prompt stringlengths 7 926 | completion stringlengths 15 3.16k |
|---|---|
(x2−4)√2x+3=0 тэгшитгэл бод. | Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаар.
Бодолт: (x2−4)√2x+3=0⇒[x2−4=0√2x+3=0
Эхний тэгшитгэлээс x=±2, хоёр дахь тэгшитгэлээс x=−32 гэсэн шийд гарна.
x=−2 үед √2⋅(−2)+3=√−1 тодорхойлогдохгүй тул шийд болохгүй. Иймд x1=−32=−1.5, x2=2 гэсэн шийдтэй. |
(x2−4)√2x−3=0 тэгшитгэл бод. | Заавар: Харьцангуй хялбар бодлого боловч тодорхойлогдох мужид орохгүй шийдүүдийг хасалгүй алдаа гаргах тохиолдол элбэг тохиолддог.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь 2x−3≥0⇔x≥32 байна. Үржвэр тэгтэй тэнцэхийн тулд ядаж нэг үржигдэхүүн нь 0-тэй тэнцүү тул x2−4=0∨√2x−3=0⇒x=±2,x=32
байна. Гэвч x=−2 нь тодорхойлогдох мужид орох... |
(x2−7x+12)⋅√8−x≤0(x2−7x+12)⋅8−x≤0 бод. | Заавар: b≥0b≥0 бол a⋅b≤0⇔[a≤0b=0a⋅b≤0⇔[a≤0b=0
Бодолт: (x2−7x+12)⋅√8−x≤0⇔[x2−7x+12≤0√8−x=0(x2−7x+12)⋅8−x≤0⇔[x2−7x+12≤08−x=0
Эхний тэнцэтгэл бишийн шийд нь x2−7x+12=(x−3)(x−4)≤0x2−7x+12=(x−3)(x−4)≤0 тул [3;4][3;4], хоёр дахь тэгшитгэлийн шийд нь x=8x=8 тул шийд нь {8}∪[3;4]{8}∪[3;4] байна. |
(x2−9)(x+2)(x+3)≤0(x2−9)(x+2)(x+3)≤0 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ? | Заавар: Интервалын арга ашиглан тэнцэтгэл бишийг бодоод бүхэл шийдүүдийг жагсааж бич.
Бодолт: (x2−9)(x+2)(x+3)≤0⇔(x+3)2(x+2)(x−3)≤0(x2−9)(x+2)(x+3)≤0⇔(x+3)2(x+2)(x−3)≤0
тул
шийд нь {−3}∪[−2;−3]{−3}∪[−2;−3] байна. Иймд бүхэл шийдүүд нь −3,−2,,…,3−3,−2,,…,3 буюу 7 ширхэг байна. |
(x2−9)(x+2)(x−3)≤0(x2−9)(x+2)(x−3)≤0 тэнцэтгэл биш хэдэн бүхэл шийдтэй вэ? | Заавар: Интервалын арга ашиглан тэнцэтгэл бишийг бодоод бүхэл шийдүүдийг жагсааж бич.
Бодолт: (x2−9)(x+2)(x−3)≤0⇔(x+3)(x+2)(x−3)2≤0(x2−9)(x+2)(x−3)≤0⇔(x+3)(x+2)(x−3)2≤0
тул
шийд нь [−3;−2]∪{3}[−3;−2]∪{3} байна. Иймд бүхэл шийдүүд нь −3,−2,3−3,−2,3 буюу 3 ширхэг байна. |
(x2−9)√x+2≥0(x2−9)x+2≥0 тэнцэтгэл биш [−6,6][−6,6] завсарт нийт хэдэн ширхэг бүхэл шийдтэй вэ? | Заавар: x+2=0x+2=0 ба x+2>0x+2>0 гэсэн 2 тохиолдолд салган бод.
Бодолт: Хэрэв x+2=0x+2=0 бол (x2−9)√x+2=0≥0(x2−9)x+2=0≥0 тул x=−2x=−2 нь шийд болно.
Хэрэв x+2>0x+2>0 бол x2−9≥0x2−9≥0 байх ёстой. Энэ тэнцэтгэл бишийн шийд нь x∈(−∞,−3]∪[3,+∞)x∈(−∞,−3]∪[3,+∞) болох ба үүнийг x>−2x>−2 тэй огтолцуулбал x∈[3,+∞)x∈[3,+∞)болн... |
(x2−9)√x+2≥0(x2−9)x+2≥0 тэнцэтгэл биш [−6;6][−6;6] завсарт хэдэн бүхэл шийдтэй вэ? | Заавар: Тодорхойлогдох муж нь x+2≥0⇒x≥−2x+2≥0⇒x≥−2 байна.
√x+2=0x+2=0 нь шийд ба √x+2≥0x+2≥0 байхыг анхаар.
Бодолт: √x+2=0⇒x=−2x+2=0⇒x=−2 нь шийд болно. √x+2>0x+2>0 үед x2−9≥0x2−9≥0 байх ёстой тул x≤−3x≤−3 эсвэл x≥3x≥3 болно. x≤−3x≤−3 хэсэг нь тодорхойлогдох мужид орохгүй тул шийд болохгүй. Иймд [−6;6][−6;6] муж дахь ш... |
(x2−9)√x−2=0 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: Тодорхойлогдох мужийг анхаараарай!
Харьцангуй хялбархан тэгшитгэл тул шийдийг шууд шалгаад бодсон ч болох юм.
Бодолт: (x2−9)√x−2=0 тэгшитгэлийн тодорхойлогдох муж нь x−2≥0 байна.
ab=0⇔a=0 эсвэл b=0 тул (x2−9)√x−2=0⇔x2−9=0 эсвэл √x−2=0 байна (тодорхойлогдох муждаа!). Эхний тэгшитгэл x1=3, x2=−3 (тодорхойлогдох ... |
(x2−x+1)x−2>1(x2−x+1)x−2>1 тэнцэтгэл биш бод. | Заавар: x2−x+1=(x−0.5)2+0.75>0x2−x+1=(x−0.5)2+0.75>0 ба
a(x)b(x)a(x)b(x) нь a(x)>0a(x)>0 ба a(x)a(x) нь сөрөг бүхэл, b(x)=mnb(x)=mn, nn-сондгой үед тодорхойлогдоно.
Бодолт: x2−x+1>0x2−x+1>0 тул сөрөг бүхэл утга авахгүй. a>0a>0 үед
ab>1⇔(a−1)b>0ab>1⇔(a−1)b>0
болохыг ашиглавал
(x2−x+1)x−2>1⇔(x2−x)(x−2)>0(x2−x+1)x−2>1⇔(x2... |
(x2−x+1)x−2>1(x2−x+1)x−2>1 тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: a>0a>0 бол
ab>1⇔(a−1)b>0ab>1⇔(a−1)b>0
байна.
Бодолт: x2−x+1x2−x+1 квадрат гурван гишүүнтийн дискриминант нь D=(−1)2−4⋅1⋅1<0D=(−1)2−4⋅1⋅1<0 тул дурын xx бодит тооны хувьд x2−x+1>0x2−x+1>0 байна. Иймд
(x2−x+1)x−2>1⇔(x2−x)(x−2)>0(x2−x+1)x−2>1⇔(x2−x)(x−2)>0
байна. x(x−1)(x−2)>0x(x−1)(x−2)>0 тэнцэтгэл бишийг интерва... |
(xy)(ahhb)(xy)(xy)(ahhb)(xy) матрицын элементийг ол. | Заавар: 1×21×2, 2×22×2, 2×12×1 хэмжээтэй матрицуудын үржвэр 1×11×1 матриц гарна.
Бодолт: Үржвэр=(xy)(ahhb)(xy)=(x⋅a+y⋅hx⋅h+y⋅b)(xy)=(ax+hyhx+by)(xy)=((ax+hy)⋅x+(hx+by)y)=(ax2+2hxy+by2)Үржвэр=(xy)(ahhb)(xy)=(x⋅a+y⋅hx⋅h+y⋅b)(xy)=(ax+hyhx+by)(xy)=((ax+hy)⋅x+(hx+by)y)=(ax2+2hxy+by2)
тул үржвэрийн цор ганц элемент нь ax2+2h... |
(xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0(xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0 дифференциал тэгшитгэл бод. | Заавар: Хувьсагчийг ялгах аргаар бод.
