clockwise as t increases. So to get the area between the top half of the circle and the x-axis, we note that the top half of the circle corresponds to parameter values 0 ≤t ≤π but the semi-circle is traversed from right to left. So we can calculate the area using the integral − Z π 0 y dx = − Z π 0 2 sin t (−2 sin t dt) = Z π 0 4 sin2 t dt = 2π. To get the area of between the x axis and the bottom half of the circle, we use parameter values π ≤t ≤2π. The bottom half of the circle goes from left to right, but since it’s below the x axis we still want an integral of the form Z 2π π (−y) dx = Z 2π π (−2 sin t)(−2 sin t dt) = Z 2π π 4 sin2 t dt = 2π. It’s not an accident that the two integrals we had to do were the same, except for diﬀerent values of the parameter. In general, to ﬁnd the area of a closed curve that is traversed counter-clockwise, we can integrate −y dx “once around the curve”, in other words, over a parameter 4 parametric equations interval that takes us exactly once around the curve. If the curve were traversed clockwise, we would integrate +y dx. You should convince yourself, using the example of the circle again, that we could also calculate the area enclosed by a closed loop traversed counterclockwise by integrating x dy. But as a bonus, since we get the area either by integrating x dy or −y dx, we could also add them together and divide by two and still get the area. And in a surprising number of situations, this simpliﬁes things a lot. For example, for our circle, we have x = 2 cos t y = 2 sin t so dx = −2 sin t dt dy = 2 cos t dt and so we can calculate the area of the circle by integrating 1 2(x dy −y dx) from 0 to 2π (once around, counterclockwise) as follows: Area = 1 2 Z 2π 0 (x dy −y dx) = 1 2 Z 2π 0 (2 cos t(2 cos t dt) −2 sin t(−2 sin t dt)) = 1 2 Z 2π 0 (4 cos2 t + 4 sin2 t) dt = 1 2 Z 2π 0 4 dt = 4π as we should have expected – but the integral in this case was certainly easier than integrating sin2 t or cos2 t. Here’s a more interesting example. The curve given extrinsically by the equation x3 + y3 = 3xy is called the folium of Descartes. Here’s a graph of it: Figure 1. Folium of Descartes Because of the x3 and y3 terms, the equation of the folium is not easy to solve for either x or y. But there is a useful set of parametric equations for this curve. To ﬁnd it, we choose a “geometrically meaningful” parameter – in this case, for each point (x, y) on the curve, we’ll let t be the slope of the line through the origin and (x, y). In other words, t = y/x. So we now have two equations that relate the three variables x, y, and t: x3 + y3 = 3xy and t = y x. d deturck 5 And whenever we have two equations, we can expect (or at least hope) to be able to solve for two of the variables in terms of the other(s). So in this case, we’ll solve for x and y as functions of t. Substitute y = tx into the ﬁrst equation to get x3 +t3x3 = 3tx2, or x2(1+t3)x−3t = 0, which we can solve for x to get x = 3t 1 + t3 (ignoring the trivial solution x = 0). And since y = tx, we have that the parametric equations for the folium of Descartes are x = 3t 1 + t3 y = 3t2 1 + t3 . The folium has a loop that seems to start and end at the origin – let’s ﬁnd its area. Now there’s only one value of the parameter, namely t = 0, that gives x = 0 and y = 0, but a moment’s thought (or L’Hˆ opital’s rule) reveals that lim t→∞ 3t 1 + t3 = 0 and lim t→∞ 3t2 1 + t3 = 0 (see how parametric limits work the same way as the ones we already know?), so to ﬁnd the area of the loop we have to integrate one of our area quantities for t going from 0 to inﬁnity. You should convince yourself that as t goes from 0 to inﬁnity, that the loop is traversed counterclockwise. Now we calculate: x dy = 3t 1 + t3 (1 + t3)(6t) −(3t2)(3t2) (1 + t3)2 dt = 9t2(2 −t3) (1 + t3)3 dt and y dx = 3t2 1 + t3 (1 + t3)(3) −(3t)(3t2) (1 + t3)2 dt = 9t2(1 −2t3) (1 + t3)3 dt. Neither of these looks like much fun to integrate. But note: 1 2(x dy −y dx) = 1 2 9t2 (1 + t3)3 (2 −t3 −1 + 2t3) dt = 9t2(1 + t3) 2(1 + t3)3 dt = 9t2 2(1 + t3)2 dt and we can integrate this by u-substitution (u = 1 + t3), as follows: Area = Z ∞ 0 9t2 2(1 + t3)2 dt = Z ∞ 1 3 2u2 du = −3 2 1 u ∞ 1 = 3 2. Now, recall that we calculated the length of a curve given by y = f(x) by integrating ds = s 1 + dy dx 2 dx. But this expression seems to treat the two variables x and y diﬀerently. Moreover, we derived this expression for the element of arclength by beginning with the fact that on a small bit of the graph we have that x changes by dx and y changes by dy, so that the length of the small bit of the graph should be p (dx)2 + (dy)2. We then wrote dy = y′ dx and factored out (dx)2. 6 parametric equations In parametric form, the two variables x and y are treated the same. And since dx = x′(t) dt and dy = y′(t) dt, we have ds = p (x′(t))2 + (y′(t))2 dt. This is what we integrate to get arclength of a curve given in parametric form. For example for our circle of radius 2, we have x = 2 cos t y = 2 sin t and so ds = p 4 sin2 t + 4 cos2 t dt = 2 dt, and we compute the length (circumference) of the circle easily: Length = Z 2π 0 2 dt = 4π. 3. Pythagorean triples. Here’s an interesting example of using a non-standard parametriza-tion of the circle to derive an interesting fact. You remember from high-school trig and physics that there are some right-angle triangles which have all three sides integers, such as (3,4,5) or (5,12,13). These triples of numbers (a, b, c) satisfy the famous Pythagorean equation a2 +b2 = c2. When you have a solution for which a, b and c are all whole numbers, you call it a Pythagorean triple. You may have wondered just how many really distinct Pythagorean triples there are (“really distinct” means that the triangles corresponding to them are not similar – so the triples (3,4,5) and (6,8,10) are not really distinct, but (3,4,5) and (5,12,13) are). Pythagorean triples correspond with points on the circle x2 + y2 = 1 whose x and y coordi-nates are both rational numbers – we just let x = a/c and y = b/c. And there is an interesting parametrization of the unit circle which allows us to ﬁnd lots of (in fact, inﬁnitely many) points with both coordinates rational. The parameter t in this parametrization is “geometrically meaningful” in a way that is reminiscent of the folium of Descartes. But instead of being the slope of the line connecting the origin to (x, y) on the circle, t will be the slope of the line connecting the point (1, 0) to (x, y), so we have t = y x −1 , or y = t(x −1). We substitute this into x2 + y2 = 1 and get x2 + t2(x −1)2 = 1, which we can solve for x as follows: Rewrite the preceding equation as a quadratic equation in x: (t2 + 1)x2 −2t2x + (t2 −1) = 0 and then the quadratic formula gives x = 2t2 ± p 4t4 −4(t2 + 1)(t2 −1) 2(t2 + 1) = 2t2 ± 2 2(t2 + 1) = t2 −1 t2 + 1 (this is the only interesting solution, since using the + sign just gives x = 1). Thus x = t2 −1 t2 + 1. d deturck 7 Since y = t(x −1), we can calculate y = t t2 −1 t2 + 1 −1 = −t t2 −1 t2 + 1 −t2 + 1 t2 + 1 = t −2 t2 + 1. So the following are parametric equations for the unit circle: x = t2 −1 t2 + 1 y = −2t t2 + 1. This is called a rational parametrization of the circle because both x and y are quotients of polynomials with integer coeﬃcients. And because we have a rational parametrization, we can generate lots of points on the circle with both x and y rational numbers, simply by substituting an integer or rational number for t. For instance, if t=10, then we get x = 99/101 and y = −20/101. And it’s true that 202 + 992 = 1012 (both sides equal 10,201). And, from our parametrization, we’re led pretty directly to believe that for any integer t, the triple (t2 −1 , 2t , t2 + 1) will be Pythagorean, which is pretty easy to verify. Let’s list the ﬁrst few: t triple 2 (3, 4, 5) 3 (8, 6, 10) 4 (15, 8, 17) 5 (24, 10, 26) 6 (35, 12, 37) 7 (48, 14, 50) 8 (63, 16, 65) 9 (80, 18, 82) 10 (99, 20, 101) There are some interesting patterns in this table, for even versus odd values of t. But you can see that we’ll generate inﬁnitely many really distinct Pythagorean triples this way. Do you think there are any others that are distinct from all the triples on this list? How would you either ﬁnd one of them or else prove that none exist?
8025	https://math.stackexchange.com/questions/922699/algebraically-how-are-ln-csc-x-cot-x-c-and-ln-csc-x-cot-xc	calculus - Algebraically, how are $-\ln\|\csc x + \cot x\| +C $ and $\ln\| \csc x - \cot x\|+C$ equal? - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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I know both of these are the answer to ∫csc x d x∫csc⁡x d x, and I am able to work them out with calculus using the formulas: ∫csc x d x∫csc⁡x d x =∫csc x csc x−cot x csc x−cot x d x=∫csc⁡x csc⁡x−cot⁡x csc⁡x−cot⁡x d x and: =∫csc x csc x+cot x csc x+cot x d x=∫csc⁡x csc⁡x+cot⁡x csc⁡x+cot⁡x d x Still, when looking at the results, −ln\|csc x+cot x\|+C−ln⁡\|csc⁡x+cot⁡x\|+C and ln\|csc x−cot x\|+C ln⁡\|csc⁡x−cot⁡x\|+C , I don't see how these are algebraically equivalent. Perhaps I'm just unaware of some algebra rule (that is likely!). I tried using the Laws of Logs and that doesn't help. Or maybe I'm missing some trig trick. calculus integration trigonometry logarithms indefinite-integrals Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications edited Sep 7, 2014 at 17:34 Américo Tavares 39.2k 14 14 gold badges 110 110 silver badges 252 252 bronze badges asked Sep 7, 2014 at 17:23 MattMatt 661 2 2 gold badges 7 7 silver badges 17 17 bronze badges 1 These two expressions are indeed equal as described in the answers, but I just want to say that the two methods for integrating can lead to different answers, where the constant is absorbed in C C. Consider 1 1−x 2−−−−−√1 1−x 2. This can lead to arcsin x+C arcsin⁡x+C or −arccos x+C−arccos⁡x+C depending on the substitution, but arcsin x≠arccos x arcsin⁡x≠arccos⁡x. The constant π 2 π 2 was absorbed in constant C C because arcsin x+arccos x=π 2,−1≤x≤1 arcsin⁡x+arccos⁡x=π 2,−1≤x≤1 taninamdar –taninamdar 2014-09-07 19:03:46 +00:00 Commented Sep 7, 2014 at 19:03 Add a comment\| 2 Answers 2 Sorted by: Reset to default This answer is useful 4 Save this answer. Show activity on this post. csc 2 x−cot 2 x=1 csc 2⁡x−cot 2⁡x=1 Add both terms of ln and use ln 1=0 ln⁡1=0 (ln\|csc x+cot x\|)+(ln\|csc x−cot x\|)=(ln\|csc 2 x−cot 2 x\|)=ln 1=0⟹ln\|csc x+cot x\|=−ln\|csc x−cot x\|(ln⁡\|csc⁡x+cot⁡x\|)+(ln⁡\|csc⁡x−cot⁡x\|)=(ln⁡\|csc 2⁡x−cot 2⁡x\|)=ln⁡1=0⟹ln⁡\|csc⁡x+cot⁡x\|=−ln⁡\|csc⁡x−cot⁡x\| Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Sep 8, 2014 at 3:17 answered Sep 7, 2014 at 17:24 RE60KRE60K 18.1k 2 2 gold badges 37 37 silver badges 83 83 bronze badges 1 Please edit ... You're missing an ln ln.Ted Shifrin –Ted Shifrin 2014-09-08 03:15:53 +00:00 Commented Sep 8, 2014 at 3:15 Add a comment\| This answer is useful 3 Save this answer. Show activity on this post. ln\|csc x−cot x\|=ln∣∣∣1 sin x−cos x sin x∣∣∣=ln∣∣∣1−cos x sin x∣∣∣=−ln∣∣∣sin x 1−cos x∣∣∣=−ln∣∣∣sin x 1−cos x⋅1+cos x 1+cos x∣∣∣=−ln∣∣∣sin x 1−cos 2 x⋅(1+cos x)∣∣∣=−ln∣∣∣1 sin x⋅(1+cos x)∣∣∣=−ln\|csc x+cot x\|.ln⁡\|csc⁡x−cot⁡x\|=ln⁡\|1 sin⁡x−cos⁡x sin⁡x\|=ln⁡\|1−cos⁡x sin⁡x\|=−ln⁡\|sin⁡x 1−cos⁡x\|=−ln⁡\|sin⁡x 1−cos⁡x⋅1+cos⁡x 1+cos⁡x\|=−ln⁡\|sin⁡x 1−cos 2⁡x⋅(1+cos⁡x)\|=−ln⁡\|1 sin⁡x⋅(1+cos⁡x)\|=−ln⁡\|csc⁡x+cot⁡x\|. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Sep 7, 2014 at 17:32 Tunk-FeyTunk-Fey 20.7k 9 9 gold badges 84 84 silver badges 112 112 bronze badges 3 3 Simple, clear and nice ...and... no blabla ! Thanks :-)Claude Leibovici –Claude Leibovici 2014-09-07 17:59:35 +00:00 Commented Sep 7, 2014 at 17:59 I wish I could accept both answers (I did up-vote both). Great answers!Matt –Matt 2014-09-09 22:16:24 +00:00 Commented Sep 9, 2014 at 22:16 @Matt Thanks. :)Tunk-Fey –Tunk-Fey 2014-09-10 03:02:11 +00:00 Commented Sep 10, 2014 at 3:02 Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions calculus integration trigonometry logarithms indefinite-integrals See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Related 0Different results from integrating ∫cot(10 z)csc 4(10 z)d z∫cot⁡(10 z)csc 4⁡(10 z)d z in two ways. What's going on? 1Evaluate the integral ∫3 π/4 π/4 x⋅cot(x)⋅csc(x)d x∫π/4 3 π/4 x⋅cot⁡(x)⋅csc⁡(x)d x 0Solving ∫csc 2(x)d x K−cot 2(x)√∫csc 2⁡(x)d x K−cot 2⁡(x) where K K is a constant 2How do I change csc x+cot x csc⁡x+cot⁡x into 1 csc x−cot x 1 csc⁡x−cot⁡x? 1Can Trigonometric Substitution be used to derive the anti-derivative ∫1 x 2−a 2 d x=1 2 a ln\|x−a x+a\|+C∫1 x 2−a 2 d x=1 2 a ln⁡\|x−a x+a\|+C? 2Verifying cot θ−1 cot θ+3=csc 2 θ−6 cot θ+4 csc 2 θ−2 cot θ−16 cot⁡θ−1 cot⁡θ+3=csc 2⁡θ−6 cot⁡θ+4 csc 2⁡θ−2 cot⁡θ−16 2After integrating csc 2(x)cot(x)csc 2⁡(x)cot⁡(x) why do I get cot 2(x)=csc 2(x)cot 2⁡(x)=csc 2⁡(x)? Hot Network Questions Program that allocates time to tasks based on priority An odd question A time-travel short fiction where a graphologist falls in love with a girl for having read letters she has not yet written… to another man For every second-order formula, is there a first-order formula equivalent to it by reification? How many color maps are there in PBR texturing besides Color Map, Roughness Map, Displacement Map, and Ambient Occlusion Map in Blender? The geologic realities of a massive well out at Sea ICC in Hague not prosecuting an individual brought before them in a questionable manner? Making sense of perturbation theory in many-body physics в ответе meaning in context Weird utility function The rule of necessitation seems utterly unreasonable How to fix my object in animation Why are LDS temple garments secret? How can the problem of a warlock with two spell slots be solved? If Israel is explicitly called God’s firstborn, how should Christians understand the place of the Church? How to locate a leak in an irrigation system? Do we need the author's permission for reference Can peaty/boggy/wet/soggy/marshy ground be solid enough to support several tonnes of foot traffic per minute but NOT support a road? Calculating the node voltage Why include unadjusted estimates in a study when reporting adjusted estimates? With line sustain pedal markings, do I release the pedal at the beginning or end of the last note? What happens if you miss cruise ship deadline at private island? Why multiply energies when calculating the formation energy of butadiene's π-electron system? Is it ok to place components "inside" the PCB more hot questions Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. 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8026	https://math.libretexts.org/Courses/Las_Positas_College/Math_for_Liberal_Arts/07%3A_Algebraic_Models/7.02%3A_Modeling_with_Linear_Equations	Skip to main content 7.2: Modeling with Linear Equations Last updated : May 26, 2022 Save as PDF 7.1: Linear Equations 7.3: Modeling with Quadratic Equations Page ID : 52880 David Lippman Pierce College via The OpenTextBookStore ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}) In this section, you will learn to use linear functions to model real-world applications Read the problem carefully. Highlight important information. Identify what each variable represents in the context of the problem. Example 7.2.1 It costs $750 to manufacture 25 items, and $1000 to manufacture 50 items. Assuming a linear relationship holds, find the cost equation, and use this equation to predict the cost of 100 items. Solution We let x = the number of items manufactured, and let y = the cost. Solving this problem is equivalent to finding an equation of a line that passes through the points (25, 750) and (50, 1000). m=1000−75050−25=10 Therefore, the partial equation is y=10x+b By substituting one of the points in the equation, we get b=500 Therefore, the cost equation is y=10x+500. This equation is the linear model for this problem. Now use the linear model to find the cost of 100 items. Substitute x=100 in the equation y=10x+500 So the cost is y=10(100)+500=1500 It costs $1500 to manufacture 100 items. Example 7.2.2 The freezing temperature of water in Celsius is 0 degrees and in Fahrenheit 32 degrees. And the boiling temperatures of water in Celsius, and Fahrenheit are 100 degrees, and 212 degrees, respectively. Write a conversion equation from Celsius to Fahrenheit and use this equation to convert 30 degrees Celsius into Fahrenheit. Solution Let us look at what is given. \| \| \| --- \| \| Celsius \| Fahrenheit \| \| 0 \| 32 \| \| 100 \| 212 \| We let C = the degrees in Celsius, and let F = the degrees in Fahrenheit. Again, solving this problem is equivalent to finding an equation of a line that passes through the points (0, 32) and (100, 212). Since we are finding a linear relationship, we are looking for an equation y=mx+b, or in this case F=mC+b, where x or C represent the temperature in Celsius, and y or F the temperature in Fahrenheit. slope m =312−32100−0=95 The equation is F=95C+b Substituting the point (0, 32), we get b = 32 and the conversion equation is F=95C+32. To convert 30 degrees Celsius into Fahrenheit, substitute C=30 in the equation F=95C+32F=95(30)+32=86 Thus, 30 degrees Celsius is equal to 86 degrees Fahrenheit. Example 7.2.3 The variable cost to manufacture a product is $10 per item and the fixed cost $2500. If x represents the number of items manufactured and y represents the total cost, write the cost function. Solution The variable cost of $10 per item tells us that m=10. The fixed cost represents the y-intercept. So b=2500. Therefore, the cost function is y=10x+2500. Example 7.2.4 Assume a car depreciates by the same amount each year. Joe purchased a car in 2010 for $16,800. In 2014 it is worth $12,000. Find the linear model. Use this model to predict how much the car will be worth in 2020. Solution: We let x = the number of years after 2010, and let y = the cost. Solving this problem is equivalent to finding an equation of a line that passes through the points (0, 16800) and (4, 12000). To find the linear model for this problem, we need to find the slope. m=12000−168004−0=−1200 The slope indicates that the rate of depreciation each year is $-1200. Thus, the linear model for this problem is: y=−1200x+16,800 Now, to find out how much the car will be worth in 2020, we need to know how many years that is from the purchase year. Since it is ten years later, x=10. y=−1200(10)+16,800=−12,000+16,800=4,800(7.2.1) The car will be worth $4800 in 2020. Note: The value of the car over time follows a decreasing straight line. Example 7.2.5 The cost y, in dollars, of a gym membership for n months can be described by the linear model y=30n+70. What does this model tell us? Solution The value for y when n=0 in this equation is 70, so the initial starting cost is $70. This tells us that there must be an initiation or start-up fee of $70 to join the gym. The value for the slope, m in the equation is 30, so the cost increases by $30 each month. This tells us that the monthly membership fee for the gym is $30 a month. Example 7.2.6 The population of Canada in the year 1980 was 24.5 million, and in the year 2010 it was 34 million. The population of Canada over that time period can be approximately modeled by a linear function. Let x represent time as the number of years after 1980 and let y represent the size of the population. Write the linear function that gives a relationship between the time and the population. Assuming the population continues to grow linearly in the future, use this equation to predict the population of Canada in the year 2025. Solution The problem can be made easier by using 1980 as the base year, that is, we choose the year 1980 as the year zero. This will mean that the year 2010 will correspond to year 30. Now we look at the information we have: \| \| \| --- \| \| Year \| Population \| \| 0 (1980) \| 24.5 million \| \| 30 (2010) \| 34 million \| a. Solving this problem is equivalent to finding an equation of a line that passes through the points (0, 24.5) and (30, 34). We use these two points to find the slope: m=34−24.530−0=9.530=0.32 The y-intercept occurs when x=0, so b=24.5. We write the linear model y=0.32x+24.5 b. Now to predict the population in the year 2025, we let x=2025−1980=45 y=0.32x+24.5y=0.32(45)+24.5=38.9 In the year 2025, we predict that the population of Canada will be 38.9 million people. Note that we assumed the population trend will continue to be linear. Therefore if population trends change and this assumption does not continue to be true in the future, this prediction may not be accurate. Definition: Linear Growth A quantity grows linearly if it grows by a constant amount for each unit of time. Example 7.2.7: City Growth Suppose in Flagstaff Arizona, the number of residents increased by 1000 people per year. If the initial population was 46,080 in 1990, can you predict the population in 2013? This is an example of linear growth because the population grows by a constant amount. We list the population in future years below by adding 1000 people for each passing year. \| \| 1990 \| 1991 \| 1992 \| 1993 \| 1994 \| 1995 \| 1996 \| \| Year \| 0 \| 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 \| 6 \| \| Population \| 46,080 \| 47,080 \| 48,080 \| 49,080 \| 50,080 \| 51,080 \| 52,080 \| Solution: The population growth, y, can be modeled with a linear equation. The initial population is 46,080. The future population depends on the number of years, t, after the initial year. The model is y=1000t+46,080. Note, we chose to use the variable t as a simple reminder that t represents time. We could continue to use the variable x, or any other letter for that matter, but t for time makes sense. To predict the population in 2013, we identify how many years it has been from 1990 (which is year zero). So t = 23for the year 2013. y=1000(23)+46,080=69,080(7.2.2) The population of Flagstaff in 2013 will be 69,080 people. Example 7.2.8: Antique Frog Collection Dora has inherited a collection of 30 antique frogs. Each year she vows to buy two frogs a month to grow the collection. This is an additional 24 frogs per year. How many frogs will she have in six years? How long will it take her to reach 510 frogs? Solution The initial population is 30 frogs, so b=30. The rate of change is 24 frogs per year, so m=24. The linear growth model for this problem is: y=24t+30(7.2.3) where t = time in years and y = the number of frogs The first question asks how many frogs will Dora have in six years so, t = 6. y=24(6)+30=144+30=174(7.2.4) frogs. The second question asks for the time it will take for Dora to collect 510 frogs. So, y=510and we will solve for t. 51048020=24t+30=24t=t It will take 20 years to collect 510 antique frogs. Note: The graph of the number of antique frogs Dora accumulates over time follows a straight line. Try it Now 1 The number of stay-at-home fathers in Canada has been growing steadily. While the trend is not perfectly linear, it is fairly linear. Use the data from 1976 and 2010 to find an explicit formula for the number of stay-at-home fathers, then use it to predict the number of stay-at-home fathers in 2020. Year Number of stay-at-home fathers 197620,610198428,725199143,530200047,665201053,555 Answer : We let t = the number of years after 1976, and let y = the number of stay-at-home fathers. From the table we know that 1976 corresponds to t=0 and the number of stay-at-home fathers is y=20,610. From 1976 to 2010 the number of stay-at-home fathers increased by 53,555−20,610=32,945 This happened over 34 years, so the rate of change (slope) is 32,945/34=969. y=969t+20,610 Predicting for 2020, we use t=44 y=969(44)+20,610=63,246 There will be 63,246 stay-at-home fathers in 2020. www.fira.ca/article.php?id=140 7.1: Linear Equations 7.3: Modeling with Quadratic Equations
8027	https://www.geeksforgeeks.org/maths/measures-of-central-tendency/	Measures of Central Tendency in Statistics - GeeksforGeeks Skip to content Tutorials Python Java DSA ML & Data Science Interview Corner Programming Languages Web Development CS Subjects DevOps Software and Tools School Learning Practice Coding Problems Courses DSA / Placements ML & Data Science Development Cloud / DevOps Programming Languages All Courses Tracks Languages Python C C++ Java Advanced Java SQL JavaScript Interview Preparation GfG 160 GfG 360 System Design Core Subjects Interview Questions Interview Puzzles Aptitude and Reasoning Data Science Python Data Analytics Complete Data Science Dev Skills Full-Stack Web Dev DevOps Software Testing CyberSecurity Tools Computer Fundamentals AI Tools MS Excel & Google Sheets MS Word & Google Docs Maths Maths For Computer Science Engineering Mathematics Switch to Dark Mode Sign In Number System and Arithmetic Algebra Set Theory Probability Statistics Geometry Calculus Logarithms Mensuration Matrices Trigonometry Mathematics Sign In ▲ Open In App Measures of Central Tendency in Statistics Last Updated : 23 Jul, 2025 Comments Improve Suggest changes 19 Likes Like Report Central tendencies in statistics are numerical values that represent the middle or typical value of a dataset. Also known as averages, they provide a summary of the entire data, making it easier to understand the overall pattern or behavior. These values are useful because they capture the essence of large datasets in a single, representative number. The representative value of a data set, generally the central value or the most occurring value that gives a general idea of the whole data set is called Measure of Central Tendency. Central Tendency The three most commonly used measures of central tendency are mean, median, and mode. Mean Mean in general terms is used for the arithmetic mean of the data, but other than the arithmetic mean there are geometric mean and harmonic mean as well that are calculated using different formulas. Here in this article, we will discuss the arithmetic mean. Mean Mean for Ungrouped Data Arithmetic mean (x ˉ\bar{x}x ˉ) is defined as the sum of the individual observations (x i) divided by the total number of observations N. In other words, the mean is given by the sum of all observations divided by the total number of observations. x ˉ=∑x i N\bold{\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N}}x ˉ=N∑x i OR Mean = Sum of all Observations ÷ Total number of Observations Example: If there are 5 observations, which are 27, 11, 17, 19, and 21, then the mean (x ˉ\bar{x}x ˉ) is given by x ˉ\bar{x}x ˉ= (27 + 11 + 17 + 19 + 21) ÷ 5 ⇒x ˉ\bar{x}x ˉ= 95 ÷ 5 ⇒x ˉ\bar{x}x ˉ= 19 Mean for Grouped Data Mean (x ˉ\bar{x}x ˉ) is defined for the grouped data as the sum of the product of observations (x i) and their corresponding frequencies (f i) divided by the sum of all the frequencies (f i). x ˉ=∑f i x i∑f i\bold{\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}x ˉ=∑f i∑f ix i Example: If the values (x i) of the observations and their frequencies (f i) are given as follows: \| x i \| 4 \| 6 \| 15 \| 10 \| 9 \| \| f i \| 5 \| 10 \| 8 \| 7 \| 10 \| then Arithmetic mean (x ˉ\bar{x}x ˉ) of the above distribution is given by x ˉ\bar{x}x ˉ = (4×5 + 6×10 + 15×8 + 10×7 + 9×10) ÷ (5 + 10 + 8 + 7 + 10) ⇒x ˉ\bar{x}x ˉ = (20 + 60 + 120 + 70 + 90) ÷ 40 ⇒x ˉ\bar{x}x ˉ= 360 ÷ 40 ⇒x ˉ\bar{x}x ˉ= 9 Related Resources, Mean Using Direct Method Shortcut Method for Arithmetic Mean Mean Using Step Deviation Method Types of Mean Mean can be classified into three different class groups, which are Arithmetic Mean Geometric Mean Harmonic Mean Arithmetic Mean: The formula for the Arithmetic Mean is given by x ˉ=∑x i N\bold{\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N}}x ˉ=N∑x i Where, x1, x2, x3, . . ., xn are the observations, and N is the number of observations. Geometric Mean: The formula for Geometric Mean is given by G.M.=x 1⋅x 2⋅x 3⋅…⋅x n n\bold{\text{G.M.} = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \ldots \cdot x_n}}G.M.=n x 1⋅x 2⋅x 3⋅…⋅x n Where, x1, x2, x3, . . ., xn are the observations, and n is the number of observations. Harmonic Mean: The formula for Harmonic Mean is given by H.M.=n 1/x 1+1/x 2+…+1/x n\bold{\text{H. M. } = \frac{n }{1/x_1 + 1/x_2 +\ldots + 1/x_n}}H.M.=1/x 1+1/x 2+…+1/x nn OR H.M.=n∑(1/x i)\bold{\text{H. M. } = \frac{n }{\sum (1/x_i)}}H.M.=∑(1/x i)n Where, x1, x2, . . ., xn are the observations, and n is the number of observations. Properties of Mean (Arithmetic) There are various properties of Arithmetic Mean, some of which are as follows: The algebraic sum of deviations from the arithmetic mean is zero, i.e.,∑(x i−x ˉ)=0\bold{\sum{(x_i - \bar{x})} = 0}∑(x i−x ˉ)=0. If it x ˉ\bold{\bar{x}}x ˉ is the arithmetic mean of observations, and a is added to each of the observations, then the new arithmetic mean is given by x′ˉ=x ˉ+a\bold{\bar{x'} =\bar{x}+a}x′ˉ=x ˉ+a If x ˉ\bold{\bar{x}}x ˉ is the arithmetic mean of observations, and a is subtracted from each of the observations, then the new arithmetic mean is given by x′ˉ=x ˉ−a\bold{\bar{x'} =\bar{x}-a} x′ˉ=x ˉ−a If x ˉ\bold{\bar{x}}x ˉ is the arithmetic mean of observations, and a is multiplied by each of the observations, then the new arithmetic mean is given by x′ˉ=x ˉ×a\bold{\bar{x'} =\bar{x}\times a} x′ˉ=x ˉ×a If x ˉ\bold{\bar{x}}x ˉ is the arithmetic mean of observations, and each of the observations is divided by a, then the new arithmetic mean is given by x′ˉ=x ˉ÷a\bold{\bar{x'} =\bar{x}\div a} x′ˉ=x ˉ÷a Median Median of any distribution is that value that divides the distribution into two equal parts such that the number of observations above it is equal to the number of observations below it. Thus, the median is called the central value of any given data, either grouped or ungrouped. Median of Ungrouped Data To calculate the Median,the observations must be arranged in ascending or descending order. If the total number of observations is N, then there are two cases Case 1: WhenN is Odd Median = Value of observation at [(n + 1) ÷ 2]thPosition When N is odd the median is calculated as shown in the image below. Median when N is Odd Case 2: When N is Even Median = Arithmetic mean of Values of observations at (n ÷ 2)thand [(n ÷ 2) + 1]thPosition When N is even the median is calculated as shown in the image below. Example 1:If the observations are 25, 36, 31, 23, 22, 26, 38, 28, 20, 32, then the Median is given by Arranging the data in ascending order: 20, 22, 23, 25, 26, 28, 31, 32, 36, 38 N = 10 which is even then Median = Arithmetic mean of values at (10 ÷ 2)th and [(10 ÷ 2) + 1]th position ⇒ Median = (Value at 5th position + Value at 6th position) ÷ 2 ⇒ Median = (26 + 28) ÷ 2 ⇒ Median = 27 Example 2: If the observations are 25, 36, 31, 23, 22, 26, 38, 28, 20, then the Median is given by Arranging the data in ascending order: 20, 22, 23, 25, 26, 28, 31, 36, 38 N = 9 which is odd then Median = Value at [(9 + 1) ÷ 2]th position ⇒ Median = Value at 5 th position ⇒ Median = 26 Median of Grouped Data Median of Grouped Data is given as follows: M e d i a n=l+N/2−c f f×h\bold{Median =l+ \dfrac{N/2 - c_f}{f} \times h}Median=l+f N/2−c f×h Where, l is the lower limit of the median class, n is the total number of observations, cf is the cumulative frequency of the preceding class, f is the frequency of each class, and h is the class size. Example:Calculate the median for the following data. \| Class \| 10 - 20 \| 20 - 30 \| 30 - 40 \| 40 - 50 \| 50 - 60 \| \| Frequency \| 5 \| 10 \| 12 \| 8 \| 5 \| Solution: Create the following table for the given data. \| Class \| Frequency \| Cumulative Frequency \| --- \| 10 - 20 \| 5 \| 5 \| \| 20 - 30 \| 10 \| 15 \| \| 30 - 40 \| 12 \| 27 \| \| 40 - 50 \| 8 \| 35 \| \| 50 - 60 \| 5 \| 40 \| As n = 40 and n/2 = 20, Thus, 30 - 40 is the median class. l = 30, c f = 15, f = 12, and h = 10 Putting the values in the formula M e d i a n=l+N/2−c f f×h\bold{Median =l+ \dfrac{N/2 - c_f}{f} \times h}Median=l+f N/2−c f×h Median = 30 + (20 - 15)/12) × 10 ⇒ Median = 30 + (5/12) × 10 ⇒ Median = 30 + 4.17 ⇒ Median = 34.17 So, the median value for this data set is 34.17 Mode Mode is the value of that observation which has a maximum frequency corresponding to it. In other, that observation of the data occurs the maximum number of times in a dataset. Mode of Ungrouped Data Mode of Ungrouped Data can be simply calculated by observing the observation with the highest frequency. Let's see an example of the calculation of the mode of ungrouped data. The mode of the data set is the highest frequency term in the data set, as shown in the image added below. Example:Find the mode of observations 5, 3, 4, 3, 7, 3, 5, 4, 3. Solution: Create a table with each observation with its frequency as follows: \| x i \| 5 \| 3 \| 4 \| 7 \| \| f i \| 2 \| 4 \| 2 \| 1 \| Since 3 has occurred a maximum number of times i.e. 4 times in the given data; Hence, Mode of the given ungrouped data is 3. Mode of Grouped Data Formula to find the mode of the grouped data is: M o d e=l+[f 1−f 0 2 f 1−f 0−f 2]×h\bold{Mode = l +\left [\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right]×h}Mode=l+[2 f 1−f 0−f 2f 1−f 0]×h Where, l is the lower class limit of modal class, h is the class size, f1 is the frequency of modal class, f0 is the frequency of class that proceeds the modal class, and f2 is the frequency of class that succeeds the modal class. Example:Find the mode of the dataset which is given as follows. \| Class Interval \| 10-20 \| 20-30 \| 30-40 \| 40-50 \| 50-60 \| \| Frequency \| 5 \| 8 \| 12 \| 16 \| 10 \| Solution: As the class interval with the highest frequency is 40-50, which has a frequency of 16. Thus, 40-50 is the modal class. Thus, l= 40 , h = 10 , f1 = 16 , f0 = 12 , f2 = 10 Plugging in the values in formula M o d e=l+[f 1−f 0 2 f 1−f 0−f 2]×h\bold{Mode = l +\left [\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right]×h}Mode=l+[2 f 1−f 0−f 2f 1−f 0]×h, we get Mode = 40 + (16 - 12)/(2 × 16 - 12 - 10) × 10 ⇒ Mode = 40 + (4/10)×10 ⇒ Mode = 40 + 4 ⇒ Mode = 44 Therefore, the mode for this set of data is 44. Measures of Central Tendency: Formulas Table The formulas for calculating mean, median, and mode vary slightly depending on whether the data is ungrouped or grouped. The table below summarizes the key formulas for each measure of central tendency: \| Measure \| Ungrouped Data Formula \| Grouped Data Formula \| --- \| Mean \| x ˉ=∑x i N\bold{\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N}}x ˉ=N∑x i \| x ˉ=∑f i x i∑f i\bold{\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}x ˉ=∑f i∑f ix i \| \| Median \| Median = Value of observation at [(n + 1) ÷ 2]th Position (Odd) Median = Arithmetic mean of Values of observations at (n ÷ 2)th and [(n ÷ 2) + 1]th Position (Even) \| M e d i a n=l+N/2−c f f×h\bold{Median =l+ \dfrac{N/2 - c_f}{f} \times h}Median=l+f N/2−c f×h \| \| Mode \| Most frequent value \| M o d e=l+[f 1−f 0 2 f 1−f 0−f 2]×h\bold{Mode = l +\left [\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right]×h}Mode=l+[2 f 1−f 0−f 2f 1−f 0]×h \| the Empirical Relation Between Measures of Central Tendency The three central tendencies are related to each other by the empirical formula, which is given as follows: 2 × Mean + Mode = 3 × Median This formula is used to calculate one of the central tendencies when two other central tendencies are given. Solved Question on Measures of Central Tendency Question 1: Find the mean of the following numbers: 12, 18, 25, 30, 15 Solution: Mean = Sum of all Observations ÷ Total number of Observations Mean = 12 + 18 + 25 + 30 + 15 / 5 Mean = 100 / 5 = 20 Question 2 : Find the median of the following numbers: 5, 8, 12, 3, 10 Solution: Arrange in order: 3, 5, 8, 10, 12 Middle value = 8 Question 3 :Find the mode of the following data: 6, 8, 6, 9, 10, 6, 11. Solution: 6 appears most frequently (3 times) Question 4 :Find the mean of the following data: \| Class \| 10-20 \| 20-30 \| 30-40 \| 40-50 \| 50-60 \| \| Frequency \| 5 \| 8 \| 12 \| 16 \| 9 \| Solution: Create the following table for the given data. \| Class Interval \| Frequency (f) \| Midpoint(x) \| f × x \| --- --- \| \| 10-20 \| 5 \| 15 \| 75 \| \| 20-30 \| 8 \| 25 \| 200 \| \| 30-40 \| 12 \| 35 \| 420 \| \| 40-50 \| 16 \| 45 \| 720 \| \| 50-60 \| 9 \| 55 \| 495 \| \| Total \| 50 \| \| 1910 \| x ˉ=∑f i x i∑f i\bold{\bar{x} = \dfrac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}x ˉ=∑f i∑f ix i x ˉ=1910 50=38.2\bold{\bar{x} = \dfrac{1910}{50}} = 38.2 x ˉ=50 1910=38.2 Question 5 :Find the Median of the following data: \| Class \| 10-20 \| 20-30 \| 30-40 \| 40-50 \| 50-60 \| \| Frequency \| 5 \| 10 \| 12 \| 8 \| 5 \| Solution: Create the following table for the given data. \| Class Interval \| Frequency (f) \| Cumulative Frequency (CF) \| --- \| 10-20 \| 5 \| 5 \| \| 20-30 \| 10 \| 15 \| \| 30-40 \| 12 \| 27 \| \| 40-50 \| 8 \| 35 \| \| 50-60 \| 5 \| 40 \| \| Total \| 40 \| \| Total frequency, N = 40, so N/2 = 20 Median class = 30–40 M e d i a n=l+N/2−c f f×h\bold{Median =l+ \dfrac{N/2 - c_f}{f} \times h}Median=l+f N/2−c f×h Where: L = 30, F = 15, f = 12, h = 10 M e d i a n=30+20−15 12×10=34.16\bold{Median =30 + \dfrac{20 - 15}{12} \times 10}= 34.16 Median=30+12 20−15×10=34.16 Question 6 :Find the Mode of the following data: \| Class \| 0-10 \| 10-20 \| 20-30 \| 30-40 \| 40-50 \| 50-60 \| \| Frequency \| 3 \| 7 \| 12 \| 15 \| 10 \| 5 \| Solution: Create the following table for the given data. \| Class Interval \| Frequency (f) \| --- \| \| 0-10 \| 3 \| \| 10-20 \| 7 \| \| 20-30 \| 12 \| \| 30-40 \| 15 (Highest frequency) \| \| 40-50 \| 10 \| \| 50-60 \| 5 \| Median class = 30–40 L = 30 f1= 15 f0= 12 f2= 10 M o d e=l+[f 1−f 0 2 f 1−f 0−f 2]×h\bold{Mode = l +\left [\dfrac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\right]×h}Mode=l+[2 f 1−f 0−f 2f 1−f 0]×h M o d e=30+[15−12 2(15)−12−10]×10\bold{Mode = 30 +\left [\dfrac{15-12}{2(15)-12-10}\right]×10}Mode=30+[2(15)−12−10 15−12]×10 M o d e=30+[3 8]×10{Mode = 30 +\left [\dfrac{3}{8}\right]×10}M o d e=30+[8 3]×10 Mode = 30 + 3.75 Mode = 33.75 Unsolved Question on Measures of Central Tendency Question 1: Find the mean of the following numbers: 10, 18, 30, 45, 15, 30. Question 2 : Find the median of the following numbers: 4, 8, 6, 3, 15. Question 3 :Find the mode of the following data: 5, 8, 8, 9, 10, 6, 8, 11. Question 4 :Find the mean of the following data: \| Class \| 0-10 \| 10-20 \| 20-30 \| 30-40 \| \| Frequency \| 4 \| 6 \| 10 \| 5 \| Question 5 :Find the Median of the following data: \| Class \| 10-20 \| 20-30 \| 30-40 \| 40-50 \| 50-60 \| \| Frequency \| 7 \| 12 \| 18 \| 8 \| 5 \| Question 6 :Find the Mode of the following data: \| Class \| 5 - 15 \| 15 - 25 \| 25 - 35 \| 35 - 45 \| 45 - 55 \| \| Frequency \| 6 \| 10 \| 15 \| 12 \| 8 \| Measure of Central Tendency in Statistics Comment More info E ektamaini Follow 19 Improve Article Tags : Technical Scripter Mathematics School Learning Class 11 Technical Scripter 2020 Maths-Class-11 +2 More Explore Maths 4 min read Basic Arithmetic What are Numbers? 15+ min readArithmetic Operations 9 min readFractions - Definition, Types and Examples 7 min readWhat are Decimals? 10 min readExponents 9 min readPercentage 4 min read Algebra Variable in Maths 5 min readPolynomials\| Degree \| Types \| Properties and Examples 9 min readCoefficient 8 min readAlgebraic Identities 14 min readProperties of Algebraic Operations 3 min read Geometry Lines and Angles 9 min readGeometric Shapes in Maths 2 min readArea and Perimeter of Shapes \| Formula and Examples 10 min readSurface Areas and Volumes 10 min readPoints, Lines and Planes 14 min readCoordinate Axes and Coordinate Planes in 3D space 6 min read Trigonometry & Vector Algebra Trigonometric Ratios 4 min readTrigonometric Equations \| Definition, Examples & How to Solve 9 min readTrigonometric Identities 7 min readTrigonometric Functions 6 min readInverse Trigonometric Functions \| Definition, Formula, Types and Examples 11 min readInverse Trigonometric Identities 9 min read Calculus Introduction to Differential Calculus 6 min readLimits in Calculus 12 min readContinuity of Functions 10 min readDifferentiation 2 min readDifferentiability of Functions 9 min readIntegration 3 min read Probability and Statistics Basic Concepts of Probability 7 min readBayes' Theorem 13 min readProbability Distribution - Function, Formula, Table 13 min readDescriptive Statistic 5 min readWhat is Inferential Statistics? 7 min readMeasures of Central Tendency in Statistics 11 min readSet Theory 3 min read Practice NCERT Solutions for Class 8 to 12 7 min readRD Sharma Class 8 Solutions for Maths: Chapter Wise PDF 5 min readRD Sharma Class 9 Solutions 10 min readRD Sharma Class 10 Solutions 9 min readRD Sharma Class 11 Solutions for Maths 13 min readRD Sharma Class 12 Solutions for Maths 13 min read Like 19 Corporate & Communications Address: A-143, 7th Floor, Sovereign Corporate Tower, Sector- 136, Noida, Uttar Pradesh (201305) Registered Address: K 061, Tower K, Gulshan Vivante Apartment, Sector 137, Noida, Gautam Buddh Nagar, Uttar Pradesh, 201305 Company About Us Legal Privacy Policy Contact Us Advertise with us GFG Corporate Solution Campus Training Program Explore POTD Job-A-Thon Community Blogs Nation Skill Up Tutorials Programming Languages DSA Web Technology AI, ML & Data Science DevOps CS Core Subjects Interview Preparation GATE Software and Tools Courses IBM Certification DSA and Placements Web Development Programming Languages DevOps & Cloud GATE Trending Technologies Videos DSA Python Java C++ Web Development Data Science CS Subjects Preparation Corner Aptitude Puzzles GfG 160 DSA 360 System Design @GeeksforGeeks, Sanchhaya Education Private Limited, All rights reserved Improvement Suggest changes Suggest Changes Help us improve. 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8028	https://academia2011.files.wordpress.com/2011/12/fc3adsica-hugo-medina-guzmc3a1n.pdf	FISICA 1 Autor: Hugo Medina Guzmán Profesor de la Pontificia Universidad Católica del Perú Agosto 2009 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com PRESENTACIÓN Me agradó saber que Hugo Medina Guzmán estaba por publicar un texto sobre Física. Había dos razones suficientes para este sentimiento. Por un lado, tenía curiosidad de saber lo que podría aportar un texto más de Física sobre los otros ya disponibles. Por otro lado, conozco de la larga carrera de Hugo Medina como cultor de la enseñanza de [a Física, y tenía curiosidad de ver cómo este compromiso como docente y experiencia se manifestarían en su texto. Tuve la suerte de conocer al Ing. José Castro Mendívil en su taller, donde desplegó una destacada labor en el diseño y construcción de equipo de laboratorio para la enseñanza de la Física. Considero que Hugo es un digno discípulo del Ing. Castro Mendívil e igualmente ha dedicado una fracción considerable de su tiempo a la docencia, y al diseño y construcción de equipo de laboratorio para resaltar los conceptos básicos de la Física. He revisado el contenido de este texto y veo con gran satisfacción que su autor utiliza un enfoque muy acertado. Toma como punto de partida una observación experimental y a partir de allí desarrolla los conceptos físicos que permiten interpretar esta observación utilizando la formulación matemática más sencilla. Todo esto lo hace con el detalle suficiente de manera que el lector pueda seguir el argumento lógico con facilidad. Considero que éste es un gran aporte de este texto. Este enfoque contrasta con textos que enfatizan la formulación matemática y dejan al alumno huérfano de una orientación para aplicarla a una realidad física concreta. El contenido de temas de la Física General que son desarrollados en este texto se ajusta al programa de estudios de la PUCP. El desarrollo de cada tema incluye ejemplos bien seleccionados que son desarrollados con un detalle muy esmerado. Al final de cada capítulo se incluye un conjunto de preguntas y problemas propuestos; se incluye las respuestas. Algunos problemas plantean configuraciones complejas pero que contienen ciertas propiedades de simetría que permiten su reducción a configuraciones sencillas. Al final del texto encontramos un listado de referencias bibliográficas a un buen número de textos de Física General que han servido de consulta al autor. En general, considero que este texto constituye una representación gráfica de la obra cotidiana que Hugo ha venido desarrollando durante su carrera docente y, por lo tanto, es un aporte muy valioso para la comunidad académica y público en general. Lima, julio de 2007 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com PRÓLOGO Los estudiantes a menudo se preguntan por qué llevan un curso de Física. La mejor razón por la que se estudia Física es porque proporciona un método coherente y lógico para comprender el mundo que nos rodea; una persona que comprende lo que sucede a su alrededor, es capaz de convivir en su entorno de manera racional y efectiva. Sin embargo, en ocasiones los estudiantes ignoran el potencial que tiene la Física para explicar el entorno en términos fáciles de entender; Este libro tiene por objeto brindar a los estudiantes de la Física General una ayuda para dominar los principios físicos que son la base de la tecnología moderna. En éste libro se asume que los estudiantes tienen una base de álgebra, geometría, y trigonometría. Es mucho más compacto que los libros de texto tradicionales, proporciona muchos ejemplos trabajados y pide resolver problemas Este libro será útil también como texto para una persona que repasa o que consolida su conocimiento de la Física. La discusión y las explicaciones narrativas son suficientemente claras y completas para poder utilizar el libro o como texto, o como suplemento a un texto más amplio. La forma de aprender la física es trabajar realmente con problemas. Al usar este libro, el estudiante debe ser activo. Debe intentar trabajar cada uno de los problemas y los ejemplos. Debe mirar las soluciones solamente si no logra dar con el camino a su solución. Los ejemplos en este libro están trabajados exhaustivamente, de modo que puedan servir como modelos para el propio trabajo de los estudiantes. En este sentido se considera que los estudiantes se benefician al observar los cálculos realizados en más de una manera, por lo que se han incluido varios métodos para efectuar los cálculos. Además, se tuvo especial cuidado en incluir problemas y preguntas que combinan el material del capítulo en cuestión, con material de capítulos anteriores. Tales problemas y preguntas destacan el hecho importante de que diversas áreas de la Física se manifiestan de manera simultánea en el mundo real. Además, este método de temas múltiples proporciona una manera para que los estudiantes repasen lo estudiado y ayuda a mejorar la habilidad para resolver problemas. El diseño gráfico es de gran importancia, y para mejorar su función se ha intentado enfocar solamente una idea principal en cada figura en lo posible. Por consiguiente, las figuras del libro a menudo se dividen en dos o más partes, para evitar la confusión de mezclar varias ideas en la misma figura. Los profesores conocen la importancia de los diagramas de cuerpo libre cuando utilizan la segunda ley de movimiento de Newton, y todos los estudiantes aprenden de ellos a medida que estudian Física. Tales diagramas se utilizan en todo el libro, no solamente en los primeros capítulos en los que se presenta y aplica la segunda ley de Newton. Por ejemplo, cuando se analiza la relación en las oscilaciones, también entre la presión y profundidad en un fluido, el análisis se simplifica considerablemente por medio de un diagrama de cuerpo libre. De manera semejante, cuando se deduce la expresión para la rapidez de una onda transversal en una cuerda, un diagrama de cuerpo libre es muy útil. Cifras significativas. A lo largo de todo el libro se siguen los procedimientos normales para las cifras significativas. Se espera que el esfuerzo en la elaboración de este libro sea de utilidad tanto para los estudiantes como para los profesores. Toda opinión al respecto será bienvenida. Hugo Medina Guzmán Lima Perú www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com AGRADECIMIENTOS El autor agradece primeramente a los estudiantes, quienes han contribuido bastante en la elaboración de este libro a través de su influencia en el establecimiento de las técnicas y principios de enseñanza y a los profesores que con sus sugerencias y revisiones a las separatas de los capítulos hicieron notar puntos que necesitaban una mayor aclaración. Hugo Medina Guzmán www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CONTENIDO CAPÍTULO 1. Unidades, magnitudes físicas y vectores Introducción al curso. Magnitudes físicas: escalares y vectores. Unidades. Sistema internacional de unidades. Precisión y cifras significativas. CAPÍTULO 2. Movimiento rectilíneo Definición de partícula. Concepto de movimiento de traslación y rotación. Sistemas de referencia. Posición y desplazamiento. Movimiento en una dimensión. Velocidad. Aceleración. Movimiento con aceleración constante. Movimiento vertical con aceleración de la gravedad. Gráficos en cinemática: obtención de la velocidad y de la aceleración por derivación de la función posición versus tiempo, obtención de la velocidad y de la posición por integración de la función aceleración versus tiempo. CAPÍTULO 3. Movimiento en un plano y en el espacio Sistemas de referencia y el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Componentes de los vectores y vectores unitarios en coordenadas cartesianas. Adición vectorial. Movimiento en un plano. Vector posición, desplazamiento y trayectoria. Velocidad. Rapidez. Aceleración. Movimiento parabólico. Movimiento circular: descripción horaria (posición, velocidad y aceleración angular) y descripción vectorial cartesiana. Componentes normal y tangencial de la aceleración. Velocidad y aceleración relativas. Generalización del movimiento a tres dimensiones en coordenadas cartesianas. CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula Leyes de Newton del movimiento. Sistemas de referencia inerciales. Masa y fuerza. Masa y peso. Fuerzas de contacto y a distancia (Ley de gravitación universal). Diagrama de cuerpo libre. Aplicaciones de las leyes de Newton: partículas en equilibrio (Estática) y en movimiento acelerado (Dinámica), fuerzas de fricción. Dinámica del movimiento circular. Dinámica en sistemas de referencia no inerciales. CAPÍTULO 5. Trabajo y energía Producto escalar de vectores. Trabajo de una fuerza. Energía cinética. Trabajo y energía cinética. Fuerzas conservativas y no conservativas. Energía potencial gravitacional y elástica. Energía mecánica. Generalización de la ley de conservación de la energía mecánica. Potencia. CAPÍTULO 6. Sistema de partículas Centro de masa. Posición, velocidad y aceleración del centro de masa. Cantidad de movimiento lineal de una partícula y de un sistema de partículas. Impulso de una fuerza. Segunda ley de Newton y la conservación de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partículas. Energía cinética de un sistema de partículas. Colisión elástica e inelástica. CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido Producto vectorial. Torque. Segunda condición de equilibrio (Estática del cuerpo rígido). Cantidad de movimiento angular. Momento de inercia. Rotación alrededor de un eje fijo. Conservación de la cantidad de movimiento angular. Energía en el movimiento de rotación. Energía cinética de rotación. Rodadura. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN AL CURSO ¿QUE ES LA FISICA? 1 METODOLOGIA DE LA FISICA 1 PARTES DE LA FISICA 1 MAGNITUDES FÍSICAS: ESCALARES Y VECTORES. 1 UNIDADES. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. 2 MEDICIÓN. 2 UNIDADES. 2 Unidades fundamentales 2 Unidades derivadas 3 Prefijos comúnmente encontrados. 3 CONVERSION DE UNIDADES 3 Factores de Conversión 3 ANALISIS DIMENSIONAL 4 a) Verificación de una fórmula específica. 4 b) Desarrollo de ecuaciones. 4 c) Convertir un sistema de unidades a otro. 4 CIFRAS S1GNIFICATIVAS 5 Regla 1: Redondeo de un número 6 Regla 2: Suma y Resta 6 Regla 3: Multiplicación y División 6 ERRORES 6 Error absoluto 7 Error relativo 7 Porcentaje de error 7 Clasificación de errores. 7 a) Error inherente 7 b) Error de truncado 7 c) Error de redondeo 7 d) Error de interpolación 7 e) Error de aproximación 7 PROPAGACION ERRORES 8 a) Suma de dos o más variables. 9 b) Diferencia de dos variables. 9 c) Producto de dos o más variables. 9 d) Potencias y raíces. 10 e) Cocientes. 10 PRECISIÓN Y EXACTITUD 11 RANGO DE ERROR O INCERTIDUMBRE 11 ESTIMADOS Y CÁLCULOS DEL ORDEN DE MAGNITUD 12 MODELOS IDEALIZADOS 13 ¿COMO ESTUDIAR FISICA? 13 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 14 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPITULO 2 Movimiento rectilíneo DEFINICIÓN DE PARTÍCULA 1 CONCEPTO DE MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN 1 CONCEPTO DE MOVIMIENTO 1 CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO 1 SISTEMAS DE REFERENCIA. POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO 1 Sistemas de referencia 1 Vector Posición 2 Desplazamiento 2 Trayectoria y Ecuación Horaria del Movimiento 2 VELOCIDAD Y RAPIDEZ 3 Rapidez 3 Derivadas de algunas funciones 4 Velocidad 4 Velocidad instantánea 5 ACELERACIÓN 6 Aceleración Media 6 Aceleración Instantánea o simplemente aceleración 7 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 8 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 8 La Ecuación de Torricelli 9 MOVIMIENTO VERTICAL CON ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD. 11 a) Caída libre 12 b) Lanzamiento hacia arriba 12 c) Lanzamiento hacia abajo 12 PROBLEMA INVERSO - CÁLCULO INTEGRAL 18 Pequeña Tabla de Integrales 19 CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS LIGADAS. MOVIMIENTOS DEPENDIENTES. 21 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 23 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPITULO 3 Movimiento en un plano y en el espacio MOVIMIENTO CIRCULAR 1 Posición angular 1 Velocidad angular 1 Aceleración angular 1 RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES 1 Hallar el desplazamiento angular a partir de la velocidad angular. 2 Hallar el cambio de velocidad angular a partir de la aceleración angular. 2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO 2 COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN 2 Velocidad. 2 Aceleración. 2 MOVIMIENTO CURVILÍNEO 7 El radio de curvatura 7 MOVIMIENTO PARABÓLICO 10 Ecuación de la trayectoria 10 Tiempo de vuelo 11 El alcance horizontal 11 La altura máxima 11 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN RELATIVAS 18 Movimiento Relativo de Traslación Uniforme. La Relatividad de Galileo 18 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 26 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPÍTULO 4 Dinámica de una partícula INTRODUCC1ON 1 EL ORIGEN DEL MOVIMIENTO 1 PRIMERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO 1 ¿QUÉ ES FUERZA? 1 CAMBIO DE VELOCIDAD 2 SEGUNDA LEY DE NEWÍON DEL MOVIMIENTO 3 UNIDADES DE FUERZA Y MASA 3 PESO DE UN CUERPO 4 ACCION Y REACCIÓN 3 TERCERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO 4 APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON 4 ESTÁTICA DE LAS MASAS PUNTUALES. 4 DINÁMICA CON FRICCIÓN DESPRECIABLE. 7 FRICCIÓN 11 Algunos valores típicos de coeficientes de fricción 13 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR 27 FUERZA CENTRÍPETA 27 CURVAS EN LAS PISTAS 32 MOVIMIENTO EN MARCOS DE REFERENCIA NO INERCIALES 34 MARCO CON MOVIMIENTO DE TRASLACION NO UNIFORME 34 MARCO DE ROTACIÓN 37 FUERZA CENTRÍFUGA 38 FUERZA DE CORIOLIS 39 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 40 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPITULO 5 TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCION 1 TRABAJO 1 ENERGIA CINETICA 4 SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS 6 LA FUNCION ENERGÍA POTENCIAL 8 CONSERVACION DE LA ENERGÍA 9 Observadores en movimiento relativo 13 SISTEMAS NO CONSERVATIVOS 15 LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y LA FRICCIÓN 16 POTENCIA 16 MAQUINAS 18 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 19 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPÍTULO 6 SISTEMA DE PARTÍCULAS INTRODUCCION 1 SISTEMA DE PARTICULAS 1 SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA DE PARTICULAS 1 CENTRO DE MASA 2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA. 2 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 4 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 6 SISTEMA DE REFERENCIA CENTRO DE MASA 9 CHOQUES 9 CASOS DE CHOQUE 11 El péndulo balístico 18 MOVIMIENTO CON MASA VARIABLE - PROPULSIÓN POR REACCIÓN 20 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Y TORQUE 22 MOMENTO DE INERCIA 23 MOMENT0 DE UNA FUERZA o TORQUE 23 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR 24 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. 26 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 30 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com CAPÍTULO 7 CUERPO RÍGIDO INTRODUCCION 1 CUERPO RIGIDO 1 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 1 TRASLACION 1 ROTACIÓN 1 CANT1DAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO 2 MOMENTO DE INERCIA DEL CUERPO RÍGIDO. 2 El teorema de Steiner o de los ejes paralelos. 2 El teorema de la figura plana 2 SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA ROTACION 5 Maquina de atwood tomando en cuenta la polea 7 EQUILIBRIO ESTÁTICO 11 TRABAJO Y ENERGIA EN ROTACIÓN 15 POTENCIA 16 TRASLACIONES Y ROTACIONES COMBINADAS 24 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR 35 GIROSCOPOS Y TROMPOS - MOVIMIENTO DE PRECESION 43 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 44 . BIBLIOGRAFÍA www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com THEORETICAL PHYSICS, Mechanics of particles, rigid and elastic bodies, fluids and heat flow. F: Woobridge Constant. Trinity College. Addison – Wesley Publishing Company (1959) THEORETICAL PHYSICS,Thermodinamics, electromagnetism,waves, and particles. F: Woobridge Constant. Trinity College. Addison – Wesley Publishing Company (1959) The Feynman LECTURES ON PHYSICS. Volumenes I, II y III. Richard P.Feynman, Robert B. Leighton. California Institute of Technology, Matthew Sands, Stanford University. Addison – Wesley Publishing Company (1964) CORRIENTES, CAMPOS Y PARTÍCULAS. Francis Bitter. Massachussets Institute of Technology. Editorial Reverté S. A. (1964). INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LA MECÁNICA, MATERIA Y ONDAS. Uno Ingard, William L. Kraushaar. Editorial Reverté. (1966). FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Arthur F. Kip. 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(1992). www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Berkeley physics course – volumen 2. Edward M.Purcell. Editorial Reverté SA. (1992). FÍSICA. Tomos I y II Tercera edición revisada (Segunda edición en español), Raymond S: Serway, James Madison University, Mcgraw-Hill, (1993) PROBLEMAS DE FISICA Santiago Burbano de Ercilla, enrique Burbano de Ercilla, Carlos Gracia Muñoz, XXVI edición, Zaragoza, MIRA editores (1994) ONDAS. Berkeley physics course – volumen 3. Frank S. Crawford, Jr. Editorial Reverté SA. (1994). FÍSICA Para las ciencias de la vida, David Jou Mirabent Universidad autónoma de Barcelona, Joseph Enric Llebot Rabagliati, Universidad de Girona, Carlos Pérez garcía, Universidad de Navarra. Mcgraw-Hill, (1994) Física uno Hugo Medina Guzmán, FIS 104 M365 (Biblioteca PUCP) (1995) APPLIED PHYSICS. Arthur Beiser, Ph. D. 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Francis W.Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young (Carnegie Mellon University) y Roger A. Freedman (University of California. Santa Barbara) Volumen 1, Volumen 2. Undecima edición. Pearson - Addison Wesley (2004) FIVE EASY LESSONS Strategies for successful Physics teaching. Randall D. Knight California Polytechnic State University, San Luis Obispo. Addison Wesley (2004) FUNDAMENTALS OF PHYSICS. David Halliday (Univ. of Pittsburgh), Robert Resnick (Rensselaer Polytechnic Institute), Jearl Walker (Cleveland State Univ.). 7th Edition (2005) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 1 Capitulo 1. INTRODUCCIÓN AL CURSO ¿QUE ES LA FÍSICA? La física es una ciencia dedicada a la comprensión de los fenómenos naturales que ocurren en el universo. El objetivo principal del estudio científico es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales que permitan predecir los resultados de algunos experimentos. Las leyes de la física tratan de describir los resultados de observaciones experimentales y de mediciones cuantitativas de los procesos naturales. La física es la ciencia más simple porque estudia los sistemas más simples. La física es la base de todas las demás ciencias. La relación entre la física y la ingeniería es más directa que la que existe entre la física y cualquier otra ciencia. En la ingeniería se trabaja con sistemas a los que se aplica inmediatamente los principios de la física. Cualquiera sea la rama de la ingeniería o de la ciencia a la que uno se dedique, va a encontrar a cada paso la aplicación de las nociones que aprendió en la física. Siempre se encontrarán útiles los conceptos específicos de la física, las técnicas que se emplean para resolver los problemas, la forma de pensar que se adquiere en el estudio de la física. METODOLOGIA DE LA FISICA La metodología que se usa tiene tres formas características. La primera forma es el análisis de un sistema físico que se realiza en base a las propiedades de sistemas más sencillos, estos sistemas están relacionados de algún modo importante con el sistema original, pero poseen un número menor de factores en su comportamiento. Siendo estos más sencillos se pueden investigar hasta entender bien sus propiedades, una vez que se obtenga el conocimiento de cada sistema se puede hacer una reconstrucción hasta lograr entender las propiedades del sistema original. La segunda forma parte del principio de que la física se fundamenta necesariamente en la experimentación. A veces la teoría sugiere el experimento, pero más frecuentemente un experimentador realiza el trabajo inicial en un área particular de la física y luego el físico teórico sintetiza los resultados de los experimentos y perfecciona el entendimiento de su significado. La tercera se refiere al uso frecuente de las matemáticas. La física estudia las interacciones entre objetos. Los objetos interaccionan de acuerdo a ciertas leyes, sean estas conocidas o no. Como las leyes físicas son casi siempre cuantitativas, es esencial poder establecer relaciones lógicas cuantitativas al estudiar los sistemas físicos. Las reglas que gobiernan todas estas relaciones son objeto de las matemáticas. Por eso se dice que la matemática es el lenguaje de la física. PARTES DE LA FISICA Actualmente la física se divide en dos clases: Física Clásica y Física Moderna. La física clásica se ocupa de los fenómenos y las leyes que se conocían hasta la final del siglo XIX. La física moderna se ocupa de los descubrimientos hechos desde entonces. La física clásica se subdivide en cierto número de ramas que originalmente se consideraban autónomas: la mecánica, el electromagnetismo, la óptica, la acústica y la termodinámica. La mecánica se ocupa del estudio del movimiento efectos físicos que pueden influir sobre este. El electromagnetismo se ocupa del estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos y las relaciones entre ellos. La óptica se ocupa de los efectos físicos que se asocian a la luz visible. La acústica al estudio de los efectos físicos relacionados con los sonidos audibles. La termodinámica se ocupa de la generación, el transporte y la disipación del calor. Estas disciplinas que originalmente se desarrollaron independientemente, están enlazadas por medio de la mecánica y el electromagnetismo. La física moderna se inició a fines del siglo XIX, con el descubrimiento de cierto número de fenómenos físicos que entraban en conflicto con algunos conceptos de la física clásica. Básicamente, esas alteraciones conceptuales fueron de dos tipos. Una de ellas estableció el límite superior para las velocidades de las partículas a las que se aplicaban las leyes de la física clásica, esto se asocia a la Teoría de la Relatividad de Einstein. El segundo se puede considerar como el establecimiento de un límite inferior para las dimensiones lineales y de masa de los sistemas físicos, para los que son válidas las leyes clásicas, esto se asocia a la Teoría de la Mecánica Cuántica. Para poder comprender estas dos teorías modernas y los fenómenos de que se ocupan, es necesario estudiar primeramente las leyes de la física clásica. MAGNITUDES FÍSICAS: ESCALARES Y VECTORES. En la descripción y estudio de los fenómenos físicos se han desarrollado (y se desarrollan) conceptos abstractos muy especiales llamados magnitudes físicas. Estas magnitudes se definen por medio de un conjunto de operaciones experimentales que permiten obtener un número como medida de la magnitud en cualquier situación. Esta definición comprende dos pasos esenciales: 1) La elección de una unidad de medida con múltiplos y submúltiplos y 2) un proceso para comparar la magnitud a medir con la unidad de medida y establecer un número (entero o fraccionario) como medida de la magnitud. Son ejemplos de magnitudes físicas: la longitud, el área, el volumen, el tiempo, la masa, la energía, la www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 2 temperatura, la fuerza, la potencia, la velocidad, la aceleración, etc. Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas. El aroma o la simpatía, puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas. Las medidas de las magnitudes se realizan mediante las unidades de medida, establecidas por la Unión Internacional de Pesas y Medidas (UIPM), que forman el Sistema Internacional de unidades (S. I.), aunque existen otras unidades que se siguen usando por tradición (como el kilate, que se emplea para medir la masa de las piedras preciosas). Magnitud escalar. Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas. Así, por ejemplo, si decimos que José Antonio tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si Rosa mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada. Cuando una magnitud queda definida por su valor recibe el nombre de magnitud escalar. Magnitudes vectoriales. Otras magnitudes, con su valor numérico, no nos suministran toda la información. Si nos dicen que Daniel corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía. Estas magnitudes que, además de su valor precisan una dirección se llaman magnitudes vectoriales, ya que se representan mediante vectores. En este tema estudiaremos los vectores y sus propiedades. UNIDADES. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. MEDICIÓN. La física es una ciencia experimental. Los experimentos requieren mediciones cuyos resultados suelen describirse con números. Cualquier número empleado para describir cuantitativamente un fenómeno físico se denomina cantidad física. Dos cantidades físicas que describen a una persona son su peso y su altura. Algunas cantidades físicas son tan básicas que sólo podemos definirlas describiendo la forma de medirlas, es decir, con una definición operativa. Ejemplos de esto son medir una distancia con una regla, o un intervalo de tiempo con un cronómetro. En otros casos definimos una cantidad física describiendo la forma de calcularla a partir de otras cantidades medibles. Así, podríamos definir la velocidad media de un objeto como la distancia recorrida (medida con una regla) dividida por el tiempo de recorrido (medido con un cronómetro). UNIDADES. Al medir una cantidad, siempre la comparamos con un estándar de referencia. Si decimos que un automóvil mide 4,29 m, queremos decir que es 4,29 veces más largo que una regla de medir, que por definición tiene 1m de largo. Este estándar define una unidad de la cantidad. El metro es una unidad de distancia, y el segundo, de tiempo. Al describir una cantidad física con un número, siempre debemos especificar la unidad empleada; describir una distancia como "4,29" no significa nada. Las mediciones exactas y fiables exigen unidades inmutables que los observadores puedan duplicar en distintos lugares. El sistema de unidades empleado por los científicos e ingenieros se denomina comúnmente "sistema métrico", pero desde 1960 su nombre oficial es Sistema Internacional, o SI. Las definiciones de las unidades básicas del sistema métrico han evolucionado con los años. Cuando la Academia Francesa de Ciencias estableció el sistema métrico en 1791, el metro se definió como una diezmillonésima parte de la distancia entre el Polo Norte y el Ecuador (ver figura). El segundo se definió como el tiempo que tarda un péndulo de 1m de largo en oscilar de un lado a otro. Estas definiciones eran poco prácticas y difíciles de duplicar con precisión, por lo que se han sustituido por otras más refinadas y por acuerdo internacional. Unidades fundamentales Las fuerzas, velocidades, presiones, energías, en realidad todas las propiedades mecánicas, pueden expresarse en términos de tres cantidades básicas: masa, longitud y tiempo. En el sistema SI, las unidades correspondientes son: Masa Kilogramo Longitud Metro Tiempo Segundo Estas unidades se conocen como unidades fundamentales. TIEMPO Desde 1889 a 1967, la unidad de tiempo se definió como una cierta fracción del día solar medio (el tiempo medio entre llegadas sucesivas del Sol al cenit). El estándar actual, adoptado en 1967, es mucho más preciso; se basa en un reloj atómico que usa la diferencia de energía entre los dos estados energéticos más bajos del átomo de cesio. Cuando se bombardea con microondas de una determinada frecuencia, los átomos de cesio sufren una transición entre dichos estados. Se define un segundo como el tiempo requerido por 9 192 631 770 ciclos de esta radiación. LONGITUD www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 3 En 1960 se estableció también un estándar atómico para el metro, usando la longitud de onda de la luz naranja emitida por átomos de kriptón (86Kr) en un tubo de descarga de luz. En noviembre de 1983 el estándar se modificó de nuevo, esta vez de forma más radical. Se definió que la velocidad de la luz en el vacío es exactamente 299 792 458 m/s. Por definición, el metro es consecuente con este número y con la definición anterior del segundo. Así, la nueva definición de metro es la distancia que recorre la luz en el vacío en 1/299 792458 s. Éste es un estándar de longitud mucho más preciso que el basado en una longitud de onda de la luz. MASA El estándar de masa, el kilogramo, se define como la masa de un determinado cilindro de aleación platino-iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sevres, cerca de París. Un estándar atómico de masa, sería más fundamental, pero aún no podemos medir masas a escala atómica con tanta exactitud como a escala macroscópica. Unidades derivadas Las cantidades que interesan a los científicos no se limitan a masa, longitud y tiempo. A menudo el comportamiento de objetos se describe en términos de sus velocidades; hay que identificar las fuerzas que actúan sobre los cuerpos; se paga por la energía que consumen los aparatos domésticos y nos interesa la potencia que pueda desarrollar un motor; la presión atmosférica es un indicador útil de las condiciones del tiempo. Todas las anteriores propiedades, aparentemente dispares, que se miden en metros por segundo (velocidad), newton (fuerza), joules (energía), watts (potencia) y pascales (presión), finalmente se pueden expresar como productos de potencias de masa, longitud y tiempo. Esas unidades, por tanto, se conocen como unidades derivadas, para distinguirlas de las tres unidades fundamentales. Prefijos comúnmente encontrados. Utilizamos con frecuencia prefijos para obtener unidades de un tamaño más conveniente. Ejemplos de prefijos comúnmente encontrados: 1 manómetro = 1 nm = 10-9 m (un poco más grande que el diámetro del átomo) 1 micrómetro = 1 μ m =10-6 m (una célula de sangre humana es aproximadamente de 7 μ m) 1 milímetro = 1 mm =10-3 m (el carbón del lápiz es aproximadamente de 0,5 milímetros en diámetro) 1 centímetro = 1 cm =10-2 m (el diámetro de un bolígrafo) 1 kilómetro = 1 km = (1000 m) 1 microgramo = 1 μ g =10-6 g = 1-9 kg (masa de una partícula pequeña de polvo) 1 miligramo = 1 mg = 10-3 g = 10-6 kg (una gota de agua es aproximadamente 2 mg) 1 gramo = l g = 10-3 kg (la masa de un clip para papel es de aproximadamente 1 g) 1 nanosegundo = 1 ns =10-9 s (tiempo en el que la luz viaja 30 m) 1 microsegundo = 1 μ s = 10-6 s (tiempo en el que una bala del rifle viaja 1 μ m) 1 milisegundo = 1 ms = 10-3 s (cerca de 14 ms entre los latidos del corazón) CONVERSION DE UNIDADES Algunas veces encontramos los datos dados en unidades distintas al sistema SI. En este caso debemos convertir las unidades al sistema SI usando los factores conocidos de conversión. La tabla siguiente muestra tales factores. Factores de Conversión Longitud 1 pulgada (in) = 2,54 centímetros (cm) 1 pie (ft) = 0,3048 metro (m) 1 milla (mi) = 5280 ft = 1,609 kilómetros (km) 1 m = 3,281 ft 1 km= 0,6214mi 1 ángstrom ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛o A = 10-10 m 1 año luz = 9,461 x 1015 m 1 unidad astronómica (AU) = 1,496 x 1011m 1 pársec (pc) 3,09 x 1016 m Masa 1 slug = 14,59 kilogramos (kg) 1 kg = 1000 gramos = 6,852 x 10-2 slug 1 unidad de masa atómica (amu) = 1,6605 x 10-27 kg (1 kg tiene un peso de 2,205 lb donde la aceleración de la gravedad es 32,174 ft/s2) Tiempo 1 dia =24 h= 1,44 x 103 min = 8,64 x 104 s 1 año = 365,24 días = 3,156 x 107s 1 hora (h) =60min =3600s Velocidad 1 mi/h = 1,609 km/h = 1,467 ft/s 0,4470 m/s 1 km/h = 0,6214 mi/h = 0.2778 m/s 0,9113 ft/s Volumen 1 litro (L) = 10 m3 = 1000 cm3 = 0,353 1 ft3 1 ft3 = 0,02832 m3 = 7,481 U.S. galones (gal) 1 U.S. gal = 3,785 x 10 m3 = 0,1337 ft3 Fuerza 1 pound (lb) = 4,448 Newton (N) 1 N = 10 Dinas = 0,2248 lb Trabajo y Energía 1 joule (J) = 0,7376 ft.lb = 107 ergios 1 kilogramo-caloría (kcal) = 4186 J 1 Btu (60°F) = 1055 J 1 kilowatt-hora (kWh) = 3,600 x 106 J 1 electron volt (eV) = 1,602 x 10-19 J Angulo 1 radian (rad) = 57,30° 1° = 0,0 1745 rad Presión 1 pascal (Pa) 1 N/m2 = 1,450 x 104 lb/in2 1 lb/in2 = 6.895 x 10-5 Pa www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 4 l atmósfera (atm)= 1,013 x 10 Pa= 1,013 bar = 14,70 lb/in2 = 760 torr Potencia 1 horsepower (hp) = 550 ft.lb/s = 745,7 W 1 watt (W) = 0,7376 ft.lb/s ANALISIS DIMENSIONAL La especificación numérica de una cantidad física depende de las unidades que se empleen. Por ejemplo, aunque una distancia se mida en unidades de metros o pies o millas siempre será una distancia. Se dice que su dimensión es de longitud, la denominación no depende del sistema de unidades empleado. Los símbolos usados para especificar la 1ongitud, la masa y el tiempo son L, M y T, respectivamente. Para denotar las dimensiones de una cantidad se usan corchetes, por ejemplo de distancia [ ] l = L, de velocidad [ ] v = L/T, de área [ ] A = L2. Entre sus aplicaciones tenemos: a) Verificación de una fórmula específica. El análisis dimensional utiliza el hecho de que las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas (se pueden sumar y restar sólo si se tienen las mismas dimensiones). Si una ecuación se lee A = B + C Los términos A, B, y C deben tener las mismas dimensiones. Ejemplo 1. Verificar la fórmula siguiente 2 0 2 1 at vt x x + + = , donde x y x0 representan distancias, v es velocidad, a es aceleración y t es un intervalo de tiempo. Solución. Como [ ] [ ] [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = 2 0 2 1 at vt x x = L Y las dimensiones de la velocidad son L/T y de la aceleración L/T2, tenemos: [ ] ( ) T T L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = vt = L ( ) 2 2 2 T T L 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ at = L Podemos ver que esta fórmula es correcta porque todos los términos tienen la dimensión de longitud. b) Desarrollo de ecuaciones. Esto lo podemos ver en el ejemplo de encontrar la distancia recorrida por un cuerpo en caída libre. Pongamos que esta caída puede depender de la masa, la aceleración de la gravedad y del tiempo. ( ) t g m f x , , = El procedimiento para el análisis dimensional es poner la expresión en la forma c b a t g m x ∝ Donde a, b y c son exponentes que deben ser determinados y el símbolo ∝ indica proporcionalidad. Esta ecuación es correcta únicamente si las dimensiones de ambos lados son iguales, como la dimensión de x es de longitud, la dimensión, del lado izquierdo también debe ser de longitud. [ ] L = c b a t g m L T T L M c 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ b a L T L M 2b -c b = a Igualando exponentes en ambos miembros obtendremos a = 0, b =1, c-2b = 0 De aquí a = 0, b = 1 y c = 2 Por lo tanto la expresión debe tener la forma 2 gt x ∝ o 2 kgt x = El análisis dimensional puede describir la forma de la ecuación pero no indica el valor de la constante k. Ejemplo 2. Mediante el análisis dimensional determinar la expresión para la aceleración centrípeta de una partícula que describe un movimiento circular uniforme. Solución. Supongamos que la aceleración centrípeta depende de la velocidad, del radio de curvatura y el peso c b a c W R kv a = aceleración centrípeta [ ] 2 T L = c a velocidad [ ] T L = v radio [ ] L = v peso [ ] 2 T ML = W Reemplazando ( ) c b a ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 T ML L T L T L ⇒ c c a c b a M T L LT 2 -2 − − + + = Igualando exponentes para L: c b a + + = 1 para T: c a 2 2 − − = − para M: c = 0 de donde obtenemos 2 = a , 1 − = b y 0 = c por lo tanto R v k R kv ac 2 1 2 = = − c) Convertir un sistema de unidades a otro. Si tenemos una fórmula en un sistema de unidades podemos convertirlo a una fórmula en otro sistema de unidades. Sean L1, M1, T1 y L2, M2, T2 sus unidades. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 5 Si la cantidad G de una ecuación tiene dimensiones G = La Mb Tc. Se mide g1 con la unidad G1, y mide g2 con la unidad G2, la relación es: 2 2 1 1 G g G g = ⇒ 2 1 1 2 G G g g = c b a g g ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 1 2 1 1 2 T T M M L L Ejemplo 3. Si en el sistema MKS la fórmula para el cálculo de la variable R de unidades kg/ms aparece como 2 1 782 , 1 5 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = p A p R Donde. p tiene unidades de m/s y A de km/m3. Hallar la fórmula en el Sistema Inglés. 1 kg = 2,2 1b l m = 3,28 pie Solución. Sean en el sistema MKS, L1, M1, T1, y en el sistema Inglés, L2, M2, T2. Las relaciones entre estos sistemas son; 2 , 2 M M 2 1 = , 28 , 3 L L 2 1 = , 1 T T 2 1 = En la ecuación 2 1 782 , 1 5 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = p A p R [ ] LT M = R , [ ] T L = p , [ ] 3 L M = A La cantidad l,782 A tiene las mismas unidades que p [ ] [ ][ ] [ ] T L L M 1,782 1,782 1,782 3 = = = A A Las unidades de 1,782 son [ ] MT L 1,782 4 = Observando la ecuación de R, concluimos que las unidades de 5 son las correspondientes a (R)2. [ ] 2 2 2 T L M 5 = Para obtener el valor correspondiente a 1,7132 en el sistema Inglés 2 2 4 2 2 1 1 4 1 1 T M L T M L g g = ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 1 4 2 1 1 2 T T M M L L g g ⇒ ( ) ( )( ) 75 , 95 1 2,2 3,28 1,7132 4 2 = = g Para obtener el valor correspondiente a 5 en el sistema Inglés 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 T L M T L M g g = ⇒ 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 T T L L M M ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = g g ⇒ ( ) ( ) ( ) 25 , 2 1 3,28 2,2 5 2 2 2 2 = = g Luego en el Sistema Inglés la ecuación correspondiente es 2 1 75 , 95 25 , 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = p A p R Para comprobar esta expresión evaluemos R1 para s m 1 1 = p , 3 1 m kg 1 = A y R2 para s pie 28 , 3 2 = p , ( ) 3 2 3 2 pie lb 10 23 , 6 pie 3,28 lb 2,2 − × = = A Operando en las ecuaciones respectivas obtenemos m.s kg 34 , 1 1 = R y pie.s lb 899 , 0 2 = R Realizando la conversión de unidades R1 encontramos que es equivalente a R2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuando e realizan mediciones, los valores medidos se conocen únicamente dentro de los límites de la incertidumbre experimental, 1o datos medidos inherentemente no son exactos y si se registran en notación decimal consisten de un conjunto finito de dígitos llamados cifras significativas, la última de las cuales es conocida como cifra dudosa. Cuando se mide una longitud mediante una regla se observa la lectura de un instrumento en el cual hay una escala, el punto de observación para la lectura llega a una posición como la que se indica en la figura siguiente. Se puede leer exactamente hasta 11 y apreciar un dígito más, este último depende de cada persona puede ser 11,6 , 11,5 ó 11,7. Si suponemos que nuestros instrumentos están adecuadamente construidos, entonces las lecturas que tomemos tendrán significado y serán reproducibles, excepto el último digito, el de los décimos de la www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 6 división más pequeña, será aunque con significado un poco incierto. Por lo que no hay objeto en añadir una segunda cifra incierta. Una cifra significativa es cualquier dígito que denota la magnitud de la cantidad según el lugar que ocupa en un número. Por ejemplo si escribimos S/. 10,52, todas las cifras son significativas, el uno representa el número de decenas en soles, el 0 representa que no hay unidad de sol y es significativo y finalmente sabemos que tenemos 52 céntimos. En la expresión 0,01052 gr. el primer cero de la izquierda sirve para llamar la atención hacia la coma, el segundo cero muestra que el 1 ocupa el segundo lugar después de la coma. Estos ceros no son significativos, sin embargo el 0 entre 1 y 5 es significativo. 10,52 tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 5 y 2) 0,01052 tiene cuatro cifras significativas (1, 0, 5 y 2) La incertidumbre más pequeña posible con cualquier aparato de medición es mitad del límite de la lectura. Sin embargo, la mayoría de las investigaciones generan una incertidumbre mayor que esto. La tabla siguiente enumera la incertidumbre de algunos equipos comunes del laboratorio. Regla de metro ± 0,05 cm Calibrador vernier ± 0,005 cm Micrómetro ± 0,005 mm Reloj de segundos ± 0,5 s Cronómetro ± 0,0005 s Dinamómetro ± 0,1 N Cuando se anotan y se manipulan números obtenidos por medidas, serán de mucha ayuda las siguientes reglas: Regla 1: Redondeo de un número - En el proceso de rechazo de uno o varios de los últimos dígitos. La última cifra retenida se incrementará en 1 si la cifra rechazada es 5 o mayor. Ejemplo. Redondeo a Número dado Cuatro cifras Tres cifras Dos cifras 62,578 62,58 62,6 63 10 232 10 230 10 200 10 000 329 350 329 400 329 000 330 000 Regla 2: Suma y Resta El número de cifras significativas de la suma o diferencia será redondeado desechando todas las cifras a la derecha del lugar ocupado por la cifra incierta en cualquiera de las cantidades que esté más hacia la izquierda, como se muestra en el ejemplo: Regla 3: Multiplicación y División El número de cifras significativas del producto cociente será redondeado a un número de Significativas igual a aquel componente de aproximación como se muestra en los ejemplos: 3,14159 x 21,13 = 66,38179 = 66,38 3,14159 / 21,13 = 0,14868 = 0,1487 Esto es porque 21,13 tiene sólo cuatro cifras significativas, el resultado se redondea a cuatro cifras significativas Regla 4. Potencias y raíces La potencia o raíz de un número de n cifras significativas se redondea a n cifras significativas. como se muestra en los ejemplos: 58 , 4 5796 , 4 14 , 2 2 = = 80 , 9 800344 , 9 14 , 2 3 = = 46 , 1 46287 , 1 14 , 2 = = 29 , 1 288658 , 1 14 , 2 3 = = Ejemplo 4. ¿Cuáles son los resultados en las cifras correctas de las siguientes operaciones indicadas? a) 2,5 x 10-2 x 20 b) 3,32 x 103 + 3,2 x 10 c) 4,52 x 108 + - 4,2 x 103 d) 2,801 x 4 x 10-3 e) 6,2 x 104 / 3,0 x 10 Solución. Aquí todos los números están expresados en notación científica. Por ejemplo: 0,025 = 2,5 x10-2 = 2,5(-02), tiene 2 cifras significativas 20 = 2 x 10 = 2(+1), tiene una cifra significativa. a) 2,5 x 10-2 x 20 = 5 x 10-1 b) 3,32 x 103 + 3,2 x 10 = 3,35 x 103 c) 4,52 x 108 - 4,2 x 103 = 4,52 x 108 d) 2,801 x 4 x 10-3 = 11 x 10-3 e) 6,2 x 104 / 3, 0 x 10 = 2,1 x 103 Ejemplo 5. Para determinar la densidad de un líquido se toman 10 cm3 de éste. La masa del líquido medida en una balanza es 15,38g. ¿Cuál es la expresión correcta de la densidad? Solución. La densidad del líquido es 3 cm g 538 , 1 10 38 , 15 = = = V m ρ Siendo 10 el número con menos cifras significativas (2), el resultado se redondea a 2 cifras significativas. La expresión correcta de la densidad es 3 cm g 5 , 1 = ρ ERRORES Como hemos indicado las mediciones físicas involucran incertidumbre. El valor exacto de una magnitud medida es algo a lo cual intentamos aproximarnos pero que nunca conocemos. Un número de lecturas cuando se promedia se considera como el www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 7 mejor acercamiento al verdadero valor de una lectura, y la diferencia entre una lectura y la verdadera lectura o lectura exacta se llama error. Aquí la palabra error no significa equivocación sino una incertidumbre. Error absoluto es la diferencia entre el valor aceptado N (asumimos conocido) y el valor aproximado N , obtenido por mediciones o cálculos. N -N = e Error relativo es la relación entre el error absoluto e y el valor aceptado N N N 1 N − = = e e Porcentaje de error es el número de partes por cada 100 en que un número está errado ( ) % N N 1 % 100 % ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = = e e Cuando calcule el porcentaje de error en física elemental no use más de dos cifras significativas. Por ejemplo si una pista para carreras de 3500 metros tiene 17 metros más. El error absoluto o simplemente error es m 17 = e El error relativo es 3500 17 = e El porcentaje de error es % 49 , 0 % 100 3500 17 % = × = e Clasificación de errores. En los cálculos numéricos pueden ocurrir cinco tipos de errores básicos. a) Error inherente ( ) i e . Es el error en los datos iniciales debido a mediciones, observaciones o registros inexactos. b) Error de truncado t e . Es el error creado por representar una función con sólo unos cuantos términos de una serie. Por ejemplo: El valor correcto de 000 , 1 2 sen N = = π El valor aproximado de N computado por expansión de series es: ... ! 7 2 ! 5 2 ! 3 2 2 N 7 5 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = π π π π Si se usa solo el primer término. 2 00000 , 1 N -N π − = = t e = -0,57080 (-57%) Si se usan los dos primeros términos. 07516 , 0 ! 3 2 2 00000 , 1 N -N 3 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = = π π t e (+7,5%) Si se usan los tres primeros términos. ! 5 2 ! 3 2 2 00000 , 1 N -N 5 3 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = = π π π t e = -0,00453 (-0,5%) Si se usan los cuatro primeros términos. 0,00015 = t e , el error de truncado ya es insignificante. c) Error de redondeo ( ) r e , es el error introducido por redondeo de un decimal. Por ejemplo. Si π = 3,14159 Si redondeamos a π = 3,14, entonces: 0,00159 3,14 -3,14159 = = r e y % 05 , 0 100 3,14159 0,00159 = × = r e d) Error de interpolación ( ) p e , es el error introducido por la aproximación de un valor por su equivalente interpolado. Por ejemplo: Si conocemos la circunferencia de un círculo de l0 metros de diámetro y de otro circulo de 11 metros. m 42 , 31 10 10 = = π C y m 56 , 34 11 11 = = π C Por interpolación lineal la circunferencia de un círculo de 10,6 metros es: ( ) m 30 , 33 6 , 0 10 11 10 6 , 10 = × − + = C C C C Pero el valor exacto es m 31 , 33 6 , 10 6 , 10 = × = π C De aquí m 01 , 0 30 , 33 31 , 33 = − = p e o 3% 0 , 0 100 31 , 33 01 , 0 % = × = p e e) Error de aproximación ( ) a e , es el error introducido por la aproximación de una constante o una función por un valor elegido. Por ejemplo: La aceleración debido a la gravedad g = 9,80665 m/s2 puede aproximarse por: 2 s m 80769 , 9 10 52 51 = × = g ⇒ % 01 , 0 % = a e mejor por 2 s m 80658 , 9 10 517 507 = × = g ⇒ % 00 , 0 % = a e (El error aparece en el cuarto decimal) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 8 Error cuadrático medio o desviación normal o estándar En general cuando se realiza una medición cualquiera siempre se comete error, cuando repetimos las mediciones varias veces, encontramos casi siempre resultados diferentes para cada una, aunque empleemos el mismo método y el mismo aparato. Las mediciones sucesivas de un objeto determinado presentan discrepancias debido a los errores al azar o aleatorios de las medidas. Si la longitud verdadera de una varilla es 0 l la media aritmética de un gran número de medidas sucesivas será un número que representa la longitud media m l . Una medida Individual cualquiera tendrá una desviación de la media m e l l − = , cantidad que puede ser positiva o negativa según l sea mayor o menor que m l , es decir e m ± = l l Si elevamos al cuadrado cada uno de los valores de e y tomamos la media de todos los 2 e , obtenemos 2 m e que es la varianza de las medidas. n e e n i m ∑ = = 1 1 2 2 A la raíz cuadrada de esta medía se la conoce como el error cuadrático medio o desviación normal o estándar σ . 2 m e = σ Cuanto mayor sea el número n de medidas, menor será la diferencia entre su media m l y la longitud verdadera 0 l , es decir el error estándar de la media, n σ , será menor. Por esto el mejor valor estimado de 0 l es: l l l l Δ ± = ± = m m n σ En donde l Δ es la incertidumbre o error absoluto determinado a partir de n mediciones. En el caso de verdaderos errores aleatorios, la media m l cae en un 68 por ciento de las veces dentro de una distancia l Δ del valor verdadero pero desconocido 0 l . De esta forma podemos presentar el resultado final de un experimento en el cual se mide varias veces una magnitud. Sin embargo, muchas veces realizamos sólo una medición de la magnitud. En este caso se considera generalmente que la incertidumbre o error absoluto es igual a la mitad de la división menor de la escala del instrumento. Por ejemplo: si para medir longitudes se usa una regla cuya división minina es 1 mm el error absoluto o incertidumbre de la medida es l Δ = 0,05 mm. Ejemplo 6. Un estudiante realiza varias mediciones de la masa de un cuerpo, obteniendo los siguientes resultados: 35,73 g , 35,76 g , 35,80 g, 35,76 g, 35,70 g ¿Cuál es el mejor valor estimado de la masa del cuerpo? Solución. La masa media es: 5 35,70 35,76 35,80 35,76 35,73 + + + + = m m = 35,75 g La desviación de la media de cada medición es: 02 , 0 75 , 35 73 , 35 1 − = − = − m m m 01 , 0 75 , 35 76 , 35 2 = − = − m m m 05 , 0 75 , 35 80 , 35 3 = − = − m m m 01 , 0 75 , 35 76 , 35 4 = − = − m m m 05 , 0 - 75 , 35 70 , 35 5 = − = − m m m La varianza de las medidas es: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 05 , 0 01 , 0 05 , 0 01 , 0 02 , 0 2 2 2 2 2 2 − + + + + − = m e = 0,0112 La desviación normal 0112 , 0 2 = = m e σ = 0,0334 La incertidumbre o error estándar de la medida es: 5 0334 , 0 = = Δ n m σ = 0,01496 = 0,02 El mejor valor estimado es: 02 , 0 75 , 35 ± = Δ ± = m m m m ( )g 02 , 0 75 , 35 ± = m Si hubiéramos realizado una sola medición con una balanza cuya menor división es de 0,1 g la incertidumbre seria 0,05 y el resultado de la medición podría expresarse así: ( )g 05 , 0 75 , 35 ± = m Observemos que en ambos casos la incertidumbre corresponde al segundo orden decimal (0,02 y 0,05 respectivamente) incidiendo por lo tanto en la cifra 5, que es la cifra dudosa. PROPAGACIÓN ERRORES La determinación experimental de algunas cantidades físicas tales como densidad o volumen se obtienen por medición directa. Generalmente, la cantidad a determinar se re1aciona de alguna manera conocida a una o más cantidades medibles. El procedimiento es medir estas cantidades y con estas calcular por medio de relaciones conocidas la cantidad original. Por ejemplo el volumen de un cilindro puede conocerse si tenemos su longitud y Su diámetro. Estas pueden medirse directamente, cada una con su intervalo de www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 9 error asociada, Estos intervalos de error determinan el Intervalo de error de la cantidad calculada. Es importante saber como hacer esta determinación de la propagación de errores. A continuación determinemos los errores para diferentes situaciones. a) Suma de dos o más variables. Consideremos y x z + = . ( ) ( ) y y x x z z Δ ± + Δ ± = Δ ± Puesto que x e y tienen las incertidumbres x Δ y y Δ , ¿cuál es la incertidumbre z Δ en z? Los mayores valores posibles para x e y son x x Δ + e y y Δ + , respectivamente, dando un valor superior de y x z Δ + Δ = Δ . Los menores valores posibles para x e y son x x Δ − e y y Δ − , respectivamente, dando un valor inferior de ( ) y x z Δ + Δ − = Δ . Es decir, los valores límites para z son ( ) ( ) y x y x z Δ + Δ ± + = Sin embargo, no utilizamos los ( ) y x Δ + Δ como la incertidumbre. La razón es que para que z realmente valga ( ) ( ) y x y x z Δ + Δ ± + = se necesita que la incertidumbre en la medición, tanto de x como de y, sea tal que los dos resultados experimentales sean subestimaciones. Más probable es que uno de los resultados sea un poco bajo y el otro un poco alto. Si éste es el caso, la incertidumbre en una de las mediciones puede compensar, en parte, la incertidumbre en la otra. Para tomar en cuenta esta posibilidad, lo que hacemos no es sumar las incertidumbres, sino que calculamos 2 2 y x z Δ + Δ = Δ Esta manera de combinar las incertidumbres, sumándolas elevadas al cuadrado, se llama suma en cuadratura. La incertidumbre z Δ calculada de esta manera es siempre mayor que las a x Δ y y Δ por separado, pero menor que la suma y x Δ + Δ . La diferencia entre simplemente sumar las incertidumbres y sumarlas en cuadratura es que la suma simple da la incertidumbre máxima en el resultado, mientras que la suma en cuadratura da la incertidumbre más probable. b) Diferencia de dos variables Consideremos y x z − = . ( ) ( ) y y x x z z Δ ± − Δ ± = Δ ± La incertidumbre que queremos es la incertidumbre más probable, que viene a ser la raíz cuadrada de la suma en cuadratura de las incertidumbres 2 2 y x z Δ + Δ = Δ Por lo tanto, tenemos una regla para la propagación de incertidumbres Cuando sumamos o restamos dos magnitudes la incertidumbre en el resultado es la raíz cuadrada de la suma en cuadratura de las incertidumbres en las magnitudes. Ejemplo 7. Medimos la masa de un tomillo y obtenemos ( )g 5 253 1 1 ± = Δ ± m m , luego medimos también la masa de una tuerca, ( )g 5 48 2 2 ± = Δ ± m m . ¿Cuánto vale la masa M del tornillo y la tuerca juntos? Solución. Evidentemente, la masa M es g 301 48 253 2 1 = + == + = m m M La Incertidumbre en la suma es 2 2 2 1 2 m m M Δ + Δ = Δ = 50 = 7 g y el resultado final es ( )g 7 301± = M Ejemplo 8. ¿Cuál es la diferencia M’ entre las masas 1 m y 2 m del tornillo y la tuerca respectivamente? Solución. Evidentemente, la masa M’ es g 205 48 253 ' 2 1 = − == − = m m M La Incertidumbre en la diferencia también es 2 2 2 1 2 ' m m M Δ + Δ = Δ = 50 = 7 g y el resultado final es ( )g 7 205 ' ± = M c) Producto de dos o más variables. Supongamos xy z = ( )( ) y y x x z z Δ ± Δ ± = Δ ± = y x y x x y xy Δ Δ + Δ ± Δ ± el error de z es y x x y z Δ + Δ = Δ considerando el mayor valor posible y no tomando en cuenta y xΔ Δ por se el producto de dos cantidades pequeñas. El significado de esto se más claramente en el error relativo. y y x x xy y x x y z z Δ + Δ = Δ + Δ = Δ Ejemplo 9. ¿Cuál es el producto de ( ) 5 , 0 6 , 2 ± cm y ( ) 5 , 0 8 , 2 ± cm? Solución. Primero, determinamos el producto de 2,6cm x 2,8cm = 7,28 cm2 Error relativo 1 = 6 , 2 5 , 0 = 0,192 Error relativo 2 = 8 , 2 5 , 0 =0,179 Suma de los error relativos = 0,371 o 37,1 % www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 10 Error absoluto = 0,37l x 7,28 cm2 o 3,71 % x 7,28 cm2 = 2,70cm2 Los errores son expresados con una cifra significativa = 3 cm2 El producto es igual a 7,3 ± 3 cm2 d) Potencias y raíces. Sea n x z = Donde n es el número entero o fracción positivo o negativo. ( ) n x x z z Δ ± = Δ ± Esto se puede escribir n n x x x z z ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ± = Δ ± 1 Haciendo la expansión binomial de n x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + 1 n x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + 1 = ( ) ( )( ) ... ! 3 2 1 ! 2 1 1 3 2 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛Δ − + Δ + x x n n n x x n n x x n ignorando las potencias mayores que 1 de x Δ n x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + 1 = x x n Δ + 1 De aquí ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ± = Δ ± x x n x z z n 1 El error de z es x nx z n Δ = Δ −1 Y el error relativo es x x n z z Δ = Δ Ejemplo 10. Encontrar el error en el cálculo de 2 x z = Solución. x x x x z Δ = Δ = Δ − 2 2 1 2 E error relativo es x x z z Δ = Δ 2 Ejemplo 11. Encontrar el error en el cálculo de 2 1 x x z = = Solución x x x x z Δ = Δ = Δ − 2 1 2 1 1 2 1 E error relativo es x x z z Δ = Δ 2 1 Ejemplo 12. Encontrar el error en el cálculo de 3 3 1 − = = x x z Solución. 4 4 1 3 3 3 3 x x x x x x z Δ − = Δ − = Δ − = Δ − − − Como los errores son indeterminados debemos elegir el signo de tal manera que éste sea el máximo, por esto: 4 3 x x z Δ = Δ y el error relativo es x x x x x z z Δ = Δ = Δ 3 1 3 3 4 e) Cocientes. Supongamos y x z = ( ) ( ) y y x x z z Δ ± Δ ± = Δ ± Esto se puede escribir como: ( )( ) 1 − Δ ± Δ ± = Δ ± y y x x z z = 1 1 1 1 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ± ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ± y y y x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ ± ≈ y y x x y x m 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ + Δ ± Δ ± ≈ y y x x y y x x y x 1 Ignorando el último término por se muy pequeño y tomando el valor máximo para z Δ . El error de z es: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ = Δ y y x x y x z = 2 y y x x y Δ + Δ El error relativo es: y x y y x x y z z 2 Δ + Δ = Δ = xy y x x y Δ + Δ = y y x x Δ + Δ Ejemplo 13. Supongamos que queremos calcular la densidad ρ de un cilindro de metal habiendo medido su masa M, su longitud L y su diámetro D. Al mismo tiempo queremos calcular el error relativo resultante de los errores en las cantidades medidas. Sabemos que la densidad está dada por la ecuación www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 11 ( ) L D M L D M 2 2 4 2 π π ρ = = Solución. 1 2 2 4 4 − − = = L MD L D M π π ρ Como 4 y π son cantidades exactas no tienen error. El error relativo de M es M M Δ El error relativo de D es D D Δ 2 El error relativo de L es L L Δ De aquí El error relativo de ρ es L L D D M M Δ + Δ + Δ = Δ 2 ρ ρ Ejemplo 14. El volumen de un cilindro de base circular es L R V 2 π = . ¿Cuánto vale la incertidumbre o error en el volumen en términos de las incertidumbres R Δ y L Δ ? Solución. Como π es cantidad exacta no tienen error. El error relativo de R es R R Δ 2 El error relativo de L es L L Δ De aquí El error relativo de V es L L R R V V Δ + Δ = Δ 2 Y el error absoluto: V L L R R V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ = Δ 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ L L R R R 2 π Ejemplo 15. Supongamos que queremos medir el periodo T de un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que aprecia las décimas de segundo, 0,1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4,6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resulta t =0,46 s, ¿cómo se expresa la medida? Solución. 10 t T = , 10 t T Δ = Δ Obtenemos para el error s 01 , 0 10 1 , 0 = = ΔT . Por tanto, la medida la podemos expresar como ( )s 01 , 0 46 , 0 ± = T Ejemplo 16. La medida de los lados de un rectángulo son ) 06 , 0 53 , 1 ( ± cm, y ) 1 , 0 2 , 10 ( ± cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta. Solución. El área es 606 , 15 2 , 10 53 , 1 = × = A cm2 Como debe de tener solamente 3 cifras significativas 2 cm 6 , 15 = A El error relativo del área 2 2 2 , 10 1 , 0 53 , 1 06 , 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ A A = 0,0404422504 El error absoluto del área ( ) 10,2 1,53 04 0,04044225 × = ΔA = 0,63083 El error absoluto con una sola cifra significativa es 0,6. La medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como ( ) 2 cm 6 , 0 6 , 15 ± = A Ejemplo 17. Se mide x con una incertidumbre x Δ y se calcula x y ln = . ¿Cuánto vale y Δ ? Solución. ( ) x x y y Δ + = Δ + ln En este caso podemos usar aproximaciones para cantidades pequeñas, cuando 1 << x , tales como: ( ) nx x n ± ≈ ± 1 1 , x e x + ≈1 , ( ) x x ≈ + 1 ln , x x ≈ sen , 1 cos ≈ x , x x ≈ tan En nuestro caso ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + = Δ + = Δ + x x x x x y y 1 ln ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + + = x x x 1 ln ln x x x Δ + ≈ln Como 1 << Δ x x podemos aplicar x x x x Δ ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + 1 ln , luego: y y Δ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + + = x x x 1 ln ln x x x Δ + ≈ln Siendo x y ln = : x x y Δ = Δ PRECISIÓN Y EXACTITUD Los términos "PRECISION " y "ACCURACY" del idioma inglés no son sinónimos, para efectos de lenguaje estadístico traduciremos "Precision" como precisión y "Accuracy" como exactitud, estableciendo diferencias claras entre las dos palabras. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 12 La precisión es una indicación de la concordancia entre un número de medidas hechas de la manera indicada por el error absoluto. Un experimento de gran precisión tiene un bajo error al azar. La exactitud es una indicación de cuan cercana está una medida al valor aceptado indicado por el error relativo o del porcentaje de error en la medida. Un experimento de gran exactitud tiene un error sistemático bajo. Así como la obtención de una serie de medidas con las unidades correctas, se requiere una indicación del error experimental o el grado de incertidumbre en las medidas y la solución. Cuanto mayor es la exactitud y la precisión en nuestras investigaciones, más bajo es el grado de incertidumbre. Las cuatro figuras a continuación ilustran la diferencia: RANGO DE ERROR O INCERTIDUMBRE Cuando una respuesta se expresa como valor con incertidumbre tal como 2,3 ± 0,1 cm, entonces la gama de la incertidumbre es evidente. ¿El valor cae entre 2,4 (2,3 + 0,1) y 2,2 (2,3 - 0,1) cm. En la física, determinamos a menudo la relación que existe entre las variables. Para visión la relación, podemos realizar una investigación y trazar un gráfico del eje dependiente) contra la variable independiente (eje x). Considere un resorte que tenga varios pesos, unido a él. A mayor peso se une a un resorte, el resorte extiende más lejos de su posición del equilibrio. La tabla siguiente muestra algunos valores para esta investigación de Fuerza/alargamiento. Fuerza ± 5 N 100 150 200 250 300 Alargamiento ± 0,2 cm 3,0 4,4 6,2 7,5 9,1 Cuando se traza un gráfico de la fuerza contra el alargamiento, la línea del mejor ajuste no pasa por cada punto. Una barra del error se puede utilizar para dar una indicación del rango de la incertidumbre para cada punto según se muestra en la figura a continuación Fuerza/alargamiento. En la dirección vertical, dibujamos una línea arriba y abajo para que cada punto muestre la gama de incertidumbre del valor de la fuerza. Entonces ponemos una pequeña línea marcadora horizontal en el límite del extremo incierto para el punto. En la dirección horizontal, dibujamos una línea a la izquierda y a la derecha para que cada punto muestre la gama de incertidumbre del valor de la extensión. Entonces ponemos una pequeña línea marcadora línea vertical en el límite del extremo incierto para el punto. Cuando todos los puntos de la tabla se trazan en un gráfico, la línea del mejor ajuste con las barras apropiadas de error se muestra en la figura siguiente y se puede ver que la línea del mejor ajuste cae dentro del rango de la incertidumbre de la barra del error. ESTIMADOS Y CÁLCULOS DEL ORDEN DE MAGNITUD Hasta donde hemos visto, es importante cuidar el seguimiento de las incertidumbres en la medición cuando se calculan las respuestas a los problemas. En algunas ocasiones, tanto en la vida cotidiana como en el quehacer científico, es necesario resolver un problema del que no tenemos información suficiente para obtener una respuesta precisa. A menudo podemos obtener una respuesta útil mediante la estimación de los valores de las magnitudes apropiadas. Estas estimaciones, realizadas generalmente a la potencia de diez más cercana, se denominan estimaciones del orden de magnitud. El cálculo resultante del orden de magnitud no es exacto, pero generalmente es correcto con un factor de diez. El conocimiento justo del orden de magnitud de las cantidades físicas con frecuencia nos proporciona información suficiente para obtener una comprensión útil de la situación física y la capacidad para formarnos un juicio y hacer cálculos para la construcción de modelos. Realizar estimaciones de magnitud con frecuencia es sencillo. Por ejemplo, imagine que va a la escuela por www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 13 primera vez y que quiere estimar cuánto dinero necesitara para comprar libros. Usted conoce que la carga habitual para la mayor parte de los estudiantes es de cinco materias, y que en cada una se necesita un libro de texto. Con estos datos puede estimar el costo de un solo libro con el razonamiento siguiente. Sabe por experiencia que S/. 1 es demasiado bajo y que S/. 100 es demasiado alto. Incluso S/. 10 es bajo. Una estimación razonable puede ser S/. 50. Así, el costo estimado de los libros para un semestre es de 5 x S/. 50 = S/. 250. Aunque el resultado no es exacto, está dentro del orden de magnitud correcto y proporciona una estimación razonable a un problema real. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de las estimaciones del orden de magnitud. Cuando hacemos cálculos de este tipo con frecuencia también efectuamos otras aproximaciones. Al remplazar π por 3 o remplazar 2 por 3/2 hacemos pocas diferencias en el orden de magnitud, pero hacerlo simplifica mucho los cálculos. Los ejemplos siguientes ilustran esta técnica. Ejemplo 18. Una tienda ofrece un premio al cliente que adivine con la mayor aproximación el número de caramelos de goma que llenan un frasco de un litro exhibido en un mostrador de la tienda. (Un litro es igual a 1000 cm3.) Estime cual será el número. Solución. Una revisión cuidadosa del frasco (véase la figura) revela varias cosas. Los caramelos de goma pueden aproximarse vagamente a pequeños cilindros de casi 2 cm de largo por aproximadamente 1,5 cm de diámetro. Además, los caramelos no están apretados en el frasco; posiblemente tan só1o se ha llenado 80% de éste. Podemos hacer uso de estas observaciones para estimar el número de caramelos que hay en el frasco. caramelo un de Volumen frasco del ocupado Volumen caramelos de Número = EI volumen ocupado del frasco = 0,8 x 1000 = 800 cm3, Volumen de un caramelo = 3 2 2 cm 8 27 2 cm 2 3 3 cm 2 2 ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ≈ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛d hπ Así, el número aproximado de caramelos que hay en el frasco es: Número de caramelos 240 cm 8 27 cm 800 3 3 ≈ ≈ . Un conteo realizado de los caramelos que llenan un frasco de un cuarto (0,95 litros) dio 255 caramelos. MODELOS IDEALIZADOS Ordinariamente usamos la palabra "modelo" para referimos a una réplica en menor escala (digamos, de un ferrocarril) o a una persona que exhibe ropa (o se exhibe sin ropa). En física, un modelo es una versión simplificada de un sistema físico que sería demasiado complejo si se analizase de forma detallada. Por ejemplo, supongamos que nos interesa analizar el movimiento de una pelota de béisbol lanzada en el aire. ¿Qué tan complicado es el problema? La pelota no es perfectamente esférica ni perfectamente rígida: tiene costuras, está girando y se mueve en el aire. El viento y la resistencia del aire afectan su movimiento, la Tierra gira, el peso de la pelota varía un poco al cambiar su distancia respecto al centro de la Tierra, etc. Si tratamos de incluir todos estos factores, la complejidad del análisis nos abrumará. En vez de ello, inventamos una versión simplificada del problema. Omitimos el tamaño y la forma de la pelota representándola como objeto puntual, o partícula. Despreciamos la resistencia del aire haciendo que la pelota se mueva en el vacío, nos olvidamos de la rotación terrestre y suponemos un peso constante. Ahora tenemos un problema sencillo de tratar. Para crear un modelo idealizado del sistema debemos pasar por alto muchos efectos menores y concentramos en las características más importantes. Claro que hay que ser cuidadosos para no despreciar demasiadas cosas. Si ignoramos totalmente los efectos de la gravedad, nuestro modelo predecirá que si lanzamos la pelota hacia arriba ésta se moverá en línea recta y desaparecerá en el espacio. Necesitamos algún criterio y creatividad para crear un modelo que simplifique lo suficiente un problema sin omitir sus características esenciales. Al usar un modelo para predecir el comportamiento de un sistema, la validez de las predicciones está limitada por la validez del modelo. La predicción de Galileo respecto a la caída de los cuerpos corresponde a un modelo idealizado que no incluye la resistencia del aire. El modelo funciona bien para una bala de cañón, pero no para una pluma. El concepto de modelos idealizados es muy importante en física y en tecnología. Al aplicar principios físicos a sistemas complejos siempre usamos modelos idealizados, y debemos tener presentes las suposiciones que hacemos. De hecho, los principios mismos se expresan en términos de modelos idealizados; hablamos de masas puntuales, cuerpos rígidos, aislantes ideales, etc. Estos modelos desempeñan un papel crucial en este libro. Trate de www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 14 distinguirlos al estudiar las teorías físicas y sus aplicaciones a problemas específicos. ¿COMO ESTUDIAR FISICA? Para estudiar física es necesario dar atención especial a los significados específicos de las palabras para poder entender el material, deben estudiarse detenidamente los gráficos, dibujos, tablas y fotografías incluidos para entender claramente los principios físicos involucrados. Gran parte de lo que se aprenderá será en las clases. Deberán aprender a tomar apuntes exclusivamente de las partes significativas de cada lección y concentrarse por completo en lo que el profesor está diciendo, estos apuntes son necesariamente breves y carentes de relación. Por lo tanto, es recomendable tener un cuaderno ordenado con las notas de clase completando con apuntes tomados del estudio de los libros. Hagan esto tan pronto como sea posible después de clase, esto permitirá tener un conjunto de notas claras e inteligibles para repaso; ayudará a detectar las áreas débiles de conocimiento. La parte más importante de los apuntes son los problemas resueltos. Resuélvanse todos los ejemplos vistos en clase y los dejados como tarea. Richard Feynman premio Nóbel en física dijo: "usted no sabe nada sobre algo hasta que lo ha practicado". La habilidad para resolver problemas no es sólo una prueba del dominio que cada cual posee de la ciencia, sino también un índice del crecimiento de nuestra propia capacidad como herramienta en las futuras tareas del intelecto. Se recomienda desarrollar las habilidades necesarias para resolver un amplio rango de problemas. La habilidad para resolver problemas puede ser la principal prueba de los conocimientos. Es esencial que se comprendan los principios y conceptos básicos antes de intentar resolver problemas. En física general los exámenes se componen principalmente de problemas a resolver, es muy importante que se entiendan y recuerden las hipótesis que sirven de base a una teoría o formalismo en particular. Para la resolución de problemas se incluyen cinco etapas básicas: a) Dibuje un diagrama con ejes coordenados si son necesarios y ponga las notaciones identificatorias, con esto podemos eliminar errores de signo. b) Identifique el principio básico, incógnitas, listando los datos y las incógnitas. c) Seleccione una relación básica o encuentre una ecuación que se pueda utilizar para determinar la incógnita y resuélvala simbólicamente. En esta forma se evitan errores y ayuda a pensar en términos físicos el problema. d) Sustituya los valores dados con las unidades apropiadas dentro de la ecuación y obtenga el valor numérico de la incógnita. e) Verificación y revisión del resultado por medio de las siguientes preguntas: ¿Las unidades coinciden? ¿Es razonable el resultado? ¿Es apropiado el signo? ¿Tiene significado? Una vez que el estudiante ha desarrollado un sistema organizado para examinar problemas y extraer la información relevante, tendrá confianza y seguridad cuando tenga que resolverlos. PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Suponga que está planeando un viaje en automóvil a otra ciudad y estima el tiempo que se requiere para ir allá. Demuestre cómo esta estimación depende de un modelo. ¿Cómo se ha descrito en el texto y qué tan confiable es? 2. Dé un ejemplo personal del uso de un modelo para el análisis de los datos medidos. 3. Explique la idea básica detrás de la conversión de unidades. 4. Explique la diferencia en significado de las tres cantidades 10 m, 10.0 m y 10.00 m. 5. ¿Cuál de los números siguientes se da con tres cifras significativas: 0,003 m, 0,32 cm, 0,320 cm, 3,21 mm o 3,213 mm? 6. Un estudiante mide un rectángulo con una regla cuya medida varía ± 1 mm. Encuentra que la altura es 37 mm y el acho 46 mm. ¿Por qué debe informar que el área del rectángulo 1700 mm2 en lugar de 1702 mm2? 7 ¿Qué modelo describe en la forma más sencilla las observaciones siguientes? a) Una pelota colocada en cualquier lugar sobre el piso permanece en reposo. b) Una pelota colocada en cualquier lugar sobre el piso empieza a rodar. c) Dé otros modelos más sencillos para estas observaciones. Respuesta. a) Bola esférica uniforme sobre un piso horizontal. b) Bola esférica uniforme sobre un piso inclinado. c) Para a) la bola tiene una parte plana o no es uniforme y para b) la bola es asimétrica y empieza a rodar hacia su lado más pesado. 8. Se lanza un dado muchas veces con los resultados siguientes para el número que aparece en su cara superior: 1, 63 veces; 2, 58 veces; 3, 62 veces; 4, 63 veces; 5, 75 veces y 6, 61 veces. ¿Qué modelo puede hacer para el dado? Respuesta. El dado es más pesado hacia el punto 2. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 15 9. Un cubo de metal flota en un líquido. ¿Cuál es el modelo más sencillo del cubo y del líquido? ¿Hay otros modelos? Respuesta. El cubo tal vez sea hueco si flota en el agua. Alternativamente, el cubo es sólido pero flota en un líquido que es más denso que él. 10. Un litro (L) es un volumen de 10 cm3. ¿Cuántos centímetros cúbicos hay en 2,5 mililitros? Respuesta. 2,5 cm3 11. ¿Qué tan lejos viaja la luz en un vacío en 1,0 nanosegundos (Velocidad de la luz = 3,0 x l08 m/s.) Respuesta 30cm 12. Los granos negros en algunos tipos de películas fotográfica son de aproximadamente 0,8 μ m de sección. Asuma que los granos tienen una sección transversal cuadrada y que todos quedan en un solo plano de la película. ¿Cuántos granos se requieren para oscurecer completamente 1 cm2 de película? Respuesta. 1,6 x 108 13. Una fórmula se lee y = ½ at2, donde y está en metros y t en segundos. ¿Cuáles son las dimensiones de a? Respuesta. m/s2 14. ¿Cuál es la altura en centímetros de una persona cuya estatura es 5’l1’’? Respuesta. 180cm 15. ¿Cómo es 40,2 mi expresado en kilómetros? Respuesta 64,7 km 16. Exprese 130 km/h en términos de millas por hora. Respuesta. 80,8 mi/h 17 Una tienda anuncia un tapete que cuesta US $18,95 por yarda cuadrada. ¿Cuánto cuesta el tapete por metro cuadrado? Respuesta. 22,66 dólares/m2 18. Cuando la gasolina se vende a US $1,609 por galón, ¿cuál es el precio en dólares por litro? (1 gal = 3,l7853 L) Respuesta. 0,282 dólares/L 19. ¿Cuál es el área en centímetros cuadrados de un pedazo de papel de 8 pulg x 14 pulg? Respuesta. 1.25 768 cm2 20. Los listones de madera en una cerca están espaciados 6,0 pulgadas, de centro a centro. ¿Cuántos listones están contenidos en un metro de valla? Respuesta. 6,6 21. La Luna gira sobre su eje cada 271/3 días de modo que la misma cara está siempre hacia la Tierra. ¿A cuántos grados rotará la Luna respecto a su propio eje en una hora? Respuesta. 0,549° 22. ¿Cuántas revoluciones hace el segundero de un reloj en tres años? Suponga que no hay año bisiesto en el intervalo. Respuesta. 1,58 x 106 revoluciones 23. La Tierra tiene una masa de 5.98 x 1024 kg y un radio de 6,38 x 106 m. a) ¿Cuál es la masa por unidad de volumen de la Tierra en kg/m3? b) ¿Cuál es la masa por unidad de volumen de un núcleo de oro que tiene una masa de 3,27 x 1025 kg y un radio de 6,98 x 10-15 m? c) ¿Cuál sería el radio de la Tierra si su masa no cambiara, pero tuviera la misma masa, por unidad de volumen, que el núcleo de oro? Respuesta. a) 5,50 x 103 kg/m3, b) 2,30 x 1017 kg/m3, c) 184 m 24. Calcule el volumen de la tabla rectangular con altura de 17,5 mm, ancho de 29,4cm y longitud 115,4 cm. Recuerde la regla que se refiere a las cifras significativas. Respuesta. 5,94 x 103 cm3 25. Si usted mide los lados de un cuadrado y son de diez centímetros con una exactitud de ±1 %, ¿cuál es el área del cuadrado y cuál es la incertidumbre? Respuesta. (100 ± 2) cm2 26. Sume los números siguientes: 3,57 x 102, 2,43 x 103 y 4,865 x 102. Respuesta. 3,27 x 103 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com INTRODUCCIÓN AL CURSO Hugo Medina Guzmán 16 27. Un legajo de papel copia tiene 5,08 cm de espesor. ¿Cuál es el espesor de una sola hoja del papel? Exprese su respuesta en m y mm. Respuesta. 1,02 x 10-4 m o 0,102 mm 28. El piso rectangular de un gimnasio tiene lados de longitud de x ± Δ x por y ± Δ y donde Δ x y Δ y son las incertidumbres estimadas en las mediciones y son pequeñas comparadas con x e y. Demuestre por cálculo directo que el área del piso y la incertidumbre en esa área están dadas por ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + Δ ± = y y x x xy xy A cuando se ignoran términos muy pequeños, del orden de (Δ x)2. (En la mayor parte de los casos, este resultado sobrestima la incertidumbre en el área, porque no toma en consideración que las incertidumbres en las longitudes, Δ x y Δ y, provienen de una serie de medidas, que tienen una dispersión natural en sus valores.) 29. Estime el espesor de las páginas de un libro. Dé su resultado en milímetros. Respuesta. Aproximadamente 0,06 mm 30. Alrededor de cuántos ladrillos se requieren para construir una pared de altura hasta el hombro de 100 pies de largo? Los ladrillos estándar tienen 8 pulg de largo por 2 1/4 pulg de alto y están separados por 3/8 de pulgada de mortero. Respuesta. 3,3 x 103 ladrillos 31. ¿Cuál es el volumen en milímetros cúbicos de un cubo de 1,00 pulg por lado? Respuesta. 1,64 x 104 mm3 32. En algunos países el consumo de gasolina de un automóvil se expresa en litros consumidos por 100 km de viaje. Si un automóvil logra 27 millas/galón, cuál es el consumo de combustible en litros por 100 km? (1 gal = 3,7853 L) Respuesta. 8,7 L/100 km 33. La velocidad del sonido a la temperatura ambiente es 340 m/s. Exprese la velocidad del sonido en unidades de millas por hora. Respuesta. 761 mi/h 34. a) ¿Cuántos milisegundos hay en un minuto? ¿Cuántos gigasegundos hay en un siglo? Respuesta. a) 1 min = 60000 ms, b) 1 siglo = 3,16 Gs 35. a) Calcule la altura de un cilindro de radio R que tiene el mismo volumen de una esfera de radio R. b) Demuestre que el cilindro tiene un área superficial mayor que la esfera. Respuesta. R h 3 4 = 36. Considere una esfera que se ajusta exactamente dentro de un cubo. ¿Cuál es la relación del volumen de la esfera al volumen del cubo? Respuesta. 6 / π 37. Un vaso cilíndrico para malteada tiene un radio interior medido de r ± Δ r y una altura de h ± Δ h. Demuestre que el volumen del vaso es h r r h h r V Δ ± Δ ± = 2 2 2 π π π si se ignoran los términos muy pequeños del orden ( ) 2 r Δ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 1 CAPITULO 2. Movimiento rectilíneo DEFINICIÓN DE PARTÍCULA. El Punto Material Es una idealización de los cuerpos que existen en la naturaleza y que llamamos punto material. Es un cuerpo cuyas dimensiones son despreciables al compararlas con las otras dimensiones que intervienen en el movimiento. La Mecánica comienza con el estudio de los puntos materiales y después extiende estos estudios a los sistemas de puntos materiales, incluyendo cuerpos rígidos y deformables. El punto material, a diferencia de un punto geométrico, está asociado a una masa inercial; esta propiedad está íntimamente ligada al movimiento de los cuerpos, como podemos ver cuando tratamos de entender cómo se mueven los cuerpos. CONCEPTO DE MOVIMIENTO El movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos en el espacio, con respecto al tiempo y a un punto de referencia, variando la distancia de dicho cuerpo con respecto a ese punto o sistema de referencia, describiendo una trayectoria. Para producir movimiento es necesaria una intensidad de interacción o intercambio de energía que sobrepase un determinado umbral. La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento es la cinemática. CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO Según se mueva un punto o un sólido pueden distinguirse distintos tipos de movimiento: Según la trayectoria del punto: Rectilíneo y curvilíneo Movimiento rectilíneo: La trayectoria que describe el punto es una línea recta. Movimiento curvilíneo: El punto describe una curva cambiando su dirección a medida que se desplaza. Casos particulares del movimiento curvilíneo son la rotación describiendo un círculo en torno a un punto fijo, y las trayectorias elípticas y parabólicas. Según la trayectoria del sólido: Traslación y rotación. Traslación: Todos los puntos del sólido describen trayectorias iguales, no necesariamente rectas. Rotación: Todos los puntos del sólido describen trayectorias circulares concéntricas. Según la dirección del movimiento: Alternativo y pendular. Alternativo: Si la dirección del movimiento cambia, el movimiento descrito se denomina alternativo si es sobre una trayectoria rectilínea o pendular. Pendular: Si lo es sobre una trayectoria circular (un arco de circunferencia). Según la velocidad: Uniforme y uniformemente variado. Movimiento uniforme: La velocidad de movimiento es constante Movimiento uniformemente variado: La aceleración es constante, como es el caso de los cuerpos en caída libre sometidos a la aceleración de de la gravedad. SISTEMAS DE REFERENCIA. POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO. El movimiento es una noción esencialmente relativa. Así resulta que el movimiento como el reposo son hechos relativos, no se puede decir que algo se mueve o que está en reposo sin añadir respecto a qué. En consecuencia necesitamos un sistema de referencia para descubrir el movimiento. Sistemas de referencia. Desde el punto de vista estrictamente matemático, un sistema de referencia en un espacio vectorial de dimensión n está formado por n vectores linealmente independientes, formando una base del espacio, y por un punto, definido por n coordenadas, que suele llamarse origen del sistema de referencia. En el dominio de la física, el espacio suele ser la base más habitual la llamada ortonormal (i ˆ , j ˆ , k ˆ ), y el origen se sitúa a conveniencia del observador. Los vectores de la base son i ˆ = (1,0,0), j ˆ = (0,1,0) y k ˆ = (0,0,1). Atendiendo a su posible estado de reposo o movimiento, los sistemas de referencia pueden ser clasificados siempre y cuando hablemos de su relación respecto a otro sistema de referencia que arbitrariamente supongamos inmóvil. En efecto, debe tenerse en cuenta que cualquier sistema de referencia está moviéndose respecto a otro (este papel gira y se traslada con la Tierra alrededor del Sol, el cual a su vez se desplaza en la galaxia, que a su vez se expande en el Universo...), por lo que no cabe hablar de un sistema de referencia absoluto. De acuerdo con lo anterior, un sistema de referencia puede estar: a) en reposo respecto a otro b) moviéndose con velocidad constante → v respecto al supuestamente fijo c) con una aceleración respecto al fijo. Un buen ejemplo del primer caso podemos encontrarlo en un sistema de referencia como la pizarra, que se encuentra en reposo relativo respecto a las paredes del aula (en condiciones normales). Un ejemplo de sistema de referencia inercial podemos encontrarlo en un tren que se mueve en un tramo de vía rectilíneo con una velocidad sensiblemente constante. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 2 Y por último, la propia Tierra constituye un sistema de referencia no inercial, ya que gira con una aceleración normal, que si bien es pequeña, en ciertos fenómenos se observa con claridad. Vector Posición.- Para fijar la posición de un punto en el espacio respecto a un origen de coordenadas bastan tres números que pueden ser las proyecciones sobre los ejes de un sistema cartesiano ortogonal. El vector posición del punto P es: → → = r OP El movimiento quedará especificado si conocemos el vector posición para cada instante, es decir: ( ) t r r → → = Esto se conoce como ley de movimiento. El vector posición puede ser expresado a través de las ecuaciones paramétricas de sus componentes en función del tiempo: ( ) t x x = , ( ) t y y = , ( ) t z z = k t z j t y i t x r ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( + + = → Desplazamiento. La figura muestra una partícula que se está moviendo a lo largo de la trayectoria curvilínea C. Sean P1 y P2 las posiciones de la partícula en los instantes 1 t y t t t Δ + = 1 2 . Los vectores posición correspondientes son 1 OP y 2 OP = → → → Δ + = r r r 1 2 . Siendo → Δ r el vector desplazamiento y describe el desplazamiento de la partícula de la posición P1 a la posición P2. Trayectoria y Ecuación Horaria del Movimiento.- Se llama trayectoria de una partícula en movimiento al lugar geométrico de las posiciones efectivamente ocupadas por la partícula en el transcurso del tiempo. De acuerdo al tipo de movimiento podrá ser una recta, circunferencia, espiral, parábola o curvas tan complicadas como se nos ocurra. La trayectoria no define el movimiento, pues no sabemos en que instante de tiempo ocupó cada punto. Sabemos dónde estuvo, pero no cuando y si estuvo varias veces en cada punto o no. Hace falta la ecuación horaria. Para encontrar la ecuación horaria debemos medir las distancias en función del tiempo. En la figura P0 es un origen fijo sobre la curva (C) que porta la trayectoria. Sea P la posición de la partícula en el instante t sobre la trayectoria definida por el arco S = ∩ P P0 La ecuación horaria del movimiento de la partícula P es ( ) t S S = Ejemplo experimental. Estudio del movimiento de la caída libre de un cuerpo. Solución. Si dejamos caer un objeto, obtenemos que la trayectoria sea una recta vertical. Para encontrar la ley del movimiento podemos intentar medir a partir de dónde la dejamos caer, distancias sucesivas para diferentes tiempos. Una forma experimental es usando una película fotográfica y una flash electrónico que se encienda por ejemplo cada 1/30 de segundo. En una habitación oscura dispondremos el cuerpo, la película y un disparador que deje caer el cuerpo y simultáneamente accione el flash. Paralelamente a la trayectoria a seguir por el objeto se fija una regla. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 3 La fotografía mostrada permite conocer las cotas de la foto en los diferentes instantes bien determinados. La tabla muestra los resultados de la fotografía: Tiempo Cota(m) t 0 0,2480 t 1 0,3250 t 2 0,4130 t 3 0,5130 t 4 0,6235 t 5 0,7450 t 6 0,8875 t 7 1,0215 t 8 1,1760 t 1 1,3405 t 10 1,5155 Tracemos la curva representativa del la función ( ) t f z = Esta curva corresponde a una parábola y su expresión matemática es 2 kt z = Donde ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = segundos en está s m 9 , 4 segundos en está 2 t k z Luego la ecuación horaria es 2 kt s = Si fijamos el origen del movimiento en z = 0, la ley del movimiento es k kt r ˆ 2 − = → Las ecuaciones paramétricas son 0 = x , 0 = y y 2 kt z = En esencia para cualquier movimiento debemos ingeniarnos para obtener la ecuación horaria y conocida su trayectoria, queda determinado el movimiento. VELOCIDAD Y RAPIDEZ Rapidez. La rapidez (que en el lenguaje común se denomina simplemente velocidad) se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido. La distancia s recorrida a lo largo de una trayectoria es una magnitud escalar, independiente de la dirección. Como el tiempo también es un escalar, la rapidez es también un escalar. La rapidez se designa mediante el símbolo v y sus dimensiones son: [ ] -1 LT = v La unidad en el sistema SI es el metro por segundo (m/s). La figura muestra una partícula que se está moviendo a lo largo de la trayectoria curva C. En el instante 1 t esta en P1, a una distancia 1 S de un punto P0 de referencia. En el instante 2 t está en P2 a una distancia 2 S del punto de referencia. En el tiempo que transcurre entre 1 t y 2 t , 1 2 t t t − = Δ , la partícula ha recorrido una distancia S Δ es la diferencia entre 2 S y 1 S , esto es 1 2 S S S − = Δ . Se define como rapidez media dentro de este intervalo t S t t S S vm Δ Δ = − − = 1 2 1 2 El símbolo Δ (delta) significa un incremento de una magnitud física. Si la rapidez de la partícula varía a lo largo de la trayectoria, para conocer con mejor precisión el movimiento debemos hacer los intervalos S Δ más pequeños y tomar la rapidez media de cada uno de ellos. La figura a continuación nos muestra el gráfico distancia recorrida versus tiempo, observen que cuando 2 t tiende a 1 t , Δ t tiende a cero. Mediante este proceso llamamos a la rapidez instantánea v en el instante t. Este proceso se expresa matemáticamente como www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 4 dt dS t S v t = Δ Δ = → Δ 0 lim La cantidad dt dS se llama “derivada de S con respecto a t ” y el proceso de encontrarla se llama derivación o diferenciación. La notación dS , dt , expresa incrementos infinitesimalmente pequeños que se conocen como diferenciales. Ejemplo 1. a) Hallar una expresión para la rapidez de una partícula que se mueve de acuerdo a la ley horaria 2 At S = b) Si A = 1,4 m/s 2 , hallar la distancia a la que se encuentra la partícula y su rapidez para 10 segundos después de iniciado su movimiento. Solución. a) Si en el tiempo t está en ( ) t S : ( ) 2 At S t = Transcurrido un tiempo t Δ , la partícula estará en ( ) t t S Δ + ( ) ( ) 2 t t A S t t Δ + = Δ + = ( ) 2 2 2 t A t At At Δ + Δ + , Como ( ) t t t S S S − = Δ Δ + = ( ) 2 2 2 At t A t At At − Δ + Δ + = ( ) 2 2 t A t At Δ + Δ La rapidez en el instante t es: ( ) t S v t t Δ Δ = → Δ 0 lim = ( ) t A t t A t At t 2 2 lim 2 0 = Δ Δ + Δ → Δ b) Para 10 = t es ( ) ( ) m 140 s 10 s m 4 , 1 2 2 10 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = S y su rapidez es ( ) ( ) 2 2 2 10 s m 28 s 10 s m 4 , 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = v Ejemplo 2. Hallar una expresión para la rapidez de una partícula que se mueve según la ecuación horaria ( ) ( ) t A t S ω sen = Solución. En el intervalo de tiempo de t hasta t t Δ + la partícula que se mueve: ( ) ( ) t S t t S S − Δ + = Δ = ( ) t A t t A ω ω sen sen − Δ + = ( ) ( ) t t A t t A Δ + Δ ω ω ω ω sen cos cos sen - t A ω sen La rapidez en un instante t cualquiera es t S v t Δ Δ = → Δ 0 lim = ( ) ( ) t t A t t A t t A t Δ − Δ + Δ → Δ ω ω ω ω ω sen sen cos cos sen lim 0 t A v ω ω cos = El proceso desarrollado en los dos ejemplos anteriores se hace simple con la práctica. Hay muchas reglas o fórmulas para derivar diferentes tipos de funciones. Estas pueden memorizarse o encontrarse en tablas. La tabla siguiente es una pequeña muestra de estas. Derivadas de algunas funciones Función Derivada n t S = 1 − = n nt dt dS c S = 0 = dt dS cu S = dt du c dt dS = v u S + = dt dv dt du dt dS + = uv S = dt dv u dt du v dt dS + = t A S ω sen = t A dt dS ω ωcos = t A S ω cos = t A dt dS ω ωsen − = Ejemplo 3. Hallar una expresión para la rapidez de una partícula que se mueve de acuerdo a la ley horaria 2 At S = , usando fórmulas de la tabla anterior. Solución. Tenemos que: ( ) At dt dt A dt At d dt dS v 2 2 2 = = = = Ejemplo 4. Hallar una expresión para la rapidez de una partícula que se mueve de acuerdo a la ley www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 5 horaria ( ) ( ) t A t S ω sen = , usando fórmulas de la tabla anterior. Solución. Tenemos que ( ) t A dt t d A dt t A d dt dS v ω ω ω ω cos sen sen = = = = Velocidad. La velocidad (que más apropiadamente sería vector velocidad), a diferencia de la rapidez debemos incluir el concepto de dirección en nuestro estudio; para esto debemos emplear vectores. La figura muestra una partícula que se está moviendo a lo largo de la trayectoria curvilínea C. Sean P1 y P2 las posiciones de la partícula en los instantes 1 t y t t t Δ + = 1 2 . Los vectores posición correspondientes son 1 1 OP → = r y → → → Δ + = = r r r 1 2 2 OP . Siendo → Δ r el vector desplazamiento y describe el desplazamiento de la partícula de la posición P 1 a la posición P 2 . Velocidad media. El cociente entre el vector desplazamiento → Δ r y el intervalo de tiempo t Δ es el vector velocidad media. t r v m Δ Δ = → → Como el desplazamiento es un vector y el tiempo es un escalar positivo, la velocidad es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento. Esto significa que si una partícula sufre un desplazamiento negativo, su velocidad será también negativa. Velocidad instantánea. Como en el caso de la rapidez obtendremos la velocidad instantánea → v tomando la velocidad media en un intervalo de tiempo cada vez menor t Δ medido desde un cierto tiempo 1 t . En el límite, cuando t Δ tiende a cero: ( ) dt r d t r t r r t v t t t → → → Δ → → → → = Δ Δ = Δ − = 0 1 2 1 lim lim 1 2 La dirección de este vector es la dirección límite del vector cuando 0 → Δt de la figura anterior. Es evidente que en este límite la dirección de → Δ r es la de la tangente la trayectoria en P1. La magnitud del vector velocidad instantánea, → v , es decir v r o simplemente v es igual a la rapidez instantánea en ese punto. La velocidad es la pendiente del gráfico de x versus t, como se muestra en la figura. Cuando la pendiente es positiva, el objeto se está moviendo a la derecha. Cuando la pendiente es negativa, el objeto se está moviendo a la izquierda. Cuando la pendiente es cero, el objeto se detiene. Ejemplo 5. Entre dos observadores hay una distancia de 1050 m, uno de ellos dispara un arma de fuego y el otro cuenta el tiempo que transcurre desde que ve el fogonazo hasta que oye el sonido, obteniendo un valor de 3 s. Despreciando el tiempo empleado por la luz en hacer tal recorrido, calcular la velocidad de propagación del sonido. Solución. La velocidad es: c = s/t = 1050/3 = 350 m/s Ejemplo 6. Nos encontramos en una batalla naval, en un buque situado entre el enemigo y los acantilados de la costa. A los 3 s de ver un fogonazo oímos el disparo del cañón, y a los 11 s del fogonazo percibimos el eco. Calcular la distancia a que están de nosotros el enemigo y la costa. Velocidad del sonido, 340 m/s. Solución. Despreciando el tiempo empleado por la luz en su recorrido, la distancia a que se encuentra el enemigo es: S = 340 x 3 = 1020 m El sonido emplea para ir y volver a la costa, desde nuestra posición, un tiempo que es: t = 11 - 3 = 8 s ⇒2S’= 340 x 8 ⇒ S’ = 1360 m La costa está a 1020 + 1360 = 2380m. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 6 Ejemplo 7. La posición de una partícula en coordenadas cartesianas está dada por la ecuación ( ) ( ) ( ) ( )k t z j t y i t x t r ˆ ˆ ˆ + + = → donde ( ) 2 6 5 t t x + = , ( ) t t y 3 = , ( ) 6 = t z t en segundos, x, y, z en metros. a) Determinar el desplazamiento entre t = 0 y t = 1 s. b) Determinar la velocidad media c) Determinar la velocidad y la rapidez para t = 1 s. Solución. a) para t = 0 s, x = 5m, y = 0m, z = 6m k i r ˆ 6 ˆ 5 0 + = → Para t = 1s, x = 11m, y =3m, z = 6m k j i r ˆ 6 ˆ 3 ˆ 11 1 + + = → El desplazamiento es ( ) ( ) ( )k j i r r r ˆ 6 6 ˆ 0 3 ˆ 5 11 0 1 − + − + − = − = Δ → → → = j i ˆ 3 ˆ 6 + b) la velocidad media es j i j i t r v m ˆ 3 ˆ 6 0 1 ˆ 3 ˆ 6 + = − + = Δ Δ = → → c) la velocidad instantánea es ( ) [ ] dt k j t i t d dt r d v ˆ 6 ˆ 3 ˆ 6 5 2 + + + = = → → = j i t ˆ 3 ˆ 12 + La magnitud de v es 153 3 12 2 2 = + = v = 12,4 m/s Valor que corresponde a la rapidez instantánea para t = 1s. Ejemplo 8. Un auto está parado ante un semáforo. Después viaja en línea recta y su distancia respecto al semáforo está dada por x(t) = bt2 - ct3 , donde b = 2,40 m/s2 y c = 0,120 m/s3. a) Calcule la velocidad media del auto entre t = 0 y t = 10,0 s. b) Calcule la velocidad instantánea en i) t = 0; ii) t = 5,0 s; iii) t = 10,0 s. c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar vuelve a estar parado el auto? Solución. a) En 0 , 0 1 1 = = x t , tal que la ecuación t x t t x x vm Δ Δ = − − = 1 2 1 2 ⇒ 2 2 t x vm = = ( )( ) ( )( ) ) 10 ( 10 120 , 0 10 4 , 2 3 2 − = 12,0 m/s b) de la ecuación dt dx t x v t x = Δ Δ = → Δ 0 lim , la velocidad instantánea en función del tiempo es 2 3 2 ct bt vx − = = 2 ) 360 , 0 ( ) 80 , 4 ( t t − tal que i) , 0 ) 0 ( = x v ii) 0 , 15 ) 5 )( 360 , 0 ( ) 5 )( 80 , 4 ( ) 5 ( 2 = − = x v y iii) 0 , 12 ) 10 )( 360 , 0 ( ) 10 )( 80 , 4 ( ) 10 ( 2 = − = x v c) el auto está en reposo cuando 0 = x v . Por consiguiente 0 ) 360 , 0 ( ) 80 , 4 ( 2 = − t t . El único tiempo después de 0 = t en que el auto se encuentra en reposo es 360 , 0 8 , 4 = t = 13,3 s Ejemplo 9. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas En las cuestas arriba lleva una rapidez constante de 5 km/h y en las cuestas abajo 20 km/h. Calcular: a) ¿Cuál es su rapidez media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? b) ¿Cuál es su rapidez media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? c) ¿Cuál es su rapidez media si emplea doble tiempo en las subidas que en las bajadas? Solución. a) total bajada subida total total m t s s t s v + = = = 2 1 2 1 2 1 2 2 v v v v v s v s s + = + = 8 km / h b) 2 2 2 1 2 1 v v t t v t v vm + = + = = 12,5 km/h c) 3 2 3 2 2 1 2 1 v v t t v t v vm + = + = = 3 20 5 2 + × = 10 km/h (Obsérvese que la rapidez media es la media aritmética de las rapideces uniformes únicamente en el caso de que el tiempo que duran los distintos recorridos sea el mismo). ACELERACIÓN En el lenguaje ordinario el término aceleración se refiere sólo a incrementos del módulo de la velocidad (rapidez), pero en Física se utiliza con un sentido más amplio para designar un cambio del vector velocidad. En Física se dice que un cuerpo está siendo acelerado no sólo cuando aumenta su velocidad sino también cuando disminuye o cambia de dirección. Se llama aceleración al cambio de la velocidad (vector velocidad) en el tiempo. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 7 Aceleración Media. La razón en la cual la velocidad cambia se mide por la aceleración. Así si un objeto tiene la velocidad 1 → v en el 1 t del tiempo y velocidad 2 → v en el 2 t , su aceleración media es i t v t v t t v v a m ˆ 1 2 1 2 Δ Δ = Δ Δ = − − = → → → → Supongamos que una partícula que se mueve en la trayectoria C de la figura anterior en el instante 1 t está en P1 con una velocidad 1 v y en el instante t t t Δ + = 1 2 está en P2 con una velocidad 2 v . Por definición el vector aceleración media de la partícula entre los instantes es 1 t y 2 t es t v t t v v am Δ Δ = − − = → → → → 1 2 1 2 Las dimensiones de la aceleración son [ ] 2 − = LT a La unidad de la aceleración en el sistema SI está en metros / segundo por segundo: s m s s m 2 = Aceleración Instantánea o simplemente aceleración. Cuando 1 2 t t → o 0 → Δt llegaremos al valor de la aceleración en el instante 1 t . Este proceso para el límite se expresa matemáticamente como ( ) dt v d t v t t v v a t t t t → → → Δ → → → → = Δ Δ = − − = 0 1 2 1 2 lim lim 1 2 1 Como dt r d v → → = , tenemos: 2 2 dt r d dt r d dt d dt v d a → → → → = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = Es mejor evitar el uso de la palabra común “desaceleración.” Describa la aceleración simplemente como positiva o negativa. Observe que la aceleración negativa no significa necesariamente “bajar la velocidad”. Cuando la velocidad y la aceleración ambas tienen el mismo signo, el objeto aumenta su velocidad. Cuando la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos, el objeto disminuye su velocidad. Los gráficos de la figura siguiente ilustran el desplazamiento, la velocidad, y la aceleración para un objeto en movimiento. Ejemplo 10. Una partícula se mueve a lo largo de una línea curva ( ) ( ) ( ) ( )k t t j t i t t r t ˆ 2 ˆ 1 2 ˆ 2 3 2 − + − + + = → Encontrar: a) La velocidad para s 1 = t y para s 3 = t . b) La aceleración media entre s 1 = t y para s 3 = t . c) La aceleración y su magnitud para s 1 = t . Solución. a) Las ecuaciones paramétricas son: ( ) 1 2 + = t t x , ( ) 1 2 − = t t y , ( ) 2 3 2t t t z − = Las componentes de la velocidad son: 1 2 + = = t dt dx vx , 2 = = dt dy v y . t t dt dz vz 4 3 2 + = = La velocidad es: ( ) ( ) ( )k t t j i t v t ˆ 4 3 ˆ 2 ˆ 1 2 2 − + + + = → Para s 1 = t : ( ) k j i v ˆ ˆ 2 ˆ 3 1 − + = → Para s 3 = t . ( ) k j i v ˆ 15 ˆ 2 ˆ 7 3 + + = → b) La aceleración media entre s 1 = t y s 3 = t . ( ) ( ) 1 3 1 3 − − = Δ Δ = → → → → v v t v a m = ( ) ( ) ( ) 2 ˆ 1 15 ˆ 2 2 ˆ 3 7 k j i + + − + − k i am ˆ 8 ˆ 2 + = → www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 8 c) la aceleración instantánea es ( ) ( ) ( ) [ ] k t t j i t dt d dt v d a t ˆ 4 3 ˆ 2 ˆ 1 2 2 − + + + = = → → = ( )k t i ˆ 4 6 ˆ 2 − + para s t 1 = ( ) k i a ˆ 2 ˆ 2 1 + = → la magnitud de la aceleración es ( ) 2 2 2 s m 2 2 2 2 1 = + = a Ejemplo 11. Una persona que se asoma por la ventana de un edificio alto de oficinas observa lo que sospecha es un ovni. La persona registra la posición del objeto en función del tiempo y determina que está dada por ( ) ( )k t t j t i t r t ˆ 0 , 3 0 , 7 ˆ 0 , 10 ˆ 0 , 5 2 − + + − = → a) Obtenga los vectores de: desplazamiento, velocidad y aceleración del objeto en t = 5,0 s. b) ¿Hay algún tiempo en que la velocidad del objeto sea cero? c) ¿La aceleración del objeto es constante o cambia con el tiempo? Solución. a) El vector desplazamiento es: ( ) ( )k t t j t i t r t ˆ 0 , 3 0 , 7 ˆ 0 , 10 ˆ 0 , 5 2 − + + − = → El vector velocidad es la derivada del vector desplazamiento: [ ]k t j i dt t r d ˆ ) 0 , 3 ( 2 0 , 7 ˆ 0 , 10 ˆ 0 , 5 ) ( − + + − = → y el vector aceleración es la derivada del vector velocidad: k dt t r d ˆ 0 , 6 ) ( 2 2 − = → en t = 5,0 s: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]k j i r ˆ 5 0 , 3 5 0 , 7 ˆ 5 0 , 10 ˆ 5 0 , 5 2 5 − + + − = → = k j i ˆ 0 , 40 ˆ 0 , 50 ˆ 0 , 25 − + − k dt r d ˆ 0 , 6 ) 5 ( 2 2 − = → b) la velocidad en ambas direcciones x e y es constante y diferente de cero, luego la velocidad nunca puede ser cero c) La aceleración del objeto es constante, ya que t no aparece en el vector aceleración. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. Para que un movimiento sea rectilíneo uniforme su velocidad debe ser constante, es decir, que la aceleración sea siempre igual a cero. Estudio del Movimiento Como el movimiento es uniforme → → = v v m , y considerando que su trayectoria está en el eje x i t t x x i t x t r i v v ˆ ˆ ˆ 0 0 − − = Δ Δ = Δ Δ = = → → α tan 0 0 = − − = Δ Δ = t t x x t x v Diagrama velocidad-tiempo El gráfico velocidad-tiempo del movimiento uniforme es una recta paralela al eje del tiempo. De 0 0 t t x x v − − = ⇒ ( ) 0 0 t t v x x − + = Si el instante inicial 0 0 = t , tenemos vt x x + = 0 Diagrama espacio-tiempo El gráfico indica las posiciones instantáneas del móvil en cada instante MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO. Para que un movimiento sea rectilíneo uniformemente variado su aceleración debe ser constante y diferente de cero. Estudio del Movimiento Como la aceleración es constante, → → = a a m constante = Δ Δ = = t v dt dv a i t v t v i a a ˆ ˆ Δ Δ = Δ Δ = = → → 0 0 t t v v t v a − − = Δ Δ = ( ) 0 0 t t a v v − = − Si el tiempo inicial 0 0 = t at v v + = 0 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 9 Diagrama velocidad-tiempo α tan 0 0 = − − = Δ Δ = t t v v t v a La velocidad media: Si la posición en t 0 es i x r ˆ 0 0 = → y la posición en t es i x r ˆ = → , la velocidad media en este intervalo es 0 0 t t x x t x vm − − = Δ Δ = La posición. De lo anterior: ( ) 0 0 t t v x x m − = − y ( ) 0 0 t t v x x m − + = Por otra parte como la velocidad es una función lineal, la velocidad media m v es 2 0 v v vm + = y como ( ) 0 0 t t a v v − + = resulta ( ) [ ] 2 0 0 0 t t a v v vm − + + = = ( ) 2 0 0 t t a v − + finalmente ( ) ( ) 0 0 0 0 2 t t t t a v x x − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = ⇒ ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t a t t v x x − + − + = Si el tiempo inicial 0 0 = t 2 0 0 2 1 at t v x x + + = Diagrama espacio -tiempo Ejemplo 12. Demostrar que el área encerrada bajo la curva de la velocidad del diagrama velocidad-tiempo es igual al módulo del desplazamiento 0 x x x − = Δ . Solución. El área encerrada es igual al área de un trapecio cuyas bases son v b = 1 y 0 2 v b = con altura ( ) 0 t t h − = . ( )h b b 2 trapecio del Area 2 1 + = = ( )( ) 0 0 2 t t v v − + = ( ) ( )( ) 0 0 0 0 2 1 t t v v t t v − − + − Pero como ( ) ( ) 0 0 tan t t v v a − − = = α ⇒ ( ) ( ) 0 0 t t a v v − = − Luego ( ) ( ) 2 0 0 0 2 1 trapecio del Area t t a t t v − + − = Valor que precisamente corresponde al desplazamiento 0 x x x − = Δ . LA ECUACIÓN DE TORRICELLI. Podemos obtener una relación muy útil eliminando el tiempo como variable en la ecuación ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t a t t v x x − + − + = Como ( ) ( ) 0 0 t t v v a − − = ⇒ ( ) ( ) a v v t t 0 0 − = − www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 10 Sustituyendo ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 2 1 a v v a a v v v x x − + − + = De donde se puede despejar: ( ) 0 2 0 2 2 x x a v v − + = Conocida como la ecuación de Torricheli. Descripción del movimiento de una partícula con aceleración constante. Consideramos una aceleración constante 0 > a en el sentido positivo de la trayectoria. 1er Caso: La partícula tiene una velocidad inicial 0 0 ≥ v . La partícula se desplaza de P 0 al infinito con un sentido constante y aumentando su velocidad. Los diagramas aceleración-tiempo, velocidad-tiempo y espacio-tiempo correspondientes son los siguientes: constante 0 = a at v v + = 0 2 0 0 0 2 1 t a t v x x + + = 2do. Caso: La partícula tiene una velocidad inicial 0 0 < v . La partícula se desplaza de P 0 en sentido negativo con movimiento retardado (desacelerado) hasta detenerse en P 1 y cambia de sentido. A partir de ese instante la velocidad aumenta constantemente (acelerado) y se desplaza al infinito con un sentido constante. Los diagramas aceleración-tiempo, velocidad-tiempo y espacio-tiempo correspondientes son los siguientes: constante 0 = a at v v + = 0 2 0 0 0 2 1 t a t v x x + + = Ejemplo 13. Una tortuga camina en línea recta sobre lo que llamaremos eje x con la dirección positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición de la tortuga en función del tiempo es x(t) = 50,0 cm + (2,00 cm/s)t - (0,0625 cm/s2)t2 . a) Determine la velocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la tortuga. b) ¿En qué instante t la tortuga tiene velocidad cero? c) ¿Cuánto tiempo después de ponerse en marcha regresa la tortuga al punto de partida? d) ¿En qué instantes t la tortuga está a una distancia de 10,0 m de su punto de partida? ¿Que velocidad (magnitud y dirección) tiene la tortuga en cada uno de esos instantes? e) Dibuje las gráficas: x-t, vx-t y ax-t para el intervalo de t = 0 a t = 40,0 s. Solución. t dt dx vx ) s cm 125 , 0 ( s cm 00 , 2 2 − = = 2 s cm 125 , 0 − = = dt dv a x x a) En s cm 00 , 2 cm, 0 , 50 , 0 = = = x v x t , 2 s cm 125 , 0 − = x a . b) Hagamos vx = 0 y resolvamos para t: t = 16,0 s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 11 c) Hagamos x = 50,0 cm y resolvamos para t. Esto da: 0 = t y s 0 , 32 = t . La tortuga regresa al punto de partida después de 32,0 s. d) La tortuga está a 10,0 cm del punto de partida cuando x = 60,0 cm o x = 40,0 cm. Hagamos x = 60,0 cm y resolvamos para t: t = 6,20 s y t = 25,8 s En t = 6,20 s, vx = + 1,23 cm/s. En t = 25,8 s, vx = - 1,23 cm/s. Hagamos cm 0 , 40 = x y resolvamos para t : s 4 , 36 = t (la otra raíz de la ecuación cuadrática es negativa y por lo tanto sin significado físico). En t = 36,4 s, vx = - 2,55 cm/s. e) Ejemplo 14. Un móvil parte del reposo y de un punto A, con movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (a =10 cm/s2); tarda en recorrer una distancia BC = 105 cm un tiempo de 3 s, y, finalmente, llega al punto D (CD = 55 cm). Calcular: a) La velocidad del móvil en los puntos B, C y D. b) La distancia AB. c) El tiempo invertido en el recorrido AB y en el CD. d) El tiempo total en el recorrido AD. Solución. a) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ × + = + = 2 2 3 10 2 1 3 105 2 1 B B v at t v BC ⇒ vB =20 cm/s 50 30 20 = + = + = at v v B C cm/s ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + = + = 2 2 10 2 1 50 55 2 1 t t at t v CD C ⇒ t2 +10t -11 = 0 ⇒ t = 1 s 60 10 50 = + = + = at v v C D cm/s b) aAB vB 2 = ⇒ cm 20 20 400 2 2 = = = a v AB B c) ⎭ ⎬ ⎫ = = t at vB 10 20 ⇒ 2 10 20 = = t s d) Será la suma de los tiempos parciales: t = 2 + 3 +1 = 6 s MOVIMIENTO VERTICAL CON ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD. La variación de la magnitud de la aceleración φ g debido a la gravedad en la superficie de la tierra con la latitud está dada por la fórmula internacional de la gravedad adoptada en 1930 por el Congreso Geofísico Internacional: φ g = 978,049000 (1 + 0,0052884 sen 2 φ - 0,0000059 sen 2 2φ ) g en cm/s 2 , φ en grados Donde φ es la latitud de la tierra medida en el ecuador Para φ = 0º (ecuador), 0 g = 978,0490 Para φ = 90º (polos), 90 g = 983,2213 La variación de la aceleración gravitacional con la altura sobre el nivel del mar es aproximadamente h g g 000002860 , 0 − = φ h en metros y φ g en m/s 2 Donde h ≤ 40 000 m Cerca de la superficie de la tierra la magnitud de la aceleración debido a la gravedad varía muy poco con la altura y en los cálculos técnicos ordinarios se toma g = 9,81 m/s2 (dirigido verticalmente hacia abajo). Un cuerpo que se deja caer está sometido a la aceleración de la gravedad y su movimiento corresponde a un movimiento rectilíneo uniformemente variado en el eje vertical perpendicular a la tierra, 2 0 0 2 1 at t v y y + + = at v v + = 0 g a − = a) Caída libre www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 12 Si se deja caer un cuerpo desde una altura h sobre el nivel del piso y consideramos despreciable la resistencia del aire. En este caso h y = 0 , 0 0 = v , luego: 2 2 1 gt h y − = gt v − = g a − = El cuerpo toca tierra cuando y = 0 Luego 0 2 1 2 = − gt h ⇒ g h t 2 = y la velocidad es gh v 2 = b) Lanzamiento hacia arriba Si el mismo cuerpo desde la misma altura h se lanza hacia arriba con velocidad 0 v , se mueve con un movimiento rectilíneo uniformemente retardado (desacelerado). 2 0 2 1 gt t v h y − + + = gt v v − = 0 g a − = El cuerpo sube hasta que alcanza la altura máxima m y . Esta corresponde a cuando la velocidad disminuye a cero. 0 0 = −gt v ⇒ g v tm 0 = De aquí 2 0 0 0 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = g v g g v v h ym = 2 2 0 v h + Cuando el cuerpo pasa por el punto de lanzamiento h y = 2 0 2 1 gt t v h h − + + = ⇒ g v tP 0 2 = y por supuesto 0 = P t , que corresponde al tiempo inicial. Observamos que m P t t 2 = La velocidad es 0 0 0 0 0 2 2 v v v g v g v vP − = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = Finalmente toca piso cuando 0 = y 0 2 1 2 0 = − + gt t v h ⇒ 0 2 2 0 2 = − − g h t g v t cuya solución es g h v g v t 2 2 0 0 + ± = toca el piso al tiempo g h v g v t 2 2 0 0 + + = con una velocidad gh v v 2 2 0 + − = c) Lanzamiento hacia abajo Si el mismo cuerpo desde la misma altura h se lanza hacia abajo con una velocidad 0 v , el cuerpo se mueve en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. 2 0 2 1 gt t v h y − − = gt v v − − = 0 g a − = El cuerpo alcanza el piso cuando 0 = y . 0 2 1 2 0 = − − gt t v h ⇒ 0 2 2 0 2 = − + g h t g v t cuya solución es g h v g v t 2 2 0 0 + ± − = toca el piso al tiempo g h v g v t 2 2 0 0 + + − = con una velocidad www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 13 gh v v 2 2 0 + − = Ejemplo 15. Desde lo alto de un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una rapidez de 12,5 m/s. La pelota llega a tierra 4,25 s, después. Determine: a) La altura que alcanzó la pelota respecto del edificio. b) La rapidez de la pelota al llegar al suelo. Solución. La altura en función del tiempo será 2 0 2 1 gt t v h y − + = Con g = 10m/s2, v0 = 12,5 m/s y = h + 12,5t - 5t2 a) Al tiempo t = 4,25 s, y = 0, luego: h + 12,5(4,25) - 5(4,25)2 = 0, ⇒h = 37,19 m b) vy = 12,5 - 10t = 12,5 - 10(4,25) = -30,0 m/s Ejemplo 16. Se deja caer un cuerpo desde una altura de y0 = 33 m, y simultáneamente se lanza hacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de 1 m/s. Encontrar el instante en que la distancia entre ellos es de 18 m. Solución. y1 = 33 - 5t2 y2 = 33 - t - 5t2 y1 - y2 = t Entonces la distancia entre ellos es 18m a los 18 s Ejemplo 17. Un cuerpo que cae, recorre en el último segundo 68,3 m. Encontrar La altura desde donde cae. Solución. Suponiendo que se soltó del reposo y = h - 5t2 El tiempo en que llega al suelo es 5 h t = La distancia recorrida en el último segundo será ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 5 1 5 h y h y = 2 2 1 5 5 5 5 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ h h = 68,2 ⇒h = 268,6 m Ejemplo 18. Desde lo alto de un acantilado, se deja caer una piedra, desde la misma altura se lanza una segunda piedra 2 s más tarde con una rapidez de 30 m/s. Si ambas golpean el piso simultáneamente. Encuentre: La altura del acantilado. Solución. y1 = h - 5t2 y2 = h - 30(t - 2) - 5(t - 2)2 Siendo al mismo tiempo y1 = h - 5t2 = 0 y2 = h - 30(t - 2) - 5(t - 2)2 = 0 De aquí t = 4 s; h = 80m Ejemplo 19. Desde el piso, se lanza hacia arriba una pelota con una rapidez de 40 m/s. Calcule: a) El tiempo transcurrido entre los dos instantes en que su velocidad tiene una magnitud de 2,5 m/s. b) La distancia respecto al piso que se encuentra la pelota en ese instante. Solución. ) 2 ( ) 1 ( 2 1 0 2 0 gt v v gt t v y y − = − = a) De la ecuación (2): 5 , 2 5 , 2 2 0 1 0 − = − = = − = gt v v gt v v y y Restando obtenemos: s g t t t 5 , 0 5 1 2 = = − = Δ b) De la ecuación (2): 5 , 2 40 5 , 2 1 1 0 = − = − = gt gt v vy ⇒ 8 , 9 5 , 37 1 = t = 3,83 s. Con t1 en (1): ( ) ( ) 2 83 , 3 2 1 83 , 3 40 g h − = = 81,41 m. Con t2 se obtiene la misma altura, porque es cuando la pelota está de bajada. Ejemplo 20. Una roca cae libremente recorriendo la segunda mitad de la distancia de caída en 3(s). Encuentre a) la altura desde la cual se soltó. b) El tiempo total de caída. Solución. 2 2 1 gt h y − = El tiempo en que alcanza h/2 es g h t = 1 y el tiempo en que h = 0 es g h t 2 2 = a) por lo tanto el tiempo empleado en la segunda parte de recorrido es 3 2 = − g h g h ⇒ h = 524,6 m b) 5 6 , 524 2 = = g h t = 10,2 s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 14 Ejemplo 21. Se deja caer una piedra desde un globo que asciende con una velocidad de 3 m/s; si llega al suelo a los 3 s, calcular: a) Altura a que se encontraba el globo cuando se soltó la piedra. b) Distancia globo-piedra a los 2 s del lanzamiento. Solución. Tomaremos el origen de coordenadas en el punto en que se suelta la piedra. Magnitudes positivas son las que tienen direcci6n hacia arriba. a) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ≈ = s 3 m/s 10 m/s 3 2 0 t g v 2 10 2 1 3 t t h y − + = Cuando la piedra toca suelo, y = 0 Luego ( ) ( ) 2 3 10 2 1 3 3 − = h = 36 m b) t’ = 2 s. h1: distancia al origen del globo en t'. h2: distancia al origen de la piedra en t'. ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − × − × = + = = × = = m gt t v h m t v h 14 40 10 2 1 2 3 ' 2 1 ' 6 2 3 ' 2 0 2 0 1 ⇒ d = 6 + 14 = 20 m Ejemplo 22. La cabina de un ascensor de altura 3 m asciende con una aceleración de 1 m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lámpara en chocar con el suelo del ascensor. Solución. Primer método: En el instante en que empieza a caer el cuerpo el ascensor lleva una velocidad vertical hacia arriba v. El espacio vertical y hacia abajo que debe recorrer la lámpara es: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 2 1 at vt h (h = altura del ascensor) y (vt + at2/2) ascenso del suelo de éste. La lámpara al desprenderse lleva una velocidad inicial hacia arriba v. Aplicando la ecuación: 2 2 1 at vt s + = Siendo positivas las magnitudes hacia arriba y negativas las descendentes, tendremos: 2 2 2 1 2 1 gt vt at vt h − = + + − ⇒ 1 8 , 9 3 2 2 + × = + = a g h t = 0,74 s Segundo método: La aceleración de la lámpara respecto al ascensor, considerando magnitudes positivas hacia abajo, es: aBA = aB - aA = 9,8 – (-1) = 10, 8 m/s2 2 2 1 t a h BA = ⇒ 8 , 10 3 2 2 × = = BA a h t = 0,74 s Ejemplo 23. Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s de la parte alta de una torre que tiene una altura de 50 m. En su vuelta pasa rozando la torre y finalmente toca la tierra. a) ¿Qué tiempo 1 t transcurre a partir del instante en que la bola fue lanzada hasta que pasa por el borde de la torre? ¿Qué velocidad v1 tiene en este tiempo? b) ¿Qué tiempo total 2 t se requiere para que la bola llegue al piso? ¿Cuál es la velocidad 2 v , con la que toca el piso? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 15 c) ¿Cuál es la máxima altura sobre el suelo alcanzada por la bola? d) Los puntos P1 y P2 están a 15 y 30 m, respectivamente, por debajo del techo de la torre. ¿Qué tiempo se requiere para que la bola viaje de P1 a P2? e) ¿Se desea que después de pasar el borde, la bola alcance la tierra en 3s, ¿con qué velocidad se debe lanzar hacia arriba de la azotea? Solución. a) Para el sistema de coordenadas mostrado en la figura, 2 0 2 1 at t v y + = . Pero en el borde del techo y = 0, luego 2 1 1 0 2 1 0 at t v + = , De la cual t1 = 0, indica el instante en el cual la bola es lanzada, y también t1 = 4,08 s, la cual es el tiempo en que la bola retorna al borde. Luego, de at v v + = 0 ( )( ) s / m 20 08 , 4 8 , 9 20 1 − = − + = v , que es el negativo de la velocidad inicial. b) ( ) 2 2 2 8 , 9 2 1 20 50 t t − + = − ⇒ s 8 , 5 2 = t ( )( ) s / m 37 8 , 5 8 , 9 20 2 − = − + = v c) Máxima altura sobre tierra: 50 max + = y h . De 0 2 max 2 0 = + ay v , ⇒ ( ) ( ) m 4 , 20 8 , 9 2 20 2 max = − − = y Luego, h = 70,4 m. d) Si t1 y t2 son los tiempos para alcanzar P1 y P2, respectivamente, 2 1 1 9 , 4 20 15 t t − = − y 2 2 2 9 , 4 20 30 t t − = − Resolviendo, t1 = 4,723 s, t2 = 5,248 s, y el tiempo de P1 a P2 es (t2 - tl) = 0,525 s. e) Si v0 es la velocidad inicial deseada, entonces –v0 es la velocidad cuando pasa el borde. Luego aplicando 2 0 2 1 at t v y + = al viaje hacia abajo de la torre, encontramos: -50 = (- v0)(3) – 4,9(3)2, ⇒ v0 = 1,96 m/s. Ejemplo 24. Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasa frente a la ventana de abajo. Se puede despreciar la resistencia del aire. La maceta tarda 0,420 s en pasar por esta ventana, cuya altura es de 1,90 m. ¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó la maceta está el borde superior de la ventana de abajo? Solución. Si la velocidad de la maceta en la parte superior de la ventana es 0 v , podemos encontrarla en función de la altura h de la ventana y el tiempo que tarda en pasarla:: 2 0 2 1 gt t v h + = ⇒ t gt h v 2 2 2 0 − = Luego: ( ) ( )( ) ( ) 42 , 0 2 42 , 0 8 , 9 90 , 1 2 2 0 − = v = s m 47 , 2 La distancia y desde la azotea al borde superior de la ventana es: ( ) m 311 , 0 8 , 9 2 47 , 2 2 2 2 0 = = = g v y Otra forma de encontrar la distancia es: como t = 0,420 s es la diferencia entre los tiempos tomados en caer la las alturas ( ) h y + e y , tenemos g y g h y t 2 ) ( 2 − + = ⇒ h y y gt + = + 2 2 Elevando al cuadrado: h y y gyt gt + = + + 2 2 2 2 ⇒ h gyt gt = + 2 2 2 2 Resolviendo para : y 2 2 2 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = t gt h g y Con los datos ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 42 , 0 2 42 , 0 8 , 9 9 , 1 2 8 , 9 2 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = y = m 311 , 0 Ejemplo 25. Malabarismo. Un malabarista actúa en un recinto cuyo cielorraso está 3,0 m arriba del nivel de las manos. Lanza una pelota hacia arriba de modo que apenas llega al techo. a) ¿Qué velocidad inicial tiene la pelota? b) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al techo? En el instante en que la primera pelota está en el cielorraso, el malabarista lanza una segunda pelota hacia arriba con dos terceras parte de la velocidad inicial de la primera. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 16 c) ¿Cuánto tiempo después de lanzada la segunda pelota se cruzan las dos pelotas en el aire? d) ¿A qué altura sobre la mano del malabarista se cruzan las dos pelotas Solución. a) Tomemos el sentido positivo hacia arriba. Tenemos que ( ) 0 2 0 2 2 y y g v v y y − − = En el cielorraso, 0 = y v , m 0 , 3 0 = −y y . Luego: ( )( ) 3 8 , 9 2 0 2 0 − = y v ⇒ . s m 7 , 7 0 = y v b) También tenemos: gt v v y y − = 0 = t 8 , 9 7 , 7 0 − = ⇒ s 78 , 0 = t . c) Tomemos el sentido positivo hacia abajo. La primera bola viaja hacia abajo una distancia d en el tiempo t . Como comienza desde su máxima altura, . 0 0 = y v 2 2 1 0 gt t v d y + = ⇒ 2 2) s m 9 , 4 ( t d = La segunda bola tiene s m 1 , 5 s) m 7 , 7 ( ' 3 1 0 = = y v . En el tiempo t habrá viajado hacia arriba ( ) d − m 0 , 3 y estará en el mismo lugar que la primera bola. ( ) 2 2 1 0 ' 3 gt t v d y − = − ( ) 2 9 , 4 1 , 5 3 t t d − = − Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviéndolas obtenemos: s 59 , 0 = t y m. 7 , 1 = d d) m 3 , 1 m 0 , 3 = −d Ejemplo 26. Una manzana cae libremente de un árbol, estando originalmente en reposo a una altura H sobre un césped crecido cuyas hojas miden h. Cuando la manzana llega al césped, se frena con razón constante de modo que su rapidez es 0 al llegar al suelo, a) Obtenga la rapidez de la manzana justo antes de tocar el césped. b) Obtenga la aceleración de la manzana ya dentro del césped. c) Dibuje las gráficas: v-t y a-t para el movimiento de la manzana. Solución. a) La rapidez de un objeto que cae una distancia H en caída libre una distancia h H − es: ). ( 2 h H g v − = b) La aceleración para llevar a un objeto desde la rapidez v al reposo sobre una distancia h es: . 1 2 ) ( 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = = h H g h h H g h v a c) Ejemplo 27. En el salto vertical, un atleta se agazapa y salta hacia arriba tratando de alcanzar la mayor altura posible. Ni los campeones pasan mucho más de 1,00 s en el aire (“tiempo de suspensión”). Trate al atleta como partícula y sea máx y su altura máxima sobre el suelo. Para explicar por qué parece estar suspendido en el aire, calcule la razón del tiempo que está sobre 2 / máx y al tiempo que tarda en llegar del suelo a esa altura. Desprecie la resistencia del aire. Solución. El tiempo al caer para alcanzar máx y es: g y t máx 2 1 = = s 1 . El tiempo al caer para alcanzar 2 / máx y es: s 2 1 2 2 / 2 1 2 = = = = t g y g y t máx máx . El tiempo debajo de 2 / máx y es 2 1 1− , de tal manera que la razón entre el tiempo que está sobre la mitad de la altura máxima y el tiempo que está por debajo de la altura máxima es. . 4 , 2 1 2 1 2 / 1 1 2 / 1 = − = − Esto explica porque el atleta parece estar suspendido en el aire. Ejemplo 28. Un excursionista despierto ve caer un peñasco desde un risco lejano y observa que tarda 1,30 s en caer el último tercio de la distancia. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué altura (en m) tiene el risco? b) Si en (a) obtiene dos soluciones de una ecuación cuadrática y usa una para su respuesta, ¿qué representa la otra? Solución. a) Sea h la altura y toma un tiempo t en caer: 2 2 1 gt h = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 17 Si tarda 1,30 s en caer el último tercio h : 2 2 1 3 2 ) 3 , 1 ( − = t g h Eliminando h de estas dos ecuaciones obtenemos: 2 2 1 2 3 1 ) 3 , 1 ( − = t g gt 0 07 , 5 8 , 7 2 = + − t t Resolviendo 18 , 3 9 , 3 ± = t ⎩ ⎨ ⎧ = = s t s t 73 , 0 08 , 7 2 1 La primera es la solución correcta porque es mayor que 1,30 s, ( )( ) m 6 , 245 08 , 7 8 , 9 2 2 1 = = h b) Con la segunda solución para t encontramos h = 2,6 m. Esto correspondería a un objeto que estaba inicialmente cerca del fondo de este "acantilado" que era lanzado hacia arriba y tomando 1,30 s la subida a la cima y la caída al fondo. Aunque físicamente es posible, las condiciones del problema imposibilitan esta respuesta. Ejemplo 29. Desde la cornisa de un edificio de 60 m de alto se lanza verticalmente hacia abajo un proyectil con una velocidad de 10 m/s. Calcular: a) Velocidad con que llega al suelo. b) Tiempo que tarda en llegar al suelo. c) Velocidad cuando se encuentra en la mitad de su recorrido. d) Tiempo que tarda en alcanzar la velocidad del apartado c). Solución. Tomamos corno origen de coordenadas el punto de lanzamiento y como sentido positivo el del eje vertical descendente. Las ecuaciones de este movimiento serán: 2 0 0 2 1 gt t v s gt v v + = + = 2 0 m/s 10 m/s 10 ≈ = g v a) y b) h = 60 m 2 10 2 1 10 60 10 10 t t t v + = + = ⇒ m/s 36 s 6 , 2 = = v t c) y d) h’ = 30 m 2 ' 10 2 1 ' 10 30 ' 10 10 ' t t t v + = + = ⇒ m/s 5 , 26 ' s 65 , 1 ' = = v t Ejemplo 30. Una piedra que cae libremente pasa a las 10 horas frente a un observador situado a 300 m sobre el suelo, y a las 10 horas 2 segundos frente a un observador situado a 200 m sobre el suelo. Se pide calcular: a) La altura desde la que cae. b) En qué momento llegará al suelo. c) La velocidad con que llegará al suelo. Solución. m h m h m h 100 200 300 3 2 1 = = = 2 1 m/s 10 s 2 ≈ = g t a) 4 2 2 2 4 2 2 4 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 2 10 2 2 4 10 2 1 2 100 2 1 2 10 h h H v h g v h v gt t v h v v gt v v + = × = ⇒ = × + = ⇒ + = × + = ⇒ + = De aquí se obtiene ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = m 180 m/s 60 m/s 40 4 2 1 h v v , Finalmente m 380 180 200 = + = H b) Llamando t2 al tiempo que tarda en recorrer hl: 2 2 2 1 1 2 1 gt t v h + = ⇒ 2 2 2 10 2 1 40 300 t t + = ⇒ s t 5 2 = Luego llega al suelo a las 10 horas 5 segundos c) gH v 2 = = 380 10 2 × × = 87 m/s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 18 PROBLEMA INVERSO - CÁLCULO INTEGRAL Conociendo la ley del movimiento ( ) t x x = es posible sin mayores dificultades calcular ( ) t v y ( ) t a tal como fue mostrado ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dt t x d dt t dv t a dt t dx t v t x = = ⇒ = ⇒ Como hemos visto, el cálculo diferencial proporciona la herramienta para determinar la velocidad y aceleración en cualquier instante del tiempo. En esta sección veremos cómo el cálculo integral, que es el inverso del cálculo diferencial, puede utilizarse para deducir las fórmulas que ya hemos visto. Por ejemplo, hallar la posición de una partícula en un instante cualquiera, dado su velocidad inicial y su aceleración conocida. Ya hemos demostramos que el área encerrada bajo la curva de la velocidad del diagrama velocidad-tiempo es igual al desplazamiento. ( ) ( ) 2 0 0 0 2 1 trapecio del Area t t a t t v − + − = ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t a t t v x x − + − = − En el caso de un movimiento con velocidad constante el desplazamiento entre los tiempos t y 0 t es ( ) 0 0 0 t t v x x − = − o ( ) 0 0 t t v x − = Δ Para un movimiento cualquiera con aceleración variable el diagrama velocidad-tiempo será el mostrado en la figura siguiente Si descomponemos el tiempo total desde 0 t hasta t en segmentos pequeños t Δ , entonces cada tramo vertical que baja desde la curva de velocidades hasta el eje de absisas tiene un área t v A mΔ = Δ Donde m v es la velocidad media del intervalo. Esta área corresponde al desplazamiento en ese intervalo que como se puede observar el área faltante se complementa con el excedente del otro lado. El desplazamiento total para el intervalo ( ) 0 t t − es la suma de todas las áreas de todos los rectángulos de tal modo que: ( ) t t v x i i m Δ = Δ ∑ La regla para los tiempos es que t t t i i Δ + = +1 . La distancia que obtenemos con este método no será la correcta porque la velocidad cambia durante el tiempo del intervalo t Δ . Si tomamos los intervalos muy pequeños la suma tiene mayor precisión. Así es que los hacemos tan pequeños a fin de tener una buena aproximación. Obtendremos la distancia real en el límite: ( ) t t v x i i Δ = Δ ∑ → Δ 0 t lim Obsérvese que hemos reemplazado la velocidad promedio m v por la velocidad instantánea v , porque en el límite esta aproximación es válida. Los matemáticos han inventado un símbolo para este límite, análogo al símbolo para la diferencial. El símbolo Δ se convierte en d , ( ) i t v se llama ( ) t v y el símbolo sumatoria ∑ se escribe como una "s” grande ∫ la cual se conoce el signo integral Luego escribimos ( )dt t v x t t ∫ = Δ 0 El proceso de integración es el inverso del proceso de derivación. Con un diferencial obtenemos una fórmula integral si la invertimos. Ejemplo 31. Encontrar la velocidad de un móvil a partir de la aceleración. Solución. dt dv a = ⇒ adt dv = ⇒ ∫ ∫ = t t v v adt dv 0 0 = ∫ t t dt a 0 Integrando obtenemos ( ) 0 0 t t a v v − = − ⇒ ( ) 0 0 t t a v v − + = Para encontrar la posición dt dx v = ⇒ vdt dx = ⇒ ∫ ∫ = t t x x vdt dx 0 0 ⇒ ( ) [ ] ∫ ∫ − + = t t x x dt t t a v dx 0 0 0 0 Integrando obtenemos ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t a t t v x x − + − = − ⇒ ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t a t t v x x − + − + = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 19 También se puede encontrar la ecuación del movimiento expresando la integral de la siguiente manera: 1 C adt v + = ∫ , 2 C vdt x + = ∫ Los valores de 1 C y 2 C dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Pequeña Tabla de Integrales ∫ = x dx ( ) 1 1 1 − ≠ + = ∫ + n n x dx x n n x x dx ln = ∫ a e dx e ax ax = ∫ ( ) ( ) a ax ax cos sen = ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ + = + vdx udx dx v u Ejemplo 32. Encontrar las ecuaciones del movimiento para una partícula que se mueve con aceleración constante i a a ˆ = → y que para el tiempo inicial 0 t se encontraba en i x r ˆ 0 0 = → y tenía una velocidad inicial i v v ˆ 0 0 = → . Solución. El movimiento es en el eje x . La aceleración es dt dv a = La velocidad se puede encontrar en términos de una integral como 1 C adt v + = ∫ ⇒ 1 C at v + = Como para 0 t t = se tiene 0 v v = , tenemos 1 0 0 C at v + = ⇒ 0 0 1 at v C − = Reemplazando el valor de 1 C obtendremos la ecuación de la velocidad: ( ) 0 0 t t a v v − + = Ahora consideremos la definición de la velocidad dt dx v = También se puede escribir en forma integral 2 C vdt x + = ∫ Reemplazando el valor de v : ( ) [ ] 2 0 0 C dt t t a v x + − + = ∫ Integrando: 2 0 2 0 2 1 C t at at t v x + − + = Como para 0 t t = se tiene 0 x x = , tenemos 2 2 0 2 0 0 0 0 2 1 C at at t v x + − + = ⇒ 2 0 0 0 0 2 2 1 at t v x C + − = Reemplazando el valor de 2 C obtenemos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − + = 2 0 0 0 0 0 2 0 2 1 2 1 at t v x t at at t v x ⇒ ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t a t t v x x − + − + = Ejemplo 33. La aceleración de una motocicleta está dada por ( ) 2 12 , 0 5 , 1 t t t a − = , con t en s m/s3. La moto está en reposo en el origen en t = 0. a) Obtenga su posición y velocidad en función de t. b) Calcule la velocidad máxima que alcanza. Solución. a) Para encontrar ( ) t v . dt dv a = ⇒ adt dv = = ( )dt t t 2 12 , 0 5 , 1 − Integrando con 0 0 = v y 0 0 = t : ( ) 3 2 0 2 40 , 0 75 , 0 12 , 0 5 , 1 t t dt t t v t − = − = ∫ Para encontrar ( ) t x . 3 2 40 , 0 75 , 0 t t dt dx v − = = ⇒ ( )dt t t dx 3 2 40 , 0 75 , 0 − = Integrando con 0 0 = x y 0 0 = t : ( ) 4 3 0 3 2 10 , 0 25 , 0 40 , 0 75 , 0 t t dt t t x t − = − = ∫ b) Para que la velocidad sea máxima la aceleración debe ser cero, ( ) 0 12 , 0 5 , 1 2 = − = t t t a ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = s t t 5 , 12 12 , 0 5 , 1 0 Para t = 0 la velocidad es mínima Para t = 12,5 la velocidad ( ) ( ) m/s 1 , 39 5 , 12 40 , 0 5 , 12 75 , 0 3 2 = − = v Ejemplo 34. Salto volador de la pulga. Una película tomada a alta velocidad por M. Rothschild, Y. Schlein. K. Parker, C. Neville y S. Sternberg (3500 cuadros por segundo, “The Flying Leap of the Flea”, en el ScientificAmerican de noviembre de 1973) de una pulga saltarina de 210 μg produjo los www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 20 datos que se usaron para dibujar la gráfica de la figura. La pulga tenía una longitud aproximada de 2 mm y saltó con un ángulo de despegue casi vertical. Use la gráfica para contestar estas preguntas. a) ¿La aceleración de la pulga es cero en algún momento? Si lo es, ¿cuándo? Justifique su respuesta. b) Calcule la altura máxima que la pulga alcanzó en los primeros 2,5 ms. c) Determine la aceleración de la pulga a los: 0,5 ms, 1,0 ms y 1,5 ms. d) Calcule la altura de la pulga a los: 0,5 ms, 1,0 ms y 1,5 ms. Solución. a) Pendiente de 0 = a para ms 3 , 1 ≥ t b) La altura máxima corresponde al recorrido hasta cuando la aceleración se hace cero y llega al tiempo t = 2,5 ms, y es el área bajo la curva v versus t. (Dibujado aproximándolo a Un triángulo y un rectángulo). ) ( bajo área max t v h − = Rectángulo Triángulo A A + ≈ ( ) [ ] 3 10 ) 133 )( ,3 1 ,5 2 ( 133 ) ,3 1 ( 2 1 − − + ≈ cm 25 , 0 ≈ c) a = pendiente del gráfico v– t. ) ms 0 , 1 ( ) ms 5 , 0 ( a a ≈ 2 5 3 -s cm 10 0 , 1 10 3 , 1 133 × = × ≈ 0 ) ms 5 , 1 ( = a porque la pendiente es cero. d) h = área bajo el gráfico v– t. Triángulo ) 5 , 0 ( A h ≈ ( ) 33 ) 10 ,5 0 ( 2 1 3 -× = cm 10 3 , 8 3 − × = Triángulo ) ,0 1 ( A h ≈ ) 100 )( 10 ,0 1 ( 2 1 3 -× = cm 10 0 , 5 2 − × = Rectángulo Triángulo ) ,5 1 ( A A h + ≈ ( ) ) 133 )( 10 ,2 0 ( 133 ) 10 ,3 1 ( 2 1 3 -3 -× + × = cm 0,11 = Ejemplo 35. La gráfica de la figura describe, en función del tiempo, la aceleración de una piedra que baja rodando por una ladera, habiendo partido del reposo. a) Determine el cambio de velocidad de la piedra entre t = 2,5 s y t = 7,5 s. b) Dibuje una gráfica de la velocidad de la piedra en función del tiempo. Solución. a) dt dv a = ⇒ adt dv = Como ( ) t a es la ecuación de la recta: 8 , 0 5 , 2 5 , 7 4 8 0 2 = − − = − − t a ⇒ 2 8 , 0 + = t a ( )dt t dv 2 8 , 0 + = Integrando: ( ) ∫ ∫ + = t t v v dt t dv 0 0 2 8 , 0 ⇒ ( ) ( ) 0 2 0 2 0 2 4 , 0 t t t t v v − + − = − Con s t 5 , 2 0 = , s t 5 , 7 = , y 0 v v v − = Δ : ( ) ( ) 5 , 2 5 , 7 2 5 , 2 5 , 7 4 , 0 2 2 − + − = Δv = s cm 30 Otra manera de encontrar el cambio de velocidad es encontrando el área bajo la curva a versus t, entre las líneas en s 5 , 2 = t y s. 5 , 7 = t El área es: s cm 30 ) 5 , 2 5 , 7 )( 8 4 ( 2 1 = − + Como la aceleración es positiva, el cambio de velocidad es positivo. b) Ejemplo 36. La velocidad de un punto que se mueve en trayectoria recta queda expresada, en el SI por la ecuación: v = 40 - 8t. Para t = 2 s, el punto dista del origen 80 m. Determinar: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 21 a) La expresión general de la distancia al origen. b) El espacio inicial. c) La aceleración. d) ¿En qué instante tiene el móvil velocidad nula? e) ¿Cuánto dista del origen en tal instante? f) Distancia al origen y espacio recorrido sobre la trayectoria a partir de t = 0, cuando t = 7 s, t = 10 s y t = 15 s. Solución. a) ( ) C t t dt t vdt s + − = − = = ∫ ∫ 2 4 40 8 40 ⇒ 2 0 4 40 t t s s − + = b) 80 = s0 + 80 - 16 ⇒ s0 = 16 c) 2 8 s m dt dv a − = = d) 0 = 40 - 8t ⇒ t =5 s e) s5 =16 + 40x5 - 4x52 = 116 m f) s7 =16 + 40x7 - 4x72 = 100 m sl0 =16 + 40x10 - 4x102 = 16 m s15 = 16 + 40x15 - 4x152 = -284 m Cálculo de caminos sobre la trayectoria a partir de t = 0: El móvil cambia el sentido de su velocidad para t = 5s El recorrido en los 5 primeros segundos es: C5 = s – s0 = 116 - 16 = 100 m A ellos hay que sumar el recorrido en los segundos restantes que se obtienen de la integral de la ecuación general de la velocidad, en valor absoluto, entre los limites t = 5 s y t = instante final. ( ) m 116 8 40 100 7 5 7 = − + = ∫ dt t C ( ) m 200 8 40 100 10 5 10 = − + = ∫ dt t C ( ) m 500 8 40 100 15 5 15 = − + = ∫ dt t C Representación gráfica de la distancia al origen en función del tiempo Representación gráfica de la velocidad origen en función del tiempo En la gráfica de la velocidad frente al tiempo, el área limitada por el eje de abscisas y la gráfica entre dos instantes coincide numéricamente con el camino recorrido por el móvil entre esos dos instantes. Ejemplo 37. El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por j t i t v ˆ 5) -(6 ˆ 2) -(3 2 + = → m/s. Si la posición del móvil en el instante t =1 s es j i r ˆ 2 ˆ 3 − = → m. Calcular a) El vector posición del móvil en cualquier instante. b) El vector aceleración. c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t = 2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante. Solución. a) Para el movimiento horizontal 2 -3t vx = ⇒ 2 s m 3 = = dt dv a x x Como dt dx vx = ⇒ dt v dx x = , integrando www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 22 ( )dt t dx t t ∫ ∫ − = 1 3 2 3 ⇒ m 2 7 2 2 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = t t x Para el movimiento vertical 5 -6t 2 = y v ⇒ 2 s m 12t dt dv a y y = = Como dt dy v y = ⇒ dt v dy y = , integrando ( ) dt t dy t t ∫ ∫ − = − 1 2 2 5 6 ⇒ ( )m 1 5 2 3 + − = t t y ( ) j ˆ 1 5 2t -i ˆ 2 7 2 2 3 r 3 2 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = → t t t b) j t i a ˆ 12 ˆ 3 + = → c) Para t = 2 s vx = 4 m/s, vy = 19 m/s ax = 3 m/s2, ay = 24 m/s2 2 2 2 s / m 2 , 24 = + = y x a a a 75 , 4 4 19 tan = = = x y v v ϕ ⇒ o 78 = ϕ 3 3 24 tan = = = x y a a θ ⇒ o 83 = θ ( ) 2 m/s 1 , 24 cos = − = ϕ θ a at ( ) 2 m/s 2 sen = − = ϕ θ a an CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS LIGADAS. MOVIMIENTOS DEPENDIENTES. Observemos los sistemas físicos de la figura. Podríamos decir que estos sistemas se componen de varias partículas ligadas (conectadas). Las partículas podrían ser las poleas y los cuerpos a desplazar (bloques, baldes). La ligadura la tienen a través de las cuerdas. Es decir, cuando el hombre desplaza el extremo de la cuerda con una aceleración a, la aceleración de las poleas y los cuerpos a desplazar (bloques, baldes) tendrán una dependencia de a. Lo mismo se cumplirá para las otras variables cinemáticas (desplazamiento y velocidad). Ejemplo 38. Análisis del montaje de la figura siguiente. Para analizar las relaciones que hay entre las variables cinemáticas del bloque 1 m , del balde 2 m y de la polea móvil, debemos primero saber cuáles son sus posiciones. Para ello elegimos un sistema de coordenadas. En nuestro caso elegimos el eje y apuntando hacia abajo y con el origen en el techo. Para el sistema de coordenadas escogido las posiciones del bloque, del balde y de la polea son respectivamente: 1 y , 2 y , p y . Estas se representan en la figura siguiente. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 23 La longitud de la cuerda debe permanecer constante en todo instante. Por tanto debe ser siempre válida la siguiente relación: Longitud de la cuerda = constante AB + arco BC + CD +arco DE +EF = constante De la figura podemos concluir que las siguientes relaciones son válidas: p y = AB 2 CD c y p − = 2 1 EF c y − = Por tanto, ( ) 1 2 arcoDE arcoBC y c y y p p + + − + + = constante Como los arcos BC y DE permanecen constantes podremos escribir la relación anterior así: k y y p = + 1 2 (1) Siendo k una constante. Esta ecuación relaciona las variables cinemáticas de la polea móvil y del bloque. Si el bloque se desplaza una cantidad 1 y Δ y la polea en una cantidad p y Δ . La nueva posición de la polea: p p y y Δ + , La nueva posición del bloque: 1 1 y y Δ + . Sin embargo, la relación anterior debe seguir cumpliéndose: ( ) ( ) k y y y y p p = Δ + + Δ + 1 1 2 (2) Restando (1) de (2), obtenemos: 0 2 1 = Δ + Δ y y p 2 1 y y p Δ − = Δ Por ejemplo, si el bloque baja 1,0 m, la polea solo sube 0,50 m. La polea solo se desplaza la mitad de lo que se desplaza el bloque. Análogamente podríamos hacer un análisis para las aceleraciones, y concluiríamos que: 1 2 1 a a p − = Es decir, si el bloque por ejemplo, baja con una aceleración igual a 2,0 m/s2 , la polea subirá con una aceleración igual a 1,0 m/s2 . De esta figura también se deduce la siguiente relación entre la posición del balde y la posición de la polea móvil: 1 2 c y y p + = (3) Si el balde se desplaza una cantidad 2 y Δ , y la polea se desplaza una cantidad p y Δ . El balde pasa a ocupar la posición: 2 2 y y Δ + , La polea pasa a ocupar la posición p p y y Δ + . Sin embargo, la relación anterior se debe seguir cumpliéndose. ( ) ( ) 1 2 2 c y y y y p p + Δ + = Δ + (4) Restando (3) y (4) obtenemos, p y y Δ = Δ 2 Los desplazamientos de la polea y el balde son iguales. Si dividimos la ecuación anterior por el intervalo de tiempo t Δ obtenemos como se relacionan las velocidades: p v v = 2 . Las velocidades de la polea y del balde son iguales. Lo mismo podremos concluir para las aceleraciones: p a a = 2 En definitiva si el bloque baja con una aceleración igual a 4 m/s2, el balde y la polea móvil subirán con una aceleración igual a 2 m/s2. PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Un acelerador atómico emite partículas que se desplazan con una rapidez de 2,8x108 m/s. ¿cuánto demoran estas partículas en recorrer una distancia de 5,6mm? Respuesta 2x10-11 s. 2. Se desea calcular cuál es la profundidad de un lago, para tal efecto se usa un instrumento conocido como sonar que mide el tiempo que tarda un pulso sonoro en ir y volver desde la superficie del agua. Si se sabe que la rapidez del sonido en el agua es de 1450m/s y el instrumento marcó 0,042s cuando se hizo la medición, calcule la profundidad del lago. Respuesta. 30,45m 3. Una cucaracha se desplaza en línea recta y su posición con respecto al tiempo se expresa de acuerdo al siguiente gráfico. De acuerdo a la información dada se pide calcular. a) distancia recorrida entre 4s y 9 s b) distancia recorrida entre 9 s y 14s c) distancia recorrida entre 0 y 16s. d) velocidad media entre 0s y 16s. e) velocidad media entre 9s y 16s. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 24 Respuesta a) 4m b) 8m c) 22m d) 5/8 m/s e) 0 4. Un hombre camina con una velocidad → v constante pasa bajo un farol que cuelga a una altura H sobre el suelo. Encontrar la velocidad con la que el borde de la sombra de la cabeza del hombre se mueve sobre la tierra. El alto del hombre es h. Respuesta h H v H − → 5. Un tren arranca en una estación y acelera uniformemente a razón de 0,6 m/s 2 hasta alcanzar una velocidad de 24 m/s. Determinar el tiempo empleado y la distancia recorrida en ese período si la velocidad media fue: a) 16 m/s, b) 22m/s. Respuesta a) 60s, 960m, b) 240s, 5280m 6. Un ciclista recorre 100 km en 2 horas. El viaje de vuelta dos días más tarde lo realiza en el tiempo usual de 6 horas. a) ¿Cuál es su rapidez media a la ida? b) ¿Cuál es su rapidez media al regreso? c) ¿Su rapidez media en e¡ viaje completo? d) ¿Su velocidad media en e} viaje entero? Respuesta. a) 50 km/h , b) 16,7 km/h c) 25 km/h d) 0 7. Un automóvil que viaja con una velocidad de 50 km/h hacia el oeste repentinamente empieza a perder velocidad a un ritmo constante y 3 segundos más tarde su velocidad es de 25 km/h hacia el oeste. a) ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse el auto, contando a partir del momento en que empezó a desacelerar? b) ¿Cuál es la distancia total que recorrerá antes de detenerse? c) ¿Cuál sería el tiempo necesario para detenerse y la distancia recorrida el) la frenada con la misma aceleración, pero con una velocidad inicial de 100 km/h? Respuesta. a) t = 6s ; b) 41,7m ; c) 125; 125m 8. La aceleración de una partícula está dada por: 3 4 4 t t a − = , 0 ≥ t . a) Hallar la velocidad de la partícula en función del tiempo. b) Hallar su posición en función del tiempo. Respuesta a) 4 2 2 t t v − = ; b) 5 / 3 / 2 2 5 3 t t x − + = 9. El movimiento de una partícula se define mediante la relación 2 8 3 3 / 2 3 + + − = t t t x , donde x se expresa en metros y t en segundos. Determinar a) el momento en que la velocidad es nula; b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es nula. Respuesta a) 2s, 4s; b) 8m, 7,33m 10. El movimiento de una partícula está dado por la ecuación horaria 5 4 2 3 + + = t t x x sobre el eje x, x en metros t en segundos. a) Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t. b) Encontrar la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula para t 0 = 2s y t 1 = 3s. c) ¿Cuáles son la velocidad media y la aceleración media de la partícula entre t 1 0 y t ? Respuesta. a) v = (3t 2 + 8t)m/s , a = ( 6t + 8 ) m/s 2 b) 0 x = 29m, 0 v = 27 m/s, 0 a = 20 m/s 2 1 x = 68 m 1 v = 51 m/s, 1 a = 26 m/s 2 c) m v = 39 m/s , m a = 23 m/s 2 11. La posición de una partícula que se mueve en el eje x está dada por 8 t + 5, x es la distancia a origen en metros y t es el tiempo en segundos. a) Para t = 2, encontrar la posición, velocidad y aceleración b) Grafique x versus t c) Encuentre la ley horaria, la ley del movimiento y la trayectoria. d) Analizar el movimiento. Respuesta. a) x = -3, v = 0 , a = 4 b) 5 8 2 2 + − = t t s , ( )i t t r ˆ 5 8 2 2 + − = → Trayectoria rectilínea en el eje x. 12. Un automóvil se encuentra detenido frente a un semáforo, le dan luz verde y arranca de modo que a los 4s su rapidez es de 72 km/hora. Si se movió en trayectoria rectilínea, con aceleración constante, I.- Determine: a) La rapidez inicial en metros por segundo. b) El módulo de la aceleración en ese tramo. c) La rapidez que lleva a los 3s. d) La distancia que recorre en los tres primeros segundos e) La distancia que recorre entre t = 2s y t = 4s. II.- Haga un gráfico representativo de posición versus tiempo y de la rapidez versus tiempo. Respuesta. a) 20m/s b) 5 m/s2 c) 15m/s d) 22.45m e) 30m www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 25 13. Una partícula A, se mueve en el eje X, de acuerdo a la siguiente gráfica. Determinar a partir del gráfico de la partícula: a) Velocidad media entre t = 0 y t = 4 s b) Velocidad instantánea en t = 2 s c) Aceleración media entre t = 0 y t = 4 s d) Intervalos de tiempo en que se acerca al origen e) Intervalos de tiempo en que se aleja del origen f) Ecuación Itinerario de la partícula A g) ¿Qué tipo de movimiento tiene esta partícula? Respuesta. a) ( -8;0)m/s b) (-8;0)m/s c) 0 d) (0-3)s e)(3-....) f) ( ) t t x 8 24 − = g) Movimiento rectilíneo uniforme. 14. Un vehículo se mueve en el eje x de acuerdo con la siguiente ecuación de itinerario: ( ) 2 6 36 20 t t t x + − = . Con x medido en metros y t en segundos. a) Identifique a posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. b) Determine la ecuación que entregue la velocidad para cualquier instante. c) Determine el instante en que cambia de sentido d) La velocidad de la partícula en t = 2 s y en t = 4 s e) Posición de la partícula en t = 6 segundos f) Gráfico x versus t. Describa la curva g) Gráfico x v versus t. Describa la curva h) Gráfico a versus t. Describa la curva Respuesta. a) (20,0)m (-36,0)m/s (12,0)m/s2 b) ( ) t t v 12 36 + − = c)3s d) (-12,0)m/s (12,0)m/s e) (20,0)m 15. Se lanza un cuerpo hacia arriba con una rapidez de 16m/s, a) ¿Qué altura alcanza a subir? b) ¿Qué tiempo demora en volver al punto de partida? Respuesta. a) 3,2m b) 6,4s 16. Una partícula se mueve sobre una recta horizontal; parte hacia la derecha desde un punto A con una rapidez de 28 (m/s) y una retardación constante de módulo 12(m/s2). En el punto B, es donde se anula su rapidez, invierte el sentido de movimiento para retornar hacia A con una aceleración constante de módulo 6(m/s2). Calcular: a) La distancia total cubierta hasta que la partícula retorne al punto A. b) El tiempo total para el recorrido completo hasta volver a dicho punto A. c) El intervalo de tiempo que transcurre entre los pasos de la partícula por el punto situado a 1/3 de AB, medido desde A. 17. Desde una altura de 45m se deja caer un objeto A. simultáneamente se lanza un objeto B verticalmente desde una altura de 5m. Calcular: a) la velocidad inicial de B para que los objetos se crucen a una altura de 20m. b) la distancia que separa a los objetos cuando B alcanza su altura máxima. 18. Sobre un mismo eje x se mueven dos partículas A y B. En t = 0 la partícula A parte desde P con aceleración constate de i ˆ 15 (m/s2). Un segundo después, B pasa por Q con una velocidad de i ˆ 20 − (m/s). Encuentre las retardaciones constantes que deben aplicar A y B a partir de este último instante para que ambas partículas se detengan simultáneamente antes de chocar. 19. Una partícula se mueve a lo largo del eje x con aceleración constante. En t = 0 pasa por la posición i x ˆ 10 0 − = → m con una velocidad i v ˆ 20 0 − = → m/s y en t =3s su posición es i x ˆ 52 − = → m. Calcule: a) La ecuación itineraria de la partícula b) La distancia recorrida en el intervalo (3-6) s. c) La velocidad media en el intervalo (4-7) s. d) Intervalos de tiempo en que la partícula se aleja del origen del sistema. 20. Sobre el eje x de un sistema de coordenadas se mueven dos partículas A y B. El gráfico (a) es una parábola cuadrática que muestra la variación de la componente x de la posición en función del tiempo de la partícula A. El gráfico (b) muestra la variación de la componente x v de la velocidad en función del tiempo de la partícula B. Si en t = 0, ambas partículas tienen la misma posición, determinar: a) Ecuación horaria de las partículas A y B. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento rectilíneo Hugo Medina Guzmán 26 b) Posición de B cuando A cambia de sentido de movimiento. c) Instante en que se encuentran. d) Distancia recorrida por A y B entre 3 y 9 s. 21. En el gráfico de la figura están representadas la componente x v del vector velocidad de dos partículas, A y B, que se mueven a lo largo del eje x Calcular: a) La aceleración de B. b) Camino recorrido por A y B cuando B alcanza la velocidad i v B ˆ 30 = → m/s. c) Desplazamiento de B en el intervalo (0-10)s. d) Ecuación horaria de A si en t0 = 0 su posición es i x ˆ 8 0 = → m. 22. Dos partículas A y B se mueven sobre el mismo eje x. En t = 0, B pasa por Q con m/s ( ) ( ) 0 , 5 0 − = → B v m/s y 2s después A pasa por P a i ˆ 6 m/s. Encuentre las retardaciones constantes que deben aplicar A y B a partir de este último instante para que ambas partículas se detengan simultáneamente justo antes de chocar. Determine la ecuación itinerario de A y B (diga cuál es su origen). 23. Un cuerpo que se ha dejado caer desde cierta altura, recorre 72 m en el último segundo de su movimiento. Calcule la altura desde la cual cayó el cuerpo y el tiempo que empleó en llegar al suelo. 24. Un hombre parado en el techo de un edificio tira un cuerpo verticalmente hacia arriba con una rapidez de 14m/s. El cuerpo llega al suelo 4,7s más tarde. a) Cuál es la máxima altura alcanzada por el cuerpo? b) Qué altura tiene el edificio? c) Con qué rapidez llegará el cuerpo al suelo? 25. Un malabarista mantiene cinco bolas continuamente en el aire, lanzando cada una de ellas hasta una altura de 3m. a) ¿Cuál es el tiempo que debe transcurrir entre lanzamientos sucesivos? b) ¿Cuáles son las alturas de las otras pelotas en el momento en que una de ellas vuelve a su mano? Respuesta. a) 0,31s ; b) 1,91; 2,87; 2,87 y 1,91 m. 26. Dos cuerpos son lanzados uno después de otro con las mismas velocidades 0 v desde una torre alta. El primer cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba, y el segundo verticalmente hacia abajo después del tiempo τ . Determinar las velocidades de los cuerpos una con respecto al otro y las distancias entre ellos en el instante τ > t . Respuesta. La velocidad del primer cuerpo relativa al segundo es: τ g v v v − = − 0 2 1 2 . La distancia es 2 0 0 2 1 2 τ τ τ g gt v t v S + − − = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 1 CAPITULO 3. Movimiento en un plano y en el espacio MOVIMIENTO CIRCULAR Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Posición angular, θ En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo θ , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo θ , es el cociente entre la longitud del arco S y el radio de la circunferencia r, r S / = θ . La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones. Velocidad angular, ω En el instante 1 t el móvil se encontrará en la posición P1 dada por el ángulo 1 θ . El móvil se habrá desplazado 0 1 θ θ θ − = Δ en el intervalo de tiempo 0 1 t t t − = Δ comprendido entre 0 t y 1 t . Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo. t m Δ Δ = θ ω , con las unidades en el SI de rad/s. Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero. dt d t t θ θ ω = Δ Δ = → Δ 0 lim Aceleración angular, α Si en el instante t la velocidad angular del móvil es ω y en el instante 1 t la velocidad angular del móvil es 1 ω . La velocidad angular del móvil ha cambiado 0 1 ω ω ω − = Δ  en el intervalo de tiempo 0 1 t t t − = Δ comprendido entre 0 t y 1 t . Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio. t m Δ Δ = ω α La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero. dt d t t ω ω α = Δ Δ = → Δ 0 lim RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio ' ' r s r s = = θ Derivando s = rθ respecto del tiempo obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular dt d r dt ds θ = ⇒ ω r v = La dirección de la velocidad es 0Htangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial Aceleración tangencial Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial t a y la aceleración angular. dt d r dt dv ω = ⇒ α r at = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 2 Existe aceleración tangencial, siempre que el módulo de la velocidad cambie con el tiempo, es decir, en un movimiento circular no uniforme Hallar el desplazamiento angular a partir de la velocidad angular. Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento 0 θ θ − entre los instantes 0 t y t , mediante la integral definida. ∫ = − t t dt 0 0 ω θ θ Hallar el cambio de velocidad angular a partir de la aceleración angular. Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes 0 t y t , a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t . dt dθ ω = dt dω α = ∫ = − t t dt 0 0 ω θ θ ∫ = − t t dt 0 0 α ω ω MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. dt dθ ω = ⇒ dt d ω θ = La posición angular θ del móvil en el instante t podemos calcularla integrando ∫ ∫ = θ θ ω θ 0 0 t t dt d ( ) 0 0 t t − = − ω θ θ O gráficamente, en la representación de ω en función de t. Habitualmente, el instante inicial 0 t se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del 1Hmovimiento rectilíneo uniforme 0 = α constante = ω t 0 ω θ θ + = MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración α es constante. Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular 0 ω ω − entre los instantes 0 t y t , mediante integración de la velocidad angular ω en función del tiempo ( ) 0 0 t t − + = α ω ω . Siendo dt dθ ω = ⇒ dt d ω θ = , integrando obtenemos el desplazamiento 0 θ θ − del móvil entre los instantes 0 t y t : ( ) [ ] ∫ ∫ − + = t t dt t t d 0 0 0 0 α ω θ θ θ ⇒ ( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 1 t t t t − + − + = α ω θ θ Habitualmente, el instante inicial 0 t se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del 2Hmovimiento rectilíneo uniformemente acelerado. constante = α , t 0 α ω ω + = , 2 0 0 2 1 t t α ω θ θ + + = Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento 0 θ θ − . ( ) 0 2 0 2 2 θ θ α ω ω − + = COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN. Cuando el sistema de referencia se sitúa sobre la partícula tal como se indica en la figura, pero no de cualquier modo. Uno de los ejes siempre está perpendicular a su trayectoria, y el otro siempre es tangente a la misma. Así pues, El primero siempre pasará por el centro de la circunferencia. Al primer eje se le denomina eje normal, con vector unitario( ) n r ˆ ˆ = y al segundo eje tangencial, con vector unitario ( ) t ˆ . Debemos estudiar ahora que componentes tienen la velocidad y la aceleración en este sistema de referencia. Velocidad. Con anterioridad se ha deducido que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita. Por tanto es fácil afirmar que en este movimiento la velocidad será de la forma t v v ˆ = → Aceleración. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 3 No es tan obvio que la aceleración tenga una sola componente, de manera que adoptará la expresión general n a t a a n t ˆ ˆ + = → Sabemos por la definición de aceleración que dt v d a → → = , luego. dt t d v t dt dv dt t dv dt v d a ˆ ˆ ˆ + = = = → → Estudiemos el último término de esta expresión dt t dˆ Si se define el ángulo θ , como el ángulo formado por el eje normal con el eje de abscisas (eje x), tal como se muestra en la figura. No es difícil darse cuenta que el vector t ˆ desde el sistema de referencia situado en el centro de la circunferencia tendrá la forma j i t ˆ cos ˆ sen ˆ θ θ + − = , mientras que n ˆ al ser perpendicular a este adoptará la expresión j i n ˆ sen ˆ cos ˆ θ θ + = Derivando t ˆ ⇒ j dt d i dt d dt t d ˆ sen ˆ cos ˆ θ θ θ θ − − = ( ) j i dt d dt t d ˆ sen ˆ cos ˆ θ θ θ − − = Ahora bien, si tomamos un desplazamiento diminuto sobre la circunferencia, al que denominamos ds , teniendo en cuenta que arco = ángulo x radio, del esquema adjunto se deduce que θ Rd ds = , y además el módulo de la velocidad instantánea lo podemos expresar como dt ds v = , utilizando estos dos últimos llegamos a R v dt d = = ω θ , reemplazando en dt t dˆ : ( ) j i R v dt t d ˆ sen ˆ cos ˆ θ θ + − = , si observamos detenidamente esta ecuación, comprobaremos que el paréntesis es efectivamente n ˆ , por lo que dt t dˆ quedará como n R v n dt t d ˆ ˆ ˆ − = − = ω . Finalmente: n R v t dt dv a ˆ ˆ 2 − = → Así, en esta expresión, se denomina aceleración tangencial ( ) t a al término dt dv at = y aceleración normal ( ) n a a la ecuación R v an 2 − = De esta expresión para la aceleración pueden concluirse cosas sustancialmente importantes: Existen dos componentes: Una tangente a la trayectoria y una perpendicular y orientada hacia el centro de la circunferencia. La aceleración tangencial sólo se dará en aquellos movimientos en los que el módulo de la velocidad varíe con el tiempo. Por tanto, en el caso particular del MCU, su aceleración tangencial será nula. La aceleración normal siempre existirá, salvo que el radio de curvatura fuera muy grande, con lo cual tendería a cero, que es el caso extremo de los movimientos rectilíneos. Concluyendo pues, en un MCU, la aceleración tendrá la expresión n R v a ˆ 2 − = → es decir sólo presentará aceleración normal. Un objeto puede experimentar la aceleración normal o centrípeta y la aceleración tangencial. En las figuras siguientes se muestran algunas combinaciones posibles para v y a para un auto en movimiento. Para entender la aceleración, descompóngala en las componentes paralela y perpendicular a v . Para decir si el auto está dando vuelta a la derecha o a la izquierda, imagínese que usted es el conductor que se sienta con el vector de la velocidad dirigido hacia adelante de usted. Un componente de la aceleración hacia adelante significa que la velocidad está aumentando. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 4 Ejemplo 1. Un avión a chorro militar de combate volando a 180 m/s sale de una picada vertical dando la vuelta hacia arriba a lo largo de una trayectoria circular de 860 m de radio ¿cuál es la aceleración del avión? Exprese la aceleración como múltiplo de g. Solución. 2 2 2 7 , 37 860 180 s m r v a = = = g g a 8 , 3 8 , 9 7 , 37 = = Ejemplo 2. Una rueda de 75 cm de diámetro gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular de 1 rev/s. La aceleración es de 1,5 rev/s2. a) Calcúlese la velocidad angular al cabo de 6 segundos. b) ¿Cuánto habrá girado la rueda en ese tiempo? c) ¿Cuál es la velocidad tangencial en un punto de la periferia de la rueda en t = 6 s? d) ¿Cuál es la aceleración resultante de un punto de la de la periferia para t = 6 s? Solución. R = 37,5 cm , s rad 2 0 π ω = , 2 s rad 3π α = a) ( ) t t 0 α ω ω + = ⇒ ( ) ( ) s rad 20 6 3 2 6 π π π ω = + = b) ( ) 2 0 2 1 t t t α ω θ + = ⇒ ( ) ( ) ( )( ) rad 66 6 3 2 1 6 2 2 6 π π π θ = + = Habrá girado π π 2 66 = 33 vueltas. c) ( ) ( ) t t R v ω = ⇒ ( ) ( ) π 20 5 , 37 6 = v = s cm 750π d) ( ) R an 2 6 ω = ⇒ ( ) ( ) 5 , 37 20 2 π = n a = 147894 cm/s2. R at α = ⇒ ( )( ) 5 , 37 3π = n a = 353,25 cm/s2. 2 2 t n a a a + = = 147894,42 cm/s2. Ejemplo 3. Una rueda de la fortuna de 14,0 m de radio gira sobre un eje horizontal en el centro. La rapidez lineal de un pasajero en el borde es constante e igual a 7,00 m/s. ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración del pasajero al pasar a) por el punto más bajo de su movimiento circular? b) por el punto más alto? c) ¿Cuánto tarda una revolución de la rueda? Solución. a) 2 2 2 s m 50 , 3 0 , 14 00 , 7 = = = R v a . La aceleración el punto más bajo del círculo es hacia el centro, hacia arriba. b) 2 m/s 50 , 3 = a , dirigida hacia abajo., hacia el centro. c) Como T R v π 2 = ⇒ ( ) s 6 , 12 00 , 7 0 , 14 2 2 = = = π π v R T Ejemplo 4. La rueda de la figura del problema anterior, que gira en sentido antihorario, se acaba de poner en movimiento. En un instante dado, un pasajero en el borde de la rueda que está pasando por el punto más bajo de su movimiento circular tiene una rapidez de 3,00 m/s, la cual está aumentando a razón de 0,500 m/s2. Calcule la magnitud y la dirección de la aceleración del pasajero en este instante. Solución. 2 2 2 s m 643 , 0 0 , 14 00 , 3 = = = R v ac , y 2 s m 5 , 0 = t a Luego: t a n a a t c ˆ ˆ + = → = i j ˆ 5 , 0 ˆ 643 , 0 + − 2 2 t c a a a + = = 2 2 2 s m 814 , 0 5 , 0 643 , 0 = + º 9 , 37 643 , 0 5 , 0 tan 1 = = − θ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 5 Ejemplo 5. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio R con aceleración angular constante partiendo del reposo. Si la partícula realiza n vueltas completas a la circunferencia en el primer segundo, determine la aceleración angular de la partícula. Determine además el número de vueltas que realiza la partícula durante el siguiente segundo del movimiento. Solución. Aquí 2 2 1 t α θ = Entonces α π 2 1 2 = n ⇒ n π α 4 = Como ( ) 2 2 2 4 2 1 nt t n π π θ = = , Número de vueltas para 1 = t ( ) ( ) π θ 2 1 1 2 = n Número de vueltas para 2 = t ( ) ( ) π θ 2 2 2 2 = n Durante el siguiente segundo (dos) realiza ( ) ( ) ( ) n n 3 1 2 2 2 2 1 2 = − = − π θ θ vueltas. Ejemplo 6. En un reloj análogo el horario y el minutero coinciden a las 12:00:00 horas. ¿A qué hora minutero y horario formarán un ángulo de 90º? Solución. Como los movimientos del horario y minutero son circulares uniformes, encontramos para la posición angular del horario: t H H H ω θ θ + = 0 . (1) Análogamente para el minutero se tiene: t M M M ω θ θ + = 0 . (2) Como M M H H T T π ω π ω 2 , 2 = = donde h 12 = H T y h 1 = M T y bajo la condición que estos formen un ángulo de 90º, es decir, 2 π θ θ = − H M De (2) - (1), con 0 0 0 = = M H θ θ , ( )t H M H M ω ω θ θ − = − Se encuentra para t: ( ) h 11 3 2 = − = H M t ω ω π , Es decir, en t = 16,36 min. Por lo tanto forman 90º a las 12:16:22 h. Ejemplo 7. Dos partículas describen movimientos circulares de radio R = 1m, como lo muestra la figura. El primero (1) parte de O con rapidez angular rad/s 10 = ω constante en sentido antihorario y el segundo (2) parte del reposo del mismo punto en sentido horario con aceleración tangencial constante de 2 m/s 2 . Determine cuando y donde se cruzan ambas partículas. Solución. Como el cuerpo (1) se mueve con M.C.U., la posición angular de este será: t t 10 0 1 1 = + = ω θ . (1) El cuerpo (2) posee una aceleración tangencial constante y por lo tanto, se trata de un M.C.U.A. Debido que 2 2 rad/s 2 , m/s 2 = = = α α R at . Por otro lado, como parte del reposo, 0 0 = ω . 2 2 2 2 2 1 t t − = − = θ El recorrido se muestra en la figura siguiente: El encuentro se produce cuando: π θ θ 2 2 1 = + ⇒ π 2 10 2 = + t t www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 6 0 2 10 2 = − + π t t ⎩ ⎨ ⎧ − = = s 59 , 10 s 59 , 0 2 1 t t La solución significativa es: s 59 , 0 = t Reemplazando este valor de t en ecuación (1), se obtiene para el ángulo de encuentro: º 04 , 338 rad 9 , 5 = = encuentro θ . Ejemplo 8. Dos vehículos describen la misma trayectoria circular de radio 0,75 m. El primero está animado de un movimiento uniforme cuya velocidad angular es de 60 rpm. y sale de la posición A cuando se empieza a contar el tiempo. El segundo móvil está animado de un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración angular vale - π/6 rad/s2, pasa por B dos segundos más tarde llevando una velocidad angular de 120 rpm. a) Escribir las ecuaciones del movimiento de cada uno de los móviles. Hallar el instante y la posición de encuentro por primera vez de ambos móviles. b) La velocidad lineal, la velocidad angular, las componentes tangencial y normal de la aceleración de cada uno de los móviles en el instante de encuentro. c) Realícese un esquema en el que se especifique los vectores velocidad, aceleración, en dicho instante de encuentro. Solución. a) Para t = 2 s el móvil 1 como su velocidad angular es 2π rad/s estará en el punto A, y podemos considerar ese instante como tiempo inicial, con lo que: Móvil 1: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = rad 2 s / rad 2 0 1 1 1 t π θ π ω α Móvil 2: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = rad 12 4 2 s / rad 6 4 s / rad 6 2 2 2 2 2 t t t π π π θ π π ω π α Los móviles se encontrarán cuando 2 1 θ θ = 2 12 4 2 2 t t t π π π π − + = ⇒ 0 2 2 12 2 = − − π π π t t ⇒ 0 6 24 2 = − − t t Resolviendo ⎩ ⎨ ⎧ = − = s 25 , 24 s 25 , 0 t t La solución es 24,25 s. El punto de encuentro es ( ) rad 5 , 48 25 , 24 2 1 π π θ = = ( ) ( ) rad 5 , 48 25 , 24 12 25 , 24 4 5 , 0 2 2 π π π π θ = − + = Los valores son iguales, tal como esperábamos. Como rad 5 , 48 2 1 π θ θ = = , equivalente a 24 vueltas mas 1/4 de vuelta, el encuentro es en punto B. b) La velocidad lineal, la velocidad angular, las componentes tangencial y normal de la aceleración de cada uno de los móviles en el instante de encuentro. Móvil 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = → = = = = s / m 3 0 0 m/s 5 , 1 s / rad 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 π ω α α π ω π ω r a r a r v n t Móvil 2 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = = − = = − = − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m/s 0012 , 0 m/s 125 , 0 m/s 03 , 0 s / rad 04 , 0 6 25 , 24 4 π ω π α π ω π π π ω r a r a r v n t El móvil 2 tiene velocidad negativa, porque a l tiempo t = 24 s su velocidad se hizo cero e inicia el retorno, al tiempo t = 24,25 s se produce el encuentro. c) Esquema especificando los vectores velocidad, aceleración, en el instante de encuentro. En el instante del encuentro el esquema sería el siguiente: MOVIMIENTO CURVILÍNEO El movimiento curvilíneo es aquel en el que pueden combinarse tramos rectos y/o curvos. La extensión de las ecuaciones en el sistema intrínseco es inmediata sufriendo sólo una ligera modificación respecto a la aceleración. Esta adopta la expresión n v t dt dv a ˆ ˆ 2 ρ + = → donde ρ es el denominado radio de curvatura y corresponde al radio de una hipotética circunferencia en cada uno de los puntos de la trayectoria. Es evidente que en el caso del movimiento circular éste no varía ya que coincide con el radio de la circunferencia en cada uno de esos puntos. dt dv at = y ρ 2 v an = La figura siguiente muestra la velocidad y la aceleración con las coordenadas x e y para un determinado instante. Como 2 m/s cosθ a at = y 2 m/s senθ a an = , La aceleración tangencial en cualquier instante, se obtiene a partir del producto escalar del vector aceleración → a y el vector velocidad → v . t va va a v = = ⋅ → → θ cos 2 2 y x y y x x t v v a v a v v a v a + + = ⋅ = → → La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial t a . 2 2 2 2 2 t n y x a a a a a + = + = ⇒ 2 2 2 2 t y x n a a a a − + = 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + = y x y y x x y x n v v a v a v a a a Finalmente 2 2 y x y x x y n v v a v a v a + − = El radio de curvatura ρ 2 v an = ⇒ n a v 2 = ρ Ejemplo 9. El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por ( ) ( )j t i t v ˆ 5 6 ˆ 2 3 2 − + − = → m/s. Calcular las www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 8 componentes tangencial y normal de la aceleración y el radio de curvatura en el instante t =2 s. Solución. ( ) m/s 2 3 − = t vx ⇒ 2 m/s 3 = = dt dv a x x ( ) m/s 5 6 2 − = t v y ⇒ 2 m/s 12t dt dv a y y = = En el instante t = 2 s ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = 2 2 m/s 24 m/s 19 m/s 3 m/s 4 y y x x a v a v m/s 49 , 19 19 4 2 2 = + = v 2 2 2 m/s 19 , 24 24 3 = + = a La aceleración tangencial es: ( ) ( ) 2 2 2 m/s 24 49 , 19 24 19 3 4 = + = + + = ⋅ = → → y x y y x x t v v a v a v v a v a La aceleración normal es: ( ) ( ) 2 2 2 m/s 2 49 , 19 24 4 3 19 − = − = + − = y x y x x y n v v a v a v a El radio de curvatura ρ 2 v an = ⇒ n a v 2 = ρ 2 2 2 m/s 19 , 24 24 3 = + = a m/s 49 , 19 19 4 2 2 = + = v 377 2 = v , 2 m/s 2 − = n a m 5 , 188 2 377 2 = = = n a v ρ Ejemplo 10. Una partícula se mueve de modo que sus coordenadas cartesianas están dadas como funciones del tiempo t x 3 = , 2 5 2 t t y − = Determine a) las componentes cartesianas de la velocidad y de la aceleración. b) las componentes normal y tangencial de la velocidad y aceleración. c) la ecuación de la trayectoria en coordenadas cartesianas. Solución. t x 3 = , 2 5 2 t t y − = a) vx = 3; vy = 2 - 10t; ax = 0; ay = -10; b) ( ) ( ) 2 10 2 9 ˆ 10 2 ˆ 3 ˆ t j t i v v t − + − + = = → , ( ) ( ) 2 10 2 9 ˆ 10 2 ˆ 3 ˆ ˆ ˆ t i t j k t n − + − + − = × = entonces ( ) 2 10 2 9 ˆ t v t v vt − + = = ⋅ = → 0 = n v ( ) ( ) 2 10 2 9 10 2 10 ˆ . t t t t a aT − + − − = = → ( ) ( ) 2 10 2 9 10 2 10 ˆ . t t t t a aT − + − − = = → ( ) 2 10 2 9 30 ˆ t n a an − + = ⋅ = → c) 2 9 5 3 2 x x y − = Ejemplo 11. Una partícula se mueve en el plano xy de acuerdo con la ley ax = 0, ay = 4cos(2t) m/s2. En el instante t = 0, el móvil se encontraba en x = 0, y = -1 m, y tenía la velocidad vx = 2, vy = 0 m/s. a) Hallar las expresiones de r(t) y v(t). b) Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t = π/6 s. Solución. a) En 0 = t 0 = x a , s m vx 2 = , 0 = x ( ) 2 2 cos 4 s m t ay = , 0 = y v , 1 − = y m En el eje x el movimiento es uniforme s vx m 2 = , m 2t x = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 9 Para encontrar el movimiento en y hay que integrar ( ) ∫ ∫ = t v y dt t v y 0 0 2 cos 4 ⇒ ( ) s m 2 sen 2 t vy = ( )dt t dy t y ∫ ∫ = − 0 1 2 sen 2 ⇒ ( ) ( ) 2 cos 1 1 t y − = − − ⇒ ( )m 2 cos t y − = b) Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t = π/6 s. 2 = x v , 0 = x a 3 = y v , 2 = y a 2 s m 31 , 1 cos 2 = = θ t a , 2 s m 51 , 1 sen 2 = = θ n a , 3 2 tan = = y x v v θ ⇒ º 1 , 49 = θ Ejemplo 12. Un móvil se mueve en el plano xy con las siguientes aceleraciones: ax=2 m/s2, ay =10 m/s2. Si en el instante inicial parte del origen con velocidad inicial vx = 0 y vy =20 m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración, y el radio de curvatura en el instante t = 2 s. Solución. 2 10 s m a y − = ( )t v y 10 20 − + = 2 2 s m ax = t vx 2 = Para t = 2 s ⎩ ⎨ ⎧ = = 4 0 x y v v 2 s m 2 = = x t a a 2 s m 10 = = y n a a ρ 2 v an = ⇒ m 6 , 1 10 42 2 = = = n a v ρ Ejemplo 13. El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por ( ) ( )j t i t v ˆ 5 6 ˆ 2 3 2 − + − = → m/s. Si la posición del móvil en el instante t = 1 s es j i r ˆ 2 ˆ 3 − = → m. Calcular a) El vector posición del móvil en cualquier instante. b) El vector aceleración. c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t = 2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante. Solución. a) Para el movimiento horizontal 2 -3t vx = ⇒ 2 3 s m dt dv a x x = = Como dt dx vx = ⇒ dt v dx x = , integrando www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 10 ( )dt t dx t t ∫ ∫ − = 1 3 2 3 ⇒ m 2 7 2 2 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = t t x Para el movimiento vertical 5 -6 2 t vy = ⇒ 2 12 s m t dt dv a y y = = Como dt dy v y = ⇒ dt v dy y = , integrando ( ) dt t dy t t ∫ ∫ − = − 1 2 2 5 6 ⇒ ( )m 1 5 2 3 + − = t t y ( )j t t i t t r ˆ 1 5 2 -ˆ 2 7 2 2 3 3 2 + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = → b) j t i a ˆ 12 ˆ 3 + = → c) Para t = 2 s vx = 4 m/s, vy = 19 m/s ax = 3 m/s2, ay = 24 m/s2 2 2 2 s / m 2 , 24 = + = y x a a a 75 , 4 4 19 tan = = = x y v v ϕ ⇒ o 78 = ϕ 3 3 24 tan = = = x y a a θ ⇒ o 83 = θ ( ) 2 s / m 1 , 24 cos = − = ϕ θ a at ( ) m 2 sen = − = ϕ θ a an MOVIMIENTO PARABÓLICO. Considere un objeto que se desplaza en el aire sin ninguna fuerza con excepción de la gravedad y de la resistencia del aire. La fuerza de la gravedad produce una aceleración constante hacia abajo de magnitud 9,80 m/s2. Como primera aproximación, no tomemos los efectos del aire y de variaciones en g . Asumiremos que la tierra es plana para el rango horizontal de los proyectiles. A pesar de estas simplificaciones, podemos aún obtener una descripción bastante buena del movimiento del proyectil. El recorrido de un proyectil se llama su trayectoria. Si se desprecia la resistencia del aire, no hay entonces aceleración en la dirección horizontal, y 0 = x a . La aceleración en la dirección de y es debido a la gravedad. Es constante y dirigida hacia abajo, así que g a y − = . Es conveniente elegir 0 0 = x y 0 0 = y (es decir, poner el origen en el punto donde el proyectil comienza su movimiento). Además, nos referimos típicamente a 0 v como la rapidez inicial del proyectil. Si el proyectil es lanzado con un ángulo θ sobre la horizontal, la velocidad inicial en la dirección x y la velocidad inicial en la dirección y se pueden expresar en términos de g y de y θ usando la trigonometría. θ cos 0 0 v v x = , θ sen 0 0 v v y = 0 = x a , g a y − = Con esto: constante cos 0 = = θ v vx , gt v v y − = θ sen 0 ( )t v x θ cos 0 = , ( ) 2 0 2 1 sen gt t v y − = θ Ecuación de la trayectoria. De la ecuación para x obtenemos θ cos 0 v x t = . Sustituyendo en la ecuación para y ( ) 2 2 2 0 cos 2 tan x v g x y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = θ θ Corresponde a la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Una característica dominante del movimiento del proyectil es que el movimiento horizontal es independiente del movimiento vertical. Así un proyectil se mueve a una velocidad constante www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 11 en la dirección horizontal, independiente de su movimiento vertical. Esto se ilustra en la figura. Podemos entender mejor el significado de la ecuación ( ) 2 0 2 1 sen gt t v y − = θ viendo el movimiento del proyectil de esta manera: Primero, si no hubiera fuerza de la gravedad y aceleración hacia abajo, en el tiempo t el proyectil movería una distancia t v0 en una línea inclinada recta. Si ahora imaginamos con la gravedad el efecto sería hacer que el proyectil se aleje de la trayectoria recta por una distancia ½ gt2. De la superposición de estos dos efectos resulta la trayectoria parabólica como se muestra en la figura. Tiempo de vuelo. Poniendo y = 0 ( ) 0 2 1 sen 2 0 = − = gt t v y θ , despejando t, 0 sen 2 0 2 = − t g v t θ Resolviendo obtenemos dos soluciones t = 0, que corresponde al disparo del proyectil y g v t θ sen 2 0 = El valor máximo de t se obtiene para θ = 90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje y. El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y = 0. ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = g v v t v xmáx θ θ θ sen 2 cos cos 0 0 0 = ( ) g v θ 2 sen 2 0 La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con 0 = y v . 0 sen 0 = − = gt v v y θ , despejando t. g v t θ sen 0 = , como vemos es igual a la mitad del tiempo de vuelo. ( ) 2 0 2 1 sen gt t v ymáx − = θ = ( ) 2 0 0 0 sen 2 1 sen sen ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ g v g g v v θ θ θ Finalmente: g v ymáx 2 sen 2 2 0 θ = Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ = 90º. Ejemplo 14. UN BLANCO EN CAÍDA LIBRE (Tiro al mono) Se deja caer una botella desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen. Determinar los valores del ángulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tómese g = 9,8 m/s2) Solución. Movimiento de la piedra: El movimiento curvilíneo de la piedra se realiza bajo la 3Haceleración constante de la gravedad, es decir, es la composición de dos movimientos - Uniforme a lo largo del eje horizontal www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 12 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = t v x v v a p px px cos cos 0 Horizontal 0 0 θ θ - Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = − = 2 / sen sen Vertical 2 0 0 gt t v y gt v v g a p px px θ θ Movimiento de la botella: La botella se mueve verticalmente bajo la 4Haceleración constante de la gravedad. 2 / 2 gt H y gt v g a b bx bx − = − = − = Choque de la piedra con la botella: Cuando se produce el choque, la posición de la piedra y de la botella coincide. t v A cos 0 θ = 2 / sen 2 / 2 0 2 gt t v gt H − = − θ ⇒ t v H sen 0 θ = Dividimos la segunda ecuación entre la primera. A H = θ tan Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra. La velocidad debe tener un valor mínimo para hacer el recorrido A, mientras la botella esté en el aire. Esto sucede para el tiempo g H t 2 = , y el recorrido horizontal de la piedra debe cumplir: A g H v ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 cos 0 θ ⇒ H g A v 2 cos 0 θ ≥ Ejemplo 15. Una bolsa de arena cae del reposo de un globo de aire caliente desde una altura de 124 m está soplando un viento horizontal, y el viento da a bolsa de arena una aceleración horizontal constante de 1,10 m/s2. a) Demuestre que la trayectoria de la bolsa de arena es una línea recta. b) ¿Cuanto tiempo toma para llegar la tierra? c) ¿Con qué velocidad llega a la tierra? Solución. a) 2 2 1 t a x x = ⇒ x a x t 2 2 = 2 2 1 gt y − = ⇒ g y t 2 2 − = De estas ecuaciones, obtenemos: g y a x x 2 2 − = ⇒ x a g y x − = Ecuación de una línea recta. b) En tierra, 124 − = y , tal que ( ) 8 , 9 124 2 2 − − = t ⇒ s 03 , 5 = t c) ( )( ) 03 , 5 8 , 9 0 0 − = − = gt v v y y = s m 3 , 49 − ( )( ) 03 , 5 10 , 1 0 0 + = + = t a v v x x x = s m 53 , 5 2 2 y x v v v + = = ( ) ( ) 2 2 3 , 49 53 , 5 − + = s m 6 , 49 Ejemplo 16. Disparamos un proyectil desde el origen y éste describe una trayectoria parabólica como la de la figura. Despreciamos la resistencia del aire. Dibuja en las posiciones A, B, C, D y E el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes normal y tangencial de la aceleración. (No se trata de dar el valor numérico de ninguna de las variables, sólo la dirección y el sentido de las mismas) ¿Qué efecto producen an y at sobre la velocidad? Solución. → v es tangente a la trayectoria Cuando sube www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 13 t a y → v tienen sentidos opuestos. Cuando baja t a y → v tienen el mismo sentido t a modifica el módulo de la velocidad con el tiempo. n a modifica la dirección de → v Ejemplo 17. Una bala del rifle se dispara con una velocidad de 280 m/s hacia arriba de una superficie plana inclinada 30° sobre la horizontal. La bala se dispara con un ángulo de elevación inicial de 45° sobre la horizontal (es decir, 15° sobre la superficie plana). ¿Cuál es el alcance de la bala sobre el plano? Solución. La ecuación del plano inclinado es ° = 30 tan x y 3 x y = La ecuación de la trayectoria parabólica. ( ) 2 2 2 0 cos 2 tan x v g x y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = θ θ La intersección de la parábola y la línea recta ocurre cuando ( ) 2 2 2 0 cos 2 tan 3 x v g x x θ θ − = Para ° = 45 θ : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 3 1 1 2 0 g v x Para un triángulo 30°, 60°, 90° vemos que S S x 2 3 30 cos = ° = . De aquí ( ) g v g v S 2 0 2 0 49 , 0 1 3 3 2 = − = , arriba del plano. Con 0 y = 280 m/s, S = 3,90 km. Ejemplo 18. Se dispara un proyectil desde la cima de una colina de 150 (m) de altura con una rapidez de 180 (m/s) y formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcule: (a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto de caída del proyectil. (b) La altura máxima del proyectil con respecto al suelo. (c) Las componentes normal y tangencial de la aceleración al salir en el punto de disparo. Solución: x = 180(cos π/6)t y = 150 + 180(sen π/6)t - 5t2 a) Punto de caída 150 + 180(sen π/6)t - 5t2 = 0, t = 19,5 s x = 180(cos π/6)(19,5) = 3039,8m b) Tiempo para la altura máxima 180(sen π/6) - 10t = 0, t = 9,0 s entonces ymax = 150 + 180(sen π/6)(9) - 5(9)2 = 555,0m El vector unitario tangente es 6 sen ˆ 6 cos ˆ ˆ π π j i v v t + = = → j a ˆ 10 − = → Entonces 2 m/s 5 6 sen 10 ˆ − = − = ⋅ = → π t a at 2 2 2 m/s 66 , 8 25 100 = − = − = n n a a a Ejemplo 19. Un cañón de artillería lanza proyectiles con una rapidez de 300 (m/s). El artillero debe darle a un blanco que se encuentra a 8640 (m) detrás de un cerro, cuya altura es de 1000 (m) ubicado a 1200 (m) del cañón. Demuestre que es posible darle al blanco y determine el ángulo de elevación para cumplir el objetivo. Solución. Supondremos que damos en el blanco entonces 0 cos 2 tan 2 2 0 2 = − = α α v gx x y ( ) ( ) 0 cos 300 8649 5 tan 8649 2 2 2 = − α α Tiene dos raíces reales α1 = 53,03º α2 = 36,97º Debemos verificar que el disparo pasa sobre el cerro, para ello evaluamos en ambos ángulos y(1200) y1 (1200) = 1373,0 m y2 (1200) = 777,95 m La altura del cerro es excedida en el primer caso. Ejemplo 20. Se dispara un proyectil de modo que su alcance horizontal es igual al triple de la altura máxima. Encuentre el ángulo de lanzamiento. Solución. Sabemos que g v y g v x 2 sen 2 sen 2 2 0 max 2 0 max α α = = Entonces www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 14 g v g v 2 sen 3 2 sen 2 2 0 2 0 α α = ⇒ α α sen 3 cos 2 = ⇒ 3 2 tan = α ⇒ α =33,69º Ejemplo 21. Un lanza granadas tiene un alcance máximo de 300 m. Para dar en un blanco que se encuentra a una distancia de 400 m del lanza granadas. Determine: a) La altura mínima que debe subirse el lanza granadas. b) La rapidez de lanzamiento. c) El ángulo de lanzamiento, Solución. La ecuación de la parábola de seguridad es 2 0 2 2 0 2 2 v gx g v h y − + = Sabemos también que para h = 0 la distancia máxima alcanzable es ( ) 300 2 0 0 = = g v x y para una altura h la distancia horizontal máxima será ( ) ( ) m 400 2 0 2 0 = + = g v hg v x h de la primera b) s m 77 , 54 3000 0 = = v y de ( ) ( ) 10 77 , 54 10 2 77 , 54 2 h + = 400 a) h = 116,701m c) El ángulo de lanzamiento cuando el blanco está sobre el límite de la parábola de seguridad es gx v 2 0 tan = α entonces α = 36,87o Ejemplo 22. Un patinador desciende por una pista helada, alcanzando al finalizar la pista una velocidad de 45 m/s. En una competición de salto, debería alcanzar 90 m a lo largo de una pista inclinada 60º respecto de la horizontal. a) ¿Cuál será el ángulo (o los ángulos) α que debe formar su vector velocidad inicial con la horizontal?. b) ¿Cuánto tiempo tarda en aterrizar? c) Calcular y dibujar las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t/2. Siendo t el tiempo de vuelo. Tomar g =10 m/s2 Solución. a) y b) 10 0 − = = y x a a t v v y x 10 sen 45 cos 45 − = = α α 2 10 2 1 . sen 45 . cos 45 t t y t x − = = α α Punto de impacto 45 = x , 3 45 − = y ⎭ ⎬ ⎫ − = − = 2 5 . sen 45 3 45 . cos 45 45 t t t α α ⇒ α α α 2 cos 1 5 cos 1 . sen 45 3 45 − = − 0 3 9 1 tan 9 tan 2 = − + − α α ⇒ o o 5 , 54 5 , 84 2 1 − = = α α s t s t 72 , 1 45 , 10 2 1 = = c) Para 2 1 t t = ⎩ ⎨ ⎧ − = = 46 , 7 31 , 4 y x v v 10 0 − = = y x a a y x v v = θ tan ⇒ o 30 = θ 2 2 s m 5 30 sen s m 3 5 30 cos = = = = o n o t g a g a www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 15 Ejemplo 23. Se deja caer una botella desde el reposo en la posición x =20 m e y =30 m. Al mismo tiempo se lanza desde el origen una piedra con una velocidad de 15 m/s. a) Determinar el ángulo con el que tenemos que lanzar la piedra para que rompa la botella, calcular la altura a la que ha ocurrido el choque. b) Dibujar en la misma gráfica la trayectoria de la piedra y de la botella. (Tomar g = 9,8 m/s2). Solución: a) Movimiento de la botella 8 , 9 0 − = = y x a a t v v y x 8 , 9 0 − = = 2 8 , 9 2 1 30 20 t y x − = = Movimiento de la piedra 8 , 9 0 − = = y x a a t v v y x 8 , 9 sen 15 cos 15 − = = θ θ 2 8 , 9 2 1 sen 15 cos 15 t t y t x − = = θ θ Punto de encuentro 2 2 8 , 9 2 1 sen 15 8 , 9 2 1 30 . cos 20015 t t t t − = − θ θ ⎩ ⎨ ⎧ = 20 30 tanθ m 69 , 1 3 , 56 = = y o θ b) Ejemplo 24. Desde un cañón que está sobre un plano inclinado un ángulo α con la horizontal se dispara un proyectil. Este sale con una velocidad 0 v formando un ángulo θ con el plano horizontal. Encontrar. a) El punto más alto al que llega el proyectil. b) El alcance del proyectil. Solución. a) θ cos 0 0 v v x = θ sen 0 0 v v y = gt sen v v y − = θ 0 La altura máxima se produce cuando 0 = y v g v ymáx 2 sen 2 2 0 θ = Con ese valor, ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = g v v x θ θ sen cos 0 0 = θ 2 sen 2 2 0 g v α θ α tan 2 sen 2 tan 2 0 g v x y = = y y h máx − = = ( ) α θ θ tan 2 sen sen 2 2 2 0 − g v b) El alcance máximo S . t v x cos 0 θ = 2 2 1 0 sen gt t v y − = θ Ecuación del plano en función de t α tan x y = Dividiendo x y : www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 16 α θ θ tan cos sen 0 2 2 1 0 = − = t v gt t v x y ⇒ t v gt t v cos tan sen 0 2 2 1 0 θ α θ = − Resolviendo encontramos el tiempo para el que el proyectil toca tierra: ( ) α θ θ tan cos sen 2 0 − = g v t El valor de x cuando el proyectil toca tierra es: ( ) α θ θ θ θ tan cos sen cos 2 cos 2 0 0 − = = g v t v x Y el alcance S es: α cos x S = = ( ) α θ θ α θ tan cos sen cos cos 2 2 0 − g v Ejemplo 25. La figura muestra una colina inclinada un ángulo α respecto a la vertical y la trayectoria de un proyectil. El proyectil se lanza desde el origen O con una velocidad inicial de módulo 0 v y que forma un ángulo θ con el eje z (perpendicular al plano). El eje x se toma tangente al plano apuntando hacia abajo. a) Tome el sistema de referencia indicado en la figura y halle las componentes de los vectores aceleración, velocidad y posición del proyectil en función del tiempo. b) Halle la máxima separación entre el proyectil y la colina. c) Halle la distancia entre el origen y el punto de caída del proyectil sobre la colina. Demuestre que esa distancia es máxima si 2 / α θ = . Solución. a) α cos g ax = , θ α sen cos 0 v t g vx + = , t v t g x sen cos 2 1 0 2 θ α + = α sen g az − = , θ α cos sen 0 v t g vz + − = , t v t g z cos sen 2 1 0 2 θ α + − = b) La máxima separación ocurre para 0 = z v y vale α θ sen 2 cos 2 2 2 0 g v z = c) El punto de caída ocurre para z = 0 y la distancia vale ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = θ α θ α θ 2 sen tan 2 cos 1 sen 2 0 g v x La distancia máxima ocurre para ( ) 0 = θ θ d dx . Ejemplo 26. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s desde la azotea de un edificio de 50 m de altura. La pelota además es empujada por el viento, produciendo un movimiento horizontal con aceleración de 2 m/s2. Calcular: a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y de impacto. b) La altura máxima c) El valor de las componentes tangencial y normal de la aceleración cuando la pelota se encuentra a 60 m de altura sobre el suelo. Tómese g =10 m/s2. Solución. 2 = x a , t vx 2 = , 2 2 2 1 t x = 10 − = y a , ( )t v y 10 20 − + = , ( ) 2 10 2 1 20 t t y − + = a) Punto de impacto y = -50 ⇒ t = 5,74 s ⇒ x = 32,97 m b) altura máxima 0 = y v ⇒ t = 2 s ⇒ y = 20 m hmáxima = 70 m sobre el suelo. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 17 c) h = 60 ⇒ y = 10 m ⇒ t1 = 0,59 s t2 = 3,41 s ⎩ ⎨ ⎧ = = = 14 , 14 17 , 1 59 , 0 1 y x v v s t ⎩ ⎨ ⎧ − = = 10 2 y x a a 2 2 10 2 + = a 08 , 0 14 , 14 17 , 1 tan 1 = = = y x v v ϕ ⇒ o 7 , 4 1 = ϕ 5 2 10 tan 2 = = = x y a a ϕ ⇒ o 7 , 78 2 = ϕ o 73 1 2 = − = ϕ ϕ ϕ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = 2 2 m/ 80 , 9 sen . m/ 81 , 2 cos . s a a s a a t n ϕ ϕ ⎩ ⎨ ⎧ − = = = s v s v s t y x m/ 14 , 14 m/ 83 , 6 41 , 3 2 ⎩ ⎨ ⎧ − = = 10 2 y x a a 2 2 10 2 + = a 07 , 2 83 , 6 14 , 14 tan 1 = = = x y v v ϕ ⇒ o 2 , 64 1 = ϕ 5 2 10 tan 2 = = = x y a a ϕ ⇒ o 7 , 78 2 = ϕ o 5 , 14 1 2 = − = ϕ ϕ ϕ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = 2 2 m/ 55 , 2 sen . / m, 87 , 9 cos . s a a s a a t n ϕ ϕ Ejemplo 27. Nos encontramos en la antigua Suiza, donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana está 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinación de 30º con la horizontal y el viento produce una aceleración horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2. a) Calcular la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para que pueda ensartar la manzana. b) Hállese la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. (g = 9,8 m/s2) Solución. 2 − = x a , t v o x 2 30 cos 50 − = , 2 2 2 1 30 cos 50 t x o − = 8 , 9 − = y a , t v o y 8 , 9 30 sen 50 − = , 2 8 , 9 2 1 30 sen 50 t y o − = Punto de impacto x = d, y = -5 -5 =25 t -4,9 t2 ⇒ t = 5,29 s ⇒ x = 201,23 m www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 18 Máxima altura vy = 0 50sen30º - 9,8t = 0 ⇒ t = 2,55 s ⇒ y = 31,89 m Ejemplo 28. Un paraguas abierto mojado se sostiene hacia arriba como se muestra en la figura y se gira sobre la manija a razón uniforme de 21 revoluciones en 44 s. Si el borde del paraguas es un círculo 1 m de diámetro, y la altura del borde sobre el piso es 1,5 m, hallar donde las gotas del agua al hacer girar del borde tocan el piso. Solución. La velocidad angular del paraguas es s / rad 3 44 rad 2 21 = × = s π ω La velocidad tangencial de las gotas de agua que salen del borde del paraguas es ( )( ) s / m 5 , 1 3 5 , 0 0 = = = ω r v Para calcular el tiempo en que la gota llega al piso usamos 2 2 1 gt h = ⇒ ( ) m 553 , 0 8 , 9 5 , 1 2 2 = = = g h t El alcance horizontal de la gota es x = v0t = (1,5)(0,55) = 0,83 m; y el locus de las gotas es un círculo de radio ( ) ( ) 2 2 83 , 0 5 , 0 + = R = 0,97 m. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN RELATIVAS. Movimiento Relativo de Traslación Uniforme. La Relatividad de Galileo Consideramos dos sistemas de referencia S y S', S' tiene un movimiento de traslación rectilíneo uniforme con respecto a S; S' se aleja de S con una velocidad i v V ˆ = → Sea un objeto P determinado por un observador en el sistema S por k z j y i x r ˆ ˆ ˆ + + = → y por un observador en el sistema S' por k z j y i x r ˆ ' ˆ ' ˆ ' ' + + = → como se muestra en la figura. Las ecuaciones de transformación de Galileo que relacionan las observaciones desde los sistemas S y S' son Vt x x '+ = , ' y y = , ' z z = ' t t = Aquí se supone que puede establecerse una escala de tiempo absoluta aplicable a ambos marcos de referencia de manera que ' t t = . Esto sucedería si la velocidad de la luz fuera infinita (Debemos reconocer que las escalas de tiempo asociadas a dos marcos de referencia no son los mismos si existe movimiento relativo entre ellos es uno de los principios fundamentales de la teoría especial de la relatividad propuesta por Einstein en 1905). Vectorialmente podemos representar la transformación de Galileo como t V r r → → → + = ' . Derivando las relaciones anteriores podemos obtener la relación de la velocidad. V dt dx dt dx + = ' ⇒ V v v x x ' '+ = dt dy dt dy ' = ⇒ ' ' y y v v = dt dz dt dz ' = ⇒ ' 'z z v v = Vectorialmente → → → + = V v v ' Derivando nuevamente obtenemos la relación de la aceleración dt dV dt dv dt dv x x + = ' ' ⇒ dt dV a a x x + = ' ' dt dv dt dv y y ' ' = ⇒ ' ' y y a a = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 19 dt dv dt dv z z ' ' = ⇒ ' 'z z a a = Si la velocidad → V del sistema S' es constante, 0 = → dt V d y → → = ' a a Estas relaciones encontradas son de aplicación general si S y S' están animadas por un movimiento relativo cualquiera, como se muestra en la figura siguiente Las ecuaciones son: t V r r → → → + = ' , t V r r → → → − = ' → → → + = V v v ' → → = ' a a Ejemplo 29. Desde la plataforma de un camión en movimiento horizontal V r constante se lanza un proyectil directamente hacia arriba con una velocidad 0 v r . ¿Cómo será visto el movimiento del proyectil por: a) un observador situado en el camión (sistema S')? b) un observador situado en el suelo (sistema S)? Solución. a) El tiempo se mide desde el momento del lanzamiento 0 0 = t , cuando el proyectil se eleva con velocidad 0 v . La componente horizontal de la velocidad coincide con la velocidad V del camión. El observador O' en el camión verá únicamente la componente vertical 0 ' ' y v , la componente horizontal será 0 ' 0 ' = x v . Para un instante t cualquiera 0 ' 0 ' 0 ' ' ' = = = x x a v x g a gt v v gt t v y y y y y − = − = − = ' ' ' ½ ' ' 0 ' ' 2 0 ' b) Si se observa el mismo proyectil desde un sistema de referencia situado en el suelo S con un origen en el lugar de lanzamiento (para 0 0 = t , O = O'), entonces las posiciones, las velocidades y las aceleraciones respecto de O estarán dadas por la transformación de Galileo. En este caso la velocidad inicial 0 v vista desde el suelo será j v i V v y ˆ ˆ 0 0 + = r 2 0 2 0 y v V v + = V v y0 1 0 tan − = θ La trayectoria será una parábola tal como se ve en la figura siguiente La componente horizontal del movimiento del proyectil es igual al movimiento del cañón, de modo que cuando cae el proyectil coincidirá con el cañón. Ejemplo 30. El observador O suelta una piedra del trigésimo piso de un rascacielos. El observador O’, descendiendo en un ascensor a velocidad constante de V = 5,0 m/s, pasa el trigésimo piso justo cuando se suelta la piedra. Al tiempo t = 3,0 s después de que se suelta la piedra, hallar: a) La posición, la velocidad, y la aceleración de la piedra relativa a O. b) La posición, la velocidad, y la aceleración de la piedra relativa a O’. Solución. a) Para O, la posición de la piedra está dada por: 2 0 0 2 1 at t v x x + + = Donde x = 0 en el trigésimo piso con la dirección hacia abajo como la dirección positiva de x. Así, en t = 3,0 s, ( )( ) 2 0 , 3 8 , 9 2 1 0 0 + + = x = + 44 m/s También, v = v0 + at da v = 0 + 9,8 m/s2 x 3,0 s = +29 m/s. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 20 La aceleración de un cuerpo en caída libre, según el observador O que está inmóvil con respecto a la tierra, se sabe que la aceleración gravitacional es constante. (De hecho, esto es la base de la validez de los dos cálculos anteriores.) Así tenemos: a = +g = +9,8 m/s2. b) O’ mide la posición x', relativa a x por medio de la ecuación x' = x - Vt. Luego, después de 3,0 s, x' = 44 m – 5,0 m/s x 3,0 s = +29 m. Es decir, la piedra se localiza 29 m debajo del observador O’ después de 3,0 s. La velocidad de la piedra relativa a O' es v' = v -V; de aquí, en t =3,0s, v' = 29 m/s – 5,0 m/s = +24 m/s Puesto que V es constante, a' = a, y a'= +g = +9,8 m/s2. El observador O’ ve la piedra con la misma aceleración vista por O. (en general, las aceleraciones son iguales en todos los sistemas inerciales.) Ejemplo 31. Un automovilista viaja hacia el oeste sobre la Ruta Interestatal 80 a 80 km/h y es seguido por un auto patrulla que viaja a 95 km/h. a) ¿Cuál es la velocidad del automovilista respecto al auto patrulla? b) ¿Cuál es la velocidad del auto patrulla respecto al automovilista? Solución. Si el Oeste indica el sentido positivo entonces a) 80 - 95 = -15 km/h b) 95 - 80 = 15 km/h Ejemplo 32. Un río tiene una rapidez uniforme de 0,5 m/s. Un estudiante nada corriente arriba una distancia de 1 km y regresa al punto de partida. Si el estudiante puede nadar con una rapidez de 1,2 m/s en agua tranquila, ¿cuánto dura el recorrido? Compare este resultado con el tiempo que duraría el recorrido si el agua estuviera tranquila. Solución. La rapidez absoluta (respecto a la ribera) cuando nada corriente arriba es 1,2 – 0,5 = 0,7 y cuando nada corriente abajo es 1,2 + 0,5 = 1,7 entonces el tiempo de ida y vuelta será 7 , 1 1000 7 , 0 1000 + = t = 2016,81 s = 0,56 h Ejemplo 33. Dos remeros en idénticas canoas ejercen el mismo esfuerzo remando en un río, uno corriente arriba (y se mueve corriente arriba), mientras que el otro rema directamente corriente abajo. Un observador en reposo sobre la orilla del río determina sus rapideces que resultan ser de V1 y V2 respectivamente. Determine en términos de los datos la rapidez de las aguas del río. Solución. Sea W la rapidez del río y u la rapidez de los botes respecto al agua, (igual en ambos), entonces V1 = u -W V2 = u + W de modo que 2 1 2 V V W − = Ejemplo 34. Un bote cruza un río que mide de ancho a en el cual la corriente fluye con una rapidez uniforme de u. El botero mantiene una orientación (es decir, la dirección en la cual apunta el bote) perpendicular al río y al motor fijo para dar una rapidez constante de v m/s con respecto al agua. De acuerdo a los datos (a) ¿Cuál es la velocidad del bote respecto a un observador detenido en la orilla? (b) ¿Hasta dónde estará el bote, medido corriente abajo paralelamente al río, desde la posición inicial hasta cuando alcance la orilla opuesta? Solución. a) j v i u V ˆ ˆ + = → b) La componente de la velocidad absoluta perpendicular al río determine el tiempo de cruce de acuerdo a v a t = Por lo tanto el bote avanza paralelamente al río una distancia a v u ut d = = Ejemplo 35. Un comprador que está en una tienda puede caminar sobre una escalera mecánica en 30 s cuando está detenida. Cuando la escalera mecánica, funciona normalmente, puede llevar al comprador sin caminar al siguiente piso en 20 s. ¿Cuánto tiempo le tomaría al comprador al subir caminando con la escalera mecánica en movimiento? Suponga que el comprador hace el mismo esfuerzo al caminar sobre la escalera mecánica en movimiento o cuando está parada. Solución. Sea L el largo de la escalera. Entonces la velocidad de la persona respecto a la escalera es 30 ' L v = . Sea ve la velocidad de la escalera. Ella corresponde a la de la persona cuando no camina, es decir 20 L ve = Si la escalera funciona y la persona camina, entonces t L L L v v v e = + = + = 30 20 ' de donde el tiempo será t = 12 s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 21 Ejemplo 36. El piloto de un avión observa que la brújula indica que va dirigiéndose hacia el oeste. La rapidez del avión respecto al aire es de 150 km/h. Si existiera un viento de 30 km/h hacia el norte, calcule la velocidad del avión respecto a la Tierra. Solución. La velocidad del viento es vv = 30 km/h y la rapidez del avión respecto al aire es v’ = 150 km/h. Pero → → + = = ' ˆ 30 ˆ v i j v v De donde i j v v ˆ 30 ˆ ' − = → y si tomamos magnitudes 2 2 30 150 + = v ⇒ v = 146,969 km/h Ejemplo 37. El piloto de un avión desea volar hacia el oeste en presencia de un viento que sopla hacia el sur a 50 km/h. Si la rapidez del avión cuando no sopla el viento es de 200 km/h, a) ¿en qué dirección debe dirigirse el avión? b) ¿cuál debe ser su rapidez respecto a la Tierra? Solución. La velocidad del viento es vv = 50 km/h hacia el sur y la rapidez del avión respecto al aire es v’ = 200 km/h. Para poder volar directamente hacia el oeste con respecto a tierra debe compensar el arrastre producido por el viento, tal como se muestra en la figura siguiente. a) La dirección en la que debe dirigirse el avión está dada por el ángulo θ. 25 , 0 200 50 cos = = = v vv θ ⇒ º 5 , 75 = θ Debe dirigirse 75,5º dirección N-O. b) Su velocidad respecto a la Tierra es: i v v ˆ 50 '− = → → Y su rapidez respecto a tierra es: 2 2 2 2 50 200 50 ' − = − = v v = 193,6 km/h Ejemplo 38. Un niño en peligro de ahogarse en un río está siendo llevado corriente abajo por una corriente que fluye uniformemente con una rapidez de 2,5 km/h. El niño está a 0,6 km de la orilla y a 0,8 km corriente arriba de un embarcadero cuando un bote de rescate se pone en camino. a) si el bote procede a su rapidez máxima de 20 km/h con respecto al agua, ¿cuál es la dirección, relativa a la orilla, que deberá tomar el conductor del bote? b) ¿Cuál es el ángulo que hace la velocidad, v, del bote con respecto a la orilla? c) ¿Cuánto tiempo le tomará al bote para alcanzar al niño? Solución. a) Considerando al bote y al niño dentro del río se encuentran en un sistema inercial S’. En este sistema el niño esta en reposo y el bote se mueve con su velocidad, para poder alcanzar en el menor tiempo el bote de enfilar con un ángulo relativo a la orilla dado por: 5 , 1 8 , 0 6 , 0 tan = = θ ⇒ º 37 = θ b) La velocidad del bote v, con respecto a la orilla 5 , 13 5 , 2 º 37 cos 20 − = + − = x v (1) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 22 12 º 37 sen 20 = = y v (2) Dividiendo (2) : (1) 89 , 0 5 , 13 12 tan − = − = = φ y x v v ⇒ º 41 − = φ c) El tiempo que le tomará al bote para alcanzar al niño: vt d = ⇒ v d t = Siendo v = 20 km/h y 2 2 6 , 0 8 , 0 + = d = 1,0 km 20 1 = t = 0,05 h = 3 min Ejemplo 39. Desde el techo del carro de un tren que está acelerando hacia el norte a una razón de 2,5 m/s2 se suelta y cae un perno. ¿Cuál es la aceleración del perno con respecto a: a) el carro del tren? b) la estación? Solución: Si y es la vertical hacia arriba y x es la dirección de la aceleración del tren, entonces a) j i a ˆ 8 , 9 ˆ 5 , 2 ' − − = → . b) j a ˆ 8 , 9 − = → Ejemplo 40. Un estudiante de la Facultad de Ingeniería pasea sobre el vagón de un tren que viaja a lo largo de una vía horizontal recta a una rapidez constante de V m/s. El estudiante lanza una pelota al aire a lo largo de una trayectoria que inicialmente forma un ángulo de α° con la horizontal y está en línea con la vía. El profesor del estudiante, que está parado cerca sobre la tierra, observa que la pelota sale verticalmente. ¿Qué altura subirá la pelota? Solución. Si V’ es la rapidez inicial de lanzamiento relativa al tren, entonces en la dirección x tenemos: Vx = V’ cos α V = 0 Porque el profesor observa que sale verticalmente. α cos ' V V = Luego Vy = V’y = V’sinα= V cot α Subirá una altura h dada por g V h 2 cot 2 2 α = Ejemplo 41. La brújula de un avión indica que se está dirigiendo hacia el este con una velocidad de 400 km/h. La información de tierra indica que el viento sopla hacia el norte con una velocidad de 300 km/h. ¿cuál es la velocidad del avión con respecto a tierra? Solución. En este caso tenemos dos sistemas, el sistema tierra (S) y el sistema aire (S') que se mueve con una velocidad de 300 km/h respecto a tierra. j V ˆ 300 = → i v ˆ 400 ' − = → t V R → → = t v r → → = ' ' La posición del avión visto desde O es → → → + = ' r R r = → → + ' r t V La velocidad es → → → → + = = ' v V dt r d v Luego i j v ˆ 400 ˆ 300 + = → Su magnitud h km v 500 400 300 2 2 = + = o 1 -37 400 300 tan α = = El avión se dirige hacia el NE formando un ángulo de 37° con la dirección este, el módulo de la velocidad es 500 km/h. Ejemplo 42. Un nadador recorre una piscina de 100 m en 2 min. Va a nadar en un río observando antes de lanzarse e al agua, que un trozo de madera que flota en ella recorre 20 m en 1 minuto. Calcular el tiempo que tardará el nadador en recorrer 100 m en el río, según vaya a favor o en contra de la corriente. Solución. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 23 La velocidad del nadador es: min m 50 2 100 = = = t s vn La velocidad del agua del río es: min m 20 = r v La velocidad nadando a favor de la corriente es: r n v v v + = 1 = 50 + 20 = 70 m/min Y el que tarda en recorrer 100 m es: 70 100 1 1 = = v s t = 1 min 26 s La velocidad nadando en contra de la corriente es: r n v v v − = 2 = 50 - 20 = 30 m/min Y el que tarda en recorrer 100 m es: 30 100 2 2 = = v s t = 3 min 20 s Ejemplo 43. Un acorazado navega con rumbo NE a una velocidad de 50,56 km/h. Suena zafarrancho de combate y uno de los tripulantes marcha corriendo de babor a estribor para ocupar su puesto, a una velocidad de 10 km /h. Calcular el valor de la velocidad resultante y su dirección. Solución. h km 56 , 55 = A v , h km 10 = T v 2 2 10 56 , 55 + = V = 56,45 km/h 10 56 , 55 tan = α ⇒ 8 , 79 = α 8 , 34 45 8 , 79 = − = ϕ = 34º 47’ 49’’ La dirección será 90º - ϕ = 55º 12’ 11’’ Ejemplo 44. Una pequeña lancha atraviesa un río de 50 m de. Anchura, al mismo tiempo la corriente lo arrastra 60 m aguas abajo. ¿Qué camino ha recorrido? Solución. Si en la figura y es el ancho del río y x el avance producido por la corriente, el camino recorrido por la lancha es s. 2 2 2 2 50 60 + = + = y x s = 78,1 m Ejemplo 45. La velocidad que provocan unos remeros a una barca es de 8 km/h, La velocidad del agua de un río es 6 km/h, y el ancho de tal río 100 m. a) Suponiendo la posición de la proa perpendicular a las orillas, calcular el tiempo que tarda la barca en cruzar el río y la distancia a que es arrastrada, aguas abajo, por la corriente. b) ¿En qué dirección debe colocarse la proa de la barca para alcanzar el punto de la orilla opuesta situado enfrente del de partida? (punto de partida y llegada en la perpendicular común a las orillas), c) ¿Qué velocidad, respecto a la tierra, lleva la barca en los dos casos estudiados? d) ¿Cuánto tarda en atravesar el río?. Solución. a) vx = vr = 6 km/h, vy = vb = 8 km/h t v y y = ⇒ h 8 1 , 0 = = y v y t = 45 s La distancia a que es arrastrada por la corriente: t v x x = = Km 8 1 , 0 6× = 75 m b) Para que la barca vaya en la dirección de v2 la componente horizontal de vb ha de ser igual a 6 km/h. r b v v = ϕ sen ⇒ 8 6 sen = ϕ ⇒ ϕ = 48o 35’ c) En el primer caso www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 24 2 2 2 2 1 8 6 + = + = y x v v v = 10 km/h En el segundo caso: v2 = vbcosϕ = 8cos 48º 35’ = 5,3 km/h d) En el primer caso son 45 s ya calculados. En el segundo caso: h 3 , 5 1 , 0 2 = = v y t = 68 s Ejemplo 46. Una canoa de 2,5 m de larga está junto a la orilla de un río y perpendicularmente a ella. Se pone en marcha con una velocidad de 5 m/s y al llegar a la orilla opuesta ha avanzado en el sentido de la corriente 23,4 m. a) Calcular la velocidad del agua sabiendo que el río tiene una anchura de 100 m. b) Si la canoa marcha a lo largo del río, determinar el camino recorrido en 1 minuto según vaya en el sentido de la corriente o en sentido contrario. Solución . a) La proa de la canoa debe recorrer un espacio en dirección perpendicular al río: y = 100 – 2,5 = 97,5 m siendo y = vc t = 97,5 m el río arrastra a la canoa x = 23,4 m = vr t dividiendo las dos anteriores r v 5 4 , 23 5 , 97 = ⇒ s / m 2 , 1 = r v b) r c v v v + = 1 = 5 + 1,2 = 6,2 m/s ⇒ x1 = 6,2 x 60 =372 m r c v v v − = 2 = 5 - 1,2 = 3,8 m/s ⇒ x2 = 3,8 x 60 =228 m Ejemplo 47. Un bote de remos se dirige perpendicular a la orilla de un río. Los remos pueden propulsar el bote con una velocidad de 3,0 m/s con respecto al agua. El río tiene una corriente de 4,0 m/s. (a) Construya un diagrama en el cual las dos velocidades se representen como vectores. (b) Encuentre el vector que representa la velocidad del bote con respecto a la orilla. (c) ¿Qué ángulo forma este vector con la dirección en la cual el bote está señalando? (d) Si el río tiene 100 m de ancho, determínese cuan lejos río abajo del punto del lanzamiento el bote llega al orilla opuesta. Solución. Solución: a) Diagrama. b y c) La velocidad del bote con respecto a la orilla es → → → + = R B neta v v v . Como → B v y → R v son perpendiculares, tenemos 2 2 R B neta v v v + = = s / m 5 4 3 2 2 = + . El ángulo ϕ mostrado en la figura se determina por B R v v = ϕ tan . Para las velocidades dadas encontramos o 1 , 53 = ϕ . El bote se mueve a lo largo de una línea dirigida 53,1º río abajo. d) Haciendo D = distancia río abajo, tenemos 3 4 100 = = B R v v D , tal que D = 133 m. Ejemplo 48. Un submarino de propulsión convencional (Diesel) sufrió un incendio en el Atlántico norte después de salir de Inglaterra. Debido a un huracán no era posible enviar barcos ni aviones para ayudar al submarino diesel. La marina decidió enviar un submarino de propulsión nuclear para ayudar al de propulsión Diesel. El submarino diesel se encuentra al Sur a 500 km de distancia del submarino nuclear (ver figura). La rapidez del submarino nuclear respecto al agua es de 54 km/h. Además, hay una corriente marina de 36 km/h que se mueve al NE formando un ángulo de 30° respecto al norte. (Asuma que el eje x es el eje DE, y el eje y es el NS). a) Si V es el módulo de la velocidad del submarino nuclear visto desde tierra, escriba en forma vectorial, usando el sistema de coordenadas x -y, la velocidad del submarino nuclear respecto a tierra para que llegue al submarino diesel y la velocidad de la corriente marina con respecto a tierra. b) Halle la velocidad del submarino con respecto a la corriente de agua. c) Calcule el módulo de la velocidad V. d) Halle el tiempo en el cual los marineros son rescatados. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 25 Solución. a) Si V es el módulo de la velocidad del submarino nuclear visto desde tierra, escriba en forma vectorial, usando el sistema de coordenadas x-y, la velocidad del submarino nuclear respecto a tierra para que llegue al submarino diesel y la velocidad de la corriente marina con respecto a tierra. b) Halle la velocidad del submarino con respecto a la corriente de agua. j i V sR ˆ cos 54 ˆ sen 54 α α − − = → , j i j i v c ˆ 18 , 31 ˆ 18 ˆ º 30 cos 36 ˆ º 30 sen 36 + = + = → 0 18 sen 54 = + − α ⇒ 3 1 54 18 sen = = α ⇒ 94 , 0 cos = α ( )j V sT ˆ 18 , 31 cos 54 + − = → α ( )j ˆ 18 , 31 76 , 50 + − = = j ˆ 18 , 19 c) Calcule el módulo de la velocidad V. 19,18 km/hora d) Halle el tiempo en el cual los marineros son rescatados. 18 , 19 500 = = V d t = 26 horas Ejemplo 49. Desde el interior de un tren que viaja a 108 km/h, un niño lanza un objeto por una ventana con una velocidad de 36 km/h, horizontalmente y perpendicularmente a la marcha del tren, justo en el momento en que pasa en frente de un poste indicador. a) ¿A qué distancia del poste contada a lo largo de la vía, y a qué distancia de esta chocará el cuerpo con el suelo? b) Realícese un esquema de la trayectoria seguida por el cuerpo Dato: la altura inicial del objeto sobre el suelo es de 2,45 m Solución. Velocidad del tren s m 30 h km 108 = = y v , Velocidad de la piedra s m 10 h km 36 = = x v 2 s m 10 ≈ g a) El movimiento de la piedra lanzada está dada por las ecuaciones: t x 10 = , t y 30 = , 2 10 2 1 45 , 2 t z − = Cuando la piedra llega al suelo z = 0 2 10 2 1 45 , 2 0 t z − = = ⇒ s t 7 , 0 = Distancia del poste medida desde la vía: m 21 ) 7 , 0 ( 30 30 = = = t y Distancia de la vía al punto de caída: m 7 ) 7 , 0 ( 10 10 = = = t x b) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 26 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. La velocidad de la corriente de un río aumenta en proporción a la distancia de la orilla y alcanza su valor máximo 0 v en el medio. Cerca de la orilla la velocidad es cero. Un bote que navega en el río tiene una velocidad u relativa al agua, constante y perpendicular a la corriente. a) Encontrar la distancia que fue arrastrando el bote al cruzar el río de ancho C. b) Determinar la trayectoria del bote Respuesta. a) u v C d 2 0 = 2. Un automovilista entra en una curva de 150 m de radio, una velocidad de 72 km/h. Accionando los frenos hace disminuir su velocidad de modo uniforme a razón de 1,5 m/s 2 . Determinar el módulo de la aceleración del automóvil cuando su velocidad es de 63 km/h. Respuesta: 2,53 m/s 2 3. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula son t R x cosω = , t R y senω = , vt z = . R, ω, v son constantes. Probar que se trata de un movimiento uniforme, dibujar la trayectoria. Respuesta: Movimiento helicoidal con velocidad angular ω y subiendo con velocidad v. 4. Dadas las ecuaciones paramétricas de un movimiento t A x senω = , t A y cosω = , a) Escribir la ecuación del movimiento. b) La ley horaria c) La trayectoria Respuesta. a) j t A i t A r ˆ cos ˆ sen ω ω + = → , b) At s ω = , c) 2 2 2 A y x = + 5. Dos objetos se mueven en el plano xy de acuerdo a ( ) ( )j t i t t r ˆ 12 2 ˆ 228 3 4 2 1 + + + + = → y ( ) ( )j t i t t r ˆ 24 5 ˆ 444 11 8 2 2 − + − + = → respectivamente. a) ¿Cuales son la velocidad y aceleración de cada objeto? b) ¿Dónde y cuando chocan? Respuesta. a) ( ) j i t v ˆ 2 ˆ 3 8 1 + + = → , i a ˆ 8 1 = → ( ) j i t v ˆ 5 ˆ 11 16 2 + + = → , i a ˆ 16 1 = → b) j i r r ˆ 36 ˆ 840 2 1 + = = → → , 12 = t 6. Las posiciones de dos partículas P1 y P2 están dadas por ( )i t t r ˆ 2 3 5 2 1 + + = → , ( )i t t r ˆ 5 2 2 + = → . a) ¿En qué instante chocarán las dos partículas? b) ¿Cuál es la diferencia de velocidades en ese instante? Respuesta: a) t = 2 b) 8 7. El movimiento de una partícula está definido por el vector posición k t b R j Ct i t b R r ˆ cos ˆ ˆ sen + + = → . Determinar. a) La velocidad y aceleración de la partícula. b) La trayectoria de la partícula. c) El radio de curvatura. Respuesta. a) 2 2 2 b R C v + = , 2 Rb a = , b) Helicoide, c) 2 2 Rb C R + = ρ 8. El movimiento de una partícula está definido por el vector posición j t i t r ˆ 2 cos 25 , 0 ˆ sen 1 , 0 π π + = → , r en metros y t en segundos: a) Determinar la velocidad y aceleración para t = l s. b) Demostrar que la trayectoria de la partícula es una parábola. Respuesta. a) m/s ˆ 1 , 0 i v π − = → , 0 = → a b) 2 5 025 , 0 x y − = 9. La aceleración de un cuerpo es: ( ) 2 cm/s ˆ ˆ 2 ˆ 3 k j i a + + = → a) Si el cuerpo parte del reposo ¿Cuál es su velocidad después de 3 segundos? b) ¿Cuál es su posición después de 10 segundos? c) ¿Cuál es su rapidez media durante los primeros 10 segundos? Respuesta. a) ( )cm/s ˆ 3 ˆ 6 ˆ 9 k j i + + b) ( )cm ˆ 50 ˆ 100 ˆ 150 k j i + + c) 18,71 cm/s 10. Si una partícula que se mueve sobre una trayectoria curva tiene una aceleración total en un momento dado ( ) 2 cm/s ˆ 2 ˆ 3 n t a + = → . Hallar: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 27 a) La aceleración tangencial. b) La aceleración centrípeta. c) El módulo de la aceleración total. d) El ángulo ϕ que la aceleración total forma con la tangente a la curva. Respuesta: a) 2 cm/s 3 = t a b) 2 cm/s 4 − = c a c) 2 5cm/s = a d) o 53,1 = ϕ 11. Dos cuerpos se lanzan simultáneamente desde un mismo punto con la misma rapidez inicial pero en distintas direcciones, uno verticalmente hacia arriba y el otro formando un ángulo θ = 60° con la horizontal. Conociendo que la rapidez inicial de ambos cuerpos es 0 v = 25 m/s, ¿a qué distancia se encontrarán cuando hayan pasado 1,7 s? 12. Una partícula se mueve en un plano de tal suerte que su radio vector con respecto a un punto fijo barre ángulos iguales en tiempos iguales mientras que la distancia al punto fijo es variable con el tiempo. Escriba las componentes radial y tangencial de la velocidad y la aceleración de la partícula mostrando explícitamente cualquier cantidad que se mantenga constante durante el movimiento. 13. Un tren pasa por una estación con una velocidad de 30 km/h. En el instante en que la locomotora pasa junto al guardagujas este lanza una bolsa a uno de los ingenieros de maquinas. Sabiendo que la rapidez inicial con que el guardagujas lanzó la bolsa fue de 45 km/h a) ¿Cuál tendrá que ser el ángulo de lanzamiento para lograr el objetivo?. b) Describa la trayectoria de la bolsa en el sistema de referencia del maquinista. 14. Un arquero está en una colina cuya pendiente forma un ángulo α con la horizontal. Si el arquero dispara la flecha según una dirección β respecto a la colina y con velocidad 0 v , encontrar la distancia, medida a lo largo de la colina, a la cual caerá la flecha. 15. Dos partículas se encuentran inicialmente en reposo en las posiciones que muestra la figura. Ambas comienzan a moverse al mismo tiempo, la partícula 1 con aceleración constante j a a ˆ = → , y la partícula 2 con aceleración angular constante α , en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, describiendo una circunferencia de radio R, como se muestra en la figura. Determine en función de a y R: a) El tiempo que tardan en encontrarse, suponiendo que lo hacen sobre el eje de las ordenadas, antes que la partícula 2 complete una vuelta completa. Encuentre el valor de α que hace esto posible. b) Halle los vectores velocidad y aceleración de las dos partículas para el instante del encuentro. 16. Un niño hace girar uniformemente una piedra en un círculo horizontal por medio de una cuerda de 1 m de longitud. El niño se encuentra sobre un montículo de tal forma que el plano del movimiento se encuentra a 5 m de altura sobre el suelo. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 3 m de distancia. ¿Cuál fue la aceleración centrípeta de la piedra mientras estaba en movimiento circular? 17. Desde un sistema de referencia situado en el suelo, con eje horizontal x y vertical y, se observa el movimiento de un objeto sometido a una aceleración j i a ˆ 6 ˆ 2 − − = (m/s). Si en el instante inicial el objeto se encontraba en el punto P = (-3, 2) (m), moviéndose con una velocidad ( ) j v t ˆ 3 0 = = (m/s): a) Obtenga la ecuación explícita de la trayectoria del objeto. b) Determine el instante en el que la velocidad y la aceleración son perpendiculares. c) Calcule las coordenadas del punto más alto de la trayectoria. d) Calcule el tiempo que tardó el móvil desde que salió del punto P hasta que llegó al suelo. 18. La figura muestra una cuenta p que desliza por un alambre plano en forma de parábola. La ecuación de la parábola es y = x2/b, donde b es una constante positiva con dimensiones de longitud. Llamaremos a www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 28 al ángulo entre la tangente a la curva y el eje x. en el punto donde se encuentra la cuenta. a) Halle α tan en función de la coordenada x de P. b) Suponga que la cuenta tiene rapidez v y se mueve hacia la derecha. Halle las componentes x e y de la velocidad de la cuenta en función de y y de la coordenada x de P. Ayuda: recuerde que el vector velocidad es tangente a la trayectoria. Respuesta. a) b x 2 tan = α b) 2 2 4x b bv vx + = , 2 2 4 2 x b xv v y + = 19. Un ascensor parte del reposo y desciende con aceleración constante de 1 m/s2 respecto a Tierra. Dos segundos después de iniciarse el descenso se cae la lámpara del techo del ascensor. La distancia del techo al piso del ascensor es de 2 m. Definimos el referencial del ascensor como aquél con origen en su techo y dirección y positiva apuntando hacia abajo. a) Halle los vectores aceleración, velocidad y posición de la lámpara respecto al ascensor. b) Determine el tiempo que tarda la lámpara en caer. c) Encuentre la distancia recorrida por el ascensor mientras cae la lámpara. Respuesta. Todas las unidades están expresadas en el sistema MKS. L indica lámpara, A ascensor y T Tierra. a) Tomaremos como t = 0 el instante para el cual se desprende la lámpara. j a a a AT LT LA ˆ 9 = − = → → → , j t v LA ˆ 9 = → , j t r LA ˆ 2 9 2 = → b) 2 2 9 2 = = t yLA ⇒ 3 2 = t c) 9 14 = D 20. Los instrumentos de un aeroplano en vuelo horizontal indican que se dirige hacia el Este con una rapidez de 300 km/h respecto al aire. En Tierra se observa que el aeroplano se encuentra en medio de una corriente de aire que sopla hacia el Norte con rapidez de 60 km/h. Halle la velocidad y rapidez del avión respecto a Tierra. Respuesta. Llamaremos E ˆ y N ˆ a los vectores unitarios en dirección Este y Norte respectivamente. ( ) N E v ˆ 60 ˆ 300 + = → km/h, 26 60 = v km/h. 21. Un hombre guía su automóvil bajo lluvia a una velocidad constante respecto a Tierra de módulo y dirección. Mientras conduce el hombre observa que la trayectoria de cada gota es una línea recta que se aparta un ángulo α de la vertical y al detenerse observa que la lluvia cae verticalmente y prácticamente con velocidad constante. Halle el vector velocidad de las gotas de lluvia respecto al auto en movimiento y respecto a Tierra (tome vertical hacia arriba). Respuesta. j v v Tierra gota ˆ tan , α − = → , i v j v v Auto gota ˆ ˆ tan , − − = → α 22. Un vagón de ferrocarril motorizado va cuesta abajo sobre un plano inclinado un ángulo α . La distancia entre el techo y el piso del vagón es H y su aceleración respecto a Tierra es constante y vale i a a ˆ = → , ver figura. Un pasajero del vagón observa que una lámpara, situada en el centro del techo del vagón, se desprende y choca con el piso en el punto O (en el extremo inferior del vagón). a) Halle la aceleración de la lámpara respecto a Tierra y respecto al pasajero del vagón. Exprese sus resultados en términos de los vectores unitarios i ˆ y j ˆ . b) Escriba las componentes cartesianas de la velocidad y posición de la lámpara según el pasajero. Torne el origen en el punto o solidario al vagón y llame L a la longitud del vagón. c) Halle el tiempo que tarda la lámpara en caer y la longitud L del vagón. d) Determine la ecuación de la trayectoria de la lámpara, ( ) x y y = , según el pasajero. ¿Qué clase de curva es la trayectoria de la lámpara vista por el pasajero y vista desde Tierra? Respuesta. Los subíndices L, P y T hacen referencia a la lámpara, al pasajero y al referencial inercial de Tierra respectivamente. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 29 a) ( ) j i g a LT ˆ cos ˆ sen θ θ − = → , ( ) j ˆ cos ˆ gsen θ θ g i a a LP − − = → b) ( )t gsen a vx − = θ , t cosθ g v y − = ( ) 2 t gsen 2 1 2 L a x − − = θ , H g y + − = 2 t cos 2 1 θ c) θ cos 2 g H t = , ( ) θ θ cos gsen 2 g a H L − = d) Vista por el pasajero la trayectoria es una línea recta de ecuación x a g y − − = gsen cos θ θ Vista desde Tierra la trayectoria es una parábola. 23. La corriente de un río fluye de Este a Oeste con rapidez constante v = 2 m/s respecto a Tierra. Un bote atraviesa el río y de acuerdo a sus instrumentos de a bordo se mueve respecto al río dirigiéndose al Norte con rapidez constante = 10 m/s. Respecto al bote un pasajero se desplaza sobre la cubierta en línea recta desde el punto A hasta el punto G con una rapidez constante 1 v = 10 m/s. Suponga que BA = 4 m y apunta hacia el Norte y BC = 3 m y apunta hacia el Este. a) Halle el vector unitario u ˆ que apunta de A a C y las velocidades del bote y del pasajero respecto a Tierra. b) Halle el tiempo que tarda el pasajero en ir de A hasta C. ¿Qué distancia recorre el bote en ese tiempo según un observador en Tierra? Respuesta. Las letras b, p y T designarán respectivamente el bote, pasajero y Tierra. a) j i u ˆ 4 ˆ 3 ˆ + = , ( ) j i v T b ˆ 10 ˆ 2 , − − = → m/s, ( ) j i v T p ˆ 2 ˆ 4 , − = → m/s. b) s t 2 1 = , m 26 = d 24. El aro de la figura tiene radio R y rueda sobre una superficie horizontal fija a Tierra. El aro gira en sentido horario mientras su centro e se mueve hacia la derecha con rapidez V respecto a la superficie. Considere un observador con origen en C (se traslada con el aro) y que no rota respecto a Tierra. Suponga que todos los plintos del aro tienen rapidez V respecto al observador (se dice entonces que el aro rueda sin deslizar). En la figura se han marcado cuatro puntos para un cierto instante. El punto A es el punto más alto del aro, el B el más bajo, el D el punto del extremo izquierdo y el E con un radio vector que forma un ángulo θ con la vertical. a) Halle la velocidad angular w del aro. b) Halle los vectores velocidad de los puntos A, B y D respecto a la superficie. c) Halle el vector velocidad del punto E respecto a la superficie y diga para qué ángulo θ su módulo es igual a V. Respuesta. a) La rapidez de cualquier punto del aro respecto a C es ω R V = , luego R V / = ω . b) i V VA ˆ 2 = r , 0 = B V r , j V i V VD ˆ ˆ + = r c) ( ) j V i V VE ˆ sen ˆ cos 1 θ θ + − = r , V VE = r ⇒ ° ± = 60 θ 25. Para conocer la rapidez de un avión es necesario determinar cuanto tiempo toma volar en un rizo cerrado de longitud conocida. ¿Cuánto tiempo tomará al avión volar alrededor de un cuadrado de lado a, con el viento soplando con una velocidad u?, en dos casos: a) la dirección del viento coincide con uno de los lados del cuadrado; b) la dirección del viento coincide con la diagonal del cuadrado? Sin viento la rapidez del avión es v, mayor que u. Respuesta, a) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 u v u v v a t − − + = , b) ( ) 2 2 2 2 2 2 / 4 u v u v a t − − = 26. Un hombre que viaja en un camión intenta golpear un poste con una piedra, y cuando pasa www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 30 frente a él arroja la piedra con una velocidad horizontal de 20 m/s respecto al camión. Sabiendo que la velocidad del camión es de 40 km/h, Calcular: a) la dirección en que debe lanzar la piedra. b) la velocidad horizontal de la piedra respecto al suelo. Respuesta. a) 56,3º con relación a la dirección trasera del camión b) 16,63 m/s 27. El piloto A está volando con un avión con una velocidad de 150 km/h, sobrevolando al piloto B, cuyo avión vuela a 135 km/h, 300 m por debajo Con el mismo rumbo. El piloto A para mandar un mensaje a B lo sujeta a una piedra y la arroja a la cabina de B. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire. a) ¿Con qué velocidad deberá lanzarla respecto a su avión cuando B está directamente debajo de él? b) ¿Cuándo B está todavía a 300 metros delante de l? Respuesta, a) v = 15 km/h hacia atrás; b) v = 128 km/h hacía adelante. 28. Una partícula describe una circunferencia de radio R = 0,5 m con una frecuencia de 10 r pm. Si en t0= 0 la partícula está en la posición A moviéndose en el sentido horario, calcular: a) El período T y la rapidez del movimiento b) La velocidad media y aceleración media en el intervalo (0; 0,75T). c) La aceleración en t =T / 2 29. Una partícula P se mueve con aceleración angular constante sobre una circunferencia de radio R =3m. Parte desde el reposo del punto A y completa la primera vuelta en un tiempo t = 2s. Calcular: a) El módulo de la aceleración angular b) La ecuación ( ) → → = t r r . c) El tiempo que emplea para llegar a la posición definida por θ = 3π/2 . d) La velocidad lineal en θ = π 30. Un automóvil viaja hacia el Este con una rapidez de 50 km/h. Está lloviendo verticalmente con respecto a la Tierra. Las marcas de la lluvia sobre las ventanas laterales del automóvil forman un ángulo de 60° con la vertical, calcule la velocidad de la lluvia con respecto a: a) el automóvil y b) la Tierra. 31. La distancia de A a B es l . Un aeroplano vuela desde A hasta B y vuelve otra vez con una velocidad constante V relativa al aire. Calcular el tiempo, total que empleará en realizar el recorrido si el viento sopla con una velocidad v en las siguientes direcciones: a) Sobre la línea que une A y B. b) Perpendicular a esta línea. c) Formando un ángulo θ con esta línea. Demostrar que la duración del trayecto siempre aumenta con la existencia del viento. Respuesta. Poniendo V T l 2 0 = , los resultados son: a) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 2 2 0 1 V v T b) 2 1 2 2 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− V v T c) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 1 2 0 1 sen 1 V v V v T θ 32. El bloque deslizante A se mueve hacia la izquierda a una velocidad constante de i ˆ 3 , 0 m/s, Determinar: a) La velocidad del bloque B; b) las velocidades de los tramos de cable C y D; e) la velocidad relativa de A respecto a D; d) La velocidad relativa del tramo de cable C respecto al tramo D. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Movimiento en un plano y en el espacio Hugo Medina Guzmán 31 Respuesta. a) i ˆ 2 , 0 − m/s, b) i ˆ 2 , 0 − m/s, i ˆ 4 , 0 − m/s, c) i ˆ 1 , 0 − m/s, d) i ˆ 2 m/s, www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 1 CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior estudiamos el movimiento de una partícula con respecto a un sistema de referencia sin preguntarnos sobre la causa del movimiento. Lo describimos simplemente en términos de los vectores → r , → v y → a . Nuestra discusión fue geométrica, en este capítulo discutiremos la causa del movimiento. Seguiremos tratando a los cuerpos como partículas simples. Posteriormente trataremos sobre sistemas de partículas y cuerpos rígidos. EL ORIGEN DEL MOVIMIENTO ¿Qué origina el movimiento? ¿Qué detiene el movimiento? ¿Se necesita causa para mover las cosas? ¿Por qué un objeto al que se le da un empujón pronto se detiene? ¿Por qué los planetas mantienen su movimiento alrededor del sol? Aristóteles joven filósofo griego (siglo IV a.c.) decía que un cuerpo permaneciera en movimiento era necesario ejercer alguna acción sobre él ya que el estado natural es el reposo. Esto parece ser razonable, cuando dejamos de empujar un cuerpo, este pronto alcanza el reposo. Parece ser necesaria una acción exterior o fuerza aplicada al cuerpo para mantener el movimiento. Sin embargo, observemos esta situación con mayor detenimiento. La figura siguiente muestra un bloque de madera sobre un plano. Aplicamos una fuerza pequeña al bloque, no pasa nada. Incrementamos la fuerza y a un valor particular el bloque se mueve. Si seguimos incrementando la fuerza empujando o jalando más, el objeto se mueve con mayor rapidez, Cuando dejamos de empujar el cuerpo rápidamente vuelve al reposo. Sin embargo si ponemos ruedas al bloque el resultado es diferente, una fuerza muy pequeña causa el movimiento. La diferencia son las ruedas debido a la fricción. Para hacer un estudio libre de la fricción busquemos llegar cercanamente a esta condición, una forma de lograr esto es con una mesa neumática, se sopla aire sopla hacia arriba a través de pequeños agujeros manteniendo un disco suspendido sobre un colchón de aire. ¿Qué pasa cuando empujamos un objeto en ausencia de fricción? Este se mantiene en movimiento a velocidad constante. En ausencia de una fuerza resultante, el objeto se mantiene en movimiento con velocidad uniforme o permanece en reposo. Esta es la PRIMERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO Ahora podemos pensar acerca de la situación cuando un objeto era empujado sobre un plano. Cuando la fuerza era pequeña no había movimiento, pero una fuerza debería causar movimiento; la conclusión es que debe haber otra fuerza actuando sobre el cuerpo la cual anula justamente el efecto de la fuerza que aplicamos. Al incrementar nuestra fuerza, la fuerza opuesta también se incrementa, hasta que en algún valor particular la fuerza opuesta termina de incrementarse y comienza el movimiento porque hay una fuerza resultante actuando sobre el objeto. La fuerza opuesta es la fuerza de Fricción ¿QUÉ ES FUERZA? En la vida cotidiana se considera fuerza a una sensación común asociada con la dificultad para mover o levantar un cuerpo. En Física se identifica una fuerza por el efecto que produce. Uno de los efectos de una fuerza es cambiar el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, más concretamente, una fuerza cambia la velocidad de un objeto, es decir produce una aceleración. Cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo y no se produce movimiento, entonces puede cambiar su forma, aún si el cuerpo es muy rígido. La deformación puede o no ser permanente. Entonces los efectos de la fuerza neta son dos: cambiar el estado de movimiento de un cuerpo o producir una deformación, o ambas cosas. Normalmente sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas, entonces el cuerpo acelerará cuando el efecto de la fuerza neta que actúa sobre él no es cero. Se llama fuerza neta o fuerza resultante a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Si la fuerza neta es cero, la aceleración es cero, el movimiento es con velocidad igual a cero (cuerpo detenido) o con velocidad constante. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante, se dice que está en equilibrio. Se pueden distinguir dos grandes clases de fuerzas: fuerzas de contacto, representan el resultado del contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores, por ejemplo mover un carro o estirar un resorte; y fuerzas de acción a distancia que actúan a través del espacio sin que haya contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores, por ejemplo la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos que caen en caída libre. Todas las diferentes formas de fuerzas se encuentran dentro de esas dos grandes clasificaciones. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 2 Para describir el mundo, la física contemporánea recurre a cuatro interacciones o fuerzas fundamentales, que actúan sobre las partículas de materia (y sobre las antipartículas), son vehiculadas por unas partículas llamadas vectores de interacción, que son: fotón (interacción electromagnética), bosón (interacción débil), gluón (interacción fuerte) y gravitón (interacción gravitacional). 1) Fuerzas electromagnéticas de atracción o repulsión entre partículas cargadas en reposo o en movimiento, explica la cohesión de los átomos, es mucho más intensa que la fuerza gravitacional. 2) Fuerzas nucleares intensas entre partículas subatómicas, responsable de la existencia del núcleo atómico asegura la cohesión interna de los constituyentes del núcleo atómico, protones y neutrones, y es responsable de un gran número de reacciones y de desintegraciones; es la de mayor magnitud (102 - 103 veces la fuerza electromagnética). 3) Fuerzas nucleares débiles de corto alcance, rige algunos procesos radiactivos, establece la estabilidad de algunos núcleos, es varios órdenes de magnitud (1012) menor que la fuerza electromagnética. 4) Fuerza de atracción gravitacional entre cuerpos debido a sus masas, entre otras cosas hace que caigan las manzanas y que suba la marea, es la fuerza de menor magnitud comparada con las otras. Para que el concepto de fuerza sea exacto se debe establecer un método para medirla. Una fuerza se puede medir por el efecto que produce. Por ejemplo se puede usar la deformación que una fuerza produce en un resorte, como en la figura. Si se aplica una fuerza verticalmente a un resorte y se estira una unidad, le asignamos a la fuerza una magnitud unitaria F. Se aplica ahora otra fuerza al mismo resorte horizontalmente, produciéndole un estiramiento de dos unidades, la magnitud de la fuerza será de 2F. Si se aplican simultáneamente las dos fuerzas, el resorte se inclina, y se estira 5 veces. La fuerza equivalente que produce ese estiramiento del resorte es la suma vectorial de F y 2F. Es decir, la fuerza es un vector. El instrumento para medir fuerzas se llama dinamómetro, es un resorte que se estira sobre una escala. Si se aplica una fuerza de una unidad sobre el dinamómetro, el resorte se estira hasta que ejerce una fuerza igual y contraria a la aplicada. En la escala se mide el alargamiento del resorte y se le asigna una unidad de fuerza. De esa manera se calibra el dinamómetro y se usa para medir fuerzas, por ejemplo se aplica una fuerza sobre el dinamómetro y si se estira 2,5 unidades, entonces la fuerza aplicada es 2,5 veces la unidad de fuerza. Este procedimiento es válido para pequeños alargamientos del resorte, ya que si la fuerza es muy intensa, se puede deformar y no volver a su forma original. CAMBIO DE VELOCIDAD Nuestro siguiente problema es encontrar una relación entre la fuerza y el cambio en el movimiento producido por ésta. Para esto necesitamos lo siguiente: 1. Un carro muy ligero que pueda moverse sin fricción sobre una superficie horizontal. 2. Una fuerza constante. Esta podernos obtenerla mediante un resorte (Si mantenemos un resorte estirado una misma longitud, la fuerza que la estira es constante). 3. Un registrador de tiempo. El movimiento del carro puede estudiarse si una cinta de papel atada a éste pasa a través del registrador que produce marcas en la cinta a intervalos de tiempo regulares. La figura siguiente muestra la cinta de papel producida por una fuerza constante. Con los datos obtenidos en esta experiencia se realiza el gráfico distancia - tiempo y se obtiene una curva. Con los datos también se puede obtener la velocidad media en cada intervalo de tiempo. El gráfico velocidad - tiempo es una línea recta que indica que www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 3 el movimiento es con aceleración constante. De aquí podemos concluir que una fuerza constante produce una aceleración constante. Si duplicamos la fuerza usando dos resortes iguales estirados la misma longitud, como se muestra en la figura. Duplica la fuerza y produce el doble de aceleración. Si triplicamos la fuerza se obtiene una aceleración de valor triple. Concluimos que la aceleración a del cuerpo es directamente proporcional a la fuerza. F a ∝ Podemos escribir esto como ma F = , donde m es la constante de proporcionalidad. A esta constante la llamaremos MASA. Para una determinada fuerza a mayor constante m la aceleración es menor. A mayor valor de la constante es más difícil acelerar el cuerpo. Para conocer qué factores cambian esta constante realicemos el siguiente experimento: en lugar de usar un solo carro jalado por el resorte estirado usemos dos carros uno sobre otro y luego tres carros como se muestra en la figura La aceleración que se obtiene con los carros es igual a la mitad y con tres es igual a un tercio. Como el valor de F es igual en todos los casos, quiere decir que la constante con dos carros es igual a 2m y con tres carros es 3m. Como la aceleración es una cantidad vectorial la fuerza también lo es y tiene la misma dirección que la aceleración, pero un módulo m veces mayor, de modo que la relación anterior puede escribirse en la forma → → = a m F Fuerza = masa x aceleración. Esta expresión constituye la SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. La fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por la aceleración que le imprime. UNIDADES DE FUERZA Y MASA La relación ma F = nos da una relación entre fuerza, masa y aceleración. En el sistema internacional (S.I.) la unidad de aceleración es m/s. ¿Cuales son las unidades de fuerza y de masa? Como son dos cantidades que se relacionan sólo tenernos que especificar un estándar para una de ellas. El sistema internacional adopta corno unidad una pieza de material llamado KILOGRAMO, cuyo símbolo es kg. El kilogramo es la masa un prototipo de platino iridiado sancionado por la Conferencia General de Pesas y Medidas realizada en París en 1889 y depositado en el pabellón de Breleuil en Sevres. La unidad de fuerza es el newton, cuyo símbolo es N y se define así: El newton la fuerza que produce una aceleración de un metro por segundo al cuadrado a una masa de un kilogramo. 2 s kgm N = Otros sistemas: MKS: igual al S.I. CGS: Masa → gramo (g), l g = 10-3 kg Aceleración → cm/s2 Fuerza → dina = g.cm/s2 Inglés técnico: En este sistema la unidad fundamental es la unidad de fuerza. Fuerza → libra (lb), 1 lb = 4,45 N Aceleración → pie/s2 Masa → slug = lb58 s2/pie PESO DE UN CUERPO. El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre el cuerpo. Un cuerpo de masa m sometido a cierta fuerza cae con la aceleración de la gravedad g, el peso P de este cuerpo es → → = g m P Su dirección es hacia abajo (hacia el centro de la Tierra). Como el peso es una fuerza debe medirse en Newtons. Debido a que la aceleración de la gravedad varía de un lugar a otro de la Tierra, el peso de un cuerpo es diferente en lugares distintos, sin embargo la masa de un cuerpo es la cantidad fija que no depende del lugar donde está situado el cuerpo, Aunque el peso de un objeto varía de un sitio a otro, esta variación es demasiado pequeña para ser observada en la mayor parte de las aplicaciones prácticas, por esto, el peso de un cuerpo parece ser una característica constante al igual que su masa. Este www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 4 hecho ha conducido al empleo ordinario de otras dos medidas: KILOGRAMO FUERZA, es el peso de un Kilogramo masa. 1 kgf = 9,8 N LIBRA MASA, es la masa de un cuerpo que pesa una libra. 1 libra masa = 0,454 kg. Estas unidades son prácticas pero incorrectas y no deben ser usadas en Física. ACCION Y REACCION. Hagamos una observación más detallada cuando jalamos el carro con un resorte estirado una determinada longitud. Para que el resorte esté estirado es necesario jalarlo por los dos lados. Se necesitan fuerzas en sentidos opuestas y en cada extremo del resorte. Cuando jalamos el carro, una fuerza actúa sobre el carro y una fuerza en sentido opuesto actúa sobre nuestra mano. ¿Cuáles son las magnitudes de estas fuerzas? Con el objeto de dar respuesta a esta pregunta pongamos dos resortes iguales al primero y jalemos de tal manera que el carro adquiera la misma aceleración que antes, esto quiere decir, por la segunda ley de newton que siendo la misma masa m estamos aplicando la misma fuerza (F = ma) que antes y observamos que los resortes estiran la misma longitud, lo que quiere decir que la fuerza sobre la mano es igual a la fuerza sobre el carro. Esto constituye la TERCERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo, éste ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el primero. La fuerza ejercida por el primer cuerpo sobre el segundo es la ACCIÓN, la fuerza igual y opuesta actuando sobre el primero es la REACCIÓN, Expresado en símbolos, es: 2 a debido 1 sobre 1 a debido 2 sobre → → = F F Fuerza de contacto de un cuerpo a otro con un cambio de dirección o sin él A continuación presentarnos algunos casos tipo de la aplicación de las leyes de Newton. APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON Cuando estudiamos Cinemática, encontrarnos las relaciones entre desplazamiento, aceleración y tiempo. Por ejemplo, conociendo la aceleración → a las condiciones tales como posición inicial, velocidad inicial, es decir la posición y la velocidad en el tiempo que llamamos inicial (t = 0), podemos conocer la velocidad y posición para cualquier tiempo. Las condiciones iniciales las tenemos pero la aceleración, ¿de dónde? Para esto tenemos → → = a m F , todo lo que tenemos que hacer es conocer las fuerzas sobre el cuerpo y su masa, y entonces podremos encontrar → a . La mejor forma de estar seguros que comprendemos el significado de → → = a m F , es hacerlo con algunos problemas que involucran las leyes de Newton. Para resolver un problema sugerimos cuatro pasos a seguir: 1. Dibujar un esquema del sistema 2. Identificar el cuerpo a cuyo movimiento se refiere el problema. 3. Dibujar otra figura con solamente el objeto en particular manteniendo el marco de referencia poner todas las fuerzas que actúan sobre el objeto mediante flechas. Esto se conoce como DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (DCL). Si se comete una equivocación todo lo demás fallará, por eso es conveniente hacerlo bien. Una mejor forma de comenzar es poner la fuerza de gravedad primero y luego preguntarse: “¿Qué toca al cuerpo?”, la acción de tos resortes, cuerdas, manos y otros objetos, todos deben ser considerados. Así como también las fuerzas que actúan sin tocar el cuerpo, como la fuerza eléctrica, magnética de las cuales no nos preocupamos en este curso. 4. Finalmente, aplicar la segunda ley de Newton a cada componente de fuerza y aceleración. → → = a m F x x ma F = ∑ , y y ma F = ∑ , z z ma F = ∑ . y ahora resolver para la aceleración. En algunos de los problemas que se presentan más frecuentemente, las acciones se producen por fuerzas sin contacto; en otros se usan cuerdas y varillas como medios de conexión. Cuando las masas de estos medios de conexión son despreciables su único efecto es el de transmitir ESTÁTICA DE LAS MASAS PUNTUALES. Los sistemas en los cuales todas sus partes satisfacen la primera ley son llamados sistemas estáticos, es decir si la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan es nula, el cuerpo esta en equilibrio y permanece en reposo, o si está en movimiento, se mantiene con velocidad constante www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 5 La condición de este equilibrio es 0 = ∑ → F y en componentes cartesianas: 0 = ∑ x F , 0 = ∑ y F , 0 = ∑ z F . Las fuerzas son ejercidas sobre el objeto o sistemas por. Medios exteriores al sistema. Ejemplo 1. La Fuerza gravitacional Dado que la aceleración de un cuerpo en caída libre en la tierra es g, ¿cuál es la fuerza de la gravedad? Solución. Como este movimiento es en una sola dimensión, consideramos que este se realiza en el eje z, tal que k g a ˆ − = → Según la Segunda Ley de Newton k mg a m F ˆ − = = → → 0 = ∑ x F , 0 = ∑ y F , mg Fz − = ∑ . Siendo esta la respuesta que ya conocíamos. Ejemplo 2. El dinamómetro. El dinamómetro es un instrumento que se utiliza para medir las fuerzas. Consta de un resorte con una escala que indica su estiramiento, la cual está graduada en Newtons. Cuando lo utilizamos para pesar se dispone como lo muestra la figura. Se suspende la masa m, el resorte del dinamómetro se estira hasta que alcanza el equilibrio estático. Diagrama del cuerpo libre (DCL) Aplicando la condición de equilibrio de la masa m 0 1 = −mg T Luego⇒ mg T = 1 Si despreciamos la masa del dinamómetro, tenemos que: 0 2 1 = −T T y 2 1 T T = El dinamómetro indica en la escala la fuerza mg T = 2 Ejemplo 3. Se tiene los dispositivos mostrados en la figura. ¿Cuánto indica el dinamómetro de la figura (a) y cuánto el dinamómetro de la figura (b)? Solución. a) El diagrama de cuerpo libre de la figura (a) es www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 6 Empezando por la derecha 0 1 = −mg T ⇒ mg T = 1 La figura siguiente muestra la polea Para que el trozo de cuerda este en equilibrio 0 = ∑ → F Descomponiendo las fuerzas sobre el trozo de cuerda en los ejes x e y. Como la cuerda se considera sin masa la suma de fuerzas a lo largo del eje x es 0 cos cos 2 1 = − θ θ T T ⇒ 2 1 T T = En el dinamómetro, considerándolo de masa despreciable. 0 = ∑ → F 0 3 2 = −T T ⇒ 3 2 T T = En la polea de la izquierda 3 4 T T = En la masa de La izquierda 0 = ∑ → F 0 4 = −mg T ⇒ mg T = 4 Como conclusión todas las tensiones son iguales a mg mg T T T T = = = = 1 2 3 4 El dinamómetro es tensionado por la fuerza 1 T , y su indicación será: mg T = 1 b) El diagrama de cuerpo libre de la figura siguiente es En la masa 0 1 = −mg T ⇒ mg T = 1 En la polea 2 1 T T = En el dinamómetro mg T T T = = = 1 2 3 El dinamómetro es tensionado por la fuerza 1 T y su indicación será mg T = 1 Como se puede ver esta situación es completamente análoga a la anterior, sólo que hemos sustituido una de las poleas por la pared. Ejemplo 4. Un cuerpo de masa m se sostiene por medio de cuerdas como se muestra en la figura. Encontrar las tensiones T1, T2 en las tres cuerdas. Solución. Tomando un sistema de ejes horizontal y vertical como el mostrado en la figura tenemos: j mg T ˆ 1 − = → j T i T T ˆ sen ˆ cos 2 2 2 θ θ + = → j T i T T ˆ sen ˆ cos 3 3 3 α α + − = → Con 0 = ∑ → F 0 3 2 1 = + + → → → T T T Obtenemos: 0 cos cos 3 2 = − = ∑ α θ T T Fx 0 sen sen 3 2 = − + = ∑ mg T T Fy α θ Resolviendo estas dos ecuaciones ( ) α θ α + = sen cos 2 mg T , ( ) α θ θ + = sen cos 3 mg T Ejemplo 5. Un bloque de 50N de peso se ubica sobre un plano inclinado en un ángulo α de 30º con la www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 7 horizontal. El bloque se sujeta con una cuerda ideal que se encuentra fija en la parte superior del plano inclinado, como en la figura. Estudiar el comportamiento mecánico del bloque. Solución. El D. C. L. del cuerpo: Fuerza de atracción de la Tierra, que es su peso mg. Fuerza de la cuerda que lo sostiene, que es la tensión T Fuerza que el plano ejerce sobre el cuerpo, que es la normal N Como el sistema está en equilibrio, se aplica la primera Ley de Newton: Del diagrama de cuerpo libre se obtiene: ∑ x F : 0 sen = + − α mg T ∑ y F : 0 cos = − α mg N Despejando T y N, y reemplazando los valores numéricos, se obtiene: N 25 30 sen 50 sen = ° = = α mg T N 2 , 43 30 cos 50 cos = ° = = α mg N DINÁMICA CON FRICCIÓN DESPRECIABLE. Los sistemas en los cuales todas sus partes satisfacen la primera ley son llamados sistemas estáticos, es decir si la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan no es nula y la fricción se considera despreciable, Ejemplo 6. Si un bloque de masa m se ubica sobre un plano sin roce, inclinado un ángulo α con la horizontal, resbalará una distancia D a lo largo del plano. Describir su movimiento. Solución. El D. C. L. del cuerpo: Del diagrama de cuerpo libre se obtiene: ∑ x F : x ma mg = α sen ∑ y F : 0 cos = = − y ma mg N α De estas ecuaciones se obtiene: α sen g ax = y α cos mg N = Se concluye que la aceleración del bloque en dirección del plano inclinado es la componente de g en esa dirección. Estudiando ahora el movimiento del bloque, considerando que parte del reposo y se desliza una distancia D, se puede calcular la rapidez con que llega a la base del plano. Si se considera que el movimiento del bloque comienza desde el reposo, se puede usar: x a v v xΔ + = 2 2 0 2 ⇒ ( )D g v α sen 2 2 = y α sen 2gD v = Ejemplo 7. Para el siguiente sistema mecánico, calcular la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda. Solución. Como no se conoce la dirección del movimiento, supongamos que el cuerpo de masa M sube por el plano inclinado, lo que determina el sentido de la aceleración, entonces aplicando la segunda Ley de Newton se aplica cada masa: El D. C. L. del cuerpo M: Del diagrama de cuerpo libre se obtiene: ∑ x F : Ma Mg T = − α sen ⇒ Ma Mg T + = α sen ∑ y F : 0 cos = − α Mg N De estas ecuaciones se obtiene: El D. C. L. del cuerpo m: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 8 Del diagrama de cuerpo libre se obtiene: ∑ y F : ma mg T − = − ⇒ ma mg T − = De estas ecuaciones se obtiene ma mg Ma Mg − = + α sen ( ) ( ) g M m M m a + − = α sen Se observa que el signo de a depende del término (m - M sen α). Ahora se calcula el valor de la tensión reemplazando el valor de a en T: g M m M m m mg T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = α sen ( )( )g M m mM T α sen 1+ + = Ejemplo 8. Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m2 = 8 kg, están unidos mediante una cuerda homogénea inextensible que pesa 2 kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical hacia arriba de 560 N. Calcular: a) La aceleración del conjunto; b) Las fuerzas que actúan en los extremos de la cuerda. Solución. En el D. C. L. de m1: a m g m F F A 1 1 1 = − − (1) En el D. C. L. de la cuerda de masa m3: a m g m F F B A 3 3 = − − (2) En el D. C. L. de m2: a m g m FB 2 2 = − (3) a) Sumando (1), (2) y (3): ( ) ( )a m m m g m m m F 3 2 1 3 2 1 1 + + = + + − y ( ) g m m m F a − + + = 3 2 1 1 ( ) 8 , 9 2 8 20 560 − + + = a = 8,87 m/s2 b) De (3) ( ) a g m FB + = 2 ( ) 87 , 8 8 , 9 8 + = B F = 149,4 N De (1) ( ) a g m F FA + − = 1 1 ( ) 87 , 8 8 , 9 20 560 + − = A F = 186,6 N Ejemplo 9. La máquina de ATWOOD. Es un aparato que se utiliza para determinar con exactitud la gravedad y consiste de dos masas 1 m y 2 m , ( 1 m > 2 m ), que están unidas mediante una cuerda que pasa sobre una polea. Considerar la cuerda inextensible y sin masa. Asimismo, no tornar en cuenta la fricción y la masa de la polea. Describir el movimiento y calcular la tensión en la cuerda. Solución. Siendo 1 m mayor que 2 m , la masa 1 m se moverá hacia abajo con una aceleración a y la masa 2 m se moverá hacia arriba con la misma aceleración a . La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes del sistema. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 9 La polea cumple la función de cambiar la dirección T1 Considerando el sentido de la aceleración o como positiva. Aplicando la Segunda Ley de Newton a la masa 1 m a m T g m 1 1 1 = − Aplicando la Segunda Ley de Newton para la masa 2 m : a m g m T 2 2 1 = − De estas dos ecuaciones obtenemos: ( ) ( ) g m m m m a 2 1 2 1 + − = y ( ) g m m m m T 2 1 2 1 1 2 + = Si las masas 1 m y 2 m fueran casi iguales, el valor de la aceleración sería pequeña y podría determinarse midiendo el tiempo en que una de las masas sube o baja una distancia determinada. La razón ( ) ( ) 2 1 2 1 m m m m + − se determina pesando los cuerpos. Finalmente, la magnitud de g se obtiene a partir de estas cantidades mediante la ecuación ( ) ( )a m m m m g 2 1 2 1 − + = Ejemplo 10. El peso de un pasajero en ascensor. Consideremos un pasajero de peso mg en un ascensor este peso es equilibrado por la reacción que el piso ejerce sobre él, si el ascensor estuviera parado mg R = . Si el ascensor sube con aceleración a. ¿Cuál es el peso de la persona? Solución. La figura muestra el ascensor subiendo con una aceleración a Ahora la reacción del piso es ' R . Aplicando la Segunda Ley de Newton al movimiento de la persona ma mg R = − ' ⇒ ( ) a g m R + = ' Si el ascensor sube el pasajero se siente más pesado, como si fuera empujado contra el piso. Si el ascensor desciende con esta aceleración, ma mg R − = − ' ⇒ ( ) a g m R − = ' , el pasajero se siente más liviano. Ejemplo 11. La figura muestra a un hombre elevándose mediante una fuerza vertical que aplica él mismo a la cuerda que tiene en las manos. Si el hombre y la silla juntos tienen una masa de 100 kg. Se pregunta: a) ¿Con qué fuerza debe jalar para, subir con una velocidad constante? b) ¿Con qué fuerza debe jalar para subir con una aceleración de l m/s2 (considerar g = 10 m/s2? Solución. a) La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes del sistema. Como se considera la cuerda con masa despreciable en el D.C.L. del trozo de cuerda F T = La polea solo cambia la dirección de la tensión T . En el D.C.L .del hombre-silla 0 = − + W F T ⇒ W F = 2 y 2 W F = Como N 1000 10 100 = × = W www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 10 N 500 2 1000 = = F b) Ahora como el hombre debe subir con una aceleración de l m/s2 tenemos: a g W W F T = − + ⇒ a g W W F + = 2 y ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ = g a W F 1 2 Como N 1000 = W , 2 m/s 1 = a y 2 m/s 1 = N 550 10 1 1 2 1000 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ = F Ejemplo 12. La figura muestra un ascensor. Este consiste de la caja con masa kg 1100 1 = m , el contrapeso con masa kg 1000 2 = m . El cable y poleas con masa y fricción despreciables. Cuando el ascensor tiene una aceleración hacia arriba de 2 m/s2, el contrapeso tiene igual aceleración pero hacia abajo. a) ¿Cuál es el valor de la tensión 1 T ? b) ¿Cuál es el valor de la tensión 2 T ? c) ¿Cuál es la fuerza ejercida por el motor sobre el cable? Solución. a) Consideremos el D.C.L de la masa 1 m : Aplicando la Segunda Ley de Newton a m g m T 1 1 1 = − ⇒ ( ) g a m T + = 1 1 ( ) 8 , 9 2 1100 1 + = T = 12980 N b) Consideremos el D.C.L. de la masa 2 m : Aplicando La Segunda Ley de Newton a m T g m 2 2 1 = − ⇒ ( ) a g m T − = 2 2 ( ) 2 8 , 9 1000 2 − = T = 7800 N c) En el motor Fuerza ejercida por el motor (T1 y T2 pueden considerarse colineales) 2 1 T T FM − = = 12980 – 7800 = 5180 N Ejemplo 13. Demostración de la tercera ley de Newton mediante el uso de la segunda ley. Se tienen dos cuerpos de masas 1 m y 2 m los cuales son empujados sobre un plano sin fricción por una fuerza de magnitud P . Demostrar que aquí se cumple la tercera ley de Newton. Solución. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 11 Asumiremos que no hay fricción entre las superficies de contacto de 1 m y 2 m . La figura muestra los D.C.L. para los bloques 1, 2 y para el sistema. 1 N y 2 N son las fuerzas ejercidas por el plano. 21 F es la fuerza que el bloque 2 ejerce sobre el bloque 1. 12 F es la fuerza que el bloque 1 ejerce sobre el bloque 2. La fuerza P solo actúa sobre el bloque 1, ya que solo está en contacto con él. Como asumimos que no hay fricción entre los bloques, las fuerzas son normales a la superficie de contacto. Para el bloque 1 tenemos: x a m F P 1 1 21 = − y 0 1 1 = − g m N Similarmente para el bloque 2 x a m F 2 2 12 = y 0 2 2 = − g m N Para el sistema ( ) x a m m P 2 1 + = y ( ) 0 2 1 2 1 = + − + g m m N N En este caso no nos interesan las ecuaciones en y pero si las ecuaciones en x. Como los bloques se mueven juntos: x x x a a a = = 2 1 Sumamos la ecuación para el bloque 1 con la ecuación para el bloque 2. x x a m a m F F P 2 2 1 1 12 21 + = + − = ( ) x a m m 2 1 + Comparando con la ecuación para el sistema tenemos: P F F P = + − 12 21 Esto dice que la magnitud de la fuerza de 1 sobre 2 es igual a la fuerza de2 sobre 1. Como ellas son opuestas resulta ser precisamente la tercera ley de Newton. 12 21 F F = , Acción y reacción. Ejemplo 14.. Un carrito de masa M = 500 gramos está unido a una carga de masa m = 200 gramos mediante una cuerda. En el momento inicial el carrito tenia la velocidad inicial v0 = 7 m/s y se movía a la derecha por un plano horizontal. Determinar para t = 5 s: a) el valor y sentido de la velocidad del carrito, b) el lugar, donde encontrará c) el desplazamiento del carrito d) el recorrido total del carrito. (Usar g = 9,8 m/s2) Solución. Para la masa M: Ma T = − (1) Para la masa m: ma mg T = − (2) Sumando (1) y (2) ( )a m M mg + = − ⇒ ( ) g m M m a + − = = ( ) 8 , 9 7 , 0 2 , 0 − = - 2,8 m/s2 La aceleración es en sentido contrario al indicado en la figura. a) La velocidad inicial del carrito es v0 = 7 m/s y su aceleración es a = - 2,8m/s2. De las ecuaciones de cinemática 2 0 2 1 at t v x + = , at v v + = 0 , Hallamos: 2 4 , 1 7 t t x − = , t v 8 , 2 7 − = Dentro de 5 s el carrito tendrá una velocidad v = - 7 m/s (dirigida a la izquierda). b) ( ) ( ) 0 35 35 5 4 , 1 5 7 2 = − = − = x El carrito se encontrará en la posición inicial. c) El desplazamiento es cero. d) El carrito se detiene cuando v = 0 e inicia el camino de vuelta. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 12 t 8 , 2 7 0 − = ⇒ s 5 , 2 8 , 2 7 = = t Recorrido total ( ) ( ) [ ] 2 5 , 2 4 , 1 5 , 2 7 2 − = s = 17,5 m Recorrerá un trayecto igual a 17,5 m. FRICCIÓN Cuando un cuerpo sobre una superficie se empuja o se jala éste puede permanecer inmóvil, esto sucede porque la fuerza aplicada no ha sido suficiente para vencer la fuerza de fricción. Cuando lograrnos que el cuerpo deslice sobre la superficie es necesario aplicar una fuerza para que éste continúe en movimiento. Comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal Supongamos que jalamos un bloque con un dinamómetro, como se muestra en la figura. Comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal Dibujemos una gráfica de la fuerza F aplicada sobre el bloque versus el tiempo t . 1. Desde el origen hasta el punto A la fuerza F aplicada sobre el bloque no es suficientemente grande como para moverlo. Estamos en una situación de equilibrio estático N F F s fs μ = = En el punto A, la fuerza de rozamiento fs F alcanza su máximo valor N smáx μ N F F smáx fsmáx μ = = 2. Si la fuerza F aplicada se incrementa un poquito más, el bloque comienza a moverse. La fuerza de rozamiento disminuye rápidamente a un valor menor e igual a la fuerza de rozamiento dinámico, N F F k fk μ = = Si la fuerza F no cambia, punto B, y permanece igual a fsmáx F , el bloque comienza moviéndose con una aceleración ( ) m F F a fk − = Si incrementamos la fuerza F, punto C, la fuerza neta sobre el bloque fk F F − se incrementa y también se incrementa la aceleración. Observación. Encontramos que con fuerzas menores que 10 N no se produce movimiento. Con 10 N el bloque comienza a moverse. Para fuerzas mayores a 10 N el bloque se acelera. Si medimos la aceleración podemos conocer la fuerza resultante sobre el bloque aplicando la segunda ley de Newton, ma F = . Cuando el dinamómetro indica 12 N la fuerza resultante a partir de la aceleración medida es 4 N, esto significa que se necesita 12 N – 4 N = 8 N, para vencer la fuerza de fricción Si aplicamos 10 N al bloque para que inicie el movimiento, después de esto es posible reducir la fuerza a 8 N y aún mantener el bloque en movimiento. En resumen: Una fuerza de 10 N inicia el movimiento del bloque. Una fuerza de 8 N mantiene el movimiento del bloque. El origen de este fenómeno se debe a la existencia de fuerzas entre las moléculas del cuerpo y la superficie; si la superficie de contacto del cuerpo con la superficie fuera perfectamente plana, la fuerza de atracción podría ser considerable, como es el caso de dos placas de vidrio perfectamente limpias que una vez puestas en contacto, difícilmente pueden ser separadas. Las superficies nunca son perfectamente lisas y las imperfecciones constituyen verdaderos obstáculos al desplazamiento como se muestra en la figura. Es preciso vencer estos obstáculos para iniciar el movimiento y también para mantenerlo. A esta fuerza se le conoce como FUERZA DE FRICCION O ROZAMIENTO ( ) f F . Con la finalidad de conocer la dependencia de esta fuerza de rozamiento realicemos la siguiente experiencia. Supongamos un plano inclinado con un bloque de masa ni descansando sobre él. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 13 Encontramos que el bloque empieza a resbalar para un determinado ángulo θ . Si colocamos dos bloques juntos, el ángulo con el cual inician el movimiento sigue siendo θ , lo mismo ocurre con tres bloques. La fuerza que jala al cuerpo es la componente del peso θ sen mg , paralela al plano. La otra componente es perpendicular al plano θ cos mg . Esta es la fuerza que sostiene al bloque sobre la superficie (Fuerza Normal). Si duplicarnos el peso mg a 2mg, duplicamos la fuerza que jale al bloque y la fuerza normal tal que: normal Fuerza movimiento el inicia que Fuerza = Constante O s mg mg μ θ θ θ = = tan cos sen = Constante s f N F μ = A esta constante s μ se le llama coeficiente de fricción estática. Si se toman los datos con el bloque en movimiento, el ángulo para que el movimiento continúe es generalmente menor y obtenemos k μ = normal Fuerza movimiento el continuar para Fuerza A esta constante se le llama coeficiente de fricción cinética k μ . μ es una constante que depende de la superficie y se puede escribir simplemente. N Ff μ = . Algunos valores típicos de coeficientes de fricción. Material Sobre material s μ k μ Acero Acero 0,78 0,42 Cuero Cuero 0,64 0,56 Cuero Roble 0,60 0,50 Bronce Hierro 0,40 0,30 Aluminio Aluminio 1,05 1,40 Vidrio Vidrio 0,92 0,40 Caucho Asfalto 0,60 0,40 Caucho Concreto 0,80 0,70 Caucho Hielo 0,02 0,005 Piedra Piedra 0,65 0,60 El hecho que la fuerza de fricción es independiente del área de contacto parece absurdo ya que las fuerzas intermoleculares son tanto mayores, cuanto mayor es la superficie de contacto. En realidad se debía esperar que f F fuera proporcional a la superficie, lo que suceder es que si el cuerpo pesa muy poco, prácticamente no hay puntos de contacto entre las dos superficies (el área de contacto es despreciable). Cuando N aumenta, la superficie aumenta y f F también, por lo tanto N Ff μ = donde se está incluyendo ya el aumento de superficie. Es decir, la fuerza de fricción f F es proporcional a la fuerza normal N porque la verdadera superficie de contacto es proporcional a la fuerza normal. Ejemplo 15. ¿Cuál es la fuerza mínima F necesaria para mover la masa m , siendo μ el coeficiente de rozamiento estático entre el piso y el bloque en cada uno de los casos siguientes? Solución. a) La figura muestra el D.C.L. : ∑ y F 0 = −mg N ⇒ mg N = : ∑ x F 0 = −N F μ ⇒ N F μ = Luego: mg F μ = b) La figura muestra el D.C.L. : ∑ y F 0 sen = − + mg F N θ ⇒ θ sen F mg N − = : ∑ x F 0 cos = −N F μ θ ⇒ N F μ θ = cos De estas dos ecuaciones obtenemos: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 14 θ μ θ μ sen cos + = mg F c) La figura muestra el D.C.L. : ∑ y F 0 sen = − − mg F N θ ⇒ θ sen F mg N + = : ∑ x F 0 cos = −N F μ θ ⇒ N F μ θ = cos De estas dos ecuaciones obtenemos: θ μ θ μ sen cos − = mg F Ejemplo 16. ¿Cuál es el valor mínimo de F para sostener el bloque de masa m sobre una pared vertical, como se muestra en la figura, μ es el coeficiente de fricción estático entre la pared y el bloque? Solución. La figura siguiente muestra el D.C.L. : ∑ y F 0 = −F N ⇒ F N = : ∑ x F 0 = −mg N μ ⇒ μ mg N = Por consiguiente μ mg F = Ejemplo 17. En el esquema de la figura las masas de la polea y del cable son despreciables y no hay rozamiento entre el cable y la polea. Hallar la aceleración del bloque 0 m y la tensión del cable que une los bloques m1 y m2. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado es μ . Solución. Para 0 m : { a m T g m 0 1 0 = − Para 2 m : ⎩ ⎨ ⎧ = − = − − 0 2 2 2 2 2 1 g m N a m N T T μ Para 1 m : ⎩ ⎨ ⎧ = − = − 0 1 1 1 1 2 g m N a m N T μ De estas ecuaciones obtenemos: g m N 2 2 = , g m N 1 1 = y ( ) ( )a m m m g m m g m 2 1 0 2 1 0 + + = + −μ De aquí: ( ) [ ] ( ) g m m m m m m a 2 1 0 2 1 0 + + + − = μ La tensión del cable que une los bloques m1 y m2: ( ) g a m T μ + = 1 2 = ( )( )g m m m m m μ + + + 1 2 1 0 0 1 Ejemplo 18. Se tiene una masa 2 m sobre una masa 1 m sobre un piso horizontal, tal como muestra la figura. Se aplica una fuerza horizontal F sobre la masa 1 m . La masa carece de fricción. ¿Cuál es el valor máximo de F para que la masa 1 m no resbale sobre 2 m . ¿Cuál es la aceleración resultante de los bloques? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 15 Solución. La figura muestra el D.C.L. de las masas 1 m y 2 m . Aplicando la Segunda Ley de Newton a la masa 2 m , la que suponemos se mueve con aceleración 2 a . : ∑ y F 0 2 2 = − g m N : ∑ x F 2 2 2 a m N = μ Aplicando la Segunda Ley de Newton a la masa 1 m , la que suponemos se mueve con aceleración 1 a . : ∑ y F 0 1 2 1 = − − g m N N : ∑ x F 1 1 2 a m N F = −μ Trabajando con estas ecuaciones encontramos que 2 2 1 1 a m a m F + = La aceleración de la masa 2 m es: g m g m m N a μ μ μ = = = 2 2 2 2 2 Como el valor de μ varía desde 0 hasta el valor máximo máx μ : g a máx μ = 2 o simplemente g a μ = 2 . Pero como queremos encontrar el valor máximo posible de F para que las masas vayan juntas, es decir, para que 1 m no se quede, se tiene como condición que; g a a μ = = 2 1 Luego: ( ) g m m F máx máx μ 2 1 + = Si aplicamos una fuerza mayor el bloque 1 m avanzará dejando atrás al bloque 2 m . Ejemplo 19. Usando el dispositivo del ejemplo anterior discuta el caso en ci que la fuerza F se aplica a la masa 2 m . Solución. La figura muestra el D.C.L. para este caso Las ecuaciones para la masa 2 m son : ∑ y F 0 2 2 = − g m N : ∑ x F 2 2 2 a m N F = −μ Las ecuaciones para la masa 1 m son. : ∑ y F 0 1 2 1 = − − g m N N : ∑ x F 1 1 2 a m N = μ Trabajando con estas ecuaciones encontramos que 2 2 1 1 a m a m F + = La aceleración de la masa 1 m es: 1 2 1 2 1 2 1 m m g m g m m N a μ μ μ = = = Como el valor de μ varía desde 0 hasta el valor máximo máx μ : 1 2 1 m m g a máx μ = Como la condición de que las masas 1 m y 2 m vayan juntas es, 2 1 a a = Luego el valor máximo de F pera que 1 m y 2 m vayan juntas es, ( ) g m m m m F máx máx μ 1 2 2 1 + = Ejemplo 20. En el dispositivo de la figura encontramos el valor mínimo de F para sacar la masa 1 m . El coeficiente de fricción entre 1 m y la mesa es 1 μ y el coeficiente de fricción entre 1 m y 2 m es 2 μ . www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 16 Solución. La figura muestra los D.C.L. de las masas 1 m y 2 m Considerando que el equilibrio es la condición mínima de inicio de movimiento Aplicando la Segunda ley de Newton para la masa 2 m . : ∑ y F 0 2 2 = − g m N : ∑ x F 0 2 2 = −T N μ Aplicando la Segunda Ley de Newton para la masa 1 m : ∑ y F 0 1 1 2 = + − g m N N : ∑ x F 0 2 2 1 1 = − − N N F μ μ Resolviendo estas ecuaciones g m N 2 2 = g m N T 2 2 2 2 μ μ = = ( )g m m g m N N 2 1 1 2 1 + = + = 2 2 1 1 N N F μ μ + = = ( ) g m g m m 2 2 2 1 1 μ μ + + Siendo este valor de F el mínimo para iniciar el movimiento de la masa 1 m . Ejemplo 21. En el dispositivo de la figura, encontrar el valor mínimo de F para sacar la masa 1 m . El coeficiente de fricción entre 1 m y la mesa es 1 μ , el coeficiente de fricción entre 1 m y 2 m es 2 μ . Solución. La figura muestra el D.C.L.de las masas 1 m y 2 m Considerando que el equilibrio es la condición mínima de inicio del movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton a la masa 2 m : : ∑ y F 0 2 2 = − g m N : ∑ x F 0 2 2 = −T N μ Aplicando la segunda ley de Newton para la masa 1 m : : ∑ y F 0 1 1 2 = + − g m N N : ∑ x F 0 2 2 1 1 = − − − T N N F μ μ Resolviendo estas ecuaciones g m N 2 2 = g m N T 2 2 2 2 μ μ = = ( )g m m g m N N 2 1 1 2 1 + = + = T N N F + + = 2 2 1 1 μ μ = ( ) g m g m m 2 2 2 1 1 μ μ + + = ( ) [ ]g m m 2 1 2 1 1 μ μ μ + + Siendo este valor de F el mínimo para iniciar el movimiento. Ejemplo 22. Los bloques 1 m y 2 m de 20 y 60 kg, respectivamente, están unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento. El coeficiente de rozamiento cinético entre las masas y la superficie es 0,3. Determinar la velocidad del sistema 4 segundos después de partir del reposo. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 17 Solución. La figura muestra el D.C.L. de la masa 1 m . Consideremos que el movimiento es de izquierda a derecha con aceleración a : ∑ y F 0 º 30 cos 1 1 = − g m N : ∑ x F a m g m F T f 1 1 1 º 30 sen = − − De estas ecuaciones º 30 cos 1 1 g m N = = N 173 2 3 10 20 = × × N 9 , 51 173 3 , 0 1 1 = × = = N Ff μ y a T 20 2 1 10 20 9 , 51 = × × − − ⇒ a T 20 9 , 151 + = La figura muestra D.C.L. de la masa 2 m . : ∑ y F 0 º 60 cos 2 2 = − g m N : ∑ x F a m T F g m f 2 2 2 º 60 sen = − − De estas ecuaciones º 60 cos 2 2 g m N = = N 150 2 1 10 20 = × × N 45 150 3 , 0 2 2 = × = = N Ff μ y a T 30 45 2 3 10 30 = − − × × ⇒ a T 30 5 , 214 − = Igualando los valores de T: a a 30 5 , 214 20 9 , 151 − = + ⇒ 2 s m 25 , 1 = a Como at v v + = 0 , Siendo 0 0 = v ⇒ 2 25 , 1 t v = Para s 4 = t ⇒ s m 5 4 25 , 1 = × = v Ejemplo 23. En una mesa un plato descansa sobre el mantel, cuyo centro está a 0,25m del borde de la mesa. El mantel se jala súbitamente en forma horizontal con una aceleración constante de 10 m/s2. El coeficiente de fricción cinético entre el mantel y el plato es 75 , 0 = k μ . Asumiendo que el mantel llega justo al borde de la mesa. Cuando el extremo del mantel pasa bajo el centro del plato, encontrar: a) La aceleración del plato b) La velocidad de! plato c) La distancia del plato al borde de la mesa. Solución. a) Aplicando la segunda ley de Newton para el plato, la masa del plato es m y su aceleración p a . 0 = ∑ V F ⇒ 0 = −N mg p H ma F = ∑ ⇒ p f ma F = De aquí obtenemos: mg N = y p k ma mg = μ De donde: g a k p μ = = 0,75 x 9,8 = 7,35 m/s2 El plato resbala ya que p a es menor que 10 m/s2 b) En el instante en que el extremo del mantel coincide con el centro del plato están a la misma distancia del borde de la mesa m p x x = 2 2 35 , 7 2 1 25 , 0 2 1 25 , 0 t t a x p p + = + = 2 2 10 2 1 2 1 t t a x m m = = Igualando 2 2 10 2 1 35 , 7 2 1 25 , 0 t t = + Resolviendo: s 58 , 0 = t y www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 18 t a v v p p + = 0 = 58 , 0 35 , 7 0 × + = 4,26 m/s. c) 2 2 1 25 , 0 t a x p p + = = m 49 , 1 58 , 0 35 , 7 2 1 25 , 0 2 = × + Ejemplo 24. El plano inclinado mostrado en la figura tiene una aceleración a hacia la derecha. Si el coeficiente de fricción estático entre el plano y el bloque es μ , encontrar la condición para que el bloque resbale. Solución. Consideremos que el bloque tiene masa m , la figura a continuación muestra su DCL. Para que el bloque no resbale debe tener la misma aceleración a . Aplicando la segunda ley de Newton 0 = ∑ V F ⇒ 0 sen cos = − + mg N N α μ α y ma FH = ∑ ⇒ ma N N = + − α μ α cos sen De estas ecuaciones α μ α sen cos + = mg N y ( ) ( )( ) ma mg = + − + cos sen sen cos α μ α α μ α Finalmente ( ) ( ) g a α μ α α α μ sen cos sen cos + − = Este es el va1or crítico de a para que no resbale; el bloque resbalará para valores menores que el indicado. Ejemplo 25. En el siguiente sistema mecánico, se aplica una fuerza F inclinada un ángulo α sobre el cuerpo de masa m, ubicado sobre la superficie horizontal con coeficiente de fricción µ. La polea por donde cuelga otro bloque de masa M no tiene roce y la cuerda se considera inextensible y de masa despreciable. Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda. Solución. Se hacen los DCL y se aplica la segunda ley de Newton, suponiendo que el cuerpo de masa M desciende y tira a m hacia la derecha, lo que define el sentido de la aceleración. Para m 0 = ∑ V F ⇒ 0 sen = − + mg F N α ⇒ α sen F mg N − = (1) y ma FH = ∑ ⇒ ma F F T f = − − α cos (2) Para M Ma FV − = ∑ ⇒ Ma Mg T − = − (3) Además: N Ff μ = De la ecuación (1): ( ) α μ sen F mg Ff − = (4) De (3) se despeja T: Ma Mg T − = (5) Ahora 4) y (5) se reemplazan en (2), lo que permite despejar la aceleración www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 19 ( ) ma F mg F Ma Mg = − − − − α μ α sen cos ( ) ( ) m M F g m M a + − − − = α μ α μ sen cos y la tensión T ( ) ( ) m M F g m M M Mg T + − − − − = α μ α μ sen cos Ejemplo 26. Una viga de masa M está situada en un plano horizontal. Sobre la viga se encuentra un cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga, así como entre la viga y el plano es k μ . Analizar el movimiento para diferentes valores do la fuerza F. Solución. Si ( )g M m F k + ≤μ , no hay movimiento. Supongamos que ( )g M m F k + > μ . Analicemos el caso de ausencia de deslizamiento del cuerpo por la viga. Las ecuaciones del movimiento, en este caso, tendrían la siguiente forma: ma Ffm = , ( )g M m F F F F F Ma k fm fM fm + − − = − − = μ ; mg F k fm μ ≤ de donde ( ) g M m F a k μ − + = , ( ) mg mg M m mF F k k fm μ μ ≤ − + = que es posible, si k (m + M) g < F < 2k (m + M) g. Si F > 2μk(m + M)g, entonces el cuerpo deslizará por la barra. En este caso las ecuaciones del movimiento tendrán la siguiente forma: mg ma k m μ = , ( )g m M mg F Ma k k M + − − = μ μ de donde g a k m μ = , ( ) g M M m M F a k M + − = 2 μ Que es fácilmente verificar en el caso de m M a a > Ejemplo 27. Una viga do masa M está sobre un plano horizontal liso, por el cual puede moverse sin fricción. Sobre la viga hay un cuerpo do masa m. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga es k μ . ¿Con qué valor de la fuerza F que actúa sobre la viga en dirección horizontal, el cuerpo comienza a deslizarse sobre la viga? ¿Dentro do cuánto tiempo el cuerpo caerá de la viga? La longitud do la viga es l . Solución. Las ecuaciones del movimiento de la viga y del cuerpo tienen la siguiente forma: m fm ma F = , (1) M k Ma mg F = −μ (2) Donde fm F es la fuerza do rozamiento, am y aM son las aceleraciones. Supongamos que no hay deslizamiento, entonces am = aM De las ecuaciones del movimiento podemos determinar la aceleración y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es ( ) M m mF Ffm + = Para que no haya deslizamiento la fuerza de rozamiento debe satisfacer la siguiente desigualdad: mg F k fm μ ≤ , es decir, ( ) g M m F k μ ≤ + . Si F > μk (M + m) g, entonces surge el deslizamiento. Las ecuaciones (1) y (2) en este caso deben escribirse en la siguiente forma: mg ma k m μ = , mg F Ma k M μ − = De estas ecuaciones obtenemos am y aM: g a k m μ = , ( ) M mg F a k M μ − = . Es evidente que aM > am. 2 2 1 t a x m m = , 2 2 1 t a x M M = l = − m M x x = 2 2 2 1 2 1 t a t a m M − ⇒ m M a a t − = l 2 = ( ) g M mg F k k μ μ − − l 2 = ( ) m M g F M k + −μ l 2 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 20 Ejemplo 28. En la figura, encontrar la aceleración del carro requerida para evitar que caiga el bloque B. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el carro es k μ . Solución. Si el bloque no cae, la fuerza de fricción, Ff, debe balancear el peso del bloque: Ff = mg. Pero el movimiento horizontal del bloque está dado por y N = ma. Luego, a g N Ff = ⇒ N F g a f = Como el valor máximo de N Ff es s μ , debemos tener s g a μ ≥ si el bloque no cae. Ejemplo 29. Dos cuerpos, de las masas m1 y m2, se liberan de la posición mostrada en la figura. Si la masa de la mesa de superficie lisa (sin fricción) es m3, encuentre la reacción del piso sobre la mesa mientras los dos cuerpos están en movimiento. Asuma que la mesa permanence inmóvil. Solución. La figura muestra los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los elementos. Cuerpo 1: a m T g m Fverticales 1 1 = − = ∑ Cuerpo 2: a m T F es horizontal 2 = = ∑ Mesa: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = − − − = ∑ ∑ 0 0 3 3 2 3 f es horizontal verticales F T F g m T N N F Donde N3 y Ff3 (fricción) las componentes verticales y horizontales de la fuerza ejercida por el piso sobre la mesa. (Asumimos que las patas de la izquierda y de la derecha comparten la carga igualmente. Esto no afecta nuestro análisis) De las primeras dos ecuaciones, ( ) 2 1 1 m m g m a + = Luego, ( ) 2 1 2 1 2 3 m m g m m a m T Ff + = = = Finalmente, g m g m T N 3 2 3 + + = = ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + 3 2 2 1 2 1 m m m m m m Ejemplo 30. Se tiene un bloque de 20 kg sobre un plano inclinado que está sujeto a una cuerda (ver figura). Las superficies de contacto entre el bloque y el plano inclinado son rugosas con coeficiente de fricción cinética μk = 0,5 y el de fricción estática μs = 0,7. a) Si la tensión de la cuerda es de 150 N, determine la magnitud y sentido de la fuerza de rozamiento. b) Si por un accidente se corta la cuerda, determine la aceleración del bloque. Solución. a) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 21 0 º 30 sen = − − f F mg T ⇒ 100 150 º 30 se − = − = mg T Ff = 50 N en el sentido indicado en la figura (hacia abajo). b) Cuando se rompe la cuerda para iniciar el movimiento debe vencerse a la máxima fuerza de fricción estática: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 3 20 7 , 0 º 30 cos g mg F s fs μ = 173 N Como 20g sen 30º = 100 N 100 N < 173 N, el movimiento no se inicia , por lo tanto la aceleración del bloque es cero. Ejemplo 31. Determinar la fuerza F aplicada al bloque de masa M de la figura adjunta, para que los bloques de masas m1 y m2 apoyados en M, no se muevan respecto de M. Todas las superficies son lisas, la polea y el cable tienen masa despreciable. Solución. Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada → F . De la primera ley de Newton aplicada al conjunto se tiene: ( ) → → + + = a m m M F 2 1 (1) Siendo → a la aceleración del conjunto. Las masas m1 y m2 están en reposo sobre el bloque M, luego en la referencia O su aceleración es del conjunto. La fuerza que ejerce el cable sobre m1 y la que ejerce sobre m2 tiene el mismo módulo T. La segunda ley de Newton para m1 es 0 1 = − a m T , 0 1 1 = − g m N De aquí ⇒ a m T 1 = (2) La segunda ley de Newton para m2 es 0 2 2 = − a m N , 0 2 = − g m T De aquí ⇒ g m T 2 = (3) De (2) y (3) se tiene ⇒ g m m a 1 2 = (4) Sustituyendo (4) en (1) se obtiene la fuerza aplicada a M ( )g m m M m m F 2 1 1 2 + + = Ejemplo 32. Determinar la aceleración mínima con que debe desplazarse el bloque de masa M en sentido horizontal para que los bloques de masas m1 y m2 no se muevan respecto de M, siendo μ el coeficiente de rozamiento entre los bloques. La polea y el cable tienen masa despreciable. Solución. Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada → F . De la segunda ley de Newton aplicada al conjunto se tiene: ( ) → → + + = a m m M F 2 1 (1) Siendo → a la aceleración del conjunto. Las masas m1 y m2 están en reposo sobre el bloque M, luego en la referencia O su aceleración es del conjunto. La fuerza que ejerce el cable sobre m1 y la que ejerce sobre m2 tiene el mismo módulo T. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 22 La segunda ley de Newton para m1 es 0 1 1 = − − f F a m T , 0 1 1 = − g m N g m N Ff 1 1 1 μ μ = = ⇒ g m a m T 1 1 μ + = (2) La segunda ley de Newton para m2 es o a m N = − 2 2 , 0 2 2 = − + g m F T f a m N Ff 2 2 2 μ μ = = ⇒ g m g m T 2 2 μ − = (3) De (2) y (3) se tiene ⇒ g m g m g m a m 2 2 1 1 μ μ − = + ( ) ( ) g m m m m a 2 1 1 2 μ μ + − = (4) Sustituyendo (4) en (1) se obtiene la fuerza aplicada a M ( )g m m M m m F 2 1 1 2 + + = Ejemplo 33. Un bloque de masa m se encuentra sobre otro bloque de masa M que está apoyado sobre una superficie horizontal lisa. El coeficiente de rozamiento entre los dos bloques es μ. Al bloque M se le aplica una fuerza horizontal dirigida hacia la derecha que depende del tiempo según la ley F = k t. Determinar: a) El instante τ en que m empieza a deslizar sobre M. b) La aceleración de cada uno de los bloques. Solución. Diagrama del cuerpo libre del conjunto Diagrama del cuerpo libre masas separadas a) Consideremos un sistema de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada → F . Sea τ el instante en que m empieza a deslizar sobre M. Hasta dicho instante t ≤ τ , el conjunto se mueve con una aceleración común → a . La segunda ley de Newton aplicada al conjunto en el instante t = τ es ( ) ( ) τ τ a m M k + = , ( ) 0 2 = + − g m M N ⇒ ( ) ( )τ τ m M k a + = (1) La segunda ley de Newton aplicada a la masa m en el instante t = τ es, ( la fuerza de rozamiento sobre m tiene, en ese instante, su valor máximo Ff = μ m g ) ( ) τ μ ma N Ff = = 1 , mg N = 1 ⇒ ( ) g m mg a μ μ τ = = (2) De (1) y (2) queda ⇒ ( ) g k m M μ τ + = s b) De (1) se tiene que la aceleración del conjunto para t < τ es ⇒ ( ) ( ) ( )t m M k a a t t + = = 1 Para t > τ . Las fuerzas que actúan sobre m son constantes, luego la aceleración de m es ( ) g a a μ τ = = 1 La segunda ley de Newton aplicada a la masa M es ( ) t f Ma N kt F kt 2 1 = − = − μ , como mg N = 1 ⇒ ( ) t Ma mg kt 2 = −μ y ( ) t M k M m g a t + − = μ 2 2 s m Gráfica de las aceleraciones en función del tiempo www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 23 Ejemplo 34. Dos bloques A y B de masas mA y mB están unidos mediante un cable que pasa a través de una polea tal como se muestra en la figura adjunta. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es μ. Determinar el sentido del movimiento cuando se dejan en libertad a partir del reposo. El cable es inextensible y las masas del cable y la polea despreciables. Solución. Supongamos que el bloque A sube sobre el plano inclinado. Sea T la fuerza que ejercen los extremos del cable sobre los bloques dirigida, en ambos bloques, tal como se indica. El movimiento de B es hacia abajo, luego ⇒ T g mB > El movimiento de A es hacia arriba, luego ⇒ θ μ θ cos sen A A m g m T + > El movimiento de los bloques es el indicado si ⇒ θ μ θ cos sen A A B m g m g m + > ⇒ θ μ θ cos sen + > A B m m Supongamos que el bloque A desciende sobre el plano inclinado. El movimiento de B es hacia arriba, luego ⇒ T g mB < El movimiento de A es hacia abajo, luego ⇒ θ θ μ sen cos g m m T A A < + El movimiento de los bloques es el indicado si ⇒ θ μ θ cos sen A A B m g m g m − < ⇒ θ μ θ cos sen − < A B m m Los bloques no se mueven si ⇒ θ μ θ θ μ θ cos sen cos sen + < < − A B m m Ejemplo 35. Dos bloques A y B de masas A m = 10 kg y B m = 7 kg, están unidos mediante un cable que pasa a través de las poleas tal como se muestra en la figura adjunta. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es μ = 0,10 y θ = 30º. El cable es inextensible y las masas del cable y las poleas son despreciables. Determinar: a) Las aceleraciones de los bloques; b) La tensión del cable. Solución. Supongamos que el movimiento de A es hacia abajo, luego: θ θ μ sen cos g m g m T A A < + ⇒ θ μ θ cos sen g m g m T A A − < El movimiento de B es hacia arriba, luego: T g mB 2 < De ambas expresiones queda θ μ θ cos sen 2 1 g m g m g m A A B − < ( ) ( ) ( ) º 30 cos 10 10 , 0 º 30 sen 10 7 2 1 − < Con los valores ⇒ 3,5 < 4,13 Desigualdad que se cumple, luego el movimiento es el previsto. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 24 a) Consideremos un sistema de referencia con el eje x horizontal. Las posiciones de los bloques están relacionadas por la condición de ligadura constante 2 = + B A y s , Luego sus aceleraciones cumplen 0 2 = + B A a a ⇒ a a a A B = − = 2 1 (1) Fuerzas sobre los bloques La segunda ley de Newton aplicada al bloque A es A A A A N T g m a m μ θ − − = sen , 0 cos = − θ g m N A A De estas dos obtenemos: ( ) A A A a m g m T − − = θ μ θ cos sen (2) La segunda ley de Newton aplicada al bloque B es B B B a m g m T = − 2 ⇒ ( ) g a m T B B + = 2 1 (3) Igualando las ecuaciones (2) y (3), ( ) ( ) A A A B B a m g m g a m 2 cos sen 2 − − = + θ μ θ Teniendo en cuenta la ecuación (1) y los valores: ( ) ( )( )( ) ( ) a a 2 20 87 , 0 1 , 0 5 , 0 8 , 9 10 2 8 , 9 7 − × − = + Resolviendo: a = 0,26 m/s2 Las aceleraciones de los bloques son : 2 m/s 0,26 = A a para arriba. 2 m/s 0,52 = B a para abajo. b) La magnitud de la tensión del cable es el valor de la fuerza que el cable ejerce sobre los bloques. De la ecuación (3) se tiene ( )( ) 8 , 9 26 , 0 7 2 1 + = T = 35,2 N Ejemplo 36. Dos bloques A y B de masas A m y B m están unidos mediante un cable que pasa a través de las poleas tal como se muestra en la figura adjunta. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es μ . El cable es inextensible y las masas del cable y la polea son despreciables. Estudiar el sentido del movimiento de los bloques. Solución. Supongamos que el bloque A asciende por el plano inclinado. Consideremos un sistema de referencia con el eje x horizontal. Las posiciones, por una parte, del bloque A y de la polea móvil, están relacionadas por las condiciones de ligadura constante = − + p A y h s Las posiciones de la polea y el bloque B, están relacionadas por las condiciones de ligadura constante 2 = − B p y y De estas dos ecuaciones obtenemos: constante 2 2 = − + B A y h s Las componentes de las aceleraciones de los bloques satisfacen la condición B A a a = 2 (1) Sean A T y B T las fuerzas que los cables ejercen sobre los respectivos bloques. Fuerzas sobre los bloques y sobre la polea móvil. Como la polea superior tiene masa despreciable solo cambia el sentido de la fuerza. La masa de la polea móvil es cero, luego La tensión en ambos lados son iguales ( ) B T y B A T T 2 = (2) De la segunda ley de Newton aplicada al bloque A se tiene: A A A A A a m N g m T = − − μ θ sen 0 cos = − θ g m N A A De estas ecuaciones obtenemos: ( ) A A A A a m g m T + + = θ μ θ cos sen (3) De la segunda ley de Newton aplicada al bloque B se tiene B B B B a m T g m = − ⇒ ( ) B B B a g m T − = (4) De las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos: ( ) ( ) A B A A A a g m a m g m 2 2 cos sen − = + + θ μ θ ( ) B A A B A m m g m g m a 4 cos sen 2 + + − = θ μ θ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 25 El movimiento es el indicado, si se cumple: ( ) θ μ θ cos sen 2 + > A B m m El movimiento es de sentido opuesto, si se cumple: ( ) θ μ θ cos sen 2 − < A B m m El signo menos es porque en este caso el peso de la masa A es el que mueve al sistema y la fuerza de rozamiento está en sentido contrario a éste. Ejemplo 37. A los extremos de un hilo que pasa a través de una polea fija al techo de la cabina de un ascensor se atan los cuerpos de masa 1 m y 2 m ( ) 2 1 m m < . La cabina comienza a subir con una aceleración constante g / 2. Despreciando la masa de la polea y la del hilo, así como el rozamiento, calcular: a) La aceleración de 1 m y 2 m respecto de la cabina y con relación al foso del ascensor. b) La fuerza con la cual la polea actúa sobre el techo de la cabina. Solución. a) El ascensor constituye una referencia no inercial en traslación que se mueve con una aceleración constante en sentido ascendente respecto de una referencia fija. Seleccionemos una referencia con origen O′ en un punto del ascensor. La aceleración del origen O′ respecto de la referencia fija O es la aceleración del ascensor j gˆ 2 1 . Sean j a ˆ '1 la aceleración de 1 m y j a ˆ '2 la aceleración de 2 m en la referencia O’. Las fuerzas exteriores que actúan sobre la 1 m son la tensión del cable T y el peso g m1 , y sobre 2 m son la tensión del cable T y el peso g m2 . De la ecuación fundamental de la dinámica en la referencia no inercial se tiene 2 ' 1 1 1 1 g m g m T a m − − = ⇒ g m T a m 1 1 1 2 3 ' − = (1) 2 ' 2 2 2 1 g m g m T a m − − = ⇒ g m T a m 2 2 1 2 3 ' − = (2) De la condición de ligadura para los bloques se tiene 0 ' ' 2 1 = +a a ⇒ ' ' ' 2 1 a a a = − = (3) De las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene g m T a m 1 1 2 3 ' − = y g m T a m 2 1 2 3 ' + − = Sumando estas ecuaciones: ( ) ( )g m m a m m 1 2 1 2 2 3 ' − = + Despejando ' a ( ) ( ) g m m m m a 1 2 1 2 2 3 ' + − = Finalmente: j a a ˆ ' '1 = → y j a a ˆ ' '2 − = → En la referencia fija, las aceleraciones de 1 m y de 2 m se obtienen de sumar a las anteriores la aceleración del ascensor ( ) ( ) g m m m m a g a 1 2 1 2 1 2 ' 2 + − = + = y ( ) ( ) g m m m m a g a 1 2 2 1 2 2 ' 2 + − = − = b) La fuerza que la polea ejerce sobre el techo de la cabina es 0 2 = −T F ⇒ T F 2 = De la ecuación (1) y (3) se tiene ( ) g m m m m g a m T 1 2 2 1 1 1 3 2 3 ' + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 26 Luego ( ) 1 2 2 1 6 2 m m m m T F + = = Ejemplo 38. Un niño de masa m = 45 kg se pesa en una báscula de resorte situada sobre una plataforma especial que se desplaza por un plano inclinado de ángulo θ = 30º como muestra la figura (no hay rozamiento entre la plataforma y el plano inclinado). ¿Cuál será la lectura de la báscula en estas condiciones? Solución. Sea M la masa del conjunto niño - cuña., y a la aceleración con la que desliza hacia abajo el conjunto. Aplicando la segunda ley de Newton al conjunto niño - cuña. Ma F = ∑ // ⇒ Ma Mg = º 30 sen ⇒ 2 º 30 sen g g a = = La aceleración del conjunto es g a 2 1 = Solución en una referencia inercial. Sobre el niño actúan: su peso mg y la reacción Ff en el apoyo. La indicación de la báscula el valor de la normal. Aplicando la segunda ley de Newton al DCL del niño. 0 º 30 cos = − = ∑ ma F F f x (1) 0 º 30 sen = + − = ∑ ma mg N Fy (2) de (1) ⇒ N g Ff 191 2 3 2 45 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = de (2) ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = 4 45 º 30 sen g g ma mg N = 33,45 Kg. Siendo N la cantidad que marca la báscula. Solución en una referencia no inercial . Seleccionemos una referencia con origen O′ (x’,y’) en un punto de la plataforma. El niño está en reposo sobre la plataforma. Aplicando la segunda ley de Newton al DCL del niño. º 30 cos ma F F f x = = ∑ (1) º 30 sen ma mg N Fy − = − = ∑ (2) de (1) ⇒ N g Ff 191 2 3 2 45 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = de (2) ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = 4 45 º 30 sen g g ma mg N = 33,45 kg Siendo N la cantidad que marca la báscula. Ejemplo 39. Un ascensor de masa total 3M es levantado bajo la acción de una fuerza F. El piso del ascensor está inclinado un ángulo θ , con respecto a la horizontal. Además, un bloque de masa M se apoya sobre el centro del piso rugoso del ascensor (con coeficiente de fricción estática μ ). a) Hallar la aceleración del ascensor. b) Haga el diagrama de cuerpo libre de la masa M. c) ¿Cuál es el valor máximo de F para que el bloque dentro del ascensor no resbale respecto del piso del ascensor? d) Si el ascensor pierde contacto con la fuerza F y empieza a caer libremente, calcule el valor de la fuerza normal entre el bloque y el piso del ascensor, y la fuerza de fricción sobre el bloque. Solución. a) Para hallar la aceleración del ascensor. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 27 ( )a M M Mg Mg F + = − − 3 3 ⇒ g M F M Mg F a − = − = 4 4 4 b) Diagrama de cuerpo libre de la masa M. c) Para que el bloque dentro del ascensor no resbale respecto del piso del ascensor se debe cumplir ( ) ( ) θ μ θ cos sen a g M a g M + ≤ + ⇒ θ μ tan ≥ . Como a depende de F, y a esta en miembros de la igualdad, el que el bloque resbale dentro del ascensor solamente depende del coeficiente de fricción. d) Si el ascensor pierde contacto con la fuerza F y empieza a caer libremente, N = 0, por lo tanto Ff = 0 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR La primera ley de Newton dice que un objeto permanecerá en movimiento uniforme en línea recta con velocidad constante o en reposo si no actúa una tuerza sobre él. Entonces cuando un objeto se mueve en trayectoria circular, debe haber una fuerza sobre él cambiándole la trayectoria recta. Esta fuerza puede ser proporcionada por la tensión en una cuerda, para un objeto que se hace girar en una circunferencia horizontal al extremo de una cuerda; por la fuerza de la gravedad para un satélite orbitando la tierra. Los objetos en movimiento circular no están en equilibrio, debe haber una fuerza resultante, de otro modo sólo habría un movimiento en línea recta. FUERZA CENTRÍPETA. Una partícula que se mueve sobre una trayectoria circular de radio R con rapidez constante, se encuentra sometida a una aceleración radial de magnitud v2/R. Por la segunda ley de Newton, sobre la partícula actúa una fuerza en la dirección de hacia el centro de la circunferencia, cuya magnitud es: R v m ma F c c 2 = = Por ser proporcional a la aceleración centrípeta, la fuerza c F se llama fuerza centrípeta. Su efecto es cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo. Se puede sentir esta fuerza cuando se hace girar a un objeto atado a una cuerda, ya que se nota el tirón del objeto. Las fuerzas centrípetas no son diferentes de otras fuerzas ya conocidas, su nombre se debe a que apunta hacia el centro de una trayectoria circunferencial. Cualquiera de las fuerzas ya conocida pueden actuar como fuerza centrípeta si producen el efecto correspondiente, como ser la tensión de una cuerda, una fuerza de roce, alguna componente de la normal, la fuerza gravitacional en el caso de movimientos de planetas y satélites, etc. Ejemplo 40. Un cuerpo de masa m, sujeto al extremo de una cuerda de longitud L, que describe una trayectoria circular en el plano horizontal, genera una superficie cónica, por lo que se llama péndulo cónico. Determinar la rapidez y el período de revolución de la masa. Solución. La partícula está sometida a una aceleración centrípeta, y la fuerza centrípeta correspondiente está dada por la componente de la tensión de la cuerda en dirección radial hacia el centro de la circunferencia. El D. C. L. de la masa m. Aplicando la segunda ley de Newton: 0 = ∑ y F ⇒ 0 cos = −mg T α ⇒ mg = α Tcos (1) y ma Fx = ∑ ⇒ r v m ma 2 Tsen = = α (2) Dividiendo (2) entre (1): rg v 2 tan = α ⇒ α tan 2 rg v = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 28 De la geometría de la figura, α sen L r = , reemplazando se obtiene la rapidez de m: ( ) α α tan sen 2 g L v = ⇒ α α sen tan Lg v = Para calcular el periodo T, esto es el tiempo que demora en dar una vuelta. Se sabe que t v x Δ = Δ , con r x π 2 = Δ , entonces: α α α π π sen tan sen 2 2 Lg L v r t = = Δ = g L α π cos 2 ⇒ g L T α π cos 2 = Ejemplo 41. Una bola de masa m, atada al extremo de una cuerda se hace ir en un plano horizontal formando una circunferencia de radio R. Si tiene una velocidad angular ω , ¿cuál es la tensión en la cuerda? Solución. La figura muestra el D.C.L. Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m . c n ma F = ∑ ⇒ 2 ω mR T − = − t t ma F = ∑ ⇒ α mR = 0 La tensión en la cuerda es 2 ω mR T = . La fuerza tangencial es cero y la aceleración tangencial α también es cero, ya que la velocidad angular es constante. Ejemplo 42. Resolver el problema anterior pero en el caso que el giro sea en el plano vertical. Solución. La figura muestra el D.C.L. Aplicando la segunda ley de Newton. c n ma F = ∑ ⇒ 2 sen ω θ mR mg T − = − − t t ma F = ∑ ⇒ α θ mR mg = − cos La tensión en la cuerda es θ ω sen 2 mg mR T − = La fuerza tangencial es θ cos mg − y la aceleración angular es θ α cos R g − = Como dt d θ α 2 = , obtenemos la ecuación diferencial: θ θ cos 2 R g dt d − = cuya solución esta fuera del alcance de este curso. Pero podríamos encontrar la tensión y fuerza tangencial para posiciones determinadas, es decir para valores dados de θ . ⎩ ⎨ ⎧ − = = = mg F mR T t 2 º 0 Para ω θ , ⎩ ⎨ ⎧ = − = = 0 º 90 Para 2 t F mg mR T ω θ , ⎩ ⎨ ⎧ = = = mg F mR T t 2 º 180 Para ω θ , ⎩ ⎨ ⎧ = + = = 0 º 270 Para 2 t F mg mR T ω θ , ⎩ ⎨ ⎧ − = = = mg F mR T t 2 º 360 Para ω θ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 29 Ejemplo 43. Un pequeño bloque de masa m se desliza sobre una superficie lisa circular de radio R como se muestra en la figura. (La pista está sobre un plano vertical y g = aceleración de la gravedad) a) Trace el diagrama de cuerpo libre del bloque cuando se encuentra en "A" y muestre (dibujando los vectores) la dirección de la fuerza resultante y su aceleración. b) Cuando está en "A", ¿su rapidez aumenta o disminuye? (Justifique) c) Si en "B" su velocidad es nula, ¿cuál es la trayectoria que seguirá la masa m? d) Si en "B" su velocidad es gR , ¿qué trayectoria seguirá la masa m? Solución. a) Trace el diagrama de cuerpo libre del bloque cuando se encuentra en "A" y muestre (dibujando los vectores) la dirección de la fuerza resultante y su aceleración. b) Cuando el bloque está en A se dirige a B, su velocidad es en el sentido antihorario y su aceleración en el sentido horario. Luego su rapidez disminuye. c) Si en "B" su velocidad es nula, ¿cuál es la trayectoria que seguirá la masa m? R v m ma mg N c 2 = = + ⇒ R v m mg N 2 + − = Si v = 0, el valor de N es negativo, lo que no permite al bloque sostenerse sobre la circunferencia, por consiguiente el bloque caerá verticalmente. d) Si en "B" su velocidad es gR , ¿qué trayectoria seguirá la masa m? R v m mg N 2 + − = ⇒ 0 = + − = R gR m mg N , el bloque tiene suficiente velocidad para seguir en la trayectoria circular. Ejemplo 44. Un avión describe un rizo (un camino circular en un plano vertical) de 150 m de radio. La cabeza del piloto siempre apunta al centro del rizo. La rapidez del avión no es constante; es mínima en el cenit del rizo y máxima en el nadir. a) En el cenit el piloto experimenta ingravidez. ¿Qué rapidez tiene el avión en ese punto? b) En el nadir, la rapidez del avión es de 280 km/h. ¿Qué peso aparente tiene el piloto aquí? Su peso real es de 700 N. Solución. a) Sí el piloto siente ingravidez, está en caída libre, y R v g a 2 = = , luego ) )(9,80 150 ( = = Rg v = s m 3 , 38 , o h km 138 . b) El peso aparente es la suma de la fuerza neta hacia adentro (arriba) y el peso del piloto, o R v m P ma P P 2 ' + = + = Aquí: P = 700 N 8 , 9 700 = = g P m = 71,43 kg v = 280 km/h = 77,6 m/s R = 150 m Luego: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 150 6 , 77 43 , 71 700 ' 2 P = 3579 N www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 30 Ejemplo 45. Una partícula de masa m que está unida al extremo de un cable de longitud l , cuyo otro extremo está fijo, se mueve en un plano vertical, a partir de un punto A tal que el cable forma con la vertical un ángulo 0 θ , iniciando el movimiento con velocidad cero. Determinar: a) La velocidad de v de la esfera en función de θ . b) La tensión del cable en función de θ . c) La aceleración a en función de θ . Solución. En la referencia de origen O, la esfera recorre una circunferencia de radio l con velocidad variable v(t). Las componentes intrínsecas la aceleración son: dt dv at = , l 2 v an = Sobre la masa m actúan la tensión del cable T y su peso mg . De la segunda ley de Newton en componentes n ˆ y t ˆ se tiene: t t ma F = ∑ ⇒ t ma mg = θ sen n n ma F = ∑ ⇒ n ma mg T = − θ cos a) Para la componente tangencial se tiene: dt dv m mg = θ sen ⇒ θ sen g ds dv dt ds = ⇒ θ θ θ d g ds g vdv l sen sen = = Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales queda ( ) θ θ cos cos 2 0 2 − = l g v ( ) θ θ cos cos 2 0 − = l g v b) Para la componente normal: ( ) θ θ θ cos cos 2 cos 0 2 − = = − mg v m mg T l La tensión del cable es ( ) θ θ cos 3 cos 2 0 − = mg T c) De las ecuaciones anteriores se tiene la aceleración: n a t a a n t ˆ ˆ + = → θ sen g at = , ( ) θ θ θ cos cos 2 cos 0 − = = − mg ma mg T n ⇒ ( ) θ θ cos cos 2 0 − = g an Ejemplo 46. Una partícula de masa m se encuentra en el polo de una semiesfera de radio R, la cual está apoyada sobre una superficie horizontal. Desplazada ligeramente de su posición de equilibrio, la partícula desliza sobre la superficie, la cual se supone lisa. Determinar: a) La velocidad v de la partícula en función del ángulo θ que forma su radio posición con el radio inicial. b) El valor de la normal N en función de θ. c) El valor de θ, en el instante en que la partícula se despega de la superficie. Solución. En la referencia de origen O, la partícula m tiene un movimiento circular no uniforme de radio R. Las componentes de la aceleración son: dt dv at = , R v an 2 = Sobre la masa m actúan el peso mg y la reacción en el apoyo N. Aplicando la segunda ley de Newton: t t ma F = ∑ ⇒ t ma mg = θ sen n n ma F = ∑ ⇒ n ma mg N − = − θ cos a) De la componente tangencial se tiene: dt dv m mg = θ sen ⇒ θ sen g ds dv dt ds = ⇒ θ θ θ d Rg ds g vdv sen sen = = Integrando y teniendo en cuenta las condiciones iniciales queda ( ) θ cos 1 2 2 − = Rg v Finalmente: ( ) θ cos 1 2 − = Rg v b) De la componente normal se tiene: n ma mg N − = θ cos = R v m mg 2 cos − θ = ( ) θ θ cos 1 2 cos − −mg mg La normal es ( ) 2 cos 3 − = θ mg N c) La masa m deja de estar en contacto con la superficie cuando N = 0 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 31 ( ) 0 2 cos 3 = − = θ mg N ⇒ 3 2 cos = θ ⇒ 48,19º = θ Ejemplo 47. En un parque de diversiones hay un cilindro grande vertical, de radio R que rota alrededor de su eje, con velocidad angular constante ω . Explicar cómo es posible que las personas que están dentro, al retirárseles el piso permanezcan “pegadas” a la pared interior del cilindro. Solución. La figura muestra el D.C.L del hombre. Aplicando La segunda ley de Newton: Como el hombre no cae, radialmente está en reposo (R = constante) c r ma F = ∑ ⇒ R m N 2 ω − = − 0 = ∑ z F ⇒ 0 = −N mg μ De estas ecuaciones: R m mg 2 ω μ − y R g μ ω = Esto quiere decir que para que suceda el efecto de suspensión de las personas, la velocidad angular ω tiene que tener un valor relacionado con el radio R y el coeficiente de fricción μ . Ejemplo 48. En la tornamesa mostrada en la figura el bloque de masa 1 m descansa sobre el bloque de masa 2 m . Los bloques están a la distancia R del eje de rotación. El coeficiente de rozamiento estático entre las masas y entre 2 m y la tornamesa es μ Considerando el rozamiento y la masa de la polea despreciables, encontrar la velocidad angular de la tornamesa para la cual los bloques justamente comienzan a resbalar. Solución. En este problema todo depende de tomar correctamente la dirección de la fuerza de fricción entre 1 m y 2 m . Consideremos 2 m > 1 m , por lo tanto 2 m tenderá a moverse hacia afuera, jalando a 1 m hacia adentro. La fuerza de fricción actuará en oposición a su movimiento relativo. La figura muestra los D.C.L. de los componentes del sistema. Aplicando la segunda Ley de Newton z z ma F = ∑ , r r ma F = ∑ y t t ma F = ∑ A la masa 1 m : 0 1 1 = − g m N , R m F T 2 1 1 ω − = + − , 0 = t F A la masa 2 m : 0 2 1 2 = − − g m N N , R m F F T 2 2 2 1 ω − = − − − , 0 = t F De las ecuaciones obtenemos: 1 1 m N = , ( )g m m N 2 1 2 + = g m F 1 1 μ ≤ , ( )g m m F 2 1 2 + ≤μ y ( ) R m m F F 2 1 2 2 1 2 ω − = + www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 32 Corno ω puede incrementarse hasta que 1 F y 2 F alcancen sus valores máximos ( ) ( ) R m m g m m g m 2 1 2 2 1 1 2 ω μ μ − = + + Finalmente ( ) ( ) 1 2 2 1 3 m m R m m − + = μ ω Ejemplo 49. ¿Cómo afectará la rotación de la tierra al peso aparente de un cuerpo en el ecuador? Solución. La figura muestra la situación de un cuerpo situado en la línea ecuatorial Aplicando la segunda ley de Newton z z ma F = ∑ ⇒ 0 = z F r r ma F = ∑ ⇒ R m mg N 2 ω − = − t t ma F = ∑ ⇒ 0 = t F El peso de la masa es representado por la reacción N R m mg N 2 ω − = Para tener una idea de cuánto afecta la rotación de la tierra es necesario hacer el cálculo numérico para esta consideración: El radio de la tierra en el ecuador: R = 6,378 x l06m La velocidad angular de la tierra s rad 3600 24 2 × = π ω = s rad 10 27 , 7 5 − × La aceleración de la gravedad en el Ecuador: g = 9,780490 m/s2 % 34 , 0 100 Porcentaje 2 = × = g R ω CURVAS EN LAS PISTAS. Para un cuerpo como un vehículo o un vagón de tren que se mueven describiendo una trayectoria curva de radio r, sobre el vehículo debe actuar una fuerza centrípeta para evitar que continúe moviéndose en línea recta y se salga de la pista; esta es la fuerza para hacer que el vehículo gire por la pista curva. La fuerza centrípeta necesaria la da el roce de las llantas o las pestañas de las ruedas del tren. Curvas sin peraltar En estos casos la fuerza de rozamiento es la que nos proporciona toda la componente normal que servirá para tomar la curva. Siempre que tengamos que ésta es mayor que la aceleración normal el automóvil será capaz de tomar la curva, es decir, el caso límite se alcanza cuando R v m ma F c r 2 = = Ejemplo 50. ¿Cuál es la velocidad a que puede ir un automóvil por una curva sin peralte, de radio R, sin derrapar?, el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo vale μ. Solución. c h ma F = ∑ 0 = ∑ V F R v ac 2 = R v m mg N Ff 2 = = = μ μ ⇒ gR v μ = Ejemplo 51. El ciclista tiene que inclinarse al desplazarse por una pista circular (o para pasar por una curva), Encontrar la relación de la velocidad con el radio de curvatura, el ángulo de inclinación y μ coeficiente de fricción. Solución. La figura muestra el D.C.L. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 33 Aplicando la segunda ley de Newton: z z ma F = ∑ ⇒ 0 = −mg N r r ma F = ∑ ⇒ R v m N 2 = μ De las ecuaciones obtenemos mg N = y R v m mg 2 = μ Finalmente gR v μ = Del D.C.L. también obtenemos: μ μ θ = = N N tan Esto quiere decir que si el motociclista al realizar una curva no se reclina y el piso no es lo suficientemente áspero (fricción), éste caerá. Curvas peraltadas sin rozamiento Para no tener que confiar en el roce o reducir el desgaste de los rieles y pestañas, la carretera o la vía pueden inclinarse, como en la figura. En este caso la componente de la normal dirigida hacia el centro de curvatura proporciona la fuerza necesaria para mantener al móvil en la pista. A la inclinación de la pista o vía se le llama ángulo de peralte, θ . En estos casos se toma la proyección de la normal sobre la horizontal como causante de la fuerza centrípeta. Este caso se tiene, que: Rg v mg R v m 2 2 tan = = θ Siendo θ , la inclinación de la carretera. Ejemplo 52. ¿Cuál es la velocidad a que puede ir un automóvil por una curva con peralte, de radio R, sin derrapar, el peralte es de θ grados? Solución. 0 = ∑ ⊥ F R v ac 2 = θ cos // c ma F = ∑ ⇒ R v m mg 2 sen = θ ⇒ θ tan gR v = Curvas peraltadas con rozamiento Este es un caso bastante más complejo de analizar. Ejemplo 53. ¿Cuál es la velocidad a la que puede ir un automóvil por una curva con peralte, de radio R, para que no se deslice hacia el exterior, el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo vale μ., el peralte es de θ grados? Solución. N Ff μ = , R v ac 2 = θ cos // c ma F = ∑ ⇒ θ μ θ cos sen 2 R v m N mg = + 0 = ∑ ⊥ F ⇒ θ θ sen cos 2 R v m mg N = − ⇒ θ θ sen cos 2 R v m mg N + = θ θ θ μ θ cos sen cos sen 2 2 R v m R v m mg mg = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + θ θ μ θ μ θ cos sen cos sen 2 2 R v m R v m mg mg = + + ( ) ( ) θ μ θ θ μ θ sen cos cos sen 2 − = + R v m mg ( ) ( ) θ μ θ θ μ θ sen cos cos sen − + = gR v www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 34 ⇒ ( ) ( ) θ μ μ θ tan 1 tan − + = gR v Para que no se vaya Ejemplo 54. ¿Cuál es la velocidad a laque puede ir un automóvil por una curva con peralte, de radio R, para que no se deslice hacia el interior, el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo vale μ., el peralte es de θ grados? Solución. N Ff μ = , R v ac 2 = θ cos // c ma F = ∑ ⇒ θ μ θ cos sen 2 R v m N mg = − 0 = ∑ ⊥ F ⇒ θ θ sen cos 2 R v m mg N = − ⇒ θ θ sen R v m mg N 2 cos + = θ θ θ μ θ cos sen cos sen 2 2 R v m R v m mg mg = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − θ θ μ θ μ θ cos sen cos sen 2 2 R v m R v m mg mg = − − ( ) ( ) θ μ θ θ μ θ sen cos cos sen 2 + = − R v m mg ( ) ( ) θ μ θ θ μ θ sen cos cos sen + − = gR v ⇒ ( ) ( ) θ μ μ θ tan 1 tan + − = gR v Para que no se caiga La velocidad debe de estar entre esos valores para permanecer en la carretera. ( ) ( ) ( ) ( ) θ μ μ θ θ μ μ θ tan 1 tan tan 1 tan + − ≥ ≥ − + gR v gR MOVIMIENTO EN MARCOS DE REFERENCIA NO INERCIALES Hasta este momento nuestro estudio de mecánica clásica lo hemos realizado en sistemas de referencia que están en reposo o con movimiento con velocidad constante con respecto a un sistema considerado en reposo. A este conjunto de marcos de referencia se le conoce como MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES. En los problemas trabajados hasta esta parte el primer paso era dibujar un sistema de coordenadas. Elegimos un sistema fijo a tierra, pero no pusimos atención al hecho que la tierra no es un marco inercial debido a que la tierra al viajar en su orbita casi circular alrededor del sol experimenta una aceleración centrípeta hacia el centro de la tierra. Sin embargo, estas aceleraciones son pequeñas comparadas con la aceleración de la gravedad y a menudo se pueden despreciar. En la mayoría de los casos se supondrá que la tierra es un marco inercial. Ahora veremos cómo cambian los resultados cuando se trabaja en un MARCO DE REFERENCIA NO INERCIAL, que es el nombre que se da a un marco de referencia acelerado. MARCO CON MOVIMIENTO DE TRASLACION NO UNIFORME. Consideremos los sistemas S y S’ tal corno se muestra en la Figura siguiente. El sistema S es inercial y el sistema S’ se mueve con respecto a S con aceleración constante i A A ˆ = → , tal que 2 2 1 At D = . De la figura obtenemos que la posición de la partícula P es: 2 2 1 ' At x x + = , ' y y = , ' z z = i At r r ˆ 2 1 ' 2 + = → → Derivando con respecto al tiempo encontramos At v v x x + = ' ' , y y v v ' = , ' 'z z v v = i At v v ˆ '+ = → → Derivando nuevamente encontramos A a a x x + = ' , ' ' y y a a = , ' 'z z a a = i A a a ˆ '+ = → → o → → → + = A a a ' Si la partícula P tiene una masa m y aplicarnos la segunda ley de Newton del movimiento en el sistema inercial S obtenemos → → = a m F Donde P es la suma de todas las fuerzas de interacción que actúan sobre las partículas. Para relacionar con el sistema no inercial S’ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 35 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = → → i A a m F ˆ ' o → → → − = A m F a m ' Aquí vemos que para que el observador según S’ pueda aplicar la segunda ley de Newton debemos introducir una fuerza extra → A F a la llamaremos fuerza de arrastre y debemos incluirla en los diagramas de fuerzas: → → − = A m FA → → → + = A F F a m ' De este modo, en el sistema S’: Donde → ' F es la suma de las fuerzas reales más la de arrastre → → → + = A F F F' Recalquemos el carácter ficticio de → A F . Para aplicar una fuerza real sobre un cuerpo debemos ponerlo en interacción con otro, de manera que, según la tercera ley de Newton, si A ejerce una fuerza sobre B, → AB F , a su vez B ejercerá una fuerza sobre A, → BA F , tal que → → − = BA AB F F . Ahora, ¿es la reacción de la fuerza de arrastre?, ¿cuál es el otro cuerpo que está ejerciendo la fuerza ?. No existe tal cuerpo, la fuerza no tiene reacción, es una fuerza ficticia que agrega un observador ubicado en un sistema acelerado (respecto a uno inercial) para justificar los fenómenos que observa. Ejemplo 55. La fuerza para estirar o comprimir un resorte es proporcional a su deformación lineal, l Δ − = k F , donde k es la constante del resorte y el signo menos significa que la fuerza es en oposición a la deformación. Si sobre una mesa sin fricción que se encuentra en un vagón se coloca una masa. m sujeta a un resorte de constante k y largo l , como se muestra en la figura. El tren arranca con una aceleración A que se mantiene constante en la dirección x. Calcular la deformación del resorte desde el punto de vista del observador en tierra y desde el punto de vista del observador en el vagón. Solución. Observador en tierra: La figura muestra el D. C. L. de la masa m. El observador ve que el resorte se estira l Δ . La fuerza es l Δ = k F Aplicando la segunda ley de Newton: x x ma F = ∑ ⇒ mA k = Δl ⇒ F mA = Δl Observador en el vagón: La figura a continuación muestra el D.C.L. de la masa m que no se mueve para el observador en el vagón. Como es sistema no inercial tenemos que aplicar la fuerza ficticia mA − . Aplicando la segunda ley de Newton 0 ' = ∑ x F ⇒ l Δ = − k mA ⇒ F mA = Δl Ejemplo 56. Analizar el caso de masa m colgada mediante un hilo del techo de un vagón, que se mueve con una aceleración A. a) Desde el punto de vista de un observador en tierra (S). b) para un observador dentro del vagón (S’). Solución. a) Para un observador en S: El D.C.L. de la masa m Aplicando la segunda ley de Newton: x x ma F = ∑ ⇒ mA T = θ sen (1) 0 = ∑ y F ⇒ 0 cos = −mg T θ ⇒ mg T = θ cos (2) Dividiendo (1) : (2) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 36 g A = θ tan b) Para un observador en S’ El D.C.L..de la masa m Aplicando la segunda ley de Newton 0 ' = ∑ x F ⇒ 0 sen = −mA T θ ⇒ 0 sen = = mA T θ (1) 0 ' = ∑ y F ⇒ 0 cos = −mg T θ ⇒ mg T = θ cos (2) Dividiendo (1) : (2) obtenemos: g A = θ tan Ejemplo 57. Desde el techo de un carrito de juguete cuelga una masa m unida al cielorraso mediante una cuerda ideal. El carrito se encuentra en el piso de un ascensor que sube con aceleración g/2. A su vez el carrito tiene una aceleración horizontal de magnitud g respecto al ascensor. Encuentre el ángulo que forma la cuerda con la vertical, resuelva para un observador situado dentro del ascensor. Solución. Para un observador en el ascensor. El D.C.L..de la masa m Aplicando la segunda ley de Newton ' ' x x ma F = ∑ ⇒ mg T = θ sen (1) 0 ' = ∑ y F ⇒ 0 2 cos = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − g g m T θ ⇒ g m T 2 3 cos = θ (2) Dividiendo (1) / (2) 3 2 2 3 tan = = g g θ ⇒ ° = 7 , 33 θ Ejemplo 58. Resolver el caso del peso del hombre en un ascensor cuando asciende con una aceleración constante A, desde el punto de vista del hombre en el ascensor. Solución. Aplicamos la segunda ley de Newton, ' ' y y ma F = ∑ ⇒ 0 = − − ma mg N ⇒ ( ) a g m N + = El peso del hombre será la reacción N En caso de subir con aceleración a: ( ) a g m N + = En caso de bajar con aceleración a: ( ) a g m N − = Ejemplo 59. El pasajero de un tren deja caer una piedra en diversos estados de movimiento del tren. Hallar la trayectoria de dicha piedra que ve el pasajero y la trayectoria vista por un observador en tierra. a) El tren acelera con aceleración A constante. b) El tren frena con aceleración A constante. Solución. El tiempo en que la piedra esta en movimiento, es el mismo para todo sistema puesto que el movimiento vertical es independiente del horizontal. 2 2 1 ' gt h y y − = = , para y = 0 la piedra lega al piso: 0 2 1 2 = − gt h ⇒ g h t 2 = a) Cuando el tren va con aceleración A, deja caer una piedra. Considerando que en el momento que suelta la piedra el tren tiene una velocidad 0 v . www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 37 Observador en tierra Las ecuaciones del movimiento en el sistema S. Movimiento de la piedra t v x piedra 0 = Movimiento del tren 2 0 2 1 At t v xtren + = La piedra cae a una distancia 2 2 1 At x x x piedra tren = − = Δ , detrás del punto de plomada. Observador en el tren La ecuación del movimiento en el sistema S’ Movimiento de la piedra 2 2 1 At x piedra − = La piedra cae a una distancia 2 2 1 At x = Δ , detrás del punto de plomada. El gráfico siguiente muestra el moviendo visto por un observador en el sistema S y en el sistema S’. b) Cuando el tren desacelera con aceleración A, deja caer una piedra. Considerando que en el momento que suelta la piedra el tren tiene una velocidad 0 v . Observador en tierra Las ecuaciones del movimiento en el sistema S. Movimiento de la piedra t v x piedra 0 = Movimiento del tren 2 0 2 1 At t v xtren − = La piedra cae a una distancia 2 2 1 At x x x piedra tren = − = Δ , detrás del punto de plomada. Observador en el tren La ecuación del movimiento en el sistema S’ Movimiento de la piedra 2 2 1 At x piedra = La piedra cae a una distancia 2 2 1 At x = Δ , detrás del punto de plomada. El gráfico siguiente muestra el moviendo visto por un observador en el sistema S y en el sistema S’. MARCO DE ROTACIÓN Veamos el caso de un marco de referencia que está rotando con velocidad angular ω con respecto a otro marco de referencia. Supongamos que tenemos un objeto moviéndose alrededor de un punto arbitrario; este es un caso específico, sin embargo tiene todos los efectos en él. La posición de la partícula con respecto a un sistema inercial está determinada por un vector → r . Consideremos un nuevo sistema de coordenadas tal que siga al objeto, el nuevo origen está determinado por → R contenido en → r tal que la posición de la partícula en este nuevo sistema está ciada por → ' r . De la figura tenemos. ( )r r R r r r R r R r ˆ ' ˆ ' ˆ ' + = + = + = → → → Derivando: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 38 ( )r r R dt d dt r d ˆ ' + = → = ( ) ( ) dt r d r R r dt r R d ˆ ' ˆ ' + + + Como t dt r d ˆ ˆ ω = ( ) t r R r dt dr r dt dR dt r d ˆ ' ˆ ' ˆ ω + + + = → → → = v dt r d es la velocidad de la partícula vista en el sistema inercial y → → = ' ' v dt r d es la velocidad de la partícula vista en el sistema no inercial. Tal que ( ) t r R v r dt dR v ˆ ' ' ˆ ω + + + = → → Para encontrar la aceleración es necesario derivar nuevamente: ( )r r R dt d dt r d ˆ ' 2 2 2 2 + = → = ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + t r R r dt r R d dt d ˆ ' ' ω Como t dt r d ˆ ˆ ω = y r dt t d ˆ ˆ ω − = ( ) ( ) t dt r R d r dt r R d dt r d ˆ ' ˆ ' 2 2 2 2 ω + + + = → ( ) ( ) ( ) r r R t dt d r R t dt r R d ˆ ' ˆ ' ˆ ' 2 ω ω ω + − + + + + ( ) ( ) t dt r R d r dt r R d ˆ ' 2 ˆ ' 2 2 ω + + + = ( ) ( ) r r R t r R ˆ ' ˆ ' 2 ω α + − + + ( ) ( ) r r R dt r R d ˆ ' ' 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ω ( ) ( ) t r R dt r R d ˆ ' ' 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + α ω donde 2 2 dt r d a → → = es la aceleración de la partícula vista en el sistema inercial y 2 2 ' ' dt r d a → → = es la aceleración de la partícula vista en e1 sistema no inercial. Llamando a ( ) ( ) r r R dt r R d Ar ˆ ' ' 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = → ω y ( ) ( ) t r R dt r R d At ˆ ' ' 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = → α ω Tenemos: t A r A A t r ˆ ˆ + = → Tal que: → → → + = A a a ' Si la partícula tiene una masa m y aplicamos la segunda ley de Newton en el sistema inercial → → = a m F donde → F es la suma de todas las fuerzas de interacción que actúan sobre la partícula. Para relacionar con el sistema inercia! ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = → → → A a m F ' o → → → − = A m F a m ' Para que el observador pueda aplicar la segunda ley de Newton debemos introducir aquí también una fuerza extra → A F y debemos incluirla en los diagramas de fuerzas → → − = A m FA t F r F F At Ar A ˆ ˆ → → → + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt t d r R t dt d r R t dt r R d dt r d dt r R d r dt r R d ˆ ' ˆ ' ˆ ' ˆ ' ˆ ' 2 2 ω ω ω + + + + + + + + + ( ) ( ) r r R dt r R d m FAr ˆ ' ' 2 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = → ω y ( ) ( ) t r R dt r R d m FAt ˆ ' ' 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = → α ω De este modo, en el sistema no inercial → → → → + = = A F F a m F ' ' Recalquemos el carácter ficticio de → A F Con el objeto de clarificar esta idea veamos dos casos especiales: a) El origen O’ rota con velocidad angular constante ω a una distancia constante b, tal b r R = + ' , R y r’ son constantes. ( ) 0 ' = + dt r R d y ( ) 0 ' 2 2 = + dt r R d ω = constante, 0 = = dt dω α Sólo nos queda ( ) r mb r r R m FAr ˆ ˆ ' 2 2 ω ω = + = → Que es la fuerza ficticia del centro hacia afuera y se le da el nombre de FUERZA CENTRÍFUGA, debemos insistir que solo aparece en el marco no inercial. b) El origen O’ rota con velocidad angular constante ω y también se está alejando del origen fijo en O con una velocidad constante ( ) dt r R d V ' + = . Con esto, 0 = = dt dω α y nos queda ( ) r r R m FAr ˆ ' 2 ω + = → www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 39 y t mV FAt ˆ 2 ω − = → Esta última fuerza ficticia, cuya dirección es transversal, se conoce como FUERZA DE CORIOLIS. Ejemplo 60. Un cuerpo de masa de masa m unido a un resorte de constante k y longitud l que gira con ve1ocidad angular ω constante en un plano horizontal sin fricción. Se quiere calcular el estiramiento l Δ del resorte. Solución. Visto por el observador inercial. La figura muestra el D.C. L. de la masa Aplicando la segunda ley de Newton, el resorte estira l Δ , luego su longitud es ( ) l l Δ + z z ma F = ∑ , r r ma F = ∑ , t t ma F = ∑ Como: 0 = z a , ( ) l l Δ + − = 2 ω r a , 0 = t a Tenemos 0 = −mg N , ( ) l l Δ + − = − 2 ω m T , 0 = t F De aquí obtenemos: mg N = y ( ) l l Δ + = 2 ω m T Como l Δ = k T ( ) l l l Δ + = Δ 2 ω m k y 2 2 ω ω m k m − = Δ l l Visto por un observador no inercial colocado en el centro de rotación y girando con la misma velocidad angular. Aplicando la segunda ley de Newton: ' ' ' ' z z ma F = ∑ , ' ' ' ' r r ma F = ∑ , ' ' ' ' t t ma F = ∑ Como 0 ' ' = z a , 0 ' ' = r a , ' ' ' ' t t ma F = ∑ Tenemos 0 = −mg N , ( ) 0 2 = Δ + + − l l ω m T , 0 = t F Como l Δ = k T ( ) 0 2 = Δ + + Δ − l l l ω m k y 2 2 ω ω m k m − = Δ l l Visto por un observador no inercial colocado sobre la misma masa Este caso es idéntico al caso anterior. Ejemplo 61. Se tiene una plataforma circular de radio R a la cual se le ha pintado un radio y gira con velocidad angular constante ω . Un hombre camina de afuera hacia adentro de la plataforma siguiendo la línea con una velocidad de módulo constante v . ¿Cuál es la fuerza que la plataforma ejerce sobre el hombre, en función de su posición? Solución. La figura muestra el D.C.L. del hombre Aplicando la segunda ley de Newton: r r ma F = ∑ ⇒ 2 ω mr ma R r r − = − t t ma F = ∑ ⇒ ( ) r v m Rt α ω + − = 2 Como: 0 = r a y 0 = α : 2 ω mr Rr = y ω mv Rt 2 − = t R es debido a la aceleración de coriolis. r R es el sentido indicado en la figura y t R en el sentido contrario. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 40 PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Sobre una partícula de masa m que parte del reposo en origen de coordenadas. actúa una fuerza ( ) j i F ˆ 3 ˆ 2 + = → Después de l0s la posición de la partícula viene dada por las coordenadas (3m; 4,5 m). ¿Cuál es su masa? Respuesta. m = 33,3 kg. 2 Hallar las fuerzas que actúan sobre cada una de las seis barras rígidas de peso despreciable. Si están unidas mediante pivotes lisos y cada una de las barras cortas tiene una longitud l . Respuesta. AD = DB = mg ; CB = CA = mg/2, BC = 2mg; CD = 0. CD se puede retirar y no pasa nada. 3. Dos cubos de masa m están unidos mediante una cuerda y uno de ellos está sujeto al techo mediante otra cuerda igual. a) Si en el cubo inferior se hace presión suavemente hacia abajo. ¿Cuál de las cuerdas se romperá antes? ¿porqué? b) Si la masa interior se golpea hacia abajo con un martillo, se rompe la cuerda de abajo ¿porqué? Respuesta. a) La cuerda superior debido a que la tensión es mayor. b) La tuerza de reacción inercial de la masa superior aumenta la resistencia frente a una aceleración rápida. 4. Una caja de 40 kg que está resbalando en el piso disminuye su velocidad de 5 m/s a 2 m/s. Asumiendo que la fuerza sobre la caja es constante, encontrar su magnitud y dirección relativa a la velocidad de la caja. Respuesta. 20N opuesta a la velocidad. 5. ¿Qué fuerza en adición a i F ˆ 4 1 = → N y j F ˆ 2 2 = → N debe aplicarse al cuerpo en la figura, tal que: a) no acelere? b) tenga una aceleración i ˆ 4 − m/s2 Respuesta. a) ( ) j i F ˆ 2 ˆ 4 − − = → N, b) ( ) j i F ˆ 2 ˆ 16 − − = → N 6. ¿Cuál es la mínima aceleración con la que puede deslizarse hacia abajo un hombre de 75 kg por una cuerda que solo soporta una tensión de 490N, ¿Cuál será la velocidad de la persona después de deslizarse la distancia de 20m? Respuesta. a = 3,27 m/s2 ; v = 11,4 m/s 7. El libro de Física I, está apoyado en el extremo superior de un resorte vertical, que a su vez esta ‘parado’ sobre una mesa. Para cada componente del sistema libro-resorte-mesa-tierra: a) dibujar el diagrama de cuerpo libre, b) identificar todos los pares de fuerzas de acción y reacción. 8. De acuerdo con la leyenda, un caballo aprendió las leyes de Newton. Cuando se le dijo que tirara una carreta, se negó argumentando que si él tiraba la carreta hacia delante, de acuerdo con la tercera ley de Newton habría una fuerza igual hacia atrás. De esta manera, las fuerzas estarían balanceadas y de acuerdo con la segunda ley de Newton, la carreta no aceleraría. ¿Cómo podría usted razonar con este misterioso caballo? 9. Dos alumnos de forestal ubicados en los bordes opuestos de un camino recto tiran a un carro por el camino, con fuerzas de 160 N y 200 N, que forman un ángulo de 30º y 60º respectivamente, con la dirección del camino. Calcular la magnitud de la fuerza resultante y la dirección en la que se moverá el carro. Respuesta. 256,1N, -21,3º www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 41 10. Una masa de 5kg cuelga de una cuerda de 1m de longitud que se encuentra sujeta a un techo. Calcular la fuerza horizontal que aplicada a la masa la desvíe 30 cm de la vertical y la mantenga en esa posición. Respuesta. 15,7 N. 11. Tres fuerzas ( ) j i F ˆ 2 ˆ 2 1 + − = → N, ( ) j i F ˆ 3 ˆ 5 2 − = → N y ( ) i F ˆ 45 3 − = → N que actúan sobre un objeto le producen una aceleración de valor 3 m/s2. a) ¿Cuál es la dirección de la aceleración? b) ¿Cuál es la masa del objeto? c) Si el objeto esta inicialmente en reposo, calcular su velocidad después de 10s? 12. Una mano ejerce una fuerza horizontal de 5 N para mover hacia la derecha a dos bloques en contacto entre sí uno al lado del otro, sobre una superficie horizontal sin roce. El bloque de la izquierda tiene una masa de 2 kg y el de la derecha de 1 kg. a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada bloque. b) Calcular la aceleración del sistema, c) Calcular la aceleración y fuerza sobre el bloque de 1 kg, d) Calcular la fuerza neta actuando sobre cada cuerpo. Respuesta. b) 5/3 m/s2, c) 5/3 m/s2, 5N, d) 5 N. 13. Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/s2. La misma fuerza aplicada a una masa m2 produce una aceleración 1 m/s2. a) ¿Cuál es el valor de la proporción m1/m2? b) Si se combinan m1 y m2, encuentre su aceleración bajo la acción de F. Respuesta. a) 1/3, b) 0,75 m/s2. 14. Dos bloques de masas M y 3M ubicado a la derecha de M, que están sobre una mesa horizontal lisa se unen entre sí con una varilla de alambre horizontal, de masa despreciable. Una fuerza horizontal de magnitud 2Mg se aplica sobre M hacia la izquierda. a) Hacer los diagrama de cuerpo libre. b) Calcular la aceleración del sistema. c) Calcular la tensión del alambre. Respuesta. b) 5 m/s2, c) 15Mg N. 15. Dos paquetes se colocan sobre un plano inclinado como muestra la figura. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el paquete A es 0,25 y entre el plano y el paquete B es 0,15. Sabiendo que los paquetes están en contacto cuando se dejan libres, determinar: a) la aceleración de cada paquete, b) la fuerza ejercida por el paquete A sobre el B. c) Resolver el problema invirtiendo las posiciones de los paquetes. Respuesta: a) 738 , 0 = = B A a a m/s2, b) 5,68 N 16. Un bloque A de 100 kg está unido a un contrapeo 8 de 25 kg mediante un cable dispuesto como muestra la figura. Si el sistema se abandona en reposo, determinar: a) la tensión en el cable. b) la velocidad de B transcurridos 3 s, c) la velocidad de A cuando ha recorrido 1,2 m. Respuesta. a) 302 N, b) 6,79 j ˆ m/s, c) -1,346 j ˆ m/s 17. Determinar la aceleración de cada uno de los bloques de la figura, ¿Que bloque llega primero al suelo? mA=5kg, mB = 15 kg, mC = 10kg Respuesta. j a A ˆ 04 , 4 == → m/s2, j a B ˆ 577 , 0 − == → m/s2, j a C ˆ 89 , 2 − == → m/s2 C llega primero. 18. En la figura μ = 0,45 , 5 kg . A m = 5 kg, B m = 20 kg C m = 15 Kg. determinar la aceleración de cada bloque. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 42 Respuesta. j a A ˆ 91 , 4 = → m/s2, j aB ˆ 45 , 2 − = → m/s2, 0 = → C a 19. Determinar la aceleración del cilindro B de la figura, si a) T = 1500 N, b) T = 4000 N. mA=250 kg, mB = 100 kg, Respuesta. a) -3,11 j ˆ N b) -9,81 j ˆ N 20. Se tiene un sistema formado por tres bloques y una polea sin fricción. El bloque A tiene una masa de 6,0 kilogramos y está en una superficie áspera (μ = 0,40). El bloque C tiene una masa de 4,0 kilogramos. Una fuerza externa P = 80 N, se aplica verticalmente al bloque A, la que mantiene el sistema en equilibrio estático según como se muestra. a) ¿Cuál es la masa del bloque B? ¿Cuál es la fuerza de fricción sobre el bloque A? b) se quita la fuerza externa de 8,0 N. Las masas de los bloques B y C se ajustan, de modo el sistema siga en reposo tal como se muestra, pero están justo por iniciar el movimiento. La masa del bloque A no se cambia. Las tensiones en las dos cuerdas verticales son: Respuesta. a) 3,1 kg 25.2 N b) 28 N y 37 N 21. Pepe anda esquiando, cuando en algún momento sube 5 m deslizándose por la pendiente de un cerrito nevado en sus esquíes, saliendo desde la cima ubicada a 3 m de altura respecto a la horizontal, con una rapidez de 10 m/s. El coeficiente de roce entre la nieve y los esquíes es 0,1. a) Calcular la rapidez con la cual el esquiador comienza a subir la pendiente. b) Determine la distancia horizontal que vuela Pepe cuando sale de la punta del cerro. Respuesta. a) 13 m/s, b) 16,6 m. 22. El bloque de masa m de la figura parte del reposo, deslizándose desde la parte superior del plano inclinado 30º con la horizontal. El coeficiente de roce cinético es 0,3. a) Calcular la aceleración del bloque mientras se mueve sobre el plano. b) Calcular la longitud del plano si el bloque sale con una rapidez de 5 m/s. c) Si el bloque cae al suelo a una distancia horizontal de 3 m desde el borde del plano, determine el tiempo total del movimiento. Respuesta. a) 2,4 m/s2, b) 5,2 m, c) 2,8 s. 23. En el sistema de la figura, se aplica una fuerza F sobre m. El coeficiente de roce es μ entre cada cuerpo y los planos. Deducir la expresión de la magnitud de F para que el sistema se mueva: a) con rapidez constante, b) con aceleración a constante. Respuesta. b) ( ) ( ) M m a mg Mg + + + + μ α α μ sen cos . 24. En el sistema de la figura, la fuerza F paralela al plano inclinado empuja al bloque de masa m haciéndolo subir una distancia D sobre el plano, de coeficiente de roce μ. Calcular en función de m, F, g, D, μ y α, la aceleración del bloque. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 43 25. Una fuerza F se aplica a un pequeño bloque de masa m para hacerlo moverse a lo largo de la parte superior de un bloque de masa M y largo L. El coeficiente de roce es μ entre los bloques. El bloque M desliza sin roce en la superficie horizontal. Los bloques parten del reposo con el pequeño en un extremo del grande, como se ve en la figura. a) Calcular la aceleración de cada bloque relativa a la superficie horizontal. b) Calcular el tiempo que el bloque m demora en llegar al otro extremo de M, en función de L y las aceleraciones. Respuesta. a) (F- µmg)/m, µmg/(m+M), b) [2L/(a1-a2)]1/2. 26. Un bloque de masa M se ubica sobre un pequeño plano inclinado un ángulo α sin roce, que tiene su extremo inferior fijo a un eje vertical que puede girar. En algún momento el eje gira con el plano con rapidez constante. Demostrar que si la masa asciende desde la base del plano, su rapidez cuando ha subido una distancia L es α sen gL v = . 27. Una fuerza dependiente del tiempo, ( ) j t i F ˆ 4 ˆ 8 − = → N (donde t está en segundos), se aplica a un objeto de 2 kg inicialmente en reposo. a) ¿En qué tiempo el objeto se moverá con una velocidad de 15 m/s? b) ¿A qué distancia está de su posición inicial cuando su velocidad es 15 m/s? c) ¿Cuál es la posición del objeto en este tiempo? Respuesta. a) 3s, b) 20,1m, c) ( ) j i ˆ 9 ˆ 18 − m 28. Una araña de 2 x 10-4 kg está suspendida de una hebra delgada de telaraña. La tensión máxima que soporta la hebra antes de romperse es 2,1 x 10-3 N. ¿Cuál es la aceleración máxima con la cual la araña puede subir por la hebra con toda seguridad? Respuesta. 0,5m/s2. 29. Los instrumentos de un globo meteorológico tienen una masa de 1 kg. a) El globo se suelta y ejerce una fuerza hacia arriba de 5 N sobre los instrumentos. ¿Cuál es la aceleración del globo y de los instrumentos? b) Después de que el globo ha acelerado durante 10 segundos, los instrumentos se sueltan. ¿Cuál es velocidad de los instrumentos en el momento en que se sueltan? c) ¿cuál es la fuerza neta que actúa sobre los instrumentos después de que se sueltan? d) ¿En qué momento la dirección de su velocidad comienza a ser hacia abajo? 30. Sobre el planeta X un objeto pesa 12 N. En el planeta Y, donde la magnitud de la aceleración de caída libre es 1,6g, el objeto pesa 27 N. ¿Cuál es la masa del objeto y cuál es la aceleración de caída libre en el planeta X? Respuesta. 1,7 kg, 7m/s2. 31. Dos bloques de 1 y 2 kg, ubicados sobre planos lisos inclinados en 30º, se conectan por una cuerda ligera que pasa por una polea sin roce, como se muestra en la figura. Calcular: a) la aceleración de cada bloque, b) la tensión en la cuerda. c) si la aceleración cuando los planos son rugosos fuera ½ de la calculada en ese problema, calcular: el coeficiente de roce y la tensión en la cuerda. 32. Un trineo de 50 kg de masa se empuja a lo largo de una superficie plana cubierta de nieve. El coeficiente de rozamiento estático es 0,3, y el coeficiente de rozamiento cinético es 0,1. a) ¿Cuál es el peso del trineo? b) ¿Qué fuerza se requiere para que el trineo comience a moverse? c) ¿Qué fuerza se requiere para que el trineo se mueva con velocidad constante? d) Una vez en movimiento, ¿qué fuerza total debe aplicársele al trineo para acelerarlo a 3 m/s2? 33. La masa m1 sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a la masa m2 por medio de una polea móvil y una polea fija sin masas. Si a1 y a2 son magnitudes de las aceleraciones de m1 y m2, respectivamente. Determinar: a) una relación entre estas aceleraciones. b) las tensiones en las cuerdas, y c) las aceleraciones a1 y a2 en función de m1, m2 y g. 34. Calcular la fuerza F que debe aplicarse sobre un bloque A de 20 kg para evitar que el bloque B de 2 kg caiga. El coeficiente de fricción estático entre los bloques A y B es 0,5, y la superficie horizontal no presenta fricción. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 44 35. Una bola de masa m se suelta sin velocidad inicial desde un punto A y oscila en un plano vertical al extremo de una cuerda de longitud L. Determinar: a) la componente tangencial de la aceleración en el punto B. b) la velocidad en el punto B. c) la tensión en la cuerda cuando la bola para por el punto mas bajo. d) el valor de si la tensión en la cuerda es 2 mg cuando la bola pasa por el punto C Respuesta. a) θ sen g , b) ( ) 0 cos cos 2 θ θ − gL , c) ( ) 0 cos 2 3 θ − mg , d) 60°. 36. Tres automóviles circulan a la velocidad de 80 km/h por la carretera representada en la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las llantas y la carretera es 0,60, determinar la desaceleración tangencial de cada automóvil sí sus respectivos frenos sen repentinamente accionados y las ruedas deslizan. Respuesta. A a =3,91 m/s2, B a = 7,86 m/s2, C a = 5.89 m/s2. 37. ¿Con qué ángulo debe peraltarse una carretera en una curva de 50 m de radio, para que un vehículo pueda tomar la curva a 72 km/h, con un coeficiente de rozamiento 0,30? Respuesta: ° ≤ ≤ ° 9 , 55 5 , 22 θ 38. En el sistema de la figura, el brazo del péndulo es de longitud l y la cuerda de largo L. a) Calcular la rapidez tangencial para que el sistema gire en torno al eje de rotación que pasa por la barra vertical, de modo que la cuerda que sostiene a la masa m forme un ángulo de º α con la vertical. b) Calcular la tensión de la cuerda. c) Si el sistema da una vuelta en 30 s, determinar El ángulo que forma la cuerda con la vertical. Respuesta. a) ( ) α α tan sen L g v + = l , b) mg/cos α. 39. Una bola pequeña da vueltas con una rapidez y recorriendo una circunferencia horizontal en el interior de un cono recto de base circular. Expresar la rapidez y en función de la altura y de la trayectoria sobre el vértice del cono. Respuesta. gy v = 40. ¿Cuál es el mínimo radio que un motociclista con velocidad de 21 m/s puede hacer en una pista que tiene un coeficiente de fricción con las llantas igual a 0,3? ¿Cuál es el ángulo que hará la motocicleta con la horizontal? Respuesta: 147 m; 73° 20’ 41. Un estudiante hace girar un balde que contiene 2 kg de agua en una circunferencia vertical de l,2m de radio, considerar a) ¿Cuál es la máxima velocidad para que el agua permanezca en el balde? b) ¿Cuál es la fuerza ejercida por el balde sobre el agua en el punto inferior de la circunferencia? c) ¿a la altura de los hombros? d) Si el balde pesa 10k, hallar cada una de las fuerzas que actúan sobre el balde en el punto inferior de la circunferencia. Respuesta. a) g r π 2 , b) mg 2 , c) mg 2 d) 10 N debido a la tierra, 40 N debido al agua, 100 N debido al hombre. 42. Una mesa giratoria horizontal tiene una aceleración angular de α = 3 rad/s2. En el instante en que la velocidad angular vale 2,4 rad/s, una partícula www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán 45 de masa 1,8 kg descansa sin deslizar sobre la mesa, con tal que esté situada a una distancia inferior a 50 cm del eje vertical de rotación de la mesa, a) ¿Cuál es el valor de la tuerza de rozamiento? b) Hallar el coeficiente de rozamiento estático entre el objeto y la mesa. Respuesta: a) Ff = 7,9 N b) s μ = 0,45 43. Se tiene una partícula de masa 5g que se mueve sobre una trayectoria curva y su aceleración en un momento dado vale ( ) n t a ˆ 4 ˆ 3 + = → cm/s2. Hallar: a) la aceleración tangencial, b) la aceleración centrípeta, c) el módulo de la aceleración total, d) el ángulo φ que la aceleración total forma con la tangente a la curva, e) la componente tangencial de la fuerza aceleradora, f) la componente centrípeta de la fuerza aceleradora, g) la fuerza aceleradora total. Respuesta. a) t a = 3 cm/s2 , b) t a = - 4 cm/s2 ; c) a = 5 cm/s2, d) φ = 53,1°; e) t F = 15 x 10-5 N, f) r F = 20 x l0-5 N, g) F = 25 x 10-5 N. 44. Describir e interpretar las fuerzas que realmente se apreciarían si nos encontráramos con los ojos vendados y: a) de pie sobre una plataforma elevada. b) cayendo libremente en el aire. c) estando sentado en el suelo de una plataforma en rotación, como la de un carrusel a una cierta distancia de su centro. Respuesta. a) Una fuerza de reacción de la plataforma hacia arriba. b) Ninguna fuerza. c) Una fuerza de reacción de la plataforma y una fuerza hacia afuera (radial). 45. Calcular el ángulo de peralte de una carretera en una curva de radio 150 m, para que un camión de 15 toneladas pueda girar con una rapidez de 70 km/hr, sobre un pavimento cubierto de escarcha. Respuesta. 14º www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 1 CAPÍTULO 5. TRABAJO Y ENERGÍA INTRODUCCIÓN Con lo que hemos visto hasta el momento estamos en condiciones de analizar un movimiento en situaciones en que la fuerza es constante. Una vez aplicada La segunda ley de Newton, determinamos la aceleración m F a / = . De aquí podemos determinar la velocidad y la posición. Pero en el caso en que la fuerza no es constante, por ejemplo cuando se jala una masa situada en un extremo de un resorte, el problema se complica. La figura muestra un cuerpo de masa m sobre una superficie horizontal lisa, conectado a un resorte helicoidal. Si el resorte se estira o se comprime una longitud pequeña desde su posición no deformada o de equilibrio, el resorte ejercerá una fuerza sobre el cuerpo kx F − = , donde x es el desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio ( ) 0 = x , k es la constante del resorte, el signo negativo (-) significa que la fuerza es en sentido opuesto al sentido del desplazamiento. Esta ley de fuerza se conoce como la ley de Hooke, de la cual nos ocuparemos en el Capítulo de Elasticidad Apliquemos la segunda ley de Newton: ∑ = ma F Con kx F − = y 2 2 dt x d dt dv a = = , Obtenemos: 2 2 dt x d m kx = − ⇒ 0 2 2 = + x m k dt x d A pesar de ser una ecuación simple esta última, todavía no tenernos el conocimiento matemático para resolverla. Es decir, estamos en condiciones de plantear las ecuaciones del movimiento, pero no sabemos resolverlas. Veremos aquí que se puede tomar un atajo y resolver de otra forma el problema. En este capitulo se verán los conceptos de Trabajo y Energía que se pueden aplicar a la dinámica de un sistema mecánico sin recurrir a las leyes de Newton. Sin embargo, es importante notar que los conceptos de Trabajo y Energía se fundamentan en las leyes de Newton y por lo tanto no requieren ningún principio nuevo. TRABAJO El término “trabajo” que se usa en la vida cotidiana es para definir una actividad de algún tipo que incluye un esfuerzo físico o mental y cuya finalidad sea el alcance de algún objetivo definido y bien establecido. En el estudio de la mecánica tiene un significado más restringido, por ejemplo si subimos cierta altura h con una masa m decimos que hemos realizado un trabajo W, si subimos la misma altura h pero con una masa 2m, se habrá realizado un trabajo 2W, igual a que si se hubiese transportado una masa m una altura 2h, o si se hubiese transportado dos veces la masa m, la altura h. Estas observaciones sugieren que el trabajo es una magnitud física proporcional a la fuerza y a la distancia, pero que puede sumarse como un escalar. Cuando una fuerza constante x F mueve un cuerpo realizando un desplazamiento x Δ que tiene la misma dirección que la fuerza, se define la cantidad de trabajo realizado por esta fuerza como: x F W xΔ = Ahora consideremos que sobre la misma masa m actúa una fuerza vertical y F , menor que el peso mg del bloque, como tal no dará origen a ningún movimiento vertical y por lo tanto no estará realizando trabajo. Si ahora aplicamos al mismo tiempo las dos fuerzas, la fuerza aplicada es: j F i F F y x ˆ ˆ + = → Si el desplazamiento del bloque es únicamente en la dirección x, www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 2 i x r ˆ = Δ → El trabajo realizado es el producto escalar de la tuerza por el desplazamiento es: ( ) i x j F i F r F W y x ˆ ˆ ˆ Δ ⋅ + = Δ ⋅ = Δ → → = x FxΔ O θ cos x F W Δ = Δ Donde 2 2 y x F F F + = y θ es el ángulo formado entre la fuerza aplicada y el desplazamiento. Consideremos el caso general de una fuerza → F cualquiera que mueve a una partícula sobre una trayectoria curva como se muestra en la siguiente figura. Sea P la posición de la partícula en un instante t , la posición con respecto al origen de coordenadas O está dada por → → = r OP La partícula en el tiempo t Δ describe la trayectoria ∩ PP' , si esta es suficientemente pequeña se puede asimilar como la cuerda → PP' , el desplazamiento de la partícula en el tiempo t Δ es → → Δ = r PP' Cuando P’ tiende a P ( ) 0 → Δt . La dirección de la cuerda → PP' es el de la tangente PT en P, → Δ r es → r d , la fuerza es constante en dirección y sentido. El trabajo de la fuerza → F para el desplazamiento → r d es un trabajo diferencial. → → ⋅ = r d F dW θ cos → → = r d F dW θ cos ds F dW = ds F dW t = Es el trabajo realizado por la componente tangencial de la fuerza t F . El trabajo de la componente normal n F es nulo. Para evaluar el trabajo realizado para ir desde el punto P1(x1, y1, z1) a un punto P2(x2, y2, z2) tenemos que integrar el trabajo diferencial. → → ⋅ = = ∫ ∫ r d F dW W P P P P P P 2 1 2 1 2 1 Para esto tenemos que conocer como varía → F k F j F i F F z y x ˆ ˆ ˆ + + = → Siendo k dz j dy i dx r d ˆ ˆ ˆ + + = → Tenemos: dz F dy F dx F r d F z y x + + = ⋅ → → Luego: ∫ ∫ ∫ + + = 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z y y y x x x P P dz F dy F dx F W La unidad de trabajo es una unidad derivada de las unidades de fuerza y de longitud. [ ] 2 2 − = = T ML FL W En el sistema Internacional la unidad de trabajo es el Joule (J). 1 Joule = (1 Newton)(1 metro) Ejemplo 1. Un hombre levanta una masa m con una fuerza tal que la coloca a una altura h sobre el piso a velocidad constante. a) ¿Cuánto trabajo realiza la gravedad? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce el hombre? Solución. a) ( ) k dy k mg r d F W h h y y gravedad ˆ ˆ 0 0 ⋅ − = ⋅ = ∫ ∫ → = = → = ∫ − hdy mg 0 = mgh − b) Podríamos hacerlo directamente por la ley de Newton, pero lo haremos con los conceptos de trabajo. Como la masa se mueve con velocidad constante, el trabajo realizado es cero. 0 hombre = + gravedad W W www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 3 ⇒ mgh W W gravedad = − = hombre También tenemos: ∫ ∫ ⋅ = ⋅ = → = = → h k dy k F r d F W 0 h y 0 y hombre hombre ˆ ˆ = Fh dy F h = ∫ 0 Luego: mgh Fh = ⇒ mg F = Y k mg F ˆ = → Ejemplo 2. Se arrastra una caja de masa m sobre un piso horizontal, el coeficiente de fricción cinético entre la caja el piso es μ , mediante una fuerza que forma un ángulo θ con la horizontal, la caja se desplaza un distancia s hacía la derecha, a) Calcule el trabajo realizado por la fuerza b) Calcule el trabajo efectuado por La fuerza de fricción. e) Determine el trabajo neto efectuado sobre la caja por todas las fuerzas que actúan sobre ella. Solución. a) El trabajo efectuado por → F es: → = = → ⋅ = ∫ r d F W s x x F 0 Como j F i F F ˆ sen ˆ cos θ θ + = → y i dx r d ˆ = → ( ) i dx j F i F W s x x F ˆ ˆ sen ˆ cos 0 ⋅ + = ∫ = = θ θ = θ cos Fs = s Fx La componente vertical de → F no realiza trabajo. b) Como i N Ff ˆ μ − = → Y θ sen F mg N − = Obtenemos ( )i F mg Ff ˆ senθ μ − − = → El trabajo efectuado por → f F es ( ) ∫ ∫ ⋅ − − = ⋅ = → → s s f f i dx i F mg r d F W 0 0 ˆ ˆ senθ μ = ( )s F mg θ μ sen − − c) El trabajo neto sobre la caja es la suma de los resultados obtenidos en a) y b). ( )s F mg s F W W W f F neto θ μ θ sen cos − − = + = = ( ) [ ]s F mg F θ μ θ sen cos − − Ejemplo 3. Una fuerza que actúa sobre un cuerpo varía con respecto a x como se muestra en la figura. Calcule el trabajo cuando el cuerpo se mueve desde x = 0 hasta x = 8 m. Solución. El trabajo realizado por la fuerza es exactamente igual al área bajo la curva desde x = 0 hasta x = 8. ( )( ) ( )( ) ( )( )m 5 8 N 5 2 1 m 2 5 N 5 m 0 2 N 5 2 1 − + − + − = W = (5 + 15 + 7,5) Nm = 27,5 J Ejemplo 4. Trabajo realizado por un resorte. El resorte de la figura, cuando se deforma o estira hasta una cierta posición x, ejercerá una fuerza restauradora kx F − = . Solución. Supongamos que el objeto se empuja hacia la izquierda una distancia x respecto a la posición de equilibrio y se deja libre. El trabajo realizado desde x x − = 1 hasta 0 2 = x por la fuerza del resorte a medida que el objeto se mueve es ( ) 2 0 0 2 1 2 1 kx dx kx dx F W x x x x x = − = = ∫ ∫ − = − = Y si consideramos el trabajo realizado por el resorte a medida que se estira de 0 1 = x a x x = 2 el trabajo es 2 2 1 kx W − = Este resultado podemos obtenerlo también de La gráfica F versus x, como se muestra en la figura siguiente. Ejemplo 5. La posición de una partícula en el plano está dada por j t i t r ˆ 2 ˆ 3 2 − = → (t en segundos, r en www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 4 metros), la fuerza ejercida sobre la misma es j i F ˆ 5 ˆ 4 − = → (en Newton). ¿Qué trabajo se realiza sobre la partícula en el intervalo de t = l s a t = 3 s? Solución. j t i t r ˆ 2 ˆ 3 2 − = → ⇒ j tdt i dt r d ˆ 4 ˆ 3 − = → Luego → → ⋅ = r d F dW = ( ) ( ) j tdt i dt j i ˆ 4 ˆ 3 ˆ 5 ˆ 4 − ⋅ − = tdt dt 20 12 + El trabajo W realizado sobre la partícula entre t = 1 y t = 3. ( )dt t dW W t xt ∫ ∫ + = = = = 3 1 3 1 20 12 = 3 1 2 20 2 1 12 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + t t = J 104 22 126 = − El trabajo realizado sobre la partícula es 104 Joules. ENERGIA CINETICA Consideremos una partícula de masa m bajo la acción de la fuerza → F . La segunda ley de Newton afirma que: dt v d m a m F → → → = = También sabemos que dt v r d → → = . Multiplicando escalarmente: dt v dt v d m r d F → → → → ⋅ = ⋅ = → → ⋅ v d v m Como → → ⋅ r d F es el trabajo diferencial dW y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → → v d v dt d m mv dt d 2 1 2 1 2 = → → → → ⋅ + ⋅ v dt v d m dt v d v m 2 1 2 1 = dt v d v m → → ⋅ De aquí: → → ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ v d v m mv d 2 2 1 Reemplazando obtenemos: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 1 mv d dW El trabajo para ir de P1 donde la velocidad es 1 v al punto P2 donde la velocidad es 2 v será: ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = → 2 1 2 1 2 2 1 2 1 v v P P mv d dW W = 2 1 2 2 2 1 2 1 mv mv − Aquí tenemos una medida para el trabajo realizado sobre la partícula expresada en función de la variación de la magnitud ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 1 mv . Esta magnitud se define como la ENERGIA CINETICA K de la partícula. Entonces: 2 2 1 mv K = La energía cinética es una propiedad general del movimiento de la partícula es la ENERGIA DEL MOVIMIENTO. Sus dimensiones son las de trabajo. [ ] -2 2T ML = K Su unidad es la misma que la del trabajo. Resulta conveniente escribir: K K K W Δ = − = → 1 2 2 1 El trabajo realizado por la fuerza al desplazar una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula. Ejemplo 6. Encontrar la variación de la energía cinética de un proyectil en función de su altura. Se lanza un proyectil de masa m desde el punto P0 (x0, y0) con una velocidad inicial j v i v v y x ˆ ˆ 0 0 0 + = → . Solución. Para un proyectil la posición en función del tiempo es; t v x x x 0 0 + = , 2 0 0 2 1 gt t v y y y − + = Y la velocidad x x v v 0 = , gt v v y y − = 0 La energía cinética en P0 es ( ) 2 0 2 0 2 0 0 2 1 2 1 y x v v m mv K + = = La energía cinética en P es ( ) 2 2 2 2 1 2 1 y x v v m mv K + = = = ( ) 2 2 0 2 0 2 0 2 2 1 t g gt v v v m y y x + − + www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 5 La variación de energía entre P y P0 es: 2 0 2 0 2 1 2 1 mv mv K K K − = − = Δ = ( ) 2 2 0 2 2 1 t g gt v m y + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 2 0 2 1 gt t v mg y Como 2 0 0 2 1 gt t v y y y − = − Resulta ( ) 0 2 0 2 2 1 2 1 y y mg mv mv K − − = − = Δ Ejemplo 7. En una demostración experimental para ilustrar la conservación de la energía por medio del dispositivo siguiente. Se ata una bola del bowling a un extremo de una cuerda, y se sujeta el otro extremo al techo de la sala de conferencias. Se sostiene la bola parado en una escala tijeras alta, Para la demostración se suelta del reposo en el extremo de la nariz, la bola volverá de la oscilación más arriba y golpeará violentamente la cara, (intente esto alguna vez si usted desea experimentar un juego para asustar) La demostración impresiona a la clase, pero no por la razón esperada. Aunque la cuerda es bastante fuerte para sostener la bola cuando está inmóvil, cuando la dejé ir, la cuerda se rompió en el fondo del arco y la bola fue despedida alrededor del salón "Boing boing, boing" y dispersó a los presentes en todas las direcciones. Una bola de bowling realmente rebota en el concreto. Suponga que la bola pesa 80 N y la cuerda tenía 4,0 m de largo y tenía una resistencia a ruptura de 120 N. ¿Cuál es el máximo ángulo con la vertical con el que se habría podido lanzar la bola sin tener la rotura de la cuerda? Solución. La cuerda debe proporcionar suficiente fuerza ascendente para balancear el peso más la fuerza radial necesaria para que la bola haga la curva hacia arriba. La tensión en la cuerda será así la mayor en el punto más bajo del arco, donde la fuerza de la gravedad está dirigida hacia abajo y la bola se mueve lo más rápidamente. r mv2 radial fuerza = r mv mg T 2 = − y 2 2 1 mv mhg = θ cos r r h − = ( ) θ cos 1 2 − = − mg mg T mg mg T 2 1 cos − − = θ = ( ) 75 , 0 80 2 80 120 1 = − − ⇒ º 4 , 41 = θ Ejemplo 8. Se arrastra una caja de masa m sobre un piso horizontal, el coeficiente de fricción cinético entre la caja el piso es μ , mediante una fuerza que forma un ángulo θ con la horizontal. Si se empieza a jalar desde el reposo y considerando que ya se inició el movimiento ¿Cuál es la velocidad del bloque después que recorre una distancia s? Solución. En este caso como la fuerza F es constante, por la ley de Newton podríamos encontrar la aceleración, que es constante, pero vamos a hacerlo por conceptos de Energía Cinética y Trabajo. Encontramos que ( ) [ ]s Fsen mg F WNeto θ μ θ − − = cos Sabemos que 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 mv mv K K WNeto − = − = Como: 0 1 = v y v v = 2 Finalmente: ( ) [ ]s Fsen mg F m v θ μ θ − − = cos 2 Ejemplo 9. Para el caso de la masa m atada a un resorte con constante de rigidez k . ¿Cuál es la velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio después de estirarlo una longitud L y soltarlo? Solución. El trabajo realizado desde x = L a x = 0 por la fuerza restauradora del resorte F = - kx Es: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 6 2 2 1 kL WR = También 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 mv mv K K WR − = − = Siendo 0 2 v v = y 0 1 = v Tenemos 0 2 1 2 1 2 0 2 − = mv kL ⇒ L m k v ± = 0 Para el caso que mostramos la respuesta correcta es la negativa. Ejemplo 10. Un objeto de masa m se mueve en el eje x sujeto a la fuerza i x A m F ˆ 2 = → donde A es una constante y x es la distancia desde el origen. a) ¿Cuánto trabajo realiza esta fuerza si el objeto se mueve de x = a a x = b? b) ¿Si la masa tenía una velocidad v en la dirección positiva de x, Cuál es su velocidad en b? Solución. a) El trabajo que realiza la fuerza para mover la masa desde x = a a x = b es: → = = → ⋅ = ∫ r d F W b x a x ab , i x A m F ˆ 2 = → , i dx r d ˆ = → Luego ∫ ∫ = ⋅ = b a b a ab x dx mA i dx i x A m W 2 2 ˆ ˆ = b a x mA ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡−1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −b a mA 1 1 b) Como 2 2 2 1 2 1 a b a b ab mv mv K K W − = − = Siendo 0 v va = Tenemos 2 0 2 2 1 2 1 1 1 mv mv b a mA b − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 0 1 1 2 v b a A vb + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS Un sistema conservativo es aquel en el que el trabajo realizado por las fuerzas del sistema es independiente de la trayectoria seguida por el móvil desde una posición a otra, no existen fuerzas de rozamiento, ni dispositivos que puedan producir pérdida de la energía cinética. Si en un sistema conservativo el trabajo efectuado por la fuerza para desplazar la partícula de A a B es independiente del camino entre A y B, se puede escribir: BA AB W W − = En un circuito cerrado BA AB AA W W W + = Como BA AB W W − = ⇒ 0 = − = AB AB AA W W W El trabajo total efectuado por una fuerza conservativa sobre una partícula es cero cuando la partícula se mueve alrededor de cualquier trayectoria cerrada y regresa a su posición inicial. Naturalmente la definición de un sistema no conservativo es aquel que no satisface las condiciones anteriores. Ejemplo 11. Sistema no Conservativo. - La fuerza de fricción. Supongamos que un bloque se mueve del punto P1 (x1, y1) al punto P2 (x2, y1), siguiendo Las trayectorias mostradas en las figuras siguientes, el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es μ . Calcular el trabajo realizado por la fricción en ambos casos. Solución. Por la trayectoria (a) → → ⋅ = ∫ r d F W x x f P P 2 1 2 1 Aquí i N Ff ˆ μ − = → , i dx r d ˆ = → Luego ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 x x N dx N W x x P P − = − = ∫ μ μ Por la trayectoria (b) → → → → → → ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∫ ∫ ∫ 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 r d F r d F r d F W y y f x x f y y f P P Aquí j N Ff ˆ 1 μ − = → , j dy r d ˆ 1 = → i N Ff ˆ 2 μ − = → , i dx r d ˆ 2 = → j N Ff ˆ 3 μ = → , j dy r d ˆ 3 = → Luego www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 7 ( ) ( ) ( )dy N dx N dy N W y y x x y y P P ∫ ∫ ∫ + − + − = 1 2 2 1 2 1 2 1 μ μ μ = ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 y y N x x N y y N − + − − − − μ μ μ = ( ) ( ) 1 2 1 2 2 y y N x x N − − − − μ μ Obviamente el trabajo realizado por la fuerza de fricción por las dos trayectorias a) y b) no son iguales, por consiguiente cuando hay fuerza de fricción el sistema no es conservativo. (La fricción no es conservativa). Ejemplo 12. Sistema Conservativo. La fuerza de la gravedad Supongamos que un bloque de masa m se mueve del punto P1(x1 ,y2) al punto P2(x2 ,y2) donde y es la dirección vertical. Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitacional con los tres casos mostrados en la figura. Solución. Por la trayectoria a) → → ⋅ = ∫ r d F W y y g P P 2 1 2 1 Aquí j mg Fg ˆ − = → , j dy r d ˆ = → Luego ( ) 1 2 2 1 2 1 y y mg dy mg W y y P P − − = − = ∫ Por la trayectoria b) → → → → → → ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∫ ∫ ∫ 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 r d F r d F r d F W x x g y y g x x g P P Aquí j mg Fg ˆ − = → , i dx r d ˆ 1 = → , j dy r d ˆ 2 = → , i dx r d ˆ 3 = → Luego ( ) 0 0 2 1 2 1 + − + = ∫ dy mg W y y P P = ( ) 1 2 y y mg − − Igual que en a) Por la trayectoria c). 2 3 3 1 2 1 P P P P P P W W W + = → → → → ⋅ + ⋅ = ∫ ∫ r d F r d F W r r g r r g P P 2 3 2 1 2 1 Aquí j mg Fg ˆ − = → , j dy i dx r d ˆ ˆ + = → ( ) ( ) ( )dy mg j dy i dx j mg r d Fg − = + ⋅ − = ⋅ → → ˆ ˆ ˆ Luego ( ) ( )dy mg dy mg W y y y y P P ∫ ∫ − + − = 2 3 3 1 2 1 = ( ) ( ) 3 2 1 3 y y mg y y mg − − − − = ( ) 1 2 y y mg − − Resultado igual que en a) y b) Luego la fuerza de la gravedad es una fuerza conservativa. Trabajo en una trayectoria cerrada. Si completamos la trayectoria volviendo al punto inicial, tenemos una trayectoria cerrada y el trabajo es cero. El trabajo para ir de 1 a 2 es ( ) ( ) j dy i dx j F i F r d F W x x y x x x r r ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 2 1 2 1 1 + ⋅ + = ⋅ = ∫ ∫ → → = dy F dx F y y y x x x ∫ ∫ + 2 1 2 1 Como j mg F ˆ − = → : mg Fy − = . 0 = x F ( ) 1 2 0 2 1 y y mg W r r − − = = ( ) 1 2 y y mg − − El trabajo para ir 2 a 1 es → → ⋅ = ∫ r d F W x x r r 1 2 1 2 = dy F dx F y y y x x x ∫ ∫ + 1 2 1 2 = ( ) 2 1 0 y y mg − − = ( ) 2 1 y y mg − − El trabajo total es 1 2 2 1 1 1 r r r r r r W W W + = = ( ) ( ) 2 1 1 2 y y mg y y mg − − − − = 0 Esto no sucedería en el caso de una fuerza no conservativa, como la fuerza de fricción. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 8 LA FUNCION ENERGÍA POTENCIAL El trabajo realizado por la fuerza k F j F i F F z y x ˆ ˆ ˆ + + = → Para mover una partícula de P1(x1. y1, z1) a P2(x2, y2, z2) es igual a: → → ⋅ = ∫ r d F W P P 2 1 12 = ( ) ∫ + + 2 1 P P z y x dz F dy F dx F Para un sistema conservativo el trabajo es independiente de la trayectoria seguida. Su integral debe ser un diferencial exacto, digamos - dU, tal que integrándolo, solamente los límites determinan el valor de la integral. Esto es: ( ) ( ) ( ) U U U U dU W P P P P Δ − = − − = − = − = ∫ 1 2 12 2 1 2 1 Aquí llamamos a U, energía potencial, cuyas unidades son las mismas que las de trabajo. Hemos determinado la función energía potencial a partir de una fuerza dada. Consideremos ahora el problema inverso, a partir de una función energía potencial determinar la fuerza dz F dy F dx F r d F dU z y x − − − = ⋅ − = → → Como U es función de x, y y z, podemos escribir esta derivada en función de sus derivadas parciales: ( ) dz z U dy y U dx x U dU z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = , , Relacionando con los componentes de la fuerza obtenemos x U Fx ∂ ∂ − = , y U Fy ∂ ∂ − = , z U Fz ∂ ∂ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = → k z U j y U i x U F ˆ ˆ ˆ Ejemplo 13. La fuerza de la gravedad es un ejemplo de fuerza conservativa. Solución. Tomemos la vertical a la tierra como el eje y, tal que: j mg j F F g g ˆ ˆ − = = → El trabajo realizado por la gravedad cuando la partícula se desplaza desde el punto y1 al punto y2 es: ∫ ∫ − = ⋅ − = 2 1 2 1 ˆ ˆ 12 y y y y dy mg j dy j mg W = ( ) 1 2 y y mg − − Como U W Δ − 12 : ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 y y U U U y y mg − = Δ − = − − O ( ) ( ) 1 2 1 2 mgy mgy U U U y y − = − = Δ Si consideramos la energía potencial igual a cero en el nivel de referencia y = 0, la energía potencial a cualquier altura con respecto a y = 0 es: ( ) mgy U y = También podíamos haber determinado esta función a partir de: dy F dU g − = ⇒ ( ) mgdy dy mg dU = − − = Integrando ∫ ∫ + = C mgdy dU ( ) C mgy U y + = Donde C es una constante relacionada con las condiciones de cada caso, por ejemplo aquí consideramos para y = 0 ⇒ ( ) 0 0 = U . La constante es 0 = C ⇒ ( ) mgy U y = Como comprobación, a partir de esta energía potencial podemos encontrar la fuerza. 0 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = x mgy x U Fx mg y mgy y U Fy − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = 0 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = z mgy z U Fz Luego: j mg F ˆ − = → Ejemplo 14. Determinar la función energía potencial asociada a un resorte de constante de rigidez k. Solución. Consideremos que el resorte está en el eje x, y se estira en esa dirección. i kx F ˆ − = → Tenemos que: ( ) kxdx dx kx dx F dU x = − − = − = Integrando C kx U + = 2 2 1 Si para la posición de equilibrio x = 0, la energía potencial es cero, C es igual a cero y 2 2 1 kx U = Ahora realicemos el problema inverso: Dado 2 2 1 kx U = encontrar la fuerza correspondiente: kx kx x x U Fx − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = 2 2 1 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 9 0 = ∂ ∂ − = y U Fy 0 = ∂ ∂ − = z U Fz Luego i kx F ˆ − = → Ejemplo 15. Energía potencial gravitatoria cerca de la tierra. Por la ley de Newton de la gravitación universal, la fuerza de atracción de dos masas es directamente proporcional al producto de estas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. r r mM G F ˆ 2 − = → Donde m es la masa e un cuerpo, M la masa de la tierra, r la distancia entre las masas, G es la constante gravitatoria universal. Si r = R (radio de la tierra), la masa m está sobre la superficie de la tierra y r mg r R mM G F ˆ ˆ 2 − = − = → La energía potencial es dr r mM G r d F dU 2 = ⋅ − = → → ∫ + = C dr r mM G U 2 C r mM G U + − = Para evaluar la constante C consideremos que el potencial U es cero para r infinito, de aquí C es igual a cero, Luego ( ) r mM G U r − = CONSERVACION DE LA ENERGÍA Hasta esta parte tenemos dos formas de encontrar el trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza, la primera válida para todo caso ya sea fuerza conservativa o no conservativa K K K mv mv W Δ = − = − = 1 2 2 1 2 2 12 2 1 2 1 . Y la segunda para el caso de fuerzas conservativas U U U W Δ − = − = 2 1 12 Luego podemos escribir 2 1 1 2 12 U U K K W − = − = Colocando las energías iniciales a un lado y las finales al otro tenemos: 2 2 1 1 U K U K + = + Esta ecuación es la forma matemática de “El principio de conservación de la energía mecánica”. Si definimos la energía mecánica total del sistema E como la suma de la energía cinética y potencial se puede expresar la conservación de la energía mecánica como: Constante = + = U K E Ejemplo 16. Fuerza de la gravedad: Se suelta una partícula de masa m desde la altura h sobre el suelo. Cuando la partícula está a una altura y del suelo, su velocidad es v. Su energía potencial es mgy U = Su energía cinética es 2 2 1 mv K = La energía mecánica total es: mgy mv U K E + = + = 2 2 1 Para h y = , 0 = v mgh mgh E = + = 0 Para 0 = y , 0 v v = 2 0 2 0 2 1 0 2 1 mv mv E = + = Para cualquier instante mgh mgy mv E = + = 2 2 1 De aquí ( ) y h g v − = 2 2 ⇒ ( ) y h g v − = 2 El gráfico de la variación de energía potencial y cinética es: Ejemplo 17. Una masa pequeña m se suelta desde el reposo de la parte más alta de una superficie esférica de radio R, sin fricción. ¿A qué ángulo con vertical dejará el contacto con la esfera? Solución. Cuando la masa está a una altura h su energía es igual a cuando está en el punto más alto. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 10 2 2 1 0 mv mgh mgR + = + Con θ cos R h = 2 2 1 cos mv mgR mgR + = θ ⇒ ( ) θ cos 2 2 2 − = gR v La segunda ecuación de Newton cuando la masa esta en la posición del ángulo θ: Con R v ac 2 = : R v m mg N 2 cos = − θ La masa deja la superficie esférica cuando: 0 = N R mv mg 2 cos = θ = ( ) R mgR θ cos 2 2 − ⇒ θ θ cos 2 2 cos 2 − = = Rg v ⇒ 3 2 cos = θ ⇒ º 2 , 48 = θ Ejemplo 18. Fuerza de un resorte: Se jala una masa a sujeta a un resorte de constante k sobre una superficie sin fricción, desde la posición de equilibrio x = 0 hasta una distancia L y se suelta. A una distancia x de la posición de equilibrio la velocidad de la masa es v. Su energía potencial es 2 2 1 kx U = Su energía cinética es 2 2 1 mv K = Su energía mecánica total es: 2 2 2 1 2 1 kx mv U K E + = + = Para L x = , 0 = v 2 2 2 1 2 1 0 kL kL E = + = Para 0 = x , 0 v v = 2 0 2 0 2 1 0 2 1 mv mv E = + = Para cualquier instante 2 2 2 2 1 2 1 2 1 kL kx mv E = + = De aquí: ( ) 2 2 2 x L m k v − = ⇒ ( ) 2 2 x L m k v − = El gráfico de la variación de la energía potencial y cinética es: Ejemplo 19. Calcular la velocidad necesaria para que una partícula pueda escapar de la atracción de la tierra. La energía total E de una partícula de masa m que está a una distancia r del centro de la tierra y que tiene una velocidad v es: U K E + = , donde 2 2 1 mv K = y r mM G U − = Luego: Constante 2 1 2 = − = r mM G mv E Si la partícula escapa de la atracción de la tierra y se sitúa a una distancia infinita de ésta su potencial es cero. ∞ → r , 0 → − = ∞ r mM G U En esta región con la velocidad menor posible 0 = ∞ v Tenemos 0 = ∞ K Luego: 0 = + = U K E Como E es constante ⇒E = 0 La energía E de la partícula en la superficie de la tierra con la velocidad e v para que pueda escapar: 0 2 1 2 = − = R mM G mv E e ⇒ R GM ve 2 = Como en la superficie de la tierra mg R mM G F − = − = 2 ⇒ 2 R GM g = Tenemos: gR ve 2 = www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 11 Siendo 2 s m 81 , 9 = g y m 10 4 , 6 6 × = R Obtenemos; s m 10 12 , 1 4 × = e v Ejemplo 20. Se tiene un resorte de longitud L y constante k conectado a la base de un bloque de masa m, Se suelta el bloque desde la altura H. ¿Cuál será la distancia mas cercana al piso que alcanzará el bloque antes de rebotar? Solución. En el instante inicial la energía es solamente la potencia1 gravitatoria es mgH U = , la energía cinética es cero, tal que la energía total es mgH E = . En el instante final: La energía potencial es la correspondiente a la masa a una altura y, más la del resorte comprimido una longitud ( ) y L − , es decir: ( ) 2 2 1 y L k mgy U U U r g − + = + = Como en ese instante ha cesado el movimiento, la energía cinética es cero, La energía total es: ( ) 2 2 1 y L k mgy E − + = Por la conservación de la energía ( ) 2 2 1 y L k mgy mgH − + = La solución de esta ecuación es: ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ± ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = L H mg k k mg L R mg y 2 1 Siendo el valor positivo de y la solución significativa. Ejemplo 21. El gráfico de la figura muestra la función potencial y la energía total de un movimiento. ¿Qué podemos decir acerca del movimiento? Solución. Velocidad de la partícula: Tenemos que U K ETotal + = = ( ) x U mv + 2 2 1 ⇒ ( ) x U E mv − = 2 2 1 ⇒ ( ) ( ) x U E m v − = 2 La energía cinética: - Es igual a cero en x1 y x5. - Tiene su valor máximo donde U(x) es mínimo, el punto x2 La partícula se mueve entre x1 y x5, fuera de estos valores la velocidad sería imaginaria. Como ( ) dt dU F x x − = , la pendiente del gráfico de U(x) en determinado punto corresponde a La fuerza actuante, tal que la fuerza se hace cero donde la pendiente es cero, como en x2, x3 y x4. La fuerza es positiva entre x1 y x2.entre x3 y x4. La fuerza es negativa entre x2 y x3, entre x4 y x5. Los puntos en que U es mínimo, son posiciones de equilibrio estable, como son x2 y x4. Ejemplo 22. En la figura, un auto de juguete de masa m se libera del reposo en la pista circular. ¿Si se suelta a una altura 2R sobre el piso, ¿cuán arriba sobre el piso estará cuando sale de la pista, desprecie la fricción? Solución. En la figura de arriba: ( ) θ sen 1+ = R h Despreciando las pérdidas por fricción la energía total es constante, de tal manera que: Siendo v la velocidad del auto a la altura h. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 12 ( ) ( ) 2 2 1 2 mv h mg R mg + = ⇒ ( ) ( ) 2 2 1 sen 1 2 mv mgR R mg + + = θ ⇒ 2 2 1 sen v gR gR + = θ (1) Aplicando la segunda ley de Newton en la altura h: c ma N mg = − θ sen N = 0, condición de caída. R v ac 2 = Luego: R v m mg 2 sen = θ ⇒ θ sen 2 gR v = (2) Reemplazando (2) en (1): θ θ sen 2 1 sen gR gR gR + = ⇒ θ sen 2 3 gR gR = ⇒ 3 2 sen = θ Finalmente: ( ) θ sen 1+ = R h = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ 3 2 ` 1 R = R 3 5 = 1,67 R Ejemplo 23. Una masa pequeña resbala sobre una superficie inclinada pasando por un rizo de radio R. a) ¿Cuál es la altura mínima H de la que debe soltarse a fin de que el cuerpo no deje la superficie interior del rizo al dar la vuelta? b) ¿Con que velocidad llega la masa al punto A? c) ¿Cuál es el valor del ángulo α , con el que se puede retirar el segmento AB ∩ de la circunferencia de tal modo que la masa que sale de A alcance el punto B después de viajar una cierta distancia en el aire. Solución. a) Siendo v la velocidad de la masa en la parte superior del rizo. Por conservación de la energía: ( ) ( ) 2 2 1 2 mv R mg H mg + = ⇒ 2 2 1 2 v gR gH + = (1) Aplicando la segunda ley de Newton en ese punto: c ma N mg = − N = 0, condición de caída. R v ac 2 = Luego: R v m mg 2 = ⇒ gR v = 2 (2) Reemplazando (2) en (1): gR gR gH 2 1 2 + = ⇒ R H 2 5 = ⇒ R H 5 , 2 = b) Sea v la velocidad en el punto A su altura es ( ) α cos 1+ = R h Por conservación de la energía: ( ) ( ) 2 2 1 mv h mgR H mg + = ⇒ ( ) ( ) 2 2 1 cos 1 5 , 2 mv mgR R mg + + = α ⇒ ( ) ( ) α cos 1 2 5 , 2 2 2 + − = gR R g v ⇒ α cos 2 3 2 gR gR v − = ⇒ ( ) α cos 2 3 − = gR v c) La masa sale del punto A, como un proyectil con velocidad inicial j v i v v y x ˆ ˆ + = → www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 13 En el tiempo t de su recorrido vertical debe alcanzar al punto B. Recorrido vertical: 2 2 1 sen gt t v y − = α Cuando llega a B, y = 0: 2 2 1 sen 0 gt t v − = α ⇒ α sen 2 g v t = Su recorrido horizontal es t v t v x x α cos = = Para α sen 2 g v t = debe de estar en B, luego: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = α α α sen 2 cos sen 2 g v v R ⇒ α cos 2 gR v = Igualando esta expresión de la velocidad con la encontrada anteriormente: ( ) α α cos cos 2 3 gR gR = − ⇒ 0 2 1 cos 2 3 cos2 = + − α α Resolviendo: ⎩ ⎨ ⎧ = 2 1 1 cosα En nuestro caso tomamos la solución ½, con la que obtenemos º 60 = α Ejemplo 24. Un arco del tiro al arco ejerce la fuerza kx de la ley de Hooke en una flecha cuando la cuerda se jala una distancia x. Se supone que un arquero ejerce una fuerza de 220 N jalando a la flecha una distancia de 64 cm. a) ¿Cuál es la constante del resorte del arco? b) ¿Cuál es la velocidad de una flecha de masa 24 g cuando deja el arco? Solución. a) 64 , 0 220 = = x F k = 344 N/m b) 2 2 1 1 K U K U + = + 2 2 2 1 0 0 2 1 mv kx + = + ⇒ x m k v = ( ) 64 , 0 024 , 0 344 = v = 76,6 m/s Ejemplo 24. Puenting. Un saltador que pesa 800 N se ata con una cuerda elástica al tobillo y se salta de una torre alta. La cuerda tiene una longitud si estirar de 30 m, y un extremo se une al punto donde el salto comienza. ¿La constante del resorte de la cuerda elástica es 200 N/m. ¿Cuánto recorrerá el saltador antes de que la cuerda detenga su descenso? Solución. Sea el punto más bajo del salto h = 0. La energía cinética inicial y la energía cinética en el punto más bajo son ambas igual a cero. Tal que por la conservación de la energía: 2 2 1 0 kx mgh + = , donde 30 − = h x . Sustituyendo mg = 800 N y k = 200 N/m, y resolviendo: 0 900 68 2 = + − h h ⇒ ( ) ( ) 900 4 68 68 2 − ± = h = 50 m, o 18 m. La solución correcta es h = 50 m. La solución h = 18 m corresponde al rebote que comprime la cuerda “amortiguador auxiliar”, pero una cuerda no se comprime como un resorte. Ejemplo 25. En la figura mostrada, el hombre y la plataforma tienen una masa m, el hombre se eleva una distancia h tirando la cuerda del lado derecho. a) ¿En cuánto aumenta su energía potencial gravitatoria? b) ¿Qué fuerza debe ejercer para elevarse? c) ¿Qué longitud de cuerda debe tirar para llegar a la posición superior? d) ¿Despreciando el rozamiento ¿Qué trabajo habrá realizado? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 14 Solución. a) La energía potencial gravitatoria es ( ) C mgy U y + = Para la posición inicial C mgy U + = 1 1 Para la posición final C mgy U + = 2 2 El aumento de la energía potencial gravitatoria es: ( ) mgh y y mg U U U = − = − = 1 2 1 2 b) La fuerza para elevar el sistema, siendo esta conservativa, mg y U F − = ∂ ∂ − = Como la polea divide en dos, la fuerza h F que debe ejercer el hombre es: 2 mg Fh = . c) Para llegar a la posición superior la cuerda debe ser tirada en una longitud dos veces h d = 2h. d) EL trabajo realizado por el hombre es: ( ) mgh h mg d F W h h = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 2 Justamente igual al cambio de energía. Ejemplo 26. Observadores en movimiento relativo. Sobre una plataforma en movimiento horizontal con una velocidad constante V. un hombre empuja una caja de masa m con una fuerza F una distancia d partiendo del reposo. Demostrar la validez de la conservación de la energía desde los puntos de vista de observadores en marcos inerciales diferentes. Solución. Las leyes de Newton se cumplen sólo en marcos de referencia inerciales. Si se cumplen en uno en particular entonces se cumplen en todos los marcos de referencia que se muevan a velocidad constante en relación a este mareo. a) Observador en la plataforma. El observador en la plataforma ve que la caja, de masa m, se mueve bajo la acción de la fuerza F. El trabajo realizado para mover la distancia d es: Fd W = La aceleración de la caja es m F a = Como la caja parte del reposo su velocidad en la posición final es: m Fd ad v 2 2 2 = = El observador determina que el cambio de energía: 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 mv mv K K K − = − = Δ Como 0 1 = v y m Fd v 2 2 = Fd m Fd m K = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ 2 2 1 El observador sobre la plataforma concluye que: Fd m Fd m K = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ 2 2 1 K W Δ = b) Observador situado en tierra: El observador en tierra ve que la caja se mueve bajo la acción de la fuerza F, en este caso la caja se mueve la distancia d Vt d + = ´ ' ,. Siendo t el tiempo que demora el recorrido de la distancia d sobre la plataforma, F dm a d t 2 2 = = , luego d F dm V d + = 2 ' El trabajo es: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = = d F dm V F Fd W 2 ' ' Fdm V Fd W 2 ' + = El observador ve que la caja tiene una velocidad inicial V v = 1 ' y una velocidad final m Fd V v V v 2 ' 2 2 + = + = El observador en tierra determina que el cambio de energía es: 2 1 2 2 1 2 ' 2 1 ' 2 1 ' ' ' mv mv K K K − = − = Δ 2 2 2 1 2 2 1 ' mV m Fd V m K − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = Δ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 15 Fdm V Fd K 2 ' + = Δ Aquí se cumple también la conservación de la energía: ' ' K W Δ = SISTEMAS NO CONSERVATIVOS. Supongamos que también intervienen fuerzas no conservativas, como la fricción. El trabajo total para mover la partícula de 1 r a 2 r es 1 2 2 1 2 2 12 2 1 2 1 K K mv mv W − = − = Este trabajo es también igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas conservativas y del trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, es decir: VAS CONSERVATI NO 12 VAS CONSERVATI 12 12 W W W + = Como: 2 1 VAS CONSERVATI 12 U U W − = VAS CONSERVATI NO 12 2 1 12 W U U W + − = De las expresiones de trabajo total tenemos: VAS CONSERVATI NO 12 2 1 1 2 W U U K K + − = − ⇒ ( ) ( ) VAS CONSERVATI NO 12 1 1 2 2 W U K U K = − − − VAS CONSERVATI NO 12 1 2 W E E = − A diferencia que en un Sistema conservativo, no es igual a cero. Esta última expresión nos permite calcular el trabajo de fuerzas no conservativas, fuerzas que en general son complicadas y que en principio deberíamos de calcular resolviendo integrales curvilíneas. Ejemplo 27. A un bloque de masa m se le da un empujón tal que adquiere la velocidad 0 v a lo largo del eje x. Después de resbalar distancia L golpea un resorte de constante k. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la masa es μ . ¿Cuánto se comprime el resorte? Solución. Sea x La longitud que se comprime el resorte. La distancia recorrida por la masa es (L + x). La energía inicial es solo la energía cinética de la masa: 2 0 2 1 mv Ei = La energía final es solo la energía potencial del resorte: 2 2 1 kx E f = El trabajo hecho por la fricción dx F W x x f f ∫ = 2 1 , 0 1 = x , x L x + = 2 , mg N Ff μ μ − = − = Luego: ( )dx mg W x L ∫ + − = 0 12 μ = ( ) x L mg + −μ Como en un Sistema no Conservativo. 1 2 VAS CONSERVATI NO 12 E E W − = ( ) 2 0 2 2 1 2 1 mv kx x L mg − = + −μ Ecuación de segundo grado cuya solución es: ( ) 2 0 2 2 2 2 2 v gL k m k g m k mg x − − ± − = μ μ μ Ejemplo 28. Un cuerpo de masa 10 kilogramos cae desde una altura de 15 metros y alcanza el suelo en 2 segundos. Considerando constante la fuerza de resistencia del aire. a) ¿Cuál era la magnitud de la fuerza de resistencia? b) ¿Cuánta energía mecánica se ha perdido? c) ¿Qué velocidad tenía el cuerpo inmediatamente antes de chocar Contra el suelo? Solución. a) Siendo el peso y la fuerza de resistencia del aire las fuerzas que intervienen y siendo ambas constantes tenemos que la aceleración a del cuerpo es constante. Como 2 2 1 at h = La aceleración es ( ) 2 2 2 s m 5 , 7 2 15 2 2 = = = t h a Aplicando la segunda ley de Newton: ma F mg g = − ( ) ( ) N 23 5 , 7 8 , 9 10 = − = − = a g m Fg b) La energía que se ha perdido es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. ( )( ) J 345 15 23 VAS CONSERVATI NO = = = d F W g c) Como 1 2 VAS CONSERVATI NO E E W − = Siendo 1 1 1 U K E + = = ( )( )( ) 15 8 , 9 10 0 = + mgh = 1470 J 0 2 1 2 2 21 2 2 + = + = mv U K E = 2 2 5v www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 16 Tenemos: 345 1470 5 2 2 = − v ⇒ 225 5 345 1470 2 2 = − = v Finalmente: s m 15 2 = v Una manera directa de llegar al mismo resultado es considerar que la aceleración efectiva de salida es 2 s m 5 , 7 = a , la velocidad después de 2 segundos es: s m 15 s m 5 , 7 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = at v LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Y LA FRICCIÓN La ley de la conservación de la energía se puede aplicar a los sistemas donde las fuerzas no conservativas como actúan las fuerzas de la fricción. Si un sistema trabaja contra la fricción, la energía mecánica del sistema disminuirá. Así si Wf es el trabajo hecho contra la fricción, entonces energía inicial - la energía perdida por la fricción 2 1 E W E f = − 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 mv U W mv U f + = − + Ejemplo 29. Cerca de Lewiston, Idaho, hay una carretera muy inclinada donde circulan camiones cargados con madera. Han ocurrido varios accidentes serios cuando los carros perdieron sus frenos yendo para abajo de la colina a gran velocidad. Se han construido rampas de contención que se espera puedan detener a los vehículos sin frenos. Suponga que un carro que viaja a 40 m/s encuentra una rampa inclinada para arriba 30º sobre horizontal. La grava floja en la rampa proporciona una fuerza friccional para ayudar a detener al carro mientras sube la rampa. La grava tiene un coeficiente eficaz de fricción de 0,50. ¿Cuán lejos a lo largo de la rampa el carro viajaría antes de detenerse? Solución. N = mg cos θ θ μ μ cos mg N Ff = = 2 2 1 1 K U W K U f + = − + 0 2 1 0 2 + = − + mgh s F mv f θ sen s h = ( ) θ θ μ sen cos 2 1 2 mgs s mg mv = − ( ) θ μ θ cos sen 2 2 + = g v s = ( ) ( )( ) º 30 cos 5 , 0 º 30 sen 8 , 9 2 40 2 + = 87,5 m POTENCIA Tan importante como saber cual es el trabajo realizado es conocer también la rapidez con la cual se realiza. Para proporcionar una medida cuantitativa de este concepto que incluye tanto el trabajo como el tiempo necesario para realizarlo se tiene a la Potencia. La potencia mide la rapidez con la que el trabajo se está realizando. Si se realiza un trabajo W en un intervalo de tiempo (de t1 a t2) la Potencia media es: t W t t W P m Δ Δ = − = 1 2 12 Cuando 1 2 t t → , 0 → Δt , tendremos La Potencia instantánea en el instante t. dt dW t W P t = Δ Δ = → Δ 0 lim También como → → ⋅ = r d F dW Tenemos dt r d F dt dW P → → ⋅ = = → → ⋅ = v F P El análisis dimensional [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] 1 2 1 − −= = T L M T L F P Su unidad en el sistema internacional es J/s llamado Watt ó Vatio cuyo símbolo es W. Un múltiplo muy usado es el kilowatt (kW) 1 kW = 103 W Existe una unidad de energía o trabajo en términos de la unidad de potencia el kilowatt-hora (kwh), es la energía convertida o consumida en una hora a una razón constante de 1 kW. 1 kWh (103W)(3600s) = 3,6 x l06 .J Para tener una idea de cuanto es 1 Watt, imaginemos que tenemos que levantar una masa de 50 kg. a una altura de 1 metro, cada 5 minutos y realizar este trabajo durante una jornada de 8 horas. Si levanta cada 5 minutos, serán 12 veces por hora, siendo 8 horas por día, hará un total de 12 x 8 = 96 veces al día. El trabajo realizado es: mgh W 96 = = ( )( )( ) m 1 s / m 8 , 9 Kg 50 96 = 47040 J www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 17 Para determinar la potencia tenemos que dividirlo por el número de segundos en un día. s P 3600 8 J 47040 × = = 1,63 W Comparemos esta potencia con la potencia de un motor pequeño de 1 hp (horse power). El hp es la unidad de potencia en el sistema inglés 1 hp = 746 W Ejemplo 30. Si un objeto que parte del reposo se desliza por un piso liso inclinado un ángulo θ con respecto a la horizontal de altura h, hallar la potencia P gastada por la gravedad en función de la posición y del objeto con respecto a la parte inferior plano inclinado. Solución. La potencia es: dt dW P = , siendo Fd W = Con θ sen mg F = y 2 2 sen 2 1 2 1 t g at d θ = = Tenemos ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 sen 2 1 sen t g mg W θ θ = 2 2 2 sen 2 1 t mg θ y dt dW P = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 sen 2 1 t mg dt d θ = sen 2 2 θ mg Como ha recorrido la distancia s: ( ) 2 sen 2 1 sen t g y h s θ θ = − = Obtenemos: ( ) θ 2 sen 2 g y h t − = Luego ( ) θ θ 2 2 2 sen 2 sen g y h mg P − = = ( ) y h g mg − 2 senθ Otra manera de obtener es considerar que: Fv P = Donde θ sen mg F = y t g at v senθ = = Luego: ( )( ) t g mg P sen sen θ θ = = t mg sen 2 2 θ Como ( ) θ 2 sen 2 g y h t − = Obtenemos: ( ) θ θ 2 2 2 sen 2 sen g y h mg P − = = ( ) y h g mg − 2 senθ Ejemplo 31. El flujo de agua de un río es de 50 m3 por segundo, se tiene un desnivel de 200 metros y se quiere aprovechar construyendo una hidroeléctrica a) Si la energía del agua que cae se utilizase totalmente ¿Que potencia se podría obtener? b) Si toda la energía procedente de la caída del río se convirtiese en energía eléctrica y se vendiese a un sol el kilowatt-hora ¿Cuánto dinero se cobraría en un día? Solución. a) El trabajo realizado por una masa m que cae desde una altura h es: W = mgh Como m = ρV, Donde ρ es la densidad del agua. V es el volumen. Vgh W ρ = La potencia que se obtiene al pie de la salida es Vgh dt d dt dW P ρ = = De estas cantidades la que varía con el tiempo es V. s m 50 3 = dt dV Luego dt dV gh P ρ = Como 3 m kg 1000 = ρ , 2 s m 8 , 9 = g , m 200 = h Obtenemos ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = s m 50 m 200 s m 8 , 9 m kg 1000 3 2 3 P = 9,8 x 107 W b) Si tenemos una potencia P = 9,8 x 107 = 9,8 x 104 kW y consideramos que se consume las 24 horas del día. La energía obtenida es igual a todo el trabajo realizado. Pdt dW = ( ) t P t t P dt P W t t Δ = − = = ∫ 1 2 2 1 ( )( ) h kW W 24 10 8 , 9 4 × = = 235,2 x 104 kW-h www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 18 si el precio de cada kW-h es 1 sol, cada día se obtendrán 2,352 millones de soles. Ejemplo 32. En la figura, un bloque de masa m descansa sobre una faja que se mueve con velocidad constante v. El coeficiente de fricción entre el bloque y la faja es μk. Tomando como tiempo inicial t = 0, una fuerza horizontal F aplicada al bloque le produce una aceleración constante a. a) Determinar la fuerza F y la potencia disipada en fricción como función del tiempo. b) Si la fuerza F es ejercida por un hombre que se encuentra sobre la faja. Determinar la potencia que este libera en función del tiempo. e) Si la fuerza F es ejercida por un hombre que camina sobre el piso al costado de la faja. Determinar la potencia que este libera en función del tiempo. Solución. a) Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m en la figura ma F F f = − Como mg N F k k f μ μ = = , obtenemos: mg ma F k μ + = y la potencia disipada en fricción es ( ) 0 0 v mg v F P k f μ = = , siendo at v = 0 mgat P k μ = b) La fuerza que hace el hombre sobre la faja es mg ma F k μ + = Su velocidad en función del tiempo es at v v v v + = + = 0 ' y la potencia que debe dar el hombre es ( )at mg ma Fv P k μ + = = ' c) La tuerza que hará el hombre sobre el piso es igual al caso anterior: mg ma F k μ + = ' La velocidad del hombre en función del tiempo en este caso es: at v v + = ' Luego la potencia que debe dar el hombre es: ( )( ) at v mg ma v F P k + + = = μ ' ' ' MÁQUINAS Una máquina simple es un dispositivo usado para magnificar una fuerza o para cambiar una desplazamiento pequeño en grande. Las máquinas comunes son la palanca, el plano inclinado, el gato hidráulico, o una combinación de engranajes. El trabajo se hace típicamente en la máquina (el trabajo W1 de entrada), y entonces la máquina alternadamente hace un cierto trabajo W2 de salida. El estado de la energía de la máquina no cambia apreciable durante este proceso, así que si la fricción es insignificante, W1 = W2, basado en la idea de la conservación de energía. Muy a menudo las fuerzas de entrada y de salida son constantes, en las cuales el caso W1 = W2, lo que lleva a: 2 2 1 1 d F d F = ⇒ 1 2 1 2 F d d F = Aquí F1 actúa sobre una distancia d1 y F2 actúa sobre una distancia d2. La ventaja mecánica de la máquina se define como 1 2 VM F F = Ejemplo 33. La palanca de barra es un dispositivo usado para levantar objetos pesados (por ejemplo, un piano o una pieza grande de maquinaria). Consiste en una barra larga que se apoya en un fulcro una distancia corta del extremo de levantar de la barra. Suponga que el fulcro de una barra de la palanca está a 3 centímetros de la carga, y el punto donde usted empuja hacia abajo en el otro extremo está a 1,50 m del fulcro. ¿Qué fuerza mínima tendría que ejercer para levantar una carga de 2000 N? ¿Si mueve el extremo de la barra 4 centímetros hacia abajo, cuánto levantará la carga? Solución. Si la barra rota con un ángulo pequeño Δθ, entonces θ Δ = 1 1 L d y θ Δ = 2 2 L d θ θ Δ = Δ 2 2 1 1 L F L F 2 1 2 1 F L L F = ⇒ ( )( ) 2000 50 , 1 03 , 0 1 = F = 40 N Para triángulos semejantes 2 1 2 1 L L d d = 1 1 2 2 d L L d = ⇒ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 19 ( ) ( )( ) 04 , 0 50 , 1 03 , 0 2 L d = = 0,008 m = 8 mm. Observe que una fuerza pequeña de entrada da lugar a una fuerza grande de salida, pero el precio que se paga es que un desplazamiento grande de la entrada produce solamente un desplazamiento pequeño de salida. Ejemplo 34. Se bosqueja aquí un polipasto diferenciado de la clase usada para levantar un motor de auto. Las poleas tienen dientes que engranan con una cadena continua. Las poleas están soldadas juntas, hay 18 dientes en la polea externa y 16 dientes en la polea interna. Así cuando la polea hace una revolución, 18 acoplamientos de la cadena se levantan y 16 acoplamientos bajan, dando por resultado la elevación de la carga. ¿Cuál es la ventaja mecánica de esta máquina? Solución. Considere qué pasa cuando la polea superior hace una revolución, es decir, cuando el trabajador jala 18 eslabones de la cadena hacia él con fuerza F1. Sea L = longitud de un eslabón. El trabajo de la entrada es W1 = F1(18 L). El lazo de la cadena que va bajo de la carga es acortado así por 18 eslabones y alargado por 16 eslabones, con un acortamiento neto de 18L - 16L = 2L que acorta al lazo 2L y levanta la carga L (intente esto con un pedazo de cuerda para convencerse de esta característica). Así el trabajo de la salida es W2 = F(L). Despreciando la fricción. 2 1 W W = o F1(18 L) = F2(L) La ventaja mecánica del polipasto es VM = 18. Ejemplo 35. Un trailer está equipado de un sistema para sacar barcos del agua. Consiste en una manija larga de 30 centímetros unido al eje de un engranaje pequeño con 12 dientes. Este engranaje pequeño endienta con un engranaje más grande con 36 dientes. Se une a este engranaje grande un tambor del radio 2 centímetros en el cual se enrolla la línea atada al barco (la línea es una cuerda.) ¿Qué tensión se puede aplicar a la línea cuando la manivela se empuja con una fuerza de 80 N? So1ución. Considere que pasa cuando la manivela hace una revolución. La mano mueve una distancia d1 = 2πR1. El engranaje grande mueve 12/36 = 1/3 revoluciones. La línea es jalada una distancia d2 = 2πR2/3. 2 2 1 1 d F d F = ⇒ 1 2 1 2 F d d F = = 1 2 1 3 / 2 2 F R R π π = 1 2 1 3 F R R ( ) 80 2 30 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = F = 3600 N. La ventaja mecánica: 45 80 3600 VM = = La ventaja mecánica del torno (despreciando la fricción) es 45. PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1 Defina primero en palabras y luego en una expresión matemática. a) El trabajo realizado por una fuerza cualquiera. b) La energía cinética de una partícula. 2 Una partícula P en el plano xy está sometida a la acción de la fuerza j x i y F ˆ ˆ 2 2 − = → . Calcular el trabajo efectuado por la fuerza para desplazar P sin fricción desde B (0,.b) a A (a, 0). Respuesta. ( ) b a ab W + = 3 3. Un depósito cilíndrico de altura H tiene una masa m de agua que lo llena hasta la mitad, que ha de bombearse en su totalidad por encima del borde del mimo. ¿Cuánto trabajo ha de realizar la bomba? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 20 Respuesta. mgH W 4 3 = Δ 4. ¿Qué fuerza horizontal, constante debe aplicarse a un carro de masa 500 kg que viaja en una carretera horizontal a 36 km/h para que se detenga en 30 metros? ¿Quién proporciona la fuerza? Respuesta. 2500 N, proporcionada por la carretera. 5. Un resorte está unido en A a un plano vertical fijo y a un bloque B que resbala sobre una varilla lisa horizontal Ox. La longitud del resorte no estirado es 45 cm y la constante del resorte es k = I000 N/m. ¿Cuál es el trabajo realizado por el resorte sobre B cuando se mueve 60 cm desde O por efecto de la fuerza F? Respuesta: 99,38 J 6. Un resorte de masa despreciable y constante k cuelga del cielorraso de un ascensor y lleva suspendido una masa in. Cuando el ascensor se mueve hacia arriba durante t segundos con una aceleración uniforme g a 2 1 = . la reacción inercial hace que el resorte se alargue. a) ¿Cuánto trabajo realiza el ascensor sobre el sistema resorte-masa? b) ¿Cuánto trabajo realiza sobre el resorte? Respuesta. a) 2 2 4 1 t mg b) k g m 2 2 8 1 7. En la figura se mueve el cuerpo A a lo largo de un plano horizontal liso por medio de la fuerza constante F = 5º N aplicada al extremo de una cuerda unida a A y que pasa por una pequeña polea sin rozamiento en B. Calcular el trabajo realizado sobre A por la cuerda mientras A se desplaza 3 m, Respuesta. W = 120 J 8. Una fuerza cuya magnitud varía con x de acuerdo a Bx A F + = actúa sobre objeto que puede moverse solamente en el eje x. El ángulo con el que actúa la fuerza también varía tal que 2 1 cos x − = θ . El objeto se mueve entre 2 2 < < − x . ¿Cuál es el trabajo realizado cuando el objeto se mueve de x = 0 a x = a? Respuesta. 4 2 4 2 a B a B Aa − + 9. Un bloque que se mueve a lo largo del eje x comienza del reposo en x = A y se mueve a x = B luego vuelve a x = A donde queda en reposo nuevamente. Si una de las fuerzas actuante sobre el bloque es opuesta en dirección y proporcional a la magnitud de la velocidad, tal que → → − = v b Fv con b Constante. Demostrar que el trabajo realizado por esta fuerza no es cero para una trayectoria cerrada. 10. La fuerza j xy i y x F ˆ ˆ 2 2 + = → actúa sobre la partícula .P (x,y) que se mueve en el plano xy. a) Demostrar que F no es una fuerza conservativa. b) Determinar el trabajo de F cuando se mueve de A a C, a lo largo de los caminos ABC, ADC y AC. Respuesta. a) Si x F y F y x ∂ ∂ ≠ ∂ ∂ , b) 3 4 a WABC = , 3 4 a WADC = . 2 4 a WAC = 11. El tubo de la figura se halla en un plano horizontal, su resorte comprimido inicialmente 10 cm.. y al dispararse una bolita entra en una canaleta circular de radio R, la fricción es constante igual a 1 Newton. ¿Cuántas vueltas dará la bolita antes de detenerse? R= 50 cm k = 62 N/m Respuesta. Una vuelta. 12. Se aplica una fuerza de 1 N a una partícula de 50 g que está inicialmente en reposo sobre una superficie. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 21 a) ¿Cuánto trabajo realiza sobre la partícula en l0 s si la superficie es lisa y la fuerza es horizontal? b) El mismo caso de a) pero la fuerza hace un ángulo de 60º con la horizontal. c) El caso b) pero con rozamiento entre la partícula y la superficie 0,25 y ¿Cuánto trabajo se consume en vencer el rozamiento? Respuesta. a) J W 1000 = Δ , b) J W 2505 = Δ , c) J W 143 = Δ , J W 46 = Δ 13. Encontrar la función energía potencial de un resorte si el origen se coloca en la pared y la longitud del resorte sin estirar es L. Respuesta. ( ) C kLx kx U x + − = 2 2 1 Si 2 2 1 kL C = ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 L x k L Lx x k U x − = + − = 14. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x está sometida a la acción de una fuerza en un sistema conservativo a la que le corresponde la siguiente función energía potencial. ( ) 4 2 cx bx a U x − + = Determinar los coeficientes a. b y c, si se sabe que el potencial se anula en el origen, que x = 2 m en una posición de equilibrio y que una partícula de 5 kg con una velocidad en el origen de 2 m/s queda en reposo en x = l m. Respuesta. a = 0, b = 80/7 J/m2 , c = 10/7 J/m4 15. La energía potencial entre dos moléculas vecinas viene dada por: ( ) 12 6 r B r A U r + = siendo r la separación entre las moléculas. a) ¿Cuál es la fuerza entre ellas en función de r? b) ¿Cuál es la posición de equilibrio de las dos moléculas? c) ¿Qué energía seria necesaria para alejarlas de su posición de equilibrio indefinidamente? Respuesta. a) ( ) 13 7 12 6 r B r A F r + − = , b) 6 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = A B r , c) B A E 4 2 = Δ 16. Hallar la fuerza conservativa que da origen a la función energía potencial. ( ) 2 2 3 y x zy y x U r − + = Respuesta. k x y j x z x y i x x z y F ˆ ˆ 3 2 ˆ 6 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = → 17. Una partícula de masa 4y penetra en una región en la cual su energía potencial es la indicada en la figura y pasa valores grandes de x, a los cuales su energía potencial es cero, tiene una energía cinética de 16 x 10-7 J . a) ¿Cuál es su energía cinética en los puntos A, B y C? b) Estando en el punto A, la partícula pierde bruscamente la mitad de su energía total. (la gráfica de la energía potencial no se altera). Describe cualitativamente el movimiento subsiguiente, dando el dominio de valores de x en el cual puede moverse la partícula. Respuesta. J 10 8 -7 × = A E , J 10 12 -7 × = B E , J 10 6 -7 × = C E 18. Un bloque de masa m es lanzado hacia arriba en un plano inclinado con una velocidad de magnitud 0 v . El ángulo del plano es θ y el coeficiente de fricción del bloque y el plano es μ . Si el bloque viaja una distancia L hasta detenerse y comienza a bajar volviendo a su posición original. Calcular, a) El trabajo realizado por la fuerza normal durante el movimiento. b) El trabajo realizado por la fuerza de fricción durante el movimiento. c) El trabajo realizado por la fuerza de gravedad durante el movimiento. d) Encontrar L en función de 0 v , y θ . e) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando vuelve al punto inicial? Respuesta. a) 0, b) θ μ cos 2 mgL − , c) 0, d) ( ) θ θ μ sen cos 2 2 0 + = g v L , e) θ μ cos 4 2 0 gL v v − = 19. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de magnitud 0 v y formando un ángulo θ con la www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 22 horizontal. Usando la conservación de la energía encontrar. a) La altura máxima alcanzada. b) La magnitud de la velocidad cuando el proyectil está a la mitad de su máxima altura. Respuesta. a) g v h 2 sen2 2 0 θ = , b) ( ) 2 cos 1 2 0 θ + = v v 20. Una fuerza F = 8t (t en segundos, F en Newton), actúa la partícula P de masa m = 4kg durante un tiempo t = 6 s. Sí parte del reposo a partir del origen. a) Calcular el trabajo efectuado. b) Calcular la energía cinética al instante t. Respuesta. a) W = 2592 J, b) K = 2t4 J. 21. Un resorte de longitud l y constante k se sujeta a un bloque de masa m y al piso. Si el bloque se levanta a una altura 3l y soltado desde el reposo. a) ¿Cuál será la velocidad del bloque cuando esté a una altura 2l ? b) ¿Cuál será la máxima compresión del resorte? Respuesta. a) l l g m k v 2 3 2 + = , b) ( ) k mg k k mg k k mg k y l l l l 6 3 2 2 + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = 22. Dos placas cuyas masas son m1 y m2, respectivamente, están conectadas por un resorte. ¿Qué fuerza deberá aplicarse a la placa superior para elevar la placa inferior después que se retira la presión? No tomar en cuenta la masa del resorte. Respuesta. a) ( )g m m F 2 1 + > 23. Una bolita de masa m desliza a partir del reposo hacia abajo por un carril doblado como se muestra en la figura, el rozamiento es despreciable, hallar: a) La reacción normal del carril en A. b) La energía cinética de la bolita en B. c) La reacción normal del carril en 8. d) La energía cinética de la bolita en C. e) La reacción normal del carril en C. Respuesta. a) 0,5 mg , b) 0.3 mg , c) 2,5 mg d) 1,1 mg , e) 5,4 mg 24. Un bloque pequeño de masa m resbala partiendo de la parte superior de una esfera sin fricción de radio R. ¿Cuál es el ángulo en el que el bloque pierde contacto con la esfera. Respuesta. a) 3 2 cos = θ 25. 1n saco se empuja suavemente por el borde de una pared en A y oscila en un plano vertical colgado del extremo de una cuerda de 4m que puede soportar una tensión máxima igual a dos veces el peso del saco. a) Determinar la altura a la que se rompe la cuerda. b) ¿A qué distancia de la pared vertical caerá al .suelo el saco? Respuesta. a) y = 1,33 m 26. Una bola pequeña de masa m = l g desliza hacia el fondo de un valle moviéndose sin rozamiento como se indica en la figura. Partiendo del reposo, la bola cae desde una altura h = 2m y abandona el fondo del valle formando un ángulo θ con la horizontal. En el punto más elevado de su trayectoria la bola choca con un resorte montado sobre una pared y lo comprime 2 cm. La constante del resorte es k = 49 N/m. a) ¿A qué altura y está el resorte? b) ¿Cual es el ángulo θ ? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 23 Respuesta. a) y =1 m, b) º 45 = θ 27. Una bola de acero de masa 1 kg está unida a un extremo de un alambre de 1m de largo y gira alrededor del otro extremo con una velocidad angular de 120 rpm. ¿Cuál es la energía cinética de la bola? Respuesta. 78,88 J 28. La faja transportadora de la figura se mueve con una velocidad constante 0 v y descarga los paquetes sobre la rampa AB. El coeficiente de rozamiento entre los paquetes y la rampa es 0,30. Sabiendo que los paquetes deben alcanzar el punto B con una velocidad de 4 m/s, determinar la velocidad 0 v requerida en la faja transportadora. Respuesta. 3,02 m/s 29. Una locomotora ejerce un tiro constante en la barra de tracción de 160000 N mientras aumenta la velocidad de 48 a 72 km/h. ¿Cuál es la potencia que desarrolla la locomotora: a) al comienzo del periodo? b) al final del periodo? c) ¿Cuáles la potencia .media durante el periodo? Respuesta. a) 2859 hp , b) 4290 hp c) 3574 hp 30. Una grúa industrial puede levantar su máxima permitida de 25 toneladas a la velocidad de 20mm/s. Sabiendo que la grúa es movida por un motor de 10 kW. Determinar su rendimiento. Respuesta. 49% 31. ¿Cuál es la velocidad máxima la que un motor capaz de suministrar 10 kW puede elevar un ascensor de masa 500kg, sin tomar en cuenta las fuerzas de rozamiento? Respuesta. v = 2,0 m/s 32. Si a un automóvil de masa 1000 kg que se mueve sobre una carretera horizontal con una velocidad de 48 km/h se le apaga al motor, este recorre aún 0,8 km antes de detenerse. carga a) Considerando que la fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad, calcule su valor medio. b) ¿Qué potencia debe consumirse para mantener el automóvil en movimiento con una velocidad de 48 km/h? Respuesta. a) Ff = 110 N b), P = 2 hp 33. Un automóvil de 1500 kg se desplaza 200 m mientras es acelerado uniformemente desde 50 hasta 73 km/h. Durante todo el movimiento el automóvil se desplaza sobre una carretera horizontal, y la resistencia al movimiento es igual al 2 por ciento del peso del automóvil. Determinar: a) La máxima potencia requerida. b) La potencia requerida para mantener la velocidad constante de 75 km/h. Respuesta. a) 25 kW , b) 6,13 kW 34. Un peso D y el contrapeso C tienen cada uno una masa de 350 kg. Determinar la potencia requerida cuando el peso: a) Se mueve hacia arriba con velocidad constante de 4m/s. b) Tiene una velocidad instantánea de 4m/s hacia arriba y una aceleración hacia arriba de 0,9 rn/s2. Respuesta. 6,86 kW , 8.44 kW 35. Un bloque de 0,50 kilogramos es sujetado contra el resorte por una fuerza externa horizontal de 36 N. Se quita la fuerza externa, y el bloque se proyecta con una velocidad v1 = 1,2 m/s a partir de la separación del resorte. El bloque desciende una rampa y tiene una velocidad v2 = 1,8 m/s en la base. La pista es sin fricción entre los puntos A y B. El bloque ingresa a una sección rugosa en B, extendiendo hasta E. El coeficiente de fricción cinética es 0,30. La velocidad del bloque es v3 = 1,4 m/s en C. El bloque se mueve hasta C donde se detiene. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 24 a) La constante del resorte es: b) La compresión inicial del resorte en cm es: c) La altura h de la rampa en cm es: d) El trabajo realizado por la fricción entre los puntos B y C es: e) La distancia s que el bloque viaja entre los puntos B y D es: Respuesta. a) 1800 N/m, b) 2,0, c) 9, d) -0.32 J e) 0,55 m 36. Una barra sin masa de 1,5 m se fija libremente a un pivote sin fricción en O. Una bola de 3,0 kilogramos se une al otro extremo de la barra. La bola se sostiene en A, donde la barra hace un ángulo 30º sobre el horizontal, y se lanza. El montaje de la bola-barra puede girar libremente en un círculo vertical entre A y B a) La bola pasa a través de C, donde la barra forma un ángulo de 30º debajo de la horizontal. La rapidez de la bola cuando pasa por C es: b) la tensión en la barra cuando la bola pasa por el punto más bajo D es: Respuesta. a) 5,4 m/ s, b) 120 N 37. Una fuerza externa constante P =120 N se aplica a una caja de 20 kilogramos, que está en una superficie horizontal áspera. La fuerza empuja la caja una distancia de 8,0 m, en un intervalo del tiempo de 4,0 s, y la velocidad cambia de v1 = 0,5 m/s a v2 = 3,5 m/s. a) El trabajo realizado por la fuerza externa es: b) El trabajo realizado por la fricción es: c) La razón de cambio promedio de la energía cinética de la caja, en los 4,0 segundos es: Respuesta. a) 830 J, b) -700 J, c) 30W 38. Un cajón de 100 kilogramos está en una superficie áspera inclinada 30º. Una fuerza externa constante P de 800 N se aplica horizontalmente al cajón. La fuerza empuja el cajón una distancia de 3,0 m arriba de la pendiente, en un intervalo del tiempo de 2,0 s, y la velocidad cambia de v1 = 0,8 m/s a v2 = 2,2 m/s. a) El trabajo realizado por el peso es: b) El trabajo realizado por la fuerza de fricción es: c) El trabajo realizado por la fuerza normal es: d) La potencia media producida por la fuerza externa P durante los 2,0 segundos es: Respuesta. a) -1500 J, b) - 400 J c) Cero , d) 1050 W 39. Una muchacha lanza una piedra de un puente. Considere las maneras siguientes que ella puede lanzar la piedra. La velocidad de la piedra con la que lanza es igual en cada caso. Caso A: Lanzada derecho para arriba. Caso B: Lanzada derecho para abajo. Caso C: Lanzada con ángulo de 45º sobre horizontal. Caso D: lanzada horizontalmente. ¿En qué caso la velocidad de la piedra será mayor cuando llega al agua? Respuesta. la rapidez es la misma en todos los casos. 40. Para hacer el trabajo sobre un objeto, A) es necesario que haya fricción. B) es necesario que no haya fricción. C) el objeto debe moverse. D) la fuerza que hace el trabajo debe estar dirigida perpendicularmente al movimiento del objeto. E) la fuerza aplicada debe ser mayor que la fuerza de la reacción del objeto. Respuesta. C) el objeto debe moverse. 41. Un bloque de 8,0 kilogramos se lanza del reposo, vl = 0 m/s, en una pendiente rugosa. El bloque se mueve una distancia de 1,6 m abajo de la pendiente, en un tiempo de 0,80 s, y adquiere una velocidad de v2 = 4,0 m/s. a)) El trabajo realizado por el peso es: b) La razón promedio a la cual la fuerza de fricción realiza trabajo en el intervalo de tiempo de 0,80 s es: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 25 c) La razón promedio a la cual la fuerza normal realiza trabajo en el intervalo de tiempo de 0,80 s es: d) La razón promedio a la cual el bloque gana energía cinética durante el intervalo de tiempo de 0,80 s es: Respuesta. a)) + 80 J, b) - 20 W, c) Cero, d) 80 W 42. Una persona de 60 kilogramo cae desde el reposo uno distancia 1,20 m sobre una plataforma de masa insignificante apoyada sobre un resorte duro. La plataforma baja 6 cm antes de que persona vuelva al reposo. ¿Cuál es la constante del resorte? Respuesta. 4,12 x 105 N/m 43. Un objeto está sujeto a una fuerza restauradora F = 6x3, donde x es el desplazamiento del objeto desde su posición de equilibrio. ¿Qué trabajo debe realizarse para mover al objeto desde x = 0 x = 0,15 m? Respuesta. 7,59 x 10-4 J 44. Dos resortes idénticos tienen longitudes sin estirar de 0,25 m y las constantes de la fuerza de 200 N/m. Los resortes se unen a un bloque pequeño y se estiran a una longitud de 0,30 m como en la figura A. Una fuerza externa P tira del bloque 0,02 m a la derecha y lo sostiene allí. (Véase La Figura B) a) El trabajo requerido para ensamblar los resortes y el bloque (figura A) es : b) La fuerza externa P, que mantiene al bloque en su lugar (figura B) es: c) El trabajo realizado por la fuerza externa P en jalar el bloque 0,02 m es: Respuesta. a) 0,50 J, b) E) 8 N, c) 0,08 W 45. El bloque A (0,40 kg) y el bloque B (0,30 kg) están sobre una mesa sin fricción. El resorte 1 conecta al bloque A a una varilla sin frición O y el resorte 2 conecta el bloque Ay el bloque B. Los bloques están en movimiento circular uniforme alrededor de o, y los resortes tienen longitudes de 0,60 m y 0,40 m, como se muestra. La velocidad lineal del bloque B es 2.0 m/s. a) El resorte 2 estira 0,06 m. La constante de fuerza del resorte 2 es: b) La constante de fuerza del resorte 1 es igual a 30 N/ m. La longitud sin estirar del resorte 1 es: Respuesta. a) 20 N/m, b) 0,53 m 46. Una barra ligera de 0,80 m se fija libremente a un eje vertical en A. Un disco de 2,0 kilogramos se une a la barra en B. Un resorte se une a la masa en B y a la manga en el eje en C. A La manga es sin fricción, permitiendo que se baje y suba libremente, de modo que el resorte sea siempre horizontal cuando esté estirado. La longitud del resorte sin estirar es 0,45 m y la constante es 210 N/m. a) El eje está girando y el resorte estirado tiene una longitud de 0,48 m. La aceleración radial del disco es: b) El eje está girando y la varilla forma un ángulo de 40º con el eje. El resorte está estirado y horizontal. La aceleración radial del disco es: c) El eje está girando y el resorte tiene una longitud de 0,45 m. La aceleración radial del disco es: Respuesta. a) 10,5 m/s2 b) 15,0 m/s2, c) 6,7 m/ s2 47. Cierto coche que viaja 20 resbalones del mph a una parada en 20 metros del punto donde los frenos fueron aplicados. ¿En qué distancia el coche pararía aproximadamente la tenía que va 40 mph? Respuesta. 80 metros 48. Un motor de la arena en una mina levanta 2.000 kilogramos de la arena por minuto una distancia vertical de 12 metros. La arena está inicialmente en el resto y se descarga en la tapa del motor de la arena con la velocidad 5 m/s en un canal inclinado de cargamento. ¿En qué tarifa mínima se debe la energía proveer a esta máquina? Respuesta. 4,34 kW 49. La constante de un resorte es 500 N/m y su longitud sin estirar es 0,60 m. Un bloque de 4,0 kilogramos se suspende del resorte. Una fuerza www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com TRABAJO Y ENERGÍA Hugo Medina Guzmán 26 externa tira hacia abajo lentamente el bloque, hasta que el resorte se ha estirado a una longitud de 0,72 m. se quita y el bloque sube. a) La fuerza externa sobre el bloque es: b) Cuando el resorte se ha contraído una longitud de 0.60 m, la velocidad del bloque hacia arriba es: : c) Cuando el resorte se ha contraído una longitud de 0.66 m, la aceleración del bloque incluyendo su dirección es: Respuesta. a) 20 N, b) 0,4 m/ s, c) 2 m/s2, hacía abajo 50. la constante de un resorte es 200 N/m y su longitud sin estirar es 10 centímetros. El resorte se pone dentro de un tubo liso de 10 centímetros de alto (la figura a). Un disco de 0,40 kilogramos se coloca sobre el resorte (figura b). Una fuerza externa P empuja el disco hacia abajo, hasta que el resorte tiene 4 centímetros de largo (la figura c). Se quita la fuerza externa, el disco se proyecta hacia arriba y emerge del tubo (figura d). a) La compresión del resorte en la figura b es: b) La fuerza externa P en la figura c es: c) La energía potencial elástica del resorte en la figura c es: d) La aceleración inicial del disco cuando la fuerza externa es removida es: e) La velocidad v del disco cuando emerge del tubo en la figura d es: Respuesta. a) 2,0 , b) 8N, c) 0,36 J, d) 20 m/s2, e) 0,80m/s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 1 CAPÍTULO 6. SISTEMA DE PARTÍCULAS INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos estado estudiando el movimiento de los objetos cualquiera que sea sin considerar su estructura. Ahora demostraremos que lo estuvimos haciendo bien considerando al objeto sin tomar en cuenta las fuerzas que actúan sobre sus partes. Introduciremos el concepto de centro de masa de un sistema de partículas, también se introducirá el concepto de cantidad de movimiento y se demostrará que este se conserva cuando el sistema se encuentra aislado de los alrededores, SISTEMA DE PARTICULAS La figura muestra un sistema de partículas compuesto de tres masas. En el sistema existen dos tipos de fuerzas, a) Las fuerzas externas como la atracción gravitacional de la tierra por ejemplo. b) Las fuerzas internas que las partículas ejercen unas sobre otras (estas fuerzas pueden ser gravitacionales, e1éctricas, etc.) En la figura hemos cambiado el contorno del sistema, excluyendo la masa m3. Como Una Consecuencia de esto las fuerzas internas Sobre m1 y m2 debido a m3 ya no son internas, se han sumado a las fuerzas externas previas, produciendo una nueva fuerza resultante. La selección del contorno de un sistema es similar a seleccionar un sistema de coordenadas. SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA DE PARTICULAS La figura siguiente muestra un sistema de n partículas de masas m1, m2, …..mn, con posiciones especificadas por 1 → r , 2 → r , …………. n r → ,, respectivamente. La segunda ley de Newton para la partícula i m es: int i iexter i i F F a m F → → → → + = = Donde: int i F → = suma de las fuerzas internas sobre mi ext i F → = suma de las fuerzas externas sobre mi La suma de las fuerzas internas sobre la masa mi es: ( ) ∑ ≠ → → → → → = + + = n ij i j F F F F F 12 13 12 int 1 .. .......... En general para la partícula i es: ( ) ∑ ≠ → → = n ij i i j F F int La fuerza total para el sistema es: ( ) ∑∑ ∑ ∑ ∑ = → = = → = = → = = → ≠ + = = n i n ij n i i i n i i i n i i i i j F F a m F 1 1 ext 1 1 Por la tercera ley de Newton cada una de las fuerzas → ij F tiene un → ji F igual, pero de sentido contrario www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 2 → → − = ji ij F F De modo que ( ) 0 0 1 = ∑∑ = = ≠ → n i n i j ij F Consecuentemente solo queda ∑ ∑ = → → = = n i i i n i i F a m 1 ext 1 o ∑ ∑ = → → = = n i i i n i i F r m dt d 1 ext 1 2 2 CENTRO DE MASA Frecuentemente es muy práctico reemplazar un sistema de muchas partículas con una partícula simple equivalente de masa igual. La pregunta es donde colocar esta partícula simple con respecto al origen de x e y. Definamos el vector posición del centro de masa por la ecuación: ∑ ∑ = = → → = n i i n i i i CM m r m r 1 1 Llamando a M m n i i = ∑ =1 (masa total de las n partículas). M r m r n i i i CM ∑ = → → = 1 Como k z j y i x r CM CM CM CM ˆ ˆ ˆ + + = → Tenemos que: ∑ = = n i i i CM x m M x 1 1 , ∑ = = n i i i CM y m M y 1 1 , ∑ = = n i i i CM z m M z 1 1 Si hacemos que el número de elementos n, se aproximen al infinito, la sumatoria se reemplaza por una integral y m por el elemento diferencial dm. Luego. ∫ ∑ = Δ = = → Δ xdm M m x M x n i i i m CM i 1 1 lim 1 0 De igual forma se obtiene: ∫ ∑ = Δ = = → Δ ydm M m y M y n i i i m CM i 1 1 lim 1 0 , ∫ ∑ = Δ = = → Δ zdm M m z M z n i i i m CM i 1 1 lim 1 0 y ∫ → → = dm r M r CM 1 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA. Si en la ecuación: ∑ ∑ = → → = = n i iext i n i i F r m dt d 1 0 2 2 Sustituimos → = → = ∑ CM n i i i r M r m 1 Obtendremos la ecuación del movimiento del centro de masa ∑ = → → = n i iext CM F r M dt d 1 2 2 ⇒ ∑ = → → = n i iext CM F a M 1 El punto indicado por → CM r , vector posición del centro de masa, se mueve se mueve como si en el estuviera concentrada toda la masa y las fuerzas externas del sistema. Ejemplo 1. Centro de masa de tres masas puntuales. El centro de masa esta dado por: ∑ = = n i i i CM x m M x 1 1 = ( ) ( ) ( ) m m m m m m 3 2 2 3 1 2 1 + + + + www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 3 = 2 3 6 9 = m m ∑ = = n i i i CM y m M y 1 1 = ( ) ( ) ( ) m m m m m m 3 2 2 3 3 2 1 + + + + = 6 13 6 13 = m m j i rCM ˆ 6 13 ˆ 2 3 + = → Ejemplo 2. Centro de masa de un triángulo. ∫ = xdm M xCM 1 Para evaluar dm = lámina la de área total área total masa × = ydx ab M ydx ab M 2 2 1 = Luego: ∫ = xdm M xCM 1 = ydx ab M x M ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛2 1 = ∫ a xydx ab 0 2 Para poder integrar tenemos que expresar la variable y en función de x. Por semejanza de triángulos: a x a b y − = ⇒ ( ) x a a b y − = Sustituyendo: ( ) ( ) ∫ ∫ − = − = a a CM dx x a x a dx x a a b x ab x 0 2 0 2 2 = ( ) ∫ − a dx x ax a 0 2 2 2 = a x x a a 0 3 2 2 3 2 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 3 2 2 3 3 2 a a a = 3 a Realizando cálculos similares encontramos: 3 b yCM = Finalmente: j b i a rCM ˆ 3 ˆ 3 + = → Ejemplo 3. Centro de masa de un arco semicircular. Por el sistema de coordenadas escogido, 0 = CM x , porque por cada elemento de masa a la derecha (+), existe otro elemento igual a la izquierda (-). Sin embargo para CM y es diferente. ∫ = ydm M yCM 1 , en este caso l d dm λ = Donde R M π λ = y θ Rd d = l Como θ sen R y = , tenemos: ( ) θ λ θ π Rd R M yCM ∫ = 0 sen 1 = ∫ π θ θ λ 0 2 sen d M R = [ ] π θ λ 0 2 cos − M R = ( ) 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ R M M R π = π R 2 = R 64 , 0 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 4 El centro de masa no se encuentra dentro del cuerpo. Las figuras siguientes muestran como localizar experimentalmente el centro de masa primero colgándolo de la parte superior y luego de otro punto cualquiera. Ejemplo 4. Explosión de una granada Una granada lanzada al aire que explota en varios fragmentos. La única fuerza externa sobre la granada es la fuerza de la gravedad, entonces la granada sigue una trayectoria parabólica. Si la granada no estallara continuaría moviéndose a lo largo de la trayectoria parabó1ica indicada en la figura. Como las fuerzas de la explosión son internas, no afectan al movimiento del centro de masa. Entonces. Después de La explosión el centro de masa de los fragmentos sigue la misma trayectoria que tendría la granada s! no hubiera habido explosión. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Supongamos el caso de dos partículas esféricas P1 y P2 de masas m1 y m2 con trayectorias contenidas en la misma recta, se aproximan una a otra con velocidades → 1 v , y → 2 v respectivamente. Cuando P1 y P2 entran en contacto, P1 ejerce sobre P2 la fuerza F12 y P2 ejerce sobre P1 la fuerza F21. De acuerdo con la tercera ley de Newton → → − = 21 12 F F . Después que P1 y P2 se separan, las velocidades respectivas son → 1 ' v y → 2 ' v diferentes de → 1 v , y → 2 v . Ahora nos preguntamos. ¿Qué pasa durante el choque? El tiempo de contacto total t Δ es muy pequeño, quizás solo de aproximadamente 0,001 segundos. La fuerza de contacto inicialmente es cero, aumenta hasta un valor muy grande y. finalmente disminuye hasta cero, cuando dejan de estar en contacto. La figura siguiente muestra una variación típica de la fuerza en el tiempo de contacto. Sea t t t i f Δ = − el tiempo que dura el choque, aplicando la segunda ley de Newton a las partículas P1 y P2. dt v d m a m F → → → = = 1 1 1 1 12 y dt v d m a m F → → → = = 2 2 2 2 21 O → → = 1 1 12 v d m dt F y → → = 2 2 21 v d m dt F Integrando las dos relaciones durante el choque, www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 5 ∫ ∫ → → = 1 1 ' 1 1 12 v v t t v d m dt F f i y ∫ ∫ → → = 2 2 ' 2 2 21 v v t t v d m dt F f i Finalmente ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = → → → ∫ 1 1 1 12 ' v v m dt F f i t t y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = → → → ∫ 2 2 2 21 ' v v m dt F f i t t Trabajando con el primer miembro ∫ f i t t Fdt corresponde al área bajo la curva mostrada en la figura anterior, a ésta cantidad la llamaremos IMPULSO ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛→ J ( ) ∫ → → = f i t t t dt F J Sus dimensiones son: [F] [T] = [M][L][T]-1 En el sistema internacional sus unidades son: Newton.segundo (N.s) Trabajando con el segundo miembro ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → → 1 1 1 ' v v m y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → → 2 2 2 ' v v m Llamaremos a la cantidad → → = p v m , CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL o Momentum lineal de la partícula (lo designaremos en la práctica simplemente como cantidad de movimiento), cuyas dimensiones son: [M] = [M] [L] [T]-1 En el sistema internacional sus unidades son: kg.m.s-1 La partícula P1 ha sufrido en el intervalo t t t i f Δ = − , un cambio de la cantidad de movimiento ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = → → → ∫ 1 1 1 12 ' v v m dt F f i t t = → → − i f p p y esta cantidad es también igual al impulso → J recibido en ese instante por la partícula → → → − = i f p p J Luego: “El cambio de la cantidad de movimiento es igual al impulso”. Ejemplo 5. Una pelota de 100 gramos está en reposo sobre el piso, cuando recibe un puntapié que la lanza con una velocidad de 30 m/s. a) ¿Qué impulso se dio a la pelota? b) Si el tiempo que el pie está en contacto con la pelota es 10-3 segundos. ¿Cuál es la magnitud aproximada de la fuerza impulsiva? Solución. a) El impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento: → → → → → − = − = i f i f v m v m p p J En este caso m = 0,1 kg, 0 = → i v , m/s ˆ 30i v f = → ( )( ) s m kg ˆ 3 0 30 1 , 0 i i J = − = → & & b) Se puede obtener un estimado de la fuerza que actúa sobre la pelota, dividiendo e1 impulso → J por el tiempo i f t t t − = Δ en que actúa la fuerza : t J F Δ = → → Como s m kg ˆ 3i J = → y s t 001 , 0 = Δ www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 6 i i F ˆ 3000 001 , 0 ˆ 3 = = → N Ejemplo 6. Se deja caer una pelota de masa m de una altura h sobre el nivel del suelo y rebota hasta una altura h1 a) ¿Cuál es la velocidad i v inmediatamente antes de chocar con el suelo? b) ¿Cuál es la velocidad f v inmediatamente después de chocar con el suelo? c) ¿Cuál es el impulso → J que se le da a la pelota en el impacto con el suelo? Solución. a) Como 0 0 = → v , 0 = x , 0 h y = j gh vi ˆ 2 0 = → b) Como después de chocar 1 h y = , la velocidad → f v después de chocar es: j gh v f ˆ 2 1 = → c) El impulso de la pelota es: → → → − = i f v m v m J = ( )j h h g m ˆ 2 0 1 − CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad de movimiento de una partícula de masa m y velocidad → v es: → → = v m p La cantidad de movimiento de n partículas es la suma de las cantidades de movimiento individuales, ∑ ∑ = → = → → = = n i i i n i i total v m p p 1 1 Usando la expresión de centro de masa CMi n i i i v M v m → = → = ∑ 1 De aquí CMi n i i i total v M v m p → = → → = = ∑ 1 La cantidad de movimiento total de un sistema es igual a la cantidad de movimiento de la masa total concentrada en el centro de masa del sistema. Derivando nuevamente la expresión anterior: ext i iCM CM i total F a M v dt d M p dt d → → → → = = = Esta cantidad es muy importante, ya que si no hay fuerza externa, 0 ext = → i F ⇒ 0 = → total p dt d ⇒ CONSTANTE = → total p Esto es la conservación de la cantidad de movimiento. Si no hay fuerzas externas sobre un sistema. La cantidad de movimiento total del sistema es constante. Ejemplo 7. Tres partículas de masas 2 kg, 1 kg y 3 kg respectivamente con vectores posición ( ) [ ]cm ˆ 2 3 ˆ 5 ˆ 5 2 1 k t j t i t r − + − = → , ( ) ( ) ( ) [ ]cm ˆ 3 6 4 ˆ 5 12 ˆ 3 2 3 2 2 k t t j t i t r − + + − − − = → y ( ) ( ) [ ]cm ˆ ˆ 2 ˆ 1 12 3 2 3 k t j t i t r − + − − = → Donde t es el tiempo en segundos. Encontrar: a) La velocidad del centro de masa en t = 1 s y t = 2 s. b) La cantidad de movimiento lineal total del sistema en t = 1 s y t = 2 s. c) Analizar si el sistema de tres partículas es sistema aislado Solución. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 7 a) La posición del centro de masa esta dada por la expresión: 3 2 1 3 3 2 2 1 1 m m m r m r m r m rCM + + + + = → → → → Reemplazando valores, obtenemos: ( ) ( ) ( ) [ ]cm ˆ 2 ˆ 3 ˆ 1 3 3 2 k t t j t i t r CM + − + + − + − = → La velocidad del centro de masa es ( ) [ ] s cm ˆ 2 3 ˆ 2 ˆ 3 2 k t j t i r dt d v CM CM + − + − = = → → Para t = l s [ ] s cm ˆ ˆ 2 ˆ 3 1 k j i v M − + − = → Para t = 2 s [ ] s cm ˆ 8 ˆ 4 ˆ 3 2 k j i v M − + − = → b) La cantidad de movimiento del sistema es: → → → → → = + + + = CM v M v m v m v m p 3 3 2 2 1 1 ( ) [ ] s cm kg ˆ 2 3 ˆ 2 ˆ 3 6 2 k t j t i p + − + − = → Para t = l s [ ] s cm kg ˆ ˆ 2 ˆ 3 6 1 k j i p − − = → Para t = 2 s [ ] s cm kg ˆ 8 ˆ 4 ˆ 3 6 2 k j i p − − = → c) Como , → → ≠ 2 1 p p , → p no es constante, luego el sistema no es aislado. Ejemplo 8. Un pescador de masa 70 kg está en un bote estacionario de masa 200 kg, cuando su ayudante que no sabe nadar y está en el agua cogido del extremo opuesto, se suelta. El pescador corre 2,5 m hasta alcanzar este extremo. ¿A que distancia del ayudante ahogándose se encontrará el pescador cuando alcance el extremo del bote? Solución. Consideremos aislado el sistema bote, pescador, ayudante, por lo tanto su cantidad de movimiento es constante. CONSTANTE = = → → cm v M p Como en inicio el sistema está en reposo: 0 = → p ⇒ 0 = → cm v Como 0 = = → → dt r d v cm cm CONSTANTE = → cm r , la posición del centro de masa permanece constante En éste problema que es en una sola dimensión: CONSTANTE = cm x Tomemos como punto de referencia la posición del ayudante en el extremo del bote, al soltarse seguirá en la misma posición. Analicemos la posición inicial. El centro de masa del sistema pescador-bote está en: ( ) p b p b b cm m m m x m x + + = 5 , 2 Analicemos la posición final. El centro de masa esta en: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 8 ( ) p b p b b cm m m x m x x m x + + + = Como la posición del centro de masa del sistema es invariante, se tiene: ( ) ( ) p b p b b p b p b b m m x m x x m m m m x m + + + = + + 5 , 2 ⇒ ( ) ( ) 5 , 2 p p b m x m m = + Reemplazando valores: ( ) ( ) m 65 , 0 70 200 5 , 2 70 = + = x La posición del pescador estará a 0,65 metros del ayudante. Ejemplo 9. Un muchacho de masa 1 m y una muchacha de masa 2 m , ambos con patines, se encuentran en reposo uno en frente del otro, El muchacho empuja a la muchacha, mandándola hacia el este con una velocidad → v . Describa el movimiento del muchacho. Solución. Siendo un sistema cerrado la cantidad de movimiento se conserva, 0 = = → → después antes p p , Si 1 → v y 2 → v son las velocidades del muchacho y la muchacha después del empujón, respectivamente: 0 2 2 1 1 = + → → v m v m Considerando el movimiento en el eje x, y la dirección al este como sentido positivo i v v v ˆ 2 = = → → De aquí 0 ˆ 2 1 1 = + → i v m v m ⇒ i v m m v ˆ 1 2 1 − = → EI muchacho sale con una velocidad de módulo v m m v 1 2 1 = dirigida hacia el oeste, Ejemplo 10. Dos personas de masa m cada una, se encuentran paradas en los extremos opuestos de un bote de longitud d y masa 3m que se encuentra en reposo sobre un líquido sin fricción, tal como se muestra en la figura. Las personas caminan una hacia la otra con rapidez constante y se encuentran a d/4 del extremo izquierdo del bote. a) Si la persona de la izquierda se mueve con velocidad 0 v respecto al bote, ¿cuál es la velocidad que tiene la otra persona, respecto al bote? b) ¿Cuál es la velocidad del bote, respecto a tierra, durante el movimiento de ambas personas? c) ¿Cuánto avanzo el bote hasta el momento del encuentro? Solución. a) El tiempo empleado para encontrarse es el mismo para las dos personas 1 0 4 3 4 v d v d = ⇒ 0 1 3v v = Hacia la izquierda b) Por conservación de la cantidad de movimiento después antes p p → → = 0 = → antes p ( ) ( ) 0 ˆ 3 ˆ 3 ˆ 0 0 = + + − + + = → i mv i v v m i v v m p b b b después ⇒ i v v b ˆ 5 2 0 = → c) El tiempo de caminata de las personas es 0 4v d t = , luego el bote se habrá movido www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 9 10 4 5 2 0 0 d v d v t v x b = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = SISTEMA DE REFERENCIA CENTRO DE MASA Cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema es cero, la cantidad de movimiento total es constante. Muchas veces es conveniente escoger un sistema de coordenada., con el origen situado en el centro de masa. Este sistema se denomina “SISTEMA DE REFERENCIA CENTRO DE MASA” Con respecto a este sistema la velocidad del centro de masa por supuesto es cero y la cantidad de movimiento total es cero. El análisis de la mayor parte de los choques es más sencillo en el sistema de referencia centro de masa. La transformación de un sistema de referencia cualquiera a un sistema centro de masa no es difícil. Consideremos un sistema do dos partículas m1 y m2 con velocidades → 1 v y → 2 v respectivamente cuyo centro de masa se mueve con velocidad → CM v , como se muestra en la figura. La cantidad de movimiento es: ( ) CM v m m v m v m p → → → → + = + = 2 1 2 2 1 1 Para transformar esta expresión al sistema Centro de masa, las velocidades de las partículas con respecto al centro de masa son como se muestra en la figura siguiente. Las velocidades relativas al centro de masa son: → → → − = CM v v u 1 1 y → → → − = CM v v u 2 2 Como 2 1 2 2 1 1 m m v m v m vCM + + = → → → 2 1 2 2 1 1 1 1 m m v m v m v u + + − = → → → → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + → → 2 1 2 1 2 v v m m m y 2 1 2 2 1 1 2 2 m m v m v m v u + + − = → → → → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − → → 2 1 2 1 1 v v m m m Como comprobación, calculemos la cantidad de movimiento total con respecto al centro de masa, el cual debe ser igual a cero. 2 2 1 1 → → → + = u m u m p = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = → → → 2 1 2 1 2 1 v v m m m m p = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − → → 2 1 2 1 1 2 v v m m m m = 0 En la sección siguiente veremos ejemplos de aplicación usando el sistema de referencia centro de masa. CHOQUES Se llama choque o colisión entre dos cuerpos a un fenómeno en el que los cuerpos Participantes son libres antes y después de la interacción, sobre los que no actúan fuerzas resultantes. La interacción dura un tiempo muy corto, durante el cual los cuerpos ejercen entre si fuerzas de cierta intensidad. Por lo general en los choques só1o participan dos cuerpos, aunque esto no es estrictamente necesario. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 10 Sean dos cuerpos de masas m1 y m2 con velocidades → 1 v y → 2 v antes del choque y velocidades → 1 ' v y → 2 ' v después del choque respectivamente. En todo choque entre dos cuerpos se conserva la cantidad de movimiento, esto es: → → = ' p p ⇒ → → → → + = + 2 1 2 1 ' ' p p p p → → → → + = + 2 2 1 1 2 2 1 1 ' ' v m v m v m v m Ahora nos introduciremos en el proceso complejo que acompaña al choque, el instante i f t t t − = Δ , en el que aparece la fuerza de interacción, este periodo vamos a dividirlo en dos partes, los periodos de deformación y restitución. La figura muestra el gráfico de la fuerza de interacción en función del tiempo entre las masas m1 y m2. E1 tiempo 0 t es el instante de máxima deformación en el que empieza la restitución y las dos masas poseen la misma velocidad → → → = = 0 02 01 v v v Vamos a aplicar la ecuación impulso - cantidad de movimiento para el periodo de deformación (D), 0 t ti → : Para la masa 1 m : → → → → = − = ∫ D t t J v m v m dt F i 1 1 0 1 1 0 Para la masa 2 m : → → → → → − = = − = ∫ D D t t J J v m v m dt F i 1 2 2 2 0 2 2 0 Resolviendo para → 1 v y 2 → v . → → → + − = 0 1 1 1 v m J v D , → → → + = 0 2 1 2 v m J v D La diferencia de estas velocidades es: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − → → → 2 1 1 1 2 1 1 m m J v v D = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + → 2 1 2 1 1 m m m m J D Ahora aplicaremos la ecuación Impulso-cantidad de movimiento por el periodo de restitución (R). f t t → 0 . Para la masa 1 m : → → → → = − = ∫ R t t J v m v m dt F i 0 1 1 1 1 ' 0 Para la masa 2 m : → → → → → − = = − = ∫ R R t t J J v m v m dt F i 1 2 0 2 2 2 2 ' 0 Resolviendo para → 1 ' v y 2 ' → v . → → → + = 0 1 1 1 ' v m J v R , → → → + − = 0 2 1 2 ' v m J v R La diferencia de estas velocidades es: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − → → → 2 1 1 1 2 1 1 ' ' m m J v v R = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − → 2 1 2 1 1 m m m m J R De lo visto encontramos la relación entre el impulso de restitución y el impulso de deformación. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 11 ( ) ( ) ε = − − − = → → 1 2 1 2 1 1 ' ' v v v v J J D R A esta relación se le conoce como coeficiente de restitución ( ) ε . Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. EI valor de esta relación depende de muchos factores tales como la geometría, las propiedades de los materiales, la velocidad, por ello debemos contentarnos con una determinación experimental. Ejemplo 11. Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?. Solución. Datos: m = 0,15 kg vi = 40 m/s vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido) t = 5 ms = 0,005 s Δp = J pf - pi = J ⇒ mvf - mvi = F t ⇒F = m(vf - vi)/t F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s = - 3000 N CASOS DE CHOQUE Perfectamente elástico 1 = ε , ( ) ( ) 1 2 1 2 ' ' v v v v − − = − Inelástico 1 < ε El coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Perfectamente plástico 0 = ε , ( ) 0 ' ' 1 2 = −v v Explosivo 1 > ε Ejemplo 12. a) Choque perfectamente elástico. En este caso no hay pérdida en la energía mecánica asociada al impacto, la energía cinética permanece constante. 2 1 2 1 ' ' K K K K + = + 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 2 1 2 1 v m v m v m v m + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ' ' v v m v v m − = − Por conservación de la cantidad de movimiento tenemos: → → → → + = + 2 1 2 1 ' ' p p p p , → → → → + = + 2 2 1 1 2 2 1 1 ' ' v m v m v m v m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → → → → 2 2 2 1 1 1 ' ' v v m v v m Asumiendo que el movimiento es en una sola dirección ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 ' ' v v m v v m − = − Dividiendo entre si las expresiones halladas por energía y por cantidad de movimiento obtenemos. 2 2 1 1 ' ' v v v v + = + ⇒ ( ) ( ) 1 2 1 2 ' ' v v v v − − = − ⇒ ( ) ( ) 1 ' ' 1 2 1 2 = − − − v v v v El cual es por supuesto el coeficiente de restitución de un choque perfectamente elástico 1 = ε . b) Choque perfectamente plástico. En un choque perfectamente Plástico, después del choque las masas quedan juntas, es decir tienen la misma velocidad, tal que → → = 1 2 ' ' v v , por lo tanto: 0 ' ' 1 2 = − → → v v y 0 = ε Ejemplo 13. Medición del coeficiente de restitución ε. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 12 Si se quiere medir el coeficiente de restitución de 1os materiales, se realiza mediante una bola hecha con uno de los materiales y una superficie plana hecha con el otro material, la que se coloca sobre el suelo. Se suelta verticalmente la bola sobre la superficie desde una altura 1 h . Conocemos la velocidad de la bola al momento del choque 1 1 2gh v = La bola rebota verticalmente hasta una altura 2 h , tal que la velocidad 1 ' v de la bola después del choque es: 2 1 2 ' gh v − = Como la superficie no tiene velocidad inicial ni velocidad final 0 2 = v y 0 '2 = v . Encontramos que: ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 ' ' ' v v v v v v − = − − − = ε Reemplazando valores: 1 2 1 2 2 2 h h gh gh = − − = ε Ejemplo 14. Choque plástico o inelástico a) Velocidades de igual dirección y sentido. Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m2 y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos. La velocidad final será: m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f Como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos: v1f = v2f = vf m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf ⇒ ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 m m v m v m v i i f + + = b) Velocidades de igual dirección y sentido contrario. En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será: m1v1i - m2v2i = m1v1f + m2v2f Igualmente: v1f = v2f = vf m1v1i - m2v2i = (m1 + m2)vf ⇒ ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 m m v m v m v i i f + − = La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenía mayor cantidad de movimiento. Ejemplo 15. Choque elástico a) Velocidades de igual sentido www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 13 Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será: ( ) i f i f v v v m m v 1 2 2 1 2 1 + − = Si las masas son iguales i f i f v v v v 1 2 2 1 + − = b) Velocidades de distinto sentido En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será: ( ) i f i f v v v m m v 1 2 2 1 2 1 − + = Si las masas son iguales i f i f v v v v 1 2 2 1 − + = El principio de conservación del impulso es el mismo que el de conservación de la cantidad de movimiento. Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que el tiempo de duración del impacto sea muy pequeño. Ejemplo 16. Choque plástico. Las dos partículas quedan en contacto después del choque. Estudiar desde dos puntos de vista: a) Observado desde tierra, sistema laboratorio y b) Observado desde el centro de masa. Solución. a) Sistema laboratorio. La figura muestra las dos partículas antes y después del choque. Por conservación de la cantidad de movimiento ( ) → → → + = + ' 2 1 2 2 1 1 v m m v m v m y ( ) 2 1 2 2 1 1 ' m m v m v m v + + = → → → = ( ) ( ) i m m v m v m ˆ 2 1 2 2 1 1 + + La energía mecánica antes del choque es: 2 1 K K K + = = 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 v m v m + La energía mecánica después del choque es: ( ) 2 2 1 ' 2 1 ' v m m K + = = ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 2 1 m m v m v m + + La relación de la energía es: ( ) 2 1 1 ' m m m K K + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 v m m v v m m v www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 14 Por ejemplo la caída de un meteorito a la tierra, la que suponemos inmóvil (v2 = 0) y m1 << m2, obtenemos K’ = 0 y 0 ' = K K , éste es un choque perfectamente plástico. Si K fuera diferente de cero, la totalidad de la energía se transformaría en calor. b) Sistema centro de masa. La figura muestra las dos partículas antes y después del choque. En éste caso: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = → → → 2 1 2 1 2 1 v v m m m u y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = → → → 2 1 2 1 1 2 v v m m m u Con 0 2 = → v , Obtenemos: → → + = 1 2 1 2 1 v m m m u y → → + − = 1 2 1 1 2 v m m m u Después del choque m1 y m2 entran en contacto constituyendo una sola partícula de masa (m1 + m2) que está en reposo en el sistema centro de masa, u’1 = u’2 = 0. Aquí también K’ = 0, ε = 0. Ejemplo 17. Choque elástico. Consideremos dos partículas, una con masa 1 m y velocidad → 1 v , la segunda con masa 2 m y velocidad 0 2 = → v Solución. a) Sistema laboratorio. La figura muestra las dos partículas antes y después del choque. Por conservación de la cantidad de movimiento: → → → + = 2 2 1 1 1 1 ' ' v m v m v m (1) En sus componentes: 2 2 2 1 1 1 1 1 cos ' cos ' θ θ v m v m v m + = 2 2 2 1 1 1 sen ' sen ' 0 θ θ v m v m − = Como es un choque elástico la energía mecánica se conserva: 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 2 1 v m v m v m + = (2) En las ecuaciones (1) y (2) conocidas las masas m1 y m2, tenemos como incógnitas v1, v’1, v’2, θ1 y θ2. Contamos con tres ecuaciones. Para resolver necesitamos conocer al menos dos de las cantidades anteriores. En el caso particular en que m1 = m2, podemos llegar a la relación; → → → + = 2 1 1 ' ' v v v Elevándola al cuadrado: → → ⋅ + + = 2 1 2 2 2 1 2 1 ' ' 2 ' ' v v v v v Por la conservación de la energía: 2 2 2 1 2 1 ' ' v v v + = Luego, obtenemos: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 15 0 ' ' 2 1 = ⋅ → → v v Las velocidades → 1 ' v y → 2 ' v son ortogonales, esto nos dice que las trayectorias de las partículas después del choque son perpendiculares entre sí, tal que: 2 2 1 π θ θ = + b) Sistema centro de masa. La figura muestra las dos partículas antes y después del choque. Por conservación de la cantidad de movimiento: 0 ' ' 2 2 1 1 2 2 1 1 = + = + → → → → u m u m u m u m De aquí: 2 1 2 1 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = u m m u , 2 1 2 1 2 2 ' ' ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = u m m u Como es un choque elástico la energía mecánica se conserva: 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 2 1 2 1 u m u m u m u m + = + Reemplazando 2 u y 2 ' u en función de 1 u y 1 ' u respectivamente. ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 m m u m m m u m De aquí se deduce: 1 1 1 1 ' u m u m = ⇒ 1 1 ' u u = y 2 2 2 2 ' u m u m = ⇒ 2 2 ' u u = Para un choque elástico 1 = ε , como se espera. Ejemplo 18. Reflexión de partícula sobre un plano. Consideremos dos partículas, una con masa 1 m , que incide sobre una masa 2 m de superficie plana como se muestra en la figura. La masa 1 m tiene velocidades → 1 v y → 1 ' v antes y después del choque, la superficie inicialmente está inmóvil 0 2 = → v y tiene una velocidad → 2 ' v después del choque. Solución. Por conservación de la cantidad de movimiento: → → → + = 2 2 1 1 1 1 ' ' v m v m v m Para la energía tenemos que tomar en cuenta si el choque es elástico o no. a) Choque elástico. En éste caso la energía mecánica se conserva ' K K = 2 2 2 2 1 1 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 2 1 v m v m v m + = De aquí obtenemos: 2 2 1 2 2 1 2 1 ' ' v m m v v = − Expresión que podemos escribir como; → → → → → → ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 1 2 1 1 1 1 ' ' ' v v m m v v v v De la conservación de la cantidad de movimiento www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 16 → → → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 1 ' ' v m v v m ⇒ → → → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 1 1 ' ' v m m v v Reemplazando ésta expresión en la de la energía, obtenemos: → → → = + 2 1 1 ' ' v v v Como j v i v v ˆ cos ˆ sen 1 1 1 1 1 θ θ − = → , j v i v v ˆ ' cos ' ˆ ' sen ' ' 1 1 1 1 1 θ θ + = → , j v v ˆ ' ' 2 2 − = → Reemplazando obtenemos: i v j v i v ˆ ' sen ' ˆ cos ˆ sen 1 1 1 1 1 1 θ θ θ + − j v j v ˆ ' ˆ ' cos ' 2 1 1 − = + θ De aquí: 0 ' sen ' sen 1 1 1 1 = + θ θ v v y 2 1 1 1 1 ' ' cos ' cos v v v = − θ θ En el caso en que 0 '2 = v (la superficie no se mueve) 1 1 ' θ θ = y 1 1 ' v v = b) Choque inelástico. En éste caso ' K K > 2 2 1 2 1 1 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 2 1 v m v m v m + > Para encontrar la relación de K y K’ podemos usar el coeficiente de restitución ε . K K' = ε , siendo 1 0 ≤ ≤ε Ejemplo 19. En un parque de diversiones dos amigos juegan con los autitos “chocones”. En cierto momento las direcciones de ambos vehículos forman un ángulo α . Un auto se dirige con velocidad → 1 v y el otro con velocidad → 2 v de tal modo que chocan. Después del choque el auto 1 sale con velocidad → 1 ' v cuya dirección forma un ángulo β , tal como se indica en la figura. a) Hallar la velocidad del auto 1 luego del impacto. b) Determinar la posición del centro de masa y las ecuaciones paramétricas del mismo. c) Determinar si el choque es elástico o no. kg 200 2 1 = = m m , m/s 3 01 = v , m/s 1 02 = v , m/s 2 '1 = v , º 53 = α , º 37 = β , m 3 = d Solución. a) por conservación de la cantidad de movimiento después antes p p → → = ⇒ → → → → + = + 2 2 1 1 2 2 1 1 ' ' v m v m v m v m Aquí i v ˆ 3 1 = → , ( ) ( ) j i v ˆ º 53 sen 1 ˆ º 53 cos 1 2 + = → = j i ˆ 8 , 0 ˆ 6 , 0 + , ( ) ( ) j i v ˆ º 37 sen 2 ˆ º 37 cos 2 '1 + = → = j i ˆ 2 , 1 ˆ 6 , 1 + www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 17 Reemplazando: → + + = + + 2 ' ˆ 2 , 1 ˆ 6 , 1 ˆ 8 , 0 ˆ 6 , 0 ˆ 3 v j i j i i ⇒ j i v ˆ 4 , 0 ˆ 2 '2 − = → 16 , 4 4 , 0 2 ' 2 2 2 = + = v = 2,04 m/s 5 4 , 0 2 tan − = − = γ ⇒ º 79 − = γ b) Para determinar la posición del centro de masa es necesario conocer la posición inicial de la masa 2 m . Como 1 m y 2 m emplean el mismo tiempo desde el inicio hasta el choque: s s m m v d t 1 3 3 1 = = = La posición inicial de 2 m es: ( ) m 6 , 0 1 6 , 0 2 20 − = − = − = t v x x , ( ) m 8 , 0 1 8 , 0 2 20 − = − = − = t v y y Siendo la posición inicial de 1 m m x 3 10 − = , 0 10 = y El centro de masa está dado por: 2 1 2 2 1 1 m m m x m x xCM + + = , 2 1 2 2 1 1 m m m y m y yCM + + = Como kg m m 200 2 1 = = ( ) 2 1 2 1 x x xCM + = , ( ) 2 1 2 1 y y yCM + = Antes del choque: t x 3 3 1 + − = , 0 1 = y t x 6 , 0 6 , 0 2 + − = , t y 8 , 0 8 , 0 2 + − = Luego t xCM 8 , 1 8 , 1 + − = , t yCM 4 , 0 4 , 0 + − = Después del choque: ( ) 1 6 , 1 1 − = t x , ( ) 1 2 , 1 1 − = t y ( ) 1 2 2 − = t x , ( ) 1 4 , 0 2 − − = t y Luego ( ) 1 8 , 1 − = t xCM , ( ) 1 4 , 0 − = t yCM c) Para saber si es elástico o no, tenemos que analizar si la energía se conserva o no. La energía cinética antes del choque es: 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 v m v m K + = = ( )( ) ( )( ) 2 2 1 200 2 1 3 200 2 1 + = 900 +100 = 1000 J La energía cinética después del choque es: 2 2 2 2 1 1 ' 2 1 ' 2 1 ' v m v m K + = = ( )( ) ( )( ) 2 2 04 , 2 200 2 1 2 200 2 1 + = 400 + 416 = 816 J Hay una disminución de la energía cinética: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 18 ΔK = 816 – 1000 = - 184 J Luego el choque es inelástico. Ejemplo 20. El péndulo balístico. Este es el caso de un choque perfectamente plástico, se utiliza para medir la velocidad de un proyectil. Un proyectil de masa m y velocidad v se incrusta en el bloque de madera de masa M. Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento. ( ) → → + = V M m v m La energía cinética después del choque es: ( ) 2 2 1 ' V M m K + = , ésta se convierte en energía potencial ( )gh M m U + = Luego ( ) ( )gh M m V M m + = + 2 ⇒ gh V 2 = La velocidad del proyectil es: ( )V m M m v + = = ( ) gh m M m 2 + Ejemplo 21. Una bala de 5,00 g se dispara contra un bloque de madera de 1,00 kg suspendido de un hilo de 2,000 m, atravesándolo. El centro de masa del bloque se eleva 0,45 cm. Calcule la rapidez de la bala al salir del bloque si su rapidez inicial es de 450 m/s. Solución. La rapidez del bloque de madera después de que la bala ha atravesado (pero antes de que el bloque comience a elevarse; esto asume una gran fuerza aplicada por un tiempo corto, una situación característica de las balas) es ) 10 45 , 0 )( 80 , 9 ( 2 2 2 − × = = gy V = m/s 297 , 0 La rapidez final v de la bala es V m M v m MV mv m p v − = − = = 0 0 = ) 297 , 0 ( 10 5,00 1,00 450 3 − × − = m/s 390,6 . Ejemplo 22. Un satélite artificial en vuelo explota en tres partes iguales. Una parte continúa a lo largo de su línea original de vuelo y las otras dos van en direcciones cada una inclinada 60º a la trayectoria original. La energía liberada en la explosión es dos veces más que la energía que tenía el saté1ite en el momento de la explosión. Determinar la energía cinética de cada fragmento Inmediatamente después de la explosión. Solución. La figura muestra el satélite antes y después de la explosión. Por conservación de la cantidad de movimiento. después antes p p → → = La cantidad de movimiento debe conservarse en las tres dimensiones x, y, z , independientemente, de allí que v1, v2, v3 y V deben ser coplanares. Así obtenemos: º 60 cos 3 º 60 cos 3 3 3 2 1 v M v M v M Mv + + = y 0 º 60 sen 3 º 60 sen 3 3 2 = − v M v M De estas dos ecuaciones encontramos que: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 19 3 2 v v = (1) 2 1 3 v v v + = (2) La energía inicial es: 2 2 1 Mv Ei = La energía final es: 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 Mv Mv Mv E f = + = Esta energía es igual a la suma de las energías de los tres fragmentos. 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 v M v M v M Mv + + = 2 3 2 2 2 1 2 9 v v v v + + = (3) De las ecuaciones (1), (2) y (3) obtenemos: v v = 1 , v v 2 2 = , v v 2 3 = La energía cinética de cada uno de los fragmentos inmediatamente después de la explosión es: 2 1 6 1 Mv K = , 2 2 3 2 Mv K = , 2 3 3 2 Mv K = Ejemplo 23. Un bloque de 2,5 kg, se desliza sobre una superficie rugosa, cuando contacta con el resorte tiene una velocidad de 1,2 m/s. el bloque se detiene momentáneamente cuando el resorte se ha comprimido 5,0 cm. El trabajo realizado por la fricción, desde el instante en que el bloque hace contacto con el resorte hasta el instante en que hace el alto es 0,50 J. a) ¿Cuál es la constante del resorte (k)? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción? c) Después de la compresión del resorte, el bloque se aleja de él, ¿cual es la velocidad del bloque, después de separarse del resorte? Solución. a) Energía antes = Energía después ( )( ) ( ) 5 , 0 05 , 0 2 1 2 , 1 5 , 2 2 1 2 2 + = k ⇒ k = 1040N/m b) mgd W f μ = ⇒ 05 , 0 8 , 9 5 , 2 5 , 0 × × = = mgd W f μ = 0,41 c) 2 2 2 1 2 1 mv Wf kx = − ( )( ) ( ) 2 2 5 , 2 2 1 5 , 0 05 , 0 1040 2 1 v = − ⇒ v = 0,80 m/s Ejemplo 24. Una pelota de masa m = 100 g se deja caer desde una altura h = 2m. La pelota rebota verticalmente hasta ¾ h después de golpear el suelo. a) Calcular la cantidad de movimiento de la pelota antes y después de golpear el suelo, b) si la duración del golpe fue de 0,01 s, calcular la fuerza media ejercida por el piso sobre la pelota. Solución. En la figura se muestra el esquema de la situación. a) Cantidad de movimiento inicial: j mv p i i ˆ − = → Cantidad de movimiento final: j mv p f f ˆ = → Los valores de las velocidades inicial y final se pueden calcular usando el principio de conservación de la energía. Inicial: 0 2 1 0 2 + = + i i mv mgh ⇒ i i gh v 2 = Final: f f mgh mv + = + 0 0 2 1 2 ⇒ f f gh v 2 = = i i gh h g 2 3 4 3 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Por lo tanto, las cantidades de movimiento inicial y final son: j gh m p i i ˆ 2 − = → , j gh m p i f ˆ 2 3 = → Reemplazando los valores, se tiene: kgm/s 63 , 0 − = i p , kgm/s 54 , 0 − = f p www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 20 b) Usando la aproximación del impulso: → → → Δ = Δ = p t F J m ⇒ t p p t p F f f m Δ − = Δ Δ = → → → → ( ) 01 , 0 ˆ 63 , 0 ˆ 54 , 0 j j Fm − − = → = N ˆ 118 j Ejemplo 25. Una bala de la masa m y con velocidad v pasa a través de un péndulo de masa M. La bala emerge con una velocidad de v/2. El péndulo está suspendido por una barra rígida de longitud l y masa insignificante. ¿Cuál es el valor mínimo de v tal que la masa del péndulo gire un círculo completo? Solución. En esta colisión, se conserva la cantidad de movimiento pero la energía no. Este es un ejemplo de una colisión inelástica que no es perfectamente inelástica. Para la colisión: después antes p p → → = ⇒ MV v m mv + = 2 De aquí: V m M v 2 = (1) Después de la colisión se conserva la energía para el péndulo (la conservación de la energía para la bala después de la colisión no es útil desde que su energía no cambia). Este tratamiento nos da la velocidad del péndulo el momento después de la colisión: ( ) l 2 ' 2 1 2 1 2 2 Mg MV MV + = (2) Condición para que pueda dar la vuelta c Ma Mg T = + Condición mínima para hacer movimiento circular 0 = T Luego l 2 ' V M Mg = ⇒ l g V = 2 ' (3) Reemplazando (3) en (2): ( ) l l 2 2 1 2 1 2 Mg Mg MV + = ⇒ l Mg MV 2 5 2 1 2 = ⇒ l g V 5 = Reemplazando el valor de V en (1): l g m M v 5 2 = MOVIMIENTO CON MASA VARIABLE - PROPULSIÓN POR REACCIÓN Por la conservación de la cantidad de movimiento si un cuerpo en reposo puede expulsar una parte de su masa en cierta dirección, el resto de la masa se moverá en sentido opuesto, con igual cantidad de movimiento. Si este proceso puede mantenerse durante un tiempo, el resto de la masa, como es el caso de un cohete, aparecerá para un observador externo en reposo. Como si se estuviese acelerando. Esto se expresa mediante la forma más general de la segunda ley de Newton. Como: dt p d F → → = , → → = v m p Siendo la masa variable www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 21 dt v dm F → → = = dt dm v dt v d m → → + Expresión que nos permite determinar el movimiento de un cuerpo cuya masa cambia durante su movimiento. Cuando aplicamos al caso de un cohete aparecen los problemas, evidentemente m es la masa del cohete que va cambiando. ¿Cuál es la velocidad de escape del combustible? No es igual a → v , la velocidad del cohete. Si no existe fuerza externa, ¿ → F debe ser cero? Entonces no se moverá el cohete. Analicemos el problema desde el punto de vista de la conservación de la cantidad de movimiento. Sea el cohete mostrado en la figura siguiente, en el instante t, tiene una masa m y una velocidad i v v ˆ = → , con una cantidad de movimiento lineal → v m . En la figura siguiente se muestra el cohete en el instante dt t + , a expulsado una masa dm que sale con una velocidad i u u ˆ − = → relativa al cohete. Ahora la masa del cohete es ( ) dm m − y su velocidad es ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ → → v d v . La cantidad de movimiento lineal total es: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ − → → → → u v dm v d v dm m Por conservación de la cantidad de movimiento lineal tenemos: después antes p p → → = ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ − = → → → → → u v dm v d v dm m v m → → → → → → → − + + − + = u dm v dm v dmd v dm v md v m v m Como el infinitésimo → v dmd es de segundo orden, podemos despreciar éste término; luego 0 = − → → u dm v md Dividiendo por dt se obtiene: 0 = − → → dt dm u dt v d m Como → v es la velocidad del cohete, dt v d → es la aceleración → a . De éste modo: dt dm u a m dt v d m → → → = = Por la segunda ley de Newton se puede identificar la cantidad dt dm u → como una fuerza, tal que la fuerza de empuje es: dt dm u F → → = Como → u es negativa y dt dm por se pérdida de mas también es negativa, → F es positiva, como esperábamos. Esta es una fuerza externa que produce aceleración al cohete, al que ahora consideraremos como un sistema aislado sobre el que hay una fuerza externa. Velocidad del cohete. De la expresión 0 = − → → u dm v md , obtenemos: m dm u v d → → = ( ) [ ] 0 ln ln 0 0 m m u u m dm u v m m m m t → → → → = = = ∫ Como → u es negativa y 0 m m < , 0 ln m m es negativa. Luego la velocidad es positiva. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 22 Velocidad límite del cohete. Una vez que se haya terminado el combustible la masa se reduce a 1 m , y llegamos a la velocidad límite. 0 1 ln m m u vm → → = Una vez alcanzada ésta velocidad, ésta permanecerá constante. Ejemplo 26. Un cohete y su combustible tienen una masa inicial 0 m . El combustible se quema a una razón constante C m dm = .Los gases son expulsados con una velocidad constante → u respecto al cohete. a) Despreciando la resistencia del aire, hallar la velocidad del cohete en el instante t, después de despegar de la tierra. b) ¿Cuál es la altura que alcanza en el momento que se acaba el combustible? Solución. a) Las fuerzas que actúan sobre el cohete son la fuerza de empuje y la fuerza de la gravedad. Aplicando la segunda ley de Newton. → → = ∑ a m F ⇒ → → → = + a m g m dt dm u Donde k u u ˆ − = → , k g g ˆ − = → , k dt dv dt v d a ˆ = = → → y C dt dm − = ⇒ Ct m m − = 0 Reemplazando ( ) ( ) dt dv Ct m g Ct m uC − = − − 0 0 o ( ) Ct m uC g dt dv − + − = 0 Integrando ( ) ∫ ∫ ∫ − + − = t t v dt Ct m uC gdt dv 0 0 0 0 La velocidad en el instante t es: ( ) ( ) 0 0 ln m Ct m u gt v t − − − = b) Antes de encontrar la altura que alcanza en el momento que se acaba el combustible, encontraremos la altura para el tiempo t. Como ( ) dt dz v t = , tenemos: ( )dt m Ct m u gtdt dz 0 0 ln − − − = Integrando ( ) ∫ ∫ ∫ − − − = t t z dt m Ct m u gtdt dz 0 0 0 0 0 ln ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 1 ln 2 1 0 0 0 2 m Ct m Ct m C u gt z El tiempo 1 t en que se acaba el combustible es cuando 1 m m = . Como Ct m m − = 1 , obtenemos: C m m t 1 0 1 − = Reemplazando 1 t en la expresión anterior encontramos la altura que alcanza en el momento en que el combustible se acaba. CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Y MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE Consideremos una partícula P de masa m, su posición con respecto al origen O en un instante dado está determinada por el vector → r . La partícula tiene una velocidad → v y su cantidad de movimiento lineal es → → = v m p . www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 23 LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR O MOMENTUM ANGULAR → L Se define como el producto vectorial de → r y → p , → → → × = p r L La dirección de → L es perpendicular al plano definido por → r y → p , su sentido lo da la regla de la mano derecha, su módulo es: θ θ sen sen rmv rp L = = Como vsenθ es la velocidad tangencial ( t v ) y r vt ω = , siendo ω la velocidad angular. Podemos escribir: ω 2 mr L = MOMENTO DE INERCIA ( ) I . Llamando Momento de Inercia al producto mr2, Tenemos: L = I ω, vectorialmente → → = ω I L Las dimensiones de la cantidad de movimiento angular son: [ ] [ ][ ] [ ] 1 2 − = T L M L Sus unidades en el sistema internacional: s m Kg 2 o s J Derivando la cantidad de movimiento angular → L con respecto al tiempo: dt p d r p dt r d p r dt d dt L d → → → → → → → × + × = × = Como → → = v dt r d y → → = v m p ⇒ 0 = × = × → → → → v m v p dt r d Luego dt p d r dt L d → → → × = Por otra parte si → F es la fuerza que produce el movimiento de la partícula, por la Segunda Ley de Newton tenemos: dt p d dt v d m a m F → → → → = = = Luego → → → × = F r dt L d A esta cantidad que produce un cambio en la cantidad de movimiento angular se le conoce como MOMENT0 DE UNA FUERZA o TORQUE ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛→ τ → → → → × = = F r dt L d τ Tiene como módulo θ τ sen rF = Su sentido está dado por la regla de la mano derecha. Ejemplo 27. Una partícula de masa m se mueve en el plano xy con una velocidad → v a lo largo de una línea recta. ¿Cuál es la magnitud y dirección de su cantidad de movimiento angular con respecto al origen O? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 24 Solución. La posici6n de la partícula es → r . La velocidad de la partícula es → v . Su cantidad de movimiento lineal es → → = v m p Su cantidad de movimiento angular es → → → × = p r L ( ) k rmv v m r L ˆ sen − = × = → → → θ La magnitud es: mvd rmv L = = θ sen , donde θ sen r d = Luego ( )k mvd L ˆ − = → Podemos ver que la cantidad de movimiento angular con respecto a O' es cero. Ejemplo 28. En determinado instante, la Posición de una partícula con respecto a un origen O de coordenadas está dada por el vector j i r ˆ 4 ˆ 3 + = → (en metros) . En ella actúa una fuerza j i F ˆ 32 ˆ 16 + = → (en Newton) . Encontrar el torque originado por la fuerza → F que actúa sobre la partícula. Con referencia al origen O. Solución. El torque es: ( ) ( ) j i j i F r ˆ 32 ˆ 16 ˆ 4 ˆ 3 + × + = × = → → → τ = ( )( ) ( )( )( ) k k ˆ 16 4 ˆ 32 3 − + = k k ˆ 64 ˆ 96 − = k ˆ 32 Nm Ejemplo 29. Un cilindro sólido Puede girar alrededor de un eje sin fricción como se ve en la figura. Una cuerda enrollada alrededor del radio exterior R1 ejerce una fuerza F1 hacia la derecha. Una segunda cuerda enrollada alrededor de la otra sección cuyo radio es R2 ejerce una fuerza F2 hacia abajo. ¿Cuál es el torque que actúa sobre el cilindro alrededor del eje z que pasa por O? Solución. Sobre el cilindro actúan: i F F ˆ 1 1 = → en j R r ˆ 1 1 = → y j F F ˆ 2 2 − = → en i R r ˆ 2 2 − = → El torque neto sobre el cilindro es: 2 1 → → → + = τ τ τ k F R k F R F r F r ˆ ˆ 2 2 1 1 2 2 1 1 + − = × + × = → → → → → τ = ( )k F R F R ˆ 1 1 2 2 − Si F1 = 10 N, R1 = 2 m y F2 = 5 n, R2 = 1 m: ( )( ) ( )( ) [ ] m N ˆ 15 ˆ 2 10 1 5 k k m N m N − = − = → τ CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR En el caso de una partícula come en la sección anterior, si el torque aplicado con relación a un punto dado de referencia es cero, tenemos que: 0 = → dt L d , por consiguiente: CONSTANTE = → L La cantidad de movimiento angular con respecto al punto de referencia es constante. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 25 Ejemplo 30. Una partícula de, masa M en el extremo de un hilo gira con velocidad v1 cuando el radio es r1, si disminuimos el radio de r1 a r2, ¿qué sucede con la velocidad? Solución. La figura indica la forma como se puede realizar esta experiencia, para disminuir el radio basta jalar el hilo. Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento angular: Lantes = Ldespués 2 2 1 1 Mv r Mv r = ⇒ 2 1 1 2 r r v v = También podemos hallar el trabajo realizado para acortar el radio. 2 1 2 1 Mv K antes = , 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 v r r M r r v M Mv K después ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = El trabajo realizado es igual al cambio de energía cinética. 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 Mv v r r M K W − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 2 1 2 2 1 2 1 r r Mv Ejemplo 31. Cálculo de la desviación de un cuerpo situado en la línea ecuatorial y que cae desde una altura h . Solución. En la figura, sea una partícula de masa m a una altura h sobre la superficie de la Tierra en un punto que, para simplificar, consideramos que se encuentra sobre el ecuador. Para los casos de interés físico, la altura h será por lo común muy pequeña en comparación con el radio, R de la Tierra. Si se supone que la partícula parte del reposo en relación a un punto de la superficie de la Tierra verticalmente por debajo de él entonces, inicialmente, el componente radial de la velocidad vr de la partícula desaparece y su componente tangencial vθ será ω (R + h), en donde ω es la velocidad angular de la Tierra. Al soltarse, debido a la atracción gravitacional de la Tierra, la partícula comienza a caer verticalmente hacía abajo y, por ende, su distancia radial r del centro de la Tierra comienza a disminuir. De θ mrv L = se deduce que el componente tangencial de su velocidad vθ debe aumentar este proceso y de modo tal que haga que el producto rvθ sea constante. En términos más cuantitativos, esto quiere decir que durante su descenso hacia el suelo, la distancia radial r y la velocidad tangencial vθ se deben relacionar por medio de 2 ) ( h R m mrv + = ω θ (1) Puesto que, inicialmente, la velocidad de la partícula es ω(R + h), de tal modo que su cantidad de movimiento angular L en relación al centro de la Tierra es mω(R + h)2 Anticipándonos al hecho de que la desviación hacia el este será muy pequeña, podemos escribir para la distancia radial r del cuerpo al centro de la Tierra en cualquier instante t, 2 2 1 gt h R r − + = (2) Y al sustituir esto en (1) obtenemos: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 26 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = − + + = ) /( 2 1 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 2 h R gt h R gt h R h R v o ω ω θ (3) Para calcular la magnitud de la desviación hacia el este, sea vy en el instante t, la velocidad del cuerpo que cae en la dirección hacia el este, tal y como lo ve un observador fijo con respecto a la superficie de la Tierra. Entonces ω r v v o y − = ω ω ) 2 1 ( ) /( 2 1 1 ) ( 2 2 gt h R h R gt h Ro − + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ω ω ω 2 2 2 1 ) ( 2 1 1 ) ( gt h R h R gt h R + + − ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = ω 2 gt = Donde la segunda igualdad se obtiene de la utilización de (2) y (3) y la tercera, a continuación, mediante el hecho de que gt2 <<(R + h) y el empleo del teorema binomial. Al integrar esta fórmula para vy se obtiene, para la desviación total hacia el este y en el instante t, ω 3 3 1 gt y = . Finalmente, puesto que el tiempo que necesita la partícula para caer la distancia h es de 2 1 ) 2 ( hg , la deflexión total hacia el este d, se puede expresar como sigue g h h d 2 3 2ω = (4) Por ejemplo, si se deja caer una partícula desde una altura de 100 metros, su desviación hacia el este, según esta fórmula, se descubre que es (al sustituir los valores h = 100 metros y ω = 7,2 x 10-5rad/s) de 2,2 cm. Esta desviación es muy pequeña y sólo se puede observar en condiciones controladas cuidadosamente. Es importante recordar la base física para la deflexión pronosticada en (4). Conforme la partícula desciende hacia la superficie de la Tierra su velocidad tangencial vθ debe aumentar para que el producto rvθ sea constante. Por consiguiente, de esto se desprende que su velocidad tangencial debe sobrepasar a la del punto de la superficie que se encontraba inicial e inmediatamente por debajo, y, en esta forma, se desvía hacia el este. CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS. Vamos a considerar un sistema de dos partículas, como se muestra en la figura. Para la partícula 1: dt L d → → = 1 1 τ , donde ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + × = × = → → → → → → ext F F r F r 1 12 1 1 1 1 τ → 1 F Es la fuerza total sobre la partícula 1. → 12 F Es la fuerza ejercida por la partícula 2 y ext F → 1 Es la suma de las fuerzas externas sobre la partícula 1. ext F r F r dt L d → → → → → → × + × = = 1 1 12 1 1 1 τ = ext → → + 1 12 τ τ Similarmente para partícula 2. ext F r F r dt L d → → → → → → × + × = = 2 2 21 2 2 2 τ = ext → → + 2 21 τ τ Sumando dt L d dt L d dt L d total → → → → → = + = + 2 1 2 1 τ τ Para los Torques internos tenemos: → → → → → → × + × = + 21 2 12 1 21 12 F r F r τ τ Como → → − = 12 21 F F www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 27 → → → → → → → → → × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = × − × = + 12 2 1 12 2 12 1 21 12 F r r F r F r τ τ De la figura: → → → = + 2 12 1 r r r ⇒ → → → = − 12 2 1 r r r Reemplazando → → → → × − = + 12 12 21 12 F r τ τ Como → 12 r y → 12 F son paralelos: 0 12 12 = × → → F r , y 0 21 12 = + → → τ τ De aquí: dt L d total ext ext → → → = + 2 1 τ τ y dt L d total ext → → = τ Vemos si 0 = → ext τ ⇒ CONSTANTE = → total L , independiente del tiempo. Ejemplo 32. Dos hombres se encuentran en una pista de patinaje, ambos sostienen una cuerda de longitud l . ¿Qué pasa con la cantidad de movimiento lineal → p de cada uno de ellos, si ambos jalan la cuerda y acortan la distancia entre ellos a 2 / l ? Asumir que se mueven en círculo y que la magnitud de sus cantidades de movimiento son iguales. Solución. Las únicas fuerzas externas al sistema son la fuerza de la gravedad y la reacción normal del piso, estas fuerzas se cancelan. Las únicas fuerzas que, intervienen en el sistema son las internas, por lo tanto la cantidad de movimiento angular del sistema se conserva. Al estar sujetos los dos hombres a la cuerda su movimiento es circular y si consideramos que el piso está en el plano xy, Tenemos: k p k p Linicial ˆ ˆ 2 2 l l = = → , k p k p L final ˆ 2 ' ˆ ' 4 2 l l = = → Como final inicial L L → → = ⇒ → → = p p 2 ' La cantidad de movimiento lineal final de cada hombre es el doble de la cantidad de movimiento lineal inicial. CONSTANTE, Independiente, del tiempo Ejemplo 33. Una partícula de masa m1 se desplaza sobre un plano horizontal con velocidad 1 → v . Dos partículas de masas m2 y m3 unidas por una varilla de masa despreciable se mueven con velocidad 2 → v , como se indica en la figura. Suponiendo un choque totalmente plástico entre m1 y m2 m1 = m2 = m3 = 1 kg, i v ˆ s m 20 1 = → , i v ˆ s m 10 2 − = → , m 1 = l www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 28 Calcular: a) La posición del centro de masa respecto a la masa m2 en el momento del choque. b) La ley del movimiento del centro de masa. c.) La velocidad angular de rotación alrededor del centro de masa después del choque. Solución. a) En el momento del choque, tomando como referencia la posición de m2, el centro de masa está en: Posición en el instante partida (t = 0). Posición en el instante de encuentro. 3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 m m m d m d m d m xCM + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ( ) 3 2 3 2 d m d m = ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 0 0 m m m m m m yCM + + + + = l = m 3 1 3 = l b) Como parten del reposo, la cantidad de movimiento total del sistema es cero. 0 = = → → cm total v M P Como cm cm r dt d v → → = ∴ cm r → = constante. El centro de masa permanece en la misma posición. c) Consideremos la cantidad de movimiento angular con respecto al centro de masa antes y después del choque. Antes del choque. 3 3 2 2 1 1 → → → → → → → × + × + × = p r p r p r L cm cm cm j i d r cm ˆ 3 1 ˆ 3 2 1 − − = → , i v m p ˆ 20 1 1 1 = = → → ( ) j i t v d r cm ˆ 3 1 ˆ 2 2 − − = → , i v m p ˆ 10 2 2 2 − = = → → ( ) j i t v d r cm ˆ 3 2 ˆ 2 3 + − = → , i v m p ˆ 20 2 3 3 = = → → Nota: En los vectores posición ( cm r 1 → , cm r 2 → , cm r 3 → ) solo ponemos la posición en el eje y, porque la posición en x se va a anular con el producto vectorial. Reemplazando: ( ) ( ) ( ) i j i j i j L ˆ 10 ˆ 3 2 ˆ 10 ˆ 3 1 ˆ 20 ˆ 3 1 − × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = → k k k k L ˆ 10 ˆ 3 20 ˆ 3 10 ˆ 3 20 = + − = → Después del choque: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 29 Como después del choque el sistema gira alrededor del centro de masa con velocidad angular → ω , podemos expresar la cantidad de movimiento angular en función del momento de inercia. → → = ω I L' , 3 2 1 I I I I + + = ⇒ 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = l l l m m m I luego → → = ω 3 2 ' L Por conservación de la cantidad de movimiento angular → → = L L' → = ω 3 2 ˆ 10k ⇒ s rad ˆ 15k = → ω Ejemplo 34. Un muchacho va corriendo por la acera con una velocidad constante v con sus brazos estirados perpendicularmente a su recorrido. La distancia entre los extremos de los dedos de sus manos es 0 2l . Cuando al correr pasa junto a un poste, se coge al mismo con la mano izquierda, levanta los pies del suelo, y gira por aire alrededor del poste. a) Si su masa es, M. ¿Cuál es el valor de su cantidad de movimiento angular respecto al poste cuando corre por la acera? b) Si la fuerza de reacción del poste no só1o lo hace girar, sino que además proporciona una fuerza impulsiva que hace frenar ligeramente su movimiento hacia adelante, de modo que su energía cinética se reduce a los cuatro quintos de su valor original. ¿Cuál es su momento de inercia respecto al poste? Solución. a) La cantidad de movimiento con que se acerca el muchacho es: → → → × = p r L = k rmv ˆ sen θ Como 0 sen l = θ r ⇒ k v m L ˆ 0 l = → b) Cuando el muchacho se coge del poste, las fuerzas de reacción centrípeta e impulsiva deben pasar por el poste por lo tanto no ejercen ningún torque sobre el muchacho y la cantidad movimiento angular se conserva. constante ˆ 0 = = → k v m L l La energía cinética después de cogerse del poste es K K 5 4 '= . K es la energía cinética antes de cogerse, 2 2 1 mv K = Luego: 2 2 5 2 2 1 5 4 5 4 ' mv mv K K = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = (1) También 2 2 1 ' ω I K = , como k I L ˆ ω = → ⇒ I L = ω Reemplazando éste valor de ω en K’ : ( ) I v m I L K 2 2 ' 2 0 2 l = = (2) Igualando (1) y (2) www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 30 ( ) I v m mv 2 5 2 2 0 2 l = Luego su momento de inercia es 2 0 4 5 l m I = PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. Una masa m1 se sitúa en (x1, y1, z1) y otra masa m2 en (x2, y2, z2). a) Hallar 1a distancia r0 entre m1 y m2. b) Hallar la distancia r1 entre m1 y el centro de masa. c) Hallar la distancia r2 entre m2 y et centro de masa. Respuesta. a) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 z z y y x x r − + − + − = b) ( ) 2 1 0 2 1 m m r m r + = , c) ( ) 2 1 0 1 2 m m r m r + = 2. Dos partículas de masas m1 = 1 kg y m2 = 3 kg se mueven por el espacio, sus vectores posición Son: k t j t i r ˆ ˆ ˆ 3 1 − + = → , k i t r ˆ ˆ sen 2 2 + = → a) Hallar el centro de masa. b) ¿Cuál es su aceleración? c) Hallar su aceleración vista por un observador que se mueve con velocidad constante k j v ˆ 3 ˆ + = → . Respuesta. a) ( ) ( ) [ ] k t t j t i t r CM ˆ 3 ˆ ˆ 3sen 3 4 1 2 − + + + = → b) ( ) k t i t t t aCM ˆ 16 1 ˆ sen 2 cos 2 1 2 2 2 + + = → c) igual que b) 3. Encontrar el centro de masa de una lámina delgada mostrada en la figura Respuesta. y = 0,983m encima del centro del orificio 4. Una fuerza k t j t i t F ˆ ˆ ˆ 3 2 + + = → actúa sobre un cuerpo en el intervalo de s t 6 0 ≤ ≤ . Hallar el impulso sobre el cuerpo. Respuesta. 181 + 72j + 324l k j i ˆ 324 ˆ 72 ˆ 18 + + 5. Suponga que la fuerza que actúa sobre una pelota de tenis (m = 0,060 kg) en función del tiempo está dada por la gráfica de la figura. Usando métodos gráficos estime: a) El impulso total dado a la bola. b) La velocidad de ésta después de haber sido golpeada, suponiendo que estaba en reposo en el momento de ser golpeada. Respuesta. a) 4,5 Ns b) 75 m/s 6. Un flujo de partículas idénticas de masa m y velocidad uniforme → v , inciden sobre un plano fijo de área A, la dirección forma un ángulo θ con la normal. Después del choque las partículas tienen una velocidad → ' v , la dirección es simétrica a la de → v . También → → = ' v v . a) Calcular el Impulso que se ejerce sobre cada partícula en el momento del choque. b) Calcular el valor de la fuerza comunicada a la superficie por unidad de tiempo. Siendo n el numero de partículas por unidad de volumen de chorro incidente. Respuesta. a) ( )n v J ˆ cos 2 θ = → , b) θ 2 2 cos 2nAmv F = 7. Un nadador de 70 kg se lanza al agua desde el podio de una piscina con una velocidad de 3m/s en la dirección de la figura. Calcular la fuerza ejercida sobre el podio durante los 0,8s que el nadador ejerce el esfuerzo sobre el mismo para impulsarse en el salto. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 31 Respuesta. ( )N ˆ 818 ˆ 227 j i F − − = → 8. Un recipiente de 0,25 kg con capacidad para 5 kg de agua se llena de un caño en 5 s. En el instante en que el recipiente está medio lleno, la balanza lee 3,0 kg. Si no se salpica el agua, ¿Cuál es la velocidad del agua que cae en dicho instante. Respuesta. 2,45 m/s 9. Una bala de fusil de masa m y de velocidad constante 0 v , penetra en un bloque de madera fijo; la bala se detiene después de recorrer una distancia d con un movimiento uniformemente retardado. e) Calcular la desaceleración a de la bala, deducir la fuerza de desaceleración. b) Calcular el tiempo de desaceleración. c) ¿Cuál es el impulso comunicado a la bala por el bloque? Comparar con la cantidad de movimiento de la bala antes del choque. Realizar la aplicación numérica para 0 v = 600 m/s, d =30 cm, m = 40 g Respuesta. a) 2 5 2 0 s m 10 6 2 × = = d v a , N 10 24 7 × = = ma F , b) s a v t 3 0 10− = = c) J = F t = 24 N, J = mv0 10. Un cañón fijo sobre un vagón que se puede desplazar si fricción sobre una vía rectilínea horizontal con una masa total M. El cañón forma un ángulo α con la horizontal. a) Si el vagón está en reposo el cañón dispara un obús de masa m, determinar la relación entre las velocidades v y V del obús y del cañón. b) Si la velocidad del obús relativa al cañón es v’ (forma un ángulo θ con V ), determinar la relación entre ' v y V . c) El vagón se desplaza con una velocidad rectilínea constante u sobre la vía antes del disparo. El obús tiene una velocidad v relativa al cañón en movimiento a la velocidad V después del disparo: Calcular la variación de la velocidad (u - v) del vagón Encontrar la velocidad → v del obús. d) Deducir del cálculo anterior el alcance R del obús. Respuesta. a) α cos V m M v − = , b) β cos 1 ' V m M v ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ − = , c) β cos ' v M m m v u + = − , ( ) j v i Mv u v ˆ sen ' ˆ cos ' β β + + = → d) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = β β cos sen 2 2 2 m M Mv u g v R 11. Desde la plataforma de un tren que se mueve con una velocidad de 10 m/s se arroja un paquete de 25 kg, Este es cogido en el aire por una persona que está junto a la vía. Desde el tren se observa que esta persona retrocede con una velocidad de 7,5 m/s. ¿Cuál es la masa de la persona? Respuesta. 75 kg. 12. Un muchacho está en medio de un lago congelado sin fricción de tal manera que no puede moverse. Para poder salir él lanza su sombrero de masa 0,5 kg hacia el norte con una velocidad de 12 m/s a 53’ con la horizontal. Si la masa del muchacho es 60 kg y el radio del lago es 400 metros. ¿Qué pasa7 Respuesta. El muchacho resbala hacia el sur y llega a la orilla 1 h 51 min después. 13. Un paquete de 10 kg se descarga de una cinta transportadora con una velocidad de 3 m/s y cae en una vagoneta de 25 kg. ¿Si la vagoneta está inicialmente en reposo y puede rodar libremente, Cuál es su velocidad final? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 32 Respuesta. v = 0,732 i ˆ m/s 14. Un hombre de 75 kg se lanza al agua desde la proa de su bote de 50 kg. La componente horizontal de su movimiento es 1 m/s respecto al bote. Hallar las velocidades del hombre y del bote respecto a un observador en el muelle. a) Si el bote está inicialmente en reposo b) Si el bote se movía inicialmente hacia adelante con una velocidad de 2 m/s. No considerar pérdidas de energía debido al agua Respuesta. a) v1 = 0,4 m/s , v2 = 0,6 m/s b) v1 = 2,4 m/s , v2 = 1,4 m/s 15. Un cañón dispara un obús de 2,4 kg hacia arriba. A1canza su máxima altura, 313,6 m y se parte en dos, 0,8 kg y 1,6kg. Las dos partes llegan a tierra simultáneamente. La pieza de 1,6 kg toca tierra a 480 m de la explosión (medida a lo largo del eje x). a) ¿Cuánto tiempo tomaría al obús volver a tierra si no se hubiera partido? b) ¿Cuál es la velocidad de cada una de las piezas justamente después de la explosión? c) Encontrar la cantidad de movimiento de cada pieza justamente antes de tocar tierra. Respuesta. a) 8 segundos b) ( ) m/s ˆ 60 6 , 1 i v = → (16), ( ) m/s ˆ 120 8 , 0 i v − = → c) ( ) kg.m/s ˆ 44 , 125 ˆ 96 6 , 1 j i p − = → , ( ) kg.m/s ˆ 72 , 62 ˆ 96 8 , 0 j i p − − = → (El movimiento es en el plano xy; g = 9,8 m/s2) 16. Un bloque de masa 10 kg está en reposo en el origen segundo con masa 5 kg se mueve a lo largo del eje x con velocidad de magnitud 0 v = 5 m/s. Los bloques choca quedan unidos. y se mueven en el eje x. La superficie tiene fricción despreciable. a) ¿Cuando el bloque de 5 kg está en x = -10 donde está centro de masa? b) Encontrar la cantidad de movimiento de la masa de 5 kg, de la masa de 10kg y del centro de masa antes del choque. c) ¿Cuál es la velocidad del sistema combinado? Respuesta. a) xCM = - 3 1/3 m, b) → 1 p = 25 i ˆ kg.m/s, 0 2 = → p , → CM p = 25 i ˆ kg.m/s c) → v = 1 2/3 i ˆ m/s 17. Dos bolas P1 y P2 de masas m1 y m2 están suspendidas del cielorraso por dos hilos inextensibles de la misma longitud l ; P1 y P2 están en contacto sin presión con los hilos verticales. Se saca P1 de la posición de equilibrio a un ángulo 0 θ manteniendo el hilo tenso, luego se suelta sobre P2. Calcular: a) La velocidad de P1 justo antes del choque. b) Las velocidades v’1 y v’2 de P1 y P2 inmediatamente después del choque perfectamente elástico. Discutir este resultado para valores relativos de las masas m1 y m2. c) Las alturas de las posiciones limites de P1 y P2 después del choque. Aplicación numérica; l = l m . 0 θ = 60º, m2 = m1/2 Respuesta. a) 0 1 cos 2 θ l g v = , s / m 13 , 3 1 = v , b) 1 2 1 2 1 1 ' v m m m m v + − = , s / m 05 , 1 '1 = v Para 2 1 m m > 1 v y 1 ' v tienen el mismo sentido. Para 1 2 m m > 1 ' v tiene sentido contrario de 1 v . 2 1 1 1 2 2 ' m m v m v + = , s / m 22 , 4 '2 = v 2 ' v en todo caso tiene el mismo sentido que 1 v c) m 056 , 0 2 '2 1 1 = = g v h , m 91 , 0 2 '2 2 2 = = g v h 18. En un Juego de billar, la bola A está moviéndose con 1a velocidad → 0 v = 31 m/s cuando choca con las bolas B y C que están juntas en reposo. Tras el choque, se observan la tres bolas moviéndose en las direcciones que muestra 1a figura, con θ = 30º. Suponiendo Superficies lisas y choques perfectamente elásticos, hallar los módulos de la velocidades, → A v , → B v y → C v . www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 33 Respuesta. A v = 1,5 m/s , B v = 1,29 m/s , → C v 2,25 m/s 19. Se dispara una bala de 39 g con una velocidad de 500 m/ contra un bloque A de 5 kg de El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y la plataforma es 0,5. Si la masa de la plataforma es 4 kg y puede rodar libremente, hallar: a) La velocidad final de la plataforma y e1 bloque. b) La posición final del bloque sobre la plataforma. Respuesta. a) 2,16 m/s b) El bloque se detiene a 0,33 m de B. 20. La figura muestra dos masas sobre una superficie con rozamiento despreciable. El coeficiente de restitución entre Las dos masas es 0,73; determinar: a) Sus velocidades después del choque. b) La pérdida de energía durante el choque. Respuesta: a) → A v = - 0,563 i ˆ m/s, → B v = 6,94 i ˆ m/s b) ΔK = 41 J 21. Se deja caer una pelota al suelo desde una altura y. Si el coeficiente de restitución es ε, escribir expresiones para el tiempo total que tardará la pelota en dejar de dar bote y la distancia total que recorrerá en este tiempo. Respuesta. ( ) ( ) ε ε − + = 1 1 2 g y t , ( ) ( ) 2 2 1 1 ε ε − + = y s 22. Una bola cae desde una altura h = 0,900 m sobre una superficie lisa. Si la altura del primer rebote es h1 = 0,800 m y la distancia d1 = 0,400 m, calcular: a) El coeficiente de restitución. b) La altura y longitud del segundo rebote. Respuesta. a) 0,943 m, b) 0,711 m, 0,37 m 23. Un objeto de 5 kg que se mueve con una velocidad de 1,2 m/s choca directamente con un objeto de 20 kg que está en reposo. Se observa que el objeto menor rebota con una velocidad de 0,6 m/s a) ¿Cuál es la pérdida de energía cinética por el impacto? b) ¿Cuál es el coeficiente de restitución? Respuesta: a) ΔK = - 0,675 J, b) ε = 0,875 24. Una bola choca contra un plano liso formando un ángulo 1 φ con la normal del mismo y rebota con un ángulo 2 φ . Encontrar La expresión correspondiente al coeficiente de restitución Respuesta. 2 1 tan tan φ φ ε = 25. Ira partícula de masa m1 tiene un choque frontal perfectamente elástico con una partícula de masa 2 m inicialmente en reposo. ¿Cuál es la pérdida relativa de energía cinética correspondiente a la partícula . m1 Respuesta. 2 2 1 2 1 1 4 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ = Δ m m m m K K 26. Una masa m1 se mueve a lo largo del eje x con una velocidad 0 v a lo largo de una mesa sin fricción. Choca con otra nasa, la cual está inicialmente en reposo. La masa m2 sale a lo largo del eje y. Si se pierde la mitad de la energía cinética original en el choque. ¿Cual es el módulo de la velocidad y con que ángulo sale después de la colisión? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 34 Respuesta. ( ) 2 1 2 2 0 1 2 2 3 m m m v m v + = , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 0 1 1 cos v m v m θ = ( ) 2 1 2 2 1 1 3 2 cos ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − m m m 27. Se deja en libertad el bloque A cuando θΑ = 90 y desliza sin rozamiento, hasta chocar con la bola B. Si el coeficiente de restitución es 0,90, calcular a) La velocidad de B inmediatamente después del choque. b) La máxima tracción que soporta el hilo que sostiene a B c) La altura máxima a la que se eleva B. Solución. a) Por conservación de energía encontraremos A v . . 2 2 1 A A A v m gr m = ⇒ ( )( ) 6 , 0 8 , 9 2 2 = = gr vA = 3,43 m/s Por conservación de la cantidad de movimiento encontraremos B v' A v = 3,43 m/s B v = 0 B B A A B B A A v m v m v m v m ' ' + = + ⇒ ( )( ) B A v v 2 ' 25 , 1 43 , 3 25 , 1 + = ⇒ 43 , 3 ' 6 , 1 ' = + B A v v (1) El coeficiente de restitución es 0,90 ( ) ( ) 9 , 0 ' ' ' ' 1 2 1 2 = − = − − − = A A B v v v v v v v ε 9 , 0 ' ' = − A A B v v v ⇒ 9 , 0 43 , 3 ' ' = − A B v v ⇒ ( ) 09 , 3 43 , 3 9 , 0 ' ' = = − A B v v (2) Sumando (1) y (2): 43 , 3 09 , 3 ' 6 , 1 ' + = + B B v v La velocidad de B inmediatamente después del choque es B v' = 2,51 m/s b) El diagrama del cuerpo libre de B, inmediatamente después del choque c B r a m F = ∑ ⇒ 9 , 0 '2 B B B v m g m T = − ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = g v m T B B 9 , 0 '2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 8 , 9 9 , 0 51 , 2 2 2 = 33,6 N c) Por conservación de energía encontramos la altura máxima a la que se eleva B. gh m v m B B B = 2 ' 2 1 ⇒ g v h B 2 '2 = = ( ) 8 , 9 2 51 , 2 2 = 0,321 m 28. Un bloque de masa M está en reposo sobre una masa sin fricción. Lo podemos golpear con un bloque que se quede adherido o con un bloque muy duro con el que se producirá un choque perfectamente elástico. Ambos bloques tienen masa m y pueden ser lanzados can velocidad V0 ¿En cuál de los casos el bloque M se moverá más rápidamente? (considerar el movimiento en una sola dimensión). Respuesta. a) 0 2 ' V M m m v + = , b) 0 2 2 ' V M m m v + = En el segundo caso es el doble que en el primero. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 35 29. Un cilindro A cae sobre otro B apoyado sobre un resorte de constante k = 3000 N/m desde una altura de 2m. Si el choque es perfectamente plástico, calcular: a) El desplazamiento máximo de B. b) La pérdida de energía en el choque. Respuesta. a) 3,47 cm , b) 8,18 J 30. Los parachoques se diseñan de tal manera que un automóvil de 1600 g que golpea una pared rígida a la velocidad de 12 km/h no sufra daño. Suponiendo que ese choque es perfectamente plástico. Calcular: a) La energía absorbida por el parachoques durante el impacto. b) La velocidad a la que el automóvil puede golpear a otro de iguales características, que está en reposo sin dañarse. Respuesta. a) 8890 J b) 24 km/h 31. Se dispara una bala de 25g en dirección horizontal. La bala atraviesa el bloque A y queda alojada dentro de bloque B. Por dicha causa los bloques A y B comienzan a moverse con velocidades iniciales de 2,4 y 1.8 m/s. respectivamente. Hallar: a) La velocidad inicial 0 v de la bala. b) La velocidad de la bala en el trayecto entre el bloque A y el B. Respuesta. a) s m i ˆ 470 b) 3261 m/s 32. Una explosión rompe un objeto en dos piezas una de las cuales tiene 1,5 veces la masa de la otra. Si se liberan 4500 J en la explosión. ¿Cuánta energía cinética adquiere cada pedazo? Respuesta. 1800 J, 2700 J 33. Cuando se rompe la cuerda que une las partículas A y B, el resorte comprimido las obliga a separarse (el resorte no está unido a las partículas). La energía potencial del resorte comprimido es de 60 J y el conjunto posee la velocidad inicial → 0 v Si se rompe la cuerda cuando º 30 = θ , hallar la velocidad resultante de cada partícula Respuesta. m/s ˆ 2 , 5 ˆ 9 j i vA + = → y m/s ˆ 5 , 3 ˆ 4 j i vB − = → 34. Un depósito suelta arena a una banda transportadora razón de 75 kg/s. Si la banda se mueve con una rapidez constate v = 2,2 m/s. ¿Qué fuerza se necesita para mantenerla en movimiento? No tomar en cuenta la fricción Respuesta. 165 N 35. Un trineo lleno de arena se desliza sin fricción por una pendiente de 30º. La arena se escapa por un agujero en el trineo a un ritmo de 2 kg/s. Si el trineo parte del reposo con una masa inicial de 40 kg. ¿Cuánto tardó en recorrer 120m a lo largo de la pendiente? Respuesta. 7 segundos 36. Un cohete que consume combustible a un ritmo constante k se encuentra sometido a la acción de una fuerza externa constante de valor F además de la fuerza de reacción de los gases. La masa inicial del cohete más combustible es 0 m . La configuración de la tobera de escape es de tal manera que la velocidad relativa de los gases es igual al negativo de la velocidad v del cohete. a) Escribir la ecuación del movimiento. b) Obtener ( ) t v . Respuesta. a) ( ) kv dt dv kt m F − − = 0 , www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 36 b) ( ) 0 m Ft v t = 37. Un cohete experimental se proyecta de forma que pueda mantenerse inmóvil sobre el suelo. El cuerpo del cohete tiene una masa de 1200 kg y la carga de combustible inicial es de 3600 kg,. e1 combustible se quema y se expulsa con una velocidad de 2500 m/s. Hallar la velocidad de consumo de combustible necesario. a) en el momento de encender el cohete. b) cuando se consume la última partícula de combustible. Respuesta. a) 18,84 kg/s . b) 4.71 kg/s 38. Una bala de masa m se dispara con una velocidad i v v B B ˆ − = → , si para 0 x x = , a y = (permanece constante) ¿Cuál es su cantidad de movimiento angular con respecto al origen en función de x? Respuesta. k a mv L ˆ 0 = → 39. Un obús de masa m se dispara de un cañón en el origen, El obús se mueve en el plano y con una velocidad inicial de magnitud 0 v y un ángulo θ con el eje x. a) ¿Cuál es el torque sobre el obús, con respecto al origen en función del tiempo? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del, obús con respecto al origen en función del tiempo? c) Comprobar que dt L d → → = τ Respuesta. a) i mgt v ˆ cos 0 θ τ − = → b) i mgt v L ˆ cos 2 1 2 0 θ − = → 40. Dos esferas pequeñas A y B están unidas por una varilla rígida de longitud l y masa despreciable. Las dos masas reposan sobre una superficie lisa horizontal cuando se comunica repentinamente a A la velocidad i v v ˆ 0 0 = → . Hallar: a) La cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular del sistema respecto al centro de masa. b) Las velocidades de A y B cuando la varilla ha girado 90º. c) Las velocidades de A y B cuando la varilla ha girado 180º. Respuesta: a) i mv p ˆ 0 = → , k v m L ˆ 4 3 0 l = → b) j v i v vA ˆ 4 3 ˆ 4 1 0 0 + = → , j v i v vB ˆ 4 1 ˆ 4 1 0 0 − = → c) i v vA ˆ 2 1 0 − = → , i v vB ˆ 2 1 0 = → 4l. Se tiene una varilla rígida de masa despreciable sujeta a un eje sin rozamiento de tal manera que la varilla pueda rotar libremente. Al otro extremo de la varilla hay un bloque de masa M. Si se dispara una bala de masa m con una velocidad 0 v tal como se muestra en la figura. ¿Si la bala se incrusta en el bloque, cuál será la velocidad angular del bloque alrededor del eje7 Respuesta. ( )a M m mv + = 0 ω 42. Una barra de longitud b está pivotada en su centro de tal manera que puede rotar en el plano horizontal. Dos niños están sobre la barra en las posiciones mostradas en la figura 7.59. a cual está rotando con una velocidad angular en el sentido antihorario visto desde arriba. Si el niño de masa m1 empieza a moverse hacia el centro tal que su distancia a el es 2 4 at b − , ¿Cuál debe ser el movimiento del niño de masa m2 para que la velocidad angular de la barra permanezca constante? (La masa de la barra es despreciable), www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 37 Respuesta. Debe cambiar su distancia al centro de acuerdo a la ecuación ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 2 2 2 1 2 2 16 at b at m m b 43. Un taco golpea a una bola de billar ejerciendo una fuerza promedio de 50 N durante un tiempo de 0,01 s, si la bola tiene una masa de 0,2 kg, ¿qué velocidad adquirió la bola luego del impacto?. Respuesta. vf = 2,5 m/s 44. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?. Respuesta. vf = 10 m/s 45. Se rocía una pared con agua empleando una manguera, la velocidad del chorro de agua es de 5 m/s, su caudal es de 300 cm3/s, si la densidad del agua es de 1 g/cm3 y se supone que el agua no rebota hacia atrás, ¿cuál es la fuerza promedio que el chorro de agua ejerce sobre la pared?. Respuesta. F = 1,5N 46. Se dispara horizontalmente una bala de 0,0045 kg de masa sobre un bloque de 1,8 kg de masa que está en reposo sobre una superficie horizontal, luego del impacto el bloque se desplaza 1,8 m y la bala se detiene en él. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es de 0,2, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?. Respuesta. v1i = 1073 m/s 47. Se dispara una bala de 0,01 kg de masa contra un péndulo balístico de 2 kg de masa, la bala se incrusta en el péndulo y éste se eleva 0,12 m medidos verticalmente, ¿cuál era la velocidad inicial de la bala?. Respuesta. v1i = 309,8 m/s 48. Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la partícula B de masa 2mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?. Respuesta. Ec Bf = 20 J 49. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad inicial v1i = 10 m/s, frente a él moviéndose en la misma dirección y sentido se encuentre el cuerpo de masa m2 = 5 kg cuya velocidad inicial es v2i = 3 m/s, éste tiene adosado un resorte en su parte posterior, cuya constante elástica es k = 1120 N/m, ¿cuál será la máxima compresión del resorte cuando los cuerpos choquen?. Respuesta. Δx = 0,28 m 50. Un bloque de 3,0 kilogramos, moviéndose sobre una superficie sin fricción con una velocidad de 1,2 m/s, tiene una colisión perfectamente elástica con un bloque de la masa M en el reposo. Después de la colisión el bloque de 3,0 kilogramos retrocede con una velocidad de 0,4 m/s. a) La masa M es: b) La velocidad del bloque de masa M después de la colisión es: c) Los bloques están en el contacto para 0,20 s. La fuerza media en el bloque de 3,0 kilogramos, mientras los dos bloques están en contacto, es: Respuesta. a) 6,0 kg, b) 0,8 m/ s, c) 24 N 51. El bloque de 8 kilogramos tiene una velocidad v y es detrás del bloque de 12 kilogramos que tiene una velocidad de 0,5 m/s. la superficie es de fricción despreciable. Los bloques chocan y se juntan. Después de la colisión, los bloques tienen una velocidad común de 0,9 m/s. a) La pérdida de energía cinética de los bloques debido a la colisión está la más cercana a: b) El impulso sobre el bloque de12 kg debido a la colisión es Respuesta. a) 2,4 J, b) 4,8 N s 52. Una bola de acero de 72 g se lanza desde el reposo y cae verticalmente sobre una placa de acero. La bola golpes la placa y está en contacto con ella por 0,5 ms, la bola elásticamente, y vuelve a su altura original. El intervalo de tiempo para el viaje es 0,30 s. a) La fuerza promedio ejercida sobre la bola durante el contacto es b) Asumiendo que la placa no se deforma durante el contacto. La energía elástica máxima almacenada por la bola es: Respuesta. a) 420 N, b) 0,08 J www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 38 53. Una bala de la masa 0,01 kilogramos que se mueve horizontalmente golpea un bloque de madera de masa 1,5 kilogramos suspendida como péndulo. ¿La bala se aloja en la madera, y juntos giran hacia arriba una distancia de 0,40 m. cuál era la velocidad de la bala momentos antes del impacto con el bloque de madera? La longitud de la cuerda es 2 metros. Respuesta. 66,7m/s 54. Una bala de 10 g se dispara verticalmente en un bloque de 8 kilogramos. El bloque se levanta 3 mm. La bala penetra en el bloque en un intervalo de tiempo de 0,001 s. asume que la fuerza en la bala es constante durante la penetración. a) La energía cinética inicial de la bala es: b) El impulse en el bloque debido a la captura de la bala es: c) La penetración de la bala en el bloque, es: Respuesta. a) 190 J, b) 2,0 Ns, c)) 10 cm. 55. Una bala de 8 g se tira en un bloque de 4,0 kilogramos, en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción. La bala se aloja en el bloque. El bloque se mueve hacia el resorte y lo comprime 3,0 centímetros. La constante de la fuerza del resorte es 1500 N/m. a) La velocidad de la bala es: b) ) El impulso del bloque (con la bala), debido al resorte, durante el tiempo en el cual el bloque y el resorte están en contacto está es: Respuesta. a) 290 m/s, b) 4,7 N.s 56. En una demostración una bola de acero pequeña de la masa m se sostiene sobre una superbola de masa M (superbola es una bola de goma del coeficiente de restitución muy alto). La combinación junta se suelta del reposo. Cuando el superbola golpea el piso rebota casi elásticamente, golpeando a bola de acero que todavía está moviéndose hacia abajo. Esta colisión es también bastante elástica, y consecuentemente bola de acero se golpea y es lanzada derecho hasta una altura H. Si h es la altura de la cual los objetos fueron soltados, y M > > m, entonces bola de acero pequeña se levantará a una altura: Respuesta. 9 h 57. Una muchacha de masa 50 kilogramos lanza una bola de la masa 0,1 kilogramos contra una pared. La bola golpea la pared horizontalmente con una velocidad de 20 m/s, y rebota con esta misma velocidad. ¿La bola está en contacto con la pared 0,05 s, cuál es la fuerza media ejercida sobre la bola por la pared? Respuesta. 80N 58. La bola A, de la masa 3,0 kilogramos, se une a una barra ligera de 0,4 m, que gira libremente en P. La bola B está suspendida de Q por una cuerda de 0,6 m y está en reposo. La bola A se levanta a cierto nivel y se suelta. La bola A desciende, y tiene una velocidad 1 v = 3,6 m/s en el fondo, antes de chocar a la bola B. Las velocidades de las bolas A y B después del choque son: 2 v = - 1,2m/s y 3 v =2,2 m/s... a) La masa de la bola B es: b) La magnitud del impulso sobre la bola A es: c) La bola A rebota y gira un ángulo θ, donde la velocidad 4 v es cero. El valor de θ es: d) La bola B se eleva hasta la altura h, donde la velocidad 5 v es cero. El valor de h es: Respuesta. a) 6,6 kg, b) 14.4 N. s, c) 35º d) 0,25 m 59. Una pieza en forma de L se corta de una hoja uniforme de metal. ¿Cuál de los puntos indicados es el más cercano al centro de la masa del objeto? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 39 Respuesta. C 60. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. Parcialmente inelástico. 61. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. Perfectamente elástico. 62. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. no posible porque la cantidad de movimiento no se conserva. 63. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. Caracterizado por un incremento en energía cinética. 64. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. Completamente inelástico 65. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. Parcialmente inelástico 66. Las masas de los bloques, y las velocidades antes y después del choque están dadas. ¿Qué clase de choque es? Respuesta. Parcialmente inelástico 67. Un resorte activa una bomba de juguete de 1,2 kg sobre una superficie lisa a lo largo del eje x con una velocidad de 0,50 m/s. en el origen O, la bomba estalla en dos fragmentos. El fragmento 1 tiene una masa de 0,4 kilogramos y una velocidad de 0,9 m/s a lo largo del eje y negativo. a) La componente en x de la cantidad de movimiento del fragmento 2 debido a la explosión es: b) El ángulo θ, formado por el vector velocidad del fragmento 2 y el eje x es: c) La energía liberada por la explosión es: Respuesta. a) 0., N. s, b) 31º, c) 0,32 J 68. Un cono trunco homogéneo de metal tiene una base circular mayor de radio 4 cm y la menor de radio 2 cm. Su altura es 6 cm. ¿A qué distancia de su diámetro mayor está situado el centro de masa? Respuesta. 2,36 cm 69. Cuatro masas puntuales se colocan como se muestra en la figura: ¿Cuáles son las coordenadas del centro de masa? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Sistema de partículas Hugo Medina Guzmán 40 Respuesta. (23, 2,8) 70. Un alambre uniforme de longitud 60 cm y masa 60 g , está doblado en un triángulo rectángulo. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de masa? Respuesta. (10, 3) 71. Una partícula de la masa 5,01 x 10-27 kilogramos, moviéndose a 1,88 x 105 m/s, choca con una partícula idéntica que inicialmente está en el reposo. Después de la interacción, las partículas (que no pueden ser distinguidas) se mueven con los ángulos 55,4º y 34,6º, ambos son medidos con respecto a la dirección original del movimiento. ¿Qué velocidades finales tienen las partículas? Respuesta. 1,55 x 105 m/s a 346º, 1,07 x 105 m/s a 55,4º 72. Un carro de 19 kg está conectado por medio de un resorte comprimido con un carro 38 kg. Los dos carros se están moviendo a la derecha a una velocidad de 25 m/s cuando el resorte se desenrolla y propulsa repentinamente el carro de 19 kg hacia adelante con una velocidad de 27 m/s. encontrar la velocidad del segundo carro con respecto al centro de la masa del sistema. Respuesta. 1 m/s 7 3. Una fuerza de 5,3 N es necesaria para sujetar a un paraguas en un viento fuerte. Si las moléculas del aire tienen una masa de 4,7 x 10-26 kilogramos, y cada una golpea al paraguas (sin rebotar) con una velocidad de 2,0 m/s en la misma dirección, ¿cuántos átomos golpean al paraguas cada segundo? Asuma que el viento sopla horizontalmente para no tomar en cuenta la gravedad. Respuesta. 5,6 x 1025 por Segundo 74. Un cohete debe ser lanzado al espacio donde no hay campo gravitacional. el 81% de la masa inicial del cohete es combustible y este combustible se expulsa con una velocidad relativa de 2300 m/s. si se asume que todo el combustible será utilizado, encuentra la velocidad final de la última porción de combustible expulsado relativo a un observador estacionario. Respuesta. 1500 m/ s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 1 CAPÍTULO 7. Cuerpo rígido INTRODUCCION En el capitulo anterior estudiamos el movimiento de un sistema de partículas. Un caso especial importante de estos sistemas es aquel en que la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece constante en el tiempo, esto es un CUERPO RIGIDO. A pesar que no existen cuerpos que sean estrictamente rígidos, todos los cuerpos pueden ser deformados, sin embargo el modelo del cuerpo rígido es útil en muchos casos en que la deformación es despreciable. La descripción cinemática y dinámica de un cuerpo extenso aunque este sea rígido en un movimiento en tres dimensiones matemáticamente es muy complejo y es tratado en libros avanzados de dinámica. Es complejo porque un cuerpo tiene seis grados de libertad; su movimiento involucra traslación a lo largo de tres ejes perpendiculares y rotación alrededor de cada uno de estos ejes. No llegaremos a hacer un tratamiento general directo, pero si desarrollaremos el movimiento del cuerpo rígido en dos dimensiones. MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO En esta parte expondremos algunos tipos de movimiento de los cuerpos rígidos. TRASLACION. Por traslación entendemos al movimiento en el que lodos los puntos del cuerpo se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad y la misma aceleración en cada instante. Por la definición de centro de masa, tenemos: M r m m r m r i i i i i CM ∑ ∑ ∑ → → → = = Donde M es la masa total del cuerpo rígido y ∑ → → = i i CM r m r M Diferenciando dos veces ∑ → → = i i CM r dt d m r dt d M 2 2 2 2 ∑ ∑ → → → = = i i i CM F a m a M La suma de las fuerzas que actúan sobre las n partículas determinan la aceleración del centro de masa. M F a i CM ∑ → → = Tal como se mostró para un sistema de partículas, las fuerzas internas se anulan de pares, de forma que solamente importarán las fuerzas externas tal que ∑ → → = ext CM F a M “El movimiento de traslación del cuerpo rígido es como si toda su masa estuviera concentrada en el centro de masa y las fuerzas externas actuaran sobre él”. Todo el estudio que hemos lecho anteriormente para la partícula corresponde a la traslación de un cuerpo rígido. No importa ni la forma, ni el tamaño. ROTACIÓN. Es el movimiento en que uno de los puntos se considera fijo. Sí se considera fijo un punto, el único movimiento posible es aquel en el que cada uno de los otros puntos se mueve en la superficie de una esfera cuyo radio es la distancia del punto móvil al punto fijo. Si se consideran dos puntos fijos, el único movimiento posible es aquel en que todos los puntos con excepción de aquellos que se encuentran sobre la línea que une los dos puntos fijos, conocida como EJE, se mueven en circunferencias alrededor de éste. Cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido puede ser considerado como una combinación de traslación y rotación. En los capítulos anteriores ya hemos profundizado bastante sobre movimiento de traslación www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 2 estudiaremos aquí el movimiento de rotación alrededor de un eje y el movimiento de rotación traslación. CANT1DAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO La cantidad de movimiento angular de una partícula respecto a un punto es → → → → → × = × = v m r p r L En coordenadas polares: r r r ˆ = → , t r r dt dr v & & ω + = → ˆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + × = → t r r dt dr m r r L ˆ ˆ ˆ ω t r mr L ˆ ˆ 2 × = → ω t r ˆ ˆ× tiene la dirección y sentido de → ω → → = ω 2 mr L Si consideramos al cuerpo rígido como n partículas que giran alrededor de un eje, la cantidad de movimiento angular de éste será la suma de la cantidad de movimiento angular de cada una de las partículas. → → → → + + + = ω ω ω 2 2 2 2 2 1 1 ........ n n total r m r m r m L = ( ) → + + + ω 2 2 2 2 2 1 1 ........ n nr m r m r m = → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∑ ω n i i ir m 1 2 La cantidad entre paréntesis es el MOMENTO DE INERCIA DEL CUERPO RÍGIDO alrededor de un eje. ∑ = = n i i ir m I 1 2 Es importante darse cuenta que el momento de inercia depende de la distribución de la masa del cuerpo. En el caso de un cuerpo rígido continuo, los i m tienden a dm y ∑ se transforma en ∫ M , de aquí: dm r I M ∫ = 2 Como V m ρ = , donde ρ es la densidad y V el volumen del cuerpo: dV dm ρ = Tenemos: dV r I V ∫ = 2 ρ Para muchos cuerpos de forma geométrica simple ésta integral puede evaluarse fácilmente. Dos teoremas que simplifican los cálculos del momento de inercia son: I) El teorema de Steiner o de los ejes paralelos. “El momento de inercia del cuerpo respecto a un eje es igual al momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masa es el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes”. 2 0 Md I I CM + = Demostración. La figura siguiente representa la sección de un cuerpo en el plano del papel, CM es el eje normal al plano del papel a través del centro de masa y O es un eje paralelo. Escogiendo un elemento diferencial de masa dm , escribamos la expresión para los momentos de inercia con respecto a los dos ejes. dm r I M CM CM ∫ = 2 dm r I M ∫ = 2 0 usando la ley de los cosenos, obtenemos: θ cos 2 2 2 2 d r d r r CM CM − + = reemplazando ( ) dm d r d r I M CM CM ∫ − + = θ cos 2 2 2 0 ∫ ∫ ∫ − + = M CM M M CM dm r d dm d dm r I θ cos 2 2 2 0 El primer término CM M CM I dm r = ∫ 2 El segundo término 2 2 Md dm d M = ∫ El tercer término es cero porque es la suma en todo el cuerpo d los productos del elemento de masa y sus distancias al eje a través del centro de masa, de aquí: 2 0 Md I I CM + = II. El teorema de la figura plana. El momento de inercia de una figura plana con respecto a un eje perpendicular a la misma es igual a la suma de los momentos de inercia de la figura plana con respecto a dos ejes rectangulares en el plano de la figura los cuales se intersecan con el eje dado Demostración: En la figura siguiente el eje z pasa por O perpendicular al piano y. Elegimos un elemento diferencial de masa dm y escribimos los momentos de inercia de la figura para cada uno de los tres ejes. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 3 ∫ = M x dm y I 2 , ∫ = M y dm x I 2 , ∫ = M z dm r I 2 con 2 2 2 y x r + = ( ) ∫ ∫ + = M M dm y x dm r 2 2 2 = ∫ ∫ + M M dm y dm x 2 2 y x z I I I + = Ejemplo 1. A continuación evaluaremos los momentos de inercia algunos cuerpos simples. a) Hallar el momento de inercia del sistema mostrado en la figura, las masas son puntuales unidas por varillas rígidas de masa despreciable. Solución. Momento de inercia respecto al eje x. i i x m y I ∑ = 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 0 2 0 b m b m m m + + + = 2 7mb Momento de inercia respecto al eje y. i i y m x I ∑ = 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 4 3 2 0 m a m a m m + + + = 2 5ma Momento de inercia respecto al eje z. i i z m r I ∑ = 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 3 2 0 b m b a m a m m + + + + = 2 2 5 7 ma mb + Aquí comprobamos y x z I I I + = b) Momento de inercia de una varilla delgada rígida de longitud l y masa m, con respecto a un extremo y con respecto al centro de masa. Solución. Tomemos un elemento diferencial dx, cuya masa es: dx M dm l = El momento de Inercia de la varilla es: dx M x dm x I M O ∫ ∫ = = l l 0 2 2 = [ ] l l l l 0 3 0 2 3 x M dx x M = ∫ = 3 3 1 l M El momento de inercia de la varilla con respecto al centro de masa [ ]2 2 3 2 2 2 3 l l l l l l − − = = ∫ x M dx M x ICM = 3 12 1 l M Aquí comprobamos: 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = l M I I CM O c) Momento de inercia un anillo de masa M y radio R, en el plano xy, Con respecto a los ejes x, y, z. Solución. La masa del elemento diferencial θ Rd ds = es: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 4 θ π π d M ds R M dm 2 2 = = El momento de inercia del anillo con respecto al eje z es: θ π π d M R dm R I M z 2 2 0 2 2 ∫ ∫ = = = [ ] π θ π 2 0 2 2 MR = mR2 Por el teorema de la figura plana y x z I I I + = Por simetría y x I I = Luego 2 2 1 2 MR I I I z y x = = = d) El momento de inercia de un disco de radio R y masa M con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro. Solución. Consideremos como elemento diferencial al anillo de radio r y ancho dr, su masa es: rdr R M rdr R M dm 2 2 2 2 = = π π El momento de inercia de este anillo con respecto al eje perpendicular que pasa por O es rdr R M r dm r dIO 2 2 2 2 = = = dr r R M 3 2 2 El momento de inercia del disco es: ∫ ∫ = = R O O dr r R M dI I 0 3 2 2 = R r R M 0 4 2 4 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 2 1 MR e) El momento de inercia de una esfera con respecto a un eje que pasa por su centro. Solución. Consideremos la esfera como una serie de discos. Tomemos un disco diferencial como se muestra en la figura, su radio es 2 2 z R r − = , su espesor dz. La masa del disco es: ( )dz z R V M dz r V M dm 2 2 2 − = = π π M es la masa de la esfera y 3 3 4 R V π = el volumen de la esfera. El momento de inercia del disco con respecto al eje z es: ( ) dz z R V M dmr dI z 2 2 2 2 2 1 2 1 − = = π El momento de inercia de la esfera lo encontramos integrando esta expresión desde z = - R a z = R. ( ) ∫ ∫ − − = = R R z z dz z R V M dI I 2 2 2 2 1 π = ( ) ∫ − R dz z R V M 0 2 2 2 π = V MR5 15 8 π = 2 5 2 MR Para encontrar el momento de inercia con respecto a un eje arbitrario como se muestra en la figura siguiente aplicamos el teorema de Steiner. 2 Md I I O P + = = 2 2 5 2 Md MR + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 5 2 1 d R Md I P En el caso en que R << d podemos considera como www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 5 si fuera una masa puntual y el momento de inercia se reduce a: 2 Md IO = Ejemplo 2. Hallar el momento de inercia de un disco de masa M y radio R que gira alrededor de un eje paralelo a un diámetro y que pasa por el borde del disco. Solución. Por el teorema de las figuras planas Iz = Ix + Iy ; Además por simetría Ix = Iy, Por tanto Ix = Iz/2 = ¼ MR2 Aplicando el teorema de Steiner I = ¼ MR2 + MR2 = 5/4 MR2 SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA ROTACION En esta sección vamos a analizar el movimiento de un cuerpo rígido que gira en torno a un eje fijo en el espacio. El cuerpo gira en torno al eje x. Si ( ) t θ θ = es el desplazamiento angular del punto del cuerpo desde la línea referencial, la velocidad angular del cuerpo es: dt dθ ω = Como cada punto del cuerpo gira a la misma velocidad angular ω , el desplazamiento ( ) t θ de cualquier punto describe el desplazamiento del cuerpo como un todo. Para el sistema de partículas vimos que la suma de los torques producidos por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual al cambio de la cantidad de movimiento angular. dt L d → → = τ Esto es válido también para el cuerpo rígido, donde L es la cantidad de movimiento angular can respecto al eje x de la figura anterior. Como → → = ω I L ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = → → ω I dt d dt L d Siendo I el momento de inercia del cuerpo en torno al eje dado, es constante en el tiempo y dt d I → → = ω τ Como → → = α ω dt d , aceleración angular del cuerpo → → = α τ I Esta expresión tiene similitud a la ley de Newton → → = a m F Ejemplo 3. Una barra uniforme de longitud L y masa M, que gira libremente alrededor de una bisagra sin fricción, se suelta desde el reposo en su posición horizontal, como se muestra en la figura. Calcular la aceleración angular de la barra y su aceleración lineal inicial de su extremo. Solución. Como el torque de la fuerza en la bisagra es cero, se puede calcular el torque en torno a la bisagra producido por la otra fuerza externa que actúa sobre la barra, que es su peso, suponiendo que la barra es homogénea y que el peso actúa en su centro geométrico. Entonces: LMg rMg 2 1 = = τ Como α τ I = , y el momento de inercia de la barra es 2 3 1 ML I = . Se tiene: LMg I 2 1 = α www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 6 ⇒ L g ML LMg 2 3 3 1 2 1 2 = = α Para calcular la aceleración lineal del extremo de la barra, usamos la ecuación L at α = . Reemplazando α : g L at 2 3 = = α Ejemplo 4. Una esfera rueda sobre una barra, con sección en forma de U, inclinada. Determinar la aceleración. Solución. Las fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso, P, la reacción normal del plano, R, y la fuerza de rozamiento Ff. Como la reacción R y el rozamiento Ff están aplicados en el eje instantáneo de rotación no realizan ningún torque, sólo el peso: θ τ sen hmg = , siendo ( ) 2 1 2 2 b r h − = El momento de inercia de la esfera con relación al eje instantáneo de rotación es 2 2 5 2 mh mr I + = Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: ( ) ( ) 2 2 2 2 5 / 2 sen 5 / 2 sen h r hg mh mr hmg I + = + = = θ θ τ α la aceleración lineal será: h a α = ( ) ( ) 1 5 / 2 sen 5 / 2 sen 2 2 2 2 2 + = + = h r g h r g h a θ θ = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 7 sen 5 b r gh b r − − θ Ejemplo 5. Se tiene un disco de masa M y radio R, que pueda girar libremente alrededor de un eje que pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor del disco, se tira la cuerda con una fuerza F. Si el disco está inicialmente en reposos ¿Cuál es su velocidad al tiempo t? Solución. El momento de inercia del disco con respecto al eje es: 2 2 1 MR I = La dirección de la cuerda siempre es tangente al disco por lo que el torque aplicado es: FR = τ Como α τ I = Tenemos I τ α = Reemplazando MR F MR FR 2 2 1 2 = = α Siendo α constante t α ω ω + = 0 Como 0 0 = ω ⇒ t MR F t 2 = = α ω Ejemplo 6. Se sujeta una masa M a una cuerda ligera enrollada alrededor de una rueda de momento de inercia I y radio R. Hallar La tensión de la cuerda, la aceleración y su velocidad después de haber descendido una distancia h desde el reposo. Solución. La figura siguiente muestra los diagramas de cuerpo libre. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 7 Aplicando la segunda ley de Newton a la masa M Ma T Mg = − (1) Aplicando la segunda ley de Newton para rotación al disco α I TR = , como α R a = ⇒ R a = α R a I TR = o Ia TR = 2 (2) Resolviendo (1) y (2) obtenemos g R I M M a 2 + = , Mg R I M R I T 2 2 + = Siendo un movimiento con aceleración constante as v v 2 2 0 2 + = Conocemos: a , 0 0 = v , h s = : h R I M Mg v 2 2 2 + = ⇒ h R I M Mg v 2 2 + = Ejemplo 7. Un anillo de 5 cm de radio, grosor despreciable y densidad 1,6 g/cm, se pone en rotación alrededor de un diámetro cuando se le comunica un momento angular de 7900 g cm2/s. a) Hallar la expresión analítica y el valor numérico del momento de inercia respecto del eje de giro. b) ¿Con qué velocidad angular empieza a girar? c) Si el rozamiento con el aire y los pivotes origina un par de fuerzas cuyo torque es de 50 dina cm, ¿cuál será la ecuación del movimiento que efectúa el anillo?, ¿cuánto tiempo tarda en pararse? (Nota 1 N = 105 dinas) Solución. a) Por el teorema de las figuras planas, tenemos que: Iz = Ix + Iy ; Además por simetría Ix = Iy, Por tanto 2 z x I I = = ( ) 3 2 2 2 2 1 2 1 R R R LR πρ π ρ ρ = = = ( )( ) 3 1 05 , 0 10 . 6 , 1 − π = 6,28x10-5 kg m2 b) Al comunicarle un momento angular L = 7,9 x10-4 kg m2/s, 5 4 0 10 28 , 6 10 9 , 7 − − × × = = I L ω = 12,58 rad/s c) τ = 50 dina cm = 50x10-5 Nx10-2 m = 5x10-6 N m Por lo tanto la ecuación del movimiento en términos angulares será: 2 0 0 2 1 t t α ω θ θ + + = = 2 0398 , 0 6 , 12 t t − , y t 079 , 0 6 , 12 − = ω Siendo ω = 0 para t = 158 s. Ejemplo 8. Maquina de atwood tomando en cuenta la polea. La polea es un disco de masa M y radio R. La figura muestra los diagramas de cuerpo libre de cada una de las partes de la máquina de atwood. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 8 Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partes. Masa M1: a M g M T 1 1 1 = − (1) Masa M2: a M T g M 2 2 2 = − (2) Polea: α I R T R T = − 1 2 = MRa R a MR 2 1 2 1 2 = (3) Resolviendo (1), (2) y (3), obtenemos: ( ) a g M T + = 1 1 , ( ) a g M T − = 2 2 y ( ) ( ) g M m m m m a 2 1 2 1 2 + + − = Ejemplo 9. Una polea homogénea de radio R, masa M y momento de inercia I, gira alrededor de su eje, debido a la acción de dos masas m1 y m2. R = 0,3 m, m1 =15 kg, m2 = 10 kg, M = 20 kg, I =18 kg m2. Calcular: a) La aceleración angular de la polea. b) Las tensiones de las cuerdas. c) La tensión del soporte que fija el sistema al techo Solución. a) Vamos a suponer que el sistema acelera hacia el lado de la masa mayor M. Planteando la segunda ley de Newton para cada masa: a m T g m 1 1 1 = − , a m g m T 2 2 2 = − Para la polea: R a I I R T R T = = − = ∑ α τ 2 1 Como el hilo no desliza, R a α = Por lo tanto tenemos tres ecuaciones: a m T g m 1 1 1 = − , a m g m T 2 2 2 = − , 2 2 1 R a I T T = − Que sumadas dan lugar a: (m1 – m2) g = a(m1 + m2 + I/R2). Por lo tanto a vale: g R I m m m m a 2 2 1 2 1 + + − = = 8 , 9 3 , 0 18 25 5 2 + = 0,22 m / s2 y 3 , 0 22 , 0 = = R a α = 0,73 rad / s2 b) De las ecuaciones anteriores obtenemos: ( ) a g a m g m T − = − = 15 1 1 1 = 143,7 N. ( ) a g m T + = 2 2 = 100,2 N. c) Considerando todas las fuerzas que actúan sobre la polea, que debe estar en equilibrio: 0 = ∑ → F S = P + T1 + T2 = 20 x 9,8 + 146,67 + 102,22 = 445 N www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 9 Ejemplo 10. La figura representa un cilindro macizo y homogéneo de radio R = 20 cm y masa M = 20 kg. A su periferia va arrollado un hilo ideal de cuyo extremo libre cuelga una masa m = 8 kg. Por una hendidura muy fina se le arrolla otro hilo ideal a una distancia del eje horizontal r = 10 cm, a cuyo extremo libre se le aplica una fuerza constante F = 200 N. Calcular: a) Momento de inercia del cilindro respecto a un eje que coincida con una generatriz. b) Aceleración con que sube la masa m. c) Aceleración angular del cilindro. d) Tensión del hilo que sostiene la masa. Solución. a) Aplicando el teorema de Steiner, I = ½ MR2 +MR2 = 3/2 MR2 b) Podemos plantear dos ecuaciones: ma mg T = − y MRa R a MR I TR Fr 2 1 2 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − α Que conducen a: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − MR mR a mgR Fr 2 1 . Por lo tanto la aceleración a vale: 2 6 , 1 68 , 15 20 2 1 + − = + − = mR mR mgR Fr a = 1,2 m / s2 c) 2 , 0 2 , 1 = = R a α = 6 rad/s2. d) T = mg + ma = 8 (9,8 +1,2) = 88 N. Ejemplo 11. Dos poleas cuyos radios son 1 m y 0,3 m, están acopladas pegada una a la otra en un plano vertical, formando un bloque que gira alrededor de su eje de rotación común. De la garganta de la polea grande pende una masa de 20 kg y de la garganta de la polea pequeña pende otra masa de 100 kg que tiende a hacer girar a las poleas en sentido contrario al anterior. El momento de inercia del sistema formado por las dos poleas es de 10 kg m2. Al dejar el sistema en libertad, se pone en movimiento espontáneamente. Se pide: a) ¿En qué sentido se mueven las poleas? b) Valor de la aceleración con que se mueve cada una. c) Aceleración angular de las poleas. d) Tensión de la cuerda que sostiene la masa de 100 kg cuando el sistema está en movimiento. Solución. a) Cuando las poleas están inicialmente en reposo, los pesos coinciden con las tensiones. Por tanto T1 = 200 N, y T2 = 1000 N. El momento que ejerce T1 valdrá 1 1 1 R T = τ = 200 Nm El que ejerce T2 valdrá 2 2 2 R T = τ = 300 N m. Por tanto, al ser el momento de la fuerza T2 mayor, la polea girará de modo que la masa M1suba. b) y c) Planteando la ecuación fundamental de la dinámica a cada masa y a la polea, tendremos: 1 1 1 1 a M g M T = − ⇒ 1 1 1 1 R M g M T α = − (1) 2 2 2 2 a M T g M = − ⇒ 2 2 2 2 R M T g M α = − (2) α τ τ I = − 1 2 ⇒ α I R T R T = − 1 1 2 2 (3) De las tres ecuaciones obtenemos α : I R M R M gR M gR M + + − = 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 α = g 10 9 20 20 30 + + − = 2,51 rad / s2. La aceleración de cada masa será: 1 1 R a α = = 2,51 m/s2, 2 2 R a α = = 0,75 m/s2 d) 2 2 2 2 R M g M T α − = = 904,7 N Ejemplo 12. Un rollo de 16,0 kg de papel con radio R = 18,0 cm descansa contra la pared www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 10 sostenido por un soporte unido a una varilla que pasa por el centro del rollo. La varilla gira sin fricción en el soporte, y el momento de inercia del papel y la varilla alrededor del eje es de 0,260 kg. m2. El otro extremo del soporte está unido mediante una bisagra sin fricción a la pared de modo que el soporte forma un ángulo de 30,0° con la pared. El peso del soporte es despreciable. El coeficiente de fricción cinética entre el papel y la pared es 25 , 0 = k μ . Se aplica una fuerza vertical constante F = 40,0 N al papel, que se desenrolla. a) ¿Qué magnitud tiene la fuerza que la varilla ejerce sobre el rollo de papel al desenrollarse? b) ¿Que aceleración angular tiene el rollo? Solución. En el punto de contacto, la pared ejerce una fuerza f F de la fricción dirigida hacia abajo y una fuerza normal N dirigida a la derecha. Esto es una situación donde es cero la fuerza neta en el rodillo, pero el torque neto no es cero. La suma de fuerzas verticales , cos var F W F F f + + = θ , kN μ Ff = Las fuerzas horizontales N θ F = sen var . De aquí tenemos: W F N μ θ F + + = k var cos . sen var N θ F = a) Eliminando N y resolviendo para var F da θ μ θ F W F sin cos k var − + = ° − ° + = 30 sen ) 25 , 0 ( 30 cos ) (9,80 ) 0 , 16 ( 0 , 40 N 266 = b) Con respecto al centro del rodillo, la barra y la fuerza normal ejercen el torque cero. La magnitud del torque neto es R F F f ) ( − , y N μ Ff k = Puede calcularse reemplazando el valor encontrado para var F en cualquiera de las relaciones anteriores; N 2 , 33 sen var k = = θ F μ Ff . Luego, . ) (0,260 ) 10 )(18,0 54 , 31 0 , 40 ( 2 − × − = = I τ α 2 rad/s 71 , 4 = Ejemplo 13 Se debe aplicar una sola fuerza adicional a la barra de la figura para mantenerla en equilibrio en la posición mostrada. Puede despreciarse el peso de la barra. a) Calcule las componentes vertical y horizontal de la fuerza requerida. b) ¿Qué ángulo debe formar ésta fuerza con la barra? c) ¿Qué magnitud debe tener? d) ¿Dónde debe aplicarse? Solución. a) La tensión en el resorte es N, 50 2 = W y la fuerza horizontal sobre la barra debe equilibrar la componente horizontal de la fuerza que el resorte ejerce sobre la barra, y es igual a N, 30 37 sen N) 50 ( = ° a la izquierda en la figura. La fuerza vertical debe ser arriba N, 50 10 37 cos 50 = + ° b) ° = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 59 N 30 N 50 arctan c) N. 58 N) 50 ( N) 30 ( 2 2 = + d) Tomando torques alrededor (y midiendo la distancia de) del extremo izquierdo ) 0 , 5 )( 40 ( 50 = x ⇒ m 0 , 4 = x Donde solamente las componentes verticales de las fuerzas ejercen torques. Ejemplo 14. Imagine que está tratando de subir una rueda de bicicleta de masa m y radio R a una acera de altura h; para ello, aplica una fuerza horizontal F. ¿Qué magnitud mínima de F logra subir la rueda si la fuerza se aplica a) al centro de la rueda? b) ¿En la parte superior de la rueda? c) ¿En cuál caso se requiere menos fuerza? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 11 Solución. a) Tome los torques respecto a la esquina superior de la acera. La fuerza → F actúa a una distancia perpendicular h R − y el peso actúa en una distancia perpendicular ( ) 2 2 h R R − − = 2 2 h Rh − . Igualando los torques para encontrar la fuerza necesaria mínima, h R h Rh mg F − − = 2 2 . b) El torque debido a la gravedad es el mismo, pero la fuerza → F actúa a una distancia perpendicular , 2 h R − tal que la fuerza mínima es h R h Rh mg F − − = 2 2 2 . c) Se requiere menos fuerza que cuando la fuerza se aplica en parte alta de la rueda. Ejemplo 15. Un disco homogéneo A gira alrededor del eje y bajo la acción de la masa C unida a una cuerda que pasa por una polea sin peso ni rozamiento enrollada alrededor del tambor cilíndrico macizo B, solidaria del disco A. A éste está unida una masa puntual D, como indica la figura. Las masas A, B, C y D son respectivamente 65, 15, 8 y 4 kg. Se supone que la cuerda permanece siempre horizontal. Calcular: a) Aceleración angular del disco. b) Aceleración tangencial de D. c) Aceleración normal de D, 4 s después de partir del reposo. Solución. a) Calculemos en primer lugar el momento de inercia del sistema A-B-D. 2 2 2 2 1 2 1 2 1 D D B B A A R m R m R m I + + = = 51,56 kg m2 Aplicando la segunda ley de Newton en la masa C: a m T g m C C = − A R T g α 8 8 = − Aplicando la segunda ley de Newton de la rotación en el conjunto giratorio: α I TRB = Resolviendo el sistema formado: ⎭ ⎬ ⎫ = = − α α I TR R TR gR B B B B 8 8 2 α I aR gR B B + = 2 8 8 ⇒ 18 , 53 28 , 35 8 8 2 = + = I R gR B B α = 0,66 rad/s2 b) 0 0 R a α = = 0,6 m/s2 c) ( ) t s 4 α ω = = 2,65 rad/s D N R a 2 ω = = 6,34 m/s2 EQUILIBRIO ESTÁTICO En el capítulo 5 vimos que para que una partícula estuviera en equilibrio estático era suficiente que La fuerza resultante fuese cero. 0 = ∑ → F Esta condición también, es necesaria para que un cuerpo rígido este en equilibrio, pero no es suficiente que solamente el centro de masa este en reposo, el cuerpo puede girar Es necesario que el momento de: fuerzas o torque con respecto al centro de masa sea nulo. 0 = ∑ → τ A continuación desarrollaremos algunos ejemplos de aplicación. En muchos de ellos la fuerza de la gravedad ejercida sobre las diversas partes de un cuerpo puede sustituirse por una sola fuerza, el peso total actuando en el centro de gravedad. Si la aceleración de la gravedad no varía a lo largo del cuerpo, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Ejemplo 16. Demostrar que cuando un cuerpo está en equilibrio y el torque con respecto al centro de masa es cero, el torque con respecto a cualquier punto también es cero. Solución. En la figura → O r es el vector del centro de masa a O www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 12 → i r es el vector del centro de masa al punto donde actúa → i F . → Oi r es el vector del punto O al punto donde actúa → i F . De la figura vemos: → → → + = Oi O i r r r El torque total alrededor de O es ∑ → → → × = i i Oix O F r τ = ∑ → → → × ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− i i O i F r r = ∑ ∑ → → → → × − × i i O i i i F r F r = ∑ → → → × − i i O CM F r τ Como → O r es constante ∑ → → → → × − = i i O CM O F r τ τ Para un cuerpo en equilibrio 0 = ∑ → i F tal que CM O → → = τ τ Si 0 = → CM τ , el torque alrededor de cualquier punto debe ser cero y viceversa. Ejemplo 17. Par de fuerzas. Dos fuerzas iguales y opuestas que actúan en la figura siguiente se denominan par de fuerzas, Según se indica F es el valor de cualquiera de las fuerzas y ( ) 1 2 x x d − = es la distancia entre ellas. El momento o torque producido por estas fuerzas con respecto a O es: 1 2 Fx Fx O − = τ = ( ) Fd x x F = − 1 2 Este resultado no depende de la selección del punto O, el momento producido por un par es el mismo respecto a cualquier punto del espacio. Ejemplo 18. Una fuerza vertical F que actúa en A. en el sólido rectangular mostrado en la figura, queremos sustituirla por otra cuya línea de acción pasa por el centro de masa más un par de fuerzas que actúen horizontalmente aplicados en A y B. Solución. a) Sustituir la fuerza vertical dada por otra igual paralela cuya línea de acción pase por el centro de masa. b) Hacer girar el plano del par, hasta desplazarlo hasta la línea A B. c) Se cambian los módulos de las fuerzas a F’ de tal modo que: Fa b F = ' ⇒ b a F F = ' Ejemplo 19. Sobre una placa sólida actúan cuatro fuerzas de módulos F1 = 28,3 N, F2 = 60 N, F3 = 20 N y F4 = 50 N. Como se indican en la figura. Hallar la tuerza resultante sobre la placa y determinar su línea de acción. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 13 Solución. Utilizando el cuadriculado obtenemos: j i r ˆ 2 , 0 ˆ 2 , 0 1 − − = → , j i F ˆ 2 2 3 , 28 ˆ 2 2 3 , 28 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = → = j i ˆ 20 ˆ 20 + j i r ˆ 2 , 0 ˆ 1 , 0 2 − = → , j F ˆ 60 2 → = j i r ˆ 1 , 0 ˆ 2 , 0 3 + = → , i F ˆ 20 3 − = → j i r ˆ 2 , 0 ˆ 1 , 0 4 + − = → , j i F ˆ 4 3 50 ˆ 4 3 50 4 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = → = j i ˆ 40 ˆ 30 − La fuerza resultante es → → → → → + + + = 4 3 2 1 F F F F F = ( ) ( )j i ˆ 40 50 20 30 20 20 − + + + − & & = ( )N j i ˆ 40 ˆ 30 + El torque resultante respecto al centro de masa es la suma de los torques individuales. → → → → → + + + = 4 3 2 1 τ τ τ τ τ Siendo: → → → × = 1 1 1 F r τ = ( ) ( ) j i j i ˆ 30 ˆ 20 ˆ 2 , 0 ˆ 2 , 0 + × − − = 0 → → → × = 2 2 2 F r τ = ( ) ( ) k j j i ˆ 6 ˆ 60 ˆ 2 , 0 ˆ 1 , 0 = × − → → → × = 3 3 3 F r τ = ( ) ( ) k j j i ˆ 2 ˆ 20 ˆ 1 , 0 ˆ 2 , 0 = − × + → → → × = 4 4 4 F r τ = ( ) ( ) k j i j i ˆ 2 ˆ 40 ˆ 20 ˆ 2 , 0 ˆ 1 , 0 − = − × + − Reemplazando: k ˆ 6 = → τ Nm Para determinar la línea de acción de la tuerza, consideremos que el punto de aplicación de la fuerza resultante es: j y i x r ˆ ˆ + = → Tal que → → → × = = F r k ˆ 6 τ = ( ) ( ) j i j y i x ˆ 40 ˆ 30 ˆ ˆ + × + = ( )k y x ˆ 30 40 − De aquí: ( ) 6 30 40 = − y x ⇒ 3 15 20 = − y x Esta es la ecuación de la línea de acción de la fuerza; si esta tuerza a de situarse en algún punto del borde inferior de la placa, y = - 0,2 m.. Obtenemos 20 15 3 y x + = = ( ) 0 20 2 , 0 15 3 = − + La figura siguiente muestra la fuerza resultante: Ejemplo 20. Se tiene una escalera dé masa M y largo L apoyada contra la pared .No hay fricción en la pared y el coeficiente de fricción del piso es μ . ¿Cuál es el mínimo ángulo de inclinación para que no comience a resbalar? Solución. La figura siguiente muestra el diagrama del cuerpo libre de la escalera. Condición para que el centro de masa no acelere: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 14 y x x N N F μ − = = ∑ 0 , y y N Mg F − = = ∑ 0 De aquí obtenemos: Mg N y = , Mg N N y x μ μ = = Condición de no rotación: La suma de momentos de fuerza con respecto al centro de masa es cero. 0 sen 2 sen 2 cos 2 = − − θ θ μ θ L N L N L N x y y Reemplazando las fuerzas: 0 sen 2 sen 2 cos 2 = − − θ μ θ μ θ L Mg L Mg L Mg ⇒ θ θ μ cos sen 2 = ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − μ θ 2 1 tan 1 Otra forma: En lugar de tomar el centro de masa como origen tomemos extremo inferior de la escalera. Tomando momentos con respecto a este punto. 0 sen cos 2 = − θ θ L N L Mg x Reemplazando el valor de Nx: 0 sen cos 2 = − θ μ θ MgL L Mg ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − μ θ 2 1 tan 1 Obtenemos la misma respuesta porque no importa con respecto a que eje tomemos el torque. Ejemplo 21. Una viga de masa m se empotra a la pared como se muestra en la figura y se sujeta por medio de un alambre. Si la tensión en el alambre excede m T el alambre se rompe. ¿Para qué valor de x, el alambre se romperá por una masa M colocada sobre la viga? Solución. La figura muestra el diagrama del cuerpo libre del sistema viga-masa. R es a reacción de la pared. Como el sistema está en equilibrio 0 = ∑ → F ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − − = = − = ∑ ∑ 0 sen sen 0 cos cos mg Mg T R F T R F y x θ α θ α Con 0 = ∑ → τ alrededor de cualquier punto. Tomamos momentos con respecto a O. 0 2 sen = − − Mgx L mg TL θ De esta última ecuación obtenemos Mg L mg TL x 2 sen − = θ Si T = Tm obtenemos el valor máximo de x. Si estuviéramos interesados en conocer R, sería mejor tomar momentos con respecto al otro extremo. Ejemplo 22. Un albañil de 75 kg camina sobre un tablón de 3 m de largo y 80 kg apoyado sobre dos vigas distantes 2 m, tal como indica la figura. ¿Cuál es la máxima distancia x que puede recorrer, sin que caiga? Solución. Para que el tablón gire, el torque del peso del albañil respecto del punto O, más el torque del peso de la parte de tablón que sobresale, debe ser mayor o igual que el torque del peso de la parte de tablón apoyada entre las vigas: Llamando λ a la densidad lineal del tablón: L M = λ , haciendo d = 2 m, L = longitud del tablón, M = masa tablón, m = masa albañil tendremos: ( ) ( ) 2 2 d dg d L g d L mgx λ λ = − − + ⇒ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 2 L Ld L M d L d mx − = − − + λ , ⇒ ( ) L d m M x − = 2 2 = 0,53 m Ejemplo 23. Un baúl de masa M se empuja sobre un suelo con coeficiente de rozamiento a) Qué fuerza F se ejerce si el baúl se mueve con aceleración constante a? b) ¿Si el baúl se mueve con velocidad constante? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 15 c) ¿Qué fuerza se necesita para inclinar el baúl? Solución. La figura siguiente muestra el diagrama del cuerpo libre del baúl. a) Aplicando la segunda ley de Newton. ( )Ma N N F F k x 2 1 + − = ∑ μ , 0 2 1 = − + = ∑ Mg N N Fy Resolviendo las ecuaciones: ( ) g a M F k μ + = b) En el caso que el baúl va con velocidad constante 0 = a y g M F k μ = c) Para analizar la inclinación del baúl tenemos que escribir la ecuación de momentos con respecto al borde delantero, sin rotación α = 0, luego 0 2 1 = + − − = ∑ Mg b hF bN τ Cuando el baúl empiece a inclinarse, empezará a rotar en el sentido horario y N1 = 0, de aquí: h bMg F 2 = y la aceleración: g h b g M F a k k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = μ μ 2 Ejemplo 24. El extremo A de la barra AB de la figura descansa en una superficie horizontal sin fricción, y el extremo B tiene una articulación. Se ejerce en A una fuerza horizontal F de magnitud 120 N. Desprecie el peso de la barra. Calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la barra sobre la articulación en B. Solución. La componente horizontal de la fuerza ejercida en la barra por la bisagra debe equilibrar la fuerza → F aplicada, y así tiene magnitud 120,0 N y es hacia la izquierda. Tomando torques alrededor del punto A m) 00 , 3 ( m) 00 , 4 N)( 0 , 120 ( V F + La componente vertical es – 160 N, el signo menos indica una componente hacia abajo, ejerciendo un torque en una dirección opuesta a la de la componente horizontal. La fuerza ejercida por la barra en la bisagra es igual en magnitud y contrario en la dirección a la fuerza ejercida por la bisagra en la barra Ejemplo 25. La caja es arrastrada sobre una superficie horizontal con rapidez constante por una fuerza. El coeficiente de fricción cinética es de 0,35. a) Calcule la magnitud de F. b) Determine el valor de h con el cual la caja comience a volcarse. Solución. a) mg μ Ν μ F F f k k = = = = ) s m kg)(9,80 0 , 30 )( 35 , 0 ( 2 = 103 N b) Con respecto al borde delantero de la caja. El brazo de palanca del peso es m 125 , 0 2 250 , 0 = El brazo de palanca h de la fuerza aplicada es entonces k 1 ) 125 , 0 ( ) 125 , 0 ( μ = = F mg h = m. 36 , 0 35 , 0 125 , 0 = TRABAJO Y ENERGIA EN ROTACIÓN. Consideremos un cuerpo que gira alrededor de un eje tal como se muestra en la figura La energía cinética de un elemento de masa dm que gira a una distancia r del eje de rotación es: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 16 2 2 1 dmv dK = , r v ω = ⇒ 2 2 2 1 r dm dK ω = Integrando. ∫ ∫ = = M dm r dK K 2 2 2 1 ω como ω es constante. ∫ ∫ = = M dm r dK K 2 2 2 1 ω El término integral es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación 2 2 1 ω I K = Para relacionar la energía cinética, al trabajo efectuado sobre el cuerpo por un torque τ . Supongamos que se aplica una fuerza externa única F, que actúa en el punto P del cuerpo. El trabajo realizado por → F a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal θ rd ds = en un tiempo dt es: θ φ rd F s d F dW sen = ⋅ = → → Como r F φ sen es el torque de la fuerza F alrededor del origen se puede escribir el trabajo realizado para la rotación infinitesimal como: θ τ d dW = Cuando el cuerpo gira en torno a un eje fijo bajo la acción de un torque. El cambio de su energía cinética durante el intervalo dt se puede expresar como: dt I dt d dt dt dK dK ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 2 1 ω = dt dt d I ω ω = dt Iωα = dt I ω α Como α τ I = y dt d ω θ = Obtenemos: dW d dK = = θ τ Si se íntegra esta expresión se obtiene el trabajo total ∫ = → 2 1 2 1 θ θ θ τ d W = ∫ 2 1 ω ω ω ωd I = 2 1 2 2 2 1 2 1 ω ω I I − = K K K Δ = − 1 2 “E1 trabajo neto realizado por las fuerzas externas al hacer girar un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía cinética de rotación”. Por la analogía que existe entre las expresiones para el movimiento lineal y el movimiento angular, podemos decir que un torque será conservativo a condición que exista una función potencial ( ) θ U U = de tal modo que el trabajo efectuado por → τ , cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular ( ) 1 2 θ θ − es la diferencia ( ) ( ) ( ) 2 1 θ θ U U − . Así pues se deduce que: ( ) ( ) 1 2 2 1 K K U U − = − θ θ ó ( ) ( ) constante 2 1 2 1 = + = + θ θ U K U K Cuando el sistema no es conservativo ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 VO CONSERVATI NO θ θ U K U K W + − + = POTENCIA La rapidez con que se realiza este trabajo es: ω τ θ τ = = dt d dt dW Expresión que corresponde a la potencia instantánea. ω τ = P Ejemplo 26. Para la barra giratoria, calcular su rapidez angular y la rapidez lineal de su centro de masa y del punto mas bajo de la barra cuando está vertical. Solución. Usando el principio de conservación de la energía, considerando que la energía potencial se calcula www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 17 respecto al centro de masa y la energía cinética es de rotación: f i E E = ⇒ gf f gi i U K U K + = + Cuando la barra esta inicialmente horizontal no tiene Ki y cuando esta vertical tiene solo Kf, entonces: 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 ω ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ML I L Mg ⇒ L g 3 = ω Para calcular la rapidez del centro de masa, se usa: gL L r vcm 3 2 1 2 = = = ω ω En el punto mas bajo la rapidez es gL v v cm 3 2 = = Ejemplo 27. Para el sistema de la figura, las masas tiene momento de inercia I en torno a su eje de rotación, la cuerda no resbala en la polea y el sistema se suelta desde el reposo. Calcular la rapidez lineal de las masas después que una ha descendido H y la rapidez angular de la polea. Solución. Como no hay roce en la polea, se conserva la energía, que aplicada a cada masa m1 y m2, suponiendo que m2 se encuentra inicialmente en la parte superior del sistema, es: f i E E = ⇒ i i i i U U K K 2 1 2 1 + + + = f f p f f U U K K K 2 1 2 1 + + + + ⇒ gH m2 0 + = gH m I v m v m 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 + + + ω ⇒ ( )gH m m v R I m m 1 2 2 2 2 1 2 1 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + Donde se ha usado la relación v = R ω, despejando v se obtiene: ( ) 2 2 1 1 2 2 R I m m gH m m v + + − = Ejemplo 28. Sobre un cilindro homogéneo de radio R y masa M. tiene El cual tiene libertad de girar sin fricción sobre un eje, como se muestra en la figura. Si se le aplica en su borde una fuerza tangencial de magnitud F. a) ¿Cuál es la aceleración angular α del cilindro? b) ¿Cual es la velocidad angular y la energía cinética del cilindro al tiempo t? c) ¿qué cantidad de trabajo aplica la fuerza durante este intervalo t?. Solución. El momento de inercia del cilindro en torno a su eje es: 2 2 1 MR I = a) Con α τ I = ⇒ I τ α = , R F0 = τ tenemos MR F MR R F 0 2 0 2 2 1 = = α b) Siendo α constante t 0 α ω ω + = Si 0 0 = ω , t α ω = , t MR F0 2 = ω La energía cinética: 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = t MR F MR I K ω = 2 2 0 t M F c) El trabajo realizado 1 2 K K K W − = Δ = = 0 2 2 0 − t M F = 2 2 0 t M F www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 18 Otra forma de calcular es: ∫ = 2 1 θ θ θ τ d W , R F0 = τ (constante) ( ) θ θ θ Δ = − = R F R F W 0 1 2 0 Con MR F0 2 = α , 0 0 = ω ⇒ 2 0 2 0 2 2 2 1 2 1 t MR F t MR F t = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = α θ Finalmente ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 0 0 t MR F R F W = 2 2 0 t M F Ejemplo 29. Un carrete de hilo delgado tiene radio R y masa M. Si se jala el hilo de tal modo que el centro de masa del carrete permanezca suspendido en el mismo lugar. a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre el carrete? b) ¿Cuánto trabajo se habrá realizado cuando el carrete gira con velocidad angular ω ? Solución. La figura muestra al carrete suspendido. El carrete solo tiene movimiento circular ya que está en equilibrio vertical Aplicando las leyes de Newton: 0 = ∑ y F ⇒ 0 = −Mg T α τ I = ∑ ⇒ α I TR = Como 2 2 1 MR I = , obtenemos: α 2 2 1 MR MgR = y R g 2 = α a) La fuerza que se ejerce sobre el carrete es Mg T = b) Como el trabajo realizado es: θ τ Δ = W , donde 2 MgR TR = = τ Siendo α constante ⇒ θ α ω ω Δ + = 2 2 0 2 Si 0 0 = ω ⇒ θ α ω Δ = 2 2 y α ω θ 2 2 = Δ = g R 4 2 ω Luego 2 2 2 4 1 4 R M g R MgR W ω ω = = Otra forma de evaluar el trabajo es por la conservación de la energía. 1 2 K K K W − = Δ = = 0 2 1 2 − ω I = 2 2 2 1 2 1 ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ MR = 2 2 4 1 R Mω Ejemplo 30. Una plataforma cilíndrica uniforme de 180 kg de masa y 4,5 m de radio se frena de 3,2 rev/s al reposo en 18 s cuando se desconecta el. motor. Calcular la potencia de salida del motor (hp) para mantener una velocidad constante de 3,2 rev/s. Solución. Como primer paso debemos conocer cuál es el torque de frenado que tenemos que vencer para mantener la velocidad constante, ese torque lo calcularemos de la siguiente manera: frenado frenado α τ I = 2 2 1 MR I = . t Δ Δ = ω α frenado = t t t ω ω ω − = − − 1 2 1 2 t MR t MR 2 2 1 2 2 frenado ω ω τ = = La potencia es: t MR P 2 2 2ω ω τ = = Siendo M =180 kg, R = 4,5 m, rev rad 2 s rev 2 , 3 π ω = = s rad 4 , 6 π , t = 18 s. ( )( ) ( ) ( ) 18 2 4 , 6 5 , 4 180 2 2 π = P = 40889,73 W Como 1 hp = 735,5 W P = 55,6 hp Ejemplo 31. Se sujeta una masa M a una cuerda ligera enrollada alrededor de una rueda de momento de inercia I y radio R. Hallar La tensión de la cuerda, la aceleración y su velocidad después de haber descendido una distancia h desde el reposo. Resolver desde el punto de vista de energía. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 19 Solución. Por el principio de conservación de la energía Etotal = constante Al inicio del movimiento toda la energía es potencial, si consideramos como nivel cero el indicado en la figura (a). Mgh Ei = La energía final es pura energía cinética, de la nasa M con velocidad v antes de chocar y el disco con momento de Inercia I con velocidad angular R v = ω , figura (b). 2 2 2 1 2 1 ω I Mv E f + = = 2 2 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + R v I Mv = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 1 2 R M v Como f i E E = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 1 2 R M v Mgh y gh R M M v 2 2 1 2 + = ⇒ gh R M M v 2 1 2 + = Ejemplo 32. Resolver la máquina le Atwood utilizando Conceptos de trabajo y energía, Solución. Las masas M1 y M2 inicialmente están en reposo en la posición 0 = y , después de soltarlas una sube y la otra baja como muestra la figura. Las masas estarán moviéndose con velocidad v la Polea tendrá una velocidad angular ω . Como no hay rozamiento por la conservación de la energía 2 1 E E = 2 2 2 1 2 1 2 1 0 v M v M + + = + gy M gy M I 2 1 2 2 1 − + ω Siendo R v = ω , 2 2 1 MR I = , tenemos: ( )gy M M v M M M 2 1 2 2 1 2 2 1 − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⇒ ( ) gy M M M M M v ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = 2 2 2 1 2 1 2 Para un movimiento uniformemente acelerado ay v 2 2 = Comparando: ( ) ( ) g M M M M M a 2 1 2 1 2 + + − = Ejemplo 33. Una canica sólida uniforme de radio r parte del reposo con su centro de masa a una altura h sobre el punto más bajo de una pista con un rizo de radio R. La canica rueda sin resbalar. La fricción de rodamiento y la resistencia del aire son despreciables. a) ¿Qué valor mínimo debe tener h para que la canica no se salga de la pista en la parte superior del rizo? (Nota: r no es despreciable en comparación con R.) b) ¿Qué valor debe tener h si la pista está bien lubricada, haciendo despreciable la fricción? www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 20 Solución. a) De a a B, la distancia que la canica ha caído es . 