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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [x00, Complex.abs.map_zero] at ax ⊢ | case pos
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : x0 = 0
⊢ x0 = x1 | case pos
S : Type
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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x00 : x0 = 0
ax : 0 = Complex.abs x1
⊢ 0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : x0 = 0
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact (Complex.abs.eq_zero.mp ax.symm).symm | case pos
S : Type
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
x00 : x0 = 0
ax : 0 = Complex.abs x1
⊢ 0 = x1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case pos
S : Type
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⊢ 0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | intro x t p m | S : Type
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x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
⊢ ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext | S : Type
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s : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
x : ℂ
t : ℝ
p : (c, x) ∈ s.ext
m : t ∈ Ioc 0 1
⊢ (c, ↑t * x) ∈ s.ext | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
⊢ ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [Super.ext, mem_setOf, Complex.abs.map_mul, Complex.abs_ofReal, abs_of_pos m.1] at p ⊢ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s : Super f d a
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x : ℂ
t : ℝ
p : (c, x) ∈ s.ext
m : t ∈ Ioc 0 1
⊢ (c, ↑t * x) ∈ s.ext | S : Type
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
x : ℂ
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m : t ∈ Ioc 0 1
p : Complex.abs x < s.p c
⊢ t * Complex.abs x < s.p c | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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p : (c, x) ∈ s.ext
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⊢ (c, ↑t * x) ∈ s.ext
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact lt_of_le_of_lt (mul_le_of_le_one_left (Complex.abs.nonneg _) m.2) p | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
x : ℂ
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
p : Complex.abs x < s.p c
⊢ t * Complex.abs x < s.p c | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
x : ℂ
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
p : Complex.abs x < s.p c
⊢ t * Complex.abs x < s.p c
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | replace h := _root_.trans h interior_subset | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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h : Ioc 0 1 ⊆ interior u
⊢ x0 = x1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | replace tc := (tc x0 0).prod_mk (tc x1 0) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 ((fun t => ↑t * x0) 0) ×ˢ 𝓝 ((fun t => ↑t * x1) 0))
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [← nhds_prod_eq] at tc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 ((fun t => ↑t * x0) 0) ×ˢ 𝓝 ((fun t => ↑t * x1) 0))
⊢ x0 = x1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (↑0 * x0, ↑0 * x1))
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 ((fun t => ↑t * x0) 0) ×ˢ 𝓝 ((fun t => ↑t * x1) 0))
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [ContinuousAt, Complex.ofReal_zero, MulZeroClass.zero_mul] at tc | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (↑0 * x0, ↑0 * x1))
⊢ x0 = x1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (↑0 * x0, ↑0 * x1))
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have inj := tc.eventually ((s.ray_holomorphic (s.mem_ext c)).along_snd.local_inj
(s.ray_noncritical_zero c)) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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⊢ x0 = x1 | S : Type
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∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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h : Ioc 0 1 ⊆ u
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⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | rcases Metric.eventually_nhds_iff.mp inj with ⟨r, rp, inj⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
⊢ x0 = x1 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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r : ℝ
rp : r > 0
inj :
∀ ⦃y : ℝ⦄,
dist y 0 < r →
s.ray c (↑y * x0, ↑y * x1).1 = s.ray c (↑y * x0, ↑y * x1).2 → (↑y * x0, ↑y * x1).1 = (↑y * x0, ↑y * x1).2
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
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⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [Real.dist_eq, sub_zero] at inj | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
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x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
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rp : r > 0
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∀ ⦃y : ℝ⦄,
dist y 0 < r →
s.ray c (↑y * x0, ↑y * x1).1 = s.ray c (↑y * x0, ↑y * x1).2 → (↑y * x0, ↑y * x1).1 = (↑y * x0, ↑y * x1).2
⊢ x0 = x1 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
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r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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y : ℂ × ℂ
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
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s.ray c (↑y * x0, ↑y * x1).1 = s.ray c (↑y * x0, ↑y * x1).2 → (↑y * x0, ↑y * x1).1 = (↑y * x0, ↑y * x1).2
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | set t := min 1 (r / 2) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
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rp : r > 0
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⊢ x0 = x1 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
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r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have t0 : 0 < t := lt_min zero_lt_one (half_pos rp) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
⊢ x0 = x1 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
t0 : 0 < t
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have t01 : t ∈ Ioc (0 : ℝ) 1 := mem_Ioc.mpr ⟨t0, min_le_left _ _⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
t0 : 0 < t
⊢ x0 = x1 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
t0 : 0 < t
t01 : t ∈ Ioc 0 1
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
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t0 : 0 < t
⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | specialize @inj t (by simp only [abs_of_pos t0, min_lt_of_right_lt (half_lt_self rp)]) (h t01) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
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r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
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t0 : 0 < t
t01 : t ∈ Ioc 0 1
⊢ x0 = x1 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
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rp : r > 0
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inj : ↑t * x0 = ↑t * x1
⊢ x0 = x1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).1 = s.ray c (↑x * x0, ↑x * x1).2 → (↑x * x0, ↑x * x1).1 = (↑x * x0, ↑x * x1).2
r : ℝ
rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
t0 : 0 < t
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⊢ x0 = x1
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact mul_left_cancel₀ (Complex.ofReal_ne_zero.mpr t0.ne') inj | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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inst✝ : OnePreimage s
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
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rp : r > 0
t : ℝ := min 1 (r / 2)
t0 : 0 < t
t01 : t ∈ Ioc 0 1
inj : ↑t * x0 = ↑t * x1
⊢ x0 = x1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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e : s.ray c x0 = s.ray c x1
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
inj✝ :
∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
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r : ℝ
rp : r > 0
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t0 : 0 < t
t01 : t ∈ Ioc 0 1
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⊢ x0 = x1
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [abs_of_pos t0, min_lt_of_right_lt (half_lt_self rp)] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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rp : r > 0
inj : ∀ ⦃y : ℝ⦄, |y| < r → s.ray c (↑y * x0) = s.ray c (↑y * x1) → ↑y * x0 = ↑y * x1
t : ℝ := min 1 (r / 2)
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⊢ |t| < r | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
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x00 : ¬x0 = 0
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
h : Ioc 0 1 ⊆ u
tc : Tendsto (fun x => (↑x * x0, ↑x * x1)) (𝓝 0) (𝓝 (0, 0))
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∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 0,
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r : ℝ
rp : r > 0
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⊢ |t| < r
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | use 1, right_mem_Ioc.mpr zero_lt_one | case neg.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ (Ioc 0 1 ∩ u).Nonempty | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ 1 ∈ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ (Ioc 0 1 ∩ u).Nonempty
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [mem_setOf, Complex.ofReal_one, one_mul, e, u] | case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ 1 ∈ u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case right
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ 1 ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | intro t ⟨m, e⟩ | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ Ioc 0 1 ∩ u ⊆ interior u | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
⊢ t ∈ interior u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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⊢ Ioc 0 1 ∩ u ⊆ interior u
TACTIC:
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e : t ∈ u
⊢ t ∈ interior u | case neg.refine_2
S : Type
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STATE:
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S : Type
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⊢ t ∈ interior u
TACTIC:
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S : Type
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⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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STATE:
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
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S : Type
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S : Type
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⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
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simp only [mem_setOf_eq, u] at e
simp only [← s.ray_potential (pt p0 m), e, ← s.ray_potential (pt p1 m)] | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
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inst✝ : OnePreimage s
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have e0 := (s.ray_spec (Complex.abs.nonneg _) (pt p0 m)).eqn.filter_mono
(nhds_le_nhdsSet mem_domain_self) | case neg.refine_2
S : Type
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x0).1, (c, ↑t * x0).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x0).1 (Complex.abs (c, ↑t * x0).2)) s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c x : ℂ
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d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have e1 := (s.ray_spec (Complex.abs.nonneg _) (pt p1 m)).eqn.filter_mono
(nhds_le_nhdsSet mem_domain_self) | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x0).1, (c, ↑t * x0).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x0).1 (Complex.abs (c, ↑t * x0).2)) s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x0).1, (c, ↑t * x0).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x0).1 (Complex.abs (c, ↑t * x0).2)) s.ray x
e1 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x1).1, (c, ↑t * x1).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x1).1 (Complex.abs (c, ↑t * x1).2)) s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x0).1, (c, ↑t * x0).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x0).1 (Complex.abs (c, ↑t * x0).2)) s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [← pe, hn] at e0 e1 | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x0).1, (c, ↑t * x0).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x0).1 (Complex.abs (c, ↑t * x0).2)) s.ray x
e1 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x1).1, (c, ↑t * x1).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x1).1 (Complex.abs (c, ↑t * x1).2)) s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x0).1, (c, ↑t * x0).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x0).1 (Complex.abs (c, ↑t * x0).2)) s.ray x
e1 :
∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 ((c, ↑t * x1).1, (c, ↑t * x1).2), Eqn s (s.np (c, ↑t * x1).1 (Complex.abs (c, ↑t * x1).2)) s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have de : (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n := by
have e0 := e0.self_of_nhds.eqn
have e1 := e1.self_of_nhds.eqn
simp only [mem_setOf_eq, u] at e
simp only [hn, ← pe, ← e] at e0 e1
exact e0.symm.trans e1 | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [mul_pow] at de | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : ↑t ^ d ^ n * x0 ^ d ^ n = ↑t ^ d ^ n * x1 ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | replace de := mul_left_cancel₀ (pow_ne_zero _ t0) de | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : ↑t ^ d ^ n * x0 ^ d ^ n = ↑t ^ d ^ n * x1 ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : ↑t ^ d ^ n * x0 ^ d ^ n = ↑t ^ d ^ n * x1 ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | generalize hr : (fun e x ↦ s.ray e (x1 / x0 * x)) = r | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1 := by
rw [← mul_assoc, mul_comm _ (t:ℂ), mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ x00] | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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p0 : (c, x0) ∈ s.ext
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
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pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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d n✝ : ℕ
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inst✝ : OnePreimage s
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e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
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⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have er : ∀ᶠ y in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y := by
rw [← hr]; apply eqn_near
exact (s.ray_holomorphic (pt p1 m)).comp₂_of_eq holomorphicAt_fst
(holomorphicAt_const.mul holomorphicAt_snd) (by simp only [xe])
rw [xe]; exact e1.self_of_nhds.near
have xc : ContinuousAt (fun y : ℂ × ℂ ↦ (y.1, x1 / x0 * y.2)) (c, ↑t * x0) :=
continuousAt_fst.prod (continuousAt_const.mul continuousAt_snd)
simp only [ContinuousAt] at xc
rw [← mul_assoc, mul_comm _ (t:ℂ), mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ x00] at xc
refine (xc.eventually e1).mp (eventually_of_forall ?_); intro ⟨e, x⟩ e1
exact _root_.trans e1.eqn (by
simp only [mul_pow, div_pow, ← de, div_self (pow_ne_zero _ x00), one_mul]) | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ u ∈ 𝓝 t | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | refine ((continuousAt_const.prod (Complex.continuous_ofReal.continuousAt.mul
continuousAt_const)).eventually
(eqn_unique e0 er ?_ (mul_ne_zero t0 x00))).mp (eventually_of_forall fun u e ↦ ?_) | case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s✝ : Super f d a
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inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
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⊢ u ∈ 𝓝 t | case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).1 ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).2 =
r ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).1 ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).2
case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
u : ℝ
e : uncurry s.ray (c, ↑u * x0) = uncurry r (c, ↑u * x0)
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ u ∈ 𝓝 t
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [mem_setOf_eq, u] at e | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
⊢ Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
⊢ Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
⊢ Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [← s.ray_potential (pt p0 m), e, ← s.ray_potential (pt p1 m)] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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e : s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
⊢ Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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e : s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)
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⊢ Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have e0 := e0.self_of_nhds.eqn | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
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x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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e0✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
e0 :
s.bottcherNear (c, ↑t * x0).1 ((f (c, ↑t * x0).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x0).1 (c, ↑t * x0).2)) = (c, ↑t * x0).2 ^ d ^ n
⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
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f : ℂ → S → S
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have e1 := e1.self_of_nhds.eqn | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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m : t ∈ Ioc 0 1
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e0✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
e0 :
s.bottcherNear (c, ↑t * x0).1 ((f (c, ↑t * x0).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x0).1 (c, ↑t * x0).2)) = (c, ↑t * x0).2 ^ d ^ n
⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
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e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
e0 :
s.bottcherNear (c, ↑t * x0).1 ((f (c, ↑t * x0).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x0).1 (c, ↑t * x0).2)) = (c, ↑t * x0).2 ^ d ^ n
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s.bottcherNear (c, ↑t * x1).1 ((f (c, ↑t * x1).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x1).1 (c, ↑t * x1).2)) = (c, ↑t * x1).2 ^ d ^ n
⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [mem_setOf_eq, u] at e | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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m : t ∈ Ioc 0 1
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e0✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
e0 :
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p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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m : t ∈ Ioc 0 1
e : s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
e0 :
s.bottcherNear (c, ↑t * x0).1 ((f (c, ↑t * x0).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x0).1 (c, ↑t * x0).2)) = (c, ↑t * x0).2 ^ d ^ n
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s : Super f d a
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x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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e0 :
s.bottcherNear (c, ↑t * x0).1 ((f (c, ↑t * x0).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x0).1 (c, ↑t * x0).2)) = (c, ↑t * x0).2 ^ d ^ n
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⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [hn, ← pe, ← e] at e0 e1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s.bottcherNear (c, ↑t * x0).1 ((f (c, ↑t * x0).1)^[n] (s.ray (c, ↑t * x0).1 (c, ↑t * x0).2)) = (c, ↑t * x0).2 ^ d ^ n
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⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact e0.symm.trans e1 | S : Type
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⊢ (↑t * x0) ^ d ^ n = (↑t * x1) ^ d ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | rw [← mul_assoc, mul_comm _ (t:ℂ), mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ x00] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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⊢ x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1 | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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TACTIC:
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inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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t0 : ↑t ≠ 0
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⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) y | case holo
S : Type
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
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⊢ HolomorphicAt (I.prod I) I (uncurry fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) (c, ↑t * x0)
case mem
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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case loc
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STATE:
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact (s.ray_holomorphic (pt p1 m)).comp₂_of_eq holomorphicAt_fst
(holomorphicAt_const.mul holomorphicAt_snd) (by simp only [xe]) | case holo
S : Type
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case mem
S : Type
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⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case holo
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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S : Type
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inst✝⁴ : CompactSpace S
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S : Type
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S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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case loc
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STATE:
case mem
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t : ℝ
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case loc
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact e1.self_of_nhds.near | case mem
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case loc
S : Type
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case loc
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|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have xc : ContinuousAt (fun y : ℂ × ℂ ↦ (y.1, x1 / x0 * y.2)) (c, ↑t * x0) :=
continuousAt_fst.prod (continuousAt_const.mul continuousAt_snd) | case loc
S : Type
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S : Type
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [ContinuousAt] at xc | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : ContinuousAt (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (c, ↑t * x0)
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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STATE:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | rw [← mul_assoc, mul_comm _ (t:ℂ), mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ x00] at xc | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
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⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
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pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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STATE:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | refine (xc.eventually e1).mp (eventually_of_forall ?_) | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ (x : ℂ × ℂ),
Eqn s n s.ray (x.1, x1 / x0 * x.2) → s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (s.ray x.1 (x1 / x0 * x.2))) = x.2 ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), s.bottcherNear y.1 ((f y.1)^[n] (s.ray y.1 (x1 / x0 * y.2))) = y.2 ^ d ^ n
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | intro ⟨e, x⟩ e1 | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ (x : ℂ × ℂ),
Eqn s n s.ray (x.1, x1 / x0 * x.2) → s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (s.ray x.1 (x1 / x0 * x.2))) = x.2 ^ d ^ n | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
e x : ℂ
e1 : Eqn s n s.ray ((e, x).1, x1 / x0 * (e, x).2)
⊢ s.bottcherNear (e, x).1 ((f (e, x).1)^[n] (s.ray (e, x).1 (x1 / x0 * (e, x).2))) = (e, x).2 ^ d ^ n | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
⊢ ∀ (x : ℂ × ℂ),
Eqn s n s.ray (x.1, x1 / x0 * x.2) → s.bottcherNear x.1 ((f x.1)^[n] (s.ray x.1 (x1 / x0 * x.2))) = x.2 ^ d ^ n
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact _root_.trans e1.eqn (by
simp only [mul_pow, div_pow, ← de, div_self (pow_ne_zero _ x00), one_mul]) | case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
e x : ℂ
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⊢ s.bottcherNear (e, x).1 ((f (e, x).1)^[n] (s.ray (e, x).1 (x1 / x0 * (e, x).2))) = (e, x).2 ^ d ^ n | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case loc
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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e1✝ : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
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r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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xc : Tendsto (fun y => (y.1, x1 / x0 * y.2)) (𝓝 (c, ↑t * x0)) (𝓝 (c, ↑t * x1))
e x : ℂ
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [xe] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ ((c, ↑t * x0).1, x1 / x0 * (c, ↑t * x0).2) = (c, ↑t * x1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
⊢ ((c, ↑t * x0).1, x1 / x0 * (c, ↑t * x0).2) = (c, ↑t * x1)
TACTIC:
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https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [mul_pow, div_pow, ← de, div_self (pow_ne_zero _ x00), one_mul] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
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r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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e x : ℂ
e1 : Eqn s n s.ray ((e, x).1, x1 / x0 * (e, x).2)
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STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [← hr] | case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
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r : ℂ → ℂ → S
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r ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).1 ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).2 | case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
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STATE:
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S : Type
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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r ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).1 ((fun x => (c, ↑x * x0)) t).2
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | rw [xe] | case neg.refine_2.refine_1
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
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⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (x1 / x0 * (↑t * x0)) | case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
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n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (x1 / x0 * (↑t * x0))
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact e | case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
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pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
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r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2.refine_1
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c x : ℂ
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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⊢ s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | rw [← hr] at e | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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inst✝ : OnePreimage s
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pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
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t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
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⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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s✝ : Super f d a
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
u : ℝ
e : uncurry s.ray (c, ↑u * x0) = uncurry r (c, ↑u * x0)
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [uncurry] at e | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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e : uncurry s.ray (c, ↑u * x0) = uncurry (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) (c, ↑u * x0)
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
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x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
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u : ℝ
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⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
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e : uncurry s.ray (c, ↑u * x0) = uncurry (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) (c, ↑u * x0)
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | rw [← mul_assoc, mul_comm _ (u:ℂ), mul_assoc, div_mul_cancel₀ _ x00] at e | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
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inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
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p1 : (c, x1) ∈ s.ext
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x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
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e✝ : t ∈ u✝
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hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
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e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
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r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
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u : ℝ
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⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
c x : ℂ
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d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
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s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
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u : ℝ
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⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
u : ℝ
e : s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (x1 / x0 * (↑u * x0))
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact e | case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
u : ℝ
e : s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1)
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1) | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_2.refine_2
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝¹ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u✝ : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e✝ : t ∈ u✝
n : ℕ
hn : s.np c (Complex.abs (↑t * x0)) = n
t0 : ↑t ≠ 0
pe : Complex.abs (↑t * x0) = Complex.abs (↑t * x1)
e0 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n s.ray x
e1 : ∀ᶠ (x : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x1), Eqn s n s.ray x
de : x0 ^ d ^ n = x1 ^ d ^ n
r : ℂ → ℂ → S
hr : (fun e x => s.ray e (x1 / x0 * x)) = r
xe : x1 / x0 * (↑t * x0) = ↑t * x1
er : ∀ᶠ (y : ℂ × ℂ) in 𝓝 (c, ↑t * x0), Eqn s n r y
u : ℝ
e : s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1)
⊢ s.ray c (↑u * x0) = s.ray c (↑u * x1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | intro t ⟨m, e⟩ | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ Ioc 0 1 ∩ closure u ⊆ u | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ closure u
⊢ t ∈ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
⊢ Ioc 0 1 ∩ closure u ⊆ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | simp only [mem_setOf, mem_closure_iff_frequently] at e ⊢ | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ closure u
⊢ t ∈ u | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
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u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t, x ∈ u
⊢ t ∈ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : t ∈ closure u
⊢ t ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | have rc : ∀ {x : ℂ}, (c, x) ∈ s.ext → ContinuousAt (fun t : ℝ ↦ s.ray c (↑t * x)) t :=
fun {x} p ↦
(s.ray_holomorphic (pt p m)).along_snd.continuousAt.comp_of_eq
(Complex.continuous_ofReal.continuousAt.mul continuousAt_const) rfl | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t, x ∈ u
⊢ t ∈ u | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t, x ∈ u
rc : ∀ {x : ℂ}, (c, x) ∈ s.ext → ContinuousAt (fun t => s.ray c (↑t * x)) t
⊢ t ∈ u | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t, x ∈ u
⊢ t ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_inj | [203, 1] | [282, 65] | exact tendsto_nhds_unique_of_frequently_eq (rc p0) (rc p1) e | case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
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x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t, x ∈ u
rc : ∀ {x : ℂ}, (c, x) ∈ s.ext → ContinuousAt (fun t => s.ray c (↑t * x)) t
⊢ t ∈ u | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case neg.refine_3
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
x0 x1 : ℂ
p0 : (c, x0) ∈ s.ext
p1 : (c, x1) ∈ s.ext
e✝ : s.ray c x0 = s.ray c x1
ax : Complex.abs x0 = Complex.abs x1
x00 : ¬x0 = 0
tc : ∀ (x : ℂ) (t : ℝ), ContinuousAt (fun t => ↑t * x) t
pt : ∀ {x : ℂ} {t : ℝ}, (c, x) ∈ s.ext → t ∈ Ioc 0 1 → (c, ↑t * x) ∈ s.ext
u : Set ℝ := {t | s.ray c (↑t * x0) = s.ray c (↑t * x1)}
t : ℝ
m : t ∈ Ioc 0 1
e : ∃ᶠ (x : ℝ) in 𝓝 t, x ∈ u
rc : ∀ {x : ℂ}, (c, x) ∈ s.ext → ContinuousAt (fun t => s.ray c (↑t * x)) t
⊢ t ∈ u
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | intro z0 m0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∀ {z : S}, (c, z) ∈ s.post → ∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
⊢ ∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z0 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
⊢ ∀ {z : S}, (c, z) ∈ s.post → ∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | by_contra i0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
⊢ ∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ¬∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z0
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
⊢ ∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z0
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | simp only [not_forall, not_exists, not_and] at i0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ¬∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z0
⊢ False | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ¬∃ x, (c, x) ∈ s.ext ∧ s.ray c x = z0
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | set p0 := s.potential c z0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
⊢ False | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
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inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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m0 : (c, z0) ∈ s.post
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⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | simp only [Super.post, mem_setOf, Postcritical] at m0 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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m0 : (c, z0) ∈ s.post
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p0 : ℝ := s.potential c z0
⊢ False | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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y : ℂ × ℂ
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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m0 : (c, z0) ∈ s.post
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | rcases exists_between m0 with ⟨p1, p01, post⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
⊢ False | case intro.intro
S : Type
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | set i := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext} | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
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f : ℂ → S → S
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a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | set j := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
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m0 : s.potential c z0 < s.p c
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p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | set u := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
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a z : S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have pc : Continuous (s.potential c) := (Continuous.potential s).along_snd | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have io : IsOpen i := by
rw [isOpen_iff_eventually]; intro z ⟨x, m, xz⟩
have eq := (s.ray_nontrivial m).nhds_eq_map_nhds; rw [xz] at eq
rw [eq, Filter.eventually_map]
exact ((s.isOpen_ext.snd_preimage c).eventually_mem m).mp
(eventually_of_forall fun x m ↦ ⟨x, m, rfl⟩) | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have uc : IsCompact u := ((isClosed_le pc continuous_const).sdiff io).isCompact | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have z0u : z0 ∈ u := by
simp only [mem_diff, mem_setOf, u]; use p01.le; contrapose i0
simp only [not_not, mem_image, mem_setOf, not_forall, exists_prop] at i0 ⊢; exact i0 | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have ne : u.Nonempty := ⟨z0, z0u⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
⊢ False | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
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f : ℂ → S → S
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s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
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z0u : z0 ∈ u
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | rcases uc.exists_isMinOn ne pc.continuousOn with ⟨z, zu, zm⟩ | case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
⊢ False | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zu : z ∈ u
zm : IsMinOn (s.potential c) u z
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | simp only [mem_diff, mem_setOf, u] at zu | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
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jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
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⊢ False | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
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c x : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
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z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
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zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ z ∉ i
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zu : z ∈ u
zm : IsMinOn (s.potential c) u z
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | simp only [mem_setOf, mem_image, not_exists, not_and, i] at zu | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ z ∉ i
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
⊢ False | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ z ∉ i
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have za := s.potential_minima_only_a (lt_of_le_of_lt zu.1 post) zm | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
⊢ False | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have h := zu.2 0 (s.mem_ext c) | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
⊢ False | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
h : ¬s.ray c 0 = z
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | simp only [s.ray_zero] at h | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
h : ¬s.ray c 0 = z
⊢ False | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
h : ¬a = z
⊢ False | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
h : ¬s.ray c 0 = z
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | exact h za.symm | case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
h : ¬a = z
⊢ False | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
case intro.intro.intro.intro
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
jc : IsClosed j
uc : IsCompact u
z0u : z0 ∈ u
ne : u.Nonempty
z : S
zm : ∀ᶠ (w : S) in 𝓝 z, s.potential c z ≤ s.potential c w
zu : s.potential c z ≤ p1 ∧ ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z
za : z = a
h : ¬a = z
⊢ False
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | rw [isOpen_iff_eventually] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ IsOpen i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ ∀ x ∈ i, ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 x, y ∈ i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ IsOpen i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | intro z ⟨x, m, xz⟩ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ ∀ x ∈ i, ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 x, y ∈ i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
⊢ ∀ x ∈ i, ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 x, y ∈ i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | have eq := (s.ray_nontrivial m).nhds_eq_map_nhds | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 (s.ray c x) = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | rw [xz] at eq | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 (s.ray c x) = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 z = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 (s.ray c x) = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | rw [eq, Filter.eventually_map] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
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d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 z = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 z = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (a_1 : ℂ) in 𝓝 x, s.ray c a_1 ∈ i | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
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z0 : S
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p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 z = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (y : S) in 𝓝 z, y ∈ i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | exact ((s.isOpen_ext.snd_preimage c).eventually_mem m).mp
(eventually_of_forall fun x m ↦ ⟨x, m, rfl⟩) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 z = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (a_1 : ℂ) in 𝓝 x, s.ray c a_1 ∈ i | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
z : S
x : ℂ
m : x ∈ {x | (c, x) ∈ s.ext}
xz : s.ray c x = z
eq : 𝓝 z = Filter.map (s.ray c) (𝓝 x)
⊢ ∀ᶠ (a_1 : ℂ) in 𝓝 x, s.ray c a_1 ∈ i
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | rw [e] | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ IsClosed j | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ IsClosed (s.ray c '' closedBall 0 p1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ IsClosed j
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | refine (IsCompact.image_of_continuousOn (isCompact_closedBall _ _) ?_).isClosed | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ IsClosed (s.ray c '' closedBall 0 p1) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ ContinuousOn (s.ray c) (closedBall 0 p1) | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ IsClosed (s.ray c '' closedBall 0 p1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | intro x m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ ContinuousOn (s.ray c) (closedBall 0 p1) | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
x : ℂ
m : x ∈ closedBall 0 p1
⊢ ContinuousWithinAt (s.ray c) (closedBall 0 p1) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
⊢ ContinuousOn (s.ray c) (closedBall 0 p1)
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | simp only [mem_closedBall, Complex.dist_eq, sub_zero] at m | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
x : ℂ
m : x ∈ closedBall 0 p1
⊢ ContinuousWithinAt (s.ray c) (closedBall 0 p1) x | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
x : ℂ
m : Complex.abs x ≤ p1
⊢ ContinuousWithinAt (s.ray c) (closedBall 0 p1) x | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
x : ℂ
m : x ∈ closedBall 0 p1
⊢ ContinuousWithinAt (s.ray c) (closedBall 0 p1) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | exact (s.ray_holomorphic (lt_of_le_of_lt m post)).along_snd.continuousAt.continuousWithinAt | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
x : ℂ
m : Complex.abs x ≤ p1
⊢ ContinuousWithinAt (s.ray c) (closedBall 0 p1) x | no goals | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x✝ : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
e : j = s.ray c '' closedBall 0 p1
x : ℂ
m : Complex.abs x ≤ p1
⊢ ContinuousWithinAt (s.ray c) (closedBall 0 p1) x
TACTIC:
|
https://github.com/girving/ray.git | 0be790285dd0fce78913b0cb9bddaffa94bd25f9 | Ray/Dynamics/Ray.lean | Super.ray_surj | [291, 1] | [338, 79] | refine Set.ext fun z ↦ ?_ | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
⊢ j = s.ray c '' closedBall 0 p1 | S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z✝ : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
z : S
⊢ z ∈ j ↔ z ∈ s.ray c '' closedBall 0 p1 | Please generate a tactic in lean4 to solve the state.
STATE:
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : CompactSpace S
inst✝³ : T3Space S
inst✝² : ChartedSpace ℂ S
inst✝¹ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c x : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s✝ : Super f d a
y : ℂ × ℂ
s : Super f d a
inst✝ : OnePreimage s
z0 : S
i0 : ∀ (x : ℂ), (c, x) ∈ s.ext → ¬s.ray c x = z0
p0 : ℝ := s.potential c z0
m0 : s.potential c z0 < s.p c
p1 : ℝ
p01 : s.potential c z0 < p1
post : p1 < s.p c
i : Set S := s.ray c '' {x | (c, x) ∈ s.ext}
j : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} ∩ i
u : Set S := {z | s.potential c z ≤ p1} \ i
pc : Continuous (s.potential c)
io : IsOpen i
⊢ j = s.ray c '' closedBall 0 p1
TACTIC:
|
Subsets and Splits
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