Бодолт: (xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0⇔x(y2+1)dx+y(1−x2)dy⇔(xy2+x)dx+(y−yx2)dy=0⇔x(y2+1)dx+y(1−x2)dy⇔
ydyy2+1=xdxx2−1⇔∫d(y2+1)y2+1=∫d(x2−1)x2−1ydyy2+1=xdxx2−1⇔∫d(y2+1)y2+1=∫d(x2−1)x2−1
тул
ln(y2+1)=ln|x2−1|+C⇔y2+1=C⋅|x2−1|ln(y2+1)=ln|x2−1|+C⇔y2+1=C⋅|x2−1| |
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=15 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: (x−1)(x−4)=x2−5x+4, (x−2)(x−3)=x2−5x+6 болохыг ашиглан t=x2−5x орлуулга ашиглан бод.
Бодолт: (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)=15 тэгшитгэлд t=x2−5x орлуулга ашиглавал
(t+4)(t+6)=15⇔t2+10t+9=0
болно. Эндээс t1=−1, t2=−9 тул
x2−5x=−1⇔x2−5x+1=0 буюу x1,2=5±√212;
x2−5x=−9⇔x2−5x+9=0 болох ба D=52−4⋅1⋅9<0 тул шийдгүй байна.
И... |
(x−1)(x−3)(x+5)(x+7)=297 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: −3+7=4, −1+5=4 тул (x−3)(x+7), (x−1)(x+5) гэж бүлэглээд x2+4x=t орлуулга ашиглаж бод.
Бодолт: (x−3)(x+7), (x−1)(x+5) гэж бүлэглэвэл
(x−1)(x−3)(x+5)(x+7)=297⇔(x2+4x−21)(x2+4x−5)=297
болно. t=x2+4x гэвэл
(t−21)(t−5)=297⇔t2−26x−192=0
t1,2=26±√262−4⋅1⋅(−192)2=26±382
тул t1=32, t2=−6. t1=32 үед
x2+4x−32=0⇒x1=4,x2=−8... |
(x−1)2−32 илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал. | Заавар: a2−b2=(a−b)(a+b)
Бодолт: (x−1)2−32=(x−1−3)(x−1+3)=(x−4)(x+2) |
(x−1)xlnx=ex−e(x−1)xlnx=ex−e тэгшитгэл хэдэн ялгаатай бодит шийдтэй вэ? | Заавар: Үржигдэхүүнд задалж бод.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 байна.
(x−1)xlnx=ex−e⇒(x−1)(xlnx−e)=0⇒[x−1=0xlnx=e(x−1)xlnx=ex−e⇒(x−1)(xlnx−e)=0⇒[x−1=0xlnx=e
Эхний тэгшитгэлээс x=1x=1 гэсэн шийд гарна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг логарифмчилж бодвол
xlnx=e⇔lnxlnx=ln2x=lne=1xlnx=e⇔lnxlnx=ln2x=lne=1
тул lnx=±1⇒x... |
(x−12x+2−x+12x−2):x4−4x2 | Заавар: Хаалтанд байгаа илэрхийллээ ерөнхий хуваарь өгч хялбарчил.
Бодолт: (x−12x+2−x+12x−2):x4−4x2=2(x−1)2−2(x+1)24x2−4⋅4−4x2x=
=−2(x−1−x−1)(x−1+x+1)x=−2⋅(−2)(2x)x=8.
Заавар: |
(x−2)(x+3)1+x≥0(x−2)(x+3)1+x≥0 тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: Интервалийн аргаар бод.
Бодолт: 1+x≠01+x≠0 буюу x≠−1x≠−1 үед
(x−2)(x+3)1+x≥0⇔(x+3)(x+1)(x−2)≥0(x−2)(x+3)1+x≥0⇔(x+3)(x+1)(x−2)≥0
ба
тул x∈[−3;−1[∪[2;+∞[x∈[−3;−1[∪[2;+∞[ |
(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)=105 тэгшитгэлийн шийд
x1=a,x2=b байна. (x1<x2) | Заавар: 2+8=4+6=10 тул (x−2)(x−8), (x−4)(x−6) гэж бүлэглээд t=x2−10x+16 орлуулга ашиглаж бод.
Бодолт: (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)={(x−2)(x−8)}×{(x−4)(x−6)}
=(x2−10x+16)(x2−10x+24)=105
болно. t=x2−10x+16 гэвэл t(t+8)=105 буюу t2+8x−105=0 болно. Иймд
t1,2=−8±√82−4⋅1052=−8±222
тул t1=7, t2=−15 болно.
x2−10x+16=7⇔x2−10x+9=0
тэгши... |
(x−2)2−6|x−2|−7≤0 тэнцэтгэл бишийн шийдийг ол. | Заавар: x−2 илэрхийллийн эерэг ба сөрөг байх мужуудад тус тус бодоод шийдийг нэгтгэ.
Бодолт: |x−2| гэсэн модулийн тэмдэг агуулсан илэрхийллийн доторхи илэрхийлэл x−2-ийн сөрөг биш байх муж нь x−2≥0, сөрөг байх муж нь x−2<0 тул ]−∞;2[ ба [2;+∞[ мужуудад тэнцэтгэл бишийг бодьё:
x−2≥0 буюу x≥0 үед |x−2|=x−2 тул
(x−2)2−6|... |
(x−2)2≤0 бол | Заавар: a2≤0⇔a=0.
Бодолт: (x−2)2≤0⇔x−2=0⇔x=2. |
(x−2)3x3−8:x2−4x+4x2+2x+4 бутархайг хялбарчил. | Заавар: x2−4x+4=(x−2)2, x3−8=(x−2)(x2+2x+4) мөн
ab:cd=adbc
ашигла.
Бодолт: (x−2)3x3−8:x2−4x+4x2+2x+4=(x−2)3(x−2)(x2+2x+4)⋅x2+2x+4(x−2)2=1 |
(x−2)xlgx=10x−20(x−2)xlgx=10x−20 тэгшитгэл хэдэн ялгаатай бодит шийдтэй вэ? | Заавар: Үржигдэхүүнд задалж бод.
Бодолт: Тодорхойлогдох муж нь x>0x>0 байна.
(x−2)xlgx=10x−20⇒(x−2)(xlgx−10)=0⇒[x−1=0xlgx=10(x−2)xlgx=10x−20⇒(x−2)(xlgx−10)=0⇒[x−1=0xlgx=10
Эхний тэгшитгэлээс x=1x=1 гэсэн шийд гарна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг логарифмчилж бодвол
xlgx=10⇔lgxlgx=lg2x=ln10=1xlgx=10⇔lgxlgx=lg2x=ln10=1
... |
(x−2y)3=? | Заавар: (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
Бодолт: (x−2y)3=x3−3⋅x2⋅(2y)+3⋅x⋅(2y)2−(2y)3=
=x3−6x2y+12xy2−8y3 |
(x−3)(2x+3)=x2−9 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: (ax−b)(cx−d)=0
тэгшитгэл x1=ba, x2=dc гэсэн хоёр шийдтэй.
Бодолт: (x−3)(2x+3)=(x−3)(x+3)⇔(x−3)(2x+3−x−3)=x(x−3)=0 тул x1=0, x2=3. |
(x−3)(2x−3)(x+5)≤0(x−3)(2x−3)(x+5)≤0 тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: Интервалын аргаар бод.
Бодолт: (x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔{(x−3)(2x−3)(x+5)≤0x≠−5(x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔{(x−3)(2x−3)(x+5)≤0x≠−5
(x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔2(x+5)(x−32)(x−3)≤0(x−3)(2x−3)(x+5)≤0⇔2(x+5)(x−32)(x−3)≤0 байна.
