Split (2)

train · ~239k rows (showing the first 191k)

id stringlengths 1 6	url stringlengths 16 1.82k	content stringlengths 37 9.64M
9700	https://www.cuemath.com/geometry/intersection-of-two-lines/	Intersection of Two Lines - Point of Intersection of Lines We use cookies to improve your experience. Learn more OK Loading... Sign up LearnPracticeDownload Intersection of Two Lines Two distinct lines intersect at the most at one point. To find the intersection of two lines we just need to solve their equations. The alternative way is to graph the lines and find their point of intersection. The lines will intersect only if they are non-parallel lines. Common examples of real-life intersecting lines include a pair of scissors, a folding chair, a road cross, a signboard, etc. In this mini-lesson, we will learn in detail, how to find the point of intersection of two lines. 1.What is Intersection of Two Lines? 2.Finding Intersection of Two Lines 3.Angle of Intersection of Lines 4.Conditions for Two Lines to be Parallel or Perpendicular 5.Properties of Intersecting Lines 6.FAQS on Intersection of Two Lines What is Intersection of Two Lines? Intersection of two linesis a point at which both lines meet. When two lines share a common point, they are called intersecting lines. This common point that exists on all intersecting lines is called the point of intersection. The two non-parallel straight lines which are co-planar will have an intersection point. Here, lines A and B intersect at point O, which is the "point of intersection". Finding Point Intersection of Two Lines Let's consider the following case. We are given two lines, L 1 L 1 and L 2 L 2, and we are required to find the point of intersection. Evaluating the point of intersection involves solving two simultaneous linear equations. Let the equations of the two lines be (written in the general form): a 1 x+b 1 y+c 1=0 a 2 x+b 2 y+c 2=0 a 1 x+b 1 y+c 1=0 a 2 x+b 2 y+c 2=0 Now, let the point of intersection be (x 0,y 0)(x 0,y 0). Thus, a 1 x 0+b 1 y 0+c 1=0 a 2 x 0+b 2 y 0+c 2=0 a 1 x 0+b 1 y 0+c 1=0 a 2 x 0+b 2 y 0+c 2=0 This system can be solved using Cross multiplication rule to get: x 0 b 1 c 2−b 2 c 1=−y 0 a 1 c 2−a 2 c 1=1 a 1 b 2−a 2 b 1 x 0 b 1 c 2−b 2 c 1=−y 0 a 1 c 2−a 2 c 1=1 a 1 b 2−a 2 b 1 From this relation, we can obtain the point of intersection (x 0,y 0)(x 0,y 0) as (x 0,y 0)=(b 1 c 2−b 2 c 1 a 1 b 2−a 2 b 1,c 1 a 2−c 2 a 1 a 1 b 2−a 2 b 1)(x 0,y 0)=(b 1 c 2−b 2 c 1 a 1 b 2−a 2 b 1,c 1 a 2−c 2 a 1 a 1 b 2−a 2 b 1) ☛Also Check: Check the following alternative methods to find point of intersection of lines: Substitution Method Elimination Method Cramer's rule Angle of Intersection of Lines To obtain the angle of intersection of lines, consider the figure shown: The equations of the two lines in slope-intercept form are: y=(−a 1 b 1)x+(c 1 b 1)=m 1 x+C 1 y=(−a 2 b 2)x+(c 2 b 2)=m 2 x+C 2 y=(−a 1 b 1)x+(c 1 b 1)=m 1 x+C 1 y=(−a 2 b 2)x+(c 2 b 2)=m 2 x+C 2 Note in the figure above that θ=θ 2−θ 1 θ=θ 2−θ 1, where θ 1 θ 1 and θ 2 θ 2 are the angles made by the two lines with the x-axis. Thus, tan θ=tan(θ 2−θ 1)=tan θ 2−tan θ 1 1+tan θ 1 tan θ 2=m 2−m 1 1+m 1 m 2 tan⁡θ=tan⁡(θ 2−θ 1)=tan⁡θ 2−tan⁡θ 1 1+tan⁡θ 1 tan⁡θ 2=m 2−m 1 1+m 1 m 2 Conventionally, we would be interested only in the acute angle between the two lines and thus, we have to have tan θ tan⁡θ as a positive quantity. So in the expression above, if the expression m 2−m 1 1+m 1 m 2 m 2−m 1 1+m 1 m 2 turns out to be negative, this would be the tangent of the obtuse angle between the two lines. Thus, to get the acute angle between the two lines, we use the magnitude of this expression. Therefore, the acute angle θ θ between the two lines is θ=tan−1∣∣m 2−m 1 1+m 1 m 2∣∣θ=tan−1\|m 2−m 1 1+m 1 m 2\| From this relation, we can easily deduce the conditions on m 1 m 1 and m 2 m 2 such that the two lines L 1 L 1 and L 2 L 2 are parallel or perpendicular. Conditions for Two Lines to be Parallel or Perpendicular Two lines are parallel if the angle between them is 0 and two lines are perpendicular when the angle between them is a right angle. So: If the lines are parallel, θ=0 θ=0 and m 1=m 2 m 1=m 2, which is obvious since parallel lines must have the same slope. For the two lines to be perpendicular lines, θ = π/2 , so that cot θ = 0; this can happen if 1+m 1 m 2=0 1+m 1 m 2=0 or m 1 m 2=−1 m 1 m 2=−1. We can another set of conditions using the above. For that, consider the following formula to find the slope of a line from its equation: The slope of a line ax + by + c = 0 in general is m = -a/b. Now, consider two lines L 1:a 1 x+b 1 y+c 1=0 L 1:a 1 x+b 1 y+c 1=0 and L 2:a 2 x+b 2 y+c 2=0 L 2:a 2 x+b 2 y+c 2=0. Condition for Two Lines to be Parallel Thus, the condition for L 1 L 1 and L 2 L 2 to be parallel is: m 1=m 2⇒−a 1 b 1=−a 2 b 2⇒a 1 b 1=a 2 b 2 m 1=m 2⇒−a 1 b 1=−a 2 b 2⇒a 1 b 1=a 2 b 2 Example:The line L 1:x−2 y+1=0 L 1:x−2 y+1=0 is parallel to the line L 2:x−2 y−3=0 L 2:x−2 y−3=0 because the slope of both the lines is m = 1/2 Condition for Two Lines to be Perpendicular The condition for L 1 L 1 and L 2 L 2 to be perpendicular is: m 1 m 2=−1⇒(−a 1 b 1)(−a 2 b 2)=−1⇒a 1 a 2+b 1 b 2=0 m 1 m 2=−1⇒(−a 1 b 1)(−a 2 b 2)=−1⇒a 1 a 2+b 1 b 2=0 Example:The line L 1 L 1 : x + y = 1 is perpendicular to the line L 2 L 2 :x - y = 1 because 1(1)+1(−1)=0 1(1)+1(−1)=0. Properties of Intersecting Lines The intersecting lines (two or more) always meet at a single point. The intersecting lines can cross each other at any angle. This angle formed is always greater than 0∘ and less than 180∘. Two intersecting lines form a pair of vertical angles. The vertical angles are opposite angles with a common vertex (which is the point of intersection). Here, ∠a & ∠c and ∠b & ∠d are pairs of vertical angles. ∠a + ∠d = ∠b + ∠c = straight angle =180∘ An acute angle θ θ between lines L 1 L 1 and L 2 L 2 with slopes m 1 m 1 and m 2 m 2 is given by θ=tan−1∣∣m 2−m 1 1+m 1 m 2∣∣θ=tan−1\|m 2−m 1 1+m 1 m 2\|. The condition for two lines L 1 L 1 and L 2 L 2 to be parallel is: m 1=m 2 m 1=m 2 The condition for two lines L 1 L 1 and L 2 L 2 to be perpendicular is: m 1 m 2=−1 m 1 m 2=−1 ☛Related articles: System of Equations Calculator Simultaneous Equations Calculator Point of Intersection of Lines Calculator Read More Explore math program Download FREE Study Materials Download Coordinate Geometry Worksheets Coordinate Geometry Grade 9 \| Questions Set 1 Coordinate Geometry Grade 9 \| Answers Set 1 Coordinate Geometry Grade 10 \| Questions Set 1 Coordinate Geometry Grade 10 \| Answers Set 1 Solved Examples on Intersection of Lines Example 1: Find the point of intersection and the angle of intersection of two lines from the graph below: x - 2y + 3 = 0 3x - 4y + 5 = 0 Solution: We use cross multiplication method to find the point of intersection: x/(-10 - (-12)) = -y/(5-9) = 1/(-4 - (-6)) ⇒ x/2 = y/4 = 1/2 ⇒ x = 1, y = 2 Now, the slopes of the two lines are: m 1=1 2,m 2=3 4 m 1=1 2,m 2=3 4 If θ θ is the acute angle of intersection between the two lines, we have: tan θ=∣∣∣m 2−m 1 1+m 1 m 2∣∣∣=∣∣ ∣∣3 4−1 2 1+3 8∣∣ ∣∣=2 11 tan⁡θ=\|m 2−m 1 1+m 1 m 2\|=\|3 4−1 2 1+3 8\|=2 11 θ = tan−1(2/11) ≈ 10.3∘ Answer: ∴ The point of intersection of lines is (1,2) and the angle of intersection is θ = tan−1(2/11). 2. Example 2: Find the equation of a line perpendicular to the line x - 2y + 3 = 0 and passing through the point (1, -2). Solution: Given line x - 2y + 3 = 0 can be written as y = (1/2)x + 3/2 Slope of the line 1 is m 1 m 1= 1/2 Therefore, slope of the line perpendicular to line (1)(1) is m 2=−1 m 1 m 2=−1 m 1 = -2 Equation of a line perpendicular to the line x - 2y + 3 = 0 and passing through the point (1, -2) is y - (-2) = -2 (x - 1) y + 2 = -2x + 2 y = -2x Answer: ∴ Equation of the required line is y = -2x 3. Example 3: Compute the slopes of y = 2x + 3 and 2x - y + 5 = 0. The try to find the point of intersection of two lines if any. Solution: The slopes of the given two lines are: y = 2x + 3. Comparing this with y = mx + c, its slope is m = 2 2x - y + 5 = 0. Its slope is (-2)/(-1)=2 The slopes of both lines are equal. So they are parallel lines. Thus, they don't have point of intersection. Answer: The point of intersection of the given two lines does NOT exist. Show Solution > Have questions on basic mathematical concepts? Become a problem-solving champ using logic, not rules. Learn the why behind math with ourCuemath’s certified experts. Book a Free Trial Class Practice Questions on Intersection of Two Lines Get Answer > FAQs on Intersection of Two Lines How to Find Intersection of Two Lines? To find the point of intersection of two lines: Get the two equations for the lines into slope-intercept form. That is, have them in this form: y = mx + b. Set the two equations for y equal to each other. Solve for x. This will be the x-coordinate for the point of intersection. Use this x-coordinate and substitute it into either of the original equations for the lines and solve for y. This will be the y-coordinate of the point of intersection. You now have the x-coordinate and y-coordinate for the point of intersection. What Does the Intersection of Two Lines Represent? When the lines intersect, the point of intersection is the only point that the two graphs have in common. So the coordinates of that point are the solution for the two variables used in the equations. When the lines are parallel, there are no solutions. i.e., the lines don't intersect. What is the Condition for the Intersection of Two Lines? A necessary condition for two lines to intersect is that they are in the same plane i.e., they are not skew lines. What are the Methods Used to Find Point of Intersection of Lines? The following are different methods used to find the point of intersection of two lines: Substitution method Elimination method Graphical method Cross multiplication method Cramer's rule Matrix method Can Two Planes Intersect in a Line? They cannot intersect at only one point because planes are infinite. Furthermore, they cannot intersect over more than one line because planes are flat. One way to think about planes is to try to use sheets of paper and observe that the intersection of two sheets would only happen along one line. How Many Solutions Do the Same Lines Have? A system of linear equations usually has a single solution, but sometimes it can have no solution (parallel lines) or infinite solutions (same line). When Two Lines Intersect How Many Angles are Formed? When two lines intersect, four angles are formed. Among them, two are acute and two are obtuse. Do Parallel Lines Have a Solution? Since parallel lines never cross, there can be no intersection; for a system of equations that graphs as parallel lines, there can be no solution. This is called an "inconsistent" system of equations, and it has no solution. Explore math program Math worksheets and visual curriculum Sign up FOLLOW CUEMATH Facebook Youtube Instagram Twitter LinkedIn Tiktok MATH PROGRAM Online math classes Online Math Courses online math tutoring Online Math Program After School Tutoring Private math tutor Summer Math Programs Math Tutors Near Me Math Tuition Homeschool Math Online Solve Math Online Curriculum NEW OFFERINGS Coding SAT Science English MATH ONLINE CLASSES 1st Grade Math 2nd Grade Math 3rd Grade Math 4th Grade Math 5th Grade Math 6th Grade Math 7th Grade Math 8th Grade Math ABOUT US Our Mission Our Journey Our Team MATH TOPICS Algebra 1 Algebra 2 Geometry Calculus math Pre-calculus math Math olympiad Numbers Measurement QUICK LINKS Maths Games Maths Puzzles Our Pricing Math Questions Blogs Events MATH WORKSHEETS Kindergarten Worksheets 1st Grade Worksheets 2nd Grade Worksheets 3rd Grade Worksheets 4th Grade Worksheets 5th Grade Worksheets 6th Grade Worksheets 7th Grade Worksheets 8th Grade Worksheets 9th Grade Worksheets 10th Grade Worksheets FOLLOW CUEMATH Facebook Youtube Instagram Twitter LinkedIn Tiktok MATH PROGRAM Online math classes Online Math Courses online math tutoring Online Math Program After School Tutoring Private math tutor Summer Math Programs Math Tutors Near Me Math Tuition Homeschool Math Online Solve Math Online Curriculum NEW OFFERINGS Coding SAT Science English MATH WORKSHEETS Kindergarten Worksheets 1st Grade Worksheets 2nd Grade Worksheets 3rd Grade Worksheets 4th Grade Worksheets 5th Grade Worksheets 6th Grade Worksheets 7th Grade Worksheets 8th Grade Worksheets 9th Grade Worksheets 10th Grade Worksheets ABOUT US Our Mission Our Journey Our Team MATH TOPICS Algebra 1 Algebra 2 Geometry Calculus math Pre-calculus math Math olympiad Numbers Measurement QUICK LINKS Maths Games Maths Puzzles Our Pricing Math Questions Blogs Events MATH ONLINE CLASSES 1st Grade Math 2nd Grade Math 3rd Grade Math 4th Grade Math 5th Grade Math 6th Grade Math 7th Grade Math 8th Grade Math Terms and ConditionsPrivacy Policy
9701	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Circumradius?srsltid=AfmBOoov-CevB2dVwETHbfDDedxfmgscyJgBO4LO82tReIpKYFVoKUoM	Art of Problem Solving Circumradius - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. Visit AoPS Academy ‚ Find a Physical CampusVisit the Virtual Campus Sign In Register online school Class ScheduleRecommendationsOlympiad CoursesFree Sessions books tore AoPS CurriculumBeast AcademyOnline BooksRecommendationsOther Books & GearAll ProductsGift Certificates community ForumsContestsSearchHelp resources math training & toolsAlcumusVideosFor the Win!MATHCOUNTS TrainerAoPS Practice ContestsAoPS WikiLaTeX TeXeRMIT PRIMES/CrowdMathKeep LearningAll Ten contests on aopsPractice Math ContestsUSABO newsAoPS BlogWebinars view all 0 Sign In Register AoPS Wiki ResourcesAops Wiki Circumradius Page ArticleDiscussionView sourceHistory Toolbox Recent changesRandom pageHelpWhat links hereSpecial pages Search Circumradius The circumradius of a cyclicpolygon is the radius of the circumscribed circle of that polygon. For a triangle, it is the measure of the radius of the circle that circumscribes the triangle. Since every triangle is cyclic, every triangle has a circumscribed circle, or a circumcircle. Contents [hide] 1 Formula for a Triangle 2 Proof 3 Formula for Circumradius 4 Circumradius, bisector and altitude 5 Euler's Theorem for a Triangle 6 Proof 7 Right triangles 7.1 Theorem 8 Equilateral triangles 9 If all three sides are known 10 If you know just one side and its opposite angle 11 See also Formula for a Triangle Let and denote the triangle's three sides and let denote the area of the triangle. Then, the measure of the circumradius of the triangle is simply . This can be rewritten as . Proof We let , , , , and . We know that is a right angle because is the diameter. Also, because they both subtend arc . Therefore, by AA similarity, so we have or However, remember that . Substituting this in gives us and then simplifying to get and we are done. Formula for Circumradius Where is the circumradius, is the inradius, and , , and are the respective sides of the triangle and is the semiperimeter. Note that this is similar to the previously mentioned formula; the reason being that . But, if you don't know the inradius, you can find the area of the triangle by Heron’s Formula: Circumradius, bisector and altitude Circumradius and altitude are isogonals with respect bisector and vertex of triangle. Euler's Theorem for a Triangle Let have circumcenter and incenter .Then Proof See Right triangles The hypotenuse of the triangle is the diameter of its circumcircle, and the circumcenter is its midpoint, so the circumradius is equal to half of the hypotenuse of the right triangle. This results in a well-known theorem: Theorem The midpoint of the hypotenuse is equidistant from the vertices of the right triangle. The midpoint of the hypotenuse is the circumcenter of a right triangle. Equilateral triangles where is the length of a side of the triangle. If all three sides are known Which follows from the Heron's Formula and . If you know just one side and its opposite angle by the Law of Sines. (Extended Law of Sines) See also Inradius Semiperimeter Retrieved from " Category: Geometry Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
9702	https://tasks.illustrativemathematics.org/content-standards/1/OA/A	Illustrative Mathematics Engage your students with effective distance learning resources. ACCESS RESOURCES>> Grade 1 Domain Operations and Algebraic Thinking Cluster Represent and solve problems involving addition and subtraction. 1.OA.A Represent and solve problems involving addition and subtraction. View all 1.OA.A TasksDownload all tasks for this grade Standards 1.OA.A.1 Use addition and subtraction within 20 to solve word problems involving situations of adding to,... View DetailsView Tasks 1.OA.A.2 Solve word problems that call for addition of three whole numbers whose sum is less than or equal... View DetailsView Tasks Typeset May 4, 2016 at 18:58:52. Licensed by Illustrative Mathematics under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
9703	https://vladmama.ru/forum/viewtopic.php?f=79&t=143156&view=print	Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) \| VLADMAMA.RU VLADMAMA.RU Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 1 из 1 Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:17 ] Заголовок сообщения:Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, сыну задали решить дома такое задание, оно идёт без звёздочки, т.е. считается лёгким. Найди лишнее число и объясни, почему оно лишнее: 13, 22, 39, 64, 76. Мы с мужем уже головы сломали, вариантов много, не знаем какой правильный Автор:oposum-apelsin [ 13 фев 2011, 21:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! 39 - единственное число, которое делится на три. Автор:Немного солнца [ 13 фев 2011, 21:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка 39 сумма=3 Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! oposum-apelsin Деление они ещё не проходят Автор:цель1 [ 13 фев 2011, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка А что они щас проходят? Какая тема? oposum-apelsin Деление проходят уже? Автор:цель1 [ 13 фев 2011, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Пока писала, Вы уже ответили на мой вопрос... По какой теме упражнение? Автор:Немного солнца [ 13 фев 2011, 21:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! цель1 писал(а): По какой теме упражнение? четное- нечетное? Автор:fishка [ 13 фев 2011, 21:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! может 22, так как цифры одинаковые? Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! цель1 писал(а): Пока писала, Вы уже ответили на мой вопрос... По какой теме упражнение? Вообще-то это самостоятельная работа, нам частенько такие листочки на дом дают, но никогда у сына не было проблем с решением, а тут... Тема: сочетательное свойство сложения Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца писал(а): цель1 писал(а): По какой теме упражнение? четное- нечетное? Чётное-нёчетное они ещё не проходили, хотя ваш ответ подходит, мы с мужем его тоже рассматривали. Автор:цель1 [ 13 фев 2011, 21:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Тема: сочетательное свойство сложения Это что? Объясните популярно Автор:цель1 [ 13 фев 2011, 21:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Чётное-нёчетное они ещё не проходили, хотя ваш ответ подходит, мы с мужем его тоже рассматривали Так тут же 2 нечетных, а лишнее должно быть одно Автор:xenia1980 [ 13 фев 2011, 21:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка нашла на мэйле в вопросах (через яндекс), правда сама не поняла что к чему - думаю ребенок Вам объяснит... ОТВЕТ: Как ни странно 13 22=1211 39=1313 64=122222, = 1264, =1232.... 76=1236, =12218... а 13=113 и всё Автор:Немного солнца [ 13 фев 2011, 21:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! xenia1980 во 2 классе такие умножения может 22 лишнее? типа числа одинаковые? Автор:tigra [ 13 фев 2011, 21:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! xenia1980 Это второй класс должен такое решить? Автор:xenia1980 [ 13 фев 2011, 21:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ааа, вот еще нашла 13 - это единственное простое число, которое делится на 1 и себя само, т.е. 13 Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! цель1 писал(а): Ласточка писал(а): Тема: сочетательное свойство сложения Это что? Объясните популярно (а+b)+c=a+(b+c) Например: (397+51)+(249+3)= (397+3)+(51+249)=700 Но к чему наша задачка, мне кажется она ввобще не в тему Автор:Svet_lana [ 13 фев 2011, 21:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ага, xenia1980 права Это 13 А четное-нечетное наш в первом классе проходит... Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra Да они и не такое решают, ЛОГИКА ОДНАКО Автор:fishка [ 13 фев 2011, 21:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Мы с мужем уже головы сломали, вариантов много, не знаем какой правильный а еще в таких задачах правильных ответов может быть несколько, главное проявить сообразительность! оригинальность ответа даже приветствуется Автор:xenia1980 [ 13 фев 2011, 21:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Svet_lana Вы точно знаете, что это правильный ответ, а то на одном из форумов идеи другие подкинули Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Девочки, так какой вариант выбрать: 22- состоит из 2-х одинаковых чисел; 13- простое число и делится только на само себя 76 - т.к. не подходит в цепочке чётное-нечетное 13 - пишется одним словом Автор:Немного солнца [ 13 фев 2011, 21:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): 13 - пишется одним словом прикольно. Мне кажется любой, главное объяснить Автор:tigra [ 13 фев 2011, 21:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Где тут смайлик с глазами в кучу... Напоминает задачки из тестов на ай кью. Только там проще гораздо. Автор:xenia1980 [ 13 фев 2011, 21:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! видела, что может быть несколько ответов, у данной методики мышление логическое приветствуется. Чем-то тест попахивает IQ Автор:tali [ 13 фев 2011, 21:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! В этом ряду чисел чередуются чётные и нечетные числа, а 76 идёт сразу после чётного числа 64, возможно 76 лишнее. Автор:fishка [ 13 фев 2011, 21:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка если напишете все варианты, думаю, учитель будет в восторге Автор:KsenyaV [ 13 фев 2011, 21:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Мой деть, прошедший это 5 лет назад выбрал вариант с 22 - одинаковые числа. А вот сочетательное св-во сложения... Ох, попадись мне эта Петерсон, и кто на нашу голову ее напустил, ладно не буду, это как тряпка красная для меня... Автор:Рацио [ 13 фев 2011, 21:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! девочки а может лишнее 76? смотрите, разница между 13 и 22 =9, между 22 и 39 = 17 (т.е. 9+8=17), между 39 и 64 =25 (т.е. уже 17+8=25), а вот разница между 64 и 76 =12, а по логике как должно быть 97 но я не уверена вы нам потом напишите какой ответ все таки правильным оказался Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! KsenyaV Да я тоже в шоке от программы 2100, хотя многим она очень нравится и многие детки справляются по ней, в ней всё на логику, нам старому поколения этого не понять, хотя, вроде, не дураками выросли Автор:були [ 13 фев 2011, 21:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! а если так 13(1+3)-четное, 22(2+2)-четное, 39(3+9)-четное,64(6+4)-четное,76(7+6)-НЕчетное Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 21:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! були ООО, прикольно, как раз тут сумма чисел задействована. Спасибо! Автор:KsenyaV [ 13 фев 2011, 21:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): KsenyaV Да я тоже в шоке от программы 2100, хотя многим она очень нравится и многие детки справляются по ней, в ней всё на логику, нам старому поколения этого не понять, хотя, вроде, не дураками выросли Уже много раз писала, что в основном нравится, пока до 4-го класса всей семьей, соседями логику тренируют, а вот когда в 5-6 классе и старше навыки счета нужны....., а в голове сплошенная логика не всем понятная..... Автор:Lioni [ 13 фев 2011, 21:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Рацио писал(а): девочки а может лишнее 76? смотрите, разница между 13 и 22 =9, между 22 и 39 = 17 (т.е. 9+8=17), между 39 и 64 =25 (т.е. уже 17+8=25), а вот разница между 64 и 76 =12, а по логике как должно быть 97 но я не уверена вы нам потом напишите какой ответ все таки правильным оказался Только хотела написать тоже самое, это чистая логика!!! Автор:Lioni [ 13 фев 2011, 22:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! були писал(а): а если так 13(1+3)-четное, 22(2+2)-четное, 39(3+9)-четное,64(6+4)-четное,76(7+6)-НЕчетное Тоже правильный вариант Он скорее больше для второго класса подходит . Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! KsenyaV писал(а): Ласточка писал(а): KsenyaV Да я тоже в шоке от программы 2100, хотя многим она очень нравится и многие детки справляются по ней, в ней всё на логику, нам старому поколения этого не понять, хотя, вроде, не дураками выросли Уже много раз писала, что в основном нравится, пока до 4-го класса всей семьей, соседями логику тренируют, а вот когда в 5-6 классе и старше навыки счета нужны....., а в голове сплошенная логика не всем понятная..... Да, я в ту тему (про программу 2100) даже лезть боюсь, запинают . Чёрт меня дёрнул ребёнка на эту программу отдать... всё по верхам да поверхам, ничего вглубь Автор:Vezza [ 13 фев 2011, 22:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Девочки, сыну задали решить дома такое задание, оно идёт без звёздочки, т.е. считается лёгким. Найди лишнее число и объясни, почему оно лишнее: 13, 22, 39, 64, 76. Сын учится во втором классе вот ,что он думает 1+3= 4 2+2=4 3+9=12 6+4+10 7+6=13 Ответ: 76 сумма нечетная Смотрю уже ответили,вроде тоже так. Автор:Липа [ 13 фев 2011, 22:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! А я б так ответила: каждое из чисел 22, 39, 64, 76 можно представить в виде суммы одинаковых чисел: 22=11+11, 39=13+13+13, 64=32+32, 76=38+38. А число 13 в виде суммы одинаковых чисел представить нельзя, оно относится к простым числам. Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk писал(а): Ласточка писал(а): Девочки, сыну задали решить дома такое задание, оно идёт без звёздочки, т.е. считается лёгким. Найди лишнее число и объясни, почему оно лишнее: 13, 22, 39, 64, 76. Сын учится во втором классе вот ,что он думает 1+3= 4 2+2=4 3+9=12 6+4+10 7+6=13 Ответ: 76 сумма нечетная Смотрю уже ответили,вроде тоже так. Спасибо! Вариантов на самом деле тьма-тмущая и все правильные, короче выберем любой Автор:KsenyaV [ 13 фев 2011, 22:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка, если хотите, совет . А проверьте ребенка, а как понял он тему-то. Что за зверь это свойство сочетательное. Пусть на примерах объяснит, как нас с вами "непродвинутые" педагоги учили. Автор:Рацио [ 13 фев 2011, 22:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка только нам потом не забудьте сообщить какой же все таки правильным оказался Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! KsenyaV Так, дело в том, что если у него просто спросить про сочетательные свойства сложения, т.е. именно правило он сходу не ответит, а вот если пример надо будет решить, опираясь на это свойство, так он уже наловчился их щелкать. Бывают, конечно, промахи, но не часто и только из-за своей невнимательности. Автор:ЕкатеринаК [ 13 фев 2011, 22:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Лишнее 76, т.к. 13 это 1+3=4 четное, 22 это 2+2=4 четное, 39 это 3+9=12 четное,64 это 6+4=10 четное, 76 это 7+6=13 это нечетное. Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! KsenyaV Но я, положа руку на сердце, всё равно программой недовольна , очень ИМХО поверхностная Автор:Самаясамая [ 13 фев 2011, 22:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Липа каждое из чисел 22, 39, 64, 76 можно представить в виде суммы одинаковых чисел: 22=11+11, 39=13+13+13, 64=32+32, 76=38+38. А число 13 в виде суммы одинаковых чисел представить нельзя, оно относится к простым числам я тоже склоняюсь к этому, хотя почему то первое, что пришло на ум, прогрессии...но второй класс Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Девочки, потом обязательно напишу правильный ответ . Всем спасибо за предложенные варианты Автор:ЕкатеринаК [ 13 фев 2011, 22:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! На Ваш вопрос ответила моя дочка, она в 3 классе. Они подобное до сих пор решают, только уже на деление и умножение Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ЕкатеринаК Мне этот вариант, честно говоря, тоже больше нравится, но сын заявил, что они ни в 1-м, ни во 2-м классе не проходили чётные и нечётные числа. Вообще, по логигке, их должны проходить после деления, т.к чётные делятся на 2, а нечётные - не делятся Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 22:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка Это в первом классе точно проходят (четное-нечетное)... Хотя, может по Петерс и не так Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 22:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Девочки, я прям озадачилась!!! А что ж дальше-то, если во 2 классе задачку всем форумом решать приходится? Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ярилочка Я, можно сказать, учусь вместе с сыном , я точно знаю, что не проходили Автор:Vezza [ 13 фев 2011, 22:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка А мы проходили четные и нечетные( точнее сын об этом от куда то знает) .У нас программа 2100 2 класс( на обложке написано Демидова) Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 22:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Ярилочка Я, можно сказать, учусь вместе с сыном , я точно знаю, что не проходили Вот это да!!! А раньше ведь, это чуть ли не в сентябре в 1 классе проходили... Очень "веселенькая" программа... Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 22:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk писал(а): точнее сын об этом от куда то знает Повеселило Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk писал(а): Ласточка А мы проходили четные и нечетные( точнее сын об этом от куда то знает) .У нас программа 2100 2 класс( на обложке написано Демидова) 2100 есть 2 варианта: простая и гимназическая. У вас простая У нас гимназисческая Петерсон считается очень сложным . Всё у него шиворот-навыворот . Я тоже помню, что мы чёт-нечёт в 1-ом классе проходили, а вот они нет, учусь вместе с сыном, поэтому каждую страничку в учебниках помню чуть ли не наизусть. Автор:Vezza [ 13 фев 2011, 22:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ярилочка писал(а): vvk писал(а): точнее сын об этом от куда то знает Повеселило Я с ним не занимаюсь почти. Только уроки проверяю и на поступающие вопросы отвечаю. Иногда звоню знакомому математику , когда совсем не въезжаем. А так математика любимый предмет, особенно задачки со звездочками. Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 22:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk Просто мой тоже употребляет "четное-нечетное", но я не вдавалась, в каком контексте и правильно ли понимает... Но тоже "откуда-то знает".... Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 22:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk Но прозвучало это "откуда-то" четко!!!! Автор:Ласточка [ 13 фев 2011, 22:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk писал(а): Ярилочка писал(а): vvk писал(а): точнее сын об этом от куда то знает Повеселило Я с ним не занимаюсь почти. Только уроки проверяю и на поступающие вопросы отвечаю. Иногда звоню знакомому математику , когда совсем не въезжаем. А так математика любимый предмет, особенно задачки со звездочками. Повторюсь у вас очень лёгкая программа, видела учебники по 2100 только других авторов (как раз таких как у вас) Ой, а я, неверное, не дождусь, когда он сам уроки начнёт делать, вот с такими-то вот задачками. Хотя есть у нас ребята ( в основном девочки), которым эта программа на ура!!, а вот моего надо было на традиционку записывать. Автор:Ярилочка [ 13 фев 2011, 23:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка Подскажите, а вот эта, которая легкая программа, она с нашей как-то похожа, по которой мы учились? Автор:Ласточка [ 14 фев 2011, 00:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ярилочка На нашу, по которой мы учились, похожа традиционка, она в некоторых школах называется классическая, а 2100 (что по Демидовой-Козловой, что по Петерсону) совсем непохожа на нашу Автор:Ярилочка [ 14 фев 2011, 00:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка Понятно... Спасибо за инфу!!! Автор:Ласточка [ 15 фев 2011, 09:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Девочки, а ответ, кстати, у задачки был 22, т.к. 2 одинаковых числа,сегодня учительница сказала. А мы выбрали ответ : Лишнее 76, т.к. 13 это 1+3=4 четное, 22 это 2+2=4 четное, 39 это 3+9=12 четное,64 это 6+4=10 четное, 76 это 7+6=13 это нечетное. Автор:annamai [ 15 фев 2011, 09:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка Из каких соображений интересно учитель сказала, потому что - два одиникаовых числа, а чем вариант ответа хуже - что число нечетное из всех представленных?? просто интересно!))) Автор:Немного солнца [ 15 фев 2011, 10:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Девочки, а ответ, кстати, у задачки был 22, т.к. 2 одинаковых числа,сегодня учительница сказала. Это мой вариант ответа! Я-мозг!!! annamai писал(а): Из каких соображений интересно учитель сказала, потому что - два одиникаовых числа, а чем вариант ответа хуже - что число нечетное из всех представленных?? просто интересно!))) В таких дебильных задачах ответ , как правило, самый простой, без выполнения каких либо действий или с минимумом действий. Типа, логику развивает! Во! Автор:НаталюсикЮС [ 15 фев 2011, 10:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца писал(а): Ласточка писал(а): Девочки, а ответ, кстати, у задачки был 22, т.к. 2 одинаковых числа,сегодня учительница сказала. Это мой вариант ответа! Я-мозг!!! annamai писал(а): Из каких соображений интересно учитель сказала, потому что - два одиникаовых числа, а чем вариант ответа хуже - что число нечетное из всех представленных?? просто интересно!))) В таких дебильных задачах ответ , как правило, самый простой, без выполнения каких либо действий или с минимумом действий. Типа, логику развивает! Во! Зашибись!!! Правильно подруга говорит "решай как хочешь, лишь бы объяснить мог" Автор:Рацио [ 15 фев 2011, 12:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Девочки, а ответ, кстати, у задачки был 22, т.к. 2 одинаковых числа,сегодня учительница сказала. А мы выбрали ответ : Лишнее 76, т.к. 13 это 1+3=4 четное, 22 это 2+2=4 четное, 39 это 3+9=12 четное,64 это 6+4=10 четное, 76 это 7+6=13 это нечетное. вот кора то! Автор:ЕкатеринаК [ 15 фев 2011, 13:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Странно! Как это 22 два одинаковых числа? Это что магия чисел? Гляньте, мож ответы есть в этом пособии на последних страничках? Автор:annamai [ 15 фев 2011, 13:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ну так вот, раз уж так мы это обсуждаем, приведу два примера с которыми столкнулась в своей жизни)) Можно посмеяться))) Первый. Лет 15 назад - я работала в ресторане официантом. подруга - коллега, ее дочь пошла как раз в 1 класс, днем звонит - озвучивает такую-то задачу (суть ее позже!), мы всеми официантами сидим кумекаем, потом взяли беленькую, -кумекаем, под вечер позвали поваров - кумекаем! Мозги к вечеру набекрень, под утро с будуна тоже. Ребенок звонит, когда уже после школы пришел и оговаривает решение задачи! Так вот - суть в том была (не помню точно задачу, но думаю что кто-нибудь здесь в курсе такой!) что рельсы, шпалы, паровоз - надо было учесть что рельсов то двое и умножить на двое, что-то такое (точно не помню, повторюсь!). Второй. 5 лет назад на тренинге по Менеджменту. Все присутствующие разделяются на несколько групп, задается вопрос (Точно не помню, извините не хочу особо зацыкливаться в подробностях) касающийся 10 приведенных ответов. Дается время. Стоп. Ага, таккая-то группа ответила правильно, такой-то из приведенных ответов правильный. Дальше. Ведущий тренинга говорит далее еще информацию, оказывается и второй ответ - тоже правильный, а потом и третий! А под конец темы - и все ответы правильные - мы в все в отпаде и выдохнули от напряжения!!! Так вот. Хочу сказать еще, мне кажется в данной ситуации, зная основы математики, можно любое число обосновать - почему оно отличается от других чисел! У меня еще возник ответ на такой вопрос (обсуждая с мужем) - числа задаются от 13 до 76 - одно меньше другого, либо больше другого по такому-то значению, вот еще один ответ! Автор:annamai [ 15 фев 2011, 13:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! А можно вообще от математики уйти и сказать что 13 - число чертовой дюжины))) Автор:Рацио [ 15 фев 2011, 13:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! хи... помню нас в школе учили по простой советской программе во втором классе умножать в уме двух и техзначные числа, и ведь научили же! так это как бы тренировка для мозга была, а это тогда как назвать? все идет к примитивизму Автор:ЕкатеринаК [ 15 фев 2011, 13:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! annamai писал(а): А можно вообще от математики уйти и сказать что 13 - число чертовой дюжины))) Вот этот ответ самый КЛАССНЫЙ!!!!!!! Автор:Ласточка [ 15 фев 2011, 14:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ЕкатеринаК писал(а): Странно! Как это 22 два одинаковых числа? Это что магия чисел? Гляньте, мож ответы есть в этом пособии на последних страничках? Не, нету, т.к это самостоятельная работа. Интересно, вот только, снизит ли учительница оценку за "неправильный"/другой ответ на эту задачку? annamai писал(а): А можно вообще от математики уйти и сказать что 13 - число чертовой дюжины))) Автор:карапузик L [ 15 фев 2011, 15:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Сегодня спросила у своего дитя- он кстати в1кл. математика из планеты знаний у нас. Он немного подумал и сказал, что 22 лишнее, т.к. состоит из одинаковых цифр. Кстати они проходят четные и не четные числа. Остальные учебники по 2100, только нет риторики и чего-то еще. Автор:Ckazka [ 15 фев 2011, 15:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Рацио писал(а): хи... помню нас в школе учили по простой советской программе во втором классе умножать в уме двух и техзначные числа, и ведь научили же! так это как бы тренировка для мозга была, а это тогда как назвать? все идет к примитивизму И я помню, и учу по той системе сына. В школе учится по новой программе, дома по старой (в смысле открываю ему секреты умножения в уме, рисуем таблицы для лёгкого запоминания, учу пользоваться всеми видами словарей и т.д. ). Кстати дала ему данную задачу. Он почти с лёту сказал 22. Я его попросила подумать, а он мне в ответ "А чё тут думать?". Видимо в самом деле в современных задачах думать особенно не надо или вернее надо думать, но о другом Автор:ЕкатеринаК [ 15 фев 2011, 16:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): ЕкатеринаК писал(а): Странно! Как это 22 два одинаковых числа? Это что магия чисел? Гляньте, мож ответы есть в этом пособии на последних страничках? Не, нету, т.к это самостоятельная работа. Интересно, вот только, снизит ли учительница оценку за "неправильный"/другой ответ на эту задачку? annamai писал(а): А можно вообще от математики уйти и сказать что 13 - число чертовой дюжины))) Я думаю, что снизит Наша бы снизила. Автор:Ласточка [ 15 фев 2011, 17:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ЕкатеринаК писал(а): Я думаю, что снизит Наша бы снизила. Наша тоже обычно снижает . Девочки, да мой сын вообще молодец, т.к он предложил сразу несколько вариантов и обосновал их, но вот только какой вариант выбрать для записи он сомневался, т.к все правильные, мы тоже с папой голову ломали, какой вариант выбрать. Я думаю учительница в корне не права, т.к. если ребёнок в работе обосновал свой ответ, то любой ответ может быть правильным. Посмотрим, что получит за самостоятельную Автор:Vezza [ 15 фев 2011, 18:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Мы тут задачку недавно решали : чему равна площадь прямоугольника ,если одна сторона 30дм другая 40 дм,без умножения. Голову сломали. Автор:Найдёна [ 15 фев 2011, 18:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): он предложил сразу несколько вариантов и обосновал их Тогда, может, надо было все варианты ответов записать и обосновать Я бы так и сделала. Даже, когда решаем задачи, и есть несколько способов решения, то пишем все (хотя сын сопротивляется ) Автор:Ckazka [ 15 фев 2011, 18:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Наша тоже обычно снижает И наша снижает . Был у нас тоже случай, когда из класса задачу решило всего 5 человек, трое по тому принципу, как и мы. Учитель считала по-другому, хотя мы ответ в интернете искали. Оценку снизила. Но тогда я сыну объяснила, что сейчас оценки не так важны, как знания, что пока мы искали ответ, столько перерыли инфо, столько нового сын узнал, что никакая тройка с этим не сравнится. Так что и вы, не переживайте за оценку, тем более, если мальчик умненький, на оценку в четверти она не повлияет. А по вашей задаче, я тоже думала, что лишняя 76, поэтому предложила сыну думать ещё. Нам же, чем сложней, тем интересней . Автор:ari [ 15 фев 2011, 18:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk писал(а): Мы тут задачку недавно решали : чему равна площадь прямоугольника ,если одна сторона 30дм другая 40 дм,без умножения. Голову сломали. Прям так дословно написано? Может - не делая вычислений? У нас бывает так в учебнике пишут. Автор:Настоящая [ 15 фев 2011, 18:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка писал(а): Девочки, а ответ, кстати, у задачки был 22, т.к. 2 одинаковых числа Вам нужно найти ответы к этому учебнику, пособию, думаю учительница сама затупила... Мое решение 76 на основании темы "четные / нечетные" А вообще мне кажется задача на объяснение, (парные цифры - самое просто что может прийти на ум), а вот найти какую-то закономерность - уже другое дело. Это и должно оцениваться учителем - способ и сложность мышения и тд Автор:Vezza [ 15 фев 2011, 18:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ari писал(а): vvk писал(а): Мы тут задачку недавно решали : чему равна площадь прямоугольника ,если одна сторона 30дм другая 40 дм,без умножения. Голову сломали. Прям так дословно написано? Может - не делая вычислений? У нас бывает так в учебнике пишут. Без умножения , это от меня, потому что на тот период мы его не проходили. Автор:ari [ 15 фев 2011, 18:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk Так все таки как было написано в первоисточнике? Автор:Vezza [ 15 фев 2011, 18:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Первоисточник"Начерти прямоугольник шириной 30 см и длиной 40 см на большом листе бумаги. Вырази его площадь в квадратных дециметрах." Автор:Катичкина [ 15 фев 2011, 18:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! оооооооо...сколько вариантов ответов первой задачи.............. тут главное ,пояснить, почему ТАК..... п.с. я рада ,что мой ребенок учится по обычной программе Автор:tigra [ 15 фев 2011, 18:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! vvk Может надо клетки нарисовать с шагом в 10 см и сосчитать их? Автор:ari [ 15 фев 2011, 18:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): vvk Может надо клетки нарисовать с шагом в 10 см и сосчитать их? Тоже так же подумала. Для этого и начертить задано. Автор:Vezza [ 15 фев 2011, 18:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): vvk Может надо клетки нарисовать с шагом в 10 см и сосчитать их? Да ,меркой померить. Я до этого сама не додумалась. Автор:annamai [ 16 фев 2011, 00:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ласточка Вам надо тему переименовать по другому, чтоб все здесь мамы решали задачи)))) Автор:Найдёна [ 16 фев 2011, 09:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! annamai писал(а): Ласточка Вам надо тему переименовать по другому, чтоб все здесь мамы решали задачи)))) Тоже хотела предложить, а то иногда такое зададут, что хоть стой, хоть падай А тут коллективным разумом решим Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 10:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Задач хотите? Вот вам задача, готовы ли вы к поступлению в первый класс : 8809 = 6 7111 = 0 2172 = 0 6666 = 4 1111 = 0 3213 = 0 7662 = 2 9312 = 1 0000 = 4 2222 = 0 3333 = 0 5555 = 0 8193 = 3 8096 = 5 7777 = 0 9999 = 4 7756 = 1 6855 = 3 9881 = 5 5531 = 0 2581 = ? Автор:tigra [ 16 фев 2011, 10:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца Это так дошколят тестируют? Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 10:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): Это так дошколят тестируют? Думайте! Автор:tigra [ 16 фев 2011, 11:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Очевидно, что никакой арифметической закономерности по цифрам в рядах нет. Четырехзначные числа здесь тоже неприменимы (как-никак 1 класс) Теряюсь в догадках Автор:Экспедиция [ 16 фев 2011, 11:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца писал(а): Задач хотите? Вот вам задача, готовы ли вы к поступлению в первый класс : 2581 = ? Ответ - 2 Мой сын учился по Петерсон (10 лет назад) Автор:tigra [ 16 фев 2011, 11:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Ну у меня одни вариант 2581=2 Но если это правда, как-то сложновато для ребенка 7 лет. По-моему невыполнимо Автор:tigra [ 16 фев 2011, 11:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Если только перед этим не давать аналогичные задачи. Это ведь на подмену цифр, верно? Автор:tigra [ 16 фев 2011, 11:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! N_Eiger писал(а): Мой сын учился по Петерсон (10 лет назад) И как эффект? логика лучше, чем у тех, кто учился по обычной программе? Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 11:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Внимание, тут ответ Ответ 2, считают кружки в цифрах, по сути это не цифры, а просто картинка. Автор:tigra [ 16 фев 2011, 11:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца Ну у меня видимо уже мышление зашорено, я пришла к тому же, но через уравнение и подмену Чуть уже матрицу решать не начала Никогда бы в голову не пришло считать цифру картинкой. Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 11:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): Ну у меня видимо уже мышление зашорено, я пришла к тому же, но через уравнение и подмену Чуть уже матрицу решать не начала Никогда бы в голову не пришло считать цифру картинкой. Видимо нужно иметь другое мышление, или ребенка, уже прошедшего эту программу Автор:Экспедиция [ 16 фев 2011, 11:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Не, не подмена. Это ж Петерсон. До сих пор помню, как в 1 классе корову из спичек выкладывали, чтоб она как-то назад смотрела. Ответ - Шепотом(кружочки в цифирках сосчитать) Эффект - как с пятого класса Петерсон кончился, в школе начался курорт, который так и не закончился до окончания. Я еще с одной ненормальной мамашей ходила добивалась, чтобы и дальше по Петерсон продолжали, но поддержки ни у учителей, ни у родителей не нашла. Щас матфак, первый курс, пока полет нормальный - первая сессия досрочно, повышенная стипендия. Дальше будем посмотреть. Автор:tigra [ 16 фев 2011, 11:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! N_Eiger писал(а): Не, не подмена. Это ж Петерсон. Я с Петерсоном не знакома, но решила-то правильно. и пофиг, что из пушки по воробьям. Надо будет у мамы поспрашивать, что это за зверь, посмотреть повнимательнее. Все-таки логика - сильная штука. Автор:Рацио [ 16 фев 2011, 13:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца писал(а): Внимание, тут ответ Ответ 2, считают кружки в цифрах, по сути это не цифры, а просто картинка. в чем смысл? где здесь математика-то? Автор:tigra [ 16 фев 2011, 16:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Рацио Эту задачу можно решить математически, но это не для семилетки. Скорее здесь чистая логика для "незашореных" мозгов. Т.е. расширение восприятия - цифра - это не только количество или часть числа, но и определенное изображение, которое опять же может означать не только количество... Глубокий смысл Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 16:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Рацио писал(а): в чем смысл? где здесь математика-то? А у вас слово задача это синоним математики ? Автор:ari [ 16 фев 2011, 17:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! У нас вот такая задача была в самом начале 1-го класса по математике (про цветы, там правда и ответ есть, может кому интересно будет). На работу приносила-показывала. И сейчас бывает что-нибудь приношу, но нашла только одну. Автор:Настоящая [ 16 фев 2011, 17:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Какой цветок из нижнего ряда подходит к цветкам верхнего? Мое решение - желтый тюлпан. Во я даю. Сижу - задачки решаю для 1 класса ) Автор:ari [ 16 фев 2011, 18:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Настоящая Ответ, который детям объяснила учительница - прорисован карандашом (крайний правый в нижнем ряду). Автор:tigra [ 16 фев 2011, 18:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ari А в чем сложность задачи? А про то, какой цветок подходит, можно много разных версий вывалить. Это не тюльпан, потому что желтый, а цветок из нижнего должен подходить к цветам из верхнего. На мой взгляд это наименнее похожий на верхние цветок из нижнего, для расширения видового ряда, но подходящий по цвету. А какая правильная и почему? Автор:Вуалехвостка [ 16 фев 2011, 18:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Цветок из нижнего ряда должен быть красного цвета и наиболее непохожей формы? Автор:ari [ 16 фев 2011, 18:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): На мой взгляд это наименнее похожий на верхние цветок из нижнего, для расширения видового ряда, но подходящий по цвету. Это правильный ответ. Я нигде не писала, что это сложно . Просто привела пример (о чем и написала - кому интересно) для представление об изучении математики детьми в школе (см. выше несколько постов). Автор:Настоящая [ 16 фев 2011, 18:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): Это не тюльпан, потому что желтый, а цветок из нижнего должен подходить к цветам из верхнего Ну я мыслила в другом направлении: если абсорбироваться от цвета то по фигурам получается чередование (вместо последнего цветка). Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 18:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): На мой взгляд это наименнее похожий на верхние цветок из нижнего, для расширения видового ряда, но подходящий по цвету. Автор:tigra [ 16 фев 2011, 18:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца Да, у меня похожая реакция. Программа очень интересная, в который раз убеждаюсь, что от ВМ одна польза. Откуда бы я о Петерсоне узнала? Пожалуй есть смысл поизучать и детя помучить Надо с мамой посоветоваться, она педагог и в некотором роде экспериментатор. Когда-то она первая по Занкову класс выпускала, тоже все пальцем у виска крутили, а по 11 классу получился нормальный умный выпуск с медалями. Новое не всегда плохо. Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 18:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): Программа очень интересная, в который раз убеждаюсь, что от ВМ одна польза. И я учебник прикуплю. Но мне кажется, что предмет этот бы обозвать по другому- логика? и отделить бы от математики Автор:tigra [ 16 фев 2011, 18:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца Логику нельзя отделить от математики. В этом вся соль, нас учили как раз только считать. А вот с цветами и линиями думаю правильнее, т.к. уже есть опыт изучения математики в вузе, могу анализировать подход. Мне понравился, только привыкнуть надо Считать можно научить ребенка и в 5 лет вполне сносно и даже в уме, а вот логические задачки такие по нарастающей сложности сам фиг придумаешь. Автор:ari [ 16 фев 2011, 18:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra Ваша мама в какой школе преподает? Автор:tigra [ 16 фев 2011, 18:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ari Не во Владивостоке, и начальные классы. Автор:ari [ 16 фев 2011, 18:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца tigra К математике за первый класс привыкла. Меня больше поразил английский. Начали во 2-м классе. Первое полугодие не учили ни одной буквы. Учебник выглядит - листики с картинками + диск. Слушаем и смотрим на картинки. Я на слух не воспринимаю информацию, тем более английский, где пишется и читается по разному. Во втором полугодии - буквы и написание слов изученных раннее + новые. Автор:карапузик L [ 16 фев 2011, 18:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! И раньше в учебниках были заковырестые задания-задачи на смекалку назывались и брошюрки по занимательной математике и физике. Не которые учителя ими пользовались, нам в школе всегда нравилось, только очень редко к сожалению. Автор:tigra [ 16 фев 2011, 19:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ari писал(а): Слушаем и смотрим на картинки.Я на слух не воспринимаю информацию, тем более английский, где пишется и читается по разному. Тоже тема интересная. Я когда из "Умницы" диск получила, дай-ка думаю детю включу (около полутора лет было ему) а там стишки и песенки на английском, с прыгающими ребятами. Я в английском почти не соображаю, смотрела квадратными глазами, ребенок был весь в телевизоре. (диск от 6 месяцев кажется ) Через полгода нерегулярных просомотров он в ванне мне выдал: Вош ю дёти фэньс (лицо, то есть) я чуть не упала. То есть он понял, об чем речь-то как? Я и сама-то не особо поняла, перевода там нет. Жалко, что забросили, может он сейчас бы и стишки рассказывал. То есть дети все-таки усваивают совсем по-другому, чем мы, и может быть начинать с алфавита и пр. учение "по порядку" это полезно для взрослых, а детей надо окунать прямо с головой, что-нибудь да осядет, а потом и сложится в единую картинку, а алфавит и письмо уже как вспомогательное направление. Что-то в этом есть. Автор:ari [ 16 фев 2011, 19:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! tigra писал(а): То есть дети все-таки усваивают совсем по-другому, чем мы Это нам и сказала учительница. Просто нам привычней воспринимать написанный текст - это просто "ощутимей", понятней. Автор:Vezza [ 16 фев 2011, 19:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ari писал(а): Немного солнца tigra Меня больше поразил английский. Начали во 2-м классе. Первое полугодие не учили ни одной буквы. Учебник выглядит - листики с картинками + диск. Слушаем и смотрим на картинки. Я на слух не воспринимаю информацию, тем более английский, где пишется и читается по разному. Во втором полугодии - буквы и написание слов изученных раннее + новые. Вообще английский надо первые два -три года только картинки смотреть ,в игры играть, музыку слушать. А когда ребёнок говорить начнёт ,учить алфавит и модальные глаголы и прочее. Если ребёнок живет в другой стране он гораздо легче усваивает языки не зная к примеру , букв и правил. И отвращения самое главное к изучению языков нет. Автор:Ласточка [ 16 фев 2011, 19:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, тему переименовала, так что давайте все дружно помогать нашим деткам в учёбе Автор:Рацио [ 16 фев 2011, 19:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! Немного солнца писал(а): Рацио писал(а): в чем смысл? где здесь математика-то? А у вас слово задача это синоним математики ? ну мы как бы вроде по математике же задачи здесь решали? Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 20:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Рацио писал(а): ну мы как бы вроде по математике же задачи здесь решали? не, не совсем, это типа логика в математике Автор:Рацио [ 16 фев 2011, 20:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Немного солнца ааа, ясно... помню у нас начиная где то с 7 класса, лет этак более 15 назад в конце учебника математики были задания так сказать "повышенной сложности" - тоже что то вроде таких, только требовали решения и недюжей логики... а вообще, подскажите мне пожалуйста, вот что то я как то не совсем понимаю чем плох проверенный временем и поколениями подход к развитию и обучению деток, существовавший ранее, ну те же 10-15 лет назад? Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 20:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Рацио писал(а): подскажите мне пожалуйста, вот что то я как то не совсем понимаю чем плох проверенный временем и поколениями подход к развитию и обучению деток, существовавший ранее, ну те же 10-15 лет назад? Вы меня спрашиваете? По мне хороший подход был, с некоторыми замечаниями. Но вот таких задач я решить не могу, не тот склад , а вот хорошо это или плохо, я не знаю. Пусть дети учащиеся по Петерсону подрастут, посмотрим на общий уровень Автор:Рацио [ 16 фев 2011, 20:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Немного солнца как преподаватель ВУЗа могу немного сказать про нынешний общий уровень - это просто ужас! не знают элементарных вещей! так что страшно подумать о будущем! любое обучение должно преследовать некую цель. а какая цель преследуется например в задании с цифрами, где надо всего лишь подсчитать кружочки в этих самых цифрах .... это так отступление Автор:Немного солнца [ 16 фев 2011, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Рацио писал(а): а какая цель преследуется например в задании с цифрами, где надо всего лишь подсчитать кружочки в этих самых цифрах .... это так отступление может расширенный взгляд, типа цифры- это не всегда цифры я не знаю, правда Автор:Треугольник [ 16 фев 2011, 20:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А до меня не дошло про кружочки Я их просто просчитала, т.е. каждой цифре можно присвоить сколько то баллов, восьмерке - 2 балла, сразу видно, что в числах с восьмерками результат больше всего шестерке и нулю - по баллу, единице и двойке - о баллов и т.д. У меня склад ума математический, но логика нынешняя школьная это пипец Как бы учителя выкручивались, если бы правильных ответов на контрольные не знали? Чем например в самой первой задачке ответ 13 (простое неделимое число) хуже ответа 22? Автор:ЕкатеринаК [ 16 фев 2011, 22:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогите, решить задачку по Петерсону для 2-го класса!!! ari писал(а): tigra писал(а): То есть дети все-таки усваивают совсем по-другому, чем мы Это нам и сказала учительница. Просто нам привычней воспринимать написанный текст - это просто "ощутимей", понятней. Если у Вас Верещагина и Притыкина учебники, возьмите себе Тичез Бук( название на книжонке на англ. конечно же). Там написано все то, что на диске наговорено. Автор:tigra [ 17 фев 2011, 10:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ну поговорила с мамой по поводу Петерсона (хотелось ее мнение как профессионала услышать). В общем она мне сказала, что для такой программы (а ее активно пихают последнее время) нужны особенные учителя (понимающие саму основу этой программы, т.е. если учитель снижает оценку за правильный обоснованный ответ, но другой, не написанный в ее методичке, значит она сама не готова и не понимает собственно о чем речь). Детей для этой программы тоже нужно готовить чуть ли не с 4-5 лет, оборудование школ должно быть соответствующее. Т.е. просто взять программу, набрать детей и учить по ней - не получится, точнее получится фигня. В общем, далеко не все школы (именно школы) к ней готовы, а учителей еще поискать надо. Она анализировала знание и мышление деток, которые четыре года проучились по Петерсону и по обычной программе, так вот, отличия есть. Во-первых, не все дети выдерживают эти 4 года, и происходит естественный отбор, т.е. те, кто не смог, или родители их не смогли - переходят на обычную программу и учатся себе дальше. Но кто смог и вошел в колею - отличаются своеобразным мышлением, т.е. готовые "олимпиадники" они могут осмотреть задачу с разных точек зрения и часто решают нестандартно. НО у них же часто встречаются проблемы с простыми арифметическими действиями, т.е. умножение двузначного на двузначное и т.п., т.е. их конек - логика и калькулятор. Получается, что и оценка знаний (особенно у начальной школы) должна быть как-то по-другому происходить, но к этому общая система опять же не готова... Автор:ari [ 17 фев 2011, 12:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ЕкатеринаК писал(а): Если у Вас Верещагина и Притыкина учебники Нет у нас другой учебник. Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 14:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Я очень во многом согласна с Вашей мамой Мне программа по Петерсон нравится именно нестандартным подходом к решению, что очень хорошо мозги развивает. У детей легко получается решать такие задачи, которые не каждому взрослому по силам. Они их как-то сразу "видят", эти решения Вот пример задачи для 3-го класса (уравнения еще не проходят): Было всего 28 луковиц разных цветов: нарциссов, тюльпанов и гладиолусов. На одну клумбу посадили половину всех нарциссов и половину всех тюльпанов, всего - 8 луковиц. На вторую клумбу - половину всех нарциссов и половину гладиолусов, всего - 9 луковиц. Сколько луковиц каждого вида было изначально? Те, кто учился по Петерсон, решают подобные задачи влет. А сколько взрослым потребуется? Автор:tigra [ 20 фев 2011, 15:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Ну я могу предложить только систему уравнений, решится быстро, но, думаю, это не то. В 3-ем классе еще уравнения не проходят разве? Мы во втором проходили, насколько я помню. Автор:Найдёна [ 20 фев 2011, 15:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Я решила Сначала, правда, затупила немного, тоже про уравнения подумалось А потом поняла Прикольная задачка, вечером предложу сыну решить Автор:Helenka [ 20 фев 2011, 16:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Вот уж точно, горе от ума сначала тоже подумала про уравнение, но потом сообразила 8-9 половины, 4-5 , все-таки спец класс по математике и физ-мат школа дают о себе знать. Сын учится по Занкову, он у нас соображает логически ПОКА. С нами учится дока подрузи моей, вот им тяжко, в смысле маме докумекивать, но тоже справляются Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 16:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): ma-sha Ну я могу предложить только систему уравнений, решится быстро, но, думаю, это не то. В 3-ем классе еще уравнения не проходят разве? Мы во втором проходили, насколько я помню. Нееее, уравнениями каждый может, Вы без них решите Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 16:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Helenka Главное, о чем тут нужно вспомнить, это то, что целое всегда в 2 раза больше половины (соответственно, сумма целых чисел будет в 2 раза больше суммы половинок). Дальше задача решается легко. Вот дети это сразу видят, а взрослые только уравнения вспоминают Но взрослые не виноваты, их просто так учили в свое время Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 16:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Helenka писал(а): С нами учится дока подрузи моей, вот им тяжко, в смысле маме докумекивать, но тоже справляются Я тоже учусь заново вместе с ребенком И очень многому научилась, надо сказать. Автор:ari [ 20 фев 2011, 16:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Я тоже учусь заново вместе с ребенком И очень многому научилась, надо сказать. +1. И не только по математике. Вот не давно мой второклассник сделал для меня открытие-у имен существительных есть еще один род- общий (это в дополнение к ж.,м.,ср.). Автор:ari [ 20 фев 2011, 16:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Еще задача мне понравилась: Есть гуси и свиньи. Всего 13 голов и 42 ноги (лапы, как хотите). Сколько свиней и сколько гусей? Автор:tigra [ 20 фев 2011, 16:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Ну про гусей и свиней легко - это и без петерсона давали такие задачи. Автор:ari [ 20 фев 2011, 16:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Недавно в соседней теме Helenka выкладывала задачи с олимпиады 2-го класса. Одну из них я так и не смогла решить. Очень интересные задания. Вот только не знаю, можно ли здесь их размещать . Автор:Terracotta [ 20 фев 2011, 16:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мой любимый норвежский юмористический рассказ про незашоренность мышления и про наличие нескольких ответов у задачки: ОБ ИСКУССТВЕ УСТАHОВИТЬ СТЕПЕHЬ УМСТВЕHHОГО РАЗВИТИЯ РЕБЕHКА И, ГЛАВHОЕ, ОБ ИСКУССТВЕ ИЗБЕЖАТЬ ПОПЫТОК РЕБЕHКА ПРОДЕЛАТЬ ТО ЖЕ САМОЕ С РОДИТЕЛЯМИ В последние годы родители уже почти привыкли к тому, что умственное развитие их детей все время проверяется и исследуется. Речь пойдет не об этом. Я хотел бы коснуться здесь другого интересного явления, которое в последнее время встречается довольно часто. (И если так будет продолжаться дальше, придется принимать какие-то меры). Я имею ввиду манию, которая появляется у ребенка после школьных проверок умственного развития: ему во что бы то ни стало хочется дома проверить способности своих родителей! Вот тут, по-моему, мы стоим на опасном пути. Я сам был подвергнут такой проверке, и после проведения экспериментов, основанных на строго научной системе, степень моего умственного развития оказалась настолько низкой, что, по мнению руководителя экспертизы, оставалось лишь выяснить одно: не следует ли определить меня в некое закрытое учреждение. Все началось с того, что однажды Бенни, придя из школы, вытащил из своей сумки какие-то бумаги и весело спросил: Папа, ты, наверное, не знаешь свой КУР? Мой... кто? КУР. Коэффициент умственного развития. Hет, - признался я. - Hу, очевидно, средний или чуть выше, может быть. Взгляд, который бросил Бенни, заставил меня заподозрить, что у него на этот счет были свои соображения. Hам сегодня рассказывали об определении степени умственного развития по системе Бене-Симона, и учитель всех нас проверял. Страшно интерес- но! Вот я сейчас проверю тебя и маму, посмотрим, у кого из вас КУР будет лучше. Hачнем со ста очков, и за каждый правильный ответ я буду набавлять 100 очков, а за неправильный - десять снимать. Если вы наберете по сто шестьдесят очков, то, значит, вы очень развитые, а если только по сорок - то совсем слабоумные. До чего же это все сложно! - вздохнула Марианна. - Hо давайте попробуем. Итак, - продолжал Бенни, - я называю пять слов, четыре из которых обозначают в чем-то сходные понятия, а пятое - нет. Вот первая задача: яблоко, арбуз, апельсин, банан, футбольный мяч. Какое слово лишнее? Футбольный мяч, - не задумываясь, выпалила Марианна. Банан, - сказал я. Бенни и Марианна удивленно посмотрели на меня. Ты, наверное, пошутил? - спросила Марианна. - Ведь ясно же, что были перечислены фрукты, и футбольный мяч здесь совсем не к месту. Мама права, - заявил Бенни. - Она получает десять очков. А что это тебе вдруг пришло в голову сказать "банан"? Hу, понимаешь - пробормотал я, - мне казалось, что тут все дело в форме предмета, а из того, что ты назвал, только банан не круглый. Попробуем еще раз. Только, папа, подумай как следует, прежде чем отвечать. Итак, вторая задача: лев, антилопа, зебра, воробей, буйвол. Мол- чи, мама, пусть папа сначала скажет. Я задумчиво потер шею и нахмурил брови. Мне не хотелось опять попасть впросак. Лев! - сказал наконец я. Воробей! - быстро сказала Марианна. Мама опять ответила правильно. У нее теперь сто двадцать очков. А у тебя, папа, только восемьдесят. Лев? - удивленно повторила Марианна. Да, сказал я, - стараясь не встречаться с ней взглядом. - Я рассуждал так, что из пяти перечисленных "лев" - единственное животное, которое может съесть всех остальных. Хищник. Hо давайте мне следующую задачу, с ней я обязательно справлюсь. Бенни вытащил бумажку и прочел: Голова, шея, шляпа, руки, ноги. Папа отвечает первым. Hоги! - сказал я. Шляпа, - ответила Марианна. - Ты опять ошибся. Шляпа - головной убор, а все остальное - части тела. Hу и что же, не совсем уверенно возразил я, - ведь из перечисленного только ноги находятся ниже пояса, все остальное - выше. Боже ж ты мой! - вздохнула Марианна. Я откинулся на спинку стула. Давайте кончим, пока игра не надоела, - предложил я. - Уже ясно, что мой коэффициент умственного развития равен семидесяти, попробую как-нибудь прожить с таким коэффициентом. Hет, остается еще три задачи. Вот, слушай: Вашингтон, Олесунн, Лондон, Париж, Рим. Я видел, что Марианне не терпится сказать ответ. Hу, говори, - сказал я ей. Hет, сначала ты, папа, - возразил Бенни. Вашингтон, - сказал я. Олесунн, - отпарировала Марианна. - Он - просто небольшой город, а остальные - столицы государств. Правильно она объясняет? - спросил я. Руководитель экспертизы кивнул головой. И с чего это тебе вдруг вздумалось сказать "Вашингтон"? - с упреком сказала Марианна. - Ты что, совсем не думая отвечаешь, что ли? Разумеется, думая, только я считал, что раз Вашингтон в Америке, а остальные четыре города - в Европе, значит, он и назван не к месту. Если вы говорите, что это не так, пусть будет по-вашему, но ведь может человек ошибаться, правда? Вот я и ошибся. У тебя шестьдесят очков, - объявил Бенни и безжалостно добавил: - на десять очков больше, чем нужно для недоразвитого. Будет лучше, если ты не станешь рассказывать об этом всем соседям, - сказал я Марианне. - То, что происходит у нас дома, никого не касается. А если тебе вздумается поделиться этим со своей матерью, то можешь не рассчитывать на новую шубу. И еще вот что: не смотри на меня такими глазами. Я вовсе не слабоумный. Что мне, подурачиться нельзя? Бенни заглянул в свои записи. Цифры не лгут, папа, - сказал он. - Вот следующая задача: Фридрих Седьмой, Hаполеон, Белоснежка, император Вильгельм, Карл Двенадцатый. Я повернулся к Марианне. Ты первая или мне отвечать? - спросил я с надеждой. Отвечай ты, - злорадно сказала Марианна. Разве можно собраться с мыслями в такой обстановке? - рассердился я. - Что вы на меня уставились? Мешаете только. Отвернитесь и оставьте меня на минуту в покое, чтобы я мог поработать головой. Они отвернулись, и я поработал головой. Hаполеон! - твердо сказал я. Белоснежка, - вздохнула Марианна. Объясни. Белоснежка - персонаж из сказки, а остальные - исторические личности. Правильно это? - спросил я. Бенни кивнул головой. А то, что из всех пятерых только у одного Hаполеона Была привычка закладывать руку за борт сюртука, значит, не имеет значения? Руководитель экспертизы покачал головой. Мама впереди, у нее сто пятьдесят очков, а ты... А я плевать хотел на цифры! Давай последнюю задачу и покончим с этим. Бенни достал последнюю бумажку и прочитал: Кисель, Волга, Эльба, Дунай, Миссисипи. Я почесал за ухом карандашом и задумался. Я твердо решил справиться с этой последней задачей. Хватит уже, я и так осрамился. Я готова! - сказала Марианна. Выписав слова на листок бумаги, я пытался найти ключ к решению этой задачи. И вдруг меня осенило. Hичего не скажешь. Задача была хитро придумана, но я ее одолел. Готово! Hу что? - с жадным любопытством спросила Марианна. Hе скажу. Вам только скажи, как вы тут же все перевернете по-своему, и ты окажешься права со своей Миссисипи. Да я и не думала говорить "Миссисипи"! Hебось потому только, что я раньше сказал. А сама наверняка хотела сказать. Миссисипи - единственное из перечисленных слов, в котором четыре "и". Это не имеет отношение к задаче, - сказал Бенни. Hу, значит, вы бы тогда сказали, что это единственное слово, в котором три "с", знаю я вас! Я буду бороться за свою Волгу, как бы вы не говорили, что ответ - "Миссисипи". Да нет же! Кисель, конечно, кисель! Это же продукт питания, а все остальные - реки. Что это тебе взбрело в голову, что ответ должен быть "Волга"? - Марианна была почти в отчаянии. Ответ ненормального, - сказал Бенни. - А почему ты так решил, объ- ясни? Я отказался отвечать. И до сих пор, до выхода в свет этого моего воззвания ко всем отцам - не позволять детям определять КУР главы семьи, - я сохранил решение этой задачи в тайне: "Волга" - единственное из пяти слов, которое станет женским именем, если от него отнять первую букву и в середину вставить мягкий знак. Это дает мне десять очков, которых, вероят- но, как раз достаточно, чтобы остаться на свободе, пока медики не найдут какой-нибудь микстуры для развития интеллекта, и она не будет продаваться в аптеках по сходной цене. Автор:tigra [ 20 фев 2011, 16:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Главное, о чем тут нужно вспомнить, это то, что целое всегда в 2 раза больше половины (соответственно, сумма целых чисел будет в 2 раза больше суммы половинок). Это как-то сразу первое что в голову приходит. ma-sha писал(а): Дальше задача решается легко. Ни-фи-га Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 16:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): ari Ну про гусей и свиней легко - это и без петерсона давали такие задачи. Петерсон - это она, т.е. женщина Автор:ari [ 20 фев 2011, 16:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Ни-фи-га не решается или ни-фи-га не легко ? Terracotta Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 16:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Вот только не знаю, можно ли здесь их размещать . А почему бы и нет, раз такую отдельную темку создали Автор:tigra [ 20 фев 2011, 16:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Т.е. интуитивно конечно я могу сказать 6-10-12, но обосновать - вряд ли Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 16:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Почему "ни-фи-га"? Автор:tigra [ 20 фев 2011, 16:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Ни-фи-га не решается или ни-фи-га не легко нифига непонятно как решается Т.е. если я ее решу (а я ее решу, куда ж денусь) то объяснить ребенку не смогу. Автор:ari [ 20 фев 2011, 16:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra 1 действие: На одну клумбу посадили половину всех нарциссов и половину всех тюльпанов, всего - 8 луковиц. Итого общее их кол-во -16. Было всего 28 луковиц разных цветов: нарциссов, тюльпанов и гладиолусов. Значит гладиолусов -12. На вторую клумбу - половину всех нарциссов и половину гладиолусов, всего - 9 луковиц. То есть общее кол-во 18. Из них 12 гладиолусов. Т.е. нарциссов 6. См. п.1. Тюльпанов 16-6=10. Автор:ari [ 20 фев 2011, 16:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Начнем с №16, кот. я не смогла решить (всего будет 8 страниц ). Автор:tigra [ 20 фев 2011, 17:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari А-а-а-а. Бестолочь, блин. У меня по-другому, но инуитивно опять же. Если решать половинами: посадили всего = 17 т.к. это половины, от общего берем тоже половину: 14 Разница - 3 это половина нарциссов (т.к. это пересечение множеств), т.е. нарциссов - 6, ну и дальше понятно... Точно так же можно целыми решить, одно и то же. Но это ребенку как объяснить не знаю. Автор:tigra [ 20 фев 2011, 17:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Было всего 28 луковиц разных цветов: нарциссов, тюльпанов и гладиолусов.Значит гладиолусов -12. Вот тут я и затупила с нарциссов начала, проклятая теория множеств помешала Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 17:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): tigra 1 действие: На одну клумбу посадили половину всех нарциссов и половину всех тюльпанов, всего - 8 луковиц. Итого общее их кол-во -16. Было всего 28 луковиц разных цветов: нарциссов, тюльпанов и гладиолусов. Значит гладиолусов -12. На вторую клумбу - половину всех нарциссов и половину гладиолусов, всего - 9 луковиц. То есть общее кол-во 18. Из них 12 гладиолусов. Т.е. нарциссов 6. См. п.1. Тюльпанов 16-6=10. Ну да, так она и решается. Чтобы объяснить ребенку, нужно луковицы цветов обозначить буквами Н (нарциссы), Т (тюльпаны) и Г (гладиолусы) и решать от условия, вспомнив, что целое в 2 раза больше половины. Дано: Н+Т=16 Н+Г=18 Н+Т+Г=28 Решение: 1) т.к. Н+Т+Г=28 , то Г=28-(Н+Т) т.к. Н+Т=16, то Г=28-16 Г=12 2) т.к. Н+Г=18, то Н=18-Г Н=18-12 Н=6 3) т.к. Н+Т=16, то Т=16-Н Т=16-6 Т=10 Автор:tigra [ 20 фев 2011, 17:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Чтобы объяснить ребенку, нужно луковицы цветов обозначить буквами Н, Т и Г и решать от условия, вспомнив, что целое в 2 раза больше половины. Да такое решение я объяснить могу, я свое не могу можно кстати целыми вообще не заморачиваться, половинами решать. Главное - что гладиолусы первыми идут Автор:ari [ 20 фев 2011, 17:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Получилась система уравнений из трех неизвестных. Надо ребенку задать эту задачку. Я думаю он быстрей сообразит. Автор:ari [ 20 фев 2011, 17:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Ваше решение тоже мне кажется просто объяснить ребенку. Только не говорите слова "пересечение множеств". . Получается все цветы суммировались - а нарциссы два раза , из-за этого лишнее вышло . Ну и т.д. Мне кажется это писать сложнее выходит. Надо на детях попробовать. Автор:tigra [ 20 фев 2011, 17:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Получается все цветы суммировались - а нарциссы два раза , из-за этого лишнее вышло точно Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 17:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Записывается все короче, это я просто логику решения объяснить пыталась на уровне 3-го класса Хотя можно решать и другими способами, не принципиально. Главное, что в ответе 6, 10 и 12 получается. Автор:tigra [ 20 фев 2011, 17:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari А в вашей задаче Г? Автор:ari [ 20 фев 2011, 17:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Я не знаю ответа. Надо у Helenka поспрашивать - говорили ли им ответы. Объясните свой. Автор:tigra [ 20 фев 2011, 17:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мне показалось, что там по диагональным линиям (если сложить пятиугольники с содержимым) должна звезда получаться. Если Г, то вроде получается, хотя я еще не все сверила. я думала ответ известен. Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 17:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): ari А в вашей задаче Г? У меня тоже Г получается. Автор:Helenka [ 20 фев 2011, 21:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) В ответах 16 - г Автор:tigra [ 20 фев 2011, 21:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Helenka А обоснование какое? Автор:Helenka [ 20 фев 2011, 21:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra а там нет обоснований - просто ответы Автор:tigra [ 20 фев 2011, 21:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Helenka Так неинтересно... Получается подгонять надо. Автор:ma-sha [ 20 фев 2011, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Вчера Задорнов выступал, хохмил про ЕГЭ и вообще про систему тестов, почему то вспомнилось. Как какому-то мальчику предложили поучаствовать в олимпиаде по русскому, за это не надо было в школу идти. Он пошел на олимпиаду, там все задания были в виде тестов. Он понял, что толком ничего не знает, наставил по-быстрому галочек почти наугад и пошел в футбол гонять. Потом приходит учительница и говорит: "Поздравляю, у тебя 1-ое место!" Автор:tigra [ 20 фев 2011, 21:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Задорнов как всегда смолотил чушь. Мы много раз сдавали экзамены, так вот для меня самый сложный был - тест. Самый простой - устный, где общение с преподом. На тесте уже никакое словоблудие и красивые глаза не помогут. Автор:Немного солнца [ 20 фев 2011, 21:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): Мы много раз сдавали экзамены, так вот для меня самый сложный был - тест. А для меня наоборот. Понять не могу истерии с ЕГ, по мне так проще стало. Раньше как- знаешь или нет. А сейчас- знаешь, предполагаешь и угадываешь На тестах по языку всегда получаю результат на пару, тройку ступеней выше реального знания. Автор:annamai [ 21 фев 2011, 08:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ? Автор:Kukusha [ 21 фев 2011, 09:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Если кто-нибудь хочет голову понапрягать, вот задачка за 6-й класс. Цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9 расставьте в клетки (я иксы поставила) так, чтобы равенства были верными: XX X = XXX = X XX Автор:Лёлик [ 23 фев 2011, 00:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Недавно в соседней теме Helenka выкладывала задачи с олимпиады 2-го класса Дайте, пожалуйста, ссылку на эту тему. Прям интересно стало самой порешать Автор:Helenka [ 23 фев 2011, 00:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лёлик Автор:ma-sha [ 23 фев 2011, 10:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Выкладываю полезные ссылки для желающих потренироваться в решении нестандартных и олимпиадных задач. Задачи прошлых лет Олимпиада "Кенгуру": Олимпиада "Медвежонок": Олимпиада начальной (и не только) школы: Решение нестандартных задач во 2 классе: Автор:ma-sha [ 04 мар 2011, 13:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Может еще кто хочет мозги понапрягать немного? Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали машина и автобус. Через некоторое время они встретились и продолжили свое движение. Машина пришла в пункт назначения через 2 часа после встречи, автобус - через 8 часов. Какое время двигались автобус и машина до встречи? Кстати, проверила своего ребенка на решении той задачки про цветочки. Ему потребовалось на ее решение гораздо меньше времени, чем мне, а именно: минуты 2, не больше, ровно столько, чтобы записать 3 действия Автор:Ушла на базу [ 04 мар 2011, 17:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Чего-то не хватает... Автор:ari [ 04 мар 2011, 17:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha 4 часа? Автор:ma-sha [ 04 мар 2011, 18:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Правильно Автор:ma-sha [ 04 мар 2011, 18:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу Нет, всего хватает. Решается легко. Автор:Олеся111 [ 06 мар 2011, 23:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Напишите, плиз, как решается? Не усну , пока не узнаю Автор:ma-sha [ 07 мар 2011, 00:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Олеся111 Написала в личку. Если не понятно - пишите, еще раз объясню Автор:annamai [ 07 мар 2011, 12:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Задачу скопировала в Яндекс - ответ в Инете - 6 часов! Кто прав?))) Автор:ma-sha [ 07 мар 2011, 15:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai Неа, ответ 4 часа Яндекс тупит Автор:Ушла на базу [ 09 мар 2011, 02:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Может, можно и проще, но мы не ищем легких путей! Автор:ma-sha [ 09 мар 2011, 08:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу Конечно, можно проще Я Вам тоже в личку написала. Автор:FenechKA [ 21 мар 2011, 20:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) девочки, мой мозг уснул ещё на работе. выручайте, перый раз не могу сообразить 3 класс у путешественников есть два ведра: объёмом 4 л и 7 л. смогут ли они с помощью этих вёдер и большой бочки, врытой путниками у ручья набрать 8 л воды, 5,3,6,1,2,9? смогли бы они набрать такое же количество воды, если бы их вёдра имели объём 4 л и 6 л. заранее спасибо Автор:FenechKA [ 21 мар 2011, 20:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) спасибо, инет рулит. вдруг пригодится 8л= 4л+4л 5л=4л+4л+4л-7л 3л=7л-4л 6л=7л+7л-4л-4л 1л=4л+4л-7л 2л=4л+4л+4л+4л-7л-7л 9л=4л+4л+4л+4л-7л-7л+7л Автор:annamai [ 21 мар 2011, 23:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) FenechKA Совершенно не понимаю логику ответа этой задачи! Это кто ж такое придумал((((( Автор:Олеся111 [ 22 мар 2011, 08:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) FenechKA И по какой программе такое задают? Автор:Isabella [ 24 мар 2011, 19:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дочка в первом классе.Задача-ловушка по математике. У Маши и Пети было поровну конфет. Петя отдал Маше 2 конфеты. На сколько конфет у Маши стало больше? Вот мне интересно - для чего в первом классе детям задают такие задачи..... Автор:ma-sha [ 24 мар 2011, 19:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Isabella В условии задачи не хватает конкретности. На сколько конфет у Маши стало больше? Больше чего? Того количества, что у нее было раньше или больше, чем у Пети? А вообще, это задачи на понимание понятия больше-меньше и на сколько. Автор:FenechKA [ 24 мар 2011, 20:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Олеся111 писал(а): FenechKA И по какой программе такое задают? 2100, но мне программа данная очень нравится, хотя бывают вот такие переборы Автор:Isabella [ 24 мар 2011, 22:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Вот такая неконкретная задача))))) Учительница сказала - решить и записать ответ цифрой. Вот я и удивляюсь, зачем первочкам такие задачи? Автор:Дипломница [ 01 апр 2011, 10:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Задачка 1 класс. Дедушка привёз бочонок, масса которого вместе с мёдом 9 кг. Когда съели половину мёда, то масса бочонка мёда стала 5 кг. Найди массу пустого бочонка. помогите решить Автор:tigra [ 01 апр 2011, 10:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 1 кг? Маловато будет. для бочонка-то Автор:Дипломница [ 01 апр 2011, 10:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) так они еще половины цифр не изучают Автор:Дипломница [ 01 апр 2011, 10:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): 1 кг? Маловато будет. для бочонка-то а можно подробней как 1 кг получился Автор:tigra [ 01 апр 2011, 10:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница Ну это очень простая задача, устная. Смущает только масса бочонка. Ну 3 кг - еще куда ни шло, 1 - как-то неправдоподобно. 9-5=4 (половина) Отнимаем от остатка 2-ю половину 5-4=1 - остаток и есть бочонок. Автор:irchik [ 01 апр 2011, 10:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) было 9,съели половину осталось 5,следовательно 9-5=4. 4-это половина, 42=8-столько меда было в бочонке 9-8=1-вес бочонка Автор:irchik [ 01 апр 2011, 10:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): Дипломница Ну это очень простая задача, устная. Смущает только масса бочонка. Ну 3 кг - еще куда ни шло, 1 - как-то неправдоподобно. 9-5=4 (половина) Отнимаем от остатка 2-ю половину 5-4=1 - остаток и есть бочонок. упс,одновременно. .бочонок может капроновый Автор:tigra [ 01 апр 2011, 10:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) irchik Они умножение не проходят еще наверное Автор:irchik [ 01 апр 2011, 11:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): irchik Они умножение не проходят еще наверное да,конечно.Не увидела что за первый класс задача. Почитала тему - от половины задач,мягко говоря, в шоке Автор:Дипломница [ 01 апр 2011, 11:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra irchik спасибо! Автор:ma-sha [ 01 апр 2011, 12:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) irchik писал(а): Почитала тему - от половины задач,мягко говоря, в шоке Ну главное, что детей (по крайне мере, наших) такие задачки совсем не шокируют и они их решают влет Автор:sluy [ 02 апр 2011, 10:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Ну главное, что детей (по крайне мере, наших) такие задачки совсем не шокируют и они их решают влет Это да.Их просто учат "по-новому".И они решают на автопилоте. А мы,взрослые,начинаем глобалить. Автор:sluy [ 02 апр 2011, 10:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница А по какой программе задача? По какой теме? Я чего-то с лёту не сообразила что к чему Автор:Лесавка [ 02 апр 2011, 21:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) я не догадалась до простого решения, навертела кучу, но у меня тоже получился 1. решала так: х - масса бочонка, у - масса меда х+у = 9 (по условию) х+1/2у = 5 (после того, как съели) из первого уравнения выводим: х= 9 - у вставляем это во 2е уравнение: (9 - у) + 1/2у = 5, откуда 9 - 5 = у - 1/2у, откуда 4=1/2 у, т.е. половина массы меда равна 4, т.е. весь мед весит 8, а бочонок, соответственно, 1 Автор:ma-sha [ 02 апр 2011, 21:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка Когда Вы решаете задачу, нужно учитывать, для какого она класса, и что не все метода решения прокатывают В данном случае, решать задачу методом уравнений нельзя, это не уровень первого класса. Автор:tigra [ 02 апр 2011, 21:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка Вам явно знания мешают. Вы бы еще дифуравнением решили. Автор:Лесавка [ 02 апр 2011, 21:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha tigra я класс не увидела сначала) Автор:tigra [ 02 апр 2011, 21:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка Я к первым задачам тоже матрицы и множества прилепила. Решила. Оказалось что это задачки для деток, поступающих в школу И решаются методом "посмотреть-прикинуть". расслабляем сознание срочно. Автор:Лесавка [ 02 апр 2011, 21:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra да уж, живое доказательство тому, что мы сами себе иногда усложняем жизнь) Автор:ma-sha [ 02 апр 2011, 21:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) У нас тоже всегда так: если ребенка клинит и чего-то не получается, то папу лучше не спрашивать, он умеет решать только уравнениями, производными, дифурами и прочими изысками. А вот чего попроще - так этому только в началке и научат Автор:Isabella [ 08 апр 2011, 13:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Домашнее задание сегодня у моей первоклассницы: В квадратном зале для танцев поставь вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну Автор:Alexx [ 08 апр 2011, 13:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мы третьего дня такое решали Решили!... не совсем мама ещё отупела Автор:Isabella [ 08 апр 2011, 17:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Alexx Я сидела решала - так пришлось мозгами шевелить Но додумалась Доча прискакала и за 2 минуты все легко решила совсем не напрягаясь Автор:ma-sha [ 08 апр 2011, 17:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Isabella писал(а): Alexx Я сидела решала - так пришлось мозгами шевелить Но додумалась Доча прискакала и за 2 минуты все легко решила совсем не напрягаясь Во! И я про то же! Они видят такое влет, на автомате, а нам мозгами шевелить надо Автор:ari [ 09 апр 2011, 17:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Одна из последних наших задач для 2-го класса. Из девяти одинаковых шариков один немного тяжелее остальных. Как при помощи двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти это шарик? Автор:tigra [ 09 апр 2011, 18:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Что при этом считается как одно взвешивание? Автор:belladonna [ 09 апр 2011, 18:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Всё просто Разделить шары на три связки по три штуки. Взять любые две связки и взвесить (сравнить). Далее, два исхода событий: Связки одинаковые. Тогда "тяжёлый" шар - в третьей связке. Опять делим на три и вычисляем "тяжелый" вторым взвешиванием. Связки разные. Берём ту, которая тяжелей, и опять взвешиваем второй раз. Автор:ari [ 09 апр 2011, 18:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna Автор:Alexx [ 10 апр 2011, 17:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ага а как потом определить какой из 3-х тяжелее ведь стоит задача найти шарик Автор:tigra [ 10 апр 2011, 17:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Alexx Кладете два из трех на весы, если вес одинаковый, то тяжелее - третий. Если вес разный то тяжелее тот, который тяжелее Автор:Alexx [ 10 апр 2011, 17:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) да... что то я притупила малость Автор:tigra [ 10 апр 2011, 17:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) У нас раньше такие задачки назывались факультативными, или для викторин. У меня целая книжка была, называлась "головоломки" А сейчас уже в основную программу включили? круто. Автор:belladonna [ 10 апр 2011, 17:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): А сейчас уже в основную программу включили? круто. Да, в программе школа 2100 таких логических задачек полно. Но их задают на дом, подумать, на контрольных обычно не бывает. Автор:Акватория [ 10 апр 2011, 18:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Isabella писал(а): В квадратном зале для танцев поставь вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну Я, наверное. совсем тупая! Ну и как?! Автор:belladonna [ 10 апр 2011, 18:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Я знаю, я знаю... По диагонали надо в углы два стула поставить, и по два у стены. 2+24=10. Те, что в углах- будут одновременно к двум пересекающимся стенам относиться Автор:annamai [ 10 апр 2011, 18:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Вообще-то нет логики в этой задаче, раз задается - как поставить по-ровну у каждой стены! Угол не считается полным стулом, а только половинка! Не так ли? Автор:Акватория [ 10 апр 2011, 19:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): По диагонали надо в углы два стула поставить Чёт мне тоже такой ответ нелогичным кажется! Автор:НаталюсикЮС [ 10 апр 2011, 20:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): belladonna писал(а): По диагонали надо в углы два стула поставить Чёт мне тоже такой ответ нелогичным кажется! совеошенно тупое решение Автор:Лесавка [ 10 апр 2011, 20:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС ну предложите умное Автор:Мятный бриз [ 10 апр 2011, 21:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): Акватория Я знаю, я знаю... По диагонали надо в углы два стула поставить, и по два у стены. 2+24=10. Те, что в углах- будут одновременно к двум пересекающимся стенам относиться Решение абсолютно верное. Два стула должно стоять по углам. Остальные стулья - не угловые. У каждой стены по 3 стула. Автор:tigra [ 10 апр 2011, 21:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС писал(а): совеошенно тупое решение М-да. Ну обоснуйте, что ли. А мы поумничаем. Автор:Акватория [ 10 апр 2011, 21:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna До меня дошло наконец-то! Конечно всё логично, но у меня видимо мозги закостенели. Автор:Ярилочка [ 10 апр 2011, 21:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): До меня дошло наконец-то! Конечно всё логично, но у меня видимо мозги закостенели. Я тоже не догадалась по углам считать считать стулья, относящимися сразу к 2 стенам... Автор:НаталюсикЮС [ 11 апр 2011, 12:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка писал(а): НаталюсикЮС ну предложите умное Да нет его, умного. Это то же самое, что дать 4 детям 10 конфет поровну - объясните им, что 1 конфетка должна считаться целой для двух детей Я никому не в обиду писала - задача такая "умная" Автор:Isabella [ 11 апр 2011, 18:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС Это называется - нестандартное мышление, и дети легко решают такие задачки, потому что их этому учат в школе Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 19:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС писал(а): Это то же самое, что дать 4 детям 10 конфет поровну Вовсе не "то же самое". Стулья не делятся, они расставляются (смотрим условие). Вот если бы сказали: посади 10 детей на 4 стула- , то было бы "то же самое" (ваш пример). На мой взгляд, хорошая задача, развивает воображение, смекалку. Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 19:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna А детки после таких задач в состоянии решать простую арифметику? Просто я хожу под впечатлением от стульев и понимаю, что мой сын как-то легко отделался в начальной школе! Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 19:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Да эти задачки им дают в такой факультативной форме, что ли. Развлечься. В основном, решают "стандартное". Ну у нас, по крайней мере. На контрольных, самостоятельных, итоговых таких задачек нет. Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 19:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): что мой сын как-то легко отделался в начальной школе! А Вы сыну дайте порешать. Дети действительно лучше с ними справляются порой. У меня когда сын в первом классе решил задачу про синиц, где применяются элементы комбинаторики, я подумала- "Ого, гения родила" . А потом оказалось, что почти весь класс "гениален" Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 19:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): А Вы сыну дайте порешать Сын-то 15летний! Практически старого поколения! Не решил, хоть и учится в Техническом лицее. Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 19:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): Не решил, хоть и учится в Техническом лицее Он , наверное, пытался логарифмировать Это называется, горе от ума. У меня тоже бывает. А "ларчик просто открывался" Автор:tigra [ 11 апр 2011, 19:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): Да эти задачки им дают в такой факультативной форме, что ли. Развлечься. В основном, решают "стандартное". Ну у нас, по крайней мере. У нас так и было больше 20 лет назад в самой обычной школе и про стулья, и яблоки, и шарики... Но вот петерсоновские задачки это жесть, конечно. Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 19:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Меня порой умиляет "предыстория " в некоторых задачах. Целую поэму насочиняют. Вот вчера сын решал простую задачку, но такая забавная. Переписываю: Для устройства свинофермы в одном из островов Южного моря, капитан Эфроим устроил отлов диких свиней. В нём участвовало всё взрослое население Веселии: 30 женщин и 26 мужчин, и в 5 раз больше жителей этого острова. Диких свиней на этом южном острове было в два раза меньше, чем охотников. Сколько диких свиней было на южном острове? Не задача, а песня...вернее, сказка. Вот вопрос: столько лишней информации- это чтобы запутать? Автор:tigra [ 11 апр 2011, 20:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): столько лишней информации- это чтобы запутать? Я почти уверена, что это от недостатка мозга у составителя. Сейчас много таких задач. Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 20:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra А почему Вам так не нравится? Мой сын заодно узнал, кто такой капитан Эфроим (забыл, позорище, сказку про Пеппи) Мне кажутся забавными такие задачи. Уж лучше, чем сухое: "Петя Иванов решил 3 задачи, а Даша Петрова- в пять раз больше..." Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 20:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): Меня порой умиляет "предыстория " в некоторых задачах. Целую поэму насочиняют. Вот вчера сын решал простую задачку, но такая забавная. Переписываю: Для устройства свинофермы в одном из островов Южного моря, капитан Эфроим устроил отлов диких свиней. В нём участвовало всё взрослое население Веселии: 30 женщин и 26 мужчин, и в 5 раз больше жителей этого острова. Диких свиней на этом южном острове было в два раза меньше, чем охотников. Сколько диких свиней было на южном острове? Не задача, а песня...вернее, сказка. Вот вопрос: столько лишней информации- это чтобы запутать? В современной школе приветствуются различные методики преподавания интегрированных курсов. Это когда по всем предметам проходится одна тема. Например, изучается Древняя Греция, но не только по истории, но и по географии ( или природоведению), по литературе, по математике, по русскому и любому иностранному языку, по изо и т.д. Может подобные задачки как раз из этой оперы? По чтению изучают "Пеппи Длинныйчулок", а по математике про это же задачки... Автор:tigra [ 11 апр 2011, 20:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna Ну ваша задачка еще ничего, есть и повеселее. про инспектора ГИБДД на БМВ, мгновенно разворачивающемся на месте, например и ладе калине, едущей со скоростью 150 км/ч Да много бреда в учебнике по математике. Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 20:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): По чтению изучают "Пеппи Длинныйчулок", а по математике про это же задачки... Интересно. Никогда об этом не задумывалась Пошла гляну в чтение. Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 20:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) По чтению Тургенева шпарят Чую, будут задачки про "Му-Му" Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 20:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): например и ладе калине, едущей со скоростью 150 км/ч Да ну. Это анекдот , наверное, байка. Автор:tigra [ 11 апр 2011, 20:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna Чес. слово, видела страницу из учебника. Ее даже на дроме выкладывали Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): Чес. слово, видела страницу из учебника. Ее даже на дроме выкладывали корка. Как дальновидно-то, с младых лет, так сказать, прививать патриотизм. Автор:tigra [ 11 апр 2011, 20:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna Может конечно с маркой ошибаюсь, сейчас поищу на дроме Автор:tigra [ 11 апр 2011, 20:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Нашла. Там ока 105 км/ч, в принципе практически то же самое эта просто наиболее запомнившаяся, т.к. первое, что пришло в голову после прочтения: сколько и чего выкурил автор? Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 20:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Ну не сочтите, что вредничаю, но всё же думаю- это байка интернетовская. (гротеск чрезмерный подозрителен) Готова поспорить на шоколадку. Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 20:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Это не из Петерсон задачка А по условию еще ремарка: а как же знаки? Там до поста ГИБДД должен быть знак ограничения скорости до 40 км/ч как минимум И как этот нахал с "летучей" "Оки" его посмел не заметить? Автор:tigra [ 11 апр 2011, 21:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): Готова поспорить на шоколадку. Да о чем спорить, я видела эту страницу (мама приносила заценить учебник). была под столом, там были и еще задачки, но не такие образные. Потом ее же увидела на дроме. Шоколадку могу так отдать. Вот чес.слово, почитаешь такое, и уже решать не хочется, хочется смеяться. ma-sha писал(а): Это не из Петерсон задачка Не, точно не оттуда Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 21:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Аффтора в студию!!! Автор:tigra [ 11 апр 2011, 21:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna да это ХЗ когда было, я не запоминаю авторов бреда тем более что таких сейчас множество, надо у мамы поинтересоваться, если и она не забыла. ma-sha писал(а): А по условию еще ремарка: а как же знаки? Там до поста ГИБДД должен быть знак ограничения скорости до 40 км/ч как минимум И как этот нахал с "летучей" "Оки" его посмел не заметить? Вот-вот. после прочтения думаешь о чем угодно, только не о решении задачи. Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 21:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): tigra Аффтора в студию!!! Составители учебника математики за 5 класс Зубарева и Мордкович Интересно, чего аффтары курят? Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna tigra Давайте ишшо задачи! Мы уже всей семьёй решаем! Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): Вот-вот. после прочтения думаешь о чем угодно, только не о решении задачи. Ага, например, каким образом ГИБДД-шник мгновенно разгонался, как мгновенно развернулся и какого он ваще думал 2 минуты? Кстати, ответ в этой суперзадачке получился 7 минут Автор:tigra [ 11 апр 2011, 21:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Интересно, чего аффтары курят? Да-да, это первый вопрос, который мне в голову пришел, это еще до знаков, почему ока не развалилась, какого черта инспектор гонял 210 км/ч, и как его с мотоцикла не сдуло, и как он умудрился не заметить оку на дороге? Может пьяный был?... и т.п. вопросы. Авторов как оперативненько нашли, я только завтра звонить собиралась Акватория Решите про мотоцикл Автор:belladonna [ 11 апр 2011, 21:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Офигеть. Кому шоколада? Не, у нас Демидова такой бред не пишет. А может, я редко заглядываю? Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 21:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): belladonna tigra Давайте ишшо задачи! Мы уже всей семьёй решаем! А про муху знаете? Если еще нет, то вот: Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 20 километров, выехал велосипедист со скоростью 5 км/ч. Навстречу ему одновременно из пункта Б вылетела муха со скоростью 3 км/ч. Встретив велосипедиста, муха разворачивается и возвращается обратно в пункт Б. Достигнув пункта Б, муха разворачивается и снова летит навстречу велосипедисту. И так - до тех пор, пока велосипедист не достигнет пункта Б. Вопрос - сколько километров пролетела муха? (время на развороты принимаем равное нулю). Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 22:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, ну я сейчас гоняю старшего к экзамену по алгебре за 8 класс (на репетиторе экономлю ). Чувствую себя очень-очень умной, Эйнштейном практически! Но вот ваши задачи ставят меня в тупик! Про свиней не смогла сюжет понять, про Оку тоже как у tigra одни вопросы. Про муху ваще в шоке. Чё ж её, бедную, так разворачивало-то! Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 22:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Задача про муху элементарная, за 3 класс, из задач на расстояние, решается в 2 действия И подобные задачи как раз и ставят многих в тупик своей простотой, мы ж все всегда усложнить пытаемся А что, у вас в 8 классе есть экзамены, в том числе по алгебре? Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 22:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Я про муху завтра на свежую голову порешаю. Только не пишите пока ответ!!! У нас по алгебре и физике экзамен. Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 22:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория А у вас каждый год какие-нибудь экзамены? Я ж неспроста спрашиваю, а с прицелом на будущее Вдруг учиться там придется Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 22:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha В прошлом только по алгебре, в этом уже 2. Автор:ma-sha [ 11 апр 2011, 22:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория А в 9 ГИА, да? Ну и как сыну там учиться, сложно? Автор:Акватория [ 11 апр 2011, 22:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Моему не сложно, он не надрывается. Но и далеко не отличник в результате. Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 10:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Вот еще задачка для любителей пораскинуть мозгами В пруду растут кувшинки. За сутки количество кувшинок в пруду увеличивается в 2 раза. Через 20 суток пруд полностью покрылся кувшинками. Через сколько суток пруд был заполнен кувшинками наполовину? Автор:Акватория [ 12 апр 2011, 12:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Через 19 суток? Автор:Isabella [ 12 апр 2011, 12:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha за какой класс задачка? через 19 дней Автор:Акватория [ 12 апр 2011, 12:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Isabella Оказывается не одна я такая умная, за 3 класс задачи могу решать! Автор:Nuro4ka [ 12 апр 2011, 13:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) xenia1980 писал(а): ОТВЕТ: Как ни странно 13 22=1211 39=1313 64=122222, = 1264, =1232.... 76=1236, =12218... а 13=113 и всё Я из этого ничего понять не могу. Это какой интеллект должен быть у второклассника? Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 13:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Isabella , в этой задачке практически ничего считать не нужно, просто внимательно читать условие и соображать Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 13:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория А как там на счет мухи, сообразили? Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 13:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): Isabella Оказывается не одна я такая умная, за 3 класс задачи могу решать! Не, это, наверное, даже за 2-ой Автор:ari [ 12 апр 2011, 14:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 20 километров, выехал велосипедист со скоростью 5 км/ч. Навстречу ему одновременно из пункта Б вылетела муха со скоростью 3 км/ч. Встретив велосипедиста, муха разворачивается и возвращается обратно в пункт Б. Достигнув пункта Б, муха разворачивается и снова летит навстречу велосипедисту. И так - до тех пор, пока велосипедист не достигнет пункта Б. Вопрос - сколько километров пролетела муха? (время на развороты принимаем равное нулю). Когда она его встретит и они начнут двигаться вместе к пункту Б , то велосипедист же приедет вперед, так как его скорость больше . Автор:Акватория [ 12 апр 2011, 14:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Ладно,, говорите ответ! Пока я с ума от этой мухи не сошла (мне ещё шкаф рассчитывать). Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 14:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Может я уже что-то и напутала с цифрами условия, я запомнила только принцип. Ну пусть будет из пункта А идет пешеход со скоростью 4 км/ч, а муха летит ему навстречу из пункта В со скоростью 8 км/ч. Это не принципиально. Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 14:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Давайте еще раз "помощь зала", тогда Вы точно решите Буду ориентироваться на последние цифры, там где пешеход со скоростью 4 км/ч и муха со скоростью 8 км/ч. Т.к. муха вылетела одновременно с тем, как вышел пешеход, то муха будет летать туда-сюда все время, пока пешеход не дойдет до пункта Б, т.е. это и будет время полета мухи. Зная ее скорость не трудно посчитать расстояние, которое она пролетит за это время. Ну а "туда-сюда" - это для запутывания как раз Автор:annamai [ 12 апр 2011, 14:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Вот еще задачка для любителей пораскинуть мозгами В пруду растут кувшинки. За сутки количество кувшинок в пруду увеличивается в 2 раза. Через 20 суток пруд полностью покрылся кувшинками. Через сколько суток пруд был заполнен кувшинками наполовину? По-моему это геометрическая прогрессия! Вот блин мозги "зассорили" за 10 лет обучения, что фиг вспомнишь - а как же мы решали такие задачи в начальных классах))) Автор:annamai [ 12 апр 2011, 14:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория 19 суток мне кажется еще по-полам надо поделить, ведь вопрос - когда на-половину будет заполнен пруд!?? Автор:annamai [ 12 апр 2011, 14:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Акватория Давайте еще раз "помощь зала", тогда Вы точно решите Буду ориентироваться на последние цифры, там где пешеход со скоростью 4 км/ч и муха со скоростью 8 км/ч. Т.к. муха вылетела одновременно с тем, как вышел пешеход, то муха будет летать туда-сюда все время, пока пешеход не дойдет до пункта Б, т.е. это и будет время полета мухи. Зная ее скорость не трудно посчитать расстояние, которое она пролетит за это время. Ну а "туда-сюда" - это для запутывания как раз 12 км что ли? 20/5=4 43=12 Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 14:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai писал(а): Акватория 19 суток мне кажется еще по-полам надо поделить, ведь вопрос - когда на-половину будет заполнен пруд!?? Вы опять же все усложняете, там же все так просто. Ведь из условия следует, что каждый день число кувшинок удваивается. Если на 20 день пруд заполнен полностью, то за день до этого - в 2 раза меньше, т.е. будет заполнена половина пруда. Только и всего Автор:ma-sha [ 12 апр 2011, 15:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai писал(а): ma-sha писал(а): Акватория Давайте еще раз "помощь зала", тогда Вы точно решите Буду ориентироваться на последние цифры, там где пешеход со скоростью 4 км/ч и муха со скоростью 8 км/ч. Т.к. муха вылетела одновременно с тем, как вышел пешеход, то муха будет летать туда-сюда все время, пока пешеход не дойдет до пункта Б, т.е. это и будет время полета мухи. Зная ее скорость не трудно посчитать расстояние, которое она пролетит за это время. Ну а "туда-сюда" - это для запутывания как раз 12 км что ли? 20/5=4 43=12 Ну если с прежними цифрами - то да, так. Если с последними, то: 20 : 4 = 5 (ч) - время в пути пешехода = время полета мухи. 5 х 8 = 40 (км) - расстояние, которое пролетит муха. Тут главное понять принцип, что муха летает по времени ровно столько, сколько идет пешеход. Траектория полета мухи при этом совершенно не важна, пусть хоть сколько кругов она при этом намотает Автор:annamai [ 12 апр 2011, 15:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): annamai писал(а): Акватория 19 суток мне кажется еще по-полам надо поделить, ведь вопрос - когда на-половину будет заполнен пруд!?? Вы опять же все усложняете, там же все так просто. Ведь из условия следует, что каждый день число кувшинок удваивается. Если на 20 день пруд заполнен полностью, то за день до этого - в 2 раза меньше, т.е. будет заполнена половина пруда. Только и всего Точно туплююююююююююю)) Автор:annamai [ 12 апр 2011, 15:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Надо снова тему переименовать -помогаем решать задачки мамам школьников! Автор:Акватория [ 12 апр 2011, 15:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Давайте ещё Автор:outlaw [ 12 апр 2011, 15:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Автор:ari [ 12 апр 2011, 15:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Классная задача. И решение очень простое. Надо включать логику, а не свой инженерный потенциал Автор:annamai [ 12 апр 2011, 22:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Если попробовать еще такие задачи решать с помощью матриц = вот точно, чем дальше в лес, тем больше дров! Автор:Акватория [ 12 апр 2011, 22:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai писал(а): с помощью матриц Энто ещё что такое? Автор:annamai [ 12 апр 2011, 22:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): annamai писал(а): с помощью матриц Энто ещё что такое? Это высшая математика - там тоже самые наипростейшие задачи решаются, только более сложный расчет! Автор:Акватория [ 12 апр 2011, 22:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai Я уже поняла, что я в этой теме самая отсталая! Автор:annamai [ 12 апр 2011, 22:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Не думаю так, полагаю что здесь очень многие и многие не могут решить, просто не у всех есть желание об этом писать, вступать в дискуссию. Я вот допустим просто очень обожаю математические предметы, просто многое уже забыла, в институте (заочно, а там ведь все галопом) с открытым ртом, простите, сидела и слушала преподавателя, про высшую математику, постоянно ей вопросы задавала, сбивала ее от "курса", сидела на первой парте, а она то ведь свою задачу знает - надо успеть прочитать планируемый материал - она мне кстате именно за это, мое желание познать - поставила 5. Конспекты сохранила - меня они просто завораживают! Автор:annamai [ 13 апр 2011, 13:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw Кто еще не нарешался??? Так очень скучно решать, гораздо интереснее всем вместе! Для того и форум - можно купить себе книжку и решай хоть зарешайся - не интересно! Автор:outlaw [ 13 апр 2011, 14:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai, я предложила сайт для подготовки детей к олимпиадам идущим в городе. Раз не интересно, ссылку удалю Автор:Акватория [ 14 апр 2011, 14:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw Не удаляйте! Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 14:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А это для смеха Задача для 4-го класса (учебник М.И.Башмакова и М.Г.Нефёдовой "Планета знаний" ): Поезд Казань-Екатеринбург проходит 1026км со средней скоростью 57км\ч. Из Казани поезд отправляется в 22ч.25мин. Во сколько прибывает этот поезд в Санкт-Петербург? Кто решит - тому приз Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 14:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А это задачка для окончивших начальную школу (т.е. 4 класс): В день рождения к Наташе должны были прийти либо 3, либо 4 гостя. Для гостей был приготовлен рулет, который хозяйка хочет разрезать так, чтобы его можно было раздать поровну. При этом желательно, чтобы число кусков было меньше 12 и чтобы каждый гость получил свою часть не более, чем в двух кусках. Наташа справилась с этой задачей. Сколько получилось кусков? Какой объём каждого куска (в долях от целого)? Какие куски оказались на тарелке у каждого? Автор:Акватория [ 14 апр 2011, 14:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Нее,, давайте математические! С географией не так интересно. Хотя сегодня сыну задам! Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 14:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория писал(а): ma-sha Нее,, давайте математические! С географией не так интересно. Хотя сегодня сыну задам! Так она изначально и должна была быть математическая. Скорее всего, в вопросе с городом ошиблись, написали вместо Екатеринбург Санкт-Петербург Автор:Акватория [ 14 апр 2011, 14:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha А Наташа тоже рулет хочет? Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 14:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Там же сказано, рулет только для гостей Автор:outlaw [ 14 апр 2011, 14:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Никогда, ибо Питер ехать по другой ветке Акватория Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 14:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw писал(а): Никогда, ибо Питер ехать по другой ветке Так это понятно, но условие задачи в учебнике написано именно так, как я его привела Автор:outlaw [ 14 апр 2011, 14:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha, я же ответила на вопрос, почему вы ожидаете ответ в часах? Автор:outlaw [ 14 апр 2011, 15:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) На самом деле задача хороша. Слишком часто в учебниках и тестах опечатываются. Правильно ответить на поставленный вопрос - вот цель, а не просто разглагольствовать, ой вы тут ошиблись, пропущу задачу. Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 15:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw А ответ и не нужен был, потому что я сразу написала, что это для смеха, а не для решения Хотя может и правда, авторы задались проверить внимательность, а не математические умения Автор:Акватория [ 14 апр 2011, 15:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha А половинки кусков нельзя? И Наташа заныкать остатки не может? Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 15:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Неа Автор:Найдёна [ 14 апр 2011, 15:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Я, кажется, решила задачку про рулет Правда, схематически Ответ тут писать нельзя? Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 15:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Найдёна И чего получилось? Автор:sluy [ 14 апр 2011, 16:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha По какой теме задача? Вообще,я бы поделила на 4 куска,на тот случай,если придут 4 гостя. Если придут 3,то по куску и оставшийся 4-ый кусок поделила на 3 части.Это если Наташа на рулет не претендует. Автор:Найдёна [ 14 апр 2011, 16:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha sluy писал(а): поделила на 4 куска,на тот случай,если придут 4 гостя. Если придут 3,то по куску и оставшийся 4-ый кусок поделила на 3 части Только вот могу объяснить словами и схематически, а математически никак Автор:Акватория [ 14 апр 2011, 17:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Найдёна Давате уже хоть словами.... Т.к. у меня вариантов кроме как съесть лишний кусок нет. Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 18:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория Так что, писать ответ что ли? Автор:sluy [ 14 апр 2011, 18:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha конечно,пишите Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 18:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ответ задачи про рулет: 6 кусков. 2 куска по 1/4, 2 куска по 1/6 и 2 куска по 1/12. Если приходят трое гостей - двоим выдается по 1/4 и 1/12, одному - 2 куска по 1/6. Если приходят четверо гостей - двоим выдается по 1/4, двоим по 1/6 + 1/12. Автор:sluy [ 14 апр 2011, 18:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha так и знала, что дело в долях! в условии задачи вопрос про доли,поэтому спросила,по какой теме задача. ну что скажешь,молодец Башмаков,в своём репертуаре Автор:sluy [ 14 апр 2011, 18:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А ведь можно и так: 4 куска Если приходят четверо гостей - каждому по 1/4 от целого Если приходят трое гостей - каждому по 1/3 от целого+1/12 от целого Но Наташа из задачи молодец, всё верно, с математическим подходом Автор:ma-sha [ 14 апр 2011, 19:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sluy Нет, там уже отрезанные куски делить нельзя. Нужно заранее прикинуть, как порезать рулет, на какие доли. В этом то весь смысл, а то легко было бы Автор:sluy [ 14 апр 2011, 19:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Ааа,вон чего! Я условие невнимательно прочитала.Ну у нас по Планете только 2 класс,к 4 классу,считайте,я подготовилась. Автор:Акватория [ 14 апр 2011, 19:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Я бы никогда не решила! Автор:annamai [ 14 апр 2011, 23:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Ответ задачи про рулет: 6 кусков. 2 куска по 1/4, 2 куска по 1/6 и 2 куска по 1/12. Если приходят трое гостей - двоим выдается по 1/4 и 1/12, одному - 2 куска по 1/6. Если приходят четверо гостей - двоим выдается по 1/4, двоим по 1/6 + 1/12. а как в виде уравнения это решается, через Х? Автор:DantiStka [ 20 апр 2011, 13:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Вот шо меня ждет. Мы только в первом по Планете знаний Автор:Дипломница [ 20 апр 2011, 15:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) DantiStka писал(а): Мы только в первом по Планете знаний ай сейчас уже две новые программы втулят нашим детям, новым первоклашкам заколебали чес слово. слушала я нашего министра по образованию, так и сказал сам не понимаю почему внедряют новых два стандарта по образованию. Автор:Многоточие [ 21 апр 2011, 20:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) программы останутся прежними, а вот стандарт образования-новый, немного изменятся учебники(хотя большинство из них уже переработаны под новый стандарт, стандарт второго поколения...) Автор:Budda [ 16 май 2011, 09:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Автор:Desert Rose [ 13 сен 2011, 19:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Подниму тему.Девы мож я ужо совсем тупая! Задача из рабочей тетради по математике для 2-го класса( слово-в слово):"Используя в каждом равенстве не более одного раза числа 2,3,4,5 заполни окошки так, чтобы получились верные равенства .--=7 и --=4 (Вместо звёздочек там пустые квадратики (окошки), но я так не умею ) Я сломала голову Автор:Ласточка [ 13 сен 2011, 19:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н Да уж , а там точно везде минус идёт? Автор:Desert Rose [ 13 сен 2011, 19:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Минус, минус! Был бы плюс, я б не парилась.. Автор:milita.ri [ 13 сен 2011, 19:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н По решению неравенства отпишитесь ,уж очень интересно знать, что можно отнять от максимально предлагаемой цифры "5", чтобы получить "7". Автор:Ласточка [ 13 сен 2011, 19:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н как не подставляй, равенство всё-равно не выходит Автор:Desert Rose [ 13 сен 2011, 19:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Отправляю ре в школу с невыполненным д/з .Сказала, чтоб попросил учительницу помочь и объяснить. Завтра отпишусь Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду: Ласточка писал(а): как не подставляй, равенство всё-равно не выходит Ой, слава КПСС , я не одна такая! Автор:belladonna [ 13 сен 2011, 19:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н посмотрите, что они решали в классе, почитайте в учебнике...явно есть какой-то момент, деталь, которые всё прояснят Автор:Ласточка [ 13 сен 2011, 19:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н Вот будет прикол, если там всё-таки опечатка, и вместо минусов где-то плюсы идут. Автор:НаталюсикЮС [ 13 сен 2011, 19:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) только если нулем пользоваться, иначе не выходит Автор:Desert Rose [ 13 сен 2011, 20:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС, нуль бы облегчил решение ( только во втором примере), но по условию можно использовать только 2,3,4,5, надеюсь на опечатку.. Автор:НаталюсикЮС [ 13 сен 2011, 20:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н писал(а): по условию можно использовать только 2,3,4,5 прям дозарезу интересно Автор:milita.ri [ 13 сен 2011, 20:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Может всё дело в том, какие цифры изучали на уроке? Может первое число 12 или 13, ведь должно быть объяснение. Автор:Desert Rose [ 13 сен 2011, 20:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, из 8-ми примеров только эти два нерешаемые, вот остальные:++=10, -+=6, ++=11, ++=12, --=0, ++=9. Тут- то все получается! Автор:Дипломница [ 13 сен 2011, 22:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я сегодня треугольники и четырёхугольники считала, сколько нарисовано внутри Автор:Desert Rose [ 14 сен 2011, 11:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ласточка milita.ri belladonna НаталюсикЮС Девочки, всё банально донельзя! Сын вернулся из школы- я сразу к нему... Всё просто -минусик в каждом примере в классе дружно исправили на плюсик и все получается! Всем спасибо за содействие и за внимание Автор:НаталюсикЮС [ 14 сен 2011, 11:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н писал(а): Всё просто -минусик в каждом примере в классе дружно исправили на плюсик и все получается! Всем спасибо за содействие и за внимание Зашибись... ещё и примеры надо самим себе задавать Автор:Ласточка [ 14 сен 2011, 20:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) АПРЕЛЬКА-Н Я же говорила, что скорее всего опечатка Автор:ma-sha [ 04 окт 2011, 18:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки! Кому очень легкую задачку для 1-го класса на сообразительность? В зоомагазине продавались коты. Один стоил 100 руб., второй - 80 руб., третий - 50 руб. Пришел первый покупатель, дал продавцу 100 руб. и она продала ему первого кота. Через некоторое время пришел еще один покупатель, дал продавцу 100 руб. Продавец спросила у покупателя, какого кота он хочет приобрести, покупатель ответил, что кот ему нужен за 80 руб. Продавец подала ему кота и сдачу. Вопрос: как продавец определила, что превый покупатель хочет кота именно за 100 руб.? Автор:milita.ri [ 04 окт 2011, 18:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Возможно, первый покупатель сказал, что на все деньги или без сдачи. Автор:ma-sha [ 04 окт 2011, 19:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) milita.ri Нет, он ничего не говорил, только отдал деньги. Автор:Vezza [ 04 окт 2011, 20:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Продовец хотела поскорей обогатится. Автор:tigra [ 04 окт 2011, 20:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Может потому что ОДИН (1) кот стоил 100р? Тогда непонятно, почему она другого за 80 продала Автор:Vezza [ 04 окт 2011, 20:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Может их на вес продают. И первый покупатель второго и третьего кота не видел , а видел только первого. Автор:Йожин [ 04 окт 2011, 20:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А я догадалась Автор:tigra [ 04 окт 2011, 20:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Не, тут все дело в том, чтобы не перепутать ОДИН и ПЕРВЫЙ Один кот - 100р А вот почему второй, который тоже ОДИН - продали за 80, хз Автор:интересуюсь [ 04 окт 2011, 20:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ну может он десятками 100 руб дал... Автор:Йожин [ 04 окт 2011, 20:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) интересуюсь писал(а): ну может он десятками 100 руб дал... Мне тоже так кажется. По крайней мере 50 рублей были десятками или еще мельче Автор:ma-sha [ 04 окт 2011, 20:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Ну да, первый кот стоил 100 руб., второй - 80 руб., третий - 50 руб. Добавлено спустя 36 секунд: интересуюсь писал(а): ну может он десятками 100 руб дал... Да!!!!! Вам пирожок! Я ж сразу сказала, что задачка очень легкая и для 1-го класса Автор:иденя [ 07 окт 2011, 23:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) девочки,помогайте,решаем 4 взрослых-у всех разные версии: найти закономерность,продолжить ряд: 123,321,213 ...( ряд продолжить на 3 варианта). это 1 класс,2100 программа. Автор:Ласточка [ 08 окт 2011, 01:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 132, 231, 312 Автор:ma-sha [ 08 окт 2011, 02:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя У меня так получилось: 123, 321, 213, 312, 132, 231 Автор:Ласточка [ 08 окт 2011, 02:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): иденя У меня так получилось: 123, 321, 213, 312, 132, 231 ma-sha эти цифры, которые я выделила жирным, иденя уже перечислила , просто надо продолжить ряд, а именно: 132, 231, 312 Автор:ma-sha [ 08 окт 2011, 12:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ласточка У нее перечислены другие цифры, вот эти: 123, 321, 213 И продолжить этот ряд можно именно таким образом: 123, 321, 213, 312, 132, 231 Если нужно объяснить, почему так, я объясню. Но это ведь и так очевидно. И этот вариант как раз для 1-го класса подходит. Автор:иденя [ 08 окт 2011, 17:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ребенок решил,что закономерность здесь в том,чтобы комбинация цифр не повторялась,у него вышло ..,231,132,312. девочка,закончив.физмат с красным дипломом выявила: цифры писала в столбик и +,- ,чтобы получить след . число ,и так соблюдала закономерн- у нее получилось 231, 123,321. кто решал-ваша логика в чем? Автор:ma-sha [ 08 окт 2011, 17:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя Тогда объясняю свой вариант: 123, 321, 213, 312, 132, 231. То, что цифры в числах не должны повторяться, это понятно. С этим набором цифр возможно только шесть трехзначных чисел. Вопрос, в какой последовательности эти числа расположить. Дано: 123, 321, 213 Первые числа представляют собой зеркальное отражение, т.е. в последующем числе цифры располагаются в обратном порядке: 123, 321. Далее идет число 213, значит дальше, по той же логике, должно идти число, цифры в котором расположены в обратном порядке, т.е. 312. Дальше осталась только одна пара чисел, в которых цифры расположены зеркально: 132, 231. Причем, первым должно идти число 132, т.к. оно начинается с меньшей цифры (как и в последовательности до этого). Итого, получили конечный вариант: 123, 321, 213, 312, 132, 231. Но это только объяснять так долго, все это видно сразу, как только посмотришь на задание. Причем именно такой вариант логических размышлений вполне по силам первоклашкам, без всяких там арифметических действий и выявления более сложных закономерностей. Автор:DantiStka [ 09 окт 2011, 18:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) "АЧУМЕТЬ" Автор:annamai [ 11 окт 2011, 17:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя писал(а): ребенок решил,что закономерность здесь в том,чтобы комбинация цифр не повторялась,у него вышло ..,231,132,312. девочка,закончив.физмат с красным дипломом выявила: цифры писала в столбик и +,- ,чтобы получить след . число ,и так соблюдала закономерн- у нее получилось 231, 123,321. кто решал-ваша логика в чем? Так какое решение на самом деле правильное, что преподаватель говорит? Автор:иденя [ 12 окт 2011, 22:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) правильным оказалось решение- комбинация цифр не должна повторяться,а в какой последовательности они будут записаны ,неважно,так сказал преподаватель,но надо было учесть,что цифры были записаны через две клеточки и ряд продолжать надо было также через 2 клеточки... Автор:annamai [ 12 окт 2011, 22:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Что значит через две клеточки! Автор:иденя [ 13 окт 2011, 09:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai цифры были записаны в тетрадь-клетку:123 пропускали 2 клетки,потом 321,опять пропуск в 2 клетки и тд,это тоже надо было учитывать, Автор:иденя [ 16 окт 2011, 21:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) сегодня мне задали задачку,помогайте: мне надо 50 руб.,я заняла у васи-25 р . и у иры- 25 р. купила сок за 45 р,осталось-5 руб. пришел коля и попросил у меня 3 руб,осталось 2 руб. вернула по одному руб. васе и ире,осталось им вернуть по 24 р каждому,те 48 руб-мой долг им.пришел коля и вернул мне 3 руб.откуда взялся лишний рубль? у меня мыслей нет,никаких!!!! Автор:Desert Rose [ 16 окт 2011, 21:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Автор:ma-sha [ 16 окт 2011, 22:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя Тут нет никакого лишнего рубля. Потому что в те 48 руб. входят те 3 руб., которые потом вернул Коля, и 45 руб. за сок. Автор:katkon [ 16 окт 2011, 22:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) да ни откуда он не брался этот лишний рубль, нет его на самом деле, сама загвоздка в вопросе заключается. 48 и 3 нельзя складывать, это нелогично. Нужно минусовать: 48-3=45 - сумма потраченных денег за сок. Вот измените последовательность событий: взяли в долг 50 р, 2 руб сразу вернули, остался долг 48 руб: за 45 купили сок и 3 дали в долг. Автор:иденя [ 16 окт 2011, 22:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) katkon спасибо за доступный ответ,так ребенку проще объяснить.мне муж привез сборник задач по стохастике для нач.школы,мы решали некоторые задания,мозг вскипел и когда эту задачку озвучила приятельница-мозг отказался работать.поищу что-ниб из стохастики интересное Автор:Desert Rose [ 16 окт 2011, 22:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя писал(а): ... по стохастике Просвятите, пжлст,что это Автор:Desert Rose [ 17 окт 2011, 08:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) katkon писал(а): да ни откуда он не брался этот лишний рубль, нет его на самом деле, сама загвоздка в вопросе заключается. 48 и 3 нельзя складывать, это нелогично. Нужно минусовать: 48-3=45 - сумма потраченных денег за сок. Вот измените последовательность событий: взяли в долг 50 р, 2 руб сразу вернули, остался долг 48 руб: за 45 купили сок и 3 дали в долг. Вот оно как просто-то, а! Значит, я уже совсем "ку-ку" . Автор:иденя [ 20 окт 2011, 22:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Продолжаем решать задачки (из стохастики в начальной школе): для начинающих- Три бригады получили с колхозного склада 7 полных бочек с горючим, 7 бочек, наполненных наполовину, и 7 пустых бочек. Как распределить между бригадами поровну горючее и бочки, не переливая горючего из бочки в бочку? И для тех кто постарше - в коробке 6 голубых, 2 белые и 4 зеленые пуговицы. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. найдите вероятность того, что она окажется: а) голубой; б) не белой; в) белой или зеленой. Автор:Desert Rose [ 21 окт 2011, 09:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Первой бригаде-2 полных бочки, 3- полупустых и 2 пустых.Второй- также.Третьей 3 полных,1-полупустую, 3 пустых. Автор:belladonna [ 21 окт 2011, 11:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя под в) во 2 задаче ,наверное, не "и", а "или". а вообще элементарная задача. вероятность= кол-во благоприятных исходов/общее кол-во всех исходов Автор:ma-sha [ 24 окт 2011, 23:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Купили несколько пакетиков семян моркови и свеклы. Масса всех пакетиков семян 78 г. Масса 1 пакетика семян моркови 12 г., а свеклы 15 г. Сколько купили пакетиков семян моркови и свеклы? Сразу скажу, что задача для 4 класса, решать уравнением нельзя. Автор:Йожин [ 24 окт 2011, 23:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Мне кажется, что тут надо исходить из того, что 8 единиц можно получить, только складывая 12. То есть 1 2+1 2+1 2+1 2=4 8 (ну или умножая 12...) Ну а потом 78-48=30/15=2 Но вот как это правильно оформить Автор:ma-sha [ 24 окт 2011, 23:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Йожин Так в том то и вопрос, как записать решение задачи не уравнением. Автор:Танк [ 24 окт 2011, 23:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) думаю, 2 свеклы и 4 моркови Автор:ma-sha [ 24 окт 2011, 23:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Танк писал(а): думаю, 2 свеклы и 4 моркови Так это понятно, вопрос в том, как решение записать Автор:ari [ 25 окт 2011, 11:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Мне кажется это пример на деление с остатком (мы сейчас в 3-м классе проходим). 1) 78/12=6 всего пакетов (остаток 6). 2) Разница 15-12=3. То есть остаток 6/3=2 пакета свеклы. 3) 6-2=4 пакета моркови. Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды: Есть похожая задача, но для 1-го класса. "На ферме 28 голов кур и свиней. "Ног" - 72. Сколько свиней и сколько кур?". (Можно решить при помощи рисунка). Автор:НаталюсикЮС [ 25 окт 2011, 11:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Мне кажется это пример на деление с остатком (мы сейчас в 3-м классе проходим). 1) 78/12=6 всего пакетов (остаток 6). 2) Разница 15-12=3. То есть остаток 6/3=2 пакета свеклы. 3) 6-2=4 пакета моркови. не поняла ничего. почему вы 78 делите на 12, а не на 15, например? и как вы из разницы остатков в весе вывели количество пакетов? может, не так я поняла? Автор:Йожин [ 25 окт 2011, 11:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС писал(а): и как вы из разницы остатков в весе вывели количество пакетов? Вот я тоже уже 5 минут голову ломаю. Как так получилось? Почему 6/3=2 и это количество пакетов? Автор:ari [ 25 окт 2011, 11:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС Попробуйте, с помощью рисунка, решить предложенную мною задачу, может тогда вам понятнее будет. Добавлено спустя 32 секунды: НаталюсикЮС Йожин Не пытайтесь усложнять условия Автор:НаталюсикЮС [ 25 окт 2011, 11:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Йожин писал(а): Почему 6/3=2 и это количество пакетов? да, интересное предложили решение, и почему 6 надо вообще на 3 делить: У меня мышление зашоренное, поэтому без уравнения не могу придумать тут решение Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд: ari писал(а): Попробуйте, с помощью рисунка, решить предложенную мною задачу, может тогда вам понятнее будет. ту, что про ноги я с рисунком быстро решила, но она на уровень проще вышепредложенной Автор:ari [ 25 окт 2011, 11:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС Да принцип тот же самый. Нарисовали 28 голов, потом пририсовали по две ноги. А оставшиеся ( 78-282=16) ноги дорисовали еще по две насколько хватит. Получили 20 кур и 8 свиней. И здесь такой же принцип - по 12 гр. расписали, хватило на 6 пакетов. 6гр. лишних. По 3гр. на пакет "раскидали". Получилось хватило на 2шт.-это свекла, она по 15гр. Остальные по 12гр. пакеты - это морковка (то есть 4 пакета). Добавлено спустя 46 секунд: Так понятней? Автор:Йожин [ 25 окт 2011, 11:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari О, я поняла теперь Автор:НаталюсикЮС [ 25 окт 2011, 11:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Так понятней? спасибо Автор:ari [ 25 окт 2011, 11:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Автор:ma-sha [ 25 окт 2011, 12:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Ваш ход решения понятен А вот так можно? 12+15=27 78:27=2 (ост. 24) 24:12=2 2+2=4 Автор:ari [ 25 окт 2011, 12:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Думаю можно. Главное как ребенку понятней. Автор:ma-sha [ 30 окт 2011, 14:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Задачка на логику. Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (рояле, арфе, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий, испанский), но каждая только один. Известно: Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански. Лариса не играет ни на скрипке, ни на арфе и не знает английского языка. Марина не играет ни на скрипке, ни на арфе и не знает ни немецкого, ни английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на арфе. Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет? Кто какой знает язык? Автор:ari [ 30 окт 2011, 15:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Марина - гитара/испанский. Лариса - рояль/немецкий. Жанна - арфа/франц. Катя - скрипка/англ. Автор:ma-sha [ 30 окт 2011, 16:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Автор:ma-sha [ 29 ноя 2011, 12:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) В смеси цукатов содержится 3 части авокадо, 4 части киви, 7 частей бананов и 2 части ананасов. Какова масса смеси цукатов, если в ней бананов больше, чем киви, на 177 г? Автор:ari [ 29 ноя 2011, 12:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 944гр. Автор:ma-sha [ 29 ноя 2011, 13:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Только это для детей, а не для взрослых Просто поупражняться Автор:ari [ 29 ноя 2011, 14:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha перерыв на кофе Автор:ma-sha [ 29 ноя 2011, 14:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Так не Вам поупражняться, а Вашим деткам (или детке) Автор:ari [ 29 ноя 2011, 14:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Я поняла, ну что вы так сразу. Автор:ma-sha [ 29 ноя 2011, 14:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Так я ж тоже смеюсь Автор:ari [ 29 ноя 2011, 14:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Вечером, если не забуду, напишу одну из последних задач по математике. Вроде легкая. Но прям что-то она у меня никак решаться не хотела. Автор:НаталюсикЮС [ 29 ноя 2011, 14:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): 944гр. огласите, плиз, решение для недоросших исчо до таких задачек? Автор:ma-sha [ 29 ноя 2011, 15:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari А в синтаксическом разборе, случайно, не сильны? А то у нас с ребенком сегодня затык небольшой случился с одним предложением Добавлено спустя 4 минуты 6 секунд: НаталюсикЮС Цитата: В смеси цукатов содержится 3 части авокадо, 4 части киви, 7 частей бананов и 2 части ананасов. Какова масса смеси цукатов, если в ней бананов больше, чем киви, на 177 г? 7 частей (б.) - 4 части (киви) = 3 части на 3 части приходится 117 г, значит на 1 часть: 117:3=59 (г) всего частей 3+4+7+2=16 (ч.) 16х59=944 (г) Автор:НаталюсикЮС [ 29 ноя 2011, 15:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) я сначала тоже так думала, но не стала вычислять, т.к. подуала, что ведь не сказано, что бананы и киви весят одинаково... Автор:ari [ 29 ноя 2011, 15:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): А в синтаксическом разборе, случайно, не сильны? На уровне 3-го класса справлюсь . Дальше пока не училась . Вроде в школе хорошо училась, но русский заново узнаю. Столько много забытого . Сегодня еще с грамматикой потупила, с английской. Где some, а где any употребляется. Неплохо бы было еще отдельную тему по русскому открыть. Автор:ma-sha [ 29 ноя 2011, 15:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): На уровне 3-го класса справлюсь . Дальше пока не училась . Не, у нас посложнее будет А что не понятно с some и any? Для обозначения некоторого количества (как исчисляемого, так и неисчисляемого) в утвердительных предложениях употребляется some, а в вопросительных и отрицательных - any. Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд: НаталюсикЮС Указаны части, т.е. сколько частей от общего веса приходится на каждый вид фруктов. Нужно посчитать, сколько г приходится на 1 часть и посчитать весь вес. Автор:Индия [ 29 ноя 2011, 16:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Задачка на логику. Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (рояле, арфе, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий, испанский), но каждая только один...... у меня ответ тож правильный получился! Собой горжусь!но вот как это решение дитю объяснить? Автор:ari [ 30 ноя 2011, 12:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): А что не понятно с some и any? Для обозначения некоторого количества (как исчисляемого, так и неисчисляемого) в утвердительных предложениях употребляется some, а в вопросительных и отрицательных - any. У нас так правило в теради и записано. У нас с сыном спор вышел из-за фразы: "Можно мне апельсиновый сок?". Я ему говорю - раз знак вопроса, то надо any. А он вспомнил, что учитель говорил - в предложениях с просьбой надо писать some. Пришлось в инете правила почитать. И еще он не сразу сообразил в "двойном" предложении, типа "Мне принесли пасту, но не принесли пиццу". В первой части нужно было поставить some, во второй any. Не сразу, но справились с заданием. Автор:Йожин [ 30 ноя 2011, 12:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Индия писал(а): ma-sha писал(а): Задачка на логику. Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (рояле, арфе, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий, испанский), но каждая только один...... у меня ответ тож правильный получился! Собой горжусь!но вот как это решение дитю объяснить? Мне кажется, такие задачи легче всего решать таблицей - ставить "+" и "-". Думаю, ребенку так будет понятно. Автор:Индия [ 03 дек 2011, 16:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Йожин я так и решала Автор:ari [ 16 дек 2011, 13:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Прошу помощи по русскому языку. Не можем найти пословицу. Автор:Ушла на базу [ 17 дек 2011, 01:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) только мне кажется, что № 4 это не тетрадь, а дневник... Но это не продвигает вперед... Автор:Йожин [ 17 дек 2011, 10:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу писал(а): только мне кажется, что № 4 это не тетрадь, а дневник... Но это не продвигает вперед... Я уже заменяла тетрадь на прописи, окно на раму, книгу на дневник, и тетрадь на дневник. Ничего не помогает Автор:ari [ 17 дек 2011, 11:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу Йожин Слова- не окончательный вариант, так написал мой ребенок. Мы тоже рассматривали разные варианты - не получается. Из класса тоже никто не решил, учительница сказала думать до понедельника. Автор:НаталюсикЮС [ 17 дек 2011, 11:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) интересная пословица из 10 букв.... вроде, сказано, что буквы связаны линиями, тоесть букв 10 всего? Автор:ari [ 17 дек 2011, 11:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС У меня примерно 19. Там "переходы" по слову есть. Автор:Лесавка [ 17 дек 2011, 11:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Там на некоторых линиях стоят звездочки, на некоторых - нет. Может в этом суть? Автор:katkon [ 17 дек 2011, 14:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) я наверное тупень, но я абсолютно не понимаю данное задание((( Автор:Треугольник [ 17 дек 2011, 16:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) И еще сказано НАЙДИ начало головоломки Так что буквы могут идти не по порядку Автор:ma-sha [ 17 дек 2011, 16:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Треугольник писал(а): И еще сказано НАЙДИ начало головоломки Так что буквы могут идти не по порядку Это явно напрашивается. Возможно, и направление может меняться (можно туда-сюда-обратно ходить по пунктирным линиям). Я вот пол дня уже думаю - никак придумать не могу Автор:Лесавка [ 17 дек 2011, 16:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я пыталась читать задом наперед, перепрыгивала через буковки и всякими разными способами насиловала свой мозг. Пока не выходит. Надеюсь, это задание не из разряда "собери пословицу из отдельных букв" и там есть хоть какой-то алгоритм... Автор:ma-sha [ 17 дек 2011, 16:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Самое интересное, что там не должно быть особо заумного, т.к. нужно учитывать, на какой возраст это задание. Скорее всего, не все написанные слова верные. Автор:sluy [ 17 дек 2011, 17:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Самое интересное, что там не должно быть особо заумного, т.к. нужно учитывать, на какой возраст это задание. Какой это класс и по какой программе? Мне вот еще не ясно, к каким буквам "ниточки" ведут: в некоторых моментах "ниточка" приходит в середину между двух букв, какую выбрать? или слог? или это мне только так кажется? Автор:карапузик L [ 17 дек 2011, 19:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я еще вчера начала думать , может вам методическое пособие для учителя купить-должен быть ответ Автор:Лесавка [ 17 дек 2011, 23:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari название и автора учебника можно? и класс Автор:ari [ 18 дек 2011, 11:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Программа Занкова. 3 класс 2 четверть Рабочая тетрадь к русскому языку. Тетрадь №1 А.В.Полякова "Занимательные задания". Автор:Йожин [ 18 дек 2011, 12:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari ari писал(а): А.В.Полякова "Занимательные задания". И правда, очень занимательное задание Я сейчас учусь на курсах на преподавателя русского как иностранного. Так вот думаю, что зря я это затеяла... Раз уж за третий класс не могу задание сделать Автор:Ушла на базу [ 19 дек 2011, 11:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Все с нетерпением ждут решения... Автор:Лесавка [ 19 дек 2011, 11:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу если только учительница опять не скажет думать, хахаха Автор:НаталюсикЮС [ 20 дек 2011, 13:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) где чудо-отгадка Автор:DantiStka [ 20 дек 2011, 14:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС писал(а): :smile: где чудо-отгадка Автор:ma-sha [ 20 дек 2011, 14:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Тут уже столько любопытствующих в ожидании! Ну не томите! Автор:Ласточка [ 21 дек 2011, 14:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я тоже несколько дней голову ломала Автор:Лимка [ 21 дек 2011, 16:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Хм. Я уже который день сюда захожу, в надежде узнать ответ! Ну не томите! Автор:outlaw [ 27 дек 2011, 14:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Цитата: и вам станет понятно, почему Леонид Владимирович Занков говорил: "Ошибка — находка для учителя!". методика Занкова основана на поиске решения и выхода из ситуации нестандарными способами. Не каждая задача должна иметь в принципе. Вот такое чудо новаторство ... e-Chast-2/ Автор:sluy [ 27 дек 2011, 15:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw писал(а): методика Занкова основана на поиске решения и выхода из ситуации нестандарными способами. Эх, легче от этого не стало. Отгадку узнать бы Автор:outlaw [ 27 дек 2011, 15:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sluy писал(а): outlaw писал(а): методика Занкова основана на поиске решения и выхода из ситуации нестандарными способами. Эх, легче от этого не стало. Отгадку узнать бы нет отгадки в принципе и быть не может. см ссылку выше Автор:tigra [ 27 дек 2011, 15:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я маме давала поломать голову, она одно время занковскую программу вела. Думала, ругалась, не смогла я говорю, а как же детям решать, если учителя не в силах? -Да как, как. Методичку берешь и решаешь, по-другому никак. А дети родителей мучают. Автор:Лесавка [ 27 дек 2011, 15:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw писал(а): нет отгадки в принципе и быть не может. см ссылку выше как это не может? ок, допустим так, но должен быть как минимум один логичный вариант ответа. иначе это задача как в том анекдоте: Вернулась пожилая учительница математики с курсов по повышению квалификации и решила первый урок провести по новому, как на курсах учили: Дети, давайте отойдем от старых методик и будем строить уроки иначе. Вот, например. Посмотрите в окно. Видите, на ветке сидят 2 голубя и 4 воробья? Вопрос: сколько мне лет? Класс обалдело молчит. Наконец Вовочка робко поднимает руку. Учительница с улыбкой: Ну, Вовочка, так сколько мне лет? Пятьдесят, - отвечает он. Правильно, - удивляется она. - А как ты это определил? У нас в доме живет парень один... Он полудурок... Так ему двадцать пять... Автор:ari [ 27 дек 2011, 15:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Нам так и не сказали ответ. : Автор:Лесавка [ 27 дек 2011, 15:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari ахрененная методика хочу, чтобы мой ребенок ходил в старую добрую советскую школу, где давали знания, а не всякий псевдокреативноразвивательныйнестереотипноразмышлительныйсуперсовременнонавороченный бред. Автор:ari [ 27 дек 2011, 16:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Для меня вот очень удивительно, когда задача по математике (в той формулировке, какой она дается в учебнике) может иметь не один ответ. "Перемешка" логики и математики. Все таки для меня математика - точная наука. Есть формулы и порядок действий и ты должен их выполнять. Автор:tigra [ 27 дек 2011, 16:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка писал(а): ахрененная методика Да методика нормальная занковская. У меня мама класс выпускала, так он был очень сильный до 11 класса, 5 медалистов. Правда были проблемы в старшей школе, т.к. "свободно воспитанных" детей пришлось загонять в стандартизованные рамки, дети страдали. Собственно поэтому она и отказалась дальше по ней работать, т.к. в старшей школе поддержки не было. Но эта задачка - что-то с чем-то, видимо страдал головой составитель рабочей тетради. Автор:Asio otus [ 28 дек 2011, 11:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Нам так и не сказали ответ. : мне кажется, просто опечатка такая в этой тетрадке... глобальная... Вчера достала тетрадь сына, что скажу... вот вариант этой задачки в тетради 2008 года выпуска мой сын отучился по Занкову в нач. школе, могу сказать, что в тетрадях по рус. языку еще будут вам встречаться такие ляпы. В тетрадях для 4 класса даже орфографические ошибки есть Автор:Лимка [ 28 дек 2011, 14:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Asio otus Нда. Так это не просто опечатка. Там линии СОВСЕМ не правильно проведены. В том варианте, что вы представили, все легко решается. А у учителя, возможно, старая тетрадь и она не знает, что на самом деле задала детям. Автор:katkon [ 28 дек 2011, 15:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) вот это опечатка! во второй картинке все понятно и легко Автор:ma-sha [ 28 дек 2011, 15:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) katkon писал(а): во второй картинке все понятно и легко Как и должно быть для такого возраста. Я сразу сказала, что не может быть такого задания, где-то ошибка. Автор:Asio otus [ 28 дек 2011, 17:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): katkon писал(а): во второй картинке все понятно и легко Как и должно быть для такого возраста. Я сразу сказала, что не может быть такого задания, где-то ошибка. согласна. В занковской программе были "закавыки" лишь в заданиях по математике ( в тетрадках Бененсон) и то, все решаемо... Автор:sluy [ 28 дек 2011, 19:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лимка писал(а): А у учителя, возможно, старая тетрадь и она не знает, что на самом деле задала детям. Интересно, учитель-то сама отгадку нашла? ну где же автор вопроса... Автор:Треугольник [ 29 дек 2011, 11:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ничего себе ошибочки Автор:annamai [ 01 янв 2012, 17:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Все пишут какими-то загадками, а отгадку не озвучивают!))) Озвучьте пословицу!! И в чем ошибка? Для особых можно по-подробней!))) Автор:sluy [ 01 янв 2012, 21:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) annamai писал(а): Озвучьте пословицу!! кончил дело,гуляй смело annamai писал(а): И в чем ошибка? в первом варианте линии проведены не так как надо, по ним ни одна пословица не прочитается Автор:Vezza [ 01 янв 2012, 21:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Загадка. В каком слове из трех букв,можно сделать четыре ошибки? Автор:ma-sha [ 01 янв 2012, 21:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) vvk писал(а): Загадка. В каком слове из трех букв,можно сделать четыре ошибки? В слове ещё, если написать его исчо Автор:Vezza [ 01 янв 2012, 21:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): vvk писал(а): Загадка. В каком слове из трех букв,можно сделать четыре ошибки? В слове ещё, если написать его исчо Правильно! Автор:Anna_R [ 10 мар 2012, 17:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) девочки, может не в этой темке пишу, извините тогда, но вот где-то видела раньше, а сейчас найти не могу, девчонки давали простые способы решения примеров на сложение\ вычитание 9, правило деления на 3 и т.д.... надо сына научить алгоритму, а то просто мозг взрываентся, когда вижу, как он круглишки себе в помощь на черновичке рисует, чтобю задачу какию-нибудь решить... ткните носом, если кто встречал такую темку, или где это обсуждалось, а? Автор:Акватория [ 10 мар 2012, 18:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Anna_R Хитрим, чтобы запомнить! Автор:Anna_R [ 10 мар 2012, 21:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Акватория, о, да, спасибо-спасибо-спасибо!!!! Автор:Многоточие [ 14 мар 2012, 13:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, кто решит? Пятиэтажный дом без чердака построили вверх ногами. Какой высоты должна быть лестница, ведущая к входной двери, если высота каждого этажа 3 метра, а высота входной двери 2 метра? Автор:tigra [ 14 мар 2012, 13:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 13? Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд: А самый верный ответ - у дома нет ног Автор:Многоточие [ 14 мар 2012, 13:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): 13? у меня голова взрывается от размышлений Автор:tigra [ 14 мар 2012, 13:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А что размышлять? 5 этажей по 3 м, и входная дверь -2 м, т.к. дом вверх ногами. Ну или еще вариант - лестница 1 м, но входить через окно. Ну а что, каков вопрос, таков и ответ. А вообще домов с ногами не бывает, сказочные персонажи не в счет. Автор:Ушла на базу [ 14 мар 2012, 15:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А я никак не пойму... Дом такой должен быть? Извините за корявость... И до какой точки должна идти лестница: до А или В? Автор:tigra [ 14 мар 2012, 16:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу Надо полагать, до А Кто же лестницу на потолок (бывший пол) вешает? Хотя, в этом случае, при входе будет такая нехилая ступенька метровой высоты Боже, что за идиот сочиняет такие задачи... Пятиэтажный дом вверх ногами... Вопрос в конце неверно сформулирован, на мой взгляд. надо было спросить: Сколько курил автор, и много ли конопли уходит на такую задачку? Автор:Дикарка [ 14 мар 2012, 18:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дык в задаче же не спрашивается КАК ВЫЙТИ из дома. Всё проще: подвесили лестницу за дверь, а остальное уже не их забота. Вот длина этой лестницы 13м, т.е. от верха двери до потолка. 3м5этажей - 2м (высота двери)=13. Автор:Многоточие [ 14 мар 2012, 18:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra писал(а): Боже, что за идиот сочиняет такие задачи... Пятиэтажный дом вверх ногами... не я, честно! я сначала склонялась к 15, теперь к 13. Автор:outlaw [ 16 мар 2012, 10:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Вчера у дочки была олимпиада какая-то. В тестовой форме. То есть задача и 4 варианта ответов. Задач было 25 штук. Убил метод решения одной из задач: Цитата: Я подумала, что 4 это мало, а 8 много. Поэтому выбрала 6. Муж мой долго возмущался такому подходу. Автор:belladonna [ 16 мар 2012, 10:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) outlaw а мой посчитал, что у гуся 4 лапы outlaw писал(а): Вчера у дочки была олимпиада какая-то это они кенгуру решали Автор:outlaw [ 16 мар 2012, 10:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna, точно кенгуру Гуси они такие, непредсказуемые Автор:sluy [ 16 мар 2012, 10:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): это они кенгуру решали у моего в школе тоже. а что это? Автор:outlaw [ 16 мар 2012, 10:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Автор:belladonna [ 16 мар 2012, 10:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sluy олимпиадные задачки. решают все ученики всех школ одновременно. потом выдают грамоты-типа занял n-ое место в крае (или городе-не помню) вы что-не в курсе? 50 рэ сдавали? Автор:sluy [ 16 мар 2012, 10:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): олимпиадные задачки. решают все ученики всех школ одновременно. потом выдают грамоты-типа занял n-ое место в крае (или городе-не помню) вы что-не в курсе? 50 рэ сдавали? так это, моего не взяли(слаба богу). просто он вчера малость загулял после школы,сказал что отпустили с уроков,тк. учительница взяла двоих математиков и пошла с ними на конкурс кенгуру.. те двое похоже 50р. и сдали... Автор:belladonna [ 16 мар 2012, 10:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sluy у нас все решают, кто сдал 50 рэ , а не кого учитель выберет Автор:outlaw [ 16 мар 2012, 10:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna, аналогично. Причем сдавали деньги совсем не вчера. Я уж и не помню когда. Через неделю будут городские олимпиады по математике и русскому. Автор:ari [ 16 мар 2012, 10:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мой сын тоже вчера участвовал в олимпиаде Кенгуру для 3-4 классов. Вечером с мужем вдвоем голову ломали, но все решили. Больше всего "понравилась" задача про Машу и Мишу. Кто еще ее решил? Какой ответ получился? Автор:outlaw [ 16 мар 2012, 10:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Для 4ых классов 24 марта в 23 школе по математике 26 марта в 2 гимназии по русскому ari, я ещё не просматривала ответы. Вечером отпишусь Автор:belladonna [ 16 мар 2012, 11:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari мы тоже по диагонали просмотрели, утром за завтраком. я только успела за гусей люлей выдать на выходных прорешаем Автор:tigra [ 16 мар 2012, 11:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, что за задачки то? Автор:outlaw [ 16 мар 2012, 11:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra, вот за прошлый год За этот в сеть ещё не выложили Автор:Anna_R [ 20 мар 2012, 21:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Задачка для первоклассника! Как переложить одну палочку так, чтобы раверство стало верным? V I + I V = I I I я не смогла решить Автор:ma-sha [ 20 мар 2012, 21:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Anna_R писал(а): Задачка для первоклассника! Как переложить одну палочку так, чтобы раверство стало верным? V I + I V = I I I я не смогла решить Легко Нужно палочку от "плюса" переложить к V I , получится новый пример: V I I - I V = I I I Автор:Anna_R [ 20 мар 2012, 21:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) капец, а я тут 3/4/5/6 в разных вариаентах складываю...... спасибо мне стыдно Автор:ve11ena [ 20 мар 2012, 21:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) может из плюса убрать палочку и поставить к первой цифре: будет 7-4=3 Добавлено спустя 22 секунды: блин, опоздала Автор:Anna_R [ 20 мар 2012, 21:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha ve11ena мне почему то казалось, что эту палочку за знак равенства надо перенести... весь вечер билась, тундра Автор:НаталюсикЮС [ 20 мар 2012, 21:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Anna_R писал(а): мне почему то казалось, что эту палочку за знак равенства надо перенести... весь вечер билась, тундра это называется "узость" мышления - я такая же Поищите книгу "Теория решения изобретательских задач" - почитайте - много полезного для жизни и доступно написано.... вот автора не помню. Зато в туалете (простите) ночевала пару дней с этой книжкой. Автор:ve11ena [ 20 мар 2012, 21:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) просто мы часто ищем в простых задачах слишком сложное решение Автор:НаталюсикЮС [ 20 мар 2012, 21:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ve11ena писал(а): просто мы часто ищем в простых задачах слишком сложное решение ну, не совсем... я вот тоже даже не подумала, что знак тоже состоит из палочек и их можно использовать, т.к. искала вариант только с цифрами Автор:ve11ena [ 20 мар 2012, 22:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) нам в садике сыну как-то задали домик для гласных нарисовать. я ходила, думала, что за домик, может на картоне надо или на обычном листе . а у сына спросить мозгов не хватило . оказывается надо было просто нарисовать обычный маленький красный домик в тетрадке мне кажется, дети в школе решали подобные задачки, например, с использование счетных палочек. может, ребенок знал, что знак тоже состоит из "палочек" Автор:Anna_R [ 20 мар 2012, 22:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС ma-sha ve11ena спасибо, девушки завтра расскажу сыну, как решать..... Автор:Хома [ 28 мар 2012, 10:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Задачка, с последней темы математики, оттуда же и вышенаписанные палочки Разбейте число 11 на сумму разрядных слагаемых и запишите четыре равенства. насколько я понимаю разрядные слагаемые - это числа с разной разрядностью. цифры от 1 до 9 - это "единицы", цифры 10,20, 30, ..- "десятки", ну и т.д. получается, что число 11 можно разложить по этому принципу на 10 и 1 а какие еще 3 равенства или я совсем тупая в математике Автор:ve11ena [ 28 мар 2012, 11:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Может такие 4 равенства? 10+1=11 1+10=11 11-1=10 11-10=1 видела похожий пример. Автор:Хома [ 28 мар 2012, 11:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ve11ena а там ведь сумма слагаемых а не разность Автор:ma-sha [ 28 мар 2012, 11:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ve11ena писал(а): Может такие 4 равенства? 10+1=11 1+10=11 11-1=10 11-10=1 видела похожий пример. Да, скорее всего, потому что других вариантов с числами 11, 10 и цифрой 1 нет. Автор:ve11ena [ 28 мар 2012, 11:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) вообще, по идее ответ должен быть просто 11=10+1, т к число надо разбить на сумму разрядных слагаемых может детям пытаются объяснить, что 10 — это 1 десяток, поэтому 11 состоит из 1 десятка и 1 единицы. поэтому я и привела эти 4 равенства (как вариация с 1, 10 и 11) Автор:Хома [ 28 мар 2012, 11:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ve11ena писал(а): вообще, по идее ответ должен быть просто 11=10+1, т к число надо разбить на сумму разрядных слагаемых может детям пытаются объяснить, что 10 — это 1 десяток, поэтому 11 состоит из 1 десятка и 1 единицы. так и есть, проходят десятки и единицы, и вот один ответ и должен быть по идее, зачем изобретать велосипед а вообще очень часто в наших учебниках ошибки встречаются сначала голову сломаешь, потом окажется, что тут ошибка Автор:Дикарка [ 28 мар 2012, 11:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А там ниже ещё 3х примеров нет? Может это общее задание к странице Автор:Хома [ 28 мар 2012, 11:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дикарка нет конечно Автор:Asio otus [ 28 мар 2012, 11:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома писал(а): ve11ena а там ведь сумма слагаемых а не разность все правильно ve11ena написала выше , Хома, у вас же задание, во-первых, разбейте число 11 на сумму разрядных слагаемых - 10+1, т.к. "сумма разрядных слагаемых" - это представление дву(или более)значного числа в виде суммы его разрядов. во-вторых, выполняйте вторую часть задания - запишите четыре равенства. Тут возможны и суммы, и разности. Я считаю, что такое решение верно: 10+1=11 1+10=11 11-1=10 11-10=1 Автор:ve11ena [ 28 мар 2012, 11:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) смотрите. в 3м задании нужно сделать проверку. может во 2м тоже так нужно вот равенства 11-1=10 11-10=1 будут проверкой Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды: Asio otus писал(а): выполняйте вторую часть задания - запишите четыре равенства. Тут возможны и суммы, и разности. точно, "4 равенства" - это может быть уже вторая часть задания, а там уже не важно "+" или "-" Автор:ma-sha [ 28 мар 2012, 12:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ve11ena писал(а): 4 равенства" - это может быть уже вторая часть задания, а там уже не важно "+" или "-" Я тоже думаю, что это вторая часть задания, т.е. 1) разбить на разрядные слагаемые, 2) составить 4 равенства. Автор:Хома [ 28 мар 2012, 12:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ve11ena писал(а): смотрите. в 3м задании нужно сделать проверку. может во 2м тоже так нужно нет, там проверка это другое, это проверка уравнений, у них спец. последовательность решения уравнений с проверкой ve11ena писал(а): точно, "4 равенства" - это может быть уже вторая часть задания, а там уже не важно "+" или "-" а вот с этим согласна, видимо так и есть спасибо всем первый класс блин Автор:ma-sha [ 28 мар 2012, 12:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома писал(а): первый класс блин То ли еще будет! Зато хорошо, что есть место, где Вам всегда помогут Автор:Хома [ 28 мар 2012, 12:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): То ли еще будет! лучше даже пока не думать об этом ma-sha писал(а): Зато хорошо, что есть место, где Вам всегда помогут точно Автор:Дипломница [ 13 апр 2012, 09:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Предмет: Окружающий мир 2 класс (традиционная программа) Вопрос: Купаться можно только под присмотром: а) спасателей б) родителей в) учителей г) взрослых Автор:Хома [ 13 апр 2012, 09:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница нужно выбрать только один вариант ответа? Добавлено спустя 4 минуты 35 секунд: тоже спрошу мы нашли закономерность только в расцветке сарафана, а вот размер матрешки и цвет платка понять не можем Автор:Ушла на базу [ 13 апр 2012, 10:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома писал(а): мы нашли закономерность только в расцветке сарафана, а вот размер матрешки и цвет платка понять не можем А даны варианты матрешек? Автор:Хома [ 13 апр 2012, 10:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу нет, вариантов нет, свотала как есть - это вся задача Добавлено спустя 39 секунд: сын спросил у учительницы - если он правильно ее понял, то она тоже не знает задача из учебника 1 класса. Автор:ve11ena [ 13 апр 2012, 10:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) может, желтую и красную? Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд: тогда будет закономерность: син,жел,крас,крас,жел,син, син,жел,крас....ну и можно продолжить крас,жел,син Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды: я в шоке от задачек за 1ый класс , чувствую, будем двоем с сыном сидеть над учебниками в след.году а вообще, очень плохо, что и учитель не знает решения. она вообще как проверять собирается ? Автор:sluy [ 13 апр 2012, 11:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница писал(а): Предмет: Окружающий мир 2 класс (традиционная программа) Вопрос: Купаться можно только под присмотром: а) спасателей б) родителей в) учителей г) взрослых Ответ г)взрослых ?? или кого? Автор:Дипломница [ 13 апр 2012, 11:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) По моей задаче ответ г) взрослых. дочка ответила б) родителей и ей поставили "4". Дома вместе с папой сказали, что она права, нужно купаться под присмотром только родителей Автор:Серника [ 13 апр 2012, 12:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома нет, вариантов нет, свотала как есть - это вся задача я ответ вам в личку написала, а пояснить решение забыла. они ставятся по принципу : от большой к маленькой, потом - наоборот и снова : большая, средняя. маленькая. но при этом расцветка сарафанов и цвет платков в каждой лесенке не повторяются. т.е. желтая в цветочек и красная в просто зеленом Автор:Хома [ 13 апр 2012, 16:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nik_03 писал(а): они ставятся по принципу : от большой к маленькой, потом - наоборот и снова : большая, средняя. маленькая. но при этом расцветка сарафанов и цвет платков в каждой лесенке не повторяются. т.е. желтая в цветочек и красная в просто зеленом ну вот хоть убейте не вижу закономерности Добавлено спустя 17 минут 52 секунды: все, дошло nik_03 думаю вы правы Автор:ari [ 13 апр 2012, 17:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница писал(а): Предмет: Окружающий мир 2 класс (традиционная программа) Вопрос: Купаться можно только под присмотром: а) спасателей б) родителей в) учителей г) взрослых Я думаю взрослых, потому что спасатели, родители, учителя - это можно объединить одним словом взрослые. Автор:Elochka [ 13 апр 2012, 19:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница писал(а): дочка ответила б) родителей и ей поставили "4". Дома вместе с папой сказали, что она права конечно права. Взрослые на пляже сами по себе, спасателей на пляже днем с огнем не сыщешь, с учителями дети вряд ли ходят на пляж. И только бдительные родители будут смотреть за своим чадом в оба глаза. Я смотрю, доча умница - понимает с кем на море не страшно купаться, а почему "4"? Автор:Дикарка [ 13 апр 2012, 20:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома Синяя большая в горошек, жёлтая средняя в цветочек, маленькая красная чистая, маленькая красная в горошек, жёлтая средняя в цветочек, большая синяя чистая, большая синяя в горошек, средняя жёлтая в цветочек, маленькая красная чистая. Размер идёт волной, От большого до маленького, от маленького до большого, от большого до маленького. Платочки тоже волной: синий, жёлтый красный; красный, жёлтый, синий; синий, жёлтый, красный Расцветка: горошек, цветочек, пустая. Добавлено спустя 2 минуты 45 секунд: Дипломница Взрослых, но имеется в виду, не просто взрослые на пляже, а те, которые пришли с ребёнком и следят за ним. Т.е. ребёнок может купаться под присмотром: родителей, учителя, няни, бабушки, дяди, тёти и т.д. Автор:Хома [ 13 апр 2012, 21:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дикарка ага, nik_03 такую же закономерность выявила Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 16:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, у меня тоже задачка Три туриста решили вместе перекусить, для этого один дал 2 булочки, другой- 3 булочки, а третий внёс 5 рублей. Сколько из этих денег должен взять первый и сколько -второй турист? Мы что-то голову сломали, сын утверждает,что по 2 и 3 рубля, а мне кается как-то не честно получается, булки на троих, а деньги только двоим Автор:Lisenka [ 15 апр 2012, 19:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): Девочки, у меня тоже задачка Три туриста решили вместе перекусить, для этого один дал 2 булочки, другой- 3 булочки, а третий внёс 5 рублей. Сколько из этих денег должен взять первый и сколько -второй турист? Мы что-то голову сломали, сын утверждает,что по 2 и 3 рубля, а мне кается как-то не честно получается, булки на троих, а деньги только двоим У меня получилось, что тот который дал 2 булочки забирает 1 рубль, а тот который дал 3 булки забирает 4 рубля. Вы же сейчас дроби должны проходить, да? Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 19:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Lisenka Да, вы умничка, в отличии от нас с детёнышем Пришёл старший брат и указал какие мы мягко говоря не сообразительные.(распишу подробно, может кому пригодится) Булок 5, каждый съел по 5/3, если у первого было 2 это равно 6/3, то следовательно третьему досталось 1/3. У второго 3 булки-это 9/3, он отдал 4/3 булки третьему туристу. Ну и 5 рулей делим соответственно отданным частям 1 и 4 рубля. Автор:Lisenka [ 15 апр 2012, 19:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko как у вас получилось хорошо расписать, а я посчитала-то быстро, а как грамотно и понятно донести мои расчёты до народа, тут мне тяжело, считаю нормально, объясняю не очень. Автор:tigra [ 15 апр 2012, 19:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мне позор наверное, вообще не въехала... Или кислородное голодание мозгов из-за тумана... Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 19:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra На каком моменте не въехали? Есть ещё подобная про рыбаков и грибника ( я "подковалась" пока решали) Автор:tigra [ 15 апр 2012, 20:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko В самом начале. Как эти 6/3 и 9/3 вклада превратились в доли 1 к 4? Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 20:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Булок было 5, значит каждый съел по 5/3 6/3 равно 2, а 9/3 - 3 булкам. 6/3-5/3=1/3 ( отдал первый турист третьему) и соответственно 9/3-5/3=4/3 отдал второй. 5 рублей делим между ними пропорционально отданным частям 1/3 и 4/3. Так понятнее? Вот ещё, это старший вспомнил из своей школьной жизни, она идентичная. Два рыбака поймали: один 3 рыбы, другой 5 и сварили уху. Пришёл грибник, они его накормили, он расплатился с ними 240 рублями Как рыбаки должны поделить деньги? Автор:Хома [ 15 апр 2012, 20:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) я в шоке как вообще булки с рублями сравниваются мамааааа, я не математик муж утверждает, что 2 и 3 рубля, а я даже до этого дойти не могу Автор:ma-sha [ 15 апр 2012, 20:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома Сравниваются не булки и рубли, а доли Автор:Хома [ 15 апр 2012, 20:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha мне позор, я не понимаю Valiko писал(а): Булок было 5, значит каждый съел по 5/3 6/3 равно 2, а 9/3 - 3 булкам. откуда взялись цифры 6 и 9? Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 20:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома Не-е-е 2 и 3 руля неправильно...., дайте мужу про рыбаков порешать Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 20:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): tigra Булок было 5, значит каждый съел по 5/3 6/3 равно 2, а 9/3 - 3 булкам. 6/3-5/3=1/3 ( отдал первый турист третьему) и соответственно 9/3-5/3=4/3 отдал второй. 5 рублей делим между ними пропорционально отданным частям 1/3 и 4/3. Так понятнее? Вот ещё, это старший вспомнил из своей школьной жизни, она идентичная. Два рыбака поймали: один 3 рыбы, другой 5 и сварили уху. Пришёл грибник, они его накормили, он расплатился с ними 240 рублями Как рыбаки должны поделить деньги? Первому 90, второму остальное. И даже не спрашивайте как Ну или каждому по десять, остальное мне) Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 20:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мне эти булки сегодня будут снится Хома Т.к каждый съел по 5/3 (понимаете почему?), мы представляем 2 и 3 как 6/3 и 9/3 . Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду: X-Ray Нет, 30 и 210 рублей Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 20:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Взрослым детские задачи не решить, логика и мышление не те. Они спецом расчитаны на детский мозг, для отслеживания так сказать динамики развития.... Это тоже, что и.... Проходит чувак, видит дом. Спрашивает, чей это дом? - Это дом моего отца, но я ему не сын! Кто этот человек? Автор:Берегиня [ 15 апр 2012, 20:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): Три туриста решили вместе перекусить, для этого один дал 2 булочки, другой- 3 булочки, а третий внёс 5 рублей. Сколько из этих денег должен взять первый и сколько -второй турист? Стоимость 1/3 всех булочек -5 р. Тогда цена всех булочек - 15 руб. Булочек 5. Значит, 1 булочка стоит 3 рубля. Первый потратил 6 р. и съел на 5, ему 1 рубль, второй потратил 9 р. и съел на 5, ему 4 рубля. Только логика и никаких дробей. Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 20:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) X-Ray Дочь наверно? Автор:Хома [ 15 апр 2012, 20:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Господи, я гуманитарий, но, как же я в школе решала задачи всегда 5 была по математике сейчас как будто головой об стену видимо буду с сыном заново учиться Автор:Дикарка [ 15 апр 2012, 20:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Чего-то у меня в рыбаках получилось 48 и 192р. Автор:sluy [ 15 апр 2012, 20:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Берегиня писал(а): Стоимость 1/3 всех булочек -5 р. Тогда цена всех булочек - 15 руб. Булочек 5. Значит 1 стоит 3 рубля. Первый потратил 6 р. и съел на 5, ему 1 рубль, второй потратил 9 р. и съел на 5, ему 4 рубля. Только логика и никаких дробей. отчего-то подозреваю, что ваше решение самое верное. Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 20:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Берегиня Здорово , но наши дроби проходят. Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 20:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): Мне эти булки сегодня будут снится Хома Т.к каждый съел по 5/3 (понимаете почему?), мы представляем 2 и 3 как 6/3 и 9/3 . Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду: X-Ray Нет, 30 и 210 рублей Почему? У первого 3/8, у второго 5/8 суммы. Или там какие то ндс, подоходный, и тд...? Добавлено спустя 32 секунды: Valiko писал(а): X-Ray Дочь наверно? Да. Ключевое слово человек Автор:Берегиня [ 15 апр 2012, 20:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sluy Там много верных вариантов, но моё решение самое простое. Добавлено спустя 2 минуты 55 секунд: Valiko писал(а): наши дроби проходят Не знаю как сейчас, но когда я училась в школе, главным было решить задачу правильно, а уж каким способом ты это сделал - дело десятое. Автор:martha [ 15 апр 2012, 21:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): Два рыбака поймали: один 3 рыбы, другой 5 и сварили уху. Пришёл грибник, они его накормили, он расплатился с ними 240 рублями Как рыбаки должны поделить деньги? первый 3/8, второй соотв 5/8. 1/8 от 240=30 руб, следоват первый получает 90, второй 150 X-Ray прав Автор:Дикарка [ 15 апр 2012, 21:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) пересчитала, тоже получила 30 и 210. Всего 8 рыб на троих, т.е. каждый получает по 8/3 первый выловил 3 рыбы, т.е. 9/3 из них съел 8/3, следовательно на прокормку гостя потратил 1/3 второй выловил 5 рыб, т.е. 15/3, съел 8/3, гостю отдал 7/3 Грибник отдал им 240 рублей на двоих. съел он всего 8/3. т.е. нам надо эти 240 поделить на 8, чтобы узнать сколько денег полагается за 1/3 рыбы. Получаем 30р, которые и забирает первый рыбак, за свои 1/3, а второй соответственно за свои 7/3 получает 210р. Автор:ma-sha [ 15 апр 2012, 21:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Берегиня Задачи идут на закрепление темы, которой проходят. Если изучают дроби, то задача на закрепление именно этой темы и ее нужно решать через дроби (или доли, части). Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 21:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ну это если чисто на троих сообразить. А там написано, сколько кто съел? Автор:martha [ 15 апр 2012, 21:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Цитата: Пришёл грибник, они его накормили, в задаче не сказано что они ели уху поняла разницу- мы считаем как экономисты- вложил- получи Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 21:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Тогда еще можно туда посчитать, сколько у них вышло на поимку рыбы, снасти, корм, налог, лицензия Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 21:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) martha По вашему получается, что грибник просто купил у них 8 рыб, а не ел с ними. На самом деле считаем,что на уху ушло 8 рыб и делим на троих, получается 8/3 съел один человек. 3 рыбы 9/3, 5 рыб- 15/3. 9/3-8/3=1/3 и 15/3-8/3=7/3. 240 рублей делим 8=30 и получается 1 часть 30 рублей, а 7 частей 210 рублей. Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду: Дикарка я немного отвлеклась и припозднилась. Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): martha По вашему получается, что грибник просто купил у них 8 рыб, а не ел с ними. На самом деле считаем,что на уху ушло 8 рыб и делим на троих, получается 8/3 съел один человек. 3 рыбы 9/3, 5 рыб- 15/3. 9/3-8/3=1/3 и 15/3-8/3=7/3. 240 рублей делим 8=30 и получается 1 часть 30 рублей, а 7 частей 210 рублей. Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду: Дикарка я немного отвлеклась и припозднилась. Ну так на уху то еще надо не только рыбу. И почему 8 порций? Автор:martha [ 15 апр 2012, 21:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) я читаю что написано в условии Автор:Valiko [ 15 апр 2012, 21:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) X-Ray да ладно не цепляйтесь martha а что сварили уху не считается? это я так не грамотно сформулировала условие Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду: X-Ray рыбин 8, а не порций я ушла Автор:X-Ray [ 15 апр 2012, 21:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): X-Ray да ладно не цепляйтесь martha а что сварили уху не считается? это я так не грамотно сформулировала условие Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду: X-Ray рыбин 8, а не порций я ушла Так можно по пол рыбни на порцию, тогда дешевле выйдет ) Автор:natty [ 15 апр 2012, 22:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Атас, вот мы с мужем на ночь разшевелили мозги с булочками, грыбами. Муж топотил ногами и заявил, что одного пацана с 2 булками надурили . Пока не дошли до решения подробного. В каком классе сейчас дроби проходят? Автор:martha [ 15 апр 2012, 22:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) где-то в 4м но не уверена Автор:Elochka [ 16 апр 2012, 08:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): По вашему получается, что грибник просто купил у них 8 рыб, а не ел с ними Никто ничего не покупал. Пришел грибник, поел ,расплатился (мол, спасибо Вам, люди добрые) и ушел, всё. Как разделить деньги между рыбаками по справедливости? И вот тут то правильное решение. martha писал(а): первый 3/8, второй соотв 5/8. 1/8 от 240=30 руб, следоват первый получает 90, второй 150 Но с булками сложнее, там действительно надо разбираться, кто сколько и на какую сумму булок съел. Я считала на листике Я вот подумала, может не вести свою красавишну в этом году в школу ( и еще лет десять ), у меня же мозги закипят с такими задачками Автор:tigra [ 16 апр 2012, 10:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): 5 рублей делим между ними пропорционально отданным частям 1/3 и 4/3. Так понятнее? О да, спасибо! Блин, никогда с математикой не было проблем, даже наоборот. Че-та я уже со страхом жду ребенкиной школы... Автор:sluy [ 16 апр 2012, 11:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) martha писал(а): где-то в 4м но не уверена В Планете в конце 3 класса начинают проходить дроби. Автор:Valiko [ 16 апр 2012, 12:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) natty Наши дроби проходят в 5 классе (в 4 была пара уроков,21 век) Elochka Вы не правы, деньги делим также пропорционально как и в "булках" :) Автор:sluy [ 16 апр 2012, 12:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): Наши дроби проходят в 5 классе (в 4 была пара уроков,21 век) ужОс. смысл такими разными делать программы?(вопрос не не к вам в общем,в Планете в 3 и деление в столбик,и с остатком и дроби. да,кстати,дети вполне справляются. но резона все одно не вижу,если в других программах это позже. Автор:belladonna [ 16 апр 2012, 12:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) в 5 кл. уже совсееем другие дроби. сложение/вычитание/приведение к общему знаменателю в началке-ознакомление и простые действия Автор:Valiko [ 16 апр 2012, 12:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я оба раза особо не грузилась программами,т.к шли к учителю. Но " Занковская", что была у старшего, на выходе из началки дала лучший результат. Сейчас у младшего в параллели было 3 программы, в 5 классе особой разницы между детьми не наблюдается ( у нас класс математический, детей набирали со всех) Автор:Elochka [ 16 апр 2012, 12:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko писал(а): Вы не правы, деньги делим также пропорционально как и в "булках" :) Ну, и где справедливость: второй поймал на 2 рыбины больше, а денег получил в 7 раз больше Лучше бы рыбу домой унес -жене и детям. Мы, взрослые начинаем искать правду жизни в задачах, типа Ока 120км/ч ездить не может, развалиться, а сотрудник ДПС вообще был не в себе, машину на дороге не заметил проскочил. Нет, я точно сойду с ума в 1 классе. Задачи должны быть жизненные: один рыбак поймал 3 рыбы, другой 5 рыб, пришел грибник и они решили сообразить на троих (за улов, грибы, погоду) и тогда вопрос по сколько скидываться отпал бы сам собой Valiko писал(а): " Занковская", что была у старшего, на выходе из началки дала лучший результат Вы меня извините, это какая программа, что-то я запуталась Автор:Принцесса [ 16 апр 2012, 14:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дикарка писал(а): Хома Синяя большая в горошек, жёлтая средняя в цветочек, маленькая красная чистая, маленькая красная в горошек, жёлтая средняя в цветочек, большая синяя чистая, большая синяя в горошек, средняя жёлтая в цветочек, маленькая красная чистая. Размер идёт волной, От большого до маленького, от маленького до большого, от большого до маленького. Платочки тоже волной: синий, жёлтый красный; красный, жёлтый, синий; синий, жёлтый, красный Расцветка: горошек, цветочек, пустая. Может быть я такая тугодумка, но я так и не поняла принципа, даже перечитав несколько раз, а как донести до ребенка... Автор:sluy [ 16 апр 2012, 16:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) belladonna писал(а): в началке-ознакомление и простые действия всегда все от простого к сложному. насчет ознакомления не соглашусь-принцип один:разделил трехзначное,разделишь и пятизначное. да и последующие темы имеют "закрепляющий" знания материал, так что на ознакомительный характер не тянет. это не только математики,но и русского языка касается:там не меньше "наворотов",чем в математике. суть не в этом.неплохо,что дети умнее нас получаются, плохо, что программы разнятся и в последствие развития дети не получат,сравняются и все. Автор:Valiko [ 16 апр 2012, 17:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Elochka Занков Л.В - автор программы, раньше она была распространенной в школах, сейчас мало где осталась, говорят сложная. Автор:Хома [ 16 апр 2012, 18:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Принцесса писал(а): Может быть я такая тугодумка, но я так и не поняла принципа, даже перечитав несколько раз, а как донести до ребенка... ну идет в таком порядке: большая средняя маленькая - маленькая средняя большая - большая средняя маленькая, цвет платка также: синий желтый красный-красный желтый синий-синий желтый красный, ну и сарафаны проще: горошек цветочек зеленый -горошек цветочек зеленый... Автор:Принцесса [ 16 апр 2012, 19:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома Ну там же две больших во втором варианте?? дошло наконец-то, ПРИ РАССМОТРЕНИИ РИСУНКА ( я почему-то решила, что это две отдельных полки) И ОДНОВРЕМЕННОМ ЧТЕНИИ ОТВЕТА МЕТОДОМ СОПОСТАВЛЕНИЯ..... Нет, я все-таки не понимаю кому это надо ???. Всегда по математике была 5, но подобного.... не помню !!!! Автор:ma-sha [ 16 апр 2012, 20:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Принцесса Вас это пугает, потому что Вы рассматриваете данное задание просто само по себе. А детей обучают по определенной программе, задания идут от простого к более сложному, одна тема идет как продолжение другой и т.д. Потом они решают несколько подобных заданий. И то, что у них не вызывает затруднения, того, кто не в теме, может ввести в ступор Автор:Elochka [ 16 апр 2012, 20:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Valiko Спасибо, а то фамилия знакомая. Получается можно отдавать и на классическую программу. Хотя, говорят, у Морро тоже есть "веселые" задачки, для вывиха мозга. Автор:Принцесса [ 16 апр 2012, 20:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Да у меня всегда решает сама, а тут просто заболела и дома. Вот я и решила "помочь" Автор:ma-sha [ 16 апр 2012, 20:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Принцесса Ну Вы ж не в процессе Автор:иденя [ 03 май 2012, 22:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, помогайте: как объяснить ребенку решение числовых ребусов? в чем секрет, как искать ответы, объясните, пожалуйста! Например вот вариант: в столбик друг под другом записано - ура+ура+ура = ррр ( разные буквы заменяют разные цифры, а одинаковые буквы- одинаковые цифры заменяют) Автор:ma-sha [ 03 май 2012, 22:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) иденя Такие задания делаются методом подбора + логику включать нужно. В данном случае у меня получилось: УРА+УРА+УРА=РРР 148+148+148=444 Автор:ari [ 19 сен 2012, 13:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Поздравляю всех с началом нового учебного года! Наша первая нерешенная задачка: В выражении 33333=72 расставить знаки действий и скобки. (для примера из того же задания 33333=363 решил так 333+33=363 или 33333=195 - (3+3)х33-3=195) Автор:koncat [ 19 сен 2012, 14:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) (333-3)3=72 Автор:НаталюсикЮС [ 19 сен 2012, 15:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) koncat писал(а): (333-3)3=72 афихеть... умница Автор:ari [ 01 окт 2012, 12:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Продолжаем. В корзине есть 4 груши и 3 яблока. Какое минимальное количество фруктов нужно достать не глядя, чтобы было: 1 - два яблока; 2 - два разных фрукта; 3- два одинаковых фрукта. 4 - две груши. Автор:Anna_R [ 01 окт 2012, 13:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari если каждый раз брать из полной корзины. то, я думаю, что 6 3 3 5 Автор:Лесавка [ 01 окт 2012, 13:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari фрукты наощупь определить не судьба? Автор:ari [ 01 окт 2012, 13:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка Мой ребенок сразу так же сказал. Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды: Anna_R Насчет ответа на второй вопрос - не согласна. Автор:Anna_R [ 01 окт 2012, 14:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Лесавка писал(а): ari фрукты наощупь определить не судьба? такой вариант мне даже в голову не пришел ari а как правильно будет? Автор:Nady7979 [ 01 окт 2012, 14:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 1-1 яблоко 2-3+2 3- 3 или 1 4- 2 груши Автор:ari [ 01 окт 2012, 15:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Anna_R писал(а): ari а как правильно будет? по-моему 5. Автор:Дикарка [ 01 окт 2012, 15:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 6 5 3 5 Всего 7 фруктов. 4 груши, 3 яблока. 2 яблока. предположим что сначала нам по закону подлости попадаются только груши. Итого 4 попытки мимо, 5 и 6 - яблоки, следовательно 6 попыток. 2 разных фрукта. Первой попыткой взяли грушу, второй и....4 тоже, больше груш не осталось, следовательно следующая, 5 попытка даст нам два разных фрукта. первый раз берём что-то, второй раз другое, на третьей попытке обязательно соберётся 2 чего-то одинакового. Так же как и в первом случае. Первые три раза вытаскиваем яблоки, на 4 и 5 - груши. Чтоб собрать 5 груш надо взять 5 раз. Автор:kozyabka [ 01 окт 2012, 15:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 6 3 3 5 Автор:ari [ 01 окт 2012, 15:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Мнения разделились по второму вопросу. Я считаю правильно - 5. То есть сначала может попасться 4 груши, и только потом 1 яблоко, то есть только при 5 уверено получим два разных фрукта. Добавлено спустя 2 минуты 57 секунд: Дикарка Я так же рассуждала. Попробуйте ответить на те же вопросы, если к исходным фруктам добавить еще 2 персика. Автор:Дикарка [ 01 окт 2012, 15:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Попробуйте ответить на те же вопросы, если к исходным фруктам добавить еще 2 персика. 8 5 4 7 Добавлено спустя 10 минут 2 секунды: берём 2 персика, 4 груши и 2 яблока Итого надо взять 8 фруктов. больше всего у нас груш - 4 шт. Значит если мы возьмём 5 фруктов, то по любому получим, хотя бы два разных. всего может попасться 3 вида фруктов, значит чтоб взять два одинаковых, надо достать 4 штуки. (четвёртый фрукт обязательно повториться, даже если 3 предыдущие разные). берём 2 персика, 3 яблока и 2 груши, Значит всего надо достать 7 фруктов. Автор:ari [ 01 окт 2012, 16:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дикарка В принципе, сын так все и решил. Автор:Runa@ [ 01 окт 2012, 16:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) У меня тоже получилось 6 5 3 5 Автор:DantiStka [ 02 окт 2012, 09:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Продолжаем.В корзине есть 4 груши и 3 яблока.Какое минимальное количество фруктов нужно достать не глядя, чтобы было:1 - два яблока;2 - два разных фрукта;3- два одинаковых фрукта.4 - две груши. Девочки, так в задаче про попытки и не сказано, там условие КАКОЕ МИНИМАЛЬНОЕ КОЛ-ВО ФРУКТОВ Если мы в первом варианте достанем одно яблоко, то будет два яблока (про груши ведь ничего не говорится), а груши остаются., во втором - 3 груши и 2 яблока, в третьем - опять можно убрать одно яблоко, будет два одинаковых фрукта - яблоки, в последнем - убрать две груши, а яблоки останутся. Только сам вопрос меня смущает, ЧТОБЫ БЫЛО, где в корзине или когда достали И вще, это детские задачки, не фиг нам включать свою логику и мышление, а то до хорошего не доведет. Автор:Дикарка [ 02 окт 2012, 09:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) DantiStka писал(а): Девочки, так в задаче про попытки и не сказано, там условие КАКОЕ МИНИМАЛЬНОЕ КОЛ-ВО ФРУКТОВ Т.е. вы один раз опускаете руку в мешок и должны вытащить такое количество фруктов, чтоб в этом количестве ГАРАНТИРОВАНО оказалось 2 яблока, ну и дальше по списку. Если вы достанете всего 2 фрукта, то они могут оказаться яблоками, но не гарантировано. Про попытки просто нагляднее. Автор:ari [ 02 окт 2012, 09:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) DantiStka Тут имелось ввиду, сколько нужно достать, а не сколько останется. То есть не глядя вы должны вытащить определенное количество предметов, при этом вы должны назвать минимальное количество этих предметов - сколько нужно достать, чтоб быть уверенным, что в "вынутом" будет именно то и столько - что нужно. Автор:DantiStka [ 02 окт 2012, 10:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Ну, значит здесь двоякое условие задачи или вы не полностью написали условие. Для какого класса? Автор:ari [ 02 окт 2012, 10:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) DantiStka 4 класс Автор:Runa@ [ 02 окт 2012, 15:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari А программа какая? Автор:Anna_R [ 02 окт 2012, 15:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) мне не место в 4м классе . ошиблась Автор:ari [ 02 окт 2012, 16:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Runa@ Занкова Автор:Nady7979 [ 03 окт 2012, 21:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Ну напишите, чтоли, как же правильно??? Автор:tigra [ 03 окт 2012, 21:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) То ли я невнимательно почитала, то ли из теории вероятности решение просится Автор:Дикарка [ 03 окт 2012, 22:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) tigra Теория вероятности. Но с оформлением это уже институт. А в 4м классе - логика, и тут главное понять и объяснить. Автор:ari [ 04 окт 2012, 10:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Nady7979 Дикарка решила всё правильно и всё хорошо расписала. Добавлено спустя 24 минуты 6 секунд: Оригинал из учебника. Добавлено спустя 46 секунд: Радикал не работает у меня, надеюсь так видно. Вложения: Фото0595-1.jpg [ 71.73 КБ \| Просмотров: 78244 ] Автор:IVASHKA [ 04 окт 2012, 13:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Даны 4 примера: 13+14=27 14+23=37 24+23=47 24+32=56 вопрос: отметь лишнее равенство Лишнее равенство 24+32? потому что ответ не на 7 заканчивается? Автор:ari [ 04 окт 2012, 13:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA Ответов несколько. Какой класс и какая программа? Автор:belladonna [ 04 окт 2012, 13:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA некорректный вопрос... по какому признаку лишнее отметать? Автор:Дикарка [ 04 окт 2012, 13:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA писал(а): Лишнее равенство 24+32? потому что ответ не на 7 заканчивается? Да, Там все равенства идут на увеличение с шагом 10. 27, 37, 47. 56 - не подходит, т.к. отличается только на 9. Автор:IVASHKA [ 04 окт 2012, 13:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) класс 2-ой, планета знаний полностью вопрос звучит так: что общего в этих вычислениях? Отметь лишнее равенство Автор:Helenka [ 04 окт 2012, 13:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) на такие задачи нет правильного ответа. У нас (Занков), если ребенок логически выходит на какой-либо ответ и может объяснить свои рассуждения, этот ответ и будет верным. В Занкове 3-й класс у учителя нет мтодички по математике (с ответами верными). Объяснил-ответ логически верный - маладеС Автор:ari [ 04 окт 2012, 13:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA Получается что правильно вы думаете, это я невнимательно посмотрела. Автор:ma-sha [ 04 окт 2012, 13:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA писал(а): Лишнее равенство 24+32? потому что ответ не на 7 заканчивается? Мне кажется, что да. Т.е. ряд слагаемых должен выглядеть так: 13, 14, 23, 24, 33, 34, ... Ряд суммы: 27, 37, 47, ... Сложение идет по принципу: первое число со вторым, второе с третьим, третье с четвертым и т.д. Поэтому последнее равенство должно быть не 24+32=56, а 24+33=57, т.е. оно выбивается из ряда, значит оно лишнее. Автор:IVASHKA [ 04 окт 2012, 13:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Задача из контрольных и диагностических работ по математике. Дается детямдля промежуточного контроля знаний. Автор:DantiStka [ 04 окт 2012, 15:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Господи, как нам повезло - у нас было настоящее детство, не было никаких компьютеров и нанотехнологии, зато была ПРОСТАЯ МАТЕМАТИКА и автор не курил траву. Автор:IVASHKA [ 04 окт 2012, 15:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) DantiStka писал(а): зато была ПРОСТАЯ МАТЕМАТИКА и автор не курил траву. )))) вспомнилась задача с прошлого года: "Блокнот стоит 40 копеек, ручка на 20 копеек дешевле. Сколько стоит карандаш?")))))))) Очень хотелось Паше Воле отправить.))) Автор:Чижик2 [ 04 окт 2012, 15:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA писал(а): "Блокнот стоит 40 копеек, ручка на 20 копеек дешевле. Сколько стоит карандаш?")))))))) Классная задача!!! Автор:Elochka [ 04 окт 2012, 19:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA писал(а): "Блокнот стоит 40 копеек, ручка на 20 копеек дешевле. Сколько стоит карандаш?")))))))) Муж ответил: 10 копеек. -Почему??? -Каков вопрос - таков ответ Автор:Runa@ [ 04 окт 2012, 19:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Я, конечно за карандаш больше заломила бы, из вредности Но по логике, каждый последующий предмет дешевле предыдущего в 2 раза Так что правильно получается = 10 коп. Автор:IVASHKA [ 05 окт 2012, 06:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Runa@ писал(а): Я, конечно за карандаш больше заломила бы, из вредности Но по логике, каждый последующий предмет дешевле предыдущего в 2 раза Так что правильно получается = 10 коп. Ну это врядли)) Все-таки не забываем, что задачка была для первого класса. Просто опечатка. Автор:Runa@ [ 05 окт 2012, 07:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) IVASHKA Аааа, ну тогда дааааа Значит мой первый ответ был более верным. Интуицию слушать надо))))) Автор:Аквилегия [ 08 окт 2012, 22:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) на станцию подъехала электричка из 14 вагонов. таня села в 7- вогон с головы, в какой вагон с конца села таня? Автор:ma-sha [ 08 окт 2012, 22:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Аквилегия А чего тут думать? В восьмой Автор:Аквилегия [ 08 окт 2012, 22:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha это ясно, что в восьмой как математически записать? Автор:Дикарка [ 08 окт 2012, 22:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) класс какой? Что если показать на числовом луче (видела такое в тренажёрах для первого класса)? Автор:ma-sha [ 08 окт 2012, 22:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Аквилегия 1) 14-7=7(в.) 2) 7+1=8(в.) Автор:ari [ 09 окт 2012, 09:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Аквилегия писал(а): ma-sha это ясно, что в восьмой как математически записать? 14-6=8 Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд: Если она села в 7-й вагон, значит перед ней 6 вагоном с начала поезда. Если считать с другого конца, то эти 6 вагонов останутся позади. Добавлено спустя 53 секунды: Мне кажется это задачи на числовой ряд, какое число стоит впереди, какое после. Автор:Виртута [ 09 окт 2012, 10:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Девочки, помогите, у ребенка 2 класс, в школе пока не выдали учебники, Окружающий мир - не могу расстолковать что такое явление и объекты природы? Автор:Nady7979 [ 09 окт 2012, 11:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Виртута Явления - это то, что происходит в природе: дождь, ветер, снег и т.п., а объекты - это то, с чем происходит: земля, вода, дерево, камень и т.п. Автор:Аквилегия [ 09 окт 2012, 14:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): 1) 14-7=7(в.)2) 7+1=8(в.) в задаче два числа 7 и 14, откуда взяли 1? ari писал(а): 14-6=8 то же самое, откуда взяли 6? Автор:ma-sha [ 09 окт 2012, 14:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Аквилегия Т.к. 8-ой вагон следует сразу за 7-ым, значит он на 1 больше 7. Автор:nata888 [ 09 окт 2012, 14:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 14-7=7 вагонов осталось за вагоном в который она села (если считать от начала поезда) 7+1=8 вагон в который она села (если считать с конца поезда) Автор:Виртута [ 09 окт 2012, 19:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Nady7979 Автор:Nady7979 [ 09 окт 2012, 19:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Виртута Да не за что, надеюсь - поможет. Мне кажется, что так вполне доходчиво Автор:Ксюля [ 12 окт 2012, 08:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Elochka писал(а): Муж ответил: 10 копеек. -Почему??? -Каков вопрос - таков ответ молодец Автор:Anna_R [ 19 окт 2012, 13:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) сколько на рисунке прямоугольников? (это задание из контрольной работы по математике, которую выполняли дети. на родительском собрании нам выдали работы, таких детей, кто ответил верно -не знаю, но наверняка были; и не все родители смогли ответить правильно ) Вложения: пример.png [ 1.34 КБ \| Просмотров: 77876 ] Автор:НаталюсикЮС [ 19 окт 2012, 13:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) я 18 насчитала... но могла и поторопиться Автор:Anna_R [ 19 окт 2012, 13:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС учительница другую версию предложила Автор:nata888 [ 19 окт 2012, 14:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС у меня больше Добавлено спустя 3 минуты 51 секунду: 21 точно есть, может и больше Автор:Ксюля [ 19 окт 2012, 14:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Anna_R писал(а): учительница другую версию предложила сколько? Автор:НаталюсикЮС [ 19 окт 2012, 14:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) уточнила - 22 штуки уже нашла Автор:nata888 [ 19 окт 2012, 14:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) блин, я одну потеряла где-то, пойду искать Автор:Anna_R [ 19 окт 2012, 15:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 НаталюсикЮС я 12 нашла на собрании , учительница 13 предложила... детки в основном давали ответ- 8. Автор:Принцесса [ 19 окт 2012, 15:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Anna_R Ну, 18 я нашла сразу.... Автор:ari [ 19 окт 2012, 16:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) У меня 21 получилось. Автор:ma-sha [ 19 окт 2012, 17:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): У меня 21 получилось. У меня тоже Автор:Elochka [ 20 окт 2012, 17:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС писал(а): уточнила - 22 штуки уже нашла раз 10 пересчитывала, ТОЛЬКО 21 нашла. Может Вы один и тот же несколько раз посчитали? или мои глазоньки (да и мозг тоже) уже ничего не видят Автор:ari [ 26 окт 2012, 10:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Еще одну интересную задачу вчера решали. Саша переехал в новый дом. На вопрос какой у него номер квартиры, он предложил узнать самим с помощью вопросов, на которые он будет отвечать только Да или Нет. В доме - 2 подъезда, 8 этажей и по 4 квартиры на этаж. Надо указать какое максимальное и минимальное число вопросов нужно задать, чтобы узнать номер квартиры. Автор:Ушла на базу [ 26 окт 2012, 10:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari Это в каком классе детям комбинаторику преподают? Автор:ari [ 26 окт 2012, 10:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ушла на базу Это 4. Но подобные были и в 3-м и во 2-м (в основном на взвешивание). Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 11:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari ну минимальное - хоть понятно как делать, а максимальное? Добавлено спустя 5 минут 39 секунд: минимум у меня 6 Автор:Респект [ 26 окт 2012, 11:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Добавлено спустя 42 секунды: nata888 писал(а): а максимальное? 284=64 Автор:kozyabka [ 26 окт 2012, 11:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Максимальное число вопросов 82 у меня получилось. Это если совсем тупить, а так 64 Минимум 6 Автор:ari [ 26 окт 2012, 11:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Максимальное - 63! А минимальное - какие вопросы нужно задать? Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 11:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) leli310 ну почему, можно и больше вопросов позадавать, а не просто номера квартир перечислять количество квартир я бы тоже так посчитала Автор:ТМvl [ 26 окт 2012, 11:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): какое максимальное и минимальное число вопросов нужно задать, чтобы узнать номер квартиры минимум - 1, максимум - бесконечность. Автор:ari [ 26 окт 2012, 11:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ТМvl Не согласна. Это ж что такое надо спрашивать, чтоб бесконечно и безрезультатно. Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 11:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ТМvl назовите 1 вопрос, который точно поможет Вам определить номер квартиры про максимум разделяю Ваше мнение Добавлено спустя 25 секунд: ari да что угодно Автор:ari [ 26 окт 2012, 11:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Минимум - 1, ну ты же понимаешь, что это вероятность. А должна быть определенная цифра (объяснимая) количества вопросов, задав которые, ты точно будешь знать ответ. Добавлено спустя 1 минуту 11 секунд: nata888 писал(а): ТМvl назовите 1 вопрос, который точно поможет Вам определить номер квартиры про максимум разделяю Ваше мнение Добавлено спустя 25 секунд: ari да что угодно Пожалуйста, придерживаемся математики. Ответы 6 и 63. Хотелось бы услышать вопросы для минимального набора. Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 12:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari ну минимальный легко: ты живешь в 1 подъезде? (после ответа знаем подъезд) ты живешь ниже 5-го этажа? (теперь знаем 4 этажа из которых дальше выбираем, допустим это с 1-го по 4-ый) ты живешь ниже 3-го этажа? (теперь знаем 2 этажа из которых дальше выбираем, допустим это с 1-го по 2) ты живешь на 1 этаже? (знаем этаж) ты живешь налево от лифта? (остается одна из 2-х квартир) ты живешь в этой квартире? Автор:ТМvl [ 26 окт 2012, 12:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): назовите 1 вопрос, который точно поможет Вам определить номер квартиры "ты живёшь в квартире Х?" Х - номер квартиры, в которой живёт мальчик. Угадать с первого раза :)) Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды: ari писал(а): Это ж что такое надо спрашивать, чтоб бесконечно и безрезультатно цвет обоев, отчество бабушки :)) Автор:ari [ 26 окт 2012, 12:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 Не подходит. Про лифт нет в условиях задачи ничего. И про нумерацию квартир-сомнительно с какой стороны начитается. Согласна только с 1 и 2. Автор:ma-sha [ 26 окт 2012, 12:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Хотелось бы услышать вопросы для минимального набора. Допустим, Саша живет в 1-ом подъезде, на 3-ем этаже в квартире № 11. Теперь вопросы: Ты живешь в 1-ом подъезде? Да. (этим ответом установлен подъезд) Твой этаж четный? Нет. (это значит, что Саша может жить на 1, 3, 5 или 7 этаже) Ты живешь выше 4-го этажа? Нет. (это значит, что Саша живет на 1 или 3 этаже) Ты живешь на 1-ом этаже? Нет. (это значит, что Саша живет на 3 этаже, где находятся 9, 10, 11 и 12 квартиры) Номер твоей квартиры четный? Нет. (это значит, что Саша живет в 9 или 11 квартире) Ты живешь в квартире № 9? Нет. (значит, Саша живет в квартире № 11). Всего задано 6 вопросов. Автор:ari [ 26 окт 2012, 12:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Мы так же решили. Автор:Танка [ 26 окт 2012, 12:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha писал(а): Твой этаж четный? Думаю, в ответах все проще, первым делом спрашиваем, номер больше или меньше 32, а потом с каждым вопросом делим отрезки напополам. Если не повезет раньше, то после 6 вопросов точно будет известно. Автор:ma-sha [ 26 окт 2012, 12:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Танка Это просто другой способ решения той же задачи. Но вопросов все равно получится 6. Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 13:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): nata888 Не подходит. Про лифт нет в условиях задачи ничего. И про нумерацию квартир-сомнительно с какой стороны начитается. Согласна только с 1 и 2. это нюансы можно не лифт, а слева или справа от лестницы, можно, как уже писали с четными номерами или нечетным - я принцип решения описывала Автор:НаталюсикЮС [ 26 окт 2012, 13:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): а если не в 1-м - вопрос потерян, подъезд не установлен в задаче дано всего 2 подъезда, поэтому трудно не установить подъезд с 1 вопроса Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 13:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС это я уже удалила - глюк послеобеденный случился Автор:НаталюсикЮС [ 26 окт 2012, 13:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): это я уже удалила - глюк послеобеденный случился да. ладно... сама читаю и балдею от задачек мы с сыном с частями речи бьемся... не понимает, что в предложенииможет быть не 1 сущ., а несколько как и других частей речи Автор:ma-sha [ 26 окт 2012, 13:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) А мне кажется, что хорошая задачка на развитие логики Автор:nata888 [ 26 окт 2012, 13:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha и мне задачка нравится, а что четвероклассники справляются? я комбинаторику в институте изучала Автор:Elochka [ 26 окт 2012, 13:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ma-sha Вы такая умная , я дальше подъезда ничего не придумала. Мы в первом классе, может к четвертому у меня тоже способности раскроются Но пока я в восхищении Автор:Хома [ 26 окт 2012, 14:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) девочки, а по какой программе такие задачи? Автор:ma-sha [ 26 окт 2012, 14:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Elochka писал(а): ma-sha Вы такая умная , я дальше подъезда ничего не придумала. Мы в первом классе, может к четвертому у меня тоже способности раскроются Но пока я в восхищении Дык... мой уже в седьмом, мне сам Бог велел сечь хотя бы не хуже уровня 7-го класса Автор:Asja [ 30 окт 2012, 20:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) про маразм с задачами вот скрины любопытные (комменты автора не читаем, просто смотрим скрины-) ... k-marazma/ Автор:nata888 [ 31 окт 2012, 08:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Asja а что так? я комментарии с удовольствием почитала (не со всеми согласна, но некоторые в точку) Автор:Хома [ 31 окт 2012, 09:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): я комментарии с удовольствием почитала ага, местами прикольно Автор:ve11ena [ 31 окт 2012, 09:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Прочитала. Задания из разряда "логика ушла отдохнуть". Особенно повеселили комментарии к заданию "зачеркни лишний предмет..." надеюсь, нам такие учебники в будущем не достанутся Автор:Asja [ 31 окт 2012, 09:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): Asja а что так? я комментарии с удовольствием почитала (не со всеми согласна, но некоторые в точку) ненормативная лескика))) там)) но маразм там дааааа))) не учебники а ... 2 раб.тетрадь по "школе Росии" по Обществознанию такая же - писал совсем далекий человек) Автор:Хома [ 31 окт 2012, 09:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) нас учительница попросила заполнить анкеты на учебники, используемые в этом году детьми, жду 2 ноября когда откроется снова заполнение анкет, оторвусь по полной Автор:Asja [ 31 окт 2012, 12:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома писал(а): нас учительница попросила заполнить анкеты на учебники, используемые в этом году детьми, жду 2 ноября когда откроется снова заполнение анкет, оторвусь по полной ух ты))я так тоже хочу) я б заааполнила, ибо до сих пор от вышеназванной фигни под впечатлением)) Автор:Хома [ 31 окт 2012, 12:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Asja вот здесь можно заполнять будет в анкетах указывается только регион, город и № учебного учреждения Автор:Asja [ 31 окт 2012, 13:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома писал(а): Asja вот здесь можно заполнять будет в анкетах указывается только регион, город и № учебного учреждения спасибо большое) ждем ноября и тоже приступим-с Автор:Дипломница [ 31 окт 2012, 13:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Хома писал(а): Asja вот здесь можно заполнять будет в анкетах указывается только регион, город и № учебного учреждения А там нет такой функции, что учебники мы сами покупаем а не школа выдаёт. Автор:Хома [ 31 окт 2012, 13:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Дипломница писал(а): А там нет такой функции, что учебники мы сами покупаем а не школа выдаёт. а нам школа выдавала в этом году учебники Автор:Танка [ 31 окт 2012, 13:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Всегда думала, что швея относится к легкой промышленности, а оказывается - к сфере обслуживания. Это я по поводу ссылки от Asja. Автор:katkon [ 16 ноя 2012, 08:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) По мотивам вчера прошедшего "Медвежонка": Ы Й Ё Щ Какой буквой можно продолжить список? Ответы: Ч, Ъ, Ь, Э, Я У кого какие мысли будут? А главное - аргументы Мне самой на ум только "Ъ" приходит Автор:sergreyed [ 16 ноя 2012, 08:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) katkon писал(а): Ы Й Ё Щ Какой буквой можно продолжить список? Ответы: Ч, Ъ, Ь, Э, Я У кого какие мысли будут? А главное - аргументы Ответ: "Э", или "Э" и "Я". Аргументы: в последовательности чередуются согласные и гласные буквы. Следующая буква должна быть гласная. Следовательно, либо "Э" либо "Я". Ну и сначала идет "Ы" - гласная буква, состоящая из одного звука, затем "Ё" - гласная, состоящая из двух звуков, если предположить, что в последовательности гласные буквы должны чередоваться по этому признаку, то в ответе остается "Э". Автор:katkon [ 16 ноя 2012, 08:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed , так ответила моя дочь, причем аргументы те же самые))) я лично после долгих раздумий остановилась на твердом знаке, т.к. буква написана путем добавления дополнительного элемента к уже существующей букве, уже сегодня нашла в инете подобную версию. Как все-таки правильно - будет известно 29 нобяря Автор:НаталюсикЮС [ 16 ноя 2012, 10:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) мой это задание выполнил, зато у нас лошадь "олашадилась" Автор:Танка [ 16 ноя 2012, 14:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) katkon писал(а): я лично после долгих раздумий остановилась на твердом знаке Мне кажется, должен быть Ъ, а не гласные, потому что надо продолжить список, а не последовательность. То есть надо искать общие черты, а не порядок расположения. НаталюсикЮС писал(а): зато у нас лошадь "олашадилась" лошаденком? Автор:katkon [ 16 ноя 2012, 14:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) НаталюсикЮС писал(а): мой это задание выполнил, зато у нас лошадь "олашадилась" не только у вас, моя тоже так ответила Автор:Ferari [ 12 дек 2012, 09:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Ваня играет в компьютерную игру. Сначала перед ним на экране 5 красных и 7 синих шариков. За один ход разрешается заменить какие-то три шарика одного цвета на два шарика другого цвета. Ваня хочет создать следующие картинки: 1 синий и 1 красный шарик, либо 9 красных и 1 синий, либо 9 синих и 1 красный, либо 2 синих. Сколько из этих картинок можно получить в такой игре? И как это решить Хелп. Автор:sergreyed [ 12 дек 2012, 11:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 1К и 1С – НЕЛЬЗЯ, т.к. за один ход добавляется 2-а шарика какого-то цвета. 2-мя операциями +2К -3С и -3К +2С можно последовательно уменьшать число шариков на 1, следовательно, 0К и 2С – МОЖНО: нужно начать уменьшать с синих шаров. 9К и 1С – МОЖНО: 2-е операции +2К -3С. 1К и 9С – НЕЛЬЗЯ: ну например, такое доказательство: за каждый ход общее число шаров уменьшается на 1. Начальное число шаров 5К + 7С = 12. Требуется получить 1К + 9С = 10 шаров. Следовательно, результат нужно получить ровно за 2-а хода. При этом за эти 2-а хода нельзя оба раза вычитать К-шары, т.к. их всего 5, и нельзя оба раза вычитать С-шары, т.к. нам нужно получить их 9, следовательно остаются 2 варианта 2-х пар ходов, которые в результате уменьшат число К и С-шаров на 1, что НЕ даст требуемый результат 1К и 9С. Автор:Mejul [ 13 дек 2012, 17:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) просто юмор )) Вложения: pics-004.jpg [ 69.83 КБ \| Просмотров: 78307 ] Автор:Anna_R [ 13 дек 2012, 18:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Mejul Автор:ari [ 13 дек 2012, 23:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Mejul Интересно. Это же олимпиада? Какой класс. Ответ - 13с (округлили 12,5с). Можете все задания выложить? Автор:sergreyed [ 14 дек 2012, 08:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): Mejul Интересно. Это же олимпиада? Какой класс. Ответ - 13с (округлили 12,5с). Можете все задания выложить? Откуда 12,5? 1024/10064=655,36м в Васином км. Скорость на км-дистанции 655,36/128=5,12м/с. С такой скоростью он пробежит 100м за 100/5,12=19,53125~20c. Только мне не понятно, почему Вася решил, что с такой скоростью он побьет олимпийский рекорд: 1024/128=8м/с, 100/8=12,5с на 100-метровке - далеко не олимпийский рекорд, разве что с учетом того, что на 100 метрах средняя скорость выше. Автор:ari [ 14 дек 2012, 12:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed Как у вас получилось 655,36м в Васином км, если в условии сказано что 1км=1024м? Мой расчет: Скорость - за 1мин - 1км. То есть 1024м за 128с. 1024м/128с=8м/с. Время - 100м/(8м/с)=12,5с. Автор:sergreyed [ 14 дек 2012, 17:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): sergreyed Как у вас получилось 655,36м в Васином км, если в условии сказано что 1км=1024м? Мой расчет: Скорость - за 1мин - 1км. То есть 1024м за 128с. 1024м/128с=8м/с. Время - 100м/(8м/с)=12,5с. Я же написал формулу расчета, по ней вроде все понятно: "Вася считает, что 1 км = 1024 м, 1 м = 64 см" => 1024/10064=655,36м . 100-метровку за 12,5 - это выше 3-го разряда, сомневаюсь я в геймере Васе. - Это довод в пользу того, чтобы высчитывать до см, а затем уже переводить в нормальные метры. Автор:Валечка [ 14 дек 2012, 17:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed забавно, что даже не вдаваясь в формулы можно сразу определить ответ - зная нормативы 100метровки у меня так и получилось 20 Автор:ari [ 14 дек 2012, 17:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed Может вы и знаете нормативы, но с математикой что-то не очень. Делим метры на метры, умножаем на сантиметры и получаем метры. Это как? Автор:nata888 [ 14 дек 2012, 17:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed писал(а): все понятно: "Вася считает, что 1 км = 1024 м, 1 м = 64 см" => 1024/10064=655,36м . Не понятно что Вы этим действием посчитали По Вашему получается что в километре 655 метров Вася так не думает Автор:sergreyed [ 14 дек 2012, 18:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) ari писал(а): sergreyed Может вы и знаете нормативы, но с математикой что-то не очень. Спасибо, посмеялся! У меня диплом матфака ДВГУ с 90% отл., заработанный честно. - Это конечно не делает меня человеком, который не может ошибиться. Давайте разбираться: Начнем с условия: "Вася заявил, что за одну «минуту» пробегает целый «километр»", "Вася считает, что 1 км = 1024 м, 1 м = 64 см, 1 мин = 128 с.", "За сколько реальных секунд Вася пробегает реальные 100 м?". Прошу обратить внимание на то, что «минуту» и «километр» взято в скобки, а в вопросе дважды использовано слово "реальные". Для того, чтобы посчитать время пробега 100-метровки Васей, нужно информацию о его скорости перевести из его единиц измерения (ЕИ) в "реальные". В Васиных ЕИ Васина скорость равна 1 Вкм / 1 Вмин. Его 1 Вкм = 1024 Вм, 1Вм = 64 см. Обращаю внимание, что Вм – это метры в ЕИ Васи, а см – в реальных ЕИ. Получаем, что 1 Вкм = 1024 64 = 65 536 см. => 1 Вкм = 65 536 / 100 = 655,36 м. 1 Вмин = 128 с. Следовательно, Васина скорость в реальных ЕИ равна 655,36 / 128 = 5,12 м/с. Следовательно, зная скорость в реальных единицах измерения получаем, что 100 метров Вася пробегает за 100 / 5,12 = 19,53125 ~ 20 м/с. Вопросы? Автор:nata888 [ 14 дек 2012, 18:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed Вопрос: чему по Вашему равен Васин сантиметр? Добавлено спустя 1 минуту 25 секунд: В Ваших расчетам он равен реальному. Откуда такой вывод? Автор:sergreyed [ 14 дек 2012, 18:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): sergreyed Вопрос: чему по Вашему равен Васин сантиметр? В Ваших расчетам он равен реальному. Откуда такой вывод? В условиях задачи не сказано обратного. Вы же не задаетесь вопросом, скольким миллисекундам равна Васина секунда. Автор:nata888 [ 14 дек 2012, 18:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed 1 Вкм = 1024 Вм, 1Вм = 64 см. в этом месте Вы используете в решении то что 1 Всм = 1 см - а этого нет в условии Автор:sergreyed [ 14 дек 2012, 18:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): sergreyed 1 Вкм = 1024 Вм, 1Вм = 64 см. в этом месте Вы используете в решении то что 1 Всм = 1 см - а этого нет в условии Я же не просто так упомянул секунды. Ведь у Вас не вызывает сомнения, что 1 Всек = 1 сек?! Или вызывает? Автор:nata888 [ 14 дек 2012, 18:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed Вы подменяете понятия 1 Вкм = 1024 Вм, 1Вм = 64 Всм для того чтобы получить, как Вы утверждаете 1 Вм = 64 см, необходимо чтобы 1 см = 1 Всм (а это не так) Вы ошиблись именно здесь, секунды тут ни причем Добавлено спустя 13 минут 24 секунды: причем, на основе своей ошибки Вы сделали вывод 1 Вкм = 655 м противоречащий условию задачи 1 Вкм = 1024 м Автор:sergreyed [ 14 дек 2012, 19:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) nata888 писал(а): sergreyed противоречащий условию задачи 1 Вкм = 1024 м Да неужели?! По условию задачи 1 Вкм = 1024 В м, также написано, что 1 Вм = 64 Всм. Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд: nata888 писал(а): sergreyed Вы подменяете понятия 1 Вкм = 1024 Вм, 1Вм = 64 Всм для того чтобы получить, как Вы утверждаете 1 Вм = 64 см, необходимо чтобы 1 см = 1 Всм (а это не так) Вы ошиблись именно здесь, секунды тут ни причем (а это не так) - только не говорите, что этого Всю Вы знаете лично, и только что у него этот момент уточнили! Да, в условии задачи не сказано, чему равен 1 Всм, равна 1 Всек, как и не сказано, чему равны 1 Вгектар, 1В год, какой рост у Васи, в какие игры он играет, каким образом он измерял расстояние для забега в 1 Вкм, чем измерял время, и много еще чего не сказано. Если информация в условии задачи опущена, то предполагается, что она в некотором роде очевидна. Вы упираете на то, что не сказано, чему равен 1 Всм. Да, не сказано, а также не сказано, чему равна 1 Всек. Перед решающим задачу в данном случае стоит дилемма: к чему приравнять эти величины. Вариант 1: я не знаю, чему они равны, следовательно задача имеет бесконечное множество решений, каких не скажу. Вариант 2: т.к. в условии ничего про эти величины не сказано, то будем считать, что 1 Всм = 1 см, 1 Всек = 1 сек. Если это так, то Ответ ~20 сек. Вариант 3: т.к. в условии ничего про эти величины не сказано, то будем решать так-называемую задачу с параметрами, где 1 Всм = X см, 1 Всек = Z сек. Тогда ответ будет состоять из арифметического выражения, включающего эти параметры. Вот только проблема в том, что даны варианты ответа, из которых нужно выбирать. А в вариантах ответа нет параметров. И варианта "неизвестно" также нет. Вот и приходится выбирать Вариант 2. Автор:nata888 [ 14 дек 2012, 19:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) sergreyed писал(а): nata888 писал(а): sergreyed противоречащий условию задачи 1 Вкм = 1024 м Да неужели?! По условию задачи 1 Вкм = 1024 В м, также написано, что 1 Вм = 64 Всм. согласна, тут я не права, данный вопрос снимаю Добавлено спустя 18 минут 10 секунд: sergreyed писал(а): будем считать, что 1 Всм = 1 см, 1 Всек = 1 сек. проблема в том, что даны варианты ответа, из которых нужно выбирать. А в вариантах ответа нет параметров. И варианта "неизвестно" также нет. Вот и приходится выбирать Вариант 2. убедили, я с Вами согласна, садитесь, 5 Автор:Дикарка [ 14 дек 2012, 21:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) 1км=1024м 1м=64см 1мин=128сек => за 128сек Вася пробегает 102464= 65536 см. Вопрос: за сколько (х) секунд пробегает 100м или 100100=10000см. Итого: 128сек - 65536 см х сек - 10000 см Решение: 12810000/65536 = 19,5... сек Автор:Лимка [ 14 дек 2012, 23:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) Забавно. Детская задачка, а столько споров. У меня получилось так же, как у sergreyed 19,53125 сек. Оказывается, я еще не совсем забыла математику! Автор:Ксюля [ 15 дек 2012, 11:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать задачки!!!)) бедные наши дети. тут родители голову ломают, а каково им.. Автор:позитивный настрой [ 29 янв 2013, 09:29 ] Заголовок сообщения:домашняя работа Девушки, помогите с домашней работой !!! Нужно составить слово из звуков. уже час думаем, но кроме чИрпак - не нашли вариантов [ч'], [А], [и], [к], [р'], [п Добавлено спустя 58 секунд: потом тему можно удалить Автор:Альдис [ 29 янв 2013, 09:30 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа прачки Автор:Filing [ 29 янв 2013, 09:36 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа позитивный настрой звуки могут повторяться? пачка? Автор:Птица щщастья [ 29 янв 2013, 09:41 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Альдис писал(а): прачки Мне кажется, прачки не подходят. В транскрипции "р" мягкая. Добавлено спустя 50 секунд: Вроде, слова "чирпак" нету Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд: А вы звук С не пропустили? Подошло бы слово "скрипач" идеально Автор:КРИСТАЛ [ 29 янв 2013, 09:44 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа кирпич Автор:позитивный настрой [ 29 янв 2013, 13:33 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа КРИСТАЛ писал(а): кирпич там А и ударение на А. Птица щщастья писал(а): Мне кажется, прачки не подходят работу сдали уже)))) Птица щщастья писал(а): Вроде, слова "чирпак" нету аха и я про тоже, естьь чЕрпак))) девочки, спасибо! Работа сдана) Добавлено спустя 2 минуты 25 секунд: Filing писал(а): позитивный настрой звуки могут повторяться? пачка? нет, не могут, ещё звук "и" в наличие Автор:КРИСТАЛ [ 30 янв 2013, 00:21 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа поведайте нам потом о правильном ответе. я думаю опечатка. скрипач, с не хватает Автор:позитивный настрой [ 30 янв 2013, 10:42 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа КРИСТАЛ писал(а): поведайте нам потом о правильном ответе. я думаю опечатка. скрипач, с не хватает обязательно Автор:мама Оксана [ 30 янв 2013, 10:57 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа В траскрипции пишется буква так как слышится, поэтому В транскрипции чирпак , а слово черпак. Автор:Птица щщастья [ 30 янв 2013, 10:59 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа мама Оксана А Р почему мягкая в транскрипции? Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд: И, насколько я помню, звук Е делится на транскрипцию Й+Э. Могу ошибаться Автор:Хасаночка [ 30 янв 2013, 11:19 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Птица щщастья писал(а): Могу ошибаться ошибаетесь, не всегда Автор:Верса [ 30 янв 2013, 11:21 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа мама Оксана писал(а): В траскрипции пишется буква так как слышится, поэтому В транскрипции чирпак , а слово черпак. чиРЬпак? с интересом жду правильного ответа Автор:позитивный настрой [ 30 янв 2013, 11:27 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Это школьная олимпиадная работа, дистанционно т.е. выдали первый тур домой. Остальные задания ребенок сделал в теч.15 минут, а вот с этим заданием зависли. Как будут результаты, напишу Автор:Helen74 [ 30 янв 2013, 19:42 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Рябчик Автор:Верса [ 30 янв 2013, 20:13 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Helen74 Автор:milita.ri [ 30 янв 2013, 20:24 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Helen74 Блин,точно.На самом деле всё просто оказалось Автор:Helen74 [ 30 янв 2013, 20:55 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Обращайтесь, если что....Чем смогу, тем помогу Автор:позитивный настрой [ 30 янв 2013, 21:11 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Helen74 писал(а): Рябчик не догадалась бы в жизни спасибо, хоть сами будем знать)))) Автор:Helen74 [ 30 янв 2013, 22:03 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Всегда пожалуйста Автор:Мусичка [ 03 фев 2013, 12:12 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Helen74 какая вы молодец Автор:Helen74 [ 04 фев 2013, 20:10 ] Заголовок сообщения:Re: домашняя работа Мусичка писал(а): Helen74 какая вы молодец Спасибо Автор:DantiStka [ 13 мар 2013, 08:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надо освежить страничку Нашла в инете сборник нестандартных задач по математике для 3 класса + решения к ним с пояснениями (ну очень интересно!!!). Только, не припомню, чтоб в третьем классе (1989 -1990 г.) у нас были такие конкурсные задачки. Скачала для того, чтоб подготовить, хоть немного, сына к конкурсу И вот одна из них: Две ученицы, Люда и Валя, победили в математической олимпиаде. Нужно было выяснить, кому из них дать первую премию, а кому вторую. Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие, попросил их зажмуриться и приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал. После этого он сказал, что они могут открыть глаза. "Кто догадается, – сказал судья, – какого цвета на ней заколка, та получит первую премию." Девочки смотрели друг на друга. Каждая видела на другой красную заколку, но не знала, какая заколка на ней. Наконец, Люда сказала: "На мне красная заколка" – и получила первую премию. Как она могла додуматься до верного ответа? Может у кого-нибудь есть варианты ответов Автор:sluy [ 13 мар 2013, 08:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): одну красную и две синие, DantiStka писал(а): приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал. это описка или в этом суть? Автор:nata888 [ 13 мар 2013, 08:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие... ...Каждая видела на другой красную заколку, это как так у них получилось? Добавлено спустя 20 секунд: sluy Автор:sluy [ 13 мар 2013, 08:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka Люда знала, что Валя сообразительная девочка. Если бы Валя увидела на Люде синюю заколку, она сразу догадалась бы, что на ней самой красная заколка (ведь синяя заколка была одна). И раз Валя молчала, значит, она не видела на Люде синюю заколку, а видела красную.Ответ: Так как Валя молчала. Можно было бы порассуждать, если бы не описка в задании, а так-неинтересно. Автор:belladonna [ 13 мар 2013, 08:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) т.к. Валя задумалась, то Люда догадалась, что на ней точно не красная(которая в одном экземпляре), следовательно-синяя. DantiStka вы перепутали, видимо, цвета Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд: sluy Автор:Танка [ 13 мар 2013, 08:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): Как она могла додуматься до верного ответа? Если исходить из того, что в тексте опечатка и красных заколок было 2, а синих одна, то если бы на Люде была синяя заколка, то вторая девочка назвала бы ответ моментально. А раз она этого не сделала, значит на Люде не синяя заколка. P.S. Пока печатала, уже двое ответили. Автор:sergreyed [ 13 мар 2013, 08:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): Надо освежить страничку Нашла в инете сборник нестандартных задач по математике для 3 класса + решения к ним с пояснениями (ну очень интересно!!!). Только, не припомню, чтоб в третьем классе (1989 -1990 г.) у нас были такие конкурсные задачки. Скачала для того, чтоб подготовить, хоть немного, сына к конкурсу И вот одна из них: Две ученицы, Люда и Валя, победили в математической олимпиаде. Нужно было выяснить, кому из них дать первую премию, а кому вторую. Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие, попросил их зажмуриться и приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал. После этого он сказал, что они могут открыть глаза. "Кто догадается, – сказал судья, – какого цвета на ней заколка, та получит первую премию." Девочки смотрели друг на друга. Каждая видела на другой красную заколку, но не знала, какая заколка на ней. Наконец, Люда сказала: "На мне красная заколка" – и получила первую премию. Как она могла додуматься до верного ответа? Может у кого-нибудь есть варианты ответов "Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие", "и приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал" - скорее всего судья показал две красные и одну синюю. В этом случае рассуждения следующие: 1) Обе девочки - победительницы математической олимпиады - следовательно они достаточно умные и предполагают это друг о друге. У судьи могла остаться либо синяя либо красная заколка. 2) Если у него осталась бы красная, то на одной из девочек была бы синяя => вторая девочка увидев ее сразу бы поняла, что из оставшихся двух красных заколок одна на ней. НО, по условию задачи девочки достаточно долго думали. 3) Следовательно, обе видели красные заколки, и когда одна из девочек догадалась, что будь на одной из них синяя заколка, задержки с ответом не было бы, то поняла, что на обеих красные заколки и дала правильный ответ. Автор:nata888 [ 13 мар 2013, 08:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) это стандартная задача, все кто изучал математику углубленно с такими сталкивались Автор:НаталюсикЮС [ 13 мар 2013, 08:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) есть ещё допустимый вариант... могла у тренера подглядеть синюю заколку Да, в задачке путаница с цветами изначально... Автор:sluy [ 13 мар 2013, 08:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): Да, в задачке путаница с цветами изначально... отсюда отсутствие интереса а сама задачка ясно, что на логику Автор:DantiStka [ 13 мар 2013, 09:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) опечатки с цветом нет Решение. Люда знала, что Валя сообразительная девочка. Если бы Валя увидела на Люде синюю заколку, она сразу догадалась бы, что на ней самой красная заколка (ведь синяя заколка была одна). И раз Валя молчала, значит, она не видела на Люде синюю заколку, а видела красную. Ответ: Так как Валя молчала. sergreyed Вы как-то более доходчиво ответили Честно говоря, я сперва решила, что в задаче опечатка с цветами, но увидев ответ Автор:belladonna [ 13 мар 2013, 09:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): ведь синяя заколка была одна в вашем условии-не так. не вводите людей в заблуждение, задача элементарная, только вы невнимательно написали Автор:sluy [ 13 мар 2013, 09:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): опечатки с цветом нет ааааа, судья им показала красную и две синие, а воспользовался двумя красными(вторую красную достал из рукава ) тогда ясно. Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды: belladonna писал(а): в вашем условии-не так. судья изначально дурил девочек. только так, если не опечатка Автор:nata888 [ 13 мар 2013, 09:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy если использовать не те заколки, которые судья предъявил девочкам изначально - то задача вообще лишена смысла из рукава можно что угодно достать и прицепить Автор:sluy [ 13 мар 2013, 09:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) nata888 писал(а): если использовать не те заколки, которые судья предъявил девочкам изначально - то задача вообще лишена смысла из рукава можно что угодно достать и прицепить нет, ну а как иначе, если : DantiStka писал(а): опечатки с цветом нет При чем мы изначально указали на опечатку, а DantiStka уверяет ,что это не опечатка. Только рукав... Автор:DantiStka [ 13 мар 2013, 09:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy belladonna По условию задачи, это не ко мне, я скопировала текст, как он есть sergreyed дословно объяснил Люда поняла, что Валя не знает правильного ответа. А если бы Валя увидела на Люде синюю заколку, то смогла бы сразу сказать, что на ней красная заколка (потому что синя заколка всего одна). Если бы на Люде была синяя заколка, то Валя сразу дала бы ответила, что на ней красная заколка. А так как на Люде была красная заколка, то на Вале могла быть как красная, так и синяя заколка. И она не могла дать правильный ответ. А так как Валя молчала, то Люда поняла, что на ней тоже красная заколка. sluy А откуда судья достал вторую красную и что курил автор, остается загадкой Я уже не первый день сижу и решаю такие задачки , у меня их много. Могу ещё, что нибудь предложить Автор:belladonna [ 13 мар 2013, 09:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): Я уже не первый день сижу и решаю такие задачки выкиньте этот учебник к чертовой бабушке, он с опечатками Добавлено спустя 39 секунд: DantiStka писал(а): потому что синя заколка всего одна и перечитайте условие!!!!!!!!!!!!! Автор:sluy [ 13 мар 2013, 09:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): По условию задачи, это не ко мне, я скопировала текст, как он есть тогда вы не можете утверждать, что нет описки DantiStka писал(а): А откуда судья достал вторую красную и что курил автор, остается загадкой хоть это и логика, но условие задачи никто не отменял Автор:Дипломница [ 13 мар 2013, 09:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:DantiStka [ 13 мар 2013, 10:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy несколько раз забивала в поисковик условие задачи, с цветом заколок там так же, и ответы такие. belladonna писал(а): выкиньте этот учебник к чертовой бабушке Это не учебник. Такие задачи, задания есть во многих всероссийских конкурсах, типа КИТ, СЛОН, КЕНГУРУ, и это для 3 класса. Пока в школе не предложили поучаствовать в конкурсе, у меня не было и интереса к таким задачам, я даже не знала о их существовании. Автор:sluy [ 13 мар 2013, 10:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) DantiStka писал(а): несколько раз забивала в поисковик условие задачи, с цветом заколок там так же, и ответы такие. ну так и я "забила" и народ везде обращает внимание на белиберду с цветом. наверняка знает только автор. синих по условию две, поэтому девочкам судья мог приколоть по синей заколке-легко плюсуюсь к belladonna: belladonna писал(а): выкиньте этот учебник к чертовой бабушке, он с опечатками Автор:ari [ 22 мар 2013, 12:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Добрый день! У кого дети вчера были на "Кенгуру". Интересуют задания для 3-4 классов. А именно №21. Автор:ma-sha [ 22 мар 2013, 15:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Добрый день! У кого дети вчера были на "Кенгуру". Интересуют задания для 3-4 классов. А именно №21. Так взяли бы и написали сюда условие, тогда вместе бы и подумали над решением Автор:ari [ 22 мар 2013, 16:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Примерно помню. Попробую: На день рождение к Лизе пришли мальчики и девочки. Мальчиков больше половины. Больше трети мальчиков - Феди. Всего Федей было трое. Какое максимально количество детей могло прийти к Лизе? Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 17:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Одиннадцать. Минимальное количество детей одиннадцать. Максимальное количество детей 16 человек. Автор:Йожин [ 22 мар 2013, 17:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А у меня получилось, максимальное - 13. Но я тот еще математик Дикарка Расскажи, как считала Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 17:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Примерно помню. Попробую: На день рождение к Лизе пришли мальчики и девочки. Мальчиков больше половины. Больше трети мальчиков - Феди. Всего Федей было трое. Какое максимально количество детей могло прийти к Лизе? Мальчиков пришло х человек, это больше половины. Следовательно девочек по максимуму х-1. Больше трети мальчиков (х/3) это Феди, которых трое. Т.е (х/3 меньше трех) сорри за не математическое выражение, не могу найти необходимые знаки. Отсюда получаем что мальчиков (х меньше 9) т.е максимально 8. Из первого предположения что девочек (х - 1) получим что девочек меньше восьми, т.е максимально 7. Значит всего детей по максимуму 8+7=15 Автор:Alankra [ 22 мар 2013, 17:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) если ответ 16, то мальчиков больше половины, то есть больше 8, т.е. 9, треть от 9 это три, но Федей больше трети, т.е 4, а по условию три. А вот если 15 ответ, то такие рассуждения: больше половины мальчики, т.е. 8, из них больше трети (8/3) Феди, т.е. три. Автор:Йожин [ 22 мар 2013, 17:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я считала так. Больше 1/3 - это три. Значит максимально 1/3 - это 2. Значит мальчиков 2+2+3=7. А девочек максимально 6, т.к. мальчиков больше половины. 6+7=13 Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 17:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Примерно помню. Попробую: На день рождение к Лизе пришли мальчики и девочки. Мальчиков больше половины. Больше трети мальчиков - Феди. Всего Федей было трое. Какое максимально количество детей могло прийти к Лизе? По минимуму. Девочек берем за х. Мальчиков точно хотя бы на одного больше. Т.е (х+1). Треть мальчиков это ((х+1)/3) и она точно меньше трех. Т.е по минимуму ((х+1)/3 +1=3 отсюда ((х+1)/3=2, х+1=6, х=5 получили пять девочек. А мальчиков точно хотя бы на одного больше т.е шестеро. Итого детей по минимуму получается одиннадцать. Автор:Йожин [ 22 мар 2013, 17:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alankra писал(а): если ответ 16, то мальчиков больше половины, то есть больше 8, т.е. 9, треть от 9 это три, но Федей больше трети, т.е 4, а по условию три. А вот если 15 ответ, то такие рассуждения: больше половины мальчики, т.е. 8, из них больше трети (8/3) Феди, т.е. три. Да, наверное, вот так правильнее. Максимум мальчиков может быть 8, тогда 3 - это больше 1/3. Значит девочек 7, значит всего 15 Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 17:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Йожин Мне твое решение больше нравится. Я тоже тот еще математик. Автор:Alankra [ 22 мар 2013, 18:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 3>x/3, это три, которое больше трети мальчиков, т.е. 9>x, т.е. мальчиков меньше девяти всяко Добавлено спустя 51 секунду: меня пугает как это объяснить ребенку Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд: короче мальчиков восемь, а девочек тогда семь, в итоге 15, а вообще я таблицу в Excel составила Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 18:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alankra Правильно. Я не так детей сложила, хотя первоначально посчитала так же как вы. Если мальчиков точно меньше 9, то их 8. А девочек точно меньше 8, то есть их 7. А вот тут уже надо складывать 7+8=15. Автор:Йожин [ 22 мар 2013, 18:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alankra писал(а): меня пугает как это объяснить ребенку Наверное, так. Если 1/3 была бы =3, то целое число = 9. А нам дано, что 3 - больше 1/3, то есть число должно быть хотя бы на 1 меньше 9. То есть максимальное число - 8. Это мальчики. Ну и девочек хотя бы на 1 меньше. Пока пыталась написать, сама запуталась Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 18:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Три взрослые мамы, путем проб и ошибок все таки решили задачку за третий класс Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды: Alankra А они уравнения с х уже проходили? Я старалась расписать решение. Если проходили то должен понять. Только посчитать сначала отдельно мальчиков, потом отдельно девочек и уже тогда складывать. А не сразу всех детей. Автор:Йожин [ 22 мар 2013, 18:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Три взрослые мамы, путем проб и ошибок все таки решили задачку за третий класс Еще потренируемся, и можно в Кенгуру участвовать Мне на самом деле стыдно, глупо ошиблась при первой попытке Автор:Alankra [ 22 мар 2013, 18:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Три взрослые мамы, путем проб и ошибок все таки решили задачку за третий класс Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды: Alankra А они уравнения с х уже проходили? Я старалась расписать решение. Если проходили то должен понять. Только посчитать сначала отдельно мальчиков, потом отдельно девочек и уже тогда складывать. А не сразу всех детей. неравенства точно не проходили Добавлено спустя 52 секунды: а что такое Кенгуру? Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 18:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Йожин Но выглядело вполне убедительно. Подправила свое решение. Автор:Йожин [ 22 мар 2013, 18:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): У кого дети вчера были на "Кенгуру". Интересуют задания для 3-4 классов. А именно №21. Предполагаю, что олимпиада по математике Автор:Дикарка [ 22 мар 2013, 18:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alankra Кенгуру - математическая олимпиада для школьников. Без неравенств даже не представляю как. Автор:Katie [ 22 мар 2013, 18:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В 3-м классе через х решают, да? Я уже не помню Автор:sergreyed [ 22 мар 2013, 18:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): ari писал(а): Примерно помню. Попробую: На день рождение к Лизе пришли мальчики и девочки. Мальчиков больше половины. Больше трети мальчиков - Феди. Всего Федей было трое. Какое максимально количество детей могло прийти к Лизе? Мальчиков пришло х человек, это больше половины. Следовательно девочек по максимуму х-1. Больше трети мальчиков (х/3) это Феди, которых трое. Т.е (х/3 меньше трех) сорри за не математическое выражение, не могу найти необходимые знаки. Отсюда получаем что мальчиков (х меньше 9) т.е максимально 8. Из первого предположения что девочек (х - 1) получим что девочек меньше восьми, т.е максимально 7. Значит всего детей по максимуму 8+7=15 Поддерживаю, максимум 15 детей. Автор:sluy [ 22 мар 2013, 18:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а): В 3-м классе через х решают, да? решают простые. а в 4-м сложные(с упрощением) Автор:outlaw [ 22 мар 2013, 18:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня муж киндера вот по этому учебнику гоняет Познавательное чтиво. и опечаток пока не видела. В школе по Петерсону учится. Автор:Katie [ 22 мар 2013, 19:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, а по умк гармония у кого-то детки учатся? Автор:иденя [ 23 мар 2013, 17:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Задача из кенгуру 2 класса: у Анны есть одна монета в 5 центов, одна монета в 10 центов, одна монета в 20 центов и одна монета в 50 центов. Сколько разных сумм она сможет заплатить без сдачи? Спор возник по поводу трактовки "разных сумм" - надо ли считать варианты с одной монетой или написано сумм , те во мн ч, значит по одной монете исключаем вариант? Что думаете? Автор:Кареглазая [ 23 мар 2013, 17:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Добрый день! У кого дети вчера были на "Кенгуру". Интересуют задания для 3-4 классов. А именно №21. моя девушка была, но конечно, до дома, какие были задания, уже не донесла, забыла Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд: иденя писал(а): Задача из кенгуру 2 класса: у Анны есть одна монета в 5 центов, одна монета в 10 центов, одна монета в 20 центов и одна монета в 50 центов. Сколько разных сумм она сможет заплатить без сдачи? Спор возник по поводу трактовки "разных сумм" - надо ли считать варианты с одной монетой или написано сумм , те во мн ч, значит по одной монете исключаем вариант? Что думаете? ну по логике, сумму она может заплатить и одной монетой, но я почитала задачи прошлых лет по Кенгуру, логика там не всегда в почете, так что надо отталкиваться от вариантов ответа Автор:иденя [ 23 мар 2013, 17:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я насчитала 11 вариантов и + 4 если по одной монете = 15, ответы 15;12;8;7;5. Но " разных сумм" мне покоя не дают! Автор:Katie [ 23 мар 2013, 17:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А как считается , методом подбора или по формуле? Автор:katkon [ 23 мар 2013, 18:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Как я поняла, варианты по одной монете тоже должны считаться. А разные суммы - имеется в виду стоимость товара, а не суммы монет. Хотя, конечно, может быть всякое )))) Автор:IVASHKA [ 10 апр 2013, 17:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Высмотрела в одноклассниках задача 3,4 Автор:Верса [ 10 апр 2013, 19:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) IVASHKA задача 4 - для родителей, которые помнят, что стандартный бидон вмещал ровно 3 литра. а дети, боюсь, слово "бидон" уже не знают. задача 3, видимо, 1 апреля должна задаваться Автор:IVASHKA [ 10 апр 2013, 20:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а): IVASHKA задача 4 - для родителей, которые помнят, что стандартный бидон вмещал ровно 3 литра. мой муж тоже так сказал тогда не понятно как дети в 1 классе переведут 3 литра в 250 гр стаканы для начала Автор:Elochka [ 11 апр 2013, 15:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) IVASHKA писал(а): задача 3,4 какая прелесть Автор:Дикарка [ 11 апр 2013, 19:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) IVASHKA писал(а): Верса писал(а): IVASHKA задача 4 - для родителей, которые помнят, что стандартный бидон вмещал ровно 3 литра. мой муж тоже так сказал тогда не понятно как дети в 1 классе переведут 3 литра в 250 гр стаканы для начала Да, как-то выбивается из общего плана. На вряд ли там все так сложно, скорее всего. Просто пропущено, что в бидоне было 10 стаканов молока, ну и дальше по тексту. Автор:Ушла на базу [ 11 апр 2013, 21:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) При этом в учебнике истории ни слова о мистических пристрастиях Гитлера... Автор:Мусичка [ 11 апр 2013, 21:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Да, как-то выбивается из общего плана. На вряд ли там все так сложно, скорее всего. Просто пропущено, что в бидоне было 10 стаканов молока, ну и дальше по тексту. точно так и есть-забыли допечатать и про помидоры тоже-либо тут ответ 0 и это задача на внимательность, но судя по предыдущим, непохоже, тоже скорее всего косяки. в нашем учебнике они тоже есть-больше конечно несостыковки чем такие перлы Автор:Elochka [ 12 апр 2013, 10:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У нас проект "Азбука загадок": -первый ряд загадки про животных; -второй ряд загадки про растения; -третий ряд загадки про явления природы. Внимание! Надо найти не просто природные явления на все буквы алфавита (кроме Ы, Ъ, Ь, Й), но и сделать загадки. Добавлено спустя 1 минуту 30 секунд: У кого такой же проект, могу выслать подсказки про растения (деревья, ягоды, цветы, овощи, фрукты), у меня проект уже выполнен. Автор:Helen74 [ 13 апр 2013, 17:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а): Дикарка писал(а): Да, как-то выбивается из общего плана. На вряд ли там все так сложно, скорее всего. Просто пропущено, что в бидоне было 10 стаканов молока, ну и дальше по тексту. точно так и есть-забыли допечатать и про помидоры тоже-либо тут ответ 0 и это задача на внимательность, но судя по предыдущим, непохоже, тоже скорее всего косяки. в нашем учебнике они тоже есть-больше конечно несостыковки чем такие перлы Здесь, скорее всего, надо сначала определить, какой текст является задачей и решить её. Автор:Мусичка [ 13 апр 2013, 19:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Helen74 писал(а): Здесь, скорее всего, надо сначала определить, какой текст является задачей и решить её. ну обычно непосредственно задача выделяется вопросительным знаком в конце предложения или нет?или я вас неправильно поняла? Автор:Helen74 [ 13 апр 2013, 20:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а): Helen74 писал(а): Здесь, скорее всего, надо сначала определить, какой текст является задачей и решить её. ну обычно непосредственно задача выделяется вопросительным знаком в конце предложения или нет?или я вас неправильно поняла? Ребёнок должен уяснить, что в задаче обязательно есть условие и вопрос. Предлагаются тексты, где встречаются как задачи, так и не являющиеся ими. Ребёнку нужно понять, что не всякий текст является задачей. Автор:ve11ena [ 13 апр 2013, 21:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) на первую задачу сын ответил: нисколько, т.е. ноль. на вторую: сын:а сколько было в бидоне? я: не знаю сын: я тогда тоже не знаю муж: на 7 стаканов меньше, чем было до этого п.с.:сыну 7 лет, в школу еще не ходит. Автор:Мусичка [ 13 апр 2013, 21:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Helen74 писал(а): Ребёнок должен уяснить, что в задаче обязательно есть условие и вопрос. Предлагаются тексты, где встречаются как задачи, так и не являющиеся ими. Ребёнку нужно понять, что не всякий текст является задачей. это я поняла. в обеих задачах-про помидоры и бидон-есть условие и вопрос. что тут нужно понять? эти две задачи по вашему ими не являются?или вы теорию рассказываете? Автор:Еленка1 [ 13 апр 2013, 22:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки,сын учится по программе 2100 ,4 класс. Недавно задание ему делала по окружающему миру,вкратце: напиши какие животные и растения вымерли ( первобытный строй,древние века,средние,новое время,новейшее время)-это задание в рабочей тетради,при чем в учебнике даже намека нет,сил хватило только на животных,про растения-просто плюнула-2 часа убила на это. Ну как слабо каждому десятилетке такое наваять?!! Я мечтала в этот момент встретится с этими вахрушевыми и бунеевыми,чес слово покусала бы. У меня вообще шок,есть темы по русскому,при чем довольно таки сложные,а правил как таковых нет ,а по математике вообще не припоминаю их вообще. Мне иной раз кажется ,или я идиотка,или составители учебников слишком умные,не думают о тех для когог в общем то учебники составляют. В общем я возмущена Автор:Мусичка [ 13 апр 2013, 22:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): напиши какие животные и растения вымерли ( первобытный строй,древние века,средние,новое время,новейшее время)-это задание в рабочей тетради,при чем в учебнике даже намека нет,сил хватило только на животных,про растения-просто плюнула-2 часа убила на это круто а что оказалось надо было делать?перечислять всех=можно диссертацию написать.. у меня сын в первом классе-сталкиваюсь с тем, что я пытаюсь все сделать гораздо сложнее, чем есть на самом деле. а вот в плане составителей учебников-соглашусь, у нас тоже в планете знаний есть много вопросов-самое мое ненавистное задание-допиши слово-вот ерунда казалось бы, но вот недавно пыхтели всей семьей-и никто так и не угадал в сл раз буду сюда выкладывать Автор:Helen74 [ 13 апр 2013, 22:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а): Helen74 писал(а): Ребёнок должен уяснить, что в задаче обязательно есть условие и вопрос. Предлагаются тексты, где встречаются как задачи, так и не являющиеся ими. Ребёнку нужно понять, что не всякий текст является задачей. это я поняла. в обеих задачах-про помидоры и бидон-есть условие и вопрос. что тут нужно понять? эти две задачи по вашему ими не являются?или вы теорию рассказываете? Конечно, хотелось бы прочитать задание к этим номерам №3 возможно, как Вы и предположили "задача на внимание", а вот №4 условие то есть, но с недостающими данными. Может это так и было задумано, а может быть и опечатка, которых сейчас в учебниках и тетрадях множество.... Автор:Мусичка [ 13 апр 2013, 22:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Helen74 ок ясно. я потому так тщательно вас выспрашиваю, что сын тоже в первом классе сейчас, поэтому тема близка. как еще ребенку объяснить, что бывают опечатки-сейчас действительно их множество, раньше я такого не припомню Автор:annamai [ 13 апр 2013, 22:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) так и верить перестанут всему чему учат в учебниках((())) Автор:Еленка1 [ 14 апр 2013, 11:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а): а что оказалось надо было делать?перечислять всех=можно диссертацию написать.. Именно перечислить,но вот чтобы перечислить,столько сайтов пришлось перелопатить и отсеить ненужное ,что у меня до сих пор тик,зато столько новых животных узнала ,которые вымерли,так что один позитив А вообще,я бы "рабочие тетради" переименовала в домашние,потому как почему то все задания по ним задаются на дом,а в классе не делают,наверно ,чтоб учителям не заморачиваться над этим-на те дорогие родители,займитесь вечерком на сон грядущий,и пусть вам приснится сумчатый волк .который вымер в новое време и иже сним Автор:НаталюсикЮС [ 14 апр 2013, 18:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): задаются на дом,а в классе не делают наши и в классе работают.. а ещё есть тетради по развитию речи на печатной основе.... Автор:ari [ 15 апр 2013, 10:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) IVASHKA писал(а): Высмотрела в одноклассниках задача 3,4 Кусок из текста ни о чем не говорит. Может там задание было - 1. Определи, что из этого является задачей и реши. 2. Каких данных не хватает, чтобы решить оставшиеся задания. Допиши и реши. У нас много таких заданий было во 2 классе. Автор:мама Зая [ 26 апр 2013, 15:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня уже, что называется, накипело. Ребенок во втором классе. Усиленно тренируемся (дрессируемся) по пособиям для подготовки к ЕГЭ. По ним сейчас очень многие работают. Два перла из этих пособий за один только сегодняшний день. Математика, итоговое тестирование, Узорова, Нефедова, 2 класс. Тест 4. Задача. У Пети 24 марки, наклеек на 18 больше, чем марок, а открыток на 35 меньше, чем марок и наклеек вместе. Сколько открыток у Пети. Смотрю в ответы и вижу там решение в 2 действия: 1). 24+18=42, 2). 42-35=7. Оказывается, 7 открыток у Пети. Окружающий мир, итоговая аттестация, Крылова, 2 класс. Тест 5. Вопрос. Укажи, от какой отметки на термометре следует вести отчет температуры воздуха? Варианты ответов:1). От верхнего деления, 2). От нижнего деления, 3). От нулевой отметки, 4). Не имеет значения. Так вот правильный ответ, данный в этой книженции,-от нижнего деления. Это кто, скажите, пожалуйста, температуру от -40 градусов отсчитывает? Автор:НаталюсикЮС [ 26 апр 2013, 15:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мама Зая писал(а): 1). 24+18=42, 2). 42-35=7. Оказывается, 7 открыток у Пети. а что НЕ так? Автор:мама Зая [ 26 апр 2013, 15:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Не то, что открыток на 35 меньше, чем МАРОК И НАКЛЕЕК ВМЕСТЕ. Марок 24, наклеек 42. Автор:Йожин [ 26 апр 2013, 15:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мама Зая Да уж Чем дальше, тем больше меня пугают учебники современные НаталюсикЮС Ну там же в условии на 35 меньше, чем марок и наклеек вместе. Автор:НаталюсикЮС [ 26 апр 2013, 15:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Йожин писал(а): НаталюсикЮСНу там же в условии на 35 меньше, чем марок и наклеек вместе. точно я даже внимания не обратила... ещё удивляюсь, что мой сын ошибки делает весь в маму))) Автор:мама Зая [ 26 апр 2013, 15:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вам простительно делать ошибки. А вот людям, диктующим образовательные стандарты для наших детей-нет. Автор:Верса [ 26 апр 2013, 15:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мама Зая писал(а): Окружающий мир, итоговая аттестация, Крылова, 2 класс. Тест 5. Вопрос. Укажи, от какой отметки на термометре следует вести отчет температуры воздуха? Варианты ответов:1). От верхнего деления, 2). От нижнего деления, 3). От нулевой отметки, 4). Не имеет значения. Так вот правильный ответ, данный в этой книженции,-от нижнего деления. Это кто, скажите, пожалуйста, температуру от -40 градусов отсчитывает? а рисунок конкретного термометра есть? Автор:мама Зая [ 26 апр 2013, 16:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а): а рисунок конкретного термометра есть? Нет. Автор:ari [ 06 май 2013, 10:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Новая легкая задачка для разминки в понедельник (из экзам. билетов после началки). Муравей упал в колодец глубиной 30м. За день он проползает верх на 18 метров, за ночь опускается на 12 метров. Через сколько дней он сможет выбраться из колодца? Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 10:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari За 3? За сутки проползает 6 метров: 18-12. За первые сутки проползает 6, за второй день выпозти не успел, значит опять считаем сутками 12 метров, за третий день успел выползти: 12+18=30, значит ночное расстояние отнимать уже не надо. Итого три дня. Автор:мама Зая [ 06 май 2013, 11:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А я,уж извините, опять со своими тестами по математике за 2 класс Узорова, Нефедова. В 6 тесте в 21 задании: вычисли произведение и замени умножение произведением одинаковых слагаемых. Запиши ответ: 86=48. Вот у меня вопрос: что такое ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЛАГАЕМЫХ? Смотрю в ответ, а там: 888888=48. По-моему, 8 перемноженная 6 раз даст 262144 Вот и думай, что это, то ли произведение слагаемых, то ли сумма множителей. Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 11:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 7)Алина задумала число, к нему прибавила 2 и вычла 4. Какое число она задумала? (Число 7) То ли лыжи не едут, то ли я.... Но мне данных не хватает. задачи за первый класс. Автор:Elochka [ 06 май 2013, 11:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Алина задумала число, к нему прибавила 2 и вычла 4. Какое число она задумала? (Число 7) 365 тоже подходит, к нему можно прибавить 2 и вычесть 4 Автор:ari [ 06 май 2013, 11:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Алина задумала число, к нему прибавила 2 и вычла 4. Какое число она задумала? Любое число больше или равное 2. Дикарка писал(а): (Число 7) Это не поняла Автор:Баклан [ 06 май 2013, 12:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Новая легкая задачка для разминки в понедельник (из экзам. билетов после началки). Муравей упал в колодец глубиной 30м. За день он проползает верх на 18 метров, за ночь опускается на 12 метров. Через сколько дней он сможет выбраться из колодца? А что это за пособие, кто автор, как называется? Тоже такое хочу, пусть мой порешает. А то нам выдали в конце 3 класса итоговые задания для 4-го, и он их все решил, но там в самом деле все очень просто. Автор:katkon [ 06 май 2013, 12:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мама Зая писал(а): А я,уж извините, опять со своими тестами по математике за 2 класс Узорова, Нефедова. В 6 тесте в 21 задании: вычисли произведение и замени умножение произведением одинаковых слагаемых. Запиши ответ: 86=48. Вот у меня вопрос: что такое ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЛАГАЕМЫХ? Смотрю в ответ, а там: 888888=48. По-моему, 8 перемноженная 6 раз даст 262144 Вот и думай, что это, то ли произведение слагаемых, то ли сумма множителей. вообще жуть! скорее всего имелось в виду заменить умножение суммой. Ответ тоже впечатлил Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 12:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Дикарка писал(а): Алина задумала число, к нему прибавила 2 и вычла 4. Какое число она задумала? Любое число больше или равное 2. Дикарка писал(а): (Число 7) Это не поняла Это ответ написан. Олимпиадные задачи на смекалку для первого класса. Правда тут даже моей смекалки не хватило. Автор:ari [ 06 май 2013, 12:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Баклан Логинова, Яковлева Вот так выглядит стоит примерно 80руб. По математике вроде не сложно. Но меня удивляет направленность тестов на логику. Как-то больше подразумевается математический склад ума. Если ребенок может складывать, решать уравнения, знает таблицу умножения - то это не значит, что он сдаст тесты по математике. А вот по русскооому меня тесты сразили. Оказывается я нифига не знаю. Хорошо хоть ребенок справляется. Добавлено спустя 4 минуты 12 секунд: Звукм/буквы, суффиксы/приставки/предлоги, склонение, главные члены предложения. знаки препинания - это всё ладно. можно справиться, хоть и не легко. Но как вот такое задание: Какое слово не является однокоренным к слову сказка: сказочка. сказочник. сказки. сказочный. Автор:Принцесса [ 06 май 2013, 12:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Какое слово не является однокоренным к слову сказка: сказочка. сказочник. сказки. сказочный. "Сказки"- это измененное слово "сказка", а не однокоренное. Автор:Баклан [ 06 май 2013, 12:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Но как вот такое задание: Какое слово не является однокоренным к слову сказка: Что-то подобное я в наших заданиях нашла, там реальные работы какого-то из прошлых годов. Поищу вечером. Надо бы до учительницы дойти, спросить. Принцесса Ну как так, это же одно и тоже слово, корень-то один Разве корень не "сказ"? остальное - суффиксы... Автор:sluy [ 06 май 2013, 12:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Принцесса писал(а): "Сказки"- это измененное слово "сказка", а не однокоренное. там в учебнике,кстати,очень доходчиво все написано: окончание не значимая часть слова т.к не служит для образования нового слова в данном случае изменено окончание в слове "сказка" -"сказки" (Планета знаний) Автор:ari [ 06 май 2013, 12:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Или вот еще задание: В каком порядке должны следовать предложения, обозначенные буквами, чтобы получился связный текст? Допиши 4-6 предложений, продолжив текст. А. Долго лисица рвала барабан когтями, грызла зубами, наконец разорвала кожу и увидела пустоту. Б. А потом осмелела и набросилась на добычу. В. Голодная лисица однажды наткнулась на старый барабан. Г. Он лежал в кустах и гудел, когда ветки ударяли по натянутой коже. Д. Услышав эти громкие звуки, лисица вначале побоялась подойти. Ну первое задание понятно. А дописать . Автор:sluy [ 06 май 2013, 12:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Баклан писал(а): остальное - суффиксы.. окончание! в этом суть! а суффикс-значимая часть слова,служит для образования новых слов Автор:Принцесса [ 06 май 2013, 12:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Принцесса писал(а): "Сказки"- это измененное слово "сказка", а не однокоренное. это измененная форма слова "сказка", а именно множественное число. А однокоренные слова отличаются не окончанием, а при наличии одинакового корня добавляются приставки или суффиксы. Как-то так, ... но когда учились мы все эти слова были "однокоренными". Автор:ari [ 06 май 2013, 12:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Принцесса Баклан sluy Да, это я уже потом полезла правила смотреть. Проще говоря - однокоренное слово, если добавили приставку или суффикс. Хорошо хоть ребенок справляется. Автор:sluy [ 06 май 2013, 12:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Да, это я уже потом полезла правила смотреть. у меня ребенок часто болел,поэтому русский язык(и не только) мы дома вместе изучали. я Планету всю вдоль и поперек знаю замутов там... но это для нашего восприятия, а детям норм Автор:Баклан [ 06 май 2013, 12:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Принцесса писал(а): но когда учились мы все эти слова были "однокоренными". Я в шоке. У меня было по русскому 5. Надо почитать учебник и сходить к учительнице. Цитата: но это для нашего восприятия, а детям норм Мой, кажется, не разбирается. Вы торпедировали мой интеллект Автор:ari [ 06 май 2013, 12:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Баклан Тогда стоит больше внимания уделить русскому. Для меня - там очень серьезные задания. Еще есть 3-я группа тестов, но я до них еще не дошла. Я так поняла там нужно прочитать тест про ученного и его открытие. И ответить на вопросы. Суть - внимательно читать текст. Вопросы включают и логику, и математику, и русский, и географию. Автор:sluy [ 06 май 2013, 12:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Баклан писал(а): У меня было по русскому 5. у меня не 5, но 4 была наитвердейшая я была в шоке,когда открылось мне про йотированные гласные(это уже со старшей в 10 классе) мы с вами такие изучали? нет! Автор:Elochka [ 06 май 2013, 12:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): про йотированные гласные и если они в начале слова, то означают 2 звука Автор:ari [ 06 май 2013, 12:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): йотированные гласные(это уже со старшей в 10 классе) Это уже в 1-м классе проходят. Тогда же я узнала, что есть существительные не только женск., муж. и средн., но и общего рода. Автор:Asio otus [ 06 май 2013, 12:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): 7)Алина задумала число, к нему прибавила 2 и вычла 4. Какое число она задумала? (Число 7) Раз на смекалку задачи, то можно предположить, что ответ нужно искать в вопросе, тут вопрос= задание №7- вот и ответ получается)))) только так, я думаю.... Автор:ari [ 06 май 2013, 13:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Elochka писал(а): sluy писал(а): про йотированные гласные и если они в начале слова, то означают 2 звука На это есть такие задания: В каком слове звуков больше, чем букв: эхо звёзды юрта ель Автор:xoffi [ 06 май 2013, 13:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Что еще за существительные общего рода? да, в мое время такого не изучали Автор:Баклан [ 06 май 2013, 13:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): мне про йотированные гласные(это уже со старшей в 10 классе) Первый раз слышу, как формулировку. Но суть у меня младший 3-классник знает, мы делали задания, которые Ари выше привела, про количество звуков. Со старшим занимаюсь немного, он вроде сам учится, вот разве что перед ГИА на него насела. Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Elochka писал(а): и если они в начале слова, то означают 2 звука не суть, узнала-то я про "йотированные" пару лет назад всего а до этого жила в темноте(четвертый десяток на исходе ) Автор:ari [ 06 май 2013, 13:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) xoffi писал(а): ari Что еще за существительные общего рода? да, в мое время такого не изучали Которые можно отнести и к женск. и мужск. Например: забияка, непоседа и т.п. Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Баклан писал(а): Первый раз слышу, как формулировку вот именно! а транскрипцию мы делали? я только помню в английском языке, а сейчас... Автор:ari [ 06 май 2013, 13:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): вот именно! а транскрипцию мы делали? я только помню в английском языке, а сейчас... Делали. Писали слово, а потом каждый звук отдельно и его характеристики (твердый/мягкий, гласный/согласный). Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): (твердый/мягкий, гласный/согласный). там не такая транскрипция Автор:Elochka [ 06 май 2013, 13:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): а до этого жила в темноте(четвертый десяток на исходе ) +1 ari писал(а): Которые можно отнести и к женск. и мужск.Например: забияка, непоседа и т.п. Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды: sluy писал(а): там не такая транскрипция у наших такая: буква в квадратных скобках, причем не как пишется, а как слышится парная/непар., глас/согл, глух/звонкая, твердая/мягкая У нас учительница для родителей уроки делает, на родительском собрании минут 40 каждый раз объясняет "новые приколы" Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Elochka писал(а): у наших такая: буква в квадратных скобках, причем не как пишется, а как слышится именно как в английском я в своем октябрятском детстве такого не знала не,ну это хорошо, что дети умнее нас, я только "за" Автор:Ушла на базу [ 06 май 2013, 13:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): На это есть такие задания: В каком слове звуков больше, чем букв: эхо звёзды юрта ель Разбор такого типа: юрта - 4 буквы, 5 звуков [й'] согласный, мягкий, звонкий, непарный [у] гласный, ударный [р] согласный, твердый, звонкий, непарный [т] согласный, твердый, глухой, парный [а] гласный, безударный Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 13:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну такое у нас вроде было. Фонетический разбор слова называлось. Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды: Про парный - непарный только впервые слышу. Автор:ari [ 06 май 2013, 13:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy Elochka Я запуталась. У нас было Ушла на базу писал(а): Разбор такого типа: юрта - 4 буквы, 5 звуков [й'] согласный, мягкий, звонкий, непарный [у] гласный, ударный [р] согласный, твердый, звонкий, непарный [т] согласный, твердый, глухой, парный [а] гласный, безударный У нас в СССР так было. А сейчас как? Ё-моё и это я ещё жалуюсь, что много уроков с ребенком делаю. Но это мы с сыном проходили еще в 1-м ил во 2-м. Я ворона забыла, как мы это делали. Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): У нас в СССР так было. млин, вот откопаю ради вас учебник 10-11 класс. ждите! Автор:ari [ 06 май 2013, 13:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Про парный - непарный только впервые слышу. Было и у нас такое : з-с г-к и т.п. Добавлено спустя 1 минуту 52 секунды: sluy Я просто не пойму как сейчас, про что вы говорите? В англ. языке же все звуки пишутся в квадр. скобках. Сейчас в русском так же? А как тогда характеристика звуков прописывается? Вы просто напишите как сейчас ученики в тетрадях пишут. Я не пойму. Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Было и у нас такое : при чем здесь было-не было суть,как это сейчас оформляется и "ю" мы на "Й" и "У" в транскрипции не раскладывали! не надо! Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд: ari писал(а): В англ. языке же все звуки пишутся в квадр. скобках. Сейчас в русском так же? да! и "я" - "Й" "А"и считается ДВУМЯ звуками. мы считали ОДНИМ. не спорьте. Автор:ari [ 06 май 2013, 13:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy Да я не спорю. Я пытаюсь понять отличие. Про йотированные звуки поняла. Хотела еще посмотреть как именно сейчас в тетради пишут. Я не говорю, что вы не правы. Я пытаюсь понять. Автор:ТМvl [ 06 май 2013, 13:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): и "ю" мы на "Й" и "У" в транскрипции не раскладывали! не надо! раскладывали, 100%. sluy писал(а): и "я" - "Й" "А"и считается ДВУМЯ звуками. мы считали ОДНИМ. не спорьте. а чего спорить? 4 класс - 1980 год, изучали эту транскрипцию. Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Я не говорю, что вы не правы. не в правоте дело. русский язык-его преподавание изменилось. и говорить о том, что "и у нас так было"- неуместно. не было. посмотрите на Окружающий мир- там история сплошь и рядом. а ведет предмет кто? у нас учитель биологии. Добавлено спустя 52 секунды: ТМvl писал(а): 4 класс - 1980 год учебник! издательство! Автор:ТМvl [ 06 май 2013, 13:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): учебник! издательство! нам в то время учебники в школе выдавали, а в конце года мы их в библиотеку сдавали :) Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 13:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): ari писал(а): Было и у нас такое : при чем здесь было-не было суть,как это сейчас оформляется и "ю" мы на "Й" и "У" в транскрипции не раскладывали! не надо! Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд: ari писал(а): В англ. языке же все звуки пишутся в квадр. скобках. Сейчас в русском так же? да! и "я" - "Й" "А"и считается ДВУМЯ звуками. мы считали ОДНИМ. не спорьте. Училась с 1991года по 2001 - мы писали в квадратных скобках, раскладывали гласные на два звука. Это все называлось фонетическим разборок слова - все как выше девочки в пример приводили. Единственное я не помню формулировки парные согласные. Т.е. Б-п это все было, но изучали их как звонкие-глухие, а про парность не писали. И про йотированые гласные первый раз слышу. Но на практике мы все это раскладывали и расписывали. И буквы Я (йа) ю (йу) е с точками (йо) расписывали двумя звуками, причем были исключения в каких то словах они пишутся двумя звуками, а в каких-то одним. Автор:sluy [ 06 май 2013, 13:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl писал(а): нам в то время учебники в школе выдавали, а в конце года мы их в библиотеку сдавали :) не аргумент Добавлено спустя 44 секунды: Дикарка писал(а): Училась с 1991года по 2001 я к тому времени школу окончила и говорю только о своей начальной школе Автор:milita.ri [ 06 май 2013, 14:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy Я хорошо помню фонетический разбор слов ещё со школы.Ничего не поменялось.Сейчас дочке в 1 классе объясняю. Автор:ari [ 06 май 2013, 14:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мне кажется мы говорим про разные вещи. Фонетическая транскрипция и Фонетический разбор слова. Википедия говорит, что второе было распространено в СССР. ... F%F6%E8%FF ... B%EE%E2%E0 Получается дети сейчас не проходят фонетический разбор, а только транскрипцию? Или разбор для нач. классов, а транскрипция для старших? Или и то и другое? Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 14:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еж [й] [о] [ш] Береза [б'] [е] [р'] [о] [з] [а] Автор:milita.ri [ 06 май 2013, 14:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): Я (йа) ю (йу) е с точками (йо) расписывали двумя звуками, причем были исключения в каких то словах они пишутся двумя звуками, а в каких-то одним. Например в слове ёлка -как "й" и" о"(4 б .и 5 зв.),а в слове звёзды - "в" мягкое и "о"(6 б. и 6 зв.) Автор:sluy [ 06 май 2013, 14:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Фонетическая транскрипция и Фонетический разбор слова. слава тебе господи! конечно я про транскрипцию! ну не писали мы эти квадратные скобки в русском языке в английском писали!!! и это было в диковинку само слово "транскрипция" Автор:ari [ 06 май 2013, 14:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy Так бы сразу и сказали. Автор:sluy [ 06 май 2013, 14:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Так бы сразу и сказали да я сто раз "транскрипция" произнесла! а там еще в этой транскрипции в последнем классе "Ъ" куда-то ставить надо(не помню,надо учебник искать) да,это возможно и было для филологов, но в школах не преподавалась. опять же учителя выпускники пед институтов, а им точно это дело не преподавали, только в универах но сейчас все умные-это неплохо!!! Автор:ТМvl [ 06 май 2013, 14:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): ну не писали мы эти квадратные скобки в русском языке Автор:sluy [ 06 май 2013, 14:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl а речь-то собственно была не об этом: каждое слово пишется в отдельных скобках-слово, а не отдельно по звукам. пошла все же за учебником. Добавлено спустя 11 минут 18 секунд: Итак,я готова! Образец разбора слова ёл-ка из учебника Гольцовой 10-11 класс 2009г [ jолкъ ] Было такое в наших учебниках? И еще оттуда же: а безударный подвергается редукции в заударном слоге,на его месте произносится ъ после твердого согласного. жду аналогии с советским учебником возможно, что это и было,значит пропустила я. просветите. Добавлено спустя 29 минут 35 секунд: лес [л`эс] люк [л`ук] ряд [р`ат] ель [jэл`] ёж [jош] линия [линиjа] Автор:Валечка [ 06 май 2013, 15:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy так в 10-11 разве был русский как отдельный предмет? я заканчивала школу в 95. очень хорошо помню, что в 93 специально сдавала экзамен устно по русскому языку, чтобы учителю доказать, что я знаю на 5( когда 9-й класс заканчивали) . потому что в 10-11 классе уже нельзя было оценку исправить Или я что-то путаю уже за давностью лет sluy писал(а): [ jолкъ ] такого точно не было. была буква й в транскрипции Автор:sluy [ 06 май 2013, 15:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка писал(а): так в 10-11 разве был русский как отдельный предмет? учебник для повторения пройденного,конечно.но отдельный предмет,да Валечка писал(а): потому что в 10-11 классе уже нельзя было оценку исправить Или я что-то путаю уже за давностью лет путаете. теперь за 11 класс оценка в аттестат идет Валечка писал(а): такого точно не было. была буква й в транскрипции это и есть фонетическая транскрипция я то как раз Америку открыла на этой елке Автор:belladonna [ 06 май 2013, 16:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка писал(а): потому что в 10-11 классе уже нельзя было оценку исправить в 10-11 русского не было(92-93), но я, получив "5" в 9-м классе (тоже сдавала устно ) в аттестат получила всё-же "4", т.к. выпускное сочинение написала на 5\4, а это сочинение влияет на итоговую оценку .И плакала моя сер. медаль Автор:ma-sha [ 06 май 2013, 16:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl писал(а): раскладывали, 100%. Подтверждаю, раскладывали Автор:sluy [ 06 май 2013, 16:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna писал(а): в 10-11 русского не было у меня тоже не было(перед вами ) дочь прошлый год выпустилась-у них русский был 10-11кл. учебник тоже ее. Автор:ma-sha [ 06 май 2013, 16:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): я к тому времени школу окончила и говорю только о своей начальной школе Я закончила школу в 1982 году и мы проходили фонетический разбор слова, раскладывали гласные на 2 звука Автор:sluy [ 06 май 2013, 16:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Подтверждаю, раскладывали каждое слово транскрипцией нет. только отдельными звуками. Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд: ma-sha писал(а): Я закончила школу в 1982 году и мы проходили фонетический разбор слова, раскладывали гласные на 2 звука а вы повыше все прочитали? мы уже выяснили, что фонетический разбор слова и фонетическая транскрипция не одно и то же. кроме того,по ссылке ari "Упрощённая фонетическая транскрипция используется в школьном фонетическом разборе слова". Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд: ma-sha в 1982 году твердый знак записывали в транскрипции вот в этом случае? "а безударный подвергается редукции в заударном слоге,на его месте произносится ъ после твердого согласного" т.е. ёл-ка так и раскладывалась? Автор:ma-sha [ 06 май 2013, 16:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Получается дети сейчас не проходят фонетический разбор, а только транскрипцию? Все они проходят: и полный фонетический разбор, и просто транскрипцию пишут. Автор:ТМvl [ 06 май 2013, 16:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): фонетический разбор слова и фонетическая транскрипция не одно и то же фонетический разбор слова - это процесс и его результат, а фонетическая транскрипция - это метод, средство записи звуков. Автор:sluy [ 06 май 2013, 16:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl писал(а): фонетический разбор слова - это процесс и его результат, а фонетическая транскрипция - это метод, средство записи звуков. Сенкью вери мач! И? Автор:ТМvl [ 06 май 2013, 17:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): И? и процесс и средство совершенствуются и развиваются, и запись 1980 года может отличаться от записи 2013. Автор:sluy [ 06 май 2013, 17:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl писал(а): и запись 1980 года может отличаться от записи 2013. при чем кардинально Автор:ma-sha [ 06 май 2013, 17:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): в 1982 году твердый знак записывали в транскрипции вот в этом случае? "а безударный подвергается редукции в заударном слоге,на его месте произносится ъ после твердого согласного" т.е. ёл-ка так и раскладывалась? Нет, это мы не проходили (именно это вообще нафиг в школьную программу пихать?), но при фонетическом разборе гласные раскладывали на 2 звука точно. Выше Вы написали, что в наше время я (и другие гласные) всегда была одним звуком, а не двумя й и а. Так вот, они всегда были двумя звуками при фонетическом разборе. Это я и имела в виду. Автор:Darling) [ 06 май 2013, 17:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl ТМvl писал(а): процесс и средство совершенствуются и развиваются, и запись 1980 года может отличаться от записи 2013. ну чему там отличаться?... фонетика - застывшая наука... всегда все писаось в квадратных скобках... двойственную роль букв ЕЁЮЯ проходили все и всегда, во все времена... одна из функций начальной школы - именно научить отличать, когда эти буквы обозначают один звук, а когда два... и практически ничего в преподавании русского языка не изменилось... в учебнике традици онной программы так вообще полно упражнений, которые были в мое время (школу закончила в 92)... Добавлено спустя 3 минуты 36 секунд: ma-sha ma-sha писал(а): в наше время я (и другие гласные) всегда была одним звуком, а не двумя й и а. Так вот, они всегда были двумя звуками при фонетическом разборе. так никогда не было, и сейчас не так)))... есть слова, где эти буквы обозначают два звука, например, [jа]блоко, а есть слова, где один звук [м'ач]... общего правила нет... Автор:ma-sha [ 06 май 2013, 17:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Darling) писал(а): так никогда не было, и сейчас не так))) Так я и написала, что всегда так было Автор:sluy [ 06 май 2013, 17:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Это я и имела в виду. я изначально не совсем верно объяснила-согласна. имела ввиду транскрипцию слова и само определение "йотированная". кроме того,забыла еще про "сонорный" согласный звук упомянуть при фонетическом разборе. было у вас такое? Автор:ma-sha [ 06 май 2013, 17:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): было у вас такое? Вот про это не могу сказать наверняка, не помню просто (но это не обязательно должно означать, что точно не было). Автор:Darling) [ 06 май 2013, 17:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy sluy писал(а): определение "йотированная". традиционная программа этого термина не дает... Автор:sluy [ 06 май 2013, 17:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Darling) писал(а): традиционная программа этого термина не дает... вот! и тут я такая открываю учебник Гольцова и читаю про "йотированный" и "сонорный" звуки ... Автор:чипса [ 06 май 2013, 19:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) рассказ толстого взялся человек рыть канаву и рыл все лето. вырыл на 3 версты. пришел хозяин и похвалил: много же ты вырыл. невеличка капля, а камень долбит. задание - попробуй составить рассказ по этой пословице - невеличка капля.... Автор:Дикарка [ 06 май 2013, 19:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса Ну и в чем проблема? Решила я стать отличницей. А с чего начать? Пришла домой со школы и села за задание. Но ручка не слушалась, и буквы разбегались в разные стороны. Но я не сдавалась и продолжала снова и снова выводить непослушные буквы. А когда учительница проверила, она меня похвалила и поставила "отлично". Это мой первый шаг к отличнице. Невеличка капля, а камень долбит. Автор:чипса [ 06 май 2013, 19:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка вот спасибо. прибежала соседка. я чет растерялась. у меня мозг на коррекционных детей уже заточен Автор:Darling) [ 06 май 2013, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса чипса писал(а): задание - попробуй составить рассказ по этой пословице - невеличка капля.... а какой класс?... чет такой бред... по-моему, рассказы Толстого для детей - вообще кошмар!... Автор:Katie [ 06 май 2013, 20:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а): sluy писал(а): ari писал(а): Было и у нас такое : при чем здесь было-не было суть,как это сейчас оформляется и "ю" мы на "Й" и "У" в транскрипции не раскладывали! не надо! Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд: ari писал(а): В англ. языке же все звуки пишутся в квадр. скобках. Сейчас в русском так же? да! и "я" - "Й" "А"и считается ДВУМЯ звуками. мы считали ОДНИМ. не спорьте. Училась с 1991года по 2001 - мы писали в квадратных скобках, раскладывали гласные на два звука. Это все называлось фонетическим разборок слова - все как выше девочки в пример приводили. Единственное я не помню формулировки парные согласные. Т.е. Б-п это все было, но изучали их как звонкие-глухие, а про парность не писали. И про йотированые гласные первый раз слышу. Но на практике мы все это раскладывали и расписывали. И буквы Я (йа) ю (йу) е с точками (йо) расписывали двумя звуками, причем были исключения в каких то словах они пишутся двумя звуками, а в каких-то одним. Согласна с Дикарка Автор:Anna_R [ 11 сен 2013, 14:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Том Сойер решил, что на своём пиратском корабле он возьмёт на абордаж 8 галеонов и в пять раз больше каравелл с сокровищами. Сколько галеонов и каравелл с сокровищами решил взять на абордаж Чёрный мститель Испанских морей? ответ 48? или задача из радряда, что на яблоне желуди не растут? у меня уже паранойя, похоже..... Автор:Баклан [ 11 сен 2013, 15:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R Мне кажется, иногда пираты - это просто пираты Наверное, все же 48 Автор:Anna_R [ 11 сен 2013, 15:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Баклан спасибо. но почему-то подвох везде ищу уже... Автор:карапузик L [ 11 сен 2013, 15:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 58=40 Автор:Верса [ 11 сен 2013, 15:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) карапузик L и плюс 8 Автор:Trevor [ 11 сен 2013, 15:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Однозначно 22. Мы-то взрослые умеем делить и умножать. А детишки пока только "смотрят" на числа Автор:ma-sha [ 11 сен 2013, 15:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): спасибо. но почему-то подвох везде ищу уже... У нас дети постоянно на этом попадались В классе решали трудные и замысловатые задачи. Если на контрольной были подобные, то решали легко. А вот если присылали контрольную с легкими задачами, то тоже сидели и тупили, все подвох искали, не верили, что все именно вот так вот просто решается Автор:Anna_R [ 11 сен 2013, 15:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha вот именно Автор:Ушла на базу [ 11 сен 2013, 15:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Trevor писал(а): Однозначно 22. Мы-то взрослые умеем делить и умножать. А детишки пока только "смотрят" на числа Автор:Верса [ 11 сен 2013, 15:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу это ответ на первый пост Автор:Ушла на базу [ 11 сен 2013, 16:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса Понятно, а то я аж зависла Автор:Линомарк [ 12 сен 2013, 16:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): А вот если присылали контрольную с легкими задачами, то тоже сидели и тупили, все подвох искали, не верили, что все именно вот так вот просто решается Я помню, у меня тоже так всегда было Автор:Еленка1 [ 12 сен 2013, 20:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) представьте себе , что в один музей принесли древний меч. на мече была вырезана надпись: " ЭТИМ ОРУЖИЕМ СПАРТАК ПОРАЖАЛ ВРАГОВ." НАДПИСЬ СДЕЛАНА ДРУЗЬЯМИ СПАРТАКА ЧЕРЕЗ ДВА ДНЯ ПОСЛЕ ЕГО ГИБЕЛИ В 71 ГОДУ ДО РОЖДЕСТВА ХРИСТОВА" осмотревшие меч учёные знали , что вождь восставших рабов по имени Спартак действительно погиб в 71 году до н. э. не смотря на это , они заявили , что надпись фальшивая: она сделана не друзьями Спартака , а много -много лет позже . объясните , почему учёные пришли к такому выводу История 5 класс. Автор:una di tanta [ 12 сен 2013, 20:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): ГОДУ ДО РОЖДЕСТВА ХРИСТОВА" Откуда ж они(друзья)знали,что через 71 г родится Христос Это учитель постарался заинтересовать детей или у учебнике такие забавы предусмотрены? Автор:Анитра [ 12 сен 2013, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 Потому что в 71 году до Рождества Христова еще не знали, что на дворе действительно 71 год до рождества Христова. Эта система летоисчисления появилась гораздо позже Автор:Ксентий [ 12 сен 2013, 20:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): представьте себе , что в один музей принесли древний меч. на мече была вырезана надпись: " ЭТИМ ОРУЖИЕМ СПАРТАК ПОРАЖАЛ ВРАГОВ." НАДПИСЬ СДЕЛАНА ДРУЗЬЯМИ СПАРТАКА ЧЕРЕЗ ДВА ДНЯ ПОСЛЕ ЕГО ГИБЕЛИ В 71 ГОДУ ДО РОЖДЕСТВА ХРИСТОВА" осмотревшие меч учёные знали , что вождь восставших рабов по имени Спартак действительно погиб в 71 году до н. э. не смотря на это , они заявили , что надпись фальшивая: она сделана не друзьями Спартака , а много -много лет позже . объясните , почему учёные пришли к такому выводу История 5 класс. Потому что друзья не могли знать что через 71 год начнется наша эра, т.е. родится Христос. Автор:Еленка1 [ 12 сен 2013, 20:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тифлис у рабочей тетради,только ответ Ваш не полный,надо было еще добавить,что они еще и не знали о другом летоисчислении- до н.э. Не знали,что другая эра грядет-наша Автор:una di tanta [ 12 сен 2013, 20:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НУ да!Это и есть логическая несостыковка,поэтому и надпись-сделана позже.А дети догадались? Автор:Еленка1 [ 12 сен 2013, 20:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) не,ну я все понимаю,конеш,но вопрос не для 10-летки. Вроде элементарный,но пришлось мне все-таки интернетом воспользоваться,а когда ответ нашла ,поржала над собой,вроде по истории у меня 5 было,а вот так с ходу не сообразила. Добавлено спустя 24 секунды: тифлис не,догадались родители Автор:Zenya [ 12 сен 2013, 20:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): Добавлено спустя 24 секунды: тифлис не,догадались родители ого, я бы тоже не сообразила Автор:una di tanta [ 12 сен 2013, 20:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Подруга на днях сбросила-сыну(6лет) на тестировании в подготовительный класс гимназии (Москва)достался вопрос: "Если синему цвету противоположен желтый,А зеленому-красный,то что будет антиподом оранжевого?"Именно в такой формулировке Отвечу сразу-фиолетовый.Найдите закономерность...с точки зрения шестилетки. Автор:ma-sha [ 12 сен 2013, 20:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тифлис Интересно, а я бы ответила, что антиподом оранжевого является сине-зеленый или цвет морской волны. А почему правильный ответ фиолетовый? Автор:una di tanta [ 12 сен 2013, 21:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А пл соотношению-простой-сложный цвет,холодный-теплый спектр.Мне другой вопрос понравился(из категории простых-бытовых):"Кем приходится бабушка вашей матери -вашему отцу?"Догадайтесь с 3 раз...Бабушкой жены!!!! Автор:НаталюсикЮС [ 12 сен 2013, 21:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) наверно, потому, что синий+ зеленый = фиолетовый??? а по закономерности.. желтый + красный = оранжевый.. так? или заумно для 6 лет-то Автор:ma-sha [ 12 сен 2013, 21:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тифлис писал(а): А пл соотношению-простой-сложный цвет,холодный-теплый спектр. А почему мой ответ неправильный? Добавлено спустя 1 минуту 55 секунд: НаталюсикЮС писал(а): наверно, потому, что синий+ зеленый = фиолетовый??? Синий+зеленый - это как раз цвет морской волны, а фиолетовый - это синий+красный, и это никак к данным условиям не подходит. Автор:una di tanta [ 12 сен 2013, 21:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Сине-зеленый и цв.морской волны-не являются цветом,а цветосочетанием...О как! Автор:Анитра [ 12 сен 2013, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тифлис писал(а): Сине-зеленый и цв.морской волны-не являются цветом,а цветосочетанием...О как! всю жизнь думала, что цветосочетание - это сочетание двух или нескольких разных цветов, а цвет морской волны - самый что ни на есть настоящий цвет. Задача не побоюсь этого слова идиотская не только для шестилеток, но и для всех. Я честно говоря так и не поняла, почему правильный ответ именно фиолетовый цвет Автор:ma-sha [ 12 сен 2013, 21:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тифлис писал(а): Сине-зеленый и цв.морской волны-не являются цветом,а цветосочетанием...О как! Я всегда считала цвет морской волны самостоятельным цветом. Так и фиолетовый - это не помесь синего и зеленого. А в данной задаче требуемый цвет должен удовлетворять именно этим условиям Автор:7_tanya [ 12 сен 2013, 22:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тифлис писал(а): Подруга на днях сбросила-сыну(6лет) на тестировании в подготовительный класс гимназии (Москва)достался вопрос: "Если синему цвету противоположен желтый,А зеленому-красный,то что будет антиподом оранжевого?"Именно в такой формулировке Отвечу сразу-фиолетовый.Найдите закономерность...с точки зрения шестилетки. Я думаю, что здесь дело как раз в смешивании цветов: синий+ желтый = зеленый красный+ желтый = оранжевый синий+ красный = фиолетовый Сначала идут два простых цвета, затем один простой и один смешанный, и третий вариант два смешанных цвета. Автор:Дипломница [ 13 сен 2013, 07:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ответы и вопросы домашнее задание На сайте много ответов нашла Автор:ari [ 13 сен 2013, 09:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я думаю здесь имелся ввиду круг Гете и наверняка детям на подготов. занятиях он показывался и объяснялся. Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды: Автор:Yessey [ 13 сен 2013, 09:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Я думаю здесь имелся ввиду круг Гете и наверняка детям на подготов. занятиях он показывался и объяснялся. Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды: Все равно непонятно,по какому принципу определяется антипод Автор:ma-sha [ 13 сен 2013, 09:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari И как условия задачи к этому привязать? Автор:марьяша [ 15 сен 2013, 09:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мамы первоклашек помогите плиз Вот задание Автор:Танка [ 15 сен 2013, 09:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) марьяша, во второй столбик вписываете такие цифры, чтобы получилась сумма на крыше. Например, в первом столбике это будут 4, 3, 2, 1. Автор:ma-sha [ 15 сен 2013, 10:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка писал(а): марьяша, во второй столбик вписываете такие цифры, чтобы получилась сумма на крыше. Например, в первом столбике это будут 4, 3, 2, 1. Это упражнения на состав числа. Автор:марьяша [ 15 сен 2013, 11:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка ma-sha Спасибо большое Автор:Еленка1 [ 16 сен 2013, 21:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки,вопрос не совсем по теме,но все же. Где можно посмотреть нормативы по физкультуре,утвержденные минобразованием или еще кем нибудь. Ситуация следующая,ре. занимается довольно серьезно спортом,хорошая физ. подготовка,приносит по физ-ре -3,4. Я спрашиваю за что? За прыжок с места -надо было ,говорит прыгнуть с места на 2 метра,а он только на 185 (4) И бег на 30 м за 5,1 сек. (3) . Вот мне и стало интересно как он может прыгнуть на 2 м. с места ,если он ростом 145,причем он единственный из мальчиков получил4. И пробежать за 5,1 сек эту дистанцию -как? Вот мне и интересно стало где наш физрук черпает эти нормы? Посмотрела примерные нормативы,там для мальчиков 5 класса -165-на 5 .Дайте ссылку,может кто знает,а то шкура стоит дыбом ,сын расстроен Автор:Верса [ 16 сен 2013, 21:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 сайт для учителей физкультуры ... klass.html вот ещё нормативы с сайта школы - по возрасту, а не по классам ваш учитель вроде как не прав Автор:Еленка1 [ 16 сен 2013, 21:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я его тоже смотрела,но является ли этот сайт ,так скажем единым для школ или это только рекомендательного характера? Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд: Да то ,что он не прав,тут к бабке,как говорится не ходи ,но вот ,чтобы парировать ему чем то, надо подготовиться основательно Автор:Ушла на базу [ 16 сен 2013, 22:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 Вот нашла еще рабочие программы по физ-ре ... -kulture-0 Автор:Верса [ 16 сен 2013, 22:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 вообще-то это учитель (или завуч) должен вам показать учебник и остальные методические материалы, по которым учатся дети. и не говорите заранее, что вы нашли другую информацию - имхо. вот ещё здесь скачала нормативы в ворде - то же самое. не может быть такое количество неправильных источников Автор:Эльдорадо [ 16 сен 2013, 22:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) . Автор:Еленка1 [ 16 сен 2013, 22:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо ,Вам ,очень хочу пообщаться с ним тет-а -тет ,распечатала все нормативы для 5 класса,начиталась кучу информации. Чувствую,что вечер встречи будет томным. Не пошла бы,но здесь как говорится , дело принципа,если бы не была бы уверена в подготовке сына,а то зная его возможности,обидно.Вообще -произвол полный. Автор:ma-sha [ 16 сен 2013, 22:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 Если Вас не удовлетворит результат беседы с учителем, то идите к завучу. Автор:Юджин [ 16 сен 2013, 22:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): Спасибо ,Вам ,очень хочу пообщаться с ним тет-а -тет ,распечатала все нормативы для 5 класса,начиталась кучу информации. Чувствую,что вечер встречи будет томным. Не пошла бы,но здесь как говорится , дело принципа,если бы не была бы уверена в подготовке сына,а то зная его возможности,обидно.Вообще -произвол полный. Скажите, пожалуйста, а у сына есть разряд какой-нибудь? Автор:Еленка1 [ 16 сен 2013, 22:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юджин У него не разряд,а кью,мы занимаемся КУДО Автор:Верса [ 16 сен 2013, 22:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 вы не горячитесь заранее - возможно учитель сразу поймет свою ошибку и всё исправит все мы люди. очень на это надеюсь Автор:Еленка1 [ 16 сен 2013, 22:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а): вы не горячитесь заранее - возможно учитель сразу поймет свою ошибку и всё исправит все мы люди. очень на это надеюсь Я тоже надеюсь,но у нас у всего класса тройбаны ,как то странненько получается..... Причем есть мальчишки,которые футболом занимаются -бегают целыми тренировками ,ладно мы с грушей и в спарингах постоянно У нас даже тренер ржал(простите) ,когда в прошлом году на уроке сыну сказали,что он отжиматься не умеет Автор:Юджин [ 17 сен 2013, 07:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): У него не разряд,а кью,мы занимаемся КУДО Я почему спросила: в 3 кл. у нас тоже был момент, когда дочери почему-то карандашиком еще была выставлена "4"-к в четверти, она страшно расстроилась (физ-ру обожает, текущие оценки - пятерки), а одна мама из класса сказала, что если деть имеет разряд по какому-либо спорту (у нас 1ю. по плаванию), то вообще она может быть освобождена от физ-ры и автоматом ей поставят физ-ру( я это не выясняла, не знаю точно!) Нам автоматом не надо, мы не собирались пропускать предмет, ей очень нравится! Я подошла к учителю, выяснилось, что он просто ошибся, и при итоговом выставлении, обязательно поставил бы 5-ку (вот, как много буков получилось) Знает ли Ваш учитель, что мальчик спортом занимается и имеет заслуженный кью?! Автор:Katie [ 17 сен 2013, 09:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может конфликт у детей с учителем? Добавлено спустя 52 секунды: Есть такие кто не за знания и умения ставит оценки , а по настроению Автор:Флёр [ 20 сен 2013, 15:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Всем добрый день, подскажите как сделать модель солнца из пластилина. Моим детям сегодня задали по окружающему миру сделать, мы обучаемся по программе "Школа России". Кто помогал своим деткам отзовитесь. А то из мене что-то в голове не укладывается с чего вообще начать! Автор:Lina_25 [ 20 сен 2013, 15:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Флёр писал(а): модель солнца из пластилина сделайте на стекле, фон и солнце на нем, мы в детстве делали. В интернете на CD диске прям пластилин в виде солнца и лучей. Автор:Анитра [ 20 сен 2013, 15:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Флёр если это модель, то она объемная должна быть, насколько я понимаю. Я бы просто скатала бы шар из желтого пластилина и вытянула потом из него несколько лучиков. Ну и подложку бы сделала соответсвующего фона, черную или темно-синюю, можно со звездочками Автор:Lina_25 [ 20 сен 2013, 15:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Анитра писал(а): если это модель, то она объемная должна быть не факт, лучше у учителя уточнить, потому как наша, нам сказала, что самое главное это работа с пластилином, маторика. Автор:sluy [ 20 сен 2013, 15:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Анитра писал(а): Я бы просто скатала бы шар из желтого пластилина и вытянула потом из него несколько лучиков. можно еще без лучиков, просто строение солнца..ядро... в интернете есть фото.. ну или воткнуть в солнце спички,а в спички планеты натыкать...типа солнечная система)))) Автор:Флёр [ 20 сен 2013, 15:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 Анитра Анитра sluy Спасибо всем за советы. Добилась я таки от детей как это должно быть. Во первых нужно сделать модель солнечной системы. Нужно из проволоки сделать что-то вроде дерева и на его "ветвях" прикрепить вылепленные из пластилина планеты. Вот как.. Автор:Юджин [ 20 сен 2013, 22:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Флёр писал(а): сделать что-то вроде дерева и на его "ветвях" прикрепить вылепленные из пластилина планеты. Вот как.. Да ужжжж... Автор:Anna_R [ 23 сен 2013, 17:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Жил один садовод. Он развел огород.Приготовил старательно грядки, Он принес чемодан. Полный разных семян. Но смешались они в беспорядке. где здесь слова с орфограммой- буквой согласного в середине корня? Автор:Zenya [ 23 сен 2013, 17:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R может "грядки"? гряд - корень, заканчивается на парную согласную. она стоит перед глухим согласным ну и, наверное, № беспорядке" Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 17:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Zenya писал(а): может "грядки"? гряд - корень, заканчивается на парную согласную. она стоит перед глухим согласным ну и, наверное, № беспорядке" Гря д ки - в беспоря д ке Автор:Anna_R [ 23 сен 2013, 18:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Zenya а разве они не в конце корня? Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды: на букву в конце корня- отдельное упоминание в задании... Добавлено спустя 40 секунд: спасибо,девочки Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд: нужно выписать отдельно слова с буквой в середине корня. отдельно- в конце корня... Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 18:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): а разве они не в конце корня? Именно, что в конце. А там точно про корень, а не про слово? В конце корня еще в словах садово д-огоро д. Автор:Anna_R [ 23 сен 2013, 18:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha ой, Марин... а спросить -то хотела про середину корня... сейчас свой вопрос поправлю Добавлено спустя 1 минуту: нет, написала правильно. нужны слова с буквой в середине корня. Добавлено спустя 31 секунду: да, про корень всё Автор:ShiraO [ 23 сен 2013, 18:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) То есть любая согласная, но в середине корня? Автор:Ушла на базу [ 23 сен 2013, 18:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Точно про согласную, а не про гласную? Автор:Anna_R [ 23 сен 2013, 18:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу Наташ, да, потому что гласные- это 3е задание в этом упражнении, и 4е- на Жи-Ши.. Добавлено спустя 23 секунды: ShiraO ага Автор:Ушла на базу [ 23 сен 2013, 18:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Не мы первые задумались над этим заданием Автор:Anna_R [ 23 сен 2013, 18:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу Наташ, спасибо, мы сделали так же, как и описано тут не нашла сама этот пост, а подсказка с портала Знания.ком некорректна как-то.. Автор:Zenya [ 23 сен 2013, 18:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу запуталась окончательно. по Вашей ссылке, (первой) во втором пункте перечислены слова 2)старательно,грядки,беспорядке почему старательно??? Anna_R - это в каком классе? и по какой программе? Автор:Anna_R [ 23 сен 2013, 18:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Zenya зй класс, Школа 2100 Автор:Zenya [ 23 сен 2013, 18:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): Zenya зй класс, Школа 2100 все понятно, надо закладки ставить, нам это в след году предстоит. и что, дети понимают что это такое? Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 19:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R Я много раз перечитала все слова в данном предложении. Нет там орфограммы на согласный в середине корня. Единственное слово, которое могло бы подойти под это условие, это слово в беспорядке, если бы кто-то посчитал, что в нем корень порядок, но там вроде как корень ряд. Автор:sluy [ 23 сен 2013, 19:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): но там вроде как корень ряд. почему??? Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 19:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): почему??? Я так думаю, согласно этимологии и словообразованию. (хотя я Википедии не очень доверяю, но нет времени искать более подходящие источники). Автор:sluy [ 23 сен 2013, 19:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): (хотя я Википедии не очень доверяю, но нет времени искать более подходящие источники) ну вот,например Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 19:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): ну вот,например Не, это не пример Это варианты ответов, такие же, как в этом топе. Нужна ссылка на словарь или хотя бы разъяснения от специалистов на какой-нибудь грамоте-ру. Автор:sluy [ 23 сен 2013, 19:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Нужна ссылка на словарь или хотя бы разъяснения от специалистов на какой-нибудь грамоте-ру. вот поэтому я и спросила "почему?" Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 20:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sluy писал(а): вот поэтому я и спросила "почему?" Во, что нашла. Тихонов А. Н. Морфемно-орфографический словарь: Около 100 000 слов / А. Н. Тихонов. — М.: АСТ: Астрель, 2002. — 704 с. ... %80%D1%8C/ И вот тут: ... %D0%B5/27/ Цитата: Беспорядок Бес/поря́док/. Беспорядочный Бес/поря́доч/н/ый. Если верить этому, тогда в беспорядке - то самое хитрое слово Автор:чипса [ 23 сен 2013, 20:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) девочки. на плакате учитель русского языка написал "Железная дорога, не место для игр, опасна для жизни" ошибки есть или нет? а потом я отвечу Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 20:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса Да, есть Автор:НаталюсикЮС [ 23 сен 2013, 20:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса писал(а): ошибки есть или нет? а потом я отвечу если это прям дословно, добуквенно, то есть ошибки... Автор:чипса [ 23 сен 2013, 20:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ну слава богу. Автор:milita.ri [ 23 сен 2013, 20:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса Может: ЖД -не место для игр. Опасно для здоровья! Автор:чипса [ 23 сен 2013, 20:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:НаталюсикЮС [ 23 сен 2013, 20:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) milita.ri писал(а): ЖД -не место для игр. Опасно для здоровья! вот-вот, как минимум начало предложения - с большой буквы... далее - тире... далее запятая не уместна - звучит коряво... ну, и точка в конце предложения)))) Автор:Берегиня [ 23 сен 2013, 20:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Железная дорога - не место для игр: опасна для жизни! Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 20:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса Там по смыслу должно быть, что именно игры на ж/д опасны, а не сама дорога. Ведь мы ездим по ж/д в поездах и электричках и ничего, живы до сих пор Автор:milita.ri [ 23 сен 2013, 20:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) чипса У нас при входе в школу пару месяцев плакат висел :"До свиданья школа!" Автор:чипса [ 23 сен 2013, 20:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) большая буква была. это я в инете пишу со строчной))))))))))) короче завтра двоеточия поставлю Автор:НаталюсикЮС [ 23 сен 2013, 20:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) milita.ri писал(а): :"До свиданья школа!" нельзя в такую школу водить детей Автор:Еленка1 [ 23 сен 2013, 21:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юджин знает,но ему по барабану,я так поняла,кто чем занимается,ему ,вообще не нравится когда кто-то из детей имеет собственное мнение,а детей с освобождением от физ-ры он называет инвалидами.... Это мне ребенок сказал,когда я спросила чем он занимался на физ-ре. Мы бегали,говорит,а инвалиды на лавке сидели,здорово сейчас в школе Автор:иденя [ 23 сен 2013, 21:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): :s_o_s: Жил один садовод. Он развел огород.Приготовил старательно грядки, Он принес чемодан. Полный разных семян. Но смешались они в беспорядке. где здесь слова с орфограммой- буквой согласного в середине корня? Мне кажется что в слове развел. Только сегодня с сыном учили это правило Автор:НаталюсикЮС [ 23 сен 2013, 21:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а): в слове развел раз - приставка, вел - корень.... не думаю, что тут... Автор:ma-sha [ 23 сен 2013, 21:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а): Мне кажется что в слове развел. Только сегодня с сыном учили это правило А корень тут какой по-вашему? Автор:Еленка1 [ 23 сен 2013, 21:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) беспорядке Автор:иденя [ 23 сен 2013, 21:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот я, дурында! Сына замучила сегодня с этим правилом, а сама... Стыдно Автор:Еленка1 [ 23 сен 2013, 21:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Это,Вы ,матушка,заучились Автор:Верса [ 23 сен 2013, 21:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 так вы в школе были? Автор:НаталюсикЮС [ 23 сен 2013, 21:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а): Вот я, дурында! Сына замучила сегодня с этим правилом, а сама... Стыдно на самом деле, само задание очень некорректное.. это правило на согласную в корне, которую, чтобы проверить, надо поставить перед гласной, изменив нужным образом слово.. тут это - огород -огороДы, грядки - грядок, беспорядке - беспоряДок Автор:Лада [ 23 сен 2013, 22:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) грядки)парная согласная в корне Автор:иденя [ 23 сен 2013, 22:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): иденя писал(а): Вот я, дурында! Сына замучила сегодня с этим правилом, а сама... Стыдно на самом деле, само задание очень некорректное.. это правило на согласную в корне, которую, чтобы проверить, надо поставить перед гласной, изменив нужным образом слово.. тут это - огород -огороДы, грядки - грядок, беспорядке - беспоряДок Добавлю: проверить- поставить гласную или л, М, р, н. У нас было задание: почему в одном столбике есть орфограмма, а в другом нет ? И пример: каска и книжный. Автор:Еленка1 [ 23 сен 2013, 22:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) в понедельник у нас собрание всех пятых классов вместе с директор,будут все учителя,вот я и решила в присутствии директора поинтересоваться профессионализмом и этикой нашего учителя,заоодно и про нормативы спросить ,откуда он их выдрал,или он моего сына с кенгуру перепутал. мне сказали,что у него уже эксесы были с родителями,вот и интересно,что он в присутствии директора скажет. Ну и еще парочка вопросом есть как раз к директору( по-поводу еженедельной генеральной уборки класса с мытьями полов и всего прочего) Автор:ma-sha [ 26 сен 2013, 17:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R Напишите, пожалуйста, как все-таки надо было отвечать на то задание с орфограммами Особенно интересует пункт 2 Автор:Anna_R [ 26 сен 2013, 17:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha обязательно, как только проверят и выдадут... Автор:ma-sha [ 26 сен 2013, 18:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R Не забудьте только А то любопытство прям одолело В решебнике значится ответ, который я считаю неправильным Автор:НаталюсикЮС [ 26 сен 2013, 18:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) помогите понять где ошибка в тесте по математике: значение какого выражения равно 3? 16 : 4 : 2 48 : 8 : 2 3 х 8 : 6 6 х 2 : 4 мой ответил 4. вариант, получил минус(((( что не так? Автор:ma-sha [ 26 сен 2013, 18:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС Все так. Надо с тетрадкой и этим минусом идти к учителю за разъяснениями, и чем раньше, тем лучше Может надо было написать: 2 и 4 вариант? Автор:Дикарка [ 26 сен 2013, 18:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А еще во втором варианте. Автор:Берегиня [ 26 сен 2013, 18:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): значение какого выражения равно 3? 48 : 8 : 2 Автор:иденя [ 26 сен 2013, 21:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девули, в словах кочерыжка и окрестности корень какой? Автор:Еленка1 [ 26 сен 2013, 22:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) кочерыжка-коч, окрестности-крест Автор:ma-sha [ 26 сен 2013, 22:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя У меня другие варианты Кочерыжка - корень кочерыж, суффикс к, окончание а, основа кочерыжк. Окрестности - корень окрест, суффиксы н ост, окончание и, основа окрестност. Но на счет последнего есть некоторые сомнения (на счет есть там приставка или нет) Автор:Ушла на базу [ 26 сен 2013, 22:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha А коч ерыжка и коч ан разве не однокоренные? Автор:Йожин [ 26 сен 2013, 22:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я за кочерыж и крест Автор:ma-sha [ 26 сен 2013, 22:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) По поводу окрестности вот тут объясняется: Все-таки корень окрест. Цитата: в современном языке слово крест лексически не относится к слову окрестность. но есть предлог окрест, соответственно корень именно такой. Автор:Еленка1 [ 26 сен 2013, 23:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Йожин писал(а): Я за кочерыж и крест а как же слово кочан,ведь кочерыжка ,именно, от него. Добавлено спустя 10 минут 1 секунду: окрест произошло от крест-(вокруг креста)-изначально. А корень ,действительно, окрест-морфемный разбор. Добавлено спустя 1 минуту 6 секунд: а проверочное слово-крест Автор:ma-sha [ 26 сен 2013, 23:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 писал(а): а как же слово кочан,ведь кочерыжка ,именно, от него. Везде пишут, что кочерыжка образована от кочерыга. Автор:НаталюсикЮС [ 27 сен 2013, 10:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня писал(а): 48 : 8 : 2 почему не 4. 6 х 2 : 4 ??? Автор:ari [ 27 сен 2013, 10:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): помогите понять где ошибка в тесте по математике: значение какого выражения равно 3? 16 : 4 : 2 48 : 8 : 2 3 х 8 : 6 6 х 2 : 4 мой ответил 4. вариант, получил минус(((( что не так? Ответ: выражения 2 и 4. Автор:НаталюсикЮС [ 27 сен 2013, 19:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Ответ: выражения 2 и 4. так и есть(( бывают вот такие подставы в тестах - не один верный ответ, а два..... поэтому 4 балла.... Автор:Берегиня [ 27 сен 2013, 19:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): почему не 4. 