2 ) 2 ( R r h r R h y − + = − − = El radio de la trayectoria del centro de masa de la canica es , r R − . La condición para que la canica permanezca en la pista es c r ma F = ∑ ⇒ ( ) r R v m mg − − = − 2 ⇒ ). ( 2 r R g v − = La velocidad se determina del teorema del trabajo - energía, 2 2 2 1 2 1 ω I mv mgy + = Se tiene: ( ) r R h y − − = 2 r v = ω Se sabe que para una esfera 2 5 2 mr I = Reemplazando estos valores en la ecución de la energía: ( ) 2 2 2 5 2 2 1 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − r v mr mv r R h mg ⇒ ( ) 2 2 2 10 7 5 1 2 1 2 v v v r R h g = + = + − ⇒ ( ) 2 10 7 2 v r R h g = + − Reemplazando el valor de 2 v : ( ) ( ) r R g r R h g − = + − 10 7 2 ⇒ ( ) r R r R h − = + − 10 7 2 ⇒ ( ) r R r R h − + − = 10 7 2 = ( ) r R r R − + − 10 7 2 = r R 10 17 10 27 − = r R 7 , 1 7 , 2 − b) En ausencia de fricción no habrá rotación. Luego: 2 2 1 mv mgy = Sustituyendo las expresiones para y y 2 v en términos de los otros parámetros da ( ) r R r R h − = + − 2 1 2 Resolviendo obtenemos r R h 2 3 2 5 − = . Ejemplo 34. La figura muestra tres yoyos idénticos que inicialmente están en reposo en una superficie horizontal. Se tira del cordel de cada uno en la dirección indicada. Siempre hay suficiente fricción para que el yoyo ruede sin resbalar. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada yoyo. ¿En qué dirección girará cada uno? Explica tus respuestas Solución. En el primer caso, → F y la fuerza de la fricción actúan en direcciones opuestas, y la fuerza de fricción tiene el torque mayor que hace rotar el yo-yo a la derecha. La fuerza neta a la derecha es la diferencia f F F − , tal que la fuerza neta es a la derecha mientras que el torque neto causa una rotación a la derecha. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 21 Para el segundo caso, el torque y la fuerza de fricción tienden a dar vuelta al yoyo a la derecha, y el yo-yo se mueve a la derecha. En el tercer caso, la fricción tiende a mover al yo-yo a la derecha, y puesto que la fuerza aplicada es vertical, el yoyo se mueve a la derecha. Ejemplo 35. Una canica uniforme baja rodando sin resbalar por el trayecto de la figura, partiendo del reposo. a) Calcule la altura mínima h que evita que la canica caiga en el foso. b) El momento de inercia de la canica depende de su radio. Explique por qué la respuesta a la parte (a) no depende del radio de la canica. c) Resuelva la parte (a) para un bloque que se desliza sin fricción en vez de una canica que rueda. Compare la h mínima en este caso con la respuesta a la parte (a). Solución. a) Encuentre la velocidad v que necesita la canica en el borde del hoyo para hacerlo llegar a la tierra plana en el otro lado. La canica debe viajar 36 m horizontalmente mientras cae verticalmente 20 m. Use el movimiento vertical para encontrar el tiempo. Tome + y hacia abajo. ? m, 20 , m/s 80 , 9 , 0 0 2 0 = = − = = t y y a v y y 2 1 2 0 0 t a t v y y y y + = − s 02 , 2 = ⇒t Luego 0 0 t v x x x = − m/s. 82 , 17 0 = ⇒ x v Utilice la conservación de la energía, donde el punto 1 está en el punto de partida y el punto 2 está en el borde del hoyo, donde m/s. 82 , 17 = v Haga 0 = y en el punto 2, tal que 0 2 = y e h y = 1 2 2 1 1 U K U K + = + 2 2 2 1 2 1 ω I mv mgh + = Rodar sin resbalar significa r v ω = , 2 5 2 mr I = Tal que 2 2 5 1 2 1 mv I = ω 2 10 7 mv mgh = ⇒ ) m/s 10(9,80 m/s) 82 , 17 ( 7 10 7 2 2 = = g v h = 23 m b) , 5 1 2 1 2 2 mv I = ω Independiente de r. c) Todo es igual, excepto que no hay el término de energía rotacional cinética en K: 2 2 1 mv K = 2 2 1 mv mgh = m 16 2 2 = = g v h . Comparado con la altura de la parte (a), 16 /23 = 0,7, es el 70 %. Ejemplo 36. Una esfera sólida uniforme rueda sin resbalar subiendo una colina, como se muestra en la figura. En la cima, se está moviendo horizontalmente y después se cae por un acantilado vertical. a) ¿A qué distancia del pie del acantilado cae la esfera y con qué rapidez se está moviendo justo antes de tocar el suelo? b) Observe que, al tocar tierra la esfera, tiene mayor rapidez de traslación que cuando estaba en la base de la colina. ¿Implica esto que la esfera obtuvo energía de algún lado? Explique. Solución. a) Use la conservación de la energía para encontrar la velocidad 2 v de la bola momentos antes que salga de la parte alta del acantilado. Sea el punto 1 en la base de la colina y el punto 2 en la cima de la colina. Tome 0 = y en la base de la colina, tal que 0 1 = y e m. 0 , 28 2 = y 2 2 1 1 U K U K + = + www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ω ω I mv mgy I mv + + = + Rodar sin resbalar significa r v = ω y 2 2 2 2 5 1 ) / ( 5 1 2 1 2 1 mv r v mr I = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ω 2 2 2 2 1 10 7 10 7 mv mgy mv + = s m 26 , 15 7 10 2 2 1 2 = − = gy v v Considere el movimiento de proyectil de la bola, después de salir de la cima del acantilado hasta justo antes de tocar tierra. Tome y + hacia abajo. Utilice el movimiento vertical para encontrar el tiempo en el aire: 0 0 = y v , 2 m/s 80 , 9 = y a m 0 , 28 0 = −y y , ? = t 2 1 2 0 0 t a t v y y y y + = − ⇒ s 39 , 2 = t Durante este tiempo la bola viaja horizontalmente t v x x x 0 0 = − = ( )( ) m. 5 , 36 s 39 , 2 s m 26 , 15 = Justo antes de tocar tierra, m/s 4 , 23 0 = + = gt v v y y y m/s 26 , 15 0 = = x x v v s m 0 , 28 2 2 = + = y x v v v b) En la base de la colina, s m 0 , 25 r r v ω = = La razón de la rotación no cambia mientras la bola está en el aire, después de dejar la parte alta del acantilado, tal que momentos antes de tocar tierra r m/s 3 , 15 = ω La energía cinética total es igual en la base de la colina y momentos antes de tocar tierra, pero momentos antes de tocar tierra poco de esta energía es energía cinética rotatoria, así que la energía cinética de traslación es mayor. Ejemplo 37. Un cilindro sólido uniforme de masa M y radio 2R descansa en una mesa horizontal. Se ata un hilo mediante un yugo a un eje sin fricción que pasa por el centro del cilindro de modo que éste puede girar sobre el eje. El hilo pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R montada en un eje sin fricción que pasa por su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo. El hilo no resbala en la polea, y el cilindro rue-da sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, ¿qué aceleración hacia abajo tendrá el bloque? Solución. Hacer este problema usando la cinemática implica cuatro incógnitas (seis, contando las dos aceleraciones angulares), mientras que usando consideraciones de la energía se simplifican los cálculos. Si el bloque y el cilindro ambos tienen velocidad v, la polea tiene velocidad angular v/R y el cilindro tiene velocidad angular v/2R, la energía cinética total es ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + = 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 1 Mv R v MR R v R M Mv K . 2 3 2 Mv = (1) Esta energía cinética debe ser el trabajo hecho por la gravedad; si la masa que cuelga desciende una distancia y, . Mgy K = (2) De (1) y (2): gy v 3 2 2 = Para aceleración constante , 2 2 ay v = Por comparación de las dos expresiones obtenemos: 3 g a = Ejemplo 38. Una barra de largo 2L y masa M está articulada en un extremo a un punto fijo O, inicialmente en reposo y horizontal. Si ella se suelta, comienza a rotar respecto a la articulación bajo el efecto del peso de la barra. Determine la reacción en la articulación y la velocidad angular de la barra en función del ángulo que ella ha girado. Solución. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 23 Por conservación de energía tenemos que ( ) 0 sen 2 23 11 2 2 = − • θ θ Mg L M Luego la velocidad angular de la barra es: θ θ sen 2 3 2 L g = • ⇒ θ θ sen 2 3 L g = • Además θ cos 2 2 L dt d M RH = − , ( ) θ sen 2 2 L dt d M Mg RV − = − Entonces 2 sen sen 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = • θ θ θ θ d d ML RH = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ θ θ θ θ sen 2 3 sen sen 2 1 2 L g d d ML = θ θ cos sen 4 9 ML ( ) θ sen 2 2 L dt d M Mg RV − − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − θ θ θ θ sen 2 3 cos cos 2 1 2 L g d d ML Mg = θ 2 cos 4 9 2 5 Mg Mg − Ejemplo 39. Una barra de longitud L y masa M se coloca verticalmente sobre un plano horizontal liso, en reposo. Si ella es perturbada levemente comienza a caer. Determine: a) La velocidad del centro de masa de la barra justo cuando ella se coloca horizontal. b) La aceleración angular en dicho instante. Solución. a) Momento de inercia de la barra con respecto a un extremo 2 3 1 ML I A = Por conservación de energía. 2 2 3 1 2 1 2 ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ML L Mg ⇒ L g 3 = ω 2 L vCM ω = = gL 3 2 1 b) La aceleración angular en dicho instante. 2 3 1 2 ML L Mg I A A = = τ α = L g 2 3 Ejemplo 40. Una barra de longitud 2L y masa M se coloca sobre un plano horizontal liso. Si la barra es tirada por una fuerza constante F, inicialmente perpendicular a la barra y aplicada en un extremo, la barra comienza a moverse sobre el plano. La fuerza se mantiene aplicada a ese mismo extremo manteniendo su dirección original. Determine una ecuación para el ángulo que gira la barra en función del tiempo. Solución. El torque respecto al centro de masa conduce a • = θ θ 2 3 1 sen ML FL ⇒ θ θ sen 3 L F = • Ejemplo 41. Una barra de longitud L y masa M puede oscilar libremente en torno a uno de sus www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 24 extremos que se mantiene fijo, bajo la acción de su peso. Escriba la ecuación diferencial para el ángulo que ella gira. Solución. Por conservación de energía θ θ cos 2 23 11 2 2 L Mg ML E − = • Derivando respecto al tiempo 0 sen 2 3 1 2 = + • • • • θ θ θ θ L Mg ML Finalmente 0 sen 2 3 = + • • θ θ L g Ejemplo 42. Un péndulo de torsión consiste en un disco uniforme de masa M y radio R suspendido de una barra delgada y vertical de masa despreciable y que puede torcerse al dar vuelta al disco alrededor de su eje, como se indica en la figura. La barra tiene una Constante de elasticidad torsional k. inicialmente se hace girar el disco un ángulo θ respecto del equilibrio y luego se le suelta desde el reposo. Determinar su velocidad de rotación cuando llega nuevamente a la posición de equilibrio. Solución. Con la ley de Hooke para rotación, θ τ k − = El trabajo para torcer un ángulo θ es: ( ) θ θ θ τ θ θ ∫ ∫ − − = − = 0 0 d k d W = 2 2 1 θ k Este trabajo queda como energía potencial. ( ) 2 2 1 θ θ k U = Al liberarse esta se convierte en energía cinética. Al pasar por el punto de equilibrio la energía es puramente energía cinética. 2 2 1 ω I K = = 2 2 2 1 2 1 ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ MR = 2 2 4 1 ω MR Por conservación de energía. 2 2 2 4 1 2 1 ω θ MR k = ⇒ 2 2 2 2 MR kθ ω = Finalmente 2 2 2 MR kθ ω = TRASLACIONES Y ROTACIONES COMBINADAS Hasta ahora solo hemos tomado en consideración la rotación del cuerpo en torno a un eje fijo en el espacio. La finalidad de esta sección es estudiar el caso en que el eje de rotación si acelera también vamos a presentar tres métodos analíticos de resolver este caso. Primer método Aplicamos la segunda ley de Newton para traslación relativa ejes no rotantes a través del centro de masa. Para ilustrar este método y los otros también, consideremos un cuerpo de radio R, masa M y momento de inercia respecto a su entro masa I, al que se le obliga a rodar sin deslizamiento a lo largo de una superficie horizontal por medio de una fuerza F que actúa en su centro de masa, La tuerza de fricción f F y la reacción N actúan tal como se muestra en la figura siguiente. EL cuerpo se mueve con una aceleración horizontal a que es la que corresponde a su centro de masa, y a su vez rota con aceleración angular α . Como rueda sin deslizamiento la relación entre el desplazamiento lineal y el desplazamiento angular es θ R x = . La velocidad es dt d R dt dx θ = ⇒ ω R v = La aceleración es dt d R dt dv ω = ⇒ α R a = Aplicando la segunda ley de Newton para traslación www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 25 Ma F F f = − Aplicando la segunda ley de Newton para rotación alrededor del centro de masa α CM f I RF − = − Eliminando f F y α , obtenemos: F a R I M CM = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 La aceleración ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 R I M F a CM Si para t = 0: 0 0 = x , 0 0 = v , Siendo a = constante La velocidad es: at v v + = 0 ( )t R I M F v CM 2 + = El desplazamiento es: 2 0 0 2 1 at t v x x + + = ( ) 2 2 2 1 t R I M F x CM + = Segundo método En este método escribimos la ecuación para traslación igual que en el anterior método, pero para la rotación se aplica la segunda ley de Newton con respecto al eje de rotación que pasa a través del punto de reposo instantáneo (punto de apoyo en el movimiento) si tal punto no existe no puede usarse este método Como ilustración veamos el ejemplo anterior. El punto contacto es el punto fijo instantáneo O, consideremos que este no desliza y todos los otros puntos de eje momentáneamente rotan alrededor de el. En este caso como la aceleración del centro masa es a, la aceleración angular del cuerpo alrededor de O es R a = α . Aplicando la segunda ley de Newton para traslación: Ma F F f = − Aplicando la segunda ley de Newton para rotación a alrededor de O: α O I FR − = − Como R a = α y 2 MR I I CM O + + : con la segunda ecuación, ( ) FR R a MR ICM = + 2 ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 R I M F a CM Tercer método Este método Consiste en usar las ecuaciones de la energía directamente. Es un Sistema Conservativo Constante = +U K Resolveremos por este método el ejemplo anterior. Puesto que no hay deslizamiento la tuerza de fricción sobre el cuerpo no trabaja sobre el mientras rueda. Siendo un sistema conservativo la fuerza F se puede deducir de una función Potencial U = - Fx donde x es la coordenada horizontal del centro de nasa. La energía E del cuerpo es: U K E + = 2 2 2 1 2 1 Mv I K CM + = ω , Fx U − = Luego: Fx Mv I E CM − + = 2 2 2 1 2 1 ω Siendo R v = ω ⇒ Fx M R I v E CM − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 2 1 De aquí podemos evaluar la velocidad considerando que para el instante inicial x = 0, y v = 0, por consiguiente E = 0. 0 2 1 2 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Fx M R I v CM y Fx M R I v CM = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 1 M R I Fx v CM + = 2 2 www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 26 Siendo un movimiento con aceleración constante ax v 2 = De esto M R I F a CM + = 2 Otra forma de calcular la aceleración. Considerando que Constante = E ⇒ 0 = dt dE 0 2 1 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Fx M R I v dt dE CM ⇒ 0 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dt dx F M R I dt dv v CM Como a dt dv = y v dt dx = 0 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Fv M R I va CM ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 R I M F a CM Ejemplo 43. Analizar el movimiento de un cuerpo de radio R, momento de inercia respecto a su centro de masa I que rueda sin deslizar hacia abajo en plano inclinado de ángulo θ . Solución. Como se muestra en la figura hay dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo, Mg actúa en el centro de gravedad y la fuerza de contacto que se descompone en la reacción normal N y la fuerza de fricción Ff. Vamos a resolver por el primer método. Traslación: Ma F Mg f = − β sen Rotación: α CM f I RF = Por la condición de no deslizamiento: R a = α Eliminando α y f F obtenemos: 2 sen R I M Mg a CM + = β Considerando que para t = 0: s = 0, y v = 0. t R I M Mg v CM ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 senβ , 2 2 sen 2 1 t R I M Mg s CM ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = β Para un anillo: 2 MR ICM = , 2 sen 4 1 t g s β = Para un disco: 2 2 1 MR ICM = , 2 sen 3 1 t g s β = Para una esfera: 2 5 2 MR ICM = , 2 sen 14 5 t g s β = Para un plano sin fricción (sin rodadura) 2 sen 2 1 t g s β = Por la ecuación de energía Si para t = 0: 0 0 = K y 0 0 = U 0 0 0 = + = U K E Llamando h a la caída del centro de masa desde la posición de reposo, tenemos: 2 2 2 1 2 1 ω CM I Mv K + = , 0 sen = − = − = β Mgs Mgh U , R v = ω β sen 2 1 2 2 Mgs R I M v CM − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⇒ s R I M Mg v CM 2 sen 2 + = β Ejemplo 44. Usar la conservación de la energía para describir el movimiento de rodadura de un cuerpo rígido de masa M que rueda por un plano inclinado θ y rugoso. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 27 Solución. Se supone que el cuerpo rígido parte del reposo desde una altura h y que rueda por el plano sin resbalar la conservación de energía da: cte = E ⇒ cte = + g U K ⇒ gf f gi i U K U K + = + Pero Ki = 0 y Ugf = 0, entonces 2 2 2 1 2 1 cm cm Mv I Mgh + = ω Como vcm= R ω ⇒ ω = vcm/R, se reemplaza en la ecuación anterior Mgh Mv R v I cm cm cm = + 2 2 2 2 1 2 1 Despejando νcm se obtiene: 2 2 MR I I gh v cm cm + = Por ejemplo, para una esfera sólida uniforme de momento de inercia 2 5 2 MR I cm = , se puede calcular su vcm en el punto más bajo del plano y su aceleración lineal. ( ) 2 2 2 5 2 1 2 MR MR gh vcm + = = gh gh 7 10 5 2 1 2 = + ⇒ gh vcm 7 10 = La aceleración lineal se puede calcular con la ecuación x a v v cm cmi cm 2 2 2 + = ⇒ x v a cm cm 2 2 = De la geometría de la figura, se tiene: h = x sen θ, donde x es la longitud del plano, reemplazando en acm: θ θ sen 7 5 2 sen 7 5 g x gx acm = = Ejemplo 45. Un disco homogéneo de radio R y masa M tiene una cuerda enrollada alrededor, según vemos en a figura. Sujetando el extremo libre de la cuerda a un soporte fijo, se deja caer el disco. Estudiar el movimiento. Solución. Vamos a resolver primero por las ecuaciones del movimiento de Newton. Traslación.: Ma T Mg = − Rotación.: α CM I RT = Como: 2 2 1 MR ICM = , R a = α : MRa R a MR RT 2 1 2 1 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = De aquí se obtenemos: Ma T 2 1 = y g a 3 2 = El yo-yo funciona según este principio, está proyectado para que a sea mucho menor que g. Resolviendo por conservación de la energía U K E + = = Mgy R v MR Mv − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Como constante = E ⇒ 0 = dt dE También dt dy v = y dt dv a = Con esto encontramos que g a 3 2 = Ejemplo 46. Estudiar el movimiento de un disco homogéneo de radio R y masa M, sobre el que actúa una fuerza horizontal F aplicada un punto variable a lo largo de una línea vertical que pasa por el centro, según se indica en la figura. Supóngase el movimiento sobre un plano horizontal. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 28 Solución. En la figura vemos que la fuerza F se aplica a una distancia h sobre el centro. Suponiendo que f F actúa hacia la izquierda. Aplicando las leyes de Newton del movimiento: Traslación Ma F F f = − (1) 0 = −Mg N (2) Rotación alrededor del centro de masa 2 1 2α α MR I R F Fh CM f = = + (3) Considerando R a = α Ma F R h F f = + 2 2 (3a) Igualando (1) y (3a) f f F R h F F F 2 2 + = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = R h F Ff 2 1 3 Discusión: a) 0 = f F , cuando 0 2 1 = − R h ⇒ 2 R h = Esto quiere decir si F se aplica a R/2 del centro, la fuerza de rozamiento es cero. b) Si h = R F R R F Ff − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 1 3 ⇒ 3 F Ff − = el rozamiento es en sentido contrario al indicado y la ecuación (3) se convierte en: ( ) α 2 2 1 3 ´ MR R F R F = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⇒ α MR F 2 1 3 2 = ⇒ MR F 3 4 = α Esto indica que el cilindro rueda hacia la derecha. c) Si disminuye h hasta que h = 0. ( ) F R F Ff = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− = 0 2 1 3 ⇒ 3 F Ff = En la ecuación (3) ( ) 2 1 3 0 2α α MR I R F F CM = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + α 2 2 1 3 MR R F = ⇒ MR F 3 2 = α El cilindro rueda hacia la derecha. d) Si F se hace muy grande tal que Ff tiende a aumentar, tan pronto como sobrepase el valor máximo posible de la tuerza de rozamiento (μN), el disco deslizará. Se debe hacer una nueva hipótesis, esta vez se tienen también las ecuaciones (1), (2) y (3) pero R a ≠ α . Ejemplo 47. Un carrete de radio interior R1 y radio exterior R2 se halla sobre un suelo áspero. Se tira de él con una tuerza F mediante un hilo arrollado en torno a su cilindro interior. Se mantiene un ángulo θ con la horizontal. Se observa que hay un ángulo Crítico 0 θ , tal que o θ θ < , el carrete rueda sin deslizar en el sentido del cual se tira de él, y para o θ θ > el carrete rueda sin deslizar en sentido contrario, ¿Cuál es el valor del ángulo critico. Solución. Aplicando las leyes de Newton del movimiento; Traslación: 2 cos R M Ma F F f α θ = = − (1) 0 sen = + − N Mg F θ Rotación: α CM f I FR R F = + − 1 2 ⇒ α CM f I FR R F − = 1 2 ⇒ α 2 1 2 1 R I R R R F F CM f − = (2) Eliminando la fuerza f F ., reemplazando (2) en (1): www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 29 Ma R I R R R F F CM = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − α θ 2 1 2 1 cos ⇒ 2 2 1 2 1 cos R M R I R R R F F CM α α θ = + − ⇒ α θ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 1 2 cos R I MR R R R F CM ⇒ ( ) ( ) dt d I MR R R F CM ω θ α = − − = 2 2 1 2 cos La rotación hará que el movimiento del carrete será hacia adelante cuando 0 > dt dω 0 cos 1 2 > −R R θ ⇒ 2 1 cos R R > θ El movimiento será hacia atrás cuando 0 < dt dω 0 cos 1 2 < −R R θ ⇒ 2 1 cos R R < θ El ángulo crítico es cuando 0 = dt dω 0 cos 1 2 = −R R θ ⇒ 2 1 cos R R = θ Ejemplo 48. Un disco de masa M y radio R se apoya sobre un plano horizontal áspero de modo que puede rodar sin resbalar con su plano vertical. Si se tira del centro del disco con una fuerza horizontal constante F, determine: a) La aceleración del centro de masa del disco. b) La aceleración angular del disco. c) La fuerza de roce. Solución. Aquí Ma F F f = − , 0 = −Mg N , MRa MR R Ff 2 1 2 1 2 = = α Entonces Ma Ff 2 1 = Que sustituida en la primera da: a) M F a 3 2 = , b) MR F R a 3 2 = = α , c) 3 2 1 F Ma Ff = = Ejemplo 49. Un disco de masa M y radio 2R se apoya sobre un plano horizontal áspero de modo que puede rodar sin resbalar con su plano vertical. El disco tiene un resalto de radio R como se indica en la figura, en el cual se enrolla una cuerda que se tira con una fuerza horizontal constante F, determine: a) La aceleración del centro de masa del disco. b) La aceleración angular del disco. c) La fuerza de roce. Solución. Ahora Ma F F f = − , 0 = −Mg N ( ) α 2 2 2 1 2 R M FR R Ff = + = MRa R a MR = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 2 Simplificando: f f F F Ma F F − = = + 2 ⇒ 0 = f F De donde resulta: a) m F a = b) MR F 2 = α c) 0 = f F www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 30 Ejemplo 50. Un disco de masa M y radio R tiene enrollada una cuerda en su periferia y cae partiendo del reposo mientras la cuerda que se sostiene de su extremo se desenrolla. Determine: a) La aceleración de bajada del disco. b) La tensión de la cuerda. Solución. Aquí Ma T Mg = − , MRa MR TR 2 1 2 1 2 = = α De donde Ma Ma Mg = −2 1 a) g a 3 2 = b) Mg Ma T 3 1 2 1 = = Ejemplo 51. Se da a un cilindro homogéneo de radio R y masa M con una velocidad horizontal 1 v y una velocidad angular 1 ω en sentido opuesto a las agujas del reloj R v1 1 = ω en la parte sin rozamiento de la superficie horizontal. Más allá del punto A, cambia la superficie de manera que a la derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ . Solución. En la parte lisa el cuerpo se mueve con velocidad horizontal constante 1 v hacia la derecha, rotando con velocidad angular 1 ω en el sentido antihorario. A partir del punto A en que el piso es áspero deslizará primeramente sobre el plano áspero, pero acabará rodando sin deslizar. En la parte intermedia habrá una aceleración a que disminuye a la velocidad de 1 v a 2 v y una aceleración angular α que disminuye a 1 ω , la hace igual a cero y cambia su rotación hasta que llega la velocidad angular a un valor tal que R v2 2 = ω . Aplicando las leyes de Newton en la figura siguiente. Traslación: Ma N = μ , 0 = −Mg N Rotación: α α μ 2 2 1 MR I N R CM = = − De esto obtenemos: g a μ − = , R g μ α 2 − = La velocidad es: gt v at v v μ − = + = 1 1 La velocidad angular es: t R g R v t μ α ω ω 2 1 1 − = − = Parta encontrar el tiempo en que el disco deja de resbalar, debe cumplirse: → → → × = R v ω i R j R k i v ˆ ˆ ˆ ˆ ω ω − = × = ( ) R t R g R v gt v ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − μ μ 2 1 1 gt v μ 3 2 1 = ⇒ g v t μ 1 3 2 = con este valor de t 3 v v 3 2 1 1 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = g g v v μ μ La velocidad final es un tercio de la inicial Ejemplo 52. Se lanza una bola de billar con una velocidad inicial 0 v sobre una mesa horizontal, www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 31 existiendo entre la bola y la mesa un coeficiente de rozamiento μ. Calcular la distancia que recorrerá hasta que empiece a rodar sin deslizamiento. ¿Qué velocidad tendrá en ese instante? Aplicar para el caso 0 v = 7 m/s, μ = 0,2. Solución. La fuerza de rozamiento µN = µmg se opone al movimiento, siendo además la fuerza resultante, por lo que: ma mg = −μ , g a μ − = La velocidad de la bola comenzará a disminuir de tal modo que: gt v at v v μ − = − = 0 0 . Al mismo tiempo, sobre la bola que inicialmente no rueda, (ω0 = 0) actúa un momento de fuerza: mgR R Ff μ τ = = que producirá una aceleración angular I τ α = R g mR mgR I 2 5 5 2 2 μ μ τ α = = = Por lo que la velocidad angular irá aumentando: R gt t 2 5μ α ω = = La velocidad de un punto de la periferia de la esfera vale R vP ω = , que irá aumentando con el tiempo, porque ω aumenta con el tiempo. Por tanto, observamos que la velocidad de la bola disminuye, y la velocidad de la periferia de la bola aumenta. En el momento en que la velocidad de la periferia se iguale a la velocidad de traslación, se conseguirá la rodadura, es decir el no deslizamiento. P v v = R v ω = 2 5 0 gt gt v μ μ = − ⇒ g v t μ 7 2 0 = la velocidad en ese instante es 0 7 5 v v = = 5 m/s, t = 1,02 s La distancia recorrida 2 0 2 1 gt t v x μ − = = g v g v g g v μ μ μ μ 49 12 7 2 2 1 7 2 2 0 2 0 2 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 6,12 m. Ejemplo 53. Un tambor tiene un radio de 0,40 m y un momento de la inercia de 5,0 kg m2. El torque producido por la fuerza de fricción de los cojinetes de anillo del tambor es 3,0 Nm. Un anillo en un extremo de una cuerda se desliza en una clavija corta en el borde del tambor, y una cuerda de 15 m de longitud se enrolla sobre el tambor. El tambor está inicialmente en reposo. Una fuerza constante se aplica al extremo libre de la cuerda hasta que la cuerda se desenrolla y se desliza totalmente de la clavija. En ese instante, la velocidad angular del tambor es de 12 rad/s. El tambor después decelera y se detiene. a) ¿Cuál es la fuerza constante aplicada a la cuerda? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del tambor en el instante en que la cuerda deja el tambor? c) ¿Cuál es el trabajo negativo realizado por la fricción? d) ¿Qué tiempo el tambor estuvo en movimiento? Movimiento con la cuerda? Solución. a) Trabajo de la fuerza F + trabajo de la fricción = Energía cinética ganada al terminarse la cuerda 2 2 1 ω θ τ O f I s F = Δ + Δ ⇒ ( ) ( )( ) 2 12 0 , 5 2 1 4 , 0 15 0 , 3 15 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − F ⇒ F = 31,5 N b) ( )( ) 12 5 = = ω O I L = 60 kg.m2/s c) Movimiento con la cuerda www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 32 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = Δ − = 4 , 0 15 3 1 θ τ f f W = - 112,5 J Movimiento sin la cuerda ( )( ) 360 12 0 , 5 2 1 2 1 2 2 2 − = − = − = O O f I W ω Trabajo total J W W W f f f 5 , 482 2 1 − = + = d) α τ O O I = ∑ α τ O f I FR − ⇒ ( ) α 0 , 5 0 , 3 4 , 0 5 , 31 = − ⇒ ( ) s rad 92 , 1 0 , 5 0 , 3 4 , 0 5 , 31 1 = − = α Por otra parte 1 1t o α ω = ⇒ s 25 , 6 92 , 1 12 1 0 1 = = = α ω t Movimiento sin la cuerda α τ O O I = ∑ ⇒ 2 5 3 α = − ⇒ s rad 6 , 0 5 3 2 − = − == α 2 2 0 0 t α ω + = ⇒ s 20 6 , 0 12 2 0 2 = − − = − = α ω t El tiempo total es 26,25 s Ejemplo 54. Una rueda tiene un radio de 0,40 m y se monta en cojinetes sin fricción. Un bloque se suspende de una cuerda que se enrolla en la rueda. La rueda se libera de reposo y el bloque desciende 1,5 m en 2,00 segundos. La tensión en la cuerda durante el descenso del bloque es 20 N. a) ¿Cuál es la masa del bloque? b) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda? Solución. a) 2 2 1 at h = ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 5 , 1 2 2 = = t h a = 2 s m 75 , 0 ma T mg = − ⇒ 75 , 0 8 , 9 20 − = − = a g T m = 2,21 kg b) 4 , 0 75 , 0 = = R a α = 2 s rad 875 , 1 α τ O O I = ∑ ⇒ α O I TR = ⇒ ( ) 875 , 1 4 , 0 20 = = α TR IO = 2 m kg 27 , 4 Ejemplo 55. El radio de una rueda de 3,0 kilogramos es 6,0 centímetros. La rueda se suelta del reposo en el punto A en un plano inclinado 30°. La rueda gira sin deslizar y se mueve 2,4 m al punto B en 1,20s. a) ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda? b) ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda? Solución. a) ( )( ) 2 2 m 06 , 0 kg 3 2 1 2 1 = = mR IO = 0,0054 kg m2 b) ma F mg f = − º 30 sen α O f I R F = ⇒ α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = R I F O f α α mR R I mg O = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − º 30 sen ⇒ mR R I mg O + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = º 30 sen α = ( )( ) ( ) 06 , 0 3 06 , 0 0054 , 0 5 , 0 8 , 9 3 + = 2 s rad 4 , 54 27 , 0 7 , 14 = Ejemplo 56. Una masa de 20 kg se halla sobre un plano inclinado 30º, con el que tiene un rozamiento cuyo coeficiente vale 0,3, unida a una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea de MP = 160 kg, cuyo radio geométrico es de 20 cm y radio www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 33 de giro rg = 15 cm. De dicha cuerda pende una masa de 40 kg que es abandonada libremente. Calcular: a) Aceleración con que se mueve el sistema. b) Tensiones en la cuerda. c) ¿En qué rango de valores de la masa que pende, el sistema estará en equilibrio? Momento de inercia de la polea 2 g P Mr I = . Solución. a) Partiendo de la suposición de que la masa colgante acelera hacia abajo, plantearemos las tres ecuaciones correspondientes al movimiento de las tres masas: m2g - T2 = m2a a m g m m T 1 1 1 1 cos gsen = + − θ μ θ , R a r M I R T R T g P 2 1 2 = = − α Sumando las tres ecuaciones siguientes a m T g m 2 2 0 = − , a m g m m T 1 1 1 1 cos gsen = + − θ μ θ a R r M T T g P 2 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − Obtenemos: θ μ θ cos gsen 1 1 2 g m m g m + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 2 1 R r M m m a g P ⇒ g R r M m m m m m a g P 2 2 1 1 1 2 cos sen ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − = θ μ θ = g 2 20 15 160 60 2 , 5 10 40 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = 1,62 m/s2 b) ( ) a g m T − = 2 2 = 327 N, a R r T T g 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = 181 N. c) El valor mínimo que hace que la masa m2 acelere hacia abajo se produce cuando a = 0, es decir: θ μ θ cos sen 1 1 2 m m m + = = 10 + 5,2 = 15,2 kg. Si la masa m2 se hace aún menor, llegará un momento en que será arrastrada por m1. Esto produciría una inversión en el sentido de la fuerza de rozamiento. El valor máximo de m2 deberá cumplir ahora: θ μ θ cos sen 1 1 2 m m m + = = 10 – 5,2 = 4,8 kg. Por tanto, entre 0 y 4,8 kg el sistema acelerará de modo que m2 suba; entre 4,8 y 15,2 kg, permanecerá en equilibrio; y para más de 15,2 kg m2 acelerará hacia abajo. Ejemplo 57. ¿Porqué una esfera que rueda se detiene? En esta parte vamos a tratar de explicar la resistencia al rodamiento. La figura siguiente muestra una esfera de masa M y radio R la cual está rodando con una velocidad angular ω y avanza con una velocidad R v ω = . Solución. La fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso Mg 1a reacción del piso N y la fuerza de fricción f F . Si aplicamos la segunda ley de Newton a la traslación. → → = g M Ff debe haber una aceleración → a y → v decrecería. Si aplicamos segunda ley de Newton a la rotación. α CM f I RF = la aceleración angular α depende de Ff. por consiguiente Ff actúa incrementando ω . En resumen: en traslación Ff. acelera, en rotación Ff. desacelera, esto aparentemente es una contradicción. Por otra parte Mg y N están en la línea vertical que por el centro de masa y no causan efecto en el www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 34 movimiento horizontal. Si la esfera y el plano son rígidos, de modo que la esfera esté en contacto solo en un punto, tampoco originan alrededor del centro de masa. .porque actúan a través de él Para resolver la Contradicción suprimamos la idealización de que todos los cuerpos son rígidos, la esfera se aplana un poco y el nivel de La superficie se hunde Ligeramente (ver la figura a continuación) La reacción N actúa delante del centro de masa, produciendo un torque dN N = τ de resistencia al rodamiento. α τ CM f N I RF = − Como Mg N = , Ma Ff = , R a = α : R a I RMa CM N = − τ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = RM R I a CM N τ Para una esfera: 2 5 2 MR ICM = Luego: MRa N 5 7 = τ , como Mg N = a g R Mg d N 5 7 = = τ Ejemplo 58. La figura muestra una varilla homogénea de masa M y longitud L en posición vertical. La cual se deja caer desde el reposo. a) ¿A que ángulo θ entre la varilla y la vertical, la varilla ya no presionará al piso? b) ¿Con qué coeficiente de fricción el extremo de La varilla no resbalará hasta este momento? Solución. a) La figura siguiente muestra .la varilla cuando forma un ángulo θ con la vertical. Sobre la varilla actúa el peso Mg y la reacción R. La velocidad angular ω en este instante se puede encontrar aplicando la ecuación de la energía. 2 2 1 cos 2 2 ω β O I L Mg L Mg + = Como 2 3 1 ML IO = 2 2 3 1 2 1 cos 2 2 ω β ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ML L Mg L Mg ( ) β ω cos 1 3 2 − = L g 2 sen 6 β ω L g = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 sen 2 3 2 β L g = 2 sen 6 2 β L g Aplicando la segunda Ley de Newton para traslación a lo largo de la varilla. ∑ = c ma F ⇒ 2 cos 2 L M Mg R ω β − = − Cuando La varilla deja de presionar R = 0, y: 2 cos 2 L M Mg ω β − = − reemplazando el valor de 2 ω encontrado 2 2 sen 6 cos 2 L L g M Mg ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = β β Simplificando 2 sen 6 cos 2 β β = ⇒ 2 sen 5 2 cos 2 2 β β = ⇒ 5 5 tan = β De aquí: º 2 , 48 = β b) Para que la varilla no resbale tenemos en la figura siguiente. Las componentes de R son: j R i R R ˆ cos ˆ sen β β + = → www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 35 La condición para que la varilla no resbale es: β sen R Ff ≥ Con N Ff μ = y β cos R N = β β μ sen cos R R ≥ β μ tan ≥ El coeficiente de rozamiento del piso debe ser cuando menos igual a β tan para que llegue sin deslizar hasta el ángulo β . Para º 2 , 48 = β ⇒ 12 , 1 ≥ μ CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR. Anteriormente hemos visto que: dt p d F → → = y también dt L d → → = τ y mostramos que para un cuerpo rígido. dt L d total ext → → = τ Si no hay torque externo con respecto a algún eje la cantidad de movimiento angular será constante con respecto a ese eje. Constante total = → L o expresado en función del momento de inercia apropiado. Constante = → ω I Esta relación nos va a ser muy útil como veremos a continuación. Ejemplo 59. Un estudiante está sentado sobre un banco giratorio montado sobre cojinetes sin fricción que puede girar libremente alrededor de un eje vertical como se muestra en la figura (a). El estudiante sostiene en las manos extendidas dos pesas. Su momento de inercia en esta posición es I1 y su velocidad angular 1 ω . No actúan sobre él torques no equilibrados y en consecuencia su cantidad de movimiento angular tiene que conservarse. Cuando el estudiante acerca las manos al cuerpo, su momento de inercia varía, figura ( b) ahora es I2 y su velocidad angular será 2 ω Por la conservación de la cantidad de movimiento angular. 1 1 2 2 ω ω I I = ⇒ 1 2 1 2 ω ω I I = Siendo 1 2 I I < , resulta 1 2 ω ω > Su velocidad aumenta. Ejemplo 60. Esta vez el mismo estudiante sentado sobre el mismo banco, sostiene en sus manos en posición vertical al eje de rotación de una rueda de bicicleta, la rueda gira alrededor de ese eje vertical con velocidad angular 0 ω , el estudiante y el banco están en reposo (a). El estudiante gira el eje de la rueda en ángulo θ con la vertical (b), como no hay torque respecto al eje vertical, la cantidad de movimiento angular con respecto al eje vertical debe conservarse. Inicialmente se tiene k I L ˆ 0 0ω = → Cuando se inclina la rueda (respecto al eje vertical) rueda banco estudiante L L L → + → → + = ' = k I I e e ˆ cos 0 0 θ ω ω + → Siendo e I el momento de inercia del estudiante y banco respecto al eje vertical, e ω su velocidad angular con respecto a ese eje. Como → → = ' L L k I k I I e e ˆ ˆ cos 0 0 0 0 ω θ ω ω = + → www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 36 ( )k I I e e ˆ cos 1 0 0 θ ω ω − = → Es la velocidad angular del estudiante con el sentido de giro inicial de la rueda. Cuando la rueda se invierte se invierte totalmente 2 π θ = , y: k I I e e ˆ 2 0 0 ω ω = → Ejemplo 61. Una persona está sentada en una silla giratoria manteniendo los brazos extendidos con una pesa en cada mano. Gira con una frecuencia de 2 Hz. El momento de inercia de la persona con los pesos es de 5 kg m2. Hallar: a) la nueva frecuencia cuando encoja los brazos y disminuya el momento de inercia a 2 kg m2. b) La variación de energía cinética del sistema. c) ¿De dónde procede este incremento de energía cinética? Solución. a) Al encoger los brazos, están actuando fuerzas y torques de fuerzas internas, por lo que podemos admitir que se conserva la cantidad de movimiento angular. 2 1 L L = ⇒ 2 2 1 1 ω ω I I = ⇒ 2 2 1 2 ω ω I I = ,⇒ 1 2 1 2 2 2 f I I f π π = , ⇒ 1 2 1 2 f I I f = = 2 2 5 = 5 Hz b) 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 I L I L I I K − = − = Δ ω ω ( ) s m kg 20 2 2 5 2 1 1 π π ω = = = I L ; J 60 5 1 2 1 200 2 2 π π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ΔK . El signo positivo nos indica que hay un aumento de energía cinética. c) Este incremento de energía cinética procede de la energía química almacenada en los músculos del brazo. Ejemplo 62. Un patinador, con los brazos extendidos y las piernas abiertas y con un momento de inercia respecto a su eje vertical de 7 kg.m2 , inicia un giro sobre si mismo con una aceleración de 2 rad/s2 durante 6 segundos, momento en el cual encoge los brazos y acerca sus piernas al eje hasta tener un momento de inercia de 4 kg.m2 . Determinar su velocidad de giro final. Solución. Después de un tiempo t de iniciar el giro, su velocidad angular será: ( ) ( )( ) 2 2 6 2 2 1 2 1 = = at t ω = 36 rad/s al acercar brazos y piernas al eje, el torque de las fuerzas sigue siendo nulo, por lo que se conserva la cantidad de movimiento angular, ω I ( ) ( )Después Antes ω ω I I = ⇒ Antes Después Antes Después ω ω I I = = 36 4 7 = 63 rad/s Ejemplo 63. Un muchacho de 25 kg corre con velocidad de 2,5 m/s hacia un tiovivo en reposo de radio 2 m cuyo, momento de inercia vale 500 kg m2. Hallar la velocidad angular y frecuencia del conjunto después de que el muchacho suba al tiovivo justo en el borde. Solución. La cantidad de movimiento angular del muchacho respecto al centro del tiovivo es: ( )( )( ) 2 5 , 2 25 1 = = mvR L = 125 kg m2/s www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 37 El momento de inercia del conjunto tiovivo-muchacho es I = Im + IT = 25x22 + 500 = 600 kg m2 Planteando la igualdad entre la cantidad de movimiento angular inicial y final, tendremos: 2 1 L L = , ( )ω T m I I mvR + = ( ) 600 125 = + = T m I I mvR ω = 0,208 rad/s π ω 2 = f = 0,033 Hz = 1,99 r.p.m. Ejemplo 64. Una tornamesa con radio de 8,0 m y momento de inercia de 2,0 kg.m2. La placa tornamesa rota con una velocidad angular de 1,5 rad/s sobre un eje vertical que pasa a través de su centro en cojinetes sin fricción. Una bola de 0,40 kg se lanza horizontalmente hacia el eje de la tornamesa con una velocidad de 3,0 m/s. La bola es cogida por un mecanismo con forma de tazón en el borde de la tornamesa. a) ¿Cuál es cantidad de movimiento angular de la bola alrededor del eje de la tornamesa? b) ¿Qué fracción de energía cinética se pierde durante la captura de la bola? Solución. a) La cantidad de movimiento angular de la bola alrededor del eje de la tornamesa es cero b) Energía antes = 2 2 2 1 2 1 ω O I mv + = ( )( ) ( )( ) 2 2 5 , 1 0 , 2 2 1 0 , 3 4 , 0 2 1 + = 4,05 J Energía después = 2 ' ' 2 1 ω O I Para calcular esta energía necesitamos conocer I0 y ω’. ( )( ) 2 2 8 , 0 4 , 0 0 , 2 ' + = + = mR I I O O = 2,256 kg/ m2 después antes L L = ⇒ ' ' ω ω O O I I = 5 , 1 256 , 2 0 , 2 ' ' ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ω ω O O I I = s rad 33 , 1 Reemplazando: Energía después = ( )( ) 2 2 33 , 1 256 , 2 2 1 ' ' 2 1 = ω O I = 2 J Se pierde 4,05 -2 = 2,05 5 , 0 4,05 2,05 energía de fracción = = Ejemplo 65. Una barra rígida de masa M y largo L gira en un plano vertical alrededor de un eje sin fricción que pasa por su centro. En los extremos de la barra se unen dos cuerpos de masas m1 y m2. Calcular la magnitud del momento angular del sistema cuando su rapidez angular es ω y la aceleración angular cuando la barra forma un ángulo φ con la horizontal. Solución. El momento de inercia por el eje de rotación del sistema es igual a la suma de los momentos de inercia de los tres componentes, con los valores de la tabla se obtiene: 2 2 2 1 2 2 2 12 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = L m L m ML I = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 3 4 2 1 2 M m m L Como el sistema gira con rapidez angular ω, la magnitud del momento angular es: ω I L = = ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 3 4 2 1 2 M m m L Para calcular la aceleración angular usamos la relación α τ I t = ⇒ I t τ α = , al calcular el torque total en torno el eje de rotación, se obtiene: φ φ τ cos 2 cos 2 2 1 L g m L g m t − = = ( ) φ cos 2 1 2 1 gL m m − www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 38 Reemplazando en α los valores de I y de t τ , se obtiene la aceleración angular: ( ) ( ) 3 cos 2 2 1 2 1 M m m L g m m I t + + − = = φ τ α Ejemplo 66. En la figura las masas m1 y m2 se conectan por una cuerda ideal que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I alrededor de su eje. La mesa no tiene roce, calcular la aceleración del sistema. Solución. Primero se calcula en momento angular del sistema de las dos masas más la polea: R v I vR m vR m L + + = 2 1 Luego se calcula el torque externo sobre el sistema, la única fuerza externa que contribuye al torque total es m1g, entonces el torque es gR m1 = τ . Entonces se tiene: dt dL = τ ⇒ ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + = R v I vR m m dt d gR m 2 1 1 ( ) dt dv R I dt dv R m m gR m + + = 2 1 1 ⇒ Ra R I m m gR m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 2 2 1 1 ⇒ 2 2 1 1 R I m m g m a + + = Ejemplo 67. Una varilla de 500 g y 75 cm de longitud, lleva soldada en un extremo una esfera de 10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular: a) El momento de inercia cuando gira, alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el extremo libre. b) La cantidad de movimiento angular del conjunto si gira a 12 rpm. Solución. a) El momento de inercia será la suma del momento de inercia de una varilla, más el de la esfera. Como la esfera está a L+R del eje, aplicamos Steiner: ( ) 2 2 5 2 R L m R m I e e e + + = , 2 3 1 L m I V V = V e I I I + = = ( ) 2 2 2 3 1 5 2 L m R L m R m V e e + + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 75 , 0 5 , 0 3 1 85 , 0 25 , 0 1 , 0 25 , 0 5 2 + + = I = 0,27 kg.m2 b) ω I L = = T π 2 27 , 0 = ) 2 ( 27 , 0 f π = 60 12 54 , 0 π = 0,345 kgm2 / s Ejemplo 68. Un cilindro de 50 kg y 20 cm de radio, gira respecto de un eje vertical que coincide con su eje de simetría, debido a una fuerza constante, aplicada a su periferia que, después de 40 s de iniciado el movimiento, alcanza 200 r.p.m. Calcular: El valor de la fuerza y el torque de la fuerza aplicada. Solución. La frecuencia de rotación adquirida vale: Hz 60 200 = f La velocidad angular: s rad 3 20 60 200 2 2 π π π ω = = = f La aceleración angular: 2 s rad 6 π ω α = Δ Δ = t Por otra parte el momento de inercia del cilindro vale: 2 2 1 mR I = = ( )( ) 2 2 , 0 50 2 1 = 1 kgm2. Luego el torque de la fuerza aplicada ( ) 6 1 π α τ = = = I FR = 0,52 Nm. La fuerza tangencial: 2 , 0 52 , 0 = = R F τ = 2,6 N www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 39 Ejemplo 69. Un anillo de masa M y radio R (ICM = MR2), cae en rodadura pura sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. a) Hacer el DCL. del anillo. b) Hallar la aceleración del centro de masa del anillo. c) Encontrar el valor de la fricción entre el plano inclinado y el anillo. d) ¿Cuál debe ser el mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el anillo para que este se encuentre en rodadura pura? Solución. a) El DCL. del anillo. b) Segunda ley de Newton para la traslación Ma F Mgsen f = − θ Segunda ley de Newton para la rotación R F I f = α ⇒ R F R a MR f = 2 ⇒ Ma Ff = Reemplazando el valor de Ff en la primera ecuación. Ma Ma Mgsen = − θ ⇒ Ma Mg 2 sen = θ Finalmente θ sen 2 1 g a = c) El valor de la fuerza de fricción entre el plano inclinado y el anillo. Ma Ff = = θ sen 2 1 Mg d) El mínimo valor del coeficiente de rozamiento estático entre el plano y el anillo para que este se encuentre en rodadura pura debe de cumplir θ μ sen 2 1 Mg N F k f = = ⇒ θ θ θ μ tan 2 1 cos 2 sen = = Mg Mg k Ejemplo 70. Una barra uniforme AB de masa M y longitud l ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 12 1 l M ICM se sostiene de un extremo mediante un pivote sin fricción. La barra se encuentra inicialmente en reposo en forma vertical cuando un proyectil de masa m impacta sobre ella y queda incrustado instantáneamente. La velocidad inicial del proyectil es 0 v . Hallar: a) La cantidad de movimiento angular del sistema respecto del pivote justo antes de la colisión. b) La velocidad angular de giro del sistema después que el proyectil se incrusta en la barra. c) La altura máxima que alcanzará el CM de la barra. d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra la barra. Solución. a) La cantidad de movimiento angular del sistema respecto del pivote justo antes de la colisión. d mv Lantes 0 = b) La velocidad angular de giro del sistema después que el proyectil se incrusta en la barra. después antes L L = ( )d d M d mv ω ω + = 2 0 3 1 l ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 0 3 1 md M d mv l ω c) La altura máxima que alcanzará el CM de la barra. Energía justo después del choque www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 40 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − mgd Mg IO 2 2 1 2 l ω = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 3 1 md M IO l Energía cuando alcanza el punto más alto = ( ) θ cos 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − mgd Mg l Por conservación de energía: Energía justo después del choque = energía cuando alcanza el punto más alto. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − mgd Mg IO 2 2 1 2 l ω = ( ) θ cos 1 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − mgd Mg l ⇒ θ ω cos 2 2 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = mgd Mg IO l ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = mgd Mg IO 2 2 1 cos 2 l ω θ = ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + mgd Mg md M d mv md M 2 3 1 3 1 2 1 2 2 2 2 0 2 2 l l l = g md M md M d v m ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 2 0 2 3 1 2 2 l l ⇒ ( ) θ cos 1− = l máx h d) El trabajo del proyectil cuando se incrusta contra la barra. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = Δ = mgd Mg mv E W 2 2 1 2 0 l - ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + mgd Mg IO 2 2 1 2 l ω = 2 2 0 2 1 2 1 ω O I mv − Ejemplo 71. Un bloque de masa M se pega a una plataforma circular, a una distancia b de su centro. La plataforma puede rotar, sin fricción, alrededor de un eje vertical alrededor de su centro. Siendo p I su momento de inercia con respecto a ésta. Si un proyectil de masa m que se mueve con una velocidad horizontal 0 v , como se muestra en la figura, incide y queda en el bloque. Encontrar la velocidad angular del bloque después del choque. Solución. Cantidad de movimiento angular antes del choque con respecto al eje O. k rmv p r L ˆ sen 0 antes θ − = × = → → → = k mbv ˆ 0 − Para encontrar la cantidad de movimiento angular después del choque, según la figura siguiente. ( ) [ ] → → + + = ω 2 después b M m I L p Por conservación de la cantidad de movimiento angular después antes → → = L L ⇒ ( ) [ ] → + + = − ω θ 2 0 ˆ sen b M m I k rmv p ⇒ ( ) [ ]k b M m I rmv p ˆ sen 2 0 + + − = → θ ω Ejemplo 72. Se tiene una plataforma circular que puede rotar sin fricción alrededor de un eje perpendicular al centro. E1 momento de inercia de la plataforma con respecto al eje es p I . Un insecto de masa m se coloca sobre la plataforma a una distancia b del eje. El sistema se hace girar con una velocidad angular 0 ω en el sentido horario. El insecto empieza a correr en una circunferencia de radio b alrededor del eje con una velocidad de magnitud constante 0 v , medida relativa a tierra. a) ¿Cual es la cantidad de movimiento angular total si el insecto corre con la plataforma? b) ¿Cuál será si corre en oposición a la rotación de la plataforma? c) ¿Es posible que el pequeño insecto pueda detener la gran plataforma? ¿Cómo? Solución. La cantidad de movimiento angular del sistema antes que el insecto comience a correr es: www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 41 ( ) ( ) k mb I mb I L p p ˆ 0 2 0 2 ω ω + − = + = → → a) Cuando el insecto corre en el mismo sentido del giro con módulo de velocidad 0 v su cantidad de movimiento angular es: ( ) k mbv mb I L o p ˆ ' ' 2 − + = → → ω Pero como la cantidad de movimiento angular es constante. La cantidad de movimiento angular total es: ( ) k mb I L L p ˆ ' 0 2 ω + − = = → → b) En este caso, como en el caso anterior → → = L L' ( ) k mb I L p ˆ ' 0 2 ω + − = ← c) Si es posible, tomando el caso a) ( ) k mbv mb I L o p ˆ ' ' 2 − + = → → ω = ( ) k mb I p ˆ 0 2 ω + − La plataforma se detiene cuando 0 '= ω , es decir: ( ) k mb I k mbv p ˆ ˆ 0 2 0 ω + − = − Esto sucede cuando ( ) 0 2 0 ω mb mb I v p + = En el sentido indicado en el caso a). Ejemplo 73. Se da a un cilindro homogéneo de radio R y masa M con una velocidad horizontal 1 v y una velocidad angular 1 ω en sentido opuesto a las agujas del reloj R v1 1 = ω en la parte sin rozamiento de la superficie horizontal. Más allá del punto A, cambia la superficie de manera que a la derecha de A el coeficiente de rozamiento es μ . Resolver usando la conservación de la cantidad de movimiento angular. Solución. En la parte lisa no hay fuerza de fricción, en la parte áspera aparece la tuerza de fricción, cuya línea de acción está en el plano. Por tanto, la cantidad de movimiento angular del disco respecto a un punto de referencia en el plano permanecerá Constante durante todo el movimiento (por ejemplo A). La cantidad de movimiento antes de llegar a A. → → → → = × = 1 0 1 ω I v M r L Como k Rv k rv v r ˆ ˆ sen 1 1 1 − = − = × → → θ , 2 0 2 1 MR I = , k R v k ˆ ˆ 1 1 1 = = → ω ω k MRv k MRv k MRv L ˆ 2 1 ˆ 2 1 ˆ 1 1 1 − = + − = → La cantidad de movimiento angular después de pasar A y haber 1legado a rodar sin deslizar. Se traslada con velocidad 2 v tal que R v2 2 = ω . → → → → = × = 2 0 2 ' ω I v M r L Como k Rv k rv v r ˆ ˆ sen 2 2 2 − = − = × → → θ , 2 0 2 1 MR I = , k R v k ˆ ˆ 2 2 2 = − = → ω ω k MRv k MRv k MRv L ˆ 2 3 ˆ 2 1 ˆ ' 2 2 2 − = − − = → www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 42 Igualando → → = L L' , tenemos: k MRv k MRv ˆ 2 1 ˆ 2 3 1 2 − = − ⇒ 3 1 2 v v = Ejemplo 74. Un proyectil de masa m y velocidad v0 se dispara contra un cilindro sólido de masa M y radio R. El cilindro está inicialmente en reposo montado sobre un eje horizontal fijo que pasa por su centro de masa. El proyectil se mueve perpendicular al eje y se encuentra a una distancia D < R sobre el eje. Calcular la rapidez angular del sistema después que el proyectil golpea al cilindro y queda adherido a su superficie. Solución. El momento angular del sistema se conserva, entonces f i L L = ω ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = 2 2 0 2 1 mR MR I D mv ⇒ 2 2 0 2 1 mR MR D mv + = ω Ejemplo 75. Un disco de masa M y radio R gira en un plano horizontal en torno a un eje vertical sin roce. Un gato de masa m camina desde el borde del disco hacia el centro. Si la rapidez angular del sistema es ω0 cuando el gato está en el borde del disco, calcular: a) la rapidez angular cuando el gato ha llegado a un punto a R/4 del centro, b) la energía rotacional inicial y final del sistema. Solución. Llamando Id al momento de inercia del disco e Ig al momento de inercia del gato, el momento de inercia total inicial y final del sistema es: 2 2 2 1 MR MR I I I g d i + = + = 2 2 4 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = R m MR I f a) Como no hay torques externos sobre el sistema en torno al eje de rotación, se puede aplicar la conservación de la cantidad de movimiento angular f f i i I I ω ω = 0 2 2 2 1 ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = mR MR I f = f f R m MR I ω ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 4 2 1 0 2 2 2 2 16 2 1 2 1 ω ω R m MR mR MR f + + = = 0 16 2 2 2 1 ω ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + m M m M b) 2 0 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 ω ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = mR MR I K i i = ( ) 2 0 2 2 4 1 ω R m M + 2 2 2 2 4 2 1 2 1 2 1 f f f f R m MR I K ω ω ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = = 2 0 2 2 2 16 2 2 4 2 1 2 1 ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + m M m M R m MR = 2 0 2 2 8 / 2 8 4 1 ω R m M m M m M ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ( ) 2 0 2 2 8 / 2 4 1 ω R m M m M m M + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + Como 1 8 / 2 > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + m M m M La energía rotacional aumenta. Ejemplo 76. La barra horizontal de la figura tiene un momento de inercia respecto al eje de rotación de 5x10-3 kg m2, y cada una de las bolas que pueden deslizar sobre ella pesan 50 g y se consideran de dimensiones despreciables. El conjunto está girando libremente alrededor del eje O-O’ con las bolas dispuestas simétricamente respecto al eje y sujetas por un hilo AB de 20 cm. Si se rompe el hilo cuando el conjunto gira a 20 rad/s, determinar la nueva velocidad angular cuando las bolas lleguen a los topes del extremo de la barra. Solución. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 43 Empecemos calculando el momento de inercia del conjunto, cuando las bolas están separadas 20 cm. I1 = Ibarra + Ibolas = Ibarra + 2 m r1 2 = 5x10-3 kg m2 + 0,1x0,12 = 6x10-3 kg m2 Cuando se alejen hasta los topes: I2 = Ibarra + Ibolas = Ibarra + 2 m r2 2 = 5x10-3 kg m2 + 0,1x0,252 = 11,25x10-3 kg m2 La rotura del hilo libera fuerzas exclusivamente internas, por lo que se conservará la cantidad de movimiento angular del sistema: 2 1 L L = ⇒ 2 2 1 1 ω ω L I = ⇒ 20 25 , 11 6 1 2 1 2 = = ω ω I I = 10,67 rad / s Ejemplo 77. Un disco de 2 kg de masa y 10 cm de radio gira alrededor de su eje a 180 r.p.m.. Encima, pero sin que exista contacto, se encuentra otro disco de 1 kg de masa, del mismo radio y en reposo. Cuando el disco superior se deja caer, ambos se mueven solidariamente. Calcular la velocidad angular final. Solución. Cuando el disco superior se posa sobre el inferior, el torque de las fuerzas sigue siendo nulo por lo que se conserva la cantidad de movimiento angular, ω I . ( ) ( )Después Antes ω ω I I = ( ) f i I I I ω ω 2 1 1 + = ⇒ i f I I I ω ω 2 1 1 + = Como el Momento de inercia de un disco es ½.m.R2 se obtiene: ( ) i i f m m m R m R m R m ω ω ω 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = En este caso particular: ( ) rpm. 120 180 1 2 2 = + = f ω GIROSCOPOS Y TROMPOS - MOVIMIENTO DE PRECESION El giróscopo es una rueda montada en rodamientos sin fricción, en tal forma que la rueda tiene libertad de rotar en cualquier dirección con respecto al marco que lo sujeta. Para lograr esto se necesitan tres gímbalos (correspondientes a los tres espacios dimensionales). Como los rodamientos no tienen fricción no se ejercen torques sobre la rueda. Esto significa que una vez iniciado el giro, el eje de rotación permanecerá fijo no importando que movimiento se de al mareo exterior. La dirección en el espacio del eje no variará. Hasta ahora vimos el movimiento rotacional en que el eje de rotación está fijo, o tiene movimiento de traslación sin cambio en su dirección. La mayoría de los movimientos rotacionales quedan en estas categorías, pero en el caso de un trompo o giróscopo en rotación no se cumple lo anterior. Si se hace girar rápidamente el rotor de este aparato y luego se coloca un extremo libre del eje de rotación sobre un soporte fijo, como se muestra en la figura. El giróscopo no caerá del soporte sino que se mantiene en posición casi horizontal mientras que el eje de su rotor gira lentamente en un plano horizontal, esta rotación lenta del eje se conoce como PRECESION. Veamos como se origina la precesión. Consideremos un giróscopo simplificado mostrado en la figura siguiente, un disco cilíndrico muy macizo de masa M y radio a que tiene libertad para girar sin fricción en torno a una varilla muy ligera y delgada, a lo largo de su eje. Un extremo de la varilla se apoya en A. que está a una distancia l del disco. Si se mantiene la varilla www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 44 horizontal, y se hace girar al disco con una velocidad angular ω en torno a su eje y luego, se suelta. Como actúan dos únicas fuerzas el peso Mg y la reacción del apoyo R, podría pensarse que el disco caería. Si → 0 L fuera cero sucedería esto, pero el torque que produce Mg es: ( ) ( ) j Mg k Mg i ˆ ˆ ˆ l l = − × = → τ este torque produce un cambio en la cantidad de movimiento angular ( )dt j Mg dt L d ˆ l = = → → τ la magnitud. de este cambio es: dt Mg dL l = Por otra parte: θ d L dL 0 = De aquí θ d L dt Mg 0 = l y 0 L Mg dt d l = θ Como ω ω 2 0 0 2 1 Ma L L = = ; ω ω θ 2 2 2 2 1 a g Ma Mg dt d l l = = Por consiguiente el disco no caerá, en lugar de ello girará en el plano horizontal xy (ver la figura siguiente) en torno al eje vertical a través del punto de apoyo A. La velocidad angular de esta precesión es: 2 2 a g I dt d ω ω τ θ l = = = Ω Ejemplo 78. Una profesora de física se encuentra sentada en una silla giratoria manteniendo en sus manos una rueda de bicicleta como se indica en la figura. El momento de inercia de la rueda respecto a su eje es de 0,2 kg m2, y el momento de inercia de la profesora más la rueda respecto del eje de la silla es de 2,7 kg m2. La velocidad angular inicial de la rueda es de 55 rad/s en sentido antihorario. En un momento dado la profesora gira 180º el eje de la rueda pasando a girar con -55 rad/s en sentido contrario al anterior. Calcular: a) La velocidad angular adquirida por la silla y el sentido de giro. b) El trabajo realizado por la profesora. Solución. a) Dado que no hay momentos externos sobre la silla giratoria podemos considerar que el momento angular no varía. 1 RUEDA 1 ω I L = , ( ) 2 SILLA 1 RUEDA 2 ω ω I I L + − = ( ) 2 SILLA 1 RUEDA 1 RUEDA ω ω ω I I I + − = ⇒ 1 SILLA RUEDA 2 2 ω ω I I = ( )55 7 , 2 02 , 0 2 2 = ω = 8,15 rad /s (Positivo, por tanto en el sentido de rotación inicial de la rueda) b) 1 2 E E E W − = Δ = = ( ) 2 1 RUEDA 2 1 RUEDA 2 2 SILLA 2 1 2 1 2 1 ω ω ω I I I − − + = 2 2 SILLA 2 1 ω I = 89,6 J El trabajo es por tanto la energía adquirida por la silla, ya que la energía de la rueda no varía. Dicho trabajo, positivo, es producido por la fuerza muscular (interna) de la profesora. PREGUNTAS Y PROBLEMAS 1. El centro de masa de una pelota de radio R, se mueve a una rapidez v. La pelota gira en torno a un eje que pasa por su centro de masa con una rapidez angular ω. Calcule la razón entre la energía rotacional y la energía cinética de traslación. Considere la pelota una esfera uniforme. 2. Un volante en la forma de un cilindro sólido de radio R = 0,6 m y masa M = 15 kg puede llevarse www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 45 hasta una velocidad angular de 12 rad/s en 0,6 s por medio de un motor que ejerce un torque constante. Después de que el motor se apaga, el volante efectúa 20 rev antes de detenerse por causa de la fricción (supuesta constante). ¿Qué porcentaje de la potencia generada por el motor se emplea para vencer la fricción? Respuesta. 2.8%. 3. Un bloque de masa m1 y uno de masa m2 se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea en forma de disco de radio R, momento de inercia I y masa M. Así mismo, se deja que los bloques se muevan sobre una superficie en forma de cuña con un ángulo θ como muestra la figura. El coeficiente de fricción cinético es μ para ambos bloques. Determine a) la aceleración de los dos bloques y b) la tensión en cada cuerda. Respuesta. a) (m2sen θ - μ)(m1 + m2cos θ)g/(m1 + m2 + M), b) T1 = μm2g + m1a, T2 = T1 + ½Ma. 4. Una masa m1 y una masa m2 están suspendidas por una polea que tiene un radio R y una masa m3. La cuerda tiene un masa despreciable y hace que la polea gire sin deslizar y sin fricción. Las masas empiezan a moverse desde el reposo cuando están separadas por una distancia D. Trate a la polea como un disco uniforme, y determine las velocidades de las dos masas cuando pasan una frente a la otra. 5. Un disco sólido uniforme de radio R y masa M puede girar libremente sobre un pivote sin fricción que pasa por un punto sobre su borde. Si el disco se libera desde el reposo en la posición mostrada por el círculo. a) ¿Cuál es la rapidez de su centro de masa cuando el disco alcanza la posición indicada en el círculo punteado? b) ¿Cuál es la rapidez del punto más bajo sobre el disco en la posición de la circunferencia punteada? c) Repetir para un aro uniforme . Respuesta. a) 2(Rg/3)½, b) 4(Rg/3)½, c) (Rg)½. 6. Un peso de 50 N se une al extremo libre de una cuerda ligera enrollada alrededor de una pelota de 0,25 m de radio y 3 kg de masa. La polea puede girar libremente en un plano vertical en torno al eje horizontal que pasa por su centro. El peso se libera 6 m sobre el piso. a) calcular la tensión de la cuerda, la aceleración de la masa y la velocidad con la cual el peso golpea el piso. b) Calcular la rapidez con el principio de la conservación de la energía. Respuesta. a) 11,4N, 7,6 m/s2, 9,5 m/s, b) 9,5 m/s. 7. Una ligera cuerda de nylon de 4 m está enrollada en un carrete cilíndrico uniforme de 0,5 m de radio y 1 kg de masa. El carrete está montado sobre un eje sin fricción y se encuentra inicialmente en reposo. La cuerda se tira del carrete con una aceleración constante de 2,5 m/s2. a) ¿Cuánto trabajo se ha efectuado sobre el carrete cuando éste alcanza una velocidad angular de 8 rad/s? b) Suponiendo que no hay la suficiente cuerda sobre el carrete, ¿Cuánto tarda éste en alcanzar esta velocidad angular? c) ¿Hay suficiente cuerda sobre el carrete? Respuesta. a) 4 J, 1,6 s, c) sí. 8. Una barra uniforme de longitud L y masa M gira alrededor de un eje horizontal sin fricción que pasa por uno de sus extremos. La barra se suelta desde el reposo en una posición vertical. En el instante en que está horizontal, encuentre a) su rapidez angular, b) la magnitud de su aceleración angular, c) las componentes x e y de la aceleración de su centro de masa, y d) las componentes de la fuerza de reacción en el eje. Respuesta. a) (3g/L)½, b) 3g/2L, c) –(3/2î + ¾ĵ)g, d) (-3/2î + ¼ ĵ)Mg. 9. Los bloques mostrados en la figura están unidos entre si por una polea de radio R y momento de inercia I. El bloque sobre la pendiente sin fricción www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 46 se mueve hacia arriba con una aceleración constante de magnitud a. a) Determine las tensiones en las dos partes de la cuerda, b) encuentre el momento de inercia de polea. Respuesta. a) ( ) θ sen 1 1 g a m T + = , ( ) a g m T − = 2 2 b) θ sen 2 1 2 2 2 1 2 2 a g R m R m R m a g R m − − − 10. Un cuerpo plano está sometido a cuatro fuerzas como se indica en la figura. a) Hallar el módulo y dirección del torque actuante respecto a un eje perpendicular al plano y que pasa por el punto A. b) Respecto a un eje que pasa por el punto B. e) Respecto a un eje que pasa por el punto C. d) Determinar la fuerza equivalente y su línea de acción. e) Sustituir esta fuerza por otra que esté aplicada en A y un par de fuerzas o cupla aplicadas en los puntos B y C y hallar el valor mínimo de estas fuerzas. Respuesta. a) τ = 23 Nm, b) τ = 23 Nm, c) τ = 24 Nm, d) j i F ˆ ˆ + = → , 23 − = x y , e) ( ) → → − = + − = C B F j i F ˆ 4 ˆ 3 25 23 11. Un marco cuadrado de lado L. Se cuelga de un clavo rugoso de coeficiente de rozamiento estático s μ . ¿A qué distancia del vértice está clavado si el marco está a punto de deslizar? Respuesta. ( ) s L x μ − = 1 2 12. Determinar la tensión en el cable AB que Impide que el poste BC deslice. En la figura se ven los datos esenciales. La masa del poste es de 18 kg. Suponer que todas las superficies son lisas. Respuesta. T = 46,2 N 13. Un hombre de 70 kg, sostiene un objeto de 31,9 kg. Como se indica en la figura. La polea carece de rozamiento. La plataforma sobre la que está situado el hombre está colgada mediante dos cuerdas en A y otras dos en B. ¿Cuál e tensión de una de las cuerdas en A? Respuesta. 124,5 N 14. Reemplace la fuerza de 1000 N de la figura por una fuerza que pasa por A y una cupla cuyas fuerzas actúan verticalmente a través de B C. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 47 Respuesta. j i FA ˆ 600 ˆ 800 + = → , j FB ˆ 467 = → , j FC ˆ 467 − = → 15. Un hombre de 60 kg que camina a 2 m/s atraviesa un tabla de 30 kg y 10 m de largó a) ¿Cuál es la fuerza sobre el soporte B en función d tiempo? b) Si la máxima fuerza que puede resistir B es 490 ¿Cuándo y dónde caerá al río el hombre? Considerar que el peso del hombre siempre actúa en dirección de la vertical que pasa por su centro de masa. Respuesta: a) ( ) 8 , 9 15 12 + = t FB N, b) t = 2,92 s, x = 5,83 m de A. 16. Un hombre de masa m quiere subir por una escalera. La escalera tiene masa M, largo L y forma un ángulo θ con e piso. El coeficiente de fricción entre la escalera y e peso es μ , mientras que la pared no tiene fricción. a)¿A qué altura de la escalera puede llegar antes que comience a resbalar? b) ¿Si el ángulo θ es el mayor sin que la escalera sola puede estar sin resbalar, cuál es la altura a la que puede llegar el hombre? Respuesta. a) ( ) θ μ θ θ μ cos cos 2 1 sen M ML L M m ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + b) μ 2 L 17. El disco A tiene una masa de 2 kg y un radio de 7,5 cm, se coloca en contacto con una correa que se mueve con una velocidad v = 15 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el disco y la correa es 0,2, calcular tiempo necesario para que el disco alcance una velocidad angular constante. Respuesta. 3,82 s 18. Si se aplica La fuerza F a una cuerda ligera atada a un bloque con el sistema de poleas mostrado en la figura. ¿Cuál es el máximo peso que puede levantar? Respuesta. 3F 19. El rodillo que se ve en la figura tiene una masa de 339 kg ¿Que fuerza F es necesaria para subir el rodillo sobre el bloque? Respuesta. F =3949,4 N 20. La línea de acción de una fuerza de 1N está en el plano xz y corta el eje z en un punto que dista 0,6 m del origen. a) ¿Cuál es el torque respecto al eje y si el ángulo comprendido entre la dirección de la fuerza y el eje z es 60º? b) ¿Si el ángulo e l80º? c) ¿Si el ángu1o es 330º? Respuesta. a) τ = 0,52 N m , b) τ = 0 c) τ = - 0,3 N m 21. Dos discos de masa 10 kg y radio R = 0,3 m cada uno están conectados mediante una cuerda. En el instante mostrado en la figura, la velocidad angular del disco B es de 20 rad/s en sentido horario. Calcular cuánto sube el disco A cuando la velocidad angular del disco B sea de 4 rad/s. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 48 Respuesta. 1,54 m 22. Un cilindro de masa ni y radio r rueda sin deslizar sobre la cara interior de una superficie cilíndrica de radio R. Sabiendo que la esfera parte del raposo en la posición indicada en la figura, obtener: a) La velocidad de la esfera al paso por B. b) El módulo de la reacción normal en cada instante. Respuesta. a) ( )( ) θ cos 1 3 4 − −r R g , b) ( ) θ cos 4 7 3 − mg 23. ¿A que altura sobre la mesa debe golpearse una bola de billar con un taco mantenido horizontalmente para que la bola comience su movimiento sin rozamiento entre ella y la mesa? Respuesta. 7/5R 24. Un cilindro homogéneo de masa m y radio R descansa sobre un plano horizontal. Se aplica un torque, según se indica en la figura. Hallar el valor del coeficiente de rozamiento entre la rueda y el plano para que aparezca rodadura pura. Respuesta. mgR 3 2τ μ ≥ 25. Una esfera de l00 kg de masa y 0,6 m de diámetro baja rodando, partiendo del reposo, por un plano inclinado 25º. recorriendo 30 m.. a) ¿Cuál es su energía cinética al cabo de los 30 m? b) ¿Cuál es la velocidad de su centro de masa? Respuesta. a) 1268 kg m, b) 13,3 m/s 26. Un pasajero viaja de pie en un ómnibus. El ómnibus se mueve con una velocidad de 50 km/h cuando el conductor aplica los frenos. El ómnibus desacelera de modo uniforme durante una distancia de 15 ni hasta detenerse. ¿Qué ángulo respecto a la vertical deberá inclinarse el pasajero para evitar su caída? Respuesta. 33,27 hacia atrás. 27. a) ¿Cómo podría distinguirse una esfera de oro de otra de plata si ambas tuviesen el mismo peso, el mismo radio y las dos estuvieron pintadas del mismo color? b) ¿Cómo podría distinguir un huevo duro de uno fresco si estuvieran juntos? 28. Un carrete cilíndrico hueco y uniforme tiene radio interior R/2, radio exterior R y masa M . Está montado de manera que gira sobre un eje horizontal fijo. Una masa m se conecta al extremo de una cuerda enrollada alrededor del carrete. La masa m desciende a partir del reposo una distancia y durante un tiempo t. Demuestre que el torque debido a la fuerza de roce entre el carrete y el eje es: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 4 5 2 t y M t y g m R τ 29. Un cilindro de 10 kg de masa rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal. En el instante en que se su centro de masa tiene una rapidez de 10 m/s, determine: a) la energía cinética traslacional de su centro de masa, www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 49 b) la energía rotacional de su centro de masa, y c) su energía total. Respuesta. a) 500 J, b) 250 J, c) 750 J. 30. Una esfera sólida tiene un radio de 0,2 m y una masa de 150 kg. ¿Cuánto trabajo se necesita para lograr que la esfera ruede con una rapidez angular de 50 rad/s sobre una superficie horizontal? (Suponga que la esfera parte del reposo y rueda sin deslizar). 31. Un disco sólido uniforme y un aro uniforme se colocan uno frente al otro en la parte superior de una pendiente de altura h. Si se sueltan ambos desde el reposo y ruedan sin deslizar, determine sus rapideces cuando alcanzan el pie de la pendiente ¿Qué objeto llega primero a la parte inferior? 32. Una bola de boliche tiene una masa M, radio R y un momento de inercia de (2/5)MR2. Si rueda por la pista sin deslizar a una rapidez lineal v, ¿Cuál es su energía total de función de M y v? Respuesta. 0,7Mv2. 33. Un anillo de 2,4 kg de masa de radio interior de 6 cm y radio exterior de 8 cm sube rodando (sin deslizar) por un plano inclinado que forma un ángulo de θ = 37° con la horizontal. En el momento en que el anillo ha recorrido una distancia de 2 m al ascender por el plano su rapidez es de 2,8 m/s. El anillo continua ascendiendo por el plano cierta distancia adicional y después rueda hacia abajo. Suponiendo que el plano es lo suficientemente largo de manera que el anillo no ruede fuera en la parte superior, ¿qué tan arriba puede llegar? 34. Una barra rígida ligera de longitud D gira en el plano xy alrededor de un pivote que pasa por el centro de la barra. Dos partículas de masas m1 y m2 se conectan a sus extremos. Determine la cantidad de movimiento angular del sistema alrededor del centro de la barra en el instante en que la rapidez de cada partícula es v. Respuesta. ½( m1 + m2)vD. 35. Un péndulo cónico consta de masa M que se mueve en una trayectoria circular en un plano horizontal. Durante el movimiento la cuerda de longitud L mantiene un ángulo constante con la θ vertical. Muestre que la magnitud de la cantidad de movimiento angular de la masa respecto del punto de soporte es: θ θ cos sen 4 3 2L gM L = 36. Una partícula de masa m se dispara con una rapidez vo formando un ángulo θ con la horizontal. Determine la cantidad de movimiento angular de la partícula respecto del origen cuando ésta se encuentra en: a) el origen, b) el punto más alto de su trayectoria, c) justo antes de chocar con el suelo. Respuesta. a) 0, b) θ θ cos sen 2 2 3 0 g mv − , c) θ θ cos sen 2 2 3 0 g mv − 37. Un disco sólido uniforme de masa M y radio R gira alrededor de un eje fijo perpendicular su cara. Si la rapidez angular es ω, calcular la cantidad de movimiento angular del disco cuando el eje de rotación a) pasa por su centro de masa, y b) pasa por un punto a la mitad entre el centro y el borde. 38. Una partícula de 0,4 kg de masa se une a la marca de 100 cm de una regla de 0,1 kg de masa. La regla gira sobre una mesa horizontal sin fricción con una velocidad angular de 4 rad/s. Calcular la cantidad de movimiento angular del sistema cuando la regla se articula en torno de un eje, a) perpendicular a la mesa y que pasa por la marca de 50 cm, b) perpendicular a la mesa y que pasa por la marca de 0 cm. Respuesta. a) 0,43 kgm2/s, b) 1,7 kgm2/s. 39. Una mujer de 60 kg que está parada en el borde de una mesa giratoria horizontal que tiene un momento de inercia de 500 kg⋅m2 y un radio de 2 m. La mesa giratoria al principio está en reposo y tiene libertad de girar alrededor de un eje vertical sin fricción que pasa por su centro. La mujer empieza a caminar alrededor de la orilla en sentido horario (cuando se observa desde arriba del sistema) a una rapidez constante de 1,5 m/s en relación con la Tierra. a) ¿En qué dirección y con qué rapidez angular gira la mesa giratoria b) ¿Cuánto trabajo realiza la mujer para poner en movimiento la mesa giratoria? Respuesta. a) 0,36 rad/s, antihorario. 40. Una barra uniforme de masa M y longitud d gira en un plano horizontal en torno de un eje vertical fijo sin fricción que pasa por su centro. Dos pequeñas cuentas, cada una de masa m, se montan sobre la barra de manera tal que pueden deslizar sin fricción a lo largo de su longitud. Al principio las cuentas se fijan por medio de retenes ubicados en las posiciones x (donde x < d/2) a cada lado del centro, tiempo durante el cual el sistema gira una rapidez angular ω. Repentinamente, los retenes se quitan y las pequeñas cuentas se deslizan saliendo de la barra. Encuentre, a) la rapidez angular del sistema en el instante en que las cuentas alcanzan los extremos de la barra, y www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 50 b) la rapidez angular de la barra después de que las cuentan han salido de ella. 41. Un bloque de madera de masa M que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción está unido a una barra rígida de longitud l y masa despreciable. La barra gira alrededor de un pivote en el otro extremo. Una bala de masa m que se desplaza paralela a la superficie horizontal y normal a la barra con rapidez v golpea el bloque y queda incrustada en él. a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del sistema bala-bloque? b) ¿Qué fracción de la energía cinética original se pierde en la colisión? Respuesta. a) l mv , b) M/(M+m). 42. Una cuerda se enrolla alrededor de un disco uniforme de radio R y masa M. El disco se suelta desde el reposo con la cuerda vertical y su extremo superior amarrado a un soporte fijo. A medida que el disco desciende, demuestre que a) la tensión en la cuerda es un tercio del peso del disco. b) La magnitud de la aceleración del centro de masa es 2g/3, y c) la rapidez del centro de masa es (4gh/3)½. Verifique su respuesta a la pregunta c) utilizando métodos de energía. 43. Una pequeña esfera sólida de masa m y de radio r rueda sin deslizar a lo largo de la pista mostrada en la figura. Si parte del reposo en la parte superior de la pista a una altura h, donde h es grande comparada con r a) Cuál es el valor mínimo de h (en función de R) de modo que la esfera complete la trayectoria? b) ¿Cuáles son las componentes de fuerza de la esfera en el punto P si h = 3R? 44. Un proyectil de masa m se mueve a la derecha con rapidez v0. El proyectil golpea y queda fijo en extremo de una barra estacionaria de masa M y longitud D que está articulada alrededor de un eje sin fricción que pasa por su centro. a) Encuentre la rapidez angular del sistema justo después de la colisión. b) Determine la pérdida fraccionaria de energía mecánica debida a la colisión. 45. A una bola de boliche se le da una rapidez inicial vo en una canal de manera tal que inicialmente se desliza sin rodar. El coeficiente de fricción entre la bola y la canal es μ. Demuestre que durante el tiempo en que ocurre el movimiento de rodamiento puro, a) la rapidez del centro de masa de la bola es 5vo/7, y b) la distancia que recorre es 12 vo 2/49 μg. (Sugerencia: Cuando ocurre el movimiento de rodamiento puro, vcm = Rω. Puesto que la fuerza de fricción proporciona la desaceleración, a partir de la segunda ley de Newton se concluye que acm = μg.) 46. El alambre de un carrete de masa M y radio R se desenrolla con una fuerza constante F. Suponiendo que el carrete es un cilindro sólido uniforme que no desliza, muestre que, a) la aceleración del centro de masa es 4F/3M, y b) la fuerza de fricción es hacia la derecha y su magnitud es igual a F/3. c) Si el cilindro parte del reposo y rueda sin deslizar, ¿Cuál es la rapidez de su centro de masa después que ha rodado una distancia D? Respuesta. c) (8FD/3M)½. 47. Suponga un disco sólido de radio R al cual se le da una rapidez angular ωo alrededor de un eje que pasa por su centro y después se baja hasta una superficie horizontal y se suelta, como en la. Suponga también que el coeficiente de fricción entre el disco y la superficie es μ. a) Calcular la rapidez angular del disco una vez que ocurre el rodamiento puro. b) Calcular la pérdida fraccionaria de energía cinética desde el momento en que el disco se suelta hasta que ocurre el rodamiento puro c) Muestre que el tiempo que tarda en ocurrir el movimiento de rodamiento puro es R ωo/3 μ g. d) Muestre que el tiempo que recorre el disco antes de que ocurra el rodamiento puro es R2 ωo 2/18 μ g. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 51 48. La figura muestra un carrete de alambre que descansa sobre una superficie horizontal. Cuando se tira, no se desliza en el punto de contacto P. El carrete se tira en las direcciones indicadas por medio de los vectores F1, F2, F3 y F4. Para cada fuerza determine la dirección en que rueda el carrete. Advierta que la línea de acción de F2 pasa por P. 49. El carrete mostrado en la figura tiene un radio interior r y un radio externo R. El ángulo θ entre la fuerza aplicada y la horizontal puede variar. Demuestre que el ángulo crítico para el cual el carrete no rueda y permanece estacionario está dado por cosθ = r/R. (Sugerencia: En el ángulo crítico la línea de acción de la fuerza aplicada pasa por el punto de contacto.) 50. Se tiene un carrete sobre un plano inclinado, el cual tiene enrollado un hilo delgado y su extremo libre sujeta una masa m por medio de una polea sin fricción y masa despreciables. Se asume que la masa del carrete M está distribuida uniformemente en un círculo de radio R. Determinar el ángulo de inclinación β al cuál el centro de gravedad del carrete estará en reposo. Respuesta. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 1 -1 sen R r m M β . Estará en reposo solo si 1 2 2 ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + R r m M 51. Los discos A y B son del mismo material y tienen el mismo espesor, pudiendo girar 1ibemente alrededor de un eje vertical. El disco B se encuentra en reposo cuando se deja caer sobre el disco A. el está girando con una velocidad angular de 400 rpm. Sabiendo que la masa del disco A es de 4 kg, calcular: a) La velocidad angular final de los discos. b) La variación de la energía cinética experimentada por el sistema. 1 , 0 = A R m, 15 , 0 = B R m, Respuesta. a) 334 rpm, .b).- 6,5l J 52. Una bala de 3g se dispara, con una velocidad horizontal de 550 m/s, contra. Una varilla de madera AB de longitud L = 0,750 m. La varilla que inicialmente está en reposo, se encuentra suspendida de una cuerda de longitud L = 0,750 m. Sabiendo que h = 0,150 m, calcular las velocidades de cada uno de los extremos de la varilla inmediatamente después de que la bala se haya incrustado. Respuesta. i v A ˆ 566 , 0 − = → , i v B ˆ 22 , 6 = → 53. Un tablón masa M se apoya sobre un pequeño pivote D. Un gimnasta A de masa m está de pie sobre el extremo C del tablón, un segundo gimnasta B de la misma masa m salta desde la altura h y cae www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com Cuerpo rígido Hugo Medina Guzmán 52 sobre el tablón en E. Suponiendo que este choque es perfectamente inelástico, determinar la altura que alcanzará el gimnasta A. (El gimnasta A permanece de pie completamente rígido). Respuesta. ( ) 2 2 3 2 M m h m + 54. Un disco macizo de 1,2 kg de masa y 10 cm de diámetro está montado en un extremo de un eje de masa despreciable que está pivotado alrededor de un punto a 6 cm del, centro del disco en el otro extremo del eje, a una distancia de 10 cm del pivote, se cuelga un objeto de 0,96 kg de masa. Si la velocidad angular de giro del disco es 37,37 rad/s. ¿Cuál es la velocidad de precesión? Respuesta. Ω = 2,1 rad/s 55. Una rueda de bicicleta de 82 cm de diámetro tiene una platina de acero enrollada en su parte exterior de modo que la masa resultante del sistema puede suponerse que está situada toda ella en la periferia de la rueda, siendo M = 7,3 kg sosteniendo los dos extremos del eje con las manos en la posición horizontal. El eje sobresale 15,2 cm a cada lado de la rueda. Mientras la rueda está girando con una velocidad angular de 25,12 rad/s se hace girar el eje con las manos en un plano horizontal alrededor de su centro. Calcular el valor y dirección de la fuerza que deberá ejercer en cada mano para producir una velocidad angular de precesión de 0,628 rad/s alrededor del centro. Respuesta. un par de fuerzas de 64,6 N aplicadas en cada extremo del eje. www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.miacademia1.blogspot.com www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1FISICA.blogspot.com
8029	https://math.stackexchange.com/questions/1219402/maximizing-the-area-of-a-triangle-with-its-vertices-on-a-parabola	calculus - Maximizing the area of a triangle with its vertices on a parabola. - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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Now, I am trying find out how to take a third point on the parabola C=(x,x 2)C=(x,x 2), with x∈[−1.5,3]x∈[−1.5,3], in such a way that the area of the triangle A B C A B C is maximized. I have pretty good evidence by trial and error that this point is (.75,.5625)(.75,.5625) but I have no idea how to prove it. I was trying to work with a gradient, and then Heron's formula, but that was a nightmare to attempt to differentiate. I feel like this is a simple optimization problem but I have no clue how to solve it. Any help is appreciated! Thanks. calculus geometry optimization Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications edited Apr 4, 2015 at 2:45 Jack D'Aurizio 372k 42 42 gold badges 419 419 silver badges 886 886 bronze badges asked Apr 4, 2015 at 2:05 RellekRellek 31 1 1 silver badge 3 3 bronze badges 3 See mathworld.wolfram.com/ParabolicSegment.html, section just after equation (17).Jack D'Aurizio –Jack D'Aurizio 2015-04-04 02:12:26 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:12 1 We want to maximize the height of the triangle, that is, the distance from the unknown point (t,t 2)(t,t 2) to the line through our two given points, where t t is in the interval (−1.5,3)(−1.5,3).André Nicolas –André Nicolas 2015-04-04 02:13:33 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:13 Thank you! Exactly what I was looking for.Rellek –Rellek 2015-04-04 02:15:15 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:15 Add a comment\| 4 Answers 4 Sorted by: Reset to default This answer is useful 7 Save this answer. Show activity on this post. Assuming A=(−3 2,9 4),B=(3,9),C=(x,x 2)A=(−3 2,9 4),B=(3,9),C=(x,x 2), the area of A B C A B C is maximized when the distance between C C and the line A B A B is maximized, i.e. when the tangent to the parabola at C C has the same slope of the A B A B line. Since the slope of the A B A B line is m=9−9/4 3+3/2=3 2 m=9−9/4 3+3/2=3 2 and the slope of the tangent through C C is just 2 x 2 x, the area is maximized by taking: C=(3 4,9 16) C=(3 4,9 16) and the area of A B C A B C can be computed through the shoelace formula: [A B C]=729 64. [A B C]=729 64. This area is just three fourth of the area of the parabolic segment cut by A A and B B, as already known to Archimedes. Here we have a picture: Also notice that in a parabola the midpoints of parallel chords always lie on a line that is parallel to the axis of symmetry. That immediately gives that C C and the midpoint M=(3 4,45 8)M=(3 4,45 8) of A B A B have the same x x-coordinate. Moreover, it gives that the area of A B C A B C is the length of C M C M times the difference between the x x-coordinate of B B and the x x-coordinate of C C, hence 729 64 729 64 as already stated. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Apr 4, 2015 at 14:53 answered Apr 4, 2015 at 2:21 Jack D'AurizioJack D'Aurizio 372k 42 42 gold badges 419 419 silver badges 886 886 bronze badges 5 Very interesting. I'm curious, is it simple to show that when the tangent to the parabola has the same slope as AB, that this distance is maximized? How can I prove this?Rellek –Rellek 2015-04-04 02:25:26 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:25 1 It depends on what one means by proof. Drawing a picture makes it clear.André Nicolas –André Nicolas 2015-04-04 02:27:28 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:27 @Rellek: the hidden machinery are Lagrange multipliers, but you can prove the statement just following the lines of Fermat's theorem for differentiable functions. Assume that the distance is maximized in a point for which the tangent is not parallel to the A B A B line. Then by "following" the tangent you can find a new point on the parabola for which the distance from the A B A B line is increased, contradiction.Jack D'Aurizio –Jack D'Aurizio 2015-04-04 02:27:52 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:27 Otherwise, just take the area of A B C A B C as given by the shoelace formula (it will depend on x x) and find its maximum value through derivatives. It is just the same.Jack D'Aurizio –Jack D'Aurizio 2015-04-04 02:31:17 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:31 2 I had never heard of the Shoelace formula but that is stupidly useful.Rellek –Rellek 2015-04-04 02:35:25 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:35 Add a comment\| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. hint: Let M=(x,x 2)M=(x,x 2) be the point on the parabola y=x 2 y=x 2, find the distance from this point to the base A B A B where A=(−1.5,2.25),B=(3,9)A=(−1.5,2.25),B=(3,9). This distance is easy to find and it is a function of x x. You can use calculus to find the max distance, and this corresponds to the max area since the base is fixed. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Apr 4, 2015 at 2:15 DeepSeaDeepSea 78.8k 5 5 gold badges 59 59 silver badges 104 104 bronze badges 2 Alright, so I just find these two distances, and differentiate the sum?Rellek –Rellek 2015-04-04 02:20:45 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:20 Just one distance and square it before taking derivative to make it easier if you don't know any other formula of the area of the triangle.DeepSea –DeepSea 2015-04-04 02:21:18 +00:00 Commented Apr 4, 2015 at 2:21 Add a comment\| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. The line through the points (−1.5,2.25)(−1.5,2.25) and (p,p 2)(p,p 2) is y 1=(p−1.5)x+1.5 p, y 1=(p−1.5)x+1.5 p, and the line through (p,p 2)(p,p 2) and (3,9)(3,9) is y 2=(p+3)x−3 p. y 2=(p+3)x−3 p. (used the basic method here of course, and we may assume that −1.5<p<3−1.5<p<3.) Now we compute the area of the triangle as the sum of two integrals, each between the line y=3 2 x+4.5 y=3 2 x+4.5 and our found lines in terms of p p over the appropriate bounds. ∫p−1.5(3 2 x+4.5−((p−1.5)x+1.5 p))d x+∫3 p(3 2 x+4.5−((p+3)x−3 p))d x=−9 4 p 2+3.375 p+10.125 ∫p−1.5(3 2 x+4.5−((p−1.5)x+1.5 p))d x+∫3 p(3 2 x+4.5−((p+3)x−3 p))d x=−9 4 p 2+3.375 p+10.125 d A d p=0=>p=3.375 4.5=0.75 d A d p=0=>p=3.375 4.5=0.75 A m a x=729 64 A m a x=729 64 Thanks Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Apr 4, 2015 at 12:12 answered Apr 4, 2015 at 2:24 Satish RamanathanSatish Ramanathan 12.5k 3 3 gold badges 20 20 silver badges 29 29 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. The area of a triangle, assuming the vertices are given in clockwise order, is (x 2−x 1)y 1+y 2 2+(x 3−x 2)y 2+y 3 2+(x 1−x 3)y 3+y 1 2=1 2(x 1 y 3−x 1 y 2+x 2 y 1−x 2 y 3+x 3 y 2−x 3 y 1) (x 2−x 1)y 1+y 2 2+(x 3−x 2)y 2+y 3 2+(x 1−x 3)y 3+y 1 2=1 2(x 1 y 3−x 1 y 2+x 2 y 1−x 2 y 3+x 3 y 2−x 3 y 1) Plugging (−3 2,9 4)(−3 2,9 4), (3,9)(3,9), and (t,t 2)(t,t 2) into this formula we get: 1 2(−3 2 t 2+27 2+27 4−3 t 2+9 t−9 4 t)=1 2(−9 2 t 2+27 4 t+81 4)=9 8(−2 t 2+3 t+9)) 1 2(−3 2 t 2+27 2+27 4−3 t 2+9 t−9 4 t)=1 2(−9 2 t 2+27 4 t+81 4)=9 8(−2 t 2+3 t+9)) The quadratic has a maximum when −4 t+3=0−4 t+3=0 or t=3 4 t=3 4 Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Apr 4, 2015 at 12:56 NovaDenizenNovaDenizen 4,324 16 16 silver badges 23 23 bronze badges Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions calculus geometry optimization See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Related 1Show that the orthocenter must coincide with one of the vertices of triangle ABC. 12The square of minimum area with three vertices on a parabola 3Area of parabola using "weighted" average? 0About the length of parabola 7Finding the triangle with the maximum area with a given perimeter 4Area of triangle inscribed in a circle with a specific position 1Find parabola given lines it is differentiable with 2Geometry problem with triangle 2Maximizing a function AND its derivative. Hot Network Questions How can the problem of a warlock with two spell slots be solved? 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8030	https://www.geeksforgeeks.org/biology/ecological-pyramid-its-types/	Ecological Pyramid - Definition, Types, Importance, Limitations Last Updated : 23 Jul, 2025 Suggest changes 4 Likes Report An ecological pyramid is a graphical representation of the relationship that every living creature present at different levels of the ecosystem shares with each other. Ecological Pyramids represent the different forms of bio-productivity of an ecosystem i.e. how much biomass, energy, or number of individuals each trophic level accounts for. In this article, we will learn about the ecological pyramid types, their significance, and limitations. Table of Content What is an Ecological Pyramid? Ecological Pyramid Diagram Features of the Ecological Pyramid Ecological Pyramid Types Importance Ecological Pyramid Limitations of Ecological Pyramid What is an Ecological Pyramid? The ecological pyramid is also known as a food pyramid, trophic pyramid, or energy pyramid, and even the Eltonian pyramid as the concept of such pyramids which depict numbers was proposed by Charles Elton in the year 1927. Then came Bodenheimer in 1938 who proposed the pyramid structure for biomass and in 1942 Hutchinson and Linderman proposed the pyramid for productivity. The pyramid is framed based on the number of individuals, energy, and biomass, and very much like the name recommends, these are shaped as a pyramid. The various kinds of ecological pyramids depend on how much energy or biomass or individuals are accessible to each trophic level. The bottom of the pyramid, usually the broadest part is occupied by the producers followed by the primary consumers at the next level, then the secondary consumers, and then tertiary consumers or the organisms placed at the top of the food chain at the topmost level. The ecological pyramid is additionally used to make sense of how different living beings in an environment are connected with each other. Also, it shows who is consumed by whom, while likewise showing the flow of the energy. Ecological Pyramid Diagram The diagram below depicts the ecological pyramid. Features of the Ecological Pyramid The following are the characteristics of an Ecological Pyramid: The ecological pyramid comprises two to four layers. Organisms that are dependent on the same type of food sources are placed at the same level. The producers are situated at the lowest level of an ecological pyramid with a huge population. The apex predators exist at the topmost level of an ecological pyramid with a relatively smaller population. The pointed shape of the pyramid is due to the fact that the supply of energy or biomass becomes lesser with each passing level of the pyramid. In the case of the pyramid of numbers, the topmost level will have a lesser number of individuals but their relative body size and volume increase. Ecological Pyramid Types The ecological pyramid is of three types; the pyramid of numbers, the pyramid of biomass, and the pyramid of energy. Pyramid of Number The Pyramid of Number denotes the total number of living individuals at various trophic levels in an ecological system. The producers are at the base and top carnivores at the topmost level in this pyramid. The pyramid of numbers can be both upright and inverted. The upright pyramid has the largest number of producers at the base and their numbers keep on declining with each passing level like pond or grassland ecosystem. In the inverted pyramid, the base pointed with a lesser number of producers whereas the topmost level will have the largest number of individuals as the size and food consumption of organisms in each level will decrease i.e. in this system one individual producer can support many primary consumers, similarly, one primary consumer can support many secondary consumers, and so on. This type of pyramid is seen in the case of a parasitic food chain. Pyramid of Biomass The ecological pyramid that is made by considering the amount of biomass that is produced by the living system of each trophic level is represented by the pyramid of biomass. The pyramid that demonstrates the total weight of every trophic level in a specific food chain in an ecosystem is the biomass pyramid. Like the pyramid of numbers, the pyramid of biomass can be both upright and inverted. Forests and grasslands ecological systems are instances of upstanding biomass pyramids as the number of producers is more in number. The ocean ecosystem is an example of an inverted pyramid as a large number of zooplankton are dependent on a lesser number of phytoplankton. Dependent on the trophic level of an ecosystem, only 15% to 20% of biomass per level goes to the following level. Pyramid of Energy The ecological pyramid which is formed by determining the flow of energy from one trophic level to another is known as the pyramid of energy. The producers situated at the base of the pyramid of energy have the highest amount of energy and the topmost consumer at the top has the least amount of energy. The pyramid of energy is always upright. This pyramid addresses the complete energy content of each trophic level in an ecological system. The base of this pyramid i.e. producers has the most amount of energy acquired from the sun fixed by the help of photosynthesis. The flow of energy in this pyramid proves that energy can neither be created nor can be destroyed given by the law of thermodynamics. However, as indicated by Lindeman's 10% regulation law, only 10% of the energy gets transferred from one level to another as almost the 90% is lost as heat energy is used in breathing, some are utilized in physiological cycles, and the rest is utilized by decomposers. Importance Ecological Pyramid The ecological pyramid is important in a biological system due to the following reasons: An ecological pyramid takes into account the dietary patterns of various living organisms. The ecological pyramids take into account the number of living creatures in an ecosystem. It gives clarity of how much energy moved to start with one trophic level and then onto the next level of the ecosystem. It gives data about the biodiversity of a region. The ecological pyramid is framed based on the food-consumer relationship. If the food chain order is disturbed, the biological pyramid will be disturbed and the entire environment will be seriously harmed. It helps in keeping up with equilibrium and helps in checking the entire state of a biological ecosystem. Limitations of Ecological Pyramid Following are the limitations that the system of ecological pyramid possesses; The ecological pyramid does not take into account the saprophytes and treats them as non-living components of the environment, despite the fact that they have a significant part in maintaining the equilibrium of the environment. There is no inclusion of diurnal or occasional varieties in this pyramid, the idea of environment or seasons is totally unassumed here. The ecological pyramid is just relevant in the event of straightforward food chains not considering the complex food webs. This pyramid specifies nothing about the pace or speed by which energy moves from one trophic level to the next trophic level. Significant sources of energy like litter and humus are totally overlooked in the ecological pyramid despite the fact that their significance in the environment is unrivaled. Similar species existing at various levels in a pyramid are not considered. Conclusion - Ecological Pyramid In conclusion, ecological pyramids provide valuable insights into the structure and functioning of ecosystems. By visualizing the relationships between different trophic levels, we gain a deeper understanding of how energy, biomass, and population numbers are distributed within ecosystems. These ecological pyramids serve as powerful tools for ecologists to analyze and compare various ecosystems, highlighting their diversity and complexity. As we continue to study and appreciate ecological pyramids, we also recognize the importance of maintaining balance and harmony in our natural world to sustain life for future generations. 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8031	https://computationalsocialnetworks.springeropen.com/articles/10.1186/s40649-020-00078-5	Computational Social Networks Solving the k-dominating set problem on very large-scale networks Download PDF Download PDF Research Open access Published: Solving the k-dominating set problem on very large-scale networks Minh Hai Nguyen1,3, Minh Hoàng Hà ORCID: orcid.org/0000-0002-9923-63091,2, Diep N. Nguyen3 & … The Trung Tran4 Computational Social Networks volume 7, Article number: 4 (2020) Cite this article 13k Accesses 15 Citations 3 Altmetric Metrics details Abstract The well-known minimum dominating set problem (MDSP) aims to construct the minimum-size subset of vertices in a graph such that every other vertex has at least one neighbor in the subset. In this article, we study a general version of the problem that extends the neighborhood relationship: two vertices are called neighbors of each other if there exists a path through no more than k edges between them. The problem called “minimum k-dominating set problem” (MkDSP) becomes the classical dominating set problem if k is 1 and has important applications in monitoring large-scale social networks. We propose an efficient heuristic algorithm that can handle real-world instances with up to 17 million vertices and 33 million edges. This is the first time such large graphs are solved for the minimum k-dominating set problem. Introduction Problem context and definition The well-known minimum dominating set problem (MDSP) deals with determining the smallest dominating set of a given graph (G=(V, E)). The dominating set is a subset of the vertex set V such that each vertex in V is a member of the dominating set or is adjacent to a member of the dominating set. The applications of MDSPs are quite rich. The problems can be used in the study of social networks [1,2,3], design of wireless sensor networks , protein interaction networks [5, 6] and covering codes . In a recent industrial application, the authors have been confronted with a more general variant of the MDSP which received, until now, only limited attention in the academic literature. We take the viewpoint of a company that runs a very large social network in which users can be modeled as nodes and the relationship among users can be modeled as edges. One of the important tasks of the company is monitoring all the activities (conversations, interactions, etc.) of the network users to detect anomalies such as cheating or spreading fake news. With millions of users, it is impossible to observe all users in the network. A potential solution is to construct a subset of users that can represent key properties of the network. The typical dominating set could be a good candidate. But in the case of social network scale, it is still too expensive to construct a dominating set because the size of the dominating set could be large. Therefore, we need to consider the general version of dominating set named k-dominating set (D_k) which is defined as following: each vertex either belongs to the (D_k) or is connected to at least one member of (D_k) through a path of no more than k edges. The classical minimum dominating set corresponds to a special case when (k=1). For value (k > 1), the cardinality of k-dominating set is less than that of 1-dominating set: (\|D_k\| \le \|D_1\|), the monitoring cost of the network is therefore reduced. It should be noted that the value of k should be selected carefully. If k is too large, the users in the resulting dominating set cannot be the representatives for the original graph. But if k is too small, the monitoring cost would be very high due to the large size of the dominating set. In our application, k is in general set to 3. Figure 1 illustrates the solutions of the MkDSP (the k-dominating sets including the black nodes) in the cases of (k = 1) and (k = 3). In this paper, we aim to construct the minimum k dominating set of a graph. The problem is called the minimum k-dominating set problem (abbreviated as MkDSP for short). Its application in determining a good approximation of large-scale social networks can be also found in . The variant which requires vertices in k-dominating set to be connected can be used to form the backbone of an ad hoc wireless network as mentioned in [9:986–91."), 10:785–99.")]. The MDSP is proved NP-complete , thus the MkDSP is clearly NP-hard because it reduces to the classical MDSP when (k = 1). For further reading, we present a number of notations in the follows. If u is a vertex in the k-dominating set, and v is connected to u through a path with no more than k edges, we say uk-dominates (or covers) v or v is k-dominated (or covered) by u. In context without ambiguity we could remove the prefix k for short. We call a vertex of dominating set as a k-dominating vertex or dominating vertex for short. A vertex is a k-covered or k-dominated vertex if it is covered by a dominating vertex. The problem can be modeled as the following mixed-integer linear programming (MILP) model, $$\begin{aligned} \text {Minimize}&\sum \limits _{v \in V} z_v, \end{aligned}$$ (1) $$\begin{aligned} \text {subject to}&\sum \limits _{v \in {\mathcal {N}}(u, k)} z_{v} \ge 1, \forall u \in V, \end{aligned}$$ (2) $$\begin{aligned}&z_v \in {0, 1}, \forall v \in V. \end{aligned}$$ (3) where (z_v) is the binary variable representing whether the vertex v belongs to the k-dominating set, i.e., (z_v = 1) if and only if (v \in D_k). The objective (1) is to minimize the number of vertices in (D_k) while constraints (2) assure that each vertex u must be covered by at least one dominating vertex. Here, ({\mathcal {N}}(u,k)) denotes the set of vertices that can cover u, i.e., the vertices connect to u through a path with no more than k edges. The cardinality of ({\mathcal {N}}(u,k)) plays an important role in the investigation of complexities of the algorithms presented in the next sections. In general, we denote (n_k = \|{\mathcal {N}}(u,k)\|); its value can be estimated on average by (n_k = ({\overline{d}}^{k + 1} - 1) / ({\overline{d}} - 1) \approx {\mathcal {O}}({\overline{d}}^k)), where ({\overline{d}}) is the average degree of vertices in the graph and is equal to ({\raise0.7ex\hbox{${2\|E\|}$} !\mathord{\left/ {\vphantom {{2\|E\|} {\|V\|}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} !\lower0.7ex\hbox{${\|V\|}$}}). The optimal algorithm to compute ({\mathcal {N}}(u, k)) is the breadth first search algorithm which has the complexity of ({\mathcal {O}}(n_k)). It can be seen that both the number of binary variables and the number of constraints in the MILP model above are equal to the size of vertex set V. This is a very large number of graphs arising in the context of social networks. Modeling and solving such a big formulation appears to be an impossible task for current MILP tools and computing capacity. Literature review Literature has attempted to deal with the MSDP. The most efficient exact method for the problem and other variants is presented in where a branch-and-reduce method is developed. Although this method can provide an optimal solution, it handles only small-size instances defined on graphs with a few hundred vertices in acceptable running time. Several efforts are spent to design approximation algorithms. Grandoni proposes an algorithm in ({\mathcal {O}}(1.9053^n)) while Rooij and Bodlaender propose algorithm in ({\mathcal {O}}(1.4969^n)) time and polynomial space. The MDSP can also be tackled by existing approaches proposed to solve its variants. The most popular variant of the problem deals with a weight associated with each vertex of the graph, called the minimum weight dominating set (MWDS) problem (Ugurlu et al. ). The objective function seeks to minimize the total weight, without regarding the cardinality of the dominating set. The best metaheuristic in terms of solution quality for the MWDS is recently introduced by . It is a hybrid metaheuristic combining a tabu search with an integer programming solver. The MILP solver is used to solve subproblems in which only a part of the decision variables, selected relative to the search history, are left free. The authors also introduce an adaptive penalty to promote the exploration of infeasible solutions during the search, enhance the algorithm with perturbations and node elimination procedures, and exploit richer neighborhood classes. The performance of the method is investigated on small- and medium-size instances with up to 4000 vertices. For massive graphs, Wang et al. develop a local search algorithm called FastMWDS. Two new ideas are used in FastMWDS. First, a new fast construction procedure with four reduction rules is proposed. This procedure includes three parts: reducing, constructing, and shrinking. After this construction procedure, the size of massive graphs is reduced. Second, a new configuration checking with multiple values is designed, which can exploit the relevant information of the current solution. Relating to MkDSP problem, a number of variants of this problem have been proposed and studied. As most of the related problems studied in the literature are in the context of wireless networks, in works, the dominating set is usually required to be connected. The problem can be solved in polynomial time on several restricted graphs such as distance-hereditary graphs , HT-graphs [17:64–83.")], and graphs with bounded treewidth . The hardness and approximation algorithms are introduced in [19, 20]. Two approximation algorithms are also developed to solve the minimum 2-connected k-dominating set problem in [9:986–91.")]. The first one is a greedy algorithm using an ear decomposition of 2-connected graphs. The second one is a three-phase algorithm that can be used to handle disk graphs only. Rieck et al. [10:785–99.")] propose a distributed algorithm to provide approximate solutions. The algorithm is tested on a small graph with only several hundred vertices. To the best of our knowledge, the only work that proposes efficient algorithms to solve the MkDSP in the context of a large social network has been recently published by Campan et al. . The MkDSP is first converted to the classical minimum dominating set problem by adding edge connecting vertices that are not adjacent but have distance not exceeding k. The MkDSP can now be solved by directly applying one of three greedy algorithms that work for the MDSP. The performance of algorithms is tested on medium-size real social networks with up to 36,000 vertices and 200,000 edges. However, as shown in the experimental section, the method proposed in cannot provide any solution for the instances with millions of vertices and edges in acceptable running time. Problem challenges and contributions One of the challenges to solve the MkDSP is to determine the domination relation between pairs of vertices. In general, this often leads to a procedure that we call k-neighbor search to compute the set ({\mathcal {N}}(u,k)) for vertex u, which is very expensive on massive graphs with (k > 1). As a consequence, approaches proposed in the literature that pre-compute the dominating set of every vertex are infeasible in the context of massive graphs. For example, the method proposed in uses a decomposition method to tackle the MWDS and solves multiple sub-problems, each corresponds to an MILP and then uses several local search operators. To speed up the local search procedure, the set ({\mathcal {N}}(u,k)) for every vertex u in the graph has to be pre-computed. Multiple MILP programs and the pre-computation of ({\mathcal {N}}(u,k)) make the algorithm perform slowly in the case of very large-scale graphs. Similarly to the algorithm proposed in , even though it can handle large-scale instances in the context of social networks but it works only in the case where (k = 1). Applying this algorithm to solve our problem with (k > 1) is not practical because when k increases, the algorithm gets stuck as it has to iteratively compute the set ({\mathcal {N}}(u,k)) for every vertex u. The MkDSP can be converted to a typical dominating set problem by inserting additional edges to the graph G that joint two non-adjacent vertices if the number of edges on the path among them is not greater than k. This polynomial complexity conversion procedure allows using any efficient algorithm proposed for the 1-dominating set problem to solve k-dominating set problem. The idea is proposed in . However, inserting edges increases significantly the degree of vertices in the graph, leading to tedious performance of the method in terms of computational speed when tackling large-scale social networks with millions of vertices as shown in the experiments in "Experimental results" section. In this paper, we consider the MkDSP in the context of social networks. Our main contribution is an algorithm that can efficiently solve the MkDSP. The novel features of our method are (i) a prepossessing phase that reduces the graph’s size; (ii) a construction phase with different greedy algorithms; and (iii) a post-optimization phase that removes redundant vertices. In all phases, we also use techniques to reduce the number of times to compute k-neighbor set of vertices which is very expensive on graphs arisen in social networks. We have investigated the performance of our method on different sets of graphs which are classified mainly by their size of vertex set. A graph is labeled as a large size category if it has more than 100 thousand vertices, while the small one has less than 10 thousand vertices, the remaining cases are of medium size. The obtained results show the performance of our method. It outperforms the algorithm currently used by the company mentioned above in terms of solution quality. It can also handle real large-scale instances with up to 17 million vertices that the algorithm proposed in could not. Finally, it is worth noting that an extended abstract of this paper is published in . In the current work, we describe in more details the main sections including literature review, heuristic method, and experimental results. In particular, we add an additional section to show the hardness of the problem and carry out more experiments to analyze the performance of the methods. Solution methods In this section, we describe in detail an efficient algorithm for large-scale MkDSP problems. Our heuristic consists of three phases: pre-processing phase to reduce the graph size, construction phase to build a k-dominating set that will be reduced in the post-optimization phase by removing redundant vertices. Pre-processing phase As mentioned above, the first phase of our algorithms is reducing the size of the original graph. We extend the reduction rules in to k-dominating set by finding structures that we call k-isolated clusters. A k-isolated cluster is a connected component whose vertices are k-dominated by a single vertex. If there exists a vertex (v \in V) such that (\|{\mathcal {N}}(v, k)\| = \|{\mathcal {N}}(v, k + 1)\|), set ({\mathcal {N}}(v, k)) is a k-isolated cluster associated with v. We can remove the vertices belonging to this k-isolated cluster from G and add vertex v to the k-dominating set. Algorithm 1 describes our reduction rule on small- and medium-size graphs. To estimate the complexity of Algorithm 1, it is easy to see that the for loop in Line 2 has \|V\| steps and in each step, (k+1) and k neighbors have been calculated. Therefore, the complexity of Algorithm 1 in the worst case is ({\mathcal {O}}(\|V\|n_{k + 1})). Algorithm 1 does not work on large-size graphs due to the expensive cost of k-neighbor search ({\mathcal {N}}(v, k)). As a sequence, on massive graphs with more than 100,000 vertices, we implement a modified version of Algorithm 1 that is shown in Algorithm 2. The idea is based on the observation that, if (\|{\mathcal {N}}(v, k)\| \ne \|{\mathcal {N}}(v, k + 1)\|), it is highly possible that ({\mathcal {N}}(u, k)) would not be an isolated cluster for every (u \in {\mathcal {N}}(v, k + 1)). We could thus ignore the isolated clusters checking on ({\mathcal {N}}(u, k)). In Algorithm 2, for each vertex v, the variable f[v] is set to False if ({\mathcal {N}}(v, k)) has a high probability of not being an isolated cluster. If a vertex is marked False, it is not checked through the condition in Line 7, to avoid computing k-neighbor searches. The complexity of Algorithm 2 is ({\mathcal {O}}(\|V\|n_{k+1}/n_k)). More precisely, the for loop in Line 5 repeats \|V\| times and there are (\|V\|/n_k) vertices that we need to compute their ((k+1))-neighbor set, which runs in ({\mathcal {O}}(n_{k + 1})). k-dominating set construction phase To begin this subsection, we introduce the greedy heuristic that is currently used by our partner mentioned in the first section. The idea is originated from the observation that the higher degree vertex would tend to dominate more vertices. Thus, the vertices in the graph are first rearranged in descending order of their degree and then consecutively consider each vertex in the received list. If the considering vertex v is uncovered, it is added to the k-dominating set (D_k) and all members of the k-neighbor set ({\mathcal {N}}(v, k)) is marked as covered. This greedy heuristic is denoted as (\text{HEU}_1) and is shown in Algorithm 3. The complexity of (\text{HEU}_1) is ({\mathcal {O}}(\|V\|\log(\|V\|) + \|D_k\|n_k)). First, sorting the vertices in Lines 2–3 costs ({\mathcal {O}}(\|V\|\log(\|V\|))). In the for loop in Lines 6–13, there are (\|D_k\|) times a vertex is added to (D_k). And at each addition operation, we need to compute ({\mathcal {N}}(v, k)), which runs in ({\mathcal {O}}(n_k)) (for loop in Lines 9–10). Therefore, the complexity of for loop in Lines 6–13 is ({\mathcal {O}}(\|V\| + \|D_k\|n_k)). The heuristic (\text{HEU}_1) is fast and can handle very large-scale instances but such a simple greedy algorithm cannot provide high-quality solutions. To search for better solutions, we now present the second greedy algorithm called (\text{HEU}_2) whose pseudo-code is provided in Algorithm 4. This algorithm is different from the first one in the way to treat covered vertices. In (\text{HEU}_1), covered vertices are never added to the dominating set while in (\text{HEU}_2), they can be still added if some conditions are satisfied. In Algorithm 4, (\mathcal {N'}(k, v)) denotes the set of uncovered vertices in ({\mathcal {N}}(k, v)). Line 10 in Algorithm 4 indicates that if the vertex v is uncovered or the number of uncovered vertices in ({\mathcal {N}}(k, v)) is greater than a pre-defined parameter (\theta), vertex v will be selected as a dominating vertex. In practice, the operations from Line 6 to Line 16 of (\text{HEU}_2) are quite time-consuming. While (\text{HEU}_1) has to compute the k-neighbor sets for a number of vertices that is equal to the size of dominating set, the operations of Lines 6–16 in (\text{HEU}_2) have to compute the k-neighbor sets for every vertex in the graph. To speed up the process, we limit the running time for the operations 6–16 by the conditions in Line 7 using the parameter (t_{\text{loop}}). Here, (t_{6-16}) is the running time of the for loop 6–16. If (t_{\text{loop}}) is set to a large value, the running time of the algorithm could be very high due to the computation of k-neighborhood sets of all vertices on Line 10. However, another observation is that once the running time (t_{6-16}) exceeds (t_{\text{loop}}), (\text{HEU}_1) will be applied on the remaining unexplored vertices. That means if (t_{\text{loop}}) is set to a too small value, (\text{HEU}_2) would behave almost like (\text{HEU}_1), possibly leading to low-quality solutions. Therefore, the parameter (t_{\text{loop}}) should be neither too large nor too small. It should be neither less than (t_{\text{min}}) seconds nor greater than (t_{\text{max}}) seconds, and is computed as ({t_{{\rm{loop}}}} = \max \left( {{t_{{\rm{min}}}},{t_{{\rm{max}}}}.{\raise0.7ex\hbox{${\|V\|}$} !\mathord{\left/ {\vphantom {{\|V\|} N}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} !\lower0.7ex\hbox{$N$}}} \right)) (seconds) where N is approximately the number of vertices in the largest instances. We select the values of (t_{\text{min}}, t_{\text{max}}), and N mainly by experiments. In experiments, we set (t_{\text{min}} = 400), (t_{\text{max}} = 950), and (N = 17,000,000). If the running time of for loop at Line 6 excesses (t_{\text{loop}}) and there are still uncovered vertices (Line 17), (\text{HEU}_2) applies the same strategy as in (\text{HEU}_1) for uncovered vertices (Lines 17–18). The complexity of Algorithm (\text{HEU}_2) is ({\mathcal {O}}(\|V\|\log (\|V\|) + \|V\|n_k)). The sorting operation in Line 1 runs in ({\mathcal {O}}(\|V\|\log(\|V\|))). The for loop in Lines 6–16 runs \|V\| times. Each time, if the considering vertex v is covered its k-neighbor set will be computed; otherwise, the uncovered subset (\mathcal {N'}(v, k)) of ({\mathcal {N}}(v, k)) will be computed. The computations of ({\mathcal {N}}(v, k)) and (\mathcal {N'}(v, k)) have the same complexity as ({\mathcal {O}}(n_k)). Therefore, the main operation is to construct a k-neighbor set with the complexity of ({\mathcal {O}}(n_k)) on average. Experiments show that the performance of the algorithm (\text{HEU}_2) heavily depends on the value of (\theta). An interesting fact is that (\text{HEU}_2) behaves similarly as (\text{HEU}_1) if (\theta) and (t_{\text{loop}}) are set to very large numbers. If the value of (\theta) is large enough, (\text{HEU}_2) provides the same solutions as (\text{HEU}_1), but it is more time-consuming (due to the computation of (\mathcal {N'}(v, k)) in Line 10). Therefore, to get better solutions, we decide to execute (\text{HEU}_2) with several small integer values of (\theta) from 0 to 4 and choose the best one. Post-optimization phase The k-dominating set (D_k) obtained from algorithm (\text{HEU}_2) can contain redundant vertices that can be removed while the remaining vertices still k-dominate the graph. We implement a procedure named greedy redundant removal to remove such redundant vertices. The algorithm is shown in Algorithm 5. The for loop in Lines 4–23 in Algorithm 5 considers every dominating vertex (v \in D_k) to check if it is redundant. The variable ({\mathcal {S}}) gets TRUE value if v is redundant and FALSE otherwise. If v is not redundant, there exists a vertex u in ({\mathcal {N}}(v, k)) such that u is not covered by any vertex w in (D_k \setminus {v}). Instead of computing ({\mathcal {N}}(u, k)) and checking whether (w \in {\mathcal {N}}(u, k)), which are very expensive on large-scale instances, we verify if ({\mathcal {N}}(u,k_1)) and ({\mathcal {N}}(w,k_2)) are not disjoint. Here, (k_1) and (k_2) are positive integers such that (k_1 + k_2 = k). The sorting operation in Line 1 runs in ({\mathcal {O}}(\|D_k\|\log (\|D_k\|))). The for loop in Lines 6–19 repeats for (\|D_k\|) times. The for loop in Lines 9–14 operates (n_k) iterations in the worst case. Inside this loop, there is a (k_1)-neighbor set construction ({\mathcal {N}}(u, k_1)) in Line 8. To verify the condition in Line 10, we sort the element of the small-size set and perform binary search of elements in the large-size set on the small-size set. The complexity of this operation is ({\mathcal {O}}(\max {n_{k_1}, n_{k_2}} \log (\min {n_{k_1}, n_{k_2}}))), where (n_{k_1}) and (n_{k_2}) are cardinalities of sets ({\mathcal {N}}(u, k_1)) and ({\mathcal {N}}(w, k_2)), respectively, leading to the complexity ({\mathcal {O}}(\|D_k\|^2n_k\max {n_{k_1}, n_{k_2}}\log (\min {n_{k_1},n_{k_2}}))) of the whole Algorithm 5. We also note that if we do not separate k into (k_1) and (k_2), the complexity of the algorithm becomes ({\mathcal {O}}(\|D_k\|^2n_k^2)). It is observable that when the gap between (k_1) and (k_2) gets larger, the computational cost (\max {n_{k_1}, n_{k_2}}\log (\min {n_{k_1},n_{k_2}}))) gets higher. As a result, we set (\left{ {{k_1},{k_2}} = { \lfloor {\raise0.7ex\hbox{$1$} !\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} !\lower0.7ex\hbox{$2$}}(k + 1) \rfloor ,k - \lfloor {\raise0.7ex\hbox{$1$} !\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} !\lower0.7ex\hbox{$2$}}(k + 1) \rfloor } \right}) that guarantees (\|k_1 - k_2\| \le 1). Inside the for loop 6–19, a number of (k_2) neighbor sets ({\mathcal {N}}(w, k_2)) are computed while only one (k_1) neighbor set ({\mathcal {N}}(u, k_1)) must be evaluated. Therefore, it is better if (k_1 \ge k_2); and we assign ({k_1} = \lfloor {\raise0.7ex\hbox{$1$} !\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} !\lower0.7ex\hbox{$2$}}(k + 1) \rfloor) and (k_2 = k - k_1). For example, in case of (k = 3), we set (k_1 = 2) and (k_2 = 1). The complexity of Algorithm 5 becomes ({\mathcal {O}}(\|D_k\|^2n_3n_{2}\log ( n_{1})) \approx {\mathcal {O}}(\|D_k\|^2{\overline{d}}^5\log ({\overline{d}}))), which is better than ({\mathcal {O}}(\|D_k\|^2n_3^2) \approx {\mathcal {O}}(\|D_k\|^2{\overline{d}}^6)), the complexity of the algorithm if we directly verify the condition (w \in {\mathcal {N}}(u, k)). Here, we recall that ({\overline{d}}) is the degree on average of vertices in the graph. After finishing the greedy redundant vertex removal, we continue to perform the second post-optimization phase by solving MILP programs as follows. We divide the vertices in the obtained k-dominating set (D_k) of degree less than a given value (d_{p}) into several groups; each contains (n_{p}) vertices maximum. For such a group B, let X be the set of neighbors of the vertices in B, i.e., (X = \cup _{v \in B} {\mathcal {N}}(v, 1)). Let S be the set of vertices that are only dominated by vertices in B and not by ones in (D_k \setminus B). We solve the following integer programming problem in a limited time of (t_{p}). The number of groups is about (\|D_k\|/n_p) and the running time to tackle each group is limited to (t_p), the total running time in the worst case is therefore ({\raise0.7ex\hbox{${{t_p}\|{D_k}\|}$} !\mathord{\left/ {\vphantom {{{t_p}\|{D_k}\|} {({n_p}.{n_t})}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} !\lower0.7ex\hbox{${({n_p}.{n_t})}$}}), where (n_t) is the number of threads used for this phase. $$\begin{aligned} \text {Minimize}&\sum \limits _{v \in X} z_v, \end{aligned}$$ (4) $$\begin{aligned} \text {subject to}&\sum \limits _{v \in {\mathcal {N}}(u, k) \cap X} z_{v} \ge 1, \forall u \in S, \end{aligned}$$ (5) $$\begin{aligned}&z_v \in {0, 1}, \forall v \in X. \end{aligned}$$ (6) If the feasible solution (B') has smaller size than B, we replace elements of B in (D_k) by (B'), i.e., (D_k = (D_k \setminus B) \cup B'). The values of (d_{p}, n_{p}), and (t_{p}) must be carefully selected so that the performance of the algorithm is assured while the running time is still kept reasonable. By experiments, we decide to use the setting (n_{p} = 15,000) and (t_{p} = 6) s. The algorithm is first run with the value of (d_{p} = 500) and then is repeated with (d_{p} = 5000) to search for further improvement. Experimental results This section presents the results of the proposed methods on graphs of various sizes. Experiments are conducted on a computer with Intel Core i7—8750h 2.2 GHz running Ubuntu OS. The programming language is Python using igraph package to perform graph computations. We use CPLEX 12.8.0 to solve MILP programs. The pre-processing and set dominating construction phases take 1 thread while the MILP solver takes 4 threads. We test the approaches on three instance classes categorized by the size of their graphs. Small instances are taken from with the number of vertices varying from 50 to 1000. This dataset contains 540 instances. To avoid long result tables, we select to show results for only five groups, each contains 10 instances with the same vertex and edge numbers. Six medium-size instances are from the Network Data Repository source which are also used by to test their algorithm. The third instance class includes six large-size instances: two with approximately 17 million vertices and 30 million edges extracted from the data of our partner (soc-partner-1 and soc-partner-2) and four from Network Data Repository source. Table 1 shows the characteristics of the instances containing name, vertex size (column \|V\|), and edge size (column \|E\|). It also reports the results of the pre-processing phase including the number of isolated clusters (NoC) and the number of vertices in isolated clusters (NoR) in three cases corresponding to three values of k: 1, 2 and 3. As can be seen in Table 1, the number of isolated clusters and reduces vertices increases when the value of k is higher. On the small graphs, these numbers are all zero except two classes s-4 and s-5 in the case (k = 3) where the pre-processing phase can reduce 800 and 1000 vertices, respectively. Remarkably, in these cases, all the vertices are reduced; hence, the algorithm gets the optimal solution right after the pre-processing phase. On the medium-size graphs, the pre-processing procedure cannot remove any vertex. But in half instances of large graphs, the number of isolated clusters and removed vertices is significant. We compare the performance of four algorithms: the MILP formulation with running time limited to 400 s, the greedy algorithm currently used by our partner (\text{HEU}_1), the best algorithm proposed by called (\text{HEU}_3), and our new algorithm called (\text{HEU}_4) including all components mentioned in the last section. For each method, we report the objective value of its solutions (Sol) and the running time (T) in seconds. For the method using MILP formulation, we also show the gaps (Gap) returned by CPLEX. Because the MILP-based method cannot handle efficiently medium and large-size graphs, we only present its results obtained on small-size graphs. In result tables, the numbers in italic show the best found k-dominating sets over all methods and the marks “−” denote the instances that cannot be solved by HEU3 in the running time of several days or due to “out of memory” status. Table 2 shows the experimental results on the small graphs which are average values over 10 instances. The numbers in italic show the best found k-dominating sets overall methods. An interesting observation is that the MILP-based method can solve to optimality more instances when k increases. More precisely, it can solve all instances with (k=3). Therefore, for exact methods, instances with larger values of k tend to be easier. (\text{HEU}_1) is the worst in terms of solution quality, but it is the fastest. Considering (\text{HEU}_3) and (\text{HEU}_4)’s solution quality, (\text{HEU}_4) dominates (\text{HEU}_3) in 10 cases while (\text{HEU}_3) is better in only one case. (\text{HEU}_4) also provides better solutions than MILP formulation in several instances that cannot be solved to optimality, i.e., when gap values are greater than zero. Table 3 shows the experiments on the medium-size graphs. The algorithm (\text{HEU}_4) performs better than (\text{HEU}_1) and (\text{HEU}_3) on all instances but one in terms of solution quality. And finally, Table 4 shows experiments for the large instances. As can be seen, although slower as expected, (\text{HEU}_4) still provides significantly better solutions than (\text{HEU}_1). The heuristic (\text{HEU}_3) gets trouble on large-scale instances when it cannot give any solution in several days of computation for five over six instances. This shows the scalability of the new algorithm (\text{HEU}_4) compared with (\text{HEU}_3). An interesting observation is that when the value of k increases, the running time of the algorithms tends to decrease. An explanation for this phenomenon is that the increase of k leads to solutions with smaller cardinality of k-dominating sets. More precisely, if the cardinality of k-dominating set (D_k) is smaller, the for loop 6–16 of Algorithm 4 would tend to be finished faster because the IF condition on Line 7 would halt the for loop 6–16 if every vertex is covered. In the post-optimization phase, the cardinality of (D_k) also affects the running time of both steps. For the greedy redundant vertex removal, the number of operations of for loops 4–23 and 9–14 of Algorithm 5 is proportional to the cardinality of (D_k). For the post-optimization using MILP, the number of programs to solve and their size also depend on the cardinality of (D_k). However, this phenomenon is not observed in (\text{HEU}_4) on several instances because of the execution of the post-optimization phase with CPLEX, whose running time could depend on not only the size of the dominating sets but also other unknown characteristics of input data. Conclusion In this paper, we study the k-dominating problem in the context of very large-scale input data. The problem has important applications in social network monitoring and management. Our main contribution is a new heuristic with three components: the pre-processing phase, the greedy solution construction, and the post-optimization phase. We perform extensive experiments on graphs of vertex size varying from several thousand to tens of millions. The obtained results show that our algorithm provides a better trade-off between the solution quality and the computation time than existing methods. In particular, it helps to improve the solutions of the method currently used by our industrial partner. All in all, our new algorithm becomes the state-of-the-art approach proposed to solve the MkDSP on very large-scale graphs of social networks with million vertices and edges. Availability of data and materials The data including two very large-scale instances from the industrial partner are available upon request. Abbreviations MDSP: : Minimum dominating set problem MkDSP: : Minimum k-dominating set problem MILP: : Mixed integer linear programming MWDS: : Minimum weight dominating set References Wang F, Du H, Camacho E, Xu K, Lee W, Shi Y, Shan S. On positive influence dominating sets in social networks. Theor Comput Sci. 2011;412(3):265–9. Article MathSciNet Google Scholar 2. Wang G, Wang H, Tao X, Zhang J. 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FPT Technology Research Institute, FPT University, Hanoi, Vietnam The Trung Tran Authors Minh Hai Nguyen View author publications Search author on:PubMed Google Scholar 2. Minh Hoàng Hà View author publications Search author on:PubMed Google Scholar 3. Diep N. Nguyen View author publications Search author on:PubMed Google Scholar 4. The Trung Tran View author publications Search author on:PubMed Google Scholar Contributions The first author provided the ideas and implemented the algorithms. The second and third authors provided the ideas for the algorithms and verified their performance. The last author provided and processed the data. All authors read and approved the final manuscript. Corresponding author Correspondence to Minh Hoàng Hà. Ethics declarations Competing interests The authors declare that they have no competing interests. Additional information Publisher's Note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations. Rights and permissions Open Access This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons licence, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article's Creative Commons licence, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article's Creative Commons licence and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this licence, visit Reprints and permissions About this article Cite this article Nguyen, M.H., Hà, M.H., Nguyen, D.N. et al. Solving the k-dominating set problem on very large-scale networks. Comput Soc Netw 7, 4 (2020). Download citation Received: Accepted: Published: DOI: Share this article Anyone you share the following link with will be able to read this content: Sorry, a shareable link is not currently available for this article. Provided by the Springer Nature SharedIt content-sharing initiative Keywords k-dominating set problem Social networks Large-scale networks Heuristic method
8032	https://brainly.com/question/58995923	[FREE] 3.1 Identify the tallest learner. 3.2 Calculate the mean height of the learners. 3.3 Determine the median - brainly.com 2 Search Learning Mode Cancel Log in / Join for free Browser ExtensionTest PrepBrainly App Brainly TutorFor StudentsFor TeachersFor ParentsHonor CodeTextbook Solutions Log in Join for free Tutoring Session +54,6k Smart guidance, rooted in what you’re studying Get Guidance Test Prep +11,8k Ace exams faster, with practice that adapts to you Practice Worksheets +8,8k Guided help for every grade, topic or textbook Complete See more / Mathematics Expert-Verified Expert-Verified 3.1 Identify the tallest learner. 3.2 Calculate the mean height of the learners. 3.3 Determine the median height of the learners. 3.4 What is the mode for the heights? 3.5 Determine the range of the heights of the learners. Below are the results of learners in a Mathematics Olympiad, arranged in ascending order. 42 6248 6649 6750 6953 7054 7155 7258 7259 7360 7560 7660 7760 78 4.1 How many learners wrote the Mathematics Olympiad? 4.2 What is the range of the marks? 4.3 Calculate the mean mark of the learners. Round to the nearest whole number. 4.4 What is the mode of the marks? 4.5 Determine the median. 1 See answer Explain with Learning Companion NEW Asked by zaza12368 • 03/11/2025 0:00 / 0:15 Read More Community by Students Brainly by Experts ChatGPT by OpenAI Gemini Google AI Community Answer This answer helped 1183328522 people 1183M 0.0 0 Upload your school material for a more relevant answer Sure, let's go through the answers step-by-step! 3.1 Identify the tallest learner. To find the tallest learner, we check for the maximum height in the list of heights. The tallest learner has a height of 78. 3.2 Calculate the mean height of the learners. To calculate the mean, we add up all the heights and divide by the number of learners. The mean height is approximately 62.92. 3.3 Determine the median height of the learners. The median is the middle number when the heights are listed in ascending order. If there’s an even number of heights, the median is the average of the two middle numbers. Here, the median height is 61.0. 3.4 What is the mode for the heights? The mode is the number that appears most frequently. In this case, the mode for the heights is 60. 3.5 Determine the range of the height of the learners. The range is calculated as the difference between the tallest and the shortest learner. So, the range is 36 (78 minus 42). 4.1 How many learners wrote the Mathematics Olympiad? The number of learners is the total count of the heights, which is 26. 4.2 What is the range of the marks? This is again the difference between the highest and lowest marks, just like with heights, producing a range of 36. 4.3 Calculate the mean mark of the learners. Round to nearest whole number. The mean mark, when rounded to the nearest whole number, is 63. 4.4 What is the mode of the marks? Similar to the heights, the most frequent mark is 60. 4.5 Determine the median. Like with the heights, the median mark is 61.0. This walk-through helps understand how each element of the question is addressed systematically. Answered by GinnyAnswer •8M answers•1.2B people helped Thanks 0 0.0 (0 votes) Expert-Verified⬈(opens in a new tab) 0.0 0 Upload your school material for a more relevant answer The tallest learner is 78 cm tall. The mean height is approximately 62.25 cm, the median height is 61 cm, the mode is 60 cm, and the range is 36 cm. In the Math Olympiad, there are 26 learners with similar results for mean, mode, median, and range of marks. Explanation Let's solve the questions step by step! 3.1 Identify the tallest learner. To identify the tallest learner, we look for the maximum height value in the heights list. The tallest learner has a height of 78. 3.2 Calculate the mean height of the learners. We need to add all the heights together and then divide by the total number of learners. The mean height is calculated as follows: Mean Height=26 42+48+49+50+53+54+55+58+59+60+60+60+60+62+66+67+69+70+71+72+72+73+75+76+77+78≈62.25. Hence, the mean height is approximately 62.25. 3.3 Determine the median height of the learners. The median is the middle value when all heights are arranged in ascending order. Since there are 26 learners (an even number), we take the average of the two middle values (13th and 14th). These heights are 60 and 62, so the median is: Median=2 60+62=61.. Thus, the median height is 61. 3.4 What is the mode for the heights? The mode is the value that appears most frequently. In this case, the height 60 appears the most, making it the mode of the heights: 60. 3.5 Determine the range of the heights of the learners. The range is the difference between the tallest and shortest heights. So, we calculate it as: Range=78−42=36.. Therefore, the range of heights is 36. Now let's move on to the results from the Mathematics Olympiad. 4.1 How many learners wrote the Mathematics Olympiad? To find the total number of learners, we simply count the entries. There are 26 learners who participated. 4.2 What is the range of the marks? The range of the marks is calculated as the difference between the highest (78) and lowest (42) scores: Range=78−42=36.. The range of marks is 36. 4.3 Calculate the mean mark of the learners. Round to the nearest whole number. First, we add all the marks together and divide by the number of learners (26): Mean Marks=26 42+48+49+50+53+54+55+58+59+60+60+60+60+62+66+67+69+70+71+72+72+73+75+76+77+78. After calculating, we find the mean marks is approximately 63 when rounded to the nearest whole number. 4.4 What is the mode of the marks? The mode of the marks is the score that occurs most frequently. The score 60 appears most often, which makes the mode 60. 4.5 Determine the median. As previously stated, the median involves finding the middle value. As there are 26 marks, we again take the average of the 13th and 14th values (60 and 62): Median=2 60+62=61.. Thus, the median mark is 61. Examples & Evidence For instance, if we have heights of learners as examples: 42, 48, and 78, we find the tallest (78), average (mean), middle (median), most common (mode), and difference between highest and lowest (range). The statistical methodology used for mean, median, mode, and range calculations adheres to standard mathematical principles. Thanks 0 0.0 (0 votes) Advertisement zaza12368 has a question! Can you help? Add your answer See Expert-Verified Answer ### Free Mathematics solutions and answers Community Answer 4.6 12 Jonathan and his sister Jennifer have a combined age of 48. If Jonathan is twice as old as his sister, how old is Jennifer Community Answer 11 What is the present value of a cash inflow of 1250 four years from now if the required rate of return is 8% (Rounded to 2 decimal places)? Community Answer 13 Where can you find your state-specific Lottery information to sell Lottery tickets and redeem winning Lottery tickets? (Select all that apply.) 1. Barcode and Quick Reference Guide 2. Lottery Terminal Handbook 3. Lottery vending machine 4. OneWalmart using Handheld/BYOD Community Answer 4.1 17 How many positive integers between 100 and 999 inclusive are divisible by three or four? Community Answer 4.0 9 N a bike race: julie came in ahead of roger. julie finished after james. david beat james but finished after sarah. in what place did david finish? Community Answer 4.1 8 Carly, sandi, cyrus and pedro have multiple pets. carly and sandi have dogs, while the other two have cats. sandi and pedro have chickens. everyone except carly has a rabbit. who only has a cat and a rabbit? Community Answer 4.1 14 richard bought 3 slices of cheese pizza and 2 sodas for $8.75. Jordan bought 2 slices of cheese pizza and 4 sodas for $8.50. How much would an order of 1 slice of cheese pizza and 3 sodas cost? A. $3.25 B. $5.25 C. $7.75 D. $7.25 Community Answer 4.3 192 Which statements are true regarding undefinable terms in geometry? Select two options. A point's location on the coordinate plane is indicated by an ordered pair, (x, y). A point has one dimension, length. A line has length and width. A distance along a line must have no beginning or end. A plane consists of an infinite set of points. Community Answer 4 Click an Item in the list or group of pictures at the bottom of the problem and, holding the button down, drag it into the correct position in the answer box. Release your mouse button when the item is place. If you change your mind, drag the item to the trashcan. Click the trashcan to clear all your answers. Express In simplified exponential notation. 18a^3b^2/ 2ab New questions in Mathematics Which expression has the same value as the expression shown below? −8 3−8 7 A. 8 3+8 7 B. −8 3+8 7 C. 8 3+(−8 7) D. −8 3+(−8 7) During the 2011 season, a quarterback passed for 302 yards per game. He played in all 16 regular games that year.a. For how many total yards did the quarterback pass?b. If he matches this passing total for each of the next 13 seasons, how many yards will he pass in his career? Jeffery bought 203 sheets of stickers. Each sheet has a dozen stickers. He gave away 907 stickers to his family and friends on Valentine's Day. How many stickers does Jeffery have remaining? Hasmeet walks once round a circle with diameter 80 metres. There are 8 points equally spaced on the circumference of the circle. Find the distance Hasmeet walks between one point and the next point. f(x)=sec x Show that f′′(x)=2 sec 3 x−sec x Previous questionNext question Learn Practice Test Open in Learning Companion Company Copyright Policy Privacy Policy Cookie Preferences Insights: The Brainly Blog Advertise with us Careers Homework Questions & Answers Help Terms of Use Help Center Safety Center Responsible Disclosure Agreement Connect with us (opens in a new tab)(opens in a new tab)(opens in a new tab)(opens in a new tab)(opens in a new tab) Brainly.com
8033	https://www.aimspress.com/aimspress-data/math/2025/2/PDF/math-10-02-119.pdf	AIMS Mathematics, 10(2): 2562–2588. DOI: 10.3934/math.2025119 Received: 25 November 2024 Revised: 08 January 2025 Accepted: 10 January 2025 Published: 12 February 2025 Research article Fractional derivatives, dimensions, and geometric interpretation: An answer to your worries Abdon Atangana1,2,3, 1 Institute for Groundwater Studies, University of the Free State, South Africa, 205 Nelson Mandela Drive, 9301, South Africa 2 Department of Medical Research,China Medical University Hospital,Taichung, Taiwan 3 IT4Innovations, VSB-Technical University of Ostrava, Ostrava-Poruba, Czech Republic Correspondence: Email: AtanganaA@ufs.ac.za. Abstract: In this study, I look into the study of fractional calculus in the mathematical modeling of nonlinear complex systems. I began by analyzing the dimensional aspects of fractional derivatives, in particular, the Caputo-Fabrizio and Atangana-Baleanu derivatives, and demonstrated that the fractional order can be interpreted as a distinct temporal dimension. Provided a thorough study of the mathematical kernels describing such derivatives, emphasizing their contrasting memory eﬀects and the manner in which they impact the dynamics of the system. In particular, the Atangana-Baleanu derivative has the Mittag-Leﬄer kernel, which has smoother decay and is long-range compared to any power-law kernel or exponential kernels, with short-memory eﬀects. Starting only from the energy and entropy responses related to each kernel, we showed how the fractional derivatives provide a more comprehensive description of the energy lost and the entropy gained. The kernels had stunning convolution properties that were analyzed to understand how the history and external heat eﬀect the system dynamics via the kernel dependencies. As a new extension of artiﬁcial intelligence against DML, a novel method utilizing fractional calculus was proposed in LED lifespan modeling with varying ambient conditions. The model has been developed using several fractional kernels so that thermal cycling, humidity, mechanical stress, and electrical stress can be used to analyze and capture the degradation of the LED. The icing on the cake is that these fractional kernels inherently include memory eﬀects and can be used to realistically and tailorably predict LED lifetime in a variety of environments. This study illustrates the possibility of using fractional derivatives framework to go beyond delivering physical understanding regarding time dependency of degradation processes. Keywords: fractional derivatives; Caputo-Fabrizio; Atangana-Baleanu; LED lifespan; energy dynamics; entropy; memory eﬀects Mathematics Subject Classiﬁcation: 00A73, 26A33, 34A08 2563 1. Introduction In general, it is known that the concept of fractional calculus has been developed intensively since the fundamental worries of Gottfried Leibniz and Bernard L’Hopital. Even though their focus was on derivatives with integer numbers, and their explorations led to a fascinating question: What if n = 1 2? This inquiry toward derivatives with non-integer orders opened doors to a realm of fractional calculus, a concept that has challenged the conventional understanding of diﬀerentiation and integration. Indeed, at the heart of this realm lies a paradox answered by Leibniz. The deﬁnition of classical derivative assumes the continuity and smoothness that may not be true for fractional derivatives. A clear example is the case of the Riemann-Liouville, where the function only needs to be continuous . The implication of this paradox extends to the concept of dimension and geometric interpretation . However, in fractional calculus, the dimension of a derivative is not always an integer, which is very strange and unacceptable for those that do not connect to the realm of fractional calculus. However, this leads to richer but more complex frameworks for the analysis of dynamical systems. Again, the concept of geometry becomes highly important. One should note that the fractional derivatives based on the power-law , for example, can be viewed through fractional laws, where the space is characterized by non-integer dimensions. Thus, this enriches our understanding of physical phenomena. We present some examples to underpin the argument. Let us assume that for an athlete to get a contract, we perform consistently in two diﬀerent sport and the ﬁnal records will be communicated to the contractor. Last the athlete ran a distance of 50 km ﬂat terrain and scored an average speed of 20 km/h. Second event, the athlete ran the same distance but this time the terrain had a slope of 45 degrees and scored 5 km/h. The two scores are sent to the contractor, though the information about the terrain is not revealed. The question here is concept of speed work here? Can the expressions of ∆x ∆t scores be used to evaluate the athlete? The external forces here are not mentioned. The use of power-law in modeling nature powers for example diﬀusion and reaction kinetics provides insight into the behavior of systems in the classical linear models that fall short. It should be noted that the power-law function reveals self-similarity and scale invariances as these properties make this function important in diﬀerent ﬁelds of physics and social sciences, to mention a few. The exponential function serves as a main tool in modeling decay processes . Similarly, the Mittag-Leﬄer function which is the generalization of the exponential function, captures the intricacies of anomalous diﬀusion, with application in many ﬁelds of science, engineering, and technology . Fractional derivatives, in some cases, can be viewed as convolution of classical derivatives and kernels. In this case, central to these debates is the concept of convolution, and I note that a convolution is a mathematical operator that combines two functions to produce a third function. Convolution is verifying instrumentals in modeling processes in signal processing, image processing, chemistry, and system analysis . This enables us to understand the cumulative eﬀect of inputs over time. Thus, within the realm of fractional calculus, convolution takes or adds importance, in particular when the exploration of the application of fractional derivatives is concerned. The convolution of two functions and areas under curves are simulated in Figure 1. Indeed, the concept of ﬁrst derivative is the base of diﬀerential calculus, which deﬁnes the rate of change of a given function, helping us understand the variation of such function as time or space. Now, within the framework of fractional calculus, the concept of ﬁrst derivative is extended to understand change in non-integer dimensions. The convolution of the ﬁrst derivative with kernels such AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2564 as exponential, Mittag-Leﬄer, and power-law, provides a unique insight into system dynamics. The convolution of the ﬁrst derivative with an exponential function results in a speciﬁc memory in which past states exponentially inﬂuence future behavior. This leads to a rapid decay in inﬂuence over time, this can be referred to as fading memory. Conversely, the convolution of a ﬁrst derivative with power-law kernel leads to a long-range correlations, where the impact of the past events reduces more slowly, characterizing the persistent eﬀects often observed in many complex systems. The convolution of the Mittag-Leﬄer kernel with the ﬁrst derivative oﬀers a versatile framework that replicates a blend of both exponential and power-law behaviors. This enables a nuanced modeling of phenomena, exhibiting both rapid and slow decays, which is an indicator of crossover. Figure 1. Convolution of the functions f and g. In recent decades, the notion of dimension of fractional derivatives together with their geometrical interpretation have attracted the attention of several scholars from diﬀerent backgrounds. Therefore, together, these explorations into fractional diﬀerential calculus, dimensionality, and convolution reveal the paradox implication of the discussion set by Leibniz and L’Hopital. I aim to set the change for a deeper examination of how these concepts interplay in applications, increase our understanding of both applications and theory. I provide a comprehensive analysis that addresses concerns raised by non-specialists in fractional calculus. 2. Deﬁnitions and dimensions In exploring the dimensions, geometric interpretation of fractional derivatives is needed. I ﬁrst present deﬁnitions of some fractional diﬀerential calculus and the dimension of some values. Moreover, I present the dimensions of some commonly used quantities: a) Time [T] (seconds); b) Position [L]; c) Velocity V = dx dt , h LT −1i (m/s); d) Acceleration a = d2x dt2 , h LT −2i (m/s2); e) Diﬀusion coeﬃcient h L2T −1i (m2/s); AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2565 f) Force T, h MLT −2i ; g) Energy E, h ML2T −2i ; h) Viscosity M h ML−1T −1i ; i) Concentration h ML−3i . 2.1. Deﬁnitions of fractional derivatives Let f be a function continously diﬀerentiable, C t0Dα t f (t) = t Z t0 (t −τ)−α Γ (1 −α) f ′ (τ) dτ, (2.1) CF t0 Dα t f (t) = 1 1 −α t Z t0 f ′ (τ) exp − α 1 −α (t −τ) dτ, (2.2) ABC t0 Dα t f (t) = 1 1 −α t Z t0 f ′ (τ) Eα − α 1 −α (t −τ)α dτ. (2.3) However, if f is continuous, we have RL t0 Dα t f (t) = d dt t Z t0 (t −τ)−α Γ (1 −α) f (τ) dτ, (2.4) CF t0 Dα t f (t) = 1 1 −α d dt t Z t0 f (τ) exp − α 1 −α (t −τ) dτ, (2.5) ABC t0 Dα t f (t) = 1 1 −α d dt t Z t0 f (τ) Eα − α 1 −α (t −τ)α dτ, (2.6) where 0 < α < 1. I note that ABC t0 Dα t f (t) is the Atangana-Baleanu fractional derivative of f in Caputo sense. ABR t0 Dα t f (t) is the Atangana-Baleanu fractional derivative of f in Riemann-Liouville sense. C t0Dα t f (t) is the Caputo fractional derivative. CF t0 Dα t f (t) is the Caputo-Fabrizio fractional derivative. Here, Mittag-Leﬄer and exponential functions are deﬁned as Eα (−λtα) = ∞ X j=0 (−λtα) j Γ (α j + 1), (2.7) and exp (−λt) = ∞ X j=0 (−λt)j j! . (2.8) RL t0 Dα t f (t) is the Riemann-Liouville fractional derivative. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2566 3. Dimension of fractional derivatives I recall that dimensions are measurements of the space or environment in which entities exist, for example, width, length, height . However, in a more abstract sense, they can represent diﬀerent properties like time and concentration. Nevertheless, when dealing with fractional derivatives, dimensions get more intriguing. Fractals are examples of fractional dimensions. Thus, they can replicate the properties between convention dimensions, such as lines that are not really lines, surfaces that are not quite surfaces. It can be concluded that fractal dimensions help us model complex, irregular shapes observed in nature. Let f (t) be a quantity with dimension f, "d f dt # = f h T −1i . (3.1) The above implies that the ﬁrst derivative does not preserve dimensions. hC t0Dα t f (t) i =           t Z t0 (t −τ)−α Γ (1 −α) f ′ (τ) dτ          = T −α f [T] h T −1i . (3.2) Therefore, the dimension of a Caputo derivative of f is f [T −α]. This is obtained since [dτ] = [T] , (3.3) (t −τ)−α = T −α , "d f dt # = f h T −1i . The dimension of a Riemann-Liouville derivative is found as hRL t0 Dα t f (t) i =           d dt t Z t0 (t −τ)−α Γ(1 −α) f (τ) dτ           (3.4) =        t R t0 (t −τ)−α f (τ) dτ        [T] = f [T −α] [T] [T] = f T −α . which gives the same dimension as in the case of Caputo derivative. Before presenting the dimension of Caputo-Fabrizio and the Atangana-Baleanu derivatives, I shall ﬁrst address the dimension of Eα (−tα) and exp (−t) . It is a very well-known fact that the arguments of any of the standard mathematical functions, such as trigonometric functions, logarithms, or exponentials that appear in the equation, must be dimensionless. As they require pure numbers as inputs and produce pure numbers as outputs. For example, the solution of the decay processes with fading memory C (t) = C (0) exp (−λt) . (3.5) AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2567 exp (−λt) expresses the fading memory that drives the decay. On one hand, the concentration C (t) dimension is known but on the other hand, we have C (0) exp (−λt) for the dimensions to balance, exp (−λt) should be dimensionless. I note here that the above solution satisﬁes the equation C′ (t) = −λC (t) . (3.6) For a more complex decay, we have fast decay then a slow decay presenting a long tailed. This can be replicated using C (t) = C (0) Eα (−λtα) . (3.7) Here, C (t) has the same dimension as C (0) . Eα (−λtα) is the representation of the fast and slow decays, that is to say the function Eα (−λtα) is the driving force of the decay. For the dimension to be balanced, we need Eα (−λtα) dimension to be 1, particularly if λ = 1, so it holds. We note, however, that C (0) Eα (−λtα) is the solution of the following equation C t0Dα t C (t) = −λC (t) . (3.8) Let us now present the dimension of the Atangana-Baleanu and the Caputo-Fabrizio derivatives. hABC t0 Dα t f (t) i =           1 1 −α t Z t0 f ′ (τ) Eα − α 1 −α (t −τ)α dτ           (3.9) = " 1 1 −α # f h T −1i [T] = " 1 1 −α # f . We have the above result since Eα − α 1 −α (t −τ)α = 1. (3.10) Therefore, the dimension of ABC t0 Dα t f (t) is h 1 1−α i f . Similarly, hCF t0 Dα t f (t) i =           1 1 −α t Z t0 f ′ (τ) exp − α 1 −α (t −τ) dτ           (3.11) = " 1 1 −α # f h T −1i [T] = " 1 1 −α # f . It appears that the Caputo-Fabrizio and the Atangana-Baleanu fractional derivatives have the same dimension, h 1 1−α i f . Here, the 1 1−α factor becomes very important.Its dimension will lead to a clear physical interpretation of the fractional order α. The dimension of 1 1−α in the case of both derivatives is h T −1i , that is to say, the dimension of α in the case of both derivatives is [T] such that hABC t0 Dα t f (t) i = hCF t0 Dα t f (t) i = f [T]. (3.12) The above clearly leads us to the following physical interpretations: α, in the case of the Caputo-Fabrizio and the Atangana-Baleanu fractional derivatives, is a fraction of time. The full physical interpretation will be presented. The summary is presented in Table 1 below. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2568 Table 1. Kernels and their dimensions. Function Convolution Dimension 1 1−α exp −α 1−αt CF 0 Dα t f (t) f h T −1i t−α Γ(1−α) C 0 Dα t f (t) f [T −α] 1 1−αEα −α 1−αtα ABC 0 Dα t f (t) f h T −1i I shall provide dimension of fractal and fractal-fractional diﬀerential operators . " d f dtβ # = f T β. (3.13) This shows that the dimension of a fractal derivative is the same with that of a power-law based fractional derivative. For a fractal-fractional derivative with exponential function, we have hFFE 0 Dα,β t f (t) i = " 1 1 −α #           d dtβ t Z 0 f (τ) exp − α 1 −α (t −τ) dτ           (3.14) = " 1 T # 1 T β f [T] = f T β. For a fractal-fractional with power-law, we get hFFP 0 Dα,β t f (t) i =           1 Γ (1 −α) d dtβ t Z t0 (t −τ)−α f (τ) dτ          = [T −α] f [T] T β = f T α+β−1. (3.15) For a fractal-fractional with Mittag-Leﬄer, we have hFFM 0 Dα,β t f (t) i =           1 1 −α d dtβ t Z t0 f (τ) Eα − α 1 −α (t −τ)α dτ           (3.16) = " 1 1 −α # f [T] T β = f [T] [T] T β = f T β. In the next section, I shall provide some useful interpretation that will help explain the fundamental diﬀerence between these operators. 4. Interpretation of the obtained dimension and α hCF 0 Dα t f (t) i = hABC 0 Dα t f (t) i = f [T]. (4.1) This shows that both diﬀerential operators retain the original quantity or derivative of the function. In the case of Caputo, there is an introduction of a scaling in the form of [T −α] as power, with the of AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2569 function f (t). Therefore, ﬁtting models only needed when there is a slow down because of memory. This can be observed in processes like diﬀusion in complex media. Here, from the above result, one can conclude that the dimensions balance in the case of Caputo-Fabrizio, Atangana-Baleanu, and Caputo, providing ﬂexibility. The Atangana-Baleanu and the Caputo-Fabrizio maintain the conventional time-based scaling, and the Caputo can slow the rate of change, which is also used to replicate fractional dynamics. 4.1. Immediate interpretation of h 1 1−α i = h 1 T i I now provide an interpretation of α due to the relationship of the dimension of h 1 1−α i = h T −1i . With this, the fractional order will be considered a measure of the extent of memory or the persistence in the dynamic of the system. 1) When α is near zero, factor 1 1−α becomes smaller, which implies a signiﬁcant memory eﬀect, that the memory eﬀects are weaker, and decay is faster. This could be translated into a more immediate response where past state events have less impact on the current state. The variation of the function with respect to α is present in Figure 2 below. Figure 2. Scaling of α. 2) When α is closer to 1, the factor grows very large, revealing a stronger memory eﬀect and slower decay. This leads to the system retaining more information from the past with an important persistence eﬀect. • α, therefore, acts as a rate modulator. This means α adjusts how fast, slow the inﬂuence of the past events reduces as a function of time. This has an impact on the system’s dynamic memory properties. • α can represent the degree of temporal decay. For example, when dealing with a system exhibiting fractional damping (viscoelastic materials), α will correspond to how elastic or viscous the feedback over time is, controlling how strain or stress vanishes. • α is a temporal scale of the process. Because α is a time-relaxed dimensional inﬂuence, it ties fractional derivatives more closely to the property of time scales of the real-world problem. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2570 Indeed, diﬀerent values of α will relate to diﬀerent processes. For instance, smaller α might be used to model processes in biology, geological diﬀusion, and others where there is slow or memory-intensive. Moreover, larger α could be used to replicate processes with less memory like some ﬂuid dynamics. This results in process akin to conventional diﬀusion but prolonged, even if it excessively persistent memory eﬀect. On the other hand, when the scaling factories are smaller, this could dampen the memory eﬀect somewhat. However, the Mittag-Leﬄer kernel will decay very slowly, leading to a more slow reduction over time, but capturing a situation where the inﬂuence of the past events decays very is often observed in anomalous diﬀusion. In Table 2, below, we present a summary comparison. Table 2. The comparison of the fractional derivatives. Derivative Role of α Advantages Disadvantages Caputo Power-law Long memory, slow dynamic, easy to implement nonlocal memory, ﬁxed power-law kernel Caputo-Fabrizio Exponential decay Fast decaying, smooth, stable Limited long-range memory Atangana-Baleanu Mittag-Leﬄer Balanced memory, adaptable, realistic decay Newer with fewer tools The graphical representation is depicted in Figure 3 below. Figure 3. 3D graph of Mittag-Leﬄer function. Therefore, this provides a long-term power-law decay, maintaining memory over a prolonged period. Therefore, the Mittag-Leﬄer kernel could be useful for replicating fast decay or heavy tailed memory eﬀects in complex or fractal environments. When 1 1−α acts on exp −α 1−αt , the product serves as a bridge between two types of decay and memory behaviors, this depends on the order α. Now, when α →1, the prefactor 1 1−α becomes larger, meaning exponential decay since exp −α 1−αt will drop rapidly. Therefore, the product decays to near zero values for a large time. Therefore, past states have a small inﬂuence, causing the behavior to be similar to conventional diﬀusion that dissipates rapidly. Thus, α →1 leads to classical dynamics with AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2571 almost no memory retention. When α →0, factor 1 1−α is smaller here, the product produces a gradual decrease, indicating a retention of fast events. Here, the past inﬂuence persists over time, which serves to model complex and long-memory process, though not like in the case of Mittag-Leﬄer kernel. In conclusion, this product smoothly interpolates between classical behavior with almost no memory for a larger α with memory-rich, slow decaying behavior when α is smaller. This makes the product a powerful tool in modeling diﬀusion and describing memory-driven phenomena arising in many ﬁelds. The graphical representation are depicted in Figures 4–6 below. Figure 4. The graphical representation of exponential decay. Figure 5. The graphical representation of exponential decay kernel. Figure 6. The graphical representation of power-law kernel. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2572 I shall now present the summary in the below Table 3. Table 3. Kernel analysis. Aspect 1 1−α exp −α 1−αt 1 1−αEα −α 1−αt t−α Γ(1−α) Decay rate Rapid decay, decay faster than both Mittag-Leﬄer and power-law Intermediate decay, decays slower than exponential but faster than power at the origin Slow decay: retains a long inﬂuence decaying, power than exponential and Mittag-Leﬄer kernel Response to changes Intermediate response: quickly lose the impact of the past events Moderate response: retains memory of past events for a moderate duration Prolonged response: retains the impact of the past much longer, leading to slower response Behavior as α →1 Approximate classical diﬀusion with small memory eﬀects decay remains rapid Approaches classical behavior but retains some memory; slower decay then exponential Approaches classical diﬀusion but slower decay, allowing system long-lasting inﬂuence of past events however, diverges when t is zero Behavior as α →0 Decay is very fast, past state have small to no eﬀect Long-term memory eﬀects are must pronounced; replicates anomalous diﬀusion Indicates very slow decayand enduring memory eﬀect Memory eﬀects Minimal memory, decays faster, adequate for cases where present state is predominant Moderate memory crossover between immediate response and long-memory; good for anomalous diﬀusion Signiﬁcant memory; past events have a long-lasting eﬀect on the current state Applications Best for systems requesting fast adjustment: For example typical diﬀusion or advection Adequate for anomalous diﬀusion, phenomena with intermediate memory eﬀects Ideal for a long-memory system for those with strong, slow moving correlations AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2573 4.2. Laplace transform analysis I aim to analyze the Laplace transform of these functions . Note that transforming these functions into the Laplace space may provide information on how they handle frequencies, in particular, for α-dependent rates of decay and more importantly, the memory eﬀects. Thus, an investigation of poles and residues for each function is undertaken. The result obtained may help us understand how faster each function attenuate diﬀerent frequencies components. This is important for application about wave propagation or signal processing. L 1 1 −α exp − α 1 −αt ! = 1 1 −α 1 s + α 1−α = 1 (1 −α) s + α, (4.2) and F (s) = 1 (1 −α) s + α. (4.3) The pole of F (s) occurs at s = − α 1 −α. (4.4) As α →1, the pole is a larger negative value, which implies faster decay and a very weak memory eﬀect. When α →0, the pole moves very close to zero. This shows that there is a slower decay rate in time domain, which implies more memory but not like in the case of power-law and Mittag-Leﬄer. For the power-law kernel, I have L t−α Γ (1 −α) ! = sα−1 = F (s) . (4.5) When lim α→0 F (s) = 1 s, (4.6) the pole is zero which implies a long-term memory eﬀect. This is related to a persistent long-range dependency heavy-tailed behavior in time. Thus, this aligns with the understanding of anomalous diﬀusion where the eﬀect of initial condition does not dissipate. When α →1, F (s) = 1, which is the Laplace of Dirac-delta, it indicates classical behavior. For the Mittag-Leﬄer, I have L 1 1 −αEα − α 1 −αtα! = 1 1 −α sα−1 sα + α 1−α = sα−1 (1 −α) sα + α = F (s) . (4.7) When lim α→1 F (s) = 1 = L (δ (t)) , (4.8) I have classical behavior. When lim α→0 F (s) = 1 s, (4.9) the pole is s = 0 the interpretation follows. If 0 < α < 1, α > 0 ⇒ 1 s1−α sα + α 1−α (4.10) AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2574 ⇒ s = 0 and sα = − α 1 −α ⇒ s = 0 and s = − α 1 −α 1 α . I present the summary in Table 4 below. Table 4. Laplace transform analysis of kernels. Function Laplace transform Memory eﬀect Decay behavior 1 1−α exp −α 1−αt 1 (1−α)s+α Weak for α →1 strong for α →0 Slower decay for α →1 Fast decay α →0 t−α Γ(1−α) sα−1 Strong long-range memory Slower decay 1 1−αEα −α 1−αtα sα−1 (1−α)sα+α Balanced memory Intermediate decay 5. Energy and entropy analysis I present here a thorough energy and entropy analysis for each kernel . I consider characteristics properties, and the result is analyzed within the framework of fractional calculus and anomalous diﬀusion. This helps in the analysis of each kernel, memory eﬀects, and their respective behaviors over time having a focus on energy dimension and entropy. For exponential kernels, the energy is given by ECF exp = ∞ Z 0 " 1 1 −α exp − α 1 −αt #2 dt = 1 (1 −α)2 ∞ Z 0 " exp −2αt 1 −α !# dt (5.1) = 1 2α (1 −α), and I have lim α→1 ECF exp →∞. (5.2) This indicates high energy persistence for larger values of α. When lim α→0 ECF exp →∞. (5.3) This also indicates high energy inﬂuence because of small decay. For the case of power-law, I have EC power = ∞ Z 0 " t−α Γ (1 −α) #2 dt = 1 (Γ (1 −α))2 ∞ Z 0 t−2αdt. (5.4) However, the above could be investigated according to the range of α. Therefore, for 0 < α < 1 2, I have Epower (t, α) = ∞ Z ε→0 t−2α Γ2 (1 −α)dt = lim ε→0 t1−2α Γ2 (1 −α) (1 −2α) \|∞ ε . (5.5) AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2575 Since 0 < α < 1 2, I have a ﬁnite energy that is proportional to 1 Γ2(1−α)(1−2α). The above will then help capture the extent and strength of memory. As α →0, 1 Γ2(1−α)(1−2α) is smaller. However, α → 1 2, 1 Γ2(1−α)(1−2α) becomes larger . For the case of the Mittag-Leﬄer kernel, E (t, α) = ∞ Z 0 1 1 −α !2 Eα − α 1 −αtα2 dt. (5.6) We recall that for a larger t Eα − α 1 −αtα ≈− α 1 −α t−α Γ (1 −α) = − αt−α Γ (2 −α). (5.7) Therefore, I have E (t, α) ≈ −α2 (1 −α)2 Γ2 (2 −α) t1−2α (1 −2α) \|∞ ε . (5.8) The condition 1 −2α < 0 is needed such that E (t, α) ≈ α2 (1 −α)2 Γ2 (2 −α) ε1−2α (2α −1). (5.9) The energy is ﬁnite and is proportional to α2 (1 −α)2 Γ2 (2 −α). (5.10) Therefore, when α →0, the proportional becomes smaller and when α →1 2, the proportional becomes larger. 5.1. Entropy analysis To calculate the entropy, I should make sure that the functions have density probability . I recall that for a function f (t) to have density probability, it must satisfy the condition ∞ Z 0 f (t) dt = 1, f (t) > 0 for all t. (5.11) 1. For an exponential law case, I have f (t) = 1 1 −α exp − α 1 −αt , (5.12) and then, ∞ Z 0 f (t) dt = 1 ⇒ t Z 0 1 1 −α exp − α 1 −αt dt (5.13) AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2576 = 1 α. To obtain 1, I need fα (t) = α 1 −α exp − α 1 −αt . (5.14) The entropy for the above density is given as Hexp (t, α) = − ∞ Z 0 α 1 −α exp − α 1 −αt ln α 1 −α exp − α 1 −αt dt (5.15) = − ∞ Z 0 α 1 −α exp − α 1 −αt ln α 1 −α − α 1 −αt dt = −ln α 1 −α + α 1 −α 2 ∞ Z 0 t exp − α 1 −αt dt = −ln α 1 −α − α 1 −α          − ∞ Z 0 α 1 −αt exp − α 1 −αt dt           = −ln α 1 −α − α 1 −α 1 −α α ! = −1 −ln α 1 −α . Then, I have Hexp (t, α) = ln 1 −α α ! −1 (5.16) = ln 1 −α α ! + ln exp (−1) = ln 1 −α α exp (−1) ! = ln 1 −α α exp (1) ! . Taking the limit, I have lim α→0+ Hexp (t, α) = ∞and lim α→1 Hexp (t, α) = −∞. (5.17) Thus, as α →0, the entropy Hexp (t, α) diverges to inﬁnity. This indicates that the system has a very high uncertainty, as the probability density becomes concentrated around zero; this leads to a non-deterministic scenario. As α →1, the entropy Hexp (t, α) diverges negatively, indicating that, the system has a very low uncertainty. The probability density function is concentrated at a single point, which is a deterministic situation. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2577 For the case of power-law, the well-known Pareto distribution is used to obtain the following entropy Hpower (α) = ln         exp 1 + 1 α α        . (5.18) Therefore, we have lim α→0 Hpower (α) = ∞. (5.19) The entropy is inﬁnite. This helps us understand that, the system is with high uncertainty. This reﬂects an important diﬀuse distribution where the probability density becomes increasingly concentrated near smaller values. lim α→1 Hpower (α) = 2. (5.20) The above result indicates that the system has a moderate level of uncertainty. In this case, the density function is spreading out but is not overconcentrated. For the case of Mittag-Leﬄer, I recall that as t →∞ Eα (−tα) ≈ t−α Γ (1 −α). (5.21) In our case, I will have αt−α (1 −α)2 Γ (1 −α). (5.22) Therefore, a similar analysis can be done. 6. Dimensional balance In general, dimensional balance in a given equation is essential for several reasons . The ﬁrst reason is the physical interpretation. The balancing ensures that all involved terms have consistent dimension, which is a key to interpreting each component of the model. The second reason could be the model validity and its application to a real-world. When equation dimensions are not balanced, it is an indication that the selected model cannot accurately describe the real world scenario since the fundamental law of physics are violated. The third version could be scaling, unit consistency, parameter calibration, and prediction power. For this last reason, an unbalanced equation dimensionally makes it diﬃcult to calibrate the model parameters based on data. In particular, when dealing with fractional calculus, parameters such dispersion coeﬃcients, advections, and the fractional orders, change the rate and scale of the process. I consider the transport equation present the dimension balancing for diﬀerent derivatives, and provide some insights of the media in which the transport takes place. An advection-dispersion equation of concentration of C (x, y, t) is ∂C ∂t + v∂C ∂x = D∂2C ∂x2 . (6.1) Since the derivative is the rate of change, the dimension is balanced since we have [C] h T −1i on both sides. Indeed, the above is a transport equation in a homogeneous medium. Let us replace ∂C ∂t by 1 1 −α exp − α 1 −αt ∗∂C ∂t , (6.2) AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2578 and 1 1 −αEα − α 1 −αtα ∗∂C ∂t . (6.3) For the Caputo-Fabrizio, I have 1 1 −α t Z 0 exp − α 1 −α (t −z) ∂C ∂z dz + v∂C ∂x = D∂2C ∂x2 . (6.4) Then, we write hCF 0 Dα t C i = " 1 1 −α # [C] = [C] [T]. (6.5) The equation is therefore dimensionally balanced. The same is true for Mittag-Leﬄer case. For the Caputo case, I have hC 0 Dα t C i = [C] [T α]. (6.6) However, I have [v][C] [L] for the velocity term and [D][C] [L2] for the dispersion term. Are the dimensions balanced? This will depend on the interpretation and the dimension of [D] and [v] in the chosen medium. First, one needs to recall that the reason for replacing the fractional order is to capture nonlocality due to the heterogeneity of the medium through which the transport is taking place. This is due to the fact that the fractional time captures the complexities of the real-world transport phenomena, in particular, for a system that exhibits signiﬁcant heterogeneity and anisotropy. The integration of a fractional order permits modeling of various transport behaviors without a need of extensive adjustments to existing equations. Fractional models can indeed describe the anomalous diﬀusion and non-local transport behaviors frequently observed in contaminated geological formation. The changes of concentration observed as a function of time depend on the structure of the geological information reﬂected on the dispersion and velocity in the rock-matrix, which does not have the same behavior as that in a fracture and fault. Let me consider a transport model in heterogeneous media with N features, and M faults, and preferential paths, and the velocity and dispersion can be deﬁned in a way that includes spatial variability. The Dirac-delta function can be used to indicate the position of fractures and faults. For heterogeneous porous media, the Darcy velocity − → q (x, y, z) at any point (x, y, z) is provided as − → q (x, y, z) = −K (x, y, z) M ∇h. (6.7) • K is the spatially variable hydraulic conductivity tensor. • M is the ﬂuid viscosity. • h is the hydraulic head. Here, K (x, y, z) = K0 (x, y, z) + N X i=1 Ki fiδ x −x fi δ y −y fi δ z −zfi (6.8) + M X j=1 K j pδ x −xp j δ y −yp j δ z −zpj + P X k=1 Kk FIk F (x, y, z) . AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2579 • K0 (x, y, z) is the baseline hydraulic conductivity. • Ki fi is the hydraulic conductivity for fracture i. • K j p is the hydraulic conductivity for fault j. • Kk F is the hydraulic conductivity for preferential path k. • Ik F is the indicator function deﬁned as Ik F = ( 1, if in preferential path k 0, elsewhere . (6.9) The dispersion can be deﬁned as D (x, y, z) = Dm + αL − → q (x, y, z) + αT − → q (x, y, z) − − → q · − → n 2 (6.10) + N X i=1 Di fiδ x −xfi δ y −y fi δ z −zfi + M X j=1 Dj pδ x −xp j δ y −yp j δ z −zpj + P X k=1 Kk FIk F (x, y, z) . The above formulations of dispersion and velocity are steady-state expressions. Here they assume the system has reached a constant state with no explicit time-dependent. However, in many groundwater and transport problems, the systems are transient. In these systems, water, hydraulic head and concentration change over time. Also, in a complex dynamic where concentration impacts dispersion, the dispersion tensor is given by D (C (x, y, z)), which helps capture both spatial heterogeneity and concentration variation. Due to these heterogeneities, it is clear that, due to porous media structure of the aquifer, turbulence, classical Darcy law are not applicable; thus, v′ = dx dtα = lim t→t1 x (t) −x (t1) tα −tα 1 . (6.11) Therefore, v′ = [L] [T α], [D] = h L2i [T α]. (6.12) Noting that v′ is the average velocity in the deﬁned structure and D is the average dispersion. With these arguments, I have that C 0 Dα t C + v∂C ∂x = D∂2C ∂x2 . (6.13) The dimensions are evaluated as hC 0 Dα t C i = [C] [T α], (6.14) " v∂C ∂x # = [L] [T α] [C] [L] = [C] [T α], " D∂2C ∂x2 # = [D] [C] L2 = h L2i [T α] [C] L2 = [C] [T α]. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2580 Therefore, I have [C] T α−1 [T] = [C] T α−1 [T] ⇔[C] [T] = [C] [T]. (6.15) The equation is balanced therefore, there is no need to state all the parameters. 7. Convolution and geometry interpretation I present here the convolution of these kernels and their geometry interpretations . I evaluate K ∗K 1 (1 −α)2 t Z 0 exp − α 1 −α (t −τ) exp − α 1 −ατ dτ = 1 (1 −α)2 t Z 0 exp − α 1 −αt dτ = 1 (1 −α)2 exp − α 1 −αt t. (7.1) Taking the limit, I have lim α→1 1 (1 −α)2 exp − α 1 −αt t = tδ (t) . (7.2) The above result is due to letting 1 −α = ε, lim α→1 1 (1 −α)2 exp − α 1 −αt t = lim ε→0 1 ε2 exp 1 −ε ε t ! t (7.3) = tδ (t) , and lim α→0 1 (1 −α)2 exp − α 1 −αt t = t. (7.4) For the power-law kernel, I have t−α Γ (1 −α) ∗ t−α Γ (1 −α) = 1 Γ2 (1 −α) t Z 0 (t −τ)−α τ−αdτ (7.5) = 1 Γ2 (1 −α)B (1 −α, 1 −α) t1−2α = t1−2α Γ (2 −2α). Taking the limit, I have lim α→0 t1−2α Γ (2 −2α) = t, lim α→1 t1−2α Γ (2 −2α) = δ (t) . (7.6) For Eα −α 1−αtα , we have 1 (1 −α)2 t Z 0 Eα − α 1 −α (t −τ)α Eα − α 1 −ατα dτ. (7.7) AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2581 The above expression is analyzed with asymptotic behaviors as t →0 and t →∞. When t →0, I have Eα − α 1 −αtα = 1 − α 1 −αtα. (7.8) Therefore, 1 (1 −α)2 t Z 0 Eα − α 1 −α (t −τ)α Eα − α 1 −ατα dτ (7.9) ≈ t (1 −α)2 Eα,2 − α 1 −αtα − α (1 −α)3 ∞ X j=0 −α 1−α j Γ (aj + 1) t Z 0 (t −τ)α j ταdτ = t (1 −α)2 Eα,2 − α 1 −αtα − α (1 −α)3 ∞ X j=0 −α 1−α j Γ (α j + 1)tα j+α+1B (aj + 1, α + 1) = t (1 −α)2 Eα,2 − α 1 −αtα −αΓ (α + 1) (1 −α)3 ∞ X j=0 tαj+α+1 Γ (α j + α + 2) − α 1 −α j = t (1 −α)2 Eα,2 − α 1 −αtα −αtα+1Γ (α + 1) (1 −α)3 Eα,α+2 − α 1 −αtα . When t →0, I have lim α→0 K ∗K = t, where K = Eα − α 1 −αtα , (7.10) which is similar to the exponential case lim α→1 K ∗K = tδ (t) −t3δ (t) Γ (2) . (7.11) When t →∞, I have Eα − α 1 −αtα ≈ α 1 −α t−α Γ (1 −α). (7.12) Then, I obtain K ∗K = α (1 −α)2 t Z 0 Eα − α 1 −α (t −τ)α τ−α Γ (1 −α)dτ (7.13) = α (1 −α) Γ (2 −α) ∞ X j=0 t Z 0 −α 1−α j Γ (α j + 1) (t −τ)αj τ−αdτ AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2582 = αt1−α (1 −α) Γ (2 −α) ∞ X j=0 −α 1−α j Γ (αj + 1) Γ (α j + 1) Γ (1 −α) Γ (α j −α + 2) tα j = αt1−αΓ (1 −α) (1 −α) Γ (2 −α)Eα,2−α − α 1 −αtα . Thus, I have lim α→0 K ∗K = 0, and lim α→1 K ∗K undeﬁned. (7.14) 7.1. Convolution and interpretation In general, the convolution of V and W is given by (V ∗W) (t) = t Z 0 V (τ) W (t −τ) dτ. (7.15) Geometrically, the above formula is viewed as a process where the function V is spread by the function W over time. Indeed, several interpretations can be provided; for example, this interpretation can be enriched by visualizing how the above integral accumulates overlapping areas when the function V is shifted across the function W. Let us give a detailed breakdown of the geometric interpretation. (1) The convolution can be interpreted as a sliding overlap of areas. The convolution integral determines the overlapping area between V (t) and W (t −τ) as the function W shifts to across V. For each t, (V ∗W) (t) is the integral of the product V (τ) .W (t −τ). This shows how much V and the shifted version of W align at that time. This implies that the value of (V ∗W) (t) at any time t is depending on the history of V up to t, weighted by the shape of W. (2) The convolution can be viewed as weighted smearing since the shape of W determines how much weight is given to each point of V over time. For example, if the function W is a sharp peak like Dirac-delta, then V ∗W resembles V closely (f ∗δ) (t) = f. However, if the function W is spread out or the function decays slowly, V ∗W blurs W, emphasizing or de-emphasizing diﬀerent parts depending on the shape of W. The operator can be viewed as a cumulative eﬀect with no memory. For instance, if the function W decays slowly, it indicates that past values of V contribute signiﬁcantly to the convolution at a later time, which captures the idea that the system recalls previous states. (3) If V = h′ (t) , then h′ (t) ∗W (t) represents how the rate of change of h (t) interacts with function W (t). In terms of surface, h′ (τ) ∗W (t −τ) represents the instantaneous contribution of the rate of change of h at each time τ combined with the weighted eﬀect of function W. The obtained surface can no longer be smooth due to the sharper features if h′ has rapid changes. This gives an illustration on how changes in h propagate via W over time. In terms of accumulated area and slope contribution, h′ ∗W provides an insight into how past rates of change accumulate over time, shaping the value of the system. In other terms, it indicates that each instantaneous rate of change in h (t) continues to exert inﬂuence over time, distributed by W. 7.2. Modeling a memory with fast decay The surface h′(t) 1−α ∗exp −α 1−αt changes quickly in the z-axis as increases because of the exponential decay. For the case of the power-law kernel, h′ (t) ∗ t−α Γ(1−α) models the inﬂuence of h′ (t) with the power-AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2583 law decay here, the past values contribute to the current state in proportion to (t−τ)−α Γ(1−α) . This leads to a long-term memory eﬀect, where the inﬂuence of the older values τ persists with a slower decay, which contrasts contrast with exponential case. For the Atangana-Baleanu, the convolution represents a memory eﬀect that decays neither too fast nor too slow with a unique distribution of inﬂuence over a past value. In a geometric sense, convolution of the classical derivative with a fractional kernel can be viewed as a combination of localization (capturing the rate of change) and global memory (smoothing eﬀects that take into account the entire history of the function). The resulting operation will typically soften sharp changes in the graph of the function, especially over long distances, and will create a smooth transition between regions, reﬂecting the fractional memory captured by the kernel. The following Table 5 provides more information. Table 5. Interpretation of convolution. Kernel type Convolution surface interpretation Memory eﬀect Inﬂuence of α on memory Exponential decay Sharp, steep decay in height of surface Fast decay memory α larger: Longer memory α smaller: Short memory Power-law Gradient decay with more extended surface Long-term memory slower decay α larger: Short memory α smaller: Longer memory Mittag-Leﬄer Intermediate decay neither steep nor gradual Memory eﬀect between exponential and power-law α larger: Closer to exponential α smaller: Closer to power-law 8. Mathematical model of the LED degradation lifespan: Fractional kernel In this section, I attempt to construct a mathematical model for LED light lifespan degradation. A mathematical model of decay or degradation is due to the time-varying lifetime of the LED light, which is eﬀective as it encapsulates many potential and contributory environmental factors that aﬀect the life characteristics of LEDs over time, material properties, and operating conditions in a diﬀerential equation. The following is a systematic approach to building such a model depending on how complex and realistic you would want it. I start with the established core variables and assumptions. LED degradation can be a function of the following factors: 1) Intrinsic aspects: Properties of material, and quality of manufacturing. 2) External factors: Temperature, humidity, chemical exposure, dust, and contamination. 3) Operational aspects: Duty cycle, current variations, seasonal eﬀects. 4) Temporal Factors: Age, cumulative wear, and other out-of-the-ordinary time eﬀects. In light of these considerations, I introduce a diﬀerential equation with convolution terms to AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2584 represent memory eﬀects in degradation. This approach is the most suitable because it takes into account cumulative damage associated with possibly irreversible changes, in response to variable environmental factors. Let L (t) lumen output of the LED at time t, with initial lumen L (0) = L0, which is the initial brightness. • λ is the decay rate factor, changing with respect to temperature and humidity. • T (t) is the time varying temperature, potentially periodic due to seasonal change. • H is the humidity at time t, which changes according to the season. Thus, a mathematical model for the degradation lifespan of LED can be given as dL (t) dt = −λ (T (t) , H (t) E (t) L (t)) , (8.1) where accounts for the environmental degradation, dust and pollution of other external eﬀects. More factors can be added to capture other factors that can lead to a fast degradation. To do this, I add convolution terms. These terms will account for long-term environmental and proportional factors. I now include into the mathematical model kernels that reﬂect memory eﬀects due to cumulative damage from humidity, temperature, and pollutants. The modiﬁed model is given as: dL (t) dt = −β t Z 0 L (τ) K1T (t −τ) dτ −γ t Z 0 L (τ) K2H (t −τ) dτ (8.2) −Ω t Z 0 L (τ) K3E (t −τ) dτ. Here, Ki are memory kernels accounting for temperature, environmental factors, and humidity. β and γ can be used to adjust the impact of each factor on LED decay. Since LED performance can be aﬀected due to seasonal cycles in humidity and temperature, T (t) can be deﬁned as T (t) = T + Ts sin 2πt 365 ! , (8.3) where T is the yearly average temperature. H (t) can be deﬁned as H (t) = H + Hs sin 2πt 365 ! . (8.4) To account for the oﬀand on, I deﬁne D (t) = ( 1, if on 0, if oﬀ. (8.5) Indeed, it is known that LED experiences diﬀerent stress levels at night. The total count gives the time-dependent usage function. In addition to this, the LEDs from batches could have some levels AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2585 of impurities leading to degradation rate. L0 = L0 (1 + ε), where ε could be the quality at variations between diﬀerent batches. We can add the mechanical stress and vibration, M (t) = A cos (2π ft) , (8.6) where A is the amplitude factor of vibration and f is the associated frequency. Corrosive eﬀects and environmental pollutants can be represented as cumulative build up P (t) = Λ (t) L (t) , (8.7) where Λ (t) represents a time-varying pollution concentration. In countries with occasional electrical surges and variation in voltage can also impact LED, leading to degradation V (t) = V + η (t) , (8.8) where η (t) stands for noise term. The model can be revised as: dL (t) dt = −β t Z 0 D (τ) V (t −τ) T (t −τ)−α Γ (1 −α) dL (τ) dτ dτ (8.9) −γ t Z 0 V (t −τ) 1 −α exp − α 1 −αH (t −τ) L (τ) dτ −Ω t Z 0 V (t −τ) 1 −α Eα − α 1 −αE (t −τ)α L (τ) dτ −εΛ (t) V (t) L (t) −ξ t Z 0 V (t −τ) Γ (1 −α) M (t −τ)−α L (τ) dτ. The table below is a summary of the model. Each term’s physical interpretation is presented in Table 6. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2586 Table 6. Physical meaning of model. Components Physical meaning −β t R 0 D (τ) V (t −τ) T(t−τ)−α Γ(1−α) dL(τ) dτ dτ Duty cycle and thermal decay, modulated by voltage ﬂuctuations −γ t R 0 V(t−τ) 1−α exp −α 1−αH (t −τ) L (τ) dτ Humidity, environmental degradation due to electrical ﬂuctuations −Ω t R 0 V(t−τ) 1−α Eα −α 1−αE (t −τ)α L (τ) dτ Decay due to aging under voltage and structural stress −εΛ (t) V (t) L (t) Decay due to pollution, inﬂuenced by electrical stress −ξ t R 0 V(t−τ) Γ(1−α) M (t −τ)−α L (τ) dτ Decay due to vibration, and mechanical stress The solution of the above model can be given numerically Ln+1 −Ln ∆t = −β tn+1 Z 0 D (τ) V (tn+1 −τ) T (tn+1 −τ)−α Γ (1 −α) dL (τ) dτ dτ (8.10) −γ tn+1 Z 0 V (tn+1 −τ) 1 −α exp − α 1 −αH (tn+1 −τ) L (τ) dτ −Ω tn+1 Z 0 V (tn+1 −τ) 1 −α Eα − α 1 −αE (tn+1 −τ)α L (τ) dτ −εΛ (tn+1) V (tn+1) L (tn+1) −ξ tn+1 Z 0 V (tn+1 −τ) Γ (1 −α) M (tn+1 −τ)−α L (τ) dτ = −β n X j=0 t j+1 Z tj D (τ) V (tn+1 −τ) T (tn+1 −τ)−α Γ (1 −α) dL (τ) dτ dτ −γ n X j=0 t j+1 Z t j V (tn+1 −τ) 1 −α exp − α 1 −αH (tn+1 −τ) L (τ) dτ AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2587 −Ω n X j=0 tj+1 Z tj V (tn+1 −τ) 1 −α Eα − α 1 −αE (tn+1 −τ)α L (τ) dτ −εΛ (tn+1) V (tn+1) L (tn+1) −ξ n X j=0 tj+1 Z t j V (tn+1 −τ) Γ (1 −α) M (tn+1 −τ)−α L (τ) dτ. To simplify the scheme, I can approximate M (t) = A, E (t) = E ± ∆E, H (t) = H ± ∆Hs, T (t) = T ± ∆Ts, V (t) = V ± Vs. (8.11) The numerical solution is Ln+1 −Ln ∆t = −β V ± Vs T ± ∆Ts −α Γ (1 −α) n X j=0 D tj L j+1 −L j ∆t ∆t (8.12) −γ exp − α 1 −αH (tn+1 −τ) V ± Vs 1 −α n X j=0 L tj ∆t −Ω V ± Vs 1 −α n X j=0 Eα − α 1 −α E ± ∆E α L tj ∆t −εΛ (tn+1) V (tn+1) L (tn+1) −ξA−α V ± Vs Γ (1 −α) n X j=0 L tj ∆t. 9. Conclusions The power of fractional calculus in accurately capturing the essential time-dependent behaviors of systems with non-trivial memory is exempliﬁed. In particular, I have presented an extensive analysis of the Caputo-Fabrizio and Atangana-Baleanu fractional derivatives to illustrate how the fractional order can serve as a time dimension with rich memory signatures that integer-order calculus cannot accommodate. As discussed in terms of kernel properties, memory eﬀects, energy dynamics, and convolution geometry, the fractional derivatives that produce these functions facilitate deeper levels of agreement with real-world physics. The LED lifespan model elaborated in this paper is an example of the practical use of fractional calculus. This model uses several fractional kernels, including exponential, power law, and the Mittag-Leﬄer kernels, which can eﬃciently describe the diﬀerential eﬀects of electrical, mechanical, and environmental stressors on LED degradation, to provide a more precise prediction of LED life. This is an important step toward the broader applicability of fractional derivatives in various ﬁelds, showing that not only is there a sound theory behind fractional calculus but it also holds potential as a practical tool for solving real-life engineering and scientiﬁc problems. Use of Generative-AI tools declaration The author declares he has not used Artiﬁcial Intelligence (AI) tools in the creation of this article. AIMS Mathematics Volume 10, Issue 2, 2562–2588. 2588 Conﬂict of interest Author declares no conﬂict of interest. Prof. Abdon Atangana is an editorial board member for AIMS Mathematics and was not involved in the editorial review and/or the decision to publish this article. References 1. I. Podlubny, Fractional diﬀerential equations, vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering, San Diego: Academic Press, 1999, 2. H. R. Blank, M. Frank, M. Geiger, J. Heindl, M. Kaltenh¨ auser, W. Kreische, et al., Dimension and entropy analysis of MEG time series from human α-rhythm, Z. Phys. B-Condens. Matter, 91 (1993), 251–256. 3. M. Caputo, M. Fabrizio, A new deﬁnition of fractional derivative without singular kernel, Prog. Fract. Diﬀer. Appl., 1 (2015), 73–85. 4. A. Atangana, D. Baleanu, New fractional derivatives with non-local and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model, thermal science, arxiv preprint, 2016. 5. B. Deng, R. Tao, Y. Wang, Convolution theorems for the linear canonical transform and their applications, Sci. China Ser. F, 49 (2006), 592–603. 6. W. Chen, Time-space fabric underlying anomalous diﬀusion, Chaos Soliton. Fract., 28 (2006), 923–929. 7. A. Atangana, Fractal-fractional diﬀerentiation and integration: Connecting fractal calculus and fractional calculus to predict complex system, Chaos Soliton. Fract., 102 (2017), 396–406. 8. K. X. Li, J. G. Peng, Laplace transform and fractional diﬀerential equations, Appl. Math. Lett., 24 (2011), 2019–2023. 9. D. A. Gomes, J. B. Jimenez, T. S. Koivisto, Energy and entropy in the geometrical trinity of gravity, Phys. Rev. D, 107 (2023). 10. R. Anttila, Local entropy and Lq-dimensions of measures in doubling metric spaces, PUMP J. Undergrad. Res., 3 (2020), 226–243. 11. C. A. 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8034	http://www.wallace.ccfaculty.org/book/6.7%20Solve%20by%20Factoring.pdf	6.7 Factoring - Solve by Factoring Objective: Solve quadratic equation by factoring and using the zero product rule. When solving linear equations such as 2x −5 = 21 we can solve for the variable directly by adding 5 and dividing by 2 to get 13. However, when we have x2 (or a higher power of x) we cannot just isolate the variable as we did with the linear equations. One method that we can use to solve for the varaible is known as the zero product rule Zero Product Rule: If ab = 0 then either a = 0 or b = 0 The zero product rule tells us that if two factors are multiplied together and the answer is zero, then one of the factors must be zero. We can use this to help us solve factored polynomials as in the following example. Example 1. (2x −3)(5x + 1) = 0 One factor must be zero 2x −3 = 0 or 5x + 1 = 0 Set each factor equal to zero + 3 + 3 −1 −1 Solve each equation 2x = 3 or 5x = −1 2 2 5 5 x = 3 2 or −1 5 Our Solution For the zero product rule to work we must have factors to set equal to zero. This means if the problem is not already factored we will factor it ﬁrst. Example 2. 4x2 + x −3 = 0 Factor using the ac method, multiply to −12, add to 1 4x2 −3x + 4x −3 = 0 The numbers are −3 and 4, split the middle term x(4x −3) + 1(4x −3) = 0 Factor by grouping (4x −3)(x + 1) = 0 One factor must be zero 4x −3 = 0 or x + 1 = 0 Set each factor equal to zero + 3 + 3 −1 −1 Solve each equation 4x = 3 or x = −1 4 4 x = 3 4 or −1 Our Solution 1 Another important part of the zero product rule is that before we factor, the equation must equal zero. If it does not, we must move terms around so it does equal zero. Generally we like the x2 term to be positive. Example 3. x2 = 8x −15 Set equal to zero by moving terms to the left −8x + 15 −8x + 15 x2 −8x + 15 = 0 Factor using the ac method, multiply to 15, add to −8 (x −5)(x −3) = 0 The numbers are −5 and −3 x −5 = 0 or x −3 = 0 Set each factor equal to zero + 5 + 5 + 3 + 3 Solve each equation x = 5 or x = 3 Our Solution Example 4. (x −7)(x + 3) = −9 Not equal to zero, multiply ﬁrst, use FOIL x2 −7x + 3x −21 = −9 Combine like terms x2 −4x −21 = −9 Move −9 to other side so equation equals zero + 9 + 9 x2 −4x −12 = 0 Factor using the ac method, mutiply to −12, add to −4 (x −6)(x + 2) = 0 The numbers are 6 and −2 x −6 = 0 or x + 2 = 0 Set each factor equal to zero + 6 + 6 −2 −2 Solve each equation x = 6 or −2 Our Solution Example 5. 3x2 + 4x −5 = 7x2 + 4x −14 Set equal to zero by moving terms to the right −3x2 −4x + 5 −3x2 −4x + 5 0 = 4x2 −9 Factor using diﬀerence of squares 0 = (2x + 3)(2x −3) One factor must be zero 2x + 3 = 0 or 2x −3 = 0 Set each factor equal to zero −3 −3 + 3 + 3 Solve each equation 2x = −3 or 2x = 3 2 2 2 2 x = −3 2 or 3 2 Our Solution 2 Most problems with x2 will have two unique solutions. However, it is possible to have only one solution as the next example illustrates. Example 6. 4x2 = 12x −9 Set equal to zero by moving terms to left −12x + 9 −12x + 9 4x2 −12x + 9 = 0 Factor using the ac method, multiply to 36, add to −12 (2x −3)2 = 0 −6 and −6, a perfect square! 2x −3 = 0 Set this factor equal to zero + 3 + 3 Solve the equation 2x = 3 2 2 x = 3 2 Our Solution As always it will be important to factor out the GCF ﬁrst if we have one. This GCF is also a factor and must also be set equal to zero using the zero product rule. This may give us more than just two solution. The next few examples illus-trate this. Example 7. 4x2 = 8x Set equal to zero by moving the terms to left −8x −8x Be careful, on the right side, they are not like terms! 4x2 −8x = 0 Factor out the GCF of 4x 4x(x −2) = 0 One factor must be zero 4x = 0 or x −2 = 0 Set each factor equal to zero 4 4 + 2 + 2 Solve each equation x = 0 or 2 Our Solution Example 8. 2x3 −14x2 + 24x = 0 Factor out the GCF of 2x 2x(x2 −7x + 12) = 0 Factor with ac method, multiply to 12, add to −7 2x(x −3)(x −4) = 0 The numbers are −3 and −4 2x = 0 or x −3 = 0 or x −4 = 0 Set each factor equal to zero 3 2 2 + 3 + 3 + 4 + 4 Solve each equation x = 0 or 3 or 4 Our Solutions Example 9. 6x2 + 21x −27 = 0 Factor out the GCF of 3 3(2x2 + 7x −9) = 0 Factor with ac method, multiply to −18, add to 7 3(2x2 + 9x −2x −9) = 0 The numbers are 9 and −2 3[x(2x + 9) −1(2x + 9)] = 0 Factor by grouping 3(2x + 9)(x −1) = 0 One factor must be zero 3 = 0 or 2x + 9 = 0 or x −1 = 0 Set each factor equal to zero 3 0 −9 −9 + 1 + 1 Solve each equation 2x = −9 or x = 1 2 2 x = −9 2 or 1 Our Solution In the previous example, the GCF did not have a variable in it. When we set this factor equal to zero we got a false statement. No solutions come from this factor. Often a student will skip setting the GCF factor equal to zero if there is no vari-ables in the GCF. Just as not all polynomials cannot factor, all equations cannot be solved by fac-toring. If an equation does not factor we will have to solve it using another method. These other methods are saved for another section. World View Note: While factoring works great to solve problems with x2, Tartaglia, in 16th century Italy, developed a method to solve problems with x3. He kept his method a secret until another mathematician, Cardan, talked him out of his secret and published the results. To this day the formula is known as Cardan’s Formula. A question often asked is if it is possible to get rid of the square on the variable by taking the square root of both sides. While it is possible, there are a few prop-erties of square roots that we have not covered yet and thus it is common to break a rule of roots that we are not aware of at this point. The short reason we want to avoid this for now is because taking a square root will only give us one of the two answers. When we talk about roots we will come back to problems like these and see how we can solve using square roots in a method called completing the square. For now, never take the square root of both sides! Beginning and Intermediate Algebra by Tyler Wallace is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 Unported License. ( 4 6.7 Practice - Solve by Factoring Solve each equation by factoring. 1) (k −7)(k + 2) = 0 3) (x −1)(x + 4) = 0 5) 6x2 −150 = 0 7) 2n2 + 10n −28 = 0 9) 7x2 + 26x + 15 = 0 11) 5n2 −9n −2 = 0 13) x2 −4x −8 = −8 15) x2 −5x −1 = −5 17) 49p2 + 371p −163 = 5 19) 7x 2 + 17x −20 = −8 21) 7r2 + 84 = −49r 23) x2 −6x = 16 25) 3v2 + 7v = 40 27) 35x2 + 120x = −45 29) 4k2 + 18k −23 = 6k −7 31) 9x2 −46 + 7x = 7x + 8x2 + 3 33) 2m2 + 19m + 40 = −2m 35) 40p2 + 183p −168 = p + 5p2 2) (a + 4)(a −3) = 0 4) (2x + 5)(x −7) = 0 6) p2 + 4p −32 = 0 8) m2 −m −30 = 0 10) 40r2 −285r −280 = 0 12) 2b2 −3b −2 = 0 14) v2 −8v −3 = −3 16) a2 −6a + 6 = −2 18) 7k2 + 57k + 13 = 5 20) 4n2 −13n + 8 = 5 22) 7m2 −224 = 28m 24) 7n2 −28n = 0 26) 6b2 = 5 + 7b 28) 9n2 + 39n = −36 30) a2 + 7a −9 = −3 + 6a 32) x2 + 10x + 30 = 6 34) 5n2 + 41n + 40 = −2 36) 24x2 + 11x −80 = 3x Beginning and Intermediate Algebra by Tyler Wallace is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 Unported License. ( 5 6.7 Answers - Solve by Factoring 1) 7, −2 2) −4, 3 3) 1, −4 4) −5 2, 7 5) −5, 5 6) 4, −8 7) 2, −7 8) −5, 6 9) −5 7, −3 10) −7 8, 8 11) −1 5, 2 12) −1 2, 2 13) 4, 0 14) 8, 0 15) 1, 4 16) 4, 2 17) 3 7, −8 18) −1 7, −8 19) 4 7, −3 20) 1 4, 3 21) −4, −3 22) 8, −4 23) 8, −2 24) 4, 0 25) 8 3, −5 26) −1 2, 5 3 27) −3 7, −3 28) −4 3, −3 29) −4, 1 30) 2, −3 31) −7, 7 32) −4, −6 33) −5 2, −8 34) −6 5, −7 35) 4 5, −6 36) 5 3, −2 Beginning and Intermediate Algebra by Tyler Wallace is licensed under a Creative Commons Attribution 3.0 Unported License. ( 6