Муж x<−5x<−5 −5<x<32−5<x<32 32<x<332<x<3 3<x3<x
Тэмдэг −−−=−−−−=− +−−=++−−=+ ++−=−++−=− +++=++++=+
... |
(x−3)√x2−5x+4=2x−6 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: x=3 нь тодорхойлогдох мужид орохгүй. Иймд x−3≠0-д тэгшитгэлийн 2 талыг хувааж цааш бод.
Бодолт: x−3≠0-д хуваавал (x−3)√x2−5x+4=2x−6⇔√x2−5x+4=2 болно. Тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлж бодвол x2−5x+4=4⇒x1=0, x2=5 гарна. Эдгээр нь хоёул шийд болохыг шууд шалгаж болно:
(0−3)√02−5⋅0+4=−3⋅2=2⋅0−6(5−3)√... |
(x−4)√3+2x−x2=0 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: Үржвэр 0-тэй тэнцэхийн тулд үржигдэхүүнүүдийн ядаж нэг нь тэг байна. Язгууртай илэрхийлэл байгаа тул тодорхойлогдох мужаа тооцно.
Бодолт: |
(x−5)2+(y−4)2=36 нь (a;b) төвтэй c радиустай тойргийн тэгшитгэл ба A(x;y) нь тойргийн цэг үед 3x+4y илэрхийллийн хамгийн их утга нь de юм. | Заавар: (a;b) цэгт төвтэй r радуистай тойргийн тэгшитгэл:
(x−a)2+(y−b)2=r2
(x0;y0) цэгээс ax+by+c=0 шулуун хүртэлх зай:
d=|ax0+by0+c|√a2+b2
Бодолт: Иймд C:(x−5)2+(y−4)2=62 нь (5;4) төвтэй 6 радиустай тойргийн тэгшитгэл байна.
ℓc:3x+4y=c гэе. A нь тойргийн цэг тул (x−5)2+(y−4)2=36 байна. Өөрөөр хэлбэл A цэгийн координа... |
(x−6)x2−15x+56=1(x−6)x2−15x+56=1 тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ? | Заавар: abab илэрхийлэл нь a>0a>0 үед тодорхойлогдохоос гадна a<0a<0 үед зарим тохиолдолд тодорхойлогддог. Жишээ нь a=−1,b=2a=−1,b=2 үед ab=(−1)2=1ab=(−1)2=1 байна.
Бодолт: a≠±1a≠±1 үед ab=1⇔b=0ab=1⇔b=0 тул
x−6≠±1x−6≠±1 байх шийдүүд нь x2−15x+56=0x2−15x+56=0 тэгшитгэлийн шийд байна. Иймд x1=7,x2=8x1=7,x2=8 байна. Энэ ... |
(y2+√y)⋅√y−1y√y−y+√y илэрхийллийг хялбарчил. | Заавар: y-ийн ямар утгуудад хялбархан бодогдох вэ?
Бодолт: √y нь бүхэл тоо байвал илэрхийллийг бодоход хялбар байна.
y=1 үед (12+√1)⋅√1−11√1−1+√1=0 байна.
y=4 үед (42+√4)⋅√4−14√4−4+√4=18⋅16=3 байна.
Хариултууд дотор y=1 үед 0, y=4 үед 3 байх нь зөвхөн y−1 тул зөв хариулт нь E байна. |
(y−152y)=x(31)(y−152y)=x(31) бол (x,y)(x,y)-г ол. | Заавар: xx-ээр үржих үйлдлийг гүйцэтгээд 2 матриц тэнцэх нөхцөлийг ашигла.
Бодолт: (y−152y)=x(31)=(3xx)(y−152y)=x(31)=(3xx) тул 2 матриц тэнцэх нөхцөлөөр
{y−15=3x2y=x⇒y−15=3⋅(2y)=6y{y−15=3x2y=x⇒y−15=3⋅(2y)=6y
тул 5y=−155y=−15 буюу y=−3y=−3 байна. Иймд x=2y=−6x=2y=−6 байна. |
(−10−01)(−10−01)
аль хувиргалтын матриц вэ? | Заавар: (x,y)(x,y) цэг ямар цэгт буух вэ?
Бодолт: (x,y)(x,y) цэг (x′,y′)(x′,y′) цэгт буух бол
(x′y′)=(−10−01)(xy)=(−1⋅x+0⋅y−0⋅x+1⋅y)=(−x−y)(x′y′)=(−10−01)(xy)=(−1⋅x+0⋅y−0⋅x+1⋅y)=(−x−y)
буюу (x,y)(x,y) цэг (−x,y)(−x,y) цэгт бууна. Энэ нь OyOy тэнхлэгийн хувьд дахь тэнхлэгийн тэгш хэм юм. |
(−13)(−13) ⋅⋅ ( 52)( 52) | Заавар: Эхний матрицын мөрийг ii-р мөрийг хоёр дахь матрицын jj-р баганаар скаляр үржүүлэхэд гардаг. MM нь n×mn×m буюу nn мөр mm баганатай матриц, NN нь m×km×k буюу mm мөр kk баганатай матриц бол эдгээрийн үржвэр нь MNMN нь n×kn×k матриц байна.
Бодолт: (−13)⋅(52)=(−1⋅5+3⋅2)=(1)(−13)⋅(52)=(−1⋅5+3⋅2)=(1) |
(−4−1−5−2)(−4−1−5−2) матриц өгөв. | Заавар:
Бодолт: A2−(a+d)⋅A+(ad−bc)⋅E=0A2−(a+d)⋅A+(ad−bc)⋅E=0 байдаг тул
A2−(−4+2)⋅A+{(−4)⋅2−(−1)⋅5}⋅E=0⇔A2+2A−3E=0A2−(−4+2)⋅A+{(−4)⋅2−(−1)⋅5}⋅E=0⇔A2+2A−3E=0
байна. Үүнийг A−1A−1-ээр үржүүлбэл
A+2E−3A−1=0⇒p=23, q=13A+2E−3A−1=0⇒p=23, q=13
болно.
x2+2x−3=(x+3)(x−1)x2+2x−3=(x+3)(x−1) тул
xn=(x2+2x−3)⋅Q(x)+anx+bn=(x+3)(x... |
(−53)(−53) ⋅⋅ ( 24)( 24) | Заавар: Эхний матрицын мөрийг ii-р мөрийг хоёр дахь матрицын jj-р баганаар скаляр үржүүлэхэд гардаг. MM нь n×mn×m буюу nn мөр mm баганатай матриц, NN нь m×km×k буюу mm мөр kk баганатай матриц бол эдгээрийн үржвэр нь MNMN нь n×kn×k матриц байна.
Бодолт: (−53)⋅(24)=(−5⋅2+3⋅4)=(2)(−53)⋅(24)=(−5⋅2+3⋅4)=(2) |
(√5+1)sin18∘(5+1)sin18∘-г тооцоол. | Заавар: sin18∘=√5−14sin18∘=5−14 болохыг ашигла.
Бодолт: (√5+1)sin18∘=(√5+1)⋅√5−14=1(5+1)sin18∘=(5+1)⋅5−14=1 |
(√x−√xy+y√x+√y)⋅(√x√x+√y+√y√x−√y+2√xyx−y) үйлдлийг гүйцэтгэ. | Заавар: √x=a, √y=b орлуулга ашигла.
Бодолт: √x=a, √y=b гэвэл
Илэрх.=(√x−√xy+y√x+√y)⋅(√x√x+√y+√y√x−√y+2√xyx−y)=(a−b(a+b)a+b)⋅(aa+b(a−b+ba−b(a+b+2aba2−b2)=(a−b)⋅a2−ab+ba+b2+2ab(a−b)(a+b)=a2+2ab+b2a+b=(a+b)2a+b=a+b=√x+√y |
(∫x0cos3tdt)′(∫0xcos3tdt)′ нь аль вэ? | Заавар: (∫xaf(t)dt)′=(F(x)−F(a))′=f(x)(∫axf(t)dt)′=(F(x)−F(a))′=f(x)
Бодолт: (∫x0cos3tdt)′=cos3x(∫0xcos3tdt)′=cos3x |
0.2(6) үет бутархайг энгийн бутархай болго | Заавар:
Бодолт: y=cosx функцийн урвуу нь y−1=arccosx байна.
