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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | have nb : c.log / (d - e) ≤ n := le_trans (le_trans (by bound) mb.le) (Nat.cast_le.mpr mn) | case h.xy
E : Type
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inst✝² : NormedSpace ℂ E
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f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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dp : d > 0
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ep : 0 < e
ed : e < d
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sp : s > 0
sr : s < r1
c : ℝ
cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
⊢ ‖r1 ^ n • unevenTerm u z1 n‖ ≤ (↑n * d).exp | case h.xy
E : Type
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c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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ed : e < d
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sp : s > 0
sr : s < r1
c : ℝ
cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ ‖r1 ^ n • unevenTerm u z1 n‖ ≤ (↑n * d).exp | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h.xy
E : Type
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n : ℕ
mn : n ≥ m
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us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
⊢ ‖r1 ^ n • unevenTerm u z1 n‖ ≤ (↑n * d).exp
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | calc ‖r1 ^ n • unevenTerm u z1 n‖
_ = r1 ^ n * t := by
simp only [← ht, norm_smul, abs_of_pos u.r1p, norm_pow, Real.norm_eq_abs, mul_eq_mul_left_iff,
eq_self_iff_true, true_or_iff, abs_pow]
_ ≤ r1 ^ n * (c * s⁻¹ ^ n) := by bound
_ = r1 ^ n * (c * (e.exp ^ n / r1 ^ n)) := by rw [inv_div, div_pow]
_ = r1 ^ n / r1 ^ n * c * e.exp ^ n := by ring
_ = c * e.exp ^ n := by field_simp [(pow_pos u.r1p _).ne']
_ = c * (↑n * e).exp := by rw [Real.exp_nat_mul]
_ = c * (↑n * d - ↑n * (d - e)).exp := by ring_nf
_ = c.log.exp * ((↑n * d).exp / (↑n * (d - e)).exp) := by rw [Real.exp_sub, Real.exp_log cp]
_ = c.log.exp / (↑n * (d - e)).exp * (↑n * d).exp := by ring_nf
_ = (c.log - ↑n * (d - e)).exp * (↑n * d).exp := by rw [Real.exp_sub]
_ ≤ (c.log - c.log / (d - e) * (d - e)).exp * (↑n * d).exp := by bound
_ ≤ (↑n * d).exp := by field_simp [(sub_pos.mpr ed).ne'] | case h.xy
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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n : ℕ
mn : n ≥ m
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ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ ‖r1 ^ n • unevenTerm u z1 n‖ ≤ (↑n * d).exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | bound | E : Type
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STATE:
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⊢ s > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | bound | E : Type
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⊢ s < r1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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⊢ s < r1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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cp : c > 0
us : ∀ (n : ℕ), ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
⊢ 1 ≤ max 1 (c.log / (d - e)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
⊢ 1 ≤ max 1 (c.log / (d - e))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
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f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | simp only [← ht, norm_smul, abs_of_pos u.r1p, norm_pow, Real.norm_eq_abs, mul_eq_mul_left_iff,
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inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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STATE:
E : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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cp : c > 0
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹ : CompleteSpace E
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f : ℂ × ℂ → E
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ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ r1 ^ n * t ≤ r1 ^ n * (c * s⁻¹ ^ n) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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TACTIC:
|
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⊢ r1 ^ n * (c * s⁻¹ ^ n) = r1 ^ n * (c * (e.exp ^ n / r1 ^ n)) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | ring | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ r1 ^ n * (c * (e.exp ^ n / r1 ^ n)) = r1 ^ n / r1 ^ n * c * e.exp ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e✝ : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
d : ℝ
dp : d > 0
e : ℝ
ep : 0 < e
ed : e < d
s : ℝ := r1 / e.exp
sp : s > 0
sr : s < r1
c : ℝ
cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
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n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ r1 ^ n * (c * (e.exp ^ n / r1 ^ n)) = r1 ^ n / r1 ^ n * c * e.exp ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | field_simp [(pow_pos u.r1p _).ne'] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e✝ : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ed : e < d
s : ℝ := r1 / e.exp
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c : ℝ
cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ r1 ^ n / r1 ^ n * c * e.exp ^ n = c * e.exp ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ r1 ^ n / r1 ^ n * c * e.exp ^ n = c * e.exp ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | rw [Real.exp_nat_mul] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ c * e.exp ^ n = c * (↑n * e).exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | ring_nf | E : Type
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nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
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STATE:
E : Type
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nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | rw [Real.exp_sub, Real.exp_log cp] | E : Type
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t : ℝ
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STATE:
E : Type
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cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | ring_nf | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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f : ℂ × ℂ → E
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sp : s > 0
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cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