6 х 2 : 4 ??? Потому что до него не добралась. Нашла нужный пример по условию. Автор:НаталюсикЮС [ 27 сен 2013, 19:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня писал(а): Потому что до него не добралась. Нашла нужный пример по условию. вот и мой так, чт опервое нашел, то и ответил.. а нужно было 2 ответа отметить((( Автор:Берегиня [ 27 сен 2013, 19:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вопрос был задан неправильно. Ребенок дал правильный ответ на четко поставленный вопрос: ari писал(а): значение какого выражения равно 3? Сначала не могут сформулировать задание, а потом дети у них "невнимательные". Автор:НаталюсикЮС [ 27 сен 2013, 20:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня писал(а): Сначала не могут сформулировать задание, а потом дети у них "невнимательные". я тоже так думаю... вопрос наталкивал на 1 верный ответ.... но своему объяснила. что такое бывает и надо все версии проверять Автор:ari [ 27 сен 2013, 22:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Да ладно вам конечно было бы проще напиши они : значения каких выражений равно 3 или а не трем ли равно значение выражений 2 и 4. Все равно надо все примеры решать, а потом на основе полученных результатов делать вывод . Добавлено спустя 3 минуты 56 секунд: Мне вот кажется, что родителям мешает их опыт обучения в школе. Как у нас было - выучили новое правило/ формулу и сразу понятно, что все примеры этой темы решаются с помощью этих формул. Вот поэтому мне и не интересно было в школе на математике и учи тель давал отдельные задания. Автор:Берегиня [ 28 сен 2013, 19:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): конечно было бы проще напиши они : значения каких выражений равно 3 Именно так они и должны были написать. Задали вопрос про одно значение - получите. Не надо подводить научную базу под неправильно заданный вопрос. Автор:ari [ 28 сен 2013, 21:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня То есть можно судить " в общем" прочитав одну строку, решив один пример ... Автор:ari [ 30 сен 2013, 10:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девушки, мы в этом году перешли в 5-й класс. У меня есть несколько интересных задач. Мне новую тему создать или можно в этой? Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 13:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Мне новую тему создать или можно в этой? пишите тут))) Автор:ari [ 30 сен 2013, 13:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Проведите через одну точку три прямых и посчитайте сколько получилось углов. Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд: Есть у кого дети занимаются математикой по учебнику Муравина? Вроде нам в школе сказали, что только мы. Автор:annamai [ 30 сен 2013, 13:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) три угла Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 13:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А у меня 30 получилось Автор:annamai [ 30 сен 2013, 13:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): А у меня 30 получилось Маша - ну это наверное высшая математика, тут наверное все просто - это же 5 класс Добавлено спустя 31 секунду: или мир сошел с ума и я тоже)) Автор:ari [ 30 сен 2013, 13:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) annamai писал(а): ma-sha писал(а): А у меня 30 получилось Маша - ну это наверное высшая математика, тут наверное все просто - это же 5 класс Ну не три . Сразу скажу, что у меня получилось больше, чем в ответе в учебнике. Поэтому и хочу понять. Ответ напишу завтра. И добавлю еще фото интересной задачи, там не поймешь, если описать словами. Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 13:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) annamai писал(а): Маша - ну это наверное высшая математика, тут наверное все просто - это же 5 класс Да нууу, какая тут высшая математика? Если через одну точку провести 3 прямые, то получится что-то типа снежинки. Ну и посчитайте, сколько там углов (всяких: и острых, и тупых, и развернутых). Автор:ari [ 30 сен 2013, 14:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот у меня получается 24 угла. Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 14:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Вот у меня получается 24 угла. А у меня 30. Поясню, каким образом. Из одной точки выходят 6 лучей, которые образуют 6 секторов. У меня получилось, что, если считать от каждого луча, то получится 5 углов, 6-ой - это будет уже окружность в 360 градусов. А таких лучей 6, значит углов получается 30 Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 14:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): ari писал(а): Вот у меня получается 24 угла. А у меня 30. Поясню, каким образом. Из одной точки выходят 6 лучей, которые образуют 6 секторов. У меня получилось, что, если считать от каждого луча, то получится 5 углов, 6-ой - это будет уже окружность в 360 градусов. А таких лучей 6, значит углов получается 30 Думаете они уже прошли внутренние углы? Мне кажется для пятого класса ответ будет 6. Хотя по факту их там действительно 30. Автор:ari [ 30 сен 2013, 14:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Я убрала из этих 30 углов шесть, те которые "объединяют" три и образуют эту же прямую. Надеюсь понятно написала? Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды: Дашулькина мама писал(а): Думаете они уже прошли внутренние углы? Внутренние углы здесь при чём? Острые и тупые уже проходили. Автор:annamai [ 30 сен 2013, 15:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) не понимаю, почему 6 лучей, когда три прямых Автор:Берегиня [ 30 сен 2013, 15:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) annamai Потому что провести их надо через точку. Не из точки, а через точку. Автор:annamai [ 30 сен 2013, 15:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) блин, МОЗГ!!! но не мой)) Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 15:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): ma-sha Я убрала из этих 30 углов шесть, те которые "объединяют" три и образуют эту же прямую. Надеюсь понятно написала? Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды: Дашулькина мама писал(а): Думаете они уже прошли внутренние углы? Внутренние углы здесь при чём? Острые и тупые уже проходили. Потому что угол больше 180 градусов не является не острым не тупым. Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 15:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): ma-sha Я убрала из этих 30 углов шесть, те которые "объединяют" три и образуют эту же прямую. Надеюсь понятно написала? Понятно. Т.е. если прямая с точкой посредине - Вы считали это одним развернутым углом, а не двумя, так? Автор:ari [ 30 сен 2013, 15:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Потому что угол больше 180 градусов не является не острым не тупым. Разве угол больше 180 градусов является внутренним? Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд: ma-sha писал(а): ari писал(а): ma-sha Я убрала из этих 30 углов шесть, те которые "объединяют" три и образуют эту же прямую. Надеюсь понятно написала? Понятно. Т.е. если прямая с точкой посредине - Вы считали это одним развернутым углом, а не двумя, так? Мне кажется их вообще не надо считать. Это ж вроде получается просто прямая. Но с другой стороны точка есть, угол развернутый 180 градусов есть. Автор:Берегиня [ 30 сен 2013, 15:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Потому что угол больше 180 градусов не является не острым не тупым Кажется, в наше время такой угол называли развернутым. Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 15:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня писал(а): Дашулькина мама писал(а): Потому что угол больше 180 градусов не является не острым не тупым Кажется, в наше время такой угол называли развернутым. Помоему он назывался невыпуклым. Но сомневаюсь что это в 5 классе проходят. Хотя сейчас все могет быть. Автор:Берегиня [ 30 сен 2013, 15:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама Я в геометрии вообще полный ноль - больше 20 лет не сталкивалась. Про выпуклые ничего не помню, подсознание молчит. Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 15:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Помоему он назывался невыпуклым. От 0 до 180 - выпуклые, от 180 до 360 - невыпуклые, а сам 180 - это развернутый угол. Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 15:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Дашулькина мама писал(а): Потому что угол больше 180 градусов не является не острым не тупым. Разве угол больше 180 градусов является внутренним?. Просто я рассуждала, что невыпуклые углы они вряд ли проходили, а вот внутренние и внешние, могли. Добавлено спустя 1 минуту 57 секунд: Берегиня писал(а): Дашулькина мама Я в геометрии вообще полный ноль - больше 20 лет не сталкивалась. Про выпуклые ничего не помню, подсознание молчит. У меня с математикой фсе фрагментами ужо, тут помню, тут не помню. Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 17:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) у меня 11 углов только) Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 18:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): у меня 11 углов только) Мы имеем шесть линий каждая линия может образовать с оставшимися пяти линиями по углу. 6×5=30. Тут вопрос не в том сколько углов, а в том на какой уровень знаний расчитана задача. Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 19:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Мы имеем шесть линий каждая линия может образовать я так понимаю, что угол считается тот, что меньше 180 градусов... я ошиблась, получитлось 12 углов... Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 19:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): я так понимаю, что угол считается тот, что меньше 180 градусов Почему это? Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 19:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Почему это? по геометрии так если угол больше 180 градусов - то он уже будет с другой стороны Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 19:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): ma-sha писал(а): Почему это? по геометрии так если угол больше 180 градусов - то он уже будет с другой стороны Угол больше 180 градумов называется невыпуклым. Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 20:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): если угол больше 180 градусов - то он уже будет с другой стороны И что? Он от этого не перестанет быть углом Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 20:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Он от этого не перестанет быть углом перестает... есть определение в геометрии что такое угол - он образуется сторонами, лежащими в одной плоскости... крайний вариант - это развернутый угол.. 180 градусов Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): ma-sha писал(а): Он от этого не перестанет быть углом перестает... есть определение в геометрии что такое угол - он образуется сторонами, лежащими в одной плоскости... крайний вариант - это развернутый угол.. 180 градусов Википедия по поводу углов. Надо открыть общие сведения и почитать о внешнем и внутреннем угле. Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд: Кстати освежилась в Вики, вспомнила что есть еще и полный угол равный 360 градусам. так что полный ответ будет 36. Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 20:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Википедия по поводу углов. Надо открыть общие сведения и почитать о внешнем и внутреннем угле. печально всё.. бедные дети в 5 классе... задание для них... Теперь мы можем дать первое определение угла. Определение. Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла, общее начало сторон угла называют вершиной угла. изображение Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название. Определение. Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла. изображение Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд: жаль, что картинки не копируются там... это из сайта математика. ру вроде... короче, путаница Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 20:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): перестает... Вы ошибаетесь. Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 20:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Вы ошибаетесь. возможно... тогда в этой задаче углов куча кучная)))) Добавлено спустя 28 секунд: кстати, сколько в ответ? тогда и станет понятно, что за угол имелся ввиду... Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 20:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): тогда в этой задаче углов куча кучная)))) Если бы задание было сформулировано более конкретно (о каких именно углах идет речь), было бы легче отвечать. Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 21:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Уф, нашла ответ, звучит он так, если считать углы не больше 180 градусов, то ответ будет 12. Автор:ma-sha [ 30 сен 2013, 21:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): если считать углы не больше 180 градусов, Так этого в условии не было Автор:Дашулькина мама [ 30 сен 2013, 21:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Дашулькина мама писал(а): если считать углы не больше 180 градусов, Так этого в условии не было Согласна, не было. Автор:НаталюсикЮС [ 30 сен 2013, 22:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Уф, нашла ответ, звучит он так, если считать углы не больше 180 градусов, то ответ будет 12. вооот, задача же для 5 класса, а внешние, развернутые - это база 8-9 класса... и ещё, может, я и подзабыла.. но угол как фигура - это все-таки не больше 180 градусов Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Добрый день. Спасибо всем, что помогли разобраться. Ответ в учебнике: "15 углов, считая три развёрнутых". Добавлено спустя 11 минут 30 секунд: Еще одно задание. Задача №131 Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 10:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Ну да, тогда там посчитаны все внутренние углы (их 12) + 3 развернутых. Но ответ неоднозначный (если судить строго по условию) и оспариваемый на раз Добавлено спустя 56 секунд: НаталюсикЮС писал(а): но угол как фигура - это все-таки не больше 180 градусов Нет, Вы не правы. Мы же выше уже это обсудили. Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну да получается посчитаны все углы меньше 180 градусов и три по 180. Хотя тоже не совсем понятно. Я б и по 180 посчитала шесть штук . Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 10:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Еще одно задание. Задача №131 У меня получилось, что у двух Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды: ari писал(а): Я б и по 180 посчитала шесть штук . Это совершенно правильно, они хоть и одинаковые, но их именно 6, а не 3 Например, если провести диаметр окружности, то он разделит ее на 2 угла по 180 градусов каждый, а не на один угол. Именно поэтому я и сказала, что ответ оспариваемый Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 10:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Добрый день. Спасибо всем, что помогли разобраться. Ответ в учебнике: "15 углов, считая три развернутых] Я нашла пособие за 95 год, называется Наглядная геометрия, ссылку дать не могу, т.к. пришлось скачивать, авторы М.Ф. Шарыгин и Ерганджиева, там такая же задаче, в параграфе номер три, но уже с ответом: 12 углов, если считать углы меньше 180 градусов. Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): У меня получилось, что у двух Объясните, пожалуйста. Это правильный ответ. Я на этой задаче зависла. Добавлено спустя 31 секунду: Дашулькина мама На почту сможете скинуть? Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 10:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Добрый день. Спасибо всем, что помогли разобраться. Ответ в учебнике: "15 углов, считая три развёрнутых". Добавлено спустя 11 минут 30 секунд: Еще одно задание. Задача 31 Ну двух конечно, участки 1, 2 или 1, 3. Добавлено спустя 2 минуты 21 секунду: ari писал(а): ma-sha писал(а): У меня получилось, что у двух Объясните, пожалуйста. Это правильный ответ. Я на этой задаче зависла. Добавлено спустя 31 секунду: Дашулькина мама На почту сможете скинуть? Я с планшетника пишу, и честно говоря не уверена что у меня сие действие получится. Вы погуглите по названию, оно должно быстро найтись, я искала по скопированному условию задачи. Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Ну двух конечно, участки 1, 2 или 1, 3. Ну я тоже так думала. Только не могу понять. Для этого должно выполняться условие - одна сторона общего прямоугольника - это три длины наименьшей стороны прямоугольника 1 или 2 или 3? Так? Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 10:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): ma-sha писал(а): У меня получилось, что у двух Объясните, пожалуйста. Это правильный ответ. Я на этой задаче зависла. Периметр, общая сумма всех сторон, в квадрате все стороны одинаковы, узнаем размеры участков 1 и 2 или 1 и 3, складываем длины внешних сторон прямоугольников и умножаем на 4. В результате имеем периметр. Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды: ari писал(а): Дашулькина мама писал(а): Ну двух конечно, участки 1, 2 или 1, 3. Ну я тоже так думала. Только не могу понять. Для этого должно выполняться условие - одна сторона общего прямоугольника - это три длины наименьшей стороны прямоугольника 1 или 2 или 3? Так? Это квадрат. Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Периметр, общая сумма всех сторон, в квадрате все стороны одинаковы, узнаем размеры участков 1 и 2 или 1 и 3, складываем длины внешних сторон прямоугольников и умножаем на 4. В результате имеем периметр. Нет. Мы можем узнать только периметр. Длину стороны мы никак не узнаем. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 10:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Объясните, пожалуйста. Это правильный ответ. Я на этой задаче зависла. Мне это было очевидно сразу, как только взглянула на тот чертеж. А вот объяснять письменно получится дольше, чем думается Для нахождения внешнего периметра нужно знать его длину и ширину. Видно, что участок № 3 - это как два участка № 1. Спрашиваем у хозяина участка № 1 периметр, т.к. это квадрат, сразу находим длину одной его стороны. А ширина участка всего кооператива - это 3 таких длины. Потом спрашиваем периметр участка № 2. Ширина этого участка совпадает со стороной участка № 1, поэтому, зная периметр, мы можем высчитать длину участка № 2. А потом посчитать длину участка всего кооператива, которая складывается из стороны участка № 1 и длины участка № 2. Потом считаем внешний периметр всего кооператива. Не знаю, понятно ли я объяснила Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Если соблюдается условие : "одна сторона общего прямоугольника - это три длины наименьшей стороны прямоугольника 1 или 2 или 3". То периметр общего прямоугольника - это сумма периметр 1 и 2 участка, либо 1 и 3. Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды: ma-sha Понятно. Но это слишком сложно. Проще - см. выше. Сложить два периметра. Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 10:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Дашулькина мама писал(а): Периметр, общая сумма всех сторон, в квадрате все стороны одинаковы, узнаем размеры участков 1 и 2 или 1 и 3, складываем длины внешних сторон прямоугольников и умножаем на 4. В результате имеем периметр. Нет. Мы можем узнать только периметр. Длину стороны мы никак не узнаем. Ага была невнимательна, ну тогда вообще одного участка хватит. Автор:ari [ 01 окт 2013, 10:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Меня смущает, что все это визуально. Как вы уверены, что это квадрат, что это одна треть общей стороны. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 10:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Понятно. Но это слишком сложно. Проще - см. выше. Сложить два периметра. Общий участок - это не квадрат, а прямоугольник. Если бы это был квадрат, то достаточно было бы знать периметр только одного участка № 1. А так, нам нужно знать периметр двух участков - № 1 и № 2. Автор:ari [ 01 окт 2013, 11:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): А так, нам нужно знать периметр двух участков - № 1 и № 2. Я про это же. Не надо вычислять длины, достаточно сложить два периметра. Добавлено спустя 1 минуту 59 секунд: Два периметра участка 1 и 2. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 11:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Не надо вычислять длины, достаточно сложить два периметра. Т.е. Вы считаете, что внешний периметр = периметр 1 + периметр 2? Почему? Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 11:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Если соблюдается условие : "одна сторона общего прямоугольника - это три длины наименьшей стороны прямоугольника 1 или 2 или 3". То периметр общего прямоугольника - это сумма периметр 1 и 2 участка, либо 1 и 3. Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды: ma-sha Понятно. Но это слишком сложно. Проще - см. выше. Сложить два периметра. Как то у них слишком запутано. При условии: одна сторона общего прямоугольника это три длины наименьшей стороны прямоугольника, достаточно разделить периметр прямоугольника номер 1 на 4, затем умножить на три и снова умножить на 4. Или просто умножить периметр номера 1 на 4. Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды: ma-sha писал(а): ari писал(а): Не надо вычислять длины, достаточно сложить два периметра. Т.е. Вы считаете, что внешний периметр = периметр 1 + периметр 2? Почему? Визуально видно, мысленно разверните границы этих участков на большой периметр. Добавлено спустя 1 минуту 55 секунд: ma-sha писал(а): ari писал(а): Понятно. Но это слишком сложно. Проще - см. выше. Сложить два периметра. Общий участок - это не квадрат, а прямоугольник. Если бы это был квадрат, то достаточно было бы знать периметр только одного участка № 1. А так, нам нужно знать периметр двух участков - № 1 и № 2. Квадрат это, ну мне так кажется Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 11:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Визуально видно, мысленно разверните границы этих участков на большой периметр. Я развернула, у меня общий периметр получается больше, чем сумма периметров 1 и 2, на величину = 1/2 периметра участка 1 (ну или на длину 2-х его сторон). Добавлено спустя 2 минуты 4 секунды: Дашулькина мама писал(а): Квадрат это, ну мне так кажется Нет, прямоугольник. Если бы это был квадрат, то участки 6 и 4 тоже были бы квадратными и равнялись бы участкам 1, 5 и 7, но они прямоугольные. Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 11:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Дашулькина мама писал(а): Визуально видно, мысленно разверните границы этих участков на большой периметр. Я развернула, у меня общий периметр получается больше, чем сумма периметров 1 и 2. А, точно одной стороны квадрата не хватает. Пошла кубатурить, а с виду простая задачка. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 11:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): А, точно одной стороны квадрата не хватает. Пошла кубатурить, а с виду простая задачка. Просто тут есть второй способ: Периметр 1 + периметр 2 + 1/2 периметра 1 = внешний периметр. Автор:ari [ 01 окт 2013, 11:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Не, я была не права - два периметра не сложишь, ошиблась немного. ma-sha писал(а): Просто тут есть второй способ: Периметр 1 + периметр 2 + 1/2 периметра 1 = внешний периметр. Ага так. Получается все тоже. 1 это квадрат. Сторона одна треть. Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 11:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня решается только при условии, того что участок номер 1 квадрат. Узнаем его периметр делим на 4, узнаем сторону, эта сторона является общей с прямоугольником номер два, зная размер одной стороны прямоугольника и периметр, узнаем размеры всех сторон. Складываем нужные стороны прямоугольников 1 и 2, умножаем на 4 получаем периметр. Добавлено спустя 2 минуты 35 секунд: ma-sha писал(а): Дашулькина мама писал(а): А, точно одной стороны квадрата не хватает. Пошла кубатурить, а с виду простая задачка. Просто тут есть второй способ: Периметр 1 + периметр 2 + 1/2 периметра 1 = внешний периметр. Да точно, так получается. Добавлено спустя 36 секунд: Ну во всяком случае визуально. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 11:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Складываем нужные стороны прямоугольников 1 и 2, умножаем на 4 получаем периметр. Общий участок - прямоугольник, а не квадрат Его длина - это сумма длин участков 1 и 2, а ширина - три длины участка 1. Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд: Дашулькина мама писал(а): Да точно, так получается. Этот способ, действительно, короче, т.к. не требует высчитывать длины сторон, а оперировать только полученными данными периметров участков 1 и 2 Автор:ari [ 01 окт 2013, 11:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Продолжаем? Следующие выкладывать? Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 11:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Продолжаем? Следующие выкладывать? Автор:ari [ 01 окт 2013, 11:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 11:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Все что ли? Автор:ari [ 01 окт 2013, 12:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну не сразу. Так, когда делать нечего будет. По чем у меня трудности были, вы с вами обсудили Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 12:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): По чем у меня трудности были, вы с вами обсудили Хотите нашу последнюю трудность? 1/(х-4)(х-3) + 1/(х-3)(х-2) + 1/(х-2)(х-1) - 3/(х-4)(х-1) + 3 = ? Естественно, интересен ход решения, а не только ответ Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 12:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Дашулькина мама писал(а): Складываем нужные стороны прямоугольников 1 и 2, умножаем на 4 получаем периметр. Общий участок - прямоугольник, а не квадрат : да и я об этом постоянно забываю. Автор:ari [ 01 окт 2013, 12:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): 1/(х-4)(х-3) + 1/(х-3)(х-2) + 1/(х-2)(х-1) - 3/(х-4)(х-1) + 3 = ? Естественно, интересен ход решения, а не только ответ Я бы умножила обе части на (х-4)(х-3)(х-2)(х-1), а потом раскрывала скобки. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 13:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Не, так не пойдет, нужно написать все решение Понятно, что задание не для начальной школы, но все же оно интересное Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 13:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): ma-sha писал(а): 1/(х-4)(х-3) + 1/(х-3)(х-2) + 1/(х-2)(х-1) - 3/(х-4)(х-1) + 3 = ? Естественно, интересен ход решения, а не только ответ Я бы умножила обе части на (х-4)(х-3)(х-2)(х-1), а потом раскрывала скобки. Мне кажется тут сначала нужно раскрыть скобки, но твердо в этом не уверена. Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 13:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а): Мне кажется тут сначала нужно раскрыть скобки, но твердо в этом не уверена. Задание хоть и относится к теме "Сложение дробей с разными знаменателями", но решается достаточно просто, если кое что знать. Вот это кое что тут и нужно применить Автор:Дашулькина мама [ 01 окт 2013, 13:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): Дашулькина мама писал(а): Мне кажется тут сначала нужно раскрыть скобки, но твердо в этом не уверена. Задание хоть и относится к теме "Сложение дробей с разными знаменателями", но решается достаточно просто, если кое что знать. Вот это кое что тут и нужно применить Пришла моя деть посмотрела одним глазом и сказала что нужно приводить дробь к единому знаменателю. Автор:ari [ 01 окт 2013, 13:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Решила. Решается довольно просто. У меня так, но вот думаю может там еще проще можно решить. Умножаем обе части (х-4)(х-3)(х-2)(х-1). Преобразуем левую часть. (х-2)(х-1)+(х-4)(х-1)+(х-4)(х-3)-3(х-3)(х-2)+3(х-4)(х-3)(х-2)(х-1) (х-1)(2х-6)+(х-4)(х-3)-3(х-3)(х-2)+3(х-4)(х-3)(х-2)(х-1) делим всё на (х-3): 2(х-1)+(х-4)-3(х-2)+3(х-4)(х-2)(х-1) раскрываем скобки: 2х-2+х-4-3х+6+3(х-4)(х-2)(х-1)=?(х-4)(х-2)(х-1). ?=3 Автор:ma-sha [ 01 окт 2013, 13:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Да, есть способ проще решить. Хотя это кому как (я на счет простоты способа решения) Для этого нужно использовать одно тождество: 1/х + n - 1/х + n + 1 = 1/(х+n)(х + n + 1) Тогда сумма первых трех дробей = 3/(х-4)(х-1) Остальное дело техники, ответ 3. Автор:супермама [ 06 окт 2013, 20:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогите решить задачу, плиз...На озере растут лилии.известно, что их количество удвоивается за день и на конец 99 дня озеро заросло полностью лилиями.под конец какого дня заросла четверть озера? Автор:ma-sha [ 06 окт 2013, 20:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) супермама Там точно 99, а не 49? Хотя это не принципиально На 99 день озеро заросло полностью. Значит в 98 день озеро заросло на половину, в 97 на четверть. Автор:супермама [ 06 окт 2013, 21:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а): супермама Там точно 99, а не 49? Хотя это не принципиально На 99 день озеро заросло полностью. Значит в 98 день озеро заросло на половину, в 97 на четверть. Да,точно.Спасибо! Автор:Флёр [ 10 окт 2013, 21:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки подскажите пожалуйста где насобирать шишек, нам нужно сделать поделку к Окружающему миру. Я живу на Тихой, почти на Патрокле, что-то не соображу куда идти? Автор:иденя [ 22 окт 2013, 19:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, у меня не совсем по теме, но требуется ваша помощь! Оформляю стенгазету в школу и рисунки необходимо подписать маленькими речевками/ стишками. Не могу придумать к игре в шахматы, что ребенок занимается шахматами и к картинке, где ребенок лежит на диване и мечтает о том, как было бы здорово смотреть телевизор, а английский сам бы " учился", запоминался в его голове. Посоветуйте, что-нибудь. Все оформила, остались только эти два! Автор:НаталюсикЮС [ 22 окт 2013, 20:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чтобы мозг нам развивать - полезно в шахматы играть! - не судите строго, это что первое в голову пришло Автор:Танка [ 22 окт 2013, 21:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Поскорей бы ученые наши Подарили учебник для Саши (Паши, Глаши) Чтоб уроки учились сами, И кино смотреть не мешали. Автор:иденя [ 23 окт 2013, 13:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка НаталюсикЮС Большое спасибо, все подписала! И еще обнаружила картинку без стишка: ребенок держит развернутый дневник, в котором одни пятерки. Надо сообщить, что я хорошо учусь и вам того же желаю. Автор:Танка [ 23 окт 2013, 14:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я хочу вам пожелать Лишь пятерки получать! Пожелать хочу, друзья, Чтоб учились вы, как я! ......... У меня одни пятерки, Даже если я молчу. Папа мой - директор школы, Двойку я не получу! Автор:иденя [ 23 окт 2013, 14:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Вот здорово! Спасибо! Автор:Танка [ 23 окт 2013, 14:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, вы обращайтесь. И тут Остапа понесло... Я вчера, открыв дневник, Ничего не смог понять: Я к пятеркам не привык, А тут вдруг сплошные "пять"! Но ответ нашелся вскоре: То не мой дневник, а Колин. Автор:иденя [ 23 окт 2013, 14:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка писал(а): иденя, вы обращайтесь. И тут Остапа понесло... . Ну раз понесло, то может ваш вариант будет лучше. Ре ведет дневник личный, куда записывает свои секретики, ключ в прячет в укромном месте. Что можете предложить в стихотворном варианте, я только обычным текстом смогла подписать эту картинку. Автор:ari [ 23 окт 2013, 15:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Автор:Танка [ 23 окт 2013, 18:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Таак... Дневничок заветный Прячет наше чадо. Ну а что там пишется, Маме знать не надо. Или так... У меня дневник есть школьный, С оценками, предметами. А еще дневник подпольный, С тайнами, секретами. .... Более рифмованный вариант первого: Дневничок заветный Спрятан под замок. А где ключ секретный, Нам и невдомек. Автор:tigra [ 23 окт 2013, 19:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Обалдеть Автор:Ушла на базу [ 23 окт 2013, 20:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Если что - мы теперь знаем, к кому за стихами обращаться! Автор:иденя [ 23 окт 2013, 21:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Спасибо ! Газета готова! ( надеюсь, что не победим, тк вместо удивительных призов, счастливчика, вышедшего во 2-ой тур ждут удивительные задания , я и так 4 ночи потратила) Ps. Газету делала на конкурс " ученик года", это презентация самого себя, чем увлекается, о чем мечтает Автор:Еленка1 [ 23 окт 2013, 21:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Здорово,я думаю,Вы победите,однозначно Газета-супер. Автор:Танка [ 23 окт 2013, 21:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, спасибо, что показали! С удовольствием бы все прочитала, но картинка мала. Даже не знала, что надо от первого лица, хорошо, что подошло. Аж захотелось своим такую же на память сделать, кто б пинка дал. :) Автор:иденя [ 23 окт 2013, 22:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Я когда начинала ее делать, то думала картинки просто прокомментировать. Потом нашла пару речевок в инете, сама придумала, ну и самые сложные вы мне помогли. Рисовать было сложно, тоже в интернете искала что-то подходящее и срисовывала. На что надеются педагоги, давая задания 3 классу нарисовать стенгазету. Интересно, кто-нибудь из детей сам это выполнил или все такие же, как я? Автор:Чижик2 [ 27 окт 2013, 19:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Здорово! Супер-газета! А нельзя ли картинку побольше размером - очень хочется прочитать все подписи Автор:иденя [ 20 ноя 2013, 15:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС Танка и всем всем! Нужна опять ваша помощь! вышли со стенгазетой во 2-ой тур и новое задание: сделать проект о школе. Необходимо рассказать о школе, о себе, почему выбрал именно эту школу, о друзьях в школе, мероприятиях и тп. Незнаю, как подойти творчески к этому заданию, если делать, как просят скучно будет. Есть одна мысль: в самом конце проекта сделать общее фото с учительницей, где все они покорчат лица и подписать " мы все разные, но нас объединяет школа", как-то так. Может вы предложите что-ниб интересное! Автор:НаталюсикЮС [ 20 ноя 2013, 16:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) можно сделать интерактивное здание школы и в каждом открывающемся окне написать миниатюрку на заданную тему.... ил сделать дерево на ватмане, можно объемное из салфеток с ПВА, а на листьях сделать сообщения... они могут быть разной формы и цвета и тоже не нарисованные)))) Автор:Танка [ 20 ноя 2013, 20:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, мне очень нравятся идеи Наталюсика, особенно с открывающимися окошками, а вот мне ничего в голову не идет. (Оптимистично) Но я потом могу ваши идеи зарифмовать! Задали мне тут вопрос веселый: Почему я выбрал эту школу? Я всю правду вам сейчас скажу: Мама записала - я хожу. Автор:НаталюсикЮС [ 20 ноя 2013, 21:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ещё мы делали такой "телевизир"... попробую объснить... делается плоский телек типа, а внутри вставляешь ленту на палке, чтобы можно было покадрово крутить на вторую.... ак свиток только поперек... а там уже в кадрах всё рисуешь.... Автор:иденя [ 20 ноя 2013, 22:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) НаталюсикЮС писал(а): ещё мы делали такой "телевизир"... попробую объснить... делается плоский телек типа, а внутри вставляешь ленту на палке, чтобы можно было покадрово крутить на вторую.... ак свиток только поперек... а там уже в кадрах всё рисуешь.... Отличная идея! Кадры рисовали на обычной бумаге? А как крепили палку? Телевизор был объемный или только передняя часть? Автор:НаталюсикЮС [ 20 ноя 2013, 22:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а): Кадры рисовали на обычной бумаге? А как крепили палку? Телевизор был объемный или только передняя часть? кадры рисовали на бумаге рулонной для принтера... раньше была такая, сейчас не знаю... телевизор не объёмный, просто двойной такой... лучше из картона, можно коробку приспособить.... Палку получалось, что крепить не надо... сам летевизор и держался на этих кадрах между двумя палками, на одной нарисованое намотано, на другую мотаете в процессе, то есть руки заняты только палками, а кадры как-бы протискиваются через экран... блин, хоть рисуй)))) Автор:Anna_R [ 25 ноя 2013, 15:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) лис-тья так можно слово переносить? Автор:ari [ 25 ноя 2013, 16:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R нет Добавлено спустя 55 секунд: Новая задача: АВАВ=ВВВ замените буквы А и В числами (-умножение). Автор:Zenya [ 25 ноя 2013, 16:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): лис-тья так можно слово переносить? мне кажется, что это слово не делится для переноса а только на слоги Автор:Анитра [ 25 ноя 2013, 16:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): АВАВ=ВВВ замените буквы А и В числами (-умножение). 3737=777 Автор:Katie [ 25 ноя 2013, 16:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Anna_R нет Добавлено спустя 55 секунд: Новая задача: АВАВ=ВВВ замените буквы А и В числами (-умножение). А это как решать ??? подбирать? Автор:ma-sha [ 25 ноя 2013, 17:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): лис-тья так можно слово переносить? Да, можно (если речь идет именно о переносе, а не о делении на слоги). Автор:Ушла на базу [ 25 ноя 2013, 17:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а): ari писал(а): Anna_R Новая задача: АВАВ=ВВВ замените буквы А и В числами (-умножение). А это как решать ??? подбирать? Число АВ=10А+В Число ВВВ=100В+10В+В Итого: (10А+В)АВ=100В+10В+В (10А+В)АВ=111В Сокращаем на В: (10А+В)А=111 Разложим 111 на простые множители: (10А+В)А=373 (10А+В)А=(103+7)3 Ответ: В=7, А=3 Автор:Anna_R [ 25 ноя 2013, 17:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha спасибо опять Автор:Ушла на базу [ 25 ноя 2013, 17:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R писал(а): лис-тья так можно слово переносить? можно лис-тья, ли-стья отсюда: § 217. Группа неодинаковых согласных букв в середине слова, входящих в корень или образующих стык корня и суффикса, может быть разбита переносом любым образом, напр.: се-стра, сес-тра и сест-ра; це-нтральный, цен-тральный и цент-рольный; ро-ждение и рож-дение; де-тство, дет-ство, детс-тво и детст-во; шу-мный и шум-ный. Автор:Katie [ 25 ноя 2013, 17:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а): Katie писал(а): ari писал(а): Anna_R Новая задача: АВАВ=ВВВ замените буквы А и В числами (-умножение). А это как решать ??? подбирать? Число АВ=10А+В Число ВВВ=100В+10В+В Итого: (10А+В)АВ=100В+10В+В (10А+В)АВ=111В Сокращаем на В: (10А+В)А=111 Разложим 111 на простые множители: (10А+В)А=373 (10А+В)А=(103+7)3 Ответ: В=7, А=3 Автор:ari [ 03 дек 2013, 15:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дальше: Поезд проходит мост за 35 секунд. Длина поезда 450 метров. Мимо дежурного поезд проходит за 15 сек. Какова длина моста? Автор:styulv [ 03 дек 2013, 16:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а): Дальше: Поезд проходит мост за 35 секунд. Длина поезда 450 метров. Мимо дежурного поезд проходит за 15 сек. Какова длина моста? 450м/15с =30м/с длина моста 35с30м/с=105м Автор:иденя [ 03 дек 2013, 21:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, в слове "объять" какой корень? Автор:ShiraO [ 03 дек 2013, 22:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Викисловарь ( выдает так: Корень: -объя-; глагольное окончание: -ть. Автор:Ушла на базу [ 04 дек 2013, 00:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А разве изъять не однокоренное? Получается объ/я/ть Автор:styulv [ 04 дек 2013, 10:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а): Девочки, в слове "объять" какой корень? Вот тут была долгая дискуссия по этому слову :) Добавлено спустя 15 минут 13 секунд: Муж задачку подкинул: Встретились 2 инвалида. У 1-го одна правая нога, у 2-го одна левая. И решили они купить 1 пару обуви на 2-х. Пришли в магазин. Пара обуви стоит 25р. Они скинулись по 12,5р, купили и вышли. Продавец вспомнила, что на эту модель скидка и она стоит 20р. Решает вернуть - зовет уборщицу - отдаёт ей 5 р с просьбой догнать и отдать. Уборщица берёт деньги, но по пути её "осеняет "-а чего это я должна бесплатно бегать. Она оставляет себе 3 р., а 2 р отдаёт инвалидам. Получается, что каждый заплатил по 11,5р за обувь.(12,5р-1р возврат). Но тогда 11,52=23р. +уборщица оставила себе 3 р т.е. получается 23+3р=26р. А изначально они заплатили 25 р. Вопрос - откуда взялся этот рубль? Автор:Lina_25 [ 04 дек 2013, 10:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) styulv каждый инвалид заплатил по 11 руб., 20 руб.+2 руб.= 22/2=11 руб. Автор:Yessey [ 04 дек 2013, 10:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Получается,11,50-это цена уже с услугами уборщицы,поэтому 3 второй раз уже прибавлять не надо прибавлять не надо. 11,50+11.50=23 и добавляем 2 рубля получаем 25. 25-5(скидка)=20 и 3 рубля делим на 2= 1,50 10+1.50=11,50 11.50+11.50=23+2=25 Автор:Анитра [ 04 дек 2013, 11:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) styulv писал(а): Но тогда 11,52=23р. +уборщица оставила себе 3 р т.е. получается 23+3р=26р. А изначально они заплатили 25 р. Вопрос - откуда взялся этот рубль? Неправильное суммирование. Нельзя складывать литры и килограммы , то бишь дебет с кредитом в данном случае Инвалиды заплатили 23 руб. А должны были заплатить 20 руб. 3 руб. разницы остались у уборщицы. Автор:Лёлик [ 16 дек 2013, 11:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, помогите решить задачу (по информатике)): Когда в школе объявили день вежливости, каждый мальчик из 5А класса поздоровался за руку с каждой девочкой из своего класса. Всего при этом было 77 рукопожатий. Сколько учеников в 5А классе? Автор:ari [ 16 дек 2013, 11:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лёлик 18 Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды: Мальчиков в классе какое-то число и девочек какое-то число. Когда каждый мальчик подошел к каждой девочке и поздоровался, то получилось 77 рукопожатий. То есть 77=кол-во мальчиков Х кол-во девочек. Число 77 может состоять только из двух множителей (из целых чисел) - это 7 и 11. Таким образом, общее кол-во детей - 11+7=18. Автор:ShiraO [ 16 дек 2013, 12:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лёлик Решение взято Т. к. 77=7•11, то, по правилу умножения для комбинаторных задач, в классе может быть или 7 девочек и 11 мальчиков, или 7 мальчиков и 11 девочек, то есть всего ребят 7+11=18. Ответ: 18. Автор:Лёлик [ 16 дек 2013, 12:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari ShiraO Девочки, спасибо! Мы с мужем мозг сломали, но не решили Автор:ari [ 16 дек 2013, 12:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лёлик У вас какой класс? Автор:иденя [ 05 янв 2014, 15:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) девочки, выручайте ( с подробным объяснением): Маша старше Миши ровно на один месяц (дни их рождения приходятся на одно и то же число в двух соседних месяцах), а Даша старше Миши на столько же дней, на сколько Маша старше Даши. в каком месяце не могла родиться Даша? ответы: апрель; август; май; декабрь, июль. В десятичной записи числа 79865 использованы 5 последовательных цифр. чему равна третья цифра следующего пятизначного числа, обладающего таким же свойством? ответы: 4,5,6,7, другой ответ. Вася изменяет число, написанное на доске, по следующему правилу: если это число делится на 3, то вася вычитает из него 1; если число дает остаток 2 при делении на 3, то вася вычитает из него 2, а если дает остаток 1, то вася прибавляет к нему 2. он начинает с числа 10000. какое число получит вася после 2003 таких операций? Варианты: 10000;7004;7002;6999;3996. Автор:Танка [ 05 янв 2014, 15:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вам явно не такое решение надо, но кто бы и когда ни родился, правильный месяц должен отличаться от других по количеству дней. Значит, это апрель. После первого действия получается 10002, а дальше происходит зацикливание: то есть по очереди отнимаем то 1, то 2. То есть в сумме вычитаем 3 на каждые 2 действия. Получается = 10002 - (2002/23) = 6999 Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды: Девять на 10 мы заменить не можем, поэтому придется использовать 45678. Следующее по очереди число за данным, это 84567. Получается цифра 5. Автор:иденя [ 05 янв 2014, 15:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Апрель -неверно. А по 2-ой задаче так и не поняла решения;( Автор:Юджин [ 05 янв 2014, 15:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, какие вы умные! Я даже до конца дочитать не могу задачу (не поежившись) Автор:Танка [ 05 янв 2014, 16:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, я попробовала еще прочитать первое, но мой мозг упорно отключается на Маше. Нам нужно использовать 5 последовательных цифр. Сейчас у нас это цифры 5-6-7-8-9. Нам нужно "следующее" подобное число, я так понимаю, что следующее число должно быть больше нынешнего. Последовальность 6-7-8-9-10 мы использовать не можем, потому что 10 - это само по себе 2 цифры. Цифра 8 у нас должна быть обязательно, потому что без нее не получится большего числа, как ни крути. Получается, что последовательность должна быть 4-5-6-7-8. А теперь из этих цифр составляем маименьшее число, которое больше заданного (79865). У меня получилось 84567. Третье число - 5. Добавлено спустя 1 минуту 40 секунд: Ну и из текущей последовательности 5-6-7-8-9 тоже нельзя составить число больше заданного, поэтому и берем другую. Автор:иденя [ 05 янв 2014, 18:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка А в чем уникальность этого числа? Я думала, что мыслить надо так: от первого +2, потом от второго -1и тп, или сумма этих чисел равна чему-то, те найти логическую последовательность, почему взяли эти числа. Надо переварить Добавлено спустя 34 секунды: Ребенок в 3 классе, готовимся к кенгуру, прорешиваем задания прошлых лет Автор:Танка [ 05 янв 2014, 19:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, заданное число 79865 состоит из последовательных цифр: 7, 9, 8, 6, 5 - все эти числа идут одно за другим, если их расставить по порядку. В именно в такое число их поставили, потому что иначе было бы достаточно переставить эти же самые цифры, и решение было бы проще. Если у третьего класса такое кунгуру, то мою через год проще не пускать. А то она когда не знает ответа, то нормально, а когда не может понять, что вообще надо сделать, сразу паникует. Автор:Mama_K [ 05 янв 2014, 20:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя По первой задаче. По-моему, рассуждать нужно следующим образом: т. к. разница в днях рождения Маши и Миши составляет ровно месяц, а интервалы между днями рождения Маши и Даши и Даши и Миши равны, то месяц, в котором родилась Маша должен иметь четное количество дней. Из заданных это может быть апрель. Во всех остальных она родиться не могла. Автор:иденя [ 05 янв 2014, 20:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка все равно не понимаю уникальность этого числа: а почему нельзя составить 87654? Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду: девочки, по первой задаче ответ АВГУСТ,но как его получили? Автор:Танка [ 05 янв 2014, 20:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, в условии просят "следующее" подходящее число. Твое число больше моего, значит до него еще есть числа. Добавлено спустя 8 минут 29 секунд: По поводу задачи 1. Даша родилась ровно посередине между Машей и Мишей (у которых разница 1 месяц). 31 на 2 нацело не делится, значит у Маши и Миши разница ровно 30 дней. Чтобы Даша и Миша родились в один день с разницей в 1 месяц, Миша должен родиться в месяце, в котором 30 дней. Даша может родиться в один месяц с Мишей (если он родился до 15 числа) или в следующем месяце (если он родился после 15-го). Значит Даша может родиться либо в месяце, где 30 дней (как Миша), либо в месяце, который следует за месяцев, в котором 30 дней (следом за Мишей). Август не подходит под это условие. Там 31 дней и до него в июле был 31 день. Ура, мне можно идти в третий класс. Автор:Эльдорадо [ 05 янв 2014, 20:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) . Автор:Танка [ 05 янв 2014, 20:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Эльдорадо писал(а): А 28 дней (февраль) из рассуждений выпущен принципиально? В условии нет ни февраля, ни месяцев рядом с ним, поэтому делать ради него приписку к каждой строчке не вижу смысла. Смысл рассуждений от этого не изменится. Добавлено спустя 2 минуты 15 секунд: И я думаю, что февраля и месяцев рядом с ним как раз потому и нет, что в нем то 28 дней, то 29. Автор:Эльдорадо [ 05 янв 2014, 20:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) .... Автор:иденя [ 06 янв 2014, 14:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, я переваривала задачу про уникальное число, поняла-таки! Неужели 9-10 летний ребенок решит такие задачи? Автор:irina-alina [ 17 янв 2014, 13:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, кто решал задачу 3 класс ( программа 2100) в контрольной есть вопрос про множества: варианты разные, например про цветы: выберите и подпишите каждое множество латинской буквой А - множество всех цветов, ,В - множество роз, С -множество тюльпанов и варианты рисунков 3 круга сцеплены между собой ( в первом и третьем случае по разному), во втором случае 2 круга внутри третьего. ( контрольная работа №5, текущая) авторы Козлова и Рубин. Автор:ari [ 17 янв 2014, 13:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) irina-alina Полностью текст задачи с вопросом можете привести? У вас информатика в школе есть? Там такие задачи решают. Автор:иденя [ 17 янв 2014, 15:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) irina-alina Мы сегодня решали в школе, про птиц, вариант 1. Верный ответ под номером 1,в середине -множество всех хищников, по бокам -птицы и рыбы, те из множества хищников -есть птицы и рыбы, которые составляют в свою очередь отдельное множество птиц и рыб, как то так. С цветами похожее-в середине множество всех цветов, по бокам розы и тюльпаны. Автор:Alexx [ 17 янв 2014, 15:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В книге 3 рассказа. Первый рассказ занимает 3\16 книги, второй - 7\16 книги. Сколько всего страниц в этой книге, если третий рассказ занимает 30 страниц? Сколько страниц в каждом из первых двух рассказов? Половину решила, а на последнем вопросе застряла Помогайте, милые люди. 4 класс. Автор:dent-de-lion [ 17 янв 2014, 15:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alexx всего 80. в первом 15, во втором 35 Добавлено спустя 21 секунду: пропорциями решать надо? кажется, так это называлось. хотя сейчас глянула, вроде их в 5-6 классе изучают, так что здесь, наверное, другой способ Добавлено спустя 3 минуты 55 секунд: интернет вообще умная штука 1)16/16-3/16-7/16=6/16 третий рассказ 6/16=30стр 2)30/6=5 стр - 1/16 3)35=15стр - 3/16 книги и по совместительству первый рассказ 4)75=35 стр - второй рассказ 5)Всего :30+15+35=80 стр Автор:Alexx [ 17 янв 2014, 16:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) dent-de-lion спасибо. Автор:Mama_K [ 17 янв 2014, 16:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) irina-alina писал(а): Девочки, кто решал задачу 3 класс ( программа 2100) в контрольной есть вопрос про множества: варианты разные, например про цветы: выберите и подпишите каждое множество латинской буквой А - множество всех цветов, ,В - множество роз, С -множество тюльпанов и варианты рисунков 3 круга сцеплены между собой ( в первом и третьем случае по разному), во втором случае 2 круга внутри третьего. ( контрольная работа №5, текущая) авторы Козлова и Рубин. В данной задаче внутри круга А (множество цветов) два несцепленных круга В (множество роз) и С (множество тюльпанов). Это в корне отличается от задачи про хищников иденя писал(а): Мы сегодня решали в школе, про птиц, вариант 1. Верный ответ под номером 1,в середине -множество всех хищников, по бокам -птицы и рыбы, те из множества хищников -есть птицы и рыбы, которые составляют в свою очередь отдельное множество птиц и рыб, как то так. Автор:irina-alina [ 17 янв 2014, 17:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо за варианты ответа. Дело в том, что с животными и цветами еще куда ни шло, а в третьем варианте этой же контрольной вопрос таков: выберите верный рисунок, обведите его номер и подпишите каждое множество на этом рисунке латинской буквой. А - множество всех людей, говорящих по - испански, В - множество всех людей , говорящих по - итальянски, С - множество всех людей, говорящих по - русски. Рисунки точно такие же. Автор:Mama_K [ 17 янв 2014, 19:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) irina-alina Верный рисунок - три взаимно пересекающихся круга (есть люди, говорящие только на 1 языке, есть на двух, а есть, владеющие всеми тремя). Автор:lutsik [ 03 фев 2014, 18:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки помогите, пожалуйста, составить из звуков слово.... это звуки, т.е. может быть еще и Ь или Ъ знак... (с') (й') (и) (м') (У) (с') звук (У)-ударный Автор:Лесавка [ 03 фев 2014, 18:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) lutsik смеюсь? Автор:milita.ri [ 03 фев 2014, 18:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Семью Добавлено спустя 41 секунду: А нет,2 с Автор:Лесавка [ 03 фев 2014, 18:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) а нет, не смеюсь, там 2 мягких с Автор:ma-sha [ 03 фев 2014, 20:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) lutsik У меня тоже получается смеюсь. Но нужно разобраться с мягкостью первого звука с. Вообще-то, произносится он как раз мягко. Автор:lutsik [ 03 фев 2014, 23:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еще одно подобное задание помогите разгадать, пожалуйста Набор букв (ч') (А) (и) (к) (р') (п) Автор:Лесавка [ 03 фев 2014, 23:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) lutsik рябчик? Автор:ma-sha [ 03 фев 2014, 23:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лесавка писал(а): рябчик? Автор:Лесавка [ 03 фев 2014, 23:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha я фигею с этих заданий, честное слово! чтоб у родителей мозги не ржавели, или что? Автор:ma-sha [ 03 фев 2014, 23:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лесавка писал(а): чтоб у родителей мозги не ржавели, или что? Автор:карапузик L [ 10 фев 2014, 16:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Как то сразу углядела-кирпич. Автор:Ушла на базу [ 10 фев 2014, 16:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) карапузик L писал(а): Как то сразу углядела-кирпич. В кирпиче "р"-твердый, а надо мягкий... Автор:карапузик L [ 10 фев 2014, 17:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:ari [ 11 фев 2014, 10:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Новая задача. 5 класс. Дроби проходим. При замерзании объем воды увеличивается на 1/11. На сколько уменьшиться объем льда, после того как он превратится в воду. Ответ знаю, но чисто логически пришла. Не могу сообразить как с помощью дробей написать. Автор:Ушла на базу [ 11 фев 2014, 10:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Пусть вода 11/11 при замерзании становится 12/11. При таянии лёд теряет 1/11 и получается так , какую часть занимает 1/11 от 12/11? Получается, мы 1/11 делим на 12/11 и получаем 1/12 . Ответ : на 1/12 часть своего объёма уменьшается лёд при обратном превращении в воду. Это не я, это Гугл Автор:Anna_R [ 11 фев 2014, 10:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу Наталья Автор:ari [ 11 фев 2014, 10:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а): Получается, мы 1/11 делим на 12/11 и получаем 1/12 . Всё. Поняла. Я умножала 12/11 на 1/11. А надо было наоборот поделить. Спасибо. Автор:Anna_R [ 18 фев 2014, 18:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 831-185/(310-290) 3й класс, дроби, как "пять десятых"- еще не проходили. девы, есть соображения, как решить? помогите, пожалуйста Автор:Валечка [ 18 фев 2014, 18:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) так это ж просто знак деления в чем подвох не поняла Автор:Anna_R [ 18 фев 2014, 19:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка ответ целый не получается Автор:outlaw [ 19 фев 2014, 10:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R, если вы скобки правильно расставили, то получается 828. вполне целый ответ Автор:Хома [ 19 фев 2014, 10:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw а как вы получили 828? что-то как не считала не получается своему третьекласснику дала - тоже не решил Автор:outlaw [ 19 фев 2014, 10:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Хома, заменила 290, на 280 Автор:Хома [ 19 фев 2014, 11:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw а так можно, да? Anna_R а может это с остатком должен быть ответ, вы ведь остатки проходили уже? Автор:Anna_R [ 19 фев 2014, 11:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Хома Тань, а как? тогда должно быть 831- 4 целых, в остатке 10? а как это решается? Автор:Хома [ 19 фев 2014, 11:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R не, наверное не получится это я погорячилась видимо если только сначала отнять от 831 90, а потом разделить, хотя так неправильно то тогда будет ответ 36, и остаток 1 Автор:Хома [ 19 фев 2014, 11:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Anna_R в поисковике задавали такой же вопрос нигде нет целого числа, хотя тоже пишут, что учитель сказал, что должно быть целое Автор:иденя [ 19 мар 2014, 13:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В слове плестись -суффиксы какие: ись или ти и сь? Автор:Ушла на базу [ 19 мар 2014, 16:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя по идее это страдательный от плести, значит 2 суффикса: -ти- и -сь Автор:alina81 [ 21 мар 2014, 13:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Здоровская темка, иногда оч. нужна помощь! я наивная фиалка, я не знаю про закладки!)) про фиалку - это не моё) Автор:Lerachka [ 03 апр 2014, 23:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, помогите решить задачу для сестренки у меня взрыв мозга Анфиса младше Эдика. Когда Эдику было столько лет, сколько Анфисе сейчас, их матери было на 3 года меньше, чем Анфисе с Эдиком теперь. Сколько лет было Эдику, когда матери было столько лет, сколько Эдику теперь? Варианты ответов: а) 3 года б) 5 лет в) 2 года г) 6 лет д) все не верно Добавлено спустя 9 минут 24 секунды: Мне кажется, все неверно Автор:Navik [ 03 апр 2014, 23:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня выходит 3 года Автор:Lerachka [ 03 апр 2014, 23:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lerachka писал(а) 03 апр 2014, 23:12: их матери было на 3 года меньше, чем Анфисе с Эдиком теперь Меня это смутило как такое может быть Добавлено спустя 46 секунд: san А вы как к 3м пришли? Автор:Благоверная [ 04 апр 2014, 00:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lerachka Наверно,если сложить их вораст,например 10+13=23 и минус три года,получится мамин возраст Автор:Navik [ 04 апр 2014, 08:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lerachka Если предположить, что Эдику сейчас 17, сестре 3.... Ну или например 20 и 5, то маме было 17 лет, когда она родила Эдика, а когда ей было 20 лет, как Эдику сейчас, то ему соответственно было 3 года. Только вот как оформить задачу, я не знаю. Или это просто тест? И в каком классе такие задачи и по какой программе? Добавлено спустя 5 минут 46 секунд: Наденька89 Да,да, именно так. С просонья не заметила, что уже ответили Автор:Lerachka [ 04 апр 2014, 09:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) san 8 класс. Что-то не спросила, по алгебре наверно) Автор:tigra [ 04 апр 2014, 09:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А как решать? Тупо подстановками? Летели два крокодила, один зеленый, другой в Африку.... Особенно порадовало: Когда Эдику было столько лет, сколько Анфисе сейчас, их матери было на 3 года меньше, чем Анфисе с Эдиком теперь. Анфиса с Эдиком разного возраста, или имеется ввиду сумма возрастов обоих детей? Чушь какая-то. Автор:Lerachka [ 04 апр 2014, 09:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) tigra Ой вообще, такую ерунду задают.. Автор:Благоверная [ 04 апр 2014, 10:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мне кажется,не хватает данных всетаки.я бы ответила-все неверно Автор:Skazka777 [ 04 апр 2014, 11:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) на мой взгляд, отгадка кроется в вопросе "Сколько лет было Эдику, когда матери было столько лет, сколько Эдику теперь?" - самая большая цифра в предлагаемых ответах - 6, если взять для примера, что ей было 6 лет, тогда о каком Эдике вообще речь; таким образом, мой ответ - все неверно. Автор:ari [ 04 апр 2014, 11:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lerachka писал(а) 03 апр 2014, 23:12: Сколько лет было Эдику, когда матери было столько лет, сколько Эдику теперь? Да нисколько. Его тогда еще не было. Добавлено спустя 4 минуты 39 секунд: Правильный ответ - 3 года. Это для какого класса? Автор:Хома [ 04 апр 2014, 12:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Lerachka писал(а) 04 апр 2014, 09:10: 8 класс. Что-то не спросила, по алгебре наверно) Автор:ari [ 04 апр 2014, 13:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Для 8-го можно и через Х, У. Пусть сейчас Эдику Х лет, Анфисе У лет. Когда Эдику было У лет, маме было (Х+У-3) лет. Когда маме было столько лет сколько Эдику, то есть Х - это было: (Х+У-3)-Х=У-3 лет назад. То есть Эдику на тот момент было: У-(У-3)=3 года. Ответ: 3 года. Автор:Танка [ 04 апр 2014, 14:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari, ваше выражение (Х+У-3)-Х=У-3 сокращается в ноль Х+У-3-Х-У+3 = 0. Но результат у меня такой же, хотя пока не пойму, как. У меня получилось, что мама родила Эдика, когда ей было на 3 года меньше, чем Эдику сейчас. Получется, что когда Эдику исполнилось 3 года, то возраст мамы ка краз был равен текущему возрасту Эдика. Сейчас попробую как-нибудь сформулировать... Автор:ari [ 04 апр 2014, 14:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Ой вы меня насмешили Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд: Танка Конечно в ноль. Потому что слева действие, а справа ответ/результат этого действия. Этим действием считается сколько лет назад маме было столько же лет, сколько сейчас Эдику. Ответ: (У-3) лет назад (от того момента когда Эдику У лет, а маме (Х+У-3) лет). Автор:Танка [ 04 апр 2014, 14:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А - Анфиса сейчас Э - Эдик сейчас М - Мама сейчас А+Э-3 = М-(Э-А) матери было на 3 года меньше, чем Анфисе с Эдиком = мама - (чтобы узнать, сколько лет назад Эдику было столько, сколько Анфисе, отнимем от Эдика Анфису) А+Э-3 = М-Э+А Э-3 = М-Э (это мы сократили Анфису) М = 2Э-3 Р - возраст мамы на момент рождения Эдика Р = М - Э Р = (2Э-3)-Э Р = Э-3 Э = Р+3 То есть сейчас Эдику на три года больше, чем было его маме, когда она его родила. Соответсвенно, когда маме было Э лет, Эдику было 3 года. Автор:Lerachka [ 04 апр 2014, 17:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Все верно) учитель также объяснила. Автор:Благоверная [ 04 апр 2014, 22:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну и задачки пошли... Автор:иденя [ 21 апр 2014, 13:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, синтаксический разбор предложения: Подружки Инна и Римма гуляют и играют. Подружки -чем явл? Автор:Yessey [ 21 апр 2014, 13:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя подлежащее Автор:Валечка [ 21 апр 2014, 13:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Yessey писал(а) 21 апр 2014, 13:31: Подружки Инна и Римма подлежащее, выражено словосочетанием Автор:Yessey [ 21 апр 2014, 14:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка Ну если уж совсем точно разбирать подружки-подлежащее,Инна и Римма-дополнение Автор:ma-sha [ 21 апр 2014, 15:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Yessey писал(а) 21 апр 2014, 14:50: Ну если уж совсем точно разбирать подружки-подлежащее,Инна и Римма-дополнение Валечка совершенно правильно написала, что все это подлежащее. Автор:Ушла на базу [ 21 апр 2014, 15:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Yessey писал(а) 21 апр 2014, 14:50: Валечка Ну если уж совсем точно разбирать подружки-подлежащее, Инна и Римма-дополнение Дополнения отвечают на вопросы косвенных падежей. Инна и Римма - именительный падеж. Автор:7_tanya [ 21 апр 2014, 21:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 21 апр 2014, 15:37: Yessey писал(а) 21 апр 2014, 14:50: Ну если уж совсем точно разбирать подружки-подлежащее,Инна и Римма-дополнение Валечка совершенно правильно написала, что все это подлежащее. Поддерживаю. Здесь подлежащим является существительное + согласуемое имя. Автор:Ferari [ 22 апр 2014, 21:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) подскажите какой корень в слове произведение. ? Автор:Ярилочка [ 22 апр 2014, 21:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 'Вед', наверное... Добавлено спустя 3 минуты 54 секунды: Неее, туплю! Произвед- корень Автор:Еленка1 [ 25 апр 2014, 10:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ferari Про-приставка,из-приставка, вед-корень. Автор:ma-sha [ 25 апр 2014, 12:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еленка1 Для того, чтобы определить состав слова, нужно подобрать однокренные слова. В данном случае это производство, производить, производственный и т.п. (чередование е/о). Поэтому здесь будет корень именно произвед-, а не -вед-. Или Вы можете привести примеры однокоренных слов с корнем -вед- для слова произведение? Автор:Благоверная [ 25 апр 2014, 12:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Произвед корень,конечно Автор:Еленка1 [ 25 апр 2014, 12:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Да,я уже покумекала,что-то я не подумав как следует написала. Видно,заучилась. Автор:Мусичка [ 25 апр 2014, 12:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, не совсем по теме вопрос-не про школьников, но про русский язык. недавно слушала мельком передачу про ремонт какую-то, там говорилось примерно следующее: "Керамическая плитка нового поколения, специально для мамы. ОНА будет стоять у окна для удобства. по моему мнению, местоимение "ОНА" должно в данном случае относиться к маме, а не к плитке-есть ли правила в русском, подзабыла и сформулировать для поиска не могу Автор:ma-sha [ 25 апр 2014, 14:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка Это стилистическая ошибка. Автор:Мусичка [ 08 сен 2014, 13:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, вопрос по математике(не совсем домашка). был на тестировании в гимназию(сын закончил 2 класс) как от куска материи длиной 2/3 метра отрезать пол метра, не имея под руками линейки как решить эту задачу, не зная дробей и приведение к общему знаменателю? может можно как то по другому? Автор:Ушла на базу [ 08 сен 2014, 13:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка Я бы решила так. Сложить данный кусок пополам. Получится 1/3. Затем сложить пополам эту 1/3. Получится 1/6. И вот уже к этой 1/6 прибавить 1/3. Т.е 1 метр у нас будет состоять из 1/3+1/3+(1/3 пополам два раза). не знаю, понятно ли объяснила Сейчас нарисую Автор:ari [ 08 сен 2014, 13:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 08 сен 2014, 13:31: Мусичка Я бы решила так. Сложить данный кусок пополам. Получится 1/3. Затем сложить пополам эту 1/3. Получится 1/6. Или отрезать одну часть 1/6. Получится 2/3-1/6=4/6-1/6=3/6=1/2 метра Автор:Ушла на базу [ 08 сен 2014, 13:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка Но мне пришлось подумать, а как быстро ребенок после 2 класса такое сообразит - не знаю Автор:7_tanya [ 08 сен 2014, 16:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Если тестирование было письменное, то рисуем ,__,_,___, = 1м ,__,_/___ ( / место разреза) ,__,_/ = 0,5м Проще сказать - сложить пополам и одну из половинок сложить пополам. Автор:Мусичка [ 08 сен 2014, 18:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 08 сен 2014, 13:40: Но мне пришлось подумать, а как быстро ребенок после 2 класса такое сообразит - не знаю он вообще не понимает что это за цифры 2/3 ari писал(а) 08 сен 2014, 13:37: Или отрезать одну часть 1/6. Получится 2/3-1/6=4/6-1/6=3/6=1/2 метра вы решили как все мы-приведя к общему знаменателю, они дроби не изучали еще. 7_tanya писал(а) 08 сен 2014, 16:53: Если тестирование было письменное, то рисуем ,__,_,___, = 1м ,__,_/___ ( / место разреза) ,__,_/ = 0,5м Проще сказать - сложить пополам и одну из половинок сложить пополам. у вас хорошо, я ему примерно так и рисовала, но тоже нужно понимать, что такое 2/3 и одна вторая. во втором классе такое решают уже? Автор:Lisenka [ 08 сен 2014, 19:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а) 08 сен 2014, 18:50: но тоже нужно понимать, что такое 2/3 и одна вторая.во втором классе такое решают уже? По программе Виноградовой мы проходили такое, не дроби, а именно как части это преподносилось, достаточно легко прошло это в школе, именно как части от целого. Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды: Достала наш учебник за второй класс, да мы такое проходили во втором полугодии, тема называлась "Нахождение нескольких частей числа" Автор:Мусичка [ 08 сен 2014, 19:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lisenka писал(а) 08 сен 2014, 19:10: По программе Виноградовой мы проходили такое, не дроби, а именно как части это преподносилось, достаточно легко прошло это в школе, именно как части от целого. это 21 век? вот уже жду на сл неделе учебники,будем смотреть. просто у нас программа Планета Знаний, там не было такого, а тестирование проходили в гимназии, там вот был этот вопрос. Автор:Lisenka [ 08 сен 2014, 19:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а) 08 сен 2014, 19:19: это 21 век? Да, Начальная школа 21-го века, ее еще называют программа Виноградовой. Автор:Мусичка [ 08 сен 2014, 19:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lisenka ага ну вот в гимназии и как раз учатся по ней. просто спрашивала у девочек, у кого дети во 2 классе тоже-говорят не проходили, но я про дроби спрашивала, не про части. Автор:косик [ 21 сен 2014, 15:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, прошу помощи! Не знаем как решить. Вроде стрелки в обратку, нужно менять плюс на минус, но тогда ерунда выходит. Добавлено спустя 33 секунды: 16 первое и 17 Автор:Alexx [ 21 сен 2014, 15:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 17) 19, 9, 0, 8... 16) 20, 11, 9.. Автор:косик [ 21 сен 2014, 15:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alexx Спасибо. Поняла наконец то! Автор:косик [ 23 сен 2014, 08:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Прошу опять помощи. Видно мозг мой усыхает.))) Куда тут стрелки будут? Автор:карапузик L [ 23 сен 2014, 08:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Полярная звезда это север. Вообще то в учебнике должно про это быть сказано или картинка была. То есть в школе об этом говорили. Если в учебнике слишком мало текста, может вам купить методичку к учебнику для учителя. Иначе с каждой темой будут проблемы. Автор:косик [ 23 сен 2014, 09:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) карапузик L Короче на компасе надо нарисовать стрелку указывающую на полярную звезду? Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды: карапузик L Я то куплю, одного не пойму зачем нам учитель тогда. Она задает на дом новую тему, домашку к ней, а потом проходит ее в классе. Когда родители пол вечера убили, чтоб эту ерунду ребенку объяснить. Автор:Zenya [ 23 сен 2014, 10:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) косик писал(а) 23 сен 2014, 09:10: Я то куплю, одного не пойму зачем нам учитель тогда. Она задает на дом новую тему, домашку к ней, а потом проходит ее в классе. Когда родители пол вечера убили, чтоб эту ерунду ребенку объяснить. вот у нас так же проходит изучение окр мира. Дома. самостоятельно. сейчас я купила решебник и никаких сложных вопросов для меня больше не существует Автор:shira [ 23 сен 2014, 10:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) [quote="косик";p=15968995]карапузик L Короче на компасе надо нарисовать стрелку указывающую на полярную звезду? да Автор:Фудзияма [ 03 окт 2014, 09:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) интересная статья на Фейсбуке. Автор:рЮккола [ 03 окт 2014, 10:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Фудзияма Спасибо за статью! Очень нам кстати, прямо уже нервничаю и переживаю заранее,как мы будем в следующий год в первый класс Автор:Фудзияма [ 03 окт 2014, 10:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я больше для родителей нач. школы. Вам еще не надо переживать, все ОК будет. Автор:Anna_R [ 03 окт 2014, 10:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Фудзияма как про нас все Автор:annamai [ 03 окт 2014, 15:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Фудзияма писал(а) 03 окт 2014, 09:43: статья на Фейсбуке. спасибо за статью! очень вразумила! Автор:Ярилочка [ 03 окт 2014, 20:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Копец, девочки.... Читаю темку давно! Готовилась к первому классу сына когда-то с вами.... Сейчас сын во втором! Поняла, что все зависит от учителя!!!! Я реально не врубаюсь во многие задания, а сын, как на идиотку смотрит! Ему все понятно! Поэтому вопросы, наверное, к учителям..... Кстати, всех учителе с Днем учителя! Мне повезло, и у меня самой, и у сына - суперучителя!!!!!! И в школе, и в спортивной секции!!! Автор:иденя [ 07 окт 2014, 15:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, помогайте: В каком из глаголов приставка ПО- употреблена не в том же значении, что в остальных? Побегать; поспать; поплыть; поиграть; полежать. Ответ знаю, мне необходимо объяснение: ПОЧЕМУ??? Автор:milita.ri [ 07 окт 2014, 15:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 07 окт 2014, 15:39: поплыть Не поплыть? Автор:косик [ 07 окт 2014, 16:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Я чет даже не знаю и какое слово. Не говоря о Почему.( Автор:иденя [ 07 окт 2014, 16:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) milita.ri писал(а) 07 окт 2014, 15:54: иденя писал(а) 07 окт 2014, 15:39: поплыть Не поплыть? почему? Автор:Фудзияма [ 07 окт 2014, 16:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) остальные глаголы означают кратковременное действие, поплыть - нет. если бы поплавать - тогда да. Автор:milita.ri [ 07 окт 2014, 16:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Фудзияма писал(а) 07 окт 2014, 16:08: остальные глаголы означают кратковременное действие Автор:Дашулькина мама [ 07 окт 2014, 16:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 07 окт 2014, 15:39: Девочки, помогайте: В каком из глаголов приставка ПО- употреблена не в том же значении, что в остальных? Побегать; поспать; поплыть; поиграть; полежать. Ответ знаю, мне необходимо объяснение: ПОЧЕМУ??? Побегать; поспать; поиграть; полежать. Неполное действие поплыть. Начало действия Ну я так думаю. Автор:Zenya [ 07 окт 2014, 16:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я думаю слово поплыть Автор:ma-sha [ 07 окт 2014, 16:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) milita.ri писал(а) 07 окт 2014, 15:54: Не поплыть? Я тоже думаю, что поплыть. КМК, тут разница в действии. Чтобы этот глагол был таким же, как остальные, должно было быть поплавать. Автор:Katie [ 07 окт 2014, 16:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дашулькина мама писал(а) 07 окт 2014, 16:10: поплыть. Начало действия Ну я так думаю. и я так думаю Автор:Desert Rose [ 19 окт 2014, 13:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки , помогите решить пример ( на порядок действий ) 5 класс: 3195:1524-(16375+(175-57)106) Отрицательные числа ещё не проходили, а в ответе написано 10600 .Как ? Автор:Благоверная [ 19 окт 2014, 13:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Странно,у меня получилось-13388 Автор:Анитра [ 19 окт 2014, 13:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Desert Rose У меня тоже не получается, ИМХО в примере ошибка Автор:Благоверная [ 19 окт 2014, 13:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Анитра У Вас сколько получилось? Автор:Desert Rose [ 19 окт 2014, 13:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня получается "-13396", даже если снести все скобки и расставить их по-своему 10600, как в ответе , не получается. Полчаса сижу, по-всякому решаю. Автор:Благоверная [ 19 окт 2014, 13:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) =3195:1524-(16375+118106)=3195:1524-(6000+12508)=3195:1524-18508=21324-18508=5112-18508=-13396 Точно!я ошиблась чуть-чуть Автор:ma-sha [ 19 окт 2014, 14:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Desert Rose писал(а) 19 окт 2014, 13:44: У меня получается "-13396", И у меня столько же получилось, т.е. - 13396. Автор:Анитра [ 19 окт 2014, 14:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня тоже -13396. Да там могли просто цифру или знак какой-нибудь неправильно напечатать. В нынешних учебниках это как за здрасьте. Автор:shira [ 21 окт 2014, 08:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Desert Rose Сфотографируйте пожалуйста задачку. У меня ответ -13396. Вообще нашла сайт по решебниками разным http:// egeurok.ru не знаю может поможет кому, если нельзя такую ссылку модераторы удалите тогда TANIKA писал(а): На счёт решебников,сын во 2 классе,не могу найти решебник ,чтобы там по русскому языку ответы были к учебнику В.П.Канакина и В.Г. Горецкий. Может кто-нибудь знает где искать,ткните в ссылочку пожалуйста. вот ссылка, там постранично - разберетесь думаю ... i-2-chast/ Автор:TANIKA [ 21 окт 2014, 17:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) На счёт решебников,сын во 2 классе,не могу найти решебник ,чтобы там по русскому языку ответы были к учебнику В.П.Канакина и В.Г. Горецкий. Может кто-нибудь знает где искать,ткните в ссылочку пожалуйста. Автор:Desert Rose [ 23 окт 2014, 21:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) shira , простите, сразу не ответила. В классе сошлись на том, что ошибка в учебнике. Автор:katkon [ 22 ноя 2014, 20:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, помогите! Глаголы: ешь и ест - какие у них окончания? Автор:Валечка [ 22 ноя 2014, 20:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) katkon нулевое у ешь ( это глагол повелительного наклонения ед.ч.:) про ест чет сходу не могу сообразить Добавлено спустя 5 минут 5 секунд: по идее тоже нулевое... вроде Автор:Маркиза Карабаса [ 22 ноя 2014, 20:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) katkon писал(а) 22 ноя 2014, 20:42: ешь е-корень шь-окончание ест е-корень ст-суффикс, окончание нулевое Автор:ma-sha [ 22 ноя 2014, 21:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) katkon Если глагол ешь повелительного наклонения, то это все будет корень, окончание нулевое; если изъявительного, то корень е, а шь - глагольное окончание. Автор:katkon [ 22 ноя 2014, 21:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка писал(а) 22 ноя 2014, 20:53: ешь ( это глагол повелительного наклонения ед.ч.:) почему повелительное? просто второе лицо ед. число: ты ешь, так же как и ты идешь, ты смотришь и т.д. я думаю, что окончание -шь Автор:ma-sha [ 22 ноя 2014, 21:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) katkon писал(а) 22 ноя 2014, 21:11: почему повелительное? Оно может стоять и в повелительном наклонении (Ешь немедленно!), и в изъявительном (Ты ешь кашу по утрам). Автор:katkon [ 22 ноя 2014, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 22 ноя 2014, 21:17: katkon писал(а) 22 ноя 2014, 21:11: почему повелительное? Оно может стоять и в повелительном наклонении (Ешь немедленно!), и в изъявительном (Ты ешь кашу по утрам). да я поняла)) просто у меня оно в изъявительном наклонении по контексту :) Автор:ma-sha [ 22 ноя 2014, 21:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) katkon писал(а) 22 ноя 2014, 21:24: просто у меня оно в изъявительном наклонении по контексту :) Ну тогда однозначно корень е и окончание шь Автор:VIKA_N [ 24 ноя 2014, 15:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девушки, подскажите, можно поделить на слоги слова Name и Fine. Вроде две гласные, но вот как-то на слух не принимаю. Автор:7_tanya [ 24 ноя 2014, 17:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) VIKA_N Смотря для чего, если для переноса, то поделить можно, а вообще, фонетически здесь один слог, т.к. произносим нэйм, а не намэ. Автор:VIKA_N [ 24 ноя 2014, 17:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 7_tanya Задание такое. Поделить на слоги. Автор:Cleo [ 24 ноя 2014, 17:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Это открытый слог, конечная е не читается, а гласная в корне произносится как в алфавите. То есть оба слова имеют один слог, несмотря на две гласные. Такие слова нельзя поделить и для переноса. Автор:VIKA_N [ 24 ноя 2014, 17:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 7_tanya Cleo Спасибо большое. Пойдем исправлять. Автор:Барби на пенсии [ 24 ноя 2014, 18:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки!!! Помогите!!! Стыд-позор, слов нет... Предложение: На поле боя возведён памятник героям. Где подлежащее и сказуемое? Детка (3 класс) подчеркнула ВОЗВЕЛИ и ПАМЯТНИК... Ну чую я, что памятник тут не причем... Может тут нет подлежащего: (они - неизвестные/отсутствующие в роли подлежащего) что сделали? возвели (сказуемое) чего? пямятник.... Опять же, он ВОЗВЕДЁН... Ничего не помню, читать - голова не варит к вечеру Автор:belladonna [ 24 ноя 2014, 18:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Барби на пенсии памятник-это дополнительный член предложения возвели-главный член предложения=сказуемое, а подлежащее отсутствует Автор:Барби на пенсии [ 24 ноя 2014, 18:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna Я так и думала!!! Но что-то засомневалась, блин... Спасибочки!!! Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд: belladonna Блин... Вот что меня смутило, я еще и неправильно написала задание На поле боя ВОЗВЕДЁН памятник... Вроде смысла не меняет. Или меняет? Автор:belladonna [ 24 ноя 2014, 18:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Барби на пенсии писал(а) 24 ноя 2014, 18:47: На поле боя ВОЗВЕДЁН памятник. эээ..вроде меняет в корне Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд: что? памятник что сделан? возведен памятник-подл возведен-сказуемое но тут я уже чот не уверена то было понятнее Автор:Барби на пенсии [ 24 ноя 2014, 18:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna Вот и сумневаюсь ... Сейчас глянула в учебник (малая там пыхтит) точно ВОЗВЕДЁН... Если бы "возвели", меня бы не смутило... Автор:belladonna [ 24 ноя 2014, 18:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Барби на пенсии спроси в теме "русский язык" Автор:milita.ri [ 24 ноя 2014, 18:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Барби на пенсии Памятник возведен( подлежащее+сказуемое) Автор:Барби на пенсии [ 24 ноя 2014, 18:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) milita.ri Спасибо. Это точно? По смыслу меня смущает... Автор:Ушла на базу [ 24 ноя 2014, 20:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Барби на пенсии писал(а) 24 ноя 2014, 18:27: На поле боя возведён памятник героям. Вроде бы тут подлежащее - памятник, а сказуемое выражено страдательным кратким причастием "возведён" Автор:Terracotta [ 24 ноя 2014, 21:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 24 ноя 2014, 20:01: Барби на пенсии писал(а) 24 ноя 2014, 18:27: На поле боя возведён памятник героям. Вроде бы тут подлежащее - памятник, а сказуемое выражено страдательным кратким причастием "возведён" Составное именное сказуемое, именная часть которого выражена кратким причастием. Автор:Надежда С. [ 24 ноя 2014, 21:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) milita.ri писал(а) 24 ноя 2014, 18:52: Памятник возведен( подлежащее+сказуемое) Барби на пенсии писал(а) 24 ноя 2014, 18:58: Это точно? Автор:Барби на пенсии [ 24 ноя 2014, 21:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки!!! Всем спасибо!!! Что бы я без вас, дорогие мои, делала Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 19:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, подскажите, пожалуйста: нужно слово, состоящее из 6 букв и 3 звуков. Нашла только "сейчас", которое у нас часто произносится как "щас". Но что-то меня в нём смущает- не все же так говорят Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 19:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 писал(а) 25 ноя 2014, 19:55: Нашла только "сейчас", которое у нас часто произносится как "щас". это неправильный ответ! нужно слово, чтоб были Ъ и Ь знак, сейчас подумаю.. Добавлено спустя 6 минут 5 секунд: что-то не знаю и гугл не помогает Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 20:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna писал(а) 25 ноя 2014, 20:04: нужно слово, чтоб были Ъ и Ь знак съешь - но 5 букв Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 20:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а) 25 ноя 2014, 20:07: съешь - но 5 букв И 4 звука Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 20:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 25 ноя 2014, 20:10: Верса писал(а) 25 ноя 2014, 20:07: съешь - но 5 букв И 4 звука у меня три или я уже фонетический разбор совсем забыла. аааа!!!! точно забыла! Автор:natalochka-mama [ 25 ноя 2014, 20:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna писал(а) 25 ноя 2014, 20:04: нужно слово, чтоб были Ъ и Ь знак скорее всего, в слове должна быть какая-нибудь удвоенная согласная и Ь знак. Твердый знак не годится, т.к. он ставится перед йотированными буквами (е,я,ю,ё), а там получается два звука (йа, йэ и т.д.) Автор:Lyudochka [ 25 ноя 2014, 20:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Сьесть (пирожок, например), не? Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 20:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lyudochka писал(а) 25 ноя 2014, 20:16: Сьесть (пирожок, например), не? 6 букв, 5 звуков - не подходит. Автор:Lyudochka [ 25 ноя 2014, 20:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Или это пишется съесть? Чё-то к вечеру я уже плохо соображаю Автор:natalochka-mama [ 25 ноя 2014, 20:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lyudochka писал(а) 25 ноя 2014, 20:19: Или это пишется съесть? сЪесть Автор:Lyudochka [ 25 ноя 2014, 20:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну точно, интеллект устал Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд: Меня прямо заинтриговало это волшебное слово, сейчас ночью спать не буду, буду думать, напишите, кто придумает Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 20:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 скопируйте задание дословно, пож-та Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna писал(а) 25 ноя 2014, 20:29: скопируйте задание дословно, пож-та Дочка на словах задание принесла Из 5 букв придумали: "билль", из 6 не можем Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 20:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 писал(а) 25 ноя 2014, 20:32: Дочка на словах задание принесла ооо..ну тогда это м.б. неточно Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 20:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 писал(а) 25 ноя 2014, 20:32: belladonna писал(а) 25 ноя 2014, 20:29: скопируйте задание дословно, пож-та Дочка на словах задание принесла Из 5 букв придумали: "билль", из 6 не можем факт, что ваша дочь это слово не знает должно быть что-то, доступное в ее возрасте. Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 20:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может, конечно, и неточно, но одноклассники так же своим родителям передали, независимо друг от друга. Я вот только думаю, может, это какое-то шуточное задание было? Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды: Верса писал(а) 25 ноя 2014, 20:35: факт, что ваша дочь это слово не знает Ну да, в 3 классе она ещё не сталкивалась с таким словом Но мы уже привыкли, что многие задания в школе рассчитаны не только на детей, но и на родителей, соседей, знакомых и Владмаму Автор:Танка [ 25 ноя 2014, 22:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лучшее, что я придумала, - это "сельдь" с 4 звуками. Забавно, что в интернете встречается этот вопрос, а вот вменяемого ответа на него нет. Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 22:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) честно говоря, у меня пока единственный вариант остался - щас. Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 22:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а) 25 ноя 2014, 22:45: честно говоря, у меня пока единственный вариант остался - щас. Транскрипция будет такая [с'ий'ч'`ас] Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 22:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а) 25 ноя 2014, 22:45: щас. это разговорный жанр, к русскому языку не относится) Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 22:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) дайте правильный ответ Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 22:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса скорее всего, там нюанс, который дочка упустила Добавлено спустя 53 секунды: Чижик2 скажите нам обязательно! я бы уже учителю позвонила Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 22:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а) 25 ноя 2014, 22:53: дайте правильный ответ Знали - дали бы Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 22:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) я думаю, что там были варианты ответа)) либо из какого-то рассказа, который на уроке проходили. из стихотворения найти. просто так придумать ну это оч сложно. не в МГМО поступает же)) Автор:Холодок [ 25 ноя 2014, 22:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Интересная тема Автор:Маркиза Карабаса [ 25 ноя 2014, 22:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) пьешь? Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 23:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маркиза Карабаса 4 звука Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 23:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna писал(а) 25 ноя 2014, 23:00: 4 звука И 5 букв ))) Автор:Маркиза Карабаса [ 25 ноя 2014, 23:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) точно! Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 23:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha по логике такого слова не м.б. в русском языке, т.к. слова, которые содержат звуков меньше, чем букв, содержат Ь . А в слове из 6 букв не может быть 3 мягкого знака. 2-максимум Да ведь? Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) съездь Добавлено спустя 54 секунды: мож, это и ответ? такого слова нету) Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 23:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) а ребенок спит, небось.... с не сделанным заданием... Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 23:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna Не, еще могут быть сдвоенные, непроизносимые буквы, а также сочетание букв, произносимых одним звуком (например, чн = ш). Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 23:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 25 ноя 2014, 23:07: Не, еще могут быть сдвоенные, непроизносимые буквы, а также сочетание букв, произносимых одним звуком. точно блин Добавлено спустя 1 минуту 14 секунд: надо придумывать с парой сдвоенных пар и одним Ь или с одной парой и двумя Ь Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) должно быть "СЧ" тогда.. будет один звук "Щ" Автор:belladonna [ 25 ноя 2014, 23:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 25 ноя 2014, 23:12: должно быть "СЧ" тогда.. будет один звук "Щ" и еще как минимум один ь и сдвоенные согл, или два ь нет такого Автор:Маркиза Карабаса [ 25 ноя 2014, 23:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а) 25 ноя 2014, 23:06: а ребенок спит, небось.... а мы нет Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мыться подойдет? Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 23:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 25 ноя 2014, 23:14: мыться подойдет? 4 звука минимум Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 23:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Владмамочки усиленно делают задание, Верса писал(а) 25 ноя 2014, 23:06: а ребенок спит ma-sha писал(а) 25 ноя 2014, 23:07: Не, еще могут быть сдвоенные, непроизносимые буквы, а также сочетание букв, произносимых одним звуком (например, чн = ш). Интересно, если собрать всё предложенное, какая абракадабра получится? Аспид писал(а) 25 ноя 2014, 23:05: мож, это и ответ? такого слова нету) Мне очень нравится этот вариант ответа! Перед сном дочка ещё уточнила, что слово обязательно нужно написать в тетрадку Легла спать с полной уверенностью, что Владмама за ночь выдаст правильный ответ, а она его утром запишет! Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ужос.. Автор:Ушла на базу [ 25 ноя 2014, 23:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 писал(а) 25 ноя 2014, 23:17: Перед сном дочка ещё уточнила, что слово обязательно нужно написать в тетрадку Легла спать с полной уверенностью, что Владмама за ночь выдаст правильный ответ, а она его утром запишет! Вот оно какое, ДОВЕРИЕ К ВМ! Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 23:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 25 ноя 2014, 23:18: ужос.. и как теперь быть???? Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) а вы его не оправдали. я щитаю, что модераторы должны придумать. или одмин ))) Автор:annamai [ 25 ноя 2014, 23:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 25 ноя 2014, 23:22: или одмин ага, админ, проснись, НЕ СПАТЬ!!! Автор:Верса [ 25 ноя 2014, 23:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) я предлагаю поднять с постели учителку Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 23:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 25 ноя 2014, 23:20: Вот оно какое, ДОВЕРИЕ К ВМ! Она уже давно, сталкиваясь с более-менее сложной ситуацией, говорит мне:"А ты на Владмаме посмотри!" Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) согласна. Добавлено спустя 52 секунды: в опчем, два варианта - либо это сейчас. и вопрос звучит - как это слово щас произносют. либо - такого слова нет :) Автор:Маркиза Карабаса [ 25 ноя 2014, 23:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 25 ноя 2014, 23:26: два варианта - либо это сейчас. и вопрос звучит - как это слово щас произносют. и это неверный Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маркиза Карабаса, давай-давай, отвечай)) без гугла)) Автор:Маркиза Карабаса [ 25 ноя 2014, 23:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дамы, правильный ответ: таких слов в русс языке нет нашла ... &q&f=false 21я страница Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 23:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня уже вообще мозги ТАКОЕ выдают: "3звука" (читается как "три звука") По аналогии с заданием: "В каком слове 40 гласных букв?" - "сорока" (40А) Ещё чуть-чуть подумаем, и в русском языке появится много новых слов с кучей удвоенных, непроизносимых согласных и мягких знаков Автор:Аспид [ 25 ноя 2014, 23:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Садись, пять)) Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 23:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маркиза Карабаса писал(а) 25 ноя 2014, 23:33: таких слов в русс языке нет А мы придумаем! Маркиза Карабаса писал(а) 25 ноя 2014, 23:33: 21я страница У меня почему-то только 10 страниц загрузилось Автор:ma-sha [ 25 ноя 2014, 23:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 писал(а) 25 ноя 2014, 23:40: У меня почему-то только 10 страниц загрузилось А у меня 15 Автор:Маркиза Карабаса [ 25 ноя 2014, 23:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Чижик2 смотрите внимательно, по нумерации страниц Автор:Ушла на базу [ 25 ноя 2014, 23:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маркиза Карабаса Ее предлагают купить в эл. варианте за 41,29 руб. До этого не показывает дольше 11 страницы. Скан давайте! Автор:Чижик2 [ 25 ноя 2014, 23:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маркиза Карабаса писал(а) 25 ноя 2014, 23:50: смотрите внимательно, по нумерации страниц Я даже пыталась из оглавления сразу выйти на 21-ю страницу, а мне написали, что я не авторизована для чтения этой страницы Ну да, ладно, я Вам всё равно верю! Спасибо! Автор:Ушла на базу [ 25 ноя 2014, 23:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В задании сказано: "Если это возможно, подбери и запиши..." Так дочери утром и скажите: "Владмама посовещалась и пришла к выводу - НЕВОЗМОЖНО!" Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 00:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу А где ответы со стр. 21? А вообще, мы тут коллективно уже до этого додумались, что нет такого слова Автор:Ушла на базу [ 26 ноя 2014, 00:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha А жаба меня давит 41 рубль отдавать! Надо у Маркиза Карабаса спросить. Автор:Чижик2 [ 26 ноя 2014, 00:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 25 ноя 2014, 23:59: Так дочери утром и скажите: "Владмама посовещалась и пришла к выводу - НЕВОЗМОЖНО!" Угу! Так и скажем! Всем спасибо! Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 08:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) И ребенке скажите, шоп запоминала все условие задачи, иначе ВМ не отвечает за результат ))) Автор:Lyudochka [ 26 ноя 2014, 09:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вечером интернет лопатила, ничего не нашла, думаю, может, девочки за ночь чего-нибудь придумали Автор:belladonna [ 26 ноя 2014, 13:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 25 ноя 2014, 23:59: Если это возможно ну вот и деталь, в которой, как всегда, дъявол.. Автор:Маркиза Карабаса [ 26 ноя 2014, 14:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Фомам неверующим почитайте комментарий Автор:Верса [ 26 ноя 2014, 15:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маркиза Карабаса писал(а) 26 ноя 2014, 14:34: почитайте комментарий не, ну было весело на самом деле я хоть фонетику вспомнила Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды: мамам школьников совет: не стесняйтесь, покупайте (для себя) решебники - программа уж не та Автор:косик [ 26 ноя 2014, 15:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса Меня очень решебник выручает порой. Второй класс))) стыдоба)) Автор:Katie [ 26 ноя 2014, 15:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) По нашей программе не нашла Автор:Lina_25 [ 26 ноя 2014, 16:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я бы очень рада была решебнику, но ни где не могу найти по "Планете Знаний" Автор:Верса [ 26 ноя 2014, 16:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) косик писал(а) 26 ноя 2014, 15:55: стыдоба)) может, мы просто мыслим по другому в мое время все задания имели решение. не, мы конечно читали про всякие знаменитые недоказанные теоремы, но нам их решать не подсовывали под видом экзаменационного билета и не было даже мысли, что можно отказаться от выполнения, потому что невыполнимо Автор:Lyudochka [ 26 ноя 2014, 16:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дурдом, и будет бедный ребёнок всё время, отведённое на экзамен, думать над этим злосчастным словом Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 16:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Это не дурдом, а попытка научить мыслить нестандартно ) С чем belladonna отлично справилась) Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 20:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может кому будет интересно еще поразмять мозги? Разобрать по составу: кормлю. Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 20:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) корм - корень л - суффикс ю - окончание Автор:Надежда С. [ 26 ноя 2014, 20:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 26 ноя 2014, 20:16: корм - корень л - суффикс ю - окончание Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 20:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид Надежда С. Если было бы так просто, то я не написала бы про поразмять мозги ))) Даю подсказку: вспомните, что это за суффикс л. Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 21:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) формообразующий? Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 26 ноя 2014, 21:23: формообразующий? И что именно он образует ? Автор:Надежда С. [ 26 ноя 2014, 21:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 26 ноя 2014, 20:32: вспомните, что это за суффикс л. суффикс глагола прошедшего времени Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 21:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. писал(а) 26 ноя 2014, 21:25: суффикс глагола прошедшего времени А кормлю какого времени? Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 21:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) глагол? )) настоящего) вот и мне не понятна) в чем затык) Автор:Katie [ 26 ноя 2014, 21:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может м и мл чередуются в корне? Автор:Надежда С. [ 26 ноя 2014, 21:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 26 ноя 2014, 21:27: А кормлю какого времени? настоящего Автор:Лунышка [ 26 ноя 2014, 21:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 26 ноя 2014, 21:27: Надежда С. писал(а) 26 ноя 2014, 21:25: суффикс глагола прошедшего времени А кормлю какого времени? Настоящего, там л в корне ( кормление) Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 21:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ну знач кормл - корень ) с бегающей "л") Автор:Маркиза Карабаса [ 26 ноя 2014, 21:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) кормл корень, ю окончание по типу люблю. Автор:Надежда С. [ 26 ноя 2014, 21:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот и узнали Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 21:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид Суффикс -л- является формообразующим, т.е. встречается ТОЛЬКО в глаголах прошедшего времени. У некоторых глаголов типа любить- любЛю, топить-попЛю, ловить-ловЛю и т.п. в форме 1 лица ед.числа л присоединяется к корню. Поэтому глагол кормлю имеет корень кормл- и окончание -ю. Автор:Лунышка [ 26 ноя 2014, 21:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка писал(а) 26 ноя 2014, 21:31: ma-sha писал(а) 26 ноя 2014, 21:27: Надежда С. писал(а) 26 ноя 2014, 21:25: суффикс глагола прошедшего времени А кормлю какого времени? Настоящего, там л в корне ( кормление) Ой, простите, сначала увидела, что вам неверно полсказали, а потом уже задание прочла кормл - корень, ю- окончание Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 21:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha, мы ужо разобралися )) Автор:Лунышка [ 26 ноя 2014, 21:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Не по теме, а как в слове " ловля" : "л" чем является? ой, декрет-тупею на глазах Автор:ma-sha [ 26 ноя 2014, 21:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 26 ноя 2014, 21:37: мы ужо разобралися )) Очень многие разбирают по составу эти глаголы неправильно. Хотя, казалось бы, там все очень просто Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 21:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка, тот же случай)) Добавлено спустя 26 секунд: ловля-ловлю)) один фик) ловл - корень. Добавлено спустя 47 секунд: ma-sha, ну дык.. не используются эти знания теперича) голова-то не резиновая)) память чем-то другим занята)) Автор:Лунышка [ 26 ноя 2014, 21:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 26 ноя 2014, 21:46: Лунышка, тот же случай)) Добавлено спустя 26 секунд: ловля-ловлю)) один фик) ловл - корень. неее это ж сущ-ное, а прошедшено времени Автор:Аспид [ 26 ноя 2014, 21:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка, состав тот же) Автор:7_tanya [ 07 дек 2014, 13:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки привет. Ну тогда и я с вопросом. Разберите мне по составу слово пропел. Автор:ma-sha [ 07 дек 2014, 13:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 7_tanya писал(а) 07 дек 2014, 13:32: Разберите мне по составу слово пропел. Мой вариант Про - приставка -пе- - корень -л - формообразующий суффикс нулевое окончание пропе - основа Автор:Надежда С. [ 07 дек 2014, 14:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Корень -п-.Суффиксы -е-, -л- Автор:ma-sha [ 07 дек 2014, 14:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. Не согласна, корень пе При склонении глагола петь наблюдается чередование по / пе Автор:Надежда С. [ 07 дек 2014, 14:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha У глаголов в прошедшем времени перед суффиксом -л- должен быть суффикс из гласной? Автор:ma-sha [ 07 дек 2014, 15:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. Это суффикс сохраняется, если он есть в неопределенной форме. Например: верить - тут корень вер, суффикс и, глагольное окончание (ну или суффикс по некоторым программам) ть. Тогда в прошедшем времени этот суффикс будет сохраняться, т.е. верил - корень вер, суффиксы и и л, нулевое окончание, основа вери. В глаголе петь(спеть) корень пе и там нет никакого суффикса. Все морфемные словари указывают, что в этих глаголах корень пе. Автор:7_tanya [ 07 дек 2014, 15:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Надежда С. Спасибо . Я склоняюсь к варианту номер 1, но засомневалась. Автор:Настёна [ 10 дек 2014, 22:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ААА, девы помогите! Не могу помочь ребёнку доделать окружающий мир, 3 класс, рабочая тетрадь Ивченкова. По программе "Планета знаний" страница 33, там нужно подписать листья растений, я не могу узнать предпоследний листочек...... Автор:Аспид [ 10 дек 2014, 22:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Настёна, Дайте картинку)) так будет больше шансов ;) Автор:Настёна [ 10 дек 2014, 22:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) сейчас найду в инете Добавлено спустя 18 минут 52 секунды: Наши ответы: дуб, клён, берёза, рябина, дальше мы не знаем и последний клубника или малина, есть в этом сомнения. Вложения: окр мир1.png [ 64.9 КБ \| Просмотров: 75460 ] Автор:Верса [ 10 дек 2014, 23:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Настёна мелко. последний не клевер? Автор:верлена [ 10 дек 2014, 23:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Настёна После рябины каштан Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд: Автор:Светланkа [ 10 дек 2014, 23:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Это листья элеутерококка, наш приморский эндемик. Каштан "шестипалый", не подойдет. Виноград девичий тоже ОК будет Автор:верлена [ 10 дек 2014, 23:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Светланkа писал(а) 10 дек 2014, 23:18: Это листья элеутерококка, наш приморский эндемик. Каштан "шестипалый", не подойдет. Виноград девичий тоже ОК будет Каштан бывает и пятипальчатый А последнее - клевер..... Просто это ж учебник....не думаю что там все так замудрено. Пальчатосложный лист, как правило каштан, тройчатосложный- клевер...элеутерококк - это очень сложно Автор:Берегиня [ 11 дек 2014, 02:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) верлена писал(а) 10 дек 2014, 23:35: А последнее - клевер.... Вот клевер: Автор:верлена [ 11 дек 2014, 06:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня писал(а) 11 дек 2014, 02:07: верлена писал(а) 10 дек 2014, 23:35: А последнее - клевер.... Вот клевер: согласна, но.... и вот клевер И вот клевер Автор:Настёна [ 11 дек 2014, 09:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо большое всем. А то мы уже думали прочерк ставить....я когда училась, мне помощь родителей не требовалась... Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 15:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еще для разминки мозгов Синтаксический разбор предложения: Мы поехали покататься на машине. Автор:Надежда С. [ 04 фев 2015, 15:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Мы - подлежащее поехали кататься - сказуемое на машине - дополнение. Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 15:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. писал(а) 04 фев 2015, 15:40: поехали кататься - сказуемое Если бы было так, то я бы не написала, что это для разминки мозгов Автор:Валечка [ 04 фев 2015, 15:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) повест, невоскл, прост, односост, распр., неосложн. мы-подлежащее, поехали - сказуемое, покататься на машине - обстоятельство.. Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд: я вот вчера в первый раз залезла в словарь - пришлось искать мн. число тв. падеж слова дно.. Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 15:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка писал(а) 04 фев 2015, 15:46: покататься на машине - обстоятельство.. Не совсем правильно, но уже ближе к правильности Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд: Валечка писал(а) 04 фев 2015, 15:46: пришлось искать мн. число тв. падеж слова дно.. Ну и как поиски? Увенчались успехом? Автор:Валечка [ 04 фев 2015, 15:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) поехали куда? кататься на машине мне кажется тут словосочетание неделимо... ну я так думаю Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 15:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. писал(а): вот я и не поняла, в чем загвоздка В том, что в этом предложении инфинитив не является частью составного глагольного сказуемого, а является обстоятельством. Сказуемое тут - поехали. А вот почему? Автор:Terracotta [ 04 фев 2015, 15:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Кататься - обстоятельство цели, а на машине - дополнение, наверное Автор:Валечка [ 04 фев 2015, 15:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 04 фев 2015, 15:48: Ну и как поиски? Увенчались успехом? конэчно оказалось ед.ч. - дно, мн. ч. - донья ну и падеж уже там какой надо Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 15:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка писал(а) 04 фев 2015, 15:58: мн. ч. - донья Добавлено спустя 59 секунд: Terracotta писал(а) 04 фев 2015, 15:55: Кататься - обстоятельство цели, а на машине - дополнение, наверное Но еще интересны объяснения, почему ж тут нет составного глагольного сказуемого Автор:Terracotta [ 04 фев 2015, 16:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Глаголы движения в сочетании с инфинитивом не являются сост.глагольным сказуемым, как-то так, кажется Предложения этого типа можно развернуть в сложноподчиненные: мы поехали, чтобы покататься. Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 16:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Terracotta Совершенно верно А вообще: Цитата: Инфинитив может быть любым членом предложения: подлежащим (Учиться всегда пригодится), сказуемым (Быть грозе великой!), дополнением (Все просили ее спеть), определением (У меня возникло непреодолимое желание поспать), обстоятельством (Я пошел пройтись). Автор:Надежда С. [ 04 фев 2015, 18:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha Спасибо за просвещение Автор:Аспид [ 04 фев 2015, 21:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 04 фев 2015, 16:28: Я пошел пройтись Думала: взять или не взять. Взяла и не взяла Автор:Ушла на базу [ 04 фев 2015, 21:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Давайте еще что-нибудь подумаем! Автор:ma-sha [ 04 фев 2015, 23:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 04 фев 2015, 21:09: Думала: взять или не взять. Взяла и не взяла Ага, смешно Но это была цитата из правил, я ее не меняла. Добавлено спустя 3 минуты 10 секунд: Надежда С. писал(а) 04 фев 2015, 18:16: Спасибо за просвещение Когда я встречаюсь с чем-то интересным и не таким простым, как кажется на первый взгляд, то я делюсь с вами В данном примере сперва я тоже думала, что тут составное глагольное сказуемое, пока до конца не разобралась. Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду: Ушла на базу писал(а) 04 фев 2015, 21:18: Давайте еще что-нибудь подумаем! Давайте Предлагайте свои задачки Автор:Аспид [ 05 фев 2015, 09:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 04 фев 2015, 23:39: Но это была цитата из правил, я ее не меняла. К Вам-то никаких вопросов)) Я всегда думала, что так говорить не оч грамотно) А оказалось, что можно У детей каникулы? Где задачки?) Автор:ma-sha [ 05 фев 2015, 10:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид писал(а) 05 фев 2015, 09:33: Я всегда думала, что так говорить не оч грамотно) Я с Вами полностью согласна Автор:косик [ 05 фев 2015, 10:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ужас((( как я это буду детям объяснять? Я сама ничего не понимаю. Какой это класс? Автор:Валечка [ 05 фев 2015, 11:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) косик Аспид писал(а) 05 фев 2015, 09:33: У детей каникулы? Где задачки?) у нас в школе задачки больше на повторение сейчас - ничего интересного вот только с доньями было проходят сейчас такие слова, которые во множественном числе звучат по другому вообще именно по программам не было у него ни одной сложной задачки я здесь тренируюсь Автор:Ушла на базу [ 05 фев 2015, 14:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У меня ребенка принесла такую задачу (правда, к школьному курсу она не относится, больше на сообразительность). Число бактерий каждую минуту удваивается. Если в банку посадить одну бактерию, то она (банка) заполнится через 30 минут. Через сколько минут заполнится такая же банка, если в нее посадить две бактерии? Автор:Dalya [ 05 фев 2015, 15:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 05 фев 2015, 14:46: У меня ребенка принесла такую задачу (правда, к школьному курсу она не относится, больше на сообразительность). Число бактерий каждую минуту удваивается. Если в банку посадить одну бактерию, то она (банка) заполнится через 30 минут. Через сколько минут заполнится такая же банка, если в нее посадить две бактерии? А! за 29 минут Автор:outlaw [ 05 фев 2015, 15:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Валечка писал(а) 04 фев 2015, 15:58: ед.ч. - дно, мн. ч. - донья ну и падеж уже там какой надо долго соображала какое отношение имеет уважительное обращение к испанской женщине к низу океана Автор:Ушла на базу [ 05 фев 2015, 16:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Есть палка колбасы. С двух сторон сидят собака и кошка. Если откусывает собака и убегает, то кошке достается на 300гр колбасы больше, чем собаке. Если откусывает кошка и убегает, то собаке достается на 500гр больше, чем кошке. Сколько колбасы останется, если собака и кошка одновременно откусят по куску и убегут? Автор:Аспид [ 05 фев 2015, 17:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мало )) а палка изначально скока весит?) Автор:Ушла на базу [ 05 фев 2015, 17:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид А так задумано, ничего не мало. Я сама вначале так думала, возмутиться хотела, что ребенку мало исходных данных дают Автор:ari [ 05 фев 2015, 17:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу 400гр. ? Автор:Аспид [ 05 фев 2015, 18:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 05 фев 2015, 17:22: Аспид А так задумано, ничего не мало. колбасы мала останеца) я об этом ;) если Х - это укусила собака, то 2Х + 300 = колбаса. если У - это укусила кошка, то 2У + 500 = колбаса. Тогда 2Х + 300 = 2У + 500 Х - У = 100. Дальше тупик) Не хватает уравнения для системы ( Может, придет другая собака. т.е. колбасы не останеца? Или они просто разорвут колбасу на куски.. Съедят ее и колбасы не останеца? Добавлено спустя 45 секунд: Или колбасы не останеца, потому что это будет уже не колбаса, а кусок ейный? Добавлено спустя 24 минуты 28 секунд: Это какой класс?)) Если ввести еще и К - колбаса после укусов. А У - кусил кот, Х - собака, получается, У + 300 = K - X и Х + 500 = К - У К = У + 300 + Х = Х + 500 + У И опять тоже самое.. Х - У = 100. Добавлено спустя 10 минут 18 секунд: Цитата: У + 300 = K - X и Х + 500 = К - У К = У + 300 + Х = Х + 500 + У А, не так. Это я от целой колбасы считала.. У + 300 = К + Х Х + 500 = К + У К = У + 300 - Х К = Х + 500 - У У - Х = К - 300 У - Х = 500 - К К = 400 ) Обоже. Автор:Надежда С. [ 05 фев 2015, 19:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:Благоверная [ 05 фев 2015, 20:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 400 гр.? Собака откусила 200гр.кошке досталось на 300 гр.больше.то есть,досталось 500гр ,колбаса весила 700. Кошка откусила 100 грамм.собаке досталось на 500 гр.больше.то есть,600 гр. Колбаса весила 700 гр. Собака и кошка откусывают одновременно 200 и 100 гр. Соответственно. 700-300=400 Автор:Аспид [ 05 фев 2015, 21:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Благоверная писал(а) 05 фев 2015, 20:23: Собака откусила 200гр.. Кошка откусила 100 грамм.. В Дано этого нет ) Автор:Благоверная [ 05 фев 2015, 22:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид В дано реально мало дано Автор:shira [ 05 фев 2015, 22:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Они не убегут сожрут до конца А у меня 200 гр Автор:Благоверная [ 05 фев 2015, 23:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) shira Как пришли к этой цифре? Автор:Светланkа [ 05 фев 2015, 23:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Остаток 400 грамм. х - остаток колбасы, который нужно вычислить к- укус кошки с- укус собаки в - вся колбаса Считаем: в=2с+300 в=2к+500 отсюда 2с+300=2к+500 отсюда с=к+100 далее х=в-1с-1к заменим "в" на (2с+300) и "с" на (к+100) получим х=2к+500-1к-(1к+100)=2к+500-1к-1к-100=400 Спасибо за задачку! Автор:◇ASI◇ [ 05 фев 2015, 23:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 300+500=800 и 800:2=400 Ответ: 400гр. Автор:shira [ 06 фев 2015, 00:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мой ответ неверный. Решение 1 Если два (одинаковых) пса ухватят колбасу с двух сторон, между ними будет кусок в 300 г. Если два кота ухватят колбасу с двух сторон, между ними будет кусок в 500 г (см. рисунок). Значит, два пса и два кота оставят от двух колбас 800 г. А одни пёс и один кот от одной колбасы – вдвое меньше. Решение 2 Пёс собирается откусить от батона на 300 г меньше, чем оставить. Если бы он откусил на 150 г больше, оставив на 150 г меньше, то ему досталась бы ровно половина всей колбасы. Аналогично, коту досталась бы половина всей колбасы, если бы он откусил на 250 г больше, чем собирался. При этом вся колбаса была бы съедена, поэтому остаток весит 150 + 250 = 400 г. Автор:Благоверная [ 06 фев 2015, 00:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 2с +300 это 1 кусок собака откусила, у кошки остается такой же кусок,сколько собака укусила и еще 300гр(у"у кошки осталось на 300гр больше,чем собака откусила") Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд: буква с означает кол-во грамм ,укушенных собакой. буква к - кошкой Автор:shira [ 06 фев 2015, 01:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Решение 3 Пусть пёс захватил на d граммов больше, чем кот, а кусок между псом и котом весит x граммов. По условию x – d = 300, x + d = 500. Значит, 2x = (x – d) + (x + d) = 300 + 500 = 800, а x = 400. [b]Ответ 400 г.:[/b Автор:◇ASI◇ [ 06 фев 2015, 01:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 300+500=800 800÷2=400 Ответ: 400гр. Автор:Ушла на базу [ 06 фев 2015, 10:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот видите, а говорили, что исходных данных мало Молодцы! Добавлено спустя 1 минуту 38 секунд: Аспид писал(а) 05 фев 2015, 19:25: Это какой класс?)) Это дополнительные занятия для 10-11 классов в ДВГУ Автор:Благоверная [ 06 фев 2015, 13:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Все решали по разному,но ответ один Автор:Аспид [ 07 фев 2015, 10:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ◇ASI◇ писал(а) 06 фев 2015, 01:07: 300+500=800 А что такое 300 и 500?) Почему на 2 делим?) Автор:◇ASI◇ [ 07 фев 2015, 20:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Аспид 300 - остаток от двух 'укусов' собаки, 500 - остаток от двух 'укусов' кошки. Всё это дано по условию задачи. А делим на 2, т.к. нас интересует остаток от одного 'укуса' каждого. Автор:Аспид [ 07 фев 2015, 20:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ◇ASI◇, а, находим среднее. хороший вариант решения) Автор:Ушла на базу [ 02 мар 2015, 20:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я зависла... 6 класс, склонение числительных. Как словами написать "Наполеон с 600 000 армией"? И самое главное, как объяснить ребенку, что именно так правильно? Это у нас порядковое числительное, а у них по правилам склоняется только последняя часть. Но я нутром чую, что нужно писать "с шестисоттысячной армией", а вот почему - не могу объяснить... Автор:natalochka-mama [ 02 мар 2015, 21:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушла на базу писал(а) 02 мар 2015, 20:58: "с шестисоттысячной армией" И я бы так написала У составных числительных, обозначающих целые числа, склоняются все слова, из которых они состоят. У числительных от ДВУХСОТ до ДЕВЯТИСОТ при склонении изменяются обе части: первая часть — как простое числительное, вторая — как существительное во множественном числе. Автор:Аспид [ 02 мар 2015, 21:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) а это не прилагательное?) Автор:Vezza [ 02 мар 2015, 21:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Цитата: В учебнике Розенталя: ПОРЯДКОВЫЕ числительные, оканчивающиеся на -тысячный, -миллионный, -миллиардный пишутся слитно: шестисоттысячный, стомиллионный.. . Порядковые отвечают на вопрос КАКОЙ? количественные - СКОЛЬКО? Автор:Аспид [ 02 мар 2015, 21:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 600 - шесть сотен - шестьсот - шестисот - шестисоттысячный. Автор:Terracotta [ 02 мар 2015, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ... 6724#46724 - тут оживленная дискуссия по поводу этой армии)) Я лично склоняюсь к тому, что это прилагательное со значением кол-ва, но, раз упражнение находится в теме про числительные, видимо, составители трактуют иначе))) Автор:Аспид [ 02 мар 2015, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Terracotta писал(а) 02 мар 2015, 21:16: раз упражнение находится в теме про числительные, видимо, составители трактуют иначе))) упустила этот момент из виду )) видимо, иначе. Автор:Lina_25 [ 16 мар 2015, 22:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) добрый вечер, девочки помоги. Алисв и Белый кролик в полдень вышли из дома и отправились на прием к Герцогине. Пройдя пол пути Кролик вернулся домой за перчатками. В результате Алиса пришла к Герцогине на 5 минут раньше до начала приема, а кролик опоздал на 10 мин. Шли они с одинаковыми и постоянными скоростями. На какое время был назначен прием у Герцогини? а) 12 ч. 10 мин., б) 12 ч. 15 мин., в) 12 ч. 20 мин., г) 12 ч. 25 мин. Автор:Верса [ 16 мар 2015, 22:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 И все-таки 12-20 Автор:Lina_25 [ 16 мар 2015, 23:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса я думала, все из ума выжила вроде видела ответ а как решили? голова к вечеру не соображает, как ребенку объяснить Автор:Верса [ 16 мар 2015, 23:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) а какой класс? я очень давно училась, с дочкой дз не делала. получается, что х+5=2х-10? но на самом деле я просто подставляла цифры. если дорога 15 минут, то кролик шел 7,5+7,5+15=30 Автор:Lina_25 [ 16 мар 2015, 23:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса 3 кл Автор:Верса [ 16 мар 2015, 23:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 наверное, надо смотреть, какую тему проходят? меня нынешние программы пугают (по сравнению с нашими совдеповскими логичными учебниками) если уравнения уже есть, то проще. часы не учитываем, только минуты. дорога занимает х времени. Алиса прошла х кролик прошел 1/2х + 1/2х + х. Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду: Lina_25 может, лучше ребенку утром уже объяснять? Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд: Верса писал(а) 16 мар 2015, 23:05: получается, что х+5=2х-10? и после решения уравнения получается, что х=15. Алиса пришла в 15+5=20 минут началась встреча Кролик пришел в 30 минут Автор:Lina_25 [ 16 мар 2015, 23:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Верса писал(а) 16 мар 2015, 23:14: Lina_25 может, лучше ребенку утром уже объяснять? да у нас тут обстоятельства, он на больничном, спал днем, вот бьемся над последним заданием, завтра тетрадь учителю с дневником повезу, конец четверти Верса писал(а) 16 мар 2015, 23:14: наверное, надо смотреть, какую тему проходят? это в конце учебника, математический тренажер Автор:Верса [ 16 мар 2015, 23:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 писал(а) 16 мар 2015, 23:18: математический тренажер спасибо, я тоже потренировалась Автор:ari [ 16 мар 2015, 23:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ответ 12-20. Для 3 класса можно объяснить так: Алиса прошла целый путь ( один), а кролик два. Разница между временами 15 минут. То есть Алиса прошла путь за 15 минут и пришла на 5 мин раньше. Надо было быть к 12-20 Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды: Я бы нарисовала рисунок. Путь это отрезок. Один отрезок это путь Алисы. Второй путь кролика со стрелочками, чтоб было понятно почему прошел двойное расстояние Автор:Верса [ 16 мар 2015, 23:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari Вообще простое объяснение девочки, а ведь ребенок сам должен догадаться? или это повышенная сложность для повышенной оценки? Автор:Lina_25 [ 17 мар 2015, 00:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мы рисовали конечно. Он сразу сказал 12.20, я спросила, мол как решил, он как то объяснял, я не поняла ни чего из его объяснений, решила тут спросить Автор:Берегиня [ 17 мар 2015, 14:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, просто вешаемся с тетрадью по литературному чтению Бойкиной, 1 класс. Даже искала готовые ответы в интернете - нет для нашего класса. Задание: о чем можно разговаривать с пчелой? Придумай диалог, допиши предложения. Пчела: Ж-ж-ж!ЖЖЖЖЖЖ! Ж! Уж-ж-жасно жгучий! Мальчик: Да не жгучий! А очень даже красивый! Пчела: Мальчик: Вот и что писать? Я не знаю, что надо выпить или выкурить, чтобы продолжить этот бред! Автор:sana [ 17 мар 2015, 14:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня Здесь не понравилось? Автор:Берегиня [ 17 мар 2015, 14:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sana А вот этого я не видела, спасибо огромное! Автор:Lina_25 [ 17 мар 2015, 14:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот еще задачка № 7 с того же тренажера , ответ А не правильный, до нас кто то решал. Автор:БоЛьШаЯ [ 17 мар 2015, 14:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну вообще 251 получается, может минус сам локомотив, то тогда ответ С. Хотя от наших учебников все можно ожидать... Автор:ari [ 17 мар 2015, 14:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 И 251, и 249. В ответах есть только 249. Значит D. Автор:Верса [ 17 мар 2015, 14:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sana писал(а) 17 мар 2015, 14:19: Берегиня Здесь не понравилось? про кактус - шикарно только дословно нельзя переписывать, да это и понятно. Автор:Lina_25 [ 17 мар 2015, 15:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ari писал(а) 17 мар 2015, 14:47: В ответах есть только 249. Значит D. правильно, 134 с конца, это вагон номер 116, в нем Кетти, соответственно Бетти в следующем 117. Автор:ТМvl [ 17 мар 2015, 15:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 писал(а) 17 мар 2015, 14:36: Вот еще задачка № 7 с того же тренажера Мне особенно понравилось, что надо выбрать ответы (во множественном числе), но на какой вопрос? Автор:Lina_25 [ 17 мар 2015, 15:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ТМvl писал(а) 17 мар 2015, 15:44: но на какой вопрос? это да, но тут как то сразу мы поняли, что надо искать сколько всего вагонов Автор:Zenya [ 17 мар 2015, 15:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Берегиня Автор:Анитра [ 17 мар 2015, 16:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Lina_25 писал(а) 17 мар 2015, 14:36: Вот еще задачка № 7 с того же тренажера , ответ А не правильный, до нас кто то решал. Как раз А вроде правильный (17+10):9=3 Автор:Ушла на базу [ 17 мар 2015, 17:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Анитра Номер не тот Автор:Zhanetta [ 12 апр 2015, 16:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, подскажите, у кого-нибудь есть решебник для ТПО (2013 г) по программе Истоминой для 1 класса? Интернет перекопала, там выложен только для учебника и то со странными номерами, не совпадающими с теми, которые в нашем, хотя год издания стоит одинаковый -2011 Автор:Katie [ 12 апр 2015, 18:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Zhanetta Решебника не находила , точнее он есть вроде, но совсем не те задания. Если у вас гармония то там на сайте есть в разделе методические рекомендации ,вроде бы , пояснения ко многим заданиям .... Но вообще математика Истоминой не сложная вроде бы... Автор:Zhanetta [ 12 апр 2015, 18:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 12 апр 2015, 18:14: Zhanetta Решебника не находила , точнее он есть вроде, но совсем не те задания. Если у вас гармония то там на сайте есть в разделе методические рекомендации ,вроде бы , пояснения ко многим заданиям .... Но вообще математика Истоминой не сложная вроде бы... Спасибо! Но на сайте есть рекомендации к заданиям в учебнике, рекомендаций к ТПО нет. Конечно, задания не сложные, но туповатые, иногда Например, просят ответить на вопрос, сколько отрезков теперь видит ребенок, но не понятно на каком рисунке А еще куча опечаток Автор:Katie [ 12 апр 2015, 18:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Zhanetta А номер задания ? В какой тетради ? Посмотрю ,если у нас остались за первый класс Добавлено спустя 10 минут 39 секунд: У нас 12 год 13-е издание((( Автор:Zhanetta [ 12 апр 2015, 18:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Сегодня, например, споткнулись об это: какие отрезки повторно просят пересчитать? которые ребенок отложил? так это не рисунок, вроде, а если так, то глупее вопрос придумать сложно... Вложения: Без имени-1.jpg [ 42.38 КБ \| Просмотров: 74256 ] Автор:Katie [ 12 апр 2015, 19:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У нас это было, мы к отрезкам в треугольнике прибавляли отрезки на лучах Автор:Zhanetta [ 12 апр 2015, 19:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 12 апр 2015, 19:08: У нас это было, мы к отрезкам в треугольнике прибавляли отрезки на лучах я и об этом варианте думала, но странно как-то... Намутили они тут, явно, впрочем как и со всей программой, но это уже для другой ветки разговор Спасибо Вам Автор:иденя [ 19 апр 2015, 12:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, подскажите, пожалуйста! Отходить-окончание какое ? Автор:ma-sha [ 19 апр 2015, 12:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Ту все зависит от программы. В некоторых ть - это глагольное окончание, в других - суффикс. В школьных программах обычно пишут, что это глагольное окончание. Автор:Zenya [ 19 апр 2015, 12:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Ить Автор:ma-sha [ 19 апр 2015, 12:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Zenya И - это суффикс. Разберите по составу глагол отходил. Автор:Zhanetta [ 19 апр 2015, 14:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя суфикс в слове - И , а -ть обозначают по разному, либо второй суфикс, либо окончание. Если в задании стоит конкретный вопрос обозначить окончание, то это будет -ТЬ Автор:shira [ 22 апр 2015, 10:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) от - приставка . Сравнение: от-рез-а-ть, от-беж-а-ть ход - корень. Однокоренные слова: вы-ход, за-ход, при-ход и - суффикс. Сравнение: от-ход-и-те ть - окончание. Оно выражает значение неопределённой формы Сравнение: от-ход-им. Автор:Katie [ 06 май 2015, 18:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) помогите пожалуйста разобрать по составу слова: начался и утонул Автор:Надежда С. [ 06 май 2015, 19:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie Думаю, так: нач- корень, -а-, -л- суффиксы, -ся частица. у- приставка, тон- корень, -у-, -л- суффиксы. Автор:ma-sha [ 06 май 2015, 19:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. писал(а) 06 май 2015, 19:38: -ся частица. ??? Нет такой части слова, только часть речи. Я бы разобрала так. Начался: корень нач, суффиксы а и л, нулевое окончание, постфикс ся. Основа начал _ ся (прерывается). Утонул: приставка у, корень тон, суффиксы у и л, нулевое окончание, основа утонул. Автор:natalochka-mama [ 06 май 2015, 20:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надежда С. писал(а) 06 май 2015, 19:38: Думаю, так: нач- корень, -а-, -л- суффиксы, -ся частица. у- приставка, тон- корень, -у-, -л- суффиксы. Я согласна с разбором, но за исключением "ся" - я точно знаю, что это постфикс (доча делала научную работу по русск. языку - как раз была тема "Постфиксы" ) Постфиксы (буквально прикреплённый после) — морфема из основы, обычно стоящая в конце слова (иногда перед окончанием). Служит для добавления дополнительных функций к словам. В русском языке всего семь постфиксов: ся/сь, -то, -либо, -нибудь, -те, -как, -таки ... 0%BA%D1%81 Автор:Katie [ 06 май 2015, 20:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) natalochka-mama писал(а) 06 май 2015, 20:08: Постфиксы во втором классе они еще не проходят этого, зачем такие домашние задания? Автор:ma-sha [ 06 май 2015, 20:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 06 май 2015, 20:11: во втором классе они еще не проходят этого, зачем такие домашние задания? Тогда просто суффикс. Но ся постфикс, потому что идет после окончания, а оно здесь есть, только нулевое. Автор:Katie [ 06 май 2015, 20:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 06 май 2015, 20:19: Katie писал(а) 06 май 2015, 20:11: во втором классе они еще не проходят этого, зачем такие домашние задания? Тогда просто суффикс. Но ся постфикс, потому что идет после окончания, а оно здесь есть, только нулевое. завтра к учительнице подойду, спрошу Автор:ma-sha [ 06 май 2015, 20:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) natalochka-mama писал(а) 06 май 2015, 20:08: Я согласна с разбором, но за исключением "ся" А как же окончания? Автор:shira [ 13 май 2015, 11:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) мое мне для второго класса: началось начал-корень, о-окончание, сь-суффикс утонул у приставка, тон -корень, у л-суффиксы Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд: Katie напишите как ответил учитель Автор:Elena751 [ 13 май 2015, 11:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) shira писал(а) 13 май 2015, 11:43: начал-корень а как же слово начать? Начинать? л - суффикс на мой взгляд Автор:Katie [ 09 сен 2015, 21:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Подскажите пожалуйста , лимонад это однокоренное слово со словом лимон, или в нем корень лимонад ? Автор:Хасаночка [ 09 сен 2015, 21:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie корень лимонад окончание нулевое Автор:Anna_R [ 28 сен 2015, 20:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) put the nouns into the correct column: the bed- make breakfast- have the housework-do a hamburger-? homework-? a mistake-? a phone call-? a shave-? the shopping-? DO: HAVE: MAKE: Автор:верлена [ 28 сен 2015, 21:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Make a hamburger Do a homework Make a mistake Make a phone call Have a shave Do the shopping Вроде так. .... Автор:Лунышка [ 28 сен 2015, 21:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) верлена писал(а) 28 сен 2015, 21:04: Make a hamburger Do a homework Make a mistake Make a phone call Have a shave Do the shopping Вроде так. .... Я тож5 думала, что там не парами и на make у меня приходилось три слова Автор:Танка [ 28 сен 2015, 21:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Можно "Have a hamburger", если в значении перекусить, а не приготовить. Это если надо всего поровну. ))) Автор:Аспид [ 28 сен 2015, 21:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) гамбургер можно еще, как и домашку, иметь?) Автор:Лунышка [ 28 сен 2015, 21:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка писал(а) 28 сен 2015, 21:16: Можно "Have a hamburger", если в значении перекусить, а не приготовить. Тогда логичнее eat Автор:верлена [ 28 сен 2015, 23:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Почему парами? Распределите существительные в правильные колонки - это задание. Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд: Танка писал(а) 28 сен 2015, 21:16: Можно "Have a hamburger", если в значении перекусить, а не приготовить. Кстати да, можно и перекусить. Меня переклинило на приготовить пока не приготовишь, перекусывать нечем Автор:Anna_R [ 29 сен 2015, 08:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) верлена Лунышка Аспид Танка спасибо) Автор:Танка [ 29 сен 2015, 09:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка писал(а) 28 сен 2015, 21:23: Тогда логичнее eat В английском языке еду очень часто "имеют". А уж гамбургеры имели еще в моем детстве : Автор:Anna_R [ 29 сен 2015, 09:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) девушки, а ребенку как объяснить? правило на эти глаголы есть какое-то? или это устойчивые выражения? или просто по смыслу разнести? Автор:Лунышка [ 29 сен 2015, 09:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка писал(а) 29 сен 2015, 09:17: унышка писал(а) Вчера, 21:23: Тогда логичнее eat В английском языке еду очень часто "имеют". я так поняла, что задание было- совершить действие над указанными существительными..поэтому все таки там наверно сделать (приготовить) гамбургер Добавлено спустя 2 минуты 38 секунд: Anna_R Автор:иденя [ 01 ноя 2015, 14:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, выручайте! Сколько различных результатов можно получить, складывая по два различных числа из набора 1,2,3,...,2015? С подробным объяснением, пожалуйста. Автор:Лунышка [ 01 ноя 2015, 16:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя 2015 это за какой класс задача? ну а так по аналогии 1+2=3 и 2015+2014=4029, получается, что не более 4027 вариантов ответа Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 17:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя Согласна с Лунышка. Правильный ответ: 4027 различных результатов) Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды: 3- минимальный результат, 4029- максимальный результат. Итого 4027 результатов Автор:ОптимисткаЮлька [ 01 ноя 2015, 17:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка писал(а) 29 сен 2015, 09:17: А уж гамбургеры имели еще в моем детстве : Как мне нравились эти мультики про Big MAZZY !!! Автор:Лунышка [ 01 ноя 2015, 17:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Maiche Чет я сомневаюсь уже в ответе Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 18:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка Не сомневайтесь, ответ правильный) Автор:иденя [ 01 ноя 2015, 19:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, 4027-это верный ответ, спасибо огромное, решение простое, но не для моего мозга:) 5 класс это. Девочки, ещё одну решить надо: Надо из вершины А пройти в вершину В ,если нельзя проходить по одному ребру два раза. Нашли 14 вариантов, ещё два найти уже не можем, выручайте Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 19:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У мня вообще 12 вариантов Где вы еще 2 взяли)) Автор:Светланkа [ 01 ноя 2015, 19:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Есть 14 вариантов. Пишите вотс ап в личку скину фото ) Автор:иденя [ 01 ноя 2015, 19:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Как сказал сын, если находишь один вариант, ему соответствует зеркальное отображение другого варианта, нашёл как-то четырнадцать, но правильный ответ 16! Автор:Светланkа [ 01 ноя 2015, 19:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вариант, в котором как бы узор осьминожкой. Он может быть выполнен 2- мая способами:пересечением линий и обходом по квадратами это 2 варианта плюс. Итого 16 Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 19:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Светланkа не совсем поняла, это как? Я тоже нашла с горем пополам 14 вариантов. Автор:Светланkа [ 01 ноя 2015, 19:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Пишу с телефона, фото вставить не могу). Вариант один: начинаем направо 1 клетка, вверх 2 клетки налево 1 клетка вниз 1 клетка направо 2 клетки вверх 1 клетка. Этот же рисунок вторым способом: направо 1 вверх 1 налево 1 вверх 1 направо 1 вниз 1 направо 1 вверх 1 Автор:иденя [ 01 ноя 2015, 19:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Светланkа Вы могли бы рисунок показать? Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 19:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Светланkа И мне (телефон сйчас в личку кину), а то я не усну, ели не узнаю Добавлено спустя 4 минуты 8 секунд: Хотя эти 2 варианта( которые Вы описали словами) входят в мои 14 вариантов Автор:иденя [ 01 ноя 2015, 20:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У нас первый вариант есть, второй пройдём вашим способом, те 15 вариантов, ещё 16-ый искать надо, получается, что нового ничего не придумаешь, только путь немного изменится Автор:Лунышка [ 01 ноя 2015, 20:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 01 ноя 2015, 19:08: 5 класс это. Ну и задачи прям скоротать выходные родителям а разве у детей не каникулы уже? Автор:иденя [ 01 ноя 2015, 20:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Надеюсь, разберётесь, с почерком у нас проблемы, на рисунке 14 вариантов, один нашли, спасибо. Ещё один остался Автор:Светланkа [ 01 ноя 2015, 20:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Все варианты зеркалят, если у вас 15, значит не отзеркалили что-то. Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 20:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Светланkа- гений Я сейчас попробую фотку, которую она скинула мне в вотсапп, вставить сюда)) Автор:Светланkа [ 01 ноя 2015, 20:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо автору вопроса, а ещё говорят, что в семье Билла Гейтса была традиция - каждый день разгадывались головоломки) Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 20:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:Лунышка [ 01 ноя 2015, 20:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У вас нет просто диагонали? Или так нельзя? Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 20:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки!! Какая клёвая темка!! У меня дитё еще в школу не ходит, но мозг уже просит трудностей Так что я тут с Вами посижу Автор:Лунышка [ 01 ноя 2015, 20:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еле нашла)))) как вы назвали "соприкосновение" это тоже у меня последнии варианты Автор:ma-sha [ 01 ноя 2015, 21:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я вам могу еще одну задачку подкинуть, но только она не сильно сложная Есть прямоугольник 4 клетки на 9 клеток. Нужно разделить этот прямоугольник на две одинаковые части, чтобы потом из них квадрат получился. Автор:Maiche [ 01 ноя 2015, 21:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha это и правда несложно: 9 клеток делим на 6 и 3 сверху и 3 и 6 снизу, ведем перпендикулярные линии вверх и вниз по 2 клетки и соединяем) Автор:yamagutti [ 04 ноя 2015, 15:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Интернет облетело видео, на котором министр образования и науки РФ Дмитрий Ливанов не смог отгадать загадку из учебника для первоклассников. «Сейчас я прочитаю вам загадку из учебника для первого класса по предмету «Окружающий мир», попробуйте ее отгадать, – предложила министру на «правительственном часе» в Совете Федерации Валентина Матвиенко. – «Четыре четырки, две растопырки, седьмой – вьюн». Это что?» Догадаться Дмитрий Ливанов не смог. Видео вызвало неоднозначную реакцию и многочисленные обсуждения среди родителей и педагогов. Некоторые из них утверждают, что угадать значение слова «растопырки» современный взрослый человек не в состоянии. А сама Матвиенко отметила, что загадку, вероятно, составлял «какой-то гастарбайтер», и ей не место в школьном учебнике. К счастью, не все так плохо, и данную загадку следует искать не в лексиконе «гастарбайтеров» (несправедливо, что это слово прозвучало, как оскорбление из уст Матвиенко), а в книге «Пословицы русского народа» В.И. Даля. Там также указано, что ответом на данную загадку-поговорку может быть «корова» или «собака». О том, что такое «четырки», «растопырки» и «вьюн», пользователи Вконтакте высказали свои предположения: «Четырки – это копыта. Растопырки – это расставленные уши у коровы. Вьюн – это хвост и кисточка на нем. Я не фанат Ливанова, но думаю, что детям действительно проще на такие вопросы ответить, поскольку у них мышление не такое косное, как у взрослых», – комментирует пользователь Григорий Машанов. Автор:ma-sha [ 04 ноя 2015, 15:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я эту загадку и отгадку на нее еще в д/саду знала Тогда о гастарбайтерах еще и слыхом не слыхивали Автор:Katie [ 08 дек 2015, 19:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогите пожалуйста разобрать по составу слово "рассыпаются" (после корня) Автор:Лунышка [ 08 дек 2015, 19:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie а- суффикс ют- окончание ся- постфикс Автор:Katie [ 08 дек 2015, 19:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка А можно ли -ся отметить , как окончание? Автор:Лунышка [ 08 дек 2015, 19:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie тогда уж суффикс Постфикс (от лат. post – после, fixus – прикреплённый) – это словообразовательный суффикс , который в слове стоит после окончания или формообразующих суффиксов: -ся/-сь, -те, -то, -либо, -нибудь. При словообразовательном разборе постфиксы учитываются. Например: слово разбежаться образовано приставочно-суффиксальным способом. Глагольные постфиксы: -ся/-сь (в школе его называют возвратным суффиксом глаголов) в спрягаемых глагольных формах и причастиях находится после окончания (одева(ешь)ся, умыва(ет)ся) , а в деепричастиях – после основы (вчитывая-сь, купая-сь), иногда служит для образования новых слов: шатать – шататься (т.е. “бродить”), трясти – трястись (“бояться”). -те используется в форме второго лица, множественного числа повелительного наклонения (иди-те, пой-те) и в первом лице мн.числа настоящего и будущего времени , употребляемого в повелительном наклонении (пойд(ем)те, поед(ем)те Read more: уточните у ребенка как они его в школе называют Автор:Katie [ 08 дек 2015, 19:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка Да никак не называют 3 класс В учебнике ничего не сказано об этом((( Автор:Лунышка [ 08 дек 2015, 20:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie тогда по старинке, у нас в школе называли постфиксом Автор:Katie [ 08 дек 2015, 20:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка Спасибо Автор:ma-sha [ 08 дек 2015, 20:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 08 дек 2015, 19:37: Лунышка А можно ли -ся отметить , как окончание? Нет. Вам правильно написали, что это постфикс. Рассыпаются, рассыпается, рассыпался и т.д. Окончание - это изменяемая часть слова. Автор:ma-sha [ 09 дек 2015, 21:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Провести полный синтаксический разбор предложения: Солнце, свети! Несмотря на простоту, это задание содержит ряд вещей, которые часто путают. Можете проверить себя Автор:Дайкири [ 09 дек 2015, 22:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie Вы тоже по Гармонии учитесь? Мы вчера это разбирали. Да, отмечаем как суффикс уголком Автор:Katie [ 09 дек 2015, 22:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири Да, Лена, по ней родимой... Меня их правила по-русскому вымораживают... Как вспомню: "имена существительные рождаются словами мужского , женского и среднего рода...". Автор:Дайкири [ 09 дек 2015, 22:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Да ужас, прибабахнутая программа, ага. Автор:ОптимисткаЮлька [ 15 янв 2016, 15:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девчата, помогите. Не может ответить на простой (вроде бы) вопрос. Сказ Бажова "Серебряное копытце". Вопрос такой- почему кошка Мурёнка ушла с козликом? У меня вообще вариантов нет! Может кто в курсе? Автор:ma-sha [ 15 янв 2016, 15:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька Я не знаю, просто думаю, что Муренка тоже была волшебной, как и козлик. Когда их миссия была выполнена, они исчезли вместе Автор:Вароникка [ 15 янв 2016, 15:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 15 янв 2016, 15:04: Девчата, помогите. Не может ответить на простой (вроде бы) вопрос. Сказ Бажова "Серебряное копытце". Вопрос такой- почему кошка Мурёнка ушла с козликом? У меня вообще вариантов нет! Может кто в курсе? Кошка в сказке Бажова - животное непростое. Она не всегда жила вместе с Даренкой и Кокованей. Появилась она в их жизни после того, как Кокованя и Даренка спасли ее от собак. Будто проверяла кошка людей, добрые ли они, могут ли помочь беззащитному. Убедившись, что Даренка и Кокованя люди хорошие, кошка начинает всячески им помогать и в конце концов исполняет мечту девочки увидеть Серебряное копытце. Полностью отблагодарив людей, на время приютивших ее, кошка уходит вслед за Серебряным копытцем. Ее помощь людям теперь не нужна. Центральным персонажем сказов Бажова является Хозяйка Медной горы. Она всегда помогает добрым, честным людям, людям с чистой душой. Кошка в сказке Бажова "Серебряное копытце" - это, возможно, и есть сама Хозяйка или ее помощница. Оказав помощь людям, облегчив их судьбу кошка исчезает. Возможно, она появится снова в черед жизненных испытаний. Автор:ОптимисткаЮлька [ 15 янв 2016, 15:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вароникка писал(а) 15 янв 2016, 15:27: Кошка в сказке Бажова - животное непростое. Она не всегда жила вместе с Даренкой и Кокованей. Появилась она в их жизни после того, как Кокованя и Даренка спасли ее от собак. Ну вообще-то в сказе не было такого. Дарёнка сразу с кошкой в придачу шла))) Вложение: 2016-01-15_113058.jpg [ 58.72 КБ \| Просмотров: 70729 ] А так- действительно. Что-то я и не подумала, что скорее всего девчонка кошку нашла после того, как её родители умерли. И кошка была волшебной- для поддержки сиротки она появилась в её жизни... Как её миссия закончилась- то она и пропала... Спасибо, дорогие мои! Автор:Вароникка [ 15 янв 2016, 15:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 15 янв 2016, 15:32: Вароникка писал(а) 15 янв 2016, 15:27: Кошка в сказке Бажова - животное непростое. Она не всегда жила вместе с Даренкой и Кокованей. Появилась она в их жизни после того, как Кокованя и Даренка спасли ее от собак. Ну вообще-то в сказе не было такого. Дарёнка сразу с кошкой в придачу шла))) Вложение: 2016-01-15_113058.jpg А так- действительно. Что-то я и не подумала, что скорее всего девчонка кошку нашла после того, как её родители умерли. И кошка была волшебной- для поддержки сиротки она появилась в её жизни... Как её миссия закончилась- то она и пропала... Спасибо, дорогие мои! Действительно, посмотрела варианты текстов из интернета нет там ничего про собак. Откуда у меня этот образ? Может быть, я действительно что-то спутала. Но от этого образ кошки как помошницы не меняется. Автор:Юджин [ 15 янв 2016, 18:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вароникка писал(а) 15 янв 2016, 15:27: . Возможно, она появится снова в черед жизненных испытаний. Ох, как мне такая кошка нужна.... Автор:yamagutti [ 15 янв 2016, 22:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юджин писал(а) 15 янв 2016, 18:04: Ох, как мне такая кошка нужна.... такая никому б не помешала)) не зря кошек наделяют во всех сказках и преданиях вольшебной силой у меня, к стати, есть пару антистрессов на пристройство все проблемы конечно сами не решат, но душевное спокойствие восстанавливают на 5 баллов Автор:Вароникка [ 15 янв 2016, 22:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоят вместе 170 руб. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоят 230 руб. Сколько стоят стакан лимонада, бутерброд и бисквит? Эту часть задачи мы решили. 50 руб. А вот вторую часть задачи о том, сколько стоят 2 лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов решить не можем. Прошу помощи. Это, между прочим, переведенная в рубли задача Льюиса Кэролла. Такую вот задачку повышенной сложности задали моему четвероклашке. Автор:Индрикис XIII [ 15 янв 2016, 23:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 2 лимонада, 7 бутербродов и 17 бисквитов = 170 руб. + 230 руб. = 400 1 бутерброд и 3 бисквита = 60 рублей Умножаем на 4 = 4 бутерброда и 12 бисквитов.= 240 руб Вычитаем из первой строчки 240 руб. = 2 лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов = 160 руб. Автор:Вароникка [ 15 янв 2016, 23:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Индрикис XIII Спасибо. А я никак не могла понять, как решать. Автор:Юла [ 20 янв 2016, 18:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) дд! и нам помогите На лётном поле 18 самолётов.4 самолёта улетели ,а 2 прилетили.Сколько самолётов стало на аэродроме? Реши задачу разными способами.Если возникнут трудности.поясни первое действие и закончи решение задачи. 1 способ 18-4=14(с) 2 способ 4-2=2(с) Автор:Арония [ 20 янв 2016, 19:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юла 1.18-4+2 2.18-(4-2) Автор:yamagutti [ 20 янв 2016, 19:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Арония писал(а) 20 янв 2016, 19:18: 2.18-(4-2) может + перед скобками? не? Автор:Благоверная [ 20 янв 2016, 19:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) нет.всё правильно Автор:Юла [ 24 янв 2016, 14:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки,помогите,пожалуйста,нужно написать про "Приморский край форма суши" Автор:Maiche [ 24 янв 2016, 14:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юла Может "Рельеф суши"? Автор:Юла [ 24 янв 2016, 14:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) нет,именно форма суши Автор:Благоверная [ 24 янв 2016, 14:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Что нужно написать?реферат? Автор:Юла [ 24 янв 2016, 14:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Благоверная писал(а) 24 янв 2016, 14:23: Что нужно написать?реферат? ну Автор:ma-sha [ 24 янв 2016, 16:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юла писал(а) 24 янв 2016, 14:22: нет,именно форма суши Бывают только формы рельефа. Автор:Юла [ 24 янв 2016, 17:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 24 янв 2016, 16:57: Юла писал(а) 24 янв 2016, 14:22: нет,именно форма суши Бывают только формы рельефа. ну наверное это и имелла в виду учитель Автор:ma-sha [ 24 янв 2016, 19:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юла Ну так забейте в поисковик "Формы рельефа суши Приморского края" и найдете инфу. А вообще, есть основные формы рельефа (например, гора, котловина, хребет, лощина и т.д.), а есть разновидности основных форм рельефа (например, разновидности лощины: долина, овраг, каньон и т.д.). Вот про особенности форм рельефа Приморского края и нужно писать. Автор:Юла [ 24 янв 2016, 19:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) спасибо,всё нашла Автор:outlaw [ 31 янв 2016, 10:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Какое свойство растворов позволяет отличить их от других жидкостей? вкус запах цвет прозрачность Автор:Лунышка [ 31 янв 2016, 12:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw а у вас только такие варианты? Автор:Маркиза Карабаса [ 31 янв 2016, 12:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw все варианты Автор:Арония [ 31 янв 2016, 13:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw Напишите,когда будет известен ответ.Вкус может быть? Автор:outlaw [ 31 янв 2016, 13:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка, Маркиза Карабаса, Арония других вариантов нет. Задача за 3 класс. Планета Знаний. дети изучили раствор соли, сахара и соды. различить их можно на вкус, но так категорически утверждать мешает образование. Автор:Маркиза Карабаса [ 31 янв 2016, 13:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw так вопрос касаемо изученных растворов или абстрактный? Автор:Лунышка [ 31 янв 2016, 13:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw В вашем контексте- конечно вкус..но это каплей как непедогогично нельзя ой, ошибочка вышла... не известные растворы!! ( надеюсь в книге это написано ) Автор:Арония [ 31 янв 2016, 15:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну если это растворы перечисленных веществ, то вкус единственный вариант. Автор:7_tanya [ 31 янв 2016, 15:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw Прозрачность. Автор:Благоверная [ 31 янв 2016, 16:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может быть,в задании не имеется ввиду отличить растворы воды,сахары и соды друг от друга,а отличить от чистой воды,например??тогда - прозрачность. Вкус..соль и сода соленость дают.пробовать это как то неправильно Автор:Надежда С. [ 31 янв 2016, 17:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 7_tanya писал(а) 31 янв 2016, 15:44: Прозрачность. Все растворы прозрачные Автор:Благоверная [ 31 янв 2016, 17:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А осадок в растворах. Я думаю,что прозрачность как величина.. Где ответ? интересно,что учитель сказал Автор:Надежда С. [ 31 янв 2016, 17:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Благоверная писал(а) 31 янв 2016, 17:33: А осадок в растворах. Осадка нет. Все эти вещества имеют хорошую растворимость. если не применяем химический анализ растворов, то остается только вкус. Автор:outlaw [ 31 янв 2016, 20:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 7_tanya писал(а) 31 янв 2016, 15:44: outlaw Прозрачность. не различите вы раствор сахара от раствора соли по прозрачности, по вкусу они отличаются, НО МНЕ ПРЕТИТ то что растворы надо пробовать Автор:Куркума. [ 31 янв 2016, 20:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А что такого в том, чтоб попробовать на вкус эти растворы? Все мы полоскаем горло содовым или солевым раствором. Сахарный раствор тоже не вредно. Это же не кислота уксусная например. Автор:Лунышка [ 31 янв 2016, 21:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) майская Ничего такого конечно нет, но сам вопрос странный т.е. они поддалкивают детей пробовать незнакомые растворы- а это вообще не нормально мне так навскидку пришли ещё такие варианты, как уксус, белизна и пр.. То же ведь прозрачные а совсем не безобидные Автор:outlaw [ 31 янв 2016, 21:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) прочитала параграф из которого выросли уши этого вопроса. там рассматривают растворы марганцовки, соли, сахара и соли. Эти растворы различать можно попробовав или по цвету, но вопрос не про растворы В противовес, идут "жидкости" с не растворенным песком и глиной. Значит отличие раствора от жидкости в наличии осадка Автор:7_tanya [ 31 янв 2016, 22:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) outlaw У вас стоит вопрос какое свойство позволяет отличить растворы от других жидкостей. Цвет, запах и вкус имеют почти все указанные жидкост, а прозрачность имеют не все. Так вот, как раз прозрачность будет и в растворе соли, и сахара, и марганцовки. В воде с песком будет осадок, при взбалтывании вода станет мутной. Вопрос как отличить один от другого отсутствует. Добавлено спустя 56 секунд: Он потому и раствор, что добавка в нем растворилась. Автор:иденя [ 11 фев 2016, 13:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, помогите мне решить задачи Постройте круги Эйлера для множеств А, В, С. Отметьте штриховкой область, изображающую мн-во (В/А) U( А/В) U С, если А-мн-во чисел кратных 3, но меньше 120; В- кратных 2, но меньше 120 и С- кратных 6, но меньше 120. Автор:Лунышка [ 11 фев 2016, 13:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя понимаю, что звучит не педогогично, но посмотрите в ГДЗ по автору и названию учебника понимаю как решить, а обьяснить не могу Автор:иденя [ 11 фев 2016, 14:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка В том то и дело, что это не из учебника, преподаватель распечатала задания откуда-то. Автор:outlaw [ 11 фев 2016, 19:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) по условиям задачи 2 множества А и B, а в области пересечения получается область С Добавлено спустя 2 минуты 59 секунд: Если А-мн-во чисел кратных 3, но меньше 120; В- кратных 2, но меньше 120 и С- кратных 6, но меньше 120. то область, изображающую мн-во (В/А) U( А/В) U С, будет выглядеть Автор:иденя [ 14 фев 2016, 12:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, как оформить эту задачу в виде схемы по информатике Добавлено спустя 53 секунды: Добавлено спустя 15 секунд: Вот условие Автор:Лунышка [ 14 фев 2016, 23:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя В шестом переливании в наполнении пяти пинтовой ёмкости опечатка( должно быть 5(3+2)) я вот полдня уже о задаче вашей думаю, но дальше кучи стрелочек не ушла Автор:иденя [ 15 фев 2016, 15:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Лунышка Я вот тоже о ней думаю,как в схеме все уместить: 6 пинт? -если нет то делаю то-то,если да-то иду в конец. Ааа Автор:Дайкири [ 20 фев 2016, 14:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Детская задачка вызвала бурные споры в Сети Казалось бы, все просто: на картинке изображены бананы, яблоки и кокосы. Нужно сложить, вычесть и решить, сколько их. Но на этом-то этапе и обнаружилась проблема: результаты у сотен тысяч пользователей по всему миру оказались абсолютно разными. ... ry-v-seti/ Автор:belladonna [ 20 фев 2016, 14:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 14? Автор:Katie [ 20 фев 2016, 14:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Да 14 Автор:sana [ 20 фев 2016, 14:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) у меня 16 Автор:Katie [ 20 фев 2016, 14:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) sana Одна половинка кокоса и три банана Автор:sana [ 20 фев 2016, 14:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie ну тогда тоже 14 Автор:Маник [ 20 фев 2016, 14:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Яблоко- 10, Банан-4, Кокос-2 получается пол кокоса -1, Яблоко-10, и три банана-3 1+10+3=14 Автор:Благоверная [ 23 фев 2016, 11:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 30/3=10 Одно яблоко=10 10+банан+банан=18 Банан+банан=18-10 Банан+банан=8 8/2=4 Одна связка бананов=4 4-кокос= 2 Кокос= 4-2 Кокос=2 Итог.2+10+4=16 Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд: Маник Точно!я даже не посмотрела на картинки Автор:ma-sha [ 23 фев 2016, 14:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Разберите, пожалуйста, по составу слово переливающийся. Особенно интересно мнение профессиональных филологов Автор:Благоверная [ 23 фев 2016, 14:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я не филолог,но попробую Пере-приставка Лив-корень А-суффикс Ющ суффикс Ий окончание Ся-постфикс Автор:Terracotta [ 23 фев 2016, 14:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha, пере - приставка, л/ли - корень (лить/льет) - тут сомневаюсь, может, л - корень, и - суффикс ва - суффикс, ющ - суффикс, ий - окончание, ся - постфикс. Автор:ma-sha [ 23 фев 2016, 15:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Terracotta Спасибо, что ответили Я вот как раз на счет корня. Мне кажется, что там корень именно -л-, а -и- - суффикс. Вот в слове лить этот суффикс пропадает во время спряжения: лью, льет, льют и т.д. Какая тут словообразовательная цепочка? Лить - перелить - переливать - переливающийся. Так? И еще сомнения. В глаголах возвратный суффикс -ся является формообразующим и в основу слова не входит. А здесь как? Автор:Terracotta [ 23 фев 2016, 15:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha, тоже склоняюсь к -л- в качестве корня. Цепочка Ваша мне тоже симпатична)) Основа - переливающ-, а как еще может? Автор:ma-sha [ 23 фев 2016, 15:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Terracotta писал(а) 23 фев 2016, 15:10: Основа - переливающ-, а как еще может? Вопрос только в том, входит ли постфикс -ся в основу в данном случае или нет. Автор:Terracotta [ 23 фев 2016, 15:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 23 фев 2016, 15:11: Terracotta писал(а) 23 фев 2016, 15:10: Основа - переливающ-, а как еще может? Вопрос только в том, входит ли постфикс -ся в основу в данном случае или нет. Мне кажется, не входит. Вообще, хорошее слово такое, интересное)) Автор:ma-sha [ 23 фев 2016, 15:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Terracotta писал(а) 23 фев 2016, 15:14: Вообще, хорошее слово такое, интересное)) Мне тоже этот разбор по составу показался интересным, поэтому я его тут и написала. Единственное, считаю, что он все же не для начальной школы, хотя его дали разбирать именно в начальной. А на счет -ся я бы не сомневалась в случае глагола. Например: посмотреть - посмотреться. Тут -ся - возвратный суффикс, он формообразующий, а потому однозначно не входит в основу. Но в слове переливающийся уже не все так однозначно. Является ли тут он формообразующим? Что-то я сомневаюсь Автор:Дайкири [ 02 мар 2016, 22:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) помогите с задачей решить без икса В соревнованиях приняли участие 36 чел. Мальчиков было на 6 чел больше девочек. Сколько девочек было? Автор:ari [ 02 мар 2016, 22:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 1) 36-6=30 2)30/2=15 девочек 3)15+6=21 мальчиков Автор:Дайкири [ 02 мар 2016, 22:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) а как объяснения к 1 действию написать? ничо не соображаю к вечеру Автор:ari [ 02 мар 2016, 22:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Наверное, объяснение - если бы мальчиков и девочек было поровну Автор:ma-sha [ 02 мар 2016, 22:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири Такие задачи называются "на уравнивание". Мальчиков больше на 6 чел.. Если бы этих чел. не было, то мальчиков и девочек было бы поровну. Отнимая 6 чел. мы как бы уравниваем количество мальчиков и девочек (36-6=30). Раз их поровну, то каждых будет ровно половина от полученного количества (30:2=15). Далее дело техники, посчитаем, сколько мальчиков (15+6=21). Такие задачи становятся более понятными, когда решаешь их графически. Рисуете два отрезка, один под другим. Сбоку рисуете скобку: всего 36 чел. Один отрезок больше другого. Пунктиром делаете вертикаль в том месте, где отрезки равны. Оставшаяся часть большего отрезка - это и есть те самые 6 чел., на которых мальчиков больше. Чтобы уравнять количество мальчиков и девочек, мы должны эту величину отнять от общего количества (от 36). Ну и т.д. Автор:Дайкири [ 02 мар 2016, 22:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) да, дочка схему начертила, а дальше только икс идет на ум Автор:ma-sha [ 05 мар 2016, 13:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 02 мар 2016, 22:30: Такие задачи называются "на уравнивание". Кстати, уравнивать можно как в меньшую сторону, в данном случае - по девочкам (таким образом, как я выше объясняла), так и в большую - по мальчикам. Поясню, каким образом это делается. Сказано, что мальчиков на 6 чел. больше. Значит девочек на 6 чел. меньше. Чтобы девочек стало столько же, сколько и мальчиков, нужно, чтобы их было на 6 чел. больше, тогда бы и общее количество детей увеличилось на эти 6 чел. (36+6=42 чел.) Теперь детей поровну, значит мальчиков - половина (42:2=21 чел.) А девочек изначально было на 6 чел. меньше, чем мальчиков (21-6=15 чел.) Обычно проще и понятнее уравнивать по меньшему количеству. Но иногда бывает удобнее по большему. Автор:ОптимисткаЮлька [ 14 мар 2016, 02:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девчата выручайте! Русский язык 3 класс. Задание: найдите общий для этих слов корень. Даны окончания -ик,-овая, -яр, на...ьная. Везде должен быть один корень! Автор:Лушечка [ 14 мар 2016, 02:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька корень стол Автор:ОптимисткаЮлька [ 14 мар 2016, 02:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот же блин! Точно! Стол!!!!!! Спасибо. А я что только не перебирала! Автор:Дайкири [ 14 мар 2016, 05:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Стол Добавлено спустя 36 секунд: А, уже помогли Автор:Танка [ 14 мар 2016, 09:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Еще подходит корень "пол", но дети навряд ли знают все слова. Автор:Дайкири [ 14 мар 2016, 09:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Есть слово поляр? Автор:Хома [ 14 мар 2016, 10:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири есть)) но не каждый взрослый знает, конечно, для детей тем более неизвестное Поля́ры (мужской род, ед. число поляр) являются одним из видов катаклизмических переменных в двойной звездной системе с очень сильным магнитным полем Автор:Дайкири [ 14 мар 2016, 10:31 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Хома Тань, слова однокоренные, смыл у них должен быть тогда что-то относящееся к полу. А так это просто набор тех же букв, но смыл в этот ряд не вписывается, я так понимаю так можно туда и полярную звезду записать Автор:HOPE [ 17 мар 2016, 14:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Запуталась с задачей, помогите. Два трехзначных числа составлены из шести различных цифр так, что первая цифра второго числа вдвое больше, чем последняя цифра первого числа. Какова наименьшая возможная сумма таких чисел? Варианты ответа 535,537,546,588,597 Автор:Светланkа [ 17 мар 2016, 15:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 597 у меня получилось рассуждение: обозначим числа как Х1 Х2 Х3 и У1 У2 У3 нам нужна наименьшая их сумма логично предположить, что числа должны начинаться с наименьших цифр. принимая, что У1=2Х3 и все цифры в числах разные, Х3=1, тогда У1=2 Таким образом 1 и 2 заняты, следующая наименьшая цифра - 3, получается: 3-Х2-1 и 2-У2-У3 Подставляем следующие наименьшие свободные нет такого слова! - это 4,5 и 6: 341+256=597 Автор:HOPE [ 17 мар 2016, 16:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может и так, я вот думаю ,как это объяснить четырехкласснику Автор:Танка [ 17 мар 2016, 16:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Продолжу рассуждения Светланkа. Светланkа писал(а): логично предположить, что числа должны начинаться с наименьших цифр. Вариант, когда наименьшее число используется для второго числа уже рассмотрен. Вариант 2 - наименьшее число используется для сотен первого числа, то есть 1хх+ххх. Берем оставшиеся наименьшие для последней-первой цифры - 1х2+4хх. Добавляем что поменьше в оставшиеся, получаем 132+456 (или 152+436, разницы нет) = 588 588 < 597 Но!!! На самом деле я вслед за Светланkа забыла про ноль! Поэтому с нулем получится совсем по-другому. ))) 1) 301+245=546 2) 102+435=537 HOPE писал(а) 17 мар 2016, 16:00: я вот думаю ,как это объяснить четырехкласснику Как мама четырехклассницы - даже и не представляю пока. Если вечером смогу, то поделюсь опытом. ))) Автор:Светланkа [ 17 мар 2016, 16:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Это школьная программа у вас? Какая, интересно? Автор:Танка [ 17 мар 2016, 16:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мы там про ноль забыли. Поэтому в итоге получится еще меньше. Поправила решение. Автор:HOPE [ 17 мар 2016, 18:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка Светланkа Спасибо Автор:NushaMama [ 11 апр 2016, 21:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогите решить задачу. В каждый аквариум налили 1 л. воды. Как ты думаешь, в какой аквариум можно налить еще два литра? а) В кубический аквариум высотой 10 см. б) В прямоугольный аквариум высотой 8 см. в) В цилиндрический аквариум высотой 14 см. Автор:Светланkа [ 12 апр 2016, 00:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) NushaMama писал(а) 11 апр 2016, 21:52: Помогите решить задачу. В каждый аквариум налили 1 л. воды. Как ты думаешь, в какой аквариум можно налить еще два литра? а) В кубический аквариум высотой 10 см. б) В прямоугольный аквариум высотой 8 см. в) В цилиндрический аквариум высотой 14 см. В литре воды 1000 куб. см. Таким образом, ответ а не подходит Объем параллелепипеда с высотой 8 см может быть 3000 куб. см., Цилиндрический аквариум высотой 14 см при объеме в 3000 см будет иметь диаметр основания 16,4 см Т. е. ответы б и в реальны. Автор:NushaMama [ 12 апр 2016, 06:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Светланkа, Это задача для 4 класса. А как объяснить 4 класснику, кал посчитать объем цилиндра? Ну не через формулу же HR2пи (не нашла соотв. символ). Единственное, что я смогла ему объяснить - как посчитать объем куба и параллелепипеда. Автор:Светланkа [ 12 апр 2016, 14:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) NushaMama писал(а) 12 апр 2016, 06:50: Светланkа, Это задача для 4 класса. А как объяснить 4 класснику, кал посчитать объем цилиндра? Ну не через формулу же HR2пи (не нашла соотв. символ). Единственное, что я смогла ему объяснить - как посчитать объем куба и параллелепипеда. Мой старший только первый класс заканчивает, я не в теме))) Если без формул, то можно применить простую логику. Поскольку в каждом варианте ответа дан размер только одного параметра фигуры, то имеем: куб - все стороны одинаковые, зная размер стороны, мы можем посчитать объем фигуры и он будет одинаков у все кубов со стороной 10 см - это 1 л. прямоугольная фигура - имеет длину, высоту, ширину и эти параметры могут меняться, т. е. эта фигура высотой 8 см, может иметь разные размеры других сторон. Т. е. существуют прямоугольники высотой 8 см и разными высотами и ширинами (получатся фигуры разных форм) объемом 3 литра примерно тоже самое для цилиндра - у него разные высота и основание, соответственно всегда существует цилиндр высотой 14 см и объемом 3 л. В случае с цилиндром можно взять трехлитровую банку и мысленно представить себе, что сплющиваем ее в цилиндр высотой 14 см. Автор:Дайкири [ 12 апр 2016, 19:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может кто имеет реферат по гражданской обороне для младших классов? Прошерстила - все по ОБЖ для 9-11 кл с заумными определениями Автор:ma-sha [ 23 апр 2016, 16:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Очень интересное слово для разбора по составу: розоватый. У кого какие варианты будут? Автор:ma-sha [ 23 апр 2016, 17:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ушлая, Что здесь что? И нужны объяснения, не просто разбор. Автор:mudraia [ 23 апр 2016, 17:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Суффикс -оват- со значением "неполнота качества" Автор:NushaMama [ 23 апр 2016, 17:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Роз - корень,оват- суффикс,ый- окончание, розоват - основа слова. Автор:ma-sha [ 23 апр 2016, 19:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Почему я сказала, что слово интересное. Здесь корень розов- и суффикс -оват- . Происходит наложение частей морфем. Подробно объясняется по ссылке: ... ktivy.html Как этот разбор вписывается в школьную программу? Не знаю Автор:Дайкири [ 04 май 2016, 22:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) плиз, дайте решение к 2 схеме Автор:Лунышка [ 04 май 2016, 22:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Красные яблоки могут быть как большие так и маленькие такой ответ достаточен Автор:Дайкири [ 04 май 2016, 22:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) так и написать? или тупо раскидать наугад? Автор:Лунышка [ 04 май 2016, 22:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Из схемы 1 следует, что все из 13 зел. яблок- 9 маленькие и остальные (4) большие, из 3 схемы видно что из все 13 зел.яблок —большие. Но в задаче нет таких условий, то соответственно 2 схема - болеп подходит к решению. Добавлено спустя 1 минуту 43 секунды: Дайкири писал(а) 04 май 2016, 22:26: так и написать? или тупо раскидать наугад? Конечно. Ведь у вас в условиях задачи нет оговорок про размерный состав конкретного цвета яблок Автор:Дайкири [ 04 май 2016, 22:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) не поняла решение не писать никакое? Автор:Лунышка [ 04 май 2016, 22:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Га схемы 1 и 3 есть решение, а вот на третье...хм..там ьупо подобрать числа и все Автор:Эльдорадо [ 04 май 2016, 22:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири писал(а) 04 май 2016, 22:32: :du_ma_et: не поняла решение не писать никакое? Я, может, и не догоняю, но в чем проблема задачи? Всего яблок- 23, ИЗ НИХ 13- зеленые, значит 10) красные. А на схемах показаны разные варианты, а именно: Что все маленькие зеленые и часть больших зеленые; что все большие зеленые и часть маленьких зеленые; что часть больших и часть маленьких- зеленые. Нахрена только эти схемы ??? Добавлено спустя 1 минуту 18 секунд: Дайкири писал(а) 04 май 2016, 22:32: :du_ma_et: не поняла решение не писать никакое? Решение-10 Автор:Дайкири [ 04 май 2016, 22:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) не знаю мы первое написали 14+9=23 23-13=10 ко второй не можем решение написать в действиях именно нужно по действиям написать Автор:annamai [ 04 май 2016, 22:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Эльдорадо писал(а) 04 май 2016, 22:40: Нахрена только эти схемы ??? и действительно! сижу как робот - смотрю на эти схемы, а ответ, то прост! это новообразование - запутать так, чтобы не найти простого решения? Автор:Лунышка [ 04 май 2016, 22:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Эльдорадо, Вот и я все пыталась связать число и размеры, если в задаче требуют только число явно кто-то перемудрил Автор:Дайкири [ 04 май 2016, 22:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ребенок уже уснул чего нам написать скажите Автор:Juliet_VL [ 04 май 2016, 22:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Я бы разложил число 13 на любые 2 числа (например 10 и 3) Тогда решение будет: 13=10+3 (14-10)+(9-3)=4+6=10 Что у вас за программа такая веселая? У нас такого нет, тоже во 2-м классе Автор:Эльдорадо [ 04 май 2016, 22:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ИМХО- это задачи на закрепление того, что одно и то де явление/предмет одновременно могут обладать несколькими признаками (т.е. Быть и большим и зеленым) Лунышка писал(а) 04 май 2016, 22:43: Вот и я все пыталась связать число и размеры, если в задаче требуют только число явно кто-то перемудрил Автор:Лушечка [ 04 май 2016, 22:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я так понимаю, схемы для того, чтобы понять, что решить задачу можно разными способами (тремя) 1) 14+9= 23 23-13=10 2) (14+9)-13=10 3) 14-13+9=10 Решение будет в любом случае одно -10 красных яблок, ведь не спрашивается в задаче какие они маленькие или большие Автор:annamai [ 04 май 2016, 22:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) здесь же не спрашивают - сколько по размеру яблок - больших и маленьких, а только по цвету - сколько? Ох. я со своими - уже по которому кругу прохожу - какие бывают свойства (признаки) предметов - форма, цвет, размер, количество, еще высота! До сих пор - повторяем как в первый раз! действительно очень сложно детям усвоить эти свойства! Автор:Эльдорадо [ 04 май 2016, 22:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири писал(а) 04 май 2016, 22:44: ребенок уже уснул чего нам написать скажите Пишите- 14+9=23. 23-13=10. А схемы- они должны ПОМОЧЬ в решении. Вроде, чтобы их раскидать- такой задачи не стоит. Вторая мхема- вообще имеет кучу подсхем. От 8+5 до 12+1 Автор:Дайкири [ 04 май 2016, 22:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Juliet_VL, мы в 3-ем это Гармония я тоже примерно так бы и решила, но сомневаюсь , что так приблизительно-вольно можно с числами обращаться Автор:Эльдорадо [ 04 май 2016, 22:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Позволю дать совет. Проблема решается просто- берется два листка цветной бумаги, вырезаются большие и маленькие красные и зеленые яблоки. Именно наглядно, лучше всего запоминается (я привела пример доя конкретной задачи, но можно так навырезать для любых задачек). annamai писал(а) 04 май 2016, 22:49: Ох. я со своими - уже по которому кругу прохожу - какие бывают свойства (признаки) предметов - форма, цвет, размер, количество, еще высота! Автор:Juliet_VL [ 04 май 2016, 23:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири писал(а) 04 май 2016, 22:53: Juliet_VL, я тоже примерно так бы и решила, но сомневаюсь , что так приблизительно-вольно можно с числами обращаться У нас просто была такая тема, когда для удобства вычитания раскладывали числа по составу. Может это из той же оперы. У нас это выглядело бы так: (14+9)-13=(14+9)-(10+3)=(14-10)+(9-3)=4+6=10 Автор:Katie [ 04 май 2016, 23:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Juliet_VL писал(а) 04 май 2016, 23:10: Дайкири писал(а) 04 май 2016, 22:53: Juliet_VL, я тоже примерно так бы и решила, но сомневаюсь , что так приблизительно-вольно можно с числами обращаться У нас просто была такая тема, когда для удобства вычитания раскладывали числа по составу. Может это из той же оперы. У нас это выглядело бы так: (14+9)-13=(14+9)-(10+3)=(14-10)+(9-3)=4+6=10 А пояснение? С первой понятно, 3-я тоже : 14-13=1 (больших красных яблок) 1+9=10 (всего красных яблок) А вот вторую не пойму схему Автор:malinka23 [ 05 май 2016, 12:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири Думаю ко 2-ой схеме это решение правильное Juliet_VL писал(а) 04 май 2016, 22:44: Дайкири, Я бы разложил число 13 на любые 2 числа (например 10 и 3) Тогда решение будет: 13=10+3 (14-10)+(9-3)=4+6=10 К 3-ей схеме я думаю так: 14-13= 1 1+9 =10 (только увидела Katie уже также решила) А к 1-ой схеме как вы решили (14+9)-13 =10 Автор:Katie [ 05 май 2016, 12:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А почему 10 и 3, а не 9 и 4 или 8 и 5. Я думаю это не верно. Этих чисел в условии нет и на схеме нет. Лена , напишешь потом про способ ко второй схеме. Автор:Дайкири [ 06 май 2016, 18:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В общем, дети пришли с дыркой на месте второй схемы, но в классе не разбирали. Так я и не знаю, как по мнению учителя должно быть Автор:Katie [ 07 май 2016, 11:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Наши ещё не дошли до этого номера. Спрошу у нашей учительницы потом. Автор:Juliet_VL [ 07 май 2016, 11:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, а методичек по вашей программе нет? Меня периодически очень выручают Автор:Дайкири [ 07 май 2016, 11:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) никогда не видела Автор:Juliet_VL [ 07 май 2016, 12:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Я свои прямо на сайте УМК скачиваю - они в свободном доступе (у нас "Перспективная начальная школа") Автор:Дайкири [ 07 май 2016, 12:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) тоже в подвывертами? Автор:Katie [ 07 май 2016, 12:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) К этой задаче нет пояснений в методических рекомендациях Автор:Juliet_VL [ 07 май 2016, 17:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири писал(а) 07 май 2016, 12:56: тоже в подвывертами? Не то слово Автор:иденя [ 31 май 2016, 12:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, как? За круглым столом сидят Иванов,Петров,Сидоров, Кузнецов. Их имена Андрей,Сергей, Пётр и Максим. Как зовут Иванова, Петрова, Сидорова и Кузнецова, если известно: Фамилия Андрея не Иванов; Сергей сидит между Сидоровым и Петром; Петров сидит между Андреем и Сергеем. Девочки, исправила ошибку. Сергей сидит между Сидоровым и Петром, а не Петровым. Автор:Благоверная [ 31 май 2016, 12:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Зарисовала эту задачу на бумаге.получилось,что Сергей Иванов,Андрей Кузнецов.а с двлими другими проблема Автор:Маник [ 31 май 2016, 12:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, Иванов Сергей, Кузнецов Андрей.... Это точно вся задача? Добавлено спустя 45 секунд: Петр и Максим как то не понятно Автор:belladonna [ 31 май 2016, 12:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) упс.. Автор:Маник [ 31 май 2016, 12:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) belladonna, Здесь условия задачи другие Автор:Хома [ 31 май 2016, 13:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 31 май 2016, 12:03: Сергей сидит между Сидоровым и Петровым здесь ошибка, не Петровым должно быть а Петром. Тогда получится Петр Петров и Максим Сидоров Автор:иденя [ 31 май 2016, 14:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Исправила ошибку. Пожалуйста, с объяснением, ответа я не знаю. Автор:Maruska [ 31 май 2016, 14:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, А какое должно быть объяснение? Я всех нарисовала и получился ответ: Петр Петров Сергей Иванов Андрей Кузнецов Максим Сидоров Самое главное уточнение, что сидят за круглым столом потому что я сначала попыталась уместить всех вдоль за прямоугольным и ничего не получилось но вот с объяснением... это задача для какого класса? Автор:Танюта [ 31 май 2016, 15:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Нарисуйте схему и получится: Сергей сидит между Сидоровым и Петром; Петров сидит между Андреем и Сергеем Сидоров - Сергей - Петр Петров - Андрей. Фамилия Андрея не Иванов. Сидоров Максим - Иванов Сергей - Петров Петр - Кузнецов Андрей Автор:Хома [ 31 май 2016, 15:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Известно, что Сергей сидит между Сидоровым и Петром, а Петров сидит между Сергеем и Андреем. На листочке для того, чтобы было проще рисуем четыре имени вокруг круга в порядке как они сидят: Сидоров Сергей Петр Андрей Петров сидит между Андреем и Сергеем, значит Петр это и есть Петров. Фамилия Андрея не Иванов, значит Иванов это Сергей. Осталось соединить Сидорова с именем - Максим и Андрея с фамилией - Кузнецов)) Вложение: 2016-05-31 15-13-45.JPG [ 36.33 КБ \| Просмотров: 66745 ] Автор:иденя [ 31 май 2016, 15:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Всем огромное спасибо, разобралась. Задача 2. Часы отбивают пять ударов за 20 сек. За сколько сек они отобьют 10 ударов? Составив уравнение получилось 40 сек, но подозреваю,что все не так просто.... Добавлено спустя 51 секунду: Задачи 5 класс, задали на лето прорешать 30 штук. Автор:Хома [ 31 май 2016, 15:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, у меня тоже 40 сек получилось Автор:антон гринько [ 31 май 2016, 15:43 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) у меня 45 Автор:ari [ 31 май 2016, 15:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 45 сек Автор:иденя [ 31 май 2016, 15:53 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У ребёнка тоже ответ 45 сек, но без объяснения, пока ученик гуляет, я проверяю задачи. Почему 45-то? Автор:ari [ 31 май 2016, 15:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Между 1 и 5 ударом 4 промежутка. Один промежуток = 5сек. Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды: Между 1 и 10 ударами 9 промежутков Х 5сек = 45 сек Автор:карапузик L [ 04 июн 2016, 16:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогите В трехх цехах фабрики работают 480 чел. Число людей, работающих во втором цехе, составляет 36% числа людей первого цеха. А число людей в третьем цехе, составляет 2/3 числа людей второго цеха. Сколько человек работает в каждом из этих цехов? Автор:Лушечка [ 04 июн 2016, 17:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Х - 1 цех 0,36Х - 2 цех 0,36(2/3)Х - 3 цех отсюда уравнение: х+0,36х+0,24х=480 х=300 300-1 цех, 108-2 цех, 72-3 цех Автор:карапузик L [ 04 июн 2016, 17:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо Автор:Katie [ 07 июн 2016, 16:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Задача 2 класс Мышка собрала 21 зернышко и разложила их на кучки так, что число зернышек в каждой следующей кучке было на 1 больше, чем в предыдущей. Сколько зернышек было в каждой кучке Сколько кучек получилось Решили методом подбора. Получилось 6 кучек по 1 23 4 5 6 зерен. А как правильно решить по действиям не пойму. Помогите пожалуйста. Автор:Танка [ 07 июн 2016, 17:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie, я думаю, что во втором классе эта задача решается исключительно методом подбора, а не математическими действиями. Математически если отнять лишние зерна во второй и последующий кучках (1, 1+2, 1+2+3 и т.д.), и разделить на количество кучек, то будет количество зернышек в первой кучке При двух кучках это будет 10+11 ( 21-1=20 20/2=10 ) При трех: 6+7+8 ( 21-1-2=8 18/3=6 ) При четырех - целого не получится (21-1-2-3=15 не делится на 4) При пяти - тоже не получится (21-1-2-3-4=11 не делится на 5) При шести: 1+2+3+4+5+6 (21-1-2-3-4-5=6 6/6=1) Автор:Katie [ 07 июн 2016, 17:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Танка, Спасибо. Я не подумала ,что может быть 2 кучки для второго класса вполне достаточно Автор:иденя [ 22 авг 2016, 13:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Здравствуйте! Выручайте! Имеется несколько кувшинов, среди которых есть два кувшина разной формы, а также два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина разной формы, имеющие разный цвет. Автор:NushaMama [ 22 авг 2016, 13:47 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Возьмем два кувшина разной формы. Если эти кувшины еще и разного цвета, то доказательство осуществлено.Если одинакового, то возьмем третий кувшин, отличающийся от них цветом. Его форма отличается от формы первоначально взятых двух кувшинов, то доказательство вновь осуществлено. Я так понимаю, это задача на комбинаторику? Автор:иденя [ 22 авг 2016, 17:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) NushaMama, Спасибо! Наверное, на комбинаторику. Доказать очевидное-это самое ужасное для меня. Автор:Алевтина Алексеевна [ 01 сен 2016, 16:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Уважаемые родители. Чтобы вам не мучиться, учу вас тому, что знают все двоечники: введите в строку поиска текст задания, и вы получите варианты решений. Только подольше держите этот приём в секрете от своих детей, иначе ребёнок тоже станет двоечником. Ведь списать всегда проще, чем думать. Ответы: 13 – так как это единственное число, которое нельзя ни на что разделить, или как говорят простое. 22 - число состоит из одинаковых цифр (уже звучал этот вариант). 39 - это число можно разделить на 3, остальные нельзя. 64 - единственное число, сумма цифр которого дает круглое число. 76 - тут два варианта: числа идут сначала нечетные, потом четные, следовательно за 64 должно идти нечетное число сумма цифр у других чисел является четным числом, а у 76 нет. Автор:Хома [ 03 сен 2016, 11:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Алевтина Алексеевна, этот вопрос был задан в 2011 году, вряд ли еще актуален ответ))) Автор:Дайкири [ 07 сен 2016, 21:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Может, простое задание, но что-то я того Автор:Anzhela5 [ 07 сен 2016, 21:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Это какой класс? Мозг в шоке... Автор:annamai [ 07 сен 2016, 21:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) что-то подсказывает - справа - утро, день, лето, а слева - Ночь, зима Автор:Katie [ 07 сен 2016, 21:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Наверно в южном полушарии лето, а в северном зима Автор:Благоверная [ 07 сен 2016, 21:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, А что сложного?что не понимаете? Справа еще цифра четыре.земля тем полушарием наклонена к солнцу. Ночь и зима слева Автор:Дайкири [ 07 сен 2016, 21:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Благоверная, Может, просто вечер, но ничего не понимаю Это 4 кл Автор:Дикарка [ 07 сен 2016, 21:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири писал(а) 07 сен 2016, 21:28: Может, простое задание, но что-то я того Указано вращение солнца. Сторона сильнее всего повернутая к солнцу - день. Следом за днём утро - не довращалось ещё до дня. 1 и 2 стоят верно. Оставшаяся темная сторона - ночь. Верхний левый угол из-за наклона находится дольше всего от солнца, там пока зима. Нижний правый угол наклонён к солнцу - там лето. Автор:Mama_K [ 07 сен 2016, 21:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Цифры 1 и н расставлены правильно. 3 - ночь - крайний левый кружок, напротив солнца. 4 - лето - правый нижний, южное полушарие. 5 - зима - левый верхний, северное полушарие Автор:ОптимисткаЮлька [ 20 окт 2016, 23:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девчули!!!!! Выручайте!!!! 4 КЛАСС!!! Задание № 1: Сколько различных трёхзначных чисел, в которых каждая следующая цифра на 2 меньше предыдущей? Задание № 4: В коробке синие, красные, жёлтые и зелёные карандаши — всего 3939 штук. Синих карандашей в 88 раз меньше, чем красных, а жёлтых в 66 раз больше, чем зелёных. Сколько красных карандашей? Задание № 6: Найдите значение выражения: MDCX−CDLV+XLVI. Дайте ответ римскими цифрами. Задание № 7: Расшифруйте запись: AC+CB=ABC Одинаковые буквы - это одинаковые цифры, разные буквы - разные цифры. Назовите значение выражения: C−B−A ЭТО ПРОСТО ВЗРЫВ МОЗГА!!!!!!!!!!!!! Что смогли сделали. Теперь сижу- ручки грызу.... Автор:Благоверная [ 20 окт 2016, 23:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В первом задании .на калькуляторе пишите 22 + 22=...+22 и т.д. . Пока не дойдё до трехзначного числа . Начинаете считать. И так до того момента,пока сумма не станет 4х значной Автор:ОптимисткаЮлька [ 20 окт 2016, 23:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Благоверная писал(а) 20 окт 2016, 23:19: В первом задании .на калькуляторе пишите 22 + 22=...+22 и т.д. . Пока не дойдё до трех значило. Начинаете считать. И так до того момента,пока сумама не станет 4х значной КЛАСС!!!! Как я не додумалась??? Ой блин! Я ошиблась!!!! Не на 22, а на 2!!!!!!!!!! И предлагаются варианты ответа: 6 7 4 3 5 Автор:Благоверная [ 20 окт 2016, 23:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька, Ой.не.там же написаноКаждая СЛЕДУЮЩАЯ МЕНЬШЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ Автор:Мусичка [ 20 окт 2016, 23:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 20 окт 2016, 23:21: Благоверная писал(а) 20 окт 2016, 23:19: В первом задании .на калькуляторе пишите 22 + 22=...+22 и т.д. . Пока не дойдё до трех значило. Начинаете считать. И так до того момента,пока сумама не станет 4х значной КЛАСС!!!! Как я не додумалась??? Ой блин! Я ошиблась!!!! Не на 22, а на 2!!!!!!!!!! И предлагаются варианты ответа: 6 7 4 3 5 Тут наверное 135 246 357 468 579 Хотя нет, наоборот 975 864 753 642 531 420? Автор:Благоверная [ 20 окт 2016, 23:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Реально взрыв мозга Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд: Мусичка, И где тут "на 2 меньше предыдущей"? Автор:Мусичка [ 20 окт 2016, 23:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Благоверная писал(а) 20 окт 2016, 23:31: Реально взрыв мозга Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд: Мусичка, И где тут "на 2 меньше предыдущей"? А если тут речь про цифры внутри числа самого Автор:ОптимисткаЮлька [ 20 окт 2016, 23:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Не могу. Аж закипаю. Ладно. С карандашами разобрались-16 штук красных. На первая- это капец!!!! Мусичка писал(а) 20 окт 2016, 23:32: А если тут речь про цифры внутри числа самого А ведь скорее всего! Уж очень мало вариантов ответа Автор:Благоверная [ 20 окт 2016, 23:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Интересно. Наверно ,Мусичка права Автор:Мусичка [ 20 окт 2016, 23:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 1615-459+46=1202 MCCLL Это я вам нагуглила Автор:ОптимисткаЮлька [ 20 окт 2016, 23:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Это как понять???? К вариантам ответа не подходит: MCXVI MCXI MCI MCC MCCI Автор:Мусичка [ 20 окт 2016, 23:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 19+90=109 Эту часть тоже нагуглила AC+CB=ABC C−B−A 9-0-1=8? Фиг знает правильно или нет Автор:Дикарка [ 20 окт 2016, 23:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 6 задание 1610-455+46=1201 Т.е. MCCI Решала сама, могла при переводе затупить, но у меня так. Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 окт 2016, 00:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а) 20 окт 2016, 23:42: 1615-459+46=1202 Маленечко вы ошиблись в расчётах. Получилось так: 1610-455=1155+46=1201=MCCI А так- спасибище просто. Я бы не догадалась погуглить значение букв Автор:Дикарка [ 21 окт 2016, 00:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) АС+ВС=АВС Т.к. Число в ответе 3х значное, то А=1; 1с+св=1вс Чтобы получить 3х значное число с=9; 19+9в=1в9 Ну и соответственно, чтобы в ответе в единицах получить 9, в=0; Итого: 19+90=109. Тогда: с-в-а= 9-0-1=8 Автор:Мусичка [ 21 окт 2016, 00:08 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 21 окт 2016, 00:04: Мусичка писал(а) 20 окт 2016, 23:42: 1615-459+46=1202 Маленечко вы ошиблись в расчётах. Получилось так: 1610-455=1155+46=1201=MCCI А так- спасибище просто. Я бы не догадалась погуглить значение букв Это видимо смысл один, а задание каждый год по цифрам меняют. Я не считала, просто вариант нашла.. Я честно в них вообще не шарю, но когда у старшего попадается какая-нибудь ерунда, то яндекс мне в помощь Автор:Ms Shu [ 21 окт 2016, 00:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 20 окт 2016, 23:14: Девчули!!!!! Выручайте!!!! 4 КЛАСС!!! Задание № 1: Сколько различных трёхзначных чисел, в которых каждая следующая цифра на 2 меньше предыдущей? Первоклассник недавно что-то похожее рассказывал. Ответ был "6". Правильно или нет, не знаю. Объяснил так: 975, 864, 753, 642, 531, 420. Автор:Дикарка [ 21 окт 2016, 00:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) С первой согласна. А с карандашами - не понимаю. Мне данных не хватает. Задача правильно записана? Желтые с зелёными никак с красными или синими не связываются? Автор:annamai [ 21 окт 2016, 00:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я уже своим в первом классе, задаю вопрос - Кто учится, я или ВЫ? Оказывается мы!((( Автор:Мусичка [ 21 окт 2016, 01:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а) 21 окт 2016, 00:18: С первой согласна. А с карандашами - не понимаю. Мне данных не хватает. Задача правильно записана? Желтые с зелёными никак с красными или синими не связываются? Мне кажется, там текст по-другому звучит, и подвох именно в самих цифрах.что они повторяются. Их как-то между собой надо складывать или что-то такое . Больше на ум ничего не приходит Автор:Эльдорадо [ 21 окт 2016, 06:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Мусичка писал(а) 20 окт 2016, 23:32: Благоверная писал(а) 20 окт 2016, 23:31: Реально взрыв мозга Добавлено спустя 2 минуты 8 секунд: Мусичка, И где тут "на 2 меньше предыдущей"? А если тут речь про цифры внутри числа самого Никаких если. Цифры это то, из чего состоит число. Добавлено спустя 7 минут 27 секунд: Дикарка писал(а) 21 окт 2016, 00:18: С первой согласна. А с карандашами - не понимаю. Мне данных не хватает. Задача правильно записана? Желтые с зелёными никак с красными или синими не связываются? Тоже не понимаю. Т.к. по сути это линейное уравнение с двумя неизвестными. Автор:фрюта [ 21 окт 2016, 06:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Эльдорадо писал(а) 21 окт 2016, 06:42: Никаких если. Цифры это то, из чего состоит число цифры это знаки от 0 до 9. все числа состоят из них. число 10 состоит из двух цифр, число 100 их трех. поэтому ответ Ms Shu писал(а) 21 окт 2016, 00:10: 975, 864, 753, 642, 531, 420 правильный Автор:ari [ 21 окт 2016, 07:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 20 окт 2016, 23:14: Задание № 4: В коробке синие, красные, жёлтые и зелёные карандаши — всего 3939 штук. Синих карандашей в 88 раз меньше, чем красных, а жёлтых в 66 раз больше, чем зелёных. Сколько красных карандашей? Зелёных 3, желтых 198, синих 42, красных 3696 Добавлено спустя 11 минут 30 секунд: Есть 67 частей желтых и зелёных, 89 частей синих и красных. В числе 3939 число 67 помещается 58 раз с остатком 53. Но у нас есть ещё число 89 , которое больше 67 на 22. То есть нам надо получить остаток, который делится на 22. Нам не хватает 13. Число 67 при делении на 22 составляет остаток 1. "Забираем" из 58-13=45. 4567=3015. 3939-3015=924. 924\22=42. Итого 42 части 89 и 3 части 67. Автор:ma-sha [ 21 окт 2016, 10:37 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Разобрать по составу слово кукушка. Автор:Визитер [ 21 окт 2016, 10:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) кук- корень,ушк -суффикс и окончание -а-. Это я бы так написала. Не встречала раньше. Автор:Маник [ 21 окт 2016, 10:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha, «кукушка» по составу кукушка Части слова «кукушка»: ку/ку/шк/а Состав слова: ку, ку — корни, шк — суффикс, а — окончание, кукушк — основа слова. Автор:ma-sha [ 21 окт 2016, 10:59 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А слово куковать? Автор:Маник [ 21 окт 2016, 11:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha, куковать (школьная программа) Части слова «куковать»: ку/к/ова/ть Часть речи: глагол Состав слова: ку, к — корни, ова, ть — суффиксы, нет окончания, кукова — основа слова. Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание. Гугл в помощь Автор:ma-sha [ 21 окт 2016, 11:06 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маник писал(а) 21 окт 2016, 11:05: Гугл в помощь Очень хорошо, уговорили. Так и будем отвечать на все вопросы в этой теме PS: Слова приведены в качестве примера интересного морфемного разбора, а не потому, что лично я не знаю, как их разбирать. Автор:Маник [ 21 окт 2016, 11:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha, Да мне самой стало интересно. При чем куковать дано в двух вариантах разбора. Для школьной программы и для института Цитата: Примечание: ть является формообразующим суффиксом и не входит в основу слова, но во многих школьных программах ть отмечается как окончание Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 окт 2016, 11:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо, мои хорошие!!!! Я вчера чуть стол не сгрызла! Кто придумывает такие задачи?!?!?! Вложение: 49a98d29465bd6d13a4a760e63ddca3e.jpg [ 58.11 КБ \| Просмотров: 61655 ] Автор:Мусичка [ 21 окт 2016, 12:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька, Скажите по карандашам, как 16 получилось то? Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 окт 2016, 12:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Короче говоря там опечатка была . Не 3939. А просто 39 И так, блин, задания- голову сломаешь. Так ещё и издеваются! Автор:Zoenka [ 21 окт 2016, 13:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Присоединяюсь к Вашему сообществу, уже голова болить делать домашние задания..и нервов не хватает Автор:Мусичка [ 21 окт 2016, 13:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 21 окт 2016, 12:33: Короче говоря там опечатка была . Не 3939. А просто 39 И так, блин, задания- голову сломаешь. Так ещё и издеваются! Да и все равно мне нифига не понятно. Если 39 всего, то как в 88 раз меньше? И 16 это верный ответ? Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 окт 2016, 13:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Так- не только не 3939, но и не 88, а 8 Сволочи- два раза напечатали!!!! Автор:фрюта [ 22 окт 2016, 11:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Маник, слова "кукушка" и "куковать" имеют по два корня? вы уверены? они сложные? справочник школьника: "слова, у которых два корня, сложные. в сложных словах корни соединяют буквы О и Е. это соединительные буквы гласных" Автор:Katie [ 24 окт 2016, 18:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Подскажите пожалуйста верные падежи: Не справился с задачей, взял портфель. Сын написал у первого словосочетания творительный, у второго- винительный. Учительница зачеркнула. Автор:ОптимисткаЮлька [ 24 окт 2016, 19:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 24 окт 2016, 18:35: Учительница зачеркнула. Интересно почему? Ладно- может портфель она имела ввиду именительный? Хотя -как мне кажется- не правильно. Но"задачей"- ответ однозначный- творительный!!!! Вложение: 2016-10-24_145809.jpg [ 28.66 КБ \| Просмотров: 62017 ] Автор:Светланkа [ 24 окт 2016, 19:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ответила бы так же, как ваш сын Автор:Katie [ 24 окт 2016, 19:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Спасибо, пойдёт завтра выяснять, что там неверно Автор:верлена [ 24 окт 2016, 22:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 24 окт 2016, 19:21: Спасибо, пойдёт завтра выяснять, что там неверно Просто даже интересно, как же считает учитель....напишите, пожалуйста. Автор:ОптимисткаЮлька [ 24 окт 2016, 22:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) верлена писал(а) 24 окт 2016, 22:02: напишите, пожалуйста. Поддерживаю. Любопытство разбирает Автор:ma-sha [ 25 окт 2016, 11:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) верлена писал(а) 24 окт 2016, 22:02: как же считает учитель.... Ну и почему, тоже очень интересно Автор:Katie [ 25 окт 2016, 12:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Все верно у него ошиблась учительница Автор:ОптимисткаЮлька [ 29 окт 2016, 18:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ну что, девочки! Краткая передышка началась))))) Автор:ОптимисткаЮлька [ 04 ноя 2016, 23:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки. Сказали за каникулы придумать легенду или миф. Уже каникулы заканчиваются, а в голову ничего не идёт- хоть пните в нужном направлении плиииииз. Автор:Дикарка [ 04 ноя 2016, 23:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька, Дети легенды и мифы перед этим проходили? Ну и отталкивайтесь от них. Жил на Руси великий богатырь Андрей Полверстовый и росту в нем было ровно пол версты, а силы так вообще не сосчитать. И вот повадился на землю Русскую прилетать душегуб заморский Змий о пяти головах. Как обернётся вокруг деревни, так вся скотина пропадает, как-будто её и небыли.... Ну и дальше в том же духе. Ушёл Геракл с Олимпа, выбрал жизнь смертного, не захотел себе славы и поклонения. Но однажды ночью явился к нему Зевс в военных доспехах и с разрубленным щитом и вот что рассказал. Выползло из подземного мира зло и поселилось в окрестных лесах. И с каждым днём расползалось оно все дальше и дальше, поглощая все новые и новые земли. И ничто не брало его, ни небесный огонь, ни стремительные водные потоки.... Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды: Сойдёт за пинок? Автор:ОптимисткаЮлька [ 05 ноя 2016, 00:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дикарка писал(а) 04 ноя 2016, 23:43: Сойдёт за пинок? Ещё как сойдёт!!!! Автор:иденя [ 22 ноя 2016, 18:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки! Плачет где-то иволга, схоронясь в дупло. Схоронясь -безличный глагол??? Автор:KsenyaV [ 22 ноя 2016, 19:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, Деепричастие Автор:Дайкири [ 22 ноя 2016, 22:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Добавлено спустя 37 секунд: Не соображу Подставили 4 и 1 Третья строка не бьется Автор:malinka23 [ 22 ноя 2016, 22:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, 6808 × 916 Автор:Дайкири [ 22 ноя 2016, 22:33 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Ух ты Тогда еще один))) Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды: Автор:Katie [ 22 ноя 2016, 22:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, Лена лови ... rettyPhoto Автор:Дайкири [ 22 ноя 2016, 22:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ценная ссыль! Автор:malinka23 [ 22 ноя 2016, 22:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Дайкири, 5612 × 234 Автор:annamai [ 23 ноя 2016, 00:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) "Дайкири" Третья строка не бьется Здесь метод подстановки - какое число может получиться при умножении, чтобы в конце числа была цифра 8 - 81=8 или 86=48. Других вариантов нет. Также и в других случаях. Автор:Дайкири [ 23 ноя 2016, 01:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Честно сказать, бедные дети Автор:ОптимисткаЮлька [ 19 янв 2017, 23:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки! Кто свободен- помогите- плииииз- мозги кипят!!! Если неизвестное число разделить на 3, вычесть наименьшее трёхзначное число, затем прибавить наибольшее двузначное число и у полученной суммы отбросить последнюю цифру 5, то получится 15. Найдите неизвестное число. Сколько трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 6, и у которых все цифры разные? На столе лежали тетради. Саша взял половину всех тетрадей, Коля взял треть остатка, а Миша взял четверть нового остатка, и на столе осталось 3 тетради. Сколько тетрадей взял Саша? Автор:Светланkа [ 19 янв 2017, 23:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 19 янв 2017, 23:09: Девочки! Кто свободен- помогите- плииииз- мозги кипят!!! Если неизвестное число разделить на 3, вычесть наименьшее трёхзначное число, затем прибавить наибольшее двузначное число и у полученной суммы отбросить последнюю цифру 5, то получится 15. Найдите неизвестное число. Сколько трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 6, и у которых все цифры разные? На столе лежали тетради. Саша взял половину всех тетрадей, Коля взял треть остатка, а Миша взял четверть нового остатка, и на столе осталось 3 тетради. Сколько тетрадей взял Саша? (155-99+100)3=468 Состав числа 6: 1+2+3; 1+0+5; 4+0+2 123; 132; 231; 213; 312; 321; 105; 150; 510; 501; 402; 420; 204; 240 получилось 14 вариантов Автор:◇ASI◇ [ 19 янв 2017, 23:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 6 тетрадей взял Саша Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд: Саша 1/2 взял Коля 1/3×1/2=1/6 Осталось 1/2-1/6=1/3 Миша 1/4×1/3=1/12 Осталось 1/3-1/12=1/4, а это 3 тетради. Т.о. 1/2 это 6 тетрадей. Автор:Золотинка [ 19 янв 2017, 23:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Точно, поспешила. Автор:◇ASI◇ [ 20 янв 2017, 00:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 468 правильно 735 нет, т к. надо прибавить наибольшее двузначное число, т.е. 99, а не 10. Автор:AnRe [ 20 янв 2017, 00:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ◇ASI◇ писал(а) 20 янв 2017, 00:07: 468 правильно Автор:ОптимисткаЮлька [ 20 янв 2017, 15:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Бедные наши дети(((( Я с ума схожу. И это у меня экономические образование. То есть как бэээ.... дружу с математикой. Но тут- мозги плавятся просто. Где-то на грани здравого смысла всё... Спасибо, девочки, за помощь!!! Автор:иденя [ 31 янв 2017, 15:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, неприкосновенный -причастие или прилагательное? Смущает, что в правиле написано, суффикс енн- причастие, но суффикс ов- прилагательное. Автор:ma-sha [ 31 янв 2017, 15:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, Это прилагательное, образовано от существительного прикосновение. Автор:иденя [ 12 фев 2017, 00:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, выручайте. По информатике задали нарисовать круги Эйлерт в ворде и закрасить пересечение. Как закрасить в ворде? Это можно сделать? Автор:KsenyaV [ 12 фев 2017, 12:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я нашла только как их сделать в Экселе. Но и то, вставляется просто схема с готовыми цветовыми схемами. Пыталась, чтобы строилась по данным таблицы - не получается. Автор:Katie [ 12 фев 2017, 13:09 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 12 фев 2017, 00:13: Девочки, выручайте. По информатике задали нарисовать круги Эйлерт в ворде и закрасить пересечение. Как закрасить в ворде? Это можно сделать? А в чем трудность? просто нарисовать и закрасить пересечения? Добавлено спустя 1 минуту 23 секунды: Вставка автофигур, потом рисование Автор:tigra [ 12 фев 2017, 13:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Сложность в том, что заливка-закраска в word может быть только автофигуры целиком. Чтобы закрасить только пересечение, нужно создать это пересечение как фигуру, как отдельный объект. Можно ли это сделать в последней версии word, не знаю, но могу предложить способ попроще. Рисуете два круга с полупрозрачной заливкой разного цвета, пересекаете их, пересечение будет другого цвета. Можно поэкспериментировать со штриховкой ещё по тому же принципу. Автор:Katie [ 12 фев 2017, 13:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) не заливку использовать, а просто закрасить Добавлено спустя 2 минуты 47 секунд: tigra писал(а) 12 фев 2017, 13:21: Рисуете два круга с полупрозрачной заливкой разного цвета, пересекаете их, пересечение будет другого цвета. Хороший очень вариант Автор:иденя [ 14 фев 2017, 18:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Опять я помогите, кто силён. Какие из перечисленных слов , словосочетаний и выражений 1) имеют официально деловую окрашенность; 2)входят в лексику всех книжных стилей, в том числе и официально -деловой; 3)не употребляются в официально деловом стиле. В плановом порядке, отгрузка товара; подсчитать свои возможности, именуемый, морфема, ингаляция, фрезер, поставить в известность. Автор:Katie [ 17 фев 2017, 16:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогит, пожалуйста. Не могу определить признак "Какой глагол по одному признаку отличается от других? 1.воскликнуть 2.подстричь 3.подмести 4.удалить" Автор:Casablanca75 [ 17 фев 2017, 16:14 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 17 фев 2017, 16:11: Помогит, пожалуйста. Не могу определить признак "Какой глагол по одному признаку отличается от других? 1.воскликнуть 2.подстричь 3.подмести 4.удалить" подмести заканчивается на -ти остальные - на -ть/чь Автор:Katie [ 17 фев 2017, 16:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Casablanca75, А что это за признак глагола Автор:GreenBag [ 17 фев 2017, 16:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Первый не переходный, остальные переходные. Автор:Aspidistra [ 17 фев 2017, 16:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 17 фев 2017, 16:11: Помогит, пожалуйста. Не могу определить признак "Какой глагол по одному признаку отличается от других? 1.воскликнуть 2.подстричь 3.подмести 4.удалить" Может, признак глагола - переходность-непереходность, тогда "воскликнуть" - непереходный, остальные - переходные Автор:Katie [ 17 фев 2017, 16:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) GreenBag, Aspidistra, Они ещё не проходили в 4 классе этого Посмотрела ответ: удалить. Но почему не могу разобраться Автор:ma-sha [ 17 фев 2017, 16:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie, воскликнуть - непереходный, остальные переходные. Добавлено спустя 6 минут 3 секунды: Katie писал(а) 17 фев 2017, 16:29: Посмотрела ответ: удалить. Но почему не могу разобраться Тоже интересно почему Все перечисленные глаголы находятся в неопределенной форме (инфинитив). Инфинитив имеет следующие морфологические признаки: вид (совершенный – несовершенный), возвратность – невозвратность, переходность – непереходность. Автор:Katie [ 17 фев 2017, 16:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Проходят спряжения, личные и родовые окончания глаголов. Автор:Casablanca75 [ 17 фев 2017, 16:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 17 фев 2017, 16:17: Casablanca75, А что это за признак глагола вообще это формообразующий суффикс... но если правильный ответ "удалить"... не могу ничего умного ответить... Автор:Katie [ 17 фев 2017, 16:55 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) А какое спряжение у этих всех глаголов? Автор:Aspidistra [ 17 фев 2017, 16:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Точно, по спряжению надо вспомнить Автор:Анитра [ 17 фев 2017, 16:58 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) удалить - глагол 2 спряжения, остальные первого Автор:Aspidistra [ 17 фев 2017, 17:00 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Удалить это 2 спр. Воскликнуть 1-ое Но с остальными надо поискать Автор:Katie [ 17 фев 2017, 17:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Да, спасибо. Поняла уже))) Автор:Aspidistra [ 17 фев 2017, 17:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Объясните для тупых, почему подстричь и подмести это 2 спряжение? Добавлено спустя 35 секунд: Первое вернее- почему? Автор:Casablanca75 [ 17 фев 2017, 17:10 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Aspidistra писал(а) 17 фев 2017, 17:08: Объясните для тупых, почему подстричь и подмести это 2 спряжение? Добавлено спустя 35 секунд: Первое вернее- почему? подметЕшь, подметЕт подстрежЕшь, подстрежЕт Автор:Aspidistra [ 17 фев 2017, 17:11 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Casablanca75, Да, спасибо! Дошло ) Автор:Katie [ 17 фев 2017, 17:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Aspidistra, Я не знаю. Поставила в 3 л. Мн.ч. , получилось окончание-ут, как у 1 спряжения. Это наверно неправильно, но по другому я не знаю как определить Автор:Aspidistra [ 17 фев 2017, 17:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie, Всё правильно, надо склонять, чтобы определить спряжение Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд: Нашла вот: Примечание. По начальной форме, не поставив сначала глагол в личную форму, его спряжение определить нельзя: Автор:Холодок [ 18 фев 2017, 19:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У нас недавно было такое задание 3 класс .Удалить2 спряжение.Вот чем отличается . Автор:Katie [ 18 фев 2017, 22:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Холодок, Спасибо Автор:иденя [ 12 мар 2017, 10:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Здравствуйте! Прошу помощи каким членом предложения является слово ТОТ? Кошки-удивительные создания, но ещё более удивительным является их мурлыканье в ТОТ момент, когда животное испытывает приятные ощущения. Автор:ma-sha [ 12 мар 2017, 11:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, Тот - указательное местоимение, в данном предложении является определением: момент (какой?) тот. Автор:Aspidistra [ 12 мар 2017, 11:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя, Определение, нет? На вопрос "какой" Автор:иденя [ 26 мар 2017, 19:22 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки, слово представленИе, как обьяснить правописание "и"? Автор:mamo [ 26 мар 2017, 19:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 26 мар 2017, 19:22: как обьяснить правописание "и"? есть такие окончания ие Автор:иденя [ 26 мар 2017, 20:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Здесь суффикс ени, но есть и ене суффикс Автор:ma-sha [ 26 мар 2017, 21:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) иденя писал(а) 26 мар 2017, 20:12: но есть и ене суффикс У существительных? Автор:иденя [ 26 мар 2017, 21:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha,Спасибо за ответ Автор:Katie [ 26 апр 2017, 16:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогите пожалуйста, не можем решить по действиям с пояснением (((( проходят уравнения 4 класс А)В трёх классах 76 учеников В первом классе учеников на 4 меньше чем во втором Сколько учеников во втором классе если их на 2 ученика меньше чем в третьем классе? Это сама задача Б)Запиши что обозначают данные числа и выражения если во втором классе Х (УЧ) Х-4 Х+(х-4) х+(Х+2) 76-Х 76 -(Х -4) 76-(Х+2) Х+(Х-4)+(Х+2) Это все подписал в) Запишите решение задачи по действиям с пояснением. Указано 5 действий Автор:Luckily Mam [ 26 апр 2017, 16:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) х+(х-4)+(х+2)=76 -всего в трех классах х+х-4+х+2=76 -раскрыть скобки 3х=76-2+4 -группируем переменные и числовые значения 3х=78 х=26- учеников во втором классе далее 26+2= 28 третий класс, 26-4=22 в первом. Так было раньше. Что имеется ввиду под 5 действий Автор:Katie [ 26 апр 2017, 16:32 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Luckily Mam писал(а) 26 апр 2017, 16:28: Что имеется ввиду под 5 действий Там стоят цифры - действия от 1 до 5 И какие должны быть пояснения Про " раскрыть скобки " и "группировать "... такие понятия они не используют Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды: И перенос знаков тоже еще не знают Добавлено спустя 29 секунд: Я в затруднении Автор:lara1511 [ 26 апр 2017, 16:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Автор:ma-sha [ 26 апр 2017, 16:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie, Я не знаю, как решают ваши, но если без уравнения, то эта задача решается графически, а по действиям это будет так: 1) 4+2=6 (уч.) - на столько в 3 классе больше, чем в 1. 2) 6+4=10 (уч.) - на столько во 2 и 3 классах больше, чем в 1. 3) 76-10=66 (уч.) - во всех трех классах поровну. 4) 66:3=22 (уч.) - в 1 классе. 5) 22+4=26 (уч.) - во 2 классе. Ответ: 26 учеников во 2 классе. Графически: рисуете 3 отрезка, один под другим. Первый - самый короткий, это учеников в 1 классе. Второй под ним чуть больше, разница между ними - это те 4 ученика, на которых во 2 классе больше, чем в 1. Третий отрезок чуть больше второго, разница между ними - это на тех 2 учеников, на которых в 3 классе больше, чем во 2. Если провести вертикальные пунктиры, то будет видно, в каком классе на сколько больше или меньше, чем в других. А если бы не эта разница в 10 чел, то во всех классах было бы учеников поровну. Автор:Katie [ 26 апр 2017, 16:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вроде решил))) Добавлено спустя 59 секунд: ma-sha, Да, так решил, спасибо Добавлено спустя 55 секунд: Там как раз отрезки даны, просто уже зациклились на уравнениях Автор:фрюта [ 21 май 2017, 15:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) классный сайт нашла! Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 авг 2017, 13:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки! У меня к вам просьба- вопросик...... Дело вот в чем. Моя дочка идет в 5 класс. Но. Мы еще находимся в Казахстане. Но в конце сентября приезжаем в Приморье на ПМЖ. Вопрос вот в чем. Вопрос глупый- к пятому то классу .... Но тем не менее- какие канцтовары нужно прикупить для 5 класса. Поясню вопрос. У нас в КЗ -с этого года новая система образования. То есть- ежедневных оценок не будет, предметы будут вестись на 3х языках- русский, казахский, английский (ну, типа-биология -только на английском преподается, химия- только на казахском... и знаешь-не знаешь языка- пофиг), дом.заданий не будет.... Короче- дневники сказали не брать... Общие тетради не брать.... Ну с этим я и не заморачиваюсь. В сентябре- все равно уедем. Мне главное- что берут детям в 5 класс во Владивостоке???? Автор:фрюта [ 21 авг 2017, 13:46 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька, дневник берите. тетради общие мы вроде с шестого класса брали, так обычные 12 листов, лучше плотная обложка. ручки, простые карандаши, ластик, линейка, точилка. циркуль вроде. транспортир по-моему в шестом нужен будет. список рабочих тетрадей учитель даст Автор:AnRe [ 21 авг 2017, 15:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька, не переживайте раньше времени. Приедете, в школе уточните, что надо и купите. В магазинах всё есть, т.ч. проблем не будет... Иногда нужны рабочие тетради к учебникам, а иногда не нужны, труды у девочек и мальчиков разные, тоже надо уточнять в школе, к спортивной форме особых требований нет, но в некоторых школах требуют определённый цвет футболок... Так что купите тетради с надписями на казахском - поудивляете одноклассников! Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 авг 2017, 16:26 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) AnRe писал(а) 21 авг 2017, 15:57: Так что купите тетради с надписями на казахском - поудивляете одноклассников! Спасибо, девчата!!!!! Очень переживаю- как моя кукла в новый коллектив вольётся.... Она у меня- очень нежный цветок. Скромная. Тихая. Не боец, короче.... Ну, тогда сильно заморачиваться не буду. На месте разберёмся)))) Автор:AnRe [ 21 авг 2017, 16:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 21 авг 2017, 16:26: Очень переживаю- как моя кукла в новый коллектив вольётся.... Она у меня- очень нежный цветок. Скромная. Тихая. Не боец, короче.... ОптимисткаЮлька, очень часто после начальной школы тусуют классы, т.ч. в пятом будет много "новеньких", не только ваша... Если класс в сентябре - октябре поедет на экскурсии, постарайтесь поехать с детьми (присутствие родителей обычно приветствуется) - осмотритесь, сделаете выводы. Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 авг 2017, 17:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) AnRe писал(а) 21 авг 2017, 16:40: Если класс в сентябре - октябре поедет на экскурсии, постарайтесь поехать с детьми Я всегда стараюсь участвовать в жизни класса. Я такая...ммм... активная мамочка. В выпускном классе надо мной сделали пародию. Из Шурика. Что типа: песчанный карьер? Я! Разгрузка угля? Я! Потому как у меня всегда свободный график работы был. То есть- была руководителем танцевального коллектива. И занималась росписью стен. Поэтому- всегда на подхвате: поехать, привезти, собрать... И т.д. Думаю- в Приморье буду так же рядом с дочей. Автор:Юджин [ 21 авг 2017, 18:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька писал(а) 21 авг 2017, 17:38: Думаю- в Приморье буду так же рядом с дочей. А зачем? Может поэтому она ОптимисткаЮлька писал(а) 21 авг 2017, 16:26: Она у меня- очень нежный цветок. Скромная. Тихая. Не боец, короче . Вспоминаю, как у нас на экскурсию мамы ездили (потом рассказывали) вся детвора сорвалась с места - бегут-несутся, а мальчик замер и на маму косится "мол, побежать со всеми или нельзя"? Не переборщите) Безусловно, сначала можно и нужно побыть вместе, как выше писали - присмотреться, а дальше уж .... Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 авг 2017, 20:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юджин писал(а) 21 авг 2017, 18:35: мол, побежать со всеми или нельзя Не. Как раз- я всё разрешаю! Обливаться ледяной водой из шланга на даче.... Или мерить лужи во дворе весной... Или с девочками на кухне стряпать чёнить ( и устряпать мне всю кухню ) И тем не менее... В классе дочу не видно и не слышно... Автор:ma-sha [ 21 авг 2017, 20:45 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ОптимисткаЮлька, Почему бы не завести отдельный топ? У этого совершенно другая тема. Автор:ОптимисткаЮлька [ 21 авг 2017, 21:23 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) ma-sha писал(а) 21 авг 2017, 20:45: У этого совершенно другая тема. Да в принципе- я выяснила что хотела! Спасибо, девочки, всем за советы! Автор:Katie [ 12 окт 2017, 15:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Подскажите пожалуйста , какой падеж? Тишь и прохлада в лесу. Автор:tigra [ 12 окт 2017, 15:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Именительный, именительный, предложный. Автор:Katie [ 12 окт 2017, 16:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) tigra писал(а) 12 окт 2017, 15:50: Именительный, именительный, предложный. Ой простите, надо было определить у словосочетания "в лесу" Сын написал предложный, учительница исправила на дательный И в работе над ошибками тоже написали дательный. Автор:Tanianka [ 12 окт 2017, 16:05 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie, Учительница не права. Вопрос задаем : в чём? в лесу - П.п. Добавлено спустя 2 минуты 11 секунд: Откуда она дательный взяла Автор:Katie [ 12 окт 2017, 16:13 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Tanianka, По окончанию? Кому? Чему? - лесу Добавлено спустя 54 секунды: Сын не понимает , почему не предложный падеж и я не могу объяснить Автор:Анитра [ 12 окт 2017, 16:17 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 12 окт 2017, 16:14: Сын не понимает , почему не предложный падеж Так правильно не понимает Потому что это предложный падеж и есть. Для объяснения возможно вам эта статья поможет ... 0%B5%D0%B6 Автор:Tanianka [ 12 окт 2017, 16:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) По смыслу вообще никаким боком дательный надежд не подходит Тишь и прохлада (в чём?) в лесу. Тишь и прохлада (в чему?) в лесу - это так учитель что ли рассуждает? Автор:Lukolle [ 13 окт 2017, 11:56 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Вот жесть-то Если бы было - "Лесу был причинен ущерб", тогда да - был бы дательный. Автор:Casablanca75 [ 13 окт 2017, 13:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 12 окт 2017, 16:01: tigra писал(а) 12 окт 2017, 15:50: Именительный, именительный, предложный. Ой простите, надо было определить у словосочетания "в лесу" Сын написал предложный, учительница исправила на дательный И в работе над ошибками тоже написали дательный. вот полный капец!!! я думала, что только у нас учителя русского языка безграмотные :) Автор:Vikusha [ 17 окт 2017, 19:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 12 окт 2017, 16:01: Сын написал предложный, учительница исправила на дательный вот это позорище для учителя Автор:Katie [ 17 окт 2017, 20:25 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я вот до сих пор не решилась сходить к учительнице, или ребенка отправить, чтобы она ему разъяснила в чем ошибка боюсь потом предвзятого отношения к ребенку. Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд: Думаю сходить к учительнице из начальной школы, ей показать. Автор:AnRe [ 17 окт 2017, 21:28 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 17 окт 2017, 20:26: Думаю сходить к учительнице из начальной школы, ей показать. Katie, зачем? Вас же и обвинят, что учителя в глазах коллег дискредитировать пытаетесь. Идите сами к учительнице, поговорите, объяснитесь, посмотрите на её реакцию. Если начнёт истерить, намекните, что ребёнка своего в обиду не дадите... Дальше уже можно будет и к директору с учительскими перлами. А вдруг учитель вполне адекватная, ну, подумаешь, глаз замылился... С кем не бывает. Только на ребёнка эту миссию не перекладывайте, учителя не любят, когда дети указывают им на ошибки. Автор:Katie [ 17 окт 2017, 22:01 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) AnRe, Спасибо Автор:Casablanca75 [ 18 окт 2017, 11:42 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 17 окт 2017, 20:26: Я вот до сих пор не решилась сходить к учительнице, или ребенка отправить, чтобы она ему разъяснила в чем ошибка боюсь потом предвзятого отношения к ребенку. Добавлено спустя 1 минуту 16 секунд: Думаю сходить к учительнице из начальной школы, ей показать. У нас были преценденты по поводу того, что учитель правильно выполненные задания исправляла (начальная школа, задания повышенной трудности). Я пару раз к ней сходила, объяснила, что к чему, теперь она меня боится. Но у меня профильное образование, я знаю, чем апеллировать. Теперь у нее "особые" требования к моей дочери. Вижу, что придирается к каждой мелочи, прям выискивает недостатки, снижает текущие оценки, но в общем четвертные оценки в норме. Автор:Хома [ 18 окт 2017, 11:51 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Casablanca75 писал(а) 18 окт 2017, 11:42: У нас были преценденты по поводу того, что учитель правильно выполненные задания исправляла (начальная школа, задания повышенной трудности). Я пару раз к ней сходила, объяснила, что к чему, теперь она меня боится. можно ведь прийти не с претензией - "почему вы....!!!", а с вопросом - "а объясните почему....мы думали по-другому.... не могу сыну объяснить почему так...". Если учитель адекватная, должна нормально воспринять. Автор:Валёна [ 18 окт 2017, 16:27 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) В лесу - предложный падеж. В чем? в лесу. У дательного падежа всего два предлога - к, по. Нашим детям об этом говорили в начальной школе. Автор:Юла [ 24 окт 2017, 17:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) девочки,помогите решить В парке за три дня посадили 210 деревьев.Сколько деревьев было высажено в каждый из этих дней,если в первый день деревьев посадили в два раза меньше ,чем во второй,а в третий-на 10 деревьев больше,чем в первый? Автор:Ольха [ 24 окт 2017, 17:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Юла, все просто. х-посадили деревьев в первый день 2х-посадили деревьев во второй день х+10-посадили деревьев в третий день х+2х+х+10=210 4х=200 х=50 деревьев посадили в первый день 250=100 деревьев посадили во второй день 50+10=60 деревьев посадили в третий день Автор:Юла [ 24 окт 2017, 18:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) для меня не просто это уравнение какое то? дети не проходили такое,как объяснить ребёнку?4 класс у нас Автор:Katie [ 24 окт 2017, 18:19 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) 210 -10= 200 200:4=50 50×2=100 50+10=60 Если схему сделаете все понятно станет. Если от 210 отнимаем 10, остается 4 равные части Автор:Юла [ 24 окт 2017, 18:21 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) спасибо,а как схему сделать? Автор:Katie [ 24 окт 2017, 18:49 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Первый отрезок - 1 день Второй отрезок - 2 день (В 2 раза больше, чем 1) Третий отрезок - 3 день (чуть больше первого) Пунктирная линия от конца первого отрезка, через второй и третий, чтобы было видно, на сколько они отличаются друг от друга. Фигурная скобка на 3 отрезка Автор:HOPE [ 25 окт 2017, 12:18 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Помогите объяснить, знаю как написать , а объяснить не могу сеЕть или сеЯть ( от слова посадить ) Автор:Хома [ 25 окт 2017, 12:36 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) HOPE писал(а) 25 окт 2017, 12:18: сеЕть или сеЯть После гласных перед −ть пишутся буквы и или я. Буква И пишется после гласного о, напр.: стоить, строить, успокоить; буква Я — после гласных а, е, у, напр.: лаять, таять, сеять. Исключения: глаголы драить и клеить, где после гласных а и е не пишется буква я, а пишется и. Автор:HOPE [ 25 окт 2017, 12:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Хома, спасибо Автор:HOPE [ 25 окт 2017, 16:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Хома, А если слово стоЯть, то слова встал, то как здесь Автор:Katie [ 25 окт 2017, 16:40 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) HOPE, Тут я под ударением Автор:HOPE [ 25 окт 2017, 16:52 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie, точно, я уже сама запуталась, ребенок болеет и я пытаюсь ему объяснять,а в учебниках нет правил Автор:HOPE [ 28 ноя 2017, 16:15 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Я опять за помощью,запЕрать(закрыть) как проверить, Автор:ma-sha [ 28 ноя 2017, 16:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) HOPE писал(а) 28 ноя 2017, 16:15: Я опять за помощью,запЕрать(закрыть) как проверить, Это правило на правописание гласных -и- и -е- в корнях -бир-/-бер-, -дир-/-дер-, -мир-/-мер-, -тир-/-тер-, -пир-/-пер-, -жиг-/-жег-, -стил-/-стел-, -блист-/-блест-, -чит-/-чет-. В корнях пишется гласная -и-, если за корнем следует суффикс -а-. В остальных случаях пишется гласная -е-. Автор:HOPE [ 28 ноя 2017, 16:30 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Это правило не проходили,я так и обьяснила,а сын говорит не знают они такое правило,вот думаю ,может какое другое правило,ведь наверное не могу задавать на непройденные правила Автор:Дайкири [ 11 дек 2017, 16:02 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) я к вам с гуманитаркой то ли мозг усох, то ли я вообще не гуманитарий Попробуйте придумать то, что не описал нам автор: о чем говорил Никоша с Капнистом. Суть такая, что маленький Гоголь все время писал, а показал это только своему 60-летнему другу семьи, тоже писателю. Наедине. Тот похвалил и сказал, что его ждет большое литературное будущее. Что он мог такое написать - надо придумать. Во всем интернете нашла только 1 ссылку, понятно, что так писать нельзя - полный плагиат. Но хоть дайте направление ... -капнистом Добавлено спустя 28 секунд: уже больше часа сижу и ни слова не могу написать... Автор:Casablanca75 [ 11 дек 2017, 16:38 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) сижу, туплю над гениальным заданием... вот текст: Иногда говорят: «Уж он покажет, где раки зимуют». Где же зимуют раки? С наступлением холодов большинство живых существ, населяющих водоемы, прячутся на дно. Прячутся и раки. В твердых берегах озера или реки осенью самки речных раков роют норки. В них сидят они всю холодную пору года. Раки-самцы собираются в большом количестве в глубоких ямах на дне водоемов. Недоступность мест зимовки раков послужила причиной возникновения поговорки. а вот задания к тексту: 1) Найдите синонимы и выпишите их. 2) Найдите и выпишите слово в переносном значении и дайте его толкование. 3) Выпишите предложение, в котором нет подлежащего. мне вот интересно, предложение, где нет подлежащего, это какое??? просто слова автора? или полностью предложение с прямой речью? считаю, что задание некорректное. синонимов найти не могу, кроме водоём - река, озеро. мне они как-то синонимами не видятся. и слова в переносном значении не вижу... кто-то компетентен в этом? Автор:Aspidistra [ 11 дек 2017, 17:34 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Не вижу предложение без подлежащего Это не обязательно слова автора или прямая речь, просто предложение, где отсутствует подлежащего, например: "Стемнело" - это самый простой пример Добавлено спустя 1 минуту 30 секунд: Возможно, первое предложение: "Иногда говорят..." - здесь нет подлежащего (кто говорит) Добавлено спустя 6 минут 33 секунды: Слово в переносном значении, вероятно, "покажет", здесь оно в значении припугнуть, почитайте Викисловарь про "показать" Добавлено спустя 44 секунды: Синонимы правильно вы определили, водоём-река, водоём-озеро Добавлено спустя 13 минут 49 секунд: Ещё, возможно, синонимы норки-ямы Автор:DeLis [ 11 дек 2017, 20:35 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Aspidistra писал(а) 11 дек 2017, 17:56: Синонимы правильно вы определили, водоём-река, водоём-озеро На мой взгляд- в корне неверно. Посмотрела в Википедии - синоним - близко по значению. То есть - есть какой то образ, что вызывает слово - водоем - но тот же образ можно передать другим словом. с "водоемом" конечно сложности - ведь не "водохранилище" или "резервуар" - тут не самый наглядный пример. Но никак не синонимы - ни водоем ни озеро ни река - это совершенно разные объекты, в восприятии, когда произносишь слово - водоем - одна картинка, слово- река - другая картинка, слово озеро - третья картинка. Задание дебильное В "Книга о хорошей речи" И.Б. Голуб, Д.Э Розенталь написано "Синонимами ( греч- одноименный) называются слова, имеющие одинаковое значение и часто различающиеся дополнительными смысловыми оттенками или стилистической окраской. Цитата: Совершенно однозначных слов в русском языке немного: лингвистика — языкознание, тут — здесь, в течение — в продолжение и т. п. Более распространены синонимы, имеющие различные семантические, стилистические и семантико-стилистические оттенки. Например, сравним значения и стилистическую окраску синонимов в таких отрывках из художественных произведений: И я пойду, пойду опять, пойду бродить в густых лесах, степной дорогою блуждать (Я. Полонский); А я пойду шататься, — я ни за что теперь не засну (М. Лермонтов); И страна березового ситца не заманит шляться босиком! (С. Есенин). Все эти синонимы имеют общее значение «ходить без определенной цели», но они отличаются семантическими оттенками: слово блуждать имеет дополнительное значение «плутать, терять дорогу», в слове шататься есть оттенок «ходить без всякого дела», глагол шляться подчеркивает неповиновение, непослушание. Кроме того, приведенные синонимы отличаются и стилистической окраской: бродить — стилистически нейтральное слово, блуждать имеет более книжную окраску, шататься и шляться — просторечные, причем последнее — грубое. Добавлено спустя 2 минуты: Норки - ямы - на мой взгляд никак не синонимы - норка - это норка, а яма - это яма. Два разных по значению слова. Кстати, сам оборот "Уж он покажет, где раки зимуют" - кто он? Каким то искусственным кажется - ни разу не слышала. Автор:Aspidistra [ 11 дек 2017, 20:41 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Река и озеро это, конечно, не синонимы, но ведь озеро это водоём, река это тоже водоём Автор:anna-blonde [ 11 дек 2017, 20:57 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Синоним яма-дно, река это не водоем. Переносное значение, твердые берега-замершие Без подлежащего предложение- С наступлением холодов и т.д. Автор:фрюта [ 11 дек 2017, 22:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) переносное значение "прячутся" Автор:Топаз [ 11 дек 2017, 23:07 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) anna-blonde писал(а) 11 дек 2017, 20:57: твердые берега-замершие С чего вы взяли что они замёрзшие? Осенью в твёрдых берегах, имеется ввиду берега например земляные, в которых можно вырыть норку, а не сыпучие песчанные в которых не выроешь, мне так кажется. Яма и дно тоже мне кажется не синонимы, это 2 слова с абсолютно разным значением. При том у любой ямы есть дно)) Автор:Katie [ 11 дек 2017, 23:12 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Переносное значение "сидят". Автор:ОптимисткаЮлька [ 11 дек 2017, 23:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Переносное значение: булочки сидят в духовке, мысль сидит в голове, гвоздь сидит в стене. Засиделась в девках. Костюм сидит по фигуре. Автор:Aspidistra [ 12 дек 2017, 00:03 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Casablanca75 писал(а) 11 дек 2017, 16:38: послужила причиной возникновения поговорки. Слово "послужила" в переносном значении! Добавлено спустя 1 минуту 41 секунду: Семантические свойства Править Значение Править совершить действие, выраженное гл. служить; провести некоторое время, совершая такое действие ◆ Представители этого старинного рода дослуживались до хороших чинов и уже под старость приезжали на родину, чтобы послужить господам дворянам. М. Е. Салтыков-Щедрин, «Мелочи жизни», 1886–1887 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ ― Ну, трогай, саврасушка! трогай! // Натягивай крепче гужи! // Служил ты хозяину много, // В последний разок послужи!… Н. А. Некрасов, «Мороз, Красный нос», 1862–1863 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) перен. стать, оказаться, явиться чем-либо; выполнить роль, функцию чего-либо ◆ Я имел неосторожность полюбить здесь, это послужит для меня уроком! А. П. Чехов, «Леший», 1888 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) ◆ Письмо содержало в себе много правды и послужило материалом для борьбы Зарина, окончившейся смещением Панчулидзева с губернаторства. Н. С. Лесков, «Загон», 1893 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы) Добавлено спустя 6 минут 24 секунды: И опять же))) исходя из контекста данного текста, здесь водоём и река синонимы. Вот мы читаем, как самки зимуют в реках и озёрах и сразу же ниже про самцов, которые, очевидно, зимуют там же, в реках и озёрах, но уже автор использует слово "водоём", чтобы избежать повтора Автор:Katie [ 12 дек 2017, 08:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Т.е. раки сидеть могут? Это прямое значение? Автор:Aspidistra [ 12 дек 2017, 09:24 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Katie писал(а) 12 дек 2017, 08:54: Т.е. раки сидеть могут? Это прямое значение? Да, это одно из прямых значений о птице или насекомом находиться в неподвижности на каком-либо предмете, на какой-либо опоре ◆ Попугай сидел на пальце хозяина и ласково щипал крепким клювом волоски его руки, потом спокойно перелез на кольцо и сделал пару кульбитов. Добавлено спустя 2 минуты: Хотя, не уверена Автор:Casablanca75 [ 12 дек 2017, 11:48 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девушки, огромное спасибо за мнения! Я думала, что я уже совсем из ума выжила. Задание и впрямь дебильное. Авторы учебника, вероятно, с логикой не дружат. Наверное, они действительно имеют в виду, что озеро-водоем-река - это синонимы. На мой извращенный взгляд - водоем - это слово, имеющее обобщающее значение для резервуаров со стоячей водой (место, вмещающее в себя воду) - озеро, водохранилище, болото и пр. Река - это движущаяся вода... Как-то нет у меня ассоциации, что река - это водоем Для меня синонимы - это равнозначные слова, имеющие оттенки смысла, но не слова, которые относятся к разным классам понятий, как водоем (более общее значение, обозначает группу понятий) - озеро (конкретное значение, входящее в состав группы понятий). Норки - ямы, мне кажется, совсем не синонимы. Про предложение без подлежащего. Задание: "Выпишите предложение, в котором нет подлежащего". Иногда говорят: «Уж он покажет, где раки зимуют». Это предложение сложное. Понятно, что в части "Иногда говорят" нет подлежащего. Но в части "Уж он покажет, где раки зимуют" подлежащее имеется. Если выписать предложение полностью, то в нем ЕСТЬ подлежащее Если выписать только слова автора, то это НЕ предложение, это часть предложения. ХЗ, как правильно ответить. На мой взгляд, надо было корректнее формулировать задание. типа "выпишите предложение, где есть грамматическая основа с отсутствующим подлежащим". Как-то так... Кстати, в предложении "С наступлением холодов.... и т.д." Пожлежащее "большинство" сказуемое "прячутся". За "послужила" - особая благодарность! UPD Погуглила... Я была права насчет рек, озер и водоемов: Реки -- это постоянные водные потоки значительных размеров, текущие в естественных руслах и питающиеся за счёт поверхностного и подземного стока с их бассейнов…. Водоём -- это постоянное или временное скопление или хранение бессточных или с замедленным стоком вод в естественных или искусственных впадинах (озёра, бассейны, водохранилища, пруды, копани)…. Автор:Aspidistra [ 12 дек 2017, 16:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Casablanca75 писал(а) 12 дек 2017, 11:48: Иногда говорят: «Уж он покажет, где раки зимуют». Я думала про это предложение)) Я не очень помню, как определяются члены в предложениях с прямой речью, надо почитать, но здесь точно предложение без подлежащего, помяните моё слово Сейчас попробую что-ли будь найти на этот счет Добавлено спустя 19 минут 47 секунд: Я бы сказала, что это односоставное предложение, осложненное прямой речью Автор:Casablanca75 [ 12 дек 2017, 17:29 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Aspidistra писал(а) 12 дек 2017, 16:49: Casablanca75 писал(а) 12 дек 2017, 11:48: Иногда говорят: «Уж он покажет, где раки зимуют». Я думала про это предложение)) Я не очень помню, как определяются члены в предложениях с прямой речью, надо почитать, но здесь точно предложение без подлежащего, помяните моё слово Сейчас попробую что-ли будь найти на этот счет Добавлено спустя 19 минут 47 секунд: Я бы сказала, что это односоставное предложение, осложненное прямой речью полазила по справочникам: Предложение с прямой речью – это особая синтаксическая конструкция, состоящая из двух частей – из слов автора и прямой речи. В отдельных случаях прямая речь в составе предложения с прямой речью может представлять целый текст, состоящий из нескольких предложений. Я не понимаю, зачем такие мудрёные задания для 5го класса??? Автор:Alexia555 [ 16 дек 2017, 00:54 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) У нас тоже возникают такие трудности с домашней работой, что у меня иногда возникает такое ощущение, что я вообще в школе не училась . Но для себя нашла, такой слегка не честный, но действенный метод, подсматриваю в ГДЗ ребенок не видит, конечно). Ему я об этом не говорю. Но не хочется выглядеть неучем перед ребенком. Автор:outlaw [ 19 дек 2017, 11:16 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alexia555, у моей 5 клашки в классе все таки недоучки-родители. Сама сидела на родительском собрании глазами хлопала от требований, но класс получил тел учителя по русскому для индивидуальных разъяснений Автор:Katie [ 19 дек 2017, 12:04 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Alexia555 писал(а) 16 дек 2017, 00:54: У нас тоже возникают такие трудности с домашней работой, что у меня иногда возникает такое ощущение, что я вообще в школе не училась . Но для себя нашла, такой слегка не честный, но действенный метод, подсматриваю в ГДЗ ребенок не видит, конечно). Ему я об этом не говорю. Но не хочется выглядеть неучем перед ребенком. Пару раз математику смотрела. Там ошибки были. Автор:HOPE [ 05 фев 2019, 16:20 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Девочки,помогите решить,сама могу только через х,а в школе так не ришают. Два поезда едут навстречу друг другу,первый проходит все расстояние за 24 мин,второй за 36. Чере сколько минут они встретятся Автор:Egso [ 05 фев 2019, 16:39 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) HOPE писал(а) 05 фев 2019, 16:20: Девочки,помогите решить,сама могу только через х,а в школе так не ришают. Два поезда едут навстречу друг другу,первый проходит все расстояние за 24 мин,второй за 36. Чере сколько минут они встретятся Формула скорости Скорость=Расстояние/Время Расстояние нам не известно. Возьмем его =1 первый поезд идет со скоростью 1/24, второй со скоростью 1/36. Находим общее расстояние 1/24+1/36=5/72 Затем расстояние делим на скорость сближения 1: 5/72=14,4 минуты. Т.е. через 14,4 минуты они встретятся. Как-то так я бы решила Автор:HOPE [ 05 фев 2019, 16:50 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Они не проходили,такое решение,когда,пусть что то будет х или 1,вот в этом и затык Автор:иденя [ 20 мар 2019, 23:44 ] Заголовок сообщения:Re: Помогаем нашим деткам решать домашние задания!)) Здравствуйте. Помогите составить отношения кругами Эйлера следующих понятий: компиляция, плагиат, авторское исследование, эклектика. Страница 1 из 1Часовой пояс: UTC + 10 часов Администрация сайта не несет ответственности за содержание рекламных материалов и информации, которую размещают пользователи. Ответственность за достоверность информации, адресов и номеров телефонов, содержащихся в рекламных объявлениях, несут рекламодатели.
9704	https://math.answers.com/other-math/Set_of_all_positive_integers_less_than_6	Set of all positive integers less than 6? - Answers Create 0 Log in Subjects>Math>Other Math Set of all positive integers less than 6? Anonymous ∙ 12 y ago Updated: 9/2/2024 1, 2, 3, 4 and 5 0 should also be included.. Wiki User ∙ 12 y ago Copy Show More Answers (3)Add Your Answer What else can I help you with? Search Continue Learning about Other Math ### How many elements are there in the set of positive integers less than 8? 7 of them. ### Which set best represents the positive integers? The set of positive integers, of course! ### Are all integers positive? The set of integers includes negative integers as well as positive integers. It also includes the number zero which is neither negative nor positive. ### Why is a set of positive integers not a group under the operation of addition? The set of positive integers does not contain the additive inverses of all but the identity. It is, therefore, not a group. ### Is the set of integers greater than ten is finite? No, there are an infinite number of integers. So, there would be an infinite (infinity/2-1) number of positive integers. And, there would be an infinite (infinity-10) number of integers greater than ten. Related Questions Trending Questions What does Tetrahedron minus quadrant equal?How many students actually use Daily planners?How is 3.012 written in word form?What does muwh stand for?What is the comparative word for graceful?What is 111111111 multiplied by 111111111?What is 8 hours and 45 minutes in decimal form?How many cc are 10Mg?The length and the width of Spain?What is the prime factorization of 52 using exponents?Is 6.8 bigger than 6.5?What is 1700 divided by 4?What is less 4 quarts or 1 gallon?What is 20 percent of 115.00?What is the smallest number that has exactly 14 factors?Is breaking an adverb?How many cm3 is 1dm3?What is a 454 bored out 40?What is the area of 47.1 rounded to the nearest tenth?How much weight can a 2 x 12 beam hold span of 10 feet? Resources LeaderboardAll TagsUnanswered Top Categories AlgebraChemistryBiologyWorld HistoryEnglish Language ArtsPsychologyComputer ScienceEconomics Product Community GuidelinesHonor CodeFlashcard MakerStudy GuidesMath SolverFAQ Company About UsContact UsTerms of ServicePrivacy PolicyDisclaimerCookie PolicyIP Issues Copyright ©2025 Answers.com. All Rights Reserved. The material on this site can not be reproduced, distributed, transmitted, cached or otherwise used, except with prior written permission of Answers.
9705	https://math.stackexchange.com/questions/2349730/is-there-a-closed-form-formula-for-the-recursive-sequence-x-n-x-n-1-alp	Is there a closed form formula for the recursive sequence: $x_n = x_{n-1} + \alpha\sqrt{x_{n-1}}$ - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Loading… Tour Start here for a quick overview of the site Help Center Detailed answers to any questions you might have Meta Discuss the workings and policies of this site About Us Learn more about Stack Overflow the company, and our products current community Mathematics helpchat Mathematics Meta your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Home Questions Unanswered AI Assist Labs Tags Chat Users Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Is there a closed form formula for the recursive sequence: x n=x n−1+α x n−1−−−−√x n=x n−1+α x n−1 Ask Question Asked 8 years, 2 months ago Modified8 years, 2 months ago Viewed 560 times This question shows research effort; it is useful and clear 9 Save this question. Show activity on this post. I saw this link for closed form formula for a recursive sequence (How to derive a closed form of a simple recursion?) However, what if my formula is: x n=x n−1+α x n−1−−−−√and x 0=β and α,β>0 x n=x n−1+α x n−1 and x 0=β and α,β>0 Is there a closed form solution to determine the value of x n x n for a given n n? Bonus: If there is a closed form solution, is there an inverse? That is, if one is given a value y y, can one deduce the closest n n such that x n x n is the closest to y y compared to any other possible x n x n value? I couldn't figure out the mathemical formula for either question. Since we're CS engineers, we know that we could create a lookup table for the first 1 million values of n n and that should work for us. (It's arguably a reasonable solution, since we need to compute x n x n for 100 million values of n n (so obviously, n n will be the same thousands of times and so precomputing is not such a bad idea.) But still, it would "cleaner" if there were a closed form analytical solution to the above recursive sequence that we could use/consider. sequences-and-series closed-form recursion Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications asked Jul 7, 2017 at 17:37 Jonathan SylvesterJonathan Sylvester 239 1 1 silver badge 6 6 bronze badges 5 1 Sad to say, it's very unlikely you'll find a closed form for general α α. There are extravagant ways of producing a closed form, but it'll probably be more computationally exhausting than just making a lookup table. This is equivalent to solving Δ y=α y√Δ y=α y and difference equations like this are pretty nasty.user335907 –user335907 2017-07-07 17:52:46 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 17:52 @james.nixon I've solved it for x 0=β=α 2 9 x 0=β=α 2 9. See the end of my answer.Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 18:43:39 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 18:43 This looks like a heavily translated quadratic map, and if so, it is not solvable in general.DanielV –DanielV 2017-07-07 19:02:00 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:02 @SimplyBeautifulArt Well played, good sir! But I still stand by my comment, getting a function x n(α,β)x n(α,β) is surely impossible unless we start using infinite series and infinite integrals, and at that point it would be computationally far worse.user335907 –user335907 2017-07-07 19:16:13 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:16 @james.nixon Indeed... the general case would be quite the challenge. :D If I figure it out I'll let you know Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 19:19:06 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:19 Add a comment\| 4 Answers 4 Sorted by: Reset to default This answer is useful 5 Save this answer. Show activity on this post. The bonus question turns out to be easier to solve than the actual problem. Note the problem can be rewritten as x n+1−x n=α x n−−√x n+1−x n=α x n Consider a variation on this: d y d t=lim h→0 y(t+h)−y(t)h≈y(t+1)−y(t)=α y(t)−−−√d y d t=lim h→0 y(t+h)−y(t)h⏟≈y(t+1)−y(t)=α y(t) This is easily solved using calculus and gives y(t)=(α t 2+y(0)−−−−√)2 y(t)=(α t 2+y(0))2 Thus, the solution to your problem is approximately given by x n≈(α n 2+β−−√)2 x n≈(α n 2+β)2 Note that: y(t+1)−y(t)=α(α t 2+y(0)−−−−√)+α 2 4 y(t+1)−y(t)=α(α t 2+y(0))+α 2 4 α y(t)−−−√=α 2 t 2+α y(0)−−−−√α y(t)=α 2 t 2+α y(0) That is, y(t+1)−y(t)=α y(t)−−−√+α 2 4 y(t+1)−y(t)=α y(t)+α 2 4 So the approximation is pretty decently close. Thus, the inverse z n z n is given by z n≈2 α(n−−√−β−−√)z n≈2 α(n−β) Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 7, 2017 at 21:29 answered Jul 7, 2017 at 18:15 Simply Beautiful ArtSimply Beautiful Art 76.8k 13 13 gold badges 134 134 silver badges 301 301 bronze badges 12 I was just about to comment that it looks like x n=Θ(n 2)x n=Θ(n 2) whenever x 0>0 x 0>0. This is consistent with your approximation. Your approximation is off by exactly β β if x 0=0 x 0=0.Michael –Michael 2017-07-07 18:18:04 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 18:18 @Michael I believe it might be possible to improve this using the Euler-Maclaurin formula, though that will get complicated very quickly. :D And if x 0∈[0,1)x 0∈[0,1)... well, I honestly can't help it that the derivative isn't a perfect approximation of finite differences.Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 18:21:02 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 18:21 Just to be cute, it is possible to solve the difference equation y(t+1)−y(t)=α y√y(t+1)−y(t)=α y. It's an incredibly nasty expression though. y(t)y(t) is holomorphic, at least, in a neighborood of α 0 α 0 where α α 0−−√=α 0=α 2 α α 0=α 0=α 2. Because ⋅√⋅ isn't entire though analytically continuing it is a bit arduous. You might be able to get it on R+R+, haven't checked thoroughly. And the formula takes you to hell and back and is almost useless.user335907 –user335907 2017-07-07 19:33:35 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:33 Actually wait, arithmetic error! I can solve y(t+1)−y(t)=α y√−α 0 y(t+1)−y(t)=α y−α 0. Got ahead of myself, back to the drawing board.user335907 –user335907 2017-07-07 19:42:46 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:42 Lol, okay @james.nixon Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 19:46:44 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:46 \|Show 7 more comments This answer is useful 3 Save this answer. Show activity on this post. Some notes on the asymptotic behavior of the sequence in questions. You are iterating the function f(x)=x+α x−−√f(x)=x+α x. For positive α α, this will obviously produce a growing sequence, and it is not hard to see that it will grow to infinity. If you define g(x)=x 2+α x−−−−−−−√g(x)=x 2+α x, you can verify that f(x 2)=g(x)2 f(x 2)=g(x)2. Defining y n=x n−−√y n=x n, you can see that y n=g(y n−1)y n=g(y n−1). Consider the expansion (valid for large x x) g(x)=x 2+α x−−−−−−−√=x 1+α x−−−−−√=x(1+α 2 x−α 2 8 x 2+o(x−2))g(x)=x 2+α x=x 1+α x=x(1+α 2 x−α 2 8 x 2+o(x−2)) =x+α 2−α 2 8 x+o(x−1)=x+α 2−α 2 8 x+o(x−1) We can thus infer that, for large n n y n≈α n 2 y n≈α n 2 Feeding this back into the asymptotic expansion, we can show further that: y n≈α 4(2 n−log n)y n≈α 4(2 n−log⁡n) Deriving extra terms in this expansion is possible, but not necessarily enlightening. One can then infer that, for large n n, x n≈α 2 16(2 n−log n)2 x n≈α 2 16(2 n−log⁡n)2 This does not really touch on the dependence on β β, which is harder to broach by studying asymptotics. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Jul 7, 2017 at 20:50 πr8πr8 11.1k 4 4 gold badges 17 17 silver badges 41 41 bronze badges 4 Interesting approach. I would have to look and think more closely at your answer to verify the details, but I give +1 since I have a back-of-the-envelope lower bound on x n x n for all n n of roughly the same structure as in your answer (x n≥α 2 4(n−b n)2 x n≥α 2 4(n−b n)2 with α 2 4 b 2 0=x 0 α 2 4 b 0 2=x 0 and with \|b n\|≈log(n)\|b n\|≈log⁡(n)). I use a completely different method (remarkably the l o g(n)l o g(n) that you get pops up in my argument since I sum a 1/k 1/k sequence). I think your log(n)log⁡(n) perhaps inspired my calculation, even though I do not quite follow how you got your log log. hehe.Michael –Michael 2017-07-08 00:22:51 +00:00 Commented Jul 8, 2017 at 0:22 The closed form is not too bad x n=β−α ζ(−1 2,n)+α ζ(−1 2)x n=β−α ζ(−1 2,n)+α ζ(−1 2)Raffaele –Raffaele 2017-07-08 13:30:30 +00:00 Commented Jul 8, 2017 at 13:30 @Michael i obtain the log n log⁡n in the same way, just didnt include the details.πr8 –πr8 2017-07-09 15:45:57 +00:00 Commented Jul 9, 2017 at 15:45 @Raffaele not sure what function you are referring to - is this some partial sum of the zeta function? your solution also has (asymptotically) linear dependence on α α, whereas mine has quadratic dependence - perhaps you could show your working?πr8 –πr8 2017-07-09 15:47:29 +00:00 Commented Jul 9, 2017 at 15:47 Add a comment\| This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. Here is a proof that 0≤x n≤c(n+1)2 0≤x n≤c(n+1)2 for c=max[α 2 4,x 0]c=max[α 2 4,x 0], assuming x 0>0 x 0>0. Proof (induction): Suppose 0≤x n≤c(n+1)2 0≤x n≤c(n+1)2 is true for some nonnegative integer n n (it clearly holds for n=0 n=0). We prove it also holds for n+1 n+1. Clearly x n+1≥0 x n+1≥0. Then, we have x n+1=x n+α x n−−√≤c(n+1)2+α c 1/2(n+1)[since it holds for n]≤(c 1/2(n+1)+α 2)2=(c 1/2 n+c 1/2+α 2)2≤(a)(c 1/2 n+2 c 1/2)2=c(n+2)2 x n+1=x n+α x n≤c(n+1)2+α c 1/2(n+1)[since it holds for n]≤(c 1/2(n+1)+α 2)2=(c 1/2 n+c 1/2+α 2)2≤(a)(c 1/2 n+2 c 1/2)2=c(n+2)2 where (a) holds because c 1/2+α 2≤2 c 1/2 c 1/2+α 2≤2 c 1/2 (since c c was chosen to ensure c≥α 2 4 c≥α 2 4). □◻ EDIT: Here is a bound with a coefficient α 2/4 α 2/4 regardless of x 0 x 0 (along the lines of the discussion in the comments below). Claim: x n≤g(n+b)2 x n≤g(n+b)2 for all n∈{0,1,2,...}n∈{0,1,2,...}, with g=α 2/4 g=α 2/4 and b=2 x 0√α b=2 x 0 α. Proof (induction): Suppose true for some n∈{0,1,2...}n∈{0,1,2...} (it indeed holds true for n=0 n=0). We prove for n+1 n+1. We have: x n+1=x n+α x n−−√≤g(n+b)2+α g 1/2(n+b)=g(n+b)2+2 g(n+b)[since α=2 g 1/2]=g(n+1+b)2−g≤g(n+1+b)2 x n+1=x n+α x n≤g(n+b)2+α g 1/2(n+b)=g(n+b)2+2 g(n+b)[since α=2 g 1/2]=g(n+1+b)2−g≤g(n+1+b)2 □◻ Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 7, 2017 at 21:16 answered Jul 7, 2017 at 18:52 MichaelMichael 26.6k 2 2 gold badges 34 34 silver badges 57 57 bronze badges 5 1 This upper-bound seems to get the correct coefficient of n 2 n 2, namely c=max[α 2 4,α 2 9]=α 2 4 c=max[α 2 4,α 2 9]=α 2 4, in the simplybeautifulart case when x 0=α 2/9 x 0=α 2/9.Michael –Michael 2017-07-07 18:54:05 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 18:54 More precisely, the minimum c c is α 2 4 α 2 4. Asymptotically as n→∞n→∞, then x n=α 2 4 n 2+O(1)x n=α 2 4 n 2+O(1).Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 18:59:40 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 18:59 Er, I meant to say O(n)O(n) in my last comment.Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 19:06:02 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:06 @SimplyBeautifulArt : I suppose the c c dependence on the initial condition in the above argument can be removed by considering the form x n=c(n+b)2 x n=c(n+b)2 (rather than c(n+1)2 c(n+1)2), and then we can just choose b b to ensure the initial condition, so we are free to choose c=α 2/4 c=α 2/4 (rather than c=max[α 2 4,x 0]c=max[α 2 4,x 0]).Michael –Michael 2017-07-07 19:22:09 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:22 That's going to get you extremely close to the last half of my answer.Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 19:25:36 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 19:25 Add a comment\| This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. Aha! So this is an answer to a comment that @SimplyBeautifulArt made. It is possible to solve y(t+1)−y(t)=α y√y(t+1)−y(t)=α y For t∈R+t∈R+, and we can have y(0)=β y(0)=β for any β∈R+β∈R+. I just thought it'd be nice to state such problems are solvable. Sadly it's computationally a nightmare but it is possible. Pay close attention. Start with the equation g(ξ)=ξ+α ξ√g(ξ)=ξ+α ξ The trouble I was having is that this funcion isn't holomorphic in a neighborhood of 0 0, so I was getting divergent answers. But, if we invert it, we do get one. Solving for ξ ξ in g(ξ)=ξ+α ξ√g(ξ)=ξ+α ξ, gives ξ=α 2 2−α α 2+4 g(ξ)−−−−−−−−−√2+g(ξ)ξ=α 2 2−α α 2+4 g(ξ)2+g(ξ) Let f(x)=α 2 2−α α 2+4 x√2+x f(x)=α 2 2−α α 2+4 x 2+x, and f(0)=0 f(0)=0 and f′(0)=0 f′(0)=0. Luckily f f is holomorphic in a neighborhood of 0 0 now so long as α>0 α>0. It also follows that f(g(x))=x f(g(x))=x Because of this our function can be conjugated to x n x n, determining n n is equivalent to determining the order of the zero of f f at zero. Or that f(x)=h−1(h(x)n)f(x)=h−1(h(x)n) for \|x\|<δ\|x\|<δ small and a nice unique h h. Let f∘t(x)=h−1(h(x)n t)f∘t(x)=h−1(h(x)n t) such that f(f∘t(x))=f∘t+1(x)f(f∘t(x))=f∘t+1(x). And, more importantly, g(f∘t(x))=f∘t−1(x)g(f∘t(x))=f∘t−1(x) . Let y(t)=f∘−t(x)y(t)=f∘−t(x) which is defined on R R by analytic continuation for 0<x<δ 0<x<δ, and g(y(t))=y(t+1)g(y(t))=y(t+1) Here comes the magic g(y(t))=y(t)+α y(t)−−−√=y(t+1)g(y(t))=y(t)+α y(t)=y(t+1) and y(t+1)−y(t)=Δ y=α y√y(t+1)−y(t)=Δ y=α y Finding y~y~ such that y~(0)=β y~(0)=β simply involves shifting the value t t. Take care to notice that y y is analytic as well and tends to 0 0 as t→−∞t→−∞ and tends to ∞∞ as t→∞t→∞. That's what I was looking for! Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 10, 2017 at 1:48 answered Jul 7, 2017 at 20:35 user335907 user335907 6 Hm, when you put it that way, its just an Abel equation.Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 20:47:43 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 20:47 Egggggggsactly!user335907 –user335907 2017-07-07 21:05:54 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 21:05 Why the 'egg'? :P Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 21:13:21 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 21:13 The comment was too short otherwise user335907 –user335907 2017-07-07 21:26:21 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 21:26 Lol......Simply Beautiful Art –Simply Beautiful Art 2017-07-07 21:36:55 +00:00 Commented Jul 7, 2017 at 21:36 \|Show 1 more comment You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions sequences-and-series closed-form recursion See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Linked 5How to derive a closed form of a simple recursion? Related 1Convert Recursive to Closed Formula 0Linear recursive sequence in closed-form function 0Recursive Formula to Closed Form 6How to construct a closed form formula for a recursive sequence? 5Finding the closed form of a recursive sequence 5Hitting a target with a die: finding a better closed form of the recursive formula 3Prove that the sequence x n+1=x n−sin(x n)x n+1=x n−sin⁡(x n) converges Hot Network Questions In Dwarf Fortress, why can't I farm any crops? Origin of Australian slang exclamation "struth" meaning greatly surprised в ответе meaning in context Lingering odor presumably from bad chicken Checking model assumptions at cluster level vs global level? Implications of using a stream cipher as KDF Does the curvature engine's wake really last forever? Why do universities push for high impact journal publications? What is a "non-reversible filter"? How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? Is there a way to defend from Spot kick? Program that allocates time to tasks based on priority Is it possible that heinous sins result in a hellish life as a person, NOT always animal birth? Determine which are P-cores/E-cores (Intel CPU) What meal can come next? Sign mismatch in overlap integral matrix elements of contracted GTFs between my code and Gaussian16 results Are there any world leaders who are/were good at chess? Discussing strategy reduces winning chances of everyone! Can peaty/boggy/wet/soggy/marshy ground be solid enough to support several tonnes of foot traffic per minute but NOT support a road? Another way to draw RegionDifference of a cylinder and Cuboid With with auto-generated local variables Bypassing C64's PETSCII to screen code mapping The rule of necessitation seems utterly unreasonable I have a lot of PTO to take, which will make the deadline impossible Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Mathematics Tour Help Chat Contact Feedback Company Stack Overflow Teams Advertising Talent About Press Legal Privacy Policy Terms of Service Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.26.34547 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Accept all cookies Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Cookies Details‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Cookies Details‎ Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Cookies Details‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. Cookies Details‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Necessary cookies only Confirm my choices
9706	https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-the-projection-and-the-component-of-a-vector	Something went wrong. Wait a moment and try again. Vector Components Projection Matrix Vectors (mathematics) Linear Algebra Vector Resolution Mathematical Sciences Math Geometry Vector Projection 5 What is the difference between the projection and the component of a vector? · The concepts of projection and component of a vector are closely related but refer to different ways of expressing how a vector relates to another vector or a particular direction. Here’s a breakdown of each term: Projection of a Vector The projection of a vector a onto another vector b is a vector that represents the shadow or footprint of a in the direction of b. It is calculated using the formula: projba=a⋅bb⋅bb Here, a⋅b is the dot produc The concepts of projection and component of a vector are closely related but refer to different ways of expressing how a vector relates to another vector or a particular direction. Here’s a breakdown of each term: Projection of a Vector The projection of a vector a onto another vector b is a vector that represents the shadow or footprint of a in the direction of b. It is calculated using the formula: projba=a⋅bb⋅bb Here, a⋅b is the dot product of a and b, and b⋅b gives the magnitude squared of vector b. The result is a vector that points in the direction of b and has a length that reflects how much of a lies in that direction. Component of a Vector The component of a vector can refer to two things: Scalar Component: This is the magnitude of the projection of a onto b and is given by the formula: compba=a⋅b\|b\| This scalar value tells you how much of a lies in the direction of b but does not include direction. Vector Component: This is essentially the projection as a vector, which we defined earlier. It provides both magnitude and direction in the context of b. Projection of a onto b is a vector that shows how a aligns with b. Component can refer to either the scalar magnitude of that projection or the projection itself as a vector. In essence, the projection gives you the vector in the direction of b, while the component provides a way to quantify how much of a lies along b both as a scalar and as a vector. Sham Vignesh This is my understanding so far, for two vectors a and b, the formula [a(dot)b]/(mag)b gives you a value that is equal to the magnitude of a vector that represents the projection of a on b but in order to get the actual vector itself you ought to multiply this magnitude with a unit vector in the direction you want which here is given by the unit vector of b and therefore your formula to get the projected vector and not just the magnitude is given by (scalar)[{a(dot)b}/{(mag)b}^2](vector)b. Some people call the magnitude as component. In physics, you sometimes only need the magnitude of a parti This is my understanding so far, for two vectors a and b, the formula [a(dot)b]/(mag)b gives you a value that is equal to the magnitude of a vector that represents the projection of a on b but in order to get the actual vector itself you ought to multiply this magnitude with a unit vector in the direction you want which here is given by the unit vector of b and therefore your formula to get the projected vector and not just the magnitude is given by (scalar)[{a(dot)b}/{(mag)b}^2](vector)b. Some people call the magnitude as component. In physics, you sometimes only need the magnitude of a particular vector in a particular direction for example, to see how much of the force acts in a particular direction then the value obtained from the first formula could be called the component of the force a acting in b direction but to get the projection of force vector a on b you will need to use the second formula. What Vikas Choudhary (विकास चौधरी) said about the distinction between components and projections makes more sense to me as the correct distinction but I’ve seen people in lectures use the word component to represent the magnitude of the projection vector as well. Vikas Choudhary (विकास चौधरी) Introvert, bibliomaniac and librocubicularist. · Author has 315 answers and 454.8K answer views · 6y They are basically the same but there is one major difference and that is ‘refrence’ Component is just a projection on one axis of the refrence frame and projection is just a component of a vector along another vector (that another vector could be an axis of another refrence frame). So you see they are the same except the refrence (axis or vector) Related questions What is the difference between projection and the component of a vector in a product? What is the projection of a vector? What is meant by the projection of a vector? Why is taking a component of a component of a vector not acceptable? What is the projection of vector a on vector b? Ayan Biswas Pursuing MBBS - Medical college and hospital, Kolkata (2023) · Author has 61 answers and 281.3K answer views · 7y Related What is the projection of vector a on vector b? The projection of vector A on vector B is the component of vector A along vector B. Here, we want the projection of vector A (OA) on the vector B (OB) Now, component of OA along OB is OC We have, cos x = OC / OA So, OC = OA cos x Therefore, projection of vector A on vector B = A cos x Where, x is the angle between vector A and vector B The projection of vector A on vector B is the component of vector A along vector B. Here, we want the projection of vector A (OA) on the vector B (OB) Now, component of OA along OB is OC We have, cos x = OC / OA So, OC = OA cos x Therefore, projection of vector A on vector B = A cos x Where, x is the angle between vector A and vector B John Randall Former Research Engineer (1973–2012) · Author has 1K answers and 671.3K answer views · 8y Related What is the difference between the coordinates of a vector and its components? A vector has magnitude and direction and is independent of any coordinate system. It’s possible to attach a coordinate system to a vector and identify components of the vector in that system, but neither the type nor the orientation of the coordinate system with respect to the vector is unique. The choice of the coordinate system does not change the magnitude or the direction of the vector. Scientific textbooks often contain derivations of physical laws in the framework of Cartesian coordinate systems. They also may present equivalent derivations in cylindrical and spherical coordinate systems. A vector has magnitude and direction and is independent of any coordinate system. It’s possible to attach a coordinate system to a vector and identify components of the vector in that system, but neither the type nor the orientation of the coordinate system with respect to the vector is unique. The choice of the coordinate system does not change the magnitude or the direction of the vector. Scientific textbooks often contain derivations of physical laws in the framework of Cartesian coordinate systems. They also may present equivalent derivations in cylindrical and spherical coordinate systems. The implication is that the laws are independent of coordinate systems, which is true, but is usually not stated explicitly. Physical laws may involve vectors. In my 11 years of undergraduate and graduate school, I saw just one professor say explicitly to his class that physcial laws are independent of coordinate systems. He then proceeded to derive the Navier-Stokes equation in vector form, following which he showed how to extract, from the vector form, components in Cartesian, cylindrical, and spherical coordinates. Promoted by The Penny Hoarder Lisa Dawson Finance Writer at The Penny Hoarder · Updated Sep 16 What's some brutally honest advice that everyone should know? Here’s the thing: I wish I had known these money secrets sooner. They’ve helped so many people save hundreds, secure their family’s future, and grow their bank accounts—myself included. And honestly? Putting them to use was way easier than I expected. I bet you can knock out at least three or four of these right now—yes, even from your phone. Don’t wait like I did. Cancel Your Car Insurance You might not even realize it, but your car insurance company is probably overcharging you. In fact, they’re kind of counting on you not noticing. Luckily, this problem is easy to fix. Don’t waste your time Here’s the thing: I wish I had known these money secrets sooner. They’ve helped so many people save hundreds, secure their family’s future, and grow their bank accounts—myself included. And honestly? Putting them to use was way easier than I expected. I bet you can knock out at least three or four of these right now—yes, even from your phone. Don’t wait like I did. Cancel Your Car Insurance You might not even realize it, but your car insurance company is probably overcharging you. In fact, they’re kind of counting on you not noticing. Luckily, this problem is easy to fix. Don’t waste your time browsing insurance sites for a better deal. A company calledInsurify shows you all your options at once — people who do this save up to $996 per year. If you tell them a bit about yourself and your vehicle, they’ll send you personalized quotes so you can compare them and find the best one for you. Tired of overpaying for car insurance? It takes just five minutes to compare your options with Insurify andsee how much you could save on car insurance. Ask This Company to Get a Big Chunk of Your Debt Forgiven A company calledNational Debt Relief could convince your lenders to simply get rid of a big chunk of what you owe. No bankruptcy, no loans — you don’t even need to have good credit. If you owe at least $10,000 in unsecured debt (credit card debt, personal loans, medical bills, etc.), National Debt Relief’s experts will build you a monthly payment plan. As your payments add up, they negotiate with your creditors to reduce the amount you owe. You then pay off the rest in a lump sum. On average, you could become debt-free within 24 to 48 months. It takes less than a minute to sign up and see how much debt you could get rid of. Set Up Direct Deposit — Pocket $300 When you set up direct deposit withSoFi Checking and Savings (Member FDIC), they’ll put up to $300 straight into your account. No… really. Just a nice little bonus for making a smart switch. Why switch? With SoFi, you can earn up to 3.80% APY on savings and 0.50% on checking, plus a 0.20% APY boost for your first 6 months when you set up direct deposit or keep $5K in your account. That’s up to 4.00% APY total. Way better than letting your balance chill at 0.40% APY. There’s no fees. No gotchas.Make the move to SoFi and get paid to upgrade your finances. You Can Become a Real Estate Investor for as Little as $10 Take a look at some of the world’s wealthiest people. What do they have in common? Many invest in large private real estate deals. And here’s the thing: There’s no reason you can’t, too — for as little as $10. An investment called the Fundrise Flagship Fund lets you get started in the world of real estate by giving you access to a low-cost, diversified portfolio of private real estate. The best part? You don’t have to be the landlord. The Flagship Fund does all the heavy lifting. With an initial investment as low as $10, your money will be invested in the Fund, which already owns more than $1 billion worth of real estate around the country, from apartment complexes to the thriving housing rental market to larger last-mile e-commerce logistics centers. Want to invest more? Many investors choose to invest $1,000 or more. This is a Fund that can fit any type of investor’s needs. Once invested, you can track your performance from your phone and watch as properties are acquired, improved, and operated. As properties generate cash flow, you could earn money through quarterly dividend payments. And over time, you could earn money off the potential appreciation of the properties. So if you want to get started in the world of real-estate investing, it takes just a few minutes tosign up and create an account with the Fundrise Flagship Fund. This is a paid advertisement. Carefully consider the investment objectives, risks, charges and expenses of the Fundrise Real Estate Fund before investing. This and other information can be found in the Fund’s prospectus. Read them carefully before investing. Cut Your Phone Bill to $15/Month Want a full year of doomscrolling, streaming, and “you still there?” texts, without the bloated price tag? Right now, Mint Mobile is offering unlimited talk, text, and data for just $15/month when you sign up for a 12-month plan. Not ready for a whole year-long thing? Mint’s 3-month plans (including unlimited) are also just $15/month, so you can test the waters commitment-free. It’s BYOE (bring your own everything), which means you keep your phone, your number, and your dignity. Plus, you’ll get perks like free mobile hotspot, scam call screening, and coverage on the nation’s largest 5G network. Snag Mint Mobile’s $15 unlimited deal before it’s gone. Get Up to $50,000 From This Company Need a little extra cash to pay off credit card debt, remodel your house or to buy a big purchase? We found a company willing to help. Here’s how it works: If your credit score is at least 620, AmONE can help you borrow up to $50,000 (no collateral needed) with fixed rates starting at 6.40% and terms from 6 to 144 months. AmONE won’t make you stand in line or call a bank. And if you’re worried you won’t qualify, it’s free tocheck online. It takes just two minutes, and it could save you thousands of dollars. Totally worth it. Get Paid $225/Month While Watching Movie Previews If we told you that you could get paid while watching videos on your computer, you’d probably laugh. It’s too good to be true, right? But we’re serious. By signing up for a free account with InboxDollars, you could add up to $225 a month to your pocket. They’ll send you short surveys every day, which you can fill out while you watch someone bake brownies or catch up on the latest Kardashian drama. No, InboxDollars won’t replace your full-time job, but it’s something easy you can do while you’re already on the couch tonight, wasting time on your phone. Unlike other sites, InboxDollars pays you in cash — no points or gift cards. It’s already paid its users more than $56 million. Signing up takes about one minute, and you’ll immediately receive a $5 bonus to get you started. Earn $1000/Month by Reviewing Games and Products You Love Okay, real talk—everything is crazy expensive right now, and let’s be honest, we could all use a little extra cash. But who has time for a second job? Here’s the good news. You’re already playing games on your phone to kill time, relax, or just zone out. So why not make some extra cash while you’re at it? WithKashKick, you can actually get paid to play. No weird surveys, no endless ads, just real money for playing games you’d probably be playing anyway. Some people are even making over $1,000 a month just doing this! Oh, and here’s a little pro tip: If you wanna cash out even faster, spending $2 on an in-app purchase to skip levels can help you hit your first $50+ payout way quicker. Once you’ve got $10, you can cash out instantly through PayPal—no waiting around, just straight-up money in your account. Seriously, you’re already playing—might as well make some money while you’re at it.Sign up for KashKick and start earning now! Dean Rubine I've watched hundreds of hours of Leonard Susskind's online physics lectures · Upvoted by R Brannon , PhD Engineering Mechanics & Mathematics, University of Wisconsin - Madison (1992) · Author has 10.6K answers and 23.6M answer views · 3y Related What is the difference between scalar projection and vector projection? Well, the vector projection is a vector and the scalar projection is a scalar. Let’s say we’re projecting vector v onto vector n, and the resulting vector projection is p and the scalar projection is s. Sometimes the scalar projection is called the component of v in the n direction. The relation between s and p is p=s^n=s\|n\| n ^n is the unit normal of n, which is in the same direction as n but has unit length — ^n=n/\|n\|. So s is esse Well, the vector projection is a vector and the scalar projection is a scalar. Let’s say we’re projecting vector v onto vector n, and the resulting vector projection is p and the scalar projection is s. Sometimes the scalar projection is called the component of v in the n direction. The relation between s and p is p=s^n=s\|n\| n ^n is the unit normal of n, which is in the same direction as n but has unit length — ^n=n/\|n\|. So s is essentially the magnitude of our projection p but it gets a minus sign if it’s in the opposite direction as n. We can say \|s\|=\|p\|. The dot product gives us a way to calculate s and p. Recall v⋅n=\|v\| \|n\|cosθ where θ is the angle between v and n. As we’ll see, we don’t have to muck around with angles and cosines; that just helps us remember what we’re after. The scalar projection, the component of v when projected onto vector n, is given as s=compn(v)=\|v\|cosθ compn(v)=v⋅n\|n\| That’s ok, though it does involve a square root for the magnitude. The vector projection avoids the square root, p=projn(v)=compn(v) ^n=v⋅n\|n\|2 n I prefer to write the squared magnitude as the self dot product, projn(v)=v⋅nn⋅n n Both compn(v) and projn(v) are linear in v, which means projn(s1v1+s2v2)=s1projn(v1)+s2projn(v2) for vectors v1,v2 and scalars s1,s2. compn(v) and projn(v) are decidedly not linear in n. Only the direction of n matters; we can scale it by any non-negative number without changing compn(v) or projn(v). Related questions What is the difference between the rotation of a vector and the projection of a vector? What exactly does it mean when we say the component of vector B along vector A? What is the difference between a unit vector and a component vector? What is the projection of a vector along another vector? What's the difference between a vector and a matrix? Awnon Bhowmik I know just a little bit of Linear Algebra · Author has 3.7K answers and 11.2M answer views · 8y Related What is the difference between the coordinates of a vector and its components? A2A Suppose we have the following position vector. Here, where math[/math] are the coordinates. Magnitude of [math]\vec{v}[/math] is given by [math]\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\tag{2}[/math] Suppose that it makes an angle of [math]\theta[/math] with the positive x-axis. This angle, given appropriate information can be calculated by [math]\theta=\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)[/math] The components of the vector is given by [math]x=\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\tag{2}[/math] [math]y=\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta\tag{3}[/math] But these are just [math]a[/math] and [math]b[/math] because [math]a=\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\tag{4}[/math] [math]b=\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta\tag{5}[/math] There is no differen A2A Suppose we have the following position vector. Here, [math]\vec{v}=\tag{1}[/math] where math[/math] are the coordinates. Magnitude of [math]\vec{v}[/math] is given by [math]\|\vec{v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\tag{2}[/math] Suppose that it makes an angle of [math]\theta[/math] with the positive x-axis. This angle, given appropriate information can be calculated by [math]\theta=\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)[/math] The components of the vector is given by [math]x=\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\tag{2}[/math] [math]y=\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta\tag{3}[/math] But these are just [math]a[/math] and [math]b[/math] because [math]a=\sqrt{a^2+b^2}\cos\theta\tag{4}[/math] [math]b=\sqrt{a^2+b^2}\sin\theta\tag{5}[/math] There is no difference between components and coordinates of a position vector. But there will be differences between the position vector and its components, when we are dealing with a polygon of vectors. Promoted by Spokeo Spokeo - People Search \| Dating Safety Tool Dating Safety and Cheater Buster Tool · Apr 16 Is there a way to check if someone has a dating profile? Originally Answered: Is there a way to check if someone has a dating profile? Please be reliable and detailed. · Yes, there is a way. If you're wondering whether someone has a dating profile, it's actually pretty easy to find out. Just type in their name and click here 👉 UNCOVER DATING PROFILE. This tool checks a bunch of dating apps and websites to see if that person has a profile—either now or in the past. You don’t need to be tech-savvy or know anything complicated. It works with just a name, and you can also try using their email or phone number if you have it. It’s private, fast, and really helpful if you’re trying to get some peace of mind or just want to know what’s out there. 🔍 HERE IS HOW IT WORK Yes, there is a way. If you're wondering whether someone has a dating profile, it's actually pretty easy to find out. Just type in their name and click here 👉 UNCOVER DATING PROFILE. This tool checks a bunch of dating apps and websites to see if that person has a profile—either now or in the past. You don’t need to be tech-savvy or know anything complicated. It works with just a name, and you can also try using their email or phone number if you have it. It’s private, fast, and really helpful if you’re trying to get some peace of mind or just want to know what’s out there. 🔍 HERE IS HOW IT WORKS: Start by going to this link 👉 UNCOVER DATING PROFILE Enter the person’s name, email address, or phone number. Name and phone number searches usually give the best and most accurate results The site scans billions of public records in just a few seconds. It also scans over 120 dating and social media websites to see if the person has a profile It will ask you a few quick questions to narrow down the results (like location) Once the search is done, you’ll see blurred preview with: Their full name Dating profiles & social media accounts All known phone numbers Current and past addresses A list of family members Any available court or criminal records And more useful background info ⚠️ KEY CALL OUTS ⚠️ Its not free. You will need to pay to see everything, but its pretty cheap. If nothing shows up, it doesn’t always mean they’re in the clear — some people use fake names or burner emails. So it’s worth digging a little deeper just to be sure. If you’re in a situation where you need to know whether someone is still acting single online, this is one of the most effective and low-stress ways to find out. 👉 Check it out here if you’re ready to start your search. ALSO HERE ARE OTHER HELPFUL TOOLS: Dating Research Tool – Search a large database to learn more about who you’re dating. Who’s Texting Your Partner – Discover who your partner is texting or calling, including their name, age, location, and social profiles. Verify People Tool – Confirm if someone is really who they say they are. Find Social Profiles – Locate someone's social media and dating profiles. People Search Directory – Look up someone's phone number and contact details. Dating Safety Check – Review your date’s background to help keep you safe. Mike Wilkes Former Research Physicist at Air Force Research Laboratory, Albuquerque, NM (1992–2005) · Author has 309 answers and 861.4K answer views · 7y Related What is the projection of vector a=2i-6j+4k onto the direction of vector b=7i-8j-9k? Both Fabrice Allais' and Donald Hartig's answers are correct, but if this is the OP’s first introduction to projections it may be helpful to fill in a few details (at the risk of being overly pedantic). I’ll take that risk here. A simple diagram of the projection [math]\mathbf{p}[/math] of an arbitrary vector [math]\mathbf{a}[/math] onto a second arbitrary vector [math]\mathbf{b}[/math] is often a good visual aid: From trigonometry, we have the relation [math]\|\mathbf{p}\| = \|\mathbf{a}\|\cos{\theta}[/math]. On the other hand, the geometrical definition of the dot (or scalar, or inner) product of two vectors [math]\mathbf{a}[/math] and [math]\mathbf{b}[/math] is [math]\begin{alig[/math] Both Fabrice Allais' and Donald Hartig's answers are correct, but if this is the OP’s first introduction to projections it may be helpful to fill in a few details (at the risk of being overly pedantic). I’ll take that risk here. A simple diagram of the projection [math]\mathbf{p}[/math] of an arbitrary vector [math]\mathbf{a}[/math] onto a second arbitrary vector [math]\mathbf{b}[/math] is often a good visual aid: From trigonometry, we have the relation [math]\|\mathbf{p}\| = \|\mathbf{a}\|\cos{\theta}[/math]. On the other hand, the geometrical definition of the dot (or scalar, or inner) product of two vectors [math]\mathbf{a}[/math] and [math]\mathbf{b}[/math] is [math]\begin{align}\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos{\theta} , \end{align}[/math] where [math]\theta[/math] is the angle between the two vectors. Replacing [math]\|\mathbf{p}\| = \|\mathbf{a}\|\cos{\theta}[/math] in the definition yields [math]\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{p}\|\,\|\mathbf{b}\|[/math], from which it follows that the magnitude (or length) of the projection is [math]\begin{align}\|\mathbf{p}\| = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}\,. \end{align}[/math] Since the projection vector [math]\mathbf{p}[/math] is in the direction of [math]\mathbf{b}[/math], it must be given by [math]\begin{align}\mathbf{p} = \|\mathbf{p}\|\,\,\widehat{\mathbf{b}} = \|\mathbf{p}\|\left(\frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}\right) \,, \end{align}[/math] where [math]\widehat{\mathbf{b}}=\mathbf{b}/\|\mathbf{b}\|[/math] is a unit vector in the direction of [math]\mathbf{b}[/math]. From the last two equations it follows that the projection is [math]\begin{align}\mathbf{p} = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}\left(\frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}\right) = \left(\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|^2}\right)\,\mathbf{b}\,. \end{align}[/math] One easily finds for this particular case that [math]\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = (2\widehat{\mathbf{i}}-6\widehat{\mathbf{j}}+4\widehat{\mathbf{k}})\cdot(7\widehat{\mathbf{i}}-8\widehat{\mathbf{j}}-9\widehat{\mathbf{k}}) = 26[/math], and [math]\|\mathbf{b}\|^2 = 49 + 64 + 81 = 194[/math], so the projection of [math]\mathbf{a}[/math] onto [math]\mathbf{b}[/math] is [math]\begin{align}\mathbf{p} = \frac{26}{194}\,\mathbf{b} &= \frac{13}{97}\,\mathbf{b}\ &= 0.134\,(7\widehat{\mathbf{i}}-8\widehat{\mathbf{j}}-9\widehat{\mathbf{k}})\ &= 0.938\,\widehat{\mathbf{i}}-1.072\,\widehat{\mathbf{j}}-1.206\,\widehat{\mathbf{k}}\,. \end{align}[/math] The last two lines have been included to indicate agreement with Kurt Heckman's answer using some very neat online software that I was not aware of. Gary Russell Former Professor at University of Iowa (1996–2025) · Author has 6K answers and 3.1M answer views · 3y Related How can you make a projection of a vector onto a plane? Other answers are showing you the math. Here is a picture of a projection of a vector onto to a plane: The vector is QP. Q is the point of origin in the space. Vector QP clearly does not “live” in the plane (denoted by the colored surface). However, if you were to take a bright flashlight and hold it above vector QP, it would make a shadow on the plane. This shadow, denoted, QP(proj), is the (orthogonal) projection of vector QP onto the plane. QP(proj) is, in some sense, the part of QP that “lives” in the plane. It is also the best approximation to QP that lies in the plane — in the sense that th Other answers are showing you the math. Here is a picture of a projection of a vector onto to a plane: The vector is QP. Q is the point of origin in the space. Vector QP clearly does not “live” in the plane (denoted by the colored surface). However, if you were to take a bright flashlight and hold it above vector QP, it would make a shadow on the plane. This shadow, denoted, QP(proj), is the (orthogonal) projection of vector QP onto the plane. QP(proj) is, in some sense, the part of QP that “lives” in the plane. It is also the best approximation to QP that lies in the plane — in the sense that the line segment PP(proj) is as short as possible. Orthogonal projections of this sort play a major role in regression analysis and in statistical theory in general. Sponsored by CDW Corporation How can AI help your teams make faster decisions? CDW’s AI solutions offer retrieval-augmented generation (RAG) to expedite info with stronger insights. Sayan Banerjee SME (2012–present) · Author has 1.3K answers and 1.3M answer views · 4y Related How do you project a vector onto a plane? Let the vector be [math]\vec{a}[/math]. Let the plane have [math]\vec{b}[/math] as the normal. Now, let us analyse what [math]\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})[/math] does. If you imagine this vector (stepwise), you will realise that it is parallel to the projection of the vector [math]\vec{a} [/math]onto the plane determined by vector[math] \vec{b}[/math]. What about the magnitude? If the angle between the [math]\vec{a}[/math] and [math]\vec{b}[/math] is [math]\theta[/math], then [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] is [math]\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin \theta[/math] in magnitude. A cross product with the [math]\vec{b}[/math] gives a vector of magnitude [math]\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|^2 \sin \theta[/math]. But we want a vector with magnitude [math]\vec{a}\sin [/math] Let the vector be [math]\vec{a}[/math]. Let the plane have [math]\vec{b}[/math] as the normal. Now, let us analyse what [math]\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})[/math] does. If you imagine this vector (stepwise), you will realise that it is parallel to the projection of the vector [math]\vec{a} [/math]onto the plane determined by vector[math] \vec{b}[/math]. What about the magnitude? If the angle between the [math]\vec{a}[/math] and [math]\vec{b}[/math] is [math]\theta[/math], then [math]\vec{a} \times \vec{b}[/math] is [math]\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin \theta[/math] in magnitude. A cross product with the [math]\vec{b}[/math] gives a vector of magnitude [math]\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|^2 \sin \theta[/math]. But we want a vector with magnitude [math]\vec{a}\sin \theta[/math]. So, the required vector projection is [math]\frac{1}{\|\vec{b}\|^2}\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})[/math] Dean Rubine I've watched hundreds of hours of Leonard Susskind's online physics lectures · Author has 10.6K answers and 23.6M answer views · 4y Related What is the difference between the dot product of 2 vectors and the projection of one vector onto the other? TL;DR: The dot product is proportional to the magnitude of each vector operand (bilinearity) while the scalar projection divides out the magnitude of the vector being projected on, so is independent of the magnitude of that vector, while still linear in the other. The vector projection is a vector, so different from both the dot product and the scalar projection. The geometrical definition of the dot product is [math]a \cdot b = \|a\|\|b\| \cos \theta[/math] where [math]\theta[/math] is the angle between the vectors. The scalar projection of [math]a[/math] onto [math]b,[/math] called the component of [math]a[/math] in the direction of [math]b[/math], is [math]\|a\| \cos \theta[/math]: TL;DR: The dot product is proportional to the magnitude of each vector operand (bilinearity) while the scalar projection divides out the magnitude of the vector being projected on, so is independent of the magnitude of that vector, while still linear in the other. The vector projection is a vector, so different from both the dot product and the scalar projection. The geometrical definition of the dot product is [math]a \cdot b = \|a\|\|b\| \cos \theta[/math] where [math]\theta[/math] is the angle between the vectors. The scalar projection of [math]a[/math] onto [math]b,[/math] called the component of [math]a[/math] in the direction of [math]b[/math], is [math]\|a\| \cos \theta[/math]: [math]\textrm{comp}_b(a) = \dfrac{a \cdot b}{\|b\|}[/math] That’s similar to the dot product, but normalized so that the magnitude of [math]b[/math] is irrelevant, just its direction (including the sign) matters for projections onto it. However when we talk about the projection we usually mean the vector projection. The dot product gives a scalar; from that we can calculate the component of [math]a[/math] when projected onto [math]b,[/math] also a scalar. That scalar scales the unit normal in the [math]b[/math] direction to give us the vector projection of [math]a[/math] onto [math]b[/math]. [math]\textrm{proj}_b(a) = \dfrac{a \cdot b}{\|b\|} \ \dfrac{b}{\|b\|} [/math] [math]\textrm{proj}_b(a) = \dfrac{a \cdot b}{\|b\|^2} \ b[/math] That’s a more fundamental quantity than the scalar projection because the vector elements of the projection are drawn from the same field as those of the operands — no square root is needed. Catherine Celice Former Developmental Math Lecturer at Wayne State University (1996–2008) · 5y Related Why doesn’t it make sense to say projection of w vector onto 0 vector? I’m not so sure I would use the words “doesn’t make sense” so much as I would say “worthless”. Thinking of projections as shadows often helps understand them. In essence a projection of something in n-dimensional space onto a lower dimensional space behaves very much like a shadow. The question then becomes “is that shadow useful?”. Consider the shadow of a horse (3-d object) onto a wall (2-d object). Of course it does depend upon the angle of the horse to the wall, but often the shadow of a horse on a wall looks like an outline of the horse. We can tell what it is from the shadow alone. We may I’m not so sure I would use the words “doesn’t make sense” so much as I would say “worthless”. Thinking of projections as shadows often helps understand them. In essence a projection of something in n-dimensional space onto a lower dimensional space behaves very much like a shadow. The question then becomes “is that shadow useful?”. Consider the shadow of a horse (3-d object) onto a wall (2-d object). Of course it does depend upon the angle of the horse to the wall, but often the shadow of a horse on a wall looks like an outline of the horse. We can tell what it is from the shadow alone. We may be able to glean other information, too, such as if it has a rider, or if it is wearing a saddle, or is it running or walking, etc. Now, the zero vector is just a single point, infinitesimally small. If the shadow of a horse fell on a pinhead and all you could see was the shadow, would you even be able to tell that it was of a horse? No. The shadow would be useless for supplying you with information. Similarly a projection onto the infinitesimally small pinhead that is the zero vector would also be useless. You could learn no information from it. Samir Ghobrial Retired at Private Teacher (1994–present) · Author has 77 answers and 270.2K answer views · 8y Related What is the difference between the coordinates of a vector and its components? The components of a vector coincide with its coordinates if it is a position vector; ie if the vector starts from the origin. For example take the vector 2i + 3j +4k, if this vector starts from the point (0,0,0), then its coordinates are (2,3,4). If that is not clearly stated, then the coordinates could be any point depending on the point from which the vector starts.if the vector starts from the point (a,b,c), the the coordinates of its tip are (a+2, b+3, c+4) If the vector represents quantities other than displacement then there is no relation between the coordinates and the vector. For insta The components of a vector coincide with its coordinates if it is a position vector; ie if the vector starts from the origin. For example take the vector 2i + 3j +4k, if this vector starts from the point (0,0,0), then its coordinates are (2,3,4). If that is not clearly stated, then the coordinates could be any point depending on the point from which the vector starts.if the vector starts from the point (a,b,c), the the coordinates of its tip are (a+2, b+3, c+4) If the vector represents quantities other than displacement then there is no relation between the coordinates and the vector. For instance the electric field intensity E= (2i + 3j +4k) v/m gives the strength of the field in region under consideration regardless of position. Related questions What is the difference between projection and the component of a vector in a product? What is the projection of a vector? What is meant by the projection of a vector? Why is taking a component of a component of a vector not acceptable? What is the projection of vector a on vector b? What is the difference between the rotation of a vector and the projection of a vector? What exactly does it mean when we say the component of vector B along vector A? What is the difference between a unit vector and a component vector? What is the projection of a vector along another vector? What's the difference between a vector and a matrix? What is the difference between a vector and its projection? What is the perpendicular projection of one vector on another vector? What is the difference between the coordinates of a vector and its components? What is projection of vector p on vector q? Is the projection of a vector on another vector a vector? About · Careers · Privacy · Terms · Contact · Languages · Your Ad Choices · Press · © Quora, Inc. 2025
9707	https://law.justia.com/codes/kansas/chapter-58/article-30/section-58-30-103/	Kansas Statutes § 58-30,103 (2024) - Written agency agreements; written transaction brokerage agreements. :: 2024 Kansas Statutes :: U.S. Codes and Statutes :: U.S. Law :: Justia Log InSign Up Find a Lawyer Ask a Lawyer Research the Law Law Schools Laws & Regs Newsletters Marketing Solutions Justia Connect Pro Membership Practice Membership Public Membership Justia Lawyer Directory Platinum Placements Gold Placements Justia Elevate SEO Websites Blogs Justia Amplify PPC Management Google Business Profile Social Media Justia Onward Blog Justia › U.S. Law › U.S. Codes and Statutes › Kansas Statutes › 2024 Kansas Statutes › Chapter 58 - Personal And Real Property › Article 30 - Real Estate Brokers And Salespersons › 58-30,103 Written agency agreements; written transaction brokerage agreements. Go to Previous Versions of this Section 2024 Kansas Stat. (here) 2023 Kansas Stat. 2021 Kansas Stat. View All Versions 2024 Kansas Statutes Chapter 58 - Personal And Real Property Article 30 - Real Estate Brokers And Salespersons 58-30,103 Written agency agreements; written transaction brokerage agreements. Universal Citation: KS Stat § 58-30,103 (2024) Learn more This media-neutral citation is based on the American Association of Law Libraries Universal Citation Guide and is not necessarily the official citation. PreviousNext 58-30,103. Written agency agreements; written transaction brokerage agreements. (a) Except when acting as a transaction broker or solely as a seller, buyer, landlord or tenant, a broker shall act only as a statutory agent in any real estate transaction. A licensee shall not act as a dual agent or in a dual capacity of agent and undisclosed principal in any transaction. (b) A broker may work with a single party in separate transactions pursuant to different relationships, including, but not limited to, selling one property as a seller's agent and working with that seller in buying another property as a buyer's agent if the broker complies with this act in establishing the relationships for each transaction. A broker who has been working with a seller, landlord, buyer or tenant as a transaction broker may act as an agent for the seller, landlord, buyer or tenant if the broker complies with this act in establishing the agency relationship. (c) A broker may be engaged as a transaction broker by oral or written agreement with the seller, landlord, buyer or tenant. A broker shall be considered a transaction broker unless: (1) An agency relationship between the broker and the party to be represented is established pursuant to this section; or (2) a broker works with a buyer or tenant as a subagent of the seller or landlord by accepting an offer of subagency. (d) (1) Except as provided in subsection (d)(2), a broker intending to establish an agency relationship with a seller or landlord shall enter into a written agency agreement with the party to be represented prior to the licensee's engaging in any of the activities enumerated in K.S.A. 58-3035(f), and amendments thereto, as an employee of, or on behalf of, the seller or landlord. (2) If the real estate which is to be offered for sale is owned by any agency of the federal government, a broker may, on behalf of the owner, engage in activities enumerated in K.S.A. 58-3035(f), and amendments thereto, after obtaining verbal authorization from the federal agency for which services are to be performed. (e) To establish an agency relationship with a buyer or tenant, a broker shall enter into a written agency agreement with the party to be represented no later than the signing of an offer to purchase or lease. (f) An agency agreement or written transaction brokerage agreement shall set forth the terms and conditions of the relationship, including a fixed date of expiration, any limitation on the duty of confidentiality and the terms of compensation, and shall refer to the duties and obligations pursuant to K.S.A. 58-30,106, 58-30,107 or 58-30,113, and amendments thereto. The agreement shall be signed by the party to be represented and by the broker or a licensee affiliated with the broker. A copy of the agreement shall be furnished to the customer or client at the time the customer or client signs the agreement. If, at the time the customer or client signs the agreement, the agreement is not signed by the broker or a licensee affiliated with the broker, the broker or a licensee affiliated with the broker shall furnish a copy of the agreement to the customer or client within a reasonable time after the agreement is signed by the broker or a licensee affiliated with the broker. (g) An agency agreement with a seller or landlord shall include any potential: (1) For the seller's agent or landlord's agent to act as a transaction broker; (2) for an affiliated licensee to act as a designated agent for the buyer and the designated agent's supervising broker or branch broker, and an affiliated licensee if applicable, to act as a transaction broker; or (3) for the broker to designate an affiliated licensee to act as the designated agent for the seller on the broker's personal listing pursuant to K.S.A. 58-30,109(b)(2), and amendments thereto. (h) An agency agreement with a buyer or tenant shall include any potential: (1) For the buyer's agent or tenant's agent to act as a transaction broker; or (2) for an affiliated licensee to act as a designated agent for the seller and the designated agent's supervising broker or branch broker, and an affiliated licensee if applicable, to act as a transaction broker. (i) An agency agreement or written transaction brokerage agreement shall not contain an authorization for the broker to sign or initial any document on behalf of the broker's customer or client in a real estate transaction or authorization for the broker to act as attorney-in-fact for the customer or client. (j) An agency agreement or written transaction brokerage agreement with a seller shall not provide that the broker's commission be based on the difference between the gross sales price and the net proceeds to the owner. (k) The broker shall not assign, sell or otherwise transfer a written agency agreement or written transaction brokerage agreement to another broker without the express written consent of all parties to the original agreement. (l) A licensee shall not solicit an agency agreement or written transaction brokerage agreement from a seller or landlord if the licensee knows that the seller or landlord has, with regard to the property, an agency agreement or written transaction brokerage agreement granting an exclusive right to sell or exclusive agency to another broker. (m) A licensee shall not solicit an agency agreement or written transaction brokerage agreement from a buyer or tenant if the licensee knows that the buyer or tenant has a written agency agreement or written transaction brokerage agreement granting an exclusive brokerage relationship to another broker. (n) A licensee shall not induce any party to break any agency agreement or written transaction brokerage agreement. (o) If a licensee knows that a buyer or tenant has an agency agreement or written transaction brokerage agreement granting an exclusive brokerage relationship to another broker, the licensee shall not contact the buyer or tenant and shall not initiate negotiations for the sale, exchange or lease of real estate with the buyer or tenant. The licensee may negotiate the sale, exchange or lease of real estate directly with the buyer or tenant with the informed consent of the buyer or tenant. The informed consent shall be evidenced by a consent agreement signed by the buyer or tenant prior to any such direct negotiation. The consent agreement shall acknowledge the buyer or tenant agency agreement or written transaction brokerage agreement and that the buyer or tenant may be liable for compensation under the terms of the agency agreement or written transaction brokerage agreement. The commission, by rules and regulations, shall adopt a consent agreement to be used by licensees pursuant to this subsection. (p) A licensee shall not contact the seller or landlord or negotiate a sale, exchange or lease of real estate directly with a seller or landlord if the licensee knows that the seller or landlord has an exclusive agency agreement or exclusive right to sell agreement with another broker. A buyer's or tenant's agent or a subagent may present an offer to the seller or landlord if the agent or transaction broker of the seller or landlord is present. History:L. 1995, ch. 252, § 3; Revived, L. 1997, ch. 65, § 26; L. 1997, ch. 65, § 27; L. 2002, ch. 82, § 7; L. 2010, ch. 104, § 13; L. 2015, ch. 21, § 4; July 1. PreviousNext Disclaimer: These codes may not be the most recent version. Kansas may have more current or accurate information. We make no warranties or guarantees about the accuracy, completeness, or adequacy of the information contained on this site or the information linked to on the state site. Please check official sources. This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply. Free Daily Summaries in Your Inbox You're all set! You already receive all suggested Justia Opinion Summary Newsletters. You can explore additional available newsletters here. Sign up for our free summaries and get the latest delivered directly to you. Our Suggestions: Enter Your Email Webinars for All Practical Bystander Intervention in the Law Office 2025 [CLE] Ama K. Karikari Sep 30,1 pm ET / 10 am PT Generative AI: Managing Cybersecurity and Privacy Risks in Your Practice [CLE] Eran Kahana Oct 3,1 pm ET / 10 am PT Networking Connections That Convert: Using LinkedIn to Attract Clients and Build Authority Marc W. Halpert Oct 6,1 pm ET / 10 am PT View All Webinars › Justia Webinars are open to all, lawyers and non-lawyers. Lawyers, please visit individual webinar pages for more information about CLE accreditation. Ask a Lawyer Get Free Answers Have a legal question? Get free answers from experienced lawyers! Ask Question Find a Lawyer Lawyers - Get Listed Now!Get a free directory profile listing Toggle button Get free summaries of new opinions delivered to your inbox! Enter Your Email Sign Up Justia Legal Resources Find a Lawyer Bankruptcy Lawyers Business Lawyers Criminal Lawyers Employment Lawyers Estate Planning Lawyers Family Lawyers Personal Injury Lawyers More... Individuals Bankruptcy Criminal Divorce DUI Estate Planning Family Law Personal Injury More... Business Business Formation Business Operations Employment Intellectual Property International Trade Real Estate Tax Law More... Law Schools Dictionary Admissions Financial Aid Course Outlines Law Journals Blogs Employment More... U.S. Federal Law U.S. Constitution U.S. Code Regulations Supreme Court Circuit Courts District Courts Dockets & Filings More... U.S. State Law State Constitutions State Codes State Case Law California Florida New York Texas More... Other Databases Legal Jobs Legal Blogs Business Forms Product Recalls Patents Trademarks Countries More... Marketing Solutions Justia Connect Membership Justia Lawyer Directory Justia Premium Placements Justia Elevate (SEO, Websites) Justia Amplify (PPC, GBP) Justia Onward Blog Testimonials More... © 2025 JustiaJustia ConnectLegal PortalCompanyHelpTerms of ServicePrivacy PolicyMarketing Solutions
9708	https://www.hec.ca/en/mshc/help-topics/mathematics-notions/Optimization_under_constraints.pdf	Page 1 of 9 OPTIMIZATION UNDER CONSTRAINTS Summary 1. Optimization between limits ................................................................................................... 1 2. Exercise .................................................................................................................................... 4 3. Optimization under constraints with multiple variables ......................................................... 5 Suppose that in a firm’s production plan, it was determined that the level of production that maximizes profits is 100,000 units. Let us also suppose that the firm cannot surpass a production of 75,000 units because of resource constraints, manpower, etc. Finding the optimal level of production must be done while respecting the constraints. The present section will examine this problem. 1. Optimization between limits Theorem Given a continuous function ݂ሺݔሻ, defined at a closed interval ሾܽ, ܾሿ. Given ݔ௠௜௡, the point where ݂ reaches its absolute minimum on ሾܽ, ܾሿ, and ݔ௠௔௫, the point where ݂ reaches its absolute maximum on ሾܽ, ܾሿ. Thus, ݔ௠௜௡ and ݔ௠௔௫ will always be at one of the following points :  stationary point;  critical point;  limit point. Page 2 of 9 The following graph illustrates the theorem. The described function is limited by the interval ሾെ4 , 2ሿ. It has two stationary points (in green) : a local maximum at ݔ ൌ െ1,8 and a local minimum at ݔൌ1,2. Note that the local maximum at ݔ ൌെ1,8 also constitutes the absolute maximum, it being the highest point of the function ݂ on ሾെ4, 2ሿ. However, the absolute minimum of ݂ on ሾെ4, 2ሿ is not found at ݔൌ1,2 but at the left limit point ݔ ൌെ 4. The theorem restricts the possible optima at stationary, critical and limit points. Contrary to problems without constraints, it is not necessary to determine the nature of all stationary and critical points. The study is limited to comparing the value (height) of the function at these points to the value (height) at the function limits, then identifying those that are optimal. Methodology Optimization between two boundaries ሾࢇ , ࢈ሿ  Calculate the first derivative ;  Find all stationary and critical points of ሾܽ, ܾሿ;  Evaluate ݂ሺݔሻ at stationary, critical and limit points ;  Identify the absolute minimum and maximum on ሾܽ, ܾሿ. Example Find the absolute minimum and maximum of the function ݂ሺݔሻൌ ݔଷെ12ݔ ൅ 9 on the interval ሾ0, 3ሿ. Page 3 of 9  Calculate the first derivative; ݂′ሺݔሻൌ 3ݔଶെ12 Find all stationary and critical points on ሾ0, 3ሿ; We find the stationary points where ݂ᇱሺݔሻൌ0 →3ݔଶെ12 ൌ0 3ሺݔଶെ4ሻൌ 0 3ሺݔെ2ሻሺݔ൅2ሻൌ 0 ݔൌሼെ2,2ሽ. Yet since the limits constrain us to the interval ሾ0, 3ሿ, only the stationary point ݔൌ2 is retained. The function has no critical points since the derivative is defined everywhere on ሾ0, 3ሿ.  Evaluate ݂ሺݔሻ at stationary, critical and limit points; Stationary point ൌ 2 : ݂ ሺ2ሻൌ െ 7 Left limit ൌ 0 : ݂ ሺ0ሻ ൌ 9 Right limit ൌ 3 : ݂ ሺ3ሻ ൌ 0  Identify the absolute minimum and maximum on ሾ0, 3ሿ. Absolute maximum ݂ ሺ0ሻ ൌ 9 Absolute minimum ݂ ሺ2ሻൌെ 7 Page 4 of 9 2. Exercise A company produces ݔ racing bikes per year. Demand requires that the company makes at least 500 bikes a year. However, the amount of nits produced annually cannot exceed 1000. a. The unit cost of production is modeled by the function ܥ௨௡௜௧ሺݔሻൌ 200ݔെݔଶ 9 ൅180,000 ݔ . How many bikes must be produced yearly to minimize the unit cost? b. The sales price depends on the quantity sold, ݔ, according to the function ܲ௨௡௜௧ሺݔሻൌ 700 െ 4ݔ 9 How many bikes must be sold every week to maximize the total revenue? c. How many bikes must be sold weekly to maximize the total profit (total revenue total cost)? Page 5 of 9 3. Optimization under constraints with multiple variables The function to optimize may often depend on many factors. For example, the profits made may depend on the cost of resources, the number of employees, the sales price. How does one optimize a function with many variables under constraints? The difficulty resides in the fact that we are confronted with more than one variable. Solving such a problem requires us to use the substitution method, the result being the reduction of the amount of variables. Substitution method  Define the different variables ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, …;  Write the objective in function to the variables ;  Write all the constraints ;  State, using the constraints, all the variables in terms of one in particular (for example ݔଶൌ݂ ଵሺݔଵሻ, ݔଷൌ݂ ଶሺݔଵሻ, … ሻ;  Substitute the expressions in the objective ;  Optimize. Example The company Kola produces and distributes pop. The containers (cans) have a cylindrical form of height h and radius r. In order to reduce costs, Kola wants to minimize the aluminum surface necessary for the construction of the containers. However, they must ensure that a container has a volume of 128 cm3. What are the dimensions of the container that minimize the objective while satisfying the constraint ?  Define the different variables x1 , x2 , x3 ,… ; r : radius of the cylinder (r > 0) h : height of the cylinder (h > 0)  Write the objective in function in function of the unknowns (variables); Objective : minimize the surface of the container ܯ݅݊ ܵሺݎ, ݄ሻൌ 2ߨݎଶ൅2ߨݎ݄ Page 6 of 9  Write all the constraints ; Constraint : volume = 128ߨ ߨݎଶ݄ൌ 128ߨ  State, using the constraints, all the variables in terms of one variable (for example ݔଶൌ݂ ଵሺݔଵሻ, ݔଷൌ݂ ଶሺݔଵሻ, …); From the expression ߨݎଶ݄ൌ 128ߨ, it is easy to isolate the variable ݄: ݄ൌ128ߨ ߨݎଶ⟹݄ൌ128 ݎଶ  Substitute these expressions in the objective ; ܵሺݎ, ݄ሻൌ2ߨݎଶ൅2ߨݎ݄ ܵሺݎሻൌ2ߨݎଶ൅2ߨݎ൬128 ݎଶ൰ ܵሺݎሻൌ 2ߨݎଶ൅256ߨ ݎ  Optimize. To optimize, we use the methods studied in the previous sections: ܵᇱሺݎሻൌ ൬2ߨݎଶ൅256ߨ ݎ ൰ ᇱ ⟹ܵᇱሺݎሻൌ 4ߨݎെ256ߨ ݎଶ A stationary point is obtained when ′ሺݎሻ ൌ 0 : 4ߨݎെ256ߨ ݎଶ ൌ0 4ߨݎൌ256ߨ ݎଶ ݎଷൌ256ߨ 4ߨ ݎଷൌ64 ⟹ݎൌ4 We verify that we to obtain a minimum at that point : ܵᇱᇱሺݎሻൌ ൬4ߨݎെ256ߨ ݎଶ൰ ⟹ܵᇱᇱሺݎሻൌ 4ߨ൅512ߨ ݎଷ Page 7 of 9 For ݎ ൐ 0, the second derivative is always positive. The function ܵ is therefore always convex, implying that the stationary point ݎ ൌ 4 constitutes an absolute minimum. The corresponding value of ݄ is obtained with ݄ൌ128 ݎଶൌ128 4ଶൌ128 16 ൌ8 The surface is minimized when ݎ ൌ 4 and ݄ ൌ 8. The resolution by substitution remains a very efficient method, even in problems with more than two variables. Example With exactly 2700 cm2 of cardboard, we wish to construct a box (width ݔ, depth ݕ, height ݖ) that can contain a volume ܸ. We require the width to be double its depth. We would like to maximize the volume the box can hold. Which values of ݔ, ݕ, ݖ fulfill our objective.  Define the different variables ݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, … ; ݔ : width of box (ݔ ൐ 0) ݕ : depth of box (ݕ ൐ 0) ݖ : height of box (ݖ ൐ 0)  Write the objective in terms of the variables ; Objective : maximize the box volume ܯܽݔ ܸሺݔ, ݕ, ݖሻൌ ݔݕݖ  Write all the constraints ; 1. Material surface available 2700 m2 2ݔݕ൅2ݕݖ൅2ݖݔൌ2700 2. Required dimensions ݔൌ2ݕ Page 8 of 9  State, using the constraints, all the variables in terms of one in particular (for example ݔଶൌ݂ ଵሺݔଵሻ, ݔଷൌ݂ ଶሺݔଵሻ, … ሻ; The variable ݔ is stated in terms of ݕ in the constraint 2 : ݔൌ2ݕ By substituting this expression in constraint 1, we can also state ݖ in terms of : 2ݔݕ൅2ݕݖ൅2ݖݔൌ2700 →2ሺ2ݕሻݕ൅2ݕݖ൅2ݖሺ2ݕሻൌ 2700  4ݕଶ൅ 6ݖݕ ൌ 2700 →ݖൌ2700 െ4ݕଶ 6ݕ Substitute these expressions in the objective function; ܸሺݔ, ݕ, ݖሻൌ ݔݕݖ ܸሺݕሻൌ 2ݕ∙ݕ∙ቆ2700 െ4ݕଶ 6ݕ ቇ ܸሺݕሻൌ 1 3 ݕሺ2700 െ4ݕଶሻ ܸሺݕሻൌ900ݕെ4 3 ݕଷ  Optimize. Let us find the stationary points : ܸᇱሺݕሻൌ൬900ݕെ4 3 ݕଷ൰ ᇱ ൌ900 െ4ݕଶ A stationary point is obtained when ܸ′ሺݕሻ ൌ 0 : 900 െ4ݕଶൌ0 ሺ30 െ2ݕሻሺ30 ൅2ݕሻൌ0 ሺ݂݂݀݅݁݊ݎ݁ܿ݁ ݋݂ ݏݍݑܽݎ݁ݏሻ ⟹ݕൌሼെ15,15ሽ Yet, only the value ݕ ൌ 15 is acceptable since the dimensions must be positive. We must be sure to find a maximum at this point: ܸᇱᇱሺݕሻൌሺ900 െ4ݕଶሻᇱൌെ8ݕ Page 9 of 9 On the domain ݕ ൐ 0, the second derivative is always negative. The function ܸ is therefore always concave, implying that the stationary point ݕ ൌ 15 constitutes an absolute maximum. The corresponding values of ݔ and ݖ are ݔൌ2ݕൌ2ሺ15ሻൌ30 ݖൌ2700 െ4ݕଶ 6ݕ ൌ2700 െ4ሺ15ሻଶ 6ሺ15ሻ ൌ2700 െ900 90 ൌ20 The volume of the box is therefore maximized when the dimensions are ݔൌ30, ݕൌ15, ݖൌ20.