8035	https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-middle-school-physical-science-flexbook-2.0/section/11.5/primary/lesson/mass-vs-weight-ms-ps/	Weight \| CK-12 Foundation AI Teacher Tools – Save Hours on Planning & Prep. Try it out! Skip to content What are you looking for? Search Math Grade 6 Grade 7 Grade 8 Algebra 1 Geometry Algebra 2 PreCalculus Science Earth Science Life Science Physical Science Biology Chemistry Physics Social Studies Economics Geography Government Philosophy Sociology Subject Math Elementary Math Grade 1 Grade 2 Grade 3 Grade 4 Grade 5 Interactive Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Conventional Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Probability & Statistics Trigonometry Math Analysis Precalculus Calculus What's the difference? 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Weight, Mass, and Acceleration Weight is a measure of the force of gravity pulling down on an object. It depends on the object’s mass, which is how much matter the object contains. It also depends on the downward acceleration of the object due to gravity, which is the same all over Earth. Weight can be represented by the equation: F = m × a This is the general equation that relates force to mass and acceleration. When it relates weight to mass and acceleration, the letter F represents the object’s weight in Newtons (N), which is the SI unit for weight. The letter m in the equation represents the object’s mass in kilograms, and the letter a represents the downward acceleration due to gravity. As this equation shows, weight is directly related to mass. As an object’s mass increases, so does its weight. For example, if mass doubles, weight doubles as well. Calculating Weight Weight is derived from Newton’s Second Law, F=ma, where F is the force of gravity in Newtons, m is the mass of the object in kilograms, and a is the acceleration due to gravity on Earth, 9.8 m/s 2. When the formula is used specifically to solve for the weight of an object, it appears as W=mg. Weight is always measured in force units Newtons, m is the mass of the object in kilograms, and g is the gravitational strength on the planet in N/kg or m/s 2 (g Earth = 9.81 m/s 2). The gravitational force, g, differs throughout the universe. On the Earth, g = 9.81 m/s^2 . On the moon, the gravitational force on an object is 1.6 m/s^2. So, the weight of a moon rock on the moon will be one-sixth the weight of the moon rock on the Earth’s surface. Q: Sam has a mass of 50 kilograms. What is his weight in Newtons? A: You can calculate Sam’s weight in Newtons by substituting his mass in kilograms into the weight formula: F = m × 9.8 m/s 2 = 50 kg × 9.8 m/s 2 = 490 kg • m/s 2, or 490 N You’re probably more familiar with weight in pounds (lb) than in Newtons. One Newton equals 0.225 pounds. In other words, there are 0.225 pounds per Newton. You can use this ratio to convert Newtons to pounds. Q: What is Sam’s weight in pounds? A: In pounds, Sam’s weight is 490 N x 0.225 lb/N = 110 lb. Summary Weight is a measure of the force of gravity pulling down on an object. It depends on the object’s mass and the acceleration due to gravity, which is 9.8 m/s 2 on Earth. The formula for calculating weight is F = m × 9.8 m/s 2, where F is the object’s weight in Newtons (N) and m is the object’s mass in kilograms. The Newton is the SI unit for weight, and 1 Newton equals 0.225 pounds. Review What is weight? What is the SI unit for weight? Explain how to calculate an object’s weight on Earth from its mass. Sam’s older sister Nina, who is pictured in the Figurebelow, has a mass of 52 kilograms. How much does Nina weigh in Newtons? How much does she weigh in pounds? [Figure 2] 4. The moon has less gravity than Earth. If you were on the moon, how would your weight be different than it is on Earth? Add Note CancelSave Discuss with Flexi NOTES / HIGHLIGHTS Please Sign In to create your own Highlights / Notes Add Note Edit Note Remove Highlight Image Attributions Asked by Students Here are the top questions that students are asking Flexi for this concept: How many pounds does 1 Newton weigh? One Newton (kg.m/s^2) equals 0.225 pounds (lbs). In other words, there are 0.225 pounds per Newton. You can use this ratio to convert Newtons to pounds. How much does the sky weigh? The mass of the earth's atmosphere is approximately 5.15×10^18 kg and this mass can be considered as the mass of the sky. Therefore, the weight of the sky will be approximately 9.8 x 5.15 x10 ^18 = 50.47 x 10^18 kg m/s^2. If the weight of an object is 80 Newtons, what would the mass be in kilograms? Weight is a measure of the force of gravity pulling down on an object. It depends on the object’s mass and the acceleration due to gravity, which is 9.8 m/s2 on Earth. Mass of the object (in kilogram) can be calculated from its weight by the formula m = F/g, where F is the force or Object's weight in Newton (N) and g is acceleration due to gravity, g = 9.8 m/s2 on Earth. So mass (in kg) = 80/9.8 = 8.163 kg Is Newton a mass or a weight? Newton is a unit of force in the International System of Units (SI). It is not a unit of mass or weight. However, it is often used to measure weight, since weight is a force resulting from gravity acting on a mass. A student, who weighs 650N, is standing on a bathroom scale and riding an elevator that is moving downwards with a speed that is increasing at a rate of 0.7m/s^2. What is the student's mass in kg? What is the net force on the student and what value does the scale read in newtons? The student's weight is the force of gravity acting on them, which is given by the equation F=m⋅g, where F is the force (weight), m is the mass, and g is the acceleration due to gravity (approximately 9.8 m/s 2 on Earth). To find the student's mass, we rearrange the equation to m=F g. Substituting the given values, we get: m=650 N 9.8 m/s 2=66.33 kg The net force on the student is the difference between the force of gravity and the force due to the elevator's acceleration. The force due to the elevator's acceleration is given by F=m⋅a, where a is the acceleration of the elevator. Substituting the given values, we get: F=66.33 kg⋅0.7 m/s 2=46.43 N Since the elevator is moving downwards, the net force is the weight of the student minus the force due to the elevator's acceleration, or: 650 N−46.43 N=603.57 N The scale reads the normal force acting on the student, which is equal to the net force in this case. So, the scale reads 603.57 N. Overview Weight is the force of gravity on an object, determined by its mass and acceleration due to gravity. Weight increases with mass, following the equation F = m × a. All objects on Earth accelerate downward at 9.8 m/s², allowing weight calculation with F = m × 9.8 m/s². Weight in Newtons can be converted to pounds using the ratio 1 Newton equals 0.225 pounds. Vocabulary acceleration law Test Your Knowledge Question 1 If a person has a mass of 7.00 kg on Earth, what will be his weight on the Moon? (The acceleration due to gravity on the moon is 1.635 m/s 2.) a 140 N b 5.60 N c 22.6 N d 11.5 N Check It Weight is a measure of the force of gravity pulling down on an object. It depends on the object’s mass and the acceleration due to gravity, which is 9.8 m/s 2 on Earth. The formula for calculating weight is F = m × 9.8 m/s 2, where F is the object’s weight in Newtons (N) and m is the object’s mass in kilograms. The Newton is the SI unit for weight, and 1 Newton equals 0.225 pounds. FlexCard™ Question 2 If the mass of an object on Earth is 100 kg, then what is the weight of the object on the moon? The strength of the gravitational field on the Moon is about 1.6 m/s 2. a 100 N b 62.5 N c 160 N d 980 N Check It Weight is a measure of the force of gravity pulling down on an object. It depends on the object’s mass and the acceleration due to gravity, which is 9.8 m/s 2 on Earth. The formula for calculating weight is F = m × 9.8 m/s 2, where F is the object’s weight in Newtons (N) and m is the object’s mass in kilograms. The Newton is the SI unit for weight, and 1 Newton equals 0.225 pounds. FlexCard™ Asked by Students Ask your question Here are the top questions that students are asking Flexi for this concept: How many pounds does 1 Newton weigh? One Newton (kg.m/s^2) equals 0.225 pounds (lbs). In other words, there are 0.225 pounds per Newton. You can use this ratio to convert Newtons to pounds. How much does the sky weigh? The mass of the earth's atmosphere is approximately 5.15×10^18 kg and this mass can be considered as the mass of the sky. Therefore, the weight of the sky will be approximately 9.8 x 5.15 x10 ^18 = 50.47 x 10^18 kg m/s^2. If the weight of an object is 80 Newtons, what would the mass be in kilograms? Weight is a measure of the force of gravity pulling down on an object. It depends on the object’s mass and the acceleration due to gravity, which is 9.8 m/s2 on Earth. Mass of the object (in kilogram) can be calculated from its weight by the formula m = F/g, where F is the force or Object's weight in Newton (N) and g is acceleration due to gravity, g = 9.8 m/s2 on Earth. So mass (in kg) = 80/9.8 = 8.163 kg Is Newton a mass or a weight? Newton is a unit of force in the International System of Units (SI). It is not a unit of mass or weight. However, it is often used to measure weight, since weight is a force resulting from gravity acting on a mass. A student, who weighs 650N, is standing on a bathroom scale and riding an elevator that is moving downwards with a speed that is increasing at a rate of 0.7m/s^2. What is the student's mass in kg? What is the net force on the student and what value does the scale read in newtons? The student's weight is the force of gravity acting on them, which is given by the equation F=m⋅g, where F is the force (weight), m is the mass, and g is the acceleration due to gravity (approximately 9.8 m/s 2 on Earth). To find the student's mass, we rearrange the equation to m=F g. Substituting the given values, we get: m=650 N 9.8 m/s 2=66.33 kg The net force on the student is the difference between the force of gravity and the force due to the elevator's acceleration. The force due to the elevator's acceleration is given by F=m⋅a, where a is the acceleration of the elevator. Substituting the given values, we get: F=66.33 kg⋅0.7 m/s 2=46.43 N Since the elevator is moving downwards, the net force is the weight of the student minus the force due to the elevator's acceleration, or: 650 N−46.43 N=603.57 N The scale reads the normal force acting on the student, which is equal to the net force in this case. So, the scale reads 603.57 N. 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8036	https://microbenotes.com/plant-cell/	Skip to content Microbe Notes Plant Cell: Structure, Parts, Functions, Labeled Diagram by Faith Mokobi Plant cells are eukaryotic cells, that are found in green plants, photosynthetic eukaryotes of the kingdom Plantae which means they have a membrane-bound nucleus. They have a variety of membrane-bound cell organelles that perform various specific functions to maintain the normal functioning of the plant cell. Table of Contents Toggle Structure of Plant cell Generally, plant cells are a lot bigger than animal cells, coming in more similar sizes and they are typically cubed or rectangular in shape. Plant cells also have structural organelles that are not found in the animals’ cells including the cell wall, vacuoles, plastids e. g Chloroplast. Animal cells also contain structures that are not found in the plant cells such as, cilia and flagella, lysosomes, and centrioles. The typical characteristics that define the plant cell include cellulose, hemicellulose and pectin, plastids which play a major role in photosynthesis and storage of starch, large vacuoles responsible for regulating the cell turgor pressure. They also have a very unique cell division process whereby there is the formation of a phragmoplast (a complex made up of microtubules, microfilaments, and the endoplasmic reticulum) all assembling during cytokinesis, to separate the daughter cells. These organelles most of them are similar to the animal organelles performing the same functions as those of the animal cell. Organelles have a wide range of responsibilities that include everything from producing hormones and enzymes to providing energy for a plant cell. Plants cells have DNA that helps in making new cells, hence enhancing the growth of the plant. the DNA is enclosed within the nucleus, an enveloped membrane structure at the center of the cell. The plant cell also has several cell organelle structures performing a variety of functions to maintain cellular metabolisms, growth, and development. Plant Cell Free Worksheet Answer key List of 14 Plant Cell Organelles Cell Wall Cytoskeleton Cell (Plasma) membrane Plasmodesmata The cytoplasm Plastids Plant Vacuoles Mitochondria Endoplasmic reticulum (ER) Ribosomes Storage granules Golgi bodies Nucleus Peroxisomes Plant Cell Wall Plant Cell Wall is the rigid outer cover of the plant cell with a major role of protecting the plant cell, giving it, its shape. Structure of plant cell wall It is a specialized matrix that covers the surface of the plant cell. Every plant cell has a cell wall layer which is a major distinguishing factor between a plant cell and an animal cell. The cell wall is made up of two layers, a middle lamella, and a primary cell wall and sometimes a secondary cell wall. The middle lamella acts as the strengthening layer between the primary walls of the neighboring cells. The primary wall is made up of cellulose underlying the cells that are dividing and maturing. The primary wall is a lot thinner and less rigid as compared to those of the cells that have reached complete maturation. The thinness allows the cell wall to expand. After full cell growth, some plants get rid of the primary wall but most, they thicken the primary wall or it makes another layer with rigidity but a different arrangement, known as the secondary wall. The secondary wall offers permanent stiff mechanical support to the plant cell especially the support found in wood. In contrast to the permanent stiffness and load-bearing capacity of thick secondary walls. The function of the plant cell wall The primary role of the cell wall is defined to be a mechanical and structural function, that is highly effective in serving the plant cell. These functions include: Providing the cell with mechanical protection and shielding the cell from the chemically harsh environment, provided by the secondary wall layer. It is semipermeable hence it allows in and out, the circulation of materials such as water, molecular nutrients, and minerals. It also forms provides a rigid building block to stabilize the plant to produce some of its structures, for example, the stem and leaves of the plants. It also provided a site for the storage of some elements such as the regulatory molecules that detect pathogens in the plant, hindering the development of diseased tissue. The thin primary walls serve as structural and supportive functional layers when the cell vacuoles are filled with water, exerting turgor pressure on the cell wall, thus maintaining the plants’ stiffness and preventing plants from losing water and withering. The basic building block is made of cellulose fibers, of both the primary and secondary walls, despite having different compositions and structures. Cellulose is a polysaccharide matrix that offers tensile strength to the cells. This strength is entrenched within the highly concentrated matrix of water and glycoproteins. Plant cytoskeleton This is a network of microtubules and filaments that plays a primary role in maintaining the plant cell shape and giving the cell cytoplasm support and maintaining its structural organization. These filaments and tubules normally extend all over the cell, through the cell cytoplasm. Besides giving support and maintaining the cell and the cell cytoplasm, its also involved in the transportation of cellular molecules, cell division, and cell signaling activities. Structure of the plant cytoskeleton The cytoskeleton has an essential definition of the structure of eukaryotic cells, describing the support system of these cells, the maintenance factors and transport involvements within the cell. These functions are defined by the structure of the cytoskeleton which is made up of three filaments i. e actin filament (microfilaments), microtubules and intermediate filaments. Microfilaments, also known as actin filaments, are a meshwork of fibers running parallel to each other. They are made up of the thin strands of actin proteins hence the name actin filaments. They are the thinnest filaments of the cytoskeleton with a thickness of 7 nanometers. Intermediate filaments have a diameter of about 8-12 nm; They lie between the actin filaments and the microtubules. Its function in plant cells is not clearly understood Microtubules are hollow tubes made up of tubulins, with a diameter of 23nm. They are the largest filament compared to the other two filaments. Functions of the plant cytoskeleton Microfilaments They play a primary role is a division of the cell cytoplasm by a mechanism known as cytokinesis, forming two daughter cells. They also participate in cytoplasmic streaming, a process of cytosol flow all over the cell, transporting nutrients and cell organelles. Intermediate Filaments The intermediate filaments’ role in the plant cells is not clearly understood but has a role to play in maintaining the cell shape, structural support and retain tension within the cell. Microtubules Unlike the role of the microtubule in cell division in the animal cell, the plant cell uses the microtubules to transport materials within the vell and they are also used in forming the plant cell, cell wall. Other functions of the cytoskeleton in plants include: Giving the plant cell shape, maintaining the cell shape and transportation of some cell organelles throughout the cell, molecules, and nutrients across the cell cytoplasm. It also plays a role in mitotic cell division. In summary, the cytoskeleton is the frame of building the cell, hence it maintains the cell structure, provides cell structural support and defines the cell structure. Plant Cell (Plasma) membrane Structure of the plant cell (plasma) membrane This is a bilipid membrane that is made up of protein subunits and carbohydrates, with a characteristic semi permeability factor. It surrounds the cell cytoplasm, thus enclosing its content. Functions of theplant cell (plasma) membrane In-plant cells the cell membrane separated the cytoplasm from the cell wall. It has a selective permeability hence it regulates the contents that move in and out of the cell. It also protects the cell from external damage and provides support and stability to the cell. It has embedded proteins which are conjugated with lipids and carbohydrates, along the membrane, used to transport cellular molecules. Plasmodesmata Plasmodesmata are microscopic channels that assist in communicating and transporting materials across plant cells. They connect the cellular plant spaces allowing intracellular movement of cellular nutrients, water, minerals, and other molecules. They also allow signaling of cellular molecules. There are two types of plasmodesmata Primary plasmodesmata, formed during cell division. Secondary plasmodesmata, formed between mature plant cells. Primary plasmodesmata are formed when part of the endoplasmic reticulum is caught in the middle lamella as the new cell wall is processed during cell division. As they form, they create a connection between each adjacent, and at the connection site, they form thin spaces known as pits on the walls. The plasmodesmata may get inserted to already mature cells just between their cell wall and these are termed as the secondary plasmodesmata. These are found in plant cells and algal cells, evolving independently. Plasmodesmata structure is regulated by callose polymer formed during cell cytokinesis. Structure of plasmodesmata of plant cells Plasmodesmata have a diameter of 50–60 nm in diameter. They have three layers i.e. plasma membrane, cytoplasmic sleeve, and the desmotubules. these layers can thicken the cell wall up to about 90nm. Plasma membrane – it is a continuous extension on the plasmalemma that is made up of phospholipids layered structure. Cytoplasmic sleeves – are fluid-filled spaces enclosed by the plasmalemma forming an endless pouch of the cytosol. Desmotubules – this is a flat tube originating from the endoplasmic reticulum, running between two adjacent cells. Functions of the plasmodesmata Transportation of transcription proteins, short units of RNA, mRNA, viral genomes and viral particles from one cell to another. Such as the movement of MP-30 proteins of the Tobacco mosaic virus, which binds to the viral genome moving it from infected cell to non-infected cell, through the plasmodesmata.MP-30 is thought to bind to the virus’s own genome and shuttle it from infected cells to uninfected cells through plasmodesmata. They are used to regulate the sieve tube cells with the help of the companion cells. They are also used by the phloem cells to facilitate the transportation of nutrients. Cytoplasm This is a gel-like matrix lying just below the cell membrane, housing most of the cell organelles. Its made up of water, enzymes, salts, organelles, and various organic molecules. It is not classified as one of the cell’s organelles because it doesn’t possess major roles except being a physical medium for holding and housing most of the complex cell’s interior organelles and being a medium for transporting and processing cell molecules for maintaining cell life. This is because some of these organelles have their own membranes that protect them, for example, the mitochondria and the Golgi bodies have at least 2 layers offering several functions to the organelles. The nucleus is not classified as part of the cytoplasm because of its double-layered centrally placed features and it has its own organelles and sub-organelles enclosed within it. The cytoplasm of the plant houses several organelles including Plastids, Mitochondria, Central vacuoles, Endoplasmic reticulum, Golgi bodies, Storage granules, lysosomes. Plastids Plastids are specialized organelles found specifically in plant and algal cells. They have a double-layered membrane. They have characteristic pigments that aid their mechanisms majorly in food processing and storage. these pigments also determine the color of the plant. Generally, plastids are used to manufacture and store food for plants double-membrane organelle which is found in the cells of plants and algae. Plastids have the ability to differentiate in between there forms and they can multiply rapidly by binary fission, depending on the cell, forming over 1000 plastid copies. In mature cells, plastids reduce in number to about 100 per mature cell. Plastids are derivates of proplastids (undifferentiated plastids), found in the meristematic tissues of the plant. Development of plastids Plastids associated with the inner membrane of the cell, existing as large protein-DNA complexes known as plastid nucleoids. The nucleoids have at least 10 copies of plastid DNA. Undifferentiated plastids are known as proplastids, and each proplastid has one nucleoid. These differentiate into the plastid which has more nucleoids found at the edges of the membranes bound to the inner envelope membrane. During differentiation and development, the proplastid nucleoid undergoes remodeling, changing its shape, size and moves to a different location within the organelle. This mechanism of remodeling is mediated by the nucleoid proteins. General functions of plastids They are actively involved in manufacturing food for the plant by photosynthesis due to the presence of chlorophyll pigment in the chloroplast. They also store food in the form of starch. They have the ability to synthesize fatty acids and terpenes that produces energy for the cell’s mechanisms. Palmitic acid, a component synthesized by chloroplasts is used in manufacturing the plant cuticle and waxy materials. Types of Plastids Plastids are classified based on their functions and the presence of the characteristic pigments. They include: Chloroplasts – green plastids used in photosynthesis Chromoplasts – colored plastids used to synthesize and store plant pigments Gerontoplasts – they dismantle photosynthetic apparatus during aging of plants Leucoplasts – they are colorless plastids used to manufacture terpene substance that protects the plants. they can differentiate, forming specialized plastids performing a variety of functions. i. e amyloplast. elaioplasts. proteinoplast, tannosomes. Chloroplast Structure of the plant cell chloroplast These are organelles found in plant cells and algal cells. They are oval-shaped. They are made up of two surface membranes, i.e outer and inner membrane and an inner layer known as the thylakoid layer has two membranes. The outer membrane forms the external lining of the chloroplast while the inner membrane is below the outer layer. The membranes are separated by thin membranous space and within the membrane, there is also a space known as the stroma. The stroma houses the chloroplast. The third layer known as the thylakoid layer is extensively folded making the appearance of a flattened disk known as thylakoids which have large numbers of chlorophyll and carotenoids and the electron transport chain, defined as the light-harvesting complex, used during photosynthesis. Thylakoids are piled on top of each other in stacks known as grana. Functions of the plant cell chloroplast The chloroplast is the site of food synthesis for plant cells, by a mechanism known as photosynthesis. Chloroplasts contain chlorophyll, a green pigment that absorbs light energy from the sun for photosynthesis. The photosynthesis process converts water, carbon dioxide, and light energy into nutrients for utilization by the plants. Thylakoids contain chlorophyll pigments and carotenoids for trapping light energy for use in photosynthesis. the chlorophyll pigment gives plants their green color. Chromoplast plastid Chromoplasts define all the plant pigments stored and synthesized in plants. They are found in a variety of plants of all kinds of ages. They are normally formed from the chloroplasts is the name given to an area for all the pigments to be kept and synthesized in the plant. The have carotenoid pigments that allow the differentiation in color seen in flowers and fruits. Its color attracts pollination mechanisms by pollinators. Structure of plant chromoplast Microscopic observation indicates that chromoplast has at least four types: Proteic stroma which contains granules Amorphous pigment with granules Protein and pigment crystals Crystalised chromoplast Although, the more specialized feature has been observed classifying it further into 5 types: Globular chromoplasts which appear as globules Crystalline chromoplast which appears crystalized Fibrillar chromoplast which appears like fibers Tubular chromoplast which looks like tubes Membranous chromoplast These chromoplasts live amongst each other though some plants have specific types such as mangoes have the globular chromoplast while carrots have crystallized chromoplast, tomatoes have both crystalline and membranous chromoplast because they accumulate carotenoids. Functions of plant chromoplast They give distinctive colors to plant parts such as flowers, fruits, roots, and leaves. Differentiation of chloroplast to chromoplast makes the fruits of plant ripen. They synthesize and store plant pigments such as yellow pigments for xanthophylls, orange for carotenes. This gives the plant and its parts the color. They attract pollinators by the colors they produce, which helps in the reproduction of the plant seed. Chromoplats found in roots enable the accumulation of water-insoluble elements especially in tubers such as carrots and potatoes. They contribute to color change during plant aging, for flowers, fruits, and leaves. Gerontoplast plastids of the plant cell These plastids found in plant leaves are the organelles responsible for cell aging. They differentiate from chloroplast when the plants start to age, and they can not perform photosynthesis anymore. They appear as unstacked chloroplasts without a thylakoid membrane and accumulation of plastoglobuli that is used in producing energy for the cell. The primary function of Gerontoplast is to aid the aging of the plant parts giving them a distinct color to indicate a lack of photosynthesis process. Leucoplast plastids of the plant cell These are the non-pigmented plastids. Since they lack the chloroplast pigments, they are found in non-photosynthetic parts of the plants like the roots and seeds. They are smaller than the chloroplasts, which varying morphologies others appearing ameboid shaped. They are interconnected with a network of stromules in roots, flower petals. They can be specialized to store starch, lipids, and proteins in large quantities hence named as amyloplasts, elaioplast, and proteinoplast, depending on what they store respectively. The main function of the leucoplast includes: Storage of starch, lipids, and proteins. They are also used to convert amino acids and fatty acids. Plant Vacuoles Plant cells have large vacuoles as compared to animal cells. The central vacuoles are found in the cytoplasmic layer of cells of a variety of different organisms, but larger in the plant cells. Structure of plant cell vacuoles These are large, vesicles filled with fluid, within the cytoplasm of a cell. It is made up of 30% fluid of the cell volume but can fill up to 90% of the cell’s intracellular space. Functions of the central vacuole The central vacuoles are used to adjusted the size of the cell and to maintains the turgor pressure of the plant cells, preventing wilting and withering of plants especially the leaves. When the cytoplasmic volume is constant, the vacuoles account majorly for the size of the plant cell. Turgor pressure is maintained when the vacuoles are full of water. When there is no turgor pressure, it is an indication of the plant losing water, hence the plant leaves and stems wither. Plant cells thrive in high water levels (Hypotonic solutions), taking up water by osmosis from the environment, thus maintaining turgidity. A plant cell can have more than one type of vacuole. some specialized vacuoles especially those structurally related to lysosomes contain degradative enzymes used to break down macromolecules. Vacuoles are also responsible for the storage of cellular nutrients including sugars, organic salts, inorganic salts, proteins, cellular pigments, lipids. these elements are stored until when the cell requires them for cellular metabolisms. For example, vacuoles store proteins for seeds and opium metabolites. Mitochondria Mitochondria are also known as chondriosomes, are the power generating organelles of a cell, hence they are commonly known as the powerhouse of the cell. The mitochondria convert stored nutrients by the help of oxygen to produce energy in for of (ATP )Adenosine TriPhosphate, hence they are the site for non-photosynthetic energy transduction. There are hundreds of mitochondria within a single plant cell. Mitochondria are found in high numbers within the phloem pigment of the plant cell, and the neighboring cells have high metabolism rates. This is to supply energies that support various needing mechanisms, like the transportation of food through the sieve tubes. As they perform their mechanisms, mitochondria continuously move and change their shapes, depending on its interactions with light trapped for photosynthesis, level of cytosolic sugars and the endoplasmic reticulum mediated interactions. The animal and plant mitochondria are very similar except for a few notable differences e.g. mitochondria in plants have reduced nicotinamide adenine dinucleotide (NADH) dehyg=drogenase used for oxidation of exogenous NADH which animal cell lack. Mitochondria from many plant sources are relatively insensitive to cyanide inhibition, a feature not found in animal mitochondria. On the other hand, the b -oxidation pathway of fatty acids is located in animal mitochondria, whereas in plants, the enzymes of fatty acid oxidation occur in the glyoxysomes. ( Structure of plant mitochondria Plant cell mitochondria have high pleomorphism. Mitochondria in green plants are discrete, spherical-oval shaped organelles of diameter ranging from 0.2to1.5μm The mitochondria have a double-layered system i. e a smooth outer membrane and an inner complex membrane that encloses the organelle matrix. The two layers are lipid bilayers complexed with a hydrophobic fatty acid chain. These lipids are a class of phospholipids that are highly dynamic with a strong attraction to the fatty acid regions. They have a mitochondrial gel-matrix in the central mass. The mitochondria also possess all the enzymes for the Tricarboxylic cycle (TCA) including citrate synthetase, Pyruvate oxidase, Isocitrate Dehydrogenase, Malate Dehydrogenase, Malic Enzyme. Functions of mitochondria in plants The mitochondria are the powerhouse of the cell, hence their major function is generating energy for use by the cell. To have a high rate of metabolism because they supply energy for the unknown mechanism by which foods, mainly sucrose, are transported in the sieve tubes. Within the mitochondria, the potential energy in food that is manufactured by photosynthesis is what is used for the metabolisms of the cells. For example, energy used for the formation of new cell content, enzyme production and moving of sugar molecules are produced by the mitochondria. This is the cite for the Tricarboxylic cycle (TCA), also known as the Krebs cycle. The TCA cycle uses the cell’s nutrients, converting them into by-products that the mitochondria use for producing energy. These processes take place in the inner membrane because the membrane bends into folds called the cristae, where the protein components used for the main energy production system cells, known as the Electron Transport Chain (ETC). ETC is the main source of ATP production in the body. Endoplasmic reticulum (ER) The ER is a continuous network of folded membranous sacs housed in the cell cytosol. It is a complex organelle taking up a sizable part of the cell’s cytosol. It is made up of two regions known as the rough endoplasmic reticulum (they have ribosomes attached to their surface membrane) and the smooth endoplasmic reticulum (they lack ribosomal attachment). The endoplasmic reticulum known for its high dynamics functions in eukaryotic cells, play major roles in synthesizing, processing, transporting and storing proteins, lipids, and chemical elements. These elements are used by the plant cell and other organelles such as the vacuoles and the apoplast (Plasma membrane). The inner space of the ER is known as the lumen. It is attached to the nuclear envelope, providing a link between the nucleus and the cell cytosol, and also giving a link between the cell to the plasmodesmata tubes, which connect to the plant cells. It accounts for 10% of the volume of the cytosol. On the other hand, rough ER almost always appears as stacks of double membranes that are heavily dotted with ribosomes. Based on the consistent appearance of rough ER, it most likely consists of parallel sheets of membrane, rather than the tubular sheets that characterize smooth ER. These flattened, interconnected sacs are called cisternae, or cisternal cells. The cisternal cells of rough ER are also referred to as luminal cells. Rough ER and the Golgi complex are both composed of cisternal cells. Structure of plant cell endoplasmic reticulum This is a consistently folded membranous organelle found in the cytoplasm of the cell, that is made up of a thin network of flattened interconnected compartments (sacs) that connects from the cytoplasm to the cell nucleus. Within its membranes, there are membranous spaces called the cristae spaces and the membrane folding are called cristae. There are two types of ER based on their structure and the function they perform including Rough Endoplasmic reticulum and the Smooth endoplasmic reticulum. Functions of the endoplasmic reticulum Functions of the Rough and smooth endoplasmic reticulum The Rough endoplasmic reticulum is covered by ribosomes around its surface membrane, making a rough bumpy appearance. the primary role of the Rough ER in synthesizing proteins, which are transported from the cell to the Golgi bodies, which carry them to other parts of the plant to help in its growth. These proteins are an assembly of amino acid sequences that combine to form antibodies, hormones, digestive enzymes. the assembling is accomplished by the ribosomes attached to the rough ER. Some proteins are processed outside the cell, they can also be transported into the Rough ER where they undergo assembling into the right shape and dimensions for cell utilization and conjugated with sugar elements to form a complete protein. these complexes are then transported and distributed to parts of the ER known as the transitional ER, for packaging in cell vesicles and passed to the Golgi bodies which export them to other parts of the plant. The smooth ER is smooth due to a lack of attached surface ribosomes. They look as though they are budding off from the lumen of the rough endoplasmic reticulum. Its role is synthesizing, secreting and storing lipids, metabolizing carbohydrates and manufacturing of new membranes. This is enhanced by the presence of several enzymes bound to its surface. When a plant has enough energy for utilization for photosynthesis and still possess excess lipids manufactured by the cell, these lipids are stored in the smooth Endoplasmic reticulum in the form of triglycerides. And when the cell needs more energy, the triglycerides are broken down to produce the energy required by the plants. Minimally, the smooth endoplasmic reticulum has also been linked to the formation of the cellulose on the cell wall. Other functions of the endoplasmic reticulum in the plant cell Calcium is used in the growth and development of plant cells which enhances plant growth but in some cases, calcium may be produced in excessive quantities that harm the plant cell by causing cell death. Therefore the Endoplasmic reticulum has been linked to regulating the excess calcium by converting it to calcium oxalate crystals. Specialized cells in the endoplasmic reticulum known as crystal idioblast play a major role in this conversion and also in storing these crystals. The ER also act as plant sensors. Plants have the ability to make rapid movements in response to certain external stimuli e. g light intensity, temperature, and atmospheric pressure. In such mechanisms, the ER mediates for the plant to respond accordingly. For example, in Venus flytrap plant, react sensitively to touch, this is due to the presence of the cortical endoplasmic reticulum (Cortex cells) that instantly respond to touch. In the event of sensitivity, the sensory ER move and collect at the top and the bottom of the cell, making them be squeezed together thus causing a constraint on them. This leads to the release of accumulated calcium, which in turn produces the sense of touch. The cortical ER is highly linked with the plasmodesmata (a narrow thread of cytoplasm that passes through the cell walls of adjacent plant cells and allows communication between them). The Plasmodesmata acts as a channel of communication among the cells thus linking to the motor cells triggering the cells and the plant to respond accordingly. Ribosomes This is the organelle responsible for protein synthesis of the cell. Its found in the cell cytoplasm in large numbers and a few of them called functional ribosomes can be found in the nucleus, mitochondria, and the cell chloroplast. Its made up of ribosomal DNA (rDNA) and cell proteins The process of protein synthesis by the ribosomes is known as translation, by using the messenger RNA, which delivers the nucleotides to the ribosomes. The ribosomes then guide and translate the message in the form of nucleotides, contained by the mRNA. Structure of ribosomes of the plant cell The ribosomes’ structure is the same in all cells but smaller in prokaryotic cells. Generally, ribosomes in eukaryotic cells are large and they can only be measured in Svedberg units (S). S unit is a measure of aggregation of large molecules to sediments on centrifugation. High S value means fast sedimentation rate hence greater mass. Eukaryotic cell sediment in the 90s while prokaryotic cell sediment in the 70s. Ribosomes found in the mitochondria and chloroplasts are as small as the prokaryotic ribosomes. Naturally, ribosomes are made up of two subunits i. e small and large subunits, both classified according to their sedimentation rates by the S unit. The plant cell, being a eukaryotic cell, has large complex ribosomes with higher S units, with four rRNAs with over 80 proteins. The large subunit has the S unit of the 60s (28s rRNA, 5.8s rRNA, and 5s rRNA) with 42 proteins. The small subunit has a sedimentation rate of the 40s, made up one rRNA and 33 proteins. The ribosomal subunits combine in the nucleolus of the cell, which is then transported into the cytoplasm through the nuclear pores. The cytoplasm is the primary site for protein synthesis (translation). Functions of ribosomes in plant cells Containing a subunit of RNA, ribosomes major functions is to synthesize proteins for the cellular functions such as cell repair mechanism. Ribosomes act as catalysts in producing strong binding for portion extension using peptidyl transfer and peptidyl hydrolysis. Ribosomes found in the cell cytoplasm are responsible for the conversion of genetic codes to amino acid sequences and building protein polymers from amino acid monomers. they are also used in protein assembling and folding. Storage granules of plant cell These are aggregates found within the cytoplasmic membrane and the plant cell plastids. They are inert organelles found in plants whose primary function is to store starch. Functions of storage granules in plant cell They are used as food reservoirs They store carbohydrates for the cell in the form of glycogen or carbohydrate polymers They naturally store starch granules for the plant cell They also fuel metabolisms in the cell that involved chemical reactions thus producing energy for the production of new cellular materials. Golgi bodies Golgi bodies are complex membrane-bound cell organelles found in the cytoplasm of a eukaryotic cell, which is also known as the Golgi complex or Golgi apparatus. They lie just next to the endoplasmic reticulum and near the nucleus. Structure of the Golgi bodies in a plant cell Golgi bodies are maintained together by cytoplasmic microtubules and clasped by a protein matrix They are made up of flattened stacked pouches known as cisternae. Plant cells have a few hundreds of the Golgi bodies moving along the cell’s cytoskeleton, over the endoplasmic reticulum as compared to the very few found in animal cells (1-2). The Golgi bodies have three primary compartments: Cis Golgi networkis also knownas Goods inwards,are the cisternae the is closest to the endoplasmic reticulum. Also called the cis Golgi reticulum it is the entry area to the Golgi apparatus. The medial or the Golgi stack-this is the Main processing area, placed at the central layer of the cisternae Trans Golgi networkis also known as the Goods outwards cisternae.This is the farthest cisternae endoplasmic reticulum from the endoplasmic reticulum. Functions of the Golgi bodies in a plant cell The Golgi bodies have several functions linked to them, from being an adjacent organelle to the endoplasmic reticulum to where they deliver the cell products to. They are found in the middle of the cells’ secretory pathway, as a membranous complex that primarily functions to process, distribute and store proteins for use by the plant during stress responses and others in leguminous plants such as cereals and grains. The presence of the membranous sac compartments, perform various chemically related functions. As new proteins are transported out of the endoplasmic reticulum through the Golgi bodies, they pass through the three compartments each compartment producing a different reaction to the molecules, modifying them in various ways i.e. Cleaving the protein molecules to oligosaccharides chains Attaching of sugar moieties of different side chains to the protein elements Addition of fatty acids and phosphate groups to the elements and removal of monosaccharides. The cell vesicles carrying protein molecules from the endoplasmic reticulum into the cis compartment, where the product is modified, and then packaged into other vesicles which then transports it to the next compartment. The transportation is enhanced by marking the vesicle with a tag like a phosphate group or special protein molecules, leading it to its next endpoint. Finally, when the vesicles have transported the proteins and lipid molecules, the Golgi bodies are responsible for assembling the product and transporting it to the final destination. This is enhanced by the presence of enzymes in the plants’ Golgi bodies, which attache to the sugar moieties to the proteins, packing them and transporting them to the cell wall. Nucleus The nucleus is the information center of a cell. It is a specialized complex organelle whose primary function is to store the cell’s genetic information. It is also responsible for coordinating the cell’s activities including cell metabolism, cell growth, synthesis of proteins and lipids and generally the cell reproduction by cell division mechanisms. The nucleus contains the cells’ genetic information known as Deoxyribonucleic Acid (DNA), on the Chromosomes (special thread-like strands of nucleic acids and protein found in the nucleus, carrying genetic information). Structure of the nucleus of the plant cell The nucleus is spherically shaped, centrally placed in the cell. It occupies about 10% of the cell volume content. It as a double-layered membrane known as the nuclear envelope which separates the contents in the nucleus from those in the cell cytoplasm. The nuclear materials included chromatins, DNA which forms the cell chromosomes during cell division, the nucleolus which is responsible for synthesizing the cell ribosomes. Functions of the nucleus of the plant cell The Primary role of the cell nucleus is, it functions as the cell’s control center. The presence of the nuclear membrane, it encloses the nucleus and its contents from the cytoplasmic organelles. This nuclear membrane has the nuclear envelope, which has several nuclear pores, which offers selective permeability to and from the nucleus and the cytoplasm. The nucleus is also linked to the site for protein synthesis, i.e the endoplasmic reticulum by a network of microfilaments and microtubules. These tubules extend all over the cell manufacturing elements and molecules depending on the specificity of the cell. Chromosomes: they are also known as the chromatids. They are found in the cell nucleus of almost all cells. They have 6 long strands of DNA which divide into 46 separate molecules which pair up into two, made of 23 molecules per chromosome. To form a functional DNA unit, it is combined with cel proteins to form a compact structure of dense fiber-like strands known as the chromatins. The 6 DNA strands, each wraps around small protein molecules produced by the ER known as Histones. These form the beadlike structures known as nucleosomes. DNA strands have a negative charge which is neutralized by the histones’ positive charge. Unused DNA is folded and stored for future use. Chromatins are classified into two types: Euchromatin: It is the active part of the DNA that is used for RNA transcription producing cellular protein for cell growth and functioning. Heterochromatin: it is the inactive part of DNA that has the compressed and condensed DNA that is not in use. During Chromatin formation, the chromatins change into other forms of the nucleus during cell division. Throughout the life of a cell, chromatin fibers take on different forms inside the nucleus. During the interphase stage of cell division, the euchromatin is expressed to start transcription. Into the metaphase stage, the chromatins divide making its own copies during replication exposing the chromatins more to form more specialized structures known as chromosomes. These chromosomes then divide and separate, forming two new complete cells, with their own genetic information. Nucleolus It is a sub-organelle in the cell nucleus, which lacks a membrane. Its primary function is to synthesize the cell ribosomes, the organelles used to produce cellular proteins. The cell has about 4 nucleoli. The nucleolus is formed when chromosomes are brought together, just before cell division is initiated. The nucleolus disappears from during cell division. The nucleolus is linked to cell aging which affects the aging of living things. Nuclear Envelope Its made up of two membranes separated from each other by perinuclear space. the space links into the endoplasmic reticulum. With its perforated wall, it regulates the molecules that enter and leave the nucleus into and out of the cytoplasm respectively. The inner membrane has a lining of proteins known as nuclear lamina, binding chromatins, and other nuclear elements. The envelope disintegrates and disappears during cell division. Nuclear Pores They are perforate the cell envelope and their function is to regulate the passage of cellular molecules such as proteins, histones through into and out of the nucleus and the cytoplasm respectively. They also allow DNA and RNA into the nucleus, providing energy for making up the genetic materials. Peroxisomes Peroxisomes are highly dynamic tiny structures that have a single membrane containing enzymes responsible for the production of hydrogen peroxide. They play major roles in primary and secondary metabolisms, responding to abiotic and biotic stress in regulating photorespiration and cell development. Structure of the peroxisomes Peroxisomes are small with a diameter of 0.1-1 µm diameter. It is made up of compartments having a granulated matrix. They also have a single membrane layer. They are found in the cytoplasm of a cell. The compartments assist in various metabolic processes of the cell to help sustain the cellular activities within the cell. Functions of the peroxisomes Production and degradation of hydrogen peroxide oxidation and metabolism of fatty acids Metabolizing carbon elements Photorespiration and absorption of Nitrogen for specific functions of the plant. Providing defense mechanisms against pathogens. Lysosomes in plant cells? The presence of lysosomes in plants has been long debated over with little evidence on their structural presence. In plants, Its believed that lysosomes partially differentiate into vacuoles and partially into the Golgi bodies, which perform the functions stipulated for lysosomes in plants. Unlike in animals where lysosomes distinctively posses hydrolytic enzymes and digestive enzymes, for breaking down toxic materials and removing them from the cell and digestion of proteins respectively, in plants these enzymes combined are found in the vacuoles and the Golgi bodies. The partial differentiation has been liked to the multiprocess that contribute to the formation of Golgi bodies from the endoplasmic reticulum, whereby, there is a short phase of lysosomal exudation just before Golgi bodies are fully formed. References Plant peroxisomes by Mano S., Nishimura M. nature.com/scitable/topicpage/plant-cells-chloroplasts-and-cell-walls-14053956/ About Author Faith Mokobi Faith Mokobi is a passionate scientist and graduate student currently pursuing her Ph.D. in Nanoengineering (Synthetic Biology specialization) from Joint School of Nanoscience and Nanoengineering, North Carolina A and T State University, North Carolina, USA. She has a background in Immunology and Microbiology (MSc./BSc.). With extensive higher education teaching and research experience in Biomedical studies, metagenomic studies, and drug resistance, Faith is currently integrating her Biomedical experience in nanotechnology and cancer theranostics. 17 thoughts on “Plant Cell: Structure, Parts, Functions, Labeled Diagram” Thanks for work it has helped me in my research Reply Well researched and simplified notes Reply 2. Hello this was very useful for my bio assignment. I used these illustrations and some information. Hope it is okay. Thank you so much. This helped me a lot. 🙂 Reply Hello, this was very useful for my bio assignment. I used these illustrations and some information . I hope it is okay with you. Thanks for your kind gesture. Reply 3. This is very useful, thank you. I can use this for my class Reply 4. Sagar, I hope it is alright if I use some of your marvelous illustrations in my biology course. I will cite these in my presentation. John W. Reply Hi John,Sure you can use the illustrations for the biology course and presentations.Thanks,– Sagar Reply 5. Hi Sagar!I found this very useful. Can I use this for my class? Thank you aand more power. Reply Hello, thank you so much. You can use this for your class. Reply 6. Hi Sagar,Thank you and sorry for delay in reply. Okay I will stick to using only 5 figures. And I will include “created with biorender”. and other citations.Thanks a lot Arit Reply 7. Nice and very detailed article… Reply Nice Reply 8. Hi, please can you tell me what are the conditions for using the plant cell images here. Who do I need to contact? I am seeking permission to use the images here in a textbook I am writing. Thank you. Reply Hello, sure you can use the image with citations and references.If you need further information, you can email me at microbenotes@gmail.com Thank you, Sagar Reply Thank you very much Sagar. I will use the images with citations and references. I did not mention in the previous mail that the textbook will be commercial. Just thinking you should know that. Thanks again Arit Reply Sure, no problem with that the textbook will be commercial, but biorender let me use only 5 figures for textbooks. How many figures are you using?And you need to add a text somewhere, “created with biorender” in the figure with citations.All the best for your textbook. Hope to read it soon.Sagar, Reply - hope to read it soon Reply Leave a Comment Cancel reply
8037	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2024_AIME_I_Problems/Problem_15?srsltid=AfmBOooXJkMuAQqVOnX7BKom4jJBuMrSkx8x43fjTtb7fnDE2lsssCqp	Art of Problem Solving 2024 AIME I Problems/Problem 15 - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. 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Let be the radius of the smallest sphere that can contain each of the rectangular boxes that are elements of . The value of can be written as , where and are relatively prime positive integers. Find . Solution 1 Observe that the "worst" possible box is one of the maximum possible length. By symmetry, the height and the width are the same in this antioptimal box. (If the height and width weren't the same, the extra difference between them could be used to make the length longer.) Thus, let the width and height be of length and the length be . We're given that the volume is ; thus, . We're also given that the surface area is ; thus, . From the first equation, we can get . We do a bunch of algebra: L=23 a 2 27=a 2+2 a L=a 2+2 a(23 a 2)=a 2+46 a 27 a=a 3+46 a 3−27 a+46=0. We can use the Rational Root Theorem and test a few values. It turns out that works. We use synthetic division to divide by : As we expect, the remainder is , and we are left with the polynomial . We can now simply use the quadratic formula and find that the remaining roots are . We want the smallest to maximize , and it turns out that is in fact the smallest root. Thus, we let . Substituting this into , we find that . However, this is not our answer! This is simply the length of the box; we want the radius of the sphere enclosing it. We know that the diameter of the sphere is the diagonal of the box, and the 3D Pythagorean Theorem can give us the space diagonal. Applying it, we find that the diagonal has length . This is the diameter; we halve it to find the radius, . We then square this and end up with , giving us an answer of . ~Technodoggo Solution 2 (constrained optimization with Lagrangian multiplier) Denote by , , the length, width, and height of a rectangular box. We have x y+y z+z x=27(1)x y z=23(2) We have 4 r 2=x 2+y 2+z 2=(x+y+z)2−2⋅(x y+y z+z x)=(x+y+z)2−54. Therefore, we solve the following constrained optimization problem: max x,y,z x+y+z subject to(1),(2) First, we prove that an optimal solution must have at least two out of , , that are the same. Denote by and lagrangian multipliers of constraints (1) and (2), respectively. Consider the following Lagrangian: max x,y,z,λ,η x+y+z+λ(x y+y z+z x−27)+η(x y z−23). Taking first-order-condition with respect to , , , respectively, we get 1+λ(y+z)+η y z=0(3)1+λ(z+x)+η z x=0(4)1+λ(x+y)+η x y=0(5) Suppose there is an optimal solution with , , that are all distinct. Taking , we get Because , we have Analogously, we have λ+η x=0(7) Taking , we get . Because , we have . Plugging this into (6), we get . However, the solution that is a contradiction with (3). Therefore, in an optimal solution, we cannot have , , and to be all distinct. W.L.O.G, in our remaining analysis, we assume an optimal solution satisfies . Therefore, we need to solve the following two-variable optimization problem: max x,y x+2 y subject to 2 x y+y 2=27 x y 2=23 Replacing with by using the constraint , we solve the following single-variable optimization problem: max y 23 y 2+2 y(8)subject to 46 y+y 2=27(9) By solving (9), we get and . Plugging into (8), we get . Plugging into (8), we get . We have . Therefore, the maximum value of is . Therefore, r 2=1 4((x+y+z)2−54)=1 4((39 4)2−54)=657 64. Therefore, the answer is . ~Steven Chen (Professor Chen Education Palace, www.professorchenedu.com) Solution 3 (Vieta's Formula and Rational Root Theroem) First, let's list the conditions: Denote by , , the length, width, and height of a rectangular box. 2(l w+w h+h l)=54 l w+w h+h l=27. Applying the Pythagorean theorem, we can establish that (2 r)2=(l 2+w 2+h 2)4 r 2=(l 2+w 2+h 2)4 r 2=(l+w+h)2−2(l w+w h+h l)4 r 2=(l+w+h)2−54. We can spot Vieta's formula hidden inside this equation and call this . Now we have three equations: Let there be a cubic equation. . Its roots are , and . We can use our formulas from before to derive and . We can now rewrite the equation from before: To find the maximum we need the maximum . This only occurs when this equation has double roots illustrated with graph below. WLOG we can set . Thus: We can substitute and form a depressed cubic equation with . l w 2=23 l=23 w 2 2(23 w 2)w+w 2=27 46 w+w 2=27 w 2+46 w−27=0 w 3−27 w+46=0. Based on Rational Root Theorem the possible rational roots are A quick test reveals that is a root of the equation. Comparing coefficients we can factorize the equation into: Besides , we derive another positive root using the quadratic formula, But to maximize the we need to pick the smaller , which is . Substituting this into , we find that . Applying it to our equation above: 4 r 2=(l+w+h)2−54 4 r 2=(l+2 w)2−54 4 r 2=(23 4+2⋅2)2−54 4 r 2=(39 4)2−54 4 r 2=(1521 16)−54 4 r 2=(657 16)r 2=(657 64).. ~luckuso Solution 3a (Derivative) to find the maximum m for rewrite as function of and calculate derivatives to get maximum value, when , the rest is similar to solution 3 ~luckuso Solution 4 This question looks complex, but once converted into a number theory problem, it becomes elementary. We know, if the dimensions are taken to be numbers in the form of coprime numbers p/q,q/r, and r, it is immediately obvious that p=23. And solving we get: We know length cannot be -ve, in this case, therefore, q=4. And, again, we see: giving rise to r=2. For a cuboid inside a circle, we know:the radius is half its diagonal or, can we not say, or here, so here, ~Grammaticus Solution 5 This problem essentially boils down to maximizing the value of (where , , and denote the dimensions of the box) given and . After doing so, we can calculate using (as in Solution 2). We can turn into an expression in terms of only and use the method of critical points. Since , we have and thus . Isolating , we find , soWe have turned into an equation in , using all conditions the problem has given us. We proceed with calculus. The maximum value of this function in is one of the critical points of this function, which can be calculated by equating the function's derivative with . Using the power rule, the derivative of is . Equating to zero, we getThe roots of this can be found using the rational root theorem, yielding or . Don't forget -- must be positive, so the only possible candidates of to maximize are and . Plugging both of them into , we find yields a greater result, . Thus, the maximum value of is . Therefore, the value of is ~Mathkiddie Solution 6 (If you don't notice that two of the side lengths have to be equal) From the previous solutions we can see that we have to maximize in the expression such that has real and positive roots since the roots correspond to the side lengths of the rectangle. To do this we can use synthetic division to divide this expression by for some arbitrary root to try and see how relates to the roots. After doing synthetic division, we get Since we defined r to be a root of the expression, it must divide into it with no remainder, meaning that or We can now substitute this value into to get . Multiplying everything by yields . We now have to find the maximum value of for which this expression has 2 roots, since strictly increases with from our previous expression of To do this, we can find the discriminant of and find the maximum value of for which it is positive. The discriminant of this expression is , and after using the rational root theorem we can find as a root. The remaining expression is . We can quickly see using the quadratic formula that is the largest root, meaning that is the largest value that a root of can have for which has positive, real solutions. From here, we can substitute this value back into the expression for , giving us . The length of the radius squared is and ~Lapcas Video Solution 1 by OmegaLearn.org (super short) Video Solution 2 (constrained optimization with Lagrangian multiplier) ~Steven Chen (Professor Chen Education Palace, www.professorchenedu.com) Video Solution 3 by Kaguya Shinomiya (thorough analysis) ~Bloggish See also 2024 AIME I (Problems • Answer Key • Resources) Preceded by Problem 14Followed by Last Problem 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11•12•13•14•15 All AIME Problems and Solutions These problems are copyrighted © by the Mathematical Association of America, as part of the American Mathematics Competitions. 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Number and operations 5.4: Algebraic reasoning 5.5: Geometry and measurement 5.6: Geometry and measurement 5.7: Geometry and measurement 5.8: Geometry and measurement 5.9: Data analysis 5.10: Personal financial literacy Grade 6 6.2: Number and operations 6.3: Number and operations 6.4: Proportionality 6.5: Proportionality 6.6: Expressions, equations, and relationships 6.7: Expressions, equations, and relationships 6.8: Expressions, equations, and relationships 6.9: Expressions, equations, and relationships 6.10: Expressions, equations, and relationships 6.11: Measurement and data 6.12: Measurement and data 6.13: Measurement and data 6.14: Personal financial literacy Grade 7 7.2: Numbers and operations 7.3: Number and operations 7.4: Proportionality 7.5: Proportionality 7.6: Proportionality 7.7: Expressions, equations, and relationships 7.8: Expressions, equations, and relationships 7.9: Expressions, equations, and relationships 7.10: Expressions, equations, and relationships 7.11: Expressions, equations, and relationships 7.12: Measurement and data 7.13: Personal financial literacy Grade 8 8.2: Number and operations 8.3: Proportionality 8.4: Proportionality 8.5: Proportionality 8.6: Expressions, equations, and relationships 8.7: Expressions, equations, and relationships 8.8: Expressions, equations, and relationships 8.9: Expressions, equations, and relationships 8.10: Two-dimensional shapes 8.11: Measurement and data 8.12: Personal financial literacy Algebra I A.2: Linear functions, equations, and inequalities A.3: Linear functions, equations, and inequalities A.4: Linear functions, equations, and inequalities A.5: Linear functions, equations, and inequalities A.6: Quadratic functions and equations A.7: Quadratic functions and equations A.8: Quadratic functions and equations A.9: Exponential functions and equations A.10: Number and algebraic methods A.11: Number and algebraic methods A.12: Number and algebraic methods Algebra II A2.2: Attributes of functions and their inverses A2.3: Systems of equations and inequalities A2.4: Quadratic and square root functions, equations, and inequalities A2.5: Exponential and logarithmic functions and equations A2.6: Cubic, cube root, absolute value and rational functions, equations, and inequalities A2.7: Number and algebraic methods A2.8: Data Geometry G.2: Coordinate and transformational geometry G.3: Coordinate and transformational geometry G.4: Logical argument and constructions G.5: Logical argument and constructions G.6: Proof and congruence G.7: Similarity, proof, and trigonometry G.8: Similarity, proof, and trigonometry G.9: Similarity, proof, and trigonometry G.10: Two-dimensional and three-dimensional figures G.11: Two-dimensional and three-dimensional figures G.12: Circles G.13: Probability Precalculus PC.2: Functions PC.3: Relations and geometric reasoning PC.4: Number and measure PC.5: Algebraic reasoning Mathematical Models with Applications MMA.2: Mathematical modeling in personal finance MMA.3: Mathematical modeling in personal finance MMA.4: Mathematical modeling in personal finance MMA.5: Mathematical modeling in science and engineering MMA.6: Mathematical modeling in science and engineering MMA.7: Mathematical modeling in fine arts MMA.8: Mathematical modeling in social sciences MMA.9: Mathematical modeling in social sciences MMA.10: Mathematical modeling in social sciences Advanced Quantitative Reasoning AQR.2: Numeric reasoning AQR.3: Algebraic reasoning (expressions, equations, and generalized relationships) AQR.4: Probabilistic and statistical reasoning Discrete Mathematics for Problem Solving DM.2: Graph theory DM.3: Planning and scheduling DM.4: Group decision making DM.5: Fair division DM.6: Game (or competition) theory DM.7: Theory of moves Algebraic Reasoning AR.2: Patterns and structure AR.3: Patterns and structure AR.4: Number and algebraic methods AR.5: Number and algebraic methods AR.6: Number and algebraic methods AR.7: Modeling from data Texas Math Geometry: Similarity, proof, and trigonometry. The student uses the process skills with deductive reasoning to prove and apply theorems by using a variety of methods such as coordinate, transformational, and axiomatic and formats such as two-column, paragraph, and flow chart. G.8A Prove theorems about similar triangles, including the Triangle Proportionality theorem, and apply these theorems to solve problems. Angle-angle triangle similarity criterion Applying similar triangles Applying the triangle proportionality theorem Determining similar triangles Exploring medial triangles Intro to angle bisector theorem Proof: Parallel lines divide triangle sides proportionally Prove theorems using similarity Prove triangle similarity Similar triangles word problems Solve similar right triangles Solve triangles: angle bisector theorem Use similar triangles Using the angle bisector theorem G.8B Identify and apply the relationships that exist when an altitude is drawn to the hypotenuse of a right triangle, including the geometric mean, to solve problems. Solve similar right triangles Our mission is to provide a free, world-class education to anyone, anywhere. Khan Academy is a 501(c)(3) nonprofit organization. Donate or volunteer today! 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8039	https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC10391416/	An official website of the United States government Official websites use .gov A .gov website belongs to an official government organization in the United States. Secure .gov websites use HTTPS A lock ( Lock Locked padlock icon ) or https:// means you've safely connected to the .gov website. Share sensitive information only on official, secure websites. Primary site navigation Logged in as: PERMALINK The 20/20/20 rule: Practicing pattern and associations with asthenopic symptoms Sourav Datta Shivalika Sehgal Bidisha Bhattacharya Prem Nandhini Satgunam Correspondence to: Dr. PremNandhini Satgunam, L V Prasad Eye Institute, Road #2, Banjara Hills, L V Prasad Marg, Hyderabad, Telangana - 500 034, India. E-mail: premnandhini@lvpei.org Received 2022 Aug 18; Revised 2022 Dec 29; Accepted 2023 Jan 23; Issue date 2023 May. This is an open access journal, and articles are distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 License, which allows others to remix, tweak, and build upon the work non-commercially, as long as appropriate credit is given and the new creations are licensed under the identical terms. Abstract Purpose: The present work style and lifestyle have increased the digital device use. Therefore, an increase in digital eyestrain is to be expected. We undertook a survey during coronavirus disease 2019 (COVID-19) pandemic to investigate the practice of 20/20/20 rule and its association with digital device use and asthenopic symptoms. While this rule is commonly advised, little is known about its validity. Methods: An online survey form was disseminated through social media and emails. The questions for eye-related symptoms were similar to the convergence insufficiency symptom survey (CISS). Participants with age ≥5 years were included, with parents completing the survey for children (≤16 years). Results: A total of 432 participants (mean ± standard deviation [SD]: 26.06 ± 13.92 years) were enrolled, of which 125 responses were for children. The 20/20/20 rule was practiced only by 34% of the participants either regularly (n = 38) or occasionally (n = 109). Those who had complaints of burning sensation and headache tended to practice this rule. Among adult participants, more females (47%) practiced this rule when compared to males (23%). Also, adult females significantly (P = 0.04) had more symptoms score when compared to males. In children, no such gender difference was found. Conclusion: Only one-third of participants practice the 20/20/20 rule at least occasionally. More number of adult females being symptomatic and practicing in greater number could be due to higher prevalence of dry eye condition in females. While the symptom of burning sensation could be related to dry eye, that of headache could be related to refractive error or binocular vision dysfunctions. Keywords: 20-20-20 rule, computer vision syndrome, COVID-19 pandemic, digital eye strain It is now widely accepted that the coronavirus disease 2019 (COVID-19) pandemic has increased the use of digital technologies to minimize in-person interactions. Work and study from home still continues in many parts of the world.[1-4] The convenience of connecting with people in different geographic locations has also promoted the increased use of digital platforms, in spite of travel being less restrictive. Hybrid models of both online and offline meetings, conferences, and classrooms are also increasingly becoming popular. Additionally, health-care services have also increasingly adapted to the digital technology. Now both practitioners and patients are willing to up take telemedicine services, including teleophthalmology.[5-7] This trend would also increase the digital screen time for all stakeholders. This altered work style and lifestyle has become the new normal going forward. While this increased digitization is present on one hand, excessive use of digital devices is known to have an increased risk of digital eyestrain on the other end.[8-10] Such a risk has been confirmed with recent studies that have reported increased eyestrain during this COVID-19 pandemic.[11,12] The 20/20/20 rule is recommended to reduce symptoms of eye fatigue and eyestrain, particularly for digital device users. The rule suggests taking 20-s break to view objects 20 ft away after 20 min of screen use. For someone working for 8 h on a computer, this would translate to taking a break for 24 times, and overall spending only 8 min of total time to gaze far away. Many eye care practitioners commonly recommend this rule as a clinical advice. This rule also appears in news articles, blogs and health articles on social media, web pages, and in few research articles.[13-16] However, the evidence for the effectiveness of this 20/20/20 rule does not appear to be well established. As a first step, we aimed to investigate how many people practice this rule and if there was any association between their asthenopic symptoms and the practice of the 20/20/20 rule. As a part of a larger study, we undertook a survey to investigate this question and gauge the interest of the public to utilize the teleophthalmology services. The results of the latter have already been published. In this paper, we report on the 20/20/20 rule and its associations. Methods A prospective survey was conducted during the COVID-19 pandemic period from October 2020 to January 2021. The survey conducted was in accordance with the Declaration of Helsinki and was approved by the Institutional Review Board. The survey was designed on Google forms and administered through social media platforms. The survey consisted of three sections: (i) demographic details that only included age, gender, country, and state (if from India), (ii) digital device use and practice of 20/20/20 rule and (iii) symptoms questionnaire. No other personal information that can identify the individual was collected. Before recruitment, participants were given an overview that informed about the purpose, length, and anonymity of the survey. Participants with children were encouraged to answer for their child (≤16 years) and also for themselves in separate forms (i.e., to take the survey more than once). Only those who indicated consent (online consent) to participate in the study were auto directed to the survey form. There were no specific inclusion or exclusion criteria for the survey, except that children should be 5 years or older and up to 16 years of age. Those above 16 years of age were asked to directly fill the forms. Survey The survey development is summarized in an earlier study. Briefly, the survey was developed from previous literature and with a closed group discussion amidst optometrists within the institute. A single survey form was developed for both children and adults. The symptoms questionnaire was developed based on convergence insufficiency symptom survey (CISS) and its scoring scale. The survey had 13 questions pertaining to symptoms with five options (never, not very often, sometimes, fairly often, and always) on a Likert scale. The survey questions are given in the supplementary file. The link to survey questionnaire (Google form) was circulated through emails and social media platforms like WhatsApp and Facebook. Participants were further encouraged to forward the survey link to their social circle (snowball or chain referral sampling technique). Participants who did not provide online consent and those with missing data were excluded. A reminder was sent two times (at 4 weeks interval) via the same media of communication. In the online survey, participants could not alter responses after submitting the questionnaire. Data analysis The collected responses were exported into Microsoft Excel sheet. Descriptive statistical data analysis was performed using Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) version 20.0 (IBM, SPSS). The symptoms were scored (ranging from never = 0 to always = 4) and added up. The least total score obtainable was 0 and the maximum was 52. A descriptive analysis of all the explanatory and outcome parameters was performed. All the recorded categorical variables were presented in frequencies and percentages. The Pearson Chi-square test was used for associations. P-values ≤ 0.05 were considered significant. Likert scores can be subjected to parametric tests. Hence, independent t-test was used to compare the symptoms scores between children and adults and between males and females. Results Demographics A total of 435 participants viewed the online survey link and 432 participants consented for participation. The mean age ± standard deviation (SD) of the 432 participants was 26.06 ± 13.92 years. Out of the 432 participants, 53% (n = 230) were females and 71% (n = 307) were adults (>16 years). A small percentage 9% (n = 39) of participants were from outside of India. Within India, 51% of the participants were from the southern states of India and the remaining were spread across the rest of the states. Most participants either had a spectacle correction (50%, n = 218) or did not use any refractive correction (45%, n = 195). The remaining few participants either used both spectacles and contact lenses (3%, n = 11) or only contact lenses (1%, n = 4) or had a history of refractive surgery (1%, n = 4). 20/20/20 rule Only a small proportion (8.8%, n = 38) of participants reported practicing the 20/20/20 rule. Majority (66%, n = 285) of the participants either did not know the rule or did not practice it. The remaining participants (25.2%, n = 109) reported occasionally practicing this rule. For the purpose of further analysis to look at associations, the participants were divided into two broad groups: “practicing” and “nonpracticing” groups. The practicing group comprised those who reported “yes” or “occasionally” practicing the rule (n = 147). The overall symptoms score was not significantly different (independent t-test, t = 0.63, degrees of freedom [df] = 430, P = 0.53) between the nonpracticing (10.3 ± 8.2) and practicing (mean ± SD = 10.8 ± 8.1) groups. However, with regards to individual symptoms, a significant difference was obtained between those who complained of “burning sensation” (t = 2.58, df = 430, P = 0.01) and “headache” (t = 2.3, df = 430, P = 0.03). The percentage of participants complaining of having these symptoms was higher in the practicing group than in the nonpracticing group [Fig. 1]. There was no significant difference (P > 0.07) for the remaining symptoms between these two groups. Figure 1. Pie chart showing the percentage of participants having symptoms of (a) burning sensation and (b) headache in the practicing and nonpracticing groups. The percentages shown in the part figures are grouped into two: one for those with “never” and “not very often” presentation and the other for the remaining frequencies of presentation of the symptoms Upon sub-analysis, no association was found with age, that is, those practicing or nonpracticing was comparable between children and adults (Pearson Chi-square = 0.63, P = 0.43). However, a significant association (Pearson Chi-square = 19.6, P < 0.001) was found between gender and the two groups (practicing and nonpracticing), with a greater number of females practicing the rule. Further, such a gender disparity was not present in children, but was present only in adults [Fig. 2]. Figure 2. Age and gender distribution of those practicing the 20/20/20 rule and those who do not There was no significant difference in the hours of electronic gadgets use between the practicing and nonpracticing groups (one-way analysis of variance [ANOVA], P = 0.23). Out of the 432 participants, only six participants (n = 6, 1%) used electronic gadgets for less than 1 h in a day. Most participants used electronic gadgets between 4 and 8 h (37%) or for more than 8 h (33%). Symptoms score The results of the survey indicated that “tiredness of eyes,” “eye strain/pain,” and “headache” were the top three symptoms reported by the participants, followed by “burning sensation.” The frequency of distribution for all the symptoms in both children and adults is given in Table 1. The additive score was calculated from the 13 symptom-based questions for each participant. The mean symptom score ±SD of all the participants was 10.4 ± 8.1. Overall, males (mean ±SD: 10 ± 8.2) and females (10.8 ± 8.1) had comparable score (t = 1.08, P = 0.28). Children had significantly (t = 5.07, P < 0.001) lower score (7.4 ± 6.3) when compared to adults (11.7 ± 8.5). Among adults, females significantly (t = 2.07, P = 0.04) had more symptoms (12.7 ± 8.2) when compared to adult males (10.7 ± 8.7). Those not having any refractive correction significantly had lower symptoms when compared to those who have or had refractive correction (9.6 vs. 11.2, t = 2.04, P = 0.04). Table 1. Frequency distribution of the 13 symptoms in adults and children Symptoms \| Adults (%) \| Children (%) Tiredness \| 81.8 \| 72.8 Eye strain/pain \| 70.7 \| 56.8 Headache \| 68.7 \| 59.2 Burning sensation \| 63.8 \| 48 Loose concentration \| 60.9 \| 42.4 Watering \| 57.7 \| 44.8 Re-reading the same line or words \| 55.7 \| 38.4 Blurred vision \| 50.2 \| 36 Difficulty in focusing while shifting view \| 49.8 \| 30.4 Pulling sensation \| 43.3 \| 22.4 Nausea \| 32.3 \| 21.6 Jumping or floating of words on the page \| 27.4 \| 14.4 Double vision \| 25.1 \| 16.8 Discussion This survey study showed that about one-third of participants were aware of the 20/20/20 rule and practiced it at least occasionally. It was also observed that those who are symptomatic, particularly those who have burning sensation and headache [Fig. 1], are the ones who are practicing this rule. The other most common symptoms included tiredness and eye strain/pain. All these symptoms were very similar to the results of previous studies that have investigated digital eyestrain.[11,20,21] Some of these symptoms could have resulted from dry eye as well, particularly the burning sensation. In a study that educated participants to practice the 20/20/20 rule, dry eye symptoms were found to be reduced, along with an improvement in the tear breakup time value. Those participants who have headache and thus taking frequent breaks could perhaps have binocular vision dysfunctions of accommodation or vergence or both. Such an association has been described before. While in general, the symptoms scores were comparable whether the 20/20/20 rule was practiced or not, a strong gender predisposition was observed in this study, particularly for adults [Fig. 2]. Among the adult participants, significantly more females (47%) were practicing the 20/20/20 rule when compared to males (23%). Interestingly, this group (females) also had significantly more symptoms when compared to males. As a consequence of this, more females could have been more compliant to practice the 20/20/20 rule. The gender difference showing up only in adults and not in children could be indicative of hormonal differences after puberty pertaining to dry eye symptoms being more common in females than males.[23-26] Taken together, it appears that only those who are symptomatic practice this rule more commonly. Reduction of symptoms (or not) after practicing this rule still needs further investigation. Earlier studies have shown increased symptoms during the COVID-19 time period, when compared to pre-COVID time period.[27-31] As our survey did not compare the pre- and post-COVID symptoms, it will be difficult to comment on this trend. Majority of the participants (70%) used their digital devices for 4 h or more in this study. The time spent on digital devices is comparable with the earlier findings observed during the COVID-19 lockdown, which ranged from 4 to 9 h per day.[11,20,31] Another study on digital eye strain reported the maximum hours spent on digital device to be 10 h/day, and in our study, one-third of individuals were spending more than 8 h with the digital devices. We also observed that adults spend more time on digital devices compared to children. This could be due to the restricted online class duration for children, whereas the work hours for adults have no such restrictions. Children were also found to be having significantly low overall symptom score than adults (P < 0.001). It is unclear if the lower symptom score resulted from less time spent on the digital device, or if it was due to better binocular vision parameters (e.g., higher accommodative amplitude) in children, or simply because children may not observe and report symptoms as much as adults would. There are some limitations in this study. First of all, caution needs to be applied when generalizing this study results to a larger population. Given that the survey originated and was disseminated from an eye institute, it is possible that the numbers particularly for practicing the 20/20/20 rule could be on the higher side than what can be found in the general population. Additionally, it is also not strictly documented how the 20/20/20 rule is practiced. A person may take breaks while working on digital devices, but whether they do it after every 20 min can be questionable. No clinical measurements were performed in real time in this study; therefore, the asthenopic symptoms reported cannot be fully attributed or correlated to the digital device use alone. Any underlying visual problems such as uncorrected, undercorrected, or overcorrected refractive error may also have contributed to these symptoms.[32-34] Even though a larger group of individuals can be reached through the Internet, the number of participants (sample size) was less in this study. This might be due to many online questionnaires and studies being circulated during the COVID-19 lockdown period, resulting in a possible fatigue or aversion for participation in such studies. Another important limitation is that the study used a questionnaire based on CISS that was originally developed for detecting convergence insufficiency and not for digital eyestrain. Few studies have found CISS to be less sensitive for detecting convergence insufficiency as well.[35,36] Hence, it is possible that the symptom score that was collected in this survey may not be very sensitive or specific for asthenopic symptoms due to digital device use. Nevertheless, the symptoms scores still showed some correlation to gender differences, which is in agreement to the existing literature. Conclusion In conclusion, only very few participants were found to be regularly practicing the 20/20/20 rule, even though majority of them are using their digital device for longer hours. The preliminary evidence from this survey shows that the symptoms scores are comparable between those who do not and do practice the 20/20/20 rule. Those who practice the 20/20/20 rule seem to do so due to symptoms of burning sensation and headache. Systematic studies will be required to evaluate how the rule is practiced and investigate the effectiveness of practicing the 20/20/20 rule, particularly in those who have binocular vision dysfunction. Future studies can also be planned to look at the correlation of the symptoms score with the measured binocular vision parameters. Financial support and sponsorship Hyderabad Eye Research Foundation. Conflicts of interest There are no conflicts of interest. References Articles from Indian Journal of Ophthalmology are provided here courtesy of Wolters Kluwer -- Medknow Publications ACTIONS PERMALINK RESOURCES Similar articles Cited by other articles Links to NCBI Databases Cite Add to Collections Connect with NLM National Library of Medicine 8600 Rockville Pike Bethesda, MD 20894
8040	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Cauchy-Schwarz_Inequality?srsltid=AfmBOoqLUjxFf7URoXQgkxORTUZGb_jXP20QUM1aY7AKZJBAdzfQX6E-	Art of Problem Solving Cauchy-Schwarz Inequality - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. 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In high-school competitions, its applications are limited to elementary and linear algebra. Its elementary algebraic formulation is often referred to as Cauchy's Inequality and states that for any list of reals and , with equality if and only if there exists a constant such that for all , or if one list consists of only zeroes. Along with the AM-GM Inequality, Cauchy-Schwarz forms the foundation for inequality problems in intermediate and olympiad competitions. It is particularly crucial in proof-based contests. Its vector formulation states that for any vectors and in , where is the dot product of and and is the norm of , with equality if and only if there exists a scalar such that , or if one of the vectors is zero. This formulation comes in handy in linear algebra problems at intermediate and olympiad problems. The full Cauchy-Schwarz Inequality is written in terms of abstract vector spaces. Under this formulation, the elementary algebraic, linear algebraic, and calculus formulations are different cases of the general inequality. Contents [hide] 1 Proofs 2 Lemmas 2.1 Complex Form 2.2 A Useful Inequality 3 Real Vector Spaces 3.1 Proof 1 3.2 Proof 2 3.3 Proof 3 4 Complex Vector Spaces 4.1 Proof 5 Problems 5.1 Introductory 5.2 Intermediate 5.3 Olympiad 6 Other Resources 6.1 Books Proofs Here is a list of proofs of Cauchy-Schwarz. Consider the vectors and . If is the angle formed by and , then the left-hand side of the inequality is equal to the square of the dot product of and , or .The right hand side of the inequality is equal to . The inequality then follows from , with equality when one of is a multiple of the other, as desired. Lemmas Complex Form The inequality sometimes appears in the following form. Let and be complex numbers. Then This appears to be more powerful, but it follows from A Useful Inequality Also known as Sedrakyan's Inequality, Bergström's Inequality, Engel's Form or Titu's Lemma the following inequality is a direct result of Cauchy-Schwarz inequality: For any real numbers and where the following is true: Real Vector Spaces Let be a vector space, and let be an inner product. Then for any , with equality if and only if there exist constants not both zero such that . The following proofs assume the inner product to be real-valued and commutative, and so only apply to vector spaces over the real numbers. Proof 1 Consider the polynomial of This must always be greater than or equal to zero, so it must have a non-positive discriminant, i.e., must be less than or equal to , with equality when or when there exists some scalar such that , as desired. Proof 2 We consider Since this is always greater than or equal to zero, we have Now, if either or is equal to , then . Otherwise, we may normalize so that , and we have with equality when and may be scaled to each other, as desired. Proof 3 Consider for some scalar . Then: (by the Trivial Inequality) . Now, let . Then, we have: . Complex Vector Spaces For any two vectors in the complex vector space , the following holds: with equality holding only when are linearly dependent. Proof The following proof, a geometric argument that uses only the algebraic properties of the inner product, was discovered by Tarung Bhimnathwala in 2021. Define the unit vectors , as and . Put . In other words, is the complex argument of and lies on the unit circle. If any of the denominators are zero, the entire result follows trivially. Let and . Importantly, we have Since and , this calculation shows that and form an orthogonal basis of the linear subspace spanned by and . Thus we can think of and as lying on the unit sphere in this subspace, which is isomorphic to . Another thing to note is that The previous two calculations established that and are orthogonal, and that the sum of their squared norms is . Now we have Equality holds when either or , or equivalently when and . Lastly, multiplying each side by , we have Problems Introductory Consider the function , where is a positive integer. Show that . (Source) (APMO 1991 #3) Let , , , , , , , be positive real numbers such that . Show that Intermediate Let be a triangle such that where and denote its semiperimeter and inradius, respectively. Prove that triangle is similar to a triangle whose side lengths are all positive integers with no common divisor and determine those integers. (Source) Olympiad is a point inside a given triangle . are the feet of the perpendiculars from to the lines , respectively. Find all for which is least. (Source) Other Resources Wikipedia entry Books The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities by J. Michael Steele. Problem Solving Strategies by Arthur Engel contains significant material on inequalities. Retrieved from " Categories: Algebra Inequalities Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
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Therefore and swap. Obviously swaps with . Thus Problem 2. (Shortlist 2017 G3) Let be the circumcenter of an acute triangle . Line intersects the altitudes of through and at and , respectively. The altitudes meet at . Prove that the circumcenter of triangle lies on a median of triangle . Here we are inspired to conduct a inversion by the fact that the lines and are isogonal in . Because there are many points on , this will map lots of points to . Then it will be enough to show that the circumcentre of lies on the -symmedian of . We know a lot of facts about symmedians, so this doesn't sound so bad. After drawing the inverted diagram, it appears that is the intersection of the tangents at and , which would readily imply the problem. Thus we go about setting to prove this. Solution We start with what is probably a well-known lemma. However, I did not know it before, so I include it for completeness. Lemma. Let be a triangle with circumcircle and circumcentre . Let be a point and consider an inversion with centre . Then the circumcentre of lies on line . Proof. Let meet at and , with closer to . Then is the closest point to on and is the farthest point. Therefore is the farthest point on the from and is the closest point. It follows that segment is a diameter of . Since are collinear, it follows passes through the centre of . Now, we return to the problem. Consider a inversion followed by a reflection about the internal -bisector. Let denote the images of , respectively. Then is the reflection of over . It is well known that and are isogonal. so lies on line . Likewise, lie on . ![Image 92: [asy] / Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki, go to User:Azjps/geogebra / import graph; size(12.cm); real labelscalefactor = 0.5; / changes label-to-point distance / pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); / default pen style / pen dotstyle = black; / point style / real xmin = -48.55044260258849, xmax = 149.2333186865628, ymin = -66.54039948643332, ymax = 38.284993996816915; / image dimensions / pair A = (15.79623916677841,29.0458136571211), B = (8.526604524070596,-14.421294091490706), C = (44.75240369276541,-13.430503003116149), O = (26.122492248998988,4.977347562704367), H = (16.83026288561644,-8.760678562894492), F = (9.67349139815875,-7.563747903600107), P = (28.580081790448865,-0.7508105679754684), Q = (33.19052268301786,-11.496842010316124), X = (27.114187117578364,-31.281496069729013); / draw figures / draw(circle(O, 26.19012338375209), linewidth(0.4)); draw(B--(33.720022718174995,2.753094357387728), linewidth(0.4)); draw(B--A, linewidth(0.4)); draw(A--C, linewidth(0.4)); draw(B--(50.17634834536024,-21.38698461532875), linewidth(0.4)); draw(B--(4.052025889796486,-41.176007524129275), linewidth(0.4)); draw(C--(50.17634834536024,-21.38698461532875), linewidth(0.4)); draw(C--(4.052025889796486,-41.176007524129275), linewidth(0.4)); draw(B--C, linewidth(0.4)); draw((39.41468184190994,-26.004133521501164)--A, linewidth(0.4)); draw(B--(17.20026537488878,-22.288894576914302), linewidth(0.4)); draw((17.20026537488878,-22.288894576914302)--C, linewidth(0.4)); draw(H--O, linewidth(0.4)); draw((4.052025889796486,-41.176007524129275)--(50.17634834536024,-21.38698461532875), linewidth(0.4)); draw(X--C, linewidth(0.4)); draw(X--(17.20026537488878,-22.288894576914302), linewidth(0.4)); draw((17.20026537488878,-22.288894576914302)--(39.41468184190994,-26.004133521501164), linewidth(0.4)); draw((39.41468184190994,-26.004133521501164)--(17.70662172130726,-40.80254849284009), linewidth(0.4)); draw(F--C, linewidth(0.4)); draw(A--(17.70662172130726,-40.80254849284009), linewidth(0.4)); / dots and labels / dot(A,dotstyle); label("$A$", (15.089391176920781,30.257300156257237), NE labelscalefactor); dot(B,dotstyle); label("$B$", (6.596323780386636,-16.047368663202906), NE labelscalefactor); dot(C,dotstyle); label("$C$", (46.385762816204135,-14.185874439305012), NE labelscalefactor); dot(O,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$O$", (26.607386687289004,5.941531856590981), NE labelscalefactor); dot(H,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$H$", (14.973047787927163,-7.437957877675141), NE labelscalefactor); dot((33.720022718174995,2.753094357387728),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$E$", (34.1697069718742,3.73100746571223), NE labelscalefactor); dot(F,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$F$", (7.876101059316439,-6.85624093270705), NE labelscalefactor); dot(P,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$P$", (26.02566974232091,0.008019017916439497), NE labelscalefactor); dot(Q,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$Q$", (33.704333415899725,-10.57922938050284), NE labelscalefactor); dot((50.17634834536024,-21.38698461532875),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$F'$", (49.75972109701907,-24.540436059737054), NE labelscalefactor); dot((4.052025889796486,-41.176007524129275),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$E'$", (3.687739055546176,-43.7370952436841), NE labelscalefactor); dot((39.41468184190994,-26.004133521501164),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$H'$", (40.10321981054874,-28.379767896526463), NE labelscalefactor); dot((17.20026537488878,-22.288894576914302),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$Q'$", (14.274987453965451,-23.609688947788108), NE labelscalefactor); dot((17.70662172130726,-40.80254849284009),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$P'$", (18.11431929075486,-39.89776340689469), NE labelscalefactor); dot(X,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$X$", (26.491043298295384,-33.38253362325206), NE labelscalefactor); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); / end of picture / [/asy]]( Claim 1. The lines and are tangent to the circumcircle of . Proof. It suffices to show that is tangent to the circumcircle of . This is angle chasing. Note that and Thus is tangent to , so after inversion is tangent to . By symmetry, is also tangent. Claim 2. The lines and intersect at the circumcircle of . Proof. Let be the circumcentre of . It suffices to show that are collinear. First, we compute . We have that . Thus On the other hand, since , Thus . Hence are collinear, any by symmetry, are as well. Thus is the intersection of the tangents at and to . It is well known, then, that is a symmedian. By the Lemma, this implies that the circumcentre of lies on the reflection of the -symmedian over the angle-bisector, which is the -median. Problem 3. (Shortlist 2017 G4) In triangle , let be the excircle opposite to . Let and be the points where is tangent to , and , respectively. The circle intersects line at and . Let be the midpoint of . Prove that the circle is tangent to . I don't think that the inversive solution here is that much easier than the synthetic one. However, it is good practice. Here we are motivated to consider a inversion because it will send the -excirle to the -mixtillinear circle, and we know lots of facts about mixtillinear circles. After drawing the inverted diagram, it becomes very obvious what is the desired tangency point: the intersection of line with the -mixtillinear circle. To me at least, this wasn't so obvious in the original problem, so this provides a good starting point. (In retrospect, this also tells us what the tangency point is in the uninverted problem, giving a nice starting point.) ![Image 148: [asy] / Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki, go to User:Azjps/geogebra / import graph; size(10.cm); real labelscalefactor = 0.5; / changes label-to-point distance / pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); / default pen style / pen dotstyle = black; / point style / real xmin = -24.675004523110523, xmax = 102.23696571688134, ymin = -65.06354182182612, ymax = 10.649010287099827; / image dimensions / pair A = (5.573260803947666,6.1355062335215935), B = (-0.9391675925860777,-17.325931717739763), C = (32.18680220822731,-14.885931595293231), T = (5.952388963283264,-4.291851986633188), X = (-11.755937731812969,-15.34405060695942), Y = (6.141654817818161,-9.497328856348181); / draw figures / draw(circle((12.304346830505098,-14.469243103757396), 11.996943598305794), linewidth(0.4)); draw(circle((15.111206545628649,-9.14661699430375), 18.01431928554863), linewidth(0.4)); draw(A--B, linewidth(0.4)); draw(A--C, linewidth(0.4)); draw(A--(7.843265559918663,-56.297611689328264), linewidth(0.4)); draw((-2.614595848596547,-12.357789490849159)--(31.31423777322839,-1.274039375815832), linewidth(0.4)); draw(circle((21.842292411067163,-29.751366294175014), 30.01126284178778), linewidth(0.4)); draw(T--X, linewidth(0.4)); draw((-2.614595848596547,-12.357789490849159)--X, linewidth(0.4)); draw((6.708263181933154,-25.081052727903344)--X, linewidth(0.4)); / dots and labels / dot(A,dotstyle); label("$A$", (5.140615882586197,6.737339971483676), NE labelscalefactor); dot(B,dotstyle); label("$B$", (-2.7696507556598706,-17.601941992350156), NE labelscalefactor); dot(C,dotstyle); label("$C$", (32.52230809189951,-14.037975704788773), NE labelscalefactor); dot((0.7444877746504073,-11.260456057270092),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$E'$", (-0.7703525943449303,-11.169417473336928), NE labelscalefactor); dot((19.74052622126714,-5.054898104271974),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$F'$", (20.091889088941404,-4.3891889262689325), NE labelscalefactor); dot((-2.614595848596547,-12.357789490849159),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$P'$", (-4.334318881906346,-12.299455564514927), NE labelscalefactor); dot((31.31423777322839,-1.274039375815832),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$Q'$", (31.653048021762583,-0.5644446176664729), NE labelscalefactor); dot((6.708263181933154,-25.081052727903344),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$D'$", (4.271355812449268,-27.250728770869994), NE labelscalefactor); dot((7.843265559918663,-56.297611689328264),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$M'$", (6.61835800181898,-58.717943309826595), NE labelscalefactor); dot(T,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$T$", (4.184429805435574,-4.041484898214163), NE labelscalefactor); dot(X,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$X$", (-12.157659513138722,-14.646457753884619), NE labelscalefactor); dot(Y,linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$Y$", (6.531431994805287,-8.822415283967237), NE labelscalefactor); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); / end of picture / [/asy]]( Let be the second intersection of the line with the -mixtillinear circle. Then, if were indeed the tangency point, we would have , and concurrent by radical centre. However, this concurrency follows immediately from some projective geometry, implying that all we want to show is that lies on the circle . That is just some length-chasing. Solution Consider an inversion about with radius followed by a reflection across the internal bisector to obtain the following problem: Inverted Problem wrote: Let be a triangle with circumcircle . The -mixtillinear circle is tangent to at and tangent to sides and at and respectively. The line meets at and . Let be the reflection of over . Prove that the -mixtillinear circle is tangent to the circumcircle of . First we claim that are concyclic. Let . We want to show that . By Power of a point on so it suffices to show that Substituting the conclusion is immediate from the fact that Because is harmonic, the tangents at and concur on the line . Thus the tangent at is the radical axis of and the -mixtillinear circle, so the two circles are tangent at . Problem 4. (IOM 2018 P6) The incircle of a triangle touches the sides and at points and , respectively. Suppose is the point on the shorter arc of the incircle such that . The segments and meet the segment at points and , respectively. Prove that . ![Image 208: [asy] / Geogebra to Asymptote conversion, documentation at artofproblemsolving.com/Wiki, go to User:Azjps/geogebra / import graph; size(10.cm); real labelscalefactor = 0.5; / changes label-to-point distance / pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); / default pen style / pen dotstyle = black; / point style / real xmin = -20.26911896713594, xmax = 1.7791334575862128, ymin = -2.944253755013333, ymax = 13.934063618394608; / image dimensions / / draw figures / draw(circle((-9.412515486958624,2.9731836342603173), 3.8368617939793994), linewidth(0.4)); draw((-15.420843276701252,-0.9302781317734946)--(-1.1578202781871645,-0.7727336951183267), linewidth(0.4)); draw((-12.90081441526029,4.57108194545169)--(-6.497153003501414,5.467611427592693), linewidth(0.4)); draw((-15.420843276701252,-0.9302781317734946)--(-9.651467542514112,6.802597472074744), linewidth(0.4)); draw((-9.651467542514112,6.802597472074744)--(-12.90081441526029,4.57108194545169), linewidth(0.4)); draw((-1.1578202781871645,-0.7727336951183267)--(-9.651467542514112,6.802597472074744), linewidth(0.4)); draw((-9.651467542514112,6.802597472074744)--(-6.497153003501414,5.467611427592693), linewidth(0.4)); draw((-13.151512905799983,2.1121338517294608)--(-5.580780210637458,3.1714591957769693), linewidth(0.4)); draw(circle((-6.9594114546111845,8.769395322710093), 3.333985567707071), linewidth(0.4)); draw(circle((-13.51303755550863,8.944022017909324), 4.415588528244148), linewidth(0.4)); draw(circle((-9.484894196494658,5.938203056812722), 0.8802978954537417), linewidth(0.4)); draw((-15.420843276701252,-0.9302781317734946)--(-12.90081441526029,4.57108194545169), linewidth(0.4)); draw((-6.497153003501414,5.467611427592693)--(-1.1578202781871645,-0.7727336951183267), linewidth(0.4)); / dots and labels / dot((-15.420843276701252,-0.9302781317734946),dotstyle); label("$A$", (-15.251240829095726,-0.5493573709486926), NE labelscalefactor); dot((-1.1578202781871645,-0.7727336951183267),dotstyle); label("$B$", (-0.9959052096632997,-0.3973004576747472), NE labelscalefactor); dot((-6.497153003501414,5.467611427592693),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$D$", (-6.355911402569892,5.761004529920042), NE labelscalefactor); dot((-12.90081441526029,4.57108194545169),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$E$", (-13.388543641489889,5.228805333461233), NE labelscalefactor); dot((-9.651467542514112,6.802597472074744),dotstyle); label("$P$", (-9.511092353004269,7.167530977704037), NE labelscalefactor); dot((-11.13156067450577,4.818782134137805),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$K$", (-11.487832225565565,5.190791105142747), NE labelscalefactor); dot((-7.929765016848673,5.267041968364768),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$L$", (-7.8764805353093506,5.57093338832761), NE labelscalefactor); dot((-5.580780210637458,3.1714591957769693),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$K'$", (-6.317897174251406,2.6058235794856746), NE labelscalefactor); dot((-13.151512905799983,2.1121338517294608),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$L'$", (-13.844714381311727,1.9595816980714067), NE labelscalefactor); dot((-8.607161080257852,5.871054256365363),dotstyle); label("$A'$", (-8.446693960086648,6.255189498060364), NE labelscalefactor); dot((-10.360943313567388,5.851818282596565),dotstyle); label("$B'$", (-10.195348462737025,6.217175269741878), NE labelscalefactor); dot((-9.362840536272156,5.0664076170640495),linewidth(4.pt) + dotstyle); label("$T$", (-9.511092353004269,4.164406940543615), NE labelscalefactor); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); / end of picture / [/asy]]( Inversion about with radius looks very appealing here because the angle condition is otherwise quite strange but becomes very useful under the inversion. Perhaps the main obstacle here is that it is not immediately clear what route of attack to show that . Sometimes, however, it is necessary to take a leap of faith. Doing so reveals a very short solution to a pretty difficult problem. Solution Consider an inversion at with radius followed by a reflection over the angle-bisector of . This clearly swaps and Let denote the images of respectively. Since , it is clear that are collinear, as are . Moreover, , and are all tangent to the line . Let be the point of tangency of of to . Then by power of a point Hence as desired. I spent quite a while staring at the diagram after the inversion not knowing how to proceed because I didn't draw in the circles ,, etc. This was a nice reminder to always incorporate all the information after the inversion. Conversely, sometimes not all the inversion will be necessary. For example, in Problem 2 we are able to completely eliminate the image of after the inversion. Removing unnecessary points declutters the diagram, which can be very useful. I think a useful rule of thumb is to make sure that you have enough information to define all of the points other than by the inversion formula. In Problem 4, for instance, the points and are not constructible without the introduction of the additional circles. Meanwhile in Problem 2, we can construct all the points without . and are constructed from drawing the lines through and parallel to the altitudes to meet and . Then is the foot from to and and can be found by intersecting line with the lines through parallel to and (once again the attitudes). This post has been edited 3 times. Last edited by HKIS200543, Sep 8, 2020, 2:40 PM Inversion No Comments (Post Your Comment) Comment 0 Comments A collection of olympiad problems and thoughts. HKIS200543 Archives September 2020 \sqrt{bc} Inversion Inversion Practice August 2020 Make Good Guesses and Complex Bash March 2019 Equivalent Forms of the Prime Number Theorem Abel's Identity and Euler's Summation Formula January 2019 More Mobius Inversion with Double Counting Techniques! Mobius Function = Sum of Roots of Unity?! December 2018 IMO 2004 P4: USAMO 2009 P5 Reworked Looking at More Equality Cases: An Actually Nice Inequality Look at the Equality Cases! October 2018 (a+b)^p - a^p - b^p August 2018 Orthocentre Surprise IMO 2003 P6: Showcasing an important lemma of cyclotomic polynomials. More Double Counting Problems July 2018 Hong Kong TST 2017 Quiz 1 Minimality Arguments Generalisations of Two NT Problems Iran TST 2009 P9: The Iran Lemma ISL 2002 G7: Incircle is a Curvilinear Circle Euclidean-Style Arguments about Primes x^2+1 = (x+i)(x-i) May 2018 Cauchy-Schwarz in AP Statistics An Extension of China TST 2005 April 2018 Assorted Olympiad Problems in Double Counting March 2018 Two Floor Function Problems December 2017 A Neat Induction Trick Deriving the Cubic Formula A Proof of Quadratic Reciprocity Strengthened Bertrand's Postulate August 2017 Very Beautiful Divisibility Very Difficult Roots of Unity Filter Bulgaria TST 2006 P6 The Distribution of Square-Free Integers July 2017 Sum-Free Sets (Erdos) Shouts Submit how so orz im so norz help by Yiyj1, Jul 20, 2025, 6:12 PM Huge bump. This guy still visits AoPS. by the_mathmagician, Jun 6, 2023, 1:30 AM nice blog by Kanep, Oct 25, 2020, 9:46 PM how so pro by Gaussian_cyber, Sep 24, 2020, 3:26 AM hello by HKIS200543, Sep 6, 2020, 3:08 PM hello by budu, Aug 22, 2020, 9:28 AM oh hi we are in the same scholol by fukano_2, Jul 14, 2020, 12:00 PM OpOpOpOP by bever209, Jun 25, 2020, 3:46 PM howrusogood ??? by stroller, May 14, 2020, 11:24 PM Best NT blog ever! by Hexagrammum16, Jul 2, 2019, 4:18 PM Thanks everyone! by HKIS200543, Aug 27, 2018, 2:00 PM Nice blog by Kayak, Aug 11, 2018, 10:00 AM Best blog I've seen!! by Churent, Aug 10, 2018, 2:10 PM what is this pr0 blog by JasperL, Aug 10, 2018, 12:47 AM first shout > by doitsudoitsu, Apr 28, 2018, 5:16 PM 15 shouts Tags number theorycombinatoricsinequalitiesAlgebraic Number TheoryCauchy-SchwarzgeometryIMOBoundingcomplex bashDivisibilitydouble countinggenerating functionsincircleInversionRoots of Unity FilterAMSP NT3BijectionsChinese Remainder Theoremcurivilinear circleCyclotomic PolynomialsDensitydiophantineequalityexcirclefloorshomothetyincircle-excircleincircle-perpendicularityInfinite DescentIranminimalityOrdersOrthocentrep-adic valuationprimesProbabilistic Methodprojective geometryquadratic reciprocityQuadratic Residuesset theorysizeSquare-Free Integersstatistics About Owner Posts: 380 Joined: Aug 27, 2014 Blog Stats Blog created: Jul 29, 2017 Total entries: 34 Total visits: 30448 Total comments: 15 Search Blog Something appears to not have loaded correctly. 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8042	https://www.chem.tamu.edu/rgroup/marcetta/chem462/lectures/Lecture%202%20Classification%20of%20Ligands,%20Metal%20Oxidation%20States,%20Electron%20Counting.pdf	Chem 462 Lecture 2--2016 Classification of Ligands Metal Oxidation States Electron Counting [MLnXm]z Overview of Transition Metal Complexes 1.The coordinate covalent or dative bond applies in L:M 2.Lewis bases are called LIGANDS—all serve as σ-donors some are π-donors as well, and some are π-acceptors 3. Specific coordination number and geometries depend on metal and number of d-electrons 4. HSAB theory useful a) Hard bases stabilize high oxidation states b) Soft bases stabilize low oxidation states [MLnXm]z Classification of Ligands: The L, X, Z Approach Malcolm Green : The CBC Method (or Covalent Bond Classification) used extensively in organometallic chemistry. L ligands are derived from charge-neutral precursors: NH3, amines, N-heterocycles such as pyridine, PR3, CO, alkenes etc. X ligands are derived from anionic precursors: halides, hydroxide, alkoxide alkyls—species that are one-electron neutral ligands, but two electron donors as anionic ligands. EDTA4- is classified as an L2X4 ligand, features four anions and two neutral donor sites. C5H5 is classified an L2X ligand. Z ligands are RARE. They accept two electrons from the metal center. They donate none. The “ligand” is a Lewis Acid that accepts electrons rather than the Lewis Bases of the X and L ligands that donate electrons. Here, z = charge on the complex unit. octahedral Square pyramidal Trigonal bi- pyramidal Tetrahedral [MLnXm]z Range of Oxidation States in 3d Transition Metals Summary: Classification of Ligands, II: type of donor orbitals involved: σ; σ + π; σ + π; π+ π Ligands, Classification I, continued Electron Counting and the famous Sidgewick epiphany Two methods: 1) Neutral ligand (no ligand carries a charge—therefore X ligands are one electron donors, L ligands are 2 electron donors.) 2) Both L and X are 2-electron donor ligand (ionic method) Applying the Ionic or 2-electron donor method: H2 IrIII Electron count: 16 e 18e Ir(I) d8 = 8 e Ir(III) d6 = 6 e L ligands: 2 x (2) + 2 = 6 3 L ligands: 3 x 2 = 6 X- ligand: 2 3 X- ligands: 3 x 2 = 6 _ Oxidative addition of H2 to chloro carbonyl bis triphenylphosphine Iridium(I) yields Chloro-dihydrido-carbonyl bis-triphenylphosphine Iridium(III). Note the neutral pre- Cursor, H2, becomes two X- ligands once added to Ir. An ML3X complex An ML3X3 complex Classification of Ligands: II A description of properties Strong Field/Weak Field Ligands Chelating Ligands and Denticity  Polydentate: bi-, tri-, tetra, penta-  Hexadentate, etc. Bridging Ligands  4-electron bridge; 3 center, 4 electrons  2-electron bridge; 3-center, 2 electrons Ambidentate Ligands Bulky Ligands Chiral Ligands  Hemi-labile Ligands Non-innocent Ligands Spectator Ligands Chelating Ligands/Polydentate Ligands--examples 4,4’-bipyridine 4,4’-bipyridine Chelating Ligands/Polydentate Ligands Ethylenediaminetetraacetate: An L2X4, hexadentate ligand, an exceptional chelating agent with many uses. In medicine, for lead and mercury poisoning; also for thalassaemia (iron overload). Ethylenediamine: An L2 bidentate ligand So, how do we mix these ligands and metals with their various oxidation states to get stable molecules? 1. Hard/Soft Acid Base Approach to stability 2. Knowledge of preferred coordination numbers and geometries Linus Pauling Carbon Monoxide or Carbonyl: MO description How do we know? The M- C bond in Metal Carbonyls Ligands of Organometallic Chemistry. Homoleptic complexes from CO and PR3. HOMO LUMO Donor Ability of Phosphines vs. Phosphites: Tolman Electronic Parameter for Ligand Donor Ability Tolman electronic parameter Tolman steric parameter Famous Principles: The Chelate Effect
8043	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2000_AIME_I_Problems/Problem_1?srsltid=AfmBOoraoA56C70t8HRGj7zgrHzCVi6KUrhqDDdxgkuH9W_YWY-9vX9w	Art of Problem Solving 2000 AIME I Problems/Problem 1 - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. Visit AoPS Academy ‚ Find a Physical CampusVisit the Virtual Campus Sign In Register online school Class ScheduleRecommendationsOlympiad CoursesFree Sessions books tore AoPS CurriculumBeast AcademyOnline BooksRecommendationsOther Books & GearAll ProductsGift Certificates community ForumsContestsSearchHelp resources math training & toolsAlcumusVideosFor the Win!MATHCOUNTS TrainerAoPS Practice ContestsAoPS WikiLaTeX TeXeRMIT PRIMES/CrowdMathKeep LearningAll Ten contests on aopsPractice Math ContestsUSABO newsAoPS BlogWebinars view all 0 Sign In Register AoPS Wiki ResourcesAops Wiki 2000 AIME I Problems/Problem 1 Page ArticleDiscussionView sourceHistory Toolbox Recent changesRandom pageHelpWhat links hereSpecial pages Search 2000 AIME I Problems/Problem 1 Contents 1 Problem 2 Solution 3 Video Solution 4 See also Problem Find the least positive integer such that no matter how is expressed as the product of any two positive integers, at least one of these two integers contains the digit . Solution If a factor of has a and a in its prime factorization, then that factor will end in a . Therefore, we have left to consider the case when the two factors have the s and the s separated, so we need to find the first power of 2 or 5 that contains a 0. For and so on, until, \| We see that contains the first zero, so . Video Solution See also 2000 AIME I (Problems • Answer Key • Resources) Preceded by First QuestionFollowed by Problem 2 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11•12•13•14•15 All AIME Problems and Solutions These problems are copyrighted © by the Mathematical Association of America, as part of the American Mathematics Competitions. Retrieved from " Category: Introductory Number Theory Problems Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
8044	https://patents.google.com/patent/CN114326717B/zh	CN114326717B - 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 - Google Patents CN114326717B - 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 - Google Patents 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 Download PDF Info Publication number CN114326717B CN114326717B CN202111520657.7A CN202111520657A CN114326717B CN 114326717 B CN114326717 B CN 114326717B CN 202111520657 A CN202111520657 A CN 202111520657A CN 114326717 B CN114326717 B CN 114326717B Authority CN China Prior art keywords path agricultural machinery transition tail end starting point Prior art date 2021-12-13 Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)Active Application number CN202111520657.7A Other languagesEnglish (en)Other versionsCN114326717A (zhInventor 赵紫旭张昊植陆在旺肖达张玉成刘子辰 Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. 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Effects 0.000 description 1 Classifications Y—GENERAL TAGGING OF NEW TECHNOLOGICAL DEVELOPMENTS; GENERAL TAGGING OF CROSS-SECTIONAL TECHNOLOGIES SPANNING OVER SEVERAL SECTIONS OF THE IPC; TECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC CROSS-REFERENCE ART COLLECTIONS [XRACs] AND DIGESTS Y02—TECHNOLOGIES OR APPLICATIONS FOR MITIGATION OR ADAPTATION AGAINST CLIMATE CHANGE Y02A—TECHNOLOGIES FOR ADAPTATION TO CLIMATE CHANGE Y02A40/00—Adaptation technologies in agriculture, forestry, livestock or agroalimentary production Y02A40/10—Adaptation technologies in agriculture, forestry, livestock or agroalimentary production in agriculture Landscapes Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA) Control Of Position, Course, Altitude, Or Attitude Of Moving Bodies (AREA) Abstract 本发明提出一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统，包括：根据农机位姿信息，全局搜索栅格地图，以规划一条从起点位置到作业区域的转场路径；以作业区域最短的一条边作为目标边，以目标边的边长和方向，生多条平行的线段路径，线段间隔为作业耕宽，并根据最小转弯半径，在每条线段路径的末端添加转弯路径，得到作业路径；以目标边中距离转场路径末端最近的点为作业起点，添加一段连接转场路径终点和作业起点的平滑路径，并在作业路径的末端添加一段与线段路径平行等长的退出路径，全局搜索栅格地图，以规划从退出路径末端到起点位置的离场路径；连接转场路径、作业路径、离场路径和退出路径，作为农机最终的行驶与作业路径。 Description 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统技术领域本发明涉及智能农机、无人驾驶、人工智能和路径规划技术领域，并特别涉及一种应用于智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统。背景技术智能农机无人驾驶系统能够显著地提升农业生产的效率和质量，解放农业生产劳动力，加快我国农业的信息化与智能化进程。路径规划技术是智能农机无人驾驶技术中的一项关键技术，合理有效的行驶与作业路径规划是保证智能农机稳定高效作业的基础。目前的智能路径规划方法主要有以下几种：(1)最短路径搜索，基于已有地图生成栅格地图，使用深度优度或广度优先的方法在栅格地图中搜索最短的可行路径，这种方法适用于农机转场的路径规划，且最终生成路径的精度依赖于栅格大小的选择；(2)路径全覆盖规划，基于多边形，依据一定的评价指标生成全覆盖的农机作业路线，这种方法适用于农机作业路线的规划，生成的路径需根据具体应用场景作出优化，难以设置统一的优化指标；(3)调头路径规划，基于全覆盖规划算法规划出的作业路线，根据农机的运动模型添加适合的调头路线，这种方法适用于农机作业过程中切换耕道时的路径规划。现有智能农机路径规划算法，大多针对智能农机行驶作业过程中的单一环节，无法覆盖农机行驶作业的整个流程，这是由于目前农机的智能化程度不高，用于作业的智能农机大多只能实现作业的无人化，而不能实现从较为遥远的机库自动行驶至作业地头；此外，现有路径规划算法可配置性与适应性较差，无法适用于多种农机作业场景与作业模式，但往往农机作业场景境以及作业模式都是多变的。农机作业场景错综复杂，在如此场景下进行农机的路径规划，农机行驶作业的自主性与环境适应性是需要着重考虑优化的指标，为了提升规划方法在这些指标下的性能，需要解决以下问题： (1)智能农机的作业流程较为复杂，现有技术需要在不同的行驶作业阶段进行多种不同形式的路径规划。应用上述方法进行路径规划，需要人为地加入一些判断因素，无法满足智能农机行驶作业的完全自主性，也不能保证行驶作业的效率，让智能农机显得不够“智能”。其中的技术难点在于如何精准判断农机行驶作业阶段拼接不同阶段的路径，从而提升智能农机的行驶作业自主性； (2)智能农机的路径规划方法需要符合农机的运动学以及动力学模型，同时要结合农机作业的场景，保证最终规划出的路径合理有效，能够精确引导农机完成各项任务。应用上述方法进行路径规划时，仅仅考虑的是规划路径的效率以及代价成本，不能够根据农机与作业场景的实际情况对路径做出进一步优化，造成规划出的路径不能够很好地匹配之后的路径跟踪算法。其中的难点在于如何优化路径适配多场景多运动模型从而提升智能农机的环境适应性。发明内容本发明的目的是解决现有智能农机路径规划算法在农机无人驾驶过程中存在的一些功能性和适应性上的局限，提出一种将转场路线与作业路线相融合的统一路径规划方法。针对现有技术的不足，本发明提出一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其中包括：步骤1、获取农机的位姿信息、作业耕宽、最小转弯半径，以及包含多边形作业区域的栅格地图；步骤2、根据该位姿信息中农机的起点位置和朝向，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该起点位置到该作业区域的转场路径；以该作业区域最短的一条边作为目标边，以该目标边的边长和方向，生多条平行的线段路径，线段间隔为该作业耕宽，并根据该最小转弯半径，在每条线段路径的末端添加转弯路径，得到作业路径；步骤3、以该目标边中距离该转场路径末端最近的点为作业起点，添加一段连接该转场路径终点和该作业起点的平滑路径，并在该作业路径的末端添加一段与该线段路径平行等长的退出路径，以该退出路径末端的朝向和在该栅格地图中的位置，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该退出路径末端到该起点位置的离场路径，连接该转场路径、该作业路径、该离场路径和该退出路径，作为农机最终的行驶与作业路径。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其中对该平滑路径的路径点间插入多个等间距的路径点，且该平滑路径包含两部分：第一部分是由作业起点为切点，以农机最小转弯半径为半径的圆弧，该圆弧另一个切点由以农机结束转场时位置和朝向作出的射线所决定，第二部分是由该射线与圆相切所截取的线段。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其中该全局搜索为广度优先搜索或启发式搜索。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其中根据该作业耕宽和该最小转弯半径，选择鱼尾型或灯泡型或弓型路径作为该转弯路径。本发明还提出了一种智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中包括：初始化模块，用于获取农机的位姿信息、作业耕宽、最小转弯半径，以及包含多边形作业区域的栅格地图；第一路径规划模块，用于根据该位姿信息中农机的起点位置和朝向，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该起点位置到该作业区域的转场路径；以该作业区域最短的一条边作为目标边，以该目标边的边长和方向，生多条平行的线段路径，线段间隔为该作业耕宽，并根据该最小转弯半径，在每条线段路径的末端添加转弯路径，得到作业路径；第二路径规划模块，用于以该目标边中距离该转场路径末端最近的点为作业起点，添加一段连接该转场路径终点和该作业起点的平滑路径，并在该作业路径的末端添加一段与该线段路径平行等长的退出路径，以该退出路径末端的朝向和在该栅格地图中的位置，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该退出路径末端到该起点位置的离场路径，连接该转场路径、该作业路径、该离场路径和该退出路径，作为农机最终的行驶与作业路径。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中对该平滑路径的路径点间插入多个等间距的路径点，且该平滑路径包含两部分：第一部分是由作业起点为切点，以农机最小转弯半径为半径的圆弧，该圆弧另一个切点由以农机结束转场时位置和朝向作出的射线所决定，第二部分是由该射线与圆相切所截取的线段。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中该全局搜索为广度优先搜索或启发式搜索。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中根据该作业耕宽和该最小转弯半径，选择鱼尾型或灯泡型或弓型路径作为该转弯路径。本发明还提出了一种存储介质，用于存储执行所述任意一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法的程序。本发明还提出了一种客户端，用于上述任意一种智能农机转场与作业的融合路径规划系统。由以上方案可知，本发明的优点在于：本发明解决了智能农机转场以及作业过程中的路径规划问题，效果是用户只需指定作业区块的位置，便可实现智能农机完全自主的路径规划，规划路线能够覆盖整个行驶作业流程，适应多种作业场景并且精准有效，能够有效地提升智能农机作业效率，加深农机智能化程度。附图说明图1为转场路径规划流程图；图2为作业路径规划流程图；图3为路径融合与平滑流程图；图4为具有的作业区域的栅格地图；图5为起点到作业区域路径规划图；图6为返程路径规划图；图7为采用鱼尾型调头时的作业路径规划图；图8为加入平滑融合后的最终路径规划图。具体实施方式本发明基于以下关键技术点，提出并实现了一种覆盖农机作业整个流程的、适用于多场景多作业模式的融合路径规划方法。关键点1，转场最短路径规划机制；技术效果，在作业任务确定之后，智能农机能够自主规划从机库前往作业区块的最短路径，在作业任务结束之后，智能农机能够自主规划从作业区块返回机库的最短路径；关键点2，灵活作业路径覆盖机制；技术效果，智能农机到达作业区块地头之后，能够自主规划覆盖整个区块的作业路径，作业路径方向与掉头路径模式会根据区块大小与农机模型自主确定，也可按照用户需求进行修改；关键点3，转场与作业路径融合规划机制；技术效果，规划算法能够自主确定转场与作业路径的交接点，并根据农机模型进行局部平滑，交接点位置的也可由用户配置和指定；为让本发明的上述特征和效果能阐述的更明确易懂，下文特举实施例，并配合说明书附图作详细说明如下。 1、系统输入如图4所示，利用GPS定位技术获取农机的实时位姿信息，位姿信息包括位置和姿态。利用激光雷达扫描得到带有代价数值的栅格地图。获取农机的作业耕宽，用于规划往返路径的次数。获取农机的最小转弯半径，用于转场和作业路径融合时规划平滑路径。绘制作业区块多边形时预设的顶点。 2、转场路径规划转场路径包含两段，第一段是从农机启动位置转场到作业区域，第二段是由农机完成作业时返回出发位置。如图1所示，首先，通过激光雷达扫描整个试验环境，根据得到的点云数据通过SLAM算法拼接生成带有代价的栅格地图。在此地图中，选取适当的位置作为原点，并利用GPS定位获取该原点的位置信息，此时，我们获得了世界坐标系，之后讨论的位置和朝向信息默认都是关于此坐标系。农机启动伊始，通过GPS定位获取当下农机的位置信息。在操作面板上，按顺序绘制农机作业区块的顶点，每个顶点带有位置和朝向信息。此时根据农机起始点和区块顶点的位置和朝向信息，使用全局搜索算法在代价地图上规划出一条从起始点到进入作业区域的最佳转场路径。返回时同样使用搜索算法，此时是根据农机完成作业时的位置和朝向信息规划出至起始点的路径。根据需求，有Dijkstra和A两种全局搜索算法供用户选择。两种算法各有自身优缺点和适用场景。简单来说，Dijkstra是一种广度优先的搜索算法，该算法会遍历所有路径并从中选择最优，因此，该算法会提供最优解但耗费时间。A是一种启发式搜索算法，由估价函数f(n)＝g(n)+h(n)决定，其中g(n)代表从起点到n节点的实际代价,h(n)代表n节点到目标节点最佳路径的估计代价。相比Dijkstra，A不能保证提供最优路径但提高了搜索效率，满足了大部分场景的需求。最终得到的效果如图5和6所示。 3、作业路径规划如图2所示，当绘制完作业区块的目标顶点时，按顶点绘制的顺序依次连接会生成一个目标多边形。此时需注意绘制的顶点需要在有效区域内，即在代价不到阈值的栅格内，否则多边形无法生成，需重新绘制。在目标多边形内，选择最短的一条边作为目标边，以该边边长和方向，生若干条平行的线段，线段间间隔为作业耕宽。这类线段为农机往返的作业路径，此时还需在两两线段间添加转弯路径使农机可以连续作业。所添加的转弯路径朝向需要按奇偶性放置，即同为奇数次的转弯路径同向并与同为偶数次的转弯路径反向。考虑到农机实际的转置方式，转弯路径的形状还需要根据农机的最小转弯半径与耕宽间的数值关系，自动调整为鱼尾型(Fishtail)，灯泡型(Bulb)，弓型(Bow)三种类型中的合适路径。最终得到的效果如图7所示根据用户需求，作业路径规划的模式分为往返路径和回型路径，用户可以在操作面板上自行切换调整。 4、路径融合与平滑如图3所示，由于转场和作业的路径规划是相对独立完成的，在两者的融合上则需要进行平滑处理使农机在实际跟踪路径时不会出现过大偏离。融合部分主要分为两处：第一处在农机完成转场到进入作业时。由于农机起始朝向与进入作业点的朝向存在偏差，农机必定会存在转向问题，因此需要添加一段平滑路径使其顺利地转入作业区块。该平滑路径包含两部分，第一部分是由作业起始点为切点，以农机最小转弯半径为半径的圆弧，该圆弧另一个切点是由以农机结束转场时的位置和朝向作的射线决定。第二部分是由该射线与圆相切所截取的线段组成。由于这些切点是关于农机的位置信息，因此在规划此圆时需要先把世界坐标系转换成农机局部坐标系，此坐标系是以作业起始点为原点，作业起始点朝向为y正半轴的正交坐标系。第二处融合是在农机完成作业到进入返场时。此时同样需要加入一段平滑路径调整农机的姿态使其顺利地进入返场路径。不同的是，此时还需要使农机避开作业区块。考虑到作业路径规划最终是以一段转弯路径结束，因此需要在此结束路径点后再添加一段与之前往返线段平行等长的路径，以确保农机驶出作业区块再调整自身朝向。之后，再添加一段转弯路径用以调整农机朝向与进入返场路径点的朝向一致。规划这段转弯路径同样需要先将坐标系转化成以农机当前位置为原点，农机当前朝向为y正半轴的坐标系。在此坐标系上，以原点为切点作以农机最小转弯半径为半径的圆弧，另一切点为以进入返场路径点朝向为方向的切线与此圆相切点。针对每种作业路径规划情况，为了避免转向作业区块，将以农机当前朝向作为判断条件，规划出不同方向的转弯路径。具体来说，若农机在世界坐标系下的偏航角在0～180°间，圆弧将规划在农机坐标系下的第一象限中，即农机以右转的方式调整。反之，若农机的偏航角在0～-180°间，圆弧将规划在农机坐标系下的第二象限中，即农机以左转的方式调整。最终得到的效果如图8所示为了提升农机跟踪效果，将这两处平滑路径做插值处理，即在原有的路径点间插入若干新的等间距的路径点。以下为与上述方法实施例对应的系统实施例，本实施方式可与上述实施方式互相配合实施。上述实施方式中提到的相关技术细节在本实施方式中依然有效，为了减少重复，这里不再赘述。相应地，本实施方式中提到的相关技术细节也可应用在上述实施方式中。本发明还提出了一种智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中包括：初始化模块，用于获取农机的位姿信息、作业耕宽、最小转弯半径，以及包含多边形作业区域的栅格地图；第一路径规划模块，用于根据该位姿信息中农机的起点位置和朝向，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该起点位置到该作业区域的转场路径；以该作业区域最短的一条边作为目标边，以该目标边的边长和方向，生多条平行的线段路径，线段间隔为该作业耕宽，并根据该最小转弯半径，在每条线段路径的末端添加转弯路径，得到作业路径；第二路径规划模块，用于以该目标边中距离该转场路径末端最近的点为作业起点，添加一段连接该转场路径终点和该作业起点的平滑路径，并在该作业路径的末端添加一段与该线段路径平行等长的退出路径，以该退出路径末端的朝向和在该栅格地图中的位置，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该退出路径末端到该起点位置的离场路径，连接该转场路径、该作业路径、该离场路径和该退出路径，作为农机最终的行驶与作业路径。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中对该平滑路径的路径点间插入多个等间距的路径点，且该平滑路径包含两部分：第一部分是由作业起点为切点，以农机最小转弯半径为半径的圆弧，该圆弧另一个切点由以农机结束转场时位置和朝向作出的射线所决定，第二部分是由该射线与圆相切所截取的线段。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中该全局搜索为广度优先搜索或启发式搜索。所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其中根据该作业耕宽和该最小转弯半径，选择鱼尾型或灯泡型或弓型路径作为该转弯路径。本发明还提出了一种存储介质，用于存储执行所述任意一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法的程序。本发明还提出了一种客户端，用于上述任意一种智能农机转场与作业的融合路径规划系统。 Claims (10) 1.一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其特征在于，包括：步骤1、获取农机的位姿信息、作业耕宽、最小转弯半径，以及包含多边形作业区域的栅格地图；步骤2、根据该位姿信息中农机的起点位置和朝向，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该起点位置到该作业区域的转场路径；以该作业区域最短的一条边作为目标边，以该目标边的边长和方向，生多条平行的线段路径，线段间隔为该作业耕宽，并根据该最小转弯半径，在每条线段路径的末端添加转弯路径，得到作业路径；步骤3、以该目标边中距离该转场路径末端最近的点为作业起点，添加一段连接该转场路径终点和该作业起点的平滑路径，并在该作业路径的末端添加一段与该线段路径平行等长的退出路径，以该退出路径末端的朝向和在该栅格地图中的位置，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该退出路径末端到该起点位置的离场路径，连接该转场路径、该作业路径、该离场路径和该退出路径，作为农机最终的行驶与作业路径；其中该平滑路径包含两部分：第一部分是由作业起点为切点，以农机最小转弯半径为半径的圆弧，该圆弧另一个切点由以农机结束转场时位置和朝向作出的射线所决定，第二部分是由该射线与圆相切所截取的线段。 2.如权利要求1所述的智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其特征在于，对该平滑路径的路径点间插入多个等间距的路径点。 3.如权利要求1所述的智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其特征在于，该全局搜索为广度优先搜索或启发式搜索。 4.如权利要求1所述的智能农机转场与作业的融合路径规划方法，其特征在于，根据该作业耕宽和该最小转弯半径，选择鱼尾型或灯泡型或弓型路径作为该转弯路径。 5.一种智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其特征在于，包括：初始化模块，用于获取农机的位姿信息、作业耕宽、最小转弯半径，以及包含多边形作业区域的栅格地图；第一路径规划模块，用于根据该位姿信息中农机的起点位置和朝向，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该起点位置到该作业区域的转场路径；以该作业区域最短的一条边作为目标边，以该目标边的边长和方向，生多条平行的线段路径，线段间隔为该作业耕宽，并根据该最小转弯半径，在每条线段路径的末端添加转弯路径，得到作业路径；第二路径规划模块，用于以该目标边中距离该转场路径末端最近的点为作业起点，添加一段连接该转场路径终点和该作业起点的平滑路径，并在该作业路径的末端添加一段与该线段路径平行等长的退出路径，以该退出路径末端的朝向和在该栅格地图中的位置，全局搜索该栅格地图，以规划一条从该退出路径末端到该起点位置的离场路径，连接该转场路径、该作业路径、该离场路径和该退出路径，作为农机最终的行驶与作业路径；其中该平滑路径包含两部分：第一部分是由作业起点为切点，以农机最小转弯半径为半径的圆弧，该圆弧另一个切点由以农机结束转场时位置和朝向作出的射线所决定，第二部分是由该射线与圆相切所截取的线段。 6.如权利要求5所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其特征在于，对该平滑路径的路径点间插入多个等间距的路径点。 7.如权利要求5所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其特征在于，该全局搜索为广度优先搜索或启发式搜索。 8.如权利要求5所述的智能农机转场与作业的融合路径规划系统，其特征在于，根据该作业耕宽和该最小转弯半径，选择鱼尾型或灯泡型或弓型路径作为该转弯路径。 9.一种存储介质，用于存储执行如权利要求1到4所述任意一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法的程序。 10.一种客户端，用于权利要求5至8中任意一种智能农机转场与作业的融合路径规划系统。 CN202111520657.7A 2021-12-13 2021-12-13 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 ActiveCN114326717B (zh) Priority Applications (1) \| Application Number \| Priority Date \| Filing Date \| Title \| --- --- \| \| CN202111520657.7ACN114326717B (zh) \| 2021-12-13 \| 2021-12-13 \| 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 \| Applications Claiming Priority (1) \| Application Number \| Priority Date \| Filing Date \| Title \| --- --- \| \| CN202111520657.7ACN114326717B (zh) \| 2021-12-13 \| 2021-12-13 \| 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 \| Publications (2) \| Publication Number \| Publication Date \| --- \| \| CN114326717ACN114326717A (zh) \| 2022-04-12 \| \| CN114326717B trueCN114326717B (zh) \| 2024-08-09 \| Family ID=81051116 Family Applications (1) \| Application Number \| Title \| Priority Date \| Filing Date \| --- --- \| \| CN202111520657.7A ActiveCN114326717B (zh) \| 2021-12-13 \| 2021-12-13 \| 一种智能农机转场与作业的融合路径规划方法及系统 \| Country Status (1) \| Country \| Link \| --- \| \| CN (1) \| CN114326717B (zh) \| Families Citing this family (2) Cited by examiner, † Cited by third party\| Publication number \| Priority date \| Publication date \| Assignee \| Title \| --- --- \| CN115470972B (zh) \| 2022-08-25 \| 2025-07-04 \| 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8045	https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-cbse-physics-class-11/section/11.7/primary/lesson/adiabatic-process/	Skip to content Elementary Math Grade 1 Grade 2 Grade 3 Grade 4 Grade 5 Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Probability & Statistics Trigonometry Math Analysis Precalculus Calculus What's the difference? 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These real-world experiences point toward a fundamental class of thermodynamic transformations called adiabatic processes, where the system is perfectly insulated, and no heat flows in or out. Despite this thermal isolation, the system’s internal energy can change significantly due to work being done by or on it, often resulting in substantial changes in temperature and pressure. Imagine quickly compressing a gas in an insulated cylinder. Because there’s no time or pathway for heat to escape, all the energy put into the system goes into increasing its internal energy, raising the temperature of the gas. This is the hallmark of an adiabatic process: energy exchange occurs entirely through work, not heat. Adiabatic processes are not just theoretical constructs; they are central to a wide variety of natural and engineered systems. The rapid expansion or compression of air in engines, the rise and cooling of air parcels in the atmosphere, and even the functioning of refrigerators and heat pumps all involve adiabatic transformations. In this lesson, we will explore adiabatic processes in detail, defining their thermodynamic characteristics, deriving pressure-volume and temperature-volume relationships, calculating the work involved, and applying the First Law of Thermodynamics under the condition of zero heat exchange. Adiabatic Process \| \| \| Adiabatic Process \| \| An adiabatic process is a thermodynamic transformation in which the system is completely insulated from its surroundings, so no heat exchange takes place. That is, the heat transferred into or out of the system is zero: \| In such a process, any change in the internal energy of the system arises solely due to work done by or on the gas, leading to a change in temperature. Unlike isothermal processes, where temperature remains constant, adiabatic processes typically involve a rise in temperature during compression and a drop in temperature during expansion. According to the First Law of Thermodynamics for a closed system: Since in an adiabatic process, this simplifies to: This means: When work is done by the system (e.g., during expansion), , so internal energy decreases, and the gas cools. When work is done on the system (e.g., during compression), , so internal energy increases, and the gas heats up. Adiabatic processes are common in situations where changes happen rapidly, not giving the system enough time to exchange heat with the environment. For example: The compression of air in a bicycle pump causes the nozzle to warm up due to the increase in internal energy. In diesel engines, air is rapidly compressed adiabatically, raising its temperature high enough to ignite fuel. In meteorology, rising air parcels expand adiabatically in lower pressure regions and cool down, influencing cloud formation and weather patterns. Although perfect insulation is an idealisation, many real-world systems approximate adiabatic conditions, making the concept essential in understanding practical thermodynamic phenomena. The Constancy in Adiabatic Change Reference Image : Write the equation (PV = constant ) for the isothermal curve and (PV^γ = constant ) for the adiabatic curve. A distinctive feature of adiabatic processes for an ideal gas is the mathematical relationship: Here: is the pressure of the gas, is its volume, is the adiabatic index or heat capacity ratio, and are the specific heats of the gas at constant pressure and constant volume, respectively. This expression means that during an adiabatic expansion or compression, pressure and volume are not independently variable; they are coupled such that any change in one leads to a compensating change in the other to maintain the constancy of . This is in contrast with isothermal processes, where the temperature remains fixed and the product is constant . For example, in air (which is mostly diatomic nitrogen and oxygen), is approximately . This makes the law not only theoretically useful but also practically applicable in modelling atmospheric changes, engine cycles (like in diesel and petrol engines), and rapid gas expansions. Understanding this relation helps in deriving other important thermodynamic expressions for adiabatic processes, including how temperature varies with volume or pressure during such transformations. The - curves for isothermal and adiabatic processes of an ideal gas. The adiabatic curves fall more steeply than isothermal curves, indicating steeper pressure drops for the same volume increase. The practical implication of this law is that, during adiabatic expansion, as the volume increases, pressure drops faster than in an isothermal case because energy is not received from the surroundings to keep temperature, and hence pressure, high. Specific Heat Ratio () The ratio of specific heats at constant pressure () and constant volume () is fundamental to understanding adiabatic processes. signifies how a gas responds to adiabatic changes. A larger means a steeper – curve in adiabatic processes. For common gases: For monatomic gases (like helium), . For diatomic gases (like nitrogen and oxygen in air), . The ratio arises because, at constant volume, all energy goes to increasing temperature, while at constant pressure, some energy also goes into the “work” of expansion. Work Done in an Adiabatic Process Reference Image: Rename 'i' and 'f' in the suffix of P and V to '1' and '2' respectively. Label the vertical axis as Pressure (Pa) and the horizontal axis as Volume (m^3). Remove the heading and extra information in blue. In an adiabatic process, no heat is exchanged with the surroundings , so any energy transfer manifests as work. To calculate the work done by or on an ideal gas during adiabatic expansion or compression, we start from the First Law of Thermodynamics: For an ideal gas, the internal energy depends only on temperature. But to find work directly, we use the relationship: However, for an adiabatic process involving an ideal gas, we have the relation: where is the adiabatic index (ratio of specific heats). Rewriting pressure in terms of volume: Let the constant be , then: Performing the integration: Substituting back for or , we get: Alternative Expression in Terms of Temperature From the ideal gas law: Substituting into the above, and after simplification, we get another equivalent expression for work: Here: = number of moles = universal gas constant = initial and final temperatures = adiabatic index Interpretation In adiabatic expansion : the gas does work on the surroundings and cools down. In adiabatic compression : the surroundings do work on the gas and it heats up. This direct connection between temperature change and mechanical work in an adiabatic system is a defining feature of the process, differentiating it from isothermal transformations where temperature remains fixed. Temperature Change During an Adiabatic Process Since no heat is exchanged and all the work goes into changing internal energy, temperature either drops or rises, depending on the direction of the process. When a gas is compressed adiabatically (work done on the gas), its temperature increases. When it expands adiabatically (work done by the gas), its temperature decreases. This relation can be mathematically connected by using the ideal gas law along with the adiabatic condition, resulting in useful formulas: or where and are the initial and final absolute temperatures, and , (, ) are the initial and final volumes (pressures). Specific Heat Capacity in an Adiabatic Process In thermodynamics, the specific heat capacity of a substance is defined as the amount of heat required to raise the temperature of a unit mass of the substance by one unit: However, in an adiabatic process, by definition, there is no heat exchange with the surroundings: Substituting this into the formula for specific heat capacity: Thus, for an adiabatic process, the specific heat capacity ss is zero. This does not mean that the temperature of the gas remains unchanged. In fact, during adiabatic expansion or compression, the temperature does change, but this change is entirely due to mechanical work being done by or on the gas, not due to heat flow. For an adiabatic process, , hence: This means the internal energy (and thus temperature) changes exactly as much as the work done, but since no heat is transferred, we say that the specific heat capacity under adiabatic conditions is zero: Examples of Adiabatic Process Example 1: A student quickly compresses a syringe (with the tip sealed and insulated) containing air from 100 mL to 60 mL. Assume adiabatic conditions and . If the initial pressure was 1 atm, what is the final pressure? Given: Initial pressure, Initial volume, Final volume, Adiabatic index, To Find: Final pressure after adiabatic compression For an adiabatic process, we use the relation: Rearranging the formula: Substitute the given values: The final pressure of the air in the syringe is approximately . Example 2: 1 mole of an ideal gas expands adiabatically from 5 L at 300 K to 12 L. . Find the work done. Given: Number of moles, Initial volume, Final volume, Initial temperature, Adiabatic index, Universal gas constant, To Find: Work done during the adiabatic expansion Find the final temperature using the adiabatic relation: Use the formula for work done in adiabatic process: Therefore, the work done by the gas during the adiabatic expansion is approximately. Example 3: A car tyre (filled with air at 1 atm, 300 K, ) is rapidly filled up and, for an instant, the pressure rises to 2 atm adiabatically. What will be the temperature immediately after this compression? Given: Initial pressure, Final pressure, Initial temperature, Adiabatic index, To Find: Final temperature, For an adiabatic process, temperature and pressure are related by the equation: Substituting the values: The final temperature of the air in the tyre is approximately . Example 4: Suppose a parcel of dry air (adiabatic, ) rises in the atmosphere and volume doubles. Initial K. Given: Initial temperature: Adiabatic index: To Find: Final temperature, In an adiabatic process involving an ideal gas: Substituting the values: The final temperature of the rising air parcel is approximately . \| \| \| Summary of Adiabatic Process \| \| Adiabatic Process An adiabatic process is a thermodynamic transformation in which no heat is exchanged between the system and its surroundings. The defining condition is: Any change in internal energy arises solely due to work being done by or on the system, leading to a change in temperature. Examples of Adiabatic Process Rapid compression in a bicycle pump warms the nozzle due to an increase in internal energy. In diesel engines, adiabatic compression of air increases temperature enough to ignite fuel. Rising air parcels in the atmosphere expand adiabatically and cool, affecting weather and cloud formation. First Law of Thermodynamics The First Law is: In an adiabatic process: If the system expands , internal energy decreases , and the gas cools. If the system is compressed , internal energy increases , and the gas heats up. Adiabatic Equation (P–V Relation) For an ideal gas undergoing adiabatic change: Where: + = pressure + = volume + is the adiabatic index This equation governs how pressure and volume vary together in the absence of heat exchange. Work Done in an Adiabatic Process The work done by an ideal gas in an adiabatic process from volume to is: Alternatively, in terms of temperature: Where: + = number of moles + = universal gas constant + = initial and final temperatures Temperature Changes in Adiabatic Process The temperature and volume relationship is The temperature and pressure relationship is: These equations confirm that temperature changes even though no heat is exchanged. Specific Heat Capacity in Adiabatic Process Specific heat is defined as: In an adiabatic process: This implies that no heat is required to change temperature; all energy change occurs via work. \| Review Questions of Adiabatic Process Define an adiabatic process and give a real-life example. Derive the relation for an adiabatic process for an ideal gas. If 2 moles of an ideal gas are compressed adiabatically and reversibly from 10 L to 4 L at an initial temperature of 300 K (), what is the final temperature? How does the specific heat ratio affect the behavior of gases in adiabatic processes? During an adiabatic expansion, what happens to the internal energy and temperature of the gas? One mole of a diatomic gas at 1 atm and 300 K is compressed adiabatically to twice its initial pressure. Find the final temperature. In a rapid compression, how does the absence of heat exchange affect temperature rise compared to slow isothermal compression (qualitative explanation)? Explain, with calculation, why the air cools as it rises over a mountain. If a monatomic gas () expands adiabatically from a volume of 2 L to 6 L at an initial pressure of 3 atm, what is the final pressure? Why are adiabatic curves on a – diagram steeper than isothermal curves? A gas undergoes an adiabatic compression from to . Write expressions for in terms of , , , and in terms of , , , . A bicycle pump gets hot when used rapidly. Which process is responsible? Explain. If for some gas, J mol K and J mol K, find . A container has 0.5 mol of oxygen at 300 K and 2 atm. If the gas expands adiabatically to 1 atm, find its final volume. Describe the significance of the adiabatic process in the working of diesel engines. NOTES / HIGHLIGHTS Please Sign In to create your own Highlights / Notes \| Image \| Reference \| Attributions \| --- \| \| \| Credit: CK-12 Foundation Source: CK-12 Foundation License: CK-12 Curriculum Materials License \| \| \| \| Credit: CK-12 Foundation Source: CK-12 Foundation License: CK-12 Curriculum Materials License \| Student Sign Up Are you a teacher? Having issues? Click here or By signing up, I confirm that I have read and agree to the Terms of use and Privacy Policy Already have an account? No Results Found Your search did not match anything in . Save this section to your Library in order to add a Practice or Quiz to it. Title (Edit Title)17/ 100 This lesson has been added to your library. \|Searching in: \| \| \| Looks like this FlexBook 2.0 has changed since you visited it last time. We found the following sections in the book that match the one you are looking for: Go to the Table of Contents Student Sign Up Are you a teacher? Having issues? 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8046	https://omgimanerd.tech/notes/latex/math-326_boundary-value-problems/output/07_nonhomogeneous-heat-equation-solutions.pdf	Boundary Value Problems Alvin Lin August 2018 - December 2018 Nonhomogeneous Heat Equation Solutions An example of a homogeneous heat equation is ut = a2uxx u(0, t) = u(L, t) = 0 u(x, 0) = f(x) To make the equation nonhomogeneous: ut = a2uxx + P(x) u(0, t) = u1 u(L, t) = u2 u(x, 0) = f(x) where P(x) is a heat source or sink. If u1 ̸= 0 or u2 ̸= 0 or P(x) ̸= 0 then the boundary value problem is nonhomogeneous. The simpler case of this involves u1 = u2 ̸= 0, in which case we will deﬁne v(x, t) = u(x, t) −u1, which can substitute back into the boundary value problem. The harder case involves u1 ̸= u2 or P(x) ̸= 0. Methods for Solving • Substitute u(x, t) = ψ(x)+v(x, t) into the partial diﬀerential equation, bound-ary conditions, and initial condition. • Solve the ordinary diﬀerential equation for ψ(x). • Solve the homogeneous partial diﬀerential equation for v(x, t). • Substitute back into u(x, t) = ψ(x) + v(x, t). 1 Interpretation u(x, t) = ψ(x) + v(x, t) ψ(x) represents a steady-state solution that satisﬁes nonhomogeneous terms while v(x, t) is a transient solution that dies oﬀas t approaches inﬁnity. Example ut = uxx 0 < x < π u(0, t) = 0 u(π, t) = 3π u(x, 0) = f(x) = 0 We want to ﬁnd a solution of the form u(x, t) = ψ(x) + v(x, t) so we will substitute this into the partial diﬀerential equation. ∂ ∂t(u) = ∂ ∂t(ψ(x) + v(x, t)) = a2 ∂2 ∂x2(ψ(x) + v(x, t)) ∂ψ(x) ∂t + vt(x, t) = a2(ψ′′(x) + vxx(x, t)) vt(x, t) = a2(ψ′′(x) + vxx(x, t)) u(0, t) = ψ(0) + v(0, t) = u1 u(L, t) = ψ(L) + v(L, t) = u2 u(x, 0) = ψ(x) + v(x, 0) = f(x) Let t →∞to obtain the steady state boundary value problem: vt = a2(ψ′′ + vxx) 0 = a2ψ′′ ψ(0) + v(0, t) = u1 ψ(0) = u1 ψ(L) + v(L, t) = u2 ψ(L) = u2 2 We now have a steady state boundary value problem which we can solve: a2ψ′′(x) = 0 (a2 > 0) ψ(0) = u1 ψ(L) = u2 ψ(x) = Ax + B ψ(0) = u1 = A(0) + B = B u1 = B ψ(L) = u2 = AL + B = AL + u1 AL = u2 −u1 A = u2 −u1 L ψ(x) = (u2 −u1 L )x + u1 We can plug ψ(x) back into the boundary value problem to solve for v(x, t) for arbitrary t > 0. vt = a2(ψ′′ + vxx) ψ(0) + v(0, t) = u1 u1 + v(0, t) = u1 v(0, t) = 0 ψ(L) + v(L, t) = u2 u2 + v(L, t) = u2 v(L, t) = 0 u(x, 0) = v(x, 0) + ψ(x) = f(x) v(x, 0) = f(x) −ψ(x) We can now solve the homogeneous boundary value problem for v(x, t). vt = a2vxx v(0, t) = v(L, t) = 0 v(x, 0) = f(x) −ψ(x) = f(x) −(u2 −u1 L )x + u1 3 Note that this homogeneous boundary value problem is in the same form as the Dirichlet boundary value problem we have already solved. v(x, t) = ∞ X n=1 bn sin(nπx L )e−a2( nπ L )2t bn = 2 L Z L 0 (f(x) −(u2 −u1 L ) −u1) sin(nπx L ) dx u(x, t) = ψ(x) + v(x, t) = (u2 −u1 L )x + u1 + v(x, t) You can ﬁnd all my notes at If you have any questions, comments, or concerns, please contact me at alvin@omgimanerd.tech 4
8047	https://stats.oarc.ucla.edu/other/gpower/power-analysis-for-one-sample-t-test/	Skip to primary navigation Skip to primary sidebar Statistical Methods and Data Analytics Power analysis for one-sample t-test \| GPower Data Analysis Examples NOTE: This page was developed using GPower version 3.0.10. You can download the current version of GPower from . You can also find help files, the manual and the user guide on this website. Examples Example 1. A company that manufactures light bulbs claims that a particular type of light bulb will last 850 hours on average with standard deviation of 50. A consumer protection group thinks that the manufacturer has overestimated the lifespan of their light bulbs by about 40 hours. How many light bulbs does the consumer protection group have to test in order to make their point with reasonable confidence? Example 2. It has been estimated that the average height of American male adults is 70 inches. I t has also been postulated that there is a positive correlation between height and intelligence. If this is true, then the average height of a male graduate students on campus should be greater than the average height of American male adults in general. To test this theory, one would randomly sample a small group of male graduate students. However, one would need to know how many male graduate students need to measured such that the hypothesis can be reasonable tested. Prelude to the power analysis For the power analysis below, we are going to focus on Example 1, testing the average lifespan of a light bulb. Here, the sample size (the number of light bulbs to be tested) is the unknown to be solved for. We will need to identify this variable for a given significance level and power. A good start would be to list our known values and assumptions. The bulbs’ stated longevity is 850, with detractors claiming 810. In other words, our null hypothesis H0 = 850, and the alternative hypothesis Ha= 810. It is also of great importance to note that the standard deviation is 50, as not all light bulbs are created equal. Additionally, as the test is to show a discrepancy from the null hypothesis and not specifically a greater or lesser value, it is a two-tailed test. Significance level sets the probability of Type 1 error; the probability that the null hypothesis will be rejected when it is, in fact, true. Conversely, power measures the probability that a Type 2 error will not occur, a Type 2 error being the incidence of a false null hypothesis failing to be rejected. In other words, power is the likelihood of the test appropriately rejecting H0. For this example, we will choose a significance level of .05 and a power of .9. Power analysis Immediately, we can put our known measures into GPower’s interface. We begin by indicating that we are performing a t-test, and, more specifically, a means test involving a sample’s difference from a constant (how much do the reality of the bulbs differ from the manufacturer’s claim of 850 hours?). The type of power analysis being performed is noted to be an ‘A Priori’ analysis, a determination of sample size. From there, we can input the number of tails, the value of our chosen significance level (α), and the power; 2, .05, and .9, respectively. The only input still requested is the effect size, or the difference of the null and hypothetical means divided by the standard deviation. By clicking on the ‘Determine’ button to the left of the Effect size input, a new set of input cells is called up, for the null hypothesis mean (here represented as Mean H0), the alternative mean (Mean H1), and the standard deviation (SD σ). As these numbers are known to us (850, 810, and 50), simply type them in and click ‘Calculate and transfer to main window’. As a result, the effect level’s value (given as .8) is handily computed and inputted. From there, a press of the ‘Calculate’ button in the main window produces the desired sample size, among other statistics. These are, in descending order, the Noncentrality parameter δ, the Critical t (the number of standard deviations from the null mean where an observation becomes statistically significant), the number of degrees freedom, and the test’s actual power. In addition, a graphical representation of the test is shown, with the sampling distribution a dotted blue line, the population distribution represented by a solid red line, a red shaded area delineating the probability of a type 1 error, a blue area the type 2 error, and a pair of green lines evocating the critical points t. To at last answer our question, the sample size is shown to be 19. Thus, no fewer than nineteen light bulbs must be tested in order to generate a statistically significant result (suggesting a rejection of the null hypothesis, the manufacturer’s claim) with a power of .9. To twist the initial question around, supposing only 10 light bulbs were available for testing, what power would the test have, all else held constant? This can be determined simply. The frame of the question is altered by setting the type of power analysis from the ‘A Priori’ search for sample size to a ‘Post hoc’ pursuit of achieved power. Immediately, the input parameters readjust to replace the power input with one for sample size. As all other variables remain as previous, the new measure of sample size, 10, is entered in. Making use of the Calculate button, we receive the new output parameters. These include the Noncentrality parameter δ, the Critical t, and the degrees freedom as before, in addition to Power, here measuring 0.616233, having decreased from .9 due to the smaller sample. Discussion In reference to the initial question and its outcome, it is important to note that the test takes effect size into account, rather than the means themselves. As such, a null mean of 850 and an alternative mean of 810 are considered identical to a null mean of 810 and an alternative mean of 850, and are represented the same graphically. Thus, the graph displayed for our example is in fact a mirror image of what it should actually be, the null distribution being incorrectly to the left of the sampling distribution. It remains important to consider the numbers themselves and not be unduly misled. As seen in the second half of the analysis, by adjusting the type of power analysis according to the values given and the values unknown, the requested output can be generated for an unknown effect size, significance level, and implied significance level with power, as well as the demonstrated ability to perform power and sample size calculations. In all cases, the unknown variable should properly designated, followed by entering the givens in the input parameters. For more information on power analysis, please visit our Introduction to Power Analysis seminar. Click here to report an error on this page or leave a comment How to cite this page UCLA OARC © 2024 UC REGENTS HOME CONTACT
8048	https://askfilo.com/user-question-answers-smart-solutions/if-solve-that-3132313734383231	Question asked by Filo student Views: 5,379 students Updated on: Aug 12, 2024 Text SolutionText solutionverified iconVerified Concepts: Partial derivatives, Second order partial derivatives, Laplace equation Explanation: We need to verify that the given function u=ex(xcosy−ysiny) satisfies the Laplace equation ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0. To do this, we will find the second order partial derivatives of u with respect to x and y, and then add them together to check if the sum is zero. Step by Step Solution: Step 1 First, find the first partial derivative of u with respect to x: ∂x∂u=∂x∂(ex(xcosy−ysiny)) Step 2 Using the product rule, ∂x∂u=ex(xcosy−ysiny)+ex(cosy)=ex(xcosy−ysiny+cosy) Step 3 Next, find the second partial derivative of u with respect to x: ∂x2∂2u=∂x∂(ex(xcosy−ysiny+cosy)) Step 4 Again, using the product rule, ∂x2∂2u=ex(xcosy−ysiny+cosy)+ex(cosy)=ex(xcosy−ysiny+2cosy) Step 5 Now, find the first partial derivative of u with respect to y: ∂y∂u=∂y∂(ex(xcosy−ysiny)) Step 6 Using the product rule, ∂y∂u=ex(−xsiny−ycosy−siny) and then the second partial derivative with respect to y: ∂y2∂2u=ex(−xcosy+ysiny−cosy). Adding the second derivatives: ∂x2∂2u+∂y2∂2u=ex(xcosy−ysiny+2cosy)+ex(−xcosy+ysiny−cosy)=ex(cosy)=0. Final Answer: The given function u=ex(xcosy−ysiny) satisfies the Laplace equation ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0. Students who ask this question also asked Views: 5,343 Topic: Smart Solutions View solution Views: 5,880 Topic: Smart Solutions View solution Views: 5,411 Topic: Smart Solutions View solution Views: 5,070 Topic: Smart Solutions View solution Stuck on the question or explanation? Connect with our tutors online and get step by step solution of this question. \| \| \| --- \| \| Question Text \| If u=ex(xcosy−ysiny), solve that ∂x2∂2u+∂y2∂2u=0 \| \| Updated On \| Aug 12, 2024 \| \| Topic \| All topics \| \| Subject \| Smart Solutions \| \| Class \| Undergraduate \| \| Answer Type \| Text solution:1 \| Are you ready to take control of your learning? Download Filo and start learning with your favorite tutors right away! Questions from top courses Explore Tutors by Cities Blog Knowledge © Copyright Filo EdTech INC. 2025
8049	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Inequality?srsltid=AfmBOoq7tpYMr2C5dTq6a9bEjIlF6Sh5La2EdRkGXfRS-Y0B_D_Dvq6x	Art of Problem Solving Inequality - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. 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Contents 1 Overview 2 Solving Inequalities 2.1 Linear Inequalities 2.2 Polynomial Inequalities 2.3 Rational Inequalities 3 Complete Inequalities 4 List of Theorems 4.1 Introductory 4.2 Advanced 5 Problems 5.1 Introductory 5.2 Intermediate 5.3 Olympiad 6 Resources 6.1 Books 6.1.1 Intermediate 6.1.2 Olympiad 6.2 Articles 6.2.1 Olympiad 6.3 Classes 6.3.1 Olympiad 7 See also Overview Inequalities are arguably a branch of elementary algebra, and relate slightly to number theory. They deal with relations of variables denoted by four signs: . For two numbers and : if is greater than , that is, is positive. if is smaller than , that is, is negative. if is greater than or equal to , that is, is nonnegative. if is less than or equal to , that is, is nonpositive. Note that if and only if , , and vice versa. The same applies to the latter two signs: if and only if , , and vice versa. Some properties of inequalities are: If , then , where . If , then , where . If , then , where . Solving Inequalities In general, when solving inequalities, same quantities can be added or subtracted without changing the inequality sign, much like equations. However, when multiplying, dividing, or square rooting, we have to watch the sign. In particular, notice that although , we must have . In particular, when multiplying or dividing by negative quantities, we have to flip the sign. Complications can arise when the value multiplied can have varying signs depending on the variable. We also have to be careful about the boundaries of the solutions. In the example , the value does not satisfy the inequality because the inequality is strict. However, in the example , the value satisfies the inequality because the inequality is nonstrict. Solutions can be written in interval notation. Closed bounds use square brackets, while open bounds (and bounds at infinity) use parentheses. For instance, ![Image 49: $x \in 3,6)$ means . Linear Inequalities Linear inequalities can be solved much like linear equations to get implicit restrictions upon a variable. However, when multiplying/dividing both sides by negative numbers, we have to flip the sign. Polynomial Inequalities The first part of solving polynomial inequalities is much like solving polynomial equations -- bringing all the terms to one side and finding the roots. Afterward, we have to consider bounds. We're comparing the sign of the polynomial with different inputs, so we could imagine a rough graph of the polynomial and how it passes through zeroes (since passing through zeroes could change the sign). Then we can find the appropriate bounds of the inequality. Rational Inequalities A more complex example is . Here is a common mistake: The problem here is that we multiplied by as one of the last steps. We also kept the inequality sign in the same direction. However, we don't know if the quantity is negative or not; we can't assume that it is positive for all real . Thus, we may have to reverse the direction of the inequality sign if we are multiplying by a negative number. But, we don't know if the quantity is negative either. A correct solution would be to move everything to the left side of the inequality, and form a common denominator. Then, it will be simple to find the solutions to the inequality by considering the sign (negativeness or positiveness) of the fraction as varies. We will start with an intuitive solution, and then a rule can be built for solving general fractional inequalities. To make things easier, we test positive integers. makes a good starting point, but does not solve the inequality. Nor does . Therefore, these two aren't solutions. Then we begin to test numbers such as , , and so on. All of these work. In fact, it's not difficult to see that the fraction will remain positive as gets larger and larger. But just where does , which causes a negative fraction at and , begin to cause a positive fraction? We can't just assume that is the switching point; this solution is not simply limited to integers. The numerator and denominator are big hints. Specifically, we examine that when (the numerator), then the fraction is , and begins to be positive for all higher values of . Solving the equation reveals that is the turning point. After more of this type of work, we realize that brings about division by , so it certainly isn't a solution. However, it also tells us that any value of that is less than brings about a fraction that has a negative numerator and denominator, resulting in a positive fraction and thus satisfying the inequality. No value between and (except itself) seems to be a solution. Therefore, we conclude that the solutions are the intervals ![Image 78: $(-\infty,-5)\cup\frac{3}{2},+\infty)$. For the sake of better notation, define the "x-intercept" of a fractional inequality to be those values of that cause the numerator and/or the denominator to be .To develop a method for quicker solutions of fractional inequalities, we can simply consider the "x-intercepts" of the numerator and denominator. We graph them on the number line. Then, in every region of the number line, we test one point to see if the whole region is part of the solution. For example, in the example problem above, we see that we only had to test one value such as in the region , as well as one value in the region ![Image 83: $(-\infty,-5]$]( and ![Image 84: $\frac{3}{2},+\infty)$; then we see which regions are part of the solution set. This does indeed give the complete solution set. One must be careful about the boundaries of the solutions. In the example problem, the value was a solution only because the inequality was nonstrict. Also, the value was not a solution because it would bring about division by . Similarly, any "x-intercept" of the numerator is a solution if and only if the inequality is nonstrict, and every "x-intercept" of the denominator is never a solution because we cannot divide by . Complete Inequalities A inequality that is true for all real numbers or for all positive numbers (or even for all complex numbers) is sometimes called a complete inequality. An example for real numbers is the so-called Trivial Inequality, which states that for any real , . Most inequalities of this type are only for positive numbers, and this type of inequality often has extremely clever problems and applications. List of Theorems Here are some of the more useful inequality theorems, as well as general inequality topics. Introductory Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality Cauchy-Schwarz Inequality Titu's Lemma Chebyshev's Inequality Geometric inequalities Jensen's Inequality Nesbitt's Inequality Rearrangement Inequality Power mean inequality Triangle Inequality Trivial inequality Schur's Inequality Advanced Aczel's Inequality Callebaut's Inequality Carleman's Inequality Hölder's inequality Radon's Inequality Homogenization Isoperimetric inequalities Maclaurin's Inequality Muirhead's Inequality Minkowski Inequality Newton's Inequality Ptolemy's Inequality Can someone fix that Ptolemy's is in Advanced? Problems Introductory Practice Problems on Alcumus Inequalities (Prealgebra) Solving Linear Inequalities (Algebra) Quadratic Inequalities (Algebra) Basic Rational Function Equations and Inequalities (Intermediate Algebra) A tennis player computes her win ratio by dividing the number of matches she has won by the total number of matches she has played. At the start of a weekend, her win ratio is exactly . During the weekend, she plays four matches, winning three and losing one. At the end of the weekend, her win ratio is greater than . What's the largest number of matches she could've won before the weekend began? (1992 AIME Problems/Problem 3) Intermediate Practice Problems on Alcumus Quadratic Inequalities (Algebra) Advanced Rational Function Equations and Inequalities (Intermediate Algebra) General Inequality Skills (Intermediate Algebra) Advanced Inequalities (Intermediate Algebra) Given that , and show that . (weblog_entry.php?t=172070 Source) Olympiad See also Category:Olympiad Inequality Problems Let be positive real numbers. Prove that (2001 IMO Problems/Problem 2) Resources Books Intermediate Introduction to Inequalities Geometric Inequalities Olympiad Advanced Olympiad Inequalities: Algebraic & Geometric Olympiad Inequalities by Alijadallah Belabess. The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities by J. Michael Steele. Problem Solving Strategies by Arthur Engel contains significant material on inequalities. Inequalities by G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya. Articles Olympiad Inequalities by MIT Professor Kiran Kedlaya. Inequalities by IMO gold medalist Thomas Mildorf. Classes Olympiad The Worldwide Online Olympiad Training Program is designed to help students learn to tackle mathematical Olympiad problems in topics such as inequalities. See also Mathematics competitions Math books Retrieved from " Categories: Algebra Inequalities Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
8050	https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_variance	Jump to content Law of total variance فارسی Français Italiano עברית 粵語 Edit links From Wikipedia, the free encyclopedia Theorem in probability theory The law of total variance is a fundamental result in probability theory that expresses the variance of a random variable Y in terms of its conditional variances and conditional means given another random variable X. Informally, it states that the overall variability of Y can be split into an “unexplained” component (the average of within-group variances) and an “explained” component (the variance of group means). Formally, if X and Y are random variables on the same probability space, and Y has finite variance, then: This identity is also known as the variance decomposition formula, the conditional variance formula, the law of iterated variances, or colloquially as Eve’s law, in parallel to the “Adam’s law” naming for the law of total expectation. In actuarial science (particularly in credibility theory), the two terms and are called the expected value of the process variance (EVPV) and the variance of the hypothetical means (VHM) respectively. Explanation [edit] Let Y be a random variable and X another random variable on the same probability space. The law of total variance can be understood by noting: measures how much Y varies around its conditional mean Taking the expectation of this conditional variance across all values of X gives , often termed the “unexplained” or within-group part. The variance of the conditional mean, , measures how much these conditional means differ (i.e. the “explained” or between-group part). Adding these components yields the total variance , mirroring how analysis of variance partitions variation. Examples [edit] Example 1 (Exam Scores) [edit] Suppose five students take an exam scored 0–100. Let Y = student’s score and X indicate whether the student is international or domestic: \| Student \| Y (Score) \| X \| --- \| 1 \| 20 \| International \| \| 2 \| 30 \| International \| \| 3 \| 100 \| International \| \| 4 \| 40 \| Domestic \| \| 5 \| 60 \| Domestic \| Mean and variance for international: Mean and variance for domestic: Both groups share the same mean (50), so the explained variance is 0, and the total variance equals the average of the within-group variances (weighted by group size), i.e. 800. Example 2 (Mixture of Two Gaussians) [edit] Let X be a coin flip taking values Heads with probability h and Tails with probability 1−h. Given Heads, Y ~ Normal(); given Tails, Y ~ Normal(). Then so Example 3 (Dice and Coins) [edit] Consider a two-stage experiment: Roll a fair die (values 1–6) to choose one of six biased coins. Flip that chosen coin; let Y=1 if Heads, 0 if Tails. Then The overall variance of Y becomes with uniform on Proof [edit] Discrete/Finite Proof [edit] Let , , be observed pairs. Define Then where Expanding the square and noting the cross term cancels in summation yields: General Case [edit] Using and the law of total expectation: Subtract and regroup to arrive at Applications [edit] Analysis of Variance (ANOVA) [edit] In a one-way analysis of variance, the total sum of squares (proportional to ) is split into a “between-group” sum of squares () plus a “within-group” sum of squares (). The F-test examines whether the explained component is sufficiently large to indicate X has a significant effect on Y. Regression and R² [edit] In linear regression and related models, if the fraction of variance explained is In the simple linear case (one predictor), also equals the square of the Pearson correlation coefficient between X and Y. Machine Learning and Bayesian Inference [edit] In many Bayesian and ensemble methods, one decomposes prediction uncertainty via the law of total variance. For a Bayesian neural network with random parameters : often referred to as “aleatoric” (within-model) vs. “epistemic” (between-model) uncertainty. Actuarial Science [edit] Credibility theory uses the same partitioning: the expected value of process variance (EVPV), and the variance of hypothetical means (VHM), The ratio of explained to total variance determines how much “credibility” to give to individual risk classifications. Information Theory [edit] For jointly Gaussian , the fraction relates directly to the mutual information In non-Gaussian settings, a high explained-variance ratio still indicates significant information about Y contained in X. Generalizations [edit] The law of total variance generalizes to multiple or nested conditionings. For example, with two conditioning variables and : More generally, the law of total cumulance extends this approach to higher moments. See also [edit] Law of total expectation (Adam’s law) Law of total covariance Law of total cumulance Analysis of variance Conditional expectation R-squared Fraction of variance unexplained Variance decomposition References [edit] ^ Joe Blitzstein and Jessica Hwang, Introduction to Probability, Final Review Notes. ^ Jump up to: a b Mahler, Howard C.; Dean, Curtis G. (2001). "Chapter 8: Credibility" (PDF). In Casualty Actuarial Society (ed.). Foundations of Casualty Actuarial Science (4th ed.). Casualty Actuarial Society. pp. 525–526. ISBN 978-0-96247-622-8. Retrieved June 25, 2015. ^ Analysis of variance — R.A. Fisher’s 1920s development. ^ See for instance AWS ML quantifying uncertainty guidance. ^ C. G. Bowsher & P. S. Swain (2012). "Identifying sources of variation and the flow of information in biochemical networks," PNAS 109 (20): E1320–E1328. Blitzstein, Joe. "Stat 110 Final Review (Eve's Law)" (PDF). stat110.net. Harvard University, Department of Statistics. Retrieved 9 July 2014. "Law of total variance". The Book of Statistical Proofs. Billingsley, Patrick (1995). "Problem 34.10(b)". Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. Weiss, Neil A. (2005). A Course in Probability. Addison–Wesley. pp. 380–386. ISBN 0-201-77471-2. Bowsher, C.G.; Swain, P.S. (2012). "Identifying sources of variation and the flow of information in biochemical networks". PNAS. 109 (20): E1320 – E1328. doi:10.1073/pnas.1118365109. Retrieved from " Categories: Algebra of random variables Statistical deviation and dispersion Theory of probability distributions Theorems in statistics Statistical laws Hidden categories: Articles with short description Short description is different from Wikidata Articles containing proofs