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t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ c.log.exp * ((↑n * d).exp / (↑n * (d - e)).exp) = c.log.exp / (↑n * (d - e)).exp * (↑n * d).exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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dp : d > 0
e : ℝ
ep : 0 < e
ed : e < d
s : ℝ := r1 / e.exp
sp : s > 0
sr : s < r1
c : ℝ
cp : c > 0
m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | rw [Real.exp_sub] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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f : ℂ × ℂ → E
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e : ℝ
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ed : e < d
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sp : s > 0
sr : s < r1
c : ℝ
cp : c > 0
m : ℕ
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n : ℕ
mn : n ≥ m
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us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
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STATE:
E : Type
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inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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s : ℝ := r1 / e.exp
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mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
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ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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STATE:
E : Type
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenLog_nonuniform_bound | [671, 1] | [704, 61] | field_simp [(sub_pos.mpr ed).ne'] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
⊢ (c.log - c.log / (d - e) * (d - e)).exp * (↑n * d).exp ≤ (↑n * d).exp | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
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m : ℕ
mb : max 1 (c.log / (d - e)) < ↑m
mp : 0 < ↑m
n : ℕ
mn : n ≥ m
t : ℝ
us : t ≤ c * s⁻¹ ^ n
ht : ‖unevenTerm u z1 n‖ = t
nb : c.log / (d - e) ≤ ↑n
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | refine SubharmonicOn.constMul ?_ (by bound) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖) (ball c1 r1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | apply AnalyticOn.maxLog_norm_subharmonicOn _ (-1) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖) (ball c1 r1) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
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⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => r1 ^ n • unevenTerm u z n) (ball c1 r1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
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r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ SubharmonicOn (fun z => maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖) (ball c1 r1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | rw [analyticOn_iff_differentiableOn Metric.isOpen_ball] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => r1 ^ n • unevenTerm u z n) (ball c1 r1) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => r1 ^ n • unevenTerm u z n) (ball c1 r1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun z => r1 ^ n • unevenTerm u z n) (ball c1 r1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | apply DifferentiableOn.const_smul | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => r1 ^ n • unevenTerm u z n) (ball c1 r1) | case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun y => unevenTerm u y n) (ball c1 r1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun z => r1 ^ n • unevenTerm u z n) (ball c1 r1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | rw [← analyticOn_iff_differentiableOn Metric.isOpen_ball] | case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun y => unevenTerm u y n) (ball c1 r1) | case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun y => unevenTerm u y n) (ball c1 r1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ DifferentiableOn ℂ (fun y => unevenTerm u y n) (ball c1 r1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | apply unevenTerm.analytic u | case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun y => unevenTerm u y n) (ball c1 r1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ AnalyticOn ℂ (fun y => unevenTerm u y n) (ball c1 r1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_nonuniform_subharmonic | [707, 1] | [714, 30] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ 0 ≤ (↑n)⁻¹ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
n : ℕ
⊢ 0 ≤ (↑n)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rcases exists_between sr with ⟨t, ts, tr⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have tp : t > 0 := _root_.trans ts sp | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1 := Metric.closedBall_subset_ball tr | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1 :=
Metric.closedBall_subset_closedBall tr.le | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t) := by
rw [interior_closedBall _ tp.ne']; exact Metric.closedBall_subset_ball ts | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rcases unevenLog_uniform_bound u tr with ⟨b, fb⟩ | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have H := SubharmonicOn.hartogs (fun n ↦ (uneven_nonuniform_subharmonic u n).mono trs) fb
(fun z zs ↦ unevenLog_nonuniform_bound u (cs zs)) (isCompact_closedBall _ _) ks | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | specialize H (r1 / s).log (by bound) | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
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t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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tp : t > 0
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | refine H.mp ((Filter.eventually_gt_atTop 0).mp (Filter.eventually_of_forall ?_)) | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
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H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ∀ (x : ℕ),
0 < x →
(∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u x z ≤ (r1 / s).log) → ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 x‖ ≤ s⁻¹ ^ x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
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⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | intro n np h z zs | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ∀ (x : ℕ),
0 < x →
(∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u x z ≤ (r1 / s).log) → ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 x‖ ≤ s⁻¹ ^ x | case intro.intro.intro
E : Type
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⊢ ‖unevenSeries u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ∀ (x : ℕ),
0 < x →
(∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u x z ≤ (r1 / s).log) → ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 x‖ ≤ s⁻¹ ^ x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | specialize h z zs | case intro.intro.intro
