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https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h8, Nat.mul_left_inj h7.ne_zero] at h10
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : f q = kn * q h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : kp = kn h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : f q = kn * q h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h11, ← h10, ← h9]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : kp = kn h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : kp = kn h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [← Nat.succ_le_succ_iff, Nat.succ_eq_one_add, Nat.succ_eq_one_add]
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ f n ≀ n * f 1
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ 1 + f n ≀ 1 + n * f 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ f n ≀ n * f 1 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact Nat.le_of_dvd (Nat.add_pos_left Nat.one_pos _) (h 1 n <| Nat.lt_one_add_iff.mpr h0.le)
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ 1 + f n ≀ 1 + n * f 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ 1 + f n ≀ 1 + n * f 1 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
suffices p ∣ f p ^ 2 by rcases h2.dvd_of_dvd_pow this with ⟨k, h3⟩ exact ⟨k, Nat.le_of_mul_le_mul_left (h3.ge.trans (h0 h1)) h2.pos, h3.trans (p.mul_comm k)⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases exists_gt (C + f p) with ⟨n, h3⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : C + f p < n ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
replace h3 := Nat.exists_eq_add_of_le <| h3.le.trans (Nat.le_mul_of_pos_right _ h2.pos)
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : C + f p < n ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : βˆƒ k, n * p = C + f p + k ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : C + f p < n ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h3 with ⟨a, h3⟩
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : βˆƒ k, n * p = C + f p + k ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + f p + a ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : βˆƒ k, n * p = C + f p + k ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [add_right_comm] at h3
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + f p + a ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + f p + a ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
specialize h (C + a) p <| (C.le_add_right a).trans_lt (Nat.lt_add_of_pos_right h2.pos)
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
replace h3 : p ∣ C + a + f p := ⟨n, h3.symm.trans (n.mul_comm p)⟩
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [← dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add h3, dvd_iff_of_dvd_add (h3.trans h)]
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ p * f (C + a)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact p.dvd_mul_right _
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ p * f (C + a)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ p * f (C + a) TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h2.dvd_of_dvd_pow this with ⟨k, h3⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime this : p ∣ f p ^ 2 ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime this : p ∣ f p ^ 2 k : β„• h3 : f p = p * k ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime this : p ∣ f p ^ 2 ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact ⟨k, Nat.le_of_mul_le_mul_left (h3.ge.trans (h0 h1)) h2.pos, h3.trans (p.mul_comm k)⟩
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime this : p ∣ f p ^ 2 k : β„• h3 : f p = p * k ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime this : p ∣ f p ^ 2 k : β„• h3 : f p = p * k ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
refine ⟨max C (max (f x) (max (x * f 1) (x ^ 2))), Ξ» p h2 h3 ↦ ?_⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x : β„• ⊒ βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime h3 : max C (max (f x) (max (x * f 1) (x ^ 2))) < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x : β„• ⊒ βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x TACTIC:
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [max_lt_iff, max_lt_iff, max_lt_iff] at h3
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime h3 : max C (max (f x) (max (x * f 1) (x ^ 2))) < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime h3 : C < p ∧ f x < p ∧ x * f 1 < p ∧ x ^ 2 < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime h3 : max C (max (f x) (max (x * f 1) (x ^ 2))) < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h3 with ⟨hp1, hp2, hp3, hp4⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime h3 : C < p ∧ f x < p ∧ x * f 1 < p ∧ x ^ 2 < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
case intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime h3 : C < p ∧ f x < p ∧ x * f 1 < p ∧ x ^ 2 < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x TACTIC:
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[64, 1]
[125, 24]
rcases h1 hp1 h2 with ⟨k, h3, h4⟩
case intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x TACTIC:
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[64, 1]