9709	https://www.youtube.com/watch?v=2TDFtCKMoKk	Cavalieri's principle in 3D \| Solid geometry \| High school geometry \| Khan Academy Khan Academy 9080000 subscribers 485 likes Description 46705 views Posted: 22 Jun 2020 Cavalieri's principle tells us that if 2 figures have the same height and the same cross-sectional area at every point along that height, they have the same volume. View more lessons or practice this subject at . Khan Academy is a nonprofit organization with the mission of providing a free, world-class education for anyone, anywhere. We offer quizzes, questions, instructional videos, and articles on a range of academic subjects, including math, biology, chemistry, physics, history, economics, finance, grammar, preschool learning, and more. We provide teachers with tools and data so they can help their students develop the skills, habits, and mindsets for success in school and beyond. Khan Academy has been translated into dozens of languages, and 15 million people around the globe learn on Khan Academy every month. As a 501(c)(3) nonprofit organization, we would love your help! Donate or volunteer today! Donate here: Volunteer here: 30 comments Transcript: so we have two cylinders here and let's say we know that they have the exact same volume and that makes sense because it looks like they have the same area of their base and they have the same height now what i'm going to do is start cutting up this left cylinder here and shifting things around so if i just cut it in two and take that bottom cylinder that bottom half and shift it a bit have i changed its volume well clearly i have not changed its volume i still have the same volume the combined volume of both of these half cylinders i could say are equal to the original cylinder now what if i were to cut it up even more so let me cut it up now into three well once again i still haven't changed my original volume it's still the same volume as the original now just cut it up into thirds and if i shift them around a little bit i'm not changing the volume and i could keep doing that i could cut it up into a bunch of them notice this still has the same original volume i've just cut it up into a bunch of sections a bunch i've cut it horizontally and now i'm just shifting things around but that doesn't change the volume and i can do it a bunch of times this looks like some type of poker chips or gambling chips where i could have my original cylinder and now i've cut it horizontally into a bunch of these i guess you could say chips but clearly it has the same combined volume i can shift it around a bit but it has the same volume and this leads us to an interesting question and it's actually a principle known as cavalieri's principle which is if i have two figures that have the same height and at any point along that height the cross sectional area is the same then the two figures have the same volume now how does what i just say apply to what's going on here well both clearly both of these figures have the same height and then at any point here wherever i did the cuts at this point at the same point on this original cylinder well my cross sectional area is going to be the same because it's going to be the same area as the base in the case of this cylinder and so it meets cavalieri's principle but cavalieri's principle is nothing exotic it comes straight out of common sense i can just do more cuts like this and you can see that i have you could say a more continuous looking skewed cylinder but this will have the same volume as our original cylinder when i shift it around like this it's not changing the volume and that's not just true for cylinders i could do the exact same argument with some form of a prism once again they have the same volume i could shift i could cut the left one in half and shift it around doesn't change its volume i could cut it more and shift those around still doesn't change the volume so cavalieri's principle seems to make a lot of intuitive sense here if i have two figures that have the same height and at any point along that height the cross-sectional area is the same then the figures have the same volume so these figures also have the same volume and i could do it with interesting things like say a pyramid these two pyramids have the same volume and if i were to cut the left pyramid halfway along its height and shift the bottom like this that doesn't change its volume and i can keep doing that with more and more cuts and because at any point here these figures have the same height and at any point on that height the cross sectional area is the same and so they have the same volumes but once again it is intuitive and it goes all the way to the case where you have you could view it as a continuous pyramid right over here that has been skewed so no matter how much you skew it it's going to have the same volume as our original pyramid because they have the same height and the cross sectional area at any point in the height is going to be the same we can actually do this with any figure so these spheres have the same volume i could cut the left one in half halfway along its height and shift it like this clearly i'm not changing the volume and i could make more cuts like that and clearly it has still the same volume and this meets cavalieri's principle because they have the same height and the cross section at any point along that height is going to be the same so even though i can cut that one up and i can shift it it looks like a different type of object a different type of thing but they have the same height and the cross sections at any point are the same area so we have the same volume which is a useful thing to know not just to know the principle but hopefully this video helps you gain some of the intuition for why it makes intuitive sense
9710	https://sergedesmedt.github.io/MathOfNeuralNetworks/DotProduct.html	Learn Dot product Dotproduct of two vectors Two vectors in 2-dimensional space: $$ \begin{aligned} \mathbf{a} &= (a_1, a_2), \text{ in }\mathbb{R}^2\ \mathbf{b} &= (b_1, b_2), \text{ in }\mathbb{R}^2 \end{aligned}$$ The dot-product is the scalar (a real number) resulting of taking the sum of the products of the corresponding components of the two vectors: $$ \begin{aligned} c &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2\ &= {\lvert\lvert{a}\lvert\lvert}\text{ }{\lvert\lvert{b}\lvert\lvert}\text{ }cos(\alpha)\ \end{aligned}$$ A sample: Show sum of products Show cosine rule $${}$$ You can drag the two red dots to change the vectors $a$ and $b$ and see how this affects the result of the dot product The Dotproduct of two vectors is commutative Two vectors in 2-dimensional space: $$ \begin{aligned} \mathbf{a} &= (a_1, a_2), \text{ in }\mathbb{R}^2\ \mathbf{b} &= (b_1, b_2), \text{ in }\mathbb{R}^2 \end{aligned}$$ The dot-product is commutative: $$ \begin{aligned} c &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2\ &= b_1 a_1 + b_2 a_2\ &= \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}\ \end{aligned}$$ A sample: $${}$$ The Dotproduct is distributive Three vectors in 2-dimensional space: $$ \begin{aligned} \mathbf{a} &= (a_1, a_2), \text{ in }\mathbb{R}^2\ \mathbf{b} &= (b_1, b_2), \text{ in }\mathbb{R}^2\ \mathbf{c} &= (c_1, c_2), \text{ in }\mathbb{R}^2 \end{aligned}$$ The dot-product is distributive: $$ \begin{aligned} d &= \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})\ &= a_1 (b_1 + c_1) + a_2 (b_2 + c_2)\ &= a_1 b_1 + a_1 c_1 + a_2 b_2 + a_2 c_2\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_1 c_1 + a_2 c_2\ &= \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}\ \end{aligned}$$ A sample: $${}$$
9711	https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/compound/Phylloquinone	Phylloquinone \| C31H46O2 \| CID 5284607 - PubChem An official website of the United States government Here is how you know The .gov means it’s official. Federal government websites often end in .gov or .mil. Before sharing sensitive information, make sure you’re on a federal government site. The site is secure. The https:// ensures that you are connecting to the official website and that any information you provide is encrypted and transmitted securely. NIH National Library of Medicine NCBI PubChem About Docs Submit Contact Search PubChem compound Summary Phylloquinone PubChem CID 5284607 Structure Primary Hazards Laboratory Chemical Safety Summary (LCSS) Datasheet Molecular Formula C 31 H 46 O 2 Synonyms VITAMIN K1 phytonadione 84-80-0 Phylloquinone Phytomenadione View More... Molecular Weight 450.7 g/mol Computed by PubChem 2.2 (PubChem release 2025.04.14) Dates Create: 2004-09-16 Modify: 2025-09-27 Description Phylloquinone is a member of the class of phylloquinones that consists of 1,4-naphthoquinone having methyl and phytyl groups at positions 2 and 3 respectively. The parent of the class of phylloquinones. It has a role as a cofactor, a plant metabolite and a human metabolite. It is a vitamin K and a member of phylloquinones. ChEBI Vitamin K1, also called phylloquinone or phytonadione, is a fat soluble vitamin. Phylloquinone is a cofactor of the enzyme γ-carboxylase, which modifies and activates precursors to coagulation factors II, VII, IX, and X. It is indicated in the treatment of coagulation disorders due to faulty formation of coagulation factors II, VII, IX, and X caused by deficiency or interference in the activity of vitamin K. Phylloquinone has been synthesized since at least 1939, and was approved by the FDA prior to 1955. DrugBank Phytonadione is a Vitamin K and Warfarin Reversal Agent. The physiologic effect of phytonadione is by means of Increased Prothrombin Activity and Reversed Anticoagulation Activity. FDA Pharm Classes View More... 1 Structures 1.1 2D Structure Structure Search Get Image Download Coordinates Chemical Structure Depiction Full screen Zoom in Zoom out PubChem 1.2 3D Conformer PubChem 2 Names and Identifiers 2.1 Computed Descriptors 2.1.1 IUPAC Name 2-methyl-3-[(E,7 R,11 R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-enyl]naphthalene-1,4-dione Computed by Lexichem TK 2.7.0 (PubChem release 2025.04.14) PubChem 2.1.2 InChI InChI=1S/C31H46O2/c1-22(2)12-9-13-23(3)14-10-15-24(4)16-11-17-25(5)20-21-27-26(6)30(32)28-18-7-8-19-29(28)31(27)33/h7-8,18-20,22-24H,9-17,21H2,1-6H3/b25-20+/t23-,24-/m1/s1 Computed by InChI 1.07.2 (PubChem release 2025.04.14) PubChem 2.1.3 InChIKey MBWXNTAXLNYFJB-NKFFZRIASA-N Computed by InChI 1.07.2 (PubChem release 2025.04.14) PubChem 2.1.4 SMILES CC1=C(C(=O)C2=CC=CC=C2C1=O)C/C=C(\C)/CCCC@HCCCC@HCCCC(C)C Computed by OEChem 2.3.0 (PubChem release 2025.04.14) PubChem 2.2 Molecular Formula C 31 H 46 O 2 Computed by PubChem 2.2 (PubChem release 2025.04.14) Australian Industrial Chemicals Introduction Scheme (AICIS); PubChem 2.3 Other Identifiers 2.3.1 CAS 84-80-0 Australian Industrial Chemicals Introduction Scheme (AICIS); CAS Common Chemistry; ChemIDplus; DrugBank; DTP/NCI; EPA Chemicals under the TSCA; EPA DSSTox; European Chemicals Agency (ECHA); FDA Global Substance Registration System (GSRS); Hazardous Substances Data Bank (HSDB); Human Metabolome Database (HMDB); New Zealand Environmental Protection Authority (EPA) 79083-00-4 CAS Common Chemistry; ChemIDplus; European Chemicals Agency (ECHA); FDA Global Substance Registration System (GSRS) View More... 2.3.2 Deprecated CAS 10485-69-5, 15973-57-6, 50926-17-5 ChemIDplus; EPA Chemicals under the TSCA 10485-69-5, 15973-57-6 EPA DSSTox 2.3.3 European Community (EC) Number 279-052-3 European Chemicals Agency (ECHA) 201-564-2 European Chemicals Agency (ECHA) 234-330-3 European Chemicals Agency (ECHA) 2.3.4 UNII S5Z3U87QHF FDA Global Substance Registration System (GSRS) MLF3D1712D FDA Global Substance Registration System (GSRS) 2.3.5 AIDS Number 568728 NIAID ChemDB 2.3.6 ChEBI ID CHEBI:18067 ChEBI 2.3.7 ChEMBL ID CHEMBL1550 ChEMBL 2.3.8 DrugBank ID DB01022 DrugBank 2.3.9 DSSTox Substance ID DTXSID8023472 EPA DSSTox 2.3.10 HMDB ID HMDB0003555 Human Metabolome Database (HMDB) 2.3.11 Lipid Maps ID (LM_ID) LMPR02030028 LIPID MAPS 2.3.12 Metabolomics Workbench ID 29110 Metabolomics Workbench 38361 Metabolomics Workbench 2.3.13 NCI Thesaurus Code C29365 NCI Thesaurus (NCIt) 2.3.14 Nikkaji Number J3.883K Japan Chemical Substance Dictionary (Nikkaji) 2.3.15 NSC Number 760373 DTP/NCI 2.3.16 PharmGKB ID PA166197681 PharmGKB 2.3.17 RXCUI 8308 NLM RxNorm Terminology 2.3.18 Wikidata Q186093 Wikidata 2.3.19 Wikipedia Phytomenadione Wikipedia 2.4 Synonyms 2.4.1 MeSH Entry Terms Vitamin K 1 Phylloquinone Phytonadione Phytomenadione Vitamin K1 Medical Subject Headings (MeSH) 2.4.2 Depositor-Supplied Synonyms VITAMIN K1 phytonadione 84-80-0 Phylloquinone Phytomenadione Phytylmenadione 3-Phytylmenadione Phyllochinon Mephyton Monodion Synthex P Fitomenadiona Kinadion Kephton 2-Methyl-3-phytyl-1,4-naphthoquinone Mono-Kay Combinal K1 Kativ N alpha-Phylloquinone K-Ject Phyllochinonum Phytomenadionum Phytonadionum trans-Phylloquinone Aqua mephyton Antihemorrhagic vitamin Fitomenadione Vitamin K 1 Vitamin K1(20) Orakay 2',3'-trans-Vitamin K1 2-Methyl-3-phytyl-1,4-naphthochinon Kanavit Neokay DTXSID8023472 CHEBI:18067 Konakion mm Konakion mm paed S5Z3U87QHF NSC-270681 2-methyl-3-[(E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-enyl]naphthalene-1,4-dione 2-Methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-1,4-naphthalenedione 2-methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl]naphthalene-1,4-dione DTXCID003472 2-Methyl-3-[(2E)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl]naphthoquinone NSC270681 vitaminum k1 2-Methyl-3-((2E)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)naphthoquinone Phylloquinone e- 2-methyl-3-((2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl)naphthalene-1,4-dione 2-methyl-3-((E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-enyl)naphthalene-1,4-dione Vitamin K1 Injectable RefChem:6141 VEDA-K1 VETA-K1 VITAMIN K1 PHYTONADIONE VITAMIN K1-PHYTONADIONE PHYTONADIONE PHYTONADIONE VITAMIN K1, PHYTONADIONE B02BA01 A034SE7857 2-Methyl-3-((2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl)-1,4-naphthoquinone Aquamephyton Konakion 79083-00-4 Aqua-Mephytin 11104-38-4 MFCD00214063 Phylloquinone e-form 1,4-Naphthalenedione,2-methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecen-1-yl]- NSC 270681 VitaminK1 1,4-Naphthoquinone, 2-methyl-3-phytyl- 2-Methyl-3-((7R,11R,E)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl)naphthalene-1,4-dione Phythyl-menadion MLF3D1712D Phytonadione, (E)-(+/-)- C31H46O2 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-, (R-(R,R-(E)))- 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)- 2-Methyl-3-phythyl-1,4-naphthochinon CAS-84-80-0 rel-2-Methyl-3-((7R,11R,E)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl)naphthalene-1,4-dione Phytonadione, K1 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-, [R-[R,R-(E)]]- 2-methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl]-1,4-dihydronaphthalene-1,4-dione Phyllochinon [German] Fitomenadione [DCIT] Vitamin K1 (VAN) Phytonadione [USP:JAN] UNII-S5Z3U87QHF Phytomenadione; Phytonadione; Vitamin K1; Phylloquinone Fitomenadiona [INN-Spanish] Phytomenadionum [INN-Latin] a-Phylloquinone HSDB 3162 (E)-phytonadione Vitamin K? NCGC00159423-02 EINECS 201-564-2 EINECS 234-330-3 EINECS 279-052-3 Vitamin K1 (contains up to 20% cis isomer) vitamin K1, 11 Vitamin K1 (generic) Vitamin K1 (Standard) Phytomenadion/Vitamin K1 PHYTONADIONE [JAN] 2-Methyl-3-phytyl-1,4-naphthochinon [German] phylloquinone;2-METHYL-3-PHYTYL-1,4-NAPHTHOQUINONE Phylloquinone;Phytomenadione SCHEMBL3882 Vitamin K1 (Phylloquinone) Vitamin K1, viscous liquid CHEMBL1550 UNII-MLF3D1712D PHYTONADIONE, (E)- PHYLLOQUINONE, (E)- MLS001074732 BIDD:GT0793 PHYTOMENADIONE, (E)- orb1309849 2-Methyl-3-[(2E)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl]naphthoquinone # BDBM24782 HY-N0684R MSK1513 [r-[r,R-(E)]]-2-Methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-1,4-napthalenedione [r-[r,R-(E)]]-2-Methyl-3-(3-7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-1,4-naphthalenedione PHYLLOQUINONE E-FORM [MI] GLXC-21157 HMS2094G09 HMS2270J10 Pharmakon1600-01505485 10485-69-5 HY-N0684 Tox21_111655 BDBM50553259 LMPR02030028 NSC760373 s4698 2-Methyl-3-phytyl-1,4-napthoquinone AKOS015841892 Tox21_111655_1 CCG-213568 CS-6376 DB01022 FV28716 NSC-760373 (R,R-(E))-(1)-2-Methyl-3-(3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-enyl)-1,4-naphthoquinone NCGC00159423-03 Phylloquinone (K1), analytical standard AC-34846 AS-13734 SMR000112043 SBI-0206926.P001 trans-Phytomenadione 100 microg/mL in Ethanol AB00698065_04 214V063 EN300-22411510 F814464 Q186093 SR-05000001941 C31H46O2 (2-methyl-3-phytyl-1,4-naphthoquinone) SR-05000001941-1 BRD-K76661572-001-07-6 BRD-K76661572-001-08-4 Z2568644345 84C51B31-3CE2-476B-BE66-A84BDD46A513 VITAMIN K1; 2-METHYL-3-PHYTYL-1,4-NAPHTHOQUINONE Phytomenadione, European Pharmacopoeia (EP) Reference Standard Phytonadione, United States Pharmacopeia (USP) Reference Standard 2-Methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-1,4-naphthalened- ione Vitamin K1, BioXtra, >=99.0% (sum of isomers, HPLC), mixtur of isomers 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-((2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecen-1-yl)- 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-((2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)- Phytonadione, Pharmaceutical Secondary Standard; Certified Reference Material 1,4-NAPHTHALENEDIONE, 2-METHYL-3-((2E,7R,11R)-3,7,11,15-TETRAMETHYL-2-HEXADECEN-1-YL)-, REL- 2-METHYL-3-((2E,7R,11R)-3,7,11,15-TETRAMETHYL-2-HEXADECENYL)-1,4-NAPHTHALENEDIONE 2-Methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl]-1,4-naphthalenedione;Konakion;Mephyton PubChem 3 Chemical and Physical Properties 3.1 Computed Properties Property Name Property Value Reference Property Name Molecular Weight Property Value 450.7 g/mol Reference Computed by PubChem 2.2 (PubChem release 2025.04.14) Property Name XLogP3-AA Property Value 10.9 Reference Computed by XLogP3 3.0 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Hydrogen Bond Donor Count Property Value 0 Reference Computed by Cactvs 3.4.8.18 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Hydrogen Bond Acceptor Count Property Value 2 Reference Computed by Cactvs 3.4.8.18 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Rotatable Bond Count Property Value 14 Reference Computed by Cactvs 3.4.8.18 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Exact Mass Property Value 450.349780706 Da Reference Computed by PubChem 2.2 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Monoisotopic Mass Property Value 450.349780706 Da Reference Computed by PubChem 2.2 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Topological Polar Surface Area Property Value 34.1 Å² Reference Computed by Cactvs 3.4.8.18 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Heavy Atom Count Property Value 33 Reference Computed by PubChem Property Name Formal Charge Property Value 0 Reference Computed by PubChem Property Name Complexity Property Value 696 Reference Computed by Cactvs 3.4.8.18 (PubChem release 2025.04.14) Property Name Isotope Atom Count Property Value 0 Reference Computed by PubChem Property Name Defined Atom Stereocenter Count Property Value 2 Reference Computed by PubChem Property Name Undefined Atom Stereocenter Count Property Value 0 Reference Computed by PubChem Property Name Defined Bond Stereocenter Count Property Value 1 Reference Computed by PubChem Property Name Undefined Bond Stereocenter Count Property Value 0 Reference Computed by PubChem Property Name Covalently-Bonded Unit Count Property Value 1 Reference Computed by PubChem Property Name Compound Is Canonicalized Property Value Yes Reference Computed by PubChem (release 2025.04.14) PubChem 3.2 Experimental Properties 3.2.1 Physical Description Yellow viscous liquid; [Merck Index] Dark yellow or green viscous liquid; [Sigma-Aldrich MSDS] Haz-Map, Information on Hazardous Chemicals and Occupational Diseases Solid Human Metabolome Database (HMDB) 3.2.2 Color / Form Yellow viscous oil O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1532 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) LIGHT-YELLOW SOLIDS OR OILS Osol, A. and J.E. Hoover, et al. (eds.). Remington's Pharmaceutical Sciences. 15th ed. Easton, Pennsylvania: Mack Publishing Co., 1975., p. 942 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Pale yellow oil or yellow crystals Lewis, R.J. Sax's Dangerous Properties of Industrial Materials. 10th ed. Volumes 1-3 New York, NY: John Wiley & Sons Inc., 1999., p. V2 3690 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Clear, yellow to amber, viscous, odourless liquid IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 422 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.3 Odor Odorless Lewis, R.J., Sr (Ed.). Hawley's Condensed Chemical Dictionary. 13th ed. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1997., p. 880 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.4 Boiling Point 142.5 °C at 1.00E-03 mm Hg PhysProp DrugBank 140-145 °C @ 0.001 mm Hg Lide, DR (ed.). CRC Handbook of Chemistry and Physics. 81st Edition. CRC Press LLC, Boca Raton: FL 2000, p. 3-216 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.5 Melting Point -20 °C PhysProp DrugBank -20 °C Lide, DR (ed.). CRC Handbook of Chemistry and Physics. 81st Edition. CRC Press LLC, Boca Raton: FL 2000, p. 3-216 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) CRYSTALS, MP: 62-63 °C /DIACETYL-DIHYDRO DERIVATIVE/ Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.6 Solubility Insoluble in water FDA Review: Vitamine K1 DrugBank Colorless oil; UV max (95% alcohol): 259, 305 nm (log Em 3.79, 3.31); insol in water /2,3-Epoxide/ O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Insoluble in water; sparingly soluble in methanol; sol in ethanol; sol in acetone, benzene, petroleum ether, hexane, and dioxane; sol in chloroform, and other fat solvents; sol in vegetable oils O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) SOL IN FATS Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 1592 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.7 Density 0.964 @ 25 °C/25 °C O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.8 Stability / Shelf Life STABLE TO AIR & MOISTURE, BUT DECOMP IN SUNLIGHT The Merck Index. 9th ed. Rahway, New Jersey: Merck & Co., Inc., 1976., p. 1291 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) STABLE IN QUINONE FORM Osol, A. and J.E. Hoover, et al. (eds.). Remington's Pharmaceutical Sciences. 15th ed. Easton, Pennsylvania: Mack Publishing Co., 1975., p. 943 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) UNAFFECTED BY DIL ACIDS, DESTROYED BY ALKALI HYDROXIDES & REDUCING AGENTS The Merck Index. 9th ed. Rahway, New Jersey: Merck & Co., Inc., 1976., p. 1291 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Phytonadione is stable to heat and moisture and may be autoclaved. McEvoy, G.K. (ed.). American Hospital Formulary Service- Drug Information 2002. Bethesda, MD: American Society of Health-System Pharmacists, Inc. 2002 (Plus Supplements)., p. 3566 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.9 Decomposition When heated to decomposition it emits acrid smoke and irritating fumes. Lewis, R.J. Sax's Dangerous Properties of Industrial Materials. 9th ed. Volumes 1-3. New York, NY: Van Nostrand Reinhold, 1996., p. 3391 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.10 pH SOLN OF 1 PART VIT K1 & 20 PARTS ALC IS NEUTRAL TO LITMUS Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.11 Refractive Index Index of refraction: 1.5263 @ 20 °C/D; specific optical rotation (dioxane): -0.28 @ 589 nm O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.2.12 Collision Cross Section 207.63 Å² [M+K]+ [CCS Type: TW; Method: calibrated with polyalanine and drug standards] Ross et al. JASMS 2022; 33; 1061-1072. DOI:10.1021/jasms.2c00111 CCSbase 216.1 Å² [M+H]+ [CCS Type: DT; Method: single field calibrated with Agilent tune mix (Agilent)] 211.81 Å² [M-H]- [CCS Type: DT; Method: single field calibrated with Agilent tune mix (Agilent)] 210.94 Å² [M-H]- [CCS Type: DT; Method: single field calibrated with Agilent tune mix (Agilent)] 217.3 Å² [M+H]+ [CCS Type: DT; Method: single field calibrated with Agilent tune mix (Agilent)] CCSbase 220 Å² [M+H]+ [CCS Type: TW; Method: calibrated with polyalanine and drug standards] CCSbase 3.2.13 Kovats Retention Index Standard non-polar 3287 NIST Mass Spectrometry Data Center 3.2.14 Other Experimental Properties Stable to air and moisture, but decomposes in sunlight. Unaffected by dilute acids, but is destroyed by solutions of alkali hydroxides and by reducing agents. O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1332 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Waxy mass; freely soluble in ether; sparing soluble in petroleum ether; insoluble in water /Dihydro form/ O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) MP: 138 °C; sol in water and methanol /Dihydro form sodium diphosphate/ O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 3.3 SpringerMaterials Properties Chemical diffusion Diffusion Diffusive flux SpringerMaterials 3.4 Chemical Classes Biological Agents -> Vitamins and Derivatives Haz-Map, Information on Hazardous Chemicals and Occupational Diseases 3.4.1 Drugs Pharmaceuticals -> Listed in ZINC15 S55 \| ZINC15PHARMA \| Pharmaceuticals from ZINC15 \| DOI:10.5281/zenodo.3247749 NORMAN Suspect List Exchange 3.4.1.1 Human Drugs Breast Feeding; Lactation; Milk, Human; Vitamins; Antifibrinolytic Agents Drugs and Lactation Database (LactMed) Human drug -> Discontinued Drugs@FDA Human drug -> Prescription; Discontinued; Active ingredient (PHYTONADIONE) Drugs@FDA Human drug -> Prescription; Discontinued Drugs@FDA Medicines affecting coagulation WHO Model Lists of Essential Medicines 3.4.2 Cosmetics Skin conditioning S13 \| EUCOSMETICS \| Combined Inventory of Ingredients Employed in Cosmetic Products (2000) and Revised Inventory (2006) \| DOI:10.5281/zenodo.2624118 NORMAN Suspect List Exchange 3.4.3 Lipids Lipids -> Prenol Lipids [PR] -> Quinones and hydroquinones [PR02] -> Vitamin K [PR0203] LIPID MAPS 4 Spectral Information 4.1 Mass Spectrometry 4.1.1 GC-MS 1 of 10 items View All Spectra ID 2301 Instrument Type GC-MS SPLASH splash10-002r-2930000000-2b32596edebbe7e02cf7 Top 5 Peaks 186.0 1 225.0 0.63 187.0 0.55 198.0 0.52 71.0 0.33 Thumbnail Human Metabolome Database (HMDB) 2 of 10 items View All Spectra ID 2304 Instrument Type GC-MS SPLASH splash10-0002-1290000000-fa752c2db990f115c3c6 Top 5 Peaks 297.0 1 298.0 0.28 71.0 0.10 299.0 0.09 225.0 0.08 Thumbnail Human Metabolome Database (HMDB) 4.1.2 LC-MS 1 of 4 items View All Accession ID MSBNK-Antwerp_Univ-METOX_N108521_02B7 Authors da Silva KM, Iturrospe E, van de Lavoir M, Robeyns R, University of Antwerp, Belgium Instrument Agilent 6560 QTOF Instrument Type LC-ESI-QTOF MS Level MS2 Ionization Mode POSITIVE Ionization ESI Collision Energy 20 eV Fragmentation Mode CID Column Name Direct injection Retention Time 0.239 min Precursor m/z 468.3836 Precursor Adduct [M+NH4]+ Top 5 Peaks 368.3527 999 311.2937 558 328.3219 190 102.0921 177 85.0642 151 SPLASH splash10-02t9-0109000000-3561d3255f147692dff1 Thumbnail License CC BY MassBank Europe 2 of 4 items View All Accession ID MSBNK-Antwerp_Univ-METOX_N108523_D7C8 Authors da Silva KM, Iturrospe E, van de Lavoir M, Robeyns R, University of Antwerp, Belgium Instrument Agilent 6560 QTOF Instrument Type LC-ESI-QTOF MS Level MS2 Ionization Mode POSITIVE Ionization ESI Collision Energy 40 eV Fragmentation Mode CID Column Name Direct injection Retention Time 0.209 min Precursor m/z 468.3836 Precursor Adduct [M+NH4]+ Top 5 Peaks 102.0914 999 311.2951 771 85.0646 444 84.0807 283 81.0697 159 SPLASH splash10-0w29-9706000000-600f3a5370ba2b380242 Thumbnail License CC BY MassBank Europe 4.1.3 Other MS 1 of 2 items Accession ID MSBNK-Fac_Eng_Univ_Tokyo-JP006238 Authors MASS SPECTROSCOPY SOC. OF JAPAN (MSSJ) Instrument HITACHI M-80 Instrument Type EI-B MS Level MS Ionization Mode POSITIVE Ionization ENERGY 70 eV Top 5 Peaks 450 999 43 674 225 496 57 376 186 374 SPLASH splash10-0udl-9740400000-e47d11ed7b15a667d611 Thumbnail License CC BY-NC-SA MassBank Europe 2 of 2 items Accession ID MSBNK-Fac_Eng_Univ_Tokyo-JP006239 Authors MASS SPECTROSCOPY SOC. OF JAPAN (MSSJ) Instrument HITACHI M-80 Instrument Type EI-B MS Level MS Ionization Mode POSITIVE Ionization ENERGY 12 eV Top 5 Peaks 450 999 451 345 198 313 225 295 186 203 SPLASH splash10-0udi-2540900000-d08585615fbc2418786a Thumbnail License CC BY-NC-SA MassBank Europe 4.2 UV Spectra UV max absorption (petroleum ether): 242, 248, 260, 269, 325 nm (E= 396, 419, 383, 387, 68, 1%, 1 cm) O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1332 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) UV: 2-826 (Organic Electronic Spectral Data, Phillips et al, John Wiley & Sons, NY) Lide, D.R., G.W.A. Milne (eds.). Handbook of Data on Organic Compounds. Volume I. 3rd ed. CRC Press, Inc. Boca Raton ,FL. 1994., p. V4 3535 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 4.3 IR Spectra IR Spectra IR: 5231 (Coblentz Society Spectral Collection) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 4.3.1 FTIR Spectra Instrument Name Bio-Rad FTS Technique Neat (KBr) Source of Spectrum Forensic Spectral Research Source of Sample Spectrum Chemical Manufacturing Corp. Catalog Number PH195 Lot Number WG0878 Copyright Copyright © 2012-2025 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Thumbnail SpectraBase 4.3.2 ATR-IR Spectra Instrument Name Bio-Rad FTS Technique ATR-Neat (DuraSamplIR II) Source of Spectrum Forensic Spectral Research Source of Sample Supelco, Sigma-Aldrich Inc. Catalog Number 47773 Lot Number LB60604 Copyright Copyright © 2009-2025 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Thumbnail SpectraBase 4.4 Raman Spectra Technique FT-Raman Source of Spectrum Forensic Spectral Research Source of Sample Spectrum Chemical Manufacturing Corp. Catalog Number PH195 Lot Number WG0878 Copyright Copyright © 2015-2025 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Thumbnail SpectraBase 4.5 Other Spectra SADTLER REF NUMBER: 16104 (IR, PRISM) Weast, R.C. (ed.). Handbook of Chemistry and Physics. 60th ed. Boca Raton, Florida: CRC Press Inc., 1979., p. C-543 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 5 Related Records 5.1 Related Compounds with Annotation Follow these links to do a live 2D search or do a live 3D search for this compound, sorted by annotation score. This section is deprecated (see the neighbor discontinuation help page for details), but these live search links provide equivalent functionality to the table that was previously shown here. PubChem 5.2 Related Compounds Same Connectivity Count 29 Same Stereo Count 6 Same Isotope Count 15 Same Parent, Connectivity Count 40 Same Parent, Stereo Count 11 Same Parent, Isotope Count 26 Same Parent, Exact Count 6 Mixtures, Components, and Neutralized Forms Count 17 Similar Compounds (2D) View in PubChem Search Similar Conformers (3D) View in PubChem Search PubChem 5.3 Substances 5.3.1 PubChem Reference Collection SID 481107481 PubChem 5.3.2 Related Substances All Count 234 Same Count 213 Mixture Count 21 PubChem 5.3.3 Substances by Category PubChem 5.4 Entrez Crosslinks PubMed Count 26 Protein Structures Count 1 Taxonomy Count 5 OMIM Count 1 Gene Count 32 PubChem 5.5 NCBI LinkOut NCBI 6 Chemical Vendors PubChem 7 Drug and Medication Information 7.1 Drug Indication Oral phylloquinone is indicated to treat prothrombin deficiency caused by coumarin or indanedione derivatives; and hypoprothrombinemia secondary to antibacterial therapy, salicylates, or obstructive jaundice or biliary fistulas with concomitant bile salt administration. Parenteral (intravenous, intramuscular, and subcutaneous) phylloquinone is indicated to treat coagulation disorders due to faulty formation of coagulation factors II, VII, IX, and X caused by vitamin K deficiency or some interference with vitamin K activity. These indications include the above indications as well as hypoprothrombinemia secondary to sprue, ulcerative colitis, celiac disease, intestinal resection, pancreatic cystic fibrosis, or regional enteritis; or hypoprothrombinemia caused by interference with vitamin k metabolism. DrugBank Open Targets Phytonadione (vitamin K1) is FDA approved for anticoagulant-induced hypoprothrombinemia deficiency caused by coumarin or indanedione derivatives, hypoprothrombinemia due to antibacterial therapy, hypoprothrombinemia secondary to factors limiting absorption or synthesis of vitamin K, and other drug-induced hypoprothrombinemia due to interactions with vitamin K metabolism. Phytonadione is also FDA-approved for prophylaxis and treatment of vitamin K-deficiency bleeding in neonates. StatPearls 7.2 Drug Classes Breast Feeding; Lactation; Milk, Human; Vitamins; Antifibrinolytic Agents Drugs and Lactation Database (LactMed) 7.3 WHO Essential Medicines Drug Drug Classes Formulation Indication Drug Phytomenadione Drug Classes Medicines affecting coagulation Formulation (1) Parenteral - General injections - IV: 10 mg per mL in ampoule; 1 mg per mL in ampoule; (2) Oral - Solid: 10 mg tablet Indication (1) Haemorrhagic disorder due to other specified circulating anticoagulants; (2) Haemorrhagic or haematological disorders of fetus or newborn WHO Model Lists of Essential Medicines 7.4 FDA Approved Drugs Drugs@FDA 7.5 FDA Orange Book FDA Orange Book 7.6 FDA National Drug Code Directory National Drug Code (NDC) Directory 7.7 Drug Labels Drug and label DailyMed View More... 7.8 Clinical Trials 7.8.1 ClinicalTrials.gov ClinicalTrials.gov 7.8.2 EU Clinical Trials Register EU Clinical Trials Register 7.9 Therapeutic Uses Antifibrinolytic Agents National Library of Medicine's Medical Subject Headings online file (MeSH, 1999) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) THE RATIONAL THERAPEUTIC USE OF VITAMIN K IS BASED ON ITS ABILITY TO CORRECT BLEEDING TENDENCY OR HEMORRHAGE ASSOC WITH ITS DEFICIENCY. A DEFICIENCY OF VITAMIN K & ITS ATTENDANT DEFICIENCY OF PROTHROMBIN & RELATED CLOTTING FACTORS CAN RESULT FROM INADEQUATE INTAKE, ABSORPTION, OR UTILIZATION OF VITAMIN, OR AS A CONSEQUENCE OF ACTION OF THE ACTION OF A VITAMIN K ANTAGONIST. /VITAMIN K/ Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1785 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) BLEEDING THAT ACCOMPANIES OBSTRUCTIVE JAUNDICE OR BILIARY FISTULA RESPONDS PROMPTLY TO ADMINISTRATION OF VITAMIN K. ORAL PHYTONADIONE ADMIN WITH BILE SALTS IS BOTH SAFE AND EFFECTIVE AND SHOULD BE USED IN THE CARE OF THE JAUNDICED PATIENT, BOTH PREOPERATIVELY & POSTOPERATIVELY. Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1785 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) IF FOR SOME REASON ORAL ADMIN IS NOT FEASIBLE /IN TREATMENT OF OBSTRUCTIVE JAUNDICE OR BILIARY FISTULA/, A PARENTERAL PREPN SHOULD BE USED. Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1785 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) For more Therapeutic Uses (Complete) data for PHYTONADIONE (22 total), please visit the HSDB record page. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 7.10 Drug Warnings IN PT WHO HAVE SEVERE HEPATIC DISEASE, ADMIN OF LARGE DOSES OF MENADIONE OR PHYLLOQUINONE MAY FURTHER DEPRESS FUNCTION OF LIVER. Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1784 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Maternal Medication usually Compatible with Breast-Feeding: K1 (vitamin): Reported Sign or Symptom in Infant or Effect on Lactation: None. /from Table 6/ Report of the American Academy of Pediatrics Committee on Drugs in Pediatrics 93 (1): 141 (1994) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) A rare hypersensitivity-like reaction, which has occasionally resulted in death, has been reported after intravenous administration of phytonadione, especially when administration is rapid. MICROMEDEX Thomson Health Care. USPDI - Drug Information for the Health Care Professional. 22nd ed. Volume 1. MICROMEDEX Thomson Health Care, Greenwood Village, CO. 2002. Content Reviewed and Approved by the U.S. Pharmacopeial Convention, Inc., p. 2957 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) In newborns, especially premature infants, mendiol sodium diphosphate has been associated with hemolytic anemia, hyperbilirubinemia, and kernicterus because of immature hepatic function in these infants. There is less risk with phytonadione, unless high doses are given. MICROMEDEX Thomson Health Care. USPDI - Drug Information for the Health Care Professional. 22nd ed. Volume 1. MICROMEDEX Thomson Health Care, Greenwood Village, CO. 2002. Content Reviewed and Approved by the U.S. Pharmacopeial Convention, Inc., p. 2957 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) For more Drug Warnings (Complete) data for PHYTONADIONE (21 total), please visit the HSDB record page. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 7.11 Drug Tolerance /HEREDITARY/ RESISTANT INDIVIDUALS /TO COUMARIN/ WERE FOUND TO SHOW ANOTHER CHARACTERISTIC, UNUSUAL SENSITIVITY TO ANTIDOTAL EFFECTS OF VIT K. ... SENSITIVITY WAS...CALCULATED TO BE ABOUT 20 TIMES THAT OBSERVED IN OTHER PATIENTS. ...SYNTHESIS OF CLOTTING FACTOR II, VII, IX & X HAS BEEN MODIFIED BY GENETIC MUTATION... /VIT K/ LaDu, B.N., H.G. Mandel, and E.L. Way. Fundamentals of Drug Metabolism and Disposition. Baltimore: Williams and Wilkins, 1971., p. 323 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 8 Pharmacology and Biochemistry 8.1 Pharmacodynamics Phylloquinone is a vitamin K indicated in the treatment of coagulation disorders due to faulty formation of coagulation factors II, VII, IX, and X caused by deficiency or interference in the activity of vitamin K. It has a long duration of action as vitamin K is cycled in the body, and a wide therapeutic index as large doses can be tolerated. Patients should have their prothrombin time monitored during therapy and healthcare professionals should be aware of the increased risk of hypersensitivity reactions with parenteral administration. DrugBank 8.2 MeSH Pharmacological Classification Antifibrinolytic Agents Agents that prevent fibrinolysis or lysis of a blood clot or thrombus. Several endogenous antiplasmins are known. The drugs are used to control massive hemorrhage and in other coagulation disorders. Medical Subject Headings (MeSH) Vitamins Organic substances that are required in small amounts for maintenance and growth, but which cannot be manufactured by the human body. Medical Subject Headings (MeSH) 8.3 FDA Pharmacological Classification 1 of 3 items FDA UNII A034SE7857 Active Moiety PHYTONADIONE Pharmacological Classes Physiologic Effects [PE] - Increased Prothrombin Activity Pharmacological Classes Physiologic Effects [PE] - Reversed Anticoagulation Activity Pharmacological Classes Chemical Structure [CS] - Vitamin K Pharmacological Classes Established Pharmacologic Class [EPC] - Vitamin K Pharmacological Classes Established Pharmacologic Class [EPC] - Warfarin Reversal Agent FDA Pharmacology Summary Phytonadione is a Vitamin K and Warfarin Reversal Agent. The physiologic effect of phytonadione is by means of Increased Prothrombin Activity and Reversed Anticoagulation Activity. FDA Pharm Classes 2 of 3 items Non-Proprietary Name PHYTONADIONE Pharmacological Classes Increased Prothrombin Activity [PE]; Reversed Anticoagulation Activity [PE]; Warfarin Reversal Agent [EPC]; Vitamin K [CS]; Vitamin K [EPC] National Drug Code (NDC) Directory 3 of 3 items Non-Proprietary Name VITAMIN K1, PHYTONADIONE Pharmacological Classes Vitamin K [CS]; Vitamin K [EPC]; Warfarin Reversal Agent [EPC]; Reversed Anticoagulation Activity [PE]; Increased Prothrombin Activity [PE] National Drug Code (NDC) Directory 8.4 ATC Code B02BA01 S76 \| LUXPHARMA \| Pharmaceuticals Marketed in Luxembourg \| Pharmaceuticals marketed in Luxembourg, as published by d'Gesondheetskeess (CNS, la caisse nationale de sante, www.cns.lu), mapped by name to structures using CompTox by R. Singh et al. (2021) DOI:10.1021/acsenvironau.1c00008. List downloaded from Dataset DOI:10.5281/zenodo.4587355 NORMAN Suspect List Exchange; WHO Model Lists of Essential Medicines B - Blood and blood forming organs B02 - Antihemorrhagics B02B - Vitamin k and other hemostatics B02BA - Vitamin k B02BA01 - Phytomenadione WHO Anatomical Therapeutic Chemical (ATC) Classification ATCvet Code QB - Blood and blood forming organs QB02 - Antihemorrhagics QB02B - Vitamin k and other hemostatics QB02BA - Vitamin k QB02BA01 - Phytomenadione WHO ATCvet - Classification of Veterinary Medicines 8.5 Bionecessity The discovery of a vitamin K dependent protein in bone suggests that the fetal bone abnormalities associated with the administration of oral anticoagulants during the first trimester of pregnancy "fetal warfarin syndrome" may be related to a deficiency of the vitamin. /Vitamin K/ Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1784 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) State of deficiency: chief clinical manifestation of vitamin k deficiency is increased tendency to bleed, and postoperative hemorrhage are common; intracranial hemorrhage may occur. /vit k/ Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1784 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Hypoprothrombinemia secondary to vitamin K deficiency may occur in the following persons or conditions: Patients with hepatic or biliary tract disease, including obstructive jaundice or biliary fistula; in malabsorption syndromes or diseases affecting the small intestine or pancreas, such as celiac disease, cystic fibrosis, intestinal resuction, persistent diarrhea or dysentery, regional enteritis, sprue, or ulcerative colitis; prolonged T-tube drainage; abetalipoproteinemia; patients receiving total parenteral nutrition (TPN); or in infants receiving unfortified milk substitute formulas or those who are exclusively breast-fed. Also vitamin K deficiency may occur when vitamin K activity is impaired by sulfonamides, quinine, quinidine, or dactinomycin, or when absorption is decreased by concurrent administration of cholestyramine, colestipol, mineral oil, or sucralfate. /Vitamin K/ MICROMEDEX Thomson Health Care. USPDI - Drug Information for the Health Care Professional. 22nd ed. Volume 1. MICROMEDEX Thomson Health Care, Greenwood Village, CO. 2002. Content Reviewed and Approved by the U.S. Pharmacopeial Convention, Inc., p. 2956 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 8.6 Absorption, Distribution and Excretion Absorption A 4 µg oral dose of phylloquinone is 13% ± 9% bioavailable, with a T max of 4.7 ± 0.8 hours. 1.5 ± 0.8 nmol is found in the plasma compartment, and 3.6 ± 3.4 nmol is found in the second compartment. A 10 mg intramuscular phylloquinone dose is 89.2% ± 25.4% bioavailable. The same dose reaches a mean C max of 67 ± 30 ng/mL, with a mean T max of 9.2 ± 6.6 hours, and an AUC of 1700 ± 500 hng/mL. A 10 mg intravenous phylloquinone dose has a mean AUC of 1950 ± 450 hng/mL. DrugBank Route of Elimination Intravenous phylloquinone is 36% eliminated in the feces in 5 days and 22% recovered in urine in 3 days. DrugBank Volume of Distribution The steady state volume of distribution of phylloquinone is 20 ± 6 L in subjects who are also taking phenprocoumon therapy. DrugBank Clearance Intravenous phylloquinone is 90% cleared in 2 hours, and 99% cleared in 8 hours. A 10 mg intravenous dose of phylloquinone has a mean clearance of 91 ± 24 mL/min. DrugBank Little is known about the excretion of vitamin K. High fecal concentrations of vitamin K probably result from bacterial synthesis in the intestine. McEvoy, G.K. (ed.). American Hospital Formulary Service- Drug Information 2002. Bethesda, MD: American Society of Health-System Pharmacists, Inc. 2002 (Plus Supplements)., p. 3566 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Although the drug may be concentrated in the liver for a short time after absorption, only small amounts of phytonadione are stored in body tissues. McEvoy, G.K. (ed.). American Hospital Formulary Service- Drug Information 2002. Bethesda, MD: American Society of Health-System Pharmacists, Inc. 2002 (Plus Supplements)., p. 3566 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Phytonadione is absorbed from the GI tract only in the presence of bile salts. Radioisotope studies show that absorption occurs via intestinal lymph. There is some evidence that absorption of phytonadione across the GI mucosa is a saturable, energy-dependent process that occurs in the proximal small intestine. McEvoy, G.K. (ed.). American Hospital Formulary Service- Drug Information 2002. Bethesda, MD: American Society of Health-System Pharmacists, Inc. 2002 (Plus Supplements)., p. 3566 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Fat-soluble vit...k...absorbed from skin... /vit k/ Hayes, W.J., Jr., E.R. Laws Jr., (eds.). Handbook of Pesticide Toxicology Volume 1. General Principles. New York, NY: Academic Press, Inc., 1991., p. 139 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) For more Absorption, Distribution and Excretion (Complete) data for PHYTONADIONE (7 total), please visit the HSDB record page. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 8.7 Metabolism / Metabolites Phylloquinone's phytyl side chain is omega hydroxylated by CYP4F2. The side chain is then cleaved to 5 or 7 carbons long, and then glucuronidated prior to elimination. Vitamin Ks in general undergo a cycle of reduction to vitamin K hydroquinone by vitamin K epoxide reductase (VKOR), oxidation to vitamin K epoxide by gamma-glutamyl carboxylase, and converted back to vitamin K by VKOR. DrugBank ...In experimental animals...phylloquinone...can be converted to more potent menaquinone series. Whether this can occur in man and of what significance these transformations are to action of phylloquinone...are still unknown. Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 1593 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) In animals treated with warfarin, major fraction of phylloquinone is metabolized to phylloquinone oxide. Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 1593 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Phytonadione is rapidly metabolized to more polar metabolites, which are excreted in the bile and urine. The major urinary metabolites result from shortening of the side chain to five or seven carbon atoms, yielding carboxylic acids that are conjugated with glucuronate prior to excretion. Treatment with a coumarin-type anticoagulant results in a marked increase in the amount of phytonadione-2,3-epoxide in the liver and blood. Such treatment also increases the urinary excretion of phytonadione metabolites, primarily degradative products of phytonadione-2,3-epoxide. The biliary metabolites of phytonadione have not been identified. Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1784 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) The liver plays an exclusive role in the metabolic transformations leading to the elimination of vitamin K from the body. After intravenous doses of 45 ug to 1 mg (3)H-phylloquinone, about 20% of the radiolabel was excreted in the urine within three days, and 35-50% was excreted as metabolites in the feces via the bile. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 461-2 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Route of Elimination: Almost no free unmetabolized vitamin K appears in bile or urine. Toxin and Toxin Target Database (T3DB) 8.8 Biological Half-Life Intravenous phylloquinone has an initial half life of 22 minutes, followed by a half life of 125 minutes. DrugBank 8.9 Mechanism of Action Vitamin K is a cofactor of gamma-carboxylase. Gamma carboxylase attaches carboxylic acid functional groups to glutamate, allowing precursors of factors II, VII, IX, and X to bind calcium ions. Binding of calcium ions converts these clotting factors to their active form, which are then secreted from hepatocytes into the blood, restoring normal clotting function. Vitamin K may also carboxylate matrix proteins in chondrocytes, inhibiting calcification of joints, and may increase type II collagen. The role of vitamin K in osteroarthritis, bone density, and vascular calcification is currently under investigation. DrugBank Vit k is necessary for formation of prothrombinogen & other blood clotting factors in liver. During clotting, circulating prothrombin is required for production of thrombin; in turn, thrombin converts fibrinogen to fibrin, network of which constitutes clot. /vit k/ Osol, A. and J.E. Hoover, et al. (eds.). Remington's Pharmaceutical Sciences. 15th ed. Easton, Pennsylvania: Mack Publishing Co., 1975., p. 943 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) In normal animals and man, phyltonadione ... /is/ virtually devoid of pharmacodynamic activity. In Animals and man deficient in vitamin k, the pharmacological action of vitamin k is identical to its normal physiological function, that is, to promote hepatic biosynthesis of prothrombin (factor ii), proconvertin (factor vii), plasma thromboplastin component (ptc, christmas factor, factor ix), and Stuart factor (factor x). Hardman, J.G., L.E. Limbird, P.B., A.G. Gilman. Goodman and Gilman's The Pharmacological Basis of Therapeutics. 10th ed. New York, NY: McGraw-Hill, 2001., p. 1783 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) On the basis of studies of microsomal metabolism in vitro and studies in rats and mice in vivo, /it was suggested/ that vitamin K may be mutagenic by affecting the mixed-function oxidase system which metabolizes benzo(a)pyrene. Phylloquinone at a high concentration (200 umol/l) inhibited the conversion of benzo(a)pyrene to its more polar metabolites, ... . Paradoxically, at a lower concentration of phylloquinone (25 umol/l), ... the metabolism of benzo(a)pyrene was increased. In this system, therefore, .... phylloquinone could either potentiate or inhibit it, depending on the concentration. This overall weaker inhibitory effect of phylloquinone could be due to the low solubility of this lipophilic compound, but it is difficult to explain the mechanism of the enhanced metabolism of benzo(a)pyrene at lower concentrations of phylloquinone. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 472 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 8.10 Human Metabolite Information 8.10.1 Tissue Locations Liver Human Metabolome Database (HMDB) 8.10.2 Cellular Locations Cytoplasm Extracellular Membrane Human Metabolome Database (HMDB) 8.10.3 Metabolite Pathways Acenocoumarol Action Pathway Alteplase Action Pathway Aminocaproic Acid Action Pathway Anistreplase Action Pathway Aprotinin Action Pathway Ardeparin Action Pathway Argatroban Action Pathway Bivalirudin Action Pathway Coagulation Dicoumarol Action Pathway Total 25 pathways, visit the HMDB page for details Human Metabolome Database (HMDB) 8.11 Biochemical Reactions Rhea - Annotated Reactions Database PubChem 9 Use and Manufacturing 9.1 Uses EPA CPDat Chemical and Product Categories The Chemical and Products Database, a resource for exposure-relevant data on chemicals in consumer products, Scientific Data, volume 5, Article number: 180125 (2018), DOI:10.1038/sdata.2018.125 EPA Chemical and Products Database (CPDat) Sources/Uses The major dietary source of vitamin K found in green plants, algae, and photosynthetic bacteria; Used as a vitamin (prothrombogenic) and veterinary antidote for dicoumarol poisoning; [Merck Index] Essential vitamin for the synthesis of coagulation factors II, VII, IX, and X in the liver; Used to reverse anticoagulation (prolonged prothrombin time) caused by coumarin and indanedione derivatives; [Olson, p. 633] Merck Index - O'Neil MJ, Heckelman PE, Dobbelaar PH, Roman KJ (eds). The Merck Index, An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals, 15th Ed. Cambridge, UK: The Royal Society of Chemistry, 2013. Olson - Olson KR (ed). Poisoning & Drug Overdose, 7th Ed. New York: Lange Medical Books/McGraw-Hill, 2018., p. 633 Haz-Map, Information on Hazardous Chemicals and Occupational Diseases MEDICATION (VET) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) MEDICATION Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Use (kg; approx.) in Germany (2009): >25 Consumption (g per capita; approx.) in Germany (2009): 0.000305 Calculated removal (%): 97.7 DOI:10.1021/acs.est.5b03332 NORMAN Suspect List Exchange For the treatment of haemorrhagic conditions in infants, antidote for coumarin anticoagulants in hypoprothrombinaemia. Toxin and Toxin Target Database (T3DB) 9.1.1 Use Classification Human Drugs -> FDA Approved Drug Products with Therapeutic Equivalence Evaluations (Orange Book) -> Active Ingredients FDA Orange Book Cosmetics -> Skin conditioning S13 \| EUCOSMETICS \| Combined Inventory of Ingredients Employed in Cosmetic Products (2000) and Revised Inventory (2006) \| DOI:10.5281/zenodo.2624118 NORMAN Suspect List Exchange 9.2 Methods of Manufacturing Partial syntheses from menadione and phytol ... Synthesis using a pi-allylic nickel(I) complex ... . O'Neil, M.J. (ed.). The Merck Index - An Encyclopedia of Chemicals, Drugs, and Biologicals. 13th Edition, Whitehouse Station, NJ: Merck and Co., Inc., 2001., p. 1322 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Synthetically from 2-methyl-1,4-naphthoquinone and phytol. Lewis, R.J., Sr (Ed.). Hawley's Condensed Chemical Dictionary. 13th ed. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1997., p. 880 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) The first syntheses and structural elucidation of phylloquinone were published in 1939 almost simultaneously by four groups. The starting materials were menadione or menadiol as the aromatic component and natural phytol or one of its derivatives. A breakthrough in commercial synthesis was achieved in the 1950s, when it was found that monoacylated menadiols (e.g. the monoacetate or the monobenzoate) could be used advantageously in the alkylation step and that natural phytol could be replaced by isophytol, which is easy to synthesize. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 427 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 9.3 Impurities Commercial preparations may contain up to 20% of the cis isomer. Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Commercially available phylloquinone (vitamin K1) is prepared synthetically and may contain not only 2',3'-trans-phylloquinone (not less than 75%), but also 2',3'-cis-phylloquinone and trans-epoxyphylloquinone (not more than 4.0 percent). Phylloquinone occurs in nature only as the 2',3'-trans-7R,11R-stereoisomer. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 424 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 9.4 Formulations / Preparations PHYTONADIONE, USP (VIT K1, AQUAMEPHYTON, KONAKION, MEPHYTON)... MARKETED IN 5-MG TABLETS, & IN AMPULS CONTAINING EMULSION OF 2 OR 10 MG/ML OF PHYTONADIONE DISPERSED IN SOLN OF BUFFERED POLYSORBATE &PROPYLENE GLYCOL (KONAKION) OR POLYETHYLATED FATTY ACID DERIV &DEXTROSE (AQUAMEPHYTON). Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 593 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) KONAKION IS ADMIN ONLY IM; AQUAMEPHYTON MAY BE GIVEN BY ANY PARENTERAL ROUTE. Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 1593 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) COLLOIDAL SOLN IS MARKETED UNDER NAME AQUA-MEPHYTON. Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Oral tablets; 5 mg, Mephyton (scored) Merck. McEvoy, G.K. (ed.). American Hospital Formulary Service- Drug Information 2002. Bethesda, MD: American Society of Health-System Pharmacists, Inc. 2002 (Plus Supplements)., p. 3566 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) For more Formulations/Preparations (Complete) data for PHYTONADIONE (6 total), please visit the HSDB record page. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 9.5 General Manufacturing Information EPA TSCA Commercial Activity Status 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecen-1-yl]-: ACTIVE EPA Chemicals under the TSCA PHYLLOQUINONE IS FOUND IN PLANTS; IT IS ONLY NATURAL VIT K AVAIL FOR THERAPEUTIC USE. Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 1591 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) SYNTH YIELDS MIXT OF CIS & TRANS ISOMERS OF WHICH TRANS FORM PREDOMINATES. COMMERCIAL PREPN MAY CONTAIN UP TO 20% OF CIS ISOMER. Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) METABOLIC STUDIES: SHEARER ET AL, BRIT J HAEMATOL 18, 297 (1970); 22, 579 (1972). CIS ISOMER HAS LITTLE, IF ANY, VIT K ACTIVITY: MATSCHINER ET AL, J NUTR 102, 625 (1972). Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) DRUGS WITH VIT K ACTIVITY MAY BE CHEMICALLY ASSAYED & DO NOT REQUIRE BIOASSAY. ...DETERMINATION OF VIT K CONTENT OF FOODS, ASSAY BASED UPON ABILITY OF PREPN TO INCR PROTHROMBIC LEVEL OF DEFICIENT CHICKS IS EMPLOYED. Goodman, L.S., and A. Gilman. (eds.) The Pharmacological Basis of Therapeutics. 5th ed. New York: Macmillan Publishing Co., Inc., 1975., p. 1593 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) For more General Manufacturing Information (Complete) data for PHYTONADIONE (9 total), please visit the HSDB record page. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 10 Identification 10.1 Analytic Laboratory Methods Several international pharmacopoeias specify infrared (IR) and ultraviolet (UV) absorption spectrophotometry with comparison to standards as the methods to identify phylloquinone; UV absorption spectrophotometry and liquid chromatography are used to assay its purity. Phylloquinone is identified in pharmaceutical preparations by IR and UV absorption spectrophotometry and liquid chromatography; liquid chromatography is used to assay for its content. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 426 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) AOAC International (1996) has developed a liquid chromatographic method with UV detection for the determination of phylloquinone in ready-to-feed milk-based infant formula. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 426 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) AOAC Official Method 992.27: trans-Vitamin K1 (phylloquinone) in ready-to-feed milk-based infant formula; liquid chromatographic method. Horwitz W, ed.; Official Methods of Analysis of AOAC International 17th ed. (2000). CD-ROM, AOAC International, Gaithersburg, MD Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 10.2 Clinical Laboratory Methods QUANTITATIVE ANALYSIS OF VITAMIN K1 &VITAMIN K1 2,3-EPOXIDE IN PLASMA BY ELECTRON-CAPTURE GAS-LIQUID CHROMATOGRAPHY. BECHTOLD H, JAEHNCHEN E; QUANTITATIVE ANALYSIS OF VITAMIN K1 & VITAMIN K1 2,3-EPOXIDE IN PLASMA BY ELECTRON-CAPTURE GAS-LIQUID CHROMATOGRAPHY; J CHROMATOGR 164(1) 85-90 (1979) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) As a result of its high selectivity and sensitivity, high-performance liquid chromatography (HPLC) is the method of choice for the determination of phylloquinone and menaquinones in the blood, tissues, milk, and in foods. Various procedures for extraction and preliminary purification, normal or reversed-phase HPLC, and ultraviolet, electrochemical, and fluorescence detection (both after electrochemical or chemical reduction and after photochemical decomposition) of the vitamin K substances have been described. The detection limits for phylloquinone are in the range 25-500 pg, depending on the detection method used. ... Alternative methods are thin layer chromatography, high- performance thin layer chromatography and gas chromatography. The spectrophotometric, fluorimetric, and colorimetric methods previously used without chromatographic purification of the samples to be analysed are frequently less sensitive and less specific than HPLC, for instance allowing no distinction between phylloquinone and menaquinones. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 426 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 11 Safety and Hazards 11.1 Hazards Identification 11.1.1 GHS Classification Note This chemical does not meet GHS hazard criteria for 13.7% (17 of 124) of reports. Pictogram(s) Signal Warning GHS Hazard Statements H317 (83.9%): May cause an allergic skin reaction [Warning Sensitization, Skin] H413 (85.5%): May cause long lasting harmful effects to aquatic life [Hazardous to the aquatic environment, long-term hazard] Precautionary Statement Codes P261, P272, P273, P280, P302+P352, P321, P333+P317, P362+P364, and P501 ECHA C&L Notifications Summary Aggregated GHS information provided per 124 reports by companies from 5 notifications to the ECHA C&L Inventory. Each notification may be associated with multiple companies. Reported as not meeting GHS hazard criteria per 17 of 124 reports by companies. There are 4 notifications provided by 107 of 124 reports by companies with hazard statement code(s). Information may vary between notifications depending on impurities, additives, and other factors. The percentage value in parenthesis indicates the notified classification ratio from companies that provide hazard codes. Only hazard codes with percentage values above 10% are shown. For more detailed information, please visit ECHA C&L website. European Chemicals Agency (ECHA) 11.1.2 Hazard Classes and Categories Skin Sens. 1B (83.9%) Aquatic Chronic 4 (85.5%) European Chemicals Agency (ECHA) 11.1.3 Hazards Summary Reports of allergic contact dermatitis from cosmetic products; Although the risk for sensitization from cosmetic products containing 1% Vitamin K1 cannot be quantified from the available data, case reports show that Vitamin K1 is a contact allergen in man. In cases of pre-existing sensitization acquired by topical application of Vitamin K1 present in cosmetics, an individual might not be able to receive Vitamin K1 therapeutically or experience allergic reactions upon Vitamin K1 treatment. Therefore, the SCCS considers that vitamin K1 is not safe when used in cosmetic product in a concentration up to 1%. [SCCS (Scientific Committee on Consumer Safety), Opinion on vitamin K1 (phytonadione), 23 March 2010] Severe hypersensitivity reactions have been reported after IV and IM injection; [Olson, p. 633-4] May cause irritation; [Sigma-Aldrich MSDS] Olson - Olson KR (ed). Poisoning & Drug Overdose, 7th Ed. New York: Lange Medical Books/McGraw-Hill, 2018., p. 633-4 Haz-Map, Information on Hazardous Chemicals and Occupational Diseases 11.2 Accidental Release Measures 11.2.1 Disposal Methods SRP: At the time of review, criteria for land treatment or burial (sanitary landfill) disposal practices are subject to significant revision. Prior to implementing land disposal of waste residue (including waste sludge), consult with environmental regulatory agencies for guidance on acceptable disposal practices. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 11.3 Handling and Storage 11.3.1 Storage Conditions KEEP WELL CLOSED & PROTECTED FROM LIGHT. The Merck Index. 9th ed. Rahway, New Jersey: Merck & Co., Inc., 1976., p. 1291 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) The drug is photosensitive and must be protected from light at all times. Infusion solutions should be protected from light by wrapping the container with aluminum foil or other opaque material. Phytonadione tablets should be stored in well-closed, light-resistant containers. McEvoy, G.K. (ed.). American Hospital Formulary Service- Drug Information 2002. Bethesda, MD: American Society of Health-System Pharmacists, Inc. 2002 (Plus Supplements)., p. 3566 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 11.4 Regulatory Information The Australian Inventory of Industrial Chemicals Chemical: 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-, [R-[R,R-(E)]]- Australian Industrial Chemicals Introduction Scheme (AICIS) EFSA Legal Basis Regulation (EC) No 1831/2003 (amended) EFSA OpenFoodTox New Zealand EPA Inventory of Chemical Status Vitamin K1: Does not have an individual approval but may be used under an appropriate group standard New Zealand Environmental Protection Authority (EPA) 11.4.1 FDA Requirements The US Food and Drug Administration ... requires that all infant formula sold in the USA contain a minimum of 4 ug/100 kcal (0.2 mg/kg) of vitamin K; and that any vitamin K added shall be in the form of phylloquinone. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 438 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) The Approved Drug Products with Therapeutic Equivalence Evaluations List identifies currently marketed prescription drug products, incl phytonadione, approved on the basis of safety and effectiveness by FDA under sections 505 of the Federal Food, Drug, and Cosmetic Act. DHHS/FDA; Electronic Orange Book-Approved Drug Products with Therapeutic Equivalence Evaluations. Available from, as of February 26, 2003: Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12 Toxicity 12.1 Toxicological Information 12.1.1 Toxicity Summary Doses up to 50 mg have been used. The majority of toxicity occurs when given by IV. StatPearls Vitamin K is an essential cofactor for the gamma-carboxylase enzymes which catalyze the posttranslational gamma-carboxylation of glutamic acid residues in inactive hepatic precursors of coagulation factors II (prothrombin), VII, IX and X. Gamma-carboxylation converts these inactive precursors into active coagulation factors which are secreted by hepatocytes into the blood. Supplementing with Phylloquinone results in a relief of vitamin K deficiency symptoms which include easy bruisability, epistaxis, gastrointestinal bleeding, menorrhagia and hematuria. Toxin and Toxin Target Database (T3DB) 12.1.2 Drug Induced Liver Injury Compound phytonadione DILI Annotation No-DILI-Concern Label Section No match References M Chen, V Vijay, Q Shi, Z Liu, H Fang, W Tong. FDA-Approved Drug Labeling for the Study of Drug-Induced Liver Injury, Drug Discovery Today, 16(15-16):697-703, 2011. PMID:21624500DOI:10.1016/j.drudis.2011.05.007 M Chen, A Suzuki, S Thakkar, K Yu, C Hu, W Tong. DILIrank: the largest reference drug list ranked by the risk for developing drug-induced liver injury in humans. Drug Discov Today 2016, 21(4): 648-653. PMID:26948801DOI:10.1016/j.drudis.2016.02.015 Drug Induced Liver Injury Rank (DILIrank) Dataset 12.1.3 Evidence for Carcinogenicity Evaluation: There is inadequate evidence in humans for the carcinogenicity of vitamin K. There is inadequate evidence in experimental animals for the carcinogenicity of vitamin K. Overall evaluation: Vitamin K is not classifiable as to its carcinogenicity to humans (Group 3). /Vitamin K/ IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 475 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.1.4 Carcinogen Classification Carcinogen Classification 3, not classifiable as to its carcinogenicity to humans. (L135) Toxin and Toxin Target Database (T3DB) 12.1.5 Effects During Pregnancy and Lactation ◉ Summary of Use during Lactation Vitamin K is naturally found in human milk. Maternal vitamin K supplementation is typically not needed to meet the 75 mcg per day recommended adequate maternal dietary intake during lactation. Maternal supplementation with 5 mg daily increases milk vitamin K levels and can improve vitamin K status in breastfed infants who also receive intramuscular vitamin K shortly after birth. Although exclusively breastfed infants are at higher risk of vitamin K deficiency bleeding (VKDB), a condition that can involve intracranial hemorrhage, sometimes leading to infant death, maternal vitamin K supplementation alone is not an adequate or safe substitute for vitamin K administered directly to the newborn after birth to prevent VKDB, especially in preterm infants. ◉ Effects in Breastfed Infants Exclusive breastfeeding and failure to give infants a dose of prophylactic vitamin K at birth resulted in the death of 3 otherwise normal, consecutive male siblings from intracranial hemorrhage. A fourth male sibling was examined at 17 days of age and found to have abnormal clotting parameters. The infant and parents were found to have no genetic conditions that could account for the abnormal clotting. Within 24 hours, the infant’s clotting profile normalized after 1 mg of vitamin K injection. ◉ Effects on Lactation and Breastmilk Exclusive breastfeeding results in inadequate milk vitamin K levels. Failure to give infants a dose of prophylactic vitamin K at birth can result in intracranial bleeding, intra-abdominal bleeding, and death. Drugs and Lactation Database (LactMed) 12.1.6 Exposure Routes Subcutaneous, Intramuscular, Intravenous injection. Oral phylloquinone is adequately absorbed from the gastrointestinal tract only if bile salts are present. After absorption, phylloquinone is initially concentrated in the liver, but the concentration declines rapidly. Very little vitamin K accumulates in tissues. Toxin and Toxin Target Database (T3DB) 12.1.7 Adverse Effects Most adverse effects from phytonadione occur with IV, SQ, and IM administration: Anaphylactoid reactions Dyspnea Chest tightness Injection site reaction In a retrospective cohort study by Shields et al. published in 2001, they evaluated the efficacy and safety of IV phytonadione. Patients who met the inclusion criteria were those who had received IV phytonadione between September 1, 1994, and March 31, 1996, and were taking warfarin for two weeks or longer. Patients were excluded if they were currently bleeding or received concomitant factor replacement therapy. Out of the 105 patients assessed, 29 patients received a second dose. The researchers found adverse reactions in only two patients. Both patients experienced dyspnea and chest tightness that resolved by stopping the infusion. Phytonadione (vitamin K1) has a black box warning due to severe anaphylaxis when given IV that may cause shock, respiratory arrest, and cardiac arrest. StatPearls 12.1.8 Acute Effects ChemIDplus 12.1.9 Toxicity Data LD50: 41.5 mL/kg at 0.2% (Intravenous, Mouse) (A308) LD50: 52 mL/kg at 1% (Intravenous, Mouse) (A308) Toxin and Toxin Target Database (T3DB) 12.1.10 Interactions Vit k antagonizes inhibitory effect of /acenocoumarol, phenprocoumon, anisindione, diphenadione, &phenindione/ on hepatic synthesis of vit k-dependent clotting proteins... /vit k/ Evaluations of Drug Interactions. 2nd ed. and supplements. Washington, DC: American Pharmaceutical Assn., 1976, 1978., p. 303 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Requirements for vitamin K may be increased in patients receiving /broad-spectrum antibiotics, moxalactam, quinidine, quinine, high doses of salicylates, or antibacterial sulfonamides/. MICROMEDEX Thomson Health Care. USPDI - Drug Information for the Health Care Professional. 22nd ed. Volume 1. MICROMEDEX Thomson Health Care, Greenwood Village, CO. 2002. Content Reviewed and Approved by the U.S. Pharmacopeial Convention, Inc., p. 2957 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Concurrent use /with dactinomycin/ may decrease the effects of vitamin K; evidence is inconclusive, observation of patients is recommended and a higher dose of vitamin K may be required. /Vitamin K/ MICROMEDEX Thomson Health Care. USPDI - Drug Information for the Health Care Professional. 22nd ed. Volume 1. MICROMEDEX Thomson Health Care, Greenwood Village, CO. 2002. Content Reviewed and Approved by the U.S. Pharmacopeial Convention, Inc., p. 2957 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Concurrent use /of coumarin- or indandione-derivative anticoagulants/ with vitamin K may decrease the effects of these anticoagulants as a result of increased hepatic synthesis of procoagulant factors. When reinstituting oral anticoagulant therapy after the administration of large doses of vitamin K, it may be necessary to temporarily increase the dose of the oral anticoagulant, or to use one such as heparin that acts on a different principle. /Vitamin K/ MICROMEDEX Thomson Health Care. USPDI - Drug Information for the Health Care Professional. 22nd ed. Volume 1. MICROMEDEX Thomson Health Care, Greenwood Village, CO. 2002. Content Reviewed and Approved by the U.S. Pharmacopeial Convention, Inc., p. 2957 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) For more Interactions (Complete) data for PHYTONADIONE (18 total), please visit the HSDB record page. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.1.11 Human Toxicity Excerpts /HUMAN EXPOSURE STUDIES/ To determine whether vitamin K administration affects urinary calcium excretion in postmenopausal women. Before- and after-trials with a 2-week treatment period. Healthy postmenopausal women (55 to 75 years old) were recruited from the convents in and around Maastricht. Controls (25 to 40 years old) were healthy premenopausal volunteers. Daily administration of 1 mg of vitamin K for 2 weeks. Serum immunoreactive osteocalcin: hydroxylapatite binding (HAB) capacity of serum immunoreactive osteocalcin; excretion of calcium, hydroxyproline, and creatinine in the urine during the last 2 h of a 16-h fasting period. In premenopausal women, no effect of vitamin K administration was seen. In the postmenopausal group, vitamin K induced increased serum immunoreactive osteocalcin concentration; normalization of the HAB capacity of serum immunoreactive osteocalcin (this marker was less than 50% that of the controls in the pretreatment samples); a decrease in urinary calcium excretion, notably in the "fast losers" of calcium; and a parallel decrease in urinary hydroxyproline excretion in the fast losers of calcium. The serum immunoreactive osteocalcin level may vary with vitamin K status. This variance should be taken into consideration if osteocalcin is used as a marker for osteoblast activity. Vitamin K is one factor that may play a role in the loss of bone mass in postmenopausal osteoporosis. Knapen M, et al; Ann Intern Med 111(12): p1001-5 (1989) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) /EPIDEMIOLOGY STUDIES/ A retrospective review of anaphylaxis after i.v. phytonadione over a 58-month period at a large academic center was performed. During the period of the study a protocol for the administration of i.v. phytonadione was in place. A review of computerized records and survey of staff identified cases of anaphylaxis meeting predefined inclusion criteria. In addition, a literature review was performed for articles concerning anaphylaxis after i.v. phytonadione. Over the 58 months of the study, a total of 6,572 doses of i.v. phytonadione were administered. Two cases of anaphylaxis after i.v. phytonadione were identified. The incidence of anaphylaxis was 3 per 10,000 doses with 95% confidence intervals of 0.04 to 11 per 10,000 doses. The literature review identified 14 cases meeting inclusion criteria with no reviews of the literature or estimates of incidence. The incidence of anaphylaxis after i.v. phytonadione is overall comparable or slightly less than other drugs known to cause anaphylaxis. Riegert-Johnson DL, et al; Ann Allergy Asthma Immunol 89: p 400-6 (2002) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.1.12 Non-Human Toxicity Excerpts /LABORATORY ANIMALS: Developmental or Reproductive Toxicity/ The offspring of mice treated with phylloquinone by injection had cleft lip and exencephaly. Six pregnant Sprague-Dawley rats were dosed with 10 mg/kg body weight phylloquinone (Konakion) daily on days 9-20 of gestation, and the fetuses were delivered on day 21 and examined for external malformations and the presence of hemorrhages only. No adverse effects were noted when compared with a group of five untreated controls. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 468 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) /GENOTOXICITY/ In fetal sheep that received a catheter in the femoral vein 10-15 days before term, phylloquinone significantly increased the frequency of sister chromatid exchange in peripheral blood lymphocytes sampled 24 hours later. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 469 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) /GENOTOXICITY/ /Phytonadione/ ... at concentrations up to 2,000 mcg/plate with or without metabolic activation, was negative in the Ames microbial mutagen test. Medical Economics Co; Physicians Desk Reference 56th ed p.2130 (2002) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) /GENOTOXICITY/ /Phylloquinone/ ... enhanced the frequency of sister chromatid exchange in cultured human maternal lymphocytes at concentrations that are relevant in vivo, and a similar increase in sister chromatid exchange frequency was observed in cultured lymphocytes from human placental blood. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 469 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.1.13 Non-Human Toxicity Values LD50 Mouse oral 25 g/kg Lewis, R.J. Sax's Dangerous Properties of Industrial Materials. 9th ed. Volumes 1-3. New York, NY: Van Nostrand Reinhold, 1996., p. 3391 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) LD50 Mouse subcutaneous 1000 mg/kg Lewis, R.J. Sax's Dangerous Properties of Industrial Materials. 9th ed. Volumes 1-3. New York, NY: Van Nostrand Reinhold, 1996., p. 3391 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.1.14 Populations at Special Risk SRP: Persons with bleeding disorders or who are taking anticoagulants should be protected from exposure. Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.2 Ecological Information 12.2.1 Natural Pollution Sources FAT-SOL VIT OCCURRING NATURALLY AS TRANS ISOMER. ... FIRST ISOLATED FROM ALFALFA; ALSO SHOWS WIDESPREAD DISTRIBUTION IN HIGHER GREEN PLANTS: DAM ET AL, HELV CHIM ACTA 22, 310 (1939). Budavari, S. (ed.). The Merck Index - Encyclopedia of Chemicals, Drugs and Biologicals. Rahway, NJ: Merck and Co., Inc., 1989., p. 1580 Hazardous Substances Data Bank (HSDB) Phylloquinone is widely distributed in higher plants and in some blue-green algae. It is present in many foods, especially leafy green vegetables and some vegetable oils. IARC. Monographs on the Evaluation of the Carcinogenic Risk of Chemicals to Humans. Geneva: World Health Organization, International Agency for Research on Cancer, 1972-PRESENT. (Multivolume work). Available at: p. V76 436 (2000) Hazardous Substances Data Bank (HSDB) 12.3 EFSA OpenFoodTox 12.3.1 EFSA Outputs EFSA OpenFoodTox 12.3.2 EFSA Hazard Characterization: Reference Values EFSA OpenFoodTox 12.3.3 EFSA Genotoxicity EFSA OpenFoodTox 13 Associated Disorders and Diseases Comparative Toxicogenomics Database (CTD); Open Targets; Therapeutic Target Database (TTD) 14 Literature 14.1 Consolidated References PubChem 14.2 NLM Curated PubMed Citations Medical Subject Headings (MeSH) 14.3 Springer Nature References Springer Nature 14.4 Thieme References Thieme Chemistry 14.5 Wiley References Wiley 14.6 Chemical Co-Occurrences in Literature PubChem 14.7 Chemical-Gene Co-Occurrences in Literature PubChem 14.8 Chemical-Disease Co-Occurrences in Literature PubChem 14.9 Chemical-Organism Co-Occurrences in Literature PubChem 15 Patents 15.1 Depositor-Supplied Patent Identifiers PubChem Link to all deposited patent identifiers PubChem 15.2 WIPO PATENTSCOPE Patents are available for this chemical structure: PATENTSCOPE (WIPO) 15.3 Chemical Co-Occurrences in Patents PubChem 15.4 Chemical-Disease Co-Occurrences in Patents PubChem 15.5 Chemical-Gene Co-Occurrences in Patents PubChem 15.6 Chemical-Organism Co-Occurrences in Patents PubChem 16 Interactions and Pathways 16.1 Protein Bound 3D Structures RCSB Protein Data Bank (RCSB PDB) View 1 protein in NCBI Structure PubChem 16.1.1 Ligands from Protein Bound 3D Structures PDBe Ligand Code PQN PDBe Structure Code 1JB0 PDBe Conformer Protein Data Bank in Europe (PDBe) 16.2 Chemical-Target Interactions BindingDB; Comparative Toxicogenomics Database (CTD); Therapeutic Target Database (TTD); Toxin and Toxin Target Database (T3DB) DrugBank 16.3 Drug-Drug Interactions DrugBank 16.4 Pathways PubChem 17 Biological Test Results 17.1 BioAssay Results PubChem 18 Taxonomy LOTUS - the natural products occurrence database; Natural Product Activity and Species Source (NPASS) 19 Classification 19.1 MeSH Tree Medical Subject Headings (MeSH) 19.2 NCI Thesaurus Tree NCI Thesaurus (NCIt) 19.3 ChEBI Ontology ChEBI 19.4 LIPID MAPS Classification LIPID MAPS 19.5 WHO ATC Classification System WHO Anatomical Therapeutic Chemical (ATC) Classification 19.6 FDA Pharm Classes FDA Pharm Classes 19.7 ChemIDplus ChemIDplus 19.8 ChEMBL Target Tree ChEMBL 19.9 UN GHS Classification GHS Classification (UNECE) 19.10 EPA CPDat Classification EPA Chemical and Products Database (CPDat) 19.11 NORMAN Suspect List Exchange Classification NORMAN Suspect List Exchange 19.12 CCSBase Classification CCSbase 19.13 EPA DSSTox Classification EPA DSSTox 19.14 EPA TSCA and CDR Classification EPA Chemicals under the TSCA 19.15 LOTUS Tree LOTUS - the natural products occurrence database 19.16 FDA Drug Type and Pharmacologic Classification National Drug Code (NDC) Directory 19.17 MolGenie Organic Chemistry Ontology MolGenie 19.18 Chemicals in PubChem from Regulatory Sources PubChem 19.19 ATCvet Classification WHO ATCvet - Classification of Veterinary Medicines 20 Information Sources Filter by Source Australian Industrial Chemicals Introduction Scheme (AICIS)LICENSE 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-(3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecenyl)-, [R-[R,R-(E)]]- CAS Common ChemistryLICENSE The data from CAS Common Chemistry is provided under a CC-BY-NC 4.0 license, unless otherwise stated. rel-2-Methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecen-1-yl]-1,4-naphthalenedione Phylloquinone Vitamin K1 ChemIDplusLICENSE Phytonadione [USP:JAN] Vitamin K1 Phytonadione, (E)-(+/-)- ChemIDplus Chemical Information Classification DrugBankLICENSE Creative Common's Attribution-NonCommercial 4.0 International License ( Phylloquinone DTP/NCILICENSE Unless otherwise indicated, all text within NCI products is free of copyright and may be reused without our permission. Credit the National Cancer Institute as the source. phytonadione EFSA OpenFoodToxLICENSE Vitamin K1 EPA Chemicals under the TSCALICENSE 1,4-Naphthalenedione, 2-methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethyl-2-hexadecen-1-yl]- EPA TSCA Classification EPA DSSToxLICENSE Phytonadione CompTox Chemicals Dashboard Chemical Lists European Chemicals Agency (ECHA)LICENSE Use of the information, documents and data from the ECHA website is subject to the terms and conditions of this Legal Notice, and subject to other binding limitations provided for under applicable law, the information, documents and data made available on the ECHA website may be reproduced, distributed and/or used, totally or in part, for non-commercial purposes provided that ECHA is acknowledged as the source: "Source: European Chemicals Agency, Such acknowledgement must be included in each copy of the material. ECHA permits and encourages organisations and individuals to create links to the ECHA website under the following cumulative conditions: Links can only be made to webpages that provide a link to the Legal Notice page. [R,R-(E)]-(±)-2-methyl-3-(3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-enyl)-1,4-naphthoquinone Phytomenadione Vitamin K1 Phytomenadione (EC: 201-564-2) FDA Global Substance Registration System (GSRS)LICENSE Unless otherwise noted, the contents of the FDA website (www.fda.gov), both text and graphics, are not copyrighted. They are in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from FDA. Credit to the U.S. Food and Drug Administration as the source is appreciated but not required. PHYTONADIONE, (E)- PHYTONADIONE, (E)-(±)- Hazardous Substances Data Bank (HSDB)LICENSE PHYTONADIONE Human Metabolome Database (HMDB)LICENSE HMDB is offered to the public as a freely available resource. Use and re-distribution of the data, in whole or in part, for commercial purposes requires explicit permission of the authors and explicit acknowledgment of the source material (HMDB) and the original publication (see the HMDB citing page). We ask that users who download significant portions of the database cite the HMDB paper in any resulting publications. Vitamin K1 HMDB0003555_cms_2301 New Zealand Environmental Protection Authority (EPA)LICENSE This work is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International licence. Vitamin K1 BindingDBLICENSE All data curated by BindingDB staff are provided under the Creative Commons Attribution 3.0 License ( 2-methyl-3-[(2E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-en-1-yl]-1,4-dihydronaphthalene-1,4-dione Comparative Toxicogenomics Database (CTD)LICENSE It is to be used only for research and educational purposes. Any reproduction or use for commercial purpose is prohibited without the prior express written permission of NC State University. Vitamin K 1 Therapeutic Target Database (TTD)Phytonadione Toxin and Toxin Target Database (T3DB)LICENSE T3DB is offered to the public as a freely available resource. Use and re-distribution of the data, in whole or in part, for commercial purposes requires explicit permission of the authors and explicit acknowledgment of the source material (T3DB) and the original publication. Phytonadione CCSbaseCCSbase Classification ChEBIPhylloquinone ChEBI Ontology FDA Pharm ClassesLICENSE Unless otherwise noted, the contents of the FDA website (www.fda.gov), both text and graphics, are not copyrighted. They are in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from FDA. Credit to the U.S. Food and Drug Administration as the source is appreciated but not required. PHYTONADIONE FDA Pharmacological Classification LOTUS - the natural products occurrence databaseLICENSE The code for LOTUS is released under the GNU General Public License v3.0. Vitamin K1 LOTUS Tree NCI Thesaurus (NCIt)LICENSE Unless otherwise indicated, all text within NCI products is free of copyright and may be reused without our permission. Credit the National Cancer Institute as the source. NCI Thesaurus Open TargetsLICENSE Datasets generated by the Open Targets Platform are freely available for download. PHYTONADIONE ChEMBLLICENSE Access to the web interface of ChEMBL is made under the EBI's Terms of Use ( The ChEMBL data is made available on a Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License ( ChEMBL Protein Target Tree ClinicalTrials.govLICENSE The ClinicalTrials.gov data carry an international copyright outside the United States and its Territories or Possessions. Some ClinicalTrials.gov data may be subject to the copyright of third parties; you should consult these entities for any additional terms of use. DailyMedLICENSE PHYLLOQUINONE Drug Induced Liver Injury Rank (DILIrank) DatasetLICENSE Unless otherwise noted, the contents of the FDA website (www.fda.gov), both text and graphics, are not copyrighted. They are in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from FDA. Credit to the U.S. Food and Drug Administration as the source is appreciated but not required. phytonadione StatPearlsLICENSE This book is distributed under the terms of the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0) ( ), which permits others to distribute the work, provided that the article is not altered or used commercially. You are not required to obtain permission to distribute this article, provided that you credit the author and journal. Phytonadione (Vitamin K1) Drugs and Lactation Database (LactMed)LICENSE Vitamin K Drugs@FDALICENSE Unless otherwise noted, the contents of the FDA website (www.fda.gov), both text and graphics, are not copyrighted. They are in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from FDA. Credit to the U.S. Food and Drug Administration as the source is appreciated but not required. AQUAMEPHYTON WHO Model Lists of Essential MedicinesLICENSE Permission from WHO is not required for the use of WHO materials issued under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Intergovernmental Organization (CC BY-NC-SA 3.0 IGO) license. Phytomenadione EPA Chemical and Products Database (CPDat)LICENSE EPA CPDat Classification Haz-Map, Information on Hazardous Chemicals and Occupational DiseasesLICENSE Copyright (c) 2022 Haz-Map(R). All rights reserved. Unless otherwise indicated, all materials from Haz-Map are copyrighted by Haz-Map(R). No part of these materials, either text or image may be used for any purpose other than for personal use. Therefore, reproduction, modification, storage in a retrieval system or retransmission, in any form or by any means, electronic, mechanical or otherwise, for reasons other than personal use, is strictly prohibited without prior written permission. Phytonadione NORMAN Suspect List ExchangeLICENSE Data: CC-BY 4.0; Code (hosted by ECI, LCSB): Artistic-2.0 PHYTOMENADIONE NORMAN Suspect List Exchange Classification EU Clinical Trials Register FDA Orange BookLICENSE Unless otherwise noted, the contents of the FDA website (www.fda.gov), both text and graphics, are not copyrighted. They are in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from FDA. Credit to the U.S. Food and Drug Administration as the source is appreciated but not required. PHYLLOQUINONE National Drug Code (NDC) DirectoryLICENSE Unless otherwise noted, the contents of the FDA website (www.fda.gov), both text and graphics, are not copyrighted. They are in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from FDA. Credit to the U.S. Food and Drug Administration as the source is appreciated but not required. PHYTONADIONE MassBank of North America (MoNA)LICENSE The content of the MoNA database is licensed under CC BY 4.0. VITAMIN K1 SpectraBaseVitamin K1(20) Phytonadione Phylloquinone (Vitamin K1) Phytonadione Japan Chemical Substance Dictionary (Nikkaji) LIPID MAPSphylloquinone Lipid Classification Natural Product Activity and Species Source (NPASS)Phytonadione MassBank EuropeLICENSE Phylloquinone Metabolomics WorkbenchPhylloquinone Vitamin K1 NIAID ChemDBLICENSE The NIAID ChemDB information received cannot be sold and is only to be used for research purposes. 2-methyl-3-[(E,7R,11R)-3,7,11,15-tetramethylhexadec-2-enyl]naphthalene-1,4-dione NIST Mass Spectrometry Data CenterLICENSE Data covered by the Standard Reference Data Act of 1968 as amended. Phytonadione NLM RxNorm TerminologyLICENSE The RxNorm Terminology is created by the National Library of Medicine (NLM) and is in the public domain and may be republished, reprinted and otherwise used freely by anyone without the need to obtain permission from NLM. Credit to the U.S. National Library of Medicine as the source is appreciated but not required. The full RxNorm dataset requires a free license. vitamin K1 WHO Anatomical Therapeutic Chemical (ATC) ClassificationLICENSE Use of all or parts of the material requires reference to the WHO Collaborating Centre for Drug Statistics Methodology. Copying and distribution for commercial purposes is not allowed. Changing or manipulating the material is not allowed. Phytomenadione ATC Classification WHO ATCvet - Classification of Veterinary MedicinesLICENSE Use of all or parts of the material requires reference to the WHO Collaborating Centre for Drug Statistics Methodology. Copying and distribution for commercial purposes is not allowed. Changing or manipulating the material is not allowed. Phytomenadione ATCvet Classification PharmGKBLICENSE PharmGKB data are subject to the Creative Commons Attribution-ShareALike 4.0 license ( Vitamin K1 Protein Data Bank in Europe (PDBe) RCSB Protein Data Bank (RCSB PDB)LICENSE Data files contained in the PDB archive (ftp://ftp.wwpdb.org) are free of all copyright restrictions and made fully and freely available for both non-commercial and commercial use. Users of the data should attribute the original authors of that structural data. Rhea - Annotated Reactions DatabaseLICENSE Rhea has chosen to apply the Creative Commons Attribution License ( This means that you are free to copy, distribute, display and make commercial use of the database in all legislations, provided you credit (cite) Rhea. Springer Nature SpringerMaterialsC31H46O2 (2-methyl-3-phytyl-1,4-naphthoquinone) Thieme ChemistryLICENSE The Thieme Chemistry contribution within PubChem is provided under a CC-BY-NC-ND 4.0 license, unless otherwise stated. WikidataLICENSE CCZero (E)-phytonadione WikipediaPhytomenadione Wiley Medical Subject Headings (MeSH)LICENSE Works produced by the U.S. government are not subject to copyright protection in the United States. Any such works found on National Library of Medicine (NLM) Web sites may be freely used or reproduced without permission in the U.S. Vitamin K 1 MeSH Tree Antifibrinolytic Agents Vitamins PubChem GHS Classification (UNECE)GHS Classification MolGenieLICENSE CC-BY 4.0 MolGenie Organic Chemistry Ontology PATENTSCOPE (WIPO)SID 403383313 NCBI Cite Download CONTENTS Title and Summary 1 Structures Expand this menu 2 Names and Identifiers Expand this menu 3 Chemical and Physical Properties Expand this menu 4 Spectral Information Expand this menu 5 Related Records Expand this menu 6 Chemical Vendors 7 Drug and Medication Information Expand this menu 8 Pharmacology and Biochemistry Expand this menu 9 Use and Manufacturing Expand this menu 10 Identification Expand this menu 11 Safety and Hazards Expand this menu 12 Toxicity Expand this menu 13 Associated Disorders and Diseases 14 Literature Expand this menu 15 Patents Expand this menu 16 Interactions and Pathways Expand this menu 17 Biological Test Results Expand this menu 18 Taxonomy 19 Classification Expand this menu 20 Information Sources Connect with NLM Twitter Facebook YouTube National Library of Medicine 8600 Rockville Pike, Bethesda, MD 20894 Web Policies FOIA HHS Vulnerability Disclosure Help Accessibility Careers NLM NIH HHS USA.gov
9712	https://ro.scribd.com/document/480994444/Cosine-Rule-Law-of-Cosines-Brilliant-Math-Science-Wiki	Cosine Rule (Law of Cosines) - Brilliant Math & Science Wiki \| PDF \| Trigonometric Functions \| Triangle Opens in a new window Opens an external website Opens an external website in a new window This website utilizes technologies such as cookies to enable essential site functionality, as well as for analytics, personalization, and targeted advertising. To learn more, view the following link: Privacy Policy Open navigation menu Close suggestions Search Search en Change Language Upload Sign in Sign in Download free for 30 days 0 ratings 0% found this document useful (0 votes) 457 views 7 pages Cosine Rule (Law of Cosines) - Brilliant Math & Science Wiki The document summarizes the cosine rule, also known as the law of cosines, which relates the three sides of a triangle to an angle of the triangle. It can be used to find missing side length… Full description Uploaded by Kossaki JM AI-enhanced title and description Go to previous items Go to next items Download Save Save Cosine Rule (Law of Cosines) _ Brilliant Math & Sc... For Later Share 0%0% found this document useful, undefined 0%, undefined Print Embed Ask AI Report Download Save Cosine Rule (Law of Cosines) _ Brilliant Math & Sc... For Later You are on page 1/ 7 Search Fullscreen 5 8/4:/0 4 0 4 I o s h n j P u k j (K e w o c I o s h n j s) \| @r h k k h e n t L e t m &Y i h j n i j Q h b h m t t p s 7//`r h k k h e n t.o r a/w h b h/i o s h n j-r u k j/5/1 Ioshnj Pukj (Kew oc Ioshnjs) Vmj ioshnj rukj , ekso bnown es tmj kew oc ioshnjs , rjketjs ekk 9 shfjs oc e trhenakj whtm en enakj oc e trhenakj.Ht hs lost usjcuk cor sokvhna cor lhsshna hncorlethon hn e trhenakj. Cor jxelpkj, hc ekk tmrjj shfjs oc tmj trhenakj erj bno ioshnj rukj ekkows onj to ﬅnf eny oc tmj enakj ljesurjs. Yhlhkerky, hc two shfjs enf tmj enakj `jtwjjn tmjl hs bnown rukj ekkows onj to ﬅnf tmj tmhrf shfj kjnatm.Iontjnts Ytetjljnt enf Trooc oc tmj Vmjorjl Chnfhna Lhsshna Yhfj Kjnatms enf Enakjs Eppkhiethons to @jerhna enf Mjefhna Trokjls Sjitor Corl oc Ioshnj Pukj Fjrhvhna otmjr Kews Zshna tmj Ioshnj Pukj Trokjl Yokvhna Yjj Ekso Ytetjljnt enf Trooc oc tmj Vmjorjl Ahvjn tmj cokkowhna trhenakj whtm iorrjsponfhna shfjs kjnatm , , enf tmj kew oc ioshnjs stetjs tmet Ht ien j sjjn es e ajnjrekhzethon oc tmj Tytmeaorjen tmjorjl. V ebj onj erhtrery shfj oc tmj trhenakj, cor hnstenij, . squerj jqueks tmj sul oc tmj squerjs oc tmj otmjr two shfjs, h.j. . Hc you wjrj to pkua hn 84 fjarjjs, you kj whtm tmj Tytmeaorjen tmjorjl. Yhnij tmj enakj tmet ceijs our erhtrery shfj hs not njijsserhky , wj whkk me sutreit soljtmhna, es tmj hfjnthty fojs not mokf yjt. Vmj rhamt shfj oc tmhs jquethon hs sthkk "too ha." V soljtmhna wj mevj to sutreit `jioljs . TPOOC E@I e ` i 7 e` 0 i 0 < ` + i ∐ 0 `i ⋊ ios E < e + i ∐ 0 ei ⋊ ios @ 0 0 < e + ` ∐ 0 e` ⋊ ios I . 0 0 e e < 0 ` + 0 i 0 ε e 84´ e < 0 ` + 0 i 0 0 `i ⋊ ios E adDownload to read ad-free 5 8/4:/0 4 0 4 I o s h n j P u k j (K e w o c I o s h n j s) \| @r h k k h e n t L e t m &Y i h j n i j Q h b h m t t p s 7//`r h k k h e n t.o r a/w h b h/i o s h n j-r u k j/0/1 Qj'kk provj cor shfj . Kjt's fjnotj hts ceihna enakj es . Vmj otmjr two jquethons ie n j fonj hn e shlhker wey.@y fjﬅnhthon wj mevj Zshna tmj Tytmeaorjen tmjorjl, wj ajt Yusthtuthna cor enf , wj ajt Notjs7 Vmj hfjnthty hs ekso bnown es tmj Tytmeaorjen hfjnthty.Vmhs prooc hsn't pjrcjit. Qj smoukf mevj jjn worrhjf eout enakjs. Vmhs ien j evohfjfy ushna fhrjitjf enakj TPOOC Kjt fjnotj tmj fot profuit`jtwjjn enf . Ekso, kjt , , enf . Vmjn Chnfhna Lhsshna Yhfj Kjnatms enf Enakjs Ahvjn shfj-enakj-shfj7 J]ELTKJ Hn trhenakj , wj mevj enf . Fjtjrlhnj .Eppkyhna tmj ioshnj rukj on , wj ajt e ε shn ε ios ε <⟸ m < i ⋊ shn ε i m <⟸ r < i ⋊ ios ε . i r e < 0 m + 0 ( ` ∐ r ) . 0 m r e <( i ⋊ shn ε ) + ( ` ∐ i ⋊ ios ε )< i ⋊ shn ε + ` ∐ 0 `i ⋊ ios ε + i ⋊ ios ε 0 0 0 0 0 < i ⋊ ( shn ε ios ε ) + ` ∐ 0 `i ⋊ ios ε 0 0 0 0 < i + ` ∐ 0 `i ⋊ ios ε . 0 0 ▥ shn ε + 0 ios ε < 0 5⋊ e e < e @I < ` EI < i E@i < 0 ⋊ i < i ( ∐ ` ) ⋊ e ( ∐ ` ) < e ` + 0 e ∐ 0 0 ⋊ e < + 0 e ∐ 0 0 e` ios I . ▥ E@I ∤ @EI <,∩ ∩ < 6 τ @I : ∩ ∩ < E@ 9 ∩ ∩ EI ∤ @EI adDownload to read ad-free 5 8/4:/0 4 0 4 I o s h n j P u k j (K e w o c I o s h n j s) \| @r h k k h e n t L e t m &Y i h j n i j Q h b h m t t p s 7//`r h k k h e n t.o r a/w h b h/i o s h n j-r u k j/9/1 Mjnij, . Notj7 Vmhs hs shlhker to tmj 'el`hauous iesj' oc shnj rukj, shnij wj mevj , wmhim hs tmj ionfhthon . VPX HV XOZPYJKC VPX HV XOZPYJKC Ahvjn shfj-shfj-shfj7 J]ELTKJ Hn trhenakj , enf Chnf tmj ljesurj oc Eppkyhna tmj kew oc ioshnjs on shfj wj ajt ∩ ∩ + ∩ ∩ ∐ 0∩ ∩ ⋊ ∩ ∩ ⋊ i o s E@ 0 EI 0 E@ E I 6 τ ∩ ∩ ∐ 9 ∩ ∩ + 6 EI 0 0 EI ∩ ∩ ∐ ∩ ∩ ∐ 0 ( EI 0 )( EI 0 ) <∩ ∩ @I 0 <4<4.∩ ∩ < EI or 0 0 0 ▥ 9s h n ; 6 τ ;: 9 i e ; i Tohnts enf erj tmj lhfpohnts oc shfjs enf rjspjithvjky, oc Hc enf tmjn ﬅnf tmj kjnatm oc 1:0 1: : F J @I I E ,▹ E@I . EF <: @I < @J <6, I E . Hn trhenakj , . Tohnts enf erj ionsjiuthvj pohnts on shfj suim tmet . Hc tmjrj jxhsts suim tmet enf , wmet hs Yu`lht your ens E@I ∤ EI@ <84 ∝ E , F , J , @E@ < EF < F J J@ ν < I F :ios ν < I J :shn ν ? E@ 0 E@I < E@ ∐3 , <0 EI 0 ,0 < @I 0 .9 ∤ E@I . EI , adDownload to read ad-free 5 8/4:/0 4 0 4 I o s h n j P u k j (K e w o c I o s h n j s) \| @r h k k h e n t L e t m &Y i h j n i j Q h b h m t t p s 7//`r h k k h e n t.o r a/w h b h/i o s h n j-r u k j/6/1 Vry tmj cokkowhna pro`kjl7 VPX HV XOZPYJKC Eppkhiethons to @jerhna enf Mjefhna Tro`kjls Qmjn ht ioljs to tmj eppkhiethons whtm rjaerfs to tmj kew oc ioshnjs, ht mes hts own eppkhiethons towerfs vjitor quent not quekhthjs).Yjj7 @jerhna Sjitor Corl oc Ioshnj Pukj Qj mevj EI ( 0 ) 0 0 =∐5 0 + 6 9 ios∤ E@I ⇐ ∤ E@I <+ ∐ 0 ⋊ ⋊ ⋊ i o s∤ E@I E@ @I E@ @I < ( ∐ ) + ( 0 ) ∐ 0 ⋊ 0 ⋊ ( ∐ ) ⋊ i os∤ E@I 3 0 0 9 0 9 3 0<3 ∐ 6 + 0 + 5 0 ∐ ( 5 0 ∐ 6 ) ios∤ E@I 9 0 3<(∐5 0 + 6 )i o s∤ E@I 0 3<∐5 0 + 6 0 3∐5 0 + 6 9<⋊ <0 5∐5 0 + 6 9∐5 0 + 6 9 0 0<. 6 τ ▥ En ent hs kost hn e squerj, enf mhs fhstenijs to tmj vjrthijs oc tmj squerj erj 1, 9:, 68, enf Chnf Notj7 Vmj hleaj hs not frewn to siekj. Yu`lht your ens x . x . adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free Share this document Share on Facebook, opens a new window Share on LinkedIn, opens a new window Share with Email, opens mail client Copy link Millions of documents at your fingertips, ad-free Subscribe with a free trial You might also like Learning and Behavior 9th Edition Full Version Download 82% (11) Learning and Behavior 9th Edition Full Version Download 17 pages 01 No ratings yet 01 314 pages Hanon Complete Text No ratings yet Hanon Complete Text 129 pages Benchmarking Sox Costs, Hours and Controls No ratings yet Benchmarking Sox Costs, Hours and Controls 45 pages DIY Guide To Building Your Own Pulk No ratings yet DIY Guide To Building Your Own Pulk 41 pages The Cosine Rule of A Triangle No ratings yet The Cosine Rule of A Triangle 8 pages Experiment #3 - Energy Loss in Pipe Fittings - Applied Fluid Mechanics Lab Manual No ratings yet Experiment #3 - Energy Loss in Pipe Fittings - Applied Fluid Mechanics Lab Manual 11 pages Phase Theory An Introduction Draft Citko B Download 100% (1) Phase Theory An Introduction Draft Citko B Download 90 pages PN325 PDS No ratings yet PN325 PDS 4 pages Use Case Points for Objectory Projects No ratings yet Use Case Points for Objectory Projects 9 pages Accounting for Financial Liabilities 100% (1) Accounting for Financial Liabilities 71 pages Developing and Analysis of Power Systems Using Psat Software 100% (1) Developing and Analysis of Power Systems Using Psat Software 5 pages Motion of Fluid Particles and Streams: Dr. Khalil Mahmoud ALASTAL No ratings yet Motion of Fluid Particles and Streams: Dr. Khalil Mahmoud ALASTAL 39 pages STEP 7 V56 - Compatibility List No ratings yet STEP 7 V56 - Compatibility List 31 pages Hitch Climbers Guide No ratings yet Hitch Climbers Guide 28 pages Worksheet A Topics 1.9-1.10 Rational Functions VA and Holes No ratings yet Worksheet A Topics 1.9-1.10 Rational Functions VA and Holes 2 pages 1.9 A Gate Which Is A Quarter of A Circle of Radiu... No ratings yet 1.9 A Gate Which Is A Quarter of A Circle of Radiu... 3 pages Economics Module Handbook No ratings yet Economics Module Handbook 36 pages Formulation, Development and in Vitro Characterization of Modified Release Tablets of Capecitabine No ratings yet Formulation, Development and in Vitro Characterization of Modified Release Tablets of Capecitabine 42 pages RF Heating: Created in COMSOL Multiphysics 5.3a No ratings yet RF Heating: Created in COMSOL Multiphysics 5.3a 22 pages Climate Change No ratings yet Climate Change 32 pages Sale of Goods Act 1930 Overview No ratings yet Sale of Goods Act 1930 Overview 27 pages Business Environment: © Oxford University Press 2014. All Rights Reserved No ratings yet Business Environment: © Oxford University Press 2014. All Rights Reserved 25 pages Rabbit Silage Study No ratings yet Rabbit Silage Study 36 pages Grainger Shows Strong End Market No ratings yet Grainger Shows Strong End Market 26 pages Topic-Economic Role For Advertisement Development No ratings yet Topic-Economic Role For Advertisement Development 11 pages Experiment #20 - Bernoulli's Theorem Demonstration - Applied Fluid Mechanics Lab Manual No ratings yet Experiment #20 - Bernoulli's Theorem Demonstration - Applied Fluid Mechanics Lab Manual 12 pages MGMT5410 STRATEGIC MANAGEMENT - Outline 25-1-24 No ratings yet MGMT5410 STRATEGIC MANAGEMENT - Outline 25-1-24 16 pages Grade 7 Bilingual Math Guide 0% (1) Grade 7 Bilingual Math Guide 14 pages Hamill 2011 - Solutions Chapter 01 100% (2) Hamill 2011 - Solutions Chapter 01 6 pages Unidad 4 No ratings yet Unidad 4 12 pages 706 SMP Seaa C10L08 No ratings yet 706 SMP Seaa C10L08 6 pages Trig Graphs (Y12) No ratings yet Trig Graphs (Y12) 13 pages Kumerahou: Pomaderris Kumeraho No ratings yet Kumerahou: Pomaderris Kumeraho 1 page 1.5 A Dam That Retains Fresh Water Has A Vertical ... No ratings yet 1.5 A Dam That Retains Fresh Water Has A Vertical ... 4 pages List - Ipynb - Colaboratory No ratings yet List - Ipynb - Colaboratory 4 pages Sheet - 01 - Trigonometric Equations & Inequations No ratings yet Sheet - 01 - Trigonometric Equations & Inequations 13 pages 551 1R-14 Preview No ratings yet 551 1R-14 Preview 4 pages Richland Technologies 5th Anniversary Press Release No ratings yet Richland Technologies 5th Anniversary Press Release 2 pages Simultaneous Equations No ratings yet Simultaneous Equations 7 pages Omkar Resume No ratings yet Omkar Resume 2 pages POLITICAL SCIENCE Most Important Questions (Prashant Kirad) PDF Political Parties Elections No ratings yet POLITICAL SCIENCE Most Important Questions (Prashant Kirad) PDF Political Parties Elections 1 page Grade 9 Math: Understanding Mean No ratings yet Grade 9 Math: Understanding Mean 8 pages LEVEL 3: Scope and Sequence: Big Question No ratings yet LEVEL 3: Scope and Sequence: Big Question 4 pages 1.14 Function Model Construction and Application Day 2-1 No ratings yet 1.14 Function Model Construction and Application Day 2-1 3 pages Macro Topic 2.2 Limitations of GDP No ratings yet Macro Topic 2.2 Limitations of GDP 1 page Inequality Sat Practise For Math No ratings yet Inequality Sat Practise For Math 11 pages Notes Topics 1.9-1.10 Rational Functions Va and Holes AP PC No ratings yet Notes Topics 1.9-1.10 Rational Functions Va and Holes AP PC 2 pages Trigonometric identities-SM No ratings yet Trigonometric identities-SM 7 pages Class 10 Sa and Volume No ratings yet Class 10 Sa and Volume 2 pages 2016-17 Ap Chemistry Syllabus No ratings yet 2016-17 Ap Chemistry Syllabus 24 pages Worksheet A 2024 Topic 2.6 Competing Function Model Validation No ratings yet Worksheet A 2024 Topic 2.6 Competing Function Model Validation 4 pages AP Physics Work Energy Power No ratings yet AP Physics Work Energy Power 17 pages HSC Further Trigonometric Identities No ratings yet HSC Further Trigonometric Identities 7 pages Trig Calc, Graphs & Circ Meas Ext 1 No ratings yet Trig Calc, Graphs & Circ Meas Ext 1 13 pages Conservation of Energy Problems Worksheet 3 100% (1) Conservation of Energy Problems Worksheet 3 15 pages Lab Exercise: Conservation of Energy: Name No ratings yet Lab Exercise: Conservation of Energy: Name 5 pages 8.EE.7a&b Lesson Multi-Step Equations No ratings yet 8.EE.7a&b Lesson Multi-Step Equations 7 pages Algebra, Expressions and Functions No ratings yet Algebra, Expressions and Functions 12 pages Math Ratios & Rates Practice No ratings yet Math Ratios & Rates Practice 2 pages Physics Problem Solutions No ratings yet Physics Problem Solutions 10 pages HSC Trigonometry No ratings yet HSC Trigonometry 16 pages Expenditure and Tax Multiplier No ratings yet Expenditure and Tax Multiplier 4 pages Vector Functions for Math Students No ratings yet Vector Functions for Math Students 6 pages Calculate Index and Price Indices No ratings yet Calculate Index and Price Indices 12 pages 6.1 and 6.2 - Balance of Payments Accounts & Exchange Rates No ratings yet 6.1 and 6.2 - Balance of Payments Accounts & Exchange Rates 5 pages SMC 2023 Extended Solutions 1 No ratings yet SMC 2023 Extended Solutions 1 23 pages Adv Trig Identities and Equations No ratings yet Adv Trig Identities and Equations 7 pages Rational Functions: Asymptotes & Holes No ratings yet Rational Functions: Asymptotes & Holes 6 pages Law of Sines Cosines Worksheet No ratings yet Law of Sines Cosines Worksheet 7 pages Ratio, Proportion, and Rate Problems No ratings yet Ratio, Proportion, and Rate Problems 8 pages Ext 1 Trig Identities and Equations No ratings yet Ext 1 Trig Identities and Equations 7 pages Graphing Sine and Cosine Functions HMW No ratings yet Graphing Sine and Cosine Functions HMW 5 pages Assignment 13 - Transformation of Functions No ratings yet Assignment 13 - Transformation of Functions 6 pages Transformations of Functions (24-25) (Ws2) Sol No ratings yet Transformations of Functions (24-25) (Ws2) Sol 4 pages Parabola Assignment No ratings yet Parabola Assignment 19 pages Assignment of SAT Math Lesson Three - Problem Solving and Data Analysis I - Ratios, Rates and Percentages and Statistics No ratings yet Assignment of SAT Math Lesson Three - Problem Solving and Data Analysis I - Ratios, Rates and Percentages and Statistics 64 pages Transformations of Functions Worksheet No ratings yet Transformations of Functions Worksheet 4 pages APPC-Practice 2.2 Change in Linear and Exponential Functions KEY No ratings yet APPC-Practice 2.2 Change in Linear and Exponential Functions KEY 5 pages Logarithmic Functions No ratings yet Logarithmic Functions 2 pages Math Model Validation Worksheet No ratings yet Math Model Validation Worksheet 3 pages Topic 3.12 Equivalent Representations No ratings yet Topic 3.12 Equivalent Representations 2 pages Coordinate Geometry HC No ratings yet Coordinate Geometry HC 3 pages Algebra2 - Modeling Periodic Phenomena Portfolio Worksheet No ratings yet Algebra2 - Modeling Periodic Phenomena Portfolio Worksheet 3 pages 1.14 Function Model Construction and Application Day 1 No ratings yet 1.14 Function Model Construction and Application Day 1 3 pages Lecture#4 - Transformations of Functions No ratings yet Lecture#4 - Transformations of Functions 5 pages Algebra Study Guide for Year 7 No ratings yet Algebra Study Guide for Year 7 4 pages 09 Rotational Kinetic Energy No ratings yet 09 Rotational Kinetic Energy 4 pages Math Expressions for Students No ratings yet Math Expressions for Students 2 pages Student Statistics Exercise No ratings yet Student Statistics Exercise 1 page Arithmetic and Geometric Sequences Graded 9-5 No ratings yet Arithmetic and Geometric Sequences Graded 9-5 1 page Transformation of Functions Ms No ratings yet Transformation of Functions Ms 4 pages 1.13 Function Model Selection and Assumption Articulation Day 2 No ratings yet 1.13 Function Model Selection and Assumption Articulation Day 2 3 pages Graphing Sine and Cosine No ratings yet Graphing Sine and Cosine 2 pages APPC 1.11A WKST Equivalent Representations of Polynomial and Rational Functions No ratings yet APPC 1.11A WKST Equivalent Representations of Polynomial and Rational Functions 2 pages Graphing Transformation of Functions No ratings yet Graphing Transformation of Functions 1 page HW Topic 2.4 Exponential Function Manipulation No ratings yet HW Topic 2.4 Exponential Function Manipulation 2 pages ad Footer menu Back to top About About Scribd, Inc. Everand: Ebooks & Audiobooks Slideshare Join our team! Contact us Support Help / FAQ Accessibility Purchase help AdChoices Legal Terms Privacy Copyright Cookie Preferences Do not sell or share my personal information Social Instagram Instagram Facebook Facebook Pinterest Pinterest Get our free apps About About Scribd, Inc. Everand: Ebooks & Audiobooks Slideshare Join our team! Contact us Legal Terms Privacy Copyright Cookie Preferences Do not sell or share my personal information Support Help / FAQ Accessibility Purchase help AdChoices Social Instagram Instagram Facebook Facebook Pinterest Pinterest Get our free apps Documents Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. We take content rights seriously. Learn more in our FAQs or report infringement here. We take content rights seriously. Learn more in our FAQs or report infringement here. Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. 576648e32a3d8b82ca71961b7a986505 scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.
9713	https://askfilo.com/user-question-answers-smart-solutions/compare-dipole-moment-3132383838343432	Question asked by Filo student compare dipole moment Views: 5,259 students Updated on: Oct 23, 2024 Text SolutionText solutionverified iconVerified Concepts: Dipole moment, Polarity, Molecular geometry Explanation: The dipole moment of a molecule depends on both the difference in electronegativity between the atoms and the geometry of the molecule. The dipole moment is a vector quantity, and the overall dipole moment is the vector sum of the individual bond dipoles. Step by Step Solution: Step 1 Compare the dipole moments of CO2 and SO2: CO2 is a linear molecule with two polar bonds that cancel each other out, resulting in a net dipole moment of zero. SO2, on the other hand, is a bent molecule with a net dipole moment due to the non-cancellation of the bond dipoles. Step 2 Compare the dipole moments of NH3 and NF3: NH3 has a trigonal pyramidal shape with a lone pair on nitrogen, resulting in a net dipole moment pointing towards the nitrogen. NF3 also has a trigonal pyramidal shape, but the electronegativity of fluorine is higher than that of nitrogen, resulting in a smaller net dipole moment compared to NH3. Step 3 Compare the dipole moments of PCl2F3 and PCl3F2: The dipole moment of these molecules depends on the arrangement of the atoms around the phosphorus atom. PCl2F3 has a higher dipole moment because the electronegative fluorine atoms create a stronger net dipole moment compared to PCl3F2. Step 4 Compare the dipole moments of the substituted benzene rings: The dipole moment of substituted benzene rings depends on the positions of the substituents. For example, 1,2-dichlorobenzene has a higher dipole moment compared to 1,4-dichlorobenzene because the dipoles do not cancel out as effectively in the ortho position compared to the para position. Final Answer: The dipole moments of the molecules can be compared based on their molecular geometry and the electronegativity of the atoms involved. CO2 has a dipole moment of zero, while SO2 has a non-zero dipole moment. NH3 has a higher dipole moment than NF3. PCl2F3 has a higher dipole moment than PCl3F2. Among the substituted benzene rings, the dipole moments vary based on the positions of the substituents. Students who ask this question also asked Views: 5,357 Topic: Smart Solutions View solution Views: 5,379 Topic: Smart Solutions View solution Views: 5,129 Topic: Smart Solutions View solution Views: 5,151 Topic: Smart Solutions View solution Stuck on the question or explanation? Connect with our tutors online and get step by step solution of this question. \| \| \| --- \| \| Question Text \| compare dipole moment \| \| Updated On \| Oct 23, 2024 \| \| Topic \| All topics \| \| Subject \| Smart Solutions \| \| Class \| Undergraduate \| \| Answer Type \| Text solution:1 \| Are you ready to take control of your learning? Download Filo and start learning with your favorite tutors right away! Questions from top courses Explore Tutors by Cities Blog Knowledge © Copyright Filo EdTech INC. 2025
9714	https://www.medicalnewstoday.com/articles/326583	Health Conditions Health Products News Original Series Podcasts General Health Health Tools Quizzes About Medical News Today Find Community Follow Us What causes sores on the penis? Sores on the penis may result from a sexually transmitted infection (STI), such as herpes, or a skin condition like psoriasis. Diabetic ulcers and cancerous tumors can also affect the penis. While some penis sores will clear up on their own, many require treatment to prevent symptoms from getting worse, complications, and transmission to others. In this article, we list 12 potential causes of penis sores and the treatments available for each one. Pictures of penis sores Genital herpes Genital herpes is a sexually transmitted infection (STI) that passes from one person to another during sexual activity. In the United States, almost 12% of people aged 14 to 49 have genital herpes. The herpes simplex virus causes genital herpes. Its symptoms can include painful, itchy, fluid-filled, blistering sores on the penis and other parts of the genitals. When these blisters burst, they can leave scars. Genital warts Genital warts are another type of viral STI, caused by the human papillomavirus. They appear on the penis as small, bumpy, sometimes stalky, cauliflower-like growths. Genital warts can cause itching and discomfort. Approximately 10% to 20% of sexually active people will develop genital warts in their lifetime. If the warts do not cause pain and discomfort, then no treatment is necessary. For up to 1 in 3 people with the condition, the warts will go away on their own within 2 years. Syphilis Syphilis is a severe bacterial infection and another type of STI. In the early stages of infection, syphilis usually causes a hard, painless, red sore on the penis. This sore lasts for 3 to 6 weeks. Untreated, syphilis can lead to: If a person suspects syphilis, they must seek medical attention as early as possible to prevent the infection from progressing and causing severe, lasting health complications. Scabies Scabies is a contagious skin condition that can affect many parts of the body, including the penis. People get scabies when the Sarcoptes scabiei mite burrows into the skin. Sexual contact increases the risk of scabies in the penis. Scabies causes tiny blisters or sores on the skin that are extremely itchy, especially at night. These sores typically occur in thin, irregular lines showing the path of the mite under the skin. After an infestation occurs, a person who has never had scabies before may not develop symptoms until after 4 to 8 weeks. Symptoms may show up sooner in cases of a subsequent infestation. Molluscum contagiosum Molluscum contagiosum is a viral skin infection. Anyone can catch molluscum contagiosum from direct contact with others or from sharing towels or personal items. Sexual contact can cause it to develop on the penis. Symptoms include itchy, small, pearly papules with a depressed center, which produces a cheesy substance. These can occur alone or in clusters. Many cases clear up without treatment within 6 to 9 months. While sores are present, people can transmit molluscum contagiosum to others. Chancroid Chancroid is a bacterial infection caused by the Haemophilus ducreyi bacterium. It spreads from one person to another through sex without barrier protection. The infection causes small, red, raised sores to form on the penis. These are itchy and painful, and they ooze blood or other fluid when they later open and become ulcerative. Other symptoms include pain during sex or urination and swelling in the groin. Chancroid is a risk factor for HIV infection. Granuloma inguinale Granuloma inguinale, or donovanosis, is a bacterial STI that causes ulcers to form on the genitals and anus. It is rare in the U.S., but common in some developing regions. In the beginning, the infection causes small, painless bumps. Over time, these sores slowly develop into deepening ulcers that bleed. Psoriasis Psoriasis is an autoimmune skin condition that causes red, scaly patches of skin. On the penis and genitals, it can cause: Symptoms vary from one person to another. In some, it may appear as just a few spots, while others experience a widespread rash. Atopic dermatitis Atopic dermatitis, or eczema, is a chronic skin condition. It can affect many body parts, including the penis. An eczema rash causes red, flaky bumps that itch. The bumps may blister and burst before forming a scab. Eczema occurs in people with a gene variant that affects their skin’s ability to protect against irritants and allergens. Penis eczema rashes may result from contact with scented cleansing products, laundry detergents, or clothing chafing. Lichen planus Lichen planus is another autoimmune skin condition. It causes an itchy rash characterized by flat, purple-red bumps. The rash may develop on the penis, inner arms, wrists, ankles, or other body parts. These sores may form blisters that ooze and crust over. Painful, white sores that look like lace may also develop in the mouth. Diabetes ulcers Diabetes ulcers typically appear on the feet. However, an older case report describes penile ulcers as a result of diabetes. In this case, treatment involved antifungal cream and medication to control blood sugar levels. More common symptoms of diabetes mellitus include: Penile cancer Penile cancer is a rare form of cancer. Typically, the first symptom is a change in the skin of the penis, such as: Outlook The outlook for people with penis sores depends on the underlying cause. Typically, penis sores occur due to a STI or chronic skin condition. It is important to avoid sexual activity until a doctor determines the precise cause of the sores. Seek prompt medical attention if other symptoms accompany the sore, such as: The earlier a person seeks treatment, the better the outcome. Summary Sores on the penis can have various causes, ranging from benign to serious. A person can discuss their symptoms with a doctor and follow the treatment recommendations they give. Read the article in Spanish. How we reviewed this article: Share this article Latest news Related Coverage A variety of health conditions can cause red spots on the penis, including eczema, balanitis, and some sexually transmitted infections. Learn more… Many different conditions can cause one or more lumps to form on the penis. Some, such as Fordyce spots, are harmless. Others, including infections… Many factors can cause a cyst to form on the penis, and the cyst can lead to varying symptoms. Here, we discuss the causes, symptoms, treatment… There are many possible causes of a sore penis after sex. Learn about some of the most common causes and their treatment options here. OUR BRANDS
9715	https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC3809038/	Adoptive T cell Transfer for Cancer Immunotherapy in the Era of Synthetic Biology - PMC Skip to main content An official website of the United States government Here's how you know Here's how you know Official websites use .gov A .gov website belongs to an official government organization in the United States. Secure .gov websites use HTTPS A lock ( ) or https:// means you've safely connected to the .gov website. Share sensitive information only on official, secure websites. Search Log in Dashboard Publications Account settings Log out Search… Search NCBI Primary site navigation Search Logged in as: Dashboard Publications Account settings Log in Search PMC Full-Text Archive Search in PMC Journal List User Guide View on publisher site Download PDF Add to Collections Cite Permalink PERMALINK Copy As a library, NLM provides access to scientific literature. Inclusion in an NLM database does not imply endorsement of, or agreement with, the contents by NLM or the National Institutes of Health. Learn more: PMC Disclaimer \| PMC Copyright Notice Immunity . Author manuscript; available in PMC: 2014 Jul 25. Published in final edited form as: Immunity. 2013 Jul 25;39(1):10.1016/j.immuni.2013.07.002. doi: 10.1016/j.immuni.2013.07.002 Search in PMC Search in PubMed View in NLM Catalog Add to search Adoptive T cell Transfer for Cancer Immunotherapy in the Era of Synthetic Biology Michael Kalos Michael Kalos 1 Abramson Cancer Center and the Department of Pathology and Laboratory Medicine, Perelman School of Medicine, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104-5156 Find articles by Michael Kalos 1, Carl H June Carl H June 1 Abramson Cancer Center and the Department of Pathology and Laboratory Medicine, Perelman School of Medicine, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104-5156 Find articles by Carl H June 1 Author information Copyright and License information 1 Abramson Cancer Center and the Department of Pathology and Laboratory Medicine, Perelman School of Medicine, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104-5156 ✉ Correspondence: michael.kalos@uphs.upenn.edu (M.K.) and cjune@exchange.upenn.edu (C.H.J.) © 2013 Elsevier Inc. All rights reserved. PMC Copyright notice PMCID: PMC3809038 NIHMSID: NIHMS505832 PMID: 23890063 The publisher's version of this article is available at Immunity Abstract Adoptive T cell transfer for cancer and chronic infection is an emerging field that shows promise in recent trials. Synthetic biology-based engineering of T lymphocytes to express high affinity antigen-receptors can overcome immune tolerance, which has been a major limitation of immunotherapy-based strategies. Advances in cell engineering and culture approaches to enable efficient gene transfer and ex vivo cell expansion have facilitated broader evaluation of this technology, moving adoptive transfer from a “boutique” application to the cusp of a mainstream technology. The major challenge currently facing the field is to increase the specificity of engineered T cells for tumors, since targeting shared antigens has the potential to lead to on-target off-tumor toxicities, as observed in recent trials. As the field of adoptive transfer technology matures, the major engineering challenge is the development of automated cell culture systems, so that the approach can extend beyond specialized academic centers and become widely available. Introduction Adoptive T cell transfer involves the isolation and reinfusion of T lymphocytes into patients to treat disease. The ultimate objective of the process is conceptually the same as that of a successful T cell immunization, namely the stimulation and expansion of potent and antigen-specific T cell immunity. Adoptive T cell transfer additionally offers the potential to overcome one of the significant limitations associated with vaccine-based strategies, specifically the requirement to de-novo activate and expand a tumor antigen-specific T cell response in patients who are often immune compromised and deeply tolerant to cancer antigens or to antigens that are expressed during chronic infection. Targeting of disease through the adoptive transfer of lymphocytes was first reported over fifty years ago in rodent models (Mitchison, 1955). Improved understanding of T cell biology, including the mechanisms for T cells activation and recognition of targets, the role of accessory surface molecules and signal transduction pathways involved in the regulation of T cell function and survival, as well as the identification and cloning of soluble T cell growth factors, has facilitated the ability to expand ex vivo large numbers of T cells for adoptive immunotherapy. There are several excellent reviews of the rationale and experimental basis for adoptive T cell therapy of tumors (Cheever and Chen, 1997; Greenberg, 1991; Restifo et al., 2012). Significant effort has been extended over the past few years to evaluate the potential for adoptive T cell transfer to treat cancer. A number of strategies have been evaluated, initially using T cells isolated from tumor infiltrating lymphocytes (TIL) (Dudley et al., 2008). Adoptive transfer of bulk T lymphocytes, obtained from the periphery and expanded ex vivo to generate large numbers prior to re-infusion into patients is an alternative strategy for adoptive T cell therapy (Rapoport et al., 2005). Initial approaches to apply this strategy involved leukapheresis of peripheral blood mononuclear cells (PBMC) from patients followed by bulk ex vivo expansion and re-infusion along with exogenous interleukin-2 (IL-2). This approach does not specifically enrich for antigen-specific T cells, but rather generates a population of activated T cells with lowered triggering thresholds. Clinical trials to evaluate the potential of adoptively transferred autologous activated T cells to augment stem cell transplants for hematologic malignancies showed that infusion of autologous co-stimulated T cells resulted in a rapid reconstitution of lymphocyte numbers (Laport et al., 2003) and randomized trials demonstrated that expanded cells were functional (Rapoport et al., 2005). Data from more recent clinical trials using engineered antigenspecific T cells have started to reveal the full potential of adoptive T cell therapy to effectively target cancer, with objective clinical activity in a number of cases (Brentjens et al., 2013; Johnson et al., 2009; Kochenderfer et al., 2012) including complete and long-lasting durable clinical responses observed in patients with late-stage, chemotherapy resistant leukemias (Grupp et al., 2013; Kalos et al., 2011). These recent results have shown that it is possible to achieve a long-standing objective of adoptive T cell therapy and recapitulate the end result of a successful T cell vaccine, with robust T cell expansion in vivo, effect potent anti-tumor activity, contraction, and long-term functional persistence as a memory T cell subset. However we propose that the goal with engineered T cells is not simply to recapitulate T cell vaccines, but rather to use the emerging discipline of synthetic biology, which combines elements of engineering and molecular biology to create new immune systems with enhanced functionalities (Chen et al., 2012). In this regard, the principles of gene transfer combined with adoptive cellular therapy are poised to overcome the fundamental limitations associated with central and peripheral tolerance and enable the potent and efficient “at-will” targeting of tumors. In this article we summarize the state-ofthe art and highlight outstanding issues for the effective application of engineered T cell therapy to treat cancer. Using bispecific T cells to overcome tolerance The great majority of to-date targeted tumor antigens are self-antigens, normally expressed during development and aberrantly expressed by tumors. The striking difference in affinity between T cell receptors specific for self-antigens expressed by tumors and T cell receptors specific for virus antigens has been summarized recently (Aleksic et al., 2012). Comparative analyses have revealed that TCR from T cells that recognize self-tumor antigens have substantially lower affinities (approximately 0.5 logs) for cognate MHC: peptide complexes compared to their virus-specific counterparts (Cole et al., 2007). This observation, which reflects the impact of central tolerance on the T cell repertoire to self-antigens, points to the fact that T cells that escape central tolerance and have the potential to respond to the self-target antigens will manifest in most cases suboptimal activation in terms of antitumor activity. The high tolerance to tumor antigens with normal and/or developmental expression combined with the potent immunosuppressive microenvironment often present at the tumor site support the premise that enhancing anti-tumor immunity by the adoptive transfer of “native” T cells may not be sufficient to induce tumor cell death in most patients with advanced malignancy. Gene-transfer based strategies have been developed to overcome the consequences of immune tolerance on the tumor-specific T cell repertoire. These approaches provide the potential to redirect T cells to effectively target tumors by the transfer of antigen-specific T cell receptor α and β chains (αβ TCR) or chimeric antigen receptors (CAR) composed of antibody binding domains fused to T cell signaling domains. In each case recipient T cells acquire the engineered, tumor-specific specificity while retaining their initial specificity (Figure 1). Figure 1. Engineered T cells that have retargeted specificity. Open in a new tab Bispecific and tri-specific T cells are created by introduction of genes that encode TCRs and CARs of desired specificity and affinities for tumors. The T cells retain expression of the endogenous TCR, unless this is knocked down using various approaches. CARs target surface antigens in an MHC-independent fashion. Costim, cosignaling domain such as CD28 or 4-1BB; LAT, linker for activation of T cells; scFv, single-chain variable fragment; ZAP70, zeta chain associated protein kinase 70 kDa. The primary source for isolating tumor-specific αβ TCR has been tumor specific T cell clones obtained from cancer patients or healthy volunteers. A number of approaches have been developed to isolate such T cells based on in vitro stimulation strategies using peptides or whole antigen. These approaches have in general been tedious and inefficient, at least in part because of the lack of robust in vitro expansion protocols and the low frequency of such T cells in peripheral blood. Additionally, because of the impact of central tolerance on the T cell repertoire, T cells isolated by these approaches have typically been of low affinity with at best modest anti-tumor activity. Rational high-throughput genetic mutagenesis approaches have been applied to enhance the affinity of tumor-antigen specific αβ TCR (Chervin et al., 2008; Li et al., 2005), and such efforts have resulted in the ability to molecularly engineer αβ TCR with substantially higher affinities for target antigens (Li et al., 2005). Alternative strategies to improve αβ TCR avidity by engineering TCR chains have also been pursued (Kuball et al., 2009). Affinity-enhanced αβ TCR based engineering approaches have certain inherent biological advantages, most notably that essentially all cellular proteins can be targeted since the approach is not limited to the targeting of cell surface epitopes and the primary T cell activation signal is delivered in a physiological context which may be relevant for optimal functionality of the infused T cells. On the other hand, this approach suffers from certain disadvantages; in particular, αβTCR-based targeting approaches remain susceptible to the common tumor escape mechanisms of MHC down-modulation and altered peptide processing; furthermore, the mutagenesis process has the potential to result in the generation of neoepitopes that can become the target of humoral and cellular immune responses in patients. An additional concern for the broader implementation of affinity-enhanced αβ TCR relates to the development of secondary and potentially deleterious specificities as a consequence of the mutagenesis and enhanced affinity process (Zhao et al., 2007). As discussed in more detail below, establishing robust and systematic approaches to evaluate this potential on a case-by-case basis will be critical for broader implementation of this approach. Engineering of T cells by the introduction of chimeric antigen receptors (CAR) is an alternative approach to redirect T cell specificity (Gross et al., 1989). CARs are synthetic polypeptides that contain 3 distinct modules: an extracellular target binding module, a transmembrane module which anchors the molecule into the cell membrane, and an intracellular signaling module that transmits activation signals. The target binding module is usually generated using scFv determinants isolated from antibodies, linked in a single chain through linker polypeptide sequences. Transmembrane modules are most commonly derived from molecules involved in T cell function such as CD8 and CD28. The intracellular module almost always consists of the zeta chain of the TCR complex responsible for transmitting TCR engagement-mediated activation signals to cells. As discussed in more detail below, more recently developed CARs incorporate additional domains associated with T cell functions in efforts to augment zeta signaling in a physiologically relevant manner. CAR-based strategies provide distinct advantages in terms of redirecting effective anti-tumor activity: Because the target-binding moiety is derived from antibodies with affinities several orders of magnitude higher αβTCR, CAR engineered cells bypass the fundamental issue of central tolerance. Since CAR recognize intact cell surface proteins, targeting of target cells is neither MHC-restricted nor dependent on processing and effective presentation of target epitopes and CAR-based approaches are insensitive to tumor escape mechanisms related to HLA down-modulation and altered processing escapemechanisms, an issue that is distressingly common in human carcinoma (Vitale et al., 2005). On the other hand, a limitation of the CAR-based approach is that they are restricted to targeting of cell surface determinants. A recent report has described the development of CAR that target the intracellular antigen WT-1 using antibody scFv domains that target MHC class I:peptide complexes (Dao et al., 2013). Finally, because CAR are chimeric molecules that include unique junctional fragments and murine sequences in the scFv domains, CAR-modified T cells can be targeted by patient humoral and cellular immune responses. Approaches to genetically engineer lymphocytes Advances in basic molecular biology have precipitated a number of approaches to engineer lymphocytes at the genomic, RNA, epigenetic and protein levels, with the goal of pharmacologically enhancing the immune system. Approaches to engineer lymphocytes have been reviewed (June et al., 2009). The combination of diverse approaches to effectively engineer T cells combined with recently acquired mechanistic insights into T cell biology and tumor immunity have converged to the point where the rational engineering of potent anti-tumor T cell immunity is a practical and clinically testable reality. The majority of clinical approaches have employed T cells engineered to stably express transgenes via virus-based transduction. Virus-mediated gene transfer approaches typically employ vectors that are derived from gamma retroviruses or more recently lentiviruses, principally because of their ability to integrate into the host genome and drive long-term transgene expression, as well as for their low intrinsic immunogenicity. Gammaretrovirus-based transduction requires replicating cells for viral integration into genomic DNA, while lentiviral vectors can also integrate into non-dividing cells; lentiviral vectors also appear to be less susceptible to silencing by host restriction factors and can deliver larger DNA sequences than retroviruses (Naldini et al., 1996). Although virus-based approaches result in reasonably efficient transduction of primary T cells, they have considerable limitations in terms of cost to manufacture clinical-grade material, the total size of DNA that can be included in the virus vectors, and the potential, principally for retroviruses, for the integration events to result in insertional oncogenesis. A new virus-based system that has not yet entered clinical trials is based on foamy virus vectors, which possess favorable integration properties and are not pathogenic in humans (Williams, 2008). Non-virusbased approaches benefit from lower manufacturing cost and are in principle less immunogenic than viral approaches. While such approaches are theoretically safer since they are not dependent on viral elements integrating into host DNA, their safety record is shorter than that of virus-based vectors. Nonviral approaches to introduce transgenes into T cells involve the utilization of transposon elements such as sleeping beauty and piggybac as well as zinc-finger nuclease, TALEN and CRISPR/Cas9 based-technologies, which allow for the ability to engineer T cell populations with transgene insertions into specific chromosomal loci or that are bi-allelically disrupted for specific genes (Hackett et al., 2010; Perez et al., 2008; Reyon et al., 2012). Such technologies offer significant potential to be able to engineer T cells in a manner that allows for the ability to interrupt or otherwise modulate expression of particular proteins that may be deleterious to therapeutic function. As discussed above, a potential safety concern related to the infusion of engineered T cells is integration-related insertional mutagenesis and cellular transformation, which has been demonstrated with the genetic engineering of hematopoietic stem cells (Hacein-Bey-Abina et al., 2008). Retrovirally-modified T cells have been shown to persist for more than a decade without adverse effects after adoptive transfer in patients with congenital and acquired immunodeficiency (Muul et al., 2003; Scholler et al., 2012), indicating that the retrovirus-based approaches to genetically modify mature human T cells are fundamentally safe. There is less data available on use of lentiviruses, however to date no safety concerns have been raised, and analysis of transduced T cells recovered from patients indicates that the lentiviral integration sites are not random and do not favor proto-oncogenes or tumor suppressor genes (Bushman, 2007; Wang et al., 2009). For some applications, permanent genomic alteration may not be necessary for therapeutic efficacy, or transient expression may be required to mitigate potential unanticipated toxicity. In situations where transient gene transfer is required, non-integrating viruses, such as the adenovirus-based Ad5–35 vectors, can achieve high efficiencies of gene transfer to human T cells (Perez et al., 2008). One emerging alternative to virus-mediated gene transfer approaches is RNA transfection. Primary human T lymphocytes transiently express proteins for at least a week after electroporation using in vitro-transcribed mRNA, and such engineered cells mediate potent and antigen-specific effector functions (Zhao et al., 2010). RNA electroporation has been used to deliver message for TCR or CAR, chemokine receptors or cytokines (Mitchell et al., 2008; Rowley et al., 2009; Yoon et al., 2009). Because RNA electroporation is a cost effective and efficient mechanism to engineer T cells, this approach is attractive for high throughput and iterative testing of novel constructs and/or targets, and clinical trials using mRNA-electroporated lymphocytes are ongoing at several centers. The transient nature of RNA-based strategies provides considerable safety advantages, particularly when exploring the potential to target antigens not previously evaluated using CAR technology and where low level expression in normal tissues may be problematic in terms of toxicity. Finally, the flexibility of this platform allows for the ability to co-transfer multiple transcripts and augment T cell function by introducing molecules that enhance co-stimulation and effector functions, mediate homing to target tissues, or co-target multiple antigens. An additional challenge for the field is the ability to more precisely control the activity of transferred engineered cells. Initial efforts focused on developing approaches to ablate engineered cells through the introduction of ‘suicide genes” such as herpes simplex virus thymidine kinase (TK); these initial efforts demonstrated the potential for immune-based rejection as a result of targeting TK-derived sequences (Marktel et al., 2003). More recently, an inducible system based on a fusion protein comprised of an extracellular FK506 binding domain linked to human caspase-9 signaling domains to deliver apoptotic signals in response a small molecule-mediated dimerization has been developed and is currently being evaluated in clinical trials (Di Stasi et al., 2011). Another potential approach to is to engineer T cells to express signaling pathways that causes the T cell to destroy itself after a defined number of cell divisions (Friedland et al., 2009). Looking forward, the development of approaches that enable modulation of T cell function and activity rather than T cell ablation are likely to result in more precisely tuned T cell specificity and function. While the ability to redirect T cell specificity to target antigens of choice has perhaps been the most obvious development in the field of T cell-based gene therapy, there are other aspects of T cell biology that are amenable to genetic manipulation and likely important to address for the successful broad application of adoptive immunotherapy. These aspects include long-term functional persistence, trafficking of effector cells and accumulation at the tumor site, and engagement of costimulatory receptors to mediate a robust effector response. In addition, infused T cells must be able to resist mechanisms of exhaustion, senescence and immunosuppression by the tumor microenvironment, avoid the host humoral and cellular immune responses and additionally be amenable to deletion on demand to mitigate potential toxicity issues. Some examples include strategies to encode molecules involved in costimulation (Krause et al., 1998), the prevention of apoptosis (Charo et al., 2005), the remodeling of the tumor microenvironment (Kerkar et al., 2011), the induction of homeostatic proliferation (Cheng et al., 2002), as well as CARs encoding chemokine receptors that promote T cell homing (Moon et al., 2011). Beyond Boutique: producing weapons of mass destruction for the masses The potential to target cancer by adoptive transfer of various lymphocyte subsets is currently being tested in numerous clinical trials. Given that the optimal cell culture conditions are not the same for distinct lymphocyte subpopulations, there are multiple approaches that are being tested for ex vivo expansion (Figure 2). For example, investigators are testing infusion of engineered CD4+ cells, CD8+ cells, Tregs, invariant NKT cells and gamma delta T cells. The use of engineered memory stem cells (that is, T cells programmed for the most extensive self-renewal) has significant but as yet not-explored potential (Gattinoni et al., 2011). Figure 2. Cell culture approaches. Open in a new tab CTLs express αβ TCRs and are stimulated by APCs that express MHC class I. Feeder cells or artificial APC (aAPC) that express the costimulatory ligands 4-1BBL and CD83 or beads coated with agonistic antibodies enhance growth and function. T cells can be stimulated by beads or cell based aAPC in the presence of various cytokines. Autologous engineered cell therapies are a paradigm shift from conventional biologics such as pills, vaccines, small molecule inhibitor molecules and antibodies in that the approach requires a patient-specific product. Some have dismissed adoptive T cell immunotherapy as a fringe or boutique therapy that would be impossible to commercialize (Baker, 2011). Indeed, several challenges must be overcome before this disruptive therapy can become broadly applicable and widely available. The barriers that we currently perceive fall into two areas. First, the cell culture systems must be robust and reproducible. The T cell engineering process that we and others have developed requires complex logistics. Some of the variables that need to be standardized in order to scale this out for widespread use include developing a leukapheresis network, standardizing and scaling up the manufacturing of lentiviral vectors, and the development of validated cell shipping and chain of custody procedures. For example, the cell culture media that will be used for commercial scale must be serum free because there is an insufficient supply of bovine or human derived serum to support large scale manufacturing (Brindley et al., 2012). Second, personalized cell therapies cannot become widely available if the cell culture process requires extensive manipulation by highly skilled scientists and technicians (Mason and Manzotti, 2010). Therefore, automated culture systems need to be developed. There is precedent in the automotive industry, where cars were initially manufactured in assembly lines, but manually. Today’s automobiles are assembled largely by robots and other forms of automation (Michalos et al., 2010). As engineered T cell processing becomes more automated, cell products will be produced for greater number of patients more efficiently. Given the recent entry of the pharmaceutical industry to this field, we are optimistic that the resources and expertise of the pharmaceutical industry will create the infrastructure required for the widespread availability of this disruptive technology. Further clinical development of engineered T cell therapies in large numbers of patients will be challenging but is justified given the magnitude of therapeutic effects recently observed. Lessons from clinical trials Poor in-vivo persistence has been a repeating theme in most T cell adoptive transfer trials where lack of overall efficacy was observed. Low persistence of infused T cells may be influenced by a number of variables, including ex vivo culture conditions, lack of long-term transgene expression, poor effector functionality, exhaustion and replicative senescence, as well as the development of anti-infused cell humoral and/or cellular immune responses. Data generated from both preclinical models and clinical trials have highlighted a few critical considerations likely to be important for the ultimately effective clinical development of T cell therapy. Animal studies have clearly shown that some T cell subtypes show desirable qualities in vivo such as enhanced engraftment, anti-tumor effect or survival. A controversy exists as to whether one subset is preferable, as there are reports favoring naïve T cells (Hinrichs et al., 2009), central memory T cells (Berger et al., 2008), Th17 cells (Muranski et al., 2008), and so-called memory stem cells (Gattinoni et al., 2011). Despite these preclinical observations, there are as yet no direct clinical comparisons of the infusions of T cell subsets alone or as a bulk population. A related controversy is that although it is tempting to try to select a particular subtype (e.g. CD8+ cytotoxic lymphocytes) for adoptive cellular therapy, there is a risk inherent to applying a reductionist approach to the immune system. For example, there is compelling evidence that CD4+ T cells are required for CD8+ memory formation, clearly an important quality in the control of tumor (Sun and Bevan, 2003; Sun et al., 2004). Cell selection schemata and culture conditions can be optimized to promote the expansion of T central memory cells (Wang et al., 2012). It is now well recognized that stimulation of T cells via their TCR without a second co-stimulatory signal induces tolerance and more recent CAR-based technologies have focused on overcoming this limitation. Thus, while first generation CARs depended on intracellular transduction of the recognition signal via the CD3ζ chain alone, second and third generation CAR constructs have incorporated second, typically co-stimulatory, signaling domains such as those derived from CD28, ICOS, CD134 or CD137 (Sadelain et al., 2013). Recent reports from clinical trials that used CAR T cells with CD137 and TCR zeta signaling domains, which documented long term functional persistence of T cells engineered to target CD19, along with long-lasting clinical remissions and ongoing B cell aplasia have highlighted the potential for adoptive T cell transfer to effect profound long term functional anti-tumor activity (Grupp et al., 2013; Kalos et al., 2011). Most previous clinical trials utilizing engineered T cells were characterized by poor persistence of the infused product, and the generally disappointing clinical results were likely attributed to inherently poor proliferative capacity or to rejection by the host of the transferred product (Kershaw et al., 2006; Park et al., 2007). Expression of co-stimulatory molecules in “trans” with CARs has also been recently demonstrated (Topp et al., 2003), opening up the possibility for new modular engineering designs. Ongoing efforts by a number of groups have focused on the evaluation of signaling domains that have the potential to generate qualitatively unique T cell populations that have the potential to drive T cells to differentiate into unique subsets, such as signaling domains from ICOS which drive human T cells to a TH17 phenotype (Paulos et al., 2010). Additional strategies have involved the overexpression in T cells of pro-survival signals such as telomerase (Rufer et al., 2001), anti-apoptotic genes (Eaton et al., 2002), as well as the down-regulation of pro-apoptotic molecules such as Fas (Dotti et al., 2005). Yet another approach to enhance T cell survival involves the expression of dominant-negative receptors for inhibitory molecules such as dominant negative receptors for TGFβ (Bollard et al., 2002). Recent data indicates that effector-like CD27 negative CD8 cells mediate potent protective immunity and lead to long-lived memory (Olson et al., 2013). It is likely that CAR T cells “rewire” their signaling and that the cells that persist as memory cells are different than those in a natural immune response. Because non-physiologic approaches that enhance T cell proliferation and survival have the potential to generate T cells that do not depend on antigen-specific engagement for survival, each of these approaches needs to be developed in concert with parallel approaches to track and mitigate safety concerns. Exogenous cytokine administration has been reported to enhance persistence of adoptively transferred CTLs (Yee et al., 2002). The cytokine most studied in this regard is IL-2 which has long been utilized as a T cell growth factor and considered to be essential in adoptive therapy protocols that involved transfer of CD8+ T cells. Recent studies show that while IL-2 induces proliferation of effector CD8+ T cells it may be deleterious to the persistence of memory T cells. IL-2 has also been reported to increase the number of Treg cells (Zhang et al., 2005), which may be a consequence of the high levels of expression of CD25, the IL-2 receptor α chain by these cells (Ma et al., 2006). Studies that have tested the co-administration of CD4+ T and CD8+ CAR T cells have demonstrated that T cell persistence is not increased by coadministration of exogenous IL-2, presumably reflecting the helper functions of the CD4+ cell subset (Mitsuyasu et al., 2000). Other common gamma-chain cytokines such as IL-7 and IL-15 are also important for T cell expansion and activation and have shown potential as important modulators of T cell proliferation, differentiation and function in vivo. IL-15 and IL-7 may select for the persistence of memory CD8+ T cells and decreases the relative number of Tregs cells in mice (Ku et al., 2000) and non-human primates (Berger et al., 2009). IL-15 appears to induce constitutive telomerase activity in T cells, which may result in enhanced survival of engineered T cells by virtue of delaying telomere loss (Hsu et al., 2007). Advances in T cell engineering allow for the co-delivery of cytokines or cytokine receptors into T cells, facilitating autocrine proliferative responses (Evans et al., 1999). A potential limitation, particularly with the targeting of solid tumors, is the effective trafficking of engineered T cells to sites of disease. Considerable work to unravel mechanisms for T cell trafficking has revealed soluble factors, receptors, and adhesion molecules important for mediating T cell trafficking (Nolz et al., 2011), and early work to engineer T cells to express chemokine receptors has highlighted the considerable promise of this approach to enhance anti-tumor activity (Mitchell et al., 2008; Moon et al., 2011). Critical and significant challenges remain with regard to understanding the mechanisms and obstacles that impact effective T cell infiltration of solid tumors (Fisher et al., 2006; Harlin et al., 2009). Fever enhances the adherence of T cells to the tumor microvasculature (Fisher et al., 2011), so that the induction of hyperthermia may augment efficacy of adoptive T cell transfer; parenthetically, some of the beneficial effects reported following IL-2 co-administration with T cells may be due to pyrogenic effects. A significant obstacle to overcome is the exhaustion of T cells in the immune suppressive milieu within the tumor microenvironment (Baitsch et al., 2011). A promising avenue of future research will involve the evaluation of combination therapies that combine the adoptive transfer of T cells with the increasing arsenal of immunomodulatory agents that target T cell inhibitory molecules such as CTLA-4 and PD-1 (Quezada et al., 2010). Ex vivo manipulation of T cell products to enhance potency has the potential to make the product more immunogenic following transfer since such manipulations commonly introduce engineered, i.e. nonphysiologic sequences into the recipient cells. Since most CARs are derived from murine anti-human scFV, there is the potential for development of both humoral and cellular responses against CAR sequences or epitopes from the retroviral vector backbone, and these responses correlate with rejection and disappearance of the infused cells from the circulation (Davis et al., 2010; Lamers et al., 2011). Recently, anaphylaxis was reported in a patient following infusion of CAR engineered cells that targeted mesothelin through murine derived ScFv (Maus et al., 2013). Anaphylaxis has also been reported following the infusion of autologous human cells cultured in bovine serum albumin (Macy et al., 1989). While use of serum-free cell culture techniques has reduced the potential immunogenicity associated with the use of xenobiotic sera, there is still the potential for non-self translated open reading frames present in vector sequences leading to rejection of infused cells. This phenomenon has been demonstrated in a number of cases (Berger et al., 2006; Jensen et al., 2010). Host conditioning and lymphodepletion Immunodepletion with chemoradiotherapy is critical to enhance engraftment and efficacy of adoptively transferred T cells in lymphoma and melanoma (Dudley et al., 2002; Laport et al., 2003). These results are likely due to multiple mechanisms, based on studies in mice (Klebanoff et al., 2005). Data from both preclinical studies and clinical trials have led to the conclusion that host lymphodepletion prior to T cell infusion is important to enhance the efficacy of adoptively transferred T cells (Brentjens et al., 2011; Pegram et al., 2012). Lymphodepletion is thought to facilitate T cell expansion and persistence through the creation of homeostatic space for T cell expansion and the depletion of cytokine sinks in the form of other immune cells, leading to the induction of a memory phenotype and enhanced effector functionality (Dudley et al., 2002; Muranski et al., 2006; Wrzesinski and Restifo, 2005). Host conditioning in the form of chemo- or radiotherapy is thought to facilitate T cell engraftment and survival through the production of homeostatic cytokines such as IL-15 as a consequence of the inflammatory reaction (Miller et al., 2005). The timing of lymphodepletion and conditioning relative to T cell infusion, and whether particular conditioning regimens are superior is also unclear; particular regimens have been shown to preferentially induce immunogenic cell death (Machiels et al., 2001; Obeid et al., 2007). With regard to timing of the infusion, recent data appears to suggest that T cell infusion early post conditioning is optimal. In both adult patients and in a pediatric population we find that infusion on day +2 is superior to infusions at later timepoints in terms of functional immune reconstitution after high dose chemotherapy and stem cell infusion (Grupp et al., 2012; Rapoport et al., 2009). In terms of the optimal schedule and dose of T cell infusion, information in the field is divergent. Whether it is preferable for T cells to be infused in a single dose or in a fractionated schedule is unclear Data from animal models suggest that in the absence of lymphodepletion, multiple infusions are superior to a single infusion of T cells (Kircher et al., 2003). Data from bone marrow transplantation studies suggests that a fractionated infusion schedule is safer (Peggs et al., 2004); fractionation also affords the potential to mitigate the severity of toxicity in case of infusion-related adverse events. Optimal dosing of T cells, typically reported as total number of viable cells infused based on actual body weight or surface area is complicated by age-related variability in total lymphocyte numbers, and critical but to-date unresolved variability in the replicative potential and functionality of the infused cells. Notably, the level of T cell engraftment and persistence may not correlate with the infused dose, and the temporal kinetics of maximal engraftment are not yet defined. In our studies of adoptively transferred autologous CAR T cells, we often find that the number of cells in the host peaks two to three weeks after infusion of the cells (Kalos et al., 2011). The identification of populations of T cells with “stem cell like” properties and the recent demonstration of a plasticity of T cell subsets point to the future possibility to engineer small numbers of T cells with the potential for durable anti-tumor immunity (Gattinoni et al., 2011; Stemberger et al., 2007). Consequences of engineering around tolerance: off target recognition An important evolutionary driver for the developing immune system is the establishment of a T cell repertoire with the potential to be appropriately activated by non-self in an MHC-restricted manner, but to not respond inappropriately to self. Accordingly, the immune system has evolved to sculpt T cell specificity and potency with exquisite caution, with both central and peripheral tolerance mechanisms driving the process to prevent targeting of self-tissues under physiologic conditions. Engineering and manipulation of T lymphocytes to have redirected and increased potency has the potential to alter this natural balance and create T cells with the enhanced potential to be activated by self, an issue of considerable concern to the field. Conceptually, the enhanced potential for self-triggering can be a consequence of lowering the T cell activation threshold as a result of ex vivo activation, by bypassing peripheral immunosuppressive mechanisms through the introduction of co-stimulatory signaling domains or depletion of Tregs, increased sensitivity of engineered affinity-enhanced T cells to be triggered by low levels of antigen, either in the form of MHC:peptide complexes (TCR-based approaches) or surface epitope (CAR-based approaches). Perhaps most concerning is the development of secondary degenerate specificities as a result of the affinity-enhancement. Depending on the mechanism, targeting of self-tissues can be defined as on-target or off-target. On-target recognition of normal tissues can be operationally defined as the recognition and destruction of normal tissues that express either lower (compared to tumor)levels of the target antigen, or express a different antigen that contains the identical epitope as that recognized by the parental T cells (TCR-based approaches), or by the parental antibody (CAR-based approaches). Off-target recognition of normal tissues can be operationally defined as the recognition and destruction of normal tissues that express a different epitope from that recognized by the original targeting agent. While on-target recognition demands maintenance of the specificity of the original TCR or antibody, off-target recognition covers a spectrum of degeneracy in target epitope recognition, from recognition of variant peptides with a single amino acid difference to non-peptide-dependent allorecognition of target tissues. Animal models have played significant roles in terms of providing fundamental insights about engineered T cell potency. On the other hand, animal models are fundamentally limiting in terms of addressing systems biology questions about T cell therapies. Beyond the limitation of most animal tumor models not faithfully recapitulating human cancer, for T cell therapy studies in particular, model systems fall short because they fail to recapitulate the integrated biology of an intact human immune system. The issue of off tumor/on target and off tumor/off target specificity is practically impossible to address in preclinical studies, as animal models are generally non-informative for species-specific toxicity and furthermore toxicity has the potential to be patient-specific. Comprehensive repositories of normal human tissue could be used to facilitate the functional screening of the potential for off-target toxicities by genetically engineered T cells. The construction of improved humanized mice or use of large animals such as dogs will likely be instrumental to be able to effectively deal with this ongoing issue (O'Connor et al., 2012). Increased clinical evaluation of adoptive T cell therapy particularly using engineered lymphocytes has revealed that targeting of normal tissues is more than a theoretic concern for the field, with reported examples of both on- and off- target activity. As engineering of T cells increasingly incorporates the use of non-physiologically derived receptors, it is entirely possible that the potential for off-target recognition may prove to be the exception rather than the rule. Thus, these early data highlight the real need to develop strategies to mitigate the potential serious adverse events that can result from adoptive transfer of potent T cells; such strategies likely will need to involve more comprehensive screening approaches prior to clinical evaluation of new receptors, as well as potent approaches to effectively ablate T cells should non-desired activity be observed. Antibody-based approaches to block target epitope recognition have been explored (Lamers et al., 2013). As described earlier, adoptive transfer of activated bulk CTL has been associated with development of an autologous GVHD syndrome with rash and colitis in about 25% of treated patients (Rapoport et al., 2009). This event likely represents the effect of activated T cells being sensitized and subsequently triggered to recognize self-antigen derived peptides in the setting of depleted Tregs. On-target toxicity has been reported in cases with T cells engineered with a TCR specific for the carcinoembryonic antigen resulting in severe inflammatory colitis due to expression of target antigen in normal colon (Parkhurst et al., 2011). Similarly, TCRs targeting melanoma differentiation antigens destroyed normal melanocytes in the skin, ears and eyes (Johnson et al., 2009), and more recently with CAR T cells targeting carboxy-anhydrase-IX (CAIX), where on-target destruction of biliary duct epithelial tissue was documented (Lamers et al., 2013). Severe off-target off-tumor toxicities following infusion T cells expressing non-physiologically generated TCR have been recently reported (Morgan et al., 2013). Neurologic toxicity in 4 cases, including 2 deaths were observed in a phase I trial using a MAGE-A3 specific receptor initially generated in HLA-A02 transgenic mice, with toxicity due to the unexpected expression of epitopes derived from other members of the MAGE cancer testis family in the CNS. Notably, clinical regressions of disease were also reported in this study. Severe cardiac toxicity was observed in 2 cases following administration of T cells expressing an affinity-enhanced TCR that was derived from an HLA-A01 restricted TCR that was originally specific for MAGE A3. Off-tumor and off-target recognition of titin was demonstrated in these cases (Linette et al., 2013). The engineered TCR was shown to react with MAGE A3 and titin, whereas the parental TCR only reacted with MAGE A3. An additional to-date theoretical concern is that engineered T cells may pair with endogenous TCR chains, generating novel specificities (Bendle et al., 2010). This has not yet been observed in clinical trials. Animal models have played significant roles in terms of providing fundamental insights about engineered T cell potency. On the other hand, animal models are fundamentally limiting in terms of addressing systems biology questions about T cell therapies. Beyond the limitation of most animal tumor models not faithfully recapitulating human cancer, for T cell therapy studies in particular, model systems fall short because they fail to recapitulate the integrated biology of an intact human immune system. The issue of off tumor/on target and off tumor/off target specificity is practically impossible to address in preclinical studies, as animal models are generally non-informative for species-specific toxicity and furthermore toxicity has the potential to be patient-specific. Comprehensive repositories of normal human tissue could be used to facilitate the functional screening of the potential for off-target toxicities by genetically engineered T cells. The construction of improved humanized mice or use of large animals such as dogs will likely be instrumental to be able to effectively deal with this ongoing issue (O'Connor et al., 2012). No pain, no gain: the biological consequences of potent targeting of large tumor masses There are a number of differences between the responses elicited by therapeutic tumor vaccines and adoptive T cell transfer therapy. The response to tumor vaccines and checkpoint blockade often requires several months to become apparent; in contrast, the response to T cell transfer is most often observed in days to weeks. One predicted consequence of triggering rapid and potent anti-tumor immunity is the development of a generalized pro-inflammatory immune state. The pro-inflammatory state can be a consequence of target antigen-driven activation of infused T cells, or a result of secondary immune activation triggered by the primary T cell activation event. A series of recent clinical reports have described adverse events associated with adoptive T cell transfer and attributed this to the induction of a pro-inflammatory immune state. These events are temporally overlapping and may in fact influence each other, nonetheless, they can be distinguished on the basis of hallmark features. Cytokine release syndrome (CRS) refers to the production of pro-inflammatory cytokines as a direct consequence of T cell triggering. Hallmark features of the syndrome include a systemic cytokine profile similar to that in response to acute infection, hypotension, and high grade cyclical fevers. Recent reports have documented CRS in adoptive T cell therapy trials as a consequence of on-target T cell activation (Brentjens et al., 2013; Kalos et al., 2011; Kochenderfer et al., 2012). The cytokine patterns are similar in adults and children (Grupp et al., 2013; Kalos et al., 2011), and occur several days to weeks after infusion of the T cells. Notably, with one exception (Morgan et al., 2010), cytokine storm, i.e. the immediate release of cytokines after infusion of T cells has not occurred. Tumor lysis syndrome (TLS) refers to a combination of metabolic complications that occurs as a result of the destruction of large amounts of tumor and the systemic release of potassium, phosphate, and nucleic acid, which lead to acute renal failure. Hallmark clinical features include hypotension, cardiac arrhythmias, and changes in serum biochemistry including elevations in creatinine, uric acid, potassium and phosphorus. Delayed TLS has been reported and observed as a result of adoptive T cell transfer of CAR T cells engineered to target CD19-positive malignancies; in this case, TLS occurred three weeks after infusion of gene modified T cells and was coincident with the peak of in vivo T cell expansion and tumor elimination (Porter et al., 2011). In a subsequent case, TLS has been observed as late as 51 days after infusion of CAR T cells. Macrophage activation syndrome (MAS) and the closely related syndrome hemophagocytic lymphohistocytosis (HLH) is a severe and potentially life-threatening condition typically associated with systemic onset juvenile autoimmune disorders (Tang et al., 2008). Hallmark clinical features of the syndrome include high fevers, pancytopenia, hemophagocytosis in bone marrow accompanied by dramatically elevated ferritin and C-reactive protein levels, activation and proliferation of macrophages and T lymphocytes, and systemic elevations in IFN-γ, GM-CSF, soluble CD163, soluble IL2 receptor, and IL-6. MAS/HLH has been reported to be associated with administration of blinatumimab, a bispecific T cell engaging antibody (BiTe) which activates T cells to CD19 positive targets in vivo, as well as with the adoptive transfer and potent anti-tumor activity of CAR targeting pre-B cell acute lymphocytic leukemia (Grupp et al., 2013). In both of these cases MAS was reversed by the administration of the anti-IL6 receptor antibody tocilizumab. The mechanism of this syndrome remains to be defined. A similar disorder occurs in mice following repeated stimulation through TLR9 (Behrens et al., 2011). Controversies and future directions in the field Clinical data generated principally over the past 5 years suggest that we are at the threshold of a golden era for adoptive T cell therapy, where advances in basic immunology have informed the development of a new field of synthetic immunology that may increase the potency of approaches that target cancer. Despite the early successes, a number of fundamental questions still remain to be resolved before widespread implementation of this approach to treat cancer. With regard to the infused cell product, issues related to the quality, quantity, nature of ex vivo manipulation, and mechanism of genetic modification are essential to address. With regard to the nature of the infused product, questions about whether the most effective strategies will utilize bulk expanded cells, or more defined sub-populations of cells such as central and/or effector memory subsets (Turtle and Riddell, 2011), virus specific T cells (Pule et al., 2008) or potentially products derived from engineered T cell stem cell precursors (Gattinoni et al., 2011) will be important to resolve. Data from recent trials demonstrate that potent and persistent anti-tumor activity can be generated through the infusion of small numbers of engineered T cells (Grupp et al., 2013; Kalos et al., 2011), suggesting that quality rather than quantity of infused product may be a critical attribute important for potent antitumor activity. With regard to the tumor, essential questions related to the relevance of tumor burden remain to be addressed. Adoptively transferred T cells make complex “decisions”, sensing multiple inputs and responding to tumor with multiple effector functions including proliferation and functional differentiation. As a result, there is the theoretical consideration that the most effective T cell activation may require higher tumor burden, and that therapies may paradoxically be less effective or require higher doses at earlier stages of disease. Corollary issues related to the impact of tumor-driven immunosuppressive mechanisms, involving both surface receptors and soluble mediators, will be important to unravel. A fundamental and perhaps controversial issue to address in the field is the need for long-term persisting memory T cells in patients. The crux of this issue relates to balancing the need for defining the nature of sterilizing cures in the context of persisting memory T cells and tumor dormancy. Relevant to this issue is that human tumors can remain dormant for at least 16 years (MacKie et al., 2003). In our ongoing clinical studies with CAR engineered cells that target CD19, patients remain disease free and in molecular remission with persisting engineered T cells for at least 2 years post treatment, but also with ongoing B cell aplasia due to targeting of normal CD19-positive B cells, highlighting the practical necessity to eventually ablate engineered cells and enable normal B cell reconstitution. An opportunity for adoptive T cell therapy will be strategies to combine with other anti-tumor therapies. In particular, therapeutic vaccination, checkpoint inhibition, agonistic antibodies, small molecule inhibitors of tumors, and targeting of tumor stroma and neo-vasculature may augment current adoptive transfer technology. Finally, engineered T cells are poised as a disruptive technology advance. The complexity of cells and the challenge of controlling T cells after the introduction of synthetically derived receptors in a therapeutic setting raises new and daunting scientific, regulatory, economic, and cultural obstacles to the establishment of engineered T cells as a widespread and viable pharmaceutical platform. It is encouraging that the U.S. Food and Drug Administration has been proactive in balancing the benefits and risks of subjects in cell-therapy clinical trials (Au et al., 2012). Acknowledgements We thank Bruce Levine and Anne Chew for comments. We apologize to our colleagues that due to limitations on references we are unable to cite all relevant literature. Footnotes Publisher's Disclaimer: This is a PDF file of an unedited manuscript that has been accepted for publication. As a service to our customers we are providing this early version of the manuscript. The manuscript will undergo copyediting, typesetting, and review of the resulting proof before it is published in its final citable form. Please note that during the production process errors may be discovered which could affect the content, and all legal disclaimers that apply to the journal pertain. References Aleksic M, Liddy N, Molloy PE, Pumphrey N, Vuidepot A, Chang KM, Jakobsen BK. Different affinity windows for virus and cancer-specific T-cell receptors: implications for therapeutic strategies. Eur J Immunol. 2012;42:3174–3179. doi: 10.1002/eji.201242606. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Au P, Hursh DA, Lim A, Moos MC, Jr, Oh SS, Schneider BS, Witten CM. FDA oversight of cell therapy clinical trials. Science translational medicine. 2012;4:149fs131. doi: 10.1126/scitranslmed.3004131. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Baitsch L, Baumgaertner P, Devêvre E, Raghav SK, Legat A, Barba L, Wieckowski S, Bouzourene H, Deplancke B, Romero P, et al. Exhaustion of tumor-specific CD8+ T cells in metastases from melanoma patients. The Journal of clinical investigation. 2011;121:2350–2360. doi: 10.1172/JCI46102. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Baker M. Companies ponder how truly 'personal' medicines can get. Nature medicine. 2011;17:519. doi: 10.1038/nm0511-519. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Behrens EM, Canna SW, Slade K, Rao S, Kreiger PA, Paessler M, Kambayashi T, Koretzky GA. Repeated TLR9 stimulation results in macrophage activation syndrome–like disease in mice. The Journal of clinical investigation. 2011;121:2264. doi: 10.1172/JCI43157. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Bendle GM, Linnemann C, Hooijkaas AI, Bies L, de Witte MA, Jorritsma A, Kaiser ADM, Pouw N, Debets R, Kieback E, et al. Lethal graft-versus-host disease in mouse models of T cell receptor gene therapy. Nature Medicine. 2010;16:565–570. doi: 10.1038/nm.2128. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Berger C, Berger M, Hackman RC, Gough M, Elliott C, Jensen MC, Riddell SR. Safety and immunologic effects of IL-15 administration in nonhuman primates. Blood. 2009;114:2417–2426. doi: 10.1182/blood-2008-12-189266. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Berger C, Flowers ME, Warren EH, Riddell SR. Analysis of transgene-specific immune responses that limit the in vivo persistence of adoptively transferred HSV-TK-modified donor T cells after allogeneic hematopoietic cell transplantation. Blood. 2006;107:2294–2302. doi: 10.1182/blood-2005-08-3503. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Berger C, Jensen MC, Lansdorp PM, Gough M, Elliott C, Riddell SR. Adoptive transfer of effector CD8+ T cells derived from central memory cells establishes persistent T cell memory in primates. The Journal of clinical investigation. 2008;118:294–305. doi: 10.1172/JCI32103. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Bollard CM, Rossig C, Calonge MJ, Huls MH, Wagner HJ, Massague J, Brenner MK, Heslop HE, Rooney CM. Adapting a transforming growth factor beta-related tumor protection strategy to enhance antitumor immunity. Blood. 2002;99:3179–3187. doi: 10.1182/blood.v99.9.3179. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Brentjens RJ, Davila ML, Riviere I, Park J, Wang X, Cowell LG, Bartido S, Stefanski J, Taylor C, Olszewska M, et al. CD19-Targeted T Cells Rapidly Induce Molecular Remissions in Adults with Chemotherapy-Refractory Acute Lymphoblastic Leukemia. Science translational medicine. 2013;5:177ra138. doi: 10.1126/scitranslmed.3005930. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Brentjens RJ, Riviere I, Park JH, Davila ML, Wang X, Stefanski J, Taylor C, Yeh R, Bartido S, Borquez-Ojeda O, et al. Safety and persistence of adoptively transferred autologous CD19- targeted T cells in patients with relapsed or chemotherapy refractory B-cell leukemias. Blood. 2011;118:4817–4828. doi: 10.1182/blood-2011-04-348540. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Brindley DA, Davie NL, Culme-Seymour EJ, Mason C, Smith DW, Rowley JA. Peak serum: implications of serum supply for cell therapy manufacturing. Regenerative medicine. 2012;7:7–13. doi: 10.2217/rme.11.112. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Bushman FD. Retroviral integration and human gene therapy. The Journal of clinical investigation. 2007;117:2083–2086. doi: 10.1172/JCI32949. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Charo J, Finkelstein SE, Grewal N, Restifo NP, Robbins PF, Rosenberg SA. Bcl-2 overexpression enhances tumor-specific T-cell survival. Cancer Res. 2005;65:2001–2008. doi: 10.1158/0008-5472.CAN-04-2006. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Cheever MA, Chen W. Therapy with cultured T cells: principles revisited. Immunol.Rev. 1997;157:177–194. doi: 10.1111/j.1600-065x.1997.tb00982.x. 177–194. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Chen YY, Galloway KE, Smolke CD. Synthetic biology: advancing biological frontiers by building synthetic systems. Genome Biol. 2012;13:240. doi: 10.1186/gb-2012-13-2-240. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Cheng LE, Ohlen C, Nelson BH, Greenberg PD. Enhanced signaling through the IL-2 receptor in CD8+ T cells regulated by antigen recognition results in preferential proliferation and expansion of responding CD8+ T cells rather than promotion of cell death. Proc Natl Acad Sci U S A. 2002;99:3001–3006. doi: 10.1073/pnas.052676899. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Chervin AS, Aggen DH, Raseman JM, Kranz DM. Engineering higher affinity T cell receptors using a T cell display system. Journal of immunological methods. 2008;339:175–184. doi: 10.1016/j.jim.2008.09.016. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Cole DK, Pumphrey NJ, Boulter JM, Sami M, Bell JI, Gostick E, Price DA, Gao GF, Sewell AK, Jakobsen BK. Human TCR-binding affinity is governed by MHC class restriction. Journal of immunology. 2007;178:5727–5734. doi: 10.4049/jimmunol.178.9.5727. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Dao T, Yan S, Veomett N, Pankov D, Zhou L, Korontsvit T, Scott A, Whitten J, Maslak P, Casey E, et al. Targeting the Intracellular WT1 Oncogene Product with a Therapeutic Human Antibody. Science translational medicine. 2013;5:176ra133. doi: 10.1126/scitranslmed.3005661. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Davis JL, Theoret MR, Zheng Z, Lamers CH, Rosenberg SA, Morgan RA. Development of human anti-murine T-cell receptor antibodies in both responding and nonresponding patients enrolled in TCR gene therapy trials. Clin Cancer Res. 2010;16:5852–5861. doi: 10.1158/1078-0432.CCR-10-1280. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Di Stasi A, Tey SK, Dotti G, Fujita Y, Kennedy-Nasser A, Martinez C, Straathof K, Liu E, Durett AG, Grilley B, et al. Inducible apoptosis as a safety switch for adoptive cell therapy. The New England journal of medicine. 2011;365:1673–1683. doi: 10.1056/NEJMoa1106152. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Dotti G, Savoldo B, Pule M, Straathof KC, Biagi E, Yvon E, Vigouroux S, Brenner MK, Rooney CM. Human cytotoxic T lymphocytes with reduced sensitivity to Fas-induced apoptosis. Blood. 2005;105:4677–4684. doi: 10.1182/blood-2004-08-3337. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Dudley ME, Wunderlich JR, Robbins PF, Yang JC, Hwu P, Schwartzentruber DJ, Topalian SL, Sherry R, Restifo NP, Hubicki AM, et al. Cancer regression and autoimmunity in patients after clonal repopulation with antitumor lymphocytes. Science (New York, N.Y.) 2002;298:850–854. doi: 10.1126/science.1076514. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Dudley ME, Yang JC, Sherry R, Hughes MS, Royal R, Kammula U, Robbins PF, Huang J, Citrin DE, Leitman SF, et al. Adoptive cell therapy for patients with metastatic melanoma: evaluation of intensive myeloablative chemoradiation preparative regimens. J Clin Oncol. 2008;26:5233–5239. doi: 10.1200/JCO.2008.16.5449. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Eaton D, Gilham DE, O'Neill A, Hawkins RE. Retroviral transduction of human peripheral blood lymphocytes with Bcl-X(L) promotes in vitro lymphocyte survival in pro-apoptotic conditions. Gene Ther. 2002;9:527–535. doi: 10.1038/sj.gt.3301685. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Evans LS, Witte PR, Feldhaus AL, Nelson BH, Riddell SR, Greenberg PD, Lupton SD, Jones LA. Expression of chimeric granulocyte-macrophage colony-stimulating factor/interleukin 2 receptors in human cytotoxic T lymphocyte clones results in granulocyte-macrophage colony-stimulating factor-dependent growth. Human gene therapy. 1999;10:1941–1951. doi: 10.1089/10430349950017301. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Fisher DT, Chen Q, Appenheimer MM, Skitzki J, Wang WC, Odunsi K, Evans SS. Hurdles to lymphocyte trafficking in the tumor microenvironment: implications for effective immunotherapy. Immunol Invest. 2006;35:251–277. doi: 10.1080/08820130600745430. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Fisher DT, Chen Q, Skitzki JJ, Muhitch JB, Zhou L, Appenheimer MM, Vardam TD, Weis EL, Passanese J, Wang WC, et al. IL-6 trans-signaling licenses mouse and human tumor microvascular gateways for trafficking of cytotoxic T cells. The Journal of clinical investigation. 2011;121:3846–3859. doi: 10.1172/JCI44952. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Friedland AE, Lu TK, Wang X, Shi D, Church G, Collins JJ. Synthetic gene networks that count. Science (New York, N.Y.) 2009;324:1199–1202. doi: 10.1126/science.1172005. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Gattinoni L, Lugli E, Ji Y, Pos Z, Paulos CM, Quigley MF, Almeida JR, Gostick E, Yu Z, Carpenito C, et al. A human memory T cell subset with stem cell-like properties. Nat Med. 2011;17:1290–1297. doi: 10.1038/nm.2446. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Greenberg PD. Adoptive T cell therapy of tumors: mechanisms operative in the recognition and elimination of tumor cells. Adv.Immunol. 1991;49:281–355. doi: 10.1016/s0065-2776(08)60778-6. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Gross G, Waks T, Eshhar Z. Expression of immunoglobulin-T-cell receptor chimeric molecules as functional receptors with antibody-type specificity. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1989;86:10024–10028. doi: 10.1073/pnas.86.24.10024. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Grupp SA, Kalos M, Barrett D, Aplenc R, Porter D, Rheingold S, Teachey D, Chew A, Hauck B, Wright J, et al. Chimeric antigen receptor-modified T cells for acute lymphoid leukemia. New England Journal of Medicine. 2013;368:1509–1518. doi: 10.1056/NEJMoa1215134. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Grupp SA, Luning Prak E, Boyer J, McDonald KR, Shusterman S, Thompson E, Callahan C, Jawad A, Levine BL, June CH, Sullivan KE. Adoptive Transfer of Autologous T cells Improves T Cell Repertoire Diversity and Long Term B cell Function in Pediatric Patients with Neuroblastoma. Clin Cancer Res. 2012;18:6732–6741. doi: 10.1158/1078-0432.CCR-12-1432. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Hacein-Bey-Abina S, Garrigue A, Wang GP, Soulier J, Lim A, Morillon E, Clappier E, Caccavelli L, Delabesse E, Beldjord K, et al. Insertional oncogenesis in 4 patients after retrovirus-mediated gene therapy of SCID-X1. J Clin Invest. 2008;118:3132–3142. doi: 10.1172/JCI35700. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Hackett PB, Largaespada DA, Cooper LJ. A transposon and transposase system for human application. Mol Ther. 2010;18:674–683. doi: 10.1038/mt.2010.2. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Harlin H, Meng Y, Peterson AC, Zha Y, Tretiakova M, Slingluff C, McKee M, Gajewski TF. Chemokine expression in melanoma metastases associated with CD8+ T-cell recruitment. Cancer Res. 2009;69:3077–3085. doi: 10.1158/0008-5472.CAN-08-2281. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Hinrichs C, Borman Z, Cassard L, Gattinoni L, Spolski R, Yu Z, Sanchez-Perez L, Muranski P, Kern S, Logun C, et al. Adoptively transferred effector cells derived from naïve rather than central memory CD8 T cells mediate superior antitumor immunity. PNAS. 2009;106:17469–17474. doi: 10.1073/pnas.0907448106. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Hsu C, Jones SA, Cohen CJ, Zheng Z, Kerstann K, Zhou J, Robbins PF, Peng PD, Shen X, Gomes TJ, et al. Cytokine-independent growth and clonal expansion of a primary human CD8+ T-cell clone following retroviral transduction with the IL-15 gene. Blood. 2007;109:5168–5177. doi: 10.1182/blood-2006-06-029173. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Jensen MC, Popplewell L, Cooper LJ, DiGiusto D, Kalos M, Ostberg JR, Forman SJ. Antitransgene rejection responses contribute to attenuated persistence of adoptively transferred CD20/CD19-specific chimeric antigen receptor redirected T cells in humans. Biol Blood Marrow Transplant. 2010;16:1245–1256. doi: 10.1016/j.bbmt.2010.03.014. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Johnson LA, Morgan RA, Dudley ME, Cassard L, Yang JC, Hughes MS, Kammula US, Royal RE, Sherry RM, Wunderlich JR, et al. Gene therapy with human and mouse T-cell receptors mediates cancer regression and targets normal tissues expressing cognate antigen. Blood. 2009;114:535–546. doi: 10.1182/blood-2009-03-211714. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] June CH, Blazar BR, Riley JL. Engineering Lymphocyte Subsets: tools, trials and tribulations. Nature Reviews Immunology. 2009;9:704–716. doi: 10.1038/nri2635. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Kalos M, Levine BL, Porter DL, Katz S, Grupp SA, Bagg A, June CH. T cells with chimeric antigen receptors have potent antitumor effects and can establish memory in patients with advanced leukemia. Science translational medicine. 2011;3:95ra73. doi: 10.1126/scitranslmed.3002842. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Kerkar SP, Goldszmid RS, Muranski P, Chinnasamy D, Yu Z, Reger RN, Leonardi AJ, Morgan RA, Wang E, Marincola FM, et al. IL-12 triggers a programmatic change in dysfunctional myeloid-derived cells within mouse tumors. J Clin Invest. 2011;121:4746–4757. doi: 10.1172/JCI58814. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Kershaw MH, Westwood JA, Parker LL, Wang G, Eshhar Z, Mavroukakis SA, White DE, Wunderlich JR, Canevari S, Rogers-Freezer L, et al. A phase I study on adoptive immunotherapy using gene-modified T cells for ovarian cancer. Clin Cancer Res. 2006;12:6106–6115. doi: 10.1158/1078-0432.CCR-06-1183. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Kircher MF, Allport JR, Graves EE, Love V, Josephson L, Lichtman AH, Weissleder R. In vivo high resolution three-dimensional imaging of antigen-specific cytotoxic T-lymphocyte trafficking to tumors. Cancer Res. 2003;63:6838–6846. [PubMed] [Google Scholar] Klebanoff CA, Khong HT, Antony PA, Palmer DC, Restifo NP. Sinks, suppressors and antigen presenters: how lymphodepletion enhances T cell-mediated tumor immunotherapy. Trends Immunol. 2005;26:111–117. doi: 10.1016/j.it.2004.12.003. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Kochenderfer JN, Dudley ME, Feldman SA, Wilson WH, Spaner DE, Maric I, Stetler-Stevenson M, Phan GQ, Hughes MS, Sherry RM, et al. B-cell depletion and remissions of malignancy along with cytokine-associated toxicity in a clinical trial of anti-CD19 chimeric-antigen-receptor-transduced T cells. Blood. 2012;119:2709–2720. doi: 10.1182/blood-2011-10-384388. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Krause A, Guo HF, Latouche JB, Tan C, Cheung NK, Sadelain M. Antigen-dependent CD28 signaling selectively enhances survival and proliferation in genetically modified activated human primary T lymphocytes. The Journal of experimental medicine. 1998;188:619–626. doi: 10.1084/jem.188.4.619. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Ku CC, Murakami M, Sakamoto A, Kappler J, Marrack P. Control of homeostasis of CD8+ memory T cells by opposing cytokines. Science. 2000;288:675–678. doi: 10.1126/science.288.5466.675. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Kuball J, Hauptrock B, Malina V, Antunes E, Voss RH, Wolfl M, Strong R, Theobald M, Greenberg PD. Increasing functional avidity of TCR-redirected T cells by removing defined N-glycosylation sites in the TCR constant domain. The Journal of experimental medicine. 2009;206:463–475. doi: 10.1084/jem.20082487. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Lamers CH, Sleijfer S, van Steenbergen S, van Elzakker P, van Krimpen B, Groot C, Vulto A, den Bakker M, Oosterwijk E, Debets R, Gratama JW. Treatment of Metastatic Renal Cell Carcinoma With CAIX CAR-engineered T cells: Clinical Evaluation and Management of On-target Toxicity. Mol Ther. 2013;21:904–912. doi: 10.1038/mt.2013.17. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Lamers CH, Willemsen R, van Elzakker P, van Steenbergen-Langeveld S, Broertjes M, Oosterwijk-Wakka J, Oosterwijk E, Sleijfer S, Debets R, Gratama JW. Immune responses to transgene and retroviral vector in patients treated with ex vivo-engineered T cells. Blood. 2011;117:72–82. doi: 10.1182/blood-2010-07-294520. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Laport GG, Levine BL, Stadtmauer EA, Schuster SJ, Luger SM, Grupp S, Bunin N, Strobl FJ, Cotte J, Zheng Z, et al. Adoptive transfer of costimulated T cells induces lymphocytosis in patients with relapsed/refractory non-Hodgkin lymphoma following CD34+-selected hematopoietic cell transplantation. Blood. 2003;102:2004–2013. doi: 10.1182/blood-2003-01-0095. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Li Y, Moysey R, Molloy PE, Vuidepot AL, Mahon T, Baston E, Dunn S, Liddy N, Jacob J, Jakobsen BK, Boulter JM. Directed evolution of human T-cell receptors with picomolar affinities by phage display. Nature Biotechnology. 2005;23:349–354. doi: 10.1038/nbt1070. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Linette G, Stadtmauer EA, Maus M, Rapoport A, Levine B, Emery L, Litzky L, Bagg A, Carreno B, Cimino P, et al. Cardiovascular toxicity and titin cross-reactivity of affinity enhanced T cells in myeloma and melanoma. Blood. 2013 Jun 14; doi: 10.1182/blood-2013-03-490565. {Epub ahead of print] [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Ma A, Koka R, Burkett P. Diverse functions of IL-2, IL-15, and IL-7 in lymphoid homeostasis. Annual review of immunology. 2006;24:657–679. doi: 10.1146/annurev.immunol.24.021605.090727. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Machiels JP, Reilly RT, Emens LA, Ercolini AM, Lei RY, Weintraub D, Okoye FI, Jaffee EM. Cyclophosphamide, doxorubicin, and paclitaxel enhance the antitumor immune response of granulocyte/macrophage-colony stimulating factor-secreting whole-cell vaccines in HER-2/neu tolerized mice. Cancer Res. 2001;61:3689–3697. [PubMed] [Google Scholar] MacKie RM, Reid R, Junor B. Fatal melanoma transferred in a donated kidney 16 years after melanoma surgery. The New England journal of medicine. 2003;348:567–568. doi: 10.1056/NEJM200302063480620. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Macy E, Bulpitt K, Champlin RE, Saxon A. Anaphylaxis to infusion of autologous bone marrow: an apparent reaction to self, mediated by IgE antibody to bovine serum albumin. J Allergy Clin.Immunol. 1989;83:871–875. doi: 10.1016/0091-6749(89)90099-7. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Marktel S, Magnani Z, Ciceri F, Cazzaniga S, Riddell SR, Traversari C, Bordignon C, Bonini C. Immunologic potential of donor lymphocytes expressing a suicide gene for early immune reconstitution after hematopoietic T-cell-depleted stem cell transplantation. Blood. 2003;101:1290–1298. doi: 10.1182/blood-2002-08-2351. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Mason C, Manzotti E. Regenerative medicine cell therapies: numbers of units manufactured and patients treated between 1988 and 2010. Regenerative medicine. 2010;5:307–313. doi: 10.2217/rme.10.37. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Maus MV, Haas AR, Beatty GL, Albelda SM, Levine BL, Liu X, Zhao Y, Kalos M, June CH. T Cells Expressing Chimeric Antigen Receptors Can Cause Anaphylaxis in Humans. Cancer Immunology Research. 2013 doi: 10.1158/2326-6066.CIR-13-0006. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Michalos G, Makris S, Papakostas N, Mourtzis D, Chryssolouris G. Automotive assembly technologies review: challenges and outlook for a flexible and adaptive approach. CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology. 2010;2:81–91. [Google Scholar] Miller JS, Soignier Y, Panoskaltsis-Mortari A, McNearney SA, Yun GH, Fautsch SK, McKenna D, Le C, Defor TE, Burns LJ, et al. Successful adoptive transfer and in vivo expansion of human haploidentical NK cells in patients with cancer. Blood. 2005;105:3051–3057. doi: 10.1182/blood-2004-07-2974. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Mitchell DA, Karikari I, Cui X, Xie W, Schmittling R, Sampson JH. Selective modification of antigen-specific T cells by RNA electroporation. Human gene therapy. 2008;19:511–521. doi: 10.1089/hum.2007.115. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Mitchison NA. Studies on the immunological response to foreign tumor transplants in the mouse. I. The role of lymph node cells in conferring immunity by adoptive transfer. J Exp.Med. 1955;102:157–177. doi: 10.1084/jem.102.2.157. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Mitsuyasu RT, Anton PA, Deeks SG, Scadden DT, Connick E, Downs MT, Bakker A, Roberts MR, June CH, Jalali S, et al. Prolonged survival and tissue trafficking following adoptive transfer of CD4zeta gene-modified autologous CD4(+) and CD8(+) T cells in human immunodeficiency virus-infected subjects. Blood. 2000;96:785–793. [PubMed] [Google Scholar] Moon EK, Carpenito C, Sun J, Wang LC, Kapoor V, Predina J, Powell DJ, Jr, Riley JL, June CH, Albelda SM. Expression of a functional CCR2 receptor enhances tumor localization and tumor eradication by retargeted human T cells expressing a mesothelin-specific chimeric antibody receptor. Clin Cancer Res. 2011;17:4719–4730. doi: 10.1158/1078-0432.CCR-11-0351. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Morgan R, Yang J, Kitano M, Dudley M, Laurencot C, Rosenberg S. Case Report of a Serious Adverse Event Following the Administration of T Cells Transduced With a Chimeric Antigen Receptor Recognizing ERBB2. Molecular Therapy. 2010;18:843–851. doi: 10.1038/mt.2010.24. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Morgan RA, Chinnasamy N, Abate-Daga D, Gros A, Robbins PF, Zheng Z, Dudley ME, Feldman SA, Yang JC, Sherry RM, et al. Cancer regression and neurological toxicity following anti- MAGE-A3 TCR gene therapy. Journal of immunotherapy (Hagerstown, Md: 1997) 2013;36:133–151. doi: 10.1097/CJI.0b013e3182829903. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Muranski P, Boni A, Antony PA, Cassard L, Irvine KR, Kaiser A, Paulos CM, Palmer DC, Touloukian CE, Ptak K, et al. Tumor-specific Th17-polarized cells eradicate large established melanoma. Blood. 2008;112:362–373. doi: 10.1182/blood-2007-11-120998. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Muranski P, Boni A, Wrzesinski C, Citrin DE, Rosenberg SA, Childs R, Restifo NP. Increased intensity lymphodepletion and adoptive immunotherapy--how far can we go? Nat Clin Pract Oncol. 2006;3:668–681. doi: 10.1038/ncponc0666. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Muul LM, Tuschong LM, Soenen SL, Jagadeesh GJ, Ramsey WJ, Long Z, Carter CS, Garabedian EK, Alleyne M, Brown M, et al. Persistence and expression of the adenosine deaminase gene for 12 years and immune reaction to gene transfer components: long-term results of the first clinical gene therapy trial. Blood. 2003;101:2563–2569. doi: 10.1182/blood-2002-09-2800. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Naldini L, Blomer U, Gallay P, Ory D, Mulligan R, Gage FH, Verma IM, Trono D. In vivo gene delivery and stable transduction of nondividing cells by a lentiviral vector. Science (New York, N.Y.) 1996;272:263–267. doi: 10.1126/science.272.5259.263. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Nolz JC, Starbeck-Miller GR, Harty JT. Naive, effector and memory CD8 T-cell trafficking: parallels and distinctions. Immunotherapy. 2011;3:1223–1233. doi: 10.2217/imt.11.100. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] O'Connor CM, Sheppard S, Hartline CA, Huls H, Johnson M, Palla SL, Maiti S, Ma W, Davis RE, Craig S, et al. Adoptive T-cell therapy improves treatment of canine non-Hodgkin lymphoma post chemotherapy. Scientific reports. 2012;2:249. doi: 10.1038/srep00249. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Obeid M, Tesniere A, Ghiringhelli F, Fimia GM, Apetoh L, Perfettini JL, Castedo M, Mignot G, Panaretakis T, Casares N, et al. Calreticulin exposure dictates the immunogenicity of cancer cell death. Nat Med. 2007;13:54–61. doi: 10.1038/nm1523. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Olson JA, McDonald-Hyman C, Jameson SC, Hamilton SE. Effector-like CD8< sup>+ T Cells in the Memory Population Mediate Potent Protective Immunity. Immunity. 2013 Jun 5; doi: 10.1016/j.immuni.2013.05.009. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Park JR, Digiusto DL, Slovak M, Wright C, Naranjo A, Wagner J, Meechoovet HB, Bautista C, Chang WC, Ostberg JR, Jensen MC. Adoptive transfer of chimeric antigen receptor re-directed cytolytic T lymphocyte clones in patients with neuroblastoma. Mol Ther. 2007;15:825–833. doi: 10.1038/sj.mt.6300104. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Parkhurst MR, Yang JC, Langan RC, Dudley ME, Nathan DA, Feldman SA, Davis JL, Morgan RA, Merino MJ, Sherry RM, et al. T cells targeting carcinoembryonic antigen can mediate regression of metastatic colorectal cancer but induce severe transient colitis. Mol Ther. 2011;19:620–626. doi: 10.1038/mt.2010.272. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Paulos CM, Carpenito C, Plesa G, Suhoski MM, Varela-Rohena A, Golovina TN, Carroll RG, Riley JL, June CH. The inducible costimulator (ICOS) is critical for the development of human T(H)17 cells. Science translational medicine. 2010;2:55ra78. doi: 10.1126/scitranslmed.3000448. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Peggs KS, Thomson K, Hart DP, Geary J, Morris EC, Yong K, Goldstone AH, Linch DC, Mackinnon S. Dose-escalated donor lymphocyte infusions following reduced intensity transplantation: toxicity, chimerism, and disease responses. Blood. 2004;103:1548–1556. doi: 10.1182/blood-2003-05-1513. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Pegram HJ, Lee JC, Hayman EG, Imperato GH, Tedder TF, Sadelain M, Brentjens RJ. Tumor-targeted T cells modified to secrete IL-12 eradicate systemic tumors without need for prior conditioning. Blood. 2012;119:4133–4141. doi: 10.1182/blood-2011-12-400044. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Perez EE, Wang J, Miller JC, Jouvenot Y, Kim KA, Liu O, Wang N, Lee G, Bartsevich VV, Lee YL, et al. Establishment of HIV-1 resistance in CD4+ T cells by genome editing using zinc-finger nucleases. Nat Biotechnol. 2008;26:808–816. doi: 10.1038/nbt1410. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Porter DL, Levine BL, Kalos M, Bagg A, June CH. Chimeric Antigen Receptor-Modified T cells in Chronic Lymphoid Leukemia. N. Engl. J. Med. 2011;365:725–733. doi: 10.1056/NEJMoa1103849. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Pule MA, Savoldo B, Myers GD, Rossig C, Russell HV, Dotti G, Huls MH, Liu E, Gee AP, Mei Z, et al. Virus-specific T cells engineered to coexpress tumor-specific receptors: persistence and antitumor activity in individuals with neuroblastoma. Nature medicine. 2008;14:1264–1270. doi: 10.1038/nm.1882. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Quezada S, Simpson T, Peggs K, Merghoub T, Vider J, Fan X, Blasberg R, Yagita H, Muranski P, Antony P. Tumor-reactive CD4+ T cells develop cytotoxic activity and eradicate large established melanoma after transfer into lymphopenic hosts. Journal of Experimental Medicine. 2010;207:637–650. doi: 10.1084/jem.20091918. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Rapoport A, Stadtmauer EA, Aqui N, Badros A, Cotte J, Chrisley L, Veloso EA, Zheng Z, Westphal S, Mair R, et al. Restoration of immunity in lymphopenic individuals with cancer by vaccination and adoptive T-cell transfer. Nat Med. 2005;11:1230–1237. doi: 10.1038/nm1310. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Rapoport AP, Stadtmauer EA, Aqui N, Vogl D, Chew A, Fang HB, Janofsky S, Yager K, Veloso E, Zheng Z, et al. Rapid immune recovery and graft-versus-host disease-like engraftment syndrome following adoptive transfer of Costimulated autologous T cells. Clinical cancer research. 2009;15:4499–4507. doi: 10.1158/1078-0432.CCR-09-0418. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Restifo NP, Dudley ME, Rosenberg SA. Adoptive immunotherapy for cancer: harnessing the T cell response. Nat Rev Immunol. 2012;12:269–281. doi: 10.1038/nri3191. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Reyon D, Tsai SQ, Khayter C, Foden JA, Sander JD, Joung JK. FLASH assembly of TALENs for high-throughput genome editing. Nat Biotechnol. 2012;30:460–465. doi: 10.1038/nbt.2170. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Rowley J, Monie A, Hung CF, Wu TC. Expression of IL-15RA or an IL-15/IL-15RA fusion on CD8+ T cells modifies adoptively transferred T-cell function in cis. Eur J Immunol. 2009;39:491–506. doi: 10.1002/eji.200838594. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Rufer N, Migliaccio M, Antonchuk J, Humphries RK, Roosnek E, Lansdorp PM. Transfer of the human telomerase reverse transcriptase (TERT) gene into T lymphocytes results in extension of replicative potential. Blood. 2001;98:597–603. doi: 10.1182/blood.v98.3.597. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Sadelain M, Brentjens R, Riviere I. The Basic Principles of Chimeric Antigen Receptor Design. Cancer Discov. 2013;3:388–398. doi: 10.1158/2159-8290.CD-12-0548. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Scholler J, Brady T, Binder-Scholl G, Hwang W-T, Plesa G, Hege K, Vogel A, Kalos M, Riley J, Deeks S, et al. Decade-long safety and function of retroviral-modified chimeric antigen receptor T cells. Science Translational Medicine. 2012;4:132Ra153. doi: 10.1126/scitranslmed.3003761. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Stemberger C, Huster K, Koffler M, Anderl F, Schiemann M, Wagner H, Busch D. A single naive CD8+ T cell precursor can develop into diverse effector and memory subsets. Immunity. 2007;27:985–997. doi: 10.1016/j.immuni.2007.10.012. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Sun JC, Bevan MJ. Defective CD8 T cell memory following acute infection without CD4 T cell help. Science (New York, N.Y.) 2003;300:339–342. doi: 10.1126/science.1083317. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Sun JC, Williams MA, Bevan MJ. CD4+ T cells are required for the maintenance, not programming, of memory CD8+ T cells after acute infection. Nature immunology. 2004;5:927–933. doi: 10.1038/ni1105. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Tang Y, Xu X, Song H, Yang S, Shi S, Wei J, Pan B, Zhao F, Liao C, Luo C. Early diagnostic and prognostic significance of a specific Th1/Th2 cytokine pattern in children with haemophagocytic syndrome. British Journal of Haematology. 2008;143:84–91. doi: 10.1111/j.1365-2141.2008.07298.x. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Topp MS, Riddell SR, Akatsuka Y, Jensen MC, Blattman JN, Greenberg PD. Restoration of CD28 expression in CD28- CD8+ memory effector T cells reconstitutes antigen-induced IL-2 production. J Exp Med. 2003;198:947–955. doi: 10.1084/jem.20021288. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Turtle CJ, Riddell SR. Genetically retargeting CD8+ lymphocyte subsets for cancer immunotherapy. Curr Opin Immunol. 2011;23:299–305. doi: 10.1016/j.coi.2010.12.012. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Vitale M, Pelusi G, Taroni B, Gobbi G, Micheloni C, Rezzani R, Donato F, Wang X, Ferrone S. HLA class I antigen down-regulation in primary ovary carcinoma lesions: association with disease stage. Clin.Cancer Res. 2005;11:67–72. [PubMed] [Google Scholar] Wang GP, Levine BL, Binder GK, Berry CC, Malani N, McGarrity G, Tebas P, June CH, Bushman FD. Analysis of lentiviral vector integration in HIV+ study subjects receiving autologous infusions of gene modified CD4+ T cells. Mol Ther. 2009;17:844–850. doi: 10.1038/mt.2009.16. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Wang X, Naranjo A, Brown CE, Bautista C, Wong CW, Chang WC, Aguilar B, Ostberg JR, Riddell SR, Forman SJ, Jensen MC. Phenotypic and functional attributes of lentivirus-modified CD19-specific human CD8+ central memory T cells manufactured at clinical scale. Journal of immunotherapy (Hagerstown, Md.: 1997) 2012;35:689–701. doi: 10.1097/CJI.0b013e318270dec7. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Williams DA. Foamy virus vectors come of age. Mol Ther. 2008;16:635–636. doi: 10.1038/mt.2008.34. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Wrzesinski C, Restifo NP. Less is more: lymphodepletion followed by hematopoietic stem cell transplant augments adoptive T-cell-based anti-tumor immunotherapy. Curr Opin Immunol. 2005;17:195–201. doi: 10.1016/j.coi.2005.02.002. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Yee C, Thompson JA, Byrd D, Riddell SR, Roche P, Celis E, Greenberg PD. Adoptive T cell therapy using antigen-specific CD8+ T cell clones for the treatment of patients with metastatic melanoma: in vivo persistence, migration, and antitumor effect of transferred T cells. Proc Natl Acad Sci U S A. 2002;99:16168–16173. doi: 10.1073/pnas.242600099. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Yoon SH, Lee JM, Cho HI, Kim EK, Kim HS, Park MY, Kim TG. Adoptive immunotherapy using human peripheral blood lymphocytes transferred with RNA encoding Her-2/neu-specific chimeric immune receptor in ovarian cancer xenograft model. Cancer Gene Ther. 2009;16:489–497. doi: 10.1038/cgt.2008.98. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Zhang H, Chua KS, Guimond M, Kapoor V, Brown MV, Fleisher TA, Long LM, Bernstein D, Hill BJ, Douek DC, et al. Lymphopenia and interleukin-2 therapy alter homeostasis of CD4+CD25+ regulatory T cells. Nat Med. 2005;11:1238–1243. doi: 10.1038/nm1312. [DOI] [PubMed] [Google Scholar] Zhao Y, Bennett AD, Zheng Z, Wang QJ, Robbins PF, Yu LY, Li Y, Molloy PE, Dunn SM, Jakobsen BK, et al. High-affinity TCRs generated by phage display provide CD4+ T cells with the ability to recognize and kill tumor cell lines. Journal of immunology. 2007;179:5845–5854. doi: 10.4049/jimmunol.179.9.5845. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] Zhao Y, Moon E, Carpenito C, Paulos CM, Liu X, Brennan A, Chew A, Carroll RG, Scholler J, Levine BL, et al. Multiple injections of electroporated autologous T cells expressing a chimeric antigen receptor mediate regression of human disseminated tumor. Cancer Res. 2010;70:9062–9072. doi: 10.1158/0008-5472.CAN-10-2880. [DOI] [PMC free article] [PubMed] [Google Scholar] ACTIONS View on publisher site PDF (1.1 MB) Cite Collections Permalink PERMALINK Copy RESOURCES Similar articles Cited by other articles Links to NCBI Databases On this page Abstract Introduction Using bispecific T cells to overcome tolerance Approaches to genetically engineer lymphocytes Beyond Boutique: producing weapons of mass destruction for the masses Lessons from clinical trials Host conditioning and lymphodepletion Consequences of engineering around tolerance: off target recognition No pain, no gain: the biological consequences of potent targeting of large tumor masses Controversies and future directions in the field Acknowledgements Footnotes References Cite Copy Download .nbib.nbib Format: Add to Collections Create a new collection Add to an existing collection Name your collection Choose a collection Unable to load your collection due to an error Please try again Add Cancel Follow NCBI NCBI on X (formerly known as Twitter)NCBI on FacebookNCBI on LinkedInNCBI on GitHubNCBI RSS feed Connect with NLM NLM on X (formerly known as Twitter)NLM on FacebookNLM on YouTube National Library of Medicine 8600 Rockville Pike Bethesda, MD 20894 Web Policies FOIA HHS Vulnerability Disclosure Help Accessibility Careers NLM NIH HHS USA.gov Back to Top
9716	https://humanitiesscholars.com/tag/encyclopedia-britannica/	Encyclopedia Britannica – Humanities Scholars Skip to content Humanities Scholars For students of the humanities… ☰ Menu Humanities Websites Article Links Useful Videos Visual Art Techniques Museum Objects Book Reviews Tag: Encyclopedia Britannica Article: Renaissance theatre February 25, 2025 February 24, 2025Dr. HawleyLeave a comment The theatre of the Renaissance often gets overlooked in favor of the art of the period. However, it is equally excellent and worthy of study. This article from the Encyclopedia Britanica gives a great overview and some openings for further study. Link to Renaissance theatre Posted in Article LinksTagged article, culture, Encyclopedia Britannica, Renaissance, theatre Article: Saint Patrick: bishop and patron saint of Ireland March 17, 2022 March 2, 2022Dr. HawleyLeave a comment The Encyclopedia Britannica's website provides information on a huge variety of topics. In this case, they provide information on the truth of the life of Saint Patrick. It's a more complicated story that one might expect. He is definitely involved in Ireland, but most of the rest of his life and accomplishments are shrouded in… Continue reading Article: Saint Patrick: bishop and patron saint of Ireland→ Posted in Article LinksTagged article, culture, Early Church, Encyclopedia Britannica, Ireland 16th Century17th Century18th Century19th Century20th Century21st Centuryancient historyapplied artarchitectureArtArt heistart historyarticleartistsArt Reflecting Life and DeathArt theftBaroqueBooksBritish MuseumByzantineCatholicismChinaChristianityClassical musicclothingContemporary ArtCrash Courseculturedestruction of artDetective FictionDiseasedrawingEarly ChurchEgyptelizabethanEncyclopedia BritannicaEnglandenvironmentfashionfilmfoodFranceGoogle Arts and CultureGothicGreekHarlem Renaissancehistoryilluminated manuscriptsIrelandJapanlanguageliteratureLouvremagicMedievalMesopotamiametalpointMinoansMissing ArtmodernismMOMAmonstersmuseummuseum objectmusicmythologynauticalpaintingPBSphilosophyplayspotteryprintmakingRealismRenaissanceRock musicRomanscentsciencesculptureShakespearesilverpointSmithsoniantechniquestextilestheatreThe Black DeathThe MetUkraineVictoria&AlbertVictoriansvideowar and artwarfareWebsiteswomen in artwomen in culturewordsWorld War IIwriting Dr. Hawley Image credits: The Open Access Collection of The Metropolitan Museum of Art in New York or Pexel's Free Images (unless otherwise noted) Search Search Follow Humanities Scholars on WordPress.com Blog Stats 16,406 hits SubscribeSubscribed Humanities Scholars Join 44 other subscribers Sign me up Already have a WordPress.com account? Log in now. Humanities Scholars SubscribeSubscribed Sign up Log in Report this content View site in Reader Manage subscriptions Collapse this bar
9717	https://www.jbiet.edu.in/pdffls/EEE-Coursematerial/electrical-machines-1-notes.pdf	1 \| P a g e LECTURE NOTES ON ELECTRICAL MACHINES - I 2019 - 2020 II B. Tech II Semester Mr. S .RATNA KUMAR, Assistant Professor ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERING JB INSTITUTE OF ENGINEERING AND TECHNOLOGY (AUTONOMOUS) HYDERABAD 2 \| P a g e UNIT – I ELECTROMECHANICAL ENERGY CONVERSION 3 \| P a g e Electromechanical-Energy-Conversion Principles The electromechanical-energy-conversion process takes place through the medium of the electric or magnetic field of the conversion device of which the structures depend on their respective functions.  Transducers: microphone, pickup, sensor, loudspeaker  Force producing devices: solenoid, relay, and electromagnet  Continuous energy conversion equipment: motor, generator Forces and Torques in Magnetic Field Systems The Lorentz Force Law gives the force F on a particle of charge q in the presence of electric and magnetic fields. F= q(E+v×B) Where, F : newtons, q: coulombs, E: volts/meter, B : telsas, v: meters/second  In a pure electric-field system,  In pure magnetic-field systems, F = qE F = q(v×B) 4 \| P a g e Figure : Right hand rule  For situations where large numbers of charged particles are in motion, Fv = ρ(E+v×B) J = ρv Fv =J×B ρ (charge density): coulombs/m3, Fv (force density): newtons/m3, J = ρv (current density): amperes/m2. 5 \| P a g e Most electromechanical-energy-conversion devices contain magnetic material.  Forces act directly on the magnetic material of these devices which are constructed of rigid, non-deforming structures.  The performance of these devices is typically determined by the net force, or torque, acting on the moving component. It is rarely necessary to calculate the details of the internal force distribution.  Just as a compass needle tries to align with the earth’s magnetic field, the two sets of fields associated with the rotor and the stator of rotating machinery attempt to align, and torque is associated with their displacement from alignment. o In a motor, the stator magnetic field rotates ahead of that of the rotor, pulling on it and performing work. o For a generator, the rotor does the work on the stator. The Energy Method > Based on the principle of conservation of energy: energy is neither created nor destroyed; it is merely changed in form. > Fig. 1.2 shows a magnetic-field-based electromechanical-energy-conversion device. - A lossless magnetic-energy-storage system with two terminals - The electric terminal has two terminal variables: e (voltage), i (current). - The mechanical terminal has two terminal variables: ffld (force), x (position) - The loss mechanism is separated from the energy-storage mechanism. – Electrical losses: ohmic losses... – Mechanical losses: friction, windage... > Fig. 1.3: a simple force-producing device with a single coil forming the electric terminal, and a movable plunger serving as the mechanical terminal. - The interaction between the electric and mechanical terminals, i.e. the electromechanical energy conversion, occurs through the medium of the magnetic stored energy. 6 \| P a g e - Wfld : the stored energy in the magnetic field - From the above equation force can be solved as a function of the flux λ and the mechanical terminal position x. - The above equations form the basis for the energy method Energy Balance Consider the electromechanical systems whose predominant energy-storage mechanism is in magnetic fields. For motor action, the energy transfer can be accounted as The ability to identify a lossless-energy-storage system is the essence of the energy method.  This is done mathematically as part of the modeling process.  For the lossless magnetic-energy-storage system of Fig. 1.2 can be rearranged and gives  Here e is the voltage induced in the electric terminals by the changing magnetic stored energy. It is through this reaction voltage that the external electric circuit supplies power to the coupling magnetic field and hence to the mechanical output terminals. 7 \| P a g e  The basic energy-conversion process is one involving the coupling field and its action and reaction on the electric and mechanical systems.  Combining above two equation – Energy in Singly-Excited Magnetic Field Systems In energy-conversion systems the magnetic circuits have air gaps between the stationary and moving members in which considerable energy is stored in the magnetic field. > This field acts as the energy-conversion medium, and its energy is the reservoir between the electric and mechanical system. Fig. 1.4 shows an electromagnetic relay schematically. The predominant energy storage occurs in the air gap, and the properties of the magnetic circuit are determined by the dimensions of the air gap. 8 \| P a g e On path 2a, d=0 and ffld=0. Thus dffld=0 on path 2a. On path 2b, dx=0. Therefore the following equation will result For magnetically linear systems the energy and co-energy are numerically equal Graphical representation of energy and co-energy in singly excited magnetic field system is shown below. Figure: Graphical representation of energy and co-energy 9 \| P a g e Multiply Excited Magnetic Field Systems: Figure: Doubly excited magnetic field system 10 \| P a g e 11 \| P a g e UNIT II DC GENERATORS Principle of Operation of a D.C. Generator All the generators work on a principle of dynamically induced e.m.f. This principle nothing but the Faraday’s law of electromagnetism induction. It states that, ‘whenever the number of magnetic lines of force i.e. flux linking with a conductor or a coil changes, an electromotive force is set up in that conductor or coil.’ The change in flux associated with the conductor can exist only when there exists a relative motion between a conductor and the flux. The relative motion can be achieved by rotating conductor with respect to flux or by rotating flux with respect to a conductor. So a voltage gets generated in a conductor, as long as there exists a relative motion between conductor and the flux. Such an induced e.m.f. which is due to the physical movement of coil or conductor with respect to flux or movement of flux with respect to coil or conductor is called dynamically induced e.m.f. Key Point: So a generating action requires following basic components to exist, i) The conductor or a coil ii) The relative motion between conductor and flux. In a particular generator, the conductors are rotated to cut the magnetic flux, keeping flux stationary. To have a large voltage as the output, the number of conductors are connected together in a specific manner, to form a winding. This winding is called armature winding of a d.c. machine. The part on which this winding is kept is called armature of a d.c. machine. To have the rotation of conductors, the conductors placed on the armature are rotated with the help of some external device. Such an external device is called a prim mover. The commonly used prim movers are diesel engines, steam engines, steam turbines, water turbines etc. The necessary magnetic flux is produced by current carrying winding which is called field winding. The direction of the induced e.m.f. can be obtained by using Fleming’s right hand role. Single Loop DC Generator Figure: Single Loop Generator In the figure above, a single loop of conductor of rectangular shape is placed between two opposite poles of magnet. Let's us consider, the rectangular loop of conductor is ABCD which rotates inside the magnetic field about its own axis ab. When the loop rotates from its vertical position to its horizontal position, it cuts the flux lines of the field. As during this movement two sides, i.e. AB and CD of the loop cut the flux lines there will be an emf induced in these both of the sides (AB and BC) of the loop. 12 \| P a g e Figure: Single Loop Generator As the loop is closed there will be a current circulating through the loop. The direction of the current can be determined by Flemming's right hand Rule. This rule says that if you stretch thumb, index finger and middle finger of your right hand perpendicular to each other, then thumbs indicates the direction of motion of the conductor, index finger indicates the direction of magnetic field i.e. N - pole to S - pole, and middle finger indicates the direction of flow of current through the conductor. Now if we apply this right hand rule, we will see at this horizontal position of the loop, current will flow from point A to B and on the other side of the loop current will flow from point C to D. Figure: Single Loop Generator Now if we allow the loop to move further, it will come again to its vertical position, but now upper side of the loop will be CD and lower side will be AB (just opposite of the previous vertical position). At this position the tangential motion of the sides of the loop is parallel to the flux lines of the field. Hence there will be no question of flux cutting and consequently there will be no current in the loop. If the loop rotates further, it comes to again in horizontal position. But now, said AB side of the loop comes in front of N pole and CD comes in front of S pole, i.e. just opposite to the previous horizontal position as shown in the figure beside. 13 \| P a g e Figure: Single Loop Generator Here the tangential motion of the side of the loop is perpendicular to the flux lines, hence rate of flux cutting is maximum here and according to Flemming's right hand Rule, at this position current flows from B to A and on other side from D to C. Now if the loop is continued to rotate about its axis, every time the side AB comes in front of S pole, the current flows from A to B and when it comes in front of N pole, the current flows from B to A. Similarly, every time the side CD comes in front of S pole the current flows from C to D and when it comes in front of N pole the current flows from D to C. If we observe this phenomena in different way, it can be concluded, that each side of the loop comes in front of N pole, the current will flow through that side in same direction i.e. downward to the reference plane and similarly each side of the loop comes in front of S pole, current through it flows in same direction i.e. upwards from reference plane. From this, we will come to the topic of principle of DC generator. Now the loop is opened and connected it with a split ring as shown in the figure below. Split ring are made out of a conducting cylinder which cuts into two halves or segments insulated from each other. The external load terminals are connected with two carbon brushes which are rest on these split slip ring segments. Working Principle of DC Generator Fig: Commutation action 14 \| P a g e It is seen that in the first half of the revolution current flows always along ABLMCD i.e. brush no 1 in contact with segment a. In the next half revolution, in the figure the direction of the induced current in the coil is reversed. But at the same time the position of the segments a and b are also reversed which results that brush no 1 comes in touch with the segment b. Hence, the current in the load resistance again flows from L to M. The wave from of the current through the load circuit is as shown in the figure. This current is unidirectional. Fig: Output waveform of generator This is basic working principle of DC generator, explained by single loop generator model. The position of the brushes of DC generator is so arranged that the change over of the segments a and b from one brush to other takes place when the plane of rotating coil is at right angle to the plane of the lines of force. It is so become in that position, the induced emf in the coil is zero. Construction of a DC Machine: A DC generator can be used as a DC motor without any constructional changes and vice versa is also possible. Thus, a DC generator or a DC motor can be broadly termed as a DC machine. These basic constructional details are also valid for the construction of a DC motor. Hence, let's call this point as construction of a DC machine instead of just 'construction of a DC generator. Figure 1: constructional details of a simple 4-pole DC machine 15 \| P a g e The above figure shows constructional details of a simple 4-pole DC machine. A DC machine consists of two basic parts; stator and rotor. Basic constructional parts of a DC machine are described below. 1. Yoke: The outer frame of a dc machine is called as yoke. It is made up of cast iron or steel. It not only provides mechanical strength to the whole assembly but also carries the magnetic flux produced by the field winding. 2. Poles and pole shoes: Poles are joined to the yoke with the help of bolts or welding. They carry field winding and pole shoes are fastened to them. Pole shoes serve two purposes; (i) they support field coils and (ii) spread out the flux in air gap uniformly. Figure 2: Pole Core and Poles Shoes representation 3. Field winding: They are usually made of copper. Field coils are former wound and placed on each pole and are connected in series. They are wound in such a way that, when energized, they form alternate North and South poles. 4. Armature core: Armature core is the rotor of a dc machine. It is cylindrical in shape with slots to carry armature winding. The armature is built up of thin laminated circular steel disks for reducing eddy current losses. It may be provided with air ducts for the axial air flow for cooling purposes. Armature is keyed to the shaft. Figure 3: Armature of DC machine 5. Armature winding: It is usually a former wound copper coil which rests in armature slots. The armature conductors are insulated from each other and also from the armature core. Armature winding can be wound by one of the two methods; lap winding or wave winding. Double layer lap or wave windings are generally used. A double layer winding means that each armature slot will carry two different coils. 16 \| P a g e Figure 4: Armature Winding/coil of DC machine 6. Commutator and brushes: Physical connection to the armature winding is made through a commutator-brush arrangement. The function of a commutator, in a dc generator, is to collect the current generated in armature conductors. Whereas, in case of a dc motor, commutator helps in providing current to the armature conductors. A commutator consists of a set of copper segments which are insulated from each other. The number of segments is equal to the number of armature coils. Each segment is connected to an armature coil and the commutator is keyed to the shaft. Brushes are usually made from carbon or graphite. They rest on commutator segments and slide on the segments when the commutator rotates keeping the physical contact to collect or supply the current. Figure 5: Commutator of DC machine Armature Winding Terminology: Now we are going to discuss about armature winding in details. Before going through this section, we should understand some basic terms related to armature winding of DC generator. Pole Pitch: The pole pitch is defined as peripheral distance between centers of two adjacent poles in DC machine. This distance is measured in term of armature slots or armature conductor come between two adjacent pole centers. Pole Pitch is naturally equal to the total number of armature slots divided by the number of poles in the machine. If there are 96 slots on the armature periphery and 4 numbers of poles in the machine, the numbers of armature slots come between two adjacent poles centres would be 96/4 = 24. Hence, the pole pitch of that DC machine would be 24. 17 \| P a g e As we have seen that, pole pitch is equal to total numbers of armature slots divided by total numbers of poles, we alternatively refer it as armature slots per pole. Coil side: Coil of dc machine is made up of one turn or multi turns of the conductor. If the coil is made up of single turn or a single loop of conductor, it is called single turn coil. If the coil is made up of more than one turn of a conductor, we refer it as a multi-turn coil. A single turn coil will have one conductor per side of the coil whereas, in multi turns coil, there will be multiple conductors per side of the coil. Whatever may be the number of conductors per side of the coil, each coil side is placed inside one armature slot only. That means all conductors of one side of a particular coil must be placed in one single slot only. Similarly, we place all conductors of opposite side of the coil in another single armature slot. Coil Span Coil span is defined as the peripheral distance between two sides of a coil, measured in term of the number of armature slots between them. That means, after placing one side of the coil in a particular slot, after how many conjugative slots, the other side of the same coil is placed on the armature. This number is known as coil span. Figure: Armature windings If the coil span is equal to the pole pitch, then the armature winding is said to be full - pitched. In this situation, two opposite sides of the coil lie under two opposite poles. Hence emf induced in one side of the coil will be in 180o phase shift with emf induced in the other side of the coil. Thus, the total terminal voltage of the coil will be nothing but the direct arithmetic sum of these two emfs. If the coil span is less than the pole pitch, then the winding is referred as fractional pitched. In this coil, there will be a phase difference between induced emf in two sides, less than 180o. Hence resultant terminal voltage of the coil is vector sum of these two emf’s and it is less than that of full-pitched coil. Figure: full pitched and half pitched coils 18 \| P a g e In practice, coil pitch (or Span) as low as eight tenth of a Pole Pitch, is employed without much serious reduction in emf. Fractional pitched windings are purposely used to effect substantial saving in copper of the end connection and for improving commutation. Pitch of Armature Winding Back Pitch (YB) A coil advances on the back of the armature. This advancement is measured in terms of armature conductors and is called back pitch. It is equal to the number difference of the conductor connected to a given segment of the commutator. Front Pitch (YF) The number of armature conductors or elements spanned by a coil on the front is called front pitch. Alternatively, we define the front-pitch as the distance between the second conductor of the next coil which connects the front, i.e., commutator end of the armature. In other words, it is the number difference of the conductors connected together at the back end of the armature. We are showing both front and back pitches for a lap, and a wave windings in the figure below. Resultant Pitch (YR) It is the distance between the beginning of one coil and the beginning of the next coil to which it is connected. As a matter of precautions, we should keep in mind that all these pitches, though normally stated concerning armature conductors, are also times of armature slots or commutator bars. Commutator Pitch (YC) Commutator pitch is defined as the distance between two commutator segments which two ends of same armature coil are connected. We measure commutator pitch in term of commutator bars or segment. Single Layer Armature Winding We place armature coil sides in the armature slots differently. In some arrangement, each one side of an armature coil occupies a single slot. In other words, we place one coil side in each armature slot. We refer this arrangement as single layer winding. Two Layer Armature Winding In other types of armature winding, arrangement two coil sides occupy every armature slot; one occupies upper half, and another one occupies the lower half of the slot. We so place the coils in two layers winding that if one side occupies upper half, then another side occupies the lower half of some other slot at a distance of one coil pitch away. 19 \| P a g e Armature Winding of A DC Machine Based on type of winding connections we classified armature winding of a dc machine into two types. These winding connections are same for DC generator & DC motor. Types of Windings in DC Machine, 1. Lap winding. 2. Wave winding. Lap winding of a DC Machine In this type of winding the completing end of one coil is connected to a commutator segment and to the start end of adjacent coil located under the same pole and similarly all coils are connected. This type of winding is known as lap because the sides of successive coils overlap each other. Lap winding may be simplex (single) or multiplex (duplex or triplex) winding. In simplex lap winding the connection of the winding is that there are as many parallel paths as there are number of poles. Whereas for duplex, the number of parallel paths are equal to twice that of the number of poles and for triplex it is thrice. For this reason, the lap winding is called multiple or parallel winding. The sole purposes of such type of windings are, (a) To increase the number of parallel paths enabling the armature current to increase i.e., for high current output. (b) To improve commutation as the current per conductor decreases. Notes on Lap winding 1. The coil or back pitch YB must be approximately equal to pole pitch i.e., YB = Z/P. 20 \| P a g e 2. The back pitch and front pitch are odd and are of opposite sign. They differ from each other by 2m, where m = 1,2,3 for simplex, duplex, and triplex respectively. i.e., YB = YF ± 2m When YB > YF i.e., YF + 2m then the winding progresses from left to right and such a winding is known as progressive winding. If YB < YF i.e., YB = YF - 2m then the winding progresses from right to left and such a winding is known as retrogressive winding. 3. The average pitch,YAVE=( YB + YF )/2. 4. Resultant pitch, YR is always even as difference between two odd numbers is even and is equal to 2m. 5. Commutator pitch, YC = m i.e., , 2, 3, 4 etc. for simplex, duplex, triplex, quadruplex etc. 6. Number of parallel paths = mP. Where, m = multiplicity. Example: For instance, the number of parallel paths for a 6-pole duplex lap winding is given by 6 x 2 = 12 paths. 7. The total number of poles are equal to the total number of brushes. 8. If Ia is the total armature current, then current per parallel path is Ia /P. 9. Lap winding is used for low voltage and high current machines. Wave winding of a DC Machine In wave winding the coils which are carrying current in one direction are connected in series circuit and the carrying current in opposite direction are connected in another series circuit. A wave winding is shown in figure. If after passing once around the armature the winding falls in a slot to the left of its starting point then winding is said to be retrogressive. If it fails one slot to the right it is progressive. 21 \| P a g e Notes on Wave winding The following are the important points to be remembered pertaining to wave winding, 1. Both pitches YB and YF are odd and of same sign. 2. Back and front pitches may be equal or differ by 2 and are merely equal to pole pitch. 3. Resultant pitch, YR = YF + YB = (Z ± 2)/2 P = Number of poles Z = Total number of conductors. 4. Commutator pitch, YC = YA (Average pitch) YC =(Number of commutator bars ± 1)/(Number of pair of poles). 5. Number of parallel paths are equal to 2m,where m is the multiplicity. 6. The number of brushes required are two irrespective of the number of poles. 7. If Ia is the total armature current then current carried by each path or conductor is Ia/2. 8. Since a wave winding is a series winding, it is used for high voltage and low current machine. Emf Equation of a DC Generator As the armature rotates, a voltage is generated in its coils. In the case of a generator, the emf of rotation is called the Generated emf or Armature emf and is denoted as Er = Eg. In the case of a motor, the emf of rotation is known as Back emf or Counter emf and represented as Er = Eb. The expression for emf is same for both the operations. I.e., for Generator as well as for Motor Derivation of EMF Equation of a DC Machine – Generator and Motor Let,  P – Number of poles of the machine  ϕ – Flux per pole in Weber.  Z – Total number of armature conductors.  N – Speed of armature in revolution per minute (r.p.m).  A – Number of parallel paths in the armature winding. In one revolution of the armature, the flux cut by one conductor is given as Time taken to complete one revolution is given as Therefore, the average induced e.m.f in one conductor will be Putting the value of (t) from Equation (2) in the equation (3) we will get 22 \| P a g e The number of conductors connected in series in each parallel path = Z/A. Therefore, the average induced e.m.f across each parallel path or the armature terminals is given by the equation shown below. Where n is the speed in revolution per second (r.p.s) and given as For a given machine, the number of poles and the number of conductors per parallel path (Z/A) are constant. Hence, the equation (5) can be written as Where, K is a constant and given as Therefore, the average induced emf equation can also be written as Where K1 is another constant and hence induced emf equation can be written as 23 \| P a g e Where ω is the angular velocity in radians/second is represented as Thus, it is clear that the induced emf is directly proportional to the speed and flux per pole. The polarity of induced emf depends upon the direction of the magnetic field and the direction of rotation. If either of the two is reverse the polarity changes, but if two are reversed the polarity remains unchanged. This induced emf is a fundamental phenomenon for all the DC Machines whether they are working as a generator or motor. If the machine DC Machine is working as a Generator, the induced emf is given by the equation shown below. Where Eg is the Generated Emf If the machine DC Machine is working as a Motor, the induced emf is given by the equation shown below. In a motor, the induced emf is called Back Emf (Eb) because it acts opposite to the supply voltage. Types of DC Generators – Separately Excited and Self Excited The DC generator converts the electrical power into electrical power. The magnetic flux in a DC machine is produced by the field coils carrying current. The circulating current in the field windings produces a magnetic flux, and the phenomenon is known as Excitation. DC Generator is classified according to the methods of their field excitation. By excitation, the DC Generators are classified as Separately excited DC Generators and Self-excited DC Generators. There is also Permanent magnet type DC generators. The self-excited DC Generators are further classified as Shunt wound DC generators; Series wound DC generators and Compound wound DC generators. The Compound Wound DC generators are further divided as long shunt wound DC generators, and short shunt wound DC generators. The field pole of the DC generator is stationary, and the armature conductor rotates. The voltage generated in the armature conductor is of alternating nature, and this voltage is converted into the direct voltage at the brushes with the help of the commutator. The detailed description of the various types of generators is explained below. 24 \| P a g e Permanent Magnet type DC Generator In this type of DC generator, there is no field winding is placed around the poles. The field produced by the poles of these machines remains constant. Although these machines are very compact but are used only in small sizes like dynamos in motorcycles, etc. The main disadvantage of these machines is that the flux produced by the magnets deteriorates with the passage of time which changes the characteristics of the machine. Separately Excited DC Generator A DC generator whose field winding or coil is energized by a separate or external DC source is called a separately excited DC Generator. The flux produced by the poles depends upon the field current with the unsaturated region of magnetic material of the poles. i.e. flux is directly proportional to the field current. But in the saturated region, the flux remains constant. The figure of self-excited DC Generator is shown below. Separately Excited DC Generator Here, Ia = IL where Ia is the armature current and IL is the line current. Terminal voltage is given as If the contact brush drop is known, then the equation (1) is written as The power developed is given by the equation shown below. 25 \| P a g e Power output is given by the equation (4) shown above. Self Excited DC Generator Self-excited DC Generator is a device, in which the current to the field winding is supplied by the generator itself. In self-excited DC generator, the field coils mat be connected in parallel with the armature in the series, or it may be connected partly in series and partly in parallel with the armature windings. The self-excited DC Generator is further classified as 1. Shunt Wound Generator 2. Series Wound Generator 3. Compound Wound Generator 1. Shunt Wound Generator In a shunt wound generator, the field winding is connected across the armature winding forming a parallel or shunt circuit. Therefore, full terminal voltage is applied across it. A very small field current Ish, flows through it because this winding has many turns of fine wire having very high resistance Rshof the order of 100 ohms. The connection diagram of shunt wound generator is shown below. Shunt Wound DC Generator Shunt field current is given as Where Rsh is the shunt field winding resistance. 26 \| P a g e The current field Ish is practically constant at all loads. Therefore, the DC shunt machine is considered to be a constant flux machine. Armature current is given as Terminal voltage is given by the equation shown below. If the brush contact drop is included, the equation of the terminal voltage becomes 2. Series Wound Generator A series-wound generator the field coils are connected in series with the armature winding. The series field winding carries the armature current. The series field winding consists of a few turns of wire of thick wire of larger cross-sectional area and having low resistance usually of the order of less than 1 ohm because the armature current has a very large value. Its convectional diagram is shown below. Series Wound DC Generator Series field current is given as 27 \| P a g e Rse is known as the series field winding resistance. Terminal voltage is given as If the brush contact drop is included, the terminal voltage equation is written as The flux developed by the series field winding is directly proportional to the current flowing through it. But it is only true before magnetic saturation after the saturation flux becomes constant even if the current flowing through it is increased. 3. Compound Wound Generator In a Compound Wound Generator, there are two sets of the field winding on each pole. One of them is connected in series having few turns of thick wire, and the other is connected in parallel having many turns of fine wire with the armature windings. In other words, the generator which has both shunt and series fields is called the compound wound generators. If the magnetic flux produced by the series winding assists the flux produced by the shunt winding, then the machine is said to be cumulative compounded. If the series field flux opposes the shunt field flux, then the machine is called the differentially compounded. It is connected in two ways. One is a long shunt compound generator, and another is a short shunt compound generator. If the shunt field is connected in parallel with the armature alone then the machine is called the short compound generator. In long shunt compound generator, the shunt field is connected in series with the armature. The two types of generators are discussed below in details. Long Shunt Compound Wound Generator In a long shunt wound generator, the shunt field winding is parallel with both armature and series field winding. The connection diagram of long shunt wound generator is shown below. 28 \| P a g e Long Shunt Compound Wound Generator Shunt field current is given as Series field current is given as Terminal voltage is given as If the brush contact drop is included, the terminal voltage equation is written as Short Shunt Compound Wound Generator In a Short Shunt Compound Wound Generator, the shunt field winding is connected in parallel with the armature winding only. The connection diagram of short shunt wound generator is shown below. 29 \| P a g e Short Shunt Compound Wound Generator Series field current is given as Shunt field current is given as Terminal voltage is given as If the brush contact drop is included, the terminal voltage equation is written as In this type of DC generator, the field is produced by the shunt as well as series winding. The shunt field is stronger than the series field. If the magnetic flux produced by the series winding assists the flux produced by the shunt field winding, the generator is said to be Cumulatively Compound Wound generator. If the series field flux opposes the shunt field flux, the generator is said to be Differentially Compounded. Voltage buildup in self excited Generator or Dc Shunt Generato A self excited DC generator supplies its own field excitation . A self excited generator shown in figure is known as a shunt generator because its field winding is connected in parallel with the armature. Thus the armature voltage supplies the field current. 30 \| P a g e This generator will build up a desired terminal voltage. Assume that the generator in figure has no load connected to it and armature is driven at a certain speed by a prime mover. we shall study the condition under which the voltage buildup takes place. Due to this residual flux, a small voltage Ear will be generated. It is given by This voltage is of the order of 1V or 2V . It causes a current If to flow in the field winding in the generator. The field current is given by This field current produces a magneto motive force in the field winding, which increases the flux. This increase in flux increases the generated voltage Ea. The increased armature voltage Ea increases the terminal voltage V. with the increase in V, the field current If increases further. This in turn increases Φ and consequently Ea increases further. The process of the voltage buildup continues. Figure shows the voltage buildup of a dc shunt generator. OCC Characteristics of DC generator 31 \| P a g e The effect of magnetic saturation in the pole faces limits the terminal voltage of the generator to a steady state value. We have assumed that the generator is no load during the buildup process. The following equations describe the steady state operation. Since the field current If in a shunt generator is very small, the voltage drop If Ra can be neglected, and V= Ea The Ea versus If curve is the magnetization curve shown in figure For the field circuit V = If Rf The straight line given by V = If Rf is called the field-resistance line. The field resistance line is a plot of the voltage If Rf across the field circuit versus the field If. The slop this line is equal to the resistance of the field circuit. The no-load terminal voltage V0 of thr generator. thus, the intersection point P of the magnetization curve and the field resistance line gives the no-load terminal voltage V0(bP) and the corresponding field current (Ob). Normally , in the shunt generator the voltage buildup to the value given by the point P. at this point Ea = If Rf = V0. If the field current corresponding to point P is increase further , there is no further increase in the terminal voltage. The no-load voltage is adjusted by adding resistance in series with shunt field. This increase slope of this line causing the operating point to shift at lower voltage The operating point are graphical solution of two simultaneous equation namely , the magnetization curve and field resistance line . A graphical solution is preferred due to non-linear nature of magnetization curve. Self excited generator are designed to obtain no-load voltage from 50% to 125% of the rated value while varying the added resistance in field circuit from maximum to zero value. Critical Field Resistance: Figure below shows the voltage buildup in the dc shunt generator for various resistances of the field circuit. Fig: Determination of critical resistance 32 \| P a g e A decrease in the resistance of the field circuit reduces the slope of the field resistance line result in higher voltage. If the speed remains constant, an increase in the resistance of field circuit increases the slop of field resistance line, resulting in a lower voltage. If the field circuit resistance is increased to Rc which is terminal as the critical resistance of the field, the field resistance line becomes a tangent to the initial part of the magnetization curve. When the field resistance is higher than this value, the generator fails to excite. Critical Speed: Figure shows the variation of no-load voltage with fixed Rf and variable speed of the armature. Fig: Determination of critical speed The magnetization curve varies with the speed and its ordinate for any field current is proportional to the speed of the generator. all the points on the magnetization curve are lowered, and the point of intersection of the magnetization curve and the field resistance line moves downwards. at a particular speed, called the critical speed, the field resistance line becomes tangential to the magnetization curve. below the critical speed the voltage will not build up. In Brief, the following condition must be satisfied for voltage buildup in a self-excited generator. There must be sufficient residual flux in the field poles. 1. the field terminal should be connected such a way that the field current increases flux in the direction of residual flux. 2. The field circuit resistance should be less than the critical field circuit resistance. If there is a no residual flux in the field poles, Disconnected the field from the armature circuit and apply a dc voltage to the field winding. this process is called Flashing the field. It will induce some residual flux in the field poles. Causes for Failure to Self Excite and Remedial Measures There may be one or more of the following reasons due which a self excited generator may fail to build up voltage. 1. No residual magnetism The start of the buildup process needs some residual magnetism in the magnetic circuit of the generator. If there is little or no residual magnetism. because of inactivity or jarring in shipment, no voltage will be induced that can produce field current. 2. Reversal of Field Connections The voltage induced owing to residual magnetism acts across the field and results in flow or current in the field coils in such a direction as to produce magnetic flux in the same direction as the residual flux. 33 \| P a g e Reversal of connections of the field winding destroys the residual magnetism which causes the generator failure to build up voltage. 3. In case of dc series wound generators The resistance in the load circuit may be more than its critical resistance, which may be due to (i) open-circuit (ii) high resistance of load circuit (iii) faulty contact between brushes and commutator and (iv) commutator surface dirty or greasy. 4. In case of shunt wound generator (a) the resistance of the shunt field circuit may be greater than the critical resistance; (b) the resistance in the load circuit may be lower than the critical resistance; (c) the speed of rotation may not be equal to rated one. Remedy In case the generator is started up for the first time, it may be that no voltage will be built up either because the poles have no residual magnetism or the poles have retained some residual magnetism but the field winding connections are reversed so that the magnetism developed by the field winding on start has destroyed the residual magnetism and the machine can not "build up". In both the cases, the field coils must be connected to a dc source (a storage battery) for a short while to magnetise the poles. The application of external source of direct current to the field is called flashing of the field. Armature Reaction in DC Machines In a DC machine, two kinds of magnetic fluxes are present; 'armature flux' and 'main field flux'. The effect of armature flux on the main field flux is called as armature reaction. MNA And GNA EMF is induced in the armature conductors when they cut the magnetic field lines. There is an axis (or, you may say, a plane) along which armature conductors move parallel to the flux lines and, hence, they do not cut the flux lines while on that plane. MNA (Magnetic Neutral Axis) may be defined as the axis along which no emf is generated in the armature conductors as they move parallel to the flux lines. Brushes are always placed along the MNA because reversal of current in the armature conductors takes place along this axis. GNA (Geometrical Neutral Axis) may be defined as the axis which is perpendicular to the stator field axis. Armature Reaction The effect of armature reaction is well illustrated in the figure below. Consider, no current is flowing in the armature conductors and only the field winding is energized (as shown in the first figure of the above image). In this case, magnetic flux lines of the field poles are uniform and symmetrical to the polar axis. The 'Magnetic Neutral Axis' (M.N.A.) coincides with the 'Geometric Neutral Axis' (G.N.A.). The second figure in the above image shows armature flux lines due to the armature current. Field poles are de-energised 34 \| P a g e Fig: Armature reaction Now, when a DC machine is running, both the fluxes (flux due to the armature conductors and flux due to the field winding) will be present at a time. The armature flux superimposes with the main field flux and, hence, disturbs the main field flux (as shown in third figure the of above image). This effect is called as armature reaction in DC machines. The Adverse Effects Of Armature Reaction: 1. Armature reaction weakens the main flux. In case of a dc generator, weakening of the main flux reduces the generated voltage. 2. Armature reaction distorts the main flux, hence the position of M.N.A. gets shifted (M.N.A. is perpendicular to the flux lines of main field flux). Brushes should be placed on the M.N.A., otherwise, it will lead to sparking at the surface of brushes. So, due to armature reaction, it is hard to determine the exact position of the MNA For a loaded dc generator, MNA will be shifted in the direction of the rotation. On the other hand, for a loaded dc motor, MNA will be shifted in the direction opposite to that of the rotation. How To Reduce Armature Reaction? Usually, no special efforts are taken for small machines (up to few kilowatts) to reduce the armature reaction. But for large DC machines, compensating winding and interpoles are used to get rid of the ill effects of armature reaction. Compensating winding: Now we know that the armature reaction is due to the presence of armature flux. Armature flux is produced due to the current flowing in armature conductors. Now, if we place another winding in close proximity of the armature winding and if it carries the same current but in the opposite direction as that of the armature current, then this will nullify the armature field. Such an additional winding is called as compensating winding and it is placed on the pole faces. Compensating winding is connected in series with the armature winding in such a way that it carries the current in opposite direction. Interpoles: Interpoles are the small auxiliary poles placed between the main field poles. Winding on the interpoles is connected in series with the armature. Each interpole is wound in such a way that its 35 \| P a g e magnetic polarity is same as that of the main pole ahead of it. Interpoles nullify the quadrature axis armature flux. Demagnetizing and Cross Magnetizing Conductors The conductors which are responsible for producing demagnetizing and distortion effects are shown in the Fig.1. The brushes are lying along the new position of MNA which is at angle θ from GNA. The conductors in the region AOC = BOD = 2θ at the top and bottom of the armature are carrying current in such a direction as to send the flux in armature from right to left. Thus these conductors are in direct opposition to main field and called demagnetizing armature conductors. The remaining armature conductors which are lying in the region AOD and BOC carry current in such a direction as to send the flux pointing vertically downwards i.e. at right angles to the main field flux. Hence these conductors are called cross magnetizing armature conductors which will cause distortion in main field flux. These conductors are shown in the Fig. 2 Calculation of Demagnetizing and Cross Magnetizing Amp-Turns Let us the number of demagnetizing and cross magnetizing amp-turns. Fig. 1 Conductors which are responsible for producing demagnetizing and distortion effects Fig. 2 Conductors which are responsible for producing Cross magnetization ffects 36 \| P a g e Let Z = Total number of armature conductors P = Number of poles I = Armature conductor current in Amperes = Ia/2 for simplex wave winding = Ia/P for simplex lap winding θm = Forward lead of brush in mechanical degrees. The conductors which are responsible for demagnetizing ampere-turns are lying in the region spanning 4 θm degrees. The region is between angles AOC and BOD, as shown in the Fig. 2. ... Total number of armature conductors lying in angles AOC and BOD. Since two conductors from one turn, The conductor which are responsible fro cross magnetizing ampere turns are lying between the angles AOD and BOC, as shown in the Fig.2. Total armature-conductors / pole = Z/P From above we have found an expression for demagnetizing conductors per pole. Since two conductors from one turn, 37 \| P a g e If the brush shift angle is given in electrical degrees then it should be converted into mechanical degrees by using the relation, Example : A wave wound 4 pole d.c. generator with 480 armature conductors supplies a current of 144 A. The brushes are given an actual lead of 10o. Calculate the demagnetizing and cross magnetizing amp turns per pole. Solution : P = 4, Z = 480, Ia = 144 A For wave wound, I = Ia/2 = 144/2 = 72 A θm = 10o Compensating Winding and Interpoles in DC Generator In DC compound machine setup by armature current opposes magnetic field flux, this is known as armature reaction. The armature reaction has two effects (i) Demagnetizing effect and (ii) Cross magnetizing effect. Demagnetizing effect weakens the main field flux which in turn decreases the induced e.m.f (as E ∝ Ø)). To overcome this effect a few extra turns/poles are added in series to main field winding. This creates a series field which serves two purposes, 38 \| P a g e (i) It helps to neutralize the demagnetizing effect of armature reaction. (ii) If wound for cumulative compounded machine the electrical performance will be improved. Compensating winding: All armature conductors placed under the main poles region produces e.m.f which is at right angle (90°) to the main field e.m.f. This e.m.f causes distortion in main field flux. This is known as cross magnetizing effect. To minimize the cross magnetizing effect compensating winding is used. This compensating winding produces an m.m.f which opposes the m.m.f produced by armature conductors. This objective is achieved by connecting compensating winding in series with armature winding. In absence of compensating winding, cross magnetizing effect causes sparking at the commutators and short circuiting the whole armature winding. Let, Zc = Number of compensating conductors/pole Za = Number of active armature conductors/pole Ia = Armature current. ZcIa= Za (Ia/A) Where, Ia/A=Armature current/conductor Zc= Za/A Compensating Winding Disadvantages This winding neutralizes the cross magnetizing effect due to armature conductors only but not due to interpolar region. This winding is used in large machine in which load is fluctuating. Interpoles 39 \| P a g e Cross magnetizing effect in interpolar region is by interpoles (also known as compoles (or) commutating poles). These interpoles are small in size and placed in between the main poles of yoke. Like compensating winding, interpoles are also connected in series with armature winding such that the m.m.f produced by them opposes the m.m.f produced by armature conductor in interpolar region. In generators, the interpole polarity is same as that of main pole ahead such that they induce an e.m.f which is known as commutating or reversing e.m.f. This commutating e.m.f minimizes the reactance e.m.f and hence sparks or arcs are eliminated. Fig: Intepoles Compensating winding and Interpoles are used for same purpose but the difference between them is, interpoles produce e.m.f for neutralizing reactance e.m.f whereas compensating winding produces an m.m.f which opposes the m.m.f produced by conductors. COMMUTATION: The process of reversal of current in the short circuited armature coil is called ‘Commutation’. This process of reversal takes place when coil is passing through the interpolar axis (q-axis), the coil is short circuited through commutator segments. Commutation takes place simultaneously for ‘P’ coils in a lap- wound machine and two coil sets of P/2 coils each in a wave-wound machine. The process of commutation of coil ‘B’ is shown below. In figure ‘1.29’ coil ‘B’ carries current from left to right and is about to be short circuited in figure ‘1.30’ brush has moved by 1/3 rd of its width and the brush current supplied by the coil are as shown. In figure ‘1.31’ coil ‘B’ carries no current as the brush is at the middle of the short circuit period and the brush current in supplied by coil C and coil A. In figure ‘1.32’ the coil B which was carrying current from left to right carries current from right to left. In fig ‘1.33’ spark is shown which is due to the reactance voltage. As the coil is embedded in the armature slots, which has high permeability, the coil posses appreciable amount of self inductance. The current is changed from +I to –I. So due to self inductance and variation in the current from +I to –I, a voltage is induced in the coil which is given by L dI/dt. Fig ‘1.34’ shows the variation of current plotted on the time axis. Sparking can be avoided by the use of interpoles or commutating-poles. 40 \| P a g e Fig: Commutation process METHODS OF IMPROVING COMMUTATION: Methods of Improving Commutation: There are two practical ways of improving commutation i.e. of making current reversal in the short-circuited coil as sparkless as possible. These methods are known as (i) resistance commutation and (ii) emf. commutation (which is done with the help of either brush lead or interpoles, usually the later). Resistance Commutation: This method of improving commutation consists of replacing low-resistance Cu brushes by comparatively high-resistance carbon brushes. When current I from coil C reach the commutator segment b, it has two parallel paths open to it. The first part is straight from bar ‘b’ to the brush and the other parallel path is via the short-circuited coil B to bar ‘a’ and then to the brush. If the Cu brushes are used, then there is no inducement for the current to follow the second longer path, it would preferably follow the first path. But when carbon brushes having high resistance are used, then current I coming from C will prefer to pass through the second path. The additional advantages of carbon brushes are that (i) they are to some degree self lubricating and polish the commutator and (ii) should sparking occur, they would damage the commutator less than when Cu brushes are used. But some of their minor disadvantages are: (i) Due to their high contact resistance (which is beneficial to sparkless commutation) a loss of approximately 2 volt is caused. Hence, they are not much suitable for small machines where this voltage forms an appreciable percentage loss. (ii) Owing to this large loss, the commutator has to be made somewhat larger than with Cu brushes in order to dissipate heat efficiently without greater rise of temperature. (iii) because of their lower current density (about 7-8 A/cm2 as compared to 25-30 A/cm2 for Cu brushes) they need larger brush holders. 41 \| P a g e Fig: Resistance Commutation EMF Commutation: In this method, arrangement is made to neutralize the reactance voltage by producing a reversing emf in the short-circuited coil under commutation. This reversing emf, as the name shows, is an emf in opposition to the reactance voltage and if its value is made equal to the latter, it will completely wipe it off, thereby producing quick reversal of current in the short-circuited coil which will result in sparkless commutation. The reversing emf may be produced in two ways: (i) either by giving the brushes a forward lead sufficient enough to bring the short-circuited coil under the influence of next pole of opposite polarity or (ii) by using Interpoles. The first method was used in the early machines but has now been abandoned due to many other difficulties it brings along with. Interpoles of Compoles: These are small poles fixed to the yoke and spaced in between the main poles. They are wound with comparatively few heavy gauge Cu wire turns and are connected in series with the armature so that they carry full armature current. Their polarity, in the case of a generator, is the same as that of the main pole ahead in the direction of rotation. The function of interpoles is two-fold: (i) As their polarity is the same as that of the main pole ahead, they induce an emf in the coil (under commutation) which helps the reversal of current. The emf induced by the compoles is known as commutating or reversing emf. The commutating emf neutralizes the reactance emf thereby making commutation sparkless. With interpoles, sparkless commutation can be obtained up to 20 to 30% overload with fixed brush position. In fact, interpoles raise sparking limit of a machine to almost the same value as heating limit. Hence, for a given output, an interpole machine can be made smaller and, therefore, cheaper than a non-interpolar machine. As interpoles carry armature current, their commutating emf is proportional to the armature current. This ensures automatic neutralization of reactance voltage which is also due to armature current. (ii) Another function of the interpoles is to neutralize the cross-magnetising effect of armature reaction. Hence, brushes are not to be shifted from the original position. Fig: Interpoles of Compoles 42 \| P a g e OF as before, represents the mmf due to main poles. OA represents the crossmagnetising mmf due to armature. BC which represents mmf due to interpoles, is obviously in opposition to OA, hence they cancel each other out. This cancellation of crossmagnetisation is automatic and for all loads because both are produced by the same armature current. The distinction between the interpoles and compensating windings should be clearly understood. Both are connected in series and thier m.m.fs. are such as to neutralize armature reaction. But compoles additionally supply mmf for counteracting the reactance voltage induced in the coil undergoing commutation. Moreover, the action of the compoles is localized; they have negligible effect on the armature reaction occurring on the remainder of the armature periphery. Characteristics of DC Generators Generally, following three characteristics of DC generators are taken into considerations: (i) Open Circuit Characteristic (O.C.C.), (ii) Internal or Total Characteristic and (iii) External Characteristic. These characteristics of DC generators are explained below. 1. Open Circuit Characteristic (O.C.C.) (E0/If) Open circuit characteristic is also known as magnetic characteristic or no-load saturation characteristic. This characteristic shows the relation between generated emf at no load (E0) and the field current (If) at a given fixed speed. The O.C.C. curve is just the magnetization curve and it is practically similar for all type of generators. The data for O.C.C. curve is obtained by operating the generator at no load and keeping a constant speed. Field current is gradually increased and the corresponding terminal voltage is recorded. The connection arrangement to obtain O.C.C. curve is as shown in the figure below. For shunt or series excited generators, the field winding is disconnected from the machine and connected across an external supply. Fig: Circuit for OCC Now, from the emf equation of dc generator, we know that Eg = kɸ. Hence, the generated emf should be directly proportional to field flux (and hence, also directly proportional to the field current). However, even when the field current is zero, some amount of emf is generated (represented by OA in the figure below). This initially induced emf is due to the fact that there exists some residual magnetism in the field poles. Due to the residual magnetism, a small initial emf is induced in the armature. This initially induced emf aids the existing residual flux, and hence, increasing the overall field flux. This consequently increases the induced emf. Thus, O.C.C. follows a straight line. However, as the flux density increases, the poles get saturated and the ɸ becomes practically constant. Thus, even we increase the If further, ɸ remains constant and hence, Eg also remains constant. Hence, the O.C.C. curve looks like the B-H characteristic. 43 \| P a g e The above figure shows a typical no-load saturation curve or open circuit characteristics for all types of DC generators. 2. Internal or Total Characteristic (E/Ia) An internal characteristic curve shows the relation between the on-load generated emf (Eg) and the armature current (Ia). The on-load generated emf Eg is always less than E0 due to the armature reaction. Eg can be determined by subtracting the drop due to demagnetizing effect of armature reaction from no- load voltage E0. Therefore, internal characteristic curve lies below the O.C.C. curve. 3. External Characteristic (V/IL) An external characteristic curve shows the relation between terminal voltage (V) and the load current (IL). Terminal voltage V is less than the generated emf Eg due to voltage drop in the armature circuit. Therefore, external characteristic curve lies below the internal characteristic curve. External characteristics are very important to determine the suitability of a generator for a given purpose. Therefore, this type of characteristic is sometimes also called as performance characteristic or load characteristic. Internal and external characteristic curves are shown below for each type of generator. Characteristics of Separately Excited DC Generator: If there is no armature reaction and armature voltage drop, the voltage will remain constant for any load current. Thus, the straight line AB in above figure represents the no-load voltage vs. load current IL. Due to the demagnetizing effect of armature reaction, the on-load generated emf is less than the no-load voltage. The curve AC represents the on-load generated emf Eg vs. load current ILi.e. Internal 44 \| P a g e characteristic (as Ia = IL for a separately excited dc generator). Also, the terminal voltage is lesser due to ohmic drop occurring in the armature and brushes. The curve AD represents the terminal voltage vs. load current i.e. external characteristic. Characteristics of DC Shunt Generator To determine the internal and external load characteristics of a DC shunt generator the machine is allowed to build up its voltage before applying any external load. To build up voltage of a shunt generator, the generator is driven at the rated speed by a prime mover. Initial voltage is induced due to residual magnetism in the field poles. The generator builds up its voltage as explained by the O.C.C. curve. When the generator has built up the voltage, it is gradually loaded with resistive load and readings are taken at suitable intervals. Connection arrangement is as shown in the figure below. Fig: Circuit for External characteristics of shunt generator Unlike, separately excited DC generator, here, IL≠Ia. For a shunt generator, Ia=IL+If. Hence, the internal characteristic can be easily transmitted to Eg vs. IL by subtracting the correct value of Iffrom Ia. During a normal running condition, when load resistance is decreased, the load current increases. But, as we go on decreasing the load resistance, terminal voltage also falls. So, load resistance can be decreased up to a certain limit, after which the terminal voltage drastically decreases due to excessive armature reaction at very high armature current and increased I2R losses. Hence, beyond this limit any further decrease in load resistance results in decreasing load current. Consequently, the external characteristic curve turns back as shown by dotted line in the above figure. 45 \| P a g e Characteristics of DC Series Generator The curve AB in above figure identical to open circuit characteristic (O.C.C.) curve. This is because in DC series generators field winding is connected in series with armature and load. Hence, here load current is similar to field current (i.e. IL=If). The curve OC and OD represent internal and external characteristic respectively. In a DC series generator, terminal voltage increases with the load current. This is because, as the load current increases, field current also increases. However, beyond a certain limit, terminal voltage starts decreasing with increase in load. This is due to excessive demagnetizing effects of the armature reaction. Characteristics Of DC Compound Generator The above figure shows the external characteristics of DC compound generators. If series winding amp- turns are adjusted so that, increase in load current causes increase in terminal voltage then the generator is called to be over compounded. The external characteristic for over compounded generator is shown by the curve AB in above figure. If series winding amp-turns are adjusted so that, the terminal voltage remains constant even the load current is increased, then the generator is called to be flat compounded. The external characteristic for a flat compounded generator is shown by the curve AC. If the series winding has lesser number of turns than that would be required to be flat compounded, then the generator is called to be under compounded. The external characteristics for an under compounded generator are shown by the curve AD. 46 \| P a g e Parallel Operation of D.C. Generators: Here this explains you the parallel operation of dc generators and load sharing among them for the continuous power supply. In a DC power plant, power is usually supplied from several generators of small ratings connected in parallel instead of from one large generator. This is due to the following reasons: (i) Continuity of service: If a single large generator is used in the power plant, then in case of its breakdown, the whole plant will be shut down. However, if power is supplied from a number of small units operating in parallel, then in case of failure of one unit, the continuity of supply can be maintained by other healthy units. (ii) Efficiency: Generators run most efficiently when loaded to their rated capacity. Electric power costs less per kWh when the generator producing it is efficiently loaded. Therefore, when load demand on power plant decreases, one or more generators can be shut down and the remaining units can be efficiently loaded. (iii) Maintenance and repair: Generators generally require routine-maintenance and repair. Therefore, if generators are operated in parallel, the routine or emergency operations can be performed by isolating the affected generator while the load is being supplied by other units. This leads to both safety and economy. (iv) Increasing plant capacity: In the modern world of increasing population, the use of electricity is continuously increasing. When added capacity is required, the new unit can be simply paralleled with the old units. In many situations, a single unit of desired large capacity may not be available. In that case, a number of smaller units can be operated in parallel to meet the load requirement. Generally, a single large unit is more expensive. (v) Non-availability of single large unit: In many situations, a single unit of desired large capacity may not be available. In that case, a number of smaller units can be operated in parallel to meet the load requirement. Generally, a single large unit is more expensive. Connecting Shunt Generators in Parallel: The generators in a power plant are connected in parallel through bus-bars. The bus-bars are heavy thick copper bars and they act as +ve and -ve terminals. The positive terminals of the generators are connected to the +ve side of bus-bars and negative terminals to the negative side of bus-bars. Fig. (3.15) shows shunt generator 1 connected to the bus-bars and supplying load. When the load on the power plant increases beyond the capacity of this generator, the second shunt generator 2 is connected in parallel with the first to meet the increased load demand. The procedure for paralleling generator 2 with generator 1 is as under: 47 \| P a g e Parallel operation of shunt generators (i) The prime mover of generator 2 is brought up to the rated speed. Now switch S4 in the field circuit of the generator 2 is closed. (ii) Next circuit breaker CB-2 is closed and the excitation of generator 2 is adjusted till it generates a voltage equal to the bus-bars voltage.This is indicated by voltmeter V2. (iii) Now the generator 2 is ready to be paralleled with generator 1. The main switch S3 is closed, thus putting generator 2 in parallel with generator 1. Note that generator 2 is not supplying any load because it's generated e.m.f. is equal to bus-bars voltage.The generator is said to be “floating” (i.e., not supplying any load) on the bus-bars. (iv) If generator 2 is to deliver any current, then it's generated voltage E should be greater than the bus- bars voltage V. In that case, the current supplied by it is I = (E - V)/Ra where Ra is the resistance of the armature circuit. By increasing the field current (and hence induced e.m.f. E), the generator 2 can be made to supply the proper amount of load. (v) The load may be shifted from one shunt generator to another merely by adjusting the field excitation. Thus if generator 1 is to be shut down, the whole load can be shifted onto generator 2 provided it has the capacity to supply that load. In that case, reduce the current supplied by generator 1 to zero (This will be indicated by ammeter A1) open C.B.-1 and then open the main switch S1. Load Sharing of two generators: The load sharing between shunt generators in parallel can be easily regulated because of their drooping characteristics.The load may be shifted from one generator to another merely by adjusting the field excitation.Let us discuss the load sharing of two generators which have unequal no-load voltages. Let E1, E2 = no-load voltages of the two generators R1, R2 = their armature resistances V = common terminal voltage (Bus-bars voltage) then I1 = (E1 - V)/R1 and I2= (E2-V)/R2 48 \| P a g e Thus the current output of the generators depends upon the values of E1 and E3.These values may be changed by field rheostats.The common terminal voltage (or bus-bars voltage) will depend upon (i) the e.m.f.s of individual generators and (ii) the total load current supplied. It is generally desired to keep the bus bars voltage constant. This can be achieved by adjusting the field excitations of the generators operating in parallel. Compound Generators in Parallel: Under-compounded generators also operate satisfactorily in parallel but over compounded generators will not operate satisfactorily unless their series fields are paralleled. This is achieved by connecting two negative brushes together as shown in Fig. (3.16) (i). The conductor used to connect these brushes is generally called equaliser bar. Suppose that an attempt is made to operate the two generators in Fig. (3.16) (ii) in parallel without an equalizer bar. If, for any reason, the current supplied by generator 1 increases slightly, the current in its series field will increase and raise the generated voltage. This will cause generator 1 to take more load. Since total load supplied to the system is constant, the current in generator 2 must decrease and as a result, its series field is weakened. Since this effect is cumulative, the generator 1 will take the entire load and drive generator 2 as a motor. Under such conditions, the current in the two machines will be in the direction shown in Fig. (3.16) (ii). After machine 2 changes from a generator to a motor, the current in the shunt field will remain in the same direction, but the current in the armature and series field will reverse. Thus the magnetising action, of the series field opposes that of the shunt field. As the current taken by the machine 2 increases, the demagnetizing action of series field becomes greater and the resultant field becomes weaker. The resultant field will finally become zero and at that time machine 2 will short circuit machine 1, opening the breaker of either or both machines. Fig: Parallel operation of compound generators When the equalizer bar is used, a stabilizing action exists? And neither machine tends to take the entire load. To consider this, suppose that current delivered by generator 1 increase. The increased current will not only pass through the series field of generator 1 but also through the equalizer bar and series field of generator 2.Therefore, the voltage of both the machines increases and the generator 2 will take a part of the load. 49 \| P a g e PARALLEL OPERATION OF DC SERIES GENERATOR The interesting thing about the parallel operation of DC series generator is that DC series generators are not usually employed for supply of power. Instead DC series motors are arranged in parallel to operate as DC series generators during Electric Braking.  Series generators are rarely used in industry for supplying loads. Some applications like electric braking may employ them and operate two or more series generates in parallel.  The excitation of the machine I increase, increasing the load current delivered. As the total current is I the current supplied by machine II reduces, so also its excitation and induced emf. Fig: Parallel operation of Series generators  Thus machine I takes greater and greater fraction of the load current with machine II shedding its load. Ultimately the current of machine II becomes negative and it also loads the first machine.  Virtually there is a short circuit of the two sources, the whole process is thus highly unstable. One remedy is for a problem as this is to make the two fields immune to the circulating current between the machines.  With the equalizer present, a momentary disturbance does not put the two machines out of action.  A tendency to supply a larger current by a machine strengthens the field of the next machine and increases its induced emf . This brings in stable conditions for operation rapidly. Use of Equalizer Bars: Here comes the use of equalizer bars in the parallel operation of DC series generators. The possibility of reversal of either machine can be prevented by preventing the flow of circulating current produced due to inequalities of induced emfs of the machines through the series field winding.  This Aim can be achieved by connecting a heavy copper bar of negligible resistance across the two machines as shown in the figure.  Now the circulating current does not affect the field winding, but it get confined to the armature and the equalizing bars.  Now if the armature current increases, the terminal voltage drop occurs and the original condition is restored. 50 \| P a g e Cross connection of Field windings: If the field coils are cross-connected when the series motors are connected in parallel, then any increase in the current of the armature of generator 1, the increased current flows occurs through the field coil of generator 2. This increases the electromotive force of generator, which opposes the change in load sharing trying to stabilize the operation of the two generators at the original operating condition itself. Thus it will give more positive and better operation than equalizer connection. 1) 2) 51 \| P a g e 3) 4) 5) 52 \| P a g e 53 \| P a g e 54 \| P a g e UNIT III DC MOTORS AND TESTING WORKING PRINCIPLE OF A DC MOTOR The DC motor is the device which converts the direct current into the mechanical work. It works on the principle of Lorentz Law, which states that “the current carrying conductor placed in a magnetic and electric field experience a force”. And that force is called the Lorentz force. The Fleming left-hand rule gives the direction of the force. Fleming Left Hand Rule If the thumb, middle finger and the index finger of the left hand are displaced from each other by an angle of 90°, the middle finger represents the direction of the magnetic field. The index finger represents the direction of the current, and the thumb shows the direction of forces acting on the conductor. Fig: Flemings left hand rule The formula calculates the magnitude of the force, Before understanding the working of DC motor first, we have to know about their construction. The armature and stator are the two main parts of the DC motor. The armature is the rotating part, and the stator is their stationary part. The armature coil is connected to the DC supply. The armature coil consists the commutators and brushes. The commutators convert the AC induces in the armature into DC and brushes transfer the current from rotating part of the motor to the stationary external load. The armature is placed between the north and south pole of the permanent or electromagnet. For simplicity, consider that the armature has only one coil which is placed between the magnetic field shown below in the figure A. When the DC supply is given to the armature coil the current starts flowing through it. This current develops their own field around the coil. Figure B shows the field induces around the coil. 55 \| P a g e Fig: magnetic field induces around the coil. By the interaction of the fields (produces by the coil and the magnet), resultant field develops across the conductor. The resultant field tends to regain its original position, i.e. in the axis of the main field. The field exerts the force at the ends of the conductor, and thus the coil starts rotating. Fig: Field produced due to poles alone Let the field produces by the main field be Fm, and this field rotates in the clockwise direction. When the current flows in the coil, they produce their own magnetic field says Fr. The field Fr tries to come in the direction of the main field. Thereby, the torque act on the armature coil. Fig: Field produced due to conductors alone 56 \| P a g e The actual DC motor consists a large number of armature coils. The speed of the motor is directly proportional to the number of coils used in the motor. These coils are kept under the impact of the magnetic field. The one end of the conductors are kept under the influence of north pole, and the other end is kept under the influence of the South pole. The current enters into the armature coil through the north pole and move outwards through the south pole. When the coil moves from one brush to another, at the same time the polarity of the coil also changes. Thus, the direction of the force or torque acting on the coil remains same. The torque induces in the coil become zero when the armature coil is perpendicular to the main field. The zero torque means the motor stops rotating. For solving this problem, the number of armature coil is used in the rotor. So if one of their coils is perpendicular to the field, then the other coils induce the torque. And the rotor moves continuously. Also, for obtaining the continuous torque, the arrangement is kept in such a way that whenever the coils cut the magnetic neutral axis of the magnet the direction of current in the coils become reversed. This can be done with the help of the commutator. Back Emf and its Significance in DC Motor When a dc voltage V is applied across the motor terminals, the armature starts rotating due to the torque developed in it. As the armature rotates, armature conductors cut the pole magnetic field, therefore, as per law of electromagnetic induction, an emf called back emf is induced in them. The back emf (also called counter emf) is given by where, P=number of poles of dc motor Φ= flux per pole Z=total number of armature conductors N=armature speed A=number of parallel paths in armature winding As all other parameters are constant, therefore, Eb ∝ N As per Lenz's law, "the induced emf always opposes the cause of its production”. Here, the cause of generation of back emf is the rotation of armature. Rotation of armature is due to armature torque. Torque is due to armature current and armature current is due to supply dc voltage V. Therefore, the ultimate cause of production of Eb is the supply voltage V. 57 \| P a g e Therefore, back emf is always directed opposite to supply voltage V. Significance of back emf in dc motor (1) As the back emf opposes supply voltage V, therefore, supply voltage has to force current through the armature against the back emf, to keep armature rotating. The electric work done in overcoming and causing the current to flow against the back emf is converted into mechanical energy developed in the armature. It follows, therefore, that energy conversion in a dc motor is only possible due to the production of back emf. Mechanical power developed in the armature = EbIa (2) Back emf makes dc motor a self-regulating motor i.e Eb makes motor to adjust Ia automatically as per the load torque requirement. Lets see how. From the motor figure, V and Ra are fixed, therefore, armature current Ia dpends on back emf, which in turn depends on speed of the motor. (a) when the motor is running at no-load, small torque ( Ta=KIa ) is required by the motor to overcome friction and windage. Therefore, a small current is drawn by the motor armature and the back emf is almost equal to the supply voltage. (b) If the motor is suddenly loaded, the load torque beomes greater than the armature torque and the motor starts to slow down. As motor speed decreases, back emf decreases and therefore, armature current starts increasing. With increasing Ia , armature torque increases and at some point it becomes equal to the load torque. At that moment, motor stops slowing down and keeps running at this new speed. (c) If the load on the motor is suddenly reduced, the driving torque becomes more than the load torque and the motor starts accelerating. As the motor speed increases, back emf increases and therefore, armature current decreases. Due to this reducing armature current, armature developed torque decreases and at some point becomes equal to the load torque. That point onwards, motor will stop accelerating and will start rotating uniformly at this new slightly increased speed. So, this shows how important is back emf in dc motor. Without back emf, the electromagnetic energy conversion would not have been possible at the first place. Power Equation of a D.C. Motor The voltage equation of a d.c. motor is given by, V = Eb + Ia Ra Multiplying both sides of the above equation by Ia we get, V Ia = Eb Ia + Ia 2 Ra This equation is called power equation of a d.c. motor. 58 \| P a g e VIa = Net electrical power input to the armature measured in watts. Ia2Ra = Power loss due the resistance of the armature called armature copper loss. So difference between VIa and Ia2Ra i.e. input - losses gives the output of the armature. So Eb Ia is called electrical equivalent of gross mechanical power developed by the armature. This is denoted as Pm. ... Power input to the armature - Armature copper loss = Gross mechanical power developed in the armature. Condition for Maximum Power For a motor from power equation it is known that, Pm = Gross mechanical power developed = Eb Ia = VIa - Ia2Ra For maximum Pm, dPm/dIa = 0 ... 0 = V - 2IaRa ... Ia = V/2Ra i.e. IaRa = V/2 Substituting in voltage equation, V = Eb + IaRa = Eb + (V/2) ... Eb = V/2............................ Condition for maximum power Key Point : This is practically impossible to achieve as for this, current required is much more than its normal rated value. Large heat will be produced and efficiency of motor will be less than 50 %. TORQUE EQUATION OF A DC MOTOR When a DC machine is loaded either as a motor or as a generator, the rotor conductors carry current. These conductors lie in the magnetic field of the air gap. Thus, each conductor experiences a force. The conductors lie near the surface of the rotor at a common radius from its centre. Hence, a torque is produced around the circumference of the rotor, and the rotor starts rotating. When the machine operates as a generator at a constant speed, this torque is equal and opposite to that provided by the prime mover. When the machine is operating as a motor, the torque is transferred to the shaft of the rotor and drives the mechanical load. The expression is same for the generator and motor. When the current carrying current is placed in the magnetic field, a force is exerted or it which exerts turning moment or torque F x r. This torque is produced due to the electromagnetic effect, hence is called Electromagnetic torque. The torque which is produced in the armature is not fully used at the shaft for doing the useful work. Some part of it where lost due to mechanical losses. The torque which is used for doing useful work in known as the shaft torque. 59 \| P a g e a a Since, Multiplying the equation (1) by Ia we get Where, VIa is the electrical power input to the armature. I2 R is the copper loss in the armature. We know that, Total electrical power supplied to the armature = Mechanical power developed by the armature + losses due to armature resistance Now, the mechanical power developed by the armature is Pm. Also, the mechanical power rotating armature can be given regarding torque T and speed n. Where n is in revolution per seconds (rps) and T is in Newton-Meter. Hence, But, Where N is the speed in revolution per minute (rpm) and Where, n is the speed in (rps). 60 \| P a g e Therefore, So, the torque equation is given as For a particular DC Motor, the number of poles (P) and the number of conductors per parallel path (Z/A) are constant. Where, Thus, from the above equation (5) it is clear that the torque produced in the armature is directly proportional to the flux per pole and the armature current. Moreover, the direction of electromagnetic torque developed in the armature depends upon the current in armature conductors. If either of the two is reversed the direction of torque produced is reversed and hence the direction of rotation. But when both are reversed, and direction of torque does not change. Shaft Torque In a DC Motor whole of the electromagnetic torque (T) developed in the armature is not available on the shaft. A part of it is lost to overcome the iron and mechanical (friction and windage) losses. Therefore, shaft torque (Tsh) is somewhat less than the torque developed in the armature. Definition: Thus, in the case of DC motors, the actual torque available at the shaft for doing useful mechanical work is known as Shaft Torque. It is so called because it is available on the shaft of the motor. It is represented by the symbol Tsh. The output of the motor is given by the equation shown below where Tsh is the shaft torque in r.p.s and the N is the rotation of the motor in r.p.m. The shaft torque is expressed as 61 \| P a g e The difference between the armature torque and the shaft torque ( Ta – Tsh ) is known as the lost torque and is due to the formation of the torque. Brake Horse Power (B.H.P) In the case of the motor, the mechanical power available at the shaft is known as Brake Horse Power. If Tsh is the shaft torque in Newton Meter and N is the speed in r.p.m then, The output brake horsepower is given by the equation (1) shown above. TYPES OF DC MOTOR A Direct Current Motor, DC is named according to the connection of the field winding with the armature. Mainly there are two types of DC Motors. First, one is Separately Excited DC Motor and Self-excited DC Motor. The self-excited motors are further classified as Shunt wound or shunt motor, Series wound or series motor and Compound wound or compound motor. The dc motor converts the electrical power into mechanical power is known as dc motor. The construction of the dc motor and generator are same. But the dc motor has the wide range of speed and good speed regulation which in electric traction.The working principle of the dc motor is based on the principle that the current carrying conductor is placed in the magnetic field and a mechanical force experience by it. The DC motor is generally used in the location where require protective enclosure, for example, drip- proof, the fireproof, etc. according to the requirements. The detailed description of the various types of the motor is given below. Separately Excited DC Motor As the name signifies, the field coils or field windings are energized by a separate DC source as shown in the circuit diagram shown below. 62 \| P a g e Separately Excited DC Motor Self Excited DC Motor As the name implies self-excited, hence, in this type of motor, the current in the windings is supplied by the machine or motor itself. Self-excited DC Motor is further divided into shunt wound, and series wound motor. They are explained below in detail. Shunt Wound Motor This is the most common types of DC Motor. Here the field winding is connected in parallel with the armature as shown in the figure below. Shunt Wound DC Motor The current, voltage and power equations for a shunt motor are written as follows. By applying KCL at the junction A in the above figure. The sum of the incoming currents at A = Sum of the outgoing currents at A. Where, I is the input line current Ia is the armature current Ish is the shunt field current 63 \| P a g e Equation (1) is the current equation. The voltage equations are written by using Kirchhoff’s voltage law (KVL) for the field winding circuit. For armature winding circuit the equation will be given as The power equation is given as Power input = mechanical power developed + losses in the armature + loss in the field. Multiplying equation (3) by Ia we get the following equations. Where, VIa is the electrical power supplied to the armature of the motor. Series Wound Motor In the series motor, the field winding is connected in series with the armature winding. The connection diagram is shown below. Series Wound Motor 64 \| P a g e By applying the KCL in the above figure Where, Ise is the series field current The voltage equation can be obtained by applying KVL in the above figure The power equation is obtained by multiplying equation (8) by I we get Power input = mechanical power developed + losses in the armature + losses in the field Comparing the equation (9) and (10), we will get the equation shown below. Compound Wound Motor A DC Motor having both shunt and series field windings is called a Compound Motor. The connection diagram of the compound motor is shown below. Compound Motor The compound motor is further subdivided as Cumulative Compound Motor and Differential Compound Motor. In cumulative compound motor the flux produced by both the windings is in the same direction, i.e. 65 \| P a g e In differential compound motor, the flux produced by the series field windings is opposite to the flux produced by the shunt field winding, i.e. The positive and negative sign indicates that direction of the flux produced in the field windings. CHARACTERISTICS OF DC MOTORS Generally, three characteristic curves are considered important for DC motors which are, (i) Torque vs. armature current, (ii) (ii) Speed vs. armature current and (iii) (iii) Speed vs. torque. These are explained below for each type of DC motor. These characteristics are determined by keeping the following two relations in mind. Ta ∝ ɸ.Ia and N ∝ Eb/ɸ These above equations can be studied at - emf and torque equation of dc machine. For a DC motor, magnitude of the back emf is given by the same emf equation of a dc generator i.e. Eb = PɸNZ / 60A. For a machine, P, Z and A are constant, therefore, N ∝ Eb/ɸ Characteristics Of DC Series Motors Torque Vs. Armature Current (Ta-Ia) This characteristic is also known as electrical characteristic. We know that torque is directly proportional to the product of armature current and field flux, Ta ∝ ɸ.Ia. In DC series motors, field winding is connected in series with the armature, i.e. Ia = If. Therefore, before magnetic saturation of the field, flux ɸ is directly proportional to Ia. Hence, before magnetic saturation Ta α Ia2. Therefore, the Ta-Ia curve is parabola for smaller values of Ia. After magnetic saturation of the field poles, flux ɸ is independent of armature current Ia. Therefore, the torque varies proportionally to Ia only, T ∝ Ia.Therefore, after magnetic saturation, Ta-Ia curve becomes a straight line. The shaft torque (Tsh) is less than armature torque (Ta) due to stray losses. Hence, the curve Tsh vs Ia lies slightly lower. In DC series motors, (prior to magnetic saturation) torque increases as the square of armature current, these motors are used where high starting torque is required. Speed Vs. Armature Current (N-Ia) We know the relation, N ∝ Eb/ɸ 66 \| P a g e For small load current (and hence for small armature current) change in back emf Eb is small and it may be neglected. Hence, for small currents speed is inversely proportional to ɸ. As we know, flux is directly proportional to Ia, speed is inversely proportional to Ia. Therefore, when armature current is very small the speed becomes dangerously high. That is why a series motor should never be started without some mechanical load. But, at heavy loads, armature current Ia is large. And hence, speed is low which results in decreased back emf Eb. Due to decreased Eb, more armature current is allowed. Speed Vs. Torque (N-Ta) This characteristic is also called as mechanical characteristic. From the above two characteristics of DC series motor, it can be found that when speed is high, torque is low and vice versa. Characteristics Of DC Shunt Motors Torque Vs. Armature Current (Ta-Ia) In case of DC shunt motors, we can assume the field flux ɸ to be constant. Though at heavy loads, ɸ decreases in a small amount due to increased armature reaction. As we are neglecting the change in the flux ɸ, we can say that torque is proportional to armature current. Hence, the Ta-Ia characteristic for a dc shunt motor will be a straight line through the origin. Since heavy starting load needs heavy starting current, shunt motor should never be started on a heavy load. Speed Vs. Armature Current (N-Ia) As flux ɸ is assumed to be constant, we can say N ∝ Eb. But, as back emf is also almost constant, the speed should remain constant. But practically, ɸ as well as Eb decreases with increase in load. Back emf Eb decreases slightly more than ɸ, therefore, the speed decreases slightly. Generally, the speed decreases only by 5 to 15% of full load speed. Therefore, a shunt motor can be assumed as a constant speed motor. In speed vs. armature current characteristic in the following figure, the straight horizontal line represents the ideal characteristic and the actual characteristic is shown by the dotted line. 67 \| P a g e Characteristics Of DC Compound Motor DC compound motors have both series as well as shunt winding. In a compound motor, if series and shunt windings are connected such that series flux is in direction as that of the shunt flux then the motor is said to be cumulatively compounded. And if the series flux is opposite to the direction of the shunt flux, then the motor is said to be differentially compounded. Characteristics of both these compound motors are explained below. (a) Cumulative compound motor Cumulative compound motors are used where series characteristics are required but the load is likely to be removed completely. Series winding takes care of the heavy load, whereas the shunt winding prevents the motor from running at dangerously high speed when the load is suddenly removed. These motors have generally employed a flywheel, where sudden and temporary loads are applied like in rolling mills. (b) Differential compound motor Since in differential field motors, series flux opposes shunt flux, the total flux decreases with increase in load. Due to this, the speed remains almost constant or even it may increase slightly with increase in load (N ∝ Eb/ɸ). Differential compound motors are not commonly used, but they find limited applications in experimental and research work. 68 \| P a g e SPEED CONTROL OF DC MOTOR: The dc motor converts the mechanical power into dc electrical power. One of the most important features of the dc motor is that their speed can easily be control according to the requirement by using simple methods. Such type of control is impossible in an AC motor. The concept of the speed regulation is different from the speed control. In speed regulation, the speed of the motor changes naturally whereas in dc motor the speed of the motor changes manually by the operator or by some automatic control device. The speed of the DC Motor is given by the relation shown below. The equation (1) that the speed is dependent upon the supply voltage V, the armature circuit resistance Ra and the field flux ϕ, which is produced by the field current. For controlling the speed of DC Motor, the variation in voltage, armature resistance and field flux is taken into consideration. There are three general methods of speed control of a DC Motor. They are as follows. 1. Variation of resistance in the armature circuit.This method is called Armature Resistance or Rheostatic control. 2. Variation in field flux.This method is known as Field Flux Control. 3. Variation in applied voltage.This method is also known as Armature Voltage Control. The detailed discussion of the various method of controlling the speed is given below. Armature Resistance Control of DC Motor Shunt Motor The connection diagram of a shunt motor of the armature resistance control method is shown below. In this method, a variable resistor Re is put in the armature circuit. The variation in the variable resistance does not effect the flux as the field is directly connected to the supply mains. Fig: Connection diagram of a shunt motor of the armature resistance control method The speed current characteristic of the shunt motor is shown below. 69 \| P a g e Fig: Speed current characteristic of the shunt motor Series Motor: Now, let us consider a connection diagram of speed control of the DC Series motor by the armature resistance control method. Fig: Diagram of speed control of the DC Series motor By varying the armature circuit resistance, the current and flux both are affected. The voltage drop in the variable resistance reduces the applied voltage to the armature, and as a result, the speed of the motor is reduced. The speed–current characteristic of a series motor is shown in the figure below. Fig: Speed–current characteristic of a series motor When the value of variable resistance Re is increased, the motor runs at a lower speed. Since the variable resistance carries full armature current, it must be designed to carry continuously the full armature current. 70 \| P a g e Disadvantages of Armature Resistance Control Method  A large amount of power is wasted in the external resistance Re.  Armature resistance control is restricted to keep the speed below the normal speed of the motor and increase in the speed above normal level is not possible by this method.  For a given value of variable resistance, the speed reduction is not constant but varies with the motor load.  This speed control method is used only for small motors. Field Flux Control Method of DC Motor Flux is produced by the field current. Thus, the speed control by this method is achieved by control of the field current. Shunt Motor In a Shunt Motor, the variable resistor RC is connected in series with the shunt field windings as shown in the figure below. This resistor RC is known as a Shunt Field Regulator. Fig: Shunt Field Regulator The shunt field current is given by the equation shown below. The connection of RC in the field reduces the field current, and hence the flux is also reduced. This reduction in flux increases the speed, and thus, the motor runs at speed higher than the normal speed. Therefore, this method is used to give motor speed above normal or to correct the fall of speed because of the load. The speed-torque curve for shunt motor is shown below. Fig: speed-torque curve for shunt motor 71 \| P a g e Series Motor In a series motor, the variation in field current is done by any one method, i.e. either by a diverter or by a tapped field control. By Using a Diverter: A variable resistance Rd is connected in parallel with the series field windings as shown in the figure below. Fig: Diverter is connected in parallel with the series field windings The parallel resistor is called a Diverter. A portion of the main current is diverted through a variable resistance Rd. Thus, the function of a diverter is to reduce the current flowing through the field winding. The reduction in field current reduces the amount of flux and as a result the speed of the motor increases. Tapped Field Control: The second method used in a series motor for the variation in field current is by tapped field control. The connection diagram is shown below. Fig: Tapped Field Control Here the ampere turns are varied by varying the number of field turns. This type of arrangement is used in an electric traction system. The speed of the motor is controlled by the variation of the field flux. The speed-torque characteristic of a series motor is shown below. 72 \| P a g e Fig: Speed-torque characteristic Advantages of Field Flux Control The following are the advantages of the field flux control method.  This method is easy and convenient.  As the shunt field is very small, the power loss in the shunt field is also small. The flux cannot usually be increased beyond its normal values because of the saturation of the iron. Therefore, speed control by flux is limited to the weakening of the field, which gives an increase in speed. This method is applicable over only to a limited range because if the field is weakened too much, there is a loss of stability. Armature Voltage Control of DC Motor In armature voltage control method the speed control is achieved by varying the applied voltage in the armature winding of the motor. This speed control method is also known as Ward Leonard Method, which is discussed in detail under the topic Ward Leonard Method or Armature Voltage Control. Ward Leonard Method Of Speed Control Or Armature Voltage Control Ward Leonard Method of speed control is achieved by varying the applied voltage to the armature. This method was introduced in 1891. The connection diagram of the Ward Leonard method of speed control of a DC shunt motor is shown in the figure below. In the above system, M is the main DC motor whose speed is to be controlled, and G is a separately excited DC generator.The generator G is driven by a 3 phase driving motor which may be an induction motor or a synchronous motor. The combination of AC driving motor and the DC generator is called the Motor-Generator (M-G) set. The voltage of the generator is changed by changing the generator field current. This voltage when directly applied to the armature of the main DC motor, the speed of the motor M changes. The motor field current Ifm is kept constant so that the motor field flux ϕm also remains constant. While the speed of the motor is controlled, the motor armature current Ia is kept equal to its rated value. The generated field current Ifg is varied such that the armature voltage Vtchanges from zero to its rated value. The speed will change from zero to the base speed. Since the speed control is carried out with the 73 \| P a g e rated current Ia and with the constant motor field flux, a constant torque is directly proportional to the armature current, and field flux up to rated speed is obtained. The product of torque and speed is known as power, and it is proportional to speed. Thus, with the increase in power, speed increases automatically. The Torque and Power Characteristic is shown in the figure below. Hence, with the armature voltage control method, constant torque and variable power drive is obtained from speed below the base speed. The Field flux control method is used when the speed is above the base speed. In this mode of operation, the armature current is maintained constant at its rated value, and the generator voltage Vt is kept constant. The motor field current is decreased and as a result, the motor field flux also decreases.This means that the field is weakened to obtain the higher speed. Since VtIa and EIa remain constant, the electromagnetic torque is directly proportional to the field flux ϕm and the armature current Ia. Thus, if the field flux of the motor is decreased the torque decreases. Therefore, the torque decreases, as the speed increases. Thus, in the field control mode, constant power and variable torque are obtained for speeds above the base speed. When the speed control over a wide range is required, a combination of armature voltage control and field flux control is used. This combination permits the ratio of maximum to minimum speed available speeds to be 20 to 40. For closed loop control, this range can be extended up to 200. The driving motor can be an induction or synchronous motor. An induction motor operates at a lagging power factor. The synchronous motor may be operated at a leading power factor by over-excitation of its field. Leading reactive power is generated by over excited synchronous motor. It compensates for the lagging reactive power taken by other inductive loads. Thus, the power factor is improved. A Slip ring induction motor is used as p prime mover when the load is heavy and intermittent. A flywheel is mounted on the shaft of the motor. This scheme is known as Ward Leonard-Ilgener scheme. It prevents heavy fluctuations in supply current. When the Synchronous motor is acting as a driving motor, the fluctuations cannot be reduced by mounting a flywheel on its shaft, because the synchronous motor always operates at a constant speed. In another form of Ward Leonard drive, non-electrical prime movers can also be used to drive the DC generator. For example – In DC electric locomotive, DC generator is driven by a diesel engine or a gas turbine and ship propulsion drives. In this system, Regenerative braking is not possible because energy cannot flow in the reverse direction in the prime mover. 74 \| P a g e Advantages of Ward Leonard Drives The main advantages of the Ward Leonard drive are as follows:-  Smooth speed control of DC motor over a wide range in both the direction is possible.  It has an inherent braking capacity.  The lagging reactive volt-amperes are compensated by using an overexcited synchronous motor as the drive and thus, the overall power factor improves.  When the load is intermittent as in rolling mills, the drive motor is an induction motor with a flywheel mounted to smooth out the intermittent loading to a low value. Drawbacks of Classical Ward Leonard System The Ward Leonard system with rotating Motor Generator sets has following drawbacks.  The Initial cost of the system is high as there is a motor generator set installed, of the same rating as that of the main DC motor.  Larger size and weight.  Requires large floor area  Costly foundation  Maintenance of the system is frequent.  Higher losses.  Lower efficiency.  The drive produces more noise.  Applications of Ward Leonard Drives The Ward Leonard drives are used where a smooth speed control of the DC motors over a wide range in both the directions is required. Some of the examples are as follows:-  Rolling mills  Elevators  Cranes  Paper mills  Diesel-electric locomotives  Mine hoists Solid State Control or Static Ward Leonard System Now a days Static Ward Leonard system is mostly used. In this system, the rotating motor-generator (M- G) set is replaced by a solid state converter to control the speed of the DC motor. Controlled Rectifiers and choppers are used as a converter. In the case of an AC supply, controlled rectifiers are used to convert fixed AC supply voltage into a variable AC supply voltage. In the case of DC supply, choppers are used to obtain variable DC voltage from the fixed DC voltage. STARTING OF DC MOTORS A starter is a device to start and accelerate a motor. A controller is a device to start the motor, control and reverse the speed of the DC motor and stop the motor. While starting the DC motor, it draws the heavy current which damages the motor. The starter reduces the heavy current and protects the system from damage. 75 \| P a g e Need of Starters for DC Motors The dc motor has no back EMF. At the starting of the motor, the armature current is controlled by the resistance of the circuit. The resistance of the armature is low, and when the full voltage is applied at the standstill condition of the motor, the armature current becomes very high which damage the parts of the motor. Because of the high armature current, the additional resistance is placed in the armature circuit at starting. The starting resistance of the machine is cut out of the circuit when the machine gains it speeds. The armature current of a motor is given by Thus, Ia depends upon E and Ra, if V is kept constant. When the motor is first switched ON, the armature is stationary. Hence, the back EMF Eb is also zero. The initial starting armature current Ias is given by the equation shown below. Since, the armature resistance of a motor is very small, generally less than one ohm. Therefore, the starting armature current Ias would be very large. For example – if a motor with the armature resistance of 0.5 ohms is connected directly to a 230 V supply, then by putting the values in the equation (2) we will get. This large current would damage the brushes, commutator and windings. As the motor speed increases, the back EMF increases and the difference (V – E) go on decreasing. This results in a gradual decrease of armature current until the motor attains its stable speed and the corresponding back EMF. Under this condition, the armature current reaches its desired value. Thus, it is found that the back EMF helps the armature resistance in limiting the current through the armature. Since at the time of starting the DC Motor, the starting current is very large. At the time of starting of all DC Motors, except for very small motors, an extra resistance must be connected in series with the armature. This extra resistance is added so that a safe value of the motor is maintained and to limit the starting current until the motor has attained its stable speed. The series resistance is divided into sections which are cut out one by one, as the speed of the motor rises and the back EMF builds up. The extra resistance is cut out when the speed of the motor builds up to its normal value. 76 \| P a g e 3 POINT STARTER 3 Point Starter is a device whose main function is starting and maintaining the speed of the DC shunt motor. The 3 point starter connects the resistance in series with the circuit which reduces the high starting current and hence protects the machines from damage. Mainly there are three main points or terminals in 3 point starter of DC motor. They are as follows  L is known as Line terminal, which is connected to the positive supply.  A is known as the armature terminal and is connected to the armature windings.  F or Z is known as the field terminal and is connected to the field terminal windings. The 3 Point DC Shunt Motor Starter is shown in the figure below It consists of a graded resistance R to limit the starting current. The handle H is kept in the OFF position by a spring S. The handle H is manually moved, for starting the motor and when it makes contact with resistance stud one the motor is said to be in the START position. In this initial start position, the field winding of the motor receives the full supply voltage, and the armature current is limited to a certain safe value by the resistance (R = R1 + R2 + R3 + R4). Working of 3 Point Starter The starter handle is now moved from stud to stud, and this builds up the speed of the motor until it reaches the RUN position. The Studs are the contact point of the resistance. In the RUN position, three main points are considered. They are as follows.  The motor attains the full speed.  The supply is direct across both the windings of the motor.  The resistance R is completely cut out. 77 \| P a g e The handle H is held in RUN position by an electromagnet energised by a no volt trip coil (NVC). This no volt trip coil is connected in series with the field winding of the motor. In the event of switching OFF, or when the supply voltage falls below a predetermined value, or the complete failure of supply while the motor is running, NVC is energised. The handle is released and pulled back to the OFF position by the action of the spring. The current to the motor is cut off, and the motor is not restarted without a resistance R in the armature circuit. The no voltage coil also provides protection against an open circuit in the field windings. The No Voltage Coil (NVC) is called NO-VOLT or UNDERVOLTAGE protection of the motor. Without this protection, the supply voltage might be restored with the handle in the RUN position. The full line voltage is directly applied to the armature. As a result, a large amount of current is generated. The other protective device incorporated in the starter is the overload protection. The Over Load Trip Coil (OLC) and the No Voltage Coil (NVC) provide the overload protection of the motor. The overload coil is made up of a small electromagnet, which carries the armature current. The magnetic pull of the Overload trip coil is insufficient to attract the strip P, for the normal values of the armature current When the motor is overloaded, that is the armature current exceeds the normal rated value, P is attracted by the electromagnet of the OLC and closes the contact aa thus, the No Voltage Coil is short-circuited, shown in the figure of 3 Point Starter. As a result, the handle H is released, which returns to the OFF position, and the motor supply is cut off. To stop the motor, the starter handle should never be pulled back as this would result in burning the starter contacts. Thus, to stop the motor, the main switch of the motor should be opened. Drawbacks of a 3 Point Starter The following drawbacks of a 3 point starter are as follows:-  The 3 point starter suffers from a serious drawback for motors with a large variation of speed by adjustment of the field rheostat.  To increase the speed of the motor, the field resistance should be increased. Therefore, the current through the shunt field is reduced.  The field current may become very low because of the addition of high resistance to obtain a high speed.  A very low field current will make the holding electromagnet too weak to overcome the force exerted by the spring.  The holding magnet may release the arm of the starter during the normal operation of the motor and thus, disconnect the motor from the line. This is not a desirable action. Hence, to overcome this difficulty, the 4 Point Starter is used. 78 \| P a g e 4 POINT STARTER A 4 Point Starter is almost similar in functional characteristics like 3 Point Starter. In the absence of back EMF, the 4 Point Starter acts as a current limiting device while starting of the DC motor. 4 Point Starter also acts a protecting device. The basic difference in 4 Point Starter as compared to 3 Point Starter is that in this a holding coil is removed from the shunt field circuit. This coil after removing is connected across the line in series with a current limiting resistance R. The studs are the contact points of the resistance represented by 1, 2, 3, 4, 5 in the figure below. The schematic connection diagram of a 4 Point Starter is shown below. Fig: 4 Point Starter The above arrangement forms three parallel circuits. They are as follows:-  Armature, starting the resistance and the shunt field winding.  A variable resistance and the shunt field winding.  Holding coil and the current limiting resistance. With the above three arrangements of the circuit, there will be no effect on the current through the holding coil if there is any variation in speed of the motor or any change in field current of the motor. This is because the two circuits are independent of each other. The only limitation or the drawback of the 4 point starter is that it cannot limit or control the high current speed of the motor. If the field winding of the motor gets opened under the running condition, the field current automatically reduces to zero. But as some of the residual flux is still present in the motor, and we know that the flux is directly proportional to the speed of the motor. Therefore, the speed of the motor increases drastically, which is dangerous and thus protection is not possible. This sudden increase in the speed of the motor is known as High-Speed Action of the Motor. 79 \| P a g e Nowadays automatic push button starters are also used. In the automatic starters, the ON push button is pressed to connect the current limiting starting resistors in series with the armature circuit. As soon as the full line voltage is available to the armature circuit, this resistor is gradually disconnected by an automatic controlling arrangement. The circuit is disconnected when the OFF button is pressed. Automatic starter circuits have been developed using electromagnetic contactors and time delay relays. The main advantage of the automatic starter is that it enables even the inexperienced operator to start and stop the motor without any difficulty. LOSSES IN DC MACHINE The losses that occur in a DC Machine is divided into five basic categories. The various losses are Electrical or Copper losses (I2R losses), Core losses or Iron losses, Brush losses, Mechanical losses, Stray load losses. These losses are explained below in detail. Fig: Classification of losses in DC machnes Electrical or Copper Losses in dc machine These losses are also known as Winding losses as the copper loss occurs because of the resistance of the windings. The ohmic loss is produced by the current flowing in the windings. The windings that are present in addition to the armature windings are the field windings, interpoles and compensating windings. Armature copper losses = Ia2Ra where Ia is armature current, and Ra is the armature resistance. These losses are about 30 percent of the total full load losses. In shunt machine, the Copper loss in the shunt field is I2shRsh, where Ish is the current in the shunt field, and Rsh is the resistance of the shunt field windings. The shunt regulating resistance is included in Rsh. 80 \| P a g e In a series machine, the copper loss in the series windings is I2seRse, where, Ise is the current through the series field windings, and Rse is the resistance of the series field windings. In a Compound machine, both the shunt and the series field losses occur. These losses are almost 20 percent of the full load losses. Copper losses in the interpole windings are written as Ia2Ri where Ri is the resistance of the interpole windings. Copper loss in the compensating windings if any is Ia2Rc where Rc is the resistance of compensating windings. Magnetic Losses or Core Losses or Iron Losses in dc machine The core losses are the hysteresis and eddy current losses. These losses are considered almost constant as the machines are usually operated at constant flux density and constant speed. These losses are about 20 percent of the full load losses. Brush Losses in dc machine Brush losses are the losses taking place between the commutator and the carbon brushes. It is the power loss at the brush contact point. The brush drop depends upon the brush contact voltage drop and the armature current Ia. It is given by the equation shown below. The voltage drop occurring over a large range of armature currents, across a set of brushes is approximately constant If the value of brush voltage drop is not given than it is usually assumed to be about 2 volts. Thus, the brush drop loss is taken as 2Ia. Mechanical Losses in dc machine The losses that take place because of the mechanical effects of the machines are known as mechanical losses. Mechanical losses are divided into bearing friction loss and windage loss. The losses occurring in the moving parts of the machine and the air present in the machine is known as Windage losses. These losses are very small. Stray Losses in dc machine These losses are the miscellaneous type of losses. The following factors are considered in stray load losses.  The distortion of flux because of armature reaction.  Short circuit currents in the coil, undergoing commutation. These losses are very difficult to determine. Therefore, it is necessary to assign the reasonable value of the stray loss. For most machines, stray losses are taken by convention to be one percent of the full load output power. 81 \| P a g e EFFICIENCY OF DC GENERATOR Efficiency is simply defined as the ratio of output power to the input power. Let R = total resistance of the armature circuit (including the brush contact resistance, at series winding resistance, inter-pole winding resistance and compensating winding resistance). The efficiency of DC generator is explained below in the line diagram. Fig: Power flow diagram  I is the output current  Ish is the current through the shunt field  Ia is the armature current = I + Ish  V is the terminal voltage. Total copper loss in the armature circuit = Ia2Rat Power loss in the shunt circuit = VIsh (this includes the loss in the shunt regulating resistance). Mechanical losses = friction loss of bearings + friction loss at a commutator + windage loss. Core losses = hysteresis loss + eddy current loss Stray loss = mechanical loss + core loss The sum of the shunt field copper loss and stray losses may be considered as a combined fixed (constant) loss that does not vary with the load current I. Therefore, the constant losses (in shunt and compound generators) = stray loss + shunt field copper losses. SWINBURNE’S TEST Swinburne’s Test is an indirect method of testing of DC machines. In this method the losses are measured separately and the efficiency at any desired load is predetermined. Machines are tested for finding out 82 \| P a g e losses, efficiency and temperature rise. For small machines direct loading test is performed. For large shunt machines, indirect methods are used like Swinburne’s or Hopkinson’s test. The machine is running as a motor at rated voltage and speed. The connection diagram for DC shunt machine is shown in the figure below. Fig: Swinburne’s Test Let V be the supply voltage I0 is the no-load current Ish is the shunt field current Therefore, no load armature current is given by the equation shown below. No-load input = VI0 The no-load power input to the machine supplies the following, as given below.  Iron loss in the core  Friction losses in the bearings and commutators.  Windage loss  Armature copper loss at no load. When the machine is loaded, the temperature of the armature winding and the field winding increases due to I2R losses. For calculating I2R losses hot resistances should be used. A stationary measurement of resistances at room temperature of t degree Celsius is made by passing current through the armature and then field from a low voltage DC supply. Then the heated resistance, allowing a temperature rise of 50⁰C is found. The equations are as follows:- 83 \| P a g e Where, α0 is the temperature coefficient of resistance at 0⁰C Therefore, Stray loss = iron loss + friction loss + windage loss = input at no load – field copper loss – no load armature copper loss Also, constant losses If the constant losses of the machine are known, its efficiency at any other load can be determined as follows. Let I be the load current at which efficiency is required. Efficiency when the machine is running as a Motor. Therefore, total losses is given as The efficiency of the motor is given below. Efficiency when the machine is running as a Generator. 84 \| P a g e Therefore, total losses is given as The efficiency of the generator is given below. Advantages of Swinburne’s Test: The main advantages of the Swinburne’s test are as follows:-  The power required to test a large machine is small. Thus, this method is an economical and convenient method of testing of DC machines.  As the constant loss is known the efficiency can be predetermined at any load. Disadvantages of Swinburne’s Test:  Change in iron loss is not considered at full load from no load. Due to armature reaction flux is distorted at full load and, as a result, iron loss is increased.  As the Swinburne’s test is performed at no load. Commutation on full load cannot be determined whether it is satisfactory or not and whether the temperature rise is within the specified limits or not. Limitations of Swinburne’s Test:  Machines having a constant flux are only eligible for Swinburne’s test. For examples – shunt machines and level compound generators.  Series machines cannot run on light loads, and the value of speed and flux varies greatly. Thus, the Swinburne’s Test are not applicable for series machines   BRAKE TEST ON DC SHUNT MOTOR: Brake test is a method of finding efficiency of dc motors. We took dc shunt motor as running machine. Brake test also called as direct loading test of testing the motor because loading will be applied directly on shaft of the motor by means of a belt and pulley arrangement. 85 \| P a g e Test Requirements: 1. DC shunt motor 2. Water-cooled pulley 3. Spring balance Procedure of Brake Test on DC Shunt Motor: 1. By adjusting the handle of the pulley take different readings of the spring balance. 2. The tension in the belt can be adjusted using the handle. The tension in kg can be obtained from the spring balance readings. 3. Adjusting the load step by step till full load, number of readings can be obtained. By increasing the load is slowly, adjust to get rated load current. 4. The power developed gets wasted against the friction between belt and shaft. Due to the braking action of belt the test is called brake test. 5. The speed can be measured by tachometer. Thus all the motor characteristics can be plotted. Calculation of Brake Test on DC Shunt Motor Let R (or) r= Radius of pulley in meters N = Speed in R.P.M. W1 = spring balance reading on tight side in kg W2 = spring balance reading on slack side in kg So, net pull on the belt due to friction at the pulley is the difference between the two spring balance readings. Net pull on the rope = (W - S) kg = (W - S) X 9.81 newtons ...... (1) As radius R and speed N are known, the shaft torque developed can be obtained as, Tsh = Net pull X R = (W - S) X 9.81 X R ....... (2) Now let, V = Voltage applied in volts I = Total line current drawn in amps. 86 \| P a g e As we know V and I are input parameters of dc motors in brake test. Then, Pin=V.I Watts ..... (3) We have output and input. Then why late go and find the efficiency of dc shunt motor. Efficiency (η)=Output/Input [No units] From equation (2) & (3) Advantages of Brake Test on DC Shunt Motor: 1. Actual efficiency of the motor under working conditions can be found out. 2. Brake test is simple and easy to perform. 3. It is not only for dc shunt motor, also can be performed on any type of D.C. motor. Disadvantages of Brake Test on DC Shunt Motor: 1. In brake test due the belt friction lot of heat will be generated and hence there is large dissipation of energy. 2. Cooling arrangement is necessary to minimize the heat. Mostly in our laboratories we use water as cooling liquid. 3. Convenient only for small rated machines due to limitations regarding heat dissipation arrangements. 4. Power developed gets wasted hence brake test method is little expensive. 5. The efficiency observed is on lower side. HOPKINSON’S TEST Hopkinson’s Test is also known as Regenerative Test, Back to Back test and Heat Run Test. In Hopkinson Test, two identical shunt machines are required which are coupled both mechanically and electrically in parallel. One is acting as a motor and another one as a generator. The input to the motor is given by the supply mains. The mechanical output of motor drives the generator, and the electrical output of the generator is used in supplying the input to the motor. Thus, the output of each machine acts as an input to the other machine. When both the machines are running on the full load, the supply input is equal to the total losses of the machines. Hence, the power input from the supply is very small. The Circuit Diagram of the Hopkinson’s Test is shown in the figure below. Supply is given and with the help of a starter, the machine M starts and work as a motor. The switch S is kept open. The field current of M is adjusted with the help of rheostat field RM, which enables the motor to run at rated speed. Machine G acts as a generator. Since the generator is mechanically coupled to the motor, it runs at the rated speed of the motor. 87 \| P a g e Fig: Hopkinson’s Test The excitation of the generator G is so adjusted with the help of its field rheostat RG that the voltage across the armature of the generator is slightly higher than the supply voltage. In actual the terminal voltage of the generator is kept 1 or 2 volts higher than the supply voltage. When the voltage of the generator is equal and of the same polarity as the of the busbar supply voltage, the main switch S is closed, and the generator is connected to the busbars. Thus, both the machines are now in parallel across the supply. Under this condition, when the machines are running parallel, the generator are said to float. This means that the generator is neither taking any current nor giving any current to the supply. Now with the help of a field rheostat, any required load can be thrown on the machines by adjusting the excitation of the machines with the help of field rheostats. Let,  V be the supply voltage  IL is the line current  Im is the input current to the motor  Ig is the input current to the generator  Iam is the motor armature current  Ishm is the motor shunt field current  Ishg is the generator shunt field current  Ra is the armature resistance of each machine  Rshm is the motor shunt field resistance  Rshg is the generator shunt field resistance  Eg is the generator induced voltage  Em is the motor induced voltage or back emf 88 \| P a g e am a ag a shm shm shg shg Since the field flux is directly proportional to the field current. Thus, the excitation of the generator shall always be greater than that of the motor. Calculation of the Efficiency of the Machine by Hopkinson’s Test  Power input from the supply = VIL = total losses of both the machines  Armature copper loss of the motor = I2 R  Field copper loss of the motor = I2 R  Armature copper loss of the generator = I2 R  Field copper loss of the generator = = I2 R The constant losses Pc like iron, friction and windage losses are assumed to be equal and is written as given below. Constant losses of both the machines = Power drawn from the supply – Armature and shunt copper losses of both the machines. Assuming that the constant losses known as stray losses are divided equally between the two machines. Total stray loss per machine = ½ PC Efficiency of the Generator  Output = VIag  Constant losses for generator is given as PC/2  Armature copper loss = I2ag Ra  Field copper loss = I2shg Rshg 89 \| P a g e am a shm shm The Efficiency of the generator is given by the equation shown below Efficiency of the Motor  Constant losses of the motor is given as PC/2  Armature copper loss = I2 R  Field copper loss = I2 R The Efficiency of the motor is given by the equation shown below Advantages of Hopkinson’s Test The main advantages of using Hopkinson’s test are as follows:-  This method is very economical.  The temperature rise and the commutation conditions can be checked under rated load conditions.  Stray losses are considered, as both the machines are operated under rated load conditions.  Large machines can be tested at rated load without consuming much power from the supply.  Efficiency at different loads can be determined. Disadvantage of Hopkinson’s Test The main disadvantage of this method is the necessity of two practically identical machines for performing the Hopkinson’s test. Hence, this test is suitable for large DC machines. FIELD’S TEST: This is one of the methods of testing the D.C. series motors. Unlike shunt motors, the series motor cannot be tested by the methods which area available for shunt motors as it is impossible to run the motor on no-load. It may run at dangerously high speed on no load. In case of small series motors brake test may be employed. The series motors are usually tested in pairs. The field test is applied to two similar series motors which are coupled mechanically. The connection diagram for the test is shown in the Fig. 1. 90 \| P a g e 1 As shown in the Fig. 1 one machine is made to run as a motor while the other as a generator which is separately excited. The fields of the two machines are connected in series so that both the machines are equally excited. This will make iron losses same for the two machines. The two machines are running at the same speed. The generator output is given to the variable resistance R. The resistance R is changed until the current taken by motor reaches full load value. This will be indicated by ammeter A1. The other readings of different meters are then recorded. Let V = Supply voltage I1 = Current taken by motor I2 = Load current V2 = Terminal p.d. of generator Ra, Rse = Armature and series field resistance of each machine Power taken from supply = VI1 Output obtained from generator = V2 I2 Total losses in both the machines, WT = VI1 - V2 I2 Armature copper and field losses, WCU = ( Ra + 2 Rse ) I 2 + I22 Ra Total stray losses = WT - WCU Since the two machines are equally excited and are running at same speed the stray loses are equally divided. For Motor; Input to motor = V1 I1 Total losses = Aramture Cu loss + Field Cu loss + Stray loss Fig. 1 Field test 91 \| P a g e 1 se 1 a se s 2 a 1 se 2 1 se 2 a 1 se = I 2 ( R + R ) + W Output of motor = Input - Total losses = V1 I1 - [ I 2 ( Ra + R ) + Ws ] For Generator: Efficiency of generator is of little importance because it is running under conditions of separate excitation. Still it can be found as follows. Output of generator = V2 I2 Field Cu loss = I 2 R Armature Cu loss = I 2 R Total losses = Armature Cu loss + Field Cu loss + Stray loss = I 2 Ra + I 2 R + Ws Input to generator = Output + Total losses = V2 I2 + [ I 2 R + I 2 R + Ws ] The important point to be noted is that this is not regenerative method though the two machines are mechanically coupled because the generator output is not fed back to the motor as in case of Hopkinson's test but it is wasted in load resistance. RETARDATION TEST OR RUNNING DOWN TEST This method is generally employed to shunt generators and shunt motors. From this method we can get stary losses. Thus if armature and shunt copper losses at any given load current are known then efficiency of a machine can be easily estimated. The machine whose test is to be taken is run at a speed which is slightly above its normal speed. The supply to the motor is cut off while the field is kept excited. The armature consequently slows down and its kinetic energy is used in supplying the rotational or stray losses which includes iron, friction and winding loss. If I is the amount of inertia of the armature ans is the angular velocity. Kinetic energy of armature = 0.5 Iω2 92 \| P a g e ... Rotational losses, W = Rate of change of kinetic energy Angular velocity, ω = (2 πN)/60 Thus, to find the rotational losses, the moment of inertia I and dN/dt must be known. These quantities can be found as follows; Determination of dN/dt The voltmeter V1 which is connected across the armature will read the back e.m.f. of the motor. We know that back e.m.f. is proportional to speed so that voltmeter is calibrated to read the speed directly. When motor is cut off from the supply, the speed decrease in speed is noted with the help of stop watch. A curve showing variation between time and speed which is obtained from voltmeter which is suitably calibrated is shown in the Fig. 3. Fig. 2 Retardation test 93 \| P a g e At any point C corresponding to normal speed, a tangent AB is drawn. Then The value obtained from above can be substituted in the expression for W which can give the rotational looses. Determination of moment of inertia (I): Method 1: Using Flywheel The armature supply is cut off and time required for definite change in speed is noted to draw the corresponding curve as we have drawn in previous case. This curve is drawn considering only armature of the machine. Now a flywheel with known moment of the inertia say is I1 keyed onto the shaft and the same curve is drawn again. The slowing down time will be extended as combined moment of inertia of the two is increased. For any given speed (dN/dt1) and (dN/dt2) are determined same as previous case. It can be seen that the losses in both the cases are almost same as addition of flywheel will not make much difference to the losses. In the first case where flywheel is not there then, Adding the flywheel to the motor armature in second case we get, Method 2: without using Flywheel In this method time is noted for the machine to slow down by say 5 % considering the armature alone. The a retarding torque either mechanical or electrical is applied. Preferably electrical retarding torque is applied and time required to slow down by 5% is noted again. The method by which electrical Fig. 3 Determination of dN/dt 94 \| P a g e torque can be provided is shown in the Fig. 1 in which the switch S after disconnecting from the supply is thrown to terminals 1'2'. The machine then gets connected to a non-inductive load resistance RL. The power drawn by this resistance will acts as a retarding torque on the armature which will make it slow more quickly. The additional loss in the resistance will be equal to product of ammeter reading and the average reading of the voltmeter (for a fall of 5% of voltmeter reading, the time is noted.) The ammeter reading is also changing so its average reading is taken. Thus the additional losses is Ia2 (Ra + R). Let t1 be the time when armature is considered alone and t2 be the time when armature is connected across a load resistance, V be average voltage across R and Ia be the average current and W' is additional retarding electrical torque supplied by motor. If dN i.e. change in speed is same in two cases then Here dN/dt1 is rate of change in speed without extra load whereas dN/dt2 is rate change in speed with extra electrical load which provides retarding torque. 95 \| P a g e UNIT V SINGLE PHASE TRANSFORMERS WORKING PRINCIPLE OF A TRANSFORMER: The basic principle on which the transformer works is Faraday’s Law of Electromagnetic Induction or mutual induction between the two coils. The working of the transformer is explained below. The transformer consists of two separate windings placed over the laminated silicon steel core. The winding to which AC supply is connected is called primary winding and to which load is connected is called secondary winding as shown in the figure below. It works on the alternating current only because an alternating flux is required for mutual induction between the two windings. Fig: Simple Transformer When the AC supply is given to the primary winding with a voltage of V1, an alternating flux ϕ sets up in the core of the transformer, which links with the secondary winding and as a result of it, an emf is induced in it called Mutually Induced emf. The direction of this induced emf is opposite to the applied voltage V1, this is because of the Lenz’s law shown in the figure below Fig: Transformer Symbol 96 \| P a g e Physically, there is no electrical connection between the two windings, but they are magnetically connected. Therefore, the electrical power is transferred from the primary circuit to the secondary circuit through mutual inductance. The induced emf in the primary and secondary windings depends upon the rate of change of flux linkage that is (N dϕ/dt). dϕ/dt is the change of flux and is same for both the primary and secondary windings. The induced emf E1 in the primary winding is proportional to the number of turns N1 of the primary windings (E1 ∞ N1). Similarly induced emf in the secondary winding is proportional to the number of turns on the secondary side. (E2 ∞ N2). Transformer on DC supply: As discussed above, the transformer works on AC supply, and it cannot work not DC supply. If the rated DC voltage is applied across the primary winding, a constant magnitude flux will set up in the core of the transformer and hence there will not be any self-induced emf generation, as for the linkage of flux with the secondary winding there must be an alternating flux required and not a constant flux. According to Ohm’s Law 97 \| P a g e The resistance of the primary winding is very low, and the primary current is high. So this current is much higher than the rated full load primary winding current. Hence, as a result, the amount of heat produced will be greater and therefore, eddy current loss (I2R) loss will be more. Because of this, the insulations of the primary windings will get burnt, and the transformer will be damaged. Turn Ratio: It is defined as the ratio of primary to secondary turns. If N2 > N1 the transformer is called Step up transformer If N2 < N1 the transformer is called Step down transformer Transformation Ratio: The transformation ratio is defined as the ratio of the secondary voltage to the primary voltage. It is denoted by K. As (E2 ∞ N2 and E1 ∞ N1) Ideal Transformer: Definition: The transformer which is free from all types of losses is known as an ideal transformer. It is an imaginary transformer which has no core loss, no ohmic resistance and no leakage flux. The ideal transformer has the following important characteristic. 1. The resistance of their primary and secondary winding becomes zero. 2. The core of the ideal transformer has infinite permeability. The infinite permeable means less magnetising current requires for magnetising their core. 3. The leakage flux of the transformer becomes zero, i.e. the whole of the flux induces in the core of the transformer links with their primary and secondary winding. 4. The ideal transformer has 100 percent efficiency, i.e., the transformer is free from hysteresis and eddy current loss. The above mention properties are not possible in the practical transformer. In an ideal transformer, there is no power loss. Therefore, the output power is equal to the input power. Since El ∞ N2 and E1 ∞ N1, also E1 is similar to V1 and E2 is similar to V2 Therefore, transformation ratio will be given by the equation shown below 98 \| P a g e The primary and the secondary currents are inversely proportional to their respective turns. Behaviour of Ideal Transformer: Consider the ideal transformer shown in the figure below. The voltage source V1is applied across the primary winding of the transformer. Their secondary winding is kept open. The N1 and N2 are the numbers of turns of their primary and secondary winding. The current Im is the magnetizing current flows through the primary winding of the transformer. The magnetizing current produces the flux φm in the core of the transformer. As the permeability of the core is infinite, the flux of the core link with both the primary and secondary winding of the transformer. Fig: Ideal Trasfomer The flux link with the primary winding induces the emf E1 because of self-induction. The direction of the induced emf is inversely proportional to the applied voltage V1. The emf E2 induces in the secondary winding of the transformer because of mutual induction.\ Phasor Diagram of Ideal Transformer: The phasor diagram of the ideal transformer is shown in the figure below. As the coil of the primary transformer is purely inductive the magnetising current induces in the transformer lag 90º by the input voltage V1. The E1 and E2 are the emf induced in the primary and secondary winding of the transformer. The direction of the induces emf inversely proportional to the applied voltage Phasor Diagram of an Ideal Transformer Point to Remember The input energy of the transformer is equal to their output energy. The power loss in the ideal transformer becomes zero. EMF EQUATION OF A TRANSFORMER: When a sinusoidal voltage is applied to the primary winding of a transformer, alternating flux ϕm sets up in the iron core of the transformer. This sinusoidal flux links with both primary and secondary winding. 99 \| P a g e The function of flux is a sine function. The rate of change of flux with respect to time is derived mathematically. The derivation of EMF Equation of the transformer is shown below. Let  ϕm be the maximum value of flux in Weber  f be the supply frequency in Hz  N1 is the number of turns in the primary winding  N2 is the number of turns in the secondary winding Φ is the flux per turn in Weber Fig: Flux waveform As shown in the above figure that the flux changes from + ϕm to – ϕm in half a cycle of 1/2f seconds. By Faraday’s Law Let E1 is the emf induced in the primary winding Where Ψ = N1ϕ Since ϕ is due to AC supply ϕ = ϕm Sinwt So the induced emf lags flux by 90 degrees. Maximum valve of emf But w = 2πf Root mean square RMS value is Putting the value of E1max in equation (6) we get Putting the value of π = 3.14 in the equation (7) we will get the value of E1 as 100 \| P a g e Similarly Now, equating the equation (8) and (9) we get The above equation is called the turn ratio where K is known as transformation ratio. The equation (8) and (9) can also be written as shown below using the relation (ϕm = Bm x Ai) where Ai is the iron area and Bm is the maximum value of flux density. For a sinusoidal wave Magnetic Leakage flux: In a transformer it is observed that, all the flux linked with primary winding does not get linked with secondary winding. A small part of the flux completes its path through air rather than through the core (as shown in the fig at right), and this small part of flux is called as leakage flux or magnetic leakage in transformers. This leakage flux does not link with both the windings, and hence it does not contribute to transfer of energy from primary winding to secondary winding. But, it produces self induced emf in each winding. Hence, leakage flux produces an effect equivalent to an inductive coil in series with each winding. And due to this there will be leakage reactance. Fig: Magnetic Leakage flux 101 \| P a g e (To minimize this leakage reactance, primary and secondary windings are not placed on separate legs, refer the diagram of core type and shell type transformer from construction of transformer.) Practical Transformer with Resistance and Leakage Reactance In the following figure, leakage reactance and resistance of the primary winding as well as secondary winding are taken out, representing a practical transformer. Fig; Practical Transformer with Resistance And Leakage Reactance Where, R1 and R2 = resistance of primary and secondary winding respectively X1 and X2 = leakage reactance of primary and secondary winding resp. Z1 and Z2 = Primary impedance and secondary impedance resp. Z1 = R1 + jX1 ...and Z2 = R2 + jX 2 . The impedance in each winding lead to some voltage drop in each winding. Considering this voltage drop the voltage equation of transformer can be given as – V1 = E1 + I1(R1 + jX1 ) -------- primary side V2 = E2 - I2(R2 + jX2 ) -------- secondary side where, V1 = supply voltage of primary winding V2 = terminal voltage of secondary winding E1 and E2 = induced emf in primary and secondary winding respectively. Resistance and Reactance of the Transformer: The Resistance of the transformer is defined as the internal resistance of both primary and secondary windings. In an actual transformer, the primary and the secondary windings have some resistance represented by R1 and R2 and the reactances by X1 and X2. Let K be the transformation ratio. To make the calculations easy the resistances and reactances can be transferred to either side that means either all the primary terms are referred to the secondary side, or all the secondary terms are referred to the primary side. The resistive and the reactive drops in the primary and secondary side are represented as follows  Resistive drop in the secondary side = I2R2  Reactive drop in the secondary side = I2X2  Resistive drop in the primary side = I1R1  Reactive drop in the primary side = I1X1 Primary Side Referred to Secondary Side 102 \| P a g e Since the transformation ratio is K, primary resistive and reactive drop as referred to secondary side will be K times, i.e., K I1R1 and K I1X1 respectively. If I1 is substituted equal to KI2 then we have primary resistive and reactive drop referred to secondary side equal to K2I2R1 and K2I2X1 respectively. The Total resistive drop in a transformer Total reactive drop in a transformer The term represent the equivalent resistance and reactance of the transformer referred to the secondary side. TRANSFORMER ON NO-LOAD CONDITION: When the transformer is operating at no load, the secondary winding is open circuited, which means there is no load on the secondary side of the transformer and, therefore, current in the secondary will be zero, while primary winding carries a small current I0 called no load current which is 2 to 10% of the rated current. This current is responsible for supplying the iron losses (hysteresis and eddy current losses) in the core and a very small amount of copper losses in the primary winding. The angle of lag depends upon the losses in the transformer. The power factor is very low and varies from 0.1 to 0.15. Fig: Transformer is operating at no load The no load current consists of two components  Reactive or magnetizing component Im (It is in quadrature with the applied voltage V1. It produces flux in the core and does not consume any power)  Active or power component Iw, also known as working component (It is in phase with the applied voltage V1. It supplies the iron losses and a small amount of primary copper loss) 103 \| P a g e The following steps are given below to draw the phasor diagram 1. The function of the magnetizing component is to produce the magnetizing flux, and thus, it will be in phase with the flux. 2. Induced emf in the primary and the secondary winding lags the flux ϕ by 90 degrees. 3. The primary copper loss is neglected, and secondary current losses are zero as I2 = 0. Therefore, the current I0 lags behind the voltage vector V1 by an angle ϕ0 called no-load power factor angle shown in the phasor diagram above. 4. The applied voltage V1 is drawn equal and opposite to the induced emf E1 because the difference between the two, at no load, is negligible. 5. Active component Iw is drawn in phase with the applied voltage V1. 6. The phasor sum of magnetizing current Im and the working current Iw gives the no load current I0. Fig: Phasor diagram drawn TRANSFORMER ON LOAD CONDITION: When the transformer is on loaded condition, the secondary of the transformer is connected to load. The load can be resistive, inductive or capacitive. The current I2 flows through the secondary winding of the transformer. The magnitude of the secondary current depends on the terminal voltage V2 and the load impedance. The phase angle between the secondary current and voltage depends on the nature of the load. Operation of the Transformer on Load Condition The Operation of the Transformer on Load Condition is explained below  When secondary of the transformer is kept open, it draws the no-load current from the main supply. The no-load current induces the magneto motive force N0I0 and this force set up the flux Φ in the core of the transformer. The circuit of the transformer at no load condition is shown in the figure below. 100 \| P a g e Fig: Operation of the Transformer on Load Condition  When the load is connected to the secondary of the transformer, the I2current flows through their secondary winding. The secondary current induces the magnetomotive force N2I2 on the secondary winding of the transformer. This force set up the flux φ2 in the transformer core. The flux φ2 oppose the flux φ, according to Lenz’s law Fig: Operation of the Transformer on Load Condition  As the flux φ2 opposes the flux φ, the resultant flux of the transformer decreases and this flux reduces the induces EMF E1. Thus, the strength of the V1 is more than E1 and an additional primary current I’1 drawn from the main supply. The additional current is used for restoring the original value of the flux in the core of the transformer so that the V1 = E1. The primary current I’1 is in phase opposition with the secondary current I2. Thus, it is called the primary counter balancing current.  The additional current I’1 induces the magnetomotive force N1I’1. And this force set up the flux φ’1. The direction of the flux is same as that of the φ and it cancels the flux φ2 which induces because of the MMF N2I2 101 \| P a g e Now, N1I1’ = N2I2 Therefore,  The phasor difference between V1 and I1 gives the power factor angle ϕ1 of the primary side of the transformer.  The power factor of the secondary side depends upon the type of load connected to the transformer.  If the load is inductive as shown in the above phasor diagram, the power factor will be lagging, and if the load is capacitive, the power factor will be leading.The total primary current I1 is the vector sum of the current I0 and I1’. i.e Phasor Diagram of Transformer on Inductive Load: The phasor diagram of the actual transformer when it is loaded inductively is shown below Phasor Diagram of the Transformer on Inductive Load Steps to draw the phasor diagram  Take flux ϕ a reference  Induces emf E1 and E2 lags the flux by 90 degrees.  The component of the applied voltage to the primary equal and opposite to induced emf in the primary winding. E1 is represented by V1’.  Current I0 lags the voltage V1’ by 90 degrees.  The power factor of the load is lagging. Therefore current I2 is drawn lagging E2 by an angle ϕ2. 102 \| P a g e  The resistance and the leakage reactance of the windings result in a voltage drop, and hence secondary terminal voltage V2 is the phasor difference of E2and voltage drop. V2 = E2 – voltage drops I2 R2 is in phase with I2 and I2X2 is in quadrature with I2.  The total current flowing in the primary winding is the phasor sum of I1’ and I0.  Primary applied voltage V1 is the phasor sum of V1’ and the voltage drop in the primary winding.  Current I1’ is drawn equal and opposite to the current I2 V1 = V1’ + voltage drop I1R1 is in phase with I1 and I1XI is in quadrature with I1.  The phasor difference between V1 and I1 gives the power factor angle ϕ1 of the primary side of the transformer.  The power factor of the secondary side depends upon the type of load connected to the transformer.  If the load is inductive as shown in the above phasor diagram, the power factor will be lagging, and if the load is capacitive, the power factor will be leading. Where I1R1 is the resistive drop in the primary windings I2X2 is the reactive drop in the secondary winding Phasor Diagram of Transformer on Capacitive Load The Transformer on Capacitive load (leading power factor load) is shown below in the phasor diagram. Phasor Diagram of the Transformer on Capacitive Load Steps to draw the phasor diagram at capacitive load  Take flux ϕ a reference  Induces emf E1 and E2 lags the flux by 90 degrees.  The component of the applied voltage to the primary equal and opposite to induced emf in the primary winding. E1 is represented by V1’.  Current I0 lags the voltage V1’ by 90 degrees. 103 \| P a g e  The power factor of the load is leading. Therefore current I2 is drawn leading E2  The resistance and the leakage reactance of the windings result in a voltage drop, and hence secondary terminal voltage V2 is the phasor difference of E2and voltage drop. V2 = E2 – voltage drops I2 R2 is in phase with I2 and I2X2 is in quadrature with I2.  Current I1’ is drawn equal and opposite to the current I2  The total current I1 flowing in the primary winding is the phasor sum of I1’ and I0.  Primary applied voltage V1 is the phasor sum of V1’ and the voltage drop in the primary winding. V1 = V1’ + voltage drop I1R1 is in phase with I1 and I1XI is in quadrature with I1.  The phasor difference between V1 and I1 gives the power factor angle ϕ1 of the primary side of the transformer.  The power factor of the secondary side depends upon the type of load connected to the transformer. EQUIVALENT CIRCUIT OF A TRANSFORMER: The equivalent circuit diagram of any device can be quite helpful in predetermination of the behaviour of the device under the various condition of operation. It is simply the circuit representation of the equation describing the performance of the device. The simplified equivalent circuit of a transformer is drawn by representing all the parameters of the transformer either on the secondary side or on the primary side. The equivalent circuit diagram of the transformer is shown below Fig: Equivalent circuit diagram of a transformer Let the equivalent circuit of a transformer having the transformation ratio K = E2/E1 The induced emf E1 is equal to the primary applied voltage V1 less primary voltage drop.This voltage causes current I0 no load current in the primary winding of the transformer. The value of no-load current is very small, and thus, it is neglected. Hence, I1 = I1’. The no load current is further divided into two components called magnetizing current (Im) and working current (Iw). These two components of no-load current are due to the current drawn by a noninductive resistance R0 and pure reactance X0 having voltage E1 or (V1 – primary voltage drop). The secondary current I2 is 104 \| P a g e The terminal voltage V2 across the load is equal to the induced emf E2 in the secondary winding less voltage drop in the secondary winding. Equivalent Circuit when all the Quantities are referred to Primary side: In this case to draw the equivalent circuit of the transformer all the quantities are to be referred to the primary as shown in the figure below Fig: Circuit Diagram of Transformer when all the Secondary Quantities are Referred to Primary Side The following are the values of resistance and reactance given below Secondary resistance referred to primary side is given as The equivalent resistance referred to primary side is given as Secondary reactance referred to primary side is given as The equivalent reactance referred to primary side is given as Equivalent Circuit when all the Quantities are referred to Secondary side: The equivalent circuit diagram of the transformer is shown below when all the quantities are referred to the secondary side. Fig: Circuit Diagram of Transformer When All the Primary Quantities are Referred to Secondary Side The following are the values of resistance and reactance given below Primary resistance referred to secondary side is given as 105 \| P a g e The equivalent resistance referred to secondary side is given as Primary reactance referred to secondary side is given as The equivalent reactance referred to secondary side is given as No load current I0 is hardly 3 to 5% of full load rated current, the parallel branch consisting of resistance R0 and reactance X0 can be omitted without introducing any appreciable error in the behavior of the transformer under the loaded condition. Further simplification of the equivalent circuit of the transformer can be done by neglecting the parallel branch consisting R0 and X0. The simplified circuit diagram of the transformer is shown below Fig: Simplified Equivalent Circuit Diagram of a Transformer VOLTAGE REGULATION OF A TRANSFORMER: Definition: The voltage regulation is defined as the change in the magnitude of receiving and sending the voltage of the transformer. The voltage regulation determines the ability of the transformer to provide the constant voltage for variable loads. When the transformer is loaded with continuous supply voltage, the terminal voltage of the transformer varies. The variation of voltage depends on the load and its power factor. Mathematically, the voltage regulation is represented as Where, E2 – secondary terminal voltage at no load V2 – secondary terminal voltage at full load The voltage regulation by considering the primary terminal voltage of the transformer is expressed as, Let us understand the voltage regulation by taking an example explained below 106 \| P a g e If the secondary terminals of the transformer are open circuited or no load is connected to the secondary terminals, the no-load current flows through it. If the no current flows through the secondary terminals of the transformer, the voltage drops across their resistive and reactive load become zero. The voltage drop across the primary side of the transformer is negligible. If the transformer is fully loaded, i.e., the load is connected to their secondary terminal, the voltage drops appear across it. The value of the voltage regulation should always be less for the better performance of transformer. Fig: Equivalent Circuit of transformer From the circuit diagram shown above, the following conclusions are made  The primary voltage of the transformer is always greater than the emf induces on the primary side. V1>E1  The secondary terminal voltage at no load is always greater than the voltage at full load condition. E2>V2 By considering the above circuit diagram, the following equations are drawn The approximate expression for the no-load secondary voltage for the different types of load is For inductive load: Where, 107 \| P a g e For Capacitive load: ALL DAY EFFICIENCY OF A TRANSFORMER: Definition: All day efficiency means the power consumed by the transformer throughout the day. It is defined as the ratio of output power to the input power in kWh or Wh of the transformer over 24 hours. Mathematically, it is represented as All day efficiency of the transformer depends on their load cycle. The load cycle of the transformer means the repetitions of load on it for a specific period. The ordinary or commercial efficiency of a transformer define as the ratio of the output power to the input power. What is the need of All Day Efficiency? Some transformer efficiency cannot be judged by simple commercial efficiency as the load on certain transformer fluctuates throughout the day. For example, the distribution transformers are energised for 24 hours, but they deliver very light loads for the major portion of the day, and they do not supply rated or full load, and most of the time the distribution transformer has 50 to 75% load on it. As we know, there are various losses in the transformer such as iron and copper loss. The iron loss takes place in the core of the transformer. Thus, the iron or core loss occurs for the whole day in the distribution transformer. The second type of loss known as copper loss takes place in the windings of the transformer also known as the variable loss. It occurs only when the transformers are in the loaded condition. Hence, the performance of such transformers cannot be judged by the commercial or ordinary efficiency, but the efficiency is calculated or judged by All Day Efficiency also known as operational efficiency or energy efficiency which is computed by energy consumed during 24 hours. POLARITY TEST OF TRANSFORMER: Polarity means the direction of the induced voltages in the primary and the secondary winding of the transformer. If the two transformers are connected in parallel, then the polarity should be known for the 108 \| P a g e proper connection of the transformer. There are two types of polarity one is Additive, and another is Subtractive. Additive Polarity: In additive polarity the same terminals of the primary and the secondary windings of the transformer are connected Subtractive Polarity: In subtractive polarity different terminals of the primary and secondary side of the transformer are connected. Explanation with Connection Diagram: Each of the terminals of the primary as well as the secondary winding of a transformer is alternatively positive and negative with respect to each other as shown in the figure below. Let A1 and A2 be the positive and negative terminal respectively of the transformer primary and a1, a2 are the positive and negative terminal of the secondary side of the transformer. If A1 is connected to a1 and A2 is connected to a2 that means similar terminals of the transformer are connected, then the polarity is said to be additive. If A1 is connected to a2 and A2 to a1, that means the opposite terminals are connected to each other, and thus the voltmeter will read the subtractive polarity. Fig: Polarity test It is essential to know the relative polarities at any instant of the primary and the secondary terminals for making the correct connections if the transformers are to be connected in parallel or they are used in a three phase circuit. In the primary side, the terminals are marked as A1 and A2 and from the secondary side the terminals are named as a1 and a2. The terminal A1 is connected to one end of the secondary winding, and a voltmeter is connected between A2 and the other end of the secondary winding. When the voltmeter reads the difference that is (V1 – V2), the transformer is said to be connected with opposite polarity know as Subtractive polarity and when the voltmeter reads (V1 + V2), the transformer is said to have additive polarity. Steps to Perform Polarity Test:  Connect the circuit as shown in the above circuit diagram figure and set the autotransformer to zero position.  Switch on the single phase supply  Records the values of the voltages as shown by the voltmeter V1, V2 and V3. 109 \| P a g e  If the reading of the V3 shows the addition of the value of V1 and V2 that is V2= V1+V2 the transformer is said to be connected in additive polarity.  If the reading of the V3 is the subtraction of the readings of V1 and V2, then the transformer is said to be connected in subtractive or negative polarity. RESISTANCE MEASUREMENT: This test is a verification that proper sizes of conductors have been used and that the joints have been made properly. Since this test is indicative in nature, there is no tolerance applicable to the measured resistances. Resistances of the windings are measured by using 'Resistance Bridge'. This test also serves two other important testing functions: (a) The measured resistance is used for obtaining I2 R, which is used in the 'Load loss' test. (b) Measurements of cold resistance and hot resistance are used for calculation of temperature rise of windings during the Temperature Rise Test. The measurement of resistance is done at room temperature but corrected to a reference temperature which is 20 degrees higher than the temperature class of the unit. For example : the reference temperature is 75 0C for 55 0C rise oil-filled units, or is 85 0C for 65 0C rise units. For dry type transformers the typical rises are 800C, 115 0C and 150 0C. OPEN CIRCUIT AND SHORT CIRCUIT TEST ON TRANSFORMER The open circuit and short circuit test are performed for determining the parameter of the transformer like their efficiency, voltage regulation, circuit constant etc. These tests are performed without the actual loading and because of this reason the very less power is required for the test. The open circuit and the short circuit test gives the very accurate result as compared to the full load test. Open Circuit Test: The purpose of the open circuit test is to determine the no-load current and losses of the transformer because of which their no-load parameter are determined. This test is performed on the primary winding of the transformer. The wattmeter, ammeter and the voltage are connected to their primary winding. The nominal rated voltage is supplied to their primary winding with the help of the ac source. Fig: Circuit Diagram of Open Circuit Test on Transformer The secondary winding of the transformer is kept open and the voltmeter is connected to their terminal. This voltmeter measures the secondary induced voltage. As the secondary of the transformer is open the no-load current flows through the primary winding. 110 \| P a g e The value of no-load current is very small as compared to the full rated current. The copper loss occurs only on the primary winding of the transformer because the secondary winding is open. The reading of the wattmeter only represents the core and iron losses. The core loss of the transformer is same for all types of loads. Calculation of open circuit test: Let, W0 – wattmeter reading V1 – voltmeter reading I0 – ammeter reading Then the iron loss of the transformer Pi = W0 and The no-load power factor is Working component Iw is Putting the value of W0 from the equation (1) in equation (2) you will get the value of working component as Magnetizing component is No load parameters are given below Equivalent exciting resistance is Equivalent exciting reactance is The iron losses measured by the open circuit test are used for calculating the efficiency of the transformer. 111 \| P a g e Short Circuit Test: The short circuit test is performed for determining the below mention parameter of the transformer.  It determines the copper loss occur on the full load. The copper loss is used for finding the efficiency of the transformer.  The equivalent resistance, impedance, and leakage reactance are known by the short circuit test. The short circuit test is performed on the secondary or high voltage winding of the transformer. The measuring instrument like wattmeter, voltmeter and ammeter are connected to the High voltage winding of the transformer. Their primary winding is short circuited by the help of thick strip or ammeter which is connected to their terminal. The low voltage source is connected across the secondary winding because of which the full load current flows from both the secondary and the primary winding of the transformer. The full load current is measured by the ammeter connected across their secondary winding. The circuit diagram of the short circuit test is shown below Fig: Circuit Diagram of Short Circuit Test on Transformer The low voltage source is applied across the secondary winding which is approximately 5 to 10% of the normal rated voltage. The flux is set up in the core of the transformer. The magnitude of the flux is small as compared to the normal flux. The iron loss of the transformer depends on the flux. It is less occur in the short circuit test because of the low value of flux. The reading of the wattmeter only determines the copper loss occur on their windings. The voltmeter measures the voltage applied to their high voltage winding. The secondary current induces in the transformer because of the applied voltage. Calculation of Short Circuit Test Let, Wc – Wattmeter reading V2sc – voltmeter reading I2sc – ammeter reading Then the full load copper loss of the transformer is given by 112 \| P a g e Equivalent resistance referred to secondary side is Equivalent impedance referred to the secondary side is given by The Equivalent reactance referred to the secondary side is given by The voltage regulation of the transformer can be determined at any load and power factor after knowing the values of Zes and Res. In the short circuit test the wattmeter record, the total losses including core loss but the value of core loss are very small as compared to copper loss so, the core loss can be neglected. BACK-TO-BACK TEST (SUMPNER’S TEST) ON TRANSFORMER Definition: The full load test on a small transformer is very convenient, but on the large transformer, it is very difficult. The maximum temperature rise in a large transformer is determined by the full load test. This test is called, back-to-back test, regenerative test or Sumpner’s test. The suitable load which absorbs the full load power of a large transformer will not easily be available. Hence a large amount of energy will be wasted. The back-to-back test determines the maximum temperature rise in a transformer, and hence the load is chosen according to the capability of the transformer. Back to Back Test Circuit: The two identical transformers are used for the back to back test. Consider the Tr1and Tr2 are the primary windings of the transformer connected parallel to each other. The nominal rated voltage and frequency is supplied to their primary winding. The voltmeter and ammeter are connected on their primary side for the measurement of the input voltage and current. The secondary winding of the transformer is connected in series with the each other but with opposite polarity. The voltmeter V2 is connected to the terminal of the secondary winding for the measurement of the voltage. The series opposition of the secondary winding is determined by connecting there any two terminals; the voltmeter is connected across their remaining terminals. If it is connected in series opposition, the voltmeter gives the zero reading. The open terminal is used for measuring the parameter of the transformer. 113 \| P a g e The above figure shows that the terminal B and C are connected to each other, and the voltage is measured across the terminal A and D. Finding Losses with Sumpner's Test on Transformer The secondaries of the transformer are so connected that their potentials are in opposition to each other. This would so if VAB = VCD and A is joined to C whilst B is joined to D. In that case, there would be no secondary current flowing around the loop formed by the two secondaries. T is an auxiliary low-voltage transformer [Regulation Transformer].which can be adjusted to give a variable voltage and hence current in the secondary loop circuit. By proper adjustment of T, full-load secondary current I2 can be made to flow as shown. It is seen, that I2 flows from D to C and then from A to B. Flow of I1 is confined to the loop FEJLGHMF and it does not pass through W1. Hence, W1continues to read the core loss and W2 measures full-load Cu loss (or at any other load current value I2). Obviously, the power taken in is twice the losses of a single transformer. i.e. copper loss per transformer PCu = W2/2. i.e. iron loss per transformer Pi = W1/2. From results of sumpner's test, the full load efficiency of each transformer can be given as Advantages of Sumpner's Test 1. Low power is required to conduct this test. Because no external load is connecting 2. Full load copper losses and iron losses of both transformers determined. 3. Increase in transformer temperature can be found. Determination of Temperature Rise The temperature rise of the transformer is determined by measuring the temperature of their oil after every particular interval of time. The transformer is operating back to back for the long time which increases their oil temperature. By measuring the temperature of their oil the withstand capacity of the transformer under high temperature is determined. 114 \| P a g e Determination of Iron Loss The wattmeter W1 measures the power loss which is equal to the iron loss of the transformer. For determining the iron loss, the primary circuit of the transformer is kept closed. Because of the primary closed circuit, no current flows through the secondary windings of the transformer. The secondary winding behaves like an open circuit. The wattmeter is connected to their secondary terminal for the measurement of iron loss. Determination of Copper Loss The copper loss of the transformer is determined when the full load current flows through their primary and secondary windings. The additional regulating transformer is used for exciting the secondary windings. The full load current flows from the secondary to the primary winding. The wattmeter W2 measures the full load copper loss of the two transformers. PARALLEL OPERATION OF TRANSFORMERS Sometimes, it becomes necessary to connect more than one transformer’s in parallel, for example, for supplying excess load of the rating of existing transformer. If two or more transformers are connected to a same supply on the primary side and to a same load on the secondary side, then it is called as parallel operation of transformers. Necessity of Parallel Operation of Transformers: Why parallel operation of transformers is needed?  Increased Load: When load is increased and it exceeds the capacity of existing transformer, another transformer may be connected in parallel with the existing transformer to supply the increased load.  Non-availability of large transformer: If a large transformer is not available which can meet the total requirement of load, two or more small transformers can be connected in parallel to increase the capacity.  Increased reliability: If multiple transformers are running in parallel, and a fault occurs in one transformer, then the other parallel transformers still continue to serve the load. And the faulty transformer can be taken out for the maintenance.  Transportation is easier for small transformers: If installation site is located far away, then transportation of smaller units is easier and may be economical. Conditions for parallel operation of Transformers: There are various conditions that must fulfill for the successful operation of transformers as follows. 1. The line voltage ratio of two transformers must be equal. 2. The per unit impedance of each transformer should be equal and they should have same ratio of equivalent leakage reactance to the equal resistance(X/R). 3. The transformers should have same secondary winding polarity. 4. The Transformers should have same phase sequence (Three phase transformer) 5. The transformers should have the zero relative phase replacement between the secondary line voltages.(Three phase transformers) 1) The line voltage ratios of the two transformers must be equal This condition is used to avoid the inequality EMF induction at the two secondary windings. If the two transformers connected in parallel have slightly different voltage ratios, then due the inequality of induced emfs in the secondary voltages, a circulating current will flow in a loop format in the secondary windings. This current is greater than the no load current and will be quite high due to less leakage impedance 115 \| P a g e during load. When the secondary windings are loaded, this circulating current will tend to unequal loading on two transformers and one transformer may be over loaded and another may be less loaded. 2) Equal per unit leakage impedance If the ratings or line voltages are equal their per unit leakage impedance’s should be equal in order to have equal load sharing of the both transformers. If the ratings are unequal then the transformer which has less rating will draw more current and it leads to unequal load sharing. It may also lead to mismatch in line voltages due to voltage drops. In other words, for unequal ratings, the numerical values of their impedance’s should be in inverse proportional to their ratings to have current in them in line with their ratings. A difference in the ratio of the reactance value to the resistance value of the impedance results in different phase angles of the currents carried by the two parallel transformers. Due to this phase angle difference between voltage and current, one transformer may be working on high power factor and another transformer may be working on lower factor. Hence real power sharing is not proportional between the two transformers. 3) The transformers should have same secondary winding polarity The transformers should be properly connected with regards to their polarity. If they are connected with in correct polarities then the two emf’s induced in the secondary winding which are in parallel, will act together and produce a short circuit between the two of them. Total loss of power supply and high damage to the transformers. 4) The Transformers should have same phase sequence In case of three winding transformers in-addition to the above conditions the phase sequence of line voltages of the both transformers must be identical for parallel operation. If the phase sequence is not correct in every voltage cycle each pair of phases will get shorted 5) The transformers should have zero relative phase displacement between the secondary line voltages This condition indicates that the two secondary line voltages should have zero phase displacement which avoids UN-intended short circuit between the phases of two windings. There are four groups which in to which the three phase windings connections are classified:  Group 1: Zero phase displacement (Yy0,Dd0,Dz0)  Group2: 1800 Phase displacement (Yy6,Dd6,Dz6)  Group3: -300 Phase displacement (Ys1,Dy1,Yz1)  Group4: +300 Phase displacement(Yd11,Dy11,Yz11) The letters Y,D and z represents the Star, Delta and zigzag type winding connections. In order to have zero phase displacement of secondary side line voltages, the transformers belonging to the same group can be paralleled. For example with Yd1 and Dy1 can be paralleled. The transformers of groups 1 and 2 can be paralleled with their own group where as the transformers of group 3 and 4 can be paralleled by revering the phase sequence of one of them. For example a transformer with Yd11 connection of group 4 can be paralleled with that having Dy1 connection by reversing the phase sequence of both primary and secondary terminals of the Dy1 transformer. 116 \| P a g e THREE PHASE TRANSFORMERS THREE PHASE TRANSFORMER Three phase transformers are more economical for supplying large loads and large power distribution. Even though most of the utilization equipments are connected by the single phase transformers, these are not preferred for large power distribution in the aspect of economy. The three phase power is used in almost all fields of electrical power system such as power generation, transmission and distribution sectors, also all the industrial sectors are supplied or connected with three phase system. Therefore, to step-up (or increase) or step-down (or decrease) the voltages in the three phase systems, three phase transformers are used. As compared with the single phase transformer, there are numerous advantages with 3 phase transformer such as smaller and lighter to construct for the same power handling capacity, better operating characteristics, etc. Fig: Three Phase Transformer Three phase transformers are used to step-up or step-down the high voltages in various stages of power transmission system. The power generated at various generating stations is in three phase nature and the voltages are in the range of 13.2KV or 22KV. In order to reduce the power loss to the distribution end, the power is transmitted at somewhat higher voltages like 132 or 400KV. Hence, for transmission of the power at higher voltages, three phase step-up transformer is used to increase the voltage. Also at the end of the transmission or distribution, these high voltages are step-down to levels of 6600, 400, 230 volts, etc. For this, a three phase step down transformer is used. A three phase transformer can be built in two ways; a bank of three single phase transformers or single unit of three phase transformer. The former one is built by suitably connecting three single phase transformers having same ratings and operating characteristics. In this case if the fault occurs in any one of the transformers, the system still retained at reduced capacity by other two transformers with open delta connection. Hence, continuity of 117 \| P a g e the supply is maintained by this type of connection. These are used in mines because easier to transport individual single phase transformers. Fig: Three phase transformer Instead of using three single phase transformers, a three phase bank can be constructed with a single three phase transformer consisting of six windings on a common multi-legged core. Due to this single unit, weight as well as the cost is reduced as compared to three units of the same rating and also windings, the amount of iron in the core and insulation materials are saved. Space required to install a single unit is less compared with three unit bank. But the only disadvantage with single unit three phase transformer is if the fault occurs in any one of the phase, then entire unit must be removed from the service. Construction of Three Phase Transformers: A three phase transformer can be constructed by using common magnetic core for both primary and secondary windings. As we discussed in the case of single phase transformers, construction can be core type or shell type. So for a bank of three phase core type transformer, three core type single phase transformers are combined. Similarly, a bank of three phase shell type transformer is get by properly combining three shell type single phase transformers. In a shell type transformer, EI laminated core surrounds the coils whereas in core type coil surrounds the core. Core Type Construction: In core type three phase transformer, core is made up of three limbs or legs and two yokes. The magnetic path is formed between these yokes and limbs. On each limb both primary and secondary windings are wounded concentrically. Circular cylindrical coils are used as the windings for this type of transformer. The primary and secondary windings of one phase are wounded on one leg. Under balanced condition, the magnetic flux in each phase of the leg adds up to zero. Therefore, under normal conditions, no return leg is needed. But in case of unbalanced loads, high circulating current flows and hence it may be best to use three single phase transformers. Fig: Core Type transformer 118 \| P a g e Shell Type Construction: In shell type, three phases are more independent because each phase has independent magnetic circuit compared with core type transformer. The construction is similar to the single phase shell type transformer built on top of another. The magnetic circuits of this type of transformer are in parallel. Due to this, the saturation effects in common magnetic paths are neglected. However, shell type constructed transformers are rarely used in practice. Fig: Shell Type Working of Three Phase Transformers: Consider the below figure in which the primary of the transformer is connected in star fashion on the cores. For simplicity, only primary winding is shown in the figure which is connected across the three phase AC supply. The three cores are arranged at an angle of 120 degrees to each other. The empty leg of each core is combined in such that they form center leg as shown in figure. Fig: Working of Three Phase Transformer Working of a transformer: When the primary is excited with the three phase supply source, the currents IR, IY and IB are starts flowing through individual phase windings. These currents produce the magnetic fluxes ΦR, ΦY and ΦB in the respective cores. Since the center leg is common for all the cores, the sum of all three fluxes are carried by it. In three phase system, at any instant the vector sum of all the currents is zero. In turn, at the instant the sum of all the fluxes is same. Hence, the center leg doesn’t carry any flux at any instant. So even if the center leg is removed it makes no difference in other conditions of the transformer. 119 \| P a g e Likewise, in three phase system where any two conductors acts as return for the current in third conductor, any two legs acts as a return path of the flux for the third leg if the center leg is removed in case of three phase transformer. Therefore, while designing the three phase transformer, this principle is used. These fluxes induce the secondary EMFs in respective phase such that they maintain their phase angle between them. These EMFs drives the currents in the secondary and hence to the load. Depends on the type of connection used and number of turns on each phase, the voltage induced will be varied for obtaining step-up or step-down of voltages. THREE PHASE TRANSFORMER CONNECTIONS: Three phase transformer connections in three phase system, the three phases can be connected in either star or delta configuration. In case you are not familiar with those configurations, study the following image which explains star and delta configuration. In any of these configurations, there will be a phase difference of 120° between any two phases. Three Phase Transformer Connections Windings of a three phase transformer can be connected in various configurations as (i) star-star, (ii) delta-delta, (iii) star-delta, (iv) delta-star, (v) open delta and (vi) Scott connection. These configurations are explained below. Star-Star (Y-Y)  Star-star connection is generally used for small, high-voltage transformers. Because of star connection, number of required turns/phase is reduced (as phase voltage in star connection is 1/√3 times of line voltage only). Thus, the amount of insulation required is also reduced.  The ratio of line voltages on the primary side and the secondary side is equal to the transformation ratio of the transformers.  Line voltages on both sides are in phase with each other.  This connection can be used only if the connected load is balanced. Delta-Delta (Δ-Δ)  This connection is generally used for large, low-voltage transformers. Number of required phase/turns is relatively greater than that for star-star connection.  The ratio of line voltages on the primary and the secondary side is equal to the transformation ratio of the transformers. 120 \| P a g e  This connection can be used even for unbalanced loading.  Another advantage of this type of connection is that even if one transformer is disabled, system can continue to operate in open delta connection but with reduced available capacity. Star-Delta OR Wye-Delta (Y-Δ)  The primary winding is star (Y) connected with grounded neutral and the secondary winding is delta connected.  This connection is mainly used in step down transformer at the substation end of the transmission line.  The ratio of secondary to primary line voltage is 1/√3 times the transformation ratio.  There is 30° shift between the primary and secondary line voltages. Delta-Star OR Delta-Wye (Δ-Y)  The primary winding is connected in delta and the secondary winding is connected in star with neutral grounded. Thus it can be used to provide 3-phase 4-wire service.  This type of connection is mainly used in step-up transformer at the beginning of transmission line.  The ratio of secodary to primary line voltage is √3 times the transformation ratio.  There is 30° shift between the primary and secondary line voltages. Above transformer connection configurations are shown in the following figure. Fig: Three phase transformer connections 121 \| P a g e In certain applications like thyristors and rectifiers six phase supply is required. Therefore it becomes necessary to convert three phase a.c. supply into six phase. By using three identical single phase transformers suitably interconnected this can be achieved. The primary winding is connected in delta whereas its secondary winding is split up into two halves. Thus conversion from 3 phase to six phase can be obtained by having two similar secondary windings for each of the primaries of the three phase transformer. This is showing in the Fig. 1. The three phase supply is given to primaries of the three transformers and six phase output can be obtained from the six secondaries as shown. There are many ways of connecting these secondaries. Some of them are i) double delta ii) double star iii) dimetrical. The dimetrical connection is generally used in practice. THREE PHASE TO SIX PHASE CONVERSION Fig. 1 The double delta connection 122 \| P a g e Six equal voltages with a phase displacement of is obtained which is indicated in the phasor diagram shown in the Fig. 4. The primary windings may be either connected in delta or in star. If the primaries are connected in star then care must be taken that the neutral point of the star connection must be connected to the neutral of the generator to avoid the difficulties due to floating neutral and triple frequency currents. In the case of six phase rectifier, the star point or the neutral point formed by the coils serves as the neutral point of the d.c. supply from the rectifier. Fig. 3 The double star connection Fig. 4 Phasor diagram shown As seen from the Fig.2 this arrangement of secondaries connections are taken from points 1, 3, 5 and in the second set, the connection are taken from points 2, 4 and 6. The double star connection for obtaining 6 phase supply is shown in the Fig.3. Fig. 2 The double delta connection 123 \| P a g e Fig. 6 Phasor diagram OPEN DELTA CONNECTION: In three phase systems, the use of transformers with three windings (or legs) per side is common. These three windings are often connected in delta or star, resulting in common transformer configurations such as delta-delta or delta-star. An open delta transformer is a special arrangement which uses only two windings. Transformer Configuration The most commonly used connection is the dimetrical connection for three phase to six phase transformers. It is shown in the Fig. 5. On each single phase transformer there is only one winding on the secondary side. The two secondary leads are connected to diametrically opposite points on the armature windings of the synchronous converter. The middle points of the secondary windings may be connected together to form a neutral for the three wire circuit. The high voltage or primary windings are either connected in star or delta. But delta connection is generally preferred because of the triple frequency harmonics of voltages which are introduced in star-star connection. The corresponding phasor diagram is shown in the Fig.6. Fig. 5 Dimetrical connection 124 \| P a g e The illustration shows how an open delta transformer is connected. On both the primary and secondary there are only two windings. Even in this configuration, it is still possible to transform a three phase voltage. Open Delta Transformer Open delta transforms are not the commonly used. Typically they would be used for small loads where cost is important. Alternatively, they could be used as an emergency measure, should one winding only of a transformer fail. Sometimes you may hear an open delta transformer referred to as a V-connection transformer. Power Delivered: Sometimes the power delivered by an open delta transformer is compared to that of an equivalent three winding transformer. Typically figures like having 57.7% of the capacity of an equivalent three winding transformer or 87% of two transformers (same winding size) are quoted. While you can think of the transformer in this manner, it is more fruitful not to consider comparisons but to the necessary calculations on the open delta transformer. Consider the illustration, showing the output from both a close delta and open delta transformer. Note, that in the delta connection to line current is √3 times the phase current, whereas in the open delta, they are the same. The transformer output power (in VA) is for a balanced transformer system for the closed delta connection (using phase current), this give: 125 \| P a g e VA=3VLIph And for the open delta connection: VA= Iph Taking the ratio of open delta to closed delta power, gives: =0.577(or 57.7%) Open delta transformers are three phase devices, with only two windings on each of the primary and secondary sides. While cheaper than a conventional three winding transformer, the open delta will only deliver 57.7% of the power of a conventional transformer (not two thirds, 66.7% as may be expected). There is limited adoption of open delta transformers, although they can be useful in certain situations. Power Factor with Two Transformers in 3-Phase Open-Delta Configuration: The power factor of a typical T/F is 0.866, so the max output (KVA) of a T/F will be 86.6% of its rated capacity. Suppose we have three transformers each having the same rating (50 KVA). Then the total capacity is equal to 150 0.866=130 KVA and not 150 KVA. (The factor 0.866 is called the Utility Factor.) If one transformer is removed, the total output of two T/Fs will be 100 0.866=86.6 KVA. From this calculation, we see that output capacity is reduced when a Delta-Delta configuration is operated as an Open-Delta connection, i.e. with one T/F removed. Let say the two T/Fs of Open-Delta configuration are supplying 3-phase power to a load having power factor Cosα. The power factor of one T/F is Cos(30-α) and the other is Cos(30+α). Power (T/F1)=KVA Cos(30-α) and Power(T/F2)= KVACos(30+α)  Case (i): When phase angle (α=0) is zero, mean load p.f=1 - each transformer has power factor = Cos30 = 0.866  Case (ii):When phase angle is 30(α=30), mean load p.f=0.866, one T/F will have p.f of cos(30-30) = Cos0 = 1 and the other will be operating at p.f of Cos(30+30) = Cos60 = 0.866  Case(iii):When phase angle is 60 (α=60), mean load p.f=0.5, then one T/F will have p.f of Cos(30-60) = 0.866 and other will have a p.f of Cos(30+60) = Cos90 = 0. From the third scenario we conclude that if we have a transformer Open-Delta configuration in which one T/F is transferring power to an entire load at a p.f of 0.866, then the other one will not provide any load. Applications of Open-Delta configurations:  Widely used for small 3-phase loads.  Used in applications where the current load is less, and may increase in future.  There is no relative shift in output, so can be used for unbalanced loads and where harmonics are involved. 126 \| P a g e SCOTT CONNECTION OF TRANSFORMERS: Definition: The Scott-T Connection is the method of connecting two single phase transformer to perform the 3-phase to 2-phase conversion and vice-versa. The two transformers are connected electrically but not magnetically. One of the transformers is called the main transformer, and the other is called the auxiliary or teaser transformer. The figure below shows the Scott-T transformer connection. The main transformer is centre tapped at D and is connected to the line B and C of the 3-phase side. It has primary BC and secondary a1a2. The teaser transformer is connected to the line terminal A and the centre tapping D. It has primary AD and the secondary b1b2 The identical, interchangeable transformers are used for Scott-T connection in which each transformer has a primary winding of Tp turns and is provided with tapping at 0.289Tp , 0.5Tpand 0.866 Tp. Phasor Diagram of Scott Connection Transformer The line voltages of the 3-phase system VAB, VBC, and VCA which are balanced are shown in the figure below. The same voltage is shown as a closed equilateral triangle. The figure below shows the primary windings of the main and the teaser transformer. 127 \| P a g e The D divides the primary BC of the main transformers into two halves and hence the number of turns in portion BD = the number of turns in portion DC = Tp/2.The voltage VBD and VDC are equal, and they are in phase with VBC. The voltage between A and D is The teaser transformer has the primary voltage rating that is √3/2 or 0.866 of the voltage ratings of the main transformer. Voltage VAD is applied to the primary of the teaser transformer and therefore the secondary of the voltage V2tof the teaser transformer will lead the secondary terminal voltage V2m of the main transformer by 90º as shown in the figure below. Fig: secondary Phasor diagram Then, For keeping the voltage per turn same in the primary of the main transformer and the primary of the teaser transformer, the number of turns in the primary of the teaser transformer should be equal to √3/2Tp. 128 \| P a g e Thus, the secondaries of both transformers should have equal voltage ratings.The V2t and V2m are equal in magnitude and 90º apart in time; they result in the balanced 2-phase system. Position of Neutral Point (N) The primary of the two transformers may have a four wire connection to a 3-phase supply if the tapping N is provided on the primary of the teaser transformer such that The voltage across AN = VAN = phase voltage = Vl/√3. Since the voltage across the portion AD. the voltage across the portion ND The same voltage turn in portion AN, ND and AD are shown by the equations, The equation above shows that the neutral point N divides the primary of the teaser transformer in ratio. AN : ND = 2 : 1 Applications of Scott Connection: The following are the applications of the Scott-T connection. 1. The Scott-T connection is used in an electric furnace installation where it is desired to operate two single-phase together and draw the balanced load from the three-phase supply. 2. It is used to supply the single phase loads such as electric train which are so scheduled as to keep the load on the three phase system as nearly as possible. 129 \| P a g e 3. The Scott-T connection is used to link a 3-phase system with a two–phase system with the flow of power in either direction. The Scott-T connection permits conversions of a 3-phase system to a two-phase system and vice versa. But since 2-phase generators are not available, the converters from two phases to three phases are not used in practice. AUTOTRANSFORMER A Transformer, in which a part of the winding is common to both the Primary and Secondary circuit, is called an Auto Transformer. It shall be noted that in Two Winding Transformer, Primary and Secondary windings are electrically isolated but in Auto Transformer, the two windings are not electrically isolated. Why do we need to go for Auto Transformer? We have some advantages of auto-transformer over normal two winding transformers. 1. Autotransformers usually smaller in size, because one winding is eliminated. 2. As size is small cost also low(so cheap in cost) 3. As the winding is same so leakage reactance will be less. 4. Increased kVA rating. PRINCIPLE OF OPERATION OF AUTOTRANSFORMER: The principle of operation of the transformer is the same as the one of the common transformer, and then the relation between input and output voltages and input and output currents and the ratio of number of turns between the primary and the secondary winding is the same. The currents of the primary and secondary windings are flowing on the opposite directions, so the total current flowing through the common part of the winding is equal to the difference between the current on the low-voltage winding and the current on the high-voltage winding. A simplified diagram of a Step-down Auto Transformer is shown in figure below. Fig: Auto transformer 130 \| P a g e As shown in the figure above, N1 and N2 are the number of turns between winding AB and AC respectively. If a voltage V1is applied across AB, an exciting current will start flowing through the full winding. Therefore, voltage per turn in winding AB is V1/N1and hence voltage across CB is (V1/N1)N2. As the load current is I2and the current taken from the source is I1, neglecting losses Input Power = Output Power V1I1CosØ1= V2I2CosØ2 ............................ (1) Assuming internal impedance drop and losses to be negligible, power factor for primary and secondary will be almost same. CosØ1 = CosØ2 Therefore from equation (1), V1I1 = V2I2 So, V2 / V1= I1 / I2 = N2 / N1 =k(say) In our case of Step down Auto Transformer, k<1 Again, since the direction of flow of load current is in the opposite to the current flowing in the Primary because of Lenze’s Law, hence the current flowing in winding BC = (I2-I1) ICB = (I2 – I1) Now the primary MMF = IAC (N1-N2) = I1 (N1– N2) = N1I1– N2I1 But N1 / N2= I2 / I1 So, N1I1= N2I2 Therefore, Now the primary MMF = N2I2– N2I1 = (I2– I1) N2 = ICB N2 = Secondary MMF Thus we see that in Auto Transformer, Transformer action take place between winding AC and BC. Thus VA of winding AC will be transferred to winding BC by Transformer action. Therefore, 131 \| P a g e Transformed VA = VAB IAB = (V1-V2) I1 ................................... (2) Now, total VA input = V1 I1 Therefore, Transformed VA / Input VA = [(V1-V2) I1] / V1I1 = 1 – V2/V1 = 1-k Thus we see that out of total input VA, only a part of it is transformed by Transformer action and remaining is therefore transferred by conduction. So, Conducted VA = Total Input – Transformed VA = V1I1 – (V1-V2) I1 ........................... From equation (1) = V2I1 So, Conducted VA / Input VA = V2I1/ V1I1 = V2/V1= k Thus in an Auto Transformer, a part of input power is delivered to the load by Transformer action while the remaining is by conduction method. Power transfer because of conduction method is possible in Auto Transformer because a part of winding is common to both the primary as well as secondary circuit. EQUIVALENT CIRCUIT OF AUTOTRANSFORMER: Fig: Auto transformer on load As mentioned earlier the magnetizing current can be neglected, for simplicity. Writing the Kirchoff’s equation to the primary and secondary 132 \| P a g e we have V1 = E1 + I1(r1 + jxl1) − (I2 − I1)(r2 + jxl2) Note that the resistance r1 and leakage reactance xl1 refer to that part of the winding where only the primary current flows. Similarly on the load side we have, E2 = V2 + (I2 − I1)(r2 + jxl2) The voltage ratio V1 : V2 = E1 : E2 = T1 : T2 = a where T1 is the total turns of the primary. Then E1 = aE2 and I2 = aI1 The magnetization branch can now be hung across the mains for completeness. The above equivalent circuit can now be compared with the approximate equivalent circuit of a two winding case Re = r1 + a 2 r2 and Xe = xl1 + a 2xl2. Thus in the case of an auto transformer total value of the short circuit impedance is lower and so also the percentage resistance and reactance. Thus the full load regulation is lower. Having a smaller value of short circuit impedance is sometimes considered to be a disadvantage. That is because the short circuit currents become very large in those cases. The efficiency is higher in auto transformers compared to their two winding counter part at the same load. The phasor diagram of operation for the auto transformer drawing a load current at a lagging power factor angle of θ2 is shown in Fig. 32. The magnetizing current is omitted here again for simplicity. Fig: Equivalent Circuit From the foregoing study it is seen that there are several advantages in going in for the autotransformer type of arrangement. The voltage/current transformation and impedance conversion aspects of a two winding transformer are retained but with lesser material (and hence lesser weight) used. The losses are reduced increasing the efficiency. Reactance is reduced resulting in better regulation characteristics. All these benefits are enhanced as the voltage ratio approaches unity. The price that is required to be paid is loss of electrical isolation and a larger short circuit current (and larger short circuit forces on the winding). 133 \| P a g e Fig: Phasor Diagram Advantages of Auto transformer:  Less costly  Better regulation  Low losses as compared to ordinary two winding transformer of the same rating. Disadvantages of Auto transformer: There are various advantages of the auto transformer, but then also one major disadvantage, why auto transformer is not widely used, is that  The secondary winding is not insulated from the primary winding. If an auto transformer is used to supply low voltage from a high voltage and there is a break in the secondary winding, the full primary voltage comes across the secondary terminal which is dangerous to the operator and the equipment. So the auto transformer should not be used to for interconnecting high voltage and low voltage system.  Used only in the limited places where a slight variation of the output voltage from input voltage is required. Applications of Auto transformer:  It is used as a starter to give upto 50 to 60% of full voltage to the stator of a squirrel cage induction motor during starting.  It is used to give a small boost to a distribution cable, to correct the voltage drop.  It is also used as a voltage regulator  Used in power transmission and distribution system and also in the audio system and railways. TAP-CHANGING TRANSFORMERS The change of voltage is affected by changing the numbers of turns of the transformer provided with taps. For sufficiently close control of voltage, taps are usually provided on the high voltage windings of the transformer. There are two types of tap-changing transformers 134 \| P a g e 1. Off-load tap changing transformer 2. On-load tap changing transformer Off-load tap-changing transformer: In this method, the transformer is disconnected from the main supply when the tap setting is to be changed. The tap setting is usually done manually. The off load tap changing transformer is shown in the figure below On-load tap-changing transformer: In order that the supply may not be interrupted, on-load tap changing transformer is used. Such a transformer is known as a tap-changing under load transformer. While tapping, two essential conditions are to be fulfilled.  The load circuit should not be broken to avoid arcing and prevent the damage of contacts.  No parts of the windings should be short–circuited while adjusting the tap. The tap changing employing a center tapped reactor R show in the figure above. Here S is the diverter switch, and 1, 2, 3 are selector switch. The transformer is in operation with switches 1 and S closed. To change to tap 2, switch S is opened, and 2 is closed. Switch 1 is then opened, and S closed to complete the tap change. It is to be noted that the diverter switch operates on load, and no current flows in the selector switches during tap changing. During the tap change only half of the reactance which limits the 135 \| P a g e It is to be noted that the diverter switch operates on load, and no current flows in the selector switches during tap changing. During the tap change, only half of the reactance which limits the current is connected in the circuit. HARMONICS IN THREE PHASE TRANSFORMERS The harmonic is the distortion in the waveform of the voltage and current. It is the integral multiple of some reference waves. The harmonic wave increases the core and copper loss of the transformer and hence reduces their efficiency. It also increases the dielectric stress on the insulation of the transformer. In a three-phase transformer, the non-sinusoidal nature of magnetising current produces sinusoidal flux which gives rise to the undesirable phenomenon. The phase magnetising currents in transformer should contain third harmonics and higher harmonics necessary to produce a sinusoidal flux. Fig: Harmonics in transformers If the phase voltage across each phase is to remain sinusoidal, then the phase magnetising currents must be of the following form. It is seen from equation (1), (2), and (3) that the third harmonics in the three currents are co-phase, that is they have the same phase. The fifth harmonics have different phases. Delta Connection 136 \| P a g e Let the IAO, IBO and the ICO represent the phase magnetising current in a delta connection. The line currents can be found by subtracting two phases current. For examples, The third harmonic present in the phase magnetising current of three phase transformer is not present in the line current. The third harmonic components are co-phase and hence cancel out in the line. The third harmonic components are flows round the closed loop of the delta. The delta connection only allows a sinusoidal flux and voltage with no third harmonic current in the transmission line. For this reason majority of the 3-phase transformer has delta connected windings and in places where it is not convenient to have an either primary or secondary connected in delta, a tertiary winding is provided. The tertiary windings carry the circulating third harmonics current required by the sinusoidal flux in each limb of the core. In a delta connection, the voltage acting around the closed delta is, This is a third harmonic voltage and it will circulate a third harmonic current round the closed loop of the delta 137 \| P a g e Star connection If IAO, IBO and ICO, represents the phase magnetising current in a star connection, Where In is the current in the neutral wire. The harmonics above the seventh be neglected. The equation (6) shows that under the balanced condition the current flow in the neutral wire is the third harmonic current. The magnitude of the third harmonics current is thrice the magnitude of each third phase current. The thirds harmonic current produced inductive interference with communication circuit. If the supply to the star connection is three wires, neutral current must be zero and therefore Thus, it is seen that the three wire star connection suppresses the flow of harmonic and magnetising currents. For a four wire star-connected system, the in phase third harmonic current flow in the neutral wire. Similarly, the third balance phase voltage containing harmonics can be written as 138 \| P a g e The equation (7), (8) and (9) shows that the third harmonics in the three phase voltage have the same phase. The line voltage in a star connection can be obtained by subtracting two phase voltages. For example From equation (10) it is seen that the third harmonics is not present in the line to line voltage of a star connection. This applies to all triplers harmonics.