E : Type
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
h : ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
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zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
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trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
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n : ℕ
np : 0 < n
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zs : z ∈ closedBall c1 s
h : unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ‖unevenSeries u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
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inst✝¹ : CompleteSpace E
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
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z : ℂ
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⊢ ‖unevenSeries u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [unevenSeries_norm] | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
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h : unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ‖unevenSeries u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
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n : ℕ
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h : unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
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n : ℕ
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⊢ ‖unevenSeries u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [unevenLog, inv_mul_le_iff (Nat.cast_pos.mpr np : 0 < (n : ℝ))] at h | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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n : ℕ
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h : unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
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E : Type
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H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
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h : maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖ ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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s : ℝ
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | simp only [norm_smul, abs_of_pos u.r1p, norm_pow, Real.norm_eq_abs] at h | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖ ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) ‖r1 ^ n • unevenTerm u z n‖ ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | have a := le_of_maxLog_le h | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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t : ℝ
ts : s < t
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tp : t > 0
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b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ (↑n * (r1 / s).log).exp
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ts : s < t
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [Real.exp_nat_mul, Real.exp_log (div_pos u.r1p sp), div_eq_mul_inv, mul_pow] at a | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ts : s < t
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tp : t > 0
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ (↑n * (r1 / s).log).exp
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ (↑n * (r1 / s).log).exp
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | exact (mul_le_mul_left (by bound)).mp a | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
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tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ ‖unevenTerm u z n‖ ≤ s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | rw [interior_closedBall _ tp.ne'] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
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cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ ball c1 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ts : s < t
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⊢ closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | exact Metric.closedBall_subset_ball ts | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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t : ℝ
ts : s < t
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tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ ball c1 t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
⊢ closedBall c1 s ⊆ ball c1 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
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tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ (r1 / s).log > 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
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t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ d > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ d
⊢ (r1 / s).log > 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound | [717, 1] | [739, 42] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ 0 < r1 ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : 0 < s
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
trs : closedBall c1 t ⊆ ball c1 r1
cs : closedBall c1 t ⊆ closedBall c1 r1
ks : closedBall c1 s ⊆ interior (closedBall c1 t)
b : ℝ
fb : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, unevenLog u n z1 ≤ b
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ z ∈ closedBall c1 s, unevenLog u n z ≤ (r1 / s).log
n : ℕ
np : 0 < n
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
h : maxLog (-1) (r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖) ≤ ↑n * (r1 / s).log
a : r1 ^ n * ‖unevenTerm u z n‖ ≤ r1 ^ n * s⁻¹ ^ n
⊢ 0 < r1 ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | rcases Filter.eventually_atTop.mp (unevenSeries_strong_bound u sp sr) with ⟨n, h⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | set g := fun z1 ↦ partialSups (fun k ↦ s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | have gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s) := by
apply ContinuousOn.partialSups; intro n; apply ContinuousOn.mul continuousOn_const
apply ContinuousOn.norm
