url stringclasses 147
values | commit stringclasses 147
values | file_path stringlengths 7 101 | full_name stringlengths 1 94 | start stringlengths 6 10 | end stringlengths 6 11 | tactic stringlengths 1 11.2k | state_before stringlengths 3 2.09M | state_after stringlengths 6 2.09M | input stringlengths 73 2.09M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | rintro ⟨α, ⟨h, ⟨Y, ⟨π, hπ⟩⟩⟩⟩ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∃ α x Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)) →
S ∈ GrothendieckTopology.sieves (coherentTopology C) X | case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ S ∈ GrothendieckTopology.sieves (coherentTopology C) X | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∃ α x Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)) →
S ∈ GrothendieckTopology.sieves (coherentTopology C) X
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | change Coverage.saturate _ _ _ | case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ S ∈ GrothendieckTopology.sieves (coherentTopology C) X | case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage C) X S | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ S ∈ GrothendieckTopology.sieves (coherentTopol... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | let T := Sieve.generate (Presieve.ofArrows _ π) | case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage C) X S | case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage C) X S | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage C) X S
TAC... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | apply Coverage.saturate_of_superset (coherentCoverage C) h_le (_) | case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage ... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage C) X T | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i =... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | refine Coverage.saturate.of X _ ?_ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ Coverage.saturate (coherentCoverage C) X T | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π ∈ Coverage.covering (coherentCoverage C... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ Cove... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | rw [Sieve.sets_iff_generate (Presieve.ofArrows _ π) S] | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ T ≤ S | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π ≤ S.arrows | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ T ≤ S
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | refine Presieve.le_of_factorsThru_sieve (Presieve.ofArrows (fun i => Y i) π) S ?h | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π ≤ S.arrows | case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ FactorsThru (ofArrows (fun i => Y i) π) S.arrows | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ ofArrows (fun i =... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | intro Y g f | case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ FactorsThru (ofArrows (fun i => Y i) π) S.arrows | case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
g : Y ⟶ X
f : ofArrows (fun i => Y✝ i) π g
⊢ ∃ W i e, S.arrows ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
⊢ FactorsThr... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | use Y, 𝟙 Y | case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
g : Y ⟶ X
f : ofArrows (fun i => Y✝ i) π g
⊢ ∃ W i e, S.arrows ... | case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
g : Y ⟶ X
f : ofArrows (fun i => Y✝ i) π g
⊢ ∃ e, S.arrows e ∧ ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
g ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | rcases f with ⟨i⟩ | case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
g : Y ⟶ X
f : ofArrows (fun i => Y✝ i) π g
⊢ ∃ e, S.arrows e ∧ ... | case h.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ ∃ e, S.arrows e ∧ 𝟙 (Y✝ i) ≫ e = π i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
g ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | use (π i) | case h.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ ∃ e, S.arrows e ∧ 𝟙 (Y✝ i) ≫ e = π i | case h.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ S.arrows (π i) ∧ 𝟙 (Y✝ i) ≫ π i = π i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | constructor | case h.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ S.arrows (π i) ∧ 𝟙 (Y✝ i) ≫ π i = π i | case h.mk.left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ S.arrows (π i)
case h.mk.right
C : Type u
inst... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | exact hπ.2 i | case h.mk.left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ S.arrows (π i) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mk.left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | exact Category.id_comp (π i) | case h.mk.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)
Y : C
i : α
⊢ 𝟙 (Y✝ i) ≫ π i = π i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.mk.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y✝ π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y✝ i) π)... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | unfold coherentCoverage | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π ∈ Coverage.covering (coherentCoverage C... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π ∈
Coverage.covering
{ coverin... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofAr... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | simp | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π ∈
Coverage.covering
{ coverin... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ∃ α_1 x X_1 π_1, ofArrows (fun i => Y i) π = ofArrows X_1 π_1 ∧ E... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofAr... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | use α, inferInstance, Y, π | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ∃ α_1 x X_1 π_1, ofArrows (fun i => Y i) π = ofArrows X_1 π_1 ∧ E... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π = ofArrows Y π ∧ EffectiveEpiFamily Y π | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ∃ α_... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | constructor | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π = ofArrows Y π ∧ EffectiveEpiFamily Y π | case left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π = ofArrows Y π
case right
C ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofAr... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | rfl | case left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ ofArrows (fun i => Y i) π = ofArrows Y π | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
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α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | [18, 1] | [42, 17] | exact hπ.1 | case right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T ≤ S
⊢ EffectiveEpiFamily Y π | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
α : Type
h : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
hπ : EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)
T : Sieve X := Sieve.generate (ofArrows (fun i => Y i) π)
h_le : T... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | intro Y₁ Y₂ Z g₁ g₂ f₁ f₂ hf₁ hf₂ hgf | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
⊢ FamilyOfElements.Compatible (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ (yoneda.obj s.pt).map g₁.op (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s f₁ hf₁) =
(yoneda.obj s.pt... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
⊢ FamilyOfElements.Compatible (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s)