9718	https://philosophy.stackexchange.com/questions/74381/negation-of-the-rule-of-implication-proof	logic - Negation of the Rule of Implication proof - Philosophy Stack Exchange Join Philosophy By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Loading… Tour Start here for a quick overview of the site Help Center Detailed answers to any questions you might have Meta Discuss the workings and policies of this site About Us Learn more about Stack Overflow the company, and our products current community Philosophy helpchat Philosophy Meta your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Home Questions Unanswered AI Assist Labs Tags Chat Users Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Negation of the Rule of Implication proof Ask Question Asked 5 years, 2 months ago Modified5 years, 2 months ago Viewed 256 times This question shows research effort; it is useful and clear 0 Save this question. Show activity on this post. tried forever to figure out a solution to this problem. It's based on the rule of Material Implication with a negation in front of both sides. Namely the premise is ~(A>B) with the goal solution being ~(~AvB). I know how to derive the proof if there were no negations in front, but I am utterly stumped with this one. I'm thinking you want to assume (~AvB) and try to derive a contradiction by deriving (A>B) so you can use ~I as your final step, but I have no clue how this would be done. The negation in front of the premise means it is pretty much useless to work with and I'm always left with some assumptions in the dependencies if I do argue to the goal. Let me know what any of you guys think of this. Also we are not allowed to use any sequent or theorem introductions like Rule of Implication, DeMorgan's, Law of Excluded Middle, etc. Only the basic operators like assumptions, introduction and elimination of ~,>,<>,v,&, double negation, and stuff like that. logic proof negation Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this question Follow Follow this question to receive notifications asked Jul 29, 2020 at 17:06 RyanRyan 1 Add a comment\| 1 Answer 1 Sorted by: Reset to default This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. As the goal has a negation as its main logical connective, you would need one of the Introduction rules. In particular, Negation Introduction. So, a basic proof skeleton (in Fitch-style) would be: Can you fill in the blanks ? Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications answered Jul 29, 2020 at 18:08 F. ZerF. Zer 219 1 1 silver badge 6 6 bronze badges 5 no, if we assume ~A and assume B I'm not sure how you would derive A and ~B respectively to contradict each one. Even if you just assume both A and ~B and do this you won't have the premise in the final dependency either, so I'm confused on how the premise is utilized as well.Ryan –Ryan 2020-07-29 19:08:13 +00:00 Commented Jul 29, 2020 at 19:08 so I figured out you can use the paradoxes of material implication to get from ~A and B to (A>B), but unfortunately I'd have to prove those as well which I'm not sure how to do Ryan –Ryan 2020-07-29 19:20:16 +00:00 Commented Jul 29, 2020 at 19:20 @Ryan, are you allowed to use Disjunction Elimination ? This is the rule you need. Tell me if you need further help completing the proof.F. Zer –F. Zer 2020-07-29 19:58:55 +00:00 Commented Jul 29, 2020 at 19:58 Why do you say that we would need to derive A and ~B respectively to contradict each other ?F. Zer –F. Zer 2020-07-29 21:14:52 +00:00 Commented Jul 29, 2020 at 21:14 @Ryan, You do not need to derive a contradiction of each assumption. You only need to derive any contradiction under each assumption. Deriving A > B suffices (as it contradicts the premise). In each case, you can derive this by another subproof : a Conditional Proof.Graham Kemp –Graham Kemp 2020-08-20 04:28:18 +00:00 Commented Aug 20, 2020 at 4:28 Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions logic proof negation See similar questions with these tags. Featured on Meta Spevacus has joined us as a Community Manager Introducing a new proactive anti-spam measure Related 23Motivations for dialetheism? 2Why is this set {CqCpq, CCpCqrCCpqCpr, CCNpNqCqp} the most common set of axioms for propositional calculus? 1Derivation using inference rules 4Implication Introduction formulated as a theorem? 5Is there a logic with negation as (primarily) a binary relation? 0Double-negation deduction rule in 0Proof of soundness of the rule of implication introduction in natural deduction calculus Hot Network Questions What happens if you miss cruise ship deadline at private island? How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? ConTeXt: Unnecessary space in \setupheadertext How to fix my object in animation Repetition is the mother of learning Does "An Annotated Asimov Biography" exist? Does the mind blank spell prevent someone from creating a simulacrum of a creature using wish? Is encrypting the login keyring necessary if you have full disk encryption? Storing a session token in localstorage Childhood book with a girl obsessed with homonyms who adopts a stray dog but gives it back to its owners Weird utility function Any knowledge on biodegradable lubes, greases and degreasers and how they perform long term? Is it ok to place components "inside" the PCB Does the curvature engine's wake really last forever? Do sum of natural numbers and sum of their squares represent uniquely the summands? The rule of necessitation seems utterly unreasonable Can a cleric gain the intended benefit from the Extra Spell feat? Can you formalize the definition of infinitely divisible in FOL? An odd question Why multiply energies when calculating the formation energy of butadiene's π-electron system? What is a "non-reversible filter"? Cannot build the font table of Miama via nfssfont.tex Why do universities push for high impact journal publications? Gluteus medius inactivity while riding Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Philosophy Tour Help Chat Contact Feedback Company Stack Overflow Teams Advertising Talent About Press Legal Privacy Policy Terms of Service Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.26.34547 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Accept all cookies Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Cookies Details‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Cookies Details‎ Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Cookies Details‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. Cookies Details‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Necessary cookies only Confirm my choices
9719	https://chemistry.stackexchange.com/questions/149888/spontaneity-and-nature-of-attack-of-fluorine-gas-on-aluminum	Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Spontaneity and nature of attack of fluorine gas on aluminum Ask Question Asked Modified 4 years, 3 months ago Viewed 1k times 7 $\begingroup$ What is the nature of the reaction of attack of fluorine gas on aluminium metal? Is it spontaneous in nature? I have studied reactions of halogens on aluminium, but it had no information about fluorine's attack, and I would like to know about this reaction. Aluminium has a tenacious oxide layer so the reaction of gaseous fluorine with aluminium metal is firstly the reaction of fluorine with aluminium oxide. So finally $\ce{F2}$ will react with $\ce{Al2O3}$? Also will $\ce{F2}$ react with fresh $\ce{Al}$ metal surface. inorganic-chemistry periodic-table Share edited Jun 23, 2021 at 6:22 JayJay asked Apr 13, 2021 at 10:38 JayJay 81455 silver badges2424 bronze badges $\endgroup$ 4 6 $\begingroup$ I have edited the question and made it more readable, getting a good idea on English sentences and writing would be great since it was very hard to read before. Your title should reflect the question that you want to ask. Hope you get an answer for this question and enjoy learning :D. $\endgroup$ Safdar Faisal – Safdar Faisal 2021-04-13 11:06:57 +00:00 Commented Apr 13, 2021 at 11:06 1 $\begingroup$ Aluminium has a tenacious oxide layer so the reaction of gaseous fluorine with aluminium metal is firstly the reaction of fluorine with aluminium oxide. $\endgroup$ Waylander – Waylander 2021-04-13 11:27:26 +00:00 Commented Apr 13, 2021 at 11:27 1 $\begingroup$ Use $\ce{} for chemical compounds $\endgroup$ Safdar Faisal – Safdar Faisal 2021-04-13 14:17:51 +00:00 Commented Apr 13, 2021 at 14:17 $\begingroup$ What do you mean by "spontaneous"? If you mean "exergonic", I recommend to use that term. $\endgroup$ Karl – Karl 2021-04-13 19:06:20 +00:00 Commented Apr 13, 2021 at 19:06 Add a comment \| 1 Answer 1 Reset to default 14 $\begingroup$ First and foremost! Do not do this reaction unless you are properly trained and have the appropriate safety equipment. Fluorine is one of the most dangerous substances out there, and one of the presumed products, $\ce{OF2}$, is also terrifying. If you can calculate the free energy change for a reaction, you will know whether it is spontaneous. To do this, you need to have more information than you currently provide. We need to know the products of the reaction in order to write a balanced chemical equation. Then we can look up appropriate thermodynamic values for each substance in the reaction in order to calculate the free energy change. Below is what I presume to be the balanced equation for the reaction of fluorine with aluminum oxide: $$\ce{Al2O3 + 6F2 -> 2AlF3 + 3OF2}$$ Using the NIST Chemistry Webbook, we can look up the enthalpies of formation and standard entropies of each substance so that we may calculate the enthalpy and entropy changes. $$\begin{array}{l\|c\|c\|c\|c\|c\|c} & \ce{Al2O3} & \ce{F2} & \ce{AlF3} & \ce{OF2} \ \hline \Delta_f H^\circ\ \mathrm{(kJ/mol)} & -1675.7 & 0 & -1510.4 & 24.52 \ S^\circ\ \mathrm{(J/K)} & 50.92 & 202.8 & 66.5 & 247.46 \ \end{array}$$ We can use these data to calculate the free energy change of the reaction: $$\Delta_r G^\circ = \Delta_r H^\circ - T\Delta_rS^\circ$$ If the free energy change is negative at that temperature, the reaction is spontaneous. Share answered Apr 13, 2021 at 13:54 Ben NorrisBen Norris 43.4k88 gold badges131131 silver badges186186 bronze badges $\endgroup$ 12 2 $\begingroup$ But does it go kinetically? I can see it with aluminum hydroxide, but the anhydrous oxide may be hard to attack unless heated. $\endgroup$ Oscar Lanzi – Oscar Lanzi 2021-04-13 15:00:49 +00:00 Commented Apr 13, 2021 at 15:00 7 $\begingroup$ @Karl - I would like to believe that to be true everywhere in the world, but I cannot guarantee it. $\endgroup$ Ben Norris – Ben Norris 2021-04-13 20:31:48 +00:00 Commented Apr 13, 2021 at 20:31 4 $\begingroup$ @nick012000 Electrolysis of a "bathtub" of fluorinated water seems to me unlikely to produce fluorine given fluorine will spontaneously react violently with water to produce oxygen (or ozone if there is excess fluorine which there surely won't be here) and HF. $\endgroup$ abligh – abligh 2021-04-14 07:03:25 +00:00 Commented Apr 14, 2021 at 7:03 3 $\begingroup$ What's your reasoning for the reaction you wrote down rather than $\ce{2Al2O3 + 6F2 -> 4 AlF3 + 3O2}$? $\endgroup$ Jan – Jan 2021-04-14 09:15:06 +00:00 Commented Apr 14, 2021 at 9:15 1 $\begingroup$ @Jan Oxygen reacts with fluorine? Because everything reacts - if it hasn't already reacted - with fluorine? $\endgroup$ Karl – Karl 2021-04-14 20:59:31 +00:00 Commented Apr 14, 2021 at 20:59 \| Show 7 more comments Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions inorganic-chemistry periodic-table See similar questions with these tags. Featured on Meta Spevacus has joined us as a Community Manager Introducing a new proactive anti-spam measure Related 3 Clean silver with aluminum foil and 3 What gas are the bubbles that evolve in the redox reaction of copper(II) chloride and aluminum? Reaction between magnesium metal and sodium hydroxide: Does this even happen? 7 Understanding sodium hydroxide drain cleaner's exothermic dissolution of aluminum; does the aluminum need to be oxidized before it dissolves? Hot Network Questions RTC battery and VCC switching circuit "Unexpected"-type comic story. Aboard a space ark/colony ship. Everyone's a vampire/werewolf Bypassing C64's PETSCII to screen code mapping How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? I have a lot of PTO to take, which will make the deadline impossible Suspicious of theorem 36.2 in Munkres “Analysis on Manifolds” If Israel is explicitly called God’s firstborn, how should Christians understand the place of the Church? Proof of every Highly Abundant Number greater than 3 is Even What meal can come next? What is a "non-reversible filter"? Why include unadjusted estimates in a study when reporting adjusted estimates? What "real mistakes" exist in the Messier catalog? Is direct sum of finite spectra cancellative? в ответе meaning in context How do you emphasize the verb "to be" with do/does? Implications of using a stream cipher as KDF Transforming wavefunction from energy basis to annihilation operator basis for quantum harmonic oscillator Why, really, do some reject infinite regresses? My dissertation is wrong, but I already defended. How to remedy? Can a state ever, under any circumstance, execute an ICC arrest warrant in international waters? Why is the definite article used in “Mi deporte favorito es el fútbol”? Origin of Australian slang exclamation "struth" meaning greatly surprised Interpret G-code Alternatives to Test-Driven Grading in an LLM world more hot questions Question feed
9720	https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root	Jump to content Search Contents 1 History 2 Motivation 3 Overview of the code 3.1 Worked example 3.2 Avoiding undefined behavior 4 Algorithm 4.1 Floating-point representation 4.2 Aliasing to an integer as an approximate logarithm 4.3 First approximation of the result 4.4 Newton's method 4.5 Accuracy 5 Subsequent improvements 5.1 Magic number 5.2 Zero finding 5.3 Obsolescence 6 See also 7 Notes 8 References 8.1 Bibliography 9 Further reading 10 External links Fast inverse square root বাংলা Català Español فارسی Français 한국어 Italiano Polski Русский Српски / srpski Українська 中文 Edit links Article Talk Read Edit View history Tools Actions Read Edit View history General What links here Related changes Upload file Permanent link Page information Cite this page Get shortened URL Download QR code Print/export Download as PDF Printable version In other projects Wikimedia Commons Wikidata item Appearance From Wikipedia, the free encyclopedia Root-finding algorithm Fast inverse square root, sometimes referred to as Fast InvSqrt() or by the hexadecimal constant 0x5F3759DF, is an algorithm that estimates , the reciprocal (or multiplicative inverse) of the square root of a 32-bit floating-point number in IEEE 754 floating-point format. The algorithm is best known for its implementation in 1999 in Quake III Arena, a first-person shooter video game heavily based on 3D graphics. With subsequent hardware advancements, especially the x86 SSE instruction rsqrtss, this algorithm is not generally the best choice for modern computers, though it remains an interesting historical example. The algorithm accepts a 32-bit floating-point number as the input and stores a halved value for later use. Then, treating the bits representing the floating-point number as a 32-bit integer, a logical shift right by one bit is performed and the result subtracted from the number 0x5F3759DF, which is a floating-point representation of an approximation of . This results in the first approximation of the inverse square root of the input. Treating the bits again as a floating-point number, it runs one iteration of Newton's method, yielding a more precise approximation. History [edit] William Kahan and K.C. Ng at Berkeley wrote an unpublished paper in May 1986 describing how to calculate the square root using bit-fiddling techniques followed by Newton iterations. In the late 1980s, Cleve Moler at Ardent Computer learned about this technique and passed it along to his coworker Greg Walsh. Greg Walsh devised the now-famous constant and fast inverse square root algorithm. Gary Tarolli was consulting for Kubota, the company funding Ardent at the time, and likely brought the algorithm to 3dfx Interactive circa 1994. Jim Blinn demonstrated a simple approximation of the inverse square root in a 1997 column for IEEE Computer Graphics and Applications. Reverse engineering of other contemporary 3D video games uncovered a variation of the algorithm in Activision's 1997 Interstate '76. Quake III Arena, a first-person shooter video game, was released in 1999 by id Software and used the algorithm. Brian Hook may have brought the algorithm from 3dfx to id Software. A discussion of the code appeared on the Chinese developer forum CSDN in 2000, and Usenet and the gamedev.net forum spread the code widely in 2002 and 2003. Speculation arose as to who wrote the algorithm and how the constant was derived; some guessed John Carmack. Quake III's full source code was released at QuakeCon 2005, but provided no answers. The authorship question was resolved in 2006 when Greg Walsh, the original author, contacted Beyond3D after their speculation gained popularity on Slashdot. In 2007 the algorithm was implemented in some dedicated hardware vertex shaders using field-programmable gate arrays (FPGA). Motivation [edit] The inverse square root of a floating point number is used in digital signal processing to normalize a vector, scaling it to length 1 to produce a unit vector. For example, computer graphics programs use inverse square roots to compute angles of incidence and reflection for lighting and shading. 3D graphics programs must perform millions of these calculations every second to simulate lighting. When the code was developed in the early 1990s, most floating point processing power lagged the speed of integer processing. This was troublesome for 3D graphics programs before the advent of specialized hardware to handle transform and lighting. Computation of square roots usually depends upon many division operations, which for floating point numbers are computationally expensive. The fast inverse square generates a good approximation with only one division step. The length of the vector is determined by calculating its Euclidean norm: the square root of the sum of squares of the vector components. When each component of the vector is divided by that length, the new vector will be a unit vector pointing in the same direction. In a 3D graphics program, all vectors are in three-dimensional space, so would be a vector . Then, is the Euclidean norm of the vector, and the normalized (unit) vector is where the fraction term is the inverse square root of . At the time, floating-point division was generally expensive compared to multiplication; the fast inverse square root algorithm bypassed the division step, giving it its performance advantage. Overview of the code [edit] The following C code is the fast inverse square root implementation from Quake III Arena, stripped of C preprocessor directives, but including the exact original comment text: float Q_rsqrt( float number ){ long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number 0.5F; y = number; i = ( long ) & y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = ( float ) & i; y = y ( threehalfs - ( x2 y y ) ); // 1st iteration// y = y ( threehalfs - ( x2 y y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y;} At the time, the general method to compute the inverse square root was to calculate an approximation for , then revise that approximation via another method until it came within an acceptable error range of the actual result. Common software methods in the early 1990s drew approximations from a lookup table. The key of the fast inverse square root was to directly compute an approximation by utilizing the structure of floating-point numbers, proving faster than table lookups. The algorithm was approximately four times faster than computing the square root with another method and calculating the reciprocal via floating-point division. The algorithm was designed with the IEEE 754-1985 32-bit floating-point specification in mind, but investigation from Chris Lomont showed that it could be implemented in other floating-point specifications. The advantages in speed offered by the fast inverse square root trick came from treating the 32-bit floating-point word[note 1] as an integer, then subtracting it from a "magic" constant, 0x5F3759DF. This integer subtraction and bit shift results in a bit pattern which, when re-defined as a floating-point number, is a rough approximation for the inverse square root of the number. One iteration of Newton's method is performed to gain some accuracy, and the code is finished. The algorithm generates reasonably accurate results using a unique first approximation for Newton's method; however, it is much slower and less accurate than using the SSE instruction rsqrtss on x86 processors also released in 1999. Worked example [edit] As an example, the number can be used to calculate . The first steps of the algorithm are illustrated below: 0011_1110_0010_0000_0000_0000_0000_0000 Bit pattern of both x and i 0001_1111_0001_0000_0000_0000_0000_0000 Shift right one position: (i >> 1) 0101_1111_0011_0111_0101_1001_1101_1111 The magic number 0x5F3759DF 0100_0000_0010_0111_0101_1001_1101_1111 The result of 0x5F3759DF - (i >> 1) Interpreting as IEEE 32-bit representation: 0_01111100_01000000000000000000000 1.25 × 2−3 0_00111110_00100000000000000000000 1.125 × 2−65 0_10111110_01101110101100111011111 1.432430... × 263 0_10000000_01001110101100111011111 1.307430... × 21 Reinterpreting this last bit pattern as a floating point number gives the approximation , which has an error of about 3.4%. After one iteration of Newton's method, the final result is , an error of only 0.17%. Avoiding undefined behavior [edit] Main article: Type punning According to the C standard, reinterpreting a floating point value as an integer by casting then dereferencing the pointer to it is not valid (undefined behavior). This can be avoided by using alternative type punning techniques such as C's unions or C++20's std::bit_cast. Algorithm [edit] The algorithm computes by performing the following steps: Alias the argument to an integer as a way to compute an approximation of the binary logarithm Use this approximation to compute an approximation of Alias back to a float, as a way to compute an approximation of the base-2 exponential Refine the approximation using a single iteration of Newton's method. Floating-point representation [edit] Main article: Single-precision floating-point format Since this algorithm relies heavily on the bit-level representation of single-precision floating-point numbers, a short overview of this representation is provided here. To encode a non-zero real number as a single precision float, the first step is to write as a normalized binary number: where the exponent is an integer, and is the binary representation of the significand. Since the single bit before the point in the significand is always 1, it does not need be stored. The equation can be rewritten as: where means , so . From this form, three unsigned integers are computed: , the "sign bit", is if is positive and negative or zero (1 bit) is the "biased exponent", where is the "exponent bias"[note 2] (8 bits) , where [note 3] (23 bits) Thus: and . These fields are then packed, left to right, into a 32-bit container. As an example, consider again the number . Normalizing yields: and thus, the three unsigned integer fields are: these fields are packed as shown in the figure below: The number is represented in binary as: Also, since this algorithm works on real numbers, is only defined for . The code thus assumes and . The number, given to calculate the square root, could be rewritten as: Aliasing to an integer as an approximate logarithm [edit] If were to be calculated without a computer or a calculator, a table of logarithms would be useful, together with the identity , which is valid for every base . The fast inverse square root is based on this identity, and on the fact that aliasing a float32 to an integer gives a rough approximation of its logarithm. Here is how: If is a positive normal number: then and since , the logarithm on the right-hand side can be approximated by where is a free parameter used to tune the approximation. For example, yields exact results at both ends of the interval, while yields the optimal approximation (the best in the sense of the uniform norm of the error). However, this value is not used by the algorithm as it does not take subsequent steps into account. Thus there is the approximation Interpreting the floating-point bit-pattern of as an integer yields[note 4] It then appears that is a scaled and shifted piecewise-linear approximation of , as illustrated in the figure on the right. In other words, is approximated by First approximation of the result [edit] The calculation of is based on the identity Using the approximation of the logarithm above, applied to both and , the above equation gives: Thus, an approximation of is: which is written in the code as : i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); The first term above is the magic number from which it can be inferred that . The second term, , is calculated by shifting the bits of one position to the right. Newton's method [edit] Main article: Newton's method Relative error between direct calculation and fast inverse square root carrying out 0, 1, 2, 3, and 4 iterations of Newton's root-finding method. Note that double precision is adopted and the smallest representable difference between two double precision numbers is reached after carrying out 4 iterations. The number is a solution of the equation . The approximation yielded by the earlier steps can be refined by using a root-finding method, a method that finds the zero of a function. The algorithm uses Newton's method: if there is an approximation, for , then a better approximation can be calculated by taking , where is the derivative of at . Applied to the equation , Newton's method gives which is written in the code as y = y ( threehalfs - ( x2 y y ) );. By repeating this step, using the output of the function () as the input of the next iteration, the algorithm causes to converge to the inverse square root. For the purposes of the Quake III engine, only one iteration was used. A second iteration remained in the code but was commented out. Accuracy [edit] As noted above, the approximation is very accurate. The single graph on the right plots the error of the function (that is, the error of the approximation after it has been improved by running one iteration of Newton's method), for inputs starting at 0.01, where the standard library gives 10.0 as a result, and InvSqrt() gives 9.982522, making the relative difference 0.0017478, or 0.175% of the true value, 10. The absolute error only drops from then on, and the relative error stays within the same bounds across all orders of magnitude. Subsequent improvements [edit] Magic number [edit] It is not known precisely how the exact value for the magic number was determined. Chris Lomont developed a function to minimize approximation error by choosing the magic number over a range. He first computed the optimal constant for the linear approximation step as 0x5F37642F, close to 0x5F3759DF, but this new constant gave slightly less accuracy after one iteration of Newton's method. Lomont then searched for a constant optimal even after one and two Newton iterations and found 0x5F375A86, which is more accurate than the original at every iteration stage. He concluded by asking whether the exact value of the original constant was chosen through derivation or trial and error. Lomont said that the magic number for 64-bit IEEE754 size type double is 0x5FE6EC85E7DE30DA, but it was later shown by Matthew Robertson to be exactly 0x5FE6EB50C7B537A9. Jan Kadlec reduced the relative error by a further factor of 2.7 by adjusting the constants in the single Newton's method iteration as well, arriving after an exhaustive search at conv. i = 0x5F1FFFF9 - ( conv. i >> 1 ); conv. f = 0.703952253f ( 2.38924456f - x conv. f conv. f ); return conv. f; A complete mathematical analysis for determining the magic number is now available for single-precision floating-point numbers. Zero finding [edit] Intermediate to the use of one vs. two iterations of Newton's method in terms of speed and accuracy is a single iteration of Halley's method. In this case, Halley's method is equivalent to applying Newton's method with the starting formula . The update step is then where the implementation should calculate only once, via a temporary variable. Obsolescence [edit] Subsequent additions by hardware manufacturers have made this algorithm redundant for the most part. For example, on x86, Intel introduced the SSE instruction rsqrtss in 1999. In a 2009 benchmark on the Intel Core 2, this instruction took 0.85ns per float compared to 3.54ns for the fast inverse square root algorithm, and had less error. Some low-cost embedded systems do not have specialized square root instructions. However, manufacturers of these systems usually provide trigonometric and other math libraries, based on algorithms such as CORDIC. See also [edit] Methods of computing square roots § Approximations that depend on the floating point representation Magic number Notes [edit] ^ Use of the type long reduces the portability of this code on modern systems. For the code to execute properly, sizeof(long) must be 4 bytes, otherwise negative outputs may result. Under many modern 64-bit systems, sizeof(long) is 8 bytes. The more portable replacement is int32_t. ^ should be in the range for to be representable as a normal number. ^ The only real numbers that can be represented exactly as floating point are those for which is an integer. Other numbers can only be represented approximately by rounding them to the nearest exactly representable number. ^ Since is positive, . References [edit] ^ a b c Ruskin, Elan (2009-10-16). "Timing square root". Some Assembly Required. Archived from the original on 2021-02-08. Retrieved 2015-05-07. ^ feilipu. "z88dk is a collection of software development tools that targets the 8080 and z80 computers". GitHub. ^ Munafo, Robert. "Notable Properties of Specific Numbers". mrob.com. Archived from the original on 16 November 2018. ^ "sqrt implementation in fdlibm - See W. Kahan and K.C. Ng's discussion in comments in lower half of this code". ^ Moler, Cleve (19 June 2012). "Symplectic Spacewar". MATLAB Central - Cleve's Corner. MATLAB. Retrieved 2014-07-21. ^ a b c Sommefeldt, Rys (2006-12-19). "Origin of Quake3's Fast InvSqrt() - Part Two". Beyond3D. Retrieved 2008-04-19. ^ a b c d Sommefeldt, Rys (2006-11-29). "Origin of Quake3's Fast InvSqrt()". Beyond3D. Retrieved 2009-02-12. ^ Blinn 1997, pp. 80–84. ^ Peelar, Shane (1 June 2021). "Fast reciprocal square root... in 1997?!". ^ "Discussion on CSDN". Archived from the original on 2015-07-02. ^ Lomont 2003, p. 1-2. ^ Zafar, Saad; Adapa, Raviteja (January 2014). "Hardware architecture design and mapping of 'Fast Inverse Square Root' algorithm". 2014 International Conference on Advances in Electrical Engineering (ICAEE). pp. 1–4. doi:10.1109/ICAEE.2014.6838433. ISBN 978-1-4799-3543-7. S2CID 2005623. ^ Middendorf 2007, pp. 155–164. ^ Blinn 2003, p. 130. ^ "quake3-1.32b/code/game/q_math.c". Quake III Arena. id Software. Archived from the original on 2017-07-29. Retrieved 2017-01-21.{{cite web}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link) ^ Eberly 2001, p. 504. ^ Lomont 2003, p. 1. ^ Lomont 2003. ^ Lomont 2003, p. 3. ^ McEniry 2007, p. 2, 16. ^ a b Eberly 2001, p. 2. ^ Fog, Agner. "Lists of instruction latencies, throughputs and micro-operation breakdowns for Intel, AMD and VIA CPUs" (PDF). Retrieved 2017-09-08. ^ "§ 6.5/7" (PDF), ISO/IEC 9899:2018, 2018, p. 55, archived from the original (PDF) on 2018-12-30, An object shall have its stored value accessed only by an lvalue expression that has one of the following types: [...] ^ "§ 6.5.2.3/3, footnote 97" (PDF), ISO/IEC 9899:2018, 2018, p. 59, archived from the original (PDF) on 2018-12-30, If the member used to read the contents of a union object is not the same as the member last used to store a value in the object, the appropriate part of the object representation of the value is reinterpreted as an object representation in the new type as described in 6.2.6 (a process sometimes called "type punning"). ^ "Bit-casting object representations". www.open-std.org. Archived from the original on 2018-08-18. Retrieved 2018-11-10. ^ Goldberg 1991, p. 7. ^ Goldberg 1991, pp. 15–20. ^ Goldberg 1991, p. 16. ^ McEniry 2007, p. 3. ^ Hennessey & Patterson 1998, p. 305. ^ Hardy 1908, p. 323. ^ McEniry 2007, p. 6. ^ a b Lomont 2003, p. 10. ^ Lomont 2003, pp. 10–11. ^ Matthew Robertson (2012-04-24). "A Brief History of InvSqrt" (PDF). UNBSJ. ^ Kadlec, Jan (2010). "Řrřlog::Improving the fast inverse square root" (personal blog). Archived from the original on 2018-07-09. Retrieved 2020-12-14. ^ Moroz et al. 2018. ^ Muller, Jean-Michel (December 2020). "Elementary Functions and Approximate Computing". Proceedings of the IEEE. 108 (12): 2146. doi:10.1109/JPROC.2020.2991885. ISSN 0018-9219. S2CID 219047769. Bibliography [edit] Blinn, Jim (July 1997). "Floating Point Tricks". IEEE Computer Graphics & Applications. 17 (4): 80. doi:10.1109/38.595279. Blinn, Jim (2003). Jim Blinn's Corner: Notation, notation notation. Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-860-5. Eberly, David (2001). 3D Game Engine Design. Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-593-0. Goldberg, David (1991). "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic". ACM Computing Surveys. 23 (1): 5–48. doi:10.1145/103162.103163. S2CID 222008826. Hardy, Godfrey (1908). A Course of Pure Mathematics. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Centenary Edition, 2008, ISBN 0-521-72055-9. Hennessey, John; Patterson, David A. (1998). Computer Organization and Design (2nd ed.). San Francisco, CA: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 978-1-55860-491-9. Lomont, Chris (February 2003). "Fast Inverse Square Root" (PDF). Retrieved 2009-02-13. McEniry, Charles (August 2007). "The Mathematics Behind the Fast Inverse Square Root Function Code" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-05-11. Middendorf, Lars; Mühlbauer, Felix; Umlauf, George; Bodba, Christophe (June 1, 2007). "Embedded Vertex Shader in FPGA" (PDF). In Rettberg, Achin (ed.). Embedded System Design: Topics, Techniques and Trends. IFIP TC10 Working Conference:International Embedded Systems Symposium (IESS). et al. Irvine, California: Springer. doi:10.1007/978-0-387-72258-0_14. ISBN 978-0-387-72257-3. Archived (PDF) from the original on 2019-05-01. Striegel, Jason (2008-12-04). "Quake's fast inverse square root". Hackszine. O'Reilly Media. Archived from the original on 2009-02-15. Retrieved 2013-01-07. IEEE Computer Society (1985). "754-1985 - IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic". Institute of Electrical and Electronics Engineers. Moroz, Leonid V.; Walczyk, Cezary J.; Hrynchyshyn, Andriy; Holimath, Vijay; Cieslinski, Jan L. (January 2018). "Fast calculation of inverse square root with the use of magic constant analytical approach". Applied Mathematics and Computation. 316 (C). Elsevier Science Inc.: 245–255. arXiv:1603.04483. doi:10.1016/j.amc.2017.08.025. S2CID 7494112. Further reading [edit] Kushner, David (August 2002). "The wizardry of Id". IEEE Spectrum. 39 (8): 42–47. doi:10.1109/MSPEC.2002.1021943. External links [edit] 0x5f3759df, further investigations into accuracy and generalizability of the algorithm by Christian Plesner Hansen Origin of Quake3's Fast InvSqrt() Quake III Arena source code (archived in Software Heritage) Implementation of InvSqrt in DESMOS "Fast Inverse Square Root — A Quake III Algorithm" (YouTube) \| v t e Quake series \| \| Games \| Quake II III Arena + Live 4 Enemy Territory: Quake Wars Champions \| \| People \| American McGee Graeme Devine John Carmack John Romero Jennell Jaquays Sandy Petersen Tim Willits Timothee Besset Trent Reznor \| \| Machinima \| Blahbalicious Diary of a Camper Operation Bayshield Quad God Quake done Quick The Seal of Nehahra \| \| Mods \| \| \| \| --- \| \| Quake \| Malice Nexuiz Rocket Arena Team Fortress X-Men: The Ravages of Apocalypse Xonotic \| \| Quake II \| Action Quake 2 Alien Arena Gravity Bone Loki's Minions Capture the Flag Thirty Flights of Loving Warsow UFO: Alien Invasion \| \| Quake III \| Challenge ProMode Arena DeFRaG OpenArena Smokin' Guns Tremulous Unvanquished Urban Terror World of Padman \| \| \| Professional players \| av3k Cypher Fatal1ty KillCreek rapha Sujoy Thresh Vo0 \| \| Technology \| \| \| \| --- \| \| id Tech \| Quake engine Quake II engine id Tech 3 id Tech 4 \| \| Other \| Fast inverse square root Quake Army Knife QuakeC QuakeWorld \| \| \| Related \| BFG Soundtrack QuakeCon QuakeNet \| \| Category:Quake (series) \| \| v t e id Software (games) \| \| Main franchises \| Commander Keen Doom Quake Wolfenstein \| \| Other games \| Shadow Knights Hovertank One Dangerous Dave Rescue Rover Tiles of the Dragon Catacomb 3-D Orcs & Elves Rage + Mutant Bash TV Rage 2 \| \| Games published \| Heretic Hexen: Beyond Heretic Hexen II \| \| People \| \| \| \| --- \| \| Current \| Kevin Cloud \| \| Former \| Michael Abrash Timothee Besset Adrian Carmack John Carmack Matthew Costello Graeme Devine Robert Duffy Tom Hall Todd Hollenshead Jennell Jaquays Katherine Anna Kang American McGee Sandy Petersen Mark Rein John Romero Dave Taylor Tim Willits Mike Wilson \| \| \| Publishers \| Softdisk Apogee Software FormGen GT Interactive Activision ZeniMax Media \| \| Technology \| Adaptive tile refresh id Tech + Doom engine + Quake engine + Quake II engine + id Tech 3 + id Tech 4 + id Tech 5 + id Tech 6 + id Tech 7 \| \| Related \| QuakeCon Masters of Doom \| Retrieved from " Categories: Quake (series) Source code Root-finding algorithms Hidden categories: CS1 maint: bot: original URL status unknown Articles with short description Short description matches Wikidata Good articles Articles with example C code Fast inverse square root Add topic
9721	https://wayground.com/library/quizzes/math/algebra/polynomials/basic-polynomial-operations/adding-subtracting-and-multiplying-polynomials	Adding, Subtracting And Multiplying Polynomials Quizzes Kindergarten to 12th Grade Math \| Wayground (formerly Quizizz) School & DistrictPlans Enter code Log inSign up Subject All Math Algebra Algebraic Expressions Equation Of A Straight Line Equations Equations And Inequalities Exponents Inequalities Linear Equations (one Variable) Linear Equations (two Variables) Linear Inequalities (one Variable) Linear Inequalities (two Variables) Numerical Expressions Polynomials Advanced Polynomial Operations Applying The Remainder Theorem Dividing Polynomials Writing A(x)/b(x) In The Form Of Q(x) + R(x)/b(x), With The Degree Of R(x) Less Than The Degree Of B(x) Using Inspection/technology/long Division Writing A(x)/b(x) In The Form Of Q(x) + R(x)/b(x), With The Degree Of R(x) Less Than The Degree Of B(x) Using The Long Division Algorithm Factorising Polynomials Factorising Polynomials By Finding The Gcf Or Gcd Or Hcf Factorising Polynomials By Grouping Factorising Polynomials That Are Of The Form Or Reducible To The Form Ax^2 + Bx + C Using Algebraic Identities To Factorise Polynomials And/or Solve Mathematical Problems Graphing Polynomial Zeros Using Polynomial Identities Algebraic Identities Applying Algebraic Identities To Solve Problems Using Algebraic Identities To Solve Mathematical Problems Using Polynomial Identities Basic Polynomial Operations Adding And Subtracting Polynomials Adding Two Or More Polynomials Subtracting Polynomials Adding, Subtracting And Multiplying Polynomials Multiplying Polynomials Multiplying Two Or More Monomials Multiplying Two Or More Polynomials Binomial Theorem Applying Binomial Theorem Understanding And Applying The Binomial Theorem Determining The Coefficients Of The Binomial Expansion By Pascal’s Triangle Stating The Binomial Theorem (n Is A Positive Integer) For The Expansion Of (x + Y)^n Stating/using The Binomial Theorem (n Is A Positive Integer) For The Expansion Of (x + Y)^n Using The Binomial Theorem To Solve Problems Factoring Polynomials Factorising Polynomials Factorising Polynomials By Finding The Gcf Or Gcd Or Hcf Factorising Polynomials By Grouping Factorising Polynomials That Are Of The Form Or Reducible To The Form Ax^2 + Bx + C Using Algebraic Identities To Factorise Polynomials And/or Solve Mathematical Problems Operations With Polynomials Adding And Subtracting Polynomials Adding Two Or More Polynomials Subtracting Polynomials Adding, Subtracting And Multiplying Polynomials Dividing Polynomials Writing A(x)/b(x) In The Form Of Q(x) + R(x)/b(x), With The Degree Of R(x) Less Than The Degree Of B(x) Using Inspection/technology/long Division Writing A(x)/b(x) In The Form Of Q(x) + R(x)/b(x), With The Degree Of R(x) Less Than The Degree Of B(x) Using The Long Division Algorithm Multiplying Polynomials Multiplying Two Or More Monomials Multiplying Two Or More Polynomials Polynomial Applications Applying Algebraic Identities To Solve Problems Using Algebraic Identities To Solve Mathematical Problems Applying Binomial Theorem Expressions In Equivalent Forms Quadratic Equations Factoring Quadratics Max/min Of Quadratic Functions Transforming Exponential Functions Graphing Polynomial Zeros Understanding And Applying The Binomial Theorem Determining The Coefficients Of The Binomial Expansion By Pascal’s Triangle Stating The Binomial Theorem (n Is A Positive Integer) For The Expansion Of (x + Y)^n Using The Binomial Theorem To Solve Problems Understanding Zeroes And Factors Of Polynomials Identifying Zeroes Of Polynomials (degree > 2) When Suitable Factorisations Are Available Stating And Applying The Factor Theorem In Reasoning With Polynomials Stating And Applying The Remainder Theorem In Reasoning With Polynomials Using Zeroes Of Polynomials To Sketch Their Graphs And/or Write The Polynomials Polynomial Operations Adding And Subtracting Polynomials Adding Two Or More Polynomials Subtracting Polynomials Adding, Subtracting And Multiplying Polynomials Dividing Polynomials Writing A(x)/b(x) In The Form Of Q(x) + R(x)/b(x), With The Degree Of R(x) Less Than The Degree Of B(x) Using Inspection/technology/long Division Writing A(x)/b(x) In The Form Of Q(x) + R(x)/b(x), With The Degree Of R(x) Less Than The Degree Of B(x) Using The Long Division Algorithm Multiplying Polynomials Multiplying Two Or More Monomials Multiplying Two Or More Polynomials Polynomial Theorems Applying The Remainder Theorem Understanding Zeroes And Factors Of Polynomials Identifying Zeroes Of Polynomials (degree > 2) When Suitable Factorisations Are Available Stating And Applying The Factor Theorem In Reasoning With Polynomials Stating And Applying The Remainder Theorem In Reasoning With Polynomials Using Zeroes Of Polynomials To Sketch Their Graphs And/or Write The Polynomials Polynomial Theorems And Applications Applying The Remainder Theorem Graphing Polynomial Zeros Understanding Zeroes And Factors Of Polynomials Identifying Zeroes Of Polynomials (degree > 2) When Suitable Factorisations Are Available Stating And Applying The Factor Theorem In Reasoning With Polynomials Stating And Applying The Remainder Theorem In Reasoning With Polynomials Using Zeroes Of Polynomials To Sketch Their Graphs And/or Write The Polynomials Polynomial Theorems And Identities Applying Algebraic Identities To Solve Problems Using Algebraic Identities To Solve Mathematical Problems Applying The Remainder Theorem Understanding Zeroes And Factors Of Polynomials Identifying Zeroes Of Polynomials (degree > 2) When Suitable Factorisations Are Available Stating And Applying The Factor Theorem In Reasoning With Polynomials Stating And Applying The Remainder Theorem In Reasoning With Polynomials Using Zeroes Of Polynomials To Sketch Their Graphs And/or Write The Polynomials Using Polynomial Identities The Binomial Theorem Applying Binomial Theorem Understanding And Applying The Binomial Theorem Determining The Coefficients Of The Binomial Expansion By Pascal’s Triangle Stating The Binomial Theorem (n Is A Positive Integer) For The Expansion Of (x + Y)^n Stating/using The Binomial Theorem (n Is A Positive Integer) For The Expansion Of (x + Y)^n Using The Binomial Theorem To Solve Problems Roots Roots And Radicals Sequences And Series Variable Relationships Functions Geometry Mathematical Practices Mathematics Connections Measurement Measurement And Data Number System Ratios And Proportional Relationships Statistics And Probability Ela Science Social-studies Foreign-language Music Career-technical Physical-education Library-media Seasonal Health Technology Visual-arts Library Quizzes Math Algebra Polynomials Basic Polynomial Operations Adding, Subtracting And Multiplying Polynomials Adding, Subtracting And Multiplying Polynomials Quizzes Filter your results Type of resource 1 Grade Category Grade Clear filters 8th Grade - 9th Grade Polynomial Manipulation - Adding, Subtracting, and Multiplying - Algebraic Techniques Quiz Polynomial Manipulation - Adding, Subtracting, and Multiplying - Algebraic Techniques ------------------------------------------------------------------------------------- 8th Grade - 9th Grade Mathematics Explore fundamental algebraic techniques, focusing on adding, subtracting, and multiplying polynomials, as well as converting them to standard form and solving related equations. Engagement with these exercises develops skills in polynomial manipulation and enhances algebraic problem-solving capabilities. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Polynomial Operations - Algebraic Expressions - Advanced Mathematics Quiz Polynomial Operations - Algebraic Expressions - Advanced Mathematics -------------------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Polynomial operations focus on the simplification, addition, subtraction, and multiplication of algebraic expressions. The learning outcomes include developing skills to manipulate polynomial equations and enhancing mathematical problem-solving abilities. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Simplifying Expressions - Polynomial Operations - Algebra Quiz Simplifying Expressions - Polynomial Operations - Algebra --------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Mastering polynomial operations involves learning addition, subtraction, and multiplication through detailed practice problems. These exercises help in simplifying complex algebraic expressions, enhancing confidence and skill in manipulating polynomial equations. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Polynomial Operations - Addition, Subtraction, and Multiplication Quiz Polynomial Operations - Addition, Subtraction, and Multiplication ----------------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Engage in practice focused on operations with polynomials, emphasizing addition, subtraction, and multiplication. Develop proficiency in simplifying complex polynomial expressions, enhancing skills in algebraic manipulation for advanced mathematical applications. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Polynomial Operations - Addition, Subtraction, and Multiplication Quiz Polynomial Operations - Addition, Subtraction, and Multiplication ----------------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Explore the operations of addition, subtraction, and multiplication on polynomials, aiming to enhance algebraic manipulation skills. Learners will master techniques for simplifying polynomial expressions effectively. See more View Resource Save for later 8th Grade - 11th Grade Polynomial Operations - Addition, Subtraction & Multiplication - Algebraic Expressions Quiz Polynomial Operations - Addition, Subtraction & Multiplication - Algebraic Expressions -------------------------------------------------------------------------------------- 8th Grade - 11th Grade Mathematics Algebra I Master the processes of adding, subtracting, and multiplying polynomials to manipulate algebraic expressions effectively. Enhance your ability to simplify complex equations and gain a deeper understanding of polynomial functions. See more View Resource Save for later 9th Grade - 11th Grade Polynomial Operations - Simplification and Multiplication - Algebra Fundamentals Quiz Polynomial Operations - Simplification and Multiplication - Algebra Fundamentals -------------------------------------------------------------------------------- 9th Grade - 11th Grade Mathematics Enhance your understanding of algebraic expressions by exploring techniques to simplify and multiply polynomials through practice questions. Develop proficiency in handling polynomial operations, boosting problem-solving skills in algebra. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Polynomial Operations - Arithmetic and Algebraic Methods Quiz Polynomial Operations - Arithmetic and Algebraic Methods -------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Other Explore the arithmetic operations involved in adding, subtracting, and multiplying polynomials to gain a comprehensive understanding of polynomial expressions. Achieve proficiency in simplifying polynomial equations, enhancing algebraic reasoning and problem-solving skills. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Addition, Subtraction, and Multiplication of Polynomials - Working with Polynomial Expressions - Algebra Quiz Addition, Subtraction, and Multiplication of Polynomials - Working with Polynomial Expressions - Algebra -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Focus on mastering key operations with polynomials, including addition, subtraction, and multiplication. Develop a thorough understanding of polynomial expressions in algebra to simplify expressions and determine polynomial structures, enhancing skills essential for algebraic functions and equations. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Addition and Subtraction - Polynomial Operations - Algebra Quiz Addition and Subtraction - Polynomial Operations - Algebra ---------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Focuses on mastering polynomial operations through the addition and subtraction of polynomials. Develop skills to simplify polynomial expressions, linking these abilities to broader algebraic concepts. See more View Resource Save for later 9th Grade - 12th Grade Polynomial Operations - Arithmetic & Classification - Algebra Quiz Polynomial Operations - Arithmetic & Classification - Algebra ------------------------------------------------------------- 9th Grade - 12th Grade Mathematics Explore polynomial operations, including addition, subtraction, multiplication, and classification by terms. Gain proficiency in simplifying complex polynomial expressions and accurately determining classifications, enhancing algebraic problem-solving skills. See more View Resource Save for later 1 Explore Quizzes by Grade Kindergarten1st Grade2nd Grade3rd Grade4th Grade5th Grade6th Grade7th Grade8th Grade9th Grade10th Grade11th Grade12th Grade Explore Quizzes by Subject MathElaScienceSocial-studiesForeign-languageMusicCareer-technicalPhysical-educationLibrary-mediaSeasonalHealthTechnologyVisual-arts Explore AI Generators AI Presentation MakerAI Question GeneratorAI Rubric GeneratorAI Lesson Plan GeneratorAI Math Problem GeneratorUnit Plan GeneratorWeekly Lesson Plan GeneratorAI Worksheets Generator Start adapting your curriculum in minutes. The best way to create, adapt, and deliver resources differentiated for every student. Sign up for freeLearn more The Wayground BlogTeacher ResourcesCertified EducatorsState Test PrepWayground for BusinessHelp CenterTeacher PanelIQAPSAI ToolkitAccessibility and InclusionSitemapTerms of Service WorksheetsReseller ProgramPrivacy PolicyPrivacy CenterCareersContact SupportAbout Us 2021 survey of 800+ teachers conducted by Quizizz Journal of Education and e-Learning Research (Source) International Online Journal of Education and Teaching (Source) 2025 Wayground Inc
9722	https://en.wikipedia.org/wiki/Ground_effect_(aerodynamics)	Contents Ground effect (aerodynamics) For fixed-wing aircraft, ground effect is the reduced aerodynamic drag that an aircraft's wings generate when they are close to a fixed surface. During takeoff, ground effect can cause the aircraft to "float" while below the recommended climb speed. The pilot can then fly just above the runway while the aircraft accelerates in ground effect until a safe climb speed is reached. For rotorcraft, ground effect results in less drag on the rotor during hovering close to the ground. At high weights this sometimes allows the rotorcraft to lift off while stationary in ground effect but does not allow it to transition to flight out of ground effect. Helicopter pilots are provided with performance charts which show the limitations for hovering their helicopter in ground effect (IGE) and out of ground effect (OGE). The charts show the added lift benefit produced by ground effect. For fan and jet-powered vertical take-off and landing (VTOL) aircraft, ground effect when hovering can cause suckdown and fountain lift on the airframe and loss in hovering thrust if the engine sucks in its own exhaust gas, which is known as hot gas ingestion (HGI). Explanations Fixed-wing aircraft When an aircraft flies at or below approximately half the length of the aircraft's wingspan above the ground or water there occurs an often-noticeable ground effect. The result is lower induced drag on the aircraft. This is caused primarily by the ground or water obstructing the creation of wingtip vortices and interrupting downwash behind the wing. A wing generates lift by deflecting the oncoming airmass (relative wind) downward. The deflected or "turned" flow of air creates a resultant force on the wing in the opposite direction (Newton's third law). The resultant force is identified as lift. Flying close to a surface increases air pressure on the lower wing surface, nicknamed the "ram" or "cushion" effect, and thereby improves the aircraft lift-to-drag ratio. The nearer the wing is to the ground, the more pronounced the ground effect becomes. While in the ground effect, the wing requires a lower angle of attack to produce the same amount of lift. In wind tunnel tests, in which the angle of attack and airspeed remain constant, an increase in the lift coefficient ensues, which accounts for the "floating" effect. Ground effect also alters thrust versus velocity, where reduced induced drag requires less thrust in order to maintain the same velocity. Low winged aircraft are more affected by ground effect than high wing aircraft. Due to the change in up-wash, down-wash, and wingtip vortices, there may be errors in the airspeed system while in ground effect due to changes in the local pressure at the static source. Rotorcraft When a hovering rotor is near the ground the downward flow of air through the rotor is reduced to zero at the ground. This condition is transferred up to the disc through pressure changes in the wake which decreases the inflow to the rotor for a given disc loading, which is rotor thrust for each square foot of its area. This gives a thrust increase for a particular blade pitch angle, or, alternatively, the power required for a thrust is reduced. For an overloaded helicopter that can only hover IGE it may be possible to climb away from the ground by translating to forward flight first while in ground effect. The ground-effect benefit disappears rapidly with speed but the induced power decreases rapidly as well to allow a safe climb. Some early underpowered helicopters could only hover close to the ground. Ground effect is at its maximum over a firm, smooth surface. VTOL aircraft There are two effects inherent to VTOL aircraft operating at zero and low speeds in ground effect, suckdown and fountain lift. A third, hot gas ingestion, may also apply to fixed-wing aircraft on the ground in windy conditions or during thrust reverser operation. How well, in terms of weight lifted, a VTOL aircraft hovers IGE depends on suckdown on the air frame, fountain impingement on the underside of the fuselage and HGI into the engine causing inlet temperature rise (ITR). Suckdown works against the engine lift as a downward force on the airframe. Fountain flow works with the engine lift jets as an upwards force. The severity of the HGI problem becomes clear when the level of ITR is converted into engine thrust loss, three to four percent per 12.222 °c inlet temperature rise. Suckdown is the result of entrainment of air around aircraft by lift jets when hovering. It also occurs in free air (OGE) causing loss of lift by reducing pressures on the underside of the fuselage and wings. Enhanced entrainment occurs when close to the ground giving higher lift loss. Fountain lift occurs when an aircraft has two or more lift jets. The jets strike the ground and spread out. Where they meet under the fuselage they mix and can only move upwards striking the underside of the fuselage. How well their upward momentum is diverted sideways or downward determines the lift. Fountain flow follows a curved fuselage underbody and retains some momentum in an upward direction so less than full fountain lift is captured unless lift improvement devices are fitted. HGI reduces engine thrust because the air entering the engine is hotter and less dense than cold air. Early VTOL experimental aircraft operated from open grids to channel away the engine exhaust and prevent thrust loss from HGI. The Bell X-14, built to research early VTOL technology, was unable to hover until suckdown effects were reduced by raising the aircraft with longer landing gear legs. It also had to operate from an elevated platform of perforated steel to reduce HGI. The Dassault Mirage IIIV VTOL research aircraft only ever operated vertically from a grid which allowed engine exhaust to be channeled away from the aircraft to avoid suckdown and HGI effects. Ventral strakes retroactively fitted to the P.1127 improved flow and increased pressure under the belly in low altitude hovering. Gun pods fitted in the same position on the production Harrier GR.1/GR.3 and the AV-8A Harrier did the same thing. Further lift improvement devices (LIDS) were developed for the AV-8B and Harrier II. To box in the belly region where the lift-enhancing fountains strike the aircraft, strakes were added to the underside of the gun pods and a hinged dam could be lowered to block the gap between the front ends of the strakes. This gave a 1200 lb lift gain. Lockheed Martin F-35 Lightning II weapons-bay inboard doors on the F-35B open to capture fountain flow created by the engine and fan lift jets and counter suckdown IGE. Wing stall in ground effect The stalling angle of attack is less in ground effect, by approximately 2–4 degrees, than in free air. When the flow separates there is a large increase in drag. If the aircraft overrotates on take-off at too low a speed the increased drag can prevent the aircraft from leaving the ground. Two de Havilland Comets overran the end of the runway after overrotating. Loss of control may occur if one wing tip stalls in ground effect. During certification testing of the Gulfstream G650 business jet the test aircraft rotated to an angle beyond the predicted IGE stalling angle. The over-rotation caused one wing-tip to stall and an uncommanded roll, which overpowered the lateral controls, leading to loss of the aircraft. Ground-effect vehicle A few vehicles have been designed to explore the performance advantages of flying in ground effect, mainly over water. The operational disadvantages of flying very close to the surface have discouraged widespread applications. See also References Notes Bibliography External links
9723	https://www.jtcvs.org/article/S0022-5223(19)36627-9/pdf	J THORAC CARDIOVASC SURG 1991;101:1082-7 Ebstein's anomaly appearing in the neonate A new surgical approach Ebstein's anomaly appearing during the neonatal period carries a high mortality rate. These infants exhibit cyanosis, acidosis, and congestive heart failure. The pathophysiologic characteristics consist of severe tricuspid regurgitation and functional pulmonary atresia. As a result of the inability of the right ventricle to generate forward ftow through the pulmonary arteries, these infants remain dependent on ductal patency. Since May 1988, five newborn infants with severe Ebstein's anomaly have been admitted for treatment at our institution. At initial examination, they weighed 3.6 ± 1.8 kg and had a mean oxygen tension of 29.6 ± 2.3 mm Hg and a mean pH of 7.20 ± 0.05. Chest roentgenography demonstrated a mean cardiothoracic ratio of 0.81 ± 0.02. As determined by echocardiography, the right atria were massively enlarged, severe tricuspid regurgitation was present in all patients, and the pulmonary valves were not opening. All infants were dependent on prostaglandin El and attempts to wean them from this drug were unsuccessful. Palliative treatment consisted of tricuspid closure with autologous pericardium and an aortopulmonary shunt of 4 mm polytetraftuoroethylene tubing. There were no operative or late deaths. At discharge, mean oxygen tension was 42.2 ± 0.85 mm Hg and mean systemic oxygen saturation was 83.2% ± 1.94%. Infants have grown satisfactorily during the follow-up period. Three infants have since returned for further surgical intervention. One infant, at 11 months of age, underwent a Glenn anastomosis for progressive oxygen desaturation. Two infants have returned, at ages 23 and 22. months, for Fontan procedures, which represent their definitive operative management. We be6eve tbis Ilew procedure offers excellent palliative treatment for Ebstein's anomaly in critically ill neonates. Feasibility of later definitive correction is demonstrated by the good results obtained with the Fontan procedure in two infants. Vaughn A. Starnes, MD,a Paul T. Pitlick, MD,b Daniel Bernstein, MD,b Michael L. Griffin, MD,b Michael Choy, MD,b and Norman E. Shumway, MD, Phl)," Stanford and Sacramento, Calif. Ebstein's anomaly of the tricuspid valveis an uncom-mon malformation, representing an estimated 0.3% to 0.6% of all cases of congenital heart disease. 1 The basic defect involves a deformed and displacedtricuspid valve, resulting in symptoms that vary with age of the patient and severity of the defect. In most patients, symptoms occur during the adolescentor young adult years. Symp-toms are referable to progressive heart failure and cyano-From the Department of Cardiovascular Surgery" and the Division of Pediatric Cardiology.P Stanford University School of Medicine, Stanford, Calif., and the Division of Pediatric Cardiology, Univer-sity of California, Davis.l' Sacramento, Calif. Read at the Sixteenth Annual Meeting of The Western Thoracic Sur-gical Association, Coronado, Calif., June 20-23, 1990. Address for reprints: Vaughn A. Starnes, MD, Department of Cardio-vascular Surgery, Stanford University Medical Center, Stanford, CA 94305. 12/6/26549 1082 sis resulting from severe long-standing tricuspid insuffi-ciency. Once symptoms appear the only treatment for Ebstein'sanomalyis surgicalintervention. Surgicalinter-ventionin the older patient varies from tricuspid valvulo-plasty and plication of the "atrialized" segment of the right ventricleto prostheticvalve replacement." 3 Favor-able resultsare expectedin adolescent and adult patients. Infants with symptomatic Ebstein's anomaly have a poor prognosis, with an expectedmortalityrate of 50%to 75%.4 Previous attempts at palliative surgical treatment in this neonatal group have produced equally dismal results.t" We havetreated five consecutive neonateswith symptomatic Ebstein's anomaly with a new palliative surgical procedure. Patients and methods Five consecutive infants(three male,two female) with symp-tomatic Ebstein's anomaly were seen at Stanford University Volume 101 Number 6 June 1991 Ebstein's anomaly in neonate 1 0 8 3 Fig. 1. Chest roentgenograms of two infants before operation (top left, bottom left) and at discharge (top right, bottom right). Marked cardiomegaly is noted on chest films before palliation. Table I. Preoperative echocardiographic assessment Patient No. R V dysplasia Tethered anterior leaflet Massive RA chamber ratio Actual ratiot Severe TR by Doppler map Imperforate pulmonary valve/stenosis + o + 1.3 ++ 2 + oo0.9 ++ 3o + o0.8 ++ 4 o0 o0.6 ++ 5 +++ 1.01 ++ RV. Right ventricular; RA, right atrial; TR. tricuspid regurgitation. 'Unsupported antcroscptal leaflet. fRatio of area of (right atrium atrialized right ventricle I/Ileft atrium + left ventricle + functional right ventricle) measured in apical four-chamber view. Medical Center between February 1988 and December 1989. The infants were full term, weighed 3.6 ± 0.3 kg, and were less than I hour of age at initial examination. All infants had cyano-sis at birth, with a mean oxygen tension of 30.6 ± 4.0 mm Hg (range, 25 to 35 mm Hg). Systemic acidosis was present in four infants, with a mean initial pH of 7.24 ± 0.1 (range, 7.11 to 7.34). All infants were resuscitated with intubation and mechanical ventilation, acidosis was corrected, and therapy with prostaglandin E 1 (PGE I) was begun. Chest radiography revealed massive cardiomegaly, with a mean cardiothoracic ratio of 0.81 ± 0.03 (Fig. I). Preoperative assessment. All infants underwent echocar-diographic evaluation in the neonatal intensive care unit. Echocardiography revealed severe tricuspid insufficiency in all infants (Table I). The pulmonary valve was well formed and did not open during right ventricular systole. Right ventricular dys-plasia was present in three infants. The anterior leaflet was large and sail-like in all infants. The septal and posterior leaflets were small and displaced into the right ventricle. The anterior leaflet was tethered by apical insertion of leaflet chordae, producing severe tricuspid regurgitation. Massive right atrial chamber ratio (meaning that the sum ofthe right atrium and "atrialized" right ventricle exceeds the sum of the remaining right ventricle, left atrium, and ventricle) was present in two infants. Cardiac catheterization was performed in two infants. Mean right atrial pressures were 9 and 12 mm Hg. The right ventric-ular systolic pressures were 43 and 41 mm Hg. In one infant a pullback from the main pulmonary artery to the right ventricle revealed a pulmonary artery pressure of 58/40 mm Hg, exceeding the right ventricular pressure of 41 /23 mm Hg (Fig. 2). This documented the physiologic nature of the functional pulmonary atresia that occurs in infants with Ebstein's anom-aly. No intrinsic pulmonary valvular stenosis was demonstrat-ed, either by catheterization or by echocardiography. I 0 8 4 Starnes et al. The Journal ot Thoracic and Cardiovascular Surgery 100 ,....-----"""T------"T"'""-----~-., Pulmonary Artery Right Ventricle O'-------...... ---__ ...... ...... ~ 50 ...-------...-----Hr-----,~-_+~-+~--++.lr-l 75 ...-------...--------+--------+--1 25 t-fJ--+-/---+-+--.t----+--------+--I EKG PRESSURE (torr) Fig. 2. Cardiac catheterization tracing demonstrates pressure in the pulmonary artery exceeding that in the right ventricle. This demonstrates the physiologic nature of functional pulmonary atresia that occurs in neonates with Ebstein's anomaly. EKG, Electrocardiogram. Fig. 3. Bicaval cannulation with caval snares in place. The projected atriotomy is outlined by the arrow. A sump sucker has been introduced into the right atrium through a stab wound. Operative technique. Infants with symptomatic Ebstein's anomaly have functional pulmonary atresia resulting from increased pulmonary vascular resistance of the neonate and severe tricuspid insufficiency, resulting in no antegrade flow of blood from the right ventricle to the pulmonary artery. The fol-lowing procedure was performed to establish a reliable source of pulmonary blood flow and to abolish the severe tricuspid insuf-ficiency and resulting massive enlargement of the right heart. Infants underwent cardiopulmonary bypass with bicaval cannulation and were cooled to 20° C. The aorta was cross-clamped and IS ml/kg cold blood cardioplegic solution was administered by continuous hypothermic low-flow perfusion. The right atrium was opened obliquely and the heart was inspected (Fig. 3). The tricuspid valve was abnormal in all infants. The anterior leaflet was large, sail-like, and tethered to the anteromedial endocardial surface of the right ventricle, prohibiting valve competence. The septal and posterior leaflets were small and displaced from the anatomic atrioventricular groove, forming a large "atrialized" portion ofthe right ventric-ular inlet. An atrial septal defect was created to ensure mixing at the atrial level. The tricuspid orifice was closed with previously har-vested pericardium secured with continuous 6-0 polypropylene suture (Fig. 4). The pericardia1patch was fashioned about the right ventricular orifice to include the coronary sinus beneath the patch and thus reduce the risk of heart block. The right atrium was reduced in size by removing a segment of the right atrial free wall and then closing the atriotomy with continuous 6-0 polypropylene suture (Fig. 5). During rewarm-ing a 4 mm diameter polytetrafluoroethylene shunt was anas-tomosed between the ascending aorta and the main pulmonary artery (Fig. 6). Infants were weaned from cardiopulmonary bypass with ino-tropic support. Dopamine (5 to 7 /lg/kg . min) and epinephrine (50 to 75 ng/kg . min) were used to support the dysplastic right ventricle, which would frequently distend on the discontinuation of cardiopulmonary bypass. The pulmonary arteries were often small. Pulmonary artery vasodilatation was maximized with an infusion of POE I and with hyperventilation. Because the pulmonary valve was left open, lowering the pulmonary vascu-lar resistance also decreased the tendency for right ventricular distention. "Gore-Tex vascular shunt; registered trademark of W, L. Gore eX Associates, Inc" Elkton, Md. Volume 101 Number 6 June 1991 Fig. 4. The-right atrium is opened and the atrial septal defect is enlarged (dark opening). The pericardial patch is sewn into place with running sutures of 6-0 polypropylene. Note that the coronary sinus (dark circle) is beneath the patch. Results Five infants underwent successful palliative operations at.a mean age of 5 days (l to 9 days). There were no peri-operative or late deaths. No patient experienced heart block or postoperative arrhythmias. The W olff-Parkin-son-White syndrome associated with Ebstein's anomaly was not present in any of these infants. A paralyzed left hemidiaphragm, a perioperative complication that devel-oped in one infant, was plicated on the sixth day after operation, with no further sequelae. Infants continued to receive mechanical ventilation for 10.2 ± 0.3 days. For infants breathing room air, the mean arterial oxygen ten-sion was 42.2 ± 0.9 mm Hg, with a systemic oxygen sat-uration of83.2% ± 1.9%.Infants were discharged with a regimen of digoxin and diuretics. Range of follow-up has been 4 months to 2 years (mean, 14.2 months). All infants have remained free of symptoms. Growth has been at the 50th percentile in height and at the 20th percentile in weight. One infant returned after 11 months for treatment of progressive oxygen desaturation (68%) and has since undergone a successful Glenn operation. Two infants have undergone Fontan procedures as definitive operative Ebstein's anomaly in neonate 1 08 5Fig. 5. A segment of the right atrium has been removed. The right atriotomy is closed with running sutures of 6-0 polypropy-lene. Fig. 6. The right atrium is closed. The operation is completed with construction of an ascending aorta-pulmonary artery shunt with 4 mm polytetrafluoroethylene tubing. treatment, at 23 and 22 months of age. Both of these children have had successful outcomes, and at follow-up catheterization their central venous pressures were less than 15 mm Hg. The cavopulmonary circuit is demon-strated in Fig. 7. In the Fontan procedure the pulmonary 1 0 8 6 Starnes et al. Fig. 7. The Fontan circulation after conversion at 23 month s in a child with Ebstein 's anomaly who had previously undergone a palliat ive operation, valve was left in communication with the right ventricle to allow egress of the coronary sinus blood flow. Palliation remains satisfactory in two infants at 6 and at 12 months with good oxygen saturation. If further pal-liative treatment is required in these infants before they reach 2 years of age, a Glenn shunt will be constructed; otherwise, these infants will undergo circulatory conver-sion with the Fontan procedure. Discussion The treatment of symptomatic Ebstein's anomaly has focused on adolescents and adults. Treatment has involved tricuspid valve replacement and , more recently, tricuspid valvuloplasty and plication of the "atrialized" segment of the right ventricle,": 8 The treatment of infants with symptomatic Ebstein's anomaly has remained the challenge. In a study of the natural history of Ebstein 's anomaly, Watson 4 noted a 50% mortality rate whether the infants underwent conservative treatment or surgical palliation. More recently, Roberson and Silverman? reported a 75% mortality rate in infants with Ebstein's anomaly when they exhibited the need for mechanical ventilation, dependence on PGEJ, and congestive heart failure. As noted in these reports, medical management and palliative surgery have had equally dismal outcomes. Therefore, in the past , few infants have undergone pallia-tive operations. When applying the procedure discussed here, we The Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery selected infants that would have predictably poor out-comes with medical management. Risk factors identified by Roberson and Silverman (congestive heart failure, the need for mechanical ventilation, dependence on PGEj, and massive cardiomegaly) were present in all fiveof these infants . Our goals in designing the new procedure were to pro-vide a reliable source of pulmonary blood flow, reduce the massive cardiomegaly, abolish the severe tricuspid insuf-ficiency, and create a bridge toward either a further definitive procedure or transplantation. The operat ion described in this report fulfillsall of these goals. As noted, Ebstein's anomaly in these infants was successfully palli-ated with creation of a single ventricle, which resulted in satisfactory hemodynamics and good systemic oxygen saturations. The anatomy after the palliative operation was suitable for a Fontan procedure or for transplanta-tion. Three infants have returned for further surgical inter-vention because of progressive oxygen desaturation. An l l-rnonth-old infant, not considered old enough for definitive operation, underwent a Glenn procedure as a' step toward a Fontan procedure. Two infants, aged 23 and 22 months, underwent successful Fontan procedures and are currently free of symptoms. Previous reports have documented poor outcome of Ebstein's anomaly palliated during the neonatal period. These procedures, however, have focused mainly on pul-monary blood flow.' The most commonly described pal-liative procedures have been the Blalock-Taussig shunts, Glenn shunts, and ligation of the patent ductus arteriosus . Although establishment of a reliable source of pulmonary blood flow is essential, severe tricuspid insufficiency with cardiac enlargement and failure must also be corrected. Because valve replacement in the neonate is unsatisfac-tory, we have elected to close the tricuspid orifice, abol-ishing the regurgitant tricuspid valve. By closing the tri-cuspid valve, enlarging the atrial septal defect, and constructing an aortopulmonary shunt, we have surgical-ly created tricuspid atresia. We expected and demon-strated that these infants could eventually be managed with a Fontan procedure as their definitive operation. This report describes the palliative treatment of Ebstein's anomaly in five neonates who heretofore would have faced dismal prognoses. We believe this procedure offers excellent palliation for the symptoms of critically ill infants with Ebstein's anomaly. REFERENCES 1. Ebstein 's malformation and related lesions of the tricuspid valve. In: Anderson RH , Macartney FJ, Shinebourne EA, Volume 101 Number 6 June 1991 Tynan M, eds. Paediatric cardiology. Edinburgh: Churchill Livingstone, 1987:721-36. 2. Danielson GK, Maloney 1D, Devloo RAE. Surgical repair of Ebstein's anomaly. Mayo Clin Proc 1979;54:185-92. 3. Westaby S, Karp RB, Kirklin 1W, Waldo AL, Blackstone EH. Surgical treatment in Ebstein's malformation. Ann Thorac Surg 1982;34:388-95. 4. Watson H. Natural history of Ebstein's anomaly of tricus-pid valve in childhood and adolescence: an international cooperative study of 505 cases. Br Heart 11974;36:417-27. 5. Barbero-Marcial M, Verginelli G, Anad M, et al. Surgical treatment of Ebstein's anomaly. 1 THORAC CARDIOV ASC SURG 1979;78:416-22. 6. Lillehei CW, Kalbe BR, Carlson RC. Evolution of corrective surgery for Ebstein's anomaly. Circulation 1967;111:35-6. 7. Danielson GK, Fuster V. Surgical repair of Ebstein's anom-aly. Ann Surg 1982;196:499-504. 8. Schmidt-Habelmann P, Meisner H, Struck E, Sebening F. Results of valvuloplasty for Ebstein's anomaly. Thorac Car-diovasc Surg 1981;29:155-7. 9. Roberson DA, Silverman NH. Ebstein's anomaly: echocar-diographic and clinical features in the fetus and neonate. 1 Am Coli CardioI1989;14:1300-7. Discussion Dr. Adnan Cobanoglu (Portland, Oregon). When patients with Ebstein's anomaly present to our unit, I call them "all heart" patients. Although there have been reports of surgical treatment of Ebstein's anomaly in the past 15 years from differ-ent centers, most of these reports have not included (or these centers simply have not treated) patients in the first few weeks or months oflife. It is this young group of patients with Ebstein's anomaly, seen right after birth who are extremely sick. They have cyanosis and acidosis and are in congestive heart failure. In patients wth Ebstein's anomaly, the standard forms of surgi-cal treatment incorporate tricuspid valve repair, obliteration of the "atrialized" ventricle, and closure of the atrial septal defect. These treatments have traditionally carried a high mortality rate, thus prompting the method used in the series presented here. The approach Dr. Starnes and coworkers used in this small series of neonates, creating tricuspid atresia/single ventricle with a central aortopulmonary shunt, has effectively palliated the conditions of these patients toward an eventual Fontan pro-cedure. However; when deciding to commit these patients to a single pumping chamber, a few notes of caution and questions are in order. The degree of maldevelopment of the tricuspid valve/right ventricle complex varies considerably, even in neo-nates. Right ventricular chamber size before operation should be carefully assessed. The right ventricle should not be auto-matically written off as inadequate on the basis of severe tricus-pid regurgitation. Salvaging the right ventricle, if at all possible, should be a goal. During the first few days oflife, the pulmonary vascular resistance is too high and there is tricuspid regurgita-tion and a large right-to-left shunt with severe systemic desat-uration. As the pulmonary vascular resistance drops, some neo-nates show significant spontaneous improvement, sometimes with complete resolution of cyanosis. These children may reach early adulthood with minimal symptoms. The mean age in this Ebstein's anomaly in neonate 1 0 8 7 group was 5 days. I wonder if Dr. Starnes and his coworkers had enough chance to try stopping the prostaglandin infusion to see what would happen to antegrade blood flow from the right ven-tricle to the pulmonary artery? Dr. Starnes. The problem with Ebstein's anomaly in the neonate is twofold. One problem is that it is rare. Few centers are going to see large numbers of these children. I was forced to reviewthe literature for historical controls by combined series. Actually, the largest series that I found on treating neonates was in the quoted article.? They medically treated some 15 neonates and infants, and mortality, as I cited, was 75%. Knowing that and knowing the preoperative predictors they derived from two-dimensional echocardiography, we can now predict, when looking at these infants with echocardiography, which ventricles will be usable and which will not be usable. The infants in our series showed such signs as right ventricular dysplasia, atethered anterior leaflet, and assisted ventilation. We believe that we did not operate inappropriately on any child, despite their young ages. Furthermore, after these infants have been treated for 2 or 3 weeks in an intensive care unit, they do not remain candidates for operation. You have to commit early on to the method of treating these children if you expect success. Dr. Cobanoglu. What about the Glenn shunt? Is a Glenn shunt or modification completely out of the question as a part of palliative treatment of Ebstein's anomaly in these neonates? Dr. Starnes. I think it is. You brought up the point that as neonates all these infants have high pulmonary resistance. The youngest patient in whom I have constructed a Glenn shunt has been 3 months of age, and even that child had central venous pressures in the 18 to 20 mm Hg range, with transient superior vena cava-like syndrome. I do not believe I would ever contem-plate doing a Glenn shunt on a neonate. The Glenn shunt cer-tainly has a role in the interval treatment, such as at 10 to 11 months, as a further bridge toward Fontan circulation. Dr. Patricia A. Penkoske (Edmonton, Alberta, Canada). Ihave one question. You are essentially creating a left ventricu-lar type of hypoplastic model in terms of physiology; in other words, you have a single pumping chamber and then a shunt for pulmonary blood flow.All of us who have taken care of patients with hypoplasia in the intensive care unit after operation and also sometimes during operation know about the problems of trying to control pulmonary blood flow and about the ventilator and inotrope manipulations necessary to get these patients through the postoperative period. Since you have had such great success, would you like to share any of your tricks for manage-ment with us, or are these patients easy to treat after operation? Dr. Starnes. I am not sure there are any tricks, except for a lot of bedside care, but I think the operation is quite a bit dif-ferent from, say, that to correct left ventricular hypoplasia, in that we have surgically created tricuspid atresia and that the left ventricle with a bileaflet mitral valve is not as likely to show some of the tricuspid insufficiency seen in children with left ventric-ular hypoplasia. However, difficulties arise in the first 24 hours because of the right ventricular dysplasia and the tendency of the right ventricle to distend. If the right ventricle distends, the septum shifts and left ventricular obstruction ensues. So we give these infants a combination of inotropic support with dopamine, epinephrine, and a fair amount of PGE 1 to maximize pulmonary vasodilatation. With that protocol, hyperventilation, and para-lyzing the infants for 24 hours, we have been successful in man-aging these cases. In conclusion, we offer this as a palliative approach to severe Ebstein's anomaly in the neonate.
9724	https://www.ms.uky.edu/~droyster/courses/fall11/ma341/Classnotes/Lecture%2016%20Handouts.pdf	10/5/2011 1 Cevians, Symmedians, and Excircles MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16 Cevian A cevian is a line segment which joins a vertex of a triangle with a point on the opposite side (or its extension). B 05-Oct-2011 MA 341 001 2 A C D cevian Cevian Triangle & Circle • Pick P in the interior of ∆ABC • Draw cevians from each vertex through P to the opposite side • Gives set of three intersecting cevians AA’, BB’, and CC’ with respect to that point 05-Oct-2011 MA 341 001 3 and CC with respect to that point. • The triangle ∆A’B’C’ is known as the cevian triangle of ∆ABC with respect to P • Circumcircle of ∆A’B’C’ is known as the evian circle with respect to P. 10/5/2011 2 Cevian circle 05-Oct-2011 MA 341 001 4 Cevian triangle Cevians In ∆ABC examples of cevians are: medians – cevian point = G perpendicular bisectors – cevian point = O angle bisectors – cevian point = I (incenter) altitudes – cevian point = H 05-Oct-2011 MA 341 001 5 altitudes cevian point = H Ceva’s Theorem deals with concurrence of any set of cevians. Gergonne Point In ∆ABC find the incircle and points of tangency of incircle with sides of ∆ABC. Known as contact triangle 05-Oct-2011 MA 341 001 6 10/5/2011 3 Gergonne Point These cevians are concurrent! Why? Recall that AE=AF, BD=BF, and CD=CE 05-Oct-2011 MA 341 001 7 Ge Gergonne Point The point is called the Gergonne point, Ge. 05-Oct-2011 MA 341 001 8 Ge Gergonne Point Draw lines parallel to sides of contact triangle through Ge. 05-Oct-2011 MA 341 001 9 10/5/2011 4 Gergonne Point Six points are concyclic!! Called the Adams Circle 05-Oct-2011 MA 341 001 10 Gergonne Point Center of Adams circle = incenter of ∆ABC 05-Oct-2011 MA 341 001 11 Isogonal Conjugates Two lines AB and AC through vertex A are said to be isogonal if one is the reflection of the other through the angle bisector. 05-Oct-2011 MA 341 001 12 10/5/2011 5 Isogonal Conjugates If lines through A, B, and C are concurrent at P, then the isogonal lines are concurrent at Q. Points P and Q are isogonal conjugates 05-Oct-2011 MA 341 001 13 Points P and Q are isogonal conjugates. Symmedians In ∆ABC, the symmedian ASa is a cevian through vertex A (Sa BC) isogonally conjugate to the median AMa, Ma being the midpoint of BC. The other two 05-Oct-2011 MA 341 001 14 The other two symmedians BSb and CSc are defined similarly. Symmedians The three symmedians ASa, BSb and CSc concur in a point commonly denoted K and variably known as either • the symmedian point or • the Lemoine point 05-Oct-2011 MA 341 001 15 • the Lemoine point 10/5/2011 6 Symmedian of Right Triangle The symmedian point K of a right triangle is the midpoint of the altitude to the hypotenuse. A 05-Oct-2011 MA 341 001 16 B C D Mb K Proportions of the Symmedian Draw the cevian from vertex A, through the symmedian point, to the opposite side of the triangle, meeting BC at Sa. Then 05-Oct-2011 MA 341 001 17  2 a 2 a BS c CS b c b a Length of the Symmedian Draw the cevian from vertex C, through the symmedian point, to the opposite side of the triangle. Then this segment has length 2 2 2 b 2 2b length Likewise 05-Oct-2011 MA 341 001 18     2 2 2 c 2 2 ab 2a 2b c CS a b         2 2 2 a 2 2 2 2 2 b 2 2 bc 2b 2c a AS b c ac 2a 2c b BS a c 10/5/2011 7 Excircles In several versions of geometry triangles are defined in terms of lines not segments. 05-Oct-2011 MA 341 001 19 A B C Excircles Do these sets of three lines define circles? Known as tritangent circles 05-Oct-2011 MA 341 001 20 A B C Excircles A IC IB I rc rb 05-Oct-2011 MA 341 001 21 B C I IA c rb ra 10/5/2011 8 Construction of Excircles 05-Oct-2011 MA 341 001 22 Extend the sides 05-Oct-2011 MA 341 001 23 Bisect exterior angle at A 05-Oct-2011 MA 341 001 24 10/5/2011 9 Bisect exterior angle at B 05-Oct-2011 MA 341 001 25 Find intersection Ic 05-Oct-2011 MA 341 001 26 Drop perpendicular to AB Ic 05-Oct-2011 MA 341 001 27 10/5/2011 10 Find point of intersection with AB Ic 05-Oct-2011 MA 341 001 28 Construct circle centered at Ic Ic rc 05-Oct-2011 MA 341 001 29 05-Oct-2011 MA 341 001 30 10/5/2011 11 Excircles The Ia, Ib, and Ic are called excenters. ra, rb, rc are called exradii 05-Oct-2011 MA 341 001 31 Excircles Theorem: The length of the tangent from a vertex to the opposite exscribed circle equals the semiperimeter, s. 05-Oct-2011 MA 341 001 32 CP = s 1. CQ = CP 2. AP = AY 3. CP = CA+AP = CA+AY Excircles 4. CQ= BC+BY 5. CP + CQ = AC + AY + BY + BC 6. 2CP = AB + BC + AC = 2s 7. CP = s 05-Oct-2011 MA 341 001 33 10/5/2011 12 Exradii 1. CPICP 2. tan(C/2)=rC/s 3. Use Law of Tangents Ic 05-Oct-2011 MA 341 001 34                c C (s a)(s b) s(s a)(s b) r stan s 2 s(s c) s c Exradii Likewise     a s(s b)(s c) r s a s(s a)(s c) 05-Oct-2011 MA 341 001 35         b c s(s a)(s c) r s b s(s a)(s b) r s c Excircles Theorem: For any triangle ∆ABC    a b c 1 1 1 1 r r r r 05-Oct-2011 MA 341 001 36 10/5/2011 13 Excircles               a b c 1 1 1 s a s b s c r r r s(s b)(s c) s(s a)(s c) s(s a)(s b)                s a s b s c s(s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c) s(s a)(s b)(s c)    3s (a b c) 05-Oct-2011 MA 341 001 37        3s (a b c) s(s a)(s b)(s c)      s s K s(s a)(s b)(s c) 1 r Nagel Point In ∆ABC find the excircles and points of tangency of the excircles with sides of ∆ABC. 05-Oct-2011 MA 341 001 38 Nagel Point These cevians are concurrent! 05-Oct-2011 MA 341 001 39 10/5/2011 14 Nagel Point Point is known as the Nagel point 05-Oct-2011 MA 341 001 40 Mittenpunkt Point The mittenpunkt of ∆ABC is the symmedian point of the excentral triangle (∆IaIbIc formed from centers of excircles) 05-Oct-2011 MA 341 001 41 Mittenpunkt Point The mittenpunkt of ∆ABC is the point of intersection of the lines from the excenters through midpoints of corresponding sides 05-Oct-2011 MA 341 001 42 10/5/2011 15 Spieker Point The Spieker center is center of Spieker circle, i.e., the incenter of the medial triangle of the original triangle . 05-Oct-2011 MA 341 001 43 Special Segments Gergonne point, centroid and mittenpunkt are collinear GGe =2 05-Oct-2011 MA 341 001 44 =2 GM Special Segments Mittenpunkt, Spieker center and orthocenter are collinear 05-Oct-2011 MA 341 001 45 10/5/2011 16 Special Segments Mittenpunkt, incenter and symmedian point K are collinear with distance ratio 2 2 2 2 IM 2(a +b +c ) = MK (a +b+c) 05-Oct-2011 MA 341 001 46 Nagel Line The Nagel line is the line on which the incenter , triangle centroid , Spieker center Sp, and Nagel point Na lie. GNa 2 05-Oct-2011 MA 341 001 47 GNa =2 IG Various Centers 05-Oct-2011 MA 341 001 48
9725	https://support.minitab.com/en-us/minitab/help-and-how-to/quality-and-process-improvement/control-charts/how-to/attributes-charts/np-chart/before-you-start/overview/	Overview for NP Chart - Minitab menu Minitab® Support Overview for NP Chart Learn more about Minitab Use NP Chart to monitor the number of defective items where each item can be classified into one of two categories, such as pass or fail. Use this control chart to monitor process stability over time so that you can identify and correct instabilities in a process. For example, a delivery service manager uses an NP chart to monitor the number of delivery vehicles that are out of service each day for 2 months. A vehicle that is out of service is considered a defective unit. The chart shows that, on average, 25 of the delivery vehicles are out of service each day. The number of defective units for day 19 is out of control. The manager should identify any special causes that contribute to the unusually high number of defectives. Where to find this control chart To create an NP chart, choose Stat>Control Charts>Attributes Charts>NP. When to use an alternate control chart If you can count the number of defects on each item, use U Chart, Laney U' Chart, or C Chart to plot the number of defects per unit. If your subgroup sizes are not equal and you want the center line to be straight, use P Chart or Laney P' Chart to plot the proportion of defective items. If your data exhibit overdispersion or underdispersion, Laney P' Chart may more accurately distinguish between common-cause variation and special-cause variation. Overdispersion can cause an NP chart to show an increased number of points outside the control limits. Underdispersion can cause an NP chart to show too few points outside of the control limits. The Laney P' chart adjusts for these conditions. You can test your data for overdispersion and underdispersion with P Chart Diagnostic. For more information, go to Overdispersion and underdispersion. Minitab.com License Portal Store Blog Contact Us Cookie Settings Copyright © 2025 Minitab, LLC. All rights Reserved. Notice You are now leaving support.minitab.com. Click Continue to proceed to: Continue Go Back
9726	https://www.andrew.cmu.edu/course/24-767/StrAnalysis_ANSYS/pb1_part1_8.html	Problem 1 : Part 1 : Step 8 _ Interpreting Your Results_ __ The following section discusses the results from 4 element model and 16 element model of your axially loaded plate. We will compare those results and see how the resolution of the mesh affects the stresses, strains, and displacements in the plate. Also we will compare the results we got from ANSYS with the result calculated by elementary theory for an axially-loaded member. The results we are going to consider are The Normal Stress(Sigma xx) The Normal Strain a) Axial Strain (Strain xx) b) Lateral Strain (Strain yy) The Shear Stress(Tau xy) Displacement of the Neutral Axis a) Displacement x (dx) b) Displacement y (dy) The Normal Stress (Sigma xx): Elementary Theory for an Axially-loaded Member Predictions: For this problem, the pressure load we applied to the plate is uniformly distributed over cross section of the plate, and is in tension because it stretches the plate on both sides. The formula for Normal Stress is: Sigma xx = P/A , where P is the axial force and A is the cross section area. It is known that P/A is equal to pressure, so we can conclude that Sigma xx = applied pressure load = 20,000 psi. Note that the equation Sigma xx = P/A is valid only if the stress is uniformly distributed over the cross section. Because when the net load P does not act at the centroid, bending of the plate will result. ANSYS Predictions: Refer to figures 1 through 4 below, it is obviously shown that the coarse mesh model (4 element model) and the fine mesh model (16 element model) give the same value for sigma xx (20,000psi), which also matches the predicted result we got before by applying the elementary theory for an axially-loaded member. Figure 1 (Query Sigma xx for 4 element model) Figure 2 (Query Sigma xx for 16 element model) Figure 3 (Sigma xx for 4 element model) Figure 4 (Sigma xx for 16 element model) Interpretation of the Results: By applying a uniform pressure to the ends of the plate we induce a uniform tensile stress at all cross sections along the length of the plate. Therefore, according to figure 1 and 2, when we query the stress xx at different points, ANSYS gives the same value for stress xx. Figure 3 and 4 show that stress xx is constant in the x direction. Since the 4 element model and 16 element model evidently give the same value of sigma xx, we can conclude that the element resolution does not matter on this particular problem. UP The Normal Strain: a) Axial Strain (Strain xx) Elementary Theory for an Axially-loaded Member Predictions: The linear relationship between stress and strain for a bar in simple tension or compression is expressed by the equation which is commonly known as Hooke's law : Sigma xx = E Axial Strain, where E is a constant of proportionality known as the modulus of elasticity for the material. For steel, E = 30,000 ksi. Using the value of Sigma xx we calculated before, we get Axial Strain = 20,000/30,000,000 = 6.667E-4 ANSYS Predictions: When query strain xx, ANSYS gives the results as shown in figure 5 and 6. As for stress xx, the coarse mesh model (4 element model) and the fine mesh model (16 element model) give the same value for strain xx (0.667E-3) Figure 5 (Query Axial Strain for 4 element model) Figure 6 (Query Axial Strain for 16 element model) Interpretation of the Results: The modulus of elasticity or Young's modulus(E) is the slope of the stress-strain diagram in the linearly elastic region. Because we assume linear elastic behavior in our ANSYS analysis, we simply get Axial strain = Sigma xx/E at all nodal location. b) Lateral Strain (Strain yy) Elementary Theory for an Axially-loaded Member Predictions: When a prismatic bar is loaded in tension, the axial elongation is accompanied by lateral contraction. The lateral strain at any point in a bar is usually proportional to the axial strain at the same point if the material is linearly elastic, and the ratio of the lateral strain to the axial strain is known as Poisson's ratio (n). Thus, n = -lateral strain/axial strain. The negative sign is counted because when the bar is in tension the axial strain is positive while the lateral strain is negative (because the width of the bar decreases). In the same sense, for compression the bar becoming shorter (negative axial strain) while getting wider (positive lateral strain) For this problem, n of the steel is 0.3 and strain xx is known from the previous analysis = 0.667E-3. Therefore, the value of lateral strain (Strain yy) is calculated and equals to -0.36.667E-4 = -2.0001E-4.The negative sign indicates that the bar's width decreases. ANSYS Predictions: Figure 7 and 8 show ANSYS predictions on the value of strain yy. Both 4 element model and 16 element model give the same result for the strain yy (-0.200E-3) This result is the same as within 3 digits the calculated value. Figure 7 (Query Lateral Strain for 4 element model) Figure 8 (Query Lateral Strain for 16 element model) Interpretation of the Results: According to ANSYS, the lateral strain is constant throughout the entire plate. This is as expected and both the coarse and fine meshes are able to give the exact answer for this problem. UP The Shear Stress (Tau xy): Elementary Theory for an Axially-loaded Member Predictions: By definition, Shear Stress is the stress that acts tangential to the surface of the material. As for normal stresses, and shear stresses have units of force per unit of area. For this problem Tau xy is zero. ANSYS Predictions: Plots of Tauxy vs. y obtained at the right end of the plate are given in figure 9 and 10. Both models are predicting essentially zero shear stress at this location. Don't be confused by the auto-scaling that ANSYS applies to the graph. The stress magnitudes are essentially zero. Figure 9 (Tauxy vs. y for cross-section at the right end of plate for 4 element model) Figure 10 (Tauxy vs. y for cross-section at the right end of plate for 16 element model) Figure 11 compares Shear stress, Stress xx and Stress yy on the same plot. It is clearly shown here that Shear Stress is, in fact, zero. Note: To plot multiple graphs on the same coordinate, go back to Plot Path Items command PLOT PATH ITEMS ->On Graph In the PATH PLOT OF PATH ITEMS window, highlightSX,SYandSXY. Note that depending on which algorithm the software usesin solving, the calculated values close to zero can differ in many ways. Interpretation of the Results: As we expected, the results obtained from hand calculations and from ANSYS show that the shear stress across the cross section area of the plate is essentially zero. UP Displacements : a) Displacement x(dx) Elementary Theory for an Axially-loaded Member Predictions: To determine the displacement of the neutral axis, we can use the concept of strain. The definition of Strain is elongation per unit length, which is expressed by : e = d/L , where e is strain, d is elongation or stretching of the the material, and L is the length from the origin. Since L is known, and strain is also known from the previous analysis, we can use this expression to find the displacement. And since we first consider the displacement in x direction, the value of strain used in the calculation is Axial Strain (Strain xx). Calculate the elongation at different points along the length of the bar, for example at L = 0, 2, 4 inches. L=0; dx = 0 6.667E-4 = 0.00 in. L=2; dx = 2 6.667E-4 = 0.0013334 in. L=4; dx = 4 6.667E-4 = 0.0026668 in. ANSYS Predictions: Figure 13 and 14 show the ANSYS results for the displacement x. Both the 4 element model and 16 element model give pretty much the same values for displacement at the same locations, that is L=2; dx = 0.001333 in. L=2; dx = 0.001333 in. The results at L=0 for both cases are slightly different. For 4 element model dx = 0.271E-17 in., but for 16 element model dx = 0.412E-17 in. However, both numbers are quite small and essentially zero. Note: The red circle marks the maximum displacement in x direction. Figure 13 (Query Displacement x for 4 element model) Figure 14 (Query Displacement x for 16 element model) b) Displacement y(dy) Elementary Theory for an Axially-loaded Member Predictions: Use the same equation e = d/L to determine the displacement in y direction, but this time the value of Lateral Strain is used for e. Also use different values of L along the height of the bar to locate the points of interest. For example, L = -1, 0, 1 L=-1; dx = -1 -2.0001E-4 = 2.0001E-4 in. L=0; dx = 0 -2.0001E-4 = 0.00 in. L=1; dx = 1 -2.0001E-4 = -2.0001E-4 in. ANSYS Predictions: Figure 15 and 16 show ANSYS results for displacement y. It is shown that 4 element model and 16 element model give the same results. Displacement at the points along the x-axis are zero (-.325E-18 and .240E-17 are very small and essentially zero) The maximum displacement in y direction is at 1 inch above and below the x-axis and has magnitude of 2.00E-3 in.The negative and positive signs indicate the direction of the displacement. Thus, negative value at the position 1 in. above the x-axis and positive value at 1 in. below the x-axis imply that the plate is shortening in y direction. Figure 15 (Query Displacement y for 4 element model) Figure 16 (Query Displacement y for 16 element model) Interpretation of the Results: Usually we know by inspection that when the bar is in tension, it is stretched in x direction, and as a result, it is shortened in the y direction. According to the analysis above and the figures shown, the results are as we expected. Note : We also can define the displacement using another equation combining the basic relationship between stress and strain : d = PL/EA This equation shows that the elongation of a prismatic bar is directly proportional to the load P, the length L, and inversely proportional to the modulus of elasticity E and the cross-sectional area A. For this equation, the sign convention is important. The elongation is usually taken as positive and shortening as negative. Overall, we have seen that mesh resolution is not an issue for this problem. For some simple loading geometries, it is possible for ANSYS to give exact answers for a small number of elements. This is one of those cases. In fact, you would have obtained the same stress and strain results if you had modeled the plate with a signle 4-noded rectangular element. This type of behavior is not typical, however. In more complex engineering analysis, finite element results will approach exact values only in the limit as a large number of elements are used. Use of mesh resolution that yields sufficient accuracy. Without consuming large amounts of computing and user time is a critical issue in finite element modeling. A Note on Linearity: The ANSYS model you have constructed assumes linear elastic behavior. Because of this, the stresses, strains and displacements scale with the applied load. As a result, if you need to obtain the stresses, strains and displacements for a different applied load, you can simply re-scale the results you already have. A new ANSYS run is not needed. For instance, if the applied load were 10,000 lb, the stresses, strains and displacements would be one-half of those obtained for 20,000 lb. GO TO STEP 9
9727	https://www.youtube.com/watch?v=pCJNjW8kMIg	Lecture 1 . Enumerative Combinatorics (Federico Ardila) Federico Ardila 4200 subscribers 322 likes Description 33683 views Posted: 30 Aug 2013 Much of enumerative combinatorics concerns the question: "Count the number a_n of elements of a set S_n for n=1,2,..." We discuss four types of answers: an exact formula, a recursive formula, a formula for the generating function, and an asymptotic formula. We illustrate these four answers by counting the domino tilings of a 2 x n rectangle. Lecture notes at: San Francisco State University (San Francisco, USA) Universidad de Los Andes (Bogota, Colombia) Fall 2013 Partially supported by: US National Science Foundation CAREER Award DMS-0956178 US National Science Foundation Grant DMS-0801075 SFSU-Colombia Combinatorics Initiative. 30 comments Transcript: okay welcome to enumerative combinatorics lecture one so two days ago with lecture zero where we just talked administrative things but now we're actually going to start talking about mathematics okay we're going to start talking about enumerative combinatorics which some people would say is the science of counting or some people might say that is the art of counting it's it certainly is very beautiful the way it works sometimes so this is what we're going to learn this semester um and uh today I want to give you a little bit of a preview for the rest of the course um so let's just get started so let me first say two statements first of all enumerative combinatorics is about counting okay I already said this so what what do I mean by so the main question that we ask here is count the number of objects with certain given properties okay this is uh one of the main questions that's going to motivate everything that we do um but very quickly I want to make the point that enumerative combinatorics is not just about counting or rather it cannot just be about counting and what I mean by this is that we're going to we're going to encounter a fact over and over again that in order to count objects count the objects that we're trying to count we often need to understand them first okay and the issue here is that the objects that we're counting are not just simple numbers one two three four the way that you learn to count when you were a kid uh we're going to counting sets that are maybe very unwieldy usually they're sets where you're going to have a very hard time trying to list all of them and so you can't rely on that and so you actually have to understand something about the objects to be able to count I want to make that point clear that generally what we try to do is Count things that you cannot just list and go one two three Etc so what we need is shortcuts to understand their structure and be able to count them now I said we need we need to understand them first but sometimes what happens is that it's not that we understand them first is that we understand them along the way as we try to count them so often we will just understand them their structure along the way okay and so even though sometimes the question that we ask might be count a certain uh kind of object we're not just interested in counting them we're interested in understanding them and Counting is is part of understanding them and part of a way to um yeah to get to understand so these are the two kind of main points that we will be revisiting over and over again okay so most often this takes the following uh shape we wish to count um the objects in a set call capital N for n = 1 2 3 Etc okay so generally it's it's actually going to be a family of problems that I'm going to study such as for example what is I mean a simple example is what is the number of permutations of a set of n elements okay so SN could be the set of permutations of the numbers 1 2 3 up to n and so I'm interested in counting the objects in SN for all of the values Nal 1 nals 2 Nal 3 Etc okay and so let me call a the size of the set okay um and uh so one kind of philosophical question that I want to address is what is a satisfactory answer to this question so what is a good answer to the to the problem of of counting a set okay counting the elements of a set um actually this is sometimes a matter of taste and it's sometimes a matter of what you're trying to do okay and we're going to see that there are several different kinds of answers that we are interested in um and uh but maybe before before okay we're doing a lot of philosophy let's actually talk about a concrete mathematical problem and just illustrate illustrate what I want to say in this problem so while we talk philosophy here here we're going to talk about a concrete example which is the following let T subn be the number of tilings of a 2 byn rectangle with pieces where the pieces are going to be little 2x1 rectangles so 2 by one rectangles that for obvious reasons I'm going to call dominance these are kind of like dominoes except that they're not going to have numbers on them so here what I mean by Domino is just a 2 by1 rectangle uh so let's do an example Maybe here's a 2x5 rectangle okay and I'm interested in tiling this thing with Domin okay um let's say that I'm really not very sharp this morning I didn't have my coffee and I'm just going to start doing without thinking just just going to start tiling in some way so let's say that I start by putting down a tile here okay that's a 2x1 rectangle and then I put another one here and then I try to continue and I find okay that was really not very smart right so I can just do this in any way but it's not that hard to do it either I'm sure you can all think of at least one tiling of of this uh I don't know which one you're thinking of but just to pick one let's do for example this tying okay so this is an example of the kind of tiling that I'm trying to um and so for example let's say that I want to compute A4 okay so then what I need to do is is look at what are all the possible tilings of the 2x4 rectangle okay and uh actually this is small enough that we can do it by hand maybe you can just help me make sure that I don't miss anything so there's one obvious styling where you can just do this right and then you can use two verticals and then two horizontals or you can use first a vertical then two horizontals than a vertical or you could use vertical sorry uh let's do two horizontals and then a vertical a vertical uh are there any other ones there's one more right which is to make all the tiles horizontal okay and if you think about it you'll see that there's no other tilings and so A4 is five because these are all the tilings of the 2x4 R okay this is already maybe a little bit tricky and I want you to think okay now what if I ask you to find a sub 100 you certainly don't want to do this by hand right so um this is what we're trying to do okay I'm asking you to compute uh T and sorry here I should have said T4 right this is T4 and in general I'm interested in Computing TN for any value of n so let's go back to the question what is a good answer what kind of answer am I looking for uh for what TN is so I want to point out that there's at least four different kinds of answers that we're going to like so one kind of answer is just to find an explicit formula that formula might be that TN equals N2 or it might be that TN is some summation over k equals something to something of something any kind of expression where you just plug in the value of N and you get the answer okay that's an explicit formula are we going to be happy with the explicit formula well if the formula is simpler we're going to be happier if the formula is a horrible mess then we're going to be unhappier that's pretty uh obvious so but this is one kind of uh answer that we're interested in two we might have a recurrence form and so what this tells us is uh it's going to be a procedure that tells you how to compute TN assuming that you already computed all the previous ones so it'll be a formula for T10 in in terms of T9 T8 t7 every TN is going to be expressed in terms of TN minus one TN minus 2 this is a recurrence formula sometimes that's going to be a very good way of of presenting the answer the Third Kind of answer that we're interested in uh and maybe this is a little bit less familiar is to give a formula for the generating function now some of you know what a generating function is some of you don't know what a generating function is and so we will we will go over what that means okay and sometimes we're going to be very happy with this kind of answer and the other kind of answer that we're interested in is what's called an asmic formula okay and uh what is that about well ASM totic means that maybe you don't care exactly about the exact number of objects but you care approximately how quickly this number grows so ASM totic might mean that TN is approximately I don't know 5 to the N maybe it's not exactly 5 to the N but it kind of grows like 5 to the N meaning that the limit of TN over 5 to the N is equal to one okay or maybe it grows like a polinomial or maybe it grows like a logarithm this is about figuring out how quickly this number grows with n so this is this is more you can imagine that analysis is going to play an important role here and this is another kind of formula that we're going to be interested in okay so this is kind of some philosophical discussion these are four kinds of answers that we're going to be looking for generally in this class and what I want to do is talk about all of them in this problem and then we're going to decide which one you like best uh and you might see that maybe there's no obvious answer as to which one is the best one so let's talk about an explicit Formula First now often this is actually quite quite tricky to do and uh I'm going to show you an explicit formula and uh looked like I got it from out of nowhere but I prepared class and I thought about it hard and I discovered what the formula was and I'm going to present it to you now but that doesn't mean that it was easy to guess okay the formula looks like this PN is n choose Z Plus n minus one choose 1 plus n minus 2 choose two plus n minus 3 choose three and you keep doing that until what you see that the top number is getting smaller the bottom number is getting bigger and remember that a choose B is the number of ways of choosing B things out of a things meaning that that the number in the bottom should always be bigger than the number in the top for this to not zero so you're just going to keep doing this until the this number becomes smaller than this one so that's about n/ two right n minus floor of n /2 choose floor of n /2 okay this is an expit formula if I ask you T sub 100 you just plug in Nal 100 and that's a formula do you like it some you like it some of you don't like it so somebody over there was saying they like it why do you like it I forget I saw somebody going like this you was it you sir somebody must like it I mean I like it nobody likes it it's okay right I mean at least you know here's some tiling problem and it seems kind of out of nowhere and this says okay this is the answer in terms of things we understand binomial coefficients by the way I should say we're going to talk a lot more about binomial coefficients and we're going to redefine what these things are it's ET but for now just remember that a choose B is the number of ways of choosing B out of a things why don't you like it you don't like it well for 100 it's going to be a lot of things to compute for example imagine plugging in n equals 100 to this formula this is going to have 50 terms and they're not small so this is not really a fun formula to plug in but it's a formula it's explicit um let me give you a proof and again I don't want you to be very impressed that this is very slick maybe you should be impressed but don't think that this got out of nowhere okay I thought about this and it goes back from what I just erased here that says you know if you want to count things you should understand them first okay and so you know I prepared class and I thought okay you know I need to understand what these things look like and so then this is kind of an understanding that you can come to you can say okay actually this isn't so much about the tilings I mean you can you can encode this without the picture of the tiing the Tings are a fun uh they're a fun pictorial way of doing the following thing what I'm doing really is that I'm saying okay you know either you put a vertical or if I put a horizontal one then I have to put a horizontal and run below it right and so when I start either I start with a with one vertical one or I start with two horizontal ones okay and if you continue this reasoning you'll see that actually this is just a sequence of one vertical one vertical two horizontals one vertical and and any kind of telling is going to look like that it's a sequence of vertical two horizontals vertical vertical to horizontals say so now what I want to do is just encode the width of each block so this is a block of length one this is a block of length one this is so let's say width okay so width one width one width two withd one okay what property do these numbers have they should add up to five because this thing is supposed to be five long and what other properties do they have the boring property that they're either one or two and that's it right if you choose any sequence of of ones and twos that add up to five then you can make a tying and so I have a b from my tilings of a 2 byn to the ways of writing and as a sum of ones and twos okay um what's a what's a bje remember a b is just a one to one3 correspondence for each tiling you get a writing of n in this way and for each way of writing n like this you get a Ty and that means that instead of counting tiling I can count these things which are a little bit they just look a little bit easier okay so that's my first step okay so then I'm going to say that TN and uh let me let me go ahead and Define uh a word for you which is composition so our composition is just an ordered sum like I have here so compositions of n into ones and twos okay so TN is the number of compositions of n into ones and twos okay how many sums do you have well it actually depends here you have 1 plus 1 plus 1 plus one you have four summons here you have only three summons here you have two summ so the number of summs changes but what I can do is I can say okay let's let's divide this set let's let's let's group The compositions according to how many vertical blocks and how many horizontal block they have or how many ones and how many twos they have so for example if I were to do that here then this guy is going to be in his own family it has four vertical blocks it's one plus one plus one plus one and then these guys get grouped together These Guys these three get grouped together as having two vertical uh and two horizontal 1 + 1 plus 2 1 plus 2+ 1 2+ 1+ 1 and then this guy is on his own so I split my set into different groups and now I'm going to count what happens in each group okay so of course if I want to some you know if I want to count all of them then let me just take the sum over all the different groups and what is each group going to look like is each group is going to be the number of compositions of n into let's say I have k2s so if I have k2s then how many ones do I have should be n minus 2K right because these guys add up to 2K so if I want to add up to n then I should have n minus 2K okay so in this case K is zero here K is one and here K is now I have to sum over all possible values of K and in principle K could go from Zer to n but in reality how how big can K be well if you want to fit k2s then K should be at most n / two which is what we're seeing here here this goes up to n /2 so this goes up to the floor of n /2 okay okay so then some k = z to floor of n / two and then how many compositions are there of into K2 is and N minus 2K 1's well you just have a list of have K2 you have so there's k2s you have n minus 2 k1s right so in total how many summ do you have we have k+ nus 2K so you have n minus and what you have to do is out of the N minus K summons you're going to decide which ones are twos and which ones are ones how do you decide that well if you have n minus K summ and you have to choose K of them to be equal to two then out of the nus K possible sum you just choose which positions are taken by and that's the proof okay and and again let me let me just say I'm going a little bit fast today because I want to introduce all of these things and later we're going to go back to to an argument like this and parse it a little bit more slow okay but I just want to give you an idea of of what kind of argument we use here um and again you see that it's basically by understanding the structure of the tilings that I'm able to give the exact formula without that structure this would have been hopus okay okay so this is an example of an explicit form any questions about it so maybe we're just going to do one by one but we did this one um now let's talk about a recurrence form actually before I go to the recurs formula let me just point something out to you this goes from k0 to n / 2 how big is this number the it's it's a little bit hard to know is it like as big as n s is it like 2 to the N how how big is it it's not obvious to know because it's a sum of a bunch of things and so you know you actually have to think a little bit harder uh to think about how quickly this number grows this is something that's hard to see from this point of view somehow if you were an analyst and you wanted to know just the rate of growth this is actually not so useful until you do something else to it so this is where actually to get from here to an astoic formula is actually very hard and so this is a one reason not to like this answer I would say the reason to like this answer the reason I like it is kind of an aesthetic reason I think it's kind of nice it's you have the styling problem and it's expressed in terms of binomial coefficients and the proof is kind of nice so that's why I like it but I have to recognize that it's very bad when it comes to uh finding so that's how we continue and this is my point an explicit formula sometimes is not not good enough okay so let's talk about a recurrence formula so in a recurrence formula what you have to do is tell me what the answer to the uh to this problem is in terms of smaller problems if you already knew the answer for all the tilings for size 2x1 2x two 2 by 99 what's the answer to the 2 by 100 so we can do the following thing does anybody see already how what this recurrence should beon like why is that the case smaller there's two ways to solve it one smaller so we're going to see that this sequence ifies the same recurrence as the Fibonacci TN is equal to t nus1 plus t n minus 2 okay uh if you saw that right away you're very smart that's great um it's not entirely obvious how do we think about this well there's kind of a a general trick for how to do this so this is the number of tilings of a 2 by okay and if you if you want to reduce it to a smaller problem very often what you do is that you just think about okay well what's how does the problem how does what happens at the beginning what happens at let's say at the left of the tit let's analyze what happens at the very left and then hopefully the rest is a sub problem so what happens at the very left of the typ well at the very left how does the tiling start there's two options right so number so one option is that you start with a vertical tile number of tilings that look like this where the first tile is vertical now if I don't start with a vertical tile then what happens well I have to cover this cell somehow and it's not with the vertical which means that it must be a horizontal is that wi enough a horizontal that's how I covered this C but now if I put this horizontal TI the only way that I'm going to be able to not get stuck is by putting another horizontal tile here and so that's what happens if I don't start with a vertical tile then I have to start with two horizontal tiles so the Titans are either of this kind and or of this kind and they they're only of one of the kinds and so I just can I just need to sum the number of ways of doing this and the number of ways of doing this but the beauty of this is that these are just sub problems it's a smaller problem because how many way are of comp of completing this tying I can just ignore the first cell and the rest is 2 byus one so how many ways are there of doing that oh it's precisely the answer for the two for the N minus one rectangle okay and if I start with these two then I can ignore what happens here and I'm going to get a 2 by 2 by n minus 2 rectangle here so I get this okay and that's so this is the proof and remember this proof because this is a you know there's many problems that look different but the idea is very similar you if you wanted do some kind of recursion like this you always think about what happens the beginning or what happens at the end and uh often you're able to to see that what happens is that you're reducing to smaller problems okay okay so if I give you this how are you going to count T 100 well this actually doesn't work for every value of N and should be big enough that this make sense right so this is only two for greater than or equal to two that is one you don't want to deal with t sub minus ones so any T starting from the second one you can get from the previous ones but you have to start somewhere so you have to say okay what's T sub Z number of tiling of a 2X Z rectangle this is one of these annoying philosophical things is if I want to title something that doesn't exist is it possible or is it not possible is there zero ways or is there one way well sometimes we like to just avoid these philosophical questions and just skip let's go to T1 T1 is easy what is the number of ways of telling at 2 by one it's just one right because the one is already a Dom what about T2 T2 is is a is a square a 2X two square which you can tell by two horizontals or by two vertical so what should t0 be you know you don't want to get philosophical if you just want to follow the mathematics you should you should see that it's convenient to Define t0 equals one so that this recurrence makes sense for nals 2 also and often what we do is this we just figure out what the number needs to be and then we come up with some justification well of course there's of course the Zer is one because if you have to title an empty region then there's one way to do it which is not to do anything that's unconvincing well now that the recurrent is full must be must be convincing okay um and then you and then you go with the recurrence right so it starts one one two then the next one one plus two is three the next one two plus three is five which is this one 3 + 5 is 8 133 and you recognize these numbers see uh T subn is the Fibonacci number except that it's just off by one because the Fibonacci numbers are defined so that this is actually F1 this is F2 this is F3 so TN is equal to FN + one where FN is the n or let's say FK is the Kon um so this is something that will make you recognize what these numbers are but this is the recurrence this is this is the recurrence formula that we were talking about um let me ask you do do you if I ask you to compute T sub 100 do you prefer our previous formula or do you prefer this you can you can do let's say you have to do it by hand if I ask you to do it by hand which one is there do you trust yourself more add or multiplying if here you just have to add things whereas in the other one you have to do all kinds of and choose Cas which are not so fun to compute by hand if you were to do it by hand this is a better formula well from alpha can handle both but uh maybe this is faster than type but I don't know they both have advantages and disadvantages that's that's always the point always the point is that sometimes two answers have their different uh advantages okay but anyway that's the recurrence formula this one so recurrence formula like I said is something where you answer the question for n by reducing it to the answer of previous values so let's talk about the next one generating function now since uh since we've agreed that these numbers are essentially the Fibonacci numbers then I'm going to ask you to allow me to to now switch to just Fibonacci numbers same thing so let's talk about the the generating function for Fibonacci okay so generating function and we're going to do it for the fibon numbers which satisfy this recursion and the initial values for the numbers are F0 = 0 fub1 = so what is the generating [Music] function generating function for these things for this sequence is the following thing it's an infinite power series the variable is going to be X and the sequence is going to be uh giving me the coefficients okay so F0 X to 0 + fub1 x to the 1 plus FS2 X2 F3 X cub and again these are numbers right so this is you know 0 plus 1 x the 1 + 1 x to the 2 + 2 x Cub + 3 x to 4th 5 x to 5th 8 x to the 6 whatever there the coefficients are the same numbers and the exponents just go up okay so if you've never seen this before then this should seem kind of strange because we were doing combinatorics and now all all of a sudden I wrote down this infinite power series which seems like it belongs more in an analysis class but you know as this happens often in mathematics you don't really get to choose what field you work on the fields end up running into each other and um and here we're going to borrow at least some ideas from analysis now if you okay so if you do analysis then what's the first question that you that's convergence right so does this converge can I write this down what's the radius of convergence Etc okay so that's if I treated this as a function that you plug in X's into and that's one thing that I could do so let me say I could treat this as something that I plug in values I could plug in real values or I could plug in complex values or whatever so I could treat this as an as an analytic function okay I could but I want I want at least in this class we W I mean it's it's useful to do it but for many of the things that we that we do in combinatoric um it's actually not necessary to to bring in the the full power of analysis um I'm going to treat it as a formal power s Okay so and again this is something that I'm going to go into more detail later on but one way of thinking about this is that you're allowed to manipulate these things the way that you manipulate power series algebraically but you are not allowed to plug in values of X which is you would need analysis to do if I wanted to plug in X I would need to check convergence um sometimes people like to talk this call this formal par series is the same thing as a clo line it's really just a line where you handang your clothes after you wash them right so here's the cloth line and then here's the first value shirt here and then the next one is maybe pants the next one is and so you just you just uh you just think of this thing that's just some other way of listing the sequence f z F1 F2 F3 Etc but we're mathematicians and we're not just happy with hanging our clothes we start doing algebraic operations so we do allow ourselves so we allow albra operations usual algebraic operations and maybe the the best way of explain I mean I can go with I can go through a formal discussion of of uh what exactly we're doing here what we're doing is it belongs in a class in abstract algebra where you know we're regarding this as an element of the Ring of formal power series and then we're we're doing algebraic computations in the ring of formal power Series so if you're familiar with that then that terminology then that's what we're doing uh but if you're not familiar with that let me just show you how it works it actually works very simply um okay so I'm just going to start doing operations on this thing okay so what I'm going to do is this I'm going to use my recurrence now my recurrence doesn't say anything about F0 and actually f z is zero so I'm not even going to write it F1 is one so I get X yeah can you remember the top the computer you're talking thank you um yeah so F1 is equal to one right so then FS1 X is just going to be X okay now what about F2 well I'm going to say that FS2 is F1 plus F0 so instead of f2x 2 I write fub1 X and F0 X2 so F2 is F1 plus F0 now F3 well F3 is FS2 plus fub1 so let me write F3 as2 and F1 and so on okay so each one of these terms I write it as the previous one and the next two previous one so these are the kinds of algebraic operations that I'm allowed to use in formal power and what I did is this kind of vertical thing right so F2 is F1 plus F0 F3 is F2 plus F1 and so on but now what I'm going to do is that I'm going to read this thing horizontally and actually this one is going to be a little easier so let's do it first so it's going to be this plus this okay so let's postpone this one for a second what is what is this one if you see it's actually what I get if I multiply this one by x s x stimes this is exactly this the power is just Shi from x0 to X2 from X1 to X3 and so on and so this thing is just x² of X what about this one well what's this I forget this first C this is this X because f1x X is f1x s this X is this this X is this and what about this one well this one is zero so I don't need this one and so what I get is that this is x + x f ofx so I get this equation so so my algebraic sorry my recurrence relation turns into a relation that the generating function set and actually um this relation tells me what the power series is what f ofx is right I can again you're allowed to do algebraic operations as long as you don't try to plug in values of X so what do I do well send this guy to this side send this guy to this side Factor X and you're going to get that F ofx isal to x 1 - x - that's the generating function for the sequence okay so let's think about this one do you like it is it useful um especially if you like analysis maybe maybe this is something that you feel very at home doing uh now out of these three methods again let's think about it what's the best way to find F of 100 well if if you have if you have computer software I think the fastest thing is just plug this into whatever your favorite computer software is and ask it to give you the power Series this is a power Series so you just say you know expand around zero and it'll give you a power series and just look at the coefficient of x to the 100 and that coefficient is going to be the Fibonacci number 100 and so uh this is another um yes so Ian I would say this is another very nice way of of getting a handle on these coefficients okay formula for the generating function have do you guys have any questionss about this this formula now part of an analysis class is to compute the compute the power series of various functions and so you take an analysis then you know how to how to actually compute this power series and get formulas for the coefficients so this is one advantage of of having a generating function it's not it's not just a a gimmick it's actually very useful to obtain uh some of the other things in particular to obtain an explicit formula so let's revisit number one now that we have number three actually let me so the next thing I want to do is go from three back to one but before I do that I want to make a I want to write something suggestive what was f ofx f ofx was the generating function for Fibonacci numbers which are basically tits so what I want to do is this I want to write an equation that says TI Lings 2 by fit in the blank ping and I want to reite this in the following way vertical tile over 1us vertical tius you're looking at me like what the hell is he doing and that's fair I haven't told you what I'm doing but hopefully at least this a little bit intriguing and it should show you that and it will show you that as we get really good at Computing things like this we we can just write something like this say well you know tilings they have these in the composable pieces what are the prime Tidings the prime Tidings are this one and this one and every other thing is just a combination of prime titles and when we get good at this we're just going to be able to write this equation questions asked no need for a proof this is part of a theory that tells you an equation like this holds and because an equation like this holds it makes sense that this is like X because has it has width one this has width one so we did this kind of in an ad hoc way but we're going to see that as part of a bigger Theory um okay so so that's kind of a a suggestion for what's going to come next now let's go from three back to one okay so so this is the generating function for the Fibonacci numbers and again let me do write it like this so this is the power series whose coefficients are Fibonacci and now I want to think because you you'll remember that actually I kind of pulled this formula out of a half this was not this took some cleverness and made sometimes we don't want to be clever sometimes we just want to have somebody else do the hard work for us so have the I think the recurrence was a little bit easier so from from that way we want to get back to an explicit form so let me give you a question which I'm not going to answer and this is going to happen a lot in this class that I'm going to just throw out questions that are very well suited for the for okay so here's a question for the Forum here's a question for the Forum uh how do I get from this formula to the formula that I gave you for the T it's possible to do it okay so the way this works I'm I just put these questions and whoever gets excited and thinks about them you put the answer on the Forum or you put your ideas on the Forum and if they can be incomplete they can be wrong there's no pleasure there's no pressure there's no grade and uh it's just a good way to kind of talk about things that we're not going to talk about in class but it is possible to get from this formula to the explicit formula that I give but the reason that I want to do that is that actually if you if you were in an analysis class that's not what you would do if you were in analysis class you would never see an expression like this what would you do in an analysis class how do you find the power series expansion of something like this or if you think about you know you're teaching calculus to your calculus students and you're asking them to uh take the integral of this for example any ideas this whole thing called uh partial fractions remember it so partial fractions tell you that you can take this thing and the problem is that this thing is quadratic and we don't really like quadratic things in the denominator but there's a way of of dealing with that which is that you can always write this in the following form partial fractions constants over linear things because the degree of this is smaller than the degree of this then you can do this remember how do you find these factors 1us alpha x and 1us betax are the factors that should give you this thing so you just take this guy you factor it and line your terms and you write it like this so this is partial fractions it's a little bit different from partial factions the way that they're usually done but uh pretty much the same thing um it would be kind of torturous both for me and for you to carry out this computation in front of you guys you know how to do this maybe it's been a while so you should just go ahead and do it this is something else that you can do in the Forum so here's for the Forum and somebody should actually complete this computation and find what the numbers are and if you don't know how to do it then you should learn and actually in the homework you're going to need to do it so and so I very much encourage you to discuss this one in the Forum because the homework is a very similar problem you can find what these numbers are so Alpha is 1 + < TK 5/ 2 Beta is 1 - < of 5/2 a is 1un 5 and B is- one over so this should start looking a little bit familiar um if if I ask you how do you go from combinator to this is very strange but it's not strange to get square roots when you're solving quadratic equations so there a very natural place where this comes this are just coming from the from this part okay so what's the advantage of this the advantage is that maybe we didn't know right away what this power series was but this this one is very easy because a is just a constant and what's the power series for one over 1 minus something it's just the standard um geometric Series so let's write it down this geometric series gives me this 1 over 1 - alpha x is the sum of alpha to the n x to the N this one gives me sum and greater than or equal to zero beta to the n x to the N okay and so what you get is that the coefficient of x to the N is a Al to the N plus b to the N which is fantastic because that coefficient is precisely the Fibonacci number that we're trying to compute okay so we get we get the familiar formula that the Fibonacci number is just plugging in these numbers right so one over < TK 5 1 + < TK 5 2 to the end minus 1 - < TK 5 over two okay which is an explicit formula now what do you think about this explicit formula I hope that by now you've learned to love this formula I think any mathematician when they first see this and we're young and we don't know a lot of mathematics this might even be a little bit scary but then you come to really embrace it this is a very beautiful formula and I mean the fact is that that's what the Fibonacci numbers are right um do you want to compute F sub 100 using this I you definitely don't want to think about Computing 1 +un 5 over2 to the 100 by hand do you think your calculator will get it right this is this is I don't know some number raised to the power of 100 uh you've seen from your students that calculators don't work as well as they think they do and so we should be cautious ourselves also maybe if you plug in your calculator it's going to give you some something that's a little bit off if and is really big okay so again this is not really the best way to actually compute F of 100 but it's an explicit form okay and so again the point is that generating functions are not only a a cute Clos line they're actually a very useful tool to give you a formula that I would argue in a lot always is better than the first Formula that I give the first one is maybe a little bit C and that only has binomial coefficients but but this one is clearly more explicit right it's not it's not a sum of N Things it's a sum of two things okay finally so again remember to do this in the Forum carry this computation out so it also be a good good practice for your latex skills make sure that you close every par es that you open and uh so what about number four what about Astic formula how big is the an Fibonacci number approximate in analysis language what is FN ASM totic so you want to put something here so that the limit of this divided by this is one so what does it actually this this tells you what it is I mean you have two summons right so you know this plus this so the question is are these numbers bigger or are they small so what what are they are they bigger or are they small you remember how much 1 plusun 5 over2 is the golden ratio what is it6 1 618 1.618 to the end it's big it's exponential constant to the end what about this one it's minus 618 how much is minus 618 to the nend it's tiny right you're taking a number that's smaller than one in absolute value and raising it to the end so for n really big this is irrelevant it's not there actually you might as if you're going to use your calculator you might as well just plug in this because this is going to be zero according to the calculator and so this is asically 1un 5 time the golden ratio to the and again remember and when I write this means I mean that the limit as goes to Infinity of okay and I've explained how the answer to my tying problem asically grows like one of these very basic functions that we teach in recalculate this is just an exponential uh function couldn't get simpler than this and that gives me the asmic form and you should realize that we owe that Astic formula to the generating function that's where it com from we and this will show you how hard it would have been to get it from the first Formula with the binomial coefficients because there's no golden ratio in sight in that form and so I hope that this shows you a little bit of the power of generating functions now let me say something else about that um which is that very often actually the explicit formulas are really horrible I mean in this case the explicit formula is not too bad it's nice but there are many problems where the EXP formula is horrible but but you have a generating function where I mean here what we did is go from the generating function to the explicit formula to the asmic form but very often what you can do is skip this and go from the from uh from the generating function to the asmic format complex analysis knows how to do this very well and in fact you could just you know by by talking about radiuses of radi of convergence you could have argued something about the asmic of Fibonacci numbers without any explicit formulas so the point that I want to make is that that's when you actually want to bring in analysis and it's very useful to do that when explicit formulas are not so useful very often you can go from generating function to asmic formula directly using complex analysis now I want to go ahead and acknowledge that we're not going to to do this in this class it's very interesting it's very useful but out of the many things that we could have done in this class I decided that this is not one we're going to cover um but it's something that's very interesting and if it's the kind of thing that interests you you could take your project in this direction and I can give you some pointers of great books that uh that talk about complex analytic methods in order to obtain asent formulas in comor but you're not going to find it in Stanley okay um everything there is done in terms of formal P um okay so I think that's a that's a good place to stop uh we'll continue next week uh and I just want to make sure that everybody knows so I sent an email with all kinds of things so there's a homework zero that's du tomorrow at midnight and then there's the real first homework which is due next Friday the Forum is there the the lecture notes I'm about to post so we're on basically the we're online okay see you guys next week
9728	https://en.wikipedia.org/wiki/Detonation	Contents Detonation Detonation (from Latin detonare 'to thunder down/forth') is a type of combustion involving a supersonic exothermic front accelerating through a medium that eventually drives a shock front propagating directly in front of it. Detonations propagate supersonically through shock waves with speeds about 1 km/sec and differ from deflagrations which have subsonic flame speeds about 1 m/sec. Detonation may form from an explosion of fuel-oxidizer mixture. Compared with deflagration, detonation doesn't need to have an external oxidizer. Oxidizers and fuel mix when deflagration occurs. Detonation is more destructive than deflagrations. In detonation, the flame front travels through the air-fuel faster than sound; while in deflagration, the flame front travels through the air-fuel slower than sound. Detonations occur in both conventional solid and liquid explosives, as well as in reactive gases. TNT, dynamite, and C4 are examples of high power explosives that detonate. The velocity of detonation in solid and liquid explosives is much higher than that in gaseous ones, which allows the wave system to be observed with greater detail (higher resolution). A very wide variety of fuels may occur as gases (e.g. hydrogen), droplet fogs, or dust suspensions. In addition to dioxygen, oxidants can include halogen compounds, ozone, hydrogen peroxide, and oxides of nitrogen. Gaseous detonations are often associated with a mixture of fuel and oxidant in a composition somewhat below conventional flammability ratios. They happen most often in confined systems, but they sometimes occur in large vapor clouds. Other materials, such as acetylene, ozone, and hydrogen peroxide, are detonable in the absence of an oxidant (or reductant). In these cases the energy released results from the rearrangement of the molecular constituents of the material. Detonation was discovered in 1881 by four French scientists Marcellin Berthelot and Paul Marie Eugène Vieille and Ernest-François Mallard and Henry Louis Le Chatelier. The mathematical predictions of propagation were carried out first by David Chapman in 1899 and by Émile Jouguet in 1905, 1906 and 1917. The next advance in understanding detonation was made by John von Neumann and Werner Döring in the early 1940s and Yakov B. Zel'dovich and Aleksandr Solomonovich Kompaneets in the 1960s. Theories The simplest theory to predict the behaviour of detonations in gases is known as the Chapman–Jouguet (CJ) condition, developed around the turn of the 20th century. This theory, described by a relatively simple set of algebraic equations, models the detonation as a propagating shock wave accompanied by exothermic heat release. Such a theory describes the chemistry and diffusive transport processes as occurring abruptly as the shock passes. A more complex theory was advanced during World War II independently by Zel'dovich, von Neumann, and Döring. This theory, now known as ZND theory, admits finite-rate chemical reactions and thus describes a detonation as an infinitesimally thin shock wave, followed by a zone of exothermic chemical reaction. With a reference frame of a stationary shock, the following flow is subsonic, so that an acoustic reaction zone follows immediately behind the lead front, the Chapman–Jouguet condition. There is also some evidence that the reaction zone is semi-metallic in some explosives. Both theories describe one-dimensional and steady wavefronts. However, in the 1960s, experiments revealed that gas-phase detonations were most often characterized by unsteady, three-dimensional structures, which can only, in an averaged sense, be predicted by one-dimensional steady theories. Indeed, such waves are quenched as their structure is destroyed. The Wood-Kirkwood detonation theory can correct some of these limitations. Experimental studies have revealed some of the conditions needed for the propagation of such fronts. In confinement, the range of composition of mixes of fuel and oxidant and self-decomposing substances with inerts are slightly below the flammability limits and, for spherically expanding fronts, well below them. The influence of increasing the concentration of diluent on expanding individual detonation cells has been elegantly demonstrated. Similarly, their size grows as the initial pressure falls. Since cell widths must be matched with minimum dimension of containment, any wave overdriven by the initiator will be quenched. Mathematical modeling has steadily advanced to predicting the complex flow fields behind shocks inducing reactions. To date, none has adequately described how the structure is formed and sustained behind unconfined waves. Applications When used in explosive devices, the main cause of damage from a detonation is the supersonic blast front (a powerful shock wave) in the surrounding area. This is a significant distinction from deflagrations where the exothermic wave is subsonic and maximum pressures for non-metal specks of dust are approximately 7–10 times atmospheric pressure. Therefore, detonation is a feature for destructive purposes while deflagration is favored for the acceleration of firearms' projectiles. However, detonation waves may also be used for less destructive purposes, including deposition of coatings to a surface or cleaning of equipment (e.g. slag removal) and even explosively welding together metals that would otherwise fail to fuse. Pulse detonation engines use the detonation wave for aerospace propulsion. The first flight of an aircraft powered by a pulse detonation engine took place at the Mojave Air & Space Port on January 31, 2008. In engines and firearms Unintentional detonation when deflagration is desired is a problem in some devices. In Otto cycle, or gasoline engines it is called engine knocking or pinging, and it causes a loss of power. It can also cause excessive heating, and harsh mechanical shock that can result in eventual engine failure. In firearms, it may cause catastrophic and potentially lethal failure[citation needed]. Pulse detonation engines are a form of pulsed jet engine that has been experimented with on several occasions as this offers the potential for good fuel efficiency[citation needed]. See also References External links vteFire protection Fundamental concepts \| BackdraftBoiling liquid expanding vapor explosion(BLEVE)BoiloverCombustibility and flammabilityConflagrationDangerous goods(HAZMAT)DeflagrationDetonationDust explosionEnthalpy of vaporizationExplosiveFire classFire controlFire loadingFire pointFire triangleFlammability diagramFlammability limitFlammable liquidFlashoverFlash pointFriction lossGas leakHeat transferJet fireK-factor (fire protection)Pool firePyrolysisSpontaneous combustionStructure fireThermal radiationWater pressure \| Technology \| Active fire protectionAutomatic fire suppressionCondensed aerosol fire suppressionDetonation flame arresterExternal water spray systemFire bucketFire preventionFire protectionFire retardantFire-retardant fabricFire retardant gelFire-safe polymersFire safetyFire sprinkler systemFire suppression systemFirefighting foamFlame arresterFlame retardantFlashback arrestorFusible linkGaseous fire suppressionHypoxic air technology for fire preventionInerting systemIntumescentPassive fire protectionPersonal protective equipment(PPE)Relief valveSpark arrestorTank blanketingVehicle fire suppression system Building design \| Annulus (firestop)Area of refugeBooster pumpCompartmentationCrash barElectromagnetic door holderElectromagnetic lockEmergency exitEmergency lightExit signFire curtainFire cutFire damperFire doorFire escapeFire extinguisherFire hoseFire hydrantFire pumpFire sprinklerFirestopFirestop pillowFirewall (construction)Grease ductHeat and smoke ventPacking (firestopping)Penetrant (mechanical, electrical, or structural)Penetration (firestop)Pressurisation ductworkSafety glassSmoke controlSmoke damperSmoke exhaust ductworkSmokeproof enclosureStandpipe (firefighting) Fire alarm systems \| Aspirating smoke detectorCarbon monoxide detectorCircuit integrityExplosive gas leak detectorFire alarm call boxFire alarm control panelFire alarm notification applianceFire drillFlame detectorHeat detectorManual fire alarm activationSmoke detector Professions, trades,and services \| Duct cleaningFire insuranceFire protection engineeringFireproofingFire-resistance ratingFire Safety Evaluation System(FSES)Fire testKitchen exhaust cleaningListing and approval use and complianceSprinkler fitting Industry organizations \| Institution of Fire Engineers(IFE)National Council of Examiners for Engineering and Surveying(NCEES)National Fire Protection Association(NFPA)Society of Fire Protection Engineers(SFPE)Underwriters Laboratories(UL) Standards \| CE markingEN 3EN 54EN 16034Flame spreadGHS hazard statementsGHS precautionary statementsLife Safety Code(NFPA 101)List of R-phrasesList of S-phrasesSafety data sheetUL 94 Awards \| Arthur B. Guise MedalHarry C. Bigglestone Award See also \| Template:FireTemplate:FirefightingTemplate:HVAC CategoryCommons Authority control databases: National \| Germany
9729	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1964_AHSME_Problems/Problem_18?srsltid=AfmBOoovg6u9pqX7yBhuDdT7x37_P00opRUxYHnE115mOLVA3OXp-POf	Art of Problem Solving 1964 AHSME Problems/Problem 18 - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. Visit AoPS Academy ‚ Find a Physical CampusVisit the Virtual Campus Sign In Register online school Class ScheduleRecommendationsOlympiad CoursesFree Sessions books tore AoPS CurriculumBeast AcademyOnline BooksRecommendationsOther Books & GearAll ProductsGift Certificates community ForumsContestsSearchHelp resources math training & toolsAlcumusVideosFor the Win!MATHCOUNTS TrainerAoPS Practice ContestsAoPS WikiLaTeX TeXeRMIT PRIMES/CrowdMathKeep LearningAll Ten contests on aopsPractice Math ContestsUSABO newsAoPS BlogWebinars view all 0 Sign In Register AoPS Wiki ResourcesAops Wiki 1964 AHSME Problems/Problem 18 Page ArticleDiscussionView sourceHistory Toolbox Recent changesRandom pageHelpWhat links hereSpecial pages Search 1964 AHSME Problems/Problem 18 Problem 18 Let be the number of pairs of values of and such that and have the same graph. Then is: Solution For two lines to be the same, their slopes must be equal and their intercepts must be equal. This is a necessary and sufficient condition. The slope of the first line is , while the slope of the second line is . Thus, , or . The intercept of the first line is , while the intercept of the second line is . Thus, , or . Plugging into gives , or . This means This in turn gives . Thus, , for two solutions, which is answer See Also 1964 AHSC (Problems • Answer Key • Resources) Preceded by Problem 17Followed by Problem 19 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11•12•13•14•15•16•17•18•19•20•21•22•23•24•25•26•27•28•29•30•31•32•33•34•35•36•37•38•39•40 All AHSME Problems and Solutions These problems are copyrighted © by the Mathematical Association of America, as part of the American Mathematics Competitions. Retrieved from " Category: Introductory Algebra Problems Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
9730	https://math.stackexchange.com/questions/1349466/calculating-sum-k-0n-sink-theta	calculus - Calculating $\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)$ - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Loading… Tour Start here for a quick overview of the site Help Center Detailed answers to any questions you might have Meta Discuss the workings and policies of this site About Us Learn more about Stack Overflow the company, and our products current community Mathematics helpchat Mathematics Meta your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Home Questions Unanswered AI Assist Labs Tags Chat Users Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Calculating ∑n k=0 sin(k θ)∑n k=0 sin(k θ) [duplicate] Ask Question Asked 10 years, 2 months ago Modified10 years, 2 months ago Viewed 5k times This question shows research effort; it is useful and clear 4 Save this question. Show activity on this post. This question already has answers here: How can we sum up sin sin and cos cos series when the angles are in arithmetic progression? (8 answers) Closed 10 years ago. I'm given the task of calculating the sum ∑n i=0 sin(i θ)∑n i=0 sin(i θ). So far, I've tried converting each sin(i θ)sin(i θ) in the sum into its taylor series form to get: sin(θ)=θ−θ 3 3!+θ 5 5!−θ 7 7!...sin(θ)=θ−θ 3 3!+θ 5 5!−θ 7 7!... sin(2 θ)=2 θ−(2 θ)3 3!+(2 θ)5 5!−(2 θ)7 7!...sin(2 θ)=2 θ−(2 θ)3 3!+(2 θ)5 5!−(2 θ)7 7!... sin(3 θ)=3 θ−(3 θ)3 3!+(3 θ)5 5!−(3 θ)7 7!...sin(3 θ)=3 θ−(3 θ)3 3!+(3 θ)5 5!−(3 θ)7 7!... ... sin(n θ)=n θ−(n θ)3 3!+(n θ)5 5!−(n θ)7 7!...sin(n θ)=n θ−(n θ)3 3!+(n θ)5 5!−(n θ)7 7!... Therefore the sum becomes, θ(1+...+n)−θ 3 3!(1 3+...+n 3)+θ 5 5!(1 5+...+n 5)−θ 7 7!(1 7+...+n 7)...θ(1+...+n)−θ 3 3!(1 3+...+n 3)+θ 5 5!(1 5+...+n 5)−θ 7 7!(1 7+...+n 7)... But it's not immediately obvious what the next step should be. I also considered expanding each sin(i θ)sin(i θ) using the trigonemetry identity sin(A+B)sin(A+B), however I don't see a general form for sin(i θ)sin(i θ) to work with. calculus sequences-and-series trigonometry summation taylor-expansion Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications edited Jul 4, 2015 at 22:24 Olivier Oloa 123k 19 19 gold badges 207 207 silver badges 329 329 bronze badges asked Jul 4, 2015 at 18:22 Andrew BrickAndrew Brick 1,356 1 1 gold badge 13 13 silver badges 22 22 bronze badges 2 You can also use the identity e i k x=c o s(k x)+i s i n(k x)e i k x=c o s(k x)+i s i n(k x), sum over k k (geometric progression) and separate the imaginary part of the result...u1571372 –u1571372 2015-07-04 18:29:53 +00:00 Commented Jul 4, 2015 at 18:29 Not that I do self-citing but take a look at this answer as I think you can re-work it to something you require.Chinny84 –Chinny84 2015-07-04 18:29:58 +00:00 Commented Jul 4, 2015 at 18:29 Add a comment\| 3 Answers 3 Sorted by: Reset to default This answer is useful 6 Save this answer. Show activity on this post. You may write, for any θ∈R θ∈R such that sin(θ/2)≠0 sin(θ/2)≠0, n∑k=0 sin(k θ)=ℑ n∑k=0 e i k θ=ℑ(e i(n+1)θ−1 e i θ−1)=ℑ(e i(n+1)θ/2(e i(n+1)θ/2−e−i(n+1)θ/2)e i θ/2(e i θ/2−e−i θ/2))=ℑ(e i n θ/2(2 i sin((n+1)θ/2))(2 i sin(θ/2)))=ℑ(e i n θ/2 sin((n+1)θ/2)sin(θ/2))=ℑ((cos(n θ/2)+i sin(n θ/2))sin((n+1)θ/2)sin(θ/2))=sin(n θ/2)sin((n+1)θ/2)sin(θ/2). Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 4, 2015 at 18:40 answered Jul 4, 2015 at 18:33 Olivier OloaOlivier Oloa 123k 19 19 gold badges 207 207 silver badges 329 329 bronze badges 2 On the other hand, if sin(θ/2)=0, then θ=2 π k for some integer k, so the sum is just zero.Ian –Ian 2015-07-04 22:29:45 +00:00 Commented Jul 4, 2015 at 22:29 @Ian Yes, then it is a trivial case. Thanks.Olivier Oloa –Olivier Oloa 2015-07-04 22:31:30 +00:00 Commented Jul 4, 2015 at 22:31 Add a comment\| This answer is useful 5 Save this answer. Show activity on this post. 2 sin θ 2 sin k θ=cos(2 k−1)θ 2−cos(2 k+1)θ 2 so (telescoping sum) 2 sin θ 2 n∑k=1 sin k θ=cos(θ 2)−cos(2 n+1)θ 2=2 sin n θ 2 sin(n+1)θ 2 giving n∑k=1 sin k θ=sin n θ 2 sin(n+1)θ 2 sin θ 2 Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Jul 4, 2015 at 18:57 David HoldenDavid Holden 18.4k 2 2 gold badges 23 23 silver badges 37 37 bronze badges Add a comment\| This answer is useful 4 Save this answer. Show activity on this post. If you know complex variables, e i k θ=cos(k θ)+i sin(k θ). Then n∑k=0 sin(k θ)=ℑ(n∑k=0 e i k θ)=ℑ(n∑k=0(e i θ)k). This, however, is a geometric series (provided θ is not a multiple of 2 π), so we know its formula: ℑ(1−e i θ(n+1)1−e i θ)=ℑ(1−cos((n+1)θ)−i sin((n+1)θ)1−cos(θ)−i sin(θ)) Now, rationalize the denominator (and take the imaginary part) to get (1−cos((n+1)θ))sin(θ)−sin((n+1)θ)(1−cos(θ))1−2 cos(θ)+cos 2(θ)+sin 2(θ) Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jul 4, 2015 at 18:37 answered Jul 4, 2015 at 18:29 Michael BurrMichael Burr 34k 2 2 gold badges 52 52 silver badges 81 81 bronze badges Add a comment\| Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions calculus sequences-and-series trigonometry summation taylor-expansion See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Linked 209How can we sum up sin and cos series when the angles are in arithmetic progression? 3The value of ∑∞n=1(q)n(sin(n a)),\|q\|<1 1Evaluate this continued trigonometric sum 1Mathematical induction, sum of sines Related 8Integral ∫2 π 0√1−sin θ sin 2 θ+cos θ cos 2 θ d θ 2How to solve 3−2 cos θ−4 sin θ−cos 2 θ+sin 2 θ=0 11Proof of cos θ+cos 2 θ+cos 3 θ+⋯+cos n θ=sin 1 2 n θ sin 1 2 θ cos 1 2(n+1)θ 1How is A sin θ+B cos θ=C sin(θ+ϕ) derived? 16Closed form of ∫π/2 0 arctan 2(sin 2 θ)sin 2 θ d θ 3Trig Identity Proof 1+sin θ cos θ+cos θ 1−sin θ=2 tan(θ 2+π 4) 13Simplifying ∑n x=0(n x)sin π x n 2How can I show ∑∞k=1 sin k x k=π−x 2? 3Finding the Taylor series for ln(sin(x)) 1Taylor Series - approximation of sin(x) Hot Network Questions Another way to draw RegionDifference of a cylinder and Cuboid Exchange a file in a zip file quickly What's the expectation around asking to be invited to invitation-only workshops? Are there any world leaders who are/were good at chess? Where is the first repetition in the cumulative hierarchy up to elementary equivalence? Alternatives to Test-Driven Grading in an LLM world What happens if you miss cruise ship deadline at private island? How different is Roman Latin? how do I remove a item from the applications menu Should I let a player go because of their inability to handle setbacks? Interpret G-code Explain answers to Scientific American crossword clues "Éclair filling" and "Sneaky Coward" Calculating the node voltage How exactly are random assignments of cases to US Federal Judges implemented? Who ensures randomness? Are there laws regulating how it should be done? How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? How many stars is possible to obtain in your savefile? Can peaty/boggy/wet/soggy/marshy ground be solid enough to support several tonnes of foot traffic per minute but NOT support a road? Any knowledge on biodegradable lubes, greases and degreasers and how they perform long term? Identifying a movie where a man relives the same day Suspicious of theorem 36.2 in Munkres “Analysis on Manifolds” Who is the target audience of Netanyahu's speech at the United Nations? How to start explorer with C: drive selected and shown in folder list? What meal can come next? Matthew 24:5 Many will come in my name! Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Mathematics Tour Help Chat Contact Feedback Company Stack Overflow Teams Advertising Talent About Press Legal Privacy Policy Terms of Service Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.26.34547 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Accept all cookies Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Cookies Details‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Cookies Details‎ Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Cookies Details‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. Cookies Details‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Necessary cookies only Confirm my choices
9731	https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S1937644818300698	Skip to article My account Sign in Access through your organization Purchase PDF Article preview Abstract Introduction Section snippets References (77) Cited by (181) International Review of Cell and Molecular Biology Volume 342, 2019, Pages 73-93 Chapter Three- Macrophages: Their Untold Story in T Cell Activation and Function Author links open overlay panel rights and content Abstract The complexity of T cell activation to maintain homeostasis and provide host defense is highlighted by the intricate step-wise process which is coordinated by multiple cell types. Crucial to T cell activation is the requirement of antigen-presenting cells (APCs) such as macrophages at each step of the activation and effector stages. Macrophages are central regulators in T cell activation and are involved in each step including initiating the series of events leading to T cell activation. Macrophages identify and present foreign antigens in classes I and II major histocompatibility complexes (MHC) to T cells, which recognize the MHC-antigen complex through their T cell receptor. This initial step is all in vain if additional costimulatory and cytokine signaling does not occur concurrently. Macrophages can mediate and provide the required costimulatory signaling and cytokine secretion required for effective T cell activation. While other cell types, especially other APCs, may be capable of playing a role during different stages of T cell activation, this review will focus on how macrophages can modulate T cell activation and effector function. This is in no way an attempt to minimize the role of other APCs but instead to bring to light to the role macrophages can play during this process. Here, the role macrophages play in cancer to either activate or inhibit T cells based on macrophage phenotype, costimulatory molecules, and cytokine secretion is highlighted as an example of how macrophages can significantly alter T cell activation and effector function in human disease. Introduction The adaptive and innate arms of the immune systems have developed an efficient and coordinated means to defend the host. Cells of the innate immune system such as monocytes come into contact with invading pathogens, bacteria, damaged tissue, and malignant cells and differentiate into specialized antigen-presenting cells (APCs) such as macrophages and dendritic cells (DCs) (Krutzik et al., 2005) to maintain homeostasis. Either after infection or phagocytosis, foreign material is degraded and presented at the surface of APCs such as macrophages in major histocompatibility complex (MHC) molecules I or II to cells of the adaptive immune system, called T cells, or to other APC, which then present foreign material to T cells. The interaction between APCs and T cells is considered a critical communication between the innate and adaptive arms of the immune system and is necessary to defend the host. Errors in this communication can lead to immunodeficiency, damage to host tissue in the form of autoimmunity, failure to destroy invading pathogens, and cancer. While T cells generally mediate the effector phase by eliminating invading bacteria, pathogens, and malignant cells, APCs are indispensable in this process, as they are required to initiate the immune response by activating T cells. Therefore, while much attention is rightly paid to the mechanisms of T effector function, this review will focus on the critical upstream role and sequential steps of how APCs activate T cells. A specific focus will be paid to how macrophages play an essential role not only in presenting foreign antigen to T cells but also their ability to provide required costimulatory molecules and cytokines that ensure effective T cell activation, as well as the ability of macrophages to regulate T cell suppression. There are three critical steps or signals required to produce an effective T cell response; all of which require macrophages or other APCs (Fig. 1). These are tightly regulated processes involving a number of interactions between receptors including the T cell receptor (TCR) with MHC-peptide complexes on APCs (Signal 1), complex costimulatory molecule signaling between the T cell (CD28) and macrophages (CD80/CD86; Signal 2; Fig. 1) (Odobasic et al., 2008, Petro et al., 1995, Orlikowsky et al., 2003),and appropriate signaling molecules that can be secreted from macrophages or found in the environment (Signal 3; Fig. 1). Successful interactions between T cells and APCs, including macrophages, at signals 1, 2, and 3 are required to activate T cells to produce cytokines as well as induce their clonal expansion and differentiation into effector T lymphocytes. The major steps required to activate T cells and the essential role played by APCs, namely macrophages, will be reviewed in the following. Section snippets Macrophages as Efficient APCs Macrophages have several fundamental roles, essential to development, homeostasis, and immunity. During tissue homeostasis, macrophages play an essential role in eliminating apoptotic cells and recycling nutrients by digesting waste products from tissue. During tissue repair processes, macrophages orchestrate tissue repair by recognizing and removing modified host proteins and lipids (i.e., oxidized proteins and lipids). Macrophages are best known for their fundamental role as principal Cross-Presentation and TCR Engagement of the MHC Serves as Signal 1 A foreign peptide can be presented through either class I or II MHC complexes. The class I MHC-peptide complex can be presented by all nucleated cells. In humans the HLAs corresponding to MHC class I are HLA-A, HLA-B, and HLA-C. On the other hand, only professional APCs (macrophages, DCs, and B cells) can present antigenic material through the class II MHC complex. In humans the class II MHC complex is encoded by the human leukocyte antigen gene complex (HLA) and includes HLA-Dp, Hla-Dm, Signal 2: Costimulatory and Inhibitory Receptors on Macrophages While the specific recognition of cognate antigenic peptides presented by MHC molecules of APCs triggers TCR signaling, it is the costimulatory and coinhibitory ligand-receptor interaction between APCs and T cells that ultimately direct T cell function and determine T cell fate. The TCR by itself is not able to produce activating signals and is dependent on costimulatory molecules that assemble as the CD3/TCR signaling complex (Signal 2). This complex is vital for the differentiation, survival, Signal 3: Environmental Cytokine Production Directs T Cell Differentiation and Effector Function Even after T cells engage in TCRMHC complexes, have proper costimulatory activation, still further signals (Signal 3) are required for T cell activation. Additional requirement for T cell activation comes from cytokines in the local environment produced by macrophages and other cells. The variation in Signal 3 is associated with CD4+ T cells being activated to the different T cell subsets, which dictate their effector function (Fig. 1, Table 2; Swain et al., 2012). Once activated, CD4+ T cell The Role of Macrophages on T Cell Inhibition and Exhaustion Macrophages can regulate T cell inhibition through direct cell to cell contact as well as through secretion of cytokines and metabolic byproducts. For example, in the tumor microenvironment (TME), tumor-associated macrophages (TAMs), DCs, tumor cells, Tregs, and myeloid-derived suppressor cells (MDSCs) secrete suppressive cytokines such as IL-10 and TGF-Î² which suppress the function of effector T cells (Annacker et al., 2003, Thomas and Massague, 2005). Indole 2,3-dioxygenase (IDO)which can be Tumor-Associated Macrophages The TME generally promotes the generation of TAMs that have a tumor-promoting phenotype and resemble AAMs. Infiltrating monocytes respond appropriately to the low oxygen and nutrients within the tumor and polarize into AAM. Additionally, T cells within the TME can influence macrophage phenotype. Th1 and Th17 cells can skew macrophages toward a proinflammatory phenotype (CAM), whereas Th2 cells skew macrophages toward an anti-inflammatory phenotype (AAM; Gordon, 2003, Jovanovic et al., 1998). Acknowledgments The author apologizes to the authors whose work could not be cited due to space constraints. The author thanks J. Castrillon, C. Hartl, and A. Mehta for editing and critical feedback, and C. Curato for the provocative title. This work was supported by the National Institutes of Health Grant P50CA168504 and the Friends of Dana-Farber, Dancing for a Cure. References (77) O. Annacker et al. ### Interleukin-10 in the regulation of T cell-induced colitis ### J. Autoimmun. (2003) C.E. Arnold et al. ### The activation status of human macrophages presenting antigen determines the efficiency of Th17 responses ### Immunobiology (2015) L.H. Boise et al. ### bcl-x, a bcl-2-related gene that functions as a dominant regulator of apoptotic cell death ### Cell (1993) M.P. Chao et al. ### Anti-CD47 antibody synergizes with rituximab to promote phagocytosis and eradicate non-Hodgkin lymphoma ### Cell (2010) J.M. Curtsinger et al. ### Inflammatory cytokines as a third signal for T cell activation ### Curr. Opin. Immunol. (2010) S. Goel et al. ### Overcoming therapeutic resistance in HER2-positive breast cancers with CDK4/6 inhibitors ### Cancer Cell (2016) J.L. Guerriero ### Macrophages: the road less traveled, changing anticancer therapy ### Trends Mol. Med. (2018) P. Gupta et al. ### Tissue-resident CD169+ macrophages form a crucial front line against Plasmodium infection ### Cell Rep. (2016) A. Mantovani et al. ### The chemokine system in diverse forms of macrophage activation and polarization ### Trends Immunol. (2004) T. Nakayama et al. ### The TCR-mediated signaling pathways that control the direction of helper T cell differentiation ### Semin. Immunol. (2010) H. Nishimura et al. ### Development of lupus-like autoimmune diseases by disruption of the PD-1 gene encoding an ITIM motif-carrying immunoreceptor ### Immunity (1999) - D.A. Thomas et al. ### TGF-beta directly targets cytotoxic T cell functions during tumor evasion of immune surveillance ### Cancer Cell (2005) - E.A. Tivol et al. ### Loss of CTLA-4 leads to massive lymphoproliferation and fatal multiorgan tissue destruction, revealing a critical negative regulatory role of CTLA-4 ### Immunity (1995) - S.L. Topalian et al. ### Immune checkpoint blockade: a common denominator approach to cancer therapy ### Cancer Cell (2015) - D. Van Dinther et al. ### Functional CD169 on macrophages mediates interaction with dendritic cells for CD8(+) T cell cross-priming ### Cell Rep. (2018) - I.S. Afonina et al. ### Cytotoxic and non-cytotoxic roles of the CTL/NK protease granzyme B ### Immunol. Rev. (2010) - F. Balkwill ### Cancer and the chemokine network ### Nat. Rev. Cancer (2004) - D.L. Barber et al. ### Restoring function in exhausted CD8 T cells during chronic viral infection ### Nature (2006) - G.L. Beatty et al. ### CD40 agonists alter tumor stroma and show efficacy against pancreatic carcinoma in mice and humans ### Science (2011) - G.L. Beatty et al. ### A phase I study of an agonist CD40 monoclonal antibody (CP-870,893) in combination with gemcitabine in patients with advanced pancreatic ductal adenocarcinoma ### Clin. Cancer Res. (2013) - C.A. Bernhard et al. ### CD169+ macrophages are sufficient for priming of CTLs with specificities left out by cross-priming dendritic cells ### Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. (2015) - S.D. Blackburn et al. ### Coregulation of CD8+ T cell exhaustion by multiple inhibitory receptors during chronic viral infection ### Nat. Immunol. (2009) - J.A. Brown et al. ### Blockade of programmed death-1 ligands on dendritic cells enhances T cell activation and cytokine production ### J. Immunol. (2003) - L. Chen et al. ### Molecular mechanisms of T cell co-stimulation and co-inhibition ### Nat. Rev. Immunol. (2013) - S.L. Constant et al. ### Induction of Th1 and Th2 CD4+ T cell responses: the alternative approaches ### Annu. Rev. Immunol. (1997) - J.M. Den Haan et al. ### CD8(+) but not CD8(-) dendritic cells cross-prime cytotoxic T cells in vivo ### J. Exp. Med. (2000) - C. Dong et al. ### ICOS co-stimulatory receptor is essential for T-cell activation and function ### Nature (2001) - G.P. Dunn et al. ### The three Es of cancer immunoediting ### Annu. Rev. Immunol. (2004) - J. Fourcade et al. ### CD8(+) T cells specific for tumor antigens can be rendered dysfunctional by the tumor microenvironment through upregulation of the inhibitory receptors BTLA and PD-1 ### Cancer Res. (2012) - L.M. Francisco et al. ### PD-L1 regulates the development, maintenance, and function of induced regulatory T cells ### J. Exp. Med. (2009) - D.I. Gabrilovich et al. ### Coordinated regulation of myeloid cells by tumours ### Nat. Rev. Immunol. (2012) - S. Gholamin et al. ### Disrupting the CD47-SIRPalpha anti-phagocytic axis by a humanized anti-CD47 antibody is an efficacious treatment for malignant pediatric brain tumors ### Sci. Transl. Med. (2017) - S. Gordon ### Alternative activation of macrophages ### Nat. Rev. Immunol. (2003) - J.L. Guerriero et al. ### Class IIa HDAC inhibition reduces breast tumours and metastases through anti-tumour macrophages ### Nature (2017) - K.S. Hathcock et al. ### Comparative analysis of B7-1 and B7-2 costimulatory ligands: expression and function ### J. Exp. Med. (1994) - K. Inaba et al. ### The tissue distribution of the B7-2 costimulator in mice: abundant expression on dendritic cells in situ and during maturation in vitro ### J. Exp. Med. (1994) - A.A. Itano et al. ### Antigen presentation to naive CD4 T cells in the lymph node ### Nat. Immunol. (2003) - A. Iwasaki et al. ### Toll-like receptor control of the adaptive immune responses ### Nat. Immunol. (2004) Cited by (181) Spatiotemporal co-dependency between macrophages and exhausted CD8+ T cells in cancer 2022, Cancer Cell T cell exhaustion is a major impediment to antitumor immunity. However, it remains elusive how other immune cells in the tumor microenvironment (TME) contribute to this dysfunctional state. Here, we show that the biology of tumor-associated macrophages (TAMs) and exhausted T cells (Tex) in the TME is extensively linked. We demonstrate that in vivo depletion of TAMs reduces exhaustion programs in tumor-infiltrating CD8+ T cells and reinvigorates their effector potential. Reciprocally, transcriptional and epigenetic profiling reveals that Tex express factors that actively recruit monocytes to the TME and shape their differentiation. Using lattice light sheet microscopy, we show that TAM and CD8+ T cells engage in unique, long-lasting, antigen-specific synaptic interactions that fail to activate T cells but prime them for exhaustion, which is then accelerated in hypoxic conditions. Spatially resolved sequencing supports a spatiotemporal self-enforcing positive feedback circuit that is aligned to protect rather than destroy a tumor. ### The allergy mediator histamine confers resistance to immunotherapy in cancer patients via activation of the macrophage histamine receptor H1 2022, Cancer Cell Citation Excerpt : Modulation of IFN-Î³+ PRF1+ CD8+ T cells by macrophage HRH1 was largely dependent on direct cell-cell contact (Figures 4A and S6A). Since macrophages and dendritic cells can regulate T cell function via engagement of co-stimulatory or inhibitory receptors on T cells (Guerriero, 2019; Ostuni et al., 2015), we investigated whether HRH1 on macrophages induces T cell dysfunction via regulating co-stimulatory or inhibitory receptors on T cells. Among the 13 ligands with co-stimulatory or inhibitory activities screened on EO771 or B16-GM TCM-treated macrophages, VISTA and TIM-3, known inhibitory molecules (Lines et al., 2014; Ocana-Guzman et al., 2016), were the most downregulated molecules on HRH1/ macrophages compared with WT macrophages (Figures 4B and S6B). Reinvigoration of antitumor immunity remains an unmet challenge. Our retrospective analyses revealed that cancer patients who took antihistamines during immunotherapy treatment had significantly improved survival. We uncovered that histamine and histamine receptor H1 (HRH1) are frequently increased in the tumor microenvironment and induce T cell dysfunction. Mechanistically, HRH1-activated macrophages polarize toward an M2-like immunosuppressive phenotype with increased expression of the immune checkpoint VISTA, rendering T cells dysfunctional. HRH1 knockout or antihistamine treatment reverted macrophage immunosuppression, revitalized T cell cytotoxic function, and restored immunotherapy response. Allergy, via the histamine-HRH1 axis, facilitated tumor growth and induced immunotherapy resistance in mice and humans. Importantly, cancer patients with low plasma histamine levels had a more than tripled objective response rate to anti-PD-1 treatment compared with patients with high plasma histamine. Altogether, pre-existing allergy or high histamine levels in cancer patients can dampen immunotherapy responses and warrant prospectively exploring antihistamines as adjuvant agents for combinatorial immunotherapy. ### Macrophage Biology and Mechanisms of Immune Suppression in Breast Cancer 2021, Frontiers in Immunology Macrophages are crucial innate immune cells that maintain tissue homeostasis and defend against pathogens; however, their infiltration into tumors has been associated with adverse outcomes. Tumor-associated macrophages (TAMs) represent a significant component of the inflammatory infiltrate in breast tumors, and extensive infiltration of TAMs has been linked to poor prognosis in breast cancer. Here, we detail how TAMs impede a productive tumor immunity cycle by limiting antigen presentation and reducing activation of cytotoxic T lymphocytes (CTLs) while simultaneously supporting tumor cell survival, angiogenesis, and metastasis. There is an urgent need to overcome TAM-mediated immune suppression for durable anti-tumor immunity in breast cancer. To date, failure to fully characterize TAM biology and classify multiple subsets has hindered advancement in therapeutic targeting. In this regard, the complexity of TAMs has recently taken center stage owing to their subset diversity and tightly regulated molecular and metabolic phenotypes. In this review, we reveal major gaps in our knowledge of the functional and phenotypic characterization of TAM subsets associated with breast cancer, before and after treatment. Future work to characterize TAM subsets, location, and crosstalk with neighboring cells will be critical to counteract TAM pro-tumor functions and to identify novel TAM-modulating strategies and combinations that are likely to enhance current therapies and overcome chemo- and immuno-therapy resistance. ### Abdominal Aortic Aneurysm: Roles of Inflammatory Cells 2021, Frontiers in Immunology Abdominal aortic aneurysms (AAAs) are local dilations of infrarenal segment of aortas. Molecular mechanisms underlying the pathogenesis of AAA remain not fully clear. However, inflammation has been considered as a central player in the development of AAA. In the past few decades, studies demonstrated a host of inflammatory cells, including T cells, macrophages, dendritic cells, neutrophils, B cells, and mast cells, etc. infiltrating into aortic walls, which implicated their crucial roles. In addition to direct cell contacts and cytokine or protease secretions, special structures like inflammasomes and neutrophil extracellular traps have been investigated to explore their functions in aneurysm formation. The above-mentioned inflammatory cells and associated structures may initiate and promote AAA expansion. Understanding their impacts and interaction networks formation is meaningful to develop new strategies of screening and pharmacological interventions for AAA. In this review, we aim to discuss the roles and mechanisms of these inflammatory cells in AAA pathogenesis. ### Calreticulin and cancer 2021, Cell Research ### The prognostic role of macrophage polarization in the colorectal cancer microenvironment 2021, Cancer Immunology Research View all citing articles on Scopus View full text Copyright © 2019 Elsevier Inc. All rights reserved.
9732	https://pathwaystochemistry.com/study-guide-general-chemistry-1/chemical-reactions-and-mass/percent-composition-empirical-molecular-formulas/exercise-solutions-empirical-formulas/	Pathways to Chemistry Chemistry for College, Middle and High School, Homeschooled Students, Teachers and Parents Exercise Solutions Empirical Formulas EXERCISES Exercise 1. What is the mass percent of carbon and hydrogen in C10H22? First, calculate the molar mass of C10H22 The molar mass is: Molar mass of C10H22 = 10 x 12.011 g/mol + 22 x 1.00794 g/mol = 142.285 g/mol (\displaystyle \%\;C\;=\;\frac{10\times\;{12.011\;g\;C}}{142.285\;g\;C_{10}H_{22}}\times\;{100}\;=\;\mathbf{84.42\%\;C}) (\displaystyle \%\;H\;=\;\frac{22\times\;{1.00794\;g\;H}}{142.285\;g\;C_{10}H_{22}}\times\;{100}\;=\;\mathbf{15.58\%\;H}) We could also have calculated the %H by subtracting 84.42% C from 100.00% Back to Percent Composition, Empirical, and Molecular Formulas Exercise 2. What is the mass percent of nitrogen in 365 grams (NH4)2CO3 It does not matter how much of the compound we have. The percent composition by mass will be the same for 365 grams or 1 mole of (NH4)2CO3. The molar mass of (NH4)2CO3 is 96.099 g/mol. There are 2 moles of nitrogen atoms in one mole of (NH4)2CO3. The molar mass of nitrogen, N, is 14.0067 g/mol. (\displaystyle \%\;N\;=\;\frac{2\times\;{14.0067\;g\;N}}{96.099\;g\;(NH_4)_2CO_3}\times\;{100}\;=\;\mathbf{29.15\%\;N}) Back to Percent Composition, Empirical, and Molecular Formulas Exercise 3. A compound is 55.3% K, 14.6% P and 30.1% O. What is the empirical formula? Assume 100 g of compound. We have 55.3 g of K, 14.6 g P, and 30.1 g O. Look up the molar masses of K, P, and O and convert these to moles. (\displaystyle 55.3\;g\;K\times\frac{1\;mol\;K}{39.0983\;g\;K}\;=\;\mathbf{1.4\underline{1}44\;mol\;K}) (\displaystyle 14.6\;g\;P\times\frac{1\;mol\;P}{30.9738\;g\;P}\;=\;\mathbf{0.47\underline{1}37\;mol\;P}) (\displaystyle 30.1\;g\;O\times\frac{1\;mol\;O}{15.9994\;g\;O}\;=\;\mathbf{1.8\underline{8}13\;mol\;O}) The formula can be written as: K1.4144P0.47137O1.8813 Divide the subscripts by the smallest subscript, 0.47137 (\displaystyle K_{\frac{1.4144}{0.47137}}P_{\frac{0.47137}{0.47137}}O_{\frac{1.8813}{0.47137}}\;=\;\mathbf{K_3PO_4}) The formula is K3PO4. Back to Percent Composition, Empirical, and Molecular Formulas Exercise 4. A substance contains by mass 7.1% H, 59.0% C, 26.2% O and 7.7% N. The molecular mass of the unknown compound was determined by mass spectrometry to be 180. amu. Determine both the empirical and molecular formula of the compound. There a different ways to do this problem. We could do it the same way as in the previous problem to determine the empirical formula. Since we are given the molecular mass, we can also do the problem like so. We are given the percentages of each element and we can multiply the molar mass by each fractional amount (percent/100) to determine the number of grams of each element in 1 mole of the compound. We then convert the grams of each element to moles. The calculation is: 0.071 x 180 g = 12.78 g H → 12.68 mol H0.590 x 180 g = 106.2 g C → 8.84 mol C0.262 x 180 g = 47.16 g O → 2.95 mol O0.077 x 180 g = 13.86 g N → 0.99 mol N The molecular formula is: (\displaystyle C_{\frac{8.84}{0.99}}H_{\frac{12.68}{0.99}}N_{\frac{0.99}{0.99}}O_{\frac{2.95}{0.99}}\;=\;C_{8.9}H_{12.81}NO_3\;=\;\mathbf{C_9H_{13}NO_3}) The subscripts cannot be reduced further. Both the molecular formula and empirical formula is C9H13NO3. Back to Percent Composition, Empirical, and Molecular Formulas Exercise 5. Combustion analysis of 0.960 g of a hormone that contains hydrogen, carbon, and oxygen yielded 2.650 g of CO2 and 0.818 g of H2. Which of the following substances could be the unknown hormone? Cortisol, Mm = 362.4662 g/mol Aldosterone, Mm = 360.4503 g/mol 11-deoxycorticosterone, Mm = 330.4674 g/mol Estrone, Mm = 270.3715 g/mol Estriol, Mm = 288.38576 g/mol First, we find the number of grams and moles of carbon and hydrogen. (\displaystyle 2.650\;g\;CO_2\times\frac{1\;mol\;CO_2}{44.01\;g\;CO_2}\times\frac{1\;mol\;C}{1\;mol\;CO_2}\times\frac{12.011\;g\;C}{1\;mol\;C}\;=\;\mathbf{0.72323\;g\;C}) (\displaystyle 0.72323\;g\;C\times\frac{1\;mol\;C}{12.011\;g\;C}\;=\;\mathbf{0.06021\;mol\;C}) (\displaystyle 0.818\;g\;H_2O\times\frac{1\;mol\;H_2O}{18.02\;g\;H_2O}\times\frac{2\;mol\;H}{1\;mol\;H_2O}\times\frac{1.00794\;g\;H}{1\;mol\;H}\;=\;\mathbf{0.09151\;g\;H}) (\displaystyle 0.09151\;g\;H\times\frac{1\;mol\;H}{1.00794\;g\;H}\;=\;\mathbf{0.09079\;mol\;H}) Next we find the grams and moles of hydrogen by subtracting the grams of hydrogen and carbon from the mass of the compound. grams of H = 0.960 g – (0.72323 g + 0.09151 g) = 0.14526 g O (\displaystyle 0.14526\;g\;O\times\frac{1\;mol\;O}{15.9994\;g\;O}\;=\;\mathbf{0.009079\;mol\;O}) Write the formula and divide each subscript by the lowest value subscript: (\displaystyle C_{0.06021}H_{0.09079}O_{0.009079}\;=\;C_{\frac{0.06021}{0.009079}}H_{\frac{0.09079}{0.009079}}O_{\frac{0.009079}{0.009079}}\;=\;C_{6.6322}H_{10}O) The empirical formula is C7H10O and its molar mass is 110.156 g/mol. We can divide the molar masses of the compounds by the empirical formula mass to find the whole number multiple. 362.4662/110.156 = 3.29360.45032/110.156 = 3.26330.4674/110.156 = 2.99 ≅ 3 270.37148/110.156 = 2.45 288.38676/110.156 = 2.61 Multiply the subscripts of the empirical formula by 3. The hormone is most likely 11-deoxycorticosterone, C21H30O3 Back to Percent Composition, Empirical, and Molecular Formulas Exercise 6. There are several oxides of tungsten, W. If 7.56 g of the compound contains 5.99 g of W, what is the empirical formula of the compound? First, find the percentage of W and from that we can find the percentage of oxygen in the compound. (\displaystyle\frac{5.99}{7.56}\times\;{100}\;=\;\mathbf{79.2\%\;W}) 100.0% – 79.2% = 20.8% O. Assume 100.0 g of compound that contains 79.2 g of W and 20.8 g of O. Convert to moles. 79.2 g W = 0.4308 mol W20.8 g O = 1.300 mol O (\displaystyle W_{0.4308}O_{1.300}\;=\;W_{\frac{0.4308}{0.4308}}O_{\frac{1.300}{0.4308}}\;=\;WO_3) The empirical formula is WO3, tungsten(VI) oxide. This compound is also known as tungsten trioxide. Back to Percent Composition, Empirical, and Molecular Formulas Leave a Reply Cancel reply
9733	https://math.stackexchange.com/questions/2448328/range-of-the-function-fx-frac2xx21	Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Range of the function $f(x) = \frac{2x}{x^{2}+1}$ [duplicate] Ask Question Asked Modified 8 years ago Viewed 87 times 1 $\begingroup$ Plotting the function $f(x) = \frac{2x}{x^{2}+1}$ we can see the range is $[-1,1]$. Now I was told to do $f(x)=y$ and isolate $x$ doing this I have, using the quadratic formula $x=\frac{1\pm \sqrt{1-y^2}}{y}$ then $$range f(x)= domain \frac{1\pm \sqrt{1-y^2}}{y}$$. But this domain does not include $0$ and $0=f(0)$ so $0$ must be in the range, what am I missing? calculus functions Share asked Sep 28, 2017 at 0:03 SonnySonny 10911 silver badge77 bronze badges $\endgroup$ 7 1 $\begingroup$ Is there any reason to think that the domain is not the whole of $\mathbb{R}$? $\endgroup$ Joppy – Joppy 2017-09-28 00:06:16 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:06 $\begingroup$ Suppose $f(x)=3$ then $ \frac{2x}{x^{2}+1}=3$ this quadratic equation has no solution so the range is not the whole real line. $\endgroup$ Sonny – Sonny 2017-09-28 00:08:21 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:08 $\begingroup$ @Sonny That means that $3$ is not in the range of $f$. This does not mean that $f$ has no domain. $\endgroup$ Simply Beautiful Art – Simply Beautiful Art 2017-09-28 00:09:11 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:09 $\begingroup$ When $f(x)=0$, you can't apply the quadratic formula. That's like trying to solve$$ax+b=c$$using the quadratic formula. $\endgroup$ Simply Beautiful Art – Simply Beautiful Art 2017-09-28 00:10:32 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:10 $\begingroup$ yes, sorry, the domain is not the whole real line, since the $1-y^2$ must be non negative...yes the domain of the original function is the real line, but that is not my question $\endgroup$ Sonny – Sonny 2017-09-28 00:11:06 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:11 \| Show 2 more comments 2 Answers 2 Reset to default 3 $\begingroup$ $y = \frac {2x}{x^2+1}\ yx^2 - 2x + y = 0$ And then you use the quadratic formula to find values of $y,$ such that $x$ can be a real root of the polynomial. All good. What happens at $y = 0$? $yx^2 - 2x + y = 0$ ceases to be a quadratic and the quadratic formula is not applicable. Share edited Sep 28, 2017 at 0:26 answered Sep 28, 2017 at 0:20 Doug MDoug M 58.8k44 gold badges3535 silver badges6969 bronze badges $\endgroup$ Add a comment \| 1 $\begingroup$ A plot of the function is as good as finding the range. Here a "plot" means sketching the general shape of the function, marking precisely the turning points and so on using calculus, and checking what happens as $x \to \pm \infty$. The method you are trying to use (by finding an inverse function) will also eventually work, but is much harder because this function does not have an inverse. You would have to cut the domain up into three pieces and find an inverse on each. If you've found the turning points and limiting behaviour of the function, you can for sure say what the range is just from a plot. (And in my opinion, this is way more convincing than doing delicate algebra to find partial inverses.) Share edited Sep 28, 2017 at 0:28 answered Sep 28, 2017 at 0:11 JoppyJoppy 14.1k2222 silver badges4545 bronze badges $\endgroup$ 6 1 $\begingroup$ (And in my opinion, this is way more convincing than doing delicate algebra to find partial inverses.) Many proof-writing classes will explicitly discourage a student from doing this, because a graph is absolutely not a proof. $\endgroup$ user296602 – user296602 2017-09-28 00:14:25 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:14 $\begingroup$ @user296602 won't you have to use a graph anyway, to figure out the chunks of the domain where the function is invertible? And I don't really mean a single picture of the function as a proof, I mean a sketch, with worked derivatives and limits backing up the fact that this curve has only two turning points, is monotonic over these three regions, etc etc. $\endgroup$ Joppy – Joppy 2017-09-28 00:16:30 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:16 1 $\begingroup$ A graph may make you believe that $\ln(x)$ has a range of $(-\infty,c)$ for some constant $c$, since $\ln(x)$ appears to flatten out really quickly. But doing the algebra will quickly tell otherwise. $\endgroup$ Simply Beautiful Art – Simply Beautiful Art 2017-09-28 00:16:57 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:16 $\begingroup$ OTOH, I believe that checking a graph is an easy and sometimes intuitive way to check oneself on these problems, but it is definitely not for proving. $\endgroup$ Simply Beautiful Art – Simply Beautiful Art 2017-09-28 00:18:40 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:18 $\begingroup$ @SimplyBeautifulArt I must have been unclear: when I said "plot", I really meant using calculus to find the turning points and shape of the curve, and using limits to check what happens as $x \to \pm \infty$, and drawing all this information onto a graph. $\endgroup$ Joppy – Joppy 2017-09-28 00:24:17 +00:00 Commented Sep 28, 2017 at 0:24 \| Show 1 more comment Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions calculus functions See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Linked Show that $y = \frac{2x}{x^2 +1}$ lies between $-1$ and $1$ inclusive. Related Proving the range of a function Codomain of a function Determining range of multivariable function with square root 1 What is the domain and range of the function $f(x)= \frac{1}{\tan{x}}$? 3 Finding the range of $\frac{x^2}{x^2-9}$ 3 Possible range of a function 0 Finding the range of a rational function. 2 Determining range of a function 1 Range of $x \mapsto \frac{x+5}{\sqrt{x^2+1}}$ What is the Range of the function? Hot Network Questions Can I go in the edit mode and by pressing A select all, then press U for Smart UV Project for that table, After PBR texturing is done? Sign mismatch in overlap integral matrix elements of contracted GTFs between my code and Gaussian16 results Spectral Leakage & Phase Discontinuites Can a cleric gain the intended benefit from the Extra Spell feat? Clinical-tone story about Earth making people violent What happens if you miss cruise ship deadline at private island? RTC battery and VCC switching circuit Do sum of natural numbers and sum of their squares represent uniquely the summands? Identifying a thriller where a man is trapped in a telephone box by a sniper Can a GeoTIFF have 2 separate NoData values? Two calendar months on the same page Verify a Chinese ID Number ICC in Hague not prosecuting an individual brought before them in a questionable manner? How to use \zcref to get black text Equation? Suggestions for plotting function of two variables and a parameter with a constraint in the form of an equation Is direct sum of finite spectra cancellative? What is the feature between the Attendant Call and Ground Call push buttons on a B737 overhead panel? Transforming wavefunction from energy basis to annihilation operator basis for quantum harmonic oscillator Quantizing EM field by imposing canonical commutation relations Is there a specific term to describe someone who is religious but does not necessarily believe everything that their religion teaches, and uses logic? How long would it take for me to get all the items in Bongo Cat? Another way to draw RegionDifference of a cylinder and Cuboid Implications of using a stream cipher as KDF Should I let a player go because of their inability to handle setbacks? more hot questions
9734	https://www.sws.bom.gov.au/Category/Educational/Space%20Weather/Space%20Weather%20Effects/SatelliteOrbitalDecayCalculations.pdf	Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Level 15, Tower C 300 Elizabeth Street Sydney, NSW 2000 PO Box 1386 Haymarket, NSW 1240 Australia Tel: +61 2 92138000 Faz: +61 2 92138060 office@ips.gov.au www.ips.gov.au IPS RADIO AND SPACE SERVICES Satellite Orbital Decay Calculations THE AUSTRALIAN SPACE WEATHER AGENCY Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Summary: The decay of a satellite from low earth orbit is of interest to many people. The drag force that such a satellite experiences is due to its interaction with the few air molecules that are present at these altitudes. The density of the atmosphere at LEO heights is controlled by solar X-ray flux and particle precipitation from the magnetosphere and so varies with the current space weather conditions. This article presents a simple model for atmospheric density as a function of space environmental parameters, and shows how this may be applied to calculate decay rates and orbital lifetimes of satellites in essentially circular orbits below 500 km altitude. A computer program in QBASIC is presented showing how the model may be implemented. Practical use and limitations of the program are discussed, and references are given to guide those interested in further study. 1. Introduction Low Earth orbiting satellites experience orbital decay and have physical lifetimes determined almost entirely by their interaction with the atmosphere. Prediction of such lifetimes or of a re-entry date is of great interest to satellite planners, users, trackers, and frequently to the general public. The prediction of satellite lifetimes depends upon a knowledge of the initial satellite orbital parameters, the satellite mass to cross-sectional area (in the direction of travel), and a knowledge of the upper atmospheric density and how this responds to space environmental parameters which must also be predicted. Even with a complete atmospheric model describing variations with time, season, latitude and altitude, complete specification of orbital decay is not possible because of uncertainties in the prediction of satellite attitude (which affects the relevant cross-sectional area), and solar and geomagnetic indices (which substantially modify the atmospheric model). Even when most of the quantities are known there appears to be an irreducible level below which it is not possible to predict. This level appears to be around 10% of the remaining satellite lifetime, irrespective of what that lifetime is. In other words, the error in predicting the decay of a satellite expected to remain aloft for about 10 years is one year, whereas the demise of a satellite expected to re-enter in 24 hours time is only accurate to about 2 hours! Note that these figures do not apply to a spacecraft such as the Space Shuttle that has a controlled re-entry into the Earth's atmosphere. An appreciation of the uncertainty is shown by a NORAD prediction in April 1979 for the expected re-entry of the SKYLAB space station between 11 June and 1 July of that year. The actual re-entry occurred on July 11, outside the stated interval, a prediction error from mid-interval of around 15%. In the light of such errors in relatively short term predictions, there is a gross mismatch between the detail employed in the atmospheric models of large sophisticated prediction programs and the accuracy of the forecast space environmental parameters employed as input. In the following section, a very simple atmospheric model is described that appears more closely matched to the accuracy limitations imposed upon a forecast of satellite lifetime by the uncertainties in the other variables. 2. The Atmospheric Model This atmospheric model, and thus the prediction scheme, have been confined to satellites with orbits totally below about 500 km altitude. Such orbits can be regarded as essentially circular, with the use of the semimajor axis in place of the orbital radius. The atmospheric density ρ is specified by a simple exponential with variable scale height H. For a fixed exospheric temperature T, H is made to vary with altitude h through the use of an effective atmospheric molecular mass m. This m includes both the actual variation in molecular mass with height and a compensation term for the variation in temperature over the considered range from 180 to 500 km. The variation in density due to the space environment is introduced through T which is specified as a function of the solar radio flux F10.7 and the geomagnetic index Ap. A brief discussion on the cause of atmospheric density variations is in order. The two terms which are used in the model describe the effects of different agencies, both of which originate from the Sun. The solar X-ray output incident upon the Earth is generally absorbed at the base of the thermosphere (around 120 km) and this gives rise to a direct heating effect which propagates itself upward from this level. The solar 10 cm radio flux is used as a Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar surrogate for the total solar X-ray flux which produces this effect. This flux can vary from a low of about 65 to over 300 Solar Flux Units (1 SFU = 10-22 W/m2/Hz). The other agency is the precipitation of particles (mainly electrons and protons) from the magnetosphere down into the lower thermosphere. The energy dumped by this precipitation again acts to heat the atmosphere, which subsequently changes the atmospheric density. Most of these particles originate from the Sun. They are expelled in Coronal Mass Ejections, travel through the interplanetary medium, and eventually arrive at the Earth. Precipitation of such particles is well correlated with large variations in the geomagnetic field as measured at ground level, and quantified by a number of geomagnetic indices, including the planetary A index used here. This index, computed every 24 hours, hovers just above zero in quiet times, but may rise to above 400 (no units) at times of major geomagnetic storms. The set of defining equations for the model are given by: T = 900 + 2.5 ( F10.7 - 70 ) + 1.5 Ap (Kelvin) m = 27 - 0.012 ( h - 200 ) 180 < h(km) < 500 H = T / m (km) ρ = 6x10-10 exp ( - ( h - 175 ) / H ) ( kg m-3 ) All constants were empirically derived to give an appropriate fit to the standard models. It should be noted that the only really valid output of this model is the density. The intermediate variables used in deriving this density in general do not correspond to true atmospheric values at any height within the considered range. The temperature may be regarded as the mean asymptotic value for the exosphere at large altitudes. The molecular mass might be regarded as an integrated mean value from the base of the thermosphere up to the specified height. The solar 10 cm radio flux is generally used in an averaged form, and the average preferred is that of the last 90 days prior to the specified date. Sometimes a small correction is made to weight the current flux more strongly. 3. Satellite Drag When a spacecraft travels through an atmosphere it experiences a drag force in a direction opposite to the direction of its motion. This drag force is given by the expression: D = (1/2)ρv2A Cd where D is the drag force, ρ is the atmospheric density, v is the speed of the satellite, A is its cross-sectional area perpendicular to the direction of motion, and Cd is the drag coefficient. At the altitudes at which satellites orbit, Cd is generally assumed to be equal to two, although experiments have shown that this can vary widely. Because it is usually difficult to separate out independent variations in the cross-sectional area from the variations in the drag coefficient, we shall henceforth use an effective cross-sectional area Ae = A Cd for the rest of the model. We can use this drag force in Newton's second law together with energy considerations of a circular orbit to derive an expression for the change in the orbital radius and period of the satellite with time. For a circular orbit we have the following relation between period P and semimajor axis a : P2 G Me = 4π2a3 where G is the Universal Gravitational Constant and Me is the mass of the Earth The reduction in the period due to atmospheric drag is given by: dP/dt = -3πaρ (Ae/m) The last two equations, together with the equations modelling the atmospheric density, can be iterated from the starting satellite altitude and time. In other words the satellite is flown around its orbit using appropriate past or forecast values for the space environment variables (F10.7 and Ap). Re-entry is assumed to occur when the satellite has descended to an altitude of 180 km. In all but the heaviest satellites (those with a mass to area ratio well in excess of 100 kilogram per square metre), the actual lifetime from an altitude of less than 180 km is only a few hours. Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar 4. A Simple Program The following source code, in QuickBasic, is a simple implementation of the above model to illustrate the steps involved. This implementation does not allow for variations in the space environment, and as a result is only suitable for short time periods, or during longer times when solar and geomagnetic activity do not show significant variation. This generally only occurs around the years of solar minimum. ' SATELLITE ORBITAL DECAY 'get required input parameters from keyboard INPUT "Satellite name "; N$ INPUT "Satellite mass (kg) "; M INPUT "Satellite area (m^2) "; A INPUT "Starting height (km) "; H INPUT "Solar Radio Flux (SFU) "; F10 INPUT "Geomagnetic A index "; Ap 'print information to printer LPRINT "SATELLITE ORBITAL DECAY - Model date/time "; DATE$; " @ "; TIME$ LPRINT : LPRINT "Satellite - "; N$ LPRINT : LPRINT USING " Mass = ######.# kg"; M LPRINT USING " Area = #####.# m^2"; A LPRINT USING " Initial height = ###.# km"; H LPRINT USING " F10.7 = ### Ap = ###"; F10; Ap: LPRINT 'print column headings to printer LPRINT " TIME HEIGHT PERIOD MEAN MOTION DECAY" LPRINT "(days) (km) (mins) (rev/day) (rev/day^2)" f$ = "####.# ####.# ###.# ##.#### ##.##^^^^" 'print format 'define some values Re = 6378000!: Me = 5.98E+24 'Earth radius and mass (all SI units) G = 6.67E-11 'Universal constant of gravitation pi = 3.1416: T = 0: dT = .1 'time & time increment are in days D9 = dT 3600 24 'put time increment into seconds H1 = 10: H2 = H 'H2=print height, H1=print height increment R = Re + H 1000 'R is orbital radius in metres P = 2 pi SQR(R R R / Me / G) 'P is period in seconds 'now iterate satellite orbit with time DO SH = (900 + 2.5 (F10 - 70) + 1.5 Ap) / (27 - .012 (H - 200)) DN = 6E-10 EXP(-(H - 175) / SH) 'atmospheric density dP = 3 pi A / M R DN D9 'decrement in orbital period IF H <= H2 THEN 'test for print Pm = P / 60: MM = 1440 / Pm: nMM = 1440 / ((P - dP)) / 60 'print units Decay = dP / dT / P MM 'rev/day/day LPRINT USING f$; T; H; P / 60; MM; Decay 'do print H2 = H2 - H1 'decrement print height END IF 'end of print routine IF H < 180 THEN EXIT DO 'are we finished? ie re-entry? P = P - dP: T = T + dT 'compute new values R = (G Me P P / 4 / pi / pi) ^ .33333 'new orbital radius H = (R - Re) / 1000 'new altitude (semimajor axis) LOOP 'keep flying satellite LPRINT 'now print estimated lifetime of satellite LPRINT USING "Re-entry after #### days ( ##.## years)"; T; T / 365 LPRINT CHR$(12); 'send form feed to eject paper from printer END Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar A typical run of the above program. SATELLITE ORBITAL DECAY - Model date/time 07-01-1999 @ 15:32:55 Satellite - Test-1 Mass = 100.0 kg Area = 1.0 m^2 Initial height = 300.0 km F10.7 = 70 Ap = 0 TIME HEIGHT PERIOD MEAN MOTION DECAY (days) (km) (mins) (rev/day) (rev/day^2) 0.0 300.0 90.5 15.9139 2.66E-03 10.5 289.9 90.3 15.9463 3.50E-03 19.5 279.9 90.1 15.9823 4.62E-03 26.3 269.9 89.9 16.0182 6.11E-03 31.5 259.9 89.7 16.0546 8.11E-03 35.4 249.9 89.5 16.0908 1.08E-02 38.4 239.8 89.3 16.1279 1.44E-02 40.6 229.8 89.1 16.1642 1.93E-02 42.3 219.6 88.9 16.2018 2.60E-02 43.6 209.1 88.7 16.2406 3.55E-02 44.5 199.3 88.5 16.2768 4.75E-02 45.2 189.2 88.3 16.3146 6.45E-02 45.7 179.5 88.1 16.3507 8.65E-02 Re-entry after 46 days ( 0.13 years) The columns on the printout should be relatively evident. The first column (TIME) is the elapsed time from when the satellite was at the initially specified height. The HEIGHT is the current height at that elapsed time. The PERIOD is the orbital period of the satellite in minutes. The last two columns are the mean motion in revolutions per day and the decay rate in the mean motion (units are revolutions per day per day). These last two parameters are the standard parameters that appear in the Two Line Element sets that NORAD and others issue for various satellites and that may be found on several web sites. Mean motion is simply calculated by dividing the period (in minutes) into 1440, the number of minutes in a day. Decay is the change in mean motion per day. There are several parameters in the program that can be easily changed. You may wish to obtain a printout every kilometre, instead of every 10 kilometres. This can be done by setting the value of H1 to 1. You may wish to try a different time increment for the iteration process. At the moment it (dT) is set to one tenth of a day. Experimenting with this will give you a feel for the accuracy inside the iteration loop. The most accurate results are obtained with a small time increment. However, too small a value will make the program slow to execute. The most efficient increment would vary with altitude. For a satellite at 500 km a time increment of a few days would be adequate, but at 200 km, the increment should be reduced to an hour or less. The current value is a compromise to speed and accuracy. The above simple program should only be viewed as a starting point or a source of ideas to develop your own version which allows for a changing space environment. 5. Satellite Lifetime Predictions The basic scheme to the use of the above program is to find appropriate values for the space environmental parameters (solar 10 cm radio flux and geomagnetic activity index) and estimate or calculate a value for the satellite mass to area ratio. In the absence of any information on the latter quantity it is usual to employ a value of 100 kg per square metre. This is an average value for many satellites. Extreme value do not vary a great deal from this mean, with a low of 50 and a high of 200 covering 90% of relevant spacecraft. Peculiar orbiting objects may however, have values outside this range. Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Having substituted the above values in the program and run it, the next step is to compare the output with the actual behaviour of the satellite in which you are interested. This will involve obtaining a list of actual satellite periods, altitudes (semi-major axes) or mean motions for a short period (maybe a few weeks if the satellite is near 500 km altitude, or a few days if the altitude is 300 km). If the program underestimates the actual decay, then you must decrease your mass to area ratio. If the program overestimates the actual decay you must increase the ratio. Eventually you should arrive at a printout which closely approximates the actual behaviour of the satellite. The future predictions of the program, together with the lifetime estimate will then be (assuming the parameters remain constant) the best estimate possible with this model. Note: When comparing the program printout with mean motion values obtained from two line elements (TLEs), do not worry too much about comparing the decay values from the TLE, particularly if the satellite is a new one. There can initially be quite a discrepancy in the decay values (rev/day/day) as listed in the TLEs. 6. Practicalities There are of course practicalities that need to be considered in undertaking the steps in the previous section. One obvious question is where to obtain values of the space environmental parameters. Other sources are the Space Environment Center in Boulder, Colorado, USA, and the World Data Center-A, also in Boulder. This latter centre specialises in distributing archival space data. The other problem with the simple program presented here is that it does not allow for the space environment to vary. One solution is to write your own program using the simple model as a guide. Another solution is to use the interactive program available on this Web site, which also gives you automatic access to our predictions of what the space environmental parameters will be in the future. Another difficulty sometimes encountered in matching model outputs to the real world is that predictions may suddenly cease to be valid (even after working OK for some time). One possibility is that the attitude of the satellite has undergone a substantial change. This can cause a change to the effective cross-sectional area. One reason this might occur is due to a ground control command. It might also be possible that the satellite has run out of energy to keep it stabilised (through use of momentum reaction wheels and/or thrusters) in a desired attitude. This can result in a change of attitude, and even a tumbling. As long as the tumbling period is short compared to its orbital period, it is still possible that the average cross-sectional area it presents to the atmosphere will settle to a new constant value. The biggest changes in cross-sectional area due to attitude changes are likely to occur in the last phases of the satellite's life, just before it is due to re-enter and burn up in the lower atmosphere. Unfortunately, this is normally the time when one would like to make the best prediction! So far we have only treated orbits that are circular, or very close thereto. Satellites with very elliptical orbits travel to altitudes right outside the sphere of the current atmospheric model, and must be treated quite differently. They are also subject to other perturbations (variations of their orbit) due to the combined gravitational attractions of the Sun and the Moon. However, orbits with only a slight eccentricity can be accommodated by the use of an "effective" height in the model. This effective height is given by the formula: he = q + 900 e 0.6 where q is the perigee (lowest) height of the orbit (in km) and e is the orbital eccentricity. For example, the lifetime of a satellite in an elliptical orbit with a perigee height of 400 km and an eccentricity of 0.01 is the same as the lifetime of a satellite in a circular orbit of height: 400 + 900 (0.01)0.6 Note that this formula is only a rough approximation with reasonably stringent applicability constraints. It should not be used for orbits with eccentricities in excess of 0.1, and it is really only applicable for conditions of a constant space environment. Thus it might be used for orbits with lifetimes in excess of 10 years (for which we can use an average solar cycle activity), or for orbits that are expected to decay within a few months over which solar activity is expected to be relatively constant. Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar It is probably fortunate that most satellites nearing the end of their lives will have orbits with very low eccentricities (ie nearly circular). The reason for this is that atmospheric drag acts to circularise orbits. The apogee height is decreased whilst the perigee height is little affected until the orbit becomes close to circular. 7. References • Air Force Geophysics Laboratory, "Handbook of Geophysics and the Space Environment", (1985) [This very large blue book is an absolute essential reference for all kinds of information about the space environment - written mainly by scientists responsible for advising the USAF on how this environment affects technological systems that have to operate within and through near space. A very practical reference for information, models and data.] • Gatland K, "Space Technology", Salamander Books (London, 1981) [A quarto size popular level book on space vehicles & space exploration with many tables of data and concluding with a space diary.] • Hargreaves JK, "The Upper Atmosphere and Solar-Terrestrial Relations", Van Nostrand Reinhold (New York, 1979) [A good concise exposition of what the title says. Written at an intermediate level. Contains a short section on satellite drag.] • King-Hele D, "Observing Earth Satellites", Van-Nostrand Reinhold (New York, 1983) [This very readable book at a popular level discusses the observation of satellites from the ground and the various parameters (including atmospheric drag) that affect the orbit.] • King-Hele D, "Satellite Orbits in an Atmosphere - Theory and Applications", Blackie, Glasgow (1987) • [This very detailed mathematical text is the "bible" for anyone seriously interested in the affect of the atmosphere on satellite orbits. Analytical expressions are derived with approximations where appropriate for the changes in the orbital elements.] • Newton I, "Principia" [This classic text is not only the basis of our everyday fundamental physical dynamics but it also appears to be the first text to discuss the effect of atmospheric drag on Earth satellite orbits.] • Planetary and Space Science, Journal published by Pergamon Press. [Past issues have contained many articles on detailed aspects of spacecraft interaction with the atmosphere.] • Tascione T F, "Introduction to the Space Environment", Krieger (Florida, 1994) [A good introduction to the space environment by one who has spent many years working in the USAF directly on these issues. A short section on spacecraft operations which includes satellite drag.] • Tobiska W K, R D Culp & C A Barth, "Predicted Solar Cycle Twenty-Two 10.7 cm Flux and Satellite Orbit Decay", Journal of the Astronautical Sciences, pp419-433, vol 35 (#4), October -December 1987 [Discusses a simple model for circular orbits. Their atmospheric model is rather more detailed than that used here.] Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Figure 1: Diagrammatic view of how a satellite decays in low Earth orbit (LEO). In actual fact many more orbits occur than shown here. Also the radial scale has been drawn very much enlarged to show how the spiral opens out toward the end of the satellite's life, when it undergoes a fiery re-entry into the Earth's lower atmosphere. Figure 2: Forces acting on a satellite in a low circular orbit. Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Figure 3: Actual decay curve for the Solar Maximum Mission satellite which re-entered the Earth's atmosphere at the beginning of December 1989. The satellite was the first spacecraft to be serviced in orbit by a crew from the Space Shuttle. Notice how the satellite decays slowly at higher altitudes, then very rapidly towards the end of its life. Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Figure 4: Lifetimes for various pieces of (mostly Russian) space, as a function of their initial altitude. These decays occurred over a few months when the geomagnetic field was relatively quiet and the solar radio flux had a mean value of 90 SFU. The model curves for m/Ae ratios of 50 and 200 are also drawn on the graph. Notice that the rocket engines cluster around the m/Ae=50 curve. These objects, devoid of fuel, are relatively "light". The engines on the other hand, are much "heavier". Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Updated by Rakesh Panwar Figure 5: How an elliptical satellite orbit changes with time. Note that the drag at perigee causes a change in apogee height. Copyright © 1999 by IPS Radio & Space Services, Sydney, Australia. Material Prepared by John Kennewell. All rights reserved.