Бодолт: |
0.2≤(15)x−4<1250.2≤(15)x−4<125 тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: a<1a<1 бол ax<ay⇔x>yax<ay⇔x>y болохыг ашиглан бод.
0.2=150.2=15, 125=(15)−3125=(15)−3 болохыг ашиглаарай!
Бодолт: 0.2=15<10.2=15<1 тул
0.2≤(15)x−4<125⇔15≤(15)x−4<(15)−3⇔0.2≤(15)x−4<125⇔15≤(15)x−4<(15)−3⇔
⇔1≥x−4>−3⇔5≥x>1⇔x∈]1;5]⇔1≥x−4>−3⇔5≥x>1⇔x∈]1;5] |
0.40.4 кг жинтэй хөл бөмбөгийг дээш нь 2020 м/c хурдтай шидэв. Агаарын эсэргүүцэл хурдны квадраттай пропорционал ба 11 м/с хурдтай үед эсэргүүцэл 0.480.48 гр болно. Бөмбөгний өндөрт гарах хугацаа ба хамгийн их өндрийг ол. | Заавар: F(t)=mv′(t)=mg+cv2(t)F(t)=mv′(t)=mg+cv2(t), 0.48=c⋅12⇒c=0.480.48=c⋅12⇒c=0.48 тул
0.4v′(t)=0.4⋅9.8+0.48v2(t)⇔v′(t)=9.8+1.2v2(t)0.4v′(t)=0.4⋅9.8+0.48v2(t)⇔v′(t)=9.8+1.2v2(t)
Бодолт: |
0.5 хувийн давсны 40 л ба 2 хувийн 50 л уусмалуудаас 1.5 хувийн 30 л уусмал гаргаж авахын тулд тус бүрээс нь хэчнээн литрийг авч холих вэ? | Заавар: Хариуг шууд шалгах аргаар ол.
Бодолт: А хариултын хувьд нийт давсны хэмжээ нь 10⋅0.5100+20⋅2100 тул концентраци нь 10⋅0.5100+20⋅210030⋅100%=5+4030%=1.5% тул зөв хариу болж байна.
Заавар: 1:α харьцаатай хольцийн концентраци нь
0.5%+2%⋅α1+α
байна.
Бодолт: 0.5%+2%⋅α1+α=1.5%⇔0.5+2α=1.5+1.5α
буюу α=2 байна. Иймд 1:2... |
0.5 хувийн давсны 40 л ба 3 хувийн 60 л уусмалуудаас 2 хувийн 50 л уусмал гарган авахын тулд тус бүрээс хэдэн литр авч холих вэ? | Заавар: Тус бүрээс x, y литр авсан гэвэл x+y=50 байна. Уусмал дахь давсны хэмжээг бод.
Бодолт: x литр I уусмал дахь давсны хэмжээ нь 0.5x100, y литр II уусмал дахь давсны хэмжээ нь 3y100 ба 50 литр 2 хувийн уусмал дахь давсны хэмжээ 2⋅50100=1 тул
{x+y=50(1)0.5x+3y=100(2)
байна. 3×(1)−(2)⇒2.5x=50⇒x=20 ба y=50−20=30 байн... |
0.52x<0.51−x0.52x<0.51−x тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: 0<a<10<a<1 үед
ax<ay⇔x>yax<ay⇔x>y
байдаг.
Бодолт: 0<0.5<10<0.5<1 тул
0.52x<0.51−x⇔2x>1−x⇔3x>1⇔x>130.52x<0.51−x⇔2x>1−x⇔3x>1⇔x>13
байна. |
0<2x−75≤3 тэнцэтгэл бишийг хангах x-ийн хамгийн их натурал утгыг ол. | Заавар: 7.1. Нэг хувьсагчтай шугаман тэнцэтгэл биш болон шугаман тэнцэтгэл тэнцэтгэл бишийн систем зохиодог.
Бодолт: 0<2x−75≤3⇔0<2x−7≤3⋅5=15⇔7<2x≤22⇔72<x≤11
тул хамгийн их бүхэл шийд нь 11 юм. |
0<3x−12x+5<1 давхар тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: {0<3x−12x+53x−12x+5<1
систем тэгшитгэлийг бодно.
Бодолт: 0<3x−12x+5<1⇔{0<3x−12x+53x−12x+5<1
Эхний тэнцэтгэл бишийн шийд нь x<−52∪x>13 байна.
Хоёр дахь тэнцэтгэл биш нь
3x−12x+5<1⇔3x−1−2x−52x+5<0
тул
−52<x<6
болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд нь 13<x<6 буюу ]13;6[ байна. |
0<a,c<0 ба ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн нэг шийд нь x=3 бол ax4+bx2+c=0 тэгшитгэлийн бодит шийдүүдийг ол. | Заавар: ax2+bx+c=0 тэгшитгэлийн хувьд x1x2=ca<0 тул нэг шийд нь сөрөг байна.
Бодолт: x2=t гэвэл ax4+bx2+c=0 тэгшитгэл at2+bt+c=0 болох ба t1=3,t2=ca<0 болно. Иймд x1=−√3, x2=√3 болно. |
0<a<b байг. y=x(x−a)(x−b) функцийн x тэнхлэгийг огтлох (0,0), (a,0), (b,0) цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд харгалзан ℓ1, ℓ2, ℓ3 бөгөөд ℓ1⊥ℓ2, ℓ2⊥ℓ3 бол | Заавар:
Бодолт: f(x)=x3−(a+b)x2+abx ба f′(x)=3x2−2(a+b)x+ab болно.
ℓ1, ℓ2, ℓ3 шулууны өнцгийн коэффициентүүд харгалзан f′(0)=ab, f′(a)=a2−ab, f′(b)=b2−ab байна.
ℓ1⊥ℓ2 тул
ab(a2−ab)=−1⋯(1)
ℓ2⊥ℓ3 тул
(a2−ab)(b2−ab)=−1⋯(2)
болно. (1) ба (2)-ийг хооронд нь хасвал
ab(b−a)(2a−b)=0
байна. 0<a<b тул b=2a болно. Үүнийг (1)-... |
0<a<b байг. y=x(x−a)(x−b) функцийн x тэнхлэгийг огтлох (0,0), (a,0), (b,0) цэгүүдэд татсан шүргэгчүүд харгалзан ℓ1, ℓ2, ℓ3 бөгөөд ℓ1⊥ℓ2, ℓ2⊥ℓ3 бол a, b-г ол. | Заавар:
Бодолт: f(x)=x3−(a+b)x2+abx ба f′(x)=3x2−2(a+b)x+ab болно.
ℓ1, ℓ2, ℓ3 шулууны өнцгийн коэффициентүүд харгалзан f′(0)=ab, f′(a)=a2−ab, f′(b)=b2−ab байна.
ℓ1⊥ℓ2 тул
ab(a2−ab)=−1⋯(1)
ℓ2⊥ℓ3 тул
(a2−ab)(b2−ab)=−1⋯(2)
болно. (1) ба (2)-ийг хооронд нь хасвал
ab(b−a)(2a−b)=0
байна. 0<a<b тул b=2a болно. Үүнийг (1)-... |
0<x<π,x≠π2 бол 2sinx−2cosx+tgx−1=0 тэгшитгэл бод. | Заавар: Үржигдэхүүнд задлах аргаар бод.
Бодолт:
0<x<π,x≠π2 тул cosx≠0 байна.
2sinx−2cosx+sinxcosx−1=0⇔
⇔2(sinx−cosx)cosx+(sinx−cosx)=0 буюу (2cosx+1)(sinx−cosx)=0.