8051	https://pdg.lbl.gov/2018/listings/rpp2018-list-pi-plus-minus.pdf	Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) π± IG (JP) = 1−(0−) We have omitted some results that have been superseded by later experiments. The omitted results may be found in our 1988 edition Physics Letters B204 B204 B204 B204 1 (1988). π± MASS π± MASS π± MASS π± MASS The most accurate charged pion mass measurements are based upon x-ray wavelength measurements for transitions in π−-mesonic atoms. The observed line is the blend of three components, corresponding to diﬀerent K-shell occupancies. JECKELMANN 94 revisits the occupancy question, with the conclusion that two sets of occupancy ratios, resulting in two dif-ferent pion masses (Solutions A and B), are equally probable. We choose the higher Solution B since only this solution is consistent with a positive mass-squared for the muon neutrino, given the precise muon momentum measurements now available (DAUM 91, ASSAMAGAN 94, and ASSAM-AGAN 96) for the decay of pions at rest. Earlier mass determinations with pi-mesonic atoms may have used incorrect K-shell screening corrections. Measurements with an error of > 0.005 MeV have been omitted from this Listing. VALUE (MeV) DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT 139.57061±0.00024 OUR FIT 139.57061±0.00024 OUR FIT 139.57061±0.00024 OUR FIT 139.57061±0.00024 OUR FIT Error includes scale factor of 1.6. 139.57061±0.00023 OUR AVERAGE 139.57061±0.00023 OUR AVERAGE 139.57061±0.00023 OUR AVERAGE 139.57061±0.00023 OUR AVERAGE Error includes scale factor of 1.5. See the ideogram below. 139.57077±0.00018 1 TRASSINELLI 16 CNTR X-ray transitions in pionic N2 139.57071±0.00053 2 LENZ 98 CNTR − pionic N2-atoms gas target 139.56995±0.00035 3 JECKELMANN 94 CNTR − π−atom, Soln. B • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 139.57022±0.00014 4 ASSAMAGAN 96 SPEC + π+ →µ+ νµ 139.56782±0.00037 5 JECKELMANN 94 CNTR − π−atom, Soln. A 139.56996±0.00067 6 DAUM 91 SPEC + π+ →µ+ ν 139.56752±0.00037 7 JECKELMANN 86B CNTR − Mesonic atoms 139.5704 ±0.0011 6 ABELA 84 SPEC + See DAUM 91 139.5664 ±0.0009 8 LU 80 CNTR − Mesonic atoms 139.5686 ±0.0020 CARTER 76 CNTR − Mesonic atoms 139.5660 ±0.0024 8,9 MARUSHEN... 76 CNTR − Mesonic atoms 1 TRASSINELLI 16 use the muonic oxygen line for online energy calibration of the pionic line. 2 LENZ 98 result does not suﬀer K-electron conﬁguration uncertainties as does JECKEL-MANN 94. 3 JECKELMANN 94 Solution B (dominant 2-electron K-shell occupancy), chosen for con-sistency with positive m2 νµ. 4 ASSAMAGAN 96 measures the µ+ momentum pµ in π+ → µ+ νµ decay at rest to be 29.79200 ± 0.00011 MeV/c. Combined with the µ+ mass and the assumption mνµ = 0, this gives the π+ mass above; if mνµ > 0, mπ+ given above is a lower limit. HTTP://PDG.LBL.GOV Page 1 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) Combined instead with mµ and (assuming CPT) the π−mass of JECKELMANN 94, pµ gives an upper limit on mνµ (see the νµ). 5 JECKELMANN 94 Solution A (small 2-electron K-shell occupancy) in combination with either the DAUM 91 or ASSAMAGAN 94 pion decay muon momentum measurement yields a signiﬁcantly negative m2 νµ. It is accordingly not used in our ﬁts. 6 The DAUM 91 value includes the ABELA 84 result. The value is based on a measurement of the µ+ momentum for π+ decay at rest, pµ = 29.79179 ± 0.00053 MeV, uses mµ = 105.658389 ± 0.000034 MeV, and assumes that mνµ = 0. The last assumption means that in fact the value is a lower limit. 7 JECKELMANN 86B gives mπ/me = 273.12677(71). We use me = 0.51099906(15) MeV from COHEN 87. The authors note that two solutions for the probability distribution of K-shell occupancy ﬁt equally well, and use other data to choose the lower of the two possible π± masses. 8 These values are scaled with a new wavelength-energy conversion factor Vλ = 1.23984244(37) × 10−6 eV m from COHEN 87. The LU 80 screening correction re-lies upon a theoretical calculation of inner-shell reﬁlling rates. 9 This MARUSHENKO 76 value used at the authors’ request to use the accepted set of calibration γ energies. Error increased from 0.0017 MeV to include QED calculation error of 0.0017 MeV (12 ppm). WEIGHTED AVERAGE 139.57061±0.00023 (Error scaled by 1.5) Values above of weighted average, error, and scale factor are based upon the data in this ideogram only. They are not neces-sarily the same as our ‘best’ values, obtained from a least-squares constrained fit utilizing measurements of other (related) quantities as additional information. JECKELMANN 94 CNTR 3.5 LENZ 98 CNTR 0.0 TRASSINELLI 16 CNTR 0.8 χ2 4.4 (Confidence Level = 0.112) 139.569 139.57 139.571 139.572 139.573 139.574 π± mass (MeV) mπ+ −mµ+ mπ+ −mµ+ mπ+ −mµ+ mπ+ −mµ+ Measurements with an error > 0.05 MeV have been omitted from this Listing. VALUE (MeV) EVTS DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • HTTP://PDG.LBL.GOV Page 2 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) 33.91157±0.00067 1 DAUM 91 SPEC + π+ →µ+ ν 33.9111 ±0.0011 ABELA 84 SPEC See DAUM 91 33.925 ±0.025 BOOTH 70 CNTR + Magnetic spect. 33.881 ±0.035 145 HYMAN 67 HEBC + K−He 1 The DAUM 91 value assumes that mνµ = 0 and uses our mµ = 105.658389 ± 0.000034 MeV. (mπ+ −mπ−) / maverage (mπ+ −mπ−) / maverage (mπ+ −mπ−) / maverage (mπ+ −mπ−) / maverage A test of CPT invariance. VALUE (units 10−4) DOCUMENT ID TECN 2±5 2±5 2±5 2±5 AYRES 71 CNTR π± MEAN LIFE π± MEAN LIFE π± MEAN LIFE π± MEAN LIFE Measurements with an error > 0.02 × 10−8 s have been omitted. VALUE (10−8 s) DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT 2.6033 ±0.0005 OUR AVERAGE 2.6033 ±0.0005 OUR AVERAGE 2.6033 ±0.0005 OUR AVERAGE 2.6033 ±0.0005 OUR AVERAGE Error includes scale factor of 1.2. 2.60361±0.00052 1 KOPTEV 95 SPEC + Surface µ+’s 2.60231±0.00050±0.00084 NUMAO 95 SPEC + Surface µ+’s 2.609 ±0.008 DUNAITSEV 73 CNTR + 2.602 ±0.004 AYRES 71 CNTR ± 2.604 ±0.005 NORDBERG 67 CNTR + 2.602 ±0.004 ECKHAUSE 65 CNTR + • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 2.640 ±0.008 2 KINSEY 66 CNTR + 1 KOPTEV 95 combines the statistical and systematic errors; the statistical error domi-nates. 2 Systematic errors in the calibration of this experiment are discussed by NORDBERG 67. (τ π+ −τ π−) / τ average (τ π+ −τ π−) / τ average (τ π+ −τ π−) / τ average (τ π+ −τ π−) / τ average A test of CPT invariance. VALUE (units 10−4) DOCUMENT ID TECN 5.5± 7.1 5.5± 7.1 5.5± 7.1 5.5± 7.1 AYRES 71 CNTR • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • −14 ±29 PETRUKHIN 68 CNTR 40 ±70 BARDON 66 CNTR 23 ±40 1 LOBKOWICZ 66 CNTR 1 This is the most conservative value given by LOBKOWICZ 66. π ELECTRIC POLARIZABILITY απ π ELECTRIC POLARIZABILITY απ π ELECTRIC POLARIZABILITY απ π ELECTRIC POLARIZABILITY απ See HOLSTEIN 14 for a general review on hadron polarizability. VALUE (10−4 fm3) EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 2.0±0.6±0.7 2.0±0.6±0.7 2.0±0.6±0.7 2.0±0.6±0.7 63k 1 ADOLPH 15A SPEC π−γ →π−γ Compton scatt. HTTP://PDG.LBL.GOV Page 3 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) 1 Value is derived assuming απ = −βπ. π+ DECAY MODES π+ DECAY MODES π+ DECAY MODES π+ DECAY MODES π−modes are charge conjugates of the modes below. For decay limits to particles which are not established, see the section on Searches for Axions and Other Very Light Bosons. Mode Fraction (Γi /Γ) Conﬁdence level Γ1 µ+ νµ [a] (99.98770±0.00004) % Γ2 µ+ νµ γ [b] ( 2.00 ±0.25 ) × 10−4 Γ3 e+ νe [a] ( 1.230 ±0.004 ) × 10−4 Γ4 e+ νe γ [b] ( 7.39 ±0.05 ) × 10−7 Γ5 e+ νe π0 ( 1.036 ±0.006 ) × 10−8 Γ6 e+ νe e+ e− ( 3.2 ±0.5 ) × 10−9 Γ7 e+ νe ν ν < 5 × 10−6 90% Lepton Family number (LF) or Lepton number (L) violating modes Lepton Family number (LF) or Lepton number (L) violating modes Lepton Family number (LF) or Lepton number (L) violating modes Lepton Family number (LF) or Lepton number (L) violating modes Γ8 µ+ νe L [c] < 1.5 × 10−3 90% Γ9 µ+ νe LF [c] < 8.0 × 10−3 90% Γ10 µ−e+ e+ ν LF < 1.6 × 10−6 90% [a] Measurements of Γ(e+ νe)/Γ(µ+νµ) always include decays with γ’s, and measurements of Γ(e+ νe γ) and Γ(µ+νµ γ) never include low-energy γ’s. Therefore, since no clean separation is possible, we consider the modes with γ’s to be subreactions of the modes without them, and let [Γ(e+νe) + Γ(µ+νµ)]/Γtotal = 100%. [b] See the Particle Listings below for the energy limits used in this mea-surement; low-energy γ’s are not included. [c] Derived from an analysis of neutrino-oscillation experiments. π+ BRANCHING RATIOS π+ BRANCHING RATIOS π+ BRANCHING RATIOS π+ BRANCHING RATIOS Γ ¡ e+νe ¢ /Γtotal Γ3/Γ Γ ¡ e+νe ¢ /Γtotal Γ3/Γ Γ ¡ e+ νe ¢ /Γtotal Γ3/Γ Γ ¡ e+ νe ¢ /Γtotal Γ3/Γ See note [a] in the list of π+ decay modes just above, and see also the next block of data. See also the note on “Decay Constants of Charged Pseudoscalar Mesons” in the D+ s Listings. VALUE (units 10−4) DOCUMENT ID 1.230±0.004 OUR EVALUATION 1.230±0.004 OUR EVALUATION 1.230±0.004 OUR EVALUATION 1.230±0.004 OUR EVALUATION HTTP://PDG.LBL.GOV Page 4 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) £ Γ ¡ e+ νe ¢ + Γ ¡ e+ νe γ ¢¤ / £ Γ ¡ µ+ νµ ¢ + Γ ¡ µ+ νµ γ ¢¤ (Γ3+Γ4)/(Γ1+Γ2) £ Γ ¡ e+ νe ¢ + Γ ¡ e+ νe γ ¢¤ / £ Γ ¡ µ+ νµ ¢ + Γ ¡ µ+ νµ γ ¢¤ (Γ3+Γ4)/(Γ1+Γ2) £ Γ ¡ e+ νe ¢ + Γ ¡ e+ νe γ ¢¤ / £ Γ ¡ µ+ νµ ¢ + Γ ¡ µ+νµ γ ¢¤ (Γ3+Γ4)/(Γ1+Γ2) £ Γ ¡ e+ νe ¢ + Γ ¡ e+ νe γ ¢¤ / £ Γ ¡ µ+ νµ ¢ + Γ ¡ µ+νµ γ ¢¤ (Γ3+Γ4)/(Γ1+Γ2) See note [a] in the list of π+ decay modes above. See NUMAO 92 for a discussion of e-µ universality. See also the note on “Decay Constants of Charged Pseudoscalar Mesons” in the D+ s Listings. VALUE (units 10−4) EVTS DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT 1.2327±0.0023 OUR AVERAGE 1.2327±0.0023 OUR AVERAGE 1.2327±0.0023 OUR AVERAGE 1.2327±0.0023 OUR AVERAGE 1.2344±0.0023±0.0019 400k AGUILAR-AR...15 CNTR + Stopping π+ 1.2346±0.0035±0.0036 120k CZAPEK 93 CALO Stopping π+ 1.2265±0.0034±0.0044 190k BRITTON 92 CNTR Stopping π+ 1.218 ±0.014 32k BRYMAN 86 CNTR Stopping π+ • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 1.273 ±0.028 11k 1 DICAPUA 64 CNTR 1.21 ±0.07 ANDERSON 60 SPEC 1 DICAPUA 64 has been updated using the current mean life. Γ ¡ µ+νµ γ ¢ /Γtotal Γ2/Γ Γ ¡ µ+νµ γ ¢ /Γtotal Γ2/Γ Γ ¡ µ+ νµ γ ¢ /Γtotal Γ2/Γ Γ ¡ µ+ νµ γ ¢ /Γtotal Γ2/Γ Note that measurements here do not cover the full kinematic range. VALUE (units 10−4) EVTS DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT 2.0 ±0.24±0.08 2.0 ±0.24±0.08 2.0 ±0.24±0.08 2.0 ±0.24±0.08 1 BRESSI 98 CALO + Stopping π+ • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 1.24±0.25 26 CASTAGNOLI 58 EMUL KEµ < 3.38 MeV 1 BRESSI 98 result is given for Eγ > 1 MeV only. Result agrees with QED expectation, 2.283 × 10−4 and does not conﬁrm discrepancy of earlier experiment CASTAGNOLI 58. Γ ¡ e+νe γ ¢ /Γtotal Γ4/Γ Γ ¡ e+νe γ ¢ /Γtotal Γ4/Γ Γ ¡ e+ νe γ ¢ /Γtotal Γ4/Γ Γ ¡ e+ νe γ ¢ /Γtotal Γ4/Γ The very diﬀerent values reﬂect the very diﬀerent kinematic ranges covered (bigger range, bigger value). And none of them covers the whole kinematic range. VALUE (units 10−8) EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 73.86±0.54 73.86±0.54 73.86±0.54 73.86±0.54 65k 1 BYCHKOV 09 PIBE e+ ν γ at rest • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 16.1 ±2.3 2 BOLOTOV 90B SPEC 17 GeV π−→e−νe γ 5.6 ±0.7 226 3 STETZ 78 SPEC Pe > 56 MeV/c 3.0 143 DEPOMMIER 63B CNTR (KE)e+ γ > 48 MeV 1 This BYCHKOV 09 value is for Eγ > 10 MeV and Θe+ γ > 40◦. 2 BOLOTOV 90B is for Eγ > 21 MeV, Ee > 70 −0.8 Eγ. 3 STETZ 78 is for an e−γ opening angle > 132◦. Obtains 3.7 when using same cutoﬀs as DEPOMMIER 63B. Γ ¡ e+νe π0¢ /Γtotal Γ5/Γ Γ ¡ e+νe π0¢ /Γtotal Γ5/Γ Γ ¡ e+ νe π0¢ /Γtotal Γ5/Γ Γ ¡ e+ νe π0¢ /Γtotal Γ5/Γ VALUE (units 10−8) EVTS DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT 1.036±0.006 OUR AVERAGE 1.036±0.006 OUR AVERAGE 1.036±0.006 OUR AVERAGE 1.036±0.006 OUR AVERAGE 1.036±0.006 64k 1,2 POCANIC 04 PIBE + π decay at rest 1.026±0.039 1224 3 MCFARLANE 85 CNTR + Decay in ﬂight 1.00 +0.08 −0.10 332 DEPOMMIER 68 CNTR + 1.07 ±0.21 38 4 BACASTOW 65 OSPK + HTTP://PDG.LBL.GOV Page 5 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) 1.10 ±0.26 4 BERTRAM 65 OSPK + 1.1 ±0.2 43 4 DUNAITSEV 65 CNTR + 0.97 ±0.20 36 4 BARTLETT 64 OSPK + • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 1.15 ±0.22 52 4 DEPOMMIER 63 CNTR + See DEPOMMIER 68 1 POCANIC 04 normalizes to e+ νe decays, using the PDG 2004 value B(π+ →e+ νe) = (1.230 ± 0.004)×10−4. We add their statistical (0.004×10−8), systematic (0.004× 10−8) and systematic error due to the uncertainty of B(π+ →e+ νe) (0.003 × 10−8) in quadrature. 2 This result can be used to calculate Vud from pion beta decay: VP IBETA ud = 0.9728 ± 0.0030. 3 MCFARLANE 85 combines a measured rate (0.394 ± 0.015)/s with 1982 PDG mean life. 4 DEPOMMIER 68 says the result of DEPOMMIER 63 is at least 10% too large because of a systematic error in the π0 detection eﬃciency, and that this may be true of all the previous measurements (also V. Soergel, private communication, 1972). Γ ¡ e+νe e+ e−¢ /Γ ¡ µ+νµ ¢ Γ6/Γ1 Γ ¡ e+νe e+ e−¢ /Γ ¡ µ+νµ ¢ Γ6/Γ1 Γ ¡ e+ νe e+e−¢ /Γ ¡ µ+ νµ ¢ Γ6/Γ1 Γ ¡ e+ νe e+e−¢ /Γ ¡ µ+ νµ ¢ Γ6/Γ1 VALUE (units 10−9) CL% EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 3.2 ±0.5 ±0.2 3.2 ±0.5 ±0.2 3.2 ±0.5 ±0.2 3.2 ±0.5 ±0.2 98 EGLI 89 SPEC Uses RPCAC = 0.068 ± 0.004 • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 0.46±0.16±0.07 7 1 BARANOV 92 SPEC Stopped π+ < 4.8 90 KORENCHE... 76B SPEC <34 90 KORENCHE... 71 OSPK 1 This measurement by BARANOV 92 is of the structure-dependent part of the decay. The value depends on values assumed for ratios of form factors. Γ ¡ e+νe ν ν ¢ /Γtotal Γ7/Γ Γ ¡ e+νe ν ν ¢ /Γtotal Γ7/Γ Γ ¡ e+ νe ν ν ¢ /Γtotal Γ7/Γ Γ ¡ e+ νe ν ν ¢ /Γtotal Γ7/Γ VALUE (units 10−6) CL% DOCUMENT ID TECN <5 <5 <5 <5 90 PICCIOTTO 88 SPEC Γ ¡ µ+νe ¢ /Γtotal Γ8/Γ Γ ¡ µ+νe ¢ /Γtotal Γ8/Γ Γ ¡ µ+ νe ¢ /Γtotal Γ8/Γ Γ ¡ µ+ νe ¢ /Γtotal Γ8/Γ Forbidden by total lepton number conservation. See the note on “Decay Constants of Charged Pseudoscalar Mesons” in the D+ s Listings. VALUE (units 10−3) CL% DOCUMENT ID TECN COMMENT <1.5 <1.5 <1.5 <1.5 90 1 COOPER 82 HLBC Wideband ν beam 1 COOPER 82 limit on νe observation is here interpreted as a limit on lepton number violation. Γ ¡ µ+νe ¢ /Γtotal Γ9/Γ Γ ¡ µ+νe ¢ /Γtotal Γ9/Γ Γ ¡ µ+ νe ¢ /Γtotal Γ9/Γ Γ ¡ µ+ νe ¢ /Γtotal Γ9/Γ Forbidden by lepton family number conservation. VALUE (units 10−3) CL% DOCUMENT ID TECN COMMENT <8.0 <8.0 <8.0 <8.0 90 1 COOPER 82 HLBC Wideband ν beam 1 COOPER 82 limit on νe observation is here interpreted as a limit on lepton family number violation. HTTP://PDG.LBL.GOV Page 6 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) Γ ¡ µ−e+ e+ ν ¢ /Γtotal Γ10/Γ Γ ¡ µ−e+ e+ ν ¢ /Γtotal Γ10/Γ Γ ¡ µ−e+ e+ ν ¢ /Γtotal Γ10/Γ Γ ¡ µ−e+ e+ ν ¢ /Γtotal Γ10/Γ Forbidden by lepton family number conservation. VALUE (units 10−6) CL% DOCUMENT ID TECN CHG <1.6 <1.6 <1.6 <1.6 90 BARANOV 91B SPEC + • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • <7.7 90 KORENCHE... 87 SPEC + π+ — POLARIZATION OF EMITTED µ+ π+ — POLARIZATION OF EMITTED µ+ π+ — POLARIZATION OF EMITTED µ+ π+ — POLARIZATION OF EMITTED µ+ π+ →µ+ ν π+ →µ+ ν π+ →µ+ ν π+ →µ+ ν Tests the Lorentz structure of leptonic charged weak interactions. VALUE CL% DOCUMENT ID TECN CHG COMMENT • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • <(−0.9959) 90 1 FETSCHER 84 RVUE + −0.99±0.16 2 ABELA 83 SPEC − µ X-rays 1 FETSCHER 84 uses only the measurement of CARR 83. 2 Sign of measurement reversed in ABELA 83 to compare with µ+ measurements. See the related review(s): Form Factors for Radiative Pion and Kaon Decays π± FORM FACTORS π± FORM FACTORS π± FORM FACTORS π± FORM FACTORS FV , VECTOR FORM FACTOR FV , VECTOR FORM FACTOR FV , VECTOR FORM FACTOR FV , VECTOR FORM FACTOR VALUE EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 0.0254±0.0017 OUR AVERAGE 0.0254±0.0017 OUR AVERAGE 0.0254±0.0017 OUR AVERAGE 0.0254±0.0017 OUR AVERAGE 0.0258±0.0017 65k 1 BYCHKOV 09 PIBE e+ ν γ at rest 0.014 ±0.009 2 BOLOTOV 90B SPEC 17 GeV π−→e−νe γ 0.023 +0.015 −0.013 98 EGLI 89 SPEC π+ →e+ νe e+ e− 1 The BYCHKOV 09 FA and FV results are highly (anti-)correlated: FA + 1.0286 FV = 0.03853 ± 0.00014. 2 BOLOTOV 90B only determines the absolute value. FA, AXIAL-VECTOR FORM FACTOR FA, AXIAL-VECTOR FORM FACTOR FA, AXIAL-VECTOR FORM FACTOR FA, AXIAL-VECTOR FORM FACTOR VALUE EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 0.0119±0.0001 0.0119±0.0001 0.0119±0.0001 0.0119±0.0001 65k 1,2 BYCHKOV 09 PIBE e+ ν γ at rest • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 0.0115±0.0004 41k 1,3 FRLEZ 04 PIBE π+ →e+ ν γ at rest 0.0106±0.0060 1,4 BOLOTOV 90B SPEC 17 GeV π−→e−νe γ 0.021 +0.011 −0.013 98 EGLI 89 SPEC π+ →e+ νe e+ e− 0.0135±0.0016 1,4 BAY 86 SPEC π+ →e+ ν γ 0.006 ±0.003 1,4 PIILONEN 86 SPEC π+ →e+ ν γ 0.011 ±0.003 1,4,5 STETZ 78 SPEC π+ →e+ ν γ HTTP://PDG.LBL.GOV Page 7 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) 1 These values come from ﬁxing the vector form factor at the CVC prediction, FV = 0.0259 ± 0.0005. 2 When FV is released, the BYCHKOV 09 FA is 0.0117 ± 0.0017, and FA and FV results are highly (anti-)correlated: FA + 1.0286 FV = 0.03853 ± 0.00014. 3 The sign of γ = FA /FV is determined to be positive. 4 Only the absolute value of FA is determined. 5 The result of STETZ 78 has a two-fold ambiguity. We take the solution compatible with later determinations. VECTOR FORM FACTOR SLOPE PARAMETER a VECTOR FORM FACTOR SLOPE PARAMETER a VECTOR FORM FACTOR SLOPE PARAMETER a VECTOR FORM FACTOR SLOPE PARAMETER a This is a in FV (q2) = FV (0) (1 + a q2) VALUE EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 0.10±0.06 0.10±0.06 0.10±0.06 0.10±0.06 65k BYCHKOV 09 PIBE e+ ν γ at rest R, SECOND AXIAL-VECTOR FORM FACTOR R, SECOND AXIAL-VECTOR FORM FACTOR R, SECOND AXIAL-VECTOR FORM FACTOR R, SECOND AXIAL-VECTOR FORM FACTOR VALUE EVTS DOCUMENT ID TECN COMMENT 0.059+0.009 −0.008 0.059+0.009 −0.008 0.059+0.009 −0.008 0.059+0.009 −0.008 98 EGLI 89 SPEC π+ →e+ νe e+ e− π± CHARGE RADIUS π± CHARGE RADIUS π± CHARGE RADIUS π± CHARGE RADIUS VALUE (fm) DOCUMENT ID TECN COMMENT 0.672±0.008 OUR AVERAGE 0.672±0.008 OUR AVERAGE 0.672±0.008 OUR AVERAGE 0.672±0.008 OUR AVERAGE Error includes scale factor of 1.7. See the ideogram below. 0.65 ±0.05 ±0.06 ESCHRICH 01 CNTR πe →πe 0.740±0.031 LIESENFELD 99 CNTR e p →e π+ n 0.663±0.006 AMENDOLIA 86 CNTR πe →πe 0.663±0.023 DALLY 82 CNTR πe →πe 0.711±0.009±0.016 BEBEK 78 CNTR e N →e πN 0.678±0.004±0.008 QUENZER 78 CNTR e+ e−→π+ π− • • • We do not use the following data for averages, ﬁts, limits, etc. • • • 0.657±0.003 1 ANANTHANA... 17 FIT Fit existing data 0.661±0.012 2 BIJNENS 98 CNTR χPT extraction 0.660±0.024 AMENDOLIA 84 CNTR πe →πe 0.78 +0.09 −0.10 ADYLOV 77 CNTR πe →πe 0.74 +0.11 −0.13 BARDIN 77 CNTR e p →e π+ n 0.56 ±0.04 DALLY 77 CNTR πe →πe 1 ANANTHANARAYAN 17 ﬁt existing FV data, using a mixed phase-modulus dispersive representation. 2 BIJNENS 98 ﬁts existing data. HTTP://PDG.LBL.GOV Page 8 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) WEIGHTED AVERAGE 0.672±0.008 (Error scaled by 1.7) QUENZER 78 CNTR 0.5 BEBEK 78 CNTR 4.6 DALLY 82 CNTR 0.2 AMENDOLIA 86 CNTR 2.2 LIESENFELD 99 CNTR 4.8 ESCHRICH 01 CNTR χ2 12.2 (Confidence Level = 0.016) 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 π± charge radius π± REFERENCES π± REFERENCES π± REFERENCES π± REFERENCES We have omitted some papers that have been superseded by later exper-iments. The omitted papers may be found in our 1988 edition Physics Letters B204 B204 B204 B204 1 (1988). ANANTHANA...17 PRL 119 132002 B. Ananthanarayan et al. TRASSINELLI 16 PL B759 583 M. Trassinelli et al. ADOLPH 15A PRL 114 062002 C. Adolph et al. (COMPASS Collab.) AGUILAR-AR... 15 PRL 115 071801 A.A. Aguilar-Arevalo et al. (PiENu Collab.) HOLSTEIN 14 ARNPS 64 51 B. Holstein, S. Scherer (MASA, MANZ) BYCHKOV 09 PRL 103 051802 M. Bychkov et al. (PSI PIBETA Collab.) FRLEZ 04 PRL 93 181804 E. Frlez et al. (PSI PIBETA Collab.) POCANIC 04 PRL 93 181803 D. Pocanic et al. (PSI PIBETA Collab.) ESCHRICH 01 PL B522 233 I. Eschrich et al. (FNAL SELEX Collab.) LIESENFELD 99 PL B468 20 A. Liesenfeld et al. BIJNENS 98 JHEP 9805 014 J. Bijnens et al. BRESSI 98 NP B513 555 G. Bressi et al. LENZ 98 PL B416 50 S. Lenz et al. ASSAMAGAN 96 PR D53 6065 K.A. Assamagan et al. (PSI, ZURI, VILL+) KOPTEV 95 JETPL 61 877 V.P. Koptev et al. (PNPI) Translated from ZETFP 61 865. NUMAO 95 PR D52 4855 T. Numao et al. (TRIU, BRCO) ASSAMAGAN 94 PL B335 231 K.A. Assamagan et al. (PSI, ZURI, VILL+) JECKELMANN 94 PL B335 326 B. Jeckelmann, P.F.A. Goudsmit, H.J. Leisi (WABRN+) CZAPEK 93 PRL 70 17 G. Czapek et al. (BERN, VILL) BARANOV 92 SJNP 55 1644 V.A. Baranov et al. (JINR) Translated from YAF 55 2940. BRITTON 92 PRL 68 3000 D.I. Britton et al. (TRIU, CARL) Also PR D49 28 D.I. Britton et al. (TRIU, CARL) NUMAO 92 MPL A7 3357 T. Numao (TRIU) BARANOV 91B SJNP 54 790 V.A. Baranov et al. (JINR) Translated from YAF 54 1298. HTTP://PDG.LBL.GOV Page 9 Created: 6/5/2018 19:00 Citation: M. Tanabashi et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018) DAUM 91 PL B265 425 M. Daum et al. (VILL) BOLOTOV 90B PL B243 308 V.N. Bolotov et al. (INRM) EGLI 89 PL B222 533 S. Egli et al. (SINDRUM Collab.) Also PL B175 97 S. Egli et al. (AACH3, ETH, SIN, ZURI) PDG 88 PL B204 1 G.P. Yost et al. (LBL+) PICCIOTTO 88 PR D37 1131 C.E. Picciotto et al. (TRIU, CNRC) COHEN 87 RMP 59 1121 E.R. Cohen, B.N. Taylor (RISC, NBS) KORENCHE... 87 SJNP 46 192 S.M. Korenchenko et al. (JINR) Translated from YAF 46 313. AMENDOLIA 86 NP B277 168 S.R. Amendolia et al. (CERN NA7 Collab.) BAY 86 PL B174 445 A. Bay et al. (LAUS, ZURI) BRYMAN 86 PR D33 1211 D.A. Bryman et al. (TRIU, CNRC) Also PRL 50 7 D.A. Bryman et al. (TRIU, CNRC) JECKELMANN 86B NP A457 709 B. Jeckelmann et al. (ETH, FRIB) Also PRL 56 1444 B. Jeckelmann et al. (ETH, FRIB) PIILONEN 86 PRL 57 1402 L.E. Piilonen et al. (LANL, TEMP, CHIC) MCFARLANE 85 PR D32 547 W.K. McFarlane et al. (TEMP, LANL) ABELA 84 PL 146B 431 R. Abela et al. (SIN) Also PL 74B 126 M. Daum et al. (SIN) Also PR D20 2692 M. Daum et al. (SIN) AMENDOLIA 84 PL 146B 116 S.R. Amendolia et al. (CERN NA7 Collab.) FETSCHER 84 PL 140B 117 W. Fetscher (ETH) ABELA 83 NP A395 413 R. Abela et al. (BASL, KARLK, KARLE) CARR 83 PRL 51 627 J. Carr et al. (LBL, NWES, TRIU) COOPER 82 PL 112B 97 A.M. Cooper et al. (RL) DALLY 82 PRL 48 375 E.B. Dally et al. LU 80 PRL 45 1066 D.C. Lu et al. (YALE, COLU, JHU) BEBEK 78 PR D17 1693 C.J. Bebek et al. QUENZER 78 PL 76B 512 A. Quenzer et al. (LALO) STETZ 78 NP B138 285 A.W. Stetz et al. (LBL, UCLA) ADYLOV 77 NP B128 461 G.T. Adylov et al. BARDIN 77 NP B120 45 G. Bardin et al. DALLY 77 PRL 39 1176 E.B. Dally et al. CARTER 76 PRL 37 1380 A.L. Carter et al. (CARL, CNRC, CHIC+) KORENCHE... 76B JETP 44 35 S.M. Korenchenko et al. (JINR) Translated from ZETF 71 69. MARUSHEN... 76 JETPL 23 72 V.I. Marushenko et al. (PNPI) Translated from ZETFP 23 80. Also Private Comm. R.E. Shafer (FNAL) Also Private Comm. A. Smirnov (PNPI) DUNAITSEV 73 SJNP 16 292 A.F. Dunaitsev et al. (SERP) Translated from YAF 16 524. AYRES 71 PR D3 1051 D.S. Ayres et al. (LRL, UCSB) Also PR 157 1288 D.S. Ayres et al. (LRL) Also PRL 21 261 D.S. Ayres et al. (LRL, UCSB) Also Thesis UCRL 18369 D.S. Ayres (LRL) Also PRL 23 1267 A.J. Greenberg et al. (LRL, UCSB) KORENCHE... 71 SJNP 13 189 S.M. Korenchenko et al. (JINR) Translated from YAF 13 339. BOOTH 70 PL 32B 723 P.S.L. Booth et al. (LIVP) DEPOMMIER 68 NP B4 189 P. Depommier et al. (CERN) PETRUKHIN 68 JINR P1 3862 V.I. Petrukhin et al. (JINR) HYMAN 67 PL 25B 376 L.G. Hyman et al. (ANL, CMU, NWES) NORDBERG 67 PL 24B 594 M.E. Nordberg, F. Lobkowicz, R.L. Burman (ROCH) BARDON 66 PRL 16 775 M. Bardon et al. (COLU) KINSEY 66 PR 144 1132 K.F. Kinsey, F. Lobkowicz, M.E. Nordberg (ROCH) LOBKOWICZ 66 PRL 17 548 F. Lobkowicz et al. (ROCH, BNL) BACASTOW 65 PR 139 B407 R.B. Bacastow et al. (LRL, SLAC) BERTRAM 65 PR 139 B617 W.K. Bertram et al. (MICH, CMU) DUNAITSEV 65 JETP 20 58 A.F. Dunaitsev et al. (JINR) Translated from ZETF 47 84. ECKHAUSE 65 PL 19 348 M. Eckhause et al. (WILL) BARTLETT 64 PR 136 B1452 D. Bartlett et al. (COLU) DICAPUA 64 PR 133 B1333 M. di Capua et al. (COLU) Also Private Comm. L. Pondrom (WISC) DEPOMMIER 63 PL 5 61 P. Depommier et al. (CERN) DEPOMMIER 63B PL 7 285 P. Depommier et al. (CERN) ANDERSON 60 PR 119 2050 H.L. Anderson et al. (EFI) CASTAGNOLI 58 PR 112 1779 C. Castagnoli, M. Muchnik (ROMA) HTTP://PDG.LBL.GOV Page 10 Created: 6/5/2018 19:00
8052	https://mathworld.wolfram.com/RegularPolygonDivisionbyDiagonals.html	TOPICS Regular Polygon Division by Diagonals Download Wolfram Notebook Consider the plane figure obtained by drawing each diagonal in a regular polygon. If each point of intersection is associated with a node and diagonals are split ar each intersection to form segments associated with edges, the resulting figure is a planar graph here termed the polygon diagonal intersection graph. See also Complete Graph, Euler's Polygon Division Problem, Polygon Diagonal, Polygon Diagonal Intersection Graph, Regular Polygon Explore with Wolfram\|Alpha More things to try: polygons division problems Archimedean solids Cite this as: Weisstein, Eric W. "Regular Polygon Division by Diagonals." From MathWorld--A Wolfram Resource. Subject classifications Find out if you already have access to Wolfram tech through your organization
8053	https://www.maptools.com/scale_calculator?srsltid=AfmBOooeF5GIYnxtzh4e8xLswoyZHYiRDCq-jNnR7sIWy0KQUNq-gQ2k	Map Scale Calculator Calculate map scale given equivalent map and ground distances Map Distance: Equivalent Ground Distance: When 1 millimeter on the map is equivalent to 1 kilometer on the ground, the map scale is 1:100000. Calculate map distance given map scale and ground distance Map Scale: Ground Distance: Map Distance Units: At a map scale of 1:100000, 1 kilometer on the ground is equivalent to 1 millimeter on the map. Calculate ground distance given map scale and map distance Map Scale: Map Distance: Ground Distance Units: At a map scale of 1:100000, 1 millimeter on the map is equivalent to 1 kilometer on the ground. Get a custom map ruler for any map scale you need.
8054	http://scielo.isciii.es/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1139-67092005000200012	\| \| \| \| \| --- --- \| \| \| \| \| \| --- \| \| \| \| \| Mi SciELO Servicios personalizados Servicios Personalizados Revista SciELO Analytics Google Scholar H5M5 () Articulo Inglés (pdf) Articulo en XML Referencias del artículo Como citar este artículo SciELO Analytics Traducción automática Enviar articulo por email Indicadores Citado por SciELO Accesos Links relacionados Citado por Google Similares en SciELO Similares en Google Compartir Otros Otros Permalink International Microbiology versión impresa ISSN 1139-6709 INT. MICROBIOL. vol.8 no.2 jun. 2005 BOOK REVIEWS \| \| \| \| --- \| \| \| Brock Biology of Microorganisms, 11th edn \| \| MICHAEL T. MADIGAN, JOHN M. MARTINKO (EDS) \| \| 2006. Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, USA 992 pp, 22 × 28 cm Price: US$ 140.00 ISBN 0-13-144329-1 \| Microbiology has experienced a transformation during the last 30 years that has altered microbiologists' view of microorganisms and how to study them. The history of Brock Biology of Microorganisms goes back more than 35 years. As a tribute to Thomas Brock, its original author, the book incorporated his name into the title after the 8th edition. Immediately following publication of the first edition of Biology of microorganisms, in 1970, Professor Ricardo Guerrero translated the book into Spanish (the first Spanish edition appeared in 1972, published by Ed. Omega, Barcelona). After the success of the first edition, the second one appeared in 1974 (and was followed also by the second translation of R. Guerrero [Omega, 1978]). The continuing success of this textbook is reflected in the new editions published every 3-5 years, in English and in Spanish [see the review on Brock Biología de los Microorganismos 10 edn. Int. Microbiol 7:77-78, published by Prentice-Hall, Madrid, in 2004]. Each edition has preserved the mission of the original volume: to review the principles of microbiology while informing readers of the latest discoveries in the microbial sciences. Technological advances and broad knowledge of the microbial world have brought about significant advances in microbiology, and in biology in general. Microbes are the ancestors of all the complex and varied biological forms that now exist on Earth. All eukaryotic cells emerged from and have retained intimate connections with microorganisms, upon which they remain highly dependent. In order to understand the evolution of species of organisms that exist today, at the tips of the branches of the tree of life, it is necessary to study how they are related to their ancestors and what those ancestors might have been like. Readers of Brock Biology of Microorganisms will become familiar with the world of microorganisms, what they are, and what they do. The book makes use of valuable pedagogical tools, such as a working glossary, sidebars (providing "fun reads" related to the chapter's central theme), a concept check, and study questions to reinforce the topics discussed in each chapter. The 11th edition introduces a new visual presentation. The tables and figures have been completely redesigned to make the information easier to understand, and they are better organized. An art photograph opens each chapter, and each chapter is color-coded at the upper right corner, which allows the reader to quickly refer to individual chapters. Several supplements (e.g. tutorials) include a link to a planned website [www.prenhall.com/madigan]. Brock Biology of Microorganisms is organized into 31 chapters comprising six units. Unit I, Principles of microbiology, is designed to provide the student with a basic background in microbiology, including historical perspectives, microbial structure and morphology, structure and function of prokaryotic and eukaryotic cells, growth and nutritional requirements of microbes, and essential and current topics of microbial genetics and molecular biology. Unit II, Evolutionary microbiology and microbial diversity, focuses on microbial evolution and how the phylogenetic picture of prokaryotes corresponds to their taxonomy and classification. The unit starts with a general overview of the prebiotic chemistry that could have supplied the necessary prerequisites for the origin of life, the earliest living forms, and the evolution to the eukaryotic cell. This section is recommended not only for students of microbiology, but also for anybody generally interested in biology. A complete updating of the classification system reflects the recent edition of Bergey's manual of systematic bacteriology. In addition, Proteobacteria (a Bacteria phylum), which represents the majority of known gram-negative bacteria of medical, industrial, and agricultural significance, are discussed in the text in groups based on morphological or metabolic (ecological) criteria, e.g. nitrifying bacteria: Nitrosomonas (β-Proteobacteria) and Nitrobacter (α-Proteobacteria). This method of organization provides a better understanding of this phylum, but there is also a table that lists all of the major genera of Proteobacteria and their classification according to subdivision (α-, β-, γ-, δ-, ε-Proteobacteria). One of the best examples of updating advances in microbiology is the introduction of a new phylum, Nanoarchaeota, in the Domain Archaea. Although much attention is devoted to prokaryotes (Bacteria and Archaea), eukaryotic microorganisms such as fungi, algae and protozoa receive more coverage than is usual in general microbiology textbooks. Unit III, Metabolic diversity and microbial ecology, is an excellent overview of current microbial ecology, which offers a very useful approach to understanding the inherent unity in the apparent diversity of life. Microbial ecology deals with natural processes as well as with interactions between microorganisms, and between microorganisms and other species and the environment. As microbiologists have increasingly come to appreciate that microbes in nature tend to live in communities, microbial ecology has provided a framework for extending the study of microorganisms from the laboratory to where they are found in nature (Chap. 18). Such studies have reinforced the view that, in prokaryotes, diversity is expressed in terms of metabolism rather than structure, as evidenced by the ability of microbes to utilize a wide range of energy sources and electron acceptors, an aspect that is strongly emphasized in Brock Biology of Microorganisms. Humans have an intimate relationship with microorganisms. On the one hand, a small notorious set of bacteria, fungi, parasites, protozoa, and viruses cause disease, as discussed in the two units of the book dedicated to medical microbiology. Unit IV, Immunology, pathogenicity, and host responses, describes microbial growth control, nonspecific resistance, and the immune response to microbes. Unit V, Microbial diseases, focuses on microbial infectious diseases, which are grouped within each chapter according to their mode of transmission. On the other hand, bacteria have an overwhelmingly beneficial impact on the environment and are providing new tools to solve problems that confront modern human societies-such as neutralizing toxic waste-products by the process of bioremediation. Unit VI, Microorganisms as tools for industry and research, describes applications of microbial activities to improving food and industrial production. The book not only contains fundamental knowledge essential to an introductory course on general microbiology, but also includes information for students seeking to expand or update their knowledge of the current state of microbiology. Although, fortunately, we have several very good textbooks on microbiology at our disposal, Brock Biology of Microorganisms remains, simply and undoubtably, the best of them. MERCEDES BERLANGA University of Barcelona, Spain mberlanga@ub.edu \| \| \| \| --- \| \| \| Infections of leisure, 3rd edn \| \| DAVID SCHLOSSBERG (ED) \| \| 2004. ASM Press, Washington DC, USA 444 pp, 18 × 25.5 cm Price: US$ 59.95 ISBN 1-55581-299-6 \| Infections of leisure discusses the risks of infection associated with a wide range of leisure activities, such as camping, traveling, contact with house pets and other animals, including people, engaging in sports, body piercing, and tattoos. The relevance of this subject arises from the need for information on the possible medical consequences resulting from those activities in which thriving modern human societies invest an enormous amount of time, i.e. leisure activities. The book is well-organized and written in a very readable way; however, it assumes that the reader has a basic knowledge of microbiology and is thus aimed at inquisitive scientists, especially microbiologists, rather than the general public. Nonetheless, its wealth of information makes the book a good resource for learning about the nature and treatment of infections of leisure. Although physicians will also benefit from this book, it does not replace the need for a good medical reference book. Each of the 16 chapters addresses a specific topic and is written by an expert (or experts) in that field. Chapters 1-4 discuss potential infections in recreational places such as the seaside, freshwater (including lakes and hot tubs), the countryside, and the garden. The first chapter (At the shore) describes poisoning by eating contaminated fish, vertebrate and invertebrate envenomizations, and other infections that may occur at marine locations. Zoonotic infections are discussed in Chaps. 5 (dogs); 6 (cats); 7 (birds); 8 (less common house pets, including rabbits, rodents, hedgehogs, reptiles, amphibians, ornamental fish, ferrets, and primates); and 9 (rats). Rabies is covered in detail in Chap. 10 (Rabies: ancient malady, new twists). Food-related infections are covered in Chap. 11, Exotic and trendy cuisine, while Chap. 12 discusses infections that may arise by partaking in sports activities. Chapter 13 (Traveling abroad) is highly recommended reading, before and while traveling, and is complemented by Chap. 14 (From boudoir to bordello: sexually transmitted diseases and travel) because, as noted in the book, travel is often associated with sexual activity and some travel occurs specifically for sexual purposes. Two chapters, Infections from body piercing and tattoos and Infectious diseases at high altitude, are new in this third edition. Each chapter ends with an extensive reading list consisting of selected research and review papers. Infections of leisure is a good compilation of the currently available data on infectious diseases related to leisure-time activities. In addition to classical bacterial infections, protozoan, helminthic and viral diseases, as well as poisonings and arthropods as vectors for human diseases are discussed. Recommendations concerning the control and treatment of these diseases are provided, but topics such as virulence factors, pathogenesis, and taxonomic classification are beyond the scope of the book. It should also be mentioned that, since Infections of leisure is meant to serve as a reference book, diagrams, tables, and photographs more appropriate for textbooks are not provided. Epidemiologists may also take issue with the fact that the book's coverage of epidemiological aspects relies almost exclusively on cases from the United States. In addition, some readers may find the tone of the book moralistic, as it can be interpreted as conveying the idea that amusement and leisure pose risks to human health. Microbes, however, are widespread, and human-microbe interactions are unavoidable-for the good or for the bad- in every facet of human life, not only those related to leisure. ALBERT BARBERÁN University of Barcelona, Spain albertbarbe@eresmas.com \| \| \| \| --- \| \| \| The Pneumococcus \| \| ELAINE I. TOUMANEN (ED), and TIMOTHY J. MITCHELL, DONALD A. MORRISON, BRIAN G. SPRATT (CO-EDS) \| \| 2004. ASM Press, Washington DC, USA 466 pp, 18 × 26 cm Price: US$ 115.95 ISBN 1-55581-297-X \| In the introduction to her book, Elaine I. Tuomanen writes "The pneumococcus has pushed biological science to the discovery of DNA, of polysaccharide-based vaccines, of quorum sensing, of peptide-based bacterial communication, and many other basic tenets." She also calls Streptococcus pneumoniae the "quintessential gram-positive pathogen", an opinion that no doubt is shared by the many researchers whose studies have focused on the mechanisms developed by bacteria to cause disease. The history of pneumococcus is indeed linked to that of the discovery of DNA, being the transforming principle defined by Oswald Avery (1877-1955), Colin McLeod (1909-1972), and Maclyn McCarty (1911-2005) in 1944, which marked the beginning of the molecular biology era. The different pneumococcal types, distinguished by the particular capsular polysaccharides that they produce, have forced researchers to abandon the construction of pneumococcus-targeted vaccines based on killed whole cells, as theses were of very limited effect. Instead, a more rational scientific approach to vaccine design has been adopted, exemplified by polyvalent capsular polysaccharide vaccines and, more recently, polysaccharide-protein conjugated ones. Pneumococcal cells may be found in the human respiratory tract, where they produce an asymptomatic carrier state, but, under the proper circumstances, they easily become responsible for colonizing diseases, such as otitis, conjunctivitis, and pneumonia. Furthermore, they can invade the blood stream and internal tissues, causing bacteremia, and meningitis. The extraordinary plasticity of the bacterium's genome allows it to escape the immune system as well as most anti-bacterial therapies. Thus, any discussion of S. pneumoniae must include its capability for adaptation and evolution, as evidenced by the fact that the development of a new vaccine or antibacterial compound is inevitably followed by medical reports of changes in pneumococcal populations. Such changes have resulted in the world-wide prevalence of resistant and multiresistant clones, highlighting the fact that, despite the vertiginous advances in our knowledge of the biology of streptococcus, its multiple mechanisms of disease remain to be elucidated. Surprisingly few books have been written about S. pneumoniae. The precedent to the book under review was Streptococcus pneumoniae, Molecular Biology & Mechanisms of Disease, published 4 years ago by Alexander Tomasz (ed.), and was the result of a workshop on pneumococcal biology held in Portugal in 1996. Tomasz's book was a complete compilation of all topics that researchers in the field were exploring at the time, with special emphasis on the biological and physiological aspects of pneumococcus and pneumococcal disease. In the meantime, the revolutionary achievement of several complete genome sequences of pneumococcal isolates has served as the culture broth for more global approaches to the many questions that remain unsolved, leading to publication of The Pneumococcus. The editors of this book aim to "emphasize both the details of the bacterium and all it can do as well as the host response and mechanisms of disease". The contributions of the different authors are divided into four sections: "The bacteria" (genome, surface anatomy, and microbial physiology), "Host-microbe interactions" (evolution, epidemiology and mechanisms of carriage), "Invasion and infection" (exposure and colonization, and invasion and infection), and "Treatment and prevention" (ecology, therapeutic strategies, antibiotic resistance, immune responses, and vaccines). The editors have tried to balance each of these sections, which results in an almost equitable division of the book. Nonetheless, this attempt was less than successful, since some chapters seem to belong to other sections, and the number of pages devoted to medical reports has limited the emphasis placed on discussing physiological concepts, such that much more attention is paid to clinical aspects than to the biology of the bacterium. While some chapters of the book are dispensable, as they contribute very little to the broader aims of the book, those covering the path from microbe to infection and its treatment are highly recommended. A group of experts have revisited their subjects, providing, in most of the cases, a vast clear view for neophyte eyes as well as reviews on topics never before well-reported. However, the editor's work could have been much more exhaustive, as a deeper reading reveals a degree of overlap between some of the chapters. While, to some extent, this is inevitable, there are many noticeable inconsistencies in the data provided by different authors. Readers will therefore find it almost impossible to obtain definitive information on several subjects, unless they spend a considerable amount of time examining the original papers. For this reason, despite its many positive aspects, the book does not offer a reliable orientation to its subject. DANIEL LLULL Biological Research Center, CSIC, Madrid, Spain dllull@cib.csic.es Todo el contenido de esta revista, excepto dónde está identificado, está bajo una Licencia Creative Commons
8055	https://biosci.mcdb.ucsb.edu/biochemistry/tw-exp/henryslaw.htm	Henry's Law and Relative Concentrations of Water-Dissolved Gasses at Sea Level Henry's Law and the Relative Concentrations of Dissolved Gasses in Water or the Blood at Sea Level Relative partial pressures atsea level(mm Hg)Relative concentrations of dissolved gases at sea level: [N 2]:[O 2]:[CO 2]= 3:1:8 water[N 2]:[O 2]:[CO 2] = 3:65:165blood pN 2(572)/ pO 2 (107)/ pCO 2 (36)/ pH 2 O(45) Dalton's Law:Total pressure (P) of a gas mixture approximately equals to the sum of the partial pressures of the individual gases in the mixture. to the mole fractions of each gas. P = pN 2 + pO 2 + pCO 2 + pH 2 O Raoult'sLaw:The partial pressure (pN 2 etc.) of one gas in a mixture of gases approximately equals the mole fraction (f N2, etc.) of that gas times the total pressure, P. At sea level, P 1 atm= 760 mm Hg. f N2 =pN 2/P (= 36)f O2 =PO 2/P (= 0.1) f CO2 =pCO 2/P (= 36) f H20 =PO H2O/P (= 0.06) Henry's Law:The dissolved concentration of a gas is approximately proportional to its partial pressure by a unique empirically-determined constant called Henry's constant:K N2, K O2, K CO2, or K H20. At sea level, P 1 atm= 760 mm Hg. [N 2] = pN 2/K N2[O 2] = pO 2/K O2[CO 2] = pCO 2/K CO2[H 2 O] = pH 2 O/K H20 K N2/K O2= 3/2K N2/K CO2= 1/50[N 2]/[O 2] = 5/2[N 2]/[CO 2] = 1/3 Water at sea level:[N 2]/[O 2]/[CO 2] =3/1/8 Blood at sea level:[N 2]/[O 2]/[CO 2] =3/65/165 Based on D. FreifelderPhysical Chemistry for Students of Biology and Chemistry Science Books International (1982), pp. 210-211© January 27, 2021
8056	https://en.wikipedia.org/wiki/Topologist%27s_sine_curve	Jump to content Search Contents (Top) 1 Properties 2 Variants 3 See also 4 References Topologist's sine curve Català Español فارسی Français 한국어 עברית 日本語 Polski Suomi Tiếng Việt 粵語中文 Edit links Article Talk Read Edit View history Tools Actions Read Edit View history General What links here Related changes Upload file Permanent link Page information Cite this page Get shortened URL Download QR code Print/export Download as PDF Printable version In other projects Wikidata item Appearance From Wikipedia, the free encyclopedia Pathological topological space In the branch of mathematics known as topology, the topologist's sine curve or Warsaw sine curve is a topological space with several interesting properties that make it an important textbook example. It can be defined as the graph of the function on the half-open interval , together with the origin, under the topology induced from the Euclidean plane: Properties [edit] The topologist's sine curve T is connected but neither locally connected nor path connected. This is because it includes the point (0, 0) but there is no way to link the function to the origin so as to make a path. The space T is the continuous image of a locally compact space (namely, let V be the space and use the map defined by and for x > 0), but T is not locally compact itself. The topological dimension of T is 1. Variants [edit] Two variants of the topologist's sine curve have other interesting properties: The closed topologist's sine curve can be defined by taking the topologist's sine curve and adding its set of limit points, ; some texts define the topologist's sine curve itself as this closed version, as they prefer to use the term 'closed topologist's sine curve' to refer to another curve. This space is closed and bounded and so compact by the Heine–Borel theorem, but has similar properties to the topologist's sine curve—it too is connected but neither locally connected nor path-connected. The extended topologist's sine curve can be defined by taking the closed topologist's sine curve and adding to it the set . This variant is arc connected but not locally connected. See also [edit] List of topologies Warsaw circle References [edit] ^ Munkres, James R (1979). Topology; a First Course. Englewood Cliffs. p. 158. ISBN 9780139254956. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) , Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., pp. 137–138, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863 Weisstein, Eric W. "Topologist's Sine Curve". MathWorld. Retrieved from " Category: Topological spaces Hidden categories: Articles with short description Short description is different from Wikidata Topologist's sine curve Add topic
8057	https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/uniform-stream-rankine-oval-source-sink-pair-making-use-symmetry-flow-field-shown-figure-g-q92359335	Solved A uniform stream over a Rankine oval with a \| Chegg.com Skip to main content Books Rent/Buy Read Return Sell Study Tasks Homework help Understand a topic Writing & citations Tools Expert Q&A Math Solver Citations Plagiarism checker Grammar checker Expert proofreading Career For educators Help Sign in Paste Copy Cut Options Upload Image Math Mode ÷ ≤ ≥ o π ∞ ∩ ∪           √  ∫              Math Math Geometry Physics Greek Alphabet Engineering Mechanical Engineering Mechanical Engineering questions and answers A uniform stream over a Rankine oval with a source-sink pair Making use of the symmetry of the flow field shown in the figure given below, that is, starting with the knowledge that the stagnation points must lie on the axis aligned with the direction of Vo, identify the correct equation that shows the location of the stagnation points. P Foi o B b Sink Your solution’s ready to go! Our expert help has broken down your problem into an easy-to-learn solution you can count on. See Answer See Answer See Answer done loading Question: A uniform stream over a Rankine oval with a source-sink pair Making use of the symmetry of the flow field shown in the figure given below, that is, starting with the knowledge that the stagnation points must lie on the axis aligned with the direction of Vo, identify the correct equation that shows the location of the stagnation points. P Foi o B b Sink Show transcribed image text Here’s the best way to solve it.Solution 100%(6 ratings) Share Share Share done loading Copy link OPTION (A) (∆b/πV +b^2)^0.5 FOR ANY … View the full answer Previous questionNext question Transcribed image text: A uniform stream over a Rankine oval with a source-sink pair Making use of the symmetry of the flow field shown in the figure given below, that is, starting with the knowledge that the stagnation points must lie on the axis aligned with the direction of Vo, identify the correct equation that shows the location of the stagnation points. P Foi o B b Sink Source Multiple Choice О Ab T = + 62 T = Ab? V. A + b bV. T = Voc Not the question you’re looking for? Post any question and get expert help quickly. Start learning Chegg Products & Services Chegg Study Help Citation Generator Grammar Checker Math Solver Mobile Apps Plagiarism Checker Chegg Perks Company Company About Chegg Chegg For Good Advertise with us Investor Relations Jobs Join Our Affiliate Program Media Center Chegg Network Chegg Network Busuu Citation Machine EasyBib Mathway Customer Service Customer Service Give Us Feedback Customer Service Manage Subscription Educators Educators Academic Integrity Honor Shield Institute of Digital Learning © 2003-2025 Chegg Inc. All rights reserved. Cookie NoticeYour Privacy ChoicesDo Not Sell My Personal InformationGeneral PoliciesPrivacy PolicyHonor CodeIP Rights Do Not Sell My Personal Information When you visit our website, we store cookies on your browser to collect information. The information collected might relate to you, your preferences or your device, and is mostly used to make the site work as you expect it to and to provide a more personalized web experience. 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8058	https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4011641/	Complement components as potential therapeutic targets for asthma treatment - PMC Skip to main content An official website of the United States government Here's how you know Here's how you know Official websites use .gov A .gov website belongs to an official government organization in the United States. Secure .gov websites use HTTPS A lock ( ) or https:// means you've safely connected to the .gov website. Share sensitive information only on official, secure websites. Search Log in Dashboard Publications Account settings Log out Search… Search NCBI Primary site navigation Search Logged in as: Dashboard Publications Account settings Log in Search PMC Full-Text Archive Search in PMC Journal List User Guide View on publisher site Download PDF Add to Collections Cite Permalink PERMALINK Copy As a library, NLM provides access to scientific literature. 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Published in final edited form as: Respir Med. 2014 Jan 15;108(4):543–549. doi: 10.1016/j.rmed.2014.01.005 Search in PMC Search in PubMed View in NLM Catalog Add to search Complement components as potential therapeutic targets for asthma treatment Mohammad Afzal Khan Mohammad Afzal Khan a Department of Applied Biology, College of Sciences, University of Sharjah, Sharjah, United Arab Emirates Find articles by Mohammad Afzal Khan a,, Mark R Nicolls Mark R Nicolls b Division of Pulmonary and Critical Care Medicine, VA Palo Health Care System, Stanford University, School of Medicine, Palo Alto, CA, USA Find articles by Mark R Nicolls b, Besiki Surguladze Besiki Surguladze c Innovative Bio-Medical Technologies Ltd, Toronto, Canada Find articles by Besiki Surguladze c, Ismail Saadoun Ismail Saadoun a Department of Applied Biology, College of Sciences, University of Sharjah, Sharjah, United Arab Emirates Find articles by Ismail Saadoun a Author information Article notes Copyright and License information a Department of Applied Biology, College of Sciences, University of Sharjah, Sharjah, United Arab Emirates b Division of Pulmonary and Critical Care Medicine, VA Palo Health Care System, Stanford University, School of Medicine, Palo Alto, CA, USA c Innovative Bio-Medical Technologies Ltd, Toronto, Canada Corresponding author. Applied Biology and Biotechnology, College of Sciences, University of Sharjah, Sharjah, United Arab Emirates. Tel.: + 971 6 505 3829; fax: + 971 6 505 3814, makhan@sharjah.ac.ae, afzal@stanford.edu (M.A. Khan) Issue date 2014 Apr. © 2014 Elsevier Ltd. All rights reserved. PMC Copyright notice PMCID: PMC4011641 NIHMSID: NIHMS576975 PMID: 24468195 The publisher's version of this article is available at Respir Med Summary Asthma is the most common respiratory disorder, and is characterized by distal airway inflammation and hyperresponsiveness. This disease challenges human health because of its increasing prevalence, severity, morbidity, and the lack of a proper and complete cure. Asthma is characterized by T H 2–skewed inflammation with elevated pulmonary levels of IL-4, IL-5, and IL-13 levels. Although there are early forays into targeting T H 2 immunity, less-specific corticosteroid therapy remains the immunomodulator of choice. Innate immune injury mediated by complement components also act as potent mediators of the allergic inflammatory responses and offer a new and exciting possibility for asthma immunotherapy. The complement cascade consists of a number of plasma- and membrane-bound proteins, and the cleavage products of these proteins (C3 and C5) regulate the magnitude of adaptive immune responses. Complement protein are responsible for many pathophysiological features of asthma, including inflammatory cell infiltration, mucus secretion, increases in vascular permeability, and smooth muscle cell contraction. This review highlights the complement-mediated injury during asthma inflammation, and how blockade of active complement mediators may have therapeutic application. Keywords: Complement mediated injury, Asthma, Anaphylatoxins Introduction Asthma is a chronic inflammatory disease of the bronchi arising because of inappropriate immunological responses to common environmental antigens in genetically susceptible individuals . It is thought to be mediated by CD4+ T lymphocytes that produce T H 2 cytokines linked with elevated specific IgE, eosinophilia, and airway hyperresponsiveness (AHR) [2–4]. This perspective will explore how an important component of the innate immunity, the complement system, normally a key defense against mucosal bacteria, viruses, fungi, helminthes, and other pathogens, may also play an important role in the pathogenesis of asthma. Although complement factors have been associated with development of pathophysiology of asthma [5, 6], the role of individual complement components in the pathogenesis of allergic asthma is not clear. Biologically active fragments (C3a, C5a), generated through the classical, alternative, lectin pathways, and by the direct action of certain proteolytic enzymes on C3 or C5 (Fig. 1), participate in AHR induction. Infections, and allergens of respiratory tract activate local complement activation participate in AHR [8–10] because of their ability to recruit, activate leukocytes, increase vascular permeability, stimulate contraction of smooth muscle, and trigger degranulation of mast cells [9, 11–13]. In addition to allergens, other triggers of asthma have been shown to activate complement cascade in human, and in animal models . It has been demonstrated that bronchoalveolar lavage (BAL) of asthma individuals contain quantitatively higher levels of C3a and C5a as compared to healthy control subjects at baseline . Figure 1. Open in a new tab Model explains the generation of C3a and C5a through classical, lectin and alternative pathway during airway inflammation. Further, C3a binds to C4aR on CD4+ T cells and promotes recruitment of IL-17+CD4+ cells, neutrophil inflammation and activation of Mast cells that leads to histamine mediated AHR. In asthma, overproduction of activated complement fragments may promote asthma susceptibility . This imbalance results in up regulation of biologically active fragments, C3a and C5a, which may act on cells of the innate immune system to favor asthma development [9, 11]. The anaphylatoxins C3a and C5a have been characterized as potent mediators of the effector phase of the allergic response [8–10, 15] with C3a regulating T H 2 cytokine production possibly through the recruitment, and activation of T H 2 cells . C5a plays a dual immunoregulatory role by protecting against the T H 2-polarized adaptive immune response and mediates type 2 inflammatory responses once inflammation proceeds (see Fig. 2). Complement may participate in the development of susceptibility to asthma, despite a normal level of complement fragments generated during complement activation. Figure 2. Open in a new tab Model explains Th1 to Th2 shift during the development of asthma pathogenesis, and, C3a and C5a as a potential targets to rescue asthma by blocking local T cell recruitment. Different models of experimental allergic asthma suggest that the C3a and C5a not only promote pro-allergic effector functions during the allergic effector phase, but also regulate the development of T H 2 immunity during allergen sensitization . Generation of C3a on airway surfaces induce T H 2-mediated inflammatory responses to a variety of environmental triggers of asthma (i.e., allergens, pollutants, viral infections, cigarette smoke) [9, 11]. C5a is dominant during allergen sensitization, and protects against the development of maladaptive T H 2 immunity [13, 16]. By contrast, C3a and C5a appear to act synergistically and drive allergic inflammation during the effector phase . In addition to its proinflammatory effector functions, complement regulates adaptive immunity at many levels , and play critical role as well in causing vascular injury in allografts [17, 18]. It has been observed that allergen challenged C3aR-deficient mice and guinea pigs are protected against bronchoconstriction and AHR . Interestingly, there was no difference in eosinophilic airway inflammation, T H 2 cytokine production, IgE production between C3a receptor-deficient, and in wild type animals which demonstrate that airway inflammation, and AHR are two independent features of asthma [2, 3]. Several studies have demonstrated that blocking of IL-4 reduces AHR in the lung, and that RAG−/− mice, which lack Th2 cells, fail to develop AHR, mucus hyper-secretion, and eosinophilia during the course of asthma . However, airway inflammation, and the immune responses at cellular and molecular levels have led to the proposition of a number of mechanisms such as mast cell degranulation [18, 20, 21], neurogenic dysfunction, involvement of T-lymphocytes, eosinophils, altered immunosuppressive macrophages, excessive nitric oxide through inducible nitric oxide synthase, overproduction of proinflammatory cytokines and immunoglobulins during the asthma development. Asthmatic inflammation may be initiated or exacerbated by amplification of the complement cascade [11–13]. Complement components, especially C5 and C3 with their associated cleavage products C5a and C3a, regulate the magnitude of adaptive immune responses via ligation of their respective receptors expressed on antigen-presenting cells, and T lymphocytes, as well as on pulmonary structures, and stromal cells [5, 22]. These immune responses involve many pathophysiological features of asthma that include inflammatory cell infiltration, mucus secretion, increase vascular permeability, and smooth muscle contraction . This review summarizes the crucial role of complement mediators in airway inflammation, and how it affects the pathogenesis of asthma disease. Generation of c3a and c5a in asthma Asthma is associated with activation of complement cascade and allergen induced complement generates C3a and C5a . It has been demonstrated that C3a plays a crucial role in asthma primarily by regulating mast cell-ASM (Airway Smooth Muscle) cell interaction . C3a and C5a are released as key active factors in complement cascade that modulate innate immunity [3, 4]. C5a is, however, involved in a number of inflammatory diseases such as immune-complex-mediated lung injury, microvascular injury in rejecting allografts and in sepsis . Levels of C3a are found elevated in bronchoalveolar lavage fluid after allergen challenge in asthmatic but not among healthy controls . The C3a and C5a peptides regulate inflammatory functions by interacting with their receptors C3aR and C5aR [25, 26]. These receptors were mostly present only on myeloid cells such as macrophages, neutrophils, eosinophils, basophils, and mast cells, however, the immune cells that express these receptors in the lung have been investigated, and their expression been examined during phase of asthma inflammation [27–30]. These findings suggests the participation of bronchial epithelial and smooth muscle cells in the pathology of diseases such as sepsis and asthma, the data suggest a role for complement receptors during lung inflammation . It has been observed that C3aR activation is associated with the development of AHR, and inflammation in different animal models of asthma . However, C3aRdeficient mice are protected from AHR in response to aerosolized ovalbumin challenge following intraperitoneal sensitization with ovalbumin . Single nucleotide polymorphisms in C3 and C3aR genes have been linked with increased susceptibility to asthma . This speculates the crucial role of C3a and C3aR in the development of AHR and inflammation . BAL fluids of C3aR deficient mice also had low levels of T H 2 cytokines (IL-4, IL-5, and IL-13), IgE titers, and mucous production that further support a role of C3a receptors in the development of AHR, and generalized inflammation [15, 31, 32]. It is observed that deficiency of C3aR leads to decrease airway hyperresponsiveness in a mouse model pulmonary allergy . In addition, increased C3a levels have been reported in bronchial lavage samples from allergen-challenged asthma patients . There is a significant association has been reported between AHR and C5 level , however, compared to C5 sufficient mice, the C5-deficient mice are more responsive to methacholine challenges after allergen exposure . The presence of C5 and C5aR is necessary for a variety of immunological responses including inflammation and host defense . Elevated levels of complement anaphylatoxin peptides have been observed in the lungs of asthmatic patients which further supports the significance of complement factors in asthma pathogenesis. The C5 gene and the C5aR receptor genetic regions have been identified as putative asthma susceptible loci . Finally, C3aR and C5aR expression has demonstrated on lung bronchial smooth muscle cells implicating these receptors as mediators of bronchoconstriction . Complement mediators-immune cell interaction in asthma pathogenesis Cells of the innate immune system in asthmatics are abnormally responsive to the regulatory effects of complement followed by the development of susceptibility to asthma [10, 35]. Recent research efforts have also demonstrated that CD4+ T cells, which produce a T H 2 pattern of cytokines, play a pivotal role in the pathogenesis of this disease and cytokines such as IL-4, IL-13, and IL-5 to contribute in bronchial hyper-reactivity, and mucus hyper-secretion as well as orchestrate the recruitment, activation of mast cells, and eosinophils [19, 53, 54]. The complement cascade is a central player of innate immunity that coordinates a number of inflammatory responses . C3a activates mast cells, basophils, eosinophils, and contraction of airway smooth muscle cell [18, 24]. Both C3a and C5a can induce ASM cell contraction, increase the microvascular permeability, and regulate vasodilation . C5a has been widely used as standard stimulant to eosinophil/or basophil responsivity, and active C5 fragments alone can induce airway hyperresponsiveness when administered . In addition, C3a and C5a can: 1) stimulate respiratory burst in macrophages, neutrophils, and eosinophils; 2) stimulate the release of histamine from basophils and mast cells; and 3) regulate the synthesis of eosinophil cationic proteins and adhesion to endothelial cells by eosinophils [14, 20]. C3a can also stimulate serotonin release from platelets, and modulate synthesis of IL-6 and TNF-α by B-lymphocytes and monocytes [36, 37]. C5a is a potent chemotactic molecule for macrophages, neutrophils, T lymphocytes, and basophils . Both C3a and C5a can induce chemotaxis of eosinophils and mast cells . Generation of C3a at the airway surface triggers induction of AHR , while C5/ C5a, plays a dual immunoregulatory role by protecting against the initiation of Th2-mediated immune responses during initial allergen exposure by its ability to affect dendritic cell-T cell interactions, and a more traditional pro-inflammatory role once immune responses are established [13, 16]. The interactions between C5a and the IL-12 are important for generating AHR-associated inflammation . Direct administration of IL-12 has shown to reduce AHR, and macrophages from the C5-deficient mice were here shown to produce lower levels than the control mice [39–42]. C3b on the other hand, has been shown as capable of blocking IL-12 production by its interaction with the α M β 2 integrin, an action perfectly in keeping with a positive role for C3 cleavage in AHR e either via C3a and its receptor or through C3b and reduced levels of IL-12 . C5 has been associated with dendritic cells mediated induction of Tregs (CD4+CD25+ T cells) and Tregs blockade in allergen exposed C5 sufficient mice eliminated their protection from the development of AHR associated with a drop in the numbers of pulmonary dendritic cells . In addition, depletion of dendritic cells and Tregs in mice results in an increased capacity to stimulate T cell proliferation and Th2 cytokine production. The balance between C3a and C5a during early life exposures to allergens may be a crucial determinant factor in the development of tolerance to inhaled antigens [9, 13]. In lungs, C3 would most probably create Th2 shift, which is consistent with data suggesting that the lungs have Th2 type cell at birth in newborn . Clinical studies has shown the relatively higher levels of C3a and C5a in BAL fluid of allergen induced asthmatic airways as compared with control subjects [5, 10, 16]. C5a contribute to the development of the proallergic environment in allergic asthma , and targeting C5 in allergen-induced asthma model have demonstrated that C5 may serve as a suitable target in treatment of asthma [10, 45]. C5a can bind to both C5aR and C5L2 receptors , and, more specifically C5L2 acts at the dendritic cell and T cells interface, and control the development of T H 1 and T H 17 cells in response to airway antigen exposure, and drives T H 2 immune responses independent of specific dendritic cells . As reported earlier, C5a, and perhaps C3a may cause immediate airflow obstruction, and subsequent airway hyperactivity . It has been demonstrated in murine model of AHR that C5a may act directly or indirectly to stimulate C5aR on local mast cells and/or platelets, resulting in the release of broncho constrictive mediators, and results in sensitization of the airways without cellular inflammation . In a number of other asthma models, the role of IL-17 has been highlighted in inducing asthmatic response, and AHR . There has been increasing evidence suggest the involvement of C3a in the asthma pathogenesis, and the relationship between C3a driven IL-17 and IgE-mediated asthmatic responses that have shown the contribution of IL-17 to an IgE-mediated late-phase asthmatic response, and AHR . They reported that during repeated antigen exposure, C3a mediated antibody production (IgE) results in production of IL-17+CD4+ cells in the lungs [18, 24, 49] (Fig. 1). Summary Asthma, a complex airway inflammatory disease, is characterized by bronchoconstriction, AHR and airway remodelling . Current consensus suggests that T H 2 cytokine producing T cells, mast cells, and ASM cells play central roles in the pathogenesis of asthma . This classification of asthma has led to the concept that the immediate response after allergen challenge is mediated by mast cells, whereas eosinophils are the predominant effector cells in the late asthmatic reaction . C3 and C5 play unique roles in airway inflammation associated with asthma and the release of C3a at the airway surface mediates the induction of AHR in different asthma models, while C5/C5a plays a dual immunoregulatory role by protecting against Th2-mediated immune responses during initiation of responses, and a proinflammatory role once immune responses are established . Serine proteases generated in response to classical and alternative pathways has potential to generate C3a and C5a from C3 and C5 respectively [55, 56]. It is observed that different components of the complement cascade have implicated in mediating allergic inflammation . As reported in other asthma models, C3a and C5a participate in shifting Th2 and Th1 balance respectively but blocking or antagonizing C5a shift response to Th2 and Th2 shift results in elevated Th2 adaptive response followed by airway inflammation . These anaphylatoxins can induce ASM contraction [20, 58, 59], mucus secretion [60, 61], increased microvascular permeability [62, 63] [17, 24], vasodilation [64, 65], leukocyte migration and activation, and degranulation of mast cells , which are the hallmarks features of asthma. Further, the most important, neutralization of anaphylatoxin activity through the use of blocking antibodies, genetic targeting or by using specific antagonist of various complement factors or their receptors has been shown to attenuate allergic inflammation, and AHR in mice, and guinea pigs [67, 68]. It is becoming increasingly clear that immunoregulatory events occurring at the interface of innate and adaptive immunity play an important role in asthma pathogenesis . The data reviewed here suggest that the complement pathway serves as a central regulator of adaptive immune responses to a variety of inhaled substances. The complement cascade consists of number of serum and cellular proteins, and the activation of complement includes a series of initiation, amplification, and release of active mediators that mediate cell lysis . The whole complement cascade is regulated at various points by different complement regulatory proteins. These proteins counter check the over expression of released active fragments, make balance between self and foreign tissue, and, therefore, allows for control over the potent tissue-damaging capabilities of complement activation. Soluble, and membrane-bound complement regulators have been produced, and shown to be effective in blocking complement activation in vitro as well as in animal models of complement-mediated pathologies in different diseases . Compared with conventional therapeutic options available to asthma patients, recombinant proteins for therapy remain attractive to date, for reasons having to do with both the biological properties of proteins, and the economics of drug development [18, 24]. A number of complement inhibitors has been introduced as therapeutic agents for inflammatory, ischemic , and autoimmune diseases . It has been reported that Crry-Ig treatment inhibit airway inflammation, and AHR in OVA sensitized mice [9, 11]. The objective here is to present a brief and selective summary of the findings using synthetic molecules for the therapeutic inhibition of complement in asthma pathogenesis. In last couple of years, it has been recognized that some of the endogenous complement regulatory proteins has been proven to serve as potential therapeutic agents in blocking inappropriate activation of complement in human diseases specially asthma [34, 45, 71, 72]. In this review, our aim is to focus on more translational approach in the field of asthma cure with the possible use of novel complement inhibition approach to control complement mediated airway injury, hyperresponsiveness and ultimately to rescue asthma. Abbreviations AHR airway hyperresponsiveness BAL bronchoalveolar lavage ASM airway smooth muscle MAC membrane attack complex Treg regulatory T cells Footnotes Conflict of interest The authors have no conflict of interest. References 1.Pawankar R, Canonica GW, Holgate ST, Lockey RF. Allergic diseases and asthma: a major global health concern. Curr Opin Allergy Clin Immunol. 2012;12:39–41. doi: 10.1097/ACI.0b013e32834ec13b. 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[DOI] [PubMed] [Google Scholar] ACTIONS View on publisher site PDF (751.7 KB) Cite Collections Permalink PERMALINK Copy RESOURCES Similar articles Cited by other articles Links to NCBI Databases On this page Summary Introduction Generation of c3a and c5a in asthma Complement mediators-immune cell interaction in asthma pathogenesis Summary Abbreviations Footnotes References Cite Copy Download .nbib.nbib Format: Add to Collections Create a new collection Add to an existing collection Name your collection Choose a collection Unable to load your collection due to an error Please try again Add Cancel Follow NCBI NCBI on X (formerly known as Twitter)NCBI on FacebookNCBI on LinkedInNCBI on GitHubNCBI RSS feed Connect with NLM NLM on X (formerly known as Twitter)NLM on FacebookNLM on YouTube National Library of Medicine 8600 Rockville Pike Bethesda, MD 20894 Web Policies FOIA HHS Vulnerability Disclosure Help Accessibility Careers NLM NIH HHS USA.gov Back to Top
8059	https://math.stackexchange.com/questions/431367/solving-a-first-order-diophantine-equation-with-many-terms	Skip to main content Solving a first-order diophantine equation with many terms Ask Question Asked Modified 9 years, 10 months ago Viewed 2k times This question shows research effort; it is useful and clear 2 Save this question. Show activity on this post. Given a linear Diophantine equation with many terms, for example aw+bx+cy+dz=e How do you work out w,x,y,z, without brute force? a,b,c,d,e are given; they are also natural numbers. a,b,c,d are co-prime. w,x,y,z can be any integer. I've seen this algorithm, but it looks like it only works for 2 terms. I want an algorithm that can work for any number of terms. There are an infinite number of solutions, any of them are fine, but ones where w and friends are closer to zero are better. Context: I'm trying to extend the answer given here to multiple terms. diophantine-equations Share CC BY-SA 3.0 Follow this question to receive notifications edited Apr 13, 2017 at 12:20 CommunityBot 1 asked Jun 28, 2013 at 4:53 Nick ODellNick ODell 23111 silver badge1313 bronze badges 5 Maple does it. For example, isolve(4x+5y+7z+3t=16); produces {t=3−6_Z1−4_Z2−7_Z3,x=_Z1,y=_Z2,z=1+2_Z1+_Z2+3_Z3}. – user64494 Commented Jun 28, 2013 at 6:16 I would say giving it to Maple qualifies as brute force. – Gerry Myerson Commented Jun 28, 2013 at 7:37 @ Nick ODell:What do you mean by "brute force"? Solving equations with many unknowns in integers requires a big work. – user64494 Commented Jun 28, 2013 at 20:46 @user64494 You can solve this by cycling w and friends through all possible integers. This is a rather slow approach, because if w and friends are all over 1000, for example, it takes more than a trillion iterations. Seeing as there's a faster approach when you have 2 terms, I thought there might be a faster one when you have many terms. Not knowing how Maple solves this, I couldn't say whether it uses brute force. – Nick ODell Commented Jun 28, 2013 at 21:57 @ Nick ODell: Because Maple 17 successfully finds the infinite set of solutions in the case under consideration, it is clear that Maple does not use "brute force" in your understanding. – user64494 Commented Jun 29, 2013 at 5:24 Add a comment \| 1 Answer 1 Reset to default This answer is useful 3 Save this answer. Show activity on this post. A method is given in Leon Bernstein's paper, The linear diophantine equation in n variables and its application to generalized Fibonacci numbers, available at I believe this is from the June 1968 issue of the Fibonacci Quarterly, pages 3 to 63. See also (Diophantine?) Equations With Multiple Variables? (perhaps the current question should be closed as a duplicate of this older one?) Share CC BY-SA 3.0 Follow this answer to receive notifications edited Apr 13, 2017 at 12:20 CommunityBot 1 answered Jun 28, 2013 at 7:47 Gerry MyersonGerry Myerson 186k1313 gold badges231231 silver badges404404 bronze badges Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions diophantine-equations See similar questions with these tags. Featured on Meta Community help needed to clean up goo.gl links (by August 25) Linked 22 (Diophantine?) Equations With Multiple Variables 0 breaking up fractions Related 6 A Diophantine equation: −2a3+b3+c3=36650, where a,b,c>0 are all positive integers, and a,b,c∉{2,9,15,16,33,34} 0 Find all integer solutions to the following linear diophantine question with 4 variables: 2x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 5 4 Special kind of a linear Linear Diophantine equation 1 Solving Diophantine Equation xB=(2N)−1 1 Particular solution to a diophantine in terms of n 2 Solving Diophantine equation with parameters 0 Multi variable Diophantine equation 1 Solving Cubic Systems of Diophantine Equations Hot Network Questions Why didn't Alexander sail his Army across Gulf instead of Gedrodsian desert? What did Quine mean with the word "ponential" in Mathematical Logic? Missing derailleur hanger bolt Why does bible claim Asa was perfect all his days when he didn't rely on God in the latter years Best LaTeX environment to recreate this example Chapter title formatting with TikZ graphic Find an explicit real number that is not in the set produced by the convergent rational series When did the Green Lantern Corps start to refer to themselves as such? Properties of left and right adjoint functors to pushforward functor from a divisor How can I separate the 2 wheels in this model into individual objects? How to get code of a program that decrypts itself? Why does the Apollo LM's Cross-Pointer display have a bulge? MOSFET gate driver Resonance in hexa-2,4-dienyl cation SciFi story about father and son after world is destroyed Simple present tense of "wear" vs. present progressive form of "wear" Did the success of "Star Wars" contribute to the decision to make "Strangers" starring Don Henderson? Tomonaga-Schwinger evolution equation: Rigorous setting? What does the Verb, "Sod," mean in Jubilees 24:3? Which Vampire Films exist in the WoD? Activate the Laser Gates Can we solve Parity Games in polynomial time given this subroutine? Can I use super glue or hot glue as an insulator/solder mask for a small circuit? Example of two topologies with same Borel sets but different τ-additivity more hot questions Question feed By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. 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8060	https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3690811/	Rotaviruses: from pathogenesis to vaccination - PMC Skip to main content An official website of the United States government Here's how you know Here's how you know Official websites use .gov A .gov website belongs to an official government organization in the United States. Secure .gov websites use HTTPS A lock ( ) or https:// means you've safely connected to the .gov website. Share sensitive information only on official, secure websites. Search Log in Dashboard Publications Account settings Log out Search… Search NCBI Primary site navigation Search Logged in as: Dashboard Publications Account settings Log in Search PMC Full-Text Archive Search in PMC Journal List User Guide PERMALINK Copy As a library, NLM provides access to scientific literature. Inclusion in an NLM database does not imply endorsement of, or agreement with, the contents by NLM or the National Institutes of Health. Learn more: PMC Disclaimer \| PMC Copyright Notice Gastroenterology . Author manuscript; available in PMC: 2013 Jun 24. Published in final edited form as: Gastroenterology. 2009 May 7;136(6):1939–1951. doi: 10.1053/j.gastro.2009.02.076 Search in PMC Search in PubMed View in NLM Catalog Add to search Rotaviruses: from pathogenesis to vaccination Harry B Greenberg Harry B Greenberg, M.D. 1 Senior Associate Dean for Research, Joseph D. Grant Professor of Medicine and Microbiology & Immunology, Stanford University School of Medicine, Alway Bldg, Rm M-121 \| 300 Pasteur Dr, Stanford, CA 94305-5119, phone: 650-725-9722, fax: 650-725-7368 Find articles by Harry B Greenberg 1, Mary K Estes Mary K Estes, Ph.D. 2 Cullen Endowed Chair of Molecular and Human Virology, Departments of Molecular Virology and Microbiology and Medicine -GI, Baylor College of Medicine, One Baylor Plaza BCM-385, Houston, TX 77030-3498, 713-798-3585, 713-798-3586 fax Find articles by Mary K Estes 2 Author information Article notes Copyright and License information 1 Senior Associate Dean for Research, Joseph D. Grant Professor of Medicine and Microbiology & Immunology, Stanford University School of Medicine, Alway Bldg, Rm M-121 \| 300 Pasteur Dr, Stanford, CA 94305-5119, phone: 650-725-9722, fax: 650-725-7368 2 Cullen Endowed Chair of Molecular and Human Virology, Departments of Molecular Virology and Microbiology and Medicine -GI, Baylor College of Medicine, One Baylor Plaza BCM-385, Houston, TX 77030-3498, 713-798-3585, 713-798-3586 fax Issue date 2009 May. © 2009 The American Gastroenterological Association. Published by Elsevier Inc. All rights reserved. PMC Copyright notice PMCID: PMC3690811 NIHMSID: NIHMS478420 PMID: 19457420 The publisher's version of this article is available at Gastroenterology Abstract Rotaviruses cause life-threatening gastroenteritis in children worldwide; the enormous disease burden has focused efforts to develop vaccines and led to the discovery of novel mechanisms of gastrointestinal virus pathogenesis and host responses to infection. Two live-attenuated vaccines for gastroenteritis (Rotateq and Rotarix) have been licensed in many countries. This review summarizes the latest data on these vaccines, their effectiveness and challenges to global vaccination. Recent insights into rotavirus pathogenesis are also discussed, including information on extra-intestinal infection, viral antagonists of the interferon response and the first described viral enterotoxin. Rotavirus-induced diarrhea is now considered to be a disease that can be prevented through vaccination, although there are many challenges to achieving global effectiveness. Molecular biology studies of rotavirus replication and pathogenesis have identified unique viral targets that might be useful in developing therapies for immunocompromised children with chronic infections. Introduction Rotavirus infects every child in the world and is the leading cause of life-threatening diarrheal disease among infants and young children in many countries. The global disease burden stimulated efforts to develop vaccines, some of which are licensed and now being used. This article summarizes information about rotavirus that led to recent vaccines, challenges to global vaccination, and mechanisms of gastrointestinal (GI) virus pathogenesis and mucosal immunity. Virology Rotaviruses are members of the Rotavirus genus of the Reoviridae family, which contains viruses with segmented, double-stranded RNA genomes. Rotavirus particles are large (1000 Å) and complex, with 3 concentric protein layers that surround the viral genome of 11 segments of double-stranded RNA (Figure 1) 1. The rotavirus genome segments encode 6 structural proteins that make up virus particles (viral protein or VP) and 6 nonstructural proteins (NSP). The NSP are synthesized in infected cells and function in some aspect of the viral replication cycle or interact with host proteins to influence pathogenesis or the immune response to infection. The rotavirus protein VP7 makes up the outer capsid protein shell and VP4 forms spikes that emanate through the outer capsid shell; these induce neutralizing antibody responses and are the basis of a binary classification system for viral serotypes. Thus, VP7 (a glycoprotein or G-type antigen) and VP4 (a protease sensitive protein or P-type antigen) are used to classify rotaviruses. VP7 types are classified as serotypes by neutralization assays or as genotypes by sequencing; these 2 assays yield concordant results, so viruses are referred to by their G serotype alone (e.g., G1, G2, G3, etc). VP4 serotypes are also classified by neutralization and sequencing assays, but the results do not always agree, so there is a dual system for P typing. P serotypes are referred to by their serotype numbers (e.g., P1, P2) and P genotypes are denoted in brackets (e.g., P, P). P genotyping is the most widely used method for classification because of difficulties in standardizing VP4 serotype assays. Currently, 19G and 28[P] types are known. Figure 1. Open in a new tab Structure and proteins of rotavirus. A). The viral genome of 11 segments of double-stranded RNA is analyzed by polyacrylamide gel electrophoresis. Each gene codes for at least one protein as shown with at least one major function of the protein indicated. B). A cut-away of the viral structure as determined by image reconstruction after electron cryo-microscopy is shown with the proteins designated that make up each concentric protein layer. Adapted from Estes, 2001. 1 In addition to being clinically significant pathogens, rotaviruses are fascinating in that they exhibit unusual aspects of structural complexity and have unique replication features. There have several key properties that are relevant to their success as GI pathogens. First, the triple layer capsid is very stable, which facilitates fecal–oral transmission and delivery of virus into the small intestine, where it infects nondividing differentiated enterocytes near the tips of the villus (Figures 2 and 3). It is thought that mature enterocytes express factors required for efficient infection and/or replication. The 60 spikes that protrude from the surface of the outer viral capsid are composed of a complex of molecules that act as an initial viral attachment protein to bind host receptors. The spike protein is susceptible to proteolytic cleavage, a common feature of attachment proteins of many viruses that infect mucosal surfaces. Proteolytic cleavage by trypsin induces a remarkable conformational change in the structure of the spike that exposes additional attachment sites on the surface glycoprotein for interaction with a series of co-receptors. The multistep attachment and entry process, which remains incompletely understood, is complex, with activation of infectivity resulting in virus delivery across the plasma membrane and into the cell. The virus is never completely uncoated, but instead the outer capsid shell is removed and double-layered particles are delivered into the cell cytoplasm. These particles function as molecular machines, producing capped viral mRNAs that are extruded from transcribing particles into the cytoplasm. There, they are translated into proteins and replicated to produce new genomic RNA. The proteins in the core of the incoming particles possess all the enzymatic activities required to produce the viral transcripts from the viral genome dsRNA, because eukaryotic cells do not express RNA polymerases that transcribe mRNA from dsRNA templates. Figure 2. Open in a new tab Rotavirus infection of small intestinal enterocytes. Left panel. Immunofluorescence analysis detects rotavirus replication in the ileum of a 5-day-old neonatal rat pup infected with rhesus rotavirus. Right panel. Schematic of villus showing the site of rotavirus replication in the mature enterocytes. Adapted from Ciarlet et al., 2002.96 Figure 3. Open in a new tab Mechanisms by which rotaviruses cause diarrhea. A). Events that occur following rotavirus infection of enterocytes are shown in order from left to right. Not all events are shown in each cell. 1) Infection of the initial cell by luminal virus leads to virus entry, uncoating, transcription, translation of viral proteins, formation of viroplasms (Vi), and apical release of virus and viral protein. Nonstructural protein 4 (NSP4, red triangle) and virus particles are released by a nonclassical secretory pathway. Intracellular NSP4 also induces the release of Ca 2+, from internal stores, primarily the endoplasmic reticulum, leading to increasing intracellular calcium [Ca 2+]i. 2) Another outcome can result from a cell being infected with virus. NSP4 produced by the infection disrupts tight junctions, allowing paracellular flow of water and electrolytes (blue arrow). 3) NSP4 released from previously infected cells binds to a specific receptor and triggers a signaling cascade through phospholipase C (PLC) and inositol phosphatase (IP)3 that results in release of Ca 2+ and an increase in [Ca 2+]i. Intracellular expression of NSP4 increases [Ca 2+]i through a PLC-independent mechanism. The increase in [Ca 2+]i also disrupts the microvillar cytoskeleton. 4) A crypt cell (brown) can be acted on directly by NSP4 or NSP4 can stimulate the enteric nervous system (ENS), which in turn signals an increase in [Ca 2+]i that induces Cl− secretion. Panel B shows the normal architecture of the small intestine, without the circulatory system shown. This panel shows the ENS and its ganglia in the different submucosal levels. Panel C shows a reflex arc in the ENS that can receive signals from the villus epithelium and activate the crypt epithelium. Inset 1 shows a whole-mount of an adult mouse small intestinal villus, stained with antibody to the gene product 9.5 neuroendocrine marker to reveal the rich innervation (yellow). Inset 2 shows that infected villus enterocytes can stimulate the ENS by the basolateral release of NSP4 or other effector molecules. The integrin α2β1 can bind NSP4 and elicit diarrhea in neonatal mice. Adapted with permission from Ramig, 2004. 97 Several aspects of the rotavirus replication process are unique. Viral replication is restricted to the cell cytoplasm and occurs within specialized electron-dense structures called viroplasms, which are localized adjacent to the cell nucleus and near the endoplasmic reticulum (Figure 3). Viroplasms are composed of nascent viral proteins and their size and shape change during the replication cycle. Newly made double-layered particles containing newly replicated dsRNA bud from viroplasms into the endoplasmic reticulum (ER) in a unique process during which particles become transiently enveloped. The budding of particles into the ER is initiated by the binding of newly made double-layered particles to an intracellular viral receptor. This receptor consists of the cytoplasmic tail of a rotavirus nonstructural protein (NSP4) that is a transmembrane ER glycoprotein. The outer capsid proteins are incorporated into new particles during the budding process through protein rearrangements that occur as the transient envelope is lost. Mature virus particles are released from cells either by cell lysis or by delivery of particles to the apical plasma membrane of polarized cells by a nonclassical trafficking pathway. Rotavirus are important models for studying non-enveloped virus penetration of intracellular membranes and viral modulation of cell Ca 2+ homeostasis. In spite of the synthesis of rotavirus glycoproteins and intracellular viral protein and particle trafficking, regulation of rotavirus replication and morphogenesis does not involve protein trafficking to the Golgi. Instead, levels of intracellular calcium ([Ca 2+]i)regulate rotavirus replication. Rotaviruses affect and exploit calcium (Ca 2+) signaling to control replication, morphogenesis and pathogenesis. Thus, rotavirus infections result in at least 3-fold increases of [Ca 2+]i, and up to 10-fold increases in uptake of 45 Ca 2+ into cells 2, 3. Ca 2+ also has an important role in virion assembly and disassembly processes. Ca 2+ maintains the integrity of the rotavirus outer capsid layer; VP7 is a Ca 2+ binding protein and Ca 2+ chelation is one way to activate the endogenous RNA polymerase. NSP5 also is a Ca 2+ binding protein and viroplasm formation requires Ca 2+ 4. Rotavirus morphogenesis depends on the presence of adequate Ca 2+ levels in cells. Without Ca 2+, virus morphogenesis is stopped at the double-layered particle (DLP) step and VP7 is excluded from hetero-oligomeric complexes made of NSP4 and VP4 that participate in the budding of DLPs into the ER 5. Furthermore, Ca 2+ depletion of the ER by the sarco/endoplasmic reticulum Ca 2+-ATPase (SERCA) pump inhibitor thapsigargin inhibits VP7 and NSP4 glycosylation and virus maturation 6. NSP4 is the only rotavirus protein that mobilizes [Ca 2+]i in cells7, 8. Release of [Ca 2+]i from the ER alters plasma membrane permeability and compensatory entry of extracellular Ca 2+ into cells. It is not clear how intracellular NSP4 releases Ca 2+ from the ER, but this is a phospholipase C (PLC)-independent mechanism7–9. NSP4 itself might function as, or regulate, a Ca 2+ channel10, 11. Alternatively, NSP4 might simply cause Ca 2+ to leak from the ER by co-translational insertion into the ER membrane or by activity of its membrane destabilization domain(s). Understanding this process could identify new therapeutic targets that could be use to treat immunocompromised patients with chronic rotavirus infections. Epidemiology and Transmission Human rotaviruses were discovered 36 years ago—a decade after the first animal rotaviruses were visualized12–14. Because large amounts of human rotaviruses are shed in the stool, the development of specific and sensitive solid-phase immunoassay systems for detection was straightforward; within 10 years of discovery, it was clear that rotaviruses were ubiquitous and associated with approximately 20%–30% of severe diarrheal diseases that required hospitalization in children under the age of 5, worldwide15. Virtually every study into the role of rotavirus as an etiologic cause of gastroenteritis has found that rotavirus-associated illness tends to be more severe than gastroenteritis caused by other enteric pathogens 16–18. In the early 1980’s, it was estimated that rotaviruses were responsible for approximately 870,000 deaths per year in young children15. Under the auspices of the Centers for Disease Control (CDC), the World Health Organization (WHO) and other regional surveillance agencies, techniques of rotavirus detection have become more sensitive, widespread and uniform over the past several years; as a result, the global burden of diarrheal disease has fallen sharply—from over 4 million to under 2 million per year. It has been estimated that there are over 114 million rotavirus diarrheal episodes per year that result in approximately 24 million clinic visits, 2.4 million hospitalizations and over 500,000 deaths in children under 5 years of age19, 20. By 5 years of age, 1 in 50 children will be hospitalized and 1 in 205 will die from rotavirus-associated causes. Virtually all these deaths occur in children living in developing countries21. Recent worldwide surveillance data from the CDC revealed that of the 62,584 hospitalizations for diarrhea, 40% were due to rotavirus infection 19. The reason for the apparent increase in the proportion of severe diseases associated with rotavirus worldwide is not entirely clear; it might result from more standardized methodology of defining and selecting cases and improved diagnostic testing. Perhaps more importantly, however, it could also reflect a relative decrease over the last 20 years in the absolute number of severe diarrheal cases caused by bacterial pathogens. This decrease has been associated with general improvements in water supply and hygiene without a concomitant decrease in number of rotavirus disease cases. The global mortality burden associated with rotavirus infection continues to be great—it represents one of a handful of vaccine preventable causes of significant infant mortality worldwide. The burden of disease from rotavirus infection is not limited, however, to the less-developed world. Studies from Western Europe found that 50% of cases of gastroenteritis in children less than 5 years of age that were treated in emergency departments was caused by rotavirus and that the infection resulted in 230 deaths per year 22–24. In recent studies from the US, 50% of children hospitalized or treated in the emergency department for gastroenteritis had rotavirus infection25, leading to estimates that in children under the age of 3, one of every 150 would be hospitalized and 1 of 11 would be seen as an outpatient in an emergency department for rotavirus disease. In the US rotavirus is estimated to cause 20–60 deaths, 55000–70,000 hospitalizations and 410,000 physician visits annually26, 27. Rotavirus also appears to be a common cause of nosocomial infection. One review study from the US indicated that over 20% of patients admitted to hospitals develop concurrent rotavirus infections. Other studies estimated that every 4 children admitted to the hospital for rotavirus illness results in 1 case of nosocomial rotavirus illness in the hospital28. The overall health and societal costs of rotavirus disease in the US have been estimated to exceed $1 billion per year. Because rotavirus has a segmented dsRNA genome, the genes that encode VP4 and VP7 can, in theory, segregate independently. Of the 28 P types and 15 G types thus far identified, 11 VP4 P types and 10 VP7 G types have been isolated from viruses from humans. So, the potential serotypic diversity for human rotaviruses seems to be vast. In fact, over 40 G/P combinations have been observed at least once in people29. However, in nature it does not appear that all VP4 and VP7 proteins are equally efficient in competing for a niche in the human GI tract; only a relatively small number of P- and G-type combinations have been encountered with any significant frequency and just 4 combinations (P(8)G 1, G2, or G3 and P(4)G2) account for over 90% of isolates. This finding has remained relatively unchanged for many years. In Europe, for example, P(8)G1 strains account for almost 70% of all human isolates. This is not to say that serotypic diversity does not change over time or on a geographical basis. In fact, in the last decade, P(8)G9 viruses have been more frequently encountered than in past decades 29 and in some regions, such as India, much greater serotypic diversity is routinely encountered. It has generally been assumed that interspecies transmission of rotaviruses between animals and humans is primarily responsible for the generation of serotypic diversity; there are numerous case reports in the literature of infections of humans with animal strains30. In addition, a variety of human isolates have been shown to be recombinants of human and animal rotavirus strains31. The critical relationship between serotypic diversity and protective immunity remains to be fully understood and is one of the important unanswered questions in rotavirology. The emergence of new serotypes such as the G9 strains would seem to indicate that immune selection can drive serotypic diversification. On the other hand, the efficacy of single serotype vaccines, the general restriction of severe illness to the first infection and the general persistence and dominance of G1 strains in the environment of Western Europe and the US for many years indicate that other factors could have a more critical role in determining rotavirus serotypic distribution than immune selection. Unlike many bacterial enteric pathogens, rotaviruses subsist in temperate and tropical climates, as well as in developed and less-developed social settings. Rotaviruses are shed in the feces in amounts up to 10 10 particles per gram of stool; limited infectivity studies indicating that 10 or less particles are likely infectious32, 33. The large amount of virus shed is probably the reason that improvements in hygiene in the developed world have not greatly reduced the incidence of rotavirus disease, although respiratory transmission might also have a role in dissemination34. In temperate climates, rotavirus disease is seasonal, occurring in the cooler dryer months of the year35. In a study from Australia, performed over a 10 year period, higher weekly temperatures and humidity in the previous week correlated with decreased rotavirus admissions for diarrhea in the following week during rotavirus seasons36. However, there are regional variations in the rotavirus season. For example, in the US, it tends to start in the Southwest in the fall and end in the Northeast in the spring; in Europe it tends to spread from south to north over generally the same timeframe37, 38. The mechanism responsible for this seasonality (relative humidity, average temperature, indoor population density) is not clear. Although rotavirus infections fluctuate far less in tropical climates, rates are not flat in these areas. In fact, a recent systematic review of 26 studies concluded that the highest number of infections also occurred in the coolest and driest months of the year in the tropics 38. Pathogenesis Intestinal infection Rotavirus infection can result in asymptomatic or symptomatic infection. The outcome of infection is affected by both viral and host factors. The most prominent host factor that affects the clinical outcome of infection is age. Thus, neonates infected with rotavirus rarely have symptomatic disease; this protection is thought to be mediated primarily by transplacental transfer of maternal antibodies 39. Reductions in these antibodies coincide with the age of maximum susceptibility of infants to severe rotavirus-induced disease (3 mos to 2 years). Rotavirus can infect adults, but severe symptomatic disease is relatively uncommon and can result from infections with an unusual virus strain or extremely high doses of virus. Virus virulence is related to properties of the proteins encoded by a subset of the 11 viral genes. Virus virulence is multigenic and has been associated with genes 3, 4, 5, 9, and 10. The basis for the involvement of these genes is only partially understood. Gene 3 encodes the capping enzyme that affects levels of viral RNA replication; genes 4 and 9 produce the outer capsid proteins required to initiate infection. Gene 5 codes for a protein (NSP1) that functions as an interferon antagonist (discussed below in the immunity section). Gene 10 codes for the nonstructural protein NSP4, which functions to regulate calcium homeostasis, virus replication and as an enterotoxin. Diarrhea is the main clinical manifestation of rotavirus infection in infants and young children. A hallmark of viral-induced diarrhea that distinguishes it from bacterial-induced diarrhea is that little inflammation is seen in infected intestines. Rotavirus primarily infects intestinal villus enterocytes and crypt cells are spared (Figures. 2 and 3). Our understanding of disease pathogenesis is based primarily on studies in a variety of animal models. Disease pathogenesis is multifactorial and malabsorptive diarrhea occurs due to virus-mediated destruction of absorptive enterocytes, virus-induced downregulation of the expression of absorptive enzymes, and functional changes in tight junctions between enterocytes that lead to paracellular leakage. There is a secretory component of rotavirus diarrhea that is thought to be mediated by activation of the enteric nervous system and the effects of NSP4—the first described virus-encoded enterotoxin (Figure. 3). Studies of the virus and the effects of NSP4 alone, in cultured cells and animal models, indicate that rotavirus- induced diarrhea results, in part, from activation of cellular Cl− channels, which increases secretion of Cl− and consequently water (Fig 2). This Cl− secretion does not occur through the cystic fibrosis transmembrane regulator—rotavirus and NSP4 induce diarrhea in mouse pups that lack this channel as well as in children with cystic fibrosis10, 40. Villus ischemia and alterations in intestinal motility have also been reported in some animal models but their role in disease in children remains poorly documented. Systemic infection Rotavirus infection is not limited to the intestine—its extra-intestinal spread was documented over 45 years ago in mice, when virus was detected in multiple organs12, 41. These studies were largely forgotten until sensitive techniques re-evaluated systemic infection in a variety of animal models and in children42–45. It is clear that all infected individuals and animals undergo at least a short period of viremia and virus can be detected in the several other tissues of immunocompetent hosts46. The clinical consequences of such systemic infection remain unclear. Although there are many case reports associating rotavirus with many systemic illnesses, there is no proof of causation from extraintestinal spread of rotavirus; this would be difficult to prove if this form of the disease is rare. However, it is important for clinicians to consider the possibility of systemic infections and to be attuned to possible cases in which causation can be shown. It is not known if the most recently developed, live attenuated vaccines result in viremia, but unexpected systemic infections have not been associated with these vaccines. Immunity Studies of natural rotavirus infection in humans and animals were the first to demonstrate the existence of acquired immunity both to recurrent disease, and to a lesser extent, re-infection following primary infection47. These observations were followed by a large number of experimental studies in a variety of small and large animal models, all of which demonstrated the presence of acquired immunity. Each of the animal models has advantages and disadvantages. The 2 most widely studied models are the neonatal gnotobiotic pig model and the mouse model. The pig remains susceptible to disease longer than the mouse, can be symptomatically infected with virulent human as well as porcine rotavirus strains and is therefore preferable for studies of protection from disease (as opposed to restriction of re-infection). Gnotobiotic pigs that recover from infection with virulent human rotavirus possess high numbers of intestinal immunoglobulin (Ig)A rotavirus-specific primary antibody-secreting cells, measured by ELISPOT; these correlate with complete protection against homotypic challenge48. Because it is not possible to disrupt genes in pigs (make knockout animals) and because of the lack of large numbers of T- and B-cell–depleting antibody reagents, the pig model has been less effective for addressing fundamental questions about the effector mechanisms responsible for antiviral immunity. On the other hand, it has been an excellent system to evaluate vaccine candidates—live rotavirus infection (symptomatic or asymptomatic) has been by far the most efficient inducer of protective immunity. This protection has generally been correlated with a number of markers of mucosal immunity, including levels of anti-rotavirus intestinal IgA, enteric rotavirus reactive antibody-secreting cells, and IgA memory cells. The mouse model has been the other widely used system to study rotavirus immunity. Its advantages include the animal’s small size and general availability, the existence of several virulent mouse rotavirus strains, and the large number of immunologic reagents available to measure and manipulate the model. Unfortunately, mice become maturationally resistant to diarrheal disease by 14 days of age, so they cannot be used to study active immunization against disease. Fortunately, mice remain susceptible to infection throughout their life so they are useful to examine acquired resistance to infection. Passive transfer studies of monoclonal antibodies in the mouse model demonstrated that neutralizing antibodies to VP4 or VP7 transfered homotypic or heterotypic protection, depending on the antibody specificity in vitro49; the other rotavirus proteins appear to be targets for viral neutralization. Interestingly, other studies have shown that non-neutralizing IgA against the antigenically conserved VP6 protein can also mediate protection, apparently via an intracellular antiviral effect occurring during transcytosis50. Viral-induced diarrhea is also significantly reduced in mouse pups born to dams immunized with a variety of forms of the enterotoxin NSP451, 52. The relevance of these protective mechanisms to human immunity is unknown. Studies in mice demonstrated that B cells were the primary determinant of protection from reinfection after natural infection, whereas CD8+T cells were responsible for shortening the course of primary infection53. CD4+T cells were generally involved in supplying help to CD8+ T cells and B cells, but also appear to mediate active protection, via a interferon (IFN)-γ–dependent pathway, after immunization with recombinant VP654. Regulatory T cells do not appear to mediate or modulate rotavirus immunity during primary infection55. Lymphocyte homing also has a prominent role in regulating rotavirus immunity and B cell trafficking to the intestine seems to be critical for generating optimal protection in a chronically infected mouse model 56. Recent studies have also drawn attention to the importance of the innate immune response and IFN in regulating rotavirus immunity. In the gnotobiotic porcine model, the probiotic lactobacillus acidophilus significantly increased both B and T cell responses to attenuated live virus infection57. It remains to be determined if these effects would occur in humans, because their GI tract is colonized by bacteria shortly after birth. The role of the innate immune response in rotavirus infection, and specifically in IFN-induced antiviral effects, has been examined both in vivo and in vitro. Levels of type I and II IFNs increase in rotavirus-infected children and animals58. Types I and II interferon are able to limit rotavirus infection in vitro and, in early studies, IFN-α administration reduced rotavirus-associated diarrhea in cattle and pigs59, 60. On the other hand, IFNs appear to have little if any effect on the course of diarrhea or virus shedding during acute rotavirus infection in suckling mice. In adult mice, STAT1 deficiency was associated with increased viral shedding61. Interferon regulatory factor (IRF)3 has been shown to interact with the rotavirus protein NSP1, linking rotavirus infection to innate immunity62. Additional in vitro studies indicated that the rotavirus non-structural protein NSP1 functions as a virally encoded E3 ligase, interacting with and promoting the degradation of IRF3 and IRF7 via a proteosome-mediated mechanism that involved ubiquitination63. NSP1 also inhibits activation of NF B by a novel mechanism that involves targeted degradation of an F-box protein of the E3 ligase complex64. Studies in vivo demonstrated that the systemic virulence of selected strains of rotavirus was increased and a lethal biliary and pancreatic disease was induced when interferon signaling was blocked during rotavirus infection65. Innate immunity has an important role in modulating rotavirus infection in vitro and in animal model systems, but the role in humans is unexplored. Vaccines Attempts to develop a vaccine against human rotavirus began in the early 1980s. Initial efforts used a “Jennerian” approach (in reference to Edward Jenner’s cowpox vaccine against smallpox) to vaccinate children against rotaviruses, which normally infect animals. It has been observed that injection of an attenuated bovine rotavirus strain protected gnotobiotic calves against subsequent challenge with human rotavirus 66–69. Several important findings emerged from the first vaccine studies. The RIT4237 bovine rotavirus vaccine candidate was safe and highly effective (greater than 80%) in preventing severe diarrhea in Finnish children, but significantly less effective in clinical trials in African and Latin American children. The RIT4237 vaccine was less effective (as have been all subsequent vaccine candidates) at preventing any diarrhea than at preventing severe illness. Finally, and most interestingly from the standpoint of the role of vaccine serotype in protection, the bovine RIT vaccine was effective despite the fact that it was antigenically mismatched with all circulating human rotavirus strains. Because of its failure in clinical trials in Africa, the RIT4237 candidate was not pursued. These initial studies were followed by a more sustained effort from investigators at the National Institutes of Health (NIH) and Wyeth Pharmaceuticals to develop an improved animal rotavirus-based vaccine. A simian rotavirus (RRV) was initially evaluated as a monovalent candidate70 that appeared to be effective in preliminary trials, but subsequent studies revealed diminished efficacy. This failure was proposed to reflect differences between the serotype of the RRV vaccine (G3) and circulating human strains at the time of the trial. In addition, the monovalent RRV strain possessed a considerable amount of residual reactogenicity, primarily in the form of fever. To circumvent the possible serologic problems inherent in a monovalent vaccine, a modified strategy was employed, in which the gene encoding VP7 from RRV (which was a G3 strain) was replaced with genes encoding human G1, 2 and 4 VP7s and a tetravalent vaccine containing G1,2,3 (from the original RRV) and 4 was evaluated71. This vaccine, called RotaShield™ or RRV-TV, was evaluated in an extensive series of safety and efficacy studies in the US, Finland and Venezuela, which all indicated it was highly effective (80%–100%) in preventing severe diarrheal disease47, 72–74. Although the tetravalent vaccine was highly effective, the immunologic basis for this efficacy was unclear. Of note, neutralization responses to the 4 G serotypes contained in the vaccine were much lower than the apparent efficacy rates of the vaccine. To explain this apparent contradiction, it has been postulated that the primary advantage of multivalent rotavirus vaccines is not their serotypic diversity but rather their increased ability, compared to monovalent constructs, to boost the immune response on the second or third administration70. In any case, the RotaShield™ vaccine was judged to be safe and effective in several pivotal phase 3 clinical trials and was licensed for general use in children 2 to 6 months of age in the US in August, 1998 with high expectations that the dangers of rotavirus infection would soon be eliminated. Approximately 600,000 infants in the US received RRV-TV before its utilization came to a halt in July 1999, when it was reported that the first dose of RRV-TV was associated with a substantial increased relative risk (at least 25-fold) of intussusception within the first 10 days after administration16, 75–77. The mechanism that underlies the association between RRV-TV and intussusception is unknown, but has been postulated to be specific to the RRV strain, since wild-type rotaviruses and other live attenuated vaccines have not been reproducibly associated with an increased rate of intussusception. Based primarily on the increase in relative risk, Rotashield was judged to be unsafe for routine use and withdrawn from commercial manufacture. It took another 7 years before new rotavirus vaccine candidates were available; during this seven 7-year hiatus, rotavirus caused morbidity and mortality continued unabated. Many ethical questions concerning the appropriateness of eliminating the availability of RRV-TV vaccine remain, especially for children in less-developed parts of the world, where the risk:benefit ratio for utilization of RRV-TV was very different than in the US. Fortunately, research on rotavirus vaccines continued after the unexpected problems with the RRV-TV and in 2006, 2 new rotavirus vaccines were licensed in the US, the European Union, as well as many countries in Central and South America70, 78–83 (Table 1). One of these new vaccines represents an alternative approach. In this case, a bovine rotavirus strain (WC3), isolated in the US, was used as a backbone to create a pentavalent vaccine that contained 5 separate viruses that expressed either human G1, 2, 3 or 4 VP7s and a human P(8) VP4 on the bovine WC3 backbone84–86. The WC3 strain was initially studied as a stand-alone monovalent candidate (much like the RIT vaccine). It was found to be appropriately attenuated but clinical trials yielded varying efficacy rates, which led to the modification and inclusion of the various human G and P types. The pentavalent WC3-based vaccine is manufactured by Merck and is marketed under the trade name RotaTeq™. Because of the safety issues with RRV-TV, registration trials required almost 70,000 infants. In these trials, which were primarily but not exclusively carried out in the US and other developed countries, the vaccine was highly efficacious with protection rates against any rotavirus diarrhea of 74%, against diarrhea requiring a physician visit of 87% and against severe rotavirus disease of as high as 100%. RotaTeq’s efficacy rates did not appear to be affected by breastfeeding and administration of this vaccine did not interfere with immune responses induced by other vaccines37, 84. Most importantly, the vaccine was safe and not associated with intussusception. In fact the rates of intussusception were somewhat lower in vaccine recipients. Recent follow-up, post-licensure studies from the CDC have not disclosed rate of intussusception that is greater than expected for vaccine recipients87. Table 1. Comparison of the Two Licensed Rotavirus Vaccines \| \| Rotateq™ \| Rotarix™ \| :--- \| Manufacturer \| Merck Vaccine Division \| GlaxoSmithKline \| \| Genetic Backbone \| Bovine Rotavirus-WC3 \| Human rotavirus-89-12 \| \| Composition \| 5 human; bovine reassortant \| Single human rotavirus \| \| Genotypes \| G1,2,3,4 and [P8] \| G1 [P8] \| \| Dosage schedule \| 3 doses @ 2, 4, & 6 months of age \| 2 doses @ 2 & 4 months of age \| \| Administration \| Oral \| Oral \| \| Presentation \| Liquid \| Lyophilized-reconstituted \| \| Protection against severe disease \| 85% (72–92) \| 95% (91–97) \| \| Virus shedding \| 9% \| 50% or more \| \| Intussusception \| No \| No \| Open in a new tab different scoring systems used so results not directly comparable adapted From Dennehy 2008,78 and Grimwood 2008 81 The molecular basis for the attenuation of the WC3-based vaccine is not presently known. In fact, the basis for host range restriction of rotaviruses in general is poorly understood. It is assumed, but not proven, that a vaccine that is attenuated on the basis of host range restriction will be genetically stable. RotaTeq is given in a 3-dose schedule and preliminary data indicate that at least 2 doses are required to generate significant levels of protection70. As expected for a vaccine based on an animal rotavirus isolate, vaccine shedding has been reported as infrequent and at a low level. The vaccine appeared to be effective in preventing severe disease caused by a variety of rotavirus serotypes, including G9 strains, although a G type component is not present in the actual vaccine. Additional evidence supporting the notion that serotype specific immunity is not solely responsible for protection is the finding (as was also seen with the Rotashield vaccine) that type-specific neutralization response rates following vaccination were much lower than the protection rates observed in clinical trials. RotaTeq was licensed in the US in 2006 and by late 2008 its effect on reported diarrheal disease in children were assessed in a nationwide study 88. The CDC estimated that vaccination was associated with a substantial delay in the annual onset of the rotavirus season and a greater than 50% decrease in rotavirus activity. This substantial reduction was more significant because it took place during a period when only a minority of the susceptible children had been given the vaccine, so it might be able to reduce transmission and provide ‘herd-immunity’ (community-based) as well as individual immunity. A live attenuated human rotavirus vaccine was licensed in 2006 under the trade name Rotarix™. This virulent G1P49 human rotavirus strain (89–12) was passaged for multiple rounds in monkey kidney cell cultures to achieve attenuation. The initial passaged material possessed residual virulence, but following subsequent additional passages and plaque purification, carried out by GlaxoSmithKline, a highly attenuated product was attained. As with the Merck vaccine (RotaTeq), the molecular basis for the attenuation of the Rotarix vaccine is unknown, although a sequence comparison with its wild-type parent strain could identify the genes changes that are associated with attenuation. Although there has been no direct comparison between RotaTeq and the GlaxoSmithKline vaccine, this human rotavirus vaccine is apparently shed in substantially greater amounts than RotaTeq, the bovine-derived vaccine89. This would likely indicate a higher likelihood of transmission from vaccinated to unvaccinated contacts. However, better understanding of the genetic basis of its attenuation and the degree of its genetic stability following transmission would aide development of future vaccines. The rationale underlying the development of Rotarix was that a single natural rotavirus infection, either symptomatic or asymptomatic, provides protective immunity against subsequent severe disease, irrespective of serotype47. Therefore, it seemed logical to predict that an attenuated human rotavirus strain might do the same. Because of prior safety concerns with the RRV-TV, large scale (>60,000 children) safety and efficacy trials were required for licensure. Unlike RotaTeq, these were carried out primarily, but not exclusively in countries in Central and South America. Rotarix requires only 2 doses, probably because it is better adapted to replication in the human GI tract than the bovine-based vaccine and it can be administered at a dose approximately 100-fold lower than that of RotaTeq. The large-scale safety study conducted in Latin America showed no association between Rotarix and intussusception90. Efficacy trials in Latin America and Europe showed the vaccine to be highly effective90, 91. In a subset of the large registration safety study cohort, the vaccine was 85% effective against preventing severe diarrhea and 100% effective against the most severe cases. Interestingly, despite the monovalent nature of the vaccine, it was effective (92%) against homotypic G1 strains and 88% effective against heterotypic G3, 4 and 9 strains. In this study, efficacy against G2 strains (41%) was not significant but subsequent meta-analysis studies and other efficacy studies from Europe showed substantial (81%) efficacy against G2P(4) strains. Recent 2-year efficacy data for Rotarix have shown that Rotarix does not interfere with other routine childhood vaccinations91, 92. Because different disease symptom scoring systems were used by Merck and GlaxoSmithKlein during their clinical trial programs, it is virtually impossible to directly compare the efficacies of RotaTeq and Rotarix 93, although each vaccine is highly effective. However, there are lingering suspicions that Rotarix is less effective against G2 strains and that this relative deficiency might, under some circumstances, produce problems82. Several 3 rd-generation rotavirus vaccines are in development because of possible safety issues associated with the of RotaTeq and Rotarix; because of this several groups are pursuing inactivated virus or recombinant virus-like-particle approaches. Parenteral immunization with inactive virus has proven effective in animal models but no proof of principle for this approach exists for humans94. Similarly, parenteral or intranasal immunization with recombinant nonreplicating virus-like particle vaccines have been effective in all animal models tested, and these candidate vaccines are ready for phase 1 testing in humans95. Another rationale for the development of additional vaccine candidates is cost—rotavirus vaccine will never be fully affordable in the poorest countries until vaccine manufacturers in the developing world are able to compete with large pharmaceutical companies. At least 2 3 rd-generation vaccine candidates are currently being evaluated in clinical trials. A neonatal G9P(10) rotavirus isolated from a newborn nursery in New Delhi (strain 116E) is about to undergo pivotal phase III efficacy trials in India. This vaccine is produced by an Indian biotech company and was shown to be safe and highly immunogenic in initial phase I and II studies. A series of bovine reassortants that utilize the UK bovine strain as a backbone have been licensed by the NIH to several companies in China, India and Brazil86. This vaccine is being formulated as a tetravalent G1, 2, 3, 4 vaccine on the UK backbone. Earlier efficacy trials with this vaccine in Finland showed it to be non-reactogenic, highly immunogenic and highly efficacious. If either of these vaccine candidatess proves to be safe and effective, they could be produced at substantial savings by the manufactures in developing nations for widespread use. There are a number of important basic and practical issues to be resolved concerning rotavirus vaccine development but perhaps the single most important one is to determine whether RotaTeq and/or Rotarix are effective in very poor counties in Asia or Africa. Other vaccines, especially orally administered vaccines, have been found to have greatly diminished efficacy in certain very poor regions of India and Africa. Currently, under the auspice of the Seattle-based nonprofit organization PATH (formerly called Program for Appropriate Technology in Health) and the support of the Gates foundation, the efficacy of Rotarix and RotaTeq is being studied in parts of Africa and or Asia. The results of these clinical trials are greatly anticipated. Another important issue is to determine whether the restricted timing of administration of the first dose of these vaccines will limit their usefulness in any country. Some children in the US are not benefitting from rotavirus vaccination because the first dose needs to be administered by a maximum of 2 months of age; it not clear if these timing restrictions are suitable for developing countries. Vaccine safety in children with immunodeficiencies also needs to monitored; cases of chronic infection occurred in babies with severe combined immunodeficiency (SCID) that received the vaccine before they were diagnosed with this disorder (M Estes-personal communication). This outcome is not unexpected as it has occurred with other live attenuated vaccines in SCID babies, but we need to establish ways to manage and prevent these situations. Conclusions Rotavirus diarrhea is considered to be a vaccine-preventable disease, based on recent successful outcomes in children in developed countries. Almost 50 years of basic and clinical research on rotavirus have culminated in this breakthrough and have also led to new knowledge about these fascinating pathogens and how they interact with the GI tract. Despite this impressive progress, much remains to be learned about rotavirus infection. We still do not know the mechanism by which current vaccines induce immunity to the broad array of serotypes encountered in nature. The molecular basis for host range restriction or cell tropism, which generally limits rotavirus infection to a single species and cell type, is unknown. Although we have learned much about the possible mechanisms by which rotavirus causes diarrhea, the exact contribution of each of these to the actual disease state remains unclear. Many of these questions can only be adequately addressed by the development of a tractable reverse genetics system, which has yet to occur. Given the rapid progress that has been made since the discovery of human rotavirus in 1973, it seems likely that in the next decade, many of these questions will be answered. Acknowledgments This work was supported in part by Public Health Service grants RO1 AI 021362 (HG), P30 DK 56339 (HG), RO1 DK 30144 (MKE), P30 DK56338 (MKE) from the NIH and a VA Merit Review Research Award (HG). Biographies Footnotes Publisher's Disclaimer: This is a PDF file of an unedited manuscript that has been accepted for publication. As a service to our customers we are providing this early version of the manuscript. The manuscript will undergo copyediting, typesetting, and review of the resulting proof before it is published in its final citable form. Please note that during the production process errors may be discovered which could affect the content, and all legal disclaimers that apply to the journal pertain. Contributor Information Harry B. Greenberg, Email: harry.greenberg@stanford.edu, Senior Associate Dean for Research, Joseph D. Grant Professor of Medicine and Microbiology & Immunology, Stanford University School of Medicine, Alway Bldg, Rm M-121 \| 300 Pasteur Dr, Stanford, CA 94305-5119, phone: 650-725-9722, fax: 650-725-7368 Mary K. Estes, Email: mestes@bcm.edu, Cullen Endowed Chair of Molecular and Human Virology, Departments of Molecular Virology and Microbiology and Medicine -GI, Baylor College of Medicine, One Baylor Plaza BCM-385, Houston, TX 77030-3498, 713-798-3585, 713-798-3586 fax References 1.Estes MK. Rotaviruses and their replication. In: Knipe DM, Howley PM, editors. Fields Virology. Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins; 2001. pp. 1747–1785. [Google Scholar] 2.Brunet JP, Cotte-Laffitte J, Linxe C, et al. Rotavirus infection induces an increase in intracellular calcium concentration in human intestinal epithelial cells: role in microvillar actin alteration. J Virol. 2000;74:2323–32. doi: 10.1128/jvi.74.5.2323-2332.2000. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] 3.Ruiz MC, Cohen J, Michelangeli F. Role of Ca2+in the replication and pathogenesis of rotavirus and other viral infections. Cell Calcium. 2000;28:137–49. doi: 10.1054/ceca.2000.0142. 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8061	https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5048697/	Congenital toxoplasmosis: Clinical features, outcomes, treatment, and prevention - PMC Skip to main content An official website of the United States government Here's how you know Here's how you know Official websites use .gov A .gov website belongs to an official government organization in the United States. Secure .gov websites use HTTPS A lock ( ) or https:// means you've safely connected to the .gov website. Share sensitive information only on official, secure websites. Search Log in Dashboard Publications Account settings Log out Search… Search NCBI Primary site navigation Search Logged in as: Dashboard Publications Account settings Log in Search PMC Full-Text Archive Search in PMC Journal List User Guide View on publisher site Add to Collections Cite Permalink PERMALINK Copy As a library, NLM provides access to scientific literature. Inclusion in an NLM database does not imply endorsement of, or agreement with, the contents by NLM or the National Institutes of Health. Learn more: PMC Disclaimer \| PMC Copyright Notice Trop Parasitol . 2016 Jul-Dec;6(2):113–122. doi: 10.4103/2229-5070.190813 Search in PMC Search in PubMed View in NLM Catalog Add to search Congenital toxoplasmosis: Clinical features, outcomes, treatment, and prevention Sarman Singh Sarman Singh 1 Division of Clinical Microbiology and Molecular Medicine, All India Institute of Medical Sciences, New Delhi, India Find articles by Sarman Singh 1,✉ Author information Article notes Copyright and License information 1 Division of Clinical Microbiology and Molecular Medicine, All India Institute of Medical Sciences, New Delhi, India ✉ Address for correspondence: Prof. Sarman Singh, Division of Clinical Microbiology and Molecular Medicine, All India Institute of Medical Sciences, New Delhi - 110 029, India. E-mail: sarman_singh@yahoo.com Received 2016 Aug 7; Accepted 2016 Sep 19. Copyright: © Tropical Parasitology This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License, which allows others to remix, tweak, and build upon the work non-commercially, as long as the author is credited and the new creations are licensed under the identical terms. PMC Copyright notice PMCID: PMC5048697 PMID: 27722099 Abstract Toxoplasmosis is caused by a coccidian parasite, Toxoplasma gondii. The parasite is highly prevalent both in humans and in warm-blooded animals. Cat family animals are definitive host, and these animals excrete the infective oocysts in their feces. Humans, though not definitive host, get infection by consuming water or food contaminated with cat feces. Rarely, infection can also take place through transfusing the infected blood, through transplantation of infected organs, or transplacentally from infected mother to fetus. Transplacental infection can cause congenital infection with varied degree of clinical manifestations, which depend on the age of fetus when infection took place. Diagnosis of congenital toxoplasmosis is difficult to establish until it is suspected and laboratory investigations are carried out. In more than 75% of cases, acute infection is missed due to very mild or unnoticeable clinical symptoms and signs. In India, a prevalence rate of 22.4% (8.8-37.3%) has been reported with an overall IgM positivity of 1.43%. It is estimated that approximately between 56,737 and 176,882 children per year are born in India with a possible risk of congenital toxoplasmosis. The diagnosis of congenital toxoplasmosis can be made by serological methods which are most commonly used. The other methods are parasite isolation by culture and molecular methods. Toxoplasmosis is treatable and transplacental transmission can be prevented by spiramycin, which concentrates in the placenta. However, if infection has done any damage to the fetus or the parasite has passed the placenta, spiramycin cannot reverse the damage. Prevention remains the best remedy. KEY WORDS: Effect of climate, food-borne toxoplasmosis, incidence, India, live births, oocysts, prevalence, sexual mode of transmission INTRODUCTION Toxoplasmosis is an important constituent of Toxoplasma, Others (syphilis, Parvovirus B19, Varicella zoster, Hepatitis B virus), Rubella, Cytomegalovirus, Herpes viruses (TORCH) group of infections that if acquired during pregnancy, it can cause congenital infections and may lead to permanent disability or defects in the fetus and even fetal loss.[1,2] While three other pathogens are viruses, Toxoplasma is a protozoan parasite. Despite its significant impact on pregnancy outcomes, the toxoplasmosis remains neglected, especially in the Indian subcontinent. Toxoplasma is also an important opportunistic pathogen in immunocompromised hosts and also a major concern for animal health. However, the topic is vast and it is beyond the scope of this review to give a comprehensive and exhaustive account of toxoplasmosis; hence, I will try to focus only on the management of acute Toxoplasma infection occurring during pregnancy and possibilities of congenital toxoplasmosis. CAUSATIVE AGENT AND LIFE CYCLE The infection is caused by a coccidian parasite Toxoplasma gondii, most common of all the protozoan infections and having widest host range. The parasite was first described in 1908 by Nicolle and Manceaux in the blood, spleen, and liver of North African rodent – gundi (Ctenodactylus gundi) which was captured in Tunisia. However, in 1900, a similar structure was reported by Leveran in the spleen and bone marrow of Java sparrow (Padda oryzivora). However, this structure was considered as reproductive form of Haemoamoeba danilewskyi. Because the parasite looked like leishmania promastigotes and because it was discovered in rodent C. gundi, Nicolle and Manceaux named it as Leishmania gondii. However, after 1 year in 1909, they reconsidered and renamed it as T. gondii (toxon = arc, plasma = form). In fact, Dubey et al. in 1970 first time established the life cycle of this parasite. They showed that the parasite multiplies in the intestinal mucosa of a cat. Later on, it was found that all cat family (Felidae) animals act as definitive host. The young kittens are highly infectious. However, the oocysts are shed in the kitten feces only in the first 2-3 weeks of infection. However, even during acute infection, the cat does not exhibit any symptom. Other animals (in fact, almost all warm-blooded animals) including humans get accidentally infected.[3,4] MODES OF TRANSMISSION When the life cycles were not fully known, the major question was how the humans get infected from the cat. However, at present, it is well established that there are three primary routes of transmission of T. gondii by (1) ingesting the food and water contaminated with cat feces, containing oocysts of the parasite, (2) ingesting uncooked or undercooked meat containing tissue cysts of the parasite, and (3) congenitally from mother-to-fetus through placenta.[1,2,6,7,8,9,10,11,12] Transplacental infection occurs when an uninfected mother acquires infection during pregnancy. There are other rare modes of transmission such as through organ transplantation, blood transfusion, and laboratory acquired.[13,14] In India, this infection is more common in socioeconomically backward and tribal populations, particularly in those who work barefoot and bare hands in the fields and consume contaminated water or vegetables.[6,15] It has also been found to be more prevalent in populations where iodine deficiency is more pronounced. INCIDENCE AND PREVALENCE OF TOXOPLASMOSIS IN INDIA In India, serologic studies reveal that a large section of the population has had the disease at one time or the other. A wide variation in the prevalence and incidence rates of this infection has been reported.[6,12,15,16,17,18,19,20,21] Our group earlier studied its seroprevalence in various cohorts and found prevalence rates ranging from 26% in Delhi to as high as 77% in Sub-Himalayan parts of India, when indirect hemagglutination test (IHAT) was used. A prevalence rate of 41.75% was noted in primigravida woman cohort from a nearby rural area of Delhi, when direct agglutination test (DAT) was used. Using combination of several serological methods and internationally approved standards, another study carried out in 2004 found a seroprevalence rate of 45% and incidence rate of <3% in a North Indian cohort of a woman with pregnancy of <4 months duration. Overall, approximately 1% of the general human population becomes infected congenitally. In a recent study, we found that estimated number of children born with risk of congenital toxoplasmosis per year in India is 387,904. TOXOPLASMA AS A FOOD-BORNE PATHOGEN The expenditures on human illness due to food-borne pathogens are estimated to be US$ 6.5-34.9 billion annually in the United States of America (USA) alone. The presence of food-borne pathogens in a country's food supply not only affects the health of the local population but also represents hygienic conditions in that country. This also possesses risk of spread of infection to the visitors to that country and to consumers of countries where these food products are exported. In the USA, food-borne toxoplasmosis is considered to be the third leading food-borne cause of death. Vegetables, salads, and water as source of Toxoplasma infection The oocyst-mediated infection plays major role in developing countries. The oocysts that sporulate in the soil are infectious to intermediate hosts including grazing animals and humans. These oocysts once passed out from cat intestine through feces, these may remain in the soil or the contaminated soil is admixed with water, can adhere to the land vegetables and fruits which are consumed raw by unaware children and adults without washing. Commonly used ground vegetables and fruits that can get contaminated in this way are carrots, reddish, sweet potatoes, red beet, cauliflower, spinach, etc. Even other vegetables and fruits can be contaminated by humans through the use of soil-contaminated utensils, knives, and if the cut fruits are left open and allowed to access by flies and other insects. Food handlers and vegetable venders have also been reported to serve as source of Toxoplasma infection as they clean the soiled vegetables with bare hands often with waste water.[6,11,12] Contaminated water, if consumed as such, carries high risk of Toxoplasma infection or can lead to contamination of the food and thus facilitate the transmission of T. gondii in various ways. Transmission through water is most difficult to distinguish from meat-borne infections. In developing countries where safe drinking water is not available to more than half of the population, water itself or vegetables irrigated and washed with such water and food served using contaminated water can lead to oocysts ingestion. Several epidemiological studies have supported this hypothesis. We reported that in Sub-Himalayan areas of India where natural spring water is drunk by the local inhabitants, the seroprevalence of toxoplasmosis is highest in India. In this area, the natural water sources are common and are shared by both humans and animals including feline animals. The cats and other members of the cat family are definitive host of this parasite after drinking the water, taking bath, and even defecating in the same water body. The water flows from higher altitude to lower residential areas, and the inhabitants without knowing that this water is contaminated consume it. In this area, seroprevalence of toxoplasmosis was found to be 77% in women as well as in sheep of the area. In another study, we did not find any difference in the prevalence between nonvegetarian and vegetarian Indians, suggesting that contaminated vegetable and water are major sources of infection in the developing world. Several well-documented outbreaks of water-borne toxoplasmosis have been reported from both developing as well as developed world.[7,8,9,10] Animal meat as source of Toxoplasma infection Toxoplasma is known to be encysted in tissues of both humans and animals. Each cyst contains many viable trophozoites of the parasite, and these are highly infectious and capable of invading the intestinal wall of the carnivores/omnivores. It is interesting that as early as 1923 (only 15 years after its discovery), frequent eating of rabbit meat was considered as a contributory factor for congenital toxoplasmosis. Serological studies also confirm that several animals are infected with T. gondii and they transmit this infection when their meat is consumed. Outbreaks of toxoplasmosis associated with raw meat consumption have been reported. On animal toxoplasmosis, maximum work has been done by Dr. Dubey, a doyen in the field. More details of his findings can be found in his recent books and book chapters.[3,4] Sheep meat Sheep are commonly infected with T. gondii. Sheep from five flocks in Yorkshire, UK, were identified as having Toxoplasma infection. The prevalence of antibody in the hill flock was lower than the grassland or Worrall flocks. Similarly, 5% of Navajo sheep were positive for antibody as compared to 56% of Kentucky sheep. The Navajo sheep are reared in dry, mountainous areas whereas Kentucky sheep are reared on rich grassland; therefore, it was postulated that environmental factors might have played major role in these varied prevalence rates. Similar findings were reported from India. High Toxoplasma seroprevalence of 77% was reported in sheep and goats of Kumaon region of India, whereas from the Rajasthan area 28% of sheep and 13.3% of goats were reported seropositive. The Kumaon region is a Sub-Himalayan terrain with rich vegetation, humid environment, and high population of wandering felines, but the Rajasthan province is dry, desert, and extremely hot area. The seroprevalence trends of human toxoplasmosis in the respective areas have also shown concordance. These trends are indicative of oocyst infection; the presence of cats and survival of oocysts in those environmental conditions. Toxoplasma has been isolated from tissues (skeletal muscle and brain tissue) of naturally infected sheep; parasite was more commonly seen in the musculature than the brain. However, even though mutton (word used for both sheep and goat meats) is most commonly consumed meat in most of the Asian countries including India, the chances of toxoplasmosis through meat as such are rare because in the Indian subcontinent meat is cooked well and semi-cooked and raw meat is rarely consumed. However, in low socioeconomic populations, precooking processing and cleaning of meat and improper cleaning of hands and meat utensils can be potential sources of toxoplasmosis. For a comprehensive data on toxoplasmosis in sheep, readers are encouraged to go through a recent review by Dubey. Goat meat Goats are commonly infected with T. gondii. Various experimental and histopathological studies have revealed that most commonly infected tissues of goat are skeletal muscle, diaphragm, intestine, heart, kidneys, and liver, in the same order. A few outbreaks of food-borne human toxoplasmosis have been reported after consuming raw goat meat. Although in Indian continent goat meat (called mutton in this continent) is the most common meat consumed, the chances of toxoplasmosis through this route are rare as the meat is cooked adequately. Raw meat in these countries is used extremely rarely during religious functions where some tribes consume sheep and goat's blood raw. In several other countries, the natives hunt and consume raw meat of wild goats. Studies from the USA had shown a prevalence of anti-Toxoplasma IgG in goats up to 22%, but the seroprevalence data from India indicate that 32-77% of Indian goats are seropositive for T. gondii.[3,4,22] Further, in countries such as India where automated slaughtering is not available, prevalence rate of 70% has been reported in the butchers of goats and sheep. This may be explained by the fact that butchers usually handle their food with unclean and often contaminated hands and it is likely that some T. gondii tissue cysts are also ingested with food. Pig meat (pork) The seroprevalence of toxoplasmosis in pigs is reported to vary from <1% to as high as 100%. It has also been reported that prevalence varies from herd to herd as well as with the age of the animals. The seroprevalence of toxoplasmosis in breeding swines was reported as high as 96.8% as compared to 20% in growing/finishing pigs. The access of cats to the pig farms has unequivocally been associated with infection of Toxoplasma in pigs. Toxoplasma has been isolated from various tissues (skeletal muscle, heart, and brain) of naturally infected pigs. Outbreaks of human toxoplasmosis after consuming uncooked pork have been reported from Asian countries also.[3,4] From India and other Southeast Asian countries, very few studies are published. The major reason is that these countries eat pork minimally due to their cultural and religious beliefs. A few studies done in India using IHAT in the 1970s and early 1980s showed that seroprevalence of Toxoplasmosis in Indian pigs ranges from 14% to 31%. No studies were done later on. Cattle meat (beef) Some doubt has been cast over the accuracy of prevalence rates of toxoplasmosis in cattle as most of these studies were based on serological testing. The dye test (DT) is too unreliable for the diagnosis of toxoplasmosis in cattle as false positive results are caused by bovine serum protein. Although the prevalence of tissue cysts in cattle is low, beef is one of the most common meats eaten in Britain.[3,4,11] In India where beef is rarely eaten by Hindus, but in Pakistan and other Islamic regions where beef is the main meat, seroprevalence is reported to vary from 8% to 25%. However, no work has been done to find the prevalence rate of toxoplasmosis in snow cattle, for example, yaks which are used not only as baggage careers and source of wool but also as source of meat for Himalayan tribes.[26,27,28] Poultry The work on prevalence of Toxoplasmosis in poultry is almost confined to only one laboratory in the USA. Dr. Dubey et al. have done extensive work on this neglected area. These studies indicated that prevalence rates varied from as low as 6.2% in Mexico, 16.9% in Ohio state of the USA, 17.9% in India, 40-65.15% in Brazil, 40.4-47.2% in Egypt, and as high as 65.5% in Argentina. These workers also found that 70% isolates from chicken were genotype I and 27% isolates from chicken were genotype III. Most of these studies were done on free-ranging chicken, and the authors concluded that prevalence of T. gondii in free-ranging chickens is a good indicator of prevalence of T. gondii oocysts in the environment of the area because these chickens feed from ground.[3,6,11] Seroprevalence studies in other meat birds have also been done but scarcely, showing seroprevalence of 50% in ducks (Anas sp.) and 59.5% in turkeys of Egypt. Similarly, 18% gees (Anseranas semipalmata) of Texas, USA, were reported seropositive.[3,6,11] We, in India, screened 66 wire-caged quails from a North Indian veterinary institution and found 59% of these were found seropositive for T. gondii by modified DAT. The quail meat is used as special feast in India. Other meats and meat products Only a little information is available about Toxoplasma infection in other animals such as horses, camels, kangaroos, water buffaloes, and elephants whose meat is often consumed in some countries.[3,6] There are anecdotal reports of toxoplasmosis associated with consumption of raw milk and hen eggs. However, parasite has not yet been isolated from the eggs commonly consumed by human. If at all, the infection can occur through contaminated and broken egg shell if eggs are laid on the soil-containing Toxoplasma oocysts. Although Toxoplasma has been demonstrated in the milk of experimentally infected cat, sheep, goat, and mice, whether these reports can be considered indicative of milk-borne transmission in human is yet to be established. The survival of Toxoplasma has been reported for up to 10 days in milk and unprocessed home-made cheese. For more details, readers are encouraged to read a recent review by Singh and Munawwar. Clinical manifestations of congenital infection The severity and likelihood of infection depend on the trimester of pregnancy the mother becomes infected with T. gondii. Toxoplasmosis is more severe in infants whose mothers become infected during the first trimester than those during the third trimester.[1,2,15,21] Transmission of T. gondii from preconception seropositive mothers to their babies is rare, but occasional reports of seropositive mothers transmitting Toxoplasma to their child are on record. Although most congenitally infected children are asymptomatic at birth, they may develop some symptoms later in life. Loss of vision is the most common (up to 95%) sequel in congenitally infected children. Hydrocephalus, retinochoroiditis, chorioretinitis, intracerebral calcification, mental retardation, loss of hearing, and very rarely death may also occur.[1,2,4] Clinical manifestations of postnatal-acquired infection Although most postnatal-acquired infections are asymptomatic, manifestations of toxoplasmosis include mild lymphadenopathy (particularly of the cervical region), headaches, muscle aches, and sore throat. Because these symptoms are nonspecific, postnatal toxoplasmosis is rarely diagnosed. Toxoplasmosis in AIDS patients and other immunocompromised patients can be life-threatening. Heart and other organ transplantation recipients are at risk for developing toxoplasmosis because of lowering of host resistance by immunosuppressive medication. Similarly, cancer patients are also at risk of developing clinical toxoplasmosis. In most of these immunocompromised patients, toxoplasmosis results from reactivation of a latent infection, especially due to the rupture of tissue cysts which lead to the renewed multiplication of the parasite's tissue forms. Although any organ may be involved, encephalitis is the predominant presentation of toxoplasmosis in AIDS patients. Toxoplasma as a cause of repeated bad obstetric outcome There is considerable confusion and uncertainty concerning T. gondii as a cause of multiple abortions, sterility, and other reproductive failures in India. The term bad obstetric history (BOH) or bad obstetric outcome has been coined to associate Toxoplasmosis by Indian microbiologists and obstetricians, based on serology findings. However, my team has been against associating Toxoplasma with these conditions. There are several flaws in linking habitual abortion with Toxoplasma infection. In most of these studies which associated prevalence of anti-Toxoplasma antibodies with multiple abortions, the number of patients was low, studies were uncontrolled, and serologic data before pregnancy were not obtained. In many cases, poor-quality test kits were used which yielded high false positivity.[6,21] We realize that there are technical difficulties in conducting a well-controlled prospective study in India that is necessary to establish a causal relationship between toxoplasmosis and abortion. Even isolation of T. gondii from the endometrium several weeks after abortion does not prove congenital toxoplasmosis because T. gondii has been found in the uterus of nonpregnant women. Furthermore, even when the placenta is infected, the fetus may escape infection. Much that is known about diagnosis and management of T. gondii during pregnancy has come from the studies in Austria and France where it is compulsory by law to test all pregnant women for T. gondii. Women are tested for T. gondii antibodies on their first visit to their gynecologist. Seropositive women are not tested further during pregnancy in countries where no national screening programs exit; however, in countries such as France and Austria, all seropositive women are also tested every trimester for rising IgG titers. Those women who seroconvert during pregnancy are followed clinically and their fetuses are examined for T. gondii infection by ultrasound and amniocentesis and for the presence of T. gondii in amniotic fluid and fetal blood. For more details, refer to previous review. Important findings from these studies are as follows: Infection of the mother before pregnancy rarely, if ever, results in birth of a congenitally infected child Half of the women who acquire T. gondii infection during pregnancy do not transmit the parasite to their fetus T. gondii is transmitted more frequently during the latter part of gestation, but the disease is more severe if infection is acquired during the first and second trimesters Detection of T. gondii in amniotic fluid is possible with polymerase chain reaction (PCR) Except in rare instances, T. gondii does not cause abortion or sterility in women. Is Toxoplasma infection sexually transmitted? Although it has not been proved following the Cox postulate, there are enough epidemiological and case studies which show that females’ partners of males with positive evidence of toxoplasmosis have high chances of becoming Toxoplasma positive. In a recent study, we found a significantly high prevalence of toxoplasmosis in married women as compared to unmarried women. There is also evidence of finding Toxoplasma DNA in semen samples. Multiple factors lead to Toxoplasma infection The incidence and prevalence of toxoplasmosis are determined by a number of factors. These factors as mentioned above include environmental factors, parasite strain, and the host.[6,11] The environment plays most crucial role in the dissemination and transmission of the parasite. Within the environmental conditions are factors such as heat and humidity, number of feral cats, opportunity of the cat feces to mix with the soil, and access of intermediate hosts to this contaminated soil. Further, the recent studies also suggest that virulence of the parasite may vary with genotype of the parasite involved. Nonetheless, host factors are also equally important. These host factors are age and immune status of the host. The dietary habits and cultural and religious background of the host can also play major roles. These factors may influence the epidemiology of Toxoplasmosis in humans. New challenges to the safety of the food supply require new strategies for evaluating and managing food safety risks. Changes in pathogens, food preparation, distribution, and consumption, and population immunity have the potential to adversely affect human health. Risk assessments may provide prediction of the impact on the provision of safe food and health of consumers. Risk assessment models facilitate the evaluation of active or passive changes in how foods are produced, processed, distributed, and consumed. ASSOCIATION OF GEO-CLIMATIC AND SOCIODEMOGRAPHIC CONDITIONS In a recent study, we selected four regions of India [Figure 1, map] with maximum diversity in cultural and climatic conditions to see if these environmental factors are associated with variation in the incidence and prevalence of toxoplasmosis. Figure 1. Open in a new tab Map of India showing comparative seroprevalence and incidence rates in various parts of India The overall seroprevalence of toxoplasmosis in Indian women of reproductive age amounted to 22.4%. The prevalence rates varied significantly among four regions, being highest in South India (37.3%) and least in West India (8.8%). The difference was highly significant. Most women (97.1%) belonged to low-income or lower middle-income group, and most women from South India and East India resided in mud-plastered houses and consumed tube well/hand pump water without using any disinfectant. The difference was highly significant (P< 0.001) in the living conditions between South India and North India and South India and West India. Most women were involved in housekeeping. About one-third (29.1%) women gave a history of contact with animals, but pet animals, mainly cats, were significantly more common (53.5%) in South Indian households. Consumption of raw salad was very common (92.89%) across the whole country. Seroprevalence increased with age. Most of the seropositive women were multigravida (74.2%), suggesting that most of the obstetricians request TORCH tests only after multiple abortions or nonliving issues. Incidence rate was very low (1.43%) which found to be positive for anti-T. gondii IgM antibodies. We observed that the incidence of toxoplasmosis was not homogeneously among the four regions. Incidence was highest (2.9%) in South India, 0.6% in Western India, 0.4% in North India, and 0.8% in Eastern India. The study showed that the socioeconomic background of North Indian women was better than others as most of them were from urban background (Delhi and national capital region). While in rest three regions, the population was predominantly rural with lower socioeconomic background. It is unfortunate that in India, most women seek medical advice after undesirable pregnancy outcome and results from such studies have created a myth that Toxoplasma is highly associated with multiple pregnancy losses or BOH, the term which I do not subscribe to. The fact is that higher prevalence rate is associated with advanced age rather than it has any relation with multiple pregnancy outcomes. The climatic conditions in South India favor sustenance and proliferation of Toxoplasma oocysts. A highly significant number of households owned pet cats in this region. Moreover, as a social culture, South Indian population does not wear shoes and most often are barefooted or only put sleepers. On the contrary, West India (Gujarat) is a dry, arid climatic zone where temperature in May-June touches 46°C. Socioculturally also, population in West India must wear shoes due to high temperature and sandy soil. These climatic conditions are detrimental for T. gondii to maintain its life cycle. Earlier also, we reported that seroprevalence was highly significantly lower in dry arid areas of Rajasthan which is adjacent to Gujarat as compared to prevalence in animals of the Sub-Himalayan region, which has humid tropical climatic conditions. The role of environmental conditions on prevalence to toxoplasmosis is well established. We also found that true incidence rate of toxoplasmosis in India is indeed very low (1.43%), but exaggerated figures are published in various other studies from India. These alarmingly high incidence rates are observed in these studies due to poor designing of the studies and using poor quality of test reagents.[12,13,15,16] Although the incidence rate we observed may seem very low, cumulative figures are scary. We estimated that child births (living or still) with risk of congenital toxoplasmosis would be approximately 387,904 per annum. We also concluded that carrying out only IgM test without IgG testing is not an advisable approach of investigating toxoplasmosis, and all patient must be tested first for IgG and if found positive only in that case, laboratory should perform IgM and/or avidity test. DIAGNOSIS Diagnosis of acute toxoplasmosis is often missed because acute infection does not present with any pathognomonic symptom or sign. It can present with very mild flu-like features with or without lymphadenopathy. Very rarely, a crop of central rash may be noticed on careful examination. Because of these reasons, most of the patients ignore the acute infection. Therefore, strong clinical suspicion is the key for laboratory investigations, which play crucial role. The laboratory diagnosis can be made by doing serology, culture isolation (in animal models or cell lines), or molecular methods such as PCR. SERODIAGNOSIS OF ACUTE TOXOPLASMOSIS IN A PREGNANT WOMAN The detection of Toxoplasma-specific antibodies is the primary diagnostic method to determine infection with Toxoplasma. Toxoplasma antibody detection tests are performed by numerous serologic tests, and most of these are commercially available to detect IgG and IgM T. gondii specific antibodies. The Sabin-Feldman DT, indirect fluorescent antibody test (IFAT), IHAT, latex agglutination test (LAT), DAT, and enzyme-linked immunoabsorbent assay (ELISA) are some of the tests used to detect T. gondii antibodies. Although the DT is the most specific, it is rarely used now because it uses live virulent T. gondii. The IFAT is nearly as sensitive as the DT, but it requires a fluorescent microscope. The IFAT, LAT, DAT, and ELISA are used more commonly.[2,6,13,21,29,30,31] An algorithm for the immunodiagnosis of toxoplasmosis for individuals >1 year of age has been published with the help of a flowchart in 2003. The immunofluorescence assay and enzyme immunoassay (EIA) tests for IgG and IgM antibodies are the tests most commonly used today. Persons should be initially tested for the presence of Toxoplasma-specific IgG antibodies to determine their immune status. The presence of IgG antibodies only means exposure because asymptomatic humans can develop very high (>100,000) T. gondii antibody titers, and titers may remain elevated for several years or even whole life if repeated exposures are encountered. Although an 8-fold rise in antibody titers, taken 2 weeks apart, is indicative of a recent infection, this is seldom achieved in practice because by the time patients are seen in the clinic, antibody titer has usually peaked. Compared to IgG antibodies, IgM antibodies are short-lived and they appear before IgG antibodies.[21,29,30,31] If more precise knowledge of the time of infection is necessary, then an IgG-positive person should have an IgM test performed by a procedure with minimal nonspecific reactions, such as IgM-capture EIA. A negative IgM test essentially excludes recent infection, but a positive IgM test is difficult to interpret because Toxoplasma-specific IgM antibodies may be detected by EIA for as long as 18 months after acute acquired infection. A major problem with Toxoplasma-specific IgM testing is lack of specificity. There are two possibilities: (i) persons with a positive IgM but negative IgG and (ii) individuals with positive IgG and IgM results. In the first situation, a positive IgM result with a negative IgG result in the same specimen should be viewed with great suspicion; the patient's blood should be redrawn 1-2 weeks after the first and tested together with the first specimen. If the first specimen was drawn very early after infection, the patient should have highly positive IgG and IgM antibodies in the second sample. If the IgG is negative and the IgM is positive in both specimens, the IgM result should be considered as a false positive and the patient should be considered as not infected. In the second situation, a second specimen should be drawn and both specimens submitted together to a reference laboratory which employs a different IgM testing system for confirmation. IGG AVIDITY TEST Avidity of IgG (binding capability of the antibody with the antigen) is very useful test.[30,31,32,33,34] Avidity of IgG can be tested by either ELISA or commercially available Vitek Immuno-Diagnostic Assay System (VIDAS, BioMerieux SA, France). The latter is more standardized and has its own system controls and standards. In a pregnant woman whose sample is taken in the second trimester rather than ideally in the first trimester, and she is found IgG positive but IgM negative, it is more advisable to perform IgG avidity test. High avidity IgG tests indicate that she acquired the infection more than 4 months ago.[21,32,33,34] However, the low avidity is not a confirmatory test for recent infection. Before initiation of patient management for acute toxoplasmosis, all IgM positives should be verified by a reference laboratory with experience in toxoplasmosis such as Toxoplasma reference laboratory, Department of Laboratory Medicine, All India Institute of Medical Sciences, New Delhi. In either case, the clinical microbiologist must counsel the patient patently, a practice lacking in the Indian subcontinent, as most clinical microbiologists do not interact with patients directly. SERODIAGNOSIS OF CONGENITAL TOXOPLASMOSIS IN A NEWBORN Diagnosis of congenital toxoplasmosis in a newborn child presents many difficulties because of the transfer of material IgG antibodies to the fetus, low sensitivity of serologic tests, and lack of availability and cost of T. gondii-specific IgA detection kits. Newborn babies and infants with suspected congenital toxoplasmosis should be tested by both IgM- and IgA-capture EIA. Detection of Toxoplasma-specific IgA antibodies is more sensitive than IgM detection in congenitally infected babies. Considering the high cost of a screening program for congenital toxoplasmosis during pregnancy, a program to screen cord blood for IgM antibodies to T. gondii, coupled with screening for other congenital infections, might be more cost-effective than screening for toxoplasmosis alone. TREATMENT Toxoplasmosis can be treated with rovamycin (spiramycin), a drug which is marketed in the form of tablets each containing 3 MIU (1 g) of spiramycin salt. Spiramycin is a macrolide antibiotic, which binds irreversibly to the 50s ribosomal subunit inhibiting microbial protein synthesis. It is one of the very few antimicrobials capable of intracellular penetration, including the macrophages, thus eliminating intracellular pathogens in active as well as carrier stages of the disease. The drug is given orally. Gastric acid appears to have minimal effect, but coadministration with food significantly reduces bioavailability and delays the time to peak concentration. In contrast to the high levels found in most tissues and body fluids, it does not penetrate into the cerebrospinal fluid. Placental transfer is poor and only 9-16% found in the maternal blood concentration appears in the amniotic fluid. The drug is eliminated from the body slowly, the majority being inactivated in the tissues. Since it is a macrolide, it is contraindicated in persons known to have hypersensitivity to this group of medicine. Otherwise, the drug is well tolerated and serious adverse reactions are extremely rare. There are no specific contraindications to its usage in lactation. In pregnant women, 6 MIU to 9 MIU (2-3 tablets) daily in 2 or 3 divided doses for 3 weeks are given. This 3-week course should be repeated after a 2-week interval till parturition. In pregnant women with confirmed Toxoplasma infection, oral spiramycin 1 g 3 times daily has been administered to prevent transmission to the fetus. In these women, the drug should be started as soon as possible after proven or suspected maternal diagnosis and continued throughout pregnancy. Monitoring for the presence of fetal infection is indicated. The newborns and infants with confirmed congenital toxoplasmosis and adults males with acquired toxoplasmosis should be treated with pyrimethamine plus sulfadiazine. Other drugs showing variable cure rate are azithromycin, atovaquone, and dapsone. Spiramycin has no role in postnatal toxoplasmosis. In AIDS patients, clarithromycin gives best results. However, due to low efficacy of all the currently available drugs and associated side effects with sulfa + pyrimethamine drug combination, search for new compounds has been expedited. PREVENTION Since there is no effective vaccine against human toxoplasmosis so far, the best way to prevent Toxoplasmosis in pregnant women is to practice following measures: Cook meat thoroughly before consumption Wash hands and utensils thoroughly after handling uncooked meat Wash fruits and vegetables before eating Pregnant and imunocompromised individuals must consume ground vegetables (e.g. reddish, carrot, seet potato etc.) only after blanching these. It is misconception that cabbage consumption carries a risk. In fact cabbage is one of the safest ground vegetable Wear gloves while gardening where applicable Deep frozen meat is preferred over fresh meat as freezing at <−20°C is highly detrimental for T. gondii tissue cysts Cats become infected either from other cats or from eating the flesh of infected birds or mammals. Therefore, pet cats should not be fed raw meat and should be prevented from hunting or scavenging. Dispose of cat feces and litter daily before the Toxoplasma organism have a chance to become infective. Feces can be flushed down the toilet or deeply buried; litter can be sealed in a plastic bag in a manner that will not disperse litter dust (and possibly the T. gondii organism) into the air. Disinfect litter pans daily with scalding water. Unless they are known to have immunity to toxoplasmosis, pregnant women should avoid cleaning litter pans and avoid contact with cats that have an unknown feeding history Outdoors, one should wear gloves when gardening. Prevent cats from gaining access to sandboxes used by children; change sand if it is contaminated. CONCLUSIONS T. gondii is a coccidian parasite and most widely prevalent in warm-blooded animals including humans. If the infection is acquired during pregnancy, it can lead to congenital toxoplasmosis, which can cause mild to severe congenital abnormalities and even fetal loss. However, the infection acquired once has no role in multiple pregnancy losses. Spiramycin (rovamycin) is the drug of choice which prevents the transplacental transmission of the parasite. However, if the parasite has already crossed the placenta, spiramycin cannot reverse the damage caused to the fetus. For treating the postnatal toxoplasmosis (e.g., nonpregnant prospective mothers or males), sulfadiazine plus pyrimethamine combination is the best option. As for any other infection, prevention is better than treating it. Best methods of preventing the infection are proper personal hygiene, consumption of properly cooked meat and properly washed vegetables and fruits, and safe drinking water. Financial support and sponsorship Nil. Conflicts of interest There are no conflicts of interest. REFERENCES 1.Remington JS, Klein JO. Infectious Diseases of the Foetus & Newborn Infants. 4th ed. Philadelphia: W.B Saunders Company; 1995. pp. 140–266. [Google Scholar] 2.Singh S. Mother-to-child transmission and diagnosis of Toxoplasma gondii infection during pregnancy. Indian J Med Microbiol. 2003;21:69–76. [PubMed] [Google Scholar] 3.Dubey JP, Beattie CP. Toxoplasmosis of Animals and Man. 2nd ed. Florida, Boca Raton: CRC Press; 2010. p. 336. [Google Scholar] 4.Dubey JP. Toxoplasmosis. 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[DOI] [PubMed] [Google Scholar] Articles from Tropical Parasitology are provided here courtesy of Wolters Kluwer -- Medknow Publications ACTIONS View on publisher site Cite Collections Permalink PERMALINK Copy RESOURCES Similar articles Cited by other articles Links to NCBI Databases On this page Abstract INTRODUCTION CAUSATIVE AGENT AND LIFE CYCLE MODES OF TRANSMISSION INCIDENCE AND PREVALENCE OF TOXOPLASMOSIS IN INDIA TOXOPLASMA AS A FOOD-BORNE PATHOGEN ASSOCIATION OF GEO-CLIMATIC AND SOCIODEMOGRAPHIC CONDITIONS DIAGNOSIS SERODIAGNOSIS OF ACUTE TOXOPLASMOSIS IN A PREGNANT WOMAN IGG AVIDITY TEST SERODIAGNOSIS OF CONGENITAL TOXOPLASMOSIS IN A NEWBORN TREATMENT PREVENTION CONCLUSIONS REFERENCES Cite Copy Download .nbib.nbib Format: Add to Collections Create a new collection Add to an existing collection Name your collection Choose a collection Unable to load your collection due to an error Please try again Add Cancel Follow NCBI NCBI on X (formerly known as Twitter)NCBI on FacebookNCBI on LinkedInNCBI on GitHubNCBI RSS feed Connect with NLM NLM on X (formerly known as Twitter)NLM on FacebookNLM on YouTube National Library of Medicine 8600 Rockville Pike Bethesda, MD 20894 Web Policies FOIA HHS Vulnerability Disclosure Help Accessibility Careers NLM NIH HHS USA.gov Back to Top
8062	https://www.drking.org.uk/hexagons/misc/deriv3.html	\| \| \| --- \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| --- \| Home \| Up \| - Derivation of formulae - \| \| \| \| \| The largest square that can be fitted inside a regular hexagon: The square and the hexagon must share the same centre. Proof: If the square within the hexagon is not centred [red], we can rotate it by a half turn about the hexagon centre [blue], and it will still fit in the hexagon. We can translate the square from one position to the other staying within the hexagon, passing over the centre. Thus the largest square must be able to be drawn centred with the hexagon. The square we will derive will have reflective symmetry about horizontal and vertical axes, and will have b < c. Any rotation about the centre will therefore make it smaller (consider the length of its diagonal). This is therefore the largest possible square inside the hexagon. To derive the size of this square: The sides of the hexagon are equal: Adding some lines: Taking the left hand edge of the square: ..and the top edge of the square: Substituting for c: Substituting for d and re-arrranging: The standard formulae for sin(30), sin(60) (can be found by using Pythagoras on a right angled triangle): Inserting these formulae and simplifying: Dividing the earlier ('left hand edge of square') equation by a, substituting for b/a and simplifying: \| \| \| page date: 26Oct05. I enjoy correspondence stimulated by this site. You can contact me here. \| \| \| \| \|
8063	https://www.youtube.com/watch?v=lD7fKYKfUA0	Making Inferences from a Random Sample - Module 10.2 Mrmathblog 45700 subscribers 18 likes Description 3197 views Posted: 29 Jul 2020 Here we take (random) samples of a population to help us make decisions about the population. Transcript: Introduction hey everybody uh here we're going to make some um some inferences uh from a random sample and so here's our common course strand for our most awesome teachers and our question is how can we use a sample to make inferences about a population that just means make uh decisions about about a population so we're going to use Dot Plots samples oops i misspelled inferences if it put too many r's in there let me take one out i thought i'd clear that up i think i didn't know anyways so we're going to use dot plots to make some some some inferences or uh i thought i'd fix that anyway so after obtaining a random sample of a population we can make inferences about the population and make decisions about the population that's what inferences mean okay and then random samples are usually representative uh and support are a valid uh decision a valid inference okay fancy word for decision here so so after obtaining a random sample of a population we can make inferences about the population and so here we go we're going to we have rose she's asked a random sample of her students how many books they had in their backpack so she recorded the data as a list so here it is right here so for example uh one student had had two books in their backpack one student had six books one student had one one student had zero and so on so these are the number of books that she uh picked right there so we're going to make a doc a dot plot for the books carried by the sample of students okay so a dot plot is just uh we're going to first draw a number line from zero to six there we go okay and then we're just gonna go ahead let me just slide that up right here so now we're gonna place dots above each number on the number line uh for each time it appears in the data now let me just slide that up right there okay so now what we're gonna do is put a dot above each number so i'm going to put a dot above 2 so you'll see i highlight this 2 in red and i'll put a a red dot right here okay so there it is right there okay the next one is 6 so i'm going to go ahead and put a dot above 6. the next one is one then zero and then four and then i'm just going to keep going one four and then i got the two and the two right there okay so there's our dot plot that represents that data so notice the dot plot puts the data values in order from smallest to biggest right there so helps us make some decisions about this or some inferences that our book likes to say so notice no students in rose's sample carried three books so do you think this is true for all the students at the school probably not so i wouldn't think so most of the students have between one and four books so some would likely carry three books she just needs to sample more kids or do another sample anyway so just that one small sample um she only found that no students either had zero i'm sorry either had three books or five books in there okay so how the number of dots that we plotted related to the the data values well the dots that we plotted are the same each dot represents one of those data values so they're just the same and they put them in order too so complete each qualitative inference about the population most students have between um [Music] most students sorry have at least one book in their backpack right here so here yeah we did have a student that had zero books in their backpack and there's probably more at the school that has zero books in the backpack but most of the students have at least one book in their back foot backpack so most students have fewer than um i don't know fewer than six books in their backpack but even fewer than five books in their backpack so i forgot you can say six or five it doesn't matter i said five so most students have between um uh let's see one and four books that are in their backpack what how could rose improve her her data uh of the school of the kids at the school well she could um increase the size of our sampling or just uh do more samples of the same size right there so just one sample is is an okay representation representation of the of the group as long as it was random but she did more samples to get a better estimate estimate of the population Box Plot right there okay so we're going to use a box plots and my old textbook when i used to teach statistics at high school it's called blocks and whisker plot so this book calls it a box plot so uh we're going to use box plots to make uh some decisions here some inferences so okay so we can also analyze box plots to make inferences about a population so here we go so the number of pets owned by a random sample of students at churchill middle school is shown below um use the data to make the the plot right here a box plot okay so so one student had nine pets at home one student had two one student had zero and so here's the number of pets that that that was in the sample of the students so we're going to order the data from least to greatest okay let's do that so i reshuffled those numbers and put them in order from least to greatest because we're going to need to do that to find uh the the greatest value and the least value so here's the greatest value right here sorry this is the biggest number this is the smallest number so here's the least number zero and our box and whisker plot or box plot will include these numbers here the median the median is the middle number so let's count the numbers one two three four five six seven eight nine so the fifth number is our median so one two three four five so here's the median right here let's just slide that up right here okay so now let's find uh uh the least and the greatest values okay so the least and the greatest values are the zero and the nine and the median is the middle number so here it's that three right here and then the quartiles you guys the lower quartile which i call q1 and the upper quartile which is q3 uh so um are the medians of the lower half and the upper halves not including the median okay so so pretend like that's not here and then here is the lower numbers right here 0 2 2 3 here's the upper numbers 4 5 6 7. so there's two numbers in the middle so we just average those two well that's easy the average of 2 and 2 is two but over here the two numbers in the middle are are five and six so right in the middle of five and sixes is 5.5 so q1 will be 2 and q3 will be 5.5 okay so there's the lower half and the upper half and then we average those two middle numbers right here so uh q1 is two and q3 is uh 5.5 okay all right so now we're going to draw a number line that includes all of those numbers the minimum number the maximum number the two quartiles q1 and q q3 and then the median right there okay so let's go ahead and draw that here's a number line right there and i'm going to put dots for all of those numbers right here so so here's zero right here so i got a zero here's nine okay and then q one is two so here's q one here's q three at five point five and then the median is right there at uh three right there so so that's all these numbers right here okay so so to do the box and whisker plot we're going to draw a box at the lower and upper quartiles okay let's do this one at a time so i'm going to draw a rectangular box at the lower quartile all the way up to the upper quartile okay and then and then inside that box we're going to draw a vertical line down here at the median right here okay so let's do that all right so there's the box and then there's the median right there and then we draw um the whiskers they extend out to the small number and the big number right here okay the small number is over here and the big numbers over here so we're just going to draw those whiskers out so there's a box and whisker plot right there now i didn't see in your book that they said this you guys but since this is the middle number right here that means half of the numbers are below and half of the numbers are above so here it is right here here's the middle number can you see half the numbers are below and half the numbers are above okay and then the quartiles cuts them in half again so if you think about this this is this is half of a half or 25 percent this little piece represents 25 percent of the data this little piece is 25 percent of the data this piece is 25 of the data here's 25 percent so 25 25 25 25 gives us a hundred percent of this data right up here okay anyway all right so let's go ahead and talk so answer some questions here the interquartile range which is called the iqr is just q3 minus q1 so it's going to be this number 5.5 minus this number right here so 5.5 minus 2 is 3.5 so the iqr of this number the interquartile ranges is 3.5 okay so what can we see from a box plot that is not uh readily apparent in a dot plot well we can see the median value and the iqr pretty quick also another thing we can see is again the 25 percent if we have a box plot this is 25 percent of the data this is 25 of the data remember this is the median so half of the numbers are below and half of the numbers are above and this is the median of the upper half so so this is 25 and this is 25 right here of the numbers of the numbers okay all right so complete each qualitative uh inference about uh the population a good measure for most the most likely number of pets is probably going to be that median that three right there so fifty percent of the students have between have between uh remember here's here's the median right here so fifty percent of the students have between zero and three pets right there okay and then fifty percent of the meat as the students have between 3 and 10 pets also so almost every student in churchill has at least well they have at least zero pets but i'm going to say at least one pet right there so even though they didn't tell us one pet i'm going to say at least one Proportions cat okay so we're going to use proportions to make some inferences here so proportions are a fraction equals a fraction and when a fraction equals a fraction uh we just uh we make them equal to each other and that'll help us make some decisions so here we go so a shipment to a warehouse consists of 3500 light switches so the manager chooses at random a sample of 50 of those switches and that manager finds that three of those are defective so out of the 50 now notice it says random it has to be random okay if it wasn't random you know if we picked the ones that were just on the top or the ones that were just on the bottom maybe in the shiftment process they were getting banged around so you have to choose them at random in the in the box of uh the 3500 switches right here so how many switches in the shipment are likely to be defective okay so we're going to set up a proportion and it's reasonable to make a prediction about the population because the sample is random so what we're going to do is say uh the number of defective switches that we picked in the sample and the size of the sample so this would be 3 and then 50 right here because out of our sample right here we had three of the 50 defective right here equals how many the uh in the whole population and the size of the population well we know this number is 3 500 okay so there's our proportion we're going to set up all right and then what we can think of is is 50 times what gets us 3 500 okay or think of this 5 times what gets us 35 well 5 times 7 gets us 35 but this has an extra zero in it so it's going to be five times 70 i'm sorry 50 times 70 right there that'll give us that 3 500 right there so that gets us 3 times 70 is 210 so of the 3 500 switches we can make a good guesstimate that 210 switches would be uh defective right there okay so based on that sample we can predict that about 250 of the of the switches in that shipment would have been defective right there all right so how many switches in the shipment uh could we predict if the damage it was six switches in the sample instead of the three switches right there well if it's still 50 in this in the sample that we did and six of them were defective since we knew that 210 switches would give us from the three defective switches okay right down here since uh we had three of the 50 defective right here this is going to be six of the 50 that are defective so what we can do six is double three so we can double uh that 210 right there so a good estimation would be 410 switches would be damaged so how can we estimate to check if our answer is reasonable okay well six you guys is just a little bit more than ten percent i'm gonna go ahead and put that up there it's a little bit more than ten percent of fifty five is ten percent of fifty and six is a little bit more than ten percent of fifty so ten percent of thirty five hundred is three hundred and fifty and so a little bit more than that is 420 okay so that would be a a good reason to a nice estimate to make sure that we were correct on that all right you guys i hope that makes sense and and take care
8064	http://physics.bu.edu/~duffy/ns544_summer2011_notes07/NS544_online3.pdf	Chapter 21 – Waves and Sound Page 1 21-5 The Doppler Effect for Sound We have probably all had the experience of listening to the siren on an emergency vehicle as it approaches us, and hearing a shift in the frequency of the sound when the vehicle passes us. This shift in frequency is known as the Doppler effect, and it occurs whenever the wave source or the detector of the wave (your ear, for instance) is moving relative to the medium the wave is traveling in. Applications of the Doppler effect for sound include Doppler ultrasound, a diagnostic tool used to study blood flow in the heart. There is a related but slightly different Doppler effect for electromagnetic waves, which we will investigate in the next chapter, that has applications in astronomy as well as in police radar systems to measure the speed of a car. EXPLORATION 21.5 – Understanding the Doppler effect Let’s explore the principles behind the Doppler effect. We will begin by looking at the situation of a stationary source of sound, and a moving observer. Step 1 – Construct a diagram showing waves expanding spherically from a stationary source that is broadcasting sound waves of a single frequency. If you, the observer, remain stationary, you hear sound of the same frequency as that emitted by the source. Use your diagram to help you explain whether the frequency you hear when you move toward the source, or away from the source, is higher or lower than the frequency emitted by the source. We can represent the expanding waves as a set of concentric circles centered on the stationary source, as in Figure 21.6. This picture shows a snapshot of the waves at one instant in time, but remember that the waves are expanding outward from the source at the speed of sound. If you are stationary at position A, the waves wash over you at the same frequency as they were emitted. If you are at position A but moving toward the source, however, the frequency you observe increases, because you are moving toward the oncoming waves. Conversely, if you move away from the source (and you are traveling at a speed less than the speed of sound), you observe a lower frequency as you try to out-run the waves. Figure 21.6: Waves emitted by a stationary source (the blue dot) expand out away from the source, giving a pattern of concentric circles centered on the source. You, the observer, are at point A. The frequency of the waves you receive depends on both your speed and the direction of your motion, if you are moving Step 2 – Starting with the usual relationship connecting frequency, speed, and wavelength, f = v / λ, think about whether the observer moving toward or away from a stationary source effectively changes the wave speed or the wavelength. If the speed of sound is v and the observer’s speed is vo, write an equation for the frequency heard by the observer. As we can see from the pattern in Figure 21.6 above, the wavelength has not changed. What changes, when you move through the pattern of waves, is the speed of the waves with respect to you. When you move toward the source, the effective speed of the waves (the relative speed of the waves with respect to you) is v + vo, while when you move away from the source the wave speed is effectively v – vo. The frequency you observe, f′, is thus the effective speed over the wavelength: o o o v v v v v v v f f v v λ λ ± ± ± ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (Eq. 21.9: Frequency for a moving observer) Chapter 21 – Waves and Sound Page 2 where f is the frequency emitted by the source, and where we use the + sign when the observer moves toward the source, and the – sign when the observer moves away from the source. Step 3 – Construct a diagram showing waves expanding from a source that is moving to the right at half the speed of sound while broadcasting sound waves of a single frequency. Use your diagram to help you explain whether the frequency you hear when you are stationary is higher or lower than that emitted by the source, when the source is moving toward you and when the source is moving away from you. In this situation, the result is quite different from that in Figure 21.21, because each wave is centered on the position of the source at the instant the wave was emitted. Because the waves are emitted at different times, and the source is moving, we get the picture shown in Figure 21.22. To the left of the source, such as at point B, the waves are more spread out. Thus, when the source is moving away from the observer, the observed frequency is less than the emitted frequency. The reverse is true for a point to the right of the source: the waves are closer together than usual, so an observer in this region (such as at point C) observes a greater frequency than the emitted frequency. Figure 21.7: When a source of waves is moving relative to the medium, the wave pattern is asymmetric. An observer for which the source is moved away observes a lower-frequency wave, while when the source is moving toward the observer, a higher-frequency wave is observed. In the case shown, the source is moving to the right at half the wave speed. Step 4 – Starting with the usual relationship connecting frequency, speed, and wavelength, f = v / λ, think about whether the source moving toward or away from a stationary observer effectively changes the wave speed or the wavelength. If the speed of sound is v and the source’s speed is vs, write an equation for the frequency heard by the observer. As we can see from the pattern in Figure 21.7, the movement of the source changes the wavelength. The waves still travel at the speed of sound, however. What changes, when you move through the pattern of waves, is the speed of the waves with respect to you. When the source moves toward the observer, the effective wavelength is (v – vs)/f, while when the source moves away the wavelength is effectively (v +vs)/f. The frequency you observe, f′, is thus the speed over the effective wavelength: s v v f f v v λ ′ = = ′ m , (Eq. 21.10: Frequency for a moving source) where f is the frequency emitted by the source. Use the – sign when the source moves toward the observer, and the + sign when the source moves away from the observer. Key idea for the Doppler effect: Motion of a source of sound, or motion of an observer, can cause a shift in the observed frequency of a wave. Related End-of-Chapter Exercises: 11, 12. Essential Question 21.5: Is the Doppler effect simply a relative velocity phenomenon? For instance, is the situation of an observer moving at speed v1 toward a stationary source the same as a source moving at speed v1 toward a stationary observer? Chapter 21 – Waves and Sound Page 3 Answer to Essential Question 21.5: The Doppler effect for sound (and for all mechanical waves) is not a relative velocity phenomenon. The relative velocity of the source and observer is the same in these two situations, but the observed frequency is different in the two situations. One interesting example is when v1 = v, the wave speed. When the observer moves at speed v toward a stationary source, the observed frequency is twice the emitted frequency. When the source moves at a speed v toward a stationary observer, however, the observed frequency is infinite. We will investigate that situation further in the next section. 21-6 Sonic Booms, and the Doppler Effect in General Essential Question 21.5 raises the question of what happens when a source of waves travels at the wave speed. We should also consider what happens when the source travels faster than the wave source. Let’s begin by drawing a diagram like that in Figure 21.7, but with the source traveling to the right at the wave speed. In this special case, in Figure 21.8, because the source keeps up with the waves, the waves pile up at the source, leading to a large amplitude wave that moves with the source. This is known as a sonic boom, because a large amplitude corresponds to a loud sound. The observer at position A would hear the sonic boom when the source passed by. Figure 21.8: When the source moves at the wave speed, the waves pile up on one another at the source, creating a sonic boom. Let’s go further, and see what the picture looks like when the source travels faster than the waves. Figure 21.9 shows what happens when the source travels to the right at twice the wave speed. In this case, the waves pile up along lines that make an angle with the line of travel of the source. This pattern should look familiar to you, given that it looks like the waves left behind by a boat as it travels through water, as in the photograph in Figure 21.10. This tells us that the boat’s speed is faster than the speed of the water waves. Figure 21.9: When the source moves faster than the waves, the waves create a wake pattern. Figure 21.10: A common example of the situation of a source of waves traveling faster through the medium than the waves themselves is in the shape of the wake created when a boat passes through water. In section 21-5, we considered what happens when either the source moves or the observer moves, but not both. Let’s now consider what happens in general, when both the source of a wave and the observer are moving with respect to the medium the waves are moving through. The general equation is simply a combination of the equations we derived in section 21-5 for the situations of a moving observer and a moving source Chapter 21 – Waves and Sound Page 4 EXAMPLE 21.6 – Catching a moth A particular bat emits ultrasonic waves with a frequency of 56.0 kHz. The bat is flying at 16.00 m/s toward a moth, which is moving at 2.00 m/s away from the bat. The speed of sound is 340.00 m/s. (a) Assuming the moth could detect the waves, what frequency waves would it observe? (b) The waves reflect off the moth and are detected by the bat. What frequency are the waves detected by the bat? SOLUTION (a) Here, we use the general Doppler equation, where f = 56.0 kHz and v = 340 m/s. The observer is the moth, so vo is 2.00 m/s, and we use the bottom sign (the minus sign) in the numerator because the moth is traveling away from the bat. The bat is the source, so vs = 16.00 m/s, and we use the top sign (the minus sign) in the denominator because the bat is traveling toward the moth. This gives: 340.00 m/s 2.00 m/s (56.0 kHz) (56.0 kHz) 1.0432 58.42 kHz 340.00 m/s 16.00 m/s o s v v f f v v ⎛ ⎞ ± − ⎛ ⎞ ′ = = = × = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m (b) Again, we use the general Doppler equation, but this time the moth acts as the source (because the moth reflects the waves back to the bat) and the bat is the observer. The frequency emitted by the moth is the frequency we calculated in part (a). Let’s use f ′′ to denote the frequency of the waves detected by the bat, so f ′ = 56.0 kHz and v = 340 m/s. The observer is the bat, so vo′ is 16.00 m/s, and we use the top sign (the plus sign) in the numerator because the bat is traveling toward the moth. The moth is the source, so vs′ = 2.00 m/s, and we use the bottom sign (the plus sign) in the denominator because the moth is traveling away from the bat. This gives: 340.00 m/s 16.00 m/s (58.42 kHz) (58.42 kHz) 1.0409 60.8 kHz 340.00 m/s 2.00 m/s o s v v f f v v ⎛ ⎞ ′ ± + ⎛ ⎞ ′′ ′ = ⎜ ⎟= = × = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ′ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m The bat can use the frequency of the detected wave to determine how fast, and in what direction, the moth is flying. Related End-of-Chapter Exercises: 13 – 15, 38 – 40. Essential Question 21.6: What happens when a source and observer have identical velocities? Is the observed frequency larger, smaller, or the same as the frequency emitted by the source? The Doppler effect: The Doppler effect describes the shift in frequency of a wave that occurs when the source of the waves, and/or the observer of the waves, moves with respect to the medium the waves are traveling through. The general equation for the observed frequency is: o s v v f f v v ⎛ ⎞ ± ′ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ m , (Equation 21.11: The general Doppler equation) where f ′ is the frequency observed by the observer, f is the frequency of the waves emitted by the source, v is the speed of the wave through the medium, vo is the speed of the observer, and vs is the speed of the source. In the numerator, use the top (+) sign if the observer moves toward the source, and the bottom (–) sign if the observer moves away from the source. In the denominator, use the top (–) sign if the source moves toward the observer, and the bottom (+) sign if the source moves away from the observer.
