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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
model/math/conics/apollonius-inversion-circle | 反演变换 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-3"
] | {
"model": "在平面内固定点 $O$ 和常数 $r>0$。对每个 $X\\ne O$，在射线 $OX$ 上取唯一点 $X'$，使 $OX\\cdot OX'=r^2$；这一点的对应称为以 $O$ 为中心、$r$ 为半径的反演变换，圆 $\\Gamma:OX=r$ 称为反演圆。\n\n### 性质1 互逆与不动点\n\n若 $X'$ 是 $X$ 的反演点，则 $X$ 也是 $X'$ 的反演点；$X'=X$ 当且仅当 $X\\in\\Gamma$。圆内非中心点与圆外点互相对应。\n\n### 性质2 距离关系\n\n任意两个非中心点 $X,Y$ 及其反演点 $X',Y'$ 满足\n$$X'Y'=\\frac{r^2\\,X... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/conics/asymptote-tangent-triangle | 渐近线三角形 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/06-综合变式"
] | {
"model": "设双曲线 $H:x^2/a^2-y^2/b^2=1$，其中 $a,b>0$，中心为 $O=(0,0)$，渐近线为 $l_\\pm:y=\\pm bx/a$。在 $H$ 上取点 $P=(x_0,y_0)$，其切线分别交 $l_+,l_-$ 于 $U,V$，则非退化三角形 $OUV$ 称为该切线确定的渐近线三角形。\n\n### 性质1 切点平分截线段\n\n对任意 $P\\in H$，两交点均为有限点，且 $P$ 是 $UV$ 的中点：\n$$\\overrightarrow{OU}+\\overrightarrow{OV}=2\\overrightarrow{OP}.$$\n\n### 性质2 截点乘积\... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/conics/confocal-ellipse-hyperbola | 共焦圆锥曲线 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/proposition",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"topic/H2.1",
"topic/H3.5",
"topic/legacy/H3.5",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/06-综合变式"
] | {
"model": "在平面内固定 $F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$，其中 $c>0$。以这两点为共同焦点的非退化椭圆和双曲线称为共焦圆锥曲线；取其中一对 $E:x^2/A^2+y^2/(A^2-c^2)=1$、$H:x^2/a^2-y^2/(c^2-a^2)=1$，其中 $0<a<c<A$，记公共点为 $P$，$r_i=PF_i$。\n\n### 性质1 交点坐标\n\n上述两曲线恰有四个公共点，其坐标满足\n$$x^2=\\frac{A^2a^2}{c^2},\\qquad y^2=\\frac{(A^2-c^2)(c^2-a^2)}{c^2}.$$\n\n### 性质2 公共焦半径\n\n公共点位于右半平... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录；本地五三记录；参考：53高中知识清单(数学)-2025版，书页368，PDF页389 | null | [] |
model/math/conics/conic-midpoint-chord | 中点弦 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/proposition",
"book/peiyou-09/topic/midpoint-chord"
] | {
"model": "设 $C_\\varepsilon:x^2/a^2+\\varepsilon y^2/b^2=1$，其中 $a,b>0$，$\\varepsilon=1$ 表示椭圆，$\\varepsilon=-1$ 表示双曲线。取曲线上两个不同实点 $A,B$，记 $M=(h,j)$ 为弦 $AB$ 的中点，并写 $A=M+V$、$B=M-V$，其中 $V=(u,v)\\ne(0,0)$；以中点与弦方向的对应为核心的构型称为中点弦。\n\n### 性质1 方向关系\n\n上述弦中点与半弦向量满足\n$$\\frac{hu}{a^2}+\\varepsilon\\frac{jv}{b^2}=0.$$\n若 $M\\ne ... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《弦中点与第三定义（点差法）》（2024年高三培优讲义第9讲） | null | [] |
model/math/conics/conic-polar-secants | 极点极线 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/fixed-line",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/03-直线与曲线"
] | {
"model": "设 $\\Gamma$ 为椭圆或双曲线 $x^2/a^2+\\varepsilon y^2/b^2=1$（$a,b>0$，$\\varepsilon=\\pm1$），或抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）。对点 $P=(u,v)$，分别定义直线 $ux/a^2+\\varepsilon vy/b^2=1$ 或 $vy=p(x+u)$ 为 $P$ 的极线，$P$ 为该直线的极点，这一点线对应称为极点极线；中心曲线须排除 $P=(0,0)$，其对应方程没有有限点。\n\n### 性质1 切线与切点弦\n\n若 $P\\in\\Gamma$，其极线就是 $P$ 处的切线；若从 $P$ 可引出两条不同实切线，... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/conics/focal-triangle | 焦点三角形 | model | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch10",
"book/conic-secret/topic/inventory",
"book/peiyou-12/topic/eccentricity",
"topic/H3.1",
"topic/H3.2",
"topic/H3.4",
"topic/H3.5",
"topic/legacy/H3.1",
"topic/legacy/H3.4",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/06-综合变式"
] | {
"model": "设非圆椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a>b>0$，$c^2=a^2-b^2$），或双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$（$a,b>0$，$c^2=a^2+b^2$）的焦点为 $F_1=(-c,0)$、$F_2=(c,0)$。取曲线上非焦轴点 $P=(x,y)$，记 $r_i=PF_i$、$\\theta=\\angle F_1PF_2$，则非退化三角形 $PF_1F_2$ 称为焦点三角形。\n\n### 性质1 焦半径关系\n\n椭圆满足 $r_1+r_2=2a$，双曲线满足 $|r_1-r_2|=2a$；两者均有\n$$4c^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\\co... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录；《椭圆与双曲线离心率相关问题》（2024年高三培优讲义第12讲）；本地五三记录；本地五三记录；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/ellipse/conjugate-radii-generation | 共轭直径 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/fixed-line",
"book/conic-secret/topic/fixed-value"
] | {
"model": "在椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$（$a>b>0$）中，$O$ 为中心，$M,N$ 为椭圆上的点。若平行于 $OM$ 的各弦的中点都在 $ON$ 所在直径上，则称 $OM,ON$ 所在的两条直径为共轭直径；此时平行于 $ON$ 的各弦也被 $OM$ 所在直径平分。\n\n### 性质1 共轭条件\n设 $M=(x_1,y_1),N=(x_2,y_2)$，两直径共轭的充要条件是\n$$\\frac{x_1x_2}{a^2}+\\frac{y_1y_2}{b^2}=0.$$\n两直径斜率 $k_1,k_2$ 均存在时，这一条件等价于 $k_1k_2=-b^2/a^2$。\n\n### 性质2 长度... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/ellipse/dandelin-spheres | 丹德林双球 | model | present | subject/math | [
"topic/G1.6"
] | {
"model": "在半顶角为 $\\alpha$ 的无限直圆锥同一叶内，以不过顶点、与轴夹角为 $\\theta$ 的平面截锥面，其中 $0<\\alpha<\\theta\\le\\pi/2$。两个球分别位于截平面两侧，各自与锥面内切并与截平面相切，称为丹德林双球。记球心为 $C_1,C_2$，半径为 $0<r_1<r_2$，球心距为 $L$，平面切点为 $F_1,F_2$。\n\n### 性质1 截线的焦点\n当 $\\theta<\\pi/2$ 时，截线是以 $F_1,F_2$ 为焦点的椭圆；当 $\\theta=\\pi/2$ 时，截线为圆。若其长半轴为 $a$，则截线上任意点 $P$ 满足\n$$PF_1+PF_... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/ellipse/focal-chord-vertex-directrix | 椭圆焦点弦 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/fixed-line",
"book/conic-secret/topic/fixed-value",
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/peiyou-13/topic/vieta"
] | {
"model": "设椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，$c=\\sqrt{a^2-b^2}$，离心率 $e=c/a$。过右焦点 $F=(c,0)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$，所得弦称为椭圆焦点弦。记左、右顶点为 $L=(-a,0),R=(a,0)$，右准线为 $l:x=a^2/c$；当弦非水平时，另记 $U=LP\\cap l,V=LQ\\cap l$。\n\n### 性质1 焦半径倒数和\n任意焦点弦均满足\n$$\\frac1{FP}+\\frac1{FQ}=\\frac{2a}{b^2}.$$\n\n### 性质2 顶点连线的斜率积\n焦点弦非水平时，两条顶点连线的斜率满足\n$$k_... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；《韦达化处理以及非对称韦达》（2024年高三培优讲义第13讲） | null | [] |
model/math/ellipse/inscribed-triangle-slope-pencil | 椭圆的手电筒模型 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"book/peiyou-10/topic/homogeneous",
"topic/H4.4",
"topic/H4.5",
"topic/legacy/H4.4"
] | {
"model": "设椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，固定右顶点 $P=(a,0)$。另取椭圆上的动点 $A,B$，要求三点两两不同，记直线 $PA,PB$ 的斜率为 $k_1,k_2$。以 $P$ 为固定顶点、$AB$ 为动弦，通过两条顶点连线的斜率关系约束动弦的构型称为椭圆的手电筒模型。\n\n### 性质1 斜率积固定\n若 $k_1k_2=q$ 为常数，且 $q\\ne b^2/a^2$，则直线 $AB$ 经过定点\n$$D_q=\\left(\\frac{a(qa^2+b^2)}{qa^2-b^2},0\\right).$$\n当 $q=b^2/a^2$ 时，$AB$ 平行于长轴。特别... | null | [] | [] | null | pending_review | null | knowledge-main：H4.4 原数值命题与推导；本轮编辑推广为一般参数并重写证明；OpenStax Precalculus 2e §10.1（基础方程核对）；本地五三记录；《平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题》（2024年高三培优讲义第10讲）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/ellipse/polar-contact-chord | 蒙日圆 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/fixed-line",
"book/conic-secret/topic/inventory",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/03-直线与曲线"
] | {
"model": "设椭圆 $E:x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，中心为 $O$。点 $P$ 在椭圆外，从 $P$ 向 $E$ 引两条不同的实切线，切点为 $A,B$。当 $PA\\perp PB$ 时，交点 $P$ 的轨迹称为椭圆的蒙日圆。\n\n### 性质1 轨迹方程\n蒙日圆与椭圆同心，半径为 $\\sqrt{a^2+b^2}$，方程为\n$$x_P^2+y_P^2=a^2+b^2.$$\n\n### 性质2 逆命题\n圆 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上的每一点都在椭圆外，且从该点引出的两条实切线互相垂直，因而轨迹是完整的圆；其中 $P=(\\pm a,\\pm b)$ 对应的两条切线分... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/ellipse/tangent-focal-projections | 椭圆的光学性质 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/inventory",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/06-综合变式"
] | {
"model": "设椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，$a>b>0$，焦点为 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$，$c=\\sqrt{a^2-b^2}$。取椭圆点 $P$，其切线为 $l$，把 $F_1$ 关于 $l$ 的对称点记为 $R$，两焦点到 $l$ 的垂足记为 $H_1,H_2$。由焦点、切点及切线组成的这一等角构型体现了椭圆的光学性质。\n\n### 性质1 等角反射\n当 $P$ 不在长轴上时，切线平分 $\\angle F_1PF_2$ 的外角，法线平分其内角。从 $F_1$ 射向 $P$ 的光线经切线反射后射向 $F_2$。\n\n### 性质2 焦点对称点\n任意切点 $P$ 均使... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/functions/additive-input-multiplicative-output | 指数型函数方程 | model | present | subject/math | [
"topic/B3.4"
] | {
"model": "设实函数 $F:\\mathbb R\\to\\mathbb R$ 对任意 $x,y\\in\\mathbb R$ 均满足$F(x+y)=F(x)F(y),$这一关系称为指数型函数方程。\n\n### 性质1 零解与正值解\n全部解分为恒零解与处处为正的非零解。非零解满足\n$$F(0)=1,\\qquad F(-x)=\\frac1{F(x)},\\qquad F(qx)=F(x)^q\\quad(q\\in\\mathbb Q).$$\n\n### 性质2 单调性\n对非零解，若 $u<v$，则 $F(v)/F(u)=F(v-u)$。因此，$F$ 严格递增当且仅当对所有 $t>0$ 有 $F(t)>1... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/functions/affine-translation-function | 平移递推函数 | model | present | subject/math | [
"topic/B1.7",
"topic/legacy/B1.7"
] | {
"model": "设 $T>0$，$a,b\\in\\mathbb R$，实函数 $f:\\mathbb R\\to\\mathbb R$ 对所有 $x\\in\\mathbb R$ 满足$f(x+T)=af(x)+b,$称此关系为平移递推函数关系。\n\n### 性质1 整数步递推\n若 $a\\ne0,1$，记 $c=b/(1-a)$，则对任意 $n\\in\\mathbb Z$，\n$$f(x+nT)=c+a^n[f(x)-c].$$\n若 $a=1$，则 $f(x+nT)=f(x)+nb$；若 $a=0$，全实轴上的关系强制 $f\\equiv b$。\n\n### 性质2 基本段延拓\n若 $a\\ne0$，任给... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 固定数学库B1.7、B2.4及关联例题，编辑全文实读和逐题重解；原始印页仅按外部证据明确核对。；本地五三记录 | null | [] |
model/math/functions/cubic-center-tangents-extrema | 三次函数 | model | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-extrema",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-tangent",
"topic/C2.1",
"topic/C2.3"
] | {
"model": "设 $a,b,c,d\\in\\mathbb R$ 且 $a\\ne0$，定义在实轴上的函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 称为三次函数。记 $h=-b/(3a)$、$k=f(h)$、$p=f'(h)$，则$f(h+t)=at^3+pt+k.$\n\n### 性质1 对称中心\n三次函数图象关于 $(h,k)$ 中心对称，即对任意 $t\\in\\mathbb R$，\n$$f(h+t)+f(h-t)=2k.$$\n\n### 性质2 极值点\n当且仅当 $p/a<0$ 时有两个极值点。令 $s=\\sqrt{-p/(3a)}>0$，其坐标为\n$$(h-s,k+2as^3),\\qquad... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/functions/exp-log-common-tangents | 指对公切线 | model | present | subject/math | [
"topic/C2.1"
] | {
"model": "设 $a,b\\in\\mathbb R$，曲线 $C_1:y=ae^x$ 的定义域为 $\\mathbb R$，曲线 $C_2:y=\\ln x+b$ 的定义域为 $(0,+\\infty)$。同时与两条曲线相切的直线称为它们的公切线，这一构型称为指对公切线；两切点可以不同。\n\n### 性质1 斜率参数\n若 $a\\le0$，无公切线。若 $a>0$，公切线斜率必为 $m>0$，两个切点的横坐标分别为 $\\ln(m/a)$、$1/m$；公切线存在的充要条件是\n$$m[1-\\ln(m/a)]+\\ln m+1=b.$$\n其方程为 $y=mx+m[1-\\ln(m/a)]$。\n\n### 性... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/functions/exponential-inverse-intersections | 指数与反函数交点 | model | present | subject/math | [
"book/derivative-secret/topic/inquiry"
] | {
"model": "设 $a>0$ 且 $a\\ne1$，指数函数 $y=a^x$ 与其反函数 $y=\\log_a x$ 的图象公共点称为指数与反函数交点。公共点 $(x,y)$ 满足 $y=a^x$、$x=a^y$，因而 $x,y>0$；若 $x\\ne y$，则 $(y,x)$ 也是公共点。\n\n### 性质1 递增情形\n当 $a>1$ 时，全部公共点位于直线 $y=x$ 上，其横坐标满足\n$$\\frac{\\ln x}{x}=\\ln a.$$\n$1<a<e^{1/e}$、$a=e^{1/e}$、$a>e^{1/e}$ 时，公共点分别为两个、一个、零个；临界公共点为 $(e,e)$。\n\n### 性质2 ... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/functions/monotone-additive-function | 柯西函数方程 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-4"
] | {
"model": "设实函数 $f:\\mathbb R\\to\\mathbb R$ 对任意 $x,y\\in\\mathbb R$ 满足$f(x+y)=f(x)+f(y),$这一关系称为柯西函数方程，满足它的函数称为加法函数。\n\n### 性质1 有理齐次性\n任意加法函数均满足\n$$f(0)=0,\\qquad f(-x)=-f(x),\\qquad f(qx)=qf(x)\\quad(q\\in\\mathbb Q).$$\n特别地，$f(q)=qf(1)$ 对所有有理数 $q$ 成立。\n\n### 性质2 符号与单调性\n对任意 $u<v$，有 $f(v)-f(u)=f(v-u)$。因此，$f$ 严格递增当且... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/functions/multiplicative-input-additive-output | 对数型函数方程 | model | present | subject/math | [
"topic/B3.4"
] | {
"model": "设 $L:(0,+\\infty)\\to\\mathbb R$ 对任意正数 $x,y$ 满足$L(xy)=L(x)+L(y),$这一关系称为对数型函数方程，它将正数的乘法转化为函数值的加法。\n\n### 性质1 倒数与有理幂\n任意解均满足\n$$L(1)=0,\\qquad L(1/x)=-L(x),\\qquad L(x^q)=qL(x)\\quad(q\\in\\mathbb Q).$$\n\n### 性质2 单调性\n若 $0<u<v$，则 $L(v)-L(u)=L(v/u)$。因此，$L$ 严格递增当且仅当对全部 $t>1$ 有 $L(t)>0$；严格递减当且仅当对全部 $t>1$ 有 $L... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/functions/positive-multiplicative-function | 幂型函数方程 | model | present | subject/math | [
"topic/B3.4"
] | {
"model": "设 $P:(0,+\\infty)\\to\\mathbb R$ 对任意正数 $x,y$ 满足$P(xy)=P(x)P(y),$这一关系称为幂型函数方程，满足它的函数称为正数域上的乘性函数。\n\n### 性质1 零解与正值解\n全部解分为恒零解与处处为正的非零解。非零解满足\n$$P(1)=1,\\qquad P(1/x)=\\frac1{P(x)},\\qquad P(x^q)=P(x)^q\\quad(q\\in\\mathbb Q).$$\n\n### 性质2 单调性\n对非零解及 $0<u<v$，有 $P(v)/P(u)=P(v/u)$。因此，$P$ 严格递增当且仅当对全部 $t>1$ 有 $P... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/apollonius-locus | 阿波罗尼斯圆 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/definition",
"book/vector-secret/topic/lecture-07",
"topic/E2.5",
"topic/legacy/H1.2"
] | {
"model": "平面内给定两个不同的定点 $A,B$，$AB=d>0$，以及常数 $\\lambda>0$、$\\lambda\\ne1$。满足 $PA=\\lambda PB$ 的动点 $P$ 的轨迹称为阿波罗尼斯圆；记其圆心为 $C$、半径为 $r$，直线 $AB$ 与该圆的交点为 $D,E$。\n\n### 性质1 圆心与半径\n以任意点 $O$ 为原点，有\n$$\\overrightarrow{OC}=\\frac{\\overrightarrow{OA}-\\lambda^2\\overrightarrow{OB}}{1-\\lambda^2},\\qquad r=\\frac{\\lambda d}{|1-... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版）；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录；本地五三记录；《立体几何的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2021年5月第1版）；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《向量中的隐圆问题》（2024年高三培优讲义第33讲） | null | [] |
model/math/geometry/circle-double-tangents | 圆外双切线 | model | present | subject/math | [
"topic/E2.4",
"topic/H1.3",
"topic/legacy/H1.3"
] | {
"model": "平面内给定圆 $x^2+y^2=r^2$，圆心为 $C=(0,0)$，$r>0$。点 $U=(a,b)$ 满足 $d=CU>r$，从 $U$ 引圆的两条切线，切点分别为 $A,B$。由圆、外点、两条切线及切点弦 $AB$ 构成圆外双切线。\n\n### 性质1 切线段\n两条切线段等长，且\n$$UA=UB=\\sqrt{d^2-r^2},\\qquad CA\\perp UA,\\quad CB\\perp UB.$$\n\n### 性质2 切点弦\n切点弦所在直线为\n$$ax+by=r^2.$$\n$CU\\perp AB$，圆心到切点弦的距离为 $r^2/d$。\n\n### 性质3 张角范围\n... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/coaxial-prism-sphere | 直棱柱外接球 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-19/topic/sphere-models",
"topic/G1.5",
"topic/legacy/G1.5"
] | {
"model": "设一个高为 $h>0$ 的直棱柱底面为非退化多边形。若所有顶点位于同一球面上，该球称为直棱柱外接球。底面顶点共圆时，记上下底面的外心为 $O_1,O_2$，底面外接圆半径为 $r$，外接球球心、半径分别为 $K,R$。\n\n### 性质1 存在条件\n直棱柱存在外接球的充要条件是底面多边形的顶点共圆，外接球存在时唯一。\n\n### 性质2 球心与半径\n$K$ 为线段 $O_1O_2$ 的中点，且\n$$R^2=r^2+\\frac{h^2}{4}.$$\n上下底面的整个外接圆周均在该球面上。\n\n### 性质3 三棱柱\n直三棱柱的底面若有边长 $a$ 及其对角 $\\alpha$，则\n$$r=... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《外接球与内切球，棱切球》（2024年高三培优讲义第19讲）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/cone-cylinder-volume | 圆锥内接圆柱 | model | present | subject/math | [
"topic/G1.3"
] | {
"model": "在底面半径为 $R>0$、高为 $H>0$ 的直圆锥内，取与圆锥同轴的直圆柱，使圆柱下底位于圆锥底面内，上底圆周位于圆锥侧面上。这一构型称为圆锥内接圆柱，记圆柱的底面半径、高和体积分别为 $r,h,V$。\n\n### 性质1 尺寸关系\n$$0<h<H,\\qquad \\frac rR+\\frac hH=1.$$\n\n### 性质2 体积\n令 $t=h/H\\in(0,1)$，则\n$$V=\\pi R^2H\\,t(1-t)^2.$$\n\n### 性质3 最大体积\n$$V\\le\\frac{4\\pi R^2H}{27}=\\frac49V_{\\text{圆锥}}.$$\n等号成立当且... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/cube-sections | 正方体截面 | model | present | subject/math | [
"topic/G1.4",
"topic/visual-cards/02-立体几何/02-多面体",
"topic/visual-cards/02-立体几何/06-综合强动态"
] | {
"model": "在空间直角坐标系中，取正方体 $K=[0,a]^3$，$a>0$，以及平面 $\\Pi:px+qy+rz=d$，其中 $(p,q,r)\\ne(0,0,0)$。当 $K\\cap\\Pi$ 具有正面积时，这一平面区域称为正方体截面，其边界顶点按不同空间点计数。\n\n### 性质1 边数与平行关系\n截面为三至六边的凸多边形。四边形截面至少有一对对边平行；五边形截面有两组平行边；六边形截面有三组对边平行。\n\n### 性质2 角的限制\n三角形截面必为锐角三角形；四边形截面若有一个直角，则必为矩形。正五边形不能成为正方体截面。\n\n### 性质3 中心截面\n过正方体中心的截面中心对称，因而为四边形或... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/disphenoid-box | 等对棱四面体 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-19/topic/sphere-models",
"topic/G1.5",
"topic/legacy/G1.5"
] | {
"model": "非退化四面体 $ABCD$ 的三组对棱分别相等，即 $AB=CD=p$、$AC=BD=q$、$AD=BC=s$，称为等对棱四面体。其中 $p,q,s>0$，其四个顶点可依次表示为某长方体的顶点 $(0,0,0),(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c)$，$a,b,c>0$。\n\n### 性质1 存在条件\n边长 $p,q,s$ 能构成等对棱四面体，当且仅当\n$$p^2+q^2>s^2,\\quad p^2+s^2>q^2,\\quad q^2+s^2>p^2.$$\n对应长方体的边长满足\n$$a^2=\\frac{p^2+q^2-s^2}{2},\\quad b^2=\\frac{p^2+s... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《外接球与内切球，棱切球》（2024年高三培优讲义第19讲）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/exponential-two-positive-roots | 指数双交点 | model | present | subject/math | [
"book/derivative-secret/topic/offset",
"topic/C3.4",
"topic/legacy/C3.9"
] | {
"model": "在平面直角坐标系中，考察指数曲线 $y=e^x$ 与过原点的直线 $y=ax$，$a\\in\\mathbb R$。当两者在正半平面 $x>0$ 内有两个不同交点时，称为指数双交点，记两交点的横坐标为 $u<v$。\n\n### 性质1 存在条件\n指数双交点存在当且仅当 $a>e$，此时\n$$0<u<1<v,\\qquad u-\\ln u=v-\\ln v=\\ln a.$$\n$a=e$ 时仅有一个正交点，其横坐标为 $1$；$a<e$ 时无正交点。\n\n### 性质2 两根参数式\n令 $t=v/u>1$，则\n$$u=\\frac{\\ln t}{t-1},\\qquad v=\\frac{... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/fixed-angle-chord-locus | 定角圆弧 | model | present | subject/math | [
"book/vector-secret/topic/lecture-07",
"topic/E2.5"
] | {
"model": "平面内固定 $A=(-a,0),B=(a,0)$，$a>0$，给定角 $\\alpha\\in(0,\\pi)$。满足 $P\\ne A,B$ 且 $\\angle APB=\\alpha$ 的动点 $P$ 的轨迹称为定角圆弧，由直线 $AB$ 两侧的两段开圆弧组成。\n\n### 性质1 轨迹方程\n两段圆弧分别为\n$$x^2+(y-a\\cot\\alpha)^2=a^2\\csc^2\\alpha,\\quad y>0,$$\n$$x^2+(y+a\\cot\\alpha)^2=a^2\\csc^2\\alpha,\\quad y<0.$$\n它们所在圆的半径均为 $a/\\sin\\alpha$... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/focus-directrix | 焦点与准线 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/definition",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"topic/H2.4"
] | {
"model": "平面内给定点 $F=(f,0)$、直线 $l:x=d$，其中 $f\\ne d$，以及常数 $e>0$。满足 $PF=e\\,d(P,l)$ 的点 $P$ 构成以 $F$ 为焦点、$l$ 为准线、$e$ 为离心率的圆锥曲线；这一距离关系称为焦点与准线关系。\n\n### 性质1 统一方程\n轨迹上没有准线上的点，其方程为\n$$(x-f)^2+y^2=e^2(x-d)^2.$$\n\n### 性质2 中心曲线\n当 $e\\ne1$ 时，令 $h=(f-e^2d)/(1-e^2)$，有\n$$(1-e^2)(x-h)^2+y^2=\\frac{e^2(f-d)^2}{1-e^2}.$$\n$0<e<1$ ... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/hinged-triangles | 三角形翻折 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-19/topic/sphere-models",
"book/solid-geometry-secret/topic/trajectory",
"topic/G1.5",
"topic/G3.3",
"topic/G4.6",
"topic/legacy/G1.5"
] | {
"model": "两片刚性三角形 $ABC,ABD$ 共用边 $AB$，保持 $ABC$ 不动，使 $ABD$ 绕 $AB$ 转动，称为三角形翻折。取 $A=(-a,0,0),B=(a,0,0),C=(c,u,0),D=(d,v\\cos\\varphi,v\\sin\\varphi)$，其中 $a,u,v>0$，$c,d$ 固定，$\\varphi\\in(0,\\pi)$ 为两面内指向 $C,D$ 的垂轴射线夹角。\n\n### 性质1 跨面距离\n$$CD^2=(c-d)^2+u^2+v^2-2uv\\cos\\varphi.$$\n$CD$ 随 $\\varphi$ 严格增大，其取值范围为\n$$\\sqrt{(c... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《外接球与内切球，棱切球》（2024年高三培优讲义第19讲）；本地五三记录；苏立标《立体几何的秘密》 | null | [] |
model/math/geometry/oblique-cylinder-section | 圆柱斜截面 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/definition",
"topic/G1.4",
"topic/G4.5"
] | {
"model": "设直圆柱实体为 $x^2+y^2\\le R^2$、$0\\le z\\le H$，$R,H>0$。取非水平、非竖直平面 $z=z_0+kx$，$k\\ne0$；若它与圆柱相交成正面积区域，则该区域称为圆柱斜截面。在截平面内以 $(0,0,z_0)$ 为原点，沿 $(1,0,k)/\\sqrt{1+k^2}$、$(0,1,0)$ 取正交坐标 $u,v$。\n\n### 性质1 截面区域\n斜截面恰为同时满足下列条件的点集：\n$$\\frac{u^2}{R^2(1+k^2)}+\\frac{v^2}{R^2}\\le1,\\qquad 0\\le z_0+\\frac{ku}{\\sqrt{1+k^2}}... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/orthogonal-tetrahedron | 三垂直棱四面体 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-19/topic/sphere-models",
"topic/legacy/G1.5"
] | {
"model": "非退化四面体 $OABC$ 的三条共端棱 $OA,OB,OC$ 两两垂直，长度分别为 $a,b,c>0$，称为三垂直棱四面体。以这三条棱所在射线为坐标轴，可取 $O=(0,0,0),A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$。\n\n### 性质1 对面边长\n$$AB=\\sqrt{a^2+b^2},\\qquad AC=\\sqrt{a^2+c^2},\\qquad BC=\\sqrt{b^2+c^2}.$$\n\n### 性质2 体积\n$$V_{OABC}=\\frac{abc}{6}.$$\n\n### 性质3 外接球\n外接球球心、半径为\n$$K=\\left(\\frac... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《外接球与内切球，棱切球》（2024年高三培优讲义第19讲）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/point-to-line-fold | 抛物线折纸 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/definition"
] | {
"model": "平面内固定点 $B=(0,h)$ 和直线 $l:y=0$，$h>0$。对任意 $B'=(u,0)\\in l$，以将 $B$ 反射到 $B'$ 的直线为折痕；过 $B'$ 作 $l$ 的垂线，与折痕交于 $P$。由全部落点 $B'$、折痕及交点 $P$ 构成抛物线折纸。\n\n### 性质1 折痕与交点\n每个 $u\\in\\mathbb R$ 唯一确定折痕和交点：\n$$y=\\frac uhx+\\frac{h^2-u^2}{2h},\\qquad P=\\left(u,\\frac{u^2+h^2}{2h}\\right).$$\n\n### 性质2 交点轨迹\n$P$ 的完整轨迹为抛物线\n$$... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/geometry/reflected-circle-conic | 折圆模型 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/definition"
] | {
"model": "平面内给定圆 $\\odot O$，半径 $R>0$，以及定点 $Q$，满足 $q=OQ>0$、$q\\ne R$。点 $A$ 在圆周上运动，以线段 $AQ$ 的中垂线为折痕；仅取折痕与直线 $OA$ 有唯一有限交点 $P$ 的位置，所得构型称为折圆模型。\n\n### 性质1 交点参数\n以 $O$ 为原点，令 $A=R\\boldsymbol u$、$|\\boldsymbol u|=1$，则\n$$P=t\\boldsymbol u,\\qquad t=\\frac{R^2-q^2}{2(R-\\boldsymbol u\\cdot\\overrightarrow{OQ})}.$$\n其中 $\\b... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/geometry/regular-pyramid-insphere | 正棱锥内切球 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-19/topic/sphere-models",
"topic/G1.6"
] | {
"model": "设正棱锥的顶点为 $P$、底面中心为 $H$，高 $PH=h>0$，底面正多边形的边心距为 $\\rho>0$，侧面斜高为 $l=\\sqrt{h^2+\\rho^2}$。位于棱锥内部、与底面及全部侧面相切的球称为正棱锥内切球，记球心为 $O$、半径为 $r$。\n\n### 性质1 球心与半径\n内切球唯一，球心在线段 $PH$ 内，且\n$$HO=r=\\frac{h\\rho}{\\rho+l},\\qquad PO=h-r.$$\n\n### 性质2 体积与表面积\n若棱锥体积为 $V$、表面积为 $S$，则\n$$r=\\frac{3V}{S}.$$\n\n### 性质3 半径与高度\n$$0<... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《外接球与内切球，棱切球》（2024年高三培优讲义第19讲）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/sinusoidal-projection | 圆周运动的投影 | model | present | subject/math | [
"topic/D3.2"
] | {
"model": "平面内一点在半径为 $A>0$ 的圆上以角速度 $\\omega>0$ 匀速转动。选定一条投影轴，圆心在轴上的坐标为 $b$，初相为 $\\varphi$，该点在轴上的正投影坐标为 $s(t)=b+A\\sin(\\omega t+\\varphi)$，$t\\in\\mathbb R$，称为圆周运动的投影。\n\n### 性质1 振幅与周期\n投影坐标的取值范围为 $[b-A,b+A]$，最小正周期为\n$$T=\\frac{2\\pi}{\\omega}.$$\n\n### 性质2 速度与转向\n$$s'(t)=A\\omega\\cos(\\omega t+\\varphi).$$\n转向时刻恰满足... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/sphere-cone-volume | 球内接圆锥 | model | present | subject/math | [
"topic/G1.3"
] | {
"model": "半径为 $R>0$ 的球内，取球面上一点为直圆锥的顶点，以过该点和球心的直线为轴，使底圆周全部位于球面上，称为球内接圆锥。记圆锥的高、底面半径和体积分别为 $h,r,V$，其中 $0<h<2R$。\n\n### 性质1 底圆约束\n底面到球心的距离为 $|R-h|$，且\n$$r^2=h(2R-h).$$\n\n### 性质2 体积\n$$V=\\frac\\pi3h^2(2R-h).$$\n当 $0<h<4R/3$ 时，$V$ 随 $h$ 严格增大；当 $4R/3<h<2R$ 时，$V$ 随 $h$ 严格减小。\n\n### 性质3 最大体积\n$$0<V\\le\\frac{32\\pi R^3}{8... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/sphere-cylinder-volume | 球内接圆柱 | model | present | subject/math | [
"topic/G1.3"
] | {
"model": "半径为 $R>0$ 的球内，取轴线经过球心、两底面关于球心对称的直圆柱，使上下两底圆周全部位于球面上，称为球内接圆柱。记圆柱的高、底面半径和体积分别为 $h,r,V$，其中 $h,r>0$。\n\n### 性质1 尺寸约束\n$$r^2+\\frac{h^2}{4}=R^2,\\qquad 0<h<2R.$$\n\n### 性质2 体积\n$$V=\\pi\\left(R^2h-\\frac{h^3}{4}\\right).$$\n$V$ 在 $0<h<2R/\\sqrt3$ 上严格增大，在 $2R/\\sqrt3<h<2R$ 上严格减小。\n\n### 性质3 最大体积\n$$0<V\\le\\frac... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/ssa-triangle | 边边角构型 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-37/topic/triangle-lines",
"topic/D4.5"
] | {
"model": "在非退化三角形 $ABC$ 中，给定两条边 $a=BC>0$、$b=CA>0$ 及边 $a$ 的对角 $A\\in(0,\\pi)$，由这些条件确定的三角形称为边边角构型。记第三边为 $c=AB$，具有相同边长与对应角的全等三角形计为同一解。\n\n### 性质1 第三边方程\n第三边恰为下列方程的不同正根：\n$$c^2-2b\\cos A\\,c+b^2-a^2=0.$$\n判别式非负时，实根为\n$$c=b\\cos A\\pm\\sqrt{a^2-b^2\\sin^2A}.$$\n\n### 性质2 解的个数\n当 $0<A<\\pi/2$ 时，令 $h=b\\sin A$，解数为\n$$N=\\... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录；《解三角形中的计算求值问题》（2024年高三培优讲义第37讲）；《解三角形中的计算求值问题》（2024年高三培优讲义第37讲） | null | [] |
model/math/geometry/symmetric-slope-product | 斜率积恒定的轨迹 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/geometry",
"book/conic-secret/topic/proposition",
"book/peiyou-09/topic/midpoint-chord",
"topic/H2.4",
"topic/legacy/H2.4"
] | {
"model": "平面内固定关于原点对称的两点 $A=(m,n),B=(-m,-n)$，其中 $(m,n)\\ne(0,0)$。给定实数 $q$，使两条直线 $PA,PB$ 的斜率存在且乘积为 $q$ 的动点 $P=(x,y)$ 的轨迹，称为斜率积恒定的轨迹。\n\n### 性质1 完整方程\n轨迹恰为\n$$y^2-qx^2=n^2-qm^2,\\qquad x\\ne m,\\quad x\\ne-m.$$\n\n### 性质2 曲线类型\n$q<0$ 且 $q\\ne-1$ 时，轨迹所在曲线为椭圆；$q=-1$ 时为圆。$q>0$ 时，令 $C=n^2-qm^2$：$C>0$ 为纵轴双曲线，$C<0$ 为横轴双曲线，... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《弦中点与第三定义（点差法）》（2024年高三培优讲义第9讲）；本地五三记录 | null | [] |
model/math/geometry/triangle-transversal | 重心截线 | model | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/geometry",
"book/vector-secret/topic/lecture-03"
] | {
"model": "在非退化三角形 $ABC$ 中，设 $G$ 为重心，过 $G$ 的直线分别与线段 $AB,AC$ 交于 $M,N$，称为重心截线。记 $x=AM/AB$、$y=AN/AC$，其中 $0<x,y\\le1$，并以 $[XYZ]$ 表示三角形 $XYZ$ 的面积。\n\n### 性质1 截点关系\n$$\\frac1x+\\frac1y=3,\\qquad y=\\frac{x}{3x-1}.$$\n两截点参数恰满足 $1/2\\le x,y\\le1$。\n\n### 性质2 截角面积\n$$\\frac{[AMN]}{[ABC]}=xy,\\qquad \\frac49\\le xy\\le\\frac1... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版）；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/geometry/two-point-circle-pencil | 圆束 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-3"
] | {
"model": "平面内固定两个不同点 $P,Q$，全部经过 $P,Q$ 的非退化圆构成圆束。选取其中一个圆 $C(x,y)=x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，并以 $L(x,y)=Ax+By+K=0$ 表示直线 $PQ$，其中 $(A,B)\\ne(0,0)$。\n\n### 性质1 圆束方程\n圆束全部成员恰为\n$$C(x,y)+\\lambda L(x,y)=0,\\qquad \\lambda\\in\\mathbb R.$$\n不同参数对应不同的圆，任意两个成员的公共弦所在直线均为 $L=0$。\n\n### 性质2 圆心与半径\n参数为 $\\lambda$ 的圆，其圆心为\n$$O_\\lambda=\... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/parabola/archimedes-triangle | 阿基米德三角形 | model | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch10",
"book/conic-secret/topic/inventory",
"book/higher-method/topic/chapter-2",
"book/peiyou-14/topic/archimedes",
"topic/H3.3",
"topic/H3.7",
"topic/legacy/H3.3",
"topic/legacy/H3.6",
"topic/legacy/H3.7",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/03-直线与曲线"
] | {
"model": "在抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）上取不同两点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，两点处的切线交于 $P$，称 $\\triangle PAB$ 为阿基米德三角形，弦 $AB$ 为其底边。记 $M$ 为 $AB$ 的中点，$F=(0,p/2)$ 为抛物线的焦点。\n\n### 性质1 切线交点与底边\n\n$$P=\\left(\\frac{x_1+x_2}{2},\\frac{x_1x_2}{2p}\\right),\\qquad AB:(x_1+x_2)x-2py-x_1x_2=0.$$\n\n### 性质2 面积\n\n$$S_{\\triangle PAB}=\\frac... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；《阿基米德三角形与焦点三角形内切圆》（2024年高三培优讲义第14讲）；《阿基米德三角形与焦点三角形内切圆》（2024年高三培优讲义第14讲）；本地五三记录；本地五三记录；本地五三记录；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
model/math/parabola/orthogonal-focal-chords | 抛物线焦点弦 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-3"
] | {
"model": "在抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）上，过焦点 $F=(0,p/2)$ 的直线与抛物线交于不同的有限点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，称线段 $AB$ 为抛物线焦点弦。焦点弦所在直线不与对称轴重合，$F$ 位于 $A$、$B$ 之间。\n\n### 性质1 端点坐标乘积\n\n$$x_1x_2=-p^2,\\qquad y_1y_2=\\frac{p^2}{4}.$$\n\n### 性质2 焦半径\n\n$$|AF|=y_1+\\frac p2,\\qquad |BF|=y_2+\\frac p2,\\qquad \\frac1{|AF|}+\\frac1{|BF|}=\\fr... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/probability/absorbing-lazy-walk | 赌徒破产 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-39/topic/markov",
"book/probability-secret/topic/models",
"topic/I2.4",
"topic/legacy/I2.4",
"topic/legacy/I7.1"
] | {
"model": "赌徒初有$i$元，$m\\ge1$为整数，$0\\le i\\le m$。每局独立，以概率$p$赢1元、$q$输1元、$1-p-q$收支不变，其中$p,q\\ge0$、$0<p+q\\le1$；资金首次达到$0$或$m$即停止，分别称为破产与达标。以$X_n$表示第$n$局后的资金，停止后保持不变，$T$为停止局数。这一过程称为赌徒破产模型。\n\n### 性质1 达标概率\n\n记$h_i=P(X_T=m\\mid X_0=i)$，则$h_0=0,h_m=1$。当$p,q>0$且$0<i<m$时，\n$$h_i=\\begin{cases}\\dfrac{i}{m},&p=q,\\\\[3pt]\\df... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》（彭海燕、张珅瑞编著，浙江大学出版社，2021年11月第1版）；《概率统计的秘密》；本地五三记录；MIT OCW Introduction to Probability, Lecture 24；《马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）》（2024年高三培优讲义第39讲）；《马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）》（2024年高三培优讲义第39讲） | null | [] |
model/math/probability/bernoulli-count-and-frequency | 伯努利试验 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-42/topic/distributions",
"book/probability-secret/topic/models",
"book/probability-secret/topic/probability",
"topic/I3.3",
"topic/legacy/I2.5",
"topic/legacy/I3.3"
] | {
"model": "只有成功与失败两种结果、成功概率为$p\\in[0,1]$的随机试验称为伯努利试验。独立重复该试验$n\\ge1$次，令$I_j$在第$j$次成功时取1、失败时取0，以$X_n=\\sum_{j=1}^n I_j$表示成功次数，$F_n=X_n/n$表示成功频率；试验总次数固定，不提前停止。\n\n### 性质1 成功次数的分布\n\n当$0<p<1$时，$X_n$服从二项分布，且\n$$P(X_n=k)=\\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\\quad k=0,1,\\ldots,n.$$\n$p=0$时$X_n=0$，$p=1$时$X_n=n$，均以概率1成立。\n\n### 性质2 ... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录；《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录；《四大分布：二项分布、超几何分布与正态分布》（2024年高三培优讲义第42讲） | null | [] |
model/math/probability/chain-cycle-colouring | 环形染色 | model | present | subject/math | [
"topic/I1.1",
"topic/legacy/I1.1"
] | {
"model": "设$n\\ge3$个有标号顶点依次首尾相接成简单环，相邻顶点必须异色。从$q\\ge2$种有区别的颜色中为每个顶点选一种，颜色可重复且不必全部使用，这称为环形染色。顶点位置固定，旋转或翻转后各顶点颜色不同的方案分别计数；以$C_n(q)$表示合法方案数。\n\n### 性质1 染色数\n\n对整数$n\\ge3,q\\ge2$，\n$$C_n(q)=(q-1)^n+(-1)^n(q-1).$$\n特别地，$C_n(2)$在$n$为偶数时等于2，在$n$为奇数时等于0。\n\n### 性质2 合法染色的概率\n\n若各顶点独立、等概率地选择$q$种颜色之一，则合法染色的概率为\n$$\\frac{C_n(q... | null | [] | [] | null | pending_review | null | knowledge-main I1.1与旧卡123/127/213、旧题族174/181/298；计数原理、例子及边界经编辑归并，完整证明为独立编辑推导 | null | [] |
model/math/probability/consecutive-success-waiting | 连续成功等待 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-4"
] | {
"model": "独立重复成功概率为$p\\in(0,1]$的伯努利试验，给定正整数$r$。开始时连续成功次数为0，每次成功使该次数加1，失败使其清零，首次达到$r$即停止；记所用试验次数为$T_r$。这一过程称为连续成功等待模型；已连续成功$i$次的状态指$0\\le i\\le r$且尚未开始下一次试验。\n\n### 性质1 平均等待时间\n\n从初始状态开始，当$0<p<1$时，\n$$E(T_r)=\\frac{1-p^r}{(1-p)p^r}=\\sum_{j=1}^r p^{-j}.$$\n当$p=1$时，$T_r=r$以概率1成立。\n\n### 性质2 已有连续成功时的剩余时间\n\n记$E_i$为从状态... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/probability/equal-urn-exchange | 双袋换球 | model | present | subject/math | [
"book/probability-secret/topic/models"
] | {
"model": "甲乙两袋各装$m\\ge1$个球，其中黑球总数为整数$K\\in[0,2m]$。初始甲袋有$x_0$个黑球，$\\max(0,K-m)\\le x_0\\le\\min(m,K)$。每轮给定两袋当前组成，从各袋独立、均匀地抽取一球并互换，各轮使用新的随机抽取；记交换$n$轮后甲袋黑球数为$X_n$，$X_0=x_0$。这一过程称为双袋换球模型。\n\n### 性质1 一步转移概率\n\n对合法状态$k$，令\n$$u_k=\\frac{(m-k)(K-k)}{m^2},\\qquad d_k=\\frac{k(m-K+k)}{m^2}.$$\n则给定$X_n=k$，$X_{n+1}$等于$k+1,k-1,... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录 | null | [] |
model/math/probability/finite-population-sampling | 超几何抽样 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-42/topic/distributions",
"book/probability-secret/topic/probability",
"topic/I3.4",
"topic/legacy/I3.4"
] | {
"model": "总体含$N\\ge1$个可区分对象，其中$M$个为目标对象，$0\\le M\\le N$。均匀、不放回地抽取$n$个对象，$0\\le n\\le N$，即每个$n$元子集等可能；以$X$表示抽到的目标对象数。这称为超几何抽样，参数$N,M,n$均为整数。\n\n### 性质1 目标数的分布\n\n$X$的可能取值为$\\max(0,n-N+M)\\le k\\le\\min(n,M)$中的整数，且\n$$P(X=k)=\\frac{\\binom Mk\\binom{N-M}{n-k}}{\\binom Nn}.$$\n\n### 性质2 期望与方差\n\n令$p=M/N$，则$E(X)=np$；当$... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录；《四大分布：二项分布、超几何分布与正态分布》（2024年高三培优讲义第42讲） | null | [] |
model/math/probability/first-to-n-wins | 抢胜赛 | model | present | subject/math | [
"book/probability-secret/topic/probability"
] | {
"model": "甲乙进行无平局比赛，各场结果相互独立，甲每场获胜概率为$p\\in[0,1]$，乙为$q=1-p$。双方从0胜开始，先累计获得$n\\ge1$胜的一方获胜，比赛立即停止，称为抢胜赛。记$W$为甲最终获胜事件，$T$为实际比赛场数，其中$n$为整数，$n\\le T\\le2n-1$。\n\n### 性质1 甲的获胜概率\n\n当$0<p<1$时，\n$$P(W)=\\sum_{j=0}^{n-1}\\binom{n+j-1}{j}p^nq^j=\\sum_{k=n}^{2n-1}\\binom{2n-1}{k}p^kq^{2n-1-k}.$$\n$p=0$时$P(W)=0$，$p=1$时$P(W)=1$。... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》 | null | [] |
model/math/probability/record-threshold-stopping | 秘书问题 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-4"
] | {
"model": "$n\\ge2$名优劣互异的候选人按等概率随机顺序出现，每次只能观察其与已见者的相对优劣，拒绝后不能回选，至多选择一人，以选中全体最优者为成功，这称为秘书问题。对整数$0\\le k<n$，阈值策略先拒绝前$k$人，再选择首位优于此前所有人的候选人；未触发选择则失败。$k=0$时直接选择第一人。\n\n### 性质1 阈值策略的成功概率\n\n记成功概率为$P_k$，则$P_0=1/n$；对$1\\le k<n$，\n$$P_k=\\frac{k}{n}\\sum_{s=k}^{n-1}\\frac1s.$$\n\n### 性质2 相邻阈值的比较\n\n有$P_1-P_0=(\\sum_{s=1}^{n-... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/probability/two-state-homogeneous-chain | 两状态马尔可夫链 | model | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch12",
"book/peiyou-39/topic/markov",
"book/probability-secret/topic/models",
"topic/I2.4",
"topic/legacy/I2.4",
"topic/legacy/I7.1"
] | {
"model": "离散时刻$n=0,1,\\ldots$，系统状态$X_n\\in\\{A,B\\}$，初始$P(X_0=A)=a\\in[0,1]$。给定当前状态及全部过去，下一状态仅依当前状态：从$A$转到$B$的概率为$p$，从$B$转到$A$的概率为$q$，其中$p,q\\in[0,1]$且不随时间改变，余下概率用于保持原状态。这称为两状态马尔可夫链。\n\n### 性质1 状态概率的递推\n\n令$a_n=P(X_n=A)$，则\n$$a_0=a,\\qquad a_{n+1}=(1-p-q)a_n+q.$$\n若$p+q>0$，令$L=q/(p+q)$，对$n\\ge1$有\n$$a_n=L+(a-L)(1-p... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》；本地五三记录；MIT OCW Introduction to Probability, Lecture 24；《马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）》（2024年高三培优讲义第39讲）；《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录；本地五三记录 | null | [] |
model/math/probability/unbounded-integer-walk | 一维随机游走 | model | present | subject/math | [
"book/peiyou-39/topic/markov"
] | {
"model": "粒子从整数位置$X_0=i_0$出发，每步独立地以概率$p\\in[0,1]$向右移动一格、以概率$q=1-p$向左移动一格，记$n$步后的位置为$X_n$。整数线上不设吸收壁、反射壁或停止点，这称为一维随机游走；等价地，$X_n=i_0+\\sum_{j=1}^nY_j$，其中独立增量$Y_j$取$1,-1$的概率分别为$p,q$。\n\n### 性质1 位置分布\n\n当$0<p<1$时，若$k=(n+x-i_0)/2$是$0\\le k\\le n$的整数，则\n$$P(X_n=x)=\\binom nk p^kq^{n-k};$$\n否则该概率为0。$p=1$时$X_n=i_0+n$，$p=0$时... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）》（2024年高三培优讲义第39讲） | null | [] |
model/math/sequences/coupled-exchange | 耦合数列 | model | present | subject/math | [
"book/sequence-secret/topic/application"
] | {
"model": "设实数列 $a_n,b_n$ 的初值为 $a_1=A,b_1=B$，固定参数 $0\\le t\\le1$。若两列在每个整数 $n\\ge1$ 同时满足 $a_{n+1}=(1-t)a_n+tb_n$、$b_{n+1}=ta_n+(1-t)b_n$，则称这一相互交换的关系系统为耦合数列。\n\n### 性质1 和差关系\n对所有 $n\\ge1$，有\n$$a_n+b_n=A+B,\\qquad a_{n+1}-b_{n+1}=(1-2t)(a_n-b_n).$$\n\n### 性质2 通项\n当 $t\\ne\\tfrac12$ 时，对所有 $n\\ge1$，有\n$$a_n=\\frac{A+B+(A... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
model/math/sequences/linear-forcing | 一阶线性递推 | model | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch07",
"book/peiyou-25/topic/gap-sequences",
"book/sequence-secret/topic/application",
"book/sequence-secret/topic/general-term",
"topic/F2.1",
"topic/F2.2",
"topic/legacy/F2.1"
] | {
"model": "设 $p,A$ 为实常数，$f$ 是正整数上给定的实函数。由初值 $a_1=A$ 及关系 $a_{n+1}=pa_n+f(n)$（整数 $n\\ge1$）唯一确定的数列，称为一阶线性递推数列；其中 $p$ 为固定系数，$f(n)$ 为已知非齐次项。\n\n### 性质1 通项\n当 $p\\ne0$ 时，对所有 $n\\ge1$，有\n$$a_n=p^{n-1}\\left(A+\\sum_{j=1}^{n-1}\\frac{f(j)}{p^j}\\right),$$\n其中空和为0。当 $p=0$ 时，$a_1=A$，且 $a_n=f(n-1)$（$n\\ge2$）。\n\n### 性质2 常数非齐次项... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；本地数列递推专题记录；《隔项等差与隔项等比以及和为等比》（2024年高三培优讲义第25讲）；本地五三记录；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
model/math/sequences/linear-prefix-constraint | 数列的项和关系 | model | present | subject/math | [
"book/sequence-secret/topic/general-term",
"topic/F2.1",
"topic/F2.2",
"topic/legacy/F2.1"
] | {
"model": "设 $\\alpha,\\beta$ 为实常数且 $\\alpha\\ne\\beta$，$g$ 是正整数上给定的实函数，$S_n=\\sum_{j=1}^na_j$。若实数列在每个整数 $n\\ge1$ 满足 $\\alpha a_n=\\beta S_n+g(n)$，则称这一单项与其前项和的关系系统为数列的项和关系；其首项由该关系确定。\n\n### 性质1 单项递推\n原关系等价于\n$$a_1=\\frac{g(1)}{\\alpha-\\beta},\\qquad a_{n+1}=\\frac{\\alpha}{\\alpha-\\beta}a_n+\\frac{g(n+1)-g(n)}{\\a... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录；《数列的秘密》PDF67—107页（印刷58—98页）；逐页核对与独立编辑证明 agent_synthesis，待人工审定。；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
model/math/sequences/mobius-iteration | 分式递推 | model | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch07",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"book/sequence-secret/topic/general-term",
"topic/F2.1",
"topic/F2.2",
"topic/F3.1",
"topic/legacy/F2.1"
] | {
"model": "设 $a,b,c,d,U$ 为实数，$c\\ne0$、$ad-bc\\ne0$。从 $u_1=U$ 出发，按 $u_{n+1}=(au_n+b)/(cu_n+d)$（整数 $n\\ge1$）定义数列，每一步均要求 $cu_n+d\\ne0$，称为分式递推。该映射的实不动点满足 $cx^2+(d-a)x-b=0$。\n\n### 性质1 两个不同实不动点\n若不动点为 $r\\ne s$，则 $U=r$ 或 $U=s$ 时分别得到相应的常数列。若 $U\\ne r,s$，令\n$$y_1=\\frac{U-r}{U-s},\\qquad\\lambda=\\frac{a-cr}{a-cs},$$\n则合法轨... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三固定记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；本地五三固定记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）第四章，PDF108—170页（印刷99—161页）；正文与证明经独立编辑，agent_synthesis，待人工审定。；本地五三记录；本地五三记录；《数列的秘密》PDF67—107页（印刷58—98页）；逐页核对与独立编辑证明 agent_synthesis，待人工审定。；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编... | null | [] |
model/math/sequences/neighbor-product | 相邻积递推 | model | present | subject/math | [
"topic/F3.1"
] | {
"model": "设 $g(n)$ 是给定的非零实数列，初值 $a_1=A\\ne0$。若实数列在每个整数 $n\\ge1$ 满足 $a_na_{n+1}=g(n)$，则称这一关系为相邻积递推。各项均非零，后项由 $a_{n+1}=g(n)/a_n$ 唯一确定。\n\n### 性质1 隔项关系\n原关系等价于首项条件及隔项递推\n$$a_1=A,\\qquad a_2=\\frac{g(1)}A,\\qquad a_{n+2}=\\frac{g(n+1)}{g(n)}a_n\\quad(n\\ge1).$$\n\n### 性质2 指数相邻积\n若 $g(n)=Mq^n$ 且 $Mq\\ne0$，则奇数项与偶数项分别组成公比... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三固定记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）第四章，PDF108—170页（印刷99—161页）；正文与证明经独立编辑，agent_synthesis，待人工审定。 | null | [] |
model/math/sequences/positive-power-iteration | 幂式递推 | model | present | subject/math | [
"book/sequence-secret/topic/general-term",
"topic/F2.1",
"topic/F2.2",
"topic/legacy/F2.1"
] | {
"model": "设 $P>0,A>0$，$r$ 为固定实数。由初值 $a_1=A$ 与关系 $a_{n+1}=Pa_n^r$（整数 $n\\ge1$）确定的正数列，称为幂式递推数列。正初值与正系数保证每一步实数幂均有定义，且各项始终为正。\n\n### 性质1 对数关系\n令 $b_n=\\ln a_n$，则\n$$b_1=\\ln A,\\qquad b_{n+1}=rb_n+\\ln P\\quad(n\\ge1).$$\n\n### 性质2 通项与不动点\n当 $r\\ne0,1$ 时，令 $L=P^{1/(1-r)}$，则\n$$a_n=L\\left(\\frac AL\\right)^{r^{n-1}}\\q... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录；《数列的秘密》PDF67—107页（印刷58—98页）；逐页核对与独立编辑证明 agent_synthesis，待人工审定。；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
model/math/sequences/quadratic-newton | 牛顿迭代 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-4"
] | {
"model": "设二次多项式 $P(x)=C(x-\\alpha)(x-\\beta)$，其中 $C\\ne0$，$\\alpha,\\beta$ 为实数。从实初值 $u_1=U$ 出发，以 $u_{n+1}=u_n-P(u_n)/P'(u_n)$（整数 $n\\ge1$）逐步确定数列，称为牛顿迭代；每一步要求 $2u_n-\\alpha-\\beta\\ne0$。\n\n### 性质1 根差关系\n在每个合法步骤，有\n$$u_{n+1}-\\alpha=\\frac{(u_n-\\alpha)^2}{2u_n-\\alpha-\\beta},\\qquad u_{n+1}-\\beta=\\frac{(u_n-\\b... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
model/math/sequences/second-order-linear | 二阶线性递推 | model | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"book/sequence-secret/topic/general-term",
"topic/F2.1",
"topic/F2.2",
"topic/F2.5",
"topic/F2.7",
"topic/F3.1",
"topic/legacy/F2.1"
] | {
"model": "设 $p,q,A,B$ 为实常数。由两个初值 $a_1=A,a_2=B$ 和关系 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$（整数 $n\\ge1$）唯一确定的实数列，称为二阶线性递推数列。其特征方程为 $z^2-pz-q=0$。\n\n### 性质1 不同非零实根\n若特征方程有不同的非零实根 $r,s$，则\n$$a_n=\\frac{B-sA}{r-s}r^{n-1}+\\frac{rA-B}{r-s}s^{n-1}\\quad(n\\ge1).$$\n\n### 性质2 非零重根\n若特征方程有非零重根 $t$，则\n$$a_n=\\left[A+\\left(\\frac Bt-A\\rig... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三固定记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
method/math/case-analysis | 分类讨论 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-extrema",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/quadratic-inequalities",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/sets",
"book/higher-method/topic/chapter-2",
"topic/A2.3",
"topic/B3.5",
"topic/C2.2",
"topic/D4.6",
"topic/E2.5",
"topic/H4.1... | {
"method": "分类讨论是按影响结论或运算规则的条件，将一个问题分成若干情形分别处理的方法。分类依据应是符号改变、系数为零、对象重合或越过定义域端点等临界事件；各情形须互不重叠，并覆盖全部允许情况。\n\n### 核心做法\n先确定分类量及其临界值，再逐类写明附加条件，在该条件下推导。所得解须与本类范围取交集，最后合并各类结果。多层分类按条件的依赖顺序展开，临界值单独核对，避免在除以可能为零的量后遗漏一类。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；固定数学知识库A2.3、A2.4及关联原题；编辑逐条复算、归并与边界修订，未全部核对原印页。；固定数学知识库原条目与 knowledge-main 绝对值方法；编辑独立归纳、证明与重解（待复核）。对照 OpenStax Precalculus 2e §1.6 的绝对值定义与距离解释、Algebra and Trigonometry 2e §2.7 的不等式规则；https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/1-6-absolute-value-functions ；https://openstax... | null | [] |
method/math/number-shape | 数形结合 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-zeros",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/function-graphs",
"book/higher-method/topic/chapter-2",
"book/vector-secret/topic/lecture-03",
"book/vector-secret/topic/lecture-07",
"topic/E1.2"
] | {
"method": "数形结合是把数量关系与几何关系相互转化，利用两种表示中较直接的结构解决问题的方法。方程可表示图象的交点，绝对值可表示距离，代数式也可表示面积或数量积；几何关系则可转回方程、不等式或参数范围。\n\n### 核心做法\n明确代数量与点、线、长度等对象的对应，保留定义域和符号条件，再用交点、相切、位置或度量关系推导结论。最后将几何结论译回原问题，核对端点、退化情况及能否取到；图形观察提供线索，精确结论仍须由相应关系证明。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/function-construction | 构造函数 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/auxiliary-function",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-isomorphism",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-two-variable",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/extremum-shift",
"book/derivative-secret/topic/foundation",
"book/... | {
"method": "构造函数是把待研究的等式、不等式或参数条件转化为某个函数的零点、符号、值域或变化性质的方法。所构造的函数须与目标有明确的逻辑联系，例如把比较两式转化为研究它们之差的符号。\n\n### 核心做法\n在原条件允许的范围内定义 $F(x)$，写出目标与 $F(x)=0$、$F(x)\\geqslant0$ 等条件的对应，再利用导数、零点或凸性确定结论。若目标是证明 $A(x)\\geqslant B(x)$，可令 $F=A-B$，通过单调性和端点值证明 $F\\geqslant0$；构造中引入的限制须带回原问题。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《原函数与导函数混合还原问题》（2024年高三培优讲义第3讲）；《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《指对同构（朗博同构）》（2024年高三培优讲义第2讲）；固定数学库B1.7、B2.4及关联例题，编辑全文实读和逐题重解；原始印页仅按外部证据明确核对。；本地五三记录 | null | [] |
method/math/square-bounds | 配方放缩 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/amgm",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch07",
"book/derivative-secret/topic/estimate",
"book/derivative-secret/topic/foundation",
"book/derivative-secret/topic/inequality",
"book/derivative-secret/topic/sampling",
"book/higher-method/topic/chapter-1",
... | {
"method": "配方放缩是通过恒等变形显露平方等非负结构，再用具有确定方向的不等式估计目标量的方法。配方本身保持数值相等，放缩则把精确表达式替换为上界或下界，二者的逻辑作用应分别写清。\n\n### 核心做法\n围绕目标界整理差式，或将原式配成平方和，说明每次估计的方向与成立条件。求最值时还须联立全部取等条件，验证它们能在原约束下同时实现。例如 $x^2-2x+3=(x-1)^2+2\\geqslant2$；仅当允许 $x=1$ 时，$2$ 才是最小值。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题》（2024年高三培优讲义第29讲）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；《比大小》（2024年高三培优讲义第6讲）；《立体几何中的体积，表面积范围与最值·不建系》（2024年高三培优讲义第16讲）；固定数学库B1.7、B2.4及关联例题，编辑全文实读和逐题重解；原始印页仅按外部证据明确核对。；本地五三固定记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/substitution | 换元法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/amgm",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/extremum-shift",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/function-equations",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/trig-graphs",
"book/derivative-secret/topic/foundation",
"book/higher-method/topic/chapter-1"... | {
"method": "换元法是用新的变量表示原变量或反复出现的结构，将问题转化为较容易处理的形式的方法。换元是否有效，不只取决于式子能否简化，还取决于新变量的范围及新旧变量之间的对应关系。\n\n### 核心做法\n设新变量并由原条件求出其可行范围，将所有相关条件和目标统一改写，再在新范围内求解。最后反解原变量，核对遗漏或重复。例如令 $t=x^2$ 时必须保留 $t\\geqslant0$；解得 $t>0$ 后通常对应 $x=\\pm\\sqrt t$，不能只取一个符号。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | LibreMath《K12开源数学教辅》；knowledge-main I4.3、历史 I4.3/L3.1/L3.2；浙大优辅《高中数学新体系：概率统计的秘密》3.4.2。原文逐项对照，定义、证明与反例由编辑独立重写；具体源ID和哈希见迁移计划。；《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《嵌套（复合）函数》（2024年高三培优讲义第7讲）；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；固定数学库B1.7、B2.4及关联例题，编辑全文实读和逐题重解；原始印页仅按外部证据明确核... | null | [] |
method/math/whole-substitution | 整体代换 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/amgm",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/implicit-zero",
"book/derivative-secret/topic/inequality",
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/peiyou-13/topic/vieta",
"topic/A2.1",
"topic/C3.2",
"topic/H2.5",
"topic/H4.1",
"topic/H4.2",
"topic/l... | {
"method": "整体代换是把相互关联的一组项或一个复合表达式作为整体参与运算，避免逐项求值的方法。其依据是条件与目标主要依赖该整体，而不依赖组成它的每个量的具体值。\n\n### 核心做法\n辨认条件和目标中共同出现的和、积、差或复合式，先建立这些整体之间的关系，再将目标写成它们的表达式。引入多个整体时须保留联合约束，不能把各自范围任意拼接。\n\n### 简例\n若 $a,b>0$ 且 $a+b=1$，将 $1$ 整体代换为 $a+b$，有\n$$\\frac1a+\\frac1b=(a+b)\\left(\\frac1a+\\frac1b\\right)=2+\\frac ab+\\frac ba\\ge4,$$\... | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《2027高考必刷题·数学》；《导数的秘密》；《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；《韦达化处理以及非对称韦达》（2024年高三培优讲义第13讲）；《韦达化处理以及非对称韦达》（2024年高三培优讲义第13讲）；本地五三记录；固定数学库A2.1、legacy/A2.1与对应原例题；编辑独立逐题核算、归并、证明及边界修订，原书页未全部核验，待人工审定。；本地五三记录 | null | [] |
method/math/undetermined-coefficients | 待定系数法 | method | present | subject/math | [
"book/derivative-secret/topic/inquiry",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"topic/B2.5",
"topic/C2.1",
"topic/H1.2",
"topic/H4.5",
"topic/legacy/B2.5",
"topic/legacy/H1.2",
"topic/legacy/H4.5"
] | {
"method": "待定系数法是先按已知结构写出含未知系数的表达式，再由恒等关系或给定条件确定系数的方法。预设形式应有依据，例如已知次数的多项式，或已知分母结构的部分分式。\n\n### 核心做法\n先列明待定系数及参数限制，再代入条件建立方程组。对恒等式可比较同次项系数，也可选取足够的自变量值确定系数，并验证所得式确实恒等。条件不足时保留自由系数，不能由少量取值相等直接断定任意函数恒等；分式变形还须保留分母非零条件。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | knowledge-main：B2.5《二次函数》及对应旧讲义卡；OpenStax Precalculus 2e §3.2（定义与基本图象核对）；《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/elimination | 消元法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/amgm",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch10",
"book/conic-secret/topic/proposition",
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"book/peiyou-09/topic/midpoint-chord",
"book/peiyou-25/topic/gap-sequences",
"book/sequen... | {
"method": "消元法是利用多个条件之间的关系，消去部分未知量，使原问题化为较少未知量问题的方法。代入、加减及利用和积关系都可实现消元，但消元后的条件可能只保留了原条件的一部分信息。\n\n### 核心做法\n选择较易表达或具有共同系数的未知量，借助代入或线性组合消去，再解剩余方程。涉及除法时先区分除数是否为零，涉及平方时记录符号限制。得到候选解后回代原条件，恢复被消去的变量，并核对原定义域，不能把消元产生的必要条件直接当作充分条件。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | liuhaopeng543《数学笔记》17.数论.md（GitHub MathBook，MIT，提交 5b81b2d8cd2f）；据基本技巧与裴蜀定理段落编辑整理；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《弦中点与第三定义（点差法）》（2024年高三培优讲义第9讲）；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；《隔项等差与隔项等比以及和为等比》（2024年高三培优讲义第25讲）；本地五三记录；本地五三记录；LibreMath《K12开源数学教辅》 https://libremath.cn/d... | null | [] |
method/math/factorization | 因式分解 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"topic/A2.3"
] | {
"method": "因式分解是把一个表达式恒等地写成若干因式的乘积，以显露零点、符号或整除结构的方法。它将整体关系转化为各因式之间的关系，常用于解方程、不等式及证明代数恒等关系。\n\n### 核心做法\n先提取公因式，再利用分组、公式或已知零点寻找因式，必要时展开核验。解乘积为零的方程时分别求各因式的零点；判断乘积符号时同时考虑全部因式的符号。约去公因式前须单独处理其为零的情形，分母中的因式即使约去，其零点仍不属于原定义域。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | LibreMath《K12开源数学教辅》；UniPrism数学编辑整理；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
method/math/equivalent-transformation | 等价转化 | method | present | subject/math | [
"topic/A2.1",
"topic/A2.3"
] | {
"method": "等价转化是用充要条件把原命题或原问题改写成另一种形式，使转化前后的成立情况完全一致的方法。它与只推出必要条件或充分条件的推导不同，关键在于每一步均可在已列条件下逆向恢复。\n\n### 核心做法\n先确定定义域，再逐步检查变形的可逆性。除以表达式须保证其非零，平方须控制符号，取对数须满足真数和底数条件。若某步只能单向推出，就将所得结果作为候选，再回到原问题验证，补足反向论证后才能给出等价结论。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | LibreMath《K12开源数学教辅》；UniPrism数学编辑整理 | null | [] |
method/math/symmetry | 对称法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/functions-properties",
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"topic/B1.4",
"topic/B1.5",
"topic/C1.2",
"topic/C3.4",
"topic/H4.7",
"topic/legacy/B1.4",
"topic/legacy/C3.9",
"topic/legacy/H4.7",
"topic/visual-cards/01-圆锥曲线/05-参数面积最值"
] | {
"method": "对称法是利用交换变量、反射、旋转等变换保持条件或目标不变的性质，减少计算或建立对应的方法。对称性说明某些对象具有相同地位，但不能单凭表达式对称就断定极值一定在变量相等时取得。\n\n### 核心做法\n先写明对称变换及其作用，验证可行条件与目标在变换下保持不变，再利用成对关系、对称中心或不变量简化问题。若据此缩小考察范围，须说明其余情况如何由对称变换得到；若要把变量取相等，还须另证这种调整不使目标变差。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；固定数学库B1.4及关联例题，编辑全文审读、归并与独立重解；原书完整图页尚未全部恢复。；固定数学库B1.5/B1.6及关联题，编辑逐条独立核算、归并和改写；原书全部印页未重开。；本地五三记录；本地五三记录；参考：53高中知识清单(数学)-2025版，书页450、451，PDF页471、472 | null | [] |
method/math/specialization | 特殊化法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/abstract-functions",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch11",
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/functions-properties",
"book/derivative-secret/topic/foundation",
"topic/legacy/H4.1"
] | {
"method": "特殊化法是从一般条件中选取合法的特殊对象、数值或位置，揭示结构、排除命题或确定必要条件的方法。全称命题必须对每个允许对象成立，因此一个合法反例即可否定它，但若干特例成立不能证明全称结论。\n\n### 核心做法\n根据待研究性质选取能简化计算的等值、对称或边界情形，先确认其满足全部条件，再代入推导。由特例得到的参数限制通常只是必要条件，须再证明这些限制对全部对象均有效；退化对象不在允许范围内时，不能直接用它代替合法特例。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/contradiction | 反证法 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/sequence-secret/topic/proof"
] | {
"method": "反证法是暂时假定结论不成立，由此与题设、已知事实或逻辑规则推出矛盾，从而证明原结论的方法。它依据命题与其否定不能同时成立，适合直接构造较难而否定后约束更强的问题。\n\n### 核心做法\n先准确写出结论的否定，尤其注意“任意”“存在”“至少”“至多”等量词，再将否定与题设共同使用，推出明确矛盾。证明唯一性时，可先假设存在两个不同对象，再推出它们相同；证明存在性时，先假设所有允许对象均不满足要求，再推出矛盾。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
method/math/induction | 数学归纳法 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/sequence-secret/topic/proof",
"topic/F3.8",
"topic/legacy/F4.1",
"topic/legacy/F4.2"
] | {
"method": "数学归纳法是通过起始情形和相邻递推关系，证明自然数范围内一系列命题的方法。若命题 $P(n_0)$ 成立，且对每个 $k\\geqslant n_0$ 都有 $P(k)\\Rightarrow P(k+1)$，则所有 $n\\geqslant n_0$ 的命题均成立。\n\n### 核心做法\n先核对起始值，再设 $P(k)$ 成立，并在这一假设下证明 $P(k+1)$。归纳步须覆盖全部允许的 $k$，且不能把待证的后一项当作已知。若一次递推要用前面若干项，须补足相应起始情形，或明确采用强归纳假设。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
method/math/coordinates | 坐标法 | method | present | subject/math | [
"book/conic-secret/topic/geometry",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"book/vector-secret/topic/lecture-11",
"topic/G0.1",
"topic/G4.1",
"topic/G4.2",
"topic/G4.5",
"topic/G4.6",
"topic/H2.3",
"topic/H2.5",
"topic/H4.1",
"topic/legacy/G4.2",
"topic/legacy/G4.6",
"topic/legacy/G4.8",
... | {
"method": "坐标法是选取坐标系，将几何对象表示为坐标或方程，把位置与度量关系转化为代数条件的方法。坐标系应便于表示主要对象，同时保持对象的实际约束。\n\n### 核心做法\n在平面或空间建立直角坐标系，给点设坐标，将共线、垂直、距离及所属范围分别写成方程或不等式，再求解。所得代数结果须译回几何对象，核对重合、退化及可行范围。求轨迹时既要证明原对象满足所得方程，也要证明方程允许的点能按原条件构造出来。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | knowledge-main 专题 G3.2、G4.2及对应历史条目；按原条件校核、合并并编辑补充证明；本地五三记录；《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版）；《圆锥曲线的秘密》（苏立标编著，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录；本地五三记录；LibreMath《K12开源数学教辅》 https://libremath.cn/idea/zuo-biao-xuan-zhuan-bian-huan (CC-BY-4.0 source support; independent editorial expansi... | null | [] |
method/math/vectors | 向量法 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/peiyou-30/topic/dot-product",
"book/solid-geometry-secret/topic/transform",
"book/solid-geometry-secret/topic/vector",
"book/vector-secret/topic/lecture-01",
"book/vector-secret/topic/lecture-02",
"book/vector-secret/topic/lecture-08",
"book/vector-secret/to... | {
"method": "向量法是用有向量的线性关系和数量积表达几何条件，将位置、长度与角度问题转化为运算的方法。线性表示负责连接点的位置，数量积则把垂直和度量关系转成代数关系。\n\n### 核心做法\n选取适合的基底，统一表示相关向量，再由共线、线性相关或数量积条件列式。使用非正交基时保留交叉项，求夹角前确认两个向量均非零。得到向量关系后说明其对应的几何意义；由平行关系得到比例时，还须核对方向与比例的符号。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | knowledge-main G3.1向量求角索引、现有完整空间例题；OpenStax Calculus Volume 3 §2.3；knowledge-main 专题 G3.2、G4.2及对应历史条目；按原条件校核、合并并编辑补充证明；本地五三记录；《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版）；《数量积（极化恒等式与投影法）》（2024年高三培优讲义第30讲）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；固定数学知识库：G3.5、legacy/G3.5、H1.1距离及立体几何旧节点；定义和全部有效性质归并，推导与解题由编辑独立核算，详细旧字段与证据绑定外部台账；待人... | null | [] |
method/math/auxiliary-construction | 辅助构造 | method | present | subject/math | [
"book/solid-geometry-secret/topic/transform"
] | {
"method": "辅助构造是在原条件下引入新的点、线、量或表达式，使分散条件通过可用关系连接起来的方法。辅助对象应满足明确的定义，其存在性及性质须由已知条件保证，不能把所求结论作为构造依据。\n\n### 核心做法\n从目标缺少的关系出发，选择能同时承接已知条件的对象，再说明如何构造及何时存在。随后用构造所得的平行、垂直、相等或代数恒等关系完成推导。若构造有多个分支或只能在部分条件下实施，应分别处理，并将结论还原到原对象。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 苏立标《立体几何的秘密》 | null | [] |
method/math/cut-and-complement | 割补法 | method | present | subject/math | [
"book/solid-geometry-secret/topic/volume"
] | {
"method": "割补法是把图形分割、移动或补成较易计算的图形，利用面积或体积的可加性求量或证明关系的方法。刚体移动保持面积、体积，而分割后的各部分必须覆盖原图形且内部不重叠。\n\n### 核心做法\n选择边界清楚的切分，标明各部分的对应与移动方式，再用各部分量的和表示原量；补形时则从整体中减去补入部分。计算前核对高度、底面或截面是否属于同一对象。若割补结果用于最值比较，还须说明变换保持了哪些约束，不能只比较外观。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 苏立标《立体几何的秘密》 | null | [] |
method/math/unfolding | 展开法 | method | present | subject/math | [
"topic/G1.1",
"topic/G3.5",
"topic/G4.4",
"topic/legacy/G1.1",
"topic/legacy/G3.5",
"topic/legacy/G4.4",
"topic/visual-cards/02-立体几何/03-旋转体与展开",
"topic/visual-cards/02-立体几何/06-综合强动态"
] | {
"method": "展开法是把立体表面上相邻的面沿公共边转到同一平面，将表面内的距离或路径问题化为平面几何问题的方法。展开保持各面内长度与夹角，并保持路径穿过公共边时的连接关系。\n\n### 核心做法\n先确定路径依次经过哪些面，按此顺序展开，再连接起终点寻找平面候选路径。须检查直线是否按规定顺序穿过各公共边、是否落在相应面内，并比较其他允许路线。平面两点间线段最短只对合法展开路径有效，不能由一个展开图直接断言所有表面路径中最短。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 固定数学知识库：G3.5、legacy/G3.5、H1.1距离及立体几何旧节点；定义和全部有效性质归并，推导与解题由编辑独立核算，详细旧字段与证据绑定外部台账；待人工复核。；固定知识库G4.3/G4.4与legacy原专题、KG源条目；编辑逐项归并，正文与证明为agent_synthesis，仍待独立人审。；本地五三记录 | null | [] |
method/math/equal-measure | 等积法 | method | present | subject/math | [
"book/solid-geometry-secret/topic/volume",
"topic/G3.5",
"topic/legacy/G3.5",
"topic/visual-cards/02-立体几何/05-体积截面"
] | {
"method": "等积法是用同一个面积或体积的不同表达式建立关系，或利用等底、等高等条件比较图形的方法。核心是先确认所表示的量确为同一量，或证明两个量相等，再消去共同因子。\n\n### 核心做法\n选择能同时联系已知量与待求量的底和高，分别列出面积或体积公式，再令两式相等。换底时相应高度也须随之改变，不能沿用原高。若通过面积比求距离比，应先核对公共底边或等底条件；消去底面积、长度等因子前，须确认它们非零。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 固定数学知识库：G3.5、legacy/G3.5、H1.1距离及立体几何旧节点；定义和全部有效性质归并，推导与解题由编辑独立核算，详细旧字段与证据绑定外部台账；待人工复核。；本地五三记录；苏立标《立体几何的秘密》 | null | [] |
method/math/parametrization | 参数法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/triangle-optima",
"book/higher-method/topic/chapter-3",
"topic/G4.3",
"topic/G4.6",
"topic/H2.1",
"topic/H2.5",
"topic/H3.7",
"topic/legacy/G4.3",
"topic/legacy/G4.5",
"topic/legacy/H2.5",
"topic/legacy/H3.7"
] | {
"method": "参数法是用一个或多个参数统一表示满足约束的对象，把原问题转化为参数范围内问题的方法。参数表示既应使条件易于满足，又应说明它覆盖哪些对象，是否存在遗漏或重复。\n\n### 核心做法\n依据几何关系或代数约束选取参数，写出各量的表达式及参数取值范围，再将目标化为参数式求解。最后还原对象并检查特殊位置。例如用斜率表示过定点的直线时，竖直线不能由有限斜率表示，须单独处理；也可改用方向参数避免这一遗漏。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；固定知识库G4.3/G4.4与legacy原专题、KG源条目；编辑逐项归并，正文与证明为agent_synthesis，仍待独立人审。；固定知识库G4.3/G4.4与legacy原专题、KG源条目；编辑逐项归并，正文与证明为agent_synthesis，仍待独立人审。；本地五三记录；本地五三记录；本地五三记录；参考：53高中知识清单(数学)-2025版，书页368，PDF页389 | null | [] |
method/math/derivative | 导数法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/derivative-extrema",
"book/derivative-secret/topic/foundation",
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"book/peiyou-04/topic/tangent",
"topic/C2.2",
"topic/C2.3",
"topic/C3.2",
"topic/C3.5",
"topic/legacy/C4.1"
] | {
"method": "导数法是利用导数反映函数局部变化的性质，研究单调性、极值、最值及零点分布的方法。导数的符号可连接局部变化与区间变化，但结论须限定在相应定义域和连续区间内。\n\n### 核心做法\n先确定定义域，再求导并找出导数为零或不存在的点，分区间判断导数符号。求闭区间最值时还须比较端点及内部候选点的函数值；导数为零只是可导内点取极值的必要条件。判断零点个数时，将单调性与端点值、极值或极限结合，不能仅数驻点。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《切线与公切线》（2024年高三培优讲义第4讲）；《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版）；《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/recurrence | 递推法 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch12",
"book/peiyou-39/topic/markov",
"book/probability-secret/topic/counting",
"book/sequence-secret/topic/application",
"topic/D1.3",
"topic/F3.1"
] | {
"method": "递推法是利用相邻阶段或较小规模对象之间的关系，从初始信息逐步确定整个序列或问题的方法。递推关系须来自对象的结构，同时具备足够的起始条件，才能唯一确定后续结果。\n\n### 核心做法\n先选定能描述当前状态的量，分清它与前面状态的关系，再列出递推式和初始值。求通项时可通过变形、换元或累加化简，所得公式须满足递推式及全部初始条件。递推中若含除法或开方，应逐步核对分母非零、根式有意义及分支选择。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）；《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录；OpenStax College Algebra 9.6；《马尔科夫链（与数列结合的概率递推问题）》（2024年高三培优讲义第39讲）；本地五三固定记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版）第四章，PDF108—170页（印刷99—161页）；正文与证明经独立编辑，agent_synthesis，待人工审定。；本地五三记录 | null | [] |
method/math/telescoping | 裂项相消 | method | present | subject/math | [
"book/derivative-secret/topic/estimate",
"book/derivative-secret/topic/inequality"
] | {
"method": "裂项相消是把和式的通项写成两个相邻或错开若干项的差，使求和时中间部分相互抵消的方法。它把许多项的累加转化为少量边界项的计算，关键在于找到准确的差分结构。\n\n### 核心做法\n先验证通项分解，再按相同指标写出有限和，明确哪些项抵消、哪些项保留。若 $a_k=b_k-b_{k+1}$，则 $\\sum_{k=1}^n a_k=b_1-b_{n+1}$。错开多项时两端可能各保留多项；处理无穷和须先求有限部分和，再另证边界项的极限存在。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《导数的秘密》（数学小丸子主编，王海刚、陈宇轩编写，浙江大学出版社，2022年3月第1版） | null | [] |
method/math/shifted-subtraction | 错位相减 | method | present | subject/math | [
"book/sequence-secret/topic/arithmetic-geometric",
"topic/F2.3"
] | {
"method": "错位相减是将一个和式乘以适当因子，使新旧和式中的多数项在指标上对应，再相减以降低系数复杂度的方法。典型结构是多项式系数与等比因子的乘积，相减可把多项式系数化为相邻差。\n\n### 核心做法\n设有限和为 $S$，根据等比因子选取乘数，写出移位后的和式，再逐项相减，单独保留首尾未配对项。最后解出 $S$。若移项后需除以 $1-q$，须先处理 $q=1$；多次相减时，每次都应核对指标范围和边界项。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录；《数列的秘密》PDF67—107页（印刷58—98页）；逐页核对与独立编辑证明 agent_synthesis，待人工审定。 | null | [] |
method/math/accumulation | 累加累乘 | method | present | subject/math | [
"book/sequence-secret/topic/application"
] | {
"method": "累加累乘是把相邻项之间的差或比逐项相加、相乘，从而建立远端项关系的方法。差的累加使中间项相消，比的累乘使中间因子约去，适用于由相邻关系给出的数列。\n\n### 核心做法\n若 $a_{k+1}-a_k=d_k$，则 $a_n=a_1+\\sum_{k=1}^{n-1}d_k$；若各分母非零且 $a_{k+1}/a_k=r_k$，则 $a_n=a_1\\prod_{k=1}^{n-1}r_k$。使用时先确认指标与首项，并检查比值关系中的非零条件；可能出现零项时，应回到原递推式另行处理。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
method/math/counting | 分类与分步计数 | method | present | subject/math | [
"book/bishuati-math-2027-sets-pilot/topic/ch11",
"book/peiyou-41/topic/counting",
"book/probability-secret/topic/counting",
"topic/G0.1",
"topic/I1.1",
"topic/I1.3",
"topic/I2.1",
"topic/legacy/I1.1",
"topic/legacy/I1.3",
"topic/legacy/I1.4",
"topic/legacy/I1.5",
"topic/legacy/I2.1",
"topic/... | {
"method": "分类与分步计数是根据完成一件事的方式，将总数化为若干类之和或若干步选择数之积的方法。分类对应互斥且穷尽的方案，分步对应依次作出的选择，每个合法结果须恰好被计数一次。\n\n### 核心做法\n先明确所数对象及何时视为同一个结果。分类时分别计数再相加；分步时确认每个前序选择后都有相同的后续选择数，才能直接相乘。若后续数量随前序改变，应分支计算后求和，并检查顺序、重复和限制条件是否已计入。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | knowledge-main I1.2/I1.3、旧卡214/270及高三培优讲义相应题族；定义与边界经编辑归并，证明和算例为独立编辑推导；knowledge-main 概率专题 I2.0/I2.1、旧卡217/218/273；《概率统计的秘密》第二章（浙江大学出版社，2021）；定义、证明与边界经编辑复核；本地五三记录；本地五三记录；本地数学知识图谱历史记录；《排列组合常考小题》（2024年高三培优讲义第41讲）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/bijection | 构造双射 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1"
] | {
"method": "构造双射是为两类对象建立一一对应，把一类对象的计数转化为另一类对象的计数的方法。双射要求每个原对象有唯一像，不同原对象的像不同，并且目标类中每个对象都有原像。\n\n### 核心做法\n先明确两类对象及各自约束，再给出映射规则，证明映射结果始终合法，并构造逆映射。通过两次复合都还原原对象，可验证对应没有遗漏或重复。计数时由双射推出两集合等势；若规则丢失顺序、符号等信息，就须补充编码，不能直接认作一一对应。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
method/math/complement | 补集法 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1",
"topic/A1.3"
] | {
"method": "补集法是把直接研究目标集合转为研究其在明确全集中的补集，再由整体扣除补集的方法。当不满足条件的情形结构更简单时，这种转化可减少分类和重复。\n\n### 核心做法\n先确定全集 $\\Omega$，准确否定目标条件，求出补集后再用 $|A|=|\\Omega|-|\\Omega\\setminus A|$ 或 $P(A)=1-P(A^{\\mathrm c})$ 还原。否定复合条件时须遵守逻辑关系，例如“至少一次”的补集是“一次也没有”。补事件的概率仍须按原随机机制计算，不能把不等可能的结果直接按数量相比。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版）；固定数学知识库 A1.1—A1.3 与对应 legacy 原记录；编辑对照完整关联题归并并独立论证，原书页未全部核验，待人工验收。 | null | [] |
method/math/bisection | 二分法 | method | present | subject/math | [
"topic/B3.2",
"topic/legacy/B3.6"
] | {
"method": "二分法是在连续函数的异号区间内，反复保留仍含零点的一半区间，逼近零点的方法。若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)f(b)<0$，则区间内至少有一个零点；这些条件本身不保证零点唯一。\n\n### 核心做法\n取中点 $m$，若 $f(m)=0$ 则结束，否则保留端点函数值异号的半区间。重复 $n$ 次后区间长度为 $(b-a)/2^n$；取最终区间中点时，与其中某个零点的距离不超过该长度的一半。函数不连续时，端点异号不能作为含零点的保证。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录 | null | [] |
method/math/double-counting | 双重计数 | method | present | subject/math | [
"book/peiyou-41/topic/counting",
"book/probability-secret/topic/counting",
"topic/G0.1",
"topic/I1.1",
"topic/legacy/I1.1",
"topic/legacy/I1.5",
"topic/legacy/K3.1"
] | {
"method": "双重计数是用两种方式计算同一组对象或关联的数量，再令两种表达式相等的方法。它把局部统计与整体统计连接起来，常通过改变计数顺序得到恒等关系或数量约束。\n\n### 核心做法\n先明确定义待数集合，例如满足某种关系的有序对，再分别按第一个分量和第二个分量分组计数。两侧都须保证每个对象恰好计入规定次数；若有固定重数，应明确除去。不能仅因两个式子形式相似就认作同一计数，需说明它们统计的是哪些具体对象。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 本地五三记录；本地数学知识图谱历史记录；《排列组合常考小题》（2024年高三培优讲义第41讲）；本地五三记录 | null | [] |
method/math/comparison | 比较法 | method | present | subject/math | [
"book/sequence-secret/topic/proof",
"topic/A2.1",
"topic/B1.3",
"topic/legacy/A2.1",
"topic/legacy/B1.3"
] | {
"method": "比较法是把两个量的大小转化为差、比或共同参照量的性质，从而确定大小关系的方法。差的符号可直接表示次序；作商比较则需控制分母和被比较量的符号。\n\n### 核心做法\n先核对两量的定义域，再根据结构选择作差、作商或分别估计。作差后可因式分解或配方；对正数作商时可与 $1$ 比较。使用中间量时，要建立方向一致的关系链。比较幂、对数等表达式时，须依据底数所在范围确定单调方向，不能只比较指数或真数。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 固定数学库A2.1、legacy/A2.1与对应原例题；编辑独立逐题核算、归并、证明及边界修订，原书页未全部核验，待人工审定。；固定数学库B1.3与双向关联例题；编辑逐条复算、归并及证明边界修订，原书页未全部核看。；本地五三记录；《数列的秘密》（苏卫军编著，浙江大学出版社，2021年6月第1版） | null | [] |
method/math/random-simulation | 随机模拟法 | method | present | subject/math | [
"book/probability-secret/topic/probability",
"topic/I2.0",
"topic/legacy/I2.5"
] | {
"method": "随机模拟法是按照给定随机机制生成重复试验，用事件发生的频率或样本统计量估计概率、期望等数量的方法。模拟必须复现变量的分布及依赖关系，不能只使各变量单独的取值范围相同。\n\n### 核心做法\n先构造一次试验的完整联合生成规则，再独立重复 $N$ 次，以指示变量均值估计事件概率，或以样本均值估计期望。检查生成机制并报告样本量及误差评估；在相应条件下增大样本可提高估计稳定性，但有限次模拟不能证明精确等式或全称命题。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《概率统计的秘密》；本地数学知识图谱历史记录 | null | [] |
method/math/complex-numbers | 复数法 | method | present | subject/math | [
"book/vector-secret/topic/lecture-09"
] | {
"method": "复数法是把平面点或代数关系表示为复数，利用复数的加法、乘法、共轭与模进行推导的方法。复数加法表达平移，乘以非零复数表达旋转与伸缩，模表示到原点的距离。\n\n### 核心做法\n选定复平面并用复数表示相关点，将距离、角度和位置条件改写为模、辐角或共轭关系，再运算并还原几何意义。使用商表示夹角时分母须非零，辐角按模 $2\\pi$ 理解；由实数商判断共线时，应另行处理重合点。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《向量的秘密》（顾予恒编著，浙江大学出版社，2021年9月第1版） | null | [] |
method/math/lagrange-multipliers | 拉格朗日乘数法 | method | present | subject/math | [
"book/higher-method/topic/chapter-1"
] | {
"method": "拉格朗日乘数法是在等式约束下寻找可微函数局部极值候选点的方法。若目标函数与约束函数在候选点邻域连续可微，且约束梯度线性无关，则约束局部极值点满足目标梯度为约束梯度的线性组合。\n\n### 核心做法\n对约束 $g_i(x)=0$，联立 $\\nabla f=\\sum_i\\lambda_i\\nabla g_i$ 与全部约束求候选点。此条件一般必要而不充分，仍须比较函数值或进一步判别。约束梯度不独立的点、可行域边界及非紧区域的极限行为须另行核对，不能仅解乘数方程就宣布全局最值。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 《更高更妙的高中数学思想与方法》（蔡小雄著，浙江大学出版社，2025年10月第16版） | null | [] |
method/math/sign-chart | 区间法 | method | present | subject/math | [
"topic/A2.3",
"topic/legacy/A2.3"
] | {
"method": "区间法是把实数范围按零点及不连续点分割，在每个区间内判断表达式符号，再合并满足条件部分的方法。若表达式在某区间连续且不为零，其符号在该区间内保持不变。\n\n### 核心做法\n先化为便于判号的乘积或分式，找出分子零点、分母零点及其他定义边界，按顺序分区间。逐段判断各因式符号或取合法测试点，再根据不等号决定是否纳入端点。分母零点始终排除；跨越偶重零点时符号不一定改变，不能机械地交替正负。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 固定数学知识库A2.3、A2.4及关联原题；编辑逐条复算、归并与边界修订，未全部核对原印页。 | null | [] |
method/math/taylor | 泰勒展开法 | method | present | subject/math | [
"topic/C3.8",
"topic/legacy/B2.4"
] | {
"method": "泰勒展开法是用函数在某点的各阶导数构造局部多项式，并用余项控制近似误差的方法。展开到几阶、余项有什么界，决定了近似可用于哪些比较或极限计算，不能把多项式截断直接当作恒等式。\n\n### 核心做法\n选展开点 $a$ 与阶数 $n$。对 $x\\ne a$，若 $f$ 在连接 $a,x$ 的区间上有连续的 $n+1$ 阶导数，则 $f(x)=\\sum_{k=0}^n f^{(k)}(a)(x-a)^k/k!+R_n$，其中 $R_n=f^{(n+1)}(\\xi)(x-a)^{n+1}/(n+1)!$，$\\xi$ 位于两点之间。由导数界或符号控制余项后，再作估计或取极限。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 固定数学库B1.7、B2.4及关联例题，编辑全文实读和逐题重解；原始印页仅按外部证据明确核对。；本地五三记录 | null | [] |
method/math/newton-iteration | 牛顿迭代法 | method | present | subject/math | [
"topic/C1.1"
] | {
"method": "牛顿迭代法是用函数图象在当前点的切线与横轴的交点，逐步逼近方程零点的方法。对简单零点，若函数在其邻域二阶连续可导且零点处导数非零，充分接近零点的初值可使迭代局部收敛。\n\n### 核心做法\n选初值 $x_0$，按 $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$ 更新，同时检查各步仍在定义域内且 $f'(x_n)\\ne0$。以残差和步长判断停止，并结合误差依据核验结果。任意初值不保证收敛，可能越界、循环或遇到零导数；小残差也不总能直接给出小的根误差。"
} | null | [] | [] | null | pending_review | null | 数学事实编辑整理（K12-KGraph 选题线索） | null | [] |
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UniPrism 数学知识库
本版与2026-11-04本地审查站的当前稿一致，共531条知识：定理242、概念189、解题模型62、通用方法38。命题题型与解题策略本轮不保留独立条目。概念按高中及必要初中基础整理，名称采用对称、垂直、零点、等比数列等通行表述；定理按明确的对象、条件、结论与来源证明整理，重复或低价值条目退出。
knowledge配置及knowledge.jsonl包含全部当前记录。knowledge_v3（431条概念与定理）和knowledge_v4（100条模型与方法）是互不重叠的当前格式分区，并非历史版本副本；旧v2分区已移除。data/与根目录对应核心文件逐字节一致。organization.json提供稳定入口及指纹，历史ID仅作到当前节点的别名映射，旧正文不在当前分区并列保留。
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配套例题库固定提交：aff2b38194ec0e9467fcec237df8ecd5f7444e23。知识与例题分库；题目只同步失效标签和标题，不改题文、解答、图片、场景或评分，不按知识合并关系自动重标题目。
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