Иймд cosx=−12 эсвэл sinx=cosx байна. 0<x<π тул эхний тэгшитгэлээс x=2π3, хоёр дахь тэгшитгэлээс x=π4 шийд гарна. |
0∘≤x≤180∘0∘≤x≤180∘, 0∘≤y≤180∘0∘≤y≤180∘, cos3x=cos3ycos3x=cos3y, sinx=sinysinx=siny, cosx≠cosycosx≠cosy нөхцлүүдийг хангах xx, yy өнцгүүдийг ол. | Заавар: Өгөгдсөн илэрхийллийн хувьсагчийг багасгах арга хэрэглэх. Нэг хувьсагчийн илэрхийлэлд шилжүүлэх. Тэгшитгэлийг үржигдэхүүн болгон задал.
(+→∗)(+→∗)-ийн хувиргалт ашиглан үржвэр=0=0 хэлбэрт бичих.
Гурван давхар өнцгийн томъёог ашиглан cosxcosx, cosycosy-ээр илэрхийлэх.
cosθ=cosαcosθ=cosα, sinθ=sinαsinθ=si... |
0∘≤θ<360∘ байх шийдүүд ба ерөнхий шийдийг ол. | Заавар: Тригонометр тэгшитгэл. sinθ=q,
cosθ=p, tgθ=t тэгшитгэлүүдийн шийдийг олохын тулд тодорхойлолтын дагуу
θ-өнцгийг зурах хэрэгтэй. θ өнцгийг зурахын тулд y=q, x=p шулуунуудын нэгж
тойрогтой огтлолцох цэгүүдийг (P-цэг) олно. y=t шулуун ба x=1 шулуунуудын огтлолцлын цэгийг T гэе. OT шулууны нэгж тойрогтой огтлолцох... |
0∘≤θ<360∘ бол дараах тэгшитгэлийг бод. | Заавар: Тригонометр тэгшитгэлийг бодох үндсэн арга нь s=sin,c=cos,t=tg-ийн аль нэгнийх нь хувьд хялбар тэгшитгэлд шилжүүлэх юмуу үржигдэхүүн болгон задлаж хэд хэдэн хялбар тэгшитгэлд шилжүүлэх байдаг.
Бодолт: (1−2sin2θ)+3sinθ+1=0,
2sin2θ−3sinθ−2=0. Үржигдэхүүн болгон задалбал:
(sinθ−2)(2sinθ+1)=0. sinθ−2<0 тул 2sinθ+... |
0∘≤θ<360∘ бол дараах тэнцэтгэл бишийг бод. | Заавар: sinθ<q, cosθ<p,
tgθ>t гэх мэт хялбар тригонометрийн тэнцэтгэл бишүүдийн шийдийг олоход:
Тэнцэтгэл бишийг тэгшитгэлд шилжүүлж бодож, шийдийг олох.
Олсон шийдээ ашиглан тэнцэтгэл бишийн шийдийг бичих.
Жишээ нь (1) тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь графикаас харахад y координат нь 12-ээс бага буюу y=12 шулуун... |
0∘≤θ<360∘ үед √2sinθ=−1 тэгшитгэлийг бод. | Заавар: sinθ=−√22 гээд бод.
Бодолт: sinθ=−√22 болно. Бид ординат нь −√22 байх нэгж тойрог дээрх цэгүүдийг олох шаардлагатай үүний тулд {y=−√22x2+y2=1 тэгшитгэл бодно. Эндээс x2+12=1 болох тул x=±√22 буюу (−√22,−√22), (√22,−√22) цэгүүд гарна. Эдгээрт харгалзах өнцгүүд 225∘,315∘ болохыг нэгж тойрог дээр зурж хялбархан ха... |
0∘≤θ<360∘0∘≤θ<360∘ үед (1+sinθ)(1+cosθ)(1+sinθ)(1+cosθ)-ийн хамгийн их, хамгийн бага утгыг ол. | Заавар: Нэг хувьсагчаар илэрхийлэх арга байгаа ч тэгш хэмт (cc, ss-ийг солиход адил илэрхийлэлд шилжих) илэрхийллийн хувьд
дараах байдлаар боддог.
s=sinθs=sinθ, c=cosθc=cosθ, u=s+cu=s+c, v=s⋅cv=s⋅c-ээр илэрхийлнэ. s2+c2=1s2+c2=1 ⇒⇒
u2−2u=1u2−2u=1 ⇒⇒ v=12(u2−1)v=12(u2−1), u=√2sin(θ+45∘).u=2sin(θ+45∘).
Бодолт: y=(1+s... |
0≤t≤10≤t≤1 үед F(t)=1∫0|x2−t2|dxF(t)=∫01|x2−t2|dx функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. | Заавар:
Бодолт: |x2−t2|={−(x2−t2),0≤x≤tx2−t2,t≤x≤1|x2−t2|={−(x2−t2),0≤x≤tx2−t2,t≤x≤1
тул
F(t)=1∫0|x2−t2|dt=t∫0−(x2−t2)+1∫t(x2−t2)dt=43t3−t2+13F(t)=∫01|x2−t2|dt=∫0t−(x2−t2)+∫t1(x2−t2)dt=43t3−t2+13
болно.
F′(t)=4t2−2t=2t(t−1)F′(t)=4t2−2t=2t(t−1) юм.
t=0t=0 ⋯⋯ t=1/2t=1/2 ⋯⋯ t=1t=1
F′(t)F′(t) −− 00 ++ ... |
0≤x≤2, 0≤y≤4 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж болох дүрсийн талбай аль нь вэ? | Заавар: Тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь тэгш өнцөгт дүрс байна. Талуудын урт нь хэд байх вэ?
Бодолт:
2×4 хэмжээтэй тэгш өнцөгт дүрс үүсэх тул тайлбай нь 2⋅4=8 байна. |
1 гр масстай материал цэг шулуун замаар t=0t=0 эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дөр хөдлөв. Хугацааны t=10t=10 секундэд хурд нь 0.50.5 м/с, хүч нь 4⋅10−54⋅10−5 н болсон гэвэл 1 минутын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?
Бодолт. m=10−akgm=10−akg т... | Заавар: Бодолтын дагуу анхааралтай уншиж тооцоог нь зөв хийхэд өөр нэмэлт мэдлэг шаардагдахгүй.
Бодолт: m=0.001kgm=0.001kg тул F(t)=0.001kg×dv(t)dt=ctv(t)F(t)=0.001kg×dv(t)dt=ctv(t) болно. 1N=1kg×1m/s21N=1kg×1m/s2 тул
F(10)=c⋅10s0.5m/s=4⋅10−5kg⋅m/s2⇒c=2⋅10−6kg⋅m2/s4F(10)=c⋅10s0.5m/s=4⋅10−5kg⋅m/s2⇒c=2⋅10−6kg⋅m2/s4
болно... |
1 градусын 1 л ус, 2 градусын 2 л ус, ……, 10 градусын 10 л усыг холиход ямар температуртай ус үүсэх вэ? | Заавар: 12+22+⋯+1021+2+⋯+1012+22+⋯+1021+2+⋯+10-г тооцоол.
12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)612+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 болохыг санаарай!
Бодолт: 12+22+⋯+1021+2+⋯+10=10(10+1)(2⋅10+1)610(10+1)2=712+22+⋯+1021+2+⋯+10=10(10+1)(2⋅10+1)610(10+1)2=7 |
1(1−ax)3 задаргааны x3-ийн өмнөх коэффициент 2160 бол a=? | Заавар: (1+x)α=1+(α1)x+(α2)x2+(α3)x3+⋯+(αn)xn+⋯
өргөтгөсөн биномын томьёо ашигла. Энд
(xk)=x(x−1)(x−2)…(x−k+1)k!
нь k зэргийн олон гишүүнт юм.
Бодолт: (1−ax)−3=1+(−3−1)(−ax)+(−3−2)(−ax)2+(−3−3)(−ax)3+⋯+(−3−n)(−ax)n+⋯
тул
(−3−3)(−a3)=2160⇔−−3(−3−1)(−3−2)3!×a3=10a3=2160
байна. Эндээс a3=216 буюу a=6 байна. |
1(x−2)21(x−2)2 илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад x3x3-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ? | Заавар: 1x−2=−12⋅11−x2=−12(1+x2+x222+x323+⋯)1x−2=−12⋅11−x2=−12(1+x2+x222+x323+⋯)
задаргааг ашигла.