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | have := s.ι.naturality | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ (yoneda.obj s.pt).map g₁.op (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s f₁ hf₁) =
(yoneda.obj s.pt... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
⊢ (yoneda.obj s.pt).map g₁.op (yonedaF... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | simp | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
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s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | dsimp [yonedaFamilyOfElements_fromCocone] | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
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s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
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g₂ : Z ⟶ Y₂
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hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
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X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | have hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁) := by exact Sieve.downward_closed S hf₁ g₁ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
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s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | have hgf₂ : S.arrows (g₂ ≫ f₂) := by exact Sieve.downward_closed S hf₂ g₂ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
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X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | let F : (Over.mk (g₁ ≫ f₁) : Over X) ⟶ (Over.mk (g₂ ≫ f₂) : Over X) := (Over.homMk (𝟙 Z) ) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
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s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | let F₁ : (Over.mk (g₁ ≫ f₁) : Over X) ⟶ (Over.mk f₁ : Over X) := (Over.homMk g₁) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | let F₂ : (Over.mk (g₂ ≫ f₂) : Over X) ⟶ (Over.mk f₂ : Over X) := (Over.homMk g₂) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | have hF := @this ⟨Over.mk (g₁ ≫ f₁), hgf₁⟩ ⟨Over.mk (g₂ ≫ f₂), hgf₂⟩ F | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | have hF₁ := @this ⟨Over.mk (g₁ ≫ f₁), hgf₁⟩ ⟨Over.mk f₁, hf₁⟩ F₁ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | have hF₂ := @this ⟨Over.mk (g₂ ≫ f₂), hgf₂⟩ ⟨Over.mk f₂, hf₂⟩ F₂ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
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g₂ : Z ⟶ Y₂
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hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
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g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | simp at this ⊢ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
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g₂ : Z ⟶ Y₂
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hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)
hgf₂ : S.arrows (g₂ ≫ f₂)
F : Over.mk (g₁ ≫ f₁) ⟶ Over.mk (g₂ ≫ f₂) := Ov... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | aesop_cat | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
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f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)
hgf₂ : S.arrows (g₂ ≫ f₂)
F : Over.mk (g₁ ≫ f₁) ⟶ Over.mk (g₂ ≫ f₂) := Ov... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
hgf₁ : S.arrows (g₁ ≫ f₁)
hgf₂ : S.arr... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | exact Sieve.downward_closed S hf₁ g₁ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
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f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.yonedaFamily_fromCocone_compatible | [75, 1] | [93, 12] | exact Sieve.downward_closed S hf₂ g₂ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom⦄ (f : X_1 ⟶ Y),
(diagram S.arrows).... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
s : Cocone (diagram S.arrows)
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
hf₁ : S.arrows f₁
hf₂ : S.arrows f₂
hgf : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂
this :
∀ ⦃X_1 Y : FullSubcategory fu... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | constructor | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows) ↔ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) | case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows) → Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) → ∀ (W : C), IsSheafFor (yon... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows) ↔ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | intro H | case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows) → Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) | case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows) → Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | refine Nonempty.intro ?mp.val | case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) | case mp.val
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ IsColimit (cocone S.arrows) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | exact {
desc := fun s => H s.pt (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s)
(yonedaFamily_fromCocone_compatible S s) |>.choose
fac := by
intro s f
replace H := H s.pt (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s)
(yonedaFamily_fromCocone_compatible S s)
have ht := H.choose_spec.1 f.obj.hom f.property
aesop_cat
u... | case mp.val
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ IsColimit (cocone S.arrows) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mp.val
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ IsColimit (cocone S.arrows)
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | intro s f | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ ∀ (s : Cocone (diagram S.arrows)) (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom),
(cocone S.arrows).ι.app j ≫
(fun s => Exists.choose (_ : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFa... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
⊢ (cocone S.arrows).ι.app f ≫
(fun s => Exists.choose (_ : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElement... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ ∀ (s : Cocone (diagram S.arrows)) (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom),
(cocone S.arrows).ι.app j ≫
(fun s => Exist... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | replace H := H s.pt (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s)
(yonedaFamily_fromCocone_compatible S s) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
⊢ (cocone S.arrows).ι.app f ≫
(fun s => Exists.choose (_ : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElement... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s) t
⊢ (cocone S.arrows).ι.app f ≫
(fun... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
⊢ (cocone S.arrows).ι.app f ≫
(fun s => Exists.choose (_ :... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | have ht := H.choose_spec.1 f.obj.hom f.property | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s) t
⊢ (cocone S.arrows).ι.app f ≫
(fun... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s) t
ht :
(yoneda.obj s.pt).map f.obj.hom.o... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElemen... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | aesop_cat | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s) t
ht :
(yoneda.obj s.pt).map f.obj.hom.o... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
f : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation (yonedaFamilyOfElemen... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | intro s Fs HFs | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ ∀ (s : Cocone (diagram S.arrows)) (m : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt),
(∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ m = s.ι.app j) →
m =
(fun s => E... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ Fs = s.ι.app j
⊢ Fs = (fun s => Exists.choose (_ : ∃!... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
⊢ ∀ (s : Cocone (diagram S.arrows)) (m : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt),
(∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arr... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | replace H := H s.pt (yonedaFamilyOfElements_fromCocone S s)
(yonedaFamily_fromCocone_compatible S s) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ Fs = s.ι.app j
⊢ Fs = (fun s => Exists.choose (_ : ∃!... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ Fs = s.ι.app j
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgama... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | apply H.choose_spec.2 Fs | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ Fs = s.ι.app j
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgama... | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ Fs = s.ι.app j
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgama... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | exact fun _ f hf => HFs ⟨Over.mk f, hf⟩ | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι.app j ≫ Fs = s.ι.app j
H : ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgama... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H✝ : ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
s : Cocone (diagram S.arrows)
Fs : (cocone S.arrows).pt ⟶ s.pt
HFs : ∀ (j : FullSubcategory fun f => S.arrows f.hom), (cocone S.arrows).ι... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | intro H W x hx | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) → ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows)) → ∀ (W : C), IsSheafFor (yoneda.obj W) S.arrows
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | replace H := Classical.choice H | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
H : Nonempty (IsColimit (cocone S.arrows))
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
TACTIC... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | let s := Sieve.yonedafamily_toCocone W S x hx | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | use H.desc s | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ ∃! t, FamilyOfElements.IsAmalgamation x t | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ (fun t => FamilyOfElements.IsAmalgamation x t) (I... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.ar... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | constructor | case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ (fun t => FamilyOfElements.IsAmalgamation x t) (I... | case mpr.left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ (fun t => FamilyOfElements.IsAmalgamation x ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.ar... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | exact fun _ f hf => (H.fac s) ⟨Over.mk f, hf⟩ | case mpr.left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ (fun t => FamilyOfElements.IsAmalgamation x ... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.left
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | intro g hg | case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
⊢ ∀ (y : (yoneda.obj W).obj X.op), (fun t => ... | case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
g : (yoneda.obj W).obj X.op
hg : FamilyOfElem... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | apply H.uniq s g | case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
g : (yoneda.obj W).obj X.op
hg : FamilyOfElem... | case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
g : (yoneda.obj W).obj X.op
hg : FamilyOfElem... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | rintro ⟨⟨f, _, hom⟩, hf⟩ | case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
g : (yoneda.obj W).obj X.op
hg : FamilyOfElem... | case mpr.right.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
g : (yoneda.obj W).obj X.op
hg : Family... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.right
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit | [97, 1] | [128, 22] | apply hg hom hf | case mpr.right.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toCocone W S.arrows x hx
g : (yoneda.obj W).obj X.op
hg : Family... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case mpr.right.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
W : C
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) S.arrows
hx : FamilyOfElements.Compatible x
H : IsColimit (cocone S.arrows)
s : Cocone (diagram S.arrows) := yonedafamily_toC... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | rw [isSheaf_coherent] | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X W : C
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (yoneda.obj W) | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X W : C
⊢ ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Fintype α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
EffectiveEpiFamily X π → IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows X π) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X W : C
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (yoneda.obj W)
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | intro X α _ Y π H | C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X W : C
⊢ ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Fintype α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
EffectiveEpiFamily X π → IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows X π) | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝¹ : Category C
inst✝ : Precoherent C
X W : C
⊢ ∀ (B : C) (α : Type) [inst : Fintype α] (X : α → C) (π : (a : α) → X a ⟶ B),
EffectiveEpiFamily X π → IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows X π)
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | have h_colim:= isColimitOfEffectiveEpiFamilyStruct Y π H.effectiveEpiFamily.some | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π) | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generateFamily Y π).arrows)
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
TACTIC:
|
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | rw [←Sieve.generateFamily_eq] at h_colim | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generateFamily Y π).arrows)
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π) | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generateFamily Y π).arrows)
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
TA... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | intro x hx | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y π) | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∃! t, FamilyO... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) (ofArrows Y ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | let x_ext := FamilyOfElements.sieveExtend x | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
⊢ ∃! t, FamilyO... | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofA... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | have hx_ext := FamilyOfElements.Compatible.sieveExtend hx | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofA... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | let S := Sieve.generate (ofArrows Y π) | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofA... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | have := (Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit S).mpr ⟨h_colim⟩ W x_ext hx_ext | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofA... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | rcases this with ⟨t, t_amalg, t_uniq⟩ | C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible x