[125, 24]
refine ⟨k, h4, ?_⟩
case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x TACTIC:
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[64, 1]
[125, 24]
rcases (f x).eq_zero_or_pos with h5 | h5
case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inl C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 ⊒ f x = k * x case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases k.eq_zero_or_pos with rfl | h6
case intro.intro.intro.intro.intro.inl C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inl C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p h5 : f x = 0 h3 : 0 ≀ f 1 h4 : f p = 0 * p ⊒ f x = 0 * x case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inl C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h5, zero_mul]
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inl C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p h5 : f x = 0 h3 : 0 ≀ f 1 h4 : f p = 0 * p ⊒ f x = 0 * x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inl C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p h5 : f x = 0 h3 : 0 ≀ f 1 h4 : f p = 0 * p ⊒ f x = 0 * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
suffices x ^ 2 = 0 by rw [h5, pow_eq_zero this, mul_zero]
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 ⊒ x ^ 2 = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
specialize h x p (Nat.lt_add_left x hp1)
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 ⊒ x ^ 2 = 0
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 h : x + f p ∣ x ^ 2 + p * f x ⊒ x ^ 2 = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 ⊒ x ^ 2 = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h5, mul_zero, add_zero, h4] at h
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 h : x + f p ∣ x ^ 2 + p * f x ⊒ x ^ 2 = 0
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 h : x + k * p ∣ x ^ 2 ⊒ x ^ 2 = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 h : x + f p ∣ x ^ 2 + p * f x ⊒ x ^ 2 = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact Nat.eq_zero_of_dvd_of_lt h <| Nat.lt_add_left x (lt_mul_of_one_le_of_lt h6 hp4)
case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 h : x + k * p ∣ x ^ 2 ⊒ x ^ 2 = 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inl.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 h : x + k * p ∣ x ^ 2 ⊒ x ^ 2 = 0 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h5, pow_eq_zero this, mul_zero]
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 this : x ^ 2 = 0 ⊒ f x = k * x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x = 0 h6 : k > 0 this : x ^ 2 = 0 ⊒ f x = k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
specialize h p x (Nat.lt_add_right x hp1)
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 ⊒ f x = k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
have h6 : (p + f x).Coprime p := by rw [Nat.coprime_self_add_left, Nat.coprime_comm, h2.coprime_iff_not_dvd] exact Nat.not_dvd_of_pos_of_lt h5 hp2
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p h6 : (p + f x).Coprime p ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [sq, h4, ← mul_assoc, ← add_mul, h6.dvd_mul_right] at h
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p h6 : (p + f x).Coprime p ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p + x * k h6 : (p + f x).Coprime p ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p h6 : (p + f x).Coprime p ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
clear h6
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p + x * k h6 : (p + f x).Coprime p ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p + x * k ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p + x * k h6 : (p + f x).Coprime p ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h with ⟨_ | _ | t, h⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p + x * k ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.zero C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + x * k = (p + f x) * 0 ⊒ f x = k * x case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.zero C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + x * k = (p + f x) * (0 + 1) ⊒ f x = k * x case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * (t + 1 + 1) ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p + x * k ⊒ f x = k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [Nat.coprime_self_add_left, Nat.coprime_comm, h2.coprime_iff_not_dvd]
C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ (p + f x).Coprime p
C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ Β¬p ∣ f x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ (p + f x).Coprime p TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact Nat.not_dvd_of_pos_of_lt h5 hp2
C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ Β¬p ∣ f x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + f x ∣ p ^ 2 + x * f p ⊒ Β¬p ∣ f x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact h.not_gt.elim (Nat.lt_add_right _ h2.pos)
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.zero C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + x * k = (p + f x) * 0 ⊒ f x = k * x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.zero C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + x * k = (p + f x) * 0 ⊒ f x = k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rwa [Nat.mul_one, add_right_inj, eq_comm, mul_comm] at h
