lean/OAI/Probability/CriticalZ3/Model.lean

import Mathlib

namespace OAI

open MeasureTheory ProbabilityTheory

namespace CriticalZ3

abbrev Vertex := Fin 3 → ℤ
abbrev Bond := Vertex × Fin 3
abbrev BondConfig := Bond → Bool
abbrev SiteConfig := Vertex → Bool

def step (x : Vertex) (i : Fin 3) : Vertex := fun j => x j + if i = j then 1 else 0

def NearestNeighbor (x y : Vertex) : Prop :=
  ∃ i : Fin 3, y = step x i ∨ x = step y i

def BondOpen (ω : BondConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
  (∃ i : Fin 3, y = step x i ∧ ω (x, i) = true) ∨
  (∃ i : Fin 3, x = step y i ∧ ω (y, i) = true)

def SiteOpen (ω : SiteConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
  NearestNeighbor x y ∧ ω x = true ∧ ω y = true

def BondConnected (ω : BondConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
  Relation.ReflTransGen (BondOpen ω) x y

def SiteConnected (ω : SiteConfig) (x y : Vertex) : Prop :=
  ω x = true ∧ Relation.ReflTransGen (SiteOpen ω) x y

def bondCluster (ω : BondConfig) (x : Vertex) : Set Vertex :=
  {y | BondConnected ω x y}

def siteCluster (ω : SiteConfig) (x : Vertex) : Set Vertex :=
  {y | SiteConnected ω x y}

def bondInfiniteAt (x : Vertex) : Set BondConfig := {ω | (bondCluster ω x).Infinite}
def siteInfiniteAt (x : Vertex) : Set SiteConfig := {ω | (siteCluster ω x).Infinite}

noncomputable def parameter (p : ℝ) : Set.Icc (0 : ℝ) 1 :=
  ⟨max 0 (min 1 p), le_max_left _ _, max_le (by norm_num) (min_le_left _ _)⟩

noncomputable def bondLaw (p : ℝ) : Measure BondConfig :=
  Measure.infinitePi (fun _ : Bond => bernoulliMeasure true false (parameter p))

noncomputable def siteLaw (p : ℝ) : Measure SiteConfig :=
  Measure.infinitePi (fun _ : Vertex => bernoulliMeasure true false (parameter p))

noncomputable def bondCritical : ℝ :=
  sInf {p : ℝ | p ∈ Set.Icc (0 : ℝ) 1 ∧ 0 < bondLaw p (bondInfiniteAt 0)}

noncomputable def siteCritical : ℝ :=
  sInf {p : ℝ | p ∈ Set.Icc (0 : ℝ) 1 ∧ 0 < siteLaw p (siteInfiniteAt 0)}

end CriticalZ3

end OAI