8065	https://www.chem.tamu.edu/class/majors/chem101h-lab/chem/05%20Mol%20Vol%20Comp-revised.pdf	Computer 5 Advanced Chemistry with Vernier ©Vernier Software & Technology 5 - 1 The Molar Volume of a Gas Avogadro’s hypothesis states that equal volumes of ideal gases contain equal numbers of molecules under the same conditions of temperature and pressure. At standard temperature and pressure (also known as STP), viz. 0°C (273.15 K) and 1 atm (101.3 kPa), the accepted value for the molar volume of an ideal gas is: 22.41 L/mol, i.e., exactly one mole of any ideal gas at 273.15 K and 101.3 kPa pressure will occupy a volume of 22.41 L. This volume is called the molar volume. In this experiment, you will confirm that the molar volume of hydrogen gas at STP is indeed 22.41 L/mol. In this experiment, you will conduct a chemical reaction between solid magnesium metal and a hydrochloric acid solution, as shown in the reaction equation below. Mg (s) + 2HCl (aq) → MgCl2 (aq) + H2 (g) You will react a known mass of solid magnesium with an excess of hydrochloric acid, making the magnesium the limiting reagent. The reaction will be conducted in a sealed vessel, thus trapping the evolved H2 (g) in the vessel. You will use a Gas Pressure Sensor to measure the pressure increase in the sealed vessel and a temperature probe to measure the temperature of the reaction indirectly, by measuring the temperature of the water bath in which the vessel will be placed. You will also calculate the number of moles of hydrogen indirectly. The balanced reaction above shows that the molar ratio of magnesium reacted to H2 produced is 1:1. Thus, by knowing the mass of magnesium, you will be able to determine the number of moles of hydrogen gas produced. To put everything together as you analyze your data to confirm Avogadro’s hypothesis, you will use the Combined Ideal Gas Law to calculate the volume, at STP, of the hydrogen gas that your reaction produced at nonstandard conditions. OBJECTIVES In this experiment, you will: • Measure the gas production of a chemical reaction by a pressure change. • Determine the molar volume of the gas produced in the reaction. • Calculate the molar volume of a gas at STP. Figure 1 Computer 5 5 - 2 Advanced Chemistry with Vernier MATERIALS Vernier computer interface 1.0 M hydrochloric acid, HCl, solution computer Small beaker for HCl solution Vernier Gas Pressure Sensor Magnesium ribbon Temperature Probe 20 mL gas syringe 600 mL or one liter beaker Plastic tubing with two Luer-lock connectors 10 mL graduated cylinder Rubber stopper assembly with 2-way valve 125 mL Erlenmeyer flask Balance, ±0.001 g precision PROCEDURE 1. Obtain and wear gloves and goggles throughout the experiment. 2. Obtain the 125 mL Erlenmeyer flask that you will use for the experiment. Measure and record the weight of the dry, empty flask to within 0.01 g using a top loading balance. In order to determine the available volume of the flask that the hydrogen gas will occupy as it is produced from the reaction of the solid magnesium with the hydrochloric acid solution, fill the flask with distilled water to the top of its neck. Slowly insert the rubber stopper assembly into the neck of the flask and secure it tightly, which will cause some of the water to overflow and result in the flask being completely filled with water to the bottom of the rubber stopper. Remove the rubber stopper assembly; dry the outside of the flask, and weight the filled flask to within 0.01 g using a top loading balance. 3. Obtain a piece of magnesium ribbon with a mass between 0.010 g and 0.015 g. Measure and record its mass to the nearest 0.001 g. Place the piece of magnesium ribbon in the clean and dry 125 mL Erlenmeyer flask whose volume you determined in Step 2. 4. Prepare a room temperature water bath in a large beaker. The bath should be deep enough to completely cover the gas level in the Erlenmeyer flask. 5. Connect a Gas Pressure Sensor to Channel 1 of the Vernier computer interface. Connect a Temperature Probe into Channel 2 of the interface. Connect the interface to the computer with the proper cable. 6. Use the clear tubing to connect the white rubber stopper to the Gas Pressure Sensor. (About one-half turn of the fittings will secure the tubing tightly.) Twist the white stopper snugly into the neck of the Erlenmeyer flask to avoid losing any of the hydrogen gas that will be produced in the reaction (see Figure 1). Important: Close the valve on the white stopper by turning the handle so it is perpendicular to the valve stem. 7. Obtain a small amount of 1.0 M hydrochloric acid. CAUTION: Handle the hydrochloric acid with care. It can cause painful burns if it comes in contact with the skin. Draw 5 mL of HCl solution into the 20 mL syringe. Thread the syringe onto the two-way valve on the white stopper (see Figure 1). Submerge the Erlenmeyer flask into the water bath. Position the Temperature Probe in the water bath so that the tip of the probe is not touching the beaker. 8. Start Logger Pro on your computer. Open the file “05 Molar Volume” from the Advanced Chemistry with Vernier folder. The Molar Volume of a Gas Advanced Chemistry with Vernier 5 - 3 9. With the flask still submerged in the water bath, click to begin data collection. After about 20 seconds, open the two-way valve directly below the syringe, press the plunger to add all of the 5 mL of HCl solution to the flask and pull the plunger back to its original position. Close the two-way valve. 10. Keep the flask immersed in the water bath as the reaction proceeds. Data collection will stop after 5 minutes. If you need more data collection time, chose Extend Data Collection from the Experiment menu. Alternately, you may click to end data collection before 5 minutes have elapsed. 11. Carefully remove the white stopper from the flask to relieve the pressure in the flask. Important: Do not open the two-way valve to release the pressure in the flask. 12. Examine the pressure data to determine the change in pressure, ∆P, during the reaction. In addition, determine the mean temperature of the water bath during the reaction. Write down these values in your data table. 13. From the Experiment menu, choose Store Latest Run to save your data. 14. Rinse, clean, and dry the flask for a second trial. Obtain a new piece of magnesium ribbon and place it in the flask. Repeat the necessary steps to conduct the second trial. 15. Follow the same procedure to conduct a third trial. DATA TABLE (Mg) Trial 1 Trial 2 Trial 3 Mass of Mg (g) Volume of flask (mL) Maximum pressure (kPa) Initial pressure (kPa) Pressure change, ∆P (kPa) Temperature (K) Computer 5 5 - 4 Advanced Chemistry with Vernier 16. Obtain samples of an unknown metal from your instructor, and repeat the above procedure to obtain data for three trials with the unknown. DATA TABLE (Unknown) Trial 1 Trial 2 Trial 3 Mass of unknown metal (g) Volume of flask (mL) Maximum pressure (kPa) Initial pressure (kPa) Pressure change, ∆P (kPa) Temperature (K) The Molar Volume of a Gas Advanced Chemistry with Vernier 5 - 5 DATA ANALYSIS 1. Using the measured weight of the empty 125 mL Erlenmeyer flask, its weight when filled with water, and the known density of water at the temperature of the measurement, calculate the “effective” volume of the 125 mL Erlenmeyer flask, i.e., the volume available for occupancy by the H2 gas. (You must also take into account the volume of the added HCl solution, which decreases the volume available to the H2 gas.) 2. Calculate the molar amounts of each piece of magnesium and unknown metal that you used. 3. Based on the measured temperatures and pressure changes for each reaction, use the ideal gas law to calculate the molar amount of hydrogen gas that was produced in each reaction. 4. Calculate the volume occupied by one mole of hydrogen gas (molar volume) at STP. 5. Compare your calculated molar volume, at STP, with the accepted molar volume of an ideal gas at STP, viz., 22.41 L/mol. If the values do not compare well, suggest possible sources of experimental error. 6. Use your calculated value for the STP molar volume to determine the atomic weight of your unknown metal. What is the likely identity of the metal?
8066	https://math.stackexchange.com/questions/tagged/combinatorial-proofs	Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Questions tagged [combinatorial-proofs] Ask Question Combinatorial proofs of identities use double counting and combinatorial characterizations of binomial coefficients, powers, factorials etc. They avoid complicated algebraic manipulations. Learn more¦ Top users Synonyms 1,340 questions Newest Active Bountied Unanswered Bountied 0 Unanswered Frequent Score Trending Week Month Unanswered (my tags) 0 votes 0 answers 112 views Relationship between the the total number of functions $A \to B$ and the number of surjections $A \twoheadrightarrow B$ Let $A$ and $B$ be two totally ordered finite sets having, respectively, $\|A\|=p$ and $\|B\|=q$ elements with $p > q$. The set $B^{A}$ of all functions $f\colon A \to B$ has $\|B^{A}\|=q^{p}$ elements, ... combinatorics functions discrete-mathematics combinatorial-proofs Jotazuma 120 5 votes 2 answers 174 views Is my derivation for the problem about k-Catalan numbers correct? Given an unlabeled plane rooted tree whose vertices only have $0,1$ or $3$ child nodes, and the number of the vertices that have $0$ or $1$ child node is $n$. Find the number $H(n)$ of trees with ... combinatorics combinatorial-proofs catalan-numbers BLUEJOKE 53 3 votes 1 answer 141 views How to prove this sum over integer partitions is equal to the number of derangements? I'm trying to figure out the value of the following sum, $S_n$. It's defined over a set $H_n$ which contains integer partitions of $n$ using only parts of size 2 or greater. Here are the definitions: $... sequences-and-series combinatorics integer-partitions combinatorial-proofs derangements åãã¥áªä¹áª 126 0 votes 0 answers 95 views Proving binomial identities with the pointer method prove the following binomial identities $$ \sum_{k=0}^{n-r} \binom{r+k}{r} = \binom{n+1}{r+1}$$ $$ \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{m-k} \binom{n}{r+k} = \binom{m+n}{m+r} $$ With n ¥ r +m $$ \sum_{k = n-s}^{r-... solution-verification summation binomial-coefficients combinatorial-proofs Haekal Dinova 51 1 vote 0 answers 90 views Proof explanation: theorem 4.1 from the book Random graphs Bollobas In the proof of Theorem 4.1 of the book Random Graphs by B. Bollobas. Where it is written that Suppose the graph $A$ and $B$ are such that $B$ is an $H$-graph and it has exactly $t$ vertices not ... graph-theory proof-explanation combinatorial-proofs random-graphs Cantor_Set 1,216 2 votes 0 answers 82 views Combinatorial interpretation of the sign-alternating binomial formula The binomial formula $(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}y^{n-k}$ could be interpreted, when $x,y$ are positive integers, as a two-way counting of "words" of length $n$ which use ... combinatorics binomial-theorem combinatorial-proofs alternating-expression digital-Ink 2,105 1 vote 0 answers 44 views A combinatorial proof that the number of squares in a $n\times n$ grid is $\frac{1}{4}\binom{2n+2}{3}$ [duplicate] Given a $n\times n$ grid, let us count the number of squares in this grid. For instance, if $n=2$, then there are $5$ squares. If $n=3$ there are $14$ squares. My attempt: Every square is determined ... combinatorics summation binomial-coefficients combinatorial-proofs boaz 5,685 1 vote 1 answer 71 views Proof that number of polygon triangulations equals the catalan numbers. I'm trying to derive the recurrence relation for the Catalan numbers using polygon triangulation, but the final result is off by 1 index and I can't find my mistake. Context for the proof can be seen ... solution-verification polygons combinatorial-proofs catalan-numbers triangulation haifisch123 473 3 votes 1 answer 156 views Number of ways a sum can be written. Let $m$ be a a positive integer. Define $\mathscr{D}_m$ to be $(m+1)(m1)$ if $m$ is odd, and $(m+2)(m2)$ if $m$ is even. Then let $\mathscr{N}_m$ to be $4$ or $0$ accordingly as $m$ is divisible by $... combinatorics elementary-number-theory integer-partitions combinatorial-proofs noobman 331 0 votes 0 answers 23 views Combinatorial/Generating function proof regarding the sum $\sum_{k=1}^n \left (\frac{1}{(k-1)!} \sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!} \right) =1$ [duplicate] The sum $$ \sum_{k=1}^n \left (\frac{1}{(k-1)!} \sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!} \right) = 1 $$ holds for all $n \in \mathbb{Z}^+$. I am primarily trying to prove this using combinatorial or ... summation combinatorial-proofs user1361816 177 2 votes 1 answer 109 views A combinatorial identity containing double sums: where to find it? [closed] When I try to establish an explicit formula for computing the generalized Euler polynomials, I encounter with the following identity \begin{equation} \sum_{m=0}^j\frac{(-1)^m}{2^m}\binom{j}{m}\sum_{... combinatorics generating-functions combinatorial-proofs combinatorial-number-theory qifeng618 2,298 0 votes 1 answer 94 views Counting distinct algebraic coefficients in the $\pmod 2$ expansion of $\bigl(a_1x_1+\dots+a_nx_n\bigr)^r$ Let $n\ge 2$, fix an exponent $r\ge 1$, and work in the polynomial ring $$ \mathbb{F}_2[a_1,\dots ,a_n,x_1,\dots ,x_n] $$ with the usual convention that $a^2=a$ for every $a\in\mathbb{F}_2$. Expand $$ ... combinatorics discrete-mathematics polynomials combinatorial-proofs sumSipahi 3 3 votes 0 answers 103 views Proving a Congruence of a Sum of Binomial Coefficients Let $p$ be an odd prime, $k$ be an integer where $k\geq 2$. Can we prove the following: $$\sum_{i=1}^{k-1}(p^{p^i-1})\cdot \binom{p^{k-1}}{p^i}\equiv 0 \pmod{p^k}.$$ We came across this conjecture ... combinatorics elementary-number-theory summation binomial-coefficients combinatorial-proofs Hyakutake 687 1 vote 0 answers 65 views I was trying to solve the Van Der Poortens lecture Notes for Apery's Exceptional Proof of Zeta(3), where asked the combinatorial proof of Zeta(2) While solving for that first an excercise is to find the proof for $\zeta(2)=3\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}$. Here my first thought being, $\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$ which ... number-theory riemann-zeta combinatorial-proofs irrationality-measure Arnab Tapadar 11 0 votes 0 answers 45 views Circular permutations : Is my understanding ok? [duplicate] The number of distinct permutations of $n$ objects (say $1$, $2$, . . . , $n$) around a circular table is $(n-1)!$ I was reviewing old stuff, and tried to prove this again. I need help : Is my ... combinatorics permutations combinations combinatorial-proofs 129 15 30 50 per page 2 3 4 5 90 Next Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Hot Network Questions Riffle a list of binary functions into list of arguments to produce a result How to sample curves more densely (by arc-length) when their trajectory is more volatile, and less so when the trajectory is more constant "Unexpected"-type comic story. Aboard a space ark/colony ship. Everyone's a vampire/werewolf Is there a specific term to describe someone who is religious but does not necessarily believe everything that their religion teaches, and uses logic? Bypassing C64's PETSCII to screen code mapping Is this commentary on the Greek of Mark 1:19-20 accurate? Another way to draw RegionDifference of a cylinder and Cuboid My dissertation is wrong, but I already defended. How to remedy? How many stars is possible to obtain in your savefile? What is the meaning of 率 in this report? How can blood fuel space travel? Numbers Interpreted in Smallest Valid Base I'm having a hard time intuiting throttle position to engine rpm consistency between gears -- why do cars behave in this observed way? How to use \zcref to get black text Equation? в ответе meaning in context Spectral Leakage & Phase Discontinuites Why do universities push for high impact journal publications? Can a GeoTIFF have 2 separate NoData values? How to locate a leak in an irrigation system? Is it ok to place components "inside" the PCB Can Monks use their Dex modifier to determine jump distance? How do you emphasize the verb "to be" with do/does? Real structure on a complex torus I have a lot of PTO to take, which will make the deadline impossible more hot questions Newest combinatorial-proofs questions feed
8067	https://physics.stackexchange.com/questions/34828/counting-degrees-of-freedom-in-presence-of-constraints	gauge theory - Counting degrees of freedom in presence of constraints - Physics Stack Exchange Join Physics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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How can I calculate the degrees of freedom in configuration space? gauge-theory field-theory hamiltonian-formalism constrained-dynamics degrees-of-freedom Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Improve this question Follow Follow this question to receive notifications edited Aug 24, 2012 at 9:20 Qmechanic♦ 222k 52 52 gold badges 636 636 silver badges 2.6k 2.6k bronze badges asked Aug 24, 2012 at 5:46 aries0152aries0152 511 3 3 silver badges 13 13 bronze badges Add a comment\| 2 Answers 2 Sorted by: Reset to default This answer is useful 5 Save this answer. Show activity on this post. The number of physical degrees of freedom (DOF) or dynamical variables is simply the number of generalized positions whose evolution is given by a second order in time differential equation. Using the OP's notation, the number of DOF is 1 2(N−2 M−S)1 2(N−2 M−S) For instance, in electrodynamics the phase-space is six-dimensional {A i,F 0 i}3 i=1{A i,F 0 i}i=1 3 and the Gauss law is a first class constraint. Thus N=6,M=1,S=0 N=6,M=1,S=0. So that there is two DOF corresponding to the two polarizations of electromagnetic waves or the two photon's helicities. One can take an alternative and equivalent point of view in which the phase-space consists of {A μ,F 0 μ}3 μ=0{A μ,F 0 μ}μ=0 3 and besides the Gauss law one has the first class constraint F 00≈0 F 00≈0 (the symbol ≈≈ is read "weakly zero" and means zero when the constraints are verified, you may perfectly write ==) which Poisson commutes with the Gauss law and both are therefore first class constraints. Then N=8,M=2,S=0 N=8,M=2,S=0 and the number of DOF is still two, of course. In the case of the gravitational field, the counting of DOF is analogous. The phase-space consists of {h a b,p a b}a=3,b=3 a=1,b=1{h a b,p a b}a=1,b=1 a=3,b=3, with h a b h a b the components of the spatial metric and p a b p a b their conjugated momenta. The four (0,μ)(0,μ) Einstein equations are not dynamical equations —since they do not contain second order temporal derivatives— but first class constraints. Hence N=12,M=4,S=0 N=12,M=4,S=0 so that the number of DOF is two corresponding to the two polarizations of gravitational waves. However, consider the case of the Procca field (a vectorial field of mass m m). Now the phase-space consists of {A μ,F 0 μ}3 μ=0{A μ,F 0 μ}μ=0 3 and there are two constraints ∂i F 0 i=m 2 A 0∂i F 0 i=m 2 A 0 —I am considering a theory with no matter fields besides the vectorial field, if one added other fields, then there would be a density of charge ρ ρ in the right hand side— which reduces to the Gauss law when m=0 m=0 and F 00=0 F 00=0 like in the electromagnetic case. However, now due to the mass term, the two constraints do not Poisson commute, thus the constraints are second class. Hence N=8,M=0,S=2 N=8,M=0,S=2 and the number of degrees of freedom is three corresponding to the three helicities of a massive vectorial particle. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Sep 7, 2012 at 2:37 answered Sep 7, 2012 at 0:29 Diego MazónDiego Mazón 7,167 3 3 gold badges 36 36 silver badges 51 51 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. With M M 1st class constraints there should be imposed M M gauge-fixing conditions. So the dimension of the physical phase space 1 1 is N−2 M−S N−2 M−S. The dimension of the physical configuration space 2 2 is N−2 M−S 2 N−2 M−S 2. In other words, there are N−2 M−S 2 N−2 M−S 2 physical degrees of freedom (d.o.f.), cf. e.g. this Phys.SE post. -- 1 1Phase space is the space of generalized positions and momenta. 2 2Configuration space consists of generalized positions. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Apr 13, 2017 at 12:39 CommunityBot 1 answered Aug 24, 2012 at 7:25 Qmechanic♦Qmechanic 222k 52 52 gold badges 636 636 silver badges 2.6k 2.6k bronze badges 0 Add a comment\| Your Answer Thanks for contributing an answer to Physics Stack Exchange! Please be sure to answer the question. Provide details and share your research! But avoid … Asking for help, clarification, or responding to other answers. Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. Use MathJax to format equations. MathJax reference. To learn more, see our tips on writing great answers. Draft saved Draft discarded Sign up or log in Sign up using Google Sign up using Email and Password Submit Post as a guest Name Email Required, but never shown Post Your Answer Discard By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions gauge-theory field-theory hamiltonian-formalism constrained-dynamics degrees-of-freedom See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Linked 22What is the definition of how to count degrees of freedom? 6Massive Photon in 2+1 2+1 Dimensions 2Counting number of degrees of freedom in constrained system Related 5Odd number of second class constraints (!) 4The number of degrees of freedom of a monatomic gas 22Counting Degrees of Freedom in Field Theories 2Counting number of degrees of freedom in constrained system 2Reduction of degrees of freedom in hamiltonian mechanics 4Holonomic constraints and degrees of freedom 0Confusing Question on "Degrees of Freedom" 11Counting massive degrees of freedom after gauge fixing 1Counting of degrees of freedom in Higher Spin Theories in curved spacetime Hot Network Questions how do I remove a item from the applications menu Do sum of natural numbers and sum of their squares represent uniquely the summands? Fundamentally Speaking, is Western Mindfulness a Zazen or Insight Meditation Based Practice? Countable and uncountable "flavour": chocolate-flavoured protein is protein with chocolate flavour or protein has chocolate flavour With line sustain pedal markings, do I release the pedal at the beginning or end of the last note? Is it possible that heinous sins result in a hellish life as a person, NOT always animal birth? Bypassing C64's PETSCII to screen code mapping Weird utility function Why multiply energies when calculating the formation energy of butadiene's π-electron system? What NBA rule caused officials to reset the game clock to 0.3 seconds when a spectator caught the ball with 0.1 seconds left? Program that allocates time to tasks based on priority Does the Mishna or Gemara ever explicitly mention the second day of Shavuot? Why do universities push for high impact journal publications? Why include unadjusted estimates in a study when reporting adjusted estimates? ConTeXt: Unnecessary space in \setupheadertext A time-travel short fiction where a graphologist falls in love with a girl for having read letters she has not yet written… to another man My dissertation is wrong, but I already defended. How to remedy? What is a "non-reversible filter"? Direct train from Rotterdam to Lille Europe Interpret G-code Do we declare the codomain of a function from the beginning, or do we determine it after defining the domain and operations? Stress in "agentic" Where is the first repetition in the cumulative hierarchy up to elementary equivalence? Discussing strategy reduces winning chances of everyone! Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. 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8068	https://nationalmaglab.org/magnet-academy/watch-play/interactive-tutorials/magnetic-field-around-a-wire-i/	Magnetic Field Around a Wire - Magnet Academy Skip to main content The National MagLab is funded by the National Science Foundation and the State of Florida. Menu Watch & Play Watch & Play See the science at play in these electrifying demonstrations and animations that illuminate the invisible electromagnetic forces. Or have your own fun with puzzles, games and a collection of interactive tutorials. Interactive Tutorials These demonstrations about laws and tools associated with electricity and magnetism allow you to adjust variables at and to visualize invisible forces — which makes them almost better than the real thing. See-Thru Science Seeing is believing. In these animations, we show you what electricity and magnetism might look like if they weren't invisible. Game & Quizzes Learn about electricity and magnetism — and have some fun while you're at it! Science Demos How do Maglev trains work? What are comets made of? How do bugs walk on water? This section demonstrates these and other concepts related to magnetism, electricity and other areas of science. Read Science Stories Read Science Stories Whether you prefer science stories that are short & sweet, long & detailed, or in graphic form, these stories spell out the basics of electricity and magnetism and the exciting discoveries that magnets enable in easy-to-understand language. Science simplified Whether you prefer your science short & sweet or long & detailed, we spell it out for you here in easy-to-understand language. Comic Collection Read fun science stories told in comic strip style. The Art of Science There is beauty and art in science. Gaze on these stories of discoveries that could be featured on museum walls instead of scientific journals. Left Fields Explore these surprising, unconventional and sometimes downright strange stories about high magnetic field research. Science Step-by-Step These special science graphics explain science stories in digestible steps and include optional detours for readers wanting more background to customize your reading journey. Explore History Explore History Electricity and magnetism discoveries span the centuries. Peruse the people, products and places related to electricity & magnetism from across space and time. Pioneers Get to know these pioneers who went down in history for their groundbreaking work, including scientists behind common terms such as Amp, Celsius, Kelvin, hertz and tesla. Museum From the world's first compass to the magnetic force microscope and beyond, explore a variety of instruments, tools and machines throughout history. Timeline Our timeline takes you through the highlights of electricity and magnetism and across the centuries. Places Take a field trip to these high magnetic field landmarks around the globe. Try This at Home Try This at Home Science can happen anywhere! Try these hands-on science activities at home, school, club, or wherever you might find yourself! They’re easy, fun and can be done with stuff you have around the house. Activity BooksAtomic OrnamentBuild a BacteriaBrain Cerebrum HatCandy DNACandy NeuronCrystal GrowingDIY KaleidoscopeDrawing Magnetic Field LinesFill-in FractalGroovin Ghost Inflating Puffer FishMagnetic HoppingMake a Compass ActivityMakeshift MagnetsMaking ElectromagnetsMaking FerrofluidsMöbius StripNewton's Color WheelPie ChartSee Iron in FoodShapeshifting SlimeSolar System Hats Plan a Lesson Plan a Lesson Looking for a lesson plan for science class or to incorporate science concepts into other subjects? These lessons plans offer detailed directions for K12 teachers to conduct hands-on lessons and align with next generation science standards. CompassesDemagnetizingElectric MotorsElectromagnetsMagnet Exploration Magnetic PuttyMagnetizing and UnmagnetizingMaking a CircuitPancake ParticlesPlotting Electric Field Lines Magnetic Field Around a Wire Whenever current travels through a conductor, a magnetic field is generated. A magnetic field is created anytime current runs through a conductor. A fact famously stumbled upon by Hans Christian Ørsted around 1820. Magnetic fields have a directional flow. The direction of the field depends on the direction the current is moving. The tutorial below shows the magnetic fields created by current traveling through a straight wire. Instructions Notice the how the electrons flow from the negative to positive ends of the wire. Observe the concentric circles around the wire. Those represent the magnetic field lines, and the arrows the direction of that field. Drag the compass needle around the magnetic field. The red end is the north pole. Flip the direction of the current. Watch how the direction of the magnetic field reverses. The magnetic field moves perpendicular to the current. There is a simple trick used to gauge the direction of a magnetic field created by the current: the right hand rule. According to this rule, if the thumb of the right hand is pointed in the direction of the conventional current, the direction that the fingers curl in order to make a fist (or to wrap around the wire in question) is the direction of the magnetic field. The shape of the magnetic field depends on the shape of the conductor. When the current travels through a wire the field is circular. The field is strongest closest to the wire, and weakens as you travel outward. A more powerful magnetic field can be achieved when the wire is coiled because it concentrates the field in a smaller space. Physics © 2025 National MagLab Funded by the National Science Foundation (DMR-2128556) and the State of Florida. 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8069	https://www.khanacademy.org/math/revision-term-1-od-math-class-8/xbbbd9c777231c070:week-3/xbbbd9c777231c070:triangles/v/what-are-altitudes-of-triangle	What are altitudes of triangle (video) \| Khan Academy Skip to main content If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. If you're behind a web filter, please make sure that the domains .kastatic.org and .kasandbox.org are unblocked. Explore Browse By Standards Explore Khanmigo Math: Florida B.E.S.T. 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A rotation is a type of "rigid transformation" or a way of changing a shape's coordinates (if you can even plot it on one) without changing the size, shape, angles, and height of the shape itself Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more ramakeshkashyap47 2 months ago Posted 2 months ago. Direct link to ramakeshkashyap47's post “What is self management” more What is self management Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer man.rathore88 7 months ago Posted 7 months ago. Direct link to man.rathore88's post “I did not understand the ...” more I did not understand the obtuse angle Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Video transcript Creative Commons Attribution/Non-Commercial/Share-AlikeVideo on YouTube Up next: video Use of cookies Cookies are small files placed on your device that collect information when you use Khan Academy. Strictly necessary cookies are used to make our site work and are required. Other types of cookies are used to improve your experience, to analyze how Khan Academy is used, and to market our service. You can allow or disallow these other cookies by checking or unchecking the boxes below. 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8070	https://www.khanacademy.org/science/physics/forces-newtons-laws/inclined-planes-friction/v/ice-accelerating-down-an-incline	Ice accelerating down an incline (video) \| Khan Academy Skip to main content If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. If you're behind a web filter, please make sure that the domains .kastatic.org and .kasandbox.org are unblocked. Explore Browse By Standards Explore Khanmigo Math: Pre-K - 8th grade Math: Get ready courses Math: High school & college Math: Multiple grades Test prep Science Computing Reading & language arts Economics Life skills Social studies Partner courses Khan for educators Select a category to view its courses Search AI for Teachers FreeDonateLog inSign up Search for courses, skills, and videos Help us do more We'll get right to the point: we're asking you to help support Khan Academy. We're a nonprofit that relies on support from people like you. 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Skip to lesson content Physics archive Course: Physics archive>Unit 1 Lesson 3: Inclined planes and friction Inclined plane force components Ice accelerating down an incline Force of friction keeping the block stationary Correction to force of friction keeping the block stationary Force of friction keeping velocity constant Intuition on static and kinetic friction comparisons Static and kinetic friction example Science> Physics archive> Forces and Newton's laws of motion> Inclined planes and friction © 2025 Khan Academy Terms of usePrivacy PolicyCookie NoticeAccessibility Statement Ice accelerating down an incline AP.PHYS: CHA‑4.A (EU), CHA‑4.A.3.1 (LO), CHA‑4.A.3.2 (LO) Google Classroom Microsoft Teams About About this video Transcript Explore the physics of an ice block sliding down an icy incline. Understand the forces at play, including gravity and the normal force, and how they contribute to the block's acceleration. Learn to calculate these forces using trigonometry and Newton's second law.Created by Sal Khan. Skip to end of discussions Questions Tips & Thanks Want to join the conversation? Log in Sort by: Top Voted Tushar 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to Tushar's post “Hey there Sal, it was a g...” more Hey there Sal, it was a great video and i looove your website but after watching this, I had a question in my mind. It the force acting on the block parallel to the slope is 49 N and the force due to gravity is 98 N, where does the remaining 49 N go? Is the remaining 49 N the force that is being counteracted by the normal force on the block? thx Answer Button navigates to signup page •1 comment Comment on Tushar's post “Hey there Sal, it was a g...” (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Sheridan Teasel 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to Sheridan Teasel's post “Hi Tushar, you are on the...” more Hi Tushar, you are on the right lines but remember that forces are vectors so they have direction and cannot be simply added or subtracted like that unless they are acting in the same or opposite directions. What Sal did is to decompose the 98N into two components: the 49N acting parallel to the surface of the slope and the 49(3^0.5)N which is the force that the block exerts perpendicular to the slope. And as you say that component is exactly equal and opposite to the normal force which the slope exerts on the block. But you cannot do 98-49N because they are vectors in different directions. Please remember to be very wary of doing that with vectors. All the best, Sheridan Comment Button navigates to signup page (17 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more UdyAgg 4 years ago Posted 4 years ago. Direct link to UdyAgg's post “Hello! This video has he...” more Hello! This video has helped me understand the basics of forces on the inclined plane (THANK YOU!) but I have a question: From 3:20 to 4:10 , why is the Cossin calculated on the y component and the sin calculated on the x component? Please explain. Udyant Aggarwal Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (5 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Angelica Chen 4 years ago Posted 4 years ago. Direct link to Angelica Chen's post “Understandably, you seem ...” more Understandably, you seem to have gotten turned around! The cosine is used in this case because what we have is an angle on a right triangle. Based on this angle, we want to know the the side beside it, which we will then compare to the hypotenuse. Basically, cos and sin should not be thought of as x and y (even though in the unit circle they can be used this way). To keep yourself less confused, the sine of an angle is the ratio of the leg directly opposite to it over the hypotenuse, while the cosine is the leg beside the angle over the hypotenuse. Trying to rotate and reflect everything into terms of x and y will just get you doing extra work. If you still have questions, I suggest you draw a bunch of triangles and turn them around to see what I mean on your own. Comment Button navigates to signup page (6 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Marcus 13 years ago Posted 13 years ago. Direct link to Marcus's post “Since the three forces ar...” more Since the three forces are independent why do we care what F perpendicular to the surface is? Why not just always find Fg and Fparallel? If it is a flat surface Fparallel equals Fg and if we are on an incline Fg is ultimately what we use to find Fperpendicular. Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (0 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Marcus 13 years ago Posted 13 years ago. Direct link to Marcus's post “Interesting. Thank you.” more Interesting. Thank you. Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Show more... PiFace3.1415 3 years ago Posted 3 years ago. Direct link to PiFace3.1415's post “How can you tell which si...” more How can you tell which sides are opposite or adjacent (whether to use Sin or Cos) if you've been given all angles, in this case I'm assuming that the parallel side to the slope is opposite, and the perpendicular side is adjacent, but what about in other cases? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Charles LaCour 3 years ago Posted 3 years ago. Direct link to Charles LaCour's post “In the triangle below ang...” more In the triangle below angle 'c' is the right angle and line ab is the hypotenuse. Looking at angle a' then the side bc is the opposite side since it is on the side opposite from angle 'a'. Line ac is the adjacent to angle 'a' since it is adjacent to angle 'a'. b /\| / \| / \| / \|a/_____\|c Comment Button navigates to signup page (3 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Show more... Rohit 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to Rohit's post “can the ice block slide w...” more can the ice block slide with "constant velocity" over the inclined plane? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer pui99fai99 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to pui99fai99's post “Isn't it in Newton's law ...” more Isn't it in Newton's law that every force has an equal opposite force? So how can we have the force that accelerates the object down the slope without any opposite force? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Jachin Lee 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to Jachin Lee's post “Newton's third law is tha...” more Newton's third law is that every reaction has an equal an opposite reaction, not necessarily that every force has an equal an opposite force (though this does happen often) Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Show more... Tejaswi Shakya 3 years ago Posted 3 years ago. Direct link to Tejaswi Shakya's post “so is the value of normal...” more so is the value of normal force -49√3 or just 49√3 as the y component of gravitational force acts in opposite direction? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer blackberry ❤ 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to blackberry ❤'s post “As force is a vector, the...” more As force is a vector, the sign represents the direction of the force. This sign has no real purpose, unless you explicitly define a set of directions (say, positive y as positive, and negative y as negative). Taking this sign convention, then yes, the value of the normal force would be 49√3. Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Gucci Bracelet 5 years ago Posted 5 years ago. Direct link to Gucci Bracelet's post “Why do the force vectors ...” more Why do the force vectors have to be presented as with "The magnitude of..."? Can I just simply use them on their own? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer yanicknorman 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to yanicknorman's post “If i put a ball on top of...” more If i put a ball on top of an inclined surface with negligible friction, would the ball accelerate downward without rolling? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Charles LaCour 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to Charles LaCour's post “With no friction it would...” more With no friction it would slide without rolling but as the force from friction increases to the amount of the torque needed to make it roll without slipping it will slip less and less. Comment Button navigates to signup page (3 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Robert Zak 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to Robert Zak's post “It's cool to see that bre...” more It's cool to see that breaking up a vector into the non-usual base vector components can be done in various ways. I'm assuming if you'd like to more rigorously define the motion of the object from this, you'd break up the parallel vector component & the normal vector component into their base vector components? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Video transcript Let's say that I have a ramp made of ice. Looks like maybe a wedge or some type of an inclined plane made of ice. And we'll make everything of ice in this video so that we have negligible friction. So this right here is my ramp. It's made of ice. And this angle right over here, let's just go with 30 degrees. And let's say on this ramp made of ice, I have another block of ice. So this is a block of ice. It is a block of ice, it's shiny like ice is shiny. And it has a mass of 10 kilograms. And what I want to do is think about what's going to happen to this block of ice. So first of all, what are the forces that we know are acting on it? Well if we're assuming we're on Earth, and we will, and we're near the surface, then there is the force of gravity. There's the force of gravity acting on this block of ice. And the force of gravity is going to be equal to-- it's going to be in the downward direction, and its magnitude is going to be the mass of the block of ice times the gravitational field times 9.8 meters per second squared. So it's going to be 98 newtons downward. So this is 98 newtons downward. I just took 10 kilograms. Let me write it out. So the force due to gravity is going to be equal to 10 kilograms times 9.8 meters per second squared downward. This 9.8 meters per second squared downward, that is the field vector for the gravitational field of the surface of the earth, I guess is one way to think about it. Sometimes you'll see the negative 9.8 meters per second squared. And then that negative is giving you the direction implicitly because the convention is normally that positive is upward and negative is downward. We'll just go with this right over here. So the magnitude of this vector is 10 times 9.8, which is 98 kilogram meters per second squared, which is the same thing as newtons. So the magnitude here is 98 newtons and it is pointing downwards. Now what we want to do is break this vector up into the components that are perpendicular and parallel to the surface of this ramp. So let's do that. So first, let's think about perpendicular to the surface of the ramp. So perpendicular to the surface of the ramp. So this right over here is a right angle. And we saw in the last video, that whatever angle this over here is, that is also going to be this angle over here. So this angle over here is also going to be a 30-degree angle. And we can use that information to figure out the magnitude of this orange vector right over here. And remember, this orange vector is the component of the force of gravity that is perpendicular to the plane. And then there's going to be some component that is parallel to the plane. I'll draw that in yellow. Some component of the force of gravity that is parallel to the plane. And clearly this is a right angle, because this is perpendicular to the plane. And this is parallel to the plane. If it's perpendicular to the plane, it's also perpendicular to this vector right over here. So we can use some basic trigonometry, like we did in the last video, to figure out the magnitude of this orange and this yellow vector right over here. This orange vector's magnitude over the hypotenuse is going to be equal to the cosine of 30. Or you could say that the magnitude of this is 98 times the cosine of 30 degrees newtons. 98 times the cosine of 30 degrees newtons. And if you want the whole vector, it's in this direction. And the direction going into the surface of the plane. And, based on the simple trigonometry-- and we go into this in a little bit more detail in the last video-- we know that the component of this vector that is parallel to the surface of this plane is going to be 98 sine of 30 degrees. Sine of 30 degrees. Sine of 30 degrees. And this comes straight out of this magnitude, which is opposite to the angle over the hypotenuse. Opposite over hypotenuse is equal to sine of an angle. And we did all the work over here. I don't want to keep repeating it. But I always want to emphasize that this is coming straight out of basic trigonometry, straight out of basic trigonometry. So once you do that, we know the different components. We can calculate them. Cosine of 30 degrees is square root of 3 over 2. Sine of 30 degrees is 1/2. That's just one of those things that you learn and you can derive it yourself using 30-60-90 triangles, or actually even equilateral triangles. Or you could use a calculator. But it's also one of those things that you memorize when you take trigonometry. So no kind of magical trick I did here. And so if you evaluate this, 98 times the square root of 3 over 2 newtons, tells us that-- let me write it in that same orange color-- the force, the component of gravity that is perpendicular to the plane. And this kind of implicitly gives us this direction, it's perpendicular to the plane. But the force component of gravity that's perpendicular to the plane is equal to 98 times square root of 3 over 2. 98 divided by 2 is 49. So it's equal to 49 times the square root of 3 newtons. And its direction is into the surface of the plane, or downward or, let me just write, into surface of plane. Surface of the plane, or the surface of the ramp. And it's in this direction over here. And I have to do this because it's a vector. I have to tell you what direction it's going in. And the component of the force of gravity that is parallel. The component of the force of gravity that is parallel, I drew it down here, but I could shift it up over here. It's the same exact vector. The component of gravity that is parallel to the surface of the plane is 98 times sine of 30. That's 98 times 1/2, which is 49 newtons. And it's going in that direction, or parallel to the surface of the plane. Parallel, I always have trouble spelling parallel. Parallel to-- don't even know if I spelled it right-- surface of the plane. So what's going to happen here? Well, if these were the only forces acting on it. So if we had a net force going into the surface of the plane of 49 square roots of 3 newtons. If this was the only force acting in this dimension or in the dimension that is perpendicular to the surface of the plane, what would happen? Well, then the block would just accelerate. At least just due to this force it would accelerate downward. It would accelerate into the surface of the plane. But we know it's not going to accelerate. We know that there's this big wedge of ice here that is keeping it from accelerating in that direction. So at least in this dimension, there will be no acceleration. When I talk about this dimension, I'm talking about in the direction that is perpendicular to the surface of the plane. There will be no acceleration because this wedge is here. So the wedge is exerting a force that completely counteracts the force, the perpendicular component of gravity. And that force. You might guess what it's called. So the wedge is exerting a force, just like that, that's going to be 98 newtons upward. The wedge is going to be exerting a force that is 49 square roots of 3, because this right here is 49 square roots of 3 newtons into. And so this is 49 square roots of 3 newtons out of the surface, out of the surface. And this is the normal force. It is the force perpendicular to the surface that essentially, you could kind of view as the contact force that the, in this case, that the surface is exerting to keep this block of ice from accelerating in that direction. We're not talking about accelerating straight towards the center of the earth. We're talking about accelerating in that direction. We broke up the force into kind of the perpendicular direction and the parallel direction. So you have this counteracting normal force. And that's why you don't have the block plummeting or accelerating into the plane. Now what other forces do we have? Well, we have the force that's parallel to the surface. And if we assume that there's no friction-- and I can assume that there's no friction in this video because we are assuming that it is ice on ice-- what is going to happen? There's no counteracting force to this 49 newtons. 49 newtons parallel downwards, I should say parallel downwards, to the surface of the plane. So what's going to happen? Well, it's going to accelerate in that direction. You have force is equal to mass times acceleration. Force is equal to mass times acceleration. Or you divide both sides by mass, you get force over mass is equal to acceleration. Over here, our force is 49 newtons in that direction, parallel downwards to the surface of the plane. And so if you divide both by mass, if you divide both of these by mass. So that's the same thing as dividing it by 10 kilograms, dividing by 10 kilograms, that will give you acceleration. That will give you our acceleration. So acceleration is 49 newtons divided by 10 kilograms in that direction, in this direction right over there. And 49 divided by 10 is 4.9, and then newtons divided by kilograms is meters per second squared. So then you get your acceleration. Your acceleration is going to be 4.9 meters per second squared. And maybe I could say parallel. That's two bars. Or maybe I'll write parallel. Parallel downwards to the surface. Now I'm going to leave you there, and I'll let you think about another thing that I'll address in the next video is, what if you had this just standing still? If it wasn't accelerating downwards, if it wasn't accelerating and sliding down, what would be the force that's keeping it in a kind of a static state? We'll think about that in the next video. Creative Commons Attribution/Non-Commercial/Share-AlikeVideo on YouTube Up next: video Use of cookies Cookies are small files placed on your device that collect information when you use Khan Academy. Strictly necessary cookies are used to make our site work and are required. Other types of cookies are used to improve your experience, to analyze how Khan Academy is used, and to market our service. You can allow or disallow these other cookies by checking or unchecking the boxes below. 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8071	https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-geometry-second-edition/section/6.2/primary/section/properties-of-parallelograms-%3A%3Aof%3A%3A-polygons-and-quadrilaterals-%3A%3Aof%3A%3A-ck-12-geometry-second-edition/	Properties of Parallelograms \| CK-12 Foundation AI Teacher Tools – Save Hours on Planning & Prep. Try it out! Skip to content What are you looking for? Search Math Grade 6 Grade 7 Grade 8 Algebra 1 Geometry Algebra 2 PreCalculus Science Earth Science Life Science Physical Science Biology Chemistry Physics Social Studies Economics Geography Government Philosophy Sociology Subject Math Elementary Math Grade 1 Grade 2 Grade 3 Grade 4 Grade 5 Interactive Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Conventional Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Probability & Statistics Trigonometry Math Analysis Precalculus Calculus What's the difference? 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A college has a parallelogram-shaped courtyard between two buildings. The school wants to build two walkways on the diagonals of the parallelogram with a fountain where they intersect. The walkways are going to be 50 feet and 68 feet long. Where would the fountain be? [Figure 3] What is a Parallelogram? Parallelogram: A quadrilateral with two pairs of parallel sides. Here are some examples: [Figure 4] Notice that each pair of sides is marked parallel. As is the case with the rectangle and square, recall that two lines are parallel when they are perpendicular to the same line. Once we know that a quadrilateral is a parallelogram, we can discover some additional properties. Investigation 6-2: Properties of Parallelograms Tools Needed: Paper, pencil, ruler, protractor Draw a set of parallel lines by placing your ruler on the paper and drawing a line on either side of it. Make your lines 3 inches long. [Figure 5] Rotate the ruler and repeat this so that you have a parallelogram. Your second set of parallel lines can be any length. If you have colored pencils, outline the parallelogram in another color. [Figure 6] Measure the four interior angles of the parallelogram as well as the length of each side. Can you conclude anything about parallelograms, other than opposite sides are parallel? Draw the diagonals. Measure each and then measure the lengths from the point of intersection to each vertex. [Figure 7] To continue to explore the properties of a parallelogram, see the website: In the above investigation, we drew a parallelogram. From this investigation we can conclude: The sides that are parallel are also congruent. Opposite angles are congruent. Consecutive angles are supplementary. The diagonals bisect each other. Opposite Sides Theorem: If a quadrilateral is a parallelogram, then the opposite sides are congruent. Opposite Angles Theorem: If a quadrilateral is a parallelogram, then the opposite angles are congruent. Consecutive Angles Theorem: If a quadrilateral is a parallelogram, then the consecutive angles are supplementary. Parallelogram Diagonals Theorem: If a quadrilateral is a parallelogram, then the diagonals bisect each other. To prove the first three theorems, one of the diagonals must be added to the figure and then the two triangles can be proved congruent. Proof of Opposite Sides Theorem [Figure 8] Given: A B C D is a parallelogram with diagonal B D¯ Prove: A B¯≅D C¯,A D¯≅B C¯ \| Statement \| Reason \| --- \| \| 1. A B C D is a parallelogram with diagonal B D¯ \| Given \| \| 2. A B¯\|\|D C¯,A D¯\|\|B C¯ \| Definition of a parallelogram \| \| 3. ∠A B D≅B D C,∠A D B≅D B C \| Alternate Interior Angles Theorem \| \| 4. D B¯≅D B¯ \| Reflexive PoC \| \| 5. △A B D≅△C D B \| ASA \| \| 6. A B¯≅D C¯,A D¯≅B C¯ \| CPCTC \| The proof of the Opposite Angles Theorem is almost identical. For the last step, the angles are congruent by CPCTC. You will prove the other three theorems in the review questions. Example 1:A B C D is a parallelogram. If m∠A=56∘, find the measure of the other three angles. Solution: Draw a picture. When labeling the vertices, the letters are listed, in order, clockwise. [Figure 9] If m∠A=56∘, then m∠C=56∘ because they are opposite angles. ∠B and ∠D are consecutive angles with ∠A, so they are both supplementary to ∠A. m∠A+m∠B=180∘,56∘+m∠B=180∘,m∠B=124∘. m∠D=124∘. Example 2:Algebra Connection Find the values of x and y. [Figure 10] Solution: Opposite sides are congruent, so we can set each pair equal to each other and solve both equations. 6 x−7=2 x+9 y 2+3=12 4 x=16 y 2=9 x=4 y=3 o r−3 Even though y=3 or -3, lengths cannot be negative, so y=3. Diagonals in a Parallelogram From the Parallelogram Diagonals Theorem, we know that the diagonals of a parallelogram bisect each other. Example 3: Show that the diagonals of F G H J bisect each other. [Figure 11] Solution: The easiest way to show this is to find the midpoint of each diagonal. If it is the same point, you know they intersect at each other’s midpoint and, by definition, cuts a line in half. Midpoint of F H¯:(−4+6 2,5−4 2)=(1,0.5)Midpoint of G J¯:(3−1 2,3−2 2)=(1,0.5) Example 4:Algebra ConnectionS A N D is a parallelogram and S Y=4 x−11 and Y N=x+10. Solve for x. [Figure 12] Solution:A D¯ and S N¯ bisect each other, so S Y=Y N. 4 x−11=x+10 3 x=21 x=7 Know What? Revisited By the Parallelogram Diagonals Theorem, the fountain is going to be 34 feet from either endpoint on the 68 foot diagonal and 25 feet from either endpoint on the 50 foot diagonal. [Figure 13] Review Questions If m∠B=72∘ in parallelogram A B C D, find the other three angles. If m∠S=143∘ in parallelogram P Q R S, find the other three angles. If A B¯⊥B C¯ in parallelogram A B C D, find the measure of all four angles. If m∠F=x∘ in parallelogram E F G H, find expressions for the other three angles in terms of x. For questions 5-13, find the measures of the variable(s). All the figures below are parallelograms. [Figure 14] [Figure 15] [Figure 16] [Figure 17] [Figure 18] [Figure 19] [Figure 20] [Figure 21] [Figure 22] Use the parallelogram W A V E to find: [Figure 23] m∠A W E m∠E S V m∠W E A m∠A V W In the parallelogram S N O W,S T=6,N W=4,m∠O S W=36∘,m∠S N W=58∘ and m∠N T S=80∘. (diagram is not drawn to scale) [Figure 24] S O N T m∠N W S m∠S O W Plot the points E(−1,3),F(3,4),G(5,−1),H(1,−2) and use parallelogram E F G H for problems 22-25. Find the coordinates of the point at which the diagonals intersect. How did you do this? Find the slopes of all four sides. What do you notice? Use the distance formula to find the lengths of all four sides. What do you notice? Make a conjecture about how you might determine whether a quadrilateral in the coordinate is a parallelogram. Write a two-column proof. Opposite Angles Theorem [Figure 25] Given: A B C D is a parallelogram with diagonal B D¯Prove: ∠A≅∠C Parallelogram Diagonals Theorem [Figure 26] Given: A B C D is a parallelogram with diagonals B D¯ and A C¯Prove: A E¯≅E C¯,D E¯≅E B¯ Fill in the blanks for the proof of the Consecutive Angles Theorem [Figure 27] Given: A B C D is a parallelogram Prove: m∠1+m∠2=180∘ \| Statements \| Reasons \| --- \| \| 1. \| Given \| \| 2. m∠1=m∠3 and __ \| \| \| 3. m∠1+m∠2+m∠3+m∠4=360∘ \| \| \| 4. m∠1+m∠2+m∠1+m∠2=360∘ \| \| \| 5. 2(m∠1+m∠2)=360∘ \| \| \| 6. \| Division POE \| Use the diagram below to find the indicated lengths or angle measures for problems 29-32. The two quadrilaterals that share a side are parallelograms. [Figure 28] w x y z Review Queue Answers [Figure 29] [Figure 30] Answers: 3 x+x+3 x+x=360∘8 x=360∘x=45∘ 4 x+2=90∘4 x=88∘x=22∘ Review (Answers) Click HERE to see the answer key or go to the Table of Contents and click on the Answer Key under the 'Other Versions' option. Add Note CancelSave Discuss with Flexi NOTES / HIGHLIGHTS Please Sign In to create your own Highlights / Notes Add Note Edit Note Remove Highlight Image Attributions Back to Properties of Parallelograms \| Image \| Reference \| Attributions \| --- \| \| [Figure 1] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 2] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 3] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 4] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 5] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 6] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 7] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 8] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 9] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 10] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 11] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 12] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 13] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 14] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 15] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 16] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 17] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 18] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 19] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 20] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 21] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 22] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 23] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 24] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 25] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 26] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 27] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 28] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 29] \| License:CC BY-NC \| \| \| [Figure 30] \| License:CC BY-NC \| Ask me anything! 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8072	https://math.stackexchange.com/questions/1974159/algebraic-expansion-of-1x1-x-is	Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Algebraic expansion of $(1+x)^{1/x}$ is? Ask Question Asked Modified 10 months ago Viewed 72k times 14 $\begingroup$ i have to solve $ \lim_{x\to 0} \frac{{(1+x})^{1/x}-e+ex/2}{x^2}$ and in the hint it is advised to use the algebraic expansion of $(1+x)^{1/x}$. Also i know that the algebraic expansion of $(1+x)^{m} = 1+mx+m(m-1){x^2}/2+...$ but this is in the case where m is an integer. So please help me here with the limit. calculus algebra-precalculus limits Share edited Oct 18, 2016 at 14:18 ParulParul asked Oct 18, 2016 at 14:03 ParulParul 87311 gold badge99 silver badges2727 bronze badges $\endgroup$ 3 3 $\begingroup$ You may assume without loss of generallity that $1/x$ is an integer $\endgroup$ Zelos Malum – Zelos Malum 2016-10-18 14:07:59 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 14:07 1 $\begingroup$ i did try that but the answer do not match. the answer is (11/24).e $\endgroup$ Parul – Parul 2016-10-18 14:25:41 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 14:25 $\begingroup$ m need not be integer, it must just be a rational number $\endgroup$ Tilak Madichetti – Tilak Madichetti 2018-06-26 13:14:05 +00:00 Commented Jun 26, 2018 at 13:14 Add a comment \| 4 Answers 4 Reset to default 15 $\begingroup$ Note that you can develop $$ \begin{gathered} \left( {1 + x} \right)^{\,1/x} = \exp \left( {\frac{1} {x}\ln \left( {1 + x} \right)} \right) = \exp \left( {1 - \frac{x} {2} + \frac{{x^{\,2} }} {3} + O\left( {x^{\,3} } \right)} \right) = \hfill \ = \exp \left( 1 \right)\exp \left( { - \frac{x} {2}} \right)\exp \left( {\frac{{x^{\,2} }} {3}} \right)\exp \left( {O\left( {x^{\,3} } \right)} \right) = \hfill \ = e\left( {1 - \frac{x} {2} + \frac{{x^{\,2} }} {8}} \right)\left( {1 + \frac{{x^{\,2} }} {3}} \right) + O\left( {x^{\,3} } \right) = e\left( {1 - \frac{x} {2} + \frac{{11\;x^{\,2} }} {{24}} + O\left( {x^{\,3} } \right)} \right) \hfill \ \end{gathered} $$ from which $$ \begin{gathered} \frac{1} {{x^{\,2} }}\left( {\left( {1 + x} \right)^{\,1/x} - \left( {1 - x/2} \right)e} \right) = \hfill \ = \frac{1} {{x^{\,2} }}\left( {e\left( {1 - \frac{x} {2} + \frac{{11\;x^{\,2} }} {{24}}} \right) - \left( {1 - x/2} \right)e + O\left( {x^{\,3} } \right)} \right) = \hfill \ = \frac{{11}} {{24}}e + O\left( x \right) \hfill \ \end{gathered} $$ Share edited Jun 24, 2019 at 15:48 Botond 12.2k44 gold badges2121 silver badges4949 bronze badges answered Oct 19, 2016 at 14:33 G CabG Cab 36k33 gold badges2323 silver badges6464 bronze badges $\endgroup$ 5 $\begingroup$ How did u reach to second step: e(1-x/2+x^2/8).. ? $\endgroup$ Parul – Parul 2016-10-19 14:44:00 +00:00 Commented Oct 19, 2016 at 14:44 2 $\begingroup$ @Parul, added intermediate step in the answer $\endgroup$ G Cab – G Cab 2016-10-19 15:46:15 +00:00 Commented Oct 19, 2016 at 15:46 $\begingroup$ @GCab, how did the terms in the exponent of $e$ convert in multiplication in the fourth term? $\endgroup$ SarGe – SarGe 2020-09-09 13:55:24 +00:00 Commented Sep 9, 2020 at 13:55 $\begingroup$ @SarGe do you refer to the expansion of ,e.g., $exp(-x/2)$ into series expansion ? $\endgroup$ G Cab – G Cab 2020-09-09 14:07:10 +00:00 Commented Sep 9, 2020 at 14:07 $\begingroup$ Ok, got it. Thank you. $\endgroup$ SarGe – SarGe 2020-09-09 14:16:49 +00:00 Commented Sep 9, 2020 at 14:16 Add a comment \| 7 $\begingroup$ Hint: Use $$ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(c)x^2 $$ where $c$ is between $0$ and $x$. Update: Let $$ f(x)=ï¼1+x)^{1/x}. $$ and then $$ f'(x)=-ï¼1+x)^{1/x}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2(1+x)}, f''(x)=\frac{(x+1)^{\frac{1}{x}-2}(-(3 x+1) x^2+2 (x+1) x^2 \ln (x+1)+(x+1)^2\ln ^2(x+1))}{x^4}. $$ Clearly \begin{eqnarray} f(0)&=&\lim_{x\to0}ï¼1+x)^{1/x}=e,f'(0)=\lim_{x\to0}f'(x)=-\frac{e}{2},f''(0)=\frac{11e}{12}. \end{eqnarray} So $$ \lim_{x\to 0} \frac{{(1+x})^{1/x}-e+ex/2}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}f''(c)x^2}{x^2}=\frac{1}{2}f''(0)=\frac{11e}{24}.$$ Share edited Oct 19, 2016 at 13:44 answered Oct 18, 2016 at 14:09 xpaulxpaul 48.7k44 gold badges8080 silver badges9999 bronze badges $\endgroup$ 3 1 $\begingroup$ isn't it suppose to be f prime in the second term, also how is it useful here? $\endgroup$ Parul – Parul 2016-10-18 14:16:55 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 14:16 $\begingroup$ @Parul, yes, you are right. $\endgroup$ xpaul – xpaul 2016-10-18 14:44:08 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 14:44 4 $\begingroup$ You implicitly assume that the function and its derivatives are continuous at $0$. The given function has a removable discontinuity at $0$ and even after removing it, it's difficult to prove that the derivatives are continuous at $0$. $\endgroup$ Paramanand Singh – Paramanand Singh ♦ 2019-12-28 03:24:26 +00:00 Commented Dec 28, 2019 at 3:24 Add a comment \| 4 $\begingroup$ As Zelos points out, you may compute the limit as $x$ approaches 0 by considering the value of your expression at $x=1/m$ for $m$ any nonzero integer. Then $1/x$ is an integer, and your formula applies. Alternatively your formula, the binomial theorem, applies even when $1/x$ is not an integer, with the proviso that the series will not terminate for negative or non-integer exponents. Hence you may even use your formula $$(1+x)^{1/x} = 1 + x/x+\dotsb$$ with or without the assumption that $1/x$ is an integer. In more detail, the binomial theorem gives $$(1+x)^{1/x} = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}\frac{1}{x}\cdot\left(\frac{1}{x}-1\right)\cdot\dotsb\cdot\left(\frac{1}{x}-m+1\right)x^m $$ Let us expand the expression inside the summation to collect the terms of degree 0, 1, and 2 in $x$. To find the terms of the expanded product, you must choose one term from each binomial factor in the product. The degree of the term will be determined by how many times you choose the $1/x$ term. The only way to get a degree 0 term is to choose the $1/x$ from each of the $m$ binomial factors in parentheses, so you get $\frac{1}{m!}\frac{x^m}{x^m}=\frac{1}{m!}$. If you choose the second term in the binomial factor exactly once, and the $1/x$ $m-1$ times, then you get $m$ linear terms. Thus the linear coefficient is the sum of numbers from 0 to $m-1$. To get a quadratic term, you need to choose the second term exactly twice. The coefficient is thus the sum of all products of two numbers from 0 to $m-1$. In summary $$ \frac{1}{m!}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-1\right)\cdot\dotsb\cdot\left(\frac{1}{x}-m+1\right)x^m = \frac{1}{m!} - \frac{1}{m!}\left(\sum_{j=0}^{m-1} j\right)x + \frac{1}{m!}\left(\sum_{j=0}^{m-1} \sum_{k=j+1}^{m-1} jk\right)x^2 +o(x^3)$$ Using the Faulhaber identities to evaluate those summations, we get $$ \frac{1}{m!} - \frac{1}{m!}\left(\frac{m(m-1)}{2}\right )x + \frac{1}{m!}\left(\frac{m(m-1)(m-2)(3m-1)}{24}\right )x^2 +o(x^3) $$ Now summing each term over $m$ we see the constant term is $\sum\frac{1}{m!}=e$, the linear coefficient is $-\frac{1}{2}\sum\frac{1}{(m-2)!}=-e/2$, and the quadratic coefficient is (after some reindexing) $\frac{1}{24}\sum\frac{3m-1}{(m-3)!} = \frac{11e}{24}$, which gives the answer. Share edited Nov 18, 2024 at 14:50 answered Oct 18, 2016 at 14:25 ziggurismziggurism 17.5k22 gold badges5656 silver badges116116 bronze badges $\endgroup$ 8 $\begingroup$ i have landed on $\lim_{x\to 0} \frac{{16-6e+x(3e-6)+2x^2}{6(x^2)}$. what to do next? $\endgroup$ Parul – Parul 2016-10-18 14:46:11 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 14:46 1 $\begingroup$ You actually need to consider all the terms of the binomial expansion. Every term contributes a constant, all but one contribute a linear term, and you need all those terms to cancel $e-ex/2$. You need to also collect all the quadratic terms. $\endgroup$ ziggurism – ziggurism 2016-10-18 14:55:04 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 14:55 $\begingroup$ wont that become a very long procedure to solve? are u able to think of any other method of solving this limit? $\endgroup$ Parul – Parul 2016-10-18 15:16:47 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 15:16 $\begingroup$ Yes it seems lengthy. But you requested to use binomial theorem. Shall we try lhopital instead? $\endgroup$ ziggurism – ziggurism 2016-10-18 15:19:05 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 15:19 $\begingroup$ l'hospitals will go for like ever and ever. ;( $\endgroup$ Parul – Parul 2016-10-18 15:37:49 +00:00 Commented Oct 18, 2016 at 15:37 \| Show 3 more comments 2 $\begingroup$ I guess Ziggurism already provided the required answer. For another way, I exploited the well-known Maclaurin series $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-...$ Let $(1+x)^{\frac1x}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n.$ The answer is $a_2.$ Note that $a_0=e$ and $a_1=-\frac e2.$ Taking $\ln$ of both sides, $$\frac{\ln(1+x)}x=\ln(e-\frac e2 x+a_2x^2+...),$$ $$1-\frac x2+\frac{x^3}3+...=1+\ln(1-\frac x2+\frac{a_2}e x^2+...),$$ $$-\frac x2+\frac{x^2}3=(-\frac x2+\frac{a_2}e x^2)-\frac12(-\frac x2+\frac{a_2}e x^2)^2+O(x^3),$$ $$\frac13x^2=\frac{a_2}e x^2-\frac18 x^2+O(x^3),$$ $$\frac13=\frac{a_2}e-\frac18$$ and the result. Share answered Nov 18, 2024 at 17:16 Bob DobbsBob Dobbs 16.1k22 gold badges2020 silver badges2929 bronze badges $\endgroup$ Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions calculus algebra-precalculus limits See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Linked How to evaluate $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{e^x (e - (1+\frac{1}{x} )^x)}$ without L'Hospital? 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How can an alien symbiote coexist with the immune system long-term? Which driving direction syncs with Quebec’s and Maritime Canada’s autumn leaf colors? coordinate with rotate={\angle-90} fails to make radially inward vectors What's the cents value of these SMuFL accidentals? List of crowdsourced math projects actively seeking participants Non-Disney "Beauty and the beast" cartoon with a white beast Boost converter voltage danger Marking utensils for ownership Lock icon to convey disabled but has a clickable feature? Can the price of a gap option be negative? Traveling by car on train in Germany Bias when estimating the best linear fit of a non-linear population? How do I make the middle of the bill curve up? Apparent contradiction in Lorentz's magnetic force and Ohm's law relation What is the Occultist class in 5e? Are these LED/resistor configurations equivalent? Plotting functions without sampling artefacts What does "transform into the character pulled into the UFO" mean? 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8073	https://www.eoffcn.com/kszx/detail/980588.html	2023国家公务员考试行测真假话问题——到底谁真谁假?_中公网校登录 / 注册成为会员特惠开通42元/年帮助中心如何购课听课流程听课问题网校优势联系我们各地考试华东山东江苏浙江安徽江西福建上海华中湖北湖南河南华南广东广西海南西南四川云南贵州重庆西藏西北陕西甘肃宁夏新疆青海华北北京天津内蒙古山西河北东北辽宁吉林黑龙江更多村官选调生乡镇公务员事业单位教师岗特岗教师社区工作者公选遴选三支一扶军人考试银行从业证券从业国考省考事业单位教师招聘教师资格医疗卫生职业考证爱好兼职职场技能银行招聘农信社国企招警法检行测 400-900-8885 听课中心会员中心特惠开通42元/年体验中心选课中心首页招考信息考试技巧考试题库在线刷题课程中心免费领课职业教育 OAO课程一对六课程协议课程免费领课公考百科 2023国家公务员考试行测真假话问题——到底谁真谁假? 真假话问题是行测判断推理中比较常见的一个题型，这种题型考查的是考生的逻辑推理能力，在没有学习解题方法之前，如果盲目推理和猜测会浪费考生大量的时间，而且正确率也不高。实际上，真假话问题的解题技巧总结起来就是六个字：一找二绕三回! 一找：找矛盾关系。矛盾关系必有一真一假，在一道真假话题目中找到矛盾就能确定这两句话一真一假，但是找到矛盾后暂时并不能确定谁真谁假; 二绕：绕开矛盾，分析其他句子真假性。真假话问题题干会说明有几真几假，矛盾关系虽然不能确定谁真谁假，但是我们可以确定除矛盾之外的命题是真是假; 三回：回到矛盾。在确定其他命题真假后，我们可以得到确定信息，由此可以回到矛盾判断到底谁真谁假。需要注意的是，有些真假话问题不需要“三回”即可得出正确答案，下面我们通过两道题来具体实践一下。例题1 在超市里有四个存物柜，打开柜子后发现，第一个柜子里写着：“所有的柜子里都装着购物袋”;第二个柜子里写着：“本柜子里有购物礼品”;第三个柜子里写着：“本柜子里没有食品”;第四个柜子里写着：“有些柜子里没有购物袋”。如果只有一个柜子里的描述是真实的，以下肯定为真的是： A.所有的柜子里都有购物袋 B.所有的柜子里都没有购物袋 C.所有的柜子里都没有购物礼品 D.第三个柜子里有食品【中公解析】D。“一找”确定第一个柜子和第四个柜子的描述矛盾，必有一真一假;“二绕”由只有一个柜子里的描述是真实的，可知四个柜子存在一真三假，那么第二个柜子和第三个柜子的描述均为假，则第二个柜子里无购物礼品且第三个柜子里有食品，即D项为真。故答案为D。例题2 一件盗窃刑事案件中，警方抓获了甲、乙、丙、丁四名犯罪嫌疑人，对他们进行质问，他们是这样说的：甲：是乙作的案。乙：是丁和我一起作的案。丙：丁是案犯。丁：不是我作的案。四句话只有一句是谎言。如果以上为真，则： A.说假话的是甲，作案的是丙 B.说假话的是丙，作案的是乙 C.说假话的是丁，作案的乙和丁 D.说假话的是乙，作案的是乙【中公解析】C。“一找”确定丙的话和丁的话矛盾，必有一真一假;“二绕”由只有一句是谎言，确定甲和乙的话均为真;“三回”由乙的话为真可知是丁作的案，进而可以推出丙的话为真，丁的话为假。故答案选C。通过以上两道题，中公教育希望各位考生能够了解、掌握“一找二绕三回”的技巧解决真假话问题。一定要勤加练习，整理清楚每个条件，把做题技巧变成本能融入到解题当中，尽快熟练运用这类题目的做题方法! （责任编辑：李明）国考常见问题国考待遇怎么样国考和省考有什么区别哪些岗位有发展前途基层工作和毕业生有如何界定？报名需要注意哪些？基层工作和毕业生有如何界定？考试资讯考试题库考试技巧 2026国考报名入口10月几号开通？ 2026国家公务员考试公告解读（汇总） 2026国家公务员考试职位分析（汇总） 2026国家公务员考试：国考什么时候报名 2026国家公务员考试：国考职位表10月14日会发布吗 2026国考报名时间是10月15日开始吗？ 2026国考什么时候报名？ 2026国考考试时间：国考公告发布时间\|报名时间 2026国家公务员考试报名入口10月几号开通？ 2026国考招录什么时候报名？【申论题库】申论每周一练：规范引导“疗愈经济” 面试模拟题：如何理解“和羹之美，在于合异” 面试题库：面试每日一练模拟题及参考答案07.14 行测题库：行测每日一练数量关系练习题07.14 行测题库：行测片段阅读模拟题07.14 面试模拟题：老人被遗弃到办事大厅怎么办面试题库：面试每日一练模拟题及参考答案07.11 行测题库：行测每日一练资料分析练习题07.11 行测题库：行测资料分析模拟题07.11 面试模拟题：构筑中国精神、中国价值、中国力量 2026国家公务员局专题网站国家公务员局2026国考招考简章国家公务员局2026国考职位表下载入口国家公务员局官网入口2026国考报名国家公务员局官网入口2026国考岗位查询国家公务员局网站（www.scs.gov.cn）已于8月底下线国家公务员局官网入口www.scs.gov.cn 行测常识判断知识点——关于人民币里的美景行测常识判断哲学考点：浅谈三个代表思想今年九月28补周几的课-9月28日补哪天的课直播公开课网校师资杨松行测理科中公骨干，九年教学经验石惠胜申论深耕申论10年，金句御姐梁春玮行测理科深耕数资13年，方法技巧多尚迎春面试经验丰富，重点突出，面试明师刘婉婷面试深耕面试8年，霸气正能量刘嘉宁判断推理深耕判断10年，人美实力强孙圣林李艳面试聚焦学员，6年面试深耕经验杨松行测理科中公骨干，九年教学经验石惠胜申论深耕申论10年，金句御姐免费领取最低42/年立即开通公务员事业单位教师考试三支一扶 jd文职国企医疗招聘/医药护资格公检法基层服务银行/农商行军人考试新职业/职业技能/专业技能副业兼职/理财/软技能学历提升/考研语言/建工财会经济 LH精选公务员事业单位教师考试三支一扶 jd文职国企医疗招聘/医药护资格公检法基层服务银行/农商行军人考试新职业/职业技能/专业技能副业兼职/理财/软技能学历提升/考研语言/建工财会经济 LH精选省考国考选调生公选遴选乡镇公务员国考金监局国考证监会国考人民银行更多0 国考证监会国考人民银行会员免费专区会员特惠专区网校精选好课畅学，1折购课、每日干货、行业分析、就业指导、专属顾问最低42/年更多课程会员免费专区会员特惠专区国考省考选调生教师招聘教师资格事业单位医疗招聘国企银行农信社军队文职社区工作者三支一扶遴选警察书记员银行从业证券从业基金从业技能证书即日起，享受会员权益终身卡¥122 年卡¥42 月卡¥39.9 尊享 12 大会员特权会员免费会员优惠专属顾问专业团队专属优惠前沿分析职业规划就业指导福利活动会员售后人工咨询关于我们网校首页网校优势线下地址新手必读在线购买银行汇款听课入口听课流程常见问题安卓手机听课问题苹果手机听课问题客户端听课问题协议课程问题OAO课程问题退费转班规定全国统一咨询热线 400-900-8885 课程咨询请按1 售后服务请按2 9:00-21:00 节假日不休商务合作企业微信微信扫码添加考编考证必备小工具中公网校小程序精选免费公开课中公网校视频号中公教育官方网课平台中公网校极速版APP 资讯答疑试题中公网校公众号友情链接：浙江人事考试网医疗卫生招聘山东公务员考试银行招聘网中公考研网北京公务员考试233网校上海公务员考试朗播网河南省公务员考试乐乐课堂学科网新东方网校上学吧跨考考研中考网英语听力高考网拉钩招聘智通人才网培训网黑龙江公务员考试青夏教育易贤网卓立教育走嗨嗨黄页88网21世纪教育网组卷网平方创想学识网土木在线IT培训中公教师网事业单位招聘环球网校中大网校考试吧学易网中公考研中公网校职业教育 Copyright©2000-2023 北京中公教育科技有限公司 .All Rights Reserved 京ICP备10218183号-41京ICP证161188号京公网安备11010802020664号电子营业执照其他考试金融综合事业单位教师公务员企微咨询学习工具课程\|刷题\|资讯中公网校APP手机扫码打开随身学习更方便中公网校小程序微信扫码打开客服中心听课指导：听课操作、讲义下载、账号密码问题等课程服务：开通课程、协议签订、转班退费问题等技术支持：技术故障、突发问题、协助需求问题等在线客服自助帮助中心(FAQ) 账号问题、密码找回、应用下载这些都可以通过帮助中心找到解决办法，如果您遇到自助帮助之外问题，可以通过在线客服寻求帮助。
8074	https://energetika.cvut.cz/wp-content/uploads/2018/06/HEB-l3.pdf	Design of heat exchangers Heat transfer calculation The basic mechanisms of beat transfer are generally considered to be conduction, convection and radiation. Of these, radiation is usually significant only at temperatures higher than 500°C. In this section, the emphasis will be upon a qualitative description of the processes and a few very basic equations. Conduction Conduction in a solids or stationary fluids is largely due to the random movement of elections through the matter. The electrons in the hot part of the solid have a higher kinetic energy than those in the cold part and give up some of this kinetic energy to the cold atoms, thus resulting in a transfer of heat from the hot surface to the cold. The details of conduction are quite complicated but for engineering purposes may be handled by a simple equation, usually called Fourier's equation. For the steady flow of heat across a plane wall (see the figure) with the surfaces at temperatures of T1 and T2 where T1 is greater than T2 the heat flow Q per unit area of surface A (the heat flow) is [W/m2] (1) The quantity k is called the thermal conductivity and is an experimentally measured value for any material. Conduction through a tube wall The above equation can be written in a more general form if the temperature gradient term is written as a differential (2) The negative sign in the equation is introduced to account for the fact that heat is conducted from a high temperature to a low temperature. The main advantage of equation is that it can be integrated for those cases in which the cross-sectional area for heat transfer changes along the conduction path e.g. in tube. A section of tube wall is shown in figure. Q is the total heat conducted through the tube wall per unit time. At the radial position r in the tube wall (ri ≤ r ≤ ro), the area for heat transfer for a tube of length L is A = 2πrL. Putting these into Eq. (2) gives (3) which may be integrated to (4) If Ti < To, Q comes out negative: this just means that the heat flow is inward, reversed from the sense in which we took it. For thin-walled tubes, the ratio of the outer to the inner radius is close to unity, and we can use the simpler equation, (5) with very small error. Convection Convective heat transfer is closely connected to the mechanism of fluid flow near a surface, so the first matter of importance is to describe this flow. Single phase flow must be characterized by both the geometry of the duct through which the flow occurs and by the flow regime of the fluid as it goes through the duct. There are two basically different types of duct geometry: • constant cross-section, in which the area available for flow to the fluid has both the same shape and the same area at each point along the duct, • varying cross-section, in which the shape and/or the area of the duct vary with length, usually in a regular and repeated way. The most common constant cross-section duct geometry that one deals with in process heat transfer applications is the cylindrical tube. In a cylindrical geometry, it is assumed that all parameters of the flow are a function only of the radial distance from the axis of the cylinder (or equivalently from the wall) and of the distance from the entrance (entrance effects). The flow in ducts of varying cross section is e.g. flow across tube banks which will be the case of interest here. The type of flow in a duct can also be characterized by the flow regime; that is, laminar flow, turbulent flow, or some transition state having characteristics of both of the limiting regimes. All of the exact definitions of laminar flow are very complex, and an illustration (like in figure) is much more useful. If we have a round tube with a liquid flowing in it at a steady rate, and if we inject a dye trace with a needle parallel to the axis of the tube, one of two things can happen: 1) The dye trace may flow smoothly down the tube as a well-defined line, only very slowly becoming thicker, or 2) The dye trace may flow irregularly down the tube moving back and forth across the diameter of the tube and eventually becoming completely dispersed. The first case is laminar flow and the second is turbulent flow. Laminar flow corresponds to the smooth movement of layers of fluid past one another without mixing: turbulent flow is characterized by a rapid exchange of packets or elements of fluid in a radial direction from one part of the flow field to another through turbulent eddies. There are differences in the velocity pattern also. In laminar flow, the velocity at a given point is steady, whereas in turbulent flow the velocity fluctuates rapidly about an average value. If one measures the local velocity at various positions across the tube, one finds that laminar flow gives a parabolic velocity distribution whereas turbulent flow gives a blunter velocity profile, as shown in figure. In both flows, the fluid velocity is zero at the wall and a maximum at the centerline. The flow regime that exists in a given case is ordinarily characterized by the Reynolds number. The Reynolds number has different definitions for flow in different geometries. For flow inside tubes it is defined as follows (6) where di is the inside diameter of the tube, V is the average velocity in the tube, ρ the density of the fluid, and µ the viscosity of the fluid. Laminar flow is characterized by low Reynolds numbers, turbulent flow by high Reynolds numbers. Heat Transfer to a Flowing Fluid (Convection) Convection heat transfer can be defined as transport of heat from one point to another in a flowing fluid as a result of macroscopic motions of the fluid, the heat being carried as internal energy. The convection process has received a great deal of both experimental and analytical attention and, although we are mainly concerned with using the results of these studies, a cursory look should be taken at the physical process of convection, both to define terms and to establish some intuitive sense of what really the correlations we use are trying to represent. In laminar flow past a hot wall the heat is transferred from the tube surface to the fluid. Within the fluid, heat is transferred from "layer" to "layer" of the fluid by conduction. There are no fluid motions perpendicular to the direction of flow to transport the heat by any other mechanism. Since the different "layers" of fluid are moving at different velocities, however, the conduction process is much more complex to analyze than for the solid wall previously discussed. If we look at a fluid in turbulent flow past a hot surface and mark a few representative elements of fluid in order to trace their paths, we would obtain a picture something like follows. The flow near the wall has only a few small eddies, so that the predominant mechanism for heat transfer is conduction. At the wall, the fluid velocity is zero and the fluid temperature is the same as the wall. The velocity and temperature gradients near the wall are much steeper than those in the bulk flow where eddy transport becomes dominant. It is important to note that when we refer without further qualification to the velocity or temperature of a stream, we mean the volume-mean values shown on the figures as V and Tf. However, it is important to remember that some portions of the fluid are at possibly significantly higher or lower temperatures, where thermal degradation or phase change might occur. For many convective heat transfer processes, it is found that the local heat flux is approximately proportional to the temperature difference between the wall and the bulk of the fluid, i.e., which causes us to define a constant of proportionality, called the "film coefficient of heat transfer" usually denoted by h: The value of h depends upon the geometry of the system, the physical properties and flow velocity of the fluid. The concept of a heat transfer coefficient is useful to the designer only if there exists a quantitative relationship between these variables and the heat transfer coefficient. It is important also that this relationship be reasonably valid for the conditions existing in the particular application. These relationships, or correlations, may come from either theoretical or experimental studies, or from a combination of both. The correlation may be expressed as an equation, a graph, a table of values, or a computational procedure. These forms are more or less readily convertible from one into another according to the needs and convenience of the user. In using the correlation, the designer needs to know, at least roughly, how accurate the results are likely to be in his application. Radiation All matter constantly radiates energy in the form of electromagnetic waves. The amount of energy emitted depends strongly upon the absolute temperature of the matter and to a lesser extent upon the nature of the surface of the matter. The basic law of radiation was derived by Stefan and Boltzmann and may be written for our purposes as: where σ is the Stefan-Boltzmann constant (equal to 5,6687⋅10-8 W⋅m-2⋅K-4) and Tabs is the absolute temperature in K. ε is the emissivity and has a value between 0 and 1. For a perfect reflector ε = 0 and for a perfect emitter, a so-called "black body11, ε =1. Since all surfaces that radiate heat will also absorb heat, it follows that all surfaces that can "see" each other are exchanging heat with one another, the net rate depending upon the absolute temperatures, the emissivities, the areas and he spatial geometric relationships of the surfaces. The radiant energy transferred between two surfaces depends upon their temperatures, the geometric arrangement, and their emissivities. For two parallel surfaces, facing each other and neglecting edge effects, each must intercept the total energy emitted by the other, either ( ) f s T T A Q − ≈ ( ) f s T T h A Q − ⋅ = 4 abs T A Q σε = absorbing or reflecting it. In this case, the net heat transferred from the hotter to the cooler surface is given by: where 1/ ε = 1/ε1 + 1/ε2 – 1, ε1 is the emissivity of the surface at temperature T1 and ε2 is the emissivity of the surface at temperature T2. At usual atmospheric temperatures, radiant heat transfer is relatively unimportant compared to most other heat transfer mechanisms, though there are a few areas where it makes a significant contribution, e.g., radiation from flame or hot flue gas to boiler walls. At higher temperatures, radiation becomes relatively more important, and at temperatures above perhaps 500 °C (depending upon the other processes), it is usually essential to take radiation into account. The energy transfer by radiation from flame to the furnace walls is the main process which we are interesting in. Convective heat transfer compared to the radiation heat transfer is here generally lower. The definition of radiative heat transfer in the boilers or furnaces make use of necessary information of the optical properties and space distribution of the constituents that take a part in the exchange of radiative energy and of the space temperature distribution in the furnace and properties of the internal wall surfaces. In-turn, the temperatures are depending on the interference between stream, impact and burning mechanisms. The allocation of radiative heat within the furnace and across the tube walls is derived from balances of radiative energy that includes the information reduced above for the different areas. In flame, there are free (not) radiation and radiation gas mediums. One- and two- atom gases, such as: helium, oxygen, nitrogen, etc. are practically transparent for radiation. Contents of more than two atomic gases (CO2, SO2 and H2O) and solid particles (ash, char and soot) are the main variables defining the flue gas radiant properties. Similarly to solid bodies the flame emissivity εf is used for description of radiate heat. Let's assume, that flame has a constant temperature Tf, and a wall Tw. Accept, that flame and a wall are grey bodies descripted by emissivity εf and εw. where εfw is furnace emissivity Combination fo Heat Transfer by Convection and Radiation In furnace and following high temperature parts of boiler heat transfer both by convection and radiation occurs simultaneously. Concept of “radiation heat transfer coefficient” is useful in solving these problems Radiation heat transfer coefficient is defined in a manner analogous to convection heat transfer coefficient. Consider hot flue gas at a temperature Tf flowing cross a wall whose is at a temperature of Tw. Then, recollect that the convective heat flux is given by: where, hc is convective heat transfer coefficient. In a similar manner, we write for radiant heat flux from flue gas to wall: where hr is the radiation heat-transfer coefficient Total heat flux from flue gas to wall is done by combination of convective and radiation heat fluxes as follows where hf is the total heat-transfer coefficient from flue gas to wall. ( ) 4 2 4 1 T T A Q − =σε 1 1 1 1 − + = w f fw ε ε ε ( ) 4 4 w f fw T T A Q − = σε ( ) w f c conv T T h A Q − ⋅ = ( ) ( ) w f r w f fw rad T T h T T A Q − ⋅ = − = 4 4 σε w f w f fw r T T T T h − − = 4 4 σε ( ) ( ) ( ) w f f w f r c rad conv T T h T T h h A Q Q A Q − ⋅ = − ⋅ + = + =
8075	https://arxiv.org/pdf/2407.21081	Optimal breakpoint selection method for piecewise linear approximation Shaojun Liu a aSchool of Civil and Environmental Engineering, Nanyang Technological University, Singapore Abstract Piecewise linearization is a key technique for solving nonlinear problems in transportation network design and other optimization fields, in which generating breakpoints is a fundamental task. This paper proposes an optimal breakpoint selection method, sequential adjusting method (SAM), to minimize the approximation error between the original function and the piecewise linear function with limited number of pieces, applicable to both convex or concave function. SAM sequentially adjusts the location of breakpoints based on its adjacent breakpoints, and the optimal positions would be reached after several iterations. The optimality of the method is proved. Numerical experiments are conducted on the logarithmic function. Keywords: piecewise linear approximation, breakpoints selection, sequential adjusting method Introduction Piecewise linearization is a usefully technique for solving optimization problems involving com-plex non-linear non-convex components . Misener and Floudas (2010); Wang and Lo (2010) pro-posed piecewise linearization methods to represent the non-convex components with piecewise linear functions. Liu and Wang (2015); Tian et al. (2021); Liu et al. (2024) applied these methods to refor-mulate their models into mixed integer linear programming to address the network design problems. However, in these works, the selection of breakpoints did receive much attention, and they simply employed uniform distributed breakpoints. Some research contribute to the selection of breakpoints to better approximate the original func-tion. Birolini et al. (2021) applied a differential evolution algorithm to determine the breakpoints, which is problem-related method. Noruzoliaee et al. (2018); Guo et al. (2022) determined the break-points by selecting from a large set of candidate breakpoints. This method is time-consuming if high accuracy is desired and is inherently suboptimal. Xu et al. (2021) recursively inserts breakpoints to the current optimal position until desired error threshold is reached, which is a greedy method and does not guarantee optimality. To overcome the research gap, we propose a sequential adjusting method (SAM) for the break-point selection of single-value function piecewise linear approximation. The optimality and conver-gency are proved in theory for convex and concave functions. Methodology 2.1. Approximation error definition To ensure the approximation accuracy of piecewise linear function to the original function, we define two types of approximation errors: minimal maximum absolute error and minimal area difference error. The absolute error criterion directly minimizes the difference in values between the two functions. In contrast, the minimal area difference error criterion focuses on minimizes the area of discrepancy between the two functions. These criteria can be chosen based on demand. The definition of absolute error is shown in Fig.1. The absolute error at location x equals to \|f (x) − L(x)\|, where f (x) is the original function value and L(x) is the linear function value. There Preprint submitted to Transportation Research August 1, 2024 arXiv:2407.21081v1 [math.OC] 30 Jul 2024 exists a x ∈ [a, b ] where the error is maximal, and the minimal maximum absolute error criterion aims to determine the position of the breakpoints (only one point in this example) to minimize this maximum error. Figure 1: The absolute error The definition of area difference error is shown in Fig.2. It calculates the total area between the original function and the piecewise linear function (the gray area). The minimal area difference error criterion aims to determine the position of the breakpoints to minimize the total area. Figure 2: The area difference error 2.2. Optimal breakpoints selection for minimal maximum absolute error This section discusses the optimal breakpoint selection method with the aim of minimizing the maximum absolute error. When f (x) is a concave function, f (x) and −f (x) share the same optimal breakpoints due to mirror effect. In this paper, f (x) is assumed to be concave without any further mention for discussion purposes, and the method is applicable to convex functions. 22.2.1. The three breakpoints case The case with three breakpoints is the simplest scenario, where the positions of the two endpoints are fixed and only the position of the interior point needs to be determined as shown in Fig.1. In this case, a and b are known values and our task is to determined the value of c. We formally present the mathematical model for this problem as: min c t (1) s.t. f (x) − L(x, c ) ≤ t (2) x ∈ [a, b ] (3) which is not a linear programming. To efficiently obtain the value of c, generally one can use numer-ical methods such as bisection search. For some special functions, there are analytical solutions. For example, the optimal value of c for the logarithmic function is √ab . Both the numerical methods and the analytical solution can efficiently find the optimal position. For convenience of expression, we denote Φ(a, b ) as the optimal value of c for the minimal maximum absolute error criterion, which can be readily used when a and b are given. 2.2.2. The general case We first present the algorithm of the sequential adjusting method ( SAM-absolute error ) in Table 1. The proof will be provided later. The detailed algorithm steps are presented as below: Table 1: The SAM for the minimal maximum absolute error Algorithm: SAM-absolute error Step 1: Initialization. Generate a uniform (or arbitrary) breakpoint set with the pre-given number of breakpoints N and variable range [ x, x ]. The set is bps = ( x1, x 2, ...x N ), where x1 = x, x N = x and xi < x i+1 .Step 2: Updating. Update xi in bps with Φ(xi−1, x i+1 ) for i ∈ (2 , 3, ..., N − 1) in sequence. A new set of breakpoints bps new is then obtained. Step 3: Convergence test. If abs (bps [i] − bps new [i]) ≤ tolerance for all i ∈{2, 3, ..., N − 1}, stop; otherwise, bps ← bps new and go to Step 2. The SAM-absolute error algorithm would return the optimal breakpoint set for the minimal maximum absolute error. To prove it, we present some lemmas first. Lemma 1. Fixing one endpoint of an interval, the maximal absolute error will increase if the interval length increases and decreases if the interval length decrease. The change is also continuous. Proof. In Fig.3a, we fix the left endpoint. The red dashed line represents the linear approximation function with endpoint ( a, f (a)) (simplified as a for clarity, which would be used elsewhere in the absence of ambiguity) and c1 (named as L(a, c 1)), while the blue dashed line represents the linear approximation function with endpoint a and c2 (named as L(a, c 2)). The blue line is to the left of (also below) the red line if c1 < c 2, given that f (x) is concave. It is clear that the absolute error of L(a, c 2) for all x ∈ (a, c 1] is large than that of L(a, c 1). Therefore, we can conclude that the first part of the lemma is proved for the case where the left endpoint is fixed. Moving c1 to c2 with δ (c2 = c1 + δ), the continuous changing assumption is equivalent to, lim δ→0 max x∈[a,c 2] f (x) − L(a, c 2) − max x∈[a,c 1] f (x) − L(a, c 1) = 0 (4) 3We prove equation (4) by proving that for ∀x ∈ [a, c 1], the limitation of the difference between f (x) − L(a, c 1) and f (x) − L(a, c 2) is 0, and that for ∀x ∈ [c1, c 2], the limitation of f (x) − L(a, c 2)is 0. For x ∈ [a, c 1], we have that f (x) − L(a, c 2) − f (x) − L(a, c 1) (5) =L(a, c 1) − L(a, c 2) (6) =( x − a)f (c1) − f (a) − f (c1 + δ) − f (a)(c1 − a)( c1 + δ − a) (7) As lim δ→0{f (c1) − f (a) − f (c1 + δ) − f (a)} = 0 and lim δ→0(c1 − a)( c1 + δ − a) = (c1 − a)2, we have lim δ→0 f (x) − L(a, c 2) − f (x) − L(a, c 1) = 0. For x ∈ [c1, c 2], we have lim δ→0 {f (x) − L(a, c 2)} (8) = lim δ→0 {f (x) − f (c1 + δ) − f (a) c1 + δ − a (x − c1 − δ) − f (c1 + δ)} (9) = lim δ→0 {f (x) − f (c1) − f (a) c1 − a (x − c1) − f (c1)} (10) =0 (11) Summarize the above discussion, equation (4) is proved and the maximal absolute error change is continuous when the left endpoint is fixed. The same proof can be conducted when the right endpoint is fixed as shown in Fig.3b. For brevity, it will not be elaborated further. This completed the proof. (a) Fixing the left endpoint (b) Fixing the right endpoint Figure 3: Fixing one endpoint of an interval Lemma 2. Given three points a < c < b (as shown in Fig.1), where c is originally not optimal, let E1 and E2 denote the maximal absolute error for the intervals [a, c ] and [c, b ], respectively. For the optimal point co = Φ(a, b ), denote the interval maximum absolute errors as Eo 1 and Eo 2 . It follows that min (E1, E 2) < E o 1 = Eo 2 < max (E1, E 2).Proof. We first show that at the optimal point co = Φ(a, b ), Eo 1 ≜ Eo 2 holds. If at c = Φ(a, b ), Eo 1 = Eo 2 does not hold, say Eo 1 < E o 2 . We can move c a enought small distance δ from co to the 4right, causing E1 to increase, E2 to decrease, and Eo 1 < E 1 < E 2 < E o 2 (by Lemma 1). Consequently, max (E1, E 2) would decrease, which contradicts the assumption that Φ(a, b ) is optimal. Therefore, Eo 1 = Eo 2 holds at the optimal point. Since Φ(a, b ) is optimal and the original c is not optimal, if c > Φ (a, b ), then we have E1 > E o 1 and E2 < E o 1 according to Lemma 1. Similarly, if c < Φ (a, b ), then we have E1 < E o 1 and E2 > E o 1 .Thus, min (E1, E 2) < E o 1 = Eo 2 < max (E1, E 2) follows. This completes the proof. Theorem 1. If bps = ( x1, x 2, ...x N ) is the optimal breakpoints to minimize the maximum absolute error, the maximum absolute error for each interval is equal. Proof. Define Ei as the maximal absolute error for the interval [ xi, x i+1 ], and Emax as the maximal absolute error for [ x1, x N ]. Then Emax = max {Ei}, ∀i ∈ { 1, 2, ...N − 1}.We prove the theorem by contradiction. Assume that at the optimum, the breakpoints are (x1, x 2, ...x N ), and not all Ei are equal to Emax . We show that by employing the SAM-absolute error algorithm, max {Ei} would be reduced. As not all Ei are equal to Emax , the first element (indexed as n) that makes En = Emax must lie in one of the following cases: case 1 is n > 1; case 2 is n = 1. We discuss the two cases separately. Case 1: n > 1. With SAM-absolute error algorithm, we update xi in ( x1, x 2, ...x N ) with Φ(xi−1, x i+1 ) for i ∈ (2 , 3, ..., N − 1) in sequence. Since Ei < E max (for i < n ) before updating, and according to Lemma 2, the updated Ei (for i < n ) will still be smaller than Emax . As En−1 < E max and En = Emax before updating xn, then after updating, En−1 = En < E max will hold based on Lemma 2. The updating process of xn tells us that if Ei−1 < E max , after updating, Ei−1 and Ei would always be smaller than Emax . Repeat this process, all the Ei (for i > n ) would be smaller than Emax . Summarize the above discuss, the max {Ei} would be reduced following the SAM-absolute error algorithm if n > 1. Case 2: n = 1. n = 1 means the maximal absolute error of the first interval is Emax . Assume the maximal absolute errors of the first k intervals all equal Emax , where k could be 1 , 2, ..., N − 2 ( k can not be N − 1 since we have assumed that not all Ei are equal to Emax ). [Inner procedure ]: With SAM-absolute error algorithm, when updating the first k − 1intervals, xi does not change because they all have an error of Emax . When it comes to xn+k−1 (the last successive interval that has an error of Emax ), since En+k−1 = Emax and En+k < E max , we get En+k−1 = En+k < E max after updating. The subsequent update falls into Case 1, and the remaining Ei will be smaller than Emax after updating. If k = 1, we have reduced max {Ei} with the [ Inner procedure ]. Otherwise if k > 1, we have reduced k by 1 with [ Inner procedure ]. Repeat the [ Inner procedure ] k − 1 times, it would fall into the case of k = 1. Summarize the above discussion, we have shown that by employing the SAM-absolute error algorithm, Emax can be reduced if not all Ei are equal to Emax . At optimality, the maximum absolute error for each interval must be equal. This finishes the proof. Theorem 2. If all the interval maximum absolute errors are equal for a solution, xi = Φ(xi−1, x i+1 ) would satisfied for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}, and vice verse. Proof. We prove the statement that if all the interval maximum absolute errors are equal for a solution, xi = Φ(xi−1, x i+1 ) would satisfied for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1} by contradiction. If xi = Φ(xi−1, x i+1 ) is not satisfied for some i, from Lemma 4 we get min {Ei−1, E i} <max {Ei−1, E i}, which implies Ei−1̸ = Ei. This proves the first statement. For the statement from the opposite direction, if xi = Φ(xi−1, x i+1 ) were satisfied for all i ∈{2, 3, ..., N − 1}, also from Lemma 4 we get Eoi−1 = Eoi . Then all the interval maximum absolute errors are equal. This completes the proof. 5Now we prove the uniqueness and optimality of the solution whose interval maximum absolute errors are all equal. Theorem 3. The solution in which all the interval maximum absolute errors are equal is both unique and optimal. Proof. Assume ( x1, x 2, ..., x N −1, x N ) is a solution in which all the interval maximum absolute errors are equal, with x1 and xN are fixed endpoints. If it is not unique, there must exist another solution (x1, y 2, ..., y N −1, x N ), and exist at least one element xi̸ = yi for i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}. Let us assume the index of the first different element is n.Case 1: n > 2. In this case, since x2 = y2, then we have Ex 1 = Ey 1 and it follows that Exmax is equal to Eymax according to Theorem 1. To ensure Ex 2 = Ey 2 , x3 must be equal to y3 ( by Lemma 1), and this process continues and xi = yi stands for all i. Consequently, the situation n > 2 does not occur. Case 2: n = 2. In this case x2̸ = y2. Without loss of generality, assume x2 < y 2. Then we have Ex 1 < E y 1 (Lemma 1) and it follows that Exmax < E ymax (Theorem 1). To ensure Ex 2 < E y 2 , x3 must be smaller than y3. Otherwise, the interval [ y2, y 3] would be a proper subset of [ x2, x 3], and in this situation Ex 2 cannot be smaller than Ey 2 according to Lemma 1. Continuing this process, we get xN −1 < y N −1. However, this would lead to the final interval [ yN −1, x N ] being a proper subset of [xN −1, x N ], implying ExN −1 > E yN −1 (Lemma 1), which contradicts Exmax < E ymax . Consequently, the case n = 2 does not occur. Summarize the discussion, a second solution that makes all the interval maximum absolute errors equal does not exist, and the uniqueness is therefore proved. As demonstrated by Theorem 1, the optimal solution must ensure that all its interval maximum absolute errors are equal. In the preceding discussion, we proved that the solution satisfying this condition is unique. Therefore, a solution in which all the interval maximum absolute errors are equal must optimal. This finishes the proof. Theorem 1 has proved that at the optimum, all the maximum absolute error for each interval is equal. Theorem 3 shows that a solution in which all the interval maximum absolute errors are equal is unique and optimal. Then once we get a solution that all the interval maximum absolute errors are equal, it must be optimal. The proof of Theorem 1 also demonstrates that the SAM-absolute error algorithm can continually reduce Emax if optimality (all Ei are equal) has not been reached. Since Emax must be a positive value, it follows that as the iteration number approaches infinity, the algorithm will eventually find the optimal solution. 2.3. Optimal breakpoints selection for minimal area difference error This section discusses the optimal breakpoint selection method with the aim of minimizing the area difference error. In this section, we further assume that f (x) is strictly concave. 2.3.1. Three breakpoints case The case with three breakpoints under the minimal area difference error criterion is the scenario, where the positions of the two endpoints are fixed and the position of the interior point needs to be determined as shown in Fig.2. In this case, a and b are known values and our task is to determined the value of c.Denote Θ(a, b ) as the optimal value of c under the minimal area difference error criterion. Lemma 3 proves the uniqueness of Θ(a, b ). For the general functions,one can employ some numerical methods to find Θ(a, b ). For a differentiable function, the unique optimal position should satisfy f (c)′ = f (b)−f (a) b−a , and one can find c by methods such as bisection search. For some special functions, there are analytical solutions. The optimal position for the logarithmic function is c = b−af (b)−f (a) .For convenience of expression, we assume that Θ(a, b ) can be readily used when a and b are given. 6Lemma 3. Given three points a < c < b (as shown in Fig.2, the value of Θ(a, b ) is unique if f (x) is strictly concave. Proof. As minimizing the area of the gray zone is equivalent to maximizing the area of the triangle ABC , since the total area between the original function and the linear function is fixed. To maximize the area of the triangle ABC , we consider a function g(x) = f (x) − L(a, b ), x ∈ [a, b ], where L(a, b )is the linear function across ( a, f (a)) and ( b, f (b)). The area of ABC equals g(x)·\| AB \| 2 . As g(x) is a strict concave function if f (x) is strictly concave, its maximum value is unique. Consequently, the value of Θ(a, b ) is unique. Lemma 4. For intervals [a, c 1] and [a, c 2], if c1 < c 2, then Θ(a, c 1) ≤ Θ(a, c 2); for intervals [a1, c ] and [a2, c ], if a1 < a 2, then Θ(a1, c ) ≤ Θ(a2, c ).Proof. We first prove that if c1 < c 2, then Θ(a, c 1) ≤ Θ(a, c 2). As shown in Fig.4, assume l1 and l2 are the distances from the optimal position Θ(a, c 1) to the two linear functions L(a, c 1) and L(a, c 2), respectively. For any x < Θ (a, c 1), let l3 and l4 be the distances to the two linear functions. We know l1 is parallel to l2, and l3 is parallel to l4. Since l3 < l 1 (by Lemma 3), it follows that l4 < l 2.The distance between Θ(a, c 2) and L(a, c 2) (which defined as the largest distance) cannot be smaller than l2. Therefore, if x < Θ (a, c 1), x cannot be Θ(a, c 2), which implies Θ(a, c 1) ≤ Θ(a, c 2). The case where a1 < a 2 and Θ(a1, c ) ≤ Θ(a2, c ) can be proved using the same method. This completes the proof. Figure 4: Fixing the left endpoint 2.3.2. The general case We present the algorithm of the sequential adjusting method ( SAM-area error ) for minimal area difference error in Table 2. The proof will be provided later. The detailed algorithm steps are presented as below: The SAM-area error algorithm would return an optimal breakpoint set for the minimal area difference error. Theorem 4. If bps = ( x1, x 2, ...x N ) is the optimal breakpoints to minimize the area difference error, xi = Θ(xi−1, x i+1 ) must be satisfied for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}. 7Table 2: The SAM for the minimal area difference error Algorithm: SAM-area error Step 1: Initialization. Generate a uniform (or arbitrary) breakpoint set with the pre-given number of breakpoints N and variable range [ x, x ]. The set is bps = ( x1, x 2, ...x N ), where x1 = x, x N = x and xi < x i+1 .Step 2: Updating. Update xi in bps with Θ(xi−1, x i+1 ) for i ∈ (2 , 3, ..., N − 1) in sequence. A new set of breakpoints bps new is then obtained. Step 3: Convergence test. If abs (bps [i] − bps new [i]) ≤ tolerance for all i ∈{2, 3, ..., N − 1}, stop; otherwise, bps ← bps new and go to Step 2. Proof. Assume ( x1, x 2, ..., x N −1, x N ) is a optimal solution, where x1, x N are fixed endpoints. If xi̸ = Θ(xi−1, x i+1 ) for some i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}. Then by moving xi to Θ(xi−1, x i+1 ), the total area difference would be reduced. Therefore, xi = Θ(xi−1, x i+1 ) must be satisfied for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}. This completes the proof. Theorem 5. The breakpoints (x1, x 2, ..., x N −1, x N ) that satisfying xi = Φ(xi−1, x i+1 ) for all i ∈{2, 3, ..., N − 1} is unique and optimal. Proof. Assume ( x1, x 2, ..., x N −1, x N ) satisfies xi = Θ(xi−1, x i+1 ) for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1} , where x1, x N are fixed endpoints. If such breakpoints is not unique, there must exist another solution (x1, y 2, ..., y N −1, x N ), and exist at least one element xi̸ = yi for i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}. Let the index of the first different element is n.Without loss of generality, assume xn < y n. According to Lemma 3 and Lemma 4, xn+1 cannot be equal to or larger than yn+1 Therefore we have xn+1 < y n+1 . This process continues, leading to xN < y N , where xN and yN are endpoints and should be equal. Therefore, a second solution does not exist, and the uniqueness is proved. As demonstrated by Theorem 4, the optimal solution must satisfy that xi = Θ(xi−1, x i+1 ) holds for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1}. The above discussion has proved such solution is unique. Therefore, the solution that ensures xi = Φ(xi−1, x i+1 ) for all i ∈ { 2, 3, ..., N − 1} must be optimal. This completes the proof. Theorem 4 and Theorem 5 have proved that, at optimality, xi = Θ(xi−1, x i+1 ) for all i and the optimal solution is unique. The SAM-area error algorithm would always reduce the area difference error by updating xi ← Θ(xi−1, x i+1 ) when they are not equal. Since the area difference error must be a positive value, it follows that as the iteration number approaches infinity, the SAM-area error algorithm will eventually reach the optimal solution. Numerical experiments In this section, we test the two algorithms: SAM-absolute error and SAM-area error on the logarithmic function and show the convergency. The given feasible range is [0 .1, 10] and the desired number of breakpoints is 5. The tolerance for convergency checking is 10 −8. We would generate a uniform breakpoints set as the initial set, and then employ the two algorithms to find the optimal solution. For the logarithmic function with an interval [ a, b ], the optimal location to place the interior point is Φ(a, b ) = √ab under the minimal maximum absolute error criterion, and Θ(a, b ) = b−aln (b)−ln (a) under the minimal area difference error criterion. We would employ the two algorithms and calculate both the maximal absolute error and area difference error for comparison, even though one is not the optimization objective for each case. 8Fig.5 displays the convergence process of the maximum absolute error for the two algorithms. In the figure, the black line represents the results of SAM-absolute error algorithm, which consistently decreases before converging and is smaller than that of the SAM-area error algorithm after convergence. -5 0510 15 20 25 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Maximum absolute error Iteration number SAM-absolute error SAM-area error Figure 5: Maximum absolute error Fig.6 shows the convergence of area error. In the figure, the red line represents the results of SAM-area error algorithm, which consistently decreases before converging and is smaller than that of the SAM-absolute error algorithm after convergence. It can be found that with the SAM-absolute error algorithm, the area error could increase in the iteration process, since it is the optimization objective of this algorithm. -5 0510 15 20 25 30 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 Area error Iteration number SAM-absolute error SAM-area error Figure 6: Area error Combining the results in Fig.5 and Fig.6, the SAM-absolute error algorithm achieves a better maximum absolute error solution, while the SAM-area error algorithm provides a superior area error solution. These two objectives generally conflict with each other. Fig.7 presents the approximation errors (calculated by ln (x)−Li) for the SAM-absolute error algorithm with different breakpoint sets: the black line represents the initial uniform breakpoints, 9the red line indicates the breakpoints after three iterations, and the blue line is the optimal break-points. It can be seen that the maximum absolute error is significantly reduced from 1 .16 to 0 .25 after only three iterations, and it is close to the optimal value 0 .16. At optimality, all the maximum absolute error for different intervals are equal, which consists with Theorem 1. 0246810 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Absolute error x Initial set 3 iterations Optimal set 0.1627 Figure 7: Approximate error of SAM-absolute error algorithm Fig.8 illustrates the approximation errors for the SAM-area error algorithm with different breakpoint sets, where the black line denotes the initial uniform breakpoints, the red line represents the breakpoints after three iterations, and the blue line is the optimal breakpoints. Comparing with the optimal solution of SAM-absolute error algorithm in Fig.7, the maximum absolute error for different intervals are generally not equal. 0246810 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Absolute error x Initial set 3 iterations Optimal set Figure 8: Approximate error of SAM-area error algorithm To demonstrate the efficiency of the algorithms, we evaluate algorithms with different number of breakpoints, ranging from 5 to 100, and the resulting running time is displayed in Table 3. Only the running time results of the SAM-absolute error algorithm are presented, since the results of SAM-area error are quite close. The results indicate that the running time is very short. Given the nature that only a limited number of breakpoints would be adopted in piecewise linearization methods, this SAM approach can be employed without concern. 10 Table 3: Running time for different breakpoint number N 5 10 20 50 100 time( s) 5.16 × 10 −4 4.48 × 10 −3 3.28 × 10 −2 0.49 3.63 Conclusions This paper proposes SAM methods for breakpoint selection in piecewise linear approximation. The optimality, uniqueness and convergence of the methods are proved. Numerical experiments demonstrate that the algorithm is of high efficiency, and optimal results can be achieved with a limited number of iterations. Although SAM is proved of optimality only for convex functions and concave functions, it could also be applied on non-convex or non-concave functions since they could also get a good solution in experience. Acknowledgments This paper is supported by the Singapore MOE AcRF Tier 1 project MOE2021-T1-002-062. 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8076	https://extapps.dec.ny.gov/docs/administration_pdf/lpvertebrates.pdf	The Five Classes of Vertebrates Grade Level: grades 4 through 8 Duration: 45 minutes Overview: A program introduces students to some of the major differences between fish, amphibians, reptiles, birds and mammals. Students will understand the differences between vertebrates and invertebrates, and how humans fit into the environment. Students will better understand the process of classification, and the organization of living things. Goal: Students will learn about animals from different taxonomic classes and discuss how common adaptations enable them to thrive. This program benefits from the inclusion of live animals in the presentation, in addition to animal artifacts. (See “Materials” for suggestions.) Key Themes:  All animals are to be respected and appreciated, no matter their appearance  Animals have special traits which make them capable of surviving in their habitat  Some animals are acceptable as pets, but wild animals should remain wild  Animals come in all shapes and sizes, for different reasons  People group animals into sets based on the characteristics that the animals share with one another, and differences between them NYSDEC Environmental Education NYS Elementary & Intermediate Level Science Core Curriculum Standard 1: Scientific Inquiry Key Idea 1: The central purpose of scientific inquiry is to develop explanations of natural phenomena in a continuing, creative process. Standard 4: The Living Environment Key Idea 1: Living things are both similar to and different from each other and from nonliving things. Key Idea 4: The continuity of life is sustained through reproduction and development. Key Idea 5: Organisms maintain a dynamic equilibrium that sustains life. Key Idea 6: Plants and animals depend on each other and their physical environment. The Living Environment: Key Idea 6: Plants and animals depend on each other and their physical environment. Key Idea 7: Human decisions and activities have had a profound impact on the physical and living environment. Vocabulary: adaptation, backbone, characteristics, classification, genus, invertebrate, species, taxonomy, vertebrate Materials: Suggested live animals: Madagascar hissing cockroaches, snake, turtle, toad, rabbit Suggested animal artifacts: turtle shell, snake skin, feathers, mammal fur, fish taxidermy mounts, insect display mounts Background: To live in such a diverse world, we have to make sense of it. Taxonomy is the science of grouping similar things together. We group animals into different categories to help organize our ecosystems. Animals are often grouped together by common characteristics. The more characteristics they share, the more closely related they are. For example, a crab, a cow and a buffalo are all animals, but a cow and a buffalo are more closely related. There are many more differences between crabs and cows. The level of differentiation we are going to examine in this program is the broad taxonomic classification “class.” The phylum chordata (animals with backbones) is divided into five common classes: fish, amphibians, reptiles, mammals and birds. Show examples of these groups and explain the characteristics that make one different from another. Activity: What is a vertebrate? All vertebrate animals, including humans, have a backbone and an internal skeleton. Our skeleton helps to give us our shape, helps us move, and protects soft body parts. While skeleton shape and structure vary greatly from animal to animal, all vertebrates have a skeleton. Invertebrates do not have vertebrae in them. Some, like lobsters or dragonflies, have an exoskeleton, a hard covering that functions similarly to the skeleton of a vertebrate. Some are shelled, like snails and oysters. Others are soft, like jellyfish, octopus and slugs. There are many more invertebrates than vertebrates, both by number of species and number of individuals. Share several examples of invertebrates. One of the simplest and easiest ways of determining what class of vertebrate an animal belongs to is by looking at what covers their body. There are exceptions to much of this, but as a generalization, this will help to organize the vertebrate groups.  Fish = scales  Amphibians = smooth or bumpy skin  Reptiles = scales  Birds = feathers  Mammals = fur and hair Some of the other differences between the groups includes homeostasis (warm vs. cold-blooded), numbers of chambers in the heart, reproduction, brain functions, mobility and sensory organs. Show the students examples or pictures of each of the groups of animals. Key questions for the students to answer:  What kind of vertebrate is this? (bird, fish, mammal, amphibian, reptile)  What covers this animals’ body?  Based on its appearance, what other animals are related to this one?  What adaptations do you think this animal has to survive in its environment?  If this animal had babies how would they care for it?  If this animal was your responsibility, how would you care for it? Extension: There are several ways of memorizing the classification of organisms. Carl Linnaeus created a taxonomic system in the 18th Century that is still in use today. Every animal has a Latin name (or scientific name) that is unique, and independent of local common names and local languages. The following are the layers of the Linnaean taxonomic chain. Kingdom, Phylum, Class, Order, Family, Genus, and Species. A mnemonic is useful in remembering the order, such as King Phillip Came Over From Germany Swiftly, or Keep Plates Clean Or Family Gets Sick. The following is the taxonomic breakdown of a few familiar animals: Common Name Dog Human Blue Jay Great White Shark Kingdom Animalia Animalia Animalia Animalia Phylum Chordata Chordata Chordata Chordata Class Mammalia Mammalia Aves Osteichthyes Order Carnivora Primata Passeriformes Carcharhiniformes Family Canidae Hominidae Corvidae Lamnidae Genus Canis Homo Cyanocitta Carcharadon Species familiaris sapiens cristata carcharias
8077	https://euacademic.org/UploadArticle/221.pdf	3020 ISSN 2286-4822 www.euacademic.org EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH Vol. I, Issue 10/ January 2014 Impact Factor: 0.485 (GIF) DRJI Value: 5.9 (B+) Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm ASIA MAHDI NASER ALZUBAIDI Computer Science Department, College of Science Karbala University Karbala, Iraq MAIS SAAD AL-SAOUD Computer Science Department, College of Science Karbala University Karbala, Iraq Abstract: This paper provides an overview of the Gilbert, Johnson and Keerthi algorithm (GJK) for measuring the minimum distance from one convex object to another in linear time complexity. Also, GJK regards as an effective and reliable method for obtaining the couple of closest points between the shapes. Measuring the shortest distance is ubiquitous in diverse set of applications such as robotics, computer graphics, real-time animation, virtual environment Simulation and Collision Detection. In this paper we put forward a GJK technique in order to solve the minimum distance problem between geometric bodies. One of the more powerful features of GJK is that it can only work on convex shapes, so we initially generate the two sets of 2D points and then apply Andrew’s Monotone Chain algorithm to obtain the convex boundary of the two shapes. Finally we use GJK algorithm to determine the shortest distance. Actually, instead of iteratively finding of the closest distance between the features of two convex shapes, GJK algorithm uses a specific mathematical concept called the Minkowski Sum/Difference and then building the simplex polygon inside it by using support mapping function and finding the closest difference between their Minkowski Difference and the origin point in 2D space. In order to increase the robustness of GJK algorithm we Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3021 modify the terminating conditions of it. The experimental results shows that the time execution of GJK algorithm is fixed and independent of the geometric difficulty of the convex objects. Key words: GJK distance algorithm, Closest features, Simplex, Convex hull algorithms, Support function and farthest point, Minkowski Difference. 1. Introduction Many of algorithms for calculating the Euclidean distance between objects in m-dimension have been developed and adopted for use in many areas such as Virtual Reality systems, robot motion planning and physical simulators. In particular calculating the minimum Euclidean distance between geometric shapes has received much attention to avoid the bottlenecks and also because it serves as a fundamental construct in many collision detection packages with convex bodies (Senin et al. 2003). In this paper we give an insight for distance computations based on GJK distance algorithm in linear time complexity, dependent on the number of vertices for each object. Moreover, it is not constrained to a specific number of dimensions and therefore can be used in any m-dimensional space (Lindemann 2009). Although the GJK algorithm is difficult to grasp at first, it is the popular and most famous algorithm in computing the shortest distance between sets of convex objects. The main idea of algorithm is to iteratively search about the closest point in the subset of generated simplex inside the Minkowski Difference to the origin point (0,0) and eliminate the nonessential vertices to determine the nearest so the shortest distance is the magnitude of the nearest point (Wang et al. 2012). The GJK algorithm constructs simplex by reoccurrence of support mapping function which is the inner products of a specific direction vector with all points of convex shape and searching for the largest output to determine the Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3022 farthest point. Then, the support function is the difference between the farthest point for each object. Finally, add it to simplex vertices if it the nearest point on line segment to origin point in that direction (Liu et al. 2001). This introduction gave a brief outline over the GJK algorithm and the rest of this paper is arranged as following: After a discussion of related backgrounds and provides some information about the algorithm’s history in Section 2, Section 3 discusses the Andrew’s Monotone Chain convex hull algorithm. While in section 4 we review the basic mathematical background and knowledge that needed to deeply grasp the functionality of GJK for our research, which involves the demanding method of computing the support mapping function of set of points and the formulation of the closest distance problem with explaining of how it can be resolved by calculating the closest point on line segment function. The actual GJK algorithm will be presented in Section 5. Section 6 gives the experimental results of GJK algorithm with test examples and section 7 provides the paper’s conclusions. 2. Related Work The shortest Distance between pair of body problem has been widely studied in the previous works of computational geometry, robotics and computer graphics. Various techniques and popular algorithms have been proposed and implemented with the purpose of speeding up the computing distance between convex bodies. Actually the origin of GJK algorithm was described by E.G. Gilbert, D.W. Johnson and S.S. Keerthi in 1988 restricted to computer the distance between pair of convex polyhedral objects without any enhancement and preprocessing, it takes linear time depending on the number of polyhedral shape vertices and the support function that used to describe it (Gilbert et al. 1988). Both E.G. Gilbert and C.-P. Foo In 1990 introduced an enhancement of original GJK algorithm Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3023 to manipulate all types of geometric convex shapes (Gilbert and Foo 1990), while, in 2001 some researchers introduced paper involving an algorithm to determine the shortest Euclidean distance made by GJK between convex polyhedral object represented by the convex hull of its points in 2D and 3D space. They found that the algorithmic improvement in distance computation algorithm giving simple and proficient algorithm for depicting out the information of where the closest point on a convex polyhedron object to a origin point is (Liu et al. 2001). In 2009, P. Lindemann published a paper that gives an overview of the enhanced GJK method for finding the Euclidian distance between two convex sets and used Voronoi regions for differencing whither the closest point to origin is edge or vertex in convex shape and concluded that the GJK algorithm adapted to solve the actual problem and parts of it replaced by more suitable procedures to improve time complexities near to constant time (Lindemann 2009). 3. Convex Hull Via Andrew’s Monotone Chain Algorithm Constructing a convex hull is one of the first important geometry algorithms. There are various computing convex algorithms and the most common form of this geometric algorithms involves determining the convex hull of set of m-dimension points in plane using bounding boxes techniques (Sacristan 2012). Mathematically, set S of points P ∈ Rm is named convex and bounded if for any pair of vertices a and b such a,b ∈ P then, ab line segment lies entirely in S, as shown in figure (1). In R2 convex hull for both Graham scan and Andrew's Monotone Chain scan have similar in idea and to implement them we need to use stack structure. But in practice, Andrew's algorithm will execute slightly faster (GeomAlgorithms 2012). Andrew's Monotone Chain convex hull algorithm is an algorithm which creates convex hull of a set of 2D points in O (nlogn) time duo to the needing of firstly sort the Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3024 points lexicographically by their x-coordinate and then constructing upper hull from its rightmost point p2 to the leftmost point p1 in counter clockwise order and create the lower hulls of the points from leftmost point to rightmost point in the same orientation with O(n) time(Sacristan 2012). As depicted in figure (2). To build the upper and lower convex hull we need to iteratively test wither the points according to p1p2 line is above, on or under it by fast accurate computation of cross Direction routine Cross_Direction algorithm (GeomAlgorithms 2012). Input: three points P0, P1, and P2 . Output: value > 0 for P2 above of the line through P0 and P1 = 0 for P2 on the line through P0 and P1 < 0 for P2 under of the line through P0 and P1 begin step1: step2: return value finish figure(3) show set of 2D points. P8, P10 are the leftmost and rightmost points respectively. P1, P3 for upper hull. P9, P7 for lower hull. Figure(1) Convex and Non Convex hull Figure(2) Andrews Monotone Chain Algorithm Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3025 Andrews Monotone Chain Algorithm(Sacristan 2012),(GeomAlgorithms 2012)(PAVZAV 2010). Input: set of n points. Output: set H = the output convex hull of set P, k number of output convex points in set H. Begin Step1: Sort points set P based on their X coordinate in counter-clockwise order, make P as the sorted array of N points. Step2: Let P1 is leftmost point, P2 is the rightmost point, k=3. Step3: Add both points p1,p2 to output array of convex points H as H=p1, H=p2. Step4: Divides the set of points into upper and lower hull based on the line p1p2. Step5: Build upper hull as follow  for I = 1 to n-1  begin  while (k >= 3) and (cross_Direction (H[k-2], H[k-1], p[ I ])<= 0) do  k = k - 1  H[ k ] = P[ I ]  k= k + 1  End Step6: Build lower hull as follow: Figure (3) set of points and their convex hull Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3026  t= k + 1  for I:=n-2 down to 1 do  begin  while (k >= t )and( cross_Direction(H[k-2], H[k-1], P[ I ]) <= 0) do  k =k - 1  H[k] = P [ I ]  k = k + 1  End Step7: return H and k. Finish 4. Mathematical Preliminaries Now we review the mathematical background that is vital to understand the functionality of GJK algorithm, such as simplex, support function and farthest point, closest points on line segment and Minkowski difference. 4.1. Minkowski Difference of Two Polygons GJK algorithm uses the fact that the Euclidian distance between two convex polygons is the shortest distance between their Minkowski Difference and the origin. This function can be used in many applications, such as motion planning and computer-aided design and manufacturing. Computing the Minkowski routine of Two Polygons is by taking the Minkowski sum of object and the mirror of another object. So, the second shape gets flipped about the origin and all of its points are negated (CGAL 2013) (Bernabeu et al. 2013), as illustrated in equation(1). Actually computing Minkowski operation is not very practical as the number of points needed is \|X\|\|Y\| = O(n^2) if we Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3027 assume that the number of vertices in both shapes = n become large. Therefore, instead of computing the Minkowski difference set points we will construct it implicitly through using a support mapping function to build a polygon inside the Minkowski Difference, called the simplex . Then we compute the distance between simplex and origin point (Twisted Oak Studios 2012). Figure (4) shows two polygons and their Minkowski difference. 4.2. Simplex In geometry, a simplex can be defined as the convex polygon of a set of (m+1) vertices in some Euclidean space of dimension m or higher. So a simplex is a generalization of shape such as line, triangle, tetrahedron to arbitrary dimensions. In mathematics, a simplex is denoted as the smallest convex set containing the given vertices. For example, A single vertex may be considered a 0-simplex, and a line segment may be considered as a 1-simplex, a 2-simplex is a triangle and a 3-simplex is a tetrahedron (Lindemann 2009), as shown in figure(5). Figure(4) Minkowski difference between 2D polygons Figure(5) Simplex types Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3028 In our paper, GJK algorithm for calculating the shortest space between a pair of 2D convex polygon uses a 1-simplex and 2-simplex respectively and must be the closest to origin point (Wikipedia 2013). 4.3. Support Mapping Function The quickness of GJK algorithm results from the fact that it relies solely on support mappings to completely describing the geometrical shapes. Actually instead of explicitly computing the set of Minkowski difference we will construct it implicitly by using the support function SX,Y to reduce the running time of GJK algorithm (Wikipedia 2013). Clearly, the purpose of support function for different types of convex shapes is to build a simplex polygon inside Minkowski differences and this can be done by choosing the farthest point according to direction vector D of shape as indicated in equation(2) and figure(6). Then flip or reflect the direction vector -D to find the extreme point for second shape in that direction. The support point results from subtraction of the two farthest points of shapes as in equation (3) use to terminate the algorithm or to find new direction vector (Lindemann 2009), (Jovanoski 2008), (Olvång 2010). Figure(6) farthest point on convex hull Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3029 4.4. Closest Point on Line Segment GJK distance algorithm finds out the Euclidian distance between the pair of convex objects which can be calculated by finding the closest vertex on the simplex polygon to the origin point. Simplex for 2D space could be either a single point C or line segment AB. The problem in this section is to determine the point C on AB closest to origin then the distance is the magnitude of the closest point (Onderik 2013). Actually, the basic approach for determining such a vertex is that a closest point can only be a vertex of the target polygon, or the projecting of origin point onto the extended line through AB. Check if the projection point C lies within the line (Diego 2010). Then, C is the correct answer. Obviously, any point lies within line AB can be expressed using parametric equation as in (6). and by using the important properties of the dot product operation. Then, t resultant to the projection of origin point onto the line AB as in equation (7). Where t value must in interval [0..1] and n is the unit vector in the direction of line AB calculated using equation(8). Figure (7) show the closest point C on the line AB to the origin point (Catto 2011). Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3030 Closest Point on Line Segment Algorithm Input: The start point( A.x , A.y) and end point (B.x , B.y) of line segment. Output: Closest point C on line AB segment Begin Step1: Create AB line segment and A0 line using equation (4)and (5) respectively. Step2: Project A0 on to line AB. Step3: Compute squared of length \|\| AB\|\| by then apply equation (8). To obtain the unit vector. Step4: Compute distance t along AB line using equation (7). Step5: Calculate the closest point C using equation (6) Step6: Return C. Finish 5. Overview of GJK Distance Algorithm The enhanced Gilbert-Johnson-Keerthi distance algorithm provides an iterative method to determine the Euclidian distance between two convex sets X and Y presented by Stephen Cameron in 1997 then, it cited dramatic improvement especially with high dimensional convex hull such as it approached the problem in geometrical rather than algebraic method. This make GJK algorithm more simple and robust in implementation. Basically, GJK algorithm uses the Minkowski difference and support mapping function to compute the Figure(7) Closest point on simplex Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3031 shortest distance of the origin point to the simplex shape with linear complexity by creating and iteratively updating the simplex inside the Minkowski difference. Actually in each iteration, GJK builds and checks a simplex within Minkowski difference vertices that lies nearer to the origin point than the simplex shape building in the previous iteration (Lindemann 2009). If the origin point locates outside the convex of Minkowski difference then the closest point will be on the boundary of it; otherwise, the closest point will be the origin point itself. The first termination condition for the iteration of GJK algorithm is to check wither the computed closest point is the origin then the algorithm finished with distance 0. This means that the two convex objects were collided, while the second termination condition is to check if the current closest point was founded in the previous iterations of the algorithm. Then, the algorithm is also terminated with 0 distance. The third termination condition is to check if the distance of a new obtaining Minkowski Difference point with current points is less some value called tolerance which assumes to be near of the zero value (Catto 2011). GJK Distance Algorithm (Code Zealot 2010) Input: Two convex hull objects X and Y. Output: Shortest directed distance from Y to X. Begin Step1: Initialization step which involved the following:  Set the simplex array S=Ø.  Set the number of simplex vertices k=0.  Set the direction of the vector D(1 , -1). Step2: Compute the support point using equation (3) and add it to simplex S[k++]. Step3: Flip the direction vector to –D to compute the second support point. Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3032 Step4: Compute the second Minkowski Difference point using support function and add it to simplex S[k++]. Step5: While (true) Step6: Begin Step7: Search of point C on the current simplex closest to the origin using the above closest point on line segment algorithm and check the first termination case if so, then return false. Step8: Obtain the new direction vector D as follow:  Flip or negate C.  Compute C magnitude using equation(9).  Normalized C by using equation(10)  Set D = C. Step9: Calculate the new Minkowski Difference point Z along a new direction D. Step10: Check the second termination case. Step11: Check if the new Minkowski Difference point far enough along D by using dot product operation with it. put the result in DZ. Step12: Check if the simplex point X far enough along D by using dot Product operation. Put the result in DX. Step13: Check the third termination case by DZ-DX<tolerance then return DZ as final distance value. Step14: discard one of simplex points X or Y and keep the closer point to origin. Step15: end for while loop. Finish Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3033 6. Experimental Results and Implementation of System Software In this section, more details can be found of system software implementation. We explain the results of software implementation with two examples of points. First example shows not collide point sets of two convex polygons, while second example shows the collision detection problem between them. The first step of system begins by generating two sets of randomly points on 2D space, each set elected to construct one of convex hull polygons. Actually any user of system could utilize the mouse move and mouse down operations to generate of 2D points. Figure (8) depicted the generation operation of two 2D points set and their intersected and not intersected polygons. After having the 2D points for each polygon we sort these points relatively to x-coordinate value and then, applying Andrew’s Monotone Chain algorithm to construct their convex hull. Basically, from our implementation of system we could see that the Monotone Chain algorithm could deal with any number of polygon points in the same effectiveness since it splits them into upper and lower hulls and then construct one convex hull in O(nlogn) time complexity. Finally, we apply GJK Figure(8.a) GUI of not collided points set Figure(8.b) GUI of collided points set Figure(8) the GUI of randomly generated points for two sets Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3034 algorithm to compute the minimum distance between these two convex polygons depending on the ability to build the simplex polygon in Minkowski differences and determine the closest point in the simplex to origin point. If there is collision detection problem then the closest point is origin point itself and GJK finished with zero distance as we could be see in figure (9). Figure (10) show the GUI of two collided and not collided convex hulls with their Minkowski difference and line segment point of simplex in blue colour of the convex of Minkowski difference. We could see that the line points might be points in the boundary or inside of Minkowski difference and this depends on the initial value of Direction vector. Figure(9.a) minimum Distance with about 47 pixel Figure(9.b)Collision Detection with Figure(9)The GUI of Shortest Distance between two convex hull Figure(10.a)not collided Minkowski Difference shapes Figure(10) Minkowski Difference and line segment simplex Figure(10.b) collided Minkowski Difference shapes Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3035 7. Conclusion In this paper Gilbert-Johnson-Keerthi’s procedure was presented to indicate of collision detection problem between two convex objects in 2D space and the closest point between line segment and origin point. Despite the age of GJK algorithm with about 20 years, the proposed algorithm is very convenient for calculating the shortest distance between shapes, because along with its simplicity it offers high enough speed with linear time complexity. Actually, the mathematical background makes this algorithm fast and versatile when applied to solve the problem. Also, it can handle many types of shapes wither in 2D or 3D space. Moreover, GKJ algorithm used in popular and widely applications such as real time collision detection routine, proximity queries and path planning. The algorithm was implemented in Delphi programming language and tested on a PC under Microsoft Windows operating system. BIBLIOGRAPHY: Bernabeu, E.J., A. Valera, J. Gomez-Moreno. 2013. "Distance Computation between Non-Holonomic Motions with Constant Accelerations." International Journal of Advanced Robotic Systems. Catto, E. 2011. "Computing Distance." 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Keerthi. 1988. “A fast procedure for computing the distance between complex objects in three-dimensional space.” IEEE Trans. Robot. Autom 4(2):193–203. Jovanoski, D. 2008. "The Gilbert – Johnson – Keerthi (GJK)Algorithm." available at se_arbeiten_07-08/KollisionserkennungGJK.pdf , Department of Computer Science University of Salzburg. Lindemann, P. 2009. "The Gilbert-Johnson-Keerthi Distance Algorithm." University of Munich, Germany, the Media Informatics Proseminar on Algorithms in Media Informatics. Liu, J.S., Yr. Chien, S.P. Shiang, W-C. Lee. 2001. "Geometric Interpretation and Comparisons of Enhancements of GJK Algorithm for Computing Euclidean Distance between Convex Polyhedra." Institute of Information Science 20 Academia Sinica Nankang, Taipei 115, Taiwan. Olvång, L. 2010. Real-time Collision Detection with Implicit Objects. Master Thesis, Institutional for information Asia Mahdi Naser Alzubaidi, Mais Saad Al-Saoud- Gilbert-Johnson-Keerthi Algorithm for Computing the Shortest Distance between Two 2D Convex Hull Polygons Based on Andrew’s Monotone Chain Hull Algorithm EUROPEAN ACADEMIC RESEARCH - Vol. I, Issue 10 / January 2014 3037 technology, Department of Information Technology. Uppsala University. Onderik, J. 2013. "Narrow phase Collision Detection." available at www.sccg.sk/~durikovic/classes/CGAnim/ca10_lesson06. pdf. PAVZAV. 2010. "Andrew's Monotone Chain Convex Hull Algorithm." accessed November 20, Sacristan, V. 2012. "CONVEX HULL IN 2D", available at www-ma2.upc.es/vera/wp-content/uploads/2012/10/CH-2D.pdf Senin, M., N. Kojekine, V. Savchenko, I. Hagiwara. 2003. "Particle-based Collision Detection." International conference on computer graphics The Eurographics Association, Granada, Spain. Wang, W., S. Gong, M. Chui, P. Li. 2012. 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From what I understood, Russel's paradox proves that we cannot have a set containing everything (real numbers, complex numbers, chickens, spoons), and that some collections of objects are simply not sets. Are there any simple, layman examples of collections of objects that are not sets? elementary-set-theory soft-question Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications edited Apr 30, 2016 at 14:17 Andrés E. Caicedo 81.9k 10 10 gold badges 232 232 silver badges 364 364 bronze badges asked Apr 30, 2016 at 6:31 OviOvi 24.9k 15 15 gold badges 96 96 silver badges 174 174 bronze badges 6 I think proper classes are an example (though there may be some set-theoretic subtleties I'm missing...)MathematicsStudent1122 –MathematicsStudent1122 2016-04-30 06:37:51 +00:00 Commented Apr 30, 2016 at 6:37 Actually, Cantor's proof shows that you can't have a set containing everything. Russel showed that {x∣x∉x} is not a set.Christopher Carl Heckman –Christopher Carl Heckman 2016-04-30 06:46:32 +00:00 Commented Apr 30, 2016 at 6:46 Set theory is a mathematical theory, and the objects of the universe of set theory are sets. When "layman objects" become abstract mathematical objects, then you can apply Russell's paradox to them. Until then, you can't. Not everything can be explained in layman terms, with layman examples. Sometimes you have to earn the knowledge and intuition by trudging through the math for a while. There is no way around it.Asaf Karagila –Asaf Karagila♦ 2016-04-30 06:59:08 +00:00 Commented Apr 30, 2016 at 6:59 Wikipedia's layman terms explanation using "abnormal sets". Cantor said that sets should be definite, and the collection of "normal sets" is not.Pedro Sánchez Terraf –Pedro Sánchez Terraf 2016-04-30 12:19:21 +00:00 Commented Apr 30, 2016 at 12:19 Collections of objects that are not sets don't seem to come up very much if at all in mainstream mathematics. Yes, I'm sure there are rarefied domains in which they may be indispensable, but you can probably do all of classical analysis without them.Dan Christensen –Dan Christensen 2016-04-30 21:34:20 +00:00 Commented Apr 30, 2016 at 21:34 \|Show 1 more comment 0 Sorted by: Reset to default You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions elementary-set-theory soft-question See similar questions with these tags. 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8079	https://www.down-syndrome.org/en-us/library/news-update/05/2/our-journey-hirschsprungs/	Our journey with Hirschsprungs Your Privacy on DSE sites We use cookies to provide essential functionality and to analyse how our sites are used. Learn MoreAccept \|Home Research Resources See and Learn Reading and Language Intervention (RLI) Training Courses Support us News All DSE Image 2: DSE Online logo #### DSE Online Visit our main web site for an overview of our research, information and support services. Image 3: RLI Online logo #### RLI Online Access the handbook, videos and resources that support implementing the Reading and Language Intervention for Children with Down Syndrome (RLI). Image 4: See and Learn Online logo #### See and Learn Online See and Learn offers evidence-based activities, guidance and support to help young children with Down syndrome improve their speech, language, reading and numeracy skills. 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Home Library News and Update Our journey with Hirschsprungs Our journey with Hirschsprungs Sue Wong How one family have coped with their son's intestinal disease, a condition which has left him incontinent for over ten years Download PDF Wong, S. (2006) Our journey with Hirschsprungs. Down Syndrome News and Update, 5(2), 65-68. doi:10.3104/practice.364 When our children are little we discuss every aspect of their lives; are they sleeping through the night, do they feed well, do they still wear nappies, how did you potty train yours? Every parent, or mother at least, takes pride in the child who sleeps though the night from two weeks old, or accepts the sympathy for the relentless broken nights. We secretly gloat at the poor parent who hasn't yet managed to get their three year old out of nappies while offering sympathy and useful hints that worked for our brilliant offspring. When you find yourself bringing up a child with a disability, things are different. How many parents still talk with pride about potty training a 5 year old? Who wants to hear about the constant round of washing smelly clothes and bed linen because nappies don't quite hold everything in like they used to? When the child gets to 11 years old and is still soiling even fewer want to know. In my own experience, the most isolating thing about raising my son has not been his learning disability, the hearing impairment or the poor speech development, all these things lend themselves to sympathy. The most isolating thing has been that he has a bowel condition that has led to a lifetime of soiling, no one wants to talk about that. It's a real conversation stopper! My youngest son has Down syndrome, he also has Hirschsprung's Disease, a condition that means he was born without the nerve endings in his colon that ensure everything keeps moving along as it should. It is a life threatening condition if not treated and is usually picked up in the first few days after birth. Treatment usually means surgical intervention and removal of the affected portion of the colon but the long-term consequences can lead to a lifetime of constipation or diarrhoea, susceptibility to bowel infections and to problems with soiling and faecal incontinence. I am going to break a taboo now and talk about life with a child for whom toilet training simply hasn't worked. I'm going to talk pooh! I have three children, Ben and Naomi, who came to me through the traditional route of conception, pregnancy and birth, and Tim who came into our lives at 15 months old through the less traditional route of foster care and adoption. Tim, or Ben-Ben as he was then known, arrived on our doorstep aged 15 months. He was a tiny round bundle of gummy smiles and cuteness. We'd been asked to foster him as it was felt he, out of all the children in the children's home where he was living at that time, would benefit the most from a family home, as he was 'medically fragile.' At this time we were living in a twelfth floor flat in a housing block in Causeway Bay, Hong Kong. Ben-Ben's first birthday Ben-Ben had been born with Hirschsprung's disease in addition to Down syndrome. He had had corrective surgery as a new born baby and was now waiting for the final stage of the corrective surgery - the reversal of his second colostomy - which, we were told, would take place in a couple of months time. We were told not to expect too much from him (apart from those gorgeous gummy smiles!) as he was, in the opinion of the professionals working with him, severely retarded and medically fragile. When he joined our family at 15 months old he couldn't sit unaided, crawl, hold objects in his hand, he made no sounds other than to cry or laugh and was, as we had been told, often ill. I had been asked to take Ben-Ben because I had a nursing background and in view of his medical problems and the colostomy, it was felt I had the necessary skills to deal with him. However, I learnt extremely quickly that changing the colostomy bag on a consenting adult is a vastly different, and far easier, procedure than changing the colostomy bag on a squirming, hungry, very unhappy and uncooperative infant! If his hands weren't roaming over his tummy and stoma (a stoma that had pooh producing qualities that Mount Vesuvius would be proud to own), then his legs and feet were in it. He was like the original human rubber baby, moving in every direction except the one I wanted! That first night it took me two hours with Ben-Ben screaming in one ear, my older children crying because they were also tired and hungry in the other ear, only to find the bag had leaked within a few hours, so that the whole process had to be started again. Round one to baby's stoma! Looking back at his colostomy days the one thing that really sticks with me is the smell. A pooh filled nappy is one thing, but the stink of a leaky colostomy bag is something else, it is indescribable to those who have never experienced it. The day after Ben-Ben arrived I went shopping to a well known children's toy shop chain and bought a baby gym and two toddler restraining straps. This proved to be a lifesaver at colostomy clean up times. It sounds like medieval torture now but it reduced the changing time from 2 hours to 15 minutes immediately and then gradually down to around 5 minutes. The gym was set up over Ben-Bens head to engage his attention, the toddler straps were attached to the top of the gym and then these were attached to Ben-Bens hands, thus reducing the movement of his hands. He was still free to play with the gym but couldn't reach his stoma. At the same time, I pinned his legs between my legs and got on with the job in hand. Round two to me! Some things that caught us out were not directly related to the Hirschsprung's, more a side product of the treatment he'd received. All the surgery he'd received and the frequent bowel infections meant he had an intolerance to lactose and so needed soya baby milk. He had only been weaned a few months when he arrived and was used to bland baby mush, but he demanded real food mush. So I obliged, but made the poor child ill as his system wasn't able to cope with the rapid change in diet. However, once recovered, he quickly adapted to real food and consumed vast quantities for one so small, a trend that has continued to this day. I had read that children with Down syndrome have a slower metabolism than typically developing children and that there was a real tendency for them to put on weight easily. However, it turns out that Ben-Ben's phenomenal appetite was as a result of an over active metabolism and so between that and regular exercise he has always remained a healthy weight for his height. His ability to consume vast quantities of food remains a talking point to this day! Another problem was gas. He couldn't burp without a lot of help and all that gas had to go somewhere! He suffered with dreadful colic way past infancy and could produce enough gas to power a small car. During the colostomy days, he would wake in the morning with what looked like an enormous tumour on his abdomen, the result of a colostomy bag full of gas and ready to burst (which periodically it did, not pretty!). Burping is a skill he has only recently acquired and is still not reliable. Gassy drinks have to be limited as does the speed with which he prefers to eat his food! It is only a recent development that we have not had to physically restrain him from eating too fast, these days a reminder will usually suffice. In my naivety, I thought that closing the colostomy would lead to more normal bowel habits. However, this was not to be the case. While the diseased bowel had been removed in the first operation as a baby, because of the nature of Hirschsprung's disease the rest of the large colon was also abnormal, while not actually having any of the diseased bowel left. However, I was not told this until much later. I eagerly looked forward to an end to the smelly bags and to having a sweet smelling baby. The reversal of the colostomy took place two months later than originally anticipated because Ben-Ben contracted pneumonia and then, almost as soon as he was released from hospital, he caught chickenpox from his sister. As a result of the chicken pox he spent another week in hospital with septicaemia. The colostomy closure finally took place in July 1995 when Ben-Ben was 20 months old. The surgery was successful and straight forward and Ben-Ben was discharged home early, ironically because of an outbreak of chicken pox on the ward! I remember a Chinese grandmother visiting her son in the bed opposite Ben-Ben's. Her grandson also had Down syndrome and for two days this lady just sat and watched us, not quite able to work out the relationship between Ben-Ben and myself. One day she came over to Ben's cot and sat stroking his hand and then quietly turned over his hand and on seeing the single crease in his palm got really excited 'yat yeung, yat yeung' (the same) she repeated several times, very pleased with herself to discover her suspicions had been right! After the surgery, I was warned to expect a week or two of frequently soiled nappies so I wasn't unduly concerned by the 14 or so nappies we went through in a average day. A month after his surgery the soiling became more frequent, he was in obvious pain and the faeces had turned green, so it was back to hospital with a bout of gastro enteritis. Children with Hirschsprung's disease are more prone to bowel infections than other children, with a higher than average mortality rate so this was a worrying time. Those first few years I worried about every temperature, every time his abdomen got bigger than it already was, any sign of a tummy bug and Ben was whipped off to the doctor. But although I panicked at any sign of ill health, Ben-Bens health actually improved enormously after the surgery. Since that bout of gastro enteritis he has only been admitted once with another bout of gastroenteritis and rarely has any tummy bugs. He still was fragile in that he caught every cold, cough and other viral infection going, but he never again needed hospitalisation for them. By 3 months post op Ben-Ben was still going through 14 or more nappies a day. His poor bottom was raw but traditional methods of helping healing, like leaving the raw bottom open to the air, were not a realistic option given that he was almost continually soiling. He still smelt bad most of the time no matter how often his nappy was changed. Doctors could give no practical help and so I turned to the internet, newly acquired in our home, and sought out support groups for both Down syndrome and for Hirschsprung's. The Guardian society, the HD support group, was an invaluable source of help and advice. I was given advice on how to adapt Ben-Ben's diet to help solidify the faeces a little and was advised to try enemas as diarrhoea is often as a result of constipation. Microlax enemas proved to be a very helpful intervention and the soiled nappies were reduced to only three or four a day with no soiling in between. His bottom healed up but remains very prone to breaking down to this day if soiled nappies/clothes are not removed very quickly. His surgeons in Hong Kong were not over happy for me to 'go solo' so to speak with regard to treatments but offered no alternatives other than giving it 'time to settle' and said that the enemas would do no harm, so we continued with them for several years, until our return to the UK, by which time Ben-Ben had become Timothy (Tim-tim!). Ben-Ben with his brother and sister When Ben-Ben was 2 years old I read a very depressing research article that suggested that children with DS and HD rarely achieve full faecal continence without surgical intervention. That the best chance of success lay with a strict regime of toilet training. I bought a potty! He was started on a rigorous training program and while he did manage to use the potty from time to time he was still faecally incontinent. He did achieve urinary continence though so at least the nappies were dry! In 1997, 8 months after his adoption, we returned to the UK. The educational opportunities available were not that good for Tim (as he was now known) or for his elder brother and so we came back for better opportunities. Tim was enrolled in his local infant school with 25 hours TA support and we found new doctors. His new doctors did not approve of the microlax enemas and, as they were beginning to be less effective, Tim was started on a series of different medications over the next 5 years or so. The constant theme was that he was constipated and that that was why he was still soiling himself so he endured stool softeners that produced very runny and extremely sticky faeces. Laxatives that induced terrible stomach cramps, but nothing that really gave any real relief from the constant soiling. There were periods of time, sometimes lasting several weeks that lulled us into a false sense of hope, of continence, but they never lasted and one day he'd just start soiling again. No pattern ever emerged, no food could be pin pointed as the culprit though several were found to make the problem worse (sweetcorn for one). His new surgeon, though concerned, was mainly of the opinion that he was constipated and that he needed toilet training. As Tim had been subject to a very strict toileting routine since he was 2 years old I knew training wasn't the answer! And so we went on year after year. The problem affected every decision we made, where we could go, who we could leave him with, after all many people will willing change a soiled nappy on a 2 year old, but a 9 year old? I redecorated the house with laminate floors - the carpets stank where he'd sat on them with leaking nappies, the sofas were swopped with leather ones for the same reason. Tim at 10 years old Then, one day when he was 10 years old we were offered a real hope of a treatment that might actually work. He'd been to see a growth specialist (he is also very small for his age, unrelated to the HD) who asked if we'd ever heard of the A.C.E. procedure. He described a small stoma with a valve on the inside, rather like a gastrostomy but made in the top end of the colon. Through this a small tube (catheter) could be passed and an enema could be given top down rather than bottom up, and that this procedure had been found to have a high success rate in controlling faecal incontinence. I approached his surgeon with this suggestion but met with resistance to the idea, so we continued for another year with different medication. By the time Tim was 11 years old he was still soiling up to 6 times a day. He had now begun at a special school and the boys, many of them with autistic spectrum disorders, were not as kind to him about the smell as the children he had been at school with since reception. One day he came home crying that he was a dirty smelly boy and he threw his nappy in the bathroom sink in disgust. His surgeon finally agreed that it was time to try the surgical route and so I discussed with Tim his options. Stay in nappies or try an operation to try and get him out of nappies. Despite his learning difficulties he had no hesitation in saying he wanted to have the surgery and so he was booked in for August 2005. The surgery went ahead without a hitch and he had his first washout just days after surgery, though this first time was a rather messy affair, not helped by the distance of the hospital toilets from Tim's bed! After the post op catheter was removed (10 days post op) I then had to catheterise him every day with a size 8 single use urinary catheter, flush 200 mls of saline and one fleet enema through the catheter and then Tim had to sit on the toilet for an hour for the best effect. The first hitch was how to keep an impatient 11 year old boy with learning difficulties on the toilet for an hour without strapping him down (remember the colostomy solution?!). His love of, and ability in, reading came in very handy here. We went on a special shopping trip to buy a new CD player and several Horrid Henry talking books. Horrid Henry talking books are conveniently one hour long, perfect, plus he gets to practice his reading skills for 60 minutes every night! Initially, he struggled to keep up with the reading but he is now able to follow the story in his book as it is read. The benefits of multiple readings have developed his comprehension of the stories though it has to be said that I am personally getting sick of the theme tune and have started his new library of Roald Dahl talking books for a change!! His hearing impairment means the tapes are always played loudly! And so, has the surgery worked or not? Well, initially there were some problems with a small wound infection (one of the potential problems we had been warned about), and if he didn't sit on the loo for long enough he would soil in the night, but over all the success has been phenomenal. I couldn't have predicted a better outcome. From around the second flush (the saline/enema cocktail) we braved real under wear. After he was discharged from hospital, Tim and I took a special trip to Asda and he chose 12 pairs of boxer shorts, the position of the stoma rules out briefs. He is so proud to be able to wear these. We have had a handful of small accidents, mostly at night, usually the result of too short a time on the toilet. There have been a few related problems. The stoma began to seal over in between catheterisations, so I started to leave the catheter in all the time to keep the stoma open, this in turn led to the skin becoming very sore from the repeated application of sticky tape. It also led to a small amount of leakage from the stoma onto the skin and so made the sore skin worse. So another product, Cavalon, was applied to act as a barrier to the skin. In the last few weeks though the stoma has been more stable and no longer seals over as readily and so the catheter is only occasionally left in over night. Tim has also adapted to the extent that we can manage his flushes every other day (as long as I still catheterise the stoma each day). The flush is slightly larger, 300mls of saline instead of 200mls, but it works fine and he is still clean. And one big surprise for both myself and his surgeon, within a few weeks Tim was able to catheterise himself and to flush the enema solution through the catheter himself. No one thought he'd be able to do this. He's a long way from independence in doing this but it's a start and gives me hope that when he is older he'll be able to manage this procedure by himself with minimal supervision. So, a long road but with a good outcome. To say that Tim is continent is not strictly accurate as that would require an element of real control on his part, however, he is clean and there is a possibility that he will acquire true continence in time. Tim's first day at secondary school To say Tim is continent is not strictly accurate; however, he is clean and there is a possibility that he will acquire true continence in time And one extra benefit from this procedure; Tim is now able to wee standing up, a real accomplishment for a child who needed to sit previously as he always opened his bowels when sat on the toilet before the surgery. And a second benefit for the family, the problem with gas has greatly diminished, so it is rare that we are subjected to nasty niffs!! 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8080	https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/bulletin/14/nbsbulletinv14n4p571_A2b.pdf	THERMAL EXPANSION OF ALPHA AND OF BETA BRASS BETWEEN AND 600° C, IN RELATION TO THE MECHANICAL PROPERTIES OF HETERO-GENEOUS BRASSES OF THE MUNTZ METAL TYPE By P. D. Merica and L. W. Schad CONTENTS Page I. Introduction 571 II. Thermal expansion of alpha and of beta brass 574 1 . Preparation of alloys 574 2. Measurement of expansion 574 3 . Results and discussion 578 4. Local "grain stresses" due to differences in thermal expansion. . . 586 III. Effect of certain heat treatments on mechanical properties of 60 : 40 brass . . 587 IV. Conclusion 589 I. INTRODUCTION In the course of recent investigation of the cracking or fractur-ing of brass articles of the type composition, 60 per cent copper and 40 per cent zinc, it has been possible to give adequate expla-nation for failure in most of the individual cases. These failures have been ascribed to excessive initial or service stress in conjunc-tion with corrosion, or to the improper execution of the forging operation by which the article was formed. A number of instances of cracking in brass of this type have, however, come to the atten-tion of the authors, for which these explanations can not be appli-cable. Such an instance is the following: A J/8-inch diameter naval brass hook bolt, which had been heated to "cherry red" and quenched in warm water, was used in the support of a strainer plate in a water-filter plant, under a tensional stress of from 10 000 to 15000 pounds per square inch. After about 60 days it broke off, with practically no elongation. There was little initial stress in this bolt, and the load stress was not above the proportional limit; the subsequent cracking of the bolt appears, therefore, rather mysterious. 571 572 Bulletin of the Bureau of Standards [Vol. 14 Several naval brass rivets ha-e been examined which had frac-tured at the shoulder, under a tensional stress no greater than that caused by the restrained thermal expansion of the rivet after heating. These cases have been described more fully. In all of these instances, in which the usual mode of explana-tion of cracking has failed, it was discovered that the brass article 1100 1000 900 800 1 ^ \ alpha \ Equilibrium diagraun of Copper-Zinc alloys \ beta / ^ I Degrees Centigrj 8 8 8 -] ^ .s 1 400 g. 300 1 200 -100 -a b 1 1 1 1 10 20 30 40 50 60 70 per cent Zinc by Weight Fig. I. Portion of equilibrium diagram of copper-zitic alloys had been subjected, at some time, to a very rapid cooling or quenching. Since the 60 : 40 (60 per cent copper and 40 per cent zinc) alloy is heterogeneous in structure, consisting of the two constituents, alpha and beta, in approximately equal proportions, the thought occurred to the authors that local stresses between the alpha and the beta constituents, caused by their unequal thermal expansion, might be developed during its rapid cooling. It was » Merica and Woodward, Bureau of Standards, Technologic Paper No. 82, 1916; Trans. Am. Inst. Metals, 9, 298. 191S. Merical Schad J Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 573 with the idea of obtaining some information on this point that the work described below was undertaken, with the purpose of determining the difference between the unit thermal expansion values of the two constituents, alpha and beta, of 60 : 40 brass. Apparently there has been, hitherto, no investigation along this line, either with brass or with other heterogeneous alloys. Some determinations ^ have been made of the thermal expansion of brass of different compositions, particularly at ordinary temper-atures. It was desired in this work to compare the thermal expansion of alpha and beta brass ^ of compositions which are normally in equilibrium with each other at ordinary temperatures. In the case of the ptue copper-zinc alloy, compositions such as those at a and b in Fig. i were chosen; in, a slowly cooled alloy of any intermediate composition the concentrations of copper or zinc in the alpha and in the beta phases will be those given by these points. The preparation of homogeneous alloys of these com-positions is not possible in general without appropriate heat treat-ment. The cast alpha brass must be annealed for some time at approximately 500° C and slowly cooled; the beta alloy may require to be quenched from above the transformation range and drawn to relieve stresses. TABLE 1.—Composition of Brass Samples Number of alloy Chemical analysis -Phase Copper Zinc Tin Lead Iron 215 Percent 65.6 54.5 53.5 54.7 65.3 67.2 64.6 55.5 Per cent 32.9 43.9 45.6 44.5 34.5 32 35.4 44.5 Per cent 1.3 1.3 .9 .7 .23 .7 .06 .07 Per cent 0.2 .1 Trace .1 .2 .1 .04 .05 Per cent 0.1 .2 Trace .1 Trace .1 <.04 <.04 Alpha Beta 216 a 250 a Alpha Do 252 a 256 a Beta 257 a Do 259 b ^ Alpha Beta 261b a These samples were cast from some remelted copper and Horsehead spelter. b These samples were cast from electrolytic copper and Horsehead spelter; they contained, therefore only slight amounts of impurities. 2 Dittenberger, Zeit. Ver. deutsch. Ing., 46, p. 1532, 1902; Benoit, Joum. dc Phys., 8, p. 471, 1S89; Henning, Ann. d. phys., 22, p. 631, 1907; Price, Trans. Am. Int. Metals, X, p. 133, 1916. 3 Hereafter the terms "alpha" and "beta" will be used to denote the alpha and beta phases, respectively., of brass. 574 Bulletin of the Bureau of Standards [Voi.ia TABLE 2.—Heat Treatment of Alpha and Beta Alloys After Casting Specimen Time of heating Temper-ature Cooling Time of heating Temper-ature Cooling Time of heating Temper-ature Cooling 215A 216C ^^5C 250A Minutes 10 15 « 45 45 45 240 240 240 240 15 15 700 750 700 350-450 350-450 350-450 350-»50 600 600 600 600 750 750 f-c q-w t-<: f-c f-c f-c f-c f-c f-c f-c f-c f-c q-0 Minutes 60 60 60 •c 600 100-150 600 f-c f-c f-c Minutes 180 10 180 •c 600 300-400 600 f-c f-c f-c 250B 1 ' i 252A 1 1 252B ::::::::::::::::::j:::::::::i:;': 256A 1 256B 1 257A 1 257B 1 259A 261F 120 325 f-c f-c indicates furnace cooled. q-w indicates quenching in water. q-o indicates quenching in oil. II. THERMAL EXPANSION OF ALPHA AND OF BETA BRASS 1. PREPARATION OF ALLOYS The samples for the measurements were cast in chill molds, heat treated in order to produce a homogeneous, stress-free alloy, then machined and tested. The specimens 259 and 261 were made of pure electrol}i:ic copper and Horsehead zinc; the others were made of some re-melted copper, together with Horsehead zinc and Straits tin. These samples, unfortunately, contained some lead and iron. The chemical analyses of the samples are given in Table i . After casting, the alpha brasses were annealed and the beta brasses treated as indicated in Table 2 in order to homogenize the alloy and relieve it of stress. The specimens were heat treated until they were homogeneous as determined microscopically; this required several periods of heating for some specimenas. An idea of the homogeneity of the alloys may be obtained from the micro-graphs, Figs. 6 to II. 2. MEASUREMENT OF EXPANSION The thermal expansivity measurements were made in special apparatus designed and built at the Bureau of Standards for the purpose of obtaining good temperature uniformity and high accuracy in measuring length changes. Merical Schad J Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 575 The specimens tested to 500° C or over were heated in air in an electric furnace in which the temperature as determined by dif-ferential thermoelements was uniform to 0.1° C throughout the entire chamber containing the specimen. The absolute tempera-FiG, 2. Expansion curves of brass tures were determined by a carefully calibrated platinum platinum-rhodium thermoelement. The tests to 300° or less were made in an oil bath in which the temperature variation was perhaps less than o. i ° C over the entire specimen. In this case the absolute temperatures were determined 576 Bulletin of the Bureau of Standards [Vol. 14 with a copper-constantan thermoelement immersed in the oil at the side of the specimen. The length changes were determined with a special comparator, consisting of two microscopes rigidly clamped on an invar bar at a .009 ^ .003 Line&r Sxpanslon of Alpha and of Beta Bras a Deviation of observed linear expansion ( 41A ) from the quadratic equations: dl/1 = ( 17.94t + .00&3t) 10-S dlA = ( 18.60t .0135t) 10-6 r«0^ 200 400 600 Tenperature in Degrees Centigrade Fig. 3. Expansion curves of brass distance from each other equal to the length of the specimen and so arranged that they could first be sighted on a standard-length bar kept at a constant temperature and then on the i mil wires dropped over the ends of the specimen under test. Journal of the Washington Academy of Sciences, 11, p. 248; 1913. Merical Schad J Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 577 The length changes measured in this way are accurate to about ±o.ooi mm, which on a specimen of 300 mm long (the standard length of the specimen) would be ±0.0003 P^i" cent. .015 g .012 .009 I S ;3 .003 Linear Expansion of Alpha, and of Beta Brass 215 . . alplia brass 2ie .. toeta "brasff Deviation of observed linear expansion ( dl/l) from the quadratic equations: dl/l a ( I7.94t + .00718t2) 10^ 216 ai/i = ( 18.82t + .014^t2) 10"^ «0& rOOO 200 400 600 Temperature in J)egrees Centigrade Fig. 4. Expansion curves of brass: Q)=points taken on heating, cooling ^^points taken on For specimens heated in oil to 300° or less each test was com-pleted in about five hours; the test to 600° C in the air furnace was completed in from three to five days. Experience seemed to show that the rapidity with which the test was made had little or no effect upon the behavior of the specimen. 578 Bulletin oj the Bureau oj Standards [Vol. 14 3. RESULTS AND DISCUSSION The data are given in Figs. 2 to 5, in ^vhich is shown in each case the actual unit Hnear thermal expansion (linear expansion per unit length) and also the deviation of this observed expansion from that computed from a quadratic equation, which in each case best fits the series of observations. The curv^es for alpha are continuous in each case up to 600° C, whereas the transformation of beta into beta prime is readily § .006 .004 >j .002 « •ri -000 Linear Thermal Expansion of Al-pha. and of Beta Brass 257 . alpha brass 250 . . beta brass r The points marked ( )^ ) represent measurements made on a second " run " -re04-100 200 300 Temperature in degrees centigrade Fig, 5. Expansion curves of brass seen in the change in the slope of the beta cmv^e at from 450 to 460° C. The first terms of the quadratic equation representing the thermal expansion are very nearly equal, although with a high tin content the value for beta becomes higher. The second term of the equation for alpha is, however, consistently lower than that of the beta; indeed, it is only approximately one-half of the second tenu of the beta equation. Thus, although from Merica] Schad J Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 579 o° to about 300° C the expansions of alpha and beta brass are almost equal, beyond this temperature and up to 460° C the expan-sion of the beta becomes almost twice that of the alpha. This is shown in Table 3. Above the transformation temperature the curve of the expansion of the beta is almost linear and runs nearly nearly parallel to that of the alpha. The quadratic equations best fitting the observed expansions are given on the figures. It is to be noted: 1. That the portion of the beta curve up to 460° C would be better fitted with a cubic ctu^e. 2. That above this transformation point the curve is approxi-mately linear (to 600° C) and might be represented as follows: TABLE 3.—^Expansion of Brass Over Different Temperature Intervals Specimen Unit linear expansion per degree centigrade between 20 and 100° 100 and 200° 200 and 300° 300 and 400° 400 and 450° 500 and 600° 215A; alpha 19.2X10-6 21.6X10-6 20.1X10-6 22.8X10-6 18.7X10-6 22.8X10-6 20.0X10-6 20.0X10-6 21.8X10-6 22.0X10-6 22.8X10-6 22.5X10-6 29.6X10-6 23.5X10-6 35.0X10-6 24.5X10- 216C; beta 30.5X10-6 250A; alpha 252A; beta .' 19.4X10-6 20.0X10-6 22.2X10-6 21.0X10-6 23.5X10-6 22.0X10-6 21.9X10-6 23.6X10-6 27.5X10-6 22.5X10-6 22.2X10-6 28.0X10-6 39.2X10-6 23.0X10-6 23.4X10-6 35.0X10-6 26.9X10-6 256A; alpha 23.7X10-6 259A; alpha 23.6X10-6 261F; beta... . 27.0X10-6 For brass No. 261 ^=26.5X10-^ t T For brass No. 252 (^7=27.9X10-° t T For brass No. 216 ^=25.2X10-^ t T The second term of a quadratic fitting these curves would be small (and negative in value for No. 261). Very interesting are the deviations observed by subtracting the values computed from the quadratic equations noted in the curves (Figs. 2 to 5) from the observed expansions; these are plotted in the same figure on a larger scale. It is seen that the deviation of the alpha brass is at first zero, then at about 100 to 150° it becomes positive, attaining a maximum at from 300 to 350°, falling off thereafter to o at about 500° and becoming negative. The beta brass pursues almost the reverse course; the deviations attain a negative maximum at about 350°, rise to a sharp posi-tive maximum at about 400°, and drop again rapidly. These deviations are quite regular and occur in all of the samples. 5^^ BuUctin c) iiic Bureau oj Stayidard. [Vol. 14 Fig. b.—No. 21 j, alpha brass, cast and annealed. Xioo Fig. 7. No. 216, beta brass, cast and annealed. X-¥ch^"] Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 581 Fig. 8. No. 2j6, alpha brass, cast and annealed. Xioo Fig. 9. No. 252, beta brass, cast and annealed. Xioo 110990°— 19 7 582 Bulletin of the Bureau of Standards [Vol.j4 V'-J'^n'.'' Fig. 10. No. 2jg, alpha brass, cast and annealed. Xioo ,.//-•; Fig. II. Xo. 261, beta brass, cast and annealed. Xioo Sa?] Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 583 Fig. 12. No. 261, beta brass, after heating to 600° C. Xioo #' Hi Fig. 13. No. i6g Q, naval brass, quenched. X500 5^4 Bulletin of the Bureau of Standards woi. 14 Fig. 14. No. ibg R, naval brass, quetiched and draun. X500 Fig. 15. .\o. iOg I , naiul Oiu.^d, sIoilI) cooLd. Xjt ¥chJf] Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 585 They are related closely to the transformation point in the case of the beta brass. In the case of the alpha brass a slight permanent elongation was noticed in some cases after heating to 600° C and cooling, whereas in the beta brass a shrinkage always took place. This shrinkage is most marked in specimen 250, Fig. 5, heated to 300° C ; the corresponding alpha brass showed no change in length whatever. The second determination on the sample 250, indi-cated in Fig. 5, gave an expansion coinciding exactly with the " down " curve of the first. It may be noted that some precipitation of alpha took place in the sample 261 upon heating between 400 and 600° C; this is shown in the micrograph, Fig. 12, showing the structure of the thermal expansion specimen after a 600° C heating. This precipitation of alpha (which has a slightly different density than beta) would alter the observed coefficient through the temperature range of its precipitation. Thus, if V = specific volume of the alloy V^ = specific volume of the alpha constituent Vff = specific volume of the beta constituent m = fraction of alpha by weight, then V = mVc,+ (i-m) V^. dv dVa jr dm , . dVq ^^ dm '^ <"->'.)+- C4f -=5)-'^ Measiurements showed the densities at ordinary temperatures of 259 (alpha) and 261 (beta) to be as follows: 259 8.294 /^_ I \ 261 8.226 \ density/ If it is assumed that 5 per cent of alpha has been formed be-tween 460 and 480° C, ^V 0.05/ I I \ dVp ,dV^ —^[ -~— ^ j-h-^= -2.45 x io-« + -j/-AT 20 V 8.294 8.226/ di ^^ dl I dL I dV , o , r ^ 586 Bulletin of the Bureau of Statidards [Voi. u The precipitation of alpha has therefore a small but appre-ciable eflect on the thermal expansion coefficient. 4. LOCAL "GRAIN STRESSES" DUE TO DIFFERENCES IN THERMAL EXPANSION It is much beyond the scope of this paper to attempt a dis-cussion of the magnitude and distribution of stresses arising during the cooling of a heterogeneous aggregate of particles of different coefficients of thermal expansion. A particle imbedded in a homogeneous mass having a greater unit thermal expansion than it has, will be, after rapid cooling, essentially in hydro-static or isotropic compression. The ground mass surrounding it will, at the surface of division, be subject to a system of tan-gential tensional stresses parallel to it. The magnitude and dis-tribution of these stresses will depend on the size, shape of the imbedded particles and their distances apart. One may gain a very rough idea of the magnitude of such stresses by assuming that the two constitutents are in the form of bars rigidly clamped parallel to each other. When the tem-perature of such a duplex bar is lowered there will be in each constitutent bar (if of equal cross section) a stress equal to ML E L 2 where —j- = difference in thermal expansion per unit length be-tween the constitutents. E = modulus of elasticity. Such stresses are calculated on the basis of E equal to 15 x io« pounds per square inch and are given in Table 4. The values may be considered as representing the tensional stress in the beta and the compressional stress in the alpha bar which remain after cooling rapidly from the temperatures indicated. The reverse stresses would be temporarily caused by rapid heating. As the amount of beta in a brass is increased, the average stress from this cause in the beta would decrease; one would expect, therefore, other things being equal, to find a greater effect of such stresses in an alloy of beta than in one such as manganese bronze; a quenched alloy with alpha grains surrounded by beta envelopes should show most noticeably any effect of tensional stress in the beta constitutent. Merical Schad J Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 5B7 It is noted that the development of stress, due to unequal thermal expansion, during the cooling of a 60:40 brass, is greatest within the temperature range from 300 to 500° C, at which experience has indicated, annealing and relief of stresses take place fairly readily. One may assume, therefore, that during slow cooling of such an alloy from 500 to 600°, the alloy con-stitutents yield locally under the stresses produced through the range 600 to 300°. Below 300° the contraction of the two con-stitutents is almost equal. During rapid cooling, however, the time may not be sufficient to allow of the local yielding to any extent of the consitutents ; they arrive at ordinary temperature, therefore, in a state of stress described above. TABLE 4.—Calculated Stresses Due to Difference in Thermal Expansion Between Alpha and Beta Brass For 215 and 216B For 256 and 252B For 259 and 261B Difference in total unit linear expansion between 0° and 300 Corresponding stress pounds per square inch « Difference in total unit linear expansion between 0° to 400°.. Corresponding stress pounds per square inch a Difference in total unit linear expansion between 0° to 500° ., Corresponding stress pounds per square inch a Difference in total unit linear expansion between 0° to 600° . . Corresponding stress, pounds per square inch a 0. 00050 3750 0.0012 9000 0.0022 16 500 0. 0022 16 500 0. 0005 3750 0.0010 7500 0.0021 15 800 0. 00026 1950 0. 00075 5600 0.00162 12 200 0. 00190 14 200 a Assuming two bars, one of A and one of B, rigidly clamped and heated from o° C to the temperature noted, or cooled through this range; B is assumed to be 15 x lo^ pounds per square inch. III. EFFECTS OF CERTAIN HEAT TREATMENTS ON MECHANICAL PROPERTIES OF 60:40 BRASS Some experiments were undertaken with a view to ascertaining directly whether the "grain" stresses described above exerted an appreciable effect upon the properties of the brass. Six-inch lengths of drawn brass i-inch diameter rods 164, 169, 171, 173, and 1755 of the compositions and properties given in Table 5, were given the heat treatments described in Table 6, which consisted largely in the heating of the specimen to various temperatures between 400 and 600° C, and the quenching of them in water or oil. The samples were then submitted to the mer-ciu-ous nitrate test. This test indicates the presence of initial stress of significant extent caused by drawing or working brass. None of the samples cracked during the quenching or in the test. » Described more fully in Tables 2, 3, and 5 of Bureau of Standards Technologic Paper No. 82. 588 BtUletin of the Bureau of Standards [V01.H A few I inch diameter samples of naval brass and of Muntz metal were quenched or slowly cooled from 500° or from 400° C. These were then machined to 0.505 -inch diameter and tested in tension. The results of these tests are shown in the Table 7. Without exception the quenched samples have a sli^^^htly lower proportional limit and a higher tensile strength than the samples which ^vere slowly cooled from the same temperature or were quenched and drawn back to 400° C in order to reheve the local stresses. It must be obser\'ed that the full effect of differential grain stresses on the mechanical properties of a brass might not be developed except w^hen the brass was at the same time under additional tensional stress. The latter would increase the local tensional stresses and diminish the local compressional stresses such that an incipient local surface crack might develop through-out the brass. Information on this point could be obtained from the results of corrosion tests under stress such as are being conducted at present at the Bureau. In the case of the naval brass the samples heated to 400° or thereabouts suffered in ductility, a fact which was readily ex-plained by a miscroscopic examination of such samples. At that temperature the hard delta constitutent forms at the edge of the beta grains. This can be seen in the micrographs Figs. 13 to 15. At higher temperatures the quenched specimens did now show anv delta. TABLE 5.—Chemical Composition of Brasses Which Were Heat Treated and Tested in Tension Material Chemical analysis Physical properties Num-ber Copper Zinc Tin Iron Ultimate sirength Elonga-tion in 2 inches 164 T^iiTitT Tnf»t3l Per ct. 61.1 61.2 59.4 56.8 57.5 Perct. Perct. Perc!. 38.5 1 . . lbs. in.' 72 000 83 000" 80 000 100 500 77 000 Perct. a 16 169 Naval brass . . 37.5 i 1.2 40. 2 . . . 13 171 ^iinr7 TTiRtfl] 21 173 Manganese bronze 39.9 1.6 40.9 1.0 1.3 .6 9 175 27 al n 3 inches. Merical schad J Thermal Expansion of Alpha and Beta Brass 589 TABLE 6.—Heat Treatment of Brass Samples Submitted to Mercurous Nitraie Test specimen Heat treaiment 164A-. 164B.. 164C.. 164D. 169C.. 169D. 169K. 169L.. 169M. 169N. 1690. 169P-. 169T.. 169W. 171F.. 171G., 171K-. 175A.. 175B.. mc. I hour at 430°, water quenched. 1\| hours at 430°, oil quenched. I I hours at 480°, water quenched. IJ hours at 480°, oil quenched. li hours at 480°, water quenched] „^„o „^„o . ^ , ^ 750 -830°, water quenched. 1\| hours at 480°, oil quenched. . .J 20 hours at 625°, water quenched. Do. Do. 1 [tested l30 minutes at 620-600°, water quenched^ J (annealed 1 hour at 330" 20 minutes at 625 to 500°, water quenched. 20 minutes at 400°, quenched. 40 minutes at 400°, furnace cooled. 20 minutes at 500°, water quenched. 20 minutes at 500°, 20 minutes at 440°, water quenched. 20 minutes at 500°, 20 minutes at 440°, furnace cooled. 30 minutes at 445°, water quenched. 30 minutf 3 at 440°, oil quenched. 1^ hours at 480°, water quenched. TABLE 7.—Mechanical Properties cf Keat-Treated Naval Brass and Muntz Metal Speci-men 169Q 169S 169V 171D 171E 171H 171J Heat treatment [30 minutes at 600-620° tested Followed by 20 minutes at 500°, [water quench, 1 hour at 330° 15 minutes at 428°, water quench 20 minutes at 428°, furnace cooled [20 minutes at 500°, \| (2 seconds at water quench. I 400°. [ J [tested 20 minutes at 500° [water quench Followed by < 20 minutes at 440° Ifurnace cooled Physical properties Ultimate strength Lbs./in.2 59.7x103 56.6 63. £ 61.6 59.3 60.4 58.8 Proportional limit Lbs./in.2 14. 0x10 2 18.0 16.5 20.0 16.2 14.0 12.5 Elastic modulus Lbs./in.2 14.4x10^ 16.0 14.3 14.8 13.9 14.3 13.7 Elonga-tion in 2 seconds Per cent 34.5. 21.0 26.5 30.0 53.0 53.0 54.0 54.5 Reduc-tion of area Per cent 33.0 21.6 25.0 25.1 57.1 57.6 58.6 59.1 IV. CONCLUSION The difference in the thermal expansion of alpha and of beta brass of compositions which normally are in equilibrium in such alloys as Muntz metal, naval brass, etc., has clearly been shown by the measurements made. Fundamental variations in be-havior as regards thermal expansion at temperatures up to 600°C 590 Bulletin of the Bureau of Standards [va. 14] were noted, due to the occurrence of a transformation in the beta constituent. The effect of the local or, as they might be called, "grain" stresses, on the physical properties and service behavior has been only incompletely indicated. Tests showed that stresses of this sort produced by quenching commercial drawn 60:40 brass I -inch diameter rod did not cause cracking in mercurous nitrate. On the other hand, a lowering of the proportional limit of the alloy amounting to about 2000 pounds per square inch resulted from this treatment. Manufacturers of brass never quench 60:40 brasses; in fact, among them there seems to exist a disposition to regard this as dangerous practice. However, no definite data other than that recorded above are known to the authors, w^hich would show clearly the ill effects of such sudden cooling. It is found that naval brass or manganese bronze when quenched in such a manner as to leave the beta grains surrounded by alpha envelopes, is generally both weak and brittle, and the fracture intercrystalline, a condition which has been ascribed to the alpha envelope. Now it is known that alpha brass is weaker than beta, but not more ductile, such that the authors suggest that as an explanation for this brittleness may more readily be assigned to existence of tangential tensional stresses in the beta grains immediately adjacent to the alpha envelope. It would appear to the authors that further investigation into this general question of the expansion behavior of different constituents of other alloys might reveal causes of mysterious failures and weakness now considered quite obscure. Such materials as hypereutectoid steels, cast iron, type metal, and bearing metals contain two constituents. In many cases one of these constituents is brittle, a fact which would accentuate the effect of local contraction stresses. The authors hope to be able to present some data later along these lines, indicating also more definitely the physical effect of such stresses. Washington, August 15, 191 7.
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The formula of 3D solid angle between three normalized vectors is (borrowed from wikipedia): α=2 arctan\|→a→b→c\|\|→a\|\|→b\|\|→c\|+(→a⋅→b)\|→c\|+(→a⋅→c)\|→b\|+(→b⋅→c)\|→a\|. α=2 arctan\|a⃗b⃗c⃗\|\|a⃗\|\|b⃗\|\|c⃗\|+(a⃗⋅b⃗)\|c⃗\|+(a⃗⋅c⃗)\|b⃗\|+(b⃗⋅c⃗)\|a⃗\|. How to figure out a formula of solid angle between n n normalized vectors in n n-dimensional space? UPDATE OK, I've found out the following formula for the angle between two vectors in 2d space through the arctan arctan: α=2 arctan\|→a∧→b\|\|→a\|\|→b\|+→a⋅→b α=2 arctan\|a⃗∧b⃗\|\|a⃗\|\|b⃗\|+a⃗⋅b⃗ How can I apply this arctan arctan formula for the 4D space, for example? For more detail, I explain my assumptions. The solid angle of orthogonal basis in 4D space must be α=2⋅π 2⋅R 3 2 4=π 2 R 3 8 α=2⋅π 2⋅R 3 2 4=π 2 R 3 8. Here we can see a π 2 π 2 factor. Does this mean that the 4D solid angle formula contains multiplication of two arctan arctan there is one arctan arctan in this formula? I think yes, but still have some difficulties with such formula inference. linear-algebra geometry vector-spaces euclidean-geometry Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications edited Nov 4, 2012 at 9:12 Ivan KochurkinIvan Kochurkin asked Sep 25, 2012 at 16:09 Ivan KochurkinIvan Kochurkin 1,221 2 2 gold badges 14 14 silver badges 28 28 bronze badges 3 1 These MathOverflow threads may help: Is there a neat formula for the volume of a tetrahedron on the surface of S3? and What fraction of a sphere’s volume lies within a cone?user31373 –user31373 2012-09-26 14:09:56 +00:00 Commented Sep 26, 2012 at 14:09 Your second formula is quite awkward, because you apply arctan against a vector.shuhalo –shuhalo 2012-11-02 21:14:23 +00:00 Commented Nov 2, 2012 at 21:14 @Martin, you are right. Sorry for my mistake. I meant Exterior product there and I've already fixed my answer with it.Ivan Kochurkin –Ivan Kochurkin 2012-11-04 09:13:53 +00:00 Commented Nov 4, 2012 at 9:13 Add a comment\| 4 Answers 4 Sorted by: Reset to default This answer is useful 5 Save this answer. Show activity on this post. See the paper by Ribando, "Measuring Solid Angles Beyond Dimension Three", published in Discrete & Computational Geometry 2006. An electronic version may be found here: It seems there is no closed formula for solid angle in dimension > 3, but a multi-variable Taylor series is given in Theorem 2.2 there. Later in this paper, its radius of convergence is discussed. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 15, 2019 at 15:15 Ivan Kochurkin 1,221 2 2 gold badges 14 14 silver badges 28 28 bronze badges answered Sep 28, 2012 at 8:34 NaomiNaomi 66 2 2 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. I actually did a calculation for this a while back, so when I saw this question, I decided to search through my notebook for the answer. Here’s what I came up with, assuming we’re finding the 4D solid angle of a pentachoron (tetrahedron based pyramid) bounded by vertices A, B, C, D, and the zero vector, this should be the solution (Assuming I got all the Latex right): cos(−1)(ˆ A⋅ˆ B)cos(−1)(−(A∧B∧C)⋅(A∧B∧D)\|A∧B∧C\|\|A∧B∧D\|)2−\|A∧B∧ˆ C∧ˆ D\|2∫∞0(A∧B)⋅(B∧(ˆ C+ˆ D t))cos(−1)(ˆ B⋅(ˆ C+ˆ D t)\|ˆ C+ˆ D t\|)\|B∧(ˆ C+ˆ D t)\|\|A∧B∧(ˆ C+ˆ D t)\|²−(A∧B)⋅(A∧(ˆ C+ˆ D t))cos(−1)(ˆ A⋅(ˆ C+ˆ D t)\|ˆ C+ˆ D t\|)\|A∧(ˆ C+ˆ D t)\|\|A∧B∧(ˆ C+ˆ D t)\|² d t I had actually spent the longest time without ever finishing this problem, as I had realized that at this point, all I could do was integrate both entries by parts, with the arccosines being the terms that aren’t integrated. Of course, if I did do that, we’d still have two integrals left, each of which would also be some inverse trig function times some ratio between vector operators, making it completely pointless, unless both resulting integrals end up being equal and opposite. The only way too test the slim chance of this being to do some seriously difficult integration. After coming here, based on the comments, I’d assume the answer is no: they don’t cancel out, and this is basically the simplest form I can get it in. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 21, 2021 at 18:36 answered Jul 15, 2019 at 1:31 Math MachineMath Machine 443 3 3 silver badges 10 10 bronze badges 9 Please note I was fairly new to bivectors when I wrote this comment. At some point, I was under the impression that dot multiplying two bivectors meant multiplying all their components and adding the products together (as is the case with vectors). Also please note that the room for error with this problem is immense, and just checking my work (using a regular polychoron) to see if I had made a mistake was long and tedious.Math Machine –Math Machine 2020-06-23 22:43:50 +00:00 Commented Jun 23, 2020 at 22:43 My interest in your formula is that my research has brought up the problem of computing numerically what you call the 4D solid angle of a pentachoron; in general I have been able to reduce this problem to a numerical integration over two coordinates; it would be very helpful if a formula such as yours applied, where the number of integrations was reduced to 1.user438111 –user438111 2020-09-19 20:02:01 +00:00 Commented Sep 19, 2020 at 20:02 In my compute numerically what you call the 4D solid angle of a pentachoron; your formula would be very helpful because the number of integrations is there 1, and my formulas have 2. I have computed your formula for 4 orthonormal vectors, I got π 2/8+1/2, and the correct result is π 2/8. If the typographical or other error could be fixed, your formula would be valuable.user438111 –user438111 2020-09-19 20:11:38 +00:00 Commented Sep 19, 2020 at 20:11 While I do have a few things on my plate at the moment, I would be more than happy to help. First and foremost, what are the values of A, B, C, and D in your particular test case?Math Machine –Math Machine 2020-09-21 19:46:07 +00:00 Commented Sep 21, 2020 at 19:46 @CharlesMungerJr I should note two things. First of all, it's more likely than not that the integral should actually be subtracted, not added. Secondly, I strongly recommend you perform these calculations with a computer. These calculations are really heavy and there's soooo much room for error. I myself had to write a program before I could test out the formula to find the plus minus issue.Math Machine –Math Machine 2020-09-21 22:46:14 +00:00 Commented Sep 21, 2020 at 22:46 \|Show 4 more comments This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. The 4-D solid angle shows up in calculations of the probability of certain election results when ranked-choice ballots are used, if one assumes voters think candidates so nearly equal that each voter selects one of the possible ballots at random. The best reduction of these probabilities I had been able to make was to a double integral, which I evaluated numerically; a general formula, however complicated, without an integral, would be a great simplification, and might be of interest to election theorists other than me, so I encourage Math Machine to pursue one. For the curious, the election results appear in my papers "The right way to read ranked-choice ballots: not instant runoff, but ranked pairs" available on the tab "The theoretical case from Charles Munger Jr." on the first page at See paper C, Tables V, VI, and VII, and paper D, pp. 8--19 for my approach to these integrals. At the very least, they would provide to Math Machine a scatter of results already known numerically to 9 digits, against which to test a general formula. --Charles Munger, Jr. List item Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Jul 23, 2021 at 21:52 user438111user438111 149 1 1 silver badge 2 2 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 0 Save this answer. Show activity on this post. Solid angles are a little more complicated than angles. From wolfram's mathworld: The solid angle subtended by a surface is defined as the surface area of a unit sphere covered by the surface's projection onto the sphere. Did you notice the phrase 'surface area'? We're going to need some integrals! If the surface is called S, then the solid angle Ω is given by: Ω=∫S ˆ n/r 2⋅d a where ˆ n is the unit vector from the origin, d a is the infinitesimal area of a path of a surface from S, and r is the distance from the origin to the patch of surface. See here for examples, and more info. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Sep 25, 2012 at 16:45 MausMaus 151 2 2 bronze badges 2 I saw this formulas. But i don't know how to implement their to vectors case.Ivan Kochurkin –Ivan Kochurkin 2012-09-26 11:44:52 +00:00 Commented Sep 26, 2012 at 11:44 Is the issue that you don't know surface integrals yet?Maus –Maus 2012-09-26 17:58:06 +00:00 Commented Sep 26, 2012 at 17:58 Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions linear-algebra geometry vector-spaces euclidean-geometry See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Linked 7Is the structure of "solid angle" conformal maps more interesting in higher dimensions than just conformal maps? 6How to know whether a set of points can be rotated to lie in positive orthant? 4Descartes-like formula in 4D 0Define angle between "3D space" in 4D space Related 12Calculate the angle between two vectors 1Are the difference of two vectors orthogonal if the angle between the two vectors approaches 0? 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How to locate a leak in an irrigation system? Does the Mishna or Gemara ever explicitly mention the second day of Shavuot? "Unexpected"-type comic story. Aboard a space ark/colony ship. Everyone's a vampire/werewolf Why are LDS temple garments secret? Can peaty/boggy/wet/soggy/marshy ground be solid enough to support several tonnes of foot traffic per minute but NOT support a road? Are there any world leaders who are/were good at chess? Do sum of natural numbers and sum of their squares represent uniquely the summands? How to start explorer with C: drive selected and shown in folder list? How to home-make rubber feet stoppers for table legs? How many stars is possible to obtain in your savefile? ConTeXt: Unnecessary space in \setupheadertext Is existence always locational? Storing a session token in localstorage Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? 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8082	https://dle.rae.es/lavado	lavado, lavada \| Definición \| Diccionario de la lengua española \| RAE - ASALE Diccionario de la lengua española Real Academia EspañolaAsociación de Academias de la Lengua EspañolaMenú Palabra Filtros Consultar Filtros por palabras por palabras por expresiones por Lemas exacta empieza por termina en contiene miscelánea anagramas aleatoria Consulta posible gracias al compromiso con la cultura de la Fundación la Caixa lavado, da Artículo Sinónimos o afines Definición Del part. de lavar. adj.Cuba.Dicho de una persona mulata: De piel muy clara. m.Acción y efecto de lavar. Lavado de ropa.Lavado de dinero. Sin.: lavada, lavación, lavadura, lavamiento, lavatorio, ablución, colada 1, baño, aseo, jabonadura. m.Pintura a la aguada hecha con un solo color. m.Ur.Conjunto de ropas que da un cliente a una lavandera o a una lavandería. mate lavado túnel de lavado Sinónimos o afines de «lavado, da» lavada, lavación, lavadura, lavamiento, lavatorio, ablución, colada 1, baño, aseo, jabonadura. Otra entrada que contiene la forma «lavado» lavar Otras entradas que contienen la forma «lavada» lavada, lavar Palabra del día lunes, 29 de septiembre de 2025 avefría El Diccionario en su móvil Descargue en su dispositivo móvil la aplicación del Diccionario de la lengua española. App Store Google Play Otros diccionarios y recursos En nuestra página web, puede encontrar todos los recursos en línea de la RAE: los diccionarios (actuales y antiguos), la gramática y la ortografía, todos los corpus y ficheros del banco de datos de la Academia, los boletines... Ver todos los recursos Edición del Tricentenario Diccionario de la lengua española. Vigesimotercera ediciónGuía de consulta Ayuda sobre los métodos de búsquedaModo de cita Cómo citar el DLE Más sobre el Diccionario de la lengua española Presentación de la obra Cómo se hace el Diccionario La 23.ª edición (2014)Desplegar enlaces Preámbulo La vigesimotercera edición Artículos de muestra Advertencias Abreviaturas y signos empleados El Diccionario en el BRAE Email Enviar Responsable: Real Academia Española. Finalidades: Gestionar su suscripción al boletín mensual de la RAE. Derechos: Tiene derecho a acceder, rectificar y suprimir sus datos, así como a otros derechos, como se explica en la información adicional y detallada que puede consultar en nuestra política de privacidad. Real Academia Española XFacebookInstagramFlickrYouTubeSpotifySoundCloudTikTok © Real Academia Española, 2024. Política de privacidadPolítica de cookiesAviso legalContacto Volver al inicio Cerrar menú Real Academia Española RecursosUnidad Interactiva del DiccionarioConsultas lingüísticasGramáticaOrtografíaCorpes XXIDHLEArchivoBoletines
8083	https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs109/cs109.1212/lectureNotes/LN01_counting.pdf	– 1 – Lisa Yan and Jerry Cain CS109 Lecture Notes #1 September 14, 2020 Counting Based on a handout by Mehran Sahami and Chris Piech In-lecture: Section 1 (Sum Rule), Section 2 (Product Rule). Pre-recorded (post-lecture): Section 3 onwards. Questions at end of lecture (go over by yourself): Section 1.2 (Example 2: Datacenters), Section 2.2 (Example 4: Dice rolls), Lecture Notes 2 Example 4. Although you may have thought you had a pretty good grasp on the notion of counting at the age of three, it turns out that you had to wait until now to learn how to really count. Aren’t you glad you took this class now?! But seriously, below we present some properties related to counting which you may ﬁnd helpful in the future. 1 Sum Rule Sum Rule of Counting: If the outcome of an experiment can either be one of m outcomes or one of n outcomes, where none of the outcomes in the set of m outcomes is the same as the any of the outcomes in the set of n outcomes, then there are m + n possible outcomes of the experiment. Rewritten using set notation, the Sum Rule states that if the outcomes of an experiment can either be drawn from set A or set B, where \|A\| = m and \|B\| = n, and A ∩B = ∅, then the number of outcomes of the experiment is \|A\| + \|B\| = m + n. 1.1 Example 1 Problem: You have the choice of either rolling a 6-sided die or drawing a card from a standard 52-card deck (but you have to do exactly one of them). How many possible outcomes do you have? Solution: Since the outcomes of the die roll and the outcomes of the card draw are mutually exclusive (e.g., a roll of 1 can’t possibly be considered an Ace of Spades, and vice versa), we can use the Sum Rule to get 58 (= 6 + 52) outcomes. 1.2 Example 2 Problem: You are running an on-line social networking application which has its distributed servers housed in two diﬀerent data centers, one in San Francisco and the other in Boston. The San Francisco data center has 100 servers in it and the Boston data center has 50 servers in it. If a server request is sent to the application, how large is the set of servers it may get routed to? Solution: Since the request can be sent to either of the two data centers and none of the machines in either data center are the same, the Sum Rule of Counting applies. Using this rule, we know that the request could potentially be routed to any of the 150 (= 100 + 50) servers. – 2 – 2 Product Rule Product Rule of Counting: If an experiment has two parts, where the ﬁrst part can result in one of m outcomes and the second part can result in one of n outcomes regardless of the outcome of the ﬁrst part, then the total number of outcomes for the experiment is mn. Rewritten using set notation, the Product Rule states that if an experiment with two parts has an outcome from set A in the ﬁrst part, where \|A\| = m, and an outcome from set B in the second part (regardless of the outcome of the ﬁrst part), where \|B\| = n, then the total number of outcomes of the experiment is \|A\|\|B\| = mn. Note that the Product Rule for Counting is very similar to "the basic principle of counting" given in the Ross textbook. 2.1 Example 3 Problem: Flip two coins, one after the other. How many possible outcomes are there? Solution: Deﬁne our outcome as a an ordering of two coin ﬂips, where each coin ﬂip has two outcomes (“Heads” or “Tails”). By the product rule, the total number of potential outcomes is therefore 4 (= 2 × 2) outcomes. The possible outcomes can also be enumerated as: { (H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}, where the ﬁrst entry of each tuple is the outcome of the ﬁrst and second entries of each tuple are the outcomes of the ﬁrst and second coin ﬂips, respectively. 2.2 Example 4 Problem: Two 6-sided dice, with faces numbered 1 through 6, are rolled. How many possible outcomes of the roll are there? Solution: Note that we are not concerned with the total value of the two dice, but rather the set of all explicit outcomes of the rolls. Since the ﬁrst die1 can come up with 6 possible values and the second die similarly can have 6 possible values (regardless of what appeared on the ﬁrst die), the total number of potential outcomes is 36 (= 6 × 6). These possible outcomes are explicitly listed below as a series of pairs, denoting the values rolled on the pair of dice: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 2.3 Example 3 Problem: Consider a hash table with 100 buckets. Two arbitrary strings are independently hashed and added to the table. How many possible ways are there for the strings to be stored in the table? 1“die” is the singular form of the word “dice” (which is the plural form). – 3 – Solution: Each string can be hashed to one of 100 buckets. Since the results of hashing the ﬁrst string do not impact the hash of the second, there are 100 100 = 10,000 ways that the two strings may be stored in the hash table. 3 The Inclusion-Exclusion Principle Inclusion-Exclusion Principle: If the outcome of an experiment can either be drawn from set A or set B, and sets A and B may potentially overlap (i.e., it is not guaranteed that A ∩B = ∅), then the number of outcomes of the experiment is \|A ∪B\| = \|A\| + \|B\| −\|A ∩B\|. Note that the Inclusion-Exclusion Principle generalizes the Sum Rule of Counting for arbitrary sets A and B. In the case where A ∩B = ∅, the Inclusion-Exclusion Principle gives the same result as the Sum Rule of Counting since \|∅\| = 0. 3.1 Example 4 Problem: An 8-bit string (one byte) is sent over a network. The valid set of strings recognized by the receiver must either start with 01 or end with 10. How many such strings are there? Solution: The potential bit strings that match the receiver’s criteria can either be the 64 strings that start with 01 (since that last 6 bits are left unspeciﬁed, allowing for 26 = 64 possibilities) or the 64 strings that end with 10 (since the ﬁrst 6 bits are unspeciﬁed). Of course, these two sets overlap, since strings that start with 01 and end with 10 are in both sets. There are 24 = 16 such strings (since the middle 4 bits can be arbitrary). Casting this description into corresponding set notation, we have: \|A\| = 64, \|B\| = 64, and \|A ∩B\| = 16, so by the Inclusion-Exclusion Principle, there are 64 + 64 −16 = 112 strings that match the speciﬁed receiver’s criteria. 4 General Principle of Counting General Principle of Counting: If an experiment has r parts such that part i has ni outcomes for all i = 1, . . ., r, then the total number of outcomes for the experiment is ∏r i=1 ni = n1 ×n2 ×· · ·×nr. In the same way that the Inclusion-Exclusion Principle generalizes the Sum Rule of Counting, our next rule, the General Principle of Counting (also commonly known as the Fundamental Principle of Counting) generalizes the Product Rule of Counting. 4.1 Example 5 Problem: California license plates prior to 1982 had only 6-place license plates, where the ﬁrst three places were uppercase letters A-Z, and the last three places were numeric 0-9. How many such 6-place license plates were possible pre-1982? – 4 – Solution: We can treat each of the positions of the license plate as a separate part of an overall six-part experiment. That is, the ﬁrst three parts of the experiment each have 26 outcomes, corresponding to the letters A−Z, and the last three parts of the experiment each have 10 outcomes, corresponding to the digits 0−9. By the General Principle of Counting, we have 26×26×26×10×10×10 = 17, 576, 000 possible license plates. Interestingly enough the current population of California is 39.5 million residents as of 2017, so this would not nearly be enough license plates such that each person can own one vehicle. Fortunately, in 1982, California changed to 7-place license plates by prepending a numeric digit, resulting in 10 × 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 175, 760, 000 possible 7-place license plates. This is enough for each resident in California to own approximately 4.5 vehicles. 5 Floors and Ceilings: They’re Not Just For Buildings Anymore... Floor and ceiling are two handy functions that we give below just for reference. Besides, their names sound so much neater than “rounding down” and “rounding up”, and they are well-deﬁned on negative numbers too. Bonus. Floor function: The ﬂoor function assigns to the real number x the largest integer that is less than or equal to x. The ﬂoor function applied to x is denoted ⌊x⌋. Ceiling function: The ceiling function assigns to the real number x the smallest integer that is greater than or equal to x. The ceiling function applied to x is denoted ⌈x⌉. 5.1 Example 6 ⌊1/2⌋= 0 ⌊−1/2⌋= −1 ⌊2.9⌋= 2 ⌊8.0⌋= 8 ⌈1/2⌉= 1 ⌈−1/2⌉= 0 ⌈2.9⌉= 3 ⌈8.0⌉= 8 6 The Pigeonhole Principle Basic Pigeonhole Principle: For positive integers m and n, if m objects are placed in n buckets, where m > n, then at least one bucket must contain at least two objects. In a more general form, this principle can be stated as: General Pigeonhole Principle: For positive integers m and n, if m objects are placed in n buckets, then at least one bucket must contain at least ⌈m/n⌉objects. Note that the generalized form does not require the constraint that m > n, since in the case where m ≤n, we have ⌈m/n⌉= 1, and it trivially holds that at least one bucket will contain at least one object. – 5 – 6.1 Example 7 Problem: Consider a hash table with 100 buckets. 950 strings are hashed and added to the table. a) Is it possible that a bucket in the table contains no entries? b) Is it guaranteed that at least one bucket in the table contains at least two entries? c) Is it guaranteed that at least one bucket in the table contains at least 10 entries? d) Is it guaranteed that at least one bucket in the table contains at least 11 entries? Solution: a) Yes. As one example, it is possible (albeit very improbable) that all 950 strings get hashed to the same bucket (say bucket 0). In this case bucket 1 would have no entries. b) Yes. Since, 950 objects are placed in 100 buckets and 950 > 100, by the Basic Pigeonhole Principle, it follows that at least one bucket must contain at least two entries. c) Yes. Since, 950 objects are placed in 100 buckets and ⌈950/100⌉= ⌈9.5⌉= 10, by the General Pigeonhole Principle, it follows that at least one bucket must contain at least 10 entries. d) No. As one example, consider the case where the ﬁrst 50 bucket each contain 10 entries and the second 50 buckets each contain 9 entries. This accounts for all 950 entries (50 10 + 50 9 = 950), but there is no bucket that contains 11 entries in the hash table. 7 Bibliography For additional information on counting, you can consult a good discrete mathematics or probability textbook. Some of the discussion above is based on the treatment in: K. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, 6th Ed., New York: McGraw-Hill, 2007.
8084	https://www.researchgate.net/publication/216606533_The_Developing_Human_Clinically_Oriented_Embryology	Published Time: 2013-01-01 The Developing Human. Clinically Oriented Embryology \| Request PDF Home Biological Science Developmental Biology Embryology Book The Developing Human. Clinically Oriented Embryology January 2013 Edition: 9th Edition Publisher: Saunders. Elsevier ISBN: 978-1-4377-2002-0 Authors: Keith L. Moore Keith L. Moore This person is not on ResearchGate, or hasn't claimed this research yet. Vid Persaud University of Manitoba Mark G Torchia University of Manitoba Download citation Copy link Link copied Copy link Link copied Citations (2,206) Discover the world's research 25+ million members 160+ million publication pages 2.3+ billion citations Join for free Citations (2,206) References (0) ... In fact, it is scientifically established that normal human implantation and development take place within the uterus, the exclusive organ of females. The developmental process encompasses pre-embryonic, embryonic, and foetal stages (Yahya, 1994;Sadler, 2012;Moore, 2013). This indicates that the Qur'ānic description of human development was scientifically precise and was revealed long before modern discoveries confirmed it. ... ... This space later decreases and nearly disappears as both decidua fuse together, and the foetus gradually enlarges from the fourth month of pregnancy. (Sadler, 2012;Moore et al., 2013). ... ... As a result of ongoing erosion, the maternal sinusoids connect with the syncytial lacunae. Maternal blood then enters the lacunar system and eventually establishes the uteroplacental circulation ( Figure 2) (Sadler, 2012;Moore, 2013). Meanwhile, the extraembryonic mesoderm develops between the trophoblast externally and the amnion and exo-coelomic membrane internally. ... Anatomical Description of The Quranic Verse: Three Veils of Darkness in Surah Al Zumar Article Jun 2025 Siti Rosmani Md Zin Munirah Abd Razzak Abd Razzak Khadher Ahmad Normadiah M. Kassim Human development is a complex process discussed in many texts, including the Qur’ān. One of the verses describing human embryology is Surah Al-Zumar, 39:6 (…He creates you in the wombs of your mothers: creations after creation in three veils of darkness…). Exploring the different anatomical aspects when translating Qur’ānic terms is essential. These nuances often carry unique interpretations and perspectives worth examining, revealing deeper layers of meaning not fully captured in traditional translations. This manuscript aims to present a biological perspective in translating the phrase or terms “three veils of darkness” used in the Qur’ānic verse with appropriate anatomical terminologies. The sources for this article include the Qur’ān, Hadiths, and published literature. Some Arabic words in the cited verse are elaborated from a slightly different biological perspective compared to available translations. In this manuscript, the “three veils” mentioned in surah Al-Zumar are defined as the uterine, chorionic, and amniotic cavities. By refining and expanding the anatomical correlates of each “veil,” this study intends to offer a clearer and more precise interpretation that builds upon and improves the original hypothesis, while maintaining its original context and significance across different linguistic settings. This additional viewpoint on the links between Qur’ānic words and modern anatomical terms highlights the remarkable language of the Holy Book, bestowed upon us by Allah the Almighty. View Show abstract ... Definition from an embryological perspective Conjoined twins are a rare form of monozygotic twins when the embryonic disc doesn't fully separate during the 2nd week of development. This happens between days 13 and 15 of embryogenesis, the same time the primitive streak forms (2,3). ... ... Before the 13th day: Complete split results in normal monozygotic twins. After the 13th day: Incomplete split results in conjoined twins (2). Conjoined Twin Development: According to fission theory, incomplete separation of the embryonic disc results in conjoined twins. ... ... Conjoined Twin Development: According to fission theory, incomplete separation of the embryonic disc results in conjoined twins. According to fusion theory, two separate embryonic discs fuse at specific points, resulting in shared tissues or organs (2). ... Up-to-date in Conjoined Twins Developmental Origins, Medical Challenges, and Ethical Considerations: Review Article Article Full-text available Apr 2025 Ahmed Makram Ameera Alhumidi Background: Incomplete division of a single fertilized egg during early embryonic development causes conjoined twins, a rare congenital abnormality. This condition presents serious medical, ethical, and social challenges, with an incidence of roughly 1 in 50,000 to 1 in 200,000 live births. Objective: The purpose of this study is to investigate the developmental biology, classifications, medical and psychological issues, and moral quandaries related to conjoined twins. Method: The literature on the embryological basis, classification schemes (particularly for thoracopagus and omphalopagus twins), medical complications, and the psychological effects on impacted individuals and their families forms the basis of this narrative review. It also looks at multidisciplinary surgical separation techniques and improvements in prenatal diagnosis using imaging modalities like MRI and ultrasound. Results: Prenatal counseling and planning are greatly improved by early diagnosis made possible by advanced imaging, according to the study. Despite the risk, surgical separation has become more and more successful as a result of advancements in technology and procedure. For the best results, multidisciplinary teams must be involved. In order to manage such complicated cases and make sure that medical decisions are in the twins' and their families' best interests, ethical and psychological support continue to be essential. Conclusion: Managing conjoined twins necessitates a compassionate, interdisciplinary, and ethically robust methodology. Advancements in surgical and diagnostic techniques provide individuals with renewed optimism; yet, ethical responsibility and psychological assistance are equally crucial for achieving success. Continuous case analysis and ethical discourse are crucial for enhancing treatment techniques. View Show abstract ... Variations in the origins of MCFA and LCFA have frequently been described and explained through embryological and developmental considerations [1,5]. During embryonic development, the vascular system of the lower limb originates from a primary axial artery derived from the dorsal aorta. ... ... During embryonic development, the vascular system of the lower limb originates from a primary axial artery derived from the dorsal aorta. This axial artery forms the initial vascular scaffold, branching into specific limb arteries . The deep FA develops from the middle part of the embryonic axial artery, which undergoes medial rotation as the lower limb develops and rotates. ... ... Variations in the circumflex femoral artery origin are linked to the degree of failure of this middle axial part's medial rotation around the femoral axis . In subsequent developmental stages, selective enlargement and regression within this primary capillary network are influenced by molecular signals, hemodynamic factors, and transcriptional pathways, leading to the final branching pattern of the vessel [5,6]. Based on their origin, circumflex femoral arteries have been classified into four principal categories ( Table 2). ... Bilateral Variation in the Origin of Circumflex Femoral Arteries: Anatomical Insights and Clinical Implications Article Full-text available May 2025 Amit Kumar Pal Anasuya Ghosh The medial circumflex femoral artery (MCFA) and lateral circumflex femoral artery (LCFA) are crucial in providing blood supply to the hip and femoral head region and the adductor and extensor compartments of the thigh. This case report aims to document a rare bilateral variation in the origin of MCFA and LCFA observed during a routine cadaveric dissection in an anatomy lab. In a male donor aged approximately 78 years, the MCFA on the left side originated from the profunda femoris artery (PFA), whereas the LCFA arose from the femoral artery (FA). On the right side, the MCFA originated from the FA, while the LCFA had a typical origin from the PFA. These arterial variations were measured with reference to standard anatomical landmarks. Awareness of such variations can help clinicians avoid complications during procedures involving the FA and PFA. View Show abstract ... The duodenum, which forms the first 25 cm of the small intestine, develops from the end part of the foregut. It sits mostly behind the peritoneum and curves around the head of the pancreas in a partial circle 3 . ... ... In the study, 3 (Table 2). Among the cases about 23 (44.2%) were exclusively breastfed, compared to 134 (85.9%) of the controls. ... Determinants of intussusception in children under five years old visiting paediatric ward in selected hospitals of Sidama region Ethiopia Article Full-text available Jul 2025 Abraham Fetene Khaleel Nagarchi Tamiru Getchew Intussusception is a significant cause of child mortality in sub-Saharan Africa, yet its exact causes remain unclear. Two main theories suggest it may be linked to dietary factors or infections, highlighting the need for research to identify specific risk factors. Accordingly, this study aimed to investigate the factors associated with intussusception in children under five years of age. A hospital-based unmatched case–control study design was employed, using an interviewer-administered structured questionnaire and a review of medical records for data collection. Data were analysed using SPSS version 25, and both bivariate and multivariable logistic regression models were applied. Variables with a p-value < 0.25 in the bivariate analysis were included in the multivariable logistic regression model. Statistical significance was declared at a p-value of less than 0.05. The study included 52 cases and 156 controls. The average age of the cases was 11.5 months (SD ± 8.60), and that of the controls was 18.9 months (SD ± 15.4). Among the participants, males accounted for 65.4% of the cases and 53.8% of the controls, while females comprised 34.6% of the cases and 46.2% of the controls. Variables significantly associated with intussusception included age between 6 and 12 months [AOR = 3.13; 95% CI: 1.04–9.41], history of gastrointestinal infections [AOR = 5.07; 95% CI: 2.14–11.9], mixed feeding with breast milk and formula [AOR = 17.12; 95% CI: 5.42–54], and feeding with breast milk and homemade foods [AOR = 9.28; 95% CI: 2.52–34.2]. This study demonstrates that children aged 6 to 12 months, a history of gastrointestinal infections, previous medication use, and mixed feeding practices (breast milk combined with formula or homemade foods) are associated with an increased risk of intussusception. Educating mothers and caregivers on proper hygiene practices to reduce infections, and promoting awareness of the benefits of exclusive breastfeeding, are essential preventive strategies. Supplementary Information The online version contains supplementary material available at 10.1038/s41598-025-13245-3. View Show abstract ... The pancreas is a sophisticated organ formed in the early embryo with endocrine and exocrine functions. Embryologic development of the fetal pancreas begins in the fourth week of gestation with the formation of the dorsal and ventral buds as endodermal diverticula of the duodenum . As the duodenum rotates to the right, the two pancreatic buds fuse. ... ... As the duodenum rotates to the right, the two pancreatic buds fuse. The dorsal bud forms the head, body, and tail of the pancreas, while the ventral bud forms the hook-like uncinate process . The pancreas comes to lie along the dorsal abdominal wall and with its retroperitoneal position, prenatal visualization by ultrasonography is fairly difficult. ... Fetal pancreas measurements and the impact of gestational diabetes mellitus and fetal growth restriction Article Jun 2025 EUR J OBSTET GYN R B Gorkem Arica Ismail Yilmaz Doğu Küçüksüleymanoğlu Riza Madazli Objective: This study aimed to establish nomograms for fetal pancreatic circumference (PC) and the pancreatic circumference/abdominal circumference (PC/AC) ratio between 18 and 37 weeks of gestation. Additionally, it assessed their value in pregnancies complicated by gestational diabetes mellitus (GDM) and fetal growth restriction (FGR). Method: A prospective observational study was conducted between 18 and 37 weeks of gestation. Fetal PC mea- surements and PC/AC ratios from 233 singleton pregnancies with normal follow-up were used to construct growth charts. Additionally, 24 pregnancies with GDM and 17 with FGR were analyzed. Results: Nomograms for fetal PC and PC/AC ratio were developed. Pearson’s correlation coefficients for PC and PC/AC ratio by gestational age were 0.890 and−0.417, respectively (p < 0.0001). In GDM cases, fetal PC and PC/AC ratios were within the 5th–95th centile, with no significant difference from controls (p = 0.880). In FGR cases, 47.1 % of fetuses had PC below the 5th centile, but all PC/AC ratios remained within normal limits. Conclusion: These reference values may aid in fetal pancreatic assessment. PC and PC/AC ratio were not effective for predicting GDM, and FGR did not significantly affect PC/AC ratios. View Show abstract ... The heart tube forms the atrial outflow tract, which consists of an aortic sac and six pairs of aortic arch arteries. Following the development of some of these aortic arches, approximately 30 pairs of branches arise from the dorsal aorta, forming the segmental arteries (10)(11)(12). Some of the segmental arteries from both sides fuse in the neck to form the vertebral arteries (11,12). ... ... Following the development of some of these aortic arches, approximately 30 pairs of branches arise from the dorsal aorta, forming the segmental arteries (10)(11)(12). Some of the segmental arteries from both sides fuse in the neck to form the vertebral arteries (11,12). During development, improper fusion of the intra-thoracic segmental arteries is likely the cause of the communication between the intercostal arteries and the vertebral arteries. ... Case Report: A rare case of hemoptysis: multiple vascular variations Article Full-text available Jun 2025 Beining Zhang Jiangye Wang Ninggang Zheng Bronchial artery embolization (BAE) is an effective treatment for hemoptysis, with potential complications including pain and spinal ischemia. We report a rare case in which the right bronchial artery communicated with the right intercostal arteries, and the right intercostal artery had an anastomosis with the right vertebral artery. Additionally, the left bronchial artery was found to have a connection with the left vertebral artery. View Show abstract ... Supernumerary kidneys are rare congenital anomalies resulting from abnormal development during early kidney formation [ 1 ]. Normally, kidneys develop through interactions between the ureteric bud and the metanephric mesoderm. ... ... Normally, kidneys develop through interactions between the ureteric bud and the metanephric mesoderm. In cases of a supernumerary kidney, an additional ureteric bud develops, leading to the formation of an extra kidney [ 1 ]. The additional kidney may have its own blood supply, ureter, and independent excretory function. ... Supernumerary kidney incidentally detected on staging CT scan: A rare case report Article Full-text available Apr 2025 Yaman M. Alahmad Mohamed Lameir Mukhtar Hussein Ahmad N. Al-Ekeer Akram Twair Supernumerary kidneys are rare congenital anomalies arising from abnormal renal development , with fewer than 100 cases documented in the literature. A 55-year-old male presented with chronic nonbloody diarrhea and was diagnosed with a locally advanced rectal tumor. A staging CT scan incidentally revealed a right-sided supernumerary kidney measuring 4.5 cm, alongside a larger right kidney (7.3 cm) and a normal left kidney (10.2 cm), with independent arterial supply and normal excretory function. While this finding did not impact the patient's oncological treatment plan, awareness of such anomalies is essential for surgical planning to avoid complications. This case underscores the importance of recognizing supernumerary kidneys to guide clinical decision-making in oncological and urological interventions . View Show abstract ... Similarly, within the interventional radiology these variations can impact the success of procedures like renal artery stenting or embolization. 3,7 During the surgical procedures the renal vascular variations can upsurge the risk of complications like nephrectomy or kidney repair. There are various imaging and diagnosis methods including the CT angiography which provides the detailed imaging of renal vasculature and helps identify anatomical variations. ... Clinical Significance of Anatomical Variations in Renal Vasculature among Pakistani Population with Normal Renal Functions Article Full-text available Dec 2023 Misbah Ishtiaq Fazal-Ur-Rehman Khan Muhammad Hamza Azhar Mian Azhar Ahmad Background: Anatomical variations in renal vasculature provide optimal patient care and minimize the complications during surgical procedures and interventional radiology. Objective: To assess the clinical significance of anatomical variations in renal vasculature among Pakistani population with normal renal functions. Study design: Cross-sectional analytical study Place and duration of study: Shaikh Zayed Hospital, Lahore from 15th March 2021 to 14th March 2023. Methodology: One hundred and fifty cases were examined belonging to both gender within the age group of 18 to 65 years which were advised renal imaging as per protocol for evaluating potential donor for renal transplant surgery or any other reason for which renal CT angiography scan was performed. The protocol for renal scan included patients to be empty stomach for at least 6 hours. In patients where more than one artery was identified the vessel with maximum diameters was taken as the renal artery with other classifies as accessory arteries. Within the accessory artery further division were made as superior or inferior polar/hilar group depending upon their site as polar or hilum. Early pre-hilar branching was termed as branching from main renal-artery as 1.5 cm far from hilum. Results: The mean age of the patients was between 55.6±2.2 years with 56.6% males and 43.4% females. There was obvious variation observed in the diameter of renal arteries within male and female cases. The frequency of accessory artery within genders presented highest number of cases of males with accessory renal artery. The percentage of left renal artery was 7% in males and 4% in females. The association of laterality with accessory renal artery presented highest number of superior polar branching in accessory renal artery followed by inferior polar artery in females. There was no superior polar or inferior polar branching was observed in the right renal artery. Majority of the male cases presented with single renal artery with prehilar branching being presented In 45.18% cases. The dual renal artery was also presented in few cases. Conclusion: The variation of renal vascularity with existence of accessory renal arteries. The pre-hilar branching was presented highest and was associated with left renal artery in it the knowledge of such variation before renal surgery is important to get the best results Keywords: Significance, Anatomical variation, Renal vasculature, Renal function View Show abstract ... 18 Variants like placenta membranacea occur, in which villus stems and their branches continue to exist over the whole chorion during full lifespan of placenta. 7,10 Circummarginate is the variant that may involve in part or of entire circumference. May extend from 1 to > 10 cm. ... Gross Variants of Fetal Membranes in Healthy Placentae among Females in Pakistan Article Full-text available Dec 2023 Aneeqa Chughtai Yasmeen Bashir Saira Munawar Amjad Ali Objective: It is done to find out the gross variants of fetal membranes in healthy placentae among local females to define the variations found among uneventful pregnancies. Study design: This is a cross-sectional study. Place and Duration of Study: The study was done at Department of Anatomy, CMH Kharian Medical College. Kharian, from February 2023 to July 2023. Introduction: Fetal membranes are extraembryonic tissue that include the amnio-chorion. It is considered as an appendage attached to the margin of placental disc. Normally, it is avascular, thin, shiny and translucent structure with great tensile strength and elasticity, though has a short life-span. It has the same genetic composition as the fetus. Placenta membranecae is one having vessels in the smooth chorion and circumvallate placentae in which the membranes are grooved into the disc partially or incompletely are seen as the two types of variants in previous studies. Materials and Methods: Fetal membranes were obtained by simple random sampling after full term normal deliveries at CMH Kharian. The tissue was preserved and fixated in 12% formalin solution. Gross morphology was done to find out variants with values ≤ 5%. Data analysis was done by using SPSS 20. Results: Qualitative variants of fetal membranes were considered. The attachment sites as variants were found to be on extension beyond disc margin up to 5% and as partially circumscribed up to 1%. 4% variants of membranes were found to be opaque. No incomplete membranes were found among hundred placentae. Vessels in the membranes were present among 6% of placentae which is more than 5% of the variant. Conclusion: The variants dispense an altered phenomena which may be taken as a hallmark for future investigations. Keywords: amnion, chorion, extraembryonic, fetal membranes, placenta. View Show abstract ... The incidence of conjoined twins is rare, ranging from 1.5 per 100,000 births to one in 500,000, more often in females (3:1) . Due to the complex anatomy and shared physiological systems, surgical management of such cases presents challenges, and in many cases, surgical intervention is not possible . ... Omphalothoracopagus: A Case Report of Conjoined Twins and the Impact of Pelvimetry Article Aug 2025 Victoria M Estevez Jose Perez Gongora Murat Ibatullin Kamil Yusupov View ... The vitellointestinal duct (VID), also referred to as the omphalomesenteric duct, is an embryologic structure expected to involute by the seventh gestational week. Persistence of this duct can result in various anomalies, including Meckel's diverticulum or a completely patent tract known as PVID, which is rare, with an estimated occurrence of 0.004% to 0.06% of all births (Holcomb et al., 2014;Moore et al., 2015). Infants with PVID often present with feculent discharge from the umbilicus or, in some instances, a visible loop of prolapsed intestine. ... Management of Patent Vitello Intestinal Duct in Infants: Surgical Review and Clinical Insights Article Full-text available Aug 2025 Of Naqeebullah Hadi Manuscript Information Background: Patent vitello-intestinal duct (PVID) represents a rare congenital anomaly stemming from the incomplete involution of the omphalomesenteric duct. Clinically, it may present with symptoms like fecal discharge at the umbilicus, prolapsed intestine, or a persistent fistula. Objective: This study aims to assess the presenting symptoms, diagnostic techniques, surgical strategies, and outcomes in infants diagnosed with PVID. Methods: A retrospective evaluation was conducted on 42 infant cases treated surgically at a Nangarhar regional Hospital Pediatric Surgical Ward over a one-year span. Patient demographics, presenting features, imaging findings, surgical methods, complications, and outcomes were analyzed. Results: The majority of patients (64.3%) exhibited fecal discharge from the umbilicus, followed by intestinal prolapse (23.8%). Diagnosis was primarily established through ultrasonography (71%), supplemented by contrast fistulography. The preferred surgical intervention was segmental resection of the ileum with primary anastomosis. Postoperative wound infections occurred in 11.9%, with no recorded fatalities. Conclusion: Timely identification and surgical management of PVID lead to excellent outcomes. Complete excision and segmental bowel resection significantly reduce complications and recurrence rates. View Show abstract ... Patent foramen ovale (PFO) is a residual structure of the fetal circulation -an opening between the left and right atrium. The foramen ovale normally closes after birth due to the development of pulmonary circulation with an increase in pressure in the left atrium -this closure is only functional at first, becoming morphological and then, at around 3 months of age [1,2]. In some patients, however, foramen ovale closure does not occur. ... Association of residual shunts after PFO closure with recurrent stroke risk: Single-center experience Article Aug 2025 KARDIOL POL Libor Gajdušek Jaroslav Januška Otakar Jiravsky Vaclav Prochazka View ... Achieving the critical view of safety remains paramount . Additional intraoperative imaging modalities such as indocyanine green (ICG) fluorescence cholangiography or intraoperative ultrasound may enhance safety and visualization .From an embryologic standpoint, LSG may result from abnormal hepatic diverticulum rotation or persistence of the left umbilical vein, which alters the lobar development and gallbladder migration . Though theoretical, these mechanisms may also explain the variant hepatic arterial patterns observed during surgery.Ultimately, this case highlights the importance of a multidisciplinary approach, careful interpretation of liver function in the setting of GS, and surgical adaptability in anatomical variants like LSG. ... Japanese Journal of Gastroenterology and Hepatology Case Report Left-sided Gallbladder in a Patient with Gilbert Syndrome: An Unfamiliar Clinical Association Article Full-text available Jul 2025 Dana Alfallah Afak Alkhalil Dana Alshammari Salah Termos Left-sided gallbladder (LSG) is a rare congenital anomaly where the gallbladder is located to the left of the round ligament. It can occur alone or as part of situs inversus syndrome. Gilbert Syndrome (GS) is a benign hereditary condition characterized by intermittent unconjugated hyperbilirubinemia. We describe the case of a young male patient presenting with jaundice and symptomatic cholelithiasis found to have a left-sided gallbladder, with a known diagnosis of Gilbert Syndrome. This clinical finding highlights the importance of recognizing anatomical variants to avoid intraoperative complications and considering underlying liver status that might affect clinical interpretation. View Show abstract ... In normal fetal circulation, the presence of high pulmonary vascular resistance promotes flow of blood across the foramen ovale and the PDA. At birth with lung aeration and expansion, pulmonary artery pressures rapidly fall, left sided heart pressures exceed right sided heart pressures, and both the foramen ovale and PDA close . When the PDA fails to close despite normalization of pulmonary artery pressures, left to right shunting across the open PDA exposes the lungs to high pressure and increased blood flow. ... Outcomes of CDH patients receiving PDA ligation: a propensity score matched analysis Article Full-text available Jul 2025 PEDIATR SURG INT Hamzah Mansoura Chelsea Drennan Vikas S. Gupta Daniel K. Robie Purpose Neonates with congenital diaphragmatic hernia (CDH) have varying severity of pulmonary hypertension (PH) caused by developmental and structural abnormalities of the pulmonary vasculature and exacerbated by hypoxia induced vasoconstriction. Failure of the ductus arteriosus to close postnatally can intermittently shunt blood either to or away from the lungs. We hypothesize patent ductus arteriosus (PDA) ligation can be performed. Methods We queried the Congenital Diaphragmatic Hernia Study Group registry to identify patients from 2007 to 2020 who underwent PDA ligation. We excluded patients with missing prenatal data, postnatal diagnosis > 28 days, CDH never repaired, death < 30 days, and PDA ligated on day of or before CDH repair. Patients were matched 4:1 on propensity scores for PDA ligation. The primary outcome was mortality. The secondary outcome was any use of extracorporeal life support (ECLS). Results 3953 cases were identified for analysis (3899 in no PDA ligation (-PDAL) group, 54 in PDA ligation (+ PDAL) group). After 4:1 matching, there were 196 in the -PDAL group and 49 in the + PDAL group. There was no significant difference in mortality (OR 1.1, (0.5–2.4), p = 0.811) or in use of ECLS (OR 1.5 (0.8–2.8), p = 0.218) between the two groups. Conclusions PDA ligation can be considered as a therapeutic option for CDH patients with persistent ductus arteriosus. It may have a role in highly selected cases that have exhausted other therapeutic options. Level of evidence Level III evidence. View Show abstract ... El derecho a la vida desde la concepción reconoce la dignidad humana desde la etapa embrionaria, garantizando protección legal, médica y social para salvaguardar la existencia y valor de todo ser humano. (Moore & Persaud, 2008), ... ¿La vida empieza desde la concepción? Presentation Full-text available Jul 2025 Scarlet Recalde Britanny Vinueza Karen Chilig Sara Nicole Valdivieso Chasipanta La vida desde la concepción View Show abstract ... This review of craniofacial embryology will focus on the contributions of growth and development of the velopharyngeal complex. This topic inherently contains much a priori information as these topics are well-studied and communicated in many general and applied references . ... Embryology Chapter Jul 2025 James Cray Critical to the understanding of mature morphology and potential anomalous development is an appreciation for the generation of tissues associated with an anatomical complex. The development of the craniofacial organ, and more specifically the velopharyngeal complex, begins early in embryological development, third week postconception, and has a rapid development over the next 5 weeks. After this time, critical modifications occur to allow for normal function related to velopharyngeal activity. In this chapter, we will review the basic development stages, early cell migrations responsible for craniofacial development, development of the pharyngeal arches, lip and palate, development of the surrounding hard tissues, the development of the velopharyngeal muscles, their early function, and briefly anomalous development of these structures. View Show abstract ... By the 7th week of gestation, Sertoli cells produce anti-Müllerian hormone (AMH), also known as Müllerian-inhibiting substance (MIS), which leads to regression of the Müllerian ducts . In contrast, Leydig cells secrete testosterone, promoting the development of the Wolffian duct into male internal genital structures such as the epididymis, vas deferens, and seminal vesicles . ... An Unusual Case of Müllerian Duct Cyst in an Adult Male: Radiological Diagnosis and Clinical Implications Article Full-text available Jul 2025 Ujwala Bhanarkar Shashank Durshetwar Müllerian duct remnant cysts in males represent an exceedingly rare form of congenital anomaly resulting from incomplete regression of the paramesonephric (Müllerian) ducts during embryological development. We report a rare case of a 30-year-old male presenting with a history of intermittent pain in the right side of the abdomen and lower back for over eight months. There were no urological or gastrointestinal symptoms. A contrast-enhanced computed tomography (CECT) scan of the abdomen and pelvis revealed a well-defined, tubular, peripherally enhancing cystic lesion measuring 3.0 × 3.0 × 7.8 cm, located in the rectovesical space and extending down to the anal verge. The lesion demonstrated fluid attenuation, lacked septations or solid components, and showed no communication with adjacent organs. These features were highly suggestive of a Müllerian duct remnant cyst. The prostate was noted to be small for age, while other pelvic and abdominal organs were unremarkable. Given the unusual presentation and imaging features, this case adds to the limited literature on symptomatic Müllerian duct remnants in adult males. The report emphasises the importance of cross-sectional imaging in accurate diagnosis, differentiation from other midline pelvic cystic lesions, and guiding further management strategies, including the role of MRI and possible surgical intervention in symptomatic cases. View Show abstract ... It is first observed in the third week of pregnancy, with the geniculate ganglion visible by the sixth week. By the eighth week, most of the extracranial portion of the FN is formed [8,9]. In infants, there is no true mastoid process, only a fragile, underdeveloped tympanic ring in the temporal bone, making the FN particularly vulnerable at the level of the stylomastoid foramen. ... Morphometric Evaluation of the Mastoid Segment of the Facial Nerve in Children Article Full-text available Jul 2025 Piraye Kervancioglu Saliha Seda Adanır Ilhan Bahşi Vedat Topsakal Background Iatrogenic facial nerve dysfunction following ear surgery can be devastating for patients. These individuals anticipate improved hearing post-surgery but may experience socially challenging asymmetric facial movements instead. Given the proximity of the facial nerve (FN) to pathologies within the tympanic cavity, FN paralysis remains one of the most serious complications associated with otological procedures. Therefore, a thorough understanding of the surgical anatomy of the FN, including its pediatric variations, is crucial for preventing iatrogenic FN injuries. Objective In this study, we present the morphometric changes of the FN as children grow from birth to 18 years old, and explore its relationship with key structural landmarks on the skull. Methods Computed tomography (CT) images of the temporal bone of children aged 0–18 years digitally stored between 2008 till 2022 were retrospectively retrieved. Samples were divided into age-specific motor development groups. Both sides of one candidate were assessed separately. The length and width of the FN and its distances to marking points on the skull were assessed with dedicated image handling software (Radiant Dicom Viewer). The length and width of the FN and its distances to marking points on the skull were assessed with dedicated image handling software. SPSS 22.0 was used for statistical analysis, and p < 0.05 was accepted as statistically significant. Results CT images of 69 children (138 sides, mean age:10.06 ± 5.24), 34 boys and 35 girls were examined. The mean FN length(FN-L) and width(FN-W) were 11.09 ± 2.07mm and 1.59 ± 0.30mm, respectively. Mean distances of FN measured to mastoid surface(FN-M) 12.79 ± 2.98 mm, to external auditory canal(FN-EAC) 3.73 ± 1.49mm, to sigmoid sinus(FN-SS) 10.98 ± 2.52mm, to posterior cranial fossa(FN-PCF) 6.06 ± 2.25mm, and to midline of cranium(FN-MC) were 40 ± 4.22mm. FN-L, FN-M, FN-EAC and FN-MC have been changed between the age groups. For the parameters showing significant changes over the years the regression equations for age were calculated as y = 1.481 + (0.012age) for FN-W, y = 8.335 + (0.288age) for FN-L, y = 10.267 + (0.263age) for FN-M, y = 4.274 + (-0.056age) for FN-EAC. Conclusion Our findings demonstrate that the anatomical location and dimensions of the facial nerve in the temporal bone change during childhood. As determined in this study, FN is quite superficial in early childhood, which may make it more vulnerable. The regression equations may aid in preoperative surgical planning and prevention of iatrogenic injuries of FN in cases that have no preoperative imaging available. View Show abstract ... While the exact etiology remains multifactorial, genetic factors play a significant role, with DWM frequently associated with chromosomal abnormalities such as trisomy 18 (Edwards syndrome), trisomy 13, and other aneuploidies. Environmental factors, including maternal infections (e.g., cytomegalovirus or toxoplasmosis) and teratogenic exposures, have also been implicated in some cases, although the evidence remains limited . ... Dandy Walker Malformation Prenatal Diagnosis and Postnatal Outcome in Multigravida: A rare Case Article Full-text available Jun 2025 Mustaqin Mustaqin Niken Asri Utami Tgk. Puspa Dewi Bayu Azizka Putra Fandika Introduction: Dandy Walker malformation (DWM) is a rare congenital anomaly characterized by cerebellar vermis hypoplasia, posterior fossa expansion, and fourth ventricle enlargement, often associated with hydrocephalus and chromosomal abnormalities like Trisomy 18 (Edwards syndrome). This case report describes the prenatal diagnosis and postnatal outcome of DWM in a multigravida patient. Case: A 43-year-old multigravida woman at 29–30 weeks’ gestation presented to Dr. Zainoel Abidin General Hospital with suspected fetal anomalies. Obstetric examination revealed a transverse fundal height of 23 cm, estimated fetal weight of 1,500 grams, fetal heart rate of 140 beats/min, and maternal hypertension (160/90 mmHg). Ultrasound identified DWM (absent cerebellar vermis, enlarged fourth ventricle), bilateral hydronephrosis, and undescended testes. The patient had a history of poorly controlled hypertension and reported owning a cat for one year but denied alcohol or smoking. Following counseling, pregnancy termination was performed, resulting in the delivery of a 1,400-gram male infant (length: 36 cm, Apgar score: 4–5). Postnatal phenotypic examination revealed undescended testes, low-set ears, overlapping digits, respiratory distress, small stature, and hypotonia. Karyotyping confirmed Trisomy 18. Conclusion: This case underscores the importance of prenatal ultrasound in detecting DWM and associated anomalies, enabling informed decision-making. The coexistence of DWM and Trisomy 18 highlights the need for genetic testing in such cases. Despite termination, the poor postnatal outcome reflects the severe prognosis of Trisomy 18. This report contributes to the limited literature on DWM in multigravida patients. View Show abstract ... deposition, and organ growth during mid-to-late pregnancy. This pattern aligns with the typical fetal growth trajectory, where skeletal development precedes rapid brain and fat growth . Unlike the EDEN study, which observed associations only among women with BMI just before pregnancy < 25 kg/m 2 , our subgroup analyses found that prepregnancy weight gain influenced fetal growth across all BMI categories, as well as various demographic and reproductive subgroups. ... Associations of Prepregnancy Weight Change with Fetal Growth and Adverse Birth Outcomes: A Prospective Cohort Study in China Article Jun 2025 Yuwei Lai Xianli Li Wang Yuxiang Xiongfei Pan View ... The spiral organ is formed by the differentiation of epithelial cells in the wall of the cochlear duct. Thus, the human cochlea reaches its adult size and shape by 20-22 weeks of the fetal period . ... Three-dimensional examination of cochlear dimensions in children up to 18 years Article Full-text available Jun 2025 CHILD NERV SYST Saliha Seda Adanır Mohammad Al Saadi Ilhan Bahşi Vedat Topsakal Objective A cochlear implant is the most successful neuroprosthesis in healthcare, and its success is due to firstly the tonotopical orientation of the auditory pathways and of course the brain plasticity. In most etiologies causing sensorineural hearing loss, damage to the inner ear (hair) cells leaves the tonotopical architecture intact. Cochlear variations are key to the performance of cochlear implants surgically placed into the scala tympani. Exact placement of all electrodes, correct lengths of the electrodes with full cochlear coverage, and accurate signal processing strategies will allow sound perceptions closer to natural hearing and minimize frequency shifts. Therefore, knowing the cochlea’s dimensions is considered significant, especially in children with congenital hearing loss. Not only in smaller children but also in normally developed adult cochlea there are natural variations in dimensions of the cochlear duct length, the cochlea height, and the cochlea width. Here, we examine the dimensions of the cochlea in children aged 0–18 years in this study and account for their hearing status in our analyses. Methods Computed tomography (CT) images of patients aged 0–18, who had been consulting our department for various reasons consecutively between 2021 and 2022, were included. Children with a history of previous ear surgery and adults (> 18 years) were excluded from the study. CT images in DICOM format were transferred to a commercially available dedicated image processing software. Anatomical landmarks were determined and studied on CT sections for the 3D reconstruction by experienced anatomists. Results A total of 69 CT images of patients (9.59 ± 5.19, boy: 34, girl: 35), were analyzed. Thirty-five of the children had bilateral hearing loss, and 15 had unilateral hearing loss. The other 19 patients have normal hearing. All parameters except cochlear height were statistically greater in boys than girls. The cochlear height was found to be significantly lower in patients with sensorineural hearing loss than in the normal hearing control group (p = 0.021). Conclusion This study provides reference values for mean cochlear dimensions in children aged 0–18 years. These values may be helpful for designing appropriately sized electrodes for children with hearing loss who have normal cochlear anatomy. Considering the regression equations presented may help surgeons in estimating cochlear dimensions according to age and selecting appropriate electrodes before the surgery. View Show abstract ... The formation of the axillary arch muscle is linked to the migration and differentiation of myogenic precursor cells (myoblasts) derived from the hypaxial portion of the paraxial mesoderm, specifically from developing somites. These myoblasts populate the limb buds and thoracic wall to give rise to the muscles of the trunk and extremities . Incomplete regression of the panniculus carnosus can lead to the persistence of accessory muscle slips, such as the axillary arch, representing vestigial muscular structures retained during development [15,17]. ... Rare Bilateral Axillary Arch With Its Novel Insertion Into the Deltoid and Unilateral Supernumerary Head of the Sternocleidomastoid Muscle in a Single Cadaver Article May 2025 Hosne Ara Adegbenro Fakoya View ... The development of acrania is thought to result from abnormal migration of mesenchymal tissue, which usually covers the cerebral hemispheres and contributes to the formation of the membranous neurocranium During the fourth week of embryonic development, this mesenchymal layer-derived from paraxial mesoderm and neural crest cells-migrates beneath the surface ectoderm to envelop the developing brain, giving rise to the flat bones of the cranial vault. Failure of this process leads to the absence of calvarial bones, leaving the brain exposed and vulnerable to secondary degeneration . While the exact etiology is multifactorialincorporating genetic, nutritional, and environmental factors-folic acid deficiency remains a well-established contributor to neural tube defects (NTDs) . ... Prenatal Diagnosis of Acrania in One Twin of a Dichorionic Diamniotic Pregnancy: A Case Report on Management and Perinatal Outcome Article Full-text available May 2025 Agnieszka Żalińska Weronika Marcinkowska Filip Gągorowski Agnieszka Pięta-Dolińska Background and Clinical Significance: Twin pregnancies are associated with an increased risk of congenital malformations. One of them is rare but lethal—acrania—which belongs to the group of neural tube defects. The pathogenesis of acrania is not fully understood. It is presumed that the underlying mechanism of its development is a disorder of migration of mesenchymal tissue. The presence of an acrania in one of the twins may lead to complications such as polyhydramnios, preterm labor, or, in severe cases, an intrauterine death in one or both twins. Case Presentation: A 30-year-old woman (G4P4) was admitted to the Labor Department of a tertiary hospital in 30+3 weeks due to preterm labor. The patient was in a dichorionic diamniotic twin pregnancy with a single lethal fetal anomaly and severe polyhydramnios of a second twin. Hence, the caesarean section was immediately performed. Both twins were admitted to the Neonatology Department. The healthy neonate was hospitalized and discharged after 42 days in good condition. Palliative care for the twin with acrania was provided. Conclusions: Early detection of acrania in twin pregnancies is critical. It allows the implementation of appropriate management and targeted counseling, thereby minimizing the risk of complications both for unaffected twins and the mothers. Our case is a good model of action where a twin pregnancy with a diagnosed lethal defect in an ambulatory setting was managed, providing holistic specialized care. View Show abstract ... The exposure to macrolides was defined as filling one or more prescriptions for any systemic macrolide in outpatient settings during the first trimester, spanning from the first day of LMP to the end of the 12th gestational week. This period encompasses the critical organogenesis phase, between the 5th and 10th gestational weeks, when the risk of MCMs is highest . The comparator group comprised pregnancies exposed to amoxicillin (ATC code J01CA04) during the first trimester to reduce the risk of confounding by indication. ... First-trimester exposure to macrolides and risk of major congenital malformations compared with amoxicillin: A French nationwide cohort study Article Full-text available Apr 2025 PLOS MED Anh Tran Mahmoud Zureik Jeanne Sibiude Sarah Tubiana Background While macrolides are among the frequently prescribed antibiotics for pregnant women, evidence of their fetal safety remains conflicting. This study aimed to evaluate the risk of major congenital malformations (MCM) after first-trimester exposure to macrolides compared with amoxicillin, focusing on specific MCM subtypes. Methods and findings This nationwide cohort study used data from the Mother-Child EPI-MERES Register nested in the French Health Data System (SNDS). Pregnancies linked with their singleton live-born infants from January 1, 2010, and December 31, 2020, were included. The macrolide exposure group comprised pregnancies with one or more prescriptions filled for systemic macrolides (erythromycin, spiramycin, roxithromycin, josamycin, clarithromycin, and azithromycin) during the first trimester. The comparator group comprised pregnancies exposed to amoxicillin during the first trimester. Adjusted relative risks (aRR) and 95% CI were estimated by log-binomial regression for any MCM overall and individual MCMs with a prevalence of at least one per 10,000 live-born infants in the macrolide exposure group. Among 7,644,579 eligible pregnancies, 140,708 exposed to macrolides and 592,652 exposed to amoxicillin were included. After adjustment for measured confounders, macrolide exposure during the first trimester was not associated with any MCM overall (aRR 1.00, 95% CI 0.96 to 1.05) compared with amoxicillin. Specifically, no increased risk was found for most individual MCMs. However, an increase in the risk for spina bifida (aRR 1.82, 95% CI 1.22 to 2.71) and syndactyly (aRR 1.65, 95% CI 1.06 to 2.58) was observed. The adjusted risk difference per 10,000 live-born infants was 1.15 (95% CI 0.26 to 2.05) for spina bifida and 0.87 (95% CI 0.01 to 1.72) for syndactyly. Sensitivity analyses consistently yielded elevated point estimates for these two MCMs, despite wide confidence intervals and small numbers of events. Residual confounding by indication is possible. Conclusions The findings indicate that macrolide exposure during the first trimester is not strongly associated with an increased risk for most individual MCMs, which is reassuring. However, an increased risk of spina bifida and syndactyly remains possible. Future studies are required to investigate these observations further as evidence continues to grow. View Show abstract ... In fact, it has been previously demonstrated that ozone had the greatest effects during the second and third trimesters . Additionally, extreme temperatures were found to have the most profound effects on stillbirth in the third trimester in some countries, as well as varying associations with birth weight [36,37]. As such, we focus our analysis on the last trimester of pregnancy. ... Climate, Pollution, and Maternal Health: Investigating the Impact of Temperature and Ozone on Birth Outcomes in Phoenix, Arizona Article Full-text available Apr 2025 Megan Witsoe Kristin D Mickelson Paul Kang Jacqueline Nguyen Human actions have significantly modified the global environment, leading to adverse effects on public health. Pregnant women, being particularly vulnerable, face increasing risks as climate change continues to raise concerns about its influence on maternal and birth outcomes. As climate change persists, exploration of its effects on maternal birth outcomes is of increasing importance. This study investigates two particularly salient factors (temperature and ozone pollution) and their impact on birth outcomes in Phoenix, Arizona. With its unique mountainous terrain, semi-arid climate, and high temperatures, Phoenix creates conditions that expose residents to elevated levels of pollutants and extreme heat. This paper uses a retrospective cohort study of pregnant mothers who delivered during October 2018–December 2020 at St. Joseph’s Hospital and monthly temperature data during the last trimester of each patient’s pregnancy. These data were gathered from the National Weather Service and Ozone Air Quality Index data from the Arizona Department of Environmental Quality. Our analyses revealed that the highest levels of ozone and elevated temperature exposure were both independently associated with lower birth weights. Furthermore, we found that ozone mediated the effect of temperature on birth weight outcomes (controlling for participants’ sociodemographics), demonstrating that the relationship between temperature and birth weight was explained through increases in ozone pollution. View Show abstract ... The foramen ovale is an important component of circulation during fetal development, spontaneously occluding in the majority of people after birth. 1 The prevalence of patent foramen ovale (PFO), derived from autopsy, is approximately 27%, but it decreases with advancing age; after 80 years of age, it is found in 20% of the population. 2 Another relevant aspect refers to the concept of paradoxical embolism, first described in 1877, 3 confirmed by a high incidence of ischemic stroke in patients with PFO. 4 In this sense, the term cryptogenic ischemic stroke is characterized by a cerebral infarction whose origin cannot be attributed to specific causes, for example, intracavitary cardiac thrombi, atherosclerosis of the large arteries, small vessel disease, or other known etiologies. However, even after extensive clinical assessment, approximately 25% to 40% of patients with cerebrovascular ischemia do not present a specific cause, and PFO is a common condition in these cases. ... Percutaneous Patent Foramen Ovale Occlusion in Patients Over 60 Years of Age with History of Stroke Article Mar 2025 Marcelo Sabedotti Luciano da Silva Selistre Agda Mezzomo Sara Voltolini View ... Fontanelles facilitate childbirth by allowing skull bone molding during labor (2). Each fontanelle closes chronologically with growth through a process called intramembranous ossification (3). Morphological data of the fontanelles are markers for several conditions such as dehydration, Hyperparathyroidism, hyperthyroidism, and Craniosynostosis (4). ... Is there a Correlation between the Size of the Fontanelles and the Maternal Profiles? : A cross-sectional Study in Central Sudan Article Full-text available Mar 2025 Omnia M. Medani Elhadi Mohamed Kheir E.A. Elkarim Mohamed Abdelsalam Nurein Background: Variations in the size of fontanelles are studied in correlation with many variables such as regional location, gestational age, gender and maternal ethnicity. Objective: This study attempted to shed light on the relationship between maternal and pregnancy profiles with the size of the fontanelles in newborn Sudanese children in the State of Gezira, Central Sudan. Methods: This was a cross-sectional study carried out in Wad Madani Obstetrics and Gynecology Hospital, included 400 babies and their mothers. The collected data included maternal personal data and medical histories besides fontanelles measurement. Reports about the fontanelles were taken twelve hours after birth of the newborn. The Popich and Smith methods in which the baby was in calm state and held in upright position were used to measure the fontanelle size. Fontanelles were demarcated by the researcher and the measurement was taken using a plastic tape. T-tests and one-way ANOVA were employed for data analysis. Results: The anterior fontanelle (AF), and posterior fontanelle (PF) were present and patent in the entire babies with a mean size of AF (2.09±0.49 cm), and PF (1.7±0.34 cm). The PF size displayed variations in association with maternal comorbid diseases and residency compared to AF. There was no statistically significant correlation between fontanelle size and maternal age (P-value 0.73) (P-value 0.06) and parity (P-value 0.94) (P-value0.89), respectively. Conclusion: size AF and PF among an apparently healthy Sudanese newborn falls within the same global range. Variations were detected in the size of the PF in correlation with maternal residence and maternal comorbidity. View Show abstract KADIN VE JİNEKOLOJİK SORUNLAR Book Full-text available Aug 2025 Nurullah Peker Yusuf Kenan Haspolat Mesude Duman Jinekoloji View Show abstract Ovaryum, Uterus ve Meme Histolojisi Chapter Full-text available Aug 2025 Fırat Şahin Fırat Aşır View A rare developmental deviation in mite morphology: Leg malformation observed in Stigmaeus hashtrudiensis (Acariformes: Stigmaeidae) Conference Paper Full-text available Jul 2025 Salih Doğan Sibel Dilkaraoğlu Doğan The present study reports a distinctive malformation of the left leg I of a female specimen of Stigmaeus hashtrudiensis Bagheri & Maleki (Stigmaeidae). The malformed leg is smaller than that of the normal leg and some of its segments show structural distortions, such as further division of the leg segments and stump structure, as well as abnormal structures including an enlarged solenidion, monodactyly, non-setalisation and absence of empodium. This is the first reported case of malformation in S. hashtrudiensis, with the study focusing on the potential causes of this morphological defect. View Show abstract Distinctive chromosomal, mutational and transcriptional profiling in colon versus rectal cancers Article Full-text available Aug 2025 J TRANSL MED Maria Teresa De Angelis Antonia Rizzuto Angela Amaddeo Giuseppe Viglietto Background Colorectal cancer (CRC) encompasses tumors arising in the colon (CC) and rectum (RC), often treated as a single disease despite emerging evidence of biological divergence. Understanding the molecular differences between CC and RC is critical for improving diagnosis, prognosis, and therapeutic strategies. Methods We performed an integrated genomic and transcriptomic analysis of CC and RC data from The Cancer Genome Atlas (TCGA) to investigate their degree of similarity and observed that these tumors present distinct molecular profiles, which suggest an evolution through divergent pathways. Comparative analyses included copy number alterations (CNAs), somatic mutations, driver gene prediction, differential gene expression, pathway enrichment, and survival analysis. Results Chromosomal analyses revealed that 43% of focal and 77% of large-scale CNAs were specific of CC, while 10.5% and 57% were specific of RC with 8% of mutant genes unique to CC and 0.18% to RC. CC and RC presented distinct profiles of gene mutations, with CC showing significantly higher tumor mutational burden (0.51 muts/Mb vs 0.28 muts/Mb in RC). Distinct mutational signatures were identified, with CC characterized by a higher frequency of PIK3CA, BRAF, and DNAH1 mutations, while RC showed enrichment for TP53 and NRAS mutations. Importantly, analysis of predicted non-canonical driver genes identified ACVR1B, LTBP4, SETD1A as CC-specific drivers and C4BPA, EHD1 as RC-specific drivers, underscoring divergent oncogenic mechanisms. However, the most substantial divergence was observed in transcriptomic profiling, with 56% and 33% of DEGs (in CC and RC, respectively) that were tumor-type specific. Notably, RC tumors segregated into two distinct transcriptional subtypes (Cluster 1 and Cluster 2), with Cluster 1 showed a more heterogeneous Consensus Molecular Subtypes (CMS) distribution, while Cluster 2 enriched in CMS4 (mesenchymal) and CMS3 (metabolic) consensus molecular subtypes. Accordingly, Gene Set Enrichment Analysis revealed CC-specific upregulation of Wnt, MYC, and mTOR signaling pathways, and RC-specific enrichment of GPCR and neuronal development pathways. On the other hand, pseudogene expression was significantly higher in CC, suggesting differential mechanisms of transcriptional dysregulation. Finally, we identified an RC-specific multigene survival signature as a prognostic model involving upregulation of C2CD4B, HSPD1P1, LINC01356, CBX3P9, GATA2-AS1 and downregulation of ATP5F1EP2, HSP90AB3P and SNRPFP1. Conclusions Collectively, our findings provide robust molecular evidence that CC and RC follow divergent oncogenic pathways, emphasizing the need for site-specific biomarker development and therapeutic targeting in colorectal cancer. View Show abstract Seven (quadruple right and triple left) renal arteries and their topological relationship with other branches of the abdominal aorta Article Aug 2025 ANAT SCI INT Shigeyuki Esumi Yoshikazu Koba Yoshihiro Kumagai Takaichi Fukuda Supernumerary renal arteries are frequently observed, but their developmental origin remains controversial. One hypothesis, the ladder theory, ascribed origins of multiple renal arteries to a segmental array of mesonephric arteries. However, recent studies in both rodents and humans demonstrated evidence against this theory. We describe a rare variation in a Japanese female cadaver exhibiting seven renal arteries encountered during student dissection practice in 2023. On the right side, the main renal artery branched off from the aorta 29 mm below the origin of the superior mesenteric artery. Three additional renal arteries branched off at the level of or below the inferior mesenteric artery. On the left side, two renal arteries branched off at usual high positions, but another branch below the inferior mesenteric artery. In 43 cadavers dissected in 2023, all renal arteries including duplicate type, but except for the present case, arose at high positions near the superior mesenteric artery. Incidence of connection between multiple renal arteries and adrenal and/or gonadal arteries was 78.6% (11 out of 14 kidneys). Importantly, all these connections were observed at high-positioned branches. Combining present results with previous data in literatures revealed the close relationship between high-positional branching and connections with adrenal/gonadal arteries (p = 0.0056), suggesting two factors influencing renal artery development: (1) prenatal, interconnected arteries at high positions, and (2) low-positioned individual branches arising from the aorta during kidney ascent with poor interconnectivity. Arteries involved in these two events might regress with various degrees, leading to diversity in number and connectivity of renal arteries. View Show abstract Thoracic Vascular Anomalies: Insights from Embryology and Imaging Article Aug 2025 RADIOGRAPHICS Ryosuke Taiji Aya Yamada Katsutoshi Horiuchi Toshihiro Tanaka Examination of the embryologic origins and imaging findings of thoracic vascular anomalies in the pulmonary and systemic circulation can assist radiologists and clinicians in diagnosis and effective management. View Show abstract Exploring the Ethics of Creating Chimeric 'Monkey-Human' Embryos: Could Xenotransplantation, the Treatment of Anencephalic Infants, or Synthetic Human Embryos Provide Insights? Article Jul 2025 Francis J. O’Keeffe View Chronological Age Limit of Female Figures Portrayed In Sigiriya Fresco Pockets Article Full-text available Jun 2022 Methmal Subasinghe Ashoka Karunarathna Ancient paintings situated in a crevice in the rock-face of Sigiriya, the renowned world heritage site, which is an ancient rock fortress located in the Matale district Sri Lanka have captured marked interest of ancient people as well as the modern scholars. Only 19 complete female figures and 4 remnants of 3 female figures were preserved to the modern days. The sigiriya paintings have been interpreted in various contexts and the discussion on the subject of sigiriya paintings is one of several. In this paper selected female figures in frescoes pockets were studied in order to determine the age limits of selected female figures ultimately to contribute to the literature on these paintings with a different point of view. Tanner staging of the breast development was used in context to the age of menarche and its relation to tanner stage breast development to propose more scientific proposition on the lower limit of the female figures. In most girls menarche occurs in tanner stage IV breast development. Age of 14 year was considered the median age of menarche during king Kashyapa's time (477-495 AD) which was the logical lower limit of chronological age. Menopausal effect is one of the major causes of breast ptosis. Age of 40 years was considered the age of menopause during the time period king Kashyapa ruled this country. Paintings of female figures were selected from fresco pocket B. In current study fresco B3, B5, B7, B9, B10, B12, B13 were assed to determine the age limit. Paintings in which the upper body was covered with jacket and figures that could not adequately be examined for the breast anatomy were excluded in this study to maintain the consistency of results. In this research, in selected female figures-fresco B3, B5, B7, B9, B10, B12, B13, the lower limit of the chronological age was 14 years, the upper limit of the chronological age was 40 years. This finding is in accordance with several scholarly interpretations on the subject of paintings and also it provides scientific fortification to existing opinions and interpretations on the subject of paintings. View Show abstract Nasal and labio-oral angles in young adult indigenous Ghanaians Preprint Full-text available Jul 2025 Paul M Matondo Kevin Ko Richard Michael Blay Frederick Kwaku Addai Background/Objective: The paucity of normative angular nasal and labio-oral anthropometric data on indigenous sub-Saharan Africans hinders the aesthetic effectiveness of reconstructive/plastic surgery on their faces. This data void also negatively affects their facial biometrics, information retrieval, forensics, dentistry, and beauty analysis. This study contributes to lling this gap by generating normative values for the nasal and labio-oral angles in young adult autochthonic Africans living in Ghana. View Show abstract Embryologie des Blut- und Lymphgefäßsystems: Allgemeiner Fahrplan und Mechanismen der embryonalen Gefäßbildung Chapter Jul 2025 Jörg Männer View Anatomy and function of closing muscle complex of the vagina in health and pelvic organ prolapse Article Jul 2025 G. B. Dikke A. Makatsariya Aydar Mindiarovich Ziganshin V. O. Bitsadze Introduction. In modern literature, the pelvic floor muscles are presented by showing their anatomical location and indicating relevant attachment points, but their combined anatomical, topographic and functional significance is described insufficiently, which the current review was aimed at. Aim: to determine the physiological significance and anatomical units of the vagina occlusor muscle complex, topography and functions in health and in pelvic organ prolapse (POP). Materials and Methods. The search for English-published literary sources was conducted in the international publication databases PubMed/MEDLINE, Google Scholar, Cochrane Library, and Russian-language eLibrary resource by using keywords «pelvic floor», «genital fissure», «vagina», «sphincters», «pelvic organ prolapse», «urinary incontinence», «anal incontinence» with unlimited search depth. The inclusion eligibility criteria were as follows: systematic reviews, full-text original studies examining pelvic floor anatomy and physiology containing the results of pathological, clinical and instrumental methods devoted to the anatomy and physiology of the pelvic floor, as well as monographs and textbooks. Total 53 publications were included in the descriptive review. Results. Unlike animals, as well as the closing apparatus of the urethra and rectum consisting of internal and external sphincters, the muscle complex that compresses the genital slit and the lower third of the vagina includes five muscles. The m. bulbospongiosus of the superficial layer of the pelvic floor and m. transversus perinei superficialis , located in the perineal body, allow to keep the genital fissure closed. The external urethral sphincter located in the middle layer covers the ventral surface of the urethra and ensheath the distal part of the vagina, forming m. sphincter urethrovaginalis , that contracts to narrow both the urethra and the vagina. The deep layer is presented by m. levator ani , the medial and anterior bundles of which – m. pubovaginalis , pass along the sides of the vagina, whereas the m. puborectalis located laterally bends around the rectum as a U-shaped muscular sling – both of them close the gap between the medial legs of m. levator ani , narrowing the lower third of the vagina. All of such muscles have a close anatomical connection with adjacent organs due to their common embryonic development, and determine the stability and functional activity of the entire pelvic organs complex. Altering integrity of the specified muscle complex (rupture, in-labour overstretching) or its structural degradation characterized by loss of tone and contraction force, results in failed closing genital fissure, increased distance between the medial parts of m. levator ani in the lower third of the vagina and the loss of supporting and closing functions of the pelvic floor as well as POP development. Moreover, dysfunction of the constrictor muscles anatomically associated with neighbouring organs due to their common embryonic development, contributes to emergence of urinary and anal incontinence, despite the integrity of relevant sphincters. Conclusion. The muscle complex that compresses the genital fissure and the lower third of the vagina is characterized by the lack of the circularmuscle and consists of five muscles having a close anatomical connection with adjacent pelvic organs. Damage to this muscle complex results in combined anatomical, topographic and functional changes in the pelvic floor, manifested by descent/prolapse of the pelvic organs and urinary/anal incontinence. View Show abstract De ongecompliceerde zwangerschap Chapter Jul 2025 Ank de Jonge Corine Verhoeven Esther I Feijen-de Jong Petra Bakker View MORPHOMETRY OF DEVELOPING HUMAN FETAL URETER Article Jun 2025 Dipika Singh Krishna Pandey Mamta Anand Rajesh Pandey Introduction: The ureters are paired bilateral, slender tubular structures connecting the kidneys to the urinary bladder. Developmentally ureter is derived from the ureteric bud which is an outgrowth from mesonephric duct that forms ureter after elongating and penetrating the metanephric blastema. Objectives: To study gross morphometric features fetal ureter in different gestational age groups and their correlation. Methods: Study was conducted in Anatomy department, in collaboration with Obstetrics and Gynaecology and Pathology departments. Samples obtained were all dead fetuses without any gross congenital malformation ranging between 12 weeks to 36 weeks of gestation. Morphometric parameters were measured and histogenesis at different gestational ages was observed. Data was presented in the form of mean and standard deviation. Quantitative variables were estimated using measures of central tendency, and data was arranged in the form of gures and tables. Pearson's correlation coefcient was calculated between fetal general morphometric parameters, fetal ureteric morphometric parameters, and signicant differences were calculated using the ANOVA test. Results: The study analyzed the morphometry of fetal ureter during intrauterine life. There was strong positive correlation between General Morphometric parameters of fetus, fetal ureter. Conclusion: With advancing gestation age, fetal ureter morphometric parameters increase, which can be used to assess fetal growth and diagnose various pathological conditions. Understanding human fetal ureter morphometry may be of signicant assistance in perinatology and Radiology. View Show abstract Effects of Prenatal Cannabis Exposure on Neonatal Outcomes Chapter Jun 2025 Iveta Kopil Hilary Marusak Several factors have contributed to the increase in cannabis use among expectant mothers in recent years. This chapter summarizes these factors and the potential effects of cannabis on neonates exposed in utero. The literature review focused on 15 clinical (human) studies and 14 preclinical (animal) studies, as shown in the tables below. Clinical studies analyzed three major variables: low birth weight (LBW), preterm birth (PTB), and neonatal intensive care unit (NICU) admission. Animal studies were grouped into LBW, PTB, and other outcomes. Human studies linked prenatal cannabis exposure (PCE) to higher rates of PTB, LBW, and NICU admissions. Although animal models confirmed effects on LBW, findings on PTB were inconsistent. Animal studies also showed that PCE alters neurotransmitter systems, including dopamine, gamma-aminobutyric acid (GABA), and the endocannabinoid system, and impairs executive function. Interestingly, prenatal exposure to cannabidiol, a nonintoxicating cannabis component, was associated with positive effects on neuronal survival. In conclusion, both human and animal studies show consistent effects of PCE on LBW in neonates. However, further controlled animal studies are needed to isolate the effects of cannabis exposure from co-use with other substances, particularly tobacco and nicotine, to better understand cannabis’ specific effects. View Show abstract Efektivitas Konsumsi Hati Ayam Dalam Meningkatkan Kadar Hemoglobin (Hb) Pada Ibu Hamil Dengan Kekurangan Energi Kronis (KEK) Article Full-text available May 2025 Ekayanti Komariah Komariah Maryani Maryani Heny Surahman Kekurangan Energi Kronis (KEK) pada ibu hamil merupakan masalah kesehatan yang signifikan dan dapat berdampak buruk pada ibu dan janin, salah satunya adalah anemia akibat defisiensi zat besi. Hati ayam dikenal kaya akan zat besi dan nutrisi lain yang penting untuk pembentukan hemoglobin (Hb). Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui Efektivitas Konsumsi Hati Ayam Dalam Meningkatkan Kadar Hemoglobin (Hb) Pada Ibu Hamil Dengan Kekurangan Energi Kronis (KEK) Di Puskesmas Pembantu Pondok Bambu 1. Jenis desain dalam penelitian ini adalah One-group pre-test post-test design. Dalam desain ini, satu kelompok subjek (ibu hamil dengan KEK) akan diukur kadar hemoglobinnya sebelum (pre-test) dan setelah (post-test) diberikan intervensi Konsumsi Hati Ayam. Penelitian ini dilaksanakan di PMB Maryani pada bulan mei 2025. Populasi dalam penelitian ini seluruh ibu hamil dengan diagnosis Kekurangan Energi Kronis (KEK) yang terdaftar di PMB Maryani pada periode penelitian yakni sebanyak 48 ibu hamil dengan jumlah sampel dalam yang memenuhi kriteria adalah 32 ibu hamil. Uji Wilcoxon menunjukkan perbedaan signifikan (p < 0.001) antara kadar hemoglobin sebelum dan sesudah konsumsi hati ayam. Hasil statistik secara keseluruhan memperlihatkan peningkatan kadar hemoglobin setelah intervensi konsumsi hati ayam di Puskesmas Pembantu Pondok Bambu 1. Hasil penelitian disimpulkan bahwa pemberian buah bit secara signifikan efektif dalam meningkatkan kadar hemoglobin (Hb) pada ibu hamil dengan Kekurangan Energi Kronis (KEK) di Puskesmas Pembantu Pondok Bambu 1. Penelitian ini dapat dijadikan Rekomendasi spesifik bagi ibu hamil KEK, tenaga kesehatan, dan program kesehatan terkait konsumsi hati ayam. View Show abstract Development of Major Organs Chapter May 2025 Jonathan Leo The nervous system starts to develop in the third week of development with the formation of the notochord in the mesoderm. The ectoderm above the notochord will condense into the neural plate—at this point, just a flat piece of tissue. The edges of the neural plates then rise to form the neural groove. The edges of the groove then start to come together forming the neural tube. The neural tube will drop down into the embryo to become surrounded by mesoderm. The ventral surface of the neural plate also gives rise to neural crest cells which migrate down towards the notochord. The neural crest cells give rise to numerous cell types, one of which is the dorsal root ganglia cells lying alongside the neural tube. View Show abstract Testes, Ovaries, and Gametogenesis Chapter May 2025 Jonathan Leo There are four types of tissue in the adult: Muscle, Connective, Nervous and Epithelial. Muscle tissue comes from mesoderm; Nervous tissue comes from ectoderm; Connective tissue comes from mesoderm, and Epithelia tissue comes from endoderm, mesoderm, and ectoderm. View Show abstract Anatomy of the ileum-intestinal tract of the human fetus at 16-22 weeks of ontogenesis Article Full-text available May 2025 Tatyana Vasilyeva Our study confirms that the formation of the ileocecal angle ends after 22 weeks of development, as the cecum is actively growing. No sex differences were found during the follow-up period. The study presents quantitative changes and variants of the anatomical location of the appendix. The features of the structure of the ileo-intestinal valve zone, with an oval-shaped ileo-intestinal opening, weakly pronounced frenules, and a more pronounced ileo-colon-intestinal lip (upper lip) of the flap, were determined. Thus, it should be noted that at the time of 16-22 weeks of the intermediate fetal period of human ontogenesis, the morphology of the ileum-intestinal tract of the fetus is developing. This department represents a single anatomical entity with strict interdependence of its components. The shape and size of the cecum are related to the angle of confluence of the ileum, which, in turn, determines the features of the structure of the ileum. View Show abstract Anatomy of the Foot and Ankle Chapter May 2025 Rajiv Shah Arvind Puri Nurettin Heybeli View Early Placental Development and Disorders Chapter Apr 2025 Kathleen A. Pennington Quita Kilgore-Nolan Lena Shay Danny Schust The prompt recognition and management of medical problems occurring in the first trimester can significantly improve the health and outcomes of mother and baby. Early Pregnancy was the first book to embrace a multidisciplinary approach to this rapidly growing field. It combines the expertise of a wide range of internationally renowned authors to produce an authoritative reference on the subject. This new and updated edition reflects the latest changes in the field in response to changing clinician needs, such as COVID 19 infections and novel 3D imaging techniques. Features key recommendations, providing clinicians with the tools to improve the patient's experience of the management of first-trimester complications. By combining essential elements of scientific research and clinical care, Early Pregnancy continues to set a benchmark for evidence-based management and will be essential reading for obstetricians, gynaecologists, neonatologists, ultrasonographers, and nurses seeking an understanding of the reproductive science of early pregnancy. View Show abstract Pelvic ectopic kidney with malrotation: a rare case report of renal cell carcinoma Article Apr 2025 Praneeth Aregala Sreehari Gowda Sachin Marda T. M. Jyoshna The incidence of renal cell carcinoma in a pelvic kidney is rare and has only been reported in a very small number of cases. We report a 42 years old female patient presented with haematuria. CT scan showed large heterogeneous soft tissue mass arising from a right interpolar region of pelvic kidney with saccular aneurysm and peripheral hpoenhancing lesion. Histopathology after radical nephroureterectomy showed grade II clear-cell renal carcinoma. Renal cell carcinoma of ectopic kidney is a rare disease. Even though the presentation might be atypical and challenging, the treatment strategy is still the same as for tumours of orthotopic kidneys. View Show abstract Laparoscopic Surgery for Splenic Flexure Cancer Using CME/CVL: Preoperative Fusion Imaging of the Pancreas and 3D-CT Angiography to Determine the Site of Accessory Middle Colic Artery DissectionCME/CVLを目指した脾弯曲部癌に対する腹腔鏡下手術─副中結腸動脈切離部決定のための術前3D-CTAと膵のfusion画像の作成 Article Full-text available Mar 2025 Toshiaki Toshima Laparoscopic surgery for splenic flexure cancer is difficult because of the many variations in the vascularity of the dissected area and its proximity to the stomach, pancreas, and spleen, which are embryologically different from each other. For complete mesocolic excision, dissection of the mesentery at the origin of the transverse mesocolon is crucial. For central vascular ligation, it is important to dissect the root of the feeding vessels. However, it can be difficult to dissect around the root because it may branch from the dorsal pancreas in patients with an accessory middle colic artery. In our hospital, for splenic flexure cancer involving an accessory middle colic artery, we perform preoperative fusion imaging of the pancreas and 3D-CT angiography to determine the location of the branch and pancreas as well as the extent of dissection in each case based on the degree of progression and the branch location. We report herein on the surgical procedure and short-term outcomes for splenic flexure cancer at our hospital. View Show abstract Associations between self-reported consumption of foods and serum PFAS concentrations in a sample of pregnant women in the United States Article Mar 2025 Nicole M. DeLuca Kent Thomas Thomas J. Luben Lisa Jo Melnyk View Show more ResearchGate has not been able to resolve any references for this publication. Recommended publications Discover more about:Embryology Article Embriología clínica : Keith L. Moore, T. V. N. Persaud January 1970 Keith L. Moore Vid Persaud Traducción de: The developing human: clinically oriented embryology Incluye bibliografía e índice Read more Article The Developing Human: Clinically Oriented Embryology, 7th ed October 2003 · Journal of Manipulative and Physiological Therapeutics Barclay W Bakkum Read more Article The Developing Human: Clinically Oriented Embryology, 7th ed.: Keith L. Moore and T.V.N. Persaud. Sa... October 2003 · Journal of Manipulative and Physiological Therapeutics Barclay W Bakkum Read more Article The Developing Human: Clinically Oriented Embryology October 1989 · Journal of Anatomy Marjorie A. England Read more Looking for the full-text? You can request the full-text of this book directly from the authors on ResearchGate. Request full-text Already a member? Log in ResearchGate iOS App Get it from the App Store now. 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8085	https://mathematica.stackexchange.com/questions/126250/find-sequence-of-minima	list manipulation - Find sequence of minima - Mathematica Stack Exchange Join Mathematica By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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Continue until there is only one element left. Thus for example given {7,2,5,3,4,8} the result would be {2,3,4,8} (2 is the minimum. After removing 7 and 2, you are left with {5,3,4,8}, of which 3 is the minimum. Continue.) Given {4, 5, 3, 2, 4, 4, 6, 3, 7, 5, 5, 8} the result would be {2,3,5,5,8}. It appears that I could use Min together with Position and iterate over the list, removing elements to the left of the last found peak, but is there a more efficient way? (These will be pretty long lists). list-manipulation performance-tuning filtering Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this question Follow Follow this question to receive notifications edited Sep 13, 2016 at 14:51 user31159 asked Sep 13, 2016 at 13:56 rogerlrogerl 4,311 3 3 gold badges 29 29 silver badges 44 44 bronze badges 1 It would be nice to see your own effort(s) presented in the question. In general, this is not a "do this for me" site...ciao –ciao 2016-09-14 22:04:13 +00:00 Commented Sep 14, 2016 at 22:04 Add a comment\| 2 Answers 2 Sorted by: Reset to default This answer is useful 6 Save this answer. Show activity on this post. mathematica list = {4, 5, 3, 2, 4, 4, 6, 3, 7, 5, 5, 8}; Module[{x = 1, ord = Ordering@list}, list[[ Reap[ Scan[ If[# > x, Sow[x = #]] &, ord] ] ]] ] ( {2, 3, 5, 5, 8} ) This code by Xavier works similarly (and with similar timing), by going through the elements one-by-one and keeping track of the current lowest-value, but uses Map instead of Scan, Reap, and Sow mathematica Reverse@Map[x = list; If[# <= x, x = #, Nothing] &, Reverse@list] The above methods are fairly quick, but for efficiency this method by MichaelE2 wins the prize: mathematica list Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Sep 13, 2016 at 16:11 answered Sep 13, 2016 at 14:19 Jason B.Jason B. 72.1k 3 3 gold badges 151 151 silver badges 316 316 bronze badges 4 2 +1. This is a bit faster: list].Michael E2 –Michael E2 2016-09-13 14:52:32 +00:00 Commented Sep 13, 2016 at 14:52 @Xavier In my mind, it is still Jason's algorithm, just with a fast Max replacing a slow If tossed with a bit of "immutability," if I understand that term correctly. My hope was that he'd include it in his answer. But if he doesn't want to, I will post it later.Michael E2 –Michael E2 2016-09-13 15:01:48 +00:00 Commented Sep 13, 2016 at 15:01 1 @MichaelE2 - I was going to say that the only similarity between yours and mine is the final call to Part, but then I really examined it and I can see the similarity more. I can add it here if you like (I have been slacking off here since I got a real job, my fake internet points tally is no longer growing like it used to)Jason B. –Jason B. 2016-09-13 15:22:09 +00:00 Commented Sep 13, 2016 at 15:22 This has the same speed, but it's clearer, imo: list]. I suppose it's arguable whether the idea for an algorithm or for the code refactoring should be considered more deserving of points on a site devoted to both. I've got enough f.i.p.s, so feel free to incorporate it, if you're comfortable with that.Michael E2 –Michael E2 2016-09-13 15:41:43 +00:00 Commented Sep 13, 2016 at 15:41 Add a comment\| This answer is useful 0 Save this answer. Show activity on this post. ```mathematica a = {4, 5, 3, 2, 4, 4, 6, 3, 7, 5, 5, 8}; minimas[list_] := Block[{a, out, f, min, pos}, a = list; out = {}; f := Module[{}, min = First@TakeSmallest[a, 1]; AppendTo[out, min]; pos = First@Flatten@Position[a, min]; a = Drop[a, pos] ]; While[Length@a > 0, f]; out ] minimas[a] ``` {2, 3, 5, 5, 8} The timing is also acceptable: mathematica b = RandomInteger[100, 100000]; minb = minimas[b]; // RepeatedTiming {1.69, Null} mathematica Length @ minb 989 mathematica c = RandomInteger[1000, 100000]; minc = minimas[b]; // RepeatedTiming {0.12, Null} mathematica Length @ minc 86 Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Sep 14, 2016 at 21:42 answered Sep 13, 2016 at 22:02 corey979corey979 24.4k 7 7 gold badges 60 60 silver badges 109 109 bronze badges Add a comment\| Your Answer Thanks for contributing an answer to Mathematica Stack Exchange! Please be sure to answer the question. Provide details and share your research! But avoid … Asking for help, clarification, or responding to other answers. Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. Use MathJax to format equations. MathJax reference. To learn more, see our tips on writing great answers. Draft saved Draft discarded Sign up or log in Sign up using Google Sign up using Email and Password Submit Post as a guest Name Email Required, but never shown Post Your Answer Discard By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions list-manipulation performance-tuning filtering See similar questions with these tags. The Overflow Blog The history and future of software development (part 1) Getting Backstage in front of a shifting dev experience Featured on Meta Spevacus has joined us as a Community Manager Introducing a new proactive anti-spam measure Linked 9Find longest monotonically increasing subsequence containing final two elements Related 4Values (or positions) of array row elements within a specified number of positions from target value 12Faster "stuttering" accumulate? 0Contract two lists 6Delete an element list recursively 5How to find the length of an indefinitely repeated sequence in a list 5Selecting cases from a list based on two conditions 1Selecting matrices based on existence of unique column and row of all equal terms 6Find min and max indices of highest and lowest elements in sorted list 2Summing second elements in list of pairs whenever first elements fall in range Hot Network Questions Does the mind blank spell prevent someone from creating a simulacrum of a creature using wish? Why do universities push for high impact journal publications? How do you emphasize the verb "to be" with do/does? Does the curvature engine's wake really last forever? Change default Firefox open file directory Is there a specific term to describe someone who is religious but does not necessarily believe everything that their religion teaches, and uses logic? Riffle a list of binary functions into list of arguments to produce a result Why include unadjusted estimates in a study when reporting adjusted estimates? Lingering odor presumably from bad chicken How many stars is possible to obtain in your savefile? Exchange a file in a zip file quickly Can a cleric gain the intended benefit from the Extra Spell feat? Are there any world leaders who are/were good at chess? Is encrypting the login keyring necessary if you have full disk encryption? Identifying a movie where a man relives the same day Any knowledge on biodegradable lubes, greases and degreasers and how they perform long term? how do I remove a item from the applications menu How to start explorer with C: drive selected and shown in folder list? How different is Roman Latin? What NBA rule caused officials to reset the game clock to 0.3 seconds when a spectator caught the ball with 0.1 seconds left? Implications of using a stream cipher as KDF Is existence always locational? Origin of Australian slang exclamation "struth" meaning greatly surprised "Unexpected"-type comic story. Aboard a space ark/colony ship. Everyone's a vampire/werewolf Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. lang-mma Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. 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8086	https://www.kristakingmath.com/blog/surface-area-of-revolution	Step-by-step math courses covering Pre-Algebra through Calculus 3. Surface area of revolution around the x-axis and y-axis Formulas to find the surface area of revolution We can use integrals to find the surface area of the three-dimensional figure that’s created when we take a function and rotate it around an axis and over a certain interval. The formulas we use to find surface area of revolution are different depending on the form of the original function and the axis of rotation. When the function is in the form ???y=f(x)??? and you’re rotating around the ???y???-axis, the interval is ???a\leq{x}\leq{b}??? and the formula is ???S=\int^b_a2\pi{x}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx??? When the function is in the form ???y=f(x)??? and you’re rotating around the ???x???-axis, the interval is ???a\leq{x}\leq{b}??? and the formula is ???S=\int^b_a2\pi{y}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx??? When the function is in the form ???x=g(y)??? and you’re rotating around the ???y???-axis, the interval is ???c\leq{y}\leq{d}??? and the formula is ???S=\int^d_c2\pi{x}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\ dy??? When the function is in the form ???x=g(y)??? and you’re rotating around the ???x???-axis, the interval is ???c\leq{y}\leq{d}??? and the formula is ???S=\int^d_c2\pi{y}\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\ dy??? How to calculate surface area of revolution, whether you’re rotating around the x-axis or the y-axis Take the course Want to learn more about Calculus 2? I have a step-by-step course for that. :) Learn More Finding surface area of the rotation around the x-axis over an interval Example Find the area of the surface generated by rotating the function about the ???x???-axis over ???0\leq{x}\leq3???. ???y=x^3??? Since the equation is in the form ???y=f(x)???, and we’re rotating around the ???x???-axis, we’ll use the formula ???S=\int^b_a2\pi{y}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx??? We’ll calculate ???dy/dx??? and then substitute it back into the equation. ???\frac{dy}{dx}=3x^2??? ???S=\int^3_02\pi{x^3}\sqrt{1+\left(3x^2\right)^2}\ dx??? ???S=\int^3_02\pi{x^3}\sqrt{1+9x^4}\ dx??? Using u-substitution and setting ???u=1+9x^4??? and ???du=36x^3\ dx???, we calculate ???x=\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac14}??? ???dx=\frac{1}{36x^3}\ du??? ???dx=\frac{1}{36\left[\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^3}\ du??? Plugging these values back into the integral, we get ???S=\int^3_02\pi{\left[\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^3}\sqrt{u}\frac{1}{36\left[\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{1}{4}}\right]^3}\ du??? ???S=\int^3_02\pi{\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{3}{4}}}\sqrt{u}\frac{1}{36\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{3}{4}}}\ du??? ???S=\frac{\pi}{18}\int^3_0{\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{3}{4}}}\sqrt{u}\frac{1}{\left(\frac{u-1}{9}\right)^{\frac{3}{4}}}\ du??? ???S=\frac{\pi}{18}\int^3_0\sqrt{u}\ du??? Integrate. ???S=\left(\frac{\pi}{18}\right)\left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right)\bigg\|^3_0??? ???S=\frac{\pi}{27}u^{\frac{3}{2}}\bigg\|^3_0??? We’ll plug back in for ???u???, remembering that ???u=1+9x^4???, and then evaluate over the interval. ???S=\frac{\pi}{27}\left(1+9x^4\right)^{\frac{3}{2}}\bigg\|^3_0??? ???S=\frac{\pi}{27}\left[1+9(3)^4\right]^{\frac{3}{2}}-\left[\frac{\pi}{27}\left(1+9(0)^4\right)^{\frac{3}{2}}\right]??? ???S=2,294.8??? square units The surface area obtained by rotating ???y=x^3??? around the ???x???-axis over the interval ???0\leq{x}\leq3??? is ???S=2,294.8???. Get access to the complete Calculus 2 course Get started Learn mathKrista Kingmath, learn online, online course, online math, calculus 2, calculus ii, calc 2, calc ii, integrals, integration, applications of integrals, applications of integration, integral applications, integration applications, surface area, revolution, surface area of revolution, surface area generated, x-axis, y-axis, rotation about, rotation around Facebook0 Twitter LinkedIn0 Reddit Tumblr Pinterest0 0 Likes
8087	https://unacademy.com/content/nda/study-material/chemistry/electrochemical-series/	© 2023 Sorting Hat Technologies Pvt Ltd Electrochemical Series The arrangement of elements in order of their standard reduction potential is called electrochemical series. The electrochemical series is also known as electromotive force. An electrochemical series is a series of chemical elements arranged in the order of their standard electrode potential. This is the hydrogen electrode, H+(aq) + e– →← 1/2H2(g) The electrode potential is considered to be zero. By definition, the electrode potential is the reduction potential. Elements that are more prone to losing electrons in solution than hydrogen are considered electropositive; those that gain electrons from solution are lower in the series than hydrogen and are called electronegative. The most active metal lithium is placed on the top, the most active nonmetal Fluorine is at the bottom. So, we found that lithium is the strongest reducing agent and fluorine is the strongest oxidant. What is an Electrochemical Series? Electrochemical series are lists of metals in order of decreasing reactivity or ease of oxidation. The higher metals in the series, such as alkali metals and alkaline earth metals, are more reactive or more easily oxidised than the lower metals in the series. This basically means that they can react more easily to form compounds. Those metals at the top of the active sequence are called active metals. Metals at the bottom of this range, such as transition metals, are very stable and unlikely to form bonds. These metals, such as copper and gold, are used to make coins and jewellery and are known as “precious” metals because of their low reactivity. An electrochemical series is a series of chemical elements arranged in the order of their standard electrode potential. Electrode potential is defined as the potential of a cell with one electrode as the cathode and a standard hydrogen electrode (SHE) as the anode. At the cathode, reduction always occurs whereas oxidation always occurs at the anode. Applications in Electrochemical Series Calculation of EMF Each and every electrochemical cell comprises two half-cells connected to each electrode. Each half-cell undergoes a reaction, one oxidation and the other reduction. Each reaction corresponds to a potential, namely oxidation potential and reduction potential. Cell EMF is the sum of the oxidative and reducing capacity of cells. It measures the spontaneity of the overall reaction in the cell. It is also a measure of work which a cell can do. The electrochemical sequence helps us measure the EMF cell by taking the standard electrode potential values of the half-cells and then adding them appropriately. Ecell0=Ered0– Eox0 , where Ered0 is the standard reduction potential of the reducing half-cell and Eox0 is the standard reduction potential of the oxidising half-cell. Measuring the spontaneity of responses The viability or spontaneity of redox reactions is directly related to the corresponding reactive EMF cells: If the cell EMF is positive, the response is spontaneous. If the cell EMF is negative, the response is non-spontaneous. Therefore, we can understand whether a redox reaction can proceed spontaneously by looking at the reactants and products. We write the equations for the reduction and oxidation half-reactions. We then add their standard electrode potentials appropriately according to the electrochemical series. The resulting cellular EMF tells us whether the response is spontaneous. Gibbs Free Energy Estimation Gibbs free energy (ΔGcell0) is another measure of the spontaneity of a reaction. It is related to the EMF unit (E unit) as follows. ΔGcell0=−nFEcell0, where n is the number of electrons participating in the reaction and F is Faraday’s constant equal to 96485 coulomb mol-1 Again, based on the cellular EMF signal, we have the following: If cell EMF is negative, the Gibbs free energy is positive and the reaction is not spontaneous. If the EMF pool is positive, the Gibbs free energy is negative and the reaction is spontaneous. Predicting the final product of a redox reaction If we only get the reactants of the reaction, we can calculate the final product of the reaction as follows. We write out the standard electrode potential values for each reactant using the electrochemical series. Then we see which one has the highest and lowest reduction potential. Once we have these values, we can predict the final product as follows: The ion with the highest reduction potential is reduced at the cathode. The ions with the smallest reduction potential are oxidised at the anode. Oxidised and reduced ions give us the final product of the reaction. Conclusions The electrochemical series is also called the active series in chemistry. The elements listed in the periodic table are arranged in such a way that they represent an ascending order of electrode potential values. Standard hydrogen electrodes are used to monitor the potential of various electrodes. Depending on the degree of ability to undergo oxidation or reduction, different ions are arranged to form an electrochemical array. Whether metallic or non-metallic. Therefore, the value of the standard electrode potential is calculated by accurately recording the voltage at the end of the standard hydrogen electrode and the half-cell connected to it Frequently asked questions Get answers to the most common queries related to the NDA Examination Preparation. What is the order of the electrochemical series? What is the difference between electrochemical series and reaction series? What does a positive E-cell mean? How do I know if Ecell is positive or negative? Ans : Electrochemical arrays are constructed by arranging different redox equilibria in the order of standard electrode potentials (redox potentials). The most negative value of E° is placed at the top of the electrochemical series, and the most positive value is placed at the bottom. Ans : Electrochemical arrays are constructed by arranging different redox equilibria in the order of standard electrode potentials (redox potentials). The most negative value of E° is placed at the top of the electrochemical series, and the most positive value is placed at the bottom. Ans :Basically, ECS (electrochemical series) should refer to the aqueous state. On the other hand, a reaction series refers to a reaction that is not in the water state. For example, during electrolysis, chemicals are in an aqueous state (they dissolve in water and form ions). Ans :Basically, ECS (electrochemical series) should refer to the aqueous state. On the other hand, a reaction series refers to a reaction that is not in the water state. For example, during electrolysis, chemicals are in an aqueous state (they dissolve in water and form ions). Ans.This means that the reaction is not spontaneous and feasible. E° cells must be positive for the reaction to occur. Ans.This means that the reaction is not spontaneous and feasible. E° cells must be positive for the reaction to occur. Ans :For galvanic cells that must function spontaneously, cell E must be positive. You can use the relation delta G = -nFEcell to explain this phenomenon. For delta G to be negative, indicating that the response is spontaneous, the E cell must be positive. Ans :For galvanic cells that must function spontaneously, cell E must be positive. You can use the relation delta G = -nFEcell to explain this phenomenon. For delta G to be negative, indicating that the response is spontaneous, the E cell must be positive. Unacademy is India’s largest online learning platform. Download our apps to start learning Starting your preparation? Call us and we will answer all your questions about learning on Unacademy Call +91 8585858585 Company Help & support Products Popular goals Trending exams Study material © 2025 Sorting Hat Technologies Pvt Ltd Share via COPY
8088	https://www.scribd.com/document/404147860/ERIC-EJ743583-Descartes	ERIC EJ743583 Descartes \| PDF \| Vertex (Geometry) \| Topological Spaces Opens in a new window Opens an external website Opens an external website in a new window This website utilizes technologies such as cookies to enable essential site functionality, as well as for analytics, personalization, and targeted advertising. To learn more, view the following link: Privacy Policy Open navigation menu Close suggestions Search Search en Change Language Upload Sign in Sign in Download free for 30 days 0 ratings 0% found this document useful (0 votes) 120 views 3 pages ERIC EJ743583 Descartes 1) Rene Descartes discovered a theorem relating the total angle defect of a polyhedron to its Euler number. Specifically, the total angle defect (T) equals 2π multiplied by the difference of… Full description Uploaded by Anonymous CXt2QZpA3 AI-enhanced description Go to previous items Go to next items Download Save Save ERIC EJ743583 Descartes For Later Share 0%0% found this document useful, undefined 0%, undefined Print Embed Ask AI Report Download Save ERIC EJ743583 Descartes For Later You are on page 1/ 3 Search Fullscreen amt 62 (1) 2006 2 We discuss here a delightfully simple theorem of Descartes, which will enable us to deter-mine easily the number of vertices of almost every polyhedron. Angle defect We define the angle defect at a vertex of a poly-hedron to be the amount by which the sum of the face angles at that vertex falls short of 2 π .For example, for the regular tetrahedron, the angle defect is (in degrees) is: 360 – 6 0 – 60 – 60 = 1 80°= π . The total angle defect of the polyhedron is defined to be what one gets by adding up the angle defects at all the vertices of the polyhe-dron. We call the total defect T . Here is a simple exploratory exercise, good for class use!Consider some simple polyhedra, and determine the angle defects and the total angle defect T . Can you make a conjecture about T ?Use Table 1.A reasonable conjecture would seem to be that the total angle defect T is a lwa ys 7 20°or 4 π . How might we prove this? Descartes’ theorem Rene Descartes lived from 1596 to 1650. His contribu-tions to geometry are still remembered today in the terminology “Descartes’plane”. Descartes discovered that there is a connection between the total defect, T , and the Eu ler nu mb er V – E + F ,where V , E , F denote the number of vertices, and De scarte s’ t heo rem Polyhedron Number of vertices 4 Angle defect 180 Total angle defect, T 720 Table 1 PAUL SCOTT adDownload to read ad-free a m t 6 2 (1) 2 0 0 6 3 edges and faces of the given polyhedron. We might point out that strictly the Euler number is a relationship between the number of edges,vertices and regions (“faces”) of a planar graph— a finite figure in the plane having no inter-secting sides or loops. However, the number is easily applied to most polyhedra, for by looking ‘through a face’ of the polyhedron we can obtain a planar graph. For example, in the case of the cube, we obtain the diagram given in Figure 1. Figure 1 For the cube we have V = 8, E = 12 and F =6. In the abo ve plan ar repres entat ion, we have V = 8, E = 12, and the number of regions( F ) is 6. The (large) square face we are looking through is ignored, and replaced by the exte-rior region of the figure, thus retaining the F value. This representation of the cube (and similarly of other polyhedra) is called a Schlegel diagram .We can now state Descartes’ Theorem. Descartes Theorem The total angle defect of a polyhedron and the Euler number of that polyhedron are related by T = 2 π (V – E + F) ()This means that for any polyhedron having Euler number 2, T = 4 π , or 720°. (There are, in fact, occasional non-convex polyhedra which do not have Euler number 2.) Proof of the theorem Looking at the right hand side of (), we can think of associating the quantity 2 π with each vertex, edge and face of the given polyhedron.Let us relate this idea to a particular face of the polyhedron (see Figure 2).This face contributes 1 towards the number F , so we associate 2 π with the face.Each edge of the face is associated with the value –2 π . However, each edge is shared by two faces, so with respect to the given face, we agree to associate just – π with each edge. If the edge has n faces, then the total quantity asso-ciated with the given face so far is (2 – n ) π .W e note that the sum of the angles of the polygon is in fact ( n – 2) π .()Finally, for each vertex, we wish to allocate 2 π . Since each vertex is shared, we need to make a partial contribution from our given face. We agree first to give the value of the face angle at each vertex. This will be insufficient,as the angles at any vertex add to less than 2 π .So let us say for the given face F , the amount contributed to the total vertex count is the sum of the face angles, plus a certain composite angle defect, δ F , to compensate for the shortfall. (We could try to define this more precisely, but we are really only interested in the total angle defect.)So the contribution of this face to the right hand side of () is now δ F the sum of the angles of F (2 – n ) π = δ F by (). Figure 2 adDownload to read ad-free amt 62 (1) 2006 4 Summing over all the faces we obtain T = 2 π ( V – E F ) = S δ F as required, T giving the total angle defect.As we have noted, when the Euler number is 2, we obtain T = 4 π = 720°.This number is sometimes called the total curvature of the sphere , and is related to the surface area formula for the sphere, A = 4 π r 2 . A bonus result Descartes theorem is an unexpected and pretty result — and it is useful as well.For any regular or semi-regular polyhe-dron, Euler’s formula holds, and the vertices are all alike. Hence the angle defect is the same at every vertex. This means that we now have a quick way of determining the number of vertices, even for quite complicated poly-hedra. Thus, working in degrees, the number of vertices is given by For example, the truncated icosahedron,which is t he polyhedron gi ving the structure of the soccer ball, has two hexagons and a pentagon meeting at each vertex. Working in degrees, the angle defect is therefore 360 – 120 – 120 – 108 = 12°. W e deduce immediately that this polyhe-dron has 720 / 12 = 60 vertices. My reference book tells me that this is the r ight answer! References For a general discussion on the significance of the number 4 π ,see rt.net/DESCar te.html.For the numbers associated with various polyhedra, see Cundy, H. M. &Rollett, A. P., Mathematical Models . Oxford. Paul Scott Adelaide mail@paulscott.info W elcome to another (busy) new year! A special welcome also to new readers of AMT . This year we hope to bring you articles that provide much food for thought — both pedagogically and mathematically. Perhaps some articles may provoke some controversy — of the civilised, scholarly kind, of course.At times, reading articles in journals such as AMT and others published by AAMT and other similar organisations, one can get the impression that mathematics educators all agree, more or less, on the broad principles that might be gathered under a “construc-tivist” umbrella, and implement these. Yet,experiences “in the field” can suggest other-wise. Over the last couple of years I have worked as a teacher and researcher in schools,observed classes, listened to teachers talk,and heard stories from pre-service students and parents. There seems to persist a culture of teaching mathematics that preserves the traditions familiar to many of those educated in the middle decades of last century. The struggle by teachers to meet adequately the educational needs of students as well as the demands of educational institutions seems often to be decided in favour of meeting systemic demands. The two needs — those of the students and those of the institution of education — seem to act in opposition to each other, rather than provide a stereoscopic picture of mathematics education as it should be realised in an Australian culture. Thelma Perso, in her reflective article in this edition,contemplates this debate in the context of numeracy and mathematics.Despite conservative, or perhaps, preserva-tionist views on mathematics education,changes do creep in. Educational practice evolves — perhaps not quickly enough in this time of rapid change brought about by tech-nological innovations. Many students,particularly those now in school, take for editorial Share this document Share on Facebook, opens a new window Share on LinkedIn, opens a new window Share with Email, opens mail client Copy link Millions of documents at your fingertips, ad-free Subscribe with a free trial You might also like Ge 4 MMW Week 6 7 No ratings yet Ge 4 MMW Week 6 7 79 pages Daily Lesson Plan in Mathematics 7 100% (4) Daily Lesson Plan in Mathematics 7 4 pages Cube and Polyhedron Counting Guide No ratings yet Cube and Polyhedron Counting Guide 19 pages Eulers Formula Activity No ratings yet Eulers Formula Activity 2 pages Definition: A Graph G Is Any Network of Points and Lines. We Usually Call The No ratings yet Definition: A Graph G Is Any Network of Points and Lines. 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Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. 576648e32a3d8b82ca71961b7a986505 scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.
8089	https://www.teacherspayteachers.com/Product/Graph-Absolute-Value-Functions-Algebra-Desmos-Exploration-8398315	Log InSign Up Cart is empty Total: View Wish ListView Cart Graph Absolute Value Functions - Algebra Desmos Exploration $1.50 DescriptionReviewsQ&AStandards2 Share Description This 7-page Desmos Exploration activity allows students to explore the graphs of absolute value functions and form theories about the transformations of the graphs given. I printed these pages using the "magazine" layout to create a mini booklet for students to tape into their interactive notebooks. NOTE: There is currently NOT an answer key provided. This download now includes: a print + go PDF an editable PPT version This worksheet is also included in the following bundles: ★ Algebra 1 - Skills Practice Worksheet Bundle ★ Algebra 1 - Activities Bundle ★ Algebra 1 - Full Curriculum Bundle Check out some of my other algebra 1 resources: ★ Algebra 1 (+Pre-Algebra) Foldable Bundle ★ Algebra 1 Binder Notes ★ Algebra 1 Semester 1 Digital Assignments for Google Forms ★ Algebra 1 Semester 2 Digital Assignments for Google Forms ★ Algebra 1 Puzzles ★ Algebra 1 Scavenger Hunts ★ Algebra 1 Task Cards + Bingo ★ Algebra 1 Boom Cards Questions, feedback, or requests?! Email me! Lisa@LisaDavenportOnTPT.com Report this resource to TPT Reported resources will be reviewed by our team. Report this resource to let us know if this resource violates TPT's content guidelines. Graph Absolute Value Functions - Algebra Desmos Exploration Lisa Davenport 7.5kFollowers $1.50 Grade 8th - 11th Subject Algebra, Algebra 2, Math Standards CCSSHSF-IF.B.4 CCSSHSF-IF.C.7 Tags Centers, Printables, Worksheets Save even more with bundles Algebra 1 Activities Bundle This product includes all the printable algebra 1 activities in my store, including puzzles, task cards, MATHO (Math Bingo), Connect Four, Scavenger Hunts, and worksheets. NOTE: This product does not include my foldables, binder notes, or any digital activities. This bundle currently includes over $100.00Price $100.00$473.50Original Price $473.50Save $373.50 203 Reviews This product has not yet been rated. Rated 0 out of 5 Questions & Answers Loading Standards Log in to see state-specific standards (only available in the US). CCSSHSF-IF.B.4 For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. CCSSHSF-IF.C.7 Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. Loading TPT is the largest marketplace for PreK-12 resources, powered by a community of educators. Who we are We're hiring Press Blog Gift Cards Help & FAQ Security Privacy policy Student privacy Terms of service Tell us what you think Get our weekly newsletter with free resources, updates, and special offers. Get newsletter IXL family of brands Comprehensive K-12 personalized learning Rosetta Stone Immersive learning for 25 languages Trusted tutors for 300 subjects 35,000 worksheets, games, and lesson plans Adaptive learning for English vocabulary Fast and accurate language certification Essential reference for synonyms and antonyms Comprehensive resource for word definitions and usage Spanish-English dictionary, translator, and learning French-English dictionary, translator, and learning Diccionario inglés-español, traductor y sitio de aprendizaje Fun educational games for kids © 2025 by IXL Learning\|Protected by reCAPTCHA Privacy•Terms
8090	https://www.vip-ltd.co.uk/Expansion/Thermal_Expansion.pdf	Thermal Expansion Because of the temperature of the flowing media or the surrounding ambient temperature (including solar gain and wind chill), all vessels and pipes ensure a direct proportion of expansion or contraction. This rate of expansion or contraction can be mathematically calculated via this formula: X = L x (T1 - T2) x CExp Where: X = Expansion or contraction (m) L = Length of pipe or vessel (m) T1 = Starting temperature (°C) T2 = Final temperature (°C) CExp = Coefficient of Thermal Expansion The table to the right shows the Coefficients Of Thermal Expansion for various common materials. EXAMPLES Examples of thermal expansion rates over a temperature range of 0°C to 82°C: Carbon Steel = 1.00mm/mtr Copper = 1.34mm/mtr Stainless Steel (Austenitic) = 1.34mm/mtr. Expansion rates of the common materials shown in the table above, after various temperature changes, are as follows: Coefficients Of Thermal Expansion For Common Pipe Materials Plastics Metals Material Coefficient Material Coefficient Copper 16.4 x 10-6 ABS 100 x 10-6 Carbon Steel 12.2 x 10-6 PVCU 80 x 10-6 Stainless Steel (Austenitic) 16.3 x 10-6 PVCC 70 x 10-6 Stainless Steel (Ferritic) 10.9 x 10-6 PE 200 x 10-6 Cast Iron 11.0 x 10-6 PP 150 x 10-6 Temperature Change Rates Of Thermal Expansion For Common Pipe Materials (mm/m) °C Copper Carbon Steel Stainless Steel Cast Iron ABS PVCU PVCC PE PP 10 0.16 0.12 0.16 0.11 1.00 0.80 0.70 2.00 1.50 20 0.33 0.24 0.33 0.22 2.00 1.60 1.40 4.00 3.00 30 0.49 0.37 0.49 0.33 3.00 2.40 2.10 6.00 4.50 40 0.66 0.49 0.65 0.44 4.00 3.20 2.80 8.00 6.00 50 0.82 0.61 0.82 0.55 5.00 4.00 3.50 10.00 7.50 60 0.98 0.73 0.98 0.66 6.00 4.80 4.20 12.00 9.00 70 1.15 0.85 1.14 0.77 4.90 10.50 80 1.31 0.98 1.30 0.88 5.60 12.00 90 1.48 1.10 1.47 0.99 100 1.64 1.22 1.63 1.10 110 1.80 1.34 1.79 1.21 120 1.97 1.46 1.96 1.32 130 2.13 1.59 2.12 1.43 140 2.30 1.71 2.28 1.54 150 2.46 1.83 2.45 1.65 160 2.62 1.95 2.61 170 2.79 2.07 2.77 180 2.95 2.20 2.93 190 3.12 2.32 3.10 200 3.28 2.44 3.26 210 2.56 3.42 220 2.68 3.59 230 2.81 3.75 240 2.93 3.91 250 3.05 4.08 260 3.17 4.24 270 3.29 4.40 280 3.42 4.56 290 3.54 4.73 300 3.66 4.89
8091	https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Electricity_and_Magnetism/Electromagnetics_II_(Ellingson)/06%3A_Waveguides/6.10%3A_Rectangular_Waveguide-_Propagation_Characteristics	6.10.1 6.10.2 Skip to main content 6.10: Rectangular Waveguide- Propagation Characteristics Last updated : May 9, 2020 Save as PDF 6.9: Rectangular Waveguide- TE Modes Back Matter Page ID : 24820 Steven W. Ellingson Virginia Polytechnic Institute and State University via Virginia Tech Libraries' Open Education Initiative ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}) In this section, we consider the propagation characteristics of TE and TM modes in rectangular waveguides. Because these modes exhibit the same phase dependence on zz, findings of this section apply equally to both sets of modes. Recall that the TM modes in a rectangular waveguide are given by: ˜E(m,n)z=E(m,n)0sin(mπax)sin(nπby)e−jk(m,n)zz E˜(m,n)z=E(m,n)0sin(mπax)sin(nπby)e−jk(m,n)zz(6.10.1) where E(m,n)0E(m,n)0 is an arbitrary constant (determined in part by sources), and: k(m,n)z=√ω2μϵ−(mπa)2−(nπb)2 k(m,n)z=ω2μϵ−(mπa)2−(nπb)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(6.10.2) The TE modes in a rectangular waveguide are: ˜H(m,n)z=H(m,n)0cos(mπax)cos(nπby)e−jk(m,n)zz H˜(m,n)z=H(m,n)0cos(mπax)cos(nπby)e−jk(m,n)zz(6.10.3) where H(m,n)0H(m,n)0 is an arbitrary constant (determined in part by sources). Cutoff frequency First, observe that values of k(m,n)zk(m,n)z obtained from Equation 6.10.26.10.2 are not necessarily real-valued. For any given value of mm, (k(m,n)z)2(k(m,n)z)2 will be negative for all values of nn greater than some value. Similarly, for any given value of nn, (k(m,n)z)2(k(m,n)z)2 will be negative for all values of mm greater than some value. Should either of these conditions occur, we find: (k(m,n)z)2=ω2μϵ−(mπa)2−(nπb)2 <0=−\|ω2μϵ−(mπa)2−(nπb)2\|=−α2 (k(m,n)z)2=ω2μϵ−(mπa)2−(nπb)2 <0=−∣∣∣ω2μϵ−(mπa)2−(nπb)2∣∣∣=−α2(6.10.4) where αα is a positive real-valued constant. So: k(m,n)z=±jα k(m,n)z=±jα(6.10.5) Subsequently: e−jk(m,n)zz=e−j(±jα)z=e±αz e−jk(m,n)zz=e−j(±jα)z=e±αz(6.10.6) The “++” sign option corresponds to a wave that grows exponentially in magnitude with increasing zz, which is non-physical behavior. Therefore: e−jk(m,n)zz=e−αz e−jk(m,n)zz=e−αz Summarizing: When values of mm or nn are such that (k(m,n)z)2<0(k(m,n)z)2<0, the magnitude of the associated wave is no longer constant with zz. Instead, the magnitude of the wave decreases exponentially with increasing zz. Such a wave does not effectively convey power through the waveguide, and is said to be cut off. Since waveguides are normally intended for the efficient transfer of power, it is important to know the criteria for a mode to be cut off. Since cutoff occurs when (k(m,n)z)2<0(k(m,n)z)2<0, cutoff occurs when: ω2μϵ>(mπa)2+(nπb)2 ω2μϵ>(mπa)2+(nπb)2 Since ω=2πfω=2πf: f>12π√μϵ√(mπa)2+(nπb)2=12√μϵ√(ma)2+(nb)2 f>12πμϵ−−√(mπa)2+(nπb)2−−−−−−−−−−−−−−√=12μϵ−−√(ma)2+(nb)2−−−−−−−−−−−−√(6.10.7)(6.10.8) Note that 1/√μϵ1/μϵ−−√ is the phase velocity vpvp for the medium used in the waveguide. With this in mind, let us define: vpu≜1√μϵ vpu≜1μϵ−−√ This is the phase velocity in an unbounded medium having the same permeability and permittivity as the interior of the waveguide. Thus: f>vpu2√(ma)2+(nb)2 f>vpu2(ma)2+(nb)2−−−−−−−−−−−−√ In other words, the mode (m,n)(m,n) avoids being cut off if the frequency is high enough to meet this criterion. Thus, it is useful to make the following definition: fmn≜vpu2√(ma)2+(nb)2 fmn≜vpu2(ma)2+(nb)2−−−−−−−−−−−−√(6.10.9) The cutoff frequency fmnfmn (Equation 6.10.96.10.9) is the lowest frequency for which the mode (m,n)(m,n) is able to propagate (i.e., not cut off). Example 6.10.16.10.1: Cutoff frequencies for WR-90 WR-90 is a popular implementation of rectangular waveguide. WR-90 is air-filled with dimensions a=22.86a=22.86 mm and b=10.16b=10.16 mm. Determine cutoff frequencies and, in particular, the lowest frequency at which WR-90 can be used. Solution Since WR-90 is air-filled, μ≈μ0μ≈μ0, ϵ≈ϵ0ϵ≈ϵ0, and vpu≈1√μ0ϵ0≅3.00×108vpu≈1μ0ϵ0−−−−√≅3.00×108 m/s. Cutoff frequencies are given by Equation 6.10.96.10.9. Recall that there are no non-zero TE or TM modes with m=0m=0 and n=0n=0. Since a>ba>b, the lowest non-zero cutoff frequency is achieved when m=1m=1 and n=0n=0. In this case, Equation 6.10.96.10.9 yields f10=6.557 GHz_f10=6.557 GHz––––––––––; this is the lowest frequency that is able to propagate efficiently in the waveguide. The next lowest cutoff frequency is f20=13.114 GHzf20=13.114 GHz. The third lowest cutoff frequency is f01=14.754 GHzf01=14.754 GHz. The lowest-order TM mode that is non-zero and not cut off is TM1111 (f11=16.145f11=16.145 ). Phase Velocity The phase velocity for a wave propagating within a rectangular waveguide is greater than that of electromagnetic radiation in unbounded space. For example, the phase velocity of any propagating mode in a vacuum-filled waveguide is greater than cc, the speed of light in free space. This is a surprising result. Let us first derive this result and then attempt to make sense of it. Phase velocity vpvp in the rectangular waveguide is given by vp≜ωk(m,n)z=ω√ω2μϵ−(mπ/a)2−(nπ/b)2 vp≜ωk(m,n)z=ωω2μϵ−(mπ/a)2−(nπ/b)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(6.10.10)(6.10.11) Immediately we observe that phase velocity seems to be different for different modes. Dividing the numerator and denominator by β=ω√μϵβ=ωμϵ−−√, we obtain: vp=1√μϵ1√1−(ω2μϵ)−1[(mπ/a)2+(nπ/b)2] vp=1μϵ−−√11−(ω2μϵ)−1[(mπ/a)2+(nπ/b)2]−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(6.10.12) Note that 1/√μϵ1/μϵ−−√ is vpuvpu, as defined earlier. Employing Equation 6.10.96.10.9 and also noting that ω=2πfω=2πf, Equation 6.10.126.10.12 may be rewritten in the following form: vp=vpu√1−(fmn/f)2 vp=vpu1−(fmn/f)2−−−−−−−−−−√(6.10.13) For any propagating mode, f>fmnf>fmn; subsequently, vp>vpuvp>vpu. In particular, vp>cvp>c for a vacuum-filled waveguide. How can this not be a violation of fundamental physics? As noted in Section 6.1, phase velocity is not necessarily the speed at which information travels, but is merely the speed at which a point of constant phase travels. To send information, we must create a disturbance in the otherwise sinusoidal excitation presumed in the analysis so far. The complex field structure creates points of constant phase that travel faster than the disturbance is able to convey information, so there is no violation of physical principles. Group Velocity As noted in Section 6.1, the speed at which information travels is given by the group velocity vgvg. In unbounded space, vg=vpvg=vp, so the speed of information is equal to the phase velocity in that case. In a rectangular waveguide, the situation is different. We find: vg=(∂k(m,n)z∂ω)−1=vpu√1−(fmn/f)2 vg=(∂k(m,n)z∂ω)−1=vpu1−(fmn/f)2−−−−−−−−−−√(6.10.14)(6.10.15) which is always less than vpuvpu for a propagating mode. Note that group velocity in the waveguide depends on frequency in two ways. First, because fmnfmn takes on different values for different modes, group velocity is different for different modes. Specifically, higher-order modes propagate more slowly than lower-order modes having the same frequency. This is known as modal dispersion. Secondly, note that the group velocity of any given mode depends on frequency. This is known as chromatic dispersion. The speed of a signal within a rectangular waveguide is given by the group velocity of the associated mode (Equation 6.10.156.10.15). This speed is less than the speed of propagation in unbounded media having the same permittivity and permeability. Speed depends on the ratio fmn/ffmn/f, and generally decreases with increasing frequency for any given mode. Example 6.10.26.10.2: Speed of propagating in WR-90. Revisiting WR-90 waveguide from Example 6.10.16.10.1: What is the speed of propagation for a narrowband signal at 10 GHz? Solution Let us assume that “narrowband” here means that the bandwidth is negligible relative to the center frequency, so that we need only consider the center frequency. As previously determined, the lowest-order propagating mode is TE1010, for which f10=6.557 GHzf10=6.557 GHz. The next-lowest cutoff frequency is f20=13.114 GHzf20=13.114 GHz. Therefore, only the TE1010 mode is available for this signal. The group velocity for this mode at the frequency of interest is given by Equation 6.10.156.10.15. Using this equation, the speed of propagation is found to be ≅2.26×108m/s≅2.26×108m/s, which is about 75.5% of cc. 6.9: Rectangular Waveguide- TE Modes Back Matter
8092	https://www.inchcalculator.com/convert/kilometer-to-centimeter/	Inch Calculator Skip to Content Popular Searches calculate body fat what is today's date? calculate yards of concrete how long until 3:30? calculate a pay raise 30 minute timer calculate board and batten wall layout how to do long division calculate the best TV size how many days until Christmas? Kilometers to Centimeters Converter Enter the length in kilometers below to convert it to centimeters. Have a Question or Feedback? Result in Centimeters: 1 km = 100,000 cm1 km = 1,000 m Learn how we calculate this below Do you want to convert centimeters to kilometers? On this page: Kilometers to Centimeters Converter How to Convert Kilometers to Centimeters How Many Centimeters Are in a Kilometer? What Is a Kilometer? What Is a Centimeter? Kilometer to Centimeter Conversion Table References By Joe Sexton Joe is the creator of Inch Calculator and has over 20 years of experience in engineering and construction. He holds several degrees and certifications. Full bio Share on Facebook Share on X Share on Pinterest Cite This Page Sexton, J. (n.d.). Kilometers to Centimeters Converter. Inch Calculator. Retrieved September 22, 2025, from How to Convert Kilometers to Centimeters To convert a measurement in kilometers to a measurement in centimeters, multiply the length by the following conversion ratio: 100,000 centimeters/kilometer. Since one kilometer is equal to 100,000 centimeters, you can use this simple formula to convert: centimeters = kilometers × 100,000 The length in centimeters is equal to the length in kilometers multiplied by 100,000. For example, here's how to convert 5 kilometers to centimeters using the formula above. centimeters = (5 km × 100,000) = 500,000 cm How Many Centimeters Are in a Kilometer? There are 100,000 centimeters in a kilometer, which is why we use this value in the formula above. 1 km = 100,000 cm Our inch fraction calculator can add kilometers and centimeters together, and it also automatically converts the results to US customary, imperial, and SI metric values. Kilometers and centimeters are both units used to measure length. Keep reading to learn more about each unit of measure. What Is a Kilometer? One kilometer is equal to 1,000 meters, which are defined as the distance light travels in a vacuum in 1/299,792,458 of a second. One kilometer is equal to 0.621371 miles. The kilometer, or kilometre, is a multiple of the meter, which is the SI base unit for length. In the metric system, "kilo" is the prefix for thousands, or 103. Kilometers can be abbreviated as km; for example, 1 kilometer can be written as 1 km. Learn more about kilometers. What Is a Centimeter? One centimeter is equal to one-hundredth (1/100) of a meter, which is defined as the distance light travels in a vacuum in 1/299,792,458 of a second. One centimeter is equal to 0.393701 inches. The centimeter, or centimetre, is a multiple of the meter, which is the SI base unit for length. In the metric system, "centi" is the prefix for hundredths, or 10-2. Centimeters can be abbreviated as cm; for example, 1 centimeter can be written as 1 cm. Metric rulers typically have 30 cm, which are represented by 30 large tick marks. To get a rough idea of the actual length of a centimeter, a standard number 2 pencil is just about 1 cm thick. Learn more about centimeters. Kilometer to Centimeter Conversion Table Table showing various kilometer measurements converted to centimeters. \| Kilometers \| Centimeters \| \| 0.00001 km \| 1 cm \| \| 0.00002 km \| 2 cm \| \| 0.00003 km \| 3 cm \| \| 0.00004 km \| 4 cm \| \| 0.00005 km \| 5 cm \| \| 0.00006 km \| 6 cm \| \| 0.00007 km \| 7 cm \| \| 0.00008 km \| 8 cm \| \| 0.00009 km \| 9 cm \| \| 0.000001 km \| 0.1 cm \| \| 0.00001 km \| 1 cm \| \| 0.0001 km \| 10 cm \| \| 0.001 km \| 100 cm \| \| 0.01 km \| 1,000 cm \| \| 0.1 km \| 10,000 cm \| \| 1 km \| 100,000 cm \| References Ambler Thompson and Barry N. Taylor, Guide for the Use of the International System of Units (SI), National Institute of Standards and Technology, More Kilometer & Centimeter Conversions Convert from Kilometers kilometers to miles kilometers to yards kilometers to feet kilometers to inches kilometers to meters kilometers to millimeters kilometers to micrometers kilometers to nanometers Convert to Centimeters miles to centimeters yards to centimeters feet to centimeters inches to centimeters meters to centimeters millimeters to centimeters micrometers to centimeters nanometers to centimeters
8093	https://en.wikipedia.org/wiki/Sequential_game	Jump to content Search Contents (Top) 1 Representation and analysis 2 Types and dynamics 3 See also 4 References Sequential game العربية Español Euskara Français 한국어 Italiano עברית Русский Українська 粵語中文 Edit links Article Talk Read Edit View history Tools Actions Read Edit View history General What links here Related changes Upload file Permanent link Page information Cite this page Get shortened URL Download QR code Print/export Download as PDF Printable version In other projects Wikidata item Appearance From Wikipedia, the free encyclopedia Class of games where players choose their actions sequentially In game theory, a sequential game is defined as a game where one player selects their action before others, and subsequent players are informed of that choice before making their own decisions. This turn-based structure, governed by a time axis, distinguishes sequential games from simultaneous games, where players act without knowledge of others’ choices and outcomes are depicted in payoff matrices (e.g., rock-paper-scissors). Sequential games are a type of dynamic game, a broader category where decisions occur over time (e.g., differential games), but they specifically emphasize a clear order of moves with known prior actions. Because later players know what earlier players did, the order of moves shapes strategy through information rather than timing alone. Sequential games are typically represented using decision trees, which map out all possible sequences of play, unlike the static matrices of simultaneous games. Examples include chess, infinite chess, backgammon, tic-tac-toe, and Go, with decision trees varying in complexity—from the compact tree of tic-tac-toe to the vast, unmappable tree of chess. Representation and analysis [edit] Decision trees, the extensive form of sequential games, provide a detailed framework for understanding how a game unfolds. They outline the order of players’ actions, the frequency of decisions, and the information available at each decision point, with payoffs assigned to terminal nodes. This representation was introduced by John von Neumann and refined by Harold W. Kuhn between 1910 and 1930. Sequential games with perfect information—where all prior moves are known—can be analyzed using combinatorial game theory, a mathematical approach to strategic decision-making. In such games, a subgame perfect equilibrium can be determined through backward induction, a process of working from the end of the game back to the start to identify optimal strategies. Games can also be categorized by their outcomes: a game is strictly determined if rational players arrive at one clear payoff using fixed, non-random strategies (known as "pure strategies"), or simply determined if the single rational payoff requires players to mix their choices randomly (using "mixed strategies"). Types and dynamics [edit] Sequential games encompass various forms, including repeated games, where players engage in a series of stage games, and each stage’s outcome shapes the next. In repeated games, players have full knowledge of prior stages, and a discount rate (between 0 and 1) is often applied to assess long-term payoffs, reflecting the reduced value of future gains. This structure introduces psychological dimensions like trust and revenge, as players adjust their strategies based on past interactions. In contrast, simultaneous games lack this sequential progression, relying instead on concurrent moves and payoff matrices. Many combinatorial games, such as chess or Go, align with the sequential model due to their turn-based nature. The complexity of these games varies widely: a simple game like tic-tac-toe has a manageable decision tree, while chess’s tree is so expansive that even modern computers cannot fully explore it. These examples illustrate how sequential games blend strategic depth with temporal dynamics. See also [edit] Simultaneous game Subgame perfect equilibrium Sequential auction References [edit] ^ Brocas; Carrillo; Sachdeva (2018). "The Path to Equilibrium in Sequential and Simultaneous Games". Journal of Economic Theory. 178: 246–274. doi:10.1016/j.jet.2018.09.011. S2CID 12989080. ^ Claude Shannon (1950). "Programming a Computer for Playing Chess" (PDF). Philosophical Magazine. 41 (314). ^ a b c Aumann, R. J. Game Theory.[full citation needed] ^ Aliprantis, Charalambos D. (August 1999). "On the backward induction method". Economics Letters. 64 (2): 125–131. doi:10.1016/s0165-1765(99)00068-3. ^ Aumann, R.J. (2008), Palgrave Macmillan (ed.), "Game Theory", The New Palgrave Dictionary of Economics, London: Palgrave Macmillan UK, pp. 1–40, doi:10.1057/978-1-349-95121-5_942-2, ISBN 978-1-349-95121-5, retrieved 2021-12-08 ^ Claude Shannon (1950). "Programming a Computer for Playing Chess" (PDF). Philosophical Magazine. 41 (314). \| v t e Game theory \| \| Glossary Game theorists Games \| \| \| Traditional game theory \| \| \| \| \| --- \| \| Definitions \| Asynchrony Bayesian regret Best response Bounded rationality Cheap talk Coalition Complete contract Complete information Complete mixing Confrontation analysis Conjectural variation Contingent cooperator Coopetition Cooperative game theory Dynamic inconsistency Escalation of commitment Farsightedness Game semantics Hierarchy of beliefs Imperfect information Incomplete information Information set Move by nature Mutual knowledge Non-cooperative game theory Non-credible threat Outcome Perfect information Perfect recall Ply Preference Rationality Sequential game Simultaneous action selection Spite Strategic complements Strategic dominance Strategic form Strategic interaction Strategic move Strategy Subgame Succinct game Topological game Tragedy of the commons Uncorrelated asymmetry \| \| Equilibriumconcepts \| Backward induction Bayes correlated equilibrium Bayesian efficiency Bayesian game Bayesian Nash equilibrium Berge equilibrium Bertrand–Edgeworth model Coalition-proof Nash equilibrium Core Correlated equilibrium Cursed equilibrium Edgeworth price cycle Epsilon-equilibrium Gibbs equilibrium Incomplete contracts Inequity aversion Individual rationality Iterated elimination of dominated strategies Markov perfect equilibrium Mertens-stable equilibrium Nash equilibrium Open-loop model Pareto efficiency Payoff dominance Perfect Bayesian equilibrium Price of anarchy Program equilibrium Proper equilibrium Quantal response equilibrium Quasi-perfect equilibrium Rational agent Rationalizability Rationalizable strategy Satisfaction equilibrium Self-confirming equilibrium Sequential equilibrium Shapley value Strong Nash equilibrium Subgame perfect equilibrium Trembling hand equilibrium \| \| Strategies \| Appeasement Bid shading Cheap talk Collusion Commitment device De-escalation Deterrence Escalation Fictitious play Focal point Grim trigger Hobbesian trap Markov strategy Max-dominated strategy Mixed strategy Pure strategy Tit for tat Win–stay, lose–switch \| \| Games \| All-pay auction Battle of the sexes Nash bargaining game Bertrand competition Blotto game Centipede game Coordination game Cournot competition Deadlock Dictator game Trust game Diner's dilemma Dollar auction El Farol Bar problem Electronic mail game Gift-exchange game Guess 2/3 of the average Keynesian beauty contest Kuhn poker Lewis signaling game Matching pennies Obligationes Optional prisoner's dilemma Pirate game Prisoner's dilemma Public goods game Rendezvous problem Rock paper scissors Stackelberg competition Stag hunt Traveler's dilemma Ultimatum game Volunteer's dilemma War of attrition \| \| Theorems \| Arrow's impossibility theorem Aumann's agreement theorem Brouwer fixed-point theorem Competitive altruism Folk theorem Gibbard–Satterthwaite theorem Gibbs lemma Glicksberg's theorem Kakutani fixed-point theorem Kuhn's theorem One-shot deviation principle Prim–Read theory Rational ignorance Rational irrationality Sperner's lemma Zermelo's theorem \| \| Subfields \| Algorithmic game theory Behavioral game theory Behavioral strategy Compositional game theory Contract theory Drama theory Graphical game theory Heresthetic Mean-field game theory Negotiation theory Quantum game theory Social software \| \| Key people \| Albert W. 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8094	https://store.macmillanlearning.com/ca/product/Evolution/p/1319245587	Evolution 4th Edition \| Douglas Emlen \| Macmillan Learning Skip to Main Content Instructor Site Student Store Canada United States Student StoreStudent Store Expand navigation Sign in // Register I'M AN INSTRUCTOR I'M A STUDENT #### Find what you need to succeed. 0 Canada United States Who We Are Who We Are back Who We Are Student Benefits Student Benefits back Rent and Save Flexible Formats College Quest Blog Discipline Discipline back AstronomyBiochemistryBiologyChemistryCollege SuccessCommunicationEconomicsElectrical EngineeringEnglishEnvironmental ScienceGeographyGeologyHistoryMathematicsMusic & TheaterNutrition and HealthPhilosophy & ReligionPhysicsPsychologySociologyStatisticsValue Digital Products Digital Products back Achieve E-books iClicker Student App (Student Response System) Support Support back Get Help Rental Returns Student Options Explained Support Community × Rental FAQs Evolution Instant Access Fourth Edition\|©2026 Douglas Emlen; Carl Zimmer Format Packages Achieve C$94.99 ISBN:9781319613235 Online course materials that will help you in this class. 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With clear explanations, updated research, and access to digital tools in Achieve, it supports your success in any evolutionary biology course. Digital Options Achieve Achieve is a single, easy-to-use platform proven to engage students for better course outcomes Learn More Contents Table of Contents 1 The Whale and the Virus: How Scientists Study Evolution 2 From Natural Philosophy to Darwin: A Brief History of Evolutionary Ideas 3 What the Rocks Say: How Geology and Paleontology Reveal the History of Life 4 The Tree of Life: How Biologists Use Phylogeny to Reconstruct the Deep Past 5 Raw Material: Heritable Variation Among Individuals 6 The Ways of Change: Drift and Selection 7 Beyond Alleles: Quantitative Genetics and the Evolution of Phenotypes 8 The History in Our Genes 9 From Genes to Traits: The Evolution of Genetic Networks and Development 10 Natural Selection: Empirical Studies in the Wild 11 Sex: Causes and Consequences 12 After Conception: The Evolution of Life History and Parental Care 13 The Origin of Species 14 Macroevolution: The Long Run 15 Intimate Partnerships: How Species Adapt to Each Other 16 Brains and Behavior 17 Human Evolution: A New Kind of Ape 18 Evolutionary Medicine Authors Douglas Emlen Douglas J. Emlen is a professor at the University of Montana. He is a fellow of the American Academy of Arts and Sciences, a member of the National Academy of Sciences, and a recipient of the U.S. Pres- idential Early Career Award for Scientists and Engineers. In 2014 he was awarded UM’s Distinguished Teaching Award and in 2015 the Carnegie/CASE Professor of the Year Award for the state of Montana. His 2014 book Animal Weapons: The Evolution of Battle won the Phi Beta Kappa Award in Science, and he recently starred in documenta- ries about his work on BBC (Nature’s Wildest Weapons) and NOVA (Extreme Animal Weapons). Carl Zimmer Carl Zimmeri s one of the country’s leading science writers. A colum- nist for the New York Times, he is the author of 15 books, including She Has Her Mother’s Laugh: The Powers, Perversions, and Poten- tials of Heredity, which The Guardian named the best science book of 2018. Zimmer is professor adjunct at Yale University, where he teaches science writing. Among his many honors, Zimmer has won the Stephen Jay Gould Prize, awarded by the Society for the Study of Evolution, and the National Association of Biology Teachers Distinguished Service Award. Discover How Evolution Shapes Life—Through Real Stories and Science Emlen and Zimmer’s Evolution: Making Sense of Life, Fourth Edition brings the science of evolution to life with vivid storytelling and real-world relevance. From tracking virus mutations to understanding animal behavior, this book helps you see how evolution affects the world around you. With clear explanations, updated research, and access to digital tools in Achieve, it supports your success in any evolutionary biology course. Achieve Achieve is a single, easy-to-use platform proven to engage students for better course outcomes Learn More Table of Contents 1 The Whale and the Virus: How Scientists Study Evolution 2 From Natural Philosophy to Darwin: A Brief History of Evolutionary Ideas 3 What the Rocks Say: How Geology and Paleontology Reveal the History of Life 4 The Tree of Life: How Biologists Use Phylogeny to Reconstruct the Deep Past 5 Raw Material: Heritable Variation Among Individuals 6 The Ways of Change: Drift and Selection 7 Beyond Alleles: Quantitative Genetics and the Evolution of Phenotypes 8 The History in Our Genes 9 From Genes to Traits: The Evolution of Genetic Networks and Development 10 Natural Selection: Empirical Studies in the Wild 11 Sex: Causes and Consequences 12 After Conception: The Evolution of Life History and Parental Care 13 The Origin of Species 14 Macroevolution: The Long Run 15 Intimate Partnerships: How Species Adapt to Each Other 16 Brains and Behavior 17 Human Evolution: A New Kind of Ape 18 Evolutionary Medicine Douglas Emlen Douglas J. Emlen is a professor at the University of Montana. He is a fellow of the American Academy of Arts and Sciences, a member of the National Academy of Sciences, and a recipient of the U.S. Pres- idential Early Career Award for Scientists and Engineers. In 2014 he was awarded UM’s Distinguished Teaching Award and in 2015 the Carnegie/CASE Professor of the Year Award for the state of Montana. His 2014 book Animal Weapons: The Evolution of Battle won the Phi Beta Kappa Award in Science, and he recently starred in documenta- ries about his work on BBC (Nature’s Wildest Weapons) and NOVA (Extreme Animal Weapons). Carl Zimmer Carl Zimmeri s one of the country’s leading science writers. A colum- nist for the New York Times, he is the author of 15 books, including She Has Her Mother’s Laugh: The Powers, Perversions, and Poten- tials of Heredity, which The Guardian named the best science book of 2018. Zimmer is professor adjunct at Yale University, where he teaches science writing. Among his many honors, Zimmer has won the Stephen Jay Gould Prize, awarded by the Society for the Study of Evolution, and the National Association of Biology Teachers Distinguished Service Award. Related Titles Find Your School Select Your Discipline Select Your Course Find Your School No schools matching your search criteria were found ! No active courses are available for this school. No active courses are available for this discipline. Can't find your course? Back Continue Back Purchase Access Find Your Course Confirm Your Course Enter the course ID provided by your instructor Find Your Course We found the following course. Does this look correct? We found the following course. To properly enroll in your course, please use the link provided in your school's course system (LMS Example: Canvas, Blackboard, D2L, Etc). Your Achieve account needs to be linked with your school's account. 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8095	https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/cjw1dn/statistics_normal_distribution_problem_and_the/	[Statistics] Normal distribution problem and the complement rule : r/learnmath Skip to main content[Statistics] Normal distribution problem and the complement rule : r/learnmath Open menu Open navigationGo to Reddit Home r/learnmath A chip A close button Log InLog in to Reddit Expand user menu Open settings menu Go to learnmath r/learnmath r/learnmath Post all of your math-learning resources here. Questions, no matter how basic, will be answered (to the best ability of the online subscribers). 397K Members Online •6 yr. ago Ride_3m_Cowboy [Statistics] Normal distribution problem and the complement rule Hey guys! So I'm studying for an upcoming exam and I'm struggling a bit. One thing I have a hard time wrapping my head around is the use of the compliment rule in an example such as the following: The credit scores of 35-64 year-olds applying for a loan at a given bank to purchase a new car is assumed to be (approximately) normally distributed with mean 600 and standard deviation 100 and they are also assumed to be independent of each other. During a working day, the bank receives applications from ten 35-64 year-olds. What is the probability that the average credit score of the ten applicants is larger than 625? (5p) A. 0.785 B. 0.096 C. 0.994 D. 0.215 E. 0.500 So since these are all independent of each other and becuase they are normally distributed you can use the Central Limit Theorem formula ((625−600)/(100/√10)). This gives me 0,790569415 ≈ 0,79. Reading this from the standard normal distribution table it gives a value of 0,78524. It is here that the solution for this problem tells me I need to use the compliment rule: 1 - 0,78524 = 0,21476 ≈ 0,215 which is answer D. What I fail to grasp is the logic of why I need to use the compliment rule here. Why is that? Thanks in advance! Read more Share New to Reddit? Create your account and connect with a world of communities. Continue with Email Continue With Phone Number By continuing, you agree to ourUser Agreementand acknowledge that you understand thePrivacy Policy. Public Anyone can view, post, and comment to this community Top Posts Reddit reReddit: Top posts of July 30, 2019 Reddit reReddit: Top posts of July 2019 Reddit reReddit: Top posts of 2019 Reddit RulesPrivacy PolicyUser AgreementAccessibilityReddit, Inc. © 2025. All rights reserved. Expand Navigation Collapse Navigation
8096	https://www.qimacros.com/free-excel-tips/control-chart-limits/	CLOSE Free 30-Day Trial Why QI Macros? Powerful SPC Software for Excel SPC - Smart Performance Charts Who Uses QI Macros? What Do Our Customers Say? QI Macros SPC Software Reviews SPC Software Comparison Key Improvement Tools Control Chart Histogram with Cp Cpk Pareto Chart Automated Fishbone Diagram Gage R&R MSA Data Mining Tools Statistical Analysis - Hypothesis Testing Chart and Stat Wizards Lean Six Sigma Excel Templates Support Technical Support - PC Technical Support - Mac QI Macros FAQs Upgrade History Submit Enhancement Request Data Analysis Services Free Training Free QI Macros Webinar Free QI Macros Video Tutorials QI Macros Six Sigma Test Data How to Setup Excel for QI Macros Free Healthcare Data Analytics Course Free Lean Six Sigma Webinars Animated Lean Six Sigma Video Tutorials Free Agile Lean Six Sigma Trainer Training Free White Belt Training Free Yellow Belt Training Free Green Belt Training FREE Resources QI Macros Resources QI Macros Knowledge Base \| User Guide Excel Tips and Tricks Lean Six Sigma Resources QI Macros Monthly Newsletter Improvement Insights Blog Shop Now Buy QI Macros Quantity Discounts and W9 Hassle Free Guarantee QI Macros Reviews CNET Five Star Review Industry Leaders Our Customers Home » Control Charts » Control Limits UCL LCL Struggling with Control Chart Limits? QI Macros Can Do Them For You! Create a Control Chart Using QI Macros Select your data. Select a control chart on QI Macros menu. QI Macros will do the math and draw the graph. What are Control Chart Limits? Why do they matter? Control limits distinguish control charts from a simple line graph or run chart. They are like traffic lanes that help you determine if your process is stable and predicable or not. If a process is not predictable, it cannot be improved. In a stable process: 68.3% of the data points should fall between ± 1 sigma. 95.5% of the data points should fall between ± 2 sigma. 99.7% of the data points should fall between the UCL and LCL. How do you calculate control limits? First calculate the Center Line. The Center Line equals either the average or median of your data. Second calculate sigma. The formula for sigma varies depending on the type of data you have. Third, calculate the sigma lines. These are simply ± 1 sigma, ± 2 sigma and ± 3 sigma from the center line. 3 sigma = Upper Control Limit (UCL) 3 sigma = Lower Control Limit (LCL) Why are there so many formulas for sigma? The formula for sigma depends on the type of data you have: Is it variable or attribute? What is the sample size? Is the sample size constant? Each type of data has its own distinct formula for sigma and, therefore, its own type of control chart. There are seven main types of control charts (c, p, u, np, individual moving range XmR, XbarR and XbarS.) Plus there are many more variations for special circumstances. As you might guess, this can get ugly. Here are some examples of control limit formulas: p Chart formula Individual Moving Range Chart formula X bar R Chart formula "Introduction to Statistical Quality Control," Douglas C. Montgomery The secret formula to ignoring all other formulas: QI Macros SPC Software! QI Macros is an easy to use add-in for Excel that installs a new tab on Excel's toolbar. Just select your data and QI Macros does all of the calculations and draws the control chart for you. QI Macros calculations are tested and accurate. QI Macros built in code is smart enough to: analyze your data and select the right control chart (and formulas) for you. highlight unstable points and trends in red. determine when you have had a process change and need to recalculate your control limits. FREE QI Macros 30-Day Trial QI Macros Also Makes it Easy to Update Control Limit Calculations Once you create a control chart using QI Macros, you can easily update the control limits using the QI Macros Chart Tools menu. To access the menu, you must be on a chart or on a chart embedded in a worksheet. Here's what you can do with the click of a button: Run the Process Change Wizard to Identify where changes occurred Show Process Change (i.e. stair step control limits) on a point you choose Ghost a Point - leave data point on a chart but remove it from control limit calculations Delete a Point - remove a point from the chart and from control limit calculations Recalculate UCL/LCL - recalculate control limits after adding new data There are also options to easily re-run stability analysis after changing data or control limit calculations. Stop Struggling with Control Chart Limits! Start creating your Control Chart Limits in just minutes. Download a free 30-day trial. Get Control Chart Limits now! FREE QI Macros 30-Day Trial Why Choose QI Macros Control Chart Software for Excel? 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It has become a very important and easy tool for data display. 2 years ago Anonymous Verified Customer I love QIMacros. It is a great product because of the founders intent to make data analysis something that almost anyone can do and the way the tool is designed to integrate with Excel. Improvement is within reach! 2 years ago Michael P Verified Customer QI Macros SPC Software for Excel I am a long-time user, for more than 15 years. QiMacros is a near-total QMS package, with all the tools needed to support a busy QE. Gage R&R, got it, PPAP forms, got it, Gantt charts, got it. Every tool I have ever needed as a Black Belt and much more. As an SQE, being able to help small shops do Capability studies and initial statistics. Faster and less expensive than "other" Stat packages, with all the other tools and training, ideal for small shops. 2 years ago Robert C Verified Customer QI Macros SPC Software for Excel This software is amazing. 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It is a pleasure to work with the QI Macros team! 2 years ago Sandeep J Verified Customer QI Macros SPC Software for Excel Effortless approach to data analysis and the macros are redefine the 21st century’s quality approach. ‘It made complex thing simple and simple thing conpelling’ 2 years ago Warren S Verified Customer QI Macros SPC Software for Excel QI Macros is a "must-have" tool for all healthcare administrators, especially if you are responsible for anything related to the Quadruple Aim: improving health, improving healthcare, reducing cost, and enhancing the work-life of healthcare clinicians and staff. I have been using QI Macros since about 2014 as an administrator and also as a professor, recommending it to my Healthcare Administration students. You are at a disadvantage if you don't have this toolkit! Super easy to use. Minimal learning curve. Great company support. 3 years ago Lisa D Verified Customer QI Macros SPC Software for Excel I have been a QI Macros user for a number of years and always highly recommend it! It is simple to use and as an add-on to Excel it's available each time you open a spreadsheet. Powerful enough to do complex statistical analysis and simple enough for new users. 4 years ago Zak A Verified Customer Excellent product. The Control Chart Wizard, Sample Data from Health Care Data Guide (Provost & Murray), and fact it is an Add-in to Excel are the 3 things that make this really stand out. I am in Healthcare Quality Improvement and the user friendliness of this product allows me to place energy on improving rather than figuring out how to operate the software. 4 years ago D S Verified Customer QI Macros is the best statistical software available in the market. Its very easy to work and saves a lot of time in working with this excel based software. 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8097	https://comb-opt.azaruniv.ac.ir/article_13993_d2d2bdfc3ac890ae53ac04a1d2ad425e.pdf	CCO Commun. Comb. Optim. c ⃝2020 Azarbaijan Shahid Madani University Communications in Combinatorics and Optimization Vol. 5 No. 2, 2020 pp.125-137 DOI: 10.22049/CCO.2019.26719.1136 New results on upper domatic number of graphs Libin Chacko Samuel1∗and Mayamma Joseph1 Department of Mathematics, CHRIST (Deemed to be University), Bengaluru, INDIA libin.samuel@res.christuniversity.in mayamma.joseph@christuniversity.in Received: 10 November 2019; Accepted: 12 December 2019 Published Online: 15 December 2019 Abstract: For a graph G = (V, E), a partition π = {V1, V2, . . . , Vk} of the vertex set V is an upper domatic partition if Vi dominates Vj or Vj dominates Vi or both for every Vi, Vj ∈π, whenever i ̸= j. The upper domatic number D(G) is the maximum order of an upper domatic partition of G. We study the properties of upper domatic number and propose an upper bound in terms of clique number. Further, we discuss the upper domatic number of certain graph classes including unicyclic graphs and power graphs of paths and cycles. Keywords: Domination, upper domatic partition, upper domatic number, transitivity AMS Subject classiﬁcation: 05C69, 05C70 1. Introduction Let G = (V, E) be a graph of order n = \|V \| and size m = \|E\|. Throughout this paper, we consider only ﬁnite, simple and undirected graphs. The degree of a vertex v ∈V , denoted by deg(v), is the number of vertices adjacent to v. The maximum (minimum) degree of a vertex in a graph G is denoted by ∆(G) (δ(G)). Complete graphs, cycles and paths of order n are represented as Kn, Cn, and Pn respectively. A maximal complete subgraph of a graph is called clique. The maximum cardinality of a clique of G is called the clique number ω(G). A vertex v ∈V is a leaf vertex if deg(v)= 1. Given two disjoint subsets A and B of the vertex set of a graph, the set A dominates B, denoted by A →B, if every vertex of B is adjacent to at least one vertex in A, else we write A ̸→B. The dominating set of a graph G is a set S ⊂V such that S →V −S. The domination number of a graph G is the minimum cardinality of a dominating set of G. Let π = {V1, V2, . . . , Vk} be ∗Corresponding Author 126 New results on upper domatic number of graphs a vertex partition of a graph G. A set Vi ∈π is a source set if Vi is a dominating set of G and a sink set if Vj →Vi, for all 1 ≤j ≤k. Partitioning the vertex set of a graph into dominating sets is a problem posed by Cockayne and Hedetniemi in 1977 . This gave rise to the concept of domatic number d(G) of a graph G which is the maximum order k of a vertex partition {V1, V2, . . . , Vk} such that each Vi, 1 ≤i ≤k, is a dominating set. This concept was further generalised by S. T. Hedetniemi and J. T. Hedetniemi taking into consideration the domination between the subsets of the vertex set . Using this idea, they considered a vertex partition {V1, V2, . . . , Vk} of a graph G such that Vi →Vj for all i, j, 1 ≤i < j ≤k and deﬁned transitivity Tr(G) of a graph as the maximum order of such a partition. Haynes et al. obtained another generalisation of domatic number by deﬁning the upper domatic number D(G) which is the maximum order of a vertex partition {V1, V2, . . . , Vk} of a graph G such that for each pair i and j, 1 ≤i < j ≤k, either Vi →Vj or Vj →Vi or both . Any upper domatic partition of order D(G) is referred to as a D-partition of G. It follows from these deﬁnitions that for any graph G, 1 ≤d(G) ≤Tr(G) ≤D(G) ≤n. In this paper, we continue the study of upper domatic number. The results include upper bounds of D(G) in terms of size and clique number of the graph G, and a characterisation of graphs having transitivity at least four. It has been proved that for unicyclic graphs the upper domatic number is the same as its transitivity. We have also examined the upper domatic number of powers of graphs and have determined the upper domatic number of powers of paths and powers of cycles. 2. Preliminary Results Theorem 1. For any graph G, d(G) ≤δ(G) + 1. Analogous to the result in Theorem 1, Haynes et al. obtained an upper bound for the upper domatic number in terms of maximum degree for any graph G . Theorem 2. For any graph G, D(G) ≤∆(G) + 1. The following results giving upper domatic number and transitivity of certain families of graphs are required for further discussion. Theorem 3. 1. For the path Pn with n ≥4, Tr(Pn) = D(Pn) = 3. 2. For the cycle Cn with n ≥3, Tr(Cn) = D(Cn) = 3. 3. For the complete graph Kn, Tr(Kn) = D(Kn) = n. L.C. Samuel, M. Joseph 127 4. For any acyclic graph T, D(T) = Tr(T). Given any D-partition of a graph G, we make the following observations. Observation 4. If π = {V1, V2, . . . , Vk} is a D-partition of a graph G such that the subset Vi contains a leaf vertex, then Vi is dominated by at most one set Vj, where i ̸= j. Observation 5. Every sink set in a D-partition is an independent set. Observation 6. Let π be a D-partition of a graph G. Then for any Vi ∈π, D(H) ≥ D(G) −1, where H = G[π −Vi]. The following theorem gives a property of graphs with D(G) < 5. Theorem 7. If D(G) ≤4, then there exists a D-partition of graph G that contains a sink set. S. T. Hedetniemi and J. T. Hedetniemi noted that the transitivity of a graph is at least as large as the transitivity of any of its subgraphs . Proposition 1. If H is a subgraph of a graph G, then Tr(H) ≤Tr(G). Proposition 2. For any graph G and a subgraph H, if V (G) −V (H) dominates H, then Tr(G) ≥Tr(H) + 1. Proposition 1 holds for the upper domatic number of a graph, provided the subgraph has a D-partition with a source set . Proposition 3. If H is a subgraph of a graph G and H has a D-partition with source set, then D(H) ≤D(G). This proposition can be extended to disconnected graphs as shown in the following theorem. Theorem 8. For a disconnected graph G with ﬁnite number of components, D(G) ≤ max{D(Gi), where Gi is a component of G}. Proof. Let G be a disconnected graph with r components such that D(G) = k and π be a D-partition of G. If possible, assume that D(G) > max{D(Gi), where Gi is a component of G}. Then corresponding to each component Gi of G, there exists an element say VGi ∈π such that none of the vertices of Gi appears in VGi. Otherwise, the collection πi of order k formed by taking the intersection of V (Gi) with 128 New results on upper domatic number of graphs the k elements of π will constitute a D-partition of Gi, contradicting the assumption. Arbitrarily choose one component G1 of G and let VG1 ∈π be the corresponding set that contains no vertex of G1. As the set VG1 is not empty, choose a component G2 having at least one vertex in VG1 and let VG2 ∈π be the set containing no vertex of G2. Since VG2 ̸→VG1, the set VG1 dominates VG2 and VG2 does not contain any of the vertices of G1 and G2. Proceeding in this manner, choose the rth component Gr and the set VGr disjoint from the vertex set of Gr. Then, the set VGr has empty intersection with the vertex set of components Gi, for 1 ≤i ≤r making VGr an empty set, a contradiction. Hence, D(G) ≤max{D(Gi), where Gi is a component of G}. Corollary 1. For a disconnected graph G with ﬁnite number of components G1, G2, . . . , Gr, if the component with maximum upper domatic number has a D-partition with source set, then D(G) = max{D(Gi), where Gi is a component of G}. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 G1 G2 Figure 1. Disconnected graph G with D(G) < max{D(G1), D(G2)}. Remark 1. The inequality in Theorem 8 is sharp. Figure 1 depicts a graph G with components G1 and G2. The fact that π1 = {{v1}, {v2}, {v3, v4}, {v5, v6}, {v7, v8}, {v9, v10}} is an upper domatic partition of G1 and ∆(G1) = 5 implies that D(G1) = 6, while it can be veriﬁed that D(G) = 5 < D(G1). An analogous result for the transitivity of a disconnected graph can be found in . Theorem 9. For a disconnected graph G with ﬁnite number of components G1, G2, . . . , Gr, Tr(G) = max{Tr(Gi) \| 1 ≤i ≤r}. From Proposition 3, it is straightforward to see that the clique number of a graph is a lower bound for its upper domatic number . The following theorem shows that the mean of order and clique number of a graph serves as an upper bound for upper domatic number of the graph. L.C. Samuel, M. Joseph 129 Theorem 10. For any graph G with clique number ω(G), D(G) ≤n + ω(G) 2 . Proof. Assuming the contrary, let G be a graph with D(G) > n + ω(G) 2 . As ω(G) > 0, n + ω(G) 2 > n 2 and there are at least ω(G) + 1 singleton sets in the D-partition of G. But the elements of the singleton sets in a D-partition induces a clique implying that G contains a clique of order ω(G)+1 which contradicts the maximality of ω(G). Therefore, D(G) ≤n + ω(G) 2 . Remark 2. There exist graphs for which the bound in Theorem 10 is attained. For example, consider the complete bipartite graph Ks,s where s ≥1. Then D(Ks,s) = s + 1 . However, the diﬀerence between upper domatic number and the bound obtained in Theorem 10 can be arbitrarily large as one can see in the case of K1,s, s ≥1. Further we observe that D(G) has an obvious bound in terms of the size of G. Observation 11. For any graph G of size m, D(G) ≤1 + √1 + 8m 2 . Moreover, D(G) = 1 + √1 + 8m 2 if and only if G is a complete graph. The graph families admitting small values of upper domatic number was characterized in . A star on n vertices is the complete bipartite graph K1,n−1 and a galaxy is a disjoint union of stars. Theorem 12. For any graph G of order n, 1. D(G) = 1 if and only if G = Kn, 2. D(G) = 2 if and only if G is a galaxy with at least one edge, 3. D(G) ≥3 if and only if G contains a K3 or a P3. Since transitivity serves as a lower bound for the upper domatic number of a graph, we provide a suﬃcient condition for D(G) ≥4 by characterising the graphs with Tr(G) ≥4. Let Gi, 1 ≤i ≤12 be the graphs shown in Figure 2 and A = {Gi, 1 ≤ i ≤12}. Theorem 13. For any graph G, Tr(G) ≥4 if and only if G contains at least one of the graphs in class A. 130 New results on upper domatic number of graphs G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 Figure 2. Class A. Proof. Let G be a graph containing one of the graphs Gi; 1 ≤i ≤12 in class A as its subgraph. Then by Proposition 1, Tr(G) ≤Tr(Gi). Since ∆(Gi) = 3 for each Gi ∈A, Tr(Gi) ≤4 by Theorem 2. On the other hand every Gi ∈A contains a subgraph H ∈{P4, C3}, such that [V (Gi) −V (H)] →H, hence by Proposition 2 and Theorem 3, Tr(G) ≥4, thus proving the suﬃciency part. Conversely assume that G is a graph with Tr(G) ≥4. Then any Tr-partition of G will have at least four elements. Consider a transitive partition π = {V1, V2, V3, V4} where Vi ⊂V (G) of G. Then Vi →Vj for i > j, i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 4. Each Vi; 1 ≤i ≤4 being non-empty, we can ﬁnd a vertex, say v4 ∈V4. Then there exist vertices v1 ∈V1; v2 ∈V2 and v3 ∈V3 that dominate v4, as π is a transitive partition. Again corresponding to v3 ∈V3, there exist vertices say v′ 2 ∈V2 and v′ 1 ∈V1 that dominate v3. It is to be noted that v′ 1 and v′ 2 need not be necessarily diﬀerent from v1 ∈V1 and v2 ∈V2. In the same way let v′′ 1 and v′′′ 1 be the vertices in V1 that dominates v′ 2 and v2 respectively. Then the following cases arise. Case 1: All the vertices v1, v2, v3, v4, v′ 1, v′′ 1, v′′′ 1 and v′ 2 are distinct. In this case, the graph induced by these vertices is isomorphic to G1 as depicted in Figure 3. Case 2: The vertices v2 and v′ 2 are distinct. In this case there arise eight possibilities depending upon the nature of vertices v1, L.C. Samuel, M. Joseph 131 v4 v3 v2 v′ 2 v1 v′ 1 v′′′ 1 v′′ 1 V1 V2 V3 V4 Figure 3. The graph G1. v′ 1, v′′ 1, v′′′ 1 belonging to V1. (i) v1 = v′′′ 1 ; v′ 1 ̸= v′′ 1 or v1 ̸= v′′′ 1 ; v′ 1 = v′′ 1, in which case the resulting graph induced by these vertices is G2. (ii) v1 = v′ 1 and v′′ 1 ̸= v′′′ 1 , then the graph induced by these vertices is G3. (iii) v′′ 1 = v′′′ 1 and v1 ̸= v′ 1, where these vertices induces the graph G4. (iv) v1 = v′′ 1 and v′ 1 ̸= v′′′ 1 or v1 ̸= v′′ 1 and v′ 1 = v′′′ 1 , then the resulting graph induced by these vertices is G5. (v) v1 = v′′′ 1 and v′ 1 = v′′ 1, in which case these vertices induces the graph G6. (vi) v1 = v′ 1 and v′′ 1 = v′′′ 1 , then these vertices induces the graph G7. (vii) v1 = v′′ 1 and v′ 1 = v′′′ 1 , while these vertices induces the graph G8. (viii) v1 = v′′ 1 = v′′′ 1 ̸= v′ 1 or v′ 1 = v′′ 1 = v′′′ 1 ̸= v1, where the graph induced by these vertices is G9. Case 3: The vertices v2 and v′ 2 are the same. In this case, it suﬃces to consider only three possibilities for the vertices in V1. (i) v1 = v′ 1 ̸= v′′ 1 or v1 = v′′ 1 ̸= v′ 1 or v′ 1 = v′′ 1 ̸= v1, in which case these vertices induces the graph G10. (ii) v1 = v′ 1 = v′′ 1, then the resulting graph induced is G11. (iii) v1, v′ 1, v′′ 1 are all distinct, where these vertices induces the graph G12. Hence we have proved that every graph G, with Tr(G) ≥4 will have one of the members of class A as its subgraph. Corollary 2. For any graph G, if G contains at least one of the graphs in class A, then D(G) ≥4. Corollary 3. For any graph G, Tr(G) = 3, if and only if G contains P4 or C3 and G is H−free, for all H ∈A. 132 New results on upper domatic number of graphs 3. Unicyclic Graphs We now explore the family of unicyclic graphs, obtained from trees by adding a single edge between two non-adjacent vertices of the tree. A unicyclic graph can also be understood as a connected graph containing exactly one cycle . Primarily, in this section, we show that a unicyclic graph is another class of graph having equal upper domatic number and transitivity. By the deﬁnition of a unicyclic graph, it is immediate from Theorem 3 and Proposition 3 that the upper domatic number of a unicyclic graph is at least three. Proposition 4. For any unicyclic graph G, D(G) ≥3. The bound in Proposition 4 is obviously sharp as seen in the case of Cn. Tadpole graph form another family of unicyclic graphs with upper domatic number three. The tadpole graph Ts,t is obtained by joining any vertex of a cycle Cs and an end vertex of a path Pt with an edge. We establish a result necessary to determine the upper domatic number of a tadpole graph. Lemma 1. For any path Pn, n ≥4, there exists no D-partition without a sink set. Proof. For n ≥4, the upper domatic number of a path Pn being three, a D-partition π′ = {V ′ 1, V ′ 2, V ′ 3} can be either a transitive triple, such that V ′ 1 →V ′ 2, V ′ 1 →V ′ 3 and V ′ 2 →V ′ 3 or a cyclic triple, where V ′ 1 →V ′ 2, V ′ 2 →V ′ 3 and V ′ 3 →V ′ 1. We consider the D-partition to be a cyclic triple otherwise, π′ has a sink set. To construct such a partition from a path with vertex set V (Pn) = {v1, v2, . . . , vn}, we assign v1 to V ′ 1, v2 to V ′ 3 as V ′ 3 →V ′ 1, and v3 to V ′ 2. Assigning the vertices v4, v5, . . . vn to the sets V ′ 1, V ′ 3 and V ′ 2 sequentially, let vn be assigned to the set V ′ i , for some i, 1 ≤i ≤3, there is no vertex in V ′ (i−1)mod 3 to dominate vn as vn−1 is in V ′ (i+1)mod 3. Remark 3. Let G be a disjoint union of path, then there exists no D- partition of G without a sink set. Theorem 14. For a tadpole graph Ts,t, where s ≥3 and t ≥1, D(Ts,t) = 3. Proof. Let Ts,t, where s ≥3 and t ≥1, be a tadpole graph. By Theorem 2 and Proposition 4, it is evident that 3 ≤D(Ts,t) ≤4. If possible, let D(Ts,t) = 4. Then by Theorem 7, Ts,t has a D-Partition π = {V1, V2, V3, V4} with a sink set. Without loss of generality, let V4 be the sink set in π, then vertices belonging to V4 has degree at least three. Since there exists only one vertex of degree three in Ts,t, V4 is a singleton set. It can be observed that the graph induced by Ts,t −V4 is a disconnected graph having two components which are paths L.C. Samuel, M. Joseph 133 Ps−1 and Pt and D(Ts,t −V4) = 3. The two end vertices of the path Ps−1 and one end vertex of the path Pt are the only vertices adjacent to the vertex in the sink set, hence these vertices are contained in diﬀerent Vi’s, for 1 ≤i ≤3. Thus, by Observation 4, Vi cannot be a sink set, where 1 ≤i ≤3. But, by Remark 3 there exists no D-partition of a path without sink set proving that D(Ts,t) = 3. Theorem 15. For any unicyclic graph G, D(G) = Tr(G). Proof. For any graph G, we know that Tr(G) ≤D(G). It remains to show that for any unicyclic graph G, D(G) ≤Tr(G). Assuming that G is a unicyclic graph for which Tr(G) < D(G), let G0 be the unicyclic graph with least number of vertices such that Tr(G0) < D(G0) = k. The graph G0 is not a cycle since the upper domatic number of a cycle coincides with its transitivity. Therefore, G0 has at least one leaf vertex. Let π = {V1, V2, . . . , Vk} be a D-partition of G0. Without loss of generality, assume that V1 contains a leaf vertex. Claim 1: V1 is a source set. If V1 is not a source set, then by Observation 4 there exists a set Vj ∈π that domi-nates V1. Let v ∈V1 be the leaf vertex. Since Vj dominates V1, the graph obtained from G0 by the removal of v is still a unicyclic graph with the same upper domatic number as G0, which contradicts the assumption that G0 is a unicyclic graph with the least number of vertices such that Tr(G0) < D(G0). Now consider the graph G′ 0 obtained from G0 by removing the source set V1. Then G′ 0 is either a connected graph that is acyclic or unicyclic, or disconnected graph where the components are trees or trees and a unicyclic graph. Claim 2: The subgraph G′ 0 has equal transitivity and upper domatic number. The inequality Tr(G′ 0) ≤D(G′ 0) follows immediately. If G′ 0 is acyclic, then by Theorem 3, D(G′ 0) = Tr(G′ 0). On the other hand, if G′ 0 is unicyclic, then it fol-lows by the assumption that D(G′ 0) = Tr(G′ 0). If G′ 0 is a disconnected graph with unicyclic and acyclic components say G1, G2, . . . Gr, by Theorem 8, D(G′ 0) ≤ max{D(Gi) \| 1 ≤i ≤r}. But for 1 ≤i ≤r, D(Gi) = Tr(Gi) and by Theorem 9, Tr(G′ 0) = max{Tr(Gi) \| 1 ≤i ≤r}. Therefore, D(G′ 0) ≤max{D(Gi) \| 1 ≤i ≤r} = max{Tr(Gi) \| 1 ≤i ≤r} = Tr(G′ 0)}. Thus proving the claim. By Observation 6, D(G′ 0) ≥D(G0) −1 and V1 being a source set in the upper domatic partition π, we can conclude that, Tr(G0) ≥Tr(G′ 0) + 1 = D(G′ 0) + 1 ≥D(G0). 134 New results on upper domatic number of graphs Thus, D(G0) = Tr(G0), which is a contradiction to the assumption that Tr(G0) < D(G0). A graph with at most one cycle in each of its components is called a pseudoforest. Theorem 15 can be extended for pseudoforests as well. Theorem 16. If G is a pseudoforest, then D(G) = Tr(G). Proof. Consider a pseudoforest G having ﬁnite number of components, say r. Since each component of G is either acyclic or unicyclic, by Theorem 3 and Theorem 15, D(Gi) = Tr(Gi) for each component Gi of G. Hence, D(G) ≤max{D(Gi)\|1 ≤i ≤ r} = max{Tr(Gi)\|1 ≤i ≤r} = Tr(G), but D(G) ≥Tr(G). Therefore, D(G) = Tr(G). We close this section by characterising the unicyclic graphs with equal upper domatic number and domatic number. Theorem 17. For any unicyclic graph G, D(G) = d(G) if and only if G is C3k, where k is a positive integer. Proof. If G = C3k, then D(G) = d(G) = 3. On the other hand, let G be a unicyclic graph with D(G) = d(G). Note that by Proposition 4, D(G) ≥3 for any unicyclic graph G. But, by Theorem 1, d(G) ≤2 for any graph G with a leaf vertex. A unicyclic graph G with d(G) ≥3, does not have a leaf vertex, which implies that G is a cycle. It is well known that d(C3k+1) = d(C3k+2) = 2 while d(C3k) = 3 , where k is a positive integer. Hence, G is C3k, if D(G) = d(G). 4. Powers of graphs The kth power of a graph G is the graph Gk, with vertex set V (Gk) = V (G) and two vertices u, v ∈V (Gk) are adjacent if and only if the distance between u and v is at most k in G. It is to be noted that for the graph Gk, the value of k is at most the diameter of G. Moreover, for any graph G of order n, Gk = Kn, when k coincides with the diameter of G. In this section, we discuss the upper domatic number of powers of paths and cycles. The kth powers of a path on n vertices and a cycle on n vertices are denoted as P k n and Ck n respectively. The following properties which follow from the deﬁnition are required for further discussion. Proposition 5. For the graphs P k n and Ck n, 1. P k n is an induced subgraph of P k n+1, L.C. Samuel, M. Joseph 135 2. P k n is a subgraph (not induced) of Ck n, 3. ∆(P k n) = ∆(Ck n) = 2k, 4. ω(P k n) = k + 1, 5. ω(Ck n) = k + 1, k < ⌊n 2 ⌋. Figure 4. Graphs C3 8 and P 3 8 . Theorem 18. The upper domatic number of the kth power of path Pn is D(P k n) =      k + 1, if n = k + 1, l + k + 1, if k + 2 ≤n ≤3k 2k + 1, if n ≥3k + 1. where l = j n−k−1 2 k , Proof. Consider the kth power of a path Pn, k ≤n−1 with V (Pn) = {v1, v2, . . . , vn}, where vivi+1 ∈E(Pn), for i = 1, 2, . . . , n −1. For diﬀerent values of n, we consider the following cases. Case 1: n = k + 1 The kth power of path on k + 1 vertices is a complete graph of order k + 1. Thus, Theorem 3 implies D(P k k+1) = k + 1. Case 2: k + 2 ≤n ≤3k When k + 2 ≤n ≤3k, the vertices vl+1, vl+2, . . . , vl+k+1 where l = j n−k−1 2 k of P k n induces a clique of order k + 1. Now partition the vertex set of P k n into l + k + 1 sets in the following manner. Vi =            {vl+i}, if 1 ≤i ≤k + 1, {vi−k−1, vl+i}, if k + 2 ≤i ≤l + k, {vl, v2l+k+1}, if i = l + k + 1 and n −k −1 is even, {vl, v2l+k+1, vn}, if i = l + k + 1 and n −k −1 is odd. 136 New results on upper domatic number of graphs We claim that the partition π = {V1, V2, . . . , Vl+k+1} is an upper domatic partition. Note that the vertices v1, v2, . . . vl induces Kl, the vertices vl+1, vl+2, . . . , vl+k+1 in-duces Kk+1 and the vertices vl+k+2, vl+k+3, . . . , vn induces Kl or Kl+1 depending on the parity of n−k−1. Since the sets V1, V2, . . . , Vk+1 contains exactly one vertex from {vl+1, vl+2, . . . , vl+k+1}, the sets V1, V2, . . . , Vk+1 dominate mutually. Further the sets Vk+2, Vk+3, . . . , Vl+k+1 also dominate each other and each vertex of V1∪V2∪. . .∪Vk+1 is adjacent to at least one vertex from each of the sets Vk+2, Vk+3, . . . , Vl+k+1. There-fore, the sets Vk+2, Vk+3, . . . , Vl+k+1 are dominating sets and the partition π is an upper domatic partition. Thus, D(P k n) ≥l + k + 1. If D(P k n) > l + k + 1, there exist an upper domatic partition of l + k + 2 sets. By pigeonhole principle, in such a partition there should be at least k + 2 singleton sets, which contradicts the fact that clique number of P k n is k+1. Thus, D(P k n) = l+k+1. Case 3: n = 3k + 1 For P k 3k+1, the partition considered in Case 2 provides an upper domatic partition of order l + k + 1. Hence, D(P k 3k+1) ≥l + k + 1 and by substituting for l = j n−k−1 2 k and n = 3k + 1, we get D(P k 3k+1) ≥2k + 1. Since ∆(P k n) = 2k, by Theorem 2 D(P k n) ≤2k + 1, thus proving D(P k n) = 2k + 1. Case 4: n > 3k + 1 For n > 3k + 1, P k 3k+1 is a subgraph of P k n having a D-partition of order 2k+1 with a source set. Therefore, by Proposition 3 and Theorem 2, D(P k n) = 2k + 1. Theorem 19. For the graphs Ck n, D(Ck n) =      n, if 2k ≤n ≤2k + 1, l+k+1, if 2k + 1 < n ≤3k 2k + 1, if n ≥3k + 1. where l = j n−k−1 2 k , Proof. We consider the following cases for diﬀerent values of n. Case 1: 2k ≤n ≤2k + 1 Since Ck 2k = K2k and Ck 2k+1 = K2k+1, for 2k ≤n ≤2k+1, by Theorem 3, D(Ck n) = n. Case 2: 2k + 1 < n ≤3k Since P k n is a subgraph of Ck n, for 2k +1 < n ≤3k, by Proposition 3 and Theorem 18, D(Ck n) ≥l + k + 1. But by pigeonhole principle, if D(Ck n) > l + k + 1, such an upper domatic partition will contain at least k + 2 singleton sets which contradicts the fact that the clique number of Ck n is k + 1. Case 3: n ≥3k + 1 By Theorem 18, D(P k n) = 2k + 1, for n ≥3k + 1 and P k n is a subgraph of Ck n, therefore D(Ck n) ≥2k + 1. However, Theorem 2 implies that D(Ck n) ≤2k + 1. Thus, D(Ck n) = 2k + 1. A graph is said to be upper domatically full if D(G) = ∆(G) + 1. Corollary 4. For n ≥3k + 1, the power graphs P k n and Ck n are upper domatically full. L.C. Samuel, M. Joseph 137 Proof. Since ∆(P k n) = ∆(Ck n) = 2k, it follows from Theorems 18 and 19 that both P k n and Ck n are upper domatically full whenever n ≥3k + 1. Acknowledgements We would like to thank Prof. Teresa W. Haynes for introducing us to the concept of upper domatic number and for the constructive feedback that helped improve the presentation of the article. We gratefully acknowledge the precise and sharp reviews of the referee. References E. J. Cockayne and S. T. Hedetniemi, Towards a theory of domination in graphs, Networks 7 (1977), no. 3, 247–261. F. Harary, Graph theory, Addison-Wesley Publishing Company, Inc, 1969. T. W. Haynes, J. T. Hedetniemi, S. T. Hedetniemi, and A. McRae, The transitivity of special graph classes, J. Combin. Math. Combin. Comput. (In press) (2017). T. W. Haynes, J. T. Hedetniemi, S. T. Hedetniemi, A. McRae, and N. Phillips, The upper domatic number of a graph, AKCE Int. J. Graphs Comb. (In press) (2018). J. T. Hedetniemi and S. T. Hedetniemi, The transitivity of a graph, J. Combin. Math. Combin. Comput. 104 (2018), 75–91.
8098	https://english.stackexchange.com/questions/275315/whats-the-name-of-this-literary-device-suddenly-the-theater-became-silent	popular refrains - What's the name of this literary device? 'Suddenly, the theater became silent.' - English Language & Usage Stack Exchange Join English Language & Usage By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. 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I'm very much interested in how this rhetorical device would be classified. At first, "the theater" is a totum pro parte for the spectators. However, by later mentioning "the breathless spectators" as if talking about another entity, the literary device is dismantled, as it were. I'm interested in this dismantling, and if it has a name. I came across two candidate solutions, but they do not quite seem to fit. A paraprosdokian does not necessarily pertain to a literary device in the first part of the sentence, and a pataphor goes on to strengthen rather than weaken the previous metaphor. My personal best guess would be a subversive metonym, although I find some usage of this term for different cases of metonymy. Does anybody here perchance have knowledge of a name for such a figure of speech? popular-refrains literary-device rhetorical-devices Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this question Follow Follow this question to receive notifications edited Nov 12, 2023 at 12:47 Edwin Ashworth 91.1k 14 14 gold badges 161 161 silver badges 288 288 bronze badges asked Sep 21, 2015 at 21:07 PascalPascal 69 4 4 bronze badges 1 I would call it subverted instead of subversive. Different meaning.Robusto –Robusto 2015-09-21 22:55:24 +00:00 Commented Sep 21, 2015 at 22:55 Add a comment\| 4 Answers 4 Sorted by: Reset to default This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. The sentence is a synecdoche: A whole is represented by naming one of its parts (genus named for species), or vice versa (species named for genus). (From Silva Rhetoricae, synecdoche, emphasis mine.) The fragment is a merismus: The dividing of a whole into its parts. (From Silva Rhetoricae, merismus.) However, guessing from my rather glancing acquaintance with you and the terms you're using, I suspect you (or we) are down the rabbithole, which is to say, to borrow a metaphor from my quoted source, Silva Rhetoricae, that you (or we) are becoming lost in the forest of rhetoric. If necessary, I'll justify the claim by noting that paraprosdokian is not to my knowledge a term from classical Latin or Greek rhetoric, but is rather ...a clumsy, malformed, awkward semiliterate neologism. (From Bill Casselman's Words of the World.) No offense. To be fair, totum pro parte ('whole for a part', where the silence of the whole theater represents the silence of the spectators), seems probably to be an equitable division of synecdoche, the other half being the pars pro toto ('part for the whole'), even though the gussying up of both with Latin phrases seems gratuitous. Having been fair, I'll only lift a russet eyebrow at pataphor before hying off with Fergus "to pierce the deep wood's woven shade". Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications answered Sep 23, 2015 at 7:56 JELJEL 33.2k 5 5 gold badges 76 76 silver badges 114 114 bronze badges 1 english.stackexchange.com/questions/14949/…Robusto –Robusto 2015-09-23 15:17:32 +00:00 Commented Sep 23, 2015 at 15:17 Add a comment\| This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. At first the 'Theatre'is an example of metonymy — a figurative expression of something associated with the subject in terms of place, time or background, here the spectators. Cf. • White House = US Govt. But metonymy serves not merely referential function. There are many parts that can stand for the whole. Which part we pick out determines which aspect of the whole we are focussing on. However, we are one with you in considering the subsequent portion of the sentence not being a pataphor or paraprosdokian on the ground that there is no stretching of boundaries to land on a new thread as is the case with the former or there is no abrupt change, no punch line or unexpected twist as in the latter. In "Just like the breathless spectators" we read the writer's intention to pinpoint just not to use part (spectators) to stand for the whole (theatre) but rather to pick out the particular characteristics namely 'silence' and what contributes most in that silence. He cannot resist the temptation of elaborating the same as if, and makes use of a simile to drive home the issue of pervasive silence. To me, there is no dismantling as such. If it is meant by "subversive metonymy" something left out, it is not the case here. You can at best view 'theater' an example of 'Personification'. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Mar 3, 2016 at 6:58 answered Mar 2, 2016 at 20:14 Barid Baran AcharyaBarid Baran Acharya 2,353 14 14 silver badges 15 15 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. Paraprosdokian is the perfect word to describe what you've pointed to. The phenomenon you've isolated is definitely a species of paraprosdokian, understood as "a figure of speech in which the latter part of a sentence, phrase, or larger discourse is surprising or unexpected in a way that causes the reader or listener to reframe or reinterpret the first part" (here). But I also agree with you that you've isolated a finer-grained phenomenon, a paraprosdokian that subverts an initial figure of speech (what you call the totem pro parte). I highly doubt there is a specific word for this, much less a need for one. Subverted metonym is good for your particular example, which involves a metonym, but it doesn't name the phenomenon of subverting a figure generally. Maybe you could call the general device a figure-subverting paraprosdokian. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Jan 21, 2016 at 21:32 answered Jan 21, 2016 at 21:26 DyingIsFunDyingIsFun 18.1k 3 3 gold badges 52 52 silver badges 74 74 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 0 Save this answer. Show activity on this post. It is called metonimia , you transfer the attribute of one word to another. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications answered Mar 12, 2016 at 4:10 MarioMario 11 2 1 Welcome to English Language & Usage. This answer was flagged as low-quality because of its length and content. Can you try to include reference or link (that can support your answer) and its essential part? Please take the tour and visit our help center for additional guidance.user140086 –user140086 2016-03-12 04:37:03 +00:00 Commented Mar 12, 2016 at 4:37 By metonimia, do you mean metonymy? Whether you mean metonymy or not, adding a dictionary definition for the word you recommend would enable readers to gain a firmer grasp of the term than the brief descriptive phrase you supply above. The goal is to make answers at this site reasonably self-contained, instead of requiring readers to search elsewhere for definitions of suggested words.Sven Yargs –Sven Yargs 2016-03-12 06:39:12 +00:00 Commented Mar 12, 2016 at 6:39 Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions popular-refrains literary-device rhetorical-devices See similar questions with these tags. 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8099	https://www.biblegateway.com/passage/?search=Matthew%2026%3A20-30%2CMark%2014%3A17-26%2CLuke%2022%3A14-30%2CJohn%2013%3A21-30&version=NASB	Matthew 26:20-30 New American Standard Bible The Last Passover 20(A)Now when evening came, Jesus was reclining at the table with the [a]twelve. 21And as they were eating, He said, “(B)Truly I say to you that one of you will betray Me.” 22Being deeply grieved, they began saying to Him, each one: “Surely it is not I, Lord?” 23And He answered, “(C)He who dipped his hand with Me in the bowl is the one who will betray Me. 24The Son of Man is going away (D)just as it is written about Him; but woe to that man by whom the Son of Man is betrayed! (E)It would have been good [b]for that man if he had not been born.” 25And (F)Judas, who was betraying Him, said, “Surely it is not I, (G)Rabbi?” Jesus said to him, “(H)You have said it yourself.” The Lord’s Supper Instituted 26(I)Now while they were eating, Jesus took some bread, and c)after a blessing, He broke it and gave it to the disciples, and said, “Take, eat; this is My body.” 27And when He had taken a cup and given thanks, He gave it to them, saying, “Drink from it, all of you; 28for (K)this is My blood of the covenant, which is being poured out for (L)many for forgiveness of sins. 29But I say to you, I will not drink of this fruit of the vine from now on until that day when I drink it with you, new, in My Father’s kingdom.” 30(M)And after singing a [d]hymn, they went out to (N)the Mount of Olives. Footnotes Cross references Mark 14:17-26 New American Standard Bible 17(A)When it was evening He came with the twelve. 18And as they were reclining at the table and eating, Jesus said, “Truly I say to you that one of you will [a]betray Me—[b]one who is eating with Me.” 19They began to be grieved and to say to Him one by one, “Surely not I?” 20But He said to them, “It is one of the twelve, the one who dips bread with Me in the bowl. 21For the Son of Man is going away just as it is written about Him; but woe to that man [c]by whom the Son of Man is betrayed! It would have been good [d]for that man if he had not been born.” The Lord’s Supper 22(B)While they were eating, He took some bread, and [e]after a (C)blessing He broke it, and gave it to them, and said, “Take it; this is My body.” 23And when He had taken a cup and given thanks, He gave it to them, and they all drank from it. 24And He said to them, “This is My (D)blood of the (E)covenant, which is being poured out for many. 25Truly I say to you, I will not drink of the fruit of the vine again, until that day when I drink it, new, in the kingdom of God.” 26(F)And after singing a [f]hymn, they went out to (G)the Mount of Olives. Footnotes Cross references Luke 22:14-30 New American Standard Bible The Lord’s Supper 14(A)When the hour came, He reclined at the table, and (B)the apostles with Him. 15And He said to them, “I have eagerly desired to eat this Passover with you before I suffer; 16for I say to you, I shall not eat it again (C)until it is fulfilled in the kingdom of God.” 17(D)And when He had taken a cup and (E)given thanks, He said, “Take this and share it among yourselves; 18for (F)I say to you, I will not drink of the fruit of the vine from now on until the kingdom of God comes.” 19And when He had taken some bread and (G)given thanks, He broke it and gave it to them, saying, “This is My body, which is being given for you; do this in remembrance of Me.” 20And in the same way He took the cup after they had eaten, saying, “This cup, which is (H)poured out for you, is the (I)new covenant in My blood. 21(J)But behold, the hand of the one betraying Me is with [a]Mine on the table. 22For indeed, the Son of Man is going (K)as it has been determined; but woe to that man by whom He is betrayed!” 23And they began to debate among themselves which one of them it was who was going to do this. Who Is Greatest 24And (L)a dispute also developed among them as to which one of them was regarded as being the greatest. 25(M)And He said to them, “The kings of the Gentiles domineer over them; and those who have authority over them are called ‘Benefactors.’ 26But it is not this way for you; (N)rather, the one who is the greatest among you must become like (O)the youngest, and the leader like the servant. 27For (P)who is greater, the one who reclines at the table or the one who serves? Is it not the one who reclines at the table? But (Q)I am among you as the one who serves. 28“You are the ones who have stood by Me in My (R)trials; 29and just as My Father has granted Me a (S)kingdom, I grant you 30that you may (T)eat and drink at My table in My (U)kingdom, and (V)you will sit on thrones judging the twelve tribes of Israel. Footnotes Cross references John 13:21-30 New American Standard Bible Jesus Predicts His Betrayal 21When Jesus had said these things, He (A)became troubled in spirit, and [a]testified and said, “Truly, truly I say to you that (B)one of you will [b]betray Me.” 22The disciples began looking at one another, (C)at a loss to know of which one He was speaking. 23Lying back on (D)Jesus’ chest was one of His disciples, (E)whom Jesus loved. 24So Simon Peter nodded to this disciple and said to him, “Tell us who it is of whom He is speaking.” 25He then simply (F)leaned back on Jesus’ chest and said to Him, “Lord, who is it?” 26Jesus then answered, “That man is the one for whom I shall dip the piece of bread and give it to him.” So when He had dipped the piece of bread, He took and gave it to Judas, (G)the son of Simon Iscariot. 27After [c]this, (H)Satan then (I)entered him. Therefore Jesus said to him, “What you are doing, do it quickly.” 28Now none of those reclining at the table knew for what purpose He had said this to him. 29For some were assuming, since Judas (J)kept the money box, that Jesus was saying to him, “Buy the things we need (K)for the feast”; or else, that he was to d)give something to the poor. 30So after receiving the piece of bread, he left immediately; and (M)it was night. Footnotes Cross references New American Standard Bible®, Copyright © 1960, 1971, 1977, 1995, 2020 by The Lockman Foundation. All rights reserved. New American Standard Bible®, Copyright © 1960, 1971, 1977, 1995, 2020 by The Lockman Foundation. All rights reserved. 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