exact (unevenSeries_analytic u n).continuousOn.mono (Metric.closedBall_subset_ball sr) | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | rcases ((isCompact_closedBall _ _).bddAbove_image gc).exists_ge 0 with ⟨b, bp, gb⟩ | case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ y ∈ g '' closedBall c1 s, y ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | simp only [Set.forall_mem_image, partialSups_le_iff, g] at gb | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ y ∈ g '' closedBall c1 s, y ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ y ∈ g '' closedBall c1 s, y ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | use max 1 b, le_max_of_le_right bp | case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∃ c ≥ 0, ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | intro k z zs | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | by_cases kn : k ≤ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : ¬k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply ContinuousOn.partialSups | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ContinuousOn g (closedBall c1 s) | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ContinuousOn g (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | intro n | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
⊢ ∀ (n : ℕ), ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply ContinuousOn.mul continuousOn_const | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => s ^ n * ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply ContinuousOn.norm | case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s) | case fc.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => unevenSeries u x n) (closedBall c1 s) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => ‖unevenSeries u x n‖) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | exact (unevenSeries_analytic u n).continuousOn.mono (Metric.closedBall_subset_ball sr) | case fc.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => unevenSeries u x n) (closedBall c1 s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case fc.h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n✝ : ℕ
h : ∀ b ≥ n✝, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n✝
n : ℕ
⊢ ContinuousOn (fun x => unevenSeries u x n) (closedBall c1 s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | specialize gb zs k kn | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | calc ‖unevenSeries u z k‖
_ = s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) := by ring_nf; field_simp [(pow_pos sp _).ne']
_ ≤ s⁻¹ ^ k * b := by bound
_ = b * s⁻¹ ^ k := by ring_nf
_ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k := by bound | case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | ring_nf | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s ^ k * s⁻¹ ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | field_simp [(pow_pos sp _).ne'] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s ^ k * s⁻¹ ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ = s ^ k * s⁻¹ ^ k * ‖unevenSeries u z k‖
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) ≤ s⁻¹ ^ k * b | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * (s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖) ≤ s⁻¹ ^ k * b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | ring_nf | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * b = b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ s⁻¹ ^ k * b = b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ b * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : k ≤ n
gb : s ^ k * ‖unevenSeries u z k‖ ≤ b
⊢ b * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | simp only [not_le] at kn | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : ¬k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : ¬k ≤ n
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | apply le_trans (h k kn.le z zs) | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ ‖unevenSeries u z k‖ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | calc s⁻¹ ^ k
_ = 1 * s⁻¹ ^ k := by simp only [one_mul]
_ ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k := by bound | case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | simp only [one_mul] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k = 1 * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ s⁻¹ ^ k = 1 * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | unevenSeries_strong_bound' | [742, 1] | [763, 40] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ 1 * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b✝ e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
n : ℕ
h : ∀ b ≥ n, ∀ z1 ∈ closedBall c1 s, ‖unevenSeries u z1 b‖ ≤ s⁻¹ ^ b
g : ℂ → ℝ := fun z1 => (partialSups fun k => s ^ k * ‖unevenSeries u z1 k‖) n
gc : ContinuousOn g (closedBall c1 s)
b : ℝ
bp : 0 ≤ b
gb : ∀ ⦃x : ℂ⦄, x ∈ closedBall c1 s → ∀ k ≤ n, s ^ k * ‖unevenSeries u x k‖ ≤ b
k : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ closedBall c1 s
kn : n < k
⊢ 1 * s⁻¹ ^ k ≤ max 1 b * s⁻¹ ^ k
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | fst_snd_eq | [766, 1] | [766, 95] | simp only [Prod.mk.eta] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
A B : Type
p : A × B
⊢ (p.1, p.2) = p | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
A B : Type
p : A × B
⊢ (p.1, p.2) = p
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rcases exists_between sr with ⟨t, ts, tr⟩ | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have tp : t > 0 := _root_.trans ts sp | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rcases unevenSeries_strong_bound' u tp tr with ⟨c, cp, ch⟩ | case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
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s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | use c * (1 - s / t)⁻¹, by bound | case intro.intro.intro.intro
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
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inst✝ : SecondCountableTopology E
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b | case right
E : Type
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c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
E : Type
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ts : s < t
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tp : t > 0
c : ℝ
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ ∃ b ≥ 0, ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ b
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | intro z zs | case right
E : Type
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⊢ ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
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⊢ ∀ z ∈ ball (c0, c1) s, ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [Prod.dist_eq, Metric.mem_ball, max_lt_iff] at zs | case right
E : Type
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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ts : s < t
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t := by
simp only [Metric.mem_closedBall]; exact le_trans zs.2.le ts.le | case right
E : Type
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
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c : ℝ