x_ext : FamilyO... | case intro.intro
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofA... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | use t | case intro.intro
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible ... | case intro.intro
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (y... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | constructor | case intro.intro
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compatible ... | case intro.intro.left
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compat... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (y... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | convert Presieve.isAmalgamation_restrict (Sieve.le_generate (ofArrows Y π)) _ _ t_amalg | case intro.intro.left
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compat... | case h.e.h.e'_6.h.h.h
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compat... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.left
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElemen... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | refine Eq.symm (restrict_extend hx) | case h.e.h.e'_6.h.h.h
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compat... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.e.h.e'_6.h.h.h
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElemen... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | coherentTopology.isSheaf_Yoneda | [131, 1] | [149, 68] | exact fun y hy => t_uniq y <| isAmalgamation_sieveExtend x y hy | case intro.intro.right
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfElements (yoneda.obj W) (ofArrows Y π)
hx : FamilyOfElements.Compa... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.right
C : Type u
inst✝² : Category C
inst✝¹ : Precoherent C
X✝ W X : C
α : Type
inst✝ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
H : EffectiveEpiFamily Y π
h_colim : IsColimit (cocone (Sieve.generate (ofArrows Y π)).arrows)
x : FamilyOfEleme... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | rw [← Sieve.effectiveEpimorphic_family] | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ EffectiveE... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ EffectiveE... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | suffices h₂ : (Sieve.generate (Presieve.ofArrows (fun (⟨a, b⟩ : Σ _, β _) => Y_n a b)
(fun ⟨a,b⟩ => π_n a b ≫ π a))) ∈ GrothendieckTopology.sieves (coherentTopology C) X by
change Nonempty _
rw [← Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit]
intro W
apply coherentTopology.isSheaf_Yoneda
exact h₂ | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ EffectiveE... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ Sieve.gene... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | let h' := h | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
⊢ Sieve.gene... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | rw [← Sieve.effectiveEpimorphic_family] at h' | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | let H' := H | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | conv at H' =>
intro a
rw [← Sieve.effectiveEpimorphic_family] | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | apply Coverage.saturate.transitive X (Sieve.generate (Presieve.ofArrows Y π)) | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : Effecti... | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : ... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | change Nonempty _ | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | rw [← Sieve.Yoneda_sheaf_iff_colimit] | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | intro W | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | apply coherentTopology.isSheaf_Yoneda | C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
Sieve... | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | exact h₂ | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h₂ :
... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | apply Coverage.saturate.of | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : ... | case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | use α, inferInstance, Y, π | case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | simp only [true_and] | case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | exact Iff.mp (Sieve.effectiveEpimorphic_family Y π) h' | case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.hS
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | intro V f ⟨Y₁, h, g, ⟨hY, hf⟩⟩ | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' : ... | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | rw [← hf, Sieve.pullback_comp] | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' :... | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' :... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | apply (coherentTopology C).pullback_stable' | case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h' :... | case a.a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | apply coherentTopology.Sieve_of_has_EffectiveEpiFamily | case a.a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
h'... | case a.a.a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | rcases hY with ⟨i⟩ | case a.a.a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a)
... | case a.a.a.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y : α → C
π : (a : α) → Y a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | use β i, inferInstance, Y_n i, π_n i | case a.a.a.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (... | case a.a.a.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a)... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | constructor | case a.a.a.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (... | case a.a.a.mk.left
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a.mk
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a)... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | exact H i | case a.a.a.mk.left
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n... | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a.mk.left
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b :... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | intro b | case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_... | case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | use Y_n i b, (𝟙 _), π_n i b ≫ π i | case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_... | case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b ... |
https://github.com/adamtopaz/CopenhagenMasterclass2023.git | a293ca1554f7e80d891fd4d86fb092c54d8a0a01 | ExtrDisc/Topologies.lean | EffectiveEpiFamily_transitive | [161, 1] | [201, 47] | constructor | case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_... | case a.a.a.mk.right.left
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b : β a) → Y_n a b ⟶ Y✝ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamil... | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case a.a.a.mk.right
C : Type u
inst✝³ : Category C
inst✝² : Precoherent C
X : C
α : Type
inst✝¹ : Fintype α
Y✝ : α → C
π : (a : α) → Y✝ a ⟶ X
h✝ : EffectiveEpiFamily Y✝ π
β : α → Type
inst✝ : (a : α) → Fintype (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (b ... |
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