Бодолт: 1x−2=−12(1+x21+x222+x323+⋯)1x−2=−12(1+x21+x222+x323+⋯) тул
1(x−2)2=14(1+x21+x222+x323+⋯)(1+x21+x222+x323+⋯)1(x−2)2=14(1+x21+x222+x323+⋯)(1+x21+x222+x323+⋯)
болно. Эндээс x3x3-ийн коэффициент нь
14(1⋅123+121⋅122+1... |
1(x−3)(x−2)(x−1)1(x−3)(x−2)(x−1) илэрхийллийг зэргийн цуваанд задлахад x2x2-ийн өмнөх коэффициент хэдтэй тэнцүү байх вэ? | Заавар: 1(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−11(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−1
бол
1(x−3)(x−2)(x−1)=−A3⋅11−x3−B2⋅11−x2−C⋅11−x1(x−3)(x−2)(x−1)=−A3⋅11−x3−B2⋅11−x2−C⋅11−x
болно.
Бодолт: 1(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−11(x−3)(x−2)(x−1)=Ax−3+Bx−2+Cx−1
бол
1=A(x−2)(x−1)+B(x−3)(x−1)+C(x−2)(x−3)1=A(x−2)(x−1)+B(x−3)(x−1)+C(x−2)(x−3)
бол... |
1+1+√x1+x+√x:1x√x−1 илэрхийллийг хялбарчил. | Заавар: x√x−1=(√x)3−13=(√x−1)(x+√x+1)
Бодолт: 1+1+√x1+x+√x:1x√x−1=1+1+√x1+x+√x⋅x√x−11=1+1+√x1+x+√x⋅(√x−1)(x+√x+1)1=1+(√x+1)(√x−1)=1+x−1=x |
1+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅331+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅33 нь аль вэ? | Заавар: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)1n(n+2)=12(1n−1n+2) болохыг ашигла.
Бодолт: Нийлбэр=1+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅33=1+12(11−13)+12(13−15)+⋯+12(131−133)=1+12(1−133)=4933Нийлбэр=1+11⋅3+13⋅5+⋯+131⋅33=1+12(11−13)+12(13−15)+⋯+12(131−133)=1+12(1−133)=4933 |
1+12+222+⋯+102101+12+222+⋯+10210 | Заавар: 11 тооны нийлбэрийг шууд бодоод олж болно.
An=a1+a2+⋯+an,A0=0An=a1+a2+⋯+an,A0=0 бол an=An−An−1an=An−An−1 байна. Эндээс
a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=
=(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+⋯+(An−An−1)bn==(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+⋯+(An−An−1)bn=
=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn... |
1+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅221+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅22 нь аль вэ? | Заавар: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)1n(n+2)=12(1n−1n+2)
Бодолт: ∑=1+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅22=1+12(12−14)+12(14−16)+⋯+12(120−122)=1+12⋅12+12(−14+14)+⋯+12(−120+122)−12⋅122=1+12(12−122)=1+12⋅511=2722∑=1+12⋅4+14⋅6+⋯+120⋅22=1+12(12−14)+12(14−16)+⋯+12(120−122)=1+12⋅12+12(−14+14)+⋯+12(−120+122)−12⋅122=1+12(12−122)=1+12⋅511=2722 |
1+13+232+333+434+535+⋯+103101+13+232+333+434+535+⋯+10310 нийлбэрийг ол. | Заавар: An=a1+a2+⋯+an,A0=0An=a1+a2+⋯+an,A0=0 гэе. Тэгвэл an=An−An−1an=An−An−1 тул
n∑k=1akbk=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+(A3−A2)b3+⋯+(An−An−1)bn=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn∑k=1nakbk=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=(A1−A0)b1+(A2−A1)b2+(A3−A2)b3+⋯+(An−An−1)bn=A1(b1−b2)+A2(b2−b3)+⋯+An−1(bn−1−bn)+Anbn
Хувир... |
1+2i1+2i тоо шийд нь болдог квадрат тэгшитгэл аль нь вэ? | Заавар: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯1+2i=1−2i1+2i¯=1−2i тоо өөр нэг шийд нь болно гээд Виетийн теорем ашигла.
Бодолт: x1=1+2ix1=1+2i, x2=1−2ix2=1−2i шийдтэй квадрат тэгшитгэл нь Виетийн теорем ёсоор
x2−(x1+x2)x+x1x2=0⇔x2−(1+2i+1−2i)x+(1+2i)(1−2i)=0x2−(x1+x2)x+x1x2=0⇔x2−(1+2i+1−2i)x+(1+2i)(1−2i)=0
тул x2−2x+5=0x2−2x+5=0 байна. |
1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯=?1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯=? | Заавар: A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯ гэвэл (1−x)A(x)(1−x)A(x) хэдтэй тэнцүү вэ?
Бодолт: A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯A(x)=1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯ гэвэл
(1−x)A(x)=(1−x)(1+2x+3x2+4x3+⋯+nxn−1+⋯)=(1+2x+3x2+⋯+(n+1)xn+⋯)−(x+2x2+3x3+⋯+nxn+⋯)=1+(2−1)x+(3−2)x2+⋯(n+1−n)xn+⋯=1+x+x2+x3+⋯+xn+⋯=11−x(1−x)A(x)=(... |
1+2x−3x+22+3x−42x+4+2+3x+22x−13+5x+32x−1=1
тэгшитгэлийг бод. | Заавар: a+bc=ac+bc
a:cb:c=ab
Бодолт: 1=1+2x−3x+22+3x−42x+4+2+3x+22x−13+5x+32x−1×(2x+4)×(2x+4)×(2x−1)×(2x−1)=2x+4+2(2x−3)2(2x+4)+3x−4+2(2x−1)+3x+23(2x−1)+5x+3=6x−27x+4+7x11x=6x−27x+4+711
тул
6x−27x+4=411⇒66x−22=28x+16⇒x=1
байна. |
1+2|sinx|=2cos2x тэгшитгэлийг бод. | Заавар: cos2x=1−2sin2x болохыг ашиглан s=sinx орлуулга ашиглан бод.
Бодолт: s=sinx гэвэл |s|≤1 ба
1+2|s|=2(1−2s2)
болно. Хэрвээ 0≤s≤1 бол
1+2s=2−4s2⇔4s2+2s−1=0
тул s=−2±√22−4⋅4⋅(−1)8=−1±√54
ба 0≤s тул s=√5−14 байна. Иймд
x=(−1)narcsin√5−14+πn
шийд олдож байна. Харин −1≤s<0 бол
1−2s=2−4s2⇔4s2−2s−1=0
тул s=2±√(−2)2−4⋅4⋅(... |
1+n4+n8 илэрхийллийг квадрат 3 гишүүнтүүдийн үржвэрт задал. | Заавар:
Бодолт: 1+n4+n8=(1+2n4+n8)−n4=(n4+1)2−(n2)2=(n4−n2+1)(n4+n2+1) |
1+sin2x=cosx+sinx тэгшитгэлийг бод. | Заавар: Хариунаас бод.
Бодолт: x1=π2+2πn, x2=2πn, x3=−π4+πn бүгдээрээ шийд болохыг шалгахад төвөгтэй биш.
Үүнийг t=cosx+sinx гээд sin2x=t2−1 болохыг ашиглан t2=t тэгшитгэлд шилжүүлж бодож болно. |
1+x5 илэрхийллийг үржигдэхүүн болгон задал. | Заавар: x5=−1 байх комплекс тоонууд нь x1=−1, x2,3=cos36∘±isin36∘, x4,5=cos108∘+isin108∘.
Бодолт: x5=−1 байх комплекс тоонууд нь x1=−1, x2,3=cos36∘±isin36∘, x4,5=cos108∘+isin108∘. Иймд Безугийн теоремоор
x5+1=(x+1)(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)=(x+1)(x2−2cos36∘x+1)(x2−2cos108∘x+1)=(x+1)(x2−1+√52x+1)(x2−1−√52x+1)
болно. |
1+y21+2y+y2+1−3y+3y2−y3y2−1⋅11+y илэрхийллийг хялбарчил. | Заавар: a2+2ab+b2=(a+b)2⇒1+2y+y2=(1+y)2
a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3⇒1−3y+3y2−y3=(1−y)3
a2−b2=(a−b)(a+b)⇒y2−1=(y−1)(y+1)
Бодолт: Илэрх.=1+y21+2y+y2+1−3y+3y2−y3y2−1⋅11+y=1+y2(1+y)2+(1−y)3(y−1)(y+1)⋅11+y=1+y2(1+y)2+−(y−1)(1−y)2(y−1)(y+1)2=1+y2(1+y)2−(1−y)2(y+1)2=1+y2−(1−2y+y2)(1+y)2=2y(1+y)2 |
1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,…1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,… дарааллын 2016-р гишүүн a1b1007a1b1007 байна. Эхний kk гишүүний нийлбэрийг SkSk гэвэл S2n=cd4−1en−1−14⋅fgn−1S2n=cd4−1en−1−14⋅fgn−1 байна. S2n−1=S2n−(1−3)n−hS2n−1=S2n−(1−3)n−h тул энэ дараалалын бүх гишүүдийн нийлбэрS=limn→∞Sn=ijkS=limn→∞Sn=ijk байна. | Заавар:
Тэгш дугаартай гишүүд 1 прогресс, сондгой дугаартай гишүүд 1 прогресс үүсгэхийг хар. Геометр прогрессийн хувьд Sn=b11−qn1−qSn=b11−qn1−q байдаг. Төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр S=limn→∞Sn=b11−qS=limn→∞Sn=b11−q байдаг.
Бодолт:
1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,…1,1,12,−13,14,19,18,−127,116,… дарааллы... |
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,… дараалал өгөв. | Заавар: Уг дарааллын nn-р гишүүн нь anan гэе. Тэгвэл an=k⇔1+2+⋯+k−1<n≤1+2+⋯+kan=k⇔1+2+⋯+k−1<n≤1+2+⋯+k буюу an=k⇔(k−1)k2<n≤k(k+1)2an=k⇔(k−1)k2<n≤k(k+1)2.
Бодолт: Заавар ёсоор an=k⇔(k−1)k2<n≤k(k+1)2an=k⇔(k−1)k2<n≤k(k+1)2 тул a70=Na70=N гэвэл (N−1)N2<70≤N(N+1)2.(N−1)N2<70≤N(N+1)2. Эндээс N=12N=12 (Ийм NN нэг л байх нь ой... |
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,… дараалал өгөгдөв. | Заавар: nn-р гишүүн kk-аас их байхын тулд 1+2+⋯+k<n1+2+⋯+k<n байх ёстой. k+1k+1-ээс хэтрэхгүй байхын тулд n≤1+2+⋯+k+1n≤1+2+⋯+k+1 байх ёстой.
1111 байх сүүлчийн дугаар нь 1+2+⋯+111+2+⋯+11 байна.
12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)612+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6 томьёог ашиглаад хялбархан олж болно.
Бодолт: a60=N⇔N−1<a60≤Na60=N⇔N−1<a6... |
1-ээс 100-гийн хооронд орших | Заавар: 3,6,…,99=3n байна.
Sn=(a1+an)2⋅n
Нийт тоонуудын нийлбэрээс 3-т хуваагдах тоонуудын нийлбэрийг хасахад 3-т хуваагдахгүй тоонуудын нийлбэр гарна.
Бодолт: 3,6,…,99=3n тул n=33 ширхэг 3-т хуваагдах тоо байна.
S33=(3+99)2⋅33=1683.
1+2+⋯+100−1683=1+1002⋅100−1683=3367. |
1-ээс 150-ийн хооронд орших | Заавар: Эдгээр тоонууд нь 7,14,21,…,147 гэсэн арифметик прогрессийн тоонууд байна. 147=7+7(n−1) гэвэл n=?
Өмнөх хэсэгт олсон n-ийн хувьд Sn-ийг ол. Sn=a1+an2⋅n байна.
1-150 хүртэл тоонуудын нийлбэрээс өмнөх нийлбэрийг хасаж олно.
Бодолт: Эдгээр тоонууд нь 7,14,21,…,147 гэсэн арифметик прогрессийн тоонууд байна. 14... |
1-ээс 500-гийн хооронд орших | Заавар: n-ээс хэтрэхгүй k тоонд хуваагддаг тоонуудын тоог ол [nk];
Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томьёо ашигла. Sn=2a1+d(n−1)2⋅n;
Нийт тоонуудын нийлбэрээс 15-д хуваагддаг тоонуудын нийлбэрийг хасаж бодно.
Бодолт: [50015]=33;
S33=2⋅15+15(33−1)2⋅33=8415;
1+2+⋯+500=1+5002⋅500=125250-ээс 15-д хуваагддаг тоонуудын... |
1.2−x1.2+4.5x−x4.5=5.6+x тэгшитгэл бод. | Заавар: 1.2×4.5 тоогоор тэгшитгэлийг үржүүлж бодвол илүү хялбар байна.
Бодолт: 1.2−x1.2+4.5x−x4.5=5.6+x×1.2×4.5=5.41.2⋅5.4−4.5x+4.5⋅5.4x−1.2x=5.6⋅5.4+5.4x6.48−4.5x+24.3x−1.2x=30.24+5.4x(−4.5+24.3−1.2−5.4)x=30.24−6.4813.2x=23.76x=23.76:13.2=1.8 |
10 гр масстай материал цэг шулуун замаар t=0t=0 эгшнээс эхэлж хугацаатай шууд ба цэгийн хөдөлгөөний хурдтай урвуу пропорционал хамааралтай хүчний үйлчлэлийн дор хөдлөв. Хугацааны t=10t=10 секундэд хурд нь 0.250.25 м/с, хүч нь 8⋅10−58⋅10−5 н болсон гэвэл 30 секундын дараа биеийн хурд ямар байх вэ?
Бодолт. m=10−akgm=10−... | Заавар: Бодолтын дагуу анхааралтай уншиж тооцоог нь зөв хийхэд өөр нэмэлт мэдлэг шаардагдахгүй.
Бодолт: m=0.01kgm=0.01kg тул F(t)=0.01kg×dv(t)dt=ctv(t)F(t)=0.01kg×dv(t)dt=ctv(t) болно. 1N=1kg×1m/s21N=1kg×1m/s2 тул
F(10)=c⋅10s0.25m/s=8⋅10−5kg⋅m/s2⇒c=2⋅10−6kg⋅m2/s4F(10)=c⋅10s0.25m/s=8⋅10−5kg⋅m/s2⇒c=2⋅10−6kg⋅m2/s4
болно. ... |
10 дм.кв нь хэдэн см.кв болох вэ? | Заавар: 1 дм нь 10 см-тэй тэнцүү байдаг.
Бодолт: 1 дм.кв=1 дм×1 дм=10 см×10 см=100 см.кв1 дм.кв=1 дм×1 дм=10 см×10 см=100 см.кв байна. |
10 тооны арифметик дундаж 10 байжээ. Эдгээрээс нэг тоо хасахад үлдэх 9 тооны арифметик дундаж 9 болсон бол ямар тоо хассан бэ? | Заавар: nn ширхэг тооны арифметик дундаж AA бол эдгээр тоонуудын нийлбэр nAnA байна.
Бодолт: Анх байсан 10 тооны нийлбэр 10⋅10=10010⋅10=100, үлдсэн 9 тооны нийлбэр 9⋅9=819⋅9=81 тул хасагдсан тоо 100−81=19100−81=19 байжээ. |
100∑n=11n(n+1)=?∑n=11001n(n+1)=? | Заавар: Хэрэв ℓ≤mℓ≤m бол
m∑n=ℓan=aℓ+aℓ+1+⋯+am∑n=ℓman=aℓ+aℓ+1+⋯+am
байна. an=1n(n+1)=1n−1n+1an=1n(n+1)=1n−1n+1 болохыг ашигла.
Бодолт: 100∑n=11n(n+1)=11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5+⋯+1100⋅101==(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1100−1101)==1+(12−12)+(13−13)+⋯+(1100−1100)−1101==1−1101=100101∑n=11001n(n+1)=11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5+⋯+1100⋅101==(1... |
10x−1=15−6x тэгшитгэл бод. | Заавар: Аливаа нэг гишүүнтийг тэнцэлийн аль нэг талаас нөгөө талд шилжүүлэхэдээ тэмдэгийг нь эсрэгээр солино.
Бодолт: 10x−1=15−6x⇔10x+6x=15+1⇔16x=16⇔x=1 |
10∑k=1(2k2−4k+7)−10∑k=1(2k2−10k+1)∑k=110(2k2−4k+7)−∑k=110(2k2−10k+1) нийлбэрийг ол. | Заавар: Тодорхойлолт ёсоор n∑k=mak=am+am+1+⋯+an∑k=mnak=am+am+1+⋯+an байдаг.
n∑k=mak+n∑k=mbk=n∑k=m(ak+bk)∑k=mnak+∑k=mnbk=∑k=mn(ak+bk)
Бодолт: 10∑k=1(2k2−4k+7)−10∑k=1(2k2−10k+1)=∑k=110(2k2−4k+7)−∑k=110(2k2−10k+1)=
=10∑k=1[(2k2−4k+7)−(2k2−10k+1)]==∑k=110[(2k2−4k+7)−(2k2−10k+1)]=
=10∑k=1(6k+6)=(6⋅1+6)+(6⋅2+6)+⋯+(6⋅10+6)==∑... |
10∑k=1(k2+k+1)−10∑k=1(k2−k−1)∑k=110(k2+k+1)−∑k=110(k2−k−1) илэрхийллийн утгыг ол. | Заавар: n∑k=1ak−n∑k=1bk=n∑k=1(ak−bk)∑k=1nak−∑k=1nbk=∑k=1n(ak−bk) ба 10∑k=1ck=c1+c2+⋯+c10∑k=110ck=c1+c2+⋯+c10 болохыг ашигла.
Бодолт: 10∑k=1(k2+k+1)−10∑k=1(k2−k−1)=10∑k=1{(k2+k+1)−(k2−k−1)}=10∑k=1(2k+2)=(2⋅1+2)+(2⋅10+2)2⋅10=130∑k=110(k2+k+1)−∑k=110(k2−k−1)=∑k=110{(k2+k+1)−(k2−k−1)}=∑k=110(2k+2)=(2⋅1+2)+(2⋅10+2)2⋅10=130
... |
10∑n=1(2n−(−1)n)∑n=110(2n−(−1)n) нийлбэрийг ол. | Заавар: n∑k=m(ak+bk)=n∑k=mak+n∑k=mbk∑k=mn(ak+bk)=∑k=mnak+∑k=mnbk болон геометр прогрессийн нийлбэрийн томьёог ашигла.
Бодолт: 10∑n=1(2n−(−1)n)=10∑n=12n−10∑n=1(−1)n∑n=110(2n−(−1)n)=∑n=1102n−∑n=110(−1)n
=(2+22+⋯+210)−(−1+1−1+⋯+1)==(2+22+⋯+210)−(−1+1−1+⋯+1)=
=2(210−1)2−1=211−2=2(210−1)2−1=211−2 |
11+√2+1√2+√3+⋯+1√8+√911+2+12+3+⋯+18+9 илэрхийллийн утгыг ол. | Заавар: 1√n+√n+1=√n+1−√n1n+n+1=n+1−n
Бодолт: 8∑n=11√n+√n+1=11+√2+1√2+√3+⋯+1√8+√9=(√2−√1)+(√3−√2)+⋯+(√9−√8)=√9−√1=3−1=2∑n=181n+n+1=11+2+12+3+⋯+18+9=(2−1)+(3−2)+⋯+(9−8)=9−1=3−1=2 |
11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,…11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,…
дараалал өгөгдөв.
1) 522522 тоо дээрх дарааллын abcabc дугаар гишүүн болно.
2) Дээрх дарааллын 99 дугаар гишүүн dede
болно. | Заавар: Хүртвэр хуваарийн нийлбэр нь ижил байх тоонуудыг 1 бүлэг болгон авч үз.
Бодолт: 1) (11),(12,21),(13,22,31),(14,23,32,41),(15,…(11),(12,21),(13,22,31),(14,23,32,41),(15,… гэх мэт хаалт тавьж бүлэглэбэл 522522 тоо 5+22=275+22=27 тул 26-р хаалтны 5-р тоо болох нь харагдаж байна. Иймд 1+2+⋯+25+5=5+25⋅262=3301+2+⋯+... |
11-т хуваахад 5 үлдэгдэл өгдөг бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол. | Заавар: 104+115+⋯+995 нийлбэрийг бодох ёстой.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр
Sn=a1+an2⋅n
байдаг.
Бодолт: 11-д хуваахад 5 үлдэгдэл өгөх тоонууд нь 11 ялгавартай арифметик прогресс үүсгэнэ. Иймд бид a1=104, an=995=108+11(n−1) байх арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олно.
995=104+11(n−1)⇒n=... |
11-т хуваахад 9 үлдэгдэл өгдөг бүх гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол. | Заавар: 108+119+⋯+999 нийлбэрийг бодох ёстой.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр
Sn=a1+an2⋅n
байдаг.
Бодолт: 11-д хуваахад 9 үлдэгдэл өгөх тоонууд нь 11 ялгавартай арифметик прогресс үүсгэнэ. Иймд бид a1=108, an=999=108+11(n−1) байх арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олно.
999=108+11(n−1)⇒n=... |
112z−2=314z−9 тэгшитгэл бод. | Заавар: Аливаа нэг гишүүнтийг тэнцэлийн аль нэг талаас нөгөө талд шилжүүлэхэдээ тэмдэгийг нь эсрэгээр солино.
Бодолт: 112z−2=314z−9⇔9−2=314z−112z⇔
134z=7⇔z=7:134=7:74=7⋅47=4 |
11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+12016⋅201711⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+12016⋅2017 нийлбэрийг ол. | Заавар: 1n⋅(n+1)=1n−1n+11n⋅(n+1)=1n−1n+1
б
Бодолт: Нийлбэр=11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+12016⋅2017=(11−12)+(12−13)+⋯+(12016−12017)=11+(−12+12)+⋯+(−12016+12016)−12017=1−12017=20162017Нийлбэр=11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+12016⋅2017=(11−12)+(12−13)+⋯+(12016−12017)=11+(−12+12)+⋯+(−12016+12016)−12017=1−12017=20162017 |
11⋅3+13⋅5+⋯+199⋅101=?11⋅3+13⋅5+⋯+199⋅101=? | Заавар: an=bn+1−bnan=bn+1−bn, n∈Zn∈Z бол a1+a2+⋯+an=bn+1−b1a1+a2+⋯+an=bn+1−b1 байдаг.
1n(n+2)=12(1n−1n+2)1n(n+2)=12(1n−1n+2)
болохыг ашиглан бод.
Бодолт: 11⋅3+13⋅5+⋯+199⋅101=12(11−13+13−15+⋯+199−1101)=12(11−1101)=12⋅100101=5010111⋅3+13⋅5+⋯+199⋅101=12(11−13+13−15+⋯+199−1101)=12(11−1101)=12⋅100101=50101 |
11⋅4+14⋅7+⋯+128⋅3111⋅4+14⋅7+⋯+128⋅31 нь аль вэ? | Заавар: 1n(n+3)=13(1n−1n+3)1n(n+3)=13(1n−1n+3)
Бодолт: ∑=11⋅4+14⋅7+⋯+128⋅31=13(11−14)+13(14−17)+⋯+13(128−131)=13⋅11+13(−14+14)+⋯+13(−128+128)−13⋅131=13(11−131)=13⋅3031=1031∑=11⋅4+14⋅7+⋯+128⋅31=13(11−14)+13(14−17)+⋯+13(128−131)=13⋅11+13(−14+14)+⋯+13(−128+128)−13⋅131=13(11−131)=13⋅3031=1031 |
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.