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1 := Metric.closedBall_subset_closedBall tr.le z1t | case right
E : Type
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
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STATE:
case right
E : Type
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z : ℂ × ℂ
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have ds : z.1 - c0 ∈ Metric.ball (0 : ℂ) s := by
simp only [Complex.dist_eq] at zs
simp only [zs.1, mem_ball_zero_iff, Complex.norm_eq_abs] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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z : ℂ × ℂ
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⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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ts : s < t
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z : ℂ × ℂ
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z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball (0 : ℂ) (ENNReal.ofReal s) := by rwa [Metric.emetric_ball] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sp : s > 0
sr : s < r1
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ts : s < t
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cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have hs := (u.has_series sp sr.le z1r).hasSum ds' | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (unevenSeries' u s z.2 n) fun x => z.1 - c0) (f (c0 + (z.1 - c0), z.2))
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [unevenSeries_eq u sp sr.le z1r,
FormalMultilinearSeries.apply_eq_pow_smul_coeff, add_sub_cancel, Prod.mk.eta] at hs | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
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ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (unevenSeries' u s z.2 n) fun x => z.1 - c0) (f (c0 + (z.1 - c0), z.2))
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
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sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (unevenSeries' u s z.2 n) fun x => z.1 - c0) (f (c0 + (z.1 - c0), z.2))
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | set g := fun n : ℕ ↦ c * (s / t) ^ n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
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u : Uneven f c0 c1 r0 r1
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sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | have gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹) := HasSum.mul_left _
(hasSum_geometric_of_lt_one (by bound) (by bound)) | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | apply HasSum.norm_le_of_bounded hs gs | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹ | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖(z.1 - c0) ^ i • (unevenSeries u z.2).coeff i‖ ≤ g i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ‖f z‖ ≤ c * (1 - s / t)⁻¹
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | intro n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖(z.1 - c0) ^ i • (unevenSeries u z.2).coeff i‖ ≤ g i | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
⊢ ∀ (i : ℕ), ‖(z.1 - c0) ^ i • (unevenSeries u z.2).coeff i‖ ≤ g i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [mem_ball_zero_iff, Complex.norm_eq_abs] at ds | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [norm_smul, Complex.norm_eq_abs, Complex.abs_pow,
←FormalMultilinearSeries.norm_apply_eq_norm_coef] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ g n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ ‖(z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n‖ ≤ g n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | calc abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖
_ ≤ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n) := by bound [ch n _ z1t]
_ = c * (s ^ n * t⁻¹ ^ n) := by ring_nf
_ = c * (s / t) ^ n := by rw [← mul_pow, ← div_eq_mul_inv] | case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ g n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ g n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ c * (1 - s / t)⁻¹ ≥ 0 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
⊢ c * (1 - s / t)⁻¹ ≥ 0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [Metric.mem_closedBall] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ z.2 ∈ closedBall c1 t | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ dist z.2 c1 ≤ t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ z.2 ∈ closedBall c1 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | exact le_trans zs.2.le ts.le | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ dist z.2 c1 ≤ t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
⊢ dist z.2 c1 ≤ t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [Complex.dist_eq] at zs | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : Complex.abs (z.1 - c0) < s ∧ Complex.abs (z.2 - c1) < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | simp only [zs.1, mem_ball_zero_iff, Complex.norm_eq_abs] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : Complex.abs (z.1 - c0) < s ∧ Complex.abs (z.2 - c1) < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : Complex.abs (z.1 - c0) < s ∧ Complex.abs (z.2 - c1) < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
⊢ z.1 - c0 ∈ ball 0 s
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | rwa [Metric.emetric_ball] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
⊢ z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ 0 ≤ s / t | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ 0 ≤ s / t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ s / t < 1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds : z.1 - c0 ∈ ball 0 s
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
⊢ s / t < 1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Hartogs/Hartogs.lean | uneven_bounded | [769, 1] | [798, 63] | bound [ch n _ z1t] | E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s✝ : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
u : Uneven f c0 c1 r0 r1
s : ℝ
sp : s > 0
sr : s < r1
t : ℝ
ts : s < t
tr : t < r1
tp : t > 0
c : ℝ
cp : c ≥ 0
ch : ∀ (n : ℕ), ∀ z1 ∈ closedBall c1 t, ‖unevenSeries u z1 n‖ ≤ c * t⁻¹ ^ n
z : ℂ × ℂ
zs : dist z.1 c0 < s ∧ dist z.2 c1 < s
z1t : z.2 ∈ closedBall c1 t
z1r : z.2 ∈ closedBall c1 r1
ds' : z.1 - c0 ∈ EMetric.ball 0 (ENNReal.ofReal s)
hs : HasSum (fun n => (z.1 - c0) ^ n • (unevenSeries u z.2).coeff n) (f z)
g : ℕ → ℝ := fun n => c * (s / t) ^ n
gs : HasSum g (c * (1 - s / t)⁻¹)
n : ℕ
ds : Complex.abs (z.1 - c0) < s
⊢ Complex.abs (z.1 - c0) ^ n * ‖unevenSeries u z.2 n‖ ≤ s ^ n * (c * t⁻¹ ^ n)
TACTIC:
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Subsets and Splits
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