9735	https://journals.plos.org/plosbiology/article?id=10.1371/journal.pbio.3002347	Five families of diverse DNA viruses comprehensively restructure the nucleus \| PLOS Biology Skip to main content Advertisement plos.org Create account Sign in Browse Publish About Searchadvanced search 10 Save Total Mendeley and Citeulike bookmarks. 4 Citation Paper's citation count computed by Dimensions. 2,460 View PLOS views and downloads. 8 Share Sum of Facebook, Twitter, Reddit and Wikipedia activity. Open Access Essay Essays articulate a specific perspective on a topic of broad interest to scientists. See all article types » Five families of diverse DNA viruses comprehensively restructure the nucleus Quincy Rosemarie ,Roles Conceptualization, Methodology, Visualization, Writing – original draft, Writing – review & editing E-mail:rosemarie@wisc.edu (QR); sugden@oncology.wisc.edu (BS) Affiliation Department of Oncology, McArdle Laboratory for Cancer Research, School of Medicine and Public Health, University of Wisconsin-Madison, Madison, Wisconsin, United States of America ⨯ Bill SugdenRoles Conceptualization, Funding acquisition, Methodology, Supervision, Writing – original draft, Writing – review & editing E-mail:rosemarie@wisc.edu (QR); sugden@oncology.wisc.edu (BS) Affiliation Department of Oncology, McArdle Laboratory for Cancer Research, School of Medicine and Public Health, University of Wisconsin-Madison, Madison, Wisconsin, United States of America ⨯ Five families of diverse DNA viruses comprehensively restructure the nucleus Quincy Rosemarie, Bill Sugden x Published: November 6, 2023 Article Authors Metrics Comments Media Coverage Abstract Introduction What does virus-induced ROCC look like? What can we learn from ROCC-inducing viruses? Being a DNA virus is insufficient to induce ROCC Potential mechanisms mediating virus-induced ROCC Why might viruses trigger chromatin reorganization? What can be gained by understanding virus-induced ROCC? Conclusions Acknowledgments References Reader Comments Figures Abstract Many viruses have evolved ways to restructure their host cell’s nucleus profoundly and unexpectedly upon infection. In particular, DNA viruses that need to commandeer their host’s cellular synthetic functions to produce their progeny can induce the condensation and margination of host chromatin during productive infection, a phenomenon known as virus-induced reorganization of cellular chromatin (ROCC). These ROCC-inducing DNA viruses belong to 5 families (herpesviruses, baculoviruses, adenoviruses, parvoviruses, and geminiviruses) that infect a wide range of hosts and are important for human and ecosystem health, as well as for biotechnology. Although the study of virus-induced ROCC is in its infancy, investigations are already raising important questions, such as why only some DNA viruses that replicate their genomes in the nucleus elicit ROCC. Studying the shared and distinct properties of ROCC-inducing viruses will provide valuable insights into viral reorganization of host chromatin that could have implications for future therapies that target the viral life cycle. Figures Citation:Rosemarie Q, Sugden B (2023) Five families of diverse DNA viruses comprehensively restructure the nucleus. PLoS Biol 21(11): e3002347. Published: November 6, 2023 Copyright: © 2023 Rosemarie, Sugden. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited. Funding:This work was supported by the National Cancer Institute (cancer.gov) (P01CA022443 to BS). The funders had no role in study design, data collection and analysis, decision to publish, or preparation of the manuscript. Competing interests: BS is an Academic Editor of PLoS Biology. Abbreviations:EBV, Epstein–Barr virus; FISH, fluorescence in situ hybridization; FRAP, fluorescence recovery after photobleaching; HBoV1, human bocavirus 1; HCMV, human cytomegalovirus; KSHV, Kaposi’s sarcoma herpesvirus; LAD, lamina-associated domain; LLPS, liquid–liquid phase separation; MVM, minute virus of mice; PAA, phosphonoacetic acid; RC, replication compartment; ROCC, reorganization of cellular chromatin Introduction Life, as we currently know it on Earth, is defined as being cellular and DNA based. Viruses, although nucleic acid based, are not cellular and can be thought of as cellular parasites that encode information allowing them to replicate, spread, escape, and infect additional hosts. Of the 3 domains of our biological tree of life (Archaea, Bacteria, and Eukarya) , only Eukarya store their DNA in a subcellular compartment, the nucleus. In a normal resting eukaryotic cell, meters of DNA are wrapped around histone octamers or nucleosomes that reside within the nucleus. Arrays of these nucleosomes constitute the chromatin fibers that form chromosomes, which are spatially localized to distinct regions of the nucleus . Although the cell’s chromatin typically fills much of the nuclear volume, specific cellular events can lead to its reorganization. One common form of chromatin reorganization occurs during cell division, when cellular chromatin is condensed into X-shaped chromosomes (Fig 1). As the nuclear envelope breaks down at the beginning of mitosis and meiosis, these condensed metaphase chromosomes are arranged across the cellular equator in preparation for their separation into 2 daughter cells. A second form of chromatin reorganization occurs during apoptosis. In animal cells, pyknosis (the irreversible condensation of chromatin within the nucleus) and karyorrhexis (the fragmentation of the cell nucleus and its condensed chromatin) occur, causing the uneven distribution of apoptotic bodies containing DNA throughout the cytoplasm . In plants, apoptosis-like events lead to condensed chromatin and vacuolar cell death, in which apoptotic bodies are also observed . A third kind of chromatin reorganization is induced by some viral infections and is characterized by the condensation and margination of cellular chromatin within the cell nucleus. This reorganization has been previously referred to as virus-induced reorganization of cellular chromatin (ROCC) and likely occurs in 2 stages (ROCC type I and ROCC type II; Fig 1). Download: PPT PowerPoint slide PNG larger image TIFF original image Fig 1. Forms of cellular chromatin reorganization. In a normal, resting, interphase, eukaryotic cell, cellular DNA resides in the nucleus as uncondensed, protein-associated chromatin. Cellular chromatin is normally distributed evenly across the nucleus, but specific cellular events can trigger its reorganization. For example, during cell division, chromatin is condensed into X-shaped chromosomes, prominently seen in metaphase cells (left). When a cell undergoes apoptosis (middle), its chromatin is condensed and eventually becomes fragmented, often budded out through plasma membrane blebbing. Upon infection with some viruses, virus-induced reorganization of cellular chromatin (ROCC) occurs (right). First, cellular chromatin becomes condensed (ROCC type I), then, as viral DNA replication and productive infection progress, the condensed chromatin becomes marginated along the periphery of the nucleus (ROCC type II). Of the different organized states of cellular chromatin, virus-induced ROCC remains the least understood and is the focus of this Essay. Here, we consider the insights that can be gained from considering the properties of the viruses that induce ROCC and examine the factors known to contribute to virus-induced ROCC and the potential mechanisms that could mediate it. Given the ubiquity of virus-induced ROCC, a greater understanding will likely lead to further insights into how the viruses that induce it manipulate their hosts, and how to intervene therapeutically in their life cycles. What does virus-induced ROCC look like? Five widespread, successful families of DNA viruses (herpesviruses, baculoviruses, adenoviruses, parvoviruses, and geminiviruses) share the surprising function of inducing ROCC. Members of these families reorganize cellular chromatin during their productive infections (the time when they produce progeny virus), causing cellular DNA to concentrate at the periphery of the nucleus (Fig 2). Download: PPT PowerPoint slide PNG larger image TIFF original image Fig 2. Virus-induced chromatin reorganization in infected cells. Representative images of chromatin reorganization upon (A) the lytic infection of herpesvirus (EBV) and infections with (B) baculovirus (BmNPV) , (C) adenovirus (canine hepatitis virus; CAV-1) , (D) parvovirus (CPV) , and (E) geminivirus (TGMV) . Images are adapted from their respective publications as indicated. Cellular DNA (fluorescent-tagged histones, or DAPI staining) and viral DNA (TGMV DNA probe) or viral proteins indicative of its replicative compartments (BMRF1, IE1, NS1) were visualized as indicated. (A, B, D, E) Fluorescence microscopy images of infected cells and (C) an electron micrograph of an infected cell. Virus-induced ROCC can be observed for each example of infected cells, characterized by the condensation and margination of cellular chromatin within the cell nucleus. BMRF1, an early gene of EBV; IE1, baculovirus immediate early protein 1; NS1, parvovirus nonstructural protein 1. In (C): MC, marginated chromatin; Ch, chromatin, VP, viral particles; H, halo; IB, inclusion body; NM, nuclear membrane; No, nucleolus. Scale bars: (A) 20 μm, (B and E) 10 μm, (C) 1 μm, (D) 5 μm. BmNPV, Bombyx mori nucleopolyhedrovirus; CAV-1, canine adenovirus type 1; CPV, canine parvovirus; EBV, Epstein–Barr virus; ROCC, reorganization of cellular chromatin; TGMV, tomato golden mosaic virus. Virus-induced ROCC was first noted about 75 years ago, and since then, ROCC has been observed for multiple viruses . Early studies of herpesvirus infections in embryonated eggs revealed alterations in the nuclei of infected cells and increased concentrations of DNA at the periphery of the nuclei . Later, electron microscopy and fluorescence microscopy studies in herpesvirus-infected mammalian cells confirmed the finding of marginated chromatin in productively infected cells [13–16], consistent with ROCC. Studies of adenovirus infections revealed similar phenomena: Electron microscopy assays of adenovirus infections showed that the virus induces a margination of DNA in infected nuclei , and fluorescence in situ hybridization (FISH) localized the adenoviral DNA to the center of infected nuclei, with the cellular DNA at the nuclear periphery . Parvovirus infection of mammalian cells with fluorescently tagged histones also induced a similar condensation of the labeled chromatin to the nuclear rim . Parallel approaches with geminiviruses demonstrated a similar disposition of viral and cellular DNAs in infected plant cells [11,18,19]. And, baculoviruses, a virus family that infects a wide range of insects, similarly reorganize cellular chromatin [8,20]. Early examples of virus-induced chromatin reorganization were found through electron microscopy or immunofluorescence microscopy of fixed cells. More recently, observations of ROCC in action have been made possible by the development of methods that allow the detection of viral DNA in live cells. Polymers of bacterial DNA elements, such as parS from some Burkholderiales species or the lac operon from Escherichia coli, have been integrated into the viral DNA and detected upon binding specific fluorescent proteins. parS has been used to visualize ROCC in live cells infected productively by adenoviruses and human cytomegalovirus (HCMV) [21,22]. The lac operon, on binding its repressor fused to mCherry, has been used to follow the genomes of Epstein–Barr virus (EBV) in latently infected cells induced to support the viral lytic (that is, productive) cycle . These viral genomes were first amplified when the cells entered the beginning of S-phase, and the cellular chromatin was progressively compacted and marginated as compartments containing the amplifying viral DNA expanded. A specific phenotype of virus-induced ROCC is observed in 2 of the families but is likely to be generally required by all 5 virus families. Both geminiviruses and herpesviruses seem to condense cellular DNA prior to margination [7,19]. Geminiviral infection of tobacco cells leads to extensive condensation of cellular DNA, rendering it akin to “prophase-like fibers,” which are likely precursors to the compaction of host chromatin and its movement to the nuclear periphery . Similarly, blocking extensive viral DNA synthesis in EBV-infected cells induced to enter their productive phase supports the condensation of cellular DNA, but not its margination . It thus seems likely that the condensation of cellular chromatin precedes its margination. Accordingly, the condensation of chromatin without its margination is termed ROCC type I, and the condensed and marginated cellular chromatin is termed ROCC type II (Fig 3). To understand ROCC better, it will be important to test if both ROCC type I and II are shared by all ROCC-inducing virus families. Download: PPT PowerPoint slide PNG larger image TIFF original image Fig 3. Two types of chromatin reorganization in EBV lytic cells. The progression of reorganizing chromatin in EBV lytic cells can be described in 2 steps: ROCC type I, characterized by host chromatin condensation without margination; and ROCC type II, defined by both the condensation and margination of cellular chromatin to the periphery of the nucleus. ROCC type I is triggered upon the formation of a viral DNA synthesis complex and its initiation of synthesis. The extensive DNA synthesis that follows gives rise to ROCC type II. The cell line used in this figure is the EBV-positive cell line, iD98/HR1 . Type I reorganization is detected by treating the lytic-induced cells with viral DNA synthesis inhibitors such as GCV or PAA. Close examination of the DAPI channel of cells supporting type II reorganization reveals DAPI signals of lower levels within the “void” of the marginated chromatin. These signals come from the newly synthesized viral genomes. Accordingly, these “void” regions have only background levels of eGFP-H2B signals, indicating the histone-free state of these viral DNA molecules. Scale bar: 10 μm. EBV, Epstein–Barr virus; GCV, ganciclovir; PAA, phosphonoacetic acid; ROCC, reorganization of cellular chromatin. What can we learn from ROCC-inducing viruses? The 5 families of ROCC-inducing viruses infect plants, invertebrates, and vertebrates. Although these virus families are diverse in their hosts, sizes, and structures (Fig 4), they also share several significant properties (Table 1). Comparing and contrasting the properties of these viruses provides important insights into the surprisingly common phenomenon of virus-induced ROCC, including how these properties contribute to chromatin reorganization and what mediates it. Download: PPT PowerPoint slide PNG larger image TIFF original image Fig 4. Physical properties of the 5 ROCC-inducing virus families. The virus particles and their DNA genomes of the ROCC-inducing families are depicted with their particles and genomes separately to scale. While the diameters of the viral icosahedrons vary approximately 7-fold [24–29], the lengths of their corresponding DNAs vary approximately 100-fold [30–34]. The genomic DNAs of parvoviruses and geminiviruses are single-stranded; those of the 3 other families are double-stranded. Baculoviral and geminiviral DNAs are circular; the others are linear molecules. Baculoviruses have rod-shaped capsids encapsidating their DNAs, while the others are icosahedral in shape, with adenoviruses having fibers that protrude from the vertices [29,33]. Geminiviruses have “twin particles,” hence their name “gemini,” meaning twins . Both baculoviruses and herpesviruses have particles that are enveloped, that is, surrounded by lipid-containing membranes, while the other 3 families are nonenveloped. These envelopes are studded with multiple, distinct, virally encoded glycoproteins. d, capsid diameter (in nm), measured across opposing vertices. Genome length is given in nm (measured as linear molecules) and kilobase/kilobasepair (kb/kbp). Download: PPT PowerPoint slide PNG larger image TIFF original image Table 1. Properties of 5 families of viruses that support reorganization of chromatin. General mechanistic insights The first insight comes from the genomic properties of these virus families. All 5 families are DNA viruses, although the form of their DNA differs, being either single-stranded or double-stranded when packaged. Their genome sizes cover a broad range, too: from 2.7 kb for geminiviruses up to 240 kbps for members of the baculovirus and herpesvirus families (Fig 4). This approximately 100-fold span of genome lengths provides an insight into their shared function of reorganizing chromatin. The small genomes of geminiviruses and parvoviruses encode so few genes that it is unlikely that they directly mediate this reorganization. Rather, we need to seek a mechanism that carries it out, at least in part, using host machinery. A second insight can be derived from the nature of the viral and cellular DNA synthesis in infected cells. In contrast to the almost universal dependence of ROCC-inducing virus families on their hosts’ RNA polymerases for transcription, the families of the 3 larger viruses (herpesviruses, baculoviruses, and adenoviruses) encode their own DNA polymerases [32,33,49]. Parvoviruses and geminiviruses, on the other hand, rely on the DNA replication machinery of their hosts [34,45,51]. A potential corollary can be found in the effects of the replication of these viruses on their host DNA synthesis. Herpesviruses, baculoviruses, and adenoviruses inhibit cellular DNA synthesis, whether through the induction of cell cycle arrest or the inhibition of histone synthesis and/or cellular DNA synthesis itself [23,52–54,64,65]. Parvoviruses can synthesize their DNA either in the absence of cellular DNA synthesis or in its presence, depending on which cellular DNA polymerases they use. For example, human bocavirus 1 (HBoV1) can replicate in differentiated, nondividing cells using the DNA repair polymerases Pol η and Pol κ in the absence of cellular DNA synthesis . By contrast, minute virus of mice (MVM) relies primarily on Pol α and Pol δ (enzymes used during cellular synthesis) for its own amplification in cells that are synthesizing their own DNA (personal communication, Dr. Kinjal Majumder). Geminiviruses can induce host DNA synthesis in cells in which they replicate their DNA and also use Pol α and δ for their synthesis . This varied association with chromosomal synthesis suggests that inhibition of cellular DNA synthesis is not essential for virus-induced ROCC. The third insight into virus-induced chromatin reorganization can be gained from the observation that all 5 virus families package their genomes into their capsids within the host nucleus, and those packaged genomes are free of cellular histones [59,61–63,66]. This absence contrasts with the fact that they all use histone-bound templates for transcribing their RNA, at least at an early stage during their productive infections. Some of these viruses encode their own histone-like proteins that bind to their DNA. For example, the baculovirus protein P6.9 is a protamine-like protein that coats encapsidated genomes and is essential for the production of infectious virus [35,61,62]. Adenoviruses also encode a histone-like protein, protein VII, which is not required for viral genomes to be packaged but binds host chromatin to modify its composition . Encapsidated herpesvirus genomes are also thought to be coated with polyamines . Ultimately, for all 5 families, the viral genomes packaged in their virions are histone free. This absence of cellular histones in virus particles suggests that the viruses that induce ROCC need to separate their own histone-free, newly synthesized genomes, which will be encapsidated, from the histone-bound cellular chromatin. Which viral genes are involved in ROCC? Studies with baculoviruses and herpesviruses have identified viral genes required for the reorganization of chromatin. The transfection of 3 baculoviral genes and one of its DNA elements induces this reorganization in silkworm cells . These genes, ie1, lef3, and p143, encode a transcriptional activator, single-stranded DNA-binding protein, and helicase, respectively. The DNA element hr can act as an enhancer and origin of replication . The combined functions of these 4 factors indicate that the formation of a viral DNA synthesis complex is likely sufficient for baculoviruses to induce ROCC. Removing any of these 4 factors abrogates this ability during baculovirus infection . Parallel findings from genetic analyses of EBV have shown that all 7 of its essential genes for productive or lytic DNA synthesis (balf5, balf2, bblf2/3, bblf4, bslf1, bmlf1, and bmrf1) and an origin specialized for lytic DNA synthesis (oriLyt) are required to induce chromatin reorganization . Genetically knocking out one of these genes completely abrogates the reorganization, while using chemical inhibitors of viral DNA synthesis (thereby allowing only the formation of a DNA synthesis complex) supports the initial condensation of cellular chromatin without its margination (Fig 3). Completion of EBV’s productive phase leads to complete reorganization (ROCC type II), in which cellular chromatin is condensed and has moved to the periphery of the nucleus. At this stage, up to 30% of the DNA in the nucleus is chromatin-free, viral DNA . The amplification of this viral DNA likely contributes mechanistically to type II reorganization. Thus, it seems that the initial chromatin condensation does not require more than the initiation of viral DNA synthesis, while the chromatin margination that follows requires extensive viral DNA synthesis. Proving that only the initiation of viral DNA synthesis suffices for the initial chromatin condensation is another uncertainty that will be important to resolve. This feature is a potential vulnerability of ROCC-inducing viruses. Being a DNA virus is insufficient to induce ROCC While all the viruses that have been identified as capable of inducing ROCC are DNA viruses, not all DNA viruses induce ROCC. Two prominent properties shared by DNA viruses that induce ROCC are viral DNA replication within the host nucleus, and encapsidation of histone-free genomes within the virions. Accordingly, poxviruses, which replicate in the cytoplasm of their host cell, do not affect the distribution of chromatin in the nucleus . Even within families of DNA viruses that replicate their genomes in the host nucleus, some do not induce this reorganization. For example, polyomaviruses and papillomaviruses replicate in the nucleus of infected cells and do not reorganize the host chromatin [71–73]. One difference that is likely pivotal is that these viruses encapsidate their genomes as histone-bound DNA [72–74], in contrast to ROCC-inducing viruses that encapsidate histone-free DNA. SV40, a member of the polyomavirus family, was tested for its possible complementation for EBV’s oriLyt-mediated DNA amplification in promoting the reorganization of chromatin. EBV-triggered chromatin reorganization and the replication of SV40 DNA proved to be incompatible . SV40 can replicate its DNA in cells that carry EBV, but not in cells in which ROCC has been induced. The lytic phase of EBV inhibits cellular DNA synthesis [23,75]; thus, the failure of cellular DNA synthesis is likely to affect SV40 through a shared mechanism involving the inhibition of histone-associated DNA synthesis. By contrast, virus-induced ROCC occurs concurrently with the histone-free DNA synthesis that takes place when EBV replicates its DNA productively, a feat that may well extend to other families of viruses that induce ROCC. Potential mechanisms mediating virus-induced ROCC Using information gained from the properties shared by the viruses that induce ROCC (Table 1), and an appreciation of the viral genes it requires [7,20], we can formulate some possible mechanisms for virus-induced ROCC. In this formulation, we assume that the 5 families of viruses that induce chromatin reorganization use common mechanisms. Geminiviruses and parvoviruses, which encode only a few genes, can induce a reorganization of their hosts’ chromatin. Their small coding capacity, spanning 2.7 to 5.2 kb, indicates that they cannot encode all the machinery needed to condense chromatin into chromatid-like structures . Therefore, these viruses need to use cellular machinery to mediate this reorganization. One property that all ROCC-inducing viruses share is that their encapsidated DNA lacks cellular histones, making it likely that their DNA is synthesized without a requirement for depositing histones on it. In uninfected cells, inhibiting histone synthesis, with its concomitant decrease in the deposition of histones on newly synthesized DNA, inhibits fork progression . Inhibiting the deposition of histones also induces cell death in uninfected cells . Herpesviruses avoid this histone dependence. For example, in cells productively infected with HCMV, the virus specifically inhibits the synthesis of replication-dependent histones while amplifying its DNA. In cells induced to support the lytic cycle of EBV, the virus inhibits chaperones associated with replication-dependent histones to block histone deposition while amplifying its DNA . These shared properties support the notion that host cells recognize the atypical, newly synthesized, histone-free viral DNA and trigger the initial DNA condensation of ROCC type I (Fig 3). This condensation also occurs with geminiviruses and herpesviruses [7,19,23] and is consistent with the finding that blocking the initiation of viral DNA synthesis by using viral mutants null for a viral DNA polymerase blocks the triggering and the initial condensation of cellular DNA . This initial chromatin condensation is followed by the movement of cellular chromatin to the nuclear margins for all 5 families of ROCC-inducing viruses. This movement could be mediated by the expansion of the sites of viral DNA amplification, as suggested for baculoviruses . The sites of viral DNA amplification, which are often termed replication compartments (RCs), are not membrane bound, and, for parvoviruses, are discrete entities . How the expansion of RCs (which occurs as the viral DNA is amplified in them) might mechanistically mediate the condensation of host chromatin is unknown. Elucidating this mechanism is an outstanding goal in the study of ROCC. One possible mechanism that could underlie the movement of the chromatin during ROCC type II (Fig 3) depends on liquid–liquid phase separation (LLPS). Phase separation of liquids occurs when “there are two different compositions of all molecular species with the same chemical potentials in both phases” . The high local concentrations of viral proteins and nucleic acids may form liquid phases separated from other liquid regions of the nucleus, as occurs for nucleoli . In normal, uninfected cells, cellular chromatin likely exists in its own phase , and mitotic chromosomes clearly display LLPS , making LLPS a plausible mechanism to mediate virus-induced ROCC. All viruses that elicit ROCC encode some replication proteins that bind the viral genomes. Given that LLPS fosters the assembly of complexes that initiate DNA synthesis in Drosophila , a testable hypothesis is that the replication proteins and DNA of these viruses form a liquid phase distinct from that of condensing chromatin. Recent studies using HCMV support a model in which LLPS contributes to the formation of ROCC type II . In these studies, the UL112-113 protein products of HCMV were shown to form a liquid-like biomolecular condensate under multiple conditions, including during HCMV infection, following transfection of UL112-113 into cells, and in vitro, using purified UL112-113 proteins. The UL112-113 condensates are regions in which the polymerase processivity factor UL44 accumulates and viral DNA replication occurs. In addition, the formation and maintenance of these UL112-113 condensates is disrupted by treatment with 1,6-hexanediol, a solvent for LLPS. These findings support a model of ROCC type II in which, in this example, UL112-113 mediates the formation of RCs through LLPS and possibly recruits to them several essential replication proteins through the same mechanism . The same study also included an examination of UL112-113–positive RCs using fluorescence recovery after photobleaching (FRAP), both early and later in infection as the compartments expanded. The early RCs recovered rapidly and completely from the photobleaching, while the mature compartments recovered slowly and only partially. Liquid-like condensates can become less fluid when there is an increased concentration of their constituents, particularly those that can act as scaffolds, such as DNA and RNA . Recent observations therefore support a model for ROCC type II in which the early RCs form through LLPS and become more gel-like as they mature and the amount of replicated DNA they contain increases. The gel-like nature of the RCs of HCMV is shared by those of parvoviruses. FRAP analyses of cells infected by canine parvovirus have shown the diffusion of PCNA (a processivity factor for pol δ) in RCs to be more than an order of magnitude slower than in the nuclei of uninfected cells . Furthermore, the finding that the inhibitor of viral DNA synthesis, phosphonoacetic acid (PAA), does not disrupt the formation of UL112-113–positive, early compartments but does prevent their maturation into more gel-like condensates is consistent with the two-step model proposed for EBV-induced ROCC . Using PAA to inhibit viral DNA amplification in EBV also results in ROCC type I , indicating that extensive viral DNA amplification is required to yield ROCC type II, possibly through LLPS. Other recent studies are helping to explain how amplifying viral DNA can move cellular chromatin to the periphery of the nucleus in ROCC type II. Both chromatin and mitotic chromosomes behave as biomolecular, liquid-like condensates [82,83]. Tubulin, which is negatively charged, moves the condensates containing fragmented chromosomes around in cells as it polymerizes . The negatively charged, amplifying viral DNA could provide a force, similar to that of polymerizing tubulin, driving the chromatin condensates to the nuclear boundaries. While a role for LLPS in mediating the ROCC type II is appealing, it is not established. An examination of RCs formed by herpes simplex virus type I concluded that these compartments do not arise solely from LLPS but occur from the amplifying viral DNA being largely free of histones and serving as an attractive reservoir for DNA-binding proteins such as RNA polymerase II . What is clear is that a role for expanding RCs in driving ROCC type II remains appealing based on parsimony: All viruses that elicit ROCC also form RCs separated from the marginated cellular chromatin. Why might viruses trigger chromatin reorganization? A recently proposed megataxonomy of viruses indicates that virus-induced chromatin reorganization is likely to have arisen more than once in the evolution of the 5 families of ROCC-inducing viruses . Viruses are polyphyletic, meaning that many virus groups do not share a common ancestry. In the proposed megataxonomy, the 5 families of viruses that induce ROCC largely belong to different realms, with Baculoviridae unable to be assigned into any realm, and Parvoviridae and Geminiviridae sharing a realm and kingdom . As virus realms are not thought to share a common ancestry, it is likely that virus-induced ROCC arose separately in most of these 5 virus families. This convergent evolution underscores the importance of ROCC to the life cycles of the viruses that induce it. How do the many viruses that induce this striking reorganization of their host’s chromatin benefit from it? All express essential, early viral genes from chromatin-bound templates at the beginning of their productive infections. Members of these 5 families also regulate modifications of cellular histones [89–93], presumably to optimize this early transcription. The transcription of viral structural genes for adenoviruses and herpesviruses occurs as viral DNA is amplified and likely uses templates free of nucleosomes [43,87,94]. For both EBV-infected and Kaposi’s sarcoma herpesvirus (KSHV)-infected cells, late viral transcription occurs on templates localized away from regions of condensed cellular chromatin [94,95]. By separating these viral transcription templates from cellular chromatin, ROCC likely favors viral RNA synthesis. Another potential benefit of reorganizing cellular chromatin comes from condensed and inaccessible chromatin being associated with a repression of gene expression. The nuclear periphery is typically a repressive environment, in which case the virus-induced ROCC phenotype could accentuate the repression of transcription from compacted chromatin, as found in lamina-associated domains (LADs) [96,97]. Stretches of cellular DNA that associate with lamin B1, a constituent of the nuclear lamina, have been mapped and extend from 0.1 to 10 megabases in length and, when summed over multiple cell types, can accommodate a third of all cellular chromatin. Most genes within these LADs are inhibited transcriptionally [99,100]. Type II ROCC leads to the cellular chromatin being condensed to the nuclear periphery, adjacent to the nuclear lamina [7,15]. It is likely that this localization leads to an increase in repression of cellular transcription, favoring the transcription of viral genes, thus contributing to virus-mediated host shutoff . An analysis of both cellular and viral transcription during the early phase of the lytic cycle of EBV supports this conclusion; the expression of 99% of cellular genes on average was inhibited 3-fold, while that of some viral genes was increased 100-fold or more . Local infection of tobacco leaves by the geminivirus tomato yellow leaf curl virus also affects cellular gene expression, but less substantially, inhibiting only 64% of detected, differentially expressed genes . Chromatin reorganization, therefore, could benefit the viruses that induce it by suppressing host gene expression during production of progeny viruses. What can be gained by understanding virus-induced ROCC? Many viruses that damage human health or our ecosystem also induce chromatin reorganization: Geminiviruses cause billions of dollars in crop loss of beans, tomatoes, and cassava production annually [104–106]; parvoviruses cause severe diseases in dogs and cats and also are a major cause of infertility in pigs ; adenoviruses can cause respiratory illnesses in humans and infect a variety of canines, causing, for example, fatal infections in red foxes ; baculoviruses were feared for their threat to silkworms but have proven beneficial in North America in controlling infestations of gypsy moths, which are destructive to hardwood trees ; and herpesviruses cause many diseases in humans, ranging from chicken pox to cancers . Chromatin reorganization may therefore be a vulnerability shared by these viruses that we can exploit to limit their pathogenesis. Unfortunately, ROCC type II, in which viral DNA synthesis expands to fill the centers of infected nuclei as the cellular chromatin is moved to the periphery of the nuclei, may be an intractable target. These viruses all depend on some, but different, host cell functions to synthesize their DNA. Inhibiting type II ROCC will likely require targeting cellular functions that are also needed by uninfected cells, therefore making it deleterious to the host. Conversely, ROCC type I, in which the chromosomal DNA is initially condensed, is an attractive target. Both geminiviruses and herpesviruses display this type I phenotype. As these viruses affect a wide range of plants and vertebrates and have genomes that differ in size by 100-fold, it is likely that all 5 families also induce ROCC through a similar, two-step progression. The available data indicate that ROCC type I is a cellular response, in which the infected cells recognize newly synthesized, histone-free viral DNA, which then triggers the initial cellular chromatin condensation. Characterizing this initial triggering mechanism may allow us to target virus-infected cells without compromising uninfected cells within the host, thus helping us to limit the pathogenicity of these viruses. Conclusions DNA viruses often kill infected cells after they produce their progeny. This killing is an ultimate takeover. However, viruses need also to manipulate their hosts so that as many progeny as possible can be produced prior to cell death. Five families of viruses orchestrate an unexpected reorganization of their host cells’ chromatin as they amplify their own DNA. By doing so, they spatially separate viral, transcribed DNA from that of the host, segregating the host’s chromatin to peripheral sites that are more likely to be transcriptionally silenced. This segregation is one possible strategy to shutoff the host. Virus-induced chromatin reorganization also spatially separates the histone-free viral DNA to be encapsidated from the histone-bound cellular DNA. How they accomplish this multipronged takeover remains uncertain, but the recently appreciated LLPS is a candidate for mediating the movement of the cellular chromatin to the nuclear periphery. This dramatic takeover of the host nucleus by so many DNA viruses is fascinating, a rich source for new insights into how they so successfully dominate their hosts, and a potential point for intervening therapeutically in their life cycles. Although much remains uncertain about virus-induced ROCC, addressing outstanding questions such as whether ROCC always occurs in 2 stages and how the initial chromatin condensation is triggered will help to move these initial observations towards real-world applications. Acknowledgments We thank Arthur Sugden for his creative artwork in Figs 1, 3 and 4. We also thank the authors of the research articles cited in Fig 2 for providing the images. And, we thank our lab colleagues for their critical insights for this Essay. References Moody ER, Mahendrarajah TA, Dombrowski N, Clark JW, Petitjean C, Offre P, et al. An estimate of the deepest branches of the tree of life from ancient vertically evolving genes. elife. 2022;11:e66695. pmid:35190025 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Kornberg RD. Chromatin structure: a repeating unit of histones and DNA. Science. 1974;184:868–871. pmid:4825889 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Ou HD, Phan S, Deerinck TJ, Thor A, Ellisman MH, O’Shea CC. ChromEMT: Visualizing 3D chromatin structure and compaction in interphase and mitotic cells. Science. 2017;357:eaag0025. pmid:28751582 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Cremer T, Cremer M. Chromosome territories. Cold Spring Harb Perspect Biol. 2010;2:a003889. pmid:20300217 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Taylor RC, Cullen SP, Martin SJ. Apoptosis: controlled demolition at the cellular level. Nat Rev Mol Cell Biol. 2008;9:231–241. pmid:18073771 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Dickman M, Williams B, Li Y, de Figueiredo P, Wolpert T. Reassessing apoptosis in plants. Nat Plants. 2017;3:773–779. pmid:28947814 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Rosemarie Q, Kirschstein E, Sugden B. How Epstein-Barr Virus Induces the Reorganization of Cellular Chromatin. MBio. 2023;14:e0268622. pmid:36625581 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Nagamine T, Kawasaki Y, Abe A, Matsumoto S. Nuclear marginalization of host cell chromatin associated with expansion of two discrete virus-induced subnuclear compartments during baculovirus infection. J Virol. 2008;82:6409–6418. pmid:18434402 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Moulton JE, Frazier LM, Garg SP, Sekhri KK. Margination of chromatin in dog kidney cells infected with infectious canine hepatitis virus. Am J Vet Res. 1967;28:323–333. pmid:4166436 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Ihalainen TO, Niskanen EA, Jylhävä J, Paloheimo O, Dross N, Smolander H, et al. Parvovirus induced alterations in nuclear architecture and dynamics. PLoS ONE. 2009;4:e5948. pmid:19536327 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Nagar S, Hanley-Bowdoin L, Robertson D. Host DNA replication is induced by geminivirus infection of differentiated plant cells. Plant Cell. 2002;14:2995–3007. pmid:12468723 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Crouse HV, Coriell LL, Blank H, Scott TFM. Cytochemical studies on the intranuclear inclusion of herpes simplex. J Immunol. 1950;65:119–128. pmid:15436991 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Puvion-Dutilleul F, Pedron J, Laithier M, Sheldrick P. Ultrastructural studies on the nucleus of Herpes Simplex Virus Type 1-infected Cells. Biol Cell. 1982;44:249–260. View Article Google Scholar Puvion-Dutilleul F. Molecular and functional significance of cellular modifications induced by herpes simplex virus infection. Electron Microsc Rev. 1988;1:279–339. pmid:2856491 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Monier K, Armas JC, Etteldorf S, Ghazal P, Sullivan KF. Annexation of the interchromosomal space during viral infection. Nat Cell Biol. 2000;2:661–665. pmid:10980708 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Strang BL, Boulant S, Chang L, Knipe DM, Kirchhausen T, Coen DM. Human cytomegalovirus UL44 concentrates at the periphery of replication compartments, the site of viral DNA synthesis. J Virol. 2012;86:2089–2095. pmid:22156516 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Besse S, Puvion-Dutilleul F. Compartmentalization of cellular and viral DNAs in adenovirus type 5 infection as revealed by ultrastructural in situ hybridization. Chromosom Res. 1994;2:123–135. pmid:8032671 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Rushing AE, Sunter G, Gardiner WE, Dute RR, Bisaro DM. Ultrastructural aspects of tomato golden mosaic virus infection in tobacco. Phytopathology. 1987;77:1231–1236. View Article Google Scholar Bass H, Nagar S, Hanley-Bowdoin L, Robertson D. Chromosome condensation induced by geminivirus infection of mature plant cells. J Cell Sci. 2000;113:1149–1160. pmid:10704366 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Nagamine T, Kawasaki Y, Matsumoto S. Induction of a subnuclear structure by the simultaneous expression of baculovirus proteins, IE1, LEF3, and P143 in the presence of hr. Virology. 2006;352:400–407. pmid:16780915 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Komatsu T, Quentin-Froignant C, Carlon-Andres I, Lagadec F, Rayne F, Ragues J, et al. In Vivo Labelling of Adenovirus DNA Identifies Chromatin Anchoring and Biphasic Genome Replication. J Virol. 2018;92:e00795–e00718. pmid:29997215 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Mariamé B, Kappler-Gratias S, Kappler M, Balor S, Gallardo F, Bystricky K. Real-Time Visualization and Quantification of Human Cytomegalovirus Replication in Living Cells Using the ANCHOR DNA Labeling Technology. J Virol. 2018;92:e00571–e00518. pmid:29950406 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Chiu YF, Sugden AU, Sugden B. Epstein-Barr viral productive amplification reprograms nuclear architecture, DNA replication, and histone deposition. Cell Host Microbe. 2013;14:607–618. pmid:24331459 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Draganova EB, Valentin J, Heldwein EE. The Ins and Outs of Herpesviral Capsids: Divergent Structures and Assembly Mechanisms across the Three Subfamilies. Viruses. 2021;13:1913. pmid:34696343 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Heming JD, Conway JF, Homa FL. Herpesvirus Capsid Assembly and DNA Packaging. Adv Anat Embryol Cell Biol. 2017;223:119–142. pmid:28528442 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Russell WC. Adenoviruses: update on structure and function. J Gen Virol. 2009;90:1–20. pmid:19088268 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Hesketh EL, Saunders K, Fisher C, Potze J, Stanley J, Lomonossoff GP, et al. The 3.3 Å structure of a plant geminivirus using cryo-EM. Nat Commun. 2018;9:2369. pmid:29915210 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Xie Q, Bu W, Bhatia S, Hare J, Somasundaram T, Azzi A, et al. The atomic structure of adeno-associated virus (AAV-2), a vector for human gene therapy. Proc Natl Acad Sci U S A. 2002;99:10405–10410. pmid:12136130 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Liu H, Jin L, Koh SBS, Atanasov I, Schein S, Wu L, et al. Atomic structure of human adenovirus by cryo-EM reveals interactions among protein networks. Science. 2010;329:1038–1043. pmid:20798312 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Lakeman AD, Osborn JE. Size of infectious DNA from human and murine cytomegaloviruses. J Virol. 1979;30:414–416. pmid:225527 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Harrison BD, Barker H, Bock KR, Guthrie EJ, Meredith G, Atkinson M. Plant viruses with circular single-stranded DNA. Nature. 1977;270:760–762. View Article Google Scholar Hoeben RC, Uil TG. Adenovirus DNA replication. Cold Spring Harb Perspect Biol. 2013;5:a013003. pmid:23388625 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Rohrmann GF. Baculovirus Molecular Biology [Internet]. 4th ed. Bethesda (MD): National Center for Biotechnology Information (US); 2019. Zou W, Wang Z, Xiong M, Chen Y, Xu P, Ganaie SS, et al. Human Parvovirus B19 Utilizes Cellular DNA Replication. J Virol. 2018;92:e01881–e01817. pmid:29237843 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Zhao S, He G, Yang Y, Liang C. Nucleocapsid Assembly of Baculoviruses. Viruses. 2019;11:595. pmid:31266177 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Burnett RM. The structure of the adenovirus capsid. II. The packing symmetry of hexon and its implications for viral architecture. J Mol Biol. 1985;185:125–143. pmid:4046035 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Kaufmann B, Simpson AA, Rossmann MG. The structure of human parvovirus B19. Proc Natl Acad Sci U S A. 2004;101:11628–11633. pmid:15289612 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Weichert WS, Parker JS, Wahid AT, Chang SF, Meier E, Parrish CR. Assaying for structural variation in the parvovirus capsid and its role in infection. Virology. 1998;250:106–117. pmid:9770425 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Davies JW. Geminivirus genomes. Microbiol Sci. 1987;4:18–23. pmid:3153164 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Kristie TM. Chromatin Modulation of Herpesvirus Lytic Gene Expression: Managing Nucleosome Density and Heterochromatic Histone Modifications. MBio. 2016;7:e00098–e00016. pmid:26884430 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Tempera I, Lieberman PM. Epigenetic regulation of EBV persistence and oncogenesis. Semin Cancer Biol. 2014;26:22–29. pmid:24468737 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Volkman LE. Baculoviruses and nucleosome management. Virology. 2015;476:257–263. pmid:25569454 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Giberson AN, Davidson AR, Parks RJ. Chromatin structure of adenovirus DNA throughout infection. Nucleic Acids Res. 2012;40:2369–2376. pmid:22116065 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Ben-Asher E, Bratosin S, Aloni Y. Intracellular DNA of the parvovirus minute virus of mice is organized in a minichromosome structure. J Virol. 1982;41:1044–1054. pmid:7097851 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Luo Y, Qiu J. Human parvovirus B19: a mechanistic overview of infection and DNA replication. Future Virol. 2015;10:155–167. pmid:26097496 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Kushwaha NK, Mansi CS. The replication initiator protein of a geminivirus interacts with host monoubiquitination machinery and stimulates transcription of the viral genome. PLoS Pathog. 2017;13:e1006587. pmid:28859169 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Pilartz M, Jeske H. Mapping of abutilon mosaic geminivirus minichromosomes. J Virol. 2003;77:10808–10818. pmid:14512531 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Hanley-Bowdoin L, Bejarano ER, Robertson D, Mansoor S. Geminiviruses: masters at redirecting and reprogramming plant processes. Nat Rev Microbiol. 2013;11:777–788. pmid:24100361 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Coen DM, Lawler JL, Abraham J. Herpesvirus DNA polymerase: Structures, functions, and mechanisms. Enzyme. 2021;50:133–178. pmid:34861935 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Weller SK, Coen DM. Herpes simplex viruses: Mechanisms of DNA replication. Cold Spring Harb Perspect Biol. 2012;4:a013011. pmid:22952399 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Wu M, Wei H, Tan H, Pan S, Liu Q, Bejarano ER, et al. Plant DNA polymerases α and δ mediate replication of geminiviruses. Nat Commun. 2021;12:2780. pmid:33986276 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Albright ER, Morrison K, Ranganathan P, Carter DM, Nishikiori M, Lee JH, et al. Human cytomegalovirus lytic infection inhibits replication-dependent histone synthesis and requires stem loop binding protein function. Proc Natl Acad Sci U S A. 2022;119:e2122174119. pmid:35344424 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Paladino P, Marcon E, Greenblatt J, Frappier L. Identification of Herpesvirus Proteins That Contribute to G1/S Arrest. J Virol. 2014;88:4480–4492. pmid:24501404 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Piña M, Green M, Biochemical studies on adenovirus multiplication. XIV. Macromolecule and enzyme synthesis in cells replicating oncogenic and nononcogenic human adenovirus. Virology. 1969;38:573–586. pmid:5808220 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Deng X, Yan Z, Cheng F, Engelhardt JF, Qiu J. Replication of an Autonomous Human Parvovirus in Non-dividing Human Airway Epithelium Is Facilitated through the DNA Damage and Repair Pathways. PLoS Pathog. 2016;12:e1005399. pmid:26765330 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Xu P, Zhou Z, Xiong M, Zou W, Deng X, Ganaie SS, et al. Parvovirus B19 NS1 protein induces cell cycle arrest at G2-phase by activating the ATR-CDC25C-CDK1 pathway. PLoS Pathog. 2017;13:e1006266. pmid:28264028 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Chen AY, Qiu J. Parvovirus infection-induced cell death and cell cycle arrest. Futur Virol. 2010;5:731–743. pmid:21331319 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Hardt N, Dinsart C, Spadari S, Pedrali-Noy G, Rommelaere J. Interrelation between viral and cellular DNA synthesis in mouse cells infected with the parvovirus minute virus of mice. J Gen Virol. 1983;64:1991–1998. pmid:6411861 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Gibson W, Roizman B. Compartmentalization of spermine and spermidine in the herpes simplex virion. Proc Natl Acad Sci U S A. 1971;68:2818–2821. pmid:5288261 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Johannsen E, Luftig M, Chase MR, Weicksel S, Cahir-McFarland E, Illanes D, et al. Proteins of purified Epstein-Barr virus. Proc Natl Acad Sci. 2004;101:16286–16291. pmid:15534216 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Wang M, Tuladhar E, Shen S, Wang H, van Oers MM, Vlak JM, et al. Specificity of Baculovirus P6.9 Basic DNA-Binding Proteins and Critical Role of the C Terminus in Virion Formation. J Virol. 2010;84:8821–8828. pmid:20519380 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Tweeten KA, Bulla LA, Consigli RA. Characterization of an Extremely Basic Protein Derived from Granulosis Virus Nucleocapsids. J Virol. 1980;33:866–876. pmid:16789190 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Ostapchuk P, Suomalainen M, Zheng Y, Boucke K, Greber UF, Hearing P. The adenovirus major core protein VII is dispensable for virion assembly but is essential for lytic infection. PLoS Pathog. 2017;13:e1006455. pmid:28628648 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Flint SJ, Plumb MA, Yang UC, Stein GS, Stein JL. Effect of adenovirus infection on expression of human histone genes. Mol Cell Biol. 1984;4:1363–1371. pmid:6095065 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Ooi BG, Miller LK. Regulation of host RNA levels during baculovirus infection. Virology. 1988;166:515–523. pmid:2459844 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Zhao S, Li CI, Guo Y, Sheng Q, Shyr Y. RnaSeqSampleSize: real data based sample size estimation for RNA sequencing. BMC Bioinformatics. 2018;19:191. pmid:29843589 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Avgousti DC, Herrmann C, Kulej K, Pancholi NJ, Sekulic N, Petrescu J, et al. A core viral protein binds host nucleosomes to sequester immune danger signals. Nature. 2016;535:173–177. pmid:27362237 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Wu Y, Carstens EB. Initiation of baculovirus DNA replication: early promoter regions can function as infection-dependent replicating sequences in a plasmid-based replication assay. J Virol. 1996;70:6967–6972. pmid:8794340 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Nagaraju T, Sugden AU, Sugden B. Four-dimensional analyses show that replication compartments are clonal factories in which Epstein-Barr viral DNA amplification is coordinated. Proc Natl Acad Sci U S A. 2019;116:24630–24638. pmid:31744871 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Teferi WM, Desaulniers MA, Noyce RS, Shenouda M, Umer B, Evans DH. The vaccinia virus K7 protein promotes histone methylation associated with heterochromatin formation. PLoS ONE. 2017;12:e0173056. pmid:28257484 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Erickson KD, Bouchet-Marquis C, Heiser K, Szomolanyi-Tsuda E, Mishra R, Lamothe B, et al. Virion assembly factories in the nucleus of polyomavirus-infected cells. PLoS Pathog. 2012;8:e1002630. pmid:22496654 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Germond JE, Hirt B, Oudet P, Gross-Bellark M, Chambon P. Folding of the DNA double helix in chromatin-like structures from simian virus 40. Proc Natl Acad Sci U S A. 1975;72:1843–1847. pmid:168578 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Favre M, Breitburd F, Croissant O, Orth G. Chromatin-Like Structures Obtained After Alkaline Disruption of Bovine and Human Papillomavirus. J Virol. 1977;21:1205–1209. View Article Google Scholar Porter SS, Liddle JC, Browne K, Pastrana DV, Garcia BA, Buck CB, et al. Histone Modifications in Papillomavirus Virion Minichromosomes. MBio. 2021;12:e03274–e03220. pmid:33593981 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Kudoh A, Fujita M, Kiyono T, Kuzushima K, Sugaya Y, Izuta S, et al. Reactivation of lytic replication from B cells latently infected with Epstein-Barr virus occurs with high S-phase cyclin-dependent kinase activity while inhibiting cellular DNA replication. J Virol. 2003;77:851–861. pmid:12502801 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Shintomi K, Takahashi TS, Hirano T. Reconstitution of mitotic chromatids with a minimum set of purified factors. Nat Cell Biol. 2015;17:1014–1023. pmid:26075356 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Mejlvang J, Feng Y, Alabert C, Neelsen KJ, Jasencakova Z, Zhao X, et al. New histone supply regulates replication fork speed and PCNA unloading. J Cell Biol. 2014;204:29–43. pmid:24379417 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Takami Y, Ono T, Fukagawa T, Shibahara K, Nakayama T. Essential role of chromatin assembly factor-1-mediated rapid nucleosome assembly for DNA replication and cell division in vertebrate cells. Mol Biol Cell. 2007;18:129–141. pmid:17065558 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Cziepluch C, Lampel S, Grewenig A, Grund C, Lichter P, Rommelaere J. H-1 parvovirus-associated replication bodies: a distinct virus-induced nuclear structure. J Virol. 2000;74:4807–4815. pmid:10775619 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Hyman AA, Weber CA, Jülicher F. Liquid-liquid phase separation in biology. Annu Rev Cell Dev Biol. 2014;30:39–58. pmid:25288112 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Brangwynne CP, Mitchison TJ, Hyman AA. Active liquid-like behavior of nucleoli determines their size and shape in Xenopus laevis oocytes. Proc Natl Acad Sci U S A. 2011;108:4334–4339. pmid:21368180 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Gibson BA, Doolittle LK, Schneider MWG, Jensen LE, Gamarra N, Henry L, et al. Organization of Chromatin by Intrinsic and Regulated Phase Separation. Cell. 2019;179:470–484.e21. pmid:31543265 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Schneider MWG, Gibson BA, Otsuka S, Spicer MFD, Petrovic M, Blaukopf C, et al. A mitotic chromatin phase transition prevents perforation by microtubules. Nature. 2022;609:183–190. pmid:35922507 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Parker MW, Bell M, Mir M, Kao JA, Darzacq X, Botchan MR, et al. A new class of disordered elements controls DNA replication through initiator self-assembly. elife. 2019;8:e48562. pmid:31560342 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Caragliano E, Bonazza S, Frascaroli G, Tang J, Soh TK, Grünewald K, et al. Human cytomegalovirus forms phase-separated compartments at viral genomes to facilitate viral replication. Cell Rep. 2022;38:110469. pmid:35263605 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Caragliano E, Brune W, Bosse JB. Herpesvirus Replication Compartments: Dynamic Biomolecular Condensates? Viruses. 2022;14:960. pmid:35632702 View Article PubMed/NCBI Google Scholar McSwiggen DT, Hansen AS, Teves SS, Marie-Nelly H, Hao Y, Heckert AB, et al. Evidence for DNA-mediated nuclear compartmentalization distinct from phase separation. elife. 2019;8:e47098. pmid:31038454 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Koonin EV, Dolja VV, Krupovic M, Varsani A, Wolf YI, Yutin N, et al. Global Organization and Proposed Megataxonomy of the Virus World. Microbiol Mol Biol Rev. 2020;84:e00061–e00019. pmid:32132243 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Mattola S, Salokas K, Aho V, Mäntylä E, Salminen S, Hakanen S, et al. Parvovirus nonstructural protein 2 interacts with chromatin-regulating cellular proteins. PLoS Pathog. 2022;18:e1010353. pmid:35395063 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Castillo-González C, Liu X, Huang C, Zhao C, Ma Z, Hu T, et al. Geminivirus-encoded TrAP suppressor inhibits the histone methyltransferase SUVH4/KYP to counter host defense. elife. 2015;4:e06671. pmid:26344546 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Horwitz GA, Zhang K, McBrian MA, Grunstein M, Kurdistani SK, Berk AJ. Adenovirus small e1a alters global patterns of histone modification. Science. 2008;321:1084–1085. pmid:18719283 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Shoji K, Kokusho R, Kawamoto M, Suzuki Y, Katsuma S. H3K4me3 histone modification in baculovirus-infected silkworm cells. Virus Genes. 2021;57:459–463. pmid:34185196 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Herrera FJ, Triezenberg SJ. VP16-dependent association of chromatin-modifying coactivators and underrepresentation of histones at immediate-early gene promoters during herpes simplex virus infection. J Virol. 2004;78:9689–9696. pmid:15331701 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Djavadian R, Chiu YF, Johannsen E. An Epstein-Barr Virus-Encoded Protein Complex Requires an Origin of Lytic Replication In Cis to Mediate Late Gene Transcription. PLoS Pathog. 2016;12:e1005718. pmid:27348612 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Chen CP, Lyu Y, Chuang F, Nakano K, Izumiya C, Jin D, et al. Kaposi’s Sarcoma-Associated Herpesvirus Hijacks RNA Polymerase II To Create a Viral Transcriptional Factory. J Virol. 2017;91:e02491–e02416. pmid:28331082 View Article PubMed/NCBI Google Scholar van Steensel B, Belmont AS. Lamina-Associated Domains: Links with Chromosome Architecture, Heterochromatin, and Gene Repression. Cell. 2017;169:780–791. pmid:28525751 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Briand N, Collas P. Lamina-associated domains: peripheral matters and internal affairs. Genome Biol. 2020;21:85. pmid:32241294 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Guelen L, Pagie L, Brasset E, Meuleman W, Faza MB, Talhout W, et al. Domain organization of human chromosomes revealed by mapping of nuclear lamina interactions. Nature. 2008;453:948–951. pmid:18463634 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Finlan LE, Sproul D, Thomson I, Boyle S, Kerr E, Perry P, et al. Recruitment to the nuclear periphery can alter expression of genes in human cells. PLoS Genet. 2008;4:e1000039. pmid:18369458 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Akhtar W, de Jong J, Pindyurin AV, Pagie L, Meuleman W, de Ridder J, et al. Chromatin position effects assayed by thousands of reporters integrated in parallel. Cell. 2013;154:914–927. pmid:23953119 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Casco A, Johannsen E. EBV Reactivation from Latency Is a Degrading Experience for the Host. Viruses. 2023;15:726. pmid:36992435 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Buschle A, Mrozek-Gorska P, Cernilogar FM, Ettinger A, Pich D, Krebs S, et al. Epstein-Barr virus inactivates the transcriptome and disrupts the chromatin architecture of its host cell in the first phase of lytic reactivation. Nucleic Acids Res. 2021;49:3217–3241. pmid:33675667 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Wu M, Ding X, Fu X, Lozano-Duran R. Transcriptional reprogramming caused by the geminivirus Tomato yellow leaf curl virus in local or systemic infections in Nicotiana benthamiana. BMC Genomics. 2019;20:542. pmid:31272383 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Hema M, Sreenivasulu P, Patil BL, Kumar PL, Reddy DVR. Tropical food legumes: virus diseases of economic importance and their control. Adv Virus Res. 2014;90:431–505. pmid:25410108 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Patil BL, Fauquet CM. Cassava mosaic geminiviruses: actual knowledge and perspectives. Mol Plant Pathol. 2009;10:685–701. pmid:19694957 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Beam K, Ascencio-Ibáñez JT. Geminivirus Resistance: A Minireview. Front Plant Sci. 2020;11:1131. pmid:32849693 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Streck AF, Truyen U. Porcine Parvovirus. Curr Issues Mol Biol. 2020;37:33–46. pmid:31822635 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Walker D, Fee SA, Hartley G, Learmount J, O’Hagan MJH, Meredith AL, et al. Serological and molecular epidemiology of canine adenovirus type 1 in red foxes (Vulpes vulpes) in the United Kingdom. Sci Rep. 2016;6:36051. pmid:27796367 View Article PubMed/NCBI Google Scholar Burrell CJ, Howard CR, Murphy FA. Fenner and White’s Medical Virology. 5th ed. Academic Press; 2016. Download PDF Citation XML Print Share Reddit Facebook LinkedIn Mendeley Bluesky Email Advertisement Subject Areas ? For more information about PLOS Subject Areas, click here. We want your feedback. Do these Subject Areas make sense for this article? Click the target next to the incorrect Subject Area and let us know. Thanks for your help! ChromatinIs the Subject Area "Chromatin" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. DNA synthesisIs the Subject Area "DNA synthesis" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. DNA replicationIs the Subject Area "DNA replication" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. ParvovirusesIs the Subject Area "Parvoviruses" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. DNA virusesIs the Subject Area "DNA viruses" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. CondensationIs the Subject Area "Condensation" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. HistonesIs the Subject Area "Histones" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. Viral replicationIs the Subject Area "Viral replication" applicable to this article? Yes No Thanks for your feedback. Publications PLOS Biology PLOS Climate PLOS Complex Systems PLOS Computational Biology PLOS Digital Health PLOS Genetics PLOS Global Public Health PLOS Medicine PLOS Mental Health PLOS Neglected Tropical Diseases PLOS One PLOS Pathogens PLOS Sustainability and Transformation PLOS Water Home Blogs Collections Give feedback LOCKSS Privacy Policy Terms of Use Advertise Media Inquiries Contact PLOS is a nonprofit 501(c)(3) corporation, #C2354500, based in California, US Cookie Preference Center Our website uses different types of cookies. Optional cookies will only be set with your consent and you may withdraw this consent at any time. Below you can learn more about the types of cookies PLOS uses and register your cookie preferences. Accept All Cookies Customize Your Cookie Preference +Strictly Necessary Always On +Functional [x] On Off +Performance and Analytics [x] On Off +Marketing [x] On Off Save Selected Preferences and Close For more information about the cookies and other technologies used by us, please read our Cookie Policy.
9736	https://faculty.etsu.edu/gardnerr/5357/notes/Munkres-15.pdf	The Product Topology on X × Y 1 Section 15. The Product Topology on X × Y Note. If X and Y are topological spaces, then there in a natural topology on the Cartesian product set X × Y = {(x, y) \| x ∈X, y ∈Y }. In Section 19, we study a more general product topology. Deﬁnition. Let X and Y be topological spaces. The product topology on set X ×Y is the topology having as basis the collection B of all sets of the form U ×V , where U is an open subset of X and V is an open subset of Y . Note. As usual, we need to conﬁrm that Munkres’ deﬁnition is meaningful and so we must verify that B is a basis or a topology. Since X is pen and Y is open, then X × Y ∈B is open and part (1) of the deﬁnition of “basis” is satisﬁed. For part (2) of the deﬁnition, let B1 = U1 × V1 and B2 = U2 × V2 be elements of B, then (U1 ×V1) ∩(U2 ×V2) = (U1 ∩U2) ×(V1 ∩V2) is a basis element because U1 ∩U2 and V1 ∩V2 are open in X and Y , respectively (see Figure 15.1 on page 87). Note. The following result tells us how to ﬁnd a basis for the product topology on X × Y in terms of bases of X and Y . The Product Topology on X × Y 2 Theorem 15.1. If B is a basis for the topology of X and C is a basis for the topology of Y , then the collection D = {B × C \| B ∈B and C ∈C} is a basis for the topology of X × Y . Example 1. The standard topology on R2 is the product topology on R×R where we have the standard topology on R. Since a basis for the standard topology on R is B = {(a, b) \| a, b ∈R, a < b} (by the deﬁnition of “standard topology on R”), then Theorem 15.1 implies that a basis for the standard topology on R × R is B′{(a, b) × (c, d) \| a, b, c, d ∈R, a < b, c < d}. Note. The following deﬁnition introduces projections which allow us to move sets from X × Y into the constituent sets X and Y . Deﬁnition. Let π1 : X×Y →X be deﬁned (pointwise) by the equation π1((x, y)) = x. Let π2 : X × Y →Y be deﬁned by the equation π2((x, y)) = y. The maps π1 and π2 are the projections of X × Y onto its ﬁrst and second factors, respectively. Note. For any U ⊂X, we can consider the inverse image of U under π1: π−1 1 (U) = {(x, y) ∈X × Y \| π1((x, y)) ∈U} = {(x, y) ∈X × Y \| x ∈U} = U × Y. (Notice that this involves inverse images and not inverse functions, so there is no concern about one to one-ness.) Similarly, for V ⊂Y we have π−1 2 (V ) = X×V . For 15. The Product Topology on X × Y 3 U and V open bounded intervals in R, we get the following visual representation of π−1 1 (U) and π−1 2 (V ) in R × R: Note. The inverse images of open sets in X and Y under projections can be used to create a subbasis for the product topology on X × Y as follows. Theorem 15.2. The set S = {π−1 1 (U) \| U is open in X} ∪{π−1 2 (V ) \| V is open in Y } is a subbasis for the product topology on X × Y . Revised: 5/30/2016
9737	https://users.cs.duke.edu/~pankaj/publications/surveys/geom-opt-survey.pdf	Algorithmic T ec hniques for Geometric Optimization ? P ank a j K. Agarw al and Mic ha Sharir ; Departmen t of Computer Science Bo x 0 , Duk e Univ ersit y , Durham, NC 0-0 , USA. Sc ho ol of Mathematical Sciences T el Aviv Univ ersit y , T el Aviv , ISRAEL. Couran t Institute of Mathematical Sciences New Y ork Univ ersit y , New Y ork, NY 00, USA. Abstract. W e review the recen t progress in the design of ecien t al-gorithms for v arious problems in geometric optimization. The emphasis in this surv ey is on the tec hniques used to attac k these problems, suc h as parametric searc hing, geometric alternativ es to parametric searc hing, prune-and-searc h tec hniques for linear programming and related prob-lems, and LP-t yp e problems and their ecien t solution. In tro duction In this surv ey w e describ e sev eral tec hniques that ha v e lead to ecien t algo-rithms for a v ariet y of geometric optimization problems. W e also list man y applications of these tec hniques, and discuss some of them in more detail. The rst tec hnique that w e presen t is the p ar ametric se ar ching tec hnique. Although restricted forms of parametric searc hing already existed earlier [ , , ], the parametric searc hing in its full generalit y w as prop osed b y Megiddo in the late 0's and the early 0's [ , ]. The tec hnique w as originally motiv ated b y so-called p ar ametric optimization problems in com binatorial optimization, and did not receiv e m uc h atten tion b y the computational geometry comm unit y un til the late 0's. In the last sev en y ears, though, it has b ecome one of the ma jor tec hniques for solving geometric optimization problems ecien tly . W e outline the tec hnique in detail in Section , rst exemplifying it on the slop e sele ction pr oblem [ ], and then presen ting v arious extensions of the tec hnique. Despite its p o w er and v ersatilit y , parametric searc hing has certain dra wbac ks, whic h w e discuss b elo w. Consequen tly , there ha v e b een sev eral recen t attempts to replace parametric searc hing b y alternativ e tec hniques, including r andomiza-tion [ , , ], exp ander gr aphs [ , 0 , , ], ge ometric cuttings [ , ], and ? P ank a j Agarw al has b een supp orted b y National Science F oundation Gran t CCR- {0 , an NYI a w ard, and b y matc hing funds from Xero x Corp. Mic ha Sharir has b een supp orted b y NSF Gran ts CCR- -0 and CCR- -, b y a Max-Planc k Researc h Aw ard, and b y gran ts from the U.S.-Israeli Binational Science F oundation, the Israel Science F und adminis-tered b y the Israeli Academ y of Sciences, and the G.I.F., the German-Israeli F oundation for Scien tic Researc h and Dev elopmen t. matrix se ar ching [0 , , , , ]. W e men tion these alternativ e tec hniques in Section . Almost concurren tly with the dev elopmen t of the parametric searc hing tec h-nique, Megiddo devised another ingenious tec hnique for solving linear program-ming and sev eral related optimization problems [ , 0 ]. This tec hnique, no w kno wn as de cimation or prune-and-se ar ch, w as later rened and extended b y Dy er [ ], Clarkson [0 ], and others. The tec hnique can b e view ed as an opti-mized v ersion of parametric searc hing, in whic h certain sp ecial prop erties of the problem allo ws one to impro v e further the eciency of the algorithm. F or ex-ample, it yields linear-time deterministic algorithms for line ar pr o gr amming and for sev eral related problems, suc h as the smal lest enclosing b al l problem, when the dimension is xed. (Ho w ev er, the dep endence of the running time of these algorithms on the dimension is at least exp onen tial.) W e presen t the tec hnique and its applications in Section . Section en umerates man y recen t applications of the tec hniques review ed so far. In the past decade, r andomize d algorithms ha v e b een dev elop ed for a wide v ariet y of problems in computational geometry and in other elds; see, e.g., the b o oks b y Mulm uley [ ] and b y Mot w ani and Ragha v an [ ]. In particular, Clarkson [ ] and Seidel [0 ] ga v e randomized algorithms for linear program-ming, whose exp ected time is linear in an y xed dimension, whic h are m uc h sim-pler than their earlier deterministic coun terparts, and the dep endence of their running time on the dimension is b etter (though still exp onen tial). Additional signican t progress w as made ab out four y ears ago, when new randomized algo-rithms for linear programming w ere obtained indep enden tly b y Kalai [ ], and b y Matou sek et al. [ , 0 ] (these t w o algorithms are essen tially dual v ersions of the same tec hnique). The exp ected n um b er of arithmetic op erations p erformed b y these algorithms is sub exp onen tial' in the input size, and is still linear in an y xed dimension, so they constitute an imp ortan t step to w ard the still op en goal of obtaining strongly-p olynomial algorithms for linear programming. (Re-call that the p olynomial-time algorithms b y Khac hiy an [ ] and Karmark ar [ ] are not strongly p olynomial, as the n um b er of arithmetic op erations p erformed b y these algorithms dep ends on the size of co ecien ts of the input constrain ts.) This new tec hnique is presen ted in Section . The algorithm in [ , 0 ] is form ulated in a general abstract framew ork, whic h ts not only linear program-ming but man y other problems. Suc hLP-t yp e' problems are also review ed in Section , including the connection, recen tly noted b y Amen ta [ , 0 ], b et w een abstract linear programming and Helly-t yp e' theorems. P arametric Searc hing . Outline of the T ec hnique The parametric searc hing tec hnique of Megiddo [ , ] can b e describ ed in the follo wing general terms (whic h are not as general as p ossible, but suce for our purp oses). Supp ose w e ha v e a decision problem P () that dep ends on a real parameter , and is monotone in , meaning that if P ( 0 ) is true for some 0 , then P () is true for all < 0 . Our goal is to nd the maxim um for whic h P () is true, assuming suc h a maxim um exists. Supp ose further that P () can b e solv ed b y a (sequen tial) algorithm A s () whose input is a set of data ob jects (indep enden t of ) and , and whose con trol o w is go v erned b y comparisons, eac h of whic h amoun ts to testing the sign of some lo w-degree p olynomial in . Megiddo's tec hnique then runs A sgenerically' at the unkno wn optim um . Whenev er A s reac hes a branc hing p oin t that dep ends on some comparison with an asso ciated p olynomial p(), it computes all the ro ots of p and runs (the standard, non-generic v ersion of ) A s with the v alue of equal to eac h of these ro ots. The outputs of these runs of A s conne to an in terv al b et w een t w o adjacen t ro ots, whic h then enables the generic A s to determine the sign of p( ), thereb y resolving the comparison and allo wing the generic execution to pro ceed. As this generic computation adv ances, the in terv al kno wn to con tain k eeps shrinking as a result of resolving further comparisons, and, at the end, either the in terv al b ecomes a singleton, whic h is th us the desired , or else can b e sho wn to b e equal to its upp er endp oin t. (A third p ossibilit y is that the algorithm nds acciden tally', during one of its comparison-resolving steps.) If A s runs in time T s and mak es C s comparisons, then the cost of the pro-cedure just describ ed is O (C s T s ), and is th us generally quadratic in the original complexit y . T o sp eed up the execution, Megiddo prop oses to implemen t the generic algorithm b y a parallel algorithm A p (under V alian t's c omp arison mo del of computation [ ]). If A p uses P pro cessors and runs in T p parallel steps, then eac h parallel step in v olv es at most P indep endent comparisons; that is, w e do not need to kno w the output of suc h a comparison to b e able to execute other comparisons in the samebatc h'. W e can then compute the ro ots of all the p olynomials asso ciated with these comparisons, and p erform a binary searc h to lo cate among them, using (the non-generic) A s at eac h binary step. The cost of sim ulating a parallel step of A p is th us O (P + T s log P ), for a total running time of O (P T p + T p T s log P ). In most cases, the second term dominates the running time. The tec hnique has b een generalized further in [0 , , , ]. . An Example: The Slop e Selection Problem As an illustration, consider the slop e sele ction problem, whic h w e form ulate in a dual setting, as follo ws: W e are giv en a set L of n non v ertical lines in the plane, and an in teger k n , and w e wish to nd an in tersection p oin t b et w een t w o lines of L that has the k -th smallest x-co ordinate. (W e assume, for simplicit y , gener al p osition of the lines, so that no three lines are concurren t, and no t w o in tersection p oin ts ha v e the same x-co ordinate.) W e are th us seeking the k -th leftmost v ertex of the arr angement A(L) of the lines in L; see [ , 0 ] for more details concerning arrangemen ts. (The name of the problem comes from its primal setting, where w e are giv en a set of n p oin ts and a parameter k as ab o v e, and wish to determine a segmen t connecting t w o input p oin ts that has the k -th smallest slop e among all suc h segmen ts.) The parameter that w e seek is the x-co ordinate of the v ertical line passing through the desired v ertex, and the decision step is to compare with a giv en , that is, to determine ho w man y v ertices of A(L) lie to the left of (or on) the line x = . If w e denote this n um b er b y k , then w e ha v e < (resp. > , = ) if and only if k > k (resp. k < k , k = k ). Let ( ; ; : : : ; n ) denote the sequence of lines in L sorted in the decreasing order of their slop es, and let ( () ; () ; : : : ; (n) ) denote the sequence of these lines sorted b y their in tercepts with x = . An easy observ ation is that t w o lines i , j , with i < j , in tersect to the left of x = if and only if (i) > (j ). In other w ords, the n um b er of in tersection p oin ts to the left of x = can b e coun ted, in O (n log n) time, b y coun ting the n um b er of inversions in the p erm utation [ ]: Construct a balanced binary tree T storing the lines of L in its lea v es, in the decreasing slop e order ; : : : ; n , b y adding the lines one after the other, in the order () ; : : : ; (n) . When a line q is added, coun t the n um b er of lines that are already presen t in T and ha v e a larger index, and add up these coun ts, to obtain the total n um b er of in v ersions. Since the insertion of a line can b e done in O (log n) time, the whole decision pro cedure tak es O (n log n) time. An y parallel sorting algorithm, whic h runs in O (log n) time using O (n) pro cessors [ ], can coun t the n um b er of in v ersions within the same time and pro cessor b ounds. (Notice that the construction of T itself do es not in v olv e an y comparison that dep ends on the v alue of , and so need not b e p erformed at all in the generic execution.) Plugging these algorithms in to the parametric searc hing paradigm, w e obtain an O (n log n)-time algorithm for the slop e selection problem. . Impro v emen ts and Extensions Cole [ ] observ ed that in certain applications of parametric searc hing, including the slop e selection problem, the running time can b e impro v ed to O ((P + T s )T p ), as follo ws. Consider a parallel step of the ab o v e generic algorithm. Supp ose that, instead of in v oking the decision pro cedure O (log n) times in this step, w e call it only O () times, sa y , three times. This will determine the outcome of = of the comparisons, and will lea v e = of them unresolv ed. Supp ose further that eac h of the unresolv ed comparisons can in uence only a constan t (and small) n um b er of (sa y , t w o) comparisons executed at the next parallel step. Then = of these comparisons can still b e sim ulated generically with the curren tly a v ailable information. This mo died sc heme mixes the parallel steps of the algorithm, since it forces us to p erform together new comparisons and y et unresolv ed old comparisons. Nev ertheless, Cole sho ws that, if carefully implemen ted, the n um b er of parallel steps of the algorithm increases only b y a constan t factor, whic h leads to the impro v emen t stated ab o v e. An ideal setup for Cole's impro v emen t is when the parallel algorithm is describ ed as a circuit (or net w ork), eac h of whose gates has a constan t fan-out. Cole's idea impro v es the running time of the slop e selection algorithm to O (n log n). Later, Cole et al. [ ] ga v e an optimal O (n log n)-time solution. They observ e that one can compare with a v alue that isfar a w a y' from , in a faster manner, b y coun ting in v ersions only appro ximately . This appro x-imation is progressiv ely rened as approac hes in subsequen t comparisons. Cole et al. sho w that the o v erall cost of O (log n) calls to the appro ximating de-cision pro cedure is only O (n log n), so this also b ounds the running time of the whole algorithm. This tec hnique w as subsequen tly simplied in [ ]. Chazelle et al. [ ] ha v e sho wn that the algorithm of [ ] can b e extended to compute, in O (n log n) time, the k -th leftmost v ertex in an arrangemen t of n line segmen ts. Multi-dimensional parametric searc hing. The parametric searc hing tec hnique can b e extended to higher dimensions in a natural manner. Sup-p ose w e ha v e a decision problem P () as ab o v e, but no w v aries in R d . Assume also that the set of p oin ts at whic h the answ er of P () is true is a con v ex region. W e wish to compute the lexicographically largest p oin t for whic h P () is true. Let A s b e, as ab o v e, an algorithm that solv es P ( 0 ) at an y giv en 0 , and can also compare 0 with (lexicographically). As ab o v e, w e run A s generically at . Eac h comparison dep ending on no w amoun ts to ev aluating the sign of some d-v ariate p olynomial p( ; : : : ; d ). First consider the case when p is a linear function of the form a 0 + P id a i i , suc h that a d = 0. Consider the h yp erplane h : d = (a 0 + P d i= a i i )=a d , and let h + ; h b e the t w o op en halfspaces b ounded b y h. Ev aluating the sign of p( ) is equiv alen t to determining whether lies in h, h + , or h . W e solv e this problem b y considering the follo wing more general problem: Let h b e a k - at in R d , and let ^ h b e the v ertical d-h yp erplane erected on h. If in tersects ^ h, w e wish to return the lexicographically largest p oin t of \ ^ h. Otherwise, w e wish to determine whic h of the t w o op en half-spaces b ounded b y ^ h con tains . Inductiv ely , assume that w e ha v e an algorithm A (k ) d that can solv e this problem for an y (k )-dimensional at. Notice that A 0 d = A s , and that k = d corresp onds to the original problem. By running A (k ) d generically , suc h that v aries o v er ^ h, one can determine whether in tersects ^ h, and, if not, determine whic h of the t w o halfspaces con tains . The details of this algorithm can b e found in [ , , , ]. Recen tly , T oledo [ ] sho w ed ho w to handle nonlinear p olynomials, using Collins' cylindrical algebraic decomp osition sc heme [ ]. Alternativ es Approac hes to P arametric Searc hing Despite its p o w er and v ersatilit y , the parametric searc hing tec hnique, nev erthe-less, has some shortcomings: (i) P arametric searc hing requires the design of an ecien t parallel algorithm for the generic v ersion of the decision pro cedure. This is not alw a ys easy , and it often tends to mak e the o v erall solution quite complicated and impractical. (ii) The generic algorithm requires exact computation of the ro ots of the p oly-nomials whose signs determine the outcome of the comparisons made b y the algorithm. Suc h computation is p ossible, using standard computa-tional algebra tec hniques, but it is often a time-consuming step. (iii) Finally , from an aesthetic p oin t of view, the execution of an algorithm based on parametric searc hing ma y app ear to b e somewhat c haotic, and its b eha vior is often dicult to explain in terms of the geometry of the problem. These shortcomings ha v e led sev eral researc hers to lo ok for alternativ e ap-proac hes to parametric searc hing for geometric optimization problems. Roughly sp eaking, parametric searc hing eectiv ely conducts an implicit binary searc h o v er a set = f ; : : : ; t g of critical v alues' of the parameter , to lo cate the optim um among them. (F or example, in the slop e selection problem, the critical v alues are the (n ) x-co ordinates of the v ertices of the arrangemen t A(L).) The p o w er of the tec hnique stems from its abilit y to generate only a small n um b er of critical v alues during the searc h. There are alternativ e w a ys of generating a small n um b er of critical v alues in certain sp ecial cases. F or example, one can use randomization: Supp ose w e kno w that lies in some in terv al I = [; ]. If w e can randomly c ho ose an elemen t 0 I \ , where eac h item is c hosen with probabilit y =jI \ j, then it follo ws that, with high probabilit y , the size of I \ will shrink signican tly b y p erforming just a few comparisons with the randomly c hosen elemen ts. Pro ceeding along these lines, Matou sek [ ] ga v e a v ery simple algorithm for the slop e selection problem, whic h runs in O (n log n) exp ected time. Other randomized tec hniques in geometric optimization will b e men tioned in Section . This randomized approac h can b e derandomized, without aecting the asymp-totic running time, using standard tec hniques, suc h as exp anders and ge ometric p artitionings . Ajtai and Megiddo [ ] ga v e an ecien t parallel linear program-ming algorithm based on expanders, and later Katz [0 ] and Katz and Sharir [ , ] applied expanders to solv e sev eral geometric optimization problems, including the slop e selection problem. Br onniman and Chazelle [ ] used geo-metric partitionings (also kno wn as cuttings), to obtain a simpler O (n log n)-time deterministic algorithm for the slop e selection problem. An en tirely dieren t approac h to parametric searc hing w as prop osed b y F red-eric kson and Johnson [0 , , , ], whic h is based on searc hing in sorte d ma-tric es. It is applicable in cases where the set of candidate critical v alues for the optim um parameter can b e stored in an n n matrix A, eac h of whose ro ws and columns is sorted. The size of the matrix is to o large for explicit bi-nary searc h through its elemen ts, so an implicit searc h is needed. This is done in a logarithmic n um b er of iterations. In eac h stage, w e ha v e a collection of submatrices of A. W e decomp ose eac h matrix in to four submatrices, and run the decision pro cedure on the median v alue of the smallest elemen ts in eac h sub-matrix, and on the median v alue of the largest elemen ts in eac h submatrix. It is sho wn in [0 , , ] that this allo ws us to discard man y submatrices, so that the n um b er of matrices only roughly doubles at eac h stage, and the nal n um b er of matrices is only O (n). This implies that the tec hnique can b e implemen ted with only O (log n) calls to the decision pro cedure and with only O (n) other constan t-time op erations. The tec hnique, when applicable, is b oth ecien t and simple, as compared with standard parametric searc hing. Prune-and-Searc h T ec hnique Lik e parametric searc hing, the prune-and-se ar ch (or de cimation) tec hnique also p erforms an implicit binary searc h o v er the nite set of candidate v alues for , but, while doing so, it also tries to eliminate input ob jects that can b e determined not to aect the v alue of . Eac h phase of the tec hnique eliminates a constan t fraction of the remaining ob jects, so that, after a logarithmic n um b er of steps, the problem size b ecomes a constan t, and the problem can b e solv ed in a nal, brute-force step. The o v erall cost of the resulting algorithm remains prop ortional to the cost of a single pruning stage. The prune-and-searc h tec hnique w as originally in tro duced b y Megiddo [ , 0 ], in dev eloping an O ( d n)-time algorithm for linear programming with n constrain ts in R d , but w as later applied to man y other geometric optimization problems (see Section ). W e illustrate the tec hnique b y describing Megiddo's t w o-dimensional linear programming algorithm. W e are giv en a set H = fh ; : : : ; h n g of n halfplanes and a v ector c, and w e wish to minimize cx o v er the fe asible r e gion K = T n i= h i . Without loss of generalit y , assume that c = (0; ). Let L denote the set of lines b ounding the halfplanes of H , and let L + (resp. L ) denote the subset of lines i L whose asso ciated halfplane h i lies b elo w (resp. ab o v e) i . The algorithm pairs up the lines of L in to disjoin t pairs ( ; ), ( ; ); : : :, suc h that the lines in a pair either b oth b elong to L + or b oth b elong to L . The algorithm computes the in tersection p oin ts of the lines in eac h pair, and c ho oses the median, x m , of their x-co ordinates. Let x denote the x-co ordinate of the optimal p oin t in K (if suc h a p oin t exists). The algorithm then uses a linear-time decision pro cedure that compares x m with x . If x m = x w e stop, since w e ha v e found the optim um. Supp ose that x m < x . If (; 0 ) is a pair of lines, suc h that they b oth b elong to L , and suc h that their in tersection p oin t lies to the left of x m , then w e can discard the line with the smaller slop e from an y further consideration, b ecause that line is kno wn to pass b elo w the optimal p oin t of K . All other cases can b e treated in a fully symmetric manner, so w e ha v e managed to discard ab out n= lines. The running time of this pruning step is O (n). W e ha v e th us computed, in O (n) time, a subset H 0 H of ab out n= constrain ts suc h that the optimal p oin t of K 0 = T hH 0 h is the same as that of K . W e no w apply the whole pro cedure once again to H 0 , and k eep rep eating this, for O (log n) stages, un til either the n um b er of remaining lines falls b elo w some small constan t, in whic h case w e solv e the problem b y brute force (in constan t time), or the algorithm has hit xacciden tally', in whic h case it stops righ t a w a y . (W e omit here the description of the decision pro cedure, and of handling cases in whic h K is empt y or un b ounded; see [ , , 0 ] for details.) It is no w easy to see that the o v erall running time of the algorithm is O (n). This tec hnique can b e extended to higher dimensions, although it b ecomes more complicated, and requires recursiv e in v o cations of the algorithm on sub-problems in lo w er dimensions. It yields a deterministic algorithm for linear programming that runs in O (C d n) time. The original algorithm of Megiddo giv es C d = d , whic h w as impro v ed b y Clarkson [0 ] and Dy er [ ] to d . Us-ing randomization tec hniques, a n um b er of simpler randomized algorithms ha v e b een dev elop ed for the problem [ , , 0 , ], with a b etter dep endence on d, of whic h the b est exp ected running time, O (d n + d d=+O () log n), is due to Clarkson [ ]. By derandomizing the algorithms in [ , ], one can obtain d O (d) n-time deterministic algorithms for linear programming in R d [ , ]. In Section , w e will describ e further impro v ed randomized algorithms, due to Kalai [ ] and to Matou sek et al. [ ] (see also [0 ]), with sub exp onen tial exp ected running time. Applications In this section w e brie y surv ey man y geometric applications of parametric searc hing and its v arian ts, and of the prune-and-searc h tec hnique. Numerous nongeometric optimization problems ha v e also b eneted from these tec hniques (see [ , , 0 , , ] for a sample of suc h applications). Although the common theme of all the problems men tioned b elo w is that they can b e solv ed ecien tly using parametric-searc hing and prune-and-searc h tec hniques, eac h of them re-quires a sp ecic, and often fairly sophisticated, approac h, in v olving the design of ecien t sequen tial and parallel algorithms for solving the appropriate decision steps. . F acilit y Lo cation Problems A t ypical facilit y lo cation problem is: Giv en a set D of n demand p oin ts in the plane, and a parameter p, w e wish to nd p supply ob jects (p oin ts, lines, segmen ts, etc.), so that the maxim um (Euclidean) distance b et w een eac h p oin t of D and its nearest supply ob ject is minimized. Instead of minimizing this L -norm, one can ask for the minimization of the L or the L norm of those deviations'. If p is considered as part of the input, most facilit y lo cation prob-lems are kno wn to b e NP-hard, ev en when the supply ob jects are p oin ts in the plane [ ]. Ho w ev er, for xed v alues of p, most of these problems can b e solv ed in p olynomial time. In this subsection w e review ecien t algorithms for some sp ecial cases of these problems. p-c enter. Here w e wish to compute the smallest real v alue r and a set S of p p oin ts, suc h that the union of disks of radius r cen tered at the p oin ts of S co v er the giv en planar p oin t set D . The decision problem is to determine, for a giv en radius r , whether D can b e co v ered b y the union of p disks of radius r . The decision problem for the -cen ter is th us to determine whether D can b e co v ered b y a disk of radius r , whic h can b e done in O (log n) parallel steps using O (n) pro cessors. This yields an O (n log n)-time algorithm for the -cen ter problem. Using the prune-and-searc h paradigm, one can, ho w ev er, solv e the -cen ter problem in linear time [ ]. There is a trivial O (n )-time algorithm for the -cen ter problem [0], whic h w as impro v ed b y Agarw al and Sharir [0 ] to O (n log n), and then b y Hersh-b erger [ ] to O (n log n). Matou sek [ ] ga v e a simpler O (n log n) algorithm b y replacing parametric searc hing b y randomization. The b est near-quadratic solution is due to Jaromczyk and Ko w aluk [ ], and runs in O (n log n) time. A ma jor progress on this problem w as made recen tly b y Sharir [0 ], who ga v e an O (n log n)-time algorithm, b y com bining the parametric searc hing tec hnique with sev eral additional tric ks, including a v arian t of the matrix searc hing algo-rithm of F rederic kson and Johnson [ ]. See also [, , , , , ] for other results on p-cen ter problems. p-line-c enter. Here w e wish to compute the smallest real v alue w suc h that D can b e co v ered b y the union of p strips of width w . F or p = , this is the classical width problem, whic h can b e solv ed in O (n log n) time [ ]. F or p = , Agarw al and Sharir [0 ] (see also [ ]) ga v e an O (n log n)-time algorithm. The running time w as impro v ed to O (n log n) b y Katz and Sharir [ ] and b y Glozman et al. [ ], using expander graphs and the matrix searc hing tec hnique, resp ectiv ely; see also [ ]. Se gment-c enter. Giv en a segmen t e, w e wish to nd a translated and rotated cop y of e suc h that the maxim um distance from this cop y to the p oin ts of D is minimized. This problem w as originally considered in [ ], where an O (n log n) algorithm w as giv en. An impro v ed solution, based on parametric searc hing, with O (n (n) log n) running time, w as later obtained in []. The b est kno wn solution, due to Efrat and Sharir [ ], runs in time O (n +" ), for an y " > 0; it is also based on parametric searc hing, but uses a deep er com binatorial analysis of the problem structure. . Pro ximit y Problems Diameter. Giv en a set S of n p oin ts in R , w e wish to compute the diameter of S , that is, the maxim um distance b et w een t w o p oin ts of S . A v ery simple O (n log n) exp ected-time randomized algorithm (whic h is w orst-case optimal) w as giv en b y Clarkson and Shor [], but no optimal deterministic algorithm is kno wn. The b est kno wn deterministic solution is due to Br onniman et al. [ ], and runs in O (n log n) time. It is based on parametric searc hing, and uses some in teresting derandomization tec hniques. See also [ , , 0 ] for earlier close-to-linear time algorithms based on parametric searc hing. Closest line p air. Giv en a set L of n lines in the R , w e wish to compute a closest pair of lines in L. Indep enden tly , Chazelle et al. [ ] and P ellegrini [ ] ga v e parametric-searc hing based algorithms for this problem, whose running time is O (n =+" ), for an y " > 0. If w e are in terested in computing a pair with the minim um v ertical distance, the running time can b e impro v ed to O (n =+" ) [ ]. Sele cting distanc es. Let S b e a set of n p oin ts in the plane, and let k n b e an in teger. W e wish to compute the k -th smallest distance b et w een a pair of p oin ts of S . The decision problem is to compute, for a giv en real r , the sum P pS jD r (p) \ (S fpg)j, where D r (p) is the disk of radius r cen tered at p. (This sum is t wice the n um b er of pairs of p oin ts of S at distance r .) Agarw al et al. [ ] ga v e an O (n = log = n) exp ected-time randomized algorithm for the decision problem, whic h yielded an O (n = log = n)-time algorithm for the distance selection problem. Go o dric h [ ] derandomized this algorithm. Katz and Sharir [ ] ga v e an expander-based O (n = log +" n)-time algorithm for this problem, for an y " > 0. See also [0 ]. Minimum Hausdor distanc e b etwe en p olygons. Let P and Q b e t w o p olygons with m and n edges, resp ectiv ely . The problem is to compute the minimum Hausdor distanc e under tr anslation b et w een P and Q in the Euclidean metric. The Hausdor distance is one of the common w a ys of measuring the resem blance b et w een t w o sets P and Q [ ]; it is dened as H (P ; Q) = max fmax aP min bQ d(a; b); max aQ min bP d(a; b)g ; and w e wish to compute min v H (P + v ; Q). The problem has b een solv ed in [ ], using parametric searc hing, in O ((mn) log (mn)) time, whic h is signican tly faster than the previously b est kno wn algorithm of [ ]. See [ , ] for other parametric-searc hing based results on this problem. . Statistical Estimators and Related Problems Plane tting. Giv en a set S of n p oin ts in R , w e wish to t a plane h through S so that the maxim um distance b et w een h and the p oin ts of S is minimized. This is the same problem as computing the width of S , whic h is considerably harder than the t w o-dimensional v arian t men tioned ab o v e. Chazelle et al. [ ] ga v e an algorithm that is based on parametric searc hing and runs in time O (n =+" ), for an y " > 0 (see also [ ] for an impro v ed b ound). By replacing parametric searc hing with randomization, and b y applying a more in v olv ed com binatorial analysis of the problem structure, Agarw al and Sharir [] obtained the curren tly b est solution, whic h runs in O (n =+" ) exp ected time, for an y " > 0. See also [ , , , ] for other results on h yp erplane tting. Cir cle tting. Giv en a set S of n p oin ts in the plane, w e wish to t a circle C through S , so that the maxim um distance b et w een C and the p oin ts of S is minimized. This is equiv alen t to nding an ann ulus of minim um width that con tains S . This problem w as initially solv ed in [ ], b y a quadratic-time algo-rithm, whic h w as impro v ed, using parametric searc hing, to O (n =+" ), for an y " > 0 []. Using randomization and an impro v ed analysis, this can b e impro v ed to O (n =+" ) time, for an y " > 0 [ ]. Finding an ann ulus of minim um area that con tains S is a simpler problem, since it can b e form ulated as an instance of linear programming in R , and can th us b e solv ed in O (n) time [ 0 ]. Center p oints. Giv en a set S of n p oin ts in the plane, w e wish to determine a p oin t R , suc h that an y halfplane con taining also con tains at least bn=c p oin ts of S . (It is kno wn that suc h alw a ys exists [ ].) Cole et al. [ ] ga v e an O (n log n)-time algorithm for computing , using m ulti-dimensional para-metric searc hing. Using the prune-and-searc h paradigm, Matou sek [0] ga v e an O (n log n)-time algorithm for computing the set of all cen ter p oin ts. Recen tly , Jadha v and Mukhopadh y a y [ ] ga v e a linear-time algorithm for computing a cen ter p oin t, using a direct and elegan t tec hnique. F or computing a cen ter p oin t in three dimensions, near-quadratic algorithms w ere dev elop ed in [ , ]. Clarkson et al. [] ga v e an ecien t algorithm for computing an appro ximate cen ter p oin t. Ham-sandwich cuts. Let A ; : : : ; A d b e d p oin t sets in R d . A ham-sandwich cut is a h yp erplane that sim ultaneously bisects all the A i 's. The ham-sandwic h theorem (see, e.g., [ ]) guaran tees the existence of suc h a cut. Sev eral prune-and-searc h algorithms ha v e b een prop osed for computing a ham-sandwic h cut in the plane. F or the sp ecial case when A and A are linearly separable, Megiddo [ ] ga v e a linear time algorithm. Mo difying his algorithm, Edelsbrunner and W aup otitsc h [ ] ga v e an O (n log n)-time algorithm when A and A are not linearly separable. The running time w as then impro v ed to linear b y Lo and Steiger [ ]. Ecien t algorithms for higher dimensions are giv en b y Lo et al. [ ]. . Placemen t and In tersection Polygon plac ement. Let P b e a p olygonal ob ject with m edges, and let Q b e a closed planar p olygonal en vironmen t with n edges. W e wish to nd the largest similar cop y of P (under translation, rotation, and scaling) that can b e placed inside Q. Sharir and T oledo [0 ] ga v e an O (m n (mn) log mn log log mn)-time algorithm, using parametric searc hing. If b oth P and Q are con v ex and rotations are not allo w ed, then the problem can b e solv ed in O (m + n log n) time [ ]. See also [ ] for related results. A sp ecial case of this problem is the so called biggest-stick problem, where, giv en a simple p olygon Q, w e wish to nd the longest segmen t that can b e placed inside Q. A randomized algorithm with exp ected-time O (n =+" ), for an y " > 0, is giv en in [ ]. Interse ction of p olyhe dr a. Giv en a set P = fP ; : : : ; P m g of m con v ex p olyhedra in R d , with a total of n facets, do they ha v e a common in tersection p oin t? Reic hling [0 ] ga v e an O (log m log n)-time prune-and-searc h algorithm for d = , and later extended his approac h to d = [0 ]. Using m ulti-dimensional parametric searc hing, his approac h can b e generalized to higher dimensions. . Query T yp e Problems Agarw al and Matou sek [ ] ga v e a general tec hnique, based on parametric searc h-ing, to answ er r ay-sho oting queries (where w e wish to prepro cess a giv en set of ob jects in R d , so that the rst ob ject hit b y a query ra y can b e computed e-cien tly). This tec hnique, further elab orated in [, ], has yielded fast algorithms for sev eral related problems, including hidden surface remo v al, nearest neigh-b or searc hing, computing con v ex la y ers, and computing higher-order V oronoi diagrams; see [ , , , 00 ] for some of these results. Using m ulti-dimensional parametric searc hing, Matou sek presen ted in [ ] ecien t algorithms for line ar optimization queries, where w e wish to prepro cess a set H of halfspaces in R d in to a linear-size data structure, so that, giv en a query linear ob jectiv e function c, w e can ecien tly compute the v ertex of T H that minimizes c. See [, , ] for additional applications of m ulti-dimensional parametric searc hing for query t yp e problems. Abstract Linear Programming In this section w e presen t an abstract framew ork that captures b oth linear pro-gramming and man y other geometric optimization problems, including comput-ing smallest enclosing balls (or ellipsoids) of nite p oin t sets in R d , comput-ing largest balls (ellipsoids) in con v ex p olytop es in R d , computing the distance b et w een p olytop es in d-space, general con v ex programming, and man y other problems. Sharir and W elzl [0 ] and Matou sek et al. [ ] (see also Kalai []) presen ted a randomized algorithm for optimization problems in this framew ork, whose exp ected running time is linear in terms of the n um b er of constrain ts whenev er the dimension d is xed. More imp ortan tly , the running time issub ex-p onen tial' for man y of the LP-t yp e problems, including linear programming. T o b e more precise, what is measured here is the n um b er of primitiv e op erations that the algorithm p erforms on the constrain ts (see b elo w for details). This is the rst sub exp onen tial com binatorial' b ound for linear programming (a b ound that coun ts the n um b er of arithmetic op erations and is indep enden t of the bit complexit y of the input), and is a rst step to w ard the ma jor op en problem of obtaining a strongly p olynomial algorithm for linear programming. . An Abstract F ramew ork Let us consider optimization problems sp ecied b y pairs (H ; w ), where H is a nite set, and w : H ! W is a function with v alues in a linearly ordered set (W ; ); w e assume that W has a minim um v alue . The elemen ts of H are called c onstr aints, and for G H , w (G) is called the value of G. In tuitiv ely , w (G) denotes the smallest v alue attainable for certain ob jectiv e function while satisfying all the constrain ts of G. The goal is to compute a minimal subset B H of H with the same v alue as H (from whic h, in general, the v alue of H is easy to determine), assuming the a v ailabilit y of three basic op erations to b e sp ecied b elo w. Suc h a minimization problem is called LP-typ e if the follo wing t w o axioms are satised: Axiom . (Monotonicity) F or an y F ; G with F G H , w e ha v e w (F ) w (G) . Axiom . (L o c ality) F or an y F G H with < w (F ) = w (G) and an y h H , w (G) < w (G [ fhg) ) w (F ) < w (F [ fhg): Linear programming is easily sho wn to b e an LP-t yp e problem, if w e set w (G) to b e the v ertex of the feasible region whic h minimizes the ob jectiv e function and whic h is lexicographically smallest (this denition is imp ortan t to satisfy Axiom ), and if w e dene w (G) in an appropriate manner to handle empt y or un b ounded feasible regions. A b asis B is a set of constrain ts with < w (B ), and w (B 0 ) < w (B ) for all prop er subsets B 0 of B . F or G H , if < w (G), a b asis of G is a minimal subset B of G with w (B ) = w (G). (F or linear programming, a basis is a minimal set of halfspace constrain ts suc h that the minimal v ertex of their in tersection is some prescrib ed v ertex.) A constrain t h is violate d by G, if w (G) < w (G [ fhg), and it is extr eme in G, if w (G fhg) < w (G). The c ombinatorial dimension of (H ; w ), denoted as dim (H ; w ), is the maxim um cardinalit y of an y basis. W e call an LP-t yp e problem b asis r e gular if for an y basis with jB j = dim (H ; w ) and for an y constrain t h, ev ery basis of B [ fhg has exactly dim (H ; w ) elemen ts. (Clearly , linear programming is basis-regular, where the dimension of ev ery basis is d.) W e assume that the follo wing primitiv e op erations are a v ailable. (Violation test)h is violated by B ', for a constrain t h and a basis B , tests whether h is violated b y B or not. (Basis c omputation) basis (B ; h)', for a constrain t h and a basis B , computes a basis of B [ fhg. (Initial b asis) An initial basis B 0 with exactly dim(H ; w ) elemen ts is a v ailable. F or linear programming, the rst op eration can b e done in O (d) time, b y sub-stituting the co ordinates of the v ertex w (B ) in to the equation of the h yp erplane dening h. The second op eration can b e regarded as a dual v ersion of the piv ot step in the simplex algorithm, and can b e implemen ted in O (d ) time. The third op eration is also easy to implemen t. W e are no w in p osition to describ e the algorithm. Using the initial-basis primitiv e, w e compute a basis B 0 and use the follo wing recursiv e algorithm to compute B H . function procedure SUBEX lp (H ; C ); / H : n constrain ts in R d ; if H = C then / C H : a basis; return C / returns a basis of H . else choose a random h H C ; B := SUBEX lp(H fhg; C ); if h is violated by B then / , v B h return SUBEX lp (H ; basis (B ; h)) else return B ; A simple inductiv e argumen t sho ws the exp ected n um b er of primitiv e op er-ations p erformed b y the algorithm is O ( n), where n = jH j and = dim (H ; w ) is the com binatorial dimension. Ho w ev er, using a more in v olv ed analysis, whic h can b e found in [ ], one can sho w that basis-regular LP-t yp e problems can b e solv ed with an exp ected n um b er of at most e p ln ((n )= p )+O ( p +ln n) viola-tion tests and basis computations. This is thesub exp onen tial' b ound that w e alluded to. . Linear Programming W e are giv en a set H of n halfspaces in R d . W e assume that the ob jectiv e v ector is c = (; 0; 0; : : : ; 0), and the goal is to minimize cx o v er all p oin ts in the common in tersection T hH h. F or a subset G H , dene w (G) to b e the lexicographically smallest p oin t (v ertex) of the in tersection of halfspaces in G. As noted ab o v e, linear programming is a basis-regular LP-t yp e problem, with com binatorial dimension d, and violation tests and basis c hanges op era-tions can b e implemen ted in time O (d) and O (d ), resp ectiv ely . In summary , w e obtain a randomized algorithm for linear programming, whic h p erforms e p d ln (n= p d )+O ( p d+ln n) exp ected n um b er of arithmetic op erations. Com bin-ing this algorithm with Clarkson's randomized linear programming algorithm men tioned in Section , the exp ected n um b er of arithmetic op erations can b e reduced to O (d n) + e O ( p d log d ) . Matou sek [ ] has giv en examples of abstract LP-t yp e problems of com bi-natorial dimension d and with d constrain ts, for whic h the ab o v e algorithm requires (e p d = p d) primitiv e op erations. Hence, in order to obtain a b etter b ound on the p erformance of the algorithm for linear programming, one should aim to exploit additional prop erties of linear programming; this is still op en. . Smallest Enclosing Ball and Related Problems In Section . w e men tioned that the smallest enclosing ball (i.e., disk) of a set of n p oin ts in the plane can b e computed in linear time. In higher dimen-sions, one can solv e this problem b y an d O (d) n-time algorithm [ , , ]. It can b e sho wn that the smallest enclosing ball problem is an LP-t yp e problem, with com binatorial dimension d + . It is, ho w ev er, not basis-regular, and a naiv e implemen tation of the basis-c hanging op eration ma y b e quite costly (in d). Nev-ertheless, G artner [ ] sho w ed that this op eration can b e p erformed in this case using exp ected e O ( p d ) arithmetic op erations. Hence, the exp ected running time of the algorithm is O (d n) + e O ( p d log d ) . There are sev eral extensions of the smallest enclosing ball problem. They include: (i) computing the smallest enclosing ellipsoid of a p oin t set [, , 0 , ], (ii) computing the largest ellipsoid (or ball) inscrib ed inside a con v ex p olytop e in R d [ ], (iii) computing a smallest ball that in tersects (or con tains) a giv en set of con v ex ob jects in R d , and (iv) computing a smallest v olume ann ulus con taining a giv en planar p oin t set. All these problems are kno wn to b e LP-t yp e, and th us can b e solv ed using the ab o v e algorithm. Ho w ev er, not all of them run in sub exp onen tial exp ected time b ecause they are not basis regular. . Distance Bet w een P olytop es W e wish to compute the Euclidean distance d(P ; P ) b et w een t w o giv en closed p olytop es P and P . If the p olytop es in tersect, then this distance is 0. If they do not in tersect, then this distance equals the maxim um distance b et w een t w o parallel h yp erplanes separating the p olytop es; suc h a pair of h yp erplanes is unique, and they are orthogonal to the segmen t connecting t w o p oin ts a P and b P with d(a; b) = d(P ; P ). It is sho wn b y G artner [ ] that this problem is LP-t yp e, with com binatorial dimension at most d + (or d + , if the p olytop es do not in tersect). It is also sho wn there that the primitiv e op erations can b e p erformed with exp ected e O ( p d) arithmetic op erations. Hence, as ab o v e, the exp ected n um b er of arithmetic op erations is O (d n) + e O ( p d log d) . . Extensions Recen tly , Chazelle and Matou sek [ ] ga v e a deterministic algorithm for solv-ing LP-t yp e problems in time O ( O ( ) n), pro vided an additional axiom holds (together with an additional computational assumption). Still, these extra re-quiremen ts are satised in man y natural LP-t yp e problems. Matou sek [ ] in v es-tigates the problem of nding the b est solution, for abstract LP-t yp e problems, whic h satises all but k of the giv en constrain ts. Amen ta [ ] considers the follo wing extension of the abstract framew ork: Supp ose w e are giv en a family of LP-t yp e problems (H ; w ), monotonically pa-rameterized b y a real parameter ; the underlying ordered v alue set W has a maxim um elemen t + represen ting infe asibility. The goal is to nd the smallest for whic h (H ; w ) is feasible, i.e. w (H ) < +. See [ , 0 ] for related w ork. . Abstract Linear Programming and Helly-t yp e Theorems In this subsection w e describ e an in teresting connection b et w een Helly-t yp e the-orems and LP-t yp e problems, as originally noted b y Amen ta [ ]. Let K b e an innite collection of sets in R d , and let t b e an in teger. W e sa y that K satises a Hel ly-typ e theorem, with Hel ly numb er t, if the follo wing holds: If K is a nite sub collection of K with the prop ert y that ev ery sub collection of t elemen ts of K has a nonempt y in tersection, then T K = ;. (The b est kno wn example of a Helly-t yp e theorem is Helly's theorem itself [0 ], whic h applies for the collection K of all con v ex sets in R d , with the Helly n um b er d + .) Supp ose further that w e are giv en a collection K (), consisting of n sets K (); : : : ; K n () that are parametrized b y some real parameter , with the prop ert y that K i () K i ( 0 ), for i = ; : : : ; n and for 0 , and that, for an y xed , the family fK (); : : : ; K n ()g admits a Helly-t yp e theorem, with Helly n um b er t. Our goal is to compute the smallest for whic h T n i= K i () = ;, assuming that suc h a minim um exists. Amen ta pro v ed that this problem can b e transformed to an LP-t yp e problem, whose com binatorial dimension is at most t. As an illustration, consider the smallest enclosing ball problem. Let P = fp ; : : : ; p n g b e the giv en set of n p oin ts in R d , and let K i () b e the ball of radius cen tered at p i , for i = ; : : : ; n. Since the K i 's are con v ex, the collection in question has Helly n um b er d + . It is easily seen that the minimal for whic h the K i ()'s ha v e nonempt y in tersection is the radius of the smallest enclosing ball of P . There are sev eral other examples where Helly-t yp e theorems can b e turned in to LP-t yp e problems. They include (i) computing a line transv ersal to a family of translates of some con v ex ob jects in the plane, (ii) computing a smallest homothet of a giv en con v ex set that in tersects (or con tains, or is con tained in) ev ery mem b er in a giv en collection of n con v ex sets in R d , and (iii) computing a line transv ersal to certain families of con v ex ob jects in -space. W e refer the reader to [ , 0 ] for more details and for additional examples. References [] P . Agarw al, B. Arono v, and M. Sharir, Computing lo w er en v elop es in four di-mensions with applications, Pr o c. 0th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. {. [] P . Agarw al, B. Arono v, M. Sharir, and S. Suri, Selecting distances in the plane, A lgorithmic a ( ), {. [] P . Agarw al, A. Efrat, and M. Sharir, V ertical decomp osition of shallo w lev els in -dimensional arrangemen ts and its applications, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , {0. [] P . Agarw al, A. Efrat, M. Sharir, and S. T oledo, Computing a segmen t-cen ter for a planar p oin t set, J. A lgorithms ( ), {. [] P . Agarw al and J. Matou sek, Ra y sho oting and parametric searc h, SIAM J. Com-put. ( ), {0. [] P . Agarw al and J. Matou sek, Range searc hing with semialgebraic sets, Discr. Comput. Ge om. ( ), {. [] P . Agarw al and J. Matou sek, Dynamic half-space range searc hing and its appli-cations, A lgorithmic a ( ), {. [] P . Agarw al and M. Sharir, O line dynamic main tenance of the width of a planar p oin t set, Comput. Ge om. The ory Appls. ( ), {. [ ] P . Agarw al and M. Sharir, Ra y sho oting among con v ex p olytop es in three dimen-sions, SIAM J. Comput., to app ear. [0] P . Agarw al and M. Sharir, Planar geometric lo cation problems, A lgorithmic a ( ), { . [] P . Agarw al and M. Sharir, Ecien t randomized algorithms for some geometric optimization problems, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. { . [] P . Agarw al, M. Sharir, and S. T oledo, New applications of parametric searc hing in computational geometry , J. A lgorithms ( ), {. [] P . Agarw al, M. Sharir, and S. T oledo, An ecien t m ulti-dimensional searc hing tec hnique and its applications, T ec h. Rept. CS- -0, Dept. Comp. Sci., Duk e Univ ersit y , . [] R. Agarw ala and D. F ern andez-Baca, W eigh ted m ultidimensional searc h and its applications to con v ex optimization, SIAM J. Comput., to app ear. [] M. Ajtai, J. Koml os, and E. Szemer edi, Sorting in c log n parallel steps, Combi-natoric a , ( ), { . [] M. Ajtai and N. Megiddo, A deterministic pol y (log log N )-time N -pro cessor algo-rithm for linear programming in xed dimension, Pr o c. th A CM Symp. The ory of Comput., , pp. {. [] H. Alt, B. Behrends, and J. Bl omer, Appro ximate matc hing of p olygonal shap es, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. { . [] N. Amen ta, Finding a line transv ersal of axial ob jects in three dimensions, Pr o c. r d A CM-SIAM Symp. Discr. A lgo., , pp. {. [ ] N. Amen ta, Helly-t yp e theorems and generalized linear programming, Discr. Comput. Ge om. ( ), {. N. Amen ta, Bounded b o xes, Hausdor distance, and a new pro of of an in teresting Helly-t yp e theorem, Pr o c. 0th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. 0{. [] R. Bar-Y eh uda, A. Efrat, and A. Itai, A simple algorithm for main taining the cen ter of a planar p oin t-set, Pr o c. th Canad. Conf. Comput. Ge om., , pp. {. [] H. Br onnimann and B. Chazelle, Optimal slop e selection via cuttings, Pr o c. th Canad. Conf. Comput. Ge om., , pp. {0. [] H. Br onnimann, B. Chazelle, and J. Matou sek, Pro duct range spaces, sensitiv e sampling, and derandomization, Pr o c. th IEEE Symp. F ound. of Comp. Sci., , pp. 00{0 . [] B. Chazelle, H. Edelsbrunner, L. Guibas, and M. Sharir, Algorithms for bic hro-matic line segmen t problems and p olyhedral terrains, A lgorithmic a ( ), {. [] B. Chazelle, H. Edelsbrunner, L. Guibas, and M. Sharir, Diameter, width, closest line pair, and parametric searc hing, Discr. Comput. Ge om. 0 ( ), { . [] B. Chazelle and J. Matou sek, On linear-time deterministic algorithms for opti-mization problems in xed dimensions, Pr o c. th A CM-SIAM Symp. Discr. A lgo., , pp. { 0. [] P . Chew, D. Dor, A. Efrat, and K. Kedem, Geometric pattern matc hing in d-dimensional space, Pr o c. r d Eur op e an Symp. A lgo., , to app ear. [] P . Chew and K. Kedem, Impro v emen ts on geometric pattern matc hing problems, Pr o c. r d Sc and. Work. A lgo. The ory , , pp. {. [ ] P . Chew and K. Kedem, A con v ex p olygon among p olygonal obstacles: Placemen t and high-clearance motion, Comput. Ge om. The ory Appls. ( ), { . K. Clarkson, Linear Programming in O (n d ) time, Inform. Pr o c ess. L ett. ( ), {. [] K. Clarkson, Las V egas algorithms for linear and in teger programming when the dimension is small, J. A CM ( ), { . [] K. Clarkson, D. Eppstein, G. Miller, C. Sturtiv an t, and S.-H. T eng, Appro xi-mating cen ter p oin ts with iterated Radon p oin ts, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. { . [] K. Clarkson and P . Shor, Applications of random sampling in computational geometry , I I, Discr. Comput. Ge om. ( ), {. [] E. Cohen and N. Megiddo, Maximizing conca v e functions in xed dimension, in Complexity in Numeric Computation (P . P ardalos, ed.), W orld Scien tic, . [] R. Cole, Slo wing do wn sorting net w orks to obtain faster sorting algorithms, J. A CM ( ), 00{0. [] R. Cole, J. Salo w e, W. Steiger, and E. Szemer edi, Optimal slop e selection, SIAM J. Comput. ( ), {0. [] R. Cole, M. Sharir, and C. Y ap, On k -h ulls and related problems, SIAM J. Com-put. ( ), {. [] G. Collins, Quan tier elimination for real closed elds b y cylindrical algebraic decomp osition, in Se c ond GI Conf. on A utomata The ory and F ormal L anguages , Lecture Notes in Comp. Sci., , Springer-V erlag, , pp. {. [ ] Z. Drezner, On the rectangular p-cen ter problem, Naval R es. L o gist. Quart., ( ), {. [0] Z. Drezner, The P -cen ter problem: Heuristics and optimal algorithms, J. Op er. R es. So c. ( ), {. [] M. Dy er, On a m ultidimensional searc h tec hnique and its application to the Eu-clidean one-cen ter problem, SIAM J. Comput. ( ), {. [] M. Dy er, A class of con v ex programs with applications to computational geometry , Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. {. [] M. Dy er and A. F rieze, A randomized algorithm for xed-dimensional linear pro-gramming, Math. Pr o g. ( ), 0{. [] H. Ebara, N. F ukuy ama, H. Nak ano and Y. Nak anishi, Roundness algorithms using the V oronoi diagrams, First Canad. Conf. Comput. Ge om., . [] H. Edelsbrunner, A lgorithms in Combinatorial Ge ometry, Springer-V erlag, Hei-delb erg, . [] H. Edelsbrunner and R. W aup otitsc h, Computing a ham-sandwic h cut in t w o dimensions, J. Symb. Comput. ( ), {. [] A. Efrat and M. Sharir, A near-linear algorithm for the planar segmen t cen ter problem, Discr. Comput. Ge om., to app ear. [] A. Efrat, M. Sharir and A. Ziv, Computing the smallest k -enclosing circle and related problems, Comput. Ge om. The ory Appls. ( ), {. [ ] M. Eisner and D. Sev erance, Mathematical tec hniques for ecien t record segmen-tation in large shared databases, JA CM ( ), {. [0] G. F rederic kson, Optimal algorithms for tree partitioning, Pr o c. nd A CM-SIAM Symp. Discr. A lgo., , pp. {. [] G. F rederic kson and D. Johnson, The complexit y of selection and ranking in X + Y and matrices with sorted columns, J. Comp. Syst. Sci. ( ), {0. [] G. F rederic kson and D. Johnson, Finding the k -th shortest paths and p-cen ters b y generating and searc hing go o d data structures, J. A lgorithms ( ), {0. [] G. F rederic kson and D. Johnson, Generalized selection and ranking: sorted ma-trices, SIAM J. Comput. ( ), {0. [] B. G artner, A sub exp onen tial algorithm for abstract optimization problems, Pr o c. r d IEEE Symp. F ound. of Comp. Sci., , pp. {. [] A. Glozman, K. Kedem, and G. Shpitalnik, On some geometric selection and optimization problems via sorted matrices, Pr o c. th Workshop A lgo. and Data Struct., , to app ear. [] M. Go o dric h, Geometric partitioning made easier, ev en in parallel, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. {. [] D. Guseld, Sensitivit y analysis for com binatorial optimization, T ec h. Rept. UCB/ERLM0/, Univ. of California, Berk eley , 0. [] D. Guseld, P arametric com binatorial computing and a problem in program mo d-ule allo cation, JA CM 0 ( ), {. [ ] D. Guseld, K. Balasubramanian, and D. Naor, P arametric optimization of se-quence alignmen t, A lgorithmic a ( ), {. [0] E. Helly , Ub er systeme v on abgesc hlossenen Mengen mit gemeinsc haftlic hen Punk-ten, Monaths. Math. und Physik ( 0), {0. [] J. Hersh b erger, A faster algorithm for the t w o-cen ter decision problem, Inform. Pr o c ess. L ett. ( ), { . [] M. Houle and G. T oussain t, Computing the width of a set, IEEE T r ans. Pattern A nal. Mach. Intel l. P AMI-0 ( ), {. [] D. Huttenlo c her and K. Kedem, Ecien tly computing the Hausdor distance for p oin t sets under translation, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., 0, pp. 0{ . [] H. Imai, D.T. Lee, and C. Y ang, -Segmen t cen ter co v ering problems, ORSA J. Comput. ( ), {. [] S. Jadha v and A. Mukhopadh y a y , Computing a cen terp oin t of a nite planar set of p oin ts in linear time, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. { 0. [] J. Jaromczyk and M. Ko w aluk, An ecien t algorithm for the Euclidean t w o-cen ter problem, Pr o c. 0th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. 0{. [] J. Jaromczyk and M. Ko w aluk, The t w o-line cen ter problem from a p olar view: A new algorithm, Pr o c. th Workshop A lgo. Data Struct., . [] G. Kalai, A sub exp onen tial randomized simplex algorithm, Pr o c. th A CM Symp. The ory of Comput., , pp. {. [ ] N. Karmark ar, A new p olynomial-time algorithm for linear programming, Com-binatoric a ( ), { . [0] M. Katz, Impro v ed algorithms in geometric optimization via expanders, Pr o c. r d Isr aeli Symp. The ory of Comput. & Syst., . [] M. Katz and M. Sharir, Optimal slop e selection via expanders, Inform. Pr o c ess. L ett. ( ), {. [] M. Katz and M. Sharir, An expander-based approac h to geometric optimization, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. {0. [] L.G. Khac hiy an, P olynomial algorithm in linear programming, U.S.S.R. Comput. Math. and Math. Phys. 0 ( 0), {. [] M. Ko and R. Lee, On w eigh ted rectilinear -cen ter and -cen ter problems, Info. Sci. ( ), { 0. [] N. Korneenk o and H. Martini, Hyp erplane appro ximation and related topics, in New T r ends in Discr ete and Computational Ge ometry, (J. P ac h, ed.), Springer-V erlag, , { . [] C.-Y. Lo, J. Matou sek, and W. Steiger, Algorithms for ham-sandwic h cuts, Discr. Comput. Ge om. ( ), {. [] C.-Y. Lo and W. Steiger, An optimal-time algorithm for ham-sandwic h cuts in the plane, Pr o c. nd Canad. Conf. Comput. Ge om., 0, pp. { . [] D. Kn uth, The A rt of Computer Pr o gr amming, V ol. : Sorting and Se ar ching, Addison-W esley , Reading, MA, . [ ] J. Matou sek, Randomized optimal algorithm for slop e selection, Inform. Pr o c ess. L ett. ( ), {. [0] J. Matou sek, Computing the cen ter of planar p oin t sets, in Computational Ge-ometry: Pap ers fr om the DIMA CS Sp e cial Y e ar (J. Go o dman, et al., eds.), AMS, Pro vidence, RI, , {0. [] J. Matou sek, Linear optimization queries, J. A lgorithms ( ), {. [] J. Matou sek, Lo w er b ounds for a sub exp onen tial optimization algorithm, R andom Struct. & A lgo. ( ), {0. [] J. Matou sek, On geometric optimization with few violated constrain ts, Pr o c. 0th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. {. [] J. Matou sek, D. Moun t, and N. Netan y ah u, Ecien t randomized algorithms for the rep eated median line estimator, Pr o c. th A CM-SIAM Symp. Discr. A lgo., , pp. {. [] J. Matou sek and O. Sc h w arzk opf, A deterministic algorithm for the three-dimensional diameter problem, Pr o c. th A CM Symp. The ory of Comput., , pp. {. [] J. Matou sek, M. Sharir, and E. W elzl, A sub exp onen tial b ound for linear pro-gramming and related problems, A lgorithmic a, to app ear. [] N. Megiddo, Com binatorial optimization with rational ob jectiv e functions, Math. Op er. R es. ( ), {. [] N. Megiddo, Applying parallel computation algorithms in the design of serial algorithms, J. A CM 0 ( ), {. [ ] N. Megiddo, Linear time algorithms for linear time programming in R and related problems, SIAM J. Comput. ( ), {. [ 0] N. Megiddo, Linear programming in linear time when the dimension is xed, J. A CM ( ), {. [ ] N. Megiddo, P artitioning with t w o lines in the plane, J. A lgorithms ( ), 0{. [ ] N. Megiddo, The w eigh ted Euclidean -cen ter problem, Math. Op er. R es. ( ), {0. [ ] N. Megiddo, On the ball spanned b y balls, Discr. Comput. Ge om. ( ), 0{ 0. [ ] N. Megiddo and K. Sup o wit, On the complexit y of some common geometric lo-cation problems, SIAM J. Comput. ( ), { . [ ] R. Mot w ani and P . Ragha v an, R andomize d A lgorithms , Cam bridge Univ ersit y Press, New Y ork, . [ ] K. Mulm uley , Computational Ge ometry: A n Intr o duction Thr ough R andomize d A lgorithms, Pren tice Hall, New Y ork, . [ ] N. Naor and M. Sharir, Computing the cen ter of a p oin t set in three dimensions, Pr o c. nd Canad. Conf. Comput. Ge om., 0, pp. 0{. [ ] C. Norton, S. Plotkin, and E. T ardos, Using separation algorithms in xed di-mensions, J. A lgorithms ( ), { . [ ] M. P ellegrini, Incidence and nearest-neigh b or problems for lines in -space, Pr o c. th A CM Symp. Comput. Ge om., , pp. 0{. [00] M. P ellegrini, Rep etitiv e hidden-surface-remo v al for p olyhedral scenes, Pr o c. r d Workshop A lgo. Data Struct., , pp. {. [0] M. P ost, Minim um spanning ellipsoids, Pr o c. th A CM Symp. The ory of Com-put., , pp. 0{. [0] J. Salo w e, L -in terdistance selection b y parametric searc h, Inform. Pr o c ess. L ett. 0 ( ), {. [0] R. Seidel, Lo w dimensional linear programming and con v ex h ulls made easy , Discr. Comput. Ge om. ( ), {. [0] E. Ramos, In tersection of unit-balls and diameter of a p oin t set in R , man uscript, . [0] M. Reic hling, On the detection of a common in tersection of k con v ex ob jects in the plane, Inform. Pr o c ess. L ett., ( ), { . [0] M. Reic hling, On the detection of a common in tersection of k con v ex p olyhedra, in Comput. Ge om. & its Appl., Lecture Notes in Comp. Sci., , Springer-V erlag, , pp. 0{. [0] M. Sharir, A near-linear algorithm for the planar -cen ter problem, submitted to Discr. Comput. Ge om. [0] M. Sharir and P . Agarw al, Davenp ort-Schinzel Se quenc es and Their Ge omet-ric Applic ations, Cam bridge Univ ersit y Press, Cam bridge-New Y ork-Melb ourne, . [0 ] M. Sharir and S. T oledo, Extremal p olygon con tainmen t problems, Comput. Ge om. The ory Appls. ( ), {. [0] M. Sharir and E. W elzl, A com binatorial b ound for linear programming and related problems, Pr o c. th Symp. The o. Asp. Comp. Sci., ( ), pp. { . [] A. Stein and M. W erman, Finding the rep eated median regression line, Pr o c. r d A CM-SIAM Symp. Discr. A lgo., , pp. 0 {. [] S. T oledo, Extr emal Polygon Containment Pr oblems and Other Issues in Par a-metric Se ar ching , M.Sc. Thesis, T el Aviv Univ ersit y , T el Aviv, . [] S. T oledo, Appro ximate parametric searc h, Inform. Pr o c ess. L ett. ( ), {. [] S. T oledo, Maximizing non-linear con v ex functions in xed dimensions, in Com-plexity of Numeric al Computations (P . P ardalos, ed.), W orld Scien tic, . [] L. V alian t, P arallelism in comparison problems, SIAM J. Comput. ( ), { . [] K. V ardara jan and P . Agarw al, Linear appro ximation of simple ob jects, Pr o c. th Canad. Conf. Comput. Ge om., , to app ear. [] E. W elzl, Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids), in New R esults and New T r ends in Computer Scienc e (H. Maurer, ed.), Lecture Notes in Comp. Sci., , , Sringer-V erlag, pp. {0.
9738	https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-independent-and-dependent-events	Something went wrong. Wait a moment and try again. Probability (statistics) Independent Events Dependent Samples Mathematical Independence Mutually Exclusive Events Probability Theory Probability of an Event Probability Concept Probability in Math 5 What is the difference between independent and dependent events? Craig Slinkman Former Professor of Business Statistics (Retired) at The University of Texas at Arlington (1979–2016) · Author has 1.9K answers and 1.9M answer views · 5y Suppose you have a standard deck of cards. You draw a random card. We define three events: The color of The card denoted by C. Possible values of C are red denoted r and black denoted b. The suit of the card is denoted by S. Possible values of the event are the suits are clubs (c), diamonds (d), hearts(h), and Spades(s). The rank of the card will be denoted by R. Possible outcomes for R are 2 through 10, and jack(j), queen(q), king(k), and ace(a) To investigate independence we are going to investigate two different statistical experiments.: I draw a random from a well standard deck of cards. I draw Suppose you have a standard deck of cards. You draw a random card. We define three events: The color of The card denoted by C. Possible values of C are red denoted r and black denoted b. The suit of the card is denoted by S. Possible values of the event are the suits are clubs (c), diamonds (d), hearts(h), and Spades(s). The rank of the card will be denoted by R. Possible outcomes for R are 2 through 10, and jack(j), queen(q), king(k), and ace(a) To investigate independence we are going to investigate two different statistical experiments.: I draw a random from a well standard deck of cards. I draw the card you can't see it. I tell the card is red. What is the probability that the card is an ace? I draw a random card from a standard deck of cards. I draw the card and you can’t see it. I tell you the card is red. What is the probability that the suit of the card is hearts? Now recall that the definition of conditional probability Pr(A\|B)=Pr(A,B)Pr(B) where Pr(A,B) is the joint if events A and B occurring the same trial and Pr(A) and Pr(B) are the probabilities of events A and B respectively. Note that the probability Pr(B) can not be equal to zero because we divide by ut. Now two events A and B aesthetically independent if Pr(A\|B)=Pr(A). Events that are not statistically events independent are called statically dependent. Now consider the two events Drawing an ace and the color of the card is red. Are the statistically independent. We know that there are 4 card in a standard deck of cards. Therefore we Pr(Ace)=452=113 The probability of drawing a red card is given by Pr(Red)=2652 Because there are 26 red cards in a deck of 52. Pr(Red)=12 because one half of the cards are red. Now consider the joint probability Pr(Ace,Red). There are two red aces out of 52 cards. So we have Pr(Ace,Red)=252 Now let us compute the probability that we draw a card I s red. What is the probability that it is an ace! We compute Pr(Ace\|Red) = \frac{Pr(Ace,Red)}{Pr(Red)} = \frac{2/52}{26/52}= \frac{1}{13) This we see that Pr(Ace\|Red)=Pr(Ace). Therefore the events drawing since and the color of the card are statistically independent. How do we interpret this finding? You can't use the color of the card contradict the if the card is an ace. It in other words the color of the card tells us nothing about the value of the face card. Now assume that a card is drawn and I tell you the card is red. What is the probability that the card is a heart. There are 2 red suits each with 13 cards. The probability that a card is a diamond and is red i Pr(Heart,Red)=1352=14 Now from above we remember that Pr(Red)=2652=12 So the condition probability Pr(Heart\|Red) is given by Pr(Heart\|Red)=Pr(Heart,RedPr(Red)=13/5226/52=12 The Probability outstanding drawing a heart is 1/4. However if the card is a red card the probability changes to 1/2. The events draw a heart and draw a red card are dependent events. The color of the card gives you information about the suits because it eliminates all th black cards. When we forecast or predict we are looking for events that are dependent. Promoted by Coverage.com Johnny M Master's Degree from Harvard University (Graduated 2011) · Updated Sep 9 Does switching car insurance really save you money, or is that just marketing hype? This is one of those things that I didn’t expect to be worthwhile, but it was. You actually can save a solid chunk of money—if you use the right tool like this one. I ended up saving over $1,500/year, but I also insure four cars. I tested several comparison tools and while some of them ended up spamming me with junk, there were a couple like Coverage.com and these alternatives that I now recommend to my friend. Most insurance companies quietly raise your rate year after year. Nothing major, just enough that you don’t notice. They’re banking on you not shopping around—and to be honest, I didn’t. This is one of those things that I didn’t expect to be worthwhile, but it was. You actually can save a solid chunk of money—if you use the right tool like this one. I ended up saving over $1,500/year, but I also insure four cars. I tested several comparison tools and while some of them ended up spamming me with junk, there were a couple like Coverage.com and these alternatives that I now recommend to my friend. Most insurance companies quietly raise your rate year after year. Nothing major, just enough that you don’t notice. They’re banking on you not shopping around—and to be honest, I didn’t. It always sounded like a hassle. Dozens of tabs, endless forms, phone calls I didn’t want to take. But recently I decided to check so I used this quote tool, which compares everything in one place. It took maybe 2 minutes, tops. I just answered a few questions and it pulled up offers from multiple big-name providers, side by side. Prices, coverage details, even customer reviews—all laid out in a way that made the choice pretty obvious. They claimed I could save over $1,000 per year. I ended up exceeding that number and I cut my monthly premium by over $100. That’s over $1200 a year. For the exact same coverage. No phone tag. No junk emails. Just a better deal in less time than it takes to make coffee. Here’s the link to two comparison sites - the one I used and an alternative that I also tested. If it’s been a while since you’ve checked your rate, do it. You might be surprised at how much you’re overpaying. Related questions What is the difference between dependent and independent probability? Can you explain the difference between independent and dependent events in probability and how to determine if an event is independent or not? How do you tell if an event is independent or dependent? Can you give an example of how to calculate dependent and independent events? What is the summary regarding dependent and independent events? Justin Rising PhD in statistics · Author has 12.1K answers and 26.5M answer views · 5y Originally Answered: How do you tell if an event is independent or dependent? · Independence is a a property of collections of events, and doesn’t apply to a single event. A collection of events { A i } i ∈ I is independent if and only if P ( ∩ s ∈ S A s ) = ∏ s ∈ S P ( A s ) . If I = { 1 , 2 } , this reduces to the familiar P ( A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) . Assistant Bot · 1y In probability theory, independent and dependent events refer to the relationship between two or more events concerning their likelihood of occurring. Independent Events Definition: Two events are independent if the occurrence of one event does not affect the probability of the other event occurring. Example: Flipping a coin and rolling a die. The outcome of the coin flip (heads or tails) does not influence the outcome of the die roll (1 through 6). Mathematical Representation: If A and B are independent events, then: P(A∩B)=P(A)×P(B) Dependent Events Definition: Two events are depen In probability theory, independent and dependent events refer to the relationship between two or more events concerning their likelihood of occurring. Independent Events Definition: Two events are independent if the occurrence of one event does not affect the probability of the other event occurring. Example: Flipping a coin and rolling a die. The outcome of the coin flip (heads or tails) does not influence the outcome of the die roll (1 through 6). Mathematical Representation: If A and B are independent events, then: P(A∩B)=P(A)×P(B) Dependent Events Definition: Two events are dependent if the occurrence of one event affects the probability of the other event occurring. Example: Drawing cards from a deck without replacement. If you draw one card and do not return it, the outcome of the second draw is influenced by the first (e.g., if the first card was a heart, there are now fewer hearts in the deck). Mathematical Representation: If A and B are dependent events, then: P(A∩B)=P(A)×P(B\|A) where P(B\|A) is the conditional probability of B given that A has occurred. Summary Independent Events: The outcome of one does not affect the other. Dependent Events: The outcome of one influences the outcome of the other. K. Alan Eister Math and Chemistry Tutor at Varsity Tutors (2017–present) · Author has 207 answers and 88.9K answer views · 4y Independent events are events which do NOT alter the likelihood of the other occurring. For example, the probability of it raining in Seattle and the probability of a meteor hitting Jupiter are independent events because the probability of one of those events is not affected by whether or not the other happens. Dependent events are events whose probabilities do affect one another. For example, the Independent events are events which do NOT alter the likelihood of the other occurring. For example, the probability of it raining in Seattle and the probability of a meteor hitting Jupiter are independent events because the probability of one of those events is not affected by whether or not the other happens. Dependent events are events whose probabilities do affect one another. For example, the probability of it being clou... Related questions What makes an event dependent and independent with typical examples? What's a dependent event and an independent event? Can you provide examples of dependent and independent events? What is the difference between independent and dependent events in probability, and how does it affect the calculation of probabilities? Is it possible for an event to be both dependent and independent simultaneously? Hewitt Rose Attorney Retired · Author has 3.4K answers and 755.4K answer views · 5y Originally Answered: What makes an event dependent and independent with typical examples? · If the probability of event B varies depending on the outcome of event A, then B is dependent on A. For example, the probability of (B) drawing a red card the second time is dependent on (A) the drawing of a red card the first time. On the second draw there is one less red card in the deck. If the probability of event B does not vary on the outcome of event A, then B is independent of A. For example, the probability of (B) getting a heads on a coin flip is independent of the outcome (A) of an earlier flip of the same coin. Coins have no memory. Promoted by The Penny Hoarder Lisa Dawson Finance Writer at The Penny Hoarder · Updated Sep 16 What's some brutally honest advice that everyone should know? Here’s the thing: I wish I had known these money secrets sooner. They’ve helped so many people save hundreds, secure their family’s future, and grow their bank accounts—myself included. And honestly? Putting them to use was way easier than I expected. I bet you can knock out at least three or four of these right now—yes, even from your phone. Don’t wait like I did. Cancel Your Car Insurance You might not even realize it, but your car insurance company is probably overcharging you. In fact, they’re kind of counting on you not noticing. Luckily, this problem is easy to fix. Don’t waste your time Here’s the thing: I wish I had known these money secrets sooner. They’ve helped so many people save hundreds, secure their family’s future, and grow their bank accounts—myself included. And honestly? Putting them to use was way easier than I expected. I bet you can knock out at least three or four of these right now—yes, even from your phone. Don’t wait like I did. Cancel Your Car Insurance You might not even realize it, but your car insurance company is probably overcharging you. In fact, they’re kind of counting on you not noticing. Luckily, this problem is easy to fix. Don’t waste your time browsing insurance sites for a better deal. A company calledInsurify shows you all your options at once — people who do this save up to $996 per year. If you tell them a bit about yourself and your vehicle, they’ll send you personalized quotes so you can compare them and find the best one for you. Tired of overpaying for car insurance? It takes just five minutes to compare your options with Insurify andsee how much you could save on car insurance. Ask This Company to Get a Big Chunk of Your Debt Forgiven A company calledNational Debt Relief could convince your lenders to simply get rid of a big chunk of what you owe. No bankruptcy, no loans — you don’t even need to have good credit. If you owe at least $10,000 in unsecured debt (credit card debt, personal loans, medical bills, etc.), National Debt Relief’s experts will build you a monthly payment plan. As your payments add up, they negotiate with your creditors to reduce the amount you owe. You then pay off the rest in a lump sum. On average, you could become debt-free within 24 to 48 months. It takes less than a minute to sign up and see how much debt you could get rid of. Set Up Direct Deposit — Pocket $300 When you set up direct deposit withSoFi Checking and Savings (Member FDIC), they’ll put up to $300 straight into your account. No… really. Just a nice little bonus for making a smart switch. Why switch? With SoFi, you can earn up to 3.80% APY on savings and 0.50% on checking, plus a 0.20% APY boost for your first 6 months when you set up direct deposit or keep $5K in your account. That’s up to 4.00% APY total. Way better than letting your balance chill at 0.40% APY. There’s no fees. No gotchas.Make the move to SoFi and get paid to upgrade your finances. You Can Become a Real Estate Investor for as Little as $10 Take a look at some of the world’s wealthiest people. What do they have in common? Many invest in large private real estate deals. And here’s the thing: There’s no reason you can’t, too — for as little as $10. An investment called the Fundrise Flagship Fund lets you get started in the world of real estate by giving you access to a low-cost, diversified portfolio of private real estate. The best part? You don’t have to be the landlord. The Flagship Fund does all the heavy lifting. With an initial investment as low as $10, your money will be invested in the Fund, which already owns more than $1 billion worth of real estate around the country, from apartment complexes to the thriving housing rental market to larger last-mile e-commerce logistics centers. Want to invest more? Many investors choose to invest $1,000 or more. This is a Fund that can fit any type of investor’s needs. Once invested, you can track your performance from your phone and watch as properties are acquired, improved, and operated. As properties generate cash flow, you could earn money through quarterly dividend payments. And over time, you could earn money off the potential appreciation of the properties. So if you want to get started in the world of real-estate investing, it takes just a few minutes tosign up and create an account with the Fundrise Flagship Fund. This is a paid advertisement. Carefully consider the investment objectives, risks, charges and expenses of the Fundrise Real Estate Fund before investing. This and other information can be found in the Fund’s prospectus. Read them carefully before investing. Cut Your Phone Bill to $15/Month Want a full year of doomscrolling, streaming, and “you still there?” texts, without the bloated price tag? Right now, Mint Mobile is offering unlimited talk, text, and data for just $15/month when you sign up for a 12-month plan. Not ready for a whole year-long thing? Mint’s 3-month plans (including unlimited) are also just $15/month, so you can test the waters commitment-free. It’s BYOE (bring your own everything), which means you keep your phone, your number, and your dignity. Plus, you’ll get perks like free mobile hotspot, scam call screening, and coverage on the nation’s largest 5G network. Snag Mint Mobile’s $15 unlimited deal before it’s gone. Get Up to $50,000 From This Company Need a little extra cash to pay off credit card debt, remodel your house or to buy a big purchase? We found a company willing to help. Here’s how it works: If your credit score is at least 620, AmONE can help you borrow up to $50,000 (no collateral needed) with fixed rates starting at 6.40% and terms from 6 to 144 months. AmONE won’t make you stand in line or call a bank. And if you’re worried you won’t qualify, it’s free tocheck online. It takes just two minutes, and it could save you thousands of dollars. Totally worth it. Get Paid $225/Month While Watching Movie Previews If we told you that you could get paid while watching videos on your computer, you’d probably laugh. It’s too good to be true, right? But we’re serious. By signing up for a free account with InboxDollars, you could add up to $225 a month to your pocket. They’ll send you short surveys every day, which you can fill out while you watch someone bake brownies or catch up on the latest Kardashian drama. No, InboxDollars won’t replace your full-time job, but it’s something easy you can do while you’re already on the couch tonight, wasting time on your phone. Unlike other sites, InboxDollars pays you in cash — no points or gift cards. It’s already paid its users more than $56 million. Signing up takes about one minute, and you’ll immediately receive a $5 bonus to get you started. Earn $1000/Month by Reviewing Games and Products You Love Okay, real talk—everything is crazy expensive right now, and let’s be honest, we could all use a little extra cash. But who has time for a second job? Here’s the good news. You’re already playing games on your phone to kill time, relax, or just zone out. So why not make some extra cash while you’re at it? WithKashKick, you can actually get paid to play. No weird surveys, no endless ads, just real money for playing games you’d probably be playing anyway. Some people are even making over $1,000 a month just doing this! Oh, and here’s a little pro tip: If you wanna cash out even faster, spending $2 on an in-app purchase to skip levels can help you hit your first $50+ payout way quicker. Once you’ve got $10, you can cash out instantly through PayPal—no waiting around, just straight-up money in your account. Seriously, you’re already playing—might as well make some money while you’re at it.Sign up for KashKick and start earning now! Richard Ochberg Former Professor · Author has 719 answers and 151.5K answer views · 4y A dependent event is when your kid asks, “Can I have ten bucks for a movie?” An independent event is when your kid takes the car without asking. Most of us look forward to independence until it arrives — at which point it is too late to reconsider Terry Moore M.Sc. in Mathematics, University of Southampton (Graduated 1968) · Author has 16.6K answers and 29.3M answer views · 1y Related How can you explain independent events? How can you explain independent events? I see someone has changed the question, or merged with a different question. Oh well! The explanation is that they are often unrelated in the sense that there is no possible mechanism by which one could affect the other (at least, it is very hard to see how one could affect the other). For example two tosses of a coin: the first toss should not affect the second. But sometimes there are other reasons. If I have three cards, one black on both faces, one white on both faces, and one black on one face and white on the other, then, if I show you a random face o How can you explain independent events? I see someone has changed the question, or merged with a different question. Oh well! The explanation is that they are often unrelated in the sense that there is no possible mechanism by which one could affect the other (at least, it is very hard to see how one could affect the other). For example two tosses of a coin: the first toss should not affect the second. But sometimes there are other reasons. If I have three cards, one black on both faces, one white on both faces, and one black on one face and white on the other, then, if I show you a random face of a random card, the probability that the other face of the card is the same colour as the face you’ve seen is independent of which colour you saw. The probability that the other face is the same colour when you saw a black face is 34 and the probability that the other face is the same colour when you saw a white face is 34. The events wouldn’t be independent if the card with black on both faces is replaced by a card with white on both faces. Then, if you saw a black face the probability that the other face is the same colour is zero, while if you saw a white face, the probability that the other face is the same colour is 34. The technical definition of independence is that A and B are independent events if P(A∩B)=P(A)P(B). In particular, ifP(B)≠0 this implies that the probability of event A is equal to the conditional probability of event A given event B, i.e. P(A)=P(A\|B)=P(A∩B)P(B). But that’s a definition, not an explanation. If you want to know why (or whether) A and B are independent you need to understand the physical properties of the processes causing the events. Sponsored by CDW Corporation Want document workflows to be more productive? The new Acrobat Studio turns documents into dynamic workspaces. Adobe and CDW deliver AI for business. Thomas Pollak Author has 3K answers and 1.4M answer views · 4y Independent means alone. I ride my bike. I can do this at any time-theoretically. Dependent means an event relies on some other condition(s) to happen. So, if I only ride my bike if the weather isn’t raining or snowing, now my bike riding is dependent upon the weather. Michael Johnson Author has 2.8K answers and 646.3K answer views · 5y Originally Answered: What's a dependent event and an independent event? · I An independent event is an event not sponsored financially by outside entities and a dependent event is an event sponsored by outside financial contributions . Sponsored by CDW Corporation How do updated videoconference tools support business goals? Upgrades with CDW ensure compatibility with platforms, unlock AI features, and enhance collaboration. Divya Keshamoni Former Director (2016–2021) · 8y Related How can I explain the difference between mutually exclusive events and independent events with good real life examples? Hey there, Let us get an idea of the terms “mutually exclusive events” and “independent events” with some examples. Mutually Exclusive Events: Two (or more) events are said to be mutually exclusive if they cannot all happen/occur at the same time. i.e. it is impossible for the events to occur together. Some examples: I cannot have my eyes closed and open at the same. If they are closed, implies they are not open and if they are open implies they are not closed. I cannot be in two places at the same time/moment. I can either be in Place 1 or in Place 2. When I toss a coin, I cannot have an outcome of Hey there, Let us get an idea of the terms “mutually exclusive events” and “independent events” with some examples. Mutually Exclusive Events: Two (or more) events are said to be mutually exclusive if they cannot all happen/occur at the same time. i.e. it is impossible for the events to occur together. Some examples: I cannot have my eyes closed and open at the same. If they are closed, implies they are not open and if they are open implies they are not closed. I cannot be in two places at the same time/moment. I can either be in Place 1 or in Place 2. When I toss a coin, I cannot have an outcome of head and tail together. When I roll a dice, I cannot have an outcome of both odd and even number. It can either have an outcome of even number or an odd number but not both. It is impossible for me to stand and sit at the same time. At an instance, I am either standing or sitting. Non Mutually Exclusive Events: Two (or more) events are said to be non mutually exclusive if they can all happen/occur at the same time. Watching TV and eating can happen at the same time. Reading a newspaper and drinking a coffee can happen at the same time. When I roll a dice, I can have an outcome of an odd number and a prime number at the same time. (Example: 3 is both odd and prime). Independent Events: Two events A and B, are said to be independent when the occurrence of event A does not affect the probability of occurrence of event B. Independent events are not affected by previous events. Examples: Lets say two friends R and S are pregnant and are due just a week apart. i.e. S is due a week after R. Let us say that R gave birth to a girl child. The event of S having a girl/boy child is in no way influenced or dependent on the fact that R had a girl child. When I roll a dice and flip a coin, the outcome of the coin is in no way influenced by the outcome of the dice. Let us say a couple has 2 girl kids and is expecting their child. The event of the third child being either a boy or girl is not dependent or influenced by the fact that the first two kids are girls. Mr. Ears MS Eng + Philosophy, Theology and Psychology · Author has 41.8K answers and 13.2M answer views · 1y Related What is the definition of independent events? We are all born with individual “agency” which is our ability to “think, make choices and take action, or not” that is meant to assure our continued surviving, thriving and potential reproducing. And, we live in a Four P universe: Possibilities, Passions, Probabilities and Perceptions: Possible means within the constraints of the laws of physics. Passion is the intensity of the mix of DNA-driven will and conscious free will of life forms. Probability is a mix of these… the fully predictable ongoing flow of entropy (which is the source of what we experience as time) upon all inanimate objects. This We are all born with individual “agency” which is our ability to “think, make choices and take action, or not” that is meant to assure our continued surviving, thriving and potential reproducing. And, we live in a Four P universe: Possibilities, Passions, Probabilities and Perceptions: Possible means within the constraints of the laws of physics. Passion is the intensity of the mix of DNA-driven will and conscious free will of life forms. Probability is a mix of these… the fully predictable ongoing flow of entropy (which is the source of what we experience as time) upon all inanimate objects. This is the inanimate objective universe. the unpredictability caused by the mildly predictable programmed DNA will and the more unpredictable free will of animate life forms and their impact on each other and impact on inanimate objects. This is the animate subjective universe. Perception is an individual’s limited and tainted/biased awareness of what the status/state has been and is now plus what is (small p) possible and probable and of what they believe they are personally capable and incapable of. If we have little personal Passion and/or very limited Perception, we are more likely to submit to the Probabilities caused by entropy plus the Passionate will of others. And that means we’ll remain a relatively non-participating observer…reacting, more than being a creative captain of our own ship. Michael Lovin M.A. in Mathematics, East Carolina University (Graduated 2008) · Author has 385 answers and 1.8M answer views · 5y Related What is independent and dependent in probability? Independence in probability theory is an important topic. Basically, it means that knowledge of one event has no effect on another event. Example: Let’s play a game. I fan out a deck of cards and you pick a card. If your card is a Queen, you win $100. What are your chances of winning the money? Well, there are 52 cards and 4 Queens. Therefore, P(win $100) = 4/52 = 1/13. You have a 1/13 chance of winning the money. Now, we play the game and you draw a card. Once you pick your card, someone comes up behind you and tells you, “I don’t know what your card is, but it’s red.” Has this person changed yo Independence in probability theory is an important topic. Basically, it means that knowledge of one event has no effect on another event. Example: Let’s play a game. I fan out a deck of cards and you pick a card. If your card is a Queen, you win $100. What are your chances of winning the money? Well, there are 52 cards and 4 Queens. Therefore, P(win $100) = 4/52 = 1/13. You have a 1/13 chance of winning the money. Now, we play the game and you draw a card. Once you pick your card, someone comes up behind you and tells you, “I don’t know what your card is, but it’s red.” Has this person changed your chances of winning the money? What is the probability that you have a Queen KNOWING that your card is red? There are 26 red cards in the deck and 2 Queens that are red. So, P (win $100 \| red) = 2/26 = 1/13. Your chances are the same. Therefore, the events picking a Queen and Picking a Red Card are independent events. Two events that fail: Picking a Queen and picking a Face Card… P(Queen) = 1/13. There are 12 face cards in the deck of which, 4 are Queens. Therefore, P(Queen \| Face Card) = 4/12 = 1/3. Knowledge that your card is a Face Card changes the probability that you win the $$$. Therefore, the events Drawing a Queen and Drawing a Face Card are NOT independent events. Ajit Rajasekharan Machine learning practitioner · Author has 693 answers and 3.3M answer views · Updated 8y Related What is the difference between mutually exclusive events and independent events? This question has already been answered here with equations so adding two screen shots from an MIT OCW lecture that captures the difference visually:- Mutually exclusive or disjoint events The picture below is an example of disjoint or mutually exclusive events. The information that A occurred immediately tells us B didn’t occur (and vice versa). So mutually exclusive events are as dependent as two events can get. Independent events The picture below of two intersecting circles is an example of a case of potentially independent events. Independent events, are inherently overlapping events - they c This question has already been answered here with equations so adding two screen shots from an MIT OCW lecture that captures the difference visually:- Mutually exclusive or disjoint events The picture below is an example of disjoint or mutually exclusive events. The information that A occurred immediately tells us B didn’t occur (and vice versa). So mutually exclusive events are as dependent as two events can get. Independent events The picture below of two intersecting circles is an example of a case of potentially independent events. Independent events, are inherently overlapping events - they cannot be mutually exclusive (barring zero probability events case). One point to note, in the case of independence (unlike the image above for mutually exclusive events) the diagram alone cannot tell us if the two events below are independent events - all the image below says the events are not mutually exclusive - they are potentially independent. So the diagram is a necessary but not sufficient condition for independence (a possible explanation at end of this answer). To check if two events are independent one needs to further do a numerical check - calculate the product of the probabilities of the individual events and see if it is the same as the probability of both the events happening together. So the visual rendition for independence does not instantly reveal independence - it only reveals a potential candidate for independent events. One is better off just asking the simple question which may yield answer in most cases - does the occurrence of one event have any impact on the occurrence of another (e.g. the outcome of a coin toss does not influence the outcome of the next toss or another coin’s toss- hence they are independent events). If the answer does not seem obvious (an example below; Event A - at least one head ;Event B - at least one tail ), then just check it numerically. For exclusive events, the visual rendition instantly reveals disjointness, and inevitably dependence. The video where he discusses disjoint (mutually exclusive) vs independent events. A Stack exchange answer summarizes the differences succinctly in formulas.What is the difference between independent and mutually exclusive events? Aside (not directly relevant to the question above, so can be skipped) Why isn’t a visual rendition sufficient for independence? Why does one have to resort to a numerical check to confirm independence? The reason may have to do with the fact that the visual rendition conflates two cases, one of which is two dependent events, and the other independent events. This perhaps has partly to do with the way overlapping events A and B are defined. For example, if two events are defined as A - at least one head in two tosses; and B- at least one tail in two tosses. It need not be two sequential tosses -it could be two coins tossed simultaneously; A - head in coin 1 or coin 2; B- tail in coin 1 or coin 2. These are dependent events. The venn diagram will be misleading in this case. If A is defined as A- head in first toss; B - head in second toss. It need not be two sequential tosses either -it could be two coins tossed simultaneously; A - head in coin 1; B- head in coin 2. These are independent events. The venn diagram will be correct in this case. The ambiguity arising from the conflation of these two cases into one venn diagram rendition is apparent when one examines the disjoint elements of events A and B, once we acquire knowledge that one of the events happened. So, if the knowledge that A occurred eliminates at least one element in B that is not intersecting with A from happening, not only by applying A’s definition of the event, but also by from B’s definition of an event, then events A and B are not independent - because knowledge of occurrence of A tells us that even those elements in B that are not intersecting with A could not have happened, by even B’s definition. On the other hand, if the knowledge of event A occurring eliminates all non intersecting elements in B only from A’s perspective, but does not violate B’s definition for even one of them, despite the knowledge A happened, then A and B are independent. See figure below for both these cases. There is an answer here on Quora attempting to remedy this deficiency of visual rendition by Venn diagram How do you draw a Venn Diagram to the probability of two independent events? Another answer explains the deficiency of visual renditions with Venn diagrams in general including independence, though it is of value in other cases, like the mutually exclusive events mentioned earlier, and also for narrowing down the search space of independent and dependent events. Why do some statisticians dislike Venn diagrams? Related questions What is the difference between dependent and independent probability? Can you explain the difference between independent and dependent events in probability and how to determine if an event is independent or not? How do you tell if an event is independent or dependent? Can you give an example of how to calculate dependent and independent events? What is the summary regarding dependent and independent events? What makes an event dependent and independent with typical examples? What's a dependent event and an independent event? Can you provide examples of dependent and independent events? What is the difference between independent and dependent events in probability, and how does it affect the calculation of probabilities? Is it possible for an event to be both dependent and independent simultaneously? What is the definition of independent events? What is a dependent event? Are two events dependent on each other if they are not independent? What is the sum or difference of two different independent events? What is the difference between independent and dependent? About · Careers · Privacy · Terms · Contact · Languages · Your Ad Choices · Press · © Quora, Inc. 2025
9739	https://www.youtube.com/watch?v=IxEqNyfM1N8	A Nice Algebra Problem \| Math Olympiad \| Find x-1/x=? SALogic 10000 subscribers 38 likes Description 2200 views Posted: 15 Aug 2025 math olympiad olympiad math math olympiad question math olympiad questions math olympiad problem math olympiad problems olympiad math problems algebra olympiad problems math maths algebra algebra problem nice algebra problem a nice algebra problem Germany math olympiad Brazil math olympiad USA math olympiad France math olympiad Japanese math olympiad China math olympiad Indian math olympiad Pakistan math olympiad equation exponential equation a nice exponential equation radical equation a nice radical equation math tricks imo Find the value of x-1/x? How to solve x^6+1/x^6=970 In this video, we'll show you How to Solve Math Olympiad Question A Nice Algebra Problem x^6+1/x^6=970 in a clear , fast and easy way. Whether you are a student learning basics or a professtional looking to improve your skills, this video is for you. By the end of this video, you'll have a solid understanding of how to solve math olympiad exponential equations and be able to apply these skills to a variety of problems. matholympiad #maths #math #algebra 6 comments Transcript: Hello everyone, you are welcome to how to solve this very nice algebra equation. X ^ 6 + 1 /x ^ 6 is equal to 970. Our job is to find all possible values of x - 1 /x. So let's start this x ^ 6 can be written as x² cube plus this 1 / x ^ 6 can be written as 1 / x² cube is equal to 970. Next x² whole cubed plus since this one is same as 1 is same as 1 cubed. So we can write here 1 cubed. This 1 cubed over x^2 whole cubed can be written as 1 / x² whole cube is equal to 970. Now by using this algebraic identity a cub + b cubed is equal to a + b a 2 - a b + b². This expression at the left hand side will become x² + 1 / x^ 2 x² - x 2 1 / x² + 1 / x² is equal to 970. Next x 2 + 1 / x² time we rearrange these two terms x² in this way + 1 /x^2 like this x² + 1 / x² whole squared minus this x² will be cancelled out with this x² and here we are left with 1 is equal to 97. Now by using this algebraic identity a² + b 2 is equal to a + b whole 2 - 2 a b. This x^2 + 1 /x^2 can be written as we write this x2 + 1 /x 2 first x 2 + 1 / x² this can be written as x 2 + 1 / x 2 - 2 x² 1 / x² in the last we write this -1 -1 is equal to 970. Now we suppose that let x² + 1 / x² is equal to t. So this equation will become t t ^ 2 minus this x² will be cancelled out with this x^ 2. This -2 - 1 will become c is equal to 970. Now we distribute this t. t t ^ 2 will become t cub and t -3 -3 t. Move this 970 to the left hand side. This will become 970 is equal to zero. Next t cub - 3 t minus this 970 can be written as 1,00 - 30 is equal to zero. Next t cq - 3 t negative 1,000 will become 1,000 and -30 will become + 30 is equal to zero. Now this 1,00 1,000 is same as 10 cubed. So we write this 1,000 with this t cubed and we write this uh 3 t with this + 30. So this will become t cubed - 1,000 - 3 t + 30 is equal to 0. x t cubed minus this 1,000 can be written as 10 cubed minus 3 t + 30 is equal to zero. Now here we have difference of 2 cubes. So by using this algebraic guarantee a cub minus b cub is equal to a - b a 2 + a b + b 2. This t cub - 10 cubed will become t - 10 t ^ 2 + 10 t + 10^ 2 or 100 from these two terms -3t + 30 we can factor out -3. So -3 as common factor in back left t minus 10 is equal to z. Now this expression t minus 10 is a common factor. So we factor out this uh t - 10 and uh in left this t ^ 2 + 10 t + 100 and this -3 in the left t + 10 t + 100 - 3 is equal to zero. X t - 10 t ^ 2 + 10 t 100 - 3 will become + 97 is equal to 0. From here either this expression t minus 10 is = 0 or this expression t ^2 + 10 t + 97 is equal to zero. From this equation we get the value of t is equal to 10. From this uh quadratic equation we see that discriminant is less than zero or greater than zero. Discriminant delta is equal to b ^ 2 - 4 a c and in this equation b is 10. So this will become 10 ^ 2 - 4 a is 1 c is 97. Next 10^ 2 is 100 - 4 1 97 will become 388 and 100 minus 388 will become 288. So the discriminant delta is less than zero. No real solutions can be found from this equation. So we accept only this value of t 10. Now recall that we have suppose we have suppose that x^2 + 1 /x^2 is equal to t. We have suppose that x² + 1 / x² is equal to t. So t is 10. So this equation will become x^2 + 1 / x^2 is = 10. From here we subtract 2 from both sides. x^2 + 1 / x^2. We subtract two from left side is equal to 10. We subtract 2 from the right side. Next x² plus this 1 /x 2 can be written as 1 / x whole squared minus this 2 can be written as 2 x 1 / x is equal to 10 - 2 a. Now by using this algebraic identity a^ 2 + b ^ 2 - 2 a b is equal to a - b whole². This expression at the left hand side will become x - 1 / x whole squared is equal to 8. Now we take a square root of both sides. So this square will be cancelled with this square root and we are left with x - 1 / x is equal to + - 8. Next x - 1 / x is equal to plus or minus this square root of 8 can be written as 4 2 x - 1 / x is equal to plus or minus roo 4 is 2 2. This is the final answer of this problem.
9740	https://www.bmj.com/content/2/5461/549.1/peer-review	Mallory-Weiss syndrome. \| The BMJ Skip to main content Intended for healthcare professionals Subscribe My Account My email alerts BMA member login Login Username Password Forgot your log in details? Need to activate BMA Member Log In Log in via OpenAthens Log in via your institution Edition: US UK South Asia International Our company Toggle navigationThe BMJ logo Site map Search Search form Search Search Advanced search Search responses Search blogs Toggle top menu Research At a glance Research papers Research methods and reporting Minerva Education At a glance Clinical reviews Practice Minerva Endgames State of the art What your patient is thinking Rapid recommendations Student News & Views At a glance News Features Editorials Analysis Opinion Head to head Editor's choice Letters Obituaries Careers Rapid responses Campaigns At a glance Better evidence Climate change Divestment from fossil fuels Patient and public partnership Too much medicine Wellbeing The BMJ Collections Jobs Doctor Jobs UK Hospital Jobs UK GP Jobs UK International Jobs Archive For authors Hosted Research Mallory-Weiss syndrome. Mallory-Weiss syndrome. Research Article Mallory-Weiss syndrome. Br Med J 1965; 2 doi: 04 September 1965) Cite this as: Br Med J 1965;2:549 Article Related content Metrics Responses Peer review Please note that it may take up to 5 days for the peer review documents to appear. For research papers The BMJ has fully open peer review. This means that accepted research papers published from early 2015 onwards usually have their prepublication history posted alongside them on bmj.com. This prepublication history comprises all previous versions of the manuscript, the study protocol (submitting the protocol is mandatory for all clinical trials and encouraged for all other studies at The BMJ), the report from the manuscript committee meeting, the reviewers’ comments, and the authors’ responses to all the comments from reviewers and editors. In rare instances we determine after careful consideration that we should not make certain portions of the prepublication record publicly available. For example, in cases of stigmatised illnesses we seek to protect the confidentiality of reviewers who have these illnesses. In other instances there may be legal or regulatory considerations that make it inadvisable or impermissible to make available certain parts of the prepublication record. In all instances in which we have determined that elements of the prepublication record should not be made publicly available, we expect that authors will respect these decisions and also will not share this information. Article tools PDF0 responses Respond to this article Alerts & updates #### Article alerts Please note: your email address is provided to the journal, which may use this information for marketing purposes. #### Log in or register: Username Password Register for alerts If you have registered for alerts, you should use your registered email address as your username Citation tools Download this article to citation manager Mallory-Weiss syndrome.Br Med J 1965; 2 :549 doi:10.1136/bmj.2.5461.549 BibTeX (win & mac)Download EndNote (tagged)Download EndNote 8 (xml)Download RefWorks Tagged (win & mac)Download RIS (win only)Download MedlarsDownload Help If you are unable to import citations, please contact technical support for your product directly (links go to external sites): EndNote ProCite Reference Manager RefWorks Zotero Request permissions Author citation Add article to BMJ Portfolio Email to a friend Forward this page Thank you for your interest in spreading the word about The BMJ. NOTE: We only request your email address so that the person you are recommending the page to knows that you wanted them to see it, and that it is not junk mail. We do not capture any email address. Username Your Email Send To You are going to email the following Mallory-Weiss syndrome. Your Personal Message CAPTCHA This question is for testing whether or not you are a human visitor and to prevent automated spam submissions. This week's poll Should medical students be encouraged to use generative artificial intelligence to study? Yes No VoteView Results Read related article See previous polls Other content recommended for you Stigmata of recent haemorrhage in diagnosis and prognosis of upper gastrointestinal bleedingD N Foster, The BMJ, 1978 Seroepidemiology of HTLV-III antibody in Danish homosexual men: prevalence, transmission, and disease outcome.M Melbye, The BMJ, 1984 Stage III pancreatic cancer and the role of irreversible electroporationMohammad Al Efishat, The BMJ, 2015 Book: Infections and Human Cancer: Cancer Surveys, Volume 33 Microbes and Malignancy: Infection as a cause of human cancersDimitrios Trichopoulos, The BMJ, 1999 Contribution of tuberculosis to slim disease in AfricaS B Lucas, The BMJ, 1994 Learn How to Avoid the Variables of First-Pass Metabolism in PONV PreventionSponsored by Heron Therapeutics, Inc. Target Postoperative Nausea and Vomiting at Its Source—A Closer Look at the NK1 PathwaySponsored by Heron Therapeutics, Inc. Cochrane Meta-Analysis Reveals the Most Effective Single Agent for Post-Op VomitingSponsored by Heron Therapeutics, Inc. IV or Oral: Choosing an Appropriate Route for PONV PreventionSponsored by Heron Therapeutics, Inc. Prevent Nausea and Vomiting From Ruining Patients’ Surgical ExperienceSponsored by Heron Therapeutics, Inc. Powered by Targeting settings Do not sell my personal information Back to top Follow us on X Facebook Instagram Linkedin YouTube RSS Content links Collections Health in South Asia Women’s, children’s & adolescents’ health Zika virus Research Education News and views BMJ Opinion Rapid responses Archive About us About us Editorial staff BMJ in the USA BMJ in Latin America BMJ in South Asia Advisers Policies Submit your paper Resources Authors Reviewers BMA members Readers Subscribers Advertisers and sponsors Media Recruiters Explore BMJ Our company BMJ Careers BMJ Learning BMJ Masterclasses BMJ Journals BMJ Student Academic edition of The BMJ BMJ Best Practice The BMJ Awards My account Email alerts Activate subscription Information Contact us Complaints Cookie settings Cookie Policy Privacy policy Website T&Cs Revenue Sources HighWire Press Sitemap Legal Information Copyright © 2025 BMJ Publishing Group Ltd. All rights, including for text and data mining, AI training, and similar technologies, are reserved. Cookies and privacy We and our 231 partners store and access personal data, like browsing data or unique identifiers, on your device. Selecting I Accept enables tracking technologies to support the purposes shown under we and our partners process data to provide. Selecting Reject All or withdrawing your consent will disable them. If trackers are disabled, some content and ads you see may not be as relevant to you. You can resurface this menu to change your choices or withdraw consent at any time by clicking the Cookie settings link on the bottom of the webpage . Your choices will have effect within our Website. For more details, refer to our Privacy Policy.Cookie policy We and our partners process data to provide: Use precise geolocation data. Actively scan device characteristics for identification. Store and/or access information on a device. Personalised advertising and content, advertising and content measurement, audience research and services development. List of Partners (vendors) I Accept Reject All Manage preferences About Your Privacy Your Privacy Strictly Necessary Cookies Performance Cookies Functional Cookies Targeting Cookies Google & IAB TCF 2 Purposes of Processing Store and/or access information on a device 167 partners can use this purpose Personalised advertising and content, advertising and content measurement, audience research and services development 218 partners can use this purpose Use precise geolocation data 66 partners can use this special feature Actively scan device characteristics for identification 41 partners can use this special feature Ensure security, prevent and detect fraud, and fix errors 130 partners can use this special purpose Deliver and present advertising and content 130 partners can use this special purpose Match and combine data from other data sources 101 partners can use this feature Link different devices 68 partners can use this feature Identify devices based on information transmitted automatically 127 partners can use this feature Save and communicate privacy choices 114 partners can use this special purpose Your Privacy We process your data to deliver content or advertisements and measure the delivery of such content or advertisements to extract insights about our website. We share this information with our partners on the basis of consent and legitimate interest. You may exercise your right to consent or object to a legitimate interest, based on a specific purpose below or at a partner level in the link under each purpose. These choices will be signaled to our vendors participating in the Transparency and Consent Framework. Privacy and cookie policies List of IAB Vendors‎ Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Cookies Details‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Cookies Details‎ Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Cookies Details‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies may be set through our site by our advertising partners. They may be used by those companies to build a profile of your interests and show you relevant adverts on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. If you do not allow these cookies, you will experience less targeted advertising. Cookies Details‎ Google & IAB TCF 2 Purposes of Processing [x] Google & IAB TCF 2 Purposes of Processing Allowing third-party ad tracking and third-party ad serving through Google and other vendors to occur. Please see more information on Google Ads Cookies Details‎ Store and/or access information on a device 167 partners can use this purpose [x] Store and/or access information on a device Cookies, device or similar online identifiers (e.g. login-based identifiers, randomly assigned identifiers, network based identifiers) together with other information (e.g. browser type and information, language, screen size, supported technologies etc.) can be stored or read on your device to recognise it each time it connects to an app or to a website, for one or several of the purposes presented here. List of IAB Vendors‎\|View Illustrations Personalised advertising and content, advertising and content measurement, audience research and services development 218 partners can use this purpose [x] Personalised advertising and content, advertising and content measurement, audience research and services development Use limited data to select advertising 180 partners can use this purpose [x] Switch Label Advertising presented to you on this service can be based on limited data, such as the website or app you are using, your non-precise location, your device type or which content you are (or have been) interacting with (for example, to limit the number of times an ad is presented to you). View Illustrations Object to Legitimate Interests Remove Objection Create profiles for personalised advertising 132 partners can use this purpose [x] Switch Label Information about your activity on this service (such as forms you submit, content you look at) can be stored and combined with other information about you (for example, information from your previous activity on this service and other websites or apps) or similar users. This is then used to build or improve a profile about you (that might include possible interests and personal aspects). Your profile can be used (also later) to present advertising that appears more relevant based on your possible interests by this and other entities. View Illustrations Use profiles to select personalised advertising 134 partners can use this purpose [x] Switch Label Advertising presented to you on this service can be based on your advertising profiles, which can reflect your activity on this service or other websites or apps (like the forms you submit, content you look at), possible interests and personal aspects. View Illustrations Create profiles to personalise content 51 partners can use this purpose [x] Switch Label Information about your activity on this service (for instance, forms you submit, non-advertising content you look at) can be stored and combined with other information about you (such as your previous activity on this service or other websites or apps) or similar users. This is then used to build or improve a profile about you (which might for example include possible interests and personal aspects). Your profile can be used (also later) to present content that appears more relevant based on your possible interests, such as by adapting the order in which content is shown to you, so that it is even easier for you to find content that matches your interests. View Illustrations Use profiles to select personalised content 48 partners can use this purpose [x] Switch Label Content presented to you on this service can be based on your content personalisation profiles, which can reflect your activity on this or other services (for instance, the forms you submit, content you look at), possible interests and personal aspects. This can for example be used to adapt the order in which content is shown to you, so that it is even easier for you to find (non-advertising) content that matches your interests. View Illustrations Measure advertising performance 202 partners can use this purpose [x] Switch Label Information regarding which advertising is presented to you and how you interact with it can be used to determine how well an advert has worked for you or other users and whether the goals of the advertising were reached. For instance, whether you saw an ad, whether you clicked on it, whether it led you to buy a product or visit a website, etc. This is very helpful to understand the relevance of advertising campaigns. View Illustrations Object to Legitimate Interests Remove Objection Measure content performance 84 partners can use this purpose [x] Switch Label Information regarding which content is presented to you and how you interact with it can be used to determine whether the (non-advertising) content e.g. reached its intended audience and matched your interests. For instance, whether you read an article, watch a video, listen to a podcast or look at a product description, how long you spent on this service and the web pages you visit etc. This is very helpful to understand the relevance of (non-advertising) content that is shown to you. View Illustrations Object to Legitimate Interests Remove Objection Understand audiences through statistics or combinations of data from different sources 128 partners can use this purpose [x] Switch Label Reports can be generated based on the combination of data sets (like user profiles, statistics, market research, analytics data) regarding your interactions and those of other users with advertising or (non-advertising) content to identify common characteristics (for instance, to determine which target audiences are more receptive to an ad campaign or to certain contents). View Illustrations Object to Legitimate Interests Remove Objection Develop and improve services 141 partners can use this purpose [x] Switch Label Information about your activity on this service, such as your interaction with ads or content, can be very helpful to improve products and services and to build new products and services based on user interactions, the type of audience, etc. This specific purpose does not include the development or improvement of user profiles and identifiers. View Illustrations Object to Legitimate Interests Remove Objection Use limited data to select content 53 partners can use this purpose [x] Switch Label Content presented to you on this service can be based on limited data, such as the website or app you are using, your non-precise location, your device type, or which content you are (or have been) interacting with (for example, to limit the number of times a video or an article is presented to you). View Illustrations Object to Legitimate Interests Remove Objection List of IAB Vendors‎ Use precise geolocation data 66 partners can use this special feature [x] Use precise geolocation data With your acceptance, your precise location (within a radius of less than 500 metres) may be used in support of the purposes explained in this notice. List of IAB Vendors‎ Actively scan device characteristics for identification 41 partners can use this special feature [x] Actively scan device characteristics for identification With your acceptance, certain characteristics specific to your device might be requested and used to distinguish it from other devices (such as the installed fonts or plugins, the resolution of your screen) in support of the purposes explained in this notice. List of IAB Vendors‎ Ensure security, prevent and detect fraud, and fix errors 130 partners can use this special purpose Always Active Your data can be used to monitor for and prevent unusual and possibly fraudulent activity (for example, regarding advertising, ad clicks by bots), and ensure systems and processes work properly and securely. It can also be used to correct any problems you, the publisher or the advertiser may encounter in the delivery of content and ads and in your interaction with them. List of IAB Vendors‎\|View Illustrations Deliver and present advertising and content 130 partners can use this special purpose Always Active Certain information (like an IP address or device capabilities) is used to ensure the technical compatibility of the content or advertising, and to facilitate the transmission of the content or ad to your device. List of IAB Vendors‎\|View Illustrations Match and combine data from other data sources 101 partners can use this feature Always Active Information about your activity on this service may be matched and combined with other information relating to you and originating from various sources (for instance your activity on a separate online service, your use of a loyalty card in-store, or your answers to a survey), in support of the purposes explained in this notice. List of IAB Vendors‎ Link different devices 68 partners can use this feature Always Active In support of the purposes explained in this notice, your device might be considered as likely linked to other devices that belong to you or your household (for instance because you are logged in to the same service on both your phone and your computer, or because you may use the same Internet connection on both devices). List of IAB Vendors‎ Identify devices based on information transmitted automatically 127 partners can use this feature Always Active Your device might be distinguished from other devices based on information it automatically sends when accessing the Internet (for instance, the IP address of your Internet connection or the type of browser you are using) in support of the purposes exposed in this notice. List of IAB Vendors‎ Save and communicate privacy choices 114 partners can use this special purpose Always Active The choices you make regarding the purposes and entities listed in this notice are saved and made available to those entities in the form of digital signals (such as a string of characters). This is necessary in order to enable both this service and those entities to respect such choices. List of IAB Vendors‎\|View Illustrations Cookie List Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Confirm My Choices Reject All Allow All
9741	https://ocw.mit.edu/courses/8-01sc-classical-mechanics-fall-2016/mit8_01scs22_chapter14.pdf	Chapter 14 Potential Energy and Conservation of Energy 14.1 Conservation of Energy........................................................................................ 2 14.2 Conservative and Non-Conservative Forces ...................................................... 3 14.3 Changes in Potential Energies of a System......................................................... 6 14.3.1 Change in Potential Energy for Several Conservative Forces................... 9 14.4 Change in Potential Energy and Zero Point for Potential Energy................. 10 14.4.1 Change in Gravitational Potential Energy Near Surface of the Earth ... 11 14.4.2 Hooke’s Law Spring-Object System .......................................................... 12 14.4.3 Inverse Square Gravitation Force.............................................................. 13 14.5 Mechanical Energy and Conservation of Mechanical Energy ....................... 14 14.5.1 Change in Gravitational potential Energy Near Surface of the Earth ... 14 14.6 Spring Force Energy Diagram........................................................................... 15 Example 14.1 Energy Diagram.............................................................................. 18 14.7 Change of Mechanical Energy for Closed System with Internal Non conservative Forces..................................................................................................... 21 14.7.1 Change of Mechanical Energy for a Closed System ................................. 22 14.8 Dissipative Forces: Friction ............................................................................... 22 14.8.1 Source Energy .............................................................................................. 23 14.9 Worked Examples............................................................................................... 24 Example 14.2 Escape Velocity of Toro.................................................................. 24 Example 14.3 Spring-Block-Loop-the-Loop......................................................... 25 Example 14.4 Mass-Spring on a Rough Surface .................................................. 27 Example 14.5 Cart-Spring on an Inclined Plane.................................................. 28 Example 14.6 Object Sliding on a Sphere............................................................. 31 14A.1 Thermal Energy, Heat and Temperature...................................................... 35 14A.1.1 Internal Energy ......................................................................................... 35 14A.1.2 Internal Energy of a Solid or Liquid:...................................................... 36 14A.2 Zeroth Law of Thermodynamics.................................................................... 36 14A.3 Gas..................................................................................................................... 36 14A.3.1 Macroscopic vs. Atomistic Description of a Gas .................................... 37 14A.3.2 Ideal Gas .................................................................................................... 37 14A.3.3 Pressure of an Ideal Gas........................................................................... 38 14A.3.3 Atoms, Moles, and Avogadro’s Number................................................. 42 14A.4 Degrees of Freedom ......................................................................................... 42 14A.5 Equipartition of Energy .................................................................................. 43 14A.5.1 Boltzamnn constant................................................................................... 43 14A.5.2 Freezing out Degrees of Freedom ............................................................ 44 14A.5.3 Example Diatomic Nitrogen Gas ............................................................. 45 14A.6 Temperature, Scales, and Thermometers...................................................... 45 14A.6.1 Temperature .............................................................................................. 45 14A.6.2 Temperature Scales................................................................................... 46 14A.7 Conservation of Energy and Energy Transformations ................................ 48 14A.7.1 System, Boundary and Surroundings ..................................................... 48 14A.8 First Law of Thermodynamics ....................................................................... 49 14A.8.1 Mechanical Equivalent of Heat................................................................ 50 14A.9 States of Matter................................................................................................ 50 14A.9.2 Specific Heats of an Ideal Gas.................................................................. 51 14A.9.3 Example Molar heat capacities of an ideal gas....................................... 54 14A.9.4 Example Adiabatic compression of an ideal gas .................................... 55 14-1 Equation Chapter 8 Section 1 Chapter 14 Potential Energy and Conservation of Energy There is a fact, or if you wish, a law, governing all natural phenomena that are known to date. There is no exception to this law — it is exact as far as we know. The law is called the conservation of energy. It states that there is a certain quantity, which we call energy that does not change in the manifold changes which nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical principle; it says that there is a numerical quantity, which does not change when something happens. It is not a description of a mechanism, or anything concrete; it is just a strange fact that we can calculate some number and when we finish watching nature go through her tricks and calculate the number again, it is the 1 same. Richard Feynman So far we have analyzed the motion of point-like objects under the action of forces using Newton’s Laws of Motion. We shall now introduce the Principle of Conservation of Energy to study the change in energy of a system between its initial and final states. In particular we shall introduce the concept of potential energy to describe the effect of conservative internal forces acting on the constituent components of a system. 14.1 Conservation of Energy We shall just consider closed systems in which only energy can enter of leave the system. Recall from Chapter 13.1, the principle of conservation of energy. When a system and its surroundings undergo a transition from an initial state to a final state, the change in energy is zero, ΔE = ΔE = 0 . (14.1) system + ΔEsurroundings Figure 14.1 Diagram of a system and its surroundings Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, p. 4.1. 1 14-2 We shall study types of energy transformations due to interactions both inside and across the boundary of a system. 14.2 Conservative and Non-Conservative Forces Our first type of “energy accounting” involves mechanical energy. There are two types of mechanical energy, kinetic energy and potential energy. Our first task is to define what we mean by the change of the potential energy of a system.  We defined the work done by a force F , on an object, which moves along a path  from an initial position r  i to a final position rf , as the integral of the component of the force tangent to the path with respect to the displacement of the point of contact of the force and the object, W = ∫  F ⋅ d r . (14.1) path Does the work done on the object by the force depend on the path taken by the object? (a) (b) Figure 14.2 (a) and (b) Two different paths connecting the same initial and final points First consider the motion of an object under the influence of a gravitational force near the surface of the earth. Let’s consider two paths 1 and 2 shown in Figure 14.2. Both paths begin at the initial point (xi , yi ) = (0, yi ) and end at the final point (x f , y f ) = (x f ,0) . The gravitational force always points downward, so with our choice of coordinates,  F = −mg ˆ j . The infinitesimal displacement along path 1 (Figure 14.2a) is given by dr  1 = dx1 ˆ i + dy1 ˆ j . The scalar product is then  F ⋅ dr  1 = −mg ˆ j⋅ (dx1 ˆ i + dy1 ˆ j) = −mgdy1. (14.2) The work done by gravity along path 1 is the integral 14-3 ( x f ,0)  W1 = ∫ F ⋅ dr  = ∫−mgdy1 = −mg(0 − yi ) = mgyi . (14.3) path 1 (0,yi ) Path 2 consists of two legs (Figure 14.2b), leg A goes from the initial point (0, yi ) to the origin (0,0) , and leg B goes from the origin (0,0) to the final point (x f ,0) . We shall calculate the work done along the two legs and then sum them up. The infinitesimal displacement along leg A is given by dr  A = dyA ˆ j . The scalar product is then  F ⋅ dr  A = −mg ˆ j⋅ dyA ˆ j = −mgdyA . (14.4) The work done by gravity along leg A is the integral (0,0) F  ⋅ d WA = ∫ rA = ∫−mgdyA = −mg(0 − yi ) = mgyi . (14.5) leg A (0, yi ) The infinitesimal displacement along leg B is given by dr  B = dxB ˆ i . The scalar product is then  F ⋅ dr  B = −mg ˆ j⋅ dxB ˆ i = 0 . (14.6) Therefore the work done by gravity along leg B is zero, WB = 0 , which is no surprise because leg B is perpendicular to the direction of the gravitation force. Therefore the work done along path 2 is equal to the work along path 1, W2 = WA + WB = mgyi = W1 . (14.7) Now consider the motion of an object on a surface with a kinetic frictional force between the object and the surface and denote the coefficient of kinetic friction by µk . Let’s compare two paths from an initial point xi to a final point x f . The first path is a straight-line path. Along this path the work done is just W f = ∫ F  ⋅ dr  = ∫ Fx dx = −µk N s1 = −µk N Δx < 0 , (14.8) path 1 path 1 where the length of the path is equal to the displacement, s1 = Δx . Note that the fact that the kinetic frictional force is directed opposite to the displacement, which is reflected in the minus sign in Equation (14.8). The second path goes past x f some distance and them comes back to x f (Figure 14.3). Because the force of friction always opposes the motion, the work done by friction is negative, 14-4  W f = ∫ F ⋅ dr  = ∫ Fx dx = −µk N s2 < 0 . (14.9) path 2 path 2 The work depends on the total distance traveled s2 , and is greater than the displacement s2 > Δx . The magnitude of the work done along the second path is greater than the magnitude of the work done along the first path. Figure 14.3 Two different paths from xi to x f . These two examples typify two fundamentally different types of forces and their contribution to work. The work done by the gravitational force near the surface of the earth is independent of the path taken between the initial and final points. In the case of sliding friction, the work done depends on the path taken. Whenever the work done by a force in moving an object from an initial point to a final point is independent of the path, the force is called a conservative force.  The work done by a conservative force Fc in going around a closed path is zero. Consider the two paths shown in Figure 14.4 that form a closed path starting and ending at the point A with Cartesian coordinates (1,0) . Figure 14.4 Two paths in the presence of a conservative force. 14-5 The work done along path 1 (the upper path in the figure, blue if viewed in color) from point A to point B with coordinates (0,1) is given by B   r 1 = W1 ∫F (1)⋅ d (14.10) . c A The work done along path 2 (the lower path, green in color) from B to A is given by A   r2 = W2 ∫F (2)⋅ d (14.11) . c B The work done around the closed path is just the sum of the work along paths 1 and 2, B A  F  F  r2 A B If we reverse the endpoints of path 2, then the integral changes sign,  r 1 ∫ ∫ W = W1 +W2 (1) ⋅ d (2)⋅ d (14.12) + = . c c A B  F  F  r 2 2  r B A We can then substitute Equation (14.13) into Equation (14.12) to find that the work done around the closed path is ∫ ∫ W2 (2) ⋅ d (2) ⋅ d (14.13) = − = . c c B B  F  F  r 1 2 r  r A A Since the force is conservative, the work done between the points A to B is independent of the path, so B  B  ∫Fc(1) ⋅ dr  1 = ∫Fc(2) ⋅ dr  2 . (14.15) A A We now use path independence of work for a conservative force (Equation (14.15) in Equation (14.14)) to conclude that the work done by a conservative force around a closed path is zero,  ⋅ d  ∫ ∫ W (1)⋅ d (2)⋅ d (14.14) − = . c c W =  ∫F = 0 . (14.16) c closed path 14.3 Changes in Potential Energies of a System 14-6 Consider an object near the surface of the earth as a system that is initially given a velocity directed upwards. Once the object is released, the gravitation force, acting as an external force, does a negative amount of work on the object, and the kinetic energy decreases until the object reaches its highest point, at which its kinetic energy is zero. The gravitational force then does positive work until the object returns to its initial starting point with a velocity directed downward. If we ignore any effects of air resistance, the descending object will then have the identical kinetic energy as when it was thrown. All the kinetic energy was completely recovered. Now consider both the earth and the object as a system and assume that there are no other external forces acting on the system. Then the gravitational force is an internal conservative force, and does work on both the object and the earth during the motion. As the object moves upward, the kinetic energy of the system decreases, primarily because the object slows down, but there is also an imperceptible increase in the kinetic energy of the earth. The change in kinetic energy of the earth must also be included because the earth is part of the system. When the object returns to its original height (vertical distance from the surface of the earth), all the kinetic energy in the system is recovered, even though a very small amount has been transferred to the Earth. If we included the air as part of the system, and the air resistance as a non conservative internal force, then the kinetic energy lost due to the work done by the air resistance is not recoverable. This lost kinetic energy, which we have called thermal energy, is distributed as random kinetic energy in both the air molecules and the molecules that compose the object (and, to a smaller extent, the earth). We shall define a new quantity, the change in the internal potential energy of the system, which measures the amount of lost kinetic energy that can be recovered during an interaction. When only internal conservative forces act in a closed system, the sum of the changes of the kinetic and potential energies of the system is zero. Consider a closed system, ΔEsys = 0 , that consists of two objects with masses m1 and m2 respectively. Assume that there is only one conservative force (internal force) that is the source of the interaction between two objects. We denote the force on object 1 due to the interaction with object 2 by and the force on object 2 due to the interaction F  2,1  with object 1 by F 1,2 . From Newton’s Third Law,   F2,1 = − (14.1) F 1,2 . The forces acting on the objects are shown in Figure 14.5. 14-7 Figure 14.5 Internal forces acting on two objects Choose a coordinate system (Figure 14.6) in which the position vector of object 1 is given by r  1 and the position vector of object 2 is given by r  2 . The relative position of 2,1 1  r  r  r . 2 object 1 with respect to object 2 is given by − During the course of the =  r  r  r interaction, object 1 is displaced by dr  1 and object 2 is displaced by dr  2 , so the relative 2 . 2,1 1 displacement of the two objects during the interaction is given by d = d − d  r  r  r  r  F  r  F 2,1 1 2 Recall that the change in the kinetic energy of an object is equal to the work done by the forces in displacing the object. For two objects displaced from an initial state A to a final state B , 2,1 1 1,2 2 . Figure 14.6 Coordinate system for two objects with relative position vector − = B B ∫ ∫ ΔK sys = ΔK1 + ΔK2 = W ⋅ d ⋅ d (14.2) + = c A A (In Equation (14.2), the labels “ A ” and “ B ” refer to initial and final states, not paths.) From Newton’s Third Law, Equation (14.1), the sum in Equation (14.2) becomes B B B B ∫ ∫ ∫ ∫ ΔK = W ⋅ d − ⋅ d = ⋅(d − d ) = ⋅ d (14.3) = sys c  r  F  r  r  F  r  F  r  F2,1 1 2,1 2 2,1 1 2 2,1 2,1 A A A A 14-8 where d = d − d is the relative displacement of the two objects. Note that since B B   ⋅ d = ⋅ d . 2, 1 F2,1 = −F 1, 2 ! r and d = −d  1,2, 2,1 2,1 2,1 1,2 1,2 A A Consider a system consisting of two objects interacting through a conservative force. Let denote the force on object 1 due to the F  2,1  r  F  r  F r r ! r ! r 1 2 ∫ ∫ 2,1 1 displacement of the two objects. The change in internal potential energy  r of the is defined be the negative of the work done by the system to conservative force when the objects undergo relative displacement from a A B the initial the final along displacement that state to state any A B changes the initial state to the final state ,  r  r2 interaction with object 2 and let d = d − d be the relative B B  r  F  r  F2,1 2,1 1,2 1,2 A A Our definition of potential energy only holds for conservative forces, because the work done by a conservative force does not depend on the path but only on the initial and final positions. Because the work done by the conservative force is equal to the change in kinetic energy, we have that ΔU = −ΔK , (closed system with no non-conservative forces) . (14.5) sys sys Recall that the work done by a conservative force in going around a closed path is zero (Equation (14.16)); therefore the change in kinetic energy when a system returns to its initial state is zero. This means that the kinetic energy is completely recoverable. In the Appendix 13A: Work Done on a System of Two Particles, we showed that the work done by an internal force in changing a system of two particles of masses m1 and m2 respectively from an initial state A to a final state B is equal to W = 1 µ (vB 2 − v2 A ) = ΔK sys , (14.6) 2 where vB 2 is the square of the relative velocity in state B , vA 2 is the square of the relative velocity in state A , and µ = m 1m2 / (m 1 + m2) is a quantity known as the reduced mass of the system. 14.3.1 Change in Potential Energy for Several Conservative Forces ∫ ∫ ΔU = −W = − ⋅ d = − ⋅ d (14.4) . sys c 14-9 When there are several internal conservative forces acting on the system we define a separate change in potential energy for the work done by each conservative force, B  ΔU sys, i = −Wc,i = −∫F c, i ⋅ dr  i . (14.7) A   where Fc, i is a conservative internal force and dri a change in the relative positions of  the objects on which Fc, i when the system is changed from state A to state B . The work done is the sum of the work done by the individual conservative forces, W + ⋅⋅⋅ . (14.8) c = Wc,1 + Wc,2 Hence, the sum of the changes in potential energies for the system is the sum ΔU sys = ΔUsys,1 + ΔUsys,2 + ⋅⋅⋅ . (14.9) Therefore the change in potential energy of the system is equal to the negative of the work done  ΔU sys = −W c = −∑∫ B F  c, i ⋅ dri . (14.10) i A If the system is closed (external forces do no work), and there are no non-conservative internal forces then Eq. (14.5) holds. 14.4 Change in Potential Energy and Zero Point for Potential Energy We already calculated the work done by different conservative forces: constant gravity near the surface of the earth, the spring force, and the universal gravitation force. We chose the system in each case so that the conservative force was an external force. In each case, there was no change of potential energy and the work done was equal to the change of kinetic energy, W = ΔK . (14.1) ext sys We now treat each of these conservative forces as internal forces and calculate the change in potential energy of the system according to our definition B   ΔU sys = −W c = −∫F ⋅ dr . c (14.2) A We shall also choose a zero reference potential for the potential energy of the system, so that we can consider all changes in potential energy relative to this reference potential. 14-10 14.4.1 Change in Gravitational Potential Energy Near Surface of the Earth Let’s consider the example of an object falling near the surface of the earth. Choose our system to consist of the earth and the object. The gravitational force is now an internal conservative force acting inside the system. The distance separating the object and the center of mass of the earth, and the velocities of the earth and the object specifies the initial and final states. Let’s choose a coordinate system with the origin on the surface of the earth and the + y direction pointing away from the center of the earth. Because the displacement of the earth is negligible, we need only consider the displacement of the object in order to calculate the change in potential energy of the system. Suppose the object starts at an initial height yi above the surface of the earth and ends at  final height y f . The gravitational force on the object is given by Fg = −mg ˆ j , the displacement is given by dr  = dy ˆ j, and the scalar product is given by  Fg ⋅ dr  = −mg ˆ j⋅ dyˆ j = −mgdy . The work done by the gravitational force on the object is then yf yf  Fg ⋅ d r = W g = −mg dy = −mg(yf − yi ) . (14.3) ∫ ∫ yi ) yi ) The change in potential energy is then given by ΔU g = −W g = mg Δy = mg y − mg y (14.4) f i . We introduce a potential energy function U so that g − U g ΔU g ≡ U f i . (14.5) Only differences in the function U g have a physical meaning. We can choose a zero reference point for the potential energy anywhere we like. We have some flexibility to adapt our choice of zero for the potential energy to best fit a particular problem. Because the change in potential energy only depended on the displacement, Δy . In the above expression for the change of potential energy (Eq. (14.4)), let y f = y be an arbitrary point and yi = 0 denote the surface of the earth. Choose the zero reference potential for the potential energy to be at the surface of the earth corresponding to our origin y = 0 , with U g (0) = 0 . Then ΔU g = U g ( y) − U g (0) = U g ( y) . (14.6) 14-11 Substitute yi = 0 , y f = y and Eq. (14.6) into Eq. (14.4) yielding a potential energy as a function of the height y above the surface of the earth, U g ( y) = mgy, with U g ( y = 0) = 0 . (14.7) 14.4.2 Hooke’s Law Spring-Object System Consider a spring-object system lying on a frictionless horizontal surface with one end of the spring fixed to a wall and the other end attached to an object of mass m (Figure 14.7). The spring force is an internal conservative force. The wall exerts an external force on the spring-object system but since the point of contact of the wall with the spring undergoes no displacement, this external force does no work. Figure 14.7 A spring-object system. Choose the origin at the position of the center of the object when the spring is relaxed (the equilibrium position). Let x be the displacement of the object from the origin. We choose the +ˆ i unit vector to point in the direction the object moves when the spring is being stretched (to the right of x = 0 in the figure). The spring force on a mass  is then given by Fs = Fx s ˆ i = −kx ˆ i . The displacement is dr  = dx ˆ i . The scalar product is   F d ⋅ r = −kx ˆ i ⋅ dx ˆ i = −kx dx . The work done by the spring force on the mass is x=x f x=x f ! W s = ∫ F⋅ dr ! = ∫ (−kx)dx = − 1 2k(x f 2 − xi 2) . (14.8) x=xi x=xi We then define the change in potential energy in the spring-object system in moving the object from an initial position xi from equilibrium to a final position x f from equilibrium by ΔU s ≡ U s(x f ) − U s(xi ) = −W s = 1 k(x2 f − xi 2) . (14.9) 2 Therefore an arbitrary stretch or compression of a spring-object system from equilibrium xi = 0 to a final position x f = x changes the potential energy by 14-12 ΔU s = U s(x f ) − U s(0) = 1 k x2 . (14.10) 2 For the spring-object system, there is an obvious choice of position where the potential energy is zero, the equilibrium position of the spring- object, U s(0) ≡ 0 . (14.11) Then with this choice of zero reference potential, the potential energy as a function of the displacement x from the equilibrium position is given by U s(x) = 1 k x2, with U s(0) ≡ 0 . (14.12) 2 14.4.3 Inverse Square Gravitation Force Consider a system consisting of two objects of masses m1 and m2 that are separated by a center-to-center distance A coordinate system is shown in the Figure 14.8. The r 2,1 . internal gravitational force on object 1 due to the interaction between the two objects is given by  G G m 1 m2 F2,1 = − 2 ˆ r2,1 . (14.13) r 2,1 The displacement vector is given by dr  2,1 = dr2,1 r ˆ2,1 . So the scalar product is  G  G m 1 m2 G m 1 m2 F2,1 ⋅ dr2,1 = − ˆ r2,1 ⋅ dr 2,1 ˆ r2,1 = − dr 2,1 . (14.14) 2 2 r 2,1 r 2,1 Figure 14.8 Gravitational interaction 14-13 Using our definition of potential energy (Eq. (14.4)), we have that the change in the gravitational potential energy of the system in moving the two objects from an initial position in which the center of mass of the two objects are a distance r i apart to a final position in which the center of mass of the two objects are a distance rf apart is given by B   f G m m G m m rf G m m G m m G 1 2 1 2 1 2 1 2 = − + . (14.15) ΔU G = − ⋅ d = −− = − ∫F2,1 r2,1 ∫ 2 dr2,1 A r2,1 r2,1 rf ri ri ri We now choose our reference point for the zero of the potential energy to be at infinity, r i = ∞ , with the choice that U G (∞) ≡ 0 . By making this choice, the term 1/ r in the expression for the change in potential energy vanishes when r i = ∞ . The gravitational potential energy as a function of the relative distance r between the two objects is given by G m 1 m2 U G (r) = − , with U G (∞) ≡ 0 . (14.16) r 14.5 Mechanical Energy and Conservation of Mechanical Energy The total change in the mechanical energy of the system is defined to be the sum of the changes of the kinetic and the potential energies, ΔE = ΔK + ΔU . (14.17) m sys sys For a closed system with only conservative internal forces, and no energy entering or leaving the system, the total change in the mechanical energy is zero, ΔE = ΔK + ΔU = 0 . (14.18) m sys sys Equation (14.18) is the symbolic statement of what is called conservation of mechanical energy. Recall that the work done by a conservative force in going around a closed path is zero (Equation (14.16)), therefore both the changes in kinetic energy and potential energy are zero when the closed system with only conservative internal forces returns to its initial state. Throughout the process, the kinetic energy may change into internal potential energy but if the system returns to its initial state, the kinetic energy is completely recoverable. We shall refer to a closed system in which processes take place in which only conservative forces act as completely reversible processes. 14.5.1 Change in Gravitational potential Energy Near Surface of the Earth Let’s consider the example of an object of mass mo falling near the surface of the earth (mass me ). Choose our system to consist of the earth and the object. The gravitational 14-14 force is now an internal conservative force acting inside the system. The initial and final states are specified by the distance separating the object and the center of mass of the earth, and the velocities of the earth and the object. The change in kinetic energy between the initial and final states for the system is ΔK = ΔK + ΔK , (14.19) sys e o ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ )2 − )2 )2 − )2 ΔK sys = ⎝ ⎜ m e(ve, f m e(ve,i ⎠ ⎟ + ⎝ ⎜ mo (vo, f mo (vo,i ⎠ ⎟ . (14.20) 2 2 2 2 The change of kinetic energy of the earth due to the gravitational interaction between the earth and the object is negligible. The change in kinetic energy of the system is approximately equal to the change in kinetic energy of the object, ΔK sys ≅ΔKo = 1 mo (vo, f )2 − 1 mo (vo,i )2 . (14.21) 2 2 We now define the mechanical energy function for the system E = K +U g = 1 m (vb )2 + m gy, with U g (0) = 0 , (14.22) m o o 2 where K is the kinetic energy and U g is the potential energy. The change in mechanical energy is then ΔE ≡ E − E = (K + U g ) − (K + U g ) . (14.23) m m, f m, i f f i i When the work done by the external forces is zero and there are no internal non conservative forces, the total mechanical energy of the system is constant, Em, f = Em, i , (14.24) or equivalently (K f + U f ) = (Ki + Ui ) . (14.25) 14.6 Spring Force Energy Diagram  The spring force on an object is a restoring force Fs = Fx s ˆ i = −k x ˆ i where we choose a coordinate system with the equilibrium position at xi = 0 and x is the amount the spring has been stretched (x > 0) or compressed (x < 0) from its equilibrium position. We calculate the potential energy difference Eq. (14.9) and found that x 1 2) . U s (x) − U s (xi ) = − F s dx = k(x2 − xi (14.1) ∫xi x 2 14-15 The first fundamental theorem of calculus states that x′= x dU U (x) − U (xi ) = dx′ . (14.2) ∫x′= xi dx′ Comparing Equation (14.1) with Equation (14.2) shows that the force is the negative derivative (with respect to position) of the potential energy, s dU s (x) F = − . (14.3) x dx Choose the zero reference point for the potential energy to be at the equilibrium position, U s (0) ≡ 0 . Then the potential energy function becomes U s (x) = 1 k x2 . (14.4) 2 From this, we obtain the spring force law as s dU s (x) d ⎛ 1 ⎞ F = − = − k x2 ⎠ ⎟ = −k x . (14.5) x dx dx ⎝ ⎜ 2 In Figure 14.9 we plot the potential energy function U s (x) for the spring force as function of x with U s (0) ≡ 0 (the units are arbitrary). Figure 14.9 Graph of potential energy function as function of x for the spring. The minimum of the potential energy function occurs at the point where the first derivative vanishes dU s (x) dx = 0 . (14.6) 14-16 From Equation (14.4), the minimum occurs at x = 0 , dU s (x) 0 = = k x . (14.7) dx Because the force is the negative derivative of the potential energy, and this derivative vanishes at the minimum, we have that the spring force is zero at the minimum x = 0 agreeing with our force law, Fx s = 0 . = −k x x =0 x =0 The potential energy function has positive curvature in the neighborhood of a minimum equilibrium point. If the object is extended a small distance x > 0 away from equilibrium, the slope of the potential energy function is positive, dU (x) dx > 0 , hence the component of the force is negative because Fx = − dU (x) dx < 0 . Thus the object experiences a restoring force towards the minimum point of the potential. If the object is compresses with x < 0 then dU (x) dx < 0 , hence the component of the force is positive, Fx = − dU (x) dx > 0 , and the object again experiences a restoring force back towards the minimum of the potential energy as in Figure 14.10. Figure 14.10 Stability diagram for the spring force. The mechanical energy at any time is the sum of the kinetic energy K (x) and the potential energy U s (x) Em = K(x) + U s (x) . (14.8) Suppose our spring-object system has no loss of mechanical energy due to dissipative forces such as friction or air resistance. Both the kinetic energy and the potential energy are functions of the position of the object with respect to equilibrium. The energy is a constant of the motion and with our choice of U s (0) ≡ 0 , the energy can be either a positive value or zero. When the energy is zero, the object is at rest at the equilibrium position. 14-17 In Figure 14.10, we draw a straight horizontal line corresponding to a non-zero positive value for the energy Em on the graph of potential energy as a function of x . The energy intersects the potential energy function at two points {−x , x } with x > 0 . max max max These points correspond to the maximum compression and maximum extension of the spring, which are called the turning points. The kinetic energy is the difference between the energy and the potential energy, K(x) = Em − U s (x) . (14.9) At the turning points, where Em = U s (x) , the kinetic energy is zero. Regions where the kinetic energy is negative, x < −xmax or x > xmax are called the classically forbidden regions, which the object can never reach if subject to the laws of classical mechanics. In quantum mechanics, with similar energy diagrams for quantum systems, there is a very small probability that the quantum object can be found in a classically forbidden region. Example 14.1 Energy Diagram The potential energy function for a particle of mass m, moving in the x -direction is given by ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ U (x) = −U1 ⎜ − ⎟ , (14.10) ⎜ ⎝ ⎜ x1 ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ x1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ where U1 and x1 are positive constants and U (0) = 0 . (a) Sketch U (x) /U1 as a function of x / x1. (b) Find the points where the force on the particle is zero. Classify them as stable or unstable. Calculate the value of U (x) / U1 at these equilibrium points. (c) For energies E that lies in 0 < E < (4 / 27)U1 find an equation whose solution yields the turning points along the x-axis about which the particle will undergo periodic motion. (d) Suppose E = (4 / 27)U1 and that the particle starts at x = 0 with speed v0 . Find v0 . Solution: a) Figure 14.11 shows a graph of U (x) vs. x , with the choice of values x1 = 1.5 m , U1 = 27 / 4 J , and E = 0.2 J . 14-18 Figure 14.11 Energy diagram for Example 14.1 b) The force on the particle is zero at the minimum of the potential which occurs at ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (x) = − dU dx (x) = U1 3 2 x2 − F = 0 (14.11) ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ x ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 3 2 x x1 x1 which becomes x2 = (2x1 / 3)x . (14.12) We can solve Eq. (14.12) for the extrema. This has two solutions x = (2x1 / 3) and x = 0 . (14.13) The second derivative is given by ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ d 2U dx2 (x) = −U1 6 2 ⎟ ⎠ x −⎜ ⎝ . (14.14) ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 3 2 x1 x1 Evaluating the second derivative at x = (2x1 / 3) yields a negative quantity ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d 2U dx2 (x = (2x1 / 3)) = −U1 2U 2x1 6 2 1 − = − < 0 , (14.15) ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 3 2 2 3 x1 x1 x1 indicating the solution x = (2x1 / 3) represents a local maximum and hence is an unstable point. At x = (2x1 / 3) , the potential energy is given by the value U ((2x1 / 3)) = (4 / 27)U1 . Evaluating the second derivative at x = 0 yields a positive quantity 14-19 ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ d 2U dx2 (x = 0) = −U1 2U 6 2 1 ⎟ ⎠ 0 −⎜ ⎝ > 0 , (14.16) ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 3 2 2 x1 x1 x1 indicating the solution x = 0 represents a local minimum and is a stable point. At the local minimum x = 0 , the potential energy U (0) = 0 . c) Consider a fixed value of the energy of the particle within the range 4U1 U (0) = 0 < E < U (2x1 / 3) = . (14.17) 27 If the particle at any time is found in the region x / 3, where x and xb are the a < x < xb < 2x1 a turning points and are solutions to the equation ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ E = U (x) = −U1 ⎜ − ⎟ . (14.18) ⎜ ⎝ ⎜ x1 ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ x1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ then the particle will undergo periodic motion between the values xa < x < xb . Within this region xa < x < xb , the kinetic energy is always positive because K(x) = E −U (x) . There is another solution xc to Eq. (14.18) somewhere in the region xc > 2x1 / 3. If the particle at any time is in the region x > xc then it at any later time it is restricted to the region xc < x < +∞ . For E > U (2x1 / 3) = (4 / 27)U1, Eq. (14.18) has only one solution xd . For all values of x > xd , the kinetic energy is positive, which means that the particle can “escape” to infinity but can never enter the region x < xd . For E < U (0) = 0 , the kinetic energy is negative for the range −∞ < x < xe where xe satisfies Eq. (14.18) and therefore this region of space is forbidden. (d) If the particle has speed v0 at x = 0 where the potential energy is zero, U (0) = 0 , the energy of the particle is constant and equal to kinetic energy E = K(0) = 1 mv0 2 . (14.19) 2 Therefore 1 2 (4 / 27)U1 = mv0 , (14.20) 2 14-20 which we can solve for the speed v0 = 8U1 / 27m . (14.21) 14.7 Change of Mechanical Energy for Closed System with Internal Non-conservative Forces Consider a closed system that undergoes a transformation from an initial state to a final state by a prescribed set of changes. Whenever the work done by a force in moving an object from an initial point to a final point depends on the path, the force is called a non-conservative force. Suppose the internal forces are both conservative and non-conservative. The work W done by the forces is a sum of the conservative work W c , which is path-independent, and the non-conservative work W nc , which is path-dependent, W = W c + W nc . (14.1) The work done by the conservative forces is equal to the negative of the change in the potential energy ΔU = −W c . (14.2) Substituting Equation (14.2) into Equation (14.1) yields W = −ΔU + W nc . (14.3) The work done is equal to the change in the kinetic energy, W = ΔK . (14.4) Substituting Equation (14.4) into Equation (14.3) yields ΔK = −ΔU + W nc . (14.5) which we can rearrange as W nc = ΔK + ΔU . (14.6) We can now substitute Equation (14.4) into our expression for the change in the mechanical energy, Equation (14.17), with the result W nc = ΔEm . (14.7) 14-21 The mechanical energy is no longer constant. The total change in energy of the system is zero, ΔE = ΔE − W = 0 . (14.8) system m nc Energy is conserved but some mechanical energy has been transferred into non recoverable energy W nc . We shall refer to processes in which there is non-zero non recoverable energy as irreversible processes. 14.7.1 Change of Mechanical Energy for a Closed System When energy enters or leaves the closed system, the change in energy of the system is equal to the negative of the change in energy of the surroundings (Eq. (14.1)), ΔEsystem = −ΔEsurroundings (14.9) The change in energy of the system can be the result of work done by the surroundings on the system (which can be positive or negative), which we shall refer to as external work Wext . This work will result in the system undergoing coherent motion. Note that W > 0 if work is done on the system ( ΔEsurroundings < 0 ) and W < 0 if the system does ext ext work on the surroundings ( ΔEsurroundings > 0 ). If the system is in thermal contact with the surroundings, then thermal energy can flow into or out of the system. This energy flow due to thermal contact is often denoted by Q with the convention that Q > 0 if the energy flows into the system ( ΔEsurroundings < 0 ) and Q < 0 if the energy flows out of the system ( ΔEsurroundings > 0 ). Then Eq. (14.9) can be rewritten as W ext + Q = ΔE sys (14.10) Equation (14.10) is also called the first law of thermodynamics. This will result in either an increase or decrease in random thermal motion of the molecules inside the system, There may also be other forms of energy that enter the system, for example radiative energy. Several questions naturally arise from this set of definitions and physical concepts. Is it possible to identify all the conservative forces and calculate the associated changes in potential energies? How do we account for non-conservative forces such as friction that act at the boundary of the system? 14.8 Dissipative Forces: Friction 14-22 Suppose we consider an object moving on a rough surface. As the object slides it slows down and stops. While the sliding occurs both the object and the surface increase in temperature. The increase in temperature is due to the molecules inside the materials increasing their kinetic energy. This random kinetic energy is called thermal energy. Kinetic energy associated with the coherent motion of the molecules of the object has been dissipated into kinetic energy associated with random motion of the molecules composing the object and surface. If we define the system to be just the object, then the friction force acts as an external force on the system and results in the dissipation of energy into both the block and the surface. Without knowing further properties of the material we cannot determine the exact changes in the energy of the system. Friction introduces a problem in that the point of contact is not well defined because the surface of contact is constantly deforming as the object moves along the surface. If we considered the object and the surface as the system, then the friction force is an internal force, and the decrease in the kinetic energy of the moving object ends up as an increase in the internal random kinetic energy of the constituent parts of the system. When there is dissipation at the boundary of the system, we need an additional model (thermal equation of state) for how the dissipated energy distributes itself among the constituent parts of the system. 14.8.1 Source Energy Consider a person walking. The frictional force between the person and the ground does no work because the point of contact between the person’s foot and the ground undergoes no displacement as the person applies a force against the ground, (there may be some slippage but that would be opposite the direction of motion of the person). However the kinetic energy of the object increases. Have we disproved the work-energy theorem? The answer is no! The chemical energy stored in the body tissue is converted to kinetic energy and thermal energy. Because the person-air-ground can be treated as a closed system with no energy entering or leaving, we have that 0 = ΔE sys = ΔEchemical + ΔEthermal + ΔEmechanical . (14.1) If we assume that there is no change in the potential energy of the system, then = ΔK . Therefore some of the internal chemical energy has been transformed ΔEmechanical into thermal energy and the rest has changed into the kinetic energy of the system, −ΔE = ΔE + ΔK . (14.2) chemical thermal 14-23 14.9 Worked Examples Example 14.2 Escape Velocity of Toro The asteroid Toro, discovered in 1964, has a radius of about R = 5.0km and a mass of about mt = 2.0 ×1015 kg . Let’s assume that Toro is a perfectly uniform sphere. What is the escape velocity for an object of mass m on the surface of Toro? Could a person reach this speed (on earth) by running? Solution: The only potential energy in this problem is the gravitational potential energy. We choose the zero point for the potential energy to be when the object and Toro are an infinite distance apart, U G (∞) ≡ 0 . With this choice, the potential energy when the object and Toro are a finite distance r apart is given by Gmt m U G (r) = − (14.1) r with U G (∞) ≡ 0 . The expression escape velocity refers to the minimum speed necessary for an object to escape the gravitational interaction of the asteroid and move off to an infinite distance away. If the object has a speed less than the escape velocity, it will be unable to escape the gravitational force and must return to Toro. If the object has a speed greater than the escape velocity, it will have a non-zero kinetic energy at infinity. The condition for the escape velocity is that the object will have exactly zero kinetic energy at infinity. We choose our initial state, at time ti , when the object is at the surface of the asteroid with speed equal to the escape velocity. We choose our final state, at time t f , to occur when the separation distance between the asteroid and the object is infinite. The initial kinetic energy is Ki = (1/ 2)mv esc 2 . The initial potential energy is = −Gm m / R , and so the initial mechanical energy is Ui t 1 2 Gmt m = Ki +Ui = mv − . (14.2) Ei esc 2 R The final kinetic energy is K f = 0 , because this is the condition that defines the escape velocity. The final potential energy is zero, U f = 0 because we chose the zero point for potential energy at infinity. The final mechanical energy is then E f = K f + U f = 0 . (14.3) There is no non-conservative work, so the change in mechanical energy is zero 14-24 0 = W = ΔE − Ei . (14.4) nc m = E f Therefore ⎛ 1 2 Gmt m⎞ 0 = − mv esc − (14.5) ⎝ ⎜ 2 R ⎠ ⎟ . This can be solved for the escape velocity, (14.6) = 7.3 m ⋅s−1. Considering that Olympic sprinters typically reach velocities of 12 m ⋅ s−1, this is an easy speed to attain by running on earth. It may be harder on Toro to generate the acceleration necessary to reach this speed by pushing off the ground, since any slight upward force will raise the runner’s center of mass and it will take substantially more time than on earth to come back down for another push off the ground. Example 14.3 Spring-Block-Loop-the-Loop A small block of mass m is pushed against a spring with spring constant k and held in place with a catch. The spring is compressed an unknown distance x (Figure 14.12). When the catch is removed, the block leaves the spring and slides along a frictionless circular loop of radius r . When the block reaches the top of the loop, the force of the loop on the block (the normal force) is equal to twice the gravitational force on the mass. (a) Using conservation of energy, find the kinetic energy of the block at the top of the loop. (b) Using Newton’s Second Law, derive the equation of motion for the block when it is at the top of the loop. Specifically, find the speed vtop in terms of the gravitation constant g and the loop radius r . (c) What distance was the spring compressed? v esc = 2Gmt R = 2(6.67 ×10−11 N ⋅m2 ⋅kg−2 )(2.0 ×1015 kg) (5.0 ×103 m) Figure 14.12 Initial state for spring-block-loop-the-loop system 14-25 Solution: a) Choose for the initial state the instant before the catch is released. The initial kinetic energy is Ki = 0 . The initial potential energy is non-zero, Ui = (1/ 2)k x2 . The initial mechanical energy is then 1 Ei = Ki + Ui = k x2 . (14.7) 2 Choose for the final state the instant the block is at the top of the loop. The final kinetic energy is K f = (1/ 2)mv2 ; the block is in motion with speed v . The final potential top top energy is non-zero, U f = (mg)(2R) . The final mechanical energy is then 1 2 E f = K f + U f = 2mgR + 2 mvtop . (14.8) Because we are assuming the track is frictionless and neglecting air resistance, there is no non- conservative work. The change in mechanical energy is therefore zero, 0 = W nc = ΔEm = E f − Ei . (14.9) Mechanical energy is conserved, E f = Ei , therefore 1 2 1 2mgR + mvtop = k x2 . (14.10) 2 2 From Equation (14.10), the kinetic energy at the top of the loop is 1 2 1 mvtop = k x2 − 2mgR . (14.11) 2 2 b) At the top of the loop, the forces on the block are the gravitational force of magnitude mg and the normal force of magnitude N , both directed down. Newton’s Second Law in the radial direction, which is the downward direction, is 2 mv −mg − N = − top . (14.12) R In this problem, we are given that when the block reaches the top of the loop, the force of the loop on the block (the normal force, downward in this case) is equal to twice the weight of the block, N = 2mg . The Second Law, Eq. (14.12), then becomes 2 mv 3mg = top . (14.13) R 14-26 We can rewrite Equation (14.13) in terms of the kinetic energy as 3 1 2 mg R = mvtop . (14.14) 2 2 The speed at the top is therefore vtop = (14.15) c) Combing Equations (14.11) and (14.14) yields 7 mg R = 1 k x2 . (14.16) 2 2 Thus the initial displacement of the spring from equilibrium is 3mg R . 7mg R x k = . (14.17) Example 14.4 Mass-Spring on a Rough Surface A block of mass m slides along a horizontal table with speed v0 . At x = 0 it hits a spring with spring constant k and begins to experience a friction force. The coefficient of friction is variable and is given by µ = bx , where b is a positive constant. Find the loss in mechanical energy when the block first momentarily comes to rest. Figure 14.13 Spring-block system Solution: From the model given for the frictional force, we could find the non conservative work done, which is the same as the loss of mechanical energy, if we knew the position x f where the block first comes to rest. The most direct (and easiest) way to find x f is to use the work-energy theorem. The initial mechanical energy is Ei = mvi 2 / 2 and the final mechanical energy is E f = k x2 f / 2 (note that there is no potential energy 14-27 term in Ei and no kinetic energy term in E f ). The difference between these two mechanical energies is the non-conservative work done by the frictional force, x=x x=x x=x f f f Wnc = ∫ Fnc dx = ∫−F friction dx = ∫−µ N dx x=0 x=0 x=0 (14.18) = − x f b xmg dx = − 1 bmg x2 f . ∫0 2 We then have that W = ΔE nc m W nc = E f − Ei (14.19) 1 1 1 − bmg x2 f = k x2 f − mvi 2. 2 2 2 Solving the last of these equations for x2 f yields mv0 2 x2 f = . (14.20) k + bmg Substitute Eq. (14.20) into Eq. (14.18) gives the result that 2 2 bmg mv0 mv0 ⎛ k ⎞ −1 Wnc = − = − ⎜1+ ⎟ . (14.21) 2 k + bmg 2 ⎝ bmg ⎠ It is worth checking that the above result is dimensionally correct. From the model, the parameter b must have dimensions of inverse length (the coefficient of friction µ must be dimensionless), and so the product bmg has dimensions of force per length, as does the spring constant k ; the result is dimensionally consistent. Example 14.5 Cart-Spring on an Inclined Plane An object of mass m slides down a plane that is inclined at an angle θ from the horizontal (Figure 14.14). The object starts out at rest. The center of mass of the cart is a distance d from an unstretched spring that lies at the bottom of the plane. Assume the spring is massless, and has a spring constant k . Assume the inclined plane to be frictionless. (a) How far will the spring compress when the mass first comes to rest? (b) Now assume that the inclined plane has a coefficient of kinetic friction µk . How far will the spring compress when the mass first comes to rest? The friction is primarily between the wheels and the bearings, not between the cart and the plane, but the friction force may be modeled by a coefficient of friction µk . (c) In case (b), how much energy has been lost to friction? 14-28 Figure 14.14 Cart on inclined plane Solution: Let x denote the displacement of the spring from the equilibrium position. Choose the zero point for the gravitational potential energy U g (0) = 0 not at the very bottom of the inclined plane, but at the location of the end of the unstretched spring. Choose the zero point for the spring potential energy where the spring is at its equilibrium position, U s (0) = 0 . a) Choose for the initial state the instant the object is released (Figure 14.15). The initial kinetic energy is Ki = 0 . The initial potential energy is non-zero, Ui = mg d sinθ . The initial mechanical energy is then Ei = Ki + Ui = mg d sinθ (14.22) Choose for the final state the instant when the object first comes to rest and the spring is compressed a distance x at the bottom of the inclined plane (Figure 14.16). The final kinetic energy is K f = 0 since the mass is not in motion. The final potential energy is non-zero, U f = k x2 / 2 − x mg sinθ . Notice that the gravitational potential energy is negative because the object has dropped below the height of the zero point of gravitational potential energy. Figure 14.15 Initial state Figure 14.16 Final state The final mechanical energy is then E f = K f + U f = 1 k x2 − x mg sinθ . (14.23) 2 14-29 1+ 2(k d / mg)sinθ ). Because we are assuming the track is frictionless and neglecting air resistance, there is no non- conservative work. The change in mechanical energy is therefore zero, 0 = W nc = ΔEm = E f − Ei . (14.24) Therefore d mg sinθ = 1 k x2 − x mg sinθ . (14.25) 2 This is a quadratic equation in x , 2mg sinθ 2d mg sinθ x2 − x − = 0 . (14.26) k k In the quadratic formula, we want the positive choice of square root for the solution to ensure a positive displacement of the spring from equilibrium, mg sinθ ⎛ m2 g 2 sin2θ 2d mg sinθ ⎞ 1 2 x = + + k ⎝ ⎜ k 2 k ⎠ ⎟ (14.27) mg = (sinθ + k (What would the solution with the negative root represent?) b) The effect of kinetic friction is that there is now a non-zero non-conservative work done on the object, which has moved a distance, d + x , given by W = − fk N (d + x) = −µk mg cosθ(d + x) . (14.28) nc (d + x) = −µk Note the normal force is found by using Newton’s Second Law in the perpendicular direction to the inclined plane, N − mg cosθ = 0 . (14.29) The change in mechanical energy is therefore W = ΔE − Ei , (14.30) nc m = E f which becomes ⎛ 1 ⎞ −µk mg cosθ(d + x) = k x2 − x mg sinθ⎠ ⎟ − d mg sinθ . (14.31) ⎝ ⎜ 2 Equation (14.31) simplifies to 14-30 ⎛ 1 ⎞ 0 = k x2 − x mg(sinθ − µk cosθ )⎠ ⎟ − d mg(sinθ − µk cosθ ) . (14.32) ⎝ ⎜ 2 This is the same as Equation (14.25) above, but with sinθ → sinθ − µk cosθ . The maximum displacement of the spring is when there is friction is then mg x = ((sinθ − µk cosθ ) + 1+ 2(k d / mg)(sinθ − µk cosθ )) . (14.33) k . c) The energy lost to friction is given by W mg cosθ(d + x) , where x is given in nc = −µk part b). Example 14.6 Object Sliding on a Sphere A small point like object of mass m rests on top of a sphere of radius R . The object is released from the top of the sphere with a negligible speed and it slowly starts to slide (Figure 14.17). Let g denote the gravitation constant. (a) Determine the angle θ1 with respect to the vertical at which the object will lose contact with the surface of the sphere. (b) What is the speed v1 of the object at the instant it loses contact with the surface of the sphere. Figure 14.17 Object sliding on surface of sphere Solution: We begin by identifying the forces acting on the object. There are two forces acting on the object, the gravitation and radial normal force that the sphere exerts on the particle that we denote by N . We draw a free-body force diagram for the object while it is sliding on the sphere. We choose polar coordinates as shown in Figure 14.18. Figure 14.18 Free-body force diagram on object 14-31 The key constraint is that when the particle just leaves the surface the normal force is zero, N (θ1) = 0 , (14.34) where θ1 denotes the angle with respect to the vertical at which the object will just lose contact with the surface of the sphere. Because the normal force is perpendicular to the displacement of the object, it does no work on the object and hence conservation of energy does not take into account the constraint on the motion imposed by the normal force. In order to analyze the effect of the normal force we must use the radial component of Newton’s Second Law, 2 v N − mg cosθ = −m . (14.35) R Then when the object just loses contact with the surface, Eqs. (14.34) and (14.35) require that v1 2 mg cosθ1 = m . (14.36) R where v1 denotes the speed of the object at the instant it loses contact with the surface of the sphere. Note that the constrain condition Eq. (14.36) can be rewritten as mgRcosθ1 = mv1 2 . (14.37) We can now apply conservation of energy. Choose the zero reference point U = 0 for potential energy to be the midpoint of the sphere. Identify the initial state as the instant the object is released (Figure 14.19). We can neglect the very small initial kinetic energy needed to move the object away from the top of the sphere and so Ki = 0 . The initial potential energy is non-zero, Ui = mgR . The initial mechanical energy is then Ei = Ki + Ui = mgR . (14.38) Figure 14.19 Initial state Figure 14.20 Final state 14-32 Choose for the final state the instant the object leaves the sphere (Figure 14.20). The final kinetic energy is K f = mv1 2 / 2 ; the object is in motion with speed v1 . The final potential energy is non-zero, U f = mgRcosθ1 . The final mechanical energy is then E f = K f + U f = 1 2 mv1 2 + mgRcosθ1 . (14.39) Because we are assuming the contact surface is frictionless and neglecting air resistance, there is no non-conservative work. The change in mechanical energy is therefore zero, 0 = W nc = ΔEm = E f − Ei . (14.40) Therefore 1 mv1 2 + mgRcosθ1 = mgR . (14.41) 2 We now solve the constraint condition Eq. (14.37) into Eq. (14.41) yielding 1 mgRcosθ1 + mgRcosθ1 = mgR . (14.42) 2 We can now solve for the angle at which the object just leaves the surface θ1 = cos−1(2 / 3) . (14.43) We now substitute this result into Eq. (14.37) and solve for the speed v1 = 2gR / 3 . (14.44) 14-33 Chapter 14A Thermal Energy 14A.1 Thermal Energy, Heat and Temperature...................................................... 35 14A.2 Zeroth Law of Thermodynamics.................................................................... 36 14A.3 Gas..................................................................................................................... 36 14A.3.1 Macroscopic vs. Atomistic Description of a Gas .................................... 37 14A.3.2 Ideal Gas .................................................................................................... 37 14A.3.3 Atoms, Moles, and Avogadro’s Number................................................. 42 14A.4 Degrees of Freedom ......................................................................................... 42 14A.5 Equipartition of Energy .................................................................................. 43 14A.5.1 Boltzamnn constant................................................................................... 43 14A.5.2 Freezing out Degrees of Freedom ............................................................ 44 14A.5.3 Example Diatomic Nitrogen Gas ............................................................. 45 14A.6 Temperature, Scales, and Thermometers...................................................... 45 14A.6.1 Temperature .............................................................................................. 45 14A.6.2 Temperature Scales................................................................................... 46 14A.7 Conservation of Energy and Energy Transformations ................................ 48 14A.7.1 System, Boundary and Surroundings ..................................................... 48 14A.8 First Law of Thermodynamics ....................................................................... 49 14A.8.1 Mechanical Equivalent of Heat................................................................ 50 14A.9 States of Matter................................................................................................ 50 14A.9.2 Specific Heats of an Ideal Gas.................................................................. 51 14A.9.3 Example Molar heat capacities of an ideal gas....................................... 54 14A.9.4 Example Adiabatic compression of an ideal gas .................................... 55 14-34 14A.1 Thermal Energy, Heat and Temperature On a cold winter day, suppose you want to warm up by drinking a cup of tea. You start by filling up a kettle with water from the cold water tap (water heaters tend to add unpleasant contaminants and reduce the oxygen level in the water). You place the kettle on the heating element of the stove and allow the water to boil briefly. You let the water cool down slightly to avoid burning the tea leaves or creating bitter flavors and then pour the water into a pre-heated teapot containing a few teaspoons of tea; the tea leaves steep for a few minutes and then you enjoy your drink. When the kettle is in contact with the heating element of the stove, energy flows from the heating element to the kettle and then to the water. The conduction of energy is due to the contact between the objects. The random motions of the atoms in the heating element are transferred to the kettle and water via collisions. We shall refer to this conduction process as ‘energy transferred thermally’. The term heat refers to energy transformed thermally has traditional been called heat. The energy associated with the random motions of the water molecules (and also the potential energy associated with the vibrational interactions intrinsic to water molecules and between molecules) is called thermal energy. The thermal unit for heat is the calorie and is defined to be the amount of heat required to raise the temperature of one gram of water from 14.5 0C to 15.5 0C (where we have yet to properly define the Celsius, a unit of temperature.) Another common unit is the Btu (British Thermal Unit), which is the amount of heat necessary to raise one pound of water from 63! F to 64 ! F . Note that 1 Btu = 252 cal . We can attribute different degrees of “hotness” (based on our experience of inadvertently touching the kettle and the water). Temperature is a measure of the “hotness” of a body. When two isolated objects that are initially at different temperatures are put in contact, the “colder” object heats up while the “hotter” object cools down, until they reach the same temperature, a state we refer to as thermal equilibrium. Temperature is that property of a system that determines whether or not a system is in thermal equilibrium with other systems. 14A.1.1 Internal Energy More generally, the internal energy U of a physical system is defined to be the sum of all contributions to the total energy of the system in a reference frame in which the center of mass of the system is at rest. For example the internal energy of a gas consist of the kinetic energy of the gas molecules, arising from the center-of-mass motions of the molecules relative to a container that is at rest in the reference frame, and kinetic energy of rotational motion of the molecules. These two motions have no potential energies associated to them. At sufficiently high temperatures, diatomic and polyatomic atoms also have vibrational motions due to interatomic forces, which like a spring have both kinetic and potential energies. Intermolecular forces contribute to the internal energy for solids and liquids, but make negligibly small contributions for gases. 14-35 The internal energy also includes contributions due to the rest–mass energy of the constituents, and atomic and nuclear binding energies associated with the structure of the constituents. The internal energy includes does not include potential energies that are due to external interactions, for example the gravitational potential energy due to the interaction between the system and an external body such as Earth. Thermal energy is the sum of all the internal energies except the binding energies and rest energies. 14A.1.2 Internal Energy of a Solid or Liquid: Generally, the potential energy of the intermolecular interaction between molecules is repulsive for small r and attractive for large r , where r is the separation between molecules. At low temperatures, when the average kinetic energy is small, the molecules can form bound states with negative energy < 0 and condense into liquids or Einternal solids. The intermolecular forces act like restoring forces about an equilibrium distance between atoms, a distance at which the potential energy is a minimum. For energies near the potential minimum, the atoms vibrate like springs. For larger (but still negative) energies, the atoms still vibrate but no longer like springs and with larger amplitudes, undergoing thermal expansion. At higher temperatures, due to larger average kinetic energies, the internal energy becomes positive, Einternal > 0 . In this case, molecules have enough energy to escape intermolecular forces and become a gas. 14A.2 Zeroth Law of Thermodynamics Temperature is a measure of the thermal energy of a system. At absolute zero temperature, the thermal energy of a gas is zero even though the internal energy is still a positive constant due the binding energies and rest energies. Consider two systems A and B that are separated from each other by an adiabatic boundary (adiabatic = no heat passes through) that does not allow any thermal contact. Both A and B are placed in thermal contact with a third system C until thermal equilibrium is reached. If the adiabatic boundary is then removed between A and B, no energy will transfer thermally between A and B. Thus Zeroth Law of Thermodynamics: Two systems in thermal equilibrium with a third system are in thermal equilibrium with each other. Temperature T is that property of a system that determines whether or not a system is in thermal equilibrium with other systems. 14A.3 Gas We begin our analysis of energy transformations by considering a vessel containing a gas; a system consisting of a very large number of particles (typically 1024 or many orders of magnitude more) occupying a volume of space that is very large compared to 14-36 the size (10−10 m ) of any typical atom or molecule. The state of the gas can be described by a few macroscopically measurable quantities that completely determine the system. The volume of the gas in a container can be measured by the size the container. The pressure of a gas can be measured using a pressure gauge. The temperature can be measured with a thermometer. The mass, or number of moles or number of molecules, is a measure of the quantity of matter. 14A.3.1 Macroscopic vs. Atomistic Description of a Gas How can we use the laws of mechanics that describe the motions and interactions of individual atomic particles to predict macroscopic properties of the system such as pressure, volume, and temperature? In principle, each point-like atomic particle can be specified by its position and velocity (neglecting any internal structure). We cannot know exactly where and with what velocities all the particles are moving so we must take averages. In addition, we need quantum mechanical laws to describe how particles interact. In fact, the inability of classical mechanics to predict how the heat capacity of a gas varies with temperature was the first experimental suggestion that a new set of principles (quantum mechanics) operates at the scale of the size of atoms. However, as a starting point we shall make some simplifying assumptions about the properties of a gas, a model which we shall refer to as an ideal gas. 14A.3.2 Ideal Gas Consider a gas consisting of a large number of molecules inside a rigid container. We shall assume that the volume occupied by the molecules is small compared to the volume occupied by the gas, that is, the volume of the container (dilute gas assumption). We also assume that the molecules move randomly and satisfy Newton’s Laws of Motion. The gas molecules collide with each other and the walls of the container. We shall assume that all the collisions are instantaneous and any energy converted to potential energy during the collision is recoverable as kinetic energy after the collision is finished. Thus the collisions are elastic and have the effect of altering the direction of the velocities of the molecules but not their speeds. We also assume that the intermolecular interactions contribute negligibly to the internal energy. An ideal monatomic gas atom has no internal structure, so we treat it as point particle. Therefore there are no possible rotational degrees of freedom or internal degrees of freedom; the ideal gas has only three degrees of freedom, and the internal energy of the ideal gas is 3 = N kT . (14A.1) Einternal 2 Eq. (14A.1) is called the thermal equation of state of a monatomic ideal gas. The average kinetic energy of each ideal gas atom is then 14-37 1 2) 3 m(v ave = kT (14A.2) 2 2 where (v2)ave is the average of the square of the speeds and is given by 3kT (v2) = . (14A.3) ave m The temperature of this ideal gas is proportional to the average kinetic of the ideal gas molecule. It is an incorrect inference to say that temperature is defined as the mean kinetic energy of gas. At low temperatures or non-dilute densities, the kinetic energy is no longer proportional to the temperature. For some gases, the kinetic energy depends on number density and a more complicated dependence on temperature than that given in Eq. (14A.2). 14A.3.3 Pressure of an Ideal Gas Consider an ideal gas consisting of a large number N of identical gas molecules, each of of mass m, inside a container of volume V and pressure P . The number of gas molecules per unit volume is then n = N / V . The density of the gas is ρ = nm . The gas molecules collide elastically with each other and the walls of the container. The pressure that the gas exerts on the container is due to the elastic collisions of the gas molecules with the walls of the container. We shall now use concepts of energy and momentum to model collisions between the gas molecules and the walls of the container in order to determine the pressure of the gas in terms of the volume V , particle number N and Kelvin temperature T . v v ˆ i ˆ j Figure 14A.1 Collision of a gas molecule with a wall of a container We begin by considering the collision of one molecule with one of the walls of the container, oriented with a unit normal vector pointing out of the container in the positive ˆ i -direction (Figure 14A.1). Suppose the molecule has mass m and is moving with velocity v ! = v ˆ i + v ˆ j+ v k ˆ . Because the collision with the wall is elastic, the y -and z x y z components of the velocity of the molecule remain constant and the x -component of the 14-38 velocity changes sign (Figure 29.2), resulting in a change of momentum of the gas molecule; Δp   m = p − p = −2mv x ˆ i . (14.1.4) m, f m,i Therefore the momentum transferred by the gas molecule to the wall is Δp  w = 2mv x ˆ i . (14.1.5) Now, let’s consider the effect of the collisions of a large number of randomly moving molecules. For our purposes, “random” will be taken to mean that any direction of motion is possible, and the distribution of velocity components is the same for each direction. Figure 14A.2 Small volume adjacent to the wall of container Consider a small rectangular volume ΔV = AΔx of gas adjacent to one of the walls of the container as shown in Figure 14A.2. There are nAΔx gas molecules in this small volume. Let each group have the same x -component of the velocity. Let nj denote the number of jth gas molecules in the group with x -component of the velocity vx, j . Because the gas molecules are moving randomly, only half of the gas molecules in each group will be moving towards the wall in the positive x -direction. Therefore in a time interval Δt j = Δx / vx, j , the number of gas molecules that strike the wall with x -component of the velocity vx, j is given by Δnj = 1 nj AΔx . (14.1.6) 2 (During this time interval some gas molecules may leave the edges of the box, but because the number that cross the area per second is proportional to the area, in the limit as Δx → 0 , the number leaving the edges also approaches zero.) The number of gas molecules per second is then 14-39 Δnj 1 Δx 1 = nj A = nj Av x, j . (14.1.7) Δt j 2 Δt j 2 The momentum per second that the gas molecules in this group deliver to the wall is Δ p j Δnj 2 = 2mv ˆ i = njmAv ˆ i . (14.1.8) x, j x, j Δt j Δt j By Newton’s Second Law, the average force on the wall due to this group of molecules is equal to the momentum per second delivered by the gas molecules to the wall;  Δp  j 2 (Fj,w )ave = = njmAv x, j ˆ i . (14.1.9) Δt j The pressure contributed by this group of gas molecules is then  Fj w , ( )ave 2 Pj = (14.1.10) = njmv x, j . A The pressure exerted by all the groups of gas molecules is the sum j=Ng j= Ng P = ∑ (Pj ) = m ∑ nj v2 . (14.1.11) ave x, j j=1 j=1 The average of the square of the x -component of the velocity is given by j= Ng (vx 2)ave = 1 ∑ nj vx 2 , j , (14.1.12) n j=1 where n is the number of gas molecules per unit volume in the container. Therefore we can rewrite Eq. (14.1.11) as P = mn(v2) = ρ(v2) , (14.1.13) x ave x ave where ρ is the density of the gas. Because we assumed that the gas molecules are moving randomly, the average of the square of the x -, y - and z -components of the velocity of the gas molecules are equal, (v2) = (v2) = (v2) . (14.1.14) x ave y ave z ave 14-40 The average of the square of the speed (v2)ave is equal to the sum of the average of the squares of the components of the velocity, (v2) = (v2) + (v2) + (v2) . (14.1.15) ave x ave y ave z ave Therefore (v2) = 3(v2) . (14.1.16) ave x ave Substituting Eq. (14.1.16) into Eq. (14.1.13) for the pressure of the gas yields P = 1 ρ(v2) . (14.1.17) 3 ave The square root of (v2)ave is called the root-mean-square (“rms”) speed of the molecules. Substituting Eq. (14A.3) into Eq. (14.1.17) yields ρkT P = . (14.1.18) m Recall that the density of the gas M Nm ρ = = . (14.1.19) V V Therefore Eq. (14.1.18) can be rewritten as NkT P = . (14.1.20) V Eq. (14.1.20) can be re-expressed as PV = N kT . (14.1.21) Eq. (14.1.21) is known as the ideal gas equation of state also known as the Perfect Gas Law or Ideal Gas Law. The total number of molecules in the gas N n = N where n is the number of moles m A m and N A is the Avogadro constant. The ideal gas law becomes PV = nm NA kT . (14.1.22) The universal gas constant is R = k N A = 8.31J ⋅ K−1 ⋅ mol−1. The ideal gas law can be re-expressed as PV = nm RT . (14.1.23) Although we started with atomistic description of the collisions of individual gas molecules satisfying the principles of conservation of energy and momentum, we ended 14-41 up with a relationship between the macroscopic variables pressure, volume, number of moles, and temperature that are measurable properties of the system. One important consequence of the Ideal Gas Law is that equal volumes of different ideal gases at the same temperature and pressure must contain the same number of molecules, 1 PV N = . (14.1.24) k T When gases combine in chemical reactions at constant temperature and pressure, the numbers of each type of gas molecule combine in simple integral proportions. This implies that the volumes of the gases must always be in simple integral proportions. Avogadro used this last observation about gas reactions to define one mole of a gas as a unit for large numbers of particles. 14A.3.3 Atoms, Moles, and Avogadro’s Number The Avogadro number was originally defined as the number of molecules in one gram of hydrogen. The number was then redefined to be the number of atoms in 12 grams of the carbon isotope carbon-12. Now the Avogadro number is the fixed numerical value of the Avogadro constant N A when expressed in the unit mol−1 N A = 6.022140 76 ×1023 mol−1. (14A.25) Recall that the mole is a base unit in the SI system of units for an amount of substance with symbol [mol] . Based on the new definition of Avogadro constant N A , one mole contains 6.022140 76 ×1023 elementary entities: N A 1 mol = (14A.26) 6.02214076 ×1023 14A.4 Degrees of Freedom An individual gas molecule can translate in any spatial direction. Multi-atomic gas molecules may undergo rotational motions associated with the structure of the molecule. Additionally, there may be intermolecular vibrational motion between nearby gas particles, and vibrational motion arising from intramolecular forces between atoms that form the molecules. Each of these independent contributions to the internal energy motions are called degree of freedoms. For gas molecules, there are three translational degrees of freedom associated with the center of mass motion in each direction. For diatomic gases like oxygen molecule ( O2 ) or carbon monoxide ( CO ), there are additional degrees of freedom: two rotational 14-42 degrees of freedom corresponding to independent rotations about axes that are perpendicular to the line connecting the centers of the two atoms, and two degrees of freedom corresponding to the kinetic and potential energies associated with vibrational motion about the center of mass, resulting in a total of seven degrees of freedom. Note the extra factor of two for the vibrational modes can be understood by modeling the vibrational motion of the molecules as an oscillating spring in one-dimension with two contributions to the internal energy, = (1/ 2)mv2 + (1/ 2)kx2 . For linear Evibrational triatomic linear molecules like carbon dioxide (CO2 ): there are also two rotational degrees of freedom, and six degrees of freedom associated with the three vibrational modes of the molecule, totaling eleven degrees of freedom. For non-linear triatomic molecules, there is an extra rotational degree of freedom compared to the linear case, hence twelve degrees of freedom. For polyatomic molecules, there are many vibrational modes, so the number of degrees of freedom is greater than twelve. 14A.5 Equipartition of Energy We shall make our first assumption about how the internal energy distributes itself among N gas molecules, as follows: Each independent degree of freedom has an equal amount of energy equal to (1/ 2) kT , where the constant k is called the Boltzmann constant and is defined by k = 1.380649 ×10−23 J ⋅ K−1 . The total internal energy U of the ideal gas is then 1 U = N (# of degrees of freedom) kT . (14A.27) 2 This equal division of the energy is called the equipartition of the energy. 14A.5.1 Boltzamnn constant Recall that the Boltzmann constant is now one of the seven defining constants that determine the SI units and along with the constants h , c and ΔνCs determine the unit kelvin. The kelvin, symbol K , is the SI unit of thermodynamic temperature. It is defined by taking the fixed numerical value of the Boltzmann constant k to be 1.380649 ×10−23 when expressed in the unit J ⋅ K−1 , which is equal −2K−1 to kg ⋅ m2 ⋅s , where the kilogram, meter and second are defined in terms of h , c and ΔνCs . 14-43 This definition implies the exact relation k = 1.380649 ×10−23J ⋅ K−1 . Its effect is that one kelvin is equal to the change of thermodynamic temperature T that results in a change of thermal energy kT by 1.380649 ×10−23J . 2 Therefore the unit kelvin is defined as 1.380649 ×10−23 −2 1K = ⋅ kg ⋅ m2 ⋅s (14A.28) k Using the SI definitions for the kilogram, meter and second, Eq. (14A.28) becomes ⎛ 1.380649 ×10−23 ⎞⎛ ⎞ 1K = ⎟⋅ 1.4755214 ×1040 hΔνCs ⎜ ⎝ k ⎠ ⎝ ⎜ c2 ⎠ ⎟ (14A.29) ⎛ c ⎞ 2 ⎛ 9192 631770⎞ −2 ⋅ 30.663314 9 ⋅ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ ΔνCs ΔνCs One kelvin is then equal to hΔνCs 1K = 2.266 665 265 (14A.30) k 14A.5.2 Freezing out Degrees of Freedom Vibrational modes generally do not occur at room temperature. At higher temperatures, a diatomic gas molecule has a potential energy associated with the interaction between the two molecules. This potential energy acts like a spring between the two atoms contributing to a vibrational mode along the -axis. Analogous to a spring connected two objects, there are two degrees of freedom associated with a vibrational mode, the potential energy stored in the interaction and the kinetic energy associated with the vibration. Thus there are seven total degrees of freedom for the energy to partition among. So in principle of all of these energy modes are accessible, then the total internal energy U for a diatomic gas consisting N molecules is U = N (# of deg)((1/ 2)kT ) = N (7 / 2)kT (14A.31) According to our classical theory of the gas, all these modes should be equally occupied at all temperatures but in fact they are not! This important deviation from classical physics was the first place that a more detailed model of the atom is needed to correctly describe experimental observations. 2 14-44 14A.5.3 Example Diatomic Nitrogen Gas What is the internal energy of the diatomic N2 gas at room temperature? Solution: At room temperature, the internal energy is due to only the five degrees of freedom associated with the three translational and two rotational degrees of freedom, 5 U = NkT . (14A.32) 2 As discussed above, at temperatures well above room temperature, but low enough for nitrogen to form diatomic molecules, there is are two additional vibrational degree of freedoms. Therefore there are seven degrees of freedom and so the internal energy is 1 7 U = N (# of degrees of freedom) kT = N kT . (14A.33) 2 2 14A.6 Temperature, Scales, and Thermometers 14A.6.1 Temperature In our discussion so far, we have not defined precisely how we can measure temperature. In particular, we have not determined how the flow of thermal energy into a system raises its temperature. We begin with a macroscopic characterization of the temperature of a body. To measure the temperature of a system, we need to measure a thermometric property of the system, one that varies with its hotness or coldness. There are many such properties; for example, electrical resistance of a filament, pressure of a gas, thermal electromotive force, radiant emittance, or magnetic susceptibility. Let X be any thermometric property of a material. Then we define the temperature scale so that the temperature θ is linear proportional to X θ( X ) = aX . (14A.34) where a is a constant of proportionality. By this linearity, the ratio of temperatures between any two states of the system is then the ratio of the thermometric properties of those states, θ1 X1 = . (14A.35) θ2 X2 Traditionally, to determine temperature for any state, we need to define temperature for a standard state. The standard fixed state for thermometry is the triple point of water. This is the state in which ice, water, and water vapor coexist. 14-45 This occurs at 0.01!C and at a water-vapor pressure of 610 Pa . For historical and scientific reasons to be explained, we define the temperature of the triple point of water to be 273.16 K on the Kelvin scale, which fixes the constant a as follows. Let XTP be the value of the thermometric property X at the triple point. Then 273.16 K a = . (14A.36) XTP Hence the temperature at any value of X is then 273.16 K θ( X ) = aX = a . (14A.37) XTP 14A.6.2 Temperature Scales We use the Kelvin scale as a measure of absolute temperature. The commonly used Celsius scale employs the same size for each degree as the Kelvin scale, but the zero point is shifted by 273.15 degrees so that the triple point of water has a Celsius temperature of 0.01!C , T (!C) = θ(K) − 273.15 !C , (14A.38) and the freezing point of water at standard atmospheric pressure to be 0!C . The Fahrenheit scale is related to the Celsius scale by T (! F) = 9 T (!C) + 32 ! F . (14A.39) 5 The freezing point of pure water at standard atmospheric pressure occurs at 0!C and 32 ! F . The boiling point of pure water at standard atmospheric pressure occurs at 100!C and 212 ! F. 14A.6.3 Example Gas Thermometer The gas thermometer measures temperature based on the pressure of a gas at constant volume and is used as the standard thermometer, because the variations between different gases can be greatly reduced when low pressures are used. A schematic device of a gas thermometer is shown in Figure 14A.3. The volume of the gas is kept constant by raising or lowering the mercury reservoir so that the mercury level on the left arm in Figure 14A.3 just reaches the point I . When the bulb is placed in thermal equilibrium with a system whose temperature is to be measured, the difference in height between the mercury levels in the left and right arms is measured. The bulb pressure is atmospheric pressure plus the pressure in mercury a distance h below the surface (Pascal’s Law). A thermometer needs to have two scale points, for example the height of the column of 14-46 mercury (the height is a function of the pressure of the gas) when the bulb is placed in thermal equilibrium with ice water and in thermal equilibrium with standard steam. Figure 14A.3 Constant volume gas thermometer At constant volume, and at ordinary temperatures, the pressure of gases is proportional to the temperature, T ∝ P . (14A.40) We define a linear scale for temperature based on the pressure in the bulb by T = a P (14A.41) where a is a positive constant. In order to fix the constant a in Eq. (14A.41), a standard state must be chosen as a reference point. The standard fixed state for thermometry is the triple point of water, the state in which ice, water, and water vapor coexist. This state occurs at only one definite value of temperature and pressure. By convention, the temperature of the triple point of water is chosen to be exactly 273.16 K on the Kelvin scale, at a water-vapor pressure of 610 Pa . Let P TP be the value of the pressure P at the triple point in the gas thermometer. Set the constant a according to 273.16 K a = P TP . (14A.42) Hence the temperature at any value of P is then ( ) T P = a P = 273.16 K P TP P . (14A.43) The ratio of temperatures between any two states of a system is then measured by the ratio of the pressures of those states, T 1 P 1 = . (14A.44) T2 P 2 14-47 14A.7 Conservation of Energy and Energy Transformations When we do work on a system, for example we can increase the speed of an object by pushing it, and the kinetic energy increases. We can do work compressing a spring, and the potential energy increases. We can also do work on a system in such a way that the mechanical energy stays constant, but we generate thermal energy. For example, we can slide an object along a surface at constant speed. If we consider the object and the surface as our system, then we do work on the sliding object, and increase the thermal energy of the system. We can also decrease both the kinetic energy and potential energy of a system, and increase the thermal energy. Consider the interaction between water falling over a waterfall and the earth. Between the top and bottom of a waterfall, there is a net loss in mechanical energy. As the water falls, it accelerates, an amount of gravitational potential energy transforms into kinetic energy. When the falling water strikes the surface, much of that kinetic energy is lost from the mechanical system. However the temperature of the water at the bottom of the fall will be higher than the temperature at the top. We can also increase or decrease the energy of a system by heating or cooling as we observed with warming a kettle of water. We shall study types of energy transformations due to interactions both inside and across the boundary of a system. 14A.7.1 System, Boundary and Surroundings Recall in Chapter 13, when we specify a system, we also specified the surroundings (everything else) and a boundary between the system and the surroundings. The boundaries are interfaces through which energy can be transferred. The above examples suggest that we can change the energy of the system by doing work on the system, or by the flow of “heat” into the system. Recall that a system is open if both energy and matter can enter of leave the system. A system is closed if only energy can be transferred to or from the surroundings. A closed system in which energy is constant may not be isolated. For example consider a compressed spring in which one end is attached to a cart and the other end attached to a wall. The cart is held in place on a frictionless air track. Choose as the system the cart and spring. Then release the cart. While the spring is expanding and the cart is accelerating, there is an external force of the wall on the spring so the system is not isolated but there is no transfer of energy to or from the system. The potential energy of the spring is transformed into kinetic energy of the cart. So the energy of the system is constant but it is not isolated. For a closed system, the change in energy of the system and the surroundings sum to zero, ΔE total = ΔE + ΔE = 0 (14A.45) system surroundings 14-48 When a system undergoes a change from state A , to state B , the sum of the kinetic and potential energy (mechanical energy ΔEmechanical ) may change, and the kinetic energy associated with random motions, (thermal energy ΔEthermal ), may also change. In addition there may be other forms of energy ΔEother that may change as well. So the total change in energy of the system is the sum of these changes ΔEsystem = ΔEmechanical + ΔEthermal + ΔEother . (14A.46) If the total energy of the system changes, then the total energy of the surrounding must change by the opposite amount, ΔEsystem = −ΔEsurroundings (14A.47) If the energy is a system changes, then energy must flow across the boundary. We shall study two different types of energy flows across the boundaries of a system. The first type is when the surroundings do work on the system (or the system does work on the surroundings). Consider a closed cylinder of gas with a piston at one end. Identify the gas as the system. If an external force pushes the piston inwards, then the surroundings do (external) work on the system, and the total energy of the system changes, (1) ΔEsystem = Wexternal . (14A.48) A second type of energy flow through the boundary involves the flow of thermal energy, which we denote by Q . We adapt the convention that Q > 0 means that a positive amount of heat flows into the system, the energy of the system increases, therefore ΔE(2) = Q . (14A.49) system 14A.8 First Law of Thermodynamics The energy of a closed system can increase or decrease either through external work done on or by the system, and by the flow of thermal energy into or out of the system. Let Q > 0 represent a positive amount of thermal energy that flows into a system. If Q < 0 , then thermal energy flows from the system to the surroundings. Let W > 0 denote the work done by the surroundings on a system. (If W < 0 then the ext ext system is doing work on the surroundings.) In what follows we shall denote the total change in internal energy of a system by ΔU . Then the first law of thermodynamics describes the sum of the change in energy due to heating and the work done by the surroundings on the system, 14-49 ΔU = Wext + Q . (14A.50) Whenever a closed system is divided into a system (1) and surroundings ( 2 ) that are in thermal contact, and there is a thermal energy flow from (1) to (2), then the thermal energy lost from (1) is gained by ( 2 ), Q1 = −Q 2 (14A.51) 14A.8.1 Mechanical Equivalent of Heat We have already used the joule as the unit for mechanical energy; we would like to determine the constant of proportionality k between the rate of loss of mechanical energy as measured in watts and the rate of the flow of thermal energy as measured in calories per sec dEmech dQ = −k . (14A.52) dt dt James Joule in1847 first measured this connection between mechanical energy and heat and found that 4.2 J = 1cal . The modern result at 15!C is 4.186 J = 1cal . When a mass slides along the table, work done by the contact friction generates thermal energy that is absorbed by both the mass and the table. So we must include the mass and the table as part of our system. In fact, the gas molecules near the table absorb some thermal energy, so strictly speaking they must also be included in the closed system. Is mechanical energy really ‘lost’ in a system? If we examine the individual molecules in our system, and we discover that their average kinetic energy increases along with an increase in the potential energy associated with their molecular interactions. Microscopically, energy is conserved! If we immerse a light bulb in water, the electrical power delivered to the light bulb is dissipated into the water causing the thermal energy of the water to increase. Macroscopically we could measure this increased thermal energy by measuring the rise in the temperature of the water. 14A.9 States of Matter 14A.9.1 Heat Capacity and Specific Heat When thermal energy Q > 0 flows into a system, the temperature of the system may or may not undergo a change. When the temperature does rise by an amount ΔT > 0, as we can observe by heating water with a light bulb, the average heat capacity of the system is defined to be the total amount of thermal energy that flows into the system divided by the rise in temperature, 14-50 Q C = (14A.53) ΔT If we were to divide our system precisely in half, the same flow of thermal energy will induce double the temperature change, hence halving the heat capacity. If we divide heat capacity by the amount of mass present, then we have a property of the system that will not change when we halve the system. Thus we define the average specific heat as the heat capacity per mass, Q c = . (14A.54) mΔT The units for specific heat are ⎡J ⋅kg-1 ⋅ K-1 ⎦ ⎤ . For water, the specific heat varies as a ⎣ function of temperature. Figure 14A.4 shows the specific heat of water plotted as a function of temperature for the range ⎡ ⎣0 !C, 100!C⎤ ⎦. Figure 14A.4 Specific heat of water as a function of temperature. For the range 14.5 0 C to 15.5 0 C, the value is = 4.1860 ×103 J ⋅ kg-1 ⋅ K-1 . (14A.55) cH2O 14A.9.2 Specific Heats of an Ideal Gas The specific heat of a substance is the amount of heat required per unit mass per unit temperature change. When the unit of mass is the mole, the specific heat is called the molar heat capacity. A gas can have two types of molar heat capacities: at constant pressure, CP , or at constant volume, CV . 14-51 Consider nm moles of an ideal gas that is in thermal contact with a reservoir of thermal energy. The temperature of the reservoir is slowly raised. The volume of the gas does not change during the process. Therefore no work is done on the gas. From the first law of thermodynamics, the change in the internal energy of the gas is due entirely to the flow of thermal energy into the gas, ΔU = Q . (14A.56) The amount of thermal energy required is equal to Q = nmCV ΔT . (14A.57) Therefore the change in internal energy is given by ΔU = nmCV ΔT . (14A.58) For an ideal gas, the change in internal energy only depends on the temperature change 3 ΔU = nmRΔT . (14A.59) 2 Therefore comparing these expressions shows that the molar heat capacity at constant volume is 3 CV = R . (14A.60) 2 For a gas molecule with D degrees of freedom, the change in internal energy is ΔU = D n RΔT m 2 (14A.61) and so the heat capacity is CV = D R . 2 (14A.62) Table 14A.1 shows the molar specific heats for different gases at 15! C and 1atm pressure.. 14-52 Table 14A.1 Constant Volume Molar Specific Heats for Different Gases. Gas Molar Specific Heat CV CV / R Ar 12.5 1.50 He 12.5 1.50 CO 20.7 2.49 H2 20.4 2.45 HCl 21.4 2.57 N2 20.6 2.49 NO 20.9 2.51 O2 21.1 2.54 Cl2 24.8 2.98 CO2 28.2 3.40 CS2 40.9 4.92 H2S 25.4 3.06 N2O 28.5 3.42 SO2 31.3 3.76 Figure 14A.5 shows the variation in the hydrogen molar specific heat at constant volume as a function of the temperature. The temperature scale is logarithmic. The classical theory does not agree with experiment! CV 30 Rotation 7 R 2 Vibration 5 R 20 2 J mol 1 K 1 3 R 2 10 Translation T (K) 0 10 100 1000 10000 Figure 14A.5 Hydrogen molar specific heat at constant volume as a function of temperature. 14-53 14A.9.3 Example Molar heat capacities of an ideal gas Consider an ideal gas undergoing a constant pressure expansion, with a temperature change ΔT . The gas does work on the surroundings, W = PΔV , and hence the surroundings do negative work on the gas. From the ideal gas law, the external work done is then W = − PΔV = −n RΔT . (14A.63) ext m According to the first law of thermodynamics, the change in the internal energy of the gas is ΔU = Q +Wext = Q − PΔV . (14A.64) The amount of thermal energy that flowed into the gas is then Q = nmCPΔT . (14A.65) So the change in internal energy for the constant pressure expansion is ΔU = n ΔT − n RΔT . (14A.66) mCP m For an ideal gas, the change in internal energy only depends on the temperature change 3 ΔU = nmRΔT . (14A.67) 2 Therefore the change in internal energy is, ΔU = n ΔT = n ΔT − n RΔT . (14A.68) mCV mCP m The two molar heat capacities are related by solving this equation to yield CP = CV + R . (14A.69) Using the fact that CV = (3/ 2)R , we find that the molar heat capacity at constant pressure for an ideal gas is then 3 5 CP = CV + R = R + R = R . (14A.70) 2 2 Let γ = CP / CV denote the ratio of the heat capacities. Then for the ideal gas γ = CP / CV = 5 / 3 . (14A.71) 14-54 The ideal gas law establishes a proportional of the product of the pressure with the volume to the temperature according to PV = nmRT . (14A.72) The internal energy of the gas is U = (3/ 2)nmRT . (14A.73) . Thus combining these equations yields 2 PV = U . (14A.74) 3 We can rewrite this last equation is terms of the ratio of the heat capacities, PV = (γ −1)U (14A.75) 14A.9.4 Example Adiabatic compression of an ideal gas Suppose we compress the gas by an amount dV < 0 so that there is no loss of energy as heat through the container, adiabatic compression. The work that is done on compressing the gas, dW = − PdV = ΔU > 0 , (14A.76) will increase the internal energy. Note that the minus sign ensures that the work done on the gas is positive. Since the volume of the gas is decreasing, the pressure of the gas must increase. So using Eq. (14A.75), the differential rate of change of the internal energy of the gas is given by (γ −1)ΔU = dPV + PdV (14A.77) Thus substituting Eq. (14A.76) into Eq. (14A.77), yields (γ −1)(−PdV ) = dPV + PdV . (14A.78) Collecting terms yields −γ PdV = dPV (14A.79) This equation is separable dV dP −γ = . (14A.80) V P . which can then be integrated V f Pf dV dP −γ = (14A.81) ∫ ∫ V P Vi P i resulting in 14-55 γ ln(Vi / V f ) = ln(Pf / P i ) . (14A.82) Exponentiating both sides then yields (Vi / V f )γ = (Pf / P i ) . (14A.83) Thus the product of the pressure and the volume raised to the power γ is a constant for the adiabatic compression of the gas, PVi γ = PfV f γ (14A.84) 14-56 MIT OpenCourseWare 8.01 Classical Mechanics Spring 2022 For information about citing these materials or our Terms of Use, visit:
9742	https://arxiv.org/pdf/math/0603405	arXiv:math/0603405v1 [math.CO] 16 Mar 2006 Calculus proofs of some combinatorial inequalities Tomislav Doˇ sli´ c⋆† and Darko Veljan ‡ November 7, 2018 † Department of Informatics and Mathematics, Faculty of Agriculture, University of Zagreb, Svetoˇ simunska c. 25, Zagreb, CROATIA ‡ Department of Mathematics , University of Zagreb, Bijeniˇ cka 30, Zagreb, CROATIA ⋆ To whom correspondence should be addressed, e-mail : doslic@faust.irb.hr 1Abstract Using calculus we show how to prove some combinatorial inequalities of the type log-concavity or log-convexity. It is shown by this method that binomial coefficients and Stirling numbers of the first and second kinds are log-concave, and that Motzkin numbers and secondary structure numbers of rank 1 are log-convex. In fact, we prove via calculus a much stronger result that a natural continuous “patchwork” (i.e. corresponding dynamical systems) of Motzkin numbers and secondary structures recursions are increasing functions. We indicate how to prove asymptotically the log-convexity for general secondary structures. Our method also applies to show that sequences of values of some orthogonal polynomials, and in particular the sequence of central Delannoy numbers, are log-convex. Keywords: log-concavity, log-convexity, Motzkin numbers, Delannoy numbers, secondary structures, Legendre polynomials, calculus AMS subject classifications: 05A20, 05A10, 26A06 21 Introduction In combinatorics the most prominent question is usually to find explicitly the size of certain finite set defined in an intricate way. It often happens that there is no explicit expression for the size in question, but instead one can find recursion, generating function or other gadgets which enable us to compute concrete sizes or numbers. The next question then usually asks how the sequence of numbers satisfying certain recursion behaves. By behavior of the sequence ( an)n≥0 of positive real numbers it is often meant its log-concavity (or log-convexity). Recall that a sequence ( an)n≥0 of positive real numbers is log-concave if a2 n ≥ an−1an+1 for all n ≥ 1, and log-convex if a2 n ≤ an−1an+1 for all n ≥ 1. We say that a sequence ( an)n≥0 is log-straight or geometric if a2 n = an−1an+1 for all n ≥ 1. A (finite) sequence of positive numbers a0, a 1, . . . , a n is said to be unimodal if, for some 0 ≤ j ≤ n we have a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ aj ≥ aj+1 ≥ . . . ≥ an. This place j is called a peak of the sequence if it is unique. If there are more such maximal values, we speak about a plateau of the sequence. It is easy to see that a log-concave positive sequence is unimodal. The literature on log-concavity and unimodality is vast. We refer the interested reader to the book . Combinatorial inequalities, and in particular, the questions concerning log-concavity (or log-convexity) are surveyed in , and . Some analytic methods are described in . In combinatorics, a preferable way to prove a combinatorial inequality is to give a combinatorial proof . There are two basic ways to do it. Suppose that we are given finite sets A and B with \|A\| = a and \|B\| = b and we want to prove, say, a ≤ b. One way to prove it is to construct an injection A → B (or a surjection B → A), and the other is to show that the number c = b − a is nonnegative, by showing that c is cardinality of certain set or that c is the dimension of certain vector space (and hence nonnegative) etc. As an example, let us show that binomial coefficients ( nk ), k = 0 , 1, . . . , n 3are log-concave. It is trivial to check algebraically that ( nk )2 ≥ ( nk−1 ) ( nk+1 ) by using the standard formula ( nk ) = n! k!( n−k)! , but combinatorially it goes as follows. First define the Narayana numbers N (n, k ) for integers n, k ≥ 1 as N (n, k ) = 1 n ( nk ) ( nk − 1 ) = 1 k ( nk − 1 ) ( n − 1 k − 1 ) , and N (0 , 0) := 1. Next we note that ( nk )2 − ( nk − 1 ) ( nk + 1 ) = ∣∣∣∣∣∣( nk )( nk−1 )( nk+1 )( nk )∣∣∣∣∣∣ = N (n + 1 , k + 1) . Finally, we need the fact that Narayana numbers have a combinatorial meaning, i.e. they count certain finite sets (see below). Therefore we get ( nk )2 − ( nk−1 ) ( nk+1 ) ≥ 0. There are also other combinatorial proofs of log-concavity of binomial coefficients, as well as log-concavity of Stirling numbers (of both kinds) etc., but they are all rather involved and/or tricky. In this paper we present a way to prove various combinatorial inequalities by a straightforward method of calculus. Inductive and injective proofs of log-convexity results are described in . 2 Calculus proofs of log-concavity and log-convexity properties Let us first recall briefly calculus proofs of log-concavity of binomial coefficients and Stirling numbers. Let c(n, k ) be the number of permutations of the set [ n] := {1, 2, . . . , n } with exactly k cycles and S(n, k ) the number of partitions of [ n] into exactly k parts (or blocks). The numbers c(n, k ) and S(n, k )are called Stirling numbers of the first and second kind , respectively. The following formulae are well known (see ). (x + 1) n = n ∑ k=0 ( nk ) xk, (1) 4x¯n = x(x + 1) . . . (x + n − 1) = n ∑ k=0 c(n, k )xk , (2) xn = n ∑ k=0 S(n, k )xk , (3) where xk := x(x − 1) . . . (x − k + 1) is the k-th falling power and x¯k = x(x + 1) . . . (x + k − 1) the k-th rising power of x. The following Newton’s lemma is a consequence of the Rolle’s theorem from calculus. Lemma 1. Let P (x) = ∑nk=0 akxk be a real polynomial whose all roots are real numbers. Then its coefficients are log-concave, i.e. a2 k ≥ ak−1ak+1 , k = 1 , . . . , n − 1. (Moreover, ak ( nk ) are log-concave). Now, from (1) and (2) we see that ( x + 1) n and x¯n have only real roots and by Lemma 1. we conclude that the sequences ( nk ) and c(n, k ) are log-concave. The case of the sequence S(n, k ) is a bit more involved. We claim that the polynomial Pn(x) = n ∑ k=0 S(n, k )xk (4) has all real roots (in fact non-positive and different). Namely, P0(x) = 1 and from the basic recursion S(n, k ) = S(n − 1, k − 1) + kS (n − 1, k )it follows at once that Pn(x) = x [P ′ n−1 (x) + Pn−1(x)] . The function Qn(x) = Pn(x)ex has the same roots as Pn(x) and it is easy to verify Qn(x) = xQ ′ n (x). By induction on n and by using the Rolle’s theorem it follows easily that Qn and hence Pn have only real and non-positive roots. 5So, we have proved by calculus the following. Theorem 1. The sequences ( nk ) k≥0 , (c(n, k )) k≥0 , (S(n, k )) k≥0 are log-concave. Hence they are also unimodal. It is also well known that the peak of the sequence ( nk ) is at k = ⌊n/ 2⌋, while the peak for the other two sequences is much harder to determine. It is known that S(n, k )’s reach their peak for k ≈ n/ log n, if n is large enough. (An inductive proof of Theorem 1. is given in .) Now we turn to a different kind of combinatorial entities. Recall that a Dyck path is a path in the coordinate ( x, y )-plane from(0 , 0) to (2 n, 0) with steps (1 , 1) and (1 , −1) never falling below the x-axis. Denote the set of all such paths by Dn. A peak of a path P ∈ D n is a place at which the step (1 , 1) is directly followed by the step (1 , −1). Denote by Dn,k ⊆ D n the set of all Dyck paths of length 2 n with exactly k peaks. Note that 1 ≤ k ≤ n. The following facts are also well known (see ). \|D n\| = 1 n + 1 ( 2nn ) = Cn \|D n,k \| = N (n, k ), where Cn is n-th Catalan number . The Catalan numbers are log-convex. The Narayana numbers are log-concave in k for fixed n. Both these facts can easily be proved algebraically, but there are also combinatorial proofs, as well as calculus proofs. We omit here these proofs, since we want to emphasize the following more intricate combinatorial quantities, related to the above just introduced. A Motzkin path is a path in the coordinate ( x, y )-plane from (0 , 0) to ( n, 0) with steps (1 , 1), (1 , 0) and (1 , −1) never falling below the x-axis. Let Mn be the set of all such paths and let Mn = \|M n\|.The number Mn is called the n-th Motzkin number .Some basic properties of Motzkin numbers are as follows (, ). 6Theorem 2. (a) Mn = ∑ k≥0 ( n 2k ) Ck, Cn+1 = ∑ k≥0 ( nk ) Mk;(b) Mn+1 = Mn + ∑n−1 k=0 MkMn−k−1;(c) The generating function of ( Mn)n≥0 is given by M (x) = ∑ n≥0 Mnxn = 1 − x − √1 − 2x − 3x2 2x2 ;(d) ( n + 2) Mn = (2 n + 1) Mn−1 + 3( n − 1) Mn−2;(e) Mn ∼ √ 3 4π 3n+1 n−3/2. The log-convexity of the sequence of Motzkin numbers was first established algebraically in , and shortly afterwards combinatorial proof appeared in . We shall prove now by calculus that ( Mn)n≥0 is a log-convex sequence and some consequences of this property. Theorem 3. (a) The sequence ( Mn)n≥0 is log-convex; (b) Mn ≤ 3Mn−1, for all n ≥ 1; (c) There exists x = lim n→∞ Mn Mn−1 , and x = 3. Proof (a) Let us start from the short recursion in Theorem 2.(d): Mn = 2n + 1 n + 2 Mn−1 + 3( n − 1) n + 2 Mn−2. Divide this recursion by Mn−1 and denote xn := Mn Mn−1 . Then we obtain the following recursion: xn = 2n + 1 n + 2 + 3( n − 1) n + 2 1 xn−1 (5) with initial condition x1 = 1. The log-convexity M 2 n ≤ Mn−1Mn+1 is equivalent to xn ≤ xn+1 . To prove that ( xn)n≥0 is an increasing sequence, we shall prove a much stronger claim. To this end, define 7the following function f : [2 , ∞) → R. For x ∈ [2 , 3], define f (x) = 2. For x ≥ 3, let (by simulating (5)) f (x) = 2x + 1 x + 2 + 3( x − 1) x + 2 1 f (x − 1) . (6) Note that f (n) = xn. We shall prove that f is an increasing function, and consequently that ( xn)n≥0 is an increasing sequence. Note first that the function f is continuous ( f is, in fact, a dynamical system), and on every open interval ( n, n + 1), where n ≥ 2 is an integer, f is a rational function, with no poles on it. Therefore, f is smooth on every open interval ( n, n + 1), for n ≥ 2. Note that, for example, f (x) = 7x−1 2( x+2) for x ∈ [3 , 4], f (x) = 20 x2−9x−14 7x2+6 x−16 for x ∈ [4 , 5], etc. It is trivial to check that f (x) ≥ 2, for all x ≥ 2. Suppose inductively that f is an increasing function on a segment [3 , n ]. For n = 4 it is (almost evidently) true. Let n ≥ 4, and take a point x ∈ (n, n + 1). By taking the derivative f ′(x) of (6), and plugging in once more the term for f ′(x − 1), we have: f ′(x) = 3 [( x + 2) f (x − 1)] 2 [ f 2(x − 1) + 3 f (x − 1) − 3 (x − 1)( x + 2) (x + 1) 2f (x − 2) [f (x − 2) + 3] +3 (x2 − 1)( x2 − 4) [( x + 1) f (x − 2)] 2 f ′(x − 2) ] By inductive hypothesis, f is an increasing function on [3 , n ] and hence f (x − 1) ≥ f (x − 2) ≥ 2 and f ′(x − 2) ≥ 0. So, it is enough to prove that f ′(x) ≥ 0. However, this follows from the following. The last term in square brackets is clearly positive, by the induction hypothesis. We claim that the rest is positive, too. This claim is equivalent with [f 2(x − 1) + 3 f (x − 1)] f (x − 2) f (x − 2) + 3 ≥ 3 (x − 1)( x + 2) (x + 1) 2 . But this inequality is true, since by inductive hypothesis f (x − 1) ≥ f (x − 2) ≥ 2, and hence the left hand side is at least equal to f 2(x − 2) ≥ 4, while the right hand side has the maximum (for x ≥ 3) equal to 3. Hence f ′(x) > 0 for all x ∈ (n, n + 1). So, the function f is strictly increasing on ( n, n + 1), 8and then, by continuity, also on [3 , n + 1]. In particular, f (n + 1) = xn+1 ≥ xn = f (n). This completes the step of induction. (b) and (c) follow now simultaneously, because by (a), the sequence ( xn)n≥0 is increasing and from (5) it follows easily by induction on n that 2 ≤ xn ≤ 7/2, i.e. ( xn) is bounded. Closely related combinatorial structures to Motzkin paths are the so called secondary structures. A secondary structure is a simple planar graph on vertex set [ n] with two kinds of edges: segments [i, i + 1], for 1 ≤ i ≤ n − 1 and arcs in the upper half-plane which connect some i, j , where i < j and j − i > l , for some fixed integer l ≥ − 1, such that the arcs are totally disjoint. Such a structure is called a secondary structure of size n and rank l. The importance for the study of these structures comes from biology. They are crucial in understanding the role of RNA in the cell metabolism and in decoding the hereditary information contained in DNA. Biologists call the vertices of a secondary structure bases , the segments they call p-bonds (p stands for phosphorus) and arcs they call h-bonds (h stands for hydrogen). Let S(l)(n) be the set of all secondary structures of rank l on n vertices and S(l)(n) = \|S (l)(n)\| the secondary structure numbers of rank l. In a sense, the Motzkin numbers are secondary structure numbers of rank 0, and the Catalan numbers are secondary structure numbers of the (degenerate) rank −1. In these cases the corresponding graphs are not simple, but the other requirements on secondary structures remain. Now we shall apply our method of calculus to prove that in the case l = 1 the behavior of the numbers S(1) (n) is also log-convex. So, we have: Theorem 4. The sequence (S(1) (n)) n≥0 is log-convex. 9Proof As for the Motzkin numbers, it turns out that for S(1) (n) the following short recursion holds (see and ): (n + 2) S(1) (n) = (2 n + 1) S(1) (n − 1) + ( n − 1) S(1) (n − 2) + (2 n − 5) S(1) (n − 3) − (n − 4) S(1) (n − 4) (7) with initial conditions S(1) (0) = S(1) (1) = S(1) (2) = 1 , S (1) (3) = 2. By dividing this recursion with S(1) (n − 1) and denoting xn = S(1) (n) S(1) (n − 1) , we get xn = 1 n + 2 [ 2n + 1 + n − 1 xn−1 2n − 5 xn−1xn−2 − n − 4 xn−1xn−2xn−3 ] , (8) with initial conditions x3 = x4 = x5 = 2 (note that x1 = x2 = 1). The log-convexity of S(1) (n)’s is equivalent with the fact that ( xn) is an increasing sequence. Now define the function f : [2 , ∞) → R by simulating (8) as: f (x) =  2 , if x ∈ [2 , 5], 1 x+2 [ 2x + 1 + x−1 f(x−1) 2x−5 f(x−1) f(x−2) − x−4 f(x−1) f(x−2) f(x−3) ] , if x ≥ 5. (9) Clearly, for any integer n ≥ 3, f (n) = xn, and f is continuous, and, in fact, piecewise rational and smooth on any open interval ( n, n + 1) for n ≥ 2. The basic idea is, as in the proof of Theorem 3.(a), to show that f is an increasing and bounded function, and hence ( xn) is an increasing sequence. In next few lemmas we proceed with details. Lemma 2. For all x ≥ 2, we have 2 ≤ f (x) ≤ 3, while for x ≥ 53 we have even stronger bounds: 2.5 ≤ f (x) ≤ 2.67. 10 Proof We prove inductively that 2 ≤ f (x) ≤ 3 for x ∈ [2 , n ]. For n ≤ 11 it can be checked directly. Let n ≥ 11 and x ∈ (n, n + 1]. Then f (x) ≤ 1 x + 2 [ 2x + 1 + x − 1 f (x − 1) + 2x − 5 f (x − 1) f (x − 2) ] ≤ 1 x + 2 [ 2x + 1 + x − 1 2 + 2x − 5 4 ] = 12 x − 3 4x + 8 ≤ 3. On the other hand, f (x) ≥ 1 x + 2 [ 2x + 1 + x − 1 3 + 2x − 5 9 − x − 4 8 ] = 175 x + 44 72 x + 144 ≥ 2, for all x ≥ 8. So, 2 ≤ f (x) ≤ 3 on ( n, n + 1] and the first claim is proved. The stronger bounds also follow by induction. By direct computation, (using Mathematica) one can check that they hold on the interval [53 , 56]. Suppose 2 .5 ≤ f (x) ≤ 2.67 on some interval [53 , n ], where n ≥ 56 and take x ∈ [n, n + 1]. From (8) we get f (x) ≤ 1 x + 2 [ 2x + 1 + x − 1 2.5 + 2x − 5 2.52 − x − 4 2.67 3 ] = 2.6675 x + 0 .010148 x + 2 ≤ 2.67 , for all x ≥ 0. On the other hand, f (x) ≥ 1 x + 2 [ 2x + 1 + x − 1 2.67 + 2x − 5 2.67 2 − x − 4 2.53 ] = 2.59108 x + 0 .0181 x + 2 , and this is greater than 2 .5 for x ≥ 53 (since the right hand side is equal to 2 .5 for x = 52 .918). So, Lemma 2. is proved. Lemma 3. The function f is increasing. Proof Suppose again inductively on n ∈ N that f increases on (5 , n ]. We shall prove that f increases on 11 (n, n + 1). One can check directly (using, e.g. Mathematica) that f increases on (5 , n 0], as far as n0 = 61. Namely, the function f on interval ( n, n + 1) is a rational function whose both numerator and denominator are polynomials with integer coefficients of degree n − 4. The derivative of f is also a rational function, and its denominator is always positive. So, we need to show that the numerators of the derivative of f are positive on every interval ( n, n + 1), for n ≤ n0 − 1. An advanced computer algebra system, such as Mathematica , gives us readily explicit expressions for f (x) and f ′(x) on any given interval ( n, n + 1). Let us denote f ′(x) = Nn(x) Dn(x) on interval ( n, n + 1). If we can find some k ∈ N, k ≤ n, such that all coefficients of Nn(x + k) are nonnegative, we are done, since then f ′(x) can not change its sign on the considered interval. It turns out that k = 2 works for all intervals ( n, n + 1) with n ≤ 60. Hence, f ′(x) ≥ 0 for x ∈ (n, n + 1), n ≤ 60 and f (x) is increasing on [5 , 61]. It is important to note here that all performed computations include only integer quantities, and no round-off errors occur. Take x ∈ (n, n + 1) for n ≥ n0. Then f ′(x) > 0 for x ∈ (i, i + 1) , i = 5 , . . . , n − 1, and also f (x) ≥ f (x − 1), for 4 ≤ x ≤ n.Denote for short fi = f (x − i), i ≥ 1. Then (9) can be written as (x + 2) f1f2f3f (x) = (2 x + 1) f1f2f3 + ( x − 1) f2f3 + (2 x − 5) f3 − (x − 4) . By taking derivative, we get f ′(x) = 1 D(x) [F (x) + F3(x)f ′ 3 (x) − F1(x)f ′ 1 (x) − F2(x)f ′ 2 (x)] , 12 where D(x) = ( x + 2) f1f2f3,F (x) = 2 f1f2f3 + f2f3 + 2 f3 − 1 − f1f2f3f (x),F1(x) = [( x + 2) f (x) − (2 x + 1)] f2f3,F2(x) = [( x + 2) f1f (x) − (2 x + 1) f1 − (x − 1)] f3,F3(x) = 2 x − 5 + (2 x + 1) f1f2 + ( x − 1) f2 − (x + 2) f1f2f (x). Using (9), let us express D(x), F (x), F i (x), i = 1 , 2, 3 only in terms of fi’s and x: D(x) = ( x + 2) f1f2f3,F (x) = 3 x + 2 (f1f2f3 + f2f3 + 3 f2 − 2) ,F1(x) = 1 f1 [( f2f3 + 2 f3 − 1) x − (f2f3 + 5 f3 − 4)] ,F2(x) = 1 f2 [(2 f3 − 1) x − (5 f3 − 4)] ,F3(x) = 1 f3 (x − 4) . Now plug in derivatives f ′ 1 and f ′ 2 by the same rule, to obtain f ′(x) = 1 D(x) { F (x) − F1(x)F (x − 1) D(x − 1) − F2(x)F (x − 2) D(x − 2) + F1(x)F1(x − 1) D(x − 1) f ′ 2 + [ F1(x)F2(x − 1) D(x − 1) + F2(x)F1(x − 2) D(x − 2) + F3(x) ] f ′ 3 + [ F2(x)F2(x − 2) D(x − 2) − F1(x)F3(x − 1) D(x − 1) ] f ′ 4 − F2(x)F3(x − 2) D(x − 2) f ′ 5 } . (10) The “coefficients” by f ′ 2 and f ′ 3 are positive. By further pumping in f ′ 5 , the terms f ′ 6 and f ′ 7 will appear with positive “coefficients”, while f ′ 8 will appear with negative “coefficient” and a “free” negative term − F2(x)F3(x − 2) F (x − 5) D(x − 2) D(x − 5) also appears. Every further pumping in for f ′ 3k+2 contributes positive terms by f ′ 3k+3 and f ′ 3k+4 , a negative term by f ′ 3k+5 and a negative “free” term. If we continue to pump in long enough, the 13 argument of the negative term will be eventually “trapped” in the interval (2 , 5), and there f ′ = 0. So, to prove that f ′(x) > 0 we only have to show that the “coefficient” of f ′ 4 is positive and that “free” term (i.e. the term without any f ′ i ) is also positive. These two facts we prove in the next lemma. Lemma 4. The “coefficient” of f ′ 4 and the “free” term, obtained by pumping in f ′ 5 , f ′ 8 , . . . in (10) are both positive. More precisely, with previous notations we have: (a) L4(x) := F2(x)F2(x−2) D(x−2) − F1(x)F3(x−1) D(x−1) ≥ 0, for x ≥ n0;(b) L(x) := F (x) − F1(x)F (x − 1) D(x − 1) − F2(x)F (x − 2) D(x − 2) − F2(x)F3(x − 2) D(x − 2) F (x − 5) D(x − 5) [ 1 + F (x − 8) D(x − 8) + F (x − 8) D(x − 8) F (x − 11) D(x − 11) + . . . ] ≥ 0, for x ≥ n0, where n0 can be taken in the worst case to be n0 = 61. Proof (a) The condition L4(x) ≥ 0 is easily seen to be equivalent to (x + 1) f1 [(2 f3 − 1) x − (5 f3 − 4)] [(2 f5 − 1)( x − 2) − (5 f5 − 4)] −xf 5 [( f2f3 + 2 f3 − 1) x − (f2f3 + 5 f3 − 4)] ( x − 5) ≥ 0. If we leave out the factor ( x + 1) f1 from the first term and the factor xf 5 from the second term, we obtain even stronger inequality (recall, we are still under inductive hypothesis, and this implies that f1 ≥ f5). By grouping terms by powers of x, this stronger inequality can be written in the form c24 (x)x2 + c14 (x)x + c04 (x) = [ c24 (x)x + c14 (x)] x + c04 (x) ≥ 0, where 14 c24 (x) = 4 f3f5 − f2f3 − 4f3 − 2f5 + 2 ,c14 (x) = 6 f2f3 + 17 f5 + 32 f3 − 28 f3f5 − 19 ,c04 (x) = 45 f3f5 − 5f2f3 − 36 f5 − 55 f3 + 44 . Now estimate c24 (x), c14 (x) and c04 (x) using the bounds from Lemma 2. We easily obtain c24 (x) ≥ 3.8516 , c14 (x) ≥ − 58 .6042 c04 (x) ≥ 46 .6355 for x ≥ n0. For example, since fmin = 2 .5, fmax = 2 .67 for x ≥ n0, we have then c24 (x) ≥ 4f 2 min − f 2 max − 6fmax + 2 = 3 .8516 . These bounds then imply c24 (x)x + c14 (x) ≥ 0, and hence [ c24 (x)x + c14 (x)] x + c04 (x) ≥ 0, for x ≥ n0.So, L4(x) ≥ 0 for x ≥ n0 and the claim (a) is proved. (b) First of all, the function F (x) D(x) is easily seen to be less than 129 8( x+2) 2 (by using 2 ≤ f1, f 2, f 3 ≤ 3). For x ≥ 10, it follows then that F (x) D(x) ≤ q, where q = 129 1152 . By using F (x−i) D(x−i) ≤ q in the brackets of (b), we see that this sum is less than the sum of the geometric series 1 + q + q2 + . . . = 1 1−q < 2. Hence L(x) ≥ 0 will be a consequence of the stronger inequality: F (x) − F1(x)F (x − 1) D(x − 1) − F2(x)F (x − 2) D(x − 2) − 2 F2(x)F3(x − 2) D(x − 2) F (x − 5) D(x − 5) ≥ 0. But, since we do not know which one of the quotients F (x−1) D(x−1) , F (x−2) D(x−2) and F (x−5) D(x−5) is the largest, the last inequality will be a consequence of the three inequalities in the next Lemma. 15 Lemma 5. Keeping the same notations as above, we have (a) F (x) ≥ [ F1(x) + F2(x) + 2 F2(x)F3(x − 2) D(x − 2) ] F (x − 5) D(x − 5) , x ≥ n0, (b) F (x) ≥ [ F1(x) + F2(x) + 2 F2(x)F3(x − 2) D(x − 2) ] F (x − 2) D(x − 2) , x ≥ n0, (c) F (x) ≥ [ F1(x) + F2(x) + 2 F2(x)F3(x − 2) D(x − 2) ] F (x − 1) D(x − 1) , x ≥ n0. Proof We shall prove only (a) with substantial details. The other two inequalities can be proved essentially in the same manner. The inequality (a) is equivalent to x(x − 3) 2f1f2f3f4f 25 f6f7f8A ≥ xf 3f4f 25 (ax − b) + 2 f1(cx − d)( x − 6) B, where A = f1f2f3 + f2f3 + 3 f3 − 2,B = f6f7f8 + f7f8 + 3 f8 − 2,a = f 22 f3 + 2 f1f3 + 2 f2f3 − f1 − f2,b = f 22 f3 + 5 f1f3 + 5 f2f3 − 4f1 − 4f2,c = 2 f3 − 1,d = 5 f3 − 4. By inductive hypothesis it follows that A ≥ B, and so if we prove the stronger inequality by leaving out A and B in the above inequality, we are done. But this stronger inequality turns out to be (after grouping terms by powers of x and some manipulations): c35 (x)x3 + c25 (x)x2 + c15 (x)x + c05 (x) ≥ 0, 16 or, what is the same, [c35 (x)x + c25 (x)] x2 + c15 (x)x + c05 (x) ≥ 0, (11) where c35 (x) = f1f2f3f4f 25 f6f7f8 − f 22 f 23 f4f 25 − 2f2f 23 f4f 25 − 2f1f 23 f4f 25 + f2f3f4f 25 + f1f3f4f 25 − 4f1f3 + 2 f1,c25 (x) = −6f1f2f3f4f 25 f6f7f8 −f 22 f 23 f4f 25 +f2f 23 f4f 25 +f1f 23 f4f 25 −2f2f3f4f 25 −2f1f3f4f 25 +26 f1f3−16 f1,c15 (x) = 9 f1f2f3f4f 25 f6f7f8+2 f 22 f 23 f4f 25 +10 f2f 23 f4f 25 +10 f1f 23 f4f 25 −8f2f3f4f 25 −8f1f3f4f 25 +8 f1f3+8 f1,c05 (x) = 96 f1 − 120 f1f3. Now we estimate the above functions ci5(x) by the bounds from Lemma 2., fmin = 2 .5 and fmax = 2 .67 for x ≥ n0. We have c35 (x) ≥ f 9 min − f 7 max − 4f 6 max 2 f 5 min − 4f 2 max 2 fmin = 1569 .9574 , and similarly c25 (x) ≥ − 42278 .4392, c15 (x) ≥ 38334 .7087 and c05 (x) ≥ − 615 .468. This altogether then yields [ c35 (x)x + c25 (x)] ≥ 0 for x ≥ n0, and this in turn implies (11) for x ≥ n0. Thus we have proved (a). As we said earlier, the inequalities (b) and (c) can be proved in the same way, and we omit their proofs. To conclude, by lemmas 4. and 5. and induction hypothesis f ′ i ≥ 0 we have shown that f ′(x) ≥ 0 for x ∈ (n, n + 1). By continuity of f it follows that f is increasing on (5 , n + 1), hence on (5 , n + 1] and by induction f is increasing on the whole interval (2 , ∞). This finally proves Theorem 4. This proof of Theorem 4., although rather involved (mostly computationally), is conceptually quite simple, and can be considered as a calculus proof. Once again, our proofs of Theorems 1., 3. and 4. show the strong interference between “discrete” and “continuous” mathematics. 17 We note finally that the proofs of Theorems 3 and 4 we have presented here prove much stronger claims than actually stated in these theorems. Namely, they show not only that sequences ( xn) given by recursions (5) and (8) are increasing, but also that their natural continuous “patch-works” are increasing functions, too. Theorems 3 and 4 itself can be proved much simpler in such a way that we interlace the sequences ( xn) given by recursions (5) and (8) with an increasing sequence an, i.e. an ≤ xn ≤ an+1 . In the case (5), an = 6n 2n+3 for n ≥ 3, and in the case (8) an = 2nφ 2 2n+3 , for n ≥ 6, where φ = 1+ √5 2 is the golden ratio. This “interlacing” or “sandwiching” method can also be applied to prove the log-convexity of sequences S(l)(n) for l = 2 , 3 and 4. The details are rather involved and will appear elsewhere. We are not aware of any combinatorial proofs of the log-convexity property of the sequences S(l)(n). It can be proved by geometric reasoning that the numbers S(l)(n) of rank l secondary structures asymptotically behave as S(l)(n) ∼ Klαnl n−3/2, where Kl and αl are constants depending only on l, and αl ∈ [2 , 3] and αl ց 2 as l → ∞ . The constant αl is the largest real solution of xl(x − 2) 2 = 1. For instance, α0 = 3, α1 = (3 + √5) /2, α2 = 1 + √2, and α3, α4, α5 and α6 can be also explicitly computed (see ). By taking the quotient x(l) n = S(l)(n) S(l)(n−1) , we see that x(l) n = S(l)(n) S(l)(n − 1) ∼ αl ( 1 − 1 n )3/2 := a(l) n . Clearly, the sequence ( a(l) n ) n≥1 increasingly tends to αl as n → ∞ . This suggests that ( x(l) n ) n≥1 should be interlaced with ( a(l) n ) n≥1 , at least asymptotically. These and many other properties of general secondary structures will appear elsewhere . More on 18 the biological background of secondary structures the reader can find in and . Our “calculus method” can be applied to many other combinatorial quantities as well. For example, it can be proved in this way (see ) that big Schr¨ oder numbers rn are log-convex. Recall that rn is the number of lattice paths from (0 , 0) to ( n, n ) with steps (1 , 0), (0 , 1) and (1 , 1) that never rise above the line y = x.As our final example, let us consider the sequence Pn(t) of the values of Legendre polynomials in some fixed real t ≥ 1. We start from Bonnet’s recurrence (see ): Pn(t) = 2n − 1 n tP n−1(t) − n − 1 n Pn−2(t), n ≥ 2, (12) with P0(t) = 1, P1(t) = t. Dividing this by Pn−1(t) and denoting the quotient Pn(t) Pn−1(t) by xn(t), we get the following recursion for xn(t): xn(t) = t 2n − 1 n − n − 1 n 1 xn−1(t) (13) with initial condition x1(t) = t. The log-convexity of the sequence Pn(t) will follow if we show that the sequence xn(t) is increasing. To this end we define the function ft(x) : [0 , ∞) → R by ft(x) =  t , if x ∈ [0 , 1], t 2x−1 x − x−1 x 1 ft(x−1) , if x ≥ 1(14) It is easy to show by induction on n that ft is continuous and piecewise rational function on any interval [1 , n ]. By the same method it easily follows that ft is bounded, i.e. 1 ≤ ft(x) ≤ 2t for all x ≥ 1. It is clear that ft(n) = xn(t), for any integer n ≥ 1. Theorem 5. The sequence Pn(t) of the values of Legendre polynomials is log-convex for any fixed real t ≥ 1. 19 Proof The claim will follow if we show that ft(x) is an increasing function on [1 , ∞). From piecewise ra-tionality and boundedness of ft it follows that ft is differentiable on every open interval ( n, n + 1). Suppose that ft is increasing on [1 , n ] and take x ∈ (n, n + 1). From (14) we have f ′ t (x) = t 1 x2 − 1 x2 1 ft(x − 1) + ( 1 − 1 x ) f ′ t (x − 1) f 2 t (x − 1) = 1 x2ft(x − 1) [tf t(x − 1) − 1] + ( 1 − 1 x ) f ′ t (x − 1) f 2 t (x − 1) The second term is positive by the induction hypothesis, and the first term is positive because tf t(x − 1) − 1 ≥ ft(x − 1) − 1 ≥ 0, for all x ≥ 1. So, the function ft(x) is increasing on the interval (n, n + 1), and then, by continuity, also on [1 , n + 1]. This completes the step of induction. As a consequence, we get the log-convexity for the sequence of central Delannoy numbers . Recall that the n-th central Delannoy number counts the number of lattice paths in ( x, y ) coordinate plane from (0 , 0) to ( n, n ) with steps (1 , 0), (0 , 1) and (1 , 1). (Such paths are also known as king’s paths .) Theorem 6 (a) The sequence D(n) of Delannoy numbers is log-convex. (b) There exists x = lim n→∞ D(n) D(n−1) , and x = 3 + 2 √2. Proof (a) First note that the n-th central Delannoy number is the value of the n-th Legendre polynomial at t = 3, D(n) = Pn(3). This follows easily from the explicit expression for the generating function of the sequence D(n), D(x) = 1√1−6x+x2 . Now apply Theorem 5. (b) By (a) we know that xn(3) is increasing (and clearly bounded), and then by passing to limit in (13) for t = 3, the claim follows. 20 References M. Aigner, Motzkin numbers, Europ. J. Combinatorics , 19(1998)663–675. E.A. Bender and E.R. Canfield, Log-concavity and related properties of the cycle index polyno-mials, J. Comb. Theory A , 74(1996)56–70. F. Brenti, Unimodal, log-concave and Polya frequency sequences in combinatorics , American Math. Society, Providence, RI, 1989. D. Callan, Notes on Motzkin and Schr¨ oder numbers, preprint, 2000. T. Doˇ sli´ c, Problems of Matching Enumeration and Some Applications to Biochemical Graphs, Ph.D. thesis, University of Zagreb, Zagreb, 2001. T. Doˇ sli´ c, D. Svrtan and D. Veljan, Secondary structures, preprint, 2001. S. Karlin, Total positivity , Stanford Univ. Press, Stanford, 1968, J. Kruskal D. Sankoff, Time Warps, String Edits and Macromolecules , (2nd edition), Adison-Wesley, Reading, 1999. B. Sagan, Inductive and injective proofs of log-concavity results Discr. Math. , 68(1988)281–292. R. Stanley, Log-concave and unimodal sequences in algebra, combinatorics and geometry. Ann. N.Y. Acad. Sci. , 576(1989)500–535. R. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 2 , Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999. R. Stanley, Positivity problems and conjectures in algebraic combinatorics, in Mathematics: Frontiers and Perspectives . (Eds. V. Arnold et al.), IMU-AMS, 2000, 295–319. G. Szeg¨ o Orthogonal Polynomials , Amer. Math. Soc., New York, 1959. 21 M.S. Waterman. Secondary structures of single stranded nucleic acids. In G.C. Rota, editor, Advances in Mathematics . Academic Press, New York, 1978. 22
9743	https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2049080122012912	Treatment of lymphangiomas by means of sclerotherapy with OK-432 (Picibanil®) is safe and effective – A retrospective case series - ScienceDirect Skip to main contentSkip to article Journals & Books ViewPDF Download full issue Search ScienceDirect Outline Highlights Abstract Keywords 1. Introduction 2. Material and methods 3. Results 4. Discussion 5. Conclusion Ethical approval Please state any sources of funding for your research Author contribution Registration of research studies Guarantor Patient consent Please state any conflicts of interest Provenance and peer review Appendix A. Supplementary data References Show full outline Cited by (5) Figures (2) Extras (1) Multimedia component 1 Annals of Medicine and Surgery Volume 81, September 2022, 104531 Case Series Treatment of lymphangiomas by means of sclerotherapy with OK-432 (Picibanil®) is safe and effective – A retrospective case series Author links open overlay panel G.Fasching a, C.Dollinger a, S.Spendel b, N.F.Tepeneu a c Show more Outline Add to Mendeley Share Cite rights and content Under a Creative Commons license Open access Highlights •Lymphatic malformations tend to augment in size and may cause life-threatening complications. •Complete surgical excision of lymphatic malformations often is not possible. •The treatment of lymphatic malformations with OK-432 has a high rate of excellent/good response. •Clinical symptoms following the injection of OK-432 are not predictive for the outcome. •Sclerotherapy has less complications than surgery. Abstract Introduction Congenital cystic lymphangiomas (CCL) or lymphatic malformations (LMs) are benign malformations due to a developmental disorder of lymphatic vessels. Besides surgical excision, sclerosant therapy of these lesions by intracavitary injection of OK-432 (Picibanil®), a lyophilized mixture of group A Streptococcus pyogenes, is a common therapeutical option. Methods In a single center retrospective study we analyzed 37 consecutive patients (30 children, 3 adolescents and 4 adults) who were diagnosed with lymphangioma and subsequently treated with OK-432 (Picibanil®) in a general hospital between October 2000 and November 2021. Results The median follow-up period was 2.5 months (range 0.7–56.7 months). The lymphangiomas were localized in the head and neck region (n=25), the thorax/abdomen (n=6) and extremities (n=6). The majority of patients had 1 injection with OK-432 (n=28), five patients had 2 injections, three patients had 3 injections and one patient had more than 3 injections. The most common complications were swelling (89%), fever (81%), redness at the injection site (81%) and pain (73%). The response to therapy was excellent or good in 32 patients (86.4%), 2 patients had a medium response and 3 patients did not show any response. The clinical reaction after the instillation of OK-432 is not predictive for the quality of outcome. Conclusion The application of Picibanil is safe and without serious side effects. Parents and patients prefer local sclerotherapy versus surgery as it has less complications. We therefore suggest that Picibanil sclerotherapy should be the first-line treatment for macrocystic and mixed type lymphangiomas. Previous article in issue Next article in issue Keywords Congenital cystic lymphangiomas Lymphatic malformations OK-432 Sclerotherapy Case series 1. Introduction Lymphatic malformations (LMs) are one type of vascular malformations and consist of masses of abnormal lymphatic vessels that occur in one out of 2000–4000 live births [1,2] and frequently involve the head and neck, oral cavity/pharynx, thorax and/or mediastinum. Occasionally they affect vital functions, frequently they cause disfigurement. They can be characterized as macrocystic (diameter >1 cm), microcystic (diameter <1 cm) or mixed cystic lesions [2,3]. On the basis of their histological appearance, lymphangiomas are classified as capillary, cavernous or cystic and contain dilated lymphatic vessels in size ranging from small channels to large cysts. Often the lesions are a combination of these subtypes and may also contain hemangiomatous components. The principal goal of LM management is restoration or preservation of functional and aesthetic integrity. The standard treatment of lymphatic malformations has been ablative with variable success, sometimes necessitating multiple treatments and long-term management . All treatment is based on a thorough initial assessment to detect the degree of functional impairment and/or disfigurement. When there is no significant functional deficit, treatment can be delayed well past infancy. Treatment timing relative to the age of the patient is somewhat debatable. LMs of small dimensions, without functional impairment or cosmetic disfigurement, do not necessarily require treatment. The possibility of spontaneous regression in low-stage macrocystic LM suggests that observational monitoring may also be appropriate in children with asymptomatic cervical LM, although this option is rare . Even small LMs can suddenly and impressively expand in size in the setting of intra-LM hemorrhage, infection or trauma. Extensive cervicofacial LMs have the potential for aerodigestive tract compromise, in addition to causing long-term sequelae such as mandibular distortion, dental malocclusion and speech impairment . Complete and meticulous surgical excision is the textbook recommendation for the primary approach to lymphangiomas. However, complete excision is often impossible due to the risk of damage to vitally or functionally important surrounding structures. In addition, the cosmetic outcome after such radical surgery may be unacceptable, especially in children. To avoid complications of surgical therapy, several treatment options, including laser therapy, interferon alpha, propranolol, rapamycin, Kampo medicine and various intralesional sclerosing agents such as hypertonic saline, ethanol, bleomycin and OK-432 have been used to treat lymphangiomas. OK-432 (Picibanil, Chugai Pharmaceutical Co., Ltd. Tokyo, Japan) is a freeze-dried biological product that is prepared from the Su strain of Streptococcus pyogenes (group A) by treatment with benzyl-penicillin and heat. Heating in the presence of penicillin at 37°C for 20 min and 45°C for 30 min increases the antitumor activity of the Su strain and eliminates its toxin-producing capacity. Since OK-432 is not subjected to further treatment, such as isolation, extraction or purification, the bacterial cells remain intact. However, proliferative activity is lost and streptococcal infection does not occur when it is administered to humans. Klinische Einheit (KE) is used as a unit of measurement for OK-432 doses. One KE corresponds to 0.1 mg of freeze-dried streptococci containing approximately 1×10 8 cells . In Japan, OK-432 was approved as an immunotherapeutic agent for cancer by the Ministry of Health and Welfare in 1975. In the initial stage of development, OK-432 was considered to induce direct inhibition of RNA synthesis in tumor cells. Other reports of a direct action on tumor cells also appeared, but currently the main action is considered to be via stimulation of host immunity . Its good efficacy in infantile LMs was first confirmed by Ogita et al., in 1987 . The mechanism of OK-432 remains confined within the malformations after injection and stimulates lymphatic endothelial cells, resulting in obliteration of lymphatic channels with minimal local fibrosis . In lesions which are near to the aero-digestive tract the patient must be closely observed in the postoperative period and the medical staff has to be aware of the possibility of local compression due to swelling. Also it is important to be aware of the possibility of allergy to benzyl-penicilline. 2. Material and methods 2.1. Registration The study was descriptive and conducted in accordance with the principles stated in the Declaration of Helsinki. It is registered at (UIN:CRD42022331779 . 2.2. Ethical approval The use of register data followed the General Data Protection Regulation of the European Union and was approved by the ethics committee of the government of Austria (EK – Number: S2022-07). 2.3. Material and methods In a single center retrospective case series study we analyzed 37 consecutive patients (30 children, 3 adolescents and 4 adults) who were diagnosed with lymphangioma and subsequently treated with OK-432 (Picibanil®, Chugai Pharmaceutical Co, Tokyo) in a general hospital between October 2000 and November 2021. We included in our study patients with macrocystic and mixed type lymphangioma. Patients with microcystic type lymphangioma were excluded. The diagnosis was made by ultrasound or ultrasound and MRI in combination. The patients had no relevant comorbidities and did not need pre-surgical stabilization. The procedures were performed either in general anesthesia (first choice) or in local anesthesia by the same two senior surgeons and a senior radiologist. Under sterile conditions and under ultrasound guidance one or more cysts were punctured and drained and afterwards an equivalent refilling of the cysts with 0.02–0.2 mg OK-432 (0.01 mg/ml in normal saline solution) was carried out (Fig. 1a and Fig. 1b). 1. Download: Download high-res image (370KB) 2. Download: Download full-size image Fig. 1. Ultrasound injection of OK -432 into lymphangioma (a), after aspiration (b). The majority of patients had 1 injection with OK-432 (n=28), five patients had 2 injections, three patients had 3 injections and one patient had more than 3 injections. In the postoperative period the patients were observed for complications for one to three days in the hospital. The patients were observed for a median time of 2,5 months after the last OK-432 injection (range 0.7–56,7 months). For the interpretation of the results we used the Acevedo classification, according to which excellent results mean complete regression of the lymphangioma, good results if regression is more than 50%, poor results if regression is under 50% and no response . We also wanted to show if the symptoms after treatment with OK-432 had a prognostic value for the outcome. All data regarding the patients was collected in an anonymized form. Data were expressed as mean and range. Statistical analysis was performed using Fisher's exact test. A P value of less than .05 was considered statistically significant. This case series has been reported in line with the PROCESS Guideline . 3. Results There were no changes in the planned interventions. The median age in our study group was 6.9 years (range 0.5–39.9 years). The median follow-up period was 2.5 months (range 0.7–56.7 months). The lymphangiomas were localized in the head and neck region (n=25), on the thorax/abdomen (n=6) and extremities (n=6). The most common complications after treatment were signs of inflammation (fever (81%) for a few days, swelling (89%), redness at the injection site (81%) and pain (73%) for up to some weeks postoperatively). There was no airway obstruction complication because of the injection treatment. Eight patients (21.6%) had an excellent response to therapy, 24 patients (64.8%) had a good response, 2 patients (5.4%) had a poor response and 3 patients (8.1%) did not show any response (Fig. 2a and Fig. 2b). 1. Download: Download high-res image (533KB) 2. Download: Download full-size image Fig. 2. 4-year-old girl with near complete regression at 2 months post-injection of OK-432. A Fisher's exact test showed that there was no statistical association between the symptoms after the injection and excellent/good outcome (P<.05). 4. Discussion Lymphangiomas may cause marked disfigurement, recurrent infections, respiratory obstruction, malocclusion, dysphagia, dysphonia and dysarthria as a result of the infiltration and compression of neighbouring structures. Spontaneous regression is rare and sometimes followed by recurrence . Histologically, these lesions are composed of dilated lymphatic vessels with one or two endothelial layers, with or without an adventitial layer. These dilated lymphatics can vary in size, depending on the location and surrounding tissues, representing the basis for classification. Cystic hygromas arise from lymphatic tissue in areas where expansion can occur. Cavernous lymphangiomas are found in areas such as the tongue and floor of the mouth. In most cases diagnosis is not difficult. The neoplasms are usually characterized by the presence of a soft, compressible and ill-defined mass. The anterior triangle of the neck has been indicated as the most common site. Cystic hygroma may be localized in the parotid area, and is the second most common congenital mass of this area . Ultrasound and MRI can be used to define the relationship of the lesion with the neighbouring structures and to help plan therapeutic strategies. After Ogita reported the results of OK-432 sclerotherapy in lymphangioma in 1987, many reports around the world have concluded that OK-432 is a safe and effective treatment modality for lymphatic malformations. Also OK-432 can be used after surgery in case of recurrence of the lymphangioma. It was also used to treat a wound–healing impairment with good results . Furthermore, many physicians have administered OK-432 sclerotherapy to ranula and branchial cysts and achieved successful results. It has been reported that OK- 432 injection could provide a regression of lesions in up to 96% of patients . In a study released by Protara Therapeutics in May 2022 they did a retrospective analysis in which they included 246 patients from a Phase 2 randomized study, and 275 patients from an open-label study. The majority of participants in both studies were six months to 18 years of age. In the first study, patients were randomized 2:1 to receive treatment immediately (immediate treatment group [ITG]) or delayed by six months (delayed treatment group [DTG]). In the open-label study, patients received four doses of OK-432 approximately six weeks apart. The primary efficacy endpoint was clinical success (defined as complete [90%–100%] or substantial [60%–89%] reduction in LM volume measured radiographically) in the ITG versus spontaneous resolution of the LM in the DTG. Efficacy was assessed two weeks post-treatment in the randomized study, and one to six months post-treatment in the open-label study. Approximately 69% of patients in the randomized study ITG achieved clinical success after six months, while only 7.5% of patients in the DTG showed spontaneous resolution of LMs in the same time period (p<0.0001). 73.1% of patients in the open-label study achieved clinical success. In the randomized and open-label studies, 10 of 219 (4.6%) and 5 of 275 (1.8%) subjects, respectively, were reported to have treatment emergent serious adverse events that were assessed by the investigator as related to study drug. The most severe adverse events (SAE) were airway obstruction and facial paralysis due to swelling post-injection that required tracheostomy and hospitalization. Both of these events were reported as resolved. One SAE related to OK-432 led to discontinuation (proptosis of the eye). Local/systemic reactions peaked in the first few days and resolved within two weeks. Patients were followed for up to three years post treatment with no significant safety concerns . OK-432 seems to be safer and more effective than other sclerosing agents such as boiling water, hypertonic saline, ethanol, tetracycline, cyclophosphamide, sodium morrhuate, and bleomycin . In a review study of 1876 MEDLINE articles by Acevedo et al. random-effects modeling revealed 43% of patients undergoing OK-432 for lymphangiomas achieved a complete/excellent response, 23.5% achieved a good response, 16.9% achieved a fair/poor response, and 15.4% observed no response. In the bleomycin group, the results were: 35.2% excellent, 37.1% good, 18.4% fair/poor, and 11.6% no response. Seven major complications were noted out of the 289 patients in the series, including two mortalities. They concluded that sclerotherapy for head and neck lymphangiomas achieves excellent/good clinical response in a majority of patients, with few complications, and anecdotally does not complicate future surgery . A study by de De Maria et al. in which they searched PubMed, MEDLINE and Embase from 2000 to 2018 for studies evaluating the safety and efficacy of percutaneous sclerotherapy of head, face, and neck lymphatic malformations analyzed 25 studies reporting on 726 patients. The overall rate of complete cure of any pathologic type of lymphatic malformations after percutaneous sclerotherapy with any agent was 50.5%. Macrocystic lesions had a cure rate of 53.1% compared with cure rates of 35.1% for microcystic lesions and 31.1% for mixed lesions. Regarding agents, doxycycline had the highest cure rate (62.4%) compared with all other agents. Overall permanent morbidity or mortality was 1.2% (95% confidence interval, 0.4%–2.0%) with no deaths . In a study by Olimpio et al. the authors concluded that no single sclerosing agent showed superiority over the other agents . Although the complication rates after treatment with these sclerosing agents have been minimal, limited success and unpredictable local scarring, as well as systemic side effects caused by spread of the agents beyond the endothelial lining of the lesion, have been observed. Bleomycin, in particular, can cause serious side effects, including fibrosis of the lung [19,20]. On review of the literature, there were reports about bleomycin toxicity and hypersensitivity. In Niramis's study, leukopenia was noted in 3 patients below one year of age, which might be caused by bleomycin toxicity, and the author suggested the dosage of bleomycin should be reduced in infants . Bleomycin hypersensitivity is a rare emergency. Until now, there was one reported case of pulmonary toxicity following 1.2 mg/kg single session dose in an 8-month-old infant. Therefore, it is essential to avoid injecting the drug into blood vessels and give close observation in the first 24 h, especially in infants . However, until now, it has reached a consensus that bleomycin is a safe sclerosant because there were no complications when no more than 15 U in adults or 0.5 U/kg per session in children and a cumulative dose <90 U in adults or 6 sessions of 0.5 U/kg in children were administrated [23,24]. Yang et al. conducted a study on 65 patients with cervicofacial lymphangiomas. They found that intralesional bleomycin A5 was reasonably effective in shrinking both macrocystic and microcystic LMs. More than 81% of the macrocystic lesions and nearly 63% of the microcystic lesions exhibited greater than 90% size reduction. Only 2 of the 65 lesions responded poorly to the treatment with less than 50% reduction . The precise mode of action of OK-432 has not been fully understood, but it seems to be related to an immunomodulatory effect. Picibanil induces cytokines and activates many inflammatory cells, such as neutrophils, macrophages, lymphocytes and T-cells. The cytokines induce strong local inflammatory reactions in the cyst wall, resulting in fluid drainage, shrinkage, and fibrotic adhesion of the cyst . During the early postinjection period, acute inflammatory cells (neutrophils and macrophages) predominate, but 4 days later activated lymphocytes and natural killer cells represent the majority and TNF and IL-6 levels are elevated. Another proposed mechanism is that picibanil induces apoptosis of the lymphatic endothelium. This hypothesis concurs with the finding that the local inflammatory reaction induced by picibanil does not involve the skin or cause scar formation. No necrosis is seen histologically although the OK-432 induces inflammation and activation of IL-6 and TNF alfa . OK-432 can diffuse even into small cysts. This might explain why OK-432, unlike other sclerosing agents, has effect even on small-cystic LM. OK-432 leads to complete or near-complete response in macrocystic lesions, with a lower degree of response in mixed, microcystic lesions or polycystic lesions, which concurs with our findings . Which factors favor a good response or define a non-responder is unclear. Reismann concludes that a dynamic TLR4-expression may represent a predictive parameter . Statistically, we could not confirm that a good reaction after the instillation of OK-432 with swelling, reddening, pain or fever is associated with an excellent or good outcome. No major complications were encountered in our patients, the treatment was well tolerated and with no local scarring and it had a high rate of excellent/good response (86.4%), so that in our hands it is the first-line therapy in the treatment of lymphatic malformations. Parents and patients prefer local sclerotherapy versus surgery as it has less complications. The limitations in our study were the relatively small number of cases, but this has to be attributed to the rarity of the pathology and the fact that patients with microcystic type of lymphangioma were excluded. Directions of future research should be a multicentric study to address the limitations in the current study. Also future research should involve a search for new predictive parameters that can guide future therapies and predict which patients can benefit from a specific type of treatment. 5. Conclusion Sclerotherapy of lymphatic malformations with OK-432 achieves excellent to good clinical response in the majority of patients. The application is safe and without serious side effects. Swelling, redness at the injection site, low-grade fever and pain are to be expected after the therapy with OK-432. Symptoms after injection do not correlate with the outcome. A low recurrence rate and good response to repeated injections in recurrent or primary failed cases yielded good long-term response. To summarize, we found that Picibanil is a good sclerotherapeutic agent with only minor complications and high long-term efficacy for lymphangioma. We therefore suggest that Picibanil sclerotherapy should be the first-line treatment for macrocystic and mixed type lymphangiomas. Ethical approval Ethical approval was given by the Ethikkomission Kärnten. EK – Number: S2022-07. Please state any sources of funding for your research Nothing to declare. No funding or grant support. This research did not receive any specific grant from funding agencies in the public, commercial, or not-for-profit sector. Author contribution Guenter Fasching: Data curation, Formal analysis, Conceptualization, Methodology, Reviewing and Editing, Project administration, Supervision, Christine Dollinger: Data curation, Formal analysis, Investigation, Stephan Spendel: Data curation, Investigation, Narcis Flavius Tepeneu: Investigation, Data curation, Formal analysis, Writing, Reviewing and Editing. Registration of research studies 1.Name of the registry: PROSPERO 2.Unique Identifying number or registration ID: CRD42022331779 3.Hyperlink to your specific registration (must be publicly accessible and will be checked): Guarantor Guenter Fasching. Patient consent Written informed consent for the treatment was obtained in every single patient. Consent to publish the article was not obtained. This report does not contain any personal information that could lead to the identification of the patient. Consent to publish the article was not obtained. This report does not contain any personal information that could lead to the identification of the patient. Ethical approval was given by the Ethikkomission Kärnten Reference number EK – Number : S2022-07 Please state any conflicts of interest Nothing to declare. There are no conflicts of interest. Provenance and peer review Not commissioned, externally peer-reviewed. Appendix A. Supplementary data The following is the Supplementary data to this article:Download: Download Word document (26KB) Multimedia component 1. Recommended articles References T.L. Kennedy, M. Whitaker, P. Pellitteri, W.E. Wood Cystic hygroma/lymphangioma:a rational approach to management Laryngoscope, 111 (2001), pp. 1929-1937 View in ScopusGoogle Scholar J.L. Acevedo, R.K. Shah, S.E. Brietzke Nonsurgical therapies for lymphangiomas: a systematic review Otolaryngol. Head Neck Surg., 138 (2008), pp. 418-424 View PDFView articleCrossrefView in ScopusGoogle Scholar L.M. de Serres, K.C. Sie, M.A. Richardson Lymphatic malformations of the head and neck. A proposal for staging Arch. Otolaryngol. Head Neck Surg., 121 (1995), pp. 577-582 CrossrefGoogle Scholar L.J. Fliegelman, D. Friedland, M. Brandwein, M. Rothschild Lymphatic malformation: predictive factors for recurrence Otolaryngol. Head Neck Surg., 123 (2000), pp. 706-710 View PDFView articleCrossrefView in ScopusGoogle Scholar E. Raveh, A.L. de Jong, G.P. Taylor, V. Forte Prognostic factors in the treatment of lymphatic malformations Arch. Otolaryngol. Head Neck Surg., 123 (1997), pp. 1061-1065 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar J.A. Perkins, C. Maniglia, A. Magit, M. Sidhu, S.C. Manning, E.Y. Chen Clinical and radiographic findings in children with spontaneous lymphatic malformation regression Otolaryngol. Head Neck Surg., 138 (2008), pp. 772-777 View PDFView articleCrossrefView in ScopusGoogle Scholar D.C. Bloom, J.A. Perkins, S.C. Manning Management of lymphatic malformations Curr. Opin. Otolaryngol. Head Neck Surg., 12 (2004), pp. 500-504 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar T. Kurokawa, T. Hattori, H. Furue Clinical experiences with the streptococcal anticancer preparation, OK-432 (NSCB116209) Cancer Chemother. Rep., 56 (1972), pp. 211-220 View in ScopusGoogle Scholar S. Ogita, T. Tsuto, K. Tokiwa, T. Takahashi Intracystic injection of OK-432: a new sclerosing therapy for cystic hygroma in children Br. J. Surg., 74 (1987), pp. 690-691 CrossrefGoogle Scholar Q.Z. Zhou, J.W. Zheng, H.M. Mai, Q.F. Luo, X.D. Fan, L.X. Su, et al. Treatment guidelines of lymphatic malformations of the head and neck Oral Oncol., 47 (2011), pp. 1105-1109 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar G. Fasching, C. Dollinger, S. Spendel, N.F. Tepeneu Treatment of lymphangiomas by means of sclerotherapy with OK-432 (Picibanil®) is safe and effective PROPSPERO UIN CRD42022331779 Available from: (2022) Google Scholar R.A. Agha, C. Sohrabi, G. Mathew, T. Franchi, A. Kerwan, O'Neill N for the PROCESS Group The PROCESS 2020 guideline: updating consensus preferred reporting of CasE series in surgery (PROCESS) guidelines Int. J. Surg., 84 (2020), pp. 231-235 View PDFView articleCrossrefView in ScopusGoogle Scholar J.L. Guarisco Congenital head and neck masses in infants and children Ear Nose Throat J., 70 (1991), pp. 75-82 View in ScopusGoogle Scholar G. Fasching, M. Sinzig OK-432 as a sclerosing agent to treat wound-healing impairment Eur. J. Pediatr. Surg., 16 (2007) 431-2 Google Scholar C.M. Giguère, N.M. Bauman, Y. Sato, et al. Treatment of lymphangiomas with OK-432 (Picibanil) sclerotherapy: a prospective multi-institutional trial Arch. Otolaryngol. Head Neck Surg., 128 (2002), pp. 1137-1144 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar Smith RJ, Burke D, Bauman N, Zummo J, Belani K, Emuh I et al. Retrospective analysis of a randomized study and open-label study to evaluate the safety and efficacy of OK-432 in patients with lymphatic malformations Google Scholar L. De Maria, P. De Sanctis, K. Balakrishnan, M. Tollefson, W. Brinjikji Sclerotherapy for lymphatic malformations of head and neck: systematic review and meta-analysis J Vasc Surg Venous Lymphat Disord, 8 (1) (2020 Jan), pp. 154-164 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar O. Olímpio Hde, J. Bustorff-Silva, A.G. Oliveira Filho, K.C. Araujo Cross-sectional study comparing different therapeutic modalities for cystic lymphangiomas in children Clinics, 69 (8) (2014), pp. 505-508 Google Scholar J.L. Roh, C.I. Park OK-432 sclerotherapy of cervical chylous lymphocele after neck dissection Laryngoscope, 118 (2008), pp. 999-1002 View in ScopusGoogle Scholar S. Fukase, N. Ohta, K. Inamura, M. Aoyagi Treatment of ranula with intracystic injection of the streptococcal preparation OK-432 Ann. Otol. Rhinol. Laryngol., 112 (2003), pp. 214-220 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar R. Niramis, S. Watanatittan, T. Rattanasuwan Treatment of cystic hygroma by intralesional bleomycin injection: experience in 70 patients Eur. J. Pediatr. Surg., 20 (2010), pp. 178-182 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar K. Atwa, S. Abuhasna, Z. Shihab, et al. Acute pulmonary toxicity following intralesional administration of bleomycin for a lymphovenous malformation Pediatr. Pulmonol., 45 (2010), pp. 192-196 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar G. Chaudry, C.J. Guevara, K.L. Rialon, et al. Safety and efficacy of bleomycin sclerotherapy for microcystic lymphatic malformation Cardiovasc. Intervent. Radiol., 37 (2014), pp. 1476-1481 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar D.C. Sainsbury, G. Kessell, A.J. Fall, et al. Intralesional bleomycin injection treatment for vascular birthmarks: a 5-year experience at a single United Kingdom unit Plast. Reconstr. Surg., 127 (2011), pp. 2031-2044 View in ScopusGoogle Scholar Y. Yang, M. Sun, Q. Ma, X. Cheng, J. Ao, L. Tian, L. Wang, D. Lei Bleomycin A5 sclerotherapy for cervicofacial lymphatic malformations J. Vasc. Surg., 53 (1) (2011 Jan), pp. 150-155 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar M.A. Williams, C.M. Cave, G. Quaid, C. Robinson, T.J. Daly, D. Witt, et al. Interleukin 8 dimerization as a mechanism for regulation of neutrophil adherence-dependent oxidant production Shock, 23 (2005), pp. 371-376 CrossrefView in ScopusGoogle Scholar S. Ogita, T. Tsuto, K. Nakamura, E. Deguchi, K. Tokiwa, N. Iwai OK-432 therapy for lymphangioma in children: why and how does it work? J. Pediatr. Surg., 31 (1996), pp. 477-480 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar M. Ullberg, W. Tewodros, G. Kronvall Receptors for human plasminogen on the biological response modifier OK-432 J. Biol. Response Modif., 9 (1991), pp. 592-596 Google Scholar A. Fujino, Y. Moriya, Y. Morikawa, K. Hoshino, T. Watanabe, N. Shimojima, et al. A role of cytokines in OK-432 injection therapy for cystic lymphangioma: an approach to the mechanism J. Pediatr. Surg., 38 (2003) 1806-9 Google Scholar S. Ogita, T. Tsuto, E. Deguchi, K. Tokiwa, M. Nagashima, N. Iwai OK-432-therapy for unresectable lymphangiomas in children J. Pediatr. Surg., 26 (1991), pp. 263-270 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar S. Ogita, T. Tsuto, K. Nakamura, E. Deguchi, N. Iwai OK-432 therapy in 64 patients with lymphangioma J. Pediatr. Surg., 29 (1994), pp. 784-785 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar J.A. Perkins, S.C. Manning, R.M. Tempero, M.J. Cunningham, M.A. Egbert, F.A. Hoffer, et al. Lymphatic malformations: review of current treatment Otolaryngol. Head Neck Surg., 142 (2010), pp. 795-803 CrossrefGoogle Scholar J. Ha, Y.C. Yu, F. Lannigan A review of the management of lymphangiomas Curr. Pediatr. Rev., 10 (2014), pp. 238-248 View in ScopusGoogle Scholar J.C. Yoo, Y. Ahn, Y.S. Lim, J.H. Hah, T.K. Kwon, M.W. Sung, et al. OK-432 sclerotherapy in head and neck lymphangiomas: long-term follow-up result Otolaryngol. Head Neck Surg., 140 (2009), pp. 120-123 View PDFView articleCrossrefView in ScopusGoogle Scholar M. Reismann, N. Ghaffarpour, E. Luvall, A.C. Jirmo, O. Winqvist, J. Radtke, et al. Dynamic toll-like receptor expression predicts outcome of sclerotherapy for lymphatic malformations with OK-432 in children J. Surg. Res., 187 (2014), pp. 197-201 View PDFView articleView in ScopusGoogle Scholar Cited by (5) Abdominal Lymphatic Malformations: A Novel Approach in Management 2025, Journal of Pediatric Surgery Show abstract Abdominal lymphatic malformations (LM) are a challenging clinical entity. Complete excision can be impossible due to the infiltrative nature of some lesions and high rate of complications. Sclerotherapy may require multiple episodes of general anaesthesia and an inability to be definitive in terms of diagnosis and treatment. Subsequently we have adopted a newer algorithm of treatment involving a joint procedure with interventional radiology to enable an intra-operative treatment plan based on the findings. We present our early results. A retrospective observational study in a single tertiary paediatric centre from January 2019 to December 2023. The details of each patient were recorded along with their treatment pathway and outcome. 12 children underwent treatment for abdominal LM. Under GA and laparoscopic vision, pigtail catheters were inserted into the lesion to effect maximal drainage and assessment of surgical anatomy. If resection was feasible this was undertaken through a laparotomy and if not, the drains were retained and sclerotherapy was started. Three underwent drainage with sclerotherapy without resection and 9 underwent drainage with resection. Of the 3 who underwent sclerotherapy 2 have had further treatment and remain under review at a mean follow up of 7.6 months. Of the other 9 there were no signs of recurrence of the LM at a mean follow up of 29 (range 6–56) months. We have found a combined procedure involving IR-guided drainage under laparoscopic vision enabling curative surgical resection to be undertaken, where feasible, with currently no significant morbidity. For those in whom this is not possible then direct intralesional sclerotherapy is the next most useful treatment modality for longer term control of symptoms. II. ### Sclerotherapy in orbital lymphangioma: A case report 2023, Radiology Case Reports Citation Excerpt : OK-432 (Picibanil) is a freeze-dried biological product prepared from the Streptococcus pyogenes strain (group A) by treatment with benzylpenicillin and heat. Proptosis and eyelid swelling improved gradually over 1 month and were completely resolved within 3 months of treatment using OK-432 [6,12]. The synthetic surfactant sodium tetradecyl sulfate (STS) is one of the sclerosing agents approved by the Food and Drug Administration (FDA). Show abstract Orbital lymphangioma is a rare benign lymphatic and vascular malformation, which is distinguished by its abnormal endothelial ducts and can cause proptosis in the patients. Radiological imaging is essential in confirming the diagnosis. Sclerotherapy is an alternative treatment option if surgery is not an option or is too risky. This report presents a rare case of a 4-year-old girl who had complained of bulging her right eye since she was 3 years old. Because surgery can be challenging to the surrounding vital orbital structure, the patient underwent several sclerotherapy sessions which yielded good results on the patient. ### OK-432 (Picibanil) Sclerotherapy for the Treatment of Chyle Leakage After Thyroid Surgery 2025, Korean Journal of Radiology ### Dendritic cells as orchestrators of anticancer immunity and immunotherapy 2024, Nature Reviews Clinical Oncology ### Adult lymphangioma spreading under the scapula: a case report 2023, Shanghai Chest © 2022 The Authors. Published by Elsevier Ltd on behalf of IJS Publishing Group Ltd. Recommended articles Factors associated with early onset neonatal sepsis among neonates in public hospitals of Sidama region, Southern Ethiopia, 2021: Unmatched case control study Annals of Medicine and Surgery, Volume 81, 2022, Article 104559 Gujo Teshome, …, Solomon Yimer View PDF ### Stem cell therapy for type1 diabetes with transplantation of stem cells into the Omental pouch, peritoneum, and blood, experimental study Annals of Medicine and Surgery, Volume 81, 2022, Article 104468 Sagar Jawale View PDF ### Percutaneous ultrasound-guided sclerotherapy with polidocanol microfoam for lymphatic malformations Journal of Vascular Surgery: Venous and Lymphatic Disorders, Volume 5, Issue 5, 2017, pp. 707-714 Takashi Yamaki, …, Hiroyuki Sakurai View PDF ### Doxycycline sclerotherapy in children with head and neck lymphatic malformations Journal of Pediatric Surgery, Volume 50, Issue 12, 2015, pp. 2143-2146 Jeffrey Cheng ### Percutaneous Treatment of Lymphatic Malformations Techniques in Vascular and Interventional Radiology, Volume 19, Issue 4, 2016, pp. 305-311 Michael Acord, …, Anne Marie Cahill ### A prospective study of the role of intralesional bleomycin in orbital lymphangioma Journal of American Association for Pediatric Ophthalmology and Strabismus, Volume 21, Issue 2, 2017, pp. 146-151 Nirav D.Raichura, …, Bipasha Mukherjee Show 3 more articles Article Metrics Citations Citation Indexes 5 Captures Mendeley Readers 18 View details About ScienceDirect Remote access Advertise Contact and support Terms and conditions Privacy policy Cookies are used by this site. Cookie Settings All content on this site: Copyright © 2025 Elsevier B.V., its licensors, and contributors. All rights are reserved, including those for text and data mining, AI training, and similar technologies. For all open access content, the relevant licensing terms apply. Cookie Preference Center We use cookies which are necessary to make our site work. We may also use additional cookies to analyse, improve and personalise our content and your digital experience. For more information, see our Cookie Policy and the list of Google Ad-Tech Vendors. You may choose not to allow some types of cookies. However, blocking some types may impact your experience of our site and the services we are able to offer. See the different category headings below to find out more or change your settings. Allow all Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. Cookie Details List‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. Cookie Details List‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies may be set through our site by our advertising partners. They may be used by those companies to build a profile of your interests and show you relevant adverts on other sites. If you do not allow these cookies, you will experience less targeted advertising. Cookie Details List‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Confirm my choices Your Privacy [dialog closed]
9744	https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E7%94%B5%E8%AF%9D	跳转到内容搜索目录 1 发展历史 1.1 功能手机 1.2 智能手机 1.3 名称演变 2 安全使用 3 基本功能 4 手机翻新 5 技术演进 6 参考文献 7 相关阅读 8 外部链接移动电话 Acèh Afrikaans አማርኛ Aragonés Ænglisc العربية مصرى অসমীয়া Asturianu Atikamekw Aymar aru Azərbaycanca Башҡортса Boarisch Bikol Central Беларуская Беларуская (тарашкевіца) Betawi Български भोजपुरी Bislama Bamanankan বাংলা བོད་ཡིག Bosanski Català 閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄ Cebuano کوردی Čeština Чӑвашла Cymraeg Dansk Deutsch Thuɔŋjäŋ Ελληνικά English Esperanto Español Eesti Euskara فارسی Suomi Føroyskt Français Frysk Gaeilge 贛語 Kriyòl gwiyannen Gàidhlig Galego گیلکی ગુજરાતી Wayuunaiki Gaelg Hausa 客家語 / Hak-k-ngî עברית हिन्दी Hrvatski Kreyòl ayisyen Magyar Հայերեն Interlingua Bahasa Indonesia Ido Íslenska Italiano 日本語 Patois Jawa ქართული Qaraqalpaqsha Қазақша 한국어 Къарачай-малкъар کٲشُر Kurdî Кыргызча Latina Ladino Lëtzebuergesch Limburgs Lombard ລາວ Lietuvių Latviešu Malagasy Minangkabau Македонски മലയാളം Монгол मराठी Bahasa Melayu မြန်မာဘာသာ مازِرونی नेपाली नेपाल भाषा Li Niha Nederlands Norsk nynorsk Norsk bokmål Occitan Oromoo ਪੰਜਾਬੀ Deitsch Polski پنجابی پښتو Português Runa Simi Romnă Русский संस्कृतम् Саха тыла ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ Sicilianu سنڌي Srpskohrvatski / српскохрватски සිංහල Simple English Slovenčina Slovenščina ChiShona Soomaaliga Shqip Српски / srpski Sunda Svenska Kiswahili Ślůnski Sakizaya தமிழ் తెలుగు ไทย Tagalog Setswana Türkçe Seediq Татарча / tatarça Українська اردو Oʻzbekcha / ўзбекча Vèneto Tiếng Việt Walon Winaray 吴语 მარგალური ייִדיש Yorùbá Vahcuengh 文言閩南語 / Bn-lm-gí 粵語 IsiZulu 编辑链接条目讨论不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體阅读编辑查看历史工具操作阅读编辑查看历史常规链入页面相关更改上传文件固定链接页面信息引用此页获取短链接下载二维码打印/导出下载为PDF 打印版本在其他项目中维基共享资源维基导游维基数据项目外观维基百科，自由的百科全书 \| \| \| 此条目需要补充更多来源。 (2015年6月22日)请协助补充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能会因为异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索："移动电话" — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。 \| 提示：此条目的主题不是无绳电话。 “手机”重定向至此。关于其他用法，请见“手机 (消歧义)”。 \| \| \| 手机 \| \| 标准手机键盘 \| \| 汉语名称 \| \| 繁体字 \| 移動電話、流動電話、隨身電話、行動電話 \| \| 简化字 \| 移动电话、流动电话、随身电话、行动电话 \| \| \| 标音 \| \| \| 越南语名称 \| \| 国语字 \| Điện thoại di động \| \| 儒字 \| 電話移動 \| \| 朝鲜语名称 \| \| 谚文 \| 휴대 전화 \| \| 汉字 \| 携帶電話 \| \| \| 标音 \| \| - 文观部式 \| hyudae jeonhwa \| \| \| 日语名称 \| \| 汉字 \| 携帯電話 \| \| \| 标音 \| \| - 假名 \| けいたいでんわ \| \| - 日语罗马字 \| keitai denwa \| \| \| “手机”的各地常用名称 \| \| 中国大陆 \| 移动电话、手机 \| \| 港澳 \| 流动电话、手提电话、手机 \| \| 新马 \| 随身电话、流动电话、手机 \| \| 台湾 \| 行动电话、手机 \| 行动电话，又称手提式电话机或手提电话，简称手机，是可以在较大范围内使用的可携式电话，与固定电话（座机）相对。1973年4月3日，摩托罗拉的马丁·库珀在纽约展示了史上第一款手持移动电话。1990年代中期以前手机价格昂贵且体积庞大，因此又有大哥大的俗称。1990年代后期逐渐普及化，如今已成为全球销量最高的消费电子产品，也是现代人日常不可或缺的电子用品之一。目前在全球范围内使用最广是的第四代。第四代移动通信技术以LTE为主，支持高速数据传输的蜂巢式网路行动电话技术。4G服务能够同时传送声音（通话）及信息、视频、（电子邮件、即时通讯等）它是数位制式的。发展历史 [编辑] 功能手机 [编辑] 主条目：功能手机功能型手机（英语：Feature phone）是行动电话的主要类别。功能型手机拥有许多优点，所以能够满足许多族群的消费者要求。最早以蜂巢式基地台网路与手机之间进行通讯的电话网路，被称为“第一代”行动通讯（1G）。这也就是在西元1980至九十年代之时，于影视作品之中经常能见到被富贵阶级的人物角色所使用的手提式电话。在这一类行动通讯系统之中有名的先驱是美国摩托罗拉公司的马丁·库珀博士。这种手机有多种制式，如NMT（英语：Nordic Mobile Telephone）、类比式行动电话系统、TACS（英语：Total Access Communication System），但是基本上使用频分复用方式只能进行语音通信，收讯不稳定，且保密性不足，无线频宽利用不充分。此种手机类似于简单的无线电双工电台，通话时锁定在一定频率，所以使用可调频电台就可以窃听通话。这个时候，语音传播是模拟的，只能传输语音流量。由于受当时的电池容量限制、模拟调变技术需要庞大的天线、以及积体电路的发展状况等等制约，直到摩托罗拉推出StarTAC（英语：Motorola StarTAC）折叠式手机之前，这一类行动电话只能算是“可以移动”，仍无法达到“随身携带”的标准。这种第一代手提电话在早期因为外型因素，经常被很多人称呼为“砖头”或是“黑金刚”。因为受到影视作品之中所渲染的印象所影响，这种体积巨大的老式手机在民间也素有“大哥大”之称。香港的花生油品牌狮球唛于1987年制造“大哥大”外形的水壶作为赠品，并且大行其道，所以香港人亦称呼这种手机做“水壶”，“大哥大”。在早期刚引进第一代行动电话网路的当时，使用“大哥大”是为一种身份象征。以香港为例：于1985年，一部“大哥大”价值为两万九千港元，至1990年代，价值仍然达到一万三千港元。台湾第一代的类比式行动电话网路于1989年由交通部电信总局引进，2001年11月正式退出电信服务市场。原来所分配的090、091字头门号，分别转为第二代GSM行动电话网路之下的0910、0911字头门号。第二代行动电话（2G）由类比式语音通讯网路，演进为数位讯号交换通讯网路。它发端于西元1990年代初，于1990年代中期之后逐渐在世界各地普及，到西元2010年代中期仍在世界上广泛分布。通常这些手机使用欧洲规格的GSM、CDMA或者PHS这些十分成熟的标准，具有稳定的通话质量和合适的待机时间。该类手机具有通话和一些如时间日期等传送的手机通信技术，一般定义为无法直接传送如电子邮件、软件等信息；只具有通话和一些如时间日期等传送的手机通信技术规格。在第二代行动电话网路的发展过程当中，为了适应日益增加的数据通讯需求，一些加强型的传输标准（又被称为2.5G或甚至2.75G）也依次在手机上得到支援，例如GPRS、EDGE和WAP服务。台湾第二代的数位式行动电话网路于西元1997年由电信业自由化政策实施之后的几大业者分别引进，而经过频宽使用执照的延期措施之后。一些手机厂商也将自己的一些手机称为2.75G手机，其特色就是拥有比GPRS速率更快的EDGE功能。智能手机 [编辑] 主条目：智能手机智能手机智能手机三星Galaxy Z Fold 3 以及 Z Flip 3 第3代移动通信系统（3G）自西元1990年代末期开始研发，于西元2000年代前中期开始在世界各国陆续开始服务，目前已经逐渐得到广泛的应用。第3代手机的开始目标之一是开发一种可以轻易地连接上网路，并能在全球通用的无线通讯系统，但实际上在最后还是逐渐演变出了多种不同的制式规格。目前在世界上主要有W-CDMA、CDMA2000和TD-SCDMA等规格在竞争。这些新的规格都基于CDMA（码分多址）技术，在频宽利用和数据通信方面都有进一步发展。而在高速数据传输和蜂窝移动通讯技术方面，于西元2007年10月新增WiMAX标准为第四种技术体制。台湾第三代的数位式行动电话网路于西元2005年由历经合并和增设之后的五大业者所分别引进，在2010年起智慧型手机逐渐普及之后，已成为行动电话服务的主力。 3G的后续改良规格又被称为“3.5G”，它包括了HSPA（HSDPA、HSUPA）及HSPA+等技术规格，可以让使用者享用7.2M到42M的下载速率。在提供高速数据服务的同时，安全性也得到了改善。3.5G手机偏重于安全和数据通讯，一方面加强个人隐私的保护，另一方面加强数据业务的研发，更多的多媒体功能被引入进来，手机具有更加强劲的运算能力，不再只是个人的通话和文字信息终端，而是更多功能性的选择。移动办公及对通讯的强劲需求将使得手机与个人电脑的融合趋向加速，手机将逐渐拥有个人电脑的功能，这方面在手机市场上已经得到了充分的体现。第四代行动电话网路（4G）是在西元2010年代中期之时世界上所普遍使用的高速行动网路，可分为TDD-LTE（分时型长期演进技术）、FDD-LTE（分频型长期演进技术）及WiMAX（IEEE 802.16m）；而TDD-LTE、FDD-LTE规格在结构上已经进行了统一。第四代行动电话网路最重要的功能，就是搭配能够上网执行各种网路服务的智慧型手机。第四代的行动电话技术将一般传统的语音通讯完全当作是数据封包加以传输，这是和之前第三代网路非常不同的地方。由于作为第四代行动网路终端的智慧型手机在功能上已经犹如小型电脑一般，因此第四代行动网路与其说是数位式的高速电话通讯网路，更不如形容为是一种可以随著基地台扩展使用范围的巨大网际网路服务网路。台湾第四代的数位式行动电话网路于西元2014年开始服务，是以智慧型手机行动上网服务的新一代主力。预计在西元2017年将接收第二代行动电话网路撤除之后所留下的通信频宽。 4.5G采用 LTE Advance Pro，其概念由华为于 2014 年底首次提出，并于 2015 年 10 月被 3GPP 确认成为 LTE 的新标准。如名字所示意般，4.5G 是 LTE、LTE Advance 的进一步技术演进，亦是各大网络商进入 5G 前的重要一站。4.5G透过聚合载波、4x4 MIMO 以及256 QAM 等技术，网络商可提供服务的 4G 网络容量及下载速度会较以往更多更快，有助解决网络塞车等问题。 5G是4G之后的延伸，美国（高通）、中国大陆（华为）、韩国（三星）、日本（NTT）、欧盟各国等等都在投入相当的资源研发5G网络。西元2016年11月17日，国际无线标准化机构3GPP第八十七次会议在美国拉斯维加斯召开，中国大陆华为主推PolarCode（极化码）方案，美国高通主推LDPC方案，法国主推Turbo2.0方案，最终短码方案由极化码胜出，之前长码由LDPC胜出，底层规格确立。5G网路预计即将于西元2020年时逐渐在各国开始布建并进入实测。名称演变 [编辑] 移动电话在大中华地区从过往数种称呼，到现在流行以“手机”为主，香港学者汪惠迪研究认为，这是语言经时间演变、自我调节的结果： \| 流行名称变迁 \| \| 年份 \| 香港 \| 澳门 \| 台湾 \| 新加坡 \| 上海 \| 北京 \| \| 1995年－1996年 \| 流动电话大哥大 \| 手提电话 \| 行动电话 \| 随身电话 \| 移动电话 \| 移动电话 \| \| 1996年－1997年 \| 大哥大 \| \| 1997年－1998年 \| 手提电话 \| 流动电话 \| 行动电话大哥大 \| 手机 \| \| 1998年－1999年 \| 行动电话 \| 流动电话 \| \| 1999年－2000年 \| 流动电话 \| 手机 \| 手机 \| 手机 \| \| 2000年－2001年 \| 流动电话 \| 手机 \| \| 2001年－2002年 \| 手机 \| \| 备注 \| \| 参照汪惠迪的研究制表，此列当时流行而非起源。 1997年正逢台湾大哥大成立。 \| 安全使用 [编辑] 主条目：移动电话辐射和健康、移动电话和行车安全和手机与飞航安全由于手机发射一定份量的无线电波，有人质疑其安全性，特别是对大脑的影响，但目前未有确切科学数据证明有确切因果联系。为了避免影响仪器的正常操作，很多地方禁止使用手机，例如：在飞机起飞和降落的过程中，防止对控制系统产生干扰加大产生空难的概率，所以飞机上禁止使用手机；但由于科技的进步已逐渐可以使新一代制造的飞机克服困难，预计未来将可以使用，参见移动电话和飞行安全。在著名的Discovery频道的流言终结者节目中指出，“手机讯号会导致‘新一代’飞机失事”的流言破解，但因民航法规，仅在地面而未起飞实验，且因安全关系仍禁止在飞机上使用手机。在加油站、天然气加气站及存放易燃易爆化学品的仓库地区，为了防止无线电信号在金属上产生打火导致爆炸事故，通常会禁止使用手机拨打和接听电话，不过在流言终结者节目中指出为“流言破解”，但仍建议民众以安全为第一考量。在医院有很多对电子设备比较敏感的仪器（心脏监控、心电图、脑电波监控、电子起搏器）和高纯度氧气，在这里为了保证这些仪器的正常工作和安全考虑也不允许使用手机；但通常医院允许PHS低功率行动电话使用。除了上述三个场所较明确为人所知外，还有一些情况如行车时（参见移动电话和行车安全（英语：Mobile phones and driving safety）），以及诸多场所如电影院、音乐会、教室（教学场所）、考试场所、实验室、会议室、图书馆或其他特定场所等一般会禁止使用手机和／或关掉响闹功能，就算是可以使用也会要求手机改成震动并轻声细语和长话短说，以免声音干扰别人；在一些国家和地区可能禁止在大众运输系统上使用手机。基本功能 [编辑] 全世界手机共通的紧急救援电话号码是“112”。手机输入“ # 0 6 #”能看到15码的国际移动设备辨识码（IMEI），若手机遗失，经好心人拾取送往警察局，有报案过的失主可以以此IMEI序号拿回遗失的手机。如需拨打国际长途电话，可在国际区号前拨“+”。手机翻新 [编辑] 参见：手机回收（英语：Mobile phone recycling） \| \| \| 此章节尚无参考来源，内容或许无法查证。 (2013年5月12日) \| 将旧手机用一些化学液体清理干净，再换上新壳，配上电池、充电器等附件，这个过程就是手机翻新。翻新主要包括更换主板、外壳、刷新手机软件、重新包装等过程。翻新包括官方翻新与私人翻新。官方翻新由于是发售手机的公司自行回收试用机、媒体评测机、工程机、生产过程中的失误造成的瑕疵机和专卖店样品机重制，所以质量一般与全新手机相当。制作翻新机的目的一般是为了回收成本和降低电子垃圾污染。而因为这些机器的来源少，因此发售的数量也有限。官方翻新机为了防止第三方（包括代理专卖店）将翻新机当作全新机出售赚取差价，一般只通过厂商的官方网站出售。美国的Apple与中国大陆的魅族均有推出官方翻新版本的手机，其价格比全新手机便宜，并且享有与全新机器一样的保修制度。但由于翻新机需要拆机、检查、重组等过程的费用，而且需要达到全新机器的质量，官方翻新机往往成本比全新机器更高。私人翻新则是非出产原品牌手机厂进行的翻新。来源一般为二手机或是盗窃取得的赃机。质量参差不齐，目的一般只是单纯的赚取利润。因为机器来源比较开放，因此比较常见。购买方式一般是通过第三方网站（如淘宝网）或是非专卖的实体店来进行购买。因为不是厂商官方翻新，因此市面上各大品牌的手机均有私人翻新手机。购买私人翻新手机可能出现硬件被掉包或者缺失的问题，尤其是智能手机，而且翻新者手艺也分高低，拆卸和组装过程中可能有失误，而部分注重牟利的翻新者则不会放弃瑕疵机的出售，因此翻新机的质量会参差不齐。常见的问题有屏幕松动进灰，频繁死机和按键寿命短等。私人翻新无法提供正统的保修，部分地区也经常有不法商贩拿翻新机充当全新机出售。技术演进 [编辑] \| \| \| GSM \| WCDMA \| LTE \| \| 首度引进 \| \| 3GPP release 97 and before \| 3GPP release 99 \| 3GPP release 8 \| \| Air interface \| 频宽 \| 200khz \| 每个carrier是5M ,3.84Mchip/s \| 每个carrier是1.4/3/5/10/15/20 M \| \| \| 传输时间间隔 \| \| 2 or 10 ms \| 1ms \| \| \| frame \| 4.615ms，each frame contains 8 time slot \| 10ms \| 10ms,contains 10 subframes,or 20 slots \| \| \| Modes of operation \| FDD \| FDD \| FDD or TDD on different band \| \| \| Band \| 参见3gpp 45.005 \| 参见3gpp 25.101 \| 参见3gpp 36.101 \| \| \| CS/PS \| DTM( Dual transfer mode ) \| CS+PS \| PS only \| \| \| Modulation Schemes: \| Downlink & uplink :GSMK,EDGE use 8PSK modulation. \| QPSK,16QAM \| Downlink: QPSK, 16QAM, 64QAM,256QAM Uplink: QPSK, 16QAM, 64QAM \| \| \| Multiple access scheme \| FDMA&TDMA \| CDMA \| downlink: OFDMA (Orthogonal Frequency Division Multiple Access)uplink: SC-FDMA (Single Carrier Frequency Division Multiple Access) \| \| Network side \| \| CS core network:MSC PS core network:SGSN+GGSN Radio access network:BTS \| CS core network:MSC PS core network:SGSN+GGSN Radio access network:NodeB,RNC \| PS core network:MME/S-GW,S-GW,P-GW Radio access network:eNodeB \| \| Terminal side \| RRC protocol states \| Idle Mode/Dedicated Mode/Group receive Mode/Group Transmit Mode/Packet Idle Mode / Packet Transmit Mode \| CELL_DCH, CELL_FACH, CELL_PCH, URA_PCH, RRC_IDLE \| RRC_CONNECTED, RRC_IDLE \| \| \| Handovers \| Hard handover \| Soft and hard handover \| Hard handover \| \| \| camp on a cell \| LAC+RAI \| LAC+RAI \| TAC \| \| \| 终端对小区的识别 \| 频点+基站识别码（BSIC＝NCC＋BCC ,其中NCC：国家色码，用于识别 GSM 移动网；其中BCC：基站色码，用于识别基站） \| 频点+扰码 \| 频点+pcid \| \| \| measurement control & report \| idle态每5秒计算一次测量报告；业务态每秒2次计算测量报告,没有测量控制消息（PS呢） \| 网络侧下发测量控制，终端上报测量结果 \| 网络侧下发测量控制，终端上报测量结果 \| \| \| PS capability \| GPRS/EDGE multisolot \| HSDPA/HSUPA category \| downlink/upink category \| \| \| PS technology \| \| CA+MIMO +modulation,见category定义 \| CA+MIMO+ modulation,见category定义 \| \| \| CS capability \| GSM Full /Half rate/Enhanced Full Rate/AMR \| AMR \| CSFB or VOLTE (AMR NB or AMR WB) \| \| \| Channel Quality Indicator \| RXQUAL =0~7，愈大愈佳 \| CQI=0~31，愈大愈佳 \| CQI =0~15，愈大愈佳 \| 参考文献 [编辑] ^ Teixeira, Tania. Meet the man who invented the mobile phone. BBC News. 2010-04-23 [2021-07-02]. （原始内容存档于2015-03-25）. ^ 香港中古廣告: 獅球嘜送電話水壺(英雄本色)1987 –通过YouTube. ^ 网络语言．看谁跑得快？. 星洲网 (星洲日报). 2009-02-27. （原始内容存档于2019-05-02）（中文（马来西亚））. 相关阅读 [编辑] 移动电话辐射对健康的危害移动电话运营商列表移动电话网络移动电话密码移动应用程序中国大陆移动终端通信号码外部链接 [编辑] 维基导游上的相关旅行指南：移动电话 \| 查论编移动电话 \| \| 概括 \| 操作系统（比较） SMS 多媒体短讯垃圾信息（英语：Mobile phone spam）跟踪（英语：Mobile phone tracking）网页 + HTML5（英语：HTML5 in mobile devices） \| \| 软件 \| \| \| \| --- \| \| 应用 \| 飞行模式应用开发（英语：Mobile application development）应用发行平台窃听 Root 移动云计算（英语：Mobile cloud computing） \| \| 商务 \| 移动营销 + 手机广告行动支付 \| \| 内容 \| Push email 手机游戏行动学习手机音乐（英语：Mobile music）手机新闻（英语：Mobile news）即时短信本地搜索（英语：Mobile local search）本地追踪（英语：Mobile phone tracking） Telephony电话通讯（英语：Mobile telephony） \| \| 管理 \| 装置管理应用管理内容管理（英语：Mobile content management system） \| \| \| 手机文化 \| 手机吊饰手机漫画（英语：Mobile comic）手机约会（英语：Mobile_dating）日本手机文化手机小说电话铃声 SMS语（英语：SMS language）移动电视手机广告 \| \| 移动设备 \| 行动电话制造商 iOS Android Android装置列表 Windows Phone手提电话列表（英语：List of Windows phones）功能型手机相机手机智能手机平板手机手机规格智能手机列表 \| \| 环境卫生 \| 电子垃圾移动电话辐射和健康幽灵震动症候群 \| \| 法规 \| Carrier IQ（英语：Carrier IQ）行车安全（英语：Mobile phones and driving safety）拍照（英语：Photography and the law）开车时发短信（英语：Texting while driving）监狱（英语：Mobile phones in prison）电话窃听紧急短讯求助 HKSOS \| \| 网络 \| 信道容量手机频率（英语：Cellular frequencies）移动电话运营商列表手机信号 SIM卡 USIM卡手机标准列表（英语：Comparison of mobile phone standards） WAP XHTML MP VoIP VoLTE VoNR 时代：0G 1G 2G 2.5G 2.75G 3G 3.5G 3.9G 4G 4.5G 5G 6G \| \| 查论编计算机类别 \| \| 大型 \| 超级计算机次超级计算机大型计算机 \| \| 中小型 \| 中型计算机小型计算机超级小型电脑（英语：Superminicomputer）服务器视频录像机 \| \| 微型 \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| --- --- --- --- --- --- --- --- \| \| 个人电脑、移动设备与移动运算（英语：Mobile computing） \| \| \| \| --- \| \| 桌上型电脑 \| 工作站电竞电脑组装电脑家用电脑一体机个人超级电脑（英语：Personal supercomputer）小主机板（英语：Small form factor） + 迷你桌上型电脑 + POS机 Chromebox \| \| 笔记型电脑 \| 行动工作站二合一笔记本次笔记型电脑 + 小笔电 + Smartbook + 超极致笔电超级移动电脑电竞笔记本电脑平板电脑 Chromebook 智能学习机 \| \| 手持式个人电脑 \| 掌上型电脑（英语：Palm-size PC） Pocket computer（英语：Pocket computer） \| \| PDA \| Electronic organizer（英语：Electronic organizer）企业数位助理（英语：Enterprise digital assistant） Pocket PC RFID \| \| 移动终端 \| 功能型手机智能手机 + Rugged smartphone（英语：Rugged smartphone）平板手机可携式媒体播放器智能翻译机 \| \| 计算器 \| 科学计算机程式计算器（英语：Programmable calculator）图形计算器 \| \| 可穿戴式电脑 \| 电子手表 + 计算机手表（英语：Calculator watch） + 智能手表 + 运动手表（英语：GPS watch） + 智慧手环 Virtual retinal display（英语：Virtual retinal display）智能眼镜智慧指环（英语：Smart ring）头戴式显示器 + 抬头显示器 \| \| \| 小型网络计算机 \| 瘦客户端家用伺服器路由器交换机 NAS 防火墙打印服务器软路由器 \| \| 电子游戏机 \| 街机 Arcade cabinet（英语：Arcade cabinet）家用游戏机专用游戏机微型游戏机掌上游戏机 \| \| 影视用途产品 \| 智能音箱智能电视家庭剧院个人电脑机顶盒 \| \| 其他终端装置 \| 互动式机台 + 多媒体机台工业电脑自动柜员机可移动计算机电子阅读器车载电脑车载驾驶计算机可携式资料终端机（英语：Portable data terminal）/可行动式资料终端机（英语：Mobile data terminal） Plug computer（英语：Plug computer） \| \| \| 其他 \| 单片机奈米电脑（英语：Nanocomputer） Pizza box form factor（英语：Pizza box form factor）单板机组装电脑智能微尘无线感测网路嵌入式计算机销售时点情报系统 + 汽车导航系统无线射频辨识自动柜员机模板:主机板规格 \| \| 可折叠屏式计算机平台 \| 可折叠式功能手机可折叠式智能手机可折叠屏式计算机 \| \| 查论编 \| \| 类型 \| 固定电话移动电话卫星电话光通信 \| \| 联接方式 \| 电缆保护系统（英语：Cable protection system）通信卫星光纤通信自由空间光通信（英语：Free-space optical communication） ISDN 手机信号普通老式电话服务公共交换电话网海底电缆 IP电话 \| \| 通话 \| 未接来电打错电话（英语：Misdialed call）骚扰电话（英语：Nuisance call）电话标签（英语：Phone tag） \| \| 应用 \| 传真电话呼叫（英语：Telephone call）电话报纸（英语：Telephone newspaper）剧场电话（英语：Thétrophone）视频电话 \| \| 其他 \| 答录机来电显示 \| \| \| 检索自“ 分类：无线通信行动电话隐藏分类：自2015年6月需补充来源的条目拒绝当选首页新条目推荐栏目的条目含有明确引用中文的条目使用无数据行信息框模板的条目含有越南语的条目含有韩语的条目含有日语的条目自2013年5月需补充来源的条目使用小型讯息框的页面移动电话添加话题
9745	https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/0-306-48390-4_2.pdf	Advertisement Chemical Kinetics 1536 Accesses 57 Citations This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access. Access this chapter Subscribe and save Buy Now Tax calculation will be finalised at checkout Purchases are for personal use only Institutional subscriptions Preview Unable to display preview. Download preview PDF. Unable to display preview. Download preview PDF. References Books Atkins, P. & de Paula, J. (2002) Physical chemistry, 7th ed., Oxford University Press, Oxford. Google Scholar Cornish-Bowden, A. (1995) Fundamentals of enzyme kinetics, revised edition, Portland Press, London. Google Scholar Gutfreund, H. (1972) Enzymes: physical principles, Wiley-Interscience, London. Google Scholar Hammes, G.G. (1978) Principals of chemical kinetics, Academic Press, New York. Google Scholar Jencks, W.P. (1969) Catalysis in chemistry and enzymology, McGraw-Hill, New York [Also available as Catalysis in chemistry and enzymology (1986) Dover Publications, New York]. Google Scholar Mahler, H.R. & Cordes, E.H. (1966) Biological chemistry, Harper & Row, New York. Google Scholar Michaelis, L. (1922) Die Wasserstoffionenkonzentration, Springer-Verlag, Berlin. Google Scholar Moore, W.J. (1962) Physical chemistry, Prentice-Hall, New York. Google Scholar Moore, W.J. & Pearson, R.J. (1982) Kinetics and mechanism, 3rd ed., Wiley, New York. Google Scholar Panchenkov, V. & Lebedev, A. (1976) Chemical kinetics, Mir, Moscow. Google Scholar Plowman, K.N. (1972) Enzyme kinetics, McGraw-Hill Book Company, New York. Google Scholar Schulz, A.G. (1994) Enzyme kinetics, Cambridge University Press, Cambridge. Google Scholar Streitwieser, A. & Heathcock, C.H. (1998) Introduction to organic chemistry, 4th ed., Prentice Hall, New York. Google Scholar Van’t Hoff, J. H. (1884) Etudes de Dynamiques Chimique, Muller, Amsterdam. Google Scholar Zubay, G. (1988) Biochemistry, 2nd ed., McMillan, New York. Google Scholar Review articles Cleland, W.W. & Northrop, D.B. (1999) Methods Enzymol. 308, 3–27. CAS Google Scholar Fierke, C.A. & Hammes, G.G (1995) Methods Enzymol. 249, 3–37. CAS Google Scholar Specific references Arrhenius, S. (1889) Z. Physik. Chem. 4, 226–248. Google Scholar Brönsted, J.N. (1925) Rec. Trav, Chim. Pays-Bas 42, 718–728. Google Scholar Eyring, H. (1935) J. Phys. Chem. 3, 107–115. CAS Google Scholar Eyring, H. (1935) Chem. Rev. 17, 65–90. Article CAS Google Scholar Guggenheim, E.A. (1926) Philos. Mag. Ser. VII 2, 538–543. CAS Google Scholar Harcourt, A.V. (1867) J. Chem. Soc. 20, 460–492. Article Google Scholar Hasselbalch, H. (1916) Biochem. Z. 78, 112–120. CAS Google Scholar Henderson, L.J.(1908) Am. J. Physiol. 21, 169–180. CAS Google Scholar Sørensen, A. (1909) C. R. Trav. Lab. Carlsberg 8, 1–168. Google Scholar Swinbourne, E.S. (1960) J. Chem. Soc., 2371–2372. Google Scholar Download references Rights and permissions Reprints and permissions Copyright information © 2004 Kluwer Academic Publishers About this chapter Cite this chapter (2004). Chemical Kinetics. In: Comprehensive Enzyme Kinetics. Springer, Boston, MA. Download citation DOI: Publisher Name: Springer, Boston, MA Print ISBN: 978-0-306-46712-7 Online ISBN: 978-0-306-48390-5 eBook Packages: Springer Book Archive Share this chapter Anyone you share the following link with will be able to read this content: Sorry, a shareable link is not currently available for this article. Provided by the Springer Nature SharedIt content-sharing initiative Keywords These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves. Publish with us Policies and ethics Access this chapter Subscribe and save Buy Now Tax calculation will be finalised at checkout Purchases are for personal use only Institutional subscriptions Search Navigation Discover content Publish with us Products and services Our brands 3.91.68.61 Not affiliated © 2025 Springer Nature
9746	https://it.wikipedia.org/wiki/Decadimento_esponenziale	Decadimento esponenziale - Wikipedia Vai al contenuto [x] Menu principale Menu principale sposta nella barra laterale nascondi Navigazione Pagina principale Ultime modifiche Una voce a caso Nelle vicinanze Vetrina Aiuto Sportello informazioni Pagine speciali Comunità Portale Comunità Bar Il Wikipediano Contatti Ricerca Ricerca [x] Aspetto Fai una donazione registrati entra [x] Strumenti personali Fai una donazione registrati entra Indice sposta nella barra laterale nascondi Inizio 1 Equazione del decadimento esponenziale 2 Concetti derivatiAttiva/disattiva la sottosezione Concetti derivati 2.1 Vita media 2.2 Decadimento in più fasi 2.3 Tempo di dimezzamento 3 Applicazioni nelle scienze naturali 4 Note 5 Voci correlate 6 Collegamenti esterni [x] Mostra/Nascondi l'indice Decadimento esponenziale [x] 31 lingue العربية Беларуская Bosanski Català Dansk Deutsch English Esperanto Español Eesti فارسی Suomi Français עברית हिन्दी Hrvatski 日本語 ქართული Қазақша 한국어 Nederlands Polski Português Русский Slovenščina Српски / srpski Svenska Українська Tiếng Việt 中文粵語 Modifica collegamenti Voce Discussione [x] italiano Leggi Modifica Modifica wikitesto Cronologia [x] Strumenti Strumenti sposta nella barra laterale nascondi Azioni Leggi Modifica Modifica wikitesto Cronologia Generale Puntano qui Modifiche correlate Link permanente Informazioni pagina Cita questa voce Ottieni URL breve Scarica codice QR Stampa/esporta Crea un libro Scarica come PDF Versione stampabile In altri progetti Elemento Wikidata Aspetto sposta nella barra laterale nascondi Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Rappresentazione grafica di decadimenti con costanti di tempo di 25, 5, 1, 1/5, e 1/25. Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente. Equazione del decadimento esponenziale [modifica \| modifica wikitesto] Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale d N(t)d t=−λ N(t).{\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).} dove λ è un numero detto costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è: N(t)=N 0 e−λ t.{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.} dove N(t){\displaystyle N(t)} è la quantità al tempo t{\displaystyle t}, e N 0=N(0){\displaystyle N_{0}=N(0)} è la quantità iniziale, al tempo t=0{\displaystyle t=0}. In alternativa si può scrivere N(t)=N 0 e−t/τ{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }} dove: τ=1 λ{\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}} è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%. L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere d N(t)N(t)=−λ d t{\displaystyle {\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda \,dt} integrando si ottiene ln⁡N(t)=−λ t+C{\displaystyle \ln N(t)=-\lambda t+C} dove C è la costante di integrazione, e quindi N(t)=e C e−λ t=N 0 e−λ t{\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}} dove la sostituzione finale N 0=e C{\displaystyle N_{0}=e^{C}} è ottenuta valutando l'equazione al tempo t=0{\displaystyle t=0}. Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con N(t){\displaystyle N(t)} la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s−1. Concetti derivati [modifica \| modifica wikitesto] Vita media [modifica \| modifica wikitesto] Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media τ{\displaystyle \tau } è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso. Data la quantità di elementi N(t)=N 0 e−λ t{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}} si ha: 1=∫0∞c⋅N 0 e−λ t d t=c⋅N 0 λ{\displaystyle 1=\int {0}^{\infty }c\cdot N{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}} con c costante di normalizzazione: c=λ N 0{\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}} Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti: τ=⟨t⟩=∫0∞t⋅c⋅N 0 e−λ t d t=∫0∞λ t e−λ t d t=1 λ{\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int {0}^{\infty }t\cdot c\cdot N{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}} Decadimento in più fasi [modifica \| modifica wikitesto] Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi: −d N(t)d t=N λ 1+N λ 2=(λ 1+λ 2)N.{\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda {1}+N\lambda {2}=(\lambda {1}+\lambda {2})N.} La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei λ 1+λ 2{\displaystyle \lambda {1}+\lambda {2}} è trattata come una nuova costante di decadimento totale λ c{\displaystyle \lambda _{c}}. N(t)=N 0 e−(λ 1+λ 2)t=N 0 e−(λ c)t.{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.} Dal momento che τ=1/λ{\displaystyle \tau =1/\lambda }: 1 τ c=λ c=λ 1+λ 2=1 τ 1+1 τ 2{\displaystyle {\frac {1}{\tau {c}}}=\lambda {c}=\lambda {1}+\lambda {2}={\frac {1}{\tau {1}}}+{\frac {1}{\tau {2}}}}τ c=τ 1 τ 2 τ 1+τ 2.{\displaystyle \tau {c}={\frac {\tau {1}\tau {2}}{\tau {1}+\tau _{2}}}.\,} Tempo di dimezzamento [modifica \| modifica wikitesto] Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula: t 1/2=ln⁡2 λ=τ ln⁡2{\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2} La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo: N(t)=N 0 e−λ t{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}} Definendo t 1/2{\displaystyle t_{1/2}} in tempo in cui il numero N 0{\displaystyle N_{0}} si dimezza, si pone: N(t 1/2)=N 0 e−λ t 1/2=N 0 2{\displaystyle N(t_{1/2})=N_{0}e^{-\lambda t_{1/2}}={\frac {N_{0}}{2}}} Esplicitando t 1/2{\displaystyle t_{1/2}} si ottiene la formula del tempo di dimezzamento. Nel caso di due processi si ha T 1/2=t 1 t 2 t 1+t 2=ln⁡2 λ c=ln⁡2 λ 1+λ 2{\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}\,={\frac {\ln 2}{\lambda {c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda {1}+\lambda {2}}}} dove t 1{\displaystyle t{1}} è il tempo di dimezzamento del primo processo, e t 2{\displaystyle t_{2}} del secondo. Nel caso di tre processi, infine: T 1/2=t 1 t 2 t 3(t 1 t 2)+(t 1 t 3)+(t 2 t 3)=ln⁡2 λ c=ln⁡2 λ 1+λ 2+λ 3{\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}={\frac {\ln 2}{\lambda {c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda {1}+\lambda {2}+\lambda {3}}}} Applicazioni nelle scienze naturali [modifica \| modifica wikitesto] In un radionuclide che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale. Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, il calo di temperatura segue un decadimento esponenziale. Nei circuiti RC la carica elettrica contenuta in un condensatore carico e posto su una resistenza decade esponenzialmente; in questo caso la costante di tempo è τ = R·C Note [modifica \| modifica wikitesto] ^ Giorgio Bendiscioli, Fenomeni radioattivi, Springer, ISBN978-88-470-5452-3. p. 5 ^ Mazzoldi Paolo, Nigro Massimo, Voci Cesare, Fisica (Volume II), EdiSES, ISBN88-7959-152-5. p. 188-190 Voci correlate [modifica \| modifica wikitesto] Funzione esponenziale Collegamenti esterni [modifica \| modifica wikitesto] (EN) exponential decay, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. (EN) Eric W. Weisstein, Exponential Decay, su MathWorld, Wolfram Research. Portale Fisica Portale Matematica Estratto da " Categoria: Funzioni speciali Categorie nascoste: Senza fonti - matematica Senza fonti - luglio 2017 P1417 letta da Wikidata P2812 letta da Wikidata Questa pagina è stata modificata per l'ultima volta il 7 lug 2023 alle 12:42. Il testo è disponibile secondo la licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo; possono applicarsi condizioni ulteriori. Vedi le condizioni d'uso per i dettagli. Informativa sulla privacy Informazioni su Wikipedia Avvertenze Codice di condotta Sviluppatori Statistiche Dichiarazione sui cookie Versione mobile Ricerca Ricerca [x] Mostra/Nascondi l'indice Decadimento esponenziale 31 lingueAggiungi argomento
9747	https://math.stackexchange.com/questions/2088110/equidistribution-modulo-1-of-certain-exponential-functions	Skip to main content Equidistribution modulo 1 of certain exponential functions Ask Question Asked Modified 8 years, 7 months ago Viewed 672 times This question shows research effort; it is useful and clear 2 Save this question. Show activity on this post. One says that a sequence (sn)n∈N is equidistributed modulo 1 if for every 0≤a<b<1, one has that 1N#{1≤n≤N : a≤{sn}≤b}→b−a as N→∞. Here {x}:=x−⌊x⌋ denotes the fractional part of x∈R. Weyl a long time ago came up with a popular criterion, which states that (sn) is equidistributed mod 1 iff for every fixed non-zero integer h, 1N∑n=1Ne(hsn)→0 as N→∞. Here e(x):=e2πix. Using this he for instance proved that the sequence (αn)n∈N is equidistributed mod 1 for any fixed irrational α. I was wondering if it is known that, given a fixed integer k≥2 and an irrational number α, the sequence (αkn)n∈N is equidistributed mod 1? Thanks. analysis fourier-analysis analytic-number-theory additive-combinatorics equidistribution Share CC BY-SA 3.0 Follow this question to receive notifications asked Jan 7, 2017 at 22:48 user152169user152169 2,0331414 silver badges2323 bronze badges Add a comment \| 1 Answer 1 Reset to default This answer is useful 3 Save this answer. Show activity on this post. From the Wikipedia page on normal numbers we learn that the sequence {αkn} is equidistributed modulo 1 if and only if α is a normal number to base k. In general, it is very difficult to show that a given real number is normal, and essentially the only explicit examples of normal real numbers are artificial constructions like Champernowne's constant. If you are interested in exponential sums ∑n≤Ne(αkn) where α is a rational number, there are techniques for estimating such sums. This recent preprint might be a good place to start. Share CC BY-SA 3.0 Follow this answer to receive notifications answered Jan 10, 2017 at 1:03 user397701user397701 70344 silver badges99 bronze badges 2 Thanks a lot. I wasn't aware of normal numbers and how little is known about them. Interesting. Also a little intriguing given that kx is a smooth function of x... I imagine, in the Euler-Maclaurin formula, that the integral term which has the derivative of αkx as part of the integrand, will yield a large error with the typical methods non? – user152169 Commented Jan 10, 2017 at 3:18 1 Yes. Euler-Maclaurin summation is really only useful for functions with small derivatives. – user397701 Commented Jan 10, 2017 at 3:45 Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions analysis fourier-analysis analytic-number-theory additive-combinatorics equidistribution See similar questions with these tags. Featured on Meta Community help needed to clean up goo.gl links (by August 25) Linked 1 First digits of the iterated powers of 2 1 Density of power of some transcendental number Related 2 Weyl Equidistribution Theorem and a Limit 4 Are polynomials modulo 1 equidistributed? 0 Two questions about pseudo equidistributed sequences modulo 1 3 reduce to the case [0,1] in equidistribution modulo 1 1 Potential enhancement of the equidistribution theorem 2 Equidistribution theorem in two dimension 1 Equidistribution of Polynomials with At Least One Irrational Coeﬃcients 0 Proving equidistribution of a certain sequence modulo 1 Hot Network Questions Modifying structures based on imaginary frequencies in Avogadro2 Two Card Betting Game: Asymmetrical Problem How are the crosswords made for mass-produced puzzle books? Make a square tikzcd diagram Non-committing? Have we been using deniable authenticated encryption all along? Polynomial-Time Algorithms for Canonical Form of Ternary Matrices under Row/Column Permutations and Column Negations SciFi story about father and son after world is destroyed Why do word beginnings with X take a /z/ sound in English? NMinimize behaves strangely for this simple problem Why does Wittgenstein use long, step-by-step chains of reasoning in his works? In "Computer Networks:A Top Down Approach" - can multiple applications using the same protocol use its designated port? Why does a hybrid car have a second small battery? Prepare for Connected App Usage Restrictions - connected app is not packaged yet, adding causes duplicates Are there good reasons for keeping two heating oil tanks in my home? How do proponents of the doctrine of Eternal Security explain the evidence of lifelong Christians renouncing their faith? Will NASA send Juno to investigate 3i/Atlas? What is the principle of non-liability in the European Union wrt the US Section 230 and social media? Need help understanding the value of this infinite continued fraction intuitively Half-Life 1 launches on the wrong monitor and outside of the screen Do I thank an ex-supervisor in my acknowledgements who was removed from my panel? Question regarding Mishnah Berachos 1:2 Why do we introduce the continuous functional calculus for self-adjoint operators? Film about alien spaceships ominously hovering over Earth, only to form a shield to protect it Which fields satisfy first-order induction? more hot questions Question feed By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device.