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.zero C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + x * k = (p + f x) * (0 + 1) ⊒ f x = k * x
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.zero C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 h : p + x * k = (p + f x) * (0 + 1) ⊒ f x = k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [add_assoc, mul_add, add_mul _ _ 2] at h
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * (t + 1 + 1) ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ f x = k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * (t + 1 + 1) ⊒ f x = k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
refine h.not_lt.elim (Nat.lt_add_left _ (Nat.lt_add_right _ ?_))
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ f x = k * x
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ p + x * k < p * 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ f x = k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [mul_two, add_lt_add_iff_left]
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ p + x * k < p * 2
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ x * k < p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ p + x * k < p * 2 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact hp3.trans_le' (Nat.mul_le_mul_left x h3)
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ x * k < p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.succ.succ C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p x p : β„• h2 : p.Prime hp1 : C < p hp2 : f x < p hp3 : x * f 1 < p hp4 : x ^ 2 < p k : β„• h3 : k ≀ f 1 h4 : f p = k * p h5 : f x > 0 t : β„• h : p + x * k = (p + f x) * t + (p * 2 + f x * 2) ⊒ x * k < p TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.linear_is_goodPNat
[140, 1]
[141, 63]
rw [sq, add_mul, mul_assoc, mul_left_comm]
C k a b : β„•+ x✝ : C < a + b ⊒ a ^ 2 + b * (fun x => k * x) a = (a + (fun x => k * x) b) * a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C k a b : β„•+ x✝ : C < a + b ⊒ a ^ 2 + b * (fun x => k * x) a = (a + (fun x => k * x) b) * a TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
let g : β„• β†’ β„• := Ξ» n ↦ dite (0 < n) (Ξ» h ↦ f ⟨n, h⟩) (Ξ» _ ↦ 0)
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rcases good_is_linear h0 with ⟨k, h1⟩
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
replace h0 : 0 < k := by rw [← k.mul_one, ← congr_fun h1]; exact (f 1).pos
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
refine ⟨⟨k, h0⟩, funext Ξ» x ↦ ?_⟩
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k x : β„•+ ⊒ f x = ⟨k, h0⟩ * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rw [← PNat.coe_inj, PNat.mul_coe, PNat.mk_coe, ← congr_fun h1, eq_comm]
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k x : β„•+ ⊒ f x = ⟨k, h0⟩ * x
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k x : β„•+ ⊒ g ↑x = ↑(f x)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k x : β„•+ ⊒ f x = ⟨k, h0⟩ * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
exact dif_pos x.pos
case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k x : β„•+ ⊒ g ↑x = ↑(f x)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 k : β„• h1 : g = fun x => k * x h0 : 0 < k x : β„•+ ⊒ g ↑x = ↑(f x) TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rcases a.eq_zero_or_pos with rfl | ha
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a
case inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 b : β„• H : ↑C < 0 + b ⊒ 0 + g b ∣ 0 ^ 2 + b * g 0 case inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rcases b.eq_zero_or_pos with rfl | hb
case inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a
case inr.inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a : β„• ha : a > 0 H : ↑C < a + 0 ⊒ a + g 0 ∣ a ^ 2 + 0 * g a case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
exact ⟨0, rfl⟩
case inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 b : β„• H : ↑C < 0 + b ⊒ 0 + g b ∣ 0 ^ 2 + b * g 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 b : β„• H : ↑C < 0 + b ⊒ 0 + g b ∣ 0 ^ 2 + b * g 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rw [zero_mul]
case inr.inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a : β„• ha : a > 0 H : ↑C < a + 0 ⊒ a + g 0 ∣ a ^ 2 + 0 * g a
case inr.inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a : β„• ha : a > 0 H : ↑C < a + 0 ⊒ a + g 0 ∣ a ^ 2 + 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr.inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a : β„• ha : a > 0 H : ↑C < a + 0 ⊒ a + g 0 ∣ a ^ 2 + 0 * g a TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
exact ⟨a, sq a⟩
case inr.inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a : β„• ha : a > 0 H : ↑C < a + 0 ⊒ a + g 0 ∣ a ^ 2 + 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr.inl C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a : β„• ha : a > 0 H : ↑C < a + 0 ⊒ a + g 0 ∣ a ^ 2 + 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
dsimp only [g]
case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a