9748	https://www.youtube.com/watch?v=mQTPlFSiMvw	Moody Chart Summary David Lampert 878 subscribers 4 likes Description 418 views Posted: 5 Apr 2025 This video summarizes the theory underlying the Moody Chart that is used to estimate the friction factor for pipe head loss calculations. There are four flow regimes represented by the Moody Chart: laminar, turbulent in a smooth pipe, turbulent in a rough pipe, and turbulent transition. The chart shows the dimensionless friction factor in the Darcy-Weisbach Equation as a function of the dimensionless relative roughness and dimensionless Reynolds number. Transcript: Okay. So, we're here talking about uh pipe flow for CA302 and I'm making uh some videos here for you to watch for Monday's class to replace the lecture since I will be out of town. And I thought I would just start by kind of summarizing where we were at again with the Moody chart. So, remember that um we talked about how there's all these different kinds of flow scenarios. So we have laminer flow and then we have turbulent flow. Okay. And so in the Moody chart we have the Reynolds number on the X- axis. Low Reynolds number is laminer flow. High Reynolds number is turbulent. In between we have this critical zone where it transitions. And so the low values here are laminer and remember the friction factor in that situation is 64 over the Reynolds number. And it's so it's a straight line here on this log log graph. and the friction factors are here on the left side. So again we to use the Moody chart we read where the Reynolds number is and then we need to find the relative roughness. So the friction factor is a dimensionless number and it's a function of two other dimensionless numbers. So this is a an example of how we use dimensional analysis. So we find the relative roughness one dimensional number here one of these dark lines and we may have to kind of draw one in if we're in between like between these two would be 0.005 05 and then we follow that over to where we're at the Reynolds number here on the x- axis and then we read the friction factor from the left side. So that's how we use this. And so again laminer flow is here on the left side and then turbulent past this critical zone. And so for for turbulent then there's three different possibilities. We have the rough pipe complete turbulence where these lines are all flat and that's to the right of the dash line. Okay? You can see how they all flatten out once you're on this once you reach the dash line. Maybe a little bit to the left of it even. And then so that's where um the boundary layer is small compared with the roughness height of the material on the edge of the pipe. And then we have the other extreme is the smooth pipe. So we're still talking about turbulent flow where the boundary layer is the key thing. But that boundary layer then is um a lot bigger than the roughness height. And that's this line here. They all kind of collapse towards the this smooth pipe line here on the edge of the Moody chart. Okay, they all start to look like a smooth pipe once you get to low enough Reynolds number. And then in between we have uh the region where both the roughness height and the boundary layer thickness are important. Okay, that's in between. So there's a different equation for the different cases. The Moody chart puts all that together and so you need to learn how to use it. Okay, so that's the Moody chart. Um, and again, those are for the different kinds and that talked about how to use it. And so then we talked about in doing pipe flow problems in turbulent flow in particular, it's tricky because we have to um know the Reynolds number and the relative roughness in order to get the friction factor. And so there's really five I I would I would say there's about five variables that we could solve for. And the first one is the properties of a fluid given the other four. So there's five variables. Fluid properties, the pipe properties, the pressure, the flow rate, and the diameter. Okay. Uh the first two are things we typically look up. So you're rarely solving for these two. They're usually given. The other three then are the things that you often are solving for in engineering applications. So we want to know how much pressure or head loss there's going to be given a certain flow rate and pipe. And then we may also want to know how much flow can we get if we know the head loss in this situation and the pipe. How much flow do we get? And then we may also need to compute what diameter is required to get the flow given how much head we have available. So these are the three different kinds of problems. And so then last time I in class I talked about how to calculate the head loss and then we went through and did the flow rate. And then the next video I I'll do is on how to solve for the pipe diameter. And this one is the hardest because the pipe diameter is a variable for the relative roughness and for the Reynolds number. So when you don't know either one of those things, it makes it more difficult to figure out what the friction factor is, but you can do it. Okay, so that'll be the first video and then we'll talk about how to use a computer to do these and then we will talk about an alternative to the Darcy Weisbach equation and friction factor approach uh in the last video. And so uh in this class we we're going to emphasize the Darcy Weisbach approach with the dimensional analysis like we did here. There are some other equations that are easier to use and um you may see those in engineering practice so you should be familiar with them. But but in here you need to use this equation unless you're specifically told to use one of those other ones. Okay.
9749	https://www.omnicalculator.com/math/is-modulo-associative	Is Modulo Multiplication and Addition Associative, Distributive, and Commutative? Website Anna Szczepanek, PhD is a mathematician at the Faculty of Mathematics and Computer Science of the Jagiellonian University in Kraków, where she researches mathematical physics and applied mathematics. At Omni, Anna uses her knowledge and programming skills to create math and statistics calculators. In her free time, she enjoys hiking and reading. See full profile LinkedIn Website A self-described nerd, Rijk is passionate about making a positive difference in the lives of Omni’s users. He’s an avid programmer, musician, and board game player, and both his calculators and side-projects reflect his hobbies. He believes that any problem can be solved with the right set of equations and a few lines of code. See full profile Let's discuss the algebraic properties of the integer modulo addition and multiplication operations — their associativity, distributivity, and commutativity. We will also briefly explain what each of these properties means in algebra. Addition and multiplication modulo n Select a non-zero integer n. The symbol [x] will denote the set of all integers congruent to x mod n, i.e. the numbers of the form x + ny, where y is an integer. n [x] x mod n x + ny y The "addition modulo n" operation is defined as [a]+[b] = [a+b]. In other words: n [a]+[b] = [a+b] (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n. (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n The "multiplication modulo n" operation is defined as [a][b] = [ab]. So: n [a][b] = [ab] (a b) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n. (a b) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n We will now discuss various properties of both these modular operations. Is modular arithmetic associative? Associativity means that the result will not change when we rearrange the parentheses in an expression. It turns out that: Modulo addition is associative: ([x] + [y]) + [z] = [x] + ([y] + [z]) ([x] + [y]) + [z] = [x] + ([y] + [z]) Modular multiplication is also associative: ([x] [y]) [z] = [x] ([y] [z]) ([x] [y]) [z] = [x] ([y] [z]) In the next section, we will show you how to prove that modular multiplication is associative. 💡 Check our associative property calculator first to understand this subject better. Proof that multiplication modulo n is associative We will now prove that ([x] [y]) [z] = [x] ([y] [z]). ([x] [y]) [z] = [x] ([y] [z]) Let's start from the left-hand side. Below, each line is equivalent to the preceding one. ([x] [y]) [z] ([x] [y]) [z] By the definition of modular multiplication, we get: ([x y]) [z] ([x y]) [z] Again by the definition of modular multiplication: [(x y) z] [(x y) z] We use the associativity of the multiplication of real numbers: [x (y z)] [x (y z)] By the definition of modular multiplication again, we get: [x] ([y z]) [x] ([y z]) Again by the same definition: [x] ([y] [z]) [x] ([y] [z]) And look, we have arrived at the right-hand side. Hence, we have proved that multiplication modulo n is associative! n Is modulo arithmetic commutative? Commutativity means that the result will not change when we change the order of the operands. One can easily show that: Modulo addition is commutative: [x] + [y] = [y] + [x]) [x] + [y] = [y] + [x]) Modular multiplication is also commutative: [x] [y] = [y] [x] [x] [y] = [y] [x] The proof is very similar to what we've seen above for associativity. This time, you'll need to use the fact that the multiplication/addition of real numbers is commutative. Is modulus function distributive? Distributivity is a property that involves both addition and multiplication at once. We say that multiplication distributes over addition if instead of multiplying a sum of several terms by a factor, we can multiply each summand by this factor individually and then add these partial results together to obtain the final answer. So, for example, 512 = 5(10+2) = 510 + 52 = 60. 512 = 5(10+2) = 510 + 52 = 60 It turns out that modular multiplication is distributive over addition: ([x] + [y]) [z] = [x] [z] + [y] [z] ([x] + [y]) [z] = [x] [z] + [y] [z] and [x] ([y] + [z]) = [x] [y] + [x] [z] [x] ([y] + [z]) = [x] [y] + [x] [z] In proving this, you'll need to evoke the fact that for real numbers, multiplication distributes over addition. 🙋 Our distributive property calculator will clear every doubt you have about the distributive property! Related calculators x mod y = r x mod y = r x (dividend) y (divisor) r (remainder) Did we solve your problem today? Yes No Check out 77 similar arithmetic calculators ➗ Absolute change Absolute value Adding and subtracting fractions
9750	https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/8932827/	Hereditary spherocytosis: a review of the clinical and molecular aspects of the disease - PubMed Clipboard, Search History, and several other advanced features are temporarily unavailable. Skip to main page content An official website of the United States government Here's how you know The .gov means it’s official. Federal government websites often end in .gov or .mil. Before sharing sensitive information, make sure you’re on a federal government site. The site is secure. The https:// ensures that you are connecting to the official website and that any information you provide is encrypted and transmitted securely. Log inShow account info Close Account Logged in as: username Dashboard Publications Account settings Log out Access keysNCBI HomepageMyNCBI HomepageMain ContentMain Navigation Search: Search AdvancedClipboard User Guide Save Email Send to Clipboard My Bibliography Collections Citation manager Display options Display options Format Save citation to file Format: Create file Cancel Email citation Email address has not been verified. Go to My NCBI account settings to confirm your email and then refresh this page. To: Subject: Body: Format: [x] MeSH and other data Send email Cancel Add to Collections Create a new collection Add to an existing collection Name your collection: Name must be less than 100 characters Choose a collection: Unable to load your collection due to an error Please try again Add Cancel Add to My Bibliography My Bibliography Unable to load your delegates due to an error Please try again Add Cancel Your saved search Name of saved search: Search terms: Test search terms Would you like email updates of new search results? Saved Search Alert Radio Buttons Yes No Email: (change) Frequency: Which day? Which day? Report format: Send at most: [x] Send even when there aren't any new results Optional text in email: Save Cancel Create a file for external citation management software Create file Cancel Your RSS Feed Name of RSS Feed: Number of items displayed: Create RSS Cancel RSS Link Copy Full text links Elsevier Science Full text links Actions Cite Collections Add to Collections Create a new collection Add to an existing collection Name your collection: Name must be less than 100 characters Choose a collection: Unable to load your collection due to an error Please try again Add Cancel Permalink Permalink Copy Display options Display options Format Page navigation Title & authors Abstract Similar articles Cited by Publication types MeSH terms Substances Related information Grants and funding LinkOut - more resources Review Blood Rev Actions Search in PubMed Search in NLM Catalog Add to Search . 1996 Sep;10(3):129-47. doi: 10.1016/s0268-960x(96)90021-1. Hereditary spherocytosis: a review of the clinical and molecular aspects of the disease H Hassoun1,J Palek Affiliations Expand Affiliation 1 Department of Biomedical Research, St. Elizabeth's Medical Center of Boston, Tufts University Medical School, MA 02135, USA. PMID: 8932827 DOI: 10.1016/s0268-960x(96)90021-1 Item in Clipboard Review Hereditary spherocytosis: a review of the clinical and molecular aspects of the disease H Hassoun et al. Blood Rev.1996 Sep. Show details Display options Display options Format Blood Rev Actions Search in PubMed Search in NLM Catalog Add to Search . 1996 Sep;10(3):129-47. doi: 10.1016/s0268-960x(96)90021-1. Authors H Hassoun1,J Palek Affiliation 1 Department of Biomedical Research, St. Elizabeth's Medical Center of Boston, Tufts University Medical School, MA 02135, USA. PMID: 8932827 DOI: 10.1016/s0268-960x(96)90021-1 Item in Clipboard Full text links Cite Display options Display options Format Abstract Hereditary spherocytosis is a common and very heterogeneous hemolytic anemia caused by defects of the red cell membrane proteins. In recent years, major advances in our understanding of the red cell membrane skeleton and a better characterization of its individual components have allowed a brighter insight into the pathogenesis of the disease. In this article, we present an overview of the erythrocyte skeleton and its individual constituents. We also review the clinical aspects of the disease and describe the currently known molecular defects involving the membrane proteins which have been shown to play an essential role in the underlying mechanism of hereditary spherocytosis. Finally we examine several models that have been proposed in an attempt to clarify the mechanism leading from the initial molecular insult to the clinical phenotype. PubMed Disclaimer Similar articles [Disorders of the membrane skeleton of erythrocytes in hereditary spherocytosis and elliptocytosis: significance of the molecular defect for pathogenesis and clinical severity].Eber SW.Eber SW.Klin Padiatr. 1991 Jul-Aug;203(4):284-95. doi: 10.1055/s-2007-1025443.Klin Padiatr. 1991.PMID: 1942935 Review.German. [Hereditary diseases of erythrocyte membrane: from clinical aspects to underlying genetical and molecular mechanisms].Bichis M, Huber AR.Bichis M, et al.Ann Biol Clin (Paris). 2000 May-Jun;58(3):277-89.Ann Biol Clin (Paris). 2000.PMID: 10846232 Review.French. [Hereditary spherocytosis: one year study of erythrocyte membrane proteins].Tshilolo L, Kagambega F, Sztern B, Vertongen F, Gulbis B.Tshilolo L, et al.Rev Med Brux. 1998 Oct;19(5 Pt 1):417-23.Rev Med Brux. 1998.PMID: 9844481 French. Hemolytic anemias due to abnormalities in red cell spectrin: a brief review.Lux SE, Wolfe LC, Pease B, Tomaselli MB, John KM, Bernstein SE.Lux SE, et al.Prog Clin Biol Res. 1981;45:159-68.Prog Clin Biol Res. 1981.PMID: 7017750 Review.No abstract available. Update on the clinical spectrum and genetics of red blood cell membrane disorders.Gallagher PG.Gallagher PG.Curr Hematol Rep. 2004 Mar;3(2):85-91.Curr Hematol Rep. 2004.PMID: 14965483 Review. See all similar articles Cited by Hereditary spherocytosis: evaluation of 68 children.Konca Ç, Söker M, Taş MA, Yıldırım R.Konca Ç, et al.Indian J Hematol Blood Transfus. 2015 Mar;31(1):127-32. doi: 10.1007/s12288-014-0379-z. Epub 2014 Apr 11.Indian J Hematol Blood Transfus. 2015.PMID: 25548458 Free PMC article. The molecular basis of disorders of the red cell membrane.McMullin MF.McMullin MF.J Clin Pathol. 1999 Apr;52(4):245-8. doi: 10.1136/jcp.52.4.245.J Clin Pathol. 1999.PMID: 10474512 Free PMC article.Review.No abstract available. [Correlation of the degree of band 3 protein absence on erythrocyte membrane by eosin-5'-maleimide binding test and clinical phenotype in hereditary spherocytosis].Peng GX, Yang WR, Jing LP, Zhang L, Zhou K, Li Y, Ye L, Li Y, Li JP, Fan HH, Song L, Zhao X, Wu ZJ, Yang Y, Xiong YZ, Wang HJ, Zhang FK.Peng GX, et al.Zhonghua Xue Ye Xue Za Zhi. 2017 Jun 14;38(6):537-541. doi: 10.3760/cma.j.issn.0253-2727.2017.06.014.Zhonghua Xue Ye Xue Za Zhi. 2017.PMID: 28655100 Free PMC article.Chinese. Clinical manifestation and phenotypic analysis of novel gene mutation in 28 Chinese children with hereditary spherocytosis.Xie F, Lei L, Cai B, Gan L, Gao Y, Liu X, Zhou L, Jiang J.Xie F, et al.Mol Genet Genomic Med. 2021 Apr;9(4):e1577. doi: 10.1002/mgg3.1577. Epub 2021 Feb 23.Mol Genet Genomic Med. 2021.PMID: 33620149 Free PMC article. Extramedullary hematopoiesis at the posterior mediastinum in patient with hereditary spherocytosis: a case report.Yeom SY, Lim JH, Han KN, Kang CH, Park IK, Kim YT.Yeom SY, et al.Korean J Thorac Cardiovasc Surg. 2013 Apr;46(2):156-8. doi: 10.5090/kjtcs.2013.46.2.156. Epub 2013 Apr 9.Korean J Thorac Cardiovasc Surg. 2013.PMID: 23614106 Free PMC article. See all "Cited by" articles Publication types Research Support, U.S. Gov't, P.H.S. Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Review Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search MeSH terms Humans Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Membrane Proteins / genetics Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Mutation Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Spectrin / genetics Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Spherocytosis, Hereditary / genetics Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Spherocytosis, Hereditary / physiopathology Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Substances Membrane Proteins Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Spectrin Actions Search in PubMed Search in MeSH Add to Search Related information MedGen Grants and funding HL27215/HL/NHLBI NIH HHS/United States HL37462/HL/NHLBI NIH HHS/United States K08 HL02720/HL/NHLBI NIH HHS/United States LinkOut - more resources Full Text Sources Elsevier Science Full text links[x] Elsevier Science [x] Cite Copy Download .nbib.nbib Format: Send To Clipboard Email Save My Bibliography Collections Citation Manager [x] NCBI Literature Resources MeSHPMCBookshelfDisclaimer The PubMed wordmark and PubMed logo are registered trademarks of the U.S. Department of Health and Human Services (HHS). Unauthorized use of these marks is strictly prohibited. Follow NCBI Connect with NLM National Library of Medicine 8600 Rockville Pike Bethesda, MD 20894 Web Policies FOIA HHS Vulnerability Disclosure Help Accessibility Careers NLM NIH HHS USA.gov
9751	https://math.stackexchange.com/questions/248377/probability-that-z-precedes-both-a-and-b-in-the-permutation	Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Probability that z precedes both a and b in the permutation? Ask Question Asked Modified 11 years, 10 months ago Viewed 7k times 3 $\begingroup$ What is the probability of the event that z precedes both a and b when we randomly select a permutation of the 26 lowercase letters of the English alphabet? Currently, my thoughts are: P(25,25)x24 There are p(25,25) ways to get certain letters of the alphabet 24 ways to place z, it can't be in the last 2 spots since it has to precede a and b. probability Share asked Dec 1, 2012 at 0:54 user1234440user1234440 54122 gold badges77 silver badges1313 bronze badges $\endgroup$ 1 $\begingroup$ You have ruled out some ways to place $z$, but it is obviously possible to place $z$ somewhere in the first 24 spots without it preceding $a$ and $b$. So there is no hope that your strategy can be correct, since you are counting combinations that do not belong. $\endgroup$ Erick Wong – Erick Wong 2012-12-01 03:03:11 +00:00 Commented Dec 1, 2012 at 3:03 Add a comment \| 2 Answers 2 Reset to default 6 $\begingroup$ There are $6$ permutations of our set of $3$ letters. In $2$ of them, z precedes both a and b, so the probability is $\dfrac{2}{6}$. The locations of the other letters is irrelevant. If this is not obvious, note that given any specific locations for the other $23$ letters, all of the $3!$ orders of our target letters are equally likely, and $2$ of these orders, z, a, b and z, b, a satisfy our condition. Remark: One can also do it the hard(er) way. There are $26!$ permutations of the letters, all equally likely. Now we count the permutations in which $z$ precedes $a$ and $b$. There are $\dbinom{26}{3}$ ways to decide on the set of locations that will be occupied by the set of letters a, b, c. Once we have done that, there are $2$ ways to arrange a, b, and z in these locations so that z is first. And then there are $23!$ ways to arrange the remaining letters. So our probability is $$\frac{\binom{26}{3}(2)(23!)}{26!}.$$ This simplifies to $\dfrac{1}{3}$. Share edited Nov 24, 2013 at 5:39 answered Dec 1, 2012 at 0:56 André NicolasAndré Nicolas 515k4747 gold badges584584 silver badges1k1k bronze badges $\endgroup$ 4 1 $\begingroup$ One of the three letters must come first, and each has an equal chance! $\endgroup$ hardmath – hardmath 2012-12-01 01:10:02 +00:00 Commented Dec 1, 2012 at 1:10 $\begingroup$ I liked your showing the "hard(er) way" gives the same answer. I suspect the OP learns most when the agreement between the shortcut and cumbersome approaches is laid bare. $\endgroup$ hardmath – hardmath 2012-12-02 01:12:16 +00:00 Commented Dec 2, 2012 at 1:12 $\begingroup$ What am I missing here... C(26, 3) = 2600, 26002 = 5200, 5200/26! is obviously not 1/3. Is C(26, 3) not the same as (26 3)? $\endgroup$ Colton – Colton 2013-11-24 04:23:35 +00:00 Commented Nov 24, 2013 at 4:23 $\begingroup$ @Colton: Thanks, you are not missing anything. The $23!$ was in the text but not in the displayed formula. Fixed. $\endgroup$ André Nicolas – André Nicolas 2013-11-24 05:41:55 +00:00 Commented Nov 24, 2013 at 5:41 Add a comment \| 2 $\begingroup$ By symmetry, each of a, b, z is equally likely to be the one that precedes the other two. So the probability is $1/3$. Share answered Dec 1, 2012 at 1:11 Michael HardyMichael Hardy 1 $\endgroup$ 1 $\begingroup$ Better!${}{}{}{}{}{}{}$ $\endgroup$ André Nicolas – André Nicolas 2012-12-01 01:14:20 +00:00 Commented Dec 1, 2012 at 1:14 Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions probability See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Related 1 Probability and Permutation with Repetition 3 Probability that randomly chosen letters are both distinct and ordered 1 How do I find the probability of specified events from a permutation of the 26 english letters? 2 Probability and Combinatorics without replacement Does combination needed to be considered in fixed sequence? 0 Confusing probability question, please help me 0 combinatorics probability of selected letters from the alphabet 2 What is the probability of the events when we randomly select a permutation of ${1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ 2 What is the probability of these events when we randomly select a permutation of {1, 2, 3, 4}? Hot Network Questions What is the meaning of 率 in this report? Determine which are P-cores/E-cores (Intel CPU) The rule of necessitation seems utterly unreasonable Is it ok to place components "inside" the PCB is the following argument valid? Is it possible that heinous sins result in a hellish life as a person, NOT always animal birth? An odd question "Unexpected"-type comic story. Aboard a space ark/colony ship. Everyone's a vampire/werewolf How to design a circuit that outputs the binary position of the 3rd set bit from the right in an 8-bit input? Is this commentary on the Greek of Mark 1:19-20 accurate? Is existence always locational? how do I remove a item from the applications menu The altitudes of the Regular Pentagon Do sum of natural numbers and sum of their squares represent uniquely the summands? What is this chess h4 sac known as? Are there any alternatives to electricity that work/behave in a similar way? Storing a session token in localstorage How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? Is direct sum of finite spectra cancellative? How can blood fuel space travel? Spectral Leakage & Phase Discontinuites Why is the definite article used in “Mi deporte favorito es el fútbol”? Does the curvature engine's wake really last forever? Does the mind blank spell prevent someone from creating a simulacrum of a creature using wish? more hot questions Question feed
9752	http://theory.stanford.edu/~amitp/GameProgramming/AStarComparison.html	Introduction to A Introduction to A From Amit’s Thoughts on Pathfinding Home Blog Links Bluesky About Written in 1997, updated through 2025 Movement for a single object seems easy. Pathfinding is complex. Why bother with pathfinding? Consider the following situation: The unit is initially at the bottom of the map and wants to get to the top. There is nothing in the area it scans (shown in pink) to indicate that the unit should not move up, so it continues on its way. Near the top, it detects an obstacle and changes direction. It then finds its way around the “U”-shaped obstacle, following the red path. In contrast, a pathfinder would have scanned a larger area (shown in light blue), but found a shorter path (blue), never sending the unit into the concave shaped obstacle. You can however extend a movement algorithm to work around traps like the one shown above. Either avoid creating concave obstacles, or mark their convex hulls as dangerous (to be entered only if the goal is inside): Pathfinders let you plan ahead rather than waiting until the last moment to discover there’s a problem. There’s a tradeoff between planning with pathfinders and reacting with movement algorithms. Planning generally is slower but gives better results; movement is generally faster but can get stuck. If the game world is changing often, planning ahead is less valuable. I recommend using both: pathfinding for big picture, slow changing obstacles, and long paths; and movement for local area, fast changing, and short paths. Algorithms# I have written a newer version of this one page1, but not the rest of the pages. It has interactive diagrams and sample code. The pathfinding algorithms from computer science textbooks work on graphs in the mathematical sense—a set of vertices with edges connecting them. A tiled game map can be considered a graph with each tile being a vertex and edges drawn between tiles that are adjacent to each other: For now, I will assume that we’re using two-dimensional grids2. If you haven’t worked with graphs before, see this primer3. Later on, I’ll discuss how to build other kinds of graphs out of your game world. Most pathfinding algorithms from AI or Algorithms research are designed for arbitrary graphs rather than grid-based games. We’d like to find something that can take advantage of the nature of a game map. There are some things we consider common sense, but that algorithms don’t understand. We know something about distances: in general, as two things get farther apart, it will take longer to move from one to the other, assuming there are no wormholes. We know something about directions: if your destination is to the east, the best path is more likely to be found by walking to the east than by walking to the west. On grids, we know something about symmetry: most of the time, moving north then east is the same as moving east then north. This additional information can help us make pathfinding algorithms run faster. The basic graph search algorithms here are variants of Breadth-First-Search: frontier = Queue() frontier.put(start) reached = dict() reached[start] = True while not frontier.empty(): current = frontier.get() for next in graph.neighbors(current): if next not in reached: frontier.put(next) reached[next] = True They vary the way the queue is used, switching from a first-in-first-out queue to a priority queue. Dijkstra’s Algorithm and Best-First-Search# Dijkstra’s Algorithm works by visiting vertices in the graph starting with the object’s starting point. It then repeatedly examines the closest not-yet-examined vertex, adding its vertices to the set of vertices to be examined. It expands outwards from the starting point until it reaches the goal. Dijkstra’s Algorithm is guaranteed to find a shortest path from the starting point to the goal, as long as none of the edges have a negative cost. (I write “a shortest path” because there are often multiple equivalently-short paths.) In the following diagram, the pink square is the starting point, the blue square is the goal, and the teal areas show what areas Dijkstra’s Algorithm scanned. The lightest teal areas are those farthest from the starting point, and thus form the “frontier” of exploration: The Greedy Best-First-Search algorithm works in a similar way, except that it has some estimate (called a heuristic) of how far from the goal any vertex is. Instead of selecting the vertex closest to the starting point, it selects the vertex closest to the goal. Greedy Best-First-Search is not guaranteed to find a shortest path. However, it runs much quicker than Dijkstra’s Algorithm because it uses the heuristic function to guide its way towards the goal very quickly. For example, if the goal is to the south of the starting position, Greedy Best-First-Search will tend to focus on paths that lead southwards. In the following diagram, yellow represents those nodes with a high heuristic value (high cost to get to the goal) and black represents nodes with a low heuristic value (low cost to get to the goal). It shows that Greedy Best-First-Search can find paths very quickly compared to Dijkstra’s Algorithm: However, both of these examples illustrate the simplest case—when the map has no obstacles, and the shortest path really is a straight line. Let’s consider the concave obstacle as described in the previous section. Dijkstra’s Algorithm works harder but is guaranteed to find a shortest path: Greedy Best-First-Search on the other hand does less work but its path is clearly not as good: The trouble is that Greedy Best-First-Search is “greedy” and tries to move towards the goal even if it’s not the right path. Since it only considers the cost to get to the goal and ignores the cost of the path so far, it keeps going even if the path it’s on has become really long. Wouldn’t it be nice to combine the best of both? A was developed in 1968 to combine heuristic approaches like Greedy Best-First-Search and formal approaches like Dijsktra’s Algorithm. It’s a little unusual in that heuristic approaches usually give you an approximate way to solve problems without guaranteeing that you get the best answer. However, A is built on top of the heuristic, and although the heuristic itself does not give you a guarantee, A can guarantee a shortest path. The A Algorithm# I will be focusing on the A Algorithm4. A is the most popular choice for pathfinding, because it’s fairly flexible and can be used in a wide range of contexts. A is like Dijkstra’s Algorithm in that it can be used to find a shortest path. A is like Greedy Best-First-Search in that it can use a heuristic to guide itself. In the simple case, it is as fast as Greedy Best-First-Search: In the example with a concave obstacle, A finds a path as good as what Dijkstra’s Algorithm found: The secret to its success is that it combines the pieces of information that Dijkstra’s Algorithm uses (favoring vertices that are close to the starting point) and information that Greedy Best-First-Search uses (favoring vertices that are close to the goal). In the standard terminology used when talking about A, g(n) represents the exact cost of the path from the starting point to any vertex n, and h(n) represents the heuristic estimated cost from vertex n to the goal. In the above diagrams, the yellow (h) represents vertices far from the goal and teal (g) represents vertices far from the starting point. A balances the two as it moves from the starting point to the goal. Each time through the main loop, it examines the vertex n that has the lowest f(n) = g(n) + h(n). The rest of this article will explore heuristic design, implementation, map representation, and a variety of other topics related to the use of pathfinding in games. Some sections are well-developed and others are rather incomplete. This is page 1 of 13 of Amit’s Thoughts on Pathfinding. ←Back: HomeUp: Table of contentsNext: Heuristics→ Email me redblobgames@gmail.com, or comment here: Links Load comments from Disqus Copyright © 2025Amit Patel From Red Blob Games I started writing this in 1997; last modified: 23 Sep 2025
9753	https://math.stackexchange.com/questions/3967661/understanding-the-notion-of-distance-between-two-symmetric-convex-bodies	Skip to main content Understanding the notion of distance between two symmetric convex bodies Ask Question Asked Modified 4 years, 7 months ago Viewed 536 times This question shows research effort; it is useful and clear 6 Save this question. Show activity on this post. I am new to the notion of distance between two symmetric convex bodies, and I am looking for some help in understanding the same. This is also meant to be an informative post for those who are not already familiar with the idea and want to scratch their brains a little on New Year's Eve. I hope you enjoy it! To begin with, I quote the definition with a supplementary figure below: The distance d(K,L) between symmetric convex bodies K and L is the least positive d for which there is a linear image L~ of L such that L~⊂K⊂dL~. Note that this distance is multiplicative, not additive: in order to get a metric (on the set of linear equivalence classes of symmetric convex bodies), we would need to take logd instead of d. In particular, if K and L are identical then d(K,L)=1. From the image it seems that the distance between K and L, is not dependent on the size of L. I mean, we are looking at a linear image L~ of L, so looks like all information about the initial size of L is already lost. Is it safe to conclude that d(K,L) does not depend on the size of L, and only on its shape? Does it depend on the size of K, or that is immaterial too? The author remarks that if K and L are identical, then d(K,L)=1. What does identical mean? Only the shape, or also the size? d(K,L)=1 just means L~⊂K⊂L~ so that K=L~. Again, this says nothing about the size of L originally. To add to this, does the converse hold, i.e. if d(K,L)=1 then are K and L identical? I think so. It is worth noting that L~ is defined as the linear image of L, i.e. L~=αL={αz:z∈L} where α∈R+ right? This means L~⊂K⊂L~ can be written equivalently as αL⊂K⊂dαL which gives Kdα⊂L⊂Kα⟹K~⊂L⊂dK~ where K~=Kdα. So can we conclude that d(K,L) is symmetric, i.e. d(K,L)=d(L,K) for all K,L? This is indeed a desirable property, I would not want the distance between two symmetric convex bodies to depend on the order in which they are chosen as arguments to d(⋅,⋅). If d(K,L)=β, and d(L,M)=γ, what can we say about d(K,M)? Here are my thoughts, please let me know if this makes sense: From the definition, we know that there exist linear images L~,M~ of L,M respectively such that L~⊂K⊂βL~ and M~⊂L⊂γM~ hold. Since M~ is some linear image of M, we might as well write M~⊂L⊂γM~ as M~⊂L~⊂γM~ by scaling M~ by an appropriate factor (the one with which you would relate L and L~). This brings us to: M~⊂L~⊂K⊂βL~⊂βγM~⟹M~⊂K⊂βγM~⟹d(K,M)=βγ So d(⋅,⋅) is multiplicative. Not to mention, this is a little weird and contrary to the notion of distance (between two points) that we are familiar with in Rn. On Pg.9 of the attached reference (below), it is written that the distance between the cube K=[−1,1]n and the Euclidean ball B=Bn2 in Rn is at most n−−√. d(K,B)≤n−−√ makes sense because the largest ball inside the cube has radius 1, while the ball that circumscribes the cube has radius n−−√. Why does the author say "at most" in place of "exactly"? Is it possible that d(K,B)<n? I think d(K,B)=n. Are there any other interesting properties of d(⋅,⋅) that you can think of? These are all the ones that came to my mind. A lot of times it's easier to understand new concepts with examples. It'd be extremely helpful if someone could provide some examples (in the usual R2,R3 as well as in Rn for n≥4) of bodies K and L, along with d(K,L) and the thought that went into computing the same. Thanks a lot! References: Lecture 2 (Pg. 8-9) of these notes. geometry analysis convex-geometry Share CC BY-SA 4.0 Follow this question to receive notifications edited Dec 31, 2020 at 5:03 stoic-santiago asked Dec 31, 2020 at 4:43 stoic-santiagostoic-santiago 14.9k44 gold badges2121 silver badges7777 bronze badges 3 1 Nice post. Happy new year 43⋅47. – user798113 Commented Dec 31, 2020 at 5:17 1 I just want to say I had so much fun answering your question, I mentioned it in a recent meta post of mine as a question that opens doors to new parts of mathematics. Just want to say there's a nice link between inequalities between distances for lp balls , and Sobolev-type inequalities for PDE. It goes via the Brunn-Minkowski inequality and the Prekopa-Leindler inequality, and it was fascinating to get this connection from your otherwise unrelated topic. – Sarvesh Ravichandran Iyer Commented Jan 4, 2021 at 6:37 That's really cool! Thanks :) @TeresaLisbon – stoic-santiago Commented Jan 4, 2021 at 6:39 Add a comment \| 1 Answer 1 Reset to default This answer is useful 6 Save this answer. +100 This answer has been awarded bounties worth 100 reputation by stoic-santiago Show activity on this post. Two convex bodies A,B⊂Rn are called affinely invariant if there exists a matrix M of square dimension n and a vector v∈Rn such that A=MB+v. That is, A is B scaled by M, and then shifted by v. Since both A and B have non-empty interior(that's what a convex body is) then M will be invertible, so this is a symmetric relation. For example , any two parallelograms are affinely invariant, by scaling the sides appropriately , rotating if required then shifting. B is called a linear image of A, if there exists a matrix M such that MB=A. Again, we are dealing with convex bodies so M will be invertible. Note that the only differences is that if A is a linear image of B then both will be "centered" around the same point. An alternate definition for the distance D may be provided as follows : given two symmetric convex bodies K and L, shift them both so that their centers are at the origin. Then : d(K,L)=infT linear transformationinf{a⋅b:1aK⊂TL⊂bK} Try to prove the equivalence. If you cannot prove it, then just assume it for the following discussion. This definition is inspired from the Banach-Mazur distance between two normed spaces. Essentially, you want the best linear transformation which kind of brings two normed spaces as close as possible. The best you can do is if they were isometrically isomorphic i.e. a linear transformation took one set to the other while preserving distances. But this doesn't always happen, so the best way to do it then specifies a distance, on the spaces of n-dimensional normed linear spaces up to isometric isomorphism, which is basically what identical means in the context above. (i) Since scaling is an affine transformation, the distance does not depend upon either the size of L or K. It only depends on their respective shapes. For example, when we talk about the distance between a square and a cirle, we are only thinking about the shapes and not about the sizes. Can you prove that a square and a circle are not identical? (ii) Now, identical in the text refers to identical up to affine invariance. So, A and B being identical implies d(A,B)=1. This is obvious, since B⊂B⊂B where d=1 and B is a linear image of A. Conversely, if the distance between two convex bodies is 1, then one is a linear image of the other and they are identical. (iii) Indeed, the distance is symmetric, for the reason you mention. You can try to prove it from the definition in my answer. (iv) The distance is not multiplicative, it is sub-multiplicative. The problem is basically with the last implication : sure M~⊂K⊂βγM~, but this does not imply that βγ is the smallest number with this property, so d(K,M)≤βγ, and it very well could be smaller. Just like how it is with numbers (equality in the triangle inequality implies something about the numbers), equality of the kind d(K,M)=d(K,L)d(L,M) should imply something about K,L,M, but I am not sure what this relation is. (v) The author's exact paragraph is this : Our observations of the last lecture show that the distance between the cube and the Euclidean ball in Rn is at most n−−√. It is intuitively clear that it really is n−−√, i.e., that we cannot find a linear image of the ball that sandwiches the cube any better than the obvious one. A formal proof will be immediate after the next lecture. The thing is, just like you have done in part 4, finding a covering of one body by another scaled, doesn't automatically make that covering the best one! To justify the author, why is the distance atmost n−−√? To see this, it is enough to show that the unit square {x:\|xi\|≤1 ∀i} contains the unit sphere centered at zero {x:∥x∥≤1} , and is contained the unit sphere scaled by n−−√. Both of these are easy exercises. But this is just one covering. What if there's a better covering, which gives a better value for d? This is intuitively obvious when we think about it, but the proof involves the notion of a maximal ellipsoid contained in a convex body. In fact , it is true that the distance is n−−√ : this comes from comparing the maximal ellipsoids for the square and the sphere. But again, why ellipsoids? The answer is simple : an ellipsoid is basically a linear image of the unit sphere. Any linear transformation is characterized by what it does with the unit ball i.e. which ellipsoid it produces. So looking at a convex figure, and the linear transformation associated to distances, is like thinking about each convex figure as an n-dimensional normed space in its own right, and the respective "unit balls" which are then ellipsoids. The best fit ellipsoid is then the best "unit-ball" approximation of a convex figure, so studying a convex body kind of comes down to studying this maximal ellipsoid. (vi) There are a few desirable things : taking the logarithm of d provides a (usual) metric among isomorphism classes of normed linear spaces in Rn. It is nice to know that this metric space is compact, so basically given an ϵ>0 , you can find a finite set of spaces so that every space is at most ϵ far away from that. This is like saying that this finite set "approximates all possible shapes" very well. You can also prove that any convex body is at most n away from the unit square, in this distance. Thus, by sub-multiplicativity, any two convex bodies are at most n2 apart in this metric. Try this exercise for yourself. John's theorem is that any convex body is in fact at most n−−√ away from the unit sphere. This is more difficult than the exercise above. Gluskin's theorem states that there is a universal constant C>0 such that for each n, one can find two convex bodies that are at least cn−−√ apart. This took some effort as well. Apart from that, I can't really say anything about d being very special. In the same lecture notes, you will find however, that if as a polytope gets closer to a ball in distance, its number of faces increases exponentially fast. Basically, approximating a ball by a polytope in this distance, you'd require exponentially many faces in the required distance. Finally, imagine that some property was "continuous" with respect to d : that is, if a space has this property and another space is very close to it, then that space also has the property. This is nice, right? Turns out one such property is called Bn-convexity. I don't want to go into the definition, but a space is Bn-convex, if there is an ϵ>0 such that given any n elements of unit norm in the space, you can add/subtract them from one another , using each one exactly once, so that you can travel at least ϵn distance away from the unit sphere. One can show that the Euclidean ball has this property . The unit square does not : if I take the usual basis coordinate vectors, and add/subtract them in any order, I will always land up on a corner of the square, never outside it. Now, it turns out that Bn convexity is nice. More precisely, for any Bn-convex body X you can find a λn(X)>1 such that any space that has distance less than λ(X) from X , is also Bn convex. (vii) It is difficult to work with two convex bodies in general, because it is difficult to justify equality, but one can find coverings that at least provide upper bounds. For example, think about the p and q balls, i.e. ∑\|xi\|p≤1 and ∑\|xi\|q≤1 for 1≤p,q≤2. Can you use the Holder inequality to find a bound on the distance between these balls? Apart from this, there's not really much that can be done : even simple upper and lower bounds are difficult, forget about actual values. One can do asymptotic analysis : for large n, what is the maximal distance of a convex body from another fixed one? For the unit square, polynomial upper and lower bounds are available. Both are difficult to show in general. Techniques include randomizing(!) the selection of convex bodies, which is what leads to Glushkin's proof. Then, there's a "dual"-realization of every convex body, which kind of "flips" problems around : if you can't deal with the body at hand, dualize. Then there's a result of Szarek-Talagrand, which is basically a nice approximation-type result for the minimal ellipsoid, along with the Sauer-Shelah lemma, which kind of provides lower and upper bounds of intersections of a set family with another fixed set. These results are all beyond my technical ability , though, and I assume that for your further reading of the document, this is all you will need to know about d : neither is it explicitly calculated for a pair in the document (other than between square and ball) nor is it much expounded on. EDIT : Suppose that d(K,L)=α. Then there is a linear image of L, call it ML for a matrix M (which is invertible as I mentioned earlier) such that ML⊂K⊂αML. Then, consider the linear image of K given by M−1K. Note that we can apply M−1 to all sides of the containment (this is because if f is any function and S⊂T then f(S)⊂f(T) can be easily proven) to get L⊂M−1K⊂αL (the M−1 commutes with α). Note that L⊂M−1K and M−1K⊂αL, which upon scaling by 1α (this is also a function, so the same logic applies) gives 1αM−1K⊂L. Therefore, we have : 1αM−1K⊂L⊂α(1αM−1K) Now, the linear image K^=1α(M−1K) satisfies K^⊂L⊂αK^. Thus, we get d(L,K)≤α (CAREFUL : This does not imply equality because we don't know if there's a number that is smaller than α that does this). But then, we've proved that d(K,L)≥d(L,K). Just switching the roles of K and L (literally switching every K with L and L with K in the argument above) gives us d(L,K)≥d(K,L) and therefore combining the two, d(K,L)=d(L,K) is clear. Share CC BY-SA 4.0 Follow this answer to receive notifications edited Jan 17, 2021 at 7:41 answered Jan 2, 2021 at 12:49 Sarvesh Ravichandran IyerSarvesh Ravichandran Iyer 77.9k99 gold badges8787 silver badges160160 bronze badges 9 1 In the definition of affine-invariance, how did you show that M is invertible? I wasn't able to follow the argument. I feel it has something to do with the fact that det is related to the volume. – stoic-santiago Commented Jan 4, 2021 at 12:31 1 @strawberry-sunshine Yes. If M is not invertible, then it is not of full rank, so MB will be contained in a subspace of dimension less than n, but then any such subspace has zero volume, which A does not. So A cannot be contained in that subspace, so MB≠A. Thus, MB=A implies M is invertible. – Sarvesh Ravichandran Iyer Commented Jan 4, 2021 at 12:33 1 To talk about the multiplicative nature, instead of d(K,M)=d(K,L)d(L,M) can we say that d(K,M)≤d(K,L)d(L,M) Also, I'm not sure how you define sub-multiplicative. – stoic-santiago Commented Jan 4, 2021 at 13:55 1 @strawberry-sunshine That's exactly what sub-multiplicative means : d(K,M)≤d(K,L)d(L,M) for all convex symmetric bodies K,L,M. Your proof is correct. – Sarvesh Ravichandran Iyer Commented Jan 4, 2021 at 14:48 1 Sorry to bring this up so late, but I think my proof of d(K,L)=d(L,K) uses a very special linear transformation. Perhaps you could help me complete that proof? – stoic-santiago Commented Jan 15, 2021 at 15:54 \| Show 4 more comments You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions geometry analysis convex-geometry See similar questions with these tags. Featured on Meta Community help needed to clean up goo.gl links (by August 25) Linked 7 Need help in understanding (a part of) the proof of John's Theorem 0 Reformulation of a theorem about the lower bound on no. of facets of a symmetric polytope in Rn Related 4 Theorem 1.8.5 - Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory 0 Distance between two disjoint convex sets 0 Reformulation of a theorem about the lower bound on no. of facets of a symmetric polytope in Rn 0 If C and K are symmetric convex bodies with C⊂K. Is it true that there is another symmetric convex body B with C⊂B⊂K? 1 Euclidean distance of smooth convex bodies via support function? Hot Network Questions Activate the Laser Gates table with diagbox Confusion about infinity in gravitational potential energy (GPE) A word for someone who seems unassuming and is overlooked, but turns out to be powerful Misalignment in chemfig figure What is the purpose of pulling up the output of a comparator to VCC? Since the universe is expanding and spacetime is a single fabric, does time also stretch along with the expansion of space? Will the ice cream spill over? Can you get valid SSL certificates for hosting local services over a domain that you own? When did the Green Lantern Corps start to refer to themselves as such? Film about alien spaceships ominously hovering over Earth, only to form a shield to protect it What is the meaning of “DL” on FRANKFURT ILS Chart Could you charge a battery using with a long radio aerial? Legit or scam? What's a good filter when asked for emergency help? Would weekly seasonal changes still allow a habitable planet? Why do aviation safety videos mime mouth-inflating the life vest? REALLY need to identify this bicycle Did the success of "Star Wars" contribute to the decision to make "Strangers" starring Don Henderson? Why does the Apollo LM's Cross-Pointer display have a bulge? Having trouble identifying a font How does this circuit generate a 180 degree phase shift? NMinimize behaves strangely for this simple problem Is the Royal Review Board’s Five Diamond Award in Ocean's Thirteen fictional? Dovecot login rejected with password having illegal chars Question feed By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy.
9754	https://page.mi.fu-berlin.de/mulzer/pubs/5pointsDM.pdf	Stabbing Pairwise Intersecting Disks by Five Points∗ Sariel Har-Peled1, Haim Kaplan2, Wolfgang Mulzer3, Liam Roditty4, Paul Seiferth3, Micha Sharir2, and Max Willert3 1Department of Computer Science, University of Illinois, Urbana, IL 61801, USA, sariel@illinois.edu 2School of Computer Science, Tel Aviv University, Tel Aviv 69978, Israel, {haimk,michas}@tau.ac.il 3Institut für Informatik, Freie Universität Berlin, 14195 Berlin, Germany, {mulzer,pseiferth,willerma}@inf.fu-berlin.de 4Department of Computer Science, Bar Ilan University, Ramat Gan 5290002, Israel, liamr@macs.biu.ac.il Abstract Suppose we are given a set D of n pairwise intersecting disks in the plane. A planar point set P stabs D if and only if each disk in D contains at least one point from P. We present a deterministic algorithm that takes O(n) time to ﬁnd ﬁve points that stab D. Furthermore, we give a simple example of 13 pairwise intersecting disks that cannot be stabbed by three points. Moreover, we present a simple argument showing that eight disks can be stabbed by at most three points. This provides a simple—albeit slightly weaker—algorithmic version of a classical result by Danzer that such a set D can always be stabbed by four points. 1 Introduction The maximum clique problem is a classic problem in combinatorial optimization : given a simple graph G = (V, E), ﬁnd a maximum-cardinality set C ⊆V of vertices such that any two distinct vertices in C are adjacent. In 1972, Karp proved that the maximum clique problem is NP-hard . Even worse, a subsequent line of research showed that the maximum clique problem is hard to approximate. In particular, we now know that for any ﬁxed ε > 0, if there is a polynomial-time algorithm that approximates maximum clique in an n-vertex graph up to a factor of n1−ε, then P = NP However, if the input graph has additional structure, the problem can become easier. For example, if the input is the intersection graph of a set of disks in the plane, the maximum clique problem admits eﬃcient (approximation) algorithms: for unit disk graphs, it can be solved in polynomial time , while for general disk intersection graphs, there is a randomized EPTAS . Earlier, Ambühl and Wagner presented a polynomial-time algorithm that computes a τ/2-approximation for the maximum clique in a general disk intersection graph, where τ is the minimum stabbing number of any arrangement of pairwise intersecting disks in the plane, i.e., the minimum number of points that are needed to stab every disk in such an arrangement. Motivated by this application, our goal here is to understand this stabbing number better. Let D be a set of n disks in the plane. If every three disks in D intersect, then Helly’s theorem shows that the whole intersection T D of D is nonempty [13,14,17]. In other words, there is a single point p that lies in all disks of D, that is, p stabs D. More generally, when we know only that every pair of disks ∗A preliminary version appeared as S. Har-Peled, H. Kaplan, W. Mulzer, L. Roditty, P. Seiferth, M. Sharir, and M. Willert. Stabbing Pairwise Intersecting Disks by Five Points. Proc. 29th ISAAC, pp. 50:1–50:12. SHP was supported by a NSF AF awards CCF-1421231, and CCF-1217462. WM was supported by DFG grant MU/3501/1 and ERC STG 757609. PS was supported by DFG grant MU/3501/1. MS was supported by ISF grant 892/13 and 260/18, by the Israeli Centers of Research Excellence (I-CORE) program (Center No. 4/11), and by the Blavatnik Research Fund in Computer Science at Tel Aviv University. HK was supported by ISF grant 1595-19 and the Blavatnik Family Foundation. Work on this paper was supported in part by grant 1367/2016 and 1161/2011 from the German-Israeli Science Foundation (GIF). 1 D1 D2 L1,3 L1,2 L2,3 c2 c3 c1 w D3 u v D1 c1 D2 c2 c E q p ℓ Figure 1: Left: At least one lens angle is large. Right: D1 and E have the same radii and lens angle 2π/3. By Lemma 2.2, D2 is a subset of E. {c1, c, p, q} is the set P from Lemma 2.4. in D intersect, there must be a point set P of constant size such that each disk in D contains at least one point in P – the minimum cardinality of P is the stabbing number of D. It is indeed not surprising that D can be stabbed by a constant number of points, but for some time, the exact bound remained elusive. Eventually, in July 1956 at an Oberwolfach seminar, Danzer presented the answer: four points are always suﬃcient and sometimes necessary to stab any ﬁnite set of pairwise intersecting disks in the plane. Danzer was not satisﬁed with his original argument, so he never formally published it. In 1986, he presented a new proof . Previously, in 1981, Stachó had already given an alternative proof , building on a previous construction of ﬁve stabbing points . This line of work was motivated by a result of Hadwiger and Debrunner, who showed that three points suﬃce to stab any ﬁnite set of pairwise intersecting unit disks . In later work, these results were signiﬁcantly generalized and extended, culminating in the celebrated (p, q)-theorem that was proven by Alon and Kleitman in 1992 . See also a recent paper by Dumitrescu and Jiang that studies generalizations of the stabbing problem for translates and homothets of a convex body . Danzer’s published proof is fairly involved. It uses a compactness argument that does not seem to be constructive, and one part of the argument relies on an underspeciﬁed veriﬁcation by computer. Therefore, it is quite challenging to check the correctness of the argument, let alone to derive any intuition from it. There seems to be no obvious way to turn it into an eﬃcient algorithm for ﬁnding a stabbing set of size four. The proof of Stachó is simpler, but it is obtained through a lengthy case analysis that requires a very disciplined and focused reader. Here, we present a new argument that yields ﬁve stabbing points. Our proof is constructive, and it lets us ﬁnd the stabbing set in deterministic linear time. Following the conference version of this paper, Carmi, Katz, and Morin published a manuscript in which they present an algorithm that can ﬁnd four stabbing points in linear time . As for lower bounds, Grünbaum gave an example of 21 pairwise intersecting disks that cannot be stabbed by three points . Later, Danzer reduced the number of disks to ten . This example is close to optimal, because every set of eight disks can be stabbed by three points, as mentioned by Stachó and formally proved in Section 5 below. However, it is hard to verify Danzer’s lower bound example—even with dynamic geometry software, the positions of the disks cannot be visualized easily. We present a new and simple proof that shows that the stabbing number of D is upper bounded by 5. Moreover, we obtain a linear time algorithm that can ﬁnd these 5 stabbing points. Finally, we present a simple construction of 13 pairwise intersecting disks that cannot be stabbed by 3 points, and work out a proof of Stachó’s eight-disk claim. 2 The Geometry of Pairwise Intersecting Disks Let D be a set of n pairwise intersecting disks in the plane. A disk Di ∈D is given by its center ci and its radius ri. To simplify the analysis, we make the following assumptions: (i) the radii of the disks are pairwise distinct; (ii) the intersection of any two disks has a nonempty interior; and (iii) the intersection of any three disks is either empty or has a nonempty interior. A simple perturbation argument can then handle the degenerate cases. 2 The lens of two disks Di, Dj ∈D is the set Li,j = Di ∩Dj. Let u be any of the two intersection points of the boundary of Di and the boundary of Dj. The angle ∠ciucj is called the lens angle of Di and Dj. It is at most π. A ﬁnite set C of disks is Helly if their common intersection T C is nonempty. Otherwise, C is non-Helly. We present some useful geometric lemmas. Lemma 2.1. Let {D1, D2, D3} be a set of three pairwise intersecting disks that is non-Helly. Then, the set contains two disks with lens angle larger than 2π/3. Proof. Since {D1, D2, D3} is non-Helly, the lenses L1,2, L1,3 and L2,3 are pairwise disjoint. Let u be the vertex of L1,2 nearer to D3, and let v, w be the analogous vertices of L1,3 and L2,3 (see Figure 1, left). Consider the simple hexagon c1uc2wc3v, and write ∠u, ∠v, and ∠w for its interior angles at u, v, and w. The sum of all interior angles is 4π. Thus, ∠u + ∠v + ∠w < 4π, so at least one angle is less than 4π/3. It follows that the corresponding lens angle, which is the exterior angle at u, v, or w must be larger than 2π/3. Lemma 2.2. Let D1 and D2 be two intersecting disks with r1 ≥r2 and lens angle at least 2π/3. Let E be the unique disk with radius r1 and center c, such that (i) the centers c1, c2, and c are collinear and c lies on the same side of c1 as c2; and (ii) the lens angle of D1 and E is exactly 2π/3 (see Figure 1, right). Then, if c2 lies between c1 and c, we have D2 ⊆E. Proof. Let x ∈D2. Since c2 lies between c1 and c, the triangle inequality gives \|xc\| ≤\|xc2\| + \|c2c\| = \|xc2\| + \|c1c\| −\|c1c2\|. (1) Since x ∈D2, we get \|xc2\| ≤r2. Also, since D1 and E have radius r1 each and lens angle 2π/3, it follows that \|c1c\| = √ 3 r1. Finally, \|c1c2\| = p r2 1 + r2 2 −2r1r2 cos α, by the law of cosines, where α is the lens angle of D1 and D2. As α ≥2π/3 and r1 ≥r2, we get cos α ≤−1/2 = ( √ 3 −3/2) − √ 3 + 1 ≤ ( √ 3 −3/2)r1/r2 − √ 3 + 1, As such, we have \|c1c2\|2 = r2 1 + r2 2 −2r1r2 cos α ≥r2 1 + r2 2 −2r1r2 √ 3 −3/2 r1 r2 − √ 3 + 1 = r2 1 −2 √ 3 −3/2 r2 1 + 2(− √ 3 + 1)r1r2 + r2 2 = (1 −2 √ 3 + 3)r2 1 + 2(− √ 3 + 1)r1r2 + r2 2 = r1( √ 3 −1) + r2 2. Plugging this into Equation 1 gives \|xc\| ≤r2 + √ 3r1 −(r1 √ 3 −1) + r2 = r1, i.e., x ∈E. Lemma 2.3. Let D1 and D2 be two intersecting disks with equal radius r and lens angle 2π/3. There is a set P of four points so that any disk F of radius at least r that intersects both D1 and D2 contains a point of P. Proof. Consider the two tangent lines of D1 and D2, and let p and q be the midpoints on these lines between the respective two tangency points. We set P = {c1, c2, p, q}; see Figure 2. Given the disk F that intersects both D1 and D2, we shrink its radius, keeping its center ﬁxed, until either the radius becomes r or until F is tangent to D1 or D2. Suppose the latter case holds and F is tangent to D1. We move the center of F continuously along the line spanned by the center of F and c1 towards c1, decreasing the radius of F to maintain the tangency. We stop when either the radius of F reaches r or F becomes tangent to D2. We obtain a disk G ⊆F with center c = (cx, cy) so that either: (i) radius(G) = r and G intersects both D1 and D2; or (ii) radius(G) ≥r and G is tangent to both D1 and D2. Since G ⊆F, it suﬃces to show that G ∩P ̸= ∅. We introduce a coordinate system, setting the origin o midway between c1 and c2, so that the y-axis passes through p and q. Then, as in Figure 2, we have c1 = (− √ 3 r/2, 0), c2 = ( √ 3 r/2, 0), q = (0, r), and p = (0, −r). 3 D2 2 D2 1 p c2 q D2 D1 c1 γ Q t1 t2 s1 s2 Figure 2: Left: P = {c1, c2, p, q} is the stabbing set. The green arc γ = ∂D2 1 ∩Q is covered by D2 ∪Dq. D2 q p ℓ k k+ k− c1 c c2 E D1 x y D2 q p ℓ k k+ k− c1 c c2 E D1 x Figure 3: Proof of Lemma 2.4. Left (Case (i)): x is an arbitrary point in D2 ∩F \k+ and y is an arbitrary point in D1 ∩F. Right (Case (ii)): x is an arbitrary point in D2 ∩F ∩k+. The angle at c in the triangle ∆xcc2 is ≥π/2. For case (i), let D2 1 be the disk of radius 2r centered at c1, and D2 2 the disk of radius 2r centered at c2. Since G has radius r and intersects both D1 and D2, its center c has distance at most 2r from both c1 and c2, i.e., c ∈D2 1 ∩D2 2. Let Dp and Dq be the two disks of radius r centered at p and q. We will show that D2 1 ∩D2 2 ⊆D1 ∪D2 ∪Dp ∪Dq. Then it is immediate that G ∩P ̸= ∅. By symmetry, it is enough to focus on the upper-right quadrant Q = {(x, y) \| x ≥0, y ≥0}. We show that all points in D2 1 ∩Q are covered by D2 ∪Dq. Without loss of generality, we assume that r = 1. Then, the two intersection points of D2 1 and Dq are t1 = ( 5 √ 3−2 √ 87 28 , 38+3 √ 29 28 ) ≈(−0.36, 1.93) and t2 = ( 5 √ 3+2 √ 87 28 , 38−3 √ 29 28 ) ≈(0.98, 0.78), and the two intersection points of D2 1 and D2 are s1 = ( √ 3 2 , 1) ≈(0.87, 1) and s2 = ( √ 3 2 , −1) ≈(0.87, −1). Let γ be the boundary curve of D2 1 in Q. Since t1, s2 ̸∈Q and since t2 ∈D2 and s1 ∈Dq, it follows that γ does not intersect the boundary of D2 ∪Dq and hence γ ⊂D2 ∪Dq. Furthermore, the subsegment of the y-axis from o to the start point of γ is contained in Dq, and the subsegment of the x-axis from o to the endpoint of γ is contained in D2. Hence, the boundary of D2 1 ∩Q lies completely in D2 ∪Dq, and since D2 ∪Dq is simply connected, it follows that D2 1 ∩Q ⊆D2 ∪Dq, as desired. For case (ii), since G is tangent to D1 and D2, the center c of G is on the perpendicular bisector of c1 and c2, so the points p, o, q and c are collinear. Suppose without loss of generality that cy ≥0. Then, it is easily checked that c lies above q, and radius(G) + r = \|c1c\| ≥\|oc\| = r + \|qc\|, so q ∈G. Lemma 2.4. Consider two intersecting disks D1 and D2 with r1 ≥r2 and lens angle at least 2π/3. Then, there is a set P of four points such that any disk F of radius at least r1 that intersects both D1 and D2 contains a point of P. Proof. Let ℓbe the line through c1 and c2. Let E be the disk of radius r1 and center c ∈ℓthat satisﬁes the conditions (i) and (ii) of Lemma 2.2. Let P = {c1, c, p, q} as in the proof of Lemma 2.3, with respect to D1 and E (see Figure 1, right). We claim that D1 ∩F ̸= ∅∧D2 ∩F ̸= ∅⇒E ∩F ̸= ∅. () 4 Once () is established, we are done by Lemma 2.3. If D2 ⊆E, then () is immediate, so assume that D2 ̸⊆E. By Lemma 2.2, c lies between c1 and c2. Let k be the line through c perpendicular to ℓ, and let k+ be the open halfplane bounded by k with c1 ∈k+ and k−the open halfplane bounded by k with c1 ̸∈k−. Since \|c1c\| = √ 3 r1 > r1, we have D1 ⊂k+; see Figure 3. Recall that F has radius at least r1 and intersects D1 and D2. We distinguish two cases: (i) there is no intersection of F and D2 in k+, and (ii) there is an intersection of F and D2 in k+; see Figure 3 for the two cases. For case (i), let x be any point in D1 ∩F. Since we know that D1 ⊂k+, we have x ∈k+. Moreover, let y be any point in D2 ∩F. By assumption, y is not in k+, but it must be in the inﬁnite strip deﬁned by the two tangents of D1 and E. Thus, the line segment xy intersects the diameter segment k ∩E. Since F is convex, the intersection of xy and k ∩E is in F, so E ∩F ̸= ∅. For case (ii), ﬁx x ∈D2 ∩F ∩k+ arbitrarily. Consider the triangle ∆xcc2. Since x ∈k+, the angle at c is at least π/2. Thus, \|xc\| ≤\|xc2\|. Also, since x ∈D2, we know that \|xc2\| ≤r2 ≤r1. Hence, \|xc\| ≤r1, so x ∈E and () follows, as x ∈E ∩F. 3 Existence of Five Stabbing Points With these tools we can now show that there is a stabbing set with ﬁve points. Theorem 3.1. Let D be a set of n pairwise intersecting disks in the plane. There is a set P of ﬁve points such that each disk in D contains at least one point from P. Proof. If D is Helly, there is a single point that lies in all disks of D. Thus, assume that D is non-Helly, and let D1, D2, . . . , Dn be the disks in D ordered by increasing radius. Let i∗be the smallest index with T i≤i∗Di = ∅. By Helly’s theorem [13,14,17], there are indices j, k < i∗such that {Di∗, Dj, Dk} is non-Helly. By Lemma 2.1, two disks in {Di∗, Dj, Dk} have lens angle at least 2π/3. Applying Lemma 2.4 to these two disks, we obtain a set P ′ of four points so that every disk Di with i ≥i∗contains at least one point from P ′. Furthermore, by deﬁnition of i∗, we have T i<i∗Di ̸= ∅, so there is a point q that stabs every disk Di with i < i∗. Thus, P = P ′ ∪{q} is a set of ﬁve points that stabs every disk in D, as desired. Remark. A weakness in our proof is that it combines two diﬀerent stages, one of ﬁnding the point q that stabs all the small disks, and one of constructing the four points of Lemma 2.4 that stab all the larger disks. It is an intriguing challenge to merge the two arguments so that altogether they only require four points. The proof of Carmi et al. uses a diﬀerent approach. 4 Algorithmic Considerations The proof of Theorem 3.1 leads to a simple O(n log n) time algorithm for ﬁnding a stabbing set of size ﬁve. For this, we need an oracle that decides whether a given set of disks is Helly. This has already been done by Löﬄer and van Kreveld , in a more general context: Lemma 4.1 (Theorem 6 in ). Given a set of n disks, the problem of choosing a point in each disk such that the smallest enclosing circle of the resulting point set has minimum radius can be solved in O(n) deterministic time. Now, an O(n log n)-time algorithm for ﬁnding the ﬁve stabbing points is based on the analysis in the proof of Theorem 3.1. It works as follows: ﬁrst, we sort the disks in D by increasing radius. This takes O(n log n) time. Let D = ⟨D1, . . . , Dn⟩be the resulting order. Next, we use binary search with the oracle from Lemma 4.1 to determine the smallest index i∗such that the preﬁx {D1, . . . , Di∗} is non-Helly. This yields the disk Di∗. We have to invoke the oracle O(log n) times, which gives a total time of O(n log n) for this step. After that, we use another binary search with the oracle from Lemma 4.1 to determine the smallest index k < i∗such that {Di∗, D1, . . . , Dk} is non-Helly. This costs O(n log n) time as well. Then, we perform a linear search to ﬁnd an index j < k such that {Dj, Dk, Di∗} is a non-Helly triple. This step 5 works in O(n) time. Finally, we use Lemma 4.1 to obtain in O(n) time a stabbing point q for the Helly set {D1, . . . , Di∗−1} and the method from the proof of Theorem 3.1 to extend q to a stabbing set for the whole set D. This last step works in O(1) time since the result depends solely on {Dj, Dk, Di∗}. Hence, we can state our claimed theorem. Theorem 4.2. Given a set D of n pairwise intersecting disks in the plane, we can ﬁnd in O(n log n) time a set P of ﬁve points such that every disk of D contains at least one point of P. The proof of Lemma 4.1 uses the LP-type framework by Sharir and Welzl [6,19]. As we will see next, a more sophisticated application of the framework directly leads to a deterministic linear time algorithm to ﬁnd a stabbing set with ﬁve points. The LP-type framework. An LP-type problem (H, w, ≤) is an abstract generalization of a low-dimensional linear program. It consists of a ﬁnite set of constraints H, a weight function w : 2H →W, and a total order (W, ≤) on the weights. The weight function w assigns a weight to each subset of constraints. It must fulﬁll the following two axioms: • Monotonicity: for any H′ ⊆H and H ∈H, we have w H′ ∪{H} ≤w(H′); • Locality: for any B ⊆H′ ⊆H with w(B) = w(H′) and for any H ∈H, we have that if w B ∪{H} = w(B), then also w H′ ∪{H} = w(H′). Given a subset H′ ⊆H, a basis for H′ is an inclusion-minimal set B ⊆H′ with w(B) = w(H′). The combinatorial dimension of (H, w, ≤) is the maximum size of any basis of any subset of H. The goal in an LP-type problem is to determine w(H) and a corresponding basis B for H. Next, given a set B ⊆H and a constraint H ∈H, we say that H violates B if w B ∪{H} < w(B). A generalization of Seidel’s algorithm for low-dimensional linear programming [18,19] shows that we can solve an LP-type problem in O(\|H\|) expected time, provided that a constant time algorithm for the following problem is available. Here and below, the constant factor in the O-notation may depend on the combinatorial dimension. • Violation test: Given a basis B and a constraint H ∈H, determine whether H violates B and return an error message if B is not a basis for any H′ ⊆H.1 For a deterministic solution, we need an additional computational assumption. Let B ⊆H be a basis of any subset H′ ⊆H, we use vio(B) to denote the set of all constraints H ∈H that violate B, i.e., that have w(B ∪{H}) < w(B). Consider the range space (H, R = {vio(B) \| B is a basis for some H′ ⊆H}). For a subset Y ⊆H, we let (Y, RY) be the induced range space, that is, RY = {Y ∩R \| R ∈R}. Chazelle and Matoušek have shown that an LP-type problem can be solved in O(\|H\|) deterministic time if there is a constant-time violation test as stated above and the following computational assumption holds: • Oracle: Given a subset Y ⊆H, we can compute some superset R′ ⊇RY in time \|Y\|O(1). During the following discussion, we will show that the problem of ﬁnding a non-Helly triple as in Theorem 3.1 is LP-type and fulﬁlls the four requirements for the algorithm of Chazelle and Matoušek. Remark. Löﬄer and van Kreveld provide proofs that the underlying problem in Lemma 4.1 is of LP-type, but they do not give arguments for the two computational assumptions, see . However, it is not diﬃcult to also verify the two missing statements. 1Here, we follow the presentation of Chazelle and Matoušek . Sharir and Welzl use a violation test without the error message. Instead, they need an additional basis computation primitive: given a basis B and a constraint H ∈H, ﬁnd a basis for B ∪{H}. If a violation test with error message exists and if the combinatorial dimension is a constant, a basis computation primitive can easily be implemented by brute-force enumeration. 6 D2 D1 D3 D4 D∞ v Figure 4: Left: The disks D3 and D4 are destroyers of the Helly set {D1, D2}. Moreover, D3 is the smallest destroyer of the whole set {D1, D2, D3, D4}. Right: The disks without D∞form a Helly set C. The smallest destroyer of C is D∞and the point v is the extreme point for C and D∞, i.e., dist(C) = d(v, D∞). Geometric observations. The distance between two closed sets A, B ⊆R2 is deﬁned as d(A, B) = min {\|ab\| \| a ∈A, b ∈B}. From now on, we assume that all points in S D have positive y-coordinates. This can be ensured with linear overhead by an appropriate translation of the input. We denote by D∞ the closed halfplane below the x-axis. It is interpreted as a disk with radius ∞and center at (0, −∞). First, observe that for any subsets C1 ⊆C2 ⊆D ∪{D∞}, we have that if C1 is non-Helly, then C2 is non-Helly. For any C ⊆D ∪{D∞}, we say that a disk D destroys C if C ∪{D} is non-Helly. Observe that D∞destroys every non-empty subset of D. Moreover, if C is non-Helly, then every disk is a destroyer. See Figure 4 for an example. We can make the following two observations. Lemma 4.3. Let C ⊆D be Helly and D a destroyer of C. Then, the point v ∈T C with minimum distance to D is unique. Proof. Suppose there are two distinct points v ̸= w ∈T C with d(v, D) = d T C, D = d(w, D). Since T C is convex, the segment vw lies in T C. Now, if D ̸= D∞, then every point in the relative interior of vw is strictly closer to D than v and w. If D = D∞, then all points in vw have the same distance to D, but since T C is strictly convex, the relative interior of vw lies in the interior of T C, so there must be a point in T C that is closer to D than v and w. In either case, we obtain a contradiction to the assumption v ̸= w and d(v, D) = d T C, D = d(w, D). The claim follows. Let C ⊆D be Helly and D a destroyer of C. The unique point v ∈T C with minimum distance to D is called the extreme point for C and D (see Figure 4, right). Lemma 4.4. Let C1 ⊆C2 ⊆D be two Helly sets and D a destroyer of C1 (and thus of C2). Let v ∈T C1 be the extreme point for C1 and D. We have d T C1, D ≤d T C2, D . In particular, if v ∈T C2, then d T C1, D = d T C2, D and v is also the extreme point for C2 and D. If v ̸∈T C2, then d T C1, D < d T C2, D . Proof. The ﬁrst claim holds trivially: let w ∈T C2 be the extreme point for C2 and D. Since C1 ⊆C2, it follows that w ∈T C1, so d T C1, D ≤d(w, D) = d T C2, D . If v ∈T C2, then d T C1, D ≤ d T C2, D ≤d(v, D) = d T C1, D , so v = w, by Lemma 4.3. If v / ∈T C2, then d T C1, D < d T C2, D , by Lemma 4.3 and the fact that C1 ⊆C2. See Figure 5. Let C be a subset of D. For 0 < r ≤∞we deﬁne C<r as the set of all disks in C with radius smaller than r. Recall that we assume that all the radii are pairwise distinct. A disk D with radius r, 0 < r ≤∞, is called smallest destroyer of C if (i) D ∈C or D = D∞, (ii) D destroys C<r, and (iii) there is no disk 7 D2 D1 D4 D3 v D2 D1 D4 D3 v w Figure 5: Left: The disk D4 is a destroyer for the Helly sets {D1, D2} and {D1, D2, D3}. The extreme point v for {D1, D2} is also the extreme point for {D1, D2, D3}. Right: The disk D4 is a destroyer for the Helly sets {D1, D2} and {D1, D2, D3}. The extreme point v for {D1, D2} is not in D3. The distance to D4 increases. D2 D1 E D3 D2 D1 D3 E Figure 6: Monotonicity: In both cases, {D1, D2, D3} is non-Helly with smallest destroyer D3. Adding a disk E either decreases the radius of the smallest destroyer (left) or increases the distance to the smallest destroyer (right). D′ ∈C<r that destroys C<r. Observe that Property (iii) is the same as saying that C<r is Helly. See Figure 4 for an example. Let C be a subset of D and D the smallest destroyer of C. We write rad(C) for the radius of D and dist(C) for the distance between D and the set T C<rad(C), i.e., dist(C) = d T C<rad(C), D . Now, if C is Helly, then D = D∞and thus rad(C) = ∞. If C is non-Helly, then D ∈C and thus rad(C) < ∞. In both cases, dist(C) is the distance between D and the extreme point for C<rad(C) and D. We deﬁne the weight of C as w(C) = (rad(C), −dist(C)), and we denote by ≤the lexicographic order on R2. Chan observed, in a slightly diﬀerent context, that (D, w, ≤) is LP-type . However, Chan’s paper does not contain a detailed proof for this fact. Thus, in the following lemmas, we show the two LP-type axioms, present a constant time violation test, and a polynomial-time oracle. We start with the monotonicity axiom followed by the locality axiom. Lemma 4.5. For any C ⊆D and E ∈D, we have w C ∪{E} ≤w(C). Proof. Set C∗= C ∪{E}. Let D be the smallest destroyer of C, and let r = rad(C) be the radius of D. Since D destroys C<r, the set C<r ∪{D} is non-Helly. Moreover, since C<r ∪{D} ⊆C∗ <r ∪{D}, we know that C∗ <r ∪{D} is also non-Helly. Therefore, D destroys C∗ <r and we can derive rad(C∗) ≤rad(C). If we have rad(C∗) < rad(C), we are done. Hence, assume that rad(C∗) = rad(C). Then D is the smallest destroyer of C∗, and Lemma 4.4 gives −dist(C∗) = −d T C∗ <r, D ≤−d(T C<r, D) = −dist(C). Hence, w C∗) ≤w(C). See Figure 6 for an illustration. 8 F D D∞ E v v v D∞ E E F Figure 7: A basis can either be a non-Helly triple (left), a pair of intersecting disks E and F where the point of minimum y-coordinate in E ∩F is a vertex (middle), or a single disk (right). Lemma 4.6. Let B ⊆C ⊆D with w(B) = w(C) and let E ∈D. Then, if w B ∪{E} = w(B), we also have w C ∪{E} = w(C). Proof. Set C∗= C ∪{E}, B∗= B ∪{E}. Let r = rad(C) and D be the smallest destroyer of C. Since w(C) = w(B) = w(B∗), we have that D is also the smallest destroyer of B and of B∗. If the radius of E is larger than r, then E cannot be the smallest destroyer of C∗, so w C∗ = w(C). Thus, assume that E has radius less than r. Let v be the extreme point of C<r and D. Since w(B∗) = w(B), we know that d T B<r, D = d T B∗ <r, D = d(v, D). Now, Lemma 4.4 implies that v ∈E, since E ∈B∗ <r. Thus, the set C∗ <r = C<r ∪{E} is Helly and therefore, there is no disk D′ ∈C∗ <r that destroys C∗ <r. Furthermore, since D destroys C<r and C<r ⊂C∗ <r, the disk D also destroys C∗ <r. Therefore, D is also the smallest destroyer of C∗, so rad(C∗) = r = rad(C). Finally, since B∗ <r ⊆C∗ <r we can use Lemma 4.4 to derive d \ C<r, D = d \ B∗ <r, D ≤d \ C∗ <r, D ≤d(v, D) = d \ C<r, D . The claim follows. Next, we are going to describe the violation test for (D, w, ≤): given a basis B ⊆D and a disk E ∈D, check whether E violates B, i.e., whether w B ∪{E} < w(B), and return an error message if B is not a basis. But ﬁrst, we show that the combinatorial dimension of (D, w, ≤) is at most 3. Lemma 4.7. For each C ⊆D, there is a set B ⊆C with \|B\| ≤3 and w(B) = w(C). Proof. Let D be the smallest destroyer of C. Let r = rad(C) be the radius of D, and let v ∈T C<r be the extreme point for C<r and D. First of all, we observe that v cannot be in the interior of T C<r, since v minimizes the distance to D. Thus, there has to be a non-empty subset A ⊆C 0, we know that E∩D = ∅. As the disks in C intersect pairwise, we derive D / ∈C and hence D = D∞. Setting B = A, we get rad(C) = ∞= rad(B) and dist(C) = d(v, D) = d(E, D) = dist(B). Thus, \|B\| ≤3 and w(B) = w(C). Second, assume that A = {E, F}. Then, v is one of the two vertices of the lens L = E ∩F. Next, we show that d(L, D) ≥d(v, D). Assume for the sake of contradiction that there is a point w ∈L with d(w, D) < d(v, D). By general position and since v is the intersection of two disk boundaries, there is a relatively open neighborhood N around v in T C<r such that N is also relatively open in L. Since L is convex, there is a point x ∈N that also lies in the relative interior of the line segment wv. Then, d(x, D) < d(v, D) and x ∈T C<r. This yields a contradiction, as v is the extreme point for C<r and D. Thus, we have d(L, D) ≥d(v, D) which also shows hat D ∩E ∩F = ∅. We set B = {E, F}, if C is Helly (i.e., D = D∞), and B = {D, E, F}, if C is non-Helly (i.e., D ∈C). In both cases, we have B ⊆C and \|B\| ≤3. Moreover, we can conclude that D destroys B<r = {E, F}, and since B<r is Helly, D is the smallest destroyer of B. Hence, we have rad(C) = r = rad(B). 9 To obtain dist(B) = dist(C), it remains to show d(T B<r, D) = d(T C<r, D). Since B<r ⊆C<r, we can use Lemma 4.4 as well as d(L, D) ≥d(v, D) to derive d \ C 3 or \|B\| = 3 and B is Helly then return “B is not a basis. ” 3: if \|B\| = 2 and the y-minimum of T B is also the y-minimum of a single disk of B then 4: return “B is not a basis. ” 5: if B = {D1} then 6: if the y-minimum in E ∩D1 diﬀers from the y-minimum in D1 then 7: return “E violates B. ” 8: else return “E does not violate B. ” 9: if B = {D1, D2} then 10: v = argmin {wy \| w ∈D1 ∩D2} 11: if v / ∈E then return “E violates B. ” 12: else return “E does not violate B. ” 13: else ▷B is of size 3, non-Helly, and does not contain D∞. 14: D = smallest destroyer of B 15: {D1, D2} = B \ {D} 16: r = rad(B) 17: if r′ > r then return “E does not violate B. ” 18: else 19: v = argmin {d(w, E) \| w ∈D1 ∩D2} 20: if v / ∈E then return “E violates B. ” 21: else return “E does not violate B. ” Lemma 4.8. Given a set Y ⊆D of disks, we can compute a superset of RY in time O(\|Y\|4). Proof. Let v ∈R2 and r > 0. First, we let Rv = {D ∈Y \| v / ∈D} be the range of all disks that do not contain v. Second, let Rv,r be the range of all disks of diameter smaller than r that do not contain the point v, i.e., Rv,r = {D ∈Y \| v / ∈D and rD < r}. We deﬁne R′ to be the set of all ranges Rv over all v and subsequently, we let R′′ be the set of all ranges Rv,r over all v and r, that is, R′′ = {Rv,r \| v ∈R2 and r > 0}. The discussion from the previous lemmas shows that for any basis B, there is a point vB ∈R2 and a radius rB > 0 such that a disk E ∈D with radius rE violates B if and only if vB ̸∈E and rE < rB. Hence, we have R′′ ⊇RY. We show how to compute R′′ in polynomial time. For this, we ﬁrst construct R′. For the given set Y of disks, we compute the arrangement A(Y) and then focus on the facets of A(Y). Since the arrangement has O(\|Y\|2) facets, we can compute A(Y) in time O(\|Y\|3) using a simple brute-force approach (faster algorithms exist, but are not needed here). Clearly, for two points v and w of the same facet of A(Y), we have Rv = Rw. Therefore, for a given facet f, we pick an arbitrary point 10 v ∈f, and we compute Rv by a linear scan of Y. Summing over all facets, we can thus compute R′ in time O(\|Y\|3). Finally, to compute R′′, we iterate over all O(\|Y\|2) ranges in R′. Given a range Rv ∈R′, we get all Rv,r for r > 0 by ﬁrst sorting Rv by increasing radii and then taking every preﬁx of the sorted list of disks. For a ﬁxed v, this can be done in time O(\|Y\|2). Hence, R′′ can be computed in O(\|Y\|4) time. The claim follows. The following lemma summarizes the discussion so far. Lemma 4.9. Given a set D of n pairwise intersecting disks in the plane, we can decide in O(n) deterministic time whether D is Helly. If so, we can compute a point in T D in O(n) deterministic time. If not, we can compute the smallest destroyer D of D and two disks E, F ∈D<r that form a non-Helly triple with D. Here, r is the radius of D. Proof. Since (i) (D, w, ≤) is LP-type, (ii) the violation test needs constant time, and (iii) the oracle needs polynomial time, we can apply the deterministic algorithm of Chazelle and Matoušek to compute w(D) = (rad(D), −dist(D)) and a corresponding basis B in O(n) time. Then, D is Helly if and only if rad(D) = ∞. If D is Helly, then \|B\| ≤2. We compute the unique point v ∈T B with d(v, D∞) = d T B, D∞ . Since B ⊆D and d T B, D∞ = d T D, D∞ , we have v ∈T D by Lemma 4.4. We output v. If D is non-Helly, we simply output B, because B is a non-Helly triple with the smallest destroyer D of D and two disks E, F ∈D<r, where r is the radius of D. Theorem 4.10. Given a set D of n pairwise intersecting disks in the plane, we can ﬁnd in deterministic O(n) time a set P of ﬁve points such that every disk of D contains at least one point of P. Proof. Using the algorithm from Lemma 4.9, we decide whether D is Helly. If so, we return the extreme point computed by the algorithm. Otherwise, the algorithm gives us a non-Helly triple {D, E, F}, where D is the smallest destroyer of D and E, F ∈D<r, with r being the radius of D. Since D<r is Helly, we can obtain in O(n) time a stabbing point q ∈T D<r by using the algorithm from Lemma 4.9 again. Next, by Lemma 2.1, there are two disks in {D, E, F} whose lens angle is at least 2π/3. Let P ′ be the set of four points from the proof of Lemma 2.4. Then, P = P ′ ∪{q} is a set of ﬁve points that stabs every disk in D. 5 Simple Bounds We now provide some easy lower and upper bounds on the number of disks for which a certain number of stabbing points is necessary or suﬃcient. Eight disks can be stabbed by three points. For the proof that any set of eight pair-wise intersecting disks can be stabbed by at most three points, we show the following lemma. Lemma 5.1. Let D be a set of at least 5 pairwise intersecting disks. Then, D contains a Helly-triple. Proof. Let D be a set of exactly 5 pairwise intersecting disks. We assume that no three centers of the disks are on a line, since otherwise these three disks are a Helly-triple. Since the complete graph K5 does not have a planar embedding, there have to be four diﬀerent disks D1, . . . , D4 ∈D with centers c1, . . . , c4 and radii r1, . . . , r4 such that the line segments c1c3 and c2c4 intersect, see Figure 8. Let x be the intersection point. Moreover, let α (resp., β) be the intersection of the lens L1,3 (resp., L2,4) and the line segment c1c3 (resp., c2c4). If x is in α or β, we are done. Otherwise, let y be the point of α that is closest to x and let z be the point of β closest to x. We can assume without loss of generality that \|xy\| ≤\|xz\| and x / ∈D4. Using the triangle inequality, We can derive \|c2y\| ≤\|c2x\| + \|xy\| ≤\|c2x\| + \|xz\| ≤r2 to conclude that y ∈D1 ∩D2 ∩D3. 11 c4 c2 c1 c3 x α β y z Figure 8: Proof of Lemma 5.1. Now consider a set D of 8 pairwise intersecting disks. Using Lemma 5.1, we can ﬁnd a Helly-triple in D. Among the remaining 5 disks, we ﬁnd a second Helly-triple. The remaining two disks can be stabbed by one point. This reasoning yields the following corollary, which was already mentioned by Stachó . Corollary 5.2. Every set D of at most 8 pairwise intersecting disks can be stabbed by 3 points. 13 disks with 4 stabbing points. Danzer presented a set of 10 pairwise intersecting pseudo-disks with stabbing number four . However, it is not clear to us how these 10 pseudo-disks can be realized as pairwise intersecting Euclidean disks achieving the same stabbing number. Moreover, it is another open problem whether 9 pairwise intersecting disks can be stabbed by three points. Instead, we want to describe a set of 13 pairwise intersecting disks in the plane such that no point set of size three can pierce all of them. The construction begins with an inner disk A of radius 1 and three larger disks D1, D2, D3 of equal radius, so that each pair of disks in {A, D1, D2, D3} is tangent. For i = 1, 2, 3, we denote the contact point of A and Di by ξi. We add six more disks as follows. For i = 1, 2, 3, we draw the two common outer tangents to A and Di, and denote by T − i and T + i the halfplanes that are bounded by these tangents and are openly disjoint from A. The labels T − i and T + i are chosen such that the points of tangency between A and T − i , Di, and T + i , appear along the boundary of A in this counterclockwise order. One can show that the nine points of tangency between A and the other disks and tangents are pairwise distinct (see Figure 9). We regard the six halfplanes T − i , T + i , for i = 1, 2, 3, as (very large) disks; in the end, we can apply a suitable inversion to turn the disks and halfplanes into actual disks, if so desired. Finally, we construct three additional disks A1, A2, A3. To construct Ai, we slightly expand A into a disk A′ i of radius 1 + ε1, while keeping the tangency with Di at ξi. We then roll A′ i clockwise along Di, by a tiny angle ε2 ≪ε1, to obtain Ai. This gives a set of 13 disks. For suﬃciently small ε1 and ε2, we can ensure the following properties for each Ai: (i) Ai intersects all other 12 disks; (ii) the nine intersection regions Ai ∩Dj, Ai ∩T − j , Ai ∩T + j , for j = 1, 2, 3, are pairwise disjoint; and (iii) ξi / ∈Ai. Theorem 5.3. The construction yields a set of 13 disks that cannot be stabbed by 3 points. Proof. Consider any set P of three points. Set A∗= A ∪A1 ∪A2 ∪A3. If P ∩A∗= ∅, we have unstabbed disks, so suppose that P ∩A∗̸= ∅. For p ∈P ∩A∗, property (ii) implies that p stabs at most one of the nine remaining disks Dj, T + j and T − j , for j = 1, 2, 3. Thus, if P ⊂A∗, we would have unstabbed disks, so we may assume that \|P ∩A∗\| ∈{1, 2}. Suppose ﬁrst that \|P ∩A∗\| = 2. As just argued, at most two of the remaining disks are stabbed by P ∩A∗. The following cases can then arise. (a) None of D1, D2, D3 is stabbed by P ∩A∗. Since {D1, D2, D3} is non-Helly and a non-Helly set must be stabbed by at least two points, at least one disk remains unstabbed. 12 D1 D3 A D2 T − 1 T + 1 Figure 9: Each common tangent ℓbetween A and Di represents a very large disk, whose interior is disjoint from A. The nine points of tangency are pairwise distinct. (b) Two disks among D1, D2, D3 are stabbed by P ∩A∗. Then the six unstabbed halfplanes form many non-Helly triples, e.g., T − 1 , T − 2 , and T − 3 , and again, a disk remains unstabbed. (c) The set P ∩A∗stabs one disk in {D1, D2, D3} and one halfplane. Then, there is (at least) one disk Di such that Di and its two tangent halfplanes T − i , T + i are all unstabbed by P ∩A∗. Then, {Di, T − i , T + i } is non-Helly, and at least 2 more points are needed to stab it. Suppose now that \|P ∩A∗\| = 1, and let P ∩A∗= {p}. We may assume that p stabs all four disks A, A1, A2, A3, since otherwise a disk would stay unstabbed. By property (iii), we can derive p ̸∈{ξ1, ξ2, ξ3}. Now, since p ∈A \ {ξ1, ξ2, ξ3}, the point p does not stab any of D1, D2, D3. Moreover, by property (ii), the point p can only stab at most one of the remaining halfplanes. Since {D1, D2, D3} is non-Helly, it requires two stabbing points. Moreover, since \|P \ {p}\| = 2, it must be the case that one point q of P \ A∗is the point of tangency of two of these disks, say q = D2 ∩D3. Then, q stabs only two of the six halfplanes, say, T − 1 and T + 1 . But then, {D1, T + 2 , T − 3 } is non-Helly and does not contain any point from {p, q}. At least one disk remains unstabbed. 6 Conclusion We gave a simple linear-time algorithm, based on techniques for solving LP-type problems, to ﬁnd ﬁve stabbing points for a set of pairwise intersecting disks in the plane. The arXiv manuscript by Carmi, Katz, and Morin claims a similar linear-time algorithm for ﬁnding four stabbing points. It would now be interesting to see whether these results, the ones by Danzer, Stachó, and ours, could be used to ﬁnd new deterministic approximation algorithms for computing large cliques in disk graphs; refer to [2,3] for the known algorithms. On the lower-bound side, it is still not known whether nine disks can always be stabbed by three points or not. For eight disks, we provided a proof that three points always suﬃce, as already mentioned by Stachó . The lower bound construction of Danzer with ten disks can easily be veriﬁed for pseudo-disks. However, the example is not easy to draw, even with the help of geometry processing software. Until now, we were not able to check whether his pseudo-disk arrangement can be realized as a Euclidean disk arrangement. 13 References N. Alon and D. J. Kleitman. Piercing convex sets and the Hadwiger-Debrunner (p, q)-problem. Adv. Math., 96(1):103–112, 1992. C. Ambühl and U. Wagner. The clique problem in intersection graphs of ellipses and triangles. Theory of Computing Systems, 38(3):279–292, 2005. M. Bonamy, E. Bonnet, N. Bousquet, P. Charbit, and S. Thomassé. EPTAS for max clique on disks and unit balls. In Proc. 59th Annu. IEEE Sympos. Found. Comput. Sci. (FOCS), pages 568–579, 2018. P. Carmi, M. J. Katz, and P. Morin. Stabbing pairwise intersecting disks by four points. arXiv:1812.06907, 2018. T. M. Chan. An optimal randomized algorithm for maximum Tukey depth. In Proc. 15th Annu. ACM-SIAM Sympos. Discrete Algorithms (SODA), pages 430–436, 2004. B. Chazelle. The Discrepancy Method—Randomness and Complexity. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. B. Chazelle and J. Matoušek. On linear-time deterministic algorithms for optimization problems in ﬁxed dimension. J. Algorithms, 21(3):579–597, 1996. B. N. Clark, C. J. Colbourn, and D. S. Johnson. Unit disk graphs. Discrete Mathematics, 86(1-3):165–177, 1990. L. Danzer. Zur Lösung des Gallaischen Problems über Kreisscheiben in der Euklidischen Ebene. Studia Sci. Math. Hungar., 21(1-2):111–134, 1986. A. Dumitrescu and M. Jiang. Piercing translates and homothets of a convex body. Algorithmica, 61(1):94–115, 2011. B. Grünbaum. On intersections of similar sets. Portugal. Math., 18:155–164, 1959. H. Hadwiger and H. Debrunner. Ausgewählte Einzelprobleme der kombinatorischen Geometrie in der Ebene. Enseignement Math. (2), 1:56–89, 1955. E. Helly. Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 32:175–176, 1923. E. Helly. Über Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. Monatshefte für Mathematik, 37(1):281–302, 1930. R. M. Karp. Reducibility among combinatorial problems. In Proceedings of a symposium on the Complexity of Computer Computations, pages 85–103, 1972. M. Löﬄer and M. van Kreveld. Largest bounding box, smallest diameter, and related problems on imprecise points. Comput. Geom., 43(4):419–433, 2010. J. Radon. Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. Mathematische Annalen, 83(1):113–115, 1921. R. Seidel. Small-dimensional linear programming and convex hulls made easy. Discrete Comput. Geom., 6:423–434, 1991. M. Sharir and E. Welzl. A combinatorial bound for linear programming and related problems. Proc. 9th Sympos. Theoret. Aspects Comput. Sci. (STACS), pages 567–579, 1992. L. Stachó. Über ein Problem für Kreisscheibenfamilien. Acta Sci. Math. (Szeged), 26:273–282, 1965. 14 L. Stachó. A solution of Gallai’s problem on pinning down circles. Mat. Lapok, 32(1-3):19–47, 1981/84. D. Zuckerman. Linear degree extractors and the inapproximability of max clique and chromatic number. In Proc. 38th Annu. ACM Sympos. Theory Comput. (STOC), pages 681–690, 2006. 15
9755	https://anatomypubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/ar.24880	Opens in a new window Opens an external website Opens an external website in a new window This website utilizes technologies such as cookies to enable essential site functionality, as well as for analytics, personalization, and targeted advertising. To learn more, view the following link: Privacy Policy Volume 305, Issue 4 pp. 952-967 SPECIAL ISSUE ARTICLE Open Access Textbook typologies: Challenging the myth of the perfect obstetric pelvis Caroline VanSickle, Corresponding Author Caroline VanSickle carolinevansickle@atsu.edu orcid.org/0000-0001-5338-2346 Department of Anatomy, A.T. Still University, Kirksville College of Osteopathic Medicine, Kirksville, Missouri, USA Caroline VanSickle, Department of Anatomy, A.T. Still University, Kirksville College of Osteopathic Medicine, 800 W. Jefferson Street, Kirksville, MO 63501, USA. Email: carolinevansickle@atsu.edu Contribution: Conceptualization (equal), Investigation (equal), Methodology (equal), Project administration (lead), Writing - original draft (lead), Writing - review & editing (equal) Search for more papers by this author Kylea L. Liese, Kylea L. Liese orcid.org/0000-0003-1330-0136 Department of Human Development Nursing Science, College of Nursing, University of Illinois Chicago, Chicago, Illinois, USA Contribution: Investigation (equal), Methodology (equal), Writing - original draft (supporting), Writing - review & editing (supporting) Search for more papers by this author Julienne N. Rutherford, Julienne N. Rutherford orcid.org/0000-0001-6536-6888 Department of Human Development Nursing Science, College of Nursing, University of Illinois Chicago, Chicago, Illinois, USA Contribution: Conceptualization (equal), Investigation (equal), Methodology (equal), Writing - original draft (supporting), Writing - review & editing (equal) Search for more papers by this author Caroline VanSickle, Corresponding Author Caroline VanSickle carolinevansickle@atsu.edu orcid.org/0000-0001-5338-2346 Department of Anatomy, A.T. Still University, Kirksville College of Osteopathic Medicine, Kirksville, Missouri, USA Correspondence Caroline VanSickle, Department of Anatomy, A.T. Still University, Kirksville College of Osteopathic Medicine, 800 W. Jefferson Street, Kirksville, MO 63501, USA. Email: carolinevansickle@atsu.edu Contribution: Conceptualization (equal), Investigation (equal), Methodology (equal), Project administration (lead), Writing - original draft (lead), Writing - review & editing (equal) Search for more papers by this author Kylea L. Liese, Kylea L. Liese orcid.org/0000-0003-1330-0136 Department of Human Development Nursing Science, College of Nursing, University of Illinois Chicago, Chicago, Illinois, USA Contribution: Investigation (equal), Methodology (equal), Writing - original draft (supporting), Writing - review & editing (supporting) Search for more papers by this author Julienne N. Rutherford, Julienne N. Rutherford orcid.org/0000-0001-6536-6888 Department of Human Development Nursing Science, College of Nursing, University of Illinois Chicago, Chicago, Illinois, USA Contribution: Conceptualization (equal), Investigation (equal), Methodology (equal), Writing - original draft (supporting), Writing - review & editing (equal) Search for more papers by this author First published: 24 February 2022 Citations: 18 Abstract Medical education's treatment of obstetric-related anatomy exemplifies historical sex bias in medical curricula. Foundational obstetric and midwifery textbooks teach that clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification system are used to assess the pelvic capacity of a pregnant patient. We describe the history of these techniques—ostensibly developed to manage arrested labors—and offer the following criticisms. The sample on which these techniques were developed betrays the bias of the authors and does not represent the sample needed to address their interest in obstetric outcomes. Caldwell and Moloy wrote as though the size and shape of the bony pelvis are the primary causes of “difficult birth”; today we know differently, yet books still present their work as relevant. The human obstetric pelvis varies in complex ways that are healthy and normal such that neither individual clinical pelvimetric dimensions nor the artificial typologies developed from these measurements can be clearly correlated with obstetric outcomes. We critique the continued inclusion of clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification system in biomedical curricula for the racism that was inherent in the development of these techniques and that has clinical consequences today. We call for textbooks, curricula, and clinical practices to abandon these outdated, racist techniques. In their place, we call for a truly evidence-based practice of obstetrics and midwifery, one based on an understanding of the complexity and variability of the physiology of pregnancy and birth. Instead of using false typologies that lack evidence, this change would empower both pregnant people and practitioners. 1 INTRODUCTION Anatomical sciences have a complex history with the study of non-male anatomy. Young, White,1 male individuals are often used as the baseline normal human form in human anatomy atlases (Lawrence & Bendixen, 1992; Parker et al., 2017), which leaves humans who lack those identities, including female and intersex individuals, seeming aberrant or even pathological in comparison. In healthcare settings, this male bias can lead to negative clinical consequences for female and intersex patients (Hamberg, 2008). This situation may be compounded for Black patients who also experience the intersectional consequences of sexism and racism in healthcare settings (Scott et al., 2019; Vedam et al., 2019). One example of how culturally circumscribed misunderstanding and propaganda about anatomy pervades health sciences education and clinical practice is the myth of pelvic typologies. In the current article, we describe the definition and usage of a typological classification of the obstetric pelvis; the history and critique of the construction of these classifications, which are rooted in racism; and the pervasive clinical implications of using these outdated and racist constructs. 1.1 Language matters People who have or can give birth are often categorized as female, women, or mothers in scientific literature. Here we use the term obstetric body, which refers to the body of someone who has or can give birth; this category includes some females, some women, some mothers, some people who are intersex, some trans men, some people who are gender diverse, and some people who do not identify as mothers. We acknowledge the complex relationship between the “culturally contextualized social and structural experiences” that form gender and the “biological characteristics generally related to reproductive anatomy or physiology” that form sex (DuBois & Shattuck-Heidorn, 2021, p. 3). In recognition of how difficult it is to separate the concepts of gender and sex when researching humans, we will refer to these entangled concepts as gender/sex, following the example of DuBois and Shattuck-Heidorn (2021). In the past, scientists falsely assumed that a gender/sex binary existed between male/man and female/woman, which led to the exclusion of intersex, transgender, and gender diverse individuals from scientific studies (DuBois & Shattuck-Heidorn, 2021). Within this article, we discuss past studies that did not acknowledge these gender/sex issues. These studies examined patients who were or had been pregnant (called women, mothers, or female by the study authors) and skeletonized bones where the sex was either known from the soft tissue anatomy or was estimated using forensic anthropology techniques (in both cases, called female or male by the study authors). Most forensic anthropology/bioarchaeology sex estimation techniques allow for only three options: male, female, or unknown (see Buikstra & Ubelaker, 1994) and there exist no standardized methods for identifying intersex individuals or estimating a person's gender from skeletal remains (Bethard & VanSickle, 2020; DuBois & Shattuck-Heidorn, 2021). Since all sex estimation techniques are based on a model with only two sexes, estimating sex from skeletal remains reinforces a gender/sex binary. To avoid obscuring the meaning and biases of these past authors, we generally use female and male to describe their samples. We hope our readers understand these terms in the context they were originally used—that is, by people who did not consider gender/sex diversity, and therefore may have purposefully excluded or unknowingly included intersex, transgender, or gender-diverse individuals in their studies. 2 THE TEXTBOOK OBSTETRIC PELVIS Widely used textbooks on obstetrics and midwifery present clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification system of pelvic types as clinically relevant for understanding fetopelvic disproportion (King et al., 2019; Williams et al., 2018). Fetopelvic disproportion may occur when the obstetric pelvis is too small to accommodate the fetus during labor (i.e., inadequate pelvis capacity), leading to ineffective labor (e.g., arrested labor, failure to progress, failure to descend) and includes complications such as shoulder dystocia and obstructed labor (Williams et al., 2018). 2.1 Clinical pelvimetry Clinical pelvimetry is a method for measuring the bony pelvis of a living person to evaluate the capacity of the pelvic cavity (King et al., 2019). Textbooks present clinical pelvimetry as being useful for identifying fetopelvic disproportion in pregnant people. The measurements focus on the size of the bony pelvis at the three planes relevant to birth: the inlet, midplane, and outlet. Typical measurements included in clinical pelvimetry are shown in Figure 1 and defined in Table 1. TABLE 1. Pelvimetry of the contracted pelvisa \| Region \| Dimension \| Definition \| Typical \| Contracted \| --- --- \| Inlet \| Obstetrical conjugate (Figure 1c) \| Minimum distance between sacral promontory and pubic symphysis \| 10.5 cm \| <10 cm \| \| Maximum transverse pelvic inlet diameter (Figure 1a) \| Maximum distance between opposite arcuate lines; measured in a frontal plane \| 13 cm \| <12 cm \| \| Diagonal conjugate (Figure 1d) \| Distance between sacral promontory and lower border of pubic symphysis; measured manually \| Obstetrical conjugate + 1.5 cm \| <11.5 cm \| \| Midplane \| Interspinous breadth (Figure 1b) \| Distance between ischial spines \| 10.5 cm \| <8 cm \| \| Posterior sagittal diameter (Figure 1f) \| Minimum distance between the interspinous line and the junction of S4–S5 sacral vertebrae \| 5 cm \| NA \| \| Interspinous breadth + posterior sagittal diameter \| Sum of these two measurements \| 15.5 cm \| <13.5 cm \| \| Outlet \| Intertuberous breadth (Figure 1e) \| Distance between the most posterior points of the ischial tuberosities; measured in a frontal plane \| Not given \| <8 cm \| a Based on Williams et al. (2018). The values listed as typical were sometimes but not always referred to as averages. Textbooks present different methods for obtaining these measurements and using them clinically to assess obstetric pelvic capacity. Direct measurement generally requires an internal view of the pelvic cavity. In the past, radiographs were used to take these measurements, but the potential danger to the fetus from X-ray radiation prevents their use today (King et al., 2019). Instead, direct clinical pelvimetry is obtained via magnetic resonance imaging (MRI), which involves less radiation. MRI may identify those at risk for dysfunctional labor (e.g., those with a breech position) but cannot accurately predict which patients will require cesarean delivery; this limits the value of obstetric MRI in clinical practice (Zaretsky et al., 2005), though its use may be justified for research purposes (Handa et al., 2009; Spörri et al., 2002). Today, many clinical textbooks recommend using a more accessible manual method of indirectly assessing pelvic capacity that requires no imaging (King et al., 2019). The obstetrical conjugate (Figure 1c) is the narrowest anteroposterior dimension the fetus passes through during childbirth and as such is the pelvic dimension purported to be most clinically relevant to obstetrics. The obstetrical conjugate is measured as the minimum distance between the sacral promontory and the posterior (internal) surface of the pubic symphysis, which makes it impossible to obtain manually (King et al., 2019; Moore & Dalley, 2018; Williams et al., 2018). The diagonal conjugate (Table 1d) is measured from the sacral promontory to the inferior aspect of the pubic symphysis, purportedly approximating the obstetrical conjugate. It has the advantage of being measured manually by palpating the sacral promontory through the vagina while the base of the hand rests against the inferior aspect of the pubic symphysis, thus requiring no clinical imaging. 2.2 Caldwell–Moloy classification system The pelvic typology based on these measurements and seen in most textbooks today was developed by two physicians, Drs William Edgar Caldwell and Howard Carman Moloy, in the 1930s (Caldwell & Moloy, 1933, 1938). Using some of the clinical pelvimetric dimensions from Table 1, the Caldwell–Moloy classification system defines four primary types of female bony pelvis and links each with a different birth outcome (Table 2). TABLE 2. Textbook version of Caldwell–Moloy classification systema \| Type \| Inlet shape \| Frequency \| Birth outcome \| --- --- \| \| Gynecoid (female) \| Circular \| 40–50% \| Favorable; occiput anterior delivery \| \| Anthropoid (ape) \| Sagittally long oval \| 25% \| Favorable; occiput posterior delivery \| \| Android (male) \| Heart \| 20% \| Fetopelvic disproportion; deep arrest within the pelvic cavity \| \| Platypelloid (flat) \| Sagittally short oval \| 2–5% \| Fetopelvic disproportion; requires transverse facing fetal head for vaginal birth \| aBased on Reece & Barbieri (2010) and Williams et al. (2018). Descriptions of the Caldwell–Moloy classification system vary across recent textbooks. For example, some include additional information such as details about the anterior and posterior spaces of the pelvic cavity or features of the midplane and outlet (Edmonds, 2018; King et al., 2019; Posner et al., 2013; Williams et al., 2018). However, they all include the original and most commonly used definition—pelvic inlet shape based on the relationship between the anteroposterior and transverse pelvic inlet diameters—and most include information on frequency of types within a population and the birth outcomes associated with each type (Table 2). What is missing from these textbooks and from Caldwell and Moloy's original study is evidence demonstrating a correlation between pelvic inlet size and shape and particular birth outcomes; in fact, such evidence remains elusive today. The textbooks' straightforward description of the four pelvic types obscures the methodologically flawed and racist foundations of such classifications. It also reinforces that manual clinical pelvimetry is useful because of its relationship to the Caldwell–Moloy classification system, which in turn is presented (inaccurately) as a useful method for identifying fetopelvic disproportion in healthy individuals. Fetopelvic disproportion rarely occurs in healthy individuals; inadequate pelvis capacity is more often the result of pathologies caused by malnutrition (Dolea & AbouZahr, 2003). For example, vitamin D deficiencies lead to osteomalacia and rickets that may contract and malform the pelvis to reduce the capacity for vaginal birth (King et al., 2019; Walrath, 2003; Williams et al., 2018). Textbooks mention these facts, yet fail to acknowledge that the Caldwell–Moloy system was developed to assess the pelvis shape in healthy individuals, not individuals with nutritional pathologies (Caldwell & Moloy, 1933, 1938). Textbooks incorrectly present clinical pelvimetry as an evidence-based methodology to approximate pelvic type in healthy individuals based on the Caldwell–Moloy system, and then incorrectly imply that knowing the pelvic type provides useful information about the clinical likelihood of fetopelvic disproportion in otherwise healthy individuals. This uncritical presentation of clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification system results in health practitioners who expect fetopelvic disproportion to be common and who recommend unnecessary interventions, including cesarean sections, to mitigate this perceived health concern. We argue that the manner in which clinical pelvimetry is applied to nonpathological individuals to predict adverse birth outcomes is not evidence-based. We do not claim that pelvic measurements are never useful in obstetrics, just that they are not useful and may be actively harmful in this particular clinical application. In the following sections, we describe the history of how the Caldwell–Moloy classification system was developed based on clinical pelvimetry, its use in health sciences curricula, and the implications that its continued usage has for patient care and health inequities. 3 THE PROBLEMS OF PREDICTING PREGNANCY OUTCOMES USING PELVIC MORPHOLOGY 3.1 Problem 1: Sample bias and methodological flaws Caldwell and Moloy (1933, 1938) cherrypicked data to build a classification system that divided obstetric pelves into four types. First, they obtained measurements of skeletonized female pelves to define their types, regardless of whether those pelves had experienced childbirth. They then obtained radiographs of patients who had records of a difficult childbirth, measuring their pelves to link pelvimetrics with their experienced birth outcomes. Later researchers added proxy manual measurements, like the diagonal conjugate, to the classification system because they allowed pelvis assessment to occur without expensive and potentially harmful imaging. Here, we describe the data and measurements that went into the original Caldwell–Moloy classification system as well as the proxy measurements developed after the original studies. We critique these studies for using a sample that supported the authors' confirmation biases about birth, for treating measurements in living persons as the same as the static values measured on the deceased, and for assigning a causal relationship to two measurements without accounting for normal human variation. A history of measuring skeletonized bony pelves already existed when Caldwell and Moloy started their work (Caldwell & Moloy, 1933, 1938). Inspired by the concept of measuring the pelvis, they decided to develop a method that would guide physicians toward the best intervention during a difficult labor. They stated that their clinical experiences made it “apparent that certain pelvic abnormalities [were] not adequately described in obstetrical texts” so they wanted to quantify and record the supposed abnormalities that “increased the difficulty of operative delivery [i.e., vaginal birth assisted by the use of forceps or surgical birth]” (Caldwell & Moloy, 1938, p. 1). Using a quantitative biomedical approach, they developed a method that classified the bony obstetric pelvis into types, and then based on their experience as obstetricians, they associated each type with potential risks during labor (Caldwell & Moloy, 1933). Caldwell and Moloy suggested the shape of the pelvic inlet affected the frequency of particular birth difficulties, which they defined based on the use of surgical birth (i.e., cesarean section) or forceps (Caldwell & Moloy, 1938). They posited that knowing the shape of the inlet before the start of labor could help determine which interventions might be necessary during labor. Caldwell and Moloy (1933, 1938) examined two kinds of data for their studies: skeletonized bony pelves and radiographs of living patients. They initially developed their model from skeletonized pelves from multiple sources in New York, NY; Washington, DC; and Cleveland, OH. However, they established the frequency of each pelvic type based on the skeletal remains from “Professor Todd's fine collection of sexed pelves at Western Reserve University” (Caldwell & Moloy, 1938, p. 8); today we know these skeletons as the Hamann-Todd Human Osteological Collection currently located at the Cleveland Museum of Natural History. This collection includes over 3,000 human skeletons that were primarily sourced from unclaimed bodies at local morgues (Kern, 2006). The records for these individuals often included their sex, weight, age, race, and cause of death (Kern, 2006). In general, race was listed as “white” or “negro”; here, we will use the terminology White or Black, respectively, to refer to these race assignments (following Mack & Palfrey, 2020). Caldwell and Moloy (1938) studied 268 rearticulated female pelves of 147 White and 121 Black individuals from the known-sex Hamann–Todd Human Osteological Collection. Although some of these skeletons may have had information about the number of children the individual had, it is unlikely that the records included information on the experience of childbirth. Despite not knowing whether the people represented by these bones had experienced childbirth, let alone a difficult or complicated childbirth, Caldwell and Moloy postulated how each pelvic type would fare during labor. These projected expectations were highly speculative since pertinent information about the people in the skeletal sample was lacking. More directly, Caldwell and Moloy (1933, 1938) linked the pelvic types in their model with potential birth interventions using radiographic (roentologic) images of the pelvic inlet and outlet taken in stereoscopic view. These images were obtained from 500 patients who had given birth via either surgical birth or forceps-assisted vaginal birth, which is how Caldwell and Moloy identified difficult births (Caldwell & Moloy, 1938). To assess how fetal head remodeling in the pelvic cavity affected their predictions, Caldwell and Moloy also obtained radiographs of pregnant patients during labor, but they did not state how many patients were involved or how well their predictions matched their observations. These studies were completed in the early days of radiology, and the danger to the fetus from X-rays was not yet known. Caldwell and Moloy sampled patients with a history of difficult labor, identified the patients' pelvic shapes, and concluded that the two must be causally related, thus engineering a classically circular argument. The radiologic data on which their pelvic typology was based primarily examined people who experienced obstetric difficulties during labor; this post hoc approach likely biased them toward believing that subtle anatomic variations could be classified as problematic. They did not identify pelvis shape variation among individuals known to have easy childbirths and, therefore, could not say whether any (or all) of their pelvic types related to a lack of difficulties during childbirth. Without studying pelvic inlet shape in uncomplicated labors, there is a gap in understanding: it is not clear that any of the constructed categories of pelvic shape are actually more likely to be associated with poor outcomes than with unremarkable labor. Despite these troubling limitations, Caldwell and Moloy published their suggestions for using pelvic shape to predict difficulties during childbirth. Unfortunately, these suggestions have shaped categorical “function-follows-form” attitudes about pelvic types for nearly a century. The X-ray measurements Caldwell and Moloy (1933, 1938) obtained during labor do not accurately reflect the dynamic changes to pelvic cavity shape that occur during labor. Caldwell and Moloy (1933, 1938) described in great detail the very precise position of the patient during X-rays, and imply that measurements taken on these radiographs are the same as the measurements they took on dry skeletal remains to establish and define their pelvic types. However, in a living person, pregnancy hormones relax the ligaments at the sacroiliac and sacrococcygeal joints as well as the fibrocartilaginous pubic symphysis to expand the pelvic cavity during labor. Different labor positions further change the dimensions of the pelvic cavity; for example, when a laboring person moves into a hands-and-knees position (called a Gaskin Maneuver), the obstetrical conjugate increases by up to 10 mm, and the sagittal measurement of the pelvic outlet increases by up to 20 mm (Borell & Fernstrom, 1957). Computational models have shown that when a pregnant person holds a squatting position most pelvic measurements, including those used by Caldwell and Moloy, increase (Hemmerich et al., 2019; Siccardi et al., 2021). Thus, measurements of pelvic size obtained on immobile skeletonized pelves and by X-rays, even X-rays taken during labor, may differ from the actual dimensions once the laboring person is away from the X-ray machine. Caldwell and Moloy assumed static pelvic shape when designing their model, but the more recent evidence is clear: obstetric pelvis dimensions are not static so it would be difficult to accurately place them within a typology like the one still being used today. When physicians realized that X-raying pregnant people exposed the fetus to dangerous levels of radiation, recommendations shifted to using manual methods, like the diagonal conjugate, as a way to approximate the anteroposterior dimensions of the pelvic inlet without requiring imaging. However, research has shown that the diagonal conjugate does not correlate directly with obstetrical conjugate, the smallest anteroposterior distance the fetus needs to negotiate during childbirth (Kaltreider, 1951). Whereas most textbooks today repeat that diagonal conjugate is 1.5–2 cm longer than the obstetrical conjugate, Kaltreider (1951) measured pelvic dimensions on 1,133 patient X-rays and reported the difference between the two conjugates varied from 0.2 to 2.5 cm. Although the “subtract 2 cm” rule may work for some patients, it is clearly an inaccurate assessment of the minimal anteroposterior dimension of the pelvic cavity in others. Given the range of variation present in humans for the relationship between the obstetric and diagonal conjugates, this is not a technique that should be widely applied, yet none of the cited textbooks describe this discrepancy. Direct measurement of the pelvis to identify fetopelvic disproportion would require medical imaging, which is rarely recommended for healthy patients. Today, medical imaging is reserved for assessing the obstetric pelvis for abnormalities in the case of planned “high-risk” deliveries. For example, MRI has been applied to patients with breech presentations as a way to evaluate the possibility of vaginal delivery (Hoffmann et al., 2016; Klemt et al., 2019), though most breech presentations are managed by cesarean section (Committee on Obstetric Practice, 2018). The evidence described here suggests that the variation in human pelvis dimensions and the resulting shape cannot be described in a typological model of static anatomy as it varies considerably even during labor and parturition. Linking simple linear measurements with birth difficulties also ignores the multifactorial causes of poor birth outcomes that we explore in the next section. 3.2 Problem 2: Difficult births are difficult to define Caldwell and Moloy's stated goal was to develop a method that allowed obstetricians to identify patients for whom birth would be difficult due to the normal shape of their bony pelvis and then use that knowledge to intervene appropriately (Caldwell & Moloy, 1933, 1938). Today we know that contracted pelves that lead to fetopelvic disproportion are typically the result of nutritional pathologies, yet these were not the patients that Caldwell and Moloy sought to help. Instead, they sought to find interventions for patients whose pelvic morphology fit within normal human variation. Their premise assumed that normal variation of the human obstetric pelvis would lead to difficult births requiring clinical interventions, such as surgical birth or forceps. Their assumption effectively pathologizes the obstetric body and normalizes clinical interventions that may not be needed. Caldwell and Moloy considered difficult births to be ones in which surgical or forceps interventions were needed because of the obstetric pelvis size and shape. This view fails to account for the many other factors that lead to birthing difficulty, as well as the other ways in which birth difficulty can be defined. The size or shape of the pelvic outlet would most commonly be indicative of a difficult birth if it led to a prolonged second stage of labor, after the cervix is completely dilated and the pregnant person is pushing. Other common birth difficulties (e.g., arrest of dilatation, prolonged first stage of labor, hypertonic uterus, and occiput posterior fetal position) are associated with the uterus, cervix, or fetal position and therefore have little relation with bony morphology of the obstetric pelvis (Williams et al., 2018). Difficult birth may also refer to how well the laboring person is coping with a labor that is longer or more painful than expected (Murphy & Strong, 2018; Quine et al., 1993; Waldenström et al., 2004). The existence of other causes of birth difficulty or an expansion of how birth difficulty is defined does not mean that pelvic shape and size does cannot contribute to birth difficulty. We argue, however, that the focus on the measurements used in clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification overestimates the impact of the bony pelvis on birth. A recent Cochrane review of five randomized control trials spanning 1962–2009 and including 1,159 pregnant people assessed the relationship between clinical pelvimetry and birth outcomes when the fetus is in a head-down presentation; they found that there was no difference in perinatal outcomes (e.g., perinatal mortality) among groups who received X-ray pelvimetry, manual pelvimetry, or no clinical pelvimetry at all (Pattinson et al., 2017). X-ray pelvimetry was predictive of surgical birth, a relationship the authors warned could be due to selection bias because by the time X-ray pelvimetry is ordered, clinicians' concerns about birth likely already exist. On the whole, the authors caution that there is insufficient high-quality evidence to conclude that “measuring the size of the woman's pelvis (pelvimetry) is beneficial and safe when the baby is in a head-down position” (Pattinson et al., 2017, p. 2). Caldwell and Moloy's concerns focused on the type of labor arrest recorded for the patients for whom they had radiographs (Caldwell & Moloy, 1933, 1938). Labor arrest has multiple causes that are not necessarily explained by the shape of the obstetric pelvis and that were not addressed in Caldwell and Moloy's studies. Shoulder dystocia, a form of fetopelvic disproportion, is one of the most common sources of obstetric malpractice litigation (Mavroforou et al., 2005). Clinical pelvimetry is still recommended as a way to predict and prevent shoulder dystocia (Hill & Cohen, 2016), even though fetal weight affects shoulder dystocia risk more than the anatomy of the obstetric pelvis (Ouzounian, 2016). Since clinical pelvimetry cannot accurately predict shoulder dystocia (Schmitz, 2015), clinicians may be using clinical pelvimetry either based on a false understanding of its effectiveness or as a means to preempt litigation. More broadly, the link between normal pelvic inlet variation and birth outcomes is tenuous due to lack of evidence, especially given the many factors involved in the complex biocultural process of birth (Davis-Floyd, 1994; Liese et al., 2021; Rutherford et al., 2019). Caldwell and Moloy (1933, 1938) used their limited dataset to identify four pelvic types based on the size and shape of the pelvic inlet; this typology is still in use today. Under their system, a pelvis could be a combination of types, based on separate assessments of the anterior and posterior parts of the pelvic inlet (divided at the maximum transverse inlet diameter), however this is not presented in all textbooks. Caldwell and Moloy also stated that the pelvic inlet did not correspond to the shape of the pelvic outlet, which could also vary. Therefore, to use their model as originally described, a practitioner would need to know the anterior and posterior inlet shape, which requires imaging, and the subpubic angle (anterior outlet) morphology, which can be palpated. Caldwell and Moloy (1933) predicted the following outcomes for their primary four pelvic types: Birth was most dangerous through an android pelvis as it requires the fetal head to enter the pelvic inlet at an angle; they recommended surgical birth if this shape was identified prior to labor. Birth through a platypelloid pelvis would require the fetal head to remain laterally rotated throughout its passage, which may require forceps. Birth through anthropoid or gynecoid pelves both require the fetal head to enter the pelvic inlet through the longest dimension (sagittally for anthropoid or transversely for gynecoid) and then rotate as it travels toward the outlet; these forms were not considered dangerous unless they were contracted (i.e., unusually small due to a pathology) or the fetus was unusually large. These assessments were inferred from skeletal remains and observations of pelvis shape in patients who had previously had difficult labors, calling into question their relevance to obstetric practice today. Even when using the broad definition that successful birth outcomes are those that avoid maternal and infant mortality, there are still logical flaws with relating Caldwell and Moloy's classification system to difficulties in labor. Failure to progress and failure to descend are clinical causes of labor arrest that refer to the cessation of cervix dilation or failure of fetal descent, both of which are required for vaginal birth (King et al., 2019; Williams et al., 2018). Today, midwifery students learn the “Four Ps of Labor and Birth”: passenger (fetus/es), passage (pelvic cavity, uterus, and vagina), powers (uterine contractions), and psychology (pregnant person's psyche). This list is taught to better determine underlying causes of labor arrest and to identify interventions to support physiological birth (King et al., 2019). The four Ps are modifiable through labor-management techniques including strategic use of position changes, ambulation, familiar birth setting, doulas, and support people. Antepartum health, support systems during labor, and postpartum care greatly influence maternal and infant mortality rates (Greenwood et al., 2020). Degrees of maternal autonomy and support in labor ultimately change the dimensions of the pelvic cavity and influence labor arrest and the clinical consequences of that diagnosis (King et al., 2019; Williams et al., 2018). Nevertheless, the codification of adequate versus inadequate pelvic types based on clinical pelvimetry provides a fabricated objectivity to the obstetric discourse surrounding causes of labor arrest. Another limitation of the Caldwell-Moloy classification system is that it was based on experiences of hospital births from the first half of the 20th century from the perspective of White male obstetricians. Therefore, the births that Caldwell and Moloy defined as difficult may have been difficult simply because of actions taken in the hospital setting. Patients were likely in lithotomy (supine) position to allow the obstetrician a better view. Recall that a person laboring on hands and knees may increase their obstetrical conjugate by up to 10 mm compared with the supine position (Borell & Fernstrom, 1957). MRI studies have also shown the dimensions of the pelvic outlet become wider in the squatting and kneeling positions (Gupta et al., 2017). In an upright position, gravity can facilitate fetal descent and efficient uterine contractions. Some of Caldwell and Moloy's patients may have also been in twilight sleep, which involves an analgesic cocktail usually containing morphine to induce unconsciousness and immobility (Haultain & Swift, 1916). Because this procedure prevented the pregnant patient from engaging with the birth, it typically made labor dependent on interventions like forceps (Jolly, 2010; Mandy et al., 1952). If patients are too drugged to participate in labor, they may be unable to aid fetal descent by pushing during contractions, which has implications for powers, one of the four Ps. Forceps delivery was common by this time (Walrath, 2003) and has been associated with increased rates of maternal mortality in the early 1900s (Loudon, 1992). Even today, forceps use is associated with high maternal and fetal morbidity, as forceps may damage the adult's visceral organs, harm the fetus, or lead to infection (Patel & Murphy, 2004). Caldwell and Moloy explicitly omitted the rachitic pelvis (the result of childhood rickets) from their study, focusing instead on normal variation in pelvic shape unrelated to pathology. However, their ideas about contracted pelves making childbirth difficult were likely influenced by the real difficulties observed in patients with pathologically contracted pelves. At that time, interventions like vitamin D supplementation and surgical birth were less widely available and less safe (Walrath, 2003), which highlighted contracted pelves as a major problem of childbirth that obstetricians needed to solve. Yet the typology Caldwell and Moloy developed implied that normal obstetric pelvis variation includes imperfect forms that are not functional during childbirth and therefore require additional assistance or intervention from obstetricians. This ideology prioritizes and idealizes obstetric pelvis shape over provider management and structural issues that likely have a greater effect on maternal and infant mortality and may reinforce worse outcomes for some patients. 3.3 Problem 3: Obstetric pelvis variation is normal and complex Caldwell and Moloy and the obstetric literature that reference them reinforce the notion that static and simplistic pelvic categories illustrate sufficient nuance of several dynamic biological processes. This notion involves pathologizing the normal variation of pelvic shape found in healthy obstetric bodies. The Caldwell–Moloy classification system primes clinicians to expect people with particular pelvic shapes to be more likely to have poor birth outcomes even when they are otherwise healthy. It focuses on the differences between individuals, while ignoring the areas of overlap. Delprete (2017) studied the skeletonized pelves of 378 adult individuals from three identified skeletal collections, a sample comprising similar numbers of males and females of comparable ages. She found that the most common inlet shape for both sexes was android, the same shape Caldwell and Moloy described as most dangerous and that textbooks list as being present in only 20% of obstetric pelves (Table 2). Delprete's methods involved defining pelvic types based on a ratio of the anteroposterior pelvic inlet diameter and the transverse pelvic inlet diameter, linking dimensions of the pelvis with pelvic types while also applying the typology to males. This study shows considerable overlap between males and females and provides important context for understanding the degree of individual difference in the bony pelvis across a more diverse study sample. It also shows that the pelvic type Caldwell and Moloy thought was most dangerous may be the most common, which further illustrates how their classification system pathologizes normal anatomy. Pelvis shape has changed over human history and varied in response to ecological factors like diet and climate (Wells et al., 2012). In their review of variation across populations, Wells et al. (2012) found that the emergence of agriculture may have decreased maternal stature, which in turn limited the dimensions of the pelvic cavity, while increasing fetal size. In Williams Obstetrics, Thoms (1937) is cited as saying that people with small pelves birth small babies (Williams et al., 2018). More recently, Kurki (2007) showed that small (but not short) females have larger midplanes and outlets than those with larger body masses. Together, these studies suggest that body size variation affects pelvic cavity dimensions but that very small-bodied populations have adaptations to accommodate childbirth through reduction of fetus size and expansion of the midplane and outlet. If Wells et al.’s (2012) hypothesis is correct that childbirth became more difficult after the emergence of agriculture because of secular changes to stature and body mass, those difficulties should have also been present in the skeletal collection that Caldwell and Moloy used to develop their classification. This interpretation also suggests that population-level adaptations may develop over time, rendering a one-size-fits-all-populations typology even less useful. Since nutrition, healthcare access, interventions and medicines, and activity types have changed in the U.S. since the 1920s and vary widely across populations now, even if Caldwell and Moloy's typology was accurate at the time of its development, it may not accurately describe the U.S. birthing population today, due to continuing secular and demographic changes (e.g., Bogin, 2013; NCD Risk Factor Collaboration, 2016). 4 THE PROBLEM OF RACISM IN THE CONSTRUCTION OF PELVIC TYPES AND IMPLICATIONS FOR HEALTH INEQUITIES Human biological variation does not fit a model of biological race variation (Fuentes et al., 2019). However, early naturalists from the 18th and 19th centuries strongly believed that human biological variation naturally separated humans into clearly defined races that determined behavior and that could be ranked (Blakey, 1999; Caspari, 2003; Marks, 2009; Roberts, 2012; Watkins, 2012). Unsurprisingly, the White researchers placed their own race at the top of the hierarchy and used their ranking to justify the genocide, sterilization, and enslavement of non-White races (Blakey, 1999; Caspari, 2003; Marks, 2009; Roberts, 2012; Watkins, 2012). Stereotypes developed that linked fertility and sexuality with being animalistic, and these behaviors were considered more common in non-White races, especially those from Africa (Cooper Owens, 2018; Schiebinger, 1993). These concepts became embedded in social, medical, political, and economic structures that forged the disparities in maternal health outcomes that are still experienced today (Cooper Owens, 2018; D.-A. Davis, 2019; Scott et al., 2019; Vedam et al., 2019). The biological race concept—that races are naturally existing biologically quantifiable categories that determine behavior and can be ranked—was a mainstream belief in European and American academic and clinical circles well before and during the time that Caldwell and Moloy developed their typology (Roberts, 2012). Early anthropologists sought to identify race-defining features of the skeleton and use them to reify the idea that biology determines behavior and ability (Blakey, 1999; Caspari, 2003). After the cranium, the pelvis was considered the second-best skeletal element for identifying race (Garson, 1881). Researchers rarely agreed on the number of races or the traits that should be used to define them (Blakey, 1999; Caspari, 2003; Roberts, 2012); some even noted that the pelvis divided skeletons into different categories than the cranium (Pruner-Bey, 1864; Verneau, 1875). Turner (1885) was one of the first scholars to describe what he perceived as racial differences in bony pelvis shape. Although he described the small amount of previous research on the subject, he considered most of it not objective enough to be useful. For example, some of the authors he cited only compared two races or had no way to quantify differences between races (Turner, 1885). One of these early classification systems defined four types of pelvic inlet shapes (oval, round, four-sided, and wedge) but was not consistent in defining these types or assigning them to pelves. Some of these earlier researchers developed a pelvic inlet index: 100 × conjugate diameter ÷ transverse diameter (Turner, 1885). Turner (1885) believed that the inconsistencies in earlier classifications were because earlier authors examined female pelves, which he thought were more similar across races because of the constraints of childbirth; therefore, he assumed that the true pelvis form for each race would be better identified using the male pelvis (Caldwell & Moloy, 1938). He used the pelvic inlet index to define his three pelvic types: dolichopellic (deep pelvis), platypellic (flat pelvis), and mesatipellic (“middle pelvis” or intermediate between deep and flat; Table 3). Using the existing literature and his own observations of bony pelvis remains from across the globe, he assigned a pelvic type to each race. Although this racial typology was developed from male pelves, he also studied females in each racial group, finding that females were typically more platypellic (having a lower index) than males of the same group and that no females were dolichopellic (Turner, 1885). Turner explicitly described the dolichopellic type—which he associated with many African and Polynesian races—as similar to that of anthropoid apes, reinforcing racist assumptions that non-White races were more biologically primitive and therefore more similar to nonhuman apes than White people. TABLE 3. Turner (1885) pelvic typology \| Turner's type \| Inlet shape \| Pelvic inlet indexa \| “Races” Turner associated with this typeb \| --- --- \| \| Dolichopellic \| Sagittally long and transversely narrow \| >95 \| Australians Bushmen Hottentots Kaffirs Andamans New Zealanders? Polynesians generally? Malays Aïnos? \| \| Platypellic \| Transversely wide and sagittally short \| <90 \| British French Germans Europeans generally Ganache? Esquimaux? Laplanders? Chinese, Mongolians generally, American Indians \| \| Mesatipellic \| Intermediate between dolichopellic and platypellic \| 90–95 \| Negroes Tasmanians New Caledonians Melanesians generally? \| a Pelvic inlet index = 100 × conjugate diameter ÷ transverse diameter. b The races are listed exactly as they appear in Turner (1885, p. 141) to show the biases inherent in his classification. Caldwell and Moloy (1933, 1938) referred to Turner and other early researchers of pelvic shape when developing their typology. They perpetuated Turner's categories by linking them to their own: dolichopellic became anthropoid (making the link to apes even more explicit) or android (since the pelvic inlet index does not distinguish long-oval and wedge-shaped inlets), platypellic became platypelloid, and mesatipellic became gynecoid. When describing their own pelvic types, Caldwell and Moloy specified how each pelvic type related to different races, citing Turner and their own observations of the Hamann–Todd Human Osteological Collection. From their assessment of 268 female pelves from this collection, they concluded that in their sample of White females (n = 147), 41.4% were gynecoid, 32.5% android, 23.5% anthropoid, and 2.6% platypelloid. In contrast, in the sample of Black females (n = 121), 42.1% were gynecoid, 15.7% android, 40.5% anthropoid, and 1.7% platypelloid. Turner (1885) suggested that his dolichopellic type was more often found in “the lower races”, by which he meant non-Europeans. Although Caldwell and Moloy (1933, 1938) identified the anthropoid pelvis in both White and Black females, it was nearly twice as common in Black females, reinforcing Turner's claim that this type was found mostly in the so-called “lower races”. Caldwell and Moloy (1933) overvalued the platypelloid pelvis type, which is very rare and resembles a pathologically constricted pelvis that likely would compromise childbirth. Yet Caldwell and Moloy (1933, p. 490) described this type as being least similar to “lower mammals”, making it the opposite of the anthropoid form. Although rare overall, it was over 1.5 times more common in White females than in Black females in their study (2.6% vs. 1.7%, respectively) (Caldwell & Moloy, 1938). They described this type, which some of their peers claimed was only present in individuals who experienced nutritional deficiencies in childhood, as being “ultrahuman” and cited a study that reported it in “robust women” with no evidence of rickets to support their belief that it was the ideal and not pathological (Caldwell & Moloy, 1933, p. 481). This racist classification has implications for the stereotypes about differences in the childbirth process. According to Cooper Owens (2018, p. 110), citing Breeden (1980), “Eighteenth-century anthropologists and anatomists formed these type of ideologies because they believed that ‘African women's alleged extraordinary ease in parturition seemed to indicate pelvises more capacious than European women's… (this was also assumed to be true of apes and other quadrupeds)’.” The racist underpinnings of the Caldwell–Moloy classification system contribute to false ideas about sex and population variation that are not supported by evidence. Caldwell and Moloy's typology, but not their data, suggested that transversely wide pelvic inlets are more common in White females, an idea that fueled the persistent assumption that childbirth was easier and less painful for Black women (Cooper Owens, 2018; McMillan Cottom, 2019). Further, by linking Black women to a more animalistic form, they are distanced from an ideal “feminine” form ascribed to Whiteness (A. W. Davis et al., 2018; Deliovsky, 2008). These interpretations continue to have implications for maternal healthcare and health inequality in the United States. For example, when compared with non-Hispanic White women, Black women are given fewer epidurals during labor (Glance et al., 2007). Black women also report more pain during labor, birth, and the postpartum period, yet are prescribed fewer pain medications (Badreldin et al., 2019; Johnson et al., 2019). Studies based on the premise of a biological reality of race tend to reify these assumptions; for example, Greenberg et al. (2006) found that Black patients had the shortest duration of the second stage of labor and recommended a “multifactorial redefinition of labor curves” on the basis of race. The notion of racial differences in childbirth duration has implications for the rising rates of surgical births among Black patients: surgical births are recommended based on the duration of the second stage of labor, which in Black patients is expected to be short relative to White patients (Rutherford et al., 2019). Another key factor affecting the shape and size of a person's pelvic cavity is microevolutionary differences between human populations over time. Betti (2017) suggests this difference is the result of genetic drift (i.e., random changes), not selection for a particular pelvis type. Her work shows that female pelvis shape varies across and within human populations and that there is no prescribed ideal pelvis form and certainly not one that can definitively be assigned to an entire group of humans or even a discrete sex. Instead, human populations can have variations in particular biologically based features, like pelvis shape, without fitting into discrete racial categories like the ones used by Caldwell and Moloy and other researchers of their time. Even though broad differences in pelvis shape exist across geographic regions, these differences are not rooted in biological race (Handa et al., 2008). 5 CURRENT CURRICULA CREDIBILITY It is unclear how often clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification system are used clinically. We have shown that the clinical pelvimetry suggested by many current textbooks requires medical imaging to measure accurately, which is expensive and carries risks. Therefore, clinicians are likely only referring healthy pregnant patients for imaging-based pelvimetry if they are using MRI to assess the pelvis before attempting a vaginal breech birth. However, aspiring maternity care providers are still taught manual pelvimetry and how to assess the pelvis as “adequate” or otherwise. The records of these methods are documented in admission and progress notes of laboring patients, despite no evidence that clinical pelvimetry is related to perinatal outcomes (Pattinson et al., 2017). Varney's Midwifery says that clinical pelvimetry “is classically done when an initial vaginal examination is performed during pregnancy and/or during the course of labor” (King et al., 2019, p. 749). We argue that these exams are unnecessary because using measurements to predict birth outcomes is not evidence-based. Further, these exams reinforce the imposition of digital penetration of the vagina, sometimes without consent, as an appropriate clinical procedure to be performed on a laboring person to make a determination of their birthing capacity as defined by the biomedical hegemony (Tillman, 2020). Students across the health sciences may absorb pelvic shape classifications and clinical pelvimetry as presented in their general anatomy texts into their understanding of the body and carry that into clinical practice, remaining unaware of the important critiques we have outlined here. These assumptions reinforce stereotypes about failures of the female body and racist assumptions that contribute to discrepancies in pain management during pregnancy. The epistemologies of science developed during the European Age of Enlightenment and still used today established the idea that rigorous science requires quantification (Gould, 2008). In this case, while measurements of the pelvis may seem scientifically rigorous, they do not provide useful clinical information about the patient or support evidence-based practices (Pattinson et al., 2017). If clinicians are taught during training that there are reliably predictive typologies and methods for measuring the obstetric pelvis, they are likely to remember that information during clinical practice and consider it important and practicable, even if they cannot remember the specifics. In this manner, flawed information has the potential to shape obstetric iatrogenesis, i.e., injuries resulting from medical interventions (Liese et al., 2021). Perhaps more concerning, clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification system are also found in both professional and lay resources, such as continuing education courses for obstetric nurses and providers that are accredited by professional organizations for licensure (Relias Obstetrics, 2021) and on expectant parent websites and blogs (Fischer, 2018; Seladi-Schulman, 2020; Spinning Babies, 2021). For example, one website states, “If you're pregnant or planning to become pregnant and have concerns about how your pelvis shape might affect childbirth, speak with your doctor. They can examine your pelvis to help get an idea of how it's structured” (Seladi-Schulman, 2020). Even though these ideas may not be applied in clinical practice, their pervasiveness in lay resources may occur because they are still presented in textbooks and repeated by clinicians when discussing birth with eager and anxious patients. The transition from obstetrics and midwifery textbooks to lay person resources codifies these ideas in the popular imagination, which means they may retain social meaning long after the textbooks quietly remove this content from their pages. As educators, we must remember that what we teach does not stop with our clinicians-in-training; it is also disseminated to the broader public through our students and their social and familial networks. The concerns we have presented are not new; Walrath (2003) also thoroughly critiqued the existence and application of pelvic typologies. Varney's Midwifery will be adding a reference to Walrath (2003) to their upcoming 2022 edition (C. Klima, personal communication, July 7, Klima, 2021), an example of the truism that it takes nearly 20 years for evidence to be translated into practice (Morris et al., 2011). While the inclusion of the critique is a sign of progress, it should be noted that the typologies themselves will still be presented in the text. 5.1 Call for change By problematizing normal pelvic variation, the Caldwell–Moloy classification system of the bony pelvis contributes to the pathologizing of the obstetric body in clinical practice today. This system is still presented to clinicians-in-training and interpreted as fact by lay people. The evidence against its usefulness and accuracy and for its harm as a tool of White supremacy is strong, yet we continue to teach this system nearly a century after it was developed. Educational resources should not treat normal variation of the human body as artificially pathological, nor should they promote methods that are not supported by the evidence and that have the potential to do harm via unnecessary medical interventions. This is unacceptable. Since Caldwell and Moloy developed their classification system, which included reinforcement of racist and sexist stereotypes, anthropology has grown as a discipline into one that thoroughly rejects the biological race concept (Fuentes et al., 2019). Even forensic anthropologists, who are often called on by the criminal justice system to identify race from the skeleton, reject the idea that race determination is possible or helpful (DiGangi & Bethard, 2021). Although anthropologists recommend abolishing the practice of ancestry estimation (which replaced but remains entangled with the concept of biological race), health science fields still have relics of early physical anthropology and its associated racist pseudoscience in their textbooks (Jaschik, 2017), in particular flawed references to pregnancy, labor, and childbirth. As anthropologists who are educators in health science contexts, we are uniquely positioned to recognize the dangers of typologizing the human body under a racial framework. We therefore recommend that faculty instructors of courses that use these textbooks stop teaching the Caldwell–Moloy classification system of female pelvis shape. We call on textbook editors to go beyond the addition of critiques and instead fully remove the Caldwell–Moloy classification system from their books. Further, this material should be removed from any certification or board exam that might currently include it, and the item writers for these exams should exclude it moving forward. We call for educators who use resources that still refer to this typology to take the time to explain to their students why the typology does not accurately reflect human variation and how it is based on racist stereotypes. Further, we recommend that educators learn about and explain to students how racist hierarchies and assumptions in clinical obstetrics education and practice—even if ostensibly hidden—contribute to health inequalities to the disproportionate detriment of people of color, especially Black people, in the United States. Instead of teaching pelvis typologies, we recommend that educators and textbook authors and editors focus on acknowledging that many pelvis shapes exist that lead to uncomplicated births resulting in both a healthy parent and neonate. Although it may be useful to describe some pelvic cavity dimensions when discussing a pathologically contracted pelvis, we could not find any scientific evidence of a relationship between clinical pelvimetry and particular birth outcomes. Healthy adults do not lack an appropriately sized and shaped pelvis for their body to function, including the function of childbirth if reproduction is their decision. These typologies form a structure that upholds the patriarchal racist medical hegemony supporting health disparities on the basis of flawed and racist evidence. These systems are so ingrained that providers rely on them as justification for perpetuating different standards of care to different populations. Thus, educators and clinicians are responsible for acknowledging the evidence (or lack thereof) that influences people's ideas about who is and is not capable of childbirth. Our dream is to have truly evidence-based educational materials that teach our students to empower pregnant people to trust their bodies and that are free of the influences of sexist and racist pseudoscience. ACKNOWLEDGMENTS We thank Jess Beck for lending her artistic skills to the creation of Figure 1. We also thank the New Mexico Decedent Image Database for use of computed tomography scans on which Figure 1 was based (Edgar et al., 2020). We thank the following people for providing their perspectives on current medical education: James Adams, Valena Fiscus, Carrie Klima, Tatyana Kondrashova, Brent Speak, Taylor Sammis, and Patrick Thornton. AUTHOR CONTRIBUTIONS Caroline VanSickle: Conceptualization (equal); investigation (equal); methodology (equal); project administration (lead); writing – original draft (lead); writing – review and editing (equal). Kylea L. Liese: Investigation (equal); methodology (equal); writing – original draft (supporting); writing – review and editing (supporting). Julienne N. Rutherford: Conceptualization (equal); investigation (equal); methodology (equal); writing – original draft (supporting); writing – review and editing (equal). Endnote 1 In reference to races, we choose to capitalize White to avoid “implicitly affirm(ing) Whiteness as the standard and norm” (Mack & Palfrey, 2020). We agree with Mack and Palfrey (2020) that “Keeping White lowercase ignores the way Whiteness functions in institutions and communities”. Biographies Caroline VanSickle is a White cisgender woman with a PhD in Biological Anthropology. She is an Assistant Professor who teaches human gross anatomy as a part of a preclinical medical education curriculum at an osteopathic medical school. Kylea L. Liese is a White queer cisgender woman and certified nurse-midwife with a PhD in Medical Anthropology. She is an Assistant Professor in a women's health nurse practitioner/nurse-midwifery program at a nursing college. She practices community-based and hospital-based midwifery. Julienne N. Rutherford is a White queer cisgender woman with a PhD in Biological Anthropology. She is a tenured Associate Professor teaching anatomy and physiology of menstruation, pregnancy, and lactation in a women's health nurse practitioner/nurse-midwifery program at a nursing college. As of Fall 2021, she has removed clinical pelvimetry and the Caldwell–Moloy classification from the graded content of her course. REFERENCES Badreldin, N., Grobman, W. A., & Yee, L. M. (2019). Racial disparities in postpartum pain management. Obstetrics and Gynecology, 134(6), 1147–1153. 10.1097/AOG.0000000000003561 PubMed Web of Science® Google Scholar Barbieri, R. L., & Reece, E. A. (2010). Obstetrics and gynecology: The essentials of clinical care. Stuttgart: TIS. Google Scholar Bethard, J. D., & VanSickle, C. (2020). Applications of sex estimation in paleoanthropology, bioarchaeology, and forensic anthropology. In A. R. Klales (Ed.), Sex estimation of the human skeleton (pp. 25–34). Elsevier. 10.1016/B978-0-12-815767-1.00003-1 Google Scholar Betti, L. (2017). Human variation in pelvic shape and the effects of climate and past population history. Anatomical Record, 300(4), 687–697. 10.1002/ar.23542 PubMed Web of Science® Google Scholar Blakey, M. L. (1999). Scientific racism and the biological concept of race. Literature and Psychology, 45(1/2), 29–43. Web of Science® Google Scholar Bogin, B. (2013). Secular changes in childhood, adolescent and adult stature. In M. W. Gillman, P. D. Gluckman, & R. G. Rosenfeld (Eds.), Nestlé nutrition institute workshop series (Vol. 71, pp. 115–126). S. Karger AG. 10.1159/000342581 Google Scholar Borell, U., & Fernstrom, I. (1957). A pelvimetric method for the assessment of pelvic mouldability. Acta Radiologica, 47(5), 365–370. 10.3109/00016925709170908 CAS PubMed Web of Science® Google Scholar Breeden, J. O. (1980). The ideal in slave management in the old south. Greenwood Press. Google Scholar J. E. Buikstra, & D. H. Ubelaker (Eds.). (1994). Standards for data collection from human skeletal remains: Proceedings of a seminar at the Field Museum of natural history organized by Jonathan Haas. Arkansas Archeological Survey. Google Scholar Caldwell, W. E., & Moloy, H. C. (1933). Anatomical variations in the female pelvis and their effect in labor with a suggested classification. American Journal of Obstetrics and Gynecology, 26(4), 479–505. 10.1016/S0002-9378(33)90194-5 Google Scholar Caldwell, W. E., & Moloy, H. C. (1938). Anatomical variations in the female pelvis: Their classification and obstetrical significance. Proceedings of the Royal Society of Medicine, 32(1), 29–30. Google Scholar Caspari, R. (2003). From types to populations: A century of race, physical anthropology, and the American Anthropological Association. American Anthropologist, 105(1), 65–76. 10.1525/aa.2003.105.1.65 Web of Science® Google Scholar Committee on Obstetric Practice. (2018). Mode of term singleton breech delivery. Obstetrics & Gynecology, 132(2), e60–e63. Retrieved from 10.1097/AOG.0000000000002755 PubMed Web of Science® Google Scholar Cooper Owens, D. B. (2018). Medical bondage: Race, gender, and the origins of American gynecology. University of Georgia Press. Google Scholar Davis, A. W., Levant, R. F., & Pryor, S. (2018). Traditional femininity versus strong black women ideologies and stress among black women. Journal of Black Studies, 49(8), 820–841. 10.1177/0021934718799016 Web of Science® Google Scholar Davis, D.-A. (2019). Obstetric racism: The racial politics of pregnancy, labor, and birthing. Medical Anthropology, 38(7), 560–573. 10.1080/01459740.2018.1549389 PubMed Web of Science® Google Scholar Davis-Floyd, R. E. (1994). The technocratic body: American childbirth as cultural expression. Social Science & Medicine, 38(8), 1125–1140. 10.1016/0277-9536(94)90228-3 CAS PubMed Web of Science® Google Scholar Deliovsky, K. (2008). Normative white femininity: Race, gender and the politics of beauty. Atlantis: Critical Studies in Gender, Culture & Social Justice, 33(1), 49–59. Retrieved from. Google Scholar Delprete, H. (2017). Pelvic inlet shape is not as dimorphic as previously suggested. Anatomical Record, 300(4), 706–715. 10.1002/ar.23544 PubMed Web of Science® Google Scholar DiGangi, E. A., & Bethard, J. D. (2021). Uncloaking a lost cause: Decolonizing ancestry estimation in the United States. American Journal of Physical Anthropology, 175(2), 422–436. 10.1002/ajpa.24212 PubMed Web of Science® Google Scholar Dolea, C., & AbouZahr, C. (2003). Global burden of obstructed labour in the year 2000 (pp. 1–17). World Health Organization. Google Scholar DuBois, L. Z., & Shattuck-Heidorn, H. (2021). Challenging the binary: Gender/sex and the bio-logics of normalcy. American Journal of Human Biology, 33, e23623. 10.1002/ajhb.23623 PubMed Web of Science® Google Scholar Edgar, H., Daneshvari Berry, S., Moes, E., Adolphi, N., Bridges, P., & Nolte, K. (2020). New Mexico Decedent Image Database (NMDID). Retrieved from 10.25827/5S8C-N515 Google Scholar Edmonds, K. (2018). Dewhurst's textbook of obstetrics and gynaecology ( 9th ed.). John Wiley & Sons, Inc. 10.1002/9781119211457 Google Scholar Fischer, K. (2018, July 5). Do you know what your pelvis type is? Retrieved from Modern Fertility website Google Scholar Fuentes, A., Ackermann, R. R., Athreya, S., Bolnick, D., Lasisi, T., Lee, S., McLean, S., & Nelson, R. (2019). AAPA statement on race and racism. American Journal of Physical Anthropology, 169(3), 400–402. 10.1002/ajpa.23882 PubMed Web of Science® Google Scholar Garson, J. G. (1881). Pelvimetry. Journal of Anatomy and Physiology, 16(Pt 1), 106–134. CAS PubMed Google Scholar Glance, L. G., Wissler, R., Glantz, C., Osler, T. M., Mukamel, D. B., & Dick, A. W. (2007). Racial differences in the use of epidural analgesia for labor. Anesthesiology, 106(1), 19–25. 10.1097/00000542-200701000-00008 PubMed Web of Science® Google Scholar Gould, S. J. (2008). The mismeasure of man (rev. and expanded, with a new introduction). W.W. Norton. Google Scholar Greenberg, M. B., Cheng, Y. W., Hopkins, L. M., Stotland, N. E., Bryant, A. S., & Caughey, A. B. (2006). Are there ethnic differences in the length of labor? American Journal of Obstetrics and Gynecology, 195(3), 743–748. 10.1016/j.ajog.2006.06.016 PubMed Web of Science® Google Scholar Greenwood, B. N., Hardeman, R. R., Huang, L., & Sojourner, A. (2020). Physician–patient racial concordance and disparities in birthing mortality for newborns. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 117(35), 21194–21200. 10.1073/pnas.1913405117 CAS PubMed Web of Science® Google Scholar Gupta, J. K., Sood, A., Hofmeyr, G. J., & Vogel, J. P. (2017). Position in the second stage of labour for women without epidural anaesthesia. The Cochrane Database of Systematic Reviews, 2017(5), CD002006. 10.1002/14651858.CD002006.pub4 Web of Science® Google Scholar Hamberg, K. (2008). Gender bias in medicine. Women's Health, 4(3), 237–243. 10.2217/17455057.4.3.237 PubMed Google Scholar Handa, V. L., Lockhart, M. E., Fielding, J. R., Bradley, C. S., Brubaker, L., Cundiff, G. W., Ye, W., Richter, H. E., & Pelvic Floor Disorders Network. (2008). Racial differences in pelvic anatomy by magnetic resonance imaging. Obstetrics and Gynecology, 111(4), 914–920. 10.1097/AOG.0b013e318169ce03 PubMed Web of Science® Google Scholar Handa, V. L., Lockhart, M. E., Kenton, K. S., Bradley, C. S., Fielding, J. R., Cundiff, G. W., Salomon, C. G., Hakim, C., Ye, W., & Richter, H. E. (2009). Magnetic resonance assessment of pelvic anatomy and pelvic floor disorders after childbirth. International Urogynecology Journal, 20(2), 133–139. 10.1007/s00192-008-0736-2 Web of Science® Google Scholar Haultain, F. W. N., & Swift, B. H. (1916). The morphine-hyoscine method of painless childbirth: Or so-called “twilight sleep”. British Medical Journal, 2(2911), 513–515. 10.1136/bmj.2.2911.513 CAS PubMed Google Scholar Hemmerich, A., Bandrowska, T., & Dumas, G. A. (2019). The effects of squatting while pregnant on pelvic dimensions: A computational simulation to understand childbirth. Journal of Biomechanics, 87, 64–74. 10.1016/j.jbiomech.2019.02.017 PubMed Web of Science® Google Scholar Hill, M. G., & Cohen, W. R. (2016). Shoulder dystocia: Prediction and management. Women's Health, 12(2), 251–261. 10.2217/whe.15.103 CAS Google Scholar Hoffmann, J., Thomassen, K., Stumpp, P., Grothoff, M., Engel, C., Kahn, T., & Stepan, H. (2016). New MRI criteria for successful vaginal breech delivery in primiparae. PLoS One, 11(8), e0161028. 10.1371/journal.pone.0161028 PubMed Web of Science® Google Scholar Jaschik, S. (2017, October 23). Anger over stereotypes in textbook. Retrieved from Inside Higher Ed website Google Scholar Johnson, J. D., Asiodu, I. V., McKenzie, C. P., Tucker, C., Tully, K. P., Bryant, K., Verbiest, S., & Stuebe, A. M. (2019). Racial and ethnic inequities in postpartum pain evaluation and management. Obstetrics and Gynecology, 134(6), 1155–1162. 10.1097/AOG.0000000000003505 PubMed Web of Science® Google Scholar Jolly, N. (2010). Childbirth. In A. O'Reilly (Ed.), Encyclopedia of motherhood (pp. 183–189). Sage Publications. Retrieved from. 10.4135/9781412979276.n99 Google Scholar Kaltreider, D. F. (1951). The diagonal conjugate. American Journal of Obstetrics and Gynecology, 61(5), 1075–1086. 10.1016/0002-9378(51)90309-2 CAS PubMed Web of Science® Google Scholar Kern, K. (2006). T. Wingate Todd: Pioneer of modern American physical anthropology. Kirtlandia, 55, 1–42. Google Scholar King, T. L., Brucker, M. C., Osborne, K., & Jevitt, C. (2019). Varney's midwifery ( 6th ed.). Jones & Bartlett Learning. Google Scholar Klemt, A.-S., Schulze, S., Brüggmann, D., & Louwen, F. (2019). MRI-based pelvimetric measurements as predictors for a successful vaginal breech delivery in the Frankfurt breech at term cohort (FRABAT). European Journal of Obstetrics, Gynecology, and Reproductive Biology, 232, 10–17. 10.1016/j.ejogrb.2018.09.033 PubMed Web of Science® Google Scholar Klima, C. (2021, July 7). Fw: Teaching pelvimetry. Google Scholar Kurki, H. K. (2007). Protection of obstetric dimensions in a small-bodied human sample. American Journal of Physical Anthropology, 133(4), 1152–1165. 10.1002/ajpa.20636 PubMed Web of Science® Google Scholar Lawrence, S. C., & Bendixen, K. (1992). His and hers: Male and female anatomy in anatomy texts for U.S. medical students, 1890–1989. Social Science & Medicine, 35(7), 925–934. 10.1016/0277-9536(92)90107-2 CAS PubMed Web of Science® Google Scholar Liese, K. L., Davis-Floyd, R., Stewart, K., & Cheyney, M. (2021). Obstetric iatrogenesis in the United States: The spectrum of unintentional harm, disrespect, violence, and abuse. Anthropology & Medicine, 28(2), 188–204. 10.1080/13648470.2021.1938510 PubMed Web of Science® Google Scholar Loudon, I. (1992). The transformation of maternal mortality. British Medical Journal, 305(6868), 1557–1560. 10.1136/bmj.305.6868.1557 CAS PubMed Google Scholar Mack, K., & Palfrey, J. (2020, August 26). Capitalizing Black and White: Grammatical justice and equity. Retrieved from MacArthur Foundation website: Google Scholar Mandy, A. J., Mandy, T. E., Farkas, R., & Scher, E. (1952). Is natural childbirth natural? Psychosomatic Medicine, 14(6), 431–438. 10.1097/00006842-195211000-00001 CAS PubMed Web of Science® Google Scholar Marks, J. (2009). Why I am not a scientist: Anthropology and modern knowledge. University of California Press. 10.1525/9780520943308 Google Scholar Mavroforou, A., Koumantakis, E., & Michalodimitrakis, E. (2005). Physicians' liability in obstetric and gynecology practice. Medicine and Law, 24(1), 1–9. PubMed Google Scholar McMillan Cottom, T. (2019). Thick: And other essays. The New Press. Google Scholar Moore, K. L., & Dalley, A. F. (2018). Clinically oriented anatomy ( 8th ed.). Lippincott Williams and Wilkins. Google Scholar Morris, Z. S., Wooding, S., & Grant, J. (2011). The answer is 17 years, what is the question: Understanding time lags in translational research. Journal of the Royal Society of Medicine, 104(12), 510–520. 10.1258/jrsm.2011.110180 PubMed Web of Science® Google Scholar Murphy, H., & Strong, J. (2018). Just another ordinary bad birth? A narrative analysis of first time mothers' traumatic birth experiences. Health Care for Women International, 39(6), 619–643. 10.1080/07399332.2018.1442838 PubMed Web of Science® Google Scholar NCD Risk Factor Collaboration. (2016). A century of trends in adult human height. eLife, 5, e13410. 10.7554/eLife.13410 PubMed Web of Science® Google Scholar Ouzounian, J. G. (2016). Shoulder dystocia: Incidence and risk factors. Clinical Obstetrics and Gynecology, 59(4), 791–794. 10.1097/GRF.0000000000000227 PubMed Web of Science® Google Scholar Parker, R., Larkin, T., & Cockburn, J. (2017). A visual analysis of gender bias in contemporary anatomy textbooks. Social Science & Medicine, 180, 106–113. 10.1016/j.socscimed.2017.03.032 PubMed Web of Science® Google Scholar Patel, R. R., & Murphy, D. J. (2004). Forceps delivery in modern obstetric practice. British Medical Journal, 328(7451), 1302–1305. 10.1136/bmj.328.7451.1302 PubMed Web of Science® Google Scholar Pattinson, R. C., Cuthbert, A., & Vannevel, V. (2017). Pelvimetry for fetal cephalic presentations at or near term for deciding on mode of delivery. The Cochrane Database of Systematic Reviews, 2017(3), CD000161. 10.1002/14651858.CD000161.pub2 Web of Science® Google Scholar Posner, G. D., Foote, W. R., & Oxorn, H. (2013). Oxorn-Foote human labor & birth ( 6th ed.). McGraw Hill Medical. Google Scholar Pruner-Bey. (1864). Étude sur le bassin considéré dans les différentes races humaines. Bulletins et Mémoires de la Société d'Anthropologie de Paris, 5(5), 902–924. 10.3406/bmsap.1864.4185 Google Scholar Quine, L., Rutter, D. R., & Gowen, S. (1993). Women's satisfaction with the quality of the birth experience: A prospective study of social and psychological predictors. Journal of Reproductive and Infant Psychology, 11(2), 107–113. 10.1080/02646839308403202 Google Scholar Relias Obstetrics. (2021). Advanced, personalized learning for obstetrics departments. Retrieved from Relias website: Google Scholar Roberts, D. (2012). Fatal invention: How science, politics, and big business re-create race in the twenty-first century. The New Press. Google Scholar Rutherford, J. N., Asiodu, I. V., & Liese, K. L. (2019). Reintegrating modern birth practice within ancient birth process: What high cesarean rates ignore about physiologic birth. American Journal of Human Biology, 31(2), e23229. 10.1002/ajhb.23229 Web of Science® Google Scholar Schiebinger, L. (1993). Nature's body: Gender in the making of modern science. Beacon Press. Google Scholar Schmitz, T. (2015). Modalités de l'accouchement dans la prévention de la dystocie des épaules en cas de facteurs de risque identifiés. Journal de Gynécologie, Obstétrique et Biologie de la Reproduction, 44(10), 1261–1271. 10.1016/j.jgyn.2015.09.051 CAS PubMed Google Scholar Scott, K. A., Britton, L., & McLemore, M. R. (2019). The ethics of perinatal care for black women: Dismantling the structural racism in “mother blame” narratives. The Journal of Perinatal & Neonatal Nursing, 33(2), 108–115. 10.1097/JPN.0000000000000394 PubMed Web of Science® Google Scholar Seladi-Schulman, J. (2020, July 15). The 4 main pelvis types and what they mean for giving birth. Retrieved from Healthline website Google Scholar Siccardi, M., Valle, C., & Di Matteo, F. (2021). Dynamic external pelvimetry test in third trimester pregnant women: Shifting positions affect pelvic biomechanics and create more room in obstetric diameters. Cureus, 13, e13631. 10.7759/cureus.13631 PubMed Web of Science® Google Scholar Spinning Babies. (2021). Mother's Birth-Related Anatomy. Retrieved from Spinning Babies website Google Scholar Spörri, S., Thoeny, H. C., Raio, L., Lachat, R., Vock, P., & Schneider, H. (2002). MR imaging pelvimetry: A useful adjunct in the treatment of women at risk for dystocia? American Journal of Roentgenology, 179(1), 137–144. 10.2214/ajr.179.1.1790137 PubMed Web of Science® Google Scholar Thoms, H. (1937). Obstetrical significance of pelvic variations. British Medical Journal, 2(3,995), 210–212. 10.1136/bmj.2.3995.210 CAS PubMed Google Scholar Tillman, S. (2020). Consent in pelvic care. Journal of Midwifery & Women's Health, 65(6), 749–758. 10.1111/jmwh.13189 PubMed Web of Science® Google Scholar Turner, W. M. (1885). The index of the pelvic brim as a basis of classification. Journal of Anatomy and Physiology, 20(Pt 1), 125–143. CAS PubMed Google Scholar Vedam, S., Stoll, K., Taiwo, T. K., Rubashkin, N., Cheyney, M., Strauss, N., McLemore, M., Cadena, M., Nethery, E., Rushton, E., Schummers, L., Declercq, E., & GVtM-US Steering Council. (2019). The giving voice to mothers study: Inequity and mistreatment during pregnancy and childbirth in the United States. Reproductive Health, 16(1), 77. 10.1186/s12978-019-0729-2 PubMed Web of Science® Google Scholar Verneau, R. (1875). Le bassin dans les sexes et dans les races. Baillière. Google Scholar Waldenström, U., Hildingsson, I., Rubertsson, C., & Rådestad, I. (2004). A negative birth experience: Prevalence and risk factors in a national sample. Birth, 31(1), 17–27. 10.1111/j.0730-7659.2004.0270.x PubMed Web of Science® Google Scholar Walrath, D. (2003). Rethinking pelvic typologies and the human birth mechanism. Current Anthropology, 44(1), 5–31. 10.1086/344489 Web of Science® Google Scholar Watkins, R. J. (2012). Biohistorical narratives of racial difference in the American negro: Notes toward a nuanced history of American physical anthropology. Current Anthropology, 53(S5), S196–S209. 10.1086/662416 Web of Science® Google Scholar Wells, J. C. K., DeSilva, J. M., & Stock, J. T. (2012). The obstetric dilemma: An ancient game of Russian roulette, or a variable dilemma sensitive to ecology? American Journal of Physical Anthropology, 149(S55), 40–71. 10.1002/ajpa.22160 PubMed Web of Science® Google Scholar Williams, J. W., Cunningham, F. G., Leveno, K. J., Bloom, S. L., Spong, C. Y., & Dashe, J. S. (2018). Williams obstetrics ( 25th ed.). McGraw-Hill Education Medical. Google Scholar Zaretsky, M. V., Alexander, J. M., McIntire, D. D., Hatab, M. R., Twickler, D. M., & Leveno, K. J. (2005). Magnetic resonance imaging pelvimetry and the prediction of labor dystocia. Obstetrics and Gynecology, 106(5 Pt 1), 919–926. 10.1097/01.AOG.0000182575.81843.e7 PubMed Web of Science® Google Scholar Citing Literature Volume305, Issue4 Special Issue:Evolution of a Discipline – The Changing Face of Anatomy April 2022 Pages 952-967 ## Figures ## References ## Related ## Information Close Figure Viewer Previous FigureNext Figure Caption Download PDF
9756	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2014_AMC_12B_Problems/Problem_18?srsltid=AfmBOopiMDWH2YLFCRrBGEWiH-tqfhAAbKN95EUP9lByxZrLl3ZZ_0h1	Art of Problem Solving 2014 AMC 12B Problems/Problem 18 - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. Visit AoPS Academy ‚ Find a Physical CampusVisit the Virtual Campus Sign In Register online school Class ScheduleRecommendationsOlympiad CoursesFree Sessions books tore AoPS CurriculumBeast AcademyOnline BooksRecommendationsOther Books & GearAll ProductsGift Certificates community ForumsContestsSearchHelp resources math training & toolsAlcumusVideosFor the Win!MATHCOUNTS TrainerAoPS Practice ContestsAoPS WikiLaTeX TeXeRMIT PRIMES/CrowdMathKeep LearningAll Ten contests on aopsPractice Math ContestsUSABO newsAoPS BlogWebinars view all 0 Sign In Register AoPS Wiki ResourcesAops Wiki 2014 AMC 12B Problems/Problem 18 Page ArticleDiscussionView sourceHistory Toolbox Recent changesRandom pageHelpWhat links hereSpecial pages Search 2014 AMC 12B Problems/Problem 18 The following problem is from both the 2014 AMC 12B #18 and 2014 AMC 10B #24, so both problems redirect to this page. Contents 1 Problem 2 Solutions 2.1 Solution 1 2.2 Video Solution 3 See Also Problem The numbers 1, 2, 3, 4, 5 are to be arranged in a circle. An arrangement is if it is not true that for every from to one can find a subset of the numbers that appear consecutively on the circle that sum to . Arrangements that differ only by a rotation or a reflection are considered the same. How many different bad arrangements are there? Solutions Solution 1 We see that there are total ways to arrange the numbers. However, we can always rotate these numbers so that, for example, the number 1 is always at the top of the circle. Thus, there are only ways under rotation, which is not difficult to list out. We systematically list out all cases. Now, we must examine if they satisfy the conditions. We can see that by choosing one number at a time, we can always obtain subsets with sums 1, 2, 3, 4, and 5. By choosing the full circle, we can obtain 15. By choosing everything except for 1, 2, 3, 4, and 5, we can obtain subsets with sums of 10, 11, 12, 13, and 14. This means that we now only need to check for 6, 7, 8, and 9. However, once we have found a set summing to 6, we can choose everything else and obtain a set summing to 9, and similarly for 7 and 8. Thus, we only need to check each case for whether or not we can obtain 6 or 7. We find that there are only 4 arrangements that satisfy these conditions. However, each of these is a reflection of another. We divide by 2 for these reflections to obtain a final answer of . Video Solution video by IceMatrix See Also 2014 AMC 10B (Problems • Answer Key • Resources) Preceded by Problem 23Followed by Problem 25 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11•12•13•14•15•16•17•18•19•20•21•22•23•24•25 All AMC 10 Problems and Solutions 2014 AMC 12B (Problems • Answer Key • Resources) Preceded by Problem 17Followed by Problem 19 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10•11•12•13•14•15•16•17•18•19•20•21•22•23•24•25 All AMC 12 Problems and Solutions These problems are copyrighted © by the Mathematical Association of America, as part of the American Mathematics Competitions. Retrieved from " Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
9757	https://www.youtube.com/watch?v=MHgi8ZQCG0I	Writing two-variable inequalities word problem \| Mathematics I \| High School Math \| Khan Academy Khan Academy 9090000 subscribers 47 likes Description 68816 views Posted: 3 Sep 2015 Courses on Khan Academy are always 100% free. Start practicing—and saving your progress—now: Sal solves a word problem about scores in a chess tournament by creating a two-variable linear inequality. High School Math on Khan Academy: Did you realize that the word "algebra" comes from Arabic (just like "algorithm" and "al jazeera" and "Aladdin")? And what is so great about algebra anyway? This tutorial doesn't explore algebra so much as it introduces the history and ideas that underpin it. About Khan Academy: Khan Academy is a nonprofit with a mission to provide a free, world-class education for anyone, anywhere. We believe learners of all ages should have unlimited access to free educational content they can master at their own pace. We use intelligent software, deep data analytics and intuitive user interfaces to help students and teachers around the world. Our resources cover preschool through early college education, including math, biology, chemistry, physics, economics, finance, history, grammar and more. We offer free personalized SAT test prep in partnership with the test developer, the College Board. Khan Academy has been translated into dozens of languages, and 100 million people use our platform worldwide every year. For more information, visit www.khanacademy.org, join us on Facebook or follow us on Twitter at @khanacademy. And remember, you can learn anything. For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything Subscribe to Khan Academy’s High School Math channel: Subscribe to Khan Academy: 3 comments Transcript: Fabiano wants to score at least 6.5 points in a major test tour in a major chess tournament he scores one point for each game that he wins and he scores 0.5 points for each game that ends in a draw right an inequality that represents the number of games Fabiano should win and draw D to achieve his goal so I encourage you to pause the video and and see if you can do that right inequality in terms of the number of g games one so capital w and the number of draws capital d to that represents what he needs to do to actually achieve his goal all right let's work through it together so how many points is he going to get from winning so if he wins W he's going to win W games and he gets one point for each of them so it's going to be one point per game times the number of games so one W I could just write as W so this is the points from winning points from winning from wins I could say and what are his points going to be from the draws well from the draws he's going to have he's going to have D draws and he gets 0.5 points for each of them 0.5 times D this is going to be the points from the draws points from the draws from the draws now this right over here is going to be his total points points from wins points from draws I'm assuming he gets no points for losses and we want this number the total number of points his score to be at least 6.5 so we want this to be greater than or equal to 6.5 greater than or equal to 6.5 if it says Fabiano wants to score more than 6.5 then it would have been greater than but it says Fabi Fab Fabiano wants to score at least 6.5 so that's greater than or equal to 6.5 he's okay if he scores 6.5 and there you have it we have our inequality in terms of in terms of the number of games he needs to win and draw and this this inequality needs to be true in order for him to score at least six and a half points in this major chess tournament
9758	https://www.imperial.ac.uk/media/imperial-college/research-centres-and-groups/thermophysics/Chart-p-h-R134a.pdf	p -h Diagram for R134a Plotted by: J P M Trusler Reference state: h /(kJ·kg-1) = 200 and s /(kJ·K-1·kg-1) = 1.00 for saturated liquid at T = 0°C. 0.1 1 10 100 100 200 300 400 500 h /(kJ·kg-1) p /bar  T /°C  s /(kJ·K-1·kg-1)  v /(m3·kg-1)  Quality 1.58 1.66 1.62 1.70 0.002 2.34 2.30 2.26 2.22 2.18 2.14 2.10 2.06 2.02 1.98 1.94 1.90 1.86 1.82 1.78 1.74 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01 0.005 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 100 120 110 100 130 120 90 80 70 60 50 40 10 0 20 -10 -20 -30 -40 -50 150 140 30 110 0.1 0.8 0.6 0.2 0.4 0.3 0.7 0.5 0.9 0.82 0.86 0.90 0.94 0.98 1.02 1.06 1.10 1.14 1.18 1.22 1.26 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 0.74 0.78 © Imperial College London 2003
9759	https://math.stackexchange.com/questions/1174962/ravi-substitution-in-inequalities	Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Ravi substitution in inequalities Ask Question Asked Modified 10 years, 4 months ago Viewed 4k times 2 $\begingroup$ There is a well-known substitution for proving geometric inequalities: If $a,b,c$ are the side lengths of a triangle, then in an inequality involving $a,b,c$ it is possible to replace $a,b,c$ by $x+y,y+z,z+x$. This gets rid of the "triangle" restriction, so you just have to prove the resulting inequality in $x,y,z$ for any positive reals $x,y,z$. My question concerns the other direction: what if you have an inequality in $x+y,y+z,z+x$, is it possible to make the substitutions $x+y=a$, $y+z=b$ and $z+x=c$ and end up with an inequality in $a,b,c$ that is valid for the side lengths of a triangle? geometry inequality triangles Share asked Mar 4, 2015 at 11:24 Is NeIs Ne 2,77822 gold badges2020 silver badges3939 bronze badges $\endgroup$ 5 1 $\begingroup$ Yes. The existence of such positive $x,y,z$ is equivalent to $a,b,c$ being sides of a non-degenerate triangle. $\endgroup$ Macavity – Macavity 2015-03-04 14:37:39 +00:00 Commented Mar 4, 2015 at 14:37 $\begingroup$ Its easy to prove isn't it? Those satisfy the triangle inequality, and we are done. $\endgroup$ Sawarnik – Sawarnik 2015-03-04 16:47:34 +00:00 Commented Mar 4, 2015 at 16:47 $\begingroup$ dibyo? I don't understand :/ $\endgroup$ Sawarnik – Sawarnik 2015-03-04 17:24:03 +00:00 Commented Mar 4, 2015 at 17:24 $\begingroup$ @Macavity For the sake of moving this question off the unanswered list, would you mind posting your comment as an answer? $\endgroup$ Peter Woolfitt – Peter Woolfitt 2015-05-15 02:20:03 +00:00 Commented May 15, 2015 at 2:20 $\begingroup$ @PeterWoolfitt Done... $\endgroup$ Macavity – Macavity 2015-05-15 05:02:35 +00:00 Commented May 15, 2015 at 5:02 Add a comment \| 1 Answer 1 Reset to default 2 $\begingroup$ Yes. If you have an inequality in positive reals $x, y, z$, then by defining $a=x+y, b= y+z, c = z+x$, we get positive reals $a, b, c$ s.t. $a+b - c = 2y > 0, b+c-a=2z> 0, c+a-b=2x > 0$, so $a, b, c$ form a triangle. Share answered May 15, 2015 at 5:02 MacavityMacavity 48.2k66 gold badges4040 silver badges7474 bronze badges $\endgroup$ Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions geometry inequality triangles See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Linked 0 Prove that $a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc.$ 1 Estimate for $\frac{1}{\Delta}\sqrt{abc(a+b+c)}$ Related 1 Assuming inequalities to be equal when proving by induction 0 How to find the corners of a shape given 4 inequalities? Do any compatible triangles make a tetrahedron? How to prove inequalities in geometry 1 Possibility of determining the third side of a right angled triangle using given three parameters: 1 Using AM-GM to show $ \sqrt{x - \frac{1}{x}} - \sqrt{1 - \frac{1}{x}} > \frac{x - 1}{x} $ Hot Network Questions What is the feature between the Attendant Call and Ground Call push buttons on a B737 overhead panel? What meal can come next? Is direct sum of finite spectra cancellative? Analog story - nuclear bombs used to neutralize global warming Quantizing EM field by imposing canonical commutation relations Checking model assumptions at cluster level vs global level? I'm having a hard time intuiting throttle position to engine rpm consistency between gears -- why do cars behave in this observed way? How can blood fuel space travel? How do trees drop their leaves? Can a GeoTIFF have 2 separate NoData values? Find non-trivial improvement after submitting Is encrypting the login keyring necessary if you have full disk encryption? How to use \zcref to get black text Equation? Where is the first repetition in the cumulative hierarchy up to elementary equivalence? Why is the definite article used in “Mi deporte favorito es el fútbol”? Verify a Chinese ID Number Identifying a thriller where a man is trapped in a telephone box by a sniper With with auto-generated local variables Is existence always locational? Why do universities push for high impact journal publications? Implications of using a stream cipher as KDF Is it ok to place components "inside" the PCB How long would it take for me to get all the items in Bongo Cat? Numbers Interpreted in Smallest Valid Base more hot questions Question feed
9760	https://www.magicbricks.com/acre-to-square-feet-pppfa	𝐂𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭 𝐀𝐜𝐫𝐞 𝐭𝐨 𝐒𝐪𝐮𝐚𝐫𝐞 𝐅𝐞𝐞𝐭, Acre to Sq ft Conversion Login My Activity Requested Properties New MagicDiary New Contacted Properties Viewed Properties Shortlisted Properties Searches Recommendations My Profile Login New to Magicbricks? Sign Up Post Property FREE Buy Popular Choices Ready to Move Owner Properties Budget Homes Premium Homes New Projects Property Types Flats in House for sale in Villa in Property in Agriculture Land for Sale in Shop for sale in Plot for sale in;) Commercial Shop in;) Budget Under ₹ 50 Lac;) ₹ 50 Lac - ₹ 1 Cr;) ₹ 1 Cr - ₹ 1.5 Cr;) Above ₹ 1.5 Cr;) Explore Localities in Projects in Investment Hotspot Find an Agent Home Interiors in Buying Tools PropWorth Rates & Trends Buy vs Rent Tips and Guides Rent Popular Choices Owner Properties Verified Properties Furnished Homes Bachelor Friendly Homes Immediately Available Property Types Flat for rent in House for rent in Villa for rent in Hostels in PG in;) Office Space in;) Coworking Space in;) Budget Under ₹ 10,000;) ₹ 10,000 - ₹ 15,000;) ₹ 15,000 - ₹ 25,000;) Above ₹ 25,000;) Explore Localities;) Buy Vs Rent;) Find an Agent;) Share Requirement Property Services Rent Agreement Sell For Owner Post Property Free My Dashboard Sell / Rent Ad Packages +91 9870 260 930 / Email Us For Agent & Builder My Dashboard Developer Lounge Sales Enquiry Ad Packages 0120-5135525 Selling Tools Rates & Trends PropWorth Home Loans Apply Now Home Loans Balance Transfer Loan Against Property Partners SBI Home Loan HDFC Ltd Home Loan Axis Home Loan Kotak Home Loan LIC HF Home Loan Explore Home Loan EMI Calculator Home Loan Eligibility Get Home Loan Offers NEW Check Credit Score Home Loan Prepayment Home Loan Interest Rate Home Loan Balance Transfer Home Loan Documentation EMI Calculators SBI Home Loan EMI Calculator HDFC Home Loan EMI Calculator Axis Bank Home Loan EMI Calculator Bajaj Home Loan EMI Calculator Kotak Home Loan EMI Calculatorr L&T Home Loan EMI Calculator Interest Rates SBI Home Loan Interest Rate HDFC Home Loan Interest Rate Axis Bank Home Loan Interest Rate Bajaj Home Loan Interest Rate Kotak Bank Interest Rate L&T Home Loan Interest Rate Home Interiors Explore our services Home Interior Design Services MB Advice NEW MB Research Research & Insights Prop Index Find Pincode Services & Tools Property Valuation Rates & Trends Area Converter PropWorth Buy v/s Rent Localities & Projects Localities in Locality Review Videos Compare Localities New Projects in Project Review Videos MBTV Videos News & Blogs Latest Blogs Lifestyle Policies Finance & Legal City Blogs Property News Trending Web Stories Help Help Center Sales Enquiry Home Area Converter Acre to Square Feet अ हिन्दी Acre to Square Feet Converter Select State Select State Andhra Pradesh Assam Bihar Gujarat Haryana Himachal Pradesh Jammu and Kashmir Jharkhand Karnataka Kerala Madhya Pradesh Maharashtra Manipur Odisha Punjab Rajasthan Tamil Nadu Telangana Tripura Uttar Pradesh Uttarakhand West Bengal From Enter No. of Units To From Acre Guntha Square Inch Hectare Ground Square Mile Bigha Square Karam Square Kilometer Murabba Decimal Lessa Cent Biswa Kacha Marla Chatak Dhur Biswa Acre Square Meter Square Yard Kanal Gaj Killa Pura Katha Square Feet Square Centimeter To Square Feet Guntha Square Inch Hectare Ground Square Mile Bigha Square Karam Square Kilometer Murabba Decimal Lessa Cent Biswa Kacha Marla Chatak Dhur Biswa Acre Square Meter Square Yard Kanal Gaj Killa Pura Katha Square Feet Square Centimeter 1 Acre = 43560.056968 Square Feet Square Feet to Acre Calculator Popular Acre to Square Feet conversions General Conversions from Acre to Square Feet are as follows: \| Acre \| Square Feet (Sqft) \| --- \| \| 1 Acre to Square Feet \| 43560.057 \| \| 2 Acre to Square Feet \| 87120.114 \| \| 3 Acre to Square Feet \| 130680.171 \| \| 4 Acre to Square Feet \| 174240.228 \| \| 5 Acre to Square Feet \| 217800.285 \| \| 6 Acre to Square Feet \| 261360.342 \| \| 7 Acre to Square Feet \| 304920.399 \| \| 8 Acre to Square Feet \| 348480.456 \| \| 9 Acre to Square Feet \| 392040.513 \| \| 10 Acre to Square Feet \| 435600.57 \| \| 11 Acre to Square Feet \| 479160.627 \| \| 12 Acre to Square Feet \| 522720.684 \| \| 13 Acre to Square Feet \| 566280.741 \| \| 14 Acre to Square Feet \| 609840.798 \| \| 15 Acre to Square Feet \| 653400.855 \| \| 16 Acre to Square Feet \| 696960.911 \| \| 17 Acre to Square Feet \| 740520.968 \| \| 18 Acre to Square Feet \| 784081.025 \| \| 19 Acre to Square Feet \| 827641.082 \| \| 20 Acre to Square Feet \| 871201.139 \| \| Load 10 More \| Popular Unit Converter CM to InchesInches to CMMeter to FeetCM to FeetInches to FeetFeet to MeterFeet to CMMM to FeetMM to CMFeet to InchesCM to MMMeter to CM Land Unit Converter Acre to Biswa KachaSquare Feet to Biswa KachaAcre to ChatakSquare Feet to ChatakAcre to MarlaSquare Feet to MarlaAcre to DhurSquare Feet to DhurAcre to KillaSquare Feet to Killa Area Converter Acre to Square Feet Calculator Popular Conversions How to convert About Acre About Square Feet FAQ's Top Localities Properties Blogs How to convert Acre to Square Feet? Many times the stakeholders of the real estate need to convert the area of the property from Acre to square feet. They need to do such conversion for buying, selling, and leasing the property. They may do such modifications to post an advertisement or for some property-related documentation. To convert Acre into square feet, multiply the area value by 43560. For example, 5 acres is equal to 43560 multiplied by 5 acres. It will give the following result: 5 acre= 435605= 217800 ft 2 Some popular conversions of Acre into some other units of measurements are: 1 acre4046.85 m 2 1 acre6272640 inches 2 1 acre0.00404686 km 2 1 acre4886.92 gaj 2 1 acre40468564.22 cm 2 1 acre1.61290 Bigha 1 acre43560 ft 2 1 acre0.4046856422 hectare Acre to Square Feet Formula and Example The Acre to Square Feet conversion formula is simple and can be done through the following formula- ft 2 = Acre X 43560.056968393 Here are a few Acre to Square Feet conversion examples Acre Square Feet 10 Acre is equal to 10 43560.057 435600.57 Square Feet 20 Acre is equal to 20 43560.057 871201.139 Square Feet 50 Acre is equal to 50 43560.057 2178002.848 Square Feet 75 Acre is equal to 75 43560.057 3267004.273 Square Feet 100 Acre is equal to 100 43560.057 4356005.697 Square Feet 150 Acre is equal to 150 43560.057 6534008.545 Square Feet 200 Acre is equal to 200 43560.057 8712011.394 Square Feet 500 Acre is equal to 500 43560.057 21780028.484 Square Feet 1000 Acre is equal to 1000 43560.057 43560056.968 Square Feet About Acre Acre was the land measurement unit under the British Imperial and United States Customary systems. 1 Acre is equal to 43,560 square feet. Several basic measurements were used to define the Acre. Traditionally, Acre is equal to the area of one chain by one furlong, equivalent to a 10 square chain. It is equal to 1/640 of a square mile, 43,560 square feet, 4840 square yards, and about 40% of a hectare. The Acre is abbreviated as 'ac' and is often spelled out as "acre." Well, there is no prescribed shape of the land. Any area of 43560 square feet is an Acre. The History of Acre The area of land that could be plowed by a man in one day with the help of Acre is coined from an old English word Acer which means "open field." Traditionally, Acre was a team of oxen. The Anglo-Saxon Acre was defined as a strip of land 1 x 1/10 furlong or 660 x 66 feet. Dimensions of Acre 1 Acre 43,560 square feet 1 Acre 4,047 square meters 1 Acre 0.4047 hectares 1 Acre 4,840 square yards 1 Acre 1/640th of a square mile About Square Feet "Square feet" is the plural of square foot and is denoted as sq. ft. or ft2. Square foot is an imperial unit and U.S. customary unit of area. The foot is 1/3 of the yard as per the imperial unit. The yard here is the physical standard of the unit measurement. Square feet is the commonly used unit in real estate. A square foot is the unit of measurement of an area equal to the square, measuring one foot on each side. It is important to note that a square foot doesn't necessarily have a shape like a square. The History of Square Feet In ancient times, the human body has been the basis for providing the base for units of lengths. Therefore, the foot of an adult Caucasian male was about 15.3% of his height. Thus, on average, the person's foot length comes to be 268 mm. This length was taken as the foot- the unit of measurement. The standard Roman foot was about 295.7 mm. However, in some other provinces, the length of about 334 mm was used as "foot" because it was the foot length of Nero Claudius Drusus, a Roman leader. There were many standards for using feet, and they were peculiar to a particular city. Difference between Acre and Square Feet Here are some of the differences between Acre and Square feet. AcreSquare feet Acre is the unit of land measurement in the British Imperial and United States Customary systems.A square foot is a non-SI or non-metric unit of area. Many current and former British Commonwealth countries use Acre.It is widely used in the United States of America, Canada, the United Kingdom, India, Bangladesh, and Pakistan. One Acre is larger than a square feet.One square feet is smaller than One Acre. It is a measure of the tracts of the land.The area of land/plots, houses, individual rooms, office spaces, and villas are measured in square feet. After knowing the conversion of Acre to Square feet and vice versa, it is important to understand the importance of the conversions. Property buyers need to focus on their requirement of sufficient space, amenities, and pricing per acre/square feet. Therefore, standardizing the unit of measurement for a property enables them to know the size of the property before investing. Use the Acre to Square Feet (Ac to Sq.ft.) calculator to determine the area precisely. The buyers and the sellers also need to do a minute field survey to know the area covered in the budget for buying and selling a property. Conversion of the area of the property from Acre to Square Feet with the help of Acre to the square feet calculator helps them book a profitable deal. Dimensions of Square Feet 1 sqft 144 square inches 1 sqft 0.11 square yards 1 sqft 0.0929 square meters 1 sqft 0.00002295684113 Acre 1 sqft 0.0009182736455 Guntha Frequently Asked Questions ### How many Square Feet in Acre?1 Acre = 43560.056968393 Square Feet. ### How many Acre in Square Feet?1 Square Feet = 0.00002296 Acre. To convert more, use Square Feet to Acre Calculator ### How many Square Feet in 1 Acre?1 Acre = 43560.056968393 Square Feet. ### How many Square Feet in 10 Acre?10 Acre = 435600.56968393 Square Feet. ### How many Square Feet in 100 Acre?100 Acre = 4356005.6968393 Square Feet. ### Which are globally accepted land measurement units?The globally accepted land measurement units are Square feet (sq ft), Square yard, Square meter (sq m), Acre, and Hectare. Property Options in Top Cities for Buy BangaloreMumbaiHyderabadThanePuneNew DelhiChennaiAhmedabadKolkataGurgaonNoidaNavi MumbaiOthers Flats in Bangalore Flats in WhitefieldFlats in Sarjapur RoadFlats in Electronic CityFlats in KoramangalaFlats in HSR LayoutFlats in MarathahalliFlats in HebbalFlats in Kanakapura RoadFlats in BellandurFlats in Varthur House for Sale in Bangalore House for Sale in WhitefieldHouse for Sale in HSR LayoutHouse for Sale in JP NagarHouse for Sale in KoramangalaHouse for Sale in Sarjapur RoadHouse for Sale in HebbalHouse for Sale in YelahankaHouse for Sale in Electronic CityHouse for Sale in MarathahalliHouse for Sale in Bellandur Property in Bangalore Property in WhitefieldProperty in Sarjapur RoadProperty in Electronic CityProperty in YelahankaProperty in HSR LayoutProperty in KoramangalaProperty in MarathahalliProperty in HebbalProperty in JP NagarProperty in Bellandur Plots in Bangalore Plots in WhitefieldPlots in Sarjapur RoadPlots in YelahankaPlots in Electronic CityPlots in HSR LayoutPlots in Kanakapura RoadPlots in MarathahalliPlots in JP NagarPlots in SarjapurPlots in Bellandur Villas in Bangalore Villas in WhitefieldVillas in Sarjapur RoadVillas in Electronic CityVillas in YelahankaVillas in Kanakapura RoadVillas in HSR LayoutVillas in KoramangalaVillas in BellandurVillas in MarathahalliVillas in JP Nagar Flats in Mumbai Flats in Andheri EastFlats in ChemburFlats in Borivali WestFlats in Virar WestFlats in Kandivali WestFlats in Bandra WestFlats in Goregaon WestFlats in Mira RoadFlats in Goregaon EastFlats in Andheri West House for Sale in Mumbai House for Sale in Bandra WestHouse for Sale in ChemburHouse for Sale in Andheri WestHouse for Sale in Borivali WestHouse for Sale in VirarHouse for Sale in Mira RoadHouse for Sale in Malad WestHouse for Sale in JuhuHouse for Sale in Andheri EastHouse for Sale in Vasai Property in Mumbai Property in Mira RoadProperty in Andheri WestProperty in ChemburProperty in Goregaon EastProperty in Borivali WestProperty in Kandivali WestProperty in Malad WestProperty in Andheri EastProperty in Goregaon WestProperty in Virar West Plots in Mumbai Plots in VasaiPlots in Mira RoadPlots in VirarPlots in Andheri EastPlots in CharkopPlots in Virar WestPlots in Naigaon PalgharPlots in Bandra WestPlots in Vaishali Nagar Jogeshwari West Villas in Mumbai Villas in JuhuVillas in Andheri WestVillas in Andheri EastVillas in WorliVillas in Goregaon EastVillas in Bandra WestVillas in Goregaon WestVillas in Borivali WestVillas in ChemburVillas in Virar East Flats in Hyderabad Flats in KondapurFlats in GachibowliFlats in MiyapurFlats in KompallyFlats in KukatpallyFlats in KokapetFlats in TellapurFlats in BachupallyFlats in Narsingi House for Sale in Hyderabad House for Sale in BeeramgudaHouse for Sale in Jubilee HillsHouse for Sale in KukatpallyHouse for Sale in UppalHouse for Sale in Banjara HillsHouse for Sale in VanasthalipuramHouse for Sale in AlwalHouse for Sale in MiyapurHouse for Sale in Gachibowli Property in Hyderabad Property in GachibowliProperty in KondapurProperty in KompallyProperty in TellapurProperty in KokapetProperty in MiyapurProperty in Banjara HillsProperty in AttapurProperty in Uppal Plots in Hyderabad Plots in ShadnagarPlots in KollurPlots in MokilaPlots in ShamshabadPlots in MedchalPlots in KompallyPlots in MaheshwaramPlots in MoinabadPlots in TellapurPlots in Kondapur Villas in Hyderabad Villas in TellapurVillas in KompallyVillas in GachibowliVillas in MokilaVillas in BachupallyVillas in KokapetVillas in KondapurVillas in Jubilee HillsVillas in Nizampet Flats in Thane Flats in KalyanFlats in BadlapurFlats in Thane WestFlats in DombivliFlats in MumbraFlats in AmbernathFlats in PalgharFlats in NeralFlats in KarjatFlats in Dombivli East House for Sale in Thane House for Sale in NeralHouse for Sale in Dombivli EastHouse for Sale in BhiwandiHouse for Sale in Thane WestHouse for Sale in TitwalaHouse for Sale in BadlapurHouse for Sale in KarjatHouse for Sale in MumbraHouse for Sale in Thane EastHouse for Sale in Palghar Property in Thane Property in KalyanProperty in BadlapurProperty in KarjatProperty in PalgharProperty in NeralProperty in Thane WestProperty in DombivliProperty in MumbraProperty in TitwalaProperty in Talegaon Plots in Thane Plots in KarjatPlots in PalgharPlots in BadlapurPlots in NeralPlots in MurbadPlots in KalyanPlots in TitwalaPlots in AmbernathPlots in Dombivli Villas in Thane Villas in KarjatVillas in PalgharVillas in NeralVillas in DombivliVillas in BadlapurVillas in AmbernathVillas in KalyanVillas in WadaVillas in Manpada Thane WestVillas in Titwala Flats in Pune Flats in KharadiFlats in HinjewadiFlats in Viman Nagar CentralFlats in WagholiFlats in Magarpatta CityFlats in WakadFlats in Pimpri ChinchwadFlats in BanerFlats in KothrudFlats in Hadapsar House for Sale in Pune House for Sale in Pimpri ChinchwadHouse for Sale in HadapsarHouse for Sale in WagholiHouse for Sale in Talegaon DabhadeHouse for Sale in Pimple SaudagarHouse for Sale in WakadHouse for Sale in KharadiHouse for Sale in BanerHouse for Sale in Viman Nagar CentralHouse for Sale in Hinjewadi Property in Pune Property in BanerProperty in KharadiProperty in WakadProperty in HinjewadiProperty in WagholiProperty in HadapsarProperty in BavdhanProperty in Koregaon ParkProperty in MoshiProperty in Lonavala Plots in Pune Plots in HinjewadiPlots in WagholiPlots in KharadiPlots in BanerPlots in HadapsarPlots in WakadPlots in LonavalaPlots in Pimpri ChinchwadPlots in MoshiPlots in Chakan Villas in Pune Villas in BanerVillas in BavdhanVillas in NIBM RoadVillas in KharadiVillas in Pimple SaudagarVillas in UndriVillas in LohegaonVillas in WagholiVillas in Lonavala Flats in New Delhi Flats in SaketFlats in Karol BaghFlats in Lajpat NagarFlats in Malviya NagarFlats in Dwarka MorFlats in Vasant KunjFlats in KalkajiFlats in Paschim ViharFlats in Uttam NagarFlats in Dwarka House for Sale in New Delhi House for Sale in DwarkaHouse for Sale in Uttam NagarHouse for Sale in JanakpuriHouse for Sale in NajafgarhHouse for Sale in Vasant ViharHouse for Sale in PitampuraHouse for Sale in Safdarjung EnclaveHouse for Sale in SaketHouse for Sale in Vasant KunjHouse for Sale in Defence Colony Property in New Delhi Property in Vasant KunjProperty in SaketProperty in Karol BaghProperty in JanakpuriProperty in Uttam NagarProperty in Paschim ViharProperty in Rajouri GardenProperty in Sector 24 RohiniProperty in Dwarka Mor Plots in New Delhi Plots in DwarkaPlots in NajafgarhPlots in Sector 36 RohiniPlots in Sector 29 RohiniPlots in Dwarka MorPlots in NarelaPlots in Defence ColonyPlots in KalkajiPlots in PitampuraPlots in Ashok Nagar Villas in New Delhi Villas in Vasant KunjVillas in New Friends ColonyVillas in JanakpuriVillas in ChhattarpurVillas in Panchsheel ParkVillas in ChanakyapuriVillas in Vasant ViharVillas in Sainik FarmVillas in SaketVillas in GK I Flats in Chennai Flats in Anna NagarFlats in PorurFlats in VelacheryFlats in SholinganallurFlats in MogappairFlats in NanganallurFlats in AdyarFlats in MylaporeFlats in MedavakkamFlats in OMR House for Sale in Chennai House for Sale in VelacheryHouse for Sale in AvadiHouse for Sale in KolathurHouse for Sale in PorurHouse for Sale in AmbatturHouse for Sale in Anna NagarHouse for Sale in MadipakkamHouse for Sale in PallikaranaiHouse for Sale in MedavakkamHouse for Sale in Perambur Property in Chennai Property in Anna NagarProperty in PorurProperty in AmbatturProperty in VelacheryProperty in MedavakkamProperty in PerungudiProperty in MadipakkamProperty in SholinganallurProperty in MadhavaramProperty in Nanganallur Plots in Chennai Plots in AvadiPlots in MadipakkamPlots in PallikaranaiPlots in MedavakkamPlots in UrapakkamPlots in KelambakkamPlots in KundrathurPlots in MadhavaramPlots in TambaramPlots in Thirumazhisai Villas in Chennai Villas in MedavakkamVillas in SholinganallurVillas in KelambakkamVillas in AmbatturVillas in PerungalathurVillas in PallikaranaiVillas in PerumbakkamVillas in PorurVillas in PerungudiVillas in Tambaram Flats in Ahmedabad Flats in South BopalFlats in GotaFlats in ChandkhedaFlats in Science CityFlats in ShilajFlats in ThaltejFlats in SatelliteFlats in BopalFlats in Narolgam House for Sale in Ahmedabad House for Sale in ChandkhedaHouse for Sale in ManinagarHouse for Sale in NarodaHouse for Sale in NikolHouse for Sale in BopalHouse for Sale in VastralHouse for Sale in South BopalHouse for Sale in GhodasarHouse for Sale in ThaltejHouse for Sale in Ghatlodiya Property in Ahmedabad Property in South BopalProperty in ChandkhedaProperty in SanandProperty in SatelliteProperty in GotaProperty in BopalProperty in ThaltejProperty in NikolProperty in VastralProperty in Juhapura Plots in Ahmedabad Plots in SanandPlots in ShilajPlots in BopalPlots in RanchardaPlots in South BopalPlots in GotaPlots in ShelaPlots in BagodaraPlots in Shahpur Villas in Ahmedabad Villas in Science CityVillas in BopalVillas in ThaltejVillas in South BopalVillas in ChandkhedaVillas in ShilajVillas in Nana ChilodaVillas in ShelaVillas in VastralVillas in Nikol Flats in Kolkata Flats in New TownFlats in RajarhatFlats in Dum DumFlats in BehalaFlats in GariaFlats in JokaFlats in HowrahFlats in BarasatFlats in BarrackporeFlats in Uttarpara House for Sale in Kolkata House for Sale in BarrackporeHouse for Sale in BehalaHouse for Sale in HowrahHouse for Sale in SodepurHouse for Sale in BarasatHouse for Sale in BiratiHouse for Sale in New TownHouse for Sale in UttarparaHouse for Sale in JorhatHouse for Sale in Salt Lake City Property in Kolkata Property in New TownProperty in RajarhatProperty in JokaProperty in HowrahProperty in BehalaProperty in Dum DumProperty in TollygungeProperty in BarrackporeProperty in SodepurProperty in Barasat Plots in Kolkata Plots in New TownPlots in JokaPlots in Action Area 1Plots in BarrackporePlots in HowrahPlots in RajarhatPlots in BehalaPlots in BarasatPlots in TollygungePlots in Jorhat Villas in Kolkata Villas in New TownVillas in JokaVillas in RajarhatVillas in Salt Lake CityVillas in Diamond Harbour RoadVillas in HowrahVillas in Action Area 3Villas in EM BypassVillas in Rajpur SonarpurVillas in Action Area 1 Flats in Gurgaon Flats in DLF Phase 2Flats in DLF Phase 5Flats in Ardee CityFlats in Palam ViharFlats in DLF Phase 1Flats in Sector 56Flats in Sector 57Flats in Sector 48Flats in Sector 37DFlats in Mehrauli Gurgaon Road House for Sale in Gurgaon House for Sale in Palam ViharHouse for Sale in South City 1House for Sale in Sushant Lok 1House for Sale in DLF Phase 1House for Sale in DLF Phase 2House for Sale in Sector 23House for Sale in Sector 4House for Sale in Sector 31House for Sale in Ashok Vihar Phase 2House for Sale in Laxman Vihar Property in Gurgaon Property in Ardee CityProperty in Palam ViharProperty in Nirvana CountryProperty in ManesarProperty in Golf Course RoadProperty in South City 2Property in Sector 38Property in Sohna RoadProperty in Sector 23Property in Sushant Lok Plots in Gurgaon Plots in Palam ViharPlots in Sector 57Plots in DLF Phase 1Plots in New Palam ViharPlots in Sohna RoadPlots in Sector 46Plots in Sushant Lok 1Plots in Sector 110APlots in SohnaPlots in Sector 108 Villas in Gurgaon Villas in Nirvana CountryVillas in Sector 109Villas in DLF Phase 4Villas in DLF Phase 1Villas in Sector 66Villas in Sector 86Villas in DLF Phase 2Villas in Sector 57Villas in Sector 48Villas in Sector 23 Flats in Noida Flats in Noida ExtensionFlats in Sector 150Flats in Sector 137Flats in Sector 75Flats in Sector 76Flats in Sector 62Flats in Sector 78Flats in Sector 128Flats in Sector 107Flats in Sector 77 House for Sale in Noida House for Sale in Sector 12House for Sale in Sector 41House for Sale in Sector 20House for Sale in Sector 22House for Sale in Sector 19House for Sale in Sector 47House for Sale in Sector 49House for Sale in Sector 122House for Sale in Noida ExtensionHouse for Sale in Sector 62 Property in Noida Property in Sector 62Property in Noida ExtensionProperty in Sector 15Property in Sector 45Property in Sector 50Property in Sector 93Property in Sector 100Property in Sector 51Property in Sector 134Property in Sector 150 Plots in Noida Plots in Noida ExtensionPlots in Sector 122Plots in Sector 144Plots in Sector 151Plots in Sector 105Plots in Sector 70Plots in Sector 108Plots in Sector 133Plots in Sector 150Plots in Sector 143 Villas in Noida Villas in Noida ExtensionVillas in Sector 128Villas in Sector 135Villas in Sector 73Villas in Sector 150Villas in Sector 62Villas in Sector 61Villas in Sector 47Villas in Sector 46Villas in Sector 30 Flats in Navi Mumbai Flats in KhargharFlats in UlweFlats in PanvelFlats in VashiFlats in NerulFlats in TalojaFlats in KamotheFlats in GhansoliFlats in AiroliFlats in Kopar Khairane House for Sale in Navi Mumbai House for Sale in PanvelHouse for Sale in VashiHouse for Sale in AiroliHouse for Sale in KhargharHouse for Sale in Kopar KhairaneHouse for Sale in NerulHouse for Sale in CBD BelapurHouse for Sale in KhopoliHouse for Sale in Ulwe Property in Navi Mumbai Property in UlweProperty in KhargharProperty in TalojaProperty in PanvelProperty in AiroliProperty in New PanvelProperty in SeawoodsProperty in VashiProperty in NerulProperty in Karanjade Plots in Navi Mumbai Plots in PanvelPlots in UranPlots in UlwePlots in DronagiriPlots in KhargharPlots in New PanvelPlots in VashiPlots in TalojaPlots in KamothePlots in Pen Villas in Navi Mumbai Villas in PanvelVillas in KhargharVillas in VashiVillas in KhopoliVillas in AiroliVillas in UlweVillas in NerulVillas in GhansoliVillas in TalojaVillas in Seawoods Other Houses for Sale House for Sale in CoimbatoreHouse for Sale in VisakhapatnamHouse for Sale in GoaHouse for Sale in MysoreHouse for Sale in Trivandrum Other Villas for Sale Villas in LonavalaVillas in CoimbatoreVillas in GoaVillas in Jaipur Other Plots for Sale Plots in JaipurPlots in Lucknow Other Properties for Sale Property in DehradunProperty in Goa AhmedabadNew DelhiChennaiGurgaonNoidaPuneKolkataMumbaiHyderabadBangalore Properties for Sale in Ahmedabad Houses for Sale in Ahmedabad Explore Flats for Sale in Ahmedabad Explore Plots for Sale in Ahmedabad Explore Shops for Sale in Ahmedabad Explore Properties for Sale in New Delhi Houses for Sale in New Delhi Explore Flats for Sale in New Delhi Explore Plots for Sale in New Delhi Explore Shops for Sale in New Delhi Explore Properties for Sale in Chennai Houses for Sale in Chennai Explore Flats for Sale in Chennai Explore Plots for Sale in Chennai Explore Shops for Sale in Chennai Explore Properties for Sale in Gurgaon Houses for Sale in Gurgaon Explore Flats for Sale in Gurgaon Explore Plots for Sale in Gurgaon Explore Shops for Sale in Gurgaon Explore Properties for Sale in Noida Houses for Sale in Noida Explore Flats for Sale in Noida Explore Plots for Sale in Noida Explore Shops for Sale in Noida Explore Properties for Sale in Pune Houses for Sale in Pune Explore Flats for Sale in Pune Explore Plots for Sale in Pune Explore Shops for Sale in Pune Explore Properties for Sale in Kolkata Houses for Sale in Kolkata Explore Flats for Sale in Kolkata Explore Plots for Sale in Kolkata Explore Shops for Sale in Kolkata Explore Properties for Sale in Mumbai Houses for Sale in Mumbai Explore Flats for Sale in Mumbai Explore Plots for Sale in Mumbai Explore Shops for Sale in Mumbai Explore Properties for Sale in Hyderabad Houses for Sale in Hyderabad Explore Flats for Sale in Hyderabad Explore Plots for Sale in Hyderabad Explore Shops for Sale in Hyderabad Explore Properties for Sale in Bangalore Houses for Sale in Bangalore Explore Flats for Sale in Bangalore Explore Plots for Sale in Bangalore Explore Shops for Sale in Bangalore Explore Recommended Blogs Visual Stories Interior Visual Stories Land Records Bhu Naksha Stamp Duty Glossary Housing Schemes Taxation Dinning Room Vastu Ideas Feng Shui Secret to Attract Money Vastu Approved Pets Name Plate as per Vastu Top Office Buildings in India Monsoon-proof Decor Tips Bathroom Design Ideas Indoor Water Plants Vastu Tips for Career Growth Living Room Design Ideas Balcony Decor Ideas Feng Shui Bedroom Colour Ideas See More Interior Design Tips Interior Design Tips Interior Design Tips Wooden Bathroom Design Stainless-steel Door Locks Easy Rangoli Design Wooden Door Handle Design Bedroom Side Table Design Sliding Wardrobe Design Red Kitchen Design Bathroom Cupboard Design Green Kitchen Design Red White Kitchen Design Duplex House Design See More UP Bhulekh Bihar Bhulekh Patta Chitta Meebhoomi Jharbhoomi Jamabandi Punjab Jamabandi Haryana Banglarbhumi AnyROR Gujarat Apna Khata Rajasthan 7 12 Mahabhulekh Bhoomi Online: Karnataka Land Records See More Bhu Naksha MP Bhu Naksha UP Bihar Bhu Naksha Jharkhand Bhu Naksha Rajasthan Bhu Naksha Bhu Naksha Maharashtra Punjab Bhu Naksha Haryana Bhu Naksha Gujarat Bhu Naksha Bhu Naksha CG See More Stamp Duty and Registration Charges in Maharashtra Stamp Duty and Registration Charges in Uttar Pradesh Stamp Duty and Registration Charges in MP Stamp Duty and Registration Charges in Delhi Stamp Duty and Registration Charges in Tamil Nadu Stamp Duty and Registration Charges in West Bengal Stamp Duty and Registration Charges in Gujarat Stamp Duty and Registration Charges in Haryana Stamp Duty and Registration Charges in Rajasthan Stamp Duty and Registration Charges in Punjab Stamp Duty and Registration Charges in Telangana See More Carpet Area Khasra Number Title Deed Sale Deed Partition Deed Gift Deed Immovable Property Freehold Property Studio Apartment BHK See More PM Uday Yojana DDA Housing Scheme CIDCO Lottery RGRHCL APSHCL Pradhan Mantri Awas Yojana PM Uday Yojana MHADA Lottery Pune MHADA Lottery 2022 See More 194IA TDS on Sale of Immovable Property 80EEA Deduction for Income Tax on Home Loan Section 54 of Income Tax Act Section 54F of the Income Tax Act Section 80GG of Income Tax Act TDS on Rent under Section 194i Transfer of Property Act 1882 SARFAESI Act 2002 CERSAI See More Explore Home Loans Section Home Loans Bankwise PMAY Quick Links Home Loans as per Requirements Home Loan EMI Calculator Bankwise Home Loan Eligibility Calculator Bankwise Sbi Home Loan Indian Bank Home Loan Lic home loan IDBI home loan Axis Bank Home Loan Bank of Baroda Home Loan PNB Home Loan TATA Capital Home Loan HDFC Home Loan Kotak Mahindra Home Loan PMAY Calculator PMAY Eligibility Calculator PMAY Subsidy Calculator Pradhan Mantri Awas Yojana PMAY List PMAY Gramin PMAY Online Apply Home Loans Home Loan Interest Rate Home Loan Types Home Loan Tax Benefits Home Loan Processing Fee Home Loan Process Home Loan Status Home Loan Documents Home Loan Balance Transfer Home Loan Prepayment Calculator Home Loan EMI Calculator Home Loan Eligibility Calculator Pre Approved Home Loan Home Loan for Salaried Home Loan for Govt Employees Home Loan for Self Employed Home Loan Without Income Proof Joint Home Loan Plot Loan Indian Bank Home Loan EMI Calculator Union Bank Home Loan EMI Calculator ICICI Bank Home Loan EMI Calculator HDFC Home Loan EMI Calculator SBI Home Loan EMI Calculator Bajaj Home Loan EMI Calculator Citi Bank Home Loan EMI Calculator Axis Bank Home Loan EMI Calculator LIC Home Loan EMI Calculator Bank of Baroda Home Loan EMI Calculator Bank of Baroda Home Loan Eligibility Calculator Indian Bank Home Loan Eligibility Calculator HDFC Home Loan Eligibility Calculator ICICI Bank Home Loan Eligibility Calculator SBI Home Loan Eligibility Calculator PNB Home Loan Eligibility Calculator Our Home Interior Services House-Wise Home Interiors 1 BHK Interior Design 2 BHK Interior Design 3 BHK Interior Design 4 BHK Interior Design Home Interior Services City-Wise Interior Designers in Ahmedabad Interior Designers in Bangalore Interior Designers in Bhubaneswar Interior Designers in Chandigarh Interior Designers in Chennai Interior Designers in Coimbatore Interior Designers in Faridabad Interior Designers in Ghaziabad Interior Designers in Greater Noida Interior Designers in Gurgaon Interior Designers in Hyderabad Interior Designers in Indore Interior Designers in Jaipur Interior Designers in Kolkata Interior Designers in Lucknow Interior Designers in Mumbai Interior Designers in Mysore Interior Designers in Nagpur Interior Designers in Navi Mumbai Interior Designers in New Delhi Interior Designers in Noida Interior Designers in Pune Interior Designers in Surat Interior Designers in Thane Interior Designers in Trivandrum Interior Designers in Vadodara See More Featured Blog Recent Post Popular Post Popular Locality Fire Extinguisher for Home - Types of Fire Extinguishers, How to Use & More Fire extinguishers are a common sight in office buildings, malls and residential societies. Medium to big-sized fire extinguishers installed at such places ensure the safety of people in case of a fire emergency. Read the article to know more. 17 September 2025 Sharad Navratri Colours 2025: Day-wise List of 9 Navratri Colours & Their Significance Discover the Sharad Navratri 2025 colours for all nine days. Learn their meaning, the goddess linked to each shade - and easy ideas to decorate your home and mandir with them. 17 September 2025 Tenant Rights in India - If you Living in a Rented House Know Your Rights The Rent Control Act guarantees certain tenant rights to anyone taking a house on rent in India, irrespective of the size or location of the premises. 17 September 2025 Feng Shui & Vastu Crystal Lotus - Benefits, Placement & More The Feng shui crystal lotus is known to be a symbol of divine perfection. The crystal lotus is also symbolic of spiritual awakening. Follow the blog to know more about Crystal Lotus. 17 September 2025 Understanding GST on Flats in Telangana: Rates and Rules for Homebuyers Learn GST rules on flat purchase in Telangana. From affordable housing to premium projects in Hyderabad, calculate your real estate costs smartly. 17 September 2025 Guide to GST on flat purchase above 50 lakhs Learn how GST affects flats above Rs. 50 Lakhs in India, including under-construction rates, and maintenance charges. 17 September 2025 Ascendas IT Park Taramani in Chennai and Hyderabad Ascendas IT Park Taramani is located in Chennai's premier IT hub, housing many reputed companies. The park is strategically located and is about 12.5 km from the airport. 17 September 2025 Emerging Tier 2 Cities in Manipur to Invest in 2026 Explore tier 2 cities in Manipur 2026 like Imphal, Thoubal & Ukhrul. Discover property investment opportunities in emerging towns. 17 September 2025 Griha Pravesh Muhurat 2025 Dates, Month-wise Griha Pravesh Muhurat 2025-26: Check out the best date, time, and muhurat for Griha Pravesh from September 2025 to December 2026. Invite home good fortune and prosperity with the Griha Pravesh Puja, following the right muhurat. 15 September 2025 PMAY List 2025: Check Pradhan Mantri Awas Yojana List (PMAY Gramin, PMAY Urban) PMAY List or Pradhan Mantri Awas Yojana List 2025 includes the PMAY Gramin List and PMAY Urban List of beneficiaries who have been covered under PMAY 2025. Get the latest updates here. 03 April 2025 PMAY Gramin or Pradhan Mantri Awas Yojana Gramin 2025: Eligibility, Status, & Updates @pmayg.nic.in PMAYG or Pradhan Mantri Awas Yojana Gramin is the flagship housing scheme of India. The aim of PMAYG is 'Housing for All'. Check PMAYG eligibility, beneficiary list, documents & latest updates here. 11 September 2025 Sharad Navratri Colours 2025: Day-wise List of 9 Navratri Colours & Their Significance Discover the Sharad Navratri 2025 colours for all nine days. Learn their meaning, the goddess linked to each shade - and easy ideas to decorate your home and mandir with them. 17 September 2025 Bhumi Pujan Muhurat 2025-26: Best Dates for New House Construction Bhoomi Puja or Bhumi Pujan is the prayer you do before laying the foundation stone for the construction of your home or office. Learn all about best Bhumi Puja dates of each month in 2025 - 26, and things to do for Bhumi Puja. 10 September 2025 PMAY Gramin List 2024: Pradhan Mantri Awas Yojana Gramin Beneficiary List @rhreporting.nic.in PMAY Gramin List is the list of the eligible beneficiaries covered under the Pradhan Mantri Awas Yojana Gramin. The official website to check the rural housing data is 12 August 2025 UP Bhulekh - How to Check and Download Khatauni and More The UP Bhulekh is a digital platform that enables seamless access to all land-related documents in Uttar Pradesh. It is the official land records portal by the Uttar Pradesh Government. 30 June 2025 7 Horse Painting - Vastu Importance, Benefits and Placement The seven horses painting is considered auspicious and lucky for home. The horses represent vitality and vigour. In this blog, we discuss the rules for displaying seven running horse painting in your home. 04 July 2025 Deccan Gymkhana Pune - Premium Residential Locality Centrally located, Deccan Gymkhana Pune is a peaceful premium residential location in the city. It is home to Deccan Gymkhana gym and QSpiders Pune Deccan Gymkhana. 09 March 2023 Mulshi, Pune - Attractions, Accessibility and Real Estate Options Plan your trip to Mulshi, Pune. Get to know about its popular tourist attractions, and the best time to visit the current real estate trend in the hill station. 23 March 2023 Necklace Road Hyderabad - Popular Promenade & Tourist Attraction Necklace Road Hyderabad is a popular tourist destination in Hyderabad that offers a lively setting. The Necklace Road Hyderabad night view is breathtaking. 02 November 2022 UB City Bangalore – Largest & Posh Commercial Hub of Bengaluru UB City is a perfect place for people fond of a luxurious life. Read this blog to learn everything about UB City mall, stores in UB City, and much more. 05 September 2023 Stay In Kufri Shimla To Experience The Incredible Scenic Beauty Located at a height of 2743 metres, Kufri is a scenic location. Hence the real estate sector of Kufri is on a rise, as people are seeking out this scenic destination as a second home or a holiday home. 12 January 2023 Kidderpore Kolkata - Residential & Market Hub Kidderpore Kolkata is an urban neighborhood to the central west of the city. To explore the traditional heritage of Kidderpore visit the Kidderpore market. 12 September 2023 Fancy Bazaar, Guwahati - Shopping & Commercial Hub Fancy Bazaar Guwahati is well-known for its silks, jewellery, handicrafts and other handcrafted products. Also a commercial centre, the locality is well-connected and the throbbing heart of Guwahati. 29 March 2023 Sarai Kale Khan New Delhi - Popular Residential Locality & ISBT centre Sarai Kale Khan, New Delhi in southeast Delhi is a popular residential district of city. It is most well known for the Sarai Kale Khan ISBT and RTO located there. 05 November 2022 About Magicbricks As the largest platform connecting property buyers and sellers, Magicbricks boasts over 2 crore monthly visitors and 15 lakh active property listings. With over 17 years of experience, Magicbricks has evolved into a comprehensive service provider, offering home loans, interiors and expert advice. Magicbricks also offers extensive research-based knowledge and insight-driven platforms like MBTV, India's leading online real estate YouTube channel, along with proprietary tools providing home buyers with price trends, forecasts and locality reviews. Read more More from our Network Times Now ET Now Properties in India Property in New DelhiProperty in MumbaiProperty in ChennaiProperty in PuneProperty in NoidaProperty in GurgaonProperty in BangaloreProperty in Ahmedabad New Projects in India New Projects in New DelhiNew Projects in MumbaiNew Projects in ChennaiNew Projects in PuneNew Projects in NoidaNew Projects in GurgaonNew Projects in BangaloreNew Projects in Ahmedabad Property Services Home LoanHome Interior Sitemap Terms & Conditions Privacy Policy Whistle Blower Policy Blog Careers Testimonials Unsubscribe Help Center Sales Enquiry Buy Our Services Disclaimer: Magicbricks Realty Services Limited is only an intermediary offering its platform to advertise properties of Seller for a Customer/Buyer/User coming on its Website and is not and cannot be a party to or privy to or control in any manner any transactions between the Seller and the Customer/Buyer/User. All the offers and discounts on this Website have been extended by Read more various Builder(s)/Developer(s) who have advertised their products. Magicbricks is only communicating the offers and not selling or rendering any of those products or services. It neither warrants nor is it making any representations with respect to offer(s) made on the site. Magicbricks Realty Services Limited shall neither be responsible nor liable to mediate or resolve any disputes or disagreements between the Customer/Buyer/User and the Seller and both Seller and Customer/Buyer/User shall settle all such disputes without involving Magicbricks Realty Services Limited in any manner. All trademarks, logos and names are properties of their respective owners. All Rights Reserved. © Copyright 2025 Magicbricks Realty Services Limited.
9761	https://stackoverflow.com/questions/30079720/union-and-intersection-of-intervals	r - Union and intersection of intervals - Stack Overflow Join Stack Overflow By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google Sign up with GitHub OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Overflow 1. About 2. Products 3. For Teams Stack Overflow for Teams Where developers & technologists share private knowledge with coworkers Advertising Reach devs & technologists worldwide about your product, service or employer brand Knowledge Solutions Data licensing offering for businesses to build and improve AI tools and models Labs The future of collective knowledge sharing About the companyVisit the blog Loading… current community Stack Overflow helpchat Meta Stack Overflow your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Let's set up your homepage Select a few topics you're interested in: python javascript c#reactjs java android html flutter c++node.js typescript css r php angular next.js spring-boot machine-learning sql excel ios azure docker Or search from our full list: javascript python java c# php android html jquery c++ css ios sql mysql r reactjs node.js arrays c asp.net json python-3.x .net ruby-on-rails sql-server swift django angular objective-c excel pandas angularjs regex typescript ruby linux ajax iphone vba xml laravel spring asp.net-mvc database wordpress string flutter postgresql mongodb wpf windows xcode amazon-web-services bash git oracle-database spring-boot dataframe azure firebase list multithreading docker vb.net react-native eclipse algorithm powershell macos visual-studio numpy image forms scala function vue.js performance twitter-bootstrap selenium winforms kotlin loops express dart hibernate sqlite matlab python-2.7 shell rest apache entity-framework android-studio csv maven linq qt dictionary unit-testing asp.net-core facebook apache-spark tensorflow file swing class unity-game-engine sorting date authentication go symfony t-sql opencv matplotlib .htaccess google-chrome for-loop datetime codeigniter perl http validation sockets google-maps object uitableview xaml oop visual-studio-code if-statement cordova ubuntu web-services email android-layout github spring-mvc elasticsearch kubernetes selenium-webdriver ms-access ggplot2 user-interface parsing pointers c++11 google-sheets security machine-learning google-apps-script ruby-on-rails-3 templates flask nginx variables exception sql-server-2008 gradle debugging tkinter delphi listview jpa asynchronous web-scraping haskell pdf jsp ssl amazon-s3 google-cloud-platform jenkins testing xamarin wcf batch-file generics npm ionic-framework network-programming unix recursion google-app-engine mongoose visual-studio-2010 .net-core android-fragments assembly animation math svg session intellij-idea hadoop rust next.js curl join winapi django-models laravel-5 url heroku http-redirect tomcat google-cloud-firestore inheritance webpack image-processing gcc keras swiftui asp.net-mvc-4 logging dom matrix pyspark actionscript-3 button post optimization firebase-realtime-database web jquery-ui cocoa xpath iis d3.js javafx firefox xslt internet-explorer caching select asp.net-mvc-3 opengl events asp.net-web-api plot dplyr encryption magento stored-procedures search amazon-ec2 ruby-on-rails-4 memory canvas audio multidimensional-array random jsf vector redux cookies input facebook-graph-api flash indexing xamarin.forms arraylist ipad cocoa-touch data-structures video azure-devops model-view-controller apache-kafka serialization jdbc woocommerce razor routes awk servlets mod-rewrite excel-formula beautifulsoup filter docker-compose iframe aws-lambda design-patterns text visual-c++ django-rest-framework cakephp mobile android-intent struct react-hooks methods groovy mvvm ssh lambda checkbox time ecmascript-6 grails google-chrome-extension installation cmake sharepoint shiny spring-security jakarta-ee plsql android-recyclerview core-data types sed meteor android-activity activerecord bootstrap-4 websocket graph replace scikit-learn group-by vim file-upload junit boost memory-management sass import async-await deep-learning error-handling eloquent dynamic soap dependency-injection silverlight layout apache-spark-sql charts deployment browser gridview svn while-loop google-bigquery vuejs2 dll highcharts ffmpeg view foreach makefile plugins redis c#-4.0 reporting-services jupyter-notebook unicode merge reflection https server google-maps-api-3 twitter oauth-2.0 extjs terminal axios pip split cmd pytorch encoding django-views collections database-design hash netbeans automation data-binding ember.js build tcp pdo sqlalchemy apache-flex mysqli entity-framework-core concurrency command-line spring-data-jpa printing react-redux java-8 lua html-table ansible jestjs neo4j service parameters enums material-ui flexbox module promise visual-studio-2012 outlook firebase-authentication web-applications webview uwp jquery-mobile utf-8 datatable python-requests parallel-processing colors drop-down-menu scipy scroll tfs hive count syntax ms-word twitter-bootstrap-3 ssis fonts rxjs constructor google-analytics file-io three.js paypal powerbi graphql cassandra discord graphics compiler-errors gwt socket.io react-router solr backbone.js memory-leaks url-rewriting datatables nlp oauth terraform datagridview drupal oracle11g zend-framework knockout.js triggers neural-network interface django-forms angular-material casting jmeter google-api linked-list path timer django-templates arduino proxy orm directory windows-phone-7 parse-platform visual-studio-2015 cron conditional-statements push-notification functional-programming primefaces pagination model jar xamarin.android hyperlink uiview visual-studio-2013 vbscript google-cloud-functions gitlab azure-active-directory jwt download swift3 sql-server-2005 configuration process rspec pygame properties combobox callback windows-phone-8 linux-kernel safari scrapy permissions emacs scripting raspberry-pi clojure x86 scope io expo azure-functions compilation responsive-design mongodb-query nhibernate angularjs-directive request bluetooth reference binding dns architecture 3d playframework pyqt version-control discord.js doctrine-orm package f# rubygems get sql-server-2012 autocomplete tree openssl datepicker kendo-ui jackson yii controller grep nested xamarin.ios static null statistics transactions active-directory datagrid dockerfile uiviewcontroller webforms discord.py phpmyadmin sas computer-vision notifications duplicates mocking youtube pycharm nullpointerexception yaml menu blazor sum plotly bitmap asp.net-mvc-5 visual-studio-2008 yii2 electron floating-point css-selectors stl jsf-2 android-listview time-series cryptography ant hashmap character-encoding stream msbuild asp.net-core-mvc sdk google-drive-api jboss selenium-chromedriver joomla devise cors navigation anaconda cuda background frontend binary multiprocessing pyqt5 camera iterator linq-to-sql mariadb onclick android-jetpack-compose ios7 microsoft-graph-api rabbitmq android-asynctask tabs laravel-4 environment-variables amazon-dynamodb insert uicollectionview linker xsd coldfusion console continuous-integration upload textview ftp opengl-es macros operating-system mockito localization formatting xml-parsing vuejs3 json.net type-conversion data.table kivy timestamp integer calendar segmentation-fault android-ndk prolog drag-and-drop char crash jasmine dependencies automated-tests geometry azure-pipelines android-gradle-plugin itext fortran sprite-kit header mfc firebase-cloud-messaging attributes nosql format nuxt.js odoo db2 jquery-plugins event-handling jenkins-pipeline nestjs leaflet julia annotations flutter-layout keyboard postman textbox arm visual-studio-2017 gulp stripe-payments libgdx synchronization timezone uikit azure-web-app-service dom-events xampp wso2 crystal-reports namespaces swagger android-emulator aggregation-framework uiscrollview jvm google-sheets-formula sequelize.js com chart.js snowflake-cloud-data-platform subprocess geolocation webdriver html5-canvas centos garbage-collection dialog sql-update widget numbers concatenation qml tuples set java-stream smtp mapreduce ionic2 windows-10 rotation android-edittext modal-dialog spring-data nuget doctrine radio-button http-headers grid sonarqube lucene xmlhttprequest listbox switch-statement initialization internationalization components apache-camel boolean google-play serial-port gdb ios5 ldap youtube-api return eclipse-plugin pivot latex frameworks tags containers github-actions c++17 subquery dataset asp-classic foreign-keys label embedded uinavigationcontroller copy delegates struts2 google-cloud-storage migration protractor base64 queue find uibutton sql-server-2008-r2 arguments composer-php append jaxb zip stack tailwind-css cucumber autolayout ide entity-framework-6 iteration popup r-markdown windows-7 airflow vb6 g++ ssl-certificate hover clang jqgrid range gmail Next You’ll be prompted to create an account to view your personalized homepage. Home Questions AI Assist Labs Tags Challenges Chat Articles Users Jobs Companies Collectives Communities for your favorite technologies. Explore all Collectives Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Collectives™ on Stack Overflow Find centralized, trusted content and collaborate around the technologies you use most. Learn more about Collectives Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Union and intersection of intervals Ask Question Asked 10 years, 4 months ago Modified2 years, 6 months ago Viewed 6k times Part of R Language Collective This question shows research effort; it is useful and clear 9 Save this question. Show activity on this post. I have a group of intervals for different ids. For example: r df <- data.frame(id=c(rep("a",4),rep("b",2),rep("c",3)), start=c(100,250,400,600,150,610,275,600,700), end=c(200,300,550,650,275,640,325,675,725)) The intervals of each id do not overlap but the intervals of the different ids may overlap. Here is a picture: r plot(range(df[,c(2,3)]),c(1,nrow(df)),type="n",xlab="",ylab="",yaxt="n") for ( ii in 1:nrow(df) ) lines(c(df[ii,2],df[ii,3]),rep(nrow(df)-ii+1,2),col=as.numeric(df$id[ii]),lwd=2) legend("bottomleft",lwd=2,col=seq_along(levels(df$id)),legend=levels(df$id)) What I'm looking for is for two functions: 1. A function which will take the union of these intervals. For the example above, it will return this data.frame: r union.df <- data.frame(id=rep("a,b,c",4), start=c(100,400,600,700), end=c(325,550,675,725)) A function which will intersect these intervals, only keeping a range if all the ids overlap for that range. For the example above, it will return this data.frame: intersection.df <- data.frame(id="a,b,c", start=610, end=640) R Language Collective r intervals Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this question Follow Follow this question to receive notifications edited May 6, 2015 at 15:11 josliber 44.4k 12 12 gold badges 103 103 silver badges 136 136 bronze badges asked May 6, 2015 at 14:30 user1701545user1701545 6,320 16 16 gold badges 55 55 silver badges 80 80 bronze badges 3 try ?intersect and ?union Henk –Henk 2015-05-06 14:36:25 +00:00 Commented May 6, 2015 at 14:36 1 intersect and union won't work - they work on discrete sets, not intervals.Stephan Kolassa –Stephan Kolassa 2015-05-06 14:42:42 +00:00 Commented May 6, 2015 at 14:42 2 Could you clarify how you get "the union of these intervals and their intersection", and how this plays with your ids? The intersection of all intervals will be empty, given that you have multiple non-overlapping intervals already within one individual. Similarly, I don't understand where the union comes from.Stephan Kolassa –Stephan Kolassa 2015-05-06 14:45:25 +00:00 Commented May 6, 2015 at 14:45 Add a comment\| 5 Answers 5 Sorted by: Reset to default This answer is useful 6 Save this answer. Show activity on this post. The intervals package solves the union part of the question: r require(intervals) idf <- Intervals(df[,2:3]) as.data.frame(interval_union(idf)) And for the intersect part, depending on how the intervals are defined: r idl <- lapply(unique(df$id),function(x){var <- as(Intervals(df[df$id==x,2:3]),"Intervals_full");closed(var)[,1]<- FALSE;return(var)}) idt <- idl for(i in idl)idt <- interval_intersection(idt,i) res <- as.data.frame(idt) res V1 V2 1 610 640 Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited May 6, 2015 at 16:54 answered May 6, 2015 at 15:11 NightwriterNightwriter 534 5 5 silver badges 11 11 bronze badges 1 Comment Add a comment Nightwriter NightwriterOver a year ago Just edited the answer to cope with 2. part. One could go with the default closed intervals and delete rows in the result that have identical entries (would be 275 275 in this case). All depends on if the intervals are open or closed. 2015-05-06T16:58:53.493Z+00:00 0 Reply Copy link This answer is useful 3 Save this answer. Show activity on this post. This is a bit awkward, but the idea is that you unroll the data into a series of opening and closing events. Then you track how many intervals are open at a time. This assume each group doesn't have any overlapping intervals. ```r df <- data.frame(id=c(rep("a",4),rep("b",2),rep("c",3)), start=c(100,250,400,600,150,610,275,600,700), end=c(200,300,550,650,275,640,325,675,725)) sets<-function(start, end, group, overlap=length(unique(group))) { dd<-rbind(data.frame(pos=start, event=1), data.frame(pos=end, event=-1)) dd<-aggregate(event~pos, dd, sum) dd<-dd[order(dd$pos),] dd$open <- cumsum(dd$event) r<-rle(dd$open>=overlap) ex<-cumsum(r$lengths-1 + rep(1, length(r$lengths))) sx<-ex-r$lengths+1 cbind(dd$pos[sx[r$values]],dd$pos[ex[r$values]+1]) } union with(df, sets(start, end, id,1)) [,1] [,2] [1,] 100 325 [2,] 400 550 [3,] 600 675 [4,] 700 725 overlap with(df, sets(start, end, id,3)) [,1] [,2] [1,] 610 640 ``` Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications answered May 6, 2015 at 15:04 MrFlickMrFlick 209k 19 19 gold badges 300 300 silver badges 324 324 bronze badges Comments Add a comment This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. For the intersection, I would start by counting the number of intervals you're in at each range (the beginning of the range is labeled with ord.dirs$x in this code and the number of intervals in the range is ord.dirs$z): ```r dirs <- data.frame(x=c(df$start, df$end), y=rep(c(1, -1), each=nrow(df))) ord.dirs <- dirs[order(dirs$x),] ord.dirs$z <- cumsum(ord.dirs$y) ord.dirs <- ord.dirs[!duplicated(ord.dirs$x, fromLast=T),] ord.dirs x y z 1 100 1 1 5 150 1 2 10 200 -1 1 2 250 1 2 14 275 -1 2 11 300 -1 1 16 325 -1 0 3 400 1 1 12 550 -1 0 8 600 1 2 6 610 1 3 15 640 -1 2 13 650 -1 1 17 675 -1 0 9 700 1 1 18 725 -1 0 ``` Now you just need to grab the ranges where you have the correct number of intervals (3 in this case): ```r pos.all <- which(ord.dirs$z == length(unique(df$id))) data.frame(start=ord.dirs$x[pos.all], end=ord.dirs$x[pos.all+1]) start end 1 610 640 ``` You can similarly use ord.dirs to grab the union of the sets: ```r zero.pos <- which(ord.dirs$z == 0) data.frame(start=c(ord.dirs$x, ord.dirs$x[head(zero.pos, -1)+1]), end=ord.dirs$x[zero.pos]) start end 1 100 325 2 400 550 3 600 675 4 700 725 ``` Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited May 6, 2015 at 15:21 answered May 6, 2015 at 14:53 josliberjosliber 44.4k 12 12 gold badges 103 103 silver badges 136 136 bronze badges Comments Add a comment This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. The GenomicRanges package provide some intersect and overlap funtions: r library(GenomicRanges) source(" biocLite("Gviz") library(Gviz) make a Grange object with equal seqnames (this is important) r df <- data.frame(id=c(rep("a",4),rep("b",2),rep("c",3)), start=c(100,250,400,600,150,610,275,600,700), end=c(200,300,550,650,275,640,325,675,725)) gr <- GRanges(seqnames = rep(1,nrow(df)),IRanges(start = df$start,end = df$end)) Now you can plot the ranges with the Gviz package, as well. r d0 <- GenomeAxisTrack() d1 <- AnnotationTrack(gr,group = df$id,fill=df$id) plotTracks(c(d0,d1)) The union is done via reduce where intervals are collapsed r as.data.frame(reduce(gr))[,2:3] the intersect is done via findoverlaps. Afterwards, filterd by ranges which overlaps 3 ranges. ```r OL <- as.data.frame(findOverlaps(gr,type="within")) table(OL[,1]) df[as.numeric(names(which(table(OL[,1])==3))),] ``` Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited May 6, 2015 at 16:52 answered May 6, 2015 at 15:59 RomanRoman 17.7k 3 3 gold badges 39 39 silver badges 52 52 bronze badges Comments Add a comment This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. Using ivs with iv_groups() for the self union and a reduce()d iv_set_intersect() (in ivs 0.2.0, or iv_intersect() in 0.1.0) for the intersection: ```r library(ivs) library(dplyr, warn.conflicts = FALSE) library(purrr) library(tidyr) df <- tibble( id=c(rep("a",4),rep("b",2),rep("c",3)), start=c(100,250,400,600,150,610,275,600,700), end=c(200,300,550,650,275,640,325,675,725) ) df <- df %>% mutate(range = iv(start, end), .keep = "unused") df > # A tibble: 9 × 2 > id range > > > 1 a [100, 200) > 2 a [250, 300) > 3 a [400, 550) > 4 a [600, 650) > 5 b [150, 275) > 6 b [610, 640) > 7 c [275, 325) > 8 c [600, 675) > 9 c [700, 725) Union: Merge all overlapping ranges df %>% reframe(range = iv_groups(range)) > # A tibble: 4 × 1 > range > > > 1 [100, 325) > 2 [400, 550) > 3 [600, 675) > 4 [700, 725) Intersection: Chop the ranges by id df_chopped <- df %>% chop(range) Reduce an interval set intersection operation over each pair of interval vectors df_chopped %>% reframe(range = reduce(range, iv_set_intersect)) > # A tibble: 1 × 1 > range > > > 1 [610, 640) ``` Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications answered Mar 6, 2023 at 21:09 Davis VaughanDavis Vaughan 2,970 13 13 silver badges 20 20 bronze badges Comments Add a comment Your Answer Thanks for contributing an answer to Stack Overflow! Please be sure to answer the question. Provide details and share your research! But avoid … Asking for help, clarification, or responding to other answers. Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. To learn more, see our tips on writing great answers. Draft saved Draft discarded Sign up or log in Sign up using Google Sign up using Email and Password Submit Post as a guest Name Email Required, but never shown Post Your Answer Discard By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions r intervals See similar questions with these tags. R Language Collective See more This question is in a collective: a subcommunity defined by tags with relevant content and experts. The Overflow Blog The history and future of software development (part 1) Getting Backstage in front of a shifting dev experience Featured on Meta Spevacus has joined us as a Community Manager Introducing a new proactive anti-spam measure New and improved coding challenges New comment UI experiment graduation Policy: Generative AI (e.g., ChatGPT) is banned Report this ad Report this ad 18 people chatting R Language Collective Sep 23 at 0:00 - Toasty Community activity Last 1 hr Users online activity 20862 users online 2 questions 5 answers 97 comments 392 upvotes Popular tags javascriptc#javaphppythonc++ Popular unanswered question Can I store JSON object in Azure key vault? just like I would in DB, I'd want to store it using a POST route and also GET it azureazure-keyvaultlicensingvaultlicense-key Ishwar R 1 2 hours ago Related 19Union of intervals 7Overlapping Intervals 1Find overlapping intervals 6Interval sets algebra in R (union, intersection, differences, inclusion, ...) 4Check if two intervals overlap in R 2Merge linear intervals 3Consecutively intersect two sets of intervals 0Finding sub intervals from interval data frames 0I want to input a list of intervals and check the intervals of the union of overlapping intervals and the intervals of non-overlapping intervals 0Find if intervals share overlap Hot Network Questions Why are LDS temple garments secret? How to fix my object in animation в ответе meaning in context Is encrypting the login keyring necessary if you have full disk encryption? Why do universities push for high impact journal publications? Why include unadjusted estimates in a study when reporting adjusted estimates? What were "milk bars" in 1920s Japan? How do you create a no-attack area? ICC in Hague not prosecuting an individual brought before them in a questionable manner? how do I remove a item from the applications menu Should I let a player go because of their inability to handle setbacks? "Unexpected"-type comic story. Aboard a space ark/colony ship. Everyone's a vampire/werewolf Program that allocates time to tasks based on priority How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? Storing a session token in localstorage Numbers Interpreted in Smallest Valid Base Can a cleric gain the intended benefit from the Extra Spell feat? Who is the target audience of Netanyahu's speech at the United Nations? Do we declare the codomain of a function from the beginning, or do we determine it after defining the domain and operations? Riffle a list of binary functions into list of arguments to produce a result Cannot build the font table of Miama via nfssfont.tex How different is Roman Latin? Suggestions for plotting function of two variables and a parameter with a constraint in the form of an equation What is a "non-reversible filter"? Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. lang-r Why are you flagging this comment? Probable spam. This comment promotes a product, service or website while failing to disclose the author's affiliation. Unfriendly or contains harassment/bigotry/abuse. This comment is unkind, insulting or attacks another person or group. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Stack Overflow Questions Help Chat Products Teams Advertising Talent Company About Press Work Here Legal Privacy Policy Terms of Service Contact Us Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.29.34589 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings
9762	https://w3.iihe.ac.be/~aguilar/PHYS-467/PA4.html	PA4 Particle Astrophysics Lecture 4¶ Muons and Neutrinos¶ Université Libre de Bruxelles, Juan A. Aguilar aguilar@icecube.wisc.edu Cosmic Rays in the Atmosphere¶ Source is C. R. Nave, Cosmic Rays, HyperPhysics. Cosmic Rays in the Atmosphere¶ Muons and neutrinos¶ Vertical fluxes for E>1 GeV. Points show the μ− measurements. Muons and neutrinos are produced in decays of mesons which are themselves produced by interactions of CR particles with air nuclei. They are the dominant flux at sea level and the only ones that can penetrate deep underground. Electrons and nucleons fluxes above 1 GeV/c are about 0.2 and 2 m−2 s−1 sr−1 at sea level. Nucleons are the degraded remnants of the primary cosmic radiation. At sea level about 1/3 are neutrons. Cosmic Rays in the Atmosphere¶ Muons and neutrinos productions¶ The most important channels for muon and neutrino production are: Two body decays π±→μ±+ν μ(ˉ ν μ)(∼100%) K±→μ±+ν μ(ˉ ν μ)(∼63.5%) Three body decay K L→π±e±ν e(ˉ ν e)(∼38.7%) At lower energies, the muon decay is also important: μ±→e±+ν e(ˉ ν e)+ˉ ν μ(ν μ) The neutrino flavor ratio is: ν μ:ν e=2:1 The Atmosphere¶ Atmospheric depth and altitude¶ It is important to know the atmosphere to understand the cosmic rays interaction in it. The vertical atmospheric depth, X measured in g/cm 2 is defined as the integral in altitude of the atmospheric density ρ above the observation level h: X=∫∞h ρ(h′)d h′ The Atmosphere¶ The isothermal model¶ In an isothermal atmosphere, the pressure decreases exponentially with increasing height. Since the temperature is assumed to be constant it follows that ρ also changes exponentially and the afore equation can be written as: X=X 0 e−h/h 0 where X 0 is 1030 g/cm 2 is the atmospheric depth at sea level, h = 0, and h 0 is the scale height or the height needed to drop presure or density a factor 1/e. The Atmosphere¶ The scale height¶ The scale height is given by: h 0=R T M g 0 where R is the ideal gas constant, T is temperature, M is average molecular weight, and g 0 is the gravitational acceleration at the planet's surface. Using typical values (T=273 K and M=29 g/mol) we get that h 0∼8 km which coincidentally is the approximate height of Mt. Everest. In reality the temperature changes and hence the scale height decreases with increasing altitude until the tropopause. This equations are valid for vertical particles, for zenith angles < 60∘ (for which we can ignore the Earth's curvature) the formula is scaled with 1/cos θ giving the slant depth The Atmosphere¶ Mean free paths for Nucleons¶ The nucleon mean free path, λ N, in the atmosphere is given (in g/cm 2) by: λ N=A m p σ a i r N where σ a i r N is the nucleon cross-section in air, A is mean the mass number of air nuclei (mainly nitrogen, oxygen) and m p is the proton mass. Assuming A∼14.5 and σ a i r N≈ 300 mb, it corresponds to λ N≈80 g/cm 2, which corresponds to 11 interaction lengths in X 0. The standard mean free path is: l=(n σ a i r N)−1 where n is the number density of air nuclei ie: n=N T V Where N T is the total number of air nuclei and V is total air volume. σ a i r N is the nucleon-air cross section. The density mean free path is λ=ρ l, but ρ=M T/V and M T=N T∗m a i r where m a i r is mass of an air nuclei. Putting everything together: λ=ρ l=N T m a i r V V N T σ a i r=m a i r σ a i r where we can use m a i r=A m p. The Atmosphere¶ Mean free path for mesons, π, K¶ The decay mean free path of pions is given by λ=γ c τ π where γ is the lorentz boost. In units of slant depth is defined as: 1 d π=m π c 2 h 0 E c τ π X cos θ=ϵ π E X cos θ where E, m π, τ π are the pion energy, mass and lifetime and we defined: ϵ π=c τ π m π c 2 h 0 as a critial energy when the decay length equals the slant depth. The interaction mean free path is the same as nucleon λ π=A m π/σ a i r π To go from the decay mean free path to normal units to the mean free path in units of slant depth we used: Φ=Φ 0 e−λ l d Φ d l=−Φ 1 γ c τ d l=−d h/cos θ d X=−1/h 0 X 0 e−h/h 0 d h so: d Φ=−Φ 1 γ c τ cos θ d h=−Φ h 0 X γ c τ cos θ d X=m c 2 h 0 E c τ X cos θ d X where we used the fact that γ=E m c 2 The Atmosphere¶ Critical energy for mesons, π, K¶ Decay or interaction dominates depending on whether 1/d π or 1/λ π is larger. This in turns depends on the ratio between E and ϵ π. For pions we have: ϵ π=c τ π m π c 2 h 0≈115 G e V So we can distinguis two regimes. For E≫ϵ π decay length is much larger than the slant depth, so interaction dominates. For E≪ϵ πdecay dominates. The same formulas can be derived for Kaons. Muon Fluxes¶ Characteristics¶ Muons are the most numerous charged particles at sea level The mean energy of muons at the ground is ∼ 4 GeV. The integral intensity of vertical muons above 1 GeV/c at sea level is ≈ 70 m−2 s−1 sr−1 or ≈ 1 cm−2 min−1. Muon Fluxes¶ Energy regimes¶ Three different regimes are distinguishable: E μ≤ϵ μ, where ϵ μ∼1 G e V. In this case muon decay and muon energy loss are important. The muon flux is suppressed. ϵ μ≤E μ≤ϵ π,K, where ϵ π=115 G e V and ϵ K=850 G e V. In this range all messons decay and muons follow the same spectrum as mesons and hence of CRs. The muon is almost independent of the zenith angle. E μ≫ϵ π,K, Mesons do not decay and muon flux gets suppressed. Muon Fluxes¶ Analytical approximation¶ An approximate extrapolation formula valid when muon decay is negligible (E μ>100/cos θ GeV) and the curvature of the Earth can be neglected (θ<70∘) is given by the Gaisser parametrization: d N μ d E μ d Ω=0.14 c m 2 s s r G e V(E μ G e V)−2.7[F π(E μ,θ)+F K(E μ,θ)] where F π and F K represent the contributions from pions and kaons, respectively: $$ \begin{align} F \pi(E\mu, \theta) = \frac{1}{1+\frac{1.1 E_\mu \cos\theta}{115 {\;\rm GeV}}} \end{align} F_K(E_\mu, \theta) = \frac{0.054}{1+\frac{1.1 E_\mu \cos\theta}{850{\;\rm GeV}}} $$ In: %matplotlib inline import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np def muons(cangle, E): a = 1./(1.+ 1.1Ecangle/115.) b = 0.054/(1.+ 1.1Ecangle/850.) return 0.14 E-2.7 (a + b) In: import seaborn as sea sea.set_style("whitegrid") sea.set_context("poster") fig = plt.figure(figsize=(6,8)) ax = plt.subplot(111) ax.set_xscale("log") ax.set_yscale("log") ax.set_ylim(1e-4, 3e-1) ax.set_ylabel("$E_\mu^{2.7} dN_\mu/dE_\mu [cm^{-2}s^{-1} (GeV)^{1.7}]$", fontsize=20) ax.set_xlabel("$E_\mu(GeV)$", fontsize=20) E = np.arange(1e0, 1e6, 10) ax.plot(E, E2.7muons(np.cos(60np.pi/180.),E), label=r"$\theta = 60^{\circ}$") ax.plot(E, E2.7muons(np.cos(0np.pi/180.),E), label=r"$\theta = 0^{\circ}$") plt.legend() plt.show() Muon Fluxes¶ Experimental values¶ In reallity below 10 GeV muon decay and energy loss become imporant and Gaisser parametrization overestimate the muon flux: Muon Fluxes¶ Bundles¶ Sometimes muons also come in groups or bundles of parallel muons originated from the same primary CR. Muon bundles sometime look like a single high energy muon. The multiplicity (number of muons in the bundle) if can be measured is correlated with the mass of the orignal CR. Muon bundel event measured in the MACRO undeground detector Muons¶ Charge Ratio¶ Allkofer et. al. Phys. Lett. B36, 425 (1971)Jokisch et. al. Phys. Rev. D19, 1368 (1979) The muon charge ratio reflects the excess of π+ over π− and K+ over K− and the fact that there are more protons than neutrons in the primary spectrum.The increase with energy of the ration is due to an increasing importance of kaons coming from the process p+N→Λ+K+. Neutrinos¶ Fluxes¶ Fluxes from Agrawal et. al. Phys. Rev. D53 1314 (1996) Neutrinos are the most abundant CR product at sea level, yet they have only recently (compared to other particles) measured due to their extremely low cross-section. The process giving neutrino fluxes are the same as for the muons (we saw already) plus the muon decay. Taking into account the decay of pions, kaons and muons gives to a flavor ratio of: ν μ:ν e=2:1 and ν e/ˉ ν e∼μ+/μ− At few GeV (>ϵ μ) muons will not decay and ν e will be supressed as the main source of ν e is the muon decay. Note: in astrophysical sources the ration 2:1 persists. Why pions don't decay in to electrons? Neutrinos¶ Fluxes and kinematics¶ As mentioned neutrinos and muons are strongly correlated. However due the two-body kinematics, the energy spectra of the ν’s and μ’s from mesons decay are different. For example, the energy of the muon in CM is given by: E c m μ=(m 2 π+m 2 μ)/2 m π=109.8 M e V and for the neutrino: E c m ν=(m 2 π−m 2 μ)/2 m π=29.8 M e V In the laboratory system, the energies are boosted by the Lorentz factor γ=E π/m π, but as can be seen muon carry a much larger fraction of energy than neutrinos. For energies about 1 TeV <E ν<10 3 TeV, the angle averaged atmospheric ν μ+ˉ ν μ can be approximated by a power law spectrum: d N ν μ+ˉ ν μ d E ν=7.8×10−11(E ν 1 T e V)−3.6 c m 2 s−1 s r−1 G e V−1 Neutrinos¶ Fluxes as function of zenith¶ Calculated neutrino flux at 1,300 m depth with E ν=10 GeV. Taken from arXiv:1210.5154 The peak at the horizon in the atmospheric neutrino flux is due to the so-called secant theta effect. This effect occurs because pions and kaons that are produced nearly skimming the Earth have more flight time in less dense atmosphere, so they have more chance to decay than interact. Prompt Fluxes¶ Apart from kaons and pions, charmed messons will also be produced in the atmosphere. Charm particles have lifetimes so short they almost alway decay before interacting. Muons and neutrinos from charm decay are called prompt muons/neutrinos. There are two peculiarities of the prompt fluxes: The energy spectrum follows the one of the primary cosmic rays. Since there is no competition between decay and interaction of the charm particle, the prompt flux is isotropic. They produced the same amount of ν μ and ν e. Prompt fluxes have not been observed yet. Summary of neutrino atmospheric fluxes¶ Muon Interactions¶ Ionisation.The continuous energy loss of muons passing through a medium as it ionize the material along the path. Diagram a). Bremsstrahlung. In the electric field of a nucleus or atomic electrons, muons can radiate high energy photons as shown in diagram b) Pair production. A muon can radiate a virtual photon which, again in the electric field of a nucleus, can convert into a real e+e− pair. Diagram c) Photonuclear interactions. A muon can radiate a virtual photon which directly interacts with a nucleus in the muon propagation medium. The interaction is either electromagnetic or following the fluctuation of the photon into a quark-antiquark pair (i.e. a virtual vector meson). Diagram d) Muon Interactions¶ Muon Energy losses¶ The energy losses due to ionization are continuous while in radiation processes the energy is lost in bursts along the muon path. The energy loss for muons at high energy can be simplified to: d E μ d X=−α−β E μ where X is the thickness of the material (in g/cm 2), α is the energy loss due to ionization and β=β b r+β p a i r+β p h are the three discrete energy loss processes: bremsstrahlung, electron-positron production and electromagnetic interaction with the nuclei. Thickness is also given sometimes in units of meters water equivalent (1 m.w.e. = 10 2 g/cm 2). The critical energy is when both losses are equal, ie ϵ μ=α/β. Typical values are α≃2 MeV g−1 cm 2 and β≃4×10−6 g−1 cm 2, so ϵ μ≈500 GeV. Muon Interactions¶ Stocastic energy losses in muons.¶ Simulated muons bundles in IceCube. The stocastic energy losses are particular evident in the right figure. Muon Range¶ By solving the energy loss equation we can estimate the range R for a muon E μ, ie the underground depth this muon will reach until its energy is 0 (see Exercises 2): R(E μ)=1 β I n(1+E μ ϵ μ) Assuming the muon spectrum at sea level can be approximated to a power law I μ(>E μ)=A E−γ μ and using the relationship between range and energy we can write the depth-intensity relation (DIR): I μ(>E μ,R)=A[α β(e β R−1)]−γ Depth-intensity muons for vertical directions. The grey-area are neutrino-induced muons (horizontal, up-wards) Neutrino Interactions¶ Weak interaction¶ Neutrinos feel only the weak force thus interactions with matter mediated by W and Z bosons with cross-sections typical of weak processes. Feynman diagrams factor along two lines: Neutral current (NC) interactions - exchange of Z Charged current (CC) interaction - exchange of W± Neutrinos will scatter from electrons as well as nuclear matter. Below 1 GeV neutrinos interact with hadronds via elastic or quasielastic scattering. At E ν≫ 1 GeV neutrinos do not scatter on hadronds as a compound of quarks, they start to see the quarks, Deep Inelastic Scattering. Neutrinos Interactions¶ Neutrino cross-sections at GeV energies¶ The anti-neutrino cross-section at GeV energies is a factor ~2 lower than the neutrino cross-section due to the helicity. At E ν≫1 GeV the DIS cross-section can be approximated to: σ ν p≃0.69×10−38(E ν 1 G e V)c m 2 σ ˉ ν p≃0.35×10−38(E ν 1 G e V)c m 2 Earth is transparent to GeV neutrinos¶ In: from astropy import constants as ct from astropy import units as u Earth mass print ct.M_earth Neutron/proton mass print ct.m_p Earth radius print ct.R_earth number of nucleons N = ct.M_earth/ct.m_n Earth volume Ve = 4/3np.pict.R_earth3 Nucleon density Nd = N/Ve Cross section s = 1e-38 u.cm2 Mean free path: L = 1/(s Nd.to(1/u.cm3)) print "The mean free path is: ", L.to(u.km) Name = Earth mass Value = 5.9742e+24 Error = 5e+19 Units = kg Reference = Allen's Astrophysical Quantities 4th Ed. Name = Proton mass Value = 1.672621777e-27 Error = 7.4e-35 Units = kg Reference = CODATA 2010 Name = Earth equatorial radius Value = 6378136.0 Error = 0.5 Units = m Reference = Allen's Astrophysical Quantities 4th Ed. The mean free path is: 228532208.123 km Neutrinos Interactions¶ Neutrino cross-sections at TeV energies¶ At low energies the valence quark parton distribution dominates and both the neutrino NC and CC cross-section grows linear with energy since the transfer momemtum q 2≪M W,Z and so the propagator term is ∼1/M 2 W,Z Above 10 4 GeV where the gauge-boson propagator restricts the momentum transfer to values near M W,Z (∼1/(q 2−M 2 W,Z)) and damps the cross-section increase. Calculated neutrino cross sections taken from astro-ph/0310636 Neutrino Interactions¶ High energy Cross-Sections¶ Calculated neutrino cross sections taken from arXiv:1309.1764 At high energies the asymetry between neutrinos and antineutrinos is lost due to the interaction with sea quarks (q ˉ q) Neutrinos interact mostly with hadrons (quarks) instead of electrons due the their larger target mass. However at E ν≈6.3 PeV the Glashow resonance appears: ℏ ν e+e→W making the cross-section higher than the one with hadrons. Earth Opaque to PeV Neutrinos¶ At about 100 TeV the mean free path for neutrino-nucleus scattering is about 10 10 c.m.w.e. which is about the matter thickness along the Earth diameter. This means that UHE neutrino observatories (like IceCube) the flux of neutrinos comming from the nadir is stronly suppressed. There is only one exception. A very high energy beam of ν τ at one side of the Earth E≫1 PeV can end up at the other side as lower energy ν τ,ν e,ν μ thought the tau regeneration effect: ν τ→τ→ν τ Neutrino signatures in a detector¶ b) In CC ν e interactions an hadronic and EM shower initiated by the e is produced. About 20% of the energy goes inthe hadronic shower and 80% to the lepton and therfore to the EM shower. d) In CC ν τ d) interaction again an hadronic and EM shower are produced as the τ decays almost inmediately to pions or other charge leptons. In the decay another ν τ is produced tau regeneration effect. At very high energyes the two showers can be separated giving a double bang signature or a lollipop if the first shower happens outside the detector. c) In CC ν μ the muon only undergoes radiation losses (not ionization) and hence the track of the muon can be reconstructed. a) In NC only an hadronic shower is visible. Event rate in an underground experiment.¶ An estimate of the detection rate of neutrino events is equivalent to calculate the rate of a neutrino-induced muon/cascades flux: R(E v i s,θ)=∫E v i s P ν→l(E ν,E v i s)P s h a d o w(θ,E ν)d N ν d E ν d E ν where P ν→l(E ν,E v i s). Probability that a neutrino interacts with an nucleus to produce a μ or an EM or hadronic cascade with a minimum energy E v i s visible in the detector. P s h a d o w(θ,E ν). Probability of neutrino with zenith angle θ and energy E ν of being absorved by Earth. d N ν/d E ν. Neutrino flux at the surface. Interaction probability: P ν→l¶ The probability of a neutrino to produce a letpon or shower visible in the detector can be writen as: P ν→l=N A∫E ν E m i n d E l d σ d E l r l(E l,E v i s) where r l is the detection range of the produced lepton/cascade with energy E l ending with the minimal energy E v i s, and d σ/d E l is the neutrino cross-section to produce a lepton/cascade with energy E l. At high energy the event rate is dominated by neutrino-induced muons due to the long range of the high energy muons. Earth Shadow: P s h a d o w¶ The mean free path of neutrinos can be expressed as λ=(N A σ t o t)−1. The shadow fact then can be expressed as: P s h a d o w=e−N A σ t o t X(θ) Where X(θ) is the column depth travelled by the neutrino through the Earth with a zenith angle θ. See Exercises 2 for an evaluation of the event rate in an underground detector. Oscillations¶ Neutrino Oscillations¶ As a result of these changes in relative phases, neutrinos oscillate from one flavor to another as they travel. Low-energy neutrinos oscillate in a shorter distance than high-energy neutrinos. A curious aspect of quantum physics is that only the probability of the flavor of neutrino changes as it travels. The neutrino only becomes a definite flavor when it interacts in a detector - by finding whether an electron, muon, tau is created. The PMNS Matrix¶ The Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata matrix is the one that relates the mass eingenstates with the flavor eingenstates: (ν e ν μ ν τ)=U P M N S(ν 1 ν 2 ν 1) with: U P M N S=(c 12 c 13 s 12 c 13 s 13 e−i δ−s 12 c 23−c 12 s 23 s 13 e i δ c 12 c 23−s 12 s 23 s 13 e i δ s 23 c 13 s 12 s 23−c 12 c 23 s 13 e i δ−c 12 s 23−s 12 c 23 s 13 e i δ c 23 c 13)=(1 0 0 0 c 23 s 23 0−s 23 c 23)(c 13 0 s 13 e−i δ 0 1 0−s 13 e i δ 0 c 13)(c 12 s 12 0−s 12 c 12 0 0 0 1) where s i j=sin θ i j, c i j=cos θ i j. The term δ is a CP violation term, if s 13=0 we won't be able to measure δ as it always multiplies s 13 2-flavor mixing¶ Oscillations¶ Let's assume 2 flavor eigenstates identified as rotations of 2 mass eigenstates: (ν e ν μ)=(cos θ sin θ−sin θ cos θ)(ν 1 ν 2). The angle θ is called the mixing angle. The mass eigenstates evolve as plane waves with fixed momemtum p: \|ν i(t,x)⟩=e−i(E i t−p i x)\|ν i(0,0)⟩ Let's imagine we start at (x,t)=(0,0) with a pure beam of ν e: (1 0)=(cos θ sin θ−sin θ cos θ)(ν 1(0,0)ν 2(0,0)).\|ν 1(0,0)⟩=cos θ\|ν 2(0,0)⟩=sin θ and as they evolved: \|ν 1(t,x)⟩=cos θ e−i(E 1 t−p 1 x)\|ν 2(t,x)⟩=sin θ e−i(E 2 t−p 2 x) So after a while the wave form of the ν α is given by: \|ν e(t,x)⟩=cos 2 θ e−i(E 1 t−p 1 x)+sin 2 θ e−i(E 2 t−p 2 x)=A e\|ν μ(t,x)⟩=−s i n θ cos θ e−i(E 1 t−p 1 x)+cos θ sin θ e−i(E 2 t−p 2 x)=A e 2-flavor example¶ Oscillation and survival probability¶ P(ν e→ν μ)=\|⟨ν μ(t,x)\|ν e(0,0)⟩\|2=\|cos θ sin θ(e i(E 2 t−p 2 x)−e i(E 1 t−p 1 x))\|2=cos 2 θ sin 2 θ\|e i(E 2 t−p 2 x)−e i(E 1 t−p 1 x)\|2 using e±i x=cos x±i sin x P(ν e→ν μ)=2 cos 2 θ sin 2 θ(1−cos(E 2 t−p 2 x−E 1 t−p 1 x))=sin 2 2 θ sin 2((E 2−E 1)t−(p 2−p 1)x 2)=sin 2 2 θ sin 2(Δ m 2 12 L 4 E) using p i=√E 2 i−m 2 i∼E i(1−m 2 i E 2 i), and in natural units t=x=L we can write the phase difference as: (E 2−E 1)t−(p 2−p 1)x=(m 2 1 2 E 1−m 2 2 2 E 2)L=Δ m 2 12 L 2 E And the survival probability is: P(ν e→ν e)=1−P(ν e→ν μ)=1−sin 2 2 θ sin 2(Δ m 2 12 L 4 E) Replacing ℏ and c the expression can be written as: P(ν e→ν e)=1−sin 2 2 θ sin 2[1.27(Δ m 2 12 e V 2)L/k m E/G e V] NOTE: We assumed that the mass eigenstates are created with the same energy or momentum and so E i=E j.This assumption is not necessary and it comes from the fact we use the plane wave approximation. Using the correct formalism of wave packets the result is the same. In: import astropy.units as u sea.set_style("darkgrid") L = 180 # km delta_m_sun = 7.0e-5 # eV^2 sin_square_theta_12 = 0.84 #maximum mixing def prob_survival(E, L): return 1 - sin_square_theta_12 np.sin(1.27delta_m_sun L / E)2 fig, ax = plt.subplots() ax.set_ylim(0,1) ax.set_xlabel(r"$E_\nu ({\rm MeV})$") ax.set_ylabel("$P_{ee}$") E = np.linspace(0.1, 15, 1000) #in MeV ax.plot(E, prob_survival(E1e-3,L), label="L = %i km\n"%L+r"$P_{ee} = 1 -\sin^2 2\theta\sin^2(\Delta m^2L/4E_\nu)$") plt.legend(loc="upper right") plt.show() Eventually at low enough E / long baselines, neutrino beam becomes fully mixed and energy resolution and source extent conspire to produce 50/50 beam. In: y, x = np.meshgrid(np.arange(50,180,1), E) z = prob_survival(x1e-3,y) fig = plt.figure() ax = plt.subplot(111) img = ax.pcolormesh(x, y, z, cmap = 'RdBu') ax.set_xscale("log") ax.set_yscale("log") cax = fig.colorbar(img) ax.set_ylabel("Distance (km)") ax.set_xlabel(r"$E_\nu ({\rm MeV})$") cax.set_label("Probability") Oscillations Probabilities¶ General case¶ Taking greek letters of the flavor eingenstates and latin letter the mass eingenstates we can write: \|ν α(x,t)⟩=∑k=1,2,3 U α k\|ν k(x,t)⟩=∑k=1,2,3 U α k e−i Φ k\|ν k(0,0)⟩ inverting the mixing matrix we have: \|ν k(0,0)⟩=∑γ U∗γ k\|ν γ(0,0)⟩ putting it in the equation above: \|ν α(x,t)⟩=∑k=1,2,3 U α k e−i Φ k∑γ U∗γ k\|ν γ(0,0)⟩ If we want to evaluate the probability of finding a neutrino β when we had α is the transition amplitude is given by: A(ν α(0,0)→ν β(x,t))=⟨ν β(x,t)\|ν α(0,0)⟩=∑γ∑k U γ k e i Φ k U∗β k⟨ν γ(0,0)\|ν α(0,0)⟩=∑k U α k e i Φ k U∗β k where we used the fact that flavor eingenstates are ortogonal and hence ⟨ν γ(0,0)\|ν α(0,0)⟩=δ γ,α. The oscillation probability is then: P(ν α→ν β)=\|A(ν α(0,0)→ν β(x,t))\|2=\|∑k U α i e i Φ i U∗β i\|2=∑i U α i e i Φ i U∗β i∑j U∗α j e−i Φ j U β j=∑j∑i U α i U∗β i U∗α j U β j e−i(Φ j−Φ i) where Φ i=E i t−p i x and so: Φ i−Φ j=(E i−E j)t−(p i−p j)x using p i=√E 2 i−m 2 i∼E i(1−m 2 i E 2 i) we can write the phase difference as: Φ i−Φ j=(m 2 i 2 E i−m 2 j 2 E j)L=Δ m 2 i j L 2 E where we used the fact that at relativistic speeds t=x=L and a dodgy approximation where we assumed that the mass eigenstates are created with the same energy or momentum and so E i=E j.This assumption is not necessary, but we find that whatever assumption is made you get the the same result. The fact that we have to make such an approximation comes from the way that we are modelling the mass eigenstates as plane waves. If we were to do the analysis assuming that the mass states were wavepackets instead we would not need the equal momentum (equal energy) assumption and would still get the same answer. With this we can rewrite the oscillation probability as: P(ν α→ν β)=δ α β−4∑i>j R e(U∗α i U β i U α j U∗β j)sin 2(Δ m 2 i j L 4 E)+2∑i>j I m(U∗α i U β i U α j U∗β j)sin(Δ m 2 i j L 2 E), For δ=0 the last term is 0. About symmetries.¶ Consequences of CPT invariance: P(ν α→ν β)=P(ˉ ν β→ˉ ν α) Conditions of CP invariance: P(ν α→ν β)=P(ˉ ν α→ˉ ν β) Condition os T invariance: P(ν α→ν β)=P(ν β→ν α)a n d P(ˉ ν α→ˉ ν β)=P(ˉ ν β→ˉ ν α) Only if U is not real we can have CP violation effects ie: P(ν α→ν β)−P(ˉ ν α→ˉ ν β)=4∑i>j I m(U∗α i U β i U α j U∗β j)sin(Δ m 2 i j L 2 E) Mass hierarchy¶ But this means that neutrinos oscillations can be described in terms of 6 parameters: θ 12, θ 13 and θ 23 plus 2 mass-squared differences, Δ m 2 12 and Δ m 2 32 and one CP violating phase δ C P. Althought we can measured the mass-squared differences in neutrino oscillation experiments, we cannot know the absolute scales nor the mass hierarchy. Where Δ m 2 12=Δ m 2 S o l and Δ m 2 31(2)=Δ m 2 a t m. Sometimes Δ m 2 a t m is defined as: Δ m 2 a t m=\|m 2 3−(m 2 1+m 2 2)2\| Measurements Status¶ Assuming Δ m 2 21≪Δ m 2 31∼Δ m 2 32 and small θ 13: (1 0 0 0 c 23 s 23 0−s 23 c 23)Atmospheric and Long Baseline accelerators If Δ m 2 21 L/E≪1: P(ν μ→ν τ)≃sin 2 2 θ 23 sin 2 Δ m 2 31 3 E L (c 13 0 s 13 e−i δ 0 1 0−s 13 e i δ 0 c 13)Short Baseline reactors If Δ m 2 21 L/E≪1: P(ν e→ν e)≃1−sin 2 2 θ 13 sin 2 Δ m 2 31 3 E L (c 12 s 12 0−s 12 c 12 0 0 0 1)Solar and Long Baseline reactors If Δ m 2 31 L/E≫1: P(ν e→ν e)≃1−sin 2 2 θ 12 sin 2 Δ m 2 12 3 E L Measurements Status¶ Solar Neutrinos¶ Neutrinos from the Sun are produced by some of the fusion reactions in the p p chain or the CNO cycle. The combined effect is: 4 p→4 H e+2 e+2 ν e From the beginning of the solar-neutrino observation a deficit of the electron neutrino predicted by the Standard Solar Model was observed: the solar-neutrino problem In 1999 SNO in Canada started taking data. This experiment was able to detect ν e by CC interactions and ν x by NC interaction solving the mistery of the solar-neutrino problem. It is now understood as a neutrino flavor oscillation. The results of SNO together with KamLAND (a long baseline neutrino detector) confirmed the Large Mixing Angle solution (LMA) of the solar sector: sin 2 θ 12≃0.30 Δ m 2 12≡Δ m 2⊙≃8×10−5 e V 2 Measurements Status¶ Atmospheric Neutrinos¶ First evidence of atmospheric neutrino oscillations came from Super-Kamiokande experiment in 1998. By scanning in zenith angle, is like changing the L. If atmospheric mixing is non-maximal, it remains to determine in which “octant" the mixing angle θ 23 lies. For a θ 23 in the first octant (< 45∘) the mass eigenstate ν 3 is tau heavy, i.e., the tau neutrino fraction is larger than the muon neutrino fraction. Conversely, for a θ 23 in the second octant (> 45∘) the state ν 3 is muon heavy. Measurements Status¶ Reactor Neutrinos¶ Double Chooz: sin 2 2 θ 13=0.109±0.030±0.025≠0 at 2.9 σ Daya Bay: sin 2 2 θ 13=0.089±0.010±0.005≠0 at 7.7 σ RENO: sin 2 2 θ 13=0.113±0.013±0.019≠0 at 4.9 σ Neutrino oscillations in matter.¶ The U P M N S matrix must be modified to account for the the fact that electron neutrinos have an extra interaction not present for ν μ and ν τ when travelling through matter. Elastic scattering of ν e on electron can occur via exchange of a charged W-boson as well as by exchange of the neutral Z-boson adding a term V e=G F√2 N e in the mass differences for electrons. Without entering in the maths, what happens here is that a resonance effect occurs, ie, even if the mixing angle is small in vacuum it can get amplified in matter. This resonance can be expressed as a condition on the electron density N e which is appropriate for systems such as stellar interiors (Sun or supernovae too) where provided the core density is high enough, there is always a region in the neutrinos’ path exiting the star where it passes through resonance. This is known as the MSW effect for the theorists who discovered it - Mikheyev, Smirnov, and Wolfenstein. Oscillagrams In: def PMNS_Factory(t12, t13, t23, d): s12 = np.sin(t12) c12 = np.cos(t12) s23 = np.sin(t23) c23 = np.cos(t23) s13 = np.sin(t13) c13 = np.cos(t13) cp = np.exp(1jd) return np.array([[ c12c13, s12c13, s13np.conj(cp) ], [-s12c23 - c12s23s13cp, c12c23 - s12s23s13cp, s23c13], [ s12s23 - c12s23s13cp,-c12s23 - s12c23s13cp, c23c13]]) In: def posc(a, b, U, dm2, LEratio): """ Gives the oscillation probability for nu(a) -> nu(b) for PMNS matrix U, and L in km and E in GeV, and dm2 in eV^2 """ s = 0 for j in range(2): for i in range(j+1, 3): arg = 5.068dm2[i+j-1]LEratio mxe = np.conj(U[a,i])U[b,i]U[a,j]np.conj(U[b,j]) s += -4mxe.realnp.sin(0.25arg)2 + 2mxe.imagnp.sin(0.50arg) if a == b: s += 1.0 return s In: t12 = np.arcsin(0.3120.5) t13 = np.arcsin(0.02510.5) #Controlls the size of the small wiggles. t13 = np.arcsin(0.0) t23 = np.arcsin(0.420.5) dm2 = [ 7.58E-05, 2.27E-03, 2.35E-03] delta = 0 U = PMNS_Factory(t12, t13, t23, delta) Let's plot some oscillograms for a ν e beam In: LE = np.linspace(0, 36000, 3600) Pe = posc(0, 0, U, dm2, LE) Pm = posc(0, 1, U, dm2, LE) Pt = posc(0, 2, U, dm2, LE) fig, ax = plt.subplots() ax.plot(LE, Pe, '-', label=r'$\nu_e \rightarrow \nu_e$') ax.plot(LE, Pm, 'k', label=r'$\nu_e\rightarrow\nu_\mu$') ax.plot(LE, Pt, 'r', label=r'$\nu_e\rightarrow\nu_\tau$') ax.set_xlabel("L/E (km/GeV)") ax.set_ylabel(r"Probability $\nu_e \rightarrow \nu_x$") ax.set_ylim(0,1) plt.legend(loc="upper center") plt.show() In: LE = np.linspace(0, 3600, 360) Pe = posc(0, 0, U, dm2, LE) Pm = posc(0, 1, U, dm2, LE) Pt = posc(0, 2, U, dm2, LE) fig, ax = plt.subplots() ax.plot(LE, Pe, '-', label=r'$\nu_e \rightarrow \nu_e$') ax.plot(LE, Pm, 'k', label=r'$\nu_e\rightarrow\nu_\mu$') ax.plot(LE, Pt, 'r', label=r'$\nu_e\rightarrow\nu_\tau$') ax.set_xlabel("L/E (km/GeV)") ax.set_ylabel(r"Probability $\nu_e \rightarrow \nu_x$") ax.set_ylim(0,1) plt.legend(loc="upper center") plt.show() What else?¶ Pressure and temperature effects in the muon and neutrino fluxes. Sterile neutrinos, are there more than 3 neutrinos? What does cosmology tell us, what do experiements tell us? (LSND and reactor anomalies) Neutrino experiments: SNO, Kamland, DayaBay etc.. Again these might be topics for your research project.
9763	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Chicken_McNugget_Theorem?srsltid=AfmBOoqsNR2iOGV_to3UWOv3yvXFurvdwEWsZ0HEW5W1vqY1XEJRyU7U	Art of Problem Solving Chicken McNugget Theorem - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. Visit AoPS Academy ‚ Find a Physical CampusVisit the Virtual Campus Sign In Register online school Class ScheduleRecommendationsOlympiad CoursesFree Sessions books tore AoPS CurriculumBeast AcademyOnline BooksRecommendationsOther Books & GearAll ProductsGift Certificates community ForumsContestsSearchHelp resources math training & toolsAlcumusVideosFor the Win!MATHCOUNTS TrainerAoPS Practice ContestsAoPS WikiLaTeX TeXeRMIT PRIMES/CrowdMathKeep LearningAll Ten contests on aopsPractice Math ContestsUSABO newsAoPS BlogWebinars view all 0 Sign In Register AoPS Wiki ResourcesAops Wiki Chicken McNugget Theorem Page ArticleDiscussionView sourceHistory Toolbox Recent changesRandom pageHelpWhat links hereSpecial pages Search Chicken McNugget Theorem The Chicken McNugget Theorem (or Postage Stamp Problem or Frobenius Coin Problem) states that for any two relatively primepositive integers, the greatest integer that cannot be written in the form for nonnegative integers is . A consequence of the theorem is that there are exactly positive integers which cannot be expressed in the form . The proof is based on the fact that in each pair of the form , exactly one element is expressible. Contents 1 Origins 2 Proof Without Words 3 Proof 1 4 Proof 2 5 Corollary 6 Generalization 7 Problems 7.1 Introductory 7.2 Intermediate 7.3 Olympiad 7.4 See Also Origins There are many stories surrounding the origin of the Chicken McNugget theorem. However, the most popular by far remains that of the Chicken McNugget. Originally, McDonald's sold its nuggets in packs of 9 and 20. Math enthusiasts were curious to find the largest number of nuggets that could not have been bought with these packs, thus creating the Chicken McNugget Theorem (the answer worked out to be 151 nuggets). The Chicken McNugget Theorem has also been called the Frobenius Coin Problem or the Frobenius Problem, after German mathematician Ferdinand Frobenius inquired about the largest amount of currency that could not have been made with certain types of coins. Proof Without Words Example using m= and n= Proof 1 Definition. An integer will be called purchasable if there exist nonnegative integers such that . We would like to prove that is the largest non-purchasable integer. We are required to show that: (1) is non-purchasable (2) Every is purchasable Note that all purchasable integers are nonnegative, thus the set of non-purchasable integers is nonempty. Lemma. Let be the set of solutions to . Then for any . Proof: By Bezout's Lemma, there exist integers such that . Then . Hence is nonempty. It is easy to check that for all . We now prove that there are no others. Suppose and are solutions to . Then implies . Since and are coprime and divides , divides and . Similarly . Let be integers such that and . Then implies We have the desired result. Lemma. For any integer , there exists unique such that . Proof: By the division algorithm, there exists one and only one such that . Lemma. is purchasable if and only if . Proof: If , then we may simply pick so is purchasable. If , then if and if , hence at least one coordinate of is negative for all . Thus is not purchasable. Thus the set of non-purchasable integers is . We would like to find the maximum of this set. Since both are positive, the maximum is achieved when and so that . Proof 2 We start with this statement taken from Proof 2 of Fermat's Little Theorem: "Let . Then, we claim that the set , consisting of the product of the elements of with , taken modulo , is simply a permutation of . In other words, Clearly none of the for are divisible by , so it suffices to show that all of the elements in are distinct. Suppose that for . Since , by the cancellation rule, that reduces to , which is a contradiction." Because and are coprime, we know that multiplying the residues of by simply permutes these residues. Each of these permuted residues is purchasable (using the definition from Proof 1), because, in the form , is and is the original residue. We now prove the following lemma. Lemma: For any nonnegative integer , is the least purchasable number . Proof: Any number that is less than and congruent to it can be represented in the form , where is a positive integer. If this is purchasable, we can say for some nonnegative integers . This can be rearranged into , which implies that is a multiple of (since ). We can say that for some positive integer , and substitute to get . Because , , and . We divide by to get . However, we defined to be a positive integer, and all positive integers are greater than or equal to . Therefore, we have a contradiction, and is the least purchasable number congruent to . This means that because is purchasable, every number that is greater than and congruent to it is also purchasable (because these numbers are in the form where ). Another result of this Lemma is that is the greatest number that is not purchasable. , so , which shows that is the greatest number in the form . Any number greater than this and congruent to some is purchasable, because that number is greater than . All numbers are congruent to some , and thus all numbers greater than are purchasable. Putting it all together, we can say that for any coprime and , is the greatest number not representable in the form for nonnegative integers . Corollary This corollary is based off of Proof 2, so it is necessary to read that proof before this corollary. We prove the following lemma. Lemma: For any integer , exactly one of the integers , is not purchasable. Proof: Because every number is congruent to some residue of permuted by , we can set for some . We can break this into two cases. Case 1: . This implies that is not purchasable, and that . is a permuted residue, and a result of the lemma in Proof 2 was that a permuted residue is the least number congruent to itself that is purchasable. Therefore, and , so is purchasable. Case 2: . This implies that is purchasable, and that . Again, because is the least number congruent to itself that is purchasable, and because and , is not purchasable. We now limit the values of to all integers , which limits the values of to . Because and are coprime, only one of them can be a multiple of . Therefore, , showing that is not an integer and that and are integers. We can now set limits that are equivalent to the previous on the values of and so that they cover all integers form to without overlap: and . There are values of , and each is paired with a value of , so we can make different ordered pairs of the form . The coordinates of these ordered pairs cover all integers from to inclusive, and each contains exactly one not-purchasable integer, so that means that there are different not-purchasable integers from to . All integers greater than are purchasable, so that means there are a total of integers that are not purchasable. In other words, for every pair of coprime integers , there are exactly nonnegative integers that cannot be represented in the form for nonnegative integers . Generalization If and are not relatively prime, then we can simply rearrange into the form and are relatively prime, so we apply Chicken McNugget to find a bound We can simply multiply back into the bound to get Therefore, all multiples of greater than are representable in the form for some non-negative integers . Problems Introductory Marcy buys paint jars in containers of and . What's the largest number of paint jars that Marcy can't obtain? Answer: containers Bay Area Rapid food sells chicken nuggets. You can buy packages of or . What is the largest integer such that there is no way to buy exactly nuggets? Can you Generalize? (Source: The Art and Craft of Problem Solving) Answer: If a game of American Football has only scores of field goals ( points) and touchdowns with the extra point ( points), then what is the greatest score that cannot be the score of a team in this football game (ignoring time constraints)? Answer: points The town of Hamlet has people for each horse, sheep for each cow, and ducks for each person. Which of the following could not possibly be the total number of people, horses, sheep, cows, and ducks in Hamlet? (Source: AMC 10B 2015 Problem 15) Answer: In the state of Coinland, coins have values and cents. Suppose is the value in cents of the most expensive item in Coinland that cannot be purchased using these coins with exact change. What is the sum of the digits of (Source: 2023 AMC 12B Problems/Problem 16) Answer: Intermediate Ninety-four bricks, each measuring are to stacked one on top of another to form a tower 94 bricks tall. Each brick can be oriented so it contributes or or to the total height of the tower. How many different tower heights can be achieved using all ninety-four of the bricks? (Source: AIME) Find the sum of all positive integers such that, given an unlimited supply of stamps of denominations and cents, cents is the greatest postage that cannot be formed. (Source: AIME II 2019 Problem 14) Olympiad On the real number line, paint red all points that correspond to integers of the form , where and are positive integers. Paint the remaining integer points blue. Find a point on the line such that, for every integer point , the reflection of with respect to is an integer point of a different color than . (Source: India TST) See Also Theorem Prime Retrieved from " Categories: Theorems Number theory Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
9764	https://www.ck12.org/flexi/cbse-math/percentage/what-is-25-of-36/	Flexi answers - What is 25% of 36? \| CK-12 Foundation Subjects Explore Donate Sign InSign Up All Subjects CBSE Math Percentage Question What is 25% of 36? Flexi Says: Apercent is a ratio that describes a quantity out of 100. A percent is also a part of a whole. Finding the percent of a number is the part of a number that is equivalent to the percent. Steps to find the percentage of a number - Method 1 Let's, find 25% of 36 using proportion. First, write the percent as a fraction. 25% is also equal to 25 out of 100. 25%=25 100 Next, write a proportion to find the equivalent fraction of 25% of 36. The second fraction is the unknown quantity, represented by x, over the whole, 36. 25 100=x 36 Now, cross-multiply to find the cross-product. To cross-multiply, multiply the numerator of one fraction with the denominator of the other fraction. The products should be equal. 25(36)=100 x Finally, simplify the equation to solve for x. Multiply 25 by 36 and divide both sides by 100. 25(36)=100 x 900 100=100 x 100 9=x Hence, 25% of 36 is 9. Steps to find the percentage of a number - Method 2 Another strategy includes the use of keywords and multiplication. Let's re-examine the problem: Determine 25% of 36. First, look for keywords that suggest an operation. The word "of" tells you to multiply 36 by 25%. To multiply 36 by 25% we need to convert the percentage into decimal. 25%=0.25 Then, write an equation to find the unknown number, x. x=36×0.25 Finally, solve for x by multiplying 36 by 0.25. x=36×0.25=9 The answer is the same. 25% of 36 is 9. Steps to find the percentage of a number - Method 3 The relationship percent=part whole can be used to find the part value using the percentage and the whole provided to us. By multiplying the whole by the other side you get the following equation: percent⋅whole=part Step 1: Divide the percentage by 100. Step 2:Multiply the result by the whole. For example, find 25% of 36. Part = ? Whole = 36. Percent = 25%→25 100. Percent×Whole=Part 25 100×36=Part 0.25×36=Part 9=Part ∴ 25% of 36 is 9. To learn more about percentages, click here! Analogy / Example Try Asking: What is 80 percent of 50?What is 10 percent of 300?What is 20% of 20,000? How can Flexi help? By messaging Flexi, you agree to our Terms and Privacy Policy
9765	https://www.khanacademy.org/v/entropy-intuition	Entropy intuition (video) \| Spontaneity \| Khan Academy Skip to main content If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. If you're behind a web filter, please make sure that the domains .kastatic.org and .kasandbox.org are unblocked. Explore Browse By Standards Explore Khanmigo Math: Pre-K - 8th grade Math: High school & college Math: Multiple grades Math: Illustrative Math-aligned Math: Eureka Math-aligned Math: Get ready courses Test prep Science Economics Reading & language arts Computing Life skills Social studies Partner courses Khan for educators Select a category to view its courses Search AI for Teachers FreeDonateLog inSign up Search for courses, skills, and videos Help us do more We'll get right to the point: we're asking you to help support Khan Academy. We're a nonprofit that relies on support from people like you. If everyone reading this gives $10 monthly, Khan Academy can continue to thrive for years. Please help keep Khan Academy free, for anyone, anywhere forever. Select gift frequency One time Recurring Monthly Yearly Select amount $10 $20 $30 $40 Other Give now By donating, you agree to our terms of service and privacy policy. Skip to lesson content KA Chemistry Class 11 Course: KA Chemistry Class 11>Unit 6 Lesson 7: Spontaneity Introduction to entropy Second Law of Thermodynamics Work done by isothermic process Reconciling thermodynamic and state definitions of entropy Entropy intuition More on entropy Entropy changes (Basic) Entropy Gibbs free energy and spontaneity Worked example: Gibbs free energy change & spontaneity Gibbs free energy and spontaneity Science> KA Chemistry Class 11> Thermodynamics> Spontaneity © 2025 Khan Academy Terms of usePrivacy PolicyCookie NoticeAccessibility Statement Entropy intuition Google Classroom Microsoft Teams About About this video Transcript Introduces second law of thermodynamics. A discussion of entropy change in terms of heat and microstates .Created by Sal Khan. Skip to end of discussions Questions Tips & Thanks Want to join the conversation? Log in Sort by: Top Voted Henry Rasia 9 years ago Posted 9 years ago. Direct link to Henry Rasia's post “So if I take the example ...” more So if I take the example of a TV screen with white noise has every pixel randomly black or white, with equal amounts of white and black pixels, the entropy would be at a maximum, even if the pixels randomly organize themselves at some point? What would low entropy look like in such a system? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer awemond 9 years ago Posted 9 years ago. Direct link to awemond's post “You're right - when half ...” more You're right - when half the pixels are black and half are white, this is the highest entropy. The reason for this is that, if you consider every different possible arrangement of pixels that would give 50% black and 50% white, there are more possibilities for this 50/50 split than for any other percentage split. This makes the 50/50 split the most probable, and thus it has the highest entropy. You're right that some of these possibilities might look 'organized', for example a bunch of black pixels grouped together (though this arrangement is improbable). This would be one of many microstates (i.e. individual possible arrangements of pixels) that contributes to the maximum entropy macrostate (i.e. the big picture that there is a 50/50 split between black and white pixels). If you limited yourself to only having a bunch of black pixels grouped together, however, then the entropy would be lower, since the probability of this happening is lower once you introduce a restriction. In the pixel system, low entropy would be if all of the pixels were black or all of the pixels were white. Comment Button navigates to signup page (8 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more joe black 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to joe black's post “This video and several ot...” more This video and several others on thermodynamics discuss path variables and state variables. Are these terms applicable only to thermodynamics? Is there a mathematical definition? I took calculus and differential equations many years ago, but I don't remember these types of variables being covered. What branch of mathematics covers this? Are they discussed on any of Kahn Academy's math videos. Thanks! Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (3 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Megaladon Annasagaram 5 years ago Posted 5 years ago. Direct link to Megaladon Annasagaram's post “If entropy depends on vol...” more If entropy depends on volume (more the space, more potential states the particles have) then why isn't it included in the equation for entropy? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (3 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Gazi Kothiasin 12 years ago Posted 12 years ago. Direct link to Gazi Kothiasin's post “will the entropy of the u...” more will the entropy of the universe continue to increase forever and continue to get more chaotic to infinitum? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer AleksandrHovhannisyan 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to AleksandrHovhannisyan's post “Okay, so we're learning e...” more Okay, so we're learning entropy in AP Bio and it is really confusing me. I would appreciate if someone could explain: Aren't "ordered" and "disordered" subjective terms? How do we define something that is ordered as opposed to disordered? I can understand why going from water --> gas is an increase in disorder, but I've also heard that any phase change in general increases disorder, so that would imply that going from a gas to water would also increase disorder, even though...it wouldn't? I've also heard that entropy and the Second Law of Thermodynamics do not apply to open systems (like humans and ecosystems)--is this true? If so, why? If not, why? Thanks! Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer robshowsides 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to robshowsides's post “Good question. I agree t...” more Good question. I agree that "ordered" and "disordered" are subjective. "Structured" vs "unstructured" might be a little better. A solid has lots of bonds, so it has the lowest entropy (the most structure) of any phase. The molecules of a gas are the least interacting and most free to bounce around at random speeds and directions, so gas has the highest entropy (least structure). I'm not sure what the context was where you heard that "any phase change in general increases disorder". I would say gas to liquid and liquid to solid always lower the entropy of the material being cooled. Now, if the WHOLE SYSTEM is taken into account, then almost every process increases the entropy of the universe (Second Law). So when you put a cup of water in the freezer and it becomes ice, well the entropy of the water was reduced, but the refrigerator was running and removing the heat from the water and blowing that heat, plus some extra heat, into the kitchen, so the entropy of the air in the kitchen increased by MORE than the entropy of the water decreased. This is also basically the answer to your last question about organisms. They are an open system, like the refrigerator, so they can keep their entropy low but only by consuming low-entropy food and then emitting high-entropy waste into the environment. The entropy of the universe increases, but not the entropy of the organism. It's not that "the laws of thermodynamics don't apply to humans". They do. It's just that the Second Law only applies to closed systems, and humans are not closed systems. 1 comment Comment on robshowsides's post “Good question. I agree t...” (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Show more... nikita.jakkam 13 years ago Posted 13 years ago. Direct link to nikita.jakkam's post “I know the "clean room : ...” more I know the "clean room : dirty room room" example is not that good, but I was wondering about what Mr. Khan meant when he said Mircrostates. ( 18:18 )-ish. Everyone says that the universe progresses from order to disorder but does it ever return to its original order, or is it only when energy is applied? "Room goes from clean to dirty, but will eventually return to dirty" Because systems can ONLY maintain molecular organization if energy is added. "You use energy to clean room" - Thanks Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer amathew933 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to amathew933's post “I think the "clean room ...” more I think the "clean room : dirty room room" example is good because he substantiates that entropy is a macro-state variable. And to answer you Nikita, I think Newton's I law of motion dealing with inertia clarifies your doubt- objects need external force to overcome inertia. So clean room will not eventually return to dirty. Here, entropy is that the room hosts many possible states. Hence clean or dirty room, the "possible states" are the same, since room size, temperature and (solid, liquid and gas) contents are the same. To increase entropy, you could increase/decrease room size, temperature and (solid, liquid and gas) contents suitably. Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more hjy6296 7 years ago Posted 7 years ago. Direct link to hjy6296's post “I am confused because I k...” more I am confused because I keep perceiving entropy as a tendency to reach equilibrium and that entropy is maximum at equilibrium - when everything is at its minimum possible energy state. This thinking contradicts what Sal said that entropy increases when heat is added to the system, around 10:00 . Can someone please help me out where my confusion lies and help me understand better? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Alex 7 years ago Posted 7 years ago. Direct link to Alex's post “Yes, entropy is a tendenc...” more Yes, entropy is a tendency to reach equilibrium, which is when maximum entropy occurs. However, entropy is when disorder is maximum. Intuitively, I like to think of it as: when heat is added to the system, the atoms or molecules start moving more rapidly (due to heat), thus increasing disorder (entropy). I'm not too sure about the "minimum possible energy state"; in fact, I think it might be that everything reaches a state of maximum energy (see: heat death). Let me know if this helps. 1 comment Comment on Alex's post “Yes, entropy is a tendenc...” (3 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more L.Nihil kulasekaran 12 years ago Posted 12 years ago. Direct link to L.Nihil kulasekaran's post “At 15:35 Sal says that th...” more At 15:35 Sal says that there is an infinitesimal chance for the ground molecules to arrange themselves in a way as in direct front of the ball molecules. So does the cemented or highly polished floor has that probability higher than normal sand (ground) ? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Akmal Pratama 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to Akmal Pratama's post “At 12;32 Sal drew a micro...” more At 12;32 Sal drew a microscopic view when the molecule of the ball is about to bumping into the molecule of the ground. I was wondering, wouldn't it be like Fussion reaction in the sun? I mean the molecule seem to touch each other. What about the cloud electron has anything to with this? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Andrew M 10 years ago Posted 10 years ago. Direct link to Andrew M's post “The electrons repel each ...” more The electrons repel each other so the nuclei of the atoms do not come into contact when the atoms bounce off each other. Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more TINTIN90 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to TINTIN90's post “But what if I take a pist...” more But what if I take a piston next to a reservoir and compress the gas inside? In this case, the system will lose heat to the reservoir, will it not? So the change in entropy would be negative, but that goes against the second law. What am I missing here? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Charles LaCour 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to Charles LaCour's post “The entropy of what syste...” more The entropy of what system is decreasing? Are you considering just the piston as the system? If there is heat/energy flow from the piston to the reservoir you have to consider the effect of that energy going into the reservoir on its entropy and not just look at the piston's entropy. The second law of thermodynamics says that the entropy of isolated systems left to spontaneous evolution cannot decrease. If there is energy/heat transfer between the piston and the reservoir the piston is not an isolated system. Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Video transcript I've now supplied you with two definitions of the state variable entropy. And it's S for entropy. The thermodynamic definition said that the change in entropy is equal to the heat added to the system divided by the temperature at which the heat is added. So obviously, if the temperature is changing while we add the heat, which is normally the case, we're going to have to do a little bit of calculus. And then you can view this as the mathematical, or the statistical, or the combinatorical definition of entropy. And this essentially says that entropy is equal to some constant times the natural log of the number of states the system can take on. And this is the case when all the states are equally probable, which is a pretty good assumption. If you have just a gazillion molecules that could have a gazillion gazillion states, you can assume they're all roughly equally likely. There's a slightly more involved definition if they had different probabilities, but we won't worry about that now. So given that we've seen these two definitions, it's a good time to introduce you to the second law of thermodynamics. And that's this. And it's a pretty simple law, but it explains a whole range of phenomena. It tells us that the change in entropy for the universe when any process is undergone is always greater than or equal to 0. So that tells us that when anything ever happens in the universe, the net effect is that there's more entropy in the universe itself. And this seems very deep, and it actually is. So let's see if we can apply it to see why it explains, or why it makes sense, relative to some examples. So let's say I have two reservoirs that are in contact with each other. So I have T1. And let's call this our hot reservoir. And then I have T2. I'll call this our cold reservoir. Well, we know from experience. What happens if I put a hot cup of water, and it's sharing a wall with a cold glass of water, or cold cube of water, what happens? Well, their temperatures equalize. If these are the same substance, we'll end up roughly in between, if they're in the same phase. So essentially, we have a transfer of heat from the hotter substance to the colder substance. So we have some heat, Q, that goes from the hotter substance to the colder substance. You don't see, in everyday reality, heat going from a colder substance to a hotter substance. If I put an ice cube in, let's say, some hot tea, you don't see the ice cube getting colder and the hot tea getting hotter. You see them both getting to some equal temperature, which essentially the tea is giving heat to the ice cube. Now in this situation there are reservoirs, so I'm assuming that their temperatures stay constant. Which would only be the case if they were both infinite, which we know doesn't exist in the real world. In the real world, T1's temperature as it gave heat would go down, and T2's temperature would go up. But let's just see whether the second law of thermodynamics says that this should happen. So what's happening here? What's the net change in entropy for T1? So the second law of thermodynamics says that the change in entropy for the universe is greater than 0. But in this case, that's equal to the change in entropy for T1 plus the change in entropy for-- oh, I shouldn't-- instead of T1, let me call it just 1. For system 1, that's this hot system up here, plus the change in entropy for system 2. So what's the change in entropy for system 1? It loses Q1 at a high temperature. So this equals minus the heat given to the system is Q over some hot temperature T1. And then we have the heat being added to the system T2. So plus Q over T2. This is the change in entropy for the system 2, right? This guy loses the heat, and is at temperature 1, which is a higher temperature. This guy gains the heat, and he is at a temperature 2, which is a colder temperature. Now, is this going to be greater than 0? Let's think about it a little bit. If I divide-- let me rewrite this. So I can rearrange them, so that we can write this as Q over T2 minus this one. I'm just rearranging it. Minus Q over T1. Now, which number is bigger? T2 to T1? Well, T1 is bigger, right? This is bigger. Now, if I have a bigger number, bigger than this-- when we use the word bigger, you have to compare it to something. Now, T1 is bigger than this. We have the same number in the numerator in both cases, right? So if I take, let's say, 1 over some, let's say, 1/2 minus 1/3, we're going to be bigger than 0. This is a larger number than this number, because this has a bigger denominator. You're dividing by a larger number. That's a good way to think about it. You're dividing this Q by some number here to get something, and then you're subtracting this Q divided by a larger number. So this fraction is going to be a smaller absolute number. So this is going to be greater than 0. So that tells us the second law of thermodynamics, it verifies this observation we see in the real world, that heat will flow from the hot body to the cold body. Now, you might say, hey, Sal. I have a case that will show you that you are wrong. You could say, look. If I put an air conditioner in a room-- Let's say this is the room, and this is outside. You'll say, look what the air conditioner does. The room is already cold, and outside is already hot. But what the air conditioner does, is it makes the cold even colder, and it makes the hot even hotter. It takes some Q and it goes in that direction. Right? It takes heat from the cold room, and puts it out into the hot air. And you're saying, this defies the second law of thermodynamics. You have just disproved it. You deserve a Nobel Prize. And I would say to you, you're forgetting one small fact. This air conditioner inside here, it has some type of a compressor, some type of an engine, that's actively doing this. It's putting in work to make this happen. And this engine right here-- I'll do it in magenta-- it's also expelling some more heat. So let's call that Q of the engine. So if you wanted to figure out the total entropy created for the universe, it would be the entropy of the cold room plus the change in entropy for outside-- I'll call it outside, maybe I'll call this, for the room. Right? So you might say, OK. This change in entropy for the room, it's giving away heat-- let's see the room is roughly at a constant temperature for that one millisecond we're looking at it. It's giving away some Q at some temperature T1. And then-- so that's a minus. And then this the outside is gaining some heat at some temperature T2. And so you'll immediately say, hey. This number right here is a smaller number than this one. Right? Because the denominator is higher. So if you just look at this, this would be negative entropy, and you'd say hey, this defies the second law of thermodynamics. No! But what you have to throw in here is another notion. You have to throw in here the notion that the outside is also getting this heat from the engine over the outside temperature. And this term, I can guarantee you-- I'm not giving you numbers right now-- will make this whole expression positive. This term will turn the total net entropy to the universe to be positive. Now let's think a little bit how about what entropy is and what entropy isn't in terms of words. So when you take an intro chemistry class, the teacher often says, entropy equals disorder. Which is not incorrect. It is disorder, but you have to be very careful what we mean by disorder. Because the very next example that's often given is that they'll say, look. A clean room-- let's say your bedroom is clean, and then it becomes dirty. And they'll say, look. The universe became more disordered. The dirty room has more disorder than the clean room. And this is not a case of entropy increase. So this is not a good example. Why is that? Because clean and dirty are just states of the room. Remember, entropy is a macro state variable. It's something you use to describe a system where you're not in the mood to sit there and tell me what exactly every particle is doing. And this is a macro variable that actually tells me how much time would it take for me to tell you what every particle is doing. It actually tells you how many states there are, or how much information I would have to give you to tell you the exact state. Now, when you have a clean room and a dirty room, these are two different states of the same room. If the room has the same temperature, and it has the same number of molecules in it and everything, then they have the same entropy. So clean to dirty, it's not more entropy. Now, for example, I could have a dirty, cold room. And let's say I were to go into that room and, you know, I work really hard to clean it up. And by doing so, I add a lot of heat to the system, and my sweat molecules drop all over the place, and so there's just more stuff in that room, and it's all warmed up to me-- so to a hot, clean room with sweat in it-- so it's got more stuff in here that can be configured in more ways, and because it's hot, every molecule in the room can take on more states, right? Because the average kinetic energy is up, so they can kind of explore the spaces of how many kinetic energies it can have. There's more potential energies that each molecule can take on. This is actually an increase in entropy. From a dirty, cold room to a hot, clean room. And this actually goes well with what we know. I mean, when I go into room and I start cleaning it, I am in putting heat into the room. And the universe is becoming more-- I guess we could say it's the entropy is increasing. So where does the term disorder apply? Well, let's take a situation where I take a ball. I take a ball, and it falls to the ground. And then it hits the ground. And there should have been a question that you've been asking all the time, since the first law of thermodynamics. So the ball hits the ground, right? It got thrown up, it had some potential energy at the top, then that all gets turned into kinetic energy and it hits the ground, and then it stops. And so your obvious question is, what happened to all that energy, right? Law of conservation of energy. Where did all of it go? It had all that kinetic energy right before it hit the ground, then it stopped. Right? It seems like it disappeared. But it didn't disappear. So when the ball was falling, it had a bunch of-- you know, everything had a little bit of heat. But let's say the ground was reasonably ordered. The ground molecules were vibrating with some kinetic energy and potential energies. And then our ball molecules were also vibrating a little bit. But most of their motion was downwards, right? Most of the ball molecules' motion was downwards. Now, when it hits the ground, what happens-- let me show you the interface of the ball. So the ball molecules at the front of the ball are going to look like that. And there's a bunch of them. It's a solid. It will maybe be some type of lattice. And then it hits the ground. And when it hits the ground-- so the ground is another solid like that-- All right, we're looking at the microstate. What's going to happen? These guys are going to rub up against these guys, and they're going to transfer their-- what was downward kinetic energy, and a very ordered downward kinetic energy-- they're going to transfer it to these ground particles. And they're going to bump into the ground particles. And so when this guy bumps into that guy, he might start moving in that direction. This guy will start oscillating in that direction, and go back and forth like that. That guy might bounce off of this guy, and go in that direction, and bump into that guy, and go into that direction. And then, because that guy bumped here, this guy bumps here, and because this guy bumps here, this guy bumps over there. And so what you have is, what was relatively ordered motion, especially from the ball's point of view, when it starts rubbing up against these molecules of the ground, it starts making the kinetic energy, or their movement, go in all sorts of random directions. Right? This guy's going to make this guy go like that, and that guy go like that. And so when the movement is no longer ordered, if I have a lot of molecules-- let me do it in a different color-- if I have a lot of molecules, and they're all moving in the exact same direction, then my micro state looks like my macro state. The whole thing moves in that direction. Now, if I have a bunch of molecules, and they're all moving in random directions, my ball as a whole will be stationary. I could have the exact same amount of kinetic energy at the molecular level, but they're all going to be bouncing into each other. And in this case, we described the kinetic energy as internal energy, or we describe it as temperature, where temperature is the average kinetic energy. So in this case, when we talk about, the world is becoming more disordered, you think about the order of maybe the velocities or the energies of the molecules. Before they were reasonably ordered, the molecules-- they might have been vibrating a little bit, but they were mainly going down in the ball. But when they bump into the ground, all of a sudden they start vibrating in random directions a little bit more. And they make the ground vibrate in more random directions. So it makes-- at the microstate-- everything became just that much more disordered. Now there's an interesting question here. There is some probability you might think-- Look, this ball came down and hit the ground. Why doesn't the ball just-- isn't there some probability that if I have a ground, that these molecules just rearrange themselves in just the right way to just hit these ball molecules in just the right way? There's some probability, just from the random movement, that at get some second, all the ground molecules just hit the ball molecules just right to send the ball back up. And the answer is yes. There's actually some infinitesimally small chance that that happens. That you could have a ball that's sitting on the ground-- and this is interesting-- could have a ball that's sitting on the ground, and while you're looking, you'll probably have to wait a few gazillion years for it to happen, if it happens at all-- it could just randomly pop up. And there's some random, very small chance that these molecules just randomly vibrate in just the right way to be ordered for a second, and then the ball will pop up. But the probability of this happening, relative to everything else, is essentially 0. So when people talk about order and disorder, the disorder is increasing, because now these molecules are going in more random directions, and they can take on more potential states. And we saw that here. And you know, on some level, entropy seems something kind of magical, but on some level, it seems relatively common sense. In that video-- I think was the last video-- I had a case where I had a bunch of molecules, and then I had this extra space here, and then I removed the wall. And we saw that these molecules will-- we know, there's always some modules that are bouncing off this wall before, because we probably had some pressure associated with it. And then as soon as we remove that wall, the molecule that would have bounced there just keeps going. There's nothing to stop it from there. In that direction, there's a lot of stuff. It could bump into other molecules, and it could bumping into these walls. But in this direction, the odds of it bumping into everything is, especially for these leading molecules, is essentially 0. So it's going to expand to fill the container. So that's kind of common sense. But the neat thing is that the second law of thermodynamics, as we saw in that video, also says that this will happen. That the molecules will all expand to fill the container. And that the odds of this happening are very low. That they all come back and go into a ordered state. Now there is some chance, just from the random movements once they fill, that they all just happen to come back here. But it's a very, very small probability. And even more-- and I want to make this very clear-- S is a macro state. We never talk about the entropy for an individual molecule. If we know what an individual molecule is doing, we shouldn't be worrying about entropy. We should be worrying about the system as a whole. So even if we're looking at the system, if we're not looking directly at the molecules, we won't even know that this actually happened. All we can do is look at the statistical properties of the molecules. How many molecules they are, what their temperature is, all their macro dynamics, the pressure, and say, you know what? A box that has these molecules has more state than a smaller box, than the box when we had the wall there. Even if, by chance, all of the molecules happened to be collecting over there, we wouldn't know that that happened, because we're not looking at the micro states. And that's a really important thing to consider. When someone says that a dirty room has a higher entropy than a clean room, they're looking at the micro states. And entropy essentially is a macro state variable. You could just say that a room has a certain amount of entropy. So entropy is associated with the room, and it's only useful when you really don't know exactly what's going on in the room. You just have a general sense of how much stuff there is in the room, what's the temperature of the room, what's the pressure in the room. Just the general macro properties. And then entropy will essentially tell us how many possible micro states that macro system can actually have. Or how much information-- and there's a notion of information entropy-- how much information would I have to give you to tell you what the exact micro state is of a system at that point in time. Well anyway. Hopefully you found this discussion a little bit useful, and it clears up some misconceptions about entropy, and gives you a little bit more intuition about what it actually is. See you in the next video. Creative Commons Attribution/Non-Commercial/Share-AlikeVideo on YouTube Up next: video Use of cookies Cookies are small files placed on your device that collect information when you use Khan Academy. Strictly necessary cookies are used to make our site work and are required. Other types of cookies are used to improve your experience, to analyze how Khan Academy is used, and to market our service. You can allow or disallow these other cookies by checking or unchecking the boxes below. You can learn more in our cookie policy Accept All Cookies Strictly Necessary Only Cookies Settings Privacy Preference Center When you visit any website, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized web experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and change our default settings. However, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. More information Allow All Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active Certain cookies and other technologies are essential in order to enable our Service to provide the features you have requested, such as making it possible for you to access our product and information related to your account. For example, each time you log into our Service, a Strictly Necessary Cookie authenticates that it is you logging in and allows you to use the Service without having to re-enter your password when you visit a new page or new unit during your browsing session. Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies provide you with a more tailored experience and allow you to make certain selections on our Service. For example, these cookies store information such as your preferred language and website preferences. Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used on a limited basis, only on pages directed to adults (teachers, donors, or parents). We use these cookies to inform our own digital marketing and help us connect with people who are interested in our Service and our mission. We do not use cookies to serve third party ads on our Service. Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies and other technologies allow us to understand how you interact with our Service (e.g., how often you use our Service, where you are accessing the Service from and the content that you’re interacting with). Analytic cookies enable us to support and improve how our Service operates. For example, we use Google Analytics cookies to help us measure traffic and usage trends for the Service, and to understand more about the demographics of our users. We also may use web beacons to gauge the effectiveness of certain communications and the effectiveness of our marketing campaigns via HTML emails. Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Reject All Confirm My Choices
9766	https://www.quora.com/How-do-you-find-all-values-of-a-such-that-x-ax-2-ln-1-x-holds-for-all-0-x	How to find all values of [math]a[/math] such that [math]x-ax^2≤\ln(1+x)[/math] holds for all [math]0≤x[/math] - Quora Something went wrong. Wait a moment and try again. Try again Skip to content Skip to search Sign In Mathematics Compound Inequalities Algebraic Proofs Basic Concepts of Mathema... Mathematical Equations Systems of Inequalities Inequalities (general) Algebra Algebraic Concepts 5 How do you find all values of a a such that x−a x 2≤ln(1+x)x−a x 2≤ln⁡(1+x) holds for all 0≤x 0≤x? All related (33) Sort Recommended Him Author has 1.5K answers and 478.7K answer views ·3y We have two functions, f(x) = x - ax^2 and g(x) = log(1 + x), both defined for x greater than or equal to zero. At x = 0, f(0) = g(0) = 0 Now that the starting points for both function are the same, we will compare their derivatives:- f'(x) = 1 - 2ax, g'(x) = 1/(1 + x) Now, let, g'(x) > f'(x) 1/(1 + x) > 1 - 2ax 1/(1 + x) + 2ax - 1 > 0 [ x(2ax + (2a - 1)) ]/(1 + x) > 0 Since x > 0 and (1 + x) > 0, we can say that, 2ax + (2a - 1) < 0 2a(x + 1) - 1 < 0 a < 1/(2(x + 1)) As x goes to infinity, the quantity on the right side goes to zero, hence a < 0. Upvote · 9 1 9 1 Promoted by Coverage.com Johnny M Master's Degree from Harvard University (Graduated 2011) ·Updated Sep 9 Does switching car insurance really save you money, or is that just marketing hype? This is one of those things that I didn’t expect to be worthwhile, but it was. You actually can save a solid chunk of money—if you use the right tool like this one. I ended up saving over $1,500/year, but I also insure four cars. I tested several comparison tools and while some of them ended up spamming me with junk, there were a couple like Coverage.com and these alternatives that I now recommend to my friend. Most insurance companies quietly raise your rate year after year. Nothing major, just enough that you don’t notice. They’re banking on you not shopping around—and to be honest, I didn’t. Continue Reading This is one of those things that I didn’t expect to be worthwhile, but it was. You actually can save a solid chunk of money—if you use the right tool like this one. I ended up saving over $1,500/year, but I also insure four cars. I tested several comparison tools and while some of them ended up spamming me with junk, there were a couple like Coverage.com and these alternatives that I now recommend to my friend. Most insurance companies quietly raise your rate year after year. Nothing major, just enough that you don’t notice. They’re banking on you not shopping around—and to be honest, I didn’t. It always sounded like a hassle. Dozens of tabs, endless forms, phone calls I didn’t want to take. But recently I decided to check so I used this quote tool, which compares everything in one place. It took maybe 2 minutes, tops. I just answered a few questions and it pulled up offers from multiple big-name providers, side by side. Prices, coverage details, even customer reviews—all laid out in a way that made the choice pretty obvious. They claimed I could save over $1,000 per year. I ended up exceeding that number and I cut my monthly premium by over $100. That’s over $1200 a year. For the exact same coverage. No phone tag. No junk emails. Just a better deal in less time than it takes to make coffee. Here’s the link to two comparison sites - the one I used and an alternative that I also tested. If it’s been a while since you’ve checked your rate, do it. You might be surprised at how much you’re overpaying. Upvote · 999 485 999 103 99 17 Related questions More answers below How should I study math? Does being good at mathematics make you intelligent? Do math geniuses struggle with math problems? Why is mathematics so hard? What is Mathe Mathe? Michael Harrison M.S. in Mathematics, Louisiana State University (Graduated 2007) · Author has 4.8K answers and 914.4K answer views ·3y First, we need a plan of attack for proving the solution, whatever it is. I recommend using geometric intuition as a guide. What do we know? We know ln(1+x) is a continuous, strictly increasing function that passes through (0, 0) and is concave down; and we know that x - ax^2 has two zeros, at x = 0 and x = 1/a, and for a > 0 it’s concave down, while for a < 0 it’s concave up. We know that polynomials increase faster than logarithms, so a < 0 will eventually result in a failure of the inequality, and we know that a = 0 results in the identity function; thus, a <= 0 are ruled out. We can see tha Continue Reading First, we need a plan of attack for proving the solution, whatever it is. I recommend using geometric intuition as a guide. What do we know? We know ln(1+x) is a continuous, strictly increasing function that passes through (0, 0) and is concave down; and we know that x - ax^2 has two zeros, at x = 0 and x = 1/a, and for a > 0 it’s concave down, while for a < 0 it’s concave up. We know that polynomials increase faster than logarithms, so a < 0 will eventually result in a failure of the inequality, and we know that a = 0 results in the identity function; thus, a <= 0 are ruled out. We can see that as we vary a < 0, the tangent line at x = 0 of x - ax^2 varies. Clearly, the tangent line of x - ax^2 at x = 0 cannot have greater slope than that of ln(1+x), for the inequality would immediately fail; but, as noted, polynomials eventually outpace logarithms, so we don’t know yet if a smaller slope at x = 0 for the LHS is sufficient. If you can show that, you have your answer, as well as the skeleton of a proof. Upvote · 9 1 9 1 9 1 Enrico Gregorio Associate professor in Algebra · Author has 18.4K answers and 16M answer views ·3y Consider the function f(x)=ln(1+x)−x+a x 2 f(x)=ln⁡(1+x)−x+a x 2 defined over [0,∞)[0,∞). We want to ensure that f(x)≥0 f(x)≥0 over its domain. We have f(0)=0 f(0)=0 and lim x→∞f(x)={−∞a≤0∞a>0 lim x→∞f(x)={−∞a≤0∞a>0 so a first consequence is that we need a>0 a>0. Now f′(x)=1 1+x−1+2 a x=1−1−x+2 a x+2 a x 2 1+x=x(2 a x+2 a−1)1+x f′(x)=1 1+x−1+2 a x=1−1−x+2 a x+2 a x 2 1+x=x(2 a x+2 a−1)1+x The factors x x and 1+x 1+x are nonnegative in the domain and the derivative vanishes, if anywhere, at x=1−2 a 2 a x=1−2 a 2 a OK, if 1−2 a>0 1−2 a>0 the function has an absolute minimum at (1−2 a)/(2 a)(1−2 a)/(2 a), which is obviously negative, as f(0)=0 f(0)=0. So the derivative must Continue Reading Consider the function f(x)=ln(1+x)−x+a x 2 f(x)=ln⁡(1+x)−x+a x 2 defined over [0,∞)[0,∞). We want to ensure that f(x)≥0 f(x)≥0 over its domain. We have f(0)=0 f(0)=0 and lim x→∞f(x)={−∞a≤0∞a>0 lim x→∞f(x)={−∞a≤0∞a>0 so a first consequence is that we need a>0 a>0. Now f′(x)=1 1+x−1+2 a x=1−1−x+2 a x+2 a x 2 1+x=x(2 a x+2 a−1)1+x f′(x)=1 1+x−1+2 a x=1−1−x+2 a x+2 a x 2 1+x=x(2 a x+2 a−1)1+x The factors x x and 1+x 1+x are nonnegative in the domain and the derivative vanishes, if anywhere, at x=1−2 a 2 a x=1−2 a 2 a OK, if 1−2 a>0 1−2 a>0 the function has an absolute minimum at (1−2 a)/(2 a)(1−2 a)/(2 a), which is obviously negative, as f(0)=0 f(0)=0. So the derivative must not vanish in the domain, and so we need 1−2 a≤0 1−2 a≤0 that is a≥1/2.a≥1/2. Desmos \| Graphing Calculator Upvote · 9 2 Svyatoslav Kostyuk Studied Physics at Novosibirsk State University (Graduated 1988) · Author has 226 answers and 318.1K answer views ·10mo Related How do you find ∫∞0 ln\|b−cos a x\|1+x 2 d x,b∈[0;1]∫0∞ln⁡\|b−cos⁡a x\|1+x 2 d x,b∈[0;1]? Let's consider a general case of any real b b. b 2⩾1 b 2⩾1 Denoting I(a,b)=∫∞0 ln(b−cos a x)1+x 2 d x=∫∞0 ln((c−d e i a x)(c−d e−i a x))1+x 2 d x I(a,b)=∫0∞ln⁡(b−cos⁡a x)1+x 2 d x=∫0∞ln⁡((c−d e i a x)(c−d e−i a x))1+x 2 d x we find c 2+d 2=b;c d=1 2⇒c=√b+1+√b−1 2;d=√b+1−√b−1 2 c 2+d 2=b;c d=1 2⇒c=b+1+b−1 2;d=b+1−b−1 2 Then I(a,b)=R∫∞−∞ln(√b+1+√b−1 2−√b+1−√b−1 2 e i a x)1+x 2 d x(1)I(a,b)=ℜ∫−∞∞ln⁡(b+1+b−1 2−b+1−b−1 2 e i a x)1+x 2 d x(1) Closing the contour in the upper half-plane (where the logarithm does not have branch poi Continue Reading Let's consider a general case of any real b b. b 2⩾1 b 2⩾1 Denoting I(a,b)=∫∞0 ln(b−cos a x)1+x 2 d x=∫∞0 ln((c−d e i a x)(c−d e−i a x))1+x 2 d x I(a,b)=∫0∞ln⁡(b−cos⁡a x)1+x 2 d x=∫0∞ln⁡((c−d e i a x)(c−d e−i a x))1+x 2 d x we find c 2+d 2=b;c d=1 2⇒c=√b+1+√b−1 2;d=√b+1−√b−1 2 c 2+d 2=b;c d=1 2⇒c=b+1+b−1 2;d=b+1−b−1 2 Then I(a,b)=R∫∞−∞ln(√b+1+√b−1 2−√b+1−√b−1 2 e i a x)1+x 2 d x(1)I(a,b)=ℜ∫−∞∞ln⁡(b+1+b−1 2−b+1−b−1 2 e i a x)1+x 2 d x(1) Closing the contour in the upper half-plane (where the logarithm does not have branch points), and the integrand has a single pole at x=i x=i I(a,b)=π ln(√b+1+√b−1 2−√b+1−√b−1 2 e−a)I(a,b)=π ln⁡(b+1+b−1 2−b+1−b−1 2 e−a) 2.b 2⩽1 b 2⩽1 I(a,b)=∫∞0 ln\|b−cos a x\|1+x 2 d x=a 4∫∞−∞ln((b−cos x)2)x 2+a 2 d x I(a,b)=∫0∞ln⁡\|b−cos⁡a x\|1+x 2 d x=a 4∫−∞∞ln⁡((b−cos⁡x)2)x 2+a 2 d x Denoting for a while b=cos c b=cos⁡c , using the property cos c−cos x=−2 sin c+x 2 sin c−x 2 cos⁡c−cos⁡x=−2 sin⁡c+x 2 sin⁡c−x 2, and also the symmetry with respect to x→−x x→−x I(a,b)=a 4∫∞−∞ln 4 x 2+a 2 d x+a 2∫∞−∞ln sin 2 x−c 2 x 2+a 2 d x I(a,b)=a 4∫−∞∞ln⁡4 x 2+a 2 d x+a 2∫−∞∞ln⁡sin 2⁡x−c 2 x 2+a 2 d x =π ln 2 2+a∫∞−∞ln sin 2 x(2 x+c)2+a 2 d x=π ln⁡2 2+a∫−∞∞ln⁡sin 2⁡x(2 x+c)2+a 2 d x =π ln 2 2+a 4 π 2∫π 0 ln sin 2 x⎛⎜⎝∞∑k=−∞1(x π+c 2 π+k)2+a 2(2 π)2⎞⎟⎠d x=π ln⁡2 2+a 4 π 2∫0 π ln⁡sin 2⁡x(∑k=−∞∞1(x π+c 2 π+k)2+a 2(2 π)2)d x The sum S S in the parentheses can be evaluated in a standard way, considering the integral in the complex plane along a big contour C C which embraces the points z=0,±1,±2...z=0,±1,±2... J=∮C π cot π z(x π+c 2 π+z)2+a 2(2 π)2 d z→0=S+Res z=−c+2 x 2 π±i a 2 π π cot π z(x π+c 2 π+z)2+a 2(2 π)2 J=∮C π cot⁡π z(x π+c 2 π+z)2+a 2(2 π)2 d z→0=S+Res z=−c+2 x 2 π±i a 2 π π cot⁡π z(x π+c 2 π+z)2+a 2(2 π)2 The residues evaluation is straightforward and gives S=2 π 2 a I cot(x+c 2−i a 2)S=2 π 2 a ℑ cot⁡(x+c 2−i a 2) Using this result, as well as sin 2 x=(1−e 2 i x)(1−e−2 i x)4 sin 2⁡x=(1−e 2 i x)(1−e−2 i x)4 I(a,b)=π ln 2 2+1 4∫π 0(ln 1 4+ln(1−e 2 i x)+ln(1−e−2 i x))×I(a,b)=π ln⁡2 2+1 4∫0 π(ln⁡1 4+ln⁡(1−e 2 i x)+ln⁡(1−e−2 i x))× ×(e 2 i x+e−i c−a e 2 i x−e−i c−a+e−2 i x+e i c−a e−2 i x−e i c−a)d x=π ln 2 2+I 1+I 2+I 3(2)×(e 2 i x+e−i c−a e 2 i x−e−i c−a+e−2 i x+e i c−a e−2 i x−e i c−a)d x=π ln⁡2 2+I 1+I 2+I 3(2) where I 1=1 4 ln 1 4∫π 0(e 2 i x+e−i c−a e 2 i x−e−i c−a+e−2 i x+e i c−a e−2 i x−e i c−a)d x I 1=1 4 ln⁡1 4∫0 π(e 2 i x+e−i c−a e 2 i x−e−i c−a+e−2 i x+e i c−a e−2 i x−e i c−a)d x =−ln 2 4 i∮\|z\|=1(z+e−i c−a z−e−i c−a−z+e−i c+a z−e−i c+a)d z z=−ln⁡2 4 i∮\|z\|=1(z+e−i c−a z−e−i c−a−z+e−i c+a z−e−i c+a)d z z =−ln 2 4 i 2 π i∑Res(z+e−i c−a z−e−i c−a−z+e−i c+a z−e−i c+a)1 z=−π ln 2(3 a)=−ln⁡2 4 i 2 π i∑Res⁡(z+e−i c−a z−e−i c−a−z+e−i c+a z−e−i c+a)1 z=−π ln⁡2(3 a) I 2=1 4∫π 0 ln(1−e 2 i x)(e 2 i x+e−i c−a e 2 i x−e−i c−a+e−2 i x+e i c−a e−2 i x−e i c−a)d x I 2=1 4∫0 π ln⁡(1−e 2 i x)(e 2 i x+e−i c−a e 2 i x−e−i c−a+e−2 i x+e i c−a e−2 i x−e i c−a)d x Adding a small arch around z=1 z=1 (leaving the point outside the contour), using the fact that inside the contour ln(1−z)ln⁡(1−z) is a single-valued function and that the integral along this small arch tends to zero, I 2=1 8 i∮\|z\|=1 ln(1−z)z(z+e−i c−a z−e−i c−a−z+e−i c+a z−e−i c+a)d z I 2=1 8 i∮\|z\|=1 ln⁡(1−z)z(z+e−i c−a z−e−i c−a−z+e−i c+a z−e−i c+a)d z =π 2 ln(1−e−i c−a)(3 b)=π 2 ln⁡(1−e−i c−a)(3 b) In the same way, I 3=π 2 ln(1−e i c−a)(3 c)I 3=π 2 ln⁡(1−e i c−a)(3 c) Putting (3a), (3b) and (3c) into (2) and remembering that b=cos c b=cos⁡c, I(a,b)=π ln 2 2−π ln 2+π 2 ln(1−e−i c−a)+π 2 ln(1−e i c−a)I(a,b)=π ln⁡2 2−π ln⁡2+π 2 ln⁡(1−e−i c−a)+π 2 ln⁡(1−e i c−a) =−π ln 2 2+π 2 ln(1−2 cos c e−a+e−2 a)=−π ln⁡2 2+π 2 ln⁡(1−2 cos⁡c e−a+e−2 a) I(a,b)=π 2 ln 1−2 b e−a+e−2 a 2 I(a,b)=π 2 ln⁡1−2 b e−a+e−2 a 2 Transforming a bit the formula (1), we can present both cases in a general form ∫∞0 ln\|b−cos a x\|1+x 2 d x=∫0∞ln⁡\|b−cos⁡a x\|1+x 2 d x= π 2 ln 1−2 b e−a+e−2 a 2,b 2⩽1 π 2 ln⁡1−2 b e−a+e−2 a 2,b 2⩽1 π 2 ln(b+√b 2−1)−2 e−a+(b−√b 2−1)e−2 a 2,b 2⩾1 π 2 ln⁡(b+b 2−1)−2 e−a+(b−b 2−1)e−2 a 2,b 2⩾1 Just two comments to add: I did not find the integral in the list of integrals by I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, though the easier integrals are presented (for example, FI II 718a, GW (338)(28a,b) p.569 ) This answer for b 2⩽1 b 2⩽1 can be straightforwardly obtained from the formula (1), if we just take √b−1=i√1−b b−1=i 1−b Upvote · 99 15 Sponsored by Grammarly Is your writing working as hard as your ideas? Grammarly’s AI brings research, clarity, and structure—so your writing gets sharper with every step. Learn More 999 116 Related questions More answers below [Why is [math]93948475757577373737377383746463647math in math? How do I evaluate this sum [math]\sum_{x=0}^\infty x(x-1) {2+x \choose x}(0.008)(0.8)^x[math] ? What is the fastest way to learn maths? Why should we learn math? How can we show that \|a−b\|p≤\|a p−b p\|\|a−b\|p≤\|a p−b p\| holds for a,b≥0 a,b≥0 and 0<p≤1 0<p≤1? Brian Sittinger PhD in Mathematics, University of California, Santa Barbara (Graduated 2006) · Upvoted by James McElhatton Ph.D. (Glasgow, 1976) , B.Sc. Mathematics & Chemistry, University of Malta (1967) and Eric Kuritzky , C.Phil. Mathematics, University of California, Berkeley · Author has 8.5K answers and 21.1M answer views ·Jul 5 Related How do I find the value of the following integral: ∫1 0 ln(1+x)1+x 2 d x∫0 1 ln⁡(1+x)1+x 2 d x? We want to evaluate the definite integral I=∫1 0 ln(1+x)1+x 2 d x.I=∫0 1 ln⁡(1+x)1+x 2 d x. One way to evaluate this is to use the sneaky substitution t=1−x 1+x t=1−x 1+x. Not only is this conveniently equivalent to x=1−t 1+t x=1−t 1+t, but also the bounds of integration ultimately do not change. Using this, we obtain [Math Processing Error]\begin{align}I&=\displaystyle\int_1^0\frac{\ln(1+\frac{1-t}{1+t})}{1+(\frac{1-t}{1+t})^2}\cdot\frac{-2\,dt}{(1+t)^2}\&=\int_0^1\frac{2\ln(\frac{2}{1+t})}{(1+t)^2+(1-t)^2}\,dt\&=\int_0^1\frac{\ln{2}-\ln(1+t)}{1+t^2}\,dt\&=\int_0^1\fra Continue Reading We want to evaluate the definite integral I=∫1 0 ln(1+x)1+x 2 d x.I=∫0 1 ln⁡(1+x)1+x 2 d x. One way to evaluate this is to use the sneaky substitution t=1−x 1+x t=1−x 1+x. Not only is this conveniently equivalent to x=1−t 1+t x=1−t 1+t, but also the bounds of integration ultimately do not change. Using this, we obtain I=∫0 1 ln(1+1−t 1+t)1+(1−t 1+t)2⋅−2 d t(1+t)2=∫1 0 2 ln(2 1+t)(1+t)2+(1−t)2 d t=∫1 0 ln 2−ln(1+t)1+t 2 d t=∫1 0 ln 2 1+t 2 d t−I.I=∫1 0 ln⁡(1+1−t 1+t)1+(1−t 1+t)2⋅−2 d t(1+t)2=∫0 1 2 ln⁡(2 1+t)(1+t)2+(1−t)2 d t=∫0 1 ln⁡2−ln⁡(1+t)1+t 2 d t=∫0 1 ln⁡2 1+t 2 d t−I. The good news is that the integral (albeit with a different dummy variable of integration) has reappeared on the right side of the equation! Solving for I I yields a significantly easier integral to evaluate. I=1 2∫1 0 ln 2 1+t 2 d t=1 2 ln 2⋅arctan t∣∣∣1 0=π 8 ln 2.■I=1 2∫0 1 ln⁡2 1+t 2 d t=1 2 ln⁡2⋅arctan⁡t\|0 1=π 8 ln⁡2.◼ Upvote · 99 37 99 10 9 1 Brian Sittinger PhD in Mathematics, University of California, Santa Barbara (Graduated 2006) · Upvoted by Parag Kalita , Interested in numbers. · Author has 8.5K answers and 21.1M answer views ·4y Related Given that f f is continuous at x=0 x=0, how do you find the value of a a when f(x)=e 1+x 2 cos(1/x)f(x)=e 1+x 2 cos⁡(1/x) if x≠0 x≠0, and f(0)=a f(0)=a? Since we want f f to be continuous at x=0 x=0, we need f(0)=lim x→0 f(x)f(0)=lim x→0 f(x), and thus a=lim x→0 e 1+x 2 cos(1 x).a=lim x→0 e 1+x 2 cos⁡(1 x). To evaluate this limit, we apply the Squeeze Theorem. For all nonzero x x, we have −1≤cos(1 x)≤1−1≤cos⁡(1 x)≤1, and thus −x 2≤x 2 cos(1 x)≤x 2.−x 2≤x 2 cos⁡(1 x)≤x 2. Since lim x→0±x 2=0 lim x→0±x 2=0, we deduce that lim x→0 x 2 cos(1 x)=0.lim x→0 x 2 cos⁡(1 x)=0. Hence, we conclude that a=e 1+0=e.a=e 1+0=e. Upvote · 99 24 Promoted by The Penny Hoarder Lisa Dawson Finance Writer at The Penny Hoarder ·Updated Sep 16 What's some brutally honest advice that everyone should know? Here’s the thing: I wish I had known these money secrets sooner. They’ve helped so many people save hundreds, secure their family’s future, and grow their bank accounts—myself included. And honestly? Putting them to use was way easier than I expected. I bet you can knock out at least three or four of these right now—yes, even from your phone. Don’t wait like I did. Cancel Your Car Insurance You might not even realize it, but your car insurance company is probably overcharging you. In fact, they’re kind of counting on you not noticing. Luckily, this problem is easy to fix. Don’t waste your time Continue Reading Here’s the thing: I wish I had known these money secrets sooner. They’ve helped so many people save hundreds, secure their family’s future, and grow their bank accounts—myself included. And honestly? Putting them to use was way easier than I expected. I bet you can knock out at least three or four of these right now—yes, even from your phone. Don’t wait like I did. Cancel Your Car Insurance You might not even realize it, but your car insurance company is probably overcharging you. In fact, they’re kind of counting on you not noticing. Luckily, this problem is easy to fix. Don’t waste your time browsing insurance sites for a better deal. A company calledInsurify shows you all your options at once — people who do this save up to $996 per year. If you tell them a bit about yourself and your vehicle, they’ll send you personalized quotes so you can compare them and find the best one for you. Tired of overpaying for car insurance? It takes just five minutes to compare your options with Insurify andsee how much you could save on car insurance. Ask This Company to Get a Big Chunk of Your Debt Forgiven A company calledNational Debt Relief could convince your lenders to simply get rid of a big chunk of what you owe. No bankruptcy, no loans — you don’t even need to have good credit. If you owe at least $10,000 in unsecured debt (credit card debt, personal loans, medical bills, etc.), National Debt Relief’s experts will build you a monthly payment plan. As your payments add up, they negotiate with your creditors to reduce the amount you owe. You then pay off the rest in a lump sum. On average, you could become debt-free within 24 to 48 months. It takes less than a minute tosign up and see how much debt you could get rid of. Set Up Direct Deposit — Pocket $300 When you set up direct deposit withSoFi Checking and Savings (Member FDIC), they’ll put up to $300 straight into your account. No… really. Just a nice little bonus for making a smart switch. Why switch? With SoFi, you can earn up to 3.80% APY on savings and 0.50% on checking, plus a 0.20% APY boost for your first 6 months when you set up direct deposit or keep $5K in your account. That’s up to 4.00% APY total. Way better than letting your balance chill at 0.40% APY. There’s no fees. No gotchas.Make the move to SoFi and get paid to upgrade your finances. You Can Become a Real Estate Investor for as Little as $10 Take a look at some of the world’s wealthiest people. What do they have in common? Many invest in large private real estate deals. And here’s the thing: There’s no reason you can’t, too — for as little as $10. An investment called the Fundrise Flagship Fundlets you get started in the world of real estate by giving you access to a low-cost, diversified portfolio of private real estate. The best part? You don’t have to be the landlord. The Flagship Fund does all the heavy lifting. With an initial investment as low as $10, your money will be invested in the Fund, which already owns more than $1 billion worth of real estate around the country, from apartment complexes to the thriving housing rental market to larger last-mile e-commerce logistics centers. Want to invest more? Many investors choose to invest $1,000 or more. This is a Fund that can fit any type of investor’s needs. Once invested, you can track your performance from your phone and watch as properties are acquired, improved, and operated. As properties generate cash flow, you could earn money through quarterly dividend payments. And over time, you could earn money off the potential appreciation of the properties. So if you want to get started in the world of real-estate investing, it takes just a few minutes tosign up and create an account with the Fundrise Flagship Fund. This is a paid advertisement. Carefully consider the investment objectives, risks, charges and expenses of the Fundrise Real Estate Fund before investing. This and other information can be found in theFund’s prospectus. Read them carefully before investing. Cut Your Phone Bill to $15/Month Want a full year of doomscrolling, streaming, and “you still there?” texts, without the bloated price tag? Right now, Mint Mobile is offering unlimited talk, text, and data for just $15/month when you sign up for a 12-month plan. Not ready for a whole year-long thing? Mint’s 3-month plans (including unlimited) are also just $15/month, so you can test the waters commitment-free. It’s BYOE (bring your own everything), which means you keep your phone, your number, and your dignity. Plus, you’ll get perks like free mobile hotspot, scam call screening, and coverage on the nation’s largest 5G network. Snag Mint Mobile’s $15 unlimited deal before it’s gone. Get Up to $50,000 From This Company Need a little extra cash to pay off credit card debt, remodel your house or to buy a big purchase? We found a company willing to help. Here’s how it works: If your credit score is at least 620,AmONE can help you borrow up to $50,000 (no collateral needed) with fixed rates starting at 6.40% and terms from 6 to 144 months. AmONE won’t make you stand in line or call a bank. And if you’re worried you won’t qualify, it’s free tocheck online. It takes just two minutes, and it could save you thousands of dollars. Totally worth it. Get Paid $225/Month While Watching Movie Previews If we told you that you could get paid while watching videos on your computer, you’d probably laugh. It’s too good to be true, right? But we’re serious. By signing up for a free account withInboxDollars, you could add up to $225 a month to your pocket. They’ll send you short surveys every day, which you can fill out while you watch someone bake brownies or catch up on the latest Kardashian drama. No, InboxDollars won’t replace your full-time job, but it’s something easy you can do while you’re already on the couch tonight, wasting time on your phone. Unlike other sites, InboxDollars pays you in cash — no points or gift cards. It’s already paid its users more than $56 million. Signing up takes about one minute, and you’ll immediately receivea $5 bonus to get you started. Earn $1000/Month by Reviewing Games and Products You Love Okay, real talk—everything is crazy expensive right now, and let’s be honest, we could all use a little extra cash. But who has time for a second job? Here’s the good news. You’re already playing games on your phone to kill time, relax, or just zone out. So why not make some extra cash while you’re at it? WithKashKick, you can actually get paid to play. No weird surveys, no endless ads, just real money for playing games you’d probably be playing anyway. Some people are even making over $1,000 a month just doing this! Oh, and here’s a little pro tip: If you wanna cash out even faster, spending $2 on an in-app purchase to skip levels can help you hit your first $50+ payout way quicker. Once you’ve got $10, you can cash out instantly through PayPal—no waiting around, just straight-up money in your account. Seriously, you’re already playing—might as well make some money while you’re at it.Sign up for KashKick and start earning now! Upvote · 20K 20K 1.6K 1.6K 999 446 Hallie B.Sc in Mechanical Engineering, University of Pittsburgh (Graduated 2019) · Upvoted by Alon Amit , Lover of math. Also, Ph.D. · Author has 523 answers and 1.5M answer views ·Updated 4y Related What is ∫1 0 ln(1+a x)ln(1−a x)d x∫0 1 ln⁡(1+a x)ln⁡(1−a x)d x for a∈(−1,1)a∈(−1,1)? For a∈(−1,1)a∈(−1,1), we want to evaluate the integral I(a)=∫1 0 ln(1+a x)ln(1−a x)d x.I(a)=∫0 1 ln⁡(1+a x)ln⁡(1−a x)d x. But do I really want to evaluate this brutal integral? :/ Uhhh… I got myself into this mess, so I’ll finish what I started. I am going to be passing over some intermediate steps to attempt to bring conciseness to the mess that is to come.… First of all, we trivially have I(0)=0.I(0)=0. By symmetry of the integrand, note that I(a)=I(−a).I(a)=I(−a). And the improper case: \displaystyle\mathcal{I}(1)=\mathcal{\displaystyle\mathcal{I}(1)=\mathcal{ Continue Reading For a∈(−1,1)a∈(−1,1), we want to evaluate the integral I(a)=∫1 0 ln(1+a x)ln(1−a x)d x.I(a)=∫0 1 ln⁡(1+a x)ln⁡(1−a x)d x. But do I really want to evaluate this brutal integral? :/ Uhhh… I got myself into this mess, so I’ll finish what I started. I am going to be passing over some intermediate steps to attempt to bring conciseness to the mess that is to come.… First of all, we trivially have I(0)=0.I(0)=0. By symmetry of the integrand, note that I(a)=I(−a).I(a)=I(−a). And the improper case: I(1)=I(−1)=ln 2(2)−2 ln(2)−π 2 6+2,I(1)=I(−1)=ln 2⁡(2)−2 ln⁡(2)−π 2 6+2, is discussed here: Hallie · 4y What is the value of the integral \displaystyle{\int_{0}^{1}{\ln{(1-x)}\ln{(1+x)}}\,dx}? We want to evaluate the integral \displaystyle \mathcal{I} = \int_{0}^{1}\ln(1-x)\ln(1+x)\, \mathrm d x. \tag{} This is going to be quite the exercise! I tried to be complete, but due to such a lengthy write-up, in a few places I left some basic integrals and limit evaluations out. If you have any questions, please ask in comments! We begin by performing integration by parts, letting u=\ln(1+x) and dv=\ln(1-x) \, \mathrm d x, then \mathrm d u = \frac{1}{x+1} \, \mathrm d x and v = (x-1)\ln(1-x)-x. This gives \begin{align} \mathcal{I} &= \lim_{b\to 1^-}\ln(1+x)\left[(x-1)\ln(1-x)-x\right]\Bigg\|{0}^{b} - \int{0}^{1}\frac{(x-1)\ln(1-x)-x}{x+1} \, \mathrm d x \ &= -\ln(2) - \underbrace{\int_{0}^{1} \frac{x\ln(1-x)}{x+1}\, \mathrm d x}{\mathcal{A}} + \underbrace{\int{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{x+1}\, \mathrm d x}{\mathcal{B}} + \underbrace{\int{0}^{1} \frac{x}{x+1}\, \mathrm d x,}{\mathcal{C}} \end{align} \tag{} where we have decimated our original integral into 3 more manageable integrals: \mathcal{A}, \mathcal{B}, and \mathcal{C}. Let’s work backwards and begin by evaluating \mathcal{C}. This one is the easiest and is elementary: \begin{align} \mathcal{C} &= \int_{0}^{1}\frac{x}{x+1}\, \mathrm d x \ &= \int_{0}^{1}\frac{x+1-1}{x+1}\, \mathrm d x \ &= \int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\, \mathrm d x \ &= \left(x-\ln(1+x)\right)\Bigg\|_{0}^{1} \ &= 1-\ln(2). \end{align} \tag{} Now we move onto \mathcal{B}, of which our goal will be to yield the form of the Dilogarithm. Start by making the subsitution t=x+1 then factoring the integrand to decimate into 2 integrals: \begin{align} \mathcal{B} &= \int{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{x+1}\, \mathrm d x \ &= \int_{1}^{2} \frac{\ln(2-t)}{t}\, \mathrm d t \ &= \int_{1}^{2} \frac{\ln\left(2\left(1-\frac{1}{2}t\right)\right)}{t}\, \mathrm d t \ &= \int_{1}^{2} \frac{\ln(2)}{t}\, \mathrm d t + \int_{1}^{2} \frac{\ln\left(1-\frac{1}{2}t\right)}{t}\, \mathrm d t, \end{align} \tag{} where the first integral is evaluated directly while the second integral we further let v=\frac{1}{2}t to yield \begin{align} \mathcal{B} &= \ln(2)\cdot\ln(t)\Bigg\|{1}^{2} + \int{1/2}^{1}\frac{\ln(1-v)}{v} \, \mathrm d v \ &= \ln^2(2) + \int_{0}^{1}\frac{\ln(1-v)}{v} \, \mathrm d v - \int_{0}^{1/2}\frac{\ln(1-v)}{v} \, \mathrm d v \ &= \ln^2(2) - \int_{1}^{0}\frac{\ln(1-v)}{v} \, \mathrm d v + \int_{1/2}^{0}\frac{\ln(1-v)}{v} \, \mathrm d v \ &= \ln^2(2) - \mathrm{Li}{2}(1)+\mathrm{Li}{2}\left(\frac{1}{2}\right). \end{align}\tag{} Both of the Dilogarithms obtained have known closed form solutions. That is \mathrm{Li}{2}(1) = \frac{\pi^2}{6} and \mathrm{Li}{2}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{12} - \frac{\ln^2(2)}{2}. Therefore, \begin{align} \mathcal{B} &= \ln^2(2) - \frac{\pi^2}{6} + \frac{\pi^2}{12} - \frac{\ln^2(2)}{2} \ &= \frac{\ln^2(2)}{2} - \frac{\pi^2}{12}. \end{align} \tag{} Now we are left with \mathcal{A}. Begin by making the substitution t=x+1 and rearranging to give an elementary integral and another integral we recognize as \mathcal{B} (which we have already evaluated!): \begin{align} \mathcal{A} &= \int_{0}^{1} \frac{x\ln(1-x)}{x+1}\, \mathrm d x \ &= \int_{1}^{2} \frac{(t-1)\ln(2-t)}{t}\, \mathrm d t \ &= \int_{1}^{2}\ln(2-t)\, \mathrm d t - \int_{1}^{2}\frac{\ln(2-t)}{t}\, \mathrm d t \ &= \int_{1}^{2}\ln(2-t)\, \mathrm d t - \mathcal{B}. \end{align} \tag{} We are almost done! For our remaining integral, make a subsitution s=2-t then apply integration by parts: \begin{align} \int_{1}^{2}\ln(2-t)\, \mathrm d t &= \int_{0}^{1}\ln(s)\, \mathrm d s \ &= \lim_{b\to 0^+}s\ln(s)\Bigg\|{b}^{1} - \int{0}^{1}\, \mathrm d s \ &= 0 - s\Bigg\|{0}^{1} \ &= -1. \end{align} \tag{} Therefore, \begin{align} \mathcal{A} &= -1 - \mathcal{B} \ &= \frac{\pi^2}{12} -\frac{\ln^2(2)}{2} - 1. \end{align} \tag{} Altogether, we conclude that \begin{align} \mathcal{I} &= \int{0}^{1}\ln(1-x)\ln(1+x) \, \mathrm d x \ &= -\ln(2) - \mathcal{A} + \mathcal{B} + \mathcal{C} \ &= -\ln(2) - \left(\frac{\pi^2}{12} -\frac{\ln^2(2)}{2} - 1\right) + \left( \frac{\ln^2(2)}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right) + \left(1-\ln(2)\right) \ &= \ln^2(2) - 2\ln(2) - \frac{\pi^2}{6} + 2. \end{align} \tag{} Otherwise, first, we apply integration by parts with f=ln(1+a x)f=ln⁡(1+a x) and d g=ln(1−a x)d x d g=ln⁡(1−a x)d x. After a bit of work obtaining g g via integration by parts we obtain I=(a−1 a)ln(1+a)ln(1−a)−ln(1+a)⋯+∫1 0 a x 1+a x d xA+∫1 0 ln(1−a x)1+a x d xB−∫1 0 a x ln(1−a x)a+a x d xC,I=(a−1 a)ln⁡(1+a)ln⁡(1−a)−ln⁡(1+a)⋯+∫0 1 a x 1+a x d x⏟A+∫0 1 ln⁡(1−a x)1+a x d x⏟B−∫0 1 a x ln⁡(1−a x)a+a x d x⏟C, where we have decimated the problem into 3 3 more manageable integrals. Working the integrals in order left to right, we evaluate A A via long division and direct integration: A=∫1 0 a x 1+a x d x=∫1 0(1−1 1+a x)d x=1−1 a ln(1+a).A=∫0 1 a x 1+a x d x=∫0 1(1−1 1+a x)d x=1−1 a ln⁡(1+a). For B B, we substitute t=1+a x t=1+a x and rewrite: B=∫1 0 ln(1−a x)1+a x d x=1 a∫1+a 1 ln(2−t)t d t=1 a(∫1+a 1 ln(2)t d t+∫1+a 1 ln(1−1 2 t)t d t).B=∫0 1 ln⁡(1−a x)1+a x d x=1 a∫1 1+a ln⁡(2−t)t d t=1 a(∫1 1+a ln⁡(2)t d t+∫1 1+a ln⁡(1−1 2 t)t d t). Then the first integral we directly evaluate and for the latter integral we substitute v=1 2 t v=1 2 t and rewrite to yield the form of the dilogarithm: B=1 a(ln(2)ln(1+a)+∫(1+a)/2 1/2 ln(1−v)v d v)=1 a(ln(2)ln(1+a)+∫(1+a)/2 0 ln(1−v)v d v−∫1/2 0 ln(1−v)v d v)=1 a(ln(2)ln(1+a)−L i 2(1+a 2)+L i 2(1 2))=1 a(ln(2)ln(1+a)−L i 2(1+a 2)+π 2 12−ln 2(2)2).B=1 a(ln⁡(2)ln⁡(1+a)+∫1/2(1+a)/2 ln⁡(1−v)v d v)=1 a(ln⁡(2)ln⁡(1+a)+∫0(1+a)/2 ln⁡(1−v)v d v−∫0 1/2 ln⁡(1−v)v d v)=1 a(ln⁡(2)ln⁡(1+a)−L i 2(1+a 2)+L i 2(1 2))=1 a(ln⁡(2)ln⁡(1+a)−L i 2(1+a 2)+π 2 12−ln 2⁡(2)2). For C C, we substitute t=1+a x t=1+a x: C=∫1 0 a x ln(1−a x)1+a x d x=1 a∫1+a 1 ln(2−t)d t−1 a∫1+a 1 ln(2−t)t d t,C=∫0 1 a x ln⁡(1−a x)1+a x d x=1 a∫1 1+a ln⁡(2−t)d t−1 a∫1 1+a ln⁡(2−t)t d t, and then for the first integral we substitute s=2−t s=2−t and integrate by parts and for the latter integral we relate it to B B: C=1 a∫1 1−a ln(s)d s−B=1 a((a−1)ln(1−a)−a−ln(2)ln(1+a)⋯+L i 2(1+a 2)−π 2 12+ln 2(2)2).C=1 a∫1−a 1 ln⁡(s)d s−B=1 a((a−1)ln⁡(1−a)−a−ln⁡(2)ln⁡(1+a)⋯+L i 2(1+a 2)−π 2 12+ln 2⁡(2)2). Altogether (and simplifying) we (correctly) conclude that I=∫1 0 ln(1+a x)ln(1−a x)d x=1 a((a−1)ln(1+a)ln(1−a)−a ln(1+a)+2 a−ln(1+a)⋯+(1−a)ln(1−a)+2 ln(2)ln(1+a)−2 L i 2(1+a 2)+π 2 6−ln 2(2)).I=∫0 1 ln⁡(1+a x)ln⁡(1−a x)d x=1 a((a−1)ln⁡(1+a)ln⁡(1−a)−a ln⁡(1+a)+2 a−ln⁡(1+a)⋯+(1−a)ln⁡(1−a)+2 ln⁡(2)ln⁡(1+a)−2 L i 2(1+a 2)+π 2 6−ln 2⁡(2)). Upvote · 99 40 9 1 Brian Sittinger PhD in Mathematics, University of California, Santa Barbara (Graduated 2006) · Author has 8.5K answers and 21.1M answer views ·2y Related How do I calculate [math]\int_0^{\pi/2}ln(1+sin^2(x))dx [\math]? Here is another solution by using differentiation under the integral sign. Consider the integral I(a)=∫π/2 0 ln(a 2+sin 2 x)d x.I(a)=∫0 π/2 ln⁡(a 2+sin 2⁡x)d x. Differentiating both sides with respect to a a yields I′(a)=∫π/2 0∂∂a ln(a 2+sin 2 x)d x=∫π/2 0 2 a a 2+sin 2 x d x.I′(a)=∫0 π/2∂∂a ln⁡(a 2+sin 2⁡x)d x=∫0 π/2 2 a a 2+sin 2⁡x d x. Then, we use the Pythagorean identity in the denominator and subsequently factor cos 2 x cos 2⁡x from the denominator. This sets up a nice substitution: [math]\begin{align} I'(a) &= \displaystyle \int_0^{\pi/2} [/math] Continue Reading Here is another solution by using differentiation under the integral sign. Consider the integral I(a)=∫π/2 0 ln(a 2+sin 2 x)d x.I(a)=∫0 π/2 ln⁡(a 2+sin 2⁡x)d x. Differentiating both sides with respect to a a yields I′(a)=∫π/2 0∂∂a ln(a 2+sin 2 x)d x=∫π/2 0 2 a a 2+sin 2 x d x.I′(a)=∫0 π/2∂∂a ln⁡(a 2+sin 2⁡x)d x=∫0 π/2 2 a a 2+sin 2⁡x d x. Then, we use the Pythagorean identity in the denominator and subsequently factor cos 2 x cos 2⁡x from the denominator. This sets up a nice substitution: I′(a)=∫π/2 0 2 a a 2(cos 2 x+sin 2 x)+sin 2 x d x=∫π/2 0 2 a a 2+(a 2+1)tan 2 x⋅sec 2 x d x=∫∞0 2 a a 2+(a 2+1)t 2 d t,via t=tan x=2√a 2+1 arctan(t√a 2+1 a)∣∣∣∞0=π√a 2+1.I′(a)=∫0 π/2 2 a a 2(cos 2⁡x+sin 2⁡x)+sin 2⁡x d x=∫0 π/2 2 a a 2+(a 2+1)tan 2⁡x⋅sec 2⁡x d x=∫0∞2 a a 2+(a 2+1)t 2 d t,via t=tan⁡x=2 a 2+1 arctan⁡(t a 2+1 a)\|0∞=π a 2+1. Now, we return to I(a)I(a) by integrating both sides from 0 0 to a a. In particular, I(0)I(0) is a notorious integral: I(0)=2∫π/2 0 ln(sin x)d x=2⋅−π 2 ln 2=−π ln 2.I(0)=2∫0 π/2 ln⁡(sin⁡x)d x=2⋅−π 2 ln⁡2=−π ln⁡2. Using this fact, integrating both sides from 0 0 to a a yields I(a)=−π ln 2+∫a 0 π√y 2+1 d y=−π ln 2+∫arctan a 0 π sec t d t,via y=tan t=−π ln 2+(π ln(sec t+tan t)∣∣∣arctan a 0)=π ln(a+√a 2+1 2).I(a)=−π ln⁡2+∫0 a π y 2+1 d y=−π ln⁡2+∫0 arctan⁡a π sec⁡t d t,via y=tan⁡t=−π ln⁡2+(π ln⁡(sec⁡t+tan⁡t)\|0 arctan⁡a)=π ln⁡(a+a 2+1 2). Now, we simply let a=1 a=1 to obtain the value of the integral that we originally wanted: ∫π/2 0 ln(1+sin 2 x)d x=π ln(1+√2 2).∫0 π/2 ln⁡(1+sin 2⁡x)d x=π ln⁡(1+2 2). Upvote · 99 32 9 2 Sponsored by CDW Corporation Looking for ways to leverage AI to improve customer experiences? CDW’s AI solutions include 24/7 chatbots and workshops to enhance efficiency and customer satisfaction. Learn More 99 23 Samuel Arthur Mathematics is fun and integrals can be tamed. · Author has 514 answers and 195K answer views ·1y Related How do I find the n n-th derivative of f(x)=ln(1+x)f(x)=ln⁡(1+x) at x=0 x=0? Q: Find d n d x n[f(x)]at x=0 if f(x)=ln(1+x).Q: Find d n d x n[f(x)]at x=0 if f(x)=ln⁡(1+x). A: Here in order to find the n n th derivative of a given function at a specific point, I will reach up until the fourth derivative to see the pattern of the function. f(x)=ln(1+x)f′(x)=1 1+x⟹f′(0)=1 f′′(x)=−1(1+x)2⟹f′′(0)=−1 f′′′(x)=2(1+x)3⟹f′′′(0)=2 f(4)(x)=−6(1+x)4⟹f(4)(0)=−6 f(x)=ln⁡(1+x)f′(x)=1 1+x⟹f′(0)=1 f″(x)=−1(1+x)2⟹f″(0)=−1 f‴(x)=2(1+x)3⟹f‴(0)=2 f(4)(x)=−6(1+x)4⟹f(4)(0)=−6 By examining the pattern of the derivatives, it's evident that the n n th derivative of f(x)=ln(1+x)f(x)=ln⁡(1+x) at x=0 x=0 follows this expression tha Continue Reading Q: Find d n d x n[f(x)]at x=0 if f(x)=ln(1+x).Q: Find d n d x n[f(x)]at x=0 if f(x)=ln⁡(1+x). A: Here in order to find the n n th derivative of a given function at a specific point, I will reach up until the fourth derivative to see the pattern of the function. f(x)=ln(1+x)f′(x)=1 1+x⟹f′(0)=1 f′′(x)=−1(1+x)2⟹f′′(0)=−1 f′′′(x)=2(1+x)3⟹f′′′(0)=2 f(4)(x)=−6(1+x)4⟹f(4)(0)=−6 f(x)=ln⁡(1+x)f′(x)=1 1+x⟹f′(0)=1 f″(x)=−1(1+x)2⟹f″(0)=−1 f‴(x)=2(1+x)3⟹f‴(0)=2 f(4)(x)=−6(1+x)4⟹f(4)(0)=−6 By examining the pattern of the derivatives, it's evident that the n n th derivative of f(x)=ln(1+x)f(x)=ln⁡(1+x) at x=0 x=0 follows this expression that concludes all. f(n)(x)=(−1)n+1(n−1)!(1+x)n⟹f(n)(0)=(−1)n+1(n−1)!f(n)(x)=(−1)n+1(n−1)!(1+x)n⟹f(n)(0)=(−1)n+1(n−1)! This is a forerunner of the Maclaurin series that represents this function followed by f(x)=ln(1+x)⟹f(0)=0 f(x)=ln⁡(1+x)⟹f(0)=0. ln(1+x)=0+x−x 2 2!+2 x 3 3!−6 x 4 4!+…+(−1)n+1(n−1)!n!x n=x−x 2 2+x 3 3−x 4 4+…+(−1)n+1(n−1)!n!x n=∞∑n=1(−1)n+1(n−1)!n!x n=∞∑n=1(−1)n+1(n−1)!n(n−1)!x n=∞∑n=1(−1)n+1 n x n ln⁡(1+x)=0+x−x 2 2!+2 x 3 3!−6 x 4 4!+…+(−1)n+1(n−1)!n!x n=x−x 2 2+x 3 3−x 4 4+…+(−1)n+1(n−1)!n!x n=∑n=1∞(−1)n+1(n−1)!n!x n=∑n=1∞(−1)n+1(n−1)!n(n−1)!x n=∑n=1∞(−1)n+1 n x n Therefore ln(1+x)=∞∑n=1(−1)n+1 n x n ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1 n x n Upvote · 9 2 Alireza Shariati BS from Isfahan University of Technology (Graduated 2025) · Author has 1.4K answers and 972.6K answer views ·2y Related How Can I calculate [math]\int_0^1\frac{ln^n(x)}{1+x^2}dx[\math]? Too bad Quora removed editing others’ questions feature. Hope they bring it back! Now let’s get started. We want to evaluate: I=∫1 0 ln n(x)1+x 2 d x I=∫0 1 ln n⁡(x)1+x 2 d x Using the geometric series for 1 1+x 2 1 1+x 2, we get: I=∫1 0 ln n(x)∞∑k=0(−1)k x 2 k d x I=∫0 1 ln n⁡(x)∑k=0∞(−1)k x 2 k d x =∫1 0∞∑k=0(−1)k x 2 k ln n(x)d x=∞∑k=0∫1 0(−1)k x 2 k ln n(x)d x=∫0 1∑k=0∞(−1)k x 2 k ln n⁡(x)d x=∑k=0∞∫0 1(−1)k x 2 k ln n⁡(x)d x =∞∑k=0(−1)k∫1 0 x 2 k ln n(x)d x=∑k=0∞(−1)k∫0 1 x 2 k ln n⁡(x)d x Let J J denote Continue Reading Too bad Quora removed editing others’ questions feature. Hope they bring it back! Now let’s get started. We want to evaluate: I=∫1 0 ln n(x)1+x 2 d x I=∫0 1 ln n⁡(x)1+x 2 d x Using the geometric series for 1 1+x 2 1 1+x 2, we get: I=∫1 0 ln n(x)∞∑k=0(−1)k x 2 k d x I=∫0 1 ln n⁡(x)∑k=0∞(−1)k x 2 k d x =∫1 0∞∑k=0(−1)k x 2 k ln n(x)d x=∞∑k=0∫1 0(−1)k x 2 k ln n(x)d x=∫0 1∑k=0∞(−1)k x 2 k ln n⁡(x)d x=∑k=0∞∫0 1(−1)k x 2 k ln n⁡(x)d x =∞∑k=0(−1)k∫1 0 x 2 k ln n(x)d x=∑k=0∞(−1)k∫0 1 x 2 k ln n⁡(x)d x Let J J denote the inner integral. Via the substitution t=−ln(x)t=−ln⁡(x) we get: J t=−ln(x)=∫0∞(e−t)2 k(−t)n(−e−t d t)J=t=−ln⁡(x)∫∞0(e−t)2 k(−t)n(−e−t d t) =(−1)n∫∞0 e−(2 k+1)t t n d t u=(2 k+1)t=(−1)n∫∞0 e−u(u 2 k+1)n d u 2 k+1=(−1)n∫0∞e−(2 k+1)t t n d t=u=(2 k+1)t(−1)n∫0∞e−u(u 2 k+1)n d u 2 k+1 =(−1)n(2 k+1)n+1∫∞0 e−u u n d u=(−1)n(2 k+1)n+1 Γ(n+1)=(−1)n(2 k+1)n+1∫0∞e−u u n d u=(−1)n(2 k+1)n+1 Γ(n+1) =(−1)n(2 k+1)n+1 n!=(−1)n(2 k+1)n+1 n! Therefore: I=∞∑k=0(−1)k⋅(−1)n(2 k+1)n+1 n!=(−1)n n!∞∑k=0(−1)k(2 k+1)n+1 I=∑k=0∞(−1)k⋅(−1)n(2 k+1)n+1 n!=(−1)n n!∑k=0∞(−1)k(2 k+1)n+1 =(−1)n n!(∞∑k=0(−1)2 k(2(2 k)+1)n+1+∞∑k=0(−1)2 k+1(2(2 k+1)+1)n+1)=(−1)n n!(∑k=0∞(−1)2 k(2(2 k)+1)n+1+∑k=0∞(−1)2 k+1(2(2 k+1)+1)n+1) =(−1)n n!∞∑k=0 1 4 n+1(k+1 4)n+1−(−1)n n!∞∑k=0 1 4 n+1(k+3 4)n+1=(−1)n n!∑k=0∞1 4 n+1(k+1 4)n+1−(−1)n n!∑k=0∞1 4 n+1(k+3 4)n+1 =1 4 n+1((−1)n n!∞∑k=0 1(k+1 4)n+1+(−1)n+1 n!∞∑k=0 1(k+3 4)n+1)=1 4 n+1((−1)n n!∑k=0∞1(k+1 4)n+1+(−1)n+1 n!∑k=0∞1(k+3 4)n+1) =1 4 n+1(ψ(n)(3 4)−ψ(n)(1 4))=1 4 n+1(ψ(n)(3 4)−ψ(n)(1 4)) Upvote · 99 14 Frank Wei Official Senior Officer at The Department of Redundancy Department (2017–present) · Author has 258 answers and 1.6M answer views ·4y Related What is ∫1 0 ln(1+a x)ln(1−a x)d x∫0 1 ln⁡(1+a x)ln⁡(1−a x)d x for a∈(−1,1)a∈(−1,1)? I have reworked this integral like four times trying to find the mistake(s) in my work. I believe I have the solution as is in closed form, since substituting a=1 a=1 gives 1∫0 d x log(1+x)log(1−x)=π 2 6+2 log 2−log 2 2–2∫0 1 d x log⁡(1+x)log⁡(1−x)=π 2 6+2 log⁡2−log 2⁡2–2 which numerically matches the value given by Wolfram Alpha. First, impose the substitution x↦a x x↦a x and then x↦1−x x↦1−x to get I=1 a a∫0 d x log(1−x)log(1+x)=1 a 1∫1−a d x log x log(2−x)I=1 a∫0 a d x log⁡(1−x)log⁡(1+x)=1 a∫1−a 1 d x log⁡x log⁡(2−x) In the second logarithmic t Continue Reading I have reworked this integral like four times trying to find the mistake(s) in my work. I believe I have the solution as is in closed form, since substituting a=1 a=1 gives 1∫0 d x log(1+x)log(1−x)=π 2 6+2 log 2−log 2 2–2∫0 1 d x log⁡(1+x)log⁡(1−x)=π 2 6+2 log⁡2−log 2⁡2–2 which numerically matches the value given by Wolfram Alpha. First, impose the substitution x↦a x x↦a x and then x↦1−x x↦1−x to get I=1 a a∫0 d x log(1−x)log(1+x)=1 a 1∫1−a d x log x log(2−x)I=1 a∫0 a d x log⁡(1−x)log⁡(1+x)=1 a∫1−a 1 d x log⁡x log⁡(2−x) In the second logarithmic term, factor out a 2 2 and observe I=1 a log 2 1∫1−a d x log x+2 a log 2 1/2∫(1−a)/2 d x log 2 x log(1−x)I=1 a log⁡2∫1−a 1 d x log⁡x+2 a log⁡2∫(1−a)/2 1/2 d x log⁡2 x log⁡(1−x) Instead of first evaluating I 1 I 1, however, it’s easier on the Algebra later on to first evaluate the second integral, whose result also contains a I 1 I 1 term. First, split up the log 2 x log⁡2 x term and distribute the integral sign 1/2∫(1−a)/2 d x log 2 x log(1−x)=log 2 1/2∫(1−a)/2 d x log(1−x)≡I 1+1/2∫(1−a)/2 d x log x log(1−x)≡I 2∫(1−a)/2 1/2 d x log⁡2 x log⁡(1−x)=log⁡2∫(1−a)/2 1/2 d x log⁡(1−x)⏟≡I 1+∫(1−a)/2 1/2 d x log⁡x log⁡(1−x)⏟≡I 2 The first integral can be evaluated, again, using a round of integration by parts. Simplification yields I 1=1+a 2 log(1+a)−a−a log 2 I 1=1+a 2 log⁡(1+a)−a−a log⁡2 The second integral is quite tedious, and a query on Wolfram Alpha reveals a complicated indefinite integral in terms of polylogarithmic functions, inverse hyperbolic tangents, and natural logarithms. However, all of this can be easily avoided by taking advantage of Euler’s Dilogarithm Reflection Formula Li 2(x)+Li 2(1−x)=π 2 6−log x log(1−x)Li 2⁡(x)+Li 2⁡(1−x)=π 2 6−log⁡x log⁡(1−x) Integrating both sides with respect to x x gives I 2=1/2∫(1−a)/2 d x[π 2 6−Li 2(x)−Li 2(1−x)]=π 2 a 12−1/2∫(1−a)/2 d x Li 2(x)≡J 1−1/2∫(1−a)/2 d x Li 2(1−x)≡J 2 I 2=∫(1−a)/2 1/2 d x[π 2 6−Li 2⁡(x)−Li 2⁡(1−x)]=π 2 a 12−∫(1−a)/2 1/2 d x Li 2⁡(x)⏟≡J 1−∫(1−a)/2 1/2 d x Li 2⁡(1−x)⏟≡J 2 J 1 J 1 has a relatively simple closed form solution in terms of I 1 I 1 and the Dilogarithm J 1=1 2 Li 2(1 2)−1−a 2 Li 2(1−a 2)+I 1 J 1=1 2 Li 2⁡(1 2)−1−a 2 Li 2⁡(1−a 2)+I 1 where integration by parts was used, noting that Li 2(x)′=−log(1−x)x Li 2⁡(x)′=−log⁡(1−x)x In a similar manner, we can use integration by parts to evaluate J 2 J 2 J 2=x Li 2(1−x)∣∣∣1/2(1−a)/2−1/2∫(1−a)/2 d x x log x 1−x=1 2 Li 2(1 2)−1−a 2 Li 2(1−a 2)+1/2∫(1−a)/2 d x log x−1/2∫(1−a)/2 d x log x 1−x=−1 2 Li 2(1 2)+1+a 2 Li 2(1+a 2)−1 2 log 2−1 2−1−a 2 log(1−a 2)+1−a 2 J 2=x Li 2⁡(1−x)\|(1−a)/2 1/2−∫(1−a)/2 1/2 d x x log⁡x 1−x=1 2 Li 2⁡(1 2)−1−a 2 Li 2⁡(1−a 2)+∫(1−a)/2 1/2 d x log⁡x−∫(1−a)/2 1/2 d x log⁡x 1−x=−1 2 Li 2⁡(1 2)+1+a 2 Li 2⁡(1+a 2)−1 2 log⁡2−1 2−1−a 2 log⁡(1−a 2)+1−a 2 Without evaluating I 1 I 1 yet, this is what our integral turns out to be after some heavy-handed simplification I=(1−1 a)log 2 log(1−a)+2 a I 1(log 2–1)−(1−1 a)log 2+π 2 6−(1−1 a)Li 2(1−a 2)−(1+1 a)Li 2(1+a 2)−(1+1 a)log(1+a 2)+1 I=(1−1 a)log⁡2 log⁡(1−a)+2 a I 1(log⁡2–1)−(1−1 a)log⁡2+π 2 6−(1−1 a)Li 2⁡(1−a 2)−(1+1 a)Li 2⁡(1+a 2)−(1+1 a)log⁡(1+a 2)+1 Now onto I 1 I 1. A single round of integration by parts and some simplification yields I 1=1 2 log 2+1+a 2 log(1+a 2)−a 2 I 1=1 2 log⁡2+1+a 2 log⁡(1+a 2)−a 2 Putting everything together, we get the lengthy yet coveted result for I I 1∫0 d x log(1+a x)log(1−a x)=(1−1 a)log 2 log(1−a)+1 a log 2 2+(1+1 a)log(1+a 2)(log 2−1)−2 log 2+π 2 6−(1−1 a)Li 2(1−a 2)−(1+1 a)Li 2(1+a 2)−(1−1 a)log(1−a 2)+2∫0 1 d x log⁡(1+a x)log⁡(1−a x)=(1−1 a)log⁡2 log⁡(1−a)+1 a log 2⁡2+(1+1 a)log⁡(1+a 2)(log⁡2−1)−2 log⁡2+π 2 6−(1−1 a)Li 2⁡(1−a 2)−(1+1 a)Li 2⁡(1+a 2)−(1−1 a)log⁡(1−a 2)+2 Upvote · 9 8 9 2 Jan van Delden MSc Math and still interested · Upvoted by Nathan Hannon , Ph. D. Mathematics, University of California, Davis (2021) · Author has 4.8K answers and 6.5M answer views ·1y Related How do I find the n n-th derivative of f(x)=ln(1+x)f(x)=ln⁡(1+x) at x=0 x=0? Finding these derivatives by applying the rules of differentiation is straightforward. You should find that they all have the form (for n≥1 n≥1) f(n)(x)=a n(1+x)n f(n)(x)=a n(1+x)n where a n a n is just a constant, depending on n n, which you may discover by just trying the first few. You should find a 1=1 a 1=1. And if we differentiate again, you’ll find f(n+1)(x)=−n a n(1+x)n+1 f(n+1)(x)=−n a n(1+x)n+1 From which we immediately obtain a n+1=−n a n a n+1=−n a n And one may prove with induction that a n=(−1)n+1(n−1)!a n=(−1)n+1(n−1)! Or just guess first and show that the above is a solution to the recurrence equation. Substitute x=0 x=0 and you’ll f Continue Reading Finding these derivatives by applying the rules of differentiation is straightforward. You should find that they all have the form (for n≥1 n≥1) f(n)(x)=a n(1+x)n f(n)(x)=a n(1+x)n where a n a n is just a constant, depending on n n, which you may discover by just trying the first few. You should find a 1=1 a 1=1. And if we differentiate again, you’ll find f(n+1)(x)=−n a n(1+x)n+1 f(n+1)(x)=−n a n(1+x)n+1 From which we immediately obtain a n+1=−n a n a n+1=−n a n And one may prove with induction that a n=(−1)n+1(n−1)!a n=(−1)n+1(n−1)! Or just guess first and show that the above is a solution to the recurrence equation. Substitute x=0 x=0 and you’ll find f(n)(0)=a n=(−1)n+1(n−1)!f(n)(0)=a n=(−1)n+1(n−1)! There is another way, but it requires knowledge of the Maclaurin series. Suppose you know that 1 1−x=∞∑n=0 x n 1 1−x=∑n=0∞x n Replace x x with −x−x 1 1+x=∞∑n=0(−1)n x n 1 1+x=∑n=0∞(−1)n x n Integrate! (I won’t discuss why and when this is allowed) ln(1+x)=∫x 0 1 1+t d t=∞∑n=0(−1)n 1 n+1 x n+1 ln⁡(1+x)=∫0 x 1 1+t d t=∑n=0∞(−1)n 1 n+1 x n+1 Lets rewrite this slightly in order to be able to compare it with what follows later, by changing the index to k=n+1 k=n+1 ln(1+x)=∞∑k=1(−1)k−1 1 k x k ln⁡(1+x)=∑k=1∞(−1)k−1 1 k x k However, for every function f(x)f(x) we have, for those x x for which the series converges f(x)=∞∑k=0 f(k)(0)k!x k f(x)=∑k=0∞f(k)(0)k!x k If we compare we see that we must have f(0)=0 f(0)=0 (and we do have ln(1+0)=0 ln⁡(1+0)=0). And for the terms where k≥1 k≥1 we find (−1)k−1 k=f(k)(0)k!(−1)k−1 k=f(k)(0)k! or f(k)(0)=(−1)k−1 k!k=(−1)k−1(k−1)!f(k)(0)=(−1)k−1 k!k=(−1)k−1(k−1)! This is the same result as before, change k k back to n n and realize that (−1)n−1=(−1)n+1(−1)n−1=(−1)n+1 if n n is an integer. This second method may seem to take more time to write down, and it does, since I’m writing down all steps and have to typeset the answer. However, it may be a neat method if your function is a bit more involved than merely ln(1+x)ln⁡(1+x). Upvote · 9 6 9 2 Vijay Mankar HoD (Electronics) at Government Polytechnic Nagpur · Author has 7K answers and 11.2M answer views ·5y Related How can I find all values of x x that satisfy the equation x+1=\|2 x−1\|x+1=\|2 x−1\|? x+1=\|2 x−1\|x+1=\|2 x−1\| x+1=±(2 x−1)x+1=±(2 x−1) x+1=(2 x−1)⟹x=2 x+1=(2 x−1)⟹x=2 And x+1=−(2 x−1)⟹x=0 x+1=−(2 x−1)⟹x=0 This is explained step by step in following graph Continue Reading x+1=\|2 x−1\|x+1=\|2 x−1\| x+1=±(2 x−1)x+1=±(2 x−1) x+1=(2 x−1)⟹x=2 x+1=(2 x−1)⟹x=2 And x+1=−(2 x−1)⟹x=0 x+1=−(2 x−1)⟹x=0 This is explained step by step in following graph Upvote · 9 2 Related questions How should I study math? Does being good at mathematics make you intelligent? Do math geniuses struggle with math problems? Why is mathematics so hard? What is Mathe Mathe? [Why is [math]93948475757577373737377383746463647math in math? How do I evaluate this sum [math]\sum_{x=0}^\infty x(x-1) {2+x \choose x}(0.008)(0.8)^x[math] ? What is the fastest way to learn maths? Why should we learn math? How can we show that \|a−b\|p≤\|a p−b p\|\|a−b\|p≤\|a p−b p\| holds for a,b≥0 a,b≥0 and 0<p≤1 0<p≤1? What is the hardest math problem ever? How do I find all functions f:R→R,f:R→R, such that f(f(x)+y 2)=x−1+(y+1)f(y)f(f(x)+y 2)=x−1+(y+1)f(y) holds for all real numbers x,y x,y? What is mathematics? What is more interesting, pure mathematics or applied mathematics? Is it true that Albert Einstein failed in mathematics many times during his school days? Related questions How should I study math? Does being good at mathematics make you intelligent? Do math geniuses struggle with math problems? Why is mathematics so hard? What is Mathe Mathe? [Why is [math]93948475757577373737377383746463647math in math? Advertisement About · Careers · Privacy · Terms · Contact · Languages · Your Ad Choices · Press · © Quora, Inc. 2025
9767	https://www.processecology.com/discover/article/The-Step-By-Step-Guide-Double-Pipe-Heat-Exchanger-Design	Process Ecology \| The Step-By-Step Guide: Double-Pipe Heat Exchanger Design About Us Our Experts What We Do Services Regulatory Compliance Process Optimization Energy Transition Process Safety Digital Transformation Strategic Advice Who We Help Operations Environmental Executives Discover Articles Projects Research Events ABOUT US OUR EXPERTS WHAT WE DO WHO WE HELP DISCOVER Book a Consultation Discover Articles Engineering The Step-by-Step Guide: Double-Pipe Heat Exchanger Design The Step-By-Step Guide: Double-Pipe Heat Exchanger Design Double-pipe heat exchangers are essential in chemical process design, maximizing energy efficiency in industries like oil & gas, food, and HVAC. Explore step-by-step guidance for calculating duty, surface area, heat transfer, and more to optimize performance and design the right heat exchanger for your needs. Dec 31, 2024 7 minutes read Marcelo Mathias Sustainability Analyst Collection Engineering Topics Technical Methodologies Tags Energy Efficiency,Heat Exchanger,Process Design Subscribe Linkedin Twitter / X Copy URL Heat Exchangers are an essential unit operation in the design of chemical processes, usually linked directly with energy efficiency aspects of a facility. Widely used in a plethora of industrial applications such as oil and gas, pharmaceutical, food and drink, and heating, ventilation, and air conditioning (HVAC). In a heat exchanger unit design, key fundamental principles like the zeroth, first, and second laws of thermodynamics are applied. Understanding Heat Exchanger Design Principles Heat exchanger design revolves around understanding a basic equation: Equation 1 Where, Q is the heat exchanger duty A is the area for heat transfer U is the overall heat transfer coefficient LMTD is the log mean temperature difference This equation relates the duty of the exchanger (Q) with the surface area available to exchange the heat between fluids at different temperatures (A), the driving force of the exchange (LMTD), and the specific fluid and material properties (U). Each of these can be manipulated in various ways depending on the heat exchanger design. Double-Pipe Heat Exchanger Overview A classic example of a heat exchanger is the double-pipe type shown in Figure 1. Figure 1 Double-pipe exchanger simple schematics A double-pipe heat exchanger known also as a hairpin-type exchanger (due to its U-shape bend resembling a hairpin) is made up of two concentric pipes . The outer pipe (shell-side) is usually a bare pipe, and the inner pipe (tube-side) is either a bare pipe or more commonly a pipe with longitudinal fins, providing additional surface area for heat exchange (A). Double-pipe exchangers may also be operated with multiple inner pipes to increase the surface area (A), at which point it would be considered a multitube hairpin heat exchanger. Double-pipe exchangers may be operated either co-currently or counter-currently, changing the heat exchange driving force logarithmic mean temperature difference(LMTD). More commonly they operate counter-currently to maximize the heat exchange. Advantages of Double-Pipe Heat Exchangers Compact Design: The compact design with longitudinal finned tubes creates ample surface area for heat transfer, benefiting fluids with low heat transfer coefficients (U) (like most gases) . Thermal Expansion Accommodation:The design of double-pipe heat exchangers offers further benefits due to its construction since the U-shape bend in the hairpin design creates an allowance for thermal expansion of the fluid. Modular Construction:The modular construction of the exchanger offers the ability to increase capacity of heat exchange by the introduction of more sections . Hairpin exchangers are versatile but their application to process designdepends on the UA requirements of the system. GPSA provides a quick guide in section 9 about when hairpin designs should be considered. See Table 1.. Table 1: GPSA Information on When to Consider Different Hairpin Designs Based on the Required UA of the System UA (W/℃)Exchanger Design 79,000 Uneconomical hairpin design 53,000 – 79,000 One or more 300-400mm tubes 26,000 – 53,000 One or more 100-300mm tubes <26,000 Both double-pipe and multi-tubes should be evaluated. Step-by-Step Design Process In Process Ecology’s engineering design practice, we have sized several double-pipe heat exchangers, and below we share a step-by-step guide for the design of these units. 1. Calculate Required Heat Duty Commonly in these types of calculations, you have a known fluid that is being cooled or heated. Using the equation below you can calculate the duty required for the heat exchanger to achieve the desired temperature change (assuming the known fluid is the hot side of the exchanger). Equation 2 Where, Q is the duty of the heat exchanger mhot is the mass flowrate of the hot fluid Cphot is the specific heat capacity of the hot fluid Thot in is the temperature of the hot fluid coming in Thot out is the temperature of the hot fluid going out 2. Determine Heat Transfer Area With the known required duty, Equation 1 can be used to determine the remaining parameters. Due to the longitudinal fins providing additional surface area, double-pipe exchangers have a more complex equation to determine the total area available for heat transfer. The following equations may be used: Equation 3 Where, Ah is the area for heat transfer do is the tube's outer diameter Hf is the fin height Nf is the number of fins Perry’s Chemical Engineering Handbook provides an alternative method for the calculation of surface area for heat transfer based on typical standards for double-pipe exchangers as shown in Figure 2 . Figure 2: Perry’s Chemical Engineering Handbook Table 11-15 Double-Pipe Hairpin Section Data 3. Calculate Overall Heat Transfer Coefficient (U) The overall heat transfer coefficient U may be calculated as per the equation below: Equation 4 Where, Uo is the overall heat transfer coefficient ho is the outer (shell) heat transfer coefficient hi is the inner (tube) heat transfer coefficient rw is the wall resistance rf is the fouling resistance The wall and fouling resistances depend on your pipe material and fluids properties. The inner heat transfer coefficient hi can be calculated using standard equations such as Nusselt’s number. Calculations can then be made using either the Sieder-Tate correlation for laminar flow or the Petukhov and Kirillov equation for turbulent flow. The outer heat transfer coefficient ho, however, must be carefully analyzed as the longitudinal fins create different hydraulic diameters, which in turn change both Reynold’s number and Nusselt’s number. The hydraulic diameter can be calculated as follows. Equation 5 Where, Dh is the hydraulic diameter Ac is the net cross-sectional area in the annulus Pw is the total wetted perimeter of the annulus Di is the shell-side pipe's inner diameter do is the tube-side pipe's outer diameter δ is the width of the fin Hf is the height of fin Nf is the number of fins 4. With the hydraulic diameter the Reynolds number can be calculated as: As noted earlier, Nusselt’s number may be calculated with either the Sieder-Tate correlation for laminar flow or the Petukhov and Kirillov equation for turbulent flow similar to hi. 5. Final Design Iteration With the overall heat transfer calculated and the LMTD of the exchanger defined, the required area can be calculated using Equation 1. This can then be compared with Equation 2 or Perry’s Chemical Handbook calculations to determine the length requirements. An iterative approach to these steps leads to the size of a double-pipe heat exchanger. Conclusion Double-pipe heat exchangers are versatile and efficient solutions for various industrial applications. By following this structured design approach, engineers can ensure optimized performance, energy efficiency, and cost-effectiveness. Sources GPSA Midstream Suppliers, Engineering Data Book, 14 ed., vol. SI Volumes 1 & 2, Tulsa, Oklahoma: GPSA, 2016. D. W. G. Robert H. Perry, Perry's Chemical Engineers' Handbook, Kansas: McGraw-Hill Handbooks, 1999. M. I. Stewart,Surface Production Operations - Design of Gas-Handling Systems and Facilities, Third Edition ed., vol. 2, Kidlington, Oxford: Gulf Professional Publishing, 2014. Powered by Froala Editor Related articles Evaluating Pressure Rise and Reverse Flow Scenario Study on check valve failure impact, overpressure, and mitigation in complex gas injection compression systems. Modelling Distillation Columns in Process Simulators Optimize distillation column simulations with accurate tray efficiency models. Learn to apply Murphree and Overall Tray Efficiency correctly in proces Estimating Heat Losses in Heavy Oil Pipelines Learn how to accurately estimate heat losses in heavy oil pipelines with a first-principles model to optimize operations and prevent costly disruption See All Articles Join our mailing list! Stay informed on industry updates, valuable content, and events. Subscribe Select your prefered topics: [x] General Newsletter [x] Engineering Insights [x] Sustainability News [x] Innovation Updates Please note this website utilizes cookies to optimize site functionality and give you the best possible experience using our website. Please click here to read more. Accept ENGINEERING FOR OPTIMAL SOLUTIONS Want To Learn More? Book a Free Consultation Join Our Mailing List Subscribe Follow Us! Mission We aim to integrate engineering, process simulation and software development to deliver sustainability solutions to the energy industry that are forward-thinking, reliable, and dynamic. Vision Empower the sustainability of the global energy industry through seamless and trusted solutions, shaping a dynamic and resilient future. About About Us Our Experts Join Our Team WHAT WE DO Regulatory Compliance Process Optimization Energy Transition Process Safety Digital Transformation Strategic Advice WHO WE HELP Operations Environmental Executives DISCOVER Articles Projects Research Events FAQ Contact Suite 425, 1167 Kensington Cres. NW Calgary, AB T2N 1X7 +1 (403) 690-0550 info@processecology.com © Copyright 2007-2025 Process Ecology Inc. All rights reserved. Privacy Policy
9768	https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Stewart%27s_Theorem?srsltid=AfmBOoonD6qmCu16HP3dkAL_BX0K84cDElpp8MlajOHfqbKr1golyjM3	Art of Problem Solving Stewart's Theorem - AoPS Wiki Art of Problem Solving AoPS Online Math texts, online classes, and more for students in grades 5-12. Visit AoPS Online ‚ Books for Grades 5-12Online Courses Beast Academy Engaging math books and online learning for students ages 6-13. Visit Beast Academy ‚ Books for Ages 6-13Beast Academy Online AoPS Academy Small live classes for advanced math and language arts learners in grades 2-12. Visit AoPS Academy ‚ Find a Physical CampusVisit the Virtual Campus Sign In Register online school Class ScheduleRecommendationsOlympiad CoursesFree Sessions books tore AoPS CurriculumBeast AcademyOnline BooksRecommendationsOther Books & GearAll ProductsGift Certificates community ForumsContestsSearchHelp resources math training & toolsAlcumusVideosFor the Win!MATHCOUNTS TrainerAoPS Practice ContestsAoPS WikiLaTeX TeXeRMIT PRIMES/CrowdMathKeep LearningAll Ten contests on aopsPractice Math ContestsUSABO newsAoPS BlogWebinars view all 0 Sign In Register AoPS Wiki ResourcesAops Wiki Stewart's Theorem Page ArticleDiscussionView sourceHistory Toolbox Recent changesRandom pageHelpWhat links hereSpecial pages Search Stewart's Theorem Contents 1 Statement 2 Proof 2.1 Proof 1 2.2 Proof 2 (Pythagorean Theorem) 3 Proof 3 (Barycentrics) 4 Video Proof 5 See Also Statement Given any triangle with sides of length and opposite vertices, , , respectively, then if cevian is drawn so that , and , we have that . (This is also often written , a phrase which invites mnemonic memorization, i.e. "A man and his dad put a bomb in the sink.") That is Stewart's Theorem. Proof Proof 1 Applying the Law of Cosines in triangle at angle and in triangle at angle , we get the following equations: Because angles and are supplementary, . We can therefore solve both equations for the cosine term. Using the trigonometric identity gives us Setting the two left-hand sides equal and clearing denominators, we arrive at the equation: . However, so and This simplifies our equation to yield as desired. Proof 2 (Pythagorean Theorem) Let the altitude from to meet at . Let , , and . We can apply the Pythagorean Theorem on and to yield and then solve for to get . Doing the same for and gives us: then we solve for to get . Now multiple the first expression by and the second by : m b 2=m d 2+m(x 2−y 2)n c 2=n d 2+m 2 n+2 m n y Next, we add these two expressions: Then simplify as follows (we reapply a few times while factoring): m b 2+n c 2=(m+n)d 2+m(x+y)(x−y)+m n(n+2 y)=(m+n)d 2+m n(x−y)+m n(n+2 y)=(m+n)d 2+m n(x+y+n)=(m+n)d 2+m n(m+n)=(m+n)(d 2+m n). Rearranging the equation gives Stewart's Theorem: . Proof 3 (Barycentrics) Let the following points have the following coordinates: Our displacement vector has coordinates . Plugging this into the barycentric distance formula, we obtain Multiplying by , we get . Substituting with , we find Stewart's Theorem: Video Proof TheBeautyofMath See Also Menelaus' theorem Ceva's theorem Geometry Angle Bisector Theorem This article is a stub. Help us out by expanding it. Retrieved from " Categories: Geometry Theorems Stubs Art of Problem Solving is an ACS WASC Accredited School aops programs AoPS Online Beast Academy AoPS Academy About About AoPS Our Team Our History Jobs AoPS Blog Site Info Terms Privacy Contact Us follow us Subscribe for news and updates © 2025 AoPS Incorporated © 2025 Art of Problem Solving About Us•Contact Us•Terms•Privacy Copyright © 2025 Art of Problem Solving Something appears to not have loaded correctly. Click to refresh.
9769	https://courses.lumenlearning.com/suny-osalgebratrig/chapter/graphs-of-logarithmic-functions/	Exponential and Logarithmic Functions Graphs of Logarithmic Functions Learning Objectives In this section, you will: Identify the domain of a logarithmic function. Graph logarithmic functions. In Graphs of Exponential Functions, we saw how creating a graphical representation of an exponential model gives us another layer of insight for predicting future events. How do logarithmic graphs give us insight into situations? Because every logarithmic function is the inverse function of an exponential function, we can think of every output on a logarithmic graph as the input for the corresponding inverse exponential equation. In other words, logarithms give the cause for an effect. To illustrate, suppose we invest[latex]\,\text{\$}2500\,[/latex]in an account that offers an annual interest rate of[latex]\,5%,[/latex]compounded continuously. We already know that the balance in our account for any year[latex]\,t\,[/latex]can be found with the equation[latex]\,A=2500{e}^{0.05t}.[/latex] But what if we wanted to know the year for any balance? We would need to create a corresponding new function by interchanging the input and the output; thus we would need to create a logarithmic model for this situation. By graphing the model, we can see the output (year) for any input (account balance). For instance, what if we wanted to know how many years it would take for our initial investment to double? (Figure) shows this point on the logarithmic graph. Figure 1. In this section we will discuss the values for which a logarithmic function is defined, and then turn our attention to graphing the family of logarithmic functions. Finding the Domain of a Logarithmic Function Before working with graphs, we will take a look at the domain (the set of input values) for which the logarithmic function is defined. Recall that the exponential function is defined as[latex]\,y={b}^{x}\,[/latex]for any real number[latex]\,x\,[/latex]and constant[latex]\,b>0,[/latex] [latex]b\ne 1,[/latex] where The domain of[latex]\,y\,[/latex]is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right).[/latex] The range of[latex]\,y\,[/latex]is[latex]\,\left(0,\infty \right).[/latex] In the last section we learned that the logarithmic function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is the inverse of the exponential function[latex]\,y={b}^{x}.\,[/latex]So, as inverse functions: The domain of[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is the range of[latex]\,y={b}^{x}:\,[/latex][latex]\left(0,\infty \right).[/latex] The range of[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is the domain of[latex]\,y={b}^{x}:\,[/latex][latex]\left(-\infty ,\infty \right).[/latex] Transformations of the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]behave similarly to those of other functions. Just as with other parent functions, we can apply the four types of transformations—shifts, stretches, compressions, and reflections—to the parent function without loss of shape. In Graphs of Exponential Functions we saw that certain transformations can change the range of[latex]\,y={b}^{x}.\,[/latex]Similarly, applying transformations to the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]can change the domain. When finding the domain of a logarithmic function, therefore, it is important to remember that the domain consists only of positive real numbers. That is, the argument of the logarithmic function must be greater than zero. For example, consider[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(2x-3\right).\,[/latex]This function is defined for any values of[latex]\,x\,[/latex]such that the argument, in this case[latex]\,2x-3,[/latex] is greater than zero. To find the domain, we set up an inequality and solve for[latex]\,x:[/latex] [latex]\begin{array}{ll}2x-3>0\hfill & \text{Show the argument greater than zero}.\hfill \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x>3\hfill & \text{Add 3}.\hfill \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x>1.5\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Divide by 2}.\hfill \end{array}[/latex] In interval notation, the domain of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(2x-3\right)\,[/latex]is[latex]\,\left(1.5,\infty \right).[/latex] How To Given a logarithmic function, identify the domain. Set up an inequality showing the argument greater than zero. Solve for[latex]\,x.[/latex] Write the domain in interval notation. Identifying the Domain of a Logarithmic Shift What is the domain of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x+3\right)?[/latex] Show Solution The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when[latex]\,x+3>0.\,[/latex]Solving this inequality, [latex]\begin{array}{ll}x+3>0\hfill & \text{The input must be positive}.\hfill \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x>-3\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Subtract 3}.\hfill \end{array}[/latex] The domain of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x+3\right)\,[/latex]is[latex]\,\left(-3,\infty \right).[/latex] Try It What is the domain of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(x-2\right)+1?[/latex] Show Solution [latex]\left(2,\infty \right)[/latex] Identifying the Domain of a Logarithmic Shift and Reflection What is the domain of[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(5-2x\right)?[/latex] Show Solution The logarithmic function is defined only when the input is positive, so this function is defined when[latex]\,5–2x>0.\,[/latex]Solving this inequality, [latex]\begin{array}{ll}5-2x>0\hfill & \text{The input must be positive}.\hfill \ \,\,\,-2x>-5\hfill & \text{Subtract }5.\hfill \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x<\frac{5}{2}\begin{array}{cccc}& & & \end{array}\hfill & \text{Divide by }-2\text{ and switch the inequality}.\hfill \end{array}[/latex] The domain of[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(5-2x\right)\,[/latex]is[latex]\,\left(–\infty ,\frac{5}{2}\right).[/latex] Try It What is the domain of[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x-5\right)+2?[/latex] Show Solution [latex]\left(5,\infty \right)[/latex] Graphing Logarithmic Functions Now that we have a feel for the set of values for which a logarithmic function is defined, we move on to graphing logarithmic functions. The family of logarithmic functions includes the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]along with all its transformations: shifts, stretches, compressions, and reflections. We begin with the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right).\,[/latex]Because every logarithmic function of this form is the inverse of an exponential function with the form[latex]\,y={b}^{x},[/latex] their graphs will be reflections of each other across the line[latex]\,y=x.\,[/latex]To illustrate this, we can observe the relationship between the input and output values of[latex]\,y={2}^{x}\,[/latex]and its equivalent[latex]\,x={\mathrm{log}}_{2}\left(y\right)\,[/latex]in (Figure). \| \| \| \| \| \| \| \| \| --- --- --- --- \| \| [latex]x[/latex] \| [latex]-3[/latex] \| [latex]-2[/latex] \| [latex]-1[/latex] \| [latex]0[/latex] \| [latex]1[/latex] \| [latex]2[/latex] \| [latex]3[/latex] \| \| [latex]{2}^{x}=y[/latex] \| [latex]\frac{1}{8}[/latex] \| [latex]\frac{1}{4}[/latex] \| [latex]\frac{1}{2}[/latex] \| [latex]1[/latex] \| [latex]2[/latex] \| [latex]4[/latex] \| [latex]8[/latex] \| \| [latex]{\mathrm{log}}_{2}\left(y\right)=x[/latex] \| [latex]-3[/latex] \| [latex]-2[/latex] \| [latex]-1[/latex] \| [latex]0[/latex] \| [latex]1[/latex] \| [latex]2[/latex] \| [latex]3[/latex] \| Using the inputs and outputs from (Figure), we can build another table to observe the relationship between points on the graphs of the inverse functions[latex]\,f\left(x\right)={2}^{x}\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right).\,[/latex]See (Figure). \| \| \| \| \| \| \| \| \| --- --- --- --- \| \| [latex]f\left(x\right)={2}^{x}[/latex] \| [latex]\left(-3,\frac{1}{8}\right)[/latex] \| [latex]\left(-2,\frac{1}{4}\right)[/latex] \| [latex]\left(-1,\frac{1}{2}\right)[/latex] \| [latex]\left(0,1\right)[/latex] \| [latex]\left(1,2\right)[/latex] \| [latex]\left(2,4\right)[/latex] \| [latex]\left(3,8\right)[/latex] \| \| [latex]g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)[/latex] \| [latex]\left(\frac{1}{8},-3\right)[/latex] \| [latex]\left(\frac{1}{4},-2\right)[/latex] \| [latex]\left(\frac{1}{2},-1\right)[/latex] \| [latex]\left(1,0\right)[/latex] \| [latex]\left(2,1\right)[/latex] \| [latex]\left(4,2\right)[/latex] \| [latex]\left(8,3\right)[/latex] \| As we’d expect, the x– and y-coordinates are reversed for the inverse functions. (Figure) shows the graph of[latex]\,f\,[/latex]and[latex]\,g.[/latex] Figure 2. Notice that the graphs of[latex]\,f\left(x\right)={2}^{x}\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)\,[/latex]are reflections about the line[latex]\,y=x.[/latex] Observe the following from the graph: [latex]f\left(x\right)={2}^{x}\,[/latex]has a y-intercept at[latex]\,\left(0,1\right)\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)\,[/latex]has an x– intercept at[latex]\,\left(1,0\right).[/latex] The domain of[latex]\,f\left(x\right)={2}^{x},[/latex] [latex]\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] is the same as the range of[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right).[/latex] The range of[latex]\,f\left(x\right)={2}^{x},[/latex] [latex]\left(0,\infty \right),[/latex] is the same as the domain of[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right).[/latex] Characteristics of the Graph of the Parent Function, f(x) = logb(x) For any real number[latex]\,x\,[/latex]and constant[latex]\,b>0,[/latex][latex]b\ne 1,[/latex] we can see the following characteristics in the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right):[/latex] one-to-one function vertical asymptote:[latex]\,x=0[/latex] domain:[latex]\,\left(0,\infty \right)[/latex] range:[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right)[/latex] x-intercept:[latex]\,\left(1,0\right)\,[/latex]and key point [latex]\left(b,1\right)[/latex] y-intercept: none increasing if[latex]\,b>1[/latex] decreasing if[latex]\,0 See (Figure). Figure 3. (Figure) shows how changing the base[latex]\,b\,[/latex]in[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]can affect the graphs. Observe that the graphs compress vertically as the value of the base increases. (Note: recall that the function[latex]\,\mathrm{ln}\left(x\right)\,[/latex]has base[latex]\,e\approx \text{2}.\text{718.)}[/latex] Figure 4. The graphs of three logarithmic functions with different bases, all greater than 1. How To Given a logarithmic function with the form[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right),[/latex] graph the function. Draw and label the vertical asymptote,[latex]\,x=0.[/latex] Plot the x-intercept,[latex]\,\left(1,0\right).[/latex] Plot the key point[latex]\,\left(b,1\right).[/latex] Draw a smooth curve through the points. State the domain,[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range,[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote,[latex]\,x=0.[/latex] Graphing a Logarithmic Function with the Form f(x) = logb(x). Graph[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(x\right).\,[/latex]State the domain, range, and asymptote. Show Solution Before graphing, identify the behavior and key points for the graph. Since[latex]\,b=5\,[/latex]is greater than one, we know the function is increasing. The left tail of the graph will approach the vertical asymptote[latex]\,x=0,[/latex] and the right tail will increase slowly without bound. The x-intercept is[latex]\,\left(1,0\right).[/latex] The key point[latex]\,\left(5,1\right)\,[/latex]is on the graph. We draw and label the asymptote, plot and label the points, and draw a smooth curve through the points (see (Figure)). Figure 5. The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex] the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Try It Graph[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{1}{5}}\left(x\right).\,[/latex]State the domain, range, and asymptote. Show Solution The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Graphing Transformations of Logarithmic Functions As we mentioned in the beginning of the section, transformations of logarithmic graphs behave similarly to those of other parent functions. We can shift, stretch, compress, and reflect the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]without loss of shape. Graphing a Horizontal Shift of f(x) = logb(x) When a constant[latex]\,c\,[/latex]is added to the input of the parent function[latex]\,f\left(x\right)=lo{g}_{b}\left(x\right),[/latex] the result is a horizontal shift[latex]\,c\,[/latex]units in the opposite direction of the sign on[latex]\,c.\,[/latex]To visualize horizontal shifts, we can observe the general graph of the parent function[latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]and for[latex]\,c>0\,[/latex]alongside the shift left,[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right),[/latex] and the shift right,[latex]\,h\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x-c\right).[/latex] See (Figure). Figure 6. Horizontal Shifts of the Parent Function y = logb(x) For any constant[latex]\,c,[/latex]the function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)[/latex] shifts the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]left[latex]\,c\,[/latex]units if[latex]\,c>0.[/latex] shifts the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]right[latex]\,c\,[/latex]units if[latex]\,c<0.[/latex] has the vertical asymptote[latex]\,x=-c.[/latex] has domain[latex]\,\left(-c,\infty \right).[/latex] has range[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right).[/latex] How To Given a logarithmic function with the form[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right),[/latex] graph the translation. Identify the horizontal shift: If[latex]\,c>0,[/latex]shift the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]left[latex]\,c\,[/latex]units. If[latex]\,c<0,[/latex]shift the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]right[latex]\,c\,[/latex]units. Draw the vertical asymptote[latex]\,x=-c.[/latex] Identify three key points from the parent function. Find new coordinates for the shifted functions by subtracting[latex]\,c\,[/latex]from the[latex]\,x\,[/latex]coordinate. Label the three points. The Domain is[latex]\,\left(-c,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote is[latex]\,x=-c.[/latex] Graphing a Horizontal Shift of the Parent Function y = logb(x) Sketch the horizontal shift[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x-2\right)\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptotes on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution Since the function is[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x-2\right),[/latex] we notice[latex]\,x+\left(-2\right)=x–2.[/latex] Thus[latex]\,c=-2,[/latex]so[latex]\,c<0.\,[/latex]This means we will shift the function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x\right)\,[/latex]right 2 units. The vertical asymptote is[latex]\,x=-\left(-2\right)\,[/latex]or[latex]\,x=2.[/latex] Consider the three key points from the parent function,[latex]\,\left(\frac{1}{3},-1\right),[/latex][latex]\left(1,0\right),[/latex]and[latex]\,\left(3,1\right).[/latex] The new coordinates are found by adding 2 to the[latex]\,x\,[/latex]coordinates. Label the points[latex]\,\left(\frac{7}{3},-1\right),[/latex][latex]\left(3,0\right),[/latex]and[latex]\,\left(5,1\right).[/latex] The domain is[latex]\,\left(2,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=2.[/latex] Figure 7. Try It Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x+4\right)\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptotes on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution The domain is[latex]\,\left(-4,\infty \right),[/latex]the range[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the asymptote[latex]\,x=–4.[/latex] Graphing a Vertical Shift of y = logb(x) When a constant[latex]\,d\,[/latex]is added to the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right),[/latex]the result is a vertical shift[latex]\,d\,[/latex]units in the direction of the sign on[latex]\,d.\,[/latex]To visualize vertical shifts, we can observe the general graph of the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]alongside the shift up,[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)+d\,[/latex]and the shift down,[latex]\,h\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)-d.[/latex]See (Figure). Figure 8. Vertical Shifts of the Parent Function y = logb(x) For any constant[latex]\,d,[/latex]the function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)+d[/latex] shifts the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]up[latex]\,d\,[/latex]units if[latex]\,d>0.[/latex] shifts the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]down[latex]\,d\,[/latex]units if[latex]\,d<0.[/latex] has the vertical asymptote[latex]\,x=0.[/latex] has domain[latex]\,\left(0,\infty \right).[/latex] has range[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right).[/latex] How To Given a logarithmic function with the form[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)+d,[/latex] graph the translation. Identify the vertical shift: If[latex]\,d>0,[/latex] shift the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]up[latex]\,d\,[/latex] units. If[latex]\,d<0,[/latex] shift the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex]down[latex]\,d\,[/latex] units. Draw the vertical asymptote[latex]\,x=0.[/latex] Identify three key points from the parent function. Find new coordinates for the shifted functions by adding[latex]\,d\,[/latex]to the[latex]\,y\,[/latex]coordinate. Label the three points. The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Graphing a Vertical Shift of the Parent Function y = logb(x) Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x\right)-2\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution Since the function is[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x\right)-2,[/latex]we will notice[latex]\,d=–2.\,[/latex]Thus[latex]\,d<0.[/latex] This means we will shift the function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x\right)\,[/latex]down 2 units. The vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Consider the three key points from the parent function,[latex]\,\left(\frac{1}{3},-1\right),[/latex][latex]\left(1,0\right),[/latex]and[latex]\,\left(3,1\right).[/latex] The new coordinates are found by subtracting 2 from the y coordinates. Label the points[latex]\,\left(\frac{1}{3},-3\right),[/latex][latex]\left(1,-2\right),[/latex] and[latex]\,\left(3,-1\right).[/latex] The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Figure 9. The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Try It Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)+2\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Graphing Stretches and Compressions of y = logb(x) When the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is multiplied by a constant[latex]\,a>0,[/latex] the result is a vertical stretch or compression of the original graph. To visualize stretches and compressions, we set[latex]\,a>1\,[/latex]and observe the general graph of the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]alongside the vertical stretch,[latex]\,g\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]and the vertical compression,[latex]\,h\left(x\right)=\frac{1}{a}{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right).[/latex]See (Figure). Figure 10. Vertical Stretches and Compressions of the Parent Function y = logb(x) For any constant[latex]\,a>1,[/latex]the function[latex]\,f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] stretches the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]vertically by a factor of[latex]\,a\,[/latex]if[latex]\,a>1.[/latex] compresses the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]vertically by a factor of[latex]\,a\,[/latex]if[latex]\,0 has the vertical asymptote[latex]\,x=0.[/latex] has the x-intercept[latex]\,\left(1,0\right).[/latex] has domain[latex]\,\left(0,\infty \right).[/latex] has range[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right).[/latex] Given a logarithmic function with the form[latex]\,f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right),[/latex][latex]a>0,[/latex]graph the translation. Identify the vertical stretch or compressions: If[latex]\,\|a\|>1,[/latex]the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is stretched by a factor of[latex]\,a\,[/latex]units. If[latex]\,\|a\|<1,[/latex]the graph of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is compressed by a factor of[latex]\,a\,[/latex]units. Draw the vertical asymptote[latex]\,x=0.[/latex] Identify three key points from the parent function. Find new coordinates for the shifted functions by multiplying the[latex]\,y\,[/latex]coordinates by[latex]\,a.[/latex] Label the three points. The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Graphing a Stretch or Compression of the Parent Function y = logb(x) Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)=2{\mathrm{log}}_{4}\left(x\right)\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution Since the function is[latex]\,f\left(x\right)=2{\mathrm{log}}_{4}\left(x\right),[/latex]we will notice[latex]\,a=2.[/latex] This means we will stretch the function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(x\right)\,[/latex]by a factor of 2. The vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Consider the three key points from the parent function,[latex]\,\left(\frac{1}{4},-1\right),[/latex][latex]\left(1,0\right),\,[/latex]and[latex]\,\left(4,1\right).[/latex] The new coordinates are found by multiplying the[latex]\,y\,[/latex]coordinates by 2. Label the points[latex]\,\left(\frac{1}{4},-2\right),[/latex][latex]\left(1,0\right)\,,[/latex] and[latex]\,\left(4,\text{2}\right).[/latex] The domain is[latex]\,\left(0,\,\infty \right),[/latex] the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),\,[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.\,[/latex]See (Figure). Figure 11. The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex] the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Try It Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)=\frac{1}{2}\,{\mathrm{log}}_{4}\left(x\right)\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution The domain is[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Combining a Shift and a Stretch Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)=5\mathrm{log}\left(x+2\right).\,[/latex]State the domain, range, and asymptote. Show Solution Remember: what happens inside parentheses happens first. First, we move the graph left 2 units, then stretch the function vertically by a factor of 5, as in (Figure). The vertical asymptote will be shifted to[latex]\,x=-2.\,[/latex]The x-intercept will be[latex]\,\left(-1,0\right).\,[/latex]The domain will be[latex]\,\left(-2,\infty \right).\,[/latex]Two points will help give the shape of the graph:[latex]\,\left(-1,0\right)\,[/latex]and[latex]\,\left(8,5\right).\,[/latex]We chose[latex]\,x=8\,[/latex]as the x-coordinate of one point to graph because when[latex]\,x=8,\,[/latex][latex]\,x+2=10,\,[/latex]the base of the common logarithm. Figure 12. The domain is[latex]\,\left(-2,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=-2.[/latex] Try It Sketch a graph of the function[latex]\,f\left(x\right)=3\mathrm{log}\left(x-2\right)+1.\,[/latex]State the domain, range, and asymptote. Show Solution The domain is[latex]\,\left(2,\infty \right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=2.[/latex] Graphing Reflections of f(x) = logb(x) When the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is multiplied by[latex]\,-1,[/latex]the result is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by[latex]\,-1,[/latex]the result is a reflection about the y-axis. To visualize reflections, we restrict[latex]\,b>1,\,[/latex]and observe the general graph of the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]alongside the reflection about the x-axis,[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{-log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]and the reflection about the y-axis,[latex]\,h\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(-x\right).[/latex] Figure 13. Reflections of the Parent Function y = logb(x) The function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{-log}}_{b}\left(x\right)[/latex] reflects the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]about the x-axis. has domain,[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex] range,[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and vertical asymptote,[latex]\,x=0,[/latex] which are unchanged from the parent function. The function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(-x\right)[/latex] reflects the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]about the y-axis. has domain[latex]\,\left(-\infty ,0\right).[/latex] has range,[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and vertical asymptote,[latex]\,x=0,[/latex] which are unchanged from the parent function. Given a logarithmic function with the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right),[/latex] graph a translation. \| [latex]\text{If }f\left(x\right)=-{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] \| [latex]\text{If }f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(-x\right)[/latex] \| --- \| \| 1. Draw the vertical asymptote,[latex]\,x=0.[/latex] \| 1. Draw the vertical asymptote,[latex]\,x=0.[/latex] \| \| 1. Plot the x-intercept,[latex]\,\left(1,0\right).[/latex] \| 1. Plot the x-intercept,[latex]\,\left(1,0\right).[/latex] \| \| 1. Reflect the graph of the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]about the x-axis. \| 1. Reflect the graph of the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]about the y-axis. \| \| 1. Draw a smooth curve through the points. \| 1. Draw a smooth curve through the points. \| \| 1. State the domain,[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex] the range,[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote[latex]\,x=0.[/latex] \| 1. State the domain,[latex]\,\left(-\infty ,0\right),[/latex] the range,[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex] and the vertical asymptote[latex]\,x=0.[/latex] \| Graphing a Reflection of a Logarithmic Function Sketch a graph of[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(-x\right)\,[/latex]alongside its parent function. Include the key points and asymptote on the graph. State the domain, range, and asymptote. Show Solution Before graphing[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(-x\right),[/latex]identify the behavior and key points for the graph. Since[latex]\,b=10\,[/latex]is greater than one, we know that the parent function is increasing. Since the input value is multiplied by[latex]\,-1,[/latex][latex]f\,[/latex]is a reflection of the parent graph about the y-axis. Thus,[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(-x\right)\,[/latex]will be decreasing as[latex]\,x\,[/latex]moves from negative infinity to zero, and the right tail of the graph will approach the vertical asymptote[latex]\,x=0.\,[/latex] The x-intercept is[latex]\,\left(-1,0\right).[/latex] We draw and label the asymptote, plot and label the points, and draw a smooth curve through the points. Figure 14. The domain is[latex]\,\left(-\infty ,0\right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] Try It Graph[latex]\,f\left(x\right)=-\mathrm{log}\left(-x\right).\,[/latex]State the domain, range, and asymptote. Show Solution The domain is[latex]\,\left(-\infty ,0\right),[/latex]the range is[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]and the vertical asymptote is[latex]\,x=0.[/latex] How To Given a logarithmic equation, use a graphing calculator to approximate solutions. Press [Y=]. Enter the given logarithm equation or equations as Y1= and, if needed, Y2=. Press [GRAPH] to observe the graphs of the curves and use [WINDOW] to find an appropriate view of the graphs, including their point(s) of intersection. To find the value of[latex]\,x,[/latex] we compute the point of intersection. Press [2ND] then [CALC]. Select “intersect” and press [ENTER] three times. The point of intersection gives the value of[latex]\,x,[/latex]for the point(s) of intersection. Approximating the Solution of a Logarithmic Equation Solve[latex]\,4\mathrm{ln}\left(x\right)+1=-2\mathrm{ln}\left(x-1\right)\,[/latex]graphically. Round to the nearest thousandth. Show Solution Press [Y=] and enter[latex]\,4\mathrm{ln}\left(x\right)+1\,[/latex]next to Y1=. Then enter[latex]\,-2\mathrm{ln}\left(x-1\right)\,[/latex]next to Y2=. For a window, use the values 0 to 5 for[latex]\,x\,[/latex]and –10 to 10 for[latex]\,y.\,[/latex]Press [GRAPH]. The graphs should intersect somewhere a little to right of[latex]\,x=1.[/latex] For a better approximation, press [2ND] then [CALC]. Select [5: intersect] and press [ENTER] three times. The x-coordinate of the point of intersection is displayed as 1.3385297. (Your answer may be different if you use a different window or use a different value for Guess?) So, to the nearest thousandth,[latex]\,x\approx 1.339.[/latex] Try It Solve[latex]\,5\mathrm{log}\left(x+2\right)=4-\mathrm{log}\left(x\right)\,[/latex]graphically. Round to the nearest thousandth. Show Solution [latex]x\approx 3.049[/latex] Summarizing Translations of the Logarithmic Function Now that we have worked with each type of translation for the logarithmic function, we can summarize each in (Figure) to arrive at the general equation for translating exponential functions. \| Translations of the Parent Function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] \| \| Translation \| Form \| \| Shift Horizontally[latex]\,c\,[/latex]units to the left Vertically[latex]\,d\,[/latex]units up \| [latex]y={\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d[/latex] \| \| Stretch and Compress Stretch if[latex]\,\|a\|>1[/latex] Compression if[latex]\,\|a\|<1[/latex] \| [latex]y=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] \| \| Reflect about the x-axis \| [latex]y=-{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] \| \| Reflect about the y-axis \| [latex]y={\mathrm{log}}_{b}\left(-x\right)[/latex] \| \| General equation for all translations \| [latex]y=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d[/latex] \| Translations of Logarithmic Functions All translations of the parent logarithmic function,[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right),[/latex] have the form [latex]f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d[/latex] where the parent function,[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right),b>1,[/latex]is shifted vertically up[latex]\,d\,[/latex]units. shifted horizontally to the left[latex]\,c\,[/latex]units. stretched vertically by a factor of[latex]\,\|a\|\,[/latex]if[latex]\,\|a\|>0.[/latex] compressed vertically by a factor of[latex]\,\|a\|\,[/latex]if[latex]\,0<\|a\|<1.[/latex] reflected about the x-axis when[latex]\,a<0.[/latex] For[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(-x\right),[/latex] the graph of the parent function is reflected about the y-axis. Finding the Vertical Asymptote of a Logarithm Graph What is the vertical asymptote of[latex]\,f\left(x\right)=-2{\mathrm{log}}_{3}\left(x+4\right)+5?[/latex] Show Solution The vertical asymptote is at[latex]\,x=-4.[/latex] Analysis The coefficient, the base, and the upward translation do not affect the asymptote. The shift of the curve 4 units to the left shifts the vertical asymptote to[latex]\,x=-4.[/latex] Try It What is the vertical asymptote of[latex]\,f\left(x\right)=3+\mathrm{ln}\left(x-1\right)?[/latex] Show Solution [latex]x=1[/latex] Finding the Equation from a Graph Find a possible equation for the common logarithmic function graphed in (Figure). Figure 15. Show Solution This graph has a vertical asymptote at[latex]\,x=–2\,[/latex]and has been vertically reflected. We do not know yet the vertical shift or the vertical stretch. We know so far that the equation will have form: [latex]f\left(x\right)=-a\mathrm{log}\left(x+2\right)+k[/latex] It appears the graph passes through the points[latex]\,\left(–1,1\right)\,[/latex]and[latex]\,\left(2,–1\right).\,[/latex]Substituting[latex]\,\left(–1,1\right),[/latex] [latex]\begin{array}{ll}1=-a\mathrm{log}\left(-1+2\right)+k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\hfill & \text{Substitute }\left(-1,1\right).\hfill \ 1=-a\mathrm{log}\left(1\right)+k\hfill & \text{Arithmetic}.\hfill \ 1=k\hfill & \text{log(1)}=0.\hfill \end{array}[/latex] Next, substituting in[latex]\,\left(2,–1\right)[/latex], [latex]\begin{array}{lll}-1=-a\mathrm{log}\left(2+2\right)+1\hfill & \hfill & \text{Plug in }\left(2,-1\right).\hfill \ -2=-a\mathrm{log}\left(4\right)\hfill & \hfill & \text{Arithmetic}.\hfill \ \text{ }a=\frac{2}{\mathrm{log}\left(4\right)}\hfill & \hfill & \text{Solve for }a.\hfill \end{array}[/latex] This gives us the equation[latex]\,f\left(x\right)=–\frac{2}{\mathrm{log}\left(4\right)}\mathrm{log}\left(x+2\right)+1.[/latex] Analysis We can verify this answer by comparing the function values in (Figure) with the points on the graph in (Figure). \| [latex]x[/latex] \| −1 \| 0 \| 1 \| 2 \| 3 \| \| [latex]f\left(x\right)[/latex] \| 1 \| 0 \| −0.58496 \| −1 \| −1.3219 \| \| [latex]x[/latex] \| 4 \| 5 \| 6 \| 7 \| 8 \| \| [latex]f\left(x\right)[/latex] \| −1.5850 \| −1.8074 \| −2 \| −2.1699 \| −2.3219 \| Try It Give the equation of the natural logarithm graphed in (Figure). Figure 16. Show Solution [latex]f\left(x\right)=2\mathrm{ln}\left(x+3\right)-1[/latex] Is it possible to tell the domain and range and describe the end behavior of a function just by looking at the graph? Yes, if we know the function is a general logarithmic function. For example, look at the graph in (Figure). The graph approaches[latex]\,x=-3\,/latex more and more closely, so[latex]\,x=-3\,[/latex]is, or is very close to, the vertical asymptote. It approaches from the right, so the domain is all points to the right,[latex]\,\left{x\,\|\,x>-3\right}.\,[/latex]The range, as with all general logarithmic functions, is all real numbers. And we can see the end behavior because the graph goes down as it goes left and up as it goes right. The end behavior is that as[latex]\,x\to -{3}^{+},f\left(x\right)\to -\infty \,[/latex]and as[latex]\,x\to \infty ,f\left(x\right)\to \infty .[/latex] Access these online resources for additional instruction and practice with graphing logarithms. Graph an Exponential Function and Logarithmic Function Match Graphs with Exponential and Logarithmic Functions Find the Domain of Logarithmic Functions Key Equations \| \| \| --- \| \| General Form for the Translation of the Parent Logarithmic Function[latex]\text{ }f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] \| [latex]f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d[/latex] \| Key Concepts To find the domain of a logarithmic function, set up an inequality showing the argument greater than zero, and solve for[latex]\,x.\,[/latex]See (Figure) and (Figure) The graph of the parent function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]has an x-intercept at[latex]\,\left(1,0\right),[/latex]domain[latex]\,\left(0,\infty \right),[/latex]range[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right),[/latex]vertical asymptote[latex]\,x=0,[/latex]and if[latex]\,b>1,[/latex]the function is increasing. if[latex]\,0 See (Figure). The equation[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)\,[/latex]shifts the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]horizontally + left[latex]\,c\,[/latex]units if[latex]\,c>0.[/latex] + right[latex]\,c\,[/latex]units if[latex]\,c<0.[/latex] See (Figure). The equation[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)+d\,[/latex]shifts the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]vertically + up[latex]\,d\,[/latex]units if[latex]\,d>0.[/latex] + down[latex]\,d\,[/latex]units if[latex]\,d<0.[/latex] See (Figure). For any constant[latex]\,a>0,[/latex] the equation[latex]\,f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)[/latex] + stretches the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]vertically by a factor of[latex]\,a\,[/latex]if[latex]\,\|a\|>1.[/latex] + compresses the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]vertically by a factor of[latex]\,a\,[/latex]if[latex]\,\|a\|<1.[/latex] See (Figure) and (Figure). When the parent function[latex]\,y={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]is multiplied by[latex]\,-1,[/latex] the result is a reflection about the x-axis. When the input is multiplied by[latex]\,-1,[/latex] the result is a reflection about the y-axis. + The equation[latex]\,f\left(x\right)=-{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)\,[/latex]represents a reflection of the parent function about the x-axis. + The equation[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(-x\right)\,[/latex]represents a reflection of the parent function about the y-axis. See (Figure). A graphing calculator may be used to approximate solutions to some logarithmic equations See (Figure). All translations of the logarithmic function can be summarized by the general equation[latex]\, f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d.\,[/latex]See (Figure). Given an equation with the general form[latex]\,f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d,[/latex]we can identify the vertical asymptote[latex]\,x=-c\,[/latex]for the transformation. See (Figure). Using the general equation[latex]\,f\left(x\right)=a{\mathrm{log}}_{b}\left(x+c\right)+d,[/latex]we can write the equation of a logarithmic function given its graph. See (Figure). Section Exercises Verbal The inverse of every logarithmic function is an exponential function and vice-versa. What does this tell us about the relationship between the coordinates of the points on the graphs of each? Show Solution Since the functions are inverses, their graphs are mirror images about the line[latex]\,y=x.\,[/latex]So for every point[latex]\,\left(a,b\right)\,[/latex]on the graph of a logarithmic function, there is a corresponding point[latex]\,\left(b,a\right)\,[/latex]on the graph of its inverse exponential function. What type(s) of translation(s), if any, affect the range of a logarithmic function? What type(s) of translation(s), if any, affect the domain of a logarithmic function? Show Solution Shifting the function right or left and reflecting the function about the y-axis will affect its domain. Consider the general logarithmic function[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x\right).\,[/latex]Why can’t[latex]\,x\,[/latex]be zero? Does the graph of a general logarithmic function have a horizontal asymptote? Explain. Show Solution No. A horizontal asymptote would suggest a limit on the range, and the range of any logarithmic function in general form is all real numbers. Algebraic For the following exercises, state the domain and range of the function. [latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x+4\right)[/latex] [latex]h\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{1}{2}-x\right)[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right);\,[/latex]Range:[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right)[/latex] [latex]g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(2x+9\right)-2[/latex] [latex]h\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(4x+17\right)-5[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(-\frac{17}{4},\infty \right);\,[/latex]Range:[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right)[/latex] [latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(12-3x\right)-3[/latex] For the following exercises, state the domain and the vertical asymptote of the function. [latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{b}\left(x-5\right)[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(5,\infty \right);\,[/latex]Vertical asymptote:[latex]\,x=5[/latex] [latex]\,g\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(3-x\right)[/latex] [latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(3x+1\right)[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(-\frac{1}{3},\infty \right);\,[/latex]Vertical asymptote:[latex]\,x=-\frac{1}{3}[/latex] [latex]\,f\left(x\right)=3\mathrm{log}\left(-x\right)+2[/latex] [latex]\,g\left(x\right)=-\mathrm{ln}\left(3x+9\right)-7[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(-3,\infty \right);\,[/latex]Vertical asymptote:[latex]\,x=-3[/latex] For the following exercises, state the domain, vertical asymptote, and end behavior of the function. [latex]f\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(2-x\right)[/latex] [latex]f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x-\frac{3}{7}\right)[/latex] Show Solution Domain: [latex]\left(\frac{3}{7},\infty \right)[/latex]; [latex]h\left(x\right)=-\mathrm{log}\left(3x-4\right)+3[/latex] [latex]g\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(2x+6\right)-5[/latex] Show Solution Domain: [latex]\left(-3,\infty \right)[/latex]; Vertical asymptote: [latex]x=-3[/latex]; [latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(15-5x\right)+6[/latex] For the following exercises, state the domain, range, and x– and y-intercepts, if they exist. If they do not exist, write DNE. [latex]h\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(x-1\right)+1[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(1,\infty \right);\,[/latex]Range:[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right);\,[/latex]Vertical asymptote:[latex]\,x=1;\,[/latex]x-intercept:[latex]\,\left(\frac{5}{4},0\right);\,[/latex]y-intercept: DNE [latex]f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(5x+10\right)+3[/latex] [latex]g\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(-x\right)-2[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(-\infty ,0\right);\,[/latex]Range:[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right);\,[/latex]Vertical asymptote:[latex]\,x=0;\,[/latex]x-intercept:[latex]\,\left(-{e}^{2},0\right);\,[/latex]y-intercept: DNE [latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x+2\right)-5[/latex] [latex]h\left(x\right)=3\mathrm{ln}\left(x\right)-9[/latex] Show Solution Domain:[latex]\,\left(0,\infty \right);\,[/latex]Range:[latex]\,\left(-\infty ,\infty \right);\,[/latex] Vertical asymptote: [latex]\,x=0;\,[/latex]x-intercept:[latex]\,\left({e}^{3},0\right);\,[/latex]y-intercept: DNE Graphical For the following exercises, match each function in (Figure) with the letter corresponding to its graph. Figure 17. [latex]d\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x\right)[/latex] [latex]f\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(x\right)[/latex] Show Solution B [latex]g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)[/latex] [latex]h\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(x\right)[/latex] Show Solution C [latex]j\left(x\right)={\mathrm{log}}_{25}\left(x\right)[/latex] For the following exercises, match each function in (Figure) with the letter corresponding to its graph. Figure 18. [latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{1}{3}}\left(x\right)[/latex] Show Solution B [latex]g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)[/latex] [latex]h\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{3}{4}}\left(x\right)[/latex] Show Solution C For the following exercises, sketch the graphs of each pair of functions on the same axis. [latex]f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x\right)\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)={10}^{x}[/latex] [latex]f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x\right)\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}\left(x\right)[/latex] Show Solution [latex]f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(x\right)\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(x\right)[/latex] [latex]f\left(x\right)={e}^{x}\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(x\right)[/latex] Show Solution For the following exercises, match each function in (Figure) with the letter corresponding to its graph. Figure 19. Show Solution C For the following exercises, sketch the graph of the indicated function. Show Solution Show Solution Show Solution For the following exercises, write a logarithmic equation corresponding to the graph shown. Use[latex]\,y={\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)\,[/latex]as the parent function. Show Solution Use[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{3}\left(x\right)\,[/latex]as the parent function. Use[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{4}\left(x\right)\,[/latex]as the parent function. Show Solution Use[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{5}\left(x\right)\,[/latex]as the parent function. Technology For the following exercises, use a graphing calculator to find approximate solutions to each equation. Show Solution Show Solution [latex]x\approx \text{2}\text{.303}[/latex] Show Solution [latex]x\approx -0.472[/latex] Extensions Let[latex]\,b\,[/latex]be any positive real number such that[latex]\,b\ne 1.\,[/latex]What must[latex]\,{\mathrm{log}}_{b}1\,[/latex]be equal to? Verify the result. Explore and discuss the graphs of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}\left(x\right)\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)=-{\mathrm{log}}_{2}\left(x\right).\,[/latex]Make a conjecture based on the result. Show Solution The graphs of[latex]\,f\left(x\right)={\mathrm{log}}_{\frac{1}{2}}\left(x\right)\,[/latex]and[latex]\,g\left(x\right)=-{\mathrm{log}}_{2}\left(x\right)\,[/latex]appear to be the same; Conjecture: for any positive base[latex]\,b\ne 1,[/latex][latex]\,{\mathrm{log}}_{b}\left(x\right)=-{\mathrm{log}}_{\frac{1}{b}}\left(x\right).[/latex] Prove the conjecture made in the previous exercise. What is the domain of the function[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{x+2}{x-4}\right)?\,[/latex]Discuss the result. Show Solution Recall that the argument of a logarithmic function must be positive, so we determine where[latex]\,\frac{x+2}{x-4}>0\,[/latex]. From the graph of the function[latex]\,f\left(x\right)=\frac{x+2}{x-4},[/latex] note that the graph lies above the x-axis on the interval[latex]\,\left(-\infty ,-2\right)\,[/latex]and again to the right of the vertical asymptote, that is[latex]\,\left(4,\infty \right).\,[/latex]Therefore, the domain is[latex]\,\left(-\infty ,-2\right)\cup \left(4,\infty \right).[/latex] Use properties of exponents to find the x-intercepts of the function[latex]\,f\left(x\right)=\mathrm{log}\left({x}^{2}+4x+4\right)\,[/latex]algebraically. Show the steps for solving, and then verify the result by graphing the function. Candela Citations CC licensed content, Shared previously Algebra and Trigonometry. Authored by: Jay Abramson, et. al. Provided by: OpenStax CNX. Located at: License: CC BY: Attribution. License Terms: Download for free at Licenses and Attributions CC licensed content, Shared previously Algebra and Trigonometry. Authored by: Jay Abramson, et. al. Provided by: OpenStax CNX. Located at: License: CC BY: Attribution. License Terms: Download for free at Privacy Policy
9770	https://www.facebook.com/groups/tiling/posts/2089389634817904/	Mathematical Tiling and Tessellation \| You might like this. \| Facebook Log In Log In Forgot Account? Mathematical Tiling and Tessellation \| You might like this. =========================================================== ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- · 116.8K members Join group Mathematical Tiling and Tessellation · Join Tim Robinson · May 4 · You might like this. Tim RobinsonMathematics Group Tim Robinson · May 5, 2019 · Tim Robinson May 5, 2019 · Show that there are infinitely many ways of cutting a square into 8 triangles of equal area. Show that there are infinitely many ways of cutting a square into 8 triangles of equal area. All reactions: 7 8 comments Like Comment All comments Andrew Tyberghein yeah, since the triangles only have to have equal area and not equal side lengths or angles. You can pretty much cut it any way you like it as long as you meet the criteria of 3 sides each among the 8 sections. It can be cut extremely irregularly and… See more 21w Doc Infinity I’ll give a demo showing all of them tomorrow on my YouTube channel. 20w 2 Matthew Hendershot Does it count if I just say "per se notum" with confidence? 20w View more comments 3 of 5 See more on Facebook See more on Facebook Email or phone number Password Log In Forgot password? or Create new account
9771	https://proofwiki.org/wiki/Perpendicular_Distance_from_Straight_Line_in_Plane_to_Point/General_Form	Perpendicular Distance from Straight Line in Plane to Point/General Form - ProofWiki Perpendicular Distance from Straight Line in Plane to Point/General Form From ProofWiki <Perpendicular Distance from Straight Line in Plane to Point Jump to navigationJump to search [x] Contents 1 Theorem 2 Proof 1 3 Proof 2 4 Sources Theorem Let L L be a straight line embedded in a cartesian plane, given by the equation: a x+b y+c=0 a x+b y+c=0 Let P P be a point in the cartesian plane whose coordinates are given by: P=(x 0,y 0)P=(x 0,y 0) Then the perpendicular distanced d from P P to L L is given by: d=\|a x 0+b y 0+c\|a 2+b 2−−−−−−√d=\|a x 0+b y 0+c\|a 2+b 2 Proof 1 We have that L L has the equation: (1):a x+b y+c=0(1):a x+b y+c=0 Let a perpendicular be dropped from P P to L L at Q Q. The perpendicular distanced d that we are to find is then P Q P Q. In order to simplify the algebra that will inevitably follow, we are to make a transformation as follows. Let M M be constructed parallel to L L. Construct a perpendicular from M M to pass through the origin. Let this perpendicularintersectM M at R R and L L at S S. We have that P Q S R P Q S R is a rectangle, and so R S=P Q R S=P Q. It remains to establish the length of R S R S. We can manipulate (1)(1) into slope-intercept form as: y=−a b x−c b y=−a b x−c b Thus the slope of L L is −a b−a b. From Condition for Straight Lines in Plane to be Perpendicular, the slope of R S R S is then b a b a. The next step is to find the coordinates of R R and S S. From Equation of Straight Line in Plane: Point-Slope Form, the equation of M M can be given as: y−y 0=−a b(x−x 0)y−y 0=−a b(x−x 0) or: (2):y=−a x+a x 0+b y 0 b(2):y=−a x+a x 0+b y 0 b From Equation of Straight Line in Plane: Slope-Intercept Form, the equation of R S R S can be given as: (3):y=b a x(3):y=b a x M M and R S R Sintersect where these are equal: b a x=−a x+a x 0+b y 0 b b a x=−a x+a x 0+b y 0 b which gives us: x=a(a x 0+b y 0)a 2+b 2 x=a(a x 0+b y 0)a 2+b 2 Substituting back for y y in 3 3, we find that: R=(a(a x 0+b y 0)a 2+b 2,b(a x 0+b y 0)a 2+b 2)R=(a(a x 0+b y 0)a 2+b 2,b(a x 0+b y 0)a 2+b 2) Now to find the coordinates of S S, which is the intersection of L L and R S R S. We can express L L as: y=−a x+c b y=−a x+c b and so: b a x=−a x+c b b a x=−a x+c b which leads to: x=−a c a 2+b 2 x=−a c a 2+b 2 Substituting back for y y in 3 3, we get (after algebra): S=(−a c a 2+b 2,−b c a 2+b 2)S=(−a c a 2+b 2,−b c a 2+b 2) It remains to find the lengthd d of R S R S. From the Distance Formula: d d==(−a c a 2+b 2−a(a x 0+b y 0)a 2+b 2)2+(−b c a 2+b 2−b(a x 0+b y 0)a 2+b 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(−a c a 2+b 2−a(a x 0+b y 0)a 2+b 2)2+(−b c a 2+b 2−b(a x 0+b y 0)a 2+b 2)2 ==(−a(a x 0+b y 0+c))2+(−b(a x 0+b y 0+c))2(a 2+b 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷(−a(a x 0+b y 0+c))2+(−b(a x 0+b y 0+c))2(a 2+b 2)2 ==(a 2+b 2)(a x 0+b y 0+c)2(a 2+b 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎷(a 2+b 2)(a x 0+b y 0+c)2(a 2+b 2)2 ==(a x 0+b y 0+c)2 a 2+b 2−−−−−−−−−−−−−−√(a x 0+b y 0+c)2 a 2+b 2 ==\|a x 0+b y 0+c\|a 2+b 2−−−−−−√\|a x 0+b y 0+c\|a 2+b 2 as length is positive ■◼ Proof 2 Let a perpendicular be dropped from P P to L L at Q Q. Let P Q P Q make an angleα α with the x x-axis. Let p p be the length of P Q P Q. Then the coordinates of Q Q are given by: Q=(x 0+p cos α,y 0+p sin α)Q=(x 0+p cos⁡α,y 0+p sin⁡α) Q Q lies on a x+b y+c a x+b y+c, and so: a(x 0+p cos α)+b(y 0+p sin α)+c=0 a(x 0+p cos⁡α)+b(y 0+p sin⁡α)+c=0 a(x 0+p cos α)+b(y 0+p sin α)+c a(x 0+p cos⁡α)+b(y 0+p sin⁡α)+c==0 0 ⇝⇝p(a cos α+b sin α)p(a cos⁡α+b sin⁡α)==−(a x 0+b y 0+c)−(a x 0+b y 0+c) But from Condition for Straight Lines in Plane to be Perpendicular: tan α(−a b)tan⁡α(−a b)==−1−1 ⇝⇝tan α tan⁡α==b a b a ⇝⇝a cos α+b sin α a cos⁡α+b sin⁡α==a a a 2+b 2−−−−−−√+b b a 2+b 2−−−−−−√a a a 2+b 2+b b a 2+b 2 ==a 2+b 2−−−−−−√a 2+b 2 ⇝⇝p p==−a x 0+b y 0+c a 2+b 2−−−−−−√−a x 0+b y 0+c a 2+b 2 The minus sign has no immediate significance, and the result follows. ■◼ Sources 1933:D.M.Y. Sommerville: Analytical Conics(3rd ed.)... (previous)... (next): Chapter II II. The Straight Line: 6 6. Distance of a point from a line 1968:Murray R. Spiegel: Mathematical Handbook of Formulas and Tables... (previous)... (next): §10§10: Formulas from Plane Analytic Geometry: Distance from Point (x 1,y 1)(x 1,y 1) to Line A x+B y+C=0 A x+B y+C=0: 10.8 10.8 2009:Murray R. Spiegel,Seymour Lipschutzand John Liu: Mathematical Handbook of Formulas and Tables(3rd ed.)... (previous)... (next): §8§8: Formulas from Plane Analytic Geometry: Distance from Point (x 1,y 1)(x 1,y 1) to Line A x+B y+C=0 A x+B y+C=0: 8.8.8.8. 2014:Christopher Claphamand James Nicholson: The Concise Oxford Dictionary of Mathematics(5th ed.)... (previous)... (next): distance from a point to a line(in the plane) 2014:Christopher Claphamand James Nicholson: The Concise Oxford Dictionary of Mathematics(5th ed.)... (previous)... (next): Appendix 4 4: Geometry: equations of lines and planes: Distance from a point to a line 2021:Richard Earland James Nicholson: The Concise Oxford Dictionary of Mathematics(6th ed.)... (previous)... (next): distance from a point to a line(in the plane) 2021:Richard Earland James Nicholson: The Concise Oxford Dictionary of Mathematics(6th ed.)... (previous)... (next): Appendix 5 5: Geometry: equations of lines and planes: Distance from a point to a line Retrieved from " Categories: Proven Results Perpendicular Distance from Straight Line in Plane to Point Navigation menu Personal tools Log in Request account Namespaces Page Discussion [x] English Views Read View source View history [x] More Search Navigation Main Page Community discussion Community portal Recent changes Random proof Help FAQ P r∞f W i k i P r∞f W i k i L A T E X L A T E X commands ProofWiki.org Proof Index Definition Index Symbol Index Axiom Index Mathematicians Books Sandbox All Categories Glossary Jokes To Do Proofread Articles Wanted Proofs More Wanted Proofs Help Needed Research Required Stub Articles Tidy Articles Improvements Invited Refactoring Missing Links Maintenance Tools What links here Related changes Special pages Printable version Permanent link Page information This page was last modified on 21 September 2025, at 13:39 and is 3,603 bytes Content is available under Creative Commons Attribution-ShareAlike License unless otherwise noted. Privacy policy About ProofWiki Disclaimers
9772	https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Map%3A_Organic_Chemistry_(Smith)/15%3A_Benzene_and_Aromatic_Compounds/15.02%3A_The_Structure_of_Benzene	Skip to main content 15.2: The Structure of Benzene Last updated : Jun 5, 2019 Save as PDF 15.1: Background 15.3: Nomenclature of Benzene Derivatives Page ID : 30649 ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}) Among the many distinctive features of benzene, its aromaticity is the major contributor to why it is so unreactive. This section will try to clarify the theory of aromaticity and why aromaticity gives unique qualities that make these conjugated alkenes inert to compounds such as Br2 and even hydrochloric acid. It will also go into detail about the unusually large resonance energy due to the six conjugated carbons of benzene. The delocalization of the p-orbital carbons on the sp2 hybridized carbons is what gives the aromatic qualities of benzene. This diagram shows one of the molecular orbitals containing two of the delocalized electrons, which may be found anywhere within the two "doughnuts". The other molecular orbitals are almost never drawn. Benzene, C6H6, is a planar molecule containing a ring of six carbon atoms, each with a hydrogen atom attached. The six carbon atoms form a perfectly regular hexagon. All of the carbon-carbon bonds have exactly the same lengths - somewhere between single and double bonds. There are delocalized electrons above and below the plane of the ring. The presence of the delocalized electrons makes benzene particularly stable. Benzene resists addition reactions because those reactions would involve breaking the delocalization and losing that stability. Benzene is represented by this symbol, where the circle represents the delocalized electrons, and each corner of the hexagon has a carbon atom with a hydrogen attached. Basic Structure of Benzene Because of the aromaticity of benzene, the resulting molecule is planar in shape with each C-C bond being 1.39 Å in length and each bond angle being 120°. You might ask yourselves how it's possible to have all of the bonds to be the same length if the ring is conjugated with both single (1.47 Å) and double (1.34 Å), but it is important to note that there are no distinct single or double bonds within the benzene. Rather, the delocalization of the ring makes each count as one and a half bonds between the carbons which makes sense because experimentally we find that the actual bond length is somewhere in between a single and double bond. Finally, there are a total of six p-orbital electrons that form the stabilizing electron clouds above and below the aromatic ring. Contributors Jim Clark (Chemguide.co.uk) 15.1: Background 15.3: Nomenclature of Benzene Derivatives
9773	https://math.stackexchange.com/questions/2187432/uniqueness-of-numbers-composed-of-primes	Uniqueness of numbers composed of primes - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Loading… Tour Start here for a quick overview of the site Help Center Detailed answers to any questions you might have Meta Discuss the workings and policies of this site About Us Learn more about Stack Overflow the company, and our products current community Mathematics helpchat Mathematics Meta your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Home Questions Unanswered AI Assist Labs Tags Chat Users Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Uniqueness of numbers composed of primes Ask Question Asked 8 years, 6 months ago Modified8 years, 6 months ago Viewed 511 times This question shows research effort; it is useful and clear 2 Save this question. Show activity on this post. TL;DR: If X is a number that is created by multiplying n unique primes together, is it unique among all similarly created numbers? My motivation for this is: Let's say I have an array of 20,000 unique strings ordered alphabetically (not important here) and to each I assign, in ascending order, the ith prime from a corresponding list of the first 20,000 primes. Thus, the first item in the list is 2, the second 3, third 5, etc. I am inclined to think of the prime as a symbol that represents the unique string. Overall, I want to identify clusters of these reassigned symbols that reappear in lines of variable numbers of the symbols associated together uniquely (same symbol doesn't appear twice on a single line). IOW, given the following mapping of unique strings to prime numbers: "Unique-1" - 2 "Unique-2" - 3 "Unique-3" - 5 "Unique-4" - 7 "Unique-5" - 11 The two lines of associations of strings: 1) Unique-1;Unique-2;Unique-3;Unique-4 2) Unique-1;Unique-3;Unique-5; Get transformed into: 1) 2;3;5;7 2) 2;5;11 The 2;5 is an n-cluster (n > 1) that appears more than once in this small data set. 25 = 10. There are no n primes, other than 2,5, such that their product equals 10. Can I use 10 as a unique identifier for the cluster 2;5, or, Unique-1;Unique-3. IOW, can I confidently use any number so composed as a key in a dictionary data structure? prime-numbers Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications asked Mar 15, 2017 at 6:37 argyleargyle 123 4 4 bronze badges 3 Fundamental theorem of arithmeticRobert Israel –Robert Israel 2017-03-15 06:42:12 +00:00 Commented Mar 15, 2017 at 6:42 Can you explain to me what is meant by "up to the order of the factors"? I knew of this theorem, of course, but didn't remember it including uniqueness.argyle –argyle 2017-03-15 06:46:05 +00:00 Commented Mar 15, 2017 at 6:46 what is meant by "up to the order of the factors"10=2⋅5=5⋅2 10=2⋅5=5⋅2.dxiv –dxiv 2017-03-15 06:56:59 +00:00 Commented Mar 15, 2017 at 6:56 Add a comment\| 1 Answer 1 Sorted by: Reset to default This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. Yes, the uniqueness of prime factorization for a given integer is a basic theorem of number theory. You can find it in any textbook or online. Here's a link: Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 3.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Mar 15, 2017 at 8:15 victoriavictoria 1,429 7 7 silver badges 12 12 bronze badges Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions prime-numbers See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Related 0How many unique composites can be produced by multiplying together n primes from a list of m primes? 4How can we prove that F p∈P∨Φ?F p∈P∨Φ? 0Mersenne Cousins (numbers primes) 38Reducing download time using prime numbers 0A pattern in primes numbers? 1Nearby prime sextuplets Hot Network Questions How to home-make rubber feet stoppers for table legs? Can you formalize the definition of infinitely divisible in FOL? Calculating the node voltage Bypassing C64's PETSCII to screen code mapping Why are LDS temple garments secret? How to start explorer with C: drive selected and shown in folder list? Lingering odor presumably from bad chicken Weird utility function Does the mind blank spell prevent someone from creating a simulacrum of a creature using wish? Does the Mishna or Gemara ever explicitly mention the second day of Shavuot? Does a Linux console change color when it crashes? Suggestions for plotting function of two variables and a parameter with a constraint in the form of an equation Program that allocates time to tasks based on priority Languages in the former Yugoslavia Numbers Interpreted in Smallest Valid Base Does "An Annotated Asimov Biography" exist? In Dwarf Fortress, why can't I farm any crops? Direct train from Rotterdam to Lille Europe Interpret G-code What happens if you miss cruise ship deadline at private island? Is encrypting the login keyring necessary if you have full disk encryption? Is direct sum of finite spectra cancellative? Gluteus medius inactivity while riding What is the meaning and import of this highlighted phrase in Selichos? Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Mathematics Tour Help Chat Contact Feedback Company Stack Overflow Teams Advertising Talent About Press Legal Privacy Policy Terms of Service Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.26.34547 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Accept all cookies Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Cookies Details‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Cookies Details‎ Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Cookies Details‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. Cookies Details‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Necessary cookies only Confirm my choices
9774	https://proofwiki.org/wiki/Kronecker%27s_Lemma	Kronecker's Lemma - ProofWiki Kronecker's Lemma From ProofWiki Jump to navigationJump to search [x] Contents 1 Theorem 2 Proof 3 Source of Name 4 Sources Theorem Let ⟨x n⟩⟨x n⟩ be an infinite sequence of real numbers such that: ∑n=1∞x n=s∑n=⁡1∞x n=s exists and is finite. Then for 0<b 1≤b 2≤b 3≤…0<b 1≤b 2≤b 3≤… and b n→∞b n→∞: lim n→∞1 b n∑k=1 n b k x k=0 lim n→⁡∞1 b n∑k=⁡1 n b k x k=0 Proof Let S k S k denote the partial sums of the x x s. Using Summation by Parts: 1 b n∑k=1 n b k x k=S n−1 b n∑k=1 n−1(b k+1−b k)S k 1 b n∑k=⁡1 n b k x k=S n−1 b n∑k=⁡1 n−1(b k+1−b k)S k Now, pick any ϵ∈R>0 ϵ∈R>0. Choose N N such that S k S k is ϵ ϵ-close to s s for k>N k>N. This can be done, as the sequence S k S k converges to s s. Then the right hand side is: S n−1 b n∑k=1 N−1(b k+1−b k)S k−1 b n∑k=N n−1(b k+1−b k)S k S n−1 b n∑k=⁡1 N−1(b k+1−b k)S k−1 b n∑k=⁡N n−1(b k+1−b k)S k ==S n−1 b n∑k=1 N−1(b k+1−b k)S k−1 b n∑k=N n−1(b k+1−b k)s−1 b n∑k=N n−1(b k+1−b k)(S k−s)S n−1 b n∑k=⁡1 N−1(b k+1−b k)S k−1 b n∑k=⁡N n−1(b k+1−b k)s−1 b n∑k=⁡N n−1(b k+1−b k)(S k−s) ==S n−1 b n∑k=1 N−1(b k+1−b k)S k−b n−b N b n s−1 b n∑k=N n−1(b k+1−b k)(S k−s)S n−1 b n∑k=⁡1 N−1(b k+1−b k)S k−b n−b N b n s−1 b n∑k=⁡N n−1(b k+1−b k)(S k−s) Now, let n→∞n→∞. The first term goes to s s, which cancels with the third term. The second term goes to zero (as the sum is a fixed value). Since the b b sequence is increasing, the last term is bounded by ϵ b n−b N b n≤ϵ ϵ b n−b N b n≤ϵ. ■◼ This article needs to be linked to other articles. In particular: Needs tightening up a bit, linking to existing results, some definitions need doing. You can help P r∞f W i k i P r∞f W i k i by adding these links. To discuss this page in more detail, feel free to use the talk page. When this work has been completed, you may remove this instance of {{MissingLinks}} from the code. Source of Name This entry was named for Leopold Kronecker. Sources _This page may be the result of a refactoring operation. As such, the following source works, along with any process flow, will need to be reviewed. When this has been completed, the citation of that source work (if it is appropriate that it stay on this page) is to be placed above this message, into the usual chronological ordering._ In particular: The lemma as given here is in a significantly different form from how it is presented in this page -- need to work out whether they are equivalent, or in fact different lemmata altogether. If you have access to any of these works, then you are invited to review this list, and make any necessary corrections. To discuss this page in more detail, feel free to use the talk page. When this work has been completed, you may remove this instance of {{SourceReview}} from the code. 2014:Christopher Claphamand James Nicholson: The Concise Oxford Dictionary of Mathematics(5th ed.)... (previous)... (next): Kronecker's Lemma Retrieved from " Categories: Proven Results Missing Links Named Theorems/Kronecker Real Analysis Hidden category: Source Citation Review Navigation menu Personal tools Log in Request account Namespaces Page Discussion [x] English Views Read View source View history [x] More Search Navigation Main Page Community discussion Community portal Recent changes Random proof Help FAQ P r∞f W i k i P r∞f W i k i L A T E X L A T E X commands ProofWiki.org Proof Index Definition Index Symbol Index Axiom Index Mathematicians Books Sandbox All Categories Glossary Jokes To Do Proofread Articles Wanted Proofs More Wanted Proofs Help Needed Research Required Stub Articles Tidy Articles Improvements Invited Refactoring Missing Links Maintenance Tools What links here Related changes Special pages Printable version Permanent link Page information This page was last modified on 20 December 2021, at 09:05 and is 2,453 bytes Content is available under Creative Commons Attribution-ShareAlike License unless otherwise noted. Privacy policy About ProofWiki Disclaimers
9775	https://math.stackexchange.com/questions/4407094/reduce-4-barycentric-coordinates-to-3-outside-and-inside-of-tetrahedron	Skip to main content Reduce 4 barycentric coordinates to 3, outside and inside of tetrahedron Ask Question Asked Modified 3 years, 5 months ago Viewed 177 times This question shows research effort; it is useful and clear 1 Save this question. Show activity on this post. For any point inside of a tetrahedron, it is possible to describe it in 3 barycentric parameters (the 4th can be deduced from the other 3). Is this reduction from 4 to 3 coordinates also possible for any other point outside the tetrahedron? If so, how do I find which 3 barycentric coordinates describe this point and how I can deduce the 4th? barycentric-coordinates Share CC BY-SA 4.0 Follow this question to receive notifications asked Mar 18, 2022 at 14:35 gandreadisgandreadis 11544 bronze badges Add a comment \| 1 Answer 1 Reset to default This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. The three-dimensional barycentric coordinates of a point P, with respect of tetrahedron ABCD, are either: the four volumes [ABCP],[ABPD],[APCD],[PBCD], which add to [ABCD] for any point P inside the tetrahedron, or the normalized versions, obtained by dividing by [ABCD], which add up to 1 for any point P inside the tetrahedron. We can generalize either of these definitions to points outside the tetrahedron if we use a signed volume. There are many equivalent definitions. For example, assuming that the signed volume of ABCD is positive, we can define the signed volume of ABCP to be positive if P is on the same side of plane ABC as D, and negative if it is on the other side. Do the same for the other volumes. Then, the un-normalized signed volumes will still sum to [ABCD], and the normalized signed volumes will still sum to 1, and so any three of the coordinates tell you the fourth under either convention. More algebraically, the volume of tetrahedron ABCD is given by the formula 16det⎡⎣⎢⎢⎢1111xaxbxcxdyaybycydzazbzczd⎤⎦⎥⎥⎥. Usually, we take the absolute value, but if we don't, then we get one notion of signed volume. Then the coordinates for point P are determined by the four volumes given by the four determinants ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜16det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1111xaxbxcxpyaybycypzazbzczp⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,16det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1111xaxbxpxdyaybypydzazbzpzd⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,16det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1111xaxpxcxdyaypycydzazpzczd⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥,16det⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1111xpxbxcxdypybycydzpzbzczd⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟. We know that the four volumes add up to the volume of ABCD inside the tetrahedron, because the four tetrahedra ABCP,ABPD,APCD,PBCD partition ABCD. But the sum of these four determinants is a polynomial in xp,yp,zp (taking the points A,B,C,D as constant). If this polynomial has a constant value for all (xp,yp,zp) inside the tetrahedron, then it must be constant on all of R3, which is why the signed volumes continue to behave outside the tetrahedron. Share CC BY-SA 4.0 Follow this answer to receive notifications edited Mar 18, 2022 at 14:56 answered Mar 18, 2022 at 14:48 Misha LavrovMisha Lavrov 160k1111 gold badges167167 silver badges304304 bronze badges Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions barycentric-coordinates See similar questions with these tags. Featured on Meta Community help needed to clean up goo.gl links (by August 25) Related 0 Barycentric Coordinates in Equilateral Triangle 1 Determine if a point is inside a subtriangle by its barycentric coordinates 0 Barycentric Coordinates: How do I keep track of Ratios 2 Understanding the intuition behind calculating barycentric coordinates relative to a triangle 1 How can I describe a triangle or tetrahedron with barycentric coordinates? 0 Calculating the barycentric coordinates for a point based on edge lengths alone 3 Explanation of Barycentric coordinates 4 Perpendicular lines in Barycentric coordinates Hot Network Questions Compact arrangement of Qwirkle tiles Why doesn't the Brain just remove Pinky? Project Euler #909: L-Expressions I Was a bright orange shark discovered in Costa Rica? Another binomial identity How to quickly wipe ext4 superblocks on a NVMe SSD? Secure erase? spline parameter not working with set curve radius How do I introduce my 5 yo granddaughter to her father that went to prison when she was 3 months old? Integral that simplifies to Leibniz-like series Need to graph probability distribution for 2d20 +/- 1d6. Adding the d6 if over 10.5, subtracting d6 if under 10.5 Where does the voting occur in a 3 Computer system? Looking for a single noun to describe an ugly looking person or, more broadly, an ugly image Why can we ignore the effect the electron has on the EM field in electron orbitals in quantum mechanics? Drum finger roll notation Reverse engineering images from old Japanese videogame How do we deal with trainees/students using LLM for higher academic work? Extra large seat belt extenders Ratio of the Area of Triangles What building(s) were used as the filming locations for the “Jump Program”? Is there an algorithm to determine the scheduling of CNOTs for rotated surface codes? Fastest double check? Novel where the main character, called Griffin or Gryphon, can change his head from human to griffin and back Why did all my surge protectors smoke when my home became ungrounded? What’s the point of passing an ordinance that only recommends residents limit smartphone use to 2 hours/day if there are no penalties for exceeding it more hot questions Question feed By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device.
9776	https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/6-3-volumes-of-revolution-cylindrical-shells	Published Time: Fri, 08 Aug 2025 21:26:49 GMT 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells - Calculus Volume 1 \| OpenStax This website utilizes technologies such as cookies to enable essential site functionality, as well as for analytics, personalization, and targeted advertising purposes. Privacy Notice Customize Reject All Accept All Customize Consent Preferences We use cookies to help you navigate efficiently and perform certain functions. You will find detailed information about all cookies under each consent category below. The cookies that are categorized as "Necessary" are stored on your browser as they are essential for enabling the basic functionalities of the site. ...Show more For more information on how Google's third-party cookies operate and handle your data, see:Google Privacy Policy Necessary Always Active Necessary cookies are required to enable the basic features of this site, such as providing secure log-in or adjusting your consent preferences. These cookies do not store any personally identifiable data. Cookie oxdid Duration 1 year 1 month 4 days Description OpenStax Accounts cookie for authentication Cookie campaignId Duration Never Expires Description Required to provide OpenStax services Cookie __cf_bm Duration 1 hour Description This cookie, set by Cloudflare, is used to support Cloudflare Bot Management. Cookie CookieConsentPolicy Duration 1 year Description Cookie Consent from Salesforce Cookie LSKey-c$CookieConsentPolicy Duration 1 year Description Cookie Consent from Salesforce Cookie renderCtx Duration session Description This cookie is used for tracking community context state. Cookie pctrk Duration 1 year Description Customer support Cookie _accounts_session_production Duration 1 year 1 month 4 days Description Cookies that are required for authentication and necessary OpenStax functions. Cookie nudge_study_guides_page_counter Duration 1 year 1 month 4 days Description Product analytics Cookie _dd_s Duration 15 minutes Description Zapier cookies that are used for Customer Support services. Cookie ak_bmsc Duration 2 hours Description This cookie is used by Akamai to optimize site security by distinguishing between humans and bots Cookie PHPSESSID Duration session Description This cookie is native to PHP applications. The cookie stores and identifies a user's unique session ID to manage user sessions on the website. The cookie is a session cookie and will be deleted when all the browser windows are closed. Cookie m Duration 1 year 1 month 4 days Description Stripe sets this cookie for fraud prevention purposes. It identifies the device used to access the website, allowing the website to be formatted accordingly. Cookie BrowserId Duration 1 year Description Sale Force sets this cookie to log browser sessions and visits for internal-only product analytics. Cookie ph_phc_bnZwQPxzoC7WnmjFNOUQpcKsaDVg8TwnyoNzbClpIsD_posthog Duration 1 year Description Privacy-focused platform cookie Cookie cookieyes-consent Duration 1 year Description CookieYes sets this cookie to remember users' consent preferences so that their preferences are respected on subsequent visits to this site. It does not collect or store any personal information about the site visitors. Cookie _cfuvid Duration session Description Calendly sets this cookie to track users across sessions to optimize user experience by maintaining session consistency and providing personalized services Cookie dmn_chk_ Duration Less than a minute Description This cookie is set to track user activity across the website. Cookie cookiesession1 Duration 1 year Description This cookie is set by the Fortinet firewall. This cookie is used for protecting the website from abuse. Functional [x] Functional cookies help perform certain functionalities like sharing the content of the website on social media platforms, collecting feedback, and other third-party features. Cookie session Duration session Description Salesforce session cookie. We use Salesforce to drive our support services to users. Cookie projectSessionId Duration session Description Optional AI-based customer support cookie Cookie yt-remote-device-id Duration Never Expires Description YouTube sets this cookie to store the user's video preferences using embedded YouTube videos. Cookie ytidb::LAST_RESULT_ENTRY_KEY Duration Never Expires Description The cookie ytidb::LAST_RESULT_ENTRY_KEY is used by YouTube to store the last search result entry that was clicked by the user. This information is used to improve the user experience by providing more relevant search results in the future. Cookie yt-remote-connected-devices Duration Never Expires Description YouTube sets this cookie to store the user's video preferences using embedded YouTube videos. Cookie yt-remote-session-app Duration session Description The yt-remote-session-app cookie is used by YouTube to store user preferences and information about the interface of the embedded YouTube video player. Cookie yt-remote-cast-installed Duration session Description The yt-remote-cast-installed cookie is used to store the user's video player preferences using embedded YouTube video. Cookie yt-remote-session-name Duration session Description The yt-remote-session-name cookie is used by YouTube to store the user's video player preferences using embedded YouTube video. Cookie yt-remote-fast-check-period Duration session Description The yt-remote-fast-check-period cookie is used by YouTube to store the user's video player preferences for embedded YouTube videos. Cookie yt-remote-cast-available Duration session Description The yt-remote-cast-available cookie is used to store the user's preferences regarding whether casting is available on their YouTube video player. Analytics [x] Analytical cookies are used to understand how visitors interact with the website. These cookies help provide information on metrics such as the number of visitors, bounce rate, traffic source, etc. Cookie hjSession Duration 1 hour Description Hotjar sets this cookie to ensure data from subsequent visits to the same site is attributed to the same user ID, which persists in the Hotjar User ID, which is unique to that site. Cookie visitor_id Duration 9 months 7 days Description Pardot sets this cookie to store a unique user ID. Cookie visitor_id-hash Duration 9 months 7 days Description Pardot sets this cookie to store a unique user ID. Cookie _gcl_au Duration 3 months Description Google Tag Manager sets the cookie to experiment advertisement efficiency of websites using their services. Cookie _ga Duration 1 year 1 month 4 days Description Google Analytics sets this cookie to calculate visitor, session and campaign data and track site usage for the site's analytics report. The cookie stores information anonymously and assigns a randomly generated number to recognise unique visitors. Cookie _gid Duration 1 day Description Google Analytics sets this cookie to store information on how visitors use a website while also creating an analytics report of the website's performance. Some of the collected data includes the number of visitors, their source, and the pages they visit anonymously. Cookie _fbp Duration 3 months Description Facebook sets this cookie to display advertisements when either on Facebook or on a digital platform powered by Facebook advertising after visiting the website. Cookie ga Duration 1 year 1 month 4 days Description Google Analytics sets this cookie to store and count page views. Cookie pardot Duration past Description The pardot cookie is set while the visitor is logged in as a Pardot user. The cookie indicates an active session and is not used for tracking. Cookie pi_pageview_count Duration Never Expires Description Marketing automation tracking cookie Cookie pulse_insights_udid Duration Never Expires Description User surveys Cookie pi_visit_track Duration Never Expires Description Marketing cookie Cookie pi_visit_count Duration Never Expires Description Marketing cookie Cookie cebs Duration session Description Crazyegg sets this cookie to trace the current user session internally. Cookie gat_gtag_UA Duration 1 minute Description Google Analytics sets this cookie to store a unique user ID. Cookie vuid Duration 1 year 1 month 4 days Description Vimeo installs this cookie to collect tracking information by setting a unique ID to embed videos on the website. Performance [x] Performance cookies are used to understand and analyze the key performance indexes of the website which helps in delivering a better user experience for the visitors. Cookie hjSessionUser Duration 1 year Description Hotjar sets this cookie to ensure data from subsequent visits to the same site is attributed to the same user ID, which persists in the Hotjar User ID, which is unique to that site. Advertisement [x] Advertisement cookies are used to provide visitors with customized advertisements based on the pages you visited previously and to analyze the effectiveness of the ad campaigns. Cookie test_cookie Duration 15 minutes Description doubleclick.net sets this cookie to determine if the user's browser supports cookies. Cookie YSC Duration session Description Youtube sets this cookie to track the views of embedded videos on Youtube pages. Cookie VISITOR_INFO1_LIVE Duration 6 months Description YouTube sets this cookie to measure bandwidth, determining whether the user gets the new or old player interface. Cookie VISITOR_PRIVACY_METADATA Duration 6 months Description YouTube sets this cookie to store the user's cookie consent state for the current domain. Cookie IDE Duration 1 year 24 days Description Google DoubleClick IDE cookies store information about how the user uses the website to present them with relevant ads according to the user profile. Cookie yt.innertube::requests Duration Never Expires Description YouTube sets this cookie to register a unique ID to store data on what videos from YouTube the user has seen. Cookie yt.innertube::nextId Duration Never Expires Description YouTube sets this cookie to register a unique ID to store data on what videos from YouTube the user has seen. Uncategorized [x] Other uncategorized cookies are those that are being analyzed and have not been classified into a category as yet. Cookie donation-identifier Duration 1 year Description Description is currently not available. Cookie abtest-identifier Duration 1 year Description Description is currently not available. Cookie __Secure-ROLLOUT_TOKEN Duration 6 months Description Description is currently not available. Cookie _ce.s Duration 1 year Description Description is currently not available. Cookie _ce.clock_data Duration 1 day Description Description is currently not available. Cookie cebsp_ Duration session Description Description is currently not available. Cookie lpv218812 Duration 1 hour Description Description is currently not available. Reject All Save My Preferences Accept All Skip to ContentGo to accessibility pageKeyboard shortcuts menu Log in Calculus Volume 1 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells Calculus Volume 16.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells Contents Contents Highlights Table of contents Preface 1 Functions and Graphs 2 Limits 3 Derivatives 4 Applications of Derivatives 5 Integration 6 Applications of Integration Introduction 6.1 Areas between Curves 6.2 Determining Volumes by Slicing 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells 6.4 Arc Length of a Curve and Surface Area 6.5 Physical Applications 6.6 Moments and Centers of Mass 6.7 Integrals, Exponential Functions, and Logarithms 6.8 Exponential Growth and Decay 6.9 Calculus of the Hyperbolic Functions Chapter Review A \| Table of Integrals B \| Table of Derivatives C \| Review of Pre-Calculus Answer Key Index Search for key terms or text. Close Learning Objectives 6.3.1 Calculate the volume of a solid of revolution by using the method of cylindrical shells. 6.3.2 Compare the different methods for calculating a volume of revolution. In this section, we examine the method of cylindrical shells, the final method for finding the volume of a solid of revolution. We can use this method on the same kinds of solids as the disk method or the washer method; however, with the disk and washer methods, we integrate along the coordinate axis parallel to the axis of revolution. With the method of cylindrical shells, we integrate along the coordinate axis perpendicular to the axis of revolution. The ability to choose which variable of integration we want to use can be a significant advantage with more complicated functions. Also, the specific geometry of the solid sometimes makes the method of using cylindrical shells more appealing than using the washer method. In the last part of this section, we review all the methods for finding volume that we have studied and lay out some guidelines to help you determine which method to use in a given situation. The Method of Cylindrical Shells Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region R, bounded above by the graph of a function y=f(x), below by the x-axis, and on the left and right by the lines x=a and x=b, respectively, as shown in Figure 6.25(a). We then revolve this region around the y-axis, as shown in Figure 6.25(b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of x were revolved around the x-axis or a line parallel to it. Figure 6.25(a) A region bounded by the graph of a function of x. (b) The solid of revolution formed when the region is revolved around the y-axis. As we have done many times before, partition the interval [a,b] using a regular partition, P={x 0,x 1,…,x n} and, for i=1,2,…,n, choose a point xi∈[x i−1,x i]. Then, construct a rectangle over the interval [x i−1,x i] of height f(xi) and width Δ x. A representative rectangle is shown in Figure 6.26(a). When that rectangle is revolved around the y-axis, instead of a disk or a washer, we get a cylindrical shell, as shown in the following figure. Figure 6.26(a) A representative rectangle. (b) When this rectangle is revolved around the y-axis, the result is a cylindrical shell. (c) When we put all the shells together, we get an approximation of the original solid. To calculate the volume of this shell, consider Figure 6.27. Figure 6.27 Calculating the volume of the shell. The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius x i and inner radius x i−1. Thus, the cross-sectional area is π x 2 i−π x 2 i−1. The height of the cylinder is f(xi). Then the volume of the shell is V shell=f(xi)(π x 2 i−π x 2 i−1)=π f(xi)(x 2 i−x 2 i−1)=π f(xi)(x i+x i−1)(x i−x i−1)=2 π f(xi)(x i+x i−1 2)(x i−x i−1). Note that x i−x i−1=Δ x, so we have V shell=2 π f(xi)(x i+x i−1 2)Δ x. Furthermore, x i+x i−1 2 is both the midpoint of the interval [x i−1,x i] and the average radius of the shell, and we can approximate this by xi. We then have V shell≈2 π f(xi)xi Δ x. Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate (Figure 6.28). Figure 6.28(a) Make a vertical cut in a representative shell. (b) Open the shell up to form a flat plate. In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height f(xi), width 2 π xi, and thickness Δ x (Figure 6.28). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get V shell≈f(xi)(2 π xi)Δ x, which is the same formula we had before. To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain V≈n∑i=1(2 π xi f(xi)Δ x). Here we have another Riemann sum, this time for the function 2 π x f(x). Taking the limit as n→∞ gives us V=lim n→∞n∑i=1(2 π xi f(xi)Δ x)=∫b a(2 π x f(x))d x. This leads to the following rule for the method of cylindrical shells. Rule: The Method of Cylindrical Shells Let f(x) be continuous and nonnegative. Define R as the region bounded above by the graph of f(x), below by the x-axis, on the left by the line x=a, and on the right by the line x=b. Then the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the y-axis is given by V=∫b a(2 π x f(x))d x. (6.6) Now let’s consider an example. Example 6.12 The Method of Cylindrical Shells 1 Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=1/x and below by the x-axis over the interval [1,3]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the y-axis. Solution First we must graph the region R and the associated solid of revolution, as shown in the following figure. Figure 6.29(a) The region R under the graph of f(x)=1/x over the interval [1,3]. (b) The solid of revolution generated by revolving R about the y-axis. Then the volume of the solid is given by V=∫b a(2 π x f(x))d x=∫3 1(2 π x(1 x))d x=∫3 1 2 π d x=2 π x\|3 1=4 π units 3. Checkpoint 6.12 Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=x 2 and below by the x-axis over the interval [1,2]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the y-axis. Example 6.13 The Method of Cylindrical Shells 2 Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=2 x−x 2 and below by the x-axis over the interval [0,2]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the y-axis. Solution First graph the region R and the associated solid of revolution, as shown in the following figure. Figure 6.30(a) The region R under the graph of f(x)=2 x−x 2 over the interval [0,2]. (b) The volume of revolution obtained by revolving R about the y-axis. Then the volume of the solid is given by V=∫b a(2 π x f(x))d x=∫2 0(2 π x(2 x−x 2))d x=2 π∫2 0(2 x 2−x 3)d x=2 π[2 x 3 3−x 4 4]\|2 0=8 π 3 units 3. Checkpoint 6.13 Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=3 x−x 2 and below by the x-axis over the interval [0,2]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the y-axis. As with the disk method and the washer method, we can use the method of cylindrical shells with solids of revolution, revolved around the x-axis, when we want to integrate with respect to y. The analogous rule for this type of solid is given here. Rule: The Method of Cylindrical Shells for Solids of Revolution around the x-axis Let g(y) be continuous and nonnegative. Define Q as the region bounded on the right by the graph of g(y), on the left by the y-axis, below by the line y=c, and above by the line y=d. Then, the volume of the solid of revolution formed by revolving Q around the x-axis is given by V=∫d c(2 π y g(y))d y. Example 6.14 The Method of Cylindrical Shells for a Solid Revolved around the x-axis Define Q as the region bounded on the right by the graph of g(y)=2√y and on the left by the y-axis for y∈[0,4]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving Q around the x-axis. Solution First, we need to graph the region Q and the associated solid of revolution, as shown in the following figure. Figure 6.31(a) The region Q to the left of the function g(y) over the interval [0,4]. (b) The solid of revolution generated by revolving Q around the x-axis. Label the shaded region Q. Then the volume of the solid is given by V=∫d c(2 π y g(y))d y=∫4 0(2 π y(2√y))d y=4 π∫4 0 y 3/2 d y=4 π[2 y 5/2 5]\|4 0=256 π 5 units 3. Checkpoint 6.14 Define Q as the region bounded on the right by the graph of g(y)=3/y and on the left by the y-axis for y∈[1,3]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving Q around the x-axis. For the next example, we look at a solid of revolution for which the graph of a function is revolved around a line other than one of the two coordinate axes. To set this up, we need to revisit the development of the method of cylindrical shells. Recall that we found the volume of one of the shells to be given by V shell=f(xi)(π x 2 i−π x 2 i−1)=π f(xi)(x 2 i−x 2 i−1)=π f(xi)(x i+x i−1)(x i−x i−1)=2 π f(xi)(x i+x i−1 2)(x i−x i−1). This was based on a shell with an outer radius of x i and an inner radius of x i−1. If, however, we rotate the region around a line other than the y-axis, we have a different outer and inner radius. Suppose, for example, that we rotate the region around the line x=−k, where k is some positive constant. Then, the outer radius of the shell is x i+k and the inner radius of the shell is x i−1+k. Substituting these terms into the expression for volume, we see that when a plane region is rotated around the line x=−k, the volume of a shell is given by V shell=2 π f(xi)((x i+k)+(x i−1+k)2)((x i+k)−(x i−1+k))=2 π f(xi)((x i+x i−2 2)+k)Δ x. As before, we notice that x i+x i−1 2 is the midpoint of the interval [x i−1,x i] and can be approximated by xi. Then, the approximate volume of the shell is V shell≈2 π(xi+k)f(xi)Δ x. The remainder of the development proceeds as before, and we see that V=∫b a(2 π(x+k)f(x))d x. We could also rotate the region around other horizontal or vertical lines, such as a vertical line in the right half plane. In each case, the volume formula must be adjusted accordingly. Specifically, the x-term in the integral must be replaced with an expression representing the radius of a shell. To see how this works, consider the following example. Example 6.15 A Region of Revolution Revolved around a Line Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=x and below by the x-axis over the interval [1,2]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the line x=−1. Solution First, graph the region R and the associated solid of revolution, as shown in the following figure. Figure 6.32(a) The region R between the graph of f(x) and the x-axis over the interval [1,2]. (b) The solid of revolution generated by revolving R around the line x=−1. Note that the radius of a shell is given by x+1. Then the volume of the solid is given by V=∫2 1(2 π(x+1)f(x))d x=∫2 1(2 π(x+1)x)d x=2 π∫2 1(x 2+x)d x=2 π[x 3 3+x 2 2]\|2 1=23 π 3 units 3. Checkpoint 6.15 Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=x 2 and below by the x-axis over the interval [0,1]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the line x=−2. For our final example in this section, let’s look at the volume of a solid of revolution for which the region of revolution is bounded by the graphs of two functions. Example 6.16 A Region of Revolution Bounded by the Graphs of Two Functions Define R as the region bounded above by the graph of the function f(x)=√x and below by the graph of the function g(x)=1/x over the interval [1,4]. Find the volume of the solid of revolution generated by revolving R around the y-axis. Solution First, graph the region R and the associated solid of revolution, as shown in the following figure. Figure 6.33(a) The region R between the graph of f(x) and the graph of g(x) over the interval [1,4]. (b) The solid of revolution generated by revolving R around the y-axis. Note that the axis of revolution is the y-axis, so the radius of a shell is given simply by x. We don’t need to make any adjustments to the x-term of our integrand. The height of a shell, though, is given by f(x)−g(x), so in this case we need to adjust the f(x) term of the integrand. Then the volume of the solid is given by V=∫4 1(2 π x(f(x)−g(x)))d x=∫4 1(2 π x(√x−1 x))d x=2 π∫4 1(x 3/2−1)d x=2 π[2 x 5/2 5−x]\|4 1=94 π 5 units 3. Checkpoint 6.16 Define R as the region bounded above by the graph of f(x)=x and below by the graph of g(x)=x 2 over the interval [0,1]. Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R around the y-axis. Which Method Should We Use? We have studied several methods for finding the volume of a solid of revolution, but how do we know which method to use? It often comes down to a choice of which integral is easiest to evaluate. Figure 6.34 describes the different approaches for solids of revolution around the x-axis. It’s up to you to develop the analogous table for solids of revolution around the y-axis. Figure 6.34 Let’s take a look at a couple of additional problems and decide on the best approach to take for solving them. Example 6.17 Selecting the Best Method For each of the following problems, select the best method to find the volume of a solid of revolution generated by revolving the given region around the x-axis, and set up the integral to find the volume (do not evaluate the integral). The region bounded by the graphs of y=x,y=2−x, and the x-axis. The region bounded by the graphs of y=4 x−x 2 and the x-axis. Solution First, sketch the region and the solid of revolution as shown. Figure 6.35(a) The region R bounded by two lines and the x-axis. (b) The solid of revolution generated by revolving R about the x-axis. Looking at the region, if we want to integrate with respect to x, we would have to break the integral into two pieces, because we have different functions bounding the region over [0,1] and [1,2]. In this case, using the disk method, we would have V=∫1 0(π x 2)d x+∫2 1(π(2−x)2)d x. If we used the shell method instead, we would use functions of y to represent the curves, producing V=∫1 0(2 π y[(2−y)−y])d y=∫1 0(2 π y[2−2 y])d y. Neither of these integrals is particularly onerous, but since the shell method requires only one integral, and the integrand requires less simplification, we should probably go with the shell method in this case. 2. First, sketch the region and the solid of revolution as shown. Figure 6.36(a) The region R between the curve and the x-axis. (b) The solid of revolution generated by revolving R about the x-axis. Looking at the region, it would be problematic to define a horizontal rectangle; the region is bounded on the left and right by the same function. Therefore, we can dismiss the method of shells. The solid has no cavity in the middle, so we can use the method of disks. Then V=∫4 0 π(4 x−x 2)2 d x. Checkpoint 6.17 Select the best method to find the volume of a solid of revolution generated by revolving the given region around the x-axis, and set up the integral to find the volume (do not evaluate the integral): the region bounded by the graphs of y=2−x 2 and y=x 2. Section 6.3 Exercises For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand. [T] Bounded by the curves y=3 x,x=0, and y=3 rotated around the y-axis. 115. [T] Bounded by the curves y=3 x,y=0,and x=3 rotated around the y-axis. [T] Bounded by the curves y=3 x,y=0,and y=3 rotated around the x-axis. 117. [T] Bounded by the curves y=3 x,y=0,and x=3 rotated around the x-axis. [T] Bounded by the curves y=2 x 3,y=0,and x=2 rotated around the y-axis. 119. [T] Bounded by the curves y=2 x 3,y=0,and x=2 rotated around the x-axis. For the following exercises, use shells to find the volumes of the given solids. Note that the rotated regions lie between the curve and the x-axis and are rotated around the y-axis. y=1−x 2,x=0,and x=1 121. y=5 x 3,x=0,and x=1 y=1 x,x=1,and x=100 123. y=√1−x 2,x=0,and x=1 y=1 1+x 2,x=0,and x=3 125. y=sin x 2,x=0,and x=√π y=1√1−x 2,x=0,and x=1 2 127. y=√x,x=0,and x=1 y=(1+x 2)3,x=0,and x=1 129. y=5 x 3−2 x 4,x=0,and x=2 For the following exercises, use shells to find the volume generated by rotating the regions between the given curve and y=0 around the x-axis. y=√1−x 2,x=0,x=1 and the x-axis 131. y=x 2,x=0,x=2 and the x-axis y=x 3 2,x=0,x=2, and the x-axis 133. y=2 x 2,x=1,x=2, and the x-axis x=1 1+y 2,y=1,and y=4 135. x=1+y 2 y,y=1,y=4, and the y-axis x=√4-y 2,x=0,y=0 137. x=y 3-2 y 2,x=0,x=9 x=√y+1,x=1,x=3, and the x-axis 139. x=3√27 y and x=3 y 4 For the following exercises, find the volume generated when the region between the curves is rotated around the given axis. y=3−x,y=0,x=0,and x=2 rotated around the y-axis. 141. y=x 3,x=0,and y=8 rotated around the y-axis. y=x 2,y=x, rotated around the y-axis. 143. y=√x,y=0,and x=1 rotated around the line x=2. y=1 4−x,x=1,x=2 and y=0 rotated around the line x=4. 145. y=√x and y=x 2 rotated around the y-axis. y=√x and y=x 2 rotated around the line x=2. 147. x=y 3,x=1 y,x=1,and x=2 rotated around the x-axis. x=y 2 and y=x rotated around the line y=2. 149. [T] Left of x=sin(π y), right of y=x, around the y-axis. For the following exercises, use technology to graph the region. Determine which method you think would be easiest to use to calculate the volume generated when the function is rotated around the specified axis. Then, use your chosen method to find the volume. [T]y=x 2 and y=4 x rotated around the y-axis. 151. [T]y=cos(π x),y=sin(π x),x=1 4,and x=5 4 rotated around the y-axis. This exercise requires advanced technique. You may use technology to perform the integration. [T]y=x 2−2 x,x=2,and x=4 rotated around the y-axis. 153. [T]y=x 2−2 x,x=2,and x=4 rotated around the x-axis. [T]y=3 x 3−2,y=x,and x=2 rotated around the x-axis. 155. [T]y=3 x 3−2,y=x,and x=2 rotated around the y-axis. [T]x=sin(π y 2) and x=√2 y rotated around the x-axis. 157. [T]x=y 2,x=y 2−2 y+1,and x=2 rotated around the y-axis. For the following exercises, use the method of shells to approximate the volumes of some common objects, which are pictured in accompanying figures. Use the method of shells to find the volume of a sphere of radius r. 159. Use the method of shells to find the volume of a cone with radius r and height h. Use the method of shells to find the volume of an ellipsoid (x 2/a 2)+(y 2/b 2)=1 rotated around the x-axis. 161. Use the method of shells to find the volume of a cylinder with radius r and height h. Use the method of shells to find the volume of the donut created when the circle x 2+y 2=4 is rotated around the line x=4. 163. Consider he region enclosed by the graphs of y=f(x),y=1+f(x),x=0,y=0, and x=a>0. What is the volume of the solid generated when this region is rotated around the y-axis? Assume that the function is defined over the interval [0,a]. Consider the function y=f(x), which decreases from f(0)=b to f(1)=0. Set up the integrals for determining the volume, using both the shell method and the disk method, of the solid generated when this region, with x=0 and y=0, is rotated around the y-axis. Prove that both methods approximate the same volume. Which method is easier to apply? (Hint: Since f(x) is one-to-one, there exists an inverse f−1(y).) PreviousNext Order a print copy Citation/Attribution This book may not be used in the training of large language models or otherwise be ingested into large language models or generative AI offerings without OpenStax's permission. Want to cite, share, or modify this book? This book uses the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License and you must attribute OpenStax. Attribution information If you are redistributing all or part of this book in a print format, then you must include on every physical page the following attribution: Access for free at If you are redistributing all or part of this book in a digital format, then you must include on every digital page view the following attribution: Access for free at Citation information Use the information below to generate a citation. We recommend using a citation tool such as this one. Authors: Gilbert Strang, Edwin “Jed” Herman Publisher/website: OpenStax Book title: Calculus Volume 1 Publication date: Mar 30, 2016 Location: Houston, Texas Book URL: Section URL: © Jul 24, 2025 OpenStax. Textbook content produced by OpenStax is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License . The OpenStax name, OpenStax logo, OpenStax book covers, OpenStax CNX name, and OpenStax CNX logo are not subject to the Creative Commons license and may not be reproduced without the prior and express written consent of Rice University. Our mission is to improve educational access and learning for everyone. OpenStax is part of Rice University, which is a 501(c)(3) nonprofit. Give today and help us reach more students. Help Contact Us Support Center FAQ OpenStax Press Newsletter Careers Policies Accessibility Statement Terms of Use Licensing Privacy Policy Manage Cookies © 1999-2025, Rice University. Except where otherwise noted, textbooks on this site are licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License. Advanced Placement® and AP® are trademarks registered and/or owned by the College Board, which is not affiliated with, and does not endorse, this site.
9777	https://par.nsf.gov/servlets/purl/10353966	PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE SAM HOPKINS AND TRI LAI Abstract. We give a product formula for the number of shifted plane partitions of shifted double staircase shape with bounded entries. This is the first new example of a family of shapes with a plane partition product formula in many years. The proof is based on the theory of lozenge tilings; specifically, we apply the “free boundary” Kuo condensation due to Ciucu. Introduction and statement of results An a ⇥ b plane partition is an a ⇥ b array ⇡ = ( ⇡ i,j ) of nonnegative integers that is weakly decreasing along rows and down columns. Let PP m (a ⇥ b) denote the set of such plane partitions with largest entry less than or equal to m. MacMahon’s celebrated product formula for the number of these plane partitions is #PP m (a ⇥ b) = a Y i=1 b Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 . MacMahon’s formula is nowadays recognized as one of the most elegant in algebraic and enumerative combinatorics. In this paper we consider plane partitions of other shapes beyond rectangles. For a partition, a plane partition of (unshifted) shape is a filling of the Young diagram of with nonnegative integers that is weakly decreasing along rows and down columns. Let PP m () denote the set of such plane partitions with largest entry less than or equal to m. Similarly, for a strict partition, a (shifted) plane partition of shifted shape is a filling of the shifted Young diagram of with nonnegative integers that is weakly decreasing along rows and down columns. Let SPP m ()denote the set of such plane partitions with largest entry less than or equal to m.Plane partitions of other unshifted/shifted shapes beyond rectangles have received a significant amount of attention, especially since the 1970s, because of their con-nection to symmetry classes of plane partitions. For example, the symmetric plane partitions in PP m (n ⇥ n) are evidently in bijection with the plane partitions in SPP m () when = ( n, n 1, . . . , 1) is a shifted staircase shape. MacMahon con-jectured , and Andrews proved, an elegant product formula for the number Date : May 20, 2021. Key words and phrases. Plane partition, lozenge tiling, dimer, product formula, order polyno-mial, Kuo condensation. 1 arXiv:2007.05381v2 [math.CO] 19 May 2021 2S. HOPKINS AND T. LAI 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 Figure 1. A plane partition of shifted double staircase shape with k = 3, n = 6, m = 3. (b) 0 0 0000 0 11 111 1 11 2 2 2 3 3 3 44 5 (a) , 5 3 3 2 2 1 4 2 1 1 1 0 4 1 1 1 0 0 3 1 1 0 0 0 Figure 2. The correspondence between boxed plane partitions and lozenge tilings of a hexagon. Each row of the plane partition records the label of the horizontal lozenges in picture (a) along a lattice path in picture (b). of symmetric plane partitions. We will review all known unshifted/shifted shapes with plane partition product formulas in Section 2 below. Here we establish a plane partition product formula for a new family of shapes: Theorem 1.1. Let 0  k  n, and let := ( n, n 1, . . . , 1) + ( k, k 1, . . . , 1) be a shifted double staircase shape. Then SPP m () = Y 1ijn m + i + j 1 i + j 1 Y 1ijk m + i + ji + j . Figure 1 depicts a plane partition of shifted double staircase shape in the case k = 3, n = 6, m = 3. The case k = 0 of Theorem 1.1 corresponds to shifted staircases, where the formula is known by the aforementioned result of Andrews concerning symmetric plane partitions. The cases k = n 1 and k = n of Theorem 1.1 are also known: these shapes are shifted trapezoids , and Proctor gave a product formula for their plane partition enumeration. In fact, the cases k = n 1 and k = n correspond to a symmetry class of plane partitions: the symmetric, self-complementary plane partitions. The other cases of Theorem 1.1 beyond k = 0, k = n 1, and k = n are new. This is the first new example of a family of shapes with a plane partition product formula in many years. PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 3 x+y+z y 2z x+t y+2z t Figure 3. The flashlight region F x,y,z,t . The dotted side indicates the free boundary. Our proof of Theorem 1.1 is based on the theory of lozenge tilings of the triangular lattice . There is a well-known bijective correspondence between the plane partitions in PP m (a ⇥ b) and the lozenge tilings of a hexagonal region (with sides of lengths a, b, and m) of the triangular lattice. Briefly, we draw ⇡ 2 PP m (a ⇥ b) as a stacking of cubes in an a ⇥ b ⇥ m box, with ⇡ i,j cubes stacked at position ( i, j ); then we “forget” that the picture we drew represented a three-dimensional object, and instead view it as a flat, two-dimensional object. This is depicted in Figure 2. Plane partitions of other shapes similarly correspond to lozenge tilings of other kinds of regions. For our purposes, the relevant region is the flashlight region F x,y,z,t depicted in Figure 3. In this region, the dashed line represents a free boundary from which lozenges are allowed to protrude. Free boundaries appear in regions which correspond to plane partitions of shifted shapes (or equivalently, symmetric plane partitions of unshifted shapes). We prove the following product formula for the enumeration of lozenge tilings of the regions F x,y,z,t : Theorem 1.2. For nonnegative integers x, z, t and positive integer y, the number of lozenge tilings of F x,y,z,t is given by M( F x,y,z,t ) = Y 1ijy+z x + i + j 1 i + j 1 Y 1ijz x + i + ji + j t Y i=1 z Y j=1 x + z + 2 i + jx + 2 i + j 1 ,(1.1) where we use the notation M( R) for the number of lozenge tilings of the region R and where empty products are taken to be 1 by convention. The case t = 0 of Theorem 1.2 yields Theorem 1.1, where we take x = m, y + z = n, and z = k: see Figure 4. Lozenge tilings of the flashlight region were previously considered, and enumer-ated, by Ciucu in . However, the regions addressed there are a subset of the ones 4 S. HOPKINS AND T. LAI (b) 2 2 2 2 3 3 (a) 000 11111 2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 2 1 2 , 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 Figure 4. The correspondence between the lozenge tilings of the flashlight region (with t = 0) and plane partitions of shifted double staircase shape. Each row of the plane partition records the label of the horizontal lozenges in picture (a) along a lattice path in pic-ture (b). we consider here: e.g., Ciucu’s regions essentially had the requirement t b y/ 2c.(We remark that our parameterization of these regions is slightly di ↵erent than Ciucu’s, and it leads to a “cleaner,” although equivalent, product formula even in the cases he considered.) The case t = 0, the one relevant for the shifted double staircase plane partitions, therefore was not directly addressed in . Nevertheless, the techniques that Ciucu developed in are su cient for proving Theorem 1.2. So what are these techniques? In 2003, Kuo invented a powerful method for proving product formulas for lozenge tilings and other dimer (or perfect matching )enumeration problems, which is now called Kuo condensation . Kuo condensation is essentially a recurrence relation satisfied by these dimer counts, and often allows one to easily prove product formulas, provided one can “guess” the product formula in advance. In , Ciucu established a variant of Kuo condensation that works for lozenge tilings of regions with a free boundary. A straightforward application of this free boundary Kuo condensation yields Theorem 1.2. Before we finish this introduction, let us briefly review the history behind the discovery of Theorem 1.1. Plane partitions for a given unshifted/shifted shape are a special case of the more general notion of P -partitions for partially ordered sets P .In particular, the enumerations # PP m () and # SPP m () are special cases of or-der polynomials of posets. In , the first author proposed an apparently powerful heuristic which says that the posets which have product formulas for their order polynomials are the same as the posets with “good dynamical behavior.” Here “dy-namical behavior” means the behavior of various invertible operators coming from algebra on objects associated to the poset, such as Sch¨ utzenberger’s promotion of linear extensions . In [18, 19], Haiman showed that the shapes with good behav-ior of promotion are exactly: rectangles, staircases, shifted trapezoids, and shifted double staircases. It was already known (see Section 2) that rectangles, staircases, and shifted trapezoids have product formulas for their order polynomials, i.e., prod-uct formulas enumerating their plane partitions. Theorem 1.1 shows the same is PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 5 5 3 3 2 2 4 2 1 1 4 1 1 1 3 1 0 , 4 0 1 111 1 1 2 2 2 3 3 3 5 4 Figure 5. The correspondence between plane partitions and lozenge tilings for arbitrary unshifted shapes. true for the shifted double staircases. Indeed, it is precisely via this heuristic that Theorem 1.1 was discovered. The rest of the paper is structured as follows: in Section 2 we go over more background on counting plane partitions of di ↵erent shapes; and in Section 3 we prove Theorem 1.2 (and thus Theorem 1.1) via the free boundary Kuo condensation. Remark 1.3. After the first version of this article was available online, Okada gave another proof of Theorem 1.1. Actually, he gave an algebraic extension of The-orem 1.1 involving characters of classical groups and their variants, especially the intermediate symplectic group characters of Proctor . In fact, Okada proved an algebraic extension of the four parameter product formula in Theorem 1.2 for the number of tilings of the flashlight region. Okada’s algebraic extensions in particular yield q-analogs of these product formulas. Acknowledgments : S.H. thanks Robert Proctor for useful comments, and thanks Soichi Okada for sharing his work while it was still in progress and conjectural. We also thank the anonymous referees for their careful attention to our paper and useful comments. S.H. was supported by NSF grant #1802920. T.L. was supported by Simons Foundation Collaboration Grant #585923. 2. Background on counting plane partitions of different shapes In this section we review the known results concerning plane partition enumer-ation formulas for di ↵erent shapes. For a more complete account of the history of plane partitions, with an emphasis on symmetry classes, see . Nothing in this section is necessary for the proof of the main result, so the reader who is not interested in or already knows the context may safely skip it. Let us first formalize notions introduced in Section 1. For = ( 1 , 2 , . . . ) a partition , its Young diagram is the left-justified collection of boxes which has i boxes in row i. As we said earlier, a plane partition of (unshifted) shape is a filling of the Young diagram of with nonnegative integers that is weakly decreasing along rows and down columns; and we use PP m () to denote the set of such plane partitions with largest entry less than or equal to m.A lozenge is a rhombus consisting of two adjacent (i.e., sharing a common edge) unit triangles of the triangular lattice. There are three possible “orientations” of 6 S. HOPKINS AND T. LAI 4 4 3 2 1 3 3 2 0 2 1 1 , 4 4 3 2 1 4 3 3 2 0 3 3 2 1 2 2 1 1 1 0 , 4 00 1111 1 22222 33333 44 , 3 3 4 0 11 22 2 4 3 1 Figure 6. The correspondence between shifted plane partitions and lozenge tilings of regions with a free boundary, going through sym-metric plane partitions/lozenge tilings. In the right picture the free boundary is dashed. lozenges, which we often depict as three di ↵erent colors. A lozenge tiling of a region of the triangular lattice is a covering of this region with non-overlapping lozenges. As we explained above (see Figure 2) there is a bijective correspondence between PP m (a ⇥ b) and lozenge tilings of a hexagonal region of the triangular lattice: we first represent the plane partition as 3D stack of cubes; then we treat the 3D picture as a 2D picture. (While the 3D picture of plane partitions goes all the way back to MacMahon , the connection to lozenge tilings is much more recent .) For other unshifted shapes beyond rectangles, there is again a bijective correspondence between PP m () and lozenge tilings of a region of the triangular lattice, where the region is obtained from a hexagon by appropriately modifying its “lower boundary” to follow the shape of : see Figure 5. For a strict partition , its shifted Young diagram is almost the same as its Young diagram, except that we indent each row one position to the right compared to the row above it. As we said earlier, a (shifted) plane partition of shifted shape is a filling of the shifted Young diagram of with nonnegative integers that is weakly decreasing along rows and down columns; and we use SPP m () to denote the set of such plane partitions with largest entry less than or equal to m.For a strict partition, we use D to denote the partition whose Young diagram is obtained from the shifted Young diagram of by gluing a reflected copy of that shifted Young diagram along the main diagonal. Note that such a D is always self-conjugate (i.e., invariant under reflection across the main diagonal). If μ is any self-conjugate partition, then we use Tr : PP m (μ) ! PP m (μ) to denote the transposition map (i.e., reflection across the main diagonal) acting on plane partitions of shape μ.There is an obvious bijection between SPP m () and the set of symmetric (i.e., transposition invariant) plane partitions in PP m ( D ). The above discussion tells us that plane partitions in SPP m () are in bijection with lozenge tilings of the region of the triangular lattice corresponding to D which are symmetric (i.e., invariant under reflection across the vertical axis of symmetry). By only remembering the “right half” of a such a symmetric lozenge tiling, we obtain a lozenge tiling of a “halved” region, where the symmetry axis becomes a free boundary . In a lozenge tiling of a region with a free boundary, lozenges are PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 7 allowed to protrude from the free boundary. The upshot is that plane partitions in SPP m () are in bijection with lozenge tilings of a region of the triangular lattice with a free boundary. This whole construction is depicted in Figure 6. We have now seen that the plane partitions of every unshifted shape (respectively, shifted shape) correspond to lozenge tilings of a region of the triangular lattice (resp., region with free boundary). Importantly, the converse is not true; that is, there are many regions whose tilings do not correspond to plane partitions. Indeed, this is part of what makes the lozenge tilings perspective useful: regions which do not correspond to plane partitions naturally arise in recurrences even when one is only interested in the plane partition case. Now let us briefly review the main techniques for counting plane partitions. There are three such main techniques: • determinantal or Pfa an formulas coming from nonintersecting lat-tice paths interpretations; • formulas deduced from the representation theory of classical groups and their Lie algebras ; • recurrence relations satisfied by these counts, like Kuo condensation and its variants. Of course, these three techniques have a lot of overlap. For instance, the Weyl char-acter formula expresses the character of an irreducible representation of a classical group as a determinant. And Kuo condensation is really a combinatorialization of Dodgson condensation /the Desnanot–Jacobi identity for computing determinants. Furthermore, there are other slightly di ↵erent techniques which have been success-fully used to count plane partitions: e.g., Kuperberg championed the use of Kasteleyn’s permanent-determinant /Hafnian-Pfa an method from dimer theory. Kasteleyn’s method is similar to, but slightly di ↵erent from, the nonintersecting lattice paths technique. In the remainder of this section we will see how these techniques apply to yield product formulas in di ↵erent special cases. But first let us discuss formulas for arbitrary shapes. 2.1. Formulas for arbitrary shapes. For unshifted shapes we have the follow-ing determinantal theorem of MacMahon: Theorem 2.1 (MacMahon ) . Let = ( 1 , 2 , . . . , n ) be a partition. Then PP m () = det ✓✓ i + mi j + m ◆◆ i,j =1 ,...,n . Here ab = 0 if b < 0. Actually, MacMahon [33, Volume 2, §X, Chapter II] proved a q-analog of Theo-rem 2.1. He showed that X ⇡2PP m() q \|⇡\| = det q f (i,j ) ✓ i + mi j + m ◆ q ! i,j =1 ,...,n ,8 S. HOPKINS AND T. LAI where \|⇡\| := P u2 ⇡(u) is the size of ⇡, i.e., the sum of the entries of the plane partition, and f (i, j ) := ( ji 2 if j > i ; ij+1 2 if i j , and ab q := Q 1ib (1 qa+1 i)(1 qi) is the usual q-binomial coe cient . It is also worth noting that Kreweras proved a generalization of Theorem 2.1 which works for skew shapes /μ .A modern approach to Theorem 2.1 is to encode the plane partitions in PP m ()as collections of nonintersecting lattice paths connecting a particular set of sources to a particular set of sinks on the rectangular grid, and then to apply the Lindstr¨ om– Gessel–Viennot lemma to count these nonintersecting lattice paths. See the seminal preprint for the details. The natural encoding of plane partitions of shifted shapes via nonintersecting lattice paths involves paths whose set of sources are fixed, but whose set of sinks are allowed to vary in some set. (This is basically the same phenomenon as the free boundary in the lozenge tilings corresponding to such plane partitions and is visible for instance in Figure 4.) Stembridge , building on a theorem of Okada about the sum of all minors of a matrix, developed the relevant machinery for counting these kind of nonintersecting lattice paths with variable endpoints: rather than a determinant, he showed that the answer can be expressed as a Pfa an Pf( M ) of a matrix M . In the case of plane partitions of shifted shapes, this method gives: Theorem 2.2 (Stembridge ) . Let = ( 1 , 2 , . . . , n ) be a strict partition, and assume n is even by setting n := 0 if necessary. Let m 2 N. Let M be the n ⇥ n skew-symmetric matrix whose (i, j ) entry for i, j = 1 , . . . , n is: M i,j = X 0k`m+n1 ✓ i 1 + m + i 1 km + i 1 k ◆✓ j 1 + m + j 1 ` m + j 1 ` ◆ ✓ i 1 + m + i 1 ` m + i 1 ` ◆✓ j 1 + m + j 1 km + j 1 k ◆ . Here ab = 0 if b < 0 (but 10 = 1 ). Then #SPP m () = Pf( M ). Note that Stembridge never explicitly stated Theorem 2.2, but his techniques easily allow one to prove it (and see [47, Proof of Theorem 5.1] for the basic idea behind the encoding). In fact, it is again possible to upgrade Theorem 2.2 to a q-analog which gives the size generating function for these shifted plane partitions. As one can see, the entries of the matrix in Theorem 2.2 are much more compli-cated than the entries of the matrix in Theorem 2.1, and this reflects the general principle that shifted shapes are harder to deal with than unshifted shapes. As far as we are aware, Theorems 2.1 and 2.2 are the best general formulas for counting #PP m () or # SPP m () for arbitrary .2.2. Product formulas for specific shapes. Now we review all the special fami-lies of unshifted/shifted shapes which have product formulas for their plane partition enumeration. These are all recorded in Table 1. This table lists the product formula for the relevant # PP m () or # SPP m (), and also shows the region of the triangu-lar lattice whose lozenge tilings correspond to these plane partitions. It also shows PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 9 Shape Product formula Lozenge tiling region Plane partition symmetry class References Rectangle b a a Y i=1 b Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 m ab m ab All MacMahon ; Extensions :holes [6, 20, 37, 11, 13, 9, 30]; dents [15, 7, 29] Shifted staircase n Y 1ijn m + i + j 1 i + j 1 m+n n m n Symmetric Andrews [1, 3, 2], Macdonald , Gordon , Proctor [40, 43]; Extensions : see shifted double staircase below Staircase b a a Y i=1 24 ba+1 Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 · ba+i Y j=ba+2 2m + i + j 1 i + j 1 35 2a-1 a b m m b-a+1 Transpose-complementary (a = b)Proctor [41, 42, 43]; Extensions :Ciucu-Krattenthaler Shifted trapezoid n k k Y i=1 nk+1 Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 k+n n m 2k-1 n-2k+1 Symmetric, self-complementary (k = dn/ 2e)Proctor ; Extensions :Ciucu Shifted double staircase n k Y 1ijn m + i + j 1 i + j 1 · Y 1ijk m + i + ji + j m+n n+k m 2k n-k Symmetric (k = 0); Symmetric, self-complementary (k = n 1, n )Theorem 1.1; Extensions :Theorem 1.2 (c.f. Ciucu ) Table 1. A table summarizing the known shapes with product for-mulas enumerating their plane partitions with entries  m. In the pictures of regions, the dashed lines represent free boundaries. 10 S. HOPKINS AND T. LAI the various symmetry classes of boxed plane partitions which are in bijection with plane partitions of these shapes. Let us take a moment to review these symmetry classes. Recall, as first outlined in , that there are 10 classical symmetry classes of boxed plane partitions , i.e., plane partitions in PP m (a ⇥ b). (Many of these classes require a = b or a = b = m to exist.) Four of these symmetry classes are easily seen to be in bijection with plane partitions of certain shapes. To generate these four relevant symmetry classes, in addition to the already discussed transposition map, we also need the complementation map Co : PP m (a ⇥ b) ! PP m (a ⇥ b) which is defined by Co( ⇡) i,j := m ⇡ a+1 i,b +1 j . (In the 3D picture of plane partitions, complementation is set-theoretic complementation inside of the a ⇥ b ⇥ m box.) The four relevant symmetry classes of boxed plane partitions are then: • all the plane partitions in PP m (a ⇥ b); • the symmetric plane partitions in PP m (n ⇥ n), i.e., the plane partitions ⇡ 2 PP m (n ⇥ n) with Tr( ⇡) = ⇡; • the transpose-complementary plane partitions in PP m (n ⇥ n), i.e., the plane partitions ⇡ 2 PP m (n ⇥ n) with Tr( ⇡) = Co( ⇡); • the symmetric, self-complementary plane partitions in PP m (n ⇥ n), i.e., the plane partitions ⇡ 2 PP m (n ⇥ n) with Tr( ⇡) = ⇡ and Co( ⇡) = ⇡.Let us now go through the rows of Table 1 in turn. 2.2.1. Rectangles. As mentioned at the beginning of Section 1, MacMahon fa-mously proved that plane partitions of rectangle shape are counted by the product formula #PP m (a ⇥ b) = a Y i=1 b Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 . In fact, he established the following q-analog: X ⇡2PP m(a⇥b) q \|⇡\| = a Y i=1 b Y j=1 (1 q m+i+j1 )(1 q i+j1 ) . A modern representation theoretic explanation of MacMahon’s product formula goes as follows. For a simple Lie algebra g and an integral, dominant weight of g,let V g denote the irreducible, finite-dimensional representation of g with highest weight . It is well-known (see, e.g., [40, 43]) that the plane partitions in PP m (a⇥b)index a basis of V m a gl (a+b) . MacMahon’s product formula for # PP m (a ⇥ b) can then be deduced by applying the Weyl dimension formula to this representation V m a gl (a+b) .MacMahon’s q-analog can also be deduced from this perspective by consideration of a q-Weyl dimension formula , that is, a principal specialization x i := q i of the Weyl character formula. Indeed, whenever one has a representation-theoretic interpreta-tion of a plane partition formula, one thus obtains a q-analog. MacMahon’s formula for boxed plane partitions has been generalized in many ways. Let us just mention two popular kinds of extensions in the context of lozenge tilings of the hexagon: adding holes to the inside of the hexagon [6, 20, 37, 11, 13, PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 11 9, 30]; and adding dents to the border of the hexagon [15, 7, 29]. Kuo condensation is generally the most powerful tool for proving these lozenge tiling results. 2.2.2. Shifted staircases. Set n := ( n, n 1, . . . , 1). Plane partitions in SPP m ( n ), i.e., plane partitions of shifted staircases shape , are in bijection with symmetric plane partitions in PP m (n ⇥ n), as we have discussed. MacMahon conjectured, and Andrews proved, the following product formula enumerating symmetric plane partitions: #SPP m ( n ) = Y 1ijn m + i + j 1 i + j 1Actually, MacMahon conjectured a q-analog: X ⇡2PP m(n⇥n), Tr( ⇡)= ⇡ q \|⇡\| = Y 1i<j n (1 q 2( i+j+m1) )(1 q 2( i+j1) ) · n Y i=1 (1 q 2i+m1 )(1 q 2i1 ) . MacMahon’s symmetric plane partition q-analog was proved by Andrews and Macdonald essentially simultaneously and independently. Furthermore, Bender and Knuth conjectured a di ↵erent q-analog for symmetric plane partitions: X ⇡2PP m(n⇥n), Tr( ⇡)= ⇡ q \|⇡\| 0 = Y 1ijn (1 q i+j+m1 )(1 q i+j1 ) . where \|⇡\| 0 := P 1iin ⇡ i,j is a kind of “half-size” of ⇡. The Bender–Knuth conjec-ture was proved by Gordon , Andrews , and Macdonald . A representation theoretic perspective on the formula for SPP m ( n ) goes as fol-lows. Viewing the plane partitions ⇡ 2 SPP m ( n ) as Gelfand-Tsetlin patterns, one sees that they index a basis of ✓m n V gl (n) . Then one establishes the multiplicity free branching rule V m n so (2 n+1) = ✓m n (det m/ 2 )V gl (n) where we view V m n so (2 n+1) as a gl (n) representation under the natural inclusion gl (n) ✓ so (2 n + 1). The prod-uct formula then follows from the Weyl dimension formula for V m n so (2 n+1) , and the q-analogs follow via two slightly di ↵erent principal specializations of the Weyl char-acter formula for this so (2 n + 1) representation. This is essentially what is done in Macdonald’s proof [31, Examples I.5.16 and 1.5.17] (see also and for other proofs of the so (2 n + 1)-to-gl (n) branching rule). Alternatively, as Proctor observed in [40, 43], it is possible to see directly from various known tableaux models for so (2 n + 1) representations that SPP m ( n ) indexes a basis of V m n so (2 n+1) .For extensions of the shifted staircases formula, see the shifted double staircases discussed below. 2.2.3. Staircases. In (see also ) Proctor proved the following product formula counting plane partitions of (unshifted) staircase shape :#PP m (b, b 1, . . . , b a + 1) = a Y i=1 24 ba+1 Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 ba+i Y j=ba+2 2m + i + j 1 i + j 1 35 .12 S. HOPKINS AND T. LAI His proof uses the representation theory of the symplectic group, as we will now explain. Suppose a + b = 2 N is even. Then Proctor showed (essentially via King’s symplectic tableaux model) that this set of plane partitions indexes a basis of V m a sp (2 N) . The product formula follows via the Weyl dimension formula. If a + b is odd, instead one has to use Proctor’s “odd symplectic group.” It is again possible to deduce a q-analog via a principal specialization; however, the weights on the plane partitions that one gets are rather complicated. The case a = b corresponds to a boxed plane partition symmetry class: the plane partitions in PP m ( n ) are easily seen to be in bijection with the transpose-complementary plane partition in PP 2m (( n + 1) ⇥ (n + 1)) (see [45, Case 6]). At the level of lozenge tilings, the region corresponding to the staircase plane partitions is a hexagon with “one corner cut o ↵.” In , Ciucu and Krattenthaler gave an extension of Proctor’s product formula to count tilings of hexagon with “two corners cut o ↵.” In terms of extensions of the staircase formula, we should also mention that in (see also [46, Exercise 7.101]) Proctor himself actually established a product formula for plane partitions of a more general family of unshifted shapes which includes both the rectangles and staircases. Namely, if we let := ( M d, M 2d, . . . , M `d)be an arithmetic progression , then #PP m () = Y (i,j )2, `+c(i,j )Mid m + ` + c(i, j ) ` + c(i, j ) · Y (i,j )2, `+c(i,j )>M id (d + 1) m + ` + c(i, j ) ` + c(i, j ) , where c(i, j ) := j i is the content of the box ( i, j ) 2 . The case d = 0 corresponds to rectangles and the case d = 1 corresponds to staircases. Proctor’s proof for general d is not via representation theory; rather, he observed that MacMahon’s determinant in Theorem 2.1 can be explicitly evaluated in this case by applying the appropriate row operations. 2.2.4. Shifted trapezoids. In Proctor proved the following product formula count-ing plane partitions of shifted trapezoid shape :#SPP m (n, n 2, . . . , n 2( k 1)) = k Y i=1 nk+1 Y j=1 m + i + j 1 i + j 1 . He did this again via the representation theory of the symplectic group, as we now explain. Namely, suppose n = 2 N is even. Then Proctor showed (again using King’s symplectic tableaux) that this set of plane partitions indexes a basis of ✓m k V sp (2 N) , and established that via the natural inclusion sp (2 N ) ✓ gl (2 N +1) we have the multiplicity free branching rule V m k gl (2 N+1) = ✓m k V sp (2 N) , from which the product formula follows via the Weyl dimension formula. The case of n odd is slightly more di cult; see . Again, one can in principle obtain a q-analog but the weights on the plane partitions are complicated. The case k = dn/ 2e corresponds to a boxed plane partition symmetry class: in this case the shifted trapezoid plane partitions are easily seen to be in bijection PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 13 with the symmetric, self complementary plane partitions in PP 2m (( n + 1) ⇥ (n + 1)) (see [45, Case 7]). In , Ciucu reproved Proctor’s formula counting shifted trapezoid plane parti-tions via a di ↵erent method: he observed that the entries in Stembridge’s Pfa an in Theorem 2.2 radically simplify in this particular case, and the Pfa an can be explicitly evaluated. Moreover, he in fact extended Proctor’s result by allowing certain dents on the boundary of the corresponding lozenge tiling region. 2.2.5. Shifted double staircases. In Theorem 1.1 we give a product formula for plane partitions of shifted staircase shape , that is, the plane partitions in SPP m () where := ( n, n 1, . . . , 1) + ( k, k 1, . . . , 1) for 0  k  n. Note that the case k = 0 of this family is the shifted staircases, and the cases k = n 1, n are special cases of the shifted trapezoids. Thus, this family includes the symmetric and the symmetric, self-complementary boxed plane partitions (and in some sense interpolates between them). It is interesting to note that, unlike the case of the shifted trapezoids, the en-tries of Stembridge’s Pfa an in Theorem 2.2 do not simplify for the shifted double staircases, and it thus seems hopeless to try to explicitly evaluate this Pfa an. Our Theorem 1.2 is an extension of the shifted double staircase product formula to a more general lozenge tiling region. As mentioned, we prove this formula by extending the work of Ciucu , and in particular applying the variant of Kuo condensation he developed there. One small note about deducing Theorem 1.1 from Theorem 1.2: notice that we have the requirement y > 0 in Theorem 1.2 (see Remark 3.3), which means that technically the case k = n of Theorem 1.1 does not follow from Theorem 1.2. However, this is okay because as mentioned the case k = n of Theorem 1.1 is a special case of Proctor’s shifted trapezoid formula , and so is known. Except for the general d case of the arithmetic progression shapes, all the previ-ously discussed shapes with product formulas have a representation theoretic inter-pretation. In this paper we do not give such an interpretation for the shifted double staircases. However, as mentioned in Remark 1.3, Okada’s recent paper does give a character-theoretic extension of the shifted double staircase product formula; in particular, he obtains q-analogs of this product formula. Nevertheless, the ap-proach in is ultimately to evaluate certain determinants and Pfa ans: a direct representation-theoretic explanation of the shifted double staircase product formula remains elusive. 3. Proof of the main results We now prove Theorem 1.2 (and hence Theorem 1.1). We first need the following analog of Kuo condensation for regions with a free boundary due to Ciucu . A matching of a graph G is a collection of vertex-disjoint edges of G. If a matching covers all vertices of G, we say that the matching is a perfect matching of G. For a planar graph G and a distinguished subset S of vertices on some face, we denote by M f (G) the number of (not necessarily perfect) matchings G in which all the vertices that are not in S are matched, but those in S are free to be matched or not 14 S. HOPKINS AND T. LAI x+k 4 6 72k x 2k 3 Figure 7. The quartered hexagon Q 3 (3 , 4, 6, 7). matched (the distinguished subset of vertices S will be clear from context, so we do not need to include S in the notation). If u, v, w, s / 2 S are four vertices appearing in this cyclic order on the same face as the one containing the vertices in S, we say that S is ‘ u, w -separated ’ if there are no mutually disjoints paths P 1 , P 2 , P 3 in G so that P 1 connects u to w, P 2 connects v to some vertex in S, and P3 connects s to some other vertex of S. The v, s -separation is defined similarly. Lemma 3.1 (Corollary 1 in ) . Let G be a planar graph with the vertices u, v, w, s appearing in that cyclic order on a face F of G. Let S be a subset of the vertices of F that is disjoint with {u, v, w, s }, and assume that S is u, w - and v, s -separated. Then M f (G) M f (G \ { u, v, w, s }) + M f (G \ { u, w }) M f (G \ { v, s })= M f (G \ { u, s }) M f (G \ { v, w }) + M f (G \ { u, v }) M f (G \ { w, s }). We note that Ciucu actually proved a weighted version of Lemma 3.1 in . However, for the purpose of our proof, we only need the above unweighted version of Ciucu’s result. We also need the following tiling enumeration of the quartered hexagon . Aquartered hexagon Q x (s 1 , s 2 , . . . , s k ) is a trapezoidal region with sides of lengths x + k, 2k, x, 2k as shown in Figure 7. The left, top, and right sides of the region follow a lattice line, and the bottom side follows a zigzag lattice path. As indicated by the black triangles in that figure, we also remove k right-pointing unit triangles along the left side at the positions 1  s 1 < s 2 < · · · < s k  x + k as they appear from the bottom to the top. The number of tilings of the quartered hexagon is always given by a simple product formula. See formula (3.2) in [27, Theorem 3.1], or its equivalent form, formula (1.3) in [28, Theorem 1.2]. 1 Lemma 3.2 (Theorem 3.1 in ; Theorem 1.2 in ) . Assume that x, k are non-negative integers, and that (s i ) ki=1 is a sequence of distinct positive integers 1  s 1 < s 2 < · · · < s k  x + k. The number of tilings of the quartered hexagon 1Strictly speaking, our region Qx(s1, s 2, . . . , s k)is congruent with the region QH 2k,x +k(s1, s 2, . . . , s k)in [27, Theorem 3.1]; the region Qx(s1, s 2, . . . , s k)has the same tiling number as the Ra,b,c -type region (with even bc) in [28, Theorem 1.2]. PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 15 (b) t 2z t (a) y x t x+y y z z Figure 8. (a) The case when z = 0. (b) The case when x = 0. Q x (s 1 , s 2 , . . . , s k ) is given by M( Q x (s 1 , s 2 , . . . , s k )) = Y 1i<j k s j s i j i Y 1ijk s j + s i j + i . We note that the number of tilings of the quartered hexagon has an interesting connection to group characters (see, e.g., [4, 23]). Each lozenge tiling of a region R with a free boundary B corresponds to a match-ing of its (planar) dual graph G (i.e., the graph whose vertices are unit triangles in R and whose edges connect precisely two unit triangles sharing an edge), such that the vertices in S correspond to unit triangles whose bases are resting on the free boundary B. In particular, M( R) = M f (G). These dual graphs are not only planar, but also bipartite . A bipartite graph G = ( V 1 , V 2 , E ) is a graph whose vertex set is partitioned into two vertex classes V 1 and V 2 , such that two vertices in the same class are not connected by an edge. In our case, the bipartition is into right- and left-pointing triangles. A forced lozenge of the region R is a lozenge contained in any tiling of R. The removal of forced lozenges does not change the tiling number of the region. We are now ready to prove our main theorem. Proof of Theorem 1.2. We prove identity (1.1) by induction on x+z. The base cases are the cases when x = 0 , x = 1, and z = 0. We first consider the case when z = 0. In this case our region has the same tiling number as the semi-hexagon with free boundary (see Figure 8 (a)). Thus, identity (1.1) follows from the well-known enumeration of symmetric plane partitions (see Section 2.2.2 and ). We consider next the case when x = 0. Let us divide the flashlight region F 0,y,z,t along the vertical lattice line containing the t-side of the region (see Figure 8 (b)). The right subregion has z more right-pointing unit triangles than left-pointing unit 16 S. HOPKINS AND T. LAI 2z 2z 2z t+1 t+1 t+1 t+1 tt tty (a) (b) (c) (d) yy y yy yy 2z 2z 2z 2z 2z 1 4 2 3 2 4 1 3 4 2 1 3 Figure 9. Four ways to partition the region F x,y,z,t into two smaller regions in the case x = 1. triangles. It implies that, in any tiling of the right subregion, all z shaded right-pointing triangles on the extended t-side must match outside. Equivalently, any lozenge tiling of the flashlight region must contain z shaded horizontal lozenges as in the figure. The appearance of these shaded lozenges yields forced lozenges as indicated in the figure. After removing all these forced lozenges, we obtain a halved hexagon with the same tiling number as F 0,y,z,t (see the region restricted by the bold contour). The halved hexagon here is exactly the region in row 3 of Table 1 with a = b. The number of tilings of the halved hexagon is equal to the number of staircase-shaped plane partitions with a = b. These plane partitions are in bijection with transpose-complementary plane partitions (see, e.g., [42, 43, 12]). Thus, the number of tilings of F 0,y,z,t is equal to the number of the transpose-complementary plane partitions. However, it is not immediate to see that this agrees with our formula (1.1). We need some manipulations of the product formulas as shown below. We define the hyperfactorial function by: H(n) := n Y i=1 (n i)! ,PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 17 and H(0) = H(1) = 1. We also define the skipping version of the hyperfactorial by H 2 (n) := bn/ 2c Y i=1 (n 2i), and H 2 (0) = H 2 (1) = 1. By the enumeration of transpose-complementary plane partitions and the above arguments, we have: M( F 0,y,z,t ) = z Y i=1 t + ii · i Y j=2 2t + i + j 1 i + j 1= z Y i=1 2t + 2 i 2i · (2 t + 2 i 1)! /(2 t + i)! (2 i 1)! /i != z Y i=1 (2 t + 2 i)! /(2 t + i)! (2 i)! /i != (2 t + 2)!(2 t + 4)!(2 t + 6)! · · · (2 t + 2 z)! 2!4!6! · · · (2 z)! · 1!2!3! . . . z !(2 t + 1)!(2 t + 2)!(2 t + 3)! · · · (2 t + z)! = H 2 (2 z + 2 t + 2) H(z + 1) H(2 t + 1) H 2 (2 t + 2) H 2 (2 z + 2) H(2 t + z + 1) . (3.1) Let Px,y,z,t denote the expression on the right-hand side of identity (1.1). We would like to verify that M( F 0,y,z,t ) = P 0,y,z,t . It is easy to see that the first two products in the formula P 0,y,z,t are equal to 1, and we have P 0,y,z,t = z Y i=1 t Y j=1 z + 2 j + i 2j + t 1= t Y j=1 (2 z + 2 j)! /(z + 2 j)! (2 j + z 1)! /(2 j 1)! = (2 z + 2)!(2 z + 4)!(2 z + 6)! · · · (2 t + 2 z)! (z + 1)!( z + 3)!( z + 5)! · · · (z + 2 t 1)! · 1!3!5! · · · (2 t 1)! (z + 2)!( z + 4)!( z + 6)! · · · (z + 2 t)! = H 2 (2 t + 2 z + 2) H 2 (2 t + 1) H(z + 1) H 2 (2 z + 2) H(z + 2 t + 1) (3.2) Note that H(2 t + 1) = H 2 (2 t + 2) H 2 (2 t + 1). By (3.1) and (3.2), we then have M( F 0,y,z,t ) = P 0,y,z,t as desired. The third base case is the case when x = 1. Arguing similarly to the case x = 0, each lozenge tiling of the region F 1,y,z,t must contain z horizontal lozenges intersected by the extension of the t-side (indicated by the shaded lozenges in Figure 9). Label 18 S. HOPKINS AND T. LAI the z + 1 lozenges intersected by the extended t-side by 1 , 2, . . . , z + 1, from bottom to top. There are z + 1 ways to arrange these z shaded lozenges, corresponding to z + 1 z-subsets L of [ z + 1] = {1, 2, . . . , z + 1 }. In Figure 9, we have z = 3, and there are four ways to arrange shaded lozenges. Let us fix an arrangement L = {l 1 < l 2 < · · · < l z } of the z shaded lozenges and consider the region F 1,y,z,t \ L obtained from F 1,y,z,t by removing these lozenges, where L denotes the set of lozenges with labels in L. We divide this region into two smaller regions along the extended t-side. We can see that the right subregion is balanced , i.e., it has the same number of left- and right-pointing unit triangles. Thus, in any tiling of the region F 1,y,z,t \ L ,the unit triangles in the right subregion must be matched internally. It means that any tiling of F 1,y,z,t \ L can be partitioned into two disjoint tilings of the left and right subregions. One could recognize that the right subregion is congruent with a quartered hexagon Q t+1 (t + l 1 , t + l 2 , . . . , t + l z ) in Lemma 3.2. In the left subregion, there are forced lozenges along the z shaded lozenges. Removing these forced lozenges, we get back the semi-hexagon H s with free boundary. It means that M( F 1,y,z,t \ L ) = M( H s ) M( Q t+1 (t + l 1 , t + l 2 , . . . , t + l z )) for any L. We note that the shape of the semi-hexagon H s does not depend on the choice of lozenge set L.Summing over all L, we get M( F 1,y,z,t ) = X L M( F 1,y,z,t \L ) = M( H s ) X L={l1,...,l z}⇢[z+1] M( Q t+1 (t+l 1 , t +l 2 , . . . , t +l z )) . Let us handle the sum of the tiling numbers on the right hand-side. X {l1,...,l z}⇢[z+1] M( Q t+1 (t + l 1 , t + l 2 , . . . , t + l z )) = Y 1i<j z 1 j i Y 1ijz 1 j + i ⇥ 0@ X {l1,...,l z} Y 1i<j z (l j l i ) Y 1ijz (2 t + l j + l i ) 1A . Compare the two products Y 1i<j z (l j l i ) Y 1ijz (2 t + l j + l i )and P = Y 1i<j z+1 (j i) Y 1ijz+1 (2 t + i + j). The two products are di ↵erent in the factors of P that involve the term l ⇤ , where {l ⇤ } = [ z + 1] \ { l 1 , . . . , l z }. By considering such factors of P , we get Y 1i<j z (l j l i ) Y 1ijz (2 t + l j + l i ) = P · (2 t + l ⇤ )! (l ⇤ 1)!( z l ⇤ + 1)!(2 t + l ⇤ + z + 1)! .PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 19 Summing over all 1  l ⇤  z + 1, we have X {l1,...,l z}⇢[z+1] Y 1i<j z (l j l i ) Y 1ijz (2 t + l j + l i )= P · z+1 X i=1 (2 t + i)! (i 1)!( z i + 1)!(2 t + i + z + 1)! . Using hypergeometric series notation, we rewrite the sum on right-hand side as z+1 X i=1 (2 t + i)! (i 1)!( z i + 1)!(2 t + i + z + 1)! = z X i=0 (2 t + i + 1)! (i)!( z i)!(2 t + i + z + 2)! = (2 t + 1)! z!(2 t + z + 2)! z X i=0 (2 t + 2) i (z) i (2 t + z + 3) i (1) i i!= (2 t + 1)! z!(2 t + z + 2)! · 2 F 1  z 2t + 2 2t + z + 3 ; 1 By Kummer’s 2 F 1 identity 2 [38, pp. 42–43, 126], we have z+1 X i=1 (2 t + i)! (i 1)!( z i + 1)!(2 t + i + z + 1)! = (2 t + 1)! z!(2 t + z + 2)! (t + 1)!(2 t + z + 2)! (2 t + 2)!( t + z + 1)! = t!2 · z!( t + z + 1)! . This way, we obtain an explicit formula for the number of tilings of the flashlight region as M( F 1,y,z,t ) = M( H s ) Q 1i<j z+1 (j i) Q 1ijz+1 (2 t + i + j) Q 1i<j z (j i) Q 1ijz (j + i) t!2 · z!( t + z + 1)! = M( H s ) Q 1ijz+1 (2 t + i + j) Q 1ijz (j + i) t!2 · (t + z + 1)! . By the enumeration of symmetric plane partitions, we have M( F 1,y,z,t ) = Y 1ijy i + ji + j 1 Q 1ijz+1 (2 t + i + j) Q 1ijz (j + i) t!2 · (t + z + 1)! = 2 y Q 1jz+1 (2 t + 2 j)! /(2 t + j)! Q 1jz (2 j)! /j ! t!2 · (t + z + 1)! = 2 y1 t!(t + z + 1)! H 2 (2 t + 2 z + 4) H(2 t + 1) H(z + 1) H 2 (2 t + 2) H(2 t + z + 2) H 2 (2 z + 2) .(3.3) 2 Kummer’s 2 F 1 identity says that 2 F 1 a bc ; 1 = ( b 2+1) (ba+1) (b+1) (b 2a+1) if a b + c = 1. 20 S. HOPKINS AND T. LAI (a) (b) v swu v swu Figure 10. (a) How to apply the condensation in Lemma 3.1 to the flashlight region. (b) Separating condition in Ciucu’s Lemma 3.1 .We would like to verify that M( F 1,y,z,t ) = P1,y,z,t . We can simplify the expression P 1,y,z,t on the right-hand side of (1.1) as: P 1,y,z,t = Y 1jy+z 2jj Y 1jz 2j + 1 j + 1 t Y i=1 z Y j=1 2i + j + z + 1 2i + j = 2 y+z (2 z + 1)!! (z + 1)! t Y i=1 (2 i + 2 z + 1)! /(2 i + z + 1)! (2 i + z)! /(2 i)! = 2y+z (2 z + 1)!! (z + 1)! H 2 (2 z + 2 t + 3) H 2 (2 t + 2) H(z + 1) H 2 (2 z + 3) H(2 t + z + 2) .(3.4) We note that H 2 (2 x + 2) = (2 x)!! H 2 (2 x + 1) = 2 x x!H 2 (2 x + 1) and H 2 (2 x + 1) = (2 x 1)!! H 2 (2 x). This and the above two identities (3.3) and (3.4) imply that M( F 1,y,z,t ) = P 1,x,y,t as desired. Then identity (1.1) follows for the case x = 1. For the induction step we assume that x 2, z 1 and that (1.1) holds for any flashlight region whose sum of x- and z-parameter is strictly less than x + z. We will use Ciucu’s Lemma 3.1 to construct certain recurrences for the tiling numbers of the flashlight regions, and (1.1) follows from the induction principle. We first suppose that z 2. Apply Ciucu’s Lemma 3.1 to the dual graph G of the flashlight region F x,y,z,t with the four vertices u, v, w, s chosen as in Figure 10(a). Strictly speaking, the vertices u, v, w, s of G are indicated by the corresponding unit PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 21 u (c) (d) us s x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z 2z 2z 2z 2z tt tt y+2z y+2z y+2z y+2z yy yy x+t x+t x+t x+t (a) (b) v w w v Figure 11. The four regions corresponding to the four graphs on the left-hand side of identity (3.5). triangles in the region F x,y,z,t (see the shaded unit triangles of the same label). In particular, the u-triangle is the right-pointing unit triangle in the lower-right corner of the region, the v-, w-, and s-triangles are the shaded ones as we go in counter-clockwise direction around the region from the u-triangle. The separating conditions in Ciucu’s Lemma is now equivalent to the fact that s and v belong to di ↵erent parts of the region F x,y,z,t separated by any path of triangles going from u to w, and u and w belong to di ↵erent parts of the region F x,y,z,t separated by any path of triangles going from s to v (see Figure 10(b)). We now have the recurrence: M f (G) M f (G \ { u, v, w, s }) + M f (G \ { v, s }) M f (G \ { u, w })= M f (G \ { u, v }) M f (G \ { w, s }) + M f (G \ { u, s }) M f (G \ { v, w }).(3.5) We would like to convert this recurrence to a recurrence for tiling numbers of the flashlight regions. We will write each of the eight matching numbers in terms of tiling number of some flashlight region. The task for the first matching number is trivial, as we have by definition: (3.6) M f (G) = M( F x,y,z,t ). Let us consider the region corresponding to the graph in the second matching num-ber, i.e., the graph G \ { u, v, w, s }. The removal of the u-, v-, w-, and s-triangles 22 S. HOPKINS AND T. LAI u 2z 2z u s s (a) (b) (c) (d) 2z x+t y+2z y t x+y+z x+y+z y+2z y+2z y+2z x+t x+t x+t t tt yy y 2z v w v w Figure 12. The four regions corresponding to the four graphs on the right-hand side of identity (3.5). yields several forced lozenges as indicated as in Figure 11(b). We note that the removal of the v- and w-triangles forces the topmost and bottommost right-pointing triangles along the free boundary to match outside. Removing these forced lozenges, we get a new flashlight region (indicated by the region restricted by the bold con-tour), namely F x2,y +2 ,z 2,t +2 . As removal of forced lozenges does not change the tiling number, we have: (3.7) M f (G \ { u, v, w, s }) = M( F x2,y +2 ,z 2,t +2 ). Considering forced lozenges as shown in Figure 11(c), (d) and Figure 12(a)–(d), we get respectively six more equations: (3.8) M f (G \ { v, s }) = M( F x2,y +2 ,z 1,t +1 ), (3.9) M f (G \ { u, w }) = M( F x,y,z 1,t +1 ), (3.10) M f (G \ { u, v }) = M( F x,y,z 1,t ), (3.11) M f (G \ { w, s }) = M( F x2,y +2 ,z 1,t +2 ), (3.12) M f (G \ { u, s }) = M( F x,y +2 ,z 2,t +1 ),PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 23 (3.13) M f (G \ { v, w }) = M( F x2,y,z,t +1 ). Plugging equations (3.6)–(3.13) in recurrence (3.5), we get a recurrence for tiling numbers of flashlight regions: M( F x,y,z,t ) M( F x2,y +2 ,z 2,t +2 ) + M( F x2,y +2 ,z 1,t +1 ) M( F x,y,z 1,t +1 )= M( F x,y,z 1,t ) M( F x2,y +2 ,z 1,t +2 ) + M( F x,y +2 ,z 2,t +1 ) M( F x2,y,z,t +1 ).(3.14) One readily sees that the sums of x- and z-parameters of the last seven regions in the above recurrence are all strictly less than x + z. By induction hypothesis, we have explicit formulas for the last seven tiling numbers. Then we obtain the formula for the number of tilings of F x,y,z,t , which is the same as the expression on the right-hand side of identity (1.1), say after performing a straightforward simplification. Recall that Px,y,z,t denotes the expression on the right-hand side of identity (1.1). We remark that not only do these P x,y,z,t satisfy the recurrence (3.14), but in fact it could be seen that (3.15) P x,y,z,t P x2,y +2 ,z 2,t +2 = P x,y +2 ,z 2,t +1 P x2,y,z,t +1 and (3.16) P x2,y +2 ,z 1,t +1 P x,y,z 1,t +1 = P x,y,z 1,t P x2,y +2 ,z 1,t +2 . Again, verifying these identities is not hard but not immediate either. We will present briefly the verification below. Identity (3.16) is easier to see by showing that P x2,y +2 ,z 1,t +1 P x2,y +2 ,z 1,t +2 · P x,y,z 1,t +1 P x,y,z 1,t = 1 .(3.17) We note that in each of the fractions on the left-hand side, the two P -terms are the same, except for the t-parameters. Cancelling out all factors independent from the t-parameter, we have P x2,y +2 ,z 1,t +1 P x2,y +2 ,z 1,t +2 · Px,y,z 1,t +1 P x,y,z 1,t = Q t+1 i=1 Q z1 j=1 x+z+2 i+j3 x+2 i+j3 Q t+2 i=1 Q z1 j=1 x+z+2 i+j3 x+2 i+j3 · Q t+1 i=1 Q z1 j=1 x+z+2 i+j1 x+2 i+j1 Q ti=1 Q z1 j=1 x+z+2 i+j1 x+2 i+j1 = 1 Q z1 j=1 x+z+2 t+j+1 x+2 t+j+1 · Q z1 j=1 x+z+2 t+j+1 x+2 t+j+1 1= 1 .(3.18) Next, we prove identity (3.15) by verifying that (3.19) P x,y,z,t P x2,y +2 ,z 2,t +2 P x,y +2 ,z 2,t +1 P x2,y,z,t +1 = 1 . Cancelling common terms in the numerator and denominator on the left-hand side, we have Px,y,z,t P x2,y +2 ,z 2,t +2 P x,y +2 ,z 2,t +1 P x2,y,z,t +1 = Q 1ijz x + i + j Q 1ijz2 x + i + j 2 Q 1ijz2 x + i + j Q 1ijz x + i + j 224 S. HOPKINS AND T. LAI t x+y+1 x+y+1 y+2 x+t t y y+2 x+t y (a) uu v w ss (b) Figure 13. Two special regions in the case when x 2 and z = 1. ⇥ Q ti=1 Q zj=1 x+z+2 i+jx+2 i+j1 Q t+2 i=1 Q z2 j=1 x+z+2 i+j4 x+2 i+j3 Q t+1 i=1 Q z2 j=1 x+z+2 i+j2 x+2 i+j1 Q t+1 i=1 Q zj=1 x+z+2 i+j2 x+2 i+j1 = Q 1iz1 x + z + i 1 Q 1iz x + z + i Q 1iz1 x + z + i 3 Q 1iz x + z + i 2 ⇥ Y j=1 z x + j 1 x + z + j z2 Y i=1 x + z + j 2 x + j 1= (x + 2 z 3)( x + 2 z 2) (x + z 3)( x + z 1) (x + 2 z)( x + 2 z 1) (x + z 1)( x + z 2) ⇥ (x + z 3)( x + z 1)( x + z 1)( x + z)(x + 2 z)( x + 2 z 1)( x + 2 z 2)( x + 2 z 3) = 1 .(3.20) We have just proved identity (1.1) for the case z 2. We note that recurrence (3.14) does not work for the case z = 1. In particular, the regions F x2,y +2 ,z 2,t +2 and F x,y +2 ,z 2,t +1 are not defined when z = 1. To complete the proof, we need to obtain a new recurrence in this case. We still apply Ciucu’s Lemma 3.1 to the region F x,y, 1,t as in Figure 10. It is easy to see that among the above eight equations (3.6)–(3.13), only two equations do not hold when z = 1. They are equations (3.7) and (3.12). We now need to consider the e ↵ect of forced lozenges in the regions corresponding to the graphs G \ { u, v, w, s } and G \ { u, s } when z = 1, as shown in Figure 13 (a) and (b), respectively. In particular, we get two new equations: (3.21) M f (G \ { u, v, w, s }) = M( F x2,y +1 ,0,t +2 )and (3.22) M f (G \ { u, s }) = M( F x,y +1 ,0,t +1 ).PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 25 Using (3.21) and (3.22) instead of (3.7) and (3.12), we get a new recurrence for the case z = 1: M( F x,y, 1,t ) M( F x2,y +1 ,0,t +2 ) + M( F x2,y +2 ,0,t +1 ) M( F x,y, 0,t +1 )= M( F x,y, 0,t ) M( F x2,y +2 ,0,t +2 ) + M( F x,y +1 ,0,t +1 ) M( F x2,y, 1,t +1 ).(3.23) (We note that, as mentioned in the case z = 0, the tiling number of the region F x,y, 0,t is actually independent from t.) Again, the sums of the x- and z-parameters of the last seven regions in the recurrence (3.23) are all smaller than x + z, and (1.1) also follows from the induction hypothesis in this case. As before, letting P x,y,z,t denote the expression on the right-hand side of identity (1.1), we remark that not only do these P x,y,z,t satisfy the recurrence (3.23), but in fact P x,y, 1,t P x2,y +1 ,0,t +2 = P x,y +1 ,0,t +1 P x2,y, 1,t +1 , and P x2,y +2 ,0,t +1 P x,y, 0,t +1 = P x,y, 0,t Px2,y +2 ,0,t +2 , which can be seen by similar computations to what we showed in the case z 2. This completes our proof. ⇤ Remark 3.3. Although we stated Theorem 1.2 for y > 0, we believe it holds verbatim in the case y = 0 as well. The problem is that we cannot use Lemma 3.1 in this case, because the relevant graph is no longer u, w -separated. The number of tilings M( F x, 0,z,t ) is naturally expressed as a sum of M( Q k (s 1 , . . . , s k )), but this sum seems hard to evaluate. References George E. Andrews. MacMahon’s conjecture on symmetric plane partitions. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. , 74(2):426–429, 1977. George E. Andrews. Plane partitions. II. The equivalence of the Bender-Knuth and MacMahon conjectures. Pacific J. Math. , 72(2):283–291, 1977. George E. Andrews. Plane partitions. I. The MacMahon conjecture. In Studies in foundations and combinatorics , volume 1 of Adv. in Math. Suppl. Stud. , pages 131–150. Academic Press, New York-London, 1978. Arvind Ayyer and Ilse Fischer. Bijective proofs of skew Schur polynomial factorizations. J. Combin. Theory Ser. A , 174:105241, 40, 2020. Edward A. Bender and Donald E. Knuth. Enumeration of plane partitions. J. Combinatorial Theory Ser. A , 13:40–54, 1972. Mihai Ciucu. Enumeration of lozenge tilings of punctured hexagons. J. Combin. Theory Ser. A, 83(2):268–272, 1998. Mihai Ciucu. A generalization of Kuo condensation. J. Combin. Theory Ser. A , 134:221–241, 2015. Mihai Ciucu. Lozenge tilings with gaps in a 90 wedge domain with mixed boundary conditions. Comm. Math. Phys. , 334(1):507–532, 2015. Mihai Ciucu. The other dual of MacMahon’s theorem on plane partitions. Adv. Math. , 306:427– 450, 2017. Mihai Ciucu. Correlation of a macroscopic dent in a wedge with mixed boundary conditions. Trans. Amer. Math. Soc. , 373(3):2173–2190, 2020. 26 S. HOPKINS AND T. LAI Mihai Ciucu, Theresia Eisenk¨ olbl, Christian Krattenthaler, and Douglas Zare. Enumeration of lozenge tilings of hexagons with a central triangular hole. J. Combin. Theory Ser. A , 95(2):251– 334, 2001. Mihai Ciucu and Christian Krattenthaler. Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut-o ↵ corners. J. Combin. Theory Ser. A , 100(2):201–231, 2002. Mihai Ciucu and Christian Krattenthaler. A dual of MacMahon’s theorem on plane partitions. Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 110(12):4518–4523, 2013. Guy David and Carlos Tomei. The problem of the calissons. Amer. Math. Monthly , 96(5):429– 431, 1989. Theresia Eisenk¨ olbl. Rhombus tilings of a hexagon with three fixed border tiles. J. Combin. Theory Ser. A , 88(2):368–378, 1999. Ira M. Gessel and Xavier G. Viennot. Determinants, paths, and plane partitions. Preprint, , 1988. Basil Gordon. A proof of the Bender-Knuth conjecture. Pacific J. Math. , 108(1):99–113, 1983. Mark D. Haiman. Dual equivalence with applications, including a conjecture of Proctor. Dis-crete Math. , 99(1-3):79–113, 1992. Mark D. Haiman and Dongsu Kim. A characterization of generalized staircases. Discrete Math. ,99(1-3):115–122, 1992. Harald A. Helfgott and Ira M. Gessel. Enumeration of tilings of diamonds and hexagons with defects. Electron. J. Combin. , 6:Research Paper 16, 26, 1999. Sam Hopkins. Order polynomial product formulas and poset dynamics. arXiv:2006.01568 ,2020. For the “Open Problems in Algebraic Combinatorics” AMS volume to accompany the OPAC 2022 conference at U. Minnesota. Christian Krattenthaler. Plane partitions in the work of Richard Stanley and his school. In The mathematical legacy of Richard P. Stanley , pages 231–261. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016. Christian Krattenthaler, Anthony J. Guttmann, and Xavier G. Viennot. Vicious walkers, friendly walkers and Young tableaux. II. With a wall. J. Phys. A , 33(48):8835–8866, 2000. Germain Kreweras. Sur une classe de problemes de d´ enombrement li´ es au treillis des partitions des entiers. Cahiers du B.U.R.O. , 6:5–105, 1965. Eric H. Kuo. Applications of graphical condensation for enumerating matchings and tilings. Theoret. Comput. Sci. , 319(1-3):29–57, 2004. Greg Kuperberg. An exploration of the permanent-determinant method. Electron. J. Combin. ,5:Research Paper 46, 34, 1998. Tri Lai. Enumeration of tilings of quartered Aztec rectangles. Electron. J. Combin. , 21(4):Paper 4.46, 27, 2014. Tri Lai. A new proof for the number of lozenge tilings of quartered hexagons. Discrete Math. ,338(11):1866–1872, 2015. Tri Lai. A q-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary. European J. Combin. , 64:66–87, 2017. Tri Lai. Lozenge tilings of hexagons with central holes and dents. Electron. J. Combin. ,27(1):P1.61, 2020. Ian G. Macdonald. Symmetric functions and Hall polynomials . The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. Oxford Mathematical Monographs. Percy A. MacMahon. Partitions of numbers whose graphs possess symmetry. Trans. Cambridge Philos. Soc. , 17:149–170, 1899. Percy A. MacMahon. Combinatory analysis. Vol. I, II (bound in one volume) . Dover Phoenix Editions. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004. Reprint of An introduction to combi-natory analysis (1920) and Combinatory analysis. Vol. I, II (1915,1916). Soichi Okada. On the generating functions for certain classes of plane partitions. J. Combin. Theory Ser. A , 51(1):1–23, 1989. PLANE PARTITIONS OF SHIFTED DOUBLE STAIRCASE SHAPE 27 Soichi Okada. Applications of minor summation formulas to rectangular-shaped representations of classical groups. J. Algebra , 205(2):337–367, 1998. Soichi Okada. Intermediate symplectic characters and shifted plane partitions of shifted double staircase shape. arXiv:2009.14037 , 2020. Soichi Okada and Christian Krattenthaler. The number of rhombus tilings of a “punctured” hexagon and the minor summation formula. Adv. in Appl. Math. , 21(3):381–404, 1998. Marko Petkovˇ sek, Herbert S. Wilf, and Doron Zeilberger. A = B. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1996. Robert A. Proctor. Shifted plane partitions of trapezoidal shape. Proc. Amer. Math. Soc. ,89(3):553–559, 1983. Robert A. Proctor. Bruhat lattices, plane partition generating functions, and minuscule rep-resentations. European J. Combin. , 5(4):331–350, 1984. Robert A. Proctor. Unpublished research announcement, 1984. Robert A. Proctor. Odd symplectic groups. Invent. Math. , 92(2):307–332, 1988. Robert A. Proctor. New symmetric plane partition identities from invariant theory work of De Concini and Procesi. European J. Combin. , 11(3):289–300, 1990. Eric Rains and S. Warnaar. Bounded Littlewood identities. Mem. Amer. Math. Soc. , 270(1317), 2021. Richard P. Stanley. Symmetries of plane partitions. J. Combin. Theory Ser. A , 43(1):103–113, 1986. Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 2 , volume 62 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics . Cambridge University Press, Cambridge, 1999. John R. Stembridge. Nonintersecting paths, Pfa ans, and plane partitions. Adv. Math. ,83(1):96–131, 1990. Email address : shopkins@umn.edu School of Mathematics, University of Minnesota, Minneapolis, MN 55455 Email address : tlai3@unl.edu Department of Mathematics, University of Nebraska, Lincoln, NE 68588
9778	https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S109332631830130X	The stability, kinetics and inter-fragment electron communication of the tautomers of twelve selected β-diketone molecules: A computational study - ScienceDirect Skip to main contentSkip to article Journals & Books Access throughyour organization Purchase PDF Patient Access Other access options Search ScienceDirect Article preview Abstract Introduction Section snippets References (34) Cited by (6) Journal of Molecular Graphics and Modelling Volume 85, October 2018, Pages 25-39 Topical Perspectives The stability, kinetics and inter-fragment electron communication of the tautomers of twelve selected β-diketone molecules: A computational study Author links open overlay panel Adebayo A.Adeniyi a b, Jeanet Conradie a Show more Add to Mendeley Share Cite rights and content Highlights •The influence of resonance stability and non-Lewis electron density on the K e/k. •The competitive impact of kinetic of forward and reverse reaction on K e/k. •The thermodynamic effects influenced by solvent media and position of enolization. •The significant impact of UV in predicting the prevailing existence as either keto or enol form. •The influence of the energy stability of the inter-fragment interactions on the K e/k. Abstract Keto-enol equilibrium is known to depend on the difference in the free energy between the keto and enoltautomers and is greatly influenced by the nature of the substituents, temperature, and the polarity of the solvents. New insight was gained into the series of twelve differently substituted β-diketones (A-L), showing that the keto form of each β-diketone has a lesser tendency towards resonance formation, compared to their enol forms. For molecules G and H (which contain an electron-withdrawing CF 3 substituent), the experimentally reported high tendency towards the enol tautomer, was computationally traced to a high level of the alternative enolic resonance weight also in their keto structure, as well as to the highly favourable enolic inter-fragment stability of the energy of interaction. Computational results further showed that the polar solventdioxane enhances the enol form of these twelve molecules more effectively than water and chloroform media. The abundance of either the enol or keto tautomer, was also found to be dependent on the competitive ratio of both the forward and reverse reaction rate constants (namely the computed values for K forward/K reverse). High similarity was observed between the experimental and computed UV spectra of the selected molecules in their enol forms, which provides further evidence supporting predictions for the most favourable position of the enolization (for unsymmetrical molecules E and G-L with two possible enol positions), as well as confirming the previously reported trend of their experimental equilibrium K e/k values. Graphical abstract 1. Download: Download high-res image (208KB) 2. Download: Download full-size image Introduction Keto-enol tautomerism between the keto and enol form of a molecule, can be described as the intramolecular transfer of a proton and the shifting of π electron density, which results in the equilibrium between the keto and enol isomers . The position of the keto-enol equilibrium is expressed by the equilibrium constant K e/k = [enol]/[keto], which is temperature and solvent dependent, and also depends on the structure of the molecule. From a thermodynamics viewpoint, the equilibrium constant of the tautomers is proportional to the difference in their free energy , and also is temperature dependent, namely K e/k = exp(-Δ G/k B T), with Δ G = G enol-G keto and k B = Boltzmann constant [2,3]. An example from literature reported solvent effects on the keto-enol equilibrium of three 1,3,4-tiadiazole derivatives of biological active compounds, showing that non-polar solvents predominantly favour keto tautomers, while polar solvents largely favour the enol form . The solvent-induced tautomer of above mentioned 1,3,4-tiadiazole derivatives, depends largely on the average electric polarizability and does not depend on the electric dipole moment of the specific solvent . Another example, namely 2-acetylcyclohexanone, exists almost completely in the enol form in aprotic solvents such as 1,4-dioxane, while a mixture of both keto and enol tautomers exists in water . Tautomerization is an important structural isomerism, that is the key feature of the Watson-Crick base pairs and structure of DNA, especially in purine and pyrimidine bases . β-Diketones, R'COCH 2 COR, containing different substituents R′ and R, can exist in solution in three tautomeric forms, namely one keto and two different enol forms, see Scheme 1. The keto-enol interconversion of β-diketones occurs in the solid state as well as in solution [8,9], and is dependent on concentration, temperature and solvent type.6 In solution, the keto-enol interconversion of β-diketones is generally fast , although slow measurable keto-enol conversion kinetics have also been reported for a series of ferrocene- and thienyl-containing β-diketones [8,9]. In solution, the enol tautomer is generally the main form, since it is stabilized by intramolecular hydrogen bonding, as well as by resonance through the conjugated π-system of the flat (C=O)CH(C-O) backbone [6,8,9]. In unsymmetrically substituted β-diketones, RCOCH 2 COR' (with different R′ and R substituents), the interconversion between the two possible enol isomers involves only an intramolecular proton transfer, together with the associated change in the electron distribution of the β-diketone, and generally occurs so fast that only a weighed average of the peaks of the two enol forms are observed on 1 H NMR. In this study, the keto-enol equilibrium constants K e/k were revaluated , as obtained under the same experimental conditions (temperature, solvent and concentration), for the tautomerization reaction of a series of twelve differently substituted β-diketones (A – L in Fig.1). The aim is to illustrate the effect on the experimentally obtained K e/k values, when varying the following factors: (i) increasing aliphatic steric bulk by adding ethyl or t-Bu substituents (Group 1, ligands A, B, C, D); (ii) increasing electron-withdrawing substituents such as phenyl or CF 3 (Group 2, ligands E, F, G, H); and (iii) adding an electron donating ester group via lone pair electrons (Group 3, ligands I, J, K, L), which is also the measure of the lone pair resonance on the acidity of α hydrogens. It has been experimentally established that the stability of the enol tautomer in Group 1 is enhanced (K e/k> 1) as the aliphatic steric bulk of substituents R and R′ increases (D > C > B ≈ A), because of increasing steric crowdedness in the keto tautomer . The enol tautomer in Group 2 is also increasingly favoured as the strength of the electron-withdrawing substituents R and/or R′ increases (H ≈ G > F > E). On the other hand, the lone pair resonance in Group 3 increases the keto stability in ligands I− K, with K e/k< 1 . In the latter case, the lone pair resonance of the methoxy substituent shifts the equilibrium in favour of the keto isomer for ligands I, J and K, as compared to their counterparts A, B and D respectively, which contain only aliphatic substituents favouring the enol form, with K e/k> 1. Structural properties such as lone-pair resonance (Group 3) and electron-withdrawing substituents (Group 2), thus significantly affect the shift in the equilibrium constant between the enol and keto tautomers. Among all twelve of these β-diketones, ligands G and H with electron-withdrawing CF 3 substituents, were reported to have the highest affinity for the enol form (K e/k> 10 4), while β-diketones I and J containing a lone pair resonance methoxy substituent, have the highest affinity for the keto form instead (K e/k< 0.1) . To gain more insight into the experimentally observed properties of β-diketones, and the factors which influence their keto-enol equilibrium, computational studies were here carried out on the twelve different β-diketones shown in Fig.1 (with known experimental K e/k values, obtained under the same experimental conditions). The effects on the stability and equilibrium of tautomerization were examined, when varying conditions such as solvents, temperature, type of substituents, conjugation and resonance. These effects were then related to the reported experimental equilibrium constant values (K e/k = [enol]/[keto]) . Access through your organization Check access to the full text by signing in through your organization. Access through your organization Section snippets Computational methods The geometries of the β-diketones were optimized in the gas phase, using Gaussian 09 (G09) with the hybrid DFT functional M062×, which is known to be effective for thermodynamic and kinetic and basis set 6-311G(d,p) computations. To determine solvent medium energies, a single-point calculation including solvent effects, were done. The thermodynamic, spectroscopic and kinetic properties were computed, using G09 on the same level of theory. The optimized structures were further analysed The optimized structures The optimized geometries of the keto form (reactant), the transition state and the enol form (product) during tautomerization of acetylacetone (β-diketone A), are shown in Fig.2a–c. The (C=O)CH(C-O) backbone of the enol tautomer of β-diketone A (product) is flat, due to the sp 2 hybridization of the carbon (C3) between the two CO groups. The C1-C3-C4 angle is 120.3° and the O6-C1-C4-O7 dihedral is 0.0° for the enol tautomer. On the other hand, the backbone of the optimized gas phase keto Conclusion The kinetic, thermodynamic and molecular properties of twelve selected β-diketones were studied using DFT techniques. The obtained results can be summarized as follows: The reactant keto forms have more resonance stability (higher resonance weight), with less tendency of forming different resonance structures, than compared to the enol structures. The enol moleculesE1, E2, F, H1, H2, L1and L2, each containing at least one aromatic phenyl substituent, were predicted to be less reactive or more Acknowledgments The authors like to acknowledge the University of the Free State and the NRF in South Africa (Grant Nos: 109673, 113327 and 96111) for financial support and the CHPC for the simulation facilities. Recommended articles References (34) W.C. du Plessis et al. Structural, thermodynamic and kinetic consequences of a spectroscopic study of the equilibrium between isomeric forms of ferrocene-containing β-diketones Inorg. Chim. Acta. (2001) I.C. de Silva et al. Investigations of nonlinear optical (NLO) properties of Fe, Ru and Os organometallic complexes using high accuracy density functional theory (DFT) calculations J Mol Struct THEOCHEM (2005) P.J. Mendes et al. Density functional theory calculations on eta(5)-monocyclopentadienylnitrile cobalt complexes concerning their second-order nonlinear optical properties J.Mol. Struct. (2005) P.S. Liyanage et al. Nonlinear optical (NLO) properties of novel organometallic complexes: high accuracy density functional theory (DFT) calculations J Mol Struct THEOCHEM (2003 Nov 3) M. Karabacak et al. FT-Raman, UV spectra and DFT calculations on monomeric and dimeric structure of 2-amino-5-bromobenzoic acid Spectrochim. Acta Part A Mol Biomol Spectrosc (2012 Feb) B.W. Mccann et al. Benchmarking continuum solvent models for keto− enol tautomerizations J.Phys. Chem. A (2015) A. Matwijczuk et al. Effect of solvent polarizability on the keto/enol equilibrium of selected bioactive molecules from the 1,3,4-Thiadiazole group with a 2,4-hydroxyphenyl function J.Phys. Chem. (2017) G.M. Barrow Physical chemistry E. Iglesias Tautomerization of 2-acetylcyclohexanone. 1. Characterization of keto - enol/enolate equilibria and reaction rates in water J.Org. Chem. (2003) K.T. Smith et al. Measuring structural and electronic effects on keto− enol equilibrium in 1,3-dicarbonyl compounds J.Chem. Educ. (2016) E.J. Drexler et al. An NMR study of keto-enol tautomerism in β[beta]-dicarbonyl compounds J.Chem. Educ. (1976 Jun 1) E. Iglesias Behavior of 1,1,1-Trifluoroacetylacetone and 1,1,1-Trifluoro-3-(2-thenoyl)acetone in aqueous micellar solutions of the cationic surfactants Tetradecyltrimethylammonium bromide and Tetradecyltrimethylammonium chloride Langmuir (2000 Oct 1) M.M. Conradie et al. Thienyl-containing b-diketones: synthesis, characterization, crystal structure and keto-enol kinetics S.Afr. J. Chem. (2008) M.J. Frisch et al. Gaussian 09 (2009) Y. Zhao et al. The M06 suite of density functionals for main group thermochemistry, thermochemical kinetics, noncovalent interactions, excited states, and transition elements: two new functionals and systematic testing of four M06-class functionals and 12 other function Theor Chem Acc (2008) F. Weinhold Natural bond orbital Analysis : a critical overview of relationships to alternative bonding perspectives J com (2012) E.D. Glendening et al. Natural resonance Theory : III. Chemical applications J.Comput. Chem. (1997) View more references Cited by (6) Synthesis, characterization, electrochemistry, DFT and kinetic study of the oligothiophene-containing complex [Rh((C4H3S-C4H2S)COCHCOCF3)(CO)(PPh3)] 2021, Polyhedron Citation Excerpt : The CH3I oxidative addition to square planar [Rh(β-diketonato)(CO)(PPh3)] complexes generally proceed through a few reaction steps that results in Rh(III) alkyl species [Rh(β-diketonato)(CH3)(CO)(PPh3)(I)] or Rh(III) acyl species [Rh(β-diketonato)(COCH3)(PPh3)(I)] as final reaction product. Many β-diketones with different substituents on the 1 and 3 positions are known [13,14]. β-diketonato ligands containing alkyl and phenyl groups that possess electron donating properties, accelerate the oxidative addition reaction, while an increasing alkyl chain length of the substituent group on the β-diketonato ligand did not influence the reaction rate of the first oxidative addition step . Show abstract The synthesis, electrochemistry, oxidative addition kinetics and computational chemistry study are presented for the [Rh((C 4 H 3 S-C 4 H 2 S)COCHCOCF 3)(CO)(PPh 3)] complex. Through chemical and electrochemical oxidation, this rhodium triphenylphosphine complex was converted from rhodium(I) to a rhodium(III) complex. The chemical kinetics, studied by the NMR, UV/Vis and IR, of the oxidative addition of CH 3 I to [Rh((C 4 H 3 S-C 4 H 2 S)COCHCOCF 3)(CO)(PPh 3)] indicated the formation of rhodium(III) alkyl 1, rhodium(III) acyl 1 and rhodium(III) alkyl 2 isomers respectively. A theoretical density functional theory study shed light on the geometry of the different reactants, transition states and reaction products. The second order rate constant of the [Rh((C 4 H 3 S-C 4 H 2 S)COCHCOCF 3)(CO)(PPh 3)]+CH 3 I oxidative addition reaction is 0.0027 mol−1 dm 3 s−1 in CHCl 3 at 25°C. A linear relationship was established between the irreversible electrochemical oxidation potential of rhodium(I), E pa(Rh) and the second order rate constant of the oxidative addition reaction for a series of 17 different [Rh(β-diketonato)(CO)(PPh 3)] complexes. ### A new insight into the synergetic thermal stability effect of acetylacetone derivatives and zinc arginine on polyvinyl chlorine under static and dynamic thermal aging conditions 2025, Journal of Vinyl and Additive Technology ### Tautomerism of β-Diketones and β-Thioxoketones 2023, Encyclopedia ### Cytotoxicity evaluation and DNA interaction of RuII-bipy complexes containing coumarin-based ligands 2021, Dalton Transactions ### A theoretical investigation of the fragment interaction and nonlinear optical and electronic properties of tris(β-diketonato)iron(III) complexes 2020, Structural Chemistry ### DFT and NBO studies of stability, electronic, and structural features of the 2-fluoroacetaldehyde conformers 2020, Egyptian Journal of Chemistry View full text © 2018 Published by Elsevier Inc. Recommended articles Menon-type identities with additive characters Journal of Number Theory, Volume 192, 2018, pp. 373-385 Yan Li, Daeyeoul Kim ### Quantitative insights into one-pot sequential asymmetric enzymatic catalytic processes Journal of the Taiwan Institute of Chemical Engineers, Volume 74, 2017, pp. 79-88 Tsai Shau-Wei ### Design of an adaptable Stokes polarimeter for exploring chromospheric magnetism Advances in Space Research, Volume 60, Issue 7, 2017, pp. 1547-1556 Rohan E.Louis, …, Héctor Socas Navarro ### Theoretical aspect of the bonding in bis-chelate thiosemicarbazones nickel (II) complexes: A DFT study Journal of Molecular Structure, Volume 1154, 2018, pp. 19-26 Wahiba Boussebbat, …, Nadia Ouddai ### The molecular shape and the field similarities as criteria to interpret SAR studies for fragment-based design of platinum(IV) anticancer agents. Correlation of physicochemical properties with cytotoxicity Journal of Molecular Graphics and Modelling, Volume 69, 2016, pp. 39-60 Julia Lorenzo, Ángel M.Montaña ### Evaluation of a hybrid pyro–hydrometallurgical process for the selective leaching of rare earth elements from spent NdFeB magnets Chemical Engineering Journal, Volume 521, 2025, Article 167003 Soroush Rahmati, …, Pietro Romano Show 3 more articles About ScienceDirect Remote access Contact and support Terms and conditions Privacy policy Cookies are used by this site.Cookie settings All content on this site: Copyright © 2025 Elsevier B.V., its licensors, and contributors. All rights are reserved, including those for text and data mining, AI training, and similar technologies. For all open access content, the relevant licensing terms apply. We use cookies that are necessary to make our site work. We may also use additional cookies to analyze, improve, and personalize our content and your digital experience. You can manage your cookie preferences using the “Cookie Settings” link. For more information, see ourCookie Policy Cookie Settings Accept all cookies Cookie Preference Center We use cookies which are necessary to make our site work. We may also use additional cookies to analyse, improve and personalise our content and your digital experience. For more information, see our Cookie Policy and the list of Google Ad-Tech Vendors. You may choose not to allow some types of cookies. However, blocking some types may impact your experience of our site and the services we are able to offer. See the different category headings below to find out more or change your settings. You may also be able to exercise your privacy choices as described in our Privacy Policy Allow all Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. Cookie Details List‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. Cookie Details List‎ Contextual Advertising Cookies [x] Contextual Advertising Cookies These cookies are used for properly showing banner advertisements on our site and associated functions such as limiting the number of times ads are shown to each user. Cookie Details List‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Confirm my choices
9779	https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/write-sn2-reaction-1-bromobutane-nal-illustrate-electron-flow-curved-arrows-since-one-step-q22744597	Solved Write the S_N2 reaction of 1-bromobutane with Nal. \| Chegg.com Skip to main content Books Rent/Buy Read Return Sell Study Tasks Homework help Understand a topic Writing & citations Tools Expert Q&A Math Solver Citations Plagiarism checker Grammar checker Expert proofreading Career For educators Help Sign in Paste Copy Cut Options Upload Image Math Mode ÷ ≤ ≥ o π ∞ ∩ ∪           √  ∫              Math Math Geometry Physics Greek Alphabet Science Chemistry Chemistry questions and answers Write the S_N2 reaction of 1-bromobutane with Nal. Illustrate the electron flow with curved arrows. Since this is a one-step reaction, you've just written the mechanism. (3) Write a balanced equation representing the S_N1 solvolysis of tert-butyl bromide in ethanol. The product is t-Bu-O-Et. Write the reaction mechanism. (Refer to the introduction below or Your solution’s ready to go! Our expert help has broken down your problem into an easy-to-learn solution you can count on. See Answer See Answer See Answer done loading Question: Write the S_N2 reaction of 1-bromobutane with Nal. Illustrate the electron flow with curved arrows. Since this is a one-step reaction, you've just written the mechanism. (3) Write a balanced equation representing the S_N1 solvolysis of tert-butyl bromide in ethanol. The product is t-Bu-O-Et. Write the reaction mechanism. (Refer to the introduction below or Show transcribed image text Here’s the best way to solve it.Solution 100%(1 rating) Share Share Share done loading Copy link Ans 2. SN2 reaction or Substitution nucleophilic bimolecular reaction fo… View the full answer Previous questionNext question Transcribed image text: Write the S_N2 reaction of 1-bromobutane with Nal. Illustrate the electron flow with curved arrows. Since this is a one-step reaction, you've just written the mechanism. (3) Write a balanced equation representing the S_N1 solvolysis of tert-butyl bromide in ethanol. The product is t-Bu-O-Et. Write the reaction mechanism. (Refer to the introduction below or the text if we haven't gotten to this mechanism in class before your lab.) (4) Draw the structures of all the organo-halides you will be using in this lab. Don't bother looking up physical properties of these. (5) You should however know the boiling of the solvers you'll be using (6) We'll be using two different solutions-Nal in acetone for S 2 reactions, and AgNO, in ethanol for S_N1 reactions. Briefly explain why (a) the S_N1 reaction pathway is disfavored with Nal/acetone, and (b) why the S_N2 pathway is disfavored with AgNO_3/EtOH. Not the question you’re looking for? Post any question and get expert help quickly. Start learning Chegg Products & Services Chegg Study Help Citation Generator Grammar Checker Math Solver Mobile Apps Plagiarism Checker Chegg Perks Company Company About Chegg Chegg For Good Advertise with us Investor Relations Jobs Join Our Affiliate Program Media Center Chegg Network Chegg Network Busuu Citation Machine EasyBib Mathway Customer Service Customer Service Give Us Feedback Customer Service Manage Subscription Educators Educators Academic Integrity Honor Shield Institute of Digital Learning © 2003-2025 Chegg Inc. All rights reserved. Cookie NoticeYour Privacy ChoicesDo Not Sell My Personal InformationGeneral PoliciesPrivacy PolicyHonor CodeIP Rights Do Not Sell My Personal Information When you visit our website, we store cookies on your browser to collect information. The information collected might relate to you, your preferences or your device, and is mostly used to make the site work as you expect it to and to provide a more personalized web experience. However, you can choose not to allow certain types of cookies, which may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Click on the different category headings to find out more and change our default settings according to your preference. You cannot opt-out of our First Party Strictly Necessary Cookies as they are deployed in order to ensure the proper functioning of our website (such as prompting the cookie banner and remembering your settings, to log into your account, to redirect you when you log out, etc.). For more information about the First and Third Party Cookies used please follow this link. More information Allow All Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Sale of Personal Data [x] Sale of Personal Data Under the California Consumer Privacy Act, you have the right to opt-out of the sale of your personal information to third parties. These cookies collect information for analytics and to personalize your experience with targeted ads. You may exercise your right to opt out of the sale of personal information by using this toggle switch. If you opt out we will not be able to offer you personalised ads and will not hand over your personal information to any third parties. Additionally, you may contact our legal department for further clarification about your rights as a California consumer by using this Exercise My Rights link. If you have enabled privacy controls on your browser (such as a plugin), we have to take that as a valid request to opt-out. Therefore we would not be able to track your activity through the web. This may affect our ability to personalize ads according to your preferences. Targeting Cookies [x] Switch Label label These cookies may be set through our site by our advertising partners. They may be used by those companies to build a profile of your interests and show you relevant adverts on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. If you do not allow these cookies, you will experience less targeted advertising. Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Reject All Confirm My Choices mmmmmmmmmmlli mmmmmmmmmmlli mmmmmmmmmmlli
9780	https://www.growthforce.com/blog/markup-vs-margin-formul	Markup vs. Margin Formula: What Business Leaders Need To Know 5 min read Margin and markup are easily and often confused because both numbers deal with the cost of goods sold, revenue, and the money you actually make on a sale. \| \| \| Key Takeaways Markup vs. Margin: Markup refers to the amount that you charge a client on top of your cost of goods sold. A margin... Using Markups to Hit Target Gross Margins: Since markup is based on the cost of goods sold, it is quite useful for salespeople working in a company that knows its costs. Margin and Markup Best Practices: Although margins and markups are fairly simple concepts to understand, they can be tricky to master due to their many similarities.. \| However, the two terms are wildly different and refer to different numbers. As a result, it's essential that your sales team understands the difference between margin and markup, how to calculate them both, and your business's markup policies and margin goals. Otherwise, your business could run into serious pricing errors that wipe out your bottom line. Business growth requires industry specific specific reporting. Make 2025 your most profitable year yet. Speak to a Growth Specialist today. Markup vs. Margin: What's the Difference? Let’s start with the basics. A markup and a margin are two different things. Markup refers to the amount that you charge a client on top of your cost of goods sold. A margin (sometimes called gross margin or gross profit margin) refers to the amount that your company keeps out of total revenue after the cost of goods sold is accounted for. When referring to a dollar amount, these two refer to the same number. However, when they are expressed as a percentage (as they usually are for pricing and accounting purposes), they are quite different. Here’s a great example to share with your sales team. If you sell a service for $100, and your cost of goods sold is $70, then both your margin and your markup equal $30. Expressed as a percentage, however, it's necessary to use the margin formula and markup formula to calculate the different rates. Markup = (Sales - Cost of Goods Sold) / Cost of Goods Sold Margin = (Sales - Cost of Goods Sold) / Sales In the above example, the markup equals 42.9%, whereas the margin is 30%. As you can see, using the terms interchangeably can get you into trouble because the margin is expressed as a percentage of total revenue while the markup is expressed as a percentage of the cost of goods sold. In addition to the terms being somewhat confusing because they use the same figures to be calculated, they can also be a bit challenging because the markup and margin percentages also change at different rates. So, there is not a standard difference between markup and margin. As your margin grows, the markup increases at an even greater rate. Read More: When Your Sales & Profitability Are Struggling, Do THIS... Consider these margins vs. markups at various intervals: 10% margin = 11.1% markup 20% margin = 25% markup 30% margin - 42.9% markup 40% margin = 66.7% markup 50% margin = 100% markup When you know how to calculate profit margin and markup and understand the differences between margin and markup, you can provide training and education to your sales team so that you can effectively communicate with them regarding your target margin and the markups you need to get you there. With this information, you can easily use both figures to set optimal prices with healthy profit margins built-in. Using Markups to Hit Target Gross Margins Since markup is based on the cost of goods sold, it is quite useful for salespeople working in a company that knows its costs. If your sales representatives know the cost of the products or services they are selling, then they can easily deliver price quotes to clients using a simple markup percentage. Plus, this pricing model allows you to arm your sales force with a range of target markup percentages designed with your desired margin built-in. This allows them to readily negotiate with and quote prices to customers while remaining in a price range that generates healthy profit margins. To determine a markup rate based on your desired margin, use the following formula: Markup Percentage = Desired Margin / Cost of Goods Sold If in the above example, you were starting with $70 in cost of goods sold and a desired margin of 30%, you would calculate the desired markup percentage by dividing 30% by $70, which would leave you with the 42.9% markup. Margin and Markup Best Practices Although margins and markups are fairly simple concepts to understand, they can be tricky to master due to their many similarities. As a result, handling them in your company might require you to instill a few best practices for margins and markups in your sales policies and procedures. Read More: Want To Increase Your Profit Margins? Use This Sales Commission Model. Educations and Training Make sure each new hire for your sales team (or anyone that deals with prices in your company) is adequately trained and understands the difference between margins and markups, how to calculate prices based on these numbers, and the acceptable markups that they can use in their price quotes. Additionally, be sure to include periodic refreshers on these topics during ongoing training. Quick Guides or Cheat Sheets You can also provide your sales team with some quick guides and cheat sheets that quickly break down the markups you expect them to be charging clients, the base costs of the services they're selling, and a quick example and explanation of how to use the information to quote prices. Internal Auditing You should also ask your internal auditing or bookkeeping department to periodically inspect a sample of your business's recent sales transactions specifically looking at markups, margins, and how they are being used. This will ensure any issues or confusion is identified quickly – before your gross margin has taken too big of a hit – By catching these issues early on, your sales representatives can be promptly corrected, retrained, and move forward applying the concepts correctly. Pricing and Sales Support From an Automated Back Office Automating your back office procedures whenever possible will ensure you collect timely and accurate data on every single transaction that runs through your company. Automating your back office procedures whenever possible will ensure you collect timely and accurate data on every single transaction that runs through your company. Click To Tweet This ensures you can accurately assess sales, prices, markups, and profit margins to evaluate how well your company is performing and keep a close watch on its financial health. A better back office will help you track the most important key performance indicators in your business and make adjustments to see your profits soar. Recent Blog Posts What Cash Flow KPIs Should Business Owners Track? Read more Navigating Tax Compliance Challenges for Engineering Firms Read more Diversifying Revenue Streams for Nonprofit Sustainability Read more Prev Post Next Post Subscribe Here! Services Bookkeeping Services Accounting Services Controller Services Pricing GrowthForce is not a CPA Firm. © Copyright 2018-2025 GrowthForce, LLC. All Rights Reserved.
9781	https://math.stackexchange.com/questions/3984517/analytic-proof-of-wilsons-theorem	number theory - Analytic Proof of Wilson's Theorem - Mathematics Stack Exchange Join Mathematics By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Exchange Network Stack Exchange network consists of 183 Q&A communities including Stack Overflow, the largest, most trusted online community for developers to learn, share their knowledge, and build their careers. Visit Stack Exchange Loading… Tour Start here for a quick overview of the site Help Center Detailed answers to any questions you might have Meta Discuss the workings and policies of this site About Us Learn more about Stack Overflow the company, and our products current community Mathematics helpchat Mathematics Meta your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Home Questions Unanswered AI Assist Labs Tags Chat Users Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Analytic Proof of Wilson's Theorem Ask Question Asked 4 years, 8 months ago Modified4 years, 8 months ago Viewed 272 times This question shows research effort; it is useful and clear 3 Save this question. Show activity on this post. I'm trying to find a reference for the following (analytic) proof of Wilson's Theorem. I would appreciate it immensely if some of you knew and told me the person who first came up with it. Here is the proof: We start by considering the Maclaurin series of the function f(x)=ln(1 1−x)f(x)=ln⁡(1 1−x), that is, ln(1 1−x)=∑n=1∞x n n ln⁡(1 1−x)=∑n=1∞x n n for x∈[−1,1).x∈[−1,1). By simply using the definition of ln ln on the equation above, we get e x+x 2 2+x 3 3+⋯=1 1−x=1+x+x 2+⋯+x p+⋯(1)(1)e x+x 2 2+x 3 3+⋯=1 1−x=1+x+x 2+⋯+x p+⋯ We can then rewrite the leftmost side of (1)(1) as e x+x 2 2+x 3 3+…=e x e x 2 2 e x 3 3⋯=∏n=1∞e x n n=∏n=1∞∑k=0∞(x n n)k k!=(1+x 1!+x 2 2!+⋯)⋅(1+x 2/2 1!+(x 2/2)2 2!+⋯)⋯(1+x p/p 1!+(x p/p)2 2!+⋯)⋯=1+x 1!+x 2(1 2!+1 2)+x 3(1 3!+1 1!1/2 1!+1/3 1!)+⋯+x p(1 p!+1(p−2)!1/2 1!+⋯+1/p 1!)+⋯(2)(2)e x+x 2 2+x 3 3+…=e x e x 2 2 e x 3 3⋯=∏n=1∞e x n n=∏n=1∞∑k=0∞(x n n)k k!=(1+x 1!+x 2 2!+⋯)⋅(1+x 2/2 1!+(x 2/2)2 2!+⋯)⋯(1+x p/p 1!+(x p/p)2 2!+⋯)⋯=1+x 1!+x 2(1 2!+1 2)+x 3(1 3!+1 1!1/2 1!+1/3 1!)+⋯+x p(1 p!+1(p−2)!1/2 1!+⋯+1/p 1!)+⋯ Combining the rightmost sides of (1)(1) and (2)(2) together gives us 1+x+x 2+x 3+⋯+x p+⋯=1+x 1!+x 2(1 2!+1 2)+x 3(1 3!+1 1!1/2 1!+1/3 1!)+⋯+x p(1 p!+1(p−2)!1/2 1!+⋯+1/p 1!)+⋯,(3)(3)1+x+x 2+x 3+⋯+x p+⋯=1+x 1!+x 2(1 2!+1 2)+x 3(1 3!+1 1!1/2 1!+1/3 1!)+⋯+x p(1 p!+1(p−2)!1/2 1!+⋯+1/p 1!)+⋯, from which follows that the coefficient of x p x p on the RHS of (3)(3) is 1 1. That is, 1 p!+1(p−2)!1/2 1!+⋯+1/p 1!=1.(4)(4)1 p!+1(p−2)!1/2 1!+⋯+1/p 1!=1. Notice that such a coefficient is of the form 1 p!+r s+1 p 1 p!+r s+1 p, where r s r s is the sum of a finite number of rationals, none of which has the factor p p in its denominator. Therefore, if r s r s is irreducible, then p p doesn’t divide s s. We then proceed by rewriting (4)(4) as 1 p!+r s+1 p=1.1 p!+r s+1 p=1. Equivalently, 1−r s=1 p!+1 p=1+(p−1)!p!,1−r s=1 p!+1 p=1+(p−1)!p!, and (s−r)⋅(p−1)!=s(1+(p−1)!)p.(s−r)⋅(p−1)!=s(1+(p−1)!)p. Hence, s(1+(p−1)!)p s(1+(p−1)!)p is an integer. Moreover, since p p doesn’t divide s s, 1+(p−1)!p 1+(p−1)!p is also an integer. Equivalently, (p−1)!≡−1(mod p)(p−1)!≡−1(mod p), as desired. number-theory analytic-number-theory Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this question to receive notifications asked Jan 14, 2021 at 3:19 Guilherme MartinsGuilherme Martins 61 3 3 bronze badges 3 Your expansion of 1 1−x=∏n≥1 e x n/n=∏∞n=1∑∞k=0 x n k n k k!1 1−x=∏n≥1 e x n/n=∏n=1∞∑k=0∞x n k n k k! is quite unclear, but yes it is true that the coefficient of x p x p is 1 p!+1 p+a b 1 p!+1 p+a b with p∤b p∤b, equating with the coefficient of the geometric series gives that p(1 p!+1 p)=0 mod p p(1 p!+1 p)=0 mod p ie. (p−1)!=−1 mod p(p−1)!=−1 mod p (letting B J=Z J≥1 B J=Z≥1 J and A J A J the subset of those with strictly increasing entries then the coefficient of x p x p is ∑J≥0,a∈A J,b∈B J,∑J j=1 a j b j=p∏J j=1 1 a b j j b j!∑J≥0,a∈A J,b∈B J,∑j=1 J a j b j=p∏j=1 J 1 a j b j b j!)reuns –reuns 2021-01-14 03:42:06 +00:00 Commented Jan 14, 2021 at 3:42 @reuns how so? I simply wrote it as a power series.Guilherme Martins –Guilherme Martins 2021-01-14 03:47:39 +00:00 Commented Jan 14, 2021 at 3:47 I am saying that the coefficient of x 5 x 5 is more complicated: 5=4+1=3+2=3+2.1=2.2+1=2+3.1=5.1 5=4+1=3+2=3+2.1=2.2+1=2+3.1=5.1 reuns –reuns 2021-01-14 04:01:24 +00:00 Commented Jan 14, 2021 at 4:01 Add a comment\| 3 Answers 3 Sorted by: Reset to default This answer is useful 3 Save this answer. Show activity on this post. I don't have a reference but I would not call this an "analytic" proof; although you are using power series every step of the argument works fine in formal power series, so really you are doing combinatorics with generating functions. The combinatorial content of this argument can be extracted as follows. The identity exp log 1 1−x=1 1−x exp⁡log⁡1 1−x=1 1−x expresses the uniqueness of cycle decompositions of permutations; it generalizes to an identity called the permutation form of the exponential formula which expresses the same uniqueness but in more detail. Comparing the coefficient of x n x n (by the way, I don't think your version of this expansion has enough terms - there should be one for every partition of n n) expresses the uniqueness of cycle decompositions of permutations in the symmetric group S n S n, and can be interpreted as its class equation n!=∑[π]n!\|C S n(π)\|n!=∑[π]n!\|C S n(π)\| which expresses n!n! as the sum of sizes of all conjugacy classes in S n S n. In more detail, the correct form of this expansion is n!=∑∑i c i=n n!∏p i=1 i c i c i!.n!=∑∑i c i=n n!∏i=1 p i c i c i!. where the term indexed by {c i}{c i} in the sum corresponds to the conjugacy class of permutations with c i c i cycles of length i i. The denominators here are the sizes of the centralizers of each conjugacy class. In terms of the generating function, the factor of i c i c i!i c i c i! in the denominator is contributed by the expansion of exp(x i i)exp⁡(x i i). Note that once you've proven this identity in any way, for example by calculating the sizes of the centralizers of every conjugacy class of permutations, you can throw away the generating function (which is equivalent to it). Now we specialize n n to a prime p p and take the class equation mod p mod p. From the above equation it's not hard to see that the denominator can only be divisible by p p if either c 1=p c 1=p or c p=1 c p=1, corresponding to the conjugacy classes of the identity and the p p-cycles. This can be proven conceptually as follows. S p S p has the property that its only elements of order p p are the p p-cycles, which are all conjugate and which generate self-centralizing subgroups: that is, the centralizer of a p p-cycle is just the cyclic subgroup it generates. It follows that the only conjugacy classes in S p S p whose centralizer has order divisible by p p (equivalently, whose centralizer contains a p p-cycle) are the identity and the p p-cycles. Taking the class equation mod p mod p, every term except the terms corresponding to the identity and the p p-cycles vanishes, and we conclude that the number of p p-cycles plus 1 1 is congruent to 0 mod p 0 mod p. But since we calculated the centralizer already, it follows that there are (p−1)!(p−1)!p p-cycles, so we conclude that (p−1)!+1≡0 mod p(p−1)!+1≡0 mod p as desired. So, stripped of the power series trappings, this is a straightforward counting argument in S p S p. It is related to counting arguments which can be used to prove the Sylow theorems, especially Sylow III (although one of the proofs of Sylow I also uses the class equation). Sylow III applied to S p S p actually gives (p−2)!≡1 mod p(p−2)!≡1 mod p (this is the number of conjugacy classes of cyclic subgroups of order p p) which is straightforwardly equivalent to Wilson's theorem. There is also a simpler version of the counting argument which directly uses the p p-group fixed point theorem, which is just the easy statement that if P P is a finite p p-group acting on a finite set X X then \|X P\|≡\|X\|mod p.\|X P\|≡\|X\|mod p. We apply the PGFPT to the action of a p p-cycle on the set of p p-cycles in S p S p. As above, there are (p−1)!(p−1)! of these, and the centralizer of any p p-cycle is the cyclic subgroup it generates. It follows that this action has exactly p−1 p−1 fixed points, which immediately gives (p−1)!≡(p−1)mod p.(p−1)!≡(p−1)mod p. A similarly quick and easy counting proof can be given for Fermat's little theorem and a few other fun facts; see the linked blog post for more. Just for fun, here is a formal power series proof that exp log 1 1−x=1 1−x exp⁡log⁡1 1−x=1 1−x, which requires no "actual" analysis. As above, this identity is equivalent to a combinatorial statement about permutations and can be proven that way, but it can also be proven as follows. Namely, it's straightforward to show by induction that exp(x)exp⁡(x) is the unique formal power series f(x)f(x) satisfying f(0)=1,f′(x)=f(x)f(0)=1,f′(x)=f(x) (just differentiate to get that every coefficient of the Taylor series is 1 1). On the other hand, log 1 1−x log⁡1 1−x is the unique formal power series g(x)g(x) satisfying g(0)=0,g′(x)=1 1−x g(0)=0,g′(x)=1 1−x (just compare terms on both sides). (Both of these facts can be given combinatorial interpretations.) It follows that f(g(x))=h(x)f(g(x))=h(x) satisfies h(0)=1 h(0)=1 and d d x exp log 1 1−x=(exp log 1 1−x)1 1−x d d x exp⁡log⁡1 1−x=(exp⁡log⁡1 1−x)1 1−x and there is a unique formal power series satisfying h(0)=1 h(0)=1 and h′(x)=h(x)1−x h′(x)=h(x)1−x (by induction; this follows from a formal version of the Picard-Lindelof theorem, which is much easier to prove), namely h(x)=1 1−x h(x)=1 1−x. Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jan 14, 2021 at 4:26 answered Jan 14, 2021 at 3:52 Qiaochu YuanQiaochu Yuan 475k 55 55 gold badges 1.1k 1.1k silver badges 1.5k 1.5k bronze badges Add a comment\| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. Here is a related argument with power series. For \|x\|<1\|x\|<1 there is an identity e x=∏n≥1(1−x n)−μ(n)/n.e x=∏n≥1(1−x n)−μ(n)/n. This can also be viewed as an identity of formal power series, and checked by verifying that the logarithmic derivatives (f⇝f′/f f⇝f′/f) of both sides are the same and that they start with the same constant term. If we remove each factor on the right side where p∣n p∣n, we get a different identity: e x+x p/p+⋯+x p k/p k+⋯=∏n≥1 p∤n(1−x n)−μ(n)/n.e x+x p/p+⋯+x p k/p k+⋯=∏n≥1 p∤n(1−x n)−μ(n)/n. Look at the coefficient of x p x p on both sides. On the left side, it is the coefficient of x p x p in e x e x p/p e x e x p/p, which is 1/p!+1/p=(1+(p−1)!)/p!1/p!+1/p=(1+(p−1)!)/p!. On the right side, the coefficients of (1−x n)±1/n(1−x n)±1/n are rational with no p p in the denominator when p∤n p∤n, so all coefficients on the right are rational with no p p in the denominator. Thus (1+(p−1)!)/p!(1+(p−1)!)/p! is rational with no p p in the denominator, which means p∣(1+(p−1)!)p∣(1+(p−1)!), so (p−1)!≡−1 mod p(p−1)!≡−1 mod p. This argument can be found in books on p p-adic analysis where p p-adic integrality of all the coefficients of the Artin-Hasse exponential is discussed. This is related to the identity log(1 1−x)=∑n≥1 x n n log⁡(1 1−x)=∑n≥1 x n n by extracting from each n n the highest power of p p dividing it: log(1 1−x)=∑n≥1 p∤n g(x n)n log⁡(1 1−x)=∑n≥1 p∤n g(x n)n where g(x)=∑k≥0 x p k/p k g(x)=∑k≥0 x p k/p k, so g(x)=∑n≥1 p∤n μ(n)n log(1 1−x n).g(x)=∑n≥1 p∤n μ(n)n log⁡(1 1−x n). Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications edited Jan 14, 2021 at 4:38 answered Jan 14, 2021 at 4:26 KCdKCd 56.3k 6 6 gold badges 99 99 silver badges 164 164 bronze badges 1 1 Worth noting that the exponential formula implies that the LHS is the exponential generating function for the number of permutations of order a power of p p. Probably there's a nice interpretation of the RHS from this point of view in terms of some inclusion-exclusion argument but I don't know it off the top of my head.Qiaochu Yuan –Qiaochu Yuan 2021-01-14 04:28:57 +00:00 Commented Jan 14, 2021 at 4:28 Add a comment\| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. An alternative viewpoint. Analytic part In QQ we have 1 1−x=∏n=1∞∑k=0∞x n k n k k!1 1−x=∏n=1∞∑k=0∞x n k n k k! Algebraic part Let R=Z(p)[x,x p/p]+x p+1 QR=Z(p)[x,x p/p]+x p+1 Q the subring of formal series such that p p doesn't divide the denominator of the coefficients of x m,m<p x m,m<p and p 2 p 2 doesn't divide the denominator of the coefficient of x p x p. In the quotient ring R/(p,x,x p+1 Q)≅F p+x p p F p R/(p,x,x p+1 Q)≅F p+x p p F p we get 1=1 1−x=∏n=1∞∑k=0∞x n k n k k!=(1+x p p)(1+x p p!)=1+(1+1(p−1)!)x p p 1=1 1−x=∏n=1∞∑k=0∞x n k n k k!=(1+x p p)(1+x p p!)=1+(1+1(p−1)!)x p p And hence 1+1(p−1)!=0 mod p 1+1(p−1)!=0 mod p Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Cite Follow Follow this answer to receive notifications answered Jan 14, 2021 at 7:46 reunsreuns 80.1k 3 3 gold badges 48 48 silver badges 138 138 bronze badges Add a comment\| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions number-theory analytic-number-theory See similar questions with these tags. Featured on Meta Introducing a new proactive anti-spam measure Spevacus has joined us as a Community Manager stackoverflow.ai - rebuilt for attribution Community Asks Sprint Announcement - September 2025 Report this ad Related 11Question about a proof in Iwaniec-Kowalski's Analytic Number Theory book 0Multiplicative function and Euler product 1η(s)+η(1−s)=F(s)−G(s)η(s)+η(1−s)=F(s)−G(s) and roots of F(s),G(s)F(s),G(s) are on the critical line 3On the proof of Lucas' theorem 36Stronger versions of Wilson's Theorem 2Prove that (∑r i=1 m i−1)!⋅gcd(m 1,m 2,⋯,m r−1,m r)∏r i=1 m i!∈Z+(∑i=1 r m i−1)!⋅gcd(m 1,m 2,⋯,m r−1,m r)∏i=1 r m i!∈Z+. Hot Network Questions Xubuntu 24.04 - Libreoffice Is existence always locational? What NBA rule caused officials to reset the game clock to 0.3 seconds when a spectator caught the ball with 0.1 seconds left? Any knowledge on biodegradable lubes, greases and degreasers and how they perform long term? Calculating the node voltage If Israel is explicitly called God’s firstborn, how should Christians understand the place of the Church? Transforming wavefunction from energy basis to annihilation operator basis for quantum harmonic oscillator What meal can come next? What's the expectation around asking to be invited to invitation-only workshops? Clinical-tone story about Earth making people violent What were "milk bars" in 1920s Japan? I'm having a hard time intuiting throttle position to engine rpm consistency between gears -- why do cars behave in this observed way? Discussing strategy reduces winning chances of everyone! A time-travel short fiction where a graphologist falls in love with a girl for having read letters she has not yet written… to another man What can be said? What happens if you miss cruise ship deadline at private island? Can a state ever, under any circumstance, execute an ICC arrest warrant in international waters? Where is the first repetition in the cumulative hierarchy up to elementary equivalence? What’s the usual way to apply for a Saudi business visa from the UAE? Analog story - nuclear bombs used to neutralize global warming Can induction and coinduction be generalized into a single principle? Is it safe to route top layer traces under header pins, SMD IC? Should I let a player go because of their inability to handle setbacks? Interpret G-code Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. Why are you flagging this comment? It contains harassment, bigotry or abuse. This comment attacks a person or group. Learn more in our Code of Conduct. It's unfriendly or unkind. This comment is rude or condescending. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Mathematics Tour Help Chat Contact Feedback Company Stack Overflow Teams Advertising Talent About Press Legal Privacy Policy Terms of Service Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.26.34547 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Accept all cookies Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Cookies Details‎ Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Cookies Details‎ Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Cookies Details‎ Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device. Cookies Details‎ Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Necessary cookies only Confirm my choices
9782	https://chem.libretexts.org/Courses/Brevard_College/CHE_104%3A_Principles_of_Chemistry_II/07%3A_Acid_and_Base_Equilibria/7.12%3A_Relationship_between_Ka_Kb_pKa_and_pKb	Skip to main content 7.12: Relationship between Ka, Kb, pKa, and pKb Last updated : Apr 28, 2021 Save as PDF 7.11: Strong and Weak Bases and Base Ionization Constant 7.13: Calculating Ka and Kb Buy Print CopyView on Commons Donate Page ID : 221518 ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}) Learning Objectives To know the relationship between acid or base strength and the magnitude of , , , and . The magnitude of the equilibrium constant for an ionization reaction can be used to determine the relative strengths of acids and bases. For example, the general equation for the ionization of a weak acid in water, where HA is the parent acid and A− is its conjugate base, is as follows: The equilibrium constant for this dissociation is as follows: The equilibrium constant for this reaction is the acid ionization constant , also called the acid dissociation constant: Thus the numerical values of K and differ by the concentration of water (55.3 M). Again, for simplicity, can be written as in Equation . Keep in mind, though, that free does not exist in aqueous solutions and that a proton is transferred to in all acid ionization reactions to form . The larger the , the stronger the acid and the higher the concentration at equilibrium. Like all equilibrium constants, acid–base ionization constants are actually measured in terms of the activities of or , thus making them unitless. The values of for a number of common acids are given in Table . Table : Values of , , , and for Selected Acids ( and Their Conjugate Bases () \| Acid \| \| \| \| \| \| \| \| The number in parentheses indicates the ionization step referred to for a polyprotic acid. \| \| \| \| \| \| \| \| hydroiodic acid \| \| \| −9.3 \| \| \| 23.26 \| \| sulfuric acid (1) \| \| \| −2.0 \| \| \| 16.0 \| \| nitric acid \| \| \| −1.37 \| \| \| 15.37 \| \| hydronium ion \| \| \| 0.00 \| \| \| 14.00 \| \| sulfuric acid (2) \| \| \| 1.99 \| \| \| 12.01 \| \| hydrofluoric acid \| \| \| 3.20 \| \| \| 10.80 \| \| nitrous acid \| \| \| 3.25 \| \| \| 10.75 \| \| formic acid \| \| \| 3.750 \| \| \| 10.25 \| \| benzoic acid \| \| \| 4.20 \| \| \| 9.80 \| \| acetic acid \| \| \| 4.76 \| \| \| 9.24 \| \| pyridinium ion \| \| \| 5.23 \| \| \| 8.77 \| \| hypochlorous acid \| \| \| 7.40 \| \| \| 6.60 \| \| hydrocyanic acid \| \| \| 9.21 \| \| \| 4.79 \| \| ammonium ion \| \| \| 9.25 \| \| \| 4.75 \| \| water \| \| \| 14.00 \| \| \| 0.00 \| \| acetylene \| \| \| 26.0 \| \| \| −12.0 \| \| ammonia \| \| \| 35.0 \| \| \| −21.0 \| Weak bases react with water to produce the hydroxide ion, as shown in the following general equation, where B is the parent base and BH+ is its conjugate acid: The equilibrium constant for this reaction is the base ionization constant (Kb), also called the base dissociation constant: Once again, the concentration does not appear in the equilibrium constant expression.. The larger the , the stronger the base and the higher the concentration at equilibrium. The values of for a number of common weak bases are given in Table . Table : Values of , , , and for Selected Weak Bases (B) and Their Conjugate Acids (BH+) \| Base \| \| \| \| \| \| \| \| As in Table . \| \| \| \| \| \| \| \| hydroxide ion \| \| \| 0.00 \| \| \| 14.00 \| \| phosphate ion \| \| \| 1.68 \| \| \| 12.32 \| \| dimethylamine \| \| \| 3.27 \| \| \| 10.73 \| \| methylamine \| \| \| 3.34 \| \| \| 10.66 \| \| trimethylamine \| \| \| 4.20 \| \| \| 9.80 \| \| ammonia \| \| \| 4.75 \| \| \| 9.25 \| \| pyridine \| \| \| 8.77 \| \| \| 5.23 \| \| aniline \| \| \| 9.13 \| \| \| 4.87 \| \| water \| \| \| 14.00 \| \| \| 0.00 \| There is a simple relationship between the magnitude of for an acid and for its conjugate base. Consider, for example, the ionization of hydrocyanic acid () in water to produce an acidic solution, and the reaction of with water to produce a basic solution: The equilibrium constant expression for the ionization of HCN is as follows: The corresponding expression for the reaction of cyanide with water is as follows: If we add Equations and , we obtain the following (recall that the equilibrium constant for the sum of two reactions is the product of the equilibrium constants for the individual reactions): In this case, the sum of the reactions described by and is the equation for the autoionization of water, and the product of the two equilibrium constants is : Thus if we know either for an acid or for its conjugate base, we can calculate the other equilibrium constant for any conjugate acid–base pair. Just as with , , and pKw, we can use negative logarithms to avoid exponential notation in writing acid and base ionization constants, by defining as follows: and as Similarly, Equation 16.5.10, which expresses the relationship between and , can be written in logarithmic form as follows: At 25°C, this becomes The values of and are given for several common acids and bases in Table 16.5.1 and Table 16.5.2, respectively, and a more extensive set of data is provided in Tables E1 and E2. Because of the use of negative logarithms, smaller values of correspond to larger acid ionization constants and hence stronger acids. For example, nitrous acid (), with a of 3.25, is about a 1000 times stronger acid than hydrocyanic acid (HCN), with a of 9.21. Conversely, smaller values of correspond to larger base ionization constants and hence stronger bases. The relative strengths of some common acids and their conjugate bases are shown graphically in Figure 16.5. The conjugate acid–base pairs are listed in order (from top to bottom) of increasing acid strength, which corresponds to decreasing values of . This order corresponds to decreasing strength of the conjugate base or increasing values of . At the bottom left of Figure 16.5.2 are the common strong acids; at the top right are the most common strong bases. Notice the inverse relationship between the strength of the parent acid and the strength of the conjugate base. Thus the conjugate base of a strong acid is a very weak base, and the conjugate base of a very weak acid is a strong base. The conjugate base of a strong acid is a weak base and vice versa. We can use the relative strengths of acids and bases to predict the direction of an acid–base reaction by following a single rule: an acid–base equilibrium always favors the side with the weaker acid and base, as indicated by these arrows: In an acid–base reaction, the proton always reacts with the stronger base. For example, hydrochloric acid is a strong acid that ionizes essentially completely in dilute aqueous solution to produce and ; only negligible amounts of molecules remain undissociated. Hence the ionization equilibrium lies virtually all the way to the right, as represented by a single arrow: In contrast, acetic acid is a weak acid, and water is a weak base. Consequently, aqueous solutions of acetic acid contain mostly acetic acid molecules in equilibrium with a small concentration of and acetate ions, and the ionization equilibrium lies far to the left, as represented by these arrows: Similarly, in the reaction of ammonia with water, the hydroxide ion is a strong base, and ammonia is a weak base, whereas the ammonium ion is a stronger acid than water. Hence this equilibrium also lies to the left: All acid–base equilibria favor the side with the weaker acid and base. Thus the proton is bound to the stronger base. Example : Butyrate and Dimethylammonium Ions Calculate and of the butyrate ion (). The of butyric acid at 25°C is 4.83. Butyric acid is responsible for the foul smell of rancid butter. Calculate and of the dimethylammonium ion (). The base ionization constant of dimethylamine () is at 25°C. Given: and Asked for: corresponding and , and Strategy: The constants and are related as shown in Equation 16.5.10. The and for an acid and its conjugate base are related as shown in Equation 16.5.15 and Equation 16.5.16. Use the relationships pK = −log K and K = 10−pK (Equation 16.5.11 and Equation 16.5.13) to convert between and or and . Solution: We are given the for butyric acid and asked to calculate the and the for its conjugate base, the butyrate ion. Because the value cited is for a temperature of 25°C, we can use Equation 16.5.16: + = pKw = 14.00. Substituting the and solving for the , Because , is . In this case, we are given for a base (dimethylamine) and asked to calculate and for its conjugate acid, the dimethylammonium ion. Because the initial quantity given is rather than , we can use Equation 16.5.10: . Substituting the values of and at 25°C and solving for , Because = −log , we have . We could also have converted to to obtain the same answer: If we are given any one of these four quantities for an acid or a base (, , , or ), we can calculate the other three. Exercise : Lactic Acid Lactic acid () is responsible for the pungent taste and smell of sour milk; it is also thought to produce soreness in fatigued muscles. Its is 3.86 at 25°C. Calculate for lactic acid and and for the lactate ion. Answer : for lactic acid; = 10.14 and for the lactate ion Summary Two species that differ by only a proton constitute a conjugate acid–base pair. The magnitude of the equilibrium constant for an ionization reaction can be used to determine the relative strengths of acids and bases. For an aqueous solution of a weak acid, the dissociation constant is called the acid ionization constant (Ka). Similarly, the equilibrium constant for the reaction of a weak base with water is the base ionization constant (Kb). For any conjugate acid–base pair, . Smaller values of correspond to larger acid ionization constants and hence stronger acids. Conversely, smaller values of correspond to larger base ionization constants and hence stronger bases. At 25°C, . Acid–base reactions always proceed in the direction that produces the weaker acid–base pair. Key Takeaways The Ka and Kb values for a conjugated acid–base pairs are related through the Kw value: The conjugate base of a strong acid is a very weak base, and the conjugate base of a very weak acid is a strong base. Key Equations Acid ionization constant: Base ionization constant: Relationship between and of a conjugate acid–base pair: Definition of : Definition of : Relationship between and of a conjugate acid–base pair: Contributors and Attributions Stephen Lower, Professor Emeritus (Simon Fraser U.) Chem1 Virtual Textbook 7.11: Strong and Weak Bases and Base Ionization Constant (\left( K_\text{b} \right)) 7.13: Calculating Ka and Kb
9783	https://www.edutopia.org/article/building-students-number-sense-in-elementary-math/	Published Time: 2025-05-13T19:00:00.000Z Building Students’ Number Sense in Elementary Math \| Edutopia Close Edutopia Menu Topics Assessment Integrated Studies Project-Based Learning Social and Emotional Learning Professional Learning Technology Integration ALL TOPICS Videos Sign Up Search Search Critical Thinking Building Students’ Number Sense in Elementary Math To get an internal sense of how numbers relate to each other, students can practice working with number lines. ByLaura Berman May 13, 2025 Your content has been saved! Go to My Saved Content. 2 close modal Courtesy of Laura Berman Courtesy of Laura Berman In my second-grade math classroom, I typically teach measurement and then teach a unit focusing on addition and subtraction on the number line. The goals of the unit include exploring the structure of the number line and learning how to use it for addition and subtraction within 100. The heart of this unit is exploration of the number line as a vehicle for building number sense. Number sense is essentially how it sounds—our internal sense of numbers. According to Christina Tondevold of Build Math Minds, this includes their relationships to each other, the magnitude of numbers, estimation, and our ability to visualize varying amounts. The number line can help students construct their own understanding and sense of numbers, while also providing a context for rich discussion that can engage all learners. My goal is for students to develop a visual feel for distances between numbers, one that is based on reasoning rather than memorized facts. Starting Off the lesson The lesson started with a strip of paper taped to the whiteboard at the front of my classroom. One end was labeled with “0” and the other end was “30.” While we had spent time exploring a physical number track, with a space for every number, this was the first time that students were working with a more open number line. I wanted to ensure that the task was within everyone’s Zone of Proximal Development, so everyone could engage with it. I handed out some thin sticky notes with the following numbers written on them: 4, 8, 11, 18, 21, 26, and 29. Students were then asked to place their sticky notes on the number line, wherever they thought they belonged. My students love coming up to the board, so they didn’t hesitate to start placing their numbers. Once all the numbers were placed, we paused and observed. I asked my class, “Do you agree with all the numbers, or are there any that you disagree with?” Hands went up and the discussion began. At first, comments and questions focused narrowly on the minutiae of how much is between two numbers, rather than seeing the big picture of the entire number line. They thought that 4, 8, and 11 were too close together, because “you need space for 5, 6, and 7” but not because 0 and 4 have the same distance as 4 and 8. The number 18 was also closer to 0 than it was to 30! Start of newsletter promotion. We made your content a comfy home! Collect your favorite tips and strategies in one place. Sign in to save content to your profile. Sign me in End of newsletter promotion. Looking at the Big Picture At this moment, I wanted my students to look at the number line as a whole, starting with 0 and 30 as the range. I asked what number they thought would go in the middle. Some students knew that it was 15 and were able to explain why, which brought up our first connection: A student asked how it could be 15 when 30 was an odd number. A misconception to address! To help make the concept more concrete for everyone, I had students work with ten frames. Three ten frames went on the board, and a student started to split 30 into two equal groups, while I wrote what they were doing on the board, within a number bond. Soon, we were able to see that even though the digit 3 is an odd number, 30 actually means 3 tens, and 10 is an even number, so 30 is an even number! We can split 30 into two equal groups. With excitement, a student called out, “Wait, are we doing division?” Indeed we were. close modal Courtesy of Laura Berman A breakdown of ten frames and a number bond to show 15 as the midpoint for a range of 30 numbers. Courtesy of Laura Berman A breakdown of ten frames and a number bond to show 15 as the midpoint for a range of 30 numbers. We then added 15 to our number line and discussed two vocabulary terms: benchmarks, commonly called “friendly numbers”—we defined benchmarks as the two ends of the number line; and the midpoint, the exact middle of two benchmarks. I gave my students a chance to adjust the numbers, based on our new information. Pro tip: You have the best view of the number line if you’re standing farther away from it, straight back. I often like to assign a student sitting in the center back of the room with the job of checking my work. Encouraging Productive Struggle Next, we focused on 4, 8, and 11 and noticed that 4 and 8 were really close together, but 0 and 4 were farther apart. We discussed the distance between 0 and 4, then 4 and 8, and realized they were the same distance apart, so that needed to be reflected on the number line. Those numbers also needed to be farther apart than 8 and 11, but not by much. We repeated this conversation, with decreasing teacher support, for the other half of the number line. Students continued to adjust the numbers and practiced explaining their thinking and defending their answers. They continued making the number line better and better until they were completely satisfied with their work. Modifying the Lesson for the Elementary Grades This is just one example of a deep dive into a number line. We kept coming back to this task—placing a set of numbers on a number line—with different endpoints (including starting at a number other than 0) and different distances between endpoints. The more number lines we worked with, the more independent my students became. Soon, they were integrating new vocabulary terms and estimating distances between numbers to form arguments on the placement of new numbers. While this example is from a second-grade class, this activity could easily be modified for any elementary classroom: First graders can place whole numbers within a decade—for example, between 0 and 10. Third graders can work with larger and longer number lines, especially as a precursor to rounding. Fourth and fifth graders can explore number lines with fractions and decimals—between 0 and 1. I believe that number sense building activities should be a part of our students’ day, every day, just as read-alouds are a part of every day. Number lines are one of many valuable tools for mathematical thinking. They can be part of a regular number sense building routine in your math class, but because of the emphasis on discussion and collective understanding, they also would be a valuable addition to your morning meeting. Your students will be thinking and talking math before you know it! Ask Edutopia AI BETA Create a lesson plan for this number line activity. What are other ways to build students' number sense? Tell me more about the Zones of Proximal Development and productive struggle. Responses are generated by artificial intelligence. AI can make mistakes. Share This Story Filed Under Critical Thinking Math K-2 Primary 2 Comments Laura B May 15, 2025 These visual strategies are such a great way to make math more accessible for students. And just having students get up, go to the board and engage with numbers in a physical way helps the learning stick so much better than how I learned with pencil and paper, alone at my desk. Reply Useful You marked this comment useful. ### Join Our Community We welcome your expertise! Create a free Edutopia account to add a comment. Already have an account? Log in. 2. Alicia S May 14, 2025 I completely agree—using open number lines is an effective way to help students visualize math concepts and develop a stronger sense of number relationships. I especially appreciate how this approach encourages students to explain their thinking, deepening their understanding and building confidence in their reasoning skills. It’s a powerful reminder that math isn’t just about getting the correct answer—it’s about understanding how and why numbers work the way they do. Reply Useful (1) You marked this comment useful. ### Join Our Community We welcome your expertise! Create a free Edutopia account to add a comment. Already have an account? Log in. View All Comments 2 Comments Share your ideas and questions. Join our community or log in to comment. All Most Useful Laura B May 15, 2025 These visual strategies are such a great way to make math more accessible for students. And just having students get up, go to the board and engage with numbers in a physical way helps the learning stick so much better than how I learned with pencil and paper, alone at my desk. Reply Useful You marked this comment useful. ### Join Our Community We welcome your expertise! Create a free Edutopia account to add a comment. Already have an account? Log in. 2. Alicia S May 14, 2025 I completely agree—using open number lines is an effective way to help students visualize math concepts and develop a stronger sense of number relationships. I especially appreciate how this approach encourages students to explain their thinking, deepening their understanding and building confidence in their reasoning skills. It’s a powerful reminder that math isn’t just about getting the correct answer—it’s about understanding how and why numbers work the way they do. Reply Useful (1) You marked this comment useful. ### Join Our Community We welcome your expertise! Create a free Edutopia account to add a comment. Already have an account? Log in. Popular Topics Administration & Leadership ChatGPT & Generative AI Classroom Management Culturally Responsive Teaching Differentiated Instruction English Language Learners New Teachers Research Student Engagement Teacher Wellness Technology Integration Topics A-Z Grade Levels Pre-K K-2 Primary 3-5 Upper Elementary 6-8 Middle School 9-12 High School About Us Our Mission Core Strategies Meet the Team Our Contributors Newsletters Write for Us Contact Us Frequently Asked Questions Account Help Follow Edutopia Privacy Policy Terms of Use Edutopia is an initiative of the George Lucas Educational Foundation. ©2025 George Lucas Educational Foundation. All Rights Reserved. Edutopia®, the EDU Logo™ and Lucas Education Research Logo® are trademarks or registered trademarks of the George Lucas Educational Foundation in the U.S. and other countries. Close Get the full Edutopia experience! Sign up for unlimited, free access to tips and strategies from inspirational educators. As a member, you’ll also get our personalized weekly newsletter and an enhanced website experience tailored just for you. Join Our Community Already have an account?Log in
9784	https://www.quora.com/Why-do-rational-numbers-have-repeating-patterns-in-their-decimal-forms-but-irrational-numbers-do-not	Something went wrong. Wait a moment and try again. Non Repeating Decimals Rational Number Sets/pair... Decimal Fractional Numeri... Irrational Number Theory Number Theory Decimal Integer Decimal Representation of... 5 Why do rational numbers have repeating patterns in their decimal forms, but irrational numbers do not? Robert Sheraw Author has 1.3K answers and 211.8K answer views · 2y Irrational numbers don’t have repeating patterns because all repeating decimals denote rational numbers and can be converted into fractions which are the ratio of two integers. The reason rational numbers repeat can be seen by observing how to change the ratio of two integers into a decimal. Consider the rational number a/b where a and b are integers and the fraction is reduced to its lowest terms. To convert this to a decimal you perform the long division algorithm to divide a by b. As you perform this process each remainder must be one of the integers in the range 0, 1, 2, …, b-1. It the rem Irrational numbers don’t have repeating patterns because all repeating decimals denote rational numbers and can be converted into fractions which are the ratio of two integers. The reason rational numbers repeat can be seen by observing how to change the ratio of two integers into a decimal. Consider the rational number a/b where a and b are integers and the fraction is reduced to its lowest terms. To convert this to a decimal you perform the long division algorithm to divide a by b. As you perform this process each remainder must be one of the integers in the range 0, 1, 2, …, b-1. It the remainder is 0, then the decimal terminates. If the remainder is not 0, then that remainder must eventually be repeated after at most b iterations since there are only b possible remainders. At that point the decimal starts repeating. Related questions Can a repeating decimal be both rational and irrational? What is the process for identifying repeating rational or repeating irrational numbers in decimal form? What is an irrational number? Can an irrational number have a repeating decimal? Why is the decimal form of a rational number not used as its exact value in calculations? Is there a connection to irrational numbers being non-terminating/non-repeating decimals? Do all rational numbers have repeating decimals? Do any irrational numbers have repeating decimals? Dave Neary B.Sc. in Mathematics, National University of Ireland, Galway (Graduated 1996) · Author has 2.9K answers and 1.2M answer views · 2y If a number has a repeating pattern in its decimal representation (or any other base, for that matter), then we can write the number as: x=a+b+b(10−n)+b(10−2n)+b(10−3n)+⋯ where a is the non-repeating bit at the start, b is the first repetition of the repeating bit (of length n digits), and then we have an intinite geometric sequence. Thus: x=a+b(11−10−n)=a+10nb10n−1 Clearly a and b, as finite decimals, are rational numbers, and so multiplying and dividing by integers will result in a rational number. Let’s take an example: x=123.12984528 If a number has a repeating pattern in its decimal representation (or any other base, for that matter), then we can write the number as: x=a+b+b(10−n)+b(10−2n)+b(10−3n)+⋯ where a is the non-repeating bit at the start, b is the first repetition of the repeating bit (of length n digits), and then we have an intinite geometric sequence. Thus: x=a+b(11−10−n)=a+10nb10n−1 Clearly a and b, as finite decimals, are rational numbers, and so multiplying and dividing by integers will result in a rational number. Let’s take an example: x=123.1298452872487248724⋯ Then we can take a=123.1298452=1231298452107 and b=0.00000008724=87241011 and: x=a+b+10−4b+10−8b+⋯ =a+b104104−1 =1231298452107+8724(107)(104−1) =1231298452⋅9999+87249999⋅107 which is clearly a rational number, although not in simplest form. Since, by the definition of irrational numbers, there is no rational representation, we cannot do this process - so there is no infinitely repeating pattern at the tail of irrational numbers. Andy Mathematics teacher in Minnesota · Upvoted by Horst H. von Brand , PhD Computer Science & Mathematics, Louisiana State University (1987) · Author has 816 answers and 1M answer views · 2y Originally Answered: Why do irrational numbers repeat themselves when expressed as decimals infinitely long, but rational numbers and/or integers don't have to? · Your question is flawed. Irrational numbers do not repeat themselves. We know pi to billions of places and have not seen a repeat of the decimal. There are proofs that pi (and other irrationals) cannot repeat. Rational numbers (of which the integers is a subset) are numbers that can be written as p/q where p,q are elements of Z (the integers). These rationals can be written in decimal form with a repeating or terminating decimal portion. Richard P MMath in Mathematics, Churchill College, Cambridge (Graduated 2011) · Author has 800 answers and 308.5K answer views · 2y Originally Answered: Why do irrational numbers repeat themselves when expressed as decimals infinitely long, but rational numbers and/or integers don't have to? · You’ve messed that up. Integers don’t have nonzero numbers after the decimal point. Rational numbers have decimal expansions which either terminate or settle into an infinite repeating pattern (possibly after some extra non-repeating digits). Irrational numbers never settle into am infinite repeating pattern. So: a = 3 [no nonzero digits after the decimal point] is an integer. b = 2.547 = 2547/1000 is a rational number c = 2.547983142857142857142857[repeats 142857 infinitely often] is a rational number [note: 10^6 c = 2547983.142857142857142857[repeats 142857 infinitely often] c = 2.5479831428571428 You’ve messed that up. Integers don’t have nonzero numbers after the decimal point. Rational numbers have decimal expansions which either terminate or settle into an infinite repeating pattern (possibly after some extra non-repeating digits). Irrational numbers never settle into am infinite repeating pattern. So: a = 3 [no nonzero digits after the decimal point] is an integer. b = 2.547 = 2547/1000 is a rational number c = 2.547983142857142857142857[repeats 142857 infinitely often] is a rational number [note: 10^6 c = 2547983.142857142857142857[repeats 142857 infinitely often] c = 2.547983142857142857142857[repeats 142857 infinitely often] [subract:] 999999c = 2547980.594874 [terminating decimal => rational] 999999000000c = 2547980594874 [ratio of integers => rational] c = 2547980594874 / 999999000000 = 8917941/3500000 is a rational number. d = 3.14159265358979323846 [never settles into a repeating pattern] is an irrational number Sponsored by Grammarly Is your writing working as hard as your ideas? Grammarly’s AI brings research, clarity, and structure—so your writing gets sharper with every step. Related questions Why does powers of numbers are not rational numbers or irrational numbers? Is √ 3 a rational number or irrational number? How do you determine if a number is rational, irrational or a repeating decimal? Can all irrational numbers be expressed as non-repeating decimal numbers? What is the decimal representation of an irrational number with no repeating pattern? Bob Beechey Former Lecturer Maths & Computing at UNITEC (2000–2007) · Author has 1.5K answers and 1.1M answer views · 2y In base 10, fractions with a denominator that is a multiple of factors of 10 (1,2,5,10) produce a trminated decimal eg 91/40 = 91/(2×2×2×5) = 0.2275. Other factors in a denominator produce repeating decimals eg 5/21 = 5/(3×7) = 0.238095238095238095 … In binary (base 2) only powers of 2 in a denominator produce non-repeating digits after the binary point eg 1/10 = 0.1₁₀ = 0.00011001100110011 … in base 2. Irrational numbers have no repeating decimals because they cannot be represented by a ratio. Mr TimTim Learner at E-learning (2000–present) · Author has 147 answers and 52.9K answer views · 2y Originally Answered: Why do irrational numbers repeat themselves when expressed as decimals infinitely long, but rational numbers and/or integers don't have to? · Your question is wrong. Irrational numbers never repeating in decimal form . Irrational numbers are non terminating and non repeating. Whereas Rational numbers are either terminating or Non-terminating Repeating. Integers can't be written as in the decimal form, as integers are collection of all whole numbers and their negatives. Sponsored by Everest Web Deals LLC Effortless Form Management for Meetings, Classrooms & Surveys !!! Streamline your Google Forms for meetings, classroom activities, signup, appointment and surveys. Leonard Helfgott Former Independent Consultant · Author has 124 answers and 29.6K answer views · 2y Originally Answered: Why do irrational numbers repeat themselves when expressed as decimals infinitely long, but rational numbers and/or integers don't have to? · Because all rational numbers have decimals that repeat after “ one less than” the value of the integer in the denominator, and irrationals can never be so expressed. For example, 1/7= 0.142857142857142857… with the 6 digit repeat of 142857, one less than7 itself. Lukas Schmidinger I have graduate CS and my studies included math courses. · Upvoted by David Joyce , Ph.D. Mathematics, University of Pennsylvania (1979) · Author has 27.6K answers and 14.8M answer views · Updated 5y Related How do you know that the decimal expansion of an irrational never repeats if there is no accepted definition of "random"? How do you know that the decimal expansion of an irrational never repeats if there is no accepted definition of "random"? Because if a number repeats it is rational as you can calculate an integer fraction for it. Proof I go into this with a concrete example and then show the general formula: Let r=0.¯¯¯¯¯¯¯¯127=0.127127127… Now what is r? Well 1000r=127.¯¯¯¯¯¯¯¯127 Or in other words: 1000r=127+r Now it is easy to calculate that r=127999 And that is the general pattern: 0.\overline{d_1 d_2 d_3 \ldots d_n}=\frac{\overbrace{d_1 d_2 d_3 \ldots d_n}^{\text{read as a whole number}}}{\under How do you know that the decimal expansion of an irrational never repeats if there is no accepted definition of "random"? Because if a number repeats it is rational as you can calculate an integer fraction for it. Proof I go into this with a concrete example and then show the general formula: Let r=0.¯¯¯¯¯¯¯¯127=0.127127127… Now what is r? Well 1000r=127.¯¯¯¯¯¯¯¯127 Or in other words: 1000r=127+r Now it is easy to calculate that r=127999 And that is the general pattern: Now what if there are some digits left of the period (the repeating digits)? Simple by adding an according amount of zeros to your denimonator you divided your fraction through a power of [math]10[/math] and shift the period for example: [math]\frac{127}{9990}=0.0 \overline{127}=0.0127127127 \ldots[/math] [math]\frac{127}{99900}=0.00 \overline{127}=0.00127127127 \ldots[/math] [math]\frac{127}{999000}=0.000 \overline{127}=0.000127127127 \ldots[/math] And so on. So after adding enough zeros between the decimal point and and your period you can turn them into anything you want by just adding the finite decimal to the number and the final decimal is a simple fraction: [math]0.123=\frac{123}{1000}[/math], [math]0.07=\frac{7}{100}[/math] in general [math]0.d_1 d_2 \ldots d_m=\frac{d_1 d_2 \ldots d_m}{10^m}[/math] Now you can add these fractions (together with an integer before the decimal point) and get the general result. How to convert a rational decimal to a fraction Promoted by Vagabond Guy Vagabond Guy Costal Cruiser Who Loves Sailing · Updated May 1 What are the best travel hacks? Airline Mistake Fare Alerts are my favorite travel hack for getting cheap flights all over the world for a fraction of the cost! (Check out the screenshots below to show you the kinds of deals you can get) 👉 Instead of looking for cheap flights, let them find you! Sign up for airline mistake fare and flash sales alerts and quit planning trips like it’s 1960—choosing dates and a destination first, then spending days (or weeks) trying to make those locked-in plans fit your budget. That’s like walking onto a car lot, announcing the exact model and purchase date, and hoping the price magically works Airline Mistake Fare Alerts are my favorite travel hack for getting cheap flights all over the world for a fraction of the cost! (Check out the screenshots below to show you the kinds of deals you can get) 👉 Instead of looking for cheap flights, let them find you! Sign up for airline mistake fare and flash sales alerts and quit planning trips like it’s 1960—choosing dates and a destination first, then spending days (or weeks) trying to make those locked-in plans fit your budget. That’s like walking onto a car lot, announcing the exact model and purchase date, and hoping the price magically works out. This makes zero sense! You would never agree to buy a certain model of car on a specific date, and then just be stuck with either paying whatever they wanted on that date, or worse you not have a car at all. There is no other thing in your life where you plan with such insanity as one does vacations. Why would you not just choose from a list of top destinations that are currently offering a huge discount on flights? You actually would, you just didn’t know there was options to be notified of every amazing deal and that’s the purpose of this post. Mistake fare and flash sales alerts can save you 50–90% on every single flight you book! This one trick has allowed me to see more of the world than I thought I would ever be able to. Prior to planning my travel experiences in this manner, we always went on cruises because it was the only affordable way to do travel for me. Not anymore! Examples of some of the deals I have booked, I wish I had screenshots of all of them because some of these are even better than these. Newark to Bangkok, Thailand $277 Round Trip Los Angeles LAX to Stockholm, Sweden $290 Round Trip San Francisco SFO to London, UK $267 Round Trip How to plan your travel going forward to ensure you always get cheap flights 100% of the time: Step 1: Sign up for an airfare alerts service There are a handful of websites that do this, here’s my favorite. They don’t sell airfare; they only find the best deals and alert you of those deals via email. Create A Bucket List: Instead of planning like it’s the 1950’s and choosing your destination and dates before you even know the price, instead make a list of all the places you want to go and when an alert for that destination comes, you book it! If you have 10+ destinations on your list, you will receive alerts for more than half of them at some point throughout the year, it’s just when will the alert come? Regardless of when it comes, that’s when you’re going to book it! When An Alert Comes Book Without Fear: Most are unaware that you have 24 hours to cancel any flight you book for a full refund no questions asked. This is a law passed by congress and enforced by the depart of transportation. So, when an amazing deal comes, just book it. Don’t wait! Now you have 24 hours to see if you can make it work with work and those traveling with you, and if you can’t you simply cancel, and it didn’t cost you a penny. Rinse and repeat this process for the rest of your life, and you will see more of this world than you ever thought possible. Work smarter instead of harder instead of harder! Another Budget-Traveler Hack—Free Lodging + Meals Want to cut nearly all of your on-the-ground costs? Trade a few hours of your time for a place to sleep and something to eat. How it works: Volunteer 3–4 days a week, just a handful of hours each day, and your host covers a bed plus a couple of meals. Top platforms: Workaway Worldpackers Together they list 50,000-plus hosts—farms, hostels, ecolodges, family homestays, and more. Do your homework: Read recent reviews, confirm the daily tasks, and chat with the host before you commit. It’s an unbeatable way to meet people, learn local routines, and keep your wallet happy. Don’t let a tight budget lock you out of new experiences—after all, we only get one shot at this life, so we might as well see as much of the planet as possible. Michael Moldenhauer Studied at University of Idaho · Author has 1.2K answers and 3.2M answer views · 7y Related Why do irrational numbers have non-terminating and non-repeating decimal representation? Is there any specific reason? This is because any number which has a terminating or repeating decimal is rational. To prove this, we need some definitions. The definition of a rational number, at least when considered as a subset of the real numbers (this bit is subtly important! wink wink hint hint nudge nudge :) :) :) :Cute:), is a real number which one can express as the quotient of two integers, e.g. 5/3, or 22/7. An irrational number is any real number which is not a rational number, i.e. a member of the set complement of the rational numbers with regard to the real numbers as a whole. The definition of the value of a de This is because any number which has a terminating or repeating decimal is rational. To prove this, we need some definitions. The definition of a rational number, at least when considered as a subset of the real numbers (this bit is subtly important! wink wink hint hint nudge nudge :) :) :) :Cute:), is a real number which one can express as the quotient of two integers, e.g. 5/3, or 22/7. An irrational number is any real number which is not a rational number, i.e. a member of the set complement of the rational numbers with regard to the real numbers as a whole. The definition of the value of a decimal, that is, the real number it represents, is the result of the infinite summation [math]\mathrm{val}(d_{N-1}d_{N-2}…d_1d_0.d_{-1}d_{-2}…) = \sum_{n=-\infty}^{N-1} d_n 10^n[/math] where [math]d_j[/math] are its digits and the integer part has [math]N[/math] digits, which basically is the “place value formula” you learned from elementary school, now written in grownups’ notation. Note there are technically infinitely many negative degree terms. When we write a terminating decimal like 0.35, we are implicitly saying all the remainder below the last digit (here a “5”) are zero. From this, it only takes a little work to see that a repeating decimal where the repeating part is the digit string [math]d_{N-1}d_{N-2} \cdots d_1d_0[/math] and the whole number part is zero is the number [math]R = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{val}(d_{N-1}d_{N-2} \cdots d_1d_0)}{10^{Nn}}[/math] which rearranges to [math]R = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{\mathrm{val}(d_{N-1}d_{N-2} \cdots d_1d_0)}{10^N}\right) \left(\frac{1}{10}\right)^n[/math] which then is seen to be a geometric series with common ratio [math]r = \frac{1}{10}[/math] and term coefficient [math]a = \frac{\mathrm{val}(d_{N-1}d_{N-2} \cdots d_1d_0)}{10^N}[/math] which you can easily see is an integer. Since the sum of a geometric series is [math]\frac{a}{1 - r}[/math] (technically this one is missing its first term so we should subtract an [math]a[/math] from that but that’s immaterial to the conclusion), which is now a fraction of integers, this shows the decimal’s value is a rational number. So this repeating decimal represents a rational number. With some facts like that a digit shift is done by dividing by a power of 10 and that if you add a positive whole number to a decimal beginning with 0 you get one with that whole number’s digits as its integer part you can easily arrange for a repeating decimal to have a prefix as well as a nonzero integer part and thus get from this the final conclusion that all repeating decimals represent rational numbers. Or in a more logic-friendly form: “If a decimal is a repeating decimal, then it represents a rational number.” Terminating decmials are handled by considering them as repeating decimals ending in repeating zeroes as mentioned earlier. Then it’s just a simple application of contraposition to derive that if a number is irrational, it has no repeating (or terminating) decimal representation. QED! :) (Though some details left out and summarized of course but can be filled in to make this a fully rigorous, airtight proof.) And yes, you may note that we had to use infinite series and essentially calculus to do this (Technically this can be considered even an exercise in Analysis, since we are exploring the structure of the real numbers with a fine comb.). Infinite decimals cannot be properly treated without calculus / analysis, and they should, in my opinion, not be introduced to students before they are ready to try those subjects. Yes I’m getting on a soap box here but that’s because I’ve seen enough people thinking funny things about “0.999999…” that just aren’t right and I think it’s precisely because these things are introduced in a poor manner before the machinery is available to treat them well and then all the difficulties and nuances just get handwaved away. (What should we do instead? Simple. We don’t teach them until then! Before that point, stick to finite decimals only, which are finite sums and thus need no calculus. Note to the learners that many numbers don’t have an exact “decimal” representation but can only be approximated, such as 1/3, which can be approximated with decimals like 0.3, 0.33, 0.333, etc. but none of these are exactly 1/3, though with this number you can make the approximation as good as you want by adding threes to the end. But also it can be approximated less well with things like 0.33334, too. Then numbers like [math]\sqrt{2}[/math] are simply more complicated cases where there is no simple way to generate more accurate approximations.) Ethan Donahey Top 10 at Mathcounts State · Upvoted by Prashant Khanwale , M. C. S. Computer Science & Mathematics · Author has 79 answers and 118.9K answer views · 7y Related Are all irrational numbers non-terminating in their decimal expansion? Yes. Define the number x. If this number’s decimal representation terminates, it is rational. Why? The number has to terminate after a finite number of digits, let’s say n digits. If you multiply the number by 10^n, it will be an integer. Thus, the number can be written as x/(10^n). As it can be written as fractional form, it is rational. Thus, no number that has a terminating decimal is irrational. Steve Duggan B. Sc. in Mathematics & Physics, University of Sydney · Author has 1.5K answers and 6.6M answer views · 7y Related Why are the decimal representations of irrational numbers non-recurring and non-terminating? Suppose that the decimal representation of a number terminates after N decimal places. This means that you can write it as P/10^N, where P is an integer. For example, you can write 3.146 as 3146/1000. But this is a rational number. Any number that can be expressed in the form P/Q, where P/Q are integers, is by definition rational. So a terminating decimal cannot be an irrational number. On the other hand, suppose that instead, the decimal representation repeats after N decimal places. Let’s write the number as X+P, where X is an integer and P is the decimal portion. So 0 < P < 1. If P repeats afte Suppose that the decimal representation of a number terminates after N decimal places. This means that you can write it as P/10^N, where P is an integer. For example, you can write 3.146 as 3146/1000. But this is a rational number. Any number that can be expressed in the form P/Q, where P/Q are integers, is by definition rational. So a terminating decimal cannot be an irrational number. On the other hand, suppose that instead, the decimal representation repeats after N decimal places. Let’s write the number as X+P, where X is an integer and P is the decimal portion. So 0 < P < 1. If P repeats after N places, then the first N places can be written as p/10^N, where p is an integer such that 0 < p < 10^N. The second ’N’ decimal places can be written as p/10^2N, the third N as p/10^3N and so forth. For example, 0.919191… can be written as 91/100 + 91/10000 + 91/1000000 + … This is an infinite series which can be written as: P = p {Sum(n = 1 to infinity) 10^(-nN) This series in {..} converges to 1/(10^N -1) So the decimal portion of the number can be written as p/(10^N - 1), This is a rational number. So a repeating decimal cannot be an irrational number. An irrational number cannot have a terminating or repeating decimal representation. Tom McFarlane M.S. Mathematics, University of Washington (1994) · Upvoted by Alon Amit , Lover of math. Also, Ph.D. · Author has 2.7K answers and 5.7M answer views · 7y Related Are all irrational numbers non-terminating in their decimal expansion? The decimal representation of any irrational number is necessarily non-terminating. However, the converse is not true. 1/3 for example has a non-terminating decimal representation, but it is a rational number. Only if the decimal representation is both non-terminating and non-repeating is it a representation of an irrational number. Lucas Curtis Science teacher (2001–present) · Upvoted by David Grossman , BA Physics & Mathematics, Harvard College (1961) and Justin Rising , PhD in statistics · Author has 7.3K answers and 21.4M answer views · 6y Related Why is it that numbers like 10/3 are rational numbers, even though their decimal values are irrational? You seem to be under the impression that a rational number’s decimal expansion must terminate. Actually — and bear with me here — all decimal expansions are infinitely long — both rational and irrational. One difference between a rational number and an irrational number is that the decimal expansion of a rational number settles into a repeating pattern, and the decimal expansion of an irrational number does not. Hang on, buster, you might object, how can you say that the decimal expansion of, say, 1/2, is infinitely long? It’s just 0.5, and that’s it! Really, it’s 0.500000000…, or [math]0.5\overline{0}[/math] You seem to be under the impression that a rational number’s decimal expansion must terminate. Actually — and bear with me here — all decimal expansions are infinitely long — both rational and irrational. One difference between a rational number and an irrational number is that the decimal expansion of a rational number settles into a repeating pattern, and the decimal expansion of an irrational number does not. Hang on, buster, you might object, how can you say that the decimal expansion of, say, 1/2, is infinitely long? It’s just 0.5, and that’s it! Really, it’s 0.500000000…, or [math]0.5\overline{0}[/math] We just normally drop off the trailing zeroes and call it a terminating decimal. But make no mistake: a terminating decimal is just a repeating decimal whose repetend is zero. In the case of 10/3, the repetend is 3. [math]\frac{10}{3} = 3.\overline{3}[/math] But to be honest, 10/3 is not classified as a rational number because it has a repeating decimal. Yes, that’s a characteristic of rational numbers, but not their defining feature. 10/3 is a rational number because it can be expressed as the ratio of two integers. Since 10 and 3 are both integers, and 10/3 is the ratio between them, 10/3 is rational. Related questions Can a repeating decimal be both rational and irrational? What is the process for identifying repeating rational or repeating irrational numbers in decimal form? What is an irrational number? Can an irrational number have a repeating decimal? Why is the decimal form of a rational number not used as its exact value in calculations? Is there a connection to irrational numbers being non-terminating/non-repeating decimals? Do all rational numbers have repeating decimals? Do any irrational numbers have repeating decimals? Why does powers of numbers are not rational numbers or irrational numbers? Is √ 3 a rational number or irrational number? How do you determine if a number is rational, irrational or a repeating decimal? Can all irrational numbers be expressed as non-repeating decimal numbers? What is the decimal representation of an irrational number with no repeating pattern? What are some examples of irrational numbers that have decimal places but there's no repeating pattern in those decimals? Can a decimal be both rational and irrational? If so, how? If not, why not? Can irrational numbers be expressed as terminating or repeating decimals? Why do irrational numbers repeat themselves when expressed as decimals infinitely long, but rational numbers and/or integers don't have to? How do you tell the difference between a rational number and an irrational number by their decimal expressions only? About · Careers · Privacy · Terms · Contact · Languages · Your Ad Choices · Press · © Quora, Inc. 2025
9785	https://en.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:sinusoidal-models/a/trigonometry-faq-a2	Trigonometry: FAQ (article) \| Trigonometry \| Khan Academy Skip to main content If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website. If you're behind a web filter, please make sure that the domains .kastatic.org and .kasandbox.org are unblocked. Explore Browse By Standards Explore Khanmigo Math: Pre-K - 8th grade Math: Get ready courses Math: High school & college Math: Multiple grades Math: Illustrative Math-aligned Math: Eureka Math-aligned Test prep Economics Science Computing Reading & language arts Life skills Social studies Partner courses Khan for educators Select a category to view its courses Search AI for Teachers FreeDonateLog inSign up Search for courses, skills, and videos Help us do more We'll get right to the point: we're asking you to help support Khan Academy. We're a nonprofit that relies on support from people like you. If everyone reading this gives $10 monthly, Khan Academy can continue to thrive for years. Please help keep Khan Academy free, for anyone, anywhere forever. Select gift frequency One time Recurring Monthly Yearly Select amount $10 $20 $30 $40 Other Give now By donating, you agree to our terms of service and privacy policy. Skip to lesson content Algebra 2 Course: Algebra 2>Unit 11 Lesson 9: Sinusoidal models Interpreting trigonometric graphs in context Interpret trigonometric graphs in context Trig word problem: modeling daily temperature Trig word problem: modeling annual temperature Model with sinusoidal functions Trig word problem: length of day (phase shift) Modeling with sinusoidal functions: phase shift Trigonometry: FAQ Math> Algebra 2> Trigonometry> Sinusoidal models © 2025 Khan Academy Terms of usePrivacy PolicyCookie NoticeAccessibility Statement Trigonometry: FAQ Google Classroom Microsoft Teams Frequently asked questions about trigonometry What is the unit circle and why is it important in trigonometry? The unit circle is a circle with a radius of 1‍ that is centered at the origin on a coordinate plane. It's important in trigonometry because it allows us to define the sine and cosine functions in terms of the x‍- and y‍-coordinates of a point moving around the circle. What are radians and why do we use them in trigonometry? Radians are a unit of measurement for angles. One radian is the angle measure that we turn to travel one radius length around the circumference of a circle. We often use radians in trigonometry because they make working with trigonometric functions easier. What is the Pythagorean identity and why is it important? The Pythagorean identity is sin 2⁡x+cos 2⁡x=1‍. It comes from the Pythagorean theorem and is important in trigonometry because it can help us solve for the value of one trigonometric function if we know the other. What do amplitude, midline, and period mean when we're talking about sinusoidal graphs? The amplitude of a sinusoidal graph is the distance from the midline to the highest or lowest point on the graph. The midline is the horizontal line that the graph oscillates around, and the period is the horizontal distance it takes for the graph to complete one full cycle. Why do we want to know how to transform sinusoidal graphs? By understanding how to transform sinusoidal graphs, we can graph a wider variety of sinusoidal functions. For example, we can change the amplitude, midline, or period to match a given equation. Where are trigonometric functions used in the real world? Trigonometric functions are used in many real-world applications. For example, engineers use them to design bridges, and physicists use them to model periodic phenomena such as waves or vibrations. Skip to end of discussions Questions Tips & Thanks Want to join the conversation? Log in Sort by: Top Voted Qin, Ningnie 3 years ago Posted 3 years ago. Direct link to Qin, Ningnie's post “Did the modeling w/ sinus...” more Did the modeling w/ sinusoidal functions (phase shift) unit; how to know when to do sin or cos since either can happen w/ a phase shift? Instructions don't specify which/my answer satisfies requirements, but it isn't counted as correct. Answer Button navigates to signup page •1 comment Comment on Qin, Ningnie's post “Did the modeling w/ sinus...” (23 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer 24gargaa 3 years ago Posted 3 years ago. Direct link to 24gargaa's post “As we know, when looking ...” more As we know, when looking at a unit circle, cosine's value will reach 1 when x=0 radians, whereas sine's value will reach 1 when x=pi/2 radians. In a scenrio where the graph reaches its maximum point when x=0, you know that it will be a graph of cosine. However, if you have a scenario where you reach the midline (midpoint) at a x-value of 0, you know you have a graph of sine. Essentially, you want to look at where you reach your maximum or midline when analyzing what type of a graph to use. Now, if you are given a problem with a phase shift, you want to look at the maximum and minium and shift it with relevance to what format (sine or cousin) your graph is in. I would suggest looking at one of the videos that Sal posted. He really thoroughly explains how to know what format to use. Comment Button navigates to signup page (26 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more dylan.forr99 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to dylan.forr99's post “I really do not understan...” more I really do not understand the substitution in phase shifting a function. I've tried it in every way I can imagine solving it... for example: −1.5cos(2π/248(22+11))+5.9 , solved in several different ways, always evaluated to approx. 4.4002.... I got those questions wrong every single time. what am I doing wrong here? what am I missing?? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer shooter913 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to shooter913's post “could you show me your wo...” more could you show me your work? what are the steps you take to get this answer? Also, what is the problem? This is how I would solve it: 1)(33π/248) ≈ 0.836069... 2) cos(0.836069) ≈ 0.6703848... MAKE SURE TO USE RADIAN MODE FOR THIS STEP. The khan academy calculator(and most others) have a deg and rad mode for trig functions. 3) -1.50.670384... ≈ -1.0055.. 4) -1.0055...+5.9 = 4.894422... Hope this helped! Next time show your work as well :) 2 comments Comment on shooter913's post “could you show me your wo...” (13 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more AndrewJason6 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to AndrewJason6's post “So I'm just kind of confu...” more So I'm just kind of confused about this. On one of the questions in the modeling with sinusoidal functions: In January, the average temperature t hours after midnight in Mumbai, India, is given by: T(t) = 24.5 - 5.5sin(2pi(t + 1)/24) What is the coldest time of day in Mumbai? The hints give me this: sin u is largest when u is pi/2 plus a multiple of 2pi. So the coldest time of day is when 2pi(t + 1)/24 = pi/2 + 2pin For n an integer We can solve the equation for t: t + 1 = 6 + 24n t = 5 + 24n My question is, where did they get the 6? And also is there a reason why the sin u formula is used specifically? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer kubleeka 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to kubleeka's post “Starting from this equati...” more Starting from this equation: 2pi(t + 1)/24 = pi/2 + 2pin we can divide everything by pi: 2(t+1)/24= 1/2 + 2n and multiply everything by 12 to clear denominators: t+1 = 6 + 24n The 6 is the result of (1/2)·12. Notice that we simplified the fraction on the left-hand side as well. The formula is sinusoidal because the temperature is going up and down the same amount at regular intervals. It uses sine instead of cosine for no particular reason; any equation with sine can be rewritten with cosine instead, and vice-versa, using sin(x)=cos(π/2-x). 1 comment Comment on kubleeka's post “Starting from this equati...” (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Y 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to Y's post “I am struggling to unders...” more I am struggling to understand one of the problems I encountered where I was asked WHEN the function would hit it's maximum. There was a function given, h(t) = 5 - 2 sin(2pi (t + 1) / 7) I understand that the function is negative so the it's a sine reflection. I think I also understand that the function ignoring the +1 would reach it's maximum at t=5.25 (i.e. 3/4 7) what I don't understand is why when considering the +1 the max takes place at t=6.25 instead of t=4.25? Shouldn't a +1 SHIFT the whole function to the LEFT - causing the MAX to be encountered sooner by 1? Could someone please help me with this fundamental gap in my understanding? Thank you. Answer Button navigates to signup page •1 comment Comment on Y's post “I am struggling to unders...” (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer shooter913 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to shooter913's post “unless you are reading th...” more unless you are reading the problem wrong(which happens to the best of us), then you are right and the answer is wrong. It should be 4.25. Maybe it's -1 and not +1? Comment Button navigates to signup page (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Show more... John Murphy 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to John Murphy's post “On one of the practice qu...” more On one of the practice quizzes the answer in part only was "-357cos(...". I came up with the same answer except I had as positive instead of a negative, i.e. "357cos(...". I tried them both on Desmos and the -357 did not appear correct to me. Did I miss something? I admit some of these problems have been a challenge. Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (5 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer shooter913 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to shooter913's post “the negative flips the gr...” more the negative flips the graph across the x-axis. This could mean that in your problem, the starting value needed to be the minimum point(this might not be the case since you did not provide the question) Comment Button navigates to signup page (6 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more maya.swieboda2025 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to maya.swieboda2025's post “What's an easy way to rem...” more What's an easy way to remember your formulas for period? Answer Button navigates to signup page •1 comment Comment on maya.swieboda2025's post “What's an easy way to rem...” (7 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer julianm256 8 months ago Posted 8 months ago. Direct link to julianm256's post “So basically, the period ...” more So basically, the period of a sine or cosine function is 2pi, but the period of the function sin(ax) or cos(ax) is 2pi/\|a\|. This is true because the period of the parent sine and cosine functions are always 2pi. For example, the period of the trigonometric function sin(10x) = 2pi/10 or pi/5. This is true because when the coefficient is greater than one, the period decreases because it reaches that point faster. Comment Button navigates to signup page (1 vote) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Show more... souzag1 10 months ago Posted 10 months ago. Direct link to souzag1's post “Is there a video that tea...” more Is there a video that teaches how to do the phase shift? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (4 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer joshua 10 months ago Posted 10 months ago. Direct link to joshua's post “This might help you: http...” more This might help you: Comment Button navigates to signup page (4 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more John Murphy 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to John Murphy's post “The answer to the practic...” more The answer to the practice quiz about temperature in Guangzhou, China is confusing. How do you read the given graph? The x component is what I don't understand. It goes from 0 to beyond 2.5. I suppose that at 2.5 it means 2.5 years after 1/1/2015. But how does it model daily lows at all. Daily lows would in reality fluctuate around the cos function, and the cos function is modeling the average over the year. On any one day it would give you an average temperature for that day. Let's say the date is July 26 as mentioned in the question. How do you get a daily low out of that? It is the same with any and every other day on the graph. You don't have that kind of accuracy. If the question asked for the daily average temperature t years after 1/1/2015 it would make sense. Why does it ask for daily lows? I don't get it. Answer Button navigates to signup page •1 comment Comment on John Murphy's post “The answer to the practic...” (5 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer MING-XIUL 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to MING-XIUL's post “Is a sine function a phas...” more Is a sine function a phase shift of a cosine function and vice versa? Answer Button navigates to signup page •Comment Button navigates to signup page (2 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer kubleeka 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to kubleeka's post “Yes. sin(x+π/2)=cos(x).” more Yes. sin(x+π/2)=cos(x). Comment Button navigates to signup page (6 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more maggie.mai2025 2 years ago Posted 2 years ago. Direct link to maggie.mai2025's post “What's an easy way to rem...” more What's an easy way to remember your formulas for period? Answer Button navigates to signup page •1 comment Comment on maggie.mai2025's post “What's an easy way to rem...” (4 votes) Upvote Button navigates to signup page Downvote Button navigates to signup page Flag Button navigates to signup page more Answer Show preview Show formatting options Post answer Up next: Quiz 3 Use of cookies Cookies are small files placed on your device that collect information when you use Khan Academy. Strictly necessary cookies are used to make our site work and are required. Other types of cookies are used to improve your experience, to analyze how Khan Academy is used, and to market our service. You can allow or disallow these other cookies by checking or unchecking the boxes below. You can learn more in our cookie policy Accept All Cookies Strictly Necessary Only Cookies Settings Privacy Preference Center When you visit any website, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized web experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and change our default settings. However, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. More information Allow All Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active Certain cookies and other technologies are essential in order to enable our Service to provide the features you have requested, such as making it possible for you to access our product and information related to your account. For example, each time you log into our Service, a Strictly Necessary Cookie authenticates that it is you logging in and allows you to use the Service without having to re-enter your password when you visit a new page or new unit during your browsing session. Functional Cookies [x] Functional Cookies These cookies provide you with a more tailored experience and allow you to make certain selections on our Service. For example, these cookies store information such as your preferred language and website preferences. Targeting Cookies [x] Targeting Cookies These cookies are used on a limited basis, only on pages directed to adults (teachers, donors, or parents). We use these cookies to inform our own digital marketing and help us connect with people who are interested in our Service and our mission. We do not use cookies to serve third party ads on our Service. Performance Cookies [x] Performance Cookies These cookies and other technologies allow us to understand how you interact with our Service (e.g., how often you use our Service, where you are accessing the Service from and the content that you’re interacting with). Analytic cookies enable us to support and improve how our Service operates. For example, we use Google Analytics cookies to help us measure traffic and usage trends for the Service, and to understand more about the demographics of our users. We also may use web beacons to gauge the effectiveness of certain communications and the effectiveness of our marketing campaigns via HTML emails. Cookie List Clear [x] checkbox label label Apply Cancel Consent Leg.Interest [x] checkbox label label [x] checkbox label label [x] checkbox label label Reject All Confirm My Choices
9786	https://www.scribd.com/document/446072718/Bransden-B-H-H-Joachain-C-J-The-Phys-n-pdf	Bransden B.H.H. Joachain C.J. - The Phys-N PDF \| PDF Opens in a new window Opens an external website Opens an external website in a new window This website utilizes technologies such as cookies to enable essential site functionality, as well as for analytics, personalization, and targeted advertising. To learn more, view the following link: Privacy Policy Open navigation menu Close suggestions Search Search en Change Language Upload Sign in Sign in Download free for 30 days 0 ratings 0% found this document useful (0 votes) 827 views 694 pages Bransden B.H.H. Joachain C.J. - The Phys-N PDF Document Information Uploaded by ABHITH KRISHNA AI-enhanced title Go to previous items Go to next items Download Save Save Bransden_B.H.H.Joachain_C.J.-_The_Phys-n.pdf For Later Share 0%0% found this document useful, undefined 0%, undefined Print Embed Report Download Save Bransden_B.H.H.Joachain_C.J.-_The_Phys-n.pdf For Later You are on page 1/ 694 Search Fullscreen adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free Share this document Share on Facebook, opens a new window Share on LinkedIn, opens a new window Share with Email, opens mail client Copy link Millions of documents at your fingertips, ad-free Subscribe with a free trial You might also like Fuel Cell System Design Guide 100% (2) Fuel Cell System Design Guide 59 pages 06 Chapter 1 No ratings yet 06 Chapter 1 53 pages 07 Chapter 1 No ratings yet 07 Chapter 1 31 pages Basic Concepts For Simple and Complex Liquids JL Barrat and JP Hansen No ratings yet Basic Concepts For Simple and Complex Liquids JL Barrat and JP Hansen 27 pages Exploring Energy Landscapes: Annual Review of Physical Chemistry No ratings yet Exploring Energy Landscapes: Annual Review of Physical Chemistry 27 pages PhysRevB 50 17953 No ratings yet PhysRevB 50 17953 27 pages Multiscale Biomaterials & Polymers No ratings yet Multiscale Biomaterials & Polymers 20 pages Regenerative Fuel Cell Systems PDF No ratings yet Regenerative Fuel Cell Systems PDF 16 pages IJSSV3 N4 H No ratings yet IJSSV3 N4 H 9 pages Chap9 NPT Grand Canonical Ensemble v04 No ratings yet Chap9 NPT Grand Canonical Ensemble v04 12 pages Mass and Energy Analysis of Control Volumes: MAE 320-Chapter 5 No ratings yet Mass and Energy Analysis of Control Volumes: MAE 320-Chapter 5 9 pages Tanmoy Paper No ratings yet Tanmoy Paper 7 pages Solutions 03 No ratings yet Solutions 03 5 pages Statistical Mechanics Ensembles No ratings yet Statistical Mechanics Ensembles 5 pages Density-Functional Calculation Coulomb Interactions Metals: 8 Effective No ratings yet Density-Functional Calculation Coulomb Interactions Metals: 8 Effective 5 pages Chapter 3 No ratings yet Chapter 3 8 pages adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free adDownload to read ad-free ad Footer menu Back to top About About Scribd, Inc. Everand: Ebooks & Audiobooks Slideshare Join our team! Contact us Support Help / FAQ Accessibility Purchase help AdChoices Legal Terms Privacy Copyright Cookie Preferences Do not sell or share my personal information Social Instagram Instagram Facebook Facebook Pinterest Pinterest Get our free apps About About Scribd, Inc. Everand: Ebooks & Audiobooks Slideshare Join our team! Contact us Legal Terms Privacy Copyright Cookie Preferences Do not sell or share my personal information Support Help / FAQ Accessibility Purchase help AdChoices Social Instagram Instagram Facebook Facebook Pinterest Pinterest Get our free apps Documents Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. We take content rights seriously. Learn more in our FAQs or report infringement here. We take content rights seriously. Learn more in our FAQs or report infringement here. Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. 576648e32a3d8b82ca71961b7a986505
9787	https://www.cnblogs.com/zhgmaths/p/16743355.html	Published Time: 2022-09-29T22:30:00.0000000+08:00 3.3.2 抛物线的简单几何性质(2) - 贵哥讲数学 - 博客园会员众包新闻博问闪存赞助商 Chat2DB 所有博客当前博客我的博客我的园子账号设置会员中心简洁模式 ...退出登录注册登录贵哥讲数学自由教师一枚，乐于探讨数学、分享数学！首页新随笔管理随笔 - 251 文章 - 0 评论 - 33 阅读 - 35万 3.3.2 抛物线的简单几何性质(2) 一课一练，知识点细致讲解，经典例题展现，分层巩固练习！主攻基础知识和基础方法！欢迎到学科网下载资料学习欢迎到学科网下载资料学习【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）跟贵哥学数学，s o e a s y！跟贵哥学数学，s o e a s y！选择性必修第一册同步巩固，难度 3 颗星！基础知识直线与抛物线的位置关系设直线 l:A x+B y+C=0 l:A x+B y+C=0，抛物线 C:f(x,y)=0 C:f(x,y)=0，把两者方程联立得到方程组，消元 y y(或 x x) 得到一个关于 x x(或 y y) 的方程 a x 2+b x+c=0 a x 2+b x+c=0(或 a y 2+b y+c=0 a y 2+b y+c=0). ① 当 a≠0 a≠0 时， Δ>0⇔∆>0⇔ 方程有两个不同的实数解，即直线与抛物线有两个交点⇔⇔ 相交； Δ=0⇔∆=0⇔ 方程有两个相同的实数解，即直线与抛物线有一个交点⇔⇔ 相切； Δ<0⇔∆<0⇔ 方程无实数解，即直线与抛物线无交点⇔⇔ 相离. ② 当 a＝0 a＝0，b≠0 b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l l 与抛物线 C C 相交，且只有一个交点，直线 l l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行．【例】直线 y=k x+2 y=k x+2 与抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 只有一个公共点，则 k k 的值为–––––_ . 解析联立 {y=k x+2 y 2=8 x{y=k x+2 y 2=8 x 得(k x+2)2−8 x=0(k x+2)2−8 x=0．整理得 k 2 x 2+(4 k−8)x+4=0 k 2 x 2+(4 k−8)x+4=0．当 k=0 k=0 时，方程变为－8 x+4=0－8 x+4=0，只有一解，这时直线与抛物线只有一个公共点；当 k≠0 k≠0 时，由 Δ=0 Δ=0 得 (4 k−8)2−16 k 2=0(4 k−8)2−16 k 2=0，解得 k=1 k=1．综上，k=0 k=0 或 1 1．直线与抛物线的弦长公式 (1) 直线 y=k x+b y=k x+b 与抛物线相交于 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，则 A B=√1+k 2⋅\|x 1−x 2\|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4 x 1 x 2=√1+k 2⋅√Δ\|a\|A B=1+k 2⋅\|x 1−x 2\|=1+k 2⋅(x 1+x 2)2−4 x 1 x 2=1+k 2⋅Δ\|a\| 或 A B=√1+1 k 2⋅\|y 1−y 2\|=√1+1 k 2⋅√(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=√1+1 k 2⋅√Δ\|a\|A B=1+1 k 2⋅\|y 1−y 2\|=1+1 k 2⋅(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=1+1 k 2⋅Δ\|a\|， (Δ=b 2−4 a c∆=b 2−4 a c，注意对公式推导的理解，其本质是两点距离公式) (2) 抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 的焦点弦长 \|A B\|=x 1+x 2+p=2 p sin 2 θ\|A B\|=x 1+x 2+p=2 p sin 2⁡θ ， θ θ 为弦 A B A B 所在直线的倾斜角.(其他形式的抛物线类似) 抛物线常见的结论 (选学内容，证明可见另一专题《圆锥曲线常见二级结论》) 点 F F 是抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于 A A、B B，点 A A、B B 在准线上的投影分别是 A 1 A 1 、B 1 B 1, 有如下结论 (1) x 1 x 2=p 2 4 x 1 x 2=p 2 4, y 1 y 2=−p 2 y 1 y 2=−p 2； (2) A A、O O、B 1 B 1 三点共线；B B、O O、A 1 A 1 三点共线； (3) A C 1 A C 1 垂直平分 A 1 F A 1 F；B C 1 B C 1 垂直平分 B 1 F B 1 F； (4) A B=x 1+x 2+p A B=x 1+x 2+p； (5) 以 A B A B 为直径的圆与准线 l l 相切； (6) ∠A C 1 B=90∘∠A C 1 B=90∘,∠A 1 F B 1=90∘∠A 1 F B 1=90∘； (7) A F=p 1−cos α A F=p 1−cos⁡α, B F=p 1+cos α B F=p 1+cos⁡α; A B=2 p sin 2 α A B=2 p sin 2⁡α ; 1 A F+1 B F=2 p 1 A F+1 B F=2 p； (8) S△A O B=p 2 2 sin α;S 2△A O B A B=(p 2)3 S△A O B=p 2 2 sin⁡α;S△A O B 2 A B=(p 2)3； (9) 切线方程 y 0 y=p(x+x 0)y 0 y=p(x+x 0). 基本方法【题型1】直线与抛物线的位置关系【典题 1】已知抛物线 C：y 2=2 p x(p>0)C：y 2=2 p x(p>0) 过点 A(1,−2)A(1,−2)． (1) 求抛物线 C C 的方程，并求其准线方程； (2) 是否存在平行于 O A O A(O O 为坐标原点) 的直线 l l，使得直线 l l 与抛物线 C C 有公共点，且直线 O A O A 与 l l 的距离等于√5 5 5 5？若存在，求出直线 l l 的方程；若不存在，说明理由．解析 (1) 将(1,−2)(1,−2) 代入 y 2=2 p x y 2=2 p x，得 (−2)2=2 p⋅1(−2)2=2 p·1，∴p=2∴p=2．故所求的抛物线 C C 的方程为 y 2=4 x y 2=4 x，其准线方程为 x=−1 x=−1． (2) 假设存在符合题意的直线 l l，其方程为 y=−2 x+t y=−2 x+t．由 {y=−2 x+t y 2=4 x{y=−2 x+t y 2=4 x 得 y 2+2 y−2 t=0 y 2+2 y−2 t=0． ∵∵ 直线 l l 与抛物线 C C 有公共点， ∴Δ=4+8 t≥0∴Δ=4+8 t≥0，解得 t≥−1 2 t≥−1 2．另一方面，由直线 O A O A 与 l l 的距离 d=√5 5 d=5 5，可得\|t\|√5=1√5\|t\|5=1 5，解得 t=±1 t=±1． ∵−1∉[−1 2,+∞)∵−1∉[−1 2,+∞), 1∈[−1 2,+∞)1∈[−1 2,+∞)， ∴∴ 符合题意的直线 l l 存在，其方程为 2 x+y−1=0 2 x+y−1=0．巩固练习过点(2,4)(2,4) 作直线与抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 只有一个公共点，这样的直线有–––––_ 条. 已知抛物线 C C 的方程为 x 2=1 2 y x 2=1 2 y，过点 A(0,−1)A(0,−1) 和点 B(t,3)B(t,3) 的直线与抛物线 C C 没有公共点，则实数 t t 的取值范围是–––––_ . 参考答案答案 2 2 解析点(2,4)(2,4) 在抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 上，由图易得满足题意的直线有 2 2 条. 2. 答案(−∞,−√2)∪(√2,+∞)(−∞,−2)∪(2,+∞) 解析如图，设过 A A 的直线方程为 y=k x−1 y=k x−1，与抛物线方程联立得 x 2−1 2 k x+1 2=0 x 2−1 2 k x+1 2=0， △=1 4 k 2−2=0△=1 4 k 2−2=0， k=±2√2 k=±2 2，求得过 A A 的抛物线的切线与 y=3 y=3 的交点为 (±√2,3)(±2,3)，则当过点 A(0,－1)A(0,－1) 和点 B(t,3)B(t,3) 的直线与抛物线 C C 没有公共点，实数 t t 的取值范围是 (−∞,−√2)∪(√2,+∞)(−∞,−2)∪(2,+∞)．【题型2】弦长问题【典题 1】过抛物线 x 2=2 p y(p>0)x 2=2 p y(p>0) 的焦点作斜率为 1 1 的直线与该抛物线交于 A A，B B 两点，A A，B B 在 x x 轴上的正射影分别为 D D，C C．若梯形 A B C D A B C D 的面积为 12√2 12 2，则 A B=A B=–––––_．解析如图，抛物线焦点为 (0,p 2)(0,p 2)，设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，直线 A B:y−p 2=x A B:y−p 2=x，即 y=x+p 2 y=x+p 2．联立 x 2=2 p y x 2=2 p y，得 ⎧⎨⎩y=x+p 2 x 2=2 p y{y=x+p 2 x 2=2 p y 消去 y y 得 x 2−2 p x−p 2=0 x 2−2 p x−p 2=0， ∴x 1+x 2=2 p∴x 1+x 2=2 p，x 1 x 2=−p 2 x 1 x 2=−p 2， ∴\|A D\|+\|B C\|=y 1+y 2=x 1+p 2+x 2+p 2=2 p+p=3 p∴\|A D\|+\|B C\|=y 1+y 2=x 1+p 2+x 2+p 2=2 p+p=3 p， \|C D\|=\|x 1−x 2\|=√(x 1+x 2)2−4 x 1 x 2=2√2 p\|C D\|=\|x 1−x 2\|=(x 1+x 2)2−4 x 1 x 2=2 2 p．由 S 梯形 A B C D=1 2(\|A D\|+\|B C\|)⋅\|C D\|=1 2⋅3 p⋅2√2 p=12√2 S 梯形 A B C D=1 2(\|A D\|+\|B C\|)⋅\|C D\|=1 2⋅3 p⋅2 2 p=12 2，解得 p=2 p=2．则 A B=y 1+y 2+p=4 p=8 A B=y 1+y 2+p=4 p=8. 点拨对于焦点弦的弦长，可不用弦长公式 d=√1+k 2⋅\|x 1−x 2\|d=1+k 2⋅\|x 1−x 2\|，用抛物线定义 A B=y 1+y 2+p A B=y 1+y 2+p 更好些. 【典题 2】已知抛物线 y 2=6 x y 2=6 x 的弦 A B A B 经过点 P(4,2)P(4,2)，且 O A⊥O B O A⊥O B(O O 为坐标原点)，求弦 A B A B 的长．解析依题意可设直线 A B A B 方程为 x=m y+n x=m y+n，因为过点 P(4,2)P(4,2)，所以 n=2−4 m n=2−4 m，联立方程 {x=m y+n y 2=6 x{x=m y+n y 2=6 x 得 y 2−6 m y−6 n=0 y 2−6 m y−6 n=0，设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=6 m y 1+y 2=6 m，y 1 y 2=−6 n y 1 y 2=−6 n，因为 O A⊥O B O A⊥O B，所以 −−→O A⋅−−→O B=0 O A→⋅O B→=0，而 −−→O A⋅−−→O B=x 1 x 2+y 1 y 2=(m y 1+n)(m y 2+n)+y 1 y 2 O A→⋅O B→=x 1 x 2+y 1 y 2=(m y 1+n)(m y 2+n)+y 1 y 2 =(1+m 2)y 1 y 2+m n(y 1+y 2)+n 2=n 2−6 n=(1+m 2)y 1 y 2+m n(y 1+y 2)+n 2=n 2−6 n，所以 n 2−6 n=0 n 2−6 n=0，解得 n=6 n=6 或 n=0 n=0(舍去)，则 m=−1 m=−1，所以 A B=√1+1 k 2⋅\|y 1−y 2\|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2 A B=1+1 k 2⋅\|y 1−y 2\|=1+m 2⋅(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2 =√1+m 2⋅√36 m 2+24 n=√2⋅√180=6√10=1+m 2⋅36 m 2+24 n=2⋅180=6 10. 点拨本题解法很多，直线 A B A B 方程的设定需要注意 ① 直线 A B A B 方程设为 x=m y+n x=m y+n，不设为 y=k x+b y=k x+b; 首先明白 n=1 k n=1 k，当直线 A B A B 垂直 x x 轴，k k 不存在；当直线 A B A B 垂直 y y 轴，k=0 k=0，则 m m 不存在；本题中直线 A B A B 不可能垂直 y y 轴，否则与抛物线没有两个交点，故直线设 x=m y+n x=m y+n 不需要分类讨论，而设为 y=k x+b y=k x+b 需要讨论 k k 是否存在； ② 直线 A B A B 过点 P(4,2)P(4,2)，不设为 x=m(y−2)+4 x=m(y−2)+4, 不代入点 P(4,2)P(4,2) 设为 x=m y+n x=m y+n，这可简化计算，您可尝试下，感受更深刻些； 2 对于垂直关系 O A⊥O B O A⊥O B，可有 k O A⋅k O B=−1 k O A⋅k O B=−1, −−→O A⋅−−→O B=0 O A→⋅O B→=0，勾股定理等想法. 巩固练习已知直线 l l 经过抛物线 y 2=6 x y 2=6 x 的焦点 F F，且与抛物线相交于 A A，B B 两点． (1) 若直线 l l 的倾斜角为 60°60°，求\|A B\|\|A B\| 的值； (2) 若\|A B\|=9\|A B\|=9，求线段 A B A B 的中点 M M 到准线的距离．设离心率为 3 3，实轴长为 1 1 的双曲线 E:x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>b>0)E:x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>b>0) 的左焦点为 F F，顶点在原点的抛物线 C C 的准线经过点 F F，且抛物线 C C 的焦点在 x x 轴上． (1) 求抛物线 C C 的方程； (2) 若直线 l l 与抛物线 C C 交于不同的两点 M M，N N，且满足 O M⊥O N O M⊥O N，求\|M N\|\|M N\| 的最小值．参考答案答案 (1) 8 8 (2) 9 2 9 2 解析 (1) 因为直线 l l 的倾斜角为 60°60°，所以其斜率 k=tan 60∘=√3 k=tan⁡60∘=3．又 F(3 2,0)F(3 2,0)，所以直线 l l 的方程为 y=√3(x−3 2)y=3(x−3 2)，联立 ⎧⎪⎨⎪⎩y 2=6 x y=√3(x−3 2){y 2=6 x y=3(x−3 2)，消去 y y 得 x 2−5 x+9 4=0 x 2−5 x+9 4=0．设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=5 x 1+x 2=5，而 \|A B\|=\|A F\|+\|B F\|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p\|A B\|=\|A F\|+\|B F\|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p，所以\|A B\|=5+3=8\|A B\|=5+3=8． (2) 设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，由抛物线定义知 \|A B\|=\|A F\|+\|B F\|=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3\|A B\|=\|A F\|+\|B F\|=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3，所以 x 1+x 2=6 x 1+x 2=6，于是线段 A B A B 的中点 M M 的横坐标是 3 3．又准线方程是 x=−3 2 x=−3 2，所以 M M 到准线的距离为 3+3 2=9 2 3+3 2=9 2．答案 (1) y 2=6 x y 2=6 x (2) 12 12 解析 (1) 离心率为 3 3，实轴长为 1 1，即 e=c a=3 e=c a=3， a=1 2 a=1 2，可得 c=3 2 c=3 2， F(−3 2,0)F(−3 2,0)，可设抛物线的方程为 y 2=2 p x y 2=2 p x，p>0 p>0，可得 p 2=3 2 p 2=3 2，即 p=3 p=3，可得抛物线的方程为 y 2=6 x y 2=6 x； (2) 设直线 l l 的方程为 x=m y+t x=m y+t，设点 M(x 1,y 1)M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)N(x 2,y 2)，则 x 1=y 2 1 6 x 1=y 1 2 6，x 2=y 2 2 6 x 2=y 2 2 6 将直线 l l 的方程与抛物线 C C 的方程联立 {x=m y+t y 2=6 x{x=m y+t y 2=6 x，得 y 2−6 m y−6 t=0 y 2−6 m y−6 t=0，由韦达定理得 y 1+y 2=6 m y 1+y 2=6 m，y 1 y 2=−6 t y 1 y 2=−6 t， ∵O M⊥O N∵O M⊥O N， ∴k O M⋅k O N=6 y 1⋅6 y 2=−36 6 t=−1∴k O M⋅k O N=6 y 1⋅6 y 2=−36 6 t=−1，即 t=6 t=6，由△=36 m 2+24×6>0△=36 m 2+24×6>0 恒成立，则 \|M N\|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=√1+m 2⋅√36 m 2+144\|M N\|=1+m 2(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=1+m 2⋅36 m 2+144 =6√(1+m 2)(4+m 2)≥12=6(1+m 2)(4+m 2)≥12，当且仅当 m=0 m=0 时，\|M N\|\|M N\| 取得最小值 12 12．【题型3】综合题型【典题 1】已知抛物线 C：y 2=2 p x(p>0)C：y 2=2 p x(p>0)，焦点为 F F，准线为 l l，抛物线 C C 上一点 A A 的横坐标为 3 3，且点 A A 到焦点的距离为 4 4． (1) 求抛物线的方程； (2) 设过点 P(6,0)P(6,0) 的直线 l l 与抛物线交于 A A，B B 两点，若以 A B A B 为直径的圆过点 F F，求直线 l l 的方程．解析 (1) 抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 的准线方程为 x=−p 2 x=−p 2，由抛物线 C C 上一点 A A 的横坐标为 3 3，根据抛物线的定义可知， 3+p 2=4 3+p 2=4，解得 p=2 p=2，所以抛物线 C C 的方程是 y 2=4 x y 2=4 x； (2) 由题意可知，直线 l l 不垂直于 y y 轴，可设直线 l：x=m y+6 l：x=m y+6，则由 {y 2=4 x x=m y+6{y 2=4 x x=m y+6 可得 y 2−4 m y−24=0 y 2−4 m y−24=0，设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2 B(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=4 m y 1+y 2=4 m,y 1 y 2=−24 y 1 y 2=−24，因为以 A B A B 为直径的圆过点 F F，所以 F A⊥F B F A⊥F B，即 −−→F A⋅−−→F B=0 F A→⋅F B→=0，可得 (x 1−1)(x 2−1)+y 1 y 2=0(x 1−1)(x 2−1)+y 1 y 2=0，即(m y 1+5)(m y 2+5)+y 1 y 2=0(m y 1+5)(m y 2+5)+y 1 y 2=0 ⇒(1+m 2)y 1 y 2+5 m(y 1+y 2)+25=0⇒(1+m 2)y 1 y 2+5 m(y 1+y 2)+25=0 ⇒－24(1+m 2)+20 m 2+25=0⇒－24(1+m 2)+20 m 2+25=0 ⇒1−4 m 2=0⇒1−4 m 2=0，解得 m=±1 2 m=±1 2，所以直线 l:x=±1 2 y+6 l:x=±1 2 y+6，即 l：2 x+y−12=0 l：2 x+y−12=0 或 2 x−y−12=0 2 x−y−12=0．【典题 2】已知抛物线 Γ：y 2=2 p x(p>0)Γ：y 2=2 p x(p>0) 的焦点为 F F，P P 是抛物线 Γ Γ 上一点，且在第一象限，满足 −−→F P=(2,2√3)F P→=(2,2 3)， (1) 求抛物线 Γ Γ 的方程； (2) 已知经过点 A(3,－2)A(3,－2) 的直线交抛物线 Γ Γ 于 M M，N N 两点，经过定点 B(3,−6)B(3,−6) 和 M M 的直线与抛物线 Γ Γ 交于另一点 L L，问直线 N L N L 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由．解析 (1) 由抛物线的方程可得焦点 F(p 2,0)F(p 2,0)，满足 −−→F P=(2,2√3)F P→=(2,2 3) 的 P P 的坐标为 (2+p 2,2√3)(2+p 2,2 3)，P P 在抛物线上，所以 (2√3)2=2 p(2+p 2)(2 3)2=2 p(2+p 2)，p>0 p>0，解得 p=2 p=2，所以抛物线的方程为：y 2=4 x y 2=4 x； (2) 设 M(x 0,y 0)M(x 0,y 0)，N(x 1,y 1)N(x 1,y 1)，L(x 2,y 2)L(x 2,y 2)，则 y 2 1=4 x 1 y 1 2=4 x 1，y 2 2=4 x 2 y 2 2=4 x 2 直线 M N M N 的斜率 k M N=y 1−y 0 x 1−x 0=y 1−y 0 y 2 1−y 2 0 4=4 y 1+y 0 k M N=y 1−y 0 x 1−x 0=y 1−y 0 y 1 2−y 0 2 4=4 y 1+y 0，则直线 M N M N 的方程为： y−y 0=4 y 1+y 0(x−y 2 0 4)y−y 0=4 y 1+y 0(x−y 0 2 4)，即 y=4 x+y 0 y 1 y 0+y 1 y=4 x+y 0 y 1 y 0+y 1 ①，同理可得直线 M L M L 的方程整理可得 y=4 x+y 0 y 2 y 0+y 2 y=4 x+y 0 y 2 y 0+y 2 ②，将 A(3,−2)A(3,−2)，B(3,−6)B(3,−6) 分别代入①，②的方程可得 ⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩−2=12+y 0 y 1 y 0+y 1−6=12+y 0 y 2 y 0+y 2{−2=12+y 0 y 1 y 0+y 1−6=12+y 0 y 2 y 0+y 2，消 y 0 y 0 可得 y 1 y 2=12 y 1 y 2=12，易知直线 k N L=4 y 1+y 2 k N L=4 y 1+y 2，则直线 N L N L 的方程为： y−y 1=4 y 1+y 2(x−y 2 1 4)y−y 1=4 y 1+y 2(x−y 1 2 4)，即 y=4 y 1+y 2 x+y 1 y 2 y 1+y 2 y=4 y 1+y 2 x+y 1 y 2 y 1+y 2，故 y=4 y 1+y 2 x+12 y 1+y 2 y=4 y 1+y 2 x+12 y 1+y 2，所以 y=4 y 1+y 2(x+3)y=4 y 1+y 2(x+3)，因此直线 N L N L 恒过定点(−3,0)(−3,0)．巩固练习已知直线 l:√3 x−y−√3=0 l:3 x−y−3=0 过抛物线 C：y 2=2 p x C：y 2=2 p x 的焦点 F F，且与抛物线 C C 交于点 A A、B B 两点，过 A A、B B 两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 M M、N N，则下列说法错误的是 ( ) A．抛物线的方程为 y 2=4 x y 2=4 x B．线段 A B A B 的长度为 16 3 16 3 C．∠M F N=90°∠M F N=90° D．线段 A B A B 的中点到 y y 轴的距离为 8 3 8 3 已知直线 y=k x+m(k<0)y=k x+m(k<0) 与抛物线 C：y 2=8 x C：y 2=8 x 及其准线分别交于 A A，B B 两点，F F 为抛物线的焦点，若 2−−→F A=−−→A B 2 F A→=A B→，则 m m 等于 ( ) A． √3 3 B． 2√3 2 3 C． 2√2 2 2 D． 2√6 2 6 已知直线 l：k x−y−k=0(k∈R)l：k x−y−k=0(k∈R) 与抛物线 C:y 2=2 p x(p>1 2)C:y 2=2 p x(p>1 2) 相交于 A A，B B 两点，O O 为坐标原点，则△A O B△A O B 为 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定已知抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 上的点 T(3,t)T(3,t) 到焦点 F F 的距离为 4 4． (1) 求 t t,p p 的值； (2) 设抛物线的准线与 x x 轴的交点为 M M，是否存在过点 M M 的直线 l l 交抛物线于 A A，B B 两点 (点 B B 在点 A A 的右侧)，使得直线 A F A F 与直线 O B O B 垂直？若存在，求出△A F B△A F B 的面积，若不存在，请说明理由．参考答案答案 D D 解析直线 l:√3 x−y−√3=0 l:3 x−y−3=0 经过点 F(1,0)F(1,0)，可得 p=2 p=2，即抛物线 C：y 2=4 x C：y 2=4 x，准线方程为 x=−1 x=−1，联立直线 √3 x−y−√3=0 3 x−y−3=0 和抛物线 C：y 2=4 x C：y 2=4 x，可得 3 x 2－10 x+3=0 3 x 2－10 x+3=0，可得 A(3,2√3)A(3,2 3), B(1 3,−2√3 3)B(1 3,−2 3 3)，即有 \|A B\|= ⎷(3−1 3)2+(2√3+2√3 3)2=16 3\|A B\|=(3−1 3)2+(2 3+2 3 3)2=16 3，由 M(−1,2√3)M(−1,2 3), N(−1,−2√3 3)N(−1,−2 3 3)， F(1,0)F(1,0) 可得 k N F⋅k M F=2√3 3 2⋅2√3−2=−1 k N F⋅k M F=2 3 3 2⋅2 3−2=−1，则 M F⊥N F M F⊥N F 即∠M F N=90°∠M F N=90°，线段 A B A B 的中点为 (5 3,4√3 3)(5 3,4 3 3)，则线段 A B A B 的中点到 y y 轴的距离为 5 3 5 3，综上可得 A A,B B,C C 正确，D D 错误．故选：D D． 2. 答案 B B 解析因为 2−−→F A=−−→A B 2 F A→=A B→，所以点 A A，B B，F F 共线，所以直线 y=k x+m y=k x+m 经过抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 的焦点 F(2,0)F(2,0)，所以 2 k+m=0 2 k+m=0，m=−2 k m=−2 k 因为抛物线的准线为 x=−2 x=−2，所以 {x=−2 y=k x+m{x=−2 y=k x+m 得 B(−2,−2 k+m)B(−2,−2 k+m)，即 B(−2,−4 k)B(−2,−4 k) 因为 2−−→F A=−−→A B 2 F A→=A B→，所以 2(x A−2,y A)=(−2−x A,−4 k−y A)2(x A−2,y A)=(−2−x A,−4 k−y A)，所以 {2 x A−4=−2−x A 2 y A=−4 k−y A{2 x A−4=−2−x A 2 y A=−4 k−y A，解得 ⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩x A=2 3 y A=−4 k 3{x A=2 3 y A=−4 k 3，将点 A A 的坐标代入抛物线方程得： (−4 k 3)2=8×2 3(−4 k 3)2=8×2 3，解得 k=−√3(k<0)k=−3(k<0)，所以 m=−2 k=−2(−√3)=2√3 m=−2 k=−2(−3)=2 3．故选：B B． 3. 答案 C C 解析设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)B(x 2,y 2), 则 y 2 1=2 p x 1 y 1 2=2 p x 1，y 2 2=2 p x 2 y 2 2=2 p x 2 联立直线 l：k x−y−k=0(k∈R)l：k x−y−k=0(k∈R) 与抛物线 C:y 2=2 p x(p>1 2)C:y 2=2 p x(p>1 2)，可得(k x−k)2=2 p x(k x−k)2=2 p x，即为 k 2 x 2−(2 k 2+2 p)x+k 2=0 k 2 x 2−(2 k 2+2 p)x+k 2=0，则 △=(2 k 2+2 p)2－4 k 4=4 p 2+8 p k 2>0△=(2 k 2+2 p)2－4 k 4=4 p 2+8 p k 2>0，x 1 x 2=1 x 1 x 2=1，则 (y 1 y 2)2=4 p 2 x 1 x 2=4 p 2(y 1 y 2)2=4 p 2 x 1 x 2=4 p 2, 由于直线 l l 恒过定点(1,0)(1,0)，且与抛物线有两个交点，可得 y 1 y 2<0 y 1 y 2<0，则 y 1 y 2=−2 p y 1 y 2=−2 p，则 −−→O A⋅−−→O B=x 1 x 2+y 1 y 2=1−2 p O A→⋅O B→=x 1 x 2+y 1 y 2=1−2 p，由 p>1 2 p>1 2，可得 1−2 p<0 1−2 p<0，可得 −−→O A⋅−−→O B<0 O A→⋅O B→<0，即∠A O B∠A O B 为钝角，则△A O B△A O B 为钝角三角形．故选：C C． 4. 答案 (1) p=2,t±2√3 p=2,t±2 3 (2) 8√5 5 8 5 5 解析 (1) 由题意及抛物线的定义得 3+p 2=4 3+p 2=4，则 p=2 p=2， ∴∴ 抛物线的方程为 y 2=4 x y 2=4 x，又∵∵ 点 T T 在抛物线上，故 t 2=4×3 t 2=4×3，解得 t=±2√3 t=±2 3． (2) 由 (1) 易得 M(−1,0)M(−1,0)，F(1,0)F(1,0)．设 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)B(x 2,y 2) 假设存在直线 l l 满足题意，设其方程为 x=m y－1(m≠0)x=m y－1(m≠0)，将其代入 y 2=4 x y 2=4 x 得 y 2－4 m y+4=0 y 2－4 m y+4=0，所以 {y 1+y 2=4 m y 1 y 2=4{y 1+y 2=4 m y 1 y 2=4，由 Δ=16 m 2−16>0 Δ=16 m 2−16>0，得 m>1 m>1 或 m<−1 m<−1．又直线 A F A F 与直线 O B O B 垂直，易知直线 A F A F 与直线 O B O B 的斜率都存在，所以 k A F⋅k O B=−1 k A F⋅k O B=−1，即 y 1 x 1−1⋅y 2 x 2=−1 y 1 x 1−1⋅y 2 x 2=−1，所以 y 1 y 2 x 2(x 1−1)=4(m y 2−1)(m y 1−2)=4 2−m y 2=−1 y 1 y 2 x 2(x 1−1)=4(m y 2−1)(m y 1−2)=4 2−m y 2=−1 故 y 1=2 m 3 y 1=2 m 3, y 2=6 m y 2=6 m．又 y 2 2−4 m y 2+4=0 y 2 2−4 m y 2+4=0，解得 m=±3√5 5 m=±3 5 5，满足 Δ>0 Δ>0，所以满足条件的直线 l l 的方程为 5 x±3√5+5=0 5 x±3 5+5=0．此时 \|A B\|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+m 2\|A B\|=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=1+m 2，又点 F 到直线 l l 的距离 d=\|5+5\|√5 2+(±3√5)2=10√70 d=\|5+5\|5 2+(±3 5)2=10 70，所以△A F B△A F B 的面积 S=1 2\|A B\|⋅d=1 2×8√14 5×10√70=8√5 5 S=1 2\|A B\|⋅d=1 2×8 14 5×10 70=8 5 5．分层练习【A组---基础题】设抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 的焦点为 F F，准线为 l l，P P 为抛物线上一点，P A⊥l P A⊥l，A A 为垂足，如果直线 A F A F 的斜率为 −√3−3，那么\|P F\|=\|P F\|=( ) A． 4√3 4 3 B．8 8 C． 8√3 8 3 D．16 16 已知点 P P 在直线 y=x−1 y=x−1 上，点 Q Q 在曲线 x 2=2 y x 2=2 y 上，则\|P Q\|\|P Q\| 的最小值为 ( ) A． 1 4 1 4 B． 1 8 1 8 C． √2 2 2 2 D． √2 4 2 4 直线 y=k x−2 y=k x−2 与抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 交于 A A，B B 两点，且 A B A B 中点的横坐标为 2 2，则 k k 的值为 ( ) A．−1−1 B．2 2 C．2 2 或−1−1 D．4 4 设抛物线 C:x 2=4 y C:x 2=4 y 的焦点为 F F，准线为 l l，过点 F F 的直线交抛物线 C C 于 M M，N N 两点，交 l l 于点 P P，且 −−→P F=−−→F M P F→=F M→，则\|M N\|=\|M N\|= ( ) A．2 2 B． 8 3 8 3 C．5 5 D． 16 3 16 3 过抛物线 y 2=6 x y 2=6 x 的焦点 F F 的直线 l l 与抛物线交于 A A，B B 两点，线段 A B A B 的中点 M M 在直线 y=1 y=1 上，O O 为坐标原点，则△A O B△A O B 的面积为 ( ) A． 3√10 2 3 10 2 B． 4√5 4 5 C． 9√2 2 9 2 2 D．9 9 已知点 A(1,2)A(1,2) 在抛物线 C：y 2=4 x C：y 2=4 x 上，过点 A A 作两条直线分别交抛物线于点 D D，E E，直线 A D A D，A E A E 的斜率分别为 k A D k A D， k A E k A E．若直线 D E D E 过点(−1,−2)(−1,−2)，则 k A D⋅k A E=k A D⋅k A E=( ) A．4 4 B．3 3 C．2 2 D．1 1 过抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 的焦点 F F 作一条直线交抛物线于 A A，B B 两点，求 1\|A F\|+1\|B F\|1\|A F\|+1\|B F\| 的值．已知双曲线 x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0) 的一条渐近线方程为 y=√3 3 x y=3 3 x，点 (2√3,1)(2 3,1) 在双曲线上，抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 的焦点 F F 与双曲线的右焦点重合． (1) 求双曲线和抛物线的标准方程； (2) 过点 F F 做互相垂直的直线 l 1 l 1，l 2 l 2，设 l 1 l 1 与抛物线的交点为 A A，B B，l 2 l 2 与抛物线的交点为 D D，E E，求\|A B\|+\|D E\|\|A B\|+\|D E\| 的最小值．如图，过抛物线 y 2=4 x y 2=4 x 的焦点 F F 任作直线 l l，与抛物线交于 A A，B B 两点，A B A B 与 x x 轴不垂直，且点 A A 位于 x x 轴上方．A B A B 的垂直平分线与 x x 轴交于 D D 点． (1) 若 −−→A F=2−−→F B A F→=2 F B→，求 A B A B 所在的直线方程； (2) 求证： \|A B\|\|D F\|\|A B\|\|D F\| 为定值．参考答案答案 B B 解析如图，直线 A F A F 的方程为 y=−√3(x−2)y=−3(x−2)，与准线方程 x=－2 x=－2 联立得 A(−2,4√3)A(−2,4 3)．设 P(x 0,4√3)P(x 0,4 3)，代入抛物线 y 2=8 x y 2=8 x，得 8 x 0=48 8 x 0=48，∴x 0=6∴x 0=6． ∴\|P F\|=x 0+2=8∴\|P F\|=x 0+2=8．答案 D D 解析设与直线 y=x−1 y=x−1 平行且与抛物线相切的直线为 y=x+b y=x+b，则\|P Q\|\|P Q\| 的最小值即为两直线间的距离，所以 {y=x+b x 2=2 y{y=x+b x 2=2 y，消去 y y，得 x 2−2 x−2 b=0 x 2−2 x−2 b=0，△=4+8 b=0△=4+8 b=0， ∴b=−1 2∴b=−1 2，进而可得直线 y=x−1 2 y=x−1 2 与抛物线交点为 (1,1 2)(1,1 2)，交点到直线 x−y−1=0 x−y−1=0 的距离为 ∣∣∣1−1 2−1∣∣∣√2=√2 4\|1−1 2−1\|2=2 4．故选：D D．答案 B B 解析∵∵ 直线 y=k x−2 y=k x−2 与抛物线 y 2=8 x y 2=8 x 交于两点，∴k≠0∴k≠0．由 {y=k x−2 y 2=8 x{y=k x−2 y 2=8 x 消去 y y，得 k 2 x 2−4 k x−8 x+4=0 k 2 x 2−4 k x−8 x+4=0， ∴x 1+x 2=4 k+8 k 2∴x 1+x 2=4 k+8 k 2．而 A B A B 中点的横坐标为 2 2， ∴4 k+8 k 2=4∴4 k+8 k 2=4，解得 k=−1 k=−1 或 k=2 k=2．而当 k=−1 k=−1 时，方程 k 2 x 2−4 k x−8 x+4=0 k 2 x 2−4 k x−8 x+4=0 只有一个解，即 A A，B B 两点重合，∴k≠−1∴k≠−1．答案 D D 解析如图，过点 M M 做 M D M D 垂直于准线 l l，由抛物线定义得 M F=M D M F=M D，因为 −−→P F=−−→F M P F→=F M→，所以 P M=2 M D P M=2 M D，所以∠D P M=30∘∠D P M=30∘ 则直线 M N M N 方程为 x=√3(y−1)x=3(y−1)，联立 {x=√3(y−1)x 2=4 y{x=3(y−1)x 2=4 y 消去 x x 得 3 y 2−10 y+3=0 3 y 2−10 y+3=0，设 M(x 1,y 1)M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)N(x 2,y 2)，所以 y 1+y 2=10 3 y 1+y 2=10 3，得 \|M N\|=y 1+y 2+2=10 3+2=16 3\|M N\|=y 1+y 2+2=10 3+2=16 3．故选：D D．答案 A A 解析由抛物线 y 2=6 x y 2=6 x，得焦点坐标为 (3 2,0)(3 2,0)，设直线 A B A B 的方程为 x=t y+3 2 x=t y+3 2，点 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，线段 A B A B 的中点为 M M，联立 ⎧⎨⎩x=t y+3 2 y 2=6 x{x=t y+3 2 y 2=6 x 消去 x x 得 y 2−6 t y−9=0 y 2−6 t y−9=0， ∴y 1+y 2=6 t∴y 1+y 2=6 t，y 1 y 2=−9 y 1 y 2=−9，由 y M=y 1+y 2 2=3 t=1 y M=y 1+y 2 2=3 t=1，得 t=1 3 t=1 3， ∴S△A O B=1 2\|O F\|⋅\|y 1−y 2\|=1 2×3 2×√(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2∴S△A O B=1 2\|O F\|⋅\|y 1−y 2\|=1 2×3 2×(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2 =1 2×3 2×√4−4×(−9)=3√10 2=1 2×3 2×4−4×(−9)=3 10 2．故选：A A．答案 C C 解析设 F(−1,−2)F(−1,−2)，过 F F 点直线 D E D E 方程为：y+2=k(x+1)y+2=k(x+1)，联立 {y 2=4 x y+2=k(x+1){y 2=4 x y+2=k(x+1)，消去 x x、整理得： k y 2−4 y+4 k−8=0 k y 2−4 y+4 k−8=0，由题意及韦达定理可得： y 1+y 2=4 k y 1+y 2=4 k, y 1 y 2=4 k−8 k y 1 y 2=4 k−8 k， ∴x 1+x 2=y 1+y 2+4−2 k k=4+4 k−2 k 2 k 2∴x 1+x 2=y 1+y 2+4−2 k k=4+4 k−2 k 2 k 2， x 1 x 2=(y 1+2−k)(y 2+2−k)k 2=4−4 k+k 2 k 2 x 1 x 2=(y 1+2−k)(y 2+2−k)k 2=4−4 k+k 2 k 2 ， ∴k A D k A E=y 1−2 x 1−1⋅y 2−2 x 2−1=y 1 y 2−2(y 1+y 2)+4 x 1 x 2−(x 1+x 2)+1∴k A D k A E=y 1−2 x 1−1⋅y 2−2 x 2−1=y 1 y 2−2(y 1+y 2)+4 x 1 x 2−(x 1+x 2)+1=4 k−8 k−2⋅4 k+4 4−4 k+k 2 k 2−4+4 k−2 k 2 k 2+1=2=4 k−8 k−2⋅4 k+4 4−4 k+k 2 k 2−4+4 k−2 k 2 k 2+1=2，故选：C C．答案 2 p 2 p 解析已知抛物线的焦点 F(p 2,0)F(p 2,0)，设 A A，B B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)(x 1,y 1)，(x 2,y 2)(x 2,y 2)．对于直线 A B A B，分两种情况考虑： (1) 若直线 A B A B 的倾斜角为 90°90°，则有\|A F\|=\|B F\|=p\|A F\|=\|B F\|=p，所以 1\|A F\|+1\|B F\|=2 p 1\|A F\|+1\|B F\|=2 p； (2) 若直线 A B A B 的倾斜角不等于 90°90°，设直线 A B A B 的方程为 y=k(x−p 2)y=k(x−p 2)，与抛物线方程联立并消去 y y，整理得 k 2 x 2−(k 2+2)p x+k 2 p 2 4=0 k 2 x 2−(k 2+2)p x+k 2 p 2 4=0，由韦达定理得， x 1+x 2=(k 2+2)p k 2 x 1+x 2=(k 2+2)p k 2， x 1 x 2=p 2 4 x 1 x 2=p 2 4．另一方面，由抛物线定义得 \|A F\|=x 1+p 2\|A F\|=x 1+p 2， \|B F\|=x 2+p 2\|B F\|=x 2+p 2．于是 1\|A F\|+1\|B F\|=1 x 1+p 2+1 x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1 x 2+p 2(x 1+x 2)+p 2 4 1\|A F\|+1\|B F\|=1 x 1+p 2+1 x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1 x 2+p 2(x 1+x 2)+p 2 4=(k 2+2)p k 2+p p 2 4+p 2⋅(k 2+2)p k 2+p 2 4=2 p=(k 2+2)p k 2+p p 2 4+p 2⋅(k 2+2)p k 2+p 2 4=2 p．答案 (1) y 2=8√3 x y 2=8 3 x (2) 32√3 32 3 解析 (1) 由题意可得 b a=√3 3 b a=3 3，即 a=√3 b a=3 b，所以双曲线方程为 x 2−3 y 2=3 b 2 x 2−3 y 2=3 b 2，将点(2√3,1)(2 3,1) 代入双曲线方程，可得 b 2=3 b 2=3，所以双曲线的标准方程为 x 2 9−y 2 3=1,x 2 9−y 2 3=1,， c 2=a 2+b 2=12 c 2=a 2+b 2=12，所以 p 2=c=2√3 p 2=c=2 3，所以抛物线的方程为 y 2=8√3 x y 2=8 3 x． (2) 由题意知 F(2√3,0)F(2 3,0)，l 1 l 1，l 2 l 2 与坐标轴不平行，设直线 l 1 l 1 的方程为 y=k(x−2√3)y=k(x−2 3)， {y=k(x−2√3)y 2=8√3 x{y=k(x−2 3)y 2=8 3 x，整理可得 k 2 x 2−(4√3 k 2+8√3)x+12 k 2=0 k 2 x 2−(4 3 k 2+8 3)x+12 k 2=0， △>0△>0 恒成立， ∴χ A+χ B=4√3 k 2+8√3 k 2∴χ A+χ B=4 3 k 2+8 3 k 2 ，因为直线 l 1 l 1，l 2 l 2 互相垂直，可设直线 l 2 l 2 的方程为 y=−1 k(x−2√3)y=−1 k(x−2 3)，同理可得 x D+x E=8√3 k 2+4√3 x D+x E=8 3 k 2+4 3， \|A B\|+\|D E\|=x A+x B+x D+x E+2 p\|A B\|+\|D E\|=x A+x B+x D+x E+2 p =4√3 k 2+8√3 k 2+8√3 k 2+4√3+8√3=4 3 k 2+8 3 k 2+8 3 k 2+4 3+8 3 =16√3+8√3(k 2+1 k 2)≥32√3=16 3+8 3(k 2+1 k 2)≥32 3．当且仅当 k=±1 k=±1 时取等号，所以\|A B\|+\|D E\|\|A B\|+\|D E\| 的最小值为 32√3 32 3．答案 (1) 2√2 x−y−2√2=0 2 2 x−y−2 2=0 (2) 略解析 (1) 直线 l l 的斜率不为 0 0，可得 F(1,0)F(1,0)，设直线 l：x=t y+1 l：x=t y+1，A(x 1,y 1)A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)B(x 2,y 2)，由 A A 在 x x 轴上方，所以 y 1>0 y 1>0,y 2<0 y 2<0，由 {x=t y+1 y 2=4 x{x=t y+1 y 2=4 x 可得 y 2−4 t y−4=0 y 2−4 t y−4=0，所以 y 1+y 2=4 t y 1+y 2=4 t,y 1 y 2=−4 y 1 y 2=−4，因为 −−→A F=2−−→F B A F→=2 F B→，可得(1−x 1,−y 1)=2(x 2−1,y 2)(1−x 1,−y 1)=2(x 2−1,y 2)，所以−y 1=2 y 2−y 1=2 y 2，由 {y 1+y 2=4 t−y 1=2 y 2{y 1+y 2=4 t−y 1=2 y 2 可得 y 1=8 t y 1=8 t,y 2=−4 t y 2=−4 t，代入 y 1 y 2=−4 y 1 y 2=−4，因为 y 1>0 y 1>0，所以 t>0 t>0，解得 t=1 2√2 t=1 2 2，所以 A B A B 所在直线方程为 2√2 x−y−2√2=0 2 2 x−y−2 2=0； (2) 证明：设 A B A B 的中点为 N(x N,y N)N(x N,y N)，所以 y N=y 1+y 2 2=2 t y N=y 1+y 2 2=2 t, x N=2 t 2+1 x N=2 t 2+1，即 N(2 t 2+1,2 t)N(2 t 2+1,2 t)，所以 A B A B 的中垂线 l′：y−2 t=−t(x－2 t 2−1)l′：y−2 t=−t(x－2 t 2−1)，所以 D(2 t 2+3,0)D(2 t 2+3,0)，则 \|D F\|=∣∣2 t 2+3−1∣∣=2 t 2+2\|D F\|=\|2 t 2+3−1\|=2 t 2+2，又 \|A B\|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(t y 1−t y 2)2+(y 1−y 2)2\|A B\|=(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=(t y 1−t y 2)2+(y 1−y 2)2 =√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=√1+t 2⋅√16 t 2+16=4 t 2+4=1+t 2⋅(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=1+t 2⋅16 t 2+16=4 t 2+4，所以 \|A B\|\|D F\|=4 t 2+4 2 t 2+2=2\|A B\|\|D F\|=4 t 2+4 2 t 2+2=2 为定值．【B组---提高题】已知抛物线 C：y 2=2 p x(p>0)C：y 2=2 p x(p>0)，F F 为 C C 的焦点，过焦点 F F 且倾斜角为 α α 的直线 l l 与 C C 交于 A(x 1,y 1)A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)B(x 2,y 2) 两点，则下面陈述不正确的为 ( ) A． x 1 x 2+y 1 y 2=−3 4 p 2 x 1 x 2+y 1 y 2=−3 4 p 2 B． \|A B\|=2 p sin 2 α\|A B\|=2 p sin 2⁡α C． 1\|A F\|+1\|B F\|=2 p 1\|A F\|+1\|B F\|=2 p D．记原点为 O O，则 S△A O B=p 2 sin α S△A O B=p 2 sin⁡α 已知 F F 为抛物线 C：y 2=2 p x(p>0)C：y 2=2 p x(p>0) 的焦点，K K 为 C C 的准线与 x x 轴的交点，点 P P 在抛物线 C C 上，设∠K P F=α∠K P F=α，∠P K F=β∠P K F=β，∠P F K=θ∠P F K=θ，有以下 3 3 个结论： ① β β 的最大值是 π 4 π 4；② tan β=sin θ tan⁡β=sin⁡θ；③存在点 P P，满足 α=2 β α=2 β．其中正确结论的序号是–––––_ ．已知抛物线方程 y 2=4 x y 2=4 x，F F 为焦点，P P 为抛物线准线上一点，Q Q 为线段 P F P F 与抛物线的交点，定义： d(P)=\|P F\|\|F Q\|d(P)=\|P F\|\|F Q\|． (1) 当 P(−1,−8 3)P(−1,−8 3) 时，求 d(P)d(P)； (2) 证明：存在常数 a a，使得 2 d(P)=\|P F\|+a 2 d(P)=\|P F\|+a； (3)P 1 P 1,P 2 P 2,P 3 P 3 为抛物线准线上三点，且\|P 1 P 2\|=\|P 2 P 3\|\|P 1 P 2\|=\|P 2 P 3\|，判断 d(P 1)+d(P 3)d(P 1)+d(P 3) 与 2 d(P 2 2 d(P 2) 的关系．参考答案答案 D D 解析设直线 l 方程为 x=m y+p 2 x=m y+p 2，联立方程组 ⎧⎨⎩y 2=2 p x x=m y+p 2{y 2=2 p x x=m y+p 2，消去 x x 可得： y 2−2 p m y−p 2=0 y 2−2 p m y−p 2=0， ∴y 1+y 2=2 p m∴y 1+y 2=2 p m,y 1 y 2=−p 2 y 1 y 2=−p 2， ∴x 1 x 2=(m y 1+p 2)(m y 2+p 2)=m 2 y 1 y 2+m p 2(y 1+y 2)+p 2 4∴x 1 x 2=(m y 1+p 2)(m y 2+p 2)=m 2 y 1 y 2+m p 2(y 1+y 2)+p 2 4 =−m 2 p 2+m 2 p 2+p 2 4=p 2 4=−m 2 p 2+m 2 p 2+p 2 4=p 2 4， ∴x 1 x 2+y 1 y 2=−3 p 2 4∴x 1 x 2+y 1 y 2=−3 p 2 4，故 A A 正确；由抛物线性质知 \|A B\|=x 1+x 2+p=m(y 1+y 2)+2 p=2 m 2 p+2 p=2 p(m 2+1)\|A B\|=x 1+x 2+p=m(y 1+y 2)+2 p=2 m 2 p+2 p=2 p(m 2+1)，当 m=0 m=0 时， α=π 2 α=π 2，显然 \|A B\|=2 p=2 p sin 2 α\|A B\|=2 p=2 p sin 2⁡α，当 m≠0 m≠0 时， tan α=1 m tan⁡α=1 m，故 m 2+1=cos 2 α sin 2 α+1=1 sin 2 α m 2+1=cos 2⁡α sin 2⁡α+1=1 sin 2⁡α，于是 \|A B\|=2 p sin 2 α\|A B\|=2 p sin 2⁡α，故 B B 正确； 1\|A F\|+1\|B F\|=1 x 1+p 2+1 x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1 x 2+p 2(x 1+x 2)+p 2 4 1\|A F\|+1\|B F\|=1 x 1+p 2+1 x 2+p 2=x 1+x 2+p x 1 x 2+p 2(x 1+x 2)+p 2 4=x 1+x 2+p p 2(x 1+x 2+p)=2 p=x 1+x 2+p p 2(x 1+x 2+p)=2 p，故 C C 正确； S△A O B=1 2×p 2×\|y 1−y 2\|=p 4√(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=p 4×√4 p 2 m 2+4 p 2=p 2√m 2+1 2 S△A O B=1 2×p 2×\|y 1−y 2\|=p 4(y 1+y 2)2−4 y 1 y 2=p 4×4 p 2 m 2+4 p 2=p 2 m 2+1 2 显然当 m≠0 m≠0 时， S△A O B=p 2 2 sin α S△A O B=p 2 2 sin⁡α，故 D D 错误．故选：D D．答案 ①②③ 解析 ①设点 P(m,n)P(m,n)，则 n 2=2 p m n 2=2 p m(1)，当直线 P K P K 与抛物线相切时，可使 β β 取得最大值．可设直线 P K P K 方程为 y=k(x+p 2)y=k(x+p 2)，由 ⎧⎨⎩y=k(x+p 2)y 2=2 p x{y=k(x+p 2)y 2=2 p x，得 k 2 x 2+(k 2 p−2 p)x+p 2 k 2 4=0 k 2 x 2+(k 2 p−2 p)x+p 2 k 2 4=0，则 Δ=(k 2 p−2 p)2−4 k 2⋅p 2 k 2 4=0⇒k 2=1⇒k=±1 Δ=(k 2 p−2 p)2−4 k 2⋅p 2 k 2 4=0⇒k 2=1⇒k=±1， ∵β∵β 是锐角， ∴tan β=k=1⇒β=π 4∴tan⁡β=k=1⇒β=π 4，故①正确 ②过 P P 作 P Q⊥x P Q⊥x 轴于点 Q Q，在 R t△P Q K R t△P Q K 中， tan β=P Q K Q=n m+p 2 tan⁡β=P Q K Q=n m+p 2，在 R t△P Q F R t△P Q F 中， sin θ=sin∠P F Q=P Q P F=n m+p 2 sin⁡θ=sin⁡∠P F Q=P Q P F=n m+p 2， ∴tan β=sin θ∴tan⁡β=sin⁡θ，即②正确； ③在△P K F△P K F 中，由正弦定理知， P F sin β=K F sin α P F sin⁡β=K F sin⁡α，若 α=2 β α=2 β，则 m+p 2 sin β=p 2 sin β cos β m+p 2 sin⁡β=p 2 sin⁡β cos⁡β，解得 m=p 2(1 cos β−1)m=p 2(1 cos⁡β−1)， ∴n 2=2 p m=p 2(1 cos β−1)∴n 2=2 p m=p 2(1 cos⁡β−1)，故存在点 P P 符合题意，即③正确．故答案为：①②③．答案 (1) 8 3 8 3 (2) 略 (3) d(P 1)+d(P 3)>2 d(P 2)d(P 1)+d(P 3)>2 d(P 2) 解析 (1) 抛物线方程 y 2=4 x y 2=4 x 的焦点 F(1,0)F(1,0)， P(−1,−8 3)P(−1,−8 3)， k P F=8 3 2=4 3 k P F=8 3 2=4 3，P F P F 的方程为 y=4 3(x−1)y=4 3(x−1)，代入抛物线的方程，解得 x Q=1 4 x Q=1 4，抛物线的准线方程为 x=−1 x=−1，可得 \|P F\|=√2 2+64 9=10 3\|P F\|=2 2+64 9=10 3， \|Q F\|=1 4+1=5 4\|Q F\|=1 4+1=5 4， d(P)=\|P F\|\|Q F\|=8 3 d(P)=\|P F\|\|Q F\|=8 3； (2) 证明：当 P(−1,0)P(−1,0) 时，a=2 d(P)−\|P F\|=2×2−2=2 a=2 d(P)−\|P F\|=2×2−2=2，设 P(−1,y P)P(−1,y P)，y P>0 y P>0，P F：x=m y+1 P F：x=m y+1，则 m y P=−2 m y P=−2，联立 x=m y+1 x=m y+1 和 y 2=4 x y 2=4 x，可得 y 2−4 m y−4=0 y 2−4 m y−4=0，y Q=4 m+√16 m 2+16 2=2 m+2√1+m 2 y Q=4 m+16 m 2+16 2=2 m+2 1+m 2 2 d(P)−\|P F\|=2 y P y Q−√1+m 2 y P=2⋅−2 m(2 m+2√1+m 2)+2√1+m 2 m 2 d(P)−\|P F\|=2 y P y Q−1+m 2 y P=2⋅−2 m(2 m+2 1+m 2)+2 1+m 2 m =−2⋅√1+m 2−m m+2√1+m 2 m=2=−2⋅1+m 2−m m+2 1+m 2 m=2，则存在常数 a a，使得 2 d(P)=\|P F\|+a 2 d(P)=\|P F\|+a；另解： d(P)=\|P F\|\|F Q\|=\|P Q\|+\|F Q\|\|F Q\|=1+\|P Q\|\|F Q\|=1+\|P Q\|t=1+\|P F\|2 d(P)=\|P F\|\|F Q\|=\|P Q\|+\|F Q\|\|F Q\|=1+\|P Q\|\|F Q\|=1+\|P Q\|t=1+\|P F\|2，可得 2 d(P)=\|P F\|+2 2 d(P)=\|P F\|+2． (3) 设 P 1(−1,y 1)P 1(−1,y 1)，P 2(−1,y 2)P 2(−1,y 2)，P 3(−1,y 3)P 3(−1,y 3)，则 2[d(P 1)+d(P 3)]－4 d(P 2)=\|P 1 F\|+\|P 3 F\|－2\|P 2 F\|2[d(P 1)+d(P 3)]－4 d(P 2)=\|P 1 F\|+\|P 3 F\|－2\|P 2 F\| =√4+y 2 1+√4+y 3 2−2√4+y 2 2=4+y 1 2+4+y 3 2−2 4+y 2 2 =√4+y 2 1+√4+y 2 3−2√(y 1+y 3 2)2+4=4+y 1 2+4+y 3 2−2(y 1+y 3 2)2+4 =√4+y 2 1+√4+y 3 2−√(y 1+y 3)2+16=4+y 1 2+4+y 3 2−(y 1+y 3)2+16 由 (√4+y 2 1+√4+y 2 3)2−[(y 1+y 3)2+16]=2√4+y 2 1√4+y 2 3−2 y 1 y 3−8(4+y 1 2+4+y 3 2)2−[(y 1+y 3)2+16]=2 4+y 1 2 4+y 3 2−2 y 1 y 3−8， (4+y 2 1)(4+y 2 3)−(y 1 y 3+4)2=4(y 2 1+y 2 3)−8 y 1 y 3=4(y 1−y 3)2>0(4+y 1 2)(4+y 3 2)−(y 1 y 3+4)2=4(y 1 2+y 3 2)−8 y 1 y 3=4(y 1−y 3)2>0 则 d(P 1)+d(P 3)>2 d(P 2)d(P 1)+d(P 3)>2 d(P 2)．【C组---拓展题】已知抛物线 y 2=2 p x(p>0)y 2=2 p x(p>0) 的焦点为 F(4,0)为 F(4,0)，过 F F 作直线 l l 交抛物线于 M M,N N 两点，则 p=p=–––––， \|N F\|9−4\|M F\|\|N F\|9−4\|M F\| 的最小值为–––––．如图，椭圆 C 1:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)C 1:x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F 1 F 1,F 2 F 2，离心率为 √3 2 3 2，过抛物线 C 2：x 2=4 b y C 2：x 2=4 b y 焦点 F F 的直线交抛物线于 M M,N N 两点，当 \|M F\|=7 4∣\|M F\|=7 4∣ 时，M M 点在 x x 轴上的射影为 F 1 F 1, 连接 N O N O,M O M O 并延长分别交 C 1 C 1 于 A A，B B 两点，连接 A B A B，Δ O M N Δ O M N 与 Δ O A B Δ O A B 的面积分别记为 S△O M N S△O M N, S△O A B S△O A B，设 λ=s△O M N s△O A B λ=s△O M N s△O A B ． (1) 求椭圆 C 1 C 1 和抛物线 C 2 C 2 的方程； (2) 设 O N O N,O M O M 所在直线的斜率为 k O M k O M, k O N k O N，求证 k O M⋅k O N k O M⋅k O N 为定值； (3) 求 λ λ 的取值范围．参考答案答案 8 8， 1 3 1 3 解析抛物线 y 2=2 p x y 2=2 p x 的焦点 F F，因为 F(4,0)F(4,0)， ∴p 2=4⇒p=8⇒y 2=16 x∴p 2=4⇒p=8⇒y 2=16 x；当直线 l l 的斜率不存在时，直线 l l 为 x=4 x=4，由 {x=4 y 2=16 x{x=4 y 2=16 x，可得 M(4,8)M(4,8),N(4,−8)N(4,−8)， ∴\|M F\|=\|N F\|=8∴\|M F\|=\|N F\|=8， ∴\|N F\|9−4\|M F\|=8 9−4 8=7 18∴\|N F\|9−4\|M F\|=8 9−4 8=7 18；当直线 l l 的斜率存在时，设过点 F F 作直线 l l 的方程为 y=k(x−4)y=k(x−4)，不妨设 M(x 1,y 1)M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)N(x 2,y 2)，由 {y 2=16 x y=k(x−4){y 2=16 x y=k(x−4)，消 y y 可得 k 2 x−(16+8 k 2)x+16 k 2=0 k 2 x−(16+8 k 2)x+16 k 2=0， ∴x 1+x 2=8+16 k 2∴x 1+x 2=8+16 k 2 ,x 1 x 2=16 x 1 x 2=16， ∴\|M F\|=x 1+p 2=x 1+4∴\|M F\|=x 1+p 2=x 1+4， \|N F\|=x 2+p 2=x 2+4\|N F\|=x 2+p 2=x 2+4 ∴1 N F+1 M F=1 x 1+4+1 x 2+4=x 1+x 2+8 x 1 x 2+4(x 1+x 2)+16∴1 N F+1 M F=1 x 1+4+1 x 2+4=x 1+x 2+8 x 1 x 2+4(x 1+x 2)+16 =16+16 k 2 16+4(8+16 k 2)+16=1 4=16+16 k 2 16+4(8+16 k 2)+16=1 4． ∴\|N F\|9−4\|M F\|=N F 9−4(1 4−1\|N F\|)=\|N F\|9+4\|N F\|−1∴\|N F\|9−4\|M F\|=N F 9−4(1 4−1\|N F\|)=\|N F\|9+4\|N F\|−1 ≥2√4 9−1=1 3≥2 4 9−1=1 3． (当且仅当\|N F\|=6\|N F\|=6 时等号成立)．故答案为：8 8， 1 3 1 3．答案 (1) C 1:x 2 4+y 2=1,C 2:x 2=4 y C 1:x 2 4+y 2=1,C 2:x 2=4 y (2) −1 4−1 4 (3)[2,+∞)[2,+∞) 解析 (1) 由抛物线定义可得 M(−c,7 4−b)M(−c,7 4−b)， ∵∵ 点 M M 在抛物线 x 2=4 b y x 2=4 b y 上， ∴c 2=4 b(7 4−b)∴c 2=4 b(7 4−b)，即 c 2=7 b－4 b 2 c 2=7 b－4 b 2 ① 又由 c a=√3 2 c a=3 2，得 c 2=3 b 2 c 2=3 b 2 将上式代入①，得 7 b 2=7 b 7 b 2=7 b 解得 b=1 b=1， ∴c=√3∴c=3，∴a=2∴a=2，所以曲线 C 1 C 1 的方程为 x 2 4+y 2=1 x 2 4+y 2=1，曲线 C 2 C 2 的方程为 x 2=4 y x 2=4 y． (2) 证明：设直线 M N M N 的方程为 y=k x+1 y=k x+1，由 {y=k x+1 x 2=4 y{y=k x+1 x 2=4 y 消去 y y 整理得 x 2−4 k x−4=0 x 2−4 k x−4=0，设 M(x 1,y 1)M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)N(x 2,y 2)．则 x 1 x 2=－4 x 1 x 2=－4，设 k O N=m k O N=m, k O M=m′k O M=m′，则 m m′=y 2 x 2⋅y 1 x 1=1 16 x 1 x 2=−1 4 m m′=y 2 x 2⋅y 1 x 1=1 16 x 1 x 2=−1 4， (3) 由 (2)，可得 m′=−1 4 m m′=−1 4 m，② 设直线 O N O N 的方程为 y=m x(m>0)y=m x(m>0)，由 {y=m x x 2=4 y{y=m x x 2=4 y，解得 x N=4 m x N=4 m，所以 \|O N\|=√1+m 2\|x N∣=4 m√1+m 2\|O N\|=1+m 2\|x N∣=4 m 1+m 2，由②可知，用 −1 4 m−1 4 m 代替 m m，可得 \|O M\|=√1+(−1 4 m)2\|x M\|=1 m√1+1 16 m 2\|O M\|=1+(−1 4 m)2\|x M\|=1 m 1+1 16 m 2，由 ⎧⎨⎩y=m x x 2 4+y 2=1{y=m x x 2 4+y 2=1，解得 x A=2√4 m 2+1 x A=2 4 m 2+1，所以 \|O A\|=√1+m 2\|x A\|=2√1+m 2√4 m 2+1\|O A\|=1+m 2\|x A\|=2 1+m 2 4 m 2+1，用 −1 4 m−1 4 m 代替 m m，可得 \|O B\|=√1+1 16 m 2\|x B\|=2√1+1 16 m 2√1 4 m 2+1\|O B\|=1+1 16 m 2\|x B\|=1+1 16 m 2 2 1 4 m 2+1，所以 λ=S△O M N S△O A B=\|O N\|⋅\|O M\|\|O A\|⋅\|O B\|=4 m√1+m 2⋅1 m√1+1 16 m 2 2√1+m 2√4 m 2+1⋅√1+1 16 m 2√1 4 m 2+1 λ=S△O M N S△O A B=\|O N\|⋅\|O M\|\|O A\|⋅\|O B\|=4 m 1+m 2⋅1 m 1+1 16 m 2 2 1+m 2 4 m 2+1⋅1+1 16 m 2 1 4 m 2+1 =√4 m 2+1⋅√1 4 m 2+1=√4 m 2+2+1 4 m 2=2 m+1 2 m≥2=4 m 2+1⋅1 4 m 2+1=4 m 2+2+1 4 m 2=2 m+1 2 m≥2，当且仅当 m=1 2 m=1 2 时等号成立．所以 λ λ 的取值范围为[2,+∞)[2,+∞)．作者：ZhaoGui, 广东湛江出处: 贵哥讲数学声明：本博客版权归 [贵哥讲数学] 所有，欢迎转载，但未经作者同意必须保留此段声明，且在文章页面明显位置给出！分类: 选择性必修第一册【同步巩固】标签: 圆锥曲线好文要顶关注我收藏该文微信分享贵哥讲数学粉丝 - 11关注 - 1 +加关注 0 0 « 上一篇： 3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) » 下一篇： 5.1.1 任意角 posted @ 2022-09-29 22:30贵哥讲数学阅读(1107) 评论(0)收藏举报刷新页面返回顶部登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页【推荐】100%开源！大型工业跨平台软件C++源码提供，建模，组态！【推荐】2025 HarmonyOS 鸿蒙创新赛正式启动，百万大奖等你挑战【推荐】园子的不务正业：向创业开发者推荐「楼盘」- 杭州云谷中心【推荐】天翼云爆款云主机2核2G限时秒杀，28.8元/年起！立即抢购相关博文： ·3.3.2 抛物线的简单几何性质(1) ·3.3.1 抛物线及其标准方程 ·关于抛物线大题的参考经验（7）：2020年至2023年浙江高考抛物线大题回顾 ·高考真题2 ·[安乐椅#2] 抛物线准线梯形阅读排行： · Chrome浏览器 “此扩展程序不再受支持，因此已停用” 解决方案 · 我做了个 AI 文档阅读神器，免费开源！ · 一款带有AI功能的markdown工具 · 使用PySide6/PyQt6实现程序启动画面的处理 · AI 应用开发，不就是调个接口么？公告昵称：贵哥讲数学园龄： 5年7个月粉丝： 11 关注： 1 +加关注搜索我的标签概率统计(34) 立体几何(28) 函数(24) 数列(20) 三角函数(20) 空间向量(19) 导数(18) 圆锥曲线(17) 平面向量(15) 直线与方程(13) 更多随笔分类必修第二册【同步拔高】(17) 必修第二册【同步巩固】(39) 必修第一册【同步拔高】(24) 必修第一册【同步巩固】(33) 初中数学专题(9) 经典例题分享(10) 选择性必修第二册【同步拔高】(13) 选择性必修第二册【同步巩固】(24) 选择性必修第三册【同步拔高】(10) 选择性必修第三册【同步巩固】(16) 选择性必修第一册【同步拔高】(22) 选择性必修第一册【同步巩固】(34) 最新评论 1. Re:专题求数列的通项公式好文 --tyccyt 2. Re:7.1 条件概率与全概率公式是的，已更正！ --贵哥讲数学 3. Re:2.2 基本不等式质量很高！ --wavelet123 4. Re:7.1 条件概率与全概率公式呃，似乎知识剖析-贝叶斯公式也有同样的问题：） --H·B 5. Re:7.1 条件概率与全概率公式贵哥，知识剖析-全概率公式那里“……∪A2=Ω”应该是“……An=Ω”吧？ --H·B 博客园© 2004-2025 浙公网安备 33010602011771号浙ICP备2021040463号-3 //更改网页ico // 实现数学符号与汉字间有间隙 //文章页加大页面，隐藏侧边栏点击右上角即可分享
9788	https://cds.cern.ch/record/1416619/files/p259.pdf	Cavity basics E. Jensen CERN, Geneva, Switzerland Abstract The fields in rectangular and circular waveguides are derived from Maxwell’s equations by superposition of plane waves. Subsequently the results are applied to explain cavity modes. Interaction of the cavity modes with a charged particle beam leads to the fundamental parameters used to describe the performance of accelerating cavities. Finally an introduction to multi-gap cavities is given by the example of travelling-wave structures. 1 Introduction The purpose of an RF cavity is to interact with charged particle beams in an accelerator. For the particles to gain energy, this interaction is the acceleration in the direction of particle motion, but special cavities exist to bunch, de-bunch, or re-bunch the beam, others to decelerate particles or to kick them sideways. For all these different applications, engineers are confronted with the task of optimizing the cavity for the given application according to certain design criteria within given constraints and without neglecting side-effects that might crucially deteriorate performance. The design of RF cavities is a complex task involving understanding of beam physics, but also requires knowledge of the technologies used, design and construction methods, mechanics, materials, vacuum technology, high-voltage techniques, and many more. Sophisticated tools exist to calculate and design RF cavities, and this lecture on ‘cavity basics’ does not try to replace any of this. Its purpose is rather to explain the underlying basics and it is hoped that this will help the readers to develop a ‘feeling’ for the electromagnetic fields inside a cavity and the interaction with the particle beam. In the following section we will start from Maxwell’s equations to derive the electromagnetic fields in waveguides and subsequently demonstrate how we can obtain fields in cavities from them. The section can not apply the rigour that these derivations deserve in a full lecture, but it simplifies and illustrates wherever possible to allow the understanding of the basic concepts and ideas. In the following section we will introduce the main terms that are used in the description of cavities. Finally we devote the last section to an introduction to cavities with many gaps and in particular travelling-wave structures. 2 From plane waves to cavities 2.1 Homogeneous plane wave The word ‘cavity’ is derived from the Latin cavus = hollow and describes, according to the Oxford English Dictionary, “A hollow place; a void or empty space within a solid body”. Inside of the ‘hollow place’, the fields are governed by Maxwell’s equations in free space: 2 1 0 0 , 0 0 . B E B t c E B E t ∂ ∇× − = ∇⋅ = ∂ ∂ ∇× + = ∇⋅ = ∂       (1) 259 We are ignoring the effect of the beam charge and current on the fields at this point. The curl of the third equation reads 0 = ∂ ∂ × ∇ + × ∇ × ∇ B t E   , (2) while the time derivative of the first equation is 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ − × ∇ ∂ ∂ E t c B t   . (3) Exchanging time and space derivative for the expression B t  × ∇ ∂ ∂ , Eqs. (2) and (3) can be combined to give 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ − × ∇ × ∇ E t c E   . (4) Using the vector algebra identity E E E    ∆ − ⋅ ∇∇ ≡ × ∇ × ∇ and the second Maxwell equation we finally obtain the wave equation (or 4-dimensional Laplace equation): 0 1 2 2 2 = ∂ ∂ − ∆ E t c E   . (5) Solutions of this equation are homogeneous plane waves, i.e., solutions with separate trigonometric (or exponential) functions of the four independent variables space and time. A homogeneous plane wave oscillating at frequency Ȧ and propagating in the space direction k  can be written: ( ) ( ) cos , cos . y x E u t k r B u t k r ω ω ∝ − ⋅ ∝ − ⋅         (6) One can easily verify that these expressions do in fact satisfy Eq. (5) if the constant resulting from the second time derivative ( ) 2 c ω is equal to the squared length of the vector k  , ( ) 2 2 c k ω = . Fig. 1: A homogeneous plane wave, polarized in the y direction and propagating in the x–z plane. Left: snapshot of the wave travelling in the direction of the arrow; right: components of the wave vector E. JENSEN 260 Interpreting the result, the vector k  points in the direction of propagation of the plane wave oscillating at frequency Ȧ, its length k measures the phase shift per unit length in this direction. Since a phase shift of 2ʌ occurs over the free-space wavelength, we get the known relation λ π 2 = k . (7) k  is known as the wave vector. If the wave propagates at an angle ĳ with respect to a direction that we define to be the axial direction z, (see Fig. 1), we notice that the component of the wave vector in the z and x direction become ( ) ϕ cos k kz = and ( ) ϕ sin k k = ⊥ , respectively. We have arbitrarily chosen the y direction to be the polarization of the field (the direction of E  ), but in order not to limit the general validity we use the symbol ⊥ for the transverse direction, which we understand is orthogonal to both the electric field and the axial direction. We also note that since the components of the wave vector ⊥ k and z k are never larger than its length k, the wavelengths measured in those directions are always larger than or at least equal to the free-space wavelength. The resulting relationship between the components of the wave vector (see the right-hand side of Fig. 1) is ( ) 2 2 2 2 z k k c k + = = ⊥ ω , (8) a relationship which remains true for all hollow waveguides and allows one to calculate at a given frequency the propagation constant in the axial direction once the transverse components of the wave vector are known. We have also marked the zero-crossings of the electric field in the left plot of Fig. 1 with thin black lines; these describe the (plane) phase fronts of the wave; with the oscillation in time with frequency Ȧ, these fronts travel with a speed c in the direction of k  . The intersection of the phase front with the z axis travels with a speed given by z z k v ω ϕ = , , (9) which is always larger than or at least (in the limiting case 0 = ϕ ) equal to the speed of light. RF cavities are linear and time-invariant (LTI) systems. The time invariance allows separating the time dependence out of Maxwell’s equations; linearity allows the application of linear superposition. We will apply superposition of waves in the following, but also superposition of oscillations at different frequencies is possible, which allows application of the very powerful concept of Fourier transforms. This in turn allows describing problems and their solutions alternatively in the frequency domain or in the time domain, whichever is more suitable for a given problem. Since we are now looking at oscillations at a single frequency, we do not need to carry the time dependence through the calculations at all — this is equivalent to looking at the Fourier component at frequency Ȧ. Furthermore, the oscillation at a fixed frequency is most conveniently described as a rotation in the complex plane, t j e a ω , with a generally complex amplitude a . Complex algebra allows now all calculations with just complex amplitudes; the ‘real’ time-dependent quantity is then obtained at the end by multiplying the complex amplitudes with t j e ω and taking the real part. Phase relationships between different signals are then automatically taken care of. Another particular convenience of this approach is that the operators describing the time derivative and integral become simple multipliers: CAVITY BASICS 261 ( ) ( ) ⋅ ≡ ∂ ∂ ω j t , (10) ( ) ( ) dt jω ≡ ∫ . (11) It should further be noted that, when using this complex notation, the propagation of a wave in a direction z simply now is described by the term z jkz e− . (12) This will become useful when integrating the field along a particle trajectory with the correct consideration of the finite speed of the particle (see Section 3.3 below). 2.2 Superposition of two homogeneous plane waves Now consider two plane waves, both polarized in the y direction as in the example above, propagating in the x–z plane, one at an angle +ĳ, the other at an angle −ĳ with respect to the axial direction z, as sketched on the left of Fig. 2. The superposition of the two waves is sketched on the right-hand side; Fig. 2: The superposition of two plane waves. Left: two plane waves propagating at different angles; right: the superposition of these waves note that the superposition of the two plane waves results in a wave pattern that is now travelling in the z direction, while it forms a standing-wave pattern in the transverse x direction. It is not visible in the snapshot of Fig. 2, but can be demonstrated in the equations. The field of a single plane wave travelling in direction +ĳ is ( ) x k z k t E z y ⊥ + + − ∝ ω sin , (13) the one travelling at –ĳ is given by ( ) x k z k t E z y ⊥ − − − ∝ ω sin . (14) The superposition of these two terms, using the trigonometric addition formula, is ( ) ( ) x k z k t E E z y y ⊥ − + − = + cos sin 2 ω . (15) E. JENSEN 262 As can be clearly seen from Eq. (15), the superposition has a standing-wave pattern in the transverse direction x, while the wave is travelling in the z direction with a phase velocity given by Eq. (9). 2.3 From superposition of plane waves to waveguide modes We also see from the right-hand side of Fig. 2 and from the last term of Eq. (15) that we now have special transverse positions x where the electric field is always zero, i.e., the zeros of ( ) 0 cos = ⊥x k . At these positions x (the closest ones to the centre are at ⊥ ± = k x 2 π ) we might introduce a perfect conducting wall in the y–z plane without disturbing the field distribution. Figure 3 demonstrates this fact, showing the same field distribution as in Fig. 2, but with those boundaries inserted. With the distance a between these two boundaries, the transverse component can now only have discrete values, which are the integer multiples of a π . With our chosen y polarization for the electric field, we can also put perfectly conducting walls at any location const. y = , i.e., in the x–z plane. We have thus found valid, non-vanishing solutions of Maxwell’s equations inside a rectangular waveguide. Since there are many solutions to the equation ( ) cos 0, k x ⊥ = there are many possible positions to put metallic walls in the transverse plane — they will have a different number of half-waves in the transverse direction. These different solutions are different waveguide modes. Fig. 3: Perfectly conducting boundaries can be inserted where the electric field is always zero; thus we have created a rectangular waveguide The above example chosen for illustration was a special case with a certain polarization of the electric field and using the superposition of just two homogeneous plane waves propagating in the x–z plane; the modes we obtained are referred to as TEn0-modes, where n denotes the number of half-waves in the x direction. The TE10 mode of a rectangular waveguide has special importance since it has the lowest cutoff frequency; it is generally referred to as the fundamental mode. More general solutions can be found using other polarizations and/or the superposition of more than two plane waves. Also the choice of the angle ĳ to remain in the x–z plane was arbitrary. The principle, however, that waves in rectangular waveguides can be constructed by superposition of homogeneous plane waves can be generalized — the result of this generalization is sketched in Fig. 4; it shows the possible discrete values for transverse wave vectors as points; the propagation constant can now be determined graphically for any frequency using Eq. (8), which now, for the mode with indices m and n in the x and y direction, respectively, becomes 2 2 2 2 2 2 2 z z k b n a m k k c k +       +       = + =       = ⊥ π π ω . (16) CAVITY BASICS 263 In Eq. (16), a and b denote the width and height of the rectangular waveguide, respectively. The points corresponding to the example illustrated above (the TEn0-modes) lie on the abscissa of this plot. The TE10 mode is the one closest to the origin, where \|kx\| = ʌ/a and ky = 0. For an arbitrary combination m and n, the points inside a circle of radius k will result in a positive 2 z k (propagating mode), the ones outside result in a negative 2 z k (evanescent mode). Note that for frequencies f < c/2a (the lowest cutoff frequency), all modes are below cutoff (evanescent). Below this lowest cutoff frequency, waves cannot propagate in the waveguide. Fig. 4: Cut-off wave numbers can be represented as points in the kx–ky plane. Points inside the circle of radius k = Ȧ/c represent modes that can propagate, points outside are not propagating or evanescent The distribution of the electric field in the transverse plane of the first 12 modes (sorted by their cutoff frequency for an aspect ratio a/b = 2) in a rectangular waveguide is plotted in Fig. 5. Note that for TM modes the smallest possible index is 1. Fig. 5: The first 12 modes in a rectangular waveguide. The arrows of the electric fields are sketched E. JENSEN 264 2.4 Circular waveguides The idea of superposition of two homogeneous plane waves can be extended to the superposition of infinitely many plane waves to get other field configurations, e.g., those of a circular waveguide. To construct the TM01 mode of a circular waveguide, for example, imagine again a plane wave as sketched in Fig. 1 above. Now consider y as the axial, x and z as transverse coordinates. Equivalent to Eq. (14), we write ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ω ϕ sin cos sin x z k t E y + − ∝ (17) for a wave travelling in direction ĳ with respect to the z direction. If we now express also the transverse coordinates z and x in cylindrical coordinates ( ) ( ) ϑ ρ ϑ ρ sin , cos = = x z , we get ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϑ ϕ ϑ ρ ω ϕ sin sin cos cos sin + − ∝ k t E y . (18) If we now add (integrate) the contributions of plane waves propagating in all directions ĳ, we get ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 1 1 d sin cos d 2 2 y E t k π π ϕ ϕ ω ρ ϕ ϑ ϕ ϑ π π ∝ − − − ∫ ∫ . (19) This latter integral is well known — it is defining the Bessel function of order zero: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 sin cos d sin 2 t k J k t π ω ρ φ ϑ φ ϑ ρ ω π − − − = ∫ . (20) Similar to Fig. 3 above, the result of this superposition is illustrated in Fig. 6. One now obtains a radial standing-wave pattern, described by the Bessel function ( ) ρ k J 0 . Just like the trigonometric functions, ( ) ρ k J 0 has zeros, so there exist radial positions where the electric field is always zero. At these radii, perfectly conducting boundary conditions may again be inserted without perturbing this field distribution — we have constructed a circular waveguide! Fig. 6: Bessel function J0(kȡ), which can be obtained by superimposing homogeneous plane waves. Metallic walls may be inserted where J0(kȡ) = 0 CAVITY BASICS 265 The superposition of plane waves was illustrated here for the special case of a wave polarized in axial direction and propagating in the transverse plane. This is — as was the example of the two waves in the rectangular waveguide above — a special case for the circular waveguide. Like for the rectangular waveguide many modes exist in round waveguides; they also are of the transverse electric (TE) and transverse magnetic (TM) type with respect to the axis, and they are also indexed with two numbers: the first for the azimuthal, the second for the radial ‘number of half-waves’. The difference is that the cutoff wave numbers in the case of a rectangular waveguide are integer multiples of a constant (since the zeros of the trigonometric or harmonic functions are harmonics), while the zeros of the Bessel function have non-harmonic ratios. The first five zeros of ( ) x J 0 , for example, are 2.40483, 5.52008, 8.65373, 11.7915, 14.9309, ...; they determine the cutoff frequencies of the TM0n modes. For large n, the zeros can be approximated by ( )π χ 4 1 0 − ≈n n , so they become again ‘almost harmonic’. The cutoff wave numbers of TE modes in circular waveguides are calculated from the zeros not of the Bessel function itself, but of its derivative. The first of the zeros of the Bessel function and its derivative are marked in Fig. 7. Note that the lowest order mode in a circular waveguide is the TE11 mode. The equivalent of Eq. (16) in the case of circular waveguides is 2 2 2 2 2 . mn z z k k k k a χ ⊥   = + = +     (21) where mn χ is the n-th zero of the Bessel function of order m in case of TM modes, or the n-th zero of the derivative of the Bessel function of order m in case of TE modes, a is the radius of the circular waveguide. The equivalent to the dashed circle in Fig. 4 now is the dashed vertical line in Fig. 7, representing a given value for a k ; the dots to the left of the vertical line are modes that can propagate, while the others require a negative 2 z k to satisfy Eq. (21), which leads to non-propagating, evanescent modes. Fig. 7: Cutoff wave numbers for modes in a round waveguide. Closed circles: TM-modes; open squares: TE-modes The field distributions (transverse electric field) of the six lowest order modes of a circular waveguide, again sorted by their cutoff frequencies, are plotted in Fig. 8. Please note that all modes with an azimuthal index 0 ≠ m appear twice; this corresponds to the two independent transverse E. JENSEN 266 polarizations. Such a pair of modes corresponds to a double eigenvalue of the transverse wave equation, the two modes are said to be ‘degenerate’. Any polarization (linear, circular or generally elliptical) can be constructed as superposition of the two shown polarizations with different amplitudes and phases — any of those combinations have the same eigenvalue and the same mode index. Of particular interest amongst those modes in circular waveguides for accelerating cavities is of course the TM01 mode, since it is rotational symmetric and has an axial field on axis. A short piece of circular waveguide operated in this mode is in fact a simple form of an accelerating cavity as we will see below. Fig. 8: The first six modes in a circular waveguide. The arrows of the electric fields are sketched. Modes with azimuthal index 0 ≠ m appear with two different polarizations, only one of which is shown Another set of modes of special interest, but this time for microwave power transport or for cavities optimized for storage of electromagnetic energy, are the TE0n modes, the first of which is the fourth mode shown above. These modes have no electric field at all at the metallic wall, which results in the interesting property that these modes have lower losses than any other mode. The TE01 mode is used for low-loss power transport through waveguides over large distances. Note that the TE01 mode is degenerate with the pair of TM11 modes. 2.5 From waveguide to cavity Starting from a round waveguide, and here in particular with the TM01 mode, we can construct a cavity simply from a piece of waveguide at its cutoff frequency; this results in the fundamental mode of the so-called pillbox cavity, referred to as TM010 mode. The electric and magnetic field of the TM010 mode are plotted in Fig. 9. The eigenfrequency of this mode is the cutoff frequency of the waveguide and thus independent of the cavity height h. There is no axial field dependence, indicated by the axial index 0. The fields of the TM010 mode in a simple pillbox cavity (closed at 0 = z and h z = and at a r = with perfectly conducting walls) are given by 01 0 01 01 0 1 01 0 0 01 1 1 1 , 1 , z J a E j a a J a J a B a J a φ χ ρ χ χ ωε π χ ρ µ χ π       =             =       (22) all other field components are zero. 01 χ is the first zero of ( ) x J 0 , 01 χ = 2.40483. Note that the axial field, which is relevant for acceleration, is oscillating in phase at all positions z, corresponding to an CAVITY BASICS 267 infinite phase velocity in the axial direction. Note also that the electric and magnetic fields are out of phase by 90°, as indicated by the j in Eq. (22). Fig. 9: A simple pillbox cavity, showing the electric field vector (left) and the magnetic field vector (right) Other oscillation modes exist in a cavity formed by a piece of waveguide short-circuited at both sides; they are referred to as TMmnp and TEmnp modes; the two first indices indicate the waveguide mode as introduced above, the third index is the number of half-waves in the axial direction. Referring to Fig. 4, where we saw how the transverse boundaries allowed only discrete values for the transverse components of , k  the limitation also in the third direction allows only discrete values for the total vector k  , one might think of an extension of Fig. 4 to three dimensions. Discrete values of k  of course mean discrete values of Ȧ — these are the eigenmodes of the cavity. The terms eigenmode and eigenfrequency stem from the fact that the mathematical problem to find non-vanishing solutions of Maxwell’s equations without excitation is an eigenvalue problem. In the more general case of a closed cavity of arbitrary shape, which cannot be generated simply by a piece of waveguide, the determination of the oscillation modes is more difficult and generally done with the help of numerical simulation programs, but the general principle remains. The cavities considered so far are entirely closed — this leaves no openings for the beam. Another possibility to create a cavity from a piece of waveguide is to provide perturbations in the waveguide cross section that lead to reflections of the waves; between two such perturbations, waves will be bouncing back and forth and thus equally form a cavity. As illustrated in Fig. 10, an oscillation mode forms between the two perturbations formed by the ‘notches’ in the cavity wall from the otherwise unperturbed TM01 waveguide mode. The signal flow chart below demonstrates how this oscillation mode forms between the two perturbations. The shown oscillation mode would be called the TM011 mode. Only a fraction of the forward-travelling wave is reflected from the perturbation on the right in Fig. 10, and only a fraction of the backward-travelling wave is reflected from the perturbation on the left. This means that there is energy ‘leaking’ from the oscillation mode by diffraction into the pipe; this power loss will lead to a damped oscillation, subject of the next section. Note, however, that cavities between discontinuities in the beam chamber can form also involuntarily in an accelerator pipe; they are sometimes referred to as ‘trapped modes’ and may lead to beam instabilities. So also E. JENSEN 268 non-RF components installed in an accelerator need care, since they may deteriorate performance due to their possible cavity-like behaviour. Fig. 10: A circular waveguide with a propagating TM01 mode, perturbed by two notches 3 Characterizing a cavity 3.1 Stored energy With the electric field energy V E cavity d 2 2  ∫∫∫ ε and the magnetic field energy V H cavity d 2 2  ∫∫∫ µ , the total energy stored is the sum of these two terms. As illustrated in Fig. 11, the energy is constantly swapping back and forth between these two energy forms at twice the RF frequency; while one is varying in time as sin2(Ȧt), the other one is varying as cos2(Ȧt), such that the sum is constant in time. Note also that this is related to the fact that E  and H  are exactly in quadrature, as we had already seen in Eq. (22) for the simple pillbox cavity. Fig. 11: Electric (top) and magnetic (bottom) stored energy in a cavity CAVITY BASICS 269 3.2 Quality factor Q As we said before, if the RF cavity would be entirely closed by a perfect conductor and the cavity volume would not contain any lossy material, there would exist solutions to Maxwell’s equations with non-vanishing fields even without any excitation. These eigensolutions are the cavity (oscillation) modes introduced above. Each mode is characterized by its (eigen-)frequency and its characteristic field distribution inside the cavity. If, however, the cavity walls are made of a good rather than a perfect conductor, or if the cavity is open as in Fig. 10, modes still exist and are useful to characterize the cavity, but their eigenfrequencies will become complex, describing damped oscillations, so each mode will be characterized by its frequency and its decay rate. If the field amplitudes of a mode decay as t e α − ∝ , the stored energy decays as t e α 2 − ∝ . The quality factor Q is defined as α ω ω ω 2 0 0 0 = − = = W dt d W P W Q loss . (23) Here 0 ω denotes the eigenfrequency and W the stored energy. loss P is the power lost into the cavity walls (or any other loss mechanism); it is equally the power that will have to be fed into the cavity in order to keep the stored energy at a constant value W. It is clear that the larger the Q, the smaller will become the power necessary to compensate for cavity losses. In other words, one can design the cavity to be operated at or near one of its eigenfrequencies (often the lowest order mode) and thus make use of the high Q by using the resonance phenomenon that will lead to large fields. 3.3 Accelerating voltage We define the ‘accelerating voltage’ of a cavity (or more precisely of the considered cavity oscillation mode) as the integrated change of the kinetic energy of a traversing particle divided by its charge: ( ) s B v E q q Vacc d 1 ∫ ∞ ∞ − × + =    , (24) where ds denotes integration along the particle trajectory, taking the fields at the actual position of the particle at the time of passage. With the fields varying at a single frequency Ȧ and particles moving with the speed c β in the z direction, this expression simplifies to ( ) z e z E V z c j acc d β ω ∫ ∞ ∞ − =  . (25) The underscore denotes now that we understand the field as the complex amplitude of the field of the cavity oscillation mode. The exponential accounts for the movement of the particle with speed c β through the cavity while the fields continue to oscillate. It is clear that expression (25) is generally complex; the phase angle accounts for the phase difference between the RF field and the bunches of the passing beam; the complex amplitude is generally referred to as accelerating voltage. Trying to use a homogeneous waveguide for acceleration, we can use the expression (13) as the dominating term for the field in Eq. (25). Using in addition Eq. (9), the integral to calculate the accelerating voltage will contain a term , 1 1 d . z j z c v e z φ ω β   −       ∫ E. JENSEN 270 For this term not to vanish over large distances, the phase velocity of the mode Ȟĳ,z must be made equal to the speed of the particle beam, ȕc. Since, however, the phase velocity inside a waveguide is always larger than the speed of light, it is impossible to accelerate with a simple waveguide over large distances. 3.4 Transit-time factor In our definition of the accelerating voltage, Eq. (25), we have accounted for the finite speed of the particles through the cavity. It thus includes already the so-called transit-time factor, which describes this effect alone. The transit-time factor T can be understood as accelerating voltage normalized to a ‘voltage’ ( ) d E z z ∞ −∞ ∫  , and is defined as ( ) d acc V T E z z ∞ −∞ = ∫  . (26) For the case of the simple pillbox cavity, in which the axial field is constant and in phase at every axial position, the integral (25) is easily calculated; the result is a h a h Tpillbox 2 2 sin 01 01 χ χ       = (27) and is plotted in Fig. 12. The transit time is close to 1 for small gaps, and its first zero occurs if the particle’s transit time is equal to the RF period. Fig. 12: Transit-time factor for a simple pillbox cavity 3.5 R-upon-Q, shunt impedance Since the energy W stored in the cavity is proportional to the square of the field (and thus the square of the accelerating voltage), it can be used to conveniently normalize the accelerating voltage; this leads to the definition of the quantity R-upon-Q: W V Q R acc 0 2 2 ω = . (28) CAVITY BASICS 271 describes what accelerating voltage can be obtained with which generator current. When setting the right-hand side of Eq. (30) equal to zero, we obtain an eigenvalue problem for Vacc — the eigenvalues are the zeros of ( ) ω Y (or the poles of its inverse). The term proportional to Q is responsible for the resonant behaviour of the cavity. R R/β Cavity Beam Generator IG IB Vacc  P Q/ R ( ) ω0 R/ Q ( ) ω0 Fig. 14: Equivalent circuit of a resonant mode of a cavity When plotting the accelerating voltage versus frequency for different values of Q (Fig. 15), the resonance phenomenon becomes apparent. It is this phenomenon that allows developing large voltages with modest powers. Consequently one trend in RF technology development has been to optimize the Q of cavities by design. Superconducting (SC) RF cavities are pushing this trend to the extreme; Q’s in the order of 1010 are typical for SC cavities. Also normal-conducting cavities use high Q’s to minimize the power losses; the technically obtained values depend on frequency and size and are typically in the range of some 104. Fig. 15: Resonance behaviour of a cavity But high Q’s also have disadvantages. As can be seen in Fig. 15, a high Q leads to a very sharp resonance or a very narrow bandwidth resonator, which has to be tuned very precisely and may become very delicate and sensitive to error (machining tolerances, temperature, pressure, vibrations, etc.). A large stored energy will not allow for rapid changes of the field amplitude, frequency or phase. For a small ion synchrotron, for example, one may wish to apply RF with non-sinusoidal form and/or with rapidly varying frequency to the beam; these requirements call for cavities which either have a large instantaneous bandwidth (i.e., a low Q) or cavities that can be rapidly tuned. In these cases moderate or even extremely small Q’s can become optimum. CAVITY BASICS 273 In addition to the fundamental mode, the field distribution of which is normally optimized for acceleration, other modes exist in the cavity, which can (and will) also interact with the particle beam. Even if not actively driven by an amplifier, these so-called higher order modes (HOMs) still present their impedance to the beam and may lead to instabilities and consequently have to be considered in the design. They are normally selectively coupled out and damped using external loads (HOM damper), thus reducing their Q. 4 Multi-gap cavities 4.1 How many gaps? As we could see in Fig. 13 above, the shunt impedance of a normal-conducting cavity cannot be significantly increased. A few Mȍ can be obtained after careful optimization, the exact value will depend on the frequency range. Limited by the available RF power and the cavity, this sets an upper limit to the accelerating voltage; for larger voltages one has to increase the number of RF systems and the power accordingly. To introduce multi-gap cavities let us see what happens if one just increases the number of gaps, keeping the total power constant: consider n single-gap cavities with a shunt impedance R, as sketched in Fig. 16. The available power is split in equal parts and evenly distributed to the n cavities. According to Eq. (29), each cavity will produce an accelerating voltage of ( ) 2 / R P n , so with the correct phasing of the RF, the total voltage will be just the sum, ( ) 2 acc nR P V = . If we now consider the assembly consisting of the n original cavities and the power splitter as a single cavity with n gaps, we notice that this new cavity has the shunt impedance nR; this is a significant increase. Consequently, by just multiplying the number of gaps, one can make much more efficient use of the available RF power to generate very large accelerating voltages. Fig. 16: Distributing a given power P to n cavities Instead of using n individual power couplers and a large power splitter, much more elegant ways of distributing the available RF power to many gaps have been invented — one can combine the individual gaps in one vacuum vessel and one can in fact use this vacuum vessel itself as a distributed power splitter, which leads to standing-wave or travelling-wave cavities. 4.2 Travelling-wave structures In a travelling wave structure, the RF power is fed via a power coupler into one end of the cavity (see Fig. 17), flowing (travelling) through the cavity, typically in the same direction as the beam, creating an accelerating voltage at every gap. An output coupler at the far end of the cavity is connected to a matched power load. If no beam is present, the input power reduced by the cavity losses goes to the power load where it is dissipated. In the presence of a large beam current, however, a large fraction of the forward-travelling power can be transferred to the beam, such that a much smaller power comes through the output coupler. E. JENSEN 274 Different from the homogeneous waveguide, where the phase velocity is always larger than the speed of light, the phase velocity inside a travelling-wave structure can by design be made equal to the speed of the particles at the operating frequency, i.e., the phase advance over a cell of length d is equal to 2ʌd/Ȝ for particles travelling with the speed of light; this allows acceleration over large distances. This is possible since travelling-wave structures are not homogeneous in the axial direction, but are periodic or almost periodic structures. Methods to analyse periodic structures have been developed for the analysis of periodic crystal lattices, looking at the wave function of electrons in a semiconductor for example. The result of such an analysis is the Brillouin diagram, which gives the ‘modes’ of the periodic structures; it shows the frequencies for given phase advances per cell. Like the frequency range below the lowest cutoff of a homogeneous waveguide, one finds frequency bands in which modes cannot propagate; for periodic structures they are referred to as stop-bands. In the pass-bands, where modes can propagate, the phase advance per cell varies from 0 to ʌ. One can read the phase velocity of the mode directly in the diagram since it is simply the ratio Ȧ/k.. Figure 18 shows the Brillouin diagram for a travelling-wave structure. The straight line indicates the speed of light, the intersections with the Brillouin curve indicate combinations of frequency and phase advance per cell where the particle beam is synchronous to the wave — the structure is designed to operate at one of these intersections. If this condition is satisfied, one can imagine the particles ‘surfing’ on this forward-travelling wave. ω L/c β L π π 2 π π/2 π/2 speed of light,, = c ω β synchronous Fig. 17: Sketch of a travelling-wave structure Fig. 18: A Brillouin diagram for a periodic structure CAVITY BASICS 275
9789	https://stackoverflow.com/questions/51159802/algorithm-to-derive-all-possible-math-expressions-in-a-set-to-get-a-target-value	swift - Algorithm to Derive All Possible Math Expressions In a Set To get a Target Value - Stack Overflow Join Stack Overflow By clicking “Sign up”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Sign up with Google Sign up with GitHub OR Email Password Sign up Already have an account? Log in Skip to main content Stack Overflow 1. About 2. Products 3. For Teams Stack Overflow for Teams Where developers & technologists share private knowledge with coworkers Advertising Reach devs & technologists worldwide about your product, service or employer brand Knowledge Solutions Data licensing offering for businesses to build and improve AI tools and models Labs The future of collective knowledge sharing About the companyVisit the blog Loading… current community Stack Overflow helpchat Meta Stack Overflow your communities Sign up or log in to customize your list. more stack exchange communities company blog Log in Sign up Let's set up your homepage Select a few topics you're interested in: python javascript c#reactjs java android html flutter c++node.js typescript css r php angular next.js spring-boot machine-learning sql excel ios azure docker Or search from our full list: javascript python java c# php android html jquery c++ css ios sql mysql r reactjs node.js arrays c asp.net json python-3.x .net ruby-on-rails sql-server swift django angular objective-c excel pandas angularjs regex typescript ruby linux ajax iphone vba xml laravel spring asp.net-mvc database wordpress string flutter postgresql mongodb wpf windows xcode amazon-web-services bash git oracle-database spring-boot dataframe azure firebase list multithreading docker vb.net react-native eclipse algorithm powershell macos visual-studio numpy image forms scala function vue.js performance twitter-bootstrap selenium winforms kotlin loops express dart hibernate sqlite matlab python-2.7 shell rest apache entity-framework android-studio csv maven linq qt dictionary unit-testing asp.net-core facebook apache-spark tensorflow file swing class unity-game-engine sorting date authentication go symfony t-sql opencv matplotlib .htaccess google-chrome for-loop datetime codeigniter perl http validation sockets google-maps object uitableview xaml oop visual-studio-code if-statement cordova ubuntu web-services email android-layout github spring-mvc elasticsearch kubernetes selenium-webdriver ms-access ggplot2 user-interface parsing pointers c++11 google-sheets security machine-learning google-apps-script ruby-on-rails-3 templates flask nginx variables exception sql-server-2008 gradle debugging tkinter delphi listview jpa asynchronous web-scraping haskell pdf jsp ssl amazon-s3 google-cloud-platform jenkins testing xamarin wcf batch-file generics npm ionic-framework network-programming unix recursion google-app-engine mongoose visual-studio-2010 .net-core android-fragments assembly animation math svg session intellij-idea hadoop rust next.js curl join winapi django-models laravel-5 url heroku http-redirect tomcat google-cloud-firestore inheritance webpack image-processing gcc keras swiftui asp.net-mvc-4 logging dom matrix pyspark actionscript-3 button post optimization firebase-realtime-database web jquery-ui cocoa xpath iis d3.js javafx firefox xslt internet-explorer caching select asp.net-mvc-3 opengl events asp.net-web-api plot dplyr encryption magento stored-procedures search amazon-ec2 ruby-on-rails-4 memory canvas audio multidimensional-array random jsf vector redux cookies input facebook-graph-api flash indexing xamarin.forms arraylist ipad cocoa-touch data-structures video azure-devops model-view-controller apache-kafka serialization jdbc woocommerce razor routes awk servlets mod-rewrite excel-formula beautifulsoup filter docker-compose iframe aws-lambda design-patterns text visual-c++ django-rest-framework cakephp mobile android-intent struct react-hooks methods groovy mvvm ssh lambda checkbox time ecmascript-6 grails google-chrome-extension installation cmake sharepoint shiny spring-security jakarta-ee plsql android-recyclerview core-data types sed meteor android-activity activerecord bootstrap-4 websocket graph replace scikit-learn group-by vim file-upload junit boost memory-management sass import async-await deep-learning error-handling eloquent dynamic soap dependency-injection silverlight layout apache-spark-sql charts deployment browser gridview svn while-loop google-bigquery vuejs2 dll highcharts ffmpeg view foreach makefile plugins redis c#-4.0 reporting-services jupyter-notebook unicode merge reflection https server google-maps-api-3 twitter oauth-2.0 extjs terminal axios pip split cmd pytorch encoding django-views collections database-design hash netbeans automation data-binding ember.js build tcp pdo sqlalchemy apache-flex mysqli entity-framework-core concurrency command-line spring-data-jpa printing react-redux java-8 lua html-table ansible jestjs neo4j service parameters enums material-ui flexbox module promise visual-studio-2012 outlook firebase-authentication web-applications webview uwp jquery-mobile utf-8 datatable python-requests parallel-processing colors drop-down-menu scipy scroll tfs hive count syntax ms-word twitter-bootstrap-3 ssis fonts rxjs constructor google-analytics file-io three.js paypal powerbi graphql cassandra discord graphics compiler-errors gwt socket.io react-router solr backbone.js memory-leaks url-rewriting datatables nlp oauth terraform datagridview drupal oracle11g zend-framework knockout.js triggers neural-network interface django-forms angular-material casting jmeter google-api linked-list path timer django-templates arduino proxy orm directory windows-phone-7 parse-platform visual-studio-2015 cron conditional-statements push-notification functional-programming primefaces pagination model jar xamarin.android hyperlink uiview visual-studio-2013 vbscript google-cloud-functions gitlab azure-active-directory jwt download swift3 sql-server-2005 configuration process rspec pygame properties combobox callback windows-phone-8 linux-kernel safari scrapy permissions emacs scripting raspberry-pi clojure x86 scope io expo azure-functions compilation responsive-design mongodb-query nhibernate angularjs-directive request bluetooth reference binding dns architecture 3d playframework pyqt version-control discord.js doctrine-orm package f# rubygems get sql-server-2012 autocomplete tree openssl datepicker kendo-ui jackson yii controller grep nested xamarin.ios static null statistics transactions active-directory datagrid dockerfile uiviewcontroller webforms discord.py phpmyadmin sas computer-vision notifications duplicates mocking youtube pycharm nullpointerexception yaml menu blazor sum plotly bitmap asp.net-mvc-5 visual-studio-2008 yii2 electron floating-point css-selectors stl jsf-2 android-listview time-series cryptography ant hashmap character-encoding stream msbuild asp.net-core-mvc sdk google-drive-api jboss selenium-chromedriver joomla devise cors navigation anaconda cuda background frontend binary multiprocessing pyqt5 camera iterator linq-to-sql mariadb onclick android-jetpack-compose ios7 microsoft-graph-api rabbitmq android-asynctask tabs laravel-4 environment-variables amazon-dynamodb insert uicollectionview linker xsd coldfusion console continuous-integration upload textview ftp opengl-es macros operating-system mockito localization formatting xml-parsing vuejs3 json.net type-conversion data.table kivy timestamp integer calendar segmentation-fault android-ndk prolog drag-and-drop char crash jasmine dependencies automated-tests geometry azure-pipelines android-gradle-plugin itext fortran sprite-kit header mfc firebase-cloud-messaging attributes nosql format nuxt.js odoo db2 jquery-plugins event-handling jenkins-pipeline nestjs leaflet julia annotations flutter-layout keyboard postman textbox arm visual-studio-2017 gulp stripe-payments libgdx synchronization timezone uikit azure-web-app-service dom-events xampp wso2 crystal-reports namespaces swagger android-emulator aggregation-framework uiscrollview jvm google-sheets-formula sequelize.js com chart.js snowflake-cloud-data-platform subprocess geolocation webdriver html5-canvas centos garbage-collection dialog sql-update widget numbers concatenation qml tuples set java-stream smtp mapreduce ionic2 windows-10 rotation android-edittext modal-dialog spring-data nuget doctrine radio-button http-headers grid sonarqube lucene xmlhttprequest listbox switch-statement initialization internationalization components apache-camel boolean google-play serial-port gdb ios5 ldap youtube-api return eclipse-plugin pivot latex frameworks tags containers github-actions c++17 subquery dataset asp-classic foreign-keys label embedded uinavigationcontroller copy delegates struts2 google-cloud-storage migration protractor base64 queue find uibutton sql-server-2008-r2 arguments composer-php append jaxb zip stack tailwind-css cucumber autolayout ide entity-framework-6 iteration popup r-markdown windows-7 airflow vb6 g++ ssl-certificate hover clang jqgrid range gmail Next You’ll be prompted to create an account to view your personalized homepage. Home Questions AI Assist Labs Tags Challenges Chat Articles Users Jobs Companies Collectives Communities for your favorite technologies. Explore all Collectives Teams Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Try Teams for freeExplore Teams 3. Teams 4. Ask questions, find answers and collaborate at work with Stack Overflow for Teams. Explore Teams Collectives™ on Stack Overflow Find centralized, trusted content and collaborate around the technologies you use most. Learn more about Collectives Teams Q&A for work Connect and share knowledge within a single location that is structured and easy to search. Learn more about Teams Hang on, you can't upvote just yet. You'll need to complete a few actions and gain 15 reputation points before being able to upvote. Upvoting indicates when questions and answers are useful. What's reputation and how do I get it? Instead, you can save this post to reference later. Save this post for later Not now Thanks for your vote! You now have 5 free votes weekly. Free votes count toward the total vote score does not give reputation to the author Continue to help good content that is interesting, well-researched, and useful, rise to the top! To gain full voting privileges, earn reputation. Got it!Go to help center to learn more Algorithm to Derive All Possible Math Expressions In a Set To get a Target Value Ask Question Asked 7 years, 2 months ago Modified2 years, 11 months ago Viewed 1k times This question shows research effort; it is useful and clear 0 Save this question. Show activity on this post. I am new to Swift Programming, and while I could figure the rest of this out for this app I have floating in my head, I'm having a hard time figuring out how to derive a algorithm that could handle this problem: Given a set of 4 values (probably best to use Double because some can even be fractions), derive all possible combinations that return a result of a target value--in my case, 24. For example, a+b+c+d, a+b+d+c, a+d+b+c, d+a+b+c, and all arrangements of that set, plus all possible mathematical operators such as (ab)^(c-d) or (a+b+c)/d. I was able to find this article, but it doesn't quite match what I'm looking for, especially as order doesn't matter for me Number of ways to sum the items in a set to get a target value - Order matters so for example, I could manually do each combination this way: swift if a + b + c + d == 24 { print("\a + \b + \c + \d") } My goal is for the user to enter 4 values and let IOS generate a list of all possible mathematical expressions that result in 24. Patrick swift algorithm Share Share a link to this question Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this question Follow Follow this question to receive notifications edited Jul 3, 2018 at 18:45 Patrick VelliaPatrick Vellia asked Jul 3, 2018 at 17:08 Patrick VelliaPatrick Vellia 459 6 6 silver badges 19 19 bronze badges 5 2 This question has been answered many times in other languages, such as in stackoverflow.com/questions/27160339/… and stackoverflow.com/questions/43837842/…juvian –juvian 2018-07-03 17:14:45 +00:00 Commented Jul 3, 2018 at 17:14 Ha, that's a pretty good meta-programming exercise. It's not so easy in a static language that can't just eval arbitrary strings. Although most simply, you could make a program that creates a textual representation of every possbile mathematical equation, expressed in Swift, and then have your Swift program invoke the Swift compiler on each file, run the resulting program, and check the result.Alexander –Alexander 2018-07-03 17:38:34 +00:00 Commented Jul 3, 2018 at 17:38 The seance suggestion that Juvian provided: stackoverflow.com/questions/43837842/… Seems to be even closer, except I think I need to use Double instead of String. Also that article is in Python 3, which I'm not familiar with and seems to use functions specific to it. And Alexander--yeah, I could run each possible combination manually which is what a friend of mine did years ago for Windows but I feel like the languages have gotten somewhere by now you could do it with a function and loop. Patrick Patrick Vellia –Patrick Vellia 2018-07-03 18:18:32 +00:00 Commented Jul 3, 2018 at 18:18 @Alexander: even without an eval function there's still ways to evaluate expressions. One way I've handled this in the past is to use SQL (e.g. SELECT 3 + (4 5) - 6 FROM DUAL).Bob Jarvis - Слава Україні –Bob Jarvis - Слава Україні 2018-07-04 03:24:23 +00:00 Commented Jul 4, 2018 at 3:24 @BobJarvis You can also model expression trees with enums. Conceptually, it's the same as raw string manipulation, and definitely preferable from a design standpoint, but it can't compete with the "quick and dirty" solutions in dynamic languages Alexander –Alexander 2018-07-04 05:09:24 +00:00 Commented Jul 4, 2018 at 5:09 Add a comment\| 2 Answers 2 Sorted by: Reset to default This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. Here is one approach. Start with an array of expressions and an array of values. Initially, the expressions is just the String value of the values: swift let expressions = ["1", "2", "3", "4"] let values = [1, 2, 3, 4] Pick two expressions (for example "1" and "2", and a binary operator ("+"), and combine them creating an expressions and values with 3 values: swift expressions = ["3", "4", "(1 + 2)"] values = [3, 4, 3] Repeat this process combining again two of the expressions with an operation: swift expressions = ["3", "(4 + (1 + 2))"] values = [3, 7] Finally, combine the last two expressions with "+": swift expressions = ["(3 + (4 + (1 + 2)))"] values = Once you reach a single expression, check to see if the value matches your target. The following is a recursive function that tries all combinations of values and operations to create the expressions in search of a target: ```swift import Foundation // An array of tuples containing an operator name and a closure // that performs the operation let ops: [(name: String, function: (Double, Double) -> Double)] = [ ("+", { $0 + $1 }), ("-", { $0 - $1 }), ("", { $0 $1 }), ("/", { $0 / $1 }), ("^", { pow($0, $1) }) ] func compute(expressions: [String], values: [Double], target: Double) { // base case of the recursion: if there is only one // expression and one value, check if the value is the // target value we're looking for and print the expression // and value if the target is matched if expressions.count == 1 { if values == target { print("\(expressions) = \(values)") } } else if expressions.count >= 2 { // loop through all of the expressions choosing each // as the first expression for idx1 in expressions.indices { // copy the expressions and values arrays so that // we can remove the expression and value // without modifying the original arrays // which will be needed for the next try var expcopy = expressions var valcopy = values let exp1 = expcopy.remove(at: idx1) let val1 = valcopy.remove(at: idx1) // loop through the remaining expressions to find // the second one for idx2 in expcopy.indices { // again, copy the arrays to keep from modifying // the originals while searching var expcopy2 = expcopy var valcopy2 = valcopy let exp2 = expcopy2.remove(at: idx2) let val2 = valcopy2.remove(at: idx2) // now try all possible operations to combine // the two expressions for op in ops { // use the closure to compute the value let value = op.function(val1, val2) // combine the expressions into a new string // expression with the operator in the // middle and surrounded by () if this is // not the top level expression var exp = "\(exp1) \(op.name) \(exp2)" if !expcopy2.isEmpty { exp = "(\(exp))" } // now that we've reduced the number of // expressions by 1, recurse by calling // compute again on the reduced list of // expressions compute(expressions: expcopy2 + [exp], values: valcopy2 + [value], target: target) } } } } } // This helper function creates the array of expressions from // the array of values, and then calls the main function above // to do the real work func search(values: [Double], target: Double) { compute(expressions: values.map { String($0) }, values: values, target: target) } ``` Example 1: swift search(values: [1, 2, 3, 4], target: 121) Output: swift (1.0 - (3.0 4.0)) ^ 2.0 = 121.0 ((3.0 4.0) - 1.0) ^ 2.0 = 121.0 (1.0 - (4.0 3.0)) ^ 2.0 = 121.0 ((4.0 3.0) - 1.0) ^ 2.0 = 121.0 Example 2: swift search(values: [1, 2, 3], target: 1) Output: swift 3.0 / (1.0 + 2.0) = 1.0 (1.0 + 2.0) / 3.0 = 1.0 3.0 - (1.0 2.0) = 1.0 (1.0 ^ 2.0) ^ 3.0 = 1.0 (1.0 3.0) - 2.0 = 1.0 2.0 - (1.0 ^ 3.0) = 1.0 (1.0 ^ 3.0) ^ 2.0 = 1.0 3.0 / (2.0 + 1.0) = 1.0 (2.0 + 1.0) / 3.0 = 1.0 (2.0 - 1.0) ^ 3.0 = 1.0 3.0 - (2.0 1.0) = 1.0 3.0 - (2.0 / 1.0) = 1.0 3.0 - (2.0 ^ 1.0) = 1.0 1.0 ^ (2.0 + 3.0) = 1.0 1.0 ^ (2.0 - 3.0) = 1.0 1.0 ^ (2.0 3.0) = 1.0 1.0 ^ (2.0 / 3.0) = 1.0 1.0 ^ (2.0 ^ 3.0) = 1.0 2.0 / (3.0 - 1.0) = 1.0 (3.0 - 1.0) / 2.0 = 1.0 (3.0 1.0) - 2.0 = 1.0 (3.0 / 1.0) - 2.0 = 1.0 (3.0 ^ 1.0) - 2.0 = 1.0 1.0 ^ (3.0 + 2.0) = 1.0 1.0 (3.0 - 2.0) = 1.0 1.0 / (3.0 - 2.0) = 1.0 1.0 ^ (3.0 - 2.0) = 1.0 (3.0 - 2.0) 1.0 = 1.0 (3.0 - 2.0) / 1.0 = 1.0 (3.0 - 2.0) ^ 1.0 = 1.0 1.0 ^ (3.0 2.0) = 1.0 1.0 ^ (3.0 / 2.0) = 1.0 1.0 ^ (3.0 ^ 2.0) = 1.0 Eliminating Duplicate Solutions With 4 or more values, or even with fewer values that aren't unique, you can end up with duplicate expressions. The way to eliminate the duplicates is to use a Set<String> to keep track of the expressions you've already found and check if that set contains your new expression before printing it as a new solution. ```swift import Foundation // An array of tuples containing an operator name and a closure // that performs the operation let ops: [(name: String, function: (Double, Double) -> Double)] = [ ("+", { $0 + $1 }), ("-", { $0 - $1 }), ("", { $0 $1 }), ("/", { $0 / $1 }), ("^", { pow($0, $1) }) ] func compute(expressions: [String], values: [Double], target: Double, solutions: inout Set) { // base case of the recursion: if there is only one // expression and one value, check if the value is the // target value we're looking for and print the expression // and value if the target is matched and we don't already // have that expression in our set of solutions if expressions.count == 1 { if values == target && !solutions.contains(expressions) { print("\(expressions) = \(values)") solutions.insert(expressions) } } else if expressions.count >= 2 { // loop through all of the expressions choosing each // as the first expression for idx1 in expressions.indices { // copy the expressions and values arrays so that // we can remove the expression and value // without modifying the original arrays // which will be needed for the next try var expcopy = expressions var valcopy = values let exp1 = expcopy.remove(at: idx1) let val1 = valcopy.remove(at: idx1) // loop through the remaining expressions to find // the second one for idx2 in expcopy.indices { // again, copy the arrays to keep from modifying // the originals while searching var expcopy2 = expcopy var valcopy2 = valcopy let exp2 = expcopy2.remove(at: idx2) let val2 = valcopy2.remove(at: idx2) // now try all possible operations to combine // the two expressions for op in ops { // use the op's function to compute the value let val = op.function(val1, val2) // combine the expressions into a new string // expression with the operator in the // middle and surrounded by () if this is // not the top level expression var exp = "\(exp1) \(op.name) \(exp2)" if !expcopy2.isEmpty { exp = "(\(exp))" } // now that we've reduced the number of // expressions by 1, recurse by calling // compute again on the reduced list of // expressions let newexp = expcopy2 + [exp] let newval = valcopy2 + [val] compute(expressions: newexp, values: newval, target: target, solutions: &solutions) } } } } } // This helper function creates the array of expressions from // the array of values, creates a Set to hold the solutions, and // then calls the main function above to do the real work func search(values: [Double], target: Double) { // create a set to keep track of solutions found so far var solutions = Set() compute(expressions: values.map { String($0) }, values: values, target: target, solutions: &solutions) print("\n\(solutions.count) unique solutions were found") } ``` Example: swift search(values: [2, 2, 1], target: 5) Output: ```swift 1.0 + (2.0 + 2.0) = 5.0 (2.0 + 2.0) + 1.0 = 5.0 1.0 + (2.0 2.0) = 5.0 (2.0 2.0) + 1.0 = 5.0 1.0 + (2.0 ^ 2.0) = 5.0 (2.0 ^ 2.0) + 1.0 = 5.0 2.0 + (2.0 + 1.0) = 5.0 (2.0 + 1.0) + 2.0 = 5.0 2.0 + (1.0 + 2.0) = 5.0 (1.0 + 2.0) + 2.0 = 5.0 10 unique solutions were found ``` Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Oct 9, 2022 at 3:53 answered Jul 4, 2018 at 3:05 vacawamavacawama 155k 32 32 gold badges 283 283 silver badges 313 313 bronze badges Comments Add a comment This answer is useful 0 Save this answer. Show activity on this post. A simple approach not covered in the solutions referenced in the first few comments is to generate your candidate expressions in reverse polish notation (RPN). If you've studied CS, or owned a HP calculator, you might recall this. RPN has the advantage that it contains no parentheses and is evaluated in strict left-to-right order. Follow the link for a full description, here are a couple of examples: Algebraic: (a+b)c RPN: ab+c Algebraic: a+(bc) RPN: abc+ In outline to evaluate an RPN expression left-to-right you push any variable you find onto a stack. For any operator you pop 2 values of the stack, combine the with the operation, and push the result back onto the stack. To generate a single expression for your problem an outline algorithm is: swift while there are variables unused or fewer than (number of variables - 1) operators either: add any unused variable or: if the number of added variables is at least two greater than the number of added operators add any operator That will give you a single expression, to generate all of them think recursion. At each stage you iterate through all the choices as above and for each one recurse passing in the partial expression, unused variables, etc. You can store the partial expression in an array, each element being a variable or an operator (think enum). As Swift passes arrays by value as you recurse each call can continue to add elements to the array without effecting other calls. In pseudocode: swift generate(expression: array, variables: variable collection) -> collection results <- empty collection for nextVar in variables add generate(expression + nextVar, variables - nextVar) to results if #variables in expression - #operators in expression >= 2 for every possible operator add generate(expression + operator, variables) to results return results When a complete expression is generated your can evaluate it and add it to solutions if the result is 24. As a possible optimisation you can evaluate as you go down the recursion to save recalculation of the partial expressions. RPN evaluation can use a stack, which you can build from an array in Swift and pass down in each recursive call. Exploring other optimisation is left to you. If you get stuck after designing your algorithm and writing some code you can ask a new question - include a link to this one, your algorithm, your code, and your problem; someone will undoubtedly help you along. HTH Share Share a link to this answer Copy linkCC BY-SA 4.0 Improve this answer Follow Follow this answer to receive notifications edited Jun 20, 2020 at 9:12 CommunityBot 1 1 1 silver badge answered Jul 3, 2018 at 20:15 CRDCRD 53k 5 5 gold badges 73 73 silver badges 87 87 bronze badges Comments Add a comment Your Answer Thanks for contributing an answer to Stack Overflow! Please be sure to answer the question. Provide details and share your research! But avoid … Asking for help, clarification, or responding to other answers. Making statements based on opinion; back them up with references or personal experience. To learn more, see our tips on writing great answers. Draft saved Draft discarded Sign up or log in Sign up using Google Sign up using Email and Password Submit Post as a guest Name Email Required, but never shown Post Your Answer Discard By clicking “Post Your Answer”, you agree to our terms of service and acknowledge you have read our privacy policy. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions swift algorithm See similar questions with these tags. The Overflow Blog The history and future of software development (part 1) Getting Backstage in front of a shifting dev experience Featured on Meta Spevacus has joined us as a Community Manager Introducing a new proactive anti-spam measure New and improved coding challenges New comment UI experiment graduation Policy: Generative AI (e.g., ChatGPT) is banned Report this ad Report this ad Linked 12Building a math game in Java 8Efficient Algorithm to compose valid expressions with specific target 2Number of ways to sum the items in a set to get a target value - Order matters Related 7Array of Arithmetic Operators in Swift 2Can I automatically derive some instances like Equatable? 3Converting a number to its equivalent in a specific range 16Generate all combinations of mathematical expressions that add to target (Java homework/interview) 0Performing math function in array for Swift 0Algorithm to find all possible answers of a given mathematical expression 2Generating a simple algebraic expression in swift 17How to get the integer part and fractional part of a number in Swift 0Finding a Multiple of a Given Number from a Range of Numbers - Swift 2Finding indices of array elements that add up to a target number. What would be a way to optimize my solution? Hot Network Questions ConTeXt: Unnecessary space in \setupheadertext Lingering odor presumably from bad chicken в ответе meaning in context Does a Linux console change color when it crashes? Xubuntu 24.04 - Libreoffice Is there a way to defend from Spot kick? Is it ok to place components "inside" the PCB ICC in Hague not prosecuting an individual brought before them in a questionable manner? Exchange a file in a zip file quickly Copy command with cs names alignment in a table with custom separator How to rsync a large file by comparing earlier versions on the sending end? Is existence always locational? How long would it take for me to get all the items in Bongo Cat? Proof of every Highly Abundant Number greater than 3 is Even The geologic realities of a massive well out at Sea I have a lot of PTO to take, which will make the deadline impossible Can a cleric gain the intended benefit from the Extra Spell feat? Any knowledge on biodegradable lubes, greases and degreasers and how they perform long term? Triangle with Interlacing Rows Inequality [Programming] Analog story - nuclear bombs used to neutralize global warming Determine which are P-cores/E-cores (Intel CPU) Overfilled my oil How different is Roman Latin? Question feed Subscribe to RSS Question feed To subscribe to this RSS feed, copy and paste this URL into your RSS reader. lang-swift Why are you flagging this comment? Probable spam. This comment promotes a product, service or website while failing to disclose the author's affiliation. Unfriendly or contains harassment/bigotry/abuse. This comment is unkind, insulting or attacks another person or group. Learn more in our Code of Conduct. Not needed. This comment is not relevant to the post. Enter at least 6 characters Something else. A problem not listed above. Try to be as specific as possible. Enter at least 6 characters Flag comment Cancel You have 0 flags left today Stack Overflow Questions Help Chat Products Teams Advertising Talent Company About Press Work Here Legal Privacy Policy Terms of Service Contact Us Your Privacy Choices Cookie Policy Stack Exchange Network Technology Culture & recreation Life & arts Science Professional Business API Data Blog Facebook Twitter LinkedIn Instagram Site design / logo © 2025 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under CC BY-SA. rev 2025.9.26.34547 By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Accept all cookies Necessary cookies only Customize settings
9790	https://www.studypug.com/chemistry-help/stoichiometry-and-molar-volume	Sign InTry Free Home Chemistry Stoichiometry Moles and molar concentration Mastering Moles and Molar Concentration: From Volume to Moles Unlock the secrets of moles and molar concentration! Learn to convert volume to moles, understand concentration formulas, and excel in chemistry calculations. Perfect for students tackling stoichiometry and solution chemistry. Get the most by viewing this topic in your current grade. Pick your course now. Now Playing:Stoichiometry and molar volume – Example 0a Intros Expanding our moles calculations Expanding our moles calculations Recap - moles, molar volume and concentration 3. Expanding our moles calculations Calculating concentration of a solution 4. Example - calculating concentration 5. Titration, an introduction View All Examples Find the number of moles and concentration of substances used in chemical reactions. Calculate the number of moles in 100 mL of 0.2M HCl (aq) Calculate the concentration of a solution of 1.7 litres of water with 0.75 moles of HCl dissolved in it. Calculate the new concentration of this solution when 3.4 extra litres of water are added to the solution. Find the number of moles and use it to find the volume of substances used in chemical reactions. Calculate the number of moles in 120mL of 0.05M H2SO4(aq) solution. When H2SO4 and CaCO3 are reacted, CO2 gas is produced. What is the volume of CO2(g) produced when 120 mL of 0.1M H2SO4(aq) is reacted with an excess amount of CaCO3? What volume of 0.04M HCl (aq) is required to react completely to neutralise 6 g of Mg(OH)2? Find the number of moles and use it to find the molarity of substances used in chemical reactions. In a titration reaction, 32 mL HCl (aq) of unknown concentration reacts with 25 mL of 0.5M NaOH (aq). Calculate the molarity of the hydrochloric acid being analysed. In another titration reaction, it took 14mL of NaOH (aq) of unknown concentration to react with 39 mL of 0.1M H3PO4(aq). Calculate the molarity of the NaOH solution used. Find the number of moles and use it to find the quantities of substances used in chemical reactions. Consider the reaction: 2 Al(s)+2 NaON(aq)+2 H2O(l)→2 NaAlO2(aq)+3 H2(g) A student needs to produce 20L of H2 at STP using this reaction. Excess water and aluminium is available to react with 1.5M sodium hydroxide solution. How much sodium hydroxide solution will be required? When repeating the experiment, only 500 mL of 2.2M sodium hydroxide solution is available. How many litres of hydrogen gas can be produced given this limit? View All Free to Join! StudyPug is a learning help platform covering math and science from grade 4 all the way to second year university. Our video tutorials, unlimited practice problems, and step-by-step explanations provide you or your child with all the help you need to master concepts. On top of that, it's fun — with achievements, customizable avatars, and awards to keep you motivated. Students Parents Try Free Easily See Your Progress We track the progress you've made on a topic so you know what you've done. From the course view you can easily see what topics have what and the progress you've made on them. Fill the rings to completely master that section or mouse over the icon to see more details. #### Make Use of Our Learning Aids ###### Last Viewed ###### Practice Accuracy ###### Suggested Tasks Get quick access to the topic you're currently learning. See how well your practice sessions are going over time. Stay on track with our daily recommendations. Try Free #### Earn Achievements as You Learn Make the most of your time as you use StudyPug to help you achieve your goals. Earn fun little badges the more you watch, practice, and use our service. #### Create and Customize Your Avatar Play with our fun little avatar builder to create and customize your own avatar on StudyPug. Choose your face, eye colour, hair colour and style, and background. Unlock more options the more you use StudyPug. Try Free Moles and molar concentration Jump to:NotesConceptFAQsPrerequisites Notes In this lesson, we will learn: To relate the mole concept to amount of substance in aqueous solutions. To calculate the molarity of aqueous substances. To calculate amounts of substance from titration problems. Notes: We saw in Moles, mass and gas calculations that for practical reasons, gas is usually measured in volume as opposed to mass which is used for solids. When we fix (keep constant) the temperature and pressure, at STP or RTP, the volume that one mole of an ideal gas occupies is also fixed, or constant. At standard temperature and pressure (STP) it is 22.4 litres per mole (L mol-1). At room temperature and pressure (RTP) it is 24 litres per mole (L mol-1). Like gases, when it comes to aqueous substances (something dissolved in water), mass and volume are not used. Instead, concentration is used. Concentration effectively means “how much stuff in how much space?” which is why in chemistry concentration is measured in moles per litre, or moles per cubic decimetre (the value is equal). Sometimes the term molarity is used. Molarity means concentration, for chemists – molarity is the number of moles of a chemical per amount of volume. Units of concentration are abbreviated “M”. It means moles per litre, written mol / L or mol L-1 or moles per cubic decimeters, written mol/dm3 or mol dm-3. Square brackets, e.g. [HCl] are used to show the concentration of a chemical. For example, you could write [HCl] = 0.1 mol dm-3 which means there is 0.1 mole of HCl per 1 litre of this solution. You can use c= Vn to find concentration, where n = number of moles and V is volume (in liters, L, or cubic decimeters, written dm3). You can then re-arrange for n=c∗v. Because concentration is measured in one unit per another unit (moles per litre), using the conversion factor method will not cancel your units like the examples with mass or volume. It is first easiest to separate the two unit conversions, combining them at the end. For example, find the concentration of a solution of 54g of solid NaOH pellets being dissolved in 1500 mL of water. Our target units are moles per litre: we will find moles using the mass and molar mass first, then find litres using the mL value given and then we will divide the moles by litres: 54 gNaOH∗ 40gNaOH1molNaOH = 1.35 molNaOH 1500 mLNaOH∗ 1000mLNaOH1LNaOH = 1.57 LNaOH Using C=n/v we can now find the concentration by dividing moles by volume: 1.5LNaOH1.35molNaOH = 0.9 MNaOH Using concentration to find the number of moles is very useful for knowing the amounts of substance in titration experiments. A titration is an experiment used to find out the unknown concentration of an acid by reacting it with a base of known concentration, or vice versa (unknown base with known acid). We call the solution of known concentration a standard solution. The concentration of this is known precisely. For an acid of known concentration reacting with a base of unknown concentration: A titration experiment runs until the number of moles of acid equals the number of moles of base, which is found by a colour change using an indicator. The known acid concentration and volume of acid is used to find the number of moles of acid, which is used to find the number of moles of the base of unknown concentration. Look for the molar ratio from the chemical equation, for example if acid A and base B react in the equation 2A + B → C + H2O to make salt C, there is a 2:1 molar ratio. The moles of A will be twice the moles of B. You use the number of moles found and the volume of the unknown concentration to find the concentration of the unknown substance. In the exercises of this lesson we will practice worked calculations using data from titration experiments, using the equation for concentration and unit conversions shown above. The detailed process of titration experiments is looked at in Acid-base titration Be careful with units of concentration, converting units if you need to. Volume is often given in mL but concentration is measured in moles per litre or moles per cubic decimeter, which has the same value. Dividing by 1000 converts from mL to L. Concept Introduction Moles and molar concentration are fundamental concepts in chemistry, essential for understanding stoichiometry and performing accurate calculations. A mole represents a specific number of particles (6.022 x 10^23), while molar concentration describes the amount of solute in a given volume of solution. The introduction video provides a clear and concise explanation of these concepts, serving as a crucial foundation for students embarking on their chemistry journey. By grasping moles and molar concentration, learners can effectively tackle more complex chemical problems and reactions. These concepts are indispensable in various chemistry calculations, including balancing chemical equations, predicting reaction outcomes, and determining product yields. Mastering moles and molar concentration is vital for success in chemistry, as they form the basis for understanding stoichiometric relationships and solution chemistry. The video's significance lies in its ability to demystify these abstract concepts, making them accessible and applicable to real-world chemical scenarios. FAQs Here are some frequently asked questions about moles and concentration: 1. How do you convert mL to moles? To convert mL to moles, you need to know the concentration of the solution. Use the formula: moles = (volume in L) × (concentration in mol/L). First, convert mL to L by dividing by 1000, then multiply by the concentration. 2. What is the relationship between concentration and molar concentration? Molar concentration is a specific type of concentration that expresses the number of moles of solute per liter of solution. It's typically measured in mol/L or M (molarity). Other concentration units can be converted to molar concentration if the molecular weight of the solute is known. 3. How do you calculate the number of moles from volume? To calculate moles from volume, use the formula: n = C × V, where n is the number of moles, C is the concentration in mol/L, and V is the volume in liters. Make sure to convert the volume to liters if it's given in mL. 4. What is the concentration formula c1v1 = c2v2? This formula is used for dilution calculations. It states that the product of the initial concentration (c1) and volume (v1) equals the product of the final concentration (c2) and volume (v2). It's useful for determining the concentration or volume after diluting a solution. 5. How do you convert percentage concentration to moles? To convert percentage concentration to moles, first convert the percentage to a decimal (e.g., 5% = 0.05). For w/v percentages, this decimal represents grams per mL. Multiply by the total volume in mL to get grams, then divide by the molecular weight to get moles. For v/v percentages, additional density information may be needed. Prerequisites Understanding moles and molar concentration is a fundamental concept in chemistry that builds upon several key prerequisite topics. While there are no specific prerequisite topics provided for this article, it's important to recognize that a strong foundation in basic chemistry principles is essential for grasping these concepts effectively. Moles and molar concentration are central to many chemical calculations and processes. To fully comprehend these ideas, students should have a solid understanding of atomic structure, chemical formulas, and basic mathematical skills. These foundational concepts provide the necessary framework for exploring the world of moles and molar concentration. Atomic structure knowledge helps students understand how atoms combine to form molecules and compounds, which is crucial when dealing with moles. Familiarity with chemical formulas allows for the accurate representation of substances and their relative quantities in chemical reactions. Additionally, basic mathematical skills, including algebra and unit conversions, are indispensable for performing mole-related calculations and determining molar concentrations. The concept of moles serves as a bridge between the microscopic world of atoms and molecules and the macroscopic world of measurable quantities. It allows chemists to relate the number of particles in a substance to its mass and volume. This relationship is fundamental in stoichiometry, solution chemistry, and many other areas of chemical analysis. Molar concentration, often expressed as molarity, is a measure of the amount of solute dissolved in a given volume of solution. This concept is crucial for understanding solution properties, reaction rates, and equilibrium processes. It builds upon the idea of moles and introduces the importance of volume in chemical calculations. By mastering these prerequisite topics, students can more easily grasp the intricacies of moles and molar concentration. They will be better equipped to solve complex chemical problems, predict reaction outcomes, and understand the behavior of substances in various chemical environments. As students progress in their chemistry studies, they will find that moles and molar concentration are recurring themes that connect various aspects of the subject. These concepts are essential for advanced topics such as acid-base chemistry, thermodynamics, and chemical kinetics. Therefore, a strong foundation in the prerequisites will not only aid in understanding moles and molar concentration but also pave the way for success in more advanced chemistry courses. In conclusion, while specific prerequisite topics were not provided, it's clear that a solid grounding in basic chemistry principles is vital for mastering moles and molar concentration. Students should focus on strengthening their understanding of atomic structure, chemical formulas, and mathematical skills to build a robust foundation for these important chemical concepts. Become a member to get more! Try FreeLearn More
9791	https://fr.scribd.com/document/377114293/Teorema-de-Castigliano	Teorema de Castigliano \| PDF \| Deformación (Mecánica) \| Ingeniería mecánica Opens in a new window Opens an external website Opens an external website in a new window This website utilizes technologies such as cookies to enable essential site functionality, as well as for analytics, personalization, and targeted advertising. To learn more, view the following link: Privacy Policy Open navigation menu Close suggestions Search Search en Change Language Upload Sign in Sign in Download free for 30 days 100%(1)100% found this document useful (1 vote) 1K views 4 pages Teorema de Castigliano El Teorema de Castigliano establece que el desplazamiento en un punto de una estructura elástica es igual a la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a la fuerza aplicada… Full description Uploaded by Sebastian Pedraza Ramirez AI-enhanced description Go to previous items Go to next items Download Save Save Teorema de Castigliano For Later Share 100%100% found this document useful, undefined 0%, undefined Print Embed Ask AI Report Download Save Teorema de Castigliano For Later You are on page 1/ 4 Search Fullscreen TEOREMA DE CASTIGLIANO Se utiliza para encontrar desplazamientos en estructuras con materiales elásticos lineales. Solo es aplicable a estructuras con temperatura constante y sin asentamientos en los extremos. “El desplazamiento en un punto determinado es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en el cuerpo con respecto a una fuerza aplicada en el punto y en la dirección del desplazamiento.” Para demostrar este teorema se utiliza el concepto de energía de deformación complementaria. Para el caso en que apliquemos la carga P y después apliquemos una variación pequeña de esta carga, la energía de deformación complementaria se calcularía como: donde: es la energía complementaria debida a la carga P es la variación de la energía complementaria debida a entonces: y . adDownload to read ad-free En el caso de que no tengamos una sola fuerza P, la energía complementaria estaría en función de todas las fuerzas aplicadas a la estructura y una variación de esa energía al variar cada una de estas fuerzas se puede encontrar como el diferencial total de U: Si aplicamos todas las cargas y solo se varia , entonces: y igualando y canceland o el termino , nos queda: Para un material lineal la energía y la energía complem entaria son iguales ( ) por lo tanto se comprueba el teorema de Castigliano. También se cumple para rotaciones: Forma de usar el teorema para el cálculo de deformaciones: 1. Para elementos que trabajan solo por carga axial: y = 2. Para deformacione s por flexión: en todas estas ecuaciones la deformac ión es en el punto de aplicación de la carga Pi, la cual puede ser ficticia y después de derivar se iguala a cero. Esta misma metodología se aplica a las deformaciones por cortante y torsión. adDownload to read ad-free EJEMPLO 1 DETERMINAR EN EL PUNTO C CUANTO ES LA DESVIACION MEDIANTE EL TEOREMA DE CASTIGLIANO SOLUCION YB = ? Para calcular la deflexión en B aplicamos una carga p en el punto B Debido a esta carga se producen reacciones Ahora hallamos l a reacciones que produce esta carga P ∑Fy=0 -wL/2 – P + Ry = 0 Ry = P + wL/2 ∑ MA=0 M A – PL/2 – wL/2(L/2 + L/4) = 0 M A = PL/2 + 3wL 2 /8 Ahora hacemos cortes en las zonas donde hay cambios de fuerza adDownload to read ad-free Evaluamos el corte a-a (0 <= x <= L/2) Y hallamos las ecuaciones de momento en ese tramo Ma = (P + wL/2)X – (PL/2 +3wL2/8) Hallamos la derivada parcial de M1 respecto a la carga ficticia P ∂Ma/∂P = X – L/2 Evaluamos el corte b-b (L/2 <= x <= L) Y hallamos las ecuaciones de momento en ese tramo Ma = (P + wL/2)X – (PL/2 +3wL2/8) – P( X – L/2) – w/2 ( X – L/2)2 Hallamos la derivada parcial de Mb respecto a la carga ficticia P ∂Mb/∂P = X – L/2 - X + L/2 = 0 Aplicamos el teo rema de Castiglian o. Por Castigliano sabemos que la deflexión en el punto C es la derivada de la energía respecto a la carga P (Yc= ∂ Ʋ / ∂ P) Yc= ∂ Ʋ / ∂ P = 1/EI ( ʃ 0l/2 (wLX/2 - 3wL2/8 )( X – L/2) dx )= 7wL4/192EI OBJETIVOS Conocer los distintos métodos de análisis estructural Evaluar cual de los métodos a utilizar es el mas adecuado Aprender a utilizarlo s de manera co rrecta Share this document Share on Facebook, opens a new window Share on LinkedIn, opens a new window Share with Email, opens mail client Copy link Millions of documents at your fingertips, ad-free Subscribe with a free trial You might also like Fuerza Elástica o Recuperadora No ratings yet Fuerza Elástica o Recuperadora 7 pages Acero Grado 60 No ratings yet Acero Grado 60 8 pages Teoremas de Castigliano 72% (25) Teoremas de Castigliano 50 pages 02 Planillas Madera (Diseño) No ratings yet 02 Planillas Madera (Diseño) 66 pages Cirsoc 303 Chapa Plegada No ratings yet Cirsoc 303 Chapa Plegada 126 pages Diapositivas Tesis Final02 No ratings yet Diapositivas Tesis Final02 124 pages Unidad 03 No ratings yet Unidad 03 96 pages Presentacion Deformacion 100% (3) Presentacion Deformacion 35 pages MSG 03 Plas - Criterios No ratings yet MSG 03 Plas - Criterios 47 pages Primer Teorema de Castigliano No ratings yet Primer Teorema de Castigliano 4 pages EXPERIENCIA N°01 Constante Elásticas No ratings yet EXPERIENCIA N°01 Constante Elásticas 20 pages Maxwell y Betti 50% (2) Maxwell y Betti 28 pages Lenguas Indígenas del Perú No ratings yet Lenguas Indígenas del Perú 22 pages Hid Sup 3 No ratings yet Hid Sup 3 25 pages Ingenieria 03 No ratings yet Ingenieria 03 15 pages Plasticidad A No ratings yet Plasticidad A 15 pages Metodo de Castigliano en Pórticos A I. 67% (3) Metodo de Castigliano en Pórticos A I. 42 pages Tema 3 Clase 6 No ratings yet Tema 3 Clase 6 32 pages Ejercicios Unidad 1 No ratings yet Ejercicios Unidad 1 9 pages TCS-T1 Grupo4 No ratings yet TCS-T1 Grupo4 17 pages Analisis de Vigas Rectangulares en El Estado Elastico "Seccion Agrietada" No ratings yet Analisis de Vigas Rectangulares en El Estado Elastico "Seccion Agrietada" 33 pages Zapatas - Grupo 06 - Libro Structural Concrete (2) - 241202 - 161343 No ratings yet Zapatas - Grupo 06 - Libro Structural Concrete (2) - 241202 - 161343 24 pages Primer Teorema de Castigliano No ratings yet Primer Teorema de Castigliano 17 pages Ejercicios Resueltos 2 - Método de Flexibilidad No ratings yet Ejercicios Resueltos 2 - Método de Flexibilidad 12 pages Método de Castigliano en Vigas Isostáticas e Hiperestáticas 100% (2) Método de Castigliano en Vigas Isostáticas e Hiperestáticas 12 pages Unidad 3.1 Geotecnica Aplicada A GOV - Charles Alcedo No ratings yet Unidad 3.1 Geotecnica Aplicada A GOV - Charles Alcedo 18 pages Resumen de Presentación SMIE . - Flexión y Corte de Vigas de PRFV No ratings yet Resumen de Presentación SMIE . - Flexión y Corte de Vigas de PRFV 13 pages Mapa Del B-021 Distrito de Subtanjalla - Emf No ratings yet Mapa Del B-021 Distrito de Subtanjalla - Emf 1 page Mapa Del B-021 Distrito de Subtanjalla - Emf No ratings yet Mapa Del B-021 Distrito de Subtanjalla - Emf 1 page Diseño de Vigas a Flexión No ratings yet Diseño de Vigas a Flexión 15 pages R - CU 387 2021 UAC Reglamento Epg No ratings yet R - CU 387 2021 UAC Reglamento Epg 3 pages Metodo de Rigidez No ratings yet Metodo de Rigidez 20 pages DUCTILIDAD No ratings yet DUCTILIDAD 9 pages Ejercicio Metodo Pendiente No ratings yet Ejercicio Metodo Pendiente 28 pages Informes E.traccion No ratings yet Informes E.traccion 9 pages Recomendaciones para Irregularidades No ratings yet Recomendaciones para Irregularidades 6 pages TESIS 1 - Ejercicio de La Lectura 4 No ratings yet TESIS 1 - Ejercicio de La Lectura 4 6 pages Diseño de Elemento A Compresión Capitulo E: Estados Limite No ratings yet Diseño de Elemento A Compresión Capitulo E: Estados Limite 22 pages Tarea Asíncrona N°3 No ratings yet Tarea Asíncrona N°3 6 pages Paper Resistencia de Materiales No ratings yet Paper Resistencia de Materiales 6 pages Resistencia y Deformación de Rocas No ratings yet Resistencia y Deformación de Rocas 31 pages T.Investigacion - Corte Directo - Dinamica C4 2 No ratings yet T.Investigacion - Corte Directo - Dinamica C4 2 23 pages Resumen - El Concreto No ratings yet Resumen - El Concreto 4 pages Ensayo de Compresion No ratings yet Ensayo de Compresion 8 pages Teorema de Castigliano No ratings yet Teorema de Castigliano 10 pages Correccion Parcial 1 No ratings yet Correccion Parcial 1 7 pages Apuntes Piloto Operador RPAS No ratings yet Apuntes Piloto Operador RPAS 3 pages Método de Superposición No ratings yet Método de Superposición 7 pages Modelo de Solicitud Simple No ratings yet Modelo de Solicitud Simple 1 page Optimizacion-Cilindro e 2 3 No ratings yet Optimizacion-Cilindro e 2 3 2 pages Metodos Energeticos No ratings yet Metodos Energeticos 27 pages Ejercicios de Aplicacion No ratings yet Ejercicios de Aplicacion 2 pages Biografía y Teorema de Castigliano No ratings yet Biografía y Teorema de Castigliano 14 pages Ejercicios de Clasificación de Suelos No ratings yet Ejercicios de Clasificación de Suelos 1 page Betty y Maxwel No ratings yet Betty y Maxwel 19 pages Villacis - Joel - Guía Individual - Formulario No ratings yet Villacis - Joel - Guía Individual - Formulario 3 pages Solucionario Fisica 3 100% (1) Solucionario Fisica 3 3 pages Formato A-1 Solicitud No ratings yet Formato A-1 Solicitud 1 page Anexo 01 - Formato de Solicitud para Estudiantes y Tesistas No ratings yet Anexo 01 - Formato de Solicitud para Estudiantes y Tesistas 1 page Teorema de Castigliano: Deflexión y Pendiente No ratings yet Teorema de Castigliano: Deflexión y Pendiente 5 pages z01 - Diseño de Zapatas Aisladas Cuadradas X Teoría Elástica No ratings yet z01 - Diseño de Zapatas Aisladas Cuadradas X Teoría Elástica 2 pages Teorema de Castigliano-Analisis Estructural I 0% (1) Teorema de Castigliano-Analisis Estructural I 20 pages Clase 10 - Teorema de Castigliano No ratings yet Clase 10 - Teorema de Castigliano 5 pages Trabajo Externo y Energia de Deformacion No ratings yet Trabajo Externo y Energia de Deformacion 10 pages Principio Del Trabajo Virtual 67% (3) Principio Del Trabajo Virtual 3 pages Teorema de Castigliano No ratings yet Teorema de Castigliano 4 pages Tabla de 30 Vigas No ratings yet Tabla de 30 Vigas 2 pages Pandeo Lateral en Vigas ANSI-AISC No ratings yet Pandeo Lateral en Vigas ANSI-AISC 2 pages Análisis de Vigas y Marcos por Pendiente-Deflexión No ratings yet Análisis de Vigas y Marcos por Pendiente-Deflexión 37 pages 2.1 I Teorema de Castigliano en Armaduras No ratings yet 2.1 I Teorema de Castigliano en Armaduras 4 pages Trabajo Externo y Energía de Deformación No ratings yet Trabajo Externo y Energía de Deformación 8 pages 14 - Tema 8 METODO DE CASTIGLIANO 0% (1) 14 - Tema 8 METODO DE CASTIGLIANO 25 pages 5 Metodos de Analisis para Estructuras Hiperestaticas No ratings yet 5 Metodos de Analisis para Estructuras Hiperestaticas 7 pages Teorema de Castigliano I 0% (1) Teorema de Castigliano I 21 pages Ejercicios Sobre Rigideces No ratings yet Ejercicios Sobre Rigideces 6 pages Metodo Pendientes - Deflexiones Teoria de Estructura I No ratings yet Metodo Pendientes - Deflexiones Teoria de Estructura I 6 pages Metodo Pendiente Deflexion PDF No ratings yet Metodo Pendiente Deflexion PDF 12 pages Teorema de Menabrea o 2do Teorema de Castiliano 50% (2) Teorema de Menabrea o 2do Teorema de Castiliano 6 pages Análisis de Pórticos Con El Uso Del Método de La Rigidez No ratings yet Análisis de Pórticos Con El Uso Del Método de La Rigidez 17 pages Metodos Energeticos... Problemas Resueltos Resistencia de Materiales 2 67% (3) Metodos Energeticos... Problemas Resueltos Resistencia de Materiales 2 25 pages Segundo Teorema de Castigliano No ratings yet Segundo Teorema de Castigliano 6 pages Aplicacion Del Met. de La Viga Conjugada A Caso Real No ratings yet Aplicacion Del Met. de La Viga Conjugada A Caso Real 41 pages Informe de Investigacion de Los Estribos en Puentes. No ratings yet Informe de Investigacion de Los Estribos en Puentes. 22 pages Trabajo de Castigliano - Fin No ratings yet Trabajo de Castigliano - Fin 30 pages Teoremas de Castigliano: Vigas y Armaduras 100% (1) Teoremas de Castigliano: Vigas y Armaduras 20 pages Sesión 04 - Deformadas y Método de Área de Momentos No ratings yet Sesión 04 - Deformadas y Método de Área de Momentos 19 pages Marco Teorico No ratings yet Marco Teorico 22 pages Primer Teorema de Castigliano y El Método de Trabajo Mínimo 100% (2) Primer Teorema de Castigliano y El Método de Trabajo Mínimo 12 pages Métodos Energéticos en Estructuras 100% (2) Métodos Energéticos en Estructuras 28 pages Vigas Doblemente Reforzadas No ratings yet Vigas Doblemente Reforzadas 11 pages 2.0 Metodos de Energia No ratings yet 2.0 Metodos de Energia 46 pages Teorema Por Métodos Energéticos PDF 75% (4) Teorema Por Métodos Energéticos PDF 51 pages Actividad 3 - Tema 1 Introducción No ratings yet Actividad 3 - Tema 1 Introducción 5 pages Teorema de Betti: Reciprocidad en Cargas No ratings yet Teorema de Betti: Reciprocidad en Cargas 3 pages Primer Teorema de Castigliano 0% (2) Primer Teorema de Castigliano 9 pages Monografia Pendiente Deflexion No ratings yet Monografia Pendiente Deflexion 20 pages Proyecto Primer Ciclo - Metodo Trabajo Minimo 50% (2) Proyecto Primer Ciclo - Metodo Trabajo Minimo 11 pages Mapa-Metodos Energeticos 100% (1) Mapa-Metodos Energeticos 1 page Cargas Nodales No ratings yet Cargas Nodales 9 pages Actividad 2. Resumen Analisis de Armaduras Utilizando El Metodo de Rigidez. Jesus Rodriguez Pino No ratings yet Actividad 2. Resumen Analisis de Armaduras Utilizando El Metodo de Rigidez. Jesus Rodriguez Pino 11 pages Método de Fuerzas No ratings yet Método de Fuerzas 7 pages Método Virtual en Vigas No ratings yet Método Virtual en Vigas 3 pages Principio de Superposicion No ratings yet Principio de Superposicion 10 pages Teorema de Castigliano y Aplicaciones 100% (1) Teorema de Castigliano y Aplicaciones 5 pages Comportamiento Estructural de Las Vigas-1 No ratings yet Comportamiento Estructural de Las Vigas-1 11 pages Teoremas de Castigliano No ratings yet Teoremas de Castigliano 3 pages Teorema de Castigliano Simplificado No ratings yet Teorema de Castigliano Simplificado 5 pages OBJETIVOS de Rigidez 100% (1) OBJETIVOS de Rigidez 2 pages Documents Teaching Methods & Materials Mathematics ad Footer menu Back to top About About Scribd, Inc. Everand: Ebooks & Audiobooks Slideshare Join our team! Contact us Support Help / FAQ Accessibility Purchase help AdChoices Legal Terms Privacy Copyright Cookie Preferences Do not sell or share my personal information Social Instagram Instagram Facebook Facebook Pinterest Pinterest Get our free apps About About Scribd, Inc. Everand: Ebooks & Audiobooks Slideshare Join our team! Contact us Legal Terms Privacy Copyright Cookie Preferences Do not sell or share my personal information Support Help / FAQ Accessibility Purchase help AdChoices Social Instagram Instagram Facebook Facebook Pinterest Pinterest Get our free apps Documents Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. We take content rights seriously. Learn more in our FAQs or report infringement here. We take content rights seriously. Learn more in our FAQs or report infringement here. Language: English Copyright © 2025 Scribd Inc. 576648e32a3d8b82ca71961b7a986505 scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.scribd.
9792	https://en.khanacademy.org/science/mh-bridge-course-grade-7-science-new/x93614176e47fc2cc:our-skeletal-system/x93614176e47fc2cc:human-skeletal-system/v/human-skeletal-system	Use of cookies Cookies are small files placed on your device that collect information when you use Khan Academy. Strictly necessary cookies are used to make our site work and are required. Other types of cookies are used to improve your experience, to analyze how Khan Academy is used, and to market our service. You can allow or disallow these other cookies by checking or unchecking the boxes below. You can learn more in our cookie policy Privacy Preference Center When you visit any website, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized web experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and change our default settings. However, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. More information Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active Certain cookies and other technologies are essential in order to enable our Service to provide the features you have requested, such as making it possible for you to access our product and information related to your account. For example, each time you log into our Service, a Strictly Necessary Cookie authenticates that it is you logging in and allows you to use the Service without having to re-enter your password when you visit a new page or new unit during your browsing session. Functional Cookies These cookies provide you with a more tailored experience and allow you to make certain selections on our Service. For example, these cookies store information such as your preferred language and website preferences. Targeting Cookies These cookies are used on a limited basis, only on pages directed to adults (teachers, donors, or parents). We use these cookies to inform our own digital marketing and help us connect with people who are interested in our Service and our mission. We do not use cookies to serve third party ads on our Service. Performance Cookies These cookies and other technologies allow us to understand how you interact with our Service (e.g., how often you use our Service, where you are accessing the Service from and the content that you’re interacting with). Analytic cookies enable us to support and improve how our Service operates. For example, we use Google Analytics cookies to help us measure traffic and usage trends for the Service, and to understand more about the demographics of our users. We also may use web beacons to gauge the effectiveness of certain communications and the effectiveness of our marketing campaigns via HTML emails. Top Voted
9793	https://www.teacherspayteachers.com/Product/Particle-Diagram-Visual-Stoichiometry-Activity-Print-and-Digital-Resource-6119917	Particle Diagram Visual Stoichiometry Activity - Print and Digital Resource Log InSign Up Cart is empty Total: $0.00 View Wish ListView Cart Grade Elementary Preschool Kindergarten 1st grade 2nd grade 3rd grade 4th grade 5th grade Middle school 6th grade 7th grade 8th grade High school 9th grade 10th grade 11th grade 12th grade Adult education Resource type Student practice Independent work packet Worksheets Assessment Graphic organizers Task cards Flash cards Teacher tools Classroom management Teacher manuals Outlines Rubrics Syllabi Unit plans Lessons Activities Games Centers Projects Laboratory Songs Clip art Classroom decor Bulletin board ideas Posters Word walls Printables Seasonal Holiday Black History Month Christmas-Chanukah-Kwanzaa Earth Day Easter Halloween Hispanic Heritage Month Martin Luther King Day Presidents' Day St. Patrick's Day Thanksgiving New Year Valentine's Day Women's History Month Seasonal Autumn Winter Spring Summer Back to school End of year ELA ELA by grade PreK ELA Kindergarten ELA 1st grade ELA 2nd grade ELA 3rd grade ELA 4th grade ELA 5th grade ELA 6th grade ELA 7th grade ELA 8th grade ELA High school ELA Elementary ELA Reading Writing Phonics Vocabulary Grammar Spelling Poetry ELA test prep Middle school ELA Literature Informational text Writing Creative writing Writing-essays ELA test prep High school ELA Literature Informational text Writing Creative writing Writing-essays ELA test prep Math Math by grade PreK math Kindergarten math 1st grade math 2nd grade math 3rd grade math 4th grade math 5th grade math 6th grade math 7th grade math 8th grade math High school math Elementary math Basic operations Numbers Geometry Measurement Mental math Place value Arithmetic Fractions Decimals Math test prep Middle school math Algebra Basic operations Decimals Fractions Geometry Math test prep High school math Algebra Algebra 2 Geometry Math test prep Statistics Precalculus Calculus Science Science by grade PreK science Kindergarten science 1st grade science 2nd grade science 3rd grade science 4th grade science 5th grade science 6th grade science 7th grade science 8th grade science High school science By topic Astronomy Biology Chemistry Earth sciences Physics Physical science Social studies Social studies by grade PreK social studies Kindergarten social studies 1st grade social studies 2nd grade social studies 3rd grade social studies 4th grade social studies 5th grade social studies 6th grade social studies 7th grade social studies 8th grade social studies High school social studies Social studies by topic Ancient history Economics European history Government Geography Native Americans Middle ages Psychology U.S. History World history Languages Languages American sign language Arabic Chinese French German Italian Japanese Latin Portuguese Spanish Arts Arts Art history Graphic arts Visual arts Other (arts) Performing arts Dance Drama Instrumental music Music Music composition Vocal music Special education Speech therapy Social emotional Social emotional Character education Classroom community School counseling School psychology Social emotional learning Specialty Specialty Career and technical education Child care Coaching Cooking Health Life skills Occupational therapy Physical education Physical therapy Professional development Service learning Vocational education Other (specialty) Particle Diagram Visual Stoichiometry Activity - Print and Digital Resource Rated 4.78 out of 5, based on 9 reviews 4.8(9 ratings) $3.50 Add to cart Wish List DescriptionReviews 9Q&A 2Standards 1 More from ChemKate Thumbnail 1 Thumbnail 2 Thumbnail 3 View Preview Share What others say "This activity allowed me to quickly identify where my students struggled when determining molar ratios. It helped to simplify what a mole ratio is." Amberlee V. See 8 more reviews Description Looking for a no-prep particle diagram stoichiometry activityfor your chemistry students? In print and digital Google Apps format, this particle diagram stoichiometry activity asks students to utilize mole ratios of balanced chemical equations. Given either the amount of reactant or product, students predict what the other half of the reaction would look like.Use in multiple levels of chemistry: introductory to AP chemistry. Great as bell ringers, in-class practice, distance learning, exit/entrance slips, review, homework, or early finishers. ✦ This, along with the links below, are available in my costs-savings Stoichiometry Activity Bundle. Save time and assurance with all the activities found in this Full-Year Chemistry I Activity Mega Bundle-whichincludes a wide variety of guided inquiry activities, graphic organizers, digital practice, and application ✦ You may also like: Stoichiometry Flipbook notes - Print, Digital,and Editable organized layout of the different types of stoichiometry problems Stoichiometry Digital Task Cards -self-grading Boom cards or interactive Google slides Stoichiometry Question Trail - Print and Digital engaging review ● Interested in more? Click below: Stoichiometry Resources Acid-Base Resources Bonding Resources AP® Chemistry Resources Lab Resources ● Be sure to follow my store to be alerted of new products: CLICK HERE ● Did you know that you can receive credittowards future TpT purchases by reviewing this product? Please help my store grow by leaving a review at the product page or through "My Purchases" under "My Account" at TpT. I enjoy making products to help you be successful in the classroom, so if you have any other questions or suggestions, please contact me in the "Ask a Question" or via KateCk@chemkate.com Report this resource to TPT Reported resources will be reviewed by our team. Report this resource to let us know if this resource violates TPT's content guidelines. Particle Diagram Visual Stoichiometry Activity - Print and Digital Resource Rated 4.78 out of 5, based on 9 reviews 4.8(9 ratings) ChemKate Follow 2.7k Followers $3.50 Add to cart Wish List Specs What's Included Grade 9 th - 12 th, Adult Education, Higher Education Mostly used with 10th and 11th Subject Chemistry, Physical Science, Science Standards NGSS HS-PS1-7 Tags Activities, Homeschool, Internet Activities Save even more with bundles Custom Bundle for Austin B. This is a custom bundle, but you may purchase this custom bundle for yourself or request your own by emailing KateCk@ChemKate.com. Deeper discounts, anywhere from 20-30% off are based on the price range. Please email me for details.This custom bundle includes a sampling of year-long activities. ✨ Th $299.38 Price $299.38$427.69 Original Price $427.69 Save $128.31 112 Stoichiometry Chemistry Activities Bundle \| Print and Digital mix Simplify your stoichiometry lesson planning and engage your students with these supportive, engaging stoichiometry activities. Below you will find a wide range of print and digital resources from interactive notes, foldable and self-grading activities for your stoichiometry unit.Listed in order bel $37.19 Price $37.19$46.49 Original Price $46.49 Save $9.30 13 Full Year Chemistry Activities Mega Bundle \| no-prep print, digital curriculum Save time and engage your chemistry students with this comprehensive Full Year Chemistry I Activities Mega Bundle. A great addition to any notes curriculum, this full-year bundle includes over 150 resources: full of self-grading and self-checking activities, inquiry tasks, labs, escape rooms, partic $343.80 Price $343.80$491.14 Original Price $491.14 Save $147.34 153 1 2 Reviews 4.8 Rated 4.78 out of 5, based on 9 reviews 9 ratings Mostly used with 10th and 11th grades Reviews 6 5 2 10th 11th 12th This product (9) All products (2,615) All verified TPT purchases All ratings 5 stars 4 stars All grades 10th grade 11th grade 12th grade Sort by: Most recent Most relevant Most recent Highest rating Lowest rating Rated 5 out of 5 April 11, 2025 This activity allowed me to quickly identify where my students struggled when determining molar ratios. It helped to simplify what a mole ratio is. Amberlee V. 30 reviews Grades taught:10th Rated 5 out of 5 May 30, 2024 Use this for PAP to help student visualize the particles Bernie M. 806 reviews Grades taught:10th Rated 4 out of 5 February 26, 2023 My students were fixated on this assignment. It helped them understand stoichiometry a little better. I'd like to see a version of it where they can identify the limiting and excess reactant. Thank you. Liliana L. 339 reviews Grades taught:10th Rated 5 out of 5 November 10, 2021 Great practice for drawing particulate representations for AP chemistry. Jennifer M. 410 reviews Grades taught:11th Rated 5 out of 5 November 8, 2021 Great activity!!!! Tanya E. 749 reviews Grades taught:11th, 12th Rated 5 out of 5 August 1, 2021 This was a great resource for my students to see particle diagrams of stoichiometry! Katie D. 326 reviews Grades taught:10th, 11th Rated 5 out of 5 April 21, 2021 This was a great resource to use with my chemistry students. I liked that it was interactive (drag and drop) kind of like if we cut paper out and moved things around in person. I also liked how the questions were the background of the slide so students could not accidentally change something. We did this as an at home asynchronous activity, they downloaded it as a PDF to turn in, and then we went over the patterns they found during class with our notes. Kaycee D. 12 reviews Grades taught:10th Rated 5 out of 5 March 2, 2021 I loved the visual aspect of this activity. This is a great resource to help teach stoichiometry in AP Chemistry. I found it helpful to do an example with the kids to get them started. Sarah M. 162 reviews Grades taught:11th Response from ChemKate(TPT Seller) Mar 30, 2021 That's a great idea, Sarah. Thanks for sharing that! I appreciate your time and thoughtful feedback. Thank you, Kate Show more Show more reviews Questions & Answers Please log into post a question. MR Question \|August 7, 2024 from Merissa R. Do you have a version of this activity that has limiting and excess reactants? That is what I am looking for my Honors Chem class. Answer \|August 7, 2024 from ChemKate (TPT Seller) Hi Merissa, Thanks for asking and I'm happy to share that I do! You can find it here: Sincerely, Kate Show More MG Question \|November 19, 2021 from Margaret G. Really great, but I think the digital #12 is missing a molecule to start? I did this as a quick AP review and they pointed it out. The paper version has 6 molecules, the digital only has 5 Show More Answer \|November 19, 2021 from ChemKate (TPT Seller) Hi Margaret, Thanks for reaching out! Great idea using it as quick AP review and great catch from your student. I appreciate you letting me know. I've just updated the digital versions, so when you select the same forced copy link, it will send you the updated last slide, for both the student & answer key. I'd be happy to send you any resource of equal or lesser value for your trouble. We can't reply back & forth here, but you can email me at KateCk@chemkate.com. Thank you, Kate Show More Standards Log in to see state-specific standards (only available in the US). NGSS HS-PS1-7 Use mathematical representations to support the claim that atoms, and therefore mass, are conserved during a chemical reaction. Emphasis is on using mathematical ideas to communicate the proportional relationships between masses of atoms in the reactants and the products, and the translation of these relationships to the macroscopic scale using the mole as the conversion from the atomic to the macroscopic scale. Emphasis is on assessing students’ use of mathematical thinking and not on memorization and rote application of problem-solving techniques. Assessment does not include complex chemical reactions. Meet the Teacher-Author ### ChemKate Follow My chemical equation: 𝐜𝐫𝐞𝐚𝐭𝐢𝐯𝐞 + 𝐬𝐮𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭𝐢𝐯𝐞 → 𝐬𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲 + 𝐥𝐞𝐚𝐫𝐧 ⚗️ I know what it’s like to teach a course without supportive materials - let alone an abstract course like chemistry. 20 years of teaching chemistry, AP chemistry and biology infuses my love of creating interactive, engaging activities and resources to help support you. Show More Indiana, United States 4.83 Store rating after 2.6k reviews 2.7k Followers I love seeing students believe in themselves more than they ever imagined. Awards: 2015 local and 2020 state Teacher of the Year⁣, ACS and NMSI ⁣Chemistry Presenter Show More You may also like previous Scientific Notation Notes \| editable, self-grading science chemistry curriculum $6.99 Original Price $6.99 Rated 5 out of 5, based on 3 reviews 5.0 (3) Lab Safety Science Rules editable Contract and self-grading Quiz \| print digital $5.00 Original Price $5.00 Rated 5 out of 5, based on 1 reviews 5.0 (1) Acids and Bases Editable Full Chemistry Lesson Bundle \| Print and Digital $26.29 Price $26.29$32.95 Original Price $32.95 Rated 5 out of 5, based on 4 reviews 5.0 (4) Chemistry Final Exam Review Question Trail Activity - editable, print, digital $4.00 Original Price $4.00 Rated 5 out of 5, based on 3 reviews 5.0 (3) next 0 1 More from this Teacher-Author 💲 Save $$ with Bundles🤸‍♂️ Activities🗒️ Notes⚗️ Chemistry TPT is the largest marketplace for PreK-12 resources, powered by a community of educators. Facebook Instagram Pinterest Twitter About Who we are We're hiring Press Blog Gift Cards Support Help & FAQ Security Privacy policy Student privacy Terms of service Tell us what you think Updates Get our weekly newsletter with free resources, updates, and special offers. Get newsletter IXL family of brands IXL Comprehensive K-12 personalized learning Rosetta Stone Immersive learning for 25 languages Wyzant Trusted tutors for 300 subjects Education.com 35,000 worksheets, games, and lesson plans Vocabulary.com Adaptive learning for English vocabulary Emmersion Fast and accurate language certification Thesaurus.com Essential reference for synonyms and antonyms Dictionary.com Comprehensive resource for word definitions and usage SpanishDictionary.com Spanish-English dictionary, translator, and learning FrenchDictionary.com French-English dictionary, translator, and learning Ingles.com Diccionario inglés-español, traductor y sitio de aprendizaje ABCya Fun educational games for kids © 2025 by IXL Learning \|Protected by reCAPTCHAPrivacy•Terms
9794	https://math.stackexchange.com/questions/464025/how-do-i-factor-equations-involving-ex	Skip to main content How do I factor equations involving ex? Ask Question Asked Modified 12 years ago Viewed 3k times This question shows research effort; it is useful and clear 1 Save this question. Show activity on this post. I was reviewing some of my notes from Calculus 1 so that I can prepare for Calculus 2 this fall, and I ran into one problem where I don't understand how the factoring works. limx→∞e1/x+e−1/xe1/x−e−1/x Then substituting... u=1x I know what the answer to this question is, but this step in the solution manual confused me: limx→∞eu(1+e−2u)eu(1−e−2u) My brain is still getting prepared to get back into doing math regularly after the summer vacation, but I'm hitting a serious wall trying to understand how this expression can be factored this way. Any help in understanding this is greatly appreciated! calculus factoring exponential-function Share CC BY-SA 3.0 Follow this question to receive notifications edited Aug 10, 2013 at 3:46 nullByteMe asked Aug 10, 2013 at 3:04 nullByteMenullByteMe 3,8231919 gold badges8787 silver badges125125 bronze badges 2 2 First there isn't any n in the expression after the lim symbol. But it also looks like you miscopied something from the solution manual. I think the top factor should be (1+e−2u). That way when "multiplied out" the top becomes eu+e−u as it should to match. – coffeemath Commented Aug 10, 2013 at 3:15 @coffeemath good catch! Both typos. I will fix now – nullByteMe Commented Aug 10, 2013 at 3:17 Add a comment \| 2 Answers 2 Reset to default This answer is useful 2 Save this answer. Show activity on this post. HINT: If u=1/x then eu(1+e−2u)=eu+e−u=e1x+e−1x which now matches the top of your expression. Similarly eu(1−e2u) matches the bottom of the expression. In the u version the two eu factors cancel, and the expression becomes 1+e−2/x1−e−2/x. This looks like, as x→∞, then −2/x→0 so that the exponential terms go to 1 and it diverges. Share CC BY-SA 3.0 Follow this answer to receive notifications edited Aug 10, 2013 at 3:30 answered Aug 10, 2013 at 3:25 coffeemathcoffeemath 30.2k22 gold badges3434 silver badges5353 bronze badges 2 2 Actually, it does not since limx→∞(1+e−2x)=2≠0 – Doctor Dan Commented Aug 10, 2013 at 3:28 @DoctorDan Correct comment. So it diverges... – coffeemath Commented Aug 10, 2013 at 3:31 Add a comment \| This answer is useful 1 Save this answer. Show activity on this post. if you have substituted u = 1/x then your limit is now u → 0 and e-2u → 1. The top term → 2 and the bottom term to -∞. So yes it diverges. Coffeemath said the same thing, but I want to point out to be careful that when you change variables you also must change the limits accordingly. Share CC BY-SA 3.0 Follow this answer to receive notifications answered Aug 10, 2013 at 3:50 Betty MockBetty Mock 3,6161717 silver badges1717 bronze badges Add a comment \| You must log in to answer this question. Start asking to get answers Find the answer to your question by asking. Ask question Explore related questions calculus factoring exponential-function See similar questions with these tags. Featured on Meta Community help needed to clean up goo.gl links (by August 25) Related 2 Need help with a limit to infinity involving a radical with indeterminate form (stuck in the factoring) 1 Factoring x2+x+1>0 from Spivak Calculus exercise 1 Implications of the existence of limx→a+f′(x)g′(x) 1 Evaluating the limit of a problem with a root in the numerator 0 Calculus. Finding limit of sequence. Trouble with L'Hopitals. 2 Quickly evaluating this limit: limx→0(1x2−1sin2x) 1 How can I Fix this Proof of the Fundamental Theorem of Calculus Using a Riemann Sum? 2 Why do we treat h as approaching to 0 but we also treat it as equal to 0 in the derivative definition? 1 Proving Factorability of Limits Hot Network Questions Ok to solder copper pipe that's close to black gas pipe Symmetrical weight paint doesn't work on symmetrized bones? When does Bayesianism generate knowledge? How do I introduce my 5 yo granddaughter to her father that went to prison when she was 3 months old? What building(s) were used as the filming locations for the “Jump Program”? How Do I Talk of Someone Whose Name Appeared in the Paper Basic Photogate Circuit Analysis Holomorphic analogue of Fundamental Lemma of Calculus of Variations Memorizing inconsistent key names in pgfplots What’s the point of passing an ordinance that only recommends residents limit smartphone use to 2 hours/day if there are no penalties for exceeding it Are sentences like 她的眼镜太脏，看不清楚黑板, where there's an unindicated change in subject between clauses, considered unproblematic? How can I encourage players to play optimally against bosses? What would a God who controls the stars and heavens be called? Fastest double check? Solver-agnostic Modeling Language in Java Plotting the surface gained by joining every point of a line to every point of another line in 3D space Malfunction in which DC power is not turned off when controlled by NPN and P-CH FET What happens during the "ambassador was called by the ministry" meeting? How do electrons microscopically drift in the conductor? How to make Rsync newly write all file perms, ownership etc. only? In the books of “A Song of Ice and Fire”, how did Jeyne Poole, Sansa's best friend, end up at the Boltons under the name of Arya? When did the Green Lantern Corps start to refer to themselves as such? What makes a metric representative and reliable when comparing different processes? What exactly is the Schwarzschild radius? more hot questions Question feed By clicking “Accept all cookies”, you agree Stack Exchange can store cookies on your device and disclose information in accordance with our Cookie Policy. Cookie Consent Preference Center When you visit any of our websites, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences, or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and manage your preferences. Please note, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. Cookie Policy Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active These cookies are necessary for the website to function and cannot be switched off in our systems. They are usually only set in response to actions made by you which amount to a request for services, such as setting your privacy preferences, logging in or filling in forms. You can set your browser to block or alert you about these cookies, but some parts of the site will not then work. These cookies do not store any personally identifiable information. Performance Cookies These cookies allow us to count visits and traffic sources so we can measure and improve the performance of our site. They help us to know which pages are the most and least popular and see how visitors move around the site. All information these cookies collect is aggregated and therefore anonymous. If you do not allow these cookies we will not know when you have visited our site, and will not be able to monitor its performance. Functional Cookies These cookies enable the website to provide enhanced functionality and personalisation. They may be set by us or by third party providers whose services we have added to our pages. If you do not allow these cookies then some or all of these services may not function properly. Targeting Cookies These cookies are used to make advertising messages more relevant to you and may be set through our site by us or by our advertising partners. They may be used to build a profile of your interests and show you relevant advertising on our site or on other sites. They do not store directly personal information, but are based on uniquely identifying your browser and internet device.
9795	https://www.hmsgenmedfellowship.org/curriculum	Curriculum top of page Skip to Main Content HOME PROGRAMS Beth Israel Deaconess Medical Center Brigham and Women's Hospital - General Medicine Brigham and Women's Hospital - Pharmacoepidemiology and Pharmoeconomics Brigham and Women's Hospitalist Program Cambridge Hospital Department of Population Medicine Massachusetts General Hospital FACULTY Beth Israel Deaconess Medical Center Brigham and Women's Hospital Brigham and Women's Hospital - Pharmacoepidemiology and Pharmacoeconomics Brigham and Women's Hospitalist Faculty Cambridge Hospital Department of Population Medicine Massachusetts General Hospital CURRICULUM CLINICAL HOW TO APPLY CURRENT FELLOWS ALUMNI More Use tab to navigate through the menu items. HARVARD T.H. CHAN SCHOOL OF PUBLIC HEALTH Fellows who are accepted into the Program are required to complete a formal application to the Harvard T.H. Chan School of Public Health prior to beginning the Fellowship. Summer Program in Clinical Effectiveness The program begins each July 1 with a seven-week summer core curriculum taught at the Harvard T.H. Chan School of Public Health. The 15-credit core curriculum includes required courses in biostatistics (5 credits) and epidemiology (5 credits), and two elective courses. Electives have included health policy (2.5 credits), health services research (2.5 credits), decision sciences (2.5 credits), quality improvement (2.5 credits), research with large database (2.5 credits) and public health ethics (2.5 credits). The intensive summer experience includes about five hours per day of classroom time and about four hours of assignments. For more information about the Summer Program in Clinical Effectivenessclick here. After completion of the summer core curriculum, Fellows usually continue to take advanced courses at the Harvard T.H. Chan School of Public Health and, upon earning 45 academic credits, can obtain a Master of Science or Master of Public Health degree. SAMPLE COURSES AVAILABLE AT HSPH Introduction to Clinical Epidemiology Biostatistics Elective Courses, including: Decision Analysis Current Issues in Health Policy Medical Informatics Ethical Basis of the Practice of Public Health: Health Care Delivery Quality Improvement in Health Care Research with Large Databases Survey of Methods and Applications in Health Services Research Advanced Courses, including: Analytic Issues of Clinical Epidemiology Principles of Clinical Trials Survival Methods in Clinical Research ©2025 by Harvard Medical School Fellowship in General Medicine and Primary Care bottom of page
9796	https://www.omnicalculator.com/physics/earth-orbit	Board Last updated: Earth Orbit Calculator This Earth orbit calculator helps you determine the orbital speed and orbital period of Earth's satellites at a given height above the average earth sea level. The fundamental laws that control the motion of Earth's satellites around Earth apply to the motion of planets, the moon, the earth's only natural satellite, and other satellites in the skies. Read on to learn about how different attributes of the satellite rotation are determined by its distance from the Earth's surface. What are earth's satellites? A satellite is a small object that orbits another larger object. The earth is a satellite because it orbits the sun. We consider the moon a satellite because it orbits the earth. However, most people think of an artificial satellite when they say satellite. These spacecraft are launched into an orbit around the earth or any other celestial body. Sputnik 1 was Earth's first artificial satellite. It was launched into an elliptical low Earth orbit at the height of 939 km. It orbited for three weeks before its batteries ran out. There are tens of thousands of artificial satellites orbiting the earth. Some photograph our globe, while others photograph other planets, the sun, and other celestial bodies. These images aid scientists in studying the earth, the solar system, and the universe. Other satellites broadcast television and make phone calls all around the world. This Earth orbit calculator has two features to help you calculate the orbital speed and period of rotation of an Earth's satellite launched at a specific height from the surface of the earth. How to calculate the orbital speed of a satellite using this earth orbit calculator According to Nicolaus Copernicus, earth and the other planets orbit the Sun in circles. He also discovered that as the distance from the Sun increased, so did the orbital periods. Kepler later found these orbits to be ellipses, but the orbits of most planets in the solar system are roughly circular. The Earth's orbital distance from the Sun fluctuates by only 2%. The eccentric orbit of Mercury, whose orbital distance changes by approximately 40%, is an exception. Determining a satellite's orbital speed and period is significantly easier in circular orbits. We use this simplification in the following calculations. This tool focuses on objects orbiting the Earth, but you can apply our findings to other situations. Therefore, the orbital speed (see orbital velocity calculator) of an earth's satellite is given as follows: orbital speed=(RE+h)G⋅ME where: G – Earth's gravitational constant; ME – Earth's mass; RE – Earth's radius; and h – Perpendicular distance of the satellite from the surface of the earth. You can simply calculate this using this Earth orbit calculator by selecting the option Speed of the satellite, entering the height of the object rotating the earth, and voila, you have the orbital speed of the earth's satellite! You need a certain amount of speed to reach the orbit (and stay there): learn how to calculate it with our delta-v calculator! How can you estimate the period of rotation for an earth's satellite? Similar to the earth's orbit, all of the earth's satellites orbit the earth at a certain height with a constant period of rotation. Therefore, the orbital period of an earth's satellite is given as follows: orbital period=2πG⋅ME(RE+h)3 Orbital period Find out more on how to calculate orbital period using our dedicated tool on the subject. You can select the option Period of satellite rotation; enter the height of the object rotating the earth; you now know the orbital period of the earth's satellite! Example on how to use this earth orbit calculator Let's try to determine the orbital speed and period for the International Space Station (ISS) Since the ISS orbits at a height of 400 km above Earth's surface, the radius at which it orbits is RE + 400 km. You can just plug in the height of the ISS from the earth's surface as 400 km, and the calculator will compute its orbital period as 1.54 hrs and orbital speed as 7.672 km/s. FAQs How do you calculate the orbital speed of an earth's satellite? To calculate the orbital speed of an earth's satellite, you need to know the gravitational constant (G), earth's mass (M), earth's radius (R), and the height of rotation of the satellite (h). The orbital speed is calculated as: √((G × M) / (R + h)) What determines the orbital period of a satellite? The orbital period of a satellite depends on the mass of the planet being orbited and the distance of the satellite from the center of the planet. We can obtain the orbital period of a satellite T from Newton's form of Kepler's third law. T2 = 4 π a3 / GM where G is the gravitational constant and M is the mass of the earth. mi hrs Height of the satellite from the Earth. © Omni Calculator Did we solve your problem today? Check out 14 similar astronomy calculators 🪐 Alien civilization Delta v Escape velocity Share Calculator Earth Orbit Calculator Share Calculator Earth Orbit Calculator
9797	https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-chemistry-flexbook-2.0/section/22.6/primary/lesson/assigning-oxidation-numbers-chem/	Skip to content Math Elementary Math Grade 1 Grade 2 Grade 3 Grade 4 Grade 5 Interactive Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Conventional Math 6 Math 7 Math 8 Algebra I Geometry Algebra II Probability & Statistics Trigonometry Math Analysis Precalculus Calculus What's the difference? Science Grade K to 5 Earth Science Life Science Physical Science Biology Chemistry Physics Advanced Biology FlexLets Math FlexLets Science FlexLets English Writing Spelling Social Studies Economics Geography Government History World History Philosophy Sociology More Astronomy Engineering Health Photography Technology College College Algebra College Precalculus Linear Algebra College Human Biology The Universe Adult Education Basic Education High School Diploma High School Equivalency Career Technical Ed English as 2nd Language Country Bhutan Brasil Chile Georgia India Translations Spanish Korean Deutsch Chinese Greek Polski EXPLORE Flexi A FREE Digital Tutor for Every Student FlexBooks 2.0 Customizable, digital textbooks in a new, interactive platform FlexBooks Customizable, digital textbooks Schools FlexBooks from schools and districts near you Study Guides Quick review with key information for each concept Adaptive Practice Building knowledge at each student’s skill level Simulations Interactive Physics & Chemistry Simulations PLIX Play. Learn. Interact. eXplore. CCSS Math Concepts and FlexBooks aligned to Common Core NGSS Concepts aligned to Next Generation Science Standards Certified Educator Stand out as an educator. Become CK-12 Certified. Webinars Live and archived sessions to learn about CK-12 Other Resources CK-12 Resources Concept Map Testimonials CK-12 Mission Meet the Team CK-12 Helpdesk FlexLets Know the essentials. Pick a Subject Donate Sign Up 22.6 Assigning Oxidation Numbers Written by:Ck12 Science Fact-checked by:The CK-12 Editorial Team Last Modified: Sep 02, 2025 Lesson Iron what? Once we move from the element iron to iron compounds, we need to be able to designate clearly the form of the iron ion. An example of this is iron that has been oxidized to form iron oxide during the process of rusting. Although Antoine Lavoisier first began the idea off oxidation as a concept, it was Wendell Latimer (1893-1955) who gave us the modern concept of oxidation numbers. His 1938 book The Oxidation States of the Elements and Their Potentials in Aqueous Solution laid out the concept in detail. Latimer was a well-known chemist who later became a member of the National Academy of Sciences. Not bad for a gentleman who started college planning on being a lawyer. Assigning Oxidation Numbers The oxidation number is a positive or negative number that is assigned to an atom to indicate its degree of oxidation or reduction. In oxidation-reduction processes, the driving force for chemical change is in the exchange of electrons between chemical species. A series of rules have been developed to help us: For free elements (uncombined state), each atom has an oxidation number of zero. H2, Br2, Na, Be, K, O2, P4, all have oxidation number of 0. Monatomic ions have oxidation number equal to charge. @$\begin{align} Li^+ = +1\end{align}@$, @$\begin{align}Ba^{2+}= +2\end{align}@$, @$\begin{align}Fe^{3+}= +3\end{align}@$, @$\begin{align}I^{-}= -1\end{align}@$, @$\begin{align}O^{2-}= -2\end{align}@$, etc. Alkali metal oxidation numbers = +1. Alkaline earth oxidation numbers = +2. Aluminum = +3 in all of its compounds. Oxygen’s oxidation number is -2 except when in hydrogen peroxide (H2O2), or a peroxide ion (O22-) where it is -1. Hydrogen’s oxidation number is +1, except for when bonded to metals as the hydride ion forming binary compounds. In LiH, NaH, and CaH2, the oxidation number is -1. Fluorine has an oxidation number of -1 in all of its compounds. Halogens (Cl, Br, I) have negative oxidation numbers when they form halide compounds. When combined with oxygen, they have positive numbers. In the chlorate ion (ClO3-), the oxidation number of Cl +5, and the oxidation number of O is -2. In a neutral atom or molecule, the sum of the oxidation numbers must be 0. In a polyatomic ion, the sum of the oxidation numbers of all the atoms in the ion must equal the charge on the ion. Sample Problem: What is the oxidation number for Mn in the compound KMnO4? The oxidation number for K is +1 (rule 2) The oxidation number for O is -2 (rule 2) Since this is a compound (there is no charge indicated on the molecule), the net charge on the molecule is zero (rule 6) So we have @$$\begin{align}+1 + Mn + 4(-2) &= 0 \ Mn -7 &= 0 \ Mn &= +7 \end{align}@$$ When dealing with oxidation numbers, we must always include the charge on the atom. Another way to determine the oxidation number of Mn in this compound is to recall that the permanganate anion (MnO4) has a charge of -1. In this case: @$$\begin{align}Mn + 4(-2) &= -1 \ Mn -8 &= -1 \ Mn &= +7\end{align}@$$ Sample Problem: What is the oxidation number for iron in Fe2O3? @$$\begin{align}& O \text{ is} -2 \ (\text{rule } 2) \ & 2Fe + 3(-2) = 0 \ & 2Fe = 6 \ & Fe = 3.\end{align}@$$ If we have the compound FeO, then @$\begin{align}Fe + (-2) = 0\end{align}@$ and @$\begin{align}Fe = 2\end{align}@$. Iron is one of those materials that can have more than one oxidation number. The halogens (except for fluorine) can also have more than one number. In the compound NaCl, we know that Na is +1, so Cl must be -1. But what about NaClO3? @$$\begin{align}Na & =1 \ O & = -2 \ 1 + Cl + 3(-2) &= 0 \ 1 + Cl - 6 & = 0. \ Cl - 5 &= 0 \ Cl &= +5.\end{align}@$$ Not quite what we expected, but Cl, Br, and I will exhibit multiple oxidation numbers in compounds. Further Reading Oxidation Number Changes in Reactions Identifying Redox Reactions Balancing Redox Reactions: Oxidation Number Change Method Review What is the oxidation number for the element zinc? Nitrogen can exist in several oxide forms. What is the oxidation number of N in NO? in N2O? in NO2? What is the oxidation number of H in HCl? in NaH? Asked by Students Here are the top questions that students are asking Flexi for this concept: \| Image \| Reference \| Attributions \| --- \| \| \| Credit: Courtesy of Boyd Norton, US Environmental Protection Agency Source: License: Public Domain \| Student Sign Up Are you a teacher? Having issues? Click here By signing up, I confirm that I have read and agree to the Terms of use and Privacy Policy Already have an account? Adaptive Practice Save this section to your Library in order to add a Practice or Quiz to it. (Edit Title)27/ 100 This lesson has been added to your library. No Results Found Your search did not match anything in . \|Searching in: \| \| \| Looks like this FlexBook 2.0 has changed since you visited it last time. We found the following sections in the book that match the one you are looking for: Go to the Table of Contents
9798	https://www.khanacademy.org/science/ap-biology/cell-communication-and-cell-cycle/cell-cycle/a/cell-cycle-phases	Use of cookies Cookies are small files placed on your device that collect information when you use Khan Academy. Strictly necessary cookies are used to make our site work and are required. Other types of cookies are used to improve your experience, to analyze how Khan Academy is used, and to market our service. You can allow or disallow these other cookies by checking or unchecking the boxes below. You can learn more in our cookie policy Privacy Preference Center When you visit any website, it may store or retrieve information on your browser, mostly in the form of cookies. This information might be about you, your preferences or your device and is mostly used to make the site work as you expect it to. The information does not usually directly identify you, but it can give you a more personalized web experience. Because we respect your right to privacy, you can choose not to allow some types of cookies. Click on the different category headings to find out more and change our default settings. However, blocking some types of cookies may impact your experience of the site and the services we are able to offer. More information Manage Consent Preferences Strictly Necessary Cookies Always Active Certain cookies and other technologies are essential in order to enable our Service to provide the features you have requested, such as making it possible for you to access our product and information related to your account. For example, each time you log into our Service, a Strictly Necessary Cookie authenticates that it is you logging in and allows you to use the Service without having to re-enter your password when you visit a new page or new unit during your browsing session. Functional Cookies These cookies provide you with a more tailored experience and allow you to make certain selections on our Service. For example, these cookies store information such as your preferred language and website preferences. Targeting Cookies These cookies are used on a limited basis, only on pages directed to adults (teachers, donors, or parents). We use these cookies to inform our own digital marketing and help us connect with people who are interested in our Service and our mission. We do not use cookies to serve third party ads on our Service. Performance Cookies These cookies and other technologies allow us to understand how you interact with our Service (e.g., how often you use our Service, where you are accessing the Service from and the content that you’re interacting with). Analytic cookies enable us to support and improve how our Service operates. For example, we use Google Analytics cookies to help us measure traffic and usage trends for the Service, and to understand more about the demographics of our users. We also may use web beacons to gauge the effectiveness of certain communications and the effectiveness of our marketing campaigns via HTML emails. Cookie List Consent Leg.Interest label label label
9799	https://sites.math.washington.edu/~aloveles/Math300Summer2011/BinomialTheoremMiniLecture.pdf	Binomial Coeﬃcients and Permutations Mini-lecture The following pages discuss a few special integer counting functions. You may have seen some of these before in a basic probability class or elsewhere, but perhaps you haven’t used them in full generality. These functions are incredibly useful and they are interesting to study in their own right. We will use each of these functions from time to time throughout the quarter. Let’s start with some deﬁnitions: 1. n! = Qn i=1 i = n · (n −1) · (n −2) · · · 3 · 2 · 1 = ‘number of ways to arrange (permute) the entire set [n] = {1, 2, . . . , n} in some order’ = ‘number of ways to deﬁne a bijective function f from [n] to [n]’ = ‘n factorial’ By convention, we also deﬁne 0! = 1. Examples: • 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. • 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 • Note: 6! 4! = 6·5·4·3·2·1 4·3·2·1 = 6·5 1 = 30, so fractions involving factorials often have a lot of cancella-tion. For example, (n+1)! n! = (n+1)·n·(n−1)···2·1 n·(n−1)···2·1 = n+1 1 = n + 1. This is useful to remember when working with factorials. 2. Pn,k = n(n −1)(n −2) · · · (n −k + 1) = ‘number of ways to arrange (permute) k elements from the set [n] = {1, 2, . . . , n}.’ = ‘number of ways to deﬁne an injective function from [k] to [n].’ Examples: • P6,3 = 6 · 5 · (6 −3 + 1) = 6 · 5 · 4 = 120. • P6,4 = 6 · 5 · 4 · (6 −4 + 1) = 6 · 5 · 4 · 3 = 360. • In other words, Pn,k is just like the factorial except you stop after multiplying k numbers starting at n. 3. Cn,k = n k = ‘number of ways to choose k elements from the set [n] = {1, 2, . . . , n} (order doesn’t matter).’ = ‘n choose k.’ The formulas for this are somewhat less direct, they all use the two previous functions. To itemize the ways to choose k items sometimes takes a bit longer. Examples will be given below. By convention, we also deﬁne 0 0 = 1 and if k > n or k < 0 we deﬁne n k = 0. On the next page, we explore connections between these functions to get a formula for n k . The Connection Between Pn,k and Cn,k 1. Consider the set = {1, 2, 3, 4} and let k = 2. Ways to choose k = 2 elements from Ways to arrange k = 2 elements from {1, 2} (1,2), (2,1) {1, 3} (1,3), (3,1) {1, 4} (1,4), (4,1) {2, 3} (2,3), (3,2) {2, 4} (2,4), (4,2) {3, 4} (3,4), (4,3) (a) Thus, the number of ways to choose k = 2 from {1, 2, 3, 4} is C4,2 = 4 2 = 6. (b) The number of ways to arrange k = 2 elements from {1, 2, 3, 4} is 12 which matches up with the formula: P4,2 = n(n −1) . . . (n −k + 1) = 4 · 3 = 12 (because n −k + 1 = 3). (c) NOTE THAT P4,2 = 2 · C4,2. 2. Consider the set = {1, 2, 3, 4, 5} and let k = 3. Ways to choose k = 3 elements from Ways to arrange k = 3 elements from {1, 2, 3} (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1) {1, 2, 4} (1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1) {1, 2, 5} (1,2,5), (1,5,2), (2,1,5), (2,5,1), (5,1,2), (5,2,1) {1, 3, 4} (1,3,4), (1,4,3), (3,1,4), (3,4,1), (4,1,3), (4,3,1) {1, 3, 5} (1,3,5), (1,5,3), (3,1,5), (3,5,1), (5,1,3), (5,3,1) {1, 4, 5} (1,4,5), (1,5,4), (4,1,5), (4,5,1), (5,1,4), (5,4,1) {2, 3, 4} (2,3,4), (2,4,3), (3,2,4), (3,4,2), (4,2,3), (4,3,2) {2, 3, 5} (2,3,5), (2,5,3), (3,2,5), (3,5,2), (5,2,3), (5,3,2) {2, 4, 5} (2,4,5), (2,5,4), (4,2,5), (4,5,2), (5,2,4), (5,4,2) {3, 4, 5} (3,4,5), (3,5,4), (4,3,5), (4,5,3), (5,3,4), (5,4,3) (a) Thus, the number of was to choose k = 3 from {1, 2, 3, 4, 5} is C5,3 = 5 3 = 10. (b) The number of ways to arrange k = 3 elements from {1, 2, 3, 4, 5} is 60 which matches up with the formula: P5,3 = n(n −1) . . . (n −k + 1) = 5 · 4 · 3 = 60 (because n −k + 1 = 3). (c) NOTE THAT P6,3 = 6 · C6,3 AND 6 = 3!. 3. In summary, we see that P4,2 = 4 · 3 = 2! 4 2 = 2!C4,2 and P5,3 = 5 · 4 · 3 = 3! 5 3 = 3!C5,3. In general, Pn,k = k!Cn,k, thus n(n −1)(n −2) · · · (n −k + 1) = k! n k . Therefore, when we solve for n k we get n k = n(n −1)(n −2) · · · (n −k + 1) k! which is often written as n k = n! k!(n −k)!. Here are a few examples where we use the formula from the previous page: • 5 2 = 5! 2!(5−2)! = 5! 2!3! = 5·4·3·2·1 2·1·3·2·1 = 5·4 2 = 5 · 2 = 10. Note that 5 3 = 5 2 , this is not a coincidence, n k = n n −k is always true. • 7 3 = 7! 3!(7−3)! = 7! 3!4! = 7·6·5·4·3·2·1 3·2·1·4·3·2·1 = 7·6·5 3·2·1 = 7 · 5 = 35 • Note: 6! 4! = 6·5·4·3·2·1 4·3·2·1 = 6·5 1 = 30, so fractions involving factorials often have a lot of cancellation. For example, (n+1)! n! = (n+1)·n·(n−1)···2·1 n·(n−1)···2·1 = n+1 1 = n + 1. This is useful to remember when working with factorials. Pascal’s Identity The numbers n k have some nice properties if you list them out. Most notably is the recurrence formula attributed to Pascal. Here the ﬁrst several values of n k are given (n is the row and k is the column). See if you can spot a relationship between the rows and columns, the answer immediately follows the table so try to ﬁnd the pattern before you read on. k 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 n 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 The relationship is that each entry is the sum of the two entries immediately above and immediately above and to the left. For example, 5 3 = 4 3 + 4 2 . This relationship is given in the following theorem. Pascal’s Identity: For all n, k ∈Z such that 0 < k ≤n, n k = n −1 k + n −1 k −1 . The Binomial Theorem The main reason we are discussing these functions is because of their appearance in the binomial theorem. When we expand out a binomial to various powers a pattern appears. For example (I encourage you to check these expansions by doing the multiplication out the long way). • (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. • (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3. • (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4. There are familiar numbers. In fact the coeﬃcient of xnyn−k is the expansion of (x + y)n is always n k , for this reason the numbers n k as often referred to as binomial coeﬃcients. So we have the following theorem: The Binomial Theorem: For all n ∈Z and for all x, y ∈R, (x + y)n = n X k=0 n k xn−kyk = n 0 xny0 + n 1 xn−1y1 + n 2 xn−2y2 + · · · + n n −1 x1yn−1 + n n x0yn. For example, (x + y)6 = P6 k=0 6 k x6−kyk = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 Practice Problems 1. Prove that n k = n n −k . (Hint: The proof will be short, you can either use a combinatorial argument for why they would give the same number or use the known formula for binomial coeﬃcients.) 2. Prove that if n k and n k −1 are both even, then n + 1 k is even. (So the number ‘below’ two even numbers in Pascal’s triangle is also even). 3. (a) Using the binomial theorem, tell me what needs to go in place of the question marks in 1 + n 1 a + n 2 a2 + n 3 a3 + · · · + n n −1 an−1 + an = (????)n. (b) Use the formula from part (a), to compute the value given by 12 X k=0 12 k . (c) What is 114? How can you use the formula in part (a) to easily compute this value by hand?

Subsets and Splits

No community queries yet

The top public SQL queries from the community will appear here once available.