case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ (a + if h : 0 < b then ↑(f ⟨b, h⟩) else 0) ∣ a ^ 2 + b * if h : 0 < a then ↑(f ⟨a, h⟩) else 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ a + g b ∣ a ^ 2 + b * g a TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rw [dif_pos ha, dif_pos hb]
case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ (a + if h : 0 < b then ↑(f ⟨b, h⟩) else 0) ∣ a ^ 2 + b * if h : 0 < a then ↑(f ⟨a, h⟩) else 0
case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ a + ↑(f ⟨b, hb⟩) ∣ a ^ 2 + b * ↑(f ⟨a, ha⟩)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ (a + if h : 0 < b then ↑(f ⟨b, h⟩) else 0) ∣ a ^ 2 + b * if h : 0 < a then ↑(f ⟨a, h⟩) else 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
exact PNat.dvd_iff.mp (h ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩ H)
case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ a + ↑(f ⟨b, hb⟩) ∣ a ^ 2 + b * ↑(f ⟨a, ha⟩)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case inr.inr C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 a b : β„• H : ↑C < a + b ha : a > 0 hb : b > 0 ⊒ a + ↑(f ⟨b, hb⟩) ∣ a ^ 2 + b * ↑(f ⟨a, ha⟩) TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
rw [← k.mul_one, ← congr_fun h1]
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ 0 < k
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ 0 < g 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ 0 < k TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.goodPNat_is_linear
[143, 1]
[156, 22]
exact (f 1).pos
C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ 0 < g 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„•+ f : β„•+ β†’ β„•+ h : goodPNat C f g : β„• β†’ β„• := fun n => if h : 0 < n then ↑(f ⟨n, h⟩) else 0 h0 : good (↑C) g k : β„• h1 : g = fun x => k * x ⊒ 0 < g 1 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add
[33, 1]
[39, 47]
have h0 {u v w : β„•} (h0 : u ∣ v + w) : u ∣ v ^ 2 ↔ u ∣ v * w := by apply dvd_iff_of_dvd_add rw [sq, ← Nat.mul_add] exact h0.mul_left v
a b c : β„• h : c ∣ a + b ⊒ c ∣ a ^ 2 ↔ c ∣ b ^ 2
a b c : β„• h : c ∣ a + b h0 : βˆ€ {u v w : β„•}, u ∣ v + w β†’ (u ∣ v ^ 2 ↔ u ∣ v * w) ⊒ c ∣ a ^ 2 ↔ c ∣ b ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a b c : β„• h : c ∣ a + b ⊒ c ∣ a ^ 2 ↔ c ∣ b ^ 2 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add
[33, 1]
[39, 47]
rw [h0 h, mul_comm, ← h0 (a.add_comm b β–Έ h)]
a b c : β„• h : c ∣ a + b h0 : βˆ€ {u v w : β„•}, u ∣ v + w β†’ (u ∣ v ^ 2 ↔ u ∣ v * w) ⊒ c ∣ a ^ 2 ↔ c ∣ b ^ 2
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a b c : β„• h : c ∣ a + b h0 : βˆ€ {u v w : β„•}, u ∣ v + w β†’ (u ∣ v ^ 2 ↔ u ∣ v * w) ⊒ c ∣ a ^ 2 ↔ c ∣ b ^ 2 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add
[33, 1]
[39, 47]
apply dvd_iff_of_dvd_add
a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v ^ 2 ↔ u ∣ v * w
case h a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v ^ 2 + v * w
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v ^ 2 ↔ u ∣ v * w TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add
[33, 1]
[39, 47]
rw [sq, ← Nat.mul_add]
case h a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v ^ 2 + v * w
case h a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v * (v + w)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v ^ 2 + v * w TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add
[33, 1]
[39, 47]
exact h0.mul_left v
case h a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v * (v + w)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case h a b c : β„• h : c ∣ a + b u v w : β„• h0 : u ∣ v + w ⊒ u ∣ v * (v + w) TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
rw [Nat.dvd_prime_pow h] at h1
a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h1 : p + a ∣ p ^ 2 ⊒ a = 0
a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h1 : βˆƒ k ≀ 2, p + a = p ^ k ⊒ a = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h1 : p + a ∣ p ^ 2 ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
rcases h1 with ⟨k, h1, h2⟩
a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h1 : βˆƒ k ≀ 2, p + a = p ^ k ⊒ a = 0
case intro.intro a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p k : β„• h1 : k ≀ 2 h2 : p + a = p ^ k ⊒ a = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h1 : βˆƒ k ≀ 2, p + a = p ^ k ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
rw [Nat.le_add_one_iff, Nat.le_add_one_iff, zero_add, le_zero_iff] at h1
case intro.intro a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p k : β„• h1 : k ≀ 2 h2 : p + a = p ^ k ⊒ a = 0
case intro.intro a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p k : β„• h1 : (k = 0 ∨ k = 1) ∨ k = 1 + 1 h2 : p + a = p ^ k ⊒ a = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p k : β„• h1 : k ≀ 2 h2 : p + a = p ^ k ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
rcases h1 with (rfl | rfl) | rfl
case intro.intro a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p k : β„• h1 : (k = 0 ∨ k = 1) ∨ k = 1 + 1 h2 : p + a = p ^ k ⊒ a = 0
case intro.intro.inl.inl a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ 0 ⊒ a = 0 case intro.intro.inl.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ 1 ⊒ a = 0 case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ a = 0
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p k : β„• h1 : (k = 0 ∨ k = 1) ∨ k = 1 + 1 h2 : p + a = p ^ k ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
exact absurd h2 (h.one_lt.trans_le le_self_add).ne.symm
case intro.intro.inl.inl a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ 0 ⊒ a = 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.inl.inl a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ 0 ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
rwa [pow_one, add_right_eq_self] at h2
case intro.intro.inl.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ 1 ⊒ a = 0
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.inl.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ 1 ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
refine absurd ((add_lt_add_left h0 p).trans_le ?_) h2.not_lt
case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ a = 0
case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ p + p ≀ p ^ (1 + 1)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ a = 0 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
rw [sq, ← two_mul]
case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ p + p ≀ p ^ (1 + 1)
case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ 2 * p ≀ p * p
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ p + p ≀ p ^ (1 + 1) TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.eq_zero_of_prime_add_dvd_sq
[41, 1]
[50, 62]
exact Nat.mul_le_mul_right p h.two_le
case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ 2 * p ≀ p * p
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.inr a p : β„• h : p.Prime h0 : a < p h2 : p + a = p ^ (1 + 1) ⊒ 2 * p ≀ p * p TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.linear_is_good
[61, 1]
[62, 67]
rw [sq, add_mul, Nat.mul_assoc, mul_left_comm]
C k a b : β„• x✝ : C < a + b ⊒ a ^ 2 + b * (fun x => k * x) a = (a + (fun x => k * x) b) * a
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C k a b : β„• x✝ : C < a + b ⊒ a ^ 2 + b * (fun x => k * x) a = (a + (fun x => k * x) b) * a TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
have h0 {n} (h0 : C < n) : f n ≀ n * f 1 := by rw [← Nat.succ_le_succ_iff, Nat.succ_eq_one_add, Nat.succ_eq_one_add] exact Nat.le_of_dvd (Nat.add_pos_left Nat.one_pos _) (h 1 n <| Nat.lt_one_add_iff.mpr h0.le)
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
have h1 {p} (h1 : C < p) (h2 : p.Prime) : βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p := by suffices p ∣ f p ^ 2 by rcases h2.dvd_of_dvd_pow this with ⟨k, h3⟩ exact ⟨k, Nat.le_of_mul_le_mul_left (h3.ge.trans (h0 h1)) h2.pos, h3.trans (p.mul_comm k)⟩ rcases exists_gt (C + f p) with ⟨n, h3⟩ replace h3 := Nat.exists_eq_add_of_le <| h3.le.trans (Nat.le_mul_of_pos_right _ h2.pos) rcases h3 with ⟨a, h3⟩; rw [add_right_comm] at h3 specialize h (C + a) p <| (C.le_add_right a).trans_lt (Nat.lt_add_of_pos_right h2.pos) replace h3 : p ∣ C + a + f p := ⟨n, h3.symm.trans (n.mul_comm p)⟩ rw [← dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add h3, dvd_iff_of_dvd_add (h3.trans h)] exact p.dvd_mul_right _
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases C.succ.exists_infinite_primes with ⟨p, (h3 : C < p), h4⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h1 h3 h4 with ⟨k, -, h5⟩
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
case intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
refine ⟨k, funext Ξ» n ↦ ?_⟩
case intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x
case intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n : β„• ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p ⊒ βˆƒ k, f = fun x => k * x TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h2 p with ⟨Bp, hp⟩
case intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n : β„• ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n : β„• ⊒ f n = k * n TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h2 n with ⟨Bn, hn⟩
case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p ⊒ f n = k * n TACTIC:
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases (max Bp Bn).succ.exists_infinite_primes with ⟨q, h6, h7⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : (max Bp Bn).succ ≀ q h7 : q.Prime ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [Nat.succ_le_iff, max_lt_iff] at h6
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : (max Bp Bn).succ ≀ q h7 : q.Prime ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : (max Bp Bn).succ ≀ q h7 : q.Prime ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
specialize hp q h7 h6.1
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime hp : βˆƒ k, f q = k * q ∧ f p = k * p ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp : β„• hp : βˆ€ (p_1 : β„•), p_1.Prime β†’ Bp < p_1 β†’ βˆƒ k, f p_1 = k * p_1 ∧ f p = k * p Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases hp with ⟨kp, h8, h9⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime hp : βˆƒ k, f q = k * q ∧ f p = k * p ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : f p = kp * p ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime hp : βˆƒ k, f q = k * q ∧ f p = k * p ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h5, Nat.mul_left_inj h4.ne_zero] at h9
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : f p = kp * p ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : f p = kp * p ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
specialize hn q h7 h6.2
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp hn : βˆƒ k, f q = k * q ∧ f n = k * n ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn : β„• hn : βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ Bn < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f n = k * n q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases hn with ⟨kn, h10, h11⟩
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp hn : βˆƒ k, f q = k * q ∧ f n = k * n ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : f q = kn * q h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp hn : βˆƒ k, f q = k * q ∧ f n = k * n ⊒ f n = k * n TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h8, Nat.mul_left_inj h7.ne_zero] at h10
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : f q = kn * q h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : kp = kn h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : f q = kn * q h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n TACTIC:
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IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [h11, ← h10, ← h9]
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : kp = kn h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 h1 : βˆ€ {p : β„•}, C < p β†’ p.Prime β†’ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p h2 : βˆ€ (x : β„•), βˆƒ B, βˆ€ (p : β„•), p.Prime β†’ B < p β†’ βˆƒ k, f p = k * p ∧ f x = k * x p : β„• h3 : C < p h4 : p.Prime k : β„• h5 : f p = k * p n Bp Bn q : β„• h6 : Bp < q ∧ Bn < q h7 : q.Prime kp : β„• h8 : f q = kp * q h9 : k = kp kn : β„• h10 : kp = kn h11 : f n = kn * n ⊒ f n = k * n TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [← Nat.succ_le_succ_iff, Nat.succ_eq_one_add, Nat.succ_eq_one_add]
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ f n ≀ n * f 1
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ 1 + f n ≀ 1 + n * f 1
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ f n ≀ n * f 1 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact Nat.le_of_dvd (Nat.add_pos_left Nat.one_pos _) (h 1 n <| Nat.lt_one_add_iff.mpr h0.le)
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ 1 + f n ≀ 1 + n * f 1
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f n : β„• h0 : C < n ⊒ 1 + f n ≀ 1 + n * f 1 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
suffices p ∣ f p ^ 2 by rcases h2.dvd_of_dvd_pow this with ⟨k, h3⟩ exact ⟨k, Nat.le_of_mul_le_mul_left (h3.ge.trans (h0 h1)) h2.pos, h3.trans (p.mul_comm k)⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ βˆƒ k ≀ f 1, f p = k * p TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases exists_gt (C + f p) with ⟨n, h3⟩
C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : C + f p < n ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
replace h3 := Nat.exists_eq_add_of_le <| h3.le.trans (Nat.le_mul_of_pos_right _ h2.pos)
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : C + f p < n ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : βˆƒ k, n * p = C + f p + k ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : C + f p < n ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
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IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rcases h3 with ⟨a, h3⟩
case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : βˆƒ k, n * p = C + f p + k ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + f p + a ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n : β„• h3 : βˆƒ k, n * p = C + f p + k ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [add_right_comm] at h3
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + f p + a ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + f p + a ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
specialize h (C + a) p <| (C.le_add_right a).trans_lt (Nat.lt_add_of_pos_right h2.pos)
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h : good C f h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
replace h3 : p ∣ C + a + f p := ⟨n, h3.symm.trans (n.mul_comm p)⟩
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h3 : n * p = C + a + f p h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
rw [← dvd_sq_iff_dvd_sq_of_dvd_add h3, dvd_iff_of_dvd_add (h3.trans h)]
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ p * f (C + a)
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ f p ^ 2 TACTIC:
https://github.com/mortarsanjaya/IMOSLLean4.git
be127d301e366822fbeeeda49d9fd5b998fb4eb5
IMOSLLean4/IMO2019/N4/N4.lean
IMOSL.IMO2019N4.good_is_linear
[64, 1]
[125, 24]
exact p.dvd_mul_right _
case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ p * f (C + a)
no goals
Please generate a tactic in lean4 to solve the state. STATE: case intro.intro C : β„• f : β„• β†’ β„• h0 : βˆ€ {n : β„•}, C < n β†’ f n ≀ n * f 1 p : β„• h1 : C < p h2 : p.Prime n a : β„• h : C + a + f p ∣ (C + a) ^ 2 + p * f (C + a) h3 : p ∣ C + a + f p ⊒ p ∣ p * f (C